% Analyse et géométrie complexes d'une variable, chapitre VIII
%
% Laurent Bonavero
% Ecole Normale Supérieure de Lyon
% 46 allée d'Italie
%
% Jean-Pierre Demailly,
% Université de Grenoble I, Institut Fourier
% 38402 Saint-Martin d'Hères, France
%

\input vcmac.tex
\def\ovr{\overrightarrow}

\setbox\booktitlebox\hbox{\eightpoint
L.~Bonavero, J.-P.~Demailly, Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann}

%\def\dotO{\smash{\build 0|\raise-2pt\hbox{$\scriptscriptstyle\bullet$}||}}
%\def\dotz{\smash{\build z|{\scriptscriptstyle\bullet}||}}
\def\dotO{\dot 0}
\def\dotz{\dot z}

\openauxfile

\blankline
\chaptitle{Chapitre VIII}
\chaptitle{Surfaces de Riemann, propriétés}
\chaptitle{fondamentales et exemples}
\chaptitlerunning{Chap.\ VIII~: Surfaces de Riemann, propriétés
fondamentales et exemples}
\vskip150pt
\bigskip

\supersection{1. Variétés différentielles et surfaces de Riemann}

\section{1.1. Faisceaux de fonctions et espaces annelés}

Nous introduisons d'abord la notion de faisceau de fonctions. Une notion plus 
élaborée de faisceau (dont les «\?sections\?» ne sont pas 
nécessairement des fonctions) nous sera nécessaire ultérieurement, 
mais nous avons préféré limiter le cadre conceptuel dans un premier 
temps, afin de rester le plus élémentaire possible.

\claim Définition 1|Si $X$ est un espace topologique et $E$ un ensemble, 
on appelle faisceau de fonctions $\cF$ de $X$ dans $E$ la donnée, pour
chaque ouvert $U\subset X$, d'un ensemble $\cF(U)$ de fonctions $U\to E$
tel que~:
\smallskip
\item{\rm(i)} Si $V\subset U$ et $f\in \cF(U)$ alors $f_{|V}\in \cF(V)$,
\smallskip
\item{\rm(ii)} Etant donné une réunion d'ouverts
$V=\bigcup_{\alpha\in I}V_\alpha$ et des fonctions
$f_\alpha\in\cF(V_\alpha)$ vérifiant $\forall \alpha,\beta\in I$,
$f_{\alpha|V_\alpha\cap V_\beta}= f_{\beta|V_\alpha\cap V_\beta}$,
alors la fonction $f : V\to E$ définie par $\forall \alpha\in I$,
$f_{|V_\alpha}= f_\alpha$ est telle que $f\in \cF(V)$.  \vskip0pt
\endclaim

On peut, par exemple, considérer le faisceau (assez peu
intéressant a priori$\,\ldots$) de {\em toutes} les fonctions $U\to
E$, auquel cas (ii) est trivial. En général, l'axiome (ii)
signifie que le faisceau $\cF$ est décrit par une propriété de
nature locale (comme la continuité, la différentiabilité, etc),
et non de nature globale (comme le serait la propriété, pour une
fonction, d'être bornée). Ainsi, si $E=\bR$ ou $\bC$, on peut
s'intéresser aux faisceaux $\cC_{X,\bR}$, $\cC_{X,\bC}$ des
fonctions continues à valeurs dans $\bR$ ou dans $\bC$.  Dans ces
deux derniers cas, on a affaire à des {\em faisceaux d'anneaux},
c'est-à-dire des faisceaux $\cA$ tels que $\cA(U)$ est un anneau
pour tout ouvert $U\subset X$ (ce qui suppose que l'ensemble
d'arrivée $E$ a lui-même une structure d'anneau). Un couple
$(X,\cA)$ formé d'un espace topologique et d'un faisceau d'anneaux
est appelé un {\em espace annelé}, et $\cA$ est appelé le {\em
faisceau structural} de~$X$. Les exemples fondamentaux qui vont
nous préoccuper sont les espaces annelés $(\Omega,\cO)$ et
$(\Omega,\cC^k)$, où $\Omega$
est un ouvert de $\bC$ (resp.\ de $\bR^n$), et où, pour tout 
ouvert $U$ de $\Omega$, l'anneau $\cO(U)$ est l'ensemble des 
fonctions holomorphes sur $U$ et $\cC^k(U)$ celui des
fonctions $\bR$-différentiables de classe~$\cC^k$ sur~$U$, à
valeurs réelles. Plus généralement~:

\claim Définition 2|On appelle \ult{variété différentielle}
de classe $\cC^k$ et de dimension $n$ sur~$\bR$ un espace annelé
$(X,\cC^k_X)$ vérifiant les propriétés suivantes$\;:$
\smallskip
\item{\rm(i)} $X$ est un espace séparé localement compact et 
réunion dénombrable de compacts$\;;$
\smallskip
\item{\rm(ii)} $\cC^k_X$ est un faisceau de fonctions continues
$X\to\bC$ tel que pour tout point $p\in X$, il existe un voisinage
ouvert $U$ de $p$ dans $X$ et un homéomorphisme $\tau:U\to\Omega$ sur un
ouvert $\Omega\subset\bR^n$, possédant la propriété suivante~$:$
pour tout ouvert $V\subset U$, l'ensemble $\cC^k_X(V)$ consiste
en les composées $f=\smash{\wt f}\circ\tau\,$, avec
$\smash{\wt f}\in\cC^k(\tau(V),\bR)$ de classe $\cC^k$ sur l'ouvert image
$\tau(V)\subset\Omega\subset\bR^n$. 
\smallskip\noindent
De même, on appelle \ult{surface de Riemann} un espace annelé $(X,\cO_X)$
vérifiant l'axiome \hbox{\rm(i)}, et à la place de \hbox{\rm(ii)}, l'axiome
\smallskip
\item{\rm(ii${}'$)} $\cO_X$ est un faisceau de fonctions continues
$X\to\bC$ tel que pour tout point $p\in X$, il existe un voisinage
ouvert $U$ de $p$ dans $X$ et un homéomorphisme $\tau:U\to\Omega$ sur un
ouvert $\Omega\subset\bC$, possédant la propriété suivante~$:$
pour tout ouvert $V\subset U$, l'ensemble $\cO_X(V)$ consiste
en les composées $f=\smash{\wt f}\circ\tau\,$, avec
$\smash{\wt f}\in\cO(\tau(V))$ holomorphe sur l'ouvert image
$\tau(V)\subset\Omega\subset\bC$. 
\vskip0pt
\endclaim

Un tel homéomorphisme $\tau$ s'appelle une {\em carte} (différentiable) 
de $(X,\cC^k_X)$, resp.\ une {\em carte} (holomorphe) de
$(X,\cO_X)$. Dans ce dernier cas, il résulte de la définition, en 
prenant $\smash{\wt f}(z)=z$, que la
fonction $\tau$ vérifie elle-même $\tau\in\cO_X(U)$. D'après l'axiome
(ii${}'$) de la Définition~2, on peut trouver un recouvrement ouvert
$(U_\alpha)_{\alpha\in I}$ de $X$ et un système de cartes
$\tau_\alpha:U_\alpha\to\Omega_\alpha\subset\bC$. De nouveau, l'axiome
(ii${}'$) entraîne que les {\em applications de transition}
$$
\tau_{\alpha,\beta}= \tau_\alpha\circ\tau_\beta^{-1}:
\tau_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)\to\tau_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
$$
sont des biholomorphismes. En effet, $\tau_{\alpha,\beta}$ est l'unique
application $\wt f$ telle que $\tau_\alpha=\wt f\circ\tau_\beta$ sur
$V=U_\alpha\cap U_\beta\subset U_\beta$, et comme
$\tau_{\alpha|V}\in\cO_X(V)$, on doit avoir
$$
\tau_{\alpha,\beta}=\wt f\in\cO_X(\tau_\beta(V))=\cO_X(\tau_\beta(
U_\alpha\cap U_\beta)).
$$
Par symétrie des rôles de $\alpha,\beta$, on a aussi
$\tau_{\alpha,\beta}^{-1}=\tau_{\beta,\alpha}\in \cO_X(\tau_\alpha(
U_\alpha\cap U_\beta))$. Ces propriétés peuvent être visualisées
par le schéma suivant.

\InsertFig 6 75 
{1 mm unit
-5 30 moveto
[-5 30  -2 28   4 15   4.75 7  5 0] curve
[5 0  22 4  39 4  50 0] curve stroke
0.90 setgray
18 27 moveto
[18 27  22 30  28 32  36 30  40 29] curve
[40 29  38 26  36 24  28 24  18 27] curve  closepath  fill
0 setgray
10 21 moveto
[10 21  18 27  22 30  28 32  36 30  40 29  48 22  48 18  36 13  28 10
 22 12  16 13  10 19] closedcurve stroke
5 40 moveto 
[5 40  8 35  18 27  28 24  36 24  40 29  45 32  45 36  40 42  28 48
 22 47  18 44  5 41] closedcurve stroke
64 3  moveto 
[64 3  63 -5  115 -5  119 51] polygon  stroke
0.90 setgray
90 15 20 10 45 135 0 ellipsearc
75.86 22.07 moveto
[75.86 22.07  85 15  95 15  104.14 22.07] curve  closepath  fill
93 55 24 12 225 315 0 ellipsearc
[109.97 46.52  98 54  87 54  76.03 46.52] curve  closepath  fill
0 setgray
 75.86 22.07  moveto
[75.86 22.07  85 15  95 15  104.14 22.07] curve  stroke
 109.97 46.52  moveto
[109.97 46.8  98 54  87 54  76.03 46.8] curve  stroke
90 15 20 10 0 360 0 ellipsearc  stroke
93 55 23 12 0 360 0 ellipsearc  stroke
44 20 moveto  31 -10 2.4 vector
40 35 moveto  40 30 2.4 vector
91 46 moveto  24 -95 2.4 vector
}
\LabelTeX  7 4  $X$\ELTX
\LabelTeX 28 15 $U_\alpha$\ELTX
\LabelTeX 22.5 26.5 $U_\alpha\!\cap\!U_\beta$\ELTX
\LabelTeX 26 38 $U_\beta$\ELTX
\LabelTeX 58 42 $\tau_\beta$\ELTX
\LabelTeX 47.5 48 $\hbox{(homéo)}$\ELTX
\LabelTeX 58 19.5 $\tau_\alpha$\ELTX
\LabelTeX 52 13 $\hbox{(homéo)}$\ELTX
\LabelTeX 65 -3 $\bC$\ELTX
\LabelTeX 90 8 $\Omega_\alpha$\ELTX
\LabelTeX 93 59.5 $\Omega_\beta$\ELTX
\LabelTeX 81 18.8 $\tau_\alpha(U_\alpha\!\cap\!U_\beta)$\ELTX
\LabelTeX 83 47.5 $\tau_\beta(U_\alpha\!\cap\!U_\beta)$\ELTX
\LabelTeX 91 33 $\tau_{\alpha\beta}~~\hbox{(biholom.)}$\ELTX
\EndFig
\bigskip\bigskip

Inversement, on va pouvoir reconstruire une
structure d'espace annelé à partir d'un {\em atlas différentiable}
(resp.\ un {\em atlas holomorphe}) comme ci-dessus~:

\claim Définition~3|On appelle atlas différentiable de classe
$\cC^k$ $($resp.\ holomorphe$\,)$ sur un espace topologique $X$ 
$($loca\-le\-ment
compact, séparé et réunion dénombrable de compacts$\,)$ la
donnée d'un recouvrement ouvert $(U_\alpha)_{\alpha\in I}$ de $X$ et
d'un système d'homéo\-mor\-phismes $($appelés cartes$\,)$
$\tau_\alpha:U_\alpha\to\Omega_\alpha$ sur des ouverts
$\Omega_\alpha\subset\bC$, tel que les applications de transition
$$
\tau_{\alpha,\beta}= \tau_\alpha\circ\tau_\beta^{-1}:
\tau_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)\to\tau_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
$$
soient des difféomorphismes de classe $\cC^k$ 
$($resp.\ des biholomorphismes$\,)$.
\endclaim

Pour reconstruire une structure de surface de Riemann à partir d'un atlas 
holomorphe, on utilise la proposition suivante (le cas d'une variété
différentielle serait entièrement analogue). La preuve est très 
facile et sera laissée au lecteur.

\claim Proposition|A tout atlas holomorphe $\tau_\alpha:U_\alpha\to
\Omega_\alpha$, $\alpha\in I$, sur $X$, on associe le faisceau
d'anneau $\cO_X$ ainsi défini$\;:$ si $V$ est un ouvert de $X$,
$\cO_X(V)$ est l'ensemble des fonctions $f:V\to \bC$ telles que
$\smash{\wt f}_\alpha=f\circ\tau_\alpha^{-1}$ est holomorphe sur
$\tau_\alpha(V)\cap\Omega_\alpha$ pour tout~$\alpha\in I$.  Alors
$(X,\cO_X)$ est une surface de Riemann.
\endclaim

\claim Remarque|{\rm Un atlas holomorphe peut évidemment être considéré
comme un atlas $\cC^\infty$ à valeurs dans $\bC\simeq\bR^2$. En composant
les cartes $\tau_\alpha$ avec des applications de classe $\cC^k$
$k=0,1,\ldots,\infty$, on obtient des inclusions de faisceaux d'anneaux
$$
\cO_X\subset\cC^\infty_X\subset\ldots\subset 
\cC^k_X\subset\ldots\subset\cC^1_X\subset\cC^0_X.
$$
La variété différentielle de dimension $2$ $(X,\cC^\infty_X)$ s'appelle
la surface différentielle sous-jacente à la surface de Riemann $(X,\cO_X)$.
De même, on appelle {\em variété topologique} toute variété $(X,\cC^0_X)$ de 
classe $\cC^0$, et on a le concept de variété topologique sous-jacente
à une variété différentielle de classe $\cC^k$, $k=1,2,\ldots,\infty$.
}
\endclaim

\claim Définition 4|Si $\tau:U\to\Omega\subset\bR^n$ est une carte
de la variété différentielle $X$, on notera en général 
$\tau(p)=(x_1,\ldots,x_n)$ et on dira que les fonctions $(x_1,\ldots,x_n)$
sont les coordonnées locates du point $p$ relativement à la carte~$\tau$.
Dans le cas d'une surface de Riemann, on posera le plus souvent $\tau(p)=z$ 
et on dira que $z$ est une coordonnée locale holomorphe $($de sorte
que $z=x+\ii y$ fournit des coordonnées locales $(x,y)$ de classe 
$\cC^\infty\,)$. On dit enfin que
la carte est centrée en un point $p_0\in U$ si $\tau(p_0)=0$, c'est-à-dire
si $p_0$ est l'origine des coordonnées locales.
\endclaim

\section{1.2. Espace tangent à une variété ou à une surface de Riemann}

Nous introduisons d'abord la notion classique de dérivation. Si $A$
et $B$ sont des anneaux (supposés commutatifs et unitaires), et si $B$
est aussi une $A$-algèbre, ce qui revient à la donnée d'un homomorphisme
d'anneaux $A\to B$, $x\mapsto x1_B$, on appelle dérivation $D$ de $A$ dans
$B$ toute application $D:A\to B$ qui est un homomorphisme de groupes additifs
et qui vérifie la règle de Leibnitz
$$
D(uv)= uD(v)+D(u)v\qquad\hbox{pour tous $u,\,v\in A$.}
$$
Comme $D(1_A)=D(1_A\times 1_A)=1_AD(1_A)+1_Ad(1_A)=2\,D(1_A)$, il vient
nécessairement $D(1_A)=0$. On notera $\Der(A,B)$ l'ensemble des dérivations
de $A$ dans $B$. Si en outre $A$, $B$ sont des algèbres sur un corps $\bK$, 
on supposera en général que l'homomorphisme $A\to B$ est $\bK$-linéaire,
et on note alors $\Der_\bK(A,B)$ le $\bK$-espace vectoriel des dérivations
$\bK$-linéaires de $A$ dans $B$.

Si $\cA$ est un faisceau d'anneaux sur $X$ de fonctions à valeurs dans
$\bK=\bR$ ou $\bC$, on peut considérer l'anneau noté $\cA_x$ des 
«\?germes\?» de fonctions de $\cA$ en $x$, c'est-à-dire l'ensemble 
des classes d'équivalence de fonctions définies sur des voisinages $V$ 
assez petits de~$x$, pour la relation d'équivalence $f\sim g$ si $f$
et $g$ coïncident sur un certain voisinage $W$ de~$x$. On a un
homomorphisme d'anneaux $\cA_x\to B=\bK$ défini par $f\mapsto f(x)\in\bK$.


\claim Définition 1|Si $\cA$ est un faisceau d'anneaux de fonctions 
sur~$X$ à valeurs dans $\bK=\bR$ ou $\bK=\bC$, on appelle dérivation
de $\cA$ en un point $x\in X$ la donnée pour chaque voisinage $V$ 
de $x$ d'une $\bK$-forme linéaire $D:\cA(V)\to \bK$ compatible aux
restrictions $($si $V'\subset V$ et $f\in\cA(V)$, alors 
$Df_{|V'}=Df\,)$, et vérifiant la règle de Leibnitz
$$
D(fg)=f(x)\,(Dg) + (Df)\,g(x)
$$
pour tous $f,g\in\cA(V)$.
\endclaim

Déterminons d'abord les dérivations du faisceau d'anneaux
$\cC^\infty_{\bR^n}$ au point $x=0$. Soit $D$ une telle dérivation.
Posons $\xi_j=Dx_j$ (on note ici par abus $x_j$ la fonction $x\mapsto x_j$).
On part de l'observation que
$$
D1=D(1\cdot 1)=1\cdot(D1)+(D1)\cdot 1= 2\,D1
$$
donc $D1=0$. Soit $f$ une fonction de classe $\cC^\infty$ 
au voisinage de $0$ et soit
$$
u_j(x)=\int_0^1{\partial f\over\partial x_j}(tx)\,dt.
$$
Nous pouvons écrire
$$
f(x)-f(0)=\int_0^1{d\over dt}f(tx)\,dt=
\int_0^1\sum_{j=1}^nx_j\,{\partial f\over\partial x_j}(tx)\,dt
$$
d'où
$$
f(x)=f(0)+\sum_{j=1}^nx_ju_j(x)
\qquad\hbox{avec}~~ u_j(0)={\partial f\over \partial x_j}(0).
$$
Il vient alors
$$
Df=\sum_{j=1}^n(Dx_j)u_j(0)=\sum_{j=1}^n\xi_j{\partial f\over\partial x_j}(0)
=D_\xi f(0),
$$
donc $D=D_\xi$ est la dérivation dans la direction du vecteur 
$\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$. Les dérivations de $\cC^\infty_{\bR^n}$
s'identifient aux vecteurs de $\bR^n$ par la correspondance $\xi\mapsto D_\xi$.

\claim Définition 2|Etant donné une variété différentielle
$(X,\cC^\infty_X)$ de classe $\cC^\infty$, on appelle espace tangent
de $X$ au point $p\in X$, noté $T_{X,p}$, l'ensemble des dérivations du
faisceau $\cC^\infty_X$ en~$p$.  On notera $\xi:f\mapsto \xi f$ 
$($ou parfois $D_\xi\,)$ une telle dérivation.
\endclaim

D'après ce qui précède, pour toute variété différentielle
$X$ de dimension $n$ et tout système de coordonnées locales
$\tau=(x_1,\ldots,x_n):U\to\Omega$ sur un voisinage ouvert $U$ du 
point $p\in X$, on a un isomorphisme
$$
T_{X,p}\simeq\bR^n,\qquad \xi\mapsto(\xi_1,\ldots,\xi_n)\qquad\hbox{avec}~~
\xi_j=\xi\,x_j.
$$
Dans ces coordonnées, la dérivation $\xi$ (${}=D_\xi$) peut encore 
s'écrire sous la forme
$$
D_\xi=\sum_{j=1}^n\xi_j{\partial\over\partial x_j},
$$
avec l'abus de notation consistant à poser pour tout $f\in\cC^\infty_X(U)$
$$
{\partial f\over\partial x_i}(p)={\partial (f\circ\tau^{-1})\over
\partial x_i}(\tau(p)).
$$
Dans la pratique, lorsqu'on travaille dans une carte fixée, on 
considère souvent l'homéomorphisme $\tau$ comme 
une «\?identification\?» de l'ouvert $U$ à
l'ouvert $\Omega$, de sorte qu'on se permet d'omettre $\tau$
dans les formules, comme si on avait $\tau=\Id$.
Par définition de l'espace tangent, on peut alors considérer le
système de dérivations $({\partial\over\partial x_1},\ldots,
{\partial\over\partial x_n})$ comme une base de
$T_{X,p}$ en chaque point $p\in U$.

Le cas d'une surface de Riemann est plus subtil, dans la mesure où
il convient de distinguer d'une part les dérivations du faisceau
structural $\cO_X$, et d'autre part celles du faisceau
$\cC^\infty_X\supset\cO_X$ qui définit la structure de surface
différentielle sous-jacente. On part de l'observation que les
dérivations $\xi:\cO\to\bC$ de l'anneau des fonctions holomorphes 
sur un ouvert $\Omega\subset\bC$ sont données par
$$
f\mapsto\xi\,\varphi=af'(p)=a{\partial f\over\partial z}(p),
$$
où $a=\xi\,z$. Pour le voir (en $p=0$ par exemple), on écrit 
$f(z)=f(0)+zu(z)$ à partir du développement en série, avec $u(0)=f'(0)$,


\claim Définition 3|Soit $(X,\cO_X)$ une surface de Riemann et
$\cC^\infty_X\supset\cO_X$ le faisceau d'anneaux des fonctions $\cC^\infty$ 
sur~$X$.
\smallskip
\item{\rm(i)} L'espace tangent $($complexe$\,)$ $T_{X,p}$ est l'ensemble
des dérivations complexes $\cO_{X,p}\to\bC$, c'est-à-dire
les opérateurs linéaires de la forme
$$
\xi:\cO_{X,p}\to\bC,\qquad f\mapsto \xi\cdot f=a{\partial f\over\partial z}(p),
\qquad a\in\bC,
$$
relativement à une coordonnée holomorphe $z=\tau(p)$ sur un ouvert 
$U\subset X$.
\smallskip
\item{\rm(ii)} L'espace tangent réel $T^\bR_{X,p}$ est l'ensemble
des dérivations réelles $\cC^\infty_{X,p}\to\bR$, c'est-à-dire
les opérateurs linéaires de la forme
$$
\xi:\cC^\infty_{X,p}\to\bR,\qquad f\mapsto 
\xi\cdot f=
\alpha{\partial f\over \partial x}(p)
+\beta{\partial f\over \partial y}(p),\qquad\alpha,\beta\in\bR,
$$
relativement à une coordonnée holomorphe $z=x+iy=\tau(p)$.
\smallskip
\item{\rm(iii)} L'espace tangent \ult{complexifié}\ 
$T^\bC_{X,p}$ est l'ensemble
des dérivations $\cC^\infty_{X,p}\to\bC$, c'est-à-dire
les opérateurs linéaires de la forme
$$
\xi:\cC^\infty_{X,p}\to\bC,\qquad f\mapsto 
\xi\cdot f=
\alpha{\partial f\over \partial x}(p)
+\beta{\partial f\over \partial y}(p)
=a{\partial f\over \partial z}(p)
+b{\partial f\over \partial\ol z}(p),
$$
relativement à une coordonnée holomorphe $z=x+iy=\tau(p)$,
où $\alpha,\beta\in\bC$ sont des coefficients complexes quelconques et
$a=\alpha+\ii\beta$, $b=\alpha-\ii\beta$.
\vskip0pt
\endclaim

Il est évident que l'on a un isomorphisme de $\bC$-espace vectoriels
$$
T^\bC_{X,p}\simeq T_{X,p}\oplus \ol T_{X,p}
$$ 
où $T_{X,p}$ admet pour base la dérivation $\partial/\partial z$, où
$\ol T_{X,p}$ est l'espace conjugué ayant pour base $\partial/\partial\ol z$,
et $T^\bC_{X,p}$ est l'espace de dimension complexe~$2$ ayant pour
base $(\partial/\partial z,\partial/\partial\ol z)$. Rappelons que l'on
a par définition
$$
{\partial\over\partial z}={1\over 2}\Big(
{\partial\over\partial x}-\ii{\partial\over\partial y}\Big),\qquad
{\partial\over\partial \ol z}={1\over 2}\Big(
{\partial\over\partial x}+\ii{\partial\over\partial y}\Big).
$$
L'espace tangent réel 
$\smash{T^\bR_{X,p}}$, quant à lui, est un sous-espace vectoriel réel
de dimension $2$ de l'espace tangent complexifié $\smash{T^\bC_{X,p}}$,
constitué précisément des vecteurs tangents complexifiés invariants
par conjugaison, c'est-à-dire les vecteurs de la forme
$$
a{\partial\over\partial z}+\ol a{\partial\over\partial\ol z}=
\alpha{\partial\over\partial x}+\beta{\partial\over\partial y}
$$
avec $a=\alpha+i\beta$, $\alpha,\beta\in\bR$. Les dérivations de
$\ol T_{X,p}$ annulent les fonctions holomorphes, tandis que celles
de $T_{X,p}$ annulent les fonctions anti-holomorphes, c'est-à-dire
les fonctions du faisceau conjugué $\ol\cO_X$.

\section{1.3. Sphère de Riemann}

La sphère de Riemann est tout simplement la sphère unité de $\bR^3$
$$
S^2 = \big\{(u, v, w)\in\bR^3\,;\; 
u^2 + v^2 + w^2 = 1\big\}.
$$
On appelle projection stéréographique de pôle $A\in S^2$, l'application
$$
\pi_A:S^2\ssm\{A\}\lra P_A=(OA)^\perp
$$
sur le plan $P_A$ perpendiculaire en $O$ à 
la droite $(OA)$, qui envoie tout point $M\in S^2\ssm\{A\}$ sur le point 
d'intersection $(AM)\cap P_A$. On convient d'orienter le plan $P_A$ par
une base $(\ovr{e_1},\ovr{e_2})$ choisie en sorte que 
$(\ovr{e_1},\ovr{e_2},-\,\ovr{OA})$ soit une base orthonormée directe 
de $\bR^3$.


Munie des cartes
«\?projections stéréographiques\?»$\;$:
$$
\eqalign{
\pi_S:S^2\ssm\{S\},\qquad &M\pmatrix{u\cr v\cr w\cr}\mapsto z={u+iv\over 1+w},
\cr
\pi_N:S^2\ssm\{N\},\qquad &M\pmatrix{u\cr v\cr w\cr}\mapsto z'={u-iv\over 1-w},
\cr}
$$
c'est une surface de Riemann; la transition de carte 
$\theta=\pi_N\circ\pi_S^{-1}$
est donnée par
$$
\theta:\pi_S(S^2\ssm\{S,N\})=\bC^*\to\pi_S(S^2\ssm\{S,N\})=\bC^*\qquad
z\mapsto z'={1\over z}.
$$
En étendant $\pi_S: S^2\ssm \{S\}\to\bC$ en 
$\wt\pi_S$: $S^2\to\bC\cup\{\infty\}$, avec $\wt\pi_S(S) = \infty$, on 
identifie la sphère de Riemann à $\bP^1_\bC= \bC \cup\{\infty\}$.

Ainsi, une base de voisinages de $\infty$ dans $\bC\cup\{\infty\}$ est 
formée des ensembles $V_R = \bC\cup\{\infty\}\ssm \ol D(0,R)=\{|z|>R\}$ 
et une fonction $f$ est holomorphe au voisinage de $\infty$ 
($f\in \cO_{S^2}(V_R)$) si et seulement si $z\mapsto f(1/z)$ est holomorphe 
sur $D(0,1/R)$.

On note, à partir de maintenant, $z = \tau(x)$ la «\?coordonnée 
holomorphe locale\?» (i.e.\ lecture systématique dans la carte). Une 
métrique hermitienne sur une surface de Riemann est une application
$x\mapsto h(x)$ de la forme $h(z) = h_1(z)|dz|^2$ où 
$h_1 :\Omega\to\bR_+$ est de classe $C^\infty$. On applique
donc cette métrique à des vecteurs du plan tangent à $X$ en $x$.

La métrique induite par $\bR^3$ sur $S^2$ n'est évidemment pas celle 
lue par les cartes dans $\bC$. Néanmoins, on a entre ces deux métriques 
la relation 
$$
du^2+ dv^2 + dw^2 = {4|dz|^2\over (1 + |z|^2)^2}
$$
si $du^2 + dv^2 + dw^2$ est la métrique induite par $\bR^3$ et $|dz|^2$ 
celle de $\bC$ (lue dans la carte).

\claim Corollaire|Les projections stéréographiques $\pi_S$ et $\pi_N$ 
conservent les angles de courbes.
\endclaim

\dem. Ceci vient du fait que les différentielles $d\pi_S$ et $d\pi_N$
sont des similitudes directes (les métriques 
$du^2+ dv^2 + dw^2$ et $|dz |^2$ étant proportionnelles d'après le
calcul ci-dessus).
On dit encore que $\pi_S$ et $\pi_N$ sont des
transformations  «\?conformes\?».\qed

Pour obtenir une carte conforme de $S^2$ (conservant les angles)
sur un ouvert $U\subset S^2$, il suffit donc de prendre une application 
quelconque de la forme $f\circ \pi_S$ avec $f$ biholomorphe sur
l'ouvert image $\Omega=\pi_S(U)$ (il faut alors supposer que $S\notin U$).
Idem pour $f\circ\pi_N$.

\supersection{2. Applications holomorphes entre surfaces de Riemann,
$1$-formes holomorphes}

\claim Définition|Si $X$ et $Y$ sont des surfaces de Riemann alors 
une application continue $\varphi:X\to Y$ est dite holomorphe si 
$\forall f\in\cO_Y(V)$, $f\circ\varphi\in\cO_X(f ^{-1}(V))$. Si 
$(U_\alpha,\tau_\alpha)$ est un atlas de $X$ et $(V_\beta,\wt\tau_\beta)$
est un atlas de~$Y$ , cette définition est équivalente à~: 
$\forall(\alpha,\beta)$, $\wt\tau_\beta\circ\varphi\circ\tau_\alpha^{-1}
\in\cO(\tau_\alpha(U_\alpha\cap\varphi^{-1}(V_\beta)))$.
\endclaim

\claim Remarque|{\rm On définit de même, par cartes locales, le
  faisceau $\cM_X$ des fonctions méromorphes, et une fonction est
  méromorphe si elle est localement le quotient de deux fonctions
  holomorphes.}
\endclaim

\claim Remarque|{\rm 
Si $X$ est une surface de Riemann, une fonction méromorphe 
sur $X$ est la même chose qu'une fonction {\em holomorphe} 
$X\to\bP^1_\bC$ (cf.\ le changement de carte, au voisinage de $\infty$, 
$\theta\circ f = 1/f$).}
\endclaim

\claim Définition|Une $1$-forme holomorphe $($respectivement méromorphe$)$ 
sur une surface de Riemann $X$ est la donnée de $\beta(z) = f(z)\,dz$, 
où $f:X\to C$ est holomorphe $($respectivement méromorphe$)$. 
On définit le résidu, en $z_0$, d'une $1$-forme $\beta$ holomorphe 
sur $U\ssm\{z_0\}$, par 
$$
\Res(\beta, z_0) = {1\over 2\pi\ii}\int_\gamma\beta,
$$
où $\gamma$ est un lacet dans $U\ssm\{z_0\}$ d'indice $1$ en $z_0$, par 
exemple le bord d'un petit voisinage compact de~$z_0$.
\endclaim

\claim Théorème (Formule des résidus)|Si $X$ est une surface de 
Riemann, si $K$ est un compact de $X$ à bord de classe $\cC^1$ par 
morceaux et $\alpha$ est une $1$-forme holomorphe
sur $V \ssm\{x_1,\ldots,x_n\}$ où $V$ est un voisinage de $K$ et
$\{x_1,\ldots,x_n\}\subset K^\circ$, alors    
$$
\int_{\partial K}\beta=2\pi\ii\sum_{j=1}^n \Res(\beta, x_j).
$$
\endclaim

\dem. On découpe le compact en un nombre fini de morceaux $K_\ell$
contenus dans des cartes, en se débrouillant pour que $\partial K_\ell$
ne contienne pas de point singulier. On applique alors la formule usuelle
(pour un compact de $\bC$) à chacun des compacts $K_\ell$.\qed

\supersection{3. Surfaces de Riemann compactes}


\claim Théorème|Si $X$ est une surface de Riemann compacte connexe alors 
les seules applications holomorphes sur $X$ sont les constantes.
\endclaim

\dem. Application immédiate du principe du maximum (le maximum est atteint
puisqu'on est sur un espace compact).\qed

\claim Théorème|Si $X$ est une surface de Riemann compacte et $\beta$
est une $1$-forme méromorphe sur $X$ alors $\sum_{x\in X}\Res(\beta, x)=0$.
\endclaim

\claim Remarque|{\rm On déduit de ce qui précède, en considérant
$\beta=df/f$, qu'une fonction méromorphe sur 
une surface de Riemann compacte a autant de zéros que de pôles,
pourvu que l'on prenne en compte les multiplicités.}
\endclaim

\supersection{4. Courbes algébriques}

\section{4.1. Courbes algébriques affines}

\claim Définition|Une courbe algébrique affine plane est une courbe
$C = \big\{(x, y)\in \bC^2\,;\; P(x, y) = 0\big\}$, où $P$ est un 
polynôme.
\endclaim

Pour qu'une telle courbe soit lisse, il suffit que le système 
d'équations $P(x, y)= \partial P/\partial x(x, y) =
\partial P/\partial y(x, y) = 0$ n'admette pas de solution dans $\bC^2$.

Dans ce cas, si par exemple $\partial P/\partial y(x_0, y_0)\ne 0$ en un 
point de $\bC$, alors par le théorème des fonctions implicites on a 
$h: V\to\bC$ holomorphe sur un voisinage $V$ de $x_0$ telle que
$C$ soit le graphe $y = h(x)$ au voisinage de $(x_0, y_0)$.  $C$ 
est donc une surface de Riemann, de carte locale en un tel point la 
première projection $p_1(x,y) = x$.

\section{4.2. Courbes algébriques projectives}

\claim Définition|Si $Q\in \bC[x, y, z]$ est homogène de degré $d$, 
i.e.\
$$
Q(\lambda x,\lambda y,\lambda z) = \lambda^d Q(x, y, z),
$$
alors on définit la courbe projective plane 
$$
C = \big\{[x : y : z] \in\bP^2_\bC\,;\; Q(x, y, z) = 0\big\}.
$$
Si $U = \big\{[x : y : z]\in\bP^2_\bC\,;\; z\ne 0\big\}$, 
alors $U\simeq\bC^2$ et, pour une courbe projective plane $C$
comme ci-dessus, 
$$
C \cap U = \big\{[x : y : 1]\,;\; Q(x, y, 1) = 0\}.
$$
$C\cap U$ est donc, par l'isomorphisme $U\simeq\bC^2$, une courbe 
algébrique affine plane.
\endclaim

Pour qu'une courbe projective plane soit lisse, et donc une surface de Riemann compacte, il suffit que le système d'équations
$$
{\partial Q\over\partial x}(x, y, z) = 
{\partial Q\over\partial y}(x, y, z) = 
{\partial Q\over\partial z}(x, y, z) = 0
$$
n'admette pas de solution dans~$\bC^3$.

\claim Définition|Si $C = \big\{(x, y)\in\bC^2\,;\; P(x, y) = 0\big\}$ 
est une courbe algébrique affine plane de degré $\deg(P)=d$, 
alors on introduit le polynôme homogénéïsé
$$
Q(x, y, z) = z^d P (x/z, y/z)
$$
et la compactifiée de $\bC$ est la courbe
projective plane 
$$
\ol C = \big\{[x : y : z] \in \bP^2_\bC\,;\; Q(x, y, z) = 0\big\}.
$$
Les points à l'infini rajoutés à $C$ pour former $\ol C$ correspondent 
à $z = 0$ et se calculent donc en considérant l'équation
$Q(x,y)=0$.
\endclaim

\supersection{5. Courbes elliptiques}

\section{5.1. Définition des courbes elliptiques}

\claim Définition|Soit $\Lambda$ un réseau dans $\bC$, c'est-à-dire un
sous-groupe discret de rang~$2$
$$
\Lambda=\bZ a+\bZ b=\{ma+pb\,;~(m,p)\in\bZ^2\}
$$
où $a$, $b$ sont des nombres complexes $\bR$-linéairement indépendants.
On appelle courbe elliptique associée au réseau $\Lambda$
l'espace quotient $X=\bC/\Lambda$, muni de la topologie quotient.
\endclaim

\InsertFig   0.000  42.000  {
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stroke 
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103.600  12.300   1.750   6.580 -90.000  90.000   0.000 ellipsearc 
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stroke 
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stroke 
 86.400  18.880 moveto 
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stroke 
118.939  23.200 moveto 
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1 setdashtype 
 86.400   5.720 moveto 
 86.400  12.300   1.750   6.580 -90.000  90.000   0.000 ellipsearc 
stroke 
grestore 
}
\LabelTeX    5.000  12.500 $0$ \ELTX
\LabelTeX   30.750  21.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX    0.000  26.500 $b$ \ELTX
\LabelTeX   17.000  11.700 $w$ \ELTX
\LabelTeX    5.750  23.000 $\Omega_0$ \ELTX
\LabelTeX   30.000  27.000 $\Omega_w$ \ELTX
\LabelTeX   59.200  37.500 $\pi$ \ELTX
\LabelTeX   73.400  20.000 $\partial U_0$ \ELTX
\LabelTeX   70.200  13.000 $\partial U_w$ \ELTX
\LabelTeX   56.000   1.500 $\tau_w$ \ELTX
\LabelTeX   51.000  13.000 $\bC$ \ELTX
\LabelTeX  113.000  33.000 $\bC/\Lambda$ \ELTX
\EndFig
\bigskip

Topologiquement, $\bC/\Lambda$ est un tore, obtenu en recollant les
arêtes opposées du parallélogramme fondamental $P$ (parallélogramme
fermé d'arêtes $[0,a]$ et $[0,b]$). Soit $\pi:\bC\to X=\bC/\Lambda$ la
projection canonique. Pour tout $w\in\bC$, on considère le
parallélogramme ouvert
$$
\Omega_w=w+P^\circ, \qquad \Omega_w\subset \bC,
$$
et son image $U_w=\pi(\Omega_w)\subset X$. Alors $\pi$ est un
homéomorphisme de $\Omega_w$ sur $U_w$ et on a donc un homémorphisme
inverse $\tau_w=\pi^{-1}:U_w\to\Omega_w$. Le système
$(\tau_w)_{w\in\bC}$ constitue un atlas holomorphe. En effet, il n'est
pas difficile de constater que les intersections $U_w\cap U_{w'}$ sont
constituées de $1$, $2$ ou $4$ composantes connexes qui sont
elles-mêmes des parallélogrammes ($4$ parallélogrammes par exemple
pour l'intersection $U_0\cap U_w$ figurant sur le schéma ci-dessus).
Les applications de transition $\tau_{ww'}=\tau_w\circ\tau_{w'}^{-1}:
\tau_{w'}(U_w\cap U_w)\to\tau_w(U_w\cap U_w)$ coïncident avec des
translations $z\mapsto z+\lambda$, $\lambda\in\Lambda$, sur chacune des
composantes connexes de $\tau_{w'}(U_w\cap U_w)$ (l'élément
$\lambda$ n'est pas le même sur les différentes composantes
connexes, mais peu importe~$\ldots$).

\claim Conséquence|L'atlas $(\tau_w)_{w\in\bC}$ est holomorphe et
munit la courbe elliptique $\bC/\Lambda$ d'une structure de surface
de Riemann compacte.
\endclaim

Notre objectif est de démontrer le théorème suivant.

\claim Théorème|Pour tout réseau $\Lambda$, la courbe elliptique
$\bC/\Lambda$ est isomorphe $($en tant que surface de Riemann$)$
à une courbe algébrique lisse de degré $3$ dans $\bP^2_\bC$.
\endclaim

On peut en fait démontrer que toute surface de Riemann compacte $X$
admet un plongement sur une courbe algébrique lisse dans $\bP^3_\bC$
(et une immersion dans $\bP^2_\bC$, sur une courbe algébrique n'ayant
que des points doubles «\?ordinaires\?»), mais il s'agit d'un
résultat considérablement plus difficile, nécessitant des
résultats d'Analyse non triviaux. Dans le cas qui nous intéresse, la
preuve se fait en exhibant un isomorphisme explicite relativement
simple. C'est l'objet du paragraphe suivant.

\section{5.2. Fonction $\wp$ de Weierstrass}

Étant donné un réseau $\Lambda=\bZ a+\bZ b\subset\bC$, on définit la
fonction de Weierstrass $\wp$ associée à $\Lambda$ par
$$
\leqalignno{\wp(z)
&={1\over z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda^\star}
\bigg({1\over (z-\lambda)^2}-{1\over\lambda^2}\bigg)&(5.2.1)\cr
&={1\over z^2}+\sum_{(m,p)\in\bZ^2\ssm\{(0,0)\}}
\bigg({1\over (z-ma-pb)^2}-{1\over(ma+pb)^2}\bigg).\cr}
$$
On commence par montrer qu'il y a convergence normale sur tout
compact de $\bC\ssm\Lambda$ (les points de $\Lambda$ étant visiblement
des points singuliers). En effet,
$$
{1\over (z-\lambda)^2}-{1\over\lambda^2}={1\over\lambda^2}\bigg(
{1\over (1-z/\lambda)^2}-1\bigg)={1\over\lambda^2}\,
{(z/\lambda)(2-z/\lambda)\over (1-z/\lambda)^2}.
$$
Pour $z\in K\subset \ol D(0,R)$ et $\lambda$ assez grand, disons
$|\lambda|\ge 2R$, on a $|z/\lambda|\le 1/2$ et $|1-z/\lambda|\ge 1/2$,
d'où 
$$
\bigg|{1\over (z-\lambda)^2}-{1\over\lambda^2}\bigg|\le {|z/\lambda|\,(2+1/2)
\over |\lambda|^2\cdot 1/4}\le{10\,R\over|\lambda|^3}.
$$
Le problème est donc seulement de démontrer la convergence de la
série à termes positifs $\sum_{\lambda\in\Lambda^\star}1/|\lambda|^3$.
Or, en raison des hypothèses, $(a,b)$ est une base du $\bR$-espace
vectoriel $\bC\simeq\bR^2$, et par conséquent $(x,y)\mapsto|x|+|y|$ et
$(x,y)\mapsto|xa+yb|$ sont deux normes sur $\bR^2$. Le théorème sur
l'équivalence des normes dans les espaces normés de dimension finie
entraîne l'existence de constantes $C_1,\,C_2>0$ telles que
$$
C_1(|x|+|y|)\le |xa+yb|\le C_2(|x|+|y|).
$$
En particulier $|ma+pb|\ge C_1(|m|+|p|)$, et le problème se ramène
donc à la convergence de la série
$$
\sum_{(m,p)\in\bZ^2\ssm\{(0,0)\}}{1\over(|m|+|p|)^3}=
4\sum_{m\in\bN^\star}{1\over m^3}+4\sum_{(m,p)\in\bN^\star\times
\bN^\star}{1\over(m+p)^3}.
$$
On peut pour cela utiliser la majoration élémentaire usuelle
$$
\sum_{m\in\bN^\star}{1\over(m+p)^\alpha}\le\int_p^{+\infty}{dx\over
x^\alpha} ={1\over\alpha-1}{1\over p^{\alpha-1}},\qquad \forall
\alpha>1.
$$
En appliquant ceci pour $\alpha>2$ et en sommant sur $p\in\bN^\star$
il vient
$$
\sum_{(m,p)\in\bN^\star\times\bN^\star}
{1\over(m+p)^\alpha}\le{1\over\alpha-1}\sum_{p\in\bN^\star}
{1\over p^{\alpha-1}}\le{1\over\alpha-1}\Big(1+{1\over\alpha-2}\Big)=
{1\over\alpha-2}<+\infty.
$$
Comme la série définissant $\wp$ ne comporte qu'un nombre fini
de termes ayant des pôles dans un disque compact $\ol D(0,R)$ donné 
(à savoir $1/z^2$ et les termes $1/(z-\lambda)^2-1/\lambda^2$ correspondant
aux indices $\lambda\in\Lambda^\star\cap\ol D(0,R)$), et comme chacun de
ces termes est méromorphe sur $\bC$, on en déduit que $\wp$ est une
fonction méromorphe sur $\bC$, admettant pour pôles les éléments
$\lambda\in\Lambda$ du réseau. Par ailleurs, le théorème de dérivation
terme à terme donne
$$
\wp'(z)=\sum_{\lambda\in\Lambda}{-2\over(z-\lambda)^3}
\leqno(5.2.2)
$$
avec convergence normale sur tout compact de $\bC\ssm\Lambda$. De là on
déduit la

\claim Proposition|La fonction $\wp$ est une fonction méromorphe
périodique de groupe de périodes $\Lambda$, i.e.\
$\wp(z+\lambda)=\wp(z)$ pour tout $\lambda\in\Lambda$ et il n'y a pas
d'autres périodes. La fonction admet pour pôles précisément les
points de $\Lambda\,;$ ce sont des pôles doubles. Par ailleurs, la
fonction $\wp$ est paire, et elle admet au voisinage de $0$ un
développement en série de Laurent
$$
\wp(z)={1\over z^2}+\sum_{p=1}^{+\infty}(2p+1)s_{2p+2}z^{2p},
$$
où les coefficients $s_p$ sont les sommes des «\?séries
d'Eisenstein\?»
$$
s_p=\sum_{\lambda\in\Lambda^\star}{1\over\lambda^p}.
$$
\endclaim

\dem. Il est clair sur la formule (5.2.1) que $\wp$ est paire (un
changement concomitant  de $z$ en $-z$ et de $\lambda\in\Lambda^\star$ en
$-\lambda\in\Lambda^\star$ laisse la série inchangée). Par ailleurs,
la $\Lambda$-périodicité de la dérivée $\wp'$ est évidente sur
la formule (5.2.2). En particulier, les fonctions $\wp(z+a)-\wp(z)$ et
$\wp(z+b)-\wp(z)$ sont constantes, puisque leur dérivée est nulle
sur l'ouvert connexe $\bC\ssm\Lambda$. En prenant $z=-a/2\notin\Lambda$,
il vient $\wp(z+a)-\wp(z)=\wp(a/2)-\wp(-a/2)=0$ donc $\wp(z+a)-\wp(a)$
est nulle, et il en est de même pour $\wp(z+b)-\wp(z)$. On voit donc
que tous les éléments $\lambda=ma+pb$ sont des périodes. Comme
$$
u(z)=\wp(z)-{1\over z^2}=\sum_{\lambda\in\Lambda^\star}
\bigg({1\over (z-\lambda)^2}-{1\over\lambda^2}\bigg)
$$
est homomorphe au voisinage de $0$ avec $u(0)=0$ et
$$
u^{(n)}(z)=\sum_{\lambda\in\Lambda^\star}
{(-1)^n(n+1)!\over (z-\lambda)^{n+2}},\qquad n\ge 1,
$$
il vient $u(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}{u^{(n)}(0)\over n!}z^n$ au voisinage
de $0$, avec ${u^{(n)}(0)\over n!}=(n+1)s_{n+2}$. L'imparité de $s_n$
vis-à-vis de $\lambda$ montre que $s_n=0$ pour $n$ impair${}\ge 3$,
on a donc
$$
u(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}(n+1)s_{n+2}z^n
=\sum_{p=1}^{+\infty}(2p+1)s_{2p+2}z^{2p}
$$ au voisinage de~$0$ et le développement en série de Laurent de $\wp$
s'en déduit. Soit enfin $\Lambda_1$ le groupe des périodes de $\wp$, qui
contient $\Lambda$ d'après ce qui précède. Comme $0$ est un pôle
double, la $\Lambda_1$-périodicité montre que les points de $\Lambda_1$
sont également des pôles. On a donc $\Lambda_1\subset\Lambda$, d'où
$\Lambda_1=\Lambda$.\square

\claim Corollaire|La fonction $\wp$ se factorise par passage au quotient
en une fonction méromorphe
$$
\wt\wp:\bC/\Lambda\to\bC\cup\{\infty\}
$$
$($et donc en une application holomorphe $\wt\wp:\bC/\Lambda\to\bP^1_\bC)$,
ayant un unique pôle double $\dotO$.
\endclaim

De même les dérivées $\wp^{(n)}$ sont $\Lambda$-périodiques et
donnent par passage au quotient des fonctions méromorphes
$\wt\wp^{(n)}$ sur $\bC/\Lambda$ admettant $\dotO$ comme unique pôle.
On montre maintenant, et c'est là un fait tout à fait fondamental,
que $\wp$ satisfait une équation différentielle algébrique simple.

\claim Équation différentielle fondamentale de $\wp$|La fonction
$\wp$ satisfait l'équation
$$
\wp^{\prime 2}=4\wp^3+\alpha\wp+\beta
$$
avec les constantes complexes $\alpha=-60s_4$, $\beta=-140s_6$.
\endclaim

\dem. Le début de la série de Laurent de $\wp$ est
$$
\wp(z)=z^{-2}+3s_4z^2+5s_6z^4+7s_8z^6+O(z^6).
$$
Par dérivation, on a donc
$$
\eqalign{
\wp'(z)&=-2\,z^{-3}+6s_4z+20s_6z^3+42s_8z^5+O(z^5),\cr
\wp^{\prime}(z)^2&=4z^{-6}-24s_4z^{-2}-80s_6+(36s_4^2-168s_8)z^2+O(z^4),\cr
\wp(z)^3&=z^{-6}+9s_4z^{-2}+15s_6+(27s_4^2+21s_8)z^2+O(z^4).\cr}
$$
Par différence, on trouve
$$
\eqalign{
\wp^{\prime}(z)^2-4\wp(z)^3&=-60s_4z^{-2}-140s_6
-(72s_4^2+252s_8)z^2+O(z^4)\cr
\wp^{\prime}(z)^2-4\wp(z)^3-\alpha\wp(z)&=-140s_6
+(108s_4^2-252s_8)z^2+O(z^4).\cr}
$$
en posant $\alpha=-60s_4$. En particulier la fonction
$\wt\wp^{\prime 2}-4\wt\wp^3-\alpha\wt\wp$ est holomorphe sur $\bC/\Lambda$
tout entier (le~pôle $z=\dotO$ a disparu). Par compacité de $\bC/\Lambda$,
elle est nécessairement constante et égale à sa valeur en $z=\dotO$,
soit $\beta=-140 s_6$, ce qui démontre le théorème.\square

\claim Remarque|{\rm L'identification à zéro des coefficients
ultérieurs du développement fournit des relations remarquables
reliant les valeurs des série d'Eisenstein, permettant en particulier
de calculer de proche en proche $s_8$, $s_{10}$, $\ldots$, à partir des
deux premières valeurs $s_4$, $s_6$. On a ainsi $108s_4^2-252s_8=0$,
d'où $s_8={3\over 7}s_4^2$.}
\endclaim

On a maintenant le lemme suivant.

\claim Lemme|Les zéros de $\wp'$ sont les points $z=a/2$, $z=b/2$ et
$z=(a+b)/2$. Leurs images par $\wp$, à savoir
$$
r_1=\wp(a/2),\quad r_2=\wp(b/2),\quad r_3=\wp((a+b)/2)
$$
sont les trois racines $(2$ à $2$ distinctes$)$ de l'équation
$4p^3+\alpha p+\beta=0$, $p\in\bC$. En outre, l'application
$$
\wt\wp:\bC/\Lambda\to\bP^1_\bC
$$
a la propriété suivante: pour tout
$w\in\bP^1_\bC\ssm\{\infty,r_1,r_2,r_3\}$, la préimage
$(\wt\wp)^{-1}(w)$ est constituée de deux éléments opposés et
distincts $z$, $-z$ $(\mod \Lambda)$, tandis que pour
$w=\infty,\,r_1,\,r_2,\,r_3$, l'équation $\wt\wp(z)=w$ admet une
racine double, égale respectivement à $0$, $a/2$, $b/2$, $(a+b)/2$
$(\mod \Lambda)$.
\endclaim

On exprime géométriquement le lemme en disant que $\wt\wp$ réalise un
«\?revêtement ramifié\?» à $2$ feuillets de $\bC/\Lambda$
sur $\bP^1_\bC$, avec points de ramification $0$, $a/2$, $b/2$,
$(a+b)/2$ $(\mod\Lambda)$.

\dem. Si $w=\infty$, on a bien $(\wt\wp)^{-1}(\infty)=\{\dotO\}$, et
ce point doit être considéré comme double, puisque $\dotO$ est un
pôle double. Maintenant, si $w\in\bC$, la fonction méromorphe
$\wt\wp(z)-w$ sur la surface de Riemann {\em compacte} $\bC/\Lambda$
est telle que la somme algébrique des multiplicités des zéros et des
pôles est nulle. Comme il n'y a qu'un seul pôle, de multiplicité~$2$, on
en déduit que l'équation $\wt\wp(z)=w$ admet deux racines, comptées
avec multiplicités. D'après la parité de $\wp$, ces racines forment
nécessairement un couple de points $2$ à $2$ opposés $z$, $-z$,
à moins qu'on ait $z=-z$ dans $\bC/\Lambda$. Ceci se produit
si et seulement si $2z=0\mod\Lambda$ i.e.\ $2z=ma+pb\in\Lambda$.
Suivant la parité de $m$ et $p$, on obtient exactement $4$ classes,
celle des éléments $z=0$, $a/2$, $b/2$, $(a+b)/2$. En $0$, la
situation est claire, on a $\wp(0)=\infty$ et $0$ est un pôle double.
Aux autres points, par exemple $a/2$, l'imparité et la périodicité
de $\wp'$ impliquent $\wp'(a/2)=-\wp'(-a/2)=-\wp'(a/2-a)=-\wp'(a/2)$, donc
$\wp'(a/2)=0$. On trouve de même $\wp'(b/2)=0$ et $\wp'((a+b)/2)=0$.
Par conséquent, si $r_1,\,r_2,\,r_3$ sont les images par $\wp$
de $a/2$, $b/2$ et $(a+b)/2$, l'équation $\wt\wp(z)=r_j$ ($j=1,2,3$)
admet ces points comme racines doubles, et il ne peut y en avoir d'autre.
L'équation $\wp^{\prime 2}=4\wp^3+\alpha\wp+\beta$ montre que
les images \hbox{$r_1$, $r_2$, $r_3$} de $a/2$, $b/2$, $(a+b)/2$ par $\wp$
sont bien racines de l'équation $4p^3+\alpha p+\beta=0$. Les images
\hbox{$r_1$, $r_2$, $r_3$} sont nécessairement distinctes (et sont donc
les $3$ racines distinctes du polynôme $4p^3+\alpha p+\beta$): si on
avait disons $r_1=r_2$, alors l'équation $\wp(z)=r_1=r_2$ admettrait
2 racines doubles distinctes $\mod\Lambda$, à savoir les
classes de $a/2$, $b/2$, soit un total de $4$ points en comptant les
multiplicités, contradiction. Le lemme est démontré.\square

Nous avons maintenant le résultat suivant, qui précise le
résultat énoncé au \S$\,$5.2.

\claim Théorème|L'application $\varphi:\bC/\Lambda\to\bP^2_\bC$
telle que
$$
\varphi(z)=[\wt\wp(z):\wt\wp'(z):1]
$$
pour $z\ne\dotO$ et $\varphi(\dotO)=[0:1:0]$ définit un isomorphisme
$($c'est-à-dire une application biholomorphe$)$
de la courbe elliptique $\bC/\Lambda$ sur la courbe algébrique lisse
de degré $3$
$$
\ol\Gamma=\big\{[x:y:t]\in\bP^2_\bC\,;~y^2t=4x^3+\alpha xt^2+\beta t^3\big\},
$$
qui est la compactification projective de la courbe algébrique affine
$$
\Gamma=\big\{(x,y)\in\bC^2\,;~y^2=4x^3+\alpha x+\beta\big\}.
$$
Le point $[0:1:0]$ est l'unique point à l'infini de $\ol\Gamma$, et sur
$\bC/\Lambda\ssm\{\dotO\}$, $\varphi$ peut être vue comme l'application
$$
\bC/\Lambda\ssm\{\dotO\}\to\Gamma\subset\bC^2,\qquad
z\mapsto(\wp(z),\wp'(z)).
$$
\endclaim

\dem. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que $\ol\Gamma$ est
lisse (on utilise pour cela le fait que l'équation $4p^3+\alpha p+\beta=0$
a ses $3$ racines distinctes), et qu'elle admet $[0:1:0]$ comme unique
point à l'infini. L'équation différentielle satisfaite par $\wp$ montre
que $\varphi$ envoie bien $\bC/\Lambda$ dans $\ol\Gamma$. Seul le comportement
au voisinage de $\dotO$ n'est pas clair. Pour $z$ voisin de $0$,
on a
$$
\leqalignno{
\varphi(z)&=[\wp(z):\wp'(z):1]=[z^{-2}+O(z^2):-2z^{-3}+O(z):1]\cr
&=[z+O(z^5):-2+O(z^4):z^3]=[-{\textstyle1\over 2}z+O(z^5):1:
-{\textstyle1\over 2}z^3+O(z^7)],&(5.2.3)\cr}
$$
après multiplication par $z^3$, puis division par $-2+O(z^4)$. Ceci montre
bien que $\varphi:\bC/\Lambda\ssm\dotO$ se prolonge au voisinage de
l'origine en une application holomorphe de $\bC/\Lambda$ dans $\bP^2_\bC$,
telle que $\varphi(\dotO)=[0:1:0])$. Pour $z\ne\dotO$, la dérivée
de $\varphi$ (vue comme application dans $\bC^2$) est
$$
\varphi'(z)=(\wt\wp'(z),\wt\wp''(z)),
$$
qui ne s'annule jamais (la première composante $\wt\wp'(z)$ s'annule
seulement si $z=a/2$, $z=b/2$, $z=(a+b)/2$, mais en ces points $\wt\wp''(z)
\ne 0$, puisque ces points sont des racines doubles de l'équation
$\wt\wp(z)=r_j$). Par ailleurs, (5.2.3) montre que $\varphi'(0)\ne 0$,
la première composante ayant une dérivée non nulle. Ceci montre que
$\varphi$ est un difféomorphisme local de $\bC/\Lambda$ dans $\ol\Gamma$.
En fait $\varphi$ est bijective, comme il résulte facilement du lemme: la
préimage de $[0:1:0]\in\ol\Gamma\ssm\Gamma$ est $\{\dotO\}$, tandis
qu'un point $(x,y)\in\Gamma$ est atteint par une et une seule des deux
racines $z$, $-z$ de l'équation $\wp(z)=x$
(on a $\wp'(z)^2=y^2=4x^3+\alpha x+\beta$, et si $z$ ne convient
pas, alors $-z$ convient grâce à l'imparité de $\wp'$).\square

\claim Remarque|{\rm On peut démontrer plus généralement que
toute surface de Riemann compacte est isomorphe à une courbe
projective lisse dans $\bP^3_\bC$ et, par projection dans
$\bP^2_\bC$, qu'elle s'envoie sur une courbe algébrique de
$\bP^2_\bC$ ayant au plus des points doubles ordinaires.}  \endclaim

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: