% Analyse et géométrie complexes d'une variable, chapitre VII % % Laurent Bonavero % Jean-Pierre Demailly % Université de Grenoble I, Institut Fourier % 38402 Saint-Martin d'Hères, France % \input vcmac.tex \openauxfile \blankline \chaptitle{Chapitre VII} \chaptitle{Noyau de Szegö et calcul numérique} \chaptitle{de l'application conforme de Riemann} \chaptitlerunning{Chap.~VII: Noyau de Szegö et application conforme de Riemann} \vskip30pt \noindent Ce chapitre est tiré de manière essentielle de travaux effectués par Norberto Kerzman et Manfred Trummer au début des années 1980. \vskip30pt \noindent{\em Notations}. Soit $P$ une partie de $\bR^n$ et $I$ un intervalle fermé borné de $\bR$. A toute fonction continue $K(t,s)$ sur $P\times I$, on associe un opérateur $\bK$ de $L^1(I)$ à valeurs dans l'espace $\cC(P)$ des fonctions continues sur $P$, défini par $$\bK u(t)=\int_I~~K(t,s)\,u(s)\,ds,~~~~t\in P.$$ La fonction $K$ sera appelée {\em noyau de l'opérateur} $\bK$. Pour $P=I$ et $u,v\in L^2(I)$, le théorème de Fubini donne $$\langle\bK u,v\rangle=\int_{I\times I}K(t,s)u(s)\overline v(t)\,ds\,dt$$ et l'inégalité de Cauchy-Schwarz implique $$|\langle \bK u,v\rangle|\le \Vert K\Vert_{L^2(I\times I)}\,\Vert u\Vert_2\,\Vert v\Vert_2.$$ Par conséquent $\Vert \bK\Vert \le \Vert K\Vert_2$, et un argument de densité montre que $\bK$ définit un opérateur continu $L^2(I)\to L^2(I)$ pour tout noyau $K\in L^2(I\times I)$. Soit $\Omega$ un ouvert connexe borné du plan complexe $\bC$ dont la frontière ${\partial\Omega}$ est une réunion de courbes fermées de classe $C^k$, $k\ge 2$. \InsertFig 20.000 40.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 0.000 0.000 translate 15.000 10.000 moveto [ 15.000 10.000 25.000 6.000 35.000 8.000 45.000 6.000 57.000 8.000 59.000 20.000 43.000 28.000 31.000 24.000 21.000 28.000 13.000 20.000 ] closedcurve stroke 39.000 16.000 moveto [ 39.000 16.000 41.000 20.000 53.000 18.000 53.000 14.000 45.000 12.000 ] closedcurve gsave closepath 0.920 setgray fill 0 setgray grestore stroke 19.000 16.000 moveto [ 19.000 16.000 19.000 20.000 22.000 23.000 27.000 18.000 27.000 13.000 24.000 10.000 20.000 13.000 ] closedcurve gsave closepath 0.920 setgray fill 0 setgray grestore stroke 27.400 16.200 moveto 0.000 -80.000 2.400 vector 41.200 20.200 moveto 0.000 48.000 2.400 vector 35.200 7.900 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 32.800 24.100 moveto 0.000 200.000 2.400 vector 59.500 17.600 moveto 63.500 19.600 lineto stroke 63.500 19.600 moveto 72.500 25.600 rectangle stroke grestore } \LabelTeX 29.300 27.400 $\gamma_1$\ELTX \LabelTeX 28.800 13.900 $\gamma_2$\ELTX \LabelTeX 35.000 18.600 $\gamma_3$\ELTX \LabelTeX 66.700 21.700 $\Omega$\ELTX \EndFig \noindent On désigne par $\cO(\Omega)$ l'espace des fonctions holomorphes sur $\Omega$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts. Par ailleurs, on note $ds$ la mesure de longueur d'arc sur ${\partial\Omega}$ et $s$ l'abscisse curviligne sur chaque composante connexe, calculée à partir d'une origine quelconque. Enfin $L^p({\partial\Omega})$ désigne l'espace des fonctions $L^p$ à valeurs complexes sur ${\partial\Omega}$ muni de la mesure $ds$. \vfill\eject \supersection{1. Transformation de Hilbert} Si $f$ est une fonction continue sur $\overline\Omega$ et holomorphe dans $\Omega$, la formule de Cauchy donne $$f(w)={1\over 2i\pi}\int_{\partial\Omega}{f(z)\over z-w}\,dz,~~~~w\in\Omega.$$ Notons $z=\gamma(s)$ la paramétrisation de ${\partial\Omega}$ par l'abscisse curviligne. On a $dz=\tau(z)\,ds$ où $\tau(z)=\gamma'(s)$ est le vecteur unitaire tangent à ${\partial\Omega}$ au point $z$. Par suite $$\eqalign{ f(w)&=\int_{\partial\Omega} H(w,z)\,f(z)\,ds~~~~{\rm avec}\cr H(w,z)&={1\over 2i\pi}\,{\tau(z)\over z-w},~~~~w\in\Omega,~~z\in{\partial\Omega}.\cr}$$ \claim Définition 1.1|La fonction $H(w,z)$ est appelée noyau de Cauchy de $\Omega$. Si $u$ est une fonction sur ${\partial\Omega}$, la transformée de Hilbert de $u$ est définie par $$\bH u(w)=\int_{\partial\Omega} H(w,z)\,u(z)\,ds,~~~~w\in\Omega.$$ \endclaim \noindent Comme le noyau $H$ est continu sur $\Omega\times{\partial\Omega}$, $\bH u$ est bien définie dès que $u\in L^1({\partial\Omega})$, et donc aussi si $u\in L^p({\partial\Omega})\subset L^1({\partial\Omega})$, $p\ge 1$. \claim Proposition 1.2|Pour tout $u\in L^1({\partial\Omega})$, $\bH u$ est holomorphe sur $\Omega$, et l'opérateur $\bH:L^p({\partial\Omega})\to \cO(\Omega)$ est continu. \endclaim \dem. Le noyau $H(w,z)$ est différentiable par rapport à $w$ et on a $${\partial H\over\partial w}(w,z)={1\over 2i\pi}\,{\tau(z)\over(z-w)^2}, ~~~~{\partial H\over\partial\overline w}(w,z)=0.$$ Les dérivées partielles $\partial H/\partial w$ et $\partial H/\partial\overline w$ sont donc continues sur $\Omega\times\partial \Omega$. D'après le théorème de dérivation sous le signe somme, on en déduit que $\bH u$ est différentiable et que $${\partial\over\partial w}\bH u(w)= \int_{\partial\Omega}{1\over 2i\pi}\,{\tau(z)\over(z-w)^2}\,u(z)\,ds,~~~~ {\partial\over\partial\overline w}\bH u(w)=0,$$ donc $\bH u$ est holomorphe sur $\Omega$. On a par ailleurs $$|H(w,z)|=\big(2\pi|z-w|\big)^{-1}\le\big(2\pi d(w,{\partial\Omega})\big)^{-1}.$$ Si $K$ est une partie compacte de $\Omega$, on obtient $$\sup_{w\in K}\big|\bH u(w)\big|\le\big(2\pi d(K,{\partial\Omega})\big)^{-1}\Vert u\Vert_1,$$ donc $\bH:L^1({\partial\Omega})\to \cO(\Omega)$ est continu. Le résultat est vrai aussi pour $L^p({\partial\Omega})$ puisque l'inclusion $L^p({\partial\Omega})\to L^1({\partial\Omega})$ est continue.\qed\medskip \claim Formule 1.3|Si $u\in C^1({\partial\Omega})$, on définit la dérivée de $u$ le long de ${\partial\Omega}$ par $$u'\big(\gamma(s)\big)={1\over\gamma'(s)}\,{d\over ds} \big[u\big(\gamma(s)\big)\big].$$ Alors $(\bH u)'=\bH(u')$ sur $\Omega$. \endclaim \noindent En effet, comme $dz/ds=\gamma'(s)=\tau(z)$ le long de ${\partial\Omega}$, le calcul ci-dessus suivi d'une intégration par parties montre que $$\eqalign{ (\bH u)'(w)&=\int_{\partial\Omega}{1\over 2i\pi}\,{\tau(z)\over(z-w)^2}\,u(z)\,ds =\int_{\partial\Omega}{1\over 2i\pi}\,{d\over ds(z)}\Big[{-1\over z-w}\Big] \,u\big(\gamma(s)\big)\,ds\cr &=\int_{\partial\Omega}{1\over 2i\pi}\,{1\over z-w} \,{d\over ds}\big[u\big(\gamma(s)\big)\big]\,ds =\int_{\partial\Omega} H(w,z)\,u'(z)\,ds=\bH(u')(w).\cr}$$ \claim Exemple 1.4|{\rm $\Omega=\hbox{disque unité}~~\bD=\{w\in\bC\,;\,|w|<1\}$.} \endclaim \noindent La paramétrisation de $\partial\bD$ par l'abscisse curviligne s'écrit $$z=\gamma(s)=e^{is},~~~~s\in[0,2\pi].$$ On a $\gamma'(s)=ie^{is}=iz$, donc le noyau de Cauchy de $\bD$ est donné par $$H^\bD(w,z)={1\over 2\pi}\,{e^{is}\over e^{is}-w}= {1\over 2\pi}\,{1\over 1-w\,e^{-is}}={1\over 2\pi}\,{1\over 1-w\overline z}.$$ Puisque $|w|<1$, $H^\bD(w,z)$ est développable en série entière normalement convergente sur tout compact de $\bD\times\partial\bD\,$: $$H^\bD(w,z)={1\over 2\pi}\sum_{n=0}^{+\infty}w^n\,e^{-ins}.$$ On peut donc écrire $$\bH^\bD u(w)=\sum_{n=0}^{+\infty}\wh u(n)\,w^n~~~~\hbox{où}~~~ \wh u(n)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(e^{is})\,e^{-ins}\,ds,~~~n\in\bZ$$ est le $n$-ième coefficient de Fourier de $u$. Si $u\in L^2(\partial\bD)$, la fonction $u$ s'écrit elle-même comme somme d'une série de Fourier $L^2$-convergente $$u(e^{is})=\sum_{n\in\bZ}\wh u(n)\,e^{ins}$$ et d'après la formule de Parseval, la transformation de Fourier est une isométrie d'espaces de Hilbert: $$\eqalignno{ L^2(\partial\bD)&\lra l^2(\bZ)\cr \hfill u&\longmapsto\sqrt{2\pi}\big(\wh u(n)\big)_{n\in\bZ}.&\square\cr}$$ Revenons au cas général. On considère pour tout $\varepsilon>0$ assez petit la courbe de classe $C^{k-1}$ $$\gamma_\varepsilon(s)=\gamma(s)+\varepsilon i\gamma'(s)=z+\varepsilon i\tau(z),~~~~z=\gamma(s)\in{\partial\Omega},$$ où $i\gamma'(s)$ est le vecteur normal rentrant à ${\partial\Omega}$.\vfill\eject $~$ \InsertFig 20.000 50.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 0.000 0.000 translate 2.000 30.000 moveto [ 2.000 30.000 5.000 15.000 25.000 5.000 43.000 11.000 63.000 9.000 81.000 23.000 81.000 45.000 67.000 57.000 39.000 49.000 23.000 53.000 7.000 43.000 ] closedcurve stroke 15.600 28.000 moveto [ 15.600 28.000 16.600 31.500 19.100 34.700 22.100 36.500 26.150 36.600 30.400 34.100 32.900 28.600 32.100 23.100 29.900 19.900 25.900 18.700 20.900 19.500 16.400 23.000 ] closedcurve gsave closepath 0.920 setgray fill 0 setgray grestore stroke 56.100 28.000 moveto [ 56.100 28.000 54.600 32.500 55.600 37.500 58.600 42.000 62.600 44.000 65.600 43.300 69.200 38.300 70.200 32.300 68.200 26.300 64.200 23.700 59.100 25.000 ] closedcurve gsave closepath 0.920 setgray fill 0 setgray grestore stroke [ 2.000 1.000 ] 0 setdash 14.000 28.000 moveto [ 14.000 28.000 14.500 22.500 19.000 18.500 26.000 17.000 32.500 20.000 34.500 25.500 33.500 32.500 30.000 36.500 22.000 38.000 16.500 34.000 ] closedcurve stroke 54.000 28.000 moveto [ 54.000 28.000 54.000 38.000 64.000 46.000 72.000 36.000 66.000 22.000 ] closedcurve stroke 3.800 28.000 moveto [ 3.800 28.000 7.400 40.000 15.200 48.000 23.200 51.000 33.200 48.100 37.000 47.000 44.200 47.500 48.600 49.400 57.200 54.000 63.000 55.400 72.800 51.400 79.800 42.400 79.800 26.400 72.800 16.400 60.800 10.900 49.800 12.700 37.600 11.700 31.600 8.700 23.600 6.900 15.800 9.100 6.800 16.100 ] closedcurve stroke 63.000 57.600 moveto 0.700 disk [ ] 0 setdash 0.226 setlinewidth 10.000 185.000 2.400 vector 10.000 -85.000 2.400 vector 30.500 51.600 moveto 0.000 245.000 2.000 vector 29.650 49.400 lineto stroke 29.650 49.400 moveto 0.000 65.000 2.000 vector 77.650 17.900 moveto 0.113 setlinewidth 0.000 45.000 2.400 vector 51.050 12.600 moveto 0.000 -8.000 2.400 vector 31.450 32.600 moveto 0.000 -50.000 2.400 vector 33.550 21.700 moveto 0.000 -110.000 2.400 vector 67.550 25.700 moveto 0.000 -130.000 2.400 vector 53.750 28.500 moveto 0.000 120.000 2.400 vector grestore } \LabelTeX 31.500 55.000 $\varepsilon$\ELTX \LabelTeX 44.750 55.500 $\tau(z)$\ELTX \LabelTeX 53.800 48.000 $i\tau(z)$\ELTX \LabelTeX 78.200 14.000 $\gamma$\ELTX \LabelTeX 46.750 16.500 $\gamma_\varepsilon$\ELTX \LabelTeX 42.250 31.500 $\Omega$\ELTX \EndFig \noindent Notre objectif est d'étudier le comportement de $\bH u$ sur la courbe $\gamma_\varepsilon$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$. Pour cela, on définit un opérateur $\bH_\varepsilon$ sur $L^2({\partial\Omega})$ à valeurs dans $C^{k-1}({\partial\Omega})\subset L^2({\partial\Omega})$ par $$\bH_\varepsilon u(w)=\bH u\big(w+\varepsilon i\tau(w)\big)~~~~i.e.\ ~~ \bH_\varepsilon u\big(\gamma(s)\big)=\bH u\big(\gamma_\varepsilon(s)\big).$$ L'opérateur $\bH_\varepsilon$ est associé au noyau $$H_\varepsilon(w,z)=H(w+\varepsilon i\tau(w),z)= {1\over 2i\pi}\,{\tau(z)\over z-w-\varepsilon i\tau(w)}.$$ \claim Théorème 1.5|{\rm(a)} Si $u\in L^2({\partial\Omega})$, alors $\bH_\varepsilon u$ converge dans $L^2({\partial\Omega})$ vers une limite notée $\bH_0 u$, où $\bH_0$ est un opérateur continu sur $L^2({\partial\Omega})$. De plus, il existe une constante $C>0$ indépendante de $\varepsilon$, $u$ telle que $$\Vert \bH_\varepsilon u\Vert_2\le C\Vert u\Vert_2.$$ {\rm(b)} Si $u\in C^q(\partial\Omega)$, $1\le q\le k$, alors $\bH u$ se prolonge en une fonction de classe $C^{q-1}$ sur $\overline\Omega$. \endclaim \dem. On montre d'abord le théorème lorsque $\Omega=\bD$. (a) On a par définition $\gamma_\varepsilon(s)=(1-\varepsilon)e^{is}$, d'où $$\bH^\bD_\varepsilon u(e^{is})=\bH^\bD u\big((1-\varepsilon)e^{is}\big) =\sum_{n=0}^{+\infty}(1-\varepsilon)^n\,\wh u(n)\,e^{ins}.$$ Si $\bH_0^\bD$ est l'opérateur obtenu en faisant $\varepsilon=0$ dans la formule ci-dessus, l'égalité de Parseval montre que $\Vert \bH^\bD_\varepsilon u\Vert_2\le \Vert u\Vert_2$ pour tout $\varepsilon$ et $$\Vert \bH^\bD_0 u-\bH^\bD_\varepsilon u\Vert_2^2= 2\pi\sum_{n=0}^{+\infty}\big[1-(1-\varepsilon)^n\big]^2\,|\wh u(n)|^2$$ converge vers $0$ quand $\varepsilon$ tend vers $0$. (b) La formule $(\bH u)'=\bH(u')$ montre qu'il suffit de considérer le cas $q=1$. Alors, comme $u'$ est continue, la suite des coefficients de Fourier $in\,\wh u(n)$ de $u'$ est dans $l^2(\bZ)$. Par suite $\big(\wh u(n)\big)\in l^1(\bZ)$ grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz; il en résulte que la série $\sum \wh u(n)\,w^n$ converge normalement sur $\overline\bD$, d'où $\bH^\bD u\in C^0(\overline\bD)$. On se place maintenant dans le cas d'un ouvert quelconque $\Omega$. Si le bord ${\partial\Omega}$ est une réunion de courbes $\gamma_j$, alors $$\bH u(w)=\sum_j\int_{\gamma_j}H(w,z)\,u(z)\,ds$$ et le terme d'indice $j$ est holomorphe (donc $C^\infty$) sur $\bC\setminus\{\gamma_j\}$. On peut donc supposer que ${\partial\Omega}$ est composé d'une seule courbe fermée, et après homothétie on se ramène au cas où ${\partial\Omega}$ est de longueur $2\pi$. On a alors $$\bH u(w)={1\over 2i\pi}\int_0^{2\pi}{u\big(\gamma(s)\big)\gamma'(s)\over \gamma(s)-w}\,ds.$$ \indent(a) Posons $w=\gamma(t)\in{\partial\Omega}$. Il vient $$\bH_\varepsilon u(w)= {1\over 2i\pi}\int_0^{2\pi}{u\big(\gamma(s)\big)\gamma'(s) \over\gamma(s)-\gamma(t)-\varepsilon i\gamma'(t)}\,ds.$$ Comme $\gamma$ est de classe $C^k$, $k\ge 2$, la formule de Taylor avec reste intégral donne $$\gamma(s)-\gamma(t)=(s-t)\gamma'(t)+(s-t)^2\varphi_1(t,s)$$ où $\varphi_1,\varphi_2,\ldots$ sont des fonctions dans $C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$. On en déduit $$\eqalign{ \gamma(s)-\gamma(t)-\varepsilon i\gamma'(t)&=\big[s-t-\varepsilon i+ (s-t)^2\varphi_2(t,s)\big]\gamma'(t)\cr &=-i\big[e^{i(s-t)}-1+\varepsilon+(s-t)^2\varphi_3(t,s)\big]\gamma'(t)\cr &=-i\big[e^{is}-(1-\varepsilon)e^{it}+(s-t)^2\varphi_4(t,s)\big]\, e^{-it}\gamma'(t),\cr \bH_\varepsilon u(w)=\int_0^{2\pi}\kern40pt&\kern-40pt {u\big(\gamma(s)\big)\gamma'(s)e^{it}\over\big(e^{is}-(1-\varepsilon)e^{it} \big)\gamma'(t)}\Big[1-{(s-t)^2\varphi_4(t,s)\over e^{is}-(1-\varepsilon)e^{it}+ (s-t)^2\varphi_4(t,s)}\Big]\,{ds\over2\pi}.\cr}$$ Comme $e^{i(t-s)}\gamma'(s)/\gamma'(t)=1+(s-t)\varphi_5(t,s)$, on peut écrire $$\bH_\varepsilon u(w)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}{e^{is}\,u\big(\gamma(s)\big) \over e^{is}-(1-\varepsilon)e^{it}}\,ds +\int_{\partial\Omega} R_\varepsilon(t,s)\,u\big(\gamma(s)\big)\,ds$$ où $R_\varepsilon(t,s)$ est de la forme $$R_\varepsilon(t,s)={s-t\over e^{is}-(1-\varepsilon)e^{it}} \Big[\varphi_5(t,s)+{s-t\over \gamma(s)-\gamma_\varepsilon(t)}\varphi_6(t,s) \Big].$$ Nous pouvons interpréter cette décomposition sous la forme $$(\bH_\varepsilon u)\circ\gamma=\bH^\bD_\varepsilon(u\circ\gamma)+ \bR_\varepsilon(u\circ\gamma),$$ où $\bH^\bD$ est la transformation de Hilbert sur le disque. Il est facile de vérifier qu'on a des minorations $$\big|e^{is}-(1-\varepsilon)e^{it}\big|\ge C_1\big(|s-t|+\varepsilon\big), ~~~~\big|\gamma(s)-\gamma_\varepsilon(t)\big|\ge C_2\big(|s-t|+\varepsilon\big).$$ Par suite on a une majoration uniforme $|R_\varepsilon(t,s)|\le C_3$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$ et l'opérateur $\bR_\varepsilon$ est de norme uniformément bornée. Le théorème de convergence dominée montre que l'opérateur $\bR_\varepsilon$ converge en norme vers l'opérateur $\bR_0$ associé au noyau $R_0$. Comme l'application $u\mapsto u\circ\gamma$ est une isométrie de $L^2(\partial\Omega)$ sur $L^2([0,2\pi])\simeq L^2(\partial\bD)$, il en résulte, modulo cette isométrie, que $\bH_\varepsilon$ converge vers $\bH_0=\bH^\bD_0+\bR_0$. On notera que $R_0\in C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$. (b) On peut encore supposer $q=1$ ici. Si $u\in C^1({\partial\Omega})$, on sait d'après la première partie que $(\varepsilon,s)\mapsto \bH^\bD_\varepsilon(u\circ\gamma)(s)$ s'étend continument à $[0,\varepsilon_0]\times[0,2\pi]$. Il en est de même pour $\bR_\varepsilon(u\circ\gamma)(s)$ d'après le théorème de convergence dominée, d'où $\bH u\in C^0(\overline\Omega)$.\qed\medskip \supersection{2. Espace de Hardy $\cH^2({\partial\Omega})$} A toute fonction holomorphe $f\in \cO(\Omega)$, on associe les fonctions $f_\varepsilon$ sur ${\partial\Omega}$ définies par $$f_\varepsilon\big(\gamma(s)\big)=f\big(\gamma_\varepsilon(s)\big).$$ \claim Théorème 2.1|Si $f\in \cO(\Omega)$, il y a équivalence entre les propriétés suivantes: \noindent{\rm(a)}~~$f_\varepsilon$ converge dans $L^2({\partial\Omega})$ vers une fonction $f_0$.\hfill\break \noindent{\rm(b)}~~La norme $\Vert f_\varepsilon\Vert_2$ reste bornée quand $\varepsilon$ tend vers $0$.\hfill\break \noindent{\rm(c)}~~$\,$Il existe une suite $\varepsilon_p>0$ tendant vers $0$ telle que la suite $\Vert f_{\varepsilon_p}\Vert_2$ soit bornée. \noindent{\rm(d)}~~$f$ est la transformée de Hilbert $\bH u$ d'une fonction $u\in L^2({\partial\Omega})$. \noindent On a alors $f=\bH f_0$. \endclaim \dem. Il est évident que $(a)\Longrightarrow(b)\Longrightarrow(c)$ et l'implication $(d)\Longrightarrow(a)$ résulte du théorème 1.5, avec $f_0=\bH_0 u$. Pour démontrer l'implication restante $(c)\Longrightarrow(d)$, nous aurons besoin du lemme suivant. \claim Lemme 2.2|Soit $E$ un espace de Hilbert séparable et $(x_n)$ une suite bornée de $E$. Alors il existe une sous-suite $(x_{n(p)})$ qui converge faiblement vers un élément $\xi\in E$, c'est-à-dire telle que $$\lim_{p\to+\infty}\langle x_{n(p)},y\rangle=\langle\xi,y\rangle, ~~~~\forall y\in E.$$ En outre, si $(y_p)$ converge en norme vers $y$, alors $\langle x_{n(p)},y_p\rangle$ converge vers $\langle\xi,y\rangle$. \endclaim \dem. Soit $(e_l)_{l\in\bN}$ une base hilbertienne de $E$, $x_n=\sum x_{n,l}e_l$ et $M$ un majorant de $\Vert x_n\Vert $. Chaque suite $(x_{n,l})_{n\in\bN}$ est bornée dans $\bC\,$; il existe donc une partie $I_0\subset\bN$ telle que la sous-suite $(x_{n,0})_{n\in I_0}$ ait une limite $\xi_0$, puis une partie $I_1\subset I_0$ telle que $(x_{n,1})_{n\in I_1}$ converge vers une limite $\xi_1$ et ainsi de suite. Soit $n(p)$ le $p$-ième élément de $I_p$. La sous-suite diagonale $x_{n(p)}$ a la propriété que chaque coordonnée $x_{n(p),l}$ tend vers une limite $\xi_l$, et on voit facilement que $\sum|\xi_l|^2\le M^2$, de sorte que le vecteur $\xi=\sum\xi_le_l$ est bien défini. Comme $$\big|\sum_{l\ge L}x_{n(p),l}~\overline y_l\big|\le M\Big(\sum_{l\ge L}|y_l|^2\Big) ^{1/2}$$ où le second membre converge vers $0$ quand $L$ tend vers $+\infty$, il est élémentaire de vérifier que $\langle x_{n(p)},y\rangle$ converge vers $\langle\xi,y\rangle$ pour tout $y\in E$. La dernière affirmation résulte de ce que $$\big|\langle x_{n(p)},y-y_p\rangle\big|\le M\Vert y-y_p\Vert .\eqno\square$$ \noindent {\em Démonstration de $(c)\Longrightarrow(d)$}. Quitte à extraire une sous-suite de $(f_{\varepsilon_p})$, on peut supposer que $(f_{\varepsilon_p})$ converge faiblement vers un élément $u\in L^2({\partial\Omega})$. Pour $w\in\Omega$ fixé, la formule de Cauchy appliquée au chemin $\gamma_\epsilon$ donne $$f(w)={1\over2i\pi}\int_{\gamma_\varepsilon}{f(z)\over z-w}\,dz ={1\over2i\pi}\int_{\partial\Omega} f_\varepsilon\big(\gamma(s)\big) {\gamma'_\varepsilon(s)\over\gamma_\varepsilon(s)-w}\,ds$$ Pour $\varepsilon=\varepsilon_p$, ceci peut s'interpréter comme un produit scalaire $\langle f_{\varepsilon_p},g_p\rangle$ où $(f_{\varepsilon_p})$ converge faiblement vers $u$ et où $(g_p)$ converge uniformément (donc en norme $L^2$) vers $s\mapsto \overline H\big(w,\gamma(s)\big)$. A la limite, on obtient par conséquent $$f(w)=\langle u,\overline H\big(w,\bu\big)\rangle=\bH u(w),$$ soit $f=\bH u$. En outre, si (a) est vérifié, on peut prendre $u=f_0$ dans (c), donc $f=\bH f_0$.\qed\medskip \claim Définition 2.3|L'ensemble des applications $f\in \cO(\Omega)$ vérifiant l'une des propriétés équivalentes {\rm 2.1 (a), (b), (c), (d)}, muni de la norme $\Vert f\Vert_2=\Vert f_0\Vert_2$,\break est noté $\cH^2({\partial\Omega})$. \endclaim L'application $f\mapsto f_0$ définit donc une isométrie de $\cH^2({\partial\Omega})$ sur un sous-espace $\cH^2_0({\partial\Omega})$ de l'espace de Hilbert $L^2({\partial\Omega})$. La formule $f=\bH f_0$ implique $f_0=\bH_0f_0$ pour tout $f_0\in\cH^2_0({\partial\Omega})$, et comme $\bH_0 u=(\bH u)_0\in\cH^2_0({\partial\Omega})$ pour tout $u\in L^2({\partial\Omega})$ on voit que l' opérateur $$\bH_0:L^2({\partial\Omega})\lra\cH^2_0({\partial\Omega})$$ est un projecteur continu. Il en résulte que $\cH^2_0({\partial\Omega})=\Ker(1-\bH_0)$ est un sous-espace fermé de $L^2({\partial\Omega})$. Pour simplifier les notations, on conviendra dans la suite d'identifier $\cH^2({\partial\Omega})$ et son image $\cH^2_0({\partial\Omega})$, une fonction $f\in\cH^2({\partial\Omega})$ et sa limite au bord $f_0$, l'opérateur $\bH$ et sa limite au bord $\bH_0$. \claim Exemple 2.4|{\rm Si $\Omega=\bD$, les calculs faits en 1.4 donnent pour tout $u\in L^2({\partial\Omega})\,$: $$u(e^{is})=\sum_{n\in\bZ}\wh u(n)\,e^{ins},~~~~ \bH u(e^{is})=\sum_{n\in\bN}\wh u(n)\,e^{ins}.$$ La transformation de Fourier donne donc un isomorphisme $L^2(\partial\bD)\simeq l^2(\bZ)$ par lequel $\cH^2(\partial\bD)$ s'identifie au sous-espace $l^2(\bN)$ des fonctions dont les coefficients de Fourier $\wh u(n)$, $n<0$, sont nuls. Dans ce cas, $\bH$ est la projection orthogonale $l^2(\bZ)\to l^2(\bN)$.\qed} \endclaim Dans le cas général, une condition nécessaire pour qu'une fonction $u$ de $L^2({\partial\Omega})$ soit dans $\cH^2({\partial\Omega})$ est que $\int_{{\partial\Omega}}u(z)f(z)dz=0$ pour toute fonction $f\in\cH^2(\partial\Omega)$, en particulier pour $f(z)=z^n$, $n\ge 0$. Ceci résulte du théorème de Cauchy appliqué sur $\gamma_\varepsilon$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$, compte tenu du fait que $u_\varepsilon\to u_0$ et $f_\varepsilon\to f_0$ dans $L^2$. Comme nous le verrons plus loin, le projecteur $\bH$ n'est orthogonal que si $\Omega$ est un disque. \claim Théorème 2.5|L'ensemble des fonctions holomorphes sur un voisinage de $\overline\Omega$ est dense dans $\cH^2({\partial\Omega})$. \endclaim \dem. Si $f\in\cH^2({\partial\Omega})$, on a la représentation de Cauchy $$f(w)={1\over2i\pi}\int_{\partial\Omega}{f_0\big(\gamma(s)\big)\over \gamma(s)-w}\, \gamma'(s)\,ds.$$ Soit, pour $\varepsilon>0$ assez petit, $\wt\gamma_\varepsilon(s)=\gamma(s)-\varepsilon i\gamma'(s)$ la courbe des points de $\complement\Omega$ situés à la distance $\varepsilon$ de ${\partial\Omega}$. Il est clair que $$\wt f_\varepsilon(w)={1\over2i\pi}\int_{\partial\Omega}{f_0\big(\gamma(s)\big)\over \wt\gamma_\varepsilon(s)-w}\,\gamma'(s)\,ds$$ est holomorphe sur l'ouvert des points situés à une distance $<\varepsilon$ de $\overline\Omega$. Des calculs analogues à ceux faits dans la démonstration du théorème 1.5 montrent que $\wt f_\varepsilon$ converge vers $f$ dans $\cH^2({\partial\Omega})\,$: on vérifie d'abord le résultat pour $\Omega=\bD\,$; on voit ensuite que $(\wt f_\varepsilon )_{\restriction{\partial\Omega}}$ converge dans $\cH^2({\partial\Omega})$ par un développement de Taylor du noyau, et la limite est $f$ dans $\cO(\Omega)$.\qed\medskip \supersection{3. Adjoint de l'opérateur $\bH$} Si $I$ est un intervalle fermé borné de $\bR$ et si $\bK$ est l'opérateur sur $L^2(I)$ associé à un noyau $K\in L^2(I\times I)$, il est facile de voir que l'opérateur adjoint $\bK^\star$ est défini par le noyau $$K^\star(t,s)=\overline K(s,t).$$ Cette formule ne peut toutefois être appliquée directement à $\bH$, car le noyau $H$ ne se prolonge pas en un élement de $L^2({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$ ni même de $L^1({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$. Pour contourner cette difficulté, on cherche à évaluer l'opérateur différence $\bH^\star-\bH$, qui, comme on le verra plus loin, a le mérite d'être associé à un vrai noyau. On considère les opérateurs approchés $\bH_\varepsilon$, $\bH^\star_\varepsilon$ définis par les noyaux continus $$\eqalign{ H_\varepsilon(w,z)&={1\over 2i\pi}\,{\tau(z)\over z-w-\varepsilon i\tau(w)},\cr H^\star_\varepsilon(w,z)&=\overline H_\varepsilon(z,w)= {1\over 2i\pi}\,{\overline\tau(w)\over \overline z-\overline w-\varepsilon i\overline\tau(z)},\cr}$$ et l'opérateur différence $\bA_\varepsilon=\bH^\star_\varepsilon- \bH_\varepsilon$ associé au noyau $$A_\varepsilon(w,z)={1\over 2i\pi}\, {(z-w)\overline\tau(w)-(\overline z-\overline w)\tau(z)\over\big(z-w-\varepsilon i\tau(w)\big) \big(\overline z-\overline w-\varepsilon i\overline\tau(z)\big)}.$$ Pour $z=\gamma(s)$, $w=\gamma(t)$ assez voisins, on voit comme dans 1.5 qu'il existe des fonctions $\varphi_j\in C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$ telles que $$\eqalign{ z-w&=(s-t)\gamma'(t)+(s-t)^2\varphi_1(t,s),\cr |z-w|^2&=(s-t)^2\big[1+(s-t)\varphi_2(t,s)\big].\cr}$$ En substituant $\gamma'(t)=\tau(w)$ et $(s-t)^2$ en fonction de $|z-w|^2$ dans la première ligne, il vient $$z-w=(s-t)\tau(w)+|z-w|^2\varphi_3(w,z).$$ En échangeant les rôles de $z$ et $w$, on obtient $$\eqalign{ z-w&=(s-t)\tau(z)-|z-w|^2\varphi_3(z,w),~~~~\hbox{d'où}\cr A_\varepsilon(w,z)&={|z-w|^2\,A(w,z)\over\big(z-w-\varepsilon i\tau(w)\big) \big(\overline z-\overline w-\varepsilon i\overline\tau(z)\big)}~~~~~\hbox{avec}\cr A(w,z)&={1\over 2i\pi}\big(\varphi_3(w,z)\overline\tau(w)+\overline\varphi_3(z,w)\tau(z)\big).\cr}$$ On obtient $\lim_{\varepsilon\to 0}A_\varepsilon(w,z)=A(w,z)$ pour $w\ne z$, avec $A(w,z)\in C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$, et de plus on a une majoration uniforme $|A_\varepsilon(w,z)|\le C|A(w,z)|$. Ceci entraîne que $\bA_\varepsilon$ converge en norme vers l'opérateur $\bA$ de noyau $A$. Pour tout $u,v\in L^2({\partial\Omega})$ on obtient donc $$\langle \bH u,v\rangle= \lim~\langle\bH_\varepsilon u,v\rangle= \lim~\langle u,\bH_\varepsilon^\star v\rangle= \lim~\langle u,\bH_\varepsilon v+\bA_\varepsilon v\rangle= \langle u,(\bH+\bA)v\rangle$$ ce qui prouve bien que $\bH^\star=\bH+\bA$. On a d'autre part $$\eqalign{ \varphi_3(w,w)&=\varphi_1(t,t)={1\over 2}\gamma''(t),~~~~\hbox{d'où}\cr A(w,w)&={1\over 4i\pi}\big(\gamma''(t)\overline\gamma'(t)+\overline\gamma''(t)\gamma'(t) \big)={1\over 4i\pi}{d\over dt}\big|\gamma'(t)\big|^2=0\cr}$$ car $|\gamma'(t)|=1$. On peut donc énoncer: \claim Théorème 3.1|L'opérateur $\bA=\bH^\star-\bH$ est associé à un noyau $A\in C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$ défini par $$A(w,z)={1\over 2i\pi}\Big({\overline\tau(w)\over\overline z-\overline w}-{\tau(z)\over z-w}\Big),~~~~w,z\in{\partial\Omega}.$$ Ce noyau $A$ est antisymétrique, c'est-à-dire que $\overline A(z,w)=-A(w,z)$, et de plus $A(w,w)\equiv 0$. \endclaim Pour que le projecteur $\bH$ soit orthogonal, il faut et il suffit que $\bH^\star=\bH$, ce qui équivaut à dire que $A\equiv 0$. \claim Corollaire 3.2|Le projecteur $\bH$ est orthogonal si et seulement si $\Omega$ est un disque. \endclaim \dem. Si $A\equiv 0$, on a nécessairement $${\rm angle}\big([z,w],\tau(z)\big)=-{\rm angle}\big([z,w],\tau(w)\big)~~~~ \forall w,z\in{\partial\Omega},$$ car les membres de gauche et de droite représentent les arguments respectifs des termes $\tau(z)/(z-w)$ et $\overline\tau(w)/(\overline z-\overline w)$ intervenant dans $A(w,z)$. \InsertFig 20.000 48.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 0.000 0.000 translate 10.000 20.000 moveto [ 10.000 20.000 12.000 30.000 24.000 38.000 38.000 34.000 54.000 38.000 74.000 20.000 68.000 2.000 48.000 10.000 26.000 2.000 ] closedcurve stroke 21.000 12.900 moveto [ 21.000 12.900 19.000 18.900 25.000 22.900 33.000 19.900 35.000 13.900 28.000 9.900 ] closedcurve gsave closepath 0.920 setgray fill 0 setgray grestore stroke 72.500 24.400 moveto 0.700 disk 11.300 28.600 lineto stroke 11.300 28.600 moveto 0.700 disk 10.770 248.199 2.400 vector 7.300 18.600 moveto 15.300 38.600 lineto stroke 72.500 24.400 moveto 10.966 114.228 2.400 vector 68.000 34.400 moveto 77.000 14.900 lineto stroke 21.000 12.900 moveto 0.000 140.000 2.400 vector 72.400 6.900 moveto 0.000 60.000 2.400 vector 72.500 24.400 moveto 67.500 24.800 moveto 72.500 24.400 5.016 175.426 114.444 arcn stroke 67.500 24.800 moveto 0.000 -104.000 2.400 vector 16.300 28.250 moveto 11.300 28.600 5.012 -4.004 68.250 arc stroke 13.157 33.255 moveto 0.000 150.000 2.400 vector grestore } \LabelTeX 8.157 28.255 $z$\ELTX \LabelTeX 3.000 14.800 $\tau(z)$\ELTX \LabelTeX 74.200 24.255 $w$\ELTX \LabelTeX 64.657 36.255 $\tau(w)$\ELTX \LabelTeX 48.657 16.255 $\Omega$\ELTX \LabelTeX 74.200 5.255 $\partial\Omega$\ELTX \EndFig \medskip \noindent En déplaçant la corde $[z,w]$ parallèlement à une direction fixée, on en déduit que ${\partial\Omega}$ doit être invariant par symétrie autour de la médiatrice de chacune de ses cordes. Considérons deux cordes faisant entre elles un angle irrationnel, et le point d'intersection $P$ de leurs médiatrices. Les deux symétries correspondantes engendrent un groupe dense de rotations de centre $P$. Comme ${\partial\Omega}$ est fermé, ${\partial\Omega}$ est nécessairement une réunion de cercles de centre $P$, à savoir un cercle si $\Omega$ est un disque, ou deux cercles si $\Omega$ est une couronne. Mais une couronne n'est invariante que par les symétries autour des médiatrices des cordes dont les extrêmités sont sur un même cercle. Par conséquent $\Omega$ est un disque.\qed\medskip \supersection{4. Noyau de Szegö} Le {\em projecteur de Szegö} est par définition le projecteur orthogonal $\bS$ de $L^2({\partial\Omega})$ sur $\cH^2({\partial\Omega})$. On cherche ici à montrer que $\bS$ est, en un certain sens, associé à un noyau $S$. Rappelons que $\bH$ est orthogonal dans le cas du disque, par suite $\bS^\bD=\bH^\bD$. Soit $(\psi_j)_{j\in\bN}$ une base hilbertienne de $\cH^2({\partial\Omega})$. L'image d'une fonction $u\in L^2({\partial\Omega})$ par le projecteur $\bS$ est alors donnée par la série $L^2$-convergente $$\bS u(w)=\sum_{j\in\bN}\langle u,\psi_j\rangle~\psi_j(w)= \sum_{j\in\bN}\psi_j(w)\int_{{\partial\Omega}}u(z)\,\overline\psi_{j,0}(z)\,ds,$$ où $\psi_{j,0}$ désigne la limite au bord de $\psi_j$. Ceci suggère d'introduire le noyau $$S(w,z)=\sum_{j\in\bN}\psi_j(w)\overline\psi_j(z),~~~~w,z\in\Omega,$$ qui sera appelé {\em noyau de Szegö} de $\Omega$. \claim Lemme 4.1|La série $\sum_{j\in\bN}|\psi_j(w)|^2$ converge uniformément sur tout compact de $\Omega$. Le noyau $S(w,z)$ est de classe $C^\infty$ sur $\Omega\times\Omega$, holomorphe en $w$ et antiholomorphe en $z$. De plus, on a la majoration $$S(w,z)=\sum_{j\in\bN}|\psi_j(w)|^2\le{1\over4\pi^2}\int_{\partial\Omega} {1\over|z-w|^2}\,ds.$$ \endclaim \dem. Comme $\psi_j\in\cH^2({\partial\Omega})$, on a $$\psi_j(w)=\bH\psi_j(w)=\langle\psi_j,\overline H(w,\bu)\rangle= \langle\psi_j,\bS\overline H(w,\bu)\rangle.$$ Par conséquent, $\big(\psi_j(w)\big)$ est la suite des coordonnées de la fonction $\bS\overline H(w,\bu)$ dans la base $(\psi_j)$, ce qui donne $$\sum_j|\psi_j(w)|^2=\Vert \bS\overline H(w,\bu)\Vert^2\le\Vert H(w,\bu)\Vert^2= {1\over4\pi^2}\int_{\partial\Omega}{1\over|z-w|^2}\,ds.$$ L'application $w\mapsto\overline H(w,\bu)$ étant continue de $\Omega$ dans $L^2({\partial\Omega})$, on voit que la fonction $w\mapsto\Vert \bS H(w,\bu)\Vert^2$ est continue sur $\Omega$. Le lemme de Dini entraîne alors la convergence uniforme sur tout compact de la série de fonctions continues $\sum|\psi_j(w)|^2$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz montre que pour $N$ tendant vers $+\infty$, $$\Big(\sum_{j\ge N}\big|\psi_j(w)\overline\psi_j(z)\big|\Big)^2\le \sum_{j\ge N}|\psi_j(w)|^2\sum_{j\ge N}|\psi_j(z)|^2$$ converge uniformément vers $0$ lorsque $(w,z)$ décrit un compact quelconque de $\Omega\times\Omega$. Comme $\sum\psi_j(w)\overline{\psi_j(z)}$ est une série de fonctions holomorphes en $(w,\overline z)$, on en déduit que $S$ est holomorphe en $(w,\overline z)$, en particulier de classe $C^\infty$ sur $\Omega\times\Omega$.\qed\medskip \claim Lemme 4.2|Pour $w\in\Omega$ fixé et pour $\varepsilon$ tendant vers $0$, la fonction $$S_\varepsilon(w,\bu)=\sum_{j\in\bN}\psi_j(w)\overline\psi_{j,\varepsilon}$$ converge vers $S_0(w,\bu)=\sum_{j\in\bN}\psi_j(w)\overline\psi_{j,0}$ dans $L^2({\partial\Omega})$. De plus $$\bS u(w)=\int_{\partial\Omega} S_0(w,z)\,u(z)\,ds,~~~~\forall u\in L^2({\partial\Omega}).$$ \endclaim \dem. Comme $\bH:L^2({\partial\Omega})\to \cO(\Omega)$ est continu, $\bH$ envoie une série $L^2$-convergente sur une série de fonctions holomorphes convergeant uniformément sur tout compact, d'où $$\eqalign{ \bH\Big(\sum_{j\in\bN}\overline\psi_j(w)\psi_{j,0}\Big) &=\sum_{j\in\bN}\overline\psi_j(w)\,\bH\psi_{j,0} =\sum_{j\in\bN}\overline\psi_j(w)\,\psi_j=\overline{S(w,\bu)},\cr \bH_\varepsilon\Big(\sum_{j\in\bN}\overline\psi_j(w)\psi_{j,0}\Big) &=\overline{S_\varepsilon(w,\bu)}.\cr}$$ Le théorème 1.5 entraîne que le membre de gauche converge dans $L^2({\partial\Omega})$ vers\break $\bH_0\big(\sum_{j\in\bN}\overline\psi_j(w)\psi_{j,0}\big)= \sum_{j\in\bN}\overline\psi_j(w)\psi_{j,0}$ $\big($cet élément est dans $\cH^2({\partial\Omega})\big)$. La formule intégrale résulte immédiatement des considérations du début du~\S$\,$4.\qed\medskip L'espace $\cH^2(\partial\bD)$ du disque admet la base hilbertienne $(w^n/\sqrt{2\pi})_{n\in\bN}$, ce qui donne l'expression $$S^\bD(w,z)={1\over 2\pi}\sum_{n\in\bN}w^n\overline z^n= {1\over 2\pi}\,{1\over 1-w\overline z},~~~~\forall(w,z)\in\bD\times\bD.$$ On voit que $S^\bD_0(w,z)$ co\"\i ncide bien avec $H^\bD(w,z)$ pour $(w,z)\in\bD\times\partial\bD$. \supersection{5. Formule intégrale reliant $S$ et $H$} L'idée centrale introduite par N. Kerzman est que l'on peut retrouver le projecteur orthogonal $\bS$ à partir du projecteur oblique $\bH$ (qui est connu explicitement). Comme $\bS$ et $\bH$ co\"\i ncident avec l'application identique sur $\cH^2({\partial\Omega})$, on a en effet $$\bS\bH=\bH,~~~~~\bH\bS=\bS.$$ Prenons les adjoints dans la seconde égalité. Comme $\bS^\star=\bS$, on trouve $\bS\bH^\star=\bS$. Soustrayons maintenant la première égalité et introduisons l'opérateur $\bA=\bH^\star-\bH$. Il vient $$\bS\bA=\bS\bH^\star-\bS\bH=\bS-\bH,$$ soit encore $\bS(1-\bA)=\bH$. \claim Lemme 5.1|L'opérateur $1-\bA$ est un isomorphisme de $L^2({\partial\Omega})$ et on a $\Vert (1-\bA)^{-1}\Vert \le 1$. \endclaim \dem. Comme $\bA$ est antisymétrique, le produit scalaire $\langle\bA u,u\rangle$ est purement imaginaire pour tout $u\in L^2({\partial\Omega})$, ce qui implique $$\Vert u\Vert_2^2\le|\langle(1-\bA)u,u\rangle|\le\Vert (1-\bA)u\Vert_2\,\Vert u\Vert_2$$ et en particulier $\Vert (1-\bA)u\Vert_2\ge \Vert u\Vert_2$. L'opérateur $1-\bA$ est donc injectif et d'image fermée. L'orthogonal de $\Im(1-\bA)$ est égal au noyau de l'adjoint $(1-\bA)^\star=1+\bA$, et cet opérateur est injectif pour les mêmes raisons que précédemment. Par suite $\Im(1-\bA)=L^2({\partial\Omega})$ et $1-\bA$ est donc un isomorphisme topologique de $L^2({\partial\Omega})$. Comme $1-\bA$ accroît la norme de tout vecteur, on voit que $(1-\bA)^{-1}$ est contractant.\qed\medskip Le lemme montre qu'on peut calculer $\bS$ à partir de $\bH$ par la formule $$\bS=\bH(1-\bA)^{-1}.$$ C'est cette idée qu'on va exploiter dans la suite pour évaluer le noyau de Szegö $S$, en établissant une formule intégrale reliant $S$ et $H$. Pour tout $u\in L^2({\partial\Omega})$ et $w\in\Omega$, on a en effet $$\bS\bA u(w)=\int_{\partial\Omega} S_0(w,\xi)\,\bA u(\xi)\,ds(\xi)= \int_{\partial\Omega} S_0(w,\xi)\,ds(\xi)\int_{\partial\Omega} A(\xi,z)\,u(z)\,ds(z).$$ Le théorème de Fubini montre que $\bS\bA$ est associé au noyau $$\Omega\times{\partial\Omega}\ni(w,z)\longmapsto\int_{\partial\Omega} S_0(w,\xi)\,A(\xi,z)\,ds(\xi).$$ L'égalité $\bS=\bH+\bS\bA$ fournit alors l'égalité de noyaux: \claim Formule 5.2|Pour tous $(w,z)\in\Omega\times{\partial\Omega}$ on a $$S_0(w,z)=H(w,z)+\int_{\partial\Omega} S_0(w,\xi)\,A(\xi,z)\,ds(\xi).$$ \endclaim \supersection{6. Régularité au bord du noyau de Szegö} Nous nous proposons ici de montrer que $S$ s'étend en une fonction de classe $C^{k-2}$ sur $\overline\Omega\times\overline\Omega$ en dehors de la diagonale $\Delta_{\partial\Omega}$ de ${\partial\Omega}\times{\partial\Omega}$. On utilise pour cela la relation $\bS=\bH+\bS\bA$ démontrée au \S 5, ce qui donne $$\eqalign{ \bS&=\bH+(\bH+\bS\bA)\bA=\bH(\bH+\bA)+\bS\bA^2=\bH\bH^\star+\bS\bA^2,\cr \bS\bA&=\bS-\bH=(\bS-\bH^\star)^\star=(\bS-\bH-\bA)^\star=(\bS\bA-\bA)^\star =\bA-\bA\bS.\cr}$$ La deuxième égalité implique $\bS\bA^2=\bA^2-\bA\bS\bA$, d'où $$\bS=\bH\bH^\star+\bA^2-\bA\bS\bA.\leqno(6.1)$$ Comme $A\in C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$, il est clair que $\bA^2$ possède un noyau de classe $C^{k-2}$ sur ${\partial\Omega}\times{\partial\Omega}$. L'opérateur $\bS\bA$ est associé au noyau $\bS A(\bu,z)$ et $\bA\bS\bA$ au noyau $$\int_{\partial\Omega} A(w,\bu)\,\bS A(\bu,z)\,ds=\langle A(w,\bu),\overline{\bS A(\bu,z)} \rangle.$$ Les applications $w\mapsto A(w,\bu)$ et $z\mapsto A(\bu,z)$ sont dans $C^{k-2}\big({\partial\Omega},L^2({\partial\Omega})\big)$. Il en est de même pour l'application $z\mapsto \bS A(\bu,z)$, puisque $\bS$ est un opérateur continu sur $L^2({\partial\Omega})$, donc $\bA\bS\bA$ a lui aussi un noyau dans $C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$. Il reste à étudier le noyau de $\bH\bH^\star$. \claim Lemme 6.2|La fonction $$G(w,z)=\int_{\partial\Omega} H(w,\xi)\,\overline{H(z,\xi)}\,ds(\xi)= {1\over4\pi^2}\int_{\partial\Omega}{ds(\xi)\over(\xi-w)(\overline\xi-\overline z)},~~~~(w,z)\in \Omega\times\Omega$$ se prolonge en une fonction $G\in C^{k-2}(\overline\Omega\times\overline\Omega \setminus\Delta_{\partial\Omega})$, et l'opérateur défini par $G_{\restriction\Omega\times{\partial\Omega}}$ est $\bG=\bH\bH^\star$. \endclaim Avant de démontrer le lemme 6.2, nous aurons besoin d'un résultat préliminaire généralisant le théorème 1.5 (b). \claim Lemme 6.3|Soit $E$ une partie ouverte ou un domaine à bord de classe $C^1$ dans $\bR^n$. Soit $u:{\partial\Omega}\times E\to\bC$ une fonction continue. \noindent{\rm(a)}~~Si $u$ est de classe $C^q$, $1\le q\le k$, alors la transformée $\bH u$ définie par $$\bH u(w,x)=\int_{\partial\Omega} H(w,z)\,u(z,x)\,ds(z),~~~~(w,x)\in\Omega\times E$$ se prolonge en une fonction de classe $C^{q-1}$ sur $\overline\Omega\times E$. \noindent{\rm(b)}~~Si $u$ est de classe $C^q$, $0\le q\le k$ et si $u(\bu,x)\in\cH^2({\partial\Omega})$ pour tout $x\in\Omega$, alors $\bH u$ se prolonge en une fonction de classe $C^q$ sur $\overline\Omega\times E$. \endclaim \dem. (a) Grâce à la formule 1.3 suivie d'une dérivation sous le signe somme en $x$, on obtient $${\partial^l\over\partial x^l}\,{\partial^m\over\partial w^m}\,\bH u(w,x)= \bH\Big({\partial^l\over\partial x^l}\,{\partial^m\over\partial z^m}\, u(z,x)\Big),$$ de sorte qu'il suffit de regarder le cas $q=1$. La démonstration du théorème 1.5 montre que $\bH$ est continu de $C^1({\partial\Omega})$ dans $C^0(\overline\Omega)$. On en déduit $$\Vert \bH u(\bu,x)-\bH u(\bu,x_0)\Vert_{C^0(\overline\Omega)}\le C \Vert u(\bu,x)-u(\bu,x_0)\Vert_{C^1({\partial\Omega})}$$ et le second membre tend vers $0$ quand $x$ tend xers $x_0$ dans $E$. On sait d'autre part que $w\mapsto H(w,x)$ s'étend continument à $\overline\Omega$ pour tout $x\in E$ fixé. Ceci entraîne facilement la continuité de $\bH u$ sur $\overline\Omega\times E$ grâce à l'inégalité triangulaire $$\big|\bH u(w,x)-\bH u(w_0,x_0)\big|\le \big|\bH u(w,x)-\bH u(w,x_0)\big|+\big|\bH u(w,x_0)-\bH u(w_0,x_0)\big|.$$ (b) On est facilement ramené au cas $q=0$, à condition de vérifier que toutes les dérivées de $u$ en $(z,x)$ d'ordre inférieur ou égal à $q$ sont encore dans $\cH^2({\partial\Omega})$. Par récurrence, il suffit de vérifier ce resultat pour $u'_x$ et $u'_z$. Pour $u'_x$, on observe simplement que $$u'_x(\bu,x_0)=\lim_{x\to x_0}{u(\bu,x)-u(\bu,x_0)\over x-x_0}~~~~{\rm dans}~~ \cH^2({\partial\Omega}).$$ D'autre part, la fonction holomorphe $v=\bH u(\bu,x)$ est continue sur $\overline\Omega$ d'après (a), et vérifie par hypothèse $v_{\restriction{\partial\Omega}}=u(\bu,x)$. Comme $v'=\bH u'_z$, le théorème 1.5 montre que $(v')_\varepsilon$ converge vers $\bH_0 u'_z$ dans $L^2({\partial\Omega})$, et par suite dans $L^1({\partial\Omega})$. Pour tout arc $\build{ab}|\frown||\subset{\partial\Omega}$ on obtient donc $$\eqalign{ \int_a^b (\bH_0 u'_z)(w,x)\,dw&=\lim\int_a^b (v')_\varepsilon(w)\,dw= \lim v\big(b+\varepsilon i\tau(b)\big)-v\big(a+\varepsilon i\tau(a)\big)\cr &=v(b)-v(a)=u(b,x)-u(a,x)\cr}$$ donc $\bH_0 u'_z=u'_z$ et $u'_z(\bu,x)\in\cH^2({\partial\Omega})$. Comme dans (a), le cas $q=0$ se réduit à voir que $\bH$ envoie $C^0({\partial\Omega})\cap\cH^2({\partial\Omega})$ dans $C^0(\overline\Omega)$, continument par rapport aux normes uniformes. Si $\Omega=\bD$, ceci résulte du fait que $\bH u$ est, pour $u\in C^0(\partial\bD)\cap \cH^2(\partial\bD)$, la solution du problème de Dirichlet (cf.\ W.~Rudin). Le cas général résulte de l'écriture $\bH_\varepsilon= \bH^\bD_\varepsilon+\bR_\varepsilon$ obtenue dans la démonstration du théorème~1.5.\qed\medskip \noindent {\em Démonstration du lemme 6.2}. Soit $(\theta_j)$ une partition de l'unité de classe $C^k$ sur ${\partial\Omega}$, et $T_j={\rm Supp}\,\theta_j$. Ecrivons $G=\sum G_j$ avec $$G_j(w,z)=\int_{\partial\Omega} H(w,\xi)\,\overline{H(z,\xi)}\,\theta_j(\xi)\,ds(\xi),$$ c'est-à-dire $G_j(\bu,z)=\bH\big(\overline H(\bu,z)\theta_j\big)$. Comme $\overline{H(z,\xi)}\theta_j(\xi)$ est de classe $C^{k-1}$ pour $(\xi,z)\in{\partial\Omega}\times(\overline\Omega\setminus T_j)$, le lemme 6.3 (a) montre que $G_j$ est de classe $C^{k-2}$ sur $\overline\Omega\times(\overline\Omega\setminus T_j)$, et donc aussi sur $(\overline\Omega\setminus T_j)\times\overline\Omega$ après conjugaison et échange des rôles de $w,z$. Par conséquent $G_j\in C^{k-2}\big(\overline\Omega\times\overline\Omega\setminus T_j\times T_j\big)$, et $G=\sum G_j$ est de classe $C^{k-2}$ sur $\overline\Omega\times\overline\Omega$ en dehors de $\bigcup_j T_j\times T_j$, qui est un voisinage arbitrairement petit de $\Delta_{\partial\Omega}$ si les diamètres des $T_j$ sont choisis assez petits. Pour tout $u\in L^2({\partial\Omega})$, on a d'autre part $$\bH\bH^\star u=\lim_{\varepsilon\to 0}~~\bH\bH^\star_\varepsilon u= \lim_{\varepsilon\to 0}~~\bG_\varepsilon u,$$ où $\bG_\varepsilon$ est l'opérateur associé au noyau $$G_\varepsilon(w,z)=\int_{\partial\Omega} H(w,\xi)\,\overline{H_\varepsilon(z,\xi)}\,ds(\xi) =G\big(w,z+\varepsilon i\tau(z)\big).$$ Comme ce noyau converge vers $G_{\restriction\Omega\times{\partial\Omega}}$ uniformément sur tout compact, on en déduit bien $\bH\bH^\star=\bG$.\qed\medskip \claim Théorème 6.4|Le noyau de Szegö $S(w,z)$ se prolonge en une fonction dans $C^{k-2}(\overline\Omega\times\overline\Omega\setminus\Delta_{\partial\Omega})$, et plus précisément, en la somme du noyau $G$ et d'une fonction de classe $C^{k-2}$ sur $\overline\Omega\times\overline\Omega$. Quand $z\in\Omega$ tend vers le bord ${\partial\Omega}$, on a $$S(z,z)\sim{1\over 4\pi^2}\int_{\partial\Omega} {ds(\xi)\over|\xi-z|^2} \sim{1\over 4\pi\,d(z,{\partial\Omega})}.$$ \endclaim \dem. Considérons le noyau $K(w,z)=S_0(w,z)-G_0(w,z)$ sur $\Omega\times{\partial\Omega}$, associé à l'opérateur $$\bS-\bH\bH^\star=\bA^2-\bA\bS\bA:L^2({\partial\Omega})\lra\cH^2({\partial\Omega}).$$ On sait que cet opérateur est défini par un noyau $K_0\in C^{k-2}({\partial\Omega}\times{\partial\Omega})$, ce qui implique $K_0(\bu,z)\in\cH^2({\partial\Omega})$ pour tout $z$ et $K=\bH K_0$. Le lemme 6.3 (b) donne alors $K\in C^{k-2}(\overline\Omega\times{\partial\Omega})$. Par échange de $w,z$ on voit que $\big(S(\bu,z)-G(\bu,z)\big)_0$ est de classe $C^{k-2}$ sur ${\partial\Omega}\times\overline\Omega$, et une nouvelle application du lemme 6.3 (b) donne $S-G\in C^{k-2}(\overline\Omega\times\overline\Omega)$. On en déduit en particulier $$S(z,z)\sim G(z,z)={1\over 4\pi^2}\int_{\partial\Omega} {ds(\xi)\over|\xi-z|^2}$$ quand $z$ tend vers ${\partial\Omega}$. Soit $\delta=d(z,{\partial\Omega})$ et $\gamma(t)$ le point de ${\partial\Omega}$ tel que $|z-\gamma(t)|=\delta$. Le point $z$ est sur la normale à ${\partial\Omega}$ au point $\gamma(t)$, donc $z=\gamma(t)+\delta i\gamma'(t)$. Quand $\delta$ et $|s-t|$ tendent vers $0$, on a $$\gamma(s)-z=\gamma(s)-\gamma(t)-\delta i\gamma'(t)= \gamma'(t)\big(s-t-i\delta+{\rm O}((s-t)^2)\big),$$ par suite $|\gamma(s)-z|^2\sim (s-t)^2+\delta^2$ et $$\eqalignno{ \int_{\partial\Omega}{ds\over|\gamma(s)-z|^2} &\sim\int_{|s-t|<\delta^{1/3}}{ds\over(s-t)^2+\delta^2} +\int_{|s-t|>\delta^{1/3}}{ds\over|\gamma(s)-z|^2}\cr &={2\over\delta}{\rm arctan}(\delta^{-2/3})+{\rm O}(\delta^{-2/3}) \sim{\pi\over\delta}.&\square\cr}$$ \supersection{7. Relation avec l'application conforme de Riemann} On suppose ici que $\Omega$ est un ouvert simplement connexe à frontière de classe $C^k$, $k\ge 2$. Pour tout point $a\in\Omega$ fixé, il existe alors une unique application conforme bijective $$R:\Omega\to\bD$$ telle que $R(a)=0$ et $R'(a)>0$. \claim Théorème 7.1|L'application $R$ s'étend en un difféomorphisme de classe $C^{k-1}$ de $\overline\Omega$ sur $\overline\bD$. \endclaim La démonstration de ce théorème sera donnée plus loin. Nous admettons le résultat provisoirement. Le changement de variable $z=R(w)$ donne alors $$\int_{\partial\bD}|u(z)|^2\,|dz|=\int_{\partial\Omega}|u\circ R(w)|^2\,|R'(w)|\,|dw|$$ pour toute fonction $u\in L^2({\partial\Omega})$. On voit donc qu'on a une isométrie $$\eqalign{ L^2(\partial\bD)&\lra L^2({\partial\Omega})\cr \hfill u&\longmapsto u\circ R\,(R')^{1/2}\cr}$$ où $(R')^{1/2}$ est la détermination de la racine carrée complexe telle que $R'(a)^{1/2}>0$\break (on notera que $R'$ ne s'annule pas sur $\Omega$). L'isométrie envoie $H(\bD)\cap C^0(\overline\bD)$ sur $\cO(\Omega)\cap C^0(\overline\Omega)$ et, par densité (théorème 2.5), elle envoit donc $\cH^2(\partial\bD)$ sur $\cH^2({\partial\Omega})$. Si $(\psi_j)$ est une base orthonormée de $\cH^2(\partial\bD)$, on en déduit que $\big(\psi_j\circ R\,(R')^{1/2}\big)$ est une base orthonormée de $\cH^2({\partial\Omega})$. Par conséquent $$\eqalign{ S(w,z)&=S^\bD\big(R(w),R(z)\big)\,R'(w)^{1/2}\,\overline{R'(z)}{}^{1/2},\cr S(w,z)&={1\over 2\pi}\,{R'(w)^{1/2}\,\overline{R'(z)}{}^{1/2}\over 1-R(w)\overline{R(z)}}.\cr}$$ En substituant $z=a$, $R(a)=0$, on obtient en particulier $$S(w,a)={1\over 2\pi}R'(w)^{1/2}R'(a)^{1/2},~~~~ S(a,a)={1\over 2\pi}R'(a),$$ d'où on déduit aussitôt les \claim Formules 7.2|L'application conforme $R$ et sa dérivée sont données par \noindent{\rm(a)}~~~$\displaystyle R'(w)=2\pi\,{S(w,a)^2\over S(a,a)},~~~~\forall w\in\overline\Omega$, \noindent{\rm(b)}~~~$\displaystyle R(w)=-i\tau(w){S(w,a)^2\over|S(w,a)|^2},~~~~\forall w\in{\partial\Omega}$. \endclaim \dem. La relation (a) est immédiate à partir de ce qui précède. On a par ailleurs $|R(w)|^2=1$ sur ${\partial\Omega}$. En prenant la dérivée $d/ds$ le long de ${\partial\Omega}$, on voit que $dR(w)/ds=R'(w)dw/ds=R'(w)\tau(w)$ doit être orthogonal à $R(w)$. Quand $w$ tourne dans le sens positif sur ${\partial\Omega}$, il en est de même pour $R(w)$ sur $\partial\bD$ (une application holomorphe préserve l'orientation), donc l'argument de $R'(w)\tau(w)$ est égal à celui de $iR(w)$. Ceci donne $iR(w)=R'(w)\tau(w)/|R'(w)|$ et (b) se déduit alors de~(a).\hfill \qed\medskip Il nous reste à démontrer la régularité jusqu'au bord de l'application conforme de Riemann. Pour cela, on va montrer d'abord la régularité analytique lorsque $\partial\Omega$ est réelle analytique, puis on passera au cas général par un argument d'approximation en norme $C^k$ de $\partial\Omega$. \claim Lemme 7.3|Soient $\Omega_1$, $\Omega_2$ des ouverts simplement connexes bornés de $\bC$ ayant des frontières $\bR$-analytiques et $F:\Omega_1\to\Omega_2$ une application biholomorphe. Alors $F$ s'étend en une application biholomorphe d'un voisinage de $\overline\Omega_1$ sur un voisinage de $\overline\Omega_2$. \endclaim \dem. Quitte à remplacer $F$ par $F^{-1}:\Omega_2\to\Omega_1$, il suffit de voir que $F$ s'étend holomorphiquement à un voisinage de $\overline\Omega_1$. D'après Rudin (théorème 14.19), $F$ se prolonge en un homéomorphisme de $\overline\Omega_1$ sur $\overline\Omega_2$. Soit $x_1\in{\partial\Omega}_1$ un point quelconque et $x_2=F(x_1)\in{\partial\Omega}_2$. Au voisinage de $x_j$, ${\partial\Omega}_j$ est donné par une courbe $\bR$-analytique $s\mapsto\gamma_j(s)$ définie pour $s\in\bR$ voisin de $0$.\break Celle-ci se prolonge en une application holomorphe $\wt\gamma_j$ de la variable $z=s+it$ au voisinage de $0$ dans $\bC$. Soit $\Pi^+=\{z=s+it\,;\,t>0\}$ le demi-plan supérieur. Il existe un disque $U_j\subset\bC$ de centre $0$ et un voisinage $V_j\subset\bC$ de $x_j$ tels que $\wt\gamma_j$ définit un biholomorphisme de $\Pi^+\cap U_j$ sur $\Omega_j\cap V_j$. Si on choisit en outre $V_1$ assez petit pour que $F(\Omega_1\cap V_1)\subset V_2$, on en déduit une application holomorphe $G=\wt\gamma_2^{-1}\circ F\circ\wt\gamma_1:\Pi^+\cap U_1 \to\Pi^+\cap U_2$ qui se prolonge continument en une application de $\overline\Pi^+\cap U_1$ dans $\overline\Pi^+\cap U_2$ telle que $G(\bR\cap U_1)\subset\bR\cap U_2$. Le principe de réflexion de Schwarz (W. Rudin, théorème 11.17) montre que $G$ se prolonge en une application holomorphe $\wt G$ de $U_1$ dans $U_2$, d'où un prolongement local $\wt F=\wt\gamma_2\circ\wt G\circ\wt\gamma_1^{-1}$ de $V_1$ dans~$V_2$.\qed\medskip \noindent {\em Démonstration du théorème 7.1}. Si $\Omega$ est à frontière $\bR$-analytique, le lemme 7.3 montre que $R$ est en particulier un $C^\infty$-difféomorphisme de $\overline\Omega$ sur $\overline\bD$, donc les formules 7.2 sont bien vraies. Si ${\partial\Omega}$ est seulement de classe $C^k$, on peut approximer la courbe frontière $\gamma$ par une courbe $\bR$-analytique obtenue par convolution: $$\gamma_\delta(s)=\int_\bR\gamma(t)\exp\Big({-(s-t)^2\over\delta^2}\Big)\, {dt\over\delta\sqrt{2\pi}}.$$ On notera que $\gamma_\delta$ est une fonction ayant la même périodicité que $\gamma$ et que $\Vert \gamma_\delta-\gamma\Vert_{C^k}$ converge vers $0$ avec $\delta$. Pour $\delta$ assez petit, cette courbe est la frontière d'un ouvert $\Omega_\delta$ pour lequel on a un noyau de Szegö $S_\delta$ et une application de Riemann $R_\delta:\Omega_\delta\to\bD$. D'après ce qui précède, $R'_\delta$ est lié à $S_\delta$ par la formule 7.2 (a). La~démonstration que nous avons donnée de la régularité de $S$ fournit en outre la continuité de l'application $\gamma\mapsto S$, lorsqu'on prend la norme $C^k$ sur l'espace des courbes $\gamma$ et la norme $C^{k-2}$ pour $S$ (sur un compact de $\overline\Omega\times\overline\Omega$ ne rencontrant pas $\Delta_{\partial\Omega}$). Il en résulte que $R_\delta$ converge uniformément vers une application holomorphe $R_0$ qui vérifie encore 7.2 (a). En particulier $R_0'\in C^{k-2}(\overline\Omega)$, donc $R_0\in C^{k-1}(\overline\Omega)$. De~plus $R_0$ envoie ${\partial\Omega}$ sur $\partial\bD$. Comme une limite d'applications holomorphes injectives est ou bien injective ou bien constante (conséquence du théorème de Rouché), et comme $R_0(a)=0$, $R_0'(a)=2\pi S(a,a)>0$, on en déduit que $R_0$ co\"\i ncide avec l'application conforme $R:\Omega\to\bD$ cherchée. Il reste à démontrer que la dérivée $R'$ ne peut s'annuler en aucun point $z_0\in{\partial\Omega}$. Un calcul facile montre que pour $\varepsilon>0$ assez petit l'image conforme de $\Omega$ par l'application $z\mapsto 1/\big(z-z_0+ \varepsilon i\tau(z_0)\big)$ est strictement convexe au voisinage du point image de $z_0$. On peut donc supposer que $\Omega$ est convexe au voisinage de $z_0$. Dans ce cas, on peut modifier la courbe $\partial\Omega$ en dehors d'un petit voisinage de $z_0$ de sorte qu'elle soit la frontière $\partial\wt\Omega$ d'un ouvert arbitrairement proche d'un disque en norme $C^2$. Alors l'application conforme $\wt R:\wt\Omega\to\bD$ est voisine de l'application identique en norme $C^1$, donc $\wt R$ est un $C^1$-difféomorphisme jusqu'au bord. Comme $R\circ \wt R^{-1}$ envoie $\partial\bD$ sur $\partial\bD$ au voisinage de $\wt R(z_0)$, la démonstration du lemme 7.3 montre que $R\circ \wt R^{-1}$ s'étend en une application biholomorphe au voisinage de $\wt R(z_0)$, par suite $R'(z_0)\ne 0$.\qed\medskip \claim Remarque 7.4|Lorsque $\partial\Omega$ est de classe $C^1$, il n'est pas vrai en général que $R$ s'étend en une application de classe $C^1$ sur $\overline\Omega$, et même si c'est le cas, il se peut que la dérivée $R'$ s'annule au bord. Un exemple de cette situation est donné par l'ouvert $\Omega$ obtenu en prenant l'image conforme d'un petit disque $\Delta=\{|z-\varepsilon|<\varepsilon\}$ par l'application $Q(z)=z/\log(1/z)$ (resp. $Q(z)=z\log(1/z)$). La frontiére de $\partial\Omega$ est de classe $C^1$ au voisinage de $0$ parce que $\log(1/z)$ a un argument qui tend vers $0$ quand $z$ tend vers $0$ le long de $\partial\Delta$. L'application conforme est donnée par $R=Q^{-1} /\varepsilon-1$ et on a donc $R'(0)=1/\big(\varepsilon Q'(0)\big)=\infty$ (resp $R'(0)=0$). De même, pour $k\ge 2$, on peut vérifier que l'image de $\Delta$ par $Q(z)=z+z^k\log\log(1/z)$ a une frontière de classe $C^k$, mais $Q$ et $R$ ne sont pas de classe $C^k$ au voisinage de $0$. \endclaim \supersection{8. Calcul numérique de l'application conforme} La formule intégrale 5.2 donne $$S(a,w)=H(a,w)+\int_{\partial\Omega} S(a,z)\,A(z,w)\,ds,~~~~w\in{\partial\Omega}.$$ Comme $\overline{A(z,w)}=-A(w,z)$, on trouve après conjugaison: $$S(w,a)+\int_{\partial\Omega} A(w,z)\,S(z,a)\,ds=\overline{H(a,w)},~~~~w\in{\partial\Omega},\leqno(8.1)$$ ce qui permet d'obtenir $S(w,a)$ en fonction des noyaux $H$ et $A$ explicitement connus. Les formules 7.2~(a), (b) peuvent alors être utilisées pour calculer l'application de Riemann $R$ à partir de $S$. Les intégrales $\int_\alpha^\beta f(t)\,dt$ mises en jeu seront évaluées par la méthode des trapèzes relative à une subdivision $t_i=\alpha+ih$, $0\le i\le n$, de pas constant $h=(\beta-\alpha)/n\,$: $$\int_\alpha^\beta f(t)\,dt\simeq h\Big(f(t_0)+f(t_1)+\ldots+f(t_{n-1}) +{f(\beta)-f(\alpha)\over 2}\Big).$$ Si $f$ est de classe $C^{2l}$, l'erreur d'approximation $\varepsilon$ est donnée par la formule d'Euler-Mac Laurin $$\varepsilon=\sum_{m=1}^l{b_{2m}h^{2m}\over(2m)!}\,\big(f^{(2m-1)}(\beta)- f^{(2m-1)}(\alpha)\big)-h^{2l}\,\int_\alpha^\beta {B_{2l}\big((t-\alpha)/h\big)\over(2l)!}\,f^{(2l)}(t)\,dt,$$ où $b_{2m}$ et $B_{2m}$ sont respectivement les nombres et les polynômes de Bernoulli. Ceci montre que l'erreur est en général de l'ordre de ${\rm O}(h^2)={\rm O}(n^{-2})$. Néanmoins, pour une fonction $f$ périodique de période $\beta-\alpha$ et de classe $C^{2l}$, l'erreur est majorée par ${\rm O}(h^{2l})\,$; dans ce cas, on a en effet $f^{(m)}(\beta)=f^{(m)}(\alpha)$ pour tout $m$. Comme les intégrales à évaluer sont des intégrales de fonctions périodiques, la convergence de la méthode des trapèzes est donc extrêment rapide, tout au moins dans le cas de fonctions $C^\infty$. Cette remarque montre que l'on n'a pas intérêt à calculer $R$ par intégration à partir de 7.2~(a), mais plutôt à partir de 7.2~(b) et de la formule de Cauchy $$R(w)={1\over 2i\pi}\int_{\partial\Omega}{R(z)\,dz\over z-w}.$$ Supposons donnée une paramétrisation quelconque $[\alpha,\beta]\ni t\mapsto z(t)$ de la courbe ${\partial\Omega}$. En multipliant (8.1) par $|z'(t)|^{1/2}$ après avoir substitué $w=z(t)$, $z=z(u)$, on obtient la relation équivalente $$\sigma(t)+\int_\alpha^\beta a(t,u)\,\sigma(u)\,du=g(t),\leqno(8.2)$$ avec les notations $$\eqalign{ \sigma(t)&=|z'(t)|^{1/2}\,S\big(z(t),a\big),\cr g(t)&=|z'(t)|^{1/2}\,\overline{H\big(a,z(t)\big)},\cr a(t,u)&=|z'(t)|^{1/2}\,|z'(u)|^{1/2}\,A\big(z(t),z(u)\big).\cr}$$ Cette écriture a l'avantage de préserver le caractère hermitien antisymétrique du noyau $a(t,u)$. Les fonctions $g(t)$ et $a(t,u)$ sont données par les formules explicites $$\eqalign{ g(t)&={1\over 2i\pi}\,\overline{z'(t)\over a-z(t)}\,|z'(t)|^{-1/2},\cr h(t,u)&={1\over 2i\pi}\,{z'(u)\over z(u)-z(t)}\,|z'(t)|^{1/2}\,|z'(u)|^{-1/2},\cr a(t,u)&=\cases{\overline{h(u,t)}-h(t,u)&si~~$t\ne u$\cr 0&si~~$t=u$.\cr}\cr}$$ L'utilisation de la méthode des trapèzes conduit à résoudre le système linéaire $$\sigma(t_i)+h\sum_{0\le j