% Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann, chapitre VI % % Laurent Bonavero % Jean-Pierre Demailly % Université de Grenoble I, Institut Fourier % 38402 Saint-Martin d'Hères, France % \input vcmac \openauxfile \blankline \chaptitle{Chapitre VI} \chaptitle{Représentation Conforme} \chaptitlerunning{Chap.\ VI: Représentation Conforme} \vskip50pt L'objet de ce chapitre est d'étudier les transformations conformes et de décrire un certain nombre d'exemples classiques~: homographies, automorphismes du plan, du disque, du demi-plan, d'une couronne. Dans le cas du disque unité ou du demi-plan, qui sont en fait isomorphes, on obtient ce qu'on appelle des modèles de la géométrie hyperbolique. Ces domaines possèdent en effet une métrique hermitienne naturelle invariante par le groupe des automorphisme holomorphes$\;$; on lui donne le nom de métrique de Poincaré. Nous démontrons ensuite le théorème de Riemann, connu aussi sous le nom de théorème fondamental de la représentation conforme~: tout ouvert simplement connexe du plan autre que le plan lui même est conformément équivalent au disque unité. Comme application de ce théorème fondamental, nous montrons ensuite que le revêtement universel de $\bC\ssm\{0,1\}$ s'identifie au demi-plan de Poincaré, et en déduisons le grand théorème de Picard sur les valeurs des fonctions holomorphes au voisinage d'un point singulier essentiel. Le chapitre se termine par l'étude des fonctions univalentes de la classe~$\cS$. \medskip \supersection{1. Définition et exemples} \section{1.1. Équivalence conforme} Nous rappelons d'abord les notions importantes de biholomorphisme et d'équi\-va\-lence conforme. \claim Définition|Si $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont deux ouverts du plan complexe $\bC$, alors une application $f:\Omega_1\to\Omega_2$ est appelée biholomorphisme si $f$ est bijective et si $f$ et $f^{-1}$ sont holomorphes. S'il existe un biholomorphisme entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$, alors ces ouverts sont dits conformément équivalents. \endclaim Un biholomorphisme est encore appelé {\em transformation conforme} de $\Omega_1$ sur $\Omega_2$. Il est facile de voir que la relation d'équivalence conforme $\sim_\conf$, comme son nom l'indique, est bien une relation d'équivalence. Pour que $f$ soit un biholomorphisme, il suffit, par le théorème d'inversion globale, que $f$ soit holomorphe bijective. De plus, si des ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ du plan sont conformément équivalents, alors ils sont homéomorphes, c'est-à-dire qu'on a l'implication triviale $$ \Omega_1\sim_\conf\Omega_2\Rightarrow \Omega_1\sim_\homeo\Omega_2. $$ L'implication réciproque est fausse~: ainsi $\bC$ et le disque unité $\bD=\{|z|<1\}$ sont homéomorphes via l'application $\cC^\infty$ $\varphi:\bC\to\bD$, $z\mapsto\varphi(z)=z/\sqrt{1+|z|^2}$, mais il n'existe pas d'application holomorphe $f:\bC\to\bD$ puisque toute application holomorphe bornée sur $\bC$ est constante d'après le théorème de Liouville. \claim Notation|On notera $\Aut(\Omega)$ l'ensemble des biholomorphismes d'un ouvert $\Omega$ dans lui-même, et on appellera ceux-ci les automorphismes $($analytiques ou holomorphes$\,)$ du domaine~$\Omega$. \endclaim L'ensemble $(\Aut(\Omega),\circ)$ des automorphismes muni de la composition des applications est évidemment un groupe. L'objet de cette section est d'étudier le groupe des automorphismes d'un certain nombre de domaines classiques. L'un des examples les plus simples est celui du plan complexe lui-même. \claim Proposition|Les automorphismes de $\bC$ sont exactement les applications affines $z\mapsto az + b$, avec $a\in\bC^*$ et $b\in\bC$. \endclaim \dem. Soit $f:\bC\to\bC$ un biholomorphisme. Alors l'application $z\mapsto g(z)=f(1/z)$ est holomorphe injective sur $\bC^*$. En particulier l'image $g(D(0,r)\ssm\{0\})$ d'un disque pointé n'est pas dense dans $\bC$ puisque cet ensemble est disjoint de l'ouvert $g(\bC\ssm\ol D(0,r))=f(D(0,1/r)\ssm\{0\})$. D'après le théorème de Weierstrass du III$\,$1.3, ceci entraîne que $g$ ne peut avoir une singularité essentielle en $0$, donc il s'agit d'un pôle d'ordre $m$, $g(z)\sim a_m z^{-m}$. On a par conséquent $f(z)\sim a_mz^m$ quand $z\to\infty$, de sorte que $f$ est un polynôme d'ordre $m$. Un polynôme ne peut être injectif sur $\bC$ que s'il est de degré $1$, par conséquent nous avons $f(z)=az+b$ avec $a\in\bC^*$.\qed \section{1.2. Compactification d'un espace localement compact et notion de bouts} L'objet de cette section, qui ne comprend que des notions de topologie générale, est d'approfondir un peu la notion de «\?voisinage de l'infini\?» dans un espace topologique $X$, supposé localement compact et non compact. On introduit pour cela l'ensemble $\wh X=X\cup\{\infty\}$ obtenu en adjoignant un «\?point à l'infini\rguil. On définit une topologie sur $\smash{\wh X}$ en prenant comme ouverts de $\wh X$ les parties de l'un ou l'autre des deux types suivants~: \smallskip \item{$\bu$} les ouverts de $X\,$; \smallskip \item{$\bu$} les parties de $\wh X$ de la forme $V=\wh X\ssm K=\{\infty\}\cup (X\ssm K)$, lorsque $K$ décrit l'ensemble des parties compactes de $X$. Les parties $\smash{\wh X}\ssm K$ sont donc par définition les voisinages ouverts de l'infini. \smallskip \noindent Il est facile de voir que ceci définit bien une topologie sur $\wh X$, et que $\wh X$ est compact~: en effet tout recouvrement ouvert $(U_i)_{i\in I}$ contient au moins un membre $U_{i_0}$ qui contient un voisinage $\wh X\ssm K$ de l'infini, et par ailleurs $(X\cap U_i)_{i\in I}$ recouvre~$K$, par suite on peut en extraire un sous-recouvrement fini $\{X\cap U_{i_1},\ldots,X\cap U_{i_N}\}$. Alors $\{U_{i_0},U_{i_1},\ldots,U_{i_N}\}$ est un recouvrement fini de~$X$. \claim Définition|L'espace $\wh X=X\cup\{\infty\}$ munie de la topologie définie ci-dessus s'appelle le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact~$X$. \endclaim Le compactifié d'Alexandroff $\wh\bR$ de $\bR$ s'identifie par exemple au cercle unité au moyen de l'application $x\mapsto \exp(2\ii \arctan x)$ si $x\in\bR$, et $\infty\mapsto -1$. Le compactifié d'Alexandroff ne distingue pas les «\?différentes façons\?» par lesquelles un point peut s'éloigner à l'infini, ainsi dans $\bR$ on peut s'éloigner vers l'infini en tendant vers $-\infty$ ou vers $+\infty$, et il peut donc être plus judicieux de compactifier $\bR$ en introduisant plutôt deux points à l'infini$\,$; c'est ainsi que l'on considère classiquement le compactifié $\ol\bR=[-\infty,+\infty]$. De façon générale, on appelle compactifié d'un espace localement compact $X$ tout espace compact $X'$ contenant $X$ comme sous-espace ouvert, et tel que $X$ soit dense dans $X'$. Nous allons maintenant introduire la notion générale de \lguil bouts\?» d'un espace topologique $X$. Pour cela, on suppose $X$ {\em séparé, localement compact et localement connexe}. On va voir que ceci permet de définir un compactifié $\ol X_B$ possédant autant de points à l'infini que de bouts de~$X$. Soit $K$ un compact non vide de $X$ et $(C_i)_{i\in I}$ la famille des composantes connexes de l'ouvert $X\ssm K$. Comme $X$ est localement connexe, les $C_i$ sont des ouverts. On partage $I$ en $I=T\cup(I\ssm T)$ où les composantes $\{C_i\}_{i\in T}$ sont relativement compactes dans $X$ (les «\?trous\?» de $K$), et où les $\{C_i\}_{i\in I\ssm T}$ sont les composantes «\?infinies\?» (non relativement compactes). Comme $X$ est localement compact, $K$ possède un voisinage compact~$L$, c'est-à-dire que $K\subset L^\circ$. L'ensemble de parties $\{C_i\}_{i\in I}$ forme un recouvrement ouvert de $X\ssm K$ qui contient le compact $\partial L=L\ssm L^\circ$. On peut donc en extraire un recouvrement fini $$ \big\{C_{i_1},\ldots,C_{i_k}\big\}_{i_j\in T}\cup \big\{C_{i_{k+1}},\ldots, C_{i_N}\big\}_{i_j\in I\ssm T} $$ de $\partial L$ (où on fait la distinction entre les trous et les composantes infinies). Les autres composantes $C_i$ sont disjointes de $\partial L$, donc par connexité, elles sont contenues dans $L^\circ$ ou dans $X\ssm L$. Mais dans ce dernier cas on aurait $$ \partial C_i\subset X\ssm L^\circ \Rightarrow \partial C_i\cap\partial K=\emptyset $$ ce qui est absurde puisque $\emptyset\ne\partial C_i\subset \partial K$. Par conséquent toutes les autres composantes sont contenues dans $L^\circ$ et sont relativement compactes, ce sont des trous. On en déduit que $I\ssm T=\{i_{k+1},\ldots,i_N\}$, et par suite le complémentaire $X\ssm K$ ne peut avoir qu'un nombre fini de composantes connexes non relativement compactes. L'ensemble $$ \wt K=K\cup\bigcup_{i\in T} C_i=X\ssm\bigcup_{i\in I\ssm T}C_i $$ obtenu en «\?bouchant les trous de $K$\?» est compact, puisque cet ensemble est un fermé contenu dans le compact $L\cup\ol C_{i_1}\cup\ldots\cup\ol C_{i_k}$ (on a déjà vu que les composantes $C_i$, $i\in T$, autres que $i_1,\ldots,i_k$ étaient contenues dans~$L^\circ$). Par construction le compact $\wt K$ n'a plus de trous, les composantes connexes de $X\ssm\smash{\wt K}$ sont les composantes non relativement compactes $\{C_i\}_{i\in I\ssm T}$ de $X\ssm K$. \claim Notion de bouts d'un espace|Soit $X$ un espace topologique séparé localement compact et localement connexe. On définit un bout de $X$ comme étant une application $b:K\mapsto b(K)$ qui à chaque compact $K$ de $X$ associe une composante connexe $b(K)$ de $X\ssm K$, avec la propriété suivante~: si $K\subset L$, alors $b(L)\subset b(K)$. L'ensemble des bouts de $X$ sera noté $\Bouts(X)$. \endclaim On observera que $b(K)$ ne peut jamais être un trou de $K$, car la condition $b(L)\subset b(K)$ ne pourrait pas être vérifiée en prenant $L=\smash{\wt K}$. On a donc en fait $b(\smash{\wt K})=b(K)$, de sorte que le bout $b$ est entièrement déterminé par les composantes $b(K)$ associées aux compacts sans trous. De plus, si $X$ admet une suite exhaustive $K_n$ de compacts sans trous, ce qui sera toujours le cas considéré ici, un bout $b$ est déterminé de manière unique par la donnée de la suite $b_n=b(K_n)$, qui doit évidemment vérifier $b_{n+1}\subset b_n$ pour tout~$n$. En effet, si $K$ est un compact quelconque, il existe un $n$ tel que $K\subset K_n$, et $b(K)$ doit être alors l'unique composante connexe de $X\ssm K$ qui contient $b_n=b(K_n)$. L'ensemble des bouts peut-être très grand, comme c'est le cas pour un arbre~: \InsertFig 20.000 43.000 { 1 mm unit initcoordinates 1 0.6 scale gsave 0.500 setlinewidth 4.000 30.000 moveto 20.000 46.000 segment 4.000 30.000 moveto 20.000 14.000 segment 20.000 14.000 moveto 36.000 22.000 segment 20.000 46.000 moveto 36.000 54.000 segment 20.000 46.000 moveto 36.000 38.000 segment 20.000 14.000 moveto 36.000 6.000 segment 36.000 54.000 moveto 44.000 56.000 segment 36.000 54.000 moveto 44.000 52.000 segment 36.000 38.000 moveto 44.000 40.000 segment 36.000 38.000 moveto 44.000 36.000 segment 36.000 22.000 moveto 44.000 24.000 segment 36.000 22.000 moveto 44.000 20.000 segment 36.000 6.000 moveto 44.000 8.000 segment 36.000 6.000 moveto 44.000 4.000 segment 0.085 setlinewidth 36.000 54.000 moveto 52.000 58.000 segment 36.000 54.000 moveto 52.000 50.000 segment 36.000 38.000 moveto 52.000 42.000 segment 36.000 38.000 moveto 52.000 34.000 segment 36.000 22.000 moveto 52.000 26.000 segment 36.000 22.000 moveto 52.000 18.000 segment 36.000 6.000 moveto 52.000 10.000 segment 36.000 6.000 moveto 52.000 2.000 segment 52.000 58.000 moveto 70.000 60.000 segment 52.000 58.000 moveto 70.000 56.000 segment 52.000 50.000 moveto 70.000 52.000 segment 52.000 50.000 moveto 70.000 48.000 segment 52.000 42.000 moveto 70.000 44.000 segment 52.000 42.000 moveto 70.000 40.000 segment 52.000 34.000 moveto 70.000 36.000 segment 52.000 34.000 moveto 70.000 32.000 segment 52.000 26.000 moveto 70.000 28.000 segment 52.000 26.000 moveto 70.000 24.000 segment 52.000 18.000 moveto 70.000 20.000 segment 52.000 18.000 moveto 70.000 16.000 segment 52.000 10.000 moveto 70.000 12.000 segment 52.000 10.000 moveto 70.000 8.000 segment 52.000 2.000 moveto 70.000 4.000 segment 52.000 2.000 moveto 70.000 0.000 segment 4 setdashtype 44.000 0.000 moveto 44.000 60.000 segment grestore } \LabelTeX 12.000 17.000 $K_n$ \ELTX \LabelTeX 82.000 17.000 $\Bigg\}~~X$ \ELTX \EndFig \bigskip \noindent A l'opposé, on a une situation assez simple dans le cas où il existe un entier $n_0$ tel que les composantes connexes des complémentaires $X\ssm K_m$ et $X\ssm K_n$ sont en bijection et en nombre fini pour tous $m,n\ge n_0$. L'ensemble $\Bouts(X)$ est alors l'ensemble fini en bijection avec l'ensemble des composantes connexes de $X\ssm K_n$ pour $n\ge n_0$. Ainsi un ouvert borné $\Omega$ à bord de classe $\cC^1$ par morceaux et possédant $p$ trous admet $p+1$ bouts, en bijection avec chacune des composantes du bord $\partial\Omega$~: les bords des $p$ trous, et le bord de la composante connexe non bornée de $\bC\ssm\Omega$. \InsertFig 5.000 52.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 10.000 40.000 moveto [ 10.000 40.000 25.000 45.000 40.000 42.000 54.000 44.000 70.000 38.000 76.000 19.000 56.000 1.000 34.000 1.000 14.000 11.000 ] closedcurve gsave closepath 0.820 setgray fill grestore stroke 11.300 39.700 moveto [ 11.300 39.700 26.300 43.800 40.000 40.800 53.000 42.800 69.000 37.000 74.600 19.000 56.000 2.300 34.000 2.200 15.000 12.000 ] closedcurve gsave closepath 1.000 setgray fill grestore newpath %gsave closepath 0.085 1.000 60.000 0.000 hatch grestore newpath 36.600 23.000 moveto 28.000 23.000 8.600 8.600 0.000 360.000 0.000 ellipsearc gsave closepath 0.820 setgray fill grestore newpath 35.200 23.000 moveto 28.000 23.000 7.200 7.200 0.000 360.000 0.000 ellipsearc gsave closepath 1.000 setgray fill grestore stroke 48.000 16.000 moveto 62.000 32.000 rectangle gsave closepath 0.820 setgray fill grestore newpath 49.400 17.400 moveto 60.600 30.600 rectangle gsave closepath 1.000 setgray fill grestore stroke grestore } \LabelTeX 9.000 10.000 $\Omega$ \ELTX \LabelTeX 13.000 30.000 $K_n$ \ELTX \LabelTeX 82.000 30.000 $\hbox{L'ouvert $\Omega$}$ \ELTX \LabelTeX 82.000 25.400 $\hbox{a trois bouts}$ \ELTX \EndFig \medskip \noindent Une application continue $f:X\to Y$ entre espaces localement compacts est dite {\em propre} si, pour tout compact $K$ de $Y$ l'image réciproque $f^{-1}(K)$ est un compact de $X$. Il est plus intuitif de voir cette condition en pensant en termes de voisinages de l'infini. En effet, $f$ est propre si et seulement si le prolongement $\wh f:\wh X\to\wh Y$ tel que $\wh f(\infty)=\infty$ est continu au point~$\infty$, autrement dit si $\lim_{X\ni x\to\infty}f(x)=\infty$~: si cette condition est vraie, pour tout compact $K$ de $Y$, $\wh Y\ssm K$ est un voisinage de l'infini et il doit exister un compact $L$ de $X$ tel que $\wh f(\wh X\ssm L)\subset \wh Y\ssm K$, c'est-à-dire encore $f(X\ssm L)\subset Y\ssm K$, ce qui implique que $f^{-1}(K)\subset L$ est compact. Inversement, si $f$ est propre, il suffit de prendre $L=f^{-1}(K)$. Si $f$ est propre, on a une application naturelle $f_*:\Bouts(X)\to\Bouts(Y)$ induite au niveau des bouts. Si $b$ est un bout de $X$, on définit un bout $b'=f_*(b)$ de $Y$ comme suit. Pour tout compact $K$ de $Y$, $f^{-1}(K)$ est une partie compacte de $X$, et $b(f^{-1}(K))$ est une des composantes connexes de $X\ssm f^{-1}(K)$. Par conséquent $f(b(f^{-1}(K)))$ est un connexe contenu dans $Y\ssm K$. On définit alors $b'=f_*(b)$ comme le bout tel que $b'(K)$ soit, pour chaque $K$, l'unique composante connexe de $Y\ssm K$ qui contient $f(b(f^{-1}(K)))$. On définit le «\?compactifié par les bouts\?» $\ol X_B$ de la manière suivante~: $\ol X_B=X\cup B$ est la réunion disjointe de $X$ et de $B=\Bouts(X)\;$; les ouverts de $\ol X_B$ sont les réunions de parties d'un des deux types suivants~: \smallskip \item{$\bu$} les ouverts de $X\,$; \smallskip \item{$\bu$} pour chaque compact $K$ de $X$ et chaque composante connexe $C$ de $X\ssm K$, l'ensemble $C\cup\big\{b\in B\,;\;b(K)=C\big\}$. \smallskip \noindent Il résulte de cette construction qu'un système de voisinages fondamentaux d'un bout $b_0$ est constitué de la famille de voisinages ouverts $$ V_{b_0,K}=b_0(K)\cup\big\{b\in B\,;\;b(K)=b_0(K)\big\}. $$ \claim Théorème|Soit $X$ un espace séparé localement compact et localement connexe. \smallskip \item{\rm(i)} Pour la topologie définie ci-dessus, $\ol X_B$ est compact avec $X$ comme ouvert dense $($en d'autre termes, $\ol X_B$ est bien un compactifié de $X\,)$. De plus, $B=\Bouts(X)$ est compact et totalement discontinu. \smallskip \item{\rm(ii)} Pour toute application propre $f:X\to Y$ entre espaces séparés localement compacts et localement connexes, l'application induite \hbox{$\ol f_B:\ol X_B\to\ol Y_B$} telle que $\ol f_B(b)=f_*(b)$ pour chaque bout $b$ de $X$ est une application continue de $\ol X_B$ dans $\ol Y_B$. \vskip0pt \endclaim \dem. (i) Désignons par $\cC_K$ l'ensemble (fini) des composantes connexes de $X\ssm K$. Puisque $B$ consiste en des applications $K\mapsto b(K) \in\cC_K$, l'ensemble $B$ des bouts peut être vu comme un sous-ensemble $B\subset\prod_K\cC_K$. La topologie induite par $\ol X_B$ sur $B$ est la même que celle induite par la topologie produit sur $\prod_K\cC_K$ (avec la topologie discrète sur chaque facteur fini $\cC_K$), comme il résulte du fait que $$ B\cap V_{b_0,K}=\big\{b\in B\,;\;b(K)=b_0(K)\big\}. $$ Les conditions $b(L)\subset b(K)$ pour $L\supset K$ équivalent à choisir $b(L)$ parmi un nombre fini de composantes qui sont celles de $(X\ssm L)\cap b(K)\,$; c'est donc une condition fermée vis-à-vis de la topologie produit. Par conséquent $B$ s'identifie à un sous-espace fermé du produit $\prod_K\cC_K$, qui est compact (d'après le théorème de Tychonov) et totalement discontinu. On en déduit que $B$ est lui-même compact et totalement discontinu. Si on a un recouvrement ouvert $\cU=(U_i)_{i\in I}$ de $\ol X_B$, sa partie compacte $B$ va être recouverte par un nombre fini de voisinages $V_{b_j,K_j}$ eux-mêmes contenus dans certains des $U_i$. On a alors $\ol X_B=\bigcup V_{b_j,K_j} \cup \bigcup K_j$, et comme chaque $K_j$ est recouvert par un nombre fini d'ouverts $U_i$, on en conclut l'existence d'un sous-recouvrement fini de $\cU$. Par conséquent $\ol X_B$ est bien compact. Par définition $X$ est ouvert, et cet ouvert est dense puisque $V_{b_0,K}\cap X=b_0(K)\ne\emptyset$ pour tout voisinage $V_{b_0,K}$. \medskip \noindent (ii) Soit $V_{b'_0,K'}$ un voisinage arbitraire de $b'_0=f_*(b_0)$ et $K=f^{-1}(K')$. Alors on a $$ \ol f_B(V_{b_0,K})\subset V_{b'_0,K'} $$ car $f(b_0(K))\subset b'_0(K')$ par définition de $f_*$, tandis que l'image $b'=f_*(b)$ de chaque bout $b$ tel que $b(K)=b_0(K)$ vérifie $b'(K')\supset f(b(K))=f(b_0(K))$, donc $b'(K')=b'_0(K')$.\qed Il est clair que si $f:X\to Y$ est un homéomorphisme, alors $\ol f_B:\ol X_B\to\ol Y_B$ est aussi un homéomorphisme. Par conséquent, pour que $X$ et $Y$ puissent être homéomorphes, il faut que $X$ et $Y$ aient le même nombre de bouts. Cette condition nécessaire vaut en particulier pour des ouverts du plan conformément équivalents. \section{1.3. Cas des couronnes} Rappelons la notation déjà utilisée au chapitre III~: pour des rayons quelconques $0\le R_10. $$ Dans le cas $(*)$ on introduit la fonction $$ h(z)=\ln(|f(z)|/R'_1) - \alpha \ln(|z|/R_1) $$ et dans le cas $(**)$ la fonction $$ h(z)=\ln(|f(z)|/R'_2) + \alpha \ln(|z|/R_1). $$ Il est facile de voir que $h$ est une fonction harmonique sur $C(0,R_1,R_2)$, et de plus $h(z)\to 0$ quand $|z|\to R_1$ ou quand $|z|\to R_2$. D'après le principe du maximum, $h$ est identiquement nulle. Or, si $z^\alpha$ est une détermination holomorphe sur $C(0,R_1,R_2)\ssm\bR_-$, nous avons $h(z)=\ln|f(z)/z^{\varepsilon\alpha}|+\hbox{Cte}$ avec $\varepsilon=1$ dans le cas $(*)$, $\varepsilon=-1$ dans le cas $(**)$. Ceci implique que $f(z)/z^{\varepsilon\alpha}=A$ constante, d'où $f(z)=A z^{\varepsilon\alpha}$. Comme $f$ doit se prolonger continûment à $C(0,R_1,R_2)$, on a nécessairement $\varepsilon\alpha\in\bZ$. Mais comme de plus $f$ est injective, la seule possibilité est $\varepsilon\alpha=\pm 1$, donc $\alpha=1$, $f(z)=Az$ ou $f(z)=A/z$. Dans le premier cas, on doit avoir $|A|=R_1'/R_1$, et dans le deuxième $|A|=R_1R'_2$. De plus, les couronnes doivent êtres homothétiques, c'est-à-dire que $R'_2/R_2=R'_1/R_1$.\qed \claim Corollaire|Les automorphismes de $C(0,R_1,R_2)$ sont exactement les applications $f:z\mapsto \lambda z$ et $g:z\mapsto \lambda R_1R_2z^{-1}$ où $\lambda$ décrit l'ensemble des nombres complexes de module~$1$. \endclaim \claim Remarque|{\rm En adaptant le raisonnement ci-dessus, on montre facilement que les applications holomorphes propres $f:C(0,R_1,R_2)\to C(0,R'_1,R'_2)$ sont toutes de la forme $f(z)=Az^n$ ou $f(z)=Az^{-n}$ avec $A\in\bC^*$, lorsque le quotient $\alpha=\ln(R'_2/R'_1)/\ln(R_2/R_1)$ est un entier $n$. Il n'y a pas de telles applications holomorphes propres si $\alpha$ n'est pas un entier.} \endclaim \section{1.4. Espaces projectifs et applications homo\-gra\-phiques} Nous rappelons d'abord la notion générale d'espace projectif sur un corps~$k$. \claim Définition|Si $k$ est un corps $($commutatif$\,)$ et $E$ un espace vectoriel sur~$k$, on appelle espace projectif associé à $E$ l'ensemble quotient $$ P_k(E) = (E\ssm\{0\})/\cR, $$ où $\cR$ est la relation d'équivalence telle que $x\;\cR\;y$ si et seulement si il existe un scalaire $\lambda\in\bC^*$ tel que $y = \lambda x$. \endclaim En particulier, l'ensemble quotient $\bP^n_k = (k^{n+1}\ssm\{0\})/\cR$ est appelé espace projectif de dimension $n$ sur $k$ (on convient d'écrire en général, et ceci sera justifié de façon plus précise au chapitre VIII, que $\dim P_k(E)=\dim E-1$). \claim Notation|Pour des scalaires $x_0,x_1,\ldots,x_n$ non tous nuls, on note $$ [x_0 : x_1 : \ldots : x_n] $$ la classe d'équivalence de $(x_0,\ldots,x_n)\in k^{n+1}\ssm\{0\}$ dans $\bP^n_k$. Plus généralement, pour un espace vectoriel $E$, on note $[x]=k^* x$ la classe d'équivalence de $x\in E\ssm\{0\}$ dans $P_k(E)$, et on introduit la projection canonique $$ \pi:E\ssm\{0\}\to P_k(E),\qquad x\mapsto[x]. $$ \endclaim On a par définition $[\lambda x_0 : \lambda x_1 : \ldots : \lambda x_n] = [x_0 : x_1 : \ldots : x_n]$ pour tout scalaire $\lambda\in k^*$, l'usage des symboles $:$ dans la notation étant là pour rappeler que ce sont seulement les rapports $x_j/x_k$ qui sont indépendants du représentant choisi dans la classe d'équivalence (à condition bien sûr que ce rapport soit défini, ce qui suppose $x_k\ne 0$). On dit que $x_0,\,x_1,\,\ldots\,,x_n$ sont les {\em coordonnées homogènes} du point $[x]$. Il est clair que l'espace projectif s'identifie à l'ensemble des droites vectorielles de $E$, puisqu'à toute classe d'équivalence $[x]$ on peut associer de façon bijective la droite $kx=[x]\cup\{0\}$. Dans le cas de la dimension $1$, on voit qu'un élément $[x_0,x_1]$ tel que $x_1\ne 0$ coïncide avec $$ [\lambda x_0,\lambda x_1]=[x_0/x_1:1]\qquad \hbox{pour $\lambda=1/x_1$}, $$ tandis que $[x_0:0]=[1:0]$ si $x_0\ne 0$ (prendre $\lambda=1/x_0$). On peut alors identifier $\bP^1_k$ à $k\cup\{\infty\}$ grâce aux applications $$ \eqalign{ &\bP^1_k\to k\cup\{\infty\},\qquad [x_0:x_1]\mapsto x_0/x_1,\cr &k\cup\{\infty\} \to \bP^1_k, \qquad x\mapsto [x:1],\quad \infty\mapsto [1:0].\cr} $$ en posant $x_0/x_1=\infty$ si $x_0\ne 0$, $x_1 = 0$. Ceci justifie bien notre convention de poser $\dim\bP^1_k=1$. Si $E$ est un espace vectoriel sur $k$ de dimension finie et si $\varphi\in\GL(E)$ est une transformation linéaire bijective de $E$, alors $\varphi$ induit une application bijective $$ [\varphi]:P(E)\to P(E),\qquad [x]\mapsto [\varphi(x)]. $$ appelée {\rm transformation projective} de $E$. On désigne par $\Proj(P(E))$ l'ensemble des transformations projectives de $P(E)$. On obtient ainsi un homomorphisme de groupes $(\GL(E),\circ)\to (\Proj(P(E)),\circ)$ du groupe linéaire de $E$ sur l'ensemble des transformations projectives de $P(E)$. \claim Lemme|Si $\varphi\in \GL(E)$ alors $[\varphi] = \Id_{P(E)}$ si et seulement si $\varphi$ est une homothétie de rapport non nul. \endclaim \dem. L'hypothèse $[\varphi]=\Id_{P(E)}$ équivaut à ce que pour tout vecteur $x\in E\ssm\{0\}$ il existe un scalaire $\lambda_x\in k^*$ tel que $\varphi(x)=\lambda_xx$. On choisit une base $(e_0,e_1,\ldots,e_n)$ de $E$, et on applique l'hypothèse à $x=e_0+e_1+\ldots+e_n$. En posant $\lambda=\lambda_{e_0+e_1+\ldots+e_n}$, ceci donne $$ \varphi(e_0+e_1+\ldots+e_n)=\lambda(e_0+e_1+\ldots+e_n), $$ et d'autre part $$ \varphi(e_0+e_1+\ldots+e_n)=\varphi(e_0)+\varphi(e_1)+\ldots+\varphi(e_n)= \lambda_{e_0}e_0+\lambda_{e_1}e_1+\ldots+\lambda_{e_n}e_n. $$ D'après l'unicité de l'écriture dans une base il vient $$ \lambda_{e_0}=\lambda_{e_1}=\ldots=\lambda_{e_n}=\lambda, $$ par conséquent $\varphi(e_i)=\lambda e_i$ et $\varphi=\lambda\Id_E$.\qed Par passage au quotient de l'application $\GL(E)\to\Proj(P(E))$ par son noyau $k^*\Id_E$, on obtient un isomorphisme canonique $$ \GL(E)/k^*\Id_E\to\Proj(P(E)) $$ \claim Théorème et définition|Le groupe projectif linéaire est défini comme le quotient $\PGL(E) = \GL(E)/k^*\Id$. On a un isomorphisme canonique $$ \PGL(E)\simeq\Proj(P(E)). $$ \endclaim Si $\dim P(E)=n$, on appelle repère projectif de $P(E)$ un système de $n+2$ points $([e_0],[e_1],\ldots,[e_{n+1}])$ tel que tout système de $n+1$ vecteurs extrait de celui-ci $(e_i)_{i\ne i_0}$ forme une base de $E$. On peut en particulier choisir $(e_0,e_1,\ldots,e_n)$ comme base et écrire $e_{n+1}=\lambda_0e_0+\ldots+\lambda_ne_n$. La condition d'être un repère projectif impose que $\lambda_i\ne 0$ pour tout~$i$. Le remplacement de $e_i$ par $\lambda_ie_i$, $0\le i\le n$, ne change pas le point $e_i$, et on se ramène alors à ce que $e_{n+1}=e_0+e_1+\ldots+e_n$. Il est clair que l'image d'un repère projectif par une transformation projective est un repère projectif. Inversement~: \claim Proposition|Etant donné deux repères projectifs $([w_0],[w_1],\ldots,[w_{n+1}])$ et\break $([w'_0],[w'_1],\ldots,[w'_{n+1}])$ de $P(E)$, il existe une unique transformation projective $[\varphi]\in\Proj(P(E))$ telle que $[\varphi(w_i)]=[w'_i]$ pour tout $i=0,1,\ldots, n+1$. \endclaim \dem. Comme nous l'avons expliqué ci-dessus, on peut toujours se ramener à la situation où $w_{n+1}=w_0+w_1+\ldots+w_n$ et $w'_{n+1}=w'_0+w'_1+\ldots+w'_n$. On doit avoir $\varphi(w_i)=\lambda w'_i$ pour $0\le i\le n+1$, ce qui donne $$ \varphi(w_{n+1})=\sum_{i=0}^n\varphi(w_i)= \sum_{i=0}^n\lambda_iw'_i=\lambda_{n+1}w'_{n+1} =\lambda_{n+1}(w'_0+w'_1+\ldots+w'_n). $$ L'unicité de l'écriture dans une base implique $$ \lambda_0=\ldots=\lambda_n=\lambda_{n+1}, $$ ce qui montre que $\varphi$ est l'unique transformation linéaire, à un scalaire près, telle que $\varphi(w_i)=w'_i$, $0\le i\le n$.\qed Dans le cas de l'espace projectif $\bP^1_k$ associé à $E=k^2$, $\GL(E)$ s'identifie au groupe $\GL_2(k)$ des matrices $2\times 2$ inversibles. Considérons l'application linéaire $\varphi_M$ associée à un matrice $$ M=\pmatrix{a&b\cr c&d\cr},\qquad \pmatrix{x_0\cr x_1\cr}\mapsto \pmatrix{y_0\cr y_1\cr}=\pmatrix{ax_0+bx_1\cr cx_0+dx_1\cr}. $$ L'identification $\bP^1_k=k\cup\{\infty\}$ est obtenue en posant $z=x_0/x_1$, et la transformation projective $[\varphi_M]$ est donnée par $$ z={x_0\over x_1}\mapsto w={y_0\over y_1}={ax_0+bx_1\over cx_0+dx_1}, $$ soit encore $$ z\mapsto w=h_M(z)={az+b\over cz+d},\qquad \infty\mapsto {a\over c},\qquad -{d\over c}\mapsto\infty. $$ Le groupe $\Proj(\bP^1_k)$ n'est autre que le groupe des homographies bijectives, et ce qui précède montre que l'application $M\to h_M$ est un homomorphisme de groupes de $\GL_2(k)$ sur $\Proj(\bP^1_k)$, de noyau $k^*\Id$. Ceci veut dire précisément que l'homographie $h_{\lambda M}$ associée aux coefficients $\lambda a,\lambda b,\lambda c, \lambda d$ coïncide avec $h_M$. Un repère projectif de $\bP^1_k$ est la même chose que la donnée de 3 points deux à deux distincts $w_0,w_1,w_2\in k\cup\{\infty\}$. D'après ce qui précède, il existe toujours une unique homographie $h$ qui envoie le triplet $(w_0,w_1,w_2)$ sur un autre triplet $(w'_0,w'_1,w'_2)$ de points deux à deux distincts. Dans le cas des corps topologiques localement compacts $k=\bR$ ou $k=\bC$, $\bP^1_k=k\cup\{\infty\}$ est le compactifié d'Alexandroff de $k$, et il est facile de voir que les homographies définissent des applications continues $h_M:\bP^1_k\to\bP^1_k$. \claim Droites et cercles de $\bP^1_\bC$|{\rm Dans le cas de $\bP^1_\bC$, on s'intéresse aux cercles $|z-z_0|=r$ et aux droites $\Re(e^{-\ii\alpha}z)=p$, qu'on compactifie en adjoignant le point à l'infini. En coordonnées homogènes $(x_0,x_1)$, on pose $z=x_0/x_1$ et l'équation d'un cercle devient $|x_0-z_0x_1|^2 - r^2|x_1|^2=0$, tandis que l'équation d'une droite devient $$ {e^{-\ii\alpha} x_0\over x_1}+{e^{\ii\alpha} \ol x_0\over \ol x_1}-2p=0 \Leftrightarrow e^{-\ii\alpha} x_0\ol x_1+e^{\ii\alpha} x_1\ol x_0 -2p|x_1|^2=0. $$ En d'autres termes, les droites (compactifiées) et les cercles correspondent exactement aux cônes isotropes $q(x_0,x_1)=0$ des formes quadratiques hermitiennes de signature $(1,1)$ sur $\bC^2$, après passage au quotient par la relation de colinéarité~$\cR\,$; les cercles correspondent aux formes quadratiques dont le coefficient de $|x_0|^2$ est non nul, et les droites à celles dont le coefficient de $|x_0|^2$ est nul. L'image du cône isotrope $q=0$ par une transformation linéaire $\varphi$ est le cône isotrope $q\circ\varphi^{-1}=0$, et $q\circ\varphi^{-1}$ est encore une forme quadratique hermitienne de signature $(1,1)$. On en déduit la conséquence archi-classique suivante~:} \endclaim \claim Conséquence|La collection de parties de $\bC\cup\{\infty\}$ formées des cercles et des droites compactifiées est stable par les homographies $z\mapsto{az+b\over cz+d}$ à coefficients complexes telles que $ad-bc\ne 0$. \endclaim \section{1.5. Cas du disque et du plan de Poincaré} Le «\?demi-plan de Poincaré\?» est défini conventionnellement comme étant le demi-plan supérieur du plan complexe. Il sera noté $$ \bH= \big\{z\in \bC\,;\; \Im z>0\big\}. $$ On note par ailleurs $$ \bD = \big\{z\in \bC\,;\; |z| < 1\big\} $$ le disque unité du plan complexe. \claim Proposition|Les domaines $\bD$ et $\bH$ sont conformément équivalents via les homographies $$ \eqalign{ &\varphi:\bD\to\bH,\qquad z\mapsto w=\ii\;{1+z\over 1-z},\cr &\psi:\bH\to\bD,\qquad w\mapsto z={w-\ii\over w+\ii}.\cr } $$ qui sont des bijections réciproques l'une de l'autre. \endclaim \dem. Un calcul direct donne en effet $$ \eqalign{ &\Im w={1\over 2}{(1+z)(1-\ol z)+(1+\ol z)(1-z)\over|1-z|^2}={1-|z|^2\over |1-z|^2}>0, \cr &1-|z|^2={|w+\ii|^2-|w-\ii|^2\over|w+\ii|^2}={4\Im w\over|w+\ii|^2}>0,\cr } $$ de sorte que l'on a bien $\varphi(\bD)\subset\bH$ et $\psi(\bH)\subset\bD$. Il est immédiat d'autre part que $\varphi$ et $\psi$ sont inverses l'une de l'autre.\qed \claim Proposition|Les groupes $\Aut(\bD)$ et $\Aut(\bH)$ peuvent se décrire comme suit. \smallskip \item{\rm(i)} Les automorphismes de $\bD$ sont les homographies $$ z\mapsto\lambda{z-a\over1-\ol a z},\qquad \hbox{avec $|\lambda|=1$,~$a\in\bD$}. $$ \item{\rm(ii)} Les automorphismes de $\bH$ sont les homographies $$ h_{a,b,c,d}: z\mapsto {az+b\over cz+d}\qquad \hbox{avec $a, b, c, d\in \bR$ et $ad - bc = 1$}. $$ \endclaim \dem. (i) Les automorphismes du disque ont déjà été déterminés au chapitre II, section~5.3. \medskip \noindent (ii) Pour obtenir les automorphimes du demi-plan de Poincaré $\bH$, on peut observer qu'on a un isomorphisme de groupes $$ \Aut(\bD)\to\Aut(\bH),\qquad f\mapsto\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}, \leqno(*) $$ où $\varphi:\bH\to\bD$ est l'isomorphisme conforme déjà mentionné. En particulier, tous les automorphismes de $\bH$ sont des homographies puisque ceux de $\bD$ en sont. On pourrait bien entendu utiliser $(*)$ pour déterminer ces homographies, mais il est plus rapide de chercher directement quelles sont les homographies $h_{a,b,c,d}$ qui préservent $\bH$. Ces homographies doivent aussi préserver le bord de $\bH$ dans $\bC\cup\{\infty\}$, à savoir $\bR\cup\{\infty\}$. En considérant trois points $x_1,x_2,x_3\in\bR$ deux à deux distincts et leurs images $y_1,y_2,y_3\in\bR$ par $h_{a,b,c,d}$ (prendre $x_i\ne -d/c$) on voit que les coefficients $(a,b,c,d)$ doivent satisfaire les équations linéaires $$ ax_j+b-(cx_j+d)y_j=0,\qquad j=1,2,3. $$ C'est un système de 3 équations à 4 inconnues, à coefficients réels, et on sait que le rang est $3$ puisque les coefficients sont uniquement déterminés à un scalaire près. Les solutions complexes sont donc de la forme $(a,b,c,d)=\lambda(a_0,b_0,c_0,d_0)$ avec $a_0,b_0,c_0,d_0\in\bR$ (donnés par des quotients des déterminants mineurs) et $\lambda\in\bC$. Ceci montre que que les coefficients $a,b,c,d$, à un scalaire multiplicatif près, peuvent être choisis réels. Maintenant, $ad-bc=\lambda^2(a_0d_0-b_0c_0)$ et on peut donc se ramener à $ad-bc=\pm 1$. Pour conclure, on calcule $$ \Im\left({az+b\over cz+d}\right)= {\Im\big((az+b)(c\ol z+d)\big)\over|cz+d|^2}, $$ soit encore $$ \Im\left({az+b\over cz+d}\right)=(ad-bc)\;{\Im z\over|cz+d|^2}, $$ et on voit qu'une homographie à coefficients réels $h_{ab,c,d}$ envoie $\bH$ dans $\bH$ si et seulement si $ad-bc>0$.\qed \claim Remarque|{\rm Le résultat précédent peut se reformuler en écrivant qu'on a un isomorphisme de groupes $$ \Aut(\bH) = \PSL_2(\bR) = \SL_2(\bR)/\{\Id, -\Id\}. $$ En effet, lorsque la condition $ad-bc=1$ est imposée, l'ambiguïté dans la détermination des coefficients $(a,b,c,d)$ n'est plus que celle d'un facteur multiplicatif $\lambda=\pm 1$.} \endclaim \supersection{2. Métriques hermitiennes} Une métrique hermitienne sur un ouvert $\Omega$ n'est autre qu'une façon de mesurer la longueur d'un déplacement infinitésimal $dz$, en utilisant une «\?unité variable\?» en fonction du point $z$, mais en préservant le caractère conforme des coordonnées (les petits cercles restent des petits cercles, il ne deviennent pas des ellipses$\;\ldots$) \section{2.1. Définitions} \claim Définition 1|Si $\Omega$ est un ouvert de $\bC$, une métrique hermitienne sur $\Omega$ est la donnée, pour chaque $z\in\Omega$, d'une forme hermitienne $h(z) = h_1(z)\,|dz|^2$, où $h_1:\Omega\to \bR_+$ est une fonction positive. On dit que la métrique $h$ est de classe $\cC^k$ si la fonction $h_1$ est elle-même de classe $\cC^k$. \endclaim Si $\xi\in\bC$ est vu comme un vecteur du plan d'origine $z$ (i.e.\ comme un élément du fibré tangent à $\Omega$ au point $z$), on définit la norme $\Vert\xi\Vert_h$ de $\xi$ par rapport à $h$ de sorte que $$ \Vert\xi\Vert_h^2=h_1(z)|\xi|^2. $$ \claim Définition 2|Si $f:\Omega\to\wt\Omega$ est holomorphe et si $\wt h(w)=\wt h_1(w)\,|dw|^2$ est une métrique sur $\smash{\wt\Omega}$, alors on définit $\smash{f^*\wt h}$ comme la forme hermitienne obtenue en effectuant la substitution $w=f(z)~:$ $$ f^*\wt h(z) = \wt h_1(f(z))\,|f'(z)|^2|dz|^2 $$ \endclaim \InsertFig 0.000 80.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 10.000 40.000 moveto [ 10.000 40.000 10.000 52.000 14.000 58.000 22.000 62.000 30.000 60.000 38.000 64.000 46.000 56.000 44.000 42.000 28.000 34.000 ] closedcurve stroke 73.000 44.000 moveto [ 73.000 44.000 73.000 59.000 78.000 69.000 88.000 69.000 93.000 74.000 108.000 69.000 108.000 54.000 113.000 44.000 103.000 34.000 88.000 34.000 ] closedcurve stroke 0.500 setlinewidth 36.000 32.000 moveto [ 36.000 32.000 58.000 28.000 73.300 35.350 ] curve stroke 74.000 36.000 moveto 0.000 40.000 2.400 vector 0.200 setlinewidth 36.000 48.000 moveto 49.254 5.826 2.400 vector 30.000 47.000 moveto 0.700 disk 91.000 54.000 moveto 0.700 disk 30.000 47.000 moveto 11.000 57.995 2.400 vector 91.000 54.000 moveto 12.000 -26.565 2.400 vector grestore } \LabelTeX 16.000 63.000 $\Omega$ \ELTX \LabelTeX 78.000 71.000 $\wt\Omega$ \ELTX \LabelTeX 26.500 46.000 $z$ \ELTX \LabelTeX 89.000 56.500 $f(z)$ \ELTX \LabelTeX 52.000 24.000 $f$ \ELTX \LabelTeX 55.000 53.000 $df_z$ \ELTX \LabelTeX 36.500 55.000 $\xi$ \ELTX \LabelTeX 93.000 45.000 $\eta=f'(z)\xi$ \ELTX \EndFig \vskip-18mm L'image d'un vecteur $\xi$ par la différentielle $df_z$ est le vecteur $\eta=f'(z)\xi$ au point $f(z)$. Nous avons $$ \Vert\xi\Vert_h^2=h_1(z)|\xi|^2,\qquad \Vert\eta\Vert_{\wt h}^2=\wt h_1(f(z))|\eta|^2= \wt h_1(f(z))|f'(z)|^2|\xi|^2, $$ par conséquent, la norme de la différentielle $df_z$ relativement aux métriques $h$, $\wt h$ est donnée par $$ \Vvert df_z\Vvert_{h,\wt h}^2={\wt h_1(f(z))\over h_1(z)}\;|f'(z)|^2= {f^*\wt h(z)\over h(z)}. $$ \claim Définition 3|On dira que $f$ est une isométrie relativement à $h,\wt h$ si $df_z$ est une isométrie en tout point, c'est-à-dire si $\Vvert df_z\Vvert_{h,\wt h}= 1$ pour tout $z\in\Omega$, c'est-à-dire encore si $$ f^*\wt h(z) = h(z)~~\hbox{sur $\Omega$}. $$ \endclaim \section{2.2. Métrique de Poincaré du disque et du demi-plan} Avec la terminologie qui précède, nous pouvons énoncer le \claim Théorème {\rm (métrique de Poincaré du disque)}|Il existe sur $\bD$ une métrique définie par $$ h(z) = {|dz|^2\over (1-|z|^2)^2}, $$ de classe $\cC^\infty$, telle que$\;:$ \smallskip \item{\rm(i)} Toute application $f\in \Aut(\bD)$ est une isométrie pour $h$. \smallskip \item{\rm(ii)} Toute application holomorphe $g:\bD\to\bD$ $($non nécessairement injective ou surjective$\,)$ est une contraction faible, c'est-à-dire vérifie $\Vvert dg_z\Vvert_{h,h}\le 1$ en tout point. De plus, s'il y a égalité $\Vvert dg_z\Vvert_{h,h}=1$ en un point $z=z_0\in\bD$, alors $g$ est un automorphisme. \vskip0pt \endclaim \dem. (i) Les automorphismes du disque sont donnés par $$ z\mapsto w=f(z)=\lambda{z-a\over 1-\ol a z},\qquad|\lambda|=1,~~a\in\bD. $$ Des calculs directs déjà faits au II~5.3 donnent $$ dw=\lambda{1-|a|^2\over (1-\ol a z)^2}\,dz,\qquad 1-|w|^2={(1-|a|^2)(1-|z|^2)\over |1-\ol a z|^2}, $$ par conséquent $$ {|dw|\over 1-|w|^2}={|dz|\over 1-|z|^2}, $$ et ceci signifie que $f^*h=h$. \smallskip \noindent (ii) est une reformulation du corollaire du II~5.3.\qed \claim Théorème {\rm(métrique de Poincaré du demi-plan)}|Il existe sur $\bH$ une métrique $$ \wt h(z) = {|dz|^2\over 4\,\big|\Im z\big|^2} $$ de classe $\cC^\infty$ telle qu'on ait $\Vvert df_z\Vvert_{\wt h,\wt h} = 1$ pour tout $f\in\Aut(\bH)$ et $\Vvert dg_z\Vvert_{\wt h,\wt h}\le 1$ pour toute application $g:\bH\to\bH$ holomorphe. De plus, toute transformation conforme bijective $\varphi:\bD\to\bH$ est une isométrie de $(\bD,h)$ sur $(\bH,\wt h)$. \endclaim \dem. Il suffit de démontrer la dernière assertion, puisque toutes les propriétés de $\bD$ se transporteront à $\bH$ par isométrie. Il suffit même de vérifier que l'application $$ \bD\to\bH,\qquad z\mapsto w=\varphi(z)=\ii \;{1+z\over 1-z} $$ est une isométrie. Or, de nouveau, un calcul direct donne $$ dw={-2\ii\over (1-z)^2}\,dz,\qquad \Im w={1-|z|^2\over |1-z|^2}, $$ de sorte que $$ {|dw|\over2\,|\Im w|}={|dz|\over 1-|z|^2}.\eqno\square $$ \section{2.3. Géométrie du plan hyperbolique} La {\it géométrie hyperbolique plane} n'est autre que la géométrie du disque unité~$\bD$, muni de sa distance géodésique. Le demi-plan de Poincaré $\bH$ en fournit un modèle isomorphe. Introduisons d'abord la notion de distance géodésique. \claim Définition|Soit $\Omega$ un ouvert du plan, et $h=h_1(z)\,|dz|^2$ une métrique hermitienne de classe $\cC^k$ sur $\Omega$. La longueur d'un chemin $\gamma:[\alpha,\beta]\to\Omega$ de classe $\cC^1$ par morceaux se calcule en posant $$ \eqalign{ ds^2&=\gamma^*h=h_1(\gamma(t))\,|\gamma'(t)|^2\,dt^2,\cr \lg(\gamma)&=\int_\alpha^\beta ds= \int_\alpha^\beta \sqrt{h_1(\gamma(t))}\,|\gamma'(t)|\,dt.\cr } $$ Etant donné deux points $a,\,b\in\Omega$, la distance géodésique $d_h(a,b)$ de $a$ à $b$ relativement à $h$ est définie par $$ d_h(a,b)=\inf_{\gamma}~\lg(\gamma) $$ où l'inf est étendu à tous les chemins $\gamma:[\alpha,\beta]\to\Omega$ de classe $\cC^1$ par morceaux tels que $\gamma(\alpha)=a$ et $\gamma(\beta)=b$. \endclaim Pour le disque et sa métrique de Poincaré $h(z)=|dz|^2/(1-|z|^2)^2$, nous avons $$ \lg(\gamma)=\int_\gamma{|dz|\over 1-|z|^2}= \int_\alpha^\beta{|\gamma'(t)|\over 1-|\gamma(t)|^2}\,dt. $$ Du fait que la métrique de Poincaré est invariante par les automorphismes du disques, nous en déduisons aussitôt~: \claim Proposition|Pour tout automorphisme $f\in\Aut(\bD)$ et tout chemin de classe $\cC^1$ par morceaux $\gamma:[\alpha,\beta]\to\Omega$, nous avons $\lg(f\circ\gamma)=\lg(\gamma)$ relativement à la métrique de Poincaré~$h$. De plus, pour tout couple de points $a,b\in\Omega$, nous avons $$ d_h(f(a),f(b))=d_h(a,b), $$ autrement dit $f$ est une isométrie de l'espace métrique $(\bD,d_h)$. \endclaim Nous affirmons que le chemin de longueur minimale joignant le centre $0$ du disque à un point quelconque $w\in\bD$ est le segment $[0,w]$. En effet, si on écrit $z=\gamma(t)=r(t)\,e^{\ii\theta(t)}$ en coordonnées polaires, il vient $$ dz=(dr+\ii r\,d\theta)\,e^{\ii\theta},\qquad |dz|=\sqrt{dr^2+r^2d\theta^2}\ge dr=r'(t)dt $$ On obtient donc $$ \lg(\gamma)=\int_\gamma{|dz|\over 1-|z|^2}\ge\int_0^{|w|}{dr\over 1-r^2} ={1\over 2}\ln{1+|w|\over 1-|w|}, $$ et ce calcul correspond précisément à la longueur du segment $[0,w]$. Pour trouver la distance de deux points quelconques $a$, $b$, on utilise l'automorphisme $$ f(z)={z-a\over 1-\ol a z} $$ qui envoie $a$ sur $f(a)=0$ et $b$ sur $w=f(b)=\displaystyle {b-a\over 1-\ol a b}$. On trouve $$ d_h(a,b)=d_h(f(a),f(b))=d_h(0,w)={1\over 2}\ln {1+{|b-a|\over |1-\ol a b|}\over 1-{|b-a|\over |1-\ol a b|}}, $$ soit encore $$ d_h(a,b)=\ln{|1-\ol a b|+|a-b|\over\sqrt{1-|a|^2}\sqrt{1-|b|^2}}. $$ \InsertFig -3.500 58.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 30.000 27.000 moveto 26.000 circle 102.000 27.000 moveto 26.000 circle 50.177 10.843 moveto 24.000 -16.000 37.494 45.719 118.775 circlearc stroke 78.500 38.000 moveto 125.500 16.000 segment 102.000 27.000 moveto 0.700 disk 20.500 21.300 moveto 0.700 disk 46.000 14.500 moveto 0.700 disk 122.200 17.600 moveto 0.700 disk 0.400 setlinewidth 61.000 27.000 moveto 10.500 0.000 2.400 vector 0.085 setlinewidth 7.250 17.550 moveto [ 7.250 17.550 7.800 16.400 6.600 15.750 ] polygon stroke 49.250 11.700 moveto [ 49.250 11.700 48.350 10.650 49.350 9.750 ] polygon stroke 80.000 37.350 moveto [ 80.000 37.350 79.350 35.950 77.750 36.650 ] polygon stroke 124.250 16.600 moveto [ 124.250 16.600 123.600 15.250 124.800 14.620 ] polygon stroke grestore } \LabelTeX 20.000 23.000 $a$ \ELTX \LabelTeX 45.500 16.500 $b$ \ELTX \LabelTeX 101.500 29.000 $0$ \ELTX \LabelTeX 122.000 19.500 $w$ \ELTX \LabelTeX 65.500 29.000 $f$ \ELTX \LabelTeX 53.500 40.000 $\partial\bD$ \ELTX \EndFig \medskip La géodésique (chemin le plus court) joignant $a$ à $b$ est l'image inverse par $f$ du segment $[0,w]$. C'est donc un arc de cercle d'extrêmités $a$ et $b$, porté par un cercle orthogonal au bord $\bD$ (en effet le diamètre $\bR w$ est orthogonal au bord $\partial\bD$, donc leurs images inverses par $f$ le sont, du fait du caractère conforme de $f$, et $\partial\bD$ est évidemment invariant par~$f$). La seule exception est le cas où $0,a,b$ sont alignés, auquel cas la géodésique est le segment de droite $[a,b]$ porté par un diamètre de~$\bD$. De manière générale les ``droites hyperboliques'' de $\bD$ sont les diamètres et les arcs de cercle orthogonaux au bord $\partial\bD$. Dans le modèle équivalent du demi-plan de Poincaré~$\bH$, les ``droites'' sont les demi-cercles orthogonaux à l'axe réel $\partial\bH$, auxquels il faut rajouter toutes les demi-droites ayant une extrêmité sur $\partial\bH$ et othogonales à $\partial\bH$. \InsertFig 30.000 62.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 30 29 translate /hom 27 def hom dup scale 0.085 hom div setlinewidth 2 setlinejoin /expit { /x exch def /r x x mul 1 add def x 2 mul r div def 2 r sub r div def } def /doarc { /yp exch def /xp exch def /y exch def /x exch def /z x xp add 0.5 mul def /w y yp add 0.5 mul def /r z z mul w w mul add sqrt def /z z r div def /w w r div def /r xp x sub def /rp yp y sub def /rp r r mul rp rp mul add sqrt 0.5 mul def /r rp 1 rp rp mul sub sqrt div def /rp 1 r r mul add sqrt def /z z rp mul def /w w rp mul def /a1 y x atan def /a2 yp xp atan def a1 a2 180 sub lt { /a1 a1 360 add def } if a1 a2 180 add gt { /a1 a1 360 sub def } if a1 a2 gt { z w r a1 90 add a2 270 add arc } { z w r a1 270 add a2 90 add arcn } ifelse } def 1 0 moveto /x1 /y1 -9 expit /x2 /y2 -4 expit /x3 /y3 -0.5 expit /x4 /y4 0.1 expit 0.9 setgray x1 y1 moveto x1 y1 x3 y3 doarc 0 0 1 y3 x3 atan y4 x4 atan arc x4 y4 x2 y2 doarc 0 0 1 y2 x2 atan y1 x1 atan arcn fill 0 setgray x1 y1 x3 y3 doarc stroke x2 y2 x3 y3 doarc stroke x2 y2 x4 y4 doarc stroke 0 0 1 0 360 arc stroke 0.250 hom div setlinewidth /x5 /y5 -5.4 expit /x6 /y6 -0.2 expit x5 y5 x6 y6 doarc stroke -0.335 -0.21 moveto 0.6 hom div disk grestore } \LabelTeX 22.000 16.000 $D$ \ELTX \LabelTeX 20.000 26.000 $p$ \ELTX \LabelTeX 41.000 24.000 $\Delta$ \ELTX \EndFig \medskip En géométrie hyperbolique, on constate facilement que les axiomes d'incidence d'Euclide sont satisfaits, sauf précisément le 5ème postulat (postulat suivant lequel par tout point passe une unique parallèle à une droite donnée)$\;$: ici, par tout point $p$ hors d'une ``droite'' $D$ donnée, il passe une infinité de ``droites'' $\Delta$ ne coupant pas la ``droite'' initiale. C'est la découverte surprenante faite par Lobatchevski en~1826, ruinant l'espoir de déduire le 5ème postulat des autres axiomes. \supersection{3. Le théorème de l'application conforme de Riemann} Le résultat central de cette section est une caractérisation des ouverts simplement connexes de $\bC$ à équivalence conforme près. En fait, la preuve utilisera seulement la propriété suivante de $\Omega$ (qui résulte de la simple connexité)~: {\itemindent=7.5mm \item{(P)} $\Omega$ est connexe, et pour toute fonction holomorphe $f$ sur $\Omega$ ne s'annulant pas, il existe une fonction holomorphe $u$ telle que $u^2=f$ (i.e.\ une détermination holomorphe de la racine carrée de~$f$). \vskip0pt} \section{3.1. Enoncé et preuve du théorème de Riemann} \claim Théorème|Soit $\Omega$ est un ouvert simplement connexe de $\bC$, ou plus généralement un ouvert satisfaisant la propriété {\rm(P)} ci-dessus. Si $\Omega$ est différent de $\bC$ lui-même, alors $\Omega$ est conformément équivalent à $\bD$. De plus, pour tout point $z_0\in\Omega$, il existe un unique biholomorphisme $f :\Omega\to\bD$ tel que $f(z_0) = 0$ et $f'(z_0)\in \bR_+^*$. \endclaim \dem. La démonstration se fait en trois étapes. Dans la première, on démontre l'unicité de $f$, et dans les suivantes, l'existence de~$f$. Pour l'existence, on peut évidemment ignorer la condition $f'(z_0)\in\bR^*_+$, puisqu'on peut s'y ramener aussitôt en multipliant $f$ par un nombre complexe $\lambda$ de module~$1$. \smallskip \noindent {\em Première étape~: unicité de $f$}. \smallskip \noindent S'il existait une deuxième solution $g:\Omega\to\bD$, alors $\varphi=g\circ f^{-1}:\bD\to D$ serait un automorphisme du disque vérifiant $\varphi(0)=0$ et $\varphi'(0)\in \bR^*_+$. La seule possibilité est $\varphi=\Id_\bD$, donc $f=g$. \medskip \noindent {\em Deuxième étape~:} on démontre l'existence d'une application holomorphe {\em injective} $f_0:\Omega\to\bD$ telle que $f_0(z_0)=0$. \smallskip \noindent Fixons un point $a\in\bC\ssm\Omega$. D'après l'hypothèse (P), il existe une fonction $u\in\cO(\Omega)$ telle que $u(z)^2=z-a$, puisque $z-a$ ne s'annule pas sur $\Omega$. Il est évident que l'on a la propriété suivante~: $$ u(z_1)=\pm u(z_2)\Rightarrow z_1-a=z_2-a\Rightarrow z_1=z_2, $$ en particulier $u$ est injective. Posons $w_0=u(z_0)\ne 0$. Le théorème de l'application ouverte montre que $u(\Omega)$ contient un disque $D(w_0,\varepsilon)$, avec disons $\varepsilon<|w_0|$. Cependant, $u(\Omega)$ ne peut contenir aucun point $w_1\in D(-w_0,\varepsilon)$ sinon il existerait $z_1\in\Omega$ tel que $u(z_1)=w_1$, et par ailleurs il existerait $z_2\in\Omega$ tel que $u(z_2)=-w_1\in D(w_0,\varepsilon)$. Mais alors on aurait $z_1=z_2$ d'après ce qui précède, donc $u(z_1)=u(z_2)$ et $w_1=0$, contradiction. Le fait que $u(\Omega)$ soit disjoint de $D(-w_0,\varepsilon)$ signifie que $|u(z)+w_0|\ge\varepsilon$ pour tout $z\in\Omega$, donc $$ f_0(z)={\varepsilon/3\over u(z)+w_0}-{\varepsilon/3\over u(z_0)+w_0} $$ est une application injective telle que $f_0(z_0)=0$ et $|f_0|\le 2/3$ (c'est la composée de $u$ avec une transformation homographique). A fortiori, $f_0$ envoie bien $\Omega$ dans~$\bD$ et l'étape 2 est achevée. \smallskip \noindent {\em Troisième étape}. L'objet de cette étape est d'essayer d'«\?agrandir\?» l'image $f_0(\Omega)$ pour rendre l'application à la fois injective et surjective. La quantité caractéristique utilisée pour mesurer l'«\?étendue\?» de $f(\Omega)$ sera la taille $|f'(z_0)|$ de la dérivée en~$z_0$. Pour cela, on considère dans $\cO(\Omega)$ la partie $$ \cP=\big\{f:\Omega\to\bD\,;\; \hbox{$f$ injective, $f(z_0)=0$, $|f'(z_0)|\ge|f_0'(z_0)|$}\big\}. $$ C'est une partie non vide de $\cO(\Omega)$ puisque $f_0\in\cP$. Nous prétendons que $\cP$ est une partie compacte de $\cO(\Omega)$ pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de~$\Omega$. En fait, nous avons vu au III~6.3 (Corollaire 2 du théorème de Rouché) qu'une limite $f$ d'applications injectives $f_n\in\cP$ est ou bien injective ou bien constante. Mais $f$ ne peut être constante puisque $|f'(z_0)|\ge |f_0'(z_0)|>0$. De même une limite $f$ d'applications $f_n:\Omega\to\bD$ vérifie a priori $f:\Omega\to\ol\bD$, mais si $f$ n'est pas constante alors $f(\Omega)$ est un ouvert donc $f(\Omega)\subset\bD$. Ceci montre que $\cP$ est une partie fermée. La compacité résulte du théorème de Montel, puisque toutes les applications $f\in\cP$ sont uniformément majorées par~$1$. Comme l'application $$ \cO(\Omega)\to \bC,\qquad f\mapsto f'(z_0) $$ est continue pour la topologie de la convergence uniforme, il existe une application $F\in\cP$ qui atteint le maximum du module de la dérivée, telle que $$ |F'(z_0)|=\sup_{f\in\cP}|f'(z_0)|. $$ On va démontrer que $F$ est surjective. Si ce n'est pas le cas, il existe un plus petit rayon $r\in{}]0,1[$ tel que $F(\Omega)$ ne contient pas $D(0,r)$, et un point $a\in\bD$, $|a|=r$, tel que $a\notin F(\Omega)$. On considère l'automorphisme $\varphi_a:\bD\to\bD$ tel que $$ \varphi_a(z)={z-a\over 1-\ol a z},\qquad\varphi_a(a)=0. $$ Alors $\varphi_a\circ F$ ne s'annule pas et $\varphi_a\circ F(z_0)= \varphi_a(0)=-a$. Soit $b\in\bD$ une racine carrée complexe de $-a$. L'hypothèse (P) implique l'existence d'une fonction holomorphe $u:\Omega\to\bD$ telle que $u^2=\varphi_a\circ F$ et $u(z_0)=b$. L'injectivité de $F$ implique celle de $u$. Posons $F_1=\varphi_b\circ u=\varphi_b\circ\sqrt{\varphi_a\circ F}$. C'est encore une application injective. Nous avons $F_1(z_0)=\varphi_b(u(z_0))=\varphi_b(b)=0$ et de plus $u=\varphi_b^{-1}\circ F_1$. En notant $k:\bD\to\bD$ l'élévation au carré, nous trouvons $$ \varphi_a\circ F=u^2=k\circ u=k\circ \varphi_b^{-1}\circ F_1, $$ par conséquent $$ F=\psi\circ F_1\qquad\hbox{avec $\psi=\varphi_a^{-1}\circ k\circ \varphi_b^{-1}:\bD\to \bD$}. $$ Par construction $F(z_0)=F_1(z_0)=0$, donc $\psi(0)=0$. Or $\psi$ n'est pas un automorphisme de $\bD$ (du fait que l'élévation au carré $k$ n'est pas injective), donc le lemme de Schwarz implique $|\psi'(0)|<1$. Cette inégalité entraîne à son tour $$ |F'(z_0)|=|\psi'(0)|\;|F_1'(0)|<|F_1'(z_0)|, $$ ce qui est une contradiction. Cette contradiction implique que $F$ doit être surjective. Le théorème de Riemann est démontré.\qed \claim Remarque|{\rm Un calcul immédiat donne $$ \psi'(0)=(\varphi_a'(0))^{-1}\cdot 2\varphi_b^{-1}(0)\cdot(\varphi_b^{-1})'(0) =(1-|a|^2)^{-1}\cdot 2b\cdot(1-|b|^2) $$ donc $|\psi'(0)|=2\sqrt{|a|}/(1+|a|)$. Construisons une suite d'applications holomorphes $$ f_0, f_1,\ldots,f_n,\ldots{}:\Omega\to\bD $$ à partir de l'application $f_0$ définie à l'étape $2$, en posant comme ci-dessus $$ f_{n+1}=\lambda_n\varphi_{b_n}\circ \sqrt{\varphi_{a_n}\circ f_n}, $$ où $a_n\in\bD$ est un point omis par $f_n(\Omega)$, de module minimal, où $b_n=\sqrt{-a_n}$, et où $\lambda_n$ est un nombre complexe de module $1$ tel que $f_{n+1}'(z_0)\in\bR^*_+$. Nous avons $$ |f_{n+1}'(z_0)|=|\psi_n'(0)|^{-1}|f_n'(z_0)| ={1+|a_n|\over2\sqrt{|a_n|}}|f_n'(z_0)|, $$ et comme la suite $|f_n'(z_0)|$ est bornée, nous en déduisons que le produit infini $$ \prod{1+|a_n|\over2\sqrt{|a_n|}} =\prod\left(1+{(1-|a_n|)^2\over 4|a_n|}\right)^{1/2} $$ est convergent. Ceci équivaut à la condition $\sum(1-|a_n|)^2<+\infty$, qui entraîne en particulier $\lim|a_n|=1$. On voit donc que l'image $f_n(\Omega)$ recouvre des disques $D(0,|a_n|)$ dont la suite des rayons tend vers~$1$. Soit $g_n:D(0,|a_n|)\to\Omega$ l'application réciproque. Pour toute limite de sous-suite $f=\lim f_{n_k}$, on peut supposer, quitte à extraire une sous-suite de la sous-suite, que $g=\lim g_{n_k}$ existe et définit une application holomorphe $g:\bD\to\Omega$ (noter que $\Omega$ est conformément équivalent à $\bD$, donc les fonctions à valeurs dans $\Omega$ se comportent comme des fonctions bornées). On a alors $(f\circ g)'(0)=\lim (f_{n_k}\circ g_{n_k})'(0)= 1$, donc $f\circ g=\Id_\bD$ par le lemme de Schwarz. Ceci implique que $f$ est une bijection de $\Omega$ sur $\bD$, telle que $f(z_0)=0$ et $f'(z_0)\in\bR^*_+$. L'unicité de cette fonction entraîne que toutes les sous-suites $(f_{n_k})$ convergent vers la même limite $f$, et par conséquent $f=\lim f_n$. On obtient ainsi une méthode \lguil constructive\?» pour trouver l'application conforme de Riemann. Cette méthode est due à Paul Koebe (et a été publiée en 1915). L'argument qualitatif reposant sur la compacité de $\cP$ est une réécriture moderne de la preuve due à Henri Cartan. } \endclaim \section{3.2. Caractérisation des ouverts simplement connexes du plan} Nous énonçons ici une conséquence simple, essentiellement topologique, du théorème de Riemann. \claim Théorème|Pour un ouvert connexe $\Omega$ du plan complexe, les propriétés suivantes sont équivalentes. \smallskip \item{\rm(a)} $\Omega$ est simplement connexe. \smallskip \item{\rm(b)} $H_1(\Omega,\bZ)=0$. \smallskip \item{\rm(c)} $\Omega$ n'a pas de trous. \smallskip \item{\rm(d)} Toute application holomorphe $f$ dans $\Omega$ admet une primitive $F$ holomorphe. \smallskip \item{\rm(e)} Toute application holomorphe $f$ dans $\Omega$ ne s'annulant pas admet une détermi\-nation holomorphe du logarithme $\log f$. \smallskip \item{\rm(f)} Toute application holomorphe $f$ dans $\Omega$ ne s'annulant pas admet une détermi\-nation holomorphe de la racine carrée $\sqrt{f}$. \smallskip \item{\rm(g)} $\Omega$ est homéomorphe à un disque $($ou au plan lui-même, qui est homéomorphe au disque$)$. \vskip0pt \endclaim \claim Remarque|{\rm Bien entendu, ces propriétés sont elles-mêmes équivalentes au fait que l'ouvert $\Omega$ soit biholomorphe à $\bD$ ou à $\bC$, mais c'est là une propriété beaucoup plus forte, qui n'est pas de nature topologique.} \endclaim \dem. On sait que $$\hbox{(a)}\Rightarrow\hbox{(b)}\Rightarrow\hbox{(d)}\Rightarrow \hbox{(e)}\Rightarrow\hbox{(f)}\Rightarrow\hbox{(g)} $$ La dernière implication résulte en effet du théorème de Riemann, qui montre que la propriété (P)${}={}$(f) entraîne l'équivalence conforme de $\Omega$ au plan ou au disque. La propriété $\hbox{(g)}\Rightarrow\hbox{(a)}$ est triviale, puisque la simple connexité est une propriété purement topologique. Ceci montre que les propriétés (a), (b), (d), (e), (f), (g) sont toutes équivalentes. L'implication $\hbox{(c)}\Rightarrow\hbox{(d)}$ résulte du Corollaire de la formule des résidus généralisée (cf.\ III~6.2). Prouvons enfin que $\hbox{(b)}\Rightarrow\hbox{(c)}$. Si $\Omega$ possède un trou $T$ (composante connexe bornée de $\bC\ssm \Omega)$, on montre l'existence d'un cycle contenu dans $\Omega$, d'indice non nul par rapport à un point $z_0\in T$, ce qui contredira (b). Prenons un rayon $R>0$ tel que $T\subset D(0,R/2)$. Alors $T$ est une composante connexe du compact $K=\ol D(0,R)\ssm\Omega$, donc $T$ est l'intersection d'une suite de parties $T_n$ à la fois ouvertes et fermées dans $K$ (c'est une propriété bien connue des espaces métriques compacts~: il suffit de prendre pour $T_n$ l'ensemble des points qui peuvent être joints à un point de $T$ par une chaîne de points de distances mutuelles${}\le 2^{-n}$ situés dans~$K$, cf.\ exercice~??). Nous avons $T_n\subset D(0,3R/4)$ pour $n$ assez grand. Prenons un quadrillage assez fin du plan, de maille${}0$ tels que $\gamma(t)\in\Omega$ pour tout $t\in[0,1[$, $\lim_{k\to+\infty}t_k=1$ et $\gamma(t_k)=w_k$ pour tout $k$ $($de sorte qu'on a aussi $\gamma(1)=\zeta)$. \endclaim \claim Exemple|{\rm Si $\Omega$ est convexe, tout point frontière est simple, il suffit de prendre pour $\gamma$ un chemin polygonal par morceaux ayant pour sommets les points $z_k$, en paramétrant le segment $[z_k,z_{k+1}]$ par l'intervalle $[1-2^{-k},1-2^{-k-1}]$ (disons). Au contraire, si $\Omega=\bD\ssm[0,1]$, il est facile de voir que les points frontières $\zeta\in{}]0,1]$ ne sont pas simples. Un exemple plus compliqué est donné par le domaine $$ 00$ assez petit, l'arc de cercle $\partial D(w,r)\cap\bD$ coupe le chemin $f\circ\gamma_j$ en au moins un point $p_j(r)=w(1-re^{\ii\theta_j(r)})$, $\theta_j(r)\in{}]-\pi/2,\pi/2[$. \noindent Nous avons $g(p_j(r))\to \zeta_j$ quand $r\to 0$, donc quitte à diminuer $r_0$ si nécessaire, nous pouvons supposer $|g(p_2(r))-g(p_1(r))|\ge {1\over 2}|\zeta_2-\zeta_1|$ pour tout $r\in{}]0,r_0]$. En intégrant suivant l'arc de cercle $p_1(r)p_2(r)\subset\partial D(w,r)$ (qui est de longueur au plus~$\pi r$), on obtient l'inégalité $$ |g(p_2(r))-g(p_1(r))|^2=\Big|\int_{p_1(r)}^{p_2(r)}g'(z)dz\Big|^2 \le\pi r \int_{p_1(r)}^{p_2(r)}|g'(z)|^2 r\,d\theta, $$ où l'on a posé $z=w(1-re^{\ii\theta})$, $|dz|=r\,d\theta$, et par conséquent $$ {1\over 4\pi r}|\zeta_2-\zeta_1|^2\le\int_{\partial D(w,r)\cap\bD} |g'(z)|^2rd\theta. $$ Comme l'intégrale $$ \int_0^{r_0}dr\int_{\partial D(w,r)\cap\bD}|g'(z)|^2rd\theta = \hbox{Aire}\big(g(D(w,r_0)\cap\bD)\big) $$ est convergente puique $g$ est bornée, on aboutit à une contradiction.\qed \claim Lemme {\rm(Koebe)}|Soit $h$ une fonction holomorphe bornée sur un disque $D(0,R)$, telle qu'il existe une courbe continue $\gamma:[0,1[{}\to D(0,R)$ vérifiant $\lim_{t\to1}|\gamma(t)|=R$ et $\lim_{t\to 1}h(\gamma(t))=\zeta$ existe, mais telle que $\gamma(t)$ n'a pas de point limite quand $t\to 1$. Alors la fonction $h$ est constante, égale à $\zeta$ sur $D(0,R)$. \endclaim \dem. Quitte à remplacer $h(z)$ par $h(z)-\zeta$, nous pouvons supposer $\zeta=0$. Les hypothèses sur $\gamma$ et la compacité de $\ol D(0,R)$ entraînent que $\gamma(t)$ a au moins deux valeurs d'adhérence distinctes $w_1=Re^{\ii\alpha_1}, \,w_2=Re^{\ii\alpha_2}\in \Gamma(0,R)$ quand $t\to 1$. Grâce au théorème des valeurs intermédiaires, l'un au moins des deux arcs joignant $w_1$~et~$w_2$ sur le cercle $\Gamma(0,R)$ est balayé par les valeurs d'adhérence de $\gamma(t)$ quand $t\to 1$. Quitte à remplacer $\gamma(t)$ par $e^{-\ii\alpha}\gamma(t)$ avec $\alpha=(\alpha_1+\alpha_2)/2$, et $h(z)$ par $h(e^{\ii\alpha}z)$, on peut supposer que l'arc $(w_1w_2)$ en question admet le point $w=R$ comme point médian, de sorte que $w_1=Re^{\ii\beta}$, $w_2=Re^{-\ii\beta}$ où $\beta=(\alpha_1-\alpha_2)/2$. Fixons un entier $s$ {\em pair} tel que $2\pi/s<|\beta|$ et considérons la fonction $$ H(z)=\prod_{j=0}^{s-1} h(e^{2\pi\ii j/s}z)\ol{h(e^{2\pi\ii j/s}\ol z)}. $$ Soit $M=\sup_{D(0,R)}|h|$. Alors $H$ est une fonction holomorphe bornée, majorée par $M^{2s}$. Nous allons voir que $H$ est identiquement nulle, ce qui entraînera que $h$ elle-même est identiquement nulle. Fixons $\varepsilon>0$ quelconque. Par hypothèse ($\zeta=0$), il existe $t_0<1$ tel que $|\gamma(t)|\ge R-\varepsilon$ et $|h(\gamma(t))|\le\varepsilon$ pour $t\in[t_0,1[$. Grâce aux propriétés des valeurs d'adhérence de $\gamma(t)$, on peut trouver un morceau du chemin~$\gamma$, disons $\gamma_{|[t_1,t_1']}$ avec $[t_1,t_1']\subset [t_0,1[$, qui joint un certain point $r\in[R-\varepsilon,1[$ d'angle polaire nul à un certain point $r'e^{2\pi\ii/s}$, $r'\in[R-\varepsilon,1[$, d'angle polaire $2\pi/s$. On forme un chemin $\wh\gamma(t)$ dont l'argument varie de $0$ à $2\pi$ en reliant \smallskip \item{$\bu$} $r\,e^{2\pi\ii j\pi/s}$ à $r'\,e^{2\pi\ii(j+1)\pi/s}$ par $e^{2\pi\ii j/s}\gamma_{|[t_1,t_1']}$ si $j$ est pair${}1/2$} \big\}. $$ Ce domaine est figuré ci-dessous en gris, on a noté $Q_+=Q\cap\{ \Re z\ge 0\}$, $Q_-=Q\cap\{\Re z<0\}$. \InsertFig -2.000 67.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 25.000 60.000 moveto [ 25.000 60.000 25.000 10.000 45.000 30.000 65.000 10.000 85.000 30.000 105.000 10.000 105.000 60.000 ] (YAAAAY) mixedpath gsave closepath 0.900 setgray fill grestore newpath 10.000 10.000 moveto 110.000 0.000 2.400 vector 65.000 0.000 moveto 60.000 90.000 2.400 vector 0.300 setlinewidth 105.000 10.000 moveto 105.000 60.000 segment 105.000 10.000 moveto 85.000 10.000 20.000 0.000 180.000 circlearc stroke 4 setdashtype 25.000 60.000 moveto 25.000 10.000 segment 65.000 10.000 moveto 45.000 10.000 20.000 0.000 180.000 circlearc stroke grestore } \LabelTeX 24.000 6.000 $-1$ \ELTX \LabelTeX 62.000 6.000 $0$ \ELTX \LabelTeX 104.000 6.000 $1$ \ELTX \LabelTeX 44.000 43.000 $Q_-$ \ELTX \LabelTeX 84.000 43.000 $Q_+$ \ELTX \EndFig \claim Proposition|Le groupe $\Gamma_2$ et son action sur $\bH$ possèdent les propriétés suivantes. \smallskip \item{\rm(i)} $\Gamma_2$ est engendré par les deux transformations $z\mapsto z+2$ et $z\mapsto z/(2z+1)$, correspondant respectivement aux matrices $$ \pmatrix{1 & 2\cr 0 & 1\cr},\qquad\pmatrix{1 & 0\cr 2 & 1\cr}. $$ \item{\rm(ii)} $\Gamma_2$ agit proprement et sans point fixe sur $\bH$. \smallskip \item{\rm(iii)} $Q$ est un domaine fondamental pour l'action de $\Gamma_2$ dans $\bH$, c'est-à-dire que les parties $\gamma(Q)$, $\gamma\in\Gamma_2$, sont deux-à-deux disjointes, et $\bH=\bigcup_{\gamma\in\Gamma_2}\gamma(Q)$. \vskip0pt \endclaim \dem. (i) Posons $$ A=\pmatrix{1 & 2\cr 0 & 1\cr},\qquad B=\pmatrix{1 & 0\cr 2 & 1\cr},\qquad M=\pmatrix{a & b\cr c & d\cr}. $$ avec $ad-bc=1$, $a,d$ impairs, $b,c$ pairs. Nous avons $$ M'=MA^k=\pmatrix{a & b+2ka\cr c & d+2kc\cr},\qquad M''=M'B^\ell=\pmatrix{a'+2\ell b' & b'\cr c'+2\ell d' & d'\cr}. $$ En choisissant $k$ convenable, on se ramène à $b'=b+2ka$ tel que $|b'|<|a|$ (il ne peut y avoir égalité du fait les coeffcients $a$ et $b$ n'ont pas même parité). Puis, si $b'\ne 0$, on peut choisir $\ell$ convenable pour se ramener à $a''=a'+2\ell b'$ tel que $|a''|<|b'|<|a|$. Ceci montre qu'on peut multiplier $M$ à droite par un produit de puissances convenables de $A$ et $B$ afin de se ramener à une matrice $M$ telle que $b=0$. Une telle matrice $M$ vérifie $ad=1$, donc $a=d=\pm 1$. Quitte à changer $M$ en $-M$, on peut supposer $a=d=1$, $b=0$, et comme $c=2p$ est pair, on a alors $M=B^p$. Ceci montre que $A$ et $B$ engendrent~$\Gamma_2$. \medskip \noindent (ii) Si $z\in\bH$ est un point fixe de $M\in\Gamma_2$, $M\ne\pm\Id$, l'équation $h_M(z)=z$ s'écrit $az+b=z(cz+d)$, c'est-à-dire $$ cz^2+(d-a)z-b=0. $$ Si $c=0$, $h_M$ est de la forme $h_M(z)=z+2p$, $p\ne 0$, et n'a pas de point fixe. Si $c\ne 0$, il s'agit d'une équation du second degré et le discriminant $\Delta=(d-a)^2+4bc=(a+d)^2-4$ est positif ou nul si $a+d\ne 0$ (car $a+d$ est pair). Dans ce cas les racines sont réelles et il n'y a donc pas de point fixe dans~$\bH$. Si $d=-a$, if vient $a^2=-ad=-bc-1\equiv -1$ mod~4, ce qui impossible. Ceci montre que $\Gamma_2$ agit sans point fixe. \medskip \noindent (iii) Montrer que $\gamma_1(Q)$ est disjoint de $\gamma_2(Q)$ pour $\gamma_1\ne\gamma_2$ revient à montrer que $\gamma(Q)$ est disjoint de $Q$ pour $\gamma\ne\Id$. Posons $\gamma=h_M$. Si $c=0$ alors $\gamma(z)=z+2p$, $p\ne 0$. Par conséquent $\gamma$ est une translation horizontale de vecteur $2p+0\ii$ avec $|2p|\ge 2$ et il est évident que $\gamma(Q)\cap Q=\emptyset$. Si $c\ne 0$, nous affirmons que $|cz+d|>1$ pour tout $z\in Q$. Sinon le disque $|cz+d|\le 1$ de centre $-d/c$ et de rayon $|1/c|\le 1/2$ rencontre $Q$, et la définition de $Q$ implique que ce disque doit contenir l'un des trois points $z_0=-1$, $z_0=0$ ou $z_0=1$ en son intérieur. Mais alors $|cz_0+d|<1$, ce qui est contradictoire puisque $cz_0+d$ est un entier impair. La formule $$ \Im(h_M(z))={\Im z\over|cz+d|^2} $$ implique donc $\Im(h_M(z))<\Im z$ pour tout $z\in Q$. Cependant, la matrice $M^{-1}$ a elle aussi un coefficient $c\ne 0$, et on a de même $\Im(h_M^{-1}(w))<\Im w$ pour tout $w\in Q$. Ceci entraîne la non existence d'un point $z\in Q$ tel que $w=h_M(z)\in Q$, car sinon on aurait à la fois $\Im w<\Im z$ et $\Im z=\Im(h_M^{-1}(w))<\Im w$. Dans tous les cas nous avons $\gamma(Q)\cap Q=\emptyset$ pour $\gamma\ne\Id$. Montons maintenant que $\bH=\bigcup_{\gamma\in\Gamma_2}\gamma(Q)$. Fixons $w\in\bH$. Comme $\Im w>0$ il existe seulement un nombre fini de couples d'entiers $c,d$ tels que $|cw+d|\le 1$, en effet cette inégalité implique $|c|\le 1/\Im w$, puis $|d|\le 1+c|w|\le 1+|w|/\Im w$. Par conséquent, tous les points de l'orbite $\Gamma_2w$ ont une partie imaginaire inférieure à celle de $w$ sauf un nombre fini, ce qui montre l'existence dans cette orbite d'un point $w_0$ de partie imaginaire maximale. Quitte à translater $w_0$ par l'une des translations $z\mapsto z+2p$, $p\in\bZ$, nous pouvons supposer $-1<\Re w_0\le 1$. Nous avons nécessairement $|\pm 2w_0+1|\ge 1$, sinon l'image de $w_0$ par $z\mapsto z/(\pm 2z+1)$ serait de partie imaginaire strictement supérieure à celle de $w_0$. Ceci montre que $w_0\in Q$, à moins que $w_0$ appartienne au demi-cercle $\bH\cap\{|2z+1|=1\}$ de centre $-1/2$ et de rayon $1/2$. Dans ce cas, le point $w_1=w_0/(2w_0+1)$ est sur le demi-cercle image, qui est le demi-cercle de diamètre $[0,1]$, et on a bien $w_1\in Q$. Ceci montre que toute orbite contient un point de $Q$, et par conséquent $\bH=\bigcup_{\gamma\in\Gamma_2}\gamma(Q)$. Il reste à voir que tout point $w_0\in\bH$ possède un voisinage ouvert $V$ tel que les images $\gamma(V)$, $\gamma\in\Gamma_2$ soient deux à deux disjointes. D'après ce qui précède, il suffit de le faire pour $w_0\in Q$. Le résultat est clair si $w_0\in Q^\circ$ (intérieur de~$Q$), puisqu'on peut prendre $V=Q^\circ$ dans ce cas. Restent les cas des points du demi-cercle de diamètre $[0,1]$ et de la demi-droite $\Re z=1$. Pour traiter le cas où $\Re w_0=1$, on observe que le translaté $\tau(Q)$ par la translation $z\mapsto z+1$ (qui {\em n'est cependant pas} dans $\Gamma_2\,!\,$) est encore un domaine fondamental de $\Gamma_2$, du fait que $$ \tau\circ h_M\circ \tau^{-1}(z)={a(z-1)+b\over cz+d}+1= {(a+c)z+b+(d-a)\over cz+d} $$ entraîne $\tau\Gamma_2\tau^{-1}=\Gamma_2$. On prend alors $V=\tau(Q^\circ)$. Le cas du demi-cercle de diamètre $[0,1]$ se ramène à celui de la demi-droite $\Re z=-1$, puisque ce demi-cercle est précisément l'image de $\{\Re z=-1\}$ par l'homographie $z\mapsto z/(2z+1)$. Lorsque $\Re w_0=-1$, il est clair qu'on peut prendre $V=\tau^{-1}(Q^\circ)$.\qed Il est peut-être plus parlant de visualiser le pavage du demi-plan supérieur défini par le groupe $\Gamma_2$. Le schéma ci-dessous représente les images $\gamma(Q)$ du domaine fondamental par les différents éléments $\gamma\in\Gamma_2$. \InsertFig 0.000 82.000 { /level 5 def 1 mm unit initcoordinates gsave 62 4 translate /hom 18 def hom dup scale 0.085 hom div setlinewidth 2 setlinejoin /doarc { /y exch def /x exch def /z x y add 0.5 mul def /r y x sub abs 0.5 mul def x y lt { z 0 r 180 0 arcn } { z 0 r 0 180 arc } ifelse } def /settilecolor { /k a a mul b b mul c c mul d d mul add add add 2 sub 24 mod 4 div cvi def % Comment this line out for color output !! /k k 2 mod 6 add def k 0 eq { 1 0.85 0.85 setrgbcolor } if k 1 eq { 0.85 1 0.85 setrgbcolor } if k 2 eq { 0.85 0.85 1 setrgbcolor } if k 3 eq { 1 1 0.7 setrgbcolor } if k 4 eq { 1 0.7 1 setrgbcolor } if k 5 eq { 0.7 1 1 setrgbcolor } if k 6 eq { 0.9 setgray } if k 7 eq { 1.0 setgray } if } def 0 setgray -3.3 0.0 moveto 6.6 0 2.4 hom div vector %% Main loop /num level 4 mul def num neg 1 add 4 num 1 add { /a exch def num neg 2 num { /b exch def num neg 2 num { /c exch def num neg 1 add 4 num 1 add { /d exch def a d mul b c mul sub 1 eq { c 0 eq { /x2 b a sub d div def /x3 b d div def /x4 b a add d div def x2 -3 ge x2 3 le and x3 -3 ge and x3 3 le and x4 -3 ge and x4 3 le and { x2 70 hom div moveto x2 0 lineto x2 x3 doarc x3 x4 doarc x4 70 hom div lineto gsave settilecolor fill grestore 0 setgray stroke } if } { /x1 a c div def /x2 b a sub d c sub div def /x3 b d div def /x4 b a add d c add div def x1 -3 ge x1 3 le and x2 -3 ge and x2 3 le and x3 -3 ge and x3 3 le and x4 -3 ge and x4 3 le and { x1 0 moveto x1 x2 doarc x2 x3 doarc x3 x4 doarc x4 x1 doarc gsave settilecolor fill grestore 0 setgray stroke } if } ifelse } if } for } for } for } for grestore grestore } \EndFig \noindent Et voici une image isomorphe du même pavage sur le disque unité, obtenue au moyen de la transformation conforme $\psi:\bH\to\bD$, $w\mapsto (w-i)/(w+i)$. \InsertFig 0.000 85.000 { /level 5 def 1 mm unit initcoordinates gsave 62 40 translate /hom 40 def hom dup scale 0.085 hom div setlinewidth 2 setlinejoin /expit { /x exch def /r x x mul 1 add def x 2 mul r div def 2 r sub r div def } def /doarc { /yp exch def /xp exch def /y exch def /x exch def /z x xp add 0.5 mul def /w y yp add 0.5 mul def /r z z mul w w mul add sqrt def /z z r div def /w w r div def /r xp x sub def /rp yp y sub def /rp r r mul rp rp mul add sqrt 0.5 mul def /r rp 1 rp rp mul sub sqrt div def /rp 1 r r mul add sqrt def /z z rp mul def /w w rp mul def /a1 y x atan def /a2 yp xp atan def a1 a2 180 sub lt { /a1 a1 360 add def } if a1 a2 180 add gt { /a1 a1 360 sub def } if a1 a2 gt { z w r a1 90 add a2 270 add arc } { z w r a1 270 add a2 90 add arcn } ifelse } def /settilecolor { /k a a mul b b mul c c mul d d mul add add add 2 sub 24 mod 4 div cvi def % Comment this line out for color output !! % /k k 2 mod 6 add def k 0 eq { 1 0.85 0.85 setrgbcolor } if k 1 eq { 0.85 1 0.85 setrgbcolor } if k 2 eq { 0.85 0.85 1 setrgbcolor } if k 3 eq { 1 1 0.7 setrgbcolor } if k 4 eq { 1 0.7 1 setrgbcolor } if k 5 eq { 0.7 1 1 setrgbcolor } if k 6 eq { 0.9 setgray } if k 7 eq { 1.0 setgray } if } def 0 setgray 0 0 1 0 360 arc stroke %% Main loop /num level 4 mul def num neg 1 add 4 num 1 add { /a exch def num neg 2 num { /b exch def num neg 2 num { /c exch def num neg 1 add 4 num 1 add { /d exch def a d mul b c mul sub 1 eq { c 0 eq { /x1 -1 def /y1 0 def } { /x1 a c div def /x1 /y1 x1 expit } ifelse /x2 b a sub d c sub div def /x3 b d div def /x4 b a add d c add div def /x2 /y2 x2 expit /x3 /y3 x3 expit /x4 /y4 x4 expit x1 y1 moveto x1 y1 x2 y2 doarc x2 y2 x3 y3 doarc x3 y3 x4 y4 doarc x4 y4 x1 y1 doarc gsave settilecolor fill grestore 0 setgray stroke } if } for } for } for } for grestore grestore } \EndFig \claim Théorème|Il existe une fonction, dite «\?fonction modulaire\?» $\lambda:\bH\to\bC\ssm\{0, 1\}$ qui vérifie : \smallskip \item{\rm(i)} $\lambda$ est holomorphe$\;;$ \smallskip \item{\rm(ii)} $\lambda$ est $\Gamma_2$-invariante, i.e.\ pour tout $\gamma\in\Gamma_2$, $\lambda\circ\gamma=\lambda\;;$ \smallskip \item{\rm(iii)} l'application induite $\wt\lambda:\bH/\Gamma_2 \to\bC\ssm\{0,1\}$ est un homéomorphisme. \smallskip \noindent Autrement dit, l'application $\lambda:\bH\to\bC\ssm\{0,1\}$ est un revêtement de groupe $\Gamma_2$, et comme $\bH$ est simplement connexe, c'est le revêtement universel de $\bC\ssm\{0,1\}$. \endclaim \dem. La construction de $\lambda$ est une conséquence assez simple du théorème de Riemann et du principe de réflexion de Schwarz. \smallskip \noindent {\em Première étape\/$:$ construction de $\lambda$ sur $Q_+$}. L'ouvert $(Q_+)^\circ$ est simplement connexe, et tous ses points frontière sont simples. D'après le théorème de l'application conforme de Riemann, il existe une application biholomorphe $(Q_+)^\circ\to\bD$, et le théorème final du \S$\,$3.3 montre que l'on peut choisir cette application de sorte que le prolongement continu $F:\ol Q_+\to\ol\bH$ vérifie $F(0)=0$, $F(1)=1$, $F(\infty)=\infty$ (voir aussi la Remarque~3). Pour cela, il faut vérifier que le triplet $(0,1,\infty)$ a la même orientation sur $\partial Q_+\cup\{\infty\}$ et sur $\partial\bH\cup\{\infty\}$ (à savoir en l'occurrence l'orientation d'indice $+1$). Ceci résulte d'un argument d'homotopie évident, en calculant les indices par rapport à un point~$z_0\in Q_+^\circ$. On prend tout simplement $\lambda=F$ sur $Q_+$. \smallskip \noindent {\em Deuxième étape\/$:$ extension de $\lambda$ à $\ol Q$}. D'après ce qui précède, $F$ envoie les demi-droites $[0,\infty)$ et $[1,\infty)$ de $\partial Q_+$ sur les demi-droites $[0,\infty)$ et $[1,\infty)$ de l'axe réel, et le demi-cercle de diamètre $[0,1]$ dans $\partial Q_+$ sur le segment $[0,1]\subset\bR$. Le fait que $F$ prenne des valeurs réelles sur $\partial Q_+$ nous permet d'appliquer le principe de réflexion de Schwarz. De façon précise, on pose $$ \eqalign{ \lambda(z)&=F(z)\qquad\hbox{si $z\in\ol Q_+$},\cr \lambda(z)&=\ol{F(-\ol z)}\qquad\hbox{si $z\in\ol Q_-$}.\cr } $$ Du fait que $F$ est réelle sur $\partial Q_+$, les deux définitions se recollent sur la demi-droite $\ii \bR_+=[0,\infty]\subset\partial Q_+$. La fonction $\lambda$ est ainsi bien définie sur $\ol Q$, et le principe de réflexion de Schwarz montre qu'elle est holomorphe sur l'intérieur $Q^\circ$ du domaine fondamental. \smallskip \noindent {\em Troisième étape\/$:$ extension de $\lambda$ à $\bH$}. D'après la deuxième étape, on a $$ \lambda(-1+\ii y)=\ol{F(1+\ii y)}=F(1+\ii y)\qquad\hbox{si $y\in\bR_+$}, $$ toujours du fait que $F$ est réelle sur $\partial Q_+$. Ceci montre qu'on peut recoller $\lambda$ par périodicité vis à vis de la translation $\tau(z)=z+2$, en posant $\lambda(\tau^k(z))=\lambda(z)$ pour $z\in Q$. Il reste à examiner le comportement de $F$ vis-à-vis de l'autre générateur $\sigma(z)=z/(2z+1)$ du groupe $\Gamma_2$. Ici encore, on va pouvoir poser $$ \lambda(\sigma(z))=\lambda(z) $$ pour tout $z\in\ol Q$, car l'intersection $\ol Q\cap\sigma(\ol Q)$ se réduit au demi-cercle $C_+$ de diamètre $[0,1]$, qui est l'image par $\sigma$ du demi-cercle $C_-$ de diamètre $[0,-1]$. Pour $z=-{1\over 2}+{1\over 2} e^{\ii\theta}\in C_-$, $\theta\in[0,\pi]$, il est facile de constater que $$ \sigma(z)={-{1\over 2}(1-e^{\ii\theta})\over e^{\ii\theta}} ={1\over 2}(1-e^{-\ii\theta})=-\ol z\in C_+, $$ donc on a bien $\lambda(\sigma(z))=\lambda(z)$ sur les points pour lesquels on dispose déjà de deux définitions. Pour conclure, tout point $w\in\bH$ s'écrit comme l'image $w=\varphi(z)$ d'un point $z\in\ol Q$ sous l'action d'un élément $$ \varphi=\sigma^{n_1}\tau^{p_1}\sigma^{n_2}\tau^{p_2}\ldots \sigma^{n_k}\tau^{p_k}\in\Gamma_2,\qquad n_j,\,p_j\in\bZ, $$ et on définit alors $$ \lambda(w)=\lambda(\varphi(z))=\lambda(z).\leqno(*) $$ Ce choix fournit éventuellement plusieurs définitions simultanées de $\lambda(w)$ lorsque $z\in\partial Q_+$, en fonction de l'arc de cercle $(-1,0)$, $(0,1)$ ou de la demi-droite $(\infty,-1)$, $(1,\infty)$ à laquelle $z$ appartient. Suivant le cas, $z'=\sigma(z)$, $z'=\sigma^{-1}(z)$, $z'=\tau(z)$ ou $z'=\tau^{-1}(z)$ appartient encore à $\partial Q$, et d'après ce que avons vu on a $\lambda(z')=\lambda(z)$ dans chacun des cas. Par conséquent la définition $(*)$ est non ambigue. Grâce au principe de réflexion de Schwarz, on voit que $\lambda$ est holomorphe sur $\bH$ tout entier. On vérifie aisément que $\lambda$ est une bijection de $Q$ sur $\lambda(Q)=\bC\ssm\{0,1\}$. Ceci implique que l'application induite $\wt\lambda:\bH/\Gamma_2\to\bC\ssm\{0,1\}$ est un homéomorphisme.\qed \claim Remarque|{\rm Les fibres $\lambda^{-1}(w)$ de la fonction modulaire $\lambda:\bH\to \bC\ssm\{0,1\}$ sont les orbites $\Gamma_2\cdot z$ de l'un quelconque des antécédents de $w$ par $\lambda$. Or, ces orbites sont localement finies dans $\bH$, mais elles admettent $\bR\cup\{\infty\}$ comme l'ensemble de leurs valeurs d'adhérence. En effet, tout réel $x_0$ peut être approché d'aussi près que l'on veut par un rationnel $a/c$ qui est un quotient d'un entier $a$ impair par un entier $c$ pair (on peut même supposer que $a$ et $c$ sont premiers entre eux, par exemple en prenant pour $c$ une puissance de $2$). L'identité de Bezout implique alors l'existence d'entiers $b$, $d$ tels que $ad-bc=1$, et les matrices $$ \pmatrix{a & ka+b \cr c & kc+d\cr},\qquad k\in\bN $$ définissent des éléments de $\PSL_2(\bZ)$ tels que les images $(az+ka+b)/(cz+kc+d)$ tendent vers $a/c$ quand $k\to+\infty$. En particulier les zéros de $\lambda(z)-w$ admettent des points d'accumulation en tout point de l'axe réel, et ceci entraîne que $\lambda$ ne peut admettre de prolongement holomorphe sur aucun voisinage $V$ d'un point $x_0\in\bR$. } \endclaim \section{4.3. Nouvelle démonstration des théorèmes de Picard} Nous allons voir ici que l'existence de la fonction modulaire fournit une nouvelle démonstration assez simple des théorèmes de Picard. \claim Petit théorème de Picard|Si $f\in\cO(\bC)$ est une fonction holomorphe non constante, alors $f$ omet au plus une valeur du plan complexe. \endclaim \dem. Supposons que $f$ omette deux valeurs distinctes $w_1,w_2\in\bC$. Après transformation de $f$ en $(f(z)-w_1)/(w_2-w_1)$, on peut supposer que $f$ omet les deux valeurs $0$ et $1$. Comme $\lambda:\bH\to\bC\ssm\{0,1\}$ est un revêtement et que $\bC$ est simplement connexe, il existe un relèvement holomorphe $\wt f:\bC\to\bH$ tel que $\lambda\circ\wt f=f$. Mais $\bH$ est isomorphe au disque $\bD$, et le théorème de Liouville implique que $\wt f$ est constante. Par suite $f$ serait constante. C'est une contradiction.\qed \claim Grand théorème de Picard|Si $f\in\cO (D(z_0,r_0)\ssm\{0\})$ et si $z_0$ est un point singulier essentiel de $f$, il existe une partie $E\subset\bC$ contenant au plus un point, telle que $f$ atteint une infinité de fois toute valeur de $\bC\ssm E$ sur tout voisinage pointé $V\ssm\{z_0\}$ de~$z_0$. \endclaim Comme au Chapitre~III, \S$\,$8, la preuve découle de la proposition suivante, appliquée à $\Omega=\bD$, $z_0=0$ et $\Omega'=\bC\ssm\{0,1\}$. \claim Proposition|Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\bC$ et $\Omega'$ un ouvert dont le complé\-mentaire n'est pas réduit à un seul point. On considère un point $z_0\in\Omega$ et un compact $L_0\subset\Omega'$. Alors pour tout compact $K\subset\Omega$, il existe un compact $L\subset\Omega'$ dépendant de $K$ et $L_0$, tel que pour toute application holomorphe $f:\Omega\to\Omega'$ vérifiant $f(z_0)\in L_0$ on ait $f(K)\subset L$. \endclaim \dem. Puisque ce résultat a déjà fait l'objet d'une preuve complète, on se contentera ici de traiter le cas $\Omega=\bD$, $z_0=0$ et $\Omega'=\bC\ssm\{0,1\}$. Grâce à la propriété de revêtement de $\lambda:\bH\to\bC\ssm\{0,1\}$ et à la simple connexité de~$\Omega$, il existe un compact $\smash{\wt L_0}$ de $\bH$ tel que $\lambda(\smash{\wt L_0})=L_0$ (ceci résulte du fait qu'on peut recouvrir $L_0$ par un nombre fini d'ouverts adaptés). D'après le théorème de relèvement, toute application holomorphe $f:\Omega\to\bC\ssm\{0,1\}$ telle que $f(0)\in L_0$ se relève en une application holomorphe $\wt f:\Omega\to\bH$ telle que $\wt f(0)\in\wt L_0$ et $f=\lambda\circ\wt f$. On voit alors que la proposition se ramène au cas où $\Omega'=\bH$ (mais comme $\bH$ est conformément équivalent au disque, on peut tout aussi bien supposer $\Omega'=\bD$)$\,$; en effet, pour tout compact $K$ de $\Omega$, on pourra trouver un compact $\wt L$ tel que $\wt f(K)\subset \wt L$, et il suffira de prendre $L=\lambda(\wt L)$. Dans le cas $\Omega'=\bD$, fixons un disque $\ol D(0,R_0)$ qui contient $L_0$, et si $a=f(z_0)$, considérons la composée $\varphi_a\circ f$ avec $\varphi_a(z)=(z-a)/(1-\ol a z)$, $a=f(0)$. Alors $\varphi_a\circ f$ est une application du disque dans lui-même envoyant $0$ sur $0$, donc $|\varphi_a\circ f(z)|\le |z|$ par le lemme de Schwarz. Comme l'image par $\varphi_a^{-1}=\varphi_{-a}$ du disque $\ol D(0,r)$ est contenue dans le disque de rayon $(|a|+r)/(1+|a|r)\le (R_0+r)/(1+R_0r)$, on en déduit $$ f(\ol D(0,r))\subset \ol D(0,M_{R_0}(r)),\qquad \hbox{où}~~M_{R_0}(r)={R_0+r\over 1+R_0r}. $$ Ceci démontre la Proposition (et le grand théorème de Picard en découle comme au Chapitre~III, \S$\,$8).\qed \claim Remarque|{\rm Le petit théorème et le grand théorèmes de Picard admettent également des versions pour les fonctions méromorphes. Ils s'énoncent comme suit~: \smallskip \item{\rm(i)} {\em Toute application méromorphe non constante $f\in\cM(\bC)$ omet au plus deux valeurs de $\bP^1_\bC=\bC\cup\{\infty\}$.} \smallskip \item{\rm(ii)} {\em Toute application méromorphe $f:D(z_0,r_0)\ssm\{z_0\}\to \bC\cup\{\infty\}$ admettant une singularité essentielle en $z_0$ $($c'est-à-dire un point singulier non isolé, ou bien un point singulier isolé mais qui est une singularité essentielle de $f$ comme fonction holomorphe$)$ prend une infinité de fois toute valeur dans le complémentaire $\bP^1_\bC\ssm E$, où $E$ est une partie de $\bP^1_\bC$ comportant au plus deux points.} \smallskip \noindent [Si $a$ est une valeur omise par $f$ et $a\ne\infty$, on peut en effet raisonner sur la fonction $g(z)=1/(f(z)-a)$ qui est une fonction holomorphe]. } \endclaim \supersection{5. Fonctions univalentes} L'objet de cette section est de prouver quelques estimations quantitatives concernant les fonctions injectives (dites encore univalentes) sur le disque unité. \claim Définition|On note $\cS$ l'ensemble des fonctions holomorphes injectives $f$ sur le disque unité $\bD$ telles que $f(0)=0$ et $f'(0)=1$. \endclaim Ainsi toute fonction $f\in\cS$ admet un développement en série de la forme $$ f(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty}a_nz^n,\qquad z\in\bD. $$ La fonction $F=1/f$ est méromorphe sur $\bD$ et admet du fait de l'injectivité de $f$ un unique pôle simple en $z=0$. On a donc un développement en série convergent $$ F(z)={1\over z}+\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_nz^n,\qquad z\in\bD. $$ On notera que si $c\in\bD$, alors la fonction $$ f_c(z)=c^{-1}f(cz)=z+\sum_{n=2}^{+\infty}a_nc^{n-1}z^n $$ est encore dans $\cS$. \claim Exemple|{\rm La fonction $$ f_1(z)={z\over (1-z)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}nz^n $$ est un élément de $\cS$. En effet, si $f(z)=f(w)$, alors $(z-w)(1-zw)=0$ et le second facteur n'est pas nul si $|z|<1$ et $|w|<1$. On vérifie aisément que l'image $f_1(\bD)$ est égale à $\bC\ssm{}]-\infty,-1/4[$. Ceci résulte du fait que l'équation du second degré $(1-z)^2-z/w=0$ a deux racines dont le produit est égal à $1$, et ces racines ne peuvent être complexes conjuguées que si $w$ est réel avec $\Delta=(2+1/w)^2-4\le 0$, ce qui équivaut à $w\in{}]-\infty,-1/4]\;$; dans tout autre cas, une des racines $z$ (et une seulement) est de module${}<1$. D'après la remarque ci-dessus, la fonction $$ f_c(z)=c^{-1}f_1(cz)={z\over(1-cz)^2},\qquad |c|=1 $$ est également dans $\cS$, et son image est le complémentaire dans $\bC$ de la demi-droite $]-\infty,-1/4]\;{}c^{-1}$.} \endclaim \claim Théorème de l'aire|Soit $f\in\cS$ et $$ F(z)={1\over f(z)}={1\over z}+\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_nz^n,\qquad z\in\bD. $$ \vskip-14pt\noindent Alors~~ $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n|\alpha_n|^2\le 1$. \endclaim \dem. La preuve repose sur une estimation de l'aire couverte par l'image $F(C_r)$ de la couronne $C_r=C(0,r,1)$, lorsque $r\in{}]0,1[$ tend vers~$0$. Cette aire est donnée par $A(r)=\int\!\!\int_{C_r}|F'(z)|^2d\lambda(z)$, car la différentielle d'une application holomorphe $F$ est une similitude de rapport $F'(z)$ (de sorte que l'image d'un rectangle infinitésimal est un rectangle infinitésimal dont l'aire est multipliée par $|F'(z)|^2$). En passant en coordonnées polaires, il vient $$ A(r)=\int_r^1\rho d\rho \int_0^{2\pi}|F'(\rho e^{\ii\theta})|^2d\theta. $$ La dérivée $F'(\rho e^{\ii\theta})$ s'exprime comme la série de Fourier $$ F'(\rho e^{\ii\theta})=-{1\over z^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}n\alpha_n z^{n-1}= -\rho^{-2}e^{-2\ii\theta}+\sum_{n=1}^{+\infty}n\alpha_n \rho^{n-1} e^{(n-1)\ii\theta}. $$ La formule de Parseval nous donne par conséquent $$ \int_0^{2\pi}|F'(\rho e^{\ii\theta})|^2d\theta=2\pi\Big( \rho^{-4}+\sum_{n=1}^{+\infty}n^2|\alpha_n|^2\rho^{2n-2}\Big), $$ d'où $$ A(r)=\pi\Big(r^{-2}-1+\sum_{n=1}^{+\infty}n|\alpha_n|^2(1-r^{2n})\Big). $$ Par ailleurs, du fait de l'injectivité de $F$, l'image $F(C_r)$ est contenue dans le complémentaire de l'image du disque $F(D(0,r))$, qui est un voisinage de l'infini bordé par l'image $F(\Gamma(0,r))$ du cercle de rayon $r$. Nous allons estimer l'image de ce cercle à partir du développement en série de Laurent de~$F$. Nous pouvons ne pas tenir compte du coefficient $\alpha_0$, puisque celui-ci produit juste une translation de l'image de $F$. Par ailleurs, quitte à changer $F(z)$ en $cF(cz)$ avec $|c|=1$, le coefficient $\alpha_1$ est remplacé par $\alpha_1 c^2$ et on peut donc supposer $\alpha_1$ réel positif. Dans ces conditions, si nous posons $z=r e^{\ii\theta}$, il vient $$ u+\ii v=F(r e^{\ii\theta})=r^{-1}e^{-\ii\theta}+\alpha_1r e^{\ii\theta}+O(r^2), $$ donc $$ u=(r^{-1}+\alpha_1 r)\cos\theta+O(r^2),\qquad v=-(r^{-1}-\alpha_1 r)\sin\theta+O(r^2). $$ Ceci entraîne que $$ {u^2\over (r^{-1}+\alpha_1r)^2}+{v^2\over (r^{-1}-\alpha_1r)^2}<1+Cr^3, $$ donc l'image $F(\Gamma(0,r))$ est contenue dans l'ellipse $E_r$ dont les demi-axes sont $a=(r^{-1}+\alpha_1r)\sqrt{1+Cr^3}$ et $b=(r^{-1}-\alpha_1r)\sqrt{1+Cr^3}$. D'après ce qui précède, l'image $F(C_r)$ est contenue dans $E_r$, et son aire satisfait donc la majoration $$ A(r)\le\pi ab=\pi(r^{-1}+\alpha_1r)(r^{-1}-\alpha_1r)(1+Cr^3)=\pi(r^{-2}+O(r)). $$ En combinant cette inégalité avec la formule explicite déjà établie pour $A(r)$, nous obtenons $$ -1+\sum_{n=1}^{+\infty}n|\alpha_n|^2\le 0 $$ lorsque $r\to 0$, et le «\?théorème de l'aire\?» est démontré.\qed \claim Corollaire 1|Si $f\in\cS$, alors le coefficient $\alpha_1$ de $z$ dans $F(z)=1/f(z)$ vérifie $|\alpha_1|\le 1$. \endclaim Cette inégalité est optimale, puisque la fonction $f_c(z)=z/(1-cz)^2$ de $\cS$ est telle que $F_c(z)=1/f_c(z)=z^{-1}-2c+c^2z$, et on a donc $|\alpha_1|=1$ lorsque $|c|=1$. \claim Corollaire 2|Si $f\in\cS$, alors le coefficient $a_2$ de $z^2$ dans $f(z)$ vérifie $|a_2|\le 2$. \endclaim \dem. Si $f(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty}a_nz^n$, on considère la fonction $$ g(z)=\sqrt{f(z^2)}=\sqrt{z^2+a_2z^4+a_3z^6+\ldots}= z\sqrt{1+a_2z^2+a_3z^4+\ldots} $$ La fonction $g$ est impaire. Elle est dans $\cS$ puisque $g(z)=g(w)$ implique $f(z^2)=f(w^2)$, donc $z^2=w^2$ et $w=\pm z\;$; or l'imparité de $g$ exclut la possibilité $w=-z$ si $z\ne 0$, donc $g$ est bien injective. Nous avons $$ G(z)={1\over g(z)}={1\over z}(1+a_2z^2+a_3z^4+\ldots)^{-1/2}= {1\over z}-{a_2\over 2}z+\Big({3\over 8}a_2^2-{1\over 2}a_3\Big)z^3+ \ldots $$ Le corollaire~1 nous donne alors $|{a_2\over 2}|\le 1$. De nouveau cette égalité est optimale comme le montre l'exemple de la fonction $f(z)=z/(1-z)^2=z+2z^2+3z^3+\ldots\;$.\qed \claim Corollaire 3|Si $f\in\cS$, alors $f(\bD)$ contient le disque $D(0,{1\over 4})$, et si $F=1/f$, l'image $F(\bD)$ contient le complémentaire du disque fermé du rayon $2$ centré au point~$-a_2$. \endclaim \dem. Si $w\notin f(\bD)$, alors la fonction $$ g(z)={f(z)\over 1-f(z)/w} $$ qui est la composée de $f$ avec une homographie est encore injective. De plus $g(0)=0$ et $g'(0)=f'(0)=1$, donc $g\in\cS$. Si $f(z)=z+a_2z^2+\ldots$~, un calcul du développement limité donne $$ g(z)=z+\Big(a_2+{1\over w}\Big)z^2+\ldots $$ donc $|a_2+{1\over w}|\le 2$. Ceci montre que $F(\bD)$ contient le complémentaire du disque fermé de centre $-a_2$ et de rayon~$2$. De plus $|a_2|\le 2$, donc on a $|{1\over w}|\le 4$ et $|w|\ge{1\over 4}$. Il en résulte que $f(\bD)\supset D(0,{1\over 4})$. La fonction $f(z)=z/(1-z)^2$ a pour image $f(\bD)=\bC\ssm{}]-\infty,-1/4]$, tandis que $g(z)=z/(1+z^2)$ est également injective, et admet une fonction inverse $G=1/g=1/f+2$ qui a pour image $G(\bD)=(\bC\cup\{\infty\}) \ssm[-2,2]$, avec un coefficient $a_2=0$. Par conséquent le corollaire~3 ne peut pas être amélioré.\qed \end % Local Variables: % TeX-command-default: "eTeX" % End: