% Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann, chapitre V % % Laurent Bonavero % Jean-Pierre Demailly % Université de Grenoble I, Institut Fourier % 38402 Saint-Martin d'Hères, France % \input vcmac \openauxfile \blankline \chaptitle{Chapitre V} \chaptitle{Fonctions harmoniques} \chaptitle{et sous-harmoniques} \chaptitlerunning{Chap.\ V: Fonctions harmoniques et sous-harmoniques} \vskip50pt Les fonctions sous-harmoniques sont en quelque sorte les analogues complexes des fonctions convexes~: par définition, ce sont les fonctions semi-continues supé\-rieu\-rement sur un ouvert du plan complexe qui satisfont les inégalités de moyenne relativement à tous les disques contenus dans cet ouvert. De même que les fonctions convexes sont caractérisées par la positivité de la dérivée seconde, les fonctions sous-harmoniques sont, quant à elles, caractérisées par la positivité du laplacien. Nous les étudions en démontrant au passage un certain nombre de formules intégrales importantes, comme la formule de Green-Riesz, qui exprime une fonction sur un disque en termes de ses valeurs au bord et d'une certaine intégrale de son laplacien. De cette formule générale, nous déduisons la formule de Poisson qui donne la solution du problème de Dirichlet pour les fonctions harmoniques. La formule de Jensen s'obtient d'autre part comme conséquence de la formule de Lelong-Poincaré calculant le laplacien d'une fonction sous-harmonique du type $\ln|f|$ avec $f$ holomorphe. Le chapitre s'achève avec la preuve du principe de réflexion de Schwarz, via une version forte du principe du maximum pour les fonctions faiblement sous-harmoniques. \supersection{1. Généralités sur les fonctions semi-continues} Rappelons qu'une fonction $u$ définie sur un espace topologique $X$ et à valeurs dans $\bR$ ou dans $[-\infty,+\infty[$ est dite {\it semi-continue supérieurement} en un point $x_0$ si pour tout $\lambda>u(x_0)$ il existe un voisinage $V$ de $x_0$ sur lequel on a $u<\lambda$. De façon équivalente, $u:X\to{}]-\infty,+\infty]$ est semi-continue supérieurement en $x_0$ si $$ \limsup_{x\to x_0}u(x)\le u(x_0).\leqno(1.1) $$ De façon analogue, on dit que $u$ est {\it semi-continue inférieurement} en $x_0$ si $$ \liminf_{x\to x_0}u(x)\ge u(x_0).\leqno(1.2) $$ Il est clair que la fonction $u$ est continue en $x_0$ si et seulement si elle y est semi-continue supérieurement et inférieurement. Nous nous restreignons maintenant au cas de la semi-continuité supérieure, en laissant au lecteur le cas de la semi-continuité inférieure. On a le résultat évident qui suit. \claim Théorème et définition|La fonction $u$ est dite semi-continue supérieurement sur $X$ si elle l'est en tout point $x_0\in X$. Cette propriété équivaut aux deux suivantes~: \smallskip \item{\rm(i)} Pour tout réel $\lambda$, l'ensemble $\{u<\lambda\}=\{x\in X\,;\;u(x)<\lambda\}$ est un ouvert. \smallskip \item{\rm(ii)} Pour tout réel $\lambda$, l'ensemble $\{u\ge\lambda\}=\{x\in X\,;\;u(x)\ge \lambda\}$ est un fermé. \vskip0pt \endclaim On en déduit aisément le résultat qui suit. \claim Proposition|Si $u$ est semi-continue supérieurement sur $X$, alors pour toute partie compacte $K$ de $X$ il existe un point $x_0\in K$ tel que $$ \sup_{x\in K} u(x) = u(x_0). $$ \endclaim \dem. Soit en effet $S=\sup_{x\in K}u(x)$. Pour tout $\lambdau(x)$, il existe par hypothèse une boule $B(x,2^{-N})$ sur laquelle $u<\lambda$. Pour $y\in X\ssm B(x,2^{-N})$ on a alors $d(x,y)\ge 2^{-N}$ et donc $$ \max(u(y),2^{-n-1})- 2^n d(x,y)\le 1-2^{n-N}\le 0\le u(x)<\lambda $$ si $n\ge N$, tandis que pour $y\in B(x,2^{-N})$ et $n>-\log_2\lambda$ il vient $$ \max(u(y),2^{-n-1})- 2^n d(x,y)\le \max(u(y),2^{-n})<\lambda. $$ Par conséquent $u_n(x)\le \lambda$ pour $n\ge\max(N,[-\log_2\lambda]+1)$. Ceci montre que $\lim_{n\to+\infty}u_n(x)=u(x)$. Enfin, il est clair que l'on a $u_n(x)<1$ pour tout $x$ et tout $n$ (utiliser les majorations précédentes avec $\lambda<1$). La suite $(u_n)$ répond à la question.\qed Si $X$ est un espace métrisable et localement compact muni d'une mesure de Radon positive $\mu$ sur $X$, on peut définir l'intégrale $\int_K u\,d\mu\in[-\infty,+\infty[$ d'une fonction semi-continue supérieurement $u$ en posant, sur chaque compact $K\subset X$ $$ \int_ K u\,d\mu = \lim_{n\to+\infty} \int_K u_n\,d\mu\leqno(1.3) $$ pour toute suite $(u_n)$ de fonctions continues réelles qui convergent simplement en décroissant vers $u$. D'après le théorème de convergence monotone, on a $u\in L^1(K,\mu)$ si et seulement si $\int_K u\,d\mu>-\infty$. \supersection{2. Fonctions sous-harmoniques} \section{2.1. Notion de sous-harmonicité} La notion de sous-harmonicité est en quelque sorte l'analogue complexe de la notion réelle de convexité. Pour cela, on remplace l'inégalité de convexité relative au milieu des cordes par une inégalité de moyenne sur les cercles. \claim Définition|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$. Une fonction $u:\Omega\to[-\infty, +\infty[$ est dite sous-harmonique si les deux propriétés suivantes sont satisfaites~: \smallskip \item{\rm(i)} $u$ est semi-continue supérieurement sur $\Omega$. \smallskip \item{\rm(ii)} $u$ vérifie l'inégalité de la moyenne~: pour tout point $z_0\in\Omega$ et pour tout $r>0$ tel que $\ol D(z_0,r)\subset\Omega$, on a $$ u(z_0)\le{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0 + re^{\ii\theta})d\theta. $$ \vskip-5pt \endclaim \claim Notation|On note $\SH(\Omega)$ l'ensemble des fonctions sous-harmoniques sur~$\Omega$. \endclaim \claim Exemples|{\rm L'ensemble $\SH(\Omega)$ contient~: \par\noindent $\bu$ Les fonctions convexes dans $\Omega$ (i.e.\ les fonctions qui sont convexes sur tout segment $[a,b]\subset\Omega$). En effet, si $u$ est convexe sur $\Omega$ et si $\ol D(z_0,r)\subset\Omega$, on a $$ u(z_0)\le {1\over 2}\big(u(z_0+re^{\ii\theta})+u(z_0-re^{\ii\theta})\big), $$ ce qui implique l'inégalité de moyenne sur le cercle après intégration sur l'intervalle $[0,2\pi]$. \par\noindent $\bu$ Pour tout $f\in \cO(\Omega)$, les fonctions $\Re(f)$, $\Im(f)$ et $|f|^2$ sont des fonctions sous-harmoniques. Pour le voir, on écrit $$ f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n r^n e^{\ii n\theta}\qquad \hbox{si $z=z_0+re^{\ii\theta}$,} $$ et on utilise les formules usuelles concernant les séries de Fourier pour obtenir $$ \eqalign{ f(z_0)&=a_0={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta,\cr |f(z_0)|^2&=|a_0|^2\le\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n|^2r^{2n}= {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} |f(z_0+re^{\ii\theta})|^2\,d\theta\cr } $$ (égalité de Parseval). La première ligne entraîne bien que $\Re f$ et $\Im f$ satisfont l'égalité de moyenne, tandis que la seconde entraîne la sous-harmonicité de $|f|^2$. } \endclaim {\itemindent=7mm \claim Proposition|La classe des fonctions sous-harmoniques jouit des propriétés de stabilité suivantes. \smallskip \item{\rm(i)} Si $u,v\in\SH(\Omega)$ et $\lambda,\mu\in\bR^+$ alors $\lambda u+\mu v$ et $\max(u, v)$ sont sous-harmo\-niques. \smallskip \item{\rm(ii)} Si $(u_n)\in \SH(\Omega)$ est une suite décroissante alors $\lim u_n\in \SH(\Omega)$. \smallskip \item{\rm(iii)} Si $\chi:\bR\to\bR$ est une fonction croissante et convexe, et si $u\in\SH(\Omega)$ alors $$ \chi\circ u\in\SH(\Omega) $$ $[$on convient ici que $\chi(-\infty)=\lim_{t\to-\infty}\chi(t)\;]$. \smallskip \item{\rm(iv)} Si $\chi:\bR^p\to\bR$ est une fonction croissante et convexe par rapport à chaque variable, et si $u_1,\ldots,u_p\in\SH(\Omega)$ alors $\chi(u_1,\ldots,u_p)\in\SH(\Omega)$. \smallskip \item{\rm(v)} Si $u_1,\ldots,u_p\in\SH(\Omega)$ alors $\ln(e^{u_1}+\ldots+e^{u_p})\in\SH(\Omega)$. \endclaim } \dem. (i) se déduit aussitôt de la définition, (ii) résulte du théorème de convergence monotone et du fait que la limite d'une suite décroissante de fonctions semi-continues supérieurement est semi-continue supérieurement. Pour obtenir (iii), on pose $t_0=u(z_0)$ et on utilise le fait que le graphe de $\chi$ est situé au dessus de l'une ou l'autre de ses demi-tangentes, par exemple la demi-tangente à gauche $$ t\mapsto at+b=\chi'(t_0-0)(t-t_0)+\chi(t_0). $$ L'égalité $\chi(t_0)=at_0+b$ combinée à l'inégalité $\chi(t)\ge at+b$ implique alors $$ \chi(u(z_0))=a u(z_0)+b\le{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} \big(au(z_0+r e^{\ii\theta})+b\big)\,d\theta \le{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} \chi\big(u(z_0+r e^{\ii\theta})\big)\,d\theta. $$ On utilise ici de façon essentielle la positivité du coefficient $a=\chi'(t_0-0)\ge 0$, qui découle de la croissance de $\chi$. Pour obtenir (iv) on raisonne de même en utilisant le fait que le graphe de $\chi$ est situé au dessus de l'hyperplan d'appui défini par $$ (t_1,\ldots,t_p)\mapsto a_1t_1+\ldots+a_pt_p+b,\qquad a_j={\partial\chi\over\partial t_j}(t_j-0)\ge 0. $$ (v) C'est un cas particulier de (iv), car $\chi(t_1,\ldots,t_p)= \ln(e^{t_1}+\ldots+e^{t_p})$ est une fonction convexe de $(t_1,\ldots,t_p)$, croissante en chaque variable. On sait en effet que la convexité équivaut à la condition $\chi''(t)\ge 0$ en une variable, et à la positivité de la forme quadratique $\sum \chi''_{t_it_j}a_ia_j$ en un nombre quelconque de variables. La vérification de cette propriété sera laissée au lecteur.\qed \claim Inégalité de la moyenne sur un disque|Si $u\in\SH(\Omega)$, alors pour tout $z_0\in\Omega$ et tout $r>0$ tel que $\ol D(z_0,r)\subset\Omega$ on a~: $$ u(z_0)\le{1\over \pi r^2}\int_{D(z_0,r)} u(z)\,d\lambda(z). $$ \endclaim \dem. On passe en coordonnés polaires et on écrit $$ \eqalign{ {1\over \pi r^2}\int_{D(z_0,r)} u(z)\,d\lambda(z)&= {1\over \pi r^2}\int_{0\le\rho\le r,~0\le\theta\le2\pi} u(z_0+\rho e^{\ii\theta})\,\rho\,d\rho\,d\theta\cr &={2\over r^2}\int_0^r\rho\,d\rho\bigg( {1\over 2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+\rho e^{\ii\theta})\,d\theta\bigg)\cr } $$ Il est clair que l'inégalité de moyenne sur les cercles ${1\over 2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+\rho e^{\ii\theta})\,d\theta\ge u(z_0)$ implique l'inégalité de moyenne sur le disque.\qed \claim Corollaire|Si $\Omega$ est un ouvert connexe et si $u\in \SH(\Omega)$, alors soit $u$ est identiquement $-\infty$ sur $\Omega$, soit $u$ est dans $L^1_\loc(\Omega)$. \endclaim \dem. Supposons $u\not\equiv -\infty$, et considérons l'ensemble $E$ des points $z_0\in\Omega$ tel qu'il existe un voisinage $V_{z_0}$ sur lequel $u\in L^1(V_{z_0})$. Par définition même $E$ est un ouvert. Par ailleurs, si $z_0$ est un point tel que $u(z_0)\ne-\infty$, alors d'une part la semi-continuité supérieure entraîne l'existence d'un disque $\ol D(z_0,r)$ sur lequel $u\le M=u(z_0)+1$, et d'autre part l'inégalité de moyenne sur le disque implique $$ {1\over \pi r^2}\int_{D(z_0,r)} u(z)\,d\lambda(z)\ge u(z_0)>-\infty, $$ d'où $u\in L^1(D(z_0,r)$. Par conséquent $E$ contient tous les points tels que \hbox{$u(z_0)\ne-\infty$}, et, en particulier, $E$ est donc non vide. Montrons pour terminer que $E$ est {\em fermé} dans $\Omega$, ce qui achèvera la démonstration grâce à la connexité de~$\Omega$. Soit $z_0\in\ol E\cap\Omega$, $z_0=\lim a_\nu$, $a_\nu\in E$. Comme $u$ est intégrable au voisinage de $a_\nu$, il y a des points $b_\nu$ arbitrairement proches de $a_\nu$ tels que $u(b_\nu)>-\infty$ et $\lim b_\nu=z_0$. Soit $\delta={1\over 3}d(z_0,\complement\Omega)$. Pour $\nu$ assez grand on a $|b_\nu-z_0|<\delta$, donc $z_0\in D(b_\nu,\delta)$ et $D(b_\nu,\delta)\subset K=\ol D(z_0,2\delta)$ qui est un compact contenu dans $\Omega$. Sur ce compact, la semi-continuité supérieure de $u$ entraîne $u\le M=\sup_K u<+\infty$, tandis que $$ {1\over \pi \delta^2}\int_{D(b_\nu,\delta)} u(z)\,d\lambda(z)\ge u(b_\nu)>-\infty. $$ Comme $D(b_\nu,\delta)$ est un voisinage de $z_0$, ceci implique bien que $u$ est $L^1$ au voisinage de~$z_0$. Par suite $z_0\in E$ et $E$ est fermé.\qed \section{2.2. Formule de Lelong-Jensen} Nous obtenons ici une formule reliant les valeurs moyenne d'une fonction sur un cercle, à une certaine intégrale de son laplacien sur un disque. La généralisation de cette formule à $\bC^n$ est souvent appelée formule de Lelong-Jensen. Nous nous restreindrons ici au cas du plan et du disque. \claim Formule de Lelong-Jensen|Soit $u$ une fonction de classe $\cC^2$ sur un disque fermé~$\ol D(z_0,r_0)$. Alors $$ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+r_0e^{\ii\theta})\,d\theta = u(z_0)+ {1\over2\pi}\int_0^{r_0}\bigg(\int_{D(z_0,t)}\Delta u(z)\,d\lambda(z)\bigg) {dt\over t}.\leqno(2.2.1) $$ \endclaim \dem. Pour simplifier les notations, nous supposons $z_0=0$ et utilisons les coordonnées polaires dans $\bC\simeq \bR^2$ pour écrire $u(x,y)=u(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Nous devons calculer $$ \mu(r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\cos\theta,r\sin\theta)\,d\theta. $$ Le théorème de dérivation sous le signe $\int$ implique $$ \mu'(r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\big(u'_x(r\cos\theta,r\sin\theta) \,\cos\theta+u'_y(r\cos\theta,r\sin\theta)\,\sin\theta\big)\,d\theta. $$ En écrivant $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ sur le cercle $\Gamma(0,r)$, il vient $$ \cos\theta\,d\theta={1\over r}dy,\qquad \sin\theta\,d\theta=-{1\over r}dx, $$ d'où $$ \eqalign{ \mu'(r)&={1\over 2\pi r}\int_{\Gamma(0,r)} u'_xdy-u'_ydx ={1\over 2\pi r}\int_{D(0,r)} d\big(u'_xdy-u'_ydx\big)\cr &={1\over 2\pi r}\int_{D(0,r)}u''_{xx}\,dx\wedge dy-u''_{yy}\,dy\wedge dx ={1\over 2\pi r}\int_{D(0,r)}\Delta u(z)\,d\lambda(z)\cr} $$ en utilisant la formule de Green-Riemann. le lemme résulte alors de l'égalité $$ \mu(r_0)=\mu(0)+\int_0^{r_0}\mu'(t)\,dt.\eqno\square $$ Nous énonçons maintenant deux variantes utiles de la formule précédente. \claim Variantes|Soit $u$ une fonction de classe $\cC^2$ sur un disque fermé~$\ol D(z_0,r)$. Alors pour $\varepsilon\in{}]0,r[$ on a $$ \leqalignno{\kern40pt {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta &= u(z_0)+ {1\over2\pi}\int_{D(z_0,r)}\ln{r\over|z-z_0|}\,\Delta u(z)\, d\lambda(z).&(2.2.2)\cr {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta &- {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+\varepsilon e^{\ii\theta})\,d\theta &(2.2.3)\cr = {1\over2\pi}&\int_{D(z_0,r)}\min\bigg(\ln{r\over|z-z_0|}, \ln{r\over\varepsilon}\bigg)\,\Delta u(z)\, d\lambda(z).\cr } $$ \endclaim \dem. Nous reprenons les calculs précédents, en supposant de nouveau $z_0=0$. L'égalité $\mu(r)-\mu(\varepsilon)=\int_\varepsilon^r\mu'(t)\,dt$ et le théorème de Fubini fournissent $$ \eqalign{ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(re^{\ii\theta})\,d\theta &- {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(\varepsilon e^{\ii\theta})\,d\theta\cr &=\int_\varepsilon^r{1\over 2\pi t}\bigg( \int_{D(0,t)}\Delta u(z)\,d\lambda(z)\bigg)dt\cr &={1\over 2\pi}\int\!\!\!\int_{\varepsilon0\quad\hbox{sur $\partial K\times K^\circ$},&(2.3.4)\cr \int_{\partial K}P_K(z,&w)\,|dz|=1,\quad\forall w\in K^\circ,&(2.3.5)\cr G_K(z,w)&<0\quad\hbox{et}\quad G_K(z,w)=G_K(w,z)\quad\hbox{sur $K^\circ\times K^\circ$},&(2.3.6)\cr \noalign{\vskip5pt} G_K(z,w)&=0\quad\hbox{sur $(K^\circ\times\partial K)\cup (\partial K\times K^\circ)$}.&(2.3.7)\cr } $$ \vskip-6pt \endclaim \dem. Après translation on peut évidemment supposer $z_0=0$. De plus, le changement de variable $z=rz'$, $w=rw'$ ramène le calcul au cas du disque unité~$D(0,1)$. Pour $w=0$, la formule (2.3.3) équivaut à $$ u(0)={1\over 2\pi}\int_{\Gamma(0,1)}u(z)\,|dz|+ {1\over 2\pi}\int_{D(0,1)}\ln|z|\,\Delta u(z)\,d\lambda(z), \leqno(2.3.8) $$ et celle-ci résulte de (2.2.2) dans le cas du rayon unité $r=1$. Pour obtenir le cas d'un point $w$ quelconque, on effectue un changement de variable au moyen d'une homographie bijective du disque unité dans lui-même, à savoir $$ \varphi_w(z)={z-w\over 1-z\ol w},\qquad \varphi_w^{-1}(\zeta)={\zeta+w\over 1+\zeta\,\ol w}. $$ En appliquant la formule (2.3.8) à la fonction $u\circ\varphi_w^{-1}(\zeta)$ on obtient $$ u(w)={1\over 2\pi}\int_{\Gamma(0,1)} u(\varphi_w^{-1}(\zeta))\,|d\zeta|+ {1\over 2\pi}\int_{D(0,1)}\ln|\zeta|\, \Delta_\zeta\big(u(\varphi_w^{-1}(\zeta))\big)\,d\lambda(\zeta). $$ On exploite maintenant le fait que l'expression $$ \Delta_z u(z)\,d\lambda(z)=2\ii {\partial^2 u\over \partial z\partial\ol z}\, dz\wedge d\ol z $$ est un {\em invariant conforme}~: si on substitue $z=\psi(\zeta)$ avec $\psi$ holomorphe, on a $dz=\psi'(\zeta)\,d\zeta$, donc $\partial^2 u/\partial z\partial\ol z$ devient $$ {1\over\psi'(\zeta)\ol{\psi'(\zeta)}}\, {\partial^2 u(\psi(\zeta))\over \partial\zeta\partial\ol\zeta} $$ tandis que $dz\wedge d\ol z$ devient $\psi'(\zeta)\ol{\psi'(\zeta)}\, d\zeta\wedge d\ol\zeta$. Par conséquent $$ \Delta_z u(z)\,d\lambda(z)= \Delta_\zeta\big(u(\psi(\zeta))\big)\,d\lambda(\zeta). $$ En appliquant cette invariance conforme avec le changement de variable $\zeta=\varphi_w(z)$ (c'est-à-dire $z=\psi(\zeta)= \varphi_w^{-1}(\zeta)$), nous obtenons $$ u(w)={1\over 2\pi}\int_{\Gamma(0,1)}u(z)\,|d\varphi_w(z)|+ {1\over 2\pi}\int_{D(0,1)}\ln|\varphi_w(z)|\, \Delta_z u(z)\,d\lambda(z). $$ Comme $$ |d\varphi_w(z)|=|\varphi'_w(z)|\,|dz|={1-|w|^2\over |1-z\ol w|^2}\,|dz| ={1-|w|^2\over |w-z|^2}\,|dz|, $$ si $|z|=1$, la formule de Green-Riesz s'ensuit.\qed \section{2.4. Sous-harmonicité et positivité du laplacien} Comme conséquence de la formule de Green-Riesz, on obtient une carac\-térisation nécessaire et suffisante des fonctions sous-harmoniques de classe~$\cC^2$. Nous améliorerons cette caractérisation dans la section~3, en la généralisant au fonctions sous-harmoniques quelconques. \claim Proposition|Soit $\Omega$ un ouvert de~$\bC$. Une fonction $u$ de classe $\cC^2$ dans $\Omega$ est sous-harmonique si et seulement si $\Delta u\ge 0$ sur $\Omega$. \endclaim \dem. Si $\Delta u\ge 0$ sur $\Omega$, l'égalité (2.2.1) $$ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta = u(z_0)+ {1\over2\pi}\int_0^r\bigg(\int_{D(z_0,t)}\Delta u(z)\,d\lambda(z)\bigg) {dt\over t} $$ montre que l'inégalité de moyenne $$ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta \ge u(z_0) $$ est satisfaite pour tout disque $\ol D(z_0,r)$. Inversement, s'il existe un point $z_0\in\Omega$ tel que $\Delta u(z_0)<0$, alors par continuité il existe un disque $\ol D(z_0,r)\subset\Omega$ sur lequel $\Delta u<0$, par suite $$ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta < u(z_0) $$ et $u$ n'est pas sous-harmonique.\qed Dans les résultats ci-dessous, nous aurons besoin d'utiliser les procédés usuels de régularisation. Pour cela, on choisit une fonction $\wt\rho:[0,+\infty[{}\to\bR_+$ de classe $\cC^\infty$ dont le support est égal à $[0,1]$~; la fonction $$ \wt\rho(t)=\cases{ \exp(-1/(1-t))&si $t\in [0,1]$\cr \noalign{\vskip4pt} 0 &si $t\in[1,+\infty[$\cr } $$ convient. On pose ensuite $$ \rho_\varepsilon(z)={C\over\varepsilon^2} \wt\rho\Big({|z|^2\over\varepsilon^2}\Big), $$ où $C>0$ est une constante choisie en sorte que $\int_\bC \rho_\varepsilon(z)\,d\lambda(z)=1$. Il est bien connu que si $u$ est une fonction localement intégrable dans $\bC$, alors la {\em convolution} $$ u*\rho_\varepsilon(z)=\int_{w\in\bC}u(w)\rho_\varepsilon(z-w)\,d\lambda(w) =\int_{w\in D(z,\varepsilon)}u(w)\rho_\varepsilon(z-w)\,d\lambda(w) $$ est une fonction $\cC^\infty$ qui converge vers $u$ dans $L^1$ sur tout compact. Plus précisément, si $u$ est définie sur un compact $\Omega$, alors $u*\rho_\varepsilon$ est définie sur $$ \Omega_\varepsilon=\big\{z\in\Omega\,;\;d(z,\complement\Omega)>\varepsilon \big\}, $$ avec $\Omega=\bigcup_{\varepsilon>0}\Omega_\varepsilon$. De plus, par dérivation sous le signe somme, nous avons $D^\alpha(u*\rho_\varepsilon)=u*(D^\alpha\rho_\varepsilon)$ pour tout opérateur de différentiation $D^\alpha$. Si $u$ est continue, on démontre aisément la convergence uniforme de $u*\rho_\varepsilon$ vers $u$ sur tout compact, et de là, la convergence dans $L^1$ par densité des fonctions continues à support compact. \claim Théorème|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $u:\Omega\to[-\infty,+\infty[$ une fonction semi-continue supérieurement. \smallskip \item{\rm(i)} Si $u\in\SH(\Omega)$ alors, pour tout $z_0\in\Omega$, l'application $$ r\mapsto\mu_{z_0,r}(u)={1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta $$ est croissante sur $[0,d(z_0,\complement\Omega)[$. \smallskip \item{\rm(ii)} Si $u\in\SH(\Omega) \cap L^1_\loc(\Omega)$ alors $u*\rho_\varepsilon$ est sous-harmonique dans $\Omega_\varepsilon$. De plus $\varepsilon\mapsto u*\rho_\varepsilon(z)$ est une fonction croissante et on a $\lim_{\varepsilon\to0_+}u*\rho_\varepsilon(z)=u(z)$ en tout point. \smallskip \item{\rm(iii)} Si $u\in\SH(\Omega)$ alors $u$ est la limite simple sur $\Omega$ d'une suite décroissante $u_\nu$ de fonctions sous-harmoniques de classe $\cC^\infty$, définies sur des ouvert $\Omega_{1/\nu}$ formant une suite croissante et tels que $\bigcup\Omega_{1/\nu}=\Omega$. \vskip0pt \endclaim \dem. Lorsque $u$ est de classe $\cC^2$, la propriété (i) résulte aussitôt de la formule (2.2.1) et de la positivité du laplacien. \noindent (ii) La convolution peut s'écrire aussi $$ u*\rho_\varepsilon(z)=\int_{w\in\bC}u(z-w)\rho_\varepsilon(w)\,d\lambda(w). $$ C'est une fonction $\cC^\infty$, donc continue. De plus, en prenant la valeur moyenne sur un cercle $\Gamma(z_0,r)$, on déduit du théorème de Fubini que l'inégalité de moyenne est satisfaite, par conséquent $u*\rho_\varepsilon$ est sous-harmonique et nous en déduisons de (i) que $$ r\mapsto \mu_{z_0,r}(u*\rho_\varepsilon)$$ est une fonction croissante de $r$, pour $ru(z)$, la semi-continuité supérieure de $u$ implique l'existence d'un disque $D(z,\varepsilon_0)$ sur lequel $u<\lambda$. Nous avons alors $u*\rho_\varepsilon(z)\le\lambda$ pour $\varepsilon<\varepsilon_0$, et donc $\lim_{\varepsilon\to 0} u*\rho_\varepsilon(z)=u(z)$. \noindent (iii) résulte de (ii) en prenant par exemple $u_\nu=u*\rho_{1/\nu}$, du moins lorsque $u$ est localement intégrable sur $\Omega$. Si $u$ n'est pas localement intégrable, on sait que $u$ est identiquement égale à $-\infty$ dans les composantes connexes où il n'y a pas intégrabilité, et il est évident dans ce cas qu'on peut prendre $u_\nu(z)=-\nu$. La propriété (i) s'ensuit sans hypothèse sur $u$, en considérant la suite $(u_\nu)$ et en appliquant le théorème de convergence monotone.\qed \claim Corollaire|Si $f:\Omega'\to\Omega$ est holomorphe et $u\in \SH(\Omega)$ alors $u\circ f\in \SH(\Omega')$. \endclaim \dem. Nous considérons d'abord le cas où $u$ est de classe~$\cC^2$. Du fait de l'holomorphie de $f$, nous avons $$ {\partial^2 (u\circ f)\over\partial z\partial\ol z} ={\partial^2 u\over\partial z\partial\ol z}(f(z))\,f'(z)\,\ol{f'(z)}, $$ et la positivité de $\Delta u$ entraîne donc celle de $\Delta(u\circ f)$. En général, on écrit $u$ comme limite décroissante $\lim u_\nu$ de fonctions sous-harmoniques de classe~$\cC^\infty$, et on en déduit que $u\circ f=\lim u_\nu\circ f$ est sous-harmonique.\qed \claim Exemple|{\rm Un exemple fondamental est celui de la fonction $u(z)=\ln|z|$, étendue à $\bC$ tout entier en posant $\ln 0=-\infty$. Nous avons $$ \ln|z|=\lim_{\varepsilon\to 0_+}{1\over 2}\ln(|z|^2+\varepsilon^2), $$ et des calculs aisés donnent $$ \eqalign{ {\partial\over\partial \ol z}\ln(|z|^2+\varepsilon^2)&= {z\over |z|^2+\varepsilon^2},\cr\qquad {\partial^2\over\partial z\partial \ol z}\ln(|z|^2+\varepsilon^2)&= {1\over |z|^2+\varepsilon^2}-{|z|^2\over(|z|^2+\varepsilon^2)^2} ={\varepsilon^2\over(|z|^2+\varepsilon^2)^2}\ge 0.\cr} $$ Par conséquent, les fonctions $z\mapsto\ln(|z|^2+\varepsilon^2)$ et $z\mapsto\ln|z|$ sont sous-harmoniques sur $\bC$ tout entier.} \endclaim \claim Conséquence|{\rm Il résulte de l'exemple précédent que pour toute fonction holomorphe $f\in\cO(\Omega)$, la fonction $\ln|f|$ est sous-harmonique dans $\Omega$. Plus généralement, si $\chi(t_1,\ldots,t_p)$ est une fonction convexe croissante et si $f_1,\ldots,f_p\in\SH(\Omega)$, alors $\chi(\alpha_1\ln|f_1|,\ldots,\alpha_p\ln |f_p|)\in\SH(\Omega)$ pour tout système $\alpha_1,\ldots,\alpha_p$ de coeffi\-cients${}\ge 0$. Ceci implique que $$ \eqalign{ &\max\big(\alpha_1\ln|f_1|,\ldots,\alpha_p\ln|f_p|\big)\in\SH(\Omega),\cr &\ln\big(|f_1|^{\alpha_1}+\ldots+|f_p|^{\alpha_p}\big)\in\SH(\Omega).\cr } $$ pour $\alpha_1,\ldots,\alpha_p\ge 0$.} \endclaim \claim Remarque|{\rm À partir de la fonction logarithme, il est aisé de produire des fonctions sous-harmoniques fortement discontinues. Posons par exemple $$ u(z)=\sum_{n=2}^{+\infty}2^{-n}\ln|z-a_n| \qquad\hbox{$z\in \bC$}, $$ où $(a_n)_{n\ge 1}$ est une suite dénombrable dense dans $\bC$, telle que $1/n\le|a_n|\le n$. Sur~le disque $D(0,R)$ nous avons $|z-a_n|-\infty, $$ donc $u$ n'est pas identiquement $-\infty$. Cependant $u(a_n)=-\infty$, donc $u(z)$ est égale à $-\infty$ sur une partie dense. La fonction positive $v=e^u$ est également sous-harmonique, elle est nulle sur une partie dense de $\bC$ sans être identiquement nulle.} \endclaim \supersection{3. Laplaciens comme mesures positives} \section{3.1. Dérivation au sens des distributions} Il sera commode d'utiliser ici quelques rudiments de la théorie des distributions, de façon à pouvoir différentier des fonctions qui sont seulement localement intégrables par rapport à la mesure de Lebesgue $d\lambda$. Nous nous contenterons d'un cas très particulier, qui met en jeu seulement des mesures, mais pas des distributions quelconques. Comme souvent, le mot mesure désignera ici des mesures «\?de~Radon\?», c'est-à-dire des mesures de masse finie sur les compacts. Étant donné un ouvert $\Omega$ dans $\bR^n$, on note $\cC_c(\Omega)$ l'ensemble des fonctions continues à support compact dans $\Omega$, et $\cD(\Omega)$ l'ensemble des fonctions $\cC^\infty$ à support compact dans $\Omega$. Grâce aux procédés standard de convolution, on montre facilement que $\cD(\Omega)$ est dense dans $\cC_c(\Omega)$ pour la topologie de la convergence uniforme. Enfin, on considère des opérateurs différentiels à coefficients constants $$ P(D)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha D^\alpha= \sum_{\alpha_1+\ldots+\alpha_n\le m}a_{\alpha_1\ldots\alpha_n} {\partial^{\alpha_1+\ldots+\alpha_n}\over \partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}~. $$ Le point de départ consiste à observer que l'on a la formule d'intégration par parties $$ \int_\Omega P(D)u(x)\,v(x)\,d\lambda(x)= \int_\Omega u(x)\,P(-D)v(x)\,d\lambda(x)\leqno(3.1.1) $$ chaque fois que $u$ et $v$ sont des fonctions de classe $\cC^m$ dans $\Omega$, l'une d'entre elles au moins étant à support compact. L'opérateur $P(-D)$ provient du changement de signe lorsqu'on effectue une intégration par parties ordinaire. Ceci nous amène à la définition suivante. \claim Définition|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$, $u$ une fonction réelle localement intégrable au sens de Lebesgue et $\mu$ une mesure réelle dans $\Omega$. Nous écrirons que l'on a $$ P(D)u = \mu $$ «\?au sens des distributions\?» si on a l'égalité $$ \mu(f) = \int_\Omega u(x)\,P(-D)f(x)\,d\lambda(x) $$ pour toute fonction $f\in\cD(\Omega)$ de classe $\cC^\infty$ à support compact dans $\Omega$. \endclaim Comme les fonctions $f$ de classe $\cC^\infty$ à support compact sont denses dans les fonctions continues à support compact pour la topologie de la convergence uniforme, la mesure $\mu$, si elle existe, est nécessairement unique. On observera que si $u$ est de classe $\cC^m$, alors la formule (3.1.1) montre que la mesure $\mu=P(D)u$ est la mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue telle que $$ d\mu(x)=P(D) u(x)\,d\lambda(x), $$ l'écriture $\mu=\Delta u$ revient donc simplement à identifier la mesure $\mu$ avec sa densité $P(D)u$. \section{3.2. Convergence vague des mesures} Nous aurons besoin de quelques résultats élémentaires sur la «\?conver\-gence vague\?» des mesures (parfois aussi appelée «\?convergence faible\?», mais nous éviterons cette terminologie pour éviter la confusion avec la notion analogue mais distincte en théorie des distributions). \claim Notion de convergence vague|On dit qu'une suite de mesures $(\mu_j)_{j\in\bN}$ converge vaguement vers une mesure $\mu$ sur $\Omega$ si la suite réelle $(\mu_j(f))_{j\in\bN}$ converge vers $\mu(f)$ pour toute fonction continue $f$ à support compact dans $\Omega$. \endclaim \claim Proposition|Soit $\cP$ une partie dense dans l'espace des fonctions continues à support compact dans $\Omega$ et $(\mu_j)_{j\in\bN}$ une suite de mesures dans~$\Omega$. \smallskip \item{\rm(i)} Pour que la suite $(\mu_j)$ converge vaguement vers une mesure $\mu$, il faut et il suffit d'une part que pour tout compact $K\subset\Omega$, la suite réelle $(|\mu_j|(K))_{j\in\bN}$ soit bornée, et d'autre part que $\mu_j(f)\to\mu(f)$ pour tout $f\in \cP$. \smallskip \item{\rm(ii)} On a la propriété de compacité suivante pour la convergence vague~: si pour tout compact $K\subset\Omega$ la suite $(|\mu_j|(K))_{j\in\bN}$ est bornée, alors il existe une sous-suite $(\mu_{j_\nu})$ qui converge vaguement vers une mesure $\mu$. \vskip0pt \endclaim \dem. (i) Considérons l'espace $\cC_K(\Omega)$ des fonctions continues à support dans un compact quelconque $K\subset\Omega$. C'est un espace de Banach pour la topologie de la convergence uniforme, et toute mesure $\mu$ sur $\Omega$ donne lieu à une forme linéaire continue $f\mapsto \mu(f)$ sur $\cC_K(\Omega)$, dont la norme est égale à $|\mu|(K^\circ)$ (noter que les fonctions de $\cC_K(\Omega)$ sont nulles sur le bord~$\partial K$). Si la suite $(\mu_j)$ converge vaguement vers $f$, alors c'est une suite de formes linéaires «\?simplement bornée\?» sur $\cC_K(\Omega)$, c'est-à-dire que la suite $(\mu_j(f))$ est bornée pour tout $f\in\cC_K(\Omega)$. Un théorème classique d'analyse fonctionnelle (le théorème de Banach-Steinhaus) dit alors que la suite des normes $\Vert\mu_j\Vert$ est bornée, donc les «\?masses\?» $|\mu_j|(K^\circ)$ sont bornées. Quitte à agrandir un peu le compact, on en conclut que les masses $|\mu_j|(K)$ sont bornées. Inversement, supposons que les masses $|\mu_j|(K)$ soient bornées et que\break $\lim\mu_j(f)=\mu(f)$ pour tout $f\in \cP$. L'hypothèse de densité de $\cP$ dans $\cC_c(\Omega)$ signifie de façon précise que pour tout $f_0\in\cC_c(\Omega)$, il existe un compact $K$ dans~$\Omega$, contenant le support de $f_0$, tel que pour tout $\varepsilon>0$ on peut trouver une fonction $f_\varepsilon\in \cP$, à support dans $K$, telle que $\Vert f_\varepsilon-f_0\Vert \le\varepsilon$. Désignons par $C_K$ une constante majorant les normes $\Vert\mu\Vert$ et $\Vert\mu_j\Vert\le|\mu_j|(K)$. Alors $$\eqalign{ |\mu_j(f_0)-\mu(f_0)| &\le |\mu_j(f_\varepsilon)-\mu(f_\varepsilon)|+ |\mu_j(f_\varepsilon-f_0)|+|\mu(f_\varepsilon-f_0)|\cr &\le |\mu_j(f_\varepsilon)-\mu(f_\varepsilon)|+ 2C_K\varepsilon.\cr} $$ Par hypothèse $f_\varepsilon\in \cP$, et il existe un indice $N(\varepsilon)$ tel que $|\mu_j(f_\varepsilon)-\mu(f_\varepsilon)|\le\varepsilon$ pour~$j\ge N(\varepsilon)$. On voit donc que l'on a bien $\lim\mu_j(f_0)=\mu(f_0)$ pour tout $f_0\in\cC_c(\Omega)$. \noindent (ii) On utilise ici l'existence d'une partie dénombrable $\cP=\{f_\nu\}_{\nu\in\bN}$ dense dans $\cC_c(\Omega)$ (si $\theta_\nu$ est une suite de fonctions tronquantes à support compact, égales à $1$ sur des compacts $K_\nu$ formant une suite exhaustive de $\Omega$, on peut prendre $\cP=\{x\mapsto \theta_\nu(x)p(x)\}$, où $p(x)$ décrit l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels). On construit par récurrence une suite de parties infinies emboîtées $S_\nu$ dans l'ensemble des entiers naturels, telles que $$ \bN\supset S_0\supset S_1\supset\ldots\supset S_\nu\supset\ldots, $$ et telles que la sous-suite $\mu_j(f_\nu))_{j\in S_\nu}$ soit convergente pour chaque indice $\nu$. Ceci est possible, puisque $$ |\mu_j(f_\nu)|\le C_K\Vert f_\nu\Vert, $$ si $K$ est un compact contenant le support de $f_\nu$ et $C_K$ un majorant de $|\mu_j|(K)$. Désignons par $j_\nu$ le $n$-ième élément de $S_\nu$. L'inégalité $$ |\mu_j(f)-\mu_k(f)|\le |\mu_j(f_\nu)-\mu_k(f_\nu)|+ |\mu_j(f-f_\nu)|+|\mu_k(f-f_\nu)| $$ et la densité de $\cP$ impliquent facilement que $(\mu_{j_\nu}(f))$ est une suite de Cauchy pour tout $f\in\cC_c(\Omega)$. Il est facile de voir que la limite $$ \mu(f)=\lim_{\nu\to+\infty}\mu_{j_\nu}(f) $$ définit une forme linéaire continue sur $\cC_c(\Omega)$, donc une mesure sur~$\Omega$, et que $(\mu_{j_\nu})$ converge vaguement vers $\mu$.\qed \claim Corollaire|Soit $(u_j)_{j\in\bN}$ une suite de fonctions localement intégrables au sens de Lebesgue sur $\Omega$. On suppose que $\mu_j=P(D)u_j$ est une mesure positive et que $u_j$ converge en norme $L^1$ sur tout compact vers une limite $u\in L^1_\loc(\Omega)$. Alors la suite $(\mu_j)_{j\in\bN}$ converge vaguement vers une mesure positive $\mu$ sur $\Omega$, et on a $\mu=P(D)u$. \endclaim \dem. Nous montrons tout d'abord que les masses $|\mu_j|(K)=\mu_j(K)$ sont bornées pour tout compact $K$ de~$\Omega$. Fixons une fonction $\theta\in\cC^\infty(\Omega)$, à support compact, telle que $0\le\theta\le 1$ et $\theta=1$ sur $K$. Par définition de $\mu_j$ et grâce à l'hypothèse de positivité, on a $$ 0\le\mu_j(K)\le\mu_j(\theta)=\int_\Omega u_j\,P(-D)\theta\,d\lambda \le \Vert P(-D)\theta\Vert_\infty~\Vert u_j\Vert_{L^1(K')} $$ où $K'=\Supp(\theta)$. Or, du fait de la convergence $L^1$ locale, la suite des normes $\Vert u_j\Vert_{L^1(K')}$ est bornée. On sait alors d'après (ii) qu'il existe une sous-suite $(\mu_{j_\nu})$ convergeant vaguement vers une mesure $\mu$. Puisque les $\mu_{j_\nu}$ sont positives, il est clair que $\mu$ est positive. Par convergence $L^1$ sur tout compact de la suite $(u_j)$, l'égalité $$ \mu_j(f)=\int_\Omega u_j\,P(-D)f\,d\lambda\qquad \forall f\in\cD(\Omega) $$ implique à la limite $$ \mu(f)=\int_\Omega u\,P(-D)f\,d\lambda\qquad \forall f\in\cD(\Omega), $$ par conséquent $\mu=P(D)u$. Grâce à la densité de $\cD(\Omega)$ dans $\cC_c(\Omega)$, la partie (i) de la proposition montre que $(\mu_j)_{j\in\bN}$ converge vaguement vers~$\mu$.\qed Il faut remarquer que le corollaire précédent est faux dans le cas de mesures non positives. Par exemple la suite de fonctions $u_j(x)=2^{-j} \sin(4^j x)$ converge vers $0$ dans $L^1_\loc(\bR)$ mais $\mu_j(x)={d\over dx}u_j(x)=2^j\cos(4^j x)$ n'est pas de norme $L^1$ localement bornée sur les compacts, de sorte qu'il ne saurait y avoir de limite vague de la suite de mesures $\mu_j(x)\,dx$. \section{3.3. Équation de Lelong-Poincaré} Nous appliquons ici les résultats qui précèdent au cas des fonctions sous-harmoniques. Nous obtenons tout d'abord le fait que le laplacien est une mesure positive, en même temps qu'un résultat général de convergence vague. \claim Théorème|Soit $u$ une fonction sous-harmonique $u$ dans un ouvert $\Omega$, qui n'est identiquement égale à $-\infty$ dans aucune des composantes connexes. Alors le laplacien $\Delta u$ est une mesure positive. De plus, si $(u_\nu)_{\nu\in\bN}$ est une suite décroissante de fonctions sous-harmoniques convergeant vers $u$, la suite de mesures $\Delta u_\nu$ converge vaguement vers $\Delta u$. \endclaim \dem. Nous savons qu'une telle fonction sous-harmonique $u$ est localement intégrable, et qu'on peut choisir une suite décroissante $(\wt u_\nu)$ de fonctions sous-harmoniques de classe $\cC^\infty$ convergeant vers~$u$. Dans ce cas $\Delta \wt u_\nu$ est une fonction $\cC^\infty~\ge{}0$, et le corollaire précédent implique que $\Delta u$ est une mesure positive. Le résultat général de convergence vague résulte aussi du corollaire.\qed \claim Exemple|Au sens des distributions, on a $$ \Delta \ln|z| = 2\pi\delta_0, $$ où $\delta_0$ désigne la mesure de Dirac en $0$. \endclaim \dem. Considérons la fonction $$ u_\varepsilon(z)={1\over 2}\ln\big(|z|^2+\varepsilon^2\big), $$ qui converge en décroissant vers $u(z)=\ln|z|$ quand $\varepsilon$ tend vers $0$ en décroissant. D'après un calcul déjà fait dans la section~2.4, nous avons $$ \Delta u_\varepsilon(z)={2\varepsilon^2\over (|z|^2+\varepsilon^2)^2}. $$ Pour toute fonction $f\in\cD(\bC)$, nous trouvons $$ \int_\bC \Delta u_\varepsilon(z)\,f(z)\,d\lambda(z)= \int_\bC {2\over(1+|w|^2)^2}\,f(\varepsilon w)\,d\lambda(w) $$ en effectuant un changement de variable $z=\varepsilon w$. Or, cette intégrale converge vers $I\, f(0)$ avec $$ I=\int_\bC {2\over(1+|w|^2)^2}d\lambda(w)= 2\pi\int_0^{+\infty} {2rdr\over(1+r^2)^2}=2\pi $$ (on a posé $w=re^{\ii\theta}$, $d\lambda(w)=rdr\,d\theta$). Par conséquent $$ \lim_{\varepsilon\to 0} \int_\bC \Delta u_\varepsilon(z)\,f(z)\,d\lambda(z)=2\pi f(0)=2\pi\delta_0(f) $$ et le résultat est démontré.\qed \claim Équation de Lelong-Poincaré|Soit $f$ une fonction mémomorphe sur un ouvert $\Omega$ de $\bC$, non identiquement nulle sur chaque composante connexe, et soit $$ D=\sum m_j[a_j] $$ son diviseur des zéros et des pôles. Alors la fonction $\ln|f|$ est localement intégrable sur $\Omega$, et au sens des distributions on a $$ {1\over 2\pi}\Delta\ln|f|=\sum_j m_j\delta_{a_j} $$ où $\delta_{a_j}$ est la mesure de Dirac au point $a_j$. \endclaim \dem. Il suffit d'après l'unicité de démontrer l'égalité au voisinage d'un point $z_0$ quelconque. Sur un disque $D(z_0,r)$ assez petit, on peut écrire $f(z)=(z-z_0)^mu(z)$ où $m$ est la multiplicité de $z_0$ (nulle si $z_0$ n'est ni un zéro ni un pôle$\,$!) et $u$ une fonction holomorphe inversible dans $D(z_0,r)$. On a alors $\Delta\ln|u|=0$ puisque $$ {\partial\over\partial z}\ln (u\,\ol u)={u'\,\ol u\over u\,\ol u}={u'\over u}, \qquad {\partial^2\over\partial z \partial \ol z}\ln (u\,\ol u)= {\partial\over\partial \ol z}\left({u'\over u}\right)=0. $$ Comme $\ln|f(z)|=m\ln|z-z_0|+\ln|u(z)|$ sur $D(z_0,r)$, on obtient $$ \Delta\ln|f(z)|=2\pi m\,\delta_{z_0} \quad\hbox{sur $D(z_0,r)$}.\eqno\square $$ \section{3.4. Formules de Jensen et de Green-Riesz généralisées} En utilisant le formalisme du laplacien généralisé au sens des distributions, il est facile d'obtenir le résultat suivant. \claim Théorème|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $u$ une fonction sous-harmonique sur $\Omega$ qui n'est égale identiquement à $-\infty$ sur aucune des composantes connexes. Soit $\Delta u$ la mesure positive «\?laplacien au sens des distributions\?». Alors pour tout disque fermé $\ol D(z_0,r)$ contenu dans $\Omega$ on a \smallskip \item{\rm(i)} Formule de Lelong-Jensen~$:$ $$ \eqalign{ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+r e^{\ii\theta})\,d\theta - u(z_0) &={1\over2\pi}\int_0^r\bigg(\int_{D(z_0,t)}\Delta u(z)\,d\lambda(z)\bigg) {dt\over t}\cr &={1\over2\pi}\int_{D(z_0,r)}\ln{r\over |z-z_0|}\, \Delta u(z)\,d\lambda(z).\cr } $$ \smallskip \item{\rm(ii)} Formule de Green-Riesz~$:$ pour tout point $w\in D(z_0,r)$ $$ u(w)=\int_{\Gamma(z_0,r)}P_{z_0,r}(z,w)\,u(z)\,|dz|+ \int_{D(z_0,r)}G_{z_0,r}(z,w)\,\Delta u(z)\,d\lambda(z). $$ \smallskip \item{\rm(iii)} Inégalité de Green-Riesz~$:$ pour tout point $w\in D(z_0,r)$ $$ u(w)\le\int_{\Gamma(z_0,r)}P_{z_0,r}(z,w)\,u(z)\,|dz|. $$ Dans ces trois formules, les intégrales étendues au cercle $\Gamma(z_0,r)$ sont toujours convergentes. \endclaim \dem. On remarquera que l'intégrale double du (i) peut-être divergente, c'est le cas si et seulement si $u(z_0)=-\infty$. De même l'intégrale $\smash{\int_{D(z_0,r)}}\ldots$ du (ii) converge si et seulement si $u(w)>-\infty$. Pour démontrer ces formules, on reprend l'égalité (2.2.3) $$ \eqalign{ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta &- {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+\varepsilon e^{\ii\theta})\,d\theta \cr = {1\over2\pi}&\int_{D(z_0,r)}\min\bigg(\ln{r\over|z-z_0|}, \ln{r\over\varepsilon}\bigg)\,\Delta u(z)\, d\lambda(z).\cr } $$ déjà démontrée lorque $u$ est de classe $\cC^2$. Si $u$ n'est pas de classe $\cC^2$, on applique cette égalité aux régularisées $u_\nu=u * \rho_{1/\nu}$ et on observe que la fonction $f$ définie par $$ f(z)=\cases{ \min\big(\ln{r\over|z-z_0|}, \ln{r\over\varepsilon}\big)&sur $D(z_0,r)$,\cr 0&sur $\bC\ssm D(z_0,r)$\cr } $$ est continue à support compact dans $\Omega$ (avec $\Supp f=\ol D(z_0,r)$). La convergence vague $\Delta u_\nu\to\Delta u$ implique que $$ \lim_{\nu\to+\infty}\int f(z)\,\Delta u_\nu(z)\,d\lambda(z)= \int f(z)\,\Delta u(z)\,d\lambda(z) $$ tandis que les intégrales $\int_0 ^{2\pi}u_\nu(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta$ et $\int_0 ^{2\pi}u_\nu(z_0+\varepsilon e^{\ii\theta})\,d\theta$ admettent les limites voulues par convergence monotone $u_\nu\to u$. Ces limites sont finies car la propriété de croissance des moyennes en fonction du rayon implique $$ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta \ge {1\over \pi r^2}\int_{D(z_0,r)}u(z)\,d\lambda(z)>-\infty $$ du fait de l'intégrabilité locale de $u$. En faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$, on obtient l'égalité $$ {1\over2\pi}\int_0 ^{2\pi}u(z_0+re^{\ii\theta})\,d\theta - u(z_0) = {1\over2\pi}\int_{D(z_0,r)}\ln{r\over|z-z_0|}\,\Delta u(z)\, d\lambda(z) $$ équivalente à (i). La formule (ii) se déduit de celle-ci comme dans la section 2.3, en se ramenant à $z_0=0$, $r=1$, puis en effectuant un changement de variable $\zeta=\varphi_w(z)$. L'inégalité (iii) résulte immédiatement de (ii), de la positivité du laplacien $\Delta u$ et de la négativité du noyau de Green $G_{z_0,r}$.\qed La formule plus classique connue sous le nom de formule de Jensen s'obtient en prenant $u=\ln|f|$ avec $f$ holomorphe. \claim Formule de Jensen|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $f$ une fonction méromorphe sur~$\Omega$, de diviseur $D=\sum m_j[a_j]$ $($on suppose $f$ non identiquement nulle sur chaque composante connexe$)$. Alors pour tout disque $\ol D(z_0,r)\subset\Omega$ on a $$ {1\over 2\pi}\int_ 0^{2\pi}\ln\big|f(z_0+re^{\ii\theta})\big| d\theta - \ln|f(z_0)| = \sum_{a_\nu\in D(0,r)} m_\nu \ln\bigg({r\over|a_\nu-z_0|}\bigg). $$ \endclaim \dem. Lorsque $f$ est holomorphe, c'est le cas particulier de la formule de Lelong-Jensen appliquée à $u=\ln|f|$, dans laquelle on utilise l'égalité de Lelong-Poincaré $$ {1\over 2\pi}\Delta u = \sum_j m_j\delta_{a_j}. $$ Lorsque $f$ est méromorphe, il suffit d'écrire $f$ comme un quotient $g/h$ de fonctions holomorphes, et de soustraire les égalités obtenues pour $g$ et $h$. On notera que l'égalité a bien encore lieu lorsque $z_0$ est un zéro ou un pôle de$f$, dans ce cas les deux membres sont infinis et du même signe ($+\infty$ pour un zéro, $-\infty$ pour un pôle).\qed \supersection{4. Fonctions harmoniques} \section{4.1. Définition et relation avec les fonctions holomorphes} En combinant les résultats déjà obtenus pour les fonctions sous-harmoniques, il facile d'obtenir diverses caractérisations équivalentes des fonctions harmoniques. {\itemindent=7mm \claim Théorème|Soit $\Omega$ est un ouvert de $\bC$ et $h:\Omega\to\bR$ une fonction réelle sur $\Omega$. Les propriétés suivantes sont équivalentes~: \smallskip \item{\rm(i)} la fonction $h$ est semi-continue $($supérieurement ou inférieurement$\,)$ sur $\Omega$ et pour tout disque $\ol D(z_0,r) \subset\Omega$ elle satisfait l'égalité de moyenne $$ h(z_0)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} h(z_0 + re^{\ii\theta})\,d\theta. $$ \smallskip \item{\rm(ii)} $h\in C^2(\Omega)$ et $\Delta h=0$. \smallskip \item{\rm(iii)} $h\in C^\infty(\Omega)$ et $\Delta h=0$. \smallskip \noindent On dit alors que $h$ est harmonique sur $\Omega$. \endclaim } \dem. Il est évident que $\hbox{(iii)}\Rightarrow \hbox{(ii)}\Rightarrow\hbox{(i)}$. Supposons maintenant que l'hypothèse (i) soit satisfaite, avec (disons) $h$ semi-continue supérieurement; dans l'autre cas il suffira de changer $h$ en $-h$. Alors $h$ est sous-harmonique, donc localement intégrable sur $\Omega$, et l'égalité de moyenne sur les cercles implique que $h*\rho_\varepsilon=h$ sur $\Omega_\varepsilon=\{z\in\Omega\,;\;d(z,\complement\Omega)>\varepsilon\}$ (passer en coordonnées polaires pour calculer $h*\rho_\varepsilon$, comme à la section~2.4). Ceci entraîne que $h$ est de classe $\cC^\infty$, puisque $h*\rho_\varepsilon$ l'est. Par suite $h$ et $-h$ sont sous-harmoniques et on doit avoir simultanément $\Delta h\ge 0$, $\Delta h\le 0$, ce qui entraîne $\Delta h=0$. Nous avons bien démontré que $\hbox{(i)}\Rightarrow\hbox{(iii)}$.\qed Nous relions maintenant les fonctions harmoniques aux fonctions holomorphes. \claim Théorème|Si $\Omega$ est un ouvert simplement connexe de $\bC$, alors toute fonction harmonique réelle $h$ sur $\Omega$ s'écrit comme la partie réelle $h=\Re(f)$ d'une fonction holomorphe $f$ sur $\Omega$. En particulier, toute fonction harmonique est $\bR$-analytique. \endclaim \dem. L'hypothèse d'harmonicité $\partial^2 h/\partial z\partial\ol z=0$ s'écrit encore $${\partial\over \partial\ol z}\left({\partial h\over \partial z}\right)=0, $$ donc $g=\partial h/\partial z$ est holomorphe sur~$\Omega$. Comme $\Omega$ est simplement connexe, $g$ possède une primitive $G$ sur $\Omega$, c'est-à-dire que $\partial G/\partial z = g = \partial h/\partial z$ tandis que $\partial G/\partial\ol z=0$. Nous en déduisons que $$ {\partial\over\partial z}(G+\ol G -h)={\partial \over\partial z} (G-h) = 0, $$ et comme $G+\ol G-h$ est réelle, cette égalité entraîne que $d(G+\ol G-h)=0$ puisque la relation conjuguée est également satisfaite. Il existe par conséquent une constante $C$ réelle telle que $G+\ol G-h=C$, de sorte que $$ h=G+\ol G-C=\Re(f) $$ avec $f=2G-C$. Le résultat est démontré.\qed \claim Remarque 1|{\rm Dans le théorème précédent, les fonctions holomorphes $f\in \cO(\Omega)$ telles que $h = \Re(f)$ sont uniques à l'addition d'une constante imaginaire pure $\ii C$ près. Dans tout disque $D(z_0,r)\subset\Omega$ on a un développement en série entière convergent $$ h(z)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\Re\big(a_n(z-z_0)^n\big), $$ avec $a_0\in\bR$ et $a_n\in\bC$. Ces coefficients sont uniques et sont donnés par $a_0=h(z_0)$ et $a_n=2{\partial^nh\over\partial z^n}(z_0)$ pour $n\ge 1$. } \endclaim \claim Remarque 2|{\rm Si $h$ est une fonction harmonique à valeurs complexes sur un ouvert simplement connexe $\Omega$, il est facile de voir que l'on peut écrire $h=f+\ol g$ avec \hbox{$f$, $g$} holomorphes sur~$\Omega$. Les fonctions $f$ et $g$ sont uniques à des constantes additives près.} \endclaim \section{4.2. Problème de Dirichlet} Étant donné une fonction $f\in\cC^0(\Gamma(z_0,r),\bR)$ définie et continue sur un cercle, le «\?problème de Dirichlet\?» consiste à trouver une fonction $h\in\cC^0(\ol D(z_0,r))$ continue sur le disque fermé, telle que $$ \cases{ \Delta h = 0 &sur $D(z_0,r)$\cr \noalign{\vskip3pt} h_{|\Gamma(z_0,r)}= f &sur $\Gamma(z_0,r)$,\cr }\leqno(4.2.1) $$ autrement dit, une fonction $h$ harmonique sur le disque $D(z_0,r)$ et continue jusqu'à la frontière, admettant $f$ comme valeur au bord. \claim Théorème|Le problème de Dirichlet $(4.2.1)$ admet une solution unique. Cette solution est donnée par $$ h(w)=\int_{\Gamma(z_0,r)}P_{z_0,r}(z,w)\,f(z)\,|dz|\leqno(4.2.2) $$ où $$ P_{z_0,r}(z,w) = {1\over 2\pi r}{r^2-|w-z_0|^2\over |z-w|^2}>0 $$ est le noyau de Poisson du disque $\ol D(z_0,r)$. On notera $h=P_{z_0,r}[f]$. \endclaim \dem. Démontrons d'abord l'unicité. Si $h$ existe, la formule intégrale de Green-Riesz donne $h=P_{z_0,r'}[h]$ sur tout disque $D(z_0,r')$ avec $r'0$ quelconque, il existe $\delta>0$ tel que $z\in \Gamma(z_0,r)\cap D(z_1,\delta)$ implique $|f(z)-f(z_1)|\le\varepsilon$. On en déduit $$ \big|h(w)-f(z_1)\big|\le \varepsilon+ \int_{\Gamma(z_0,r)\ssm D(z_1,\delta)}P_{z_0,r}(z,w)\,\big|f(z)-f(z_1)\big|\, |dz|. $$ Prenons maintenant $|w-z_1|\le \eta\le\delta/2$ et $z\in \Gamma(z_0,r)\ssm D(z_1,\delta)$. Il vient $|z-w|\ge\delta/2$ et $|w|\ge |z_1|-\eta\ge r-\delta'$, donc $$ P_{0,r}(z,w)={1\over 2\pi r} {r^2-|w|^2\over|z-w|^2}\le {2\over\pi r}{r^2-(r-\eta)^2\over \delta^2}\le {4\over\pi}{\eta\over\delta^2}. $$ Le choix $\eta={1\over 2}\varepsilon\delta^2$ donne $$ \big|P_{z_0,r}(z,w)\big|\le\varepsilon\quad\hbox{pour $w\in D(z_1,\eta)$ et $z\in \Gamma(z_0,r)\ssm D(z_1,\delta)$}, $$ de sorte que pour tout $w\in D(z_0,r)\cap D(z_1,\eta)$ on a $$ |h(w)-f(z_1)|\le \varepsilon+\varepsilon\cdot 2M\cdot 2\pi r $$ avec $M=\sup_{\Gamma(z_0,r)}|f|$. Ceci entraîne bien (4.2.3), et le théorème s'ensuit.\qed \supersection{5. Fonctions faiblement sous-harmoniques et principe du maximum} \section{5.1. Notion de sous-harmonicité faible} Nous commençons par introduire une notion a priori plus faible que la sous-harmonicité. On verra en fait plus loin que les deux notions sont équivalentes. \claim Définition|Si $\Omega$ est un ouvert de $\bC$, une fonction $u:\Omega\to [-\infty, +\infty[$ est dite faiblement sous-harmonique si elle est semi-continue supérieurement sur $\Omega$ et si, pour tout point $z_0\in\Omega$, il existe une suite de rayons $r_\nu>0$ tendant vers $0$ telle que l'inégalité de moyenne soit satisfaite pour cette suite de rayons~: $$ u(z_0)\le {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0 + r_\nu e^{\ii\theta})\,d\theta. $$ \endclaim On notera (et c'est là le point crucial de la définition$\;$!) que la suite de rayons $r_\nu>0$ pour lesquels l'inégalité de moyenne est supposée être vérifiée peut très bien dépendre du point $z_0$. \section{5.2. Principe du maximum} La stratégie est de démontrer ce principe pour toutes les fonctions faiblement sous-harmoniques. \claim Principe du maximum|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $u$ une fonction faiblement sous-harmonique sur $\Omega$. \smallskip \item{\rm(i)}S'il existe $z_0\in\Omega$ tel que $u(z_0)=\sup_\Omega u$, alors $u$ est constante sur la composante connexe de $z_0$ dans~$\Omega$. \smallskip \item{\rm(ii)}Pour tout compact $K$ de $\Omega$, on a $$ \sup_K u = \sup_{\partial K}u. $$ \endclaim \claim Remarque|{\rm Si $h$ est harmonique sur $\Omega$, alors $h$ et $-h$ sont sous-harmoniques sur~$\Omega$ et on a donc aussi $\sup_K|h| = \sup_{\partial K}|h|$.} \endclaim \dem. Pour (i), nous pouvons supposer $\Omega$ connexe (en remplaçant éventuellement $\Omega$ par la composante connexe du point $z_0$). Considérons l'ensemble $$ E=\big\{z\in\Omega\,;\;u(z)0$ tendant vers $0$ tels que $$ u(a)\le{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+r_\nu e^{\ii\theta})\,d\theta. $$ Pour $r_\nu$ assez petit, le cercle $E_0$ intersecte à la fois $\Omega\ssm\ol D(a,r_\nu)$ (prendre $b\in E_0$, $n\ne a$ et $r_\nu<|b-a|$) et le disque $D(a,r_\nu)$ (puisque $a$ est adhérent à $E_0$). La connexité de $E_0$ entraîne alors que $E_0$ intersecte le cercle $\Gamma(a,r_\nu)$, nécessairement le long d'un ouvert de ce cercle, et sur cet ouvert on a $u(z)0$ tendant vers $0$ tels que $$ h(z_0)={1\over2\pi}\int_0^{2\pi}h(z_0+r_\nu e^{\ii\theta})\,d\theta. $$ Alors $h$ est harmonique dans $\Omega$. \endclaim \dem. Supposons par exemple $h$ semi-continue supérieurement. Alors $h$ est sous-harmonique, donc $\Delta h$ est une mesure positive. La formule de Lelong-Jensen appliquée au rayon $r_\nu$ implique que $\Delta h$ doit être nulle sur $D(z_0,r_\nu)$. Par conséquent $\Delta h$ est nulle au voisinage de tout point, et donc identiquement nulle. Ceci implique que $h$ vérifie l'égalité de la moyenne pour tout rayon $r$ tel que $\ol D(z_0,r)\subset\Omega$ et par suite $h$ est harmonique.\qed \supersection{6. Principe de réflexion de Schwarz} Noux commençons par démontrer un théorème de prolongement par continuité pour les fonctions holomorphes. \claim Théorème de prolongement par continuité|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $A$ une partie fermée de $\Omega$ qui est localement réunion finie d'arcs réguliers de classe $\cC^1$ par morceaux à demi-tangentes distinctes. De façon précise, pour tout point $z_0\in\Omega$, on suppose qu'il existe un voisinage ouvert $V$ tel que $A\cap V$ soit la réunion d'un nombre fini d'arcs réguliers de classe $\cC^1$, fermés dans $V$, se rencontrant avec des demi-tangentes différentes en chacun de leurs points d'intersection. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\Omega\ssm A$, admettant un prolongement continu à~$\Omega$ encore noté~$f$. Alors $f$ est holomorphe sur $\Omega$. \endclaim \dem. Désignons par $E$ l'ensemble des points qui sont ou bien des extrêmités libres d'arcs composant $A$, ou bien des points anguleux, ou bien des points multiples. D'après l'hypothèse, c'est un ensemble localement fini dans $\Omega$. \InsertFig 2.000 60.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 0.200 setlinewidth 5.000 20.000 moveto [ 5.000 20.000 2.000 30.000 7.000 45.000 22.000 55.000 32.000 50.000 42.000 55.000 57.000 35.000 42.000 10.000 22.000 7.000 ] closedcurve stroke 0.085 setlinewidth 28.000 29.000 moveto [ 28.000 29.000 26.000 21.000 26.000 11.000 ] curve stroke 28.000 29.000 moveto [ 28.000 29.000 40.000 21.000 40.000 17.000 44.000 11.000 ] curve stroke 28.000 29.000 moveto [ 28.000 29.000 24.000 35.000 26.000 43.000 32.000 43.000 32.000 37.000 26.000 37.000 18.000 39.000 10.000 39.000 4.200 40.500 ] curve stroke 28.000 29.000 moveto [ 28.000 29.000 34.500 34.500 44.500 30.500 48.500 40.500 ] polygon stroke 26.000 11.000 moveto 0.700 disk 28.500 29.000 moveto 0.700 disk 34.500 34.500 moveto 0.700 disk 23.800 37.400 moveto 0.700 disk 48.500 40.500 moveto 0.700 disk 40.000 20.500 moveto 20.000 rotation 0.400 setlinewidth 46.000 18.500 moveto 34.000 24.500 rectangle stroke resetcoordinates 0.200 setlinewidth 36.500 21.700 moveto 0.500 0.000 cross stroke 39.900 21.500 moveto 0.500 0.000 cross stroke 106.500 44.000 moveto 0.500 0.000 cross stroke 0.085 setlinewidth 82.600 54.500 moveto 112.600 5.500 rectangle stroke 112.600 29.500 moveto [ 112.600 29.500 104.600 27.500 94.600 31.500 82.600 29.500 ] curve stroke 0.400 setlinewidth 112.600 27.500 moveto [ 112.600 27.500 104.600 25.500 94.600 29.500 82.600 27.500 ] curve stroke 112.600 31.500 moveto [ 112.600 31.500 104.600 29.500 94.600 33.500 82.600 31.500 ] curve stroke 82.600 31.500 moveto 82.600 54.500 lineto 112.600 54.500 lineto 112.600 31.500 lineto stroke 82.600 27.500 moveto 82.600 5.500 lineto 112.600 5.500 lineto 112.600 27.500 lineto stroke 98.000 5.500 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 96.000 29.100 moveto 0.000 157.000 2.400 vector 102.000 30.100 moveto 0.000 -27.000 2.400 vector 96.000 54.500 moveto 0.000 180.000 2.400 vector grestore } \LabelTeX 7.500 10.000 $\Omega$ \ELTX \LabelTeX 12.000 35.000 $A$ \ELTX \LabelTeX 47.000 42.500 $E$ \ELTX \LabelTeX 46.000 23.000 $R$ \ELTX \LabelTeX 35.500 19.000 $z$ \ELTX \LabelTeX 40.700 21.600 $z_0$ \ELTX \LabelTeX 113.600 28.600 $R$ \ELTX \LabelTeX 107.500 43.700 $z$ \ELTX \LabelTeX 96.000 45.000 $R_\varepsilon^+$ \ELTX \LabelTeX 96.000 12.000 $R_\varepsilon^-$ \ELTX \LabelTeX 88.000 35.000 $v=h(u)+\varepsilon$ \ELTX \LabelTeX 88.000 23.000 $v=h(u)-\varepsilon$ \ELTX \EndFig \noindent Nous commençons par montrer que $f$ est holomorphe au voisinage de tout point $z_0\in A\ssm E$. Pour cela, on choisit un rectangle $R$ de centre $z_0$, assez petit, tel que l'intersection $A\cap R$ s'écrive comme un graphe $v=h(u)$ suivant les coordonnées $(u,v)$ données par les axes de symétrie du rectangle. Pour montrer que $f$ est holomorphe sur l'intérieur de $R$, il suffit de vérifier que la formule de Cauchy $$ f(z)={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial R}{f(w)\over w-z}\,dw\leqno(*) $$ est satisfaite pour tout $z\in R^\circ$. Par continuité, il suffit même de montrer que cette formule est satisfaite pour $z\in R^\circ\ssm A$, puisque $R^\circ\ssm A$ est dense dans $R^\circ$. Or, pour $\varepsilon>0$, on peut considérer les graphes translatés $v=h(u)+\varepsilon$, $v=h(u)-\varepsilon$, ce qui permet de délimiter deux régions compactes disjointes $R_\varepsilon^+$ et $R_\varepsilon^-$, avec $$ \bigcup_{\varepsilon>0}R_\varepsilon^+\cup R_\varepsilon^-=R\ssm A. $$ Comme $f$ est holomorphe sur $\Omega\ssm A$ et $\partial R_\varepsilon^+\cup\partial R_\varepsilon^-\subset\Omega\ssm A$, la formule de Cauchy implique $$ f(z)={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial R_\varepsilon^+\cup \partial R_\varepsilon^-}{f(w)\over w-z}\,dw $$ pour tout $z\in R^\circ\ssm A$ et $\varepsilon>0$ assez petit. Quand $\varepsilon$ tend vers $0$, on en déduit par continuité que $(*)$ est satisfaite. Ceci montre que $f$ est holomorphe sur $\Omega\ssm E$. Mais comme $E$ est formé de points isolés, l'hypothèse que $f$ est continue sur $\Omega$ entraîne que les points de $E$ ne peuvent pas être des points singuliers. Par conséquent $f$ est bien holomorphe sur~$\Omega$.\qed Nous en venons maintenant au principe de réflexion de Schwarz. Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ invariant par réflexion suivant l'axe réel, c'est-à-dire invariant par la conjugaison $z\mapsto\ol z$. On note $$ \Omega_+=\big\{z\in\Omega\,;\;\Im z>0\big\},\qquad \Omega_-=\big\{z\in\Omega\,;\;\Im z<0\big\}. $$ \claim Principe de réflexion de Schwarz|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ invariant par réflexion et soit $f\in\cO(\Omega_+)$. Si la fonction $f$ vérifie $$ \lim_{\Omega_+\ni w\to z}\Im(f(w)) = 0\qquad\hbox{en tout point $z\in\Omega\cap\bR$}, $$ alors il existe un prolongement holomorphe $\smash{\widetilde f}$ de $f$ sur $\Omega$ tel que $$ \widetilde f(z)=\cases{ f(z) &si $z\in\Omega_+$,\cr \noalign{\vskip5pt} \lim_{\Omega_+\ni w\to z}\Re(f(w)) &si $z\in\Omega\cap\bR$,\cr \noalign{\vskip3pt} \ol{f(\ol z)} &si $z\in\Omega_-$.\cr } $$ \endclaim On notera que l'existence d'une limite de $\Re(f)$ aux points de $\Omega\cap\bR$ n'est nullement évidente, cela fait partie des affirmations du théorème. \dem. Si l'on fait en outre l'hypothèse que $\Re(f)$ se prolonge par continuité aux points de $\Omega\cap\bR$, alors il est clair que $\smash{\wt f}$ est continue sur $\Omega$ et holomorphe sur $\Omega\ssm (\Omega\cap\bR)$. La conclusion s'obtient donc aussitôt à l'aide du théorème de prolongement par continuité, avec $A=\Omega\cap\bR$. La difficulté est de s'affranchir de l'hypothèse de continuité de $\Re(f)$. Pour cela, on considère la partie imaginaire $h=\Im(\smash{\wt f}):\Omega\to\bR$ telle que $$ \cases{ h(z)=\Im(f(z)) &si $z\in\Omega_+$,\cr \noalign{\vskip3pt} h(z)=0 &si $z\in\Omega\cap\bR$,\cr \noalign{\vskip3pt} h(z)=-\Im({f(\ol z)}) &si $z\in\Omega_-$.\cr } $$ Nous affirmons que $h$ est faiblement harmonique. En effet, $h$ est continue sur $\Omega_+$ (et donc aussi sur $\Omega_-$), et l'hypothèse implique que $h$ est continue en tout point de $\Omega\cap\bR$. De plus il est clair par symétrie que $$ h(z_0)=0={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}h(z_0+r e^{\ii\theta})\,d\theta $$ en tout point $z_0\in\Omega\cap\bR$. Si $z_0\in\Omega\ssm(\Omega\cap\bR)$, on a aussi $$ h(z_0)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}h(z_0+r e^{\ii\theta})\,d\theta $$ pour $r<\min(|\Im z_0|,d(z_0,\complement\Omega))$ puisque $h$ est harmonique séparément sur $\Omega_+$ et~$\Omega_-$. On en déduit que $h$ est faiblement harmonique, donc harmonique sur $\Omega$ et, en particulier, de classe~$\cC^\infty$. Comme $f-\ol f=2\ii\,h$ sur $\Omega_+$, il vient $f'(z)=2\ii\,\partial h/\partial z$. On voit que $f'(z)$ se prolonge de façon continue à $\Omega_+\cup(\Omega\cap\bR)$, ce qui implique que $f$ elle même se prolonge de façon continue à $\Omega_+\cup(\Omega\cap\bR)$. Par conséquent $\smash{\wt f}$ est continue sur~$\Omega$ et la conclusion s'obtient à l'aide du théorème de prolongement par continuité.\qed Nous allons maintenant généraliser un peu le principe de réflexion de Schwarz. Supposons qu'on ait un ouvert $\Omega$ de $\bC$ muni d'une involution anti-holomorphe $\sigma:\Omega\to\Omega$, c'est-à-dire une bijection $\sigma$ telle que \hbox{$z\mapsto \overline{\sigma(z)}$} soit holomorphe et $\sigma\circ\sigma=\Id_\Omega$, et une partition $\Omega=\Omega_+\cup\Omega_-\cup E$, où $E$ est l'ensemble des points fixes de $\Omega$ et $\sigma(\Omega_+)=\Omega_-$. L'exemple fondamental est bien sûr l'application de conjugaison $\sigma(z)=\ol z$ avec $$ E=\Omega\cap\bR,\quad\Omega_+=\Omega\cap\{\Im z>0\},\quad \Omega_-=\Omega\cap\{\Im z<0\}. $$ Un autre exemple est l'inversion $$ \sigma(z)=1/\ol z\qquad\hbox{sur $\Omega=\bC^*$}, $$ dont l'ensemble des points fixes $E$ est le cercle unité $|z|=1\,$; on peut voir l'inversion comme une ``réflexion par rapport au cercle'', avec $\Omega_+=D(0,1)\ssm\{0\}$ et $\Omega_-=\bC\ssm\ol D(0,1)$. De manière générale, il existe localement des réflexions par rapport à n'importe quelle courbe analytique réelle lisse. \claim Proposition|Soit $E$ une courbe analytique réelle lisse dans un ouvert du plan complexe. Alors pour tout point $z_0\in E$ il existe un voisinage $V$ de $z_0$ et une involution anti-holomorphe $\sigma:V\to V$ tels que $E\cap V$ soit l'ensemble des points fixes de $\sigma$ et que $V\ssm E$ soit formé de deux composantes connexes $V_+$, $V_-$ échangées par $\sigma$. \endclaim \dem. Par définition de ce qu'est une courbe analytique réelle, on peut trouver un voisinage $V'$ de $z_0$ de sorte que $E\cap V'$ coïncide avec l'image d'une application analytique réelle $\gamma:{}]-\varepsilon,\varepsilon[{}\to E$, $\,t\mapsto\sum c_nt^n$ avec $\gamma(0)=c_0=z_0$ et $\gamma'(0)=c_1\ne 0$. Quitte à diminuer $\varepsilon$ et à prendre un voisinage plus petit $V\subset V'$, on a un biholomorphisme $\psi:D(0,\varepsilon)\to V$, $z\mapsto \sum c_nz^n$ qui étend $\gamma$ aux valeurs complexes du paramètre, en sorte que $\psi^{-1}(E\cap V)={}]-\varepsilon,\varepsilon[$. Soit $\tau(z)=\ol z$ l'involution anti-holomorphe canonique. On peut obtenir une involution anti-holomorphe $\sigma$ sur $V$ en transportant $\tau$ par le biholomorphisme $\psi$, c'est-à-dire en posant $\sigma=\psi\circ\tau\circ\psi^{-1}$. Il est clair que $\sigma$ échange $V_+=\psi(D_+(0,\varepsilon))$ et $V_-=\psi(D_-(0,\varepsilon))$, où $D_\pm(0,\varepsilon)$ désigne le demi-disque $D(0,\varepsilon)\cap\{\pm\Im z>0\}$.\qed Réciproquement, le résultat suivant montre qu'une involution anti-holomorphe est toujours une réflexion par rapport à la courbe de ses points fixes, et que celle-ci est une courbe analytique réelle lisse. \claim Lemme|Si $\sigma:\Omega\to\Omega$ est une anti-involution holomorphe, alors \smallskip \item{\rm (i)} L'ensemble des points fixes $E=\{z\in\Omega\,;\;\sigma(z)=z\}$ est une courbe analytique réelle lisse. \smallskip \item{\rm (ii)} Pour tout point $z_0\in E$, il existe un voisinage $V$ de $z_0$ et un biholomorphisme $\varphi:V\to D(0,\varepsilon)$ sur un petit disque, tel que $\sigma_{|V}=\varphi^{-1}\circ\tau\circ\varphi$ où $\tau:D(0,\varepsilon)\to D(0,\varepsilon)$ est la conjugaison complexe $z\mapsto \tau(z)=\ol z$.\vskip0pt \endclaim \dem. Il suffit de démontrer (ii), puisque si (ii) a lieu, alors l'ensemble des points fixes de $\tau$ coïncide avec l'axe réel, donc $E\cap V=\varphi^{-1}(D(0,\varepsilon)\cap\bR)= \varphi^{-1}(]-\varepsilon,\varepsilon[)$, ce qui implique que $E$ est une courbe analytique réelle lisse. Soit donc $z_0\in E$ un point fixe. Quitte à effectuer le changement de variable $z\mapsto z-z_0$, nous pouvons supposer $z_0=0$. La fonction $\sigma$ est alors définie sur un voisinage $D(0,\varepsilon)$ de $0$, et puisque $\ol\sigma$ y est holomorphe, on a un développement en série entière $$ \ol{\sigma(z)}=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nz^n,\quad\hbox{soit encore}\quad \sigma(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ol a_n\ol z^n. $$ La différentielle $d\sigma_0$ est donnée par $\xi\mapsto \ol a_1\ol\xi$, et puisque $\sigma$ est une involution, $d\sigma_0$ est aussi une involution, ce qui équivaut à la condition $|a_1|^2=1$, autrement dit $d\sigma_0$ est une symétrie orthogonale par rapport à une droite du plan complexe. Étant donné un nombre complexe $\lambda\ne 0$, nous considérons la fonction $$ \varphi(z)=\lambda z+\ol\lambda\,\,\ol{\sigma(z)} =(\lambda+\ol\lambda a_1)z+ \sum_{n=2}^{+\infty}\ol\lambda a_n z^n. $$ Pour que $\varphi$ soit un biholomorphisme d'un voisinage de $0$ sur un voisinage de $0$, il suffit que $\lambda+\ol\lambda a_1\ne 0$, ce qui ne laisse que l'embarras du choix (on peut prendre par exemple $\lambda= {1\over 2}\sqrt{a_1}$, ce qui donne $\lambda+\ol\lambda a_1=2\lambda= \sqrt{a_1} \ne 0$ et une différentielle $d\varphi_0$ qui est une rotation). La propriété d'involutivité $\sigma\circ\sigma=\Id$ implique aussitôt $$ \varphi(\sigma(z))=\lambda\sigma(z)+\ol\lambda\,\ol z= \ol{\varphi(z)}=\tau\circ\varphi(z), $$ par conséquent nous avons bien $\sigma=\varphi^{-1}\circ\tau\circ\varphi$ au voisinage de $0$.\qed On notera (c'est déjà clair à partir de la démonstration) qu'il n'y a pas unicité du biholomorphisme $\varphi$, on peut en fait remplacer $\varphi$ par $\psi\circ\varphi$ où $\psi$ est un biholomorphisme quelconque $\psi(z)=\sum_{n\ge 1} c_nz^n$ à coefficients $c_n$ {\em réels}, puisqu'un tel biholomorphisme commute avec $\tau$. \claim Principe de Schwarz généralisé|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ admettant une involution anti-holomorphe~$\sigma$, soit $E$ l'ensemble des points fixes de $\sigma$ dans~$\Omega$, et $\Omega_+$, $\Omega_-$ des composantes connexes $($ou réunions de composantes connexes$)$ de $\Omega\ssm E$ telles que $\Omega\ssm E=\Omega_+\cup\Omega_-$ et $\Omega_-=\sigma(\Omega_+)$. Soit enfin $f\in\cO(\Omega_+)$ vérifiant $$ \lim_{\Omega_+\ni w\to z}\Im(f(w)) = 0\qquad\hbox{en tout point $z\in E$}. $$ Alors il existe un prolongement holomorphe $\smash{\widetilde f}$ de $f$ sur $\Omega$ tel que $$ \widetilde f(z)=\cases{ f(z) &si $z\in\Omega_+$,\cr \noalign{\vskip5pt} \lim_{\Omega_+\ni w\to z}\Re(f(w)) &si $z\in E$,\cr \noalign{\vskip3pt} \ol{f(\sigma(z))} &si $z\in\Omega_-$.\cr } $$ \endclaim \dem. Au voisinage d'un point fixe $z_0\in E$, le changement de variable $w=\varphi(z)$ nous ramène au cas de l'involution usuelle $\tau$.\qed \end % Local Variables: % TeX-command-default: "eTeX" % End: