% Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann, chapitre IV
%
% Laurent Bonavero
% Jean-Pierre Demailly
% Université de Grenoble I, Institut Fourier
% 38402 Saint-Martin d'Hères, France
%

\input vcmac

\openauxfile

\blankline
\chaptitle{Chapitre IV}
\medskip
\chaptitle{Propriétés topologiques}
\chaptitle{et propriétés globales}
\chaptitle{des fonctions holomorphes}
\chaptitlerunning{Chap.\ IV:
Propriétés topologiques et propriétés globales des 
fonctions holomorphes}
\vskip50pt

Nous introduisons d'abord quelques notions générales de ce qui
constitue les rudiments de la topologie algébrique, à savoir la
théorie de l'homologie et de l'homotopie -- sans aller beaucoup
plus loin que les premières définitions. Nous faisons ensuite le lien avec
l'intégration des formes fermées et des formes holomorphes,
au travers des notions d'intégrales sur des $1$-cycles,
d'indice d'un lacet par rapport à un point. La démarche s'appuie
sur l'invariance homotopique ou homologique des intégrales de formes
fermées. Le chapitre s'achève avec le principe de l'argument, le
théorème de Rouché.
Le chapitre s'achève avec la preuve de quelques résultats globaux
importants : théorème d'approximation de Runge, théorèmes de Picard,
zéros et factorisation des fonctions entières d'ordre fini.
\smallskip

\supersection{1. Intégration de formes fermées sur des chaînes}

\section{1.1. Homotopie et groupe fondamental}

On se place ici dans un espace topologique $X$ a priori arbitraire 
(le plus souvent, le cas d'un ouvert $X=\Omega\subset\bR^n$ nous suffira
dans cet ouvrage~$\ldots$).
Le but de cette section est d'étudier la déformation des {\it chemins} 
(continus) $\gamma:[\alpha,\beta]\to X$, $t\mapsto\gamma(t)$. On s'intéresse
particulier aux {\it lacets}, c'est-à-dire par définition les chemins fermés
($\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)$). En procédant à un 
changement de paramètre, il n'est pas restrictif de supposer
que~$[\alpha,\beta]=[0,1]$.

\claim Définition|Deux chemins $\gamma_1,\gamma_2:[0,1]\to X$ sont dit
homotopes $($«\?avec extrêmités fixes\?»$)$, s'ils ont mêmes
extrêmités $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=a$, $\gamma_1(1)=\gamma_2(1)=b$, 
et s'il existe une application continue $h:[0,1]\times[0,1]\to X$ telle que 
$$
h(0,t)=\gamma_1(t),\quad
h(1,t)=\gamma_2(t),\quad
h(u,0)=a,\quad 
h(u,1)=b
\leqno(1.1.1)
$$
pour tous $t\in[0,1]$, $u\in[0,1]$. On dit que $h$ est une homotopie
de $\gamma_1$ à $\gamma_2$.
\endclaim

\InsertFig  20.000  56.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
 17.000  30.000 moveto   0.000  68.000   2.400 vector 
 35.200  13.200 moveto   0.000  45.000   2.400 vector 
  5.000   3.000 moveto 
[   5.000   3.000    7.000  11.000   13.000  20.000   18.000  32.000  
   26.000  43.000   34.000  49.000  
] curve 
stroke 
 34.000  49.000 moveto 
[  34.000  49.000   28.000  43.000   23.000  35.000   20.000  26.000  
   17.000  16.000   10.000   9.000    5.000   3.000  
] curve 
stroke 
  5.000   3.000 moveto 
[   5.000   3.000   16.000   4.000   34.000  12.000   42.000  30.000  
   37.000  42.000   34.000  49.000  
] curve 
stroke 
 34.000  49.000 moveto 
[  34.000  49.000   34.000  42.000   36.000  29.000   26.000  16.000  
   19.000   9.000    5.000   3.000  
] curve 
stroke 
  0.500 setlinewidth 
 34.000  49.000 moveto 
[  34.000  49.000   30.000  39.000   29.000  31.000   25.000  22.000  
   19.000  13.000    5.000   3.000  
] curve 
stroke 
 26.000  23.900 moveto   0.000  61.000   2.400 vector 
 34.000  49.000 moveto   0.700 disk 
  5.000   3.000 moveto   0.700 disk 
grestore 
}
\LabelTeX    1.000   2.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX   36.000  49.000 $b$ \ELTX
\LabelTeX   30.000  30.000 $\gamma_u$ \ELTX
\LabelTeX   40.000  18.000 $\gamma_2$ \ELTX
\LabelTeX   11.000  24.000 $\gamma_1$ \ELTX
\LabelTeX   51.700  31.000 $\gamma_u(t)=h(u,t)$ \ELTX
\EndFig
\medskip

\noindent
Autrement dit $\gamma_u(t):=h(u,t)$ est une {\em déformation continue}
de $\gamma_1$ en $\gamma_2$, gardant les extrêmités fixes. Il est facile
de voir que la relation d'homotopie $\gamma_1\sim\gamma_2$ est une
relation d'équivalence: en effet la relation est clairement réflexive
et symétrique, de plus si $h'$ est une homotopie de $\gamma_1$ à
$\gamma_2$ et $h''$ une homotopie de $\gamma_2$ à $\gamma_3$, alors
$$
\cases{
h(u,t)=h'(2u,t)&\hbox{si $u\in[0,1/2]$}\cr
h(u,t)=h''(2u-1,t)&\hbox{si $u\in[1/2,1]$}\cr
}
$$
est une homotopie de $\gamma_1$ à $\gamma_3$.

\noindent Un cas très particulier est celui où $\gamma_2(t)=
\gamma_1\circ\varphi(t)$ est un reparamétrage du chemin $\gamma_1$ par
une bijection continue croissante $\varphi:[0,1]\to[0,1]$. On
construit alors une homotopie évidente en posant
$h(u,t)=\gamma_1((1-u)t+u\varphi(t))$. En particulier, la classe 
d'homotopie d'un lacet ne dépend pas du paramétrage, pourvu que 
l'orientation en soit fixée.

Nous introduisons enfin la notion de {\em groupe fondamental} de
l'espace topolo­gique~$X$ relatif à un «\?point base\?»
$x_0\in X$. Pour cela, on considère l'ensemble
$$
\pi_1(X,x_0)=\left\{
{\displaystyle
\raise-1.5pt
\hbox{classes d'équivalence d'homotopie}\atop\raise1.5pt
\hbox{$\dot\gamma$ des lacets d'extrêmités $x_0$}}\right\}.\leqno(1.1.2)
$$
On munit $\pi_1(X,x_0)$ d'une structure de groupe (en général
non abélien) comme suit~: si $\dot\gamma_1$ et $\dot\gamma_2$ sont
deux classes d'équivalence de lacets d'extrêmités $x_0$, on
définit le produit $\dot\gamma_1\cdot\dot\gamma_2$ comme étant la
classe d'homotopie $\dot\gamma$ du lacet composé
$\gamma=\gamma_1\cdot\gamma_2$ tel que
$$
\cases{
\gamma(t)=\gamma_1(2t)&\hbox{si $t\in[0,1/2]$,}\cr
\gamma(t)=\gamma_2(2t-1)&\hbox{si $t\in[1/2,1]$.}\cr
}\leqno(1.1.3)
$$
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que les axiomes des
lois de groupe (associativité, existence de l'inverse) sont bien
satisfaites -- à homotopie près évidemment~: l'élément neutre 
est le chemin constant $e(t)=x_0$, et l'inverse de $\dot\gamma$ est
donné par le chemin $\wt\gamma(t)=\gamma(1-t)$ [exercice$\,$: montrer que
$\gamma\cdot\wt\gamma$ et $\wt\gamma\cdot\gamma$ sont bien homotopes
à $e$]. Il n'y a pas associativité
stricto sensu, comme on le voit sur le schéma ci-dessous montrant les
paramétrages de $(\gamma_1\cdot\gamma_2)\cdot\gamma_3$ et
$\gamma_1\cdot(\gamma_2\cdot\gamma_3)$

\InsertFig  10.000  28.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
  0.250 setlinewidth
 10.000   5.000 moveto  70.000   5.000 lineto stroke
 10.000   4.200 moveto  10.000   5.800 lineto stroke
 40.000   4.200 moveto  40.000   5.800 lineto stroke
 55.000   4.200 moveto  55.000   5.800 lineto stroke
 70.000   4.200 moveto  70.000   5.800 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto  70.000  20.000 lineto stroke
 10.000  19.200 moveto  10.000  20.800 lineto stroke
 25.000  19.200 moveto  25.000  20.800 lineto stroke
 40.000  19.200 moveto  40.000  20.800 lineto stroke
 70.000  19.200 moveto  70.000  20.800 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX  8.700   0.500 $0$ \ELTX
\LabelTeX 37.300   0.500 $1/2$ \ELTX
\LabelTeX 52.300   0.500 $3/4$ \ELTX
\LabelTeX 69.200   0.500 $1$ \ELTX
\LabelTeX 23.000   7.200 $\gamma_1$ \ELTX
\LabelTeX 46.000   7.200 $\gamma_2$ \ELTX
\LabelTeX 61.000   7.200 $\gamma_3$ \ELTX
\LabelTeX  8.700  15.500 $0$ \ELTX
\LabelTeX 22.300  15.500 $1/4$ \ELTX
\LabelTeX 37.300  15.500 $1/2$ \ELTX
\LabelTeX 69.200  15.500 $1$ \ELTX
\LabelTeX 16.000  22.200 $\gamma_1$ \ELTX
\LabelTeX 31.000  22.200 $\gamma_2$ \ELTX
\LabelTeX 53.000  22.200 $\gamma_3$ \ELTX
\LabelTeX 78.000  19.000 $(\gamma_1\cdot\gamma_2)\cdot \gamma_3$ \ELTX
\LabelTeX 78.000   4.000 $\gamma_1\cdot(\gamma_2\cdot \gamma_3)$ \ELTX
\EndFig
\medskip

\noindent
Cependant, il est clair qu'on peut obtenir une homotopie de
$(\gamma_1\cdot\gamma_2)\cdot\gamma_3$ à
$\gamma_1\cdot(\gamma_2\cdot\gamma_3)$ en «\?glissant\?» la
position de l'intervalle central de $[1/4,1/2]$ en $[1/2,3/4]$, lorsque
le paramètre d'homotopie $u$ croît de $0$ à~$1$.

\section{1.2. Chaînes, cycles, bords et homologie}

Nous allons aborder maintenant les rudiments de ce qu'on appelle la
théorie de {\em l'homologie singulière}, qui permet de considérer
des objets de dimension supérieure à~$1$ et pas seulement des
chemins. Pour toute dimension $p$, on appelle {\em simplexe fondamental}
de dimension $p$ l'ensemble
$$
\Delta_p=\big\{t=(t_0,t_1,\ldots,t_p)\in\bR^{p+1}\,;\;t_j\ge 0,\;
t_0+t_1+\ldots+t_p=1\big\}.\leqno(1.2.1)
$$
Pour $n=0$, $1$, $2$ on obtient successivement

\InsertFig  -5.000  47.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
 10.000  10.000 moveto   0.800 disk 
  0.800 setlinewidth 
 30.000  10.000 moveto  60.000  10.000 segment 
 30.000  10.000 moveto   0.800 disk
 60.000  10.000 moveto   0.800 disk
 80.000   0.000 moveto 
[  80.000   0.000  120.000   0.000  100.000  34.641  
] closedpolygon 
gsave 0.90 setgray fill grestore stroke
1 setdashtype 
  0.085 setlinewidth 
100.000  11.537 moveto  32.000  -30.000   2.400 vector 
100.000  11.537 moveto  32.000 -150.000   2.400 vector 
100.000  11.537 moveto  32.000   90.000   2.400 vector 
 10.000  -5.000 moveto  40.000   90.000   2.400 vector 
 45.000  -5.000 moveto  35.355   45.000   2.400 vector 
 45.000  -5.000 moveto  35.355  135.000   2.400 vector 
grestore 
}
\LabelTeX  12.000  10.000 $\Delta^0$ \ELTX
\LabelTeX  43.500  12.000 $\Delta^1$ \ELTX
\LabelTeX 116.000  12.000 $\Delta^2$ \ELTX
\LabelTeX  12.000  33.000 $t_0$ \ELTX
\LabelTeX  23.500  19.000 $t_1$ \ELTX
\LabelTeX  71.000  19.000 $t_0$ \ELTX
\LabelTeX  74.000  -7.000 $t_0$ \ELTX
\LabelTeX 124.500  -7.000 $t_1$ \ELTX
\LabelTeX 102.000  42.000 $t_2$ \ELTX
\EndFig

\noindent
de même $\Delta^3$ est un tétraèdre régulier de dimension $3$, etc.
Si $X$ est un espace topologique (pour nous, un ouvert $X=\Omega\subset\bR^n$
suffira...), on pose la

\claim Définition|On appelle ensemble des $p$-chaînes singulières $C_p(X,\bZ)$
sur $X$ à coefficients dans $\bZ$ l'ensemble des sommes formelles finies 
$$
[\sigma]=\sum m_j[\sigma_j],\qquad \sigma_j:\Delta_p\to X,\leqno(1.2.2)
$$
formées avec des coefficients $m_j\in\bZ$ et des applications continues 
arbitraires $\sigma_j$ $($deux à deux distinctes$)$. 
C'est donc un élement du $\bZ$-module libre ayant pour base
l'ensemble $\cC^0(\Delta_p,X)$ des applications continues 
$\Delta_p\to X$, chacun des éléments de base associé à une telle
application $\sigma_j$ étant noté $[\sigma_j]$ et appelé simplexe
de dimension~$p$.
\endclaim

Si $p=0$, une $0$-chaîne est la même chose qu'une combinaison linéaire 
finie de points $\sum m_j[p_j]$, tandis que si $p=1$ (cas qui nous 
intéressera ici le plus), une $1$-chaîne peut être identifiée
à une combinaison linéaire $\sum m_j[\gamma_j]$ de chemins continus 
$\gamma_j:[0,1]\to X$, affectés de multiplicités $m_j$ (on convient 
d'identifier $\Delta_1$ au segment $[0,1]$ en posant
$t_0=1-t$ et $t_1=t$ si $t$ est la variable paramétrant le chemin).
On considère maintenant \lguil{\em l'application bord}\?»
$$
\partial_p:C_p(X,\bZ)\to C_{p-1}(X,\bZ)
$$
définie comme suit. On pose $C_p(X,\bZ)=\{0\}$ pour $p<0$, et donc 
$\partial_p=0$ pour $p\le 0$. Pour $p>0$ on considère chacune
des applications «\?faces\?»
$$
\delta_p^\ell:\Delta_{p-1}\to\Delta_p,\qquad
(t_0,t_1,\ldots,t_{p-1})\mapsto
(t_0,t_1,\ldots,t_{\ell-1},0,t_\ell,\ldots, t_{p-1}),
$$
qui envoie $\Delta_{p-1}$ sur la face d'indice $\ell$ de $\Delta_p$
(c'est-à-dire sur les points dont la coordonnée d'indice
$\ell$ est nulle, $0\le\ell\le p$). Si $\sigma_j:\Delta_p\to X$
est un simplexe, la composée $\sigma_j\circ\delta_p^\ell:\Delta_{p-1}\to X$ 
est la «\?face d'indice $\ell$\?» de $\sigma_j$. On définit
$\partial_p$ par
$$
[\sigma]=\sum_j m_j[\sigma_j]\longmapsto
\partial_p[\sigma]=\sum_j m_j\sum_{\ell=0}^p(-1)^\ell
[\sigma_j\circ\delta_p^\ell]\leqno(1.2.3)
$$
Il est facile de vérifier que $\partial_p$ est $\bZ$-linéaire et que
l'on a toujours $\partial_p\circ\partial_{p+1}=0$. Les cas qui nous 
intéressent sont les suivants~:

\InsertFig  3.000  63.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
  0.250 setlinewidth
 10.000  20.000 moveto 
[  10.000  20.000   15.000  30.000   25.000  40.000   25.000  50.000  
   40.000  55.000  
] curve 
stroke 
 40.000  55.000 moveto   0.700 disk 
 10.000  20.000 moveto   0.700 disk 
 70.000  20.000 moveto 
[  70.000  20.000   80.000  23.000   92.000  19.000  108.000  23.000  
  108.000  23.000  100.000  31.000   92.000  45.000   82.000  53.000  
   82.000  53.000   80.000  43.000   80.000  33.000   74.000  27.000  
   70.000  20.000  
] (BBBYBBBYBBBB) 
mixedpath 
gsave closepath   0.920 setgray fill grestore stroke 
 70.000  20.000 moveto   0.700 disk 
108.000  23.000 moveto   0.700 disk 
 82.000  53.000 moveto   0.700 disk 
 85.268  31.942 moveto  89.500  33.000   4.362 194.036 512.712 circlearc 
stroke 
 85.268  34.750 moveto   0.000 228.000   2.400 vector 
 23.623  37.600 moveto   0.000  45.000   2.400 vector 
grestore 
}
\LabelTeX  12.000  19.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX  42.000  53.000 $b$ \ELTX
\LabelTeX  24.000  33.000 $\gamma=[ab]$ \ELTX
\LabelTeX  10.000  10.000 exemple de $1$-chaîne \ELTX
\LabelTeX  10.000   5.000 $[\sigma]=[\gamma]=\hbox{arc orienté}\,[ab]$ \ELTX
\LabelTeX  10.000   0.000 $\partial_1[ab]=[b]-[a]$ \ELTX
\LabelTeX  66.000  19.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX 110.000  22.000 $b$ \ELTX
\LabelTeX  82.000  55.000 $c$ \ELTX
\LabelTeX  89.000  32.000 $\sigma$ \ELTX
\LabelTeX  71.500  10.000 exemple de $2$-chaîne \ELTX
\LabelTeX  71.500   5.000 $[\sigma]=\hbox{triangle orienté}\,[abc]$ \ELTX
\LabelTeX  71.500   0.000 $\partial_2[abc]=[bc]-[ac]+[ab]$ \ELTX
\EndFig
\bigskip

\noindent
Pour la $2$-chaîne $[\sigma]$ figurée sur le schéma, il est 
clair que 
$$
\partial_1(\partial_2[\sigma]))= ([c]-[b]) - ([c]-[a]) + ([b]-[a]) = 0.
$$

\claim Définition|On appelle ensemble des $p$-cycles, resp.\ des $p$-bords,
les sous-groupes de $C_p(X,\bZ)$ définis par
$$
Z_p(X,\bZ)=\Ker\partial_p,\qquad B_p(X,\bZ)=\Im \partial_{p+1}.
\leqno(1.2.4)
$$
Autrement dit, un $p$-cycle est une $p$-chaîne $[\sigma]$ telle 
que $\partial_p[\sigma]=0$, tandis qu'un $p$-bord est une image
$[\sigma]=\partial_{p+1}[\tau]$ d'une $(p+1)$-chaîne.
\endclaim

Du fait que $\partial_p\circ \partial_{p+1}=0$, nous avons toujours
$B_p(X,\bZ)\subset Z_p(X,\bZ)$. On définit le {\em $p$-ième groupe
d'homologie} de $X$ comme étant le groupe quotient
$$
H_p(X,\bZ)=Z_p(X,\bZ)/B_p(X,\bZ).\leqno(1.2.5)
$$
On observera qu'un chemin $\gamma:[0,1]\to X$ est un cycle si et
seulement si c'est un {\em lacet}, c'est-à-dire si $\gamma(0)=\gamma(1)$.
Dans ce cas on peut associer à $[\gamma]$ une classe d'équivalence
dans $H_1(X,\bZ)$.

Par ailleurs, un chemin constant $\gamma(t)=c_0$ est toujours un bord 
(c'est le bord de la $2$-chaîne [c] ayant un seul terme constant
$c(t_0,t_1,t_2)=c_0$). 
Si $\wt\gamma(t)=\gamma(1-t)$ est le chemin $\gamma$ parcouru en sens
inverse, alors $[\gamma]+[\wt\gamma]$ est aussi un bord (le
bord de la $2$-chaîne $[\sigma]$ telle que 
$\sigma(t_0,t_1,t_2)=\gamma(t_1)$ vaut $[\wt\gamma]-[\gamma_0]+[\gamma]$
où $\gamma_0$ est le chemin constant $\gamma_0(t)=\gamma(0)$, et on a donc
$[\wt\gamma]-[\gamma]=\partial_2([\sigma]+[c])$ où $c$ est la 
$2$-chaîne constante $c(t_0,t_1,t_2)=\gamma(0))$.
Si $\gamma$ est un lacet, la classe de $[\wt\gamma]$ dans $H_1(X,\bZ)$ est
donc l'opposée de celle de $[\gamma]$.

Deux cycles $[\gamma']$, $[\gamma'']$ sont dit {\em homologues}, et
on écrira alors $[\gamma']\sim[\gamma'']$,  si
$[\gamma']-[\gamma'']$ est le bord $\partial_2\sigma$ d'une $2$-chaîne,
c'est-à-dire si $[\gamma']$ et $[\gamma'']$ définissent la même
classe d'homologie dans $H_1(X,\bZ)$. On a le fait important suivant.

\claim Proposition|Si des chemins $\gamma_1$, $\gamma_2$ sont homotopes,
alors le $1$-cycle $[\gamma_2]-[\gamma_1]$ est un bord. En particulier,
si $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont des lacets, alors $[\gamma_1]$ et 
$[\gamma_2]$ définissent le même élément de $H_1(X,\bZ)$.
\endclaim

\dem. Comme indiqué sur le schéma ci-dessous, on a une homotopie 
$(u,t)\mapsto h(u,t)$ définie sur le carré $[0,1]\times[0,1]$, et 
la différence $[\gamma_2]-[\gamma_1]$ est la somme des bords de deux 
triangles, plus un certain nombre de bords ``triviaux'' constitués 
par des chemins constants et par l'aller-retour sur la diagonale.

\InsertFig  30.000  60.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
 10.000   5.000 moveto  60.000   0.000   2.400 vector 
 10.000   5.000 moveto  50.000  90.000   2.400 vector 
  0.300 setlinewidth 
 10.000   5.500 moveto 
[  10.000   5.500   50.000  45.500   10.000  45.500  
] closedpolygon 
stroke 
 10.500   5.000 moveto 
[  10.500   5.000   50.500  45.000   50.500   5.000  
] closedpolygon 
stroke 
 50.500 30.000 moveto   0.000  90.000   2.400 vector 
 10.000  19.500 moveto   0.000 -90.000   2.400 vector 
 33.800  29.300 moveto   0.000  45.000   2.400 vector 
 26.200  20.700 moveto   0.000 -135.000   2.400 vector 
 23.800  45.500 moveto   0.000 180.000   2.400 vector 
 34.800   5.000 moveto   0.000   0.000   2.400 vector 
grestore 
}
\LabelTeX   67.500   1.000 $u$ \ELTX
\LabelTeX    6.500  52.000 $t$ \ELTX
\LabelTeX    6.000  26.000 $\gamma_1$ \ELTX
\LabelTeX   51.500  22.000 $\gamma_2$ \ELTX
\LabelTeX   28.500  47.000 $b$ \ELTX
\LabelTeX   28.500   1.500 $a$ \ELTX
\EndFig

D'après la Proposition précédente, on a une application bien définie
$$
\pi_1(X,x_0)\to H_1(X,\bZ),\qquad \dot\gamma\mapsto [\gamma],
\leqno(1.2.6)
$$
et on peut vérifier aisément que c'est un homomorphisme de groupes, 
autrement dit que la $1$-chaîne $[\gamma_1]+[\gamma_2]-
[\gamma_1\cdot\gamma_2]$ est toujours un bord. La preuve peut être
visualisée par le schéma ci-dessous~:

\InsertFig  25.000  54.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
 10.000   5.000 moveto 
[  10.000   5.000   65.000   5.000   37.500  45.000  
] closedpolygon 
stroke 
1 setdashtype 
 23.750  25.000 moveto  65.000   5.000 segment 
grestore 
}
\LabelTeX   35.000   1.500 $\gamma_1$ \ELTX
\LabelTeX   53.000  26.000 $\gamma_2$ \ELTX
\LabelTeX    8.500   1.500 $a$ \ELTX
\LabelTeX   65.000   1.500 $b$ \ELTX
\LabelTeX   37.000  46.500 $c$ \ELTX
\LabelTeX   14.000  27.000 $\gamma_1\cdot\gamma_2$ \ELTX
\EndFig
\smallskip

\noindent
Si $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$ est une $1$-chaîne (où figurent
seulement les termes tels que $m_j\ne 0$), on définit le {\em support} 
de $[\gamma]$ comme étant la réunion 
$$
\Supp([\gamma])=\bigcup\Im(\gamma_j)
$$ 
des images des chemins $\gamma_j$ qui composent la chaîne.

\claim Lemme|Soit $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$ un $1$-cycle
d'homologie.  Alors il existe un $1$-cycle $[\wh\gamma]=\sum
\wh m_j[\wh\gamma_j]$ ayant même support et définissant la même
classe d'homologie que~$[\gamma]$, tel que chaque chemin $\wh\gamma_j$
composant $[\wh\gamma]$ soit un lacet.  
\endclaim

\dem. On démontre ce résultat par récurrence sur $N=\sum|m_j|$.
Si $N=0$, alors $[\gamma]=0$, et il n'y a rien à montrer. Si $N=1$,
le cycle est constitué d'un seul chemin d'extrêmités $a$ et $b$, on alors
$\partial[\gamma]=[b]-[a]=0$, par suite $a=b$ et $\gamma$ est un lacet.
Supposons le résultat démontré pour $N'<N$. Quitte à remplacer $\gamma_j$
par le chemin opposé $\wt\gamma_j$ et $m_j$ par $-m_j$, on peut supposer
que tous les coefficients $m_j$ sont positifs. Soient $a_j$, $b_j$ l'origine
et l'extrêmité de $\gamma_j$, et soit $E=\{a_j\}\cup\{b_j\}$. Nous avons
$$
\partial[\gamma]=\sum m_j([b_j]-[a_j]),
$$
ce qui signifie que la somme des coefficients affecté à chaque point $[p]$, 
$p\in E$,  est nul. Fixons un tel point $p\in E$. Comme les coefficients
$m_j$ sont positifs, le coefficient de $p$ ne peut être nul que s'il
apparaît au moins une fois comme extrêmité d'un certain chemin
$\gamma_{j_1}$ et au moins une fois comme origine d'un chemin
$\gamma_{j_2}$. Si $j_1=j_2$, alors $[\gamma_{j_1}]$ est un lacet
et le cycle $[\gamma']=[\gamma]-[\gamma_{j_1}]$ a une somme de coefficients
$N'=N-1$, ce qui permet de conclure par l'hypothèse de récurrence.
Si $j_1\ne j_2$, on écrit que $[\gamma_{j_1}]+[\gamma_{j_2}]\sim
[\gamma_{j_1}\cdot\gamma_{j_2}]$, de sorte qu'on obtient 
$[\gamma]\sim[\gamma']$ en remplaçant $[\gamma_{j_1}]+[\gamma_{j_2}]$
par $[\gamma_{j_1}\cdot\gamma_{j_2}]$. Ici encore nous avons $N'=N-1$, ce
qui achève la preuve.\qed

Si $x_0$ est un point quelconque choisi dans la même composante connexe
par arcs de $X$ que le lacet $[\wh\gamma_j]$, on peut, dans le lemme
précédent remplacer $\wh\gamma_j$ par un chemin d'extrêmités~$x_0$,
à condition d'oublier l'exigence sur le support de $[\wh\gamma]$, 
En effet, si $\alpha_j=\beta_j$ sont les extrêmités de $\wh\gamma_j$
et si $\lambda_{\alpha_j}$ est un«\?chemin de liaison\?» de
$x_0$ à~$\alpha_j$, on peut remplacer $\wh\gamma_j$ par le lacet
d'extrêmités $x_0$ défini par $\smash{\lambda_{\alpha_j}\cdot\wh\gamma_j\cdot
\wt\lambda_{\alpha_j}}$, puisque
$$
[\lambda_{\alpha_j}\cdot\wh\gamma_j\cdot\wt\lambda_{\alpha_j}]\sim
[\lambda_{\alpha_j}]+[\wh\gamma_j]-[\lambda_{\alpha_j}]\sim
[\wh\gamma_j].
$$ 
Il résulte alors facilement du lemme précédent que l'homomorphisme
(1.2.6) induit un homomorphisme surjectif
$$
\bigoplus \pi_1(X,x_j)\to H_1(X,\bZ),
$$
si l'on choisit exactement un point $x_j$ dans chaque composante connexe 
par arcs de $X$. En particulier, l'homomorphisme (1.2.6) est surjectif si 
$X$ est connexe par arcs (mais il n'a évidemment aucune raison
d'atteindre les cycles d'homologie situés hors de la composante
connexe par arcs de $x_0$, si $X$ n'est pas connexe par arcs). On notera
qu'on peut trouver des espaces $X$ connexes par arcs
pour lesquels $\pi_1(X,x_0)$ n'est pas un groupe abélien (par exemple
$X=\bC\ssm\{0,1\}$). Dans ce cas, l'homomorphisme surjectif
(1.2.6) a nécessairement un noyau non trivial puisque celui-ci doit 
contenir le sous-groupe des commutateurs de $\pi_1(X,x_0)$. Lorsque $X$ 
est connexe par arcs, un théorème classique dû à Hurewicz 
affirme qu'en fait (1.2.6) induit un isomorphisme
$$
\pi_1(X,x_0)/[\pi_1(X,x_0),\pi_1(X,x_0)]\build\longrightarrow|\simeq||
H_1(X,\bZ)\leqno(1.2.7)
$$
par passage au quotient par le sous-groupe des commutateurs, c'est-à-dire 
que le groupe d'homologie $H_1(X,\bZ)$ est l'abélianisé du groupe 
fondamental $\pi_1(X,x_0)$.

\section{1.3. Formes exactes et fermées (en degré 1)}

Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$ et $\beta$ une $1$-forme
de classe $\cC^1$ sur $\Omega$. Nous écrivons
$$
\beta=\sum_{j=1}^n\beta_j(x_1,\ldots,x_n)\,dx_j=
\sum_{j=1}^n\beta_j\,dx_j.
$$
Par définition, la {\em différentielle extérieure} de $\beta$ est la $2$-forme
donnée par
$$
d\beta:=\sum_{j=1}^nd\beta_j\wedge dx_j
=\sum_{j=1}^n
\Big(\sum_{i=1}^n{\partial\beta_j\over\partial x_i}dx_i\Big)\wedge dx_j
=\sum_{1\le i<j\le n}
\Big({\partial\beta_j\over\partial x_i}-{\partial\beta_i\over\partial x_j}\Big)
dx_i\wedge dx_j
$$

\claim Définition|On dit que la $1$-forme $\beta$ de classe $\cC^1$ est 
\smallskip
\item{\rm (i)} fermée si $d\beta=0$, c'est-à-dire si pour tous
$1\le i,j\le n$ on a
$$
{\partial\beta_j\over\partial x_i}-{\partial\beta_i\over\partial x_j}=0.
$$
\smallskip
\item{\rm (ii)} exacte s'il existe une fonction $F$ de classe $\cC^2$
dans $\Omega$ telle que $\beta=dF$.
\endclaim

Si $\beta=dF$ est exacte, nous avons $\beta_j=\partial F/\partial x_j$ et 
le théorème de Schwarz implique que $\beta$ est fermée~:
$$
{\partial\beta_j\over\partial x_i}-{\partial\beta_i\over\partial x_j}=
{\partial\over\partial x_i}\Big({\partial F\over\partial x_j}\Big)-
{\partial\over\partial x_j}\Big({\partial F\over\partial x_i}\Big)=0.
$$
Réciproquement, on a le résultat important suivant.

\claim Lemme de Poincaré|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$ qui est
étoilé par rapport à un certain point $a$, c'est-à-dire tel
que $[a,x]\subset \Omega$ pour tout $x\in\Omega$. Alors toute
$1$-forme $\beta$ fermée sur $\Omega$ est exacte, c'est-à-dire
qu'il existe une primitive $F$ de classe $\cC^2$ telle que $\beta=dF$.
\endclaim

\dem. Supposons pour simplifier l'écriture que $a=0$, quitte à changer
l'origine de $\bR^n$. On pose
$$
F(x)=\int_{[0,x]}\beta=\int_0^1\sum_{j=1}^n\beta_j(tx_1,\ldots,tx_n)\,x_j\,dt
$$
en intégrant $\beta$ le long du chemin $\gamma(t)=tx$. Le théorème de
dérivation sous le signe somme montre que $F$ est différentiable, et que
$$
{\partial F\over\partial x_i}=
\int_0^1\Big(\sum_{j=1}^n
t{\partial\beta_j\over\partial x_i}(tx_1,\ldots,tx_n)\,x_j
+\beta_i(tx_1,\ldots,tx_n)\Big)\,dt.
$$
En utilisant l'hypothèse que $\beta$ est fermée, ceci donne
$$
\eqalign{
{\partial F\over\partial x_i}
&=\int_0^1\Big(\sum_{j=1}^n
t{\partial\beta_i\over\partial x_j}(tx_1,\ldots,tx_n)\,x_j
+\beta_i(tx_1,\ldots,tx_n)\Big)\,dt\cr
&=\int_0^1{d\over dt}\big(t\,\beta_i(tx_1,\ldots,tx_n)\big)\,dt
=\beta_i(x).\cr}
$$
Par conséquent $dF=\beta$, et comme $\beta$ est de classe $\cC^1$, on voit
que $F$ est bien de classe $\cC^2$.\qed

\claim Remarque|{\rm Il est important de noter que le lemme de
Poincaré n'est en général pas vrai pour des ouverts $\Omega$ quelconques,
c'est-à-dire qu'il peut exister des formes fermées non exactes.
Ainsi la $1$-forme $\beta=dz/z$ est fermée sur $\Omega=\bC^*\subset\bC
\simeq\bR^2$, mais elle n'admet pas de primitive $F$ sur $\Omega$ tout entier.
Si tel était le cas, on aurait en effet
$$
\int_{\Gamma(0,1)}\beta=\int_{\Gamma(0,1)}{dz\over z}=2\pi \ii,\qquad
\int_{\Gamma(0,1)}\beta=\int_{\Gamma(0,1)}dF=0,
$$
contradiction. Ceci est bien entendu lié à la non existence d'une 
détermination du logarithme complexe sur $\bC^*$ tout entier. On peut
aussi obtenir un exemple de $1$-forme {\em réelle} fermée non exacte
en prenant
$$
\beta=\Im\Big({dz\over z}\Big)={xdy-ydx\over x^2+y^2}\;;
$$
$\beta$ est, localement sur $\bC^*$, la différentielle $d\theta$ de l'angle
polaire $\theta=\arg z$, qui n'admet pas de détermination globalement
définie.\qed
}
\endclaim

Considérons maintenant un chemin $\gamma:[a,b]\to\Omega$ et une
$1$-forme $\beta$ de classe~$\cC^1$, {\em supposée fermée}.
Nous prétendons que l'intégrale
curviligne $\int_\gamma\beta$, qui est a priori bien définie
pour $\gamma$ de classe $\cC^1$ par morceaux, 
peut se définir également sans difficulté lorsque 
$\gamma$ est seulement continu. En effet, si $\delta>0$ est la
distance du compact $\gamma([a,b])$ au fermé $\complement\Omega$, 
la continuité uniforme de $\gamma$ entraîne l'existence d'une
subdivision
$$
a=\tau_0<\tau_1<\ldots<\tau_N=b
$$
de $[a,b]$ telle que $\gamma([\tau_j,\tau_{j+1}])$ soit pour tout 
$j=0,1,\ldots,N-1$
contenu dans la boule $B_j$ de centre $\gamma(\tau_j)$ et de rayon $\delta$.
D'après le lemme de Poincaré, il existe une primitive $F_j$ de $\beta$
définie dans la boule $B_j$. Il suffit alors de poser par définition
$$
\int_{\gamma_{|[\tau_j,\tau_{j+1}]}}\beta
=\int_{\gamma_{|[\tau_j,\tau_{j+1}]}}dF_j
:=F_j(\gamma(\tau_{j+1}))-F_j(\gamma(\tau_j)),
$$
et plus généralement, par la relation de Chasles
$$
\int_{\gamma}\beta
:=\sum_{j=0}^{N-1}F_j(\gamma(\tau_{j+1}))-F_j(\gamma(\tau_j)).
\leqno(1.3.1)
$$
Il est clair que cette définition coïncide avec celle déjà
donnée pour le cas où $\gamma$ est de classe $\cC^1$ par morceaux.
Par ailleurs, on peut voir aisément que les intégrales ainsi
définies sont bien indépendantes de la subdvision et des
primitives choisies (si on a deux subdivisions associées à des
primitives $F_j$ sur $B_j$ et $F'_k$ sur $B'_k$, on en choisit une
troisième plus fine que les deux précédentes avec des boules
$B''_\ell$ telles qu'on ait des indices $j(\ell)$, $k(\ell)$ pour
lesquels $\smash{B''_\ell\subset B_{j(\ell)}\cap B'_{k(\ell)}}$, et on
observe que les différences $F''_\ell-f_{j(\ell)}$ et
$F''_\ell-F'_{k(\ell)}$ sont constantes sur chaque boule $B''_\ell$).
Si $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$ est une $1$-chaîne quelconque,
on définit bien entendu
$$
\int_{[\gamma]}\beta:=\sum m_j\int_{\gamma_j}\beta.
\leqno(1.3.2)
$$
On a dans ce contexte l'observation importante qui suit~:


\claim Lemme|Si $[\gamma]=\partial[\sigma]$ est le bord d'une $2$-chaîne
dans l'ouvert $\Omega$ et si $\beta$ est une $1$-forme fermée sur $\Omega$,
alors
$$
\int_{\partial[\sigma]}\beta=0.
$$
\endclaim

\dem. Il suffit de démontrer le résultat dans le cas où
$[\sigma]$ se réduit à un seul triangle.

\InsertFig  40.000  38.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
  0.000   0.000 moveto 
[   0.000   0.000   40.000   0.000   20.000  34.640  
] closedpolygon 
stroke 
 10.000  17.320 moveto 
[  10.000  17.320   30.000  17.320   20.000   0.000  
] closedpolygon 
stroke 
 15.000  25.980 moveto 
[  15.000  25.980   25.000  25.980   20.000  17.320  
] closedpolygon 
stroke 
 25.000   8.660 moveto 
[  25.000   8.660   15.000   8.660   20.000  17.320  
] closedpolygon 
stroke 
  5.000   8.660 moveto 
[   5.000   8.660   15.000   8.660   10.000   0.000  
] closedpolygon 
stroke 
 30.000   0.000 moveto 
[  30.000   0.000   25.000   8.660   35.000   8.660  
] closedpolygon 
stroke 
  0.400 setlinewidth 
 20.000  17.320 moveto 
[  20.000  17.320   30.000  17.320   25.000   8.660  
] closedpolygon 
stroke 
 28.500  14.660 moveto   0.000  60.000   2.400 vector 
 23.400  17.320 moveto   0.000 180.000   2.400 vector 
 23.000  12.000 moveto   0.000 -60.000   2.400 vector 
grestore 
}
\LabelTeX    7.500  17.700 $\sigma$ \ELTX
\LabelTeX   23.200  13.700 $\sigma_j$ \ELTX
\EndFig
\bigskip

\noindent
En utilisant une subdivison barycentrique de ce triangle comme
figuré sur le schéma ci-dessus, on trouve
$\int_{\partial[\sigma]}\beta=\sum_j\int_{\partial[\sigma_j]}\beta$,
et on donc ramené au cas de triangles dont l'image dans $\Omega$ est
arbitrairement petite. On peut donc supposer qu'on a affaire à des
triangles $\sigma_j$ entièrement contenus dans des boules $B_j$ sur
lesquelles $\beta$ possède des primitives $F_j$. Si
$a_j,b_j,c_j\in\Omega$ sont les sommets du triangle~$\sigma_j$, on
trouve alors
$$
\int_{\partial[\sigma_j]}\beta=
\big(F_j(c_j)-F_j(b_j)\big)-\big(F_j(c_j)-F_j(a_j)\big)
+\big(F_j(b_j)-F_j(a_j)\big)=0.\eqno\square
$$

\claim Corollaire|Si $\beta$ est une $1$-forme fermée dans $\Omega$ et si
$\gamma_1,\gamma_2$ sont deux chemins homotopes dans $\Omega$, alors
$$
\int_{\gamma_1}\beta=\int_{\gamma_2}\beta.
$$
En particulier, l'intégrale $\int_\gamma\beta$ d'une $1$-forme fermée sur
un lacet $\gamma$ ne dépend que de la classe d'homotopie ou d'homologie de ce
lacet.
\endclaim

\dem. On a déjà vu que si $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont homotopes, alors
$[\gamma_1]-[\gamma_2]$ est un bord. Il suffit donc d'appliquer le lemme.\qed

Tout ce qui précéde s'applique en particulier dans le cas où
$\Omega$ est un ouvert de~$\bC$ et $\beta=f(z)dz$ une $1$-forme
holomorphe dans~$\Omega$.  On a en effet déjà observé qu'une
telle forme est {\em fermée}. On notera par ailleurs que si $K$ est
à compact à bord $\cC^1$ par morceaux contenu dans $\Omega$ alors
$\partial K$ peut être vu comme un $1$-cycle en homologie (somme de lacets
orientés), et que ce $1$-cycle est {\em un bord}. Ceci
résulte du fait que $K$ peut être ``triangulé'', c'est-à-dire
couvert par des images $\cC^1$-difféomorphes de triangles se
recollant le long de leurs arêtes.  On réinterprète ainsi le 
résultat du théorème de Cauchy affirmant que $\int_{\partial K}\beta=0$.

\InsertFig  15.000  52.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
  0.300 setlinewidth 
 20.000  10.000 moveto 
[  20.000  10.000   10.000  20.000   10.000  40.000   40.000  45.000  
   59.000  47.000   75.000  37.000   75.000  27.000   55.000   7.000  
   35.000   7.000  
] closedcurve 
gsave closepath   0.950 setgray fill grestore stroke 
 30.000  20.000 moveto 
[  30.000  20.000   25.000  30.000   35.000  35.000   45.000  35.000  
   50.000  25.000   40.000  20.000  
] closedcurve 
gsave closepath   1.000 setgray fill grestore stroke 
 40.000  20.000 moveto  55.000   7.000 segment 
 55.000   7.000 moveto  50.000  25.000 segment 
 50.000  25.000 moveto  75.000  27.000 segment 
 75.000  27.000 moveto  45.000  35.000 segment 
 45.000  35.000 moveto  75.000  37.000 segment 
 45.000  35.000 moveto  59.000  47.000 segment 
 45.000  35.000 moveto  40.000  45.000 segment 
 40.000  45.000 moveto  35.000  35.000 segment 
 35.000  35.000 moveto  10.000  40.000 segment 
 10.000  40.000 moveto  25.000  30.000 segment 
 25.000  30.000 moveto  10.000  20.000 segment 
 10.000  20.000 moveto  30.000  20.000 segment 
 30.000  20.000 moveto  20.000  10.000 segment 
 20.000  10.000 moveto  40.000  20.000 segment 
 45.000  35.000 moveto  75.000  27.000 segment
stroke 
  0.250 setlinewidth
 63.000  26.000 moveto   0.000   3.000   2.400 vector 
 59.500  31.100 moveto   0.000 167.000   2.400 vector 
 50.100  28.500 moveto   0.000 -65.000   2.400 vector 
 39.300   6.600 moveto   0.000  -4.000   2.400 vector 
 46.200  14.700 moveto   0.000 137.000   2.400 vector 
 29.200  14.600 moveto   0.000 207.000   2.400 vector 
grestore 
}
\LabelTeX   15.500  46.500 $K$ \ELTX
\LabelTeX   35.500   2.000 $\partial K$ \ELTX
\LabelTeX   37.000  12.000 $T_j$ \ELTX
\EndFig

\section{1.4. Intégration sur les ouverts simplement connexes}

Bien que nous soyons principalement intéressés par les ouverts de 
$\bC\simeq\bR^2$, nous préférons donner d'abord la
«\?bonne\?» définition générale des espaces simplement
connexes, plutôt qu'une définition ad hoc valable seulement en
dimension~$2$.

\claim Définition|Un espace topologique $X$ est dit simplement
connexe s'il est connexe par arcs et s'il vérifie l'une des
propriétés équivalentes qui suivent.
\smallskip
\item{\rm(i)} Deux chemins quelconques ayant mêmes extrêmités 
sont homotopes. 
\smallskip
\item{\rm(ii)} Pour tout $x_0\in X$, on a $\pi_1(X,x_0)=0$.
\smallskip
\item{\rm(iii)} Il existe $x_0\in X$ tel que $\pi_1(X,x_0)=0$.
\endclaim

Il est clair en effet que ${\rm(i)}\Rightarrow{\rm(ii)}\Rightarrow{\rm(iii)}$.
Pour voir que (iii) implique (i), on prend deux chemins $\gamma_1$ et
$\gamma_2$ ayant des extrêmités $a$ et $b$, et on choisit des
«\?chemins de liaison\?» $\lambda_a$ reliant $x_0$ à $a$ et
$\lambda_b$ reliant $x_0$ à $b$. Alors 
$\lambda_a\cdot\gamma_i\cdot\wt\lambda_b$, $i=1,2$, sont deux lacets
basés en $x_0$, l'hypothèse (iii) implique l'existence d'une homotopie
$h$ entre ces deux lacets. On obtient une homotopie entre $\gamma_1$
et $\gamma_2$ en considérant l'homotopie 
$$
[0,1]\ni u\mapsto \wt\lambda_a\cdot h(u,\bu)\cdot\lambda_b
$$

\InsertFig  20.000  53.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
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   14.700   5.000  
] curve 
stroke 
  5.300  45.000 moveto 
[   5.300  45.000   10.300  35.000   10.300  25.000   10.300  15.000  
   15.300   5.000  
] curve 
stroke 
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[   5.000  45.300   10.000  45.300   25.000  40.300   40.000  40.300  
   50.000  35.300  
] curve 
stroke 
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   50.000  34.700  
] curve 
stroke 
  0.250 setlinewidth
 15.000   5.000 moveto 
[  15.000   5.000   15.000  10.000   20.000  20.000   30.000  30.000  
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] curve 
stroke 
 15.000   5.000 moveto 
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] curve 
stroke 
 37.700  15.800 moveto   0.000  40.000   2.400 vector 
 27.700  28.500 moveto   0.000  38.000   2.400 vector 
  0.085 setlinewidth
 31.000  39.700 moveto   0.000   4.000   2.400 vector 
 23.500  40.600 moveto   0.000 170.000   2.400 vector 
 10.430  28.500 moveto   0.000  89.000   2.400 vector 
  9.630  22.500 moveto   0.000 -91.000   2.400 vector 
grestore 
}
\LabelTeX   13.000   2.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX   51.500  36.000 $b$ \ELTX
\LabelTeX    1.500  47.000 $x_0$ \ELTX
\LabelTeX    5.000  23.000 $\lambda_a$ \ELTX
\LabelTeX   11.800  26.000 $\wt\lambda_a$ \ELTX
\LabelTeX   27.500  36.000 $\lambda_b$ \ELTX
\LabelTeX   23.500  42.000 $\wt\lambda_b$ \ELTX
\LabelTeX   21.500  27.500 $\gamma_1$ \ELTX
\LabelTeX   37.000  12.500 $\gamma_2$ \ELTX
\EndFig

\noindent
qui relie $\wt\lambda_a\cdot\lambda_a\cdot \gamma_1\cdot\wt\lambda_b\cdot
\lambda_b$ et $\wt\lambda_a\cdot\lambda_a\cdot \gamma_2\cdot\wt\lambda_b
\cdot\lambda_b$, et en observant que $\wt\lambda_a\cdot\lambda_a$ et
$\wt\lambda_b\cdot\lambda_b$ sont homotopes aux lacets constants
$c_a(t)=a$, $c_b(t)=b$, respectivement.\qed

\claim Exemple|{\rm Tout ouvert {\em convexe} $\Omega\subset\bR^n$
est simplement connexe~; en effet on peut «\?homotoper\?»
deux chemins $\gamma_1$, $\gamma_2$ quelconques à l'aide de
l'homotopie 
$$
h(u,t)=(1-u)\gamma_1(t)+u\gamma_2(t).
$$
Plus généralement, tout ouvert étoilé est simplement
connexe~: si $\Omega$ est étoilé par rapport au point
$x_0\in\Omega$, l'application $h(u,t)=(1-u)x_0+u\gamma(t)$ réalise
une homotopie entre un lacet $\gamma$ quelconque d'extrêmités
$x_0$, et le lacet constant $x_0$.\qed} \endclaim

La surjectivité déjà mentionnée de l'homomorphisme 
$\pi_1(X,x_0)\to H_1(X,\bZ)$ entraîne qu'un espace $X$ simplement connexe
vérifie \hbox{$H_1(X,\bZ)=0$} automatiquement. On peut cependant donner des
exemples d'ouverts $\Omega\subset \bR^n$, $n>2$, qui
vérifient \hbox{$H_1(\Omega,\bZ)=0$} sans être simplement connexes.

\claim Théorème|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$ et $\beta$ une
$1$-forme fermée de classe $\cC^1$. Si $H_1(\Omega,\bZ)=0$ $($en
particulier, si $\Omega$ est simplement connexe$)$, alors $\beta$ est
exacte, c'est-à-dire qu'il existe une primitive globale $F$ de
classe $\cC^2$ sur $\Omega$ telle que $\beta=dF$.  \endclaim

\dem. On peut supposer $\Omega$ connexe, donc connexe par arcs. Fixons une
origine $x_0\in\Omega$. Pour Tout point $x\in\Omega$ on choisit un
chemin continu $\gamma_x$ joignant $x_0$ à $x$ et on pose
$$
F(x)=\int_{\gamma_x}\beta.
$$
Comme deux chemins quelconques $\gamma_x$, $\hat\gamma_x$ diffèrent
par un bord d'après l'hypothèse $H_1(\Omega,\bZ)=0$, l'intégrale est
bien indépendante du choix du chemin $\gamma_x$. En choisissant pour
$\gamma_x$ un chemin polygonal, il est immédiat de vérifier que les
dérivées partielles $\partial F/\partial x_j$ coïncident avec les
coefficients $\beta_j$ de $\beta$, donc $dF=\beta$.\qed

Nous transcrivons maintenant ces résultats dans le cas des fonctions
holomorphes, en utilisant le fait que la $1$-forme $\beta=f(z)dz$ est 
fermée pour toute fonction holomorphe~$f$.

\claim Corollaire|Si $f$ est une fonction holomorphe sur un ouvert
$\Omega$ de $\bC$ tel que $H_1(\Omega,\bZ)=0$, alors $f$ possède
une primitive $F$ dans $\Omega$.
\endclaim

\claim Conséquence|Soit $f$ est une fonction holomorphe sur un ouvert
$\Omega$ de $\bC$ tel que $H_1(\Omega,\bZ)=0$. Supposons que $f$ 
ne $\ul{\smash{\hbox{s'annule pas}}}$ dans $\Omega$. Alors
\smallskip
\item{\rm(i)} Il existe une fonction holomorphe $g\in\cO(\Omega)$ telle que
$\exp(g)=f$. Deux solutions $g_1$, $g_2$ diffèrent par une constante
$2k\ii\pi$ dans chaque composante connexe de $\Omega$.
\smallskip
\item{\rm(ii)} Pour tou entier $n\ge 2$, il existe une fonction racine
$n$-ième $h\in\cO(\Omega)$ telle que $h^n=f$. Si $h_1$ est une
solution, toute autre solution s'écrit sous la forme
$h_2(z)=uh_1(z)$ où $u$ est une racine $n$-ième de l'unité,
constante dans chaque composante connexe de $\Omega$.  \vskip0pt
\endclaim

\dem. On peut supposer ici que $\Omega$ est connexe.

\noindent
(i) D'après le corollaire, la fonction $h=f'/f$ admet une primitive
$H$ dans $\Omega$. Nous avons alors
$$
\big(f\exp(-H)\big)'=(f'-hf)\exp(-H)=0,
$$
de sorte que $f\exp(-H)=C$ constante. Si on choisit un nombre
complexe $c$ tel que $\exp(c)=C$, alors $g=H+c$ vérifie
$\exp(g)=C\exp(H)=f$.  Si on a deux solutions, alors $g_2-g_1$ prend
ses valeurs dans le sous-ensemble discret $2\pi\ii\bZ\subset\bC$, ce
qui entraîne par continuité de $g_2-g_1$ et connexité de
$\Omega$ que $g_2-g_1=2k\ii\pi$ est constante.

\noindent
(ii) Si $g$ vérifie $\exp(g)=f$, alors $h=\exp(g/n)$ vérifie évidemment
$h^n=f$. La dernière affirmation concernant l'unicité à constante
multiplicative près telle que $u^n=1$ est claire.\qed

\claim Remarque|{\rm Si $H_1(\Omega,\bZ)=0$ et si $f$ est une fonction
holomorphe (resp.\ méro­mor­phe) non identiquement nulle sur $\Omega$,
il est facile de voir que $f$ possède une racine $n$-ième
holomorphe (resp.\ méromorphe) $h$ si et seulement si $\div(f)$ est
divisible par~$n$, c'est-à-dire si toutes les multiplicités des
zéros et des pôles sont divisibles par $n$. La condition est
évidemment nécessaire. Réciproquement, si $\div(f)$ est
divisible par $n$ et si $g_1$ est une fonction méromorphe de
diviseur $\div(g_1)={1\over n} \div(f)$ (qui existe toujours d'après
le théorème de factorisation de Weierstrass), alors $f/g^n_1$ est
une fonction holomorphe sans pôles ni zéros, par conséquent elle
possède une racine $n$-ième $g_2$ sans pôles ni zéros, et on a
$f=(g_1g_2)^n$.\qed }
\endclaim

\supersection{2. Indices et théorème de Rouché}

\section{2.1. Indices}

On considère ici des $1$-cycles $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$
tracés dans le plan complexe~$\bC$. Rappelons que le {\em
support} d'un tel cycle est $\bigcup\Im(\gamma_j)$ (on suppose
l'écriture du cycle simplifiée, en sorte que les chemins
$\gamma_j$ soient deux à deux distincts et que les coefficients
$m_j$ soient non nuls).

\claim Théorème et définition|Soit $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$
un $1$-cycle tracé dans $\bC$ et $z_0\in\bC\ssm\Supp([\gamma])$. On
définit l'indice de $[\gamma]$ par rapport à $z_0$ comme étant
l'intégrale
$$
\Ind([\gamma], z_0) = {1\over 2\pi\ii}\int_{[\gamma]}{dz\over z-z_0}.
$$
L'indice est toujours un entier $\Ind([\gamma], z_0)\in\bZ$. Cet entier
représente intuitivement le nombre de tours effectués par le cycle
autour du point $z_0$, compté avec les multiplicités $m_j$ et avec des 
signes déterminés par le sens de rotation autour de~$z_0$.
\endclaim

\dem. On commence par prouver le résultat lorsque $[\gamma]$ se réduit à
un seul lacet $\gamma:[0,1]\to\bC$, $\gamma(0)=\gamma(1)$.
Soit $\delta=d(z_0,\Im(\gamma))>0$ la distance du point $z_0$ à
l'image du lacet~$\gamma$. D'après la continuité uniforme de $\gamma$
sur $[0,1]$, on peut choisir une subdvision 
$$
0=t_0<t_2<\ldots<t_N=1
$$
telle que $\gamma([t_j,t_{j+1}])$ soit entièrement contenu dans le
disque ouvert de centre $\gamma(t_j)$ et de rayon $\delta$. Si $z_1\in
\Delta=D(\gamma(t_j),\delta)$, la détermination principale du
logarithme fournit une primitive $z\mapsto\Log\big((z-z_0)/(z_1-z_0)\big)$
de $z\mapsto 1/(z-z_0)$ définie sur $\Delta$ tout entier, car le quotient 
$(z-z_0)/(z_1-z_0)$ ne peut pas être réel négatif. On obtient donc
$$
\eqalign{
{1\over 2\pi\ii}\int_{\gamma_{|[t_j,t_{j+1}]}}{dz\over z-z_0}
&={1\over 2\pi\ii}\Log{\gamma(t_{j+1})-z_0\over\gamma(t_j)-z_0}\cr
&=-{\ii\over 2\pi}\ln\Big|{\gamma(t_{j+1})-z_0\over\gamma(t_j)-z_0}\Big|
+{1\over 2\pi}\Arg{\gamma(t_{j+1})-z_0\over\gamma(t_j)-z_0}.\cr}
$$
Comme on a toujours $\Log z_1+\Log z_2=\Log(z_1z_2)$ mod $2\pi\ii\bZ$,
il vient par sommation sur chacun des intervalles de la subdivision~:
$$
\Ind(\gamma,z_0)={1\over 2\pi\ii}\int_{\gamma}{dz\over z-z_0}
={1\over 2\pi\ii}\Log{\gamma(1)-z_0\over\gamma(0)-z_0}
\quad\mod\bZ.
$$
Comme $\gamma(0)=\gamma(1)$, il s'ensuit que
${\gamma(1)-z_0\over\gamma(0)-z_0}=1$, donc  $\Ind(\gamma,z_0)\in\bZ$. 
D'après le calcul précédent, l'indice coïncide avec l'angle (exprimé en tours)
$$
{1\over 2\pi}\sum_{j=0}^{N-1}\Arg{\gamma(t_{j+1})-z_0\over\gamma(t_j)-z_0}.
$$
Maintenant, si $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$ est un $1$-cycle quelconque, le 
lemme du paragraphe 1.2 montre que $[\gamma]$ diffère par un bord
d'un cycle $[\wh\gamma]=\sum \wh m_j[\wh\gamma_j]$ qui est une somme
de lacets, on a donc
$$
\Ind([\gamma],z_0)=\Ind([\wh\gamma],z_0)=\sum_j \wh m_j
\Ind([\wh\gamma_j],z_0)\in\bZ.\eqno\square
$$

\claim Remarque 1|{\rm Comme la forme $\beta={dz \over z-z_0}$ est fermée sur 
$\bC\ssm\{z_0\}$, les résultats généraux déjà démontrés 
impliquent que l'on a 
$$\Ind([\gamma], z_0) = \Ind([\gamma'], z_0)$$
dès que les cycles $[\gamma]$ et $[\gamma']$ diffèrent
par un bord dans $\bC\ssm\{z_0\}$. C'est le cas en particulier lorsque
$\gamma$ et $\gamma'$ sont des lacets homotopes dans un ouvert $\Omega$
contenu dans $\bC\ssm\{z_0\}$.}
\endclaim

\claim Remarque 2|{\rm Si $K$ est un compact à bord de classe $\cC^1$ par 
morceaux, alors $\Ind(\partial K, z_0) = 0$ si $z_0\in\Omega\ssm K$ et
$\Ind(\partial K, z_0) = 1$ si $z_0\in K^\circ$. Ceci résulte de la formule
des résidus usuelle appliquée à la forme $\beta={dz\over z-z_0}$.}
\qed
\endclaim

On a par ailleurs le résultat suivant concernant la dépendance de l'indice
par rapport au point~$z_0$ considéré.

\claim Proposition|Si $[\gamma]$ est un $1$-cycle dans $\bC$ et si
$z_0$, $z_1$ sont dans la même composante connexe de
$\bC\ssm\Supp([\gamma])$, alors $\Ind([\gamma], z_0) = \Ind([\gamma],
z_1)$. De plus, si $z_0$ est situé dans la composante connexe non bornée
de $\bC\ssm\Supp([\gamma])$, alors $\Ind([\gamma], z_0) = 0$.
\endclaim

\dem. Il est clair que l'application $w\mapsto\Ind([\gamma],w)$ est
une application continue (et même holomorphe$\,$!) sur l'ouvert
$\Omega=\bC\ssm\Supp([\gamma])$. Comme elle prend des valeurs
entières, elle est nécessairement constante sur chaque composante
connexe $\Omega_k $ de $\Omega$. Le support de $[\gamma]$ est compact,
donc contenu dans un certain disque fermé $\ol D(0,R_0)$, ce qui
implique que la couronne $\bC\ssm\ol D(0,R_0)$ est contenue dans
$\Omega$. Par suite $\Omega$ possède une seule composante connexe non
bornée, celle qui contient $\bC\ssm\ol D(0,R_0)$, toutes les autres
étant contenues dans~$D(0,R_0)$. Remplaçons les chemins $\gamma_j$
composant $[\gamma]$ par des chemins polygonaux $[\wh\gamma_j]$
de mêmes extrêmités contenus dans $\ol D(0,R_0)$, de façon 
à être sûr que les chemins $\wh\gamma_j$ soient de classe
$\cC^1$ par morceaux et de longueur finie). Ces chemins sont alors
homotopes dans $\ol D(0,R_0)$, de sorte que pour tout $w\in\bC\ssm\ol
D(0,R_0)$ il vient
$$
\Ind([\gamma],w)=\Ind([\wh\gamma],w), \qquad
\big|\Ind([\wh\gamma],w)\big|\le{1\over 2\pi(|w|-R_0)}\sum |m_j|
\lg(\wh\gamma_j).
$$
Par suite l'indice tend vers $0$ à l'infini, et il est
nécessairement nul sur la composante non bornée de~$\Omega$.\qed

Nous indiquons maintenant un procédé de calcul géométrique
pour l'indice, dans le cas d'un cycle vérifiant certaines
propriétés de régularité.

\claim Définition|Une $1$-chaîne $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$
tracée dans $\bC\simeq\bR^2$ sera dite $\cC^1$ régulière par
morceaux si elle est composée de chemins $\gamma_j$ de classe
$\cC^1$ par morceaux, ayant des vecteurs dérivés $($à droite,
à gauche$)$ partout non nuls, tels que en tout point
$p\in\Supp([\gamma])$ qui est un point multiple $($c'est-à-dire un
point appartenant à des images de chemins différents, ou bien un
point $p$ possédant plusieurs antécédents $t=\gamma_j^{-1}(p)$
sur un même chemin $\gamma_j)$, les demi-tangentes aux chemins
$\gamma_j$ passant par $p$ sont toutes distinctes.  \endclaim

Si $[\gamma]$ est un $1$-cycle régulier, le théorème des
fonctions implicites montre aisément qu'il ne peut y avoir qu'un
nombre fini de points multiples, et que pour tout point $p\in\Supp([\gamma])$ 
non multiple, il existe un voisinage $V$ de $p$ tel que $V\ssm\Supp([\gamma])$ 
soit constitué de $2$ composantes connexes (noter que les extrêmités des
chemins $\gamma_j$ composant $\gamma$ sont nécessairement multiples, sinon
ce point figurerait dans $\partial[\gamma]$ et $[\gamma]$ ne serait donc pas 
un cycle). Plus précisément on peut choisir pour $V$ un certain rectangle
construit comme suit~: il existe un repère orthonormé direct associé
à des coordonnées $(u,v)$ dans le plan, un rectangle 
$$
R = \big\{(u,v)\,,\; -\varepsilon<u<\varepsilon,\; 
-\delta<v<\delta\big\}
$$ 
et une application de classe $\cC^1$ par morceaux $h:{}]-\varepsilon,
\varepsilon[\to]-\delta,\delta[$, $u\mapsto v=\varphi(u)$ vérifiant 
$$
R\cap\Supp([\gamma]) = \big\{(u,\varphi(u))\,,\; 
u\in{}]-\varepsilon,\varepsilon[
\big\}.
$$
On supposera que les coordonnées $(u,v)$ sont choisies en sorte
que le chemin $\gamma_j$ qui coïncide avec le graphe $v=\varphi(u)$
dans $R$ soit orienté dans le sens des $u$ croissants. Il est clair
dans ces conditions que $R\ssm\Supp([\gamma])$ est constitué des
deux composantes connexes définies respectivement par
$R_+=\{v>\varphi(u)\}$ et $R_-=\{v<\varphi(u)\}$.

\claim Théorème|Soit $[\gamma]=\sum m_j[\gamma_j]$ un cycle 
$\cC^1$ régulier par morceaux, soit $p\in\Im(\gamma_j)\subset
\Supp([\gamma])$ un point non multiple, et soit $R$ un rectangle
défini comme ci-dessus. Alors si $z_+\in R_+$ et $z_-\in R_-$, on a
$$
\Ind([\gamma],z_+)-\Ind([\gamma],z_-)=m_j.
$$
En particulier, si $[\gamma]$ est constitué d'un seul lacet de 
multiplicité~$1$, on a $\Ind([\gamma],z_+)-\Ind([\gamma],z_-)=1$.
\endclaim

\InsertFig  20.000  60.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
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  0.250 setlinewidth 
 72.700   9.100 moveto   0.000  22.000   2.400 vector 
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 25.000  50.000 moveto 
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 25.000  50.000 moveto 
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   40.000  35.000   40.000  45.000   70.000  45.000   75.000  25.000  
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   25.000  50.000  
] curve 
stroke 
 46.000  21.000 moveto  20.000 rotation 
 50.000  14.000 moveto  42.000  28.000 rectangle 
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  0.085 setlinewidth 
 52.000  21.000 moveto  17.000 180.000   2.400 vector 
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}
\LabelTeX    0.000   5.000 $\Ind([\gamma],z)=0$ \ELTX
\LabelTeX   14.000  40.000 $1$ \ELTX
\LabelTeX   69.000  16.000 $1$ \ELTX
\LabelTeX   68.000  27.000 $2$ \ELTX
\LabelTeX   62.580  39.200 $1$ \ELTX
\LabelTeX   48.580  43.200 $2$ \ELTX
\LabelTeX   31.580  30.200 $0$ \ELTX
\LabelTeX   42.580  36.200 $1$ \ELTX
\LabelTeX   52.000  17.200 $R_+$ \ELTX
\LabelTeX   48.500  27.200 $R_-$ \ELTX
\LabelTeX   44.500  17.800 $p$ \ELTX
\LabelTeX   88.580  22.200 $[\gamma]$ \ELTX
\LabelTeX   35.580  14.700 $u$ \ELTX
\LabelTeX   51.080   9.200 $v$ \ELTX
\EndFig

\dem. Soit $p\in\Supp([\gamma])$ le centre du rectangle. Choisisons des
points $z_+\in R_+$ et $z_-\in R_-$ que nous ferons converger vers
le point~$p$, et désignons par $[\gamma']$ la partie de $[\gamma]$
située hors de $R$, de sorte que nous avons
$[\gamma]=[\gamma']+m_j[\theta]$ où $\theta$ est la courbe définie
comme le graphe $(u,\varphi(u))$ dans le rectangle $R$. Bien entendu
la décomposition a lieu seulement dans le groupe des $1$-chaînes,
ni $[\gamma']$ ni $[\theta]$ ne sont des cycles. Considérons
les $1$-chaînes $(\partial R)_+=(\partial R)\cap \ol R_+$ et
$(\partial R)_-=(\partial R)\cap \ol R_-$, munies de l'orientation induite
par l'orientation naturelle de $\partial R$. Il existe une homotopie
entre $\theta$ et $(\partial R)_-$ qui «\?balaie\?» $\ol R_-$ et donc
qui ne rencontre jamais le point $z_+$ (il suffit, lorsque 
$s\in[0,1]$, de considérer les graphes des fonctions 
$\varphi_s(u)=(1-s)\varphi(u)-s\delta$, que l'on concatène avec
des segments du bord de $R$). 
Si l'on pose $[\gamma_-]=[\gamma']+m_j[(\partial R)_-]$ on trouve par 
conséquent
$$
\Ind([\gamma],z_+)=\Ind([\gamma_-],z_+)=\Ind([\gamma_-],p),
$$
(la dernière égalité se voit en faisant converger $z_+$ vers
$p$). De même, si l'on pose $[\gamma_+]=[\gamma']-m_j[(\partial
R)_+]$ (attention à l'orientation$\;$!), il vient
$$
\Ind([\gamma],z_-)=\Ind([\gamma_+],z_-)=\Ind([\gamma_+],p),
$$
En prenant la différence, on obtient
$$
\Ind([\gamma],z_+)-\Ind([\gamma],z_-)=
\Ind([\gamma_-],p)-\Ind([\gamma_+],p)=m_j\Ind(\partial R,p)=m_j\;;
$$
la dernière égalité provient de la formule des résidus usuelle
(Remarque 2), qui donne $\Ind(\partial R,p)=1$.\qed

\section{2.2. Formule des résidus généralisée}

Nous commençons tout d'abord par une généralisation du
théorème de Cauchy. L'une des façons d'énoncer le théorème
de Cauchy est de dire que si $\beta=f(z)dz$ est une forme holomorphe
dans un ouvert $\Omega$, alors $\smash{\int_{[\gamma]}f(z)dz}=0$
pour tout cycle $[\gamma]=\partial[\sigma]$ qui est un bord.
On peut appliquer ceci à $f(z)=1/(z-z_0)$ si $z_0\in\bC\ssm
\Omega$, et on conclut alors que $\Ind([\gamma],z_0)=0$ pour tout
$z_0\in\bC\ssm\Omega$ et pour tout cycle $[\gamma]$ qui est un bord
dans $\Omega$. L'objectif de cette section est de montrer qu'on
peut se contenter du fait que $[\gamma]$ satisfasse l'hypothèse de 
nullité des indices pour obtenir la formule des résidus.

\claim Théorème|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$, $[\gamma]$ un
$1$-cycle tracé dans $\Omega$ vérifiant $\Ind([\gamma],z_0)=0$ pour
au moins un point dans chaque «\?trou\?» de $\Omega$
$($composante connexe bornée de $\bC\ssm\Omega)$, et $f$ une fonction 
holomorphe dans $\Omega$. Alors
$$\int_{[\gamma]}f(z)dz = 0.$$
\endclaim

On notera que l'hypothèse entraîne en fait que $\Ind([\gamma],w)=0$
pour tout $w\in\bC\ssm\Omega$. En effet, $w\mapsto\Ind([\gamma],w)$ 
est constant dans chaque composante connexe de $\bC\ssm\Omega$, 
et on sait déjà que l'indice est nul dans les composantes connexes
non bornées.

\dem. Il n'est pas restrictif de supposer que $[\gamma]$ est
constitué de chemins de classe $\cC^1$ par morceaux, sinon on peut
s'y ramener en faisant une homotopie avec un chemin polygonal.
L'intégrale curviligne se ramène alors à une vraie intégrale
simple (ou plutôt à une somme d'intégrales simples). Soit $K$ un
compact à bord de classe $\cC^1$ par morceaux dans $\Omega$ tel que
$\Supp([\gamma])\subset K^\circ$ (on peut construire un tel compact en
choissant un quadrillage assez fin du plan complexe, et en prenant la
réunion des petits carrés qui intersectent $\Supp([\gamma])$).  Si
$\bC\ssm K^\circ$ possède des composantes connexes $C_j$ bornées
(«\?trous\?» de $K$) qui sont contenues dans $\Omega$, on peut
toujours les remplir, à savoir remplacer $K$ par $K\cup\bigcup C_j$.
On peut donc supposer qu'aucune des composantes connexes bornées de
$\bC\ssm K^\circ$ n'est incluse dans $\Omega$.  La formule de Cauchy
nous donne alors
$$
f(z)={1\over 2\pi\ii}\int_{w\in\partial K}{f(w)\over w-z} dw,
\qquad\forall z\in K^\circ.
$$
En intégrant $f(z)dz$ sur le $1$-cycle $[\gamma]$ et en invoquant le
théorème de Fubini, on obtient
$$
\int_{[\gamma]}f(z)dz=
{1\over 2\pi\ii}\int_{w\in\partial K}f(w)\Big(\int_{[\gamma]}{dz\over w-z}
\Big)dw.
$$
Pour conclure la démonstration, il suffit de montrer que l'on
a $\Ind([\gamma],w)=0$ pour tout point $w\in\bC\ssm K^\circ$, en
particulier sur $\partial K$. Considérons la
composante connexe $C$ de $\bC\ssm K^\circ$ contenant $w$. Si cette
composante est non bornée, on sait que l'indice est nul. Si la composante est
bornée, alors $C$ n'est pas contenue dans $\Omega$ et par conséquent elle
contient un point $p\in\bC\ssm\Omega$. Mais alors nous avons
$$
\Ind([\gamma],w)=\Ind([\gamma],p)=0
$$
par hypothèse (cf.\ la remarque qui suit l'énoncé). Le théorème est 
démontré, nous en donnons maintenant
quelques conséquences.\qed

\claim Corollaire|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ sans trous, c'est-à-dire
tel que $\bC\ssm\Omega$ n'a pas de composante connexe bornée. Alors~:
\smallskip
\item{\rm(i)} Pour tout $1$-cycle $[\gamma]$ dans $\Omega$ et toute
fonction $f\in\cO(\Omega)$, on a
$$
\int_{[\gamma]}f(z)dz=0.
$$
\smallskip
\item{\rm(ii)} Toute fonction holomorphe $f$ dans $\Omega$ admet une
primitive $F$. De plus, si $f$ ne s'annule pas, il existe des
déterminations holomorphes du logarithme de $f$ et des racines $n$-ièmes
de $f$.\vskip0pt
\endclaim

\dem. Pour (i), on observe que $\Omega=\bC$ ou bien que $\bC\ssm\Omega$
est connexe non borné.

\claim Formule des résidus généralisée|Soit $\Omega$ un ouvert
de $\bC$, $[\gamma]$ un $1$-cycle tracé dans $\Omega$ vérifiant
$\Ind([\gamma],z_0)=0$ pour au moins un point $z_0$ dans chaque trou
de $\Omega$, et $f$
une fonction holomorphe dans $\Omega\ssm\{a_\nu\}$ où $\{a_\nu\}$
est une suite de points singuliers localement finie dans~$\Omega$,
ne rencontrant pas $\Supp([\gamma])$. Alors
$$\int_{[\gamma]}f(z)dz = 2\pi\ii
\sum_{a_\nu\in\Omega}\Ind([\gamma],a_\nu)\,\Res(f(z)dz,a_\nu)
$$
$($et il n'y a qu'un nombre fini de termes non nuls$)$.
\endclaim

\dem. Soit $K$ un compact à bord de classe $\cC^1$ par morceaux n'ayant
aucun trou contenu dans $\Omega$ (cf.\ démonstration précédente), tel
que \hbox{$\Supp([\gamma])\subset K^\circ$}, et tel que 
$\partial K\cap\{a_\nu\}=\emptyset$. L'indice $\Ind([\gamma],w)$ est nul
hors de $K$, donc les points singuliers à considérer sont uniquement ceux
de $K\cap\{a_\nu\}$, en nombre fini d'après l'hypothèse de locale
finitude. On considère $\Omega'=\Omega\ssm
\{a_\nu\}$. Le cycle $[\gamma]$ ne satisfait pas l'hypothèse de nullité
des indices par rapport au trous de $\Omega'$ (du fait que l'indice de
$[\gamma]$ par rapport aux points $a_\nu$ n'est pas
nécessairement nul), mais si $s_\nu$ est cet indice, le cycle 
$$
[\gamma']=[\gamma]-\sum_{a_\nu\in K} s_\nu[\Gamma(a_\nu,\varepsilon)]
$$
satisfait bien cette hypothèse, au moins pour $\varepsilon>0$ assez petit.
On en conclut que $\int_{[\gamma']}f(z)dz=0$, et par conséquent
$$
\int_{[\gamma]}f(z)dz=
\sum_{a_\nu\in K} s_\nu\int_{[\Gamma(a_\nu,\varepsilon)]}f(z)dz=
2\pi\ii\sum_{\alpha_\nu\in K} s_\nu\Res(f(z)dz,a_\nu).
\eqno\square
$$

\claim Remarque|{\rm On peut démontrer que si $\Omega\subset \bC$
possède un nombre fini de trous, et si $\{w_j\}_{1\le j\le p}$ est
un ensemble de points comportant un point dans chaque trou, alors
l'application
$$
H_1(\Omega,\bZ)\longrightarrow \bZ^p,\qquad
[\gamma]\longmapsto \big(\Ind([\gamma],w_j\big)_{1\le j\le p}
$$
est un isomorphisme. Nous démontrerons que ceci est vrai lorsque $\Omega$
n'a pas de trous ($p=0$), en prouvant qu'en fait $\Omega$ est alors
simplement connexe. Lorsqu'il y a une infinité de trous, la situation
peut être nettement plus compliquée, entre autres du fait que les
trous peuvent être en quantité non dénombrable (prendre 
par exemple pour $\Omega$ le complémentaire de l'ensemble triadique 
de Cantor $K\subset[0,1]$).
}
\endclaim

\section{2.3. Théorème de Rouché}

Nous énonçons d'abord le «\?principe de l'argument\?», 
dérivé de la formule des résidus, qui permet
d'évaluer le nombre de zéros et de pôles d'une fonction
méromorphe.

\claim Principe de l'argument|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$, 
$f$ une fonction méromorphe dans $\Omega$ et $\delta=\sum m_j[a_j]$ son
diviseur. Alors
\smallskip
\item{\rm(i)} Si $K$ est un compact à bord de classe $\cC^1$ par morceaux
tel que $\partial K$ ne contienne ni pôle ni zéro de $f$, on a
$$
{1\over 2\pi\ii}\int_{\partial K} {f'(z)\over f(z)}dz=\sum_{a_j\in K} m_j,
$$
c'est-à-dire précisément le nombre de zéros et de pôles situés
dans $K$, comptés avec leurs multiplicités et signes respectifs.
\smallskip
\item{\rm(ii)}Plus généralement, si $[\gamma]$ est un $1$-cycle dont
le support ne rencontre pas $\Supp(\delta)=\{a_j\}$ et tel
que $\Ind([\gamma],w)=0$ pour tout $w\in\bC\ssm\Omega$, alors
$$
{1\over 2\pi\ii}\int_{[\gamma]} {f'(z)\over f(z)}dz=\sum_{a_j\in \Omega} m_j
\Ind([\gamma],a_j).
$$
\vskip-7pt
\endclaim

On notera que ${1\over 2\pi\ii}df/f$ a pour partie réelle
${1\over 2\pi}d\Arg f$, c'est donc la variation infinitésimale de
l'argument de $f$ (comptée en tours). Le principe de l'argument
exprime donc le fait que la variation totale de l'argument de $f$ sur un
contour compte le nombre total de zéros et de pôles de $f$
situés à l'intérieur de ce contour.


\dem. Les pôles de $f'/f$ sont a priori soit des pôles, soit des
zéros de~$f$, la preuve consiste simplement à calculer le résidu
de $(f'(z)/f(z))\,dz$ en un tel point~$z_0$. Or, on peut écrire
$$
f(z)=(z-z_0)^mu(z)
$$
où $m\in\bZ$ est la multiplicité et $u$ une fonction holomorphe sans
pôles ni zéros sur un voisinage $V$ de~$z_0$. La dérivée logarithmique
de $f$ est donnée par
$$
{f'(z)\over f(z)}={m\over z-z_0}+{u'(z)\over u(z)}
$$
avec $u'/u\in\cO(V)$, par conséquent on a $\Res((f'(z)/f(z))dz,z_0)=m$.
Ceci implique le principe de l'argument.\qed

\claim Cas particulier|{\rm Supposons que $f$ soit holomorphe
dans $\Omega$, et soit $K\subset \Omega$ un compact à bord de
classe $\cC^1$ par morceaux. On note $f_*\partial K$ le cycle image
du bord~$\partial K$, c'est-à-dire la somme $\sum[f\circ\gamma_j]$ où
les $\gamma_j$ sont les lacets composant~$\partial K$. 
Soit $w\in\bC\ssm f(\partial K)$. Le principe de l'argument appliquée à 
la fonction $f(z)-w$ montre que le nombre total $\sharp(f^{-1}(w)\cap K)$ 
d'antécédents $f(z)=w$ dans $K$, compté avec multiplicités, 
est donné par
$$
\eqalign{
{1\over 2\pi\ii}\int_{\partial K}&{f'(z)\over f(z)-w}dz
=\sum_j{1\over 2\pi\ii}\int_{\gamma_j}{f'(z)\over f(z)-w}dz\cr
&=\sum_j{1\over 2\pi\ii}\int_0^1{f'(\gamma_j(t))\gamma_j'(t)dt
\over f(\gamma_j(t))-w}
=\sum_j{1\over 2\pi\ii}\int_{f\circ\gamma_j}{d\zeta\over \zeta-w}.\cr
}
$$
de sorte que nous obtenons l'égalité importante~:
$$
\sharp(f^{-1}(w)\cap K)=\Ind(f_*\partial K,w),\qquad
\forall w\in\bC\ssm f(\partial K).\leqno(2.3.1)
$$
Cette formule peut se visualiser comme suit

\InsertFig  0.000  55.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
  5.000  40.000 moveto 
[   5.000  40.000   15.000  35.000   40.000  40.000   35.000  25.000  
   40.000  10.000    5.000  10.000   10.000  25.000    5.000  40.000  
] (BBAAYBB) 
mixedpath 
stroke 
 79.000  24.000 moveto 
[  79.000  24.000   84.000  14.000   84.000   4.000   94.000  19.000  
  109.000  34.000  104.000  44.000   84.000  44.000   89.000  39.000  
   89.000  29.000   94.000  24.000  114.000  19.000  119.000  29.000  
  109.000  39.000   94.000  39.000   79.000  44.000   76.000  47.000  
   66.000  43.000   64.000  33.000   68.000  21.000   79.000  24.000  
] (BBAABBAABBBBBBBBBBB) 
mixedpath 
stroke 
 26.150  10.000 moveto   0.000  0.000   2.400 vector 
 92.000  16.400 moveto   0.000  55.000   2.400 vector 
 95.000  47.300 moveto   0.000 178.000   2.400 vector 
 64.900  41.200 moveto   0.000 -121.000   2.400 vector 
119.050  28.600 moveto   0.000  86.000   2.400 vector 
 99.000  33.800 moveto   0.700 disk 
 16.500  17.600 moveto   0.700 disk 
 26.400  26.000 moveto   0.700 disk 
  0.400 setlinewidth 
 44.000  24.000 moveto  15.000   0.000   2.400 vector
grestore 
}
\LabelTeX   14.000  29.000 $K$ \ELTX
\LabelTeX   22.300   6.000 $\partial K$ \ELTX
\LabelTeX   49.000  26.000 $f$ \ELTX
\LabelTeX  105.000  14.000 $f_*\partial K$ \ELTX
\LabelTeX  114.000  44.000 $0$ \ELTX
\LabelTeX   74.800  31.000 $1$ \ELTX
\LabelTeX   94.800  27.800 $2$ \ELTX
\LabelTeX   93.400  42.200 $1$ \ELTX
\LabelTeX  108.600  23.600 $1$ \ELTX
\LabelTeX  100.000  34.200 $w$ \ELTX
\LabelTeX   17.800  17.000 $z_1$ \ELTX
\LabelTeX   27.700  25.400 $z_2$ \ELTX
\EndFig
}
\endclaim

Nous démontrons maintenant le théorème de Rouché,
paru dans le Journal de l'Ecole Polytechnique en 1862.

\claim Théorème de Rouché|Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert
$\Omega$, et $K$ un compact contenu dans $\Omega$ tel que $f$
ne s'annule pas sur $\partial K$. On suppose que $g\in\cO(\Omega)$ est
assez proche de $f$ sur~$K$, et plus précisément que $|g-f|<|f|$ en tout
point de~$\partial K$ $($pour cela, il suffit que
$\sup_K|g-f|<\delta=\inf_{\partial K}|f|\;)$. Alors $f$ et $g$ possèdent
le même nombre de zéros dans $K$, lorsque ceux-ci sont comptés 
avec multiplicités.
\endclaim

\dem. On a $|g|\ge|f|-|g-f|>0$ sur $\partial K$, donc ni
$f$ ni $g$ ne s'annulent sur $\partial K$, et par continuité l'hypothèse 
$|f|<|g-f|$ est encore satisfaite sur un voisinage de~$\partial K$. Quitte 
à agrandir un peu $K$ (en le recouvrant par exemple par des carrés 
d'un quadrillage suffisamment fin), on peut supposer que $\partial K$ est 
de classe $\cC^1$.

Pour $u\in[0,1]$, on pose $f_u=f+u(g-f)$, de sorte que $f_0=f$ et
$f_1=g$. L'hypothèse faite sur $|g-f|$ implique qu'aucune des fonctions
$f_u$ ne s'annule sur $\partial K$, pour tout $u\in[0,1]$. Le nombre
$N(u)$ de zéros de $f_u$ dans $K$ est donné par 
$$
N(u)={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial K}{f'_u(z)\over f_u(z)}dz=
{1\over 2\pi\ii}\int_{\partial K}{f'(z)+u(g'(z)-f'(z))\over 
f+u(g(z)-f(z))}dz.
$$
Cette formule montre que $N(u)$ est une fonction continue de $u$,
et comme $N(u)\in\bN$, la fonction $N(u)$ est nécessairement
constante sur $[0,1]$.\qed

Nous pouvons appliquer ceci en particulier à un polynôme unitaire
$P$ de degré~$n$, en posant $g(z)=P(z)$ et
$f(z)=z^n$. On obtient alors la conséquence sui­vante, qui peut être vue
comme une version précise du théorème de d'Alembert.

\claim Corollaire 1|Tout polynôme
$P(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_n$ $($autre que $P(z)=z^n)$ admet 
exactement $n$ racines dans le disque ouvert $D(0,R)$ de rayon
$$
R=2\max_{1\le j\le n}|a_j|^{1/j},
$$
lorsque ces racines sont comptées avec multiplicités.
\endclaim

\dem. En posant $g(z)=P(z)$ et $f(z)=z^n$, il vient $|a_j|\le 2^{-j}R^j$, donc
pour tout $z\in\partial K$, $K=\ol D(0,R)$, on obtient
$$
|g(z)-f(z)|\le\bigg|\sum_{j=1}^na_jz^{n-j}\bigg|
\le \sum_{j=1}^n 2^{-j}R^jR^{n-j}<R^n=|f(z)|.
$$
D'après le théorème de Rouché, ceci implique que $P(z)$ a le même
nombre de zéros que $f(z)$, c'est-à-dire $n$, dans le disque $D(0,R)$.\qed

\claim Corollaire 2|Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\bC$ et 
$f_n\in\cO(\Omega)$ une suite de fonctions 
holomorphes convergeant uniformément sur tout compact de $\Omega$
vers une limite $f\in\cO(\Omega)$.
\smallskip
\item{\rm(i)} Si $K$ est une partie compacte de $\Omega$ et que $f$ ne
s'annule pas sur $\partial K$, alors pour $k$ assez grand $f_n$ ne s'annule
pas sur $\partial K$ et le nombre de zéros de $f_n$ dans $K^\circ$ est
le même que celui de $f$.
\smallskip
\item{\rm(ii)} Si les fonctions $f_n$ ne s'annulent pas dans $\Omega$, alors
ou bien la limite $f$ est identiquement nulle, ou bien $f$ ne s'annule pas.
\smallskip
\item{\rm(iii)} Si les fonctions $f_n$ sont injectives dans $\Omega$, alors
ou bien $f$ est constante, ou bien $f$ est injective.
\vskip0pt
\endclaim

L'exemple trivial de la suite $f_n(z)={1\over n}z$ sur $\Omega=\bC^*$
montre que le cas d'une limite $f$ nulle ou constante peut se produire 
dans (ii) et (iii).

\dem. (i) C'est une conséquence du théorème de Rouché, il suffit de prendre
$k$ assez grand pour que
$|f_n-f|<\delta=\inf_{\partial K}|f|$ sur $\partial K$.

\noindent
(ii) Supposons que $f$ ne soit pas identiquement nulle, mais qu'il 
existe un point $z_0$ tel que $f(z_0)=0$. D'après le principe du
prolongement analytique, $f$ n'est pas identiquement nulle au
voisinage de $z_0$ et on peut choisir un petit disque compact
$K=\ol D(z_0,r)$ tel que $f$ ne s'annule pas sur $\partial K$. 
Alors, d'après (i), $f_n$ s'annule sur $K^\circ=D(z_0,r)$ pour $n$ 
assez grand, contradiction.

\noindent
(iii) Supposons que $f$ ne soit pas constante mais qu'il existe
deux points distincts $z_1$, $z_2$ tels que $f(z_1)=f(z_2)=w$.
Alors, comme précédemment, il existe $r_1,r_2>0$ assez petits tels que
$f(z)-w$ ne s'annule pas sur le bord du compact
$K=\ol D(z_1,r_1)\cup \ol D(z_2,r_2)$. Alors, d'après (i),
$f_n(z)-w$ aurait au moins deux zéros dans $K^\circ$ pour $n$ 
assez grand, contradiction.\qed

\supersection{3. Théorème de Runge}

Ce théorème, qui a été démontré par Carl Runge autour des
années 1880, est un résultat général d'approximation des
fonctions holomorphes par des fractions rationnelles. 

\section{3.1. Approximation par des fractions rationnelles}

Nous commençons par un résultat préliminaire.

\claim Proposition|Soit $K$ une partie compacte de $\bC$ et $E$ 
un ensemble contenant un point dans chaque composante connexe bornée
de $\bC\ssm K$. Si $f$ est holomorphe sur un voisinage de $K$, il existe 
une suite $(R_n)$ de fractions rationnelles ayant tous leurs pôles dans 
$E$ et convergeant uniformément vers $f$ sur $K$.
\endclaim

\dem. Soit $U$ un voisinage ouvert de $K$ sur lequel $f$ est définie
et holomorphe. Il existe un compact $L$ à bord de classe $\cC^1$ par
morceaux, tel que $K\subset L^\circ$ et $L\subset U$~: il suffit de
prendre la réunion des carrés qui rencontrent $K$, appartenant
à un quadrillage assez fin du plan complexe. Pour tout $z\in K$, la
formule de Cauchy fournit alors
$$
\eqalign{
f(z)&={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial L}{f(\zeta)\over \zeta-z}d\zeta
=\sum_j{1\over 2\pi\ii}\int_0^1{f(\gamma_j(t))\gamma'_j(t)\,dt\over 
\gamma_j(t)-z}\cr
&=\lim_{n\to+\infty}\sum_j {1\over 2\pi\ii\,n}\sum_{0\le\ell<n}
{f(\gamma_j(\ell/n))\gamma'_j(\ell/n)\over \gamma_j(\ell/n)-z}\cr
}
$$
où $\gamma_j:[0,1]\to \partial L$ est la famille des chemins
paramétrant le bord $\partial L$. La convergence est uniforme sur
$K$ du fait de la continuité uniforme de l'intégrande pour
$(z,\zeta)\in K\times\partial L$. Pour démontrer le résultat, il
suffit donc de vérifier que toute fonction de la forme
$f(z)={1\over w-z}$, $w\in\bC\ssm K$, peut être approchée par des
fractions rationnelles ayant leurs pôles dans $E$. Soit $R>0$ un rayon 
assez grand, tel que $K\subset \ol D(0,R)$. Si $w$ est dans la composante
connexe non bornée de $K$, on choisit un chemin polygonal $\gamma:[0,1]\to 
\bC\ssm K$ reliant $w=\gamma(1)$ à un point $w_0=\gamma(0)$ tel que
$|w_0|\ge 2R$, sinon $w$ est dans une composante connexe bornée et on peut
choisir $w_0\in E$. On choisit maintenant une subdivision du chemin $\gamma$ 
en un nombre fini de sous-segments $[w_0,w_1]$, $[w_1,w_2]$, $\ldots$, 
$[w_{N-1},w_N]$ avec $w_N=w$ et $|w_{j+1}-w_j|\le {1\over 2}d(\Im(\gamma),K)$
pour tout~$j$. On montre alors par récurrence sur $j$ que la fonction 
$z\mapsto {1\over w_j-z}$
est dans l'adhérence de l'anneau $\cR_E$ des fractions rationnelles 
à pôles dans $E$.
C'est clair pour $j=0$ si $w_0\in E$. Sinon on a par construction
$|w_0|\ge 2R$ et on peut écrire
$$
{1\over w_0-z}={1\over w_0}{1\over 1-z/w_0}=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^N
{z^n\over w_0^n},
$$
avec convergence uniforme pour $z\in K\subset\ol D(0,R)$. Par conséquent
$z\mapsto {1\over w_0-z}$ est une limite uniforme de polynômes.
Pour l'étape de récurrence, il suffit d'écrire
$$
\eqalign{
{1\over w_{j+1}-z}&={1\over (w_{j+1}-w_j)+(w_j-z)}=
{1\over w_j-z}\;{1\over 1+(w_{j+1}-w_j)/(w_j-z)}\cr
&=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^N{(-1)^n(w_{j+1}-w_j)^n\over(w_j-z)^{n+1}},\cr
}
$$
et d'observer qu'il y a convergence uniforme pour $z\in K$ du fait qu'on a
par construction $|w_{j+1}-w_j|\le{1\over 2}d(\Im(\gamma),K)$ et
$|w_j-z|\ge d(\Im(\gamma),K)$.
L'hypothèse que $z\mapsto {1\over w_j-z}$ est dans l'adhérence de
$\cR_E$ entraîne alors que $z\mapsto {1\over w_{j+1}-z}$ est aussi
dans l'adhérence de~$\cR_E$.\qed

\claim Théorème de Runge|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $E$ 
une partie de $\bC$ contenant un point dans chaque trou de $\Omega$.
Si $f\in\cO(\Omega)$, alors il existe une suite $(R_n)$ de fractions 
rationnelles ayant tous leurs pôles dans $E$ et convergeant uniformément
vers $f$ sur tout compact de $\Omega$.
\endclaim

\dem. On considère dans $\Omega$ la suite exhaustive de compacts
$$
K_n=\big\{z\in\Omega\,;\;|z|\le n,~d(z,\complement\Omega)\ge 2^{-n}\big\}.
$$
Si $U$ est une composante connexe bornée de $\bC\ssm K_n$ (i.e.\ un
trou de $K_n$), alors $\partial U\subset \partial
K_n\subset\Omega$, mais $U$ ne peut être inclus dans $\Omega$. Sinon,
le bord de $\ol U$ vérifierait $\partial\ol U\subset\partial U\subset \partial 
K_n\subset K_n$, donc on aurait $\ol U=U\cup\partial U\subset\Omega$ et le
principe du maximum impliquerait
$$
\eqalign{
&\sup_{z\in\ol U}|z|=
\sup_{z\in\partial \ol U}|z|\le
\sup_{z\in K_n}|z|\le n,\cr
&\sup_{z\in\ol U}d(z,\complement\Omega)^{-1}=
\sup_{z\in\partial \ol U}d(z,\complement\Omega)^{-1}\le
\sup_{z\in K_n}d(z,\complement\Omega)^{-1}\le 2^n\cr
}
$$
(pour la deuxième ligne, on utilise le fait que
$d(z,\complement\Omega)^{-1}=\sup_{w\in\complement\Omega}|(z-w)^{-1}|$
avec $z\mapsto (z-w)^{-1}$ holomorphe sur $\Omega$),
et on aurait donc $U\subset K_n$, contradiction. Par conséquent $U$
contient un point $w\in\bC\ssm\Omega$, et contient même la
composante connexe de ce point dans $\bC\ssm\Omega$, ce qui implique
que $U$ contient un point de $E$. La proposition précédente
entraîne l'existence d'une fraction rationnelle $R_n$ à pôles
dans $E$ telle que $|f-R_n|\le 2^{-n}$ sur $K_n$.  C'est la suite
cherchée.\qed

\claim Corollaire|Si $\Omega$ est un ouvert sans trous et si $f$ est
holomorphe sur $\Omega$, alors $f$ est limite uniforme sur tout compact
de $\Omega$ d'une suite $(P_n)$ de polynômes holomorphes.
\endclaim

\dem. C'est le cas particulier du théorème de Runge avec $E=\emptyset$.\qed

\claim Proposition|Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ des ouverts de
$\bC$. Supposons $\Omega_2\subset\Omega_1$ et supposons que chaque
trou de $\Omega_2$ contienne un point qui soit dans le complémentaire
de $\Omega_1$. Alors l'application de restriction
$$
\cO(\Omega_1)\to \cO(\Omega_2),\qquad f\mapsto f_{|\Omega_2},
$$
qui est une application linéaire continue d'espaces de Fréchet, est
d'image dense.
\endclaim

\dem. Chaque trou de $\Omega_2$ est un ouvert connexe borné qui contient 
un point de $\bC\ssm\Omega_1$, et donc nécessairement toute la composante
connexe de ce point dans $\bC\ssm\Omega_1$. Si on fixe un ensemble $E$
qui contient un point dans chaque trou de~$\Omega_1$, alors toute
fonction holomorphe sur $\Omega_2$ peut être approchée par une
fraction rationnelle à pôles dans $E$, qui est donc une fonction holomorphe
sur $\Omega_1$.\qed

\claim Contre-exemple|{\rm L'application de restriction
$\cO(D(0,R))\to \cO(C(0,r,R))$ d'un disque sur une couronne n'est
pas d'image dense.  La fonction $f(z)=1/z$ ne peut être limite
uniforme d'une suite de fonctions $f_n$ sur le disque puisque si
$\rho\in{}]r,R[$ on a $\int_{\Gamma(0,\rho)}f_n(z)dz=0$ tandis que
$\int_{\Gamma(0,\rho)}f(z)dz=2\pi\ii$.}
\endclaim

\claim Remarque|{\rm Il est en fait facile de voir que la condition
exprimée dans la proposition précédente est nécessaire et suffisante~:
pour que l'application de restriction $\cO(\Omega_1)\to \cO(\Omega_2)$
soit d'image dense, {\em il faut et il suffit que chaque trou de
$\Omega_2$ contienne un point du complémentaire de $\Omega_1$}.
En effet si $T$ est un trou de $\Omega_2$ contenu dans $\Omega_1$, choisissons
$f(z)=1/(w-z)$ avec $w\in T$. C'est une fonction holomorphe sur $\Omega_2$,
et si $L$ est un voisinage compact de $T$ à bord $\cC^1$ par morceaux
contenu dans $\Omega_1$ et tel que $\partial L\subset \Omega_2$ (on
peut montrer qu'il en existe$\,\ldots$), nous avons 
$\int_{\partial L}f(z)\,dz=2\pi\ii\ne 0$,
ce qui entraîne que $f$ ne peut être limite uniforme sur $\partial L$
d'une suite de fonctions holomorphes $f_n$ sur $\Omega_1$.
}
\endclaim

\section{3.2. Interpolation holomorphe}

\section{3.3. Résolution des équations de Cauchy-Riemann}

\supersection{4. Théorèmes de Picard}

Les théorèmes de Picard font partie de ce qu'on appelle la «\?théorie 
de la distribution des valeurs\?» des fonctions
holomorphes, et ils se situent historiquement, après le théorème
de Weierstrass-Casorati du III~1.3, parmi les premiers résultats
de cette théorie. Il ont été démontrés par Émile Picard en
1878-1879. La preuve que nous allons présenter est tirée du livre
de Landau de 1929, et repose sur le théorème de Bloch-Landau.

\claim Lemme|On se donne un disque $D(z_0,R)$. Alors il existe une 
fonction positive $(A,r)\mapsto M(A,r)$, $A\in[1,+\infty[$, $r\in{}]0,R[$, 
croissante en les variables $A$ et $r$, telle
que pour toute application holomorphe $f:D(z_0,R)\to \bC\ssm\{0,1\}$ 
omettant les valeurs $0$ et $1$ et vérifiant $A^{-1}\le |f(z_0)|\le A$, 
on ait $|f(z)|\le M(A,r)$ sur le disque compact 
$\ol D(z_0,r)\subset D(z_0,R)$.
\endclaim

\dem. Posons $\Omega=D(z_0,R)$. La preuve consiste à opérer un certain
nombre de transformations sur $f$, de façon à obtenir une autre 
fonction qui omette un grand nombre de valeurs. 
Comme le disque $\Omega=D(z_0,R)$ est simplement connexe, il existe
une détermination holomorphe $f_1={1\over 2\pi\ii}\log f$ sur $\Omega$
telle que $0\le \Re f_1(z_0)\le 1$ (la partie réelle étant ${1\over 2\pi}$
fois l'argument). Nous avons
$|\Im f_1(z_0)|\le {1\over 2\pi}\ln A$, donc
$$
|f_1(z_0)-j|\le B:=\sqrt{1+{1\over 4\pi^2}(\ln A)^2},\qquad
j=0,1.
$$
Les hypothèses entraînent de plus $f_1(\Omega)\subset\bC\ssm\bZ$,
en particulier $f_1$ omet les valeurs $0$ et~$1$. Ceci implique
l'existence de déterminations holomorphes $f_2$, $f_3$ telles que
$$
f_2=\sqrt{f_1}+\sqrt{f_1-1},\qquad f_3=\sqrt{f_1}-\sqrt{f_1-1}.
$$
sur $\Omega$. Nous avons $f_2f_3=1$, et $|f_2(z_0)|\le 2\sqrt{B}$,
$|f_3(z_0)|\le 2\sqrt{B}$, de sorte que
$$
C(A)^{-1}\le|f_2(z_0)|\le C(A)\qquad\hbox{avec 
$C(A)=2\sqrt{B}=2(1+{1\over 4\pi^2}(\ln A)^2)^{1/4}$}.
$$
De plus, $f_2$ ne peut atteindre aucune des valeurs $\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$ et 
$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^{-1}$ pour chacun des
entiers $n\ge 1$, car sinon $\sqrt{f_1}={1\over 2}(f_2+f_2^{-1})$ prendrait 
la valeur ${1\over 2}\big((\sqrt{n}+\sqrt{n-1})+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\big)=
\sqrt{n}$, ce qui est exclu. On considère maintenant une détermination
holomorphe $f_4=\log f_2$, qui existe de nouveau grâce à la simple
connexité de $\Omega$, et du fait que $f_2$ ne s'annule pas. Alors
$f_4$ omet toutes les valeurs de l'ensemble
$$
S=\big\{\pm\ln(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})+2\pi\ii k\,;\;n\in\bN^*,~k\in\bZ\big\}.
$$
Cet ensemble est représenté ci-dessous (avec, cependant, un facteur
de distorsion horizontal égal à 20, le cercle aurait donc dû être 
une ellipse mais on n'y aurait rien vu$\;\ldots$). Nous pouvons en 
outre choisir un argument $-\pi<\Im f_4(z_0)\le\pi$, de sorte que 
$|f_4(z_0)|\le\sqrt{(\ln C(A))^2+\pi^2}$.

\InsertFig 0.000  66.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
 60.000  30.000 translate
-50.000   0.000 moveto 110.000   0.000   2.400 vector 
  0.000 -30.000 moveto  60.000  90.000   2.400 vector 
-4 1 4 { /yy exch def
-1 2 1 { /eps exch def 
 1 1 10 { /xx exch def
 xx sqrt xx 1 sub sqrt add ln 20.0 mul eps mul
 yy 6.283184 mul moveto   0.400 disk
 } for } for } for
 2 sqrt 1 add ln 10.0 mul 3.1416 3 mul moveto  9.3 circle 
 2 sqrt 1 add ln 10.0 mul 3.1416 3 mul moveto  9.3 45 1.6 vector
 2 sqrt 1 add ln 10.0 mul 3.1416 3 mul moveto  0  225 1.6 vector
grestore 
}
\LabelTeX  118.000  27.000 $x$ \ELTX
\LabelTeX   56.800  59.000 $y$ \ELTX
\LabelTeX   57.300  27.000 $0$ \ELTX
\LabelTeX   17.000  26.200 $-\ln(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})$ \ELTX
\LabelTeX   75.000  26.200 $\ln(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})$ \ELTX
\LabelTeX   55.500  34.300 $2\pi$ \ELTX
\LabelTeX   67.500  43.800 $R_0$ \ELTX
\LabelTeX   10.000  44.000 $S~~\Bigg\{$ \ELTX
\LabelTeX   10.000  14.000 $S~~\Bigg\{$ \ELTX
\EndFig
\bigskip

\noindent Les nombres
$\ln(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})$ sont de moins en moins espacés quand $n$ augmente,
car la dérivée de la fonction $x\mapsto\ln(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})$, égale
à $1/(2\sqrt{x}\sqrt{x-1})$, est décroissante pour $x\in\,]1,+\infty[$. 
Ceci entraîne que le plus grand disque contenu dans $\bC\ssm S$ a pour
rayon 
$$
R_0=\sqrt{{1\over 4}(\ln(\sqrt{2}+1))^2+\pi^2}.
$$
Pour $z\in D(z_0,R)$, le théorème de Bloch-Landau (chap.~II, \S$\,$5.4)
appliqué au disque $D(z,\rho)$, $\rho=R-|z-z_0|$, montre que l'image de 
$f_4$ contient un disque de rayon supérieur à 
${1\over 22}\rho|f_4'(z)|$. Or, comme $f_4(\Omega)\subset\Omega\ssm S$,
ce rayon doit être inférieur ou égal à $R_0$ et on a donc la majoration
$$
|f_4'(z)|\le 22\,{R_0\over \rho}=22\,{R_0\over R-|z-z_0|}.
$$
En intégrant cette inégalité par
$f_4(z)=f_4(z_0)+\int_{z_0}^zf_4'(t)dt$, on obtient
$$
|f_4(z)|\le T(A,r):=\sqrt{(\ln C(A))^2+\pi^2}+22\,R_0\ln{R\over R-r}
$$
sur le disque $D(z_0,r)$. Ceci entraîne successivement l'existence de
majorations uniformes explicites pour $f_2=\exp(f_4)$ et 
$f_2^{-1}=\exp(-f_4)$, 
puis pour \hbox{$\sqrt{f_1}={1\over 2}(f_2+f_2^{-1})$}, puis pour 
$f=\exp(2\pi\ii f_1)$. De façon explicite, $|f_2(z)|^{\pm 1}$ 
est majorée par $\exp(T(A,r))$, $|f_1(z)|$ par $\exp(2\,T(A,r))$ 
et $|f(z)|$ par
$$
M(A,r)=\exp\big(2\pi\exp(2\,T(A,r))\big).\eqno\square
$$

On peut observer que le lemme est faux pour des applications
holomorphes omettant un seul point, ainsi les applications
$f_k:D(0,1)\to\bC\ssm\{0\}$ définies par $f_k(z)=\exp(kz)$
vérifient $f_k(0)=1$ mais ne sont uniformément bornées sur aucun
disque $\ol D(0,r)$. Le lemme peut être généralisé sous la
forme suivante, qui en donne un énoncé plus géométrique et 
plus parlant.

\claim Proposition|Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\bC$ et 
$\Omega'\subset\bC$ un ouvert dont le complémentaire $E=\bC\ssm\Omega'$
possède au moins deux points. On considère un point $z_0\in\Omega$ et 
un compact $L_0\subset\Omega'$ fixés. Alors pour tout compact 
$K\subset\Omega$, il existe un compact
$L\subset\Omega'$ dépendant de $K$ et $L_0$, tel que pour toute application
holomorphe $f:\Omega\to\Omega'$ vérifiant $f(z_0)\in L_0$ on
ait $f(K)\subset L$.
\endclaim

Autrement dit, pour $f:\Omega\to\Omega'$ holomorphe, dès que l'image 
d'un point $f(z_0)$ est contrainte à rester dans un compact $L_0$ de
$\Omega'$, l'image $f(K)$ d'un compact $K\subset\Omega$ doit aussi rester 
dans un compact $L$ de $\Omega'$ indépendant de $f$. Ici encore, ce
résultat est faux si $E$ est vide ou réduit à un seul point.

\dem. On commence par étudier le cas où $\Omega=D(z_0,R)$ est un
disque.  Choisissons deux points distincts $a,b\in E=\bC\ssm\Omega'$, et soit
$f:\Omega\to\Omega'$ holomorphe. En utilisant le fait évident que
tout point $w$ est à une distance au moins égale à $|b-a|/2$ de
$a$ ou de $b$, nous pouvons écrire $E$ comme la réunion $E_a\cup
E_b$ des deux parties fermées définies par
$$
\eqalign{
E_a&=\big\{w\in E\,;\;|a-w|\ge |b-a|/2\big\},\cr
E_b&=\big\{w\in E\,;\;|b-w|\ge |b-a|/2\big\}.\cr
}
$$
Pour tout $w\in E$, nous considérons la famille d'applications
holomorphes
$$
\eqalign{
\wt f(z)&={f(z)-a\over b-a},\cr
f_{a,w}(z)&={a-w\over f(z)-w}\qquad\hbox{lorsque $w\in E_a$},\cr
f_{b,w}(z)&={b-w\over f(z)-w}\qquad\hbox{lorsque $w\in E_b$}.\cr
}
$$
L'hypothèse $f(\Omega)\subset\Omega'=\bC\ssm E$ entraîne que les 
applications 
$\wt f$, $f_{a,w}$ et $f_{b,w}$ omettent les valeurs $0$ et $1$. De plus, 
en posant $w_0=f(z_0)$, on observe qu'il existe une constante $A\ge 1$ 
telle que
$$
\eqalign{
A^{-1}\le\Big|{w_0-a\over b-a}\Big|\le A
\qquad&\hbox{lorsque $w_0\in L_0$},\cr
A^{-1}\le\Big|{a-w\over w_0-w}\Big|\le A
\qquad&\hbox{lorsque $(w_0,w)\in L_0\times E_a$},\cr
A^{-1}\le\Big|{b-w\over w_0-w}\Big|\le A
\qquad&\hbox{lorsque $(w_0,w)\in L_0\times E_b$}.\cr
}
$$
En effet, la première inégalité résulte de la compacité
de $L_0$ dans $\Omega'\subset\bC\ssm\{a\}$, tandis que les deux
suivantes sont vraies avec $A=2$ lorsque $|w|$ est choisi plus grand 
que le rayon $\rho$ tel que
$$
\rho=3\max(|a|,\sup_{w_0\in L_0}|w_0|).
$$
D'autre part, pour $|w|\le\rho$, l'existence de $A$ résulte de
la compacité des ensembles $L_0\times(E_a\cap\ol D(0,\rho))$ et
$L_0\times(E_b\cap\ol D(0,\rho))$ sur lesquels les quotients
définissent des applications continues non nulles. Ceci montre que
l'application $\wt f$ satisfait $A^{-1}\le|\wt f(z_0)|\le A$, et de
même pour $f_{a,w}$ et $f_{b,w}$. Pour tout $z$ dans le compact
$K=\ol D(z_0,r)$, le lemme entraîne alors que
$$
|\wt f(z)|\le M(A,r),\qquad
|f_{a,w}(z)|\le M(A,r),\qquad
|f_{b,w}(z)|\le M(A,r),
$$
ce qui donne
$$
|f(z)|\le|a|+|b-a|\,M(A,r),\qquad d(f(z),E)\ge{|b-a|\over 2\,M(A,r)}.
$$
On a ainsi montré l'existence d'un compact $L\subset\Omega'$ 
pour lequel $f(K)\subset L$, à savoir l'ensemble $L$ fermé borné des
nombres complexes de module inférieur ou égal à $|a|+|b-a|\,M(A,r)$ et 
situés à distance${}\ge{|b-a|\over 2\,M(A,r)}$ de~$E=\bC\ssm\Omega'$.

Dans le cas d'un ouvert connexe $\Omega$ connexe quelconque, il suffit de
montrer que tout point $p\in\Omega$ possède un voisinage compact $K$
ayant la propriété voulue. On utilise la connexité de $\Omega$ pour 
construire
une ligne polygonale de sommets $z_0,z_1,\ldots,z_N\,{=}\,p$ 
dans $\Omega$ telle 
que pour chaque $j=1,\ldots,N$ on ait $z_j\in D(z_{j-1},R_{j-1}/2)$ 
et $D(z_{j-1},R_{j-1})\subset\Omega$. De proche en proche, on voit 
qu'il existe des compacts $L_1,\,L_2,\ldots,L_N$ tels que
$$
f(\ol D(z_j,R_{j-1}/2))\subset L_j,
$$
puisque $K_j=\ol D(z_j,R_{j-1}/2)$ est une partie compacte de 
$\Omega_{j-1}=D(z_{j-1},R_{j-1})$.\qed

\claim Grand théorème de Picard|Soit $f:D(z_0,r_0)\ssm\{z_0\}\to\bC$
une fonction holomorphe possédant une singularité essentielle au
point $z_0$. Alors il existe un ensemble $E\subset\bC$ comprenant au
plus un point, tel que $f(z)$ prend une infinité de fois toute
valeur de $\bC\ssm E$ sur chaque voisinage pointé $V\ssm\{z_0\}$ de
$z_0$.
\endclaim

\dem. Comme le voisinage $V$ peut être pris arbitrairement petit, il suffit 
de montrer que $f(V\ssm\{z_0\})$ atteint toute valeur de $\bC$ sauf une
au plus. Supposons au contraire qu'il existe un ensemble $E=\{a,b\}$ formé de
deux points tel que $f(V\ssm\{z_0\})\subset\bC\ssm E$. Par la transformation
de $f$ en $(f(z)-a)/(b-a)$, on peut supposer $E=\{0,1\}$. Prenons
$z_0=0$ pour simplifier, et posons
$$
\mu(r)=\inf_{|z|=r}|f(z)|,\qquad 
m(r)=\sup_{|z|=r}|f(z)|\qquad\hbox{pour $r\in{}]0,r_0[$.}
$$
Nous avons $\lim_{r\to 0_+}m(r)=+\infty$, sinon il existerait une
suite décroissante $r_k\to 0$ telle que $m(r_k)$ soit bornée,
et le principe du maximum appliqué aux couronnes $C(0,r_{k+1},r_k)$
montrerait que $f$ serait bornée au voisinage de $z_0=0$. Mais alors
$f$ ne pourrait pas avoir une singularité essentielle en~$0$. Le
même raisonnement appliqué à $1/f$, qui a également une
singularité essentielle en $0$, montre que $\lim_{r\to 0_+}\mu(r)=0$.
Ainsi, pour $r$ assez petit nous avons $\mu(r)<2<m(R)$, ce qui, par le
théorème des valeurs intermédiaires, assure l'existence d'un
$\theta_r\in[0,2\pi]$ tel que $|f(r\,e^{\ii\theta_r})|=2$. Pour tout
$r<r_0e^{-2\pi}$, nous pouvons considérer la famille de fonctions
$$
g_r(z)=f(r\,e^{\ii\theta_r}e^{2\pi\ii z})
$$
définies sur le disque unité $D(0,1)$. 
Par hypothèse, ces fonctions omettent les valeurs
$0$ et $1$, et nous avons $|g_r(0)|=|f(r\,e^{\ii\theta_r})|=2$.  Le
lemme (ou la proposition qui en découle, avec $\Omega'=\bC\ssm\{0,1\}$ et
$L_0=\{|z|=2\}$) entraîne l'existence
d'une constante $M_0$ telle que $g_r$ soit uniformément bornée par
$M_0$ sur le disque compact $\ol D(0,1/2)$.  Mais comme
$g_r([-1/2,1/2])$ décrit toutes les valeurs atteintes par $f(z)$
pour $|z|=r$, nous en déduisons $m(r)\le M_0$ pour tout
$r<r_0e^{-2\pi}$, ce qui est une contradiction.\qed

Le grand théorème de Picard admet la conséquence suivante (dans laquelle
la fonction $\exp:\bC\to\bC$ fournit bien entendu un exemple du cas 
exceptionnel, puisque $\exp$ ne prend pas la valeur~$0$).

\claim Corollaire|Soit $f\in\cO(\bC)$ une fonction entière
qui n'est pas un polynôme. Alors $f$ prend une infinité de fois toute
valeur complexe sauf peut-être une.
\endclaim

\dem. On considère $g(z)=f(1/z)$ qui est holomorphe sur $\bC^*$. Nous
savons que $f$ admet un développement en série entière
$$
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n
$$
de rayon de convergence $+\infty$, et $g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^{-n}$
admet une singularité essentielle en $0$ car par hypothèse $f$ n'est
pas un polynôme et donc la série comprend une infinité de termes. Ceci montre
que $g$ (et donc $f$) atteint une infinité de fois toute valeur complexe,
sauf peut-être une.\qed

Bien entendu, les polynômes non constants prennent également 
toute valeur complexe (mais seulement un nombre fini de fois). 
Nous obtenons alors le

\claim Petit théorème de Picard|Soit $f\in\cO(\bC)$ une fonction entière
non constante. Alors $f$ prend toute valeur complexe sauf peut-être une.
\endclaim

\end
% Local Variables:
% TeX-command-default: "eTeX"
% End: