% Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann, chapitre III % % Laurent Bonavero % Jean-Pierre Demailly % Université de Grenoble I, Institut Fourier % 38402 Saint-Martin d'Hères, France % \input vcmac \openauxfile \blankline \chaptitle{Chapitre III} \medskip \chaptitle{Points singuliers, fonctions} \chaptitle{méromorphes et résidus} \chaptitlerunning{Chap.\ III: Points singuliers, fonctions méromorphes et résidus} \vskip50pt Ce chapitre constitue ce qui peut être considéré à bon droit comme le coeur de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Nous établissons l'existence du développement en série de Laurent pour les fonctions holomorphes définies sur une couronne, puis nous développons la théorie des points singuliers et de leurs résidus. Les singularités qui sont des pôles donnent lieu à ce qu'on appelle des \lguil fonctions méromorphes\rguil, qui sont aux fonctions holomorphes ce que les fractions rationnelles sont aux polynômes. La formule dite des résidus permet de relier les intégrales sur un contour à la somme des résidus aux points intérieurs à ce contour. Ceci donne un moyen puissant pour évaluer des intégrales qui ne peuvent pas s'obtenir par des calculs de primitives explicites. \smallskip \noindent {\em Notations.} On désignera par $C(z_0, R_1, R_2) = \big\{z\in\bC\,;\; R_1 < |z - z_0| < R_2\big\}$ la couronne ouverte de centre $z_0$, de rayon intérieur $R_1$ et de rayon extérieur $R_2$ (avec $0\le R_10}a_{-p}w^p.\leqno(1.1.2) $$ On dit que la série de Laurent converge si les deux séries entières ainsi obtenues convergent. Si $R\in[0,+\infty]$ est le rayon de convergence de la série $\sum_{n\ge 0} a_n z^n$ et $R'$ le rayon de convergence de la série $\sum_{p<0}a_{-p}w^p$, alors la série de Laurent (1.1.1) converge pour tout nombre complexe $z$ tel que $1/R'<|z|0}pa_{-p}w^{p-1}$, on voit, d'après le théorème I.1.3 de dérivation terme à terme des séries entières, que les séries de Laurent sont également dérivables terme à terme sur la couronne ouverte où elles convergent, et que $$ S'(z)=\sum_{n\in\bZ}na_nz^{n-1}\leqno(1.1.3) $$ avec convergence uniforme sur toute couronne compacte $\ol C(0,r_1,r_2)\compact C(0,{1\over R'},R)$. \section{1.2. Existence du développement en série de Laurent} Le théorème suivant garantit l'existence du développement en série de Laurent dans de nombreuses situations. \claim Théorème|Si $f$ est holomorphe dans une couronne $C(z_0, R_1, R_2)$ du plan complexe avec $0\le R_1r_1=|w|$ et nous écrirons alors plutôt $$ {1\over w-z} = -{1\over z}\,{1\over 1- w/z} = -{1\over z} \sum_{p=0}^{+\infty}\Big({w\over z}\Big)^p = -\sum_{p=0}^{+\infty}{w^p\over z^{p+1}}. $$ Dans les deux cas il y a a convergence normale sur le cercle $w=r_je^{it}$, puisque les modules des quotients $|z/w|=|z|/r_2$ (resp.\ $|w/z|=r_1/|z|$) sont strictement inférieurs à $1$ et indépendants de $t\in[0,2\pi]$. Par substitution dans les intégrales et interversion des symboles $\int$ et $\sum$, la propriété de convergence uniforme entraîne $$ f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big({1\over 2\pi\ii}\int_{\Gamma(0,r_2)} {f(w)\over w^{n+1}}dw\Big)z^n + \sum_{p=0}^{+\infty}\Big({1\over 2\pi\ii}\int_{\Gamma(0,r_1)} f(w) w^p\,dw\Big)z^{-p-1}. $$ Si nous introduisons $n=-p-1\le -1$ (soit encore $p=-n-1$), ceci peut se récrire $f(z)=\sum_{n\in\bZ}a_nz^n$ avec $$ a_n={1\over 2\pi\ii}\int_{\Gamma(0,r_2)} {f(w)\over w^{n+1}}dw\quad \hbox{si $n\ge 0$},\qquad a_n={1\over 2\pi\ii}\int_{\Gamma(0,r_1)} {f(w)\over w^{n+1}}dw\quad \hbox{si $n\le -1$}. $$ Nous affirmons que l'intégrale $\int_{\Gamma(0,r)}{f(w)\over w^{n+1}}dw$ est en fait indépendante de $r\in{}]R_1,R_2[$. En effet, le théorème de Cauchy appliqué à la fonction holomorphe $g(w)={f(w)\over w^{n+1}}$ et au compact $$ K=\ol C(0,r_1,r_2)\compact C(0,R_1,R_2) $$ implique $\int_{\partial K}g(w)dw=\int_{\Gamma(0,r_2)}g(w)dw-\int_{\Gamma(0,r_1)}g(w)dw =0$ pour tous $r_10}a_{-p}w^p$ vérifie $\rho_1'\ge 1/R_1$ (en posant $w=1/(z-z_0)$). Si l'une des inégalités sur les rayons de convergence est stricte, on voit que la fonction $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur une couronne $C(z_0,1/\rho_1', R_2')$ contenant strictement $C(z_0,R_1,R_2)$.} \endclaim \section{1.3. Point singuliers, pôles, points singuliers essentiels} Nous examinons ici la situation d'une fonction holomorphe définie sur un voisinage ouvert $V$ d'un point $z_0\in\bC$, sauf peut-être au point $z_0$ lui-même. \claim Définition|Si $V$ est un voisinage ouvert d'un point $z_0\in\bC$ et $f\in\cO(V\ssm\{z_0\})$ on dit que {\itemindent=1.2cm \smallskip \item{$(1.3.1)$} $z_0$ est un point régulier de $f$ si $f$ peut se prolonger en une fonction holomorphe $\wt f\in\cO(V)$. \smallskip \item{$(1.3.2)$} $z_0$ est un point singulier de $f$ dans le cas contraire, c'est-à-dire si $f$ ne peut se prolonger en une application holomorphe $\wt f$ définie sur $V$ tout entier. \vskip0cm } \endclaim Dans les deux cas, on peut supposer que $V=D(z_0,\varepsilon)$ est un disque assez petit, de sorte que $V\ssm\{z_0\}=C(z_0,0,\varepsilon)$ est un couronne de rayon intérieur nul et de rayon extérieur $\varepsilon$. Ceci entraîne que $f$ admet un développement en série de Laurent $$ f(z)=\sum_{n\in\bZ}a_n(z-z_0)^n $$ avec rayon de convergence au moins $\varepsilon$ pour la partie positive $\sum_{n\ge 0}a_n(z-z_0)^n$ (et un rayon de convergence $+\infty$ pour la partie négative $\sum_{p>0}a_{-p}w^p$). Si $f$ peut se prolonger en une fonction holomorphe $\smash{\wt f}$ sur le disque $D(z_0,\varepsilon)$, on a un développement en série entière $$ \wt f(z)=\sum_{n\in\bN}b_n(z-z_0)^n\quad\hbox{sur $D(z_0,\varepsilon)$}. $$ D'après l'unicité des coefficients de la série de Laurent, nous devons avoir dans ce cas $a_n=b_n$ pour $n\ge 0$ et $a_n=0$ pour $n<0$. Par conséquent~: \claim Proposition|Une fonction $f\in\cO(V\ssm\{z_0\})$ admet $z_0$ comme point régulier si et seulement si les coefficients $a_n$ de sa série de Laurent en $z_0$ vérifient $a_n=0$ pour tout $n<0$. \endclaim \claim Corollaire|Une fonction $f\in\cO(V\ssm\{z_0\})$ admet $z_0$ comme point régulier si et seulement si $f$ est bornée au voisinage de $z_0$. \endclaim \dem. La condition est évidemment nécessaire, car si $f$ se prolonge holomorphiquement en $z_0$ alors ce prolongement est continu et donc borné au voisinage de $z_0$. Inversement, si $|f(z)|\le M$ sur un certain disque $D(z_0,\delta)$ assez petit, alors en choisissant $r<\delta$, l'intégrale donnant $a_n$ comme coefficient de Fourier implique $$ |a_n|=\Big|{1\over 2\pi r^n}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{\ii t})e^{-\ii nt}dt\Big|\le Mr^{-n}, $$ (par un raisonnement analogue à celui des inégalités de Cauchy), d'où il résulte que $a_n=0$ pour $n<0$ en faisant tendre $r$ vers~$0$.\qed Supposons maintenant que $z_0$ soit un {\em point singulier}. La partie négative $\sum_{n<0}a_n(z-z_0)^n$ est alors non identiquement nulle. Deux cas se présentent suivant que cette série se réduit ou non à une somme finie. \claim Cas d'un \lguil pôle\rguil|{\rm Si la partie négative $\sum_{n<0}a_n(z-z_0)^n$ se réduit à une somme finie, soit $m$ le maximum des entiers positifs $|n|$ pour lesquels $a_n\ne 0$, de sorte que $$ f(z)={a_{-m}\over (z-z_0)^m}+\ldots+{a_{-1}\over (z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n,\qquad a_{-m}\ne 0.\leqno(1.3.3) $$ On dit alors que $z_0$ est un {\em pôle d'ordre $m$} (ou {\em pôle de multiplicité $m$}) de $f$ et que $$ {a_{-m}\over (z-z_0)^m}+\ldots+{a_{-1}\over (z-z_0)} $$ est {\em la partie polaire de $f$}. Il est immédiat dans ce cas que $$ a_{-m}=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)\leqno(1.3.4) $$ et que $f(z)$ admet au voisinage de $z$ une majoration de la forme $$ |f(z)|\le {C\over |z- z_0|^m} $$ pour une certaine constante $C>0$. De plus, on peut écrire $\displaystyle f(z)={g(z)\over(z-z_0)^m}$, où $$ g(z)=a_{-m}+a_{1-m}(z-z_0)+\ldots+a_n(z-z_0)^{n+m}+\ldots $$ est une fonction holomorphe au voisinage de $z_0$ vérifiant en outre $g(z_0)=a_{-m}\ne 0$, de sorte que $f(z)\sim a_{-m}(z-z_0)^{-m}$ quand $z$ tend vers $z_0$.} \endclaim \claim Cas d'une \lguil singularité essentielle\rguil|{\rm Si la partie négative $\sum_{n<0}a_n(z-z_0)^n$ est une série infinie, la fonction $g_m(z)=(z-z_0)^mf(z)$ est non bornée au voisinage de $z_0$, et ceci quel que soit l'entier $m>0$, sinon $g_m$ se prolongerait en une fonction holomorphe en $z_0$ et on verrait alors à partir du développement en série entière $g_m(z)=\sum_{n\ge 0}b_n(z-z_0)^n$ que la série de Laurent de $f(z)=g_m(z)/(z-z_0)^m$ aurait, contrairement à l'hypothèse, une partie négative finie. On dit alors que {\em $z_0$ est un point singulier essentiel}, ou {\em singularité essentielle} de $f$.} \endclaim \claim Exemple|{\rm La fonction $f(z)=\exp(1/z)$ est holomorphe sur $\bC^*$ et admet en $z_0=0$ une singularité essentielle. Sa série de Laurent est en effet trivialement donnée par $$ \exp(1/z)=\sum_{n=0}^{+\infty}{1\over n!}{1\over z^n}, $$ dont la partie négative est infinie.} \endclaim Le résultat suivant fournit une autre dichotomie permettant de distinguer les points singuliers essentiels des pôles. \claim Théorème (Casorati-Weierstrass)|Soit $f:V\ssm\{z_0\}\to\bC$ une fonction holomorphe admettant un point singulier en $z_0$. \smallskip \item{\rm(i)} Si $z_0$ est un pôle, alors $|f(z)|\to +\infty$ lorsque $z\to z_0$. \smallskip \item{\rm(ii)} Si $z_0$ est un point singulier assentiel, alors tout point de $\bC$ est valeur d'adhérence de $f(z)$ lorsque $z\to z_0$, autrement dit $\ol{f(W\ssm\{z_0\})}=\bC$ pour tout voisinage $W$ de $z_0$.\vskip0pt \endclaim \dem. (i) résulte de (1.3.4). Si la conclusion de (ii) était inexacte, il existerait un voisinage connexe $W$ de $z_0$ tel que $\ol{f(W\ssm\{z_0\})}\ne\bC$, par suite si $a\in\bC\ssm\ol{f(W\ssm\{z_0\})}$ nous aurions $|f(z)-a|\ge \varepsilon$ pour tout $z\in W\ssm\{z_0\}$. Ceci implique que la fonction holomorphe $g(z)=1/(f(z)-a)$ vérifie $|g(z)|\le 1/\varepsilon$ sur $W\ssm\{z_0\}$, par conséquent $g$ se prolonge en une fonction holomorphe non nulle sur~$W$. Nous avons alors $f(z)=a+1/g(z)$. Si $g$ admet un zéro d'ordre $m$ en $z_0$, il est facile de voir que $f$ admet un pôle d'ordre $m$, donc la singularité de $f$ n'est pas une singularité essentielle.\qed \supersection{2. Fonctions méromorphes} \section{2.1. Définitions} De même que les fonctions rationnelles sont par définition des quotients de polynômes, on introduit les fonctions méromorphes comme étant (au moins localement) des quotients arbitraires de fonctions holomorphes~: \claim Définition|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $f:\Omega\to\bC\cup\{\infty\}$. On dit que $f$ est méromorphe sur $\Omega$ si pour tout point $z_0\in\Omega$ il existe un voisinage ouvert connexe $V$ de $z_0$ et des fonctions holomorphes $g$, $h$ dans $V$ telles que $f=g/h$ dans $V$, avec~$h$ non identiquement nulle. On note $\cM(\Omega)$ l'ensemble des fonctions méromorphes sur~$\Omega$. \endclaim \claim Théorème|Une fonction $f:\Omega\to\bC\cup\{\infty\}$ est méromorphe si et seulement $f$ est holomorphe en dehors d'une suite de points singuliers $(a_k)$ localement finie dans~$\Omega$, et si tous ses points singuliers sont des pôles. \endclaim \dem. Si $f$ s'écrit $f=g/h$ avec $g,h\in\cO(V)$, l'hypothèse que $h$ soit non identiquement nulle implique l'existence d'un disque $D(z_0,\varepsilon)\subset V$ et d'une factorisation $h(z)=(z-z_0)^m u(z)$ sur où $u$ est holomorphe et sans zéros sur~$D(z_0,\varepsilon)$. On en déduit $f(z)=(z-z_0)^{-m}g(z)u(z)^{-1}$ avec une fonction $g(z)u(z)^{-1}$ qui est holomorphe sur $D(z_0,\varepsilon)$. Par suite $z_0$ est un pôle d'ordre${}\le m$. Inversement, si $f$ n'admet que des points singuliers isolés qui sont des pôles, on a déjà vu que $f$ pouvait s'écrire sous la forme $f(z)=g(z)/(z-z_0)^m$ avec $g$ holomorphe au voisinage d'un tel point $z_0$, donc $f$ est méromorphe.\qed \claim Exemples|{\rm Les fractions rationnelles $P(z)/Q(z)$ sont des fonctions méromorphes sur $\bC$ tout entier. La fonction $f(z)=(\sin(1/\pi z))^{-1}$ est holomorphe sur l'ouvert $\bC\ssm A$ où $A=\{0\}\cup\{1/k\,;\,k\in\bN^\star\}$. Les points $z=1/k$ sont des pôles, donc $f$ est méromorphe sur $\bC^*$, mais $f$ n'est pas méromorphe sur $\bC$ du fait que que la suite des pôles $\{1/k\}$ n'est pas localement finie au voisinage de $0$.} \endclaim \claim Définition|On appelle diviseur sur un ouvert $\Omega$ de $\bC$ une application $\delta:\Omega\to\bZ$ telle que l'ensemble $\Supp(\delta)=\{z\in\Omega\,;\;\delta(z)\ne 0\}$ forme une suite localement finie $\{a_\nu\}$ dans $\Omega$. Si $m_\nu=\delta(a_\nu)$, on dit que $m_\nu$ est la multiplicité du point $a_\nu$ dans le diviseur $\delta$. On convient de noter $$ \delta=\sum_\nu m_\nu[a_\nu] $$ un tel diviseur. \endclaim L'ensemble des diviseurs a une structure de groupe additif (preuve évidente laissée au lecteur$\,\ldots$) \claim Théorème et définition|Si $\Omega$ est un ouvert et si $f$ est une fonction méromorphe qui ne s'annule identiquement dans aucune composante connexe de $\Omega$, alors l'ensemble $Z$ des zéros de $f$ est une suite localement finie dans $\Omega$, l'ensemble $P$ des pôles de $f$ est également une suite localement finie. On associe à $f$ le diviseur $$ \div(f)=\sum_\nu m_\nu[a_\nu] $$ où $\{a_\nu\}=Z\cup P$, $m_\nu>0$ si $a_\nu$ est un zéro, $m_\nu<0$ si $a_\nu$ est un pôle, $|m_\nu|$ étant la $($valeur absolue$)$ de la multiplicité du zéro ou du pôle. \endclaim Il est clair que le produit de deux fonctions méromorphes $f_1$, $f_2$ est méromorphe, et que $\div(f_1f_2)=\div(f_1)+\div(f_2)$ si aucune ne s'annule identiquement dans l'une des composantes connexes de $\Omega$. De même, si $f$ est une telle fonction méromorphe, alors $1/f$ est méromorphe et $\div(1/f)=-\div(f)$. Une fonction méromorphe $f$ non identiquement nulle est holomorphe si et seulement si $\div(f)\ge 0$. \dem. Le théorème résulte aussitôt du fait que les zéros d'une fonction holomorphe non identiquement nulle sont isolés.\qed \section{2.2. Théorème de factorisation de Weierstrass} Pour tout entier $p\ge 0$, on introduit la fonction $W_p$ appelée {\em facteur principal de Weierstrass d'ordre $p$}, telle que $$ W_p(z)=(1-z)\exp\Big(z+{z^2\over 2}+\ldots+{z^p\over p}\Big) \qquad\hbox{si $p\ge 1$}\leqno(2.2.1) $$ et $W_0(z)=1-z$ si $p=0$. Par construction, la fonction $W_p$ admet $z=1$ comme zéro simple, et on a au point $z=0$ le développement en série entière $$ \Log W_p(z)=\Log(1-z)+z+{z^2\over 2}+\ldots+{z^p\over p} = -\sum_{n=p+1}{z^n\over n} $$ de rayon de convergence $1$, où $\Log$ est la détermination principale du logarithme. Ceci entraîne la majoration $$ \big|\Log W_p(z)\big|\le {1\over p+1}\;{|z|^{p+1}\over 1-|z|}, \leqno(2.2.2) $$ et en particulier $\big|\Log W_p(z)\big|\le 2^{-p}$ si $|z|\le 1/2$. \claim Théorème|Pour tout diviseur $\delta=\sum m_\nu[a_\nu]\ge 0$ dans un ouvert $\Omega$, il existe une fonction holomorphe $f\in\cO(\Omega)$ telle que $\div(f)=\delta$, autrement dit une fonction holomorphe $f$ qui admet pour zéros précisément les points $a_\nu$ avec les entiers $m_\nu$ comme multiplicités. \endclaim \dem. On peut évidemment supposer que les points $a_\nu$ sont tous non nuls (sinon, on a par exemple $a_0=0$ et on ajoutera un facteur supplémentaire $z^{m_0}$ à la fonction construite pour les $(a_\nu)_{\nu\ge 1}$). On commence par démontrer le résultat dans le cas plus simple où $\Omega=\bC$. Dans ce cas, l'hypothèse que la suite $(a_\nu)$ est localement finie signifie que $\lim|a_\nu|=+\infty$. On pose alors $$ f(z)=\prod_{\nu\in\bN}W_{\nu+m_\nu}(z/a_\nu)^{m_\nu}. $$ D'après les observations du II~7.3, il suffit de montrer que la série $$ \sum m_\nu|\Log W_{\nu+m_\nu}(z/a_\nu)| $$ (convenablement tronquée) converge uniformément sur tout compact. Or, si $z\in\ol D(0,R)$, il existe un entier $\nu_0$ tel que $|a_\nu|\ge 2R$ pour $\nu\ge\nu_0$. L'inégalité (2.2.2) nous donne alors $$ \big|\Log W_{\nu+m_\nu}(z/a_\nu)\big|\le 2^{-(\nu+m_\nu)} $$ pour $z\in \ol D(0,R)$ et $\nu\ge \nu_0$, ce qui implique la convergence uniforme de la série $\sum m_\nu\big|\Log W_{\nu+m_\nu}(z/a_\nu)\big|$ sur $\ol D(0,R)$, et donc celle du produit infini $f(z)=\prod W_{\nu+m_\nu}(z/a_\nu)^{m_\nu}$ sur tout compact de~$\bC$. Il est clair que $f$ a les zéros prescrits. Dans le cas d'un ouvert $\Omega\ne\bC$, l'hypothèse de locale finitude signifie que $\max\big(|a_\nu|,d(a_\nu,\partial\Omega)^{-1}\big)\to +\infty$. On effectue une partition $\bN=P\cup Q$ des indices en sorte que $$ \nu\in P\Leftrightarrow |a_\nu| \ge d(a_\nu,\partial\Omega)^{-1},\qquad \nu\in Q\Leftrightarrow |a_\nu| < d(a_\nu,\partial\Omega)^{-1}. $$ On a alors $\lim_{P\ni\nu\to+\infty}|a_\nu|=+\infty$. Le raisonnement précédent montre que la fonction $g(z)=\prod_{\nu\in P} W_{\nu+m_\nu}(z/a_\nu)^{m_\nu}$ converge (sur $\bC$ tout entier), et qu'elle admet pour zéros les points $(a_\nu)_{\nu\in P}$ avec multiplicités~$m_\nu$. Nous avons d'autre part $\lim_{Q\ni\nu\to+\infty}d(a_\nu,\partial\Omega)=0$. Choisissons un point $b_\nu\in\partial\Omega$ tel que $|a_\nu-b_\nu|= d(a_\nu,\partial\Omega)$. On pose alors $$ h(z)=\prod_{\nu\in Q}W_{\nu+m_\nu}\big((a_\nu-b_\nu)/(z-b_\nu)\big)^{m_\nu}, $$ en se basant sur le fait que $W_{\nu+m_\nu}\big((a_\nu-b_\nu)/(z-b_\nu)\big)$ s'annule en l'unique point $z=a_\nu$ pour lequel $(a_\nu-b_\nu)/(z-b_\nu)=1$. Soit $K$ une partie compacte de $\Omega$ et $\delta=d(K,\partial\Omega)$. Pour $\nu\ge \nu_0$ assez grand, nous avons $|a_\nu-b_\nu|=d(a_\nu,\partial\Omega)\le\delta/2$, donc $$ \Big|{a_\nu-b_\nu\over z-b_\nu}\Big|\le{\delta/2\over\delta}={1\over 2} \qquad\hbox{pour $z\in K$}. $$ Ceci implique $\big|\Log W_{\nu+m_\nu}\big((a_\nu-b_\nu)/(z-b_\nu)\big) \big|\le 2^{-(\nu+m_\nu)}$ sur $K$, et on conclut comme précédemment que le produit infini $h$ converge uniformément sur tout compact de $\Omega$, avec les $(a_\nu)_{\nu\in Q}$ comme zéros. La fonction $f=gh$ répond à la question.\qed \claim Remarque|{\rm Le choix des indices $\nu+m_\nu$ dans la preuve du théorème de factorisation de Weierstrass est souvent inutilement précautionneux. Par exemple, si $(a_\nu)$ est une suite localement finie de points de $\bC$ telle que $$ \sum {m_\nu\over|a_\nu|^{p+1}}<+\infty, $$ alors le produit infini $\prod W_p(z/a_\nu)^{m_\nu}$ converge uniformément sur tout compact de $\bC$, sans qu'il soit besoin de faire tendre les indices $p$ vers l'infini. Ceci résulte de (2.2.2), qui implique la majoration $$ |\Log W_p(z/a_\nu)|\le {|z|^{p+1}\over |a_\nu|^{p+1}} $$ pour $z\in\ol D(0,R)$ et $|a_\nu|\ge 2R$. En particulier, si la série $\sum {m_\nu\over|a_\nu|}$ converge, alors $\prod(1-z/a_\nu)^{m_\nu}$ est la solution du problème.} \endclaim \claim Corollaire|Si $f$ est une fonction méromorphe dans un ouvert $\Omega$ de $\bC$, il existe une écriture globale de $f$ comme fraction $f=g/h$, où $g$ et $h$ sont des fonctions holomorphes dans $\Omega$, et où $h$ admet pour seuls zéros les pôles de $f$, et comme multiplicités les multiplicités correspondantes des pôles. \endclaim \dem. Considérons le diviseur $\delta=\div(f)$, que nous écrivons sous la forme $$ \delta=\sum_{\nu\in Z}m_\nu[a_\nu]+\sum_{\nu\in P}m_\nu[a_\nu] $$ où $\{a_\nu\}_{\nu\in Z}$ est l'ensembles de zéros ($m_\nu>0$), et $\{a_\nu\}_{\nu\in P}$ est l'ensembles des pôles ($m_\nu<0$). On peut appliquer le théorème de Weierstrass pour trouver une fonction holomorphe $h\in\cO(\Omega)$ dont le diviseur est $\delta_-=\sum_{\nu\in P}|m_\nu|\,[a_\nu]$. Il est alors évident que le produit $g=fh$ est holomorphe dans $\Omega$, et que $g$ a pour diviseur $\delta_+=\sum_{\nu\in Z}m_\nu[a_\nu]$.\qed \claim Corollaire|Si $\Omega$ est un ouvert connexe, alors l'espace des fonctions holomorphes $\cO(\Omega)$ constitue un anneau intègre, et $\cM(\Omega)$ est son corps des quotients. \endclaim \supersection{3. Formule des résidus} \section{3.1. Définition et invariance} On considère ici une fonction holomorphe $f$ sur un voisinage pointé $V\ssm\{z_0\}$ d'un point $z_0\in\bC$ (présentant ou non un point singulier au point~$z_0$). On lui associe la $1$-forme holomorphe $\beta=f(z)dz$ sur $V\ssm\{z_0\}$. \claim Définition|On appelle résidu en $z_0$ de la $1$-forme holomorphe $\beta$ définie sur $V\ssm\{z_0\}$, la valeur de l'intégrale $$ \Res(\beta,z_0):={1\over 2\pi\ii}\int_{\Gamma(z_0,r)}\beta, \leqno(3.1.1) $$ calculée sur un ``petit cercle'' tel que $\ol D(z_0,r)\subset V$. \endclaim D'après le Théorème~1.2, on a aussi $$ \Res\big(f(z)dz,z_0\big)=\hbox{coefficient $a_{-1}$ de la série de Laurent de $f$ en $z_0$}.\leqno(3.1.2)$$ Le résidu est {\em nul} si $z_0$ est un point régulier, comme il résulte du théorème de Cauchy. En pratique, dans le cas où $f$ est méromorphe en $z_0$, soit $f=u/v$, on calcule des développement limités (i.e.\ des développements en série tronqués) de $u$ et $v$ en $z_0$, et on en déduit celui de $f$. Dans le cas d'un pôle simple pour lequel $u(z_0)\ne 0$, $v(z_0)=0$ et $v'(z_0)\ne 0$ on a bien entendu $$ v(z)\sim v'(z_0)(z-z_0),\qquad f(z)={u(z)\over v(z)}\sim {u(z_0)\over v'(z_0)}(z-z_0)^{-1}. $$ On a donc en général $$ \Res\Big({u(z)\over v(z)}dz,z_0\Big)= {u(z_0)\over v'(z_0)}\qquad \hbox{si $v(z_0)=0$, $v'(z_0)\ne 0$} \leqno(3.1.3) $$ (puisque le point $z_0$ est en fait régulier si $u(z_0)=0$). On remarquera qu'il n'est pas nécessaire d'intégrer sur un cercle pour obtenir le résidu. En fait, si $\ol U\subset V$ est un voisinage compact de $z_0$ possédant un bord $\partial U$ de classe $\cC^1$ par morceaux, on a aussi $$ \Res(\beta,z_0)={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial U}\beta $$ puisque le théorème de Cauchy appliqué au compact $K=\ol U\ssm D(z_0,r) \subset V\ssm\{z_0\}$ implique $$ 0=\int_{\partial K}\beta=\int_{\partial U}\beta-\int_{\Gamma(z_0,r)}\beta $$ pour $r$ assez petit. De là on déduit la propriété fondamentale d'invariance qui suit. \claim Invariance par biholomorphisme|Si $\beta=f(z)dz$ est une $1$-forme holomorphe avec un point singulier éventuel en $z_0$ et si $z=\varphi(w)$ est un changement de variable biholomorphe d'un voisinage de $w_0$ sur un voisinage de $z_0$, avec $z_0=\varphi(w_0)$, alors la forme $\varphi^*\beta=f(\varphi(w))\varphi'(w)dw$ obtenue par substitution de variable vérifie $$ \Res(\varphi^*\beta, w_0)=\Res(\beta, z_0). \leqno(3.1.4) $$ \endclaim \dem. En effet, pour $W$ voisinage à bord $\cC^1$ assez petit de $w_0$, l'ouvert image $U=\varphi(W)$ est un voisinage à bord $\cC^1$ de $z_0$, et on a $$ \Res(\varphi^*\beta, w_0)={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial W}f(\varphi(w)) \varphi'(w)dw={1\over 2\pi\ii}\int_{\partial U}f(z)dz=\Res(\beta,z_0) $$ par changement de variable dans l'intégrale curviligne. Pour être tout à fait complet, il faut noter que l'orientation directe du bord est préservée du fait de l'orientation positive de la différentielle de $\varphi$.\qed \section{3.2. Formule des résidus} Soit $f$ une fonction qu'on suppose holomorphe sur un ouvert $\Omega$, sauf peut-être en une suite de points isolés. On a alors la formule fondamentale suivante. \claim Formule des résidus|On suppose que $f$ est holomorphe sur $\Omega\ssm\{a_\nu\}$ où $\{a_\nu\}$ est une suite localement finie dans $\Omega$. Alors pour tout compact $K$ à bord de classe~$\cC^1$ tel que $\partial K\cap\{a_\nu\}=\emptyset$, l'intégrale de la $1$-forme $\beta=f(z)dz$ est donnée~par $$ \int_{\partial K}\beta=2\pi\ii \sum_{a_\nu\in K}\Res\big(\beta,a_\nu\big). $$ \endclaim \dem. La preuve est une conséquence quasi-immédiate du théorème de Cauchy. Les hypothèses entraînent en effet que $K\cap\{a_\nu\}$ est constituée d'un nombre fini de points qui n'appartiennent pas au bord $\partial K$. Il existe des rayons $r_\nu>0$ tel que $\ol D(z_\nu,r_\nu)\subset K^\circ$, et alors $K'=K\ssm\bigcup \ol D(z_\nu,r_\nu)$ est un compact à bord $\cC^1$ au voisinage duquel $f$ est holomorphe. On a donc $$ 0=\int_{\partial K'}f(z)dz=\int_{\partial K}f(z)dz- \sum_{a_\nu\in K}\int_{\Gamma(a_\nu,r_\nu)}f(z)dz, $$ ce qui équivaut à la formule.\qed \supersection{4. Technologie de calcul des intégrales à l'aide de la formule des résidus} L'objet de cette section est d'expliquer comment la formule des résidus peut être utilisée pour évaluer certaines intégrales mettant en jeu des fonctions holomorphes, même dans des situations où l'on n'est pas capable d'expliciter des primitives de ces fonctions. Il arrive aussi assez souvent que le calcul d'une primitive soit possible, mais que la formule des résidus conduise au résultat de façon beaucoup plus rapide. \section{4.1. Intégrales de fractions rationnelles sur $]-\infty,+\infty[$} On se propose de calculer l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$ où $f(x)=P(x)/Q(x)$ est une fraction rationnelle sans pôle sur l'axe réel. Soit $c$ le rapport des coefficients directeurs des polynômes $P$ et $Q$ et $d=\deg Q -\deg P$. Comme on a $R(x)\sim c x^{-d}$ à l'infini, l'intégrale converge absolument si et seulement si $d=\deg Q -\deg P\ge 2$. Pour évaluer l'intégrale, on considère l'intégrale de la forme méromorphe $f(z)dz$ sur le contour $\gamma$ donné par le bord du demi-disque $K=\ol D(0,R)\cap\{\Im z\ge 0\}$, lorsque le rayon $R$ tend vers $+\infty$. Comme $|f(z)|\sim |c|\,|z|^{-d}$ lorsque $|z|\to+\infty$, l'intégrale sur le demi-cercle $\Gamma(0,R)\cap \{\Im z\ge 0\}$ admet une majoration $$ \Big|\int_{\Gamma(0,R)\cap \{\Im z\ge 0\}}f(z)\,dz\Big|\le \pi R\,(|c|+1)R^{-d}= C R^{1-d} $$ pour $R$ assez grand, de sorte que cette intégrale tend vers $0$. \InsertFig -3.000 50.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 10.000 0.000 moveto 110.000 0.000 2.400 vector 65.000 -6.000 moveto 51.000 90.000 2.400 vector 0.500 setlinewidth 30.000 0.000 moveto [ 30.000 0.000 100.000 0.000 65.000 35.000 30.000 0.000 ] (YAA) closedmixedpath stroke 0.250 setlinewidth 49.000 0.000 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 83.000 0.000 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 90.600 24.000 moveto 0.000 129.000 2.400 vector 39.550 23.950 moveto 0.000 -135.000 2.400 vector 75.500 18.000 moveto 0.700 disk 42.700 10.000 moveto 0.700 disk grestore } \LabelTeX 28.000 -4.000 $-R$ \ELTX \LabelTeX 62.000 -4.000 $0$ \ELTX \LabelTeX 98.500 -4.000 $+R$ \ELTX \LabelTeX 119.000 -4.000 $x$ \ELTX \LabelTeX 61.000 43.500 $y$ \ELTX \LabelTeX 81.500 34.000 $\gamma$ \ELTX \LabelTeX 44.300 11.000 $a_1$ \ELTX \LabelTeX 77.000 19.000 $a_2$ \ELTX \EndFig \bigskip \noindent Comme $$ \int_\gamma f(z)dz=\int_{-R}^R f(x)dx+ \int_{\Gamma(0,R)\cap \{\Im z\ge 0\}}f(z)\,dz= 2\pi\ii\sum_{a_j\in K}\Res(f(z)dz, a_j), $$ on en déduit à la limite quand $R\to+\infty$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx= 2\pi\ii\sum_{\Im(a_j)>0}\Res\big(f(z)dz,a_j\big).\leqno(4.1.1) $$ On aurait pu également considérer le demi-disque situé dans le demi-plan inférieur $\{\Im z\le 0\}$, et dans ce cas, l'orientation de l'axe réel étant opposée, on aurait trouvé $$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx= -2\pi\ii\sum_{\Im(a_j)<0}\Res\big(f(z)dz,a_j\big).\leqno(4.1.2) $$ Dans la situation considérée ici (c'est-à-dire $\deg Q-\deg P\ge 2$, pas de pôles sur l'axe réel), la conjonction des deux formules (4.1.1) et (4.1.2) entraîne que la somme de tous les résidus est nulle. C'est en fait un résultat général, pour peu qu'on veuille bien introduire les notions de singularité, pôle et résidu \lguil à l'infini\rguil. \claim Définition|Soit $f$ une fonction holomorphe définie au voisinage de l'infini, c'est-à-dire sur $\bC\ssm \ol(D(0,R)=C(0,R,+\infty)$ pour $R$ assez grand, et soit $\beta=f(z)dz$. Le changement de variable involutif $w=\varphi(z)=1/z$ nous ramène au cas d'une fonction $w\mapsto f(1/w)$ définie au voisinage de $0$, et on a $\varphi^*\beta=-f(1/w)w^{-2}dw$. On définit alors $$\Res(\beta,\infty)=\Res\big(-f(1/w)w^{-2}dw,0\big),$$ c'est-à-dire que $\Res(\beta,\infty)$ est l'opposé du coefficient de $w=1/z$ dans le développement en série de Laurent de $f$. On dit que $z=\infty$ est un pôle de $f(z)$ si $w=0$ est un pôle de $f(1/w)$, ce qui équivaut à dire qu'il n'y a qu'un nombre fini d'indices $n\ge 0$ pour lesquels $a_n\ne 0$ dans le développement en série de Laurent de~$f$. Sinon, on dit que $\infty$ est un point singulier essentiel. \endclaim \claim Proposition|Soit $\beta=f(z)dz$, avec $f(z)=P(z)/Q(z)$, une forme méromorphe rationnelle sur~$\bC$. Alors la somme des résidus étendus à tous les pôles $($y compris le point à l'infini$)$ est nulle~: $$ \sum_{a\in\bC\cup\{\infty\}}\Res(\beta,a)=0.\leqno(4.1.3) $$ \endclaim \dem. On considère un grand disque $D(0,R)$ contenant tous les pôles autres que le point à l'infini. On a alors $$ \int_{\Gamma(0,R)}\beta =2\pi\ii\sum_{a\in\bC}\Res(\beta,a). $$ D'autre part, le changement de variable $w=1/z$ renverse le sens d'intégration sur le cercle, ce qui donne $$ \int_{\Gamma(0,R)}\beta = -\int_{\Gamma(0,1/R)} \varphi^*\beta = -2\pi\ii\,\Res(\varphi^*\beta, 0)= -2\pi\ii\,\Res(\beta, \infty).\eqno{\square} $$ \section{4.2. Cas des fractions rationnelles trigonométriques} On considère ici des intégrales de la forme $$ I=\int_0^{2\pi}F(\cos t,\sin t)\,dt $$ où $F(x,y)$ est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôle sur le cercle $x^2+y^2=1$. Posons $z=e^{\ii t}$. Lorsque $t$ croît de $0$ à $2\pi$, $z$ décrit le cercle unité. On a donc $$ I=\int_{\Gamma(0,1)}F\Big({1\over2}\Big(z+{1\over z}\Big), {1\over 2\ii}\Big(z-{1\over z}\Big)\Big){dz\over \ii z}, $$ de sorte que $$ I=2\pi\sum_{a\in D(0,1)}\Res\Big( F\Big({1\over2}\Big(z+{1\over z}\Big), {1\over 2\ii}\Big(z-{1\over z}\Big)\Big){dz\over z}\,,\; a\Big). $$ D'après (4.1.3), on peut bien entendu sommer aussi sur les pôles situés hors du disque unité (point infini inclus), et changer le signe. \section{4.3. Intégrales de Fourier} Le calcul de transformées de Fourier met en jeu des intégrales de la forme $$ I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{\ii \omega x}dx. $$ On peut toujours se ramener, quitte à changer le signe de $x$, à ce que $\omega>0$. Ce signe est néanmoins à prendre en compte, car si $z=x+iy$, on a $|e^{\ii \omega z}|=e^{-\omega y}$ et le comportement de l'exponentielle est très différent suivant le signe de $\omega y$. On supposera ici $\omega>0$ de façon à pouvoir travailler sur le demi-plan supérieur $y\ge 0$. \claim Proposition|On suppose que $\omega>0$ et que $f(z)$ se prolonge en une fonction holomorphe définie au voisinage du demi-plan supérieur $\Im z\ge 0$, à l'exception d'un nombre fini de points singuliers~$a_j$ non réels. On suppose par ailleurs que $$ \lim_{|z|\to+\infty,\,|\Im z\ge 0}f(z)=0. $$ Alors $$ \lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{+R}f(x)e^{\ii \omega x}dx = 2\pi\ii\sum_{\Im a_j>0}\Res\big(f(z)e^{\ii \omega z}dz\,,\;a_j\big). $$ \endclaim \dem. On intègre la $1$-forme $f(z)e^{\ii \omega z}dz$ sur le contour déjà décrit au~4.1. Il faut majorer l'intégrale sur le demi-cercle de rayon $R$. Pour cela, on écrit $z=x+\ii y = R\cos t+\ii R\sin t$ et on observe que $$ |e^{\ii \omega z}|=e^{-\omega y}=e^{-\omega R\sin t},\quad t\in[0,\pi], \quad\hbox{et $|dz|=R\,dt$}. $$ Ceci donne $$ \Big|\int_{\{|z|=R,\Im z\ge 0\}}f(z)e^{\ii \omega z}dz\Big| \le \sup_{\{|z|=R,\Im z\ge 0\}}|f(z)|\;R \int_0^\pi e^{-\omega R\sin t}dt. $$ La concavité de la fonction $\sin$ implique $\sin t\ge {2\over \pi}t$ pour $t\in[0,{\pi\over 2}]$, donc on a $$ \int_0^\pi e^{-\omega R\sin t}dt\le 2\int_0^{\pi/2} e^{-\omega R\sin t}dt \le 2\int_0^{\pi/2} e^{-\omega R(2/\pi)t}dt={\pi\over 2R\omega}. $$ Ceci donne la majoration explicite $$ \Big|\int_{\{|z|=R,\Im z\ge 0\}}f(z)e^{\ii \omega z}dz\Big| \le {\pi\over 2\omega} \sup_{\{|z|=R,\Im z\ge 0\}}|f(z)|\leqno(4.3.1) $$ et l'hypothèse entraîne que cette intégrale tend vers~$0$. A titre d'application on vérifie immédiatement que $\Res(e^{\ii \omega z}/(1+z^2),\, \ii)=e^{-\omega}/2\ii$, d'où en général $$ \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{\ii \omega x}\over 1+x ^2} dx=\pi\, e^{-|\omega|}. $$ Dans ce cas précis, l'intégrande n'admet pas de primitive connue.\qed La méthode décrite plus haut fonctionne aussi dans le cas où $f(z)$ admet un ou plusieurs pôles simples sur l'axe réel. On se contentera de traiter l'exemple classique de l'intégrale semi-convergente $\int_0^{+\infty}{\sin x\over x}dx$. Pour la calculer, on intègre la forme méromorphe $e^{\ii z}dz/z$ sur le contour ci-dessous. \InsertFig -3.000 50.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 10.000 0.000 moveto 110.000 0.000 2.400 vector 65.000 -6.000 moveto 51.000 90.000 2.400 vector 0.500 setlinewidth 100.000 0.000 moveto [ 100.000 0.000 65.000 35.000 30.000 0.000 60.000 0.000 65.000 5.000 70.000 0.000 100.000 0.000 ] (AAYAAY) closedmixedpath stroke 0.250 setlinewidth 49.000 0.000 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 83.000 0.000 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 90.600 24.000 moveto 0.000 129.000 2.400 vector 39.550 23.950 moveto 0.000 -135.000 2.400 vector 62.500 4.400 moveto 0.000 45.000 2.400 vector grestore } \LabelTeX 28.000 -4.000 $-R$ \ELTX \LabelTeX 57.700 -4.000 $-\varepsilon$ \ELTX \LabelTeX 69.500 -4.000 $\varepsilon$ \ELTX \LabelTeX 98.500 -4.000 $+R$ \ELTX \LabelTeX 119.000 -4.000 $x$ \ELTX \LabelTeX 61.000 43.500 $y$ \ELTX \LabelTeX 81.500 34.000 $\gamma$ \ELTX \EndFig \bigskip \noindent Il n'y a aucun pôle à l'intérieur du contour, et $1/z$ tend vers $0$ à l'infini, donc d'après (4.3.1) on obtient $$ \lim_{R\to+\infty,\varepsilon\to 0_+} \Big(\int_{-R}^{-\varepsilon}{e^{\ii x}\over x}dx+ \int_{\varepsilon}^{R}{e^{\ii x}\over x}dx+ \int_{\{|z|=\varepsilon,\Im z\ge 0\}}{e^{\ii z}\over z}dz\Big)= 0. $$ La dernière intégrale du membre de gauche se calcule en effectuant le dévelop\-pe\-ment limité $$ {e^{\ii z}\over z}={1\over z}+\ii+O(z), $$ de sorte que la substitution $z=\varepsilon e^{\ii t}$, $t\in[0,\pi]$ fournit $$ \int_{\{|z|=\varepsilon,\Im z\ge 0\}}{e^{\ii z}\over z}dz = -\int_0^\pi \big(\varepsilon^{-1}e^{-\ii t}+\ii+O(\varepsilon)\big) \varepsilon \ii e^{\ii t}dt = -\ii\pi+2\ii\varepsilon+O(\varepsilon^2). $$ On en déduit $$ \eqalignno{ \int_0^{+\infty}{\sin x\over x}dx&= \lim_{R\to+\infty,\varepsilon\to 0_+} \int_\varepsilon^R{e^{\ii x}-e^{-\ii x}\over 2\ii x}dx\cr &=-{1\over 2\ii}\lim_{\varepsilon\to 0_+} \int_{\{|z|=\varepsilon,\Im z\ge 0\}}{e^{\ii z}\over z}dz= {\pi\over 2}.&\square\cr} $$ \section{4.4. Intégrales contenant un facteur $x^\alpha$} On s'intéresse ici aux intégrales du type $$ I=\int_0^{+\infty}f(x) x^\alpha dx $$ où $f(x)=P(x)/Q(x)$ est une fraction rationnelle et $\alpha$ un réel. On supposera que $\alpha$ est non entier, sinon il s'agit de l'intégrale d'une fraction rationnelle qu'on peut intégrer a priori par des méthodes élementaires (on pourrait aussi atteindre éventuellement le cas d'un entier par passage à la limite sur $\alpha$). Nous supposerons en outre que $Q$ n'admet pas de zéro sur l'intervalle $[0,+\infty[$ et que $P(0)\ne 0$ (sinon on factorise la puissance adéquate de~$x$ dans $P(x)$). Dans ces conditions, l'intégrale converge au voisinage de $0$ dès que $\alpha>-1$, et converge au voisinage de l'infini dès que $\alpha<\deg Q-\deg P-1$ (on notera que ces conditions ne peuvent se produire simultanément que si $\deg Q>\deg P$). \InsertFig -3.000 50.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 22.000 0.000 moveto 98.000 0.000 2.400 vector 65.000 -40.000 moveto 85.000 90.000 2.400 vector 15.000 0.800 moveto 0.000 -90.000 2.400 vector 15.000 -0.800 moveto 0.000 90.000 2.400 vector 15.000 -0.800 moveto 15.000 0.800 lineto stroke 0.500 setlinewidth 100.000 0.800 moveto [ 100.000 0.800 65.000 35.000 30.000 0.000 65.000 -35.000 100.000 -0.800 70.000 -0.800 65.000 -5.000 60.000 0.000 65.000 5.000 70.000 0.800 100.000 0.800 ] (AAAAYAAAAY) closedmixedpath stroke 0.250 setlinewidth 39.550 23.950 moveto 0.000 -135.000 2.400 vector 90.450 -23.950 moveto 0.000 45.000 2.400 vector 62.500 4.400 moveto 0.000 45.000 2.400 vector 90.000 0.800 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 80.000 -0.800 moveto 0.000 180.000 2.400 vector 75.500 18.000 moveto 0.700 disk 80.000 -23.000 moveto 0.700 disk 42.700 -20.000 moveto 0.700 disk grestore } \LabelTeX 23.300 -4.000 $-R$ \ELTX \LabelTeX 55.000 -4.000 $-\varepsilon$ \ELTX \LabelTeX 70.300 -4.000 $\varepsilon$ \ELTX \LabelTeX 100.500 -4.000 $+R$ \ELTX \LabelTeX 119.000 -4.000 $x$ \ELTX \LabelTeX 61.000 43.500 $y$ \ELTX \LabelTeX 81.500 34.000 $\gamma$ \ELTX \LabelTeX 45.000 14.000 $K_{R,\varepsilon,\delta}$ \ELTX \LabelTeX 44.300 -21.000 $a_1$ \ELTX \LabelTeX 81.000 -21.000 $a_2$ \ELTX \LabelTeX 77.000 19.000 $a_3$ \ELTX \LabelTeX 10.000 -1.000 $2\delta$ \ELTX \EndFig \vskip2cm \phantom{$~$} \noindent La méthode de calcul consiste à intégrer la fonction $f(z)z^\alpha$ sur le contour $\gamma$ constitué d'un arc du cercle $\Gamma(0,R)$ parcouru dans le sens direct, d'un arc du cercle $\Gamma(0,\varepsilon)$ parcouru dans le sens indirect, et des segments $[\sqrt{\varepsilon^2-\delta^2},\sqrt{R^2-\delta^2}]\pm\ii\delta$, (avec $\delta\ll\varepsilon$ très petit), parcourus dans le sens indiqué par le schéma. Ce contour est le bord d'un compact $K_{R,\varepsilon,\delta}$ qui contient tous les pôles de la fraction rationnelle $P(z)/Q(z)$ si $R$ est assez grand et si $\delta\ll \varepsilon$ sont assez petits (ceci n'est vrai bien sûr que parce que $Q(x)$ n'a pas de zéros sur $[0,+\infty[$, par hypothèse). Un point très important est de choisir la détermination adéquate de la fonction $z^\alpha=\exp(\alpha\log z)$~: on choisit ici la détermination définie sur $\bC\ssm[0,+\infty[$, telle que $0<\arg z<2\pi$. Comme $\alpha$ est supposé réel, on a $|z^\alpha|=|z|^\alpha$ tandis que $\arg(z^\alpha)=\alpha\arg z$. Dans ces conditions, lorsque $\delta$ tend vers $0$, la somme des intégrales sur les segments horizontaux $[\sqrt{\varepsilon^2-\delta^2},\sqrt{R^2-\delta^2}]\pm\ii\delta$ converge vers $$ (1-e^{2\pi\ii\alpha})\int_\varepsilon^R f(x)x^\alpha dx. $$ On fait maintenant tendre $\varepsilon$ vers $0$ et $R$ vers l'infini. La majoration $$ \Big|\int_{\Gamma(0,r)}f(z) z^\alpha dz\Big| \le 2\pi r^{1+\alpha}\sup_{\Gamma(0,r)}|f(z)| $$ entraîne que les intégrales sur les cercles $\Gamma(0,\varepsilon)$ et $\Gamma(0,R)$ tendent vers $0$ dès lors que $1+\alpha>0$ et $1+\alpha+\deg P-\deg Q<0$, ce qui équivaut à la convergence de l'intégrale $I$ en $0$ et $+\infty$, respectivement. On aboutit à la formule $$ (1-e^{2\pi\ii\alpha})\int_0^{+\infty}f(x)x^\alpha dx = 2\pi\ii\sum_{a\in\bC\ssm[0,+\infty[}\Res(f(z)z^\alpha\,,\;a). $$ \section{4.5. Intégrales contenant un logarithme} Le dernier cas que nous traiterons est celui des intégrales de la forme $$ I=\int_0^{+\infty}\ln x\, f(x)\,dx $$ où $f(x)=P(x)/Q(x)$ est une fraction rationnelle. L'intégrale converge dès que $Q$ n'a pas de zéros situés sur l'axe réel et que $\deg Q\ge\deg P+2$. Ici, la méthode consiste à intégrer la forme holomorphe $(\log z-\ii\pi)^2 f(z)\,dz$ sur le contour décrit au~4.4 (c'est bien le {\em carré} d'un logarithme qu'il faut considérer~!), avec la détermination telle que $0<\arg z<2\pi$. Il n'est pas difficile de voir que les intégrales sur les cercles $\Gamma(0,\varepsilon)$ et $\Gamma(0,R)$ tendent vers 0, sous les hypothèses qui ont été faites. Sur l'axe réel, on est amené à intégrer $(\ln x-\ii\pi)^2f(x)dx$ de $\varepsilon$ à $R$, puis $(\ln x+\ii\pi)^2f(x)dx$ dans le sens opposé. La somme de ces deux intégrales est égale~à $$ -4\ii\pi\int_\varepsilon^R\ln x\,f(x)\,dx. $$ On aboutit alors à la formule $$ \int_0^{+\infty}\ln x\,f(x)\,dx=-{1\over 2} \sum_{a\in\bC\ssm[0,+\infty[}\Res\big((\log z-\ii\pi)^2f(z)\,,\;a\big). $$ On notera que l'intégrale de gauche est encore convergente si $f$ admet un pôle simple au point $x=1$. Dans ce dernier cas, on évite le point $1$ en modifiant un peu le chemin $\gamma$, de façon à contourner le point $1$ par des arcs situés sur le cercle $\Gamma(1,\varepsilon)$, orientés de manière {\em indirecte}. Il faut alors évaluer la limite $$ \lim_{\varepsilon\to 0_+}\int_{\Gamma(1,\varepsilon)\cap\{\Im z\ge 0\}} (\Log z-\ii\pi)^2f(z)\,dz + \int_{\Gamma(1,\varepsilon)\cap\{\Im z\le 0\}}(\Log z+\ii\pi)^2f(z)\,dz $$ où la détermination du logarithme est {\em cette fois} la détermination principale telle que $\Log 1=0$ et $-\pi<\arg z<\pi$. Il est facile de voir que les termes mettant en jeu le logarithme sont bornés en $z=1$ et ont une contribution nulle du fait que la longueur des arcs tend vers~$0$, tandis que le terme sans logarithme a pour limite $$ \lim_{\varepsilon\to 0_+}\int_{\Gamma(1,\varepsilon)} -\pi^2 f(z)\,dz=-2\pi^3\ii \Res(f(z)dz,1). $$ Il vient alors $$ \int_0^{+\infty}\ln x\,f(x)\,dx=-{1\over 2} \sum_{a\in\bC\ssm[0,+\infty[}\Res\big((\log z-\ii\pi)^2f(z)\,,\;a\big) +{\pi^2\over 2}\Res\big(f(z)\,,\;1\big). $$ On obtient ainsi par exemple $\displaystyle\int_0^{+\infty}{\ln x\over x^2-1}dx={\pi^2\over 4}$. Plus généralement, il serait possible d'évaluer des intégrales de la forme $$ J=\int_0^{+\infty}A(\ln x)f(x)\,dx $$ où $A$ est un polynôme. Dans cette situation, on intègre la forme holomorphe $B(\log z) f(z)\,dz$ avec un polynôme $B$ choisi tel que $B(z+2\pi\ii)-B(z)=A(z)$, ce qui est toujours possible. \end % Local Variables: % TeX-command-default: "eTeX" % End: