% Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann, chapitre II % % Laurent Bonavero % Jean-Pierre Demailly % Université de Grenoble I, Institut Fourier % 38402 Saint-Martin d'Hères, France % \input vcmac \openauxfile \blankline \chaptitle{Chapitre II} \medskip \chaptitle{Holomorphie et analyticité} \chaptitle{Résultats fondamentaux} \chaptitlerunning{Chap.\ II: Holomorphie et analyticité} \vskip50pt Les propriétés fondamentales satisfaites par les fonctions holomorphes sont pour la plupart conséquences de la formule de Cauchy. Cette formule calcule la valeur d'une fonction holomorphe en un point quelconque d'un domaine suf\-fisamment régulier, à partir des seules valeurs prises sur la frontière du domaine. Il en résulte que les fonctions holomorphes vérifient un certain nombre de propriétés de «rigidité\rguil\ que ne possédent pas en général les fonctions (indéfiniment) différentiables, et qui sont dues à la nature conforme de la différentielle. La preuve de ces diverses propriétés (inégalités de Cauchy, analyticité, principe du prolongement analytique, principe du maximum$\ldots$) constitue le coeur de ce chapitre. Quelques rappels sur les intégrales curvilignes seront nécessaires pour commencer. \bigskip\null \supersection{1. Rappels sur les formes différentielles} \section{1.1. Intégration des formes différentielles de degré $1$} Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\bR^n$. Une {\em $1$-forme différentielle} complexe continue sur $\Omega$ est une application continue $\alpha:\Omega\rightarrow\cL_\bR(\bR^n,\bC)$. D'après I-(2.2.5), si $(x_1,\ldots, x_n)$ désignent les coordonnées sur $\bR^n$, l'espace vectoriel complexe $\cL_\bR(\bR^n,\bC)$ admet $(dx_1,\ldots,dx_n)$ comme «base canonique\rguil, et on peut donc écrire $\alpha(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_1,\ldots,x_n)dx_i$ où les $\alpha_i$ sont $n$ fonctions continues de $\Omega$ dans $\bC$. Un exemple important de $1$-forme est donné par la différentielle $df$ d'une fonction $f:\Omega\rightarrow\bC$ de classe $\cC^p$ ($p\ge 1$) $$ df=\sum_{1\le j\le n}{\partial f\over\partial x_j}\,dx_j. $$ Un {\em chemin de classe $\cC^p$ par morceaux} tracé dans $\Omega$ est une application continue $\gamma$ d'un intervalle $[a,b]$ dans $\Omega$ telle qu'il existe une subdivision $a=\tau_0<\tau_1<\ldots<\tau_N=b$ avec $\gamma_{|[\tau_i,\tau_{i+1}]}$ de classe $\cC^p$ (en général, les points $\gamma(\tau_i)$ seront des «points anguleux\rguil\ du chemin. Sauf précision contraire, on oriente un tel chemin dans le sens des paramètres croissants. Si $\gamma$ est un tel chemin, on définit sa longueur par $$ \lg(\gamma)=\int_a^b \Vert\gamma'(t)\Vert dt =\int_a^b \sqrt{\gamma'_1(t)^2+\cdots+\gamma'_n(t)^2}\,dt $$ où $\Vert x\Vert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$ est la norme euclidienne de $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\bR^n$. \claim Définition|Soit $\gamma(t)=(\gamma_1(t),\ldots,\gamma_n(t))$ et $\alpha=\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_1,\ldots,x_n)dx_i$ l'écriture de $\gamma$ et de $\alpha$ en coordonnées. L'intégrale curviligne $\int_{\gamma}\alpha$ est l'intégrale simple obtenue en effectuant les substitutions $x_i=\gamma_i(t)$ et $dx_i=\gamma_i'(t)dt$~: $$ \int_{\gamma}\alpha=\int_{\gamma}\sum_{i=1}^n\alpha_i(x_1,\ldots,x_n)dx_i= \varepsilon\int_a^b\sum_{i=1}^n\alpha_i(\gamma_1(t),\ldots,\gamma_n(t)) \gamma_i'(t)\,dt $$ où $\varepsilon=+1$ si on oriente $\gamma$ dans le sens des paramètres $t$ croissants, et $\varepsilon=-1$ si on oriente $\gamma$ dans le sens des paramètres décroissants. \endclaim Deux chemins $\gamma_1:[a_1,b_1]\to\Omega$ et $\gamma_2:[a_2,b_2]\to\Omega$ de classe $\cC^p$ (resp.\ de classe $\cC^p$ par morceaux) sont dits équivalents s'il existe un changement de variable $\psi:[a_1,a_1]\to[a_2,b_2]$ de classe $\cC^p$ (resp.\ $\cC^p$ par morceaux), bijectif, de dérivée à droite et à gauche partout non nulle (i.e.\ un difféomorphisme de classe $\cC^p$, resp.\ de classe $\cC^p$ par morceaux), et {\em strictement croissant}, tel que $\gamma_1=\gamma_2\circ\psi$. On appelle {\em arc orienté} de classe $\cC^p$ (par morceaux) une classe d'équivalence de chemins de classe $\cC^p$ (par morceaux); tous les chemins $\gamma:[a,b]\to\Omega$ d'une même classe d'équivalence ont bien sûr la même image ensembliste $\gamma([a,b])$. Remarquons que l'intégrale curviligne $\int_{\gamma}\alpha$ ne dépend que de l'arc défini par $\gamma$, et non de la paramétrisation. En effet, si $\psi:{}[a',b']\rightarrow{}[a,b]$ est un difféomorphisme définissant une nouvelle paramétrisation, on a $\int_{\gamma\circ\psi}\alpha =\int_{\gamma}\alpha$ si $\psi$ conserve l'orientation (i.e.\ $\psi$ croissant et $\psi(a')=a$, $\psi(b')=b$) et $\int_{\gamma\circ\psi}\alpha =-\int_{\gamma}\alpha$ si $\psi$ renverse l'orientation (i.e.\ $\psi$ décroissant et $\psi(a')=b$, $\psi(b')=a$). Ceci se voit facilement en effectuant le changement de variable $t=\psi(s)$ dans l'intégrale simple $\int_a^b\sum(\ldots)\,dt$. De même, la longueur $\lg(\gamma)$ ne dépend que de l'arc défini par~$\gamma$. La proposition suivante regroupe les propriétés élémentaires les plus importantes des intégrales curvilignes. \itemindent=1.5\parindent \claim Proposition|Soient $\alpha$ une $1$-forme différentielle complexe continue sur $\Omega$ et $\gamma$ un chemin de classe $\cC^1$ par morceaux dans $\Omega$. Alors \smallskip \item{\rm(i)} Si $f$ est une fonction de classe $\cC^1$ sur $\Omega$, on a $$\int_{\gamma}df = f(\gamma(b))-f(\gamma(a)),$$ en particulier $\int_\gamma df=0$ si le chemin $\gamma$ est un «lacet\rguil\ $($on dit aussi un «chemin fermé\rguil$)$, c'est-à-dire si $\gamma(b)=\gamma(a)$. \smallskip \item{\rm(ii)} $\disp{\Big|\int_{\gamma}\alpha\Big| \le \lg(\gamma)\sup_{t\in [a,b]}\Vert\alpha(\gamma(t))\Vert}$~ où $\Vert\alpha\Vert= \sqrt{\sum_i|\alpha_i|^2}$, \smallskip \item{\rm(iii)} $\disp{\int_{\gamma}\alpha = \lim_{\varepsilon\rightarrow0} \sum_{j=0}^{N-1}\sum_{i=1}^n\alpha_i(\gamma(\xi_j))(\gamma_i(\tau_{j+1}) -\gamma_i(\tau_j))}$\hfil\break où la subdvision $a=\tau_0<\tau_1<\ldots<\tau_N=b$ décrit l'ensemble des subdivisions de $[a,b]$ telles que $\sup_j (\tau_{j+1}-\tau_j) \le\varepsilon$ et où les $\xi_j\in [\tau_{j+1},\tau_j]$ sont des points arbitraires. \vskip0pt \endclaim \itemindent=\parindent \dem. (i) résulte de la définition des intégrales curvilignes et du fait que $$ \sum_{i=1}^n{\partial f\over\partial x_i}(\gamma_1(t),\ldots, \gamma_n(t))\gamma_i'(t)=(f\circ\gamma)'(t). $$ (ii) est conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui donne $$ \Big|\sum_{i=1}^n\alpha_i(\gamma_1(t),\ldots,\gamma_n(t)) \gamma_i'(t)\Big|\le \Vert\alpha(\gamma(t))\Vert\cdot\Vert\gamma'(t)\Vert $$ en chaque point $t\in[a,b]$. Enfin, il n'est pas difficile de voir que $$ \eqalign{ \Big|\int_{\tau_j}^{\tau_{j+1}}\sum_{i=1}^n\alpha_i(\gamma_1(t),\ldots, \gamma_n(t))\gamma_i'(t)\,dt &{}-\sum_{i=1}^n\alpha_i(\gamma(\xi_j))(\gamma_i(\tau_{j+1}) -\gamma_i(\tau_j))\Big|\cr &\le \omega_j\int_{\tau_j}^{\tau_{j+1}}\Vert\gamma'(t)\Vert\,dt\cr} $$ où $\omega_j=\sup_{t\in[\tau_j,\tau_{j+1}]} \Vert\alpha\circ\gamma(t)-\alpha\circ\gamma(\xi_j)\Vert$. Comme $\max_{0\le j0$ assez petit. Le fait que les bases $(e_1,e_2)$ et $(e_1',e_2')$ aient la même orientation impose que $e_1$ et $e_1'$ soient de même sens.\qed Finalement, introduisons la notion de trou d'un compact. \claim Définition|On appelle trou d'un compact $K\subset\bR^2$ toute composante connexe bornée de $\bR^2\ssm K$. \endclaim Remarquons alors qu'un compact à bord de classe $\cC^p$ par morceaux avec $p\ge 1$ n'a qu'un nombre fini de trous (chacun de ces trous étant bordé par au moins un des arcs constituant $\partial K$, lesquels sont en nombre fini). \section{1.3. Formule de Stokes bidimensionnelle} Rappelons d'abord brièvement le formalisme des formes différentielles, en nous limitant pour l'essentiel au cas de la dimension~$2$ (le lecteur pourra se reporter aux ouvrages traitant du calcul différentiel pour la généralisation en dimension supérieure). Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux formes linéaires sur un plan vectoriel~$E$, on définit le {\em produit extérieur $\alpha\wedge\beta$} comme étant la forme bilinéaire alternée $E\times E\to\bR$ telle que $$ \alpha\wedge\beta(\xi,\eta)=\alpha(\xi)\beta(\eta)-\alpha(\eta)\beta(\xi). $$ On a en général $\alpha\wedge\alpha=0$ et $\beta\wedge\alpha= -\alpha\wedge\beta$. Une {\it forme différentielle de degré $p$} ou encore {\it $p$-forme différentielle} sur un ouvert $\Omega$ de $\bR^n$ est par définition une application $\beta:\Omega\to\cA_p(\bR^n)$ où $\cA_p(E)$ désigne l'ensemble des formes $p$-linéaires alternées sur l'espace vectoriel~$E$. En dimension $2$, on notera $(x,y)$ les coordonnées de $\bR^2$ et $dx$, $dy$ leurs différentielles vues comme des formes linéaires sur~$\bR^2$, c'est-à-dire comme éléments de $\cA_1(\bR^2)$. La paire $(dx,dy)$ forme une base de $\cA_1(\bR^2)$, donc les seuls produits extérieurs à considérer sont $$ dx\wedge dx=dy\wedge dy=0,\qquad dx\wedge dy=-dy\wedge dx. $$ Étant donné des vecteurs $\xi=(\xi_1,\xi_2),\,\eta=(\eta_1,\eta_2)\in\bR^2$, on a $$ dx\wedge dy(\xi,\eta)=\xi_1\eta_2-\eta_1\xi_2, $$ de sorte que le produit $dx\wedge dy$ s'interprète comme la forme bilinéaire déterminant dans la base canonique. On peut encore voir $dx\wedge dy(\xi,\eta)$ comme l'aire (algébrique) du parallélogramme dont les côtés sont les vecteurs $\xi$, $\eta$, et pour cette raison on considère $dx\wedge dy$ comme une expression algébrique de la mesure d'aire de Lebesgue dans le plan (souvent notée également $dx\,dy$). Une {\em forme différentielle $\beta$ de degré~$2$} sur un ouvert $\Omega\subset\bR^2$ se réduit donc à une expression du type $\beta=b(x,y)\,dx\wedge dy$. Étant donné une $1$-forme $\alpha=u(x,y)dx+v(x,y)dy$ et un point $z=(x,y)\in\Omega$, les valeurs prises par $\alpha$, $\beta$ au point $z$ sur les vecteurs $\xi$ (resp.\ $\xi$, $\eta$) sont données par $$ \alpha_z(\xi)=u(x,y)\xi_1+v(x,y)\xi_2,\qquad \beta_z(\xi,\eta)=b(x,y)(\xi_1\eta_2-\eta_1\xi_2). $$ Si $\alpha$ est une $1$-forme de classe $\cC^1$, sa différentielle extérieure est par définition la $2$-forme $d\alpha$ telle que $$ d\alpha=du\wedge dx+dv\wedge dy=\Big({\partial v\over\partial x}- {\partial u\over\partial y}\Big)dx\wedge dy. $$ Si $\alpha$ est définie dans un ouvert $\Omega$ d'un plan vectoriel $E$ plutôt que dans $\bR^2$, on peut montrer que la forme $d\alpha$ ne dépend pas du choix des coordonnées $x,y$ de~$E$; la vérification est immédiate à partir de la formule de définition \lguil intrinsèque\rguil\ (i.e.\ ne faisant pas intervenir de coordonnées) $$ (d\alpha)_z(\xi,\eta)=d(\alpha_z(\eta))(\xi)-d(\alpha_z(\xi))(\eta), \qquad\forall z\in\Omega,~~\xi,\eta\in E, $$ dont l'équivalence avec la première définition sera facilement vérifiée par le lecteur. On a alors la formule dite de Green ([Green, 1828], déjà connue d'Euler au 18${}^{\rm e}$ siècle), qui est un cas particulier de la formule générale de Stokes. \claim Formule de Green|Soit $K$ un compact du plan complexe, admettant un bord $\partial K$ de classe $\cC^1$ par morceaux. Soit $\alpha= u(x,y)dx+v(x,y)dy$ une $1$-forme différentielle de classe $\cC^1$ sur un voisinage de~$K$. Alors, si $\partial K$ est muni de son orientation canonique, on a $$ \int_{\partial K}\alpha=\int_{K}d\alpha,\qquad\hbox{i.e.}\quad \int_{\partial K}u(x,y)dx+v(x,y)dy= \int_{K}\Big({\partial v\over\partial x}- {\partial u\over\partial y}\Big)dx\,dy, $$ \endclaim \dem. Par compacité de $K$, on peut trouver un nombre fini de rectangles ouverts $R_j$ recouvrant $K$, tels que ou bien $\partial K\cap R_j=\emptyset$ (i.e.\ $R_j\subset K^\circ$), ou bien $\partial K\cap R_j$ est le graphe d'une fonction $h_j$, et $K\cap R_j$ est la partie située au dessus du graphe; en effet, d'après la définition initiale de ce paragraphe, chaque point $x\in K=K^\circ\cup\partial K$ admet comme voisinage un tel rectangle. En utilisant une partition de l'unité différentiable (Appendice ??), on peut écrire $\alpha=\sum\alpha_j$, avec des $1$-formes $\alpha_j$ de classe $\cC^1$ à support dans $R_j$ (le support est l'adhérence de l'ensemble des points où la forme prend des valeurs non nulles); en particulier $\alpha_j=0$ aux points de $\partial R_j$. Il suffit alors de montrer que $\int_Kd\alpha_j=\int_{\partial K}\alpha_j$ pour chaque $j$ et de faire la somme. Pour simplifier l'écriture, on supprime l'indice~$j$, ce qui revient à supposer que $R$ est l'un des rectangles $R_j$ et que $\alpha=\alpha_j$ est à support dans~$R$. Supposons également (après changement de coordonnées) que $R=[-\varepsilon, \varepsilon]\times[\delta,\delta]$. Si $R\subset K^\circ$, on a $$ \int_Kd\alpha=\int_Rd\alpha=\int_{\textstyle {-\varepsilon\le x\le\varepsilon\atop-\delta\le y\le\delta}} \Big({\partial v\over\partial x}-{\partial u\over\partial y}\Big)dx\,dy=0. $$ En effet, $u=v=0$ sur $\partial R$, donc $$ \eqalign{ \int_{-\varepsilon}^\varepsilon{\partial v\over\partial x}(x,y)\,dx&= v(\varepsilon,y)-v(-\varepsilon,y)=0,\cr \int_{-\delta}^\delta{\partial u\over\partial y}(x,y)\,dy&= u(x,\delta)-u(x,-\delta)=0.\cr} $$ Par ailleurs le support de $\alpha$ ne rencontre pas $\partial K$, donc $\int_{\partial K}\alpha=0=\int_K d\alpha$. Dans le cas où $K\cap R=\{(x,y)\in R\,;\,y\ge h(x)\}$, on trouve $$ \eqalign{\int_K &d\alpha=\int_{K\cap R}d\alpha= \int_{-\varepsilon}^\varepsilon dx\int_{h(x)}^\delta \Big({\partial v\over\partial x}-{\partial u\over\partial y}\Big)dy\cr &=\int_{-\varepsilon}^\varepsilon dx \Big[ {\partial\over\partial x}\Big(\int_{h(x)}^\delta v(x,y)\,dy\Big)+v(x,h(x))h'(x)-\big(u(x,\delta)-u(x,h(x))\big)\Big],\cr &=\int_{h(\varepsilon)}^\delta v(\varepsilon,y)\,dy -\int_{h(-\varepsilon)}^\delta v(-\varepsilon,y)\,dy +\int_{-\varepsilon}^\varepsilon\big(v(x,h(x))h'(x)+u(x,h(x))\big)dx,\cr} $$ tandis que $$ \int_{\partial K\cap R}\alpha=\int_{\partial K\cap R}u(x,y)dx+v(x,y)dy= \int_{-\varepsilon}^\varepsilon u(x,h(x))\,dx+v(x,h(x))h'(x)\,dx, $$ puisque l'arc $\partial K\cap R$ peut être paramétrisé par $y=h(x)$. Compte tenu du fait que $\Supp\alpha\subset R$, on a $v(\varepsilon,y)=v(-\varepsilon,y)=0$, et par conséquent $\int_{K \cap R}d\alpha=\int_{\partial K\cap R}\alpha$.\qed \supersection{2. Théorèmes de Cauchy et de Goursat} La formule de Cauchy est une formule de représentation des fonctions holomorphes en termes des valeurs prises sur un contour$\,$; c'est un résultat clé dans l'étude des fonctions holomorphes. Le point le plus étonnant est que les propriétés de dérivabilité peuvent souvent se traiter en intégrant$\,$! \section{2.1. Théorème de Cauchy} Le résultat connu sous le nom de «Théorème de Cauchy\rguil\ a été énoncé par Cauchy en 1825 (avec une justification partielle reposant sur le calcul des variations), puis démontré rigoureusement par Riemann en 1851, sous l'hypothèse supplémentaire que la fonction holomorphe $f$ est de classe~$\cC^1\,$; Goursat a montré ultérieurement ([Goursat,~1884,~1900]) que cette hypothèse était en fait inutile. \claim Théorème de Cauchy|Soient $\Omega \subset \bC$ un ouvert et $K$ un compact à bord de classe $\cC^1$ par morceaux inclus dans $\Omega$, avec l'orientation canonique du bord. Alors, pour toute fonction holomorphe $f\in \cO(\Omega)$, on a $$ \int_{\partial K}f(z)dz = 0. $$ \endclaim \dem\ (donnée par Riemann sous l'hypothèse supplémentaire $f\in\cC^1(\Omega)$). Considérons la forme différentielle $\alpha=f(z)dz$, qui est de classe $\cC^1$. On a alors $$ d\alpha=df\wedge dz=f'(z)dz\wedge dz=0 $$ car le produit extérieur d'une $1$-forme par elle-même est toujours nul. La formule de Green-Riemann implique $$ \int_{\partial K}\alpha=\int_K d\alpha=0.\eqno\square $$ \section{2.2. Théorème de Goursat} Pour démontrer le théorème de Cauchy en toute généralité, on commence par traiter le cas ou le compact $K$ est un triangle. On appelle ici triangle du plan l'enveloppe convexe de $3$ points non alignés. C'est un compact à bord $\cC^\infty$ par morceaux. On utilise ici encore l'orientation canonique du bord. \claim Lemme de Goursat|Soient $\Omega \subset \bC$ un ouvert et $T$ un triangle inclus dans $\Omega$. Alors $$ \forall f\in \cO(\Omega)\qquad \int_{\partial T}f(z)dz = 0. $$ \endclaim \InsertFig 0.000 32.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 8.000 0.000 translate 0.085 setlinewidth 0.000 0.000 moveto 50.000 0.000 lineto 20.000 30.000 lineto closepath stroke 0.3 setlinewidth 1.200 0.500 moveto 24.500 0.500 lineto 10.500 14.500 lineto closepath stroke 25.500 0.500 moveto 48.500 0.500 lineto 34.500 14.500 lineto closepath stroke 10.800 15.000 moveto 34.000 15.000 lineto 20.100 28.900 lineto closepath stroke 11.500 14.400 moveto 33.600 14.400 lineto 25.000 1.000 lineto closepath stroke 14.000 0.500 moveto 0 0 2 vector stroke 39.000 0.500 moveto 0 0 2 vector stroke 41.000 8.000 moveto 0 135 2 vector stroke 26.000 23.000 moveto 0 135 2 vector stroke 4.830 6.000 moveto 0 236.310 2 vector stroke 14.830 21.000 moveto 0 236.310 2 vector stroke 23.000 15.000 moveto 21.000 15.800 lineto stroke 21.000 14.400 moveto 23.000 13.600 lineto stroke 17.000 8.000 moveto 17.900 6.000 lineto stroke 19.000 7.000 moveto 18.100 9.000 lineto stroke 30.900 7.400 moveto 29.100 6.000 lineto stroke 27.400 6.400 moveto 29.500 8.000 lineto stroke 0.085 setlinewidth 6.000 20.000 moveto 3.000 circle stroke 11.000 16.500 moveto 8.500 18.500 lineto stroke 60.000 0.000 translate 0.000 0.000 moveto 50.000 0.000 lineto 20.000 30.000 lineto closepath stroke 10.000 15.000 moveto 25.000 0.000 lineto stroke 5.000 7.500 moveto 17.500 7.500 lineto stroke 11.250 7.500 moveto 13.750 11.250 lineto stroke 0.3 setlinewidth 11.250 7.500 moveto 12.500 9.375 lineto 14.375 7.500 lineto closepath stroke 12.700 8.100 moveto 0.4 disk grestore } \LabelTeX 13.000 19.000 $T$ \ELTX \LabelTeX 28.000 19.000 $T_1$ \ELTX \LabelTeX 18.000 5.000 $T_2$ \ELTX \LabelTeX 29.000 9.000 $T_3$ \ELTX \LabelTeX 43.000 5.000 $T_4$ \ELTX \LabelTeX 105.000 15.000 $T'_0=T$ \ELTX \LabelTeX 79.200 3.700 $T'_n$ \ELTX \LabelTeX 76.000 9.000 $z_0$ \ELTX \EndFig \bigskip\medskip \dem. Posons $I = \int_{\partial T}f(z)dz$. On découpe $T$ en $4$ triangles $T_1,\ldots,T_4$ dont les sommets sont ceux de $T$ et les milieux des côtés de $T$. Du fait des orientations deux à deux opposées des arêtes des triangles $T_k$ intérieures au triangle $T$, on a $I = \sum_{k=1}^4\int_{\partial T_k}f(z)dz$ et il existe donc un indice $k$ tel que $|\int_{\partial T_k}f(z)dz| \ge |I|/4$. De cette façon, on construit par récurrence une suite de triangles $T'_n$ emboités telle que $T'_0=T$, $T'_1=T_k$, $\diam (T'_n) = \diam (T)/2^n$ et $ |\int_{\partial T'_n}f(z)dz| \ge |I|/4^n$. Dans ces conditions, l'intersection décroissante des $T'_n$ est réduite à un point que l'on note $z_0$. Exprimons alors la condition de $\bC$-différentiabilité de $f$ en $z_0$~: $$ f(z) = f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0) + (z-z_0)\varepsilon (z),$$ où $\varepsilon (z)$ tend vers $0$ quand $z$ tend vers $z_0$. Comme $$ (f(z_0)+(z-z_0)f'(z_0))dz= d\Big(f(z_0)z+{1\over 2}(z-z_0)^2f'(z_0)\Big) $$ est d'intégrale nulle sur le lacet fermé $\partial T'_n$, il s'ensuit $$ \eqalign{ \Big|\int_{\partial T'_n}f(z)dz\Big|= \Big|\int_{\partial T'_n}(z-z_0)\varepsilon(z)dz\Big| &\le\lg(\partial T'_n) \sup_{\partial T'_n}|z-z_0\Vert\varepsilon (z)|\cr &\le 3 (\diam(T'_n))^2\sup_{\partial T'_n}|\varepsilon (z)|.\cr} $$ De là on déduit $$ |I| \le 4^n \Big|\int_{\partial T'_n}f(z)dz\Big| \le 3 (\diam (T))^2\sup_{\partial T'_n}|\varepsilon (z)|. $$ Or le membre de droite de cette inégalité tend vers $0$, donc $I=0$.\qed Le lemme de Goursat admet une réciproque que nous verrons au paragraphe 3.1 (théorème de Morera). Pour l'instant, nous sommes en mesure de prouver le \claim Théorème de Goursat|Le «théorème de Cauchy\rguil\ affirmant la nullité des intégrales $\int_{\partial K}f(z)dz=0$ est vrai pour toute $f\in\cO(\Omega)$ $($sans supposer de plus que l'on ait $f\in\cC^1(\Omega))$. \endclaim Comme on le verra ultérieurement, ce résultat permet de démontrer que toute fonction holomorphe $f$ est en fait automatiquement de classe~$\cC^\infty$. La preuve se fait en utilisant une approximation de $K$ par des compacts à bords polygonaux. \InsertFig 15.000 55.000 { %/fill {stroke} def 1 mm unit initcoordinates gsave 0.085 setlinewidth 20.000 10.000 moveto [ 20.000 10.000 10.000 20.000 10.000 40.000 40.000 45.000 59.000 47.000 75.000 37.000 75.000 27.000 55.000 7.000 35.000 7.000 ] closedcurve gsave closepath 0.950 setgray fill grestore stroke 30.000 20.000 moveto [ 30.000 20.000 25.000 30.000 35.000 35.000 45.000 35.000 50.000 25.000 40.000 20.000 ] closedcurve gsave closepath 1.000 setgray fill grestore stroke 0.300 setlinewidth 20.000 10.000 moveto [ 20.000 10.000 10.000 20.000 10.000 40.000 40.000 45.000 59.000 47.000 75.000 37.000 75.000 27.000 55.000 7.000 ] closedpolygon stroke 30.000 20.000 moveto [ 30.000 20.000 25.000 30.000 35.000 35.000 45.000 35.000 50.000 25.000 40.000 20.000 ] closedpolygon stroke 40.000 20.000 moveto 55.000 7.000 segment 55.000 7.000 moveto 50.000 25.000 segment 50.000 25.000 moveto 75.000 27.000 segment 75.000 27.000 moveto 45.000 35.000 segment 45.000 35.000 moveto 75.000 37.000 segment 45.000 35.000 moveto 59.000 47.000 segment 45.000 35.000 moveto 40.000 45.000 segment 40.000 45.000 moveto 35.000 35.000 segment 35.000 35.000 moveto 10.000 40.000 segment 10.000 40.000 moveto 25.000 30.000 segment 25.000 30.000 moveto 10.000 20.000 segment 10.000 20.000 moveto 30.000 20.000 segment 30.000 20.000 moveto 20.000 10.000 segment 20.000 10.000 moveto 40.000 20.000 segment 45.000 35.000 moveto [ 45.000 35.000 75.000 27.000 75.000 37.000 ] closedpolygon stroke 0.250 setlinewidth 63.000 26.000 moveto 0.000 3.000 2.400 vector 59.500 31.100 moveto 0.000 167.000 2.400 vector 48.150 28.500 moveto 0.000 -65.000 2.400 vector 68.700 15.600 moveto 0.000 42.000 2.400 vector 39.300 8.400 moveto 0.000 -4.000 2.400 vector 46.200 14.700 moveto 0.000 137.000 2.400 vector 29.200 14.600 moveto 0.000 207.000 2.400 vector grestore } \LabelTeX 15.500 46.000 $K$ \ELTX \LabelTeX 76.500 26.500 $\gamma(\tau_j)$ \ELTX \LabelTeX 76.500 37.000 $\gamma(\tau_{j+1})$ \ELTX \LabelTeX 68.700 11.500 $\partial K$ \ELTX \LabelTeX 40.000 28.000 $\partial K_\varepsilon$ \ELTX \LabelTeX 37.000 12.000 $T_i$ \ELTX \EndFig \dem. Notons $\delta = d(K,\bC\ssm\Omega) >0$. On paramétrise $\partial K$ par un nombre fini d'arcs $\cC^1$ par morceaux, et pour chaque tel arc $\gamma:[a,b]\to\Omega$, on utilise une subdivision $a=\tau_0<\tau_1<\cdots<\tau_N=b$ de sorte que $\Vert\gamma(\tau_{j+1})-\gamma(\tau_j)\Vert\le \varepsilon \le \delta/2$. Par suite, chacun des segments $[\gamma(\tau_{j+1}),\gamma(\tau_j)]$ est inclus dans~$\Omega$. Pour $\varepsilon$ assez petit, la réunion de ces segments constitue le bord d'un compact $K_{\varepsilon}$ à bord polygonal. Un tel compact est naturellement triangulable, de sorte que $K_{\varepsilon} = \bigcup_i T_i$ est réunion de triangles adjacents et que le lemme de Goursat donne~: $$ \int_{\partial K_{\varepsilon}}f(z)dz = \sum_i \int_{\partial T_i}f(z)dz = 0.$$ La première égalité vient du fait que chacun des segments composant les $\partial T_i$ et ne figurant pas dans $\partial K_\varepsilon$ apparaît deux fois avec des orientations opposées (cf.\ schéma). Maintenant, d'après la partie (iii) de la proposition du \S$\,$1.1, on a $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\partial K_{\varepsilon}}f(z)dz =\int_{\partial K}f(z)dz$, d'où le résultat.\qed \section{2.3. Formule de Cauchy} On démontre maintenant la formule de Cauchy. À nouveau, $\Omega$ désigne un ouvert de $\bC$. \claim Formule de Cauchy|Soient $f\in\cO(\Omega)$ et $K$ un compact à bord orienté $\cC^1$ par morceaux inclus dans $\Omega$. Alors, pour tout $z$ dans $K^\circ$, $$ f(z) = {1\over 2\ii\pi}\int_{\partial K}{f(w)\over w-z}dw.$$ \endclaim En particulier, les valeurs de $f$ à l'intérieur de $K$ sont déterminées par les valeurs de $f$ sur le bord $\partial K$. \dem. Soit $\rho >0$ tel que $\ol D(z,\rho) \subset K^\circ$. On note $K_\rho = K\ssm D(z,\rho)$. Alors $K_\rho$ est un compact à bord $\cC^1$ par morceaux dont le bord est $\partial K_\rho = \partial K\cup\Gamma^-(z,\rho)$, où $\Gamma^-$ signifie que ce cercle a l'orientation opposée à celle obtenue comme bord de $\ol D(z,\rho)$. Considérons alors la fonction $g(w)=f(w)/(w-z)$. Cette fonction est holomorphe sur $\Omega\ssm\{z\}$. Comme $K_\rho$ est un compact dans $\Omega\ssm\{z\}$, le théorème de Cauchy appliqué à la fonction $g$ donne~: $$ \int_{\partial K}{f(w)\over w-z}dw - \int_{\Gamma(z,\rho)}{f(w)\over w-z}dw = 0. $$ Mais alors en posant $w=z+\rho e^{\ii t}$ il vient $$ \int_{\Gamma(z,\rho)}{f(w)\over w-z}dw =\int_0^{2\pi} {f(z+\rho e^{\ii t})\over \rho e^{\ii t}} \ii\rho e^{\ii t}dt = \ii\int_0^{2\pi} f(z+\rho e^{\ii t})\,dt, $$ et cette dernière intégrale tend vers $2\ii\pi f(z)$ lorsque $\rho$ tend vers~$0$, par continuité de $f$ au point~$z$.\qed \section{2.4. Formule de Pompeiu} La formule de Pompeiu (appelée aussi formule de Cauchy avec reste) est une généra\-lisation de la formule de Cauchy pour le cas des fonctions non nécessairement holomorphes. \claim Théorème|Soit $K$ un compact du plan complexe, admettant un bord $\partial K$ de classe $\cC^1$ par morceaux. On désigne par $d\lambda(z)=dx\,dy$ la mesure de Lebesgue sur $\bC\simeq\bR^2$. \smallskip \item{\rm(i)} Pour toute fonction $f:K\to\bC$ de classe $\cC^1$, on a $$ \int_{\partial K}f(z)dz = 2\ii \int\!\!\!\int_K {\partial f\over \partial\ol z}\,d\lambda(z). $$ \item{\rm(ii)} Si $z$ est dans l'intérieur $K^\circ$ de~$K$, alors $$ f(z)={1\over 2\ii\pi}\int_{\partial K}{f(w)\over w-z}dw-{1\over\pi} \int\!\!\!\int_K{1\over w-z}\,{\partial f\over \partial\ol w}\,d\lambda(w). $$ \endclaim \dem. (i) Considérons la forme différentielle de classe $\cC^1$ $\alpha=f(z)dz$. On a alors $$ d\alpha=df\wedge dz=\Big({\partial f\over\partial z}dz+ {\partial f\over\partial \ol z}d\ol z\Big)\wedge dz= {\partial f\over\partial \ol z}d\ol z\wedge dz $$ et $$ d\ol z\wedge dz=(dx-\ii dy)\wedge(dx+\ii dy)=2\ii\,dx\wedge dy =2\ii\,d\lambda(z). $$ L'égalité cherchée résulte de formule de Green-Riemann $\int_{\partial K}\alpha=\int\!\!\!\int_K d\alpha$. \medskip \noindent (ii) Comme pour la formule de Cauchy du \S$\,$2.3, on applique la formule (i) à la fonction $$ g(w)={f(w)\over w-z} $$ sur le compact $K_\rho=K\ssm D(z,\rho)$. Puisque la fonction $w\mapsto 1/(w-z)$ est holomorphe, nous obtenons $$ {\partial g\over\partial\ol w}= {1\over w-z}\,{\partial f\over\partial\ol w}. $$ Or $g$ est de classe $\cC^1$ sur $K_\rho$, il vient donc $$ \int_{\partial K_\rho}g(w)\,dw=2\ii \int\!\!\!\int_{K_\rho}{\partial g\over\partial\ol w}d\lambda(w), $$ et comme $\partial K_\rho=\partial K\cup\Gamma(z,\rho)$ ceci donne $$ \int_{\partial K}{f(w)\over w-z}dw- \int_{\Gamma(z,\rho)}{f(w)\over w-z}dw =2\ii\int\!\!\!\int_{K_\rho}{1\over w-z}\,{\partial f\over\partial\ol w}\, d\lambda(w). $$ Nous avons ici encore $$ \lim_{\rho\to 0_+}\int_{\Gamma(z,\rho)}{f(w)\over w-z}dw=2\pi\ii\,f(z) $$ par continuité de $f$ en $z$, tandis que la fonction $w\mapsto 1/|w-z|$ est intégrable au sens de Lebesque sur un voisinage du point $z$ dans $\bC\simeq\bR^2$ (ceci résulte de l'intégrabilité de $\Vert x\Vert^{-\alpha}$ pour $\alpha 0$, $\disp{{\partial ^{n+m} f \over \partial z^n \partial \ol{z}^m}(z) = 0}$. \noindent En particulier, une fonction holomorphe $f$ admet des dérivées complexes $f^{(n)}$ d'ordre $n$ arbitraire, et les dérivées $f^{(n)}$ sont elles aussi holomorphes. \endclaim \dem. En découpant le bord de $K$ en $N$ arcs $\gamma_j$ de classe $\cC^1$, la formule de Cauchy s'écrit~: $$ f(z) = {1\over2\ii\pi}\int_{\partial K}{f(w)\over w-z}dw = \sum_{j=1}^N {1\over2\ii\pi}\int_{\alpha_j}^{\beta_j} {f(\gamma_j(t))\over \gamma_j(t) -z}\gamma '_j(t)dt.$$ Comme $f$ est holomorphe, elle est continue et la dernière intégrale est considérée comme une intégrale dépendant du paramètre $z$. Comme la fonction $w\rightarrow 1/(w-z)$ est de classe $\cC^{\infty}$ sur~$K^{\circ}$, le résultat découle par récurrence des formules $$ {\partial ^n (1/w-z)\over \partial z^n}(z) = {n! \over (w-z)^{n+1}} \quad {\rm et} \quad {\partial ^{n+m} (1/w-z) \over \partial z^n \partial \ol{z}^m} = 0 \quad {\rm si} \quad m>0 \eqno\square $$ \noindent On déduit aisément de ce résultat une réciproque du théorème de Goursat. \claim Théorème de Morera|Soit $f$ une fonction continue sur un ouvert $\Omega$ de $\bC$. On suppose que $\int_{\partial T} f(z)dz =0$ pour tout triangle $T$ inclus dans $\Omega$. Alors $f$ est holomorphe sur $\Omega$. \endclaim \dem. Soient $z_0$ dans $\Omega$ et $r>0$ de sorte que $D(z_0,r) \subset \Omega$. Pour $z \in D(z_0,r)$, on définit $F(z) = \int_{[z_0,z]} f(w)dw$ où $[z_0,z]$ désigne le segment joignant $z_0$ à $z$. Soient $z \in D(z_0,r)$ et $h\ne 0$ tel que $z+h \in D(z_0,r)$. Comme le triangle de sommets $z_0,z,z+h$ est inclus dans $D(z_0,r)$, on a $$ {F(z+h) - F(z) \over h}={1\over h}\int_{[z,z+h]}f(w)dw= \int_0^1 f(z+th)dt. $$ En utilisant la continuité de $f$ au point $z$, il en découle facilement $$ \lim_{h\in\bC^\star, h \to 0} {F(z+h) - F(z) \over h} = f(z).$$ Ainsi, $F$ est holomorphe sur $D(z_0,r)$, et sa dérivée $f=F'$ l'est donc aussi.\qed \section{3.2. Inégalités de Cauchy, fonctions entières à croissance polynomiale} Soient $K = \ol D(z,r) \subset \Omega$ et $f \in \cO(\Omega)$. D'après le paragraphe précédent, on a dans cette situation $$ f^{(n)}(z) = {n! \over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z,r)}{f(w) \over (w-z)^{n+1}}dw = {n! \over 2\pi r^n}\int_0^{2\pi}f(z+re^{\ii t})e^{-\ii nt}dt.$$ On en déduit de suite les \claim Inégalités de Cauchy {\rm([Cauchy, 1844])}|Si $f\in \cO(\Omega)$ et si $\ol D(z,r)\subset \Omega$, alors $$ \forall n \geq 0,\qquad |f^{(n)}(z)| \leq {n! \over r^n}\sup_{\Gamma(z,r)}|f|.\leqno(3.2.1) $$ \endclaim \noindent Ces inégalités ont pour conséquence le résultat suivant. \claim Fonctions entières à croissance polynômiale|Soit $f\in\cO(\bC)$ une fonction entière à croissance polynômiale à l'infini, c'est-à-dire telle que $$ \exists A,B \geq 0,\quad \forall z\in\bC, \qquad |f(z)| \leq A(1+|z|)^B. $$ Alors $f$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $B$. \endclaim \dem. Soit $E(B)$ la partie entière de $B$ et $n=E(B)+1>B$. Alors l'hypothèse implique $\sup_{\Gamma(z,r)}|f|\le A(1+|z|+r)^B$ et les inégalités de Cauchy entraînent $|f^{(n)}(z)| \leq n! A(1+|z|+r)^B / r^n$, quels que soient $z \in \bC$ et $r>0$. En faisant tendre $r$ vers $+\infty$, on en déduit que $f^{(n)}(z)=0$ et donc que $f$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1=E(B)$.\qed Le cas $B=0$ du résultat précédent est le théorème de Liouville (énoncé par Cauchy en 1844 et quelque peu généralisé par Liouville, vers 1847$\,\ldots$). \claim Théorème de Liouville|Soit $f \in \cO(\bC)$, bornée sur $\bC$. Alors $f$ est constante. \endclaim Cet énoncé permet de redémontrer immédiatement le «théorème fondamental de l'algèbre\rguil, ou théorème de d'Alembert-Gauss. \claim Théorème de d'Alembert-Gauss|Tout polynôme $P \in \bC [z]$ de degré $d \geq 1$ admet une racine dans $\bC$. \endclaim \dem. Par l'absurde, si $P(z)=a_dz^d+\cdots+a_1z+a_0$ ne s'annule pas, la fonction $f=1/P$ est holomorphe sur $\bC$ et $|f(z)|\sim 1/(|a_d|\,|z|^d)$ tend vers $0$ quand $|z|$ tend vers $+\infty$. En particulier, $f$ est bornée sur $\bC$ et elle donc est constante d'après le théorème de Liouville. Par suite $P=1/f$ est constant, contradiction.\qed En utilisant la division euclidienne des polynômes et le fait que toute racine $z_0$ permet de factoriser un facteur $(z-z_0)$, on déduit par récurrence sur le degré que tout polynôme $P\in\bC[z]$ de degré $d$ admet une factorisation unique $$ P(z)=a_d\prod_{1\le j\le s}(z-z_j)^{m_j}\leqno(3.2.2) $$ avec $m_1+\ldots +m_s=d$. L'entier $m_j$ est appelé multiplicité de la racine $z_j$. \section{3.3. Équivalence entre holomorphie et $\bC$-analyticité} Pour une fonction définie sur un ouvert de $\bC \simeq \bR^2$, deux notions d'analyticité naturelles apparaissent, suivant qu'on adopte un point de vue réel ou complexe. \claim Définition|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $f$ une fonction de $\Omega$ dans $\bC$. \smallskip \item{\rm (i)} On dit que $f$ est $\bR$-analytique si pour tout $z_0 = (x_0,y_0) \in \Omega$, il existe un voisinage $V$ de $z_0$ tel que $ f(z) = \sum_{(\alpha,\beta)\in \bN^2} a_{\alpha,\beta} (x-x_0)^{\alpha}(y-y_0)^{\beta}$ pour tout $z =(x,y)$ dans $V$, avec convergence normale sur $V$. \smallskip \item{\rm (ii)} On dit que $f$ est $\bC$-analytique si pour tout $z_0 \in \Omega$, il existe un voisinage $V$ de $z_0$ tel que $ f(z) = \sum_{n \in \bN} a_n(z-z_0)^n$ pour tout $z$ dans $V$, avec convergence normale sur $V$. \vskip0pt \endclaim La condition de convergence normale de la série dans un voisinage $V$ de $z_0$ équivaut à l'existence de constantes $M,A\ge 0$ telles que $|a_{\alpha,\beta}|\le M\,A^{\alpha+\beta}$, resp.\ $|a_n|\le M\,A^n$. On voit, dans le cas $\bR$-analytique comme dans le cas $\bC$-analytique, que les séries sont dérivables terme à terme, et que les coefficients sont uniquement déterminés par les formules $$ a_{\alpha,\beta}={1\over\alpha!\,\beta!}{\partial^{\alpha+\beta}f\over \partial x^\alpha\partial y^\beta},\qquad a_n={1\over n!}{d^nf\over dz^n}. $$ En décomposant $(z-z_0)^n=((x-x_0)+\ii(y-y_0))^n$ par la formule du binôme, on voit facilement que la $\bC$-analyticité implique la $\bR$-analyticité. Il est clair néanmoins que les deux notions sont distinctes~: la fonction $f(z) = \ol{z}$ est $\bR$-analytique mais n'est pas $\bC$-analytique. \claim Théorème|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $f$ une fonction complexe sur $\Omega$. Alors, il y a équivalence entre \item{\rm(i)} $f$ est holomorphe sur $\Omega$, \smallskip \item{\rm(ii)} $f$ est $\bC$-analytique sur $\Omega$. \endclaim \dem. (ii)~$\Rightarrow$~(i) a déjà été démontré au Chapitre~I, \S$\,$1.3. \noindent (i)~$\Rightarrow$~(ii) Supposons que $f$ soit holomorphe sur $\Omega$ et soient $z_0 \in \Omega$ et $r>0$ tels que $\ol D(z_0,r) \subset \Omega$. Pour $z \in D(z_0,r)$, la formule de Cauchy donne $$ f(z) = {1\over2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_0,r)}{f(w)\over w-z}dw .$$ Écrivons $$ \leqalignno{{1\over w-z} &= {1\over w-z_0}\,{1\over 1- (z-z_0)/(w-z_0)}\cr &= {1\over w-z_0}\sum_{n=0}^{+\infty}\Big({z-z_0\over w-z_0}\Big)^n = \sum_{n=0}^{+\infty}{(z-z_0)^n\over (w-z_0)^{n+1}},\cr}$$ d'où $$f(z) = {1\over2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_0,r)} f(w)\sum_{n=0}^{+\infty}{(z-z_0)^n\over (w-z_0)^{n+1}}dw .$$ Si $w=z_0 + re^{\ii t}$, alors $$\Big|{(z-z_0)^n\over (w-z_0)^{n+1}}\Big| = {1\over r}\Big({|z-z_0|\over r}\Big)^n \qquad {\rm avec}\quad |z-z_0|/r<1.$$ Il en découle que la série converge normalement lorsque $t$ décrit $[0,2\pi]$, d'où $$ f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n $$ avec $$ a_n = {1\over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_0,r)}{f(w)\over (w-z_0)^{n+1}}dw = {1\over2\pi r^n}\int_{0}^{2\pi}f(z_0+re^{\ii t})e^{-\ii nt}dt = {1\over n!}f^{(n)}(z_0), $$ et la série entière converge normalement sur les compacts de $D(z_0,r)$.\qed La démonstration ci-dessus montre le résultat plus précis suivant. \claim Corollaire|Soient $f \in \cO(\Omega)$ et $z_0 \in \Omega$. Alors le rayon de convergence du développement en série entière de $f$ en $z_0$ est supérieur ou égal à la distance de $z_0$ au complémentaire de $\Omega$. \endclaim Nous préciserons bien davantage ce corollaire à la section 3.5. \section{3.4. Zéros des fonctions holomorphes} Le caractère $\bC$-analytique des fonctions holomorphes a une conséquence directe importante sur la structure du lieu des zéros d'une telle fonction. \claim Théorème|Soient $\Omega$ un ouvert connexe de $\bC$ et $f\in\cO(\Omega)$ une fonction holomorphe non identiquement nulle. Alors, l'ensemble des zéros $f^{-1}(0)$ est constitué de points isolés. \endclaim Rappelons qu'on a la caractérisation suivante simple décrivant la structure d'une telle partie, de sorte en particulier que les zéros de $f$ forment une suite $(a_k)$ finie ou infinie, tendant vers l'infini ou vers le bord de $\Omega$ s'il y en a une infinité. \claim Caractérisation|Soit $A$ une partie d'un ouvert $\Omega$ de $\bR ^n$. Il y a équivalence entre \smallskip \item{\rm(i)} A est une partie fermée de $\Omega$ constituée de points isolés. \smallskip \item{\rm(ii)} A est localement finie dans $\Omega$, c'est-à-dire que tout point $x$ de $\Omega$ admet un voisinage $V_x$ pour lequel $A\cap V_x$ est finie. \smallskip \item{\rm(iii)} L'intersection $A\cap K$ de $A$ avec toute partie compacte $K$ de $\Omega$ est finie. \smallskip \item{\rm(iv)} L'ensemble $A$ est fini ou dénombrable, et si $A=\{a_k\}_{k\in\bN}$ est infini alors $$ \Vert a_k\Vert+(d(a_k,\partial\Omega))^{-1}\to+\infty, $$ autrement dit les points $a_k$ s'éloignent à l'infini ou tendent vers le bord de $\Omega$.\vskip0pt \endclaim \dem. (i) entraîne (ii) (avec $A\cap V$ vide ou réduit à $\{x\}$ si $V_x$ est assez petit), tandis que (ii) implique (iii) par le théorème de Borel-Lebesgue. Il est aisé de voir que (iv) implique (i). Reste à voir que (iii) implique (iv). Pour cela, on considère $$ K_\nu=\big\{x\in\Omega\,;\; \Vert x\Vert\le\nu,~d(x,\partial\Omega)\ge 1/\nu\big\}. $$ C'est une suite de parties compactes de $\Omega$ telle que $K_\nu\subset K_{\nu+1}^\circ$ et $\Omega=\bigcup K_\nu$ (une telle suite s'appelle «suite exhaustive de compacts\rguil). Alors, pour tout $\nu\ge 0$, la partie $A\cap K_\nu$ est finie par hypothèse, on la numérote sous la forme $a_0,\,a_1,\ldots,a_{k_\nu}$ (en sorte que les points de $A\cap (K_\nu\ssm K_{\nu-1})$ sont $a_{k_{\nu-1}+1},\ldots,a_{k_\nu}$). Alors pour $k>k_\nu$ on a $a_k\notin K_\nu$, par conséquent $\Vert a_k\Vert+d(a_k,\partial\Omega)^{-1}>\nu$.\qed \dem\ {\em du théorème}. Soit $E = \{ z_0 \in \Omega\,;\,\forall n \in \bN,~f^{(n)}(z_0) =0 \}$. Alors $E$ est fermé dans $\Omega$ (comme intersection des ensembles fermés $\{z_0\in\Omega\,;\,f^{(n)}(z_0)=0\}$) et n'est pas égal à $\Omega$ car $f$ n'est pas identiquement nulle. Par ailleurs, $E$ est ouvert car si $z_0$ est dans $E$, alors $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}{1\over n!}f^{(n)}(z_0)(z-z_0)^n$ est identiquement nulle sur $D(z_0,r_0)$ où $r_0 =d(z_0,\bC \ssm\Omega$). Comme $\Omega$ est connexe, on en déduit que $E=\emptyset$. \noindent Fixons alors $z_0$ dans $\Omega$ tel que $f(z_0)=0$. D'après ce qui précède, il existe un entier $m \geq 1$ tel que $f^{(m)}(z_0) \neq 0$~; choisissons l'entier $m$ minimal ayant cette propriété. Alors sur $D(z_0,r_0)$ on a $f(z) = \sum_{n=m}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n = (z-z_0)^mg(z)$. Par construction, $g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+m}(z-z_0)^n$ est holomorphe sur $D(z_0,r_0)$, mais étant égale à $f(z)/(z-z_0)^m$ sur $\Omega \ssm \{z_0\}$, elle est donc holomorphe sur $\Omega$ tout entier. Comme $g(z_0)=a_m=f^{(m)}(z_0)/m! \neq 0$, la continuité de $g$ implique que $g$ ne s'annule pas dans un certain voisinage $V$ de $z_0$ et donc $f^{-1}(0) \cap V = \{z_0\}$.\qed La démonstration fournit par ailleurs les informations complémentaires inté\-res\-santes qui suivent. \claim Proposition|Soient $\Omega$ un ouvert connexe de $\bC$ et $f\in\cO(\Omega)$ une fonction holomorphe non identiquement nulle. Alors, pour tout zéro $z_0$ de $f$, il existe un plus petit entier $m\ge 1$ tel que $f^{(m)}(z_0)\neq 0$, i.e.\ $$ f(z_0)=f'(z_0)=\cdots =f^{(m-1)}(z_0)=0,\qquad f^{(m)}(z_0)\neq 0. $$ La fonction $f$ possède alors une factorisation $$ f(z)=(z-z_0)^mg(z) $$ où $g\in\cO(\Omega)$ ne s'annule pas dans un voisinage de~$z_0$. On dit que $f$ possède un zéro d'ordre $m$ en $z_0$. \endclaim \section{3.5. Principe du prolongement analytique} Nous abordons ici la question du prolongement des fonctions holomorphes, en commençant par un principe général d'unicité. \claim Principe du prolongement analytique|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et soient $f$ et $g$ dans $\cO(\Omega)$. Si $f=g$ sur une partie $A$ de $\Omega$ possédant un point d'accumulation $z_0$ dans $\Omega$, alors $f$ est identiquement égale à $g$ sur la composante connexe de $\Omega$ contenant $z_0$. \endclaim \dem. Soit $\Omega_0$ la composante connexe de $\Omega$ contenant $z_0$. Alors $h=f-g$ est holomorphe sur $\Omega_0$ et $z_0$ est un zéro non isolé de $h$. C'est donc que $h$ est identiquement nulle sur $\Omega_0$.\qed \claim Application|{\rm Si $f$ et $g$ sont des fonctions entières telles que $f=g$ sur $\bR$, alors $f=g$ sur~$\bC$. En particulier, les formules trigonométriques vraies sur $\bR$ s'étendent «par prolongement analytique\rguil\ à $\bC$. Par exemple $$ \forall z \in \bC, \qquad \cos^2z+\sin^2z=1 \quad\hbox{\rm et} \quad \cos^2z = {1+\cos(2z) \over 2}. $$ En revanche, on n'a pas $|\cos z|^2+|\sin z|^2=1$ sur $\bC$, on ne peut pas déduire que l'identité se prolonge de $\bR$ à $\bC$ car la fonction $z\mapsto |\cos z|^2+|\sin z|^2$ n'est pas holomorphe.} \endclaim \claim Corollaire (unicité des prolongements holomorphes)|Soit $f$ un fonction holomorphe dans un ouvert $\Omega$. Supposons que $f$ admette un prolongement $\wt f$ dans un ouvert connexe $\wt\Omega$ contenant $\Omega$. Alors ce prolongement $\wt f$ est unique. \endclaim \dem. Étant donné deux prolongements $\wt f_1$ et $\wt f_2$, la fonction $\wt f_2-\wt f_1$ s'annule sur $\Omega$, qui n'est pas une partie localement finie de $\wt\Omega$, par suite $\wt f_2-\wt f_1$ est identiquement nulle dans l'ouvert connexe $\wt\Omega$. \section{3.6. Prolongement à la frontière et séries lacunaires} Si nous considérons la somme d'une série entière $$ f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n $$ ayant un rayon de convergence $R\in{}]0,+\infty[$, nous ne savons pas exactement ce qui se passe sur le cercle de convergence $\Gamma(0,R)$, mais il peut fort bien se produire que la fonction $f$ se prolonge au delà du disque $D(0,R)$ en certains points de la frontière. L'exemple le plus simple est celui de la série géométrique $f(z)={1\over 1-z}=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n$, de rayon de convergence~$1$, qui se prolonge en fait en une fonction holomorphe sur $\bC\ssm\{1\}$, et donc au voisinage de chaque point frontière $z_0\in\Gamma(0,1)\ssm\{1\}$ du disque de convergence. On notera que ceci se produit bien que la série diverge en tout point de la frontière. \claim Définition|Soit $f\in\cO(\Omega)$ une fonction holomorphe. \smallskip \item{\rm(i)} On dit que $f$ se prolonge de manière holomorphe au voisinage d'un point $z_0$ de la frontière $\partial\Omega$ s'il existe un petit disque $D(z_0,\varepsilon)$ tel que $f$ se prolonge en un fonction holomorphe sur $\Omega\cup D(z_0,\varepsilon)$ $[\,$La connexité de $D(z_0,\varepsilon)$ et le fait que $\Omega\cap D(z_0,\varepsilon)$ soit un ouvert non vide impliquent l'unicité de ce prolongement$\,]$. \smallskip \item{\rm(ii)} On dit que $\partial\Omega$ est une frontière naturelle de $f$ si $f$ ne peut se prolonger de manière holomorphe en aucun point de la frontière $\partial\Omega$. \vskip0pt \endclaim Si la série entière de $f(z)$ admet un rayon de convergence $R\in{}]0,+\infty[$, nous pouvons dire en général qu'il y a au moins un point $z_0\in \Gamma(0,R)$ au voisinage duquel $f$ ne peut se prolonger en un fonction holomorphe, car sinon $f$ se prolongerait en une fonction holomorphe sur un voisinage $\Omega$ du disque fermé $\ol D(0,R)$, et le corollaire final du \S$\,$3.3 impliquerait que le rayon de convergence serait strictement supérieur à~$R$. Dans le cas des séries dites lacunaires, les conclusions sont beaucoup plus drastiques. \claim Théorème des séries lacunaires|On dira qu'une série entière est lacunaire si elle est de la forme $\sum c_kz^{p_k}$ pour une suite croissante d'entiers $(p_k)$ telle que $\liminf p_{k+1}/p_k>1$ quand $k\to+\infty$. Supposons aussi que la série $$ f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_kz^{p_k} $$ soir de rayon de convergence $R>0$ fini. Alors la fonction holomorphe $f$ définie sur $\Omega=D(0,R)$ admet tout le cercle $\partial\Omega= \Gamma(0,R)$ comme frontière naturelle. \endclaim \dem. Quitte à tronquer les premiers termes de la série, il n'est pas restrictif de supposer que $p_{k+1}/p_k>1+1/m>1$ pour tout $k$, où $m\ge 1$ est un entier assez grand. Supposons de plus qu'il existe un point $z_0\in\Gamma(0,R)$ au voisinage duquel $f$ se prolonge holomorphiquement. Alors, en remplaçant $f$ par $$ \tilde f(z)=f(z_0z)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_kz_0^{p_k}z^{p_k} $$ on voit qu'on peut se ramener au cas où $R=1$ et $z_0=1$, c'est-à-dire que $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\Omega_\varepsilon=D(0,1)\cup D(1,\varepsilon)$ pour $\varepsilon>0$ assez petit. Considérons alors la fonction $\varphi:D(0,1)\to D(0,1)$ telle que $$ \varphi(w)={1\over 2}(w^m+w^{m+1})={1\over 2}(1+w)w^m $$ et $g=f\circ\varphi$. Comme $w\mapsto {1\over 2}(1+w)$ envoie le disque $\ol D(0,1)$ sur le disque $\ol D(1/2,1/2)$, on voit en particulier que $\varphi(w)\in D(0,1)\cup\{1\}$ pour tout $w\in \ol D(0,1)$ et que $\varphi^{-1}\big(D(0,1)\cup D(1,\varepsilon)\big)$ est un voisinage ouvert de $\ol D(0,1)$. Ceci implique que $g=f\circ \varphi$ est holomorphe sur un disque de centre $0$ et de rayon${}>1$, par suite la série entière de $g(w)=f\circ\varphi(w)$ en $0$ est de la forme $\sum a_nw^n$ avec un rayon de convergence${}>\rho>1$, et les coefficients admettent une majoration $|a_n|\le M\rho^{-n}$ pour $n$ assez grand. Or $$ g(w)=f\circ\varphi(w)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_k 2^{-p_k}(1+w)^{p_k}w^{mp_k} $$ et on a par hypothèse $p_{k+1}>(1+1/m)p_k$, donc $mp_{k+1}>(1+m)p_k$. On voit ainsi que le développement du binôme des termes $(1+w)^{p_k}w^{mp_k}$ conduit à des monômes de degrés tous différents lorsque $k\in\bN$. En particulier le terme médian de $(1+w)^{p_k}$ a un coefficient binomial${}\ge 2^{p_k}/(p_k+1)$ (puisque c'est le plus grand parmi $(p_k+1)$ coefficients et que la somme vaut $2^{p_k}$). Comme il n'y a aucune compensation de termes, on en déduit avec $n=mp_k+[(p_k+1)/2]$ la majoration $$ \big|c_k 2^{-p_k}\cdot 2^{p_k}/(p_k+1)\big|\le |a_n|\le M\rho^{-n} \le M\rho^{-(m+1/2)p_k}, $$ d'où $|c_k|\le M(p_k+1)\rho^{-(m+1/2)p_k}$. Ceci entraîne que la rayon de convergence de la série $\sum c_kz^{p_k}$ est supérieur ou égal à $\rho^{m+1/2}>1$, en contradiction avec l'hypothèse~$R=1$.\qed \claim Exemple|{\rm La série $f(z)=\sum_{k\ge 0}z^{2^k}$ est convergente sur le disque $D(0,1)$ et admet $\Gamma(0,1)$ comme frontière naturelle. (Dans ce cas, il existe une preuve plus facile reposant sur l'identité fonctionnelle $f(z^2)=f(z)-z$, qui montre que si $f$ se prolonge le long d'un arc d'amplitude $\delta$ dans $\Gamma(0,1)$, elle se prolonge aussi le long d'un arc d'amplitude $2\delta$).} \endclaim \supersection{4. Théorème de l'application ouverte} L'objet de ce paragraphe est d'abord d'étudier le comportement local des fonctions holomorphes au voisinage d'un point non critique, puis au voisinage d'un point critique. De là, on déduit le théorème de l'application ouverte et le théorème d'inversion globale. \section{4.1. Théorème d'inversion locale holomorphe} On donne ici deux démonstrations du théorème d'inversion locale holomorphe, l'une utilisant l'énoncé réel correspondant, l'autre directe (un cas particulier simple de ce théorème a déjà été vu au chapitre~I dans le cas des fonctions $\exp$ et $\log$). \claim Théorème d'inversion locale|Soient $f \in \cO(\Omega)$ et $z_0 \in \Omega$ tel que $f'(z_0) \neq 0$. Alors, il existe un voisinage ouvert $V$ de $z_0$ tel que $W = f(V)$ est un ouvert de $\bC$ et $f:V\to W$ est un biholomorphisme $($i.e.\ une bijection holomorphe d'inverse holomorphe$)$. \endclaim Commençons par la démonstration utilisant le théorème d'inversion locale $\cC^{\infty}$. \dem. Comme $f'(z_0) \neq 0$, la $\bR$-différentielle de $f$ en $z_0$, $df_{z_0}(h)=f'(z_0)h$, est un $\bR$-isomorphisme, donc (théorème d'inversion locale $\cC^{\infty}$) il existe un voisinage ouvert $V$ de $z_0$ tel que $W=f(V)$ est un voisinage ouvert de $f(z_0)$ et $f:V\to W$ soit un $\cC^{\infty}$-difféomorphisme. De plus, pour tout $z \in V$, $d(f^{-1})_{f(z)} = (df_z)^{-1}$. Mais, $f$ étant holomorphe, $df_z$ est $\bC$-linéaire, donc $d(f^{-1})_{f(z)}$ l'est aussi et $f^{-1}$ est holomorphe.\qed \claim Remarque|{\rm La démonstration ci-dessus montre les formules suivantes: $$ \forall z \in V,\quad (f^{-1})'(f(z))={1\over f'(z)} \quad{\rm et}\quad \forall w \in W,\quad (f^{-1})'(w) = {1\over f'(f^{-1}(w))}. $$} \endclaim \dem\ {\em directe du théorème d'inversion locale}. Après translation et homothétie, plus précisément, en remplaçant $f$ par $$ \tilde f(z)=f'(z_0)^{-1}(f(z+z_0)-f(z_0)), $$ on peut supposer $z_0=0$, $f(0)=0$ et $f'(0)=1$. Quitte à changer le signe des coefficients, écrivons $$ w=f(z)=z-\sum_{n\geq 2}a_nz^n $$ au voisinage de~$0$. En passant la série dans l'autre membre, on trouve la formule $$ z = w +a_2z^2+a_3z^3+\cdots $$ et de l'estimation $w\sim z$ quand $z\to 0$, on déduit successivement $$ \eqalign{z & = w+O(w^2)\cr & = w+a_2\big(w+O(w^2)\big)^2 +O(w^3)= w+a_2w^2+O(w^3) \cr & = w+a_2\big(w+a_2w^2\big)^2 +a_3w^3+O(w^4) = w+a_2w^2+(a_3+2a_2^2)w^3 + O(w^4)\cr & = w+a_2\big(w+a_2w^2+(a_3+2a_2^2)w^3\big)^2+ a_3(w+a_2w^2)^3+a_4w^4+O(w^5)\cr & = w+a_2w^2+(a_3+2a_2^2)w^3 + (a_4+5a_2a_3+5a_2^3)w^4+O(w^5),\quad \hbox{etc}.\cr } $$ On obtient ainsi formellement un développement limité à tout ordre $$ z = w + \sum_{n=2}^{+\infty}P_n(a_2,\ldots,a_n)w^n, $$ où $P_n$ est un polynôme à coefficients (entiers) positifs ou nuls. Si ce développement converge dans un voisinage de $w=0$, notons $g(w)$ sa somme. Par construction, on a à l'étape $n$ les estimations $f\circ g(w) = w+O(|w|^n)$ et $g\circ f (z) =z+O(|z|^n)$ si bien que $f\circ g$ et $g\circ f$ doivent être égales à l'application identique au voisinage de~$0$ (sans quoi, les fonctions holomorphes non nulles $f\circ g(w)-w$ et $g\circ f(z)-z$ auraient un zéro d'ordre infini à l'origine). Pour montrer la convergence, observons qu'il existe un réel $M\ge 0$ assez grand tel que $|a_n| \leq M^n$ pour $n\ge 2$, en raison de la convergence de la série $\sum_{n\ge 2}a_n z^n$ au voisinage de~$0$. On a donc $$ |P_n(a_2,\ldots,a_n)|\leq P_n(M^2,\ldots,M^n), $$ et il suffit de montrer que la série entière $$ w+\sum_{n=2}^{+\infty}P_n(M^2,\ldots,M^n)w^n $$ a un rayon de convergence strictement positif en $0$. Or cette dernière série est formellement obtenue en résolvant en $z$ l'équation $$w = z-\sum_{n=2}^{+\infty}M^nz^n= {z-(M+M^2)z^2 \over 1-Mz}.$$ Ceci mène à l'équation du second degré en $z$ $$ (M+M^2)z^2-(1+Mw)z+w=0 $$ dont la solution est $$ z = {1+Mw-\sqrt{(1+Mw)^2-4w(M+M^2)}\over 2(M+M^2)}.$$ Ici, $\sqrt{\phantom{(}~~}$ est la détermination de la racine carrée holomorphe définie sur le disque $D(1,1)$, telle que $\sqrt{1}=1$ (puisqu'on doit avoir $z=0$ pour $w=0$). Le développement en série entière de cette expression par rapport à la variable $w$ a un rayon de convergence $R>0$. En effet, nous avons $(1+Mw)^2-4w(M+M^2)=1-w'$ avec $w'=(2M+4M^2)w-M^2w^2$ et d'après le dernier corollaire du \S$\,$3.3 il suffit de trouver un rayon $R>0$ tel que $|w'|<1$ pour tout $w\in D(0,R)$, de façon que $$ w\mapsto \sqrt{(1+Mw)^2-4w(M+M^2)}=\sqrt{1-w'} $$ soit définie et holomorphe sur~$D(0,R)$. On vérifie facilement que $$ R={1\over (1+\sqrt{2})M+4M^2} $$ convient, car $|w|0$. Un calcul immédiat donne alors $$\eqalign{ 1-|\varphi_a(z)|^2&={|1-\ol az|^2-|z-a|^2\over|1-\ol az|^2}\cr &={(1-\ol az-a\ol z+|a|^2|z|^2)-(|z|^2-\ol a z-a\ol z+|a|^2)\over|1-\ol az|^2}, \cr} $$ d'où $$ 1-|\varphi_a(z)|^2={(1-|a|^2)(1-|z|^2)\over|1-\ol az|^2}>0. $$ Il en résulte que $\varphi_a(\bD)\subset\bD$. Par ailleurs l'équation $w=\varphi_a(z)$ équivaut à $w(1-\ol a z)=z-a$, soit $w+a=z(1+\ol a w)$ ou encore $z=\varphi_{-a}(w)$. On voit donc que $\varphi_a:\bD\to\bD$ est un automorphisme de $\bD$, d'inverse $\varphi_a^{-1}=\varphi_{-a}$. Ceci entraîne que $\Aut(\bD)$ agit {\em transitivement} sur $\bD$, c'est-à-dire, que pour tout couple $(a,b)\in\bD^2$ il existe un automorphisme $f$ tel que $f(a)=b\,$; comme $\varphi_a(a)=0$ et $\varphi_{-b}(0)=b$, il suffit en effet de prendre $f=\varphi_{-b}\circ \varphi_a$. Pour $|\lambda|=1$, $z=e^{\ii\theta}$, l'homothétie complexe $h_\lambda(z)=\lambda z$ n'est autre que la rotation d'angle~$\theta$, donc $h_\lambda\in\Aut(\bD)$, et on en déduit que l'application $$ f(z)=h_\lambda\circ\varphi_a(z)=\lambda{z-a\over 1-\ol a z} $$ définit bien un automorphisme $f\in\Aut(\bD)$. Inversement, soit $f\in\Aut(\bD)$ un automorphisme quelconque et $a=f^{-1}(0)\in\bD$. Alors l'automorphisme $$ g=f\circ\varphi_a^{-1}=f\circ\varphi_{-a}\in\Aut(\bD) $$ vérifie $g(0)=f(a)=0$. D'après le lemme de Schwarz (appliqué sur le disque $D(0,R)$ de rayon $R=1$ pour la fonction $g:\bD\to\bD$ majorée en module par $M=1$, s'annulant en $0$ avec la multiplicité $m=1$), on en déduit $|g(z)|\le|z|$ pour tout $z\in\bD$. Comme $g^{-1}$ jouit des mêmes propriétés que $g$, on a aussi $|g^{-1}(z)|\le|z|$ pour tout $z\in\bD$, et par suite $|z|=|g^{-1}(g(z))|\le|g(z)|$. On a donc en fait $|g(z)|=|z|$ pour tout $z\in\bD$. Le cas d'égalité du lemme de Schwarz montre que $g(z)=h_\lambda(z)=\lambda z$ pour un certain $\lambda$ de module~$1$, et on a donc $f=g\circ\varphi_a= h_\lambda\circ\varphi_a$, ce qu'il fallait démontrer.\qed On déduit également du lemme de Schwarz le corollaire intéressant ci-dessous (on en verra ultérieurement au Chapitre~V, \S$\,$2 une interprétation géométrique). \claim Corollaire|Soit $f:\bD\to\bD$ une application holomorphe quelconque. Alors la dérivée $f'$ satisfait l'inégalité $$ {|f'(z)|\over 1-|f(z)|^2}\le{1\over 1-|z|^2} $$ en tout point $z\in\bD$, et l'égalité se produit si et seulement si $f$ est un automorphisme de~$\bD$. \endclaim \dem. Un calcul facile laissé au lecteur montre que $$ \varphi_a'(z)={1-|a|^2\over (1-\ol a z)^2}, $$ en particulier $\varphi_a'(0)=1-|a|^2$ et $\varphi_a(a)=1/(1-|a|^2)$. Fixons maintenant $z_0\in\bD$ et considérons $g=\varphi_{f(z_0)}\circ f\circ\varphi_{-z_0}$, qui est telle que $g(0)=0$. Comme $g$ envoie $\bD$ dans~$\bD$, le lemme de Schwarz montre que $|g(z)|\le|z|$ et $|g'(0)|=\lim_{|z|\to 0}|g(z)|/|z|\le 1$. Or, $$ g'(0)=\varphi'_{f(z_0)}(f(z_0))\cdot f'(z_0)\cdot \varphi_{-z_0}'(0)= {1\over 1-|f(z_0)|^2}\,f'(z_0)\,(1-|z_0|^2). $$ L'inégalité voulue pour $|f'(z_0)|$ s'ensuit immédiatement. Si l'égalité se produit, alors $|g'(0)|=1$ et la fonction $g(z)/z$ atteint le maximum de son module, à savoir~$1$, au point $z=0$. On a donc $g(z)/z=\lambda$ pour un certain $\lambda$ de module~$1$, ce qui implique que $g$ (et par suite $f$) sont des automorphismes de~$\bD$.\qed \section{5.4. Théorème de Bloch-Landau} Ce résultat peut être conçu comme une version plus précise et plus quantitative du théorème de l'application ouverte. Notre preuve utilisera les propriétés des automorphismes du disque. L'énoncé original est dû à André Bloch qui l'a obtenu autour des années 1924-1925 (depuis son hôpital psychiatrique où il était interné pour avoir assassiné son frère, sa tante et son oncle à un repas de famille en~1917$\ldots$), et sa preuve a été mise en forme et publiée par Edmund Landau dans son livre de 1929 {\em Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie}. \claim Théorème de Bloch-Landau|Soit $f$ une fonction holomorphe dans un disque $D(z_0,r)$, telle que $f'(z_0)\ne 0$. Alors il existe un ouvert $U\subset D(z_0,r)$ tel que la restriction $f_{|U}$ soit un biholomorphisme de $U$ sur un disque $f(U)=D(w_0,R)$ de rayon $R\ge{1\over 12}r|f'(z_0)|$. \endclaim \dem. Dans la mesure où la constante $1/12$ ne sera pas optimale, on peut considérer la restriction de $f$ à un disque un peu plus petit, et après avoir ainsi diminué un peu $r$, supposer que $f$ est holomorphe sur un voisinage du disque fermé $\ol D(z_0,r)$. Dans ce cas, en remplaçant $f(z)$ par $g(z)=f(z_0+rz)$, on se ramène au cas d'une fonction $g$ définie au voisinage du disque unité fermé $\ol D(0,1)$, et on observe qu'on a $|g'(0)|=r|f'(z_0)|$. On pose alors $$ m=\sup_{z\in \ol D(0,1)} (1-|z|^2)\,|g'(z)|\ge|g'(0)|. $$ Comme $|g|$ est continue sur le disque compact $\ol D(0,1)$, il existe un point $a\in D(0,1)$ tel que $m=(1-|a|^2)|g'(a)|$. En remplaçant $g$ par $h=g\circ\varphi_{-a}$, nous avons $$ h(0)=g(a),\qquad h'(0)=g'(a)\varphi'_{-a}(0)=(1-|a|^2)g'(a). $$ Ceci donne en particulier $$ |h'(0)|=m\ge |g'(0)|=r|f'(z_0)|. $$ De plus, en posant $w=\varphi_{-a}(z)$ pour $z\in D(0,1)$, nous avons $$ (1-|z|^2)|h'(z)|={(1-|z|^2)|\varphi'_{-a}(z)|\over 1-|\varphi_{-a}(z)|^2}(1-|w|^2)|g'(w)|\le m $$ du fait que le quotient est égal à $1$ d'après le corollaire du \S$\,$5.3. Le théorème sera démontré si nous prouvons qu'il existe un ouvert $V\subset D(0,1)$ tel que $h_{|U}$ soit un biholomorphisme de $U$ sur un disque $D(w,R)$ de rayon $R>{1\over 12}m$. Quitte à remplacer $h$ par ${1\over h'(0)}(h-h(0))$, nous pouvons supposer de plus $h(0)=0$ et $m=h'(0)=1$, de sorte que $$ |h'(z)|\le {1\over 1-|z|^2} $$ pour tout $z\in D(0,1)$. Nous avons alors un développement en série entière $$ h(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty}a_nz^n $$ de rayon de convergence au moins égal à $1$, et les inégalités de Cauchy appliquées à $h'(z)=1+\sum_{n\ge 2}na_nz^{n-1}$ sur le disque $D(0,\rho)$ entraînent que $$ n\,|a_n|\le {1\over (1-\rho^2)\rho^{n-1}} $$ du fait que $na_n$ est le coefficient de $z^{n-1}$ dans $h'(z)$. Un calcul aisé montre que le maximum de $\rho\mapsto (1-\rho^2)\rho^{n-1}$ est atteint au point $\rho$ tel que $\rho^2={n-1\over n+1}$, par conséquent $$ |a_n|\le {n+1\over 2n}\Big(1+{2\over n-1}\Big)^{{n-1\over 2}}, $$ soit $|a_2|\le 3^{3/2}/4$, $|a_3|\le 4/3$, $|a_4|\le 3^{-3/2}5^{5/2}/8$ et $|a_n|<3e/5$ pour $n\ge 5$, d'où aisément $|a_n|\le M^n$ pour tout $n\ge 2$, avec $M=3^{3/4}/2<1,14$. A ce point, nous reprenons la preuve du théorème d'inversion locale par la méthode des séries majorantes. Les calculs faits au \S$\,$4.1 impliquent que $h$ est un biholomorphisme d'un certain ouvert $U\subset D(0,1)$ sur le disque $D(0,R)$ avec $$ R={1\over(1+\sqrt{2})M+4M^2}>{1\over 12}.\eqno\square $$ \claim Remarque|{\rm Si on cherche seulement à obtenir la surjectivité de $f$ sur un disque $D(w_0,R)$, on peut raisonner de façon un peu plus élémentaire, sans utiliser la version effective du théorème d'inversion locale. C'est cette approche qui figure en fait dans les travaux originaux de Bloch-Landau.} \endclaim \supersection{6. Intégrales dépendant holomorphiquement d'un paramètre} \section{6.1. Théorème de dérivation sous le signe somme} Soit $(E,\cB,\mu)$ un {\em espace mesuré $\sigma$-fini}, c'est-à-dire un ensemble~$E$ muni d'une tribu $\cB$ et d'une mesure positive $\mu$ sur la tribu $\cB$, de sorte que $E$ soit réunion au plus dénombrable de parties de $\cB$ de mesure~finie. On suppose donnée un ouvert $\Omega\subset\bC$ et une fonction $$ F:\Omega\times E\to\bC,\qquad (z,t)\mapsto F(z,t), $$ de sorte que \smallskip \noindent(6.1.1)$\quad z\mapsto F(z,t)$ est holomorphe sur $\Omega$ pour $\mu$-presque tout~$t\in E\,;$ \smallskip \noindent(6.1.2)$\quad t\mapsto F(z,t)$ est $\mu$-intégrable pour tout~$z\in\Omega$. \smallskip \noindent On considère alors la fonction complexe $f$ définie sur $\Omega$, telle que $$ f(z)=\int_{t\in E}F(z,t)\,d\mu(t). $$ \claim Théorème|Outre les hypothèses {\rm(6.1.1)} et {\rm(6.1.2)} ci-dessus, on fait l'hypothèse de majoration uniforme locale suivante: pour tout point $z_0\in\Omega$, il existe un voisinage ouvert $V\subset\Omega$ de $z_0$ et une fonction $\mu$-intégrable positive $g$ telle que $$ \line{{\rm(6.1.3)}$\quad$pour tout $z\in V$, on a $|F(z,t)|\le g(t)$ $\mu$-presque partout sur $E$.\hfill} $$ Alors $f(z)=\int_E F(z,t)\,d\mu(t)$ est holomorphe sur~$\Omega$, et ses dérivées sont données par dérivation sous le signe somme: $$ f^{(n)}(z)=\int_{t\in E}{d^n\over dz^n}F(z,t)\,d\mu(t). $$ La convergence des intégrales précédentes est assurée par la majoration suivante: étant donné un voisinage $W$ de $z_0$ tel que $\ol W\subset V$, on a une majoration uniforme locale $$ \Big|{d^n\over dz^n}F(z,t)\Big|\le n!\,\varepsilon^{-n}g(t),\qquad z\in W, $$ $\mu$-presque partout sur~$E$, avec $\varepsilon=d(W,\complement V)$. \endclaim \dem. Soit $N_1$ l'ensemble exceptionnel $\mu$-négligeable qui intervient dans (6.1.1) et $N'_z$, $z\in V$, les ensembles $\mu$-négligeables qui interviennent dans (6.1.3). On va commencer par montrer qu'on peut supposer tous les $N'_z$ égaux à un même ensemble négligeable $N_2\supset N_1$. En effet, soit $(z_k)$ une suite dénombrable dense dans~$V$ (il en existe!) et $N_2=N_1\cup\bigcup N'_{z_k}$. Alors on a $|F(z_k,t)|\le g(t)$ pour tout $z_k$ et tout $t\in E\ssm N'_{z_k}$, et donc pour tout $z\in E\ssm N_2$. Un point $z\in V$ quelconque est limite d'une certaine sous-suite de $(z_k)$. Par continuité de $z\mapsto F(z,t)$, on en déduit $|F(z,t)|\le g(t)$ pour tout $z\in V$ et $t\in E\ssm N_2$, ce qu'il fallait vérifier. La continuité de $f$ sur $V$ résulte alors du théorème de convergence dominée (étant donné un point $z_1\in V$ donné et une suite $z_{1,\nu}\to z_1$, on considère la suite de fonctions intégrables $t\mapsto F(z_{1,\nu},t)$). Maintenant, fixons un voisinage $W$ de $z_0$ tel que $\ol W\subset V$ et $\varepsilon=d(W,\complement V)$. Alors, pour tout point $z_1\in W$, le disque fermé $\ol D(z_1,\varepsilon)$ est contenu dans $V$ et, comme $z\mapsto F(z,t)$ est holomorphe sur $V$ pour $t\in E\ssm N_2$, la formule de Cauchy permet d'écrire $$ F(z,t)={1\over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_1,\varepsilon)}{F(w,t)\over w-z}dw \leqno(6.1.4) $$ pour tout $(z,t)\in D(z_1,\varepsilon)\times(E\ssm N_2)$. Le théorème de Fubini donne alors $$ \int_{t\in E}F(z,t)\,d\mu(t)= {1\over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_1,\varepsilon)}{1\over w-z}\Big( \int_{t\in E}F(w,t)\,d\mu(t)\Big)dw, $$ car l'intégrale double est absolument convergente (on majore $1/(w-z)$ par $1/(\varepsilon-|z-z_1|)$ et $|F(z,t)|$ par $g(t)$). Il en résulte $$ f(z)={1\over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_1,\varepsilon)}{f(w)\over w-z}dw, \leqno(6.1.5) $$ ce qui démontre la $\bC$-analyticité de $f$ (pour cela, on peut utiliser par exemple le même raisonnement que dans le paragraphe \S$\,$3.3). La majoration $\big|{d^n\over dz^n}F(z_1,t)\big|\le n!\,\varepsilon^{-n}g(t)$ résulte des inégalités de Cauchy (elle s'obtient aussi directement à partir de (6.1.4) après $n$ dérivations sous le signe somme), tandis que (6.1.5) fournit $$ \eqalign{f^{(n)}(z) &={n!\over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_1,\varepsilon)}{f(w)\over (w-z)^{n+1}}dw\cr &=\int_{t\in E} \Big({n!\over 2\ii\pi}\int_{\Gamma(z_1,\varepsilon)}{F(w,t)\over (w-z)^{n+1}} dw\Big)d\mu(t)=\int_{t\in E}{d^n\over dz^n}F(z,t)\,d\mu(t)\cr} $$ à l'aide du théorème de Fubini.\qed \section{6.2. Fonction $\Gamma$ d'Euler} On définit la fonction $\Gamma$ d'Euler par $$ \Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, \leqno(6.2.1) $$ où $t^{z-1}=\exp((z-1)\ln t)$. On a $|e^{-t}|\le 1$ et $|t^{z-1}|= t^{\Re z-1}$, de sorte que l'intégrale est absolument convergente sur le demi-plan $\Re z>0$ (la convergence au voisinage de $+\infty$ ne pose pas de difficulté, on observe par exemple que $t^{\Re z-1}\le e^{t/2}$ pour $t$ assez grand. Pour $0<\alpha<\beta$ donnés quelconques, on a la majoration uniforme $$ |t^{\Re z-1}e^{-t}|\le g(t)=(t^{\alpha-1}+t^{\beta-1})e^{-t} $$ sur la bande verticale $\alpha<\Re z<\beta$. Comme l'intégrale $\int_0^{+\infty}g(t)dt$ converge, on en déduit que la fonction $\Gamma$ est définie et holomorphe sur tout le demi-plan $\Re z>0$. Une intégration par parties fournit $$ \eqalign{ \Gamma(z+1)&=\lim_{\varepsilon\to0^+,~A\to+\infty}\int_\varepsilon^A t^ze^{-t}dt\cr &=\lim_{\varepsilon\to0^+,~A\to+\infty}\Big(\big[ t^z(-e^{-t})\big]_\varepsilon^A+ \int_\varepsilon^Az\,t^{z-1}e^{-t}dt\Big) =z\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt\cr} $$ pourvu que $\Re z>0$. La fonction $\Gamma$ satisfait donc l'équation fonctionnelle fondamentale $$ \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)\qquad\hbox{pour tout $z\in\bC$ tel que $\Re z>0$.} \leqno(6.2.2) $$ Comme $\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1$, on en déduit aussitôt par récurrence $$ \Gamma(n)=(n-1)!\qquad\hbox{pour tout entier $n\ge 1$.} \leqno(6.2.3) $$ Par ailleurs, on peut prolonger holomorphiquement $\Gamma$ à $\bC\ssm\bZ_-$, et ce de manière unique d'après la connexité de cet ouvert, en définissant $\Gamma$ par $$ \Gamma(z)={\Gamma(z+n+1)\over z(z+1)\ldots(z+n-1)(z+n)} \leqno(6.2.4) $$ lorsque $\Re z>-n-1$ (l'équation fonctionnelle (6.2.2) implique qu'il s'agit bien d'une identité lorque $\Re z>0$). La fonction $\Gamma$ apparaît donc comme une extrapolation à $\bC\ssm\bZ_-$ de la fonction factorielle. La formule (6.2.4) nous amène à considérer $\Gamma(z)$ comme infini lorsque $z=-n\in\bZ_-$ est un entier négatif ou nul. Comme $\Gamma(1)=1$, on a l'équivalent $$ \Gamma(z)\sim {(-1)^n\over n!}{1\over z+n}\qquad \hbox{quand $z\to -n$}.\leqno(6.2.5) $$ Les points $z=-n$ sont donc des pôles simples (cf.\ chapitre IV). \supersection{7. Topologie sur l'espace des fonctions holomorphes} Les fonctions holomorphes se comportent particulièrement bien par rapport à la topologie de la convergence uniforme sur les compacts. Nous introduisons cette dernière et analysons les propriétes fondamentales de convergence des suites de fonctions holomorphes. Rappelons qu'on appelle semi-norme sur un espace vectoriel réel ou complexe $E$ un application $p:E\to\bR_+$ telle que $p(\lambda x)=|\lambda|\,p(x)$ et $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ pour tout scalaire $\lambda$ et tous vecteurs $x,y\in E$. \section{7.1. Définition de la topologie} Étant donné un ouvert $\Omega$ de $\bC$, on munit l'espace $\cC^0(\Omega)$ des fonctions continues à valeurs complexes $f:\Omega\to\bC$ de la famille de semi-normes $(p_K)_{K\subset\Omega}$ suivantes~: si $K$ est un compact de $\Omega$ et si $f\in\cC^0(\Omega)$, on note $p_K(f)=\sup_K|f|$. Cette famille de semi-normes (lorsque $K$ décrit les compacts de $\Omega$) fait de $\cC^0(\Omega)$ un «espace vectoriel topologique\rguil~: un système fondamental de voisinages de $0$ est donné par les $V_{K,\varepsilon} = \{ f\in\cC^0(\Omega) \ |\ p_K(f)<\varepsilon\}$, $\varepsilon>0$, $K\subset \Omega\,$; de plus, une partie $U \subset \cC^0(\Omega)$ est dite ouverte si pour tout élément $f\in U$, il existe un $V_{K,\varepsilon}$ tel que $f+V_{K,\varepsilon} \subset U$. La situation est ici simplifiée du fait que la famille $(p_K)_{K\subset \Omega}$ est une famille filtrante~: on entend par là que tout sous-ensemble fini de semi-normes est majoré par une semi-norme de la famille; en effet, il est clair que $\max(p_{K_1},\ldots,p_{K_r})=p_{K_1\cup\cdots\cup K_r}$. La topologie ainsi définie sur $\cC^0(\Omega)$ est la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de $\Omega$~: une suite $(f_n)$ d'éléments de $\cC^0(\Omega)$ converge vers $f$ dans $\cC^0(\Omega)$ si et seulement si $f_n$ converge vers $f$ uniformément sur tout compact $K$ de~$\Omega$ (ce qui s'exprime en termes des semi-normes par~: $\lim_{n\to+\infty}p_K(f_n-f)=0$ pour tout~$K$). On peut bien entendu reprendre ces définitions mot pour mot pour le sous-espace $\cO(\Omega)\subset\cC^0(\Omega)$ des fonctions holomorphes. On obtient ainsi un espace $(\cO(\Omega),(p_K)_{K\subset\Omega})$, qui est un sous-espace vectoriel topologique de $\cC^0(\Omega)$ (c'est-à-dire que sa topologie est la topologie induite par celle de $\cC^0(\Omega)$). Rappelons qu'un espace vectoriel topologique $E$ est {\em localement convexe} si et seulement si sa topologie peut être définie par une certaine famille (a priori quelconque) de semi-normes, et que l'espace est {\em métrisable} si et seulement s'il est séparé et si sa topologie peut être définie par une famille au plus dénombrable $(p_\nu)$ de semi-normes. On voit que la condition est suffisante en considérant la distance $$ d(x,y)=\sum_\nu 2^{-\nu}\min\big(1,p_\nu(x-y)\big). $$ Dans l'autre direction, on dispose d'un système fondamental dénombrable de voisinages ouverts $V_\nu$ de $0$, qu'on peut supposer convexes et équilibrés (c'est-à-dire que $x\in V_\nu$ et $|\lambda|\le 1$ impliquent $\lambda x\in V_\nu$). Chaque $V_\nu$ est alors la boule unité de la semi-norme «jauge\rguil\ $p_\nu$ telle que $p_\nu(x)=\min\{\lambda>0\,;\;\lambda^{-1}x\in V_\nu\}$. Dans la situation considérée ci-dessus, la topologie de $\cC^0(\Omega)$ et de $\cO(\Omega)$ peut en fait être définie par la famille dénombrable de semi-normes $(p_{K_{\nu}})_{\nu \in \bN}$ où $(K_{\nu})_{\nu \in \bN}$ est une suite exhaustive de compacts de $\Omega$, i.e.\ $\Omega = \bigcup_{\nu \in \bN} K_{\nu}$, $K_{\nu}\in K_{\nu+1}^{\circ}$. En particulier, la topologie de $\cC^0(\Omega)$ et de $\cO(\Omega)$ est métrisable. Rappelons enfin les définitions usuelles concernant les espaces complets et les espaces de Fréchet. \claim Espaces complets, espaces de Fréchet|Soit $E$ un espace vectoriel topologique. \smallskip \item{\rm (i)} On appelle suite Cauchy dans $E$ une suite $(x_n)$ telle que pour tout voisinage $V$ de~$0$, il existe un entier $n_0$ tel que $u_p-u_q\in V$ pour $p,\,q\ge n_0$. Un espace vectoriel topologique métrisable $E$ est dit {\em complet} si toute suite de Cauchy est convergente. \smallskip \item{\rm (ii)} Un espace de Fréchet est un espace vectoriel topologique localement convexe, métrisable et complet. \vskip0pt \endclaim L'espace vectoriel topologique $(\cC^0(\Omega),(p_K))$ est un espace de Fréchet (la complétude équivaut au «critère de Cauchy uniforme\rguil). Par ailleurs, il est facile de voir que tout sous-espace fermé d'un espace de Fréchet est un espace de Fréchet. \section{7.2. Limites uniformes de fonctions holomorphes} Le résultat suivant justifie le fait que la topologie définie précédemment est la «bonne\rguil\ topologie pour l'étude des fonctions holomorphes. \claim Théorème|Soit $(f_n)$ une suite dans $\cO(\Omega)$. On suppose que $f_n$ converge vers une fonction complexe $f$ uniformément sur tout compact de $\Omega$. Alors $f$ est holomorphe sur $\Omega$ et pour tout entier $\ell$, la suite des dérivées $(f_n^{(\ell)})$ converge vers $f^{(\ell)}$ uniformément sur tout compact de $\Omega$. \endclaim \dem. Évidemment, $f$ est continue comme limite uniforme de fonctions continues. D'autre part, si $K$ est un compact à bord $\cC^1$ par morceaux de $\Omega$, on a $$ \forall z \in K^\circ, \qquad f_n(z) = {1\over2\ii\pi} \int_{\partial K}{f_n(w)\over w-z}dw. $$ Comme la suite $f_n$ converge uniformément vers $f$ sur le compact $\partial K$ et que $|w-z|$ est minoré par $d(z,\bC\ssm K)>0$, on a par passage à la limite $$ \forall z \in K^\circ, \qquad f(z) = {1\over2\ii\pi} \int_{\partial K}{f(w)\over w-z}dw. $$ En particulier, $f$ est holomorphe sur $\Omega$. Fixons un réel $r>0$ strictement inférieur à $d(K,\bC \ssm \Omega)$. Pour tout $z\in K^\circ$, on a~: $$ f_n^{(\ell)}(z) = {\ell!\over2\ii\pi} \int_{\Gamma(z,r)}{f_n(w)\over (w-z)^{\ell+1}}dw \quad {\rm et } \quad f^{(\ell)}(z) = {1\over2\ii\pi}\int_{\Gamma(z,r)}{f(w)\over (w-z)^{\ell+1}}dw. $$ De là, on tire $$ |f_n^{(\ell)}(z)-f^{(\ell)}(z)| \leq {\ell!\over r^\ell} \sup_{\Gamma(z,r)}|f_n-f|. $$ Notons $K_r = \{ z \in \Omega \ |\ {\rm dist}(z,K) \leq r\}$. Comme $r0$ telle que pour tout $|w|\leq 1/2$, on ait $|\Log(1+w)|\leq C|w|$. Alors, pour $p,q\geq n_0$, on a $$ \Big|\sum_{n=p}^q\Log f_n\Big| = \Big|\sum_{n=p}^q\Log (1+g_n)\Big| \leq C\sum_{n=p}^q|g_n|. $$ Ainsi, la suite $v_n = \sum_{k=n_0}^n \Log f_k$ satisfait le critère de Cauchy uniforme sur~$K$, donc converge uniformément sur $K$ vers une fonction holomorphe $v=\sum_{k=n_0}^{+\infty}\Log f_k$ d'après le paragraphe précédent. On en déduit que $$ u_n = \prod_{k=n_0}^n f_k = \exp v_n $$ converge uniformément sur $K^\circ$ vers la fonction holomorphe $\exp v$, et donc le produit infini $\prod f_n$ converge sur $K^\circ$ vers la fonction holomorphe non identiquement nulle $P=(\prod_{k=0}^{n_0-1}f_k)\exp v$. Comme le compact $K$ est arbitraire, la convergence a bien lieu sur $\Omega$ tout entier, uniformément sur les compacts. \noindent Cas (ii)~: fixons une constante $C'>0$ telle que pour tout $|w|\leq 1/2$, on ait $|\Log(1+w)-w|\leq C'|w|^2$. Alors, pour $p,q\geq n_0$, on a $$ \Big|\sum_{n=p}^q\Log f_n - \sum_{n=p}^q g_n\Big| = \Big|\sum_{n=p}^q\Log (1+g_n)- g_n\Big| \leq C'\sum_{n=p}^q|g_n|^2. $$ On en déduit à nouveau que la suite $v_n = \sum_{k=n_0}^n \Log f_k$ satisfait le critère de Cauchy uniforme sur $K$ et on conclut comme précédemment. \noindent Dans les deux cas, la dérivée logarithmique de $P=(\prod_{k=0}^{n_0-1}f_k) \exp v$ est donnée par $$ {P'\over P}=\sum_{k=0}^{n_0-1}{f'_k\over f_k}+v\quad\hbox{où}\quad v'=\sum_{k=n_0}^{+\infty}(\Log f_k)'=\sum_{k=n_0}^{+\infty}{f_k'\over f_k}. \eqno\square $$ \claim Remarque|{\rm Sous les hypothèses du théorème, la démonstration ci-dessus montre que l'ensemble des zéros de $\prod_{n=0}^{+\infty}f_n$ est égal à l'ensemble $\bigcup_{n=0}^{+\infty}f_n^{-1}(0)$.} \endclaim \noindent Traitons ici un exemple de produit infini. \claim Une formule d'Euler|{\rm Notons $$ P(z)=z\prod_{n=1}^{+\infty}\Big(1-{z^2 \over n^2\pi^2}\Big). $$ Si $f_n(z)=1-z^2/n^2\pi^2$ et $g_n(z)=-z^2/n^2\pi^2$, la série $\sum g_n$ converge normalement sur tout compact de $\bC$, si bien que grâce au théorème précédent, le produit infini converge et $P \in \cO(\bC)$. Les zéros de $P$ sont exactement les $n\pi$, $n\in \bZ$, chacun étant de multiplicité un. On en déduit que la fonction $g(z)=P(z)/\sin z$ est une fonction entière sans zéros. On calcule maintenant la dérivée logarithmique de~$P$. D'après le théorème principal de ce paragraphe on a $$ {P'(z)\over P(z)} ={1\over z}-\sum_{n=1}^{+\infty}{2z\over n^2\pi^2-z^2} ={1\over z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\Big({1\over z-n\pi}+{1\over z+n\pi}\Big) \leqno(7.3.1) $$ sur $\bC\ssm\pi\bZ$. Cette formule montre en outre que la fonction $P'/P$ est périodique de période~$\pi\,$: en effet $P'/P=\lim_{N\to+\infty}s_N$ avec $s_N(z)=\sum_{n=-N}^N{1\over z-n\pi}$ et $$ s_N(z+\pi)-s_N(z)=-{1\over z-N\pi}+{1\over z+(N+1)\pi} \build\longrightarrow||N\to+\infty|0. $$ Par conséquent $$ {g'(z)\over g(z)}= {P'(z)\over P(z)}-{\cos z\over\sin z} ={P'(z)\over P(z)}-\cotg z, $$ admet également $\pi$ comme période, et c'est de plus une fonction entière ($g$ étant entière et sans zéros). \noindent Soit $A >0$ fixé et $$ B_A=\{z=x+\ii y\in\bC\,;\,-\pi/2\leq x\leq\pi/2,\,|y|\geq A\}. $$ Sur $B_A$, la fonction $\cotg$ admet la borne $|\cotg z|\le \coth A$, comme on le voit à partir des majorations $$ |\cotg z|^2={|\cos x\ch y-\ii\sin x\sh y|^2\over |\sin x\ch y+\ii\cos x\sh y|^2}={\cos^2 x+\sh^2 y\over\sin^2 x+\sh^2 y} \le {1+\sh^2 y\over\sh^2 y}=\coth^2 y $$ (pour la deuxième égalité, on utilise la formule $\ch^2 y=1+\sh^2 y$). Par ailleurs, pour $z=x+\ii y\in B_A$, il vient $|1/z|\le|1/y|\le 1/A$ et $$ \Big|{2z\over n^2\pi^2-z^2}\Big| ={2\,|z|\over|(n\pi-x)-\ii y|\,|(n\pi+x)+\ii y|} \leq {2|z|\over n^2\pi^2/4}. $$ Ainsi, il existe deux constantes positives $C_1$ et $C_2$ telles que pour tout $z\in B_A$, on ait $|g'(z)/g(z)|\leq C_1 + C_2|z|$. Quitte à changer les constantes, cette inégalité s'étend à la bande $B=\{ z=x+\ii y \in \bC \,;\,-\pi/2 \leq x \leq \pi/2\}$, qui est la réunion de $B_A$ et d'un rectangle compact. La $\pi$-pérodicité montre que l'inégalité $|g'(z)/g(z)|\leq C_1 + C_2|z|$ a lieu sur $\bC$ tout entier. Par les inégalités de Cauchy (\S$\,$3.2), la fonction $g'/g$ est un polynôme (de degré inférieur ou égal à un) périodique, donc constant. Mais (7.3.1) montre que $P'/P$ est une fonction impaire, donc la fonction constante $g'/g$ est impaire, si bien qu'elle doit être identiquement nulle. Par suite $g$ est constante, égale à $g(0)=1$. On en déduit les formules, dues à Euler~: $$ \eqalign{ \sin z&=z\prod_{n=1}^{+\infty}\Big(1-{z^2 \over n^2\pi^2}\Big),\cr \cotg z&={1\over z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\Big({1\over z-n\pi} +{1\over z+n\pi}\Big),\cr {1\over\sin^2 z}&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{1\over(z-n\pi)^2.}\cr} $$ La deuxième identité, valable sur $\bC\ssm\pi\bZ$, est obtenue par dérivation logarithmique de la première, tandis que la troisième est obtenue en prenant l'opposé de la dérivée de la deuxième.} \endclaim \section{7.4. Familles normales, théorème de Montel} Rappelons que dans un espace vectoriel topologique $E$, une partie $A$ de $E$ est dite {\em bornée} si pour tout voisinage $V$ de $0$, il existe un réel positif $\lambda$ tel que $A \subset \lambda V$. Si la topologie de $E$ est définie par une famille $\cF$ de semi-normes~$p$, il suffit de faire décrire à $V$ le système fondamental de voisinages $V_{p,\varepsilon}=\{x\in E\,;\,p(x)<\varepsilon\}$, et on voit donc que $A$ est bornée si et seulement si $\sup_{x\in A}p(x)$ est borné pour toute semi-norme~$p\in\cF$. Il est clair que toute partie compacte $A\subset E$ est fermée et bornée. La réciproque, cependant, est en général fausse, comme le montre l'exemple de la boule unité fermée dans l'espace de Hilbert $\ell^2(\bN)\,$; en fait, un théorème bien connu de Riesz affirme qu'un espace normé est de Montel seulement dans le cas de la dimension finie. Dans le cas de $E=\cO(\Omega)$, on utilise souvent la terminologie suivante, introduite par P.~Montel lui-même au début du 20${}^{\rm e}$ siècle. \claim Définition|Une famille $(f_{\alpha})_{\alpha \in I}$ de fonctions $f_{\alpha} \in\cO(\Omega)$ est dite normale si $\{f_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ est une partie bornée de $\cO(\Omega)$. Autrement dit, la famille $(f_{\alpha})_{\alpha \in I}$ est normale si et seulement si pour tout compact $K$, il existe une constante $C_K$ telle que pour tout $\alpha \in I$ on ait $\sup_K|f_{\alpha}| \leq C_K.$ \endclaim Une famille $(f_{\alpha})_{\alpha \in I}$ normale est donc une famille de fonctions {\em uniformément bornées sur tout compact}. \claim Théorème de Montel|Dans $\cO(\Omega)$, étant donné une suite $(f_n)_{n \geq 0}$ formant une famille normale, on peut en extraire une sous-suite uniformément convergente sur tout compact. Autrement dit, les familles normales sont relativement compactes dans $\cO(\Omega)$, ou encore, pour toute partie $A \subset \cO(\Omega)$, $A$ est bornée dans $\cO(\Omega)$ si et seulement si $A$ est relativement compacte dans $\cO(\Omega)$. \endclaim \claim Définition|Un espace de Fréchet dont les parties fermées bornées sont compactes est appelé espace de Montel. \endclaim Le théorème de Montel affirme donc que $\cO(\Omega)$ est un espace de Montel~! On notera que la notion d'espace de Montel n'est réellement intéressante que pour les espaces de Fréchet généraux, car d'après le théorème de Riesz un espace normé est de Montel si et seulement s'il est de dimension finie$\,$; dans ce cas, la propriété de Montel implique en effet que la boule unité fermée doit être compacte. \dem\ {\em du théorème de Montel}. Soit $K$ un compact de $\Omega$. Choisissons $r<{1\over 2}d(K,\bC\ssm\Omega)$ en sorte que les compacts $$ K_r=\{z\in\bC\,;\,d(z,K)\le r\}\subset K_{2r} $$ soient encore contenus dans $\Omega$. Nous avons alors $M_0=\sup_{n\in\bN,\,z\in K_{2r}}|f_n(z)|<+\infty$ par hypothèse. D'après le (ii) du Corollaire 7.2, il vient $$ M_1=\sup_{n\in\bN,\,z\in K_r}|f_n'(z)|\le {M_0\over r}<+\infty. $$ Soient $z_1,\,z_2\in K$. Si $d(z_1,z_2)\le r$, alors le segment $[z_1,z_2]$ est tout entier contenu dans $K_r$ et le théorème des accroissements finis entraîne $$ |f_n(z_1)-f_n(z_2)|\le M_1 d(z_1,z_2). $$ Si $d(z_1,z_2)\ge r$, l'inégalité $|f_n(z_i)|\le M_0$ entraîne de toute manière $$ |f_n(z_1)-f_n(z_2)|\le {2M_0\over r} d(z_1,z_2). $$ Par suite, les fonctions $f_n:K\to \ol D(0,M_0)$ sont lispschitziennes avec une même constante de Lipschitz $k=2M_0/r$ (elles forment donc une «suite équicontinue\rguil). Le théorème d'Ascoli (cf.\ Appendice, \S$\,$7.5) montre qu'on peut extraire de la suite $(f_n)$ une sous-suite uniformément convergente sur~$K$. Soit maintenant $(K_{\nu})_{\nu \in \bN}$ une suite exhaustive de compacts de~$\Omega$. D'après ce qui précède, il existe une partie infinie $S_0\subset\bN$ telle que la sous-suite $(f_n)_{n\in S_0}$ converge uniformément sur~$K_0$. Par récurrence sur $\nu$, on construit une suite de parties infinies emboîtées $$ S_\nu\subset S_{\nu-1}\subset\cdots\subset S_1\subset S_0\subset\bN $$ telles que la sous-suite $(f_n)_{n\in S_\nu}$ converge uniformément sur~$K_\nu$. Pour tout $i\in\bN$, soit $n_i$ le $(i+1)$-ième élément de $S_i$ (procédé dit «d'extraction d'une sous-suite diagonale\rguil). Alors $(f_{n_i})$ est une sous-suite de $(f_n)_{n\in S_\nu}$ à partir du rang $i=\nu$, et on en déduit donc que la sous-suite $(f_{n_i})$ converge uniformément sur tous les compacts~$K_\nu$.\qed \section{7.5. Appendice~: théorème d'Ascoli} Il s'agit d'un résultat général de nature topologique que nous allons formuler dans le cadre général des espaces métriques. Si $(E,\delta)$ et $(F,\delta')$ sont des espaces métriques, rappelons que par définition une suite d'applications $\varphi_p:E\rightarrow F$ est dite équicontinue s'il existe un «module de continuité\rguil\ commun à toutes les fonctions de la suite, autrement dit une fonction croissante $\omega:\bR_+\to \bR_+$ telle que $\lim_{t\to 0_+}\omega(t)=0$ et $$ \delta'(\varphi_p(x),\varphi_p(y))\le\omega(\delta(x,y)) $$ pour tout indice $p$ et tous $x,y\in E$. Des exemples standards de modules de continuité sont $\omega(t)=kt$, on dit alors qu'on a affaire à des fonctions $k$-lipschitziennes, ou encore $\omega(t)=Ct^\alpha$, $C\ge 0$, $0<\alpha\le 1$, auquel cas on dit que les fonctions sont höldériennes d'ordre~$\alpha$. \claim Théorème {\rm(Ascoli)}|On suppose que $E,F$ sont des espaces métriques {\rm compacts}. Soit $\varphi_p:E\rightarrow F$ une suite équicontinue d'applications de $E$ dans $F$. Alors on peut extraire de $(\varphi_p)$ une sous-suite $(\varphi_{(p_n)})$ uniformément convergente sur~$E$. \endclaim Soit ${\rm EqCont}_\omega(E,F)$ l'ensemble des applications $E\rightarrow F$ continues admettant $\omega$ comme module de continuité. Une autre manière d'exprimer le théorème d'Ascoli est la suivante. \claim Corollaire|Si $E,F$ sont compacts, alors $({\rm EqCont}_\omega(E,F),d)$ muni de la distance uniforme $$ d(\varphi,\psi)=\sup_{x\in E}\delta'\big(\varphi(x),\psi(x)\big) $$ est un espace métrique compact. \endclaim \dem. L'idée est de construire par récurrence des parties infinies $$ S_0=\bN\supset S_1\supset\dots\supset S_{n-1}\supset S_n\supset\dots $$ telles que la sous-suite $(\varphi_p)_{p\in S_n}$ ait des oscillations de plus en plus faibles. Supposons $S_{n-1}$ construite, $n\geq 1$. Comme $E$, $F$ sont compacts, il existe des recouvrements finis de $E$ (resp.\ de $F$) par des boules ouvertes $(B_i)_{i\in I}$, resp.\ $(B'_j)_{j\in J}$, de rayon ${1\over n}$. Notons $I=\{1,2,\dots,N\}$ et $x_i$ le centre de $B_i$. Soit $p$ un indice fixé. Pour tout $i=1,\dots, N$ il existe un indice $j=j(p,i)$ tel que $\varphi_p(x_i)\in B'_{j(p,i)}$. On considère l'application $$ S_{n-1}\longrightarrow J^N,\qquad p\longmapsto (j(p,1),\dots,j(p,N)). $$ Comme $S_{n-1}$ est infini et que $J^N$ est fini, l'un des éléments $(\ell_1,\dots,\ell_N)\in J^N$ admet pour image réciproque une partie infinie de $S_{n-1}$~: on note $S_n$ cette partie. Ceci signifie que pour tout $p\in S_n$ on a $(j(p,1),\dots,j(p,N))=(\ell_1,\dots,\ell_N)$ et donc $\varphi_p(x_i)\in B'_{\ell_i}$. En particulier $$ (\forall p,q\in S_n)\quad \delta'(\varphi_p(x_i),\varphi_q(x_i)) \leq {\rm diam}\,B'_{\ell_i}\leq 2/n. $$ Soit $x\in E$ un point quelconque. Il existe $i\in I$ tel que $x\in B_i$, d'où $\delta(x,x_i)<{1\over n}$. L'hypothèse que les $\varphi_p$ sont continues de module de continuité $\omega$ entraîne $$ \delta'(\varphi_p(x),\varphi_p(x_i))<\omega(1/n),\quad \delta'(\varphi_q(x),\varphi_q(x_i))<\omega(1/n). $$ L'inégalité triangulaire implique alors $(\forall p,q\in S_n)$ $$ \delta'(\varphi_p(x),\varphi_q(x))\leq 2/n + 2\,\omega(1/n). $$ Désignons par $p_n$ le $n$-ième élément de $S_n$. Pour $N\geq n$ on a $p_N\in S_N\subset S_n$, donc $$ \delta'(\varphi_{p_n}(x),\varphi_{p_N}(x))\leq 2/n+2\,\omega(1/n).\eqno(*) $$ Ceci entraîne que $\varphi_{p_n}(x)$ est une suite de Cauchy dans $F$ pour tout $x\in E$. Comme $F$ est compact, $F$ est aussi complet, donc $\varphi_{p_n}(x)$ converge vers une limite $\varphi(x)$. Quand $N\rightarrow+\infty$, l'inégalité $(*)$ implique à la limite $d(\varphi_{p_n},\varphi)\leq 2/n+2\,\omega(1/n)$. On voit donc que $\varphi_{p_n}$ converge uniformément vers $\varphi$. Il est facile de voir que $\varphi\in {\rm EqCont}_\omega(E,F)$.\qed \supersection{8. Exercices} \subsection{8.1. Intégrales de Fresnel.} \item{a)} Montrer que les intégrales impropres suivantes convergent~: $$ I=\int_0^{+\infty}\cos(x^2)\,dx \quad\hbox{et}\quad J=\int_0^{+\infty}\sin(x^2)\,dx. $$ \item{b)} En intégrant la fonction $f(z)=\exp(-z^2)$ sur le bord $\partial K_R$ du secteur angulaire $$ K_R=\{z=r\,e^{\ii\theta}\,;\,0\le r\le R,\,0\le\theta\le\pi/4\}, $$ calculer les valeurs de $I$ et $J$ à partir de l'intégrale de Gauss $$ G=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx={\sqrt{\pi}\over 2} $$ (qu'on peut par exemple calculer en évaluant l'intégrale double $G^2=\int\!\!\!\int_{x,y\ge0}e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$). {\em Indication}~: l'intégrale de $f$ sur le quart de cercle bordant $K_R$ est majorée par $$ \int_0^{\pi/4}e^{-R^2\cos(2\theta)}d\theta= {1\over 2}\int_0^{\pi/2}e^{-R^2\sin t}dt $$ et on pourra utiliser la minoration $\sin t\ge 2t/\pi$, $t\in[0,\pi/2]$. \subsection{8.2. Noyau de Bergman.} Soit $f$ holomorphe dans $D(0,R)$, montrer que pour tout $\xi\in D(0,R)$ on a $$f(w)={1\over \pi}\int\!\!\!\int_{D(0,R)} {f(z)\over (R^2-\ol{z}w)^2}\,dx\,dy\qquad \forall w\in D(0,R).$$ {\em Indication}~: passer en coordonnées polaires $z=x+\ii y=r\,e^{\ii\theta}$ et développer $1/(1-\ol{z}w/R^2)$ en série. \subsection{8.3.} Soit $f_n$ une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert $\Omega\subset\bC$. On suppose que $$ \lim_{n\to+\infty}\int_\Omega|f_n(z)|\,d\lambda(z)=0, $$ où $d\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur~$\bC$. Montrer qu'alors la suite $f_n$ converge uniformément vers $0$ sur tout compact de~$\Omega$. {\em Indication}~: utiliser le noyau de Bergman sur les disques $D(z_0,r)\subset\Omega$. \subsection{8.4.} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque $D(z_0,R)$ (si $R=+\infty$, on considère que $D(z_0,R)=\bC$). \item{a)} Montrer que $f$ admet sur ce disque une primitive holomorphe $F$, unique à l'addition près d'une constante complexe. \item{b)} On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $D(z_0,R)$. Montrer l'existence d'une fonction holomorphe $g$ sur $D(z_0,R)$ telle que $e^g=f$. Étudier l'unicité de $g$. {\em Indication}~: utiliser une primitive de $f'/f$. \item{c)} Si $f$ ne s'annule pas sur $D(z_0,R)$ et si $m\in\bN^*$, montrer à l'aide de b) l'existence d'une fonction holomorphe $h$ telle que $h^m=f$. \subsection{8.5. Lemme de la partie réelle.} (Voir aussi l'exercice 3.7 du Chapitre~I). Soit $f$ une fonction holomorphe non constante sur le disque $D(0,R)$, telle que $\Re f(z)\le M$. \item{a)} On pose $g(z)=(f(z)-f(0))/(M-\Re f(0))$ et $h=g/(2-g)$. Montrer que $g$ et $h$ sont holomorphes sur $D(0,R)$ et qu'on a les inégalités $\Re g\le 1$, $|h|\le 1$. \item{b)} À l'aide du lemme de Schwarz, démontrer que $g$ satisfait la majoration $|g(z)|\le 2|z|/(R-|z|)$ et en déduire que $$ |f(z)|\le |f(0)|+(M-\Re f(0)){2|z|\over R-|z|}. $$ \subsection{8.6.} Soit $f$ une fonction entière. \item{a)} Montrer, en utilisant l'exercice 8.5, que s'il existe deux constantes positives $A$ et $B$ positives telles que pour tout $z\in\bC$ on ait $\Re f(z) \leq A(1+|z|)^B$, alors $f$ est un polynôme de degré au plus $B$. \noindent Soit $f$ une fonction entière non constante d'{\em ordre fini}, i.e.\ il existe $A$ et $B$ tels que pour tout $z\in\bC$ on ait $|f(z)|\leq \exp(A(1+|z|)^B)$. \item{b)} Montrer que si $f$ ne s'annule pas, alors il existe un polynôme $P$ de degré $d\le B$ tel que $f=e^P$. {\em Indication}~: combiner a) avec 8.4~b). \item{c)} Montrer que soit $f$ est surjective, soit $f$ «rate\rguil\ une valeur $a$, mais alors pour tout $\omega\not =a$, l'équation $f(z)=\omega$ possède une infinité de racines (on peut voir ce résultat comme le cas particulier du théorème de Picard pour les fonctions d'ordre fini). \subsection{8.7. Théorème de Thron.} Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe pas de fonction entière $f$ telle que $f \circ f = \exp$. On raisonne par l'absurde~: soit donc $f$ une telle fonction. \item{a)} Montrer que l'image de $f$ est $\bC^*$. \item{b)} Montrer qu'il existe une fonction entière $g$ telle que $f = {\exp} \circ g$. \item{c)} Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que $g \circ f = \Id + C$. \item{d)} Conclure. \subsection{8.8.} Soit $f$ holomorphe dans le disque unité. On suppose que pour tout $n\geq 1$, $f(1/n)\in \bR$. Montrer que les coefficients de la série de Taylor de $f$ en $0$ sont réels. \subsection{8.9.} Soit $\bD\subset\bC$ le disque unité et $f:\bD\to \bD$ une application holomorphe propre (i.e.\ $|f(z)| \to 1$ quand $|z| \to 1 $). \item{a)} Montrer que $f$ s'annule nécessairement, et en déduire que $f$ est en fait surjective. {\em Indication}~: considérer les fonctions $1/f$ et $\varphi_a\circ f$, $\varphi_a\in\Aut(\bD)$. \item{b)} Prouver que $f$ n'a qu'un nombre finis de zéros $a_1,\ldots a_N\in\bD$, et que si $m_1,\ldots,m_N$ sont leurs multiplicités respectives, alors il existe une constante $\lambda$ de module $1$ telle que $f=\lambda\prod_{1\le j\le N} \varphi_{a_j}^{m_j}$. \item{c)} Soit $m=\sum m_j$. Alors, pour tout $w\in\bD$ l'équation $f(z)=w$ admet exactement $m$ racines dans $\bD$ (comptées avec multiplicité). {\em Indication}~: si $m_w$ est le nombre de racines pour $w$, alors $m_w\le m=m_0$. Échanger les rôles de $0$ et $w$ à l'aide d'un automorphisme du disque. \subsection{8.10. Théorème des $3$ cercles de Hadamard.} Soit $f$ une fonction holomorphe au voisinage de la couronne $C = \{ z \,;\ r_1 < |z| < r_2 \}$. Pour $r_1 \leq r \leq r_2$, on note $M_f (r) = \sup _{|z| = r} |f(z)|$. Montrer que la fonction $\log M_f (r)$ est une fonction convexe de la variable $\log r$, i.e, pour tout $r_1 \leq r \leq r_2$~: $$ M_f (r) ^{\log (r_2 / r_1 )} \leq M_f (r_1) ^{\log (r_2 / r)}~M_f (r_2) ^{\log (r / r_1)} . $$ {\em Indication} : on pourra appliquer le principe du maximum à $z^p f(z) ^q$, où $p$ est dans $\bZ$ et $q$ est dans $\bN$. \subsection{8.11.} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $\ol D(0,r)$, telle que $f(0)$ ne soit pas nul. On note $M=\sup_{|z|=r} |f(z)|$. Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ (indépendante de $f$ !) telle que le nombre de zéros de $f$ dans $D(0,r/3)$ est inférieur ou égal à $C \log(M/|f(0)|) $. {\em Indication} : considérer la fonction $g(z) = f(z) / \prod _{m=1}^{n} (1 - z/z_m)$ où les $z_m$ sont les zéros de $f$ dans $D(0,r/3)$. \subsection{8.12.} Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité, continue jusqu'au bord. On suppose qu'il existe $M_1 >0$ tel que si $z$ est de module $1$, de partie imaginaire positive, alors $|f(z)| \leq M_1$. On suppose de même qu'il existe $M_2>0$ tel que si $z$ est de module $1$, de partie imaginaire négative, alors $|f(z)| \leq M_2$. Montrer que $|f(0)| \leq \sqrt{M_1M_2}$. \subsection{8.13.} Soit une suite $(f_n)$ de fonctions holomorphes convergeant simplement vers $f$ dans $\Omega$. Montrer en se servant du théorème de Baire, que dans tout disque $U$ de $\Omega$, il existe un disque ouvert $V$ inclus dans $U$ sur lequel $\sup_n |f_n|$ est borné. En déduire que $f$ est holomorphe sur un ouvert dense de $\Omega$. \bigskip \supersection{9. Problèmes} \subsection{9.1. Version originale du théorème de Bloch-Landau.} Le but de cet exercice est de montrer que l'image $f(D(z_0,r))$ d'un disque $D(z_0,r)\subset\bR$ par une fonction holomorphe~$f$ contient un disque ouvert de rayon $r|f'(z_0)|/16$. On dira qu'une fonction est holomorphe sur un disque fermé si elle est holomorphe dans un voisinage de ce disque. Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité fermé~$\ol\bD$, telle que $|f'(0)| \geq 1$. Il s'agit de montrer que $f(\bD)$ contient un disque ouvert de rayon $1/16$. On pose~: $$ M(\rho) = \max_{|z| \leq \rho} |f'(z)|, \qquad 0 \leq \rho \leq 1. $$ \item{a)} Si $k$ est un entier positif ou nul, on pose $r_k = 1-2^{-k}$. Montrer que l'ensemble des entiers $k \geq 0$ tels que $2^{-k}M(r_k) \geq 1$ est fini et non vide. On note $k_0$ son plus grand élément. \noindent Pour la suite, on pose $r = 2^{-k_0}$. \item{b)} Établir qu'il existe $z_0$ avec $|z_0| =1-r$ et $|f'(z_0)| \geq 1/r$. \item{c)} Soit $g(z) = f(z+z_0) - f(z_0)$. Pour $|z| \leq r/2$, montrer que $|g'(z)| < 2/r$, puis que $|g(z)| \leq 1$. \item{d)} Soit $w$ un nombre complexe tel que $g(z) \neq w$ pour tout $|z| \leq r/2$. Utiliser 8.4 pour justifier l'existence d'une fonction $h$ holomorphe sur $D(0,r/2)$ telle que $h^2 = 1 - g/w$. \item{e)} On pose $h(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n$. Prouver les inégalités $$ |a_1|=|h'(0)|\ge{1\over 2r|w|},\qquad \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^2 \Big(\frac{r}{2}\Big)^{2n} \leq 1 + \frac{1}{|w|}. $$ \item{f)} Établir que $|w| \geq 1/16$ et conclure. \subsection{9.2. Principe de Phragmén-Lindelöf.} Le but de ce problème est de montrer que le principe du maximum peut s'appliquer à certaines fonctions holomorphes définies sur des ouverts non bornés, sous des hypothèses adéquates de croissance à l'infini. Ce principe est connu sous le nom de {\em principe de Phragmén-Lindelöf}. Soit $\alpha$ un réel strictement supérieur à $1/2$, et $U_{\alpha}$ la région du plan complexe comprise entre les demi-droites d'origine $0$ et d'angles $\pm\pi/2 \alpha$. \item{a)} Montrer que pour tout réel $\gamma$, on peut définir dans $U_{\alpha}$ une unique fonction holomorphe $z ^{\gamma}$ qui étend la fonction $x ^{\gamma}$ de $\bR _{+}^{*}$. \item{b)} Soit $f$ une fonction holomorphe dans $U_{\alpha}$, continue sur $\overline{U}_{\alpha}$. On suppose que $f$ est bornée par une constante $M\ge 0$ sur les demi-droites d'origine $0$ et d'angles $\pm\pi/2 \alpha$, et que $f$ satisfait une majoration de la forme $|f(z)|\le C e^{|z|^\beta}$ pour $|z|\ge R_0$ assez grand. Montrer que $f$ est bornée par $M$ dans $U_{\alpha}$. {\em Indication}~: appliquer le principe du maximum à la fonction $f_\varepsilon(z)=f(z)\,e^{-\varepsilon\,z^\gamma}$, $\gamma\in{} ]\beta,\alpha[$, sur le secteur circulaire compact $\ol U_\alpha\cap\ol D(0,R)$. \subsection{9.3.} Dans tout l'exercice, on pose $$ G(z)= \prod_{n=1}^{+\infty}\Big(1+{z\over n}\Big)e^{-z/n}. $$ \item{a)} Montrer que $G$ définit une fonction entière, et que $G$ admet sur $\bC$ tout entier une majoration de la forme $$ |G(z)|\le A\exp \big(B|z|\ln(1+|z|)\big),\qquad A,B\ge 0. $$ {\em Indication}~: considérer le développement limité de $w\mapsto (1+w)e^{-w}$ à l'origine, et scinder le produit infini en $\prod_{n\le|z|}\times\prod_{n>|z|}$. \item{b)} Montrer que~: $$zG(z)G(-z)={\sin \pi z\over \pi}.$$ \item{c)} Relation avec la fonction $\Gamma$ d'Euler. \itemitem{\bu} Comparer les zéros de $G(z)$ et $G(z-1)$, et montrer qu'il existe une fonction entière $\gamma$ telle que~: $$ G(z-1)=z\,e^{\gamma(z)}G(z). $$ \itemitem{\bu} Exprimer la dérivée logarithmique $G'/G$ sous forme de la somme d'une série uniformément convergente sur tout compact de $\bC\ssm\bZ_-^*$. \itemitem{\bu} Montrer que $\gamma$ est constante. {\em Indication}~: calculer $\gamma'(z)$. On notera encore $\gamma$ cette constante (traditionnellement appelée constante d'Euler). \itemitem{\bu} Montrer que $$ \gamma=\lim_{n\to+\infty}\Big(\sum_{k=1}^n{1\over k}-\log n\Big). $$ \item{d)} Soit $h(z)=ze^{\gamma z}G(z)\Gamma(z)$ où $\Gamma$ est la fonction $\Gamma$ d'Euler. Montrer que $h$ est périodique de période $1$ et s'étend en une fonction entière sur $\bC$ tout entier, n'ayant aucun zéro, telle que $h(0)=1$. Démontrer à l'aide de a) et de la périodicité que l'on a une majoration de la forme $$ |h(z)|\le A'\exp\big(B'|\Im z|\ln(1+|\Im z|)\big),\qquad A',B'\ge 0. $$ \item{e)} En utilisant 8.6~b), montrer que $h$ est constante. En déduire que $$ {1\over \Gamma(z)}=z\,e^{\gamma z}\prod_{n=1}^{+\infty} \Big(1+{z\over n}\Big)e^{-z/n}, $$ ainsi que la formule dite «formule des compléments\rguil $$ \Gamma(z)\Gamma(1-z)={\pi\over\sin\pi z}. $$ \subsection{9.4. Lemme de Koenigs.} Soit $f$ une fonction holomorphe au voisinage de $0$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0) = \lambda$ où $0 < |\lambda| < 1$. \item{a)} On désigne par $f^{[n]}$ l'itérée $n$-ième $f^{[n]}=f\circ f\circ\cdots\circ f$. Montrer que pour tout $\varepsilon>0$ assez petit, il existe un disque $D(0,r_\varepsilon)$ assez petit, sur lequel $$ (|\lambda|-\varepsilon)^n|z|\le |f^{[n]}(z)|\le (|\lambda|+\varepsilon)^n|z| $$ pour tout $z\in D(0,r_\varepsilon)$. \item{b)} On pose $\varphi_n = \lambda^{-n}f^{[n]}$. A partir de l'estimation $|f(z)-\lambda z|\le C|z|^2$, montrer que la série $\sum(\varphi_{n+1}-\varphi-n)$ est normalement convergente sur $D(0,r_\varepsilon)$, si $\varepsilon$ est choisi assez petit. \item{c)} Montrer qu'il existe une fonction holomorphe $\varphi$ au voisinage de $0$ telle que $\varphi (0) =0$, $\varphi '(0) =1$ et $$ \varphi(f(z)) = \lambda \varphi(z).$$ (on a donc $\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}(z)=\lambda z$ près de~$0$, on dit que $f$ est conjuguée à l'homothétie de rapport $\lambda$ par $\varphi$). \subsection{9.5. Ensembles de Julia et de Mandelbrot.} Pour $c \in \bC$, on note $f_c$ le polynôme $f_c(z) = z^2 + c$. Soit $K_c$ l'ensemble des $z \in \bC$ tels que la suite des itérées $|f_c ^{[n]}(z)|$ ne tend pas vers l'infini lorsque $n$ tend vers $+\infty$~: on appelle cet ensemble l'{\em ensemble de Julia rempli} de $f_c$. \item{a)} Déterminer $K_0$. \item{b)} Montrer que~: $$ K_c = \{ z \in \bC \,;\ \forall n \geq 0 \,, \ |f_c ^{[n]}(z)| \leq 1 + |c| \}. $$ En déduire que $K_c$ est compact. \item{c)} Montrer que le complémentaire de $K_c$ est connexe (on dit que $K_c$ est un compact {\em plein} ou {\em sans trous}). \noindent Soit $M = \{ c \in \bC \,;\ 0 \in K_c \}$. Cet ensemble est l'{\em ensemble de Mandelbrot} de la famille de polynômes quadratiques $(f_c)_{c\in \bC}$. \item{d)} Montrer qu'il existe une suite de polynômes $P_n$ telle que~: $$ \leqalignno{ M & = \{ c \in \bC \,;\ P_n (c) \ \hbox{\rm ne tend pas vers l'infini} \} \cr & = \{ c\in \bC \,;\ \forall n \geq 0\,,\ |P_n (c)| \leq 1 + |c| \}.\cr} $$ \item{e)} Montrer que $M \subset \ol D(0,2)$ et que $M$ est un compact plein. \end % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: