% Analyse et géométrie complexes d'une variable, chapitre I % % Laurent Bonavero % Jean-Pierre Demailly % Université de Grenoble I, Institut Fourier % 38402 Saint-Martin d'Hères, France % \input vcmac.tex \openauxfile \blankline \chaptitle{Chapitre I} \medskip \chaptitle{Séries entières et fonctions holomorphes} \chaptitlerunning{Chap.\ I~: Séries entières et fonctions holomorphes} \vskip50pt La plupart des fonctions complexes dites élémentaires (exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques et hyperboliques) peuvent se définir directement comme des sommes de «\?séries entières\?» $\sum_{n\in\bN}a_nz^n$ de la variable complexe~$z$. C'est d'ailleurs cette approche qui permet d'en démontrer les principales propriétés de la manière la plus rapide et la plus efficace. Dans ce chapitre, nous suivons cette voie~: après une brève description des propriétés générales des séries entières, nous introduisons d'abord la fonction exponentielle complexe, puis à partir de celle-ci, nous déduisons les principales propriétés des autres fonctions élémentaires. Nous introduisons ensuite les définitions de base concernant les fonctions holomorphes et l'opérateur de Cauchy-Riemann $\partial/\partial\ol z$, et discutons brièvement la notion d'application conforme. \medskip \noindent{\em Notations}. Tout au long de cet ouvrage, nous désignerons par $\bN\subset\bZ\subset\bQ\subset\bR\subset\bC$ les ensembles de nombres usuels (entiers naturels, entiers rationnels, nombres rationnels, réels et complexes). Si $X$ est un espace topologique (voir appendice~A) et $S$ une partie de $X$, on notera $S^\circ$ l'intérieur de $S$, $\ol S$ l'adhérence de $S$ et $\partial S=\ol S\ssm S^\circ$ la frontière de $S$ (ici $\ssm$ est l'opérateur de «\?différence ensembliste\?», ainsi noté pour éviter toute confusion avec la différence algébrique $-$). Enfin, si $z_0\in\bC$ et $r\in{}]0,+\infty]$, on notera respectivement $$ \eqalign{ D(z_0,r)&=\{z\in\bC\,;\,|z-z_0|R$, on a $|z|\notin E$, donc la suite $(|a_n||z|^n)$ n'est pas bornée, et par suite la série $\sum_{n\in\bN}a_nz^n$ diverge. Ceci montre que $\Delta\subset\ol D(0,R)$. Soit maintenant $r\ge 0$ un réel positif tel que $r\liminf 1/{}^n\!\sqrt{|a_n|}$, il y a une infinité d'indices $n$ tels que $1/{}^n\!\sqrt{|a_n|}\le r'$ pour un certain $r'\in{}]0,r[$, donc $|a_n|r^{\prime n}\ge 1$ et la sous-suite correspondante $|a_n|r^n\ge(r/r')^n$ n'est pas bornée, par conséquent $R\le r$. Inversement, si $r<\liminf 1/{}^n\!\sqrt{|a_n|}$, nous avons $1/{}^n\!\sqrt{|a_n|}\ge r$ pour $n\ge n_0$ assez grand, donc la suite $|a_n|r^n$ est bornée (majorée par $1$ pour $n\ge n_0$), et $R\ge r$. Ceci implique bien l'égalité $R=\liminf 1/{}^n\!\sqrt{|a_n|}$. Enfin, le critère de d'Alembert s'obtient en montrant que l'hypothèse $\lim |a_{n+1}|/|a_n|=\ell$ implique $\lim_{n\to+\infty}{}^n\!\sqrt{|a_n|}=\ell$, ce qui est élémentaire.\qed \claim Exemples|{\rm La série géométrique $\sum_{n\ge 0}z^n$ admet pour rayon de convergence $R=1$ et pour domaine de convergence le disque ouvert $\Delta=D(0,1)$. Les séries $\sum_{n\ge 1}n^{-n}z^n$ et $\sum_{n\ge 1}n^nz^n$ admettent respectivement pour rayon de convergence $R=+\infty$ et $R=0$ (d'où $\Delta=\bC$, $\Delta=\{0\}$ respectivement). La formule de Hadamard montre qu'on ne change pas le rayon de convergence en remplaçant $a_n$ par $n^\alpha a_n$ pour $\alpha\in\bR$ quelconque, puisque $\lim_{n+\infty}{}^n\!\sqrt{n^\alpha}=1$. Ceci peut néanmoins affecter les points situés sur la frontière du domaine de convergence. Ainsi la série $\sum_{n\ge 1}n^{-2}z^n$ admet pour domaine de convergence $\Delta=\ol D(0,1)$ (domaine sur lequel elle est normalement convergente), tandis que $\sum_{n\ge 1}n^{-1}z^n$ admet pour domaine de convergence $\Delta=\ol D(0,1)\ssm\{1\}$. En $z=1$, on obtient en effet la série harmonique $\sum 1/n$ qui est divergente. Pour $z=e^{\ii \theta}$ de module $1$, $z\ne 1$, la série converge, comme on peut le voir à partir du classique lemme d'Abel$\,$:} \endclaim \claim Lemme d'Abel|Soit $\sum_{n\ge n_0}u_nv_n$ une série à termes complexes. On suppose que $u_n\ge 0$ est une suite décroissante convergeant vers $0$ et que les sommes partielles $$ s_n=v_{n_0}+v_{n_0+1}+\cdots+v_n $$ sont bornées en module, i.e.\ $|s_n|\le M$ pour tout $n\ge n_0$ et une certaine constante $M\ge 0$. Alors la série $\sum u_nv_n$ est convergente. \endclaim \dem. Pour tous les indices $q>p>n_0$, on peut en effet écrire $$ \leqalignno{ u_pv_p+\cdots+u_qv_q &=u_p(s_p-s_{p-1})+u_{p+1}(s_{p+1}-s_p)+\cdots+u_q(s_q-s_{q-1})\cr &=-u_ps_{p-1}+s_p(u_p-u_{p+1})+\cdots+s_{q-1}(u_{q-1}-u_q)+u_qs_q.&(1.1.4)\cr} $$ Comme $|s_n|\le M$, on déduit de là $$ |u_pv_p+\cdots+u_qv_q|\le Mu_p+M(u_p-u_{p+1})+\cdots+M(u_{q-1}-u_q)+Mu_q=2Mu_p $$ (on a utilisé ici la décroissance de $(u_n)$ pour voir que $u_p-u_{p+1}\ge 0$). Comme $u_p\to 0$ quand $p\to +\infty$, ceci montre que les sommes partielles de la série $\sum u_nv_n$ satisfont le critère de Cauchy, et la convergence s'ensuit.\qed Dans l'exemple considéré plus haut, on a $n_0=1$, $u_n=1/n$, $v_n=z^n=e^{ni\theta}$. Un calcul immédiat montre que la somme $$ v_1+\cdots+v_n=e^{\ii \theta}{e^{ni\theta}-1\over e^{\ii \theta}-1} $$ est majorée en module par $M=2/|e^{\ii \theta}-1|$ pour $e^{\ii \theta}\ne 1$, d'où la convergence de la série $\sum_{n\ge 1}z^n/n$ pour $|z|=1$, $z\ne 1$.\qed \section{1.2. Sommes et produits de séries entières} Considérons deux séries entières $\sum a_nz^n$ et $\sum b_nz^n$, de rayons de convergence respectifs $R'$ et $R''$. Alors la série somme $\sum(a_n+b_n)z^n$ converge au moins dans l'intersection $D(0,R')\cap D(0,R'')$ des disques ouverts de convergence respectifs, par conséquent son rayon de convergence $R^+$ satisfait l'inégalité $$ R^+\ge \min(R',R'').\leqno(1.2.1) $$ L'inégalité peut être stricte. C'est le cas par exemple si nous choisissons $a_n=2^n+1$, $b_n=-2^n$, $a_n+b_n=1$, les rayons de convergence respectifs étant $R'=R''=1/2$, $R^+=1$. Il est clair néanmoins que l'égalité $R=\min(R',R'')$ a lieu si $R'\ne R''$, puisque la série somme diverge alors pour $|z|\in{}]R',R''[$, l'une des séries étant convergente et l'autre divergente. Venons en maintenant à la série produit. On rappelle que le produit $\sum_{p\ge 0}u_p\sum_{q\ge 0}v_q$ des sommes de deux séries numériques absolument convergentes est égal à la somme $\sum_{n\ge 0}w_n$ de la série de terme général $$ w_n=\sum_{p+q=n}u_pv_q=\sum_{p=0}^nu_pv_{n-p}, \leqno(1.2.2) $$ qui est appelée {\em série produit} des séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$. Pour le voir, on peut observer qu'on a une majoration $$ \Big|\sum_{n=0}^{N'}w_n-\sum_{p=0}^Nu_p\sum_{q=0}^Nv_q\Big|\le \varrho^{(u)}_N\sum_{q=0}^{+\infty}|v_q|+ \varrho^{(v)}_N\sum_{p=0}^{+\infty}|u_p| \leqno(1.2.3) $$ où $\varrho^{(u)}_N$, $\varrho^{(v)}_N$ désignent respectivement les restes d'ordre $N$ des séries $\sum|u_n|$ et $\sum|v_n|$, et où $N'$ est un entier arbitraire tel que $N'\ge 2N$~; en effet, le membre de gauche de (1.2.3) est la somme des termes $u_pv_q$ dont les indices sont tels que $p+q\le N'$ et ($p>N$ ou $q>N$)~; les termes $u_pv_q$ tels que $p>N$ ont une somme inférieure ou égale en module à $$ \sum_{p=N+1}^{N'}|u_p|\sum_{q=0}^{N'}|v_q|\le \varrho^{(u)}_N\sum_{q=0}^{+\infty}|v_q|, $$ et on a une majoration analogue pour les termes $u_pv_q$ tels que $q>N$. Si nous appliquons en particulier ce résultat au cas des séries entières $u_n=a_nz^n$ et $v_n=b_nz^n$, la formule (1.2.2) donne aussitôt $w_n=c_nz^n$ avec $$ c_n=\sum_{p+q=n}a_pb_q=\sum_{p=0}^na_pb_{n-p}, $$ et la série $\sum c_nz^n$ est appelée série entière produit (ou parfois produit de Cauchy) des séries entières $\sum a_nz^n$ et $\sum b_nz^n$. On sait que la série produit converge dans l'intersection $D(0,R')\cap D(0,R'')$, puisque chacun des facteurs y converge absolument en chaque point. Le rayon de convergence $R^\times$ de la série produit satisfait donc encore l'inégalité $$ R^\times\ge \min(R',R'').\leqno(1.2.4) $$ On peut avoir ici l'inégalité stricte, même si $R'\ne R''$. Il suffit de prendre par exemple $$ \eqalign{ \sum_{n\ge 0}a_nz^n&=1+\sum_{n\ge 1}2^{n-1}z^n={1-z\over 1-2z},\cr \sum_{n\ge 0}b_nz^n&=1-\sum_{n\ge 1}z^n={1-2z\over 1-z},\cr} $$ dont la série produit $\sum c_nz^n$ se réduit au seul terme $c_0=1$, les rayons de convergence respectifs étant $R'=1/2$, $R''=1$, $R^\times=+\infty$. \section{1.3. Théorème de dérivation terme à terme} Nous démontrons ici la propriété importante de dérivabilité terme à terme des séries entières. \claim Théorème|Soit $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence~$R>0$. Alors la dérivée complexe $$ f'(z)=\lim_{h\in\bC^*,\,h\to 0}{f(z+h)-f(z)\over h} $$ existe en tout point du disque ouvert de convergence $D(0,R)$, et cette dérivée est donnée par la dérivée «\?terme à terme\?» de la série, c'est-à-dire $$ f'(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}na_nz^{n-1}. $$ Les dérivées successives s'expriment de même sous la forme $$ f^{(p)}(z)=\sum_{n=p}^{+\infty}n(n-1)\cdots(n-p+1)\,a_nz^{n-p}, $$ et les séries obtenues ont un rayon de convergence égal au rayon de convergence $R$ de la série initiale. \endclaim \dem. Le fait que les séries dérivées terme à terme admettent le même rayon de convergence $R$ vient de ce que $\lim_{n\to+\infty}{}^n\!\sqrt{n(n-1)\cdots(n-p+1)}=1$ pour tout~$p\in\bN$. Maintenant, la formule du binôme donne $$ (z+h)^n=z^n+nhz^{n-1}+\sum_{p=2}^nC_n^ph^pz^{n-p} $$ avec $C_n^p=\disp{n(n-1)\over p(p-1)}C_{n-2}^{p-2}\le n(n-1)C_{n-2}^{p-2}$, d'où $$ \eqalign{\Big|{(z+h)^n-z^n\over h}-nz^{n-1}\Big| &\le n(n-1)|h|\sum_{p=2}^nC_{n-2}^{p-2}|h|^{p-2}|z|^{n-p}\cr &=n(n-1)|h|(|z|+|h|)^{n-2}.\cr} $$ Supposons $z\in D(0,R)$ et $z+h\in D(0,R)$. En multipliant la différence ci-dessus par $a_n$ et en sommant sur $n$, notre inégalité implique $$ \Big|{f(z+h)-f(z)\over h}-\sum_{n\ge 1}na_nz^{n-1}\Big|\le |h|\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)|a_n|(|z|+|h|)^{n-2}.\leqno(1.3.1) $$ Si nous prenons $|h|\le\delta0$, il est clair que $f$ admet sur $D(0,R)$ une «\?primitive complexe\?» $$ F(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n\over n+1}z^{n+1} =\sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n-1}\over n}z^n\;, \leqno(1.3.2) $$ telle que $F'(z)=f(z)$ au sens complexe. De plus la série entière de $F$ admet encore $R$ comme rayon de convergence, et les autres primitives sont données par $F+C$ où $C\in\bC$ est une constante arbitraire (une fonction $G$ sur $D(0,R)$ admettant une dérivée complexe $G'$ nulle est nécessairement égale à la constante $G(0)$, comme on le voit en regardant les fonctions de variables réelles $u(t)=G(tz)$, $t\in [0,1]$, dont les dérivées réelles $u'(t)$ sont nulles$\,$; on verra plus loin en (2.1.5) un énoncé plus général). \section{1.4. Continuité à la frontière} Il est souvent utile de connaître le comportement de la somme d'une série entière en un point $z_0$ de la frontière du disque de convergence. La situation peut être très compliquée (au sens où la somme $f(z)$ n'est pas nécessairement continue en $z_0$ ni même bornée dans un voisinage). On a cependant le résultat de continuité partielle suivant. \claim Théorème|Soit $f(z)=\sum_{n\ge n_0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ fini, et $z_0\in \Gamma(0,R)$ un point du cercle de convergence en lequel la série converge. Alors, si $S=S_{z_0,\delta,\eta}\subset D(0,R)\cup\{z_0\}$ est un secteur circulaire fermé de sommet $z_0$, non tangentiel, de la forme $$ S_{z_0,\delta,\eta}= \big\{z\in\bC\,;\,|z-z_0|\le\delta,~|\ang(z_0-z,z_0)|\le \pi/2-\eta\big\}, $$ on a $\lim_{z\in S,\,z\to z_0}f(z)=f(z_0)$. \endclaim Autrement dit, la propriété de continuité attendue a bien lieu pourvu qu'on ne s'approche pas «\?tangentiellement\?» de la frontière. \dem. De manière assez analogue à ce que nous avons fait pour la transformation d'Abel (1.1.4), posons $u_n=(z/z_0)^n$, $v_n=a_nz_0^n$ et $\varrho_n=\sum_{p>n}v_p$. Pour $q>p>n_0$ nous obtenons $$ \eqalign{ \smash{\sum_{n=p}^qa_nz^n} &=u_pv_p+\cdots+u_qv_q\phantom{\raise8pt\hbox{$\displaystyle\sum$}}\cr &=u_p(\varrho_{p-1}-\varrho_p)+u_{p+1}(\varrho_p-\varrho_{p+1})+ \cdots+u_q(\varrho_{q-1}-\varrho_q)\cr &=u_p\varrho_{p-1}+\varrho_p(u_{p+1}-u_p)+\cdots+ \varrho_{q-1}(u_q-u_{q-1})-u_q\varrho_q.\cr} $$ Étant donné $\varepsilon>0$, la convergence de la série $\sum_{n\ge n_0}a_nz_0^n$ assure l'existence d'un entier $N_\varepsilon$ tel que $|\varrho_n|\le\varepsilon$ pour $n\ge N_\varepsilon$. Pour $p,q>N_\varepsilon$, nous avons alors $$ \left|\sum_{n=p}^qa_nz^n\right| \le\varepsilon\left(2+\Big|{z\over z_0}-1\Big|\sum_{n=p}^{q-1} \Big|{z\over z_0}\Big|^n\right) \le\varepsilon\left(2+{|z-z_0|\over |z_0|-|z|}\right) $$ puisque $$ \sum_{n=p}^{q-1}\Big|{z\over z_0}\Big|^n\le \sum_{n=0}^{+\infty}\Big|{z\over z_0}\Big|^n={1\over 1-|z|/|z_0|}= {|z_0|\over |z_0|-|z|}. $$ L'hypothèse $z\in S_{z_0,\delta,\eta}$ assure précisément que le quotient \hbox{$|z-z_0|/(|z_0|-|z|)$} reste borné par une constante indépendante de~$z$~; en effet la condition angulaire $|\ang(z_0-z,z_0)|\le\pi/2-\eta$ équivaut à $\Re(z_0-z)\ol z_0\ge |z-z_0|\,|z_0|\,\sin\eta$, d'où successivement $$ \eqalign{ &|z-z_0|^2=|z|^2-|z_0|^2+2\Re (z_0-z)\ol z_0\ge |z|^2-|z_0|^2 +2\,|z_0|\,|z-z_0|\,\sin\eta,\cr &(2\,|z_0|\,\sin\eta-|z-z_0|)|z-z_0|\le (|z|+|z_0|)(|z_0|-|z|) \le 2\,|z_0|\,(|z_0|-|z|),\cr} $$ ce qui implique, pour $|z-z_0|\le\delta':=\sin\eta\,|z_0|$, l'inégalité $$ {|z-z_0|\over|z_0|-|z|}\le{2\over\sin\eta}. $$ On en déduit que la série $\sum a_nz^n$ satisfait le critère de Cauchy uniforme sur $S_{z_0,\delta,\eta}$. Ceci entraîne la convergence uniforme de la série et la continuité de $f$ sur~$S_{z_0,\delta,\eta}$.\qed \section{1.5. Fonctions complexes élémentaires} La fonction complexe la plus fondamentale est d'une certaine façon la fonction exponentielle complexe. On peut la définir au moyen de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques (à supposer que celles-ci aient déjà été construites de manière rigoureuse). Le procédé le plus simple consiste en fait à la définir directement à partir de sa série entière. \claim Définition|On pose $$ e^z=\exp(z):=\sum_{n=0}^{+\infty}{z^n\over n!}. $$ pour tout $z\in\bC$, le rayon de convergence de la série étant $+\infty$. \endclaim D'après le théorème de dérivation des séries entières, la fonction $\exp$ est dérivable sur $\bC$ tout entier et on a $\exp'=\exp$. L'autre propriété fondamentale de cette fonction est la propriété d'homomorphisme de groupe. \claim Propriété fondamentale|Pour tous $z,w\in\bC$, on a $e^{z+w}=e^ze^w$, et la fonction $\exp$ définit un homomorphisme du groupe additif $(\bC,+)$ sur le groupe multiplicatif $(\bC^*,\times)$. \endclaim \dem. On a $e^ze^w=\sum_{p\ge 0}u_p\sum_{q\ge 0}v_q$ avec $u_p=z^p/p!$ et $v_q=w^q/q!\;$, et la formule (1.2.2) fournit alors une série produit $\sum w_n$ telle que $$ w_n=\sum_{p=0}^n{z^p\over p!}{w^{n-p}\over (n-p)!}= {1\over n!}\sum_{p=0}^n C_n^p z^pw^{n-p}={(z+w)^n\over n!}. $$ L'égalité $e^ze^w=e^{z+w}$ en découle. De là, en particulier, on déduit $e^ze^{-z}=e^0=1$, d'où $e^z\in\bC^*$. L'application exponentielle définit donc bien un homomorphisme de groupes $\exp:(\bC,+)\to(\bC^*,\times)$. La surjectivité de cette application sera démontrée plus loin.\qed À partir de la fonction exponentielle, on définit classiquement les fonctions cosinus et sinus hyperboliques $$ \eqalign{ \ch z &:={e^{z}+e^{-z}\over 2}=\sum_{n=0}^{+\infty}{z^{2n}\over (2n)!}~,\cr \sh z &:={e^{z}-e^{-z}\over 2}=\sum_{n=0}^{+\infty}{z^{2n+1}\over (2n+1)!}~,\cr} $$ aussi notées $\cosh$ et $\sinh$ dans le monde anglo-saxon (c'est-à-dire partout sauf en France~!), et les fonctions trigonométriques usuelles $$ \eqalign{ \cos z &:={e^{\ii z}+e^{-\ii z}\over 2}=\ch(\ii z) =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n{z^{2n}\over (2n)!}~,\cr \sin z &:={e^{\ii z}-e^{-\ii z}\over2\ii}={\sh(\ii z)\over \ii} =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n{z^{2n+1}\over(2n+1)!}.\cr} $$ Ces séries entières ont un rayon de convergence infini. Comme leurs coefficients sont réels, les fonctions ainsi définies prennent des valeurs réelles sur $\bR$, et vérifient les relations de conjugaison $\ol{\exp z}=\exp\ol z$, $\ol{\ch z}=\ch \ol z~\ldots$ La propriété d'homomorphisme de la fonction exponentielle entraîne toutes les formules trigonométriques usuelles, par exemple les formules «\?d'addition\?» $\cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\sin a\,\sin b\,\ldots~$, qui sont valables pour tous $a,b\in\bC$. Par ailleurs, si on écrit $z=x+\ii y$, il vient $$ e^z=e^xe^{\ii y}=e^x(\cos y+\ii \sin y)\leqno(1.5.1) $$ où $(\cos y)^2+(\sin y)^2=e^{\ii y}e^{-\ii y}=1$. De là on déduit le \claim Théorème|\vskip0pt \item{\rm (i)} La fonction exponentielle réelle induit un isomorphisme de groupes $$ (\bR,+)\to (\bR_+^*,\times),\qquad x\mapsto e^x. $$ \item{\rm (ii)} La fonction $\cos:\bR\to\bR$ admet un plus petit zéro positif qui sera noté $\pi/2$ $($c'est donc là une {\rm définition} de~$\pi)$. La fonction exponentielle complexe est périodique de période $2\ii\pi$ et induit des isomorphismes de groupes $$ \vbox{\malign{ \hfill(\bR/2\pi\bZ,+)&{}\to (S^1,\times),&\qquad y\mapsto e^{\ii y},\cr \hfill(\bC/2\ii\pi\bZ,+)&{}\to (\bC^*,\times),&\qquad z\mapsto e^z,\cr}} $$ où $S^1=\{z\in\bC\,;\,|z|=1\}$ désigne le cercle unité dans $\bC$. \vskip0pt \endclaim \dem. (i) Il suffit de montrer que $\exp$ est une bijection continue croissante de $\bR$ sur $]0,+\infty[$. C'est clair d'après la théorie élémentaire des fonctions d'une variable réelle~: on a par définition même $e^x\ge 1+x>0$ pour $x\ge 0$, d'où $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, tandis que la relation $e^x=1/e^{-x}$ implique $e^x>0$ pour $x\le 0$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x =0$~; enfin $\exp$ est dérivable de dérivée $\exp'=\exp>0$, donc strictement croissante sur~$\bR$. \noindent (ii) Supposons par l'absurde que la fonction $\cos$ ne s'annule pas sur $[0,+\infty[$. Comme $\cos 0=1$, le théorème des valeurs intermédiaires entraînerait alors $\cos y>0$ pour tout $y\in[0,+\infty[$. Comme $\sin'=\cos$, la fonction $\sin$ serait positive et strictement croissante sur $[0,+\infty[$. Le théorème des accroissements finis et l'égalité $\cos'y=-\sin y$ donneraient alors $\cos y\le\cos 1-(y-1)\sin 1$ pour tout $y\ge 1$, par conséquent $\cos y<0$ pour $y$ assez grand, ce qui est une contradiction. L'ensemble $[0,+\infty[{}\cap\cos^{-1}(0)$ qui est fermé et non vide, possède donc un plus petit élément $\pi/2$, on a par suite $\cos\pi/2=0$ et $\cos y>0$ pour $y\in[0,\pi/2[$. Ceci entraîne que la fonction $y\mapsto\sin y$ est une bijection croissante de $[0,\pi/2]$ sur $[0,1]$, et on voit ainsi que l'application $[0,\pi/2]\ni y\mapsto e^{\ii y}$ paramétrise bijectivement le premier quart de cercle $|z|=1$, $\Re z\ge0$, $\Im z\ge 0$. Les relations $e^{\ii \pi/2}=\ii$, $e^{\ii (y+\pi/2)} =\ii\,e^{\ii y}$, $e^{2\ii\pi}=1$ montrent alors facilement que $y\mapsto e^{\ii y}$ induit un homéomorphisme $\bR/2\pi\bZ\to S^1$ qui est par ailleurs un isomorphisme de groupes («\?théorème fondamental de la mesure des angles\?»). Enfin, le troisième isomorphisme se déduit facilement des deux premiers et du fait que tout nombre complexe $z\ne 0$ s'écrit de manière unique sous la forme $z=\rho u$ avec $\rho\in\bR_+^*$ et $u\in S^1$, à savoir $\rho=|z|$ et $u=z/|z|$.\qed Nous noterons $\ln$ la fonction logarithme népérien (réel), qui est par définition l'isomorphisme de groupes $$ \ln:(\bR_+^*,\times)\to(\bR,+) \quad\hbox{inverse de}\quad \exp:(\bR,+)\to(\bR_+^*,\times). $$ Par ailleurs si $z=\rho e^{\ii \theta}$ est un nombre complexe non nul, avec $\rho=|z|>0$, nous noterons $\theta=\arg z\in\bR/2\pi\bZ$. Pour $z=x+\ii y\in\bC$, la relation (1.5.1) donne les relations fondamentales $$ \leqalignno{ &|e^z|=e^x=e^{\Re z}&(1.5.2)\cr &\arg(e^z)=y=\Im z~\mod~2\pi\bZ.&(1.5.3)\cr} $$ \section{1.6. Fonction logarithme complexe} Étant donné un nombre complexe $w\ne 0$, la résolution de l'équation complexe $e^z=w$ s'obtient aisément à partir des formules (1.5.2) et (1.5.3). Celles-ci donnent en effet $$ |w|=e^{\Re z},\qquad \arg(w)=\Im z~\mod~2\pi\bZ $$ d'où $\Re z=\ln|w|$ et $$ z=\Re z+\ii \Im z=\ln|w|+\ii \arg w~\mod~2\ii\pi\bZ. $$ Pour lever l'ambiguïté du choix de l'argument, on procède comme suit. Soit $\theta_0$ un réel fixé et $\Omega_{\theta_0}\subset\bC$ l'ouvert constitué des nombres complexes non nuls $z$ dont l'argument n'est pas égal à $\theta_0+\pi$ mod $2\pi$, c'est-à-dire $$ \Omega_{\theta_0}=\bC^*\ssm(\bR_-^*)e^{\ii \theta_0}. $$ \InsertFig 10.000 45.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 50.000 30.000 moveto 1.000 disk 54.665 30.000 moveto 50.000 30.000 4.665 0.000 210.964 circlearc stroke 46.000 27.600 moveto 0.000 -67.000 1.600 vector 0.500 setlinewidth 50.000 30.000 moveto 17.000 10.000 segment grestore } \LabelTeX 20.000 21.000 $(\bR^*_-)e^{\ii\theta_0}$ \ELTX \LabelTeX 70.000 28.000 $\Omega_{\theta_0}$ \ELTX \LabelTeX 51.000 26.600 $0$ \ELTX \LabelTeX 49.000 36.600 $\theta_0+\pi$ \ELTX \EndFig Pour $z\in\Omega_{\theta_0}$, on définit alors $\arg_{\theta_0}z$ comme l'unique détermination $\theta$ de l'argument de $z$ telle que $\theta\in{}]\theta_0-\pi,\theta_0+\pi[$, et on définit la «\?détermination $\log_{\theta_0}$ du logarithme complexe\?» par $$ \log_{\theta_0}z=\ln|z|+\ii \arg_{\theta_0}z, \qquad\forall z\in\Omega_{\theta_0}. \leqno(1.6.1) $$ Il est important de noter que les fonctions $\arg_{\theta_0}$ et $\log_{\theta_0}$ {\em ne peuvent se prolonger par continuité} à $\bC^*$~; en effet, en un point de la demi-droite ouverte $\bR_-^*e^{\ii \theta_0}$, les limites des fonctions $\arg_{\theta_0}$ et $\log_{\theta_0}$ de part et d'autre de la demi-droite diffèrent de $2\pi$ (resp.\ $2\ii\pi$). Dans la suite de cet ouvrage, on conviendra de noter respectivement $\Arg$ et $\Log$ les déterminations correspondant au choix $\theta_0=0$ (c'est-à-dire que l'argument est choisi dans $]-\pi,\pi[$). Ces déterminations, qui sont définies dans le complémentaire $\bC\ssm\bR_-$ de la demi-droite réelle négative, seront appelées les {\em déterminations principales} de l'argument et du logarithme complexe. \claim Proposition|Pour tout $\theta_0$, la fonction $\log_{\theta_0}$ est telle que $\exp\circ\log_{\theta_0}=\Id$ sur~$\Omega_{\theta_0}$. Elle admet en tout point une dérivée complexe $$ \log'_{\theta_0} z=\lim_{\bC\ni \zeta\to z} {\log_{\theta_0}\zeta-\log_{\theta_0}z\over \zeta-z}={1\over z}. $$ \endclaim \dem. La propriété $\exp\circ\log_{\theta_0}=\Id$ résulte directement de la construction. Pour la deuxième, posons $w=\log_{\theta_0}z$ et $\eta=\log_{\theta_0}\zeta$. Quand $\zeta$ tend vers $z$, il est clair que $\eta$ tend vers $w$ par continuité du logarithme (continuité qui résulte elle même de la continuité de la fonction $\arg_{\theta_0}$ sur $\Omega_{\theta_0}$), et par suite le quotient $$ {\log_{\theta_0}\zeta-\log_{\theta_0}z\over \zeta-z}= {\eta-w\over\exp\eta-\exp w}=\left({\exp\eta-\exp w\over\eta-w}\right)^{-1} $$ converge vers $1/\exp'w=1/\exp w=1/z$.\qed Considérons maintenant la fonction $\Log(1+z)$, qui bien définie sur l'ouvert $\Omega=\bC\ssm{}]-\infty,-1]$. Sa dérivée complexe est donnée par $\Log'(1+z)=1/(1+z)$, et on a donc un développement en série entière $$ \Log'(1+z)=1-z+z^2-z^3+\cdots+(-1)^nz^n+\cdots $$ sur le disque ouvert $D(0,1)$. Comme $\Log 1=0$, la formule (1.3.2) donne $$ \Log(1+z)=z-{z^2\over 2}+{z^3\over 3}-{z^4\over 4}+\cdots+ (-1)^{n-1}{z^n\over n}+\cdots~,\leqno(1.6.2) $$ avec un rayon de convergence encore égal à~$1$. Comme on l'a vu dans le \S$\,$1.1, la série entière (1.6.2) converge en tout point de $\Gamma(0,1)\ssm\{-1\}$. On en déduit par continuité que l'égalité a lieu en tout point du domaine de convergence $\Delta=\ol D(0,1)\ssm\{-1\}$. En particulier, nous trouvons pour $z=1$ l'identité classique $$ \ln 2=1-{1\over 2}+{1\over 3}-{1\over 4}+\cdots+ (-1)^{n-1}{1\over n}+\cdots~. $$ Maintenant que nous disposons de la fonction logarithme (ou plutôt des diverses déterminations du logarithme), nous pouvons définir des déterminations correspondantes $$ z^\alpha=\exp(\alpha\log_{\theta_0} z),\qquad z\in\Omega_{\theta_0}\leqno(1.6.3) $$ de la fonction «\?puissance complexe\?», définies pour un exposant $\alpha\in\bC$ quelconque. La formule de dérivation des fonctions composées montre que l'on a encore $$ {d\over dz} z^\alpha=\alpha z^{\alpha-1} \qquad\hbox{sur $\Omega_{\theta_0}$.}\leqno(1.6.4) $$ On prendra cependant garde au fait que les valeurs $z^\alpha$ obtenues peuvent être complè\-te\-ment différentes suivant les déterminations choisies. Ainsi, on obtient \hbox{$\ii^\ii=e^{-\pi/2}$} avec la détermination principale du logarithme, tandis que $\ii^\ii=e^{-5\pi/2}$ avec la détermination $\log_{2\pi}$. La détermination principale $(1+z)^\alpha=\exp(\alpha\Log(1+z))$ définie sur l'ouvert $\bC\ssm{}]-\infty,-1]$ admet sur le disque unité $D(0,1)$ un développement en série entière $$ (1+z)^\alpha=1+\alpha z+{\alpha(\alpha-1)\over 2}z^2\cdots+ {\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)\over n!}z^n\cdots, \leqno(1.6.5) $$ connu sous le nom de {\em formule de Newton}. Pour le voir, notons $f(z)$ la somme de la série. Celle-ci admet un rayon de convergence $R=1$ d'après le critère de d'Alembert, car $$ {a_{n+1}\over a_n}={\alpha-n\over n+1}\to -1\qquad\hbox{quand $n\to+\infty$}. $$ D'autre part, une dérivation terme à terme fournit la série $\sum_{n\ge 1} na_n z^{n-1}$ avec $$ na_n={\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+2)\over (n-1)!}(\alpha-n+1) =\alpha a_{n-1}-(n-1)a_{n-1}, $$ d'où $f'(z)=\alpha f(z)-zf'(z)$. Ceci implique que la somme $f(z)$ de la série satisfait l'équation différentielle linéaire $(1+z)f'(z)=\alpha f(z)$. On voit alors d'après (1.6.4) que la fonction quotient $f(z)/(1+z)^\alpha$ admet une dérivée identiquement nulle sur~$D(0,1)$. Le quotient est donc identiquement égal à sa valeur pour $z=0$, soit~$1$. \claim Remarque|{\rm Pour développer $(1+z)^\alpha$ en série, on pourrait aussi songer à appliquer la formule de Taylor, mais on se trouve devant une difficulté pour majorer le reste, notamment lorsque $z$ est proche de~$-1\,$; cette difficulté sera complètement résolue par les résultats du Chapitre~II (cf.\ \S$\,$3.3, Corollaire), démontrant l'analyticité des fonctions holomorphes.} \endclaim \claim Conséquence|{\rm Les développements en série entière de $(1+z^2)^{-1}$ et $(1-z^2)^{-1/2}$ fournissent par intégration des développements en série entière convergents sur le disque $D(0,1)$ de fonctions qui étendent au plan complexe les fonctions réelles correspondantes $$ \leqalignno{ \Arctan z&=z-{z^3\over 3}+{z^5\over 5}-\cdots+(-1)^n{z^{2n+1}\over 2n+1} +\cdots,&(1.6.6)\cr \Arcsin z&=z+\sum_{n=1}^{+\infty} {1.3.5\ldots(2n-1)\over 2.4.6\ldots 2n}{z^{2n+1}\over 2n+1}.&(1.6.7)\cr } $$ La série de l'Arctan, égale à ${1\over 2\ii}\Log{1+\ii z\over 1-\ii z}$, converge pour tout $z\in\ol D(0,1)\ssm\{+\ii,-\ii\}$, tandis que celle de l'Arcsin est absolument convergente sur le disque fermé $\ol D(0,1)$.} \endclaim \supersection{2. Fonctions holomorphes, condition de Cauchy-\break \phantom{2. }$\,$Riemann} \section{2.1. Définition des fonctions holomorphes} On a vu dans la section \S$\,$1 l'importance de la notion de dérivabilité au sens complexe. Ceci justifie la définition suivante. \claim Définition|Soit $\Omega\subset\bC$ une partie ouverte du plan complexe et $f:\Omega\to\bC$ une fonction complexe. On dit que $f$ est holomorphe si $f$ est $\bC$-dérivable en tout point, c'est-à-dire si la limite $$ f'(z)=\lim_{h\in\bC^*,\,h\to 0}{f(z+h)-f(z)\over h} $$ existe en tout point $z\in\Omega$. \endclaim \claim Notations|Conformément à l'usage courant $($dérivé de l'Italien, où holomorphe se dit olomorfico$)$, l'ensemble des fonctions holomorphes sur $\Omega$ sera noté $\cO(\Omega)$. Si~$f\in\cO(\Omega)$, la dérivée de $f$ sera notée indifféremment $f'(z)$ ou $df/dz$. \endclaim \noindent Comme l'existence d'une dérivée implique automatiquement la continuité, on a $\cO(\Omega)\subset\cC^0(\Omega)$, où $\cC^0(\Omega)$ désigne l'espace des fonctions continues $\Omega\to\bC$. \itemindent=2\parindent \claim Propriétés élémentaires|{\rm Soit $\Omega\subset\bC$ un ouvert et $f,g\in\cO(\Omega)$. Alors \smallskip \item{(2.1.1)} $\forall\lambda,\mu\in\bC$, $\lambda f+\mu g\in\cO(\Omega)$ et $(\lambda f+\mu g)'=\lambda f'+\mu g'$. \smallskip \item{(2.1.2)} $fg\in\cO(\Omega)$ et $(fg)'=f'g+fg'$. \smallskip \item{(2.1.3)} $\displaystyle{f\over g}\in\cO(\Omega\ssm g^{-1}(0))$ et $\displaystyle\Big({f\over g}\Big)'={f'g-fg'\over g^2}.$ \smallskip \item{(2.1.4)} Si $f(\Omega)$ est contenu dans un ouvert $\Omega'$ et si $h\in\cO(\Omega')$, alors $h\circ f\in\cO(\Omega)$ et $(h\circ f)'=(h'\circ f)\,f'$. \smallskip \item{(2.1.5)} Si $f'=0$, alors $f$ est constante sur chaque composante connexe de~$\Omega$. \vskip0pt} \endclaim \itemindent=\parindent \dem. La démonstration de ces propriétés est presque entièrement analogue à celle des propriétés correspondantes pour les fonctions réelles d'une variable réelle, nous omettrons donc les détails. En ce qui concerne (2.1.5), on peut supposer $\Omega$ connexe. Alors deux points quelconques de $\Omega$ peuvent être joints par un chemin polygonal tracé dans~$\Omega$, et il suffit donc de montrer que $f(a)=f(b)$ pour tout segment $[a,b]\subset\Omega$. Or ceci résulte du fait que la fonction de variable réelle $\varphi(t)= f(a+t(b-a))$ a une dérivée $\varphi'(t)=(b-a)f'(a+t(b-a))$ nulle pour tout $t\in[0,1]$.\qed Il résulte en particulier des propriétés (2.1.2), (2.1.3) que l'ensemble des fonctions holomorphes $(\cO(\Omega),+,\times,\cdot)$ a une structure de $\bC$-algèbre pour les lois usuelles d'addition, de multiplication et de produit d'une fonction par un scalaire complexe. \claim Fonctions entières|On appelle fonctions entières les fonctions qui sont holomorphes sur $\bC$ tout entier, c'est-à-dire les fonctions de~$\cO(\bC)$. \endclaim \claim Exemples|{\rm Nous avons déjà démontré que les sommes de séries entières définissent des fonctions holomorphes sur leur disque ouvert de convergence. Ainsi les fonctions polynômes $P(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n$, les fonctions $\exp$, $\cos$, $\sin$, $\ch$, $\sh$ définissent des fonctions holomorphes sur $\bC$ tout entier (i.e.\ des fonctions entières). On a par ailleurs $$ \cmalign{ \tan&{}={\sin\over\cos}\in\cO\big(\bC\ssm(\pi/2+\pi\bZ)\big),\qquad \hfill\cotan&{}={\cos\over\sin}\in\cO\big(\bC\ssm\pi\bZ\big),\cr \th&{}={\sh\over\ch}\in\cO\big(\bC\ssm(\ii \pi/2+\ii \pi\bZ)\big),\qquad \hfill\coth&{}={\ch\over\sh}\in\cO\big(\bC\ssm \ii\pi\bZ\big),\cr} $$ et de même les déterminations $\log_{\theta_0}$ et $z\mapsto z^\alpha =\exp(\alpha\log_{\theta_0} z)$ du logarithme et des fonctions puissances sont holomorphes sur l'ouvert $\Omega_{\theta_0}=\bC^*\ssm(\bR^*_-)e^{\ii\theta_0}$.} \endclaim \claim Contre-exemples|{\rm Il n'est pas très difficile de trouver des exemples de fonctions non holomorphes, on peut même en donner qui soient indéfiniment différentiables au sens réel. Ainsi la fonction $f(z)=\ol z$ n'admet nulle part de dérivée complexe, puisque la limite $$ \lim_{\bC^*\ni h\to 0}{f(z+h)-f(z)\over h}= \lim_{\bC^*\ni h\to 0}{\ol h\over h} $$ n'existe pas (si on pose $h=\rho e^{\ii \theta}$, alors $\ol h/h=e^{-\ii \theta}/e^{\ii \theta}=e^{-2\ii\theta}$ admet des limites différentes suivant chacune des demi-droites issues de l'origine). On vérifiera de même que la fonction $f(z)=|z|^2$ n'admet pas de dérivée complexe, sauf au point $z=0$ en lequel la dérivée est nulle.} \endclaim \section{2.2. Rappels sur la notion de différentiabilité} Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps $\bK=\bR$ ou~$\bC$. Étant donné un ouvert $\Omega$ dans $E$, rappelons qu'une application \hbox{$f:\Omega\to F$} est dite \hbox{$\bK$-différentiable} en un point $x\in\Omega$ s'il existe une application \hbox{$\bK$-linéaire} $\ell\in\cL_\bK(E,F)$ et une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage $V$ de l'origine dans~$E$, telles que pour $h$ dans $V$ on ait $$ f(x+h)=f(x)+\ell(h)+\Vert h\Vert \varepsilon(h),\leqno(2.2.1) $$ avec $\lim_{h\to 0}\varepsilon(h)=0$ ($\Vert\;\;\Vert$ désigne ici une norme quelconque sur $E$~; par ailleurs, l'adjectif «\? différentiable\?» utilisé seul fera toujours référence à la $\bR$-différentiabilité, si le corps de base n'est pas précisé). L'application linéaire $\ell$ s'appelle {\em différentielle} de $f$ au point $x$ et elle est notée $\ell=df_x$. Rappelons par ailleurs les conventions de notations usuelles concernant les $O$ et $o$, dites conventions de Landau$\,$: si~$h\mapsto \eta(h)$ est une fonction arbitraire, on écrit $$ \cmalign{ \eta(h)&=O(\Vert h\Vert^p)&{}\Longleftrightarrow \exists C>0,~~ \Vert\eta(h)\Vert\le C\Vert h\Vert^p,\cr \eta(h)&=o(\Vert h\Vert^p)&{}\Longleftrightarrow \exists \varepsilon,~~ \lim_{h\to 0}\varepsilon(h)=0~~\hbox{et}~~ \Vert\eta(h)\Vert\le \varepsilon(h)\,\Vert h\Vert^p.\cr} $$ La formule (2.2.1) peut alors se récrire sous la forme $$ f(x+h)=f(x)+df_x(h)+o(\Vert h\Vert).\leqno(2.2.2) $$ Si $f$ est différentiable sur $\Omega$, on note $df:\Omega\to\cL_\bK(E,F)$, $x\mapsto df_x$, l'application différentielle de~$f$. Étant donné une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ et $h=\sum_{1\le j\le n}h_je_j\in E$, une application linéaire $\ell\in\cL_\bK(E,F)$ s'exprime de manière unique sous la forme $$ \ell(h)=\sum_{1\le j\le n}h_jv_j,\qquad v_j\in F, \leqno(2.2.3) $$ avec des vecteurs $v_j=\ell(e_j)$ quelconques. En particulier, la différentielle $df$ s'écrit $$ df_x(h)=\sum_{1\le j\le n} h_j{\partial f\over\partial x_j},\qquad \forall h=\sum h_je_j,\leqno(2.2.4) $$ où $\partial f/\partial x_j=df_x(e_j)\in F$ est la dérivée partielle de~$f$ dans la direction~$e_j$. Si $f$ est linéaire, il est clair que $f$ admet une différentielle en tout point et que sa différentielle coïncide avec~$f$. Les fonctions coordonnées $x_j$, vues comme des fonctions $E\to\bK$, admettent elles-mêmes des différentielles $dx_j$ telles que $dx_j(h)=h_j$. L'identité (2.2.3) devient alors $$ \ell=\sum_{1\le j\le n}dx_j\cdot v_j=\sum_{1\le j\le n}dx_j\cdot \ell(e_j) \leqno(2.2.5) $$ et, en particulier, $(dx_1,\ldots,dx_n)$ est une base du $\bK$-espace vectoriel $\cL_\bK(E,\bK)$. Ceci nous permet d'exprimer la différentielle $df$ sous la forme plus familière $$ df=\sum_{1\le j\le n}{\partial f\over\partial x_j}dx_j.\leqno(2.2.6) $$ \section{2.3. Opérateurs $\partial/\partial z$ et $\partial/\partial\ol z$} Dans le cas où $f$ prend sa source dans un ouvert $\Omega\subset\bC$, nous utiliserons l'identification canonique $\bC\simeq\bR^2$ pour écrire la variable indifféremment $z=x+\ii y$ ou $z=(x,y)$. Si $f:\Omega\to\bC$ est $\bR$-différentiable, nous avons une différentielle $$ df={\partial f\over\partial x}dx+{\partial f\over\partial y}dy. $$ Comme on travaille sur $\bC$, il est beaucoup plus commode de faire intervenir la variable complexe $z=x+\ii y$ et sa variable conjuguée $\ol z=x-\ii y$ plutôt que les variables réelles $x$ et~$y$. La propriété de $\bC$-linéarité de la différentiation entraîne $$ \eqalign{ dz&=dx+\ii \,dy,\cr d\ol z&=dx-\ii \,dy.\cr} $$ Ceci permet de substituer $dx={1\over 2}(dz+d\ol z)$ et $dy=-{\ii \over 2}(dz-d\ol z)$ dans (2.2.6), ce qui donne $$ df={1\over 2} \Big({\partial f\over\partial x}-\ii {\partial f\over\partial y}\Big)dz +{1\over 2} \Big({\partial f\over\partial x}+\ii {\partial f\over\partial y}\Big)d\ol z. $$ L'idée sous-jacente à ce calcul est qu'on dispose de deux bases du $\bC$-espace vectoriel $\cL_\bR(\bC,\bC)$, à savoir $(dx,dy)$ et $(dz,d\ol z)$, et qu'à bien des égards la deuxième est plus commode que la première. On est alors amené à poser la définition suivante. \claim Définition|Si $z=x+\ii y\in\Omega\subset\bC$, et si $f:\Omega\to\bC$ est une fonction $\bR$-diffé\-rentiable, on note $$ {\partial f\over \partial z}={1\over 2} \Big({\partial f\over\partial x}-\ii {\partial f\over\partial y}\Big),\qquad {\partial f\over \partial\ol z}={1\over 2} \Big({\partial f\over\partial x}+\ii {\partial f\over\partial y}\Big). \leqno(2.3.1) $$ La différentielle de $f$ peut alors s'écrire $$ df={\partial f\over\partial z}dz+{\partial f\over\partial\ol z}d\ol z. \leqno(2.3.2) $$ \endclaim \claim Remarque|{\rm Les opérateurs $\partial/\partial z$ et $\partial/\partial\ol z$ sont conjugués, c'est-à-dire que l'on a $$ \ol{\Big({\partial f\over \partial z}\Big)}= {\partial\ol f\over \partial\ol z},\qquad \ol{\Big({\partial f\over \partial\ol z}\Big)}= {\partial\ol f\over \partial z}. $$} \endclaim Nous pouvons maintenant énoncer l'importante caractérisation suivante des fonctions holomorphes. \itemindent=1.5\parindent \claim Caractérisation des fonctions holomorphes|Étant donné un ouvert $\Omega\subset\bC$ et une fonction $f:\Omega\to\bC$, il y a équivalence entre \smallskip \item{\rm(i)} $f$ est holomorphe dans $\Omega$. \smallskip \item{\rm(ii)} $f$ est $\bR$-différentiable sur $\Omega$ et $df_z$ est $\bC$-linéaire en tout point $z\in\Omega$. \smallskip \item{\rm(iii)} $f$ est $\bR$-différentiable sur $\Omega$ et $\partial f/\partial\ol z=0$ en tout point $z\in\Omega$ $($cette dernière condition est connue sous le nom de condition de Cauchy-Riemann$)$. \smallskip \noindent Si l'une de ces conditions est réalisée, on a $$ {\partial f\over\partial z}=f',\qquad {\partial f\over\partial\ol z}=0. $$ \endclaim \itemindent=\parindent \dem. (i)~$\Rightarrow$~(ii) En effet, l'existence d'une dérivée complexe $f'(z)$ en tout point $z\in\Omega$ se traduit par l'existence d'une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage de l'origine dans $\bC$, telle que $\lim_{h\to 0}\varepsilon(h)=0$ et $$ {f(z+h)-f(z)\over h}=f'(z)+\varepsilon(h) $$ au voisinage de~$0$. On a donc $$ f(z+h)=f(z)+f'(z)h+h\,\varepsilon(h), $$ ce qui implique que $f$ admet une différentielle $df_z\in\cL_\bR(\bC,\bC)$, telle que \hbox{$df_z(h)=f'(z)h$}. Cette différentielle est bien $\bC$-linéaire. \noindent(ii)~$\Rightarrow$~(iii) L'écriture (2.3.2) équivaut à $$ df_z(h)={\partial f\over \partial z}\,h+ {\partial f\over \partial\ol z}\,\ol h. $$ On a donc $$ df_z(\ii h)=\ii \,{\partial f\over \partial z}\,h- \ii\,{\partial f\over \partial\ol z}\,\ol h, $$ et on voit que la condition de $\bC$-linéarité $df_z(\ii h)=\ii\,df_z(h)$ est réalisée pour tout $h$ si et seulement si $\partial f/\partial\ol z=0$. \noindent(iii)~$\Rightarrow$~(i) Sous l'hypothèse (iii), la définition de la différentiabilité jointe à l'écriture (2.3.2) fournit $$ f(z+h)=f(z)+{\partial f\over\partial z}(z)h+o(h). $$ Ceci implique bien l'existence d'une dérivée complexe $f'(z)= \partial f(z)/\partial z$ en tout point~$z\in\Omega$.\qed \claim Autre formulation de la condition de Cauchy-Riemann|{\rm Soit $f=u+\ii v$ une fonction complexe définie sur un ouvert $\Omega$ du plan complexe, avec $u,v:\Omega\to\bR$. Nous avons $$ {\partial f\over\partial\ol z}={1\over 2}\left( {\partial u\over\partial x}+\ii {\partial v\over\partial x}+\ii \Big({\partial u\over\partial y}+\ii {\partial v\over\partial y}\Big)\right), $$ donc la condition de Cauchy-Riemann $\partial f/\partial\ol z=0$ se traduit par les deux conditions de «\?conjugaison de Cauchy-Riemann\?» ($g$ et $h$ sont alors dites {\em conjuguées}) $$ {\partial u\over\partial x}={\partial v\over\partial y},\qquad {\partial u\over\partial y}=-{\partial v\over\partial x}. \leqno(2.3.3) $$ } \endclaim \claim Cas des fonctions polynomiales dans $\bC\simeq\bR^2$|{\rm Les fonctions complexes polynomiales de deux variables $x$, $y$ et de degré inférieur ou égal à $d$ peuvent s'écrire sous la forme $$ P(x,y)=\sum_{0\le\alpha+\beta\leq d}c_{\alpha\beta}x^\alpha y^\beta $$ avec des coefficients complexes $c_{\alpha\beta}$. Lorsqu'on travaille dans $\bC$, il est préférable de substituer $x=(z+\ol z)/2$ et $y=(z-\ol z)/2\ii$, ce qui donne une autre écriture $$ P(z)=\sum_{0\le\alpha+\beta\leq d}a_{\alpha\beta}z^\alpha \ol z^\beta \leqno(2.3.4) $$ avec de nouveaux coefficients $a_{\alpha\beta}$. Comme $$ {\partial\over\partial z}z=1,\quad {\partial\over\partial z}\ol z=0,\quad {\partial\over\partial \ol z}z=0,\quad {\partial\over\partial \ol z}\ol z=1, $$ on voit que les coefficients $a_{\alpha\beta}$ sont uniquement déterminés par la fonction $P$ à partir de la formule $$ a_{\alpha\beta}={1\over\alpha!\beta!}{\partial^{\alpha+\beta}\over \partial z^\alpha\partial\ol z^\beta}P(0).\leqno(2.3.5) $$ Ceci peut se réinterpréter comme un isomorphisme d'anneaux $\bC[x,y]\simeq\bC[z,\ol z]$. La fonction $z\mapsto P(z)$ est holomorphe si et seulement si $a_{\alpha\beta}=0$ pour $\beta>0$, autrement dit si $P\in\bC[z]$. } \endclaim \section{2.4. Opérateur Laplacien et fonctions harmoniques} Supposons, avec les notations précédentes, que $f=u+\ii v$ soit holomorphe et de classe $C^2$ (comme on le verra au chapitre II, \S$\,$3.1, cette dernière condition est en fait superflue, car l'holomorphie entraîne l'infinie différentiabilité de $f$). Dans ce cas $g$ et $h$ sont de classe $C^2$ et nous trouvons $$ \leqalignno{ {\partial^2 u\over\partial x^2}+{\partial^2 u\over\partial y^2}&= {\partial\over\partial x}\Big({\partial v\over\partial y}\Big)+ {\partial\over\partial y}\Big(-{\partial v\over\partial x}\Big)=0, &(2.4.1')\cr {\partial^2 v\over\partial x^2}+{\partial^2 v\over\partial y^2}&= {\partial\over\partial x}\Big(-{\partial u\over\partial y}\Big)+ {\partial\over\partial y}\Big({\partial u\over\partial x}\Big)=0 &(2.4.1'')\cr} $$ grâce au théorème de Schwarz relatif à la commutation des dérivées partielles. Le {\em Laplacien} (agissant sur les fonctions $h(x,y)$ de deux variables réelles) est par définition l'opérateur différentiel $\Delta$ d'ordre $2$ défini par $$ \Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2} \leqno(2.4.2) $$ \claim Définition|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^2$ $($ou de $\bC)$. Une fonction $h:\Omega\to\bC$ est dite harmonique si $h$ est de classe $C^2$ et $\Delta h=0$. \endclaim Une autre démonstration des propriétés d'harmonicité (2.4.1) consiste à observer que $\Delta$ s'écrit comme la composée d'opérateurs $$ \Delta= \Big({\partial\over\partial x}-\ii {\partial\over\partial y}\Big)\circ \Big({\partial\over\partial x}+\ii {\partial\over\partial y}\Big) =4{\partial\over\partial z}\circ{\partial\over\partial\ol z} =4{\partial\over\partial\ol z}\circ{\partial\over\partial z} \leqno(2.4.3) $$ (attention, on utilise ici de nouveau le théorème de Schwarz~!). La condition d'holomorphie $\partial f/\partial\ol z$ implique donc $\Delta f=0$, et de là, on déduit $\Delta u+\ii \Delta v=0$, d'où $\Delta u=\Delta v=0$. Les calculs précédents nous permettent d'énoncer le théorème suivant (nous omettrons ici l'hypothèse $C^2$ sur les fonctions holomorphes, puisque nous verrons ultérieurement que celles-ci sont automatiquement de classe $C^\infty$). On notera que la conjuguée $\ol g$ d'une fonction holomorphe $g$ est harmonique, donc toute fonction $h$ de la forme $h=f+\ol g$, avec $f$ et $g$ holomorphes, est harmonique. \claim Proposition|Si $\Omega$ est un ouvert de $\bC$ et si $f\in\cO(\Omega)$, alors $u=\Re f$, $v=\Im f$ sont des fonctions harmoniques et sont liées par les relations de conjugaison de Cauchy-Riemann $(2.3.3)$. Inversement, si $u$ et $v$ sont des fonctions de classe $C^2$ sur $\Omega$ liées par les relations de conjugaison de Cauchy-Riemann, alors $u$ et $v$ sont harmoniques et $f=u+\ii v$ est holomorphe sur~$\Omega$. De telles fonctions harmoniques $u$, $v$ sont appelées fonctions harmoniques conjuguées.\qed \endclaim \claim Corollaire|Si $f$ est holomorphe sur $\Omega\subset\bC$ et ne s'y annule pas, la fonction $\ln|f|$ est harmonique. \endclaim \dem. Pour le voir, on peut utiliser le fait qu'il existe localement des déterminations holomorphes $\log f$ du logarithme complexe de $f$ (si $z_0\in\Omega$, on se place dans un disque $D(z_0,r)$ assez petit pour que $f(D(z_0,r))$ soit contenu dans un disque $D(f(z_0),\varepsilon)$ de rayon $\varepsilon<|f(z_0)|$~; un tel disque est disjoint de la demi-droite issue de $0$ passant par $-f(z_0)$). Alors $\ln|f|=\Re(\log f)$ sur $D(z_0,r)$, et par suite $\ln|f|$ est harmonique. Bien entendu, cette propriété pourrait aussi se démontrer par un calcul direct. Nous laissons au lecteur le soin de faire ce calcul.\qed \section{2.5. Applications conformes} Soit $f:\Omega\to\Omega'$ une application $\bR$-différentiable entre deux ouverts $\Omega$, $\Omega'$ de $\bR^2$. On s'intéresse au problème de savoir à quelle condition $f$ «\?conserve les angles\?» au sens suivant~: étant donné deux courbes régulières $\gamma_1$ et $\gamma_2$ de classe $C^1$ tracées dans $\Omega$ et passant par un même point $z$, les courbes images $f\circ\gamma_1$ et $f\circ\gamma_2$ forment entre elles au point $f(z)$ un angle égal à l'angle formé par $\gamma_1$ et $\gamma_2$ au point $z$ (schéma ci-dessous). On dit alors que $f$ est une {\em application conforme}. Cette question est apparue historiquement au cours des 16${}^{\rm e}$ et 17${}^{\rm e}$ siècles, en liaison avec des problèmes de cartographie (nous y reviendrons plus en détail au Chapitre~??, à l'occasion de l'étude de la sphère de Riemann). Soient donc $\gamma_1,\gamma_2:{}]-a,a[{}\to\Omega$ deux courbes de classe $C^1$ telles que $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=z$, admettant des demi-tangentes bien définies $\gamma_1'(0)\ne 0$, $\gamma_2'(0)\ne 0$. L'angle entre les 2 courbes (orientées) est par définition l'angle de leurs demi-tangentes $\ang(\gamma_1'(0),\gamma_2'(0))$. Supposons dans un premier temps que $df_z\in\cL_\bR(\bC,\bC)$ soit un isomorphisme. Alors les courbes images $f\circ\gamma_1$ et $f\circ\gamma_2$ admettent au point $f(z)$ des demi-tangentes bien définies $$ (f\circ\gamma_1)'(0)=df_z(\gamma_1'(0))\ne 0,\qquad (f\circ\gamma_2)'(0)=df_z(\gamma_2'(0))\ne 0. $$ \InsertFig 0.000 80.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 10.000 40.000 moveto [ 10.000 40.000 10.000 52.000 14.000 58.000 22.000 62.000 30.000 60.000 38.000 64.000 46.000 56.000 44.000 42.000 28.000 34.000 ] closedcurve stroke 73.000 44.000 moveto [ 73.000 44.000 73.000 59.000 78.000 69.000 88.000 69.000 93.000 74.000 108.000 69.000 108.000 54.000 113.000 44.000 103.000 34.000 88.000 34.000 ] closedcurve stroke 0.500 setlinewidth 23.000 39.000 moveto [ 23.000 39.000 28.000 44.000 33.000 54.000 ] curve stroke 33.000 39.000 moveto [ 33.000 39.000 30.000 47.000 25.000 51.000 ] curve stroke 90.000 41.000 moveto [ 90.000 41.000 90.000 51.000 100.000 66.000 ] curve stroke 100.000 41.000 moveto [ 100.000 41.000 95.000 51.000 91.000 54.000 81.000 57.000 ] curve stroke 36.000 32.000 moveto [ 36.000 32.000 58.000 28.000 73.300 35.350 ] curve stroke 74.000 36.000 moveto 0.000 40.000 2.400 vector 0.085 setlinewidth 30.000 47.000 moveto 11.000 57.995 2.400 vector 30.000 47.000 moveto 10.000 125.972 2.400 vector 91.000 54.000 moveto 12.000 -26.565 2.400 vector 91.000 54.000 moveto 13.000 -109.440 2.400 vector 36.000 48.000 moveto 49.254 5.826 2.400 vector 30.000 47.000 moveto 30.000 47.000 4.5 57.995 125.972 circlearc 30.000 47.000 moveto 30.000 47.000 4.8 57.995 125.972 circlearc 91.000 54.000 moveto 91.000 54.000 6.55 -26.565 -109.440 circlearc 91.000 54.000 moveto 91.000 54.000 6.85 -26.565 -109.440 circlearc stroke 27.050 50.700 moveto 0.000 205 1.800 vector 88.650 47.650 moveto 0.000 170 2.400 vector stroke grestore } \LabelTeX 16.000 63.000 $\Omega$ \ELTX \LabelTeX 78.000 71.000 $\Omega'$ \ELTX \LabelTeX 26.000 46.000 $z$ \ELTX \LabelTeX 93.000 55.000 $f(z)$ \ELTX \LabelTeX 19.000 40.000 $\gamma_1$ \ELTX \LabelTeX 34.000 40.000 $\gamma_2$ \ELTX \LabelTeX 19.000 56.500 $\gamma'_2(0)$ \ELTX \LabelTeX 34.000 57.500 $\gamma'_1(0)$ \ELTX \LabelTeX 52.000 24.000 $f$ \ELTX \LabelTeX 55.000 53.000 $df_z$ \ELTX \LabelTeX 79.000 58.500 $f\circ\gamma_1$ \ELTX \LabelTeX 96.000 68.000 $f\circ\gamma_2$ \ELTX \LabelTeX 99.200 46.300 $\scriptstyle df_z(\gamma'_1(0))$ \ELTX \LabelTeX 77.000 39.800 $\scriptstyle df_z(\gamma'_2(0))$ \ELTX \EndFig \vskip-18mm \noindent Par conséquent, la propriété de conservation des angles évoquée plus haut équivaut à l'hypothèse que l'application linéaire $df_z$ préserve l'angle d'un couple de vecteurs quelconques. Rappelons qu'une application linéaire bijective $\ell\in\cL_\bR(\bC,\bC)$ conserve les angles orientés (resp.\ conserve l'angle en valeur absolue, mais avec changement de signe), si et seulement si c'est une similitude directe (resp.\ une similitude indirecte) $$ \ell(h)=ah,\qquad\hbox{(resp.\ $\ell(h)=a\ol h$),}\qquad a\in\bC^*. $$ Pour le voir, il suffit d'observer que $\ell$ transforme nécessairement une base orthonormée $(v_1,v_2)$ en une base orthogonale, et on doit avoir de plus $\Vert\ell(v_1)\Vert=\Vert\ell(v_2)\Vert$ pour que la conservation des angles ait lieu (au moins en valeur absolue)~; on obtient alors une similitude directe (resp.\ indirecte) si $(\ell(v_1),\ell(v_2))$ a même orien\-tation que $(v_1,v_2)$ (resp.\ une orientation inverse). On peut donc énoncer \claim Proposition|Soit $f:\Omega\to\Omega'$ une application entre ouverts de $\bC$ admettant en tout point une différentielle $df_z\in \cL_\bR(\bC,\bC)$ inversible. Alors \smallskip \item{\rm(i)} $f$ est une application conforme $($préservant l'orientation$)$ si et seulement si $f$ est holomorphe~$;$ \smallskip \item{\rm(ii)} $f$ est une application conforme inversant l'orientation si et seulement si $f$ est anti-holomorphe, c'est-à-dire si $df_z$ est une application $\bC$-anti-linéaire en tout point $z\in\Omega$. \vskip0pt \endclaim \claim Remarque|{\rm Même lorsque $f$ est holomorphe, il n'y a en général pas conservation des angles en un point $z_0$ où $df_{z_0}$ n'est pas inversible (ce qui, dans ce cas, équivaut à $f'(z_0)=0$). Considérons en effet $f(z)=z^n$, $z_0=0$ et $\gamma_1(t)=t\,e^{\ii \theta_1}$, $\gamma_2(t)=t\,e^{\ii \theta_2}$, $t\in\bR$. Il est clair que la courbe image $f\circ\gamma_j(t)=t^ne^{\ii n\theta_j}$ admet en $t=0^+$ une demi-tangente d'angle polaire $n\theta_j$. L'angle des demi-tangentes à droite se trouve donc multiplié par~$n$ sous l'action de $f$ (alors que cet angle est préservé en tout point $z_0\ne0$, d'après l'énoncé précédent).} \endclaim La notion d'application anti-holomorphe, quant à elle, est précisée par l'énoncé suivant (la démonstration, tout à fait immédiate, sera laissée au lecteur). \itemindent=1.5\parindent \claim Caractérisation des applications anti-holomorphes|Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $f:\Omega\to\bC$ une application. Alors il y a équivalence entre les propriétés suivantes~: \smallskip \item{\rm(i)} la fonction $\ol f:\Omega\to\bC$, $z\mapsto\ol{f(z)}$, est holomorphe~$;$ \smallskip \item{\rm(ii)} la fonction $z\mapsto f(\ol z)$ est holomorphe sur l'ouvert $\Omega'=\{\ol z\,;\; z\in\Omega\}$ miroir de $\Omega$ par rapport à la droite réelle$;$ \smallskip \item{\rm(iii)} $f$ est différentiable et, pour tout point $z\in\Omega$, la différentielle $df_z\in\cL_\bR(\bC,\bC)$ est $\bC$-anti-linéaire~$;$ \smallskip \item{\rm(iv)} $f$ est différentiable et $\partial f/\partial z=0$ sur $\Omega$. \vskip0pt \endclaim \itemindent=\parindent \supersection{3. Exercices} \subsection{3.1.} Montrer que pour tout $z\in \bC$ on a $$ \lim _{n\to+\infty} \Big( 1+{z\over n} \Big)^n = \exp (z), $$ avec convergence uniforme sur tout compact de~$\bC$. \subsection{3.2.} Soient $\Omega$ un ouvert de $\bC$ et $f:\Omega \rightarrow \bC$, $g : f(\Omega) \rightarrow \bC$ deux applications de classe $\cC^1$ au sens réel. \item{a)} Calculer $\disp{\frac{\partial}{\partial z} (g \circ f)}$ et $\disp{\frac{\partial}{\partial \bar{z}} (g \circ f)}$. \item{b)} En déduire que $\disp{{\partial \bar{f}\over\partial z}= \overline{\left({\partial f\over \partial \bar{z}}\right)}}$ et que $\disp{{\partial \bar{f}\over\partial \bar{z}}= \overline{\left({\partial f\over \partial z}\right)}}$. \subsection{3.3. Développements limités en $z$, $\ol z$.} \item{a)} Calculer l'image par $\disp{\partial \over \partial z}$ et $\disp{\partial \over \partial \bar{z}}$ de la fonction $z^n(\bar{z})^m$, où $(n,m)\in \bN^2$. \item{b)} Soit $f : \bR^2\to\bC$ possédant un développement limité à l'ordre $n$ en $(0,0)$, en termes des variables réelles $(x,y)$. Montrer qu'il existe $a_{\alpha\beta}\in\bC$, $\alpha,\beta\in\bN$, tels que $$ f(x,y)= \sum_{k=0}^n\sum_{\alpha+\beta=k}a_{\alpha\beta}z^{\alpha}\bar{z}^{\beta}+ O(|z|^{n+1}). $$ Exprimer $a_{\alpha\beta}$ en fonction des dérivées de $f$ par rapport aux variables $z$ et $\bar{z}$. \item{c)} Montrer que lorsque $f$ est analytique réelle% \bottomnote*{% La définition de l'analyticité réelle sera donnée au Chapitre~II, \S$\,$3.3.} au voisinage de 0, alors elle est holomorphe si et seulement si $a_{\alpha\beta}=0$ pour tout $\beta>0$. \subsection{3.4.} Soient $\Omega$ un ouvert connexe de $\bC$ et $f : \Omega \rightarrow \bC$ une fonction holomorphe. En utilisant les conditions de Cauchy-Riemann, montrer que $f$ est constante si elle vérifie l'une des conditions suivantes : \item{a)} $f(z) = f(\bar{z})$, \item{b)} $\Re(f) = \cste$, \item{c)} $\Im(f) = \cste$, \item{d)} $|f| = \cste$, \item{e)} $\Arg(f) = \cste$. \subsection{3.5. Polynômes harmoniques.} \item{a)} Déterminer tous les polynômes harmoniques réels homogènes de degré $3$ sur~$\bR^2$. \item{b)} Pour un tel polynôme $P$ déterminer toutes les fonctions holomorphes $u$ dont $P$ est la partie réelle. \subsection{3.6.} Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\bR ^2$, et $f:\Omega\rightarrow\bR^2$ une fonction $\bR$-différentiable, à différentielle inversible continue. On suppose que pour tout $(x_0,y_0)\in\Omega$, $f$ envoie l'horizontale et la verticale en $(x_0,y_0)$ sur deux courbes orthogonales en $f(x_0,y_0)$, et on suppose que la même hypothèse est satisfaite pour les bissectrices. Montrer que $f$ est holomorphe ou anti-holomorphe. \subsection{3.7. Lemme de la partie réelle.} \item{a)} Soit $f(z)=\sum_{n\geq 0}c_nz^n$ une série entière de rayon de convergence~$+\infty$. On écrit $f(z)=U(z)+\ii V(z)$. \item{b)} Montrer que pour $n\geq 1$ on a $\disp{c_n={1\over \pi r^n}\int_0^{2\pi}U(re^{\ii\theta}) e^{-\ii n\theta}d\theta}$. \item{c)} On note $$ M_f(r)=\sup_{|z|\leq r}|f(z)|,\qquad A_f(r)=\sup_{|z|\leq r}\Re f(z)=\sup_{|z|\leq r}U(z), $$ et on suppose dans un premier temps que $f(0)=0$. En observant que $\int_0^{2\pi}U(re^{\ii\theta}d\theta=0$, montrer que $|c_n|\le 2\,A_f(R)/R^n$ pour $n\ge 1$. En déduire que $$ M_f(r)\leq {2r\over R-r}A_f(R). $$ \item{d)} Si on ne fait pas d'hypothèse sur $f(0)$, montrer que $$ M_f(r)\leq {R+r\over R-r} |f(0)|+{2r\over R-r}A_f(R). $$ {\em Nota}. Le cas $R=2r$ est particulièrement utile $\ldots$ \bigskip\bigskip \supersection{4. Problèmes} \subsection{4.1.} Soit $f : \Omega \rightarrow \bC$ une fonction holomorphe. \item{a)} Calculer le jacobien $J(f)=\det(df)$ de $f$ en $z$ ($f$ étant considérée comme une fonction $\bR$-différentiable et $df$ comme un $\bR$-endomorphisme). \item{b)} Soit $f(z) = \sum_{n \geq 0} a_nz^n$ de rayon de convergence $R>1$, $f$ injective sur $\overline{D} = \{ |z| \leq 1 \}$ et de dérivée non nulle% \bottomnote*{% On verra en fait au Chapitre~II, \S$\,$4.2 et 4.3, que l'hypothèse d'injectivité locale implique déjà la non-annulation de $f'$.}. Calculer l'aire de $f(D)$. \item{c)} En déduire que $\hbox{Aire}\big(f(D)\big) \geq \pi |f'(0)|^2$ et traiter le cas d'égalité. \subsection{4.2. Fonctions de Bessel.} Pour $z$ et $t$ deux nombres complexes, $t\ne 0$, on considère la fonction $$ f(z,t) = \exp\frac{1}{2}z\Big(t-\frac{1}{t}\Big). $$ \item{a)} Pour $t$ non nul et $z$ fixé, montrer que l'écriture $$ f(z,t) = \sum_{n= -\infty}^{+\infty} t^nJ_n(z), $$ comme série absolument convergente détermine de façon unique les $J_n(z)$. La fonction $J_n$ est appelée {\em fonction de Bessel} d'ordre $n$. \item{b)} Montrer que $J_n$ est développable en série entière en $0$, exprimer son dévelop\-pe\-ment et calculer son rayon de convergence. \item{c)} Pour $n \geq 0$, montrer que $$ |J_n(z)| \leq \frac{|z|^n}{2^n n!}\exp\Big(\frac{|z|^2}{4(n+1)}\Big). $$ \item{d)} Montrer que $$ J_{n-1}(z)+J_{n+1}(z) = \frac{2n}{z} J_n(z) \quad\hbox{et}\quad J_{n-1}(z)-J_{n+1}(z) = 2J_n ' (z). $$ \item{e)} En déduire que $$ \frac{d}{dz} \{ z^n J_n(z) \} = z^n J_{n-1} (z) \quad\hbox{et}\quad \ \ \frac{d}{dz} \{ z^{-n} J_n(z) \} = -z^{-n} J_{n+1} (z). $$ \item{f)} Montrer que $J_n$ satisfait l'équation de Bessel d'ordre $n$~: $$ z^2 J_n ''(z) + z J_n '(z) + (z^2-n^2) J_n (z) =0. $$ \smallskip \subsection{4.3. Sur la fonction exponentielle.} Le but de ce problème est d'étudier quelques aspects de la dynamique de la fonction exponentielle. On note $\exp_n$ la fonction entière obtenue en itérant $n$ fois la fonction $\exp$. \noindent{\em Notations}~: pour $k \geq 1$, on note $B(k)$ la bande horizontale suivante $$ B(k) = \{ z \in \bC \,;~ 2(k-1)\pi < \Im (z) < 2k\pi \}. $$ Si $k \leq -1$, on note $$ B(k) = \{ z \in \bC \,;~ 2k\pi < \Im (z) < 2(k+1)\pi \}. $$ Enfin, on pose $B(0^+)=\bR _*^+$ et $B(0^-)=\bR _*^-$. \smallskip \item{a)} {\em Points fixes de l'exponentielle.} \itemitem{\bu} Décrire les images par $\exp$ des droites horizontales et verticales. \itemitem{\bu} Pour $k\ne 0$, montrer que $\exp$ induit un difféomorphisme $B(k) \to \bC ^* \ssm \bR ^+$. \itemitem{\bu} Montrer que si $z$ est un point fixe de $\exp$ (i.e.\ $\exp(z) =z$), alors $\bar{z}$ l'est aussi et $z$ est de partie réelle strictement positive. \itemitem{\bu} Montrer que si $z =x +\ii y$ est un point fixe de $\exp$, alors $$ x = y \cotan y \quad \hbox{et} \quad x^2 + y^2 =\exp (2x). $$ En déduire qu'il existe un unique point fixe de $\exp$ par bande $B(k)$ pour $k \neq 0$, et que chacun est de module strictement supérieur à $1$. \smallskip \item{b)} {\em Dynamique symbolique de l'exponentielle.} \itemitem{\bu} Décrire géométriquement la pré-image par $\exp$ des bandes $B(k)$. \smallskip \item{} Notons $A$ l'ensemble des entiers non nuls auquel on adjoint les symboles $0^+$ et $0^-$. Pour $z \in \bC$, on définit son «\?itinéraire\?» par l'exponentielle de la façon suivante~: c'est la suite $s(z)$ indexée par $\bN$ et à valeurs dans $A$, telle que $$ s_n (z) = k \quad\hbox{si} \quad \exp_n(z) \in B(k),\ k \in A $$ et $$ s_n(z) =k \quad \hbox{si} \quad \Im \exp_n(z) =2\pi k, \ k \neq 0. $$ \itemitem{\bu} Montrer que si $s_n(z) = 0^+$ ou $0^-$, alors $s_m(z) = 0^+$ pour tout $m > n$. \itemitem{\bu} Montrer que pour tout $z \in \bC$, il existe un réel positif $x$ tel que $$ \forall n \geq 0, \ 2\pi|s_n(z)| \leq \exp_n (x). $$ \item{c)} {\em Points à itinéraire prescrit.} Pour $s_0,\ldots,s_n$ des entiers non nuls, on note $V(s_0,\ldots,s_n)$ l'ensemble des points $z \in \bC$ dont l'itinéraire commence par $s_0s_1\ldots s_n$. \itemitem{\bu} Montrer que $V(s_0,\ldots,s_n)$ est non vide et est envoyé surjectivement sur $B(s_n)$ par $\exp_n$. \itemitem{\bu} Pour $k \neq 0$ et $s_0,\ldots,s_n$ des entiers non nuls, montrer qu'il existe un $z$ dans $\bC$ dont l'itinéraire est $s_0s_1\ldots s_nkk\ldots k\ldots$. \itemitem{\bu} Montrer qu'il existe une courbe de points dont l'itinéraire est $$ \hbox{$s_0s_1\ldots s_n0^-0^+0^+\ldots$ (respectivement $s_0s_1\ldots s_n0^+0^+\ldots$).} $$ Soit $\underline{s} = s_0 \ldots s_n \ldots$, où les $s_i$ sont des entiers non nuls, telle qu'il existe un réel $x>1$ satisfaisant $2\pi|s_n(z)| \leq \exp_n (x)$. On construit une suite de carrés (pleins) $C_n$ de la façon suivante~:\hb -- chaque $C_n$ est inclus dans l'adhérence de $B(s_n)$,\hb -- chaque côté de $C_n$ est parallèle aux axes et a pour longueur $2\pi$,\hb -- la verticale gauche de $C_n$ est sur la droite $\Re (z) = \exp_n (x)$. \itemitem{\bu} Montrer que pour tout $n$, $\exp(C_n) \supset C_{n+1}$. \itemitem{\bu} Montrer que si $|s_{n+1}| \neq 1$, alors l'ensemble $$ \{ z \in C_{n} \ | \ \exp(z) \in C_{n+1} \}$$ est inclus dans l'intérieur de $C_n$. \itemitem{\bu} En déduire que si $|s_n| \neq 1$ pour $n$ assez grand, alors il existe $z$ dont l'itinéraire est $\underline{s}$. \smallskip \noindent{\em Nota.} La dernière partie de ce problème est extraite de l'article de R.~Devaney et M.~Krych~: Dynamics of $\exp (z)$, {\em Ergodic theory and dynamical systems, 4 (1984), 35-52.} \end % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: