\documentclass[12pt,a4]{article} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{epsfig} \usepackage{psfig} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} % if you want the fonts \usepackage{amssymb} % if you want extra symbols \usepackage{float} \usepackage{francais} \usepackage{euscript} \setlength{\textheight}{25.5cm} \setlength{\topmargin}{-2.5cm} \setlength{\evensidemargin}{-0.8cm} \setlength{\oddsidemargin}{-0.8cm} \setlength{\textwidth}{17.3cm} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \renewcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\Complex}{\mathbb C} \newcommand{\Real}{\mathbb R} \newcommand{\Natural}{\mathbb N} \newcommand{\Integer}{\mathbb Z} \newcommand{\f}{\displaystyle \frac} \newcommand{\spac}{\vspace{0.5cm}} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\Log}{\mathrm{Log}} \newcommand{\Res}{\operatorname{Res}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\cot}{\operatorname{cotan}} \renewcommand{\sinh}{\operatorname{sh}} \renewcommand{\tanh}{\operatorname{th}} \newcommand{\ch}{\mathrm{ch}} \newcommand{\sh}{\mathrm{sh}} \newtheorem{exercice}{Exercice} \newenvironment{exo}{\begin{exercice} -- \normalfont}{\end{exercice}} \newtheorem{partie}{Partie} \newenvironment{Partie}{\begin{partie} \normalfont}{\end{partie}} \newenvironment{correction}{\noindent {\bf Correction de l'exercice} \normalfont} \newsavebox{\savepar} \newenvironment{enc}{\vspace{0.2cm}\noindent\begin{lrbox}{\savepar}% \begin{minipage}[b]{\textwidth}}{\end{minipage} \end{lrbox}% \fbox{\usebox{\savepar}} \vspace{0.2cm}} \newtheorem{exercice*}{Exercice $\star$} \newenvironment{exo*}{\begin{exercice*} \normalfont}{\end{exercice*}} %\pagestyle{empty} \begin{document} \title{TD d'Analyse Complexe \\ Pour le cours de Jean-Pierre Demailly} \date{ENS Lyon -- Deuxi\`eme semestre 2004-2005} \author{H\'el\`ene Davaux \& Tomasz Miernovski} \maketitle \iffalse \noindent {\bf Feuille 1 : } S\'eries enti\`eres et fonctions holomorphes (Formule de Cauchy-Riemann, sph\`ere de Riemann, homographies)\\ \noindent {\bf Feuille 2 : } Formule de Cauchy (Jacobien, Lemme de la partie r\'eelle et In\'egalit\'e de Borel-Carath\'eodory), Z\'eros des fonctions holomorphes, Int\'egrales sur des chemins (Primitives et logarithmes, Demi-plan de Poincar\'e)\\ \noindent {\bf Feuille 3 : } Formule de Cauchy et analyticit\'e (suite). Principe du maximum et lemme de Schwarz.\\ \noindent {\bf Feuille 4 : } Suites, s\'eries, produits infinis de fonctions holomorphes. D\'eveloppements eul\'eriens.\\ \noindent {\bf Th\`eme d'\'etude et corrig\'e : } La fonction $\Gamma$.\\ \noindent {\bf Feuille 5 : } Singularit\'e, Formule des r\'esidus.\\ \noindent {\bf Partiel 2004.}\\ \noindent {\bf Examen 2004.}\\ \noindent {\bf Partiel 2005.}\\ \noindent {\bf Examen 2005.}\\ \newpage \fi \tableofcontents \newpage \ \thispagestyle{empty} \newpage \addcontentsline{toc}{section}{{\sc Feuilles de TD}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 1 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 1 : } S\'eries enti\`eres et fonctions holomorphes (Formule de Cauchy-Riemann, sph\`ere de Riemann, homographies).} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 01/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 1 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{3mm} \centerline{{\large \bf S\'eries enti\`eres et fonctions holomorphes}} \vspace{3mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it D\'etermination du logarithme} \vspace{2mm} Que pensez-vous de la suite d'\'egalit\'es suivantes, qui est une ``d\'emonstration'' du fait que, si $\log$ est une d\'etermination du logarithme, on a $\log(-z) = \log(z)$ : $$\begin{array}{rcl} \log((-z)^2) & = & \log(z^2)\\ \log(-z) + \log(-z) & = & \log(z) + \log(z) \\ 2 \log(-z) & = & 2 \log(z) \\ \log(-z) & = & \log(z) \end{array}$$ \end{exo} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Exponentielle} \vspace{2mm} Montrer que $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( 1+ \frac{z}{n}\right)^n = \exp(z)$ pour tout nombre complexe $z$. Montrer que la convergence est uniforme sur tout compact de $\CC$. \noindent {\it Indication : } on pourra d\'evelopper $ \displaystyle (1+z/n)^n$ par la formule du bin\^ome. \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Diff\'erentielle d'une fonction holomorphe/Cauchy-Riemann}. \vspace{2mm} Soit $U$ un ouvert de $\CC$ et $f : U \to \CC$ une fonction $C^1$ au sens r\'eel. \vspace{2mm} \noindent {\bf 1)} On suppose que $f$ est holomorphe (d\'erivable au sens complexe). En tirer des cons\'equences sur $Df(z)$ o\`u $z \in U$. \'Etudier la r\'eciproque. \vspace{2mm} \noindent {\bf 2)} Montrer que toute application $\RR$-lin\'eaire $L : \CC \to \CC$ s'\'ecrit de fa\c con unique $L(z) = az + b \overline z$ o\`u $a$ et $b \in \CC$. On note $ \displaystyle \quad dz : z \to z, \quad d\overline z : z \to \overline z, \quad dx : z \to Re(z) \;\;\textrm{ et }\;\; dy : z \to Im(z), \quad$ de sorte que \linebreak $L~=~adz+bd\overline z$. Montrer que $L$ est $\CC$-lin\'eaire si et seulement si $b=0$. Exprimer $dz$ et $d \overline z$ en fonction de $dx$ et $dy$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 3)} L'application $Df(z)$ est $\RR$-lin\'eaire pour tout $z \in U$. On d\'efinit $ \displaystyle Df(z) =\frac {\partial f} { \partial z}(z) dz + \frac {\partial f} { \partial \overline z}(z) d\overline z.$ a - Exprimer $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial z}$ et $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial \overline z}$ en fonction de $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial x}$ et $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial y}$. Calculer $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial z}$ et $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial \overline z}$ pour $z \mapsto \overline z^2$. b - Montrer que $f$ holomorphe si et seulement si $ \displaystyle \frac {\partial f} { \partial \overline z}=0$ (relation de Cauchy-Riemann). c - Calculer $ \displaystyle \frac {\partial } { \partial z} (f \circ g)$ et $ \displaystyle \frac {\partial } { \partial \overline z} (f \circ g)$. En d\'eduire que $ \displaystyle \frac {\partial \overline f} { \partial z} = \overline{\left( \frac {\partial f} { \partial\overline z} \right )} \quad \mathrm{et} \quad \frac {\partial \overline f} { \partial \overline z} = \overline{\left( \frac {\partial f} { \partial z} \right )}.$ \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Diff\'erentielle d'une fonction holomorphe/Angles orient\'es}. \vspace{2mm} Soit $U$ un ouvert de $\RR^2$ et $f : U \to \RR^2$ une fonction $C^1$ dont la diff\'erentielle est inversible. On suppose qu'en tout point $(x,y)\in U$, $f$ envoie l'horizontale et la verticale sur deux courbes orthogonales en $f(x,y)$. On fait la m\^eme hypoth\`ese sur les bissectrices. Montrer que $f$ est holomorphe ou anti-holomorphe ($\overline f$ holomorphe). \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} Montrer qu'il n'existe pas de fonctions $f$ et $g$ holomorphes non constantes sur le disque unit\'e telles que $\Re e (f) = |g|$. \noindent {\it Indication :} calculer les laplaciens ($\Delta : = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$) de ces deux fonctions. \end{exo} \vspace{2mm} \newpage %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Fonctions holomorphes constantes}. \vspace{2mm} \noindent {\bf 1)} Soit $f: U \rightarrow {\Bbb C}$ une fonction holomorphe sur $U$, un ouvert connexe de $\Bbb C$. On suppose m\^eme\footnote{vous verrez bient\^ot en cours que cette hypoth\`ese est redondante} que $f$ est $C^1$ sur $U$. Prouver que les conditions suivantes sont \'equivalentes : $(i)$ $f$ est constante. \hspace{1cm} $(ii)$ $P=\Re e(f)$ est constante. \hspace{1cm} $(iii)$ $Q=\Im m(f)$ est constante. $(iv)$ $\overline f$ est holomorphe sur $U$. \hspace{1cm} $(v)$ $|f|$ est constante. \hspace{1cm} $(vi)$ $f(z) =f(\overline z)$ \vspace{2mm} \noindent {\bf 2)} Soit $U \subset \CC$ un ouvert connexe, $f$ une fonction holomorphe sur $U$ et $F$ une fonction $C^1$ de $\RR$ dans $\RR$ telles que $\Re e(f(z))= F(\Im m (f(z)))$ pour tout $z \in U$. Que dire de $f$ ? \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} D\'eterminez les polyn\^omes harmoniques homog\`enes de degr\'e 3 dans $\Bbb R^2$, c'\'est \`a dire les polyn\^omes de la forme $P(x,y) = a x^3+by^3+cx^2y+dxy^2$ tels que $\Delta P = \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=0$. Quelles sont les fonctions holomorphes dont ils sont parties r\'eelles ? \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Sph\`ere de Riemann.} \vspace{2mm} Notons $\widehat{\CC} = \CC \cup \{\infty\}$ (o\`u $\infty$ est juste un nom pour le point ajout\'e). On d\'efinit une base de voisinages pour chaque point. Consid\`erons donc un point $z$ de $\CC \cup \{\infty\}$. De deux choses l'une : - Soit $z \in \CC$, on prend alors pour base de voisinages de $z$ les boules ouvertes centr\'ees en $z$ - Soit $z = \infty$, cas o\`u on prend pour base de voisinages de $\infty$ dans $\widehat \CC$ les compl\'ementaires des compacts de $\CC$ auxquels on ajoute $\infty$, en d'autre termes les $\CC - K \cup \{ \infty\}$, o\`u $K$ est un compact. \vspace{2mm} Montrer que cette topologie fait de $\widehat \CC$ un espace topologique compact, hom\'eomorphe \`a la sph\`ere unit\'e de l'espace euclidien $\RR^3$ ({\it Indication : } Utiliser la projection st\'er\'eographique.). \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Homographies.} \vspace{2mm} Soit $f: \widehat \CC \rightarrow \widehat \CC$ telle que $ \displaystyle f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ avec $ad-bc\neq 0$, $f(-d/c)= \infty$ et $f(\infty) = a/c$ (si $c =0$, on pose par convention $1/c = \infty$) \vspace{2mm} \noindent {\bf 1)} Montrer que toute homographie $f$ r\'ealise un hom\'eomorphisme de $\widehat \CC$ sur $\widehat \CC$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 2)} Soit $c \neq 0$, montrer que toute homographie est holomorphe de $\CC - \{-d/c \}$ sur $\CC - \{a/c \}$ et donc est conforme en tout point de $\CC - \{ -d/c\}$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 3)} Montrer que l'ensemble $\Lambda$ de toutes les homographies forme un groupe pour la composition des applications, isomorphe \`a $Gl(2,\CC)/{\{\lambda \mathrm{Id}, \lambda \in \CC^*\}} := PGL(2,\CC)$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 4)} On appelle \emph{cercle} de $\widehat \CC$ tout cercle ou droite du plan complexe. Montrer que toute homographie envoie cercle de $\widehat \CC$ sur cercle de $\widehat \CC$. \noindent ({\it Indication : } On pourra \'etudier les cas particuliers $z \mapsto 1/z$ et $z \mapsto az+b$, puis mettre $f$ sous la forme $f(z) = A + B/(z+C)$.) \vspace{2mm} \noindent {\bf 5)} Montrer que pour tout triplet $z_1,z_2,z_3 \in \CC$ distincts et tout triplet $w_1,w_2,w_3 \in \CC$ distincts, il existe une homographie $L$ et une seule telle que $L(z_k)=w_k$, pour tout $k$. \noindent {\it Indication : } on pourra utiliser le triplet interm\'ediaire $0, \infty, 1$. \noindent {\it Remarque : } C'est encore vrai si l'un des $z_k$ et/ou l'un des $w_k$ est $\infty$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 6)} (a) Montrer que tout couple de disques $(D_1,D_2)$ de $\widehat \CC$ sont homographiquement isomorphes ({\it i.e.} il existe une homographie qui envoie $D_1$ sur $D_2$) \noindent {\it Indication : } Utiliser les questions {\bf 4)} et {\bf 5)} pour envoyer $D_k$ sur ${\bf D} = \{ z \in \CC, |z|<1\}$ ou $\widehat \CC - {\bf D}$ par une homographie. (b) Exemple 1 : Trouver toutes les homographies de $D_1={\bf H}= \{z, \Im m z >0\}$ sur $D_2={\bf D}$. (c) Exemple 2 : Trouver tous les isomorphismes homographiques de ${\bf D}$ ($D_1 =D_2 = {\bf D}$). (d) Exemple 3 : Trouver tous les isomorphismes homographiques de ${\bf H}$ ($D_1 =D_2 = {\bf H}$). \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \iffalse \begin{exo} Soit $\displaystyle {\sum_0^{+ \infty}} a_n z^n$ une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence 1, et $f$ sa somme sur le dique unit\'e ouvert $D$. On se donne $\alpha \in ]0;1[$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 1)} On suppose qu'il existe $C_1 > 0$ tel que $|f(z)| \leq C_1{(1- |z|)}^{- \alpha}$ si $z \in D$. Montrer qu'il existe $C_2>0$ tel que $|a_n| \leq C_2 n^{\alpha}$ si $n \geq 1$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 2)} On suppose qu'il existe $C_2 > 0$ tel que $|a_n| \leq C_2 n^{\alpha}$ si $n \geq 1$. Montrer qu'il existe $C_1>0$ tel que $|f(z)| \leq C_1{(1- |z|)}^{- \alpha -1}$ si $z \in D$. \vspace{2mm} \noindent {\it Indications :} Pour {\bf 1)}, \'ecrire $a_n$ en fonction de $f(re^{it})$ et optimiser en $r$. Pour {\bf 2)}, poser $r=e^{-y}$ et majorer d'abord $\sum_1^\infty n^{\alpha-1}r^n$ par $\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-ty} dt$. Puis consid\'erer $(1-r) \sum_1^\infty n^\alpha r^n$ pour se ramener \`a $\sum_1^\infty n^{\alpha-1}r^n$. \fi \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 2 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 2 : } Formule de Cauchy (Jacobien, Lemme de la partie r\'eelle et In\'egalit\'e de Borel-Carath\'eodory), Prolongement analytique. Integrales sur des chemins (Primitives et logarithmes, Demi-plan de Poincar\'e).} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 01/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 2 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{2mm} \begin{center}{\large \bf Formule de Cauchy, Prolongement analytique,\\ Int\'egrales sur des chemins} \end{center} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Jacobien}. \vspace{1mm} \noindent {\bf 1)} Soit $U$ un ouvert de $\CC$ et $f : U \to \CC$ une fonction holomorphe (et $C^1$ au sens r\'eel). Calculer le Jacobien de $f$ en $z$ en fonction de $f'$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2)} Soit $f(z) = \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ de rayon de convergence $R$. On suppose que $R >1$ et que $f$ est injective\footnote{vous verrez dans la suite que l'hypoth\`ese d'injectivit\'e locale implique d\'ej\`a la non-annulation de $f'$.} sur $\overline \Delta = \{ |z| \leq 1\}$ de d\'eriv\'ee non nulle. Calculer l'aire de $f(\Delta)$ en fonction de $f'$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 3)} En d\'eduire que $Aire\ (f(\Delta)) \geq \pi |f'(0)|^2$. Traiter le cas d'\'egalit\'e. \end{exo} \vspace{0mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Lemme de la partie r\'eelle et In\'egalit\'e de Borel-Carath\'eodory.} \vspace{1mm} \noindent {\bf 1)} Soit $f$ une fonction enti\`ere (i.e une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence $+\infty$). On note $f(z) = \sum_{n \geq 0}c_n z^n$. et on \'ecrit $f(z) = u(z) + i v(z)$ (i.e. $u(z) = \Re e f(z)$ et $v(z) = \Im m f(z)$). (a) Montrer que, pour tout $n \geq 1$, $ \displaystyle c_n = \frac{1}{\pi r^n} \int_{0}^{2\pi} u(re^{it})e^{-int} dt \quad $ (Lemme de la partie r\'eelle) Que dire pour $a_0$ ? (b) On note : $\quad \displaystyle M_f(r)= \sup_{|z|\leq r}|f(z)| \quad \textrm{ et } \quad \displaystyle A_f(r) = \sup_{|z| \leq r} \Re e f(z) = \sup_{|z| \leq r} u(z).$ \noindent D\'eduire de (a) que si $R \geq r$, on a $$M_f(r) \leq \frac{2r}{R-r} A_f(R)+ \frac{R+r}{R-r}|f(0)| \quad \textrm{(In\'egalit\'e de Borel-Carath\'eodory)}$$ \noindent {\it Indication : } Commencer par le cas $f(0) =0$ : En observant que dans ce cas, $\int_0^{2\pi} u(re^{i\theta}) d \, \theta =0$ et en se ramenant au cas o\`u $\Re e f \geq 0$, montrer que $|c_n| \leq 2A_f(R)/R^n$ pour $n \geq 1$ et en d\'eduire que $ \displaystyle M_f(r)\leq \frac{2r}{R-r}A_f(R)$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2)} (a) Soit $f$ une fonction enti\`ere. Montrer que si $M_f(r) \leq Ar^n+B, \forall r$, alors $f$ est un polyn\^ome de degr\'e au plus $n$. \vspace{1mm} (b) En \'ecrivant l'in\'egalit\'e obtenue en {\bf 1)}(b) pour $R =2r$, montrer que si $f$ est une fonction enti\`ere telle que $A_f(r) \leq Ar^n+B, \forall r,$ alors $f$ est un polyn\^ome de degr\'e au plus $n$. \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\bf 1)} Soient $r \in \RR^*_+$ et $U = D(0,r) \in \CC$. Existe-t-il des fonctions analytiques sur $U$, v\'erifiant pour $n$ assez grand, \hspace{.01cm} a) $ \displaystyle f\left(\frac 1n\right) = \frac{1}{n^2}$; \hspace{.02cm} b) $ \displaystyle f\left(\frac{1}{2n}\right)= f\left(\frac{1}{2n+1}\right)= \frac 1 n$; \hspace{.02cm} c) $ \displaystyle f\left(\frac 1n\right)= e^{-n}$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2)} Soit $f$ la somme d'une s\'erie entiere de rayon de convergence $1$. On suppose que $\forall~n~\geq~1$, $f(\frac 1 n)~\in~\RR$. Montrer que les coefficients de la s\'erie de Taylor de $f$ en $0$ sont r\'eels. \end{exo} \vspace{0mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Points singuliers} Soit $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_kz^k$ une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence 1. On note $f(z)$ sa somme sur le disque unit\'e. Un point $w$ du cercle unit\'e est dit r\'egulier si $f$ admet un prolongement analytique sur un voisinage de $w$. Dans le cas contraire, le point est dit singulier. Montrer que l'ensemble des points singuliers est toujours non vide. \noindent ({\it Indication : } on raisonnera par l'absurde.) \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%% \begin{exo}{\it S\'erie enti\`ere non prolongeable sur le bord du disque de convergence.} %\vspace{1mm} On d\'esigne par $D$ le disque unit\'e ouvert dans ${\Bbb C}$ et par $\Gamma$ le cercle unit\'e. Soit $({\epsilon}_n)_{n \geq 0}$ la suite d\'efinie par ${\epsilon}_0=1$, ${\epsilon}_{2n}=\epsilon_n$ et ${\epsilon}_{2n+1}=- \epsilon_n$. Pour tout $z$ dans $D$, on pose $f(z)= %\displaystyle {\sum_0^{+ \infty}} \epsilon_n z^n$. \noindent {\bf 1)} Montrer que : $\forall z \in D$, $f(z)=(1-z)f(z^2)$. En d\'eduire que, $\forall z \in D$, $f(z)=\displaystyle \prod_0^{+ \infty} (1-z^{2^n}).$ \noindent {\bf 2)} Soit $I$ un arc de $\Gamma$, et $u=\exp(\frac{2i k \pi}{2^N} )$ un point dyadique de cet arc. Montrer que si $r \in [0;1[$, on a $|f(ru)| \leq 2^N(1-r^{2^N})$. En d\'eduire que la fonction $f$ ne peut \^etre prolong\'ee analytiquement en aucun point de $\Gamma$. \end{exo} %\vspace{1mm} %\centerline{{\large \bf Int\'egrale sur des chemins}} %\vspace{1mm} \vspace{0mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Primitives et logarithmes.} \vspace{0mm} \noindent {\bf 1)} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque $D(z_0,R)$ (si $R = +\infty$, on consid\`ere que $D(z_0,R)=\CC$). Montrer que $f$ admet sur ce disque une primitive holomorphe, unique (\`a une constante pr\`es). Que dire du cas o\`u $f$ est holomorphe sur un domaine $\Omega$ (diff\'erent de $D(z_0,R)$)~? \vspace{0mm} \noindent {\bf 2)} On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $D(z_0,R)$. Montrer l'existence d'une fonction holomorphe $g$ sur $D(z_0,R)$ telle que $e^g=f$. Etudier l'unicit\'e de $g$. \vspace{0mm} \noindent {\bf 3)} Applications: a- Si $f$ ne s'annule pas sur $D(z_0,R)$ et $m \in\NN^*$, montrer \`a l'aide de {\bf 2)} l'existence d'une fonction holomorphe $h$ telle que $h^m=f$. \vspace{0mm} b- {\it Th\'eor\`eme de Thron : } Montrer qu'il n'existe pas de fonction enti\`ere telle que $f \circ f = \exp$ \noindent {\it Indication :} On raisonne par l'absurde : soit $f$ une telle fonction, montrer que l'image de $f$ est $\CC^*$. En d\'eduire qu'il existe une fonction enti\`ere $g$ telle que $f = \exp \circ g$, puis qu'il existe une constante $C$ telle que $g \circ f = Id + C$. Conclure. \vspace{0mm} c- Soit $f$ une fonction enti\`ere non constante. On note $M_f(r)$ le supremum de $ |f|$ sur le disque ferm\'e de centre $0$ et de rayon $r$. On suppose qu'il existe $A$ et $B$ r\'eels tels que $M_f(r) \leq Ae^{Br^n}$. En utilisant la question {\bf 2)} et l'in\'egalit\'e de Borel-Carath\'eodory, montrer que, si $f$ ne s'annule pas, alors $f = \exp \circ P$ o\`u $P$ est un polyn\^ome de degr\'e au plus $n$. En d\'eduire que soit $f$ est surjective, soit $f$ "rate" une unique valeur $a$ et que si $b \not = a$, alors $b$ a une infinit\'e d'ant\'ec\'edents par $f$ (on peut voir ce r\'esultat comme un cas particulier du th\'eor\`eme de Picard). \end{exo} \vspace{0mm} \begin{exo} {\it Demi-plan de Poincar\'e.} \newcommand{\de}{\mathrm{dist}} %\vspace{1mm} Soit $\gamma : [0,1] \rightarrow {\bf H}$ une application $C^1$ par morceaux (un chemin). On d\'efinit la longueur de $\gamma$ par $$\displaystyle \ell(\gamma) = \int_0^1 {{|\gamma^{\prime}(t)|} \over {\Im m(\gamma (t))}}dt.$$ %\vspace{1mm} \noindent {\bf 1)} % Montrer que $\de$ d\'efinit une distance sur ${\bf H}$. % Comment le groupe $SL(2,\Bbb R)$ agit-il sur ${\bf H}$ ? \noindent Soit $A \in SL(2,\RR)$ et $\gamma : [0,1] \rightarrow {\bf H}$ une application $C^1$ par morceaux. Montrer que $\ell(\gamma) = \ell(A \cdot \gamma)$. %\vspace{1mm} \noindent {\bf 2)} Montrer que si $z_1=ia$ et $z_2=ib$ ($01$, alors la fonction d\'efinie par la formule $(\star_1)$ est holomorphe et que $\Re e f=u$ sur $\overline{D(0,1)}$. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Probl\`emes de prolongement.} \noindent {\bf 1.} Repr\'esenter $f(z)=(1-z)^{-1}$ sous la forme d'une s\'erie enti\`ere en tout point $z_{0}\neq 1$. D\'eterminer le rayon de convergence correspondant et l'ensemble de points singuliers appartenant au bord du disque de convergence. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Peut-on trouver deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$, holomorphes sur deux ouverts connexes $U_{1}$ et $U_{2}$ respectivement, telles que $U_{1}\cap U_{2}$ ait deux composantes connexes, $f_{1}\equiv f_{2}$ sur l'une et $f_{1}\not \equiv f_{2}$ sur l'autre ? Exemple ? \end{exo} \vspace{2mm} \centerline{{\large \bf Principe du maximum, lemme de Schwarz}} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it $M_f$ et $A_f$.} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $D(0,r)$. On note $$\displaystyle M_f(\rho) = \sup\{ |f(z)|, \; \; |z| = \rho \} \quad \textrm{ et } \quad \displaystyle A_f(\rho) = \sup\{ \Re e f(z), \; \; |z| = \rho \}$$ \noindent {\bf 1.} Montrer que la fonction $\rho \mapsto M_f(\rho)$ est croissante et continue sur $[0,\rho[$. Prouver que si $f$ n'est pas constante, $M_f$ est strictement croissante. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Montrer que la fonction $\rho \mapsto A_f(\rho)$ est croissante et continue sur $[0,\rho[$. Prouver que si $f$ n'est pas constante, $A_f$ est strictement croissante. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%% \begin{exo} Soit $U$ un ouvert de $\CC$ contenant le disque unit\'e ferm\'e, et $f : U \rightarrow \CC$ holomorphe. \noindent {\bf 1.} Si $f(0) = 1$ et $|f(z)| > 1$ pour $|z| = 1$, montrer que $f$ s'annule dans $D$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Si $|f(z)| < 1$ pour $|z| = 1$, montrer que $f$ a un unique point fixe dans $D$. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} Soit $D$ le disque unit\'e et $f$ une fonction holomorphe dans $D$, sans z\'ero dans $D$. Montrer qu'il existe une suite $(z_{n})$ de points dans $D$ telle que $|z_{n}|\rightarrow 1$ et la suite $(f(z_{n}))$ est born\'ee. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} Soit $D$ le disque unit\'e ouvert et $f : D \rightarrow \overline D$ une fonction holomorphe propre (c'est-\`a-dire que $|f(z)| \to 1$ lorsque $|z| \to 1$). \vspace{1mm} \noindent {\bf 1.} Montrer que si $f$ n'est pas constante, alors elle s'annule dans $D$ et en d\'eduire que $f$ est surjective. \noindent {\it Indication} : consid\'erer les fonctions $1/f$ et $\phi \circ f$ o\`u $\phi$ est un automorphisme homographique du disque ({\it i.e.} $\phi(z) = \phi_a(z) = \frac{z-a}{1-\bar a z}$ avec $a \in D$). \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Prouver que $f$ n'a qu'un nombre finis de z\'eros $a_1, \cdots,a_N \in D$, et que si $m_1, \cdots,m_N$ sont leurs multiplicit\'es respectives, alors il existe une constante $\lambda$ de module $1$ telle que $f = \lambda \Pi_{j=1}^N \phi_{a_j}^{m_j}$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Soit $m = \sum m_j$. Alors, pour tout $w \in D$ l'\'equation $f(z) = w$ admet exactement $m$ racines dans $D$ (compt\'ees avec multiplicit\'e). \noindent {\it Indication} : si $m_w$ est le nombre de racines pour $w$, alors $m_w \leq m=m_0$. Echanger les r\^oles de $0$ et $w$ \`a l'aide d'un automorphisme du disque. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} Soient $U\subset \CC$ un ouvert connexe et $f$ holomorphe sur $U$. Soient $a\in U$ et $r>0$ tel que $\overline{D}(a,r)\subset U$. Montrer que dans chacun de trois cas suivants $f$ est constante : \begin{enumerate} \item si la partie r\'eelle $Re(f)$ poss\`ede un maximum ou un minimum local en $a$; \item si $f(a+re^{it})\in \RR$ pour tout $t\in\RR$; \item si $t\mapsto |f(a+re^{it}|$ est constante et $f$ ne s'annule pas dans $U$. \end{enumerate} \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $D(0,r)$, et telle que $f(0)$ n'est pas nul. On note $M = \sup\{ |f(z)|, \; \; |z| = r \}$. Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que le nombre de z\'eros de $f$ dans $D(0,r/3)$ est inf\'erieur ou \'egal \`a $\displaystyle{C \log(\frac{M}{|f(0)|}) }$. \noindent {\it Indication} : consid\'erer la fonction $ \displaystyle{ g(z) = \frac{f(z)}{ \prod _{m=1}^{n} (1 - \frac{z}{z_m}) }} $ o\`u les $z_m$ sont les z\'eros de $f$ dans $D(0,r/3)$. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Trois cercles de Hadamard} \noindent Soient $00$, on commencera par des polyn\^omes particuliers (par exemple, $z^2-1$). On s'attachera \`a d\'eterminer le nombre de composantes connexes. \end{exo} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 4 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 4 : } Suites, s\'eries, produits infinis de fonctions holomorphes. D\'eveloppements eul\'eriens.} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 02/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 4 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{3mm} \centerline{{\large \bf Suites, s\'eries, produits infinis de fonctions holomorphes}} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Suites de fonctions holomorphes.} \noindent {\bf 1.} Soit $(f_n)$ une suite dans $\mathcal O(\Omega)$. On suppose que $f_n$ converge vers une fonction complexe $f$ uniform\'ement sur tout compact de $\Omega$. {\bf a.} Montrer que $f$ est holomorphe sur $\Omega$ {\bf b.} Pour tout entier $l$, montrer que la suite des d\'eriv\'ees $(f_n^{(l)})$ converge vers $f^{(l)}$ uniform\'ement sur tout compact. \noindent {\it Indication :} utiliser la formule de Cauchy. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Donner un exemple, dans le cas r\'eel, d'une suite de fonctions analytiques r\'eelles qui converge uniform\'ement sur tout compact mais dont la limite n'est pas analytique (ni m\^eme de classe $C^1$). \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Soit $\Omega$ un ouvert de $\CC$, et $\overline{D}(z_0,R) $ un disque ferm\'e inclus dans $\Omega$ et $(f_n)$ une suite dans $\mathcal O(\Omega)$. On suppose que $f_n$ est uniform\'ement born\'e sur $\overline{D}(z_0,R)$. Montrer qu'il existe une sous-suite de $(f_n)$ qui converge uniform\'ement sur $\overline{D}(z_0,R/2)$. {\it (version faible du Th\'eor\`eme de Montel)}. \noindent {\it Indication :} Utiliser le th\'eor\`eme d'Ascoli. \end{exo} \vspace{1cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Un r\'esultat de densit\'e.} Soit une suite $(f_n)$ de fonctions holomorphes qui convergent simplement vers une fonction complexe $f$ dans $\Omega$. Montrer que $f$ est holomorphe sur un ouvert dense de $\Omega$. \noindent {\it Indication :} Utiliser le th\'eor\`eme de Baire et le th\'eor\`eme de Montel. \end{exo} \vspace{1cm} %%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Familles normales et th\'eor\`eme de Montel} \vspace{2mm} {\bf 1.} Soit $\Omega$ un ouvert connexe du plan et $z_0$ un point de $\Omega$. Montrer que la famille des fonctions holomorphes $f$ sur $\Omega$ telles que $f(0)=1$ et dont la partie r\'eelle est positive est une famille normale [On pourra commencer par la cas o\`u $\Omega$ est le disque unit\'e et $z_0=0$]. \vspace{2mm} {\bf 2.} Montrer que $(z^n)_{n\geq 0}$ est une famille normale dans $D(0,1)$, dans $\{|z|>1|\}$, mais n'est pas normale au voisinage d'un point du cercle unit\'e. \vspace{2mm} {\bf 3.} Soit $f$ une fonction enti\`ere, montrer que la famille des fonctions $(f(k\cdot))_{k\in\CC}$ est normale dans la couronne de rayons $r_1$, $r_2$ si et seulement si $f$ est un polyn\^ome. \end{exo} \vspace{1cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Produit infini de nombres complexes.} \vspace{0mm} Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombre complexe. On note $P_n = \prod_{k=0}^n (1+u_k)$ les ``produits partiels'' associ\'es. On dit que le produit infini $\prod (1+u_n)$ converge si la suite $P_n$ converge. \noindent {\bf 1.} Montrer que $$\forall n, \quad \left| \prod_{k=0}^n(1+u_k) -1 \right| \leq \prod_{k=0}^n(1+|u_k|)-1 \leq \exp(\sum_{k=0}^n |u_k|)-1$$ \noindent {\bf 2.} On suppose que $\sum |u_k|$ converge. Montrer que le produit $P_n$ converge et que sa limite est nulle si et seulement si il existe $n_0$ tel que $u_{n_0}+1=0$. \end{exo} \pagebreak \begin{exo} {\it Produit infini de fonctions holomorphes.} On consid\`ere maintenant $(u_n(z))$ une suite de fonctions holomorphes sur $\Omega$. On pose \linebreak $f_n(z) =1+u_n(z)$ et on d\'efinit $P_n(z) = \prod_{k=0}^n (1+u_k(z)) = \prod_{k=0}^n f_k(z)$. \noindent {\bf 1.} Montrer que si $\sum |u_n|$ converge uniform\'ement sur tout compact, alors le produit infini $P_n$ converge uniform\'ement sur tout compact vers une limite $P = \prod_{n=1}^{+\infty} f_n$ holomorphe sur $\Omega$ et l'ordre d'un z\'ero de $P$ est la somme ses ordres dans les termes du produit. \vspace{0mm} \noindent {\bf 2.} On suppose que chaque $f_n$ n'est pas identiquement nulle. Montrer que la d\'eriv\'ee logarithmique de $P$ est donn\'ee par \noindent \centerline{ $ \displaystyle \frac{P'}{P}= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f_n'}{f_n}$} \noindent en tout point de $\Omega$ qui n'est pas z\'ero de l'une des fonctions $f_n$. Montrer que la convergence de cette s\'erie est uniforme sur tout compact $K$ de $\Omega$ (si on omet les termes en nombre fini pour lesquels $f_n$ s'annule \'eventuellement sur $K$). \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Formule d'Euler.} \noindent {\bf 1.} Montrer que le produit infini $ P(z) = \displaystyle z\prod_{n=1}^{+\infty} (1 - \frac{z^2}{n^2\pi^2})$ est uniform\'ement convergeant sur tout compact de $\CC$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Quels sont les z\'eros de $P$ ? On pose $ \displaystyle g(z) = \frac{P(z)}{\sin z}.$ Montrer que $g$ est enti\`ere. \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Calculer la d\'eriv\'ee logarithmique de $P$ et montrer que $P'/P$ est impaire et p\'eriodique de p\'eriode $\pi$. Puis, calculer la d\'eriv\'ee logarithmique de $g$ et en d\'eduire que $g'/g$ est impaire et p\'eriodique de $\pi$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 4.} Soit $A >0$ et $B_A = \{ z =x+iy \in \CC, -\pi/2 \leq x \leq \pi/2, |y| >A\}$. Pour $z \in B_A$, montrer que $$ \displaystyle |\textrm{cotan }z| \leq \textrm{coth }A \quad \textrm{ et } \quad \left|\frac{2z}{n^2\pi^2-z^2} \right|\leq \frac{2|z|}{n^2 \pi^2/4}$$ En d\'eduire qu'il existe $C_1$ et $C_2$ deux constantes positives, telle que $$ \displaystyle \forall z \in B_A, \quad \left| \frac{g'(z)}{g(z)}\right| \leq C_1 +C_2 |z|.$$ Montrer que l'on peut \'etendre cette in\'egalit\'e \`a $\CC$ (en changeant au besoin $C_1$ et $C_2$). \vspace{1mm} \noindent {\bf 5.} D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $g$ est constante, \'egale \`a $1$, puis les formules d'Euler : \begin{eqnarray*} \sin \pi z & =& \pi z \prod_{n=1}^{+\infty} (1-\frac{z^2}{n^2}) \quad \textrm{ pour tout } z \in \CC\\ \textrm{cotan } z &=& \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{z-n\pi} + \frac{1}{z+n\pi} \right) \quad \textrm{ pour tout } z \in \CC - \pi \ZZ\\ \frac{1}{\sin^2z} &=& \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(z-n\pi)^2} \quad \textrm{ pour tout } z \in \CC - \pi \ZZ \end{eqnarray*} \end{exo} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% DM %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Th\`eme d'\'etude : } Fonction $\Gamma$ } \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 02/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0cm} Th\`eme d'\'etude & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{3mm} \centerline{{\large \bf Fonction $\Gamma$ : $ \displaystyle \Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} d \, t \quad \textrm{ pour } \Re e z >0$}} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Une autre \'ecriture de $\Gamma$ et Formule des compl\'ements.} \vspace{1mm} \noindent {\bf 1.} En remarquant que $e^{-t} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac t n \right)^n$ pour $t >0$, montrer que $$\Gamma(z) = \lim_{n \rightarrow \infty} I_n(z)$$ o\`u $$I_n (z) = \int_{0}^{n} t^{z-1} \left(1-\frac{t}{n}\right)^n d \, t.$$ \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Montrer que $I_n(z) = n^z J_n(z)$ o\`u $J_n$ est une int\'egrale \`a d\'efinir, v\'erifiant : $$\quad J_n(z)= \frac n z J_{n-1}(z+1) \quad \textrm{pour} \quad n \geq 1.$$ En d\'eduire que : $$\displaystyle \Gamma(z) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)\cdots (z+n)}.$$ \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} En utilisant le d\'eveloppement eul\'erien de $\sin(\pi z)$ (exercice {\bf 4}, Feuille 4), montrer la formule des compl\'ements : $$ \displaystyle \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}.$$ \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it Caract\'erisation de la fonction $\Gamma$.} \vspace{1mm} \noindent {\bf 1.} Montrer que la fonction $\Gamma$ est born\'ee sur la bande $\{1 \leq \Re e z <2\}$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Soit $f$ une fonction holomorphe dans le demi-plan $\{\Re e (z) >0\}$. On suppose que $f$ v\'erifie les propri\'et\'es suivantes : \begin{itemize} \item[(1)] $f(1) =1$; \item[(2)] $f(z+1) = zf(z)$ pour tout $z$ ; \item[(3)] $f$ est born\'ee dans la bande $\{1 \leq \Re e z <2\}$. \end{itemize} On pose $\phi = f-\Gamma$. \begin{itemize} \item[$a)$] Montrer que $\phi$ v\'erifie (2), et en d\'eduire que $\phi$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\CC - \ZZ^-$ ({\it i.e.} $\phi$ est m\'eromorphe sur $\CC$ dont les p\^oles \'eventuels sont entiers n\'egatifs). \item[$b)$] Apr\`es avoir remarqu\'e que $\phi(1) =0$, montrer que $z \mapsto \phi(1+z)/z$ est born\'e au voisinage de $0$. En d\'eduire que $\phi$ est born\'ee au voisinage des entiers n\'egatifs ou nul. {\it Vous verrez dans la suite du cours que ceci assure que $\phi$ se prolonge en une fonction enti\`ere (holomorphe sur $\CC$). On note $\Phi$ le prolongement de $\phi$ \`a $\CC$.} \item[$c)$] Montrer que $\Phi$ v\'erifie (2) sur $\CC$ tout entier, puis montrer que $\Phi$ est born\'ee dans la bande $\{0 \leq \Re e z \leq 1\}$. \item[$d)$] D\'eduire de $c)$ que la fonction $g : z \mapsto \Phi(z) \Phi(1-z)$ est constante, puis montrer que $\Phi$ est identiquement nulle. \noindent {\it Indication :} Montrer que $g$ est enti\`ere, impaire, $2$-p\'eriodique et born\'ee. \end{itemize} \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Conclure que la fonction $\Gamma$ est la seule fonction holomorphe sur $\{\Re e (z) >0\}$ v\'erifiant les propri\'et\'es (1), (2) et (3). \end{exo} \newpage \begin{exo} {\it Encore une autre \'ecriture de $\Gamma$.} \vspace{1mm} \noindent {\bf 1.} $a)$ On pose $$G(z)= \displaystyle{\prod_{n=1}^{+\infty}(1+{z\over n})\exp(-{z\over n})}.$$ Montrer que $G$ est une fonction enti\`ere. \noindent {\it Indication :} consid\'erer le d\'eveloppement limit\'e de $w \mapsto (1+w)e^{-w}$ \`a l'origine. \vspace{1mm} $b)$ Montrer que : $ \displaystyle \quad zG(z)G(-z)={\sin \pi z\over \pi}.$ \vspace{1mm} $c)$ Comparer les z\'eros de $G(z)$ et de $G(z-1)$, et montrer qu'il existe une fonction $\gamma$ holomorphe sur $\CC$ telle que~: $$G(z-1)=ze^{\gamma(z)}G(z).$$ \vspace{1mm} $d)$ Exprimer la d\'eriv\'ee logarithmique $G'/G$ sous forme de la somme d'une s\'erie uniform\'ement convergente sur tout compact de $\CC-\ZZ^*_{-}$. \vspace{1mm} $e)$ Exprimer $\gamma'$ en fonction de $G'/G$. En d\'eduire que $\gamma$ est constante. On note $\gamma$ sa valeur (constante d'Euler). Montrer que : $$ \displaystyle \gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{i=1}^n{1\over i}-\log n\right).$$ \vspace{1mm} $f)$ En utilisant la caract\'erisation de $\Gamma$, d\'eduire que : $$ \displaystyle \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{+\infty} (1 +\frac z n) e^{-z/n}$$ $g)$ Quels sont les z\'eros et les p\^oles de $\Gamma$ (avec multiplicit\'e) ? \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Red\'emontrer le r\'esultat $f)$ en utilisant l'\'ecriture donn\'ee dans le premier exercice. \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% %%% %%% CORRECTION DM %%% %%% %%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \addcontentsline{toc}{subsection}{\hspace{0.5cm}{\bf Correction}} {\small \vspace{3mm} \setcounter{exercice}{0} \centerline{{\large \bf Fonction $\Gamma$ : $ \displaystyle \Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} d \, t \quad \textrm{ pour } \Re e z >0$}} \centerline{{\large \bf El\'ements de corrig\'e}} \begin{exo} {\it Une autre \'ecriture de $\Gamma$ et Formule des compl\'ements.} %Cette exercice ne vous \`a pas pos\'e de difficult\'es : \noindent {\bf 1.} Utilisation de la {\bf convergence domin\'ee de Lebesgue}. \noindent {\bf 2.} Int\'egration par partie et r\'ecurrence. \noindent {\bf 3.} Utilisation du {\bf d\'eveloppement eul\'erien} de $\sin(\pi z)$ (exercice {\bf 4}, Feuille 4). \end{exo} \begin{exo} {\it Caract\'erisation de la fonction $\Gamma$.} \noindent {\bf 1.} Question de cours (polycopi\'e chap. II, \S 6.2) \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} $a)$ La fonction $\phi$ v\'erifie (2) car c'est le cas pour $f$ et $\Gamma$ (int\'egration par partie). Pour montrer que $\phi$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\CC - \ZZ^-$, on peut utiliser, gr\^ace \`a (2), la m\^eme technique que pour prolonger $\Gamma$ \`a $\CC - \ZZ^-$ (polycopi\'e chap. II, \S 6.2). \noindent {\it R\'edaction possible :} Soit $k \in \NN$, posons $\phi_0(z)=\phi(z)$ pour $\Re e (z)>0$ et $\phi_k(z) = \frac{\phi(z+k)}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+k-1)}$ pour $z \in D_k =\{z \in \CC \;|\;\Re e (z)>-k\}-\{-k+1, -k+2, \cdots, 0\}$. Les fonctions $\phi_k$ sont holomorphes et satisfont (2) sur leur domaine de d\'efinition $D_k$. De plus, gr\^ace \`a la relation (2), $\phi_{k_1}$ et $\phi_{k_2}$ coincident sur l'intersection de leur domaine de d\'efinition $D_{k_1} \cap D_{k_2} = D_{min(k_1,k_2)}$. On peut donc d\'efinir une fonction $\tilde \phi$ sur $\CC - \ZZ_-$ par $\tilde \phi(z) =\phi_k(z)$ si $\Re e(z)>-k$. Cette fonction prolonge bien $\phi$ et est holomorphe (car les $\phi_k$ le sont et l'holomorphie est une propri\'et\'e locale). De plus, $\tilde \phi$ satisfait (2). On a m\^eme unicit\'e du prolongement en utilisant le {\bf principe de prolongement analytique}. % sur les intersections des domaines %(qui sont connexes). \vspace{1mm} $b)$ On remarque que $\phi(1) =0$, donc $g : z \mapsto \phi(z+1)$ s'annule en $0$. De plus, $g$ est holomorphe au voisinage de $0$. Ainsi $g(z)=zh(z)$ avec $h$ holomorphe au voisinage de $0$. Donc $\phi(z+1)/z= g(z)/z=h(z)$ est holomorphe au voisinage de $0$, donc, en particulier, continue et donc born\'ee au voisinage de $0$. %Ceci nous assure que $\phi$ est born\'e au voisinage de $0$ (par (2)). %Pour obtenir le r\'esultat au voisinage de tous les entiers n\'egatifs, Soit $k \in \NN$, et $z$ proche de $0$, on a $\tilde \phi (z-k) = \frac{\phi(z+1)}{z}\frac{1}{(z-1)(z-2) \cdots (z-k)}$. Les deux termes du produit \'etant born\'e au voisinage de $0$, on obtient que $\tilde \phi$ est born\'e au voisinage de $-k$. \iffalse Pour obtenir le r\'esultat au voisinage de tous les entiers n\'egatifs, on peut faire une r\'ecurrence en utilisant le fait que $\phi$ satisfait (2) ou faire appara\^{\i}tre $\phi(z+1)/z$ dans l'expression du prolongement de $\phi$ trouv\'ee \`a la question $a)$. (ce qui revient exactement au m\^eme). \fi On en conclut que les {\bf singularit\'es de $\phi$ sont r\'eguli\`eres} (polycopi\'e chap. III \S 1.3) et que donc $\phi$ est prolongeable \`a $\CC$ : on note le prolongement $\Phi$. \vspace{1mm} $c)$ Par continuit\'e, $\Phi$ v\'erifie (2) sur $\CC$ tout entier. Notons $M_f$ et $M_\Gamma$ des majorants de $f$ et $\Gamma$ sur $\{1 \leq \Re e z < 2\}$ (cf. hypoth\`ese (3)). Pour montrer que $\Phi$ est born\'ee sur la bande $\{0 \leq \Re e z \leq 1\}$, il faut couper la bande en morceaux : \quad $(i)$ Sur $\{\Re e z =1\}$, on a $|\Phi(z)|= |f(z)-\Gamma(z)| \leq M_f+M_\Gamma$. \quad $(ii)$ Sur le {\bf compact} $\{0 \leq \Re e z \leq 1, |\Im m z|\leq 1\}$, $\Phi$ est born\'ee car holomorphe donc continue. \quad $(iii)$ Sur le morceau de bande $\{0 \leq \Re e z < 1, |\Im m z| > 1\}$, on a $(z+1) \in \{1 \leq \Re e z < 2\}$, d'o\`u : \centerline{$|\Phi(z)| = |\Phi(z+1)/z| = |f(z+1)/z -\Gamma(z+1)/z| \leq M_f+M_\Gamma$.} \noindent Ainsi $\Phi$ est born\'ee sur la bande $\{0 \leq \Re e z \leq 1\}$. \vspace{1mm} $d)$ La fonction $g : z \mapsto \Phi(z) \Phi(1-z)$ est enti\`ere (composition et produit de fonctions enti\`eres), impaire (car $g(z) = - z\Phi(z)\Phi(-z)= -g(-z)$ gr\^ace \`a (2)), $2$-p\'eriodique (car $g(z+1) = z\Phi(z)\Phi(-z)= -g(z)$ gr\^ace \`a (2) et donc $g(z+2)=-g(z+1)=g(z)$). Si $z \in \{0 \leq \Re e z \leq 1\}$ alors $(1-z) \in \{0 \leq \Re e z \leq 1\}$, donc gr\^ace \`a $c)$, $g$ est born\'ee sur $\{0 \leq \Re e z \leq 1\}$. Par ``imparit\'e'', $g$ est donc born\'ee sur $\{-1 \leq \Re e z \leq 1\}$, qui est une bande de largeur $2$. Par $2$-p\'eriodicit\'e, $g$ est donc born\'ee sur $\CC$. Le th\'eor\`eme de {\bf Liouville}, nous permet d'affirmer que $g$ est constante. Or $g(0)=0$ (imparit\'e), donc $g$ est identiquement nulle. En utilisant le {\bf principe des z\'eros isol\'es} ou le {\bf principe de prolongement analytique}, on en d\'eduit que $\Phi$ est nulle. \noindent {\it Exemple de r\'edaction :} Soit $z_n = 1/2 + 1/n$, comme $g(z_n)=0$, alors $\Phi(z_n)= \Phi(1/2 +1/n)=0$ ou $\Phi(1-z_n)=\Phi(1/2-1/n)=0$. On en d\'eduit une suite de z\'eros $\xi_n$ de $\Phi$ tendant vers $1/2$. Par le principe des z\'eros isol\'es, $\Phi \equiv 0$ sur le connexe $\CC$ (contenant $1/2$). \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Faites le bilan de ce qui a \'et\'e montr\'e. \end{exo} \begin{exo} {\it Encore une autre \'ecriture de $\Gamma$.} \noindent {\bf 1.} $a)$ Il faut utiliser les {\bf r\'esultats sur les produits infinis} (cf. Feuille 4 ou polycopi\'e chap. II \S 7.3). Posons $f_k(z)=(1+z/k)e^{-z/k}$ et $u_k(z)= f_k(z)-1$. Il faut montrer que la s\'erie $\sum |u_k|$ converge uniform\'ement sur tout compact, par exemple en montrant qu'elle converge normalement sur tout compact. \noindent {\it Indication :} Le d\'eveloppement limit\'e nous permet d'\'ecrire $(1+w)e^{-w}=1+w^2h(w)$ avec $h$ continue sur $\CC$. Ainsi $|u_k(z)|= \left|\frac{z^2}{k^2}h(z/k)\right|$. On utilise ensuite le fait que $\sum 1/k^2$ converge. \vspace{1mm} $b)$ Il faut utiliser le {\bf d\'eveloppement eul\'erien} de $\sin \pi z$. \vspace{1mm} $c)$ En utilisant les {\bf r\'esultats sur les z\'eros des produits infinis} (Feuille 4), on obtient que les z\'eros de $G(z)$ sont les entiers strictements n\'egatifs, et que ces z\'eros sont de multiplicit\'e $1$. On en d\'eduit que les z\'eros de $G(z-1)$ sont les entiers n\'egatifs ou nul, et que ces z\'eros sont de multiplicit\'e $1$. Ainsi $zG(z)$ et $G(z-1)$ ont les m\^emes z\'eros avec m\^eme multiplicit\'e donc $h(z)=\frac{G(z-1)}{zG(z)}$ est une fonction holomorphe sur $\CC$ (au voisinage de chaque z\'ero, on utilise le m\^eme argument que pour la question 2.$ b)$ de l'exercice 2). De plus, cette fonction est partout non nulle ({\bf Pourquoi ?} : reprendre l'argument pr\'ec\'edent en le pr\'ecisant). En utilisant l'existence de primitive pour $h'/h$ (Feuille 2, exercice 6, question 2), nous pouvons affirmer qu'il existe une fonction $\gamma$, holomorphe sur $\CC$, telle que $G(z-1)=ze^{\gamma(z)}G(z).$ \vspace{1mm} $d)$ En utilisant les r\'esutats de la Feuille 4 ou du polycopi\'e (chap. II \S 7.3), \centerline{$ \displaystyle \frac{G'}{G}(z)= -z\sum_{1}^\infty \frac 1 k \frac{1}{k+z}$} \noindent o\`u la s\'erie est uniform\'ement convergente sur tout compact de $\CC-\ZZ^*_{-}$. \vspace{1mm} $e)$ Pour $z \in \CC-\ZZ_{-}$, on calcule la d\'eriv\'ee logarithmique de l\'egalit\'e $G(z-1)=ze^{\gamma(z)}G(z)$, d'o\`u : \centerline{$ \displaystyle \gamma'(z)= \left( \frac{G'}{G}(z-1)- \frac{G'}{G}(z)\right) -\frac 1 z$} \noindent En utilisant $d)$, on montre que $\gamma'(z)$ est nulle pour $z \in \CC-\ZZ_{-}$. Ainsi $\gamma$ est constante sur $\CC-\ZZ_{-}$ (connexe dans $\CC$), puis sur $\CC$ (par continuit\'e). De plus, $e^\gamma =e^{\gamma(0)}= \lim_{z \rightarrow 0} G(z-1)/(z G(z)) = e \prod_{n=2}^\infty (1-1/n) e^{-1/n}$. Apr\`es simplification, \linebreak \centerline{$ \displaystyle \gamma=\lim_{N\to+\infty}\left(\sum_{n=1}^N{1\over n}-\log N\right) \quad \textrm{ \`a } 2ik\pi \textrm{ pr\`es}.$} \vspace{1mm} $f)$ On v\'erifie successivement les hypoth\`eses de l'exercice 2, en remarquant que $ \displaystyle f(z)= \frac{1}{e^{z\gamma} z G(z)}$ (0) $f$ est holomorphe sur $\{\Re e z >0\}$ (simple v\'erification). (1) $f(1)=1$ (simple v\'erification). (2) $f(z+1) = 1/\left[(z+1) e^{(z+1)\gamma} G(z+1) \right] = 1/ \left[ e^{z\gamma} (z+1) e^{\gamma} G(z+1) \right] \stackrel{c)}{=} 1/ \left[ e^{z\gamma} G(z)\right] =zf(z)$. (3) Il faut montrer que $f$ est born\'ee sur $\{1 \leq \Re e z < 2\}$. On d\'ecoupe le travail en morceaux : \quad (i) Sur le compact $\{1 \leq \Re e z \leq 2, |\Im m z|\leq 1\}$, $f$ est born\'ee car continue. \quad (ii) Sur la bande $\{1 \leq \Re e z \leq 2, |\Im m z|> 1\}$, on a $|f(z)| \leq \frac{1}{e^{\gamma}|G(z)|}$. \noindent On va chercher une minoration de $|G|$ sur $\{1 \leq \Re e z \leq 2\}$ : \noindent Pour les produits partiels, on a \centerline{ $ \displaystyle |G_N(z)| = \left|\prod_{k=1}^N (1 + z/k) e^{-z/k}\right| = \prod_{k=1}^N |1 + x/k + iy/k| e^{-x/k} \geq \prod_{k=1}^N (1 + x/k) e^{-x/k}$} \noindent car $|a+ib| \geq |a|$, $|e^{a+ib}| = e^a$ et $x \in [1,2]$. On passe \`a la limite dans l'in\'egalit\'e, ainsi $$|G(z)| \geq G(\Re e z)$$ Or $\Re e z = x \in [1,2]$ qui est compact dans $\RR$, $G$ n'a pas de z\'ero dans $[1,2]$ et $G$ est continue sur $[1,2]$ donc il existe une constante $M>0$, tel que $G(x)>M$ pour $x \in [1,2]$. On a donc r\'eussi \`a minorer $|G|$ par $M$ pour $z \in \{1 \leq \Re e z \leq 2\}$. On obtient ainsi une majoration de $|f|$ sur $\{1 \leq \Re e z \leq 2, |\Im m z|> 1\}$ : $ \quad \displaystyle |f(z)| \leq \frac{1}{e^{\gamma}M}$ \noindent Donc $f$ satisfait (3). L'exercice 2 nous permet de conclure que $f=\Gamma$ pour $\Re e z >0$ et par unicit\'e du prolongement de $\Gamma$, on a, pour $z \in \CC-\ZZ_-$ : $$\displaystyle \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{+\infty} (1 +\frac z n)e^{-z/n}$$ Ainsi les p\^oles de $\Gamma$ sont les entiers n\'egatifs ou nul, avec multiplicit\'e $1$ et que $\Gamma$ n'a pas de z\'eros. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} C'est un simple calcul de limite utilisant la d\'efinition de $\gamma$ vue en $e)$. \end{exo} } \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 5 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 5 : } Singularit\'es. Formules des r\'esidus} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 03/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 5 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{2mm} \centerline{{\large \bf Singularit\'es}} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} Soit $a \in \bf C$, $r>0$ et $f$ holomorphe sur $U=D(a,r) \backslash \{ a \}$. \noindent {\bf 1.} On suppose que $\Re e(f(z)) \geq 0$ pour tout $z \in U$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $D(a,r)$. \noindent {\bf 2.} On suppose que $a$ est une singularit\'e essentielle pour $f$. Si $g$ est une fonction enti\`ere non constante, montrer que $a$ est aussi une singularit\'e essentielle pour $g \circ f$. \noindent {\bf 3.} On suppose que $a$ est un p\^ole pour $f$. Soit $g$ une fonction enti\`ere qui ne soit pas un polyn\^ome. Montrer que $a$ est une singularit\'e essentielle pour $g \circ f$. \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%% \begin{exo} D\'eterminer toutes les bijections biholomorphes de $\CC$ dans $\CC$. \end{exo} \vspace{2mm} \centerline{{\large \bf Formule des r\'esidus}} \vspace{1mm} %%%%%%%%% CALCUL PRATIQUE \begin{enc} \small \centerline{{\it Calcul pratique d'un r\'esidu}} Soit $a \in \CC$, et soit $f$ une fonction holomorphe dans un voisinage \'epoint\'e de $a$. \underline{$(i)$ Supposons que $a$ soit un p\^ole simple de $f$.} $\bullet$ On peut \'ecrire $f(z) = \frac{g(z)}{z-a} \textrm{ o\`u $g$ est une fonction holomorphe au voisinage de $a$ et $g(a) \neq0$.}$ Alors $$\Res(f(z) \d z, a)= g(a) = \lim_{z \rightarrow a}(z-a)f(z)$$ $\bullet$ Si $f$ est donn\'ee au voisinage de $a$ par $ \displaystyle f(z) = \frac{u(z)}{v(z)}$, avec $u$ et $v$ holomorphes au voisinage de $a, u(a) \neq 0$. Alors $$\Res(f(z) \d z, a)= \frac{u(a)}{v'(a)}$$ \underline{$(ii)$ Supposons que $a$ soit un p\^ole d'ordre $k$ de $f$ ($k \geq 1$).} La fonction $g(z)= (z-a)^kf(z)$ est une fonction holomorphe telle que $g(a)\neq 0$ et $\Res(f(z) \d z, a)$ est le coefficient $(k-1)$ du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $g$ au voisinage de $a$. Alors $$\Res(f(z) \d z, a)= \frac{g^{(k-1)}(a)}{(k-1)!} = \lim_{z\rightarrow a} \frac{1}{(k-1)!} \left(\frac{\d}{\d z} \right)^{(k-1)} \left( (z-a)^k f(z) \right)$$ Dans ce cas, on peut calculer directement $g^{(k-1)}(a)$ (ce qui n'est pas tr\`es \'economique en pratique) ou calculer le d\'evoloppement en s\'erie enti\`ere de $g(z) = (z-a)^k f(z)$ au voisinage de $a$. \underline{$(iii)$ Ne pas oublier que,} si $f$ est une fonction m\'eromorphe rationnelle sur $\CC$ ayant un nombre fini de p\^oles $\{ a_1, \cdots , a_n\}$, alors $$\Res(f(z) \d z, \infty) + \sum_{i=1}^n \Res(f(z) \d z, a_i)=0$$ \end{enc} \normalsize %%%%%%% %%%%%%%%%%%% \begin{exo} \label{CalculResidu} Calculer les r\'esidus des fonctions suivantes : $$a) f(z) = \frac{z^p}{1+z^q} \quad b) f(z) = \frac{1}{\sin z} \quad c) f(z)= \frac{1}{(1+z^3)^2} \quad d) f(z) = \frac{e^z}{\sin^2 z}$$ \noindent $e)$ D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de Laurent de $f(z) = \frac{1}{1-z}\exp(1/z)$ sur \linebreak $C_1= \{ z \in \CC; |z|>1\}$ et $C_2 = \{ z \in \CC; 0 < |z| <1\}$. \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%% \begin{exo} \label{IntegraleTrigo} En int\'egrant le long du cercle unit\'e et en utilisant la formule des r\'esidus : \noindent {\bf 1.} Calculer $\displaystyle I = \int_0^{2\pi} \frac{1}{3-2\cos \theta +\sin \theta} \d \theta$. \noindent {\bf 2.} Soit $\alpha$ un nombre complexe et $|\alpha| \neq 1$. Calculer $\displaystyle J= \int_0^{2\pi} \frac{1}{1-2 \alpha \cos \theta + \alpha^2} \d \theta$. \end{exo} \vspace{2mm} %%%%%%%%%%%%% \begin{exo} {\it R\'esidus et s\'eries.} \noindent {\bf 1.} $a)$ Soit $f(z)$ une fonction m\'eromorphe dans $\CC$ ayant un nombre fini de p\^oles $a_{1},\ldots,a_{m}$. Supposons de plus que $a_{k}\not \in \mathbb{Z}$, $k=1,\ldots,m$, et que $\lim_{z\rightarrow\infty}zf(z)=0$. Montrer que $ \quad \displaystyle \lim_{N\rightarrow +\infty}\sum_{n=-N}^{N}f(n)=-\sum_{k=1}^{m} \Res(\pi f(z)\cot \pi z \d z,a_k),$ \noindent et \hspace{2.5cm} $ \displaystyle \lim_{N\rightarrow +\infty}\sum_{n=-N}^{N}(-1)^{n}f(n)=-\sum_{k=1}^{m} \Res\left(\frac{\pi f(z)}{\sin \pi z} \d z,a_k\right).$ \noindent {\it Indication :} Int\'egrer $g_1(z) = \pi f(z)\cot\pi z$ et $g_2(z)=\pi f(z)/\sin\pi z$ sur le bord du carr\'e $Q_N$ de sommets $(N~+~1/2)(\pm 1\pm~i)$. On montrera d'abord que ces int\'egrales sont nulles puis on utilisera la formule des r\'esidus. $b)$ Montrer que $$ \begin{array}{c} \displaystyle \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}+n+1}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\tanh\left( \frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right),\\ \displaystyle \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(n-a)(n-b)}=-\pi^{2}\frac{\cot \pi a -\cot \pi b}{\pi a-\pi b}, \ \ a,b\in\CC\setminus \mathbb{Z}, a\neq b\\ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi}{2a\sinh \pi a}, \ \ a\in \CC\setminus i\mathbb{Z}. \end{array} $$ \noindent {\bf 2.} Soit $-\pi1$.\\ \noindent {\bf Exercice } \ref{SinXsurX} : {\bf 3.} $\frac \pi 2$, {\bf 4.} $\frac \pi e$.\\ \noindent {\bf Exercice } \ref{Fraction} : $I = p 2^{p-3}(p-1)\frac{\pi}{\sin \pi p}$.\\ \noindent {\bf Exercice } \ref{Technologie} : {\bf 1.} $\frac \pi 3$, {\bf 2.} $I_2= \frac 1 2, \quad J_2= -\frac 1 2, \quad J_3 =-\frac \pi 4$.\\ } %\newpage %\ %\thispagestyle{empty} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 6 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 6 : } Formule des r\'esidus. Indice des courbes. Principe de l'argument, Th\'eor\`eme de Rouch\'e.} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 03/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 6 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{2mm} \centerline{{\large \bf Formule des r\'esidus, Indice des courbes,}} \centerline{{\large \bf Principe de l'argument, Th\'eor\`eme de Rouch\'e}} \vspace{2mm} \begin{exo} \label{IntegraleTrigoBis} Calculer par la m\'ethode des r\'esidus les int\'egrales $$ I= \int_0^{2\pi} \frac{e^{\cos t} \cos(\sin t)}{5-4 \sin t} \d t \quad \textrm{et} \quad J= \int_0^{2\pi} \frac{e^{\cos t} \sin(\sin t)}{5-4 \sin t} \d t$$ \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} \label{IntegraleSin2n} Calculer par la m\'ethode des r\'esidus, et pour $n \in \NN$, l'int\'egrale $$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta \d \theta =\frac 1 4 \int_{-\pi}^\pi \sin^{2n} \theta \d \theta$$ \end{exo} %\vspace{2mm} \begin{exo} \label{IntegraleCh} Soit $a \in \RR$ v\'erifiant $|a| <1$. Calculer l'int\'egrale $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{\ch x} \d x. $ \noindent {\it Indication :} On pourra int\'egrer la fonction $z \mapsto \frac{e^{az}}{\ch z}$ sur le rectangle de sommets $-R, R, R+i \pi$ et $-R+i\pi$ puis faire tendre $R$ vers l'infini. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo}\ \noindent \begin{minipage}{5cm} Trouver l'indice de la courbe ci-contre par rapport au point $p$ : \end{minipage} %\begin{minipage}{10cm} %\centerline{\includegraphics[scale=0.3]{courbe.eps}} %\end{minipage} \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo}{\it Th\'eor\`eme de Brouwer en dimension $2$.} \medskip \newcommand{\Ind}{\mathrm{Ind}} Supposons qu'il existe une application continue $f : \bar{B}(0,1) \rightarrow \bar{B}(0,1)$ sans point fixe. \medskip \noindent {\bf 1.} Montrer qu'il existe une r\'etraction de la boule unit\'e ferm\'ee sur la sph\`ere unit\'e, c'est-\`a-dire une application continue $\phi : \bar{B}(0,1) \rightarrow S^1$ telle que $\phi_{|S^1} = \mathrm{id}$. \medskip \noindent {\bf 2.} Posons $ \gamma_r : t \mapsto r e^{2i\pi t}$ avec $r \in \Real^*_+$. Montrer que $\Ind(\phi(\gamma_0),0) =0$ et $\Ind(\phi(\gamma_1),0)=1$. \medskip \noindent {\bf 3.} Conclure. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo}{\it Une d\'emonstration du Th\'eor\`eme fondamental de l'alg\`ebre.} \medskip \newcommand{\Ind}{\mathrm{Ind}} Soit $P \in \Complex[X]$ un polyn\^ome de degr\'e $d$. Suppososons qu'il n'a pas de z\'ero sur $\Complex$. On va montrer que $P$ est n\'ecessairement un polyn\^ome constant. Soit $\Psi : \Complex \rightarrow S^1, z \mapsto \frac{P(z)}{|P(z)|}$ et $\gamma_r(t) = r e^{2i\pi t}$. \medskip \noindent {\bf 1.} Montrer que $\Psi$ est une application continue. \medskip \noindent {\bf 2.} Calculer $\Ind(\Psi(\gamma_0),0)$. \medskip \noindent {\bf 3.} Calculer $\Ind(\Psi(\gamma_r),0)$. \medskip \noindent {\bf 4.} Conclure. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} \label{Zero} D\'eterminer le nombre de racines des polyn\^omes $P_1(z)=z^4-6z+3$ dans $D(0,1)$ et dans la couronne $\{1<|z|<2\}$ et $P_2(z)=z^7-2z^5+6z^3-z+1$ dans $D(0,1)$. \end{exo} \vspace{0mm} \begin{exo} Soit $a,b\in D(0,1)$. Montrer que pour $m,n \in \NN^*$, l'\'equation suivante poss\`ede $m+n$ solutions dans $D(0,1)$ : \centerline{$ \displaystyle z^m\left ( \frac{z-a}{1-\overline a z} \right ) ^n=b$} \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo}{\it Conservation du caract\`ere injectif.} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes injectives qui converge uniform\'ement sur tout compact. Montrer que la limite est soit injective, soit constante. \end{exo} \vfill \centerline{--------------------} {\footnotesize \noindent \centerline{\it R\'eponses} \noindent \begin{minipage}{17.3cm} \noindent {\bf Exercice } \ref{IntegraleTrigoBis} : $I = \frac{2 \pi}{3} \cos \frac 1 2$ et $J = \frac{2 \pi}{3} \sin \frac 1 2$.\\ \noindent {\bf Exercice } \ref{IntegraleSin2n} : $I_0 =\frac \pi 2$ et $I_n = \frac \pi 2 \frac{1 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot (2n)}$ si $n \geq 1$.\\ \noindent {\bf Exercice } \ref{IntegraleCh} : $\pi / \cos\left(\frac{a\pi}{2}\right)$.\\ \noindent {\bf Exercice } \ref{Zero} : Pour $P_1$, on a $1$ zero dans $D(0,1)$ et $3$ z\'eros dans la couronne. Pour $P_2$, on a $3$ z\'eros dans $D(0,1)$.\\ \end{minipage} \normalsize \newpage \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 7 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 7 : } Th\'eor\`eme de Runge.} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 04/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 7 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \begin{exo} Soient $f,g:\CC\to\CC$ deux fonctions enti\`eres telles qu'il existe une constante $K>0$ pour laquelle $|f(z)|\le K|g(z)|$ pour tout $z$. Montrez alors qu'il existe $\lambda\in\CC$ tel que $f=\lambda g$. \end{exo} \vspace{1mm} \begin{exo} Soient $f,g$ deux biholomorphismes de $D(0,1)$ sur un ouvert $\Omega$ de $\CC$. On suppose que $f(0)=g(0)$. Montrer que pour tout $0 \sup_K |P(z)|$. \end{exo} \vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} \noindent {\bf 1.} D\'emontrer qu'il existe une fonction polyn\^ome $P$ telle que : $$\sup_{\overline{D(0,1)}} |z-P(z)| \leq 10^{-6} \quad \textrm{ et } \quad \sup_{\overline{D(3,1)}} |10^9 + z-P(z)| \leq 10^{-7}$$ \noindent {\bf 2.} D\'emontrer qu'il existe une fonction polyn\^ome $P$ telle que : $$\sup_{\overline{D(0,1)}} |z-P(z)| \leq 10^{-5} \quad \textrm{ et } \quad \inf_{\overline{D(5,2)}} |z+P(z)| \geq 10^{5}$$ \end{exo} %\vspace{1mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{exo} %{\it Suite de polyn\^omes.} \noindent {\bf 1.} Existe-t-il une suite de fonctions polyn\^omes $(P_n)_{n \geq 1}$ telle que, \iffalse pour tout, $ x \in \RR, \lim_{n \rightarrow \infty} |P_n(x)| = +\infty$ et $(P_n)_{n \geq 1}$ converge vers $0$ uniform\'ement sur tout compact de $\CC \backslash \RR$ ? \fi $$ \textrm{ et } \left\{ \begin{array}{l} \textrm{pour tout, } x \in \RR, \lim_{n \rightarrow \infty} |P_n(x)| = +\infty \\ (P_n)_{n \geq 1} \textrm{ converge vers $0$ uniform\'ement sur tout compact de } \CC \backslash \RR \;? \end{array} \right. $$ %\vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Existe-t-il une suite de polyn\^omes $(P_n)$ telle que $\lim_{n\to\infty} P_n(z)=1$ si $Im z>0$, $0$ si $z\in\RR$, $-1$ si $Im z<0$ ? %\vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Existe-t-il une suite de polyn\^omes $(P_n)$ telle que $P_n(0)=1$ et $P_n(z)\to 0$ pour $n\to\infty,\ z\not =0$ ? La r\'eponse est-elle la m\^eme si on ajoute la convergence uniforme sur tout compact de $\CC^*$ ? \end{exo} %\vspace{1mm} \begin{exo} {\it Th\'eor\`eme de Mittag-Leffler et Identit\'e de Bezout.} \noindent {\bf 1.} Soit $A \subset \CC$ sans point d'accumulation dans $\CC$. Soit $(m_\alpha)_{\alpha \in A} \in \NN^*$ et $$ \displaystyle P_\alpha(z) = \sum_{j=1}^{m_\alpha} c_{j,\alpha} (z-\alpha)^{-j}.$$ Montrer qu'il existe une fonction m\'eromorphe $f$ sur $\CC$, dont la partie principale du d\'eveloppement en s\'erie de Laurent en chaque $\alpha \in A$ est $P_\alpha$, et qui n'a pas d'autres p\^oles dans $\CC$ (Th\'eor\`eme de Mittag-Leffler). {\small \noindent {\it Indication :} Montrer que $A$ et fini ou d\'enombrable et traiter les deux cas s\'epar\'ements. } \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Soit $g_1, \cdots, g_N$ holomorphes sur $\CC$ sans z\'eros communs. D\'emontrer, par r\'ecurrence sur $N$, qu'il existe $u_1, \cdots, u_N$ holomorphe sur $\CC$ tel que $$u_1 g_1 + u_2g_2 + \cdots + u_Ng_N =1$$ {\small \noindent {\it Indication :} Le cas $N=1$ est trivial. Pour le cas $N=2$, consid\'erer $\phi = 1/(g_1g_2)$ et montrer que $\phi= \phi_1 + \phi_2$ o\`u les p\^oles de $\phi_j$ sont les z\'eros de $g_j$ (avec multiplicit\'e). Utiliser le th\'eor\`eme factorisation de Weierstrass pour passer du cas $N-1$ \`a $N$. } \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Soit $f_1, \cdots, f_N \in \mathcal O(\CC)$. D\'emontrer que l'id\'eal engendr\'e par $f_1, \cdots f_N$ est principal et ferm\'e. \vspace{1mm} \noindent {\bf 4.} Que se passe-t-il si on remplace $\CC$ par un ouvert $\Omega$ de $\CC$ ? \end{exo} \newpage \begin{exo} {\it Probl\`eme de d\'etermination holomorphe.} Soit $N \in \NN^*$, soient $a_0, \cdots ,a_N \in \CC$ ($a_j \neq a_k$) et soient $r_0, \cdots, r_N \in \ZZ$ v\'erifiant $\sum_0^N r_j=r$ o\`u $r \in \NN^*$. Soit $K \subset \CC$ un compact connexe contenant tous les $a_j$. Le but de cet exercice est de d\'emontrer qu'il existe une d\'etermination holomorphe $g$ de $\prod_0^N (z-a_j)^{r_j/r}$ dans chaque composante connexe de $\Omega = \CC \backslash K$ {\it i.e.} $g \in \mathcal O(\Omega)$ tel que $g^r(z) = P(z)= \prod_0^N (z-a_j)^{r_j}$ sur $\Omega$. \vspace{2mm} \noindent {\bf 0.} Montrer que s'il existe une d\'etermination $g$ de $\prod_0^N (z-a_j)^{r_j/r}$, alors il en existe $r$ sur chaque composante connexe de $\Omega$. \noindent {\bf 1.} Pour $z \in \Omega$, on pose $$ \displaystyle A(z) =\sum_{j=0}^{N} \frac{r_j}{r} \; \frac{1}{z-a_j}.$$ Montrer que tout revient \`a trouver $g \in \mathcal O(\Omega)$ v\'erifiant $g'/g=A$, et qu'il suffit pour cela de trouver $\Phi \in \mathcal O(\Omega)$ v\'erifiant $$ \displaystyle \Phi'(z) +\frac{1}{z-a_0} = A(z).$$ \noindent {\bf 2.} a) Montrer qu'il existe une suite de fractions rationnelles $(R_n)$ telle que, pour tout $n \in \NN$, le seul p\^ole \'eventuel de $R_n$ est le point $a_0$ et $(R_n)$ converge vers $A$ uniform\'ement sur tout compact de $\Omega$. \iffalse $$ \textrm{ et } \left\{ \begin{array}{ll} (i) & \textrm{ pour tout $n \in \NN$, le seul p\^ole \'eventuel de $R_n$ est le point $a_0$}\\ (ii) & (R_n) \textrm{ converge vers $A$ uniform\'ement sur tout compact de $\Omega$} \end{array} \right. $$ \fi b) Soit $\alpha_n =\textrm{Res}(R_n(z) \d z, a_0)$. Montrer qu'on a $\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n=1$. c) On pose $$ f_n(z) = R_n(z) - \frac{\alpha_n}{z-a_0}$$ Montrer que les fonctions $f_n$ admettent des primitives holomorphes sur $\Omega$. d) Soit $z_0 \in \Omega$, et soit $w_0 \in \CC$. Pour $n \in \NN$, on note $F_n$ la primitive de $f_n$ v\'erifiant \linebreak $F_n(z_0) = w_0$. Montrer que la suite $(F_n)$ converge uniform\'ement sur les compacts de $\Omega$ vers une fonction $\Phi \in \mathcal O(\Omega)$. e) Conclure \`a l'existence d'une d\'etermination holomorphe $g$ de $\prod_0^N (z-a_j)^{r_j/r}$. \noindent {\bf 3. } Supposons que $\Omega$ est connexe. Soit $z_0 \in \Omega$ ; pour tout $z \in \Omega$, soit $\gamma_z$ un chemin de classe $C^1$ dans $\Omega$ d'origine $z_0$ et d'extr\'emit\'e $z$. Soit $\mathcal A_j$ une primitive de $\frac{1}{z-a_j}$ le long de $\gamma_z$, qui vaut $0$ en $z_0$ : $\mathcal A_j$ est holomorphe au voisinage de $\mathrm{Im} \gamma_z$ et pour tout $t \in [0,1]$ : $$ \mathcal A_j'(\gamma(t)) = \frac{1}{\gamma(t)-a_j}$$ V\'erifier que $\mathcal A = \sum_{j=0}^N \frac{r_j}{r} \mathcal A_j$ est une primitive de $A$ le long de $\gamma_z$, et notant $\phi = \frac{g}{|g|} \circ \gamma_z$, d\'emontrer qu'on a pour tout $t \in [0,1]$ : $$ \phi(t) = \phi(0) \exp(i \Im m \mathcal A(\gamma(t)) )$$ (apr\`es avoir \'ecrit une \'equation diff\'erentielle v\'erifi\'ee par $\phi$). En d\'eduire que : $$ g(z) = \frac{g(z_0)}{|g(z_0)|} \left( \prod_0^N |z-a_j|^{r_j/r} \right) \exp(i \Im m \mathcal A(z))$$ \noindent \begin{minipage}{12cm} \noindent {\bf 4. } Application : V\'erifier que dans $\CC \backslash [-1,1]$, il existe une unique d\'etermination de $(z-1)^{2/3}(z+1)^{1/3}$ qui vaut $3^{1/3}$ en $z=2$ ; calculer sa valeur en $i, -2$ et $-i$ ; notons $g$ cette d\'etermination. En int\'egrant la fonction $f(z)= \frac{1}{(1+z^2)g(z)}$ sur un chemin du type ci-contre, calculer $$ \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\d x}{(1+x^2) ((x-1)^2(z+1))^{1/3}} \quad (\textrm{r\'eponse :} \displaystyle\frac{2\pi}{\sqrt 6} \cos \frac{ \pi}{12})$$ \end{minipage} %\begin{minipage}{5cm} %\centerline{\includegraphics[scale=0.25]{TD7.eps}} %\end{minipage} \end{exo} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 8 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 8 : } Etude de famille de fonctions holomorphes.} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 04/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 8 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{3mm} \centerline{{\large \bf Quelques familles de fonctions holomorphes}} \vspace{2mm} \begin{exo}{\it Fonctions holomorphes injectives dans le disque.} Soit $D$ le disque unit\'e ouvert et $\Delta = \CC - \bar D$. On note ${\cal S}$ l'ensemble des fonctions holomorphes injectives de $D$ dans $\CC$ telles que $f(0)=0$ et $f'(0)=1$. \begin{enumerate} \item[{\bf 1.}] On note $K(z) = \displaystyle{\frac{z}{(1-z)^2}}$, montrer que $K\in {\cal S}$, donner son d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere et d\'eterminer son image. \item[{\bf 2.}] Si $f\in {\cal S}$ et si $a$ n'appartient pas \`a l'image de $f$, montrer que $\displaystyle{af\over a-f}\in {\cal S}$. \item[{\bf 3.}] Si $f\in {\cal S}$ montrer qu'il existe $g\in {\cal S}$ telle que $g(z)^2=f(z^2)$. \item[{\bf 4.}] On note $\Sigma=\{f\in O(\Delta), \textrm{ injective et v\'erifiant } (\ast)\}$ o\`u $(\ast)\ f(z)=z+b_0+b_1z^{-1}+\cdots$.\\ \begin{enumerate} \item Soit $\gamma$ une courbe de Jordan ${\cal C}^1$, montrer que l'aire de la composante born\'ee de $\CC\backslash\gamma$ est \'egale \`a~: $${1\over 2i}\int_{\gamma}\bar{z}\,dz.$$ \item Si $f$ est dans $\Sigma$ montrer que~:\quad $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}n|b_n|^2\leq 1 \quad \textrm{(Th\'eor\`eme de l'aire, Gronwall 1914)}$ Quelles sont les fonctions v\'erifiant $|b_1|=1$? D\'ecrire leur image. \end{enumerate} \item[{\bf 5.}] Si $f\in {\cal S}$ montrer que le coefficient $a_2$ de son d\'eveloppement satisfait $|a_2|\leq 2$ avec \'egalit\'e si et seulement si $f(z)=e^{i\theta}K(e^{-i\theta}z)$ (Bieberbach, 1916). \item[{\bf 6.}] Montrer que si $f\in {\cal S}$ alors l'image de $f$ contient un disque ouvert de centre $0$ et de rayon $r$, avec $\frac 1 4 \leq r \leq 1$, caract\'eriser le cas minimal (Th\'eor\`eme du quart, Bieberbach, 1916). \item[{\bf 7.}] Soit $f \in {\cal S}$ et soit $w \in D$. En consid\'erant la fonction $g(z)= f\left( \frac{z+w}{1+\bar w z}\right)$, majorer $|f''(w)/f'(w)|$. Montrer que $|f'(w)| \leq (1+|w|)/(1-|w|)^3$. En d\'eduire la majoration $$|f(z)| \leq \frac{|z|}{(1-|z|)^2}.$$ \item[{\bf 8.}] Montrer que l'ensemble ${\cal S}$ est compact pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de $D$. \end{enumerate} \end{exo} %\vspace{2mm} \begin{exo} {\it Fonction holomorphe ayant un point fixe (application du th\'eor\`eme de Montel).} Soient $\Omega \subset \CC$ un ouvert born\'e et $f : \Omega \rightarrow \Omega$ holomorphe. On suppose qu'il existe $a \in \Omega$ tel que $f(a) =a$. On note $f_n$ la $n$-i\`eme it\'er\'ee de $f$ : $f_n = f\circ f \circ \cdots \circ f$. %vspace{1mm} \noindent {\bf 1.} Calculer $f_n'(a)$ pour tout $n$ et en d\'eduire que $|f'(a)| \leq 1$. %vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} On suppose que $f'(a) =1$. Montrer que $f$ est l'identit\'e. {\small \noindent {\it Indication :} Montrer que si $f \neq Id$, alors il existe une constante $c \neq 0$ et un entier $k \geq 2$ tels que pour tout $n \geq 1$, on ait $$f_n(z) = z + nc(z-a)^k + o[(z-a)^k]$$ } %vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} On suppose que $|f'(a)| =1$. Montrer que $f : \Omega \rightarrow \Omega$ est un biholomorphisme. Etudier la r\'eciproque. {\small \noindent {\it Indication :} Soit $f'(a)= e^{i\alpha}$ et $n_k$ une suite d'indice telle que $e^{in_k \alpha}$ converge vers $1$. En utilisant le th\'eor\`eme de Montel, montrer que $f_n$ admet une sous suite $g_n$ qui converge vers $Id$ uniform\'ement sur tout compact. En d\'eduire que $f$ est bijective.} %vspace{1mm} \noindent {\bf 4.} En utilisant convenablement le th\'eor\`eme de Montel et le principe du prolongement analytique, montrer que si $|f'(a)|<1$, alors $f_n(z)$ tend vers $a$ uniform\'ement sur tous les compacts de $\Omega$. %vspace{1mm} \noindent {\bf 5.} {\it Illustration :} Soit $\Omega = \{ z ; |z| <1 ,\Re e z >0, \Im m z >0\}$ et $f(z)= e^{i \frac \pi 2 z}$. Montrer que $f(\Omega) \subset \Omega$ et \'etudier les it\'er\'es. \end{exo} %\newpage %\vspace{2mm} %\centerline{{\large \bf Fonctions elliptiques}} %\vspace{2mm} \begin{exo}{\it -- Fonctions elliptiques.} Soit $\Lambda = \ZZ w_1 \oplus \ZZ w_2$ un r\'eseau de $\CC$ ({\it i.e.} $w_1$ et $w_2$ sont deux nombre complexes non nuls tels que $w_2/w_1 \not \in \RR$) et $f$ une fonction elliptique {\it i.e} m\'eromorphe sur $\CC$ et admettant $\Lambda$ comme r\'eseau de p\'eriodes, plus exactement : $$\textrm{Pour tout $z \in \CC$ o\`u $f$ est d\'efinie,} \quad f(z+w_1)= f(z+w_2)=f(z).$$ On identifiera parfois $\CC/\Lambda$ \`a un parall\'elogramme fondamental $P = \{z = z_0+t_1w_1+t_2w_2\}$ avec $t_1,t_2 \in [0,1[$. \noindent {\bf 1.} Montrer que si $f$ est holomorphe, alors $f$ est constante. \noindent {\bf 2.} Montrer que le nombre de z\'eros de $f$ dans $\CC/\Lambda$ est fini, \'egal au nombre de p\^ole de $f$, appel\'e la \emph{valence} de $f$. Montrer que $f$ atteint toute valeur exactement autant de fois que sa valence. {\small \vspace{1mm} \noindent {\it Indication :} consid\'erer $\displaystyle{\int \frac{f'(z)}{f(z)}dz}$ sur le bord d'un parall\'elogramme fondamental.} \noindent {\bf 3.} Soit $z_\alpha$ des repr\'esentants des p\^oles et des z\'eros de $f$ dans un parall\'elogramme fomdamental, avec multiplicit\'e $m_\alpha$. Montrer que $ \displaystyle \sum m_\alpha z_\alpha \in \Lambda.$ \vspace{1mm} {\small \noindent {\it Indication :} consid\'erer $\displaystyle{\int z \frac{f'(z)}{f(z)}dz}$ sur le bord d'un parall\'elogramme fondamental.} \noindent {\bf 4.} Montrer que la somme des r\'esidus de $f$ en les $z_\alpha$ est nulle. En d\'eduire qu'une fonction elliptique non constante est de valence sup\'erieure ou \'egale \`a 2. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} {\it -- Fonctions de Weierstrass.} On reprend les notations de l'exercice pr\'ec\'edent. \begin{enumerate} \item[{\bf 1.}] Soit $k$ un entier $\geq 3$. Montrer que la s\'erie $ \displaystyle G_k = \sum_{w \in \Lambda - \{0\}} \frac{1}{\omega^k}$ converge absolument.\\ \item[{\bf 2.}] Montrer que l'expression $$\EuScript P(z) = \frac{1}{z^2}+ \sum_{w \in \Lambda - \{0\}} \left( \frac{1}{(z-w)^2}-\frac{1}{w^2}\right)$$ d\'efinit une fonction m\'eromorphe sur $\CC$. Montrer que $\EuScript P$ est paire. Calculer $\EuScript P'$ et montrer que c'est une fonction elliptique pour le r\'eseau $\Lambda$. En d\'eduire que $\EuScript P$ est elliptique pour le r\'eseau $\Lambda$ (fonction de Weierstrass).\\ \item[{\bf 3.}] Quels sont les valences de $\EuScript P$ et $\EuScript P'$ ? Montrer que $\EuScript P'$ est impaire. Quels sont les z\'eros de $\EuScript P'$ ?\\ \item[{\bf 4.}] Donner les d\'eveloppement limit\'es \`a $O(z)$ de $\EuScript P'(z)$, $\EuScript P(z)$, $\EuScript P^2(z)$ et $\EuScript P^3(z)$ au voisinage de $0$. En d\'eduire l'\'egalit\'e $$\EuScript P'(z)^2= 4 \EuScript P^3(z)- 60 G_4 \EuScript P(z) - 140 G_6$$ (\'equation fonctionnelle des fonctions de Weierstrass). \end{enumerate} \end{exo} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 9 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 9 : } Fonctions harmoniques. Principe de reflexion de Schwarz.} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 04/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 9 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{3mm} \centerline{{\large \bf Fonctions harmoniques. Principe de r\'eflexion de Schwarz.}} \vspace{2mm} \begin{exo} Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\CC$. \noindent {\bf 1.} Supposons que $f$ est harmonique sur $\Omega$ \`a valeurs dans $\CC$ et telle que $f^2$ soit aussi harmonique. Montrer que $f$ ou $\overline f$ est holomorphe sur $\Omega$. \noindent {\bf 2.} Supposons que $f$ est harmonique sur $\Omega$ \`a valeurs dans $\CC$ et telle que $|f|^2$ soit harmonique. Que dire de plus sur $f$ ? \noindent {\bf 3.} Montrer que, si $f \in \mathcal O(\Omega)$, alors $\ln(|f|^2+1)$ est sous-harmonique dans $\Omega$. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} \noindent {\bf 1.} Soit $D$ le disque unit\'e ferm\'e, $u$ et $v$ deux fonctions d\'efinies sur un voisinage de $D$, on suppose $v$ ${\cal C}^2$ et $u$ ${\cal C}^1$. Montrer que~: $$\int_D u\Delta v\,dxdy+\int_D\nabla u.\nabla v\,dxdy=\int_{\partial D}u(-{\partial v\over\partial y}dx+ {\partial v\over\partial x}dy).$$ \noindent {\bf 2.} En d\'eduire que si $v$ est une fonction harmonique qui co\"\i ncide avec $u$ sur le bord de $D$, alors $$\int_D|\nabla v|^2\,dxdy\leq\int_D|\nabla u|^2\,dxdy.$$ C'est-\`a-dire ``les fonctions harmoniques minimisent l'\'energie du gradient parmi toutes les fonctions dont la valeur au bord est impos\'ee''. {\small \noindent {\it Indication :} on montrera que $\int_D\nabla v.\nabla (u-v)\,dxdy=0$. } \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} {\it Principe de Harnack} Soit $u$ harmonique sur $\Omega\supset \bar{D}(0,R)$. Pour $z \in \bar{D}(0,R)$, on note $r=|z|$. \noindent {\bf 1.} Montrer que $${R-r\over R+r}\leq {R^2-r^2\over |Re^{i\theta}-z|^2}\leq {R+r\over R-r}.$$ En d\'eduire que si $u$ est positive alors $${R-r\over R+r}u(0)\leq u(z)\leq {R+r\over R-r}u(0).$$ {\small \noindent {\it Indication :} Utiliser la formule de Poisson. } \noindent {\bf 2.} Montrer qu'une suite croissante de fonctions harmoniques $(u_n)$ sur $\Omega$ {\it connexe} v\'erifie l'alternative suivante~: -- soit $u_n\to+\infty$ uniform\'ement sur tout compact de $\Omega$, -- soit $u_n$ converge vers une fonction harmonique uniform\'ement sur les compacts. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} Soit $U \subset {\bf C}$ un ouvert connexe, et ${\cal H}^+$ l'ensemble des fonctions harmoniques de $U$ \`a valeurs positives. On se donne $a$ et $b$ deux points de $U$. Prouver l'existence d'un $k \in {\bf R}_+^{*}$ tel que pour toute fonction $u \in {\cal H}^+$, on ait : ${{u(a)} \over k} \leq u(b) \leq k u(a)$. {\small \noindent {\it Indication :} consid\'erer l'ensemble des $v \in U$ tels qu'il existe $k(v) \in {\bf R}_+^{*}$ pour lequel $\forall u \in {\cal H}^+$, on a ${{u(a)} \over {k(v)}} \leq u(v) \leq k(v) u(a)$. } \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} Soient $u$ et $v$ deux fonctions respectivement harmonique et sous-harmonique sur $\Omega$ et continues sur $\overline \Omega$. On suppose que $u$ et $v$ prenent les m\^emes valeurs au bord de $\Omega$. Montrer que $u\geq v$ sur tout $\Omega$. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} {\it Th\'eor\`eme de subordination de Littlewood.} Si $f$ et $F$ sont deux fonctions analytiques dans $\mathbb D$ telles que $f$ soit subordonn\'ee \`a $F$ ({\it i.e.} telles qu'il existe une fonction $\omega \in \mathcal O(\mathbb D)$ v\'erifiant $|\omega(z)|\leq |z|$ pour tout $z$ dans $\mathbb D$ et $f= F\circ \omega$), alors $$\int_0^{2\pi} |f(r e^{i\theta})|^p \d \theta \leq \int_0^{2\pi} |F(re^{i\theta})|^p \d \theta$$ pour tout $r \in ]0,1[, p\in ]0,+\infty[$. \small{ \noindent {\it Indication :} on pourra consid\'erer la fonction harmonique $h$ dans $D(0,r)$ qui coincide avec $|F|^p$ sur $\partial D(0,r)$. } \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo}{\it Th\'eor\`eme des trois cercles d'Hadamard (encore une fois).} Soit $f$ une fonction holomorphe sur la couronne $C = \{ z \ | \ r_1 < |z| < r_2 \}$ et continue sur $\overline C$. Pour $r_1 \leq r \leq r_2$, on note $M(r) = \sup _{|z| = r} |f(z)|$. \noindent {\bf 1.} Soit $\alpha \geq 0$. Montrer que la fonction $g(x,y)=|z|^{2 \alpha} |f(z)|^2$ est sous-harmonique. \iffalse {\small \noindent {\it Indication :} on pourra calculer son Laplacien. } \fi \noindent {\bf 2.} Soient $M_1$ et $M_2$ strictement positifs tels que $M(r_i) \leq M_i$ ($i=1,2$). Soit $$\alpha =\frac{Log({{M_1} \over { M_2}})}{Log({{r_1} \over {r_2}})}.$$ En utilisant l'harmonicit\'e de $g$, montrer que pour tout $\theta \in ]0,1[$, on a l'in\'egalit\'e: $$M(r_1^{\theta}r_2^{1- \theta}) \leq M(r_1)^{\theta}M(r_2)^{1- \theta}.$$ \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} {\bf A.} {\bf Lemmes sur les fonctions ent\`eres} \noindent {\bf 1.} Montrer que l'image d'une fonction enti\`ere non constante est dense dans $\CC$. \noindent {\bf 2.} Montrer que si l'image d'une fonction enti\`ere $f$ est inclus dans $\CC$ priv\'e d'une demi-droite $D_{z_0,\theta_0} = \{z=z_0+re^{i\theta_0}, r \in [0,+\infty[\}$, alors cette fonction est constante. \noindent {\small {\it Indication :} Se ramener au cas o\`u $z_0=0$, puis consid\'erer une d\'etermination du Log sur $\CC \backslash D$ pour d\'efinir $h(z)= \mathrm{Log}(f(z))$. Conclure en utilisant {\bf A.1.}} \vspace{2mm} {\bf B.} {\bf Fonction holomorphe dans le demi-plan sup\'erieur $\mathbf H$} \noindent Soit $f$ une fonction holomorphe dans le demi-plan sup\'erieur $\mathbf H$ et continue sur $\overline{\mathbf H}$. On suppose que $f(\mathbf H)\subset \mathbf H$ et $f(\RR)\subset \RR$. \noindent {\bf 1.} Montrer que $f$ s'\'etend en une fonction enti\`ere. \noindent {\bf 2.} Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\RR$. \noindent {\small {\it Indication :} utiliser une d\'emonstration par l'absurde pour montrer que $f'$ est strictement positif. } \noindent {\bf 3.} Soit $\displaystyle{g(z)={f(z)\over z-x_0}}$ o\`u $x_0$ est le seul z\'ero r\'eel de $f$, montrer que $g$ est constante. En d\'eduire que $f$ est lin\'eaire. \noindent {\small {\it Indications :} $a)$ Supposer qu'il existe $x_0 \in \RR$ tel que $f(x_0)=0$, se ramener au cas o\`u $x_0=0$ et \'etudier \linebreak $g(z)=f(z)/z$ : en particulier, montrer que $\RR^- \nsubseteq \mathrm{Im} g$. $b)$ Montrer que $x_0$ existe en utilisant {\bf A.2.} } \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} Soit $\phi$ une fonction harmonique positive dans ${\mathbf H}$ nulle sur l'axe r\'eel. Montrer que $\phi(x+iy)=\alpha y$, $\alpha$ r\'eel positif. \end{exo} \vspace{2mm} \begin{exo} Soit $U$ un ouvert simplement connexe sym\'etrique par rapport \`a l'axe r\'eel, et $u$ une fonction harmonique r\'elle sur $U$, on suppose que $u=0$ sur $U\cap\RR$. Montrer que $u(z)=-u(\bar{z})$. \end{exo} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Feuille 10 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Feuille 10 : } Repr\'esentations conformes.} \setcounter{exercice}{0} {\bf \noindent \begin{tabular}{lcr} ENS Lyon & \hspace{2cm} Analyse Complexe \hspace{1.5cm}\ & \hspace{1.5cm} 05/2005\\ Licence, 3i\`eme Ann\'ee & \hspace{0.2cm} Feuille 10 & \\ \end{tabular} } \setlength{\unitlength}{1cm} \begin{picture}(15,0) \linethickness{1.1mm} \put(-0.6,0){\line(1,0){17.2}} \end{picture} \vspace{3mm} \centerline{{\large \bf Sph\`ere de Riemann, Repr\'esentation conforme}} \vspace{3mm} \begin{exo}{\it Fonctions m\'eromorphes sur la sph\`ere de Riemann.} \noindent {\bf 1.} Soit $f$ une fonction m\'eromorphe sur $\CC$ tout entier. On rappelle que $f$ est dite m\'eromorphe \`a l'infini si l'application $z\mapsto f(1/z)$ est m\'eromorphe sur un voisinage de $0$. D\'eterminer l'ensemble des fonctions holomorphes sur $\CC$ qui sont m\'eromorphes en l'infini, puis l'ensemble des fonctions m\'eromorphes sur $\CC$ qui sont aussi m\'ero\-morphes \`a l'infini. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} D\'eterminer l'ensemble des applications holomorphes de la sph\`ere de Riemann $\mathbb P^1_\CC=\CC\cup\{\infty\}$ dans elle-m\^eme. \end{exo} \vspace{3mm} \centerline{\it On note $\D$ le disque unit\'e ouvert et $\H$ le demi-plan de Poincar\'e.} \vspace{3mm} \begin{exo}{\it Biholomorphismes explicites classiques.} \noindent {\bf 1.} Donner un biholomorphisme explicite entre $\D$ et $\H$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Trouver un biholomorphisme entre $\CC \backslash \RR^-$ et $\H$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Montrer que $z \mapsto z + \frac 1 z$ r\'ealise un biholomorphisme de $\H \cap \{ |z| >1\}$ sur $\H$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 4.} Montrer que la fonction $\exp$ est un biholomorphisme de $\{|\Im m z|<\pi\}$ sur $\CC \backslash \RR^-$. \end{exo} \begin{exo}{\it Recherche de repr\'esentations conformes explicites} \noindent {\bf 1.} Trouver une repr\'esentation conforme explicite pour $\{|\Im m z|<\pi\}$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} Trouver une repr\'esentation conforme du secteur angulaire $S_\alpha = \{|\textrm{Arg} (w)| <\alpha \pi \}$ o\`u \mbox{$0<\alpha<1$} et $\textrm{Arg}$ d\'esigne l'argument compris entre $-\pi$ et $\pi$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} Soit $\Omega = \{ 0<|z|<1 \textrm{ et } 0 < \textrm{Arg} z <\pi\}$. Trouver une repr\'esentation conforme de $\Omega$. Examiner son comportement \`a la fronti\`ere de $\Omega$. \end{exo} \vspace{3mm} \begin{exo} Soit $h$ un r\'eel positif et $U_h$ l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $Im(z) > 0$ et $z$ n'est pas sur le segment vertical $[0,ih]$.\\ Trouver un biholomorphisme explicite de $U_h$ avec le demi-plan sup\'erieur. \end{exo} \vspace{3mm} \begin{exo} Soit $\Gamma$ une {\it courbe de Jordan}, {\it c'est-\`a-dire} $(i)$ $\CC \backslash \Gamma$ a deux composantes connexes : $\mathrm{Int}(\Gamma)$ qui est born\'ee et $\mathrm{Ext}(\Gamma)$ qui est non born\'e. On a $\mathrm{Fr}(\mathrm{Int}(\Gamma))=\mathrm{Fr}(\mathrm{Ext}(\Gamma))=\Gamma$. $(ii)$ $\Gamma$ est une courbe ferm\'ee simple (de classe $C^1$), {\it i.e.} il existe $\gamma : S^1 \rightarrow \CC$ de classe $C^1$, telle que $\gamma$ n'a pas de point double, $\mathrm \gamma = \Gamma$ et de plus, pour tout $a \in \mathrm{Int}(\Gamma)$, $$\mathrm{Ind}(\gamma, a) = \pm 1.$$ Soit $f$ une fonction continue sur $\overline{\D}$, \`a valeurs dans $\Gamma \cup \textrm{Int}(\Gamma) = \overline{\textrm{Int}(\Gamma)}$, holomorphe dans $\D$, v\'erifiant $f(\D) \subset \textrm{Int}(\Gamma)$ telle que $f$ soit une bijection de $S^1 = \mathrm{Fr}\D$ sur $\Gamma$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 1.} D\'emontrer que pour tout $a \in \D$, l'ensemble $X_a = \{ z \in \D; f(z)=f(a)\}$ est fini. \vspace{1mm} \noindent {\bf 2.} D\'emontrer que si $r$ est assez voisin de $1$, $r<1$, alors $f \circ c_r$ est un lacet dans $\CC \backslash \{f(a)\}$, o\`u $c_r(t)= re^{2i\pi t}$, et est homotope dans $\CC \backslash \{f(a)\}$ au lacet $f \circ c_1$. \vspace{1mm} \noindent {\bf 3.} D\'emontrer que si $r$ est assez voisin de $1$, $r<1$, alors $$\frac{1}{2i \pi} \int_{c_r} \frac{f'(z)}{f(z)-f(a)} \mathrm{d} z = 1$$ En conclure que $f$ est injective sur $\D$ et surjective de $\D$ sur $\mathrm{Int}(\Gamma).$ \end{exo} \begin{exo}{\it Biholomorphisme explicite entre le disque et le carr\'e} {\bf 1.} Montrer que l'on peut d\'efinir $g(z) = \sqrt{1-z^4}$ continue sur $\overline{\D}$ et holomorphe sur $\D$. \vspace{1mm} {\bf 2.} Montrer que l'application $\phi$ : $$\phi (z) = \int_{[0,z]} \frac{\mathrm d \zeta}{\sqrt{1-\zeta^4}}$$ est bien d\'efinie sur $\overline \D$, continue sur $\overline D$ et holomorphe sur $\D$. \vspace{1mm} \noindent {\it Indication :} Montrer que $|\sqrt{1-t^4z^4}| \geq \sqrt{1-t^4}$ pour tout couple $(z,t) \in \overline{\D} \times [0,1[$. \vspace{1mm} {\bf 3.} Soit $W$ le carr\'e ouvert de sommets $\rho, i\rho, -\rho,-i\rho$ o\`u $\rho = \displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm d t}{ \sqrt{1-t^4}}$. \vspace{1mm} a) Montrer que $\phi(iz)= i \phi(z)$. \vspace{1mm} b) Montrer que $\phi(\D) \subset W$. \vspace{1mm} c) Appliquer le th\'eor\`eme de Cauchy \`a $\frac 1 g$ sur le compact $K_{r,\theta} = \{ \lambda e^{is}; 0\leq \lambda r, 0\leq s \leq \theta\}$ pour $r<1$. Que se passe-t-il lorsque $r$ tend vers 1 ? En d\'eduire que $\phi(e^{i\theta})$ pour $\theta \in [0,2\pi]$ param\`etre le bord du carr\'e. En conclure que $\phi$ est un hom\'eomorphisme de $\partial \D$ sur $\partial W$. \vspace{1mm} d) Montrer, en utilisant l'exercice pr\'ec\'edent, que $\phi$ est une bijection de $\D$ sur $W$. \vspace{1mm} e) Conclure que $\phi$ est un hom\'eomorphisme de $\overline \D$ sur $\overline W$ dont la restriction \`a $\D$ est un biholomorphisme de $\D$ sur $W$. \end{exo} \newpage \addcontentsline{toc}{section}{{\sc Partiels et Examens}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% Examens divers %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\small %\magnification=1000 %\voffset=-6.5mm %\vsize=19.5cm %\hsize=13cm %\parskip=7pt plus 2pt minus 1pt \parindent=0cm \font\tenCal=eusm10 \font\sevenCal=eusm7 \font\fiveCal=eusm5 \newfam\Calfam \textfont\Calfam=\tenCal\scriptfont\Calfam=\sevenCal \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal \def\Cal{\fam\Calfam\tenCal} \def\cC{{\Cal C}} \def\cE{{\Cal E}} \def\cO{{\Cal O}} \def\ii{{\rm i}} \font\tenBbb=msbm10 \font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5 \newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb\scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb \scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb \def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb} \def\bC{{\Bbb C}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bZ{{\Bbb Z}} \def\bone{{\mathchoice {\rm 1\mskip-4mu l} {\rm 1\mskip-4mu l} {\rm 1\mskip-4.5mu l} {\rm 1\mskip-5mu l}}} \def\buildo#1\over#2{\mathrel{\mathop{\null#2}\limits^{#1}}} \def\ssm{\mathbin{\Bbb\char"72}} \def\gge{{\scriptscriptstyle\ge}} \def\lle{{\scriptscriptstyle\le}} \def\lra{\longrightarrow} \def\bu{\hbox{$\scriptstyle\bullet$}} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \def\ol{\overline} \def\ld{,\,\ldots\,,} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\arg{\mathop{\rm arg}\nolimits} \def\Supp{\mathop{\rm Supp}\nolimits} \def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits} \def\Log{\mathop{\rm Log}\nolimits} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\decal#1|{\hangindent6mm\hangafter1\noindent\rlap{#1}\hskip6mm} \def\Decal#1|{\hangindent12mm\hangafter1\noindent\hskip6mm\rlap{#1}\hskip6mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% PARTIEL 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Partiel 2004}} {\bf ENS de Lyon, DMI\hfill Ann\'ee 2003/2004\break Magist\`ere 1\`ere ann\'ee\hfill Examen Partiel du 18 mars 2004} %Magist\`ere 1\`ere ann\'ee\hfill Examen Partiel le 15 mars 2005} \vskip12pt \centerline{\bf Magist\`ere 1\`ere ann\'ee, Math\'ematiques} \smallskip \centerline{\bf Cours de Variable Complexe (F.\ Charles, J.-P.\ Demailly, M.\ Pichot)} \smallskip \vskip15pt {\it Dur\'ee}\/: 2$\,$h.\hfil\break {\rm Le soin apport\'e \`a la r\'edaction sera un \'el\'ement important d'appr\'eciation}.\hfil\break {\rm Les documents ne sont pas autoris\'es, sauf un r\'esum\'e de cours personnel $($de 4 pages maximum$)$} \vskip10pt {\it Bar\^eme indicatif} \/: I, 4 points\/; II, 7 points\/; III, 11 points. \vskip25pt \centerline{\bf I. Calcul de r\'esidu} Soient $a$ et $p$ des r\'eels positifs ou nuls. Calculer l'int\'egrale $$ \int_0^{+\infty}{\cos px\,dx\over \ch x+\ch a}dx $$ en int\'egrant la fonction $e^{\ii pz}/(\ch z+\ch a)$ le long du bord du rectangle ayant pour sommets $\pm R$, $\pm R+2\pi\ii$. Que se passe-t-il si $a=0$ ou $p=0$~? \bigskip\bigskip \centerline{\bf II. Un lemme de Bloch-Landau am\'elior\'e} \decal 1)|Soit $f$ une fonction holomorphe d\'efinie au voisinage du disque $\ol D(0,1)$. Montrer qu'il existe un point $a\in D(0,1)$ tel que $(1-|a|^2)|f'(a)|=\sup_{|z|<1}(1-|z|^2)|f'(z)|$, puis qu'il existe un automorphisme $h$ du disque unit\'e pour lequel la fonction $g=f\circ h$ a la propri\'et\'e que $(1-|z|^2)|g'(z)|$ est maximum en $z=0$. \decal 2)|Soit $g$ une fonction holomorphe sur le disque $D(0,1)$ telle que $g'(0)=1$ et telle que $(1-|z|^2)|g'(z)|$ atteigne son maximum en $z=0$. \Decal a)|Montrer que $g(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n$ avec $|a_n|\le 1/r^{n-1}(1-r^2)$ pour tout $r>0$ et $n\ge 1$, puis en d\'eduire qu'on a une majoration $|a_n|\le Cn$ avec une constante $C$ explicite. \Decal b)|Montrer \`a l'aide de la m\'ethode des s\'eries majorantes pour le calcul de la fonction inverse $g^{-1}$ qu'il existe un ouvert $U\subset D(0,1)$ tel que $g$ induise un biholomorphisme de $U$ sur certain disque $D(a_0,\rho_0)$ dont le rayon $\rho_0$ est une constante explicite fixe. \decal 3)|Lemme de Bloch-Landau: si $f$ est holomorphe et non constante sur un disque $D(z_0,R)$, il existe un ouvert $U\subset D(z_0,R)$ tel que $f$ soit un biholomorphisme de $U$ sur un disque ouvert de rayon $r\ge \rho_0 R|f'(z_0)|$ (o\`u $\rho_0$ est la constante du 2)~b)). \bigskip \hfill Tournez la page SVP \newpage \centerline{\bf III. Probl\`eme} L'objet de ce probl\`eme est d'aboutir \`a une d\'emonstration du ``{\it Grand Th\'eor\`eme de Picard}$\,$'': si une fonction holomorphe $f\in\cO(V\ssm\{z_0\})$ est holomorphe sur un voisinage point\'e $V\ssm\{z_0\}$ d'un point $z_0$ et admet une singularit\'e essentielle en $z_0$, alors l'image $f(V\ssm\{z_0\})$ omet au plus un point de $\bC$ (i.e.\ le compl\'ementaire $\bC\ssm f(V\ssm\{z_0\})$ est soit vide, soit constitu\'e d'un seul point). \decal 1)|Soit $\Omega=D(a,R)$ un disque ouvert de $\bC$. Pour toute constante $A\ge 1$ on consid\`ere l'ensemble $\cE_A$ des fonctions holomorphes sur $\Omega$ telles que $$ f(\Omega)\subset \bC\ssm\{0,1\}\quad\hbox{et}\quad 1/A\le |f(a)|\le A. $$ On se propose de montrer que $\cE_A$ est {\it born\'e} dans $\cO(\Omega)$ (et donc relativement compact d'apr\`es le th\'eor\`eme de Montel). \Decal a)|Montrer qu'il existe une fonction $g$ holomorphe sur $\Omega$ telle que $\exp(2\pi\ii g)=f$,\break $g(\Omega)\subset\bC\ssm\bZ$ et $|g(a)|\le {1\over 2\pi}\ln A+{1\over 2}$. \Decal b)|Montrer qu'il existe une fonction $h\in\cO(\Omega)$ qui est une d\'etermination holomorphe de $\sqrt{g}+\sqrt{g-1}$, de sorte que $(h+1/h)^2=4g$. Montrer que $|h(a)|$ est born\'e explicitement en fonction de $A$ et que $h(\Omega)$ \'evite la valeur $0$ et toutes les valeurs de la forme $\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$ ou $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$, avec $n\in\bN^*$. \Decal c)|Montrer qu'il existe une fonction $k\in\cO(\Omega)$ telle que $\exp(k)=h$, o\`u $|k(a)|$ admet une majoration explicite en fonction de $A$ et $k(\Omega)$ \'evite tous les points de la forme $\pm\ln(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})+2p\ii\pi$. En d\'eduire que le plus grand disque contenu dans $k(\Omega)$ est de diam\`etre inf\'erieur ou \'egal \`a $\smash{\big((\ln(\sqrt{2}+1))^2+(2\pi)^2\big)^{1/2}}$. \Decal d)|Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que $|k'(z)|\le C/(R-|z-a|)$ [Indication: sinon, obtenir une contradiction avec le lemme de Bloch-Landau II)~3)]. \Decal e)|Montrer que $k$ admet une majoration explicite sur tout compact de $D(a,R)$. En d\'eduire que $\cE_A$ est bien born\'e. \decal 2)|On consid\`ere une fonction $f$ holomorphe sur $D(0,\varepsilon)\ssm\{0\}$, admettant une singularit\'e essentielle en $0$, telle que $f(D(0,\varepsilon)\ssm\{0\})\subset \bC\ssm\{0,1\}$. \Decal a)|On pose $M_k=\sup_{|z|=2^{-k}}|f|$, $k\in\bN$. Montrer que $M_k$ tend vers l'infini quand $k$ tend vers $+\infty$. Montrer de m\^eme en consid\'erant $1/f$ que $m_k=\inf_{|z|=2^{-k}}|f|$ tend vers $0$. \Decal b)|Pour $k\ge k_0$ assez grand, montrer l'existence d'un nombre complexe $e^{\ii\theta_k}$ tel que la fonction $$ f_k(z)=f(2^{-k}e^{\ii\theta_k}e^{2\pi\ii z}) $$ soit holomorphe sur le disque $D(0,1)$, v\'erifie $$|f_k(0)|=1,~~ f_k(D(0,1))\subset \bC\ssm\{0,1\},~~\sup_{z\in[-1/2,1/2]}|f_k(z)|=M_k\to +\infty.$$ \vskip-12pt \Decal c)|Montrer qu'on aboutit ainsi \`a une contradiction et en d\'eduire le grand th\'eo\-r\`eme de Picard. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% PARTIEL 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{\hspace{0.5cm}{\bf Correction du Partiel 2004 }} {\bf ENS de Lyon, DMI\hfill Ann\'ee 2004/2005\break Magist\`ere 1\`ere ann\'ee\hfill Examen Partiel du 18 mars 2004} \vskip10pt \centerline{\bf Correction du Partiel de Variable Complexe VC1} %\centerline{\bf Cours de Variable Complexe (F.\ Charles, J.-P.\ Demailly, M.\ Pichot)} \vskip20pt \centerline{\bf I. Calcul de r\'esidu} \noindent \fbox{$ p = 0, a = 0$ : } La fonction $f(x) = 1/(\ch x +1)$ est d\'efinie et continue sur $\RR$. \begin{eqnarray*} I_{0,0} =\int_0^\infty \frac{1}{\ch x + 1} d x &=& \int_1^\infty \frac{2}{u+\frac 1 u + 2 } \frac{du}{u} \quad \textrm{changement de variable } u=e^x\\ &=& \int_1^\infty \frac{2}{u^2+ 2u+1} du\\ &=& \int_1^\infty \frac{2}{(u+ 1)^2} du\\ &=& 2 \left[ \frac{-1}{u+1}\right]^\infty_1\\ &=& 1 \end{eqnarray*} \noindent \fbox{$ p = 0, a \neq 0$ : } La fonction $f(x) = 1/(\ch x +\ch a)$ est d\'efinie et continue sur $\RR$. \begin{eqnarray*} I_{0,a}=\int_0^\infty \frac{1}{\ch x +\ch a} d x &=& \int_1^\infty \frac{2}{u+\frac 1 u + 2 \ch a} \frac{du}{u} \quad \textrm{changement de variable } u=e^x\\ &=& \int_1^\infty \frac{2}{u^2+ 2u \ch a+1} du\\ &=& \int_1^\infty \frac{2}{(u+ \ch a)^2-\ch^2a+1} du\\ &=& \int_1^\infty \frac{2}{(u+ \ch a)^2-sh^2 a} du\\ &=& \frac{2}{\sh^2 a} \int_1^\infty \frac{1}{\left(\frac{u+ \ch a}{\sh a}\right)^2-1} du\\ &=& \frac{2}{\sh^2 a} \int_{\frac{1+ \ch a}{\sh a}}^\infty \frac{1}{v^2-1} \sh a dv \quad \textrm{changement de variable } v=\frac{u+ \ch a}{\sh a}\\ &=& \frac{1}{\sh a} \int_{\frac{1+ \ch a}{\sh a}}^\infty \frac{1}{v-1}- \frac{1}{v+1} dv \\ &=& \frac{1}{\sh a} \left[\ln \left| \frac{v-1}{v+1}\right| \right]_{\frac{1+ \ch a}{\sh a}}^\infty= - \frac{1}{\sh a} \ln \left| \frac{\frac{1+ \ch a}{\sh a}-1}{\frac{1+ \ch a}{\sh a}+1}\right|\\ &=& - \frac{1}{\sh a} \ln \left| \frac{1+ \ch a- \sh a}{1+ \ch a +\sh a}\right|=- \frac{1}{\sh a} \ln \left| \frac{2+ e^a+e^{-a}- e^a+e^{-a}}{2+ e^a+e^{-a}+e^a-e^{-a}}\right|\\ &=& - \frac{1}{\sh a} \ln \left| \frac{1+e^{-a}}{1+ e^a}\right| = - \frac{1}{\sh a} \ln \left| \frac{e^{-a/2}(e^{a/2}+e^{-a/2})}{e^{a/2}(e^{-a/2}+e^{a/2})}\right|\\ &=& \frac{a}{\sh a} \rightarrow_{a \rightarrow 0} 1 \quad \textrm{apr\`es simplification}\\ \end{eqnarray*} \noindent \fbox{$a \neq 0, p\neq 0$ : } Consid\'erons la fonction $f(z)=e^{i pz}/(\ch z+\ch a)$. Le d\'enominateur de $f$ s'annule pour $\ch z = \ch a$ {\it i.e.} pour $z^\pm_k = \pm a + (2k+1)i\pi$. La fonction $f$ est m\'eromorphe sur $\CC$ avec des p\^oles simples en les $z^{\pm}_k$. On peut facilement calculer les r\'esidus en ces points. On \'ecrit $f(z)= u(z)/v(z)$ avec \linebreak $u(z)=e^{i pz}$ et $v(z) =\ch z+\ch a$, comme $u(z^\pm_k)\neq 0$ et $v'(z^\pm_k)\neq 0$, on a $$\mathrm{Res}(f(z) dz, z^\pm_k) = e^{i p z^\pm_k}/\sh z^\pm_k$$ {\it i.e.} $$ \mathrm{Res}(f(z) dz, z^+_k) = -e^{-(2k+1)p\pi}\frac{e^{ipa}}{\sh a}; \quad \mathrm{Res}(f(z) dz, z^-_k) = e^{-(2k+1)p\pi}\frac{e^{-ipa}}{\sh a}$$ (remarquer que la condition $a \neq 0$ est indispensable pour ce calcul) Consid\'erons le contour orient\'ee suivant avec $R >a$ : %\centerline{ %\includegraphics[scale=0.3]{rectangle.eps}} D'apr\`es le th\'eor\`eme des R\'esidus, pour tout $R>a$, appliqu\'e \`a $f$ : \begin{eqnarray*} \int_{\partial K_R} f(z) d z &=& 2i\pi \left( \mathrm{Res}(f(z)dz, a+i\pi) + \mathrm{Res}(f(z)dz, -a+i\pi)\right) \\ &=& 2i\pi \left( -e^{-p\pi}\frac{e^{ipa}}{\sh a} + e^{-p\pi}\frac{e^{-ipa}}{\sh a}\right)\\ &=& 4 \pi \frac{e^{-p\pi}}{\sh a} \sin{pa} \in \RR \end{eqnarray*} D'autre part, \begin{eqnarray*} \int_{\partial K_R} f(z) d z & =& \int_{-R}^{R} \frac{e^{ipx}}{\ch x+\ch a} d x\\ &&+ \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{ip(R+iy)}}{\ch(R+iy)+\ch a} i dy\\ &&+\int_R^{-R} \frac{e^{ip(x+2i\pi)}}{\ch (x+2i\pi)+\ch a} d x\\ &&+\int_{2\pi}^{0} \frac{e^{ip(-R+iy)}}{\ch(-R+iy)+\ch a} i dy \end{eqnarray*} D'o\`u \begin{eqnarray*} \int_{\partial K_R} f(z) d z &=&(1-e^{-2p\pi}) \int_{-R}^{R} \frac{e^{ipx}}{\ch x+\ch a} d x\\ &&+i e^{ipR}\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{-py}}{\ch(R+iy)+\ch a} dy -i e^{-ipR}\int^{0}_{2\pi} \frac{e^{-py}}{\ch(-R+iy)+\ch a} dy\\ &=&2e^{-p \pi} \sh(p \pi) \int_{-R}^{R} \frac{e^{ipx}}{\ch x+\ch a} d x\\ &&+i e^{ipR}\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{-py}}{\ch(R+iy)+\ch a} dy -i e^{-ipR}\int^{0}_{2\pi} \frac{e^{-py}}{\ch(-R+iy)+\ch a} dy\\ \end{eqnarray*} La fonction $\frac{e^{ipx}}{\ch x+\ch a}$ est int\'egrable sur $\RR$ car major\'ee par une fonction int\'egrable sur $\RR$ (cas $p=0$). On a $$\Re \left[\int_{-R}^{R} \frac{e^{ipx}}{\ch x+\ch a} d x\right] \rightarrow_{R\rightarrow +\infty} 2 I$$ De plus, $$\frac{e^{-py}}{\ch(R+iy)+\ch a} \leq \frac{1}{\sh R - \ch a}$$ car $y\geq 0$ et $|\ch(R+iy)+\ch a| \geq |\ch(R+iy)| -\ch a \geq \frac{e^R-e^{-R}}{2} - \ch a = \sh R - \ch a$. D'o\`u $$ \left|i e^{ipR}\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{-py}}{\ch(R+iy)+\ch a} dy\right| \leq 2 \pi \frac{1}{\sh R - \ch a} \rightarrow_{R\rightarrow +\infty} 0$$ De m\^eme $$\left|i e^{-ipR}\int^{0}_{2\pi} \frac{e^{-py}}{\ch(-R+iy)+\ch a} dy\right| \leq 2 \pi \frac{1}{\sh R - \ch a} \rightarrow_{R\rightarrow +\infty} 0$$ Finalement, $$ 4 e^{-p\pi}\sh(p\pi)I = \Re\left( 4\pi \frac{e^{-p\pi}}{\sh a} \sin{pa} \right)$$ D'o\`u $$ I_{p,a} = \pi \frac{\sin pa}{\sh p \pi \sh a} \rightarrow_{a\rightarrow 0} \frac{p\pi}{\sh(p\pi)}$$ \noindent \fbox{$a =0, p\neq 0$ : } Dans ce cas le p\^ole $i\pi$ n'est plus simple : il est de mulitiplicit\'e $2$. On refait donc le calcul du r\'esidu. Pour $z = u + i\pi$, on a $$\ch (u+i\pi) +1 = \frac{-e^u-e^{-u}}{2}+1 = - \sum_1^\infty \frac{u^{2n}}{(2n)!} = -\frac{u^2}{2}(1 + u^2/12 + o(u^3))$$ et \begin{eqnarray*} e^{ip(u+i\pi)} &=& e^{-p\pi} (1 + ipu +(ipu)^2/2 + o(u^2)) \end{eqnarray*} Ainsi \begin{eqnarray*} \frac{e^{p(u+i\pi)}}{\ch (u+i\pi) +1} &=& -\frac{2e^{-p\pi}}{u^2} (1 + ipu +(ipu)^2/2 + o(u^2) )(1 -u^2/12 + o(u^3))\\ \end{eqnarray*} Ainsi $$\mathrm{Res}(f(z) dz , i\pi) = -2 ipe^{-p \pi}$$ et $$4e^{-p\pi}\sh(p\pi)I = 4\pi p e^{-p \pi} $$ {\it i.e.} $$ I_{p,0} = \frac{p\pi}{\sh(p\pi)} \rightarrow_{p \rightarrow 0} 1$$ \centerline{\bf II. Un lemme de Bloch-Landau am\'elior\'e} polycopi\'e pages 43-44, 49-51 \centerline{\bf III. Probl\`eme} polycopi\'e pages 109-113 \newpage \thispagestyle{empty} \ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% EXAMEN 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Examen 2004 }} {\bf ENS de Lyon, DMI\hfill Ann\'ee 2003/2004\break Magist\`ere 1\`ere ann\'ee\hfill Examen du 13 mai 2004} %\vskip3pt \centerline{\bf Magist\`ere 1\`ere ann\'ee, Math\'ematiques} %\smallskip \centerline{\bf Cours de Variable Complexe (F.\ Charles, J.-P.\ Demailly, M.\ Pichot)} \smallskip %\vskip3pt {\it Dur\'ee}\/: 3$\,$h.\hfil\break {\rm Le soin apport\'e \`a la r\'edaction sera un \'el\'ement important d'appr\'eciation}.\hfil\break {\rm Les documents ne sont pas autoris\'es, sauf un r\'esum\'e de cours personnel $($de 4 pages maximum$)$} %\vskip3pt {\it Bar\^eme indicatif}\/: I, 3 points\/; II, 8 points\/; III, 11 points. \vskip3pt \bigskip \centerline{\bf I. Fonctions m\'eromorphes sur la sph\`ere de Riemann} \decal 1)|Soit $f$ une fonction m\'eromorphe sur $\bC$ tout entier. On rappelle que $f$ est dite m\'eromorphe \`a l'infini si l'application $z\mapsto f(1/z)$ est m\'eromorphe sur un voisinage de $0$. D\'eterminer l'ensemble des fonctions holomorphes sur $\bC$ qui sont m\'eromorphes en l'infini, puis l'ensemble des fonctions m\'eromorphes sur $\bC$ qui sont aussi m\'ero\-morphes \`a l'infini. \decal 2)|D\'eterminer l'ensemble des applications holomorphes de la sph\`ere de Riemann $\bP^1_\bC=\bC\cup\{\infty\}$ dans elle-m\^eme. \bigskip \bigskip \centerline{\bf II. Interpolation holomorphe} Soit $\Omega$ un ouvert de $\bC$. Etant donn\'e une suite $(a_p)_{p\in\bN}$ localement finie dans $\Omega$, des entiers $m_p\ge 1$ et des nombres complexes $v_{p,q}$, $0\le q0$ et admet un prolongement m\'eromorphe \`a $\bC$ tout entier. Quels sont les p\^oles de $\Gamma$~? Quel est le r\'esidu de $\Gamma(w)\,dw$ en $w=0$~? aux autres p\^oles~? \decal 2)|On consid\`ere l'int\'egrale $$ I(w)=\int_0^{+\infty}{t^{w-1}\over e^t-1}dt. $$ \Decal a)|V\'erifier que la fonction $I$ est bien d\'efinie et holomorphe sur le demi-plan $\Re w> 1$. \Decal b)|Montrer en utilisant la somme de la s\'erie $\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nt}$ que l'on a la formule $I(w)=\Gamma(w)\zeta(w)$ o\`u $\zeta(w)$ est la somme de la s\'erie de Riemann $$ \zeta(w)=\sum_{n=1}^{+\infty}{1\over n^w},\qquad \Re w>1. $$ \decal 3)|Pour tous r\'eels $a,b,\varepsilon$ tels que $a>0$, $b>0$, $0<\varepsilon2$. On int\`egre $f$ sur le contour $\gamma_{\varepsilon,\delta,A}$ form\'e de la r\'eunion des segments $[\varepsilon,1-\varepsilon]\pm i\delta$ et $[1+\varepsilon,A]\pm i\delta$ et d'arcs de cercles de centre $z=0$ et de rayons $\sqrt{\varepsilon^2+\delta^2}$, $\sqrt{A^2+\delta^2}$, et enfin de deux arcs de cercle de centre $z=1$ et de rayon $\sqrt{\varepsilon^2+\delta^2}$, choisis en sorte que $\gamma_{\varepsilon,\delta,A}$ soit le bord orient\'e d'un compact $K_{\varepsilon,\delta,A}$ contenu dans le domaine de d\'efinition de $f$. Faire un sch\'ema. Calculer la limite quand $\delta\to 0$ de $\int_{\gamma_{\varepsilon,\delta,A}}f(z)dz$ en termes de $$ I_{\varepsilon,A}=\int_\varepsilon^{1-\varepsilon}R(x)\ln(x)\,dx +\int_{1+\varepsilon}^AR(x)\ln(x)\,dx $$ et d'autres int\'egrales exprim\'ees sur des arcs de cercle. \decal 3)|Ramener les int\'egrales sur les deux demi-cercles de centre $z=1$ et de rayon $\varepsilon$ \`a des int\'egrales faisant intervenir la d\'etermination $\log_0$ plut\^ot que $\log_\pi$. Montrer que les termes contenant $\log_0 z$ ou $(\log_0 z)^2$ ne donnent aucune contribution quand $\varepsilon$ tend vers 0, et en d\'eduire la valeur de la limite de la somme de ces int\'egrales. \decal 4)|D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $$ I = -{1\over 2}\sum_{a\ne 1}\Res(f(z)\,dz,a)+{\pi^2\over 2}\Res(R(z)\,dz,1). $$ Application num\'erique~: $R(x)=1/(x^4-1)$. \bigskip\bigskip \hfill Tournez la page SVP \newpage \centerline{\bf II. Fonctions enti\`eres d'ordre fini} L'objet de ce probl\`eme est d'\'etudier quelques propri\'et\'es des fonctions enti\`eres, \`a savoir les fonctions holomorphes $f$ d\'efinies sur $\bC$ tout entier. On note $f(z)=\sum_{n\in\bN}a_nz^n$ le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $f$ \`a l'origine. \decal 1)|On dit qu'une fonction $f\in\cO(\bC)$ est {\it de type exponentiel} s'il existe des constantes $A,C\ge 0$ telles que $$ |f(z)|\le C\exp(A|z|). $$ \Decal a)|Montrer qu'on a les in\'egalit\'es $$|a_n|\le {C\,e^n\over({n\over A})^n}\le {C'A^n\sqrt{n}\over n!} \le {C_\varepsilon(A+\varepsilon)^n\over n!} $$ pour $\varepsilon>0$ et des constantes $C',C_\varepsilon\ge 0$ ad\'equates (on rappelle la formule de Stirling $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$). \Decal b)|Inversement, si $a_n$ v\'erifie une in\'egalit\'e de la forme $|a_n|\le C\,A^n/n!$, montrer que $f$ est de type exponentiel. \decal 2)|On dit que $f$ est une fonction enti\`ere d'ordre${}\le \rho$ si, pour tout $\varepsilon>0$ il existe une constante $C_\varepsilon\ge 0$ telle que $$|f(z)|\le C_\varepsilon\exp(|z|^{\rho+\varepsilon}).$$ \Decal a)|Si $f$ ne s'annule pas, montrer l'existence d'une primitive de $f'/f$ sur $\bC$, puis d'une fonction enti\`ere $g$ telle que $e^g=f$. En d\'eduire que $f$ est de la forme \hbox{$f=e^P$} o\`u $P$ est un polyn\^ome [on pourra utiliser pour cela le r\'esultat du ``lemme de la partie r\'eelle'' vu en TD, \`a savoir que si $\Re g(z)\le A|z|^B$, alors $g$ est un polyn\^ome]. \Decal b)|On note $W_0(z)=1-z$ et $$ W_p(z)=(1-z)\exp\Big(z+{z^2\over 2}+\ldots +{z^p\over p}\Big) $$ le facteur de Weierstrass d'ordre $p\ge 1$. Montrer (avec la convention usuelle $\ln 0=-\infty$) l'existence de constantes $C,C_\varepsilon>0$ telles que \begin{eqnarray*} \ln|W_p(z)|\le C|z|^p & & \textrm{si $|z|\ge 1/2$ et $p\ge 1$}\\ \ln|W_p(z)|\le C_\varepsilon|z|^\varepsilon&& \textrm{si $|z|\ge 1/2$ et $p= 0$}\\ |\log_0 W_p(z)|\le 2|z|^{p+1}&&\textrm{si $|z|\le 1/2$}. \end{eqnarray*} \Decal c)|Soit $(z_n)$ une suite de nombres complexes non nuls avec $|z_n|\to +\infty$ (pas n\'eces\-sairement 2 \`a 2 distincts) telle qu'il existe un r\'eel $\sigma>0$ pour lequel la s\'erie $S=\sum 1/|z_n|^\sigma$ soit convergente. Montrer que le produit infini $$ f(z)=\prod_{n\in\bN} W_p(z/z_n) $$ est convergent pour $p\ge\sigma-1$ et que $f$ d\'efinit une fonction enti\`ere\break d'ordre\hbox{${}\le p+1$}. [Pour $|z|=R\ge 1$, on observera que le nombre d'\'el\'ements $z_n$ tels que $|z_n|\le 2R$ est major\'e par $S(2R)^\sigma$ et que l'on a \'egalement $$\sum_{|z_n|\le 2R}{1\over |z_n|^k} \le S(2R)^{p+1-k}~~ \hbox{si $k\le p\,$}.\;]$$ \bigskip \hfill Tournez la page SVP \newpage \decal 3)|Soit $f$ une fonction enti\`ere non nulle d'ordre${}\le\rho$ et $(z_n)$ la suite de ses z\'eros, $m_n$ leurs multiplicit\'es. Pour tout $r>0$, on forme la fonction $$g_r(z)={f(z)\over \prod(z-z_n)^{m_n}}$$ o\`u le produit est \'etendu aux z\'eros $z_n$ contenus dans le disque $\ol D(0,r)$. \Decal a)|Soit $M_R(f)=\sup_{D(0,R)}|f|$ et $N(r)=\sum m_n$ le nombre de z\'eros intervenant dans le d\'enominateur de $g_r$. Pour $a\rho$ (o\`u la s\'erie porte sur les z\'eros non nuls de $f$). [Regrouper les termes par paquets tels que $2^\ell\le |z_n|\le 2^{\ell+1}$.] \Decal c)| (Hors bar\^eme) Soit $m_0$ la multiplicit\'e de $z_0=0$ dans $f$. Montrer \`a l'aide de majorations ad\'equates que $$ g(z) = {f(z)\over z^{m_0}\prod_{n\ge 1} W_p(z/z_n)^{m_n}} $$ est encore une fonction enti\`ere d'ordre $p+1$ si $p>\rho-1$. En d\'eduire une formule explicite de d\'ecomposition en produit infini pour $f$. \newpage \thispagestyle{empty} \ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Corrige Partiel 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{\hspace{0.5cm}{\bf Correction du Partiel 2005}} {\bf ENS de Lyon, DMI\hfill Ann\'ee 2004/2005\break Magist\`ere 1\`ere ann\'ee\hfill Examen Partiel du 15 mars 2005} \vskip10pt \centerline{\bf Correction du Partiel de Variable Complexe VC1} \centerline{\it (H.\ Davaux, J.-P.\ Demailly, T.\ Miernowski)} \vskip20pt \centerline{\bf I. Calcul de r\'esidu} On se propose de calculer l'int\'egrale $$ I=\int_0^{+\infty}R(x)\ln x\,dx $$ o\`u $R$ est une fraction rationnelle n'ayant pas de p\^ole sur le demi-axe r\'eel positif, sauf peut-\^etre un {\it p\^ole simple} en $x=1$. 1) Gr\^ace \`a l'hypoth\`ese sur les p\^oles, nous avons $|R(x)\ln x|\le C|\ln x|$ au voisinage de $0$ et l'int\'egrale est convergente. Comme $\ln x\sim x-1$ quand $x\to 1$, le fait que $R$ admette au plus un p\^ole simple en $x=1$ implique que $R(x)\ln(x)$ s'y prolonge par continuit\'e. Quand $x\to+\infty$, nous avons $R(x)\ln(x)\sim c\,x^{-d}\ln x$ si $R=P/Q$ et $d=\deg Q-\deg P$, la condition de convergence est donc $d\ge 2$. 2) On consid\`ere la fonction $f(z)=R(z)(\log_\pi z-i\pi)^2$ o\`u $\log_\theta$ est la d\'etermination telle que $\theta-\pi<\arg z<\theta+\pi$. Soit $\varepsilon,\delta\in{}]0,1/2[$ et $A>2$. On int\`egre $f$ sur le contour $\gamma_{\varepsilon,\delta,A}$ figur\'e ci-dessous : \special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/mdrlib.ps} \long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" %(/home/demailly/psinputs/mathdraw/mdrlib.ps) run #3 showpage}}$#4}} \long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}} %\centerline{\includegraphics[scale=0.3]{partiel.eps}} %\iffalse \InsertFig -3.000 50.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 22.000 0.000 moveto 98.000 0.000 2.400 vector 65.000 -40.000 moveto 85.000 90.000 2.400 vector 15.000 0.800 moveto 0.000 -90.000 2.400 vector 15.000 -0.800 moveto 0.000 90.000 2.400 vector 15.000 -0.800 moveto 15.000 0.800 lineto stroke 0.250 setlinewidth 100.000 0.800 moveto [ 100.000 0.800 65.000 35.000 30.000 0.000 65.000 -35.000 100.000 -0.800 78.000 -0.800 75.000 -3.000 72.000 -0.800 68.000 -0.800 65.000 -3.000 62.000 0.000 65.000 3.000 68.000 0.800 72.000 0.800 75.000 3.000 78.000 0.800 100.000 0.800 ] (AAAAYAAYAAAAYAAY) closedmixedpath stroke 0.125 setlinewidth 39.550 23.950 moveto 0.000 -135.000 2.400 vector 90.450 -23.950 moveto 0.000 45.000 2.400 vector 62.900 2.400 moveto 0.000 65.000 2.400 vector 90.000 0.800 moveto 0.000 0.000 2.400 vector 80.000 -0.800 moveto 0.000 180.000 2.400 vector 75.500 18.000 moveto 0.700 disk 80.000 -23.000 moveto 0.700 disk 42.700 -20.000 moveto 0.700 disk 75.000 0.000 moveto 0.500 disk grestore } \LabelTeX 74.200 -6.000 $1$ \ELTX \LabelTeX 23.300 -4.000 $-A$ \ELTX \LabelTeX 66.000 4.000 $(\hbox{rayon}\,\,\varepsilon)$ \ELTX \LabelTeX 100.500 -4.000 $+A$ \ELTX \LabelTeX 119.000 -4.000 $x$ \ELTX \LabelTeX 61.000 43.500 $y$ \ELTX \LabelTeX 81.500 34.000 $\gamma_{\varepsilon,\delta,A}$ \ELTX \LabelTeX 44.300 -21.000 $a_1$ \ELTX \LabelTeX 81.000 -21.000 $a_2$ \ELTX \LabelTeX 77.000 19.000 $a_3$ \ELTX \LabelTeX 10.000 -1.000 $2\delta$ \ELTX \EndFig \vskip2cm On a $\lim_{\delta\to 0_+}\log_\pi (x+i\delta)-i\pi=\ln x-i\pi$ et $\lim_{\delta\to 0_+}\log_\pi (x-i\delta)-i\pi=\ln x+i\pi$, donc la limite de $\int_{\gamma_{\varepsilon,\delta,A}}f(z)dz$ quand $\delta\to 0$ est donn\'ee par $-4i\pi I_{A,\varepsilon}+ J_\varepsilon+K_\varepsilon+L_A$ avec $$ I_{\varepsilon,A}=\int_\varepsilon^{1-\varepsilon}R(x)\ln(x)\,dx +\int_{1+\varepsilon}^AR(x)\ln(x)\,dx $$ et o\`u $J_\varepsilon$, $K_\varepsilon$, $L_A$ d\'esignent les int\'egrales de $f(z)\,dz$ sur les cercles $\Gamma(0,\varepsilon)$, $\Gamma(1,\varepsilon)$, $\Gamma(0,A)$ priv\'es des points de l'axe r\'eel positif. Comme $$|f(z)|\le |R(z)|\,\big(\big|\ln|z|\big|+\pi\big)^2$$ puis que la partie r\'eelle de $\log_\pi z-i\pi$ vaut $\ln|z|$ et que sa partie imaginaire varie entre $-\pi$ et $\pi$, l'int\'egrale sur le cercle $\Gamma(0,\varepsilon)$ est major\'ee par $$C(|\ln\varepsilon|+\pi)^2(2\pi\varepsilon)$$ qui tend vers $0$, l'int\'egrale sur $\Gamma(0,A)$ est major\'ee par $$C(|\ln A|+\pi)^2A^{-d}(2\pi A)$$ qui tend \'egalement vers $0$ quand $A\to+\infty$, puique $d\ge 2$. 3) L'int\'egrale sur le demi-cercle $\Gamma(1,\varepsilon)\cap\{\Im z>0\}$ co\"{\i}ncide avec celle de\break $R(z)(\log_0(z)-i\pi)^2$, tandis que celle sur le demi-cercle $\Gamma(1,\varepsilon)\cap\{\Im z<0\}$ co\"{\i}ncide avec celle de $R(z)(\log_0(z)+i\pi)^2$ en raison de la variation de l'argument. Comme la d\'etermination principale $\log_0$ v\'erifie $\log_0(z)\sim z-1$ quand $z\to 1$, les termes contenant $R(z)\log_0 z$ ou $R(z)(\log_0 z)^2$ se prolongent en des fonctions holomorphes au voisinage de $1$ (d'apr\`es l'hypoth\`ese de p\^ole simple de $R$ en $z=1$), et les int\'egrales corres\-pondantes sur les arcs de cercles $\Gamma(1,\varepsilon)\cap\{\pm\Im z>0\}$ tendent vers $0$, du fait que la longueur $\pi\varepsilon$ de ces arcs tend vers $0$. Reste le terme $$ -\int_{\Gamma(1,\varepsilon)}R(z)(i\pi)^2dz $$ (le signe $-$ initial vient du sens de rotation inverse du sens trigonom\'etrique), qui vaut \linebreak $\pi^2(2i\pi)\Res(R(z)\,dz, 1)$. 4) En combinant tout ce qui pr\'ec\`ede, on obtient $$ \lim_{\delta\to 0,\,\varepsilon\to 0,\,A\to+\infty} \int_{\gamma_{\varepsilon,\delta,A}}f(z)dz= -4i\pi\int_0^{+\infty}R(x)\ln x\,dx+ \pi^2(2i\pi)\Res(R(z)\,dz, 1).$$ Cette limite vaut $$ 2i\pi\sum_{a\in\bC\ssm\bR_+}\Res(f(z)\,dz, a) $$ d'apr\`es la formule des r\'esidus. En divisant par $-4i\pi$, il vient $$ \int_0^{+\infty}R(x)\ln x\,dx=-{1\over 2} \sum_{a\in\bC\ssm\bR_+}\Res(f(z)\,dz, a)+{\pi^2\over 2}\Res(R(z)\,dz, 1).$$ Pour $R(z)=1/(z^4-1)$, il y a 4 p\^oles simples $z=1,\,i,\,-i,\,-1$, et on a $$ \Res(R(z)dz,1)=1/4. $$ Le point $z=-1$ n'est pas un p\^ole de $f(z)$ car $\log_\pi z-i\pi$ s'annule en $z=-1$. Restent les r\'esidus $$ \Res\big(f(z)\,dz, \pm i\big)=\Big[{(log_\pi z-i\pi)^2\over 4z^3} \Big]_{z=\pm i}= \left\{\begin{array}{ll} (-i\pi/2)^2/(-4i)=-i \pi^2/16,&z=i\\ (i\pi/2)^2/(4i)=i\pi^2 / 16,&z=-i\\ \end{array}\right. $$ Ces deux r\'esidus se compensent et on trouve donc $$ I=\int_0^{+\infty}{\ln x\over x^4-1}\,dx={\pi^2\over 8}. $$ \bigskip \centerline{\bf II. Fonctions enti\`eres d'ordre fini} L'objet de ce probl\`eme est d'\'etudier quelques propri\'et\'es des fonctions enti\`eres, \`a savoir les fonctions holomorphes $f$ d\'efinies sur $\bC$ tout entier. On note $f(z)=\sum_{n\in\bN}a_nz^n$ le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $f$ \`a l'origine. 1) On dit qu'une fonction $f\in\cO(\bC)$ est {\it de type exponentiel} s'il existe des constantes $A,C\ge 0$ telles que $$ |f(z)|\le C\exp(A|z|). $$ a) Les in\'egalit\'es de Cauchy appliqu\'ees au disque $D(0,R)$ donnent $$ |a_n|\le {C\exp(AR)\over R^n}. $$ Il est ais\'e de v\'erifier que le minimum de cette fonction est atteint lorsque $R=n/A$, et on obtient donc $$|a_n|\le {C\,e^n\over({n\over A})^n}= {C\,A^n\over({n\over e})^n}. $$ La formule de Stirling $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ implique $(n/e)^n\le\hbox{Cte}\;n!/\sqrt{n}$, d'o\`u $$ |a_n|\le {C'A^n\sqrt{n}\over n!}\le {C_\varepsilon(A+\varepsilon)^n\over n!}. $$ En effet, $\sqrt{n}\le ({A+\varepsilon\over A})^n$ pour $n\ge n_0(\varepsilon)$ assez grand, et donc, sans restrictions sur $n$, on a dans tous les cas $\sqrt{n}\le \sqrt{n_0(\varepsilon)}({A+\varepsilon\over A})^n$. pour $\varepsilon>0$ et des constantes $C',C_\varepsilon\ge 0$ ad\'equates b) Inversement, si $a_n$ v\'erifie une in\'egalit\'e de la forme $|a_n|\le C\,A^n/n!$, la fonction $f(z)=\sum_{n\ge 0} a_nz^n$ v\'erifie $$ |f(z)|\le \sum_{n=0}^{+\infty}C{A^n|z|^n\over n!}= C\exp(A|z|), $$ donc $f$ est de type exponentiel. 2) On dit que $f$ est une fonction enti\`ere d'ordre${}\le \rho$ si, pour tout $\varepsilon>0$ il existe une constante $C_\varepsilon\ge 0$ telle que $$|f(z)|\le C_\varepsilon\exp(|z|^{\rho+\varepsilon}).$$ a) Si $f$ ne s'annule pas, alors $h=f'/f$ est une fonction enti\`ere. Elle admet un d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere $h(z)=\sum_{n\ge 0} b_nz^n$ de rayon de convergence infini, et poss\`ede par cons\'equent une primitive $H(z)=\sum_{n\ge 0} b_n{z^{n+1}\over n+1}$ d\'efinie sur $\bC$ tout entier. La d\'eriv\'ee de $fe^{-H}$ est alors $(f'-H'f)e^{-H}=0$, c'est donc une constante non nulle~$B$. Si $b$ est une d\'etermination du logarithme complexe de $B$, on a alors $fe^{-H}=B=e^b$, d'o\`u $f=e^g$ avec $g=H+b$. Comme $|f|=e^{\Re g}$, l'hypoth\`ese que $f$ est d'ordre $\rho$ implique $$ \Re g(z)\le \ln C_\varepsilon+|z|^{\rho+\varepsilon}. $$ Le lemme de la partie r\'eelle vu en TD implique qu'une telle majoration est encore vraie pour le module $|g(z)|$, donc $g$ est en fait un polyn\^ome $P$ de degr\'e $\deg P\le \rho+\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$. Les seules fonctions enti\`eres d'ordre $\rho$ qui ne s'annulent pas sont donc les fonctions de la forme $e^P$ o\`u $P$ est un polyn\^ome de degr\'e${}\le \rho$. b) On note $W_0(z)=1-z$ et $$ W_p(z)=(1-z)\exp\Big(z+{z^2\over 2}+\ldots +{z^p\over p}\Big) $$ le facteur de Weierstrass d'ordre $p\ge 1$. Nous avons $|z|^k\le 2^{p-k}|z|^p$ pour $|z|\ge 1/2$ et $k\le p$, donc $$ \ln|W_p(z)|\le \ln(1+|z|)+|z|+{|z|^2\over 2}+\ldots+{|z|^p\over p} \le \ln(1+|z|)+C_1|z|^p $$ pour $|z|\ge 1/2$, avec $C_1=2^{p-1}+{2^{p-2}\over 2}+\ldots+ {2^0\over p}$. Comme le logarithme cro\^{\i}t plus lentement que toute fonction puissance $|z|^\varepsilon$, ceci entra\^{\i}ne \begin{eqnarray*} \ln|W_p(z)|\le C_\varepsilon|z|^\varepsilon && \textrm{si $p=0$, avec une constante $C_\varepsilon>0$ d\'ependant de $\varepsilon>0$,}\cr \ln|W_p(z)|\le C |z|^p\, && \textrm{si $p\ge 1$}.\cr \end{eqnarray*} Par ailleurs, le d\'eveloppement en s\'erie de $\log_0(1-z)$ en $z=0$ donne comme d\'eter\-mination du logarithme de $\log W_p(z)$ l'expression $$ \log W_p(z)=-\sum_{n=p+1}^{+\infty}{z^n\over n}. $$ On a $$ |\log W_p(z)|\le {1\over p+1}\sum_{n=p+1}|z|^n = {1\over p+1}~{|z|^{p+1} \over 1-|z|}\le 2|z|^{p+1}\le 1 $$ pour $z|\le 1/2$. Ceci justifie a posteriori qu'il s'agit bien de la d\'etermination principale, puisque la partie imaginaire est inf\'erieure ou \'egale \`a $1$, et donc strictement inf\'erieure \`a $\pi$. c) Soit $(z_n)$ une suite de nombres complexes non nuls avec $|z_n|\to +\infty$ (pas n\'eces\-sairement 2 \`a 2 distincts) telle qu'il existe un r\'eel $\sigma>0$ pour lequel la s\'erie $\sum 1/|z_n|^\sigma$ soit convergente. Consid\'erons le produit infini $$ f(z)=\prod_{n\in\bN} W_p(z/z_n). $$ Posons $|z|=R$ et s\'eparons le produit infini en les termes (en nombre fini) pour lesquels $|z_n|<2R$ et ceux pour lesquels $|z_n|\ge 2R$. Dans ce deuxi\`eme cas on a $|z/z_n|\le 1/2$, donc $|\log_0 W_p(z/z_n)|\le 2|z/z_n|^{p+1}\le 2^{-p}$. Ceci montre d\'ej\`a que la s\'erie $\sum \log_0 W_p(z/z_n)$ est convergente, donc par passage \`a l'exponentielle le produit infini $\prod W_p(z/z_n)$ est convergent. Pour les termes $|z_n|<2R$, nous avons dans tous les cas d'apr\`es b) $$ \ln|W_p(z/z_n)|\le C_\varepsilon|z/z_n|^{p+\varepsilon}. $$ par cons\'equent $$ \ln|f(z)|\le C_\varepsilon\sum_{|z_n|<2R} |z/z_n|^{p+\varepsilon}+2\sum_{|z_n|\ge 2R}|z/z_n|^{p+1}. $$ Choisissons pour $p$ l'unique entier positif ou nul tel que $p<\sigma\le p+1$ et $\varepsilon>0$ assez petit pour que l'on ait encore $p+\varepsilon\le \sigma$. Il vient \begin{eqnarray*} \ln|f(z)| &\le &C_\varepsilon|z|^{p+\varepsilon}\sum_{|z_n|<2R} {1\over |z_n|^{p+\varepsilon}}+2|z|^{p+1} \sum_{|z_n|\ge 2R}{1\over |z_n|^{p+1}}\cr &\le &C_\varepsilon|z|^{p+\varepsilon}\sum_{|z_n|<2R} {(2R)^{\sigma-p-\varepsilon}\over |z_n|^{\sigma}}+2|z|^{p+1} \sum_{|z_n|\ge 2R}{(2R)^{\sigma-p-1}\over |z_n|^\sigma}\cr &\le& C'_\varepsilon|z|^\sigma\sum_{n\in\bN}{1\over |z_n|^\sigma}.\cr \end{eqnarray*} Puisque la s\'erie du membre de droite fournit une constante finie, ceci montre que $f$ est une fonction enti\`ere d'ordre${}\le\sigma\le p+1$. 3) Soit $f$ une fonction enti\`ere non nulle d'ordre${}\le\rho$ et $(z_n)$ la suite de ses z\'eros, $m_n$ leurs multiplicit\'es. Pour tout $r>0$, on forme la fonction $$g_r(z)={f(z)\over \prod(z-z_n)^{m_n}}$$ o\`u le produit est \'etendu aux z\'eros $z_n$ contenus dans le disque $\ol D(0,r)$. a) Soit $M_R(f)=\sup_{D(0,R)}|f|$ et $N(r)=\sum m_n$ le nombre de z\'eros intervenant dans le d\'enominateur de $g_r$. Pour $a1$. Alors $a+r\le 1+r\le 2r$ et $R-r=9r$, donc $$ M_1(f)\le (2/9)^{N(r)}M_{10r}(f) $$ et par cons\'equent $$ e^{N(r)}\le (9/2)^{N(r)}\le {M_{10r}(f)\over M_1(f)}\le (M_1(f))^{-1} C_\varepsilon \exp((10r)^{\rho+\varepsilon}). $$ Ceci donne une majoration de la forme $N(r)\le C'_\varepsilon r^{\rho+\varepsilon}$ pour $r\ge 1$. En regroupant les termes de la s\'erie $\sum m_n/|z_n|^\sigma$ par paquets tels que $ 2^\ell\le |z_n|<2^{\ell+1}$, on trouve $$ \sum_{2^\ell\le|z_n|<2^{\ell+1}}{m_n\over |z_n|^\sigma}\le {N(2^{\ell+1})\over (2^\ell)^\sigma}\le C''_\varepsilon 2^{\ell(\rho+\varepsilon-\sigma)}. $$ Ceci entra\^{\i}ne que la s\'erie $\sum m_n/|z_n|^\sigma$ est convergente d\`es que $\sigma>\rho$, en choisissant $\varepsilon>0$ assez petit pour que $\rho+\varepsilon-\sigma<0$. c) Soit $m_0$ la multiplicit\'e de $z_0=0$ dans $f$. On consid\`ere le quotient $$ g(z) = {f(z)\over z^{m_0}\prod_{n\ge 1} W_p(z/z_n)^{m_n}}. $$ Puisque le produit infini simplifie pr\'ecis\'ement les z\'eros de $f$, la fonction $g$ est une fonction holomorphe sur $\bC$ tout entier. Il r\'esulte du 2) (au changement de notation pr\`es qui consiste \`a r\'ep\'eter les z\'eros $z_n$ autant de fois que leurs multiplicit\'es) que le produit infini $\prod_{n\ge 1} W_p(z/z_n)^{m_n}$ est une fonction d'ordre $\rho$. Ceci provient en effet de la convergence de la s\'erie $\sum m_n/|z_n|^\sigma$ pour tout $\sigma>\rho$, donc l'ordre est${}\le\sigma$ pour tout $\sigma>\rho$. Par cons\'equent $g$ est un quotient de fonctions enti\`eres d'ordre $\rho$. On ne sait malheusement rien a priori sur un tel quotient, car il nous faut minorer le d\'enominateur et non pas le majorer. Les calculs du 2)b) impliquent cependant $$ \Big|\prod_{n\ge 1} W_p(z/z_n)^{m_n}\Big|\ge \prod_{|z_n|<2R}\Big|1-{z\over z_n}\Big|\exp(-C_\varepsilon R^{\rho+\varepsilon}) $$ car pour $|z_n|\ge 2R$ les estimations proviennent de majorations de $|\log W_p(z/z_n)|$, ce qui fournit \'egalement des minorations de $\log|W_p(z/z_n)|$ par $-|\Re\log W_p(z/z_n)|$. Comme le nombre des z\'eros $|z_n|<2R$ est par d\'efinition $N=N(2R)$, il existe dans $[R, 2R]$ un sous-intervalle de longueur $R/(N+1)$, soit $[kR/(N+1), (k+1)R/(N+1]$, qui ne contient aucun des modules $|z_n|$. Prenons pour $r$ le milieu de cet intervalle, c'est-\`a-dire $r=(2k+1)R/(2N+2)$, en sorte que $\big||z_n|-r\big|\ge R/(2N+2)$ pour tous les z\'eros $z_n$ tels que $|z_n|<2R$. Pour $z=r$, on trouve alors \begin{eqnarray*} \prod_{|z_n|<2R}\Big|1-{z\over z_n}\Big|^{m_n} &\ge &\prod_{|z_n|<2R}\Big({|z-z_n|\over |z_n|}\Big)^{m_n}\ge \prod_{|z_n|<2R}\Big({\big||z|-|z_n|\big|\over |z_n|}\Big)^{m_n}\cr \prod_{|z_n|<2R}\Big|1-{z\over z_n}\Big|^{m_n}&\ge& {(R/(2N+2))^N\over (2R)^N}={1\over (2N+2)^N}\ge \exp\big(-C''_\varepsilon R^{\rho+\varepsilon}\ln(R^{\rho+\varepsilon})\big)\cr &\ge&C'''_\varepsilon \exp\big(-R^{\rho+2\varepsilon}).\cr \end{eqnarray*} Quitte \`a remplacer $\varepsilon$ par $\varepsilon/2$, on obtient une minoration de la forme $$ |z|^{m_0}\prod_{n\ge 1}\Big|W_p(z/z_n)\Big|\ge C^{(4)}_\varepsilon \exp\big(-R^{\rho+\varepsilon}) $$ sur le cercle $\Gamma(0,r)$. En combinant ceci avec la majoration provenant de l'hypoth\`ese que $f$ est d'ordre $\rho$, on obtient $$ |g(z)|={|f(z)|\over|z|^{m_0}\prod_{n\ge 1}\big|W_p(z/z_n)\big|} \le C^{(5)}_\varepsilon \exp(R^{\rho+\varepsilon}) $$ sur le cercle $\Gamma(0,r)$. Comme $r\in[R,2R]$, le principe du maximum montre alors que $$ |g(z)|\le C^{(5)}_\varepsilon \exp(R^{\rho+\varepsilon}) $$ sur tout le disque $D(0,R)$. Comme $g$ ne s'annule pas, la question 2)a) entra\^{\i}ne que $g=e^P$ o\`u $P$ est un polyn\^ome de degr\'e${}\le \rho$. Ceci donne la formule de d\'ecomposition en produit infini convergent $$ f(z)=e^{P(z)}z^{m_0}\prod\Big(1-{z\over z_n}\Big)^{m_n}. $$ A partir de l\`a, on voit facilement que le quotient $f_1/f_2$ de deux fonctions enti\`eres d'ordre $\rho$ est encore une fonction enti\`ere d'ordre $\rho$, si $f_2$ divise $f_1$ dans l'anneau des fonctions holomorphes. En effet, aux termes inversibles $e^{P_j}$ pr\`es, ce qui pr\'ec\`ede montre qu'il s'agit uniquement d'une propri\'et\'e li\'ee \`a la r\'epartition des z\'eros des fonctions, \`a avoir la convergence de la s\'erie $\sum m_n/|z_n|^\sigma$ pour tout $\sigma>\rho$, et cette s\'erie continue \'evidemment \`a converger si les multiplicit\'es diminuent. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% EXAMEN 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \addcontentsline{toc}{subsection}{$\blacktriangleright$ {\bf Examen 2005}} {\bf ENS de Lyon, DMI\hfill Ann\'ee 2004/2005\break Magist\`ere 1\`ere ann\'ee\hfill Examen du ? mai 2005} \end{document}