\documentclass[12pt,a4]{article} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} % if you want the fonts \usepackage{amssymb} % if you want extra symbols %\parindent 0 \setlength{\textheight}{25.5cm} \setlength{\topmargin}{-2.5cm} \setlength{\evensidemargin}{-0.8cm} \setlength{\oddsidemargin}{-0.8cm} \setlength{\textwidth}{17.3cm} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\Proj}{\mathbb P} \newcommand{\Complex}{\mathbb C} \newcommand{\Real}{\mathbb R} \newcommand{\Natural}{\mathbb N} \newcommand{\Integer}{\mathbb Z} \newcommand{\f}{\displaystyle \frac} \newcommand{\spac}{\vspace{0.5cm}} \let\dis=\displaystyle \newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme} \newtheorem{prop}{Proposition} \newtheorem{lemm}{Lemme} \newtheorem{defi}{D\'efinition} %\newtheorem{exo}{Exercice} \newtheorem{rem}{Remarque} \newtheorem{cor}{Corollaire} \newcommand{\CC}{{\bf C}} \newcommand{\ZZ}{{\Bbb Z}} \newcommand{\RR}{{\Bbb R}} \newcommand{\QQ}{{\Bbb Q}} \newcommand{\PP}{{\Bbb P}} \newcommand{\NN}{{\Bbb N}} \newcommand{\HH}{{\bf H}} \def\Log{\mathop{\rm Log}\nolimits} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\cotg{\mathop{\rm cotg}\nolimits} \newcommand{\CI}{\Bbb C} \newcommand{\RI}{\Bbb R} \newtheorem{exercice}{Exercice} \newenvironment{exo}{ \begin{exercice} \normalfont }{\end{exercice}} %\pagestyle{empty} \begin{document} \title{TD de Variables Complexes} \date{Deuxi\`eme Semestre 2003-2004} \author{Charles Frances et Mickael Pichot} \maketitle \ \newpage \ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 1 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} %\title{TD ariable complexe no 1} %\maketitle \ \\ \ \\ \begin{center} {\large \bf Variable complexe}\\ \ \\ { TD 1} \end{center} \ \\ \ \\ \begin{exo} {\it Diff\'erentielle d'une fonction holomorphe/Cauchy-Riemann}.\\ Soit $U$ un ouvert de $\CI$ et $f : U \to \CI$ une fonction $C^1$ au sens r\'eel. 1 - On suppose que $f$ est holomorphe (d\'erivable au sens complexe). En tirer des cons\'equences sur $Df(z)$ o\`u $z \in U$. \'Etudier la r\'eciproque. 2 - Montrer que toute application $\RI$-lin\'eaire $L : \CI \to \CI$ s'\'ecrit de fa\c con unique $L(z) = az + b \overline z$ o\`u $a$ et $b \in \CI$. On note \[ dz : z \to z \quad d\overline z : z \to \overline z \quad dx : z \to Re(z) \quad dy : z \to Im(z) \] de sorte que $L = adz+bd\overline z$. Montrer que $L$ est $\CI$-lin\'eaire si et seulement si $b=0$. Exprimer $dz$ et $d \overline z$ en fonction de $dx$ et $dy$. 3 - L'application $Df(z)$ est $\RI$-lin\'eaire pour tout $z \in U$. On d\'efinit $Df(z) =\frac {\partial f} { \partial z}(z) dz + \frac {\partial f} { \partial \overline z}(z) d\overline z$. a - Exprimer $\frac {\partial f} { \partial z}$ et $\frac {\partial f} { \partial \overline z}$ en fonction de $\frac {\partial f} { \partial x}$ et $\frac {\partial f} { \partial y}$. Calculer $\frac {\partial f} { \partial z}$ et $\frac {\partial f} { \partial \overline z}$ pour $z \mapsto \overline z^2$. b - Montrer que $f$ holomorphe si et seulement si $\frac {\partial f} { \partial \overline z}=0$ (relation de Cauchy-Riemann).\\ c - Calculer $\frac {\partial } { \partial z} (f \circ g)$ et $\frac {\partial } { \partial \overline z} (f \circ g)$. En d\'eduire que \[ \frac {\partial \overline f} { \partial z} = \overline{\left( \frac {\partial f} { \partial\overline z} \right )} \quad \mathrm{et} \quad \frac {\partial \overline f} { \partial \overline z} = \overline{\left( \frac {\partial f} { \partial z} \right )}. \] \end{exo} \begin{exo} {\it Diff\'erentielle d'une fonction holomorphe/Angles orient\'es}.\\ D'apr\`es l'exercice pr\'ec\'edent la diff\'erentielle d'une fonction holomorphe pr\'eserve les angles orient\'es. Soit $U$ un ouvert de $\RI^2$ et $f : U \to \RI^2$ une fonction $C^1$ dont la diff\'erentielle est inversible. On suppose qu'en tout point $(x,y)\in U$, $f$ envoie l'horizontale et la verticale sur deux courbes orthogonales en $f(x,y)$. On fait la m\^eme hypoth\`ese sur les bissectrices. Montrer que $f$ est holomorphe ou anti-holomorphe ($\overline f$ holomorphe).\\ \end{exo} \begin{exo} Soit $f: U \rightarrow {\Bbb C}$ une fonction holomorphe sur $U$, un ouvert connexe de $\Bbb C$. On suppose m\^eme\footnote{vous verrez bient\^ot en cours que cette hypoth\`ese est redondante} que $f$ est $C^1$ sur $U$. Montrer que si l'on fait l'une des hypoth\`eses suppl\'ementaires suivantes, alors $f$ est constante: $(i)$ $f(z)=f(\overline z)$ pour tout $z \in U$. $(ii)$ $\Re e(f)=\Im m(f)$. $(iii)$ $\Im m(f)={(\Re e(f))}^2$. \end{exo} \newpage \ \\ \ \\ \begin{exo} {\it Jacobien}.\\ 1 - Soit $U$ un ouvert de $\CI$ et $f : U \to \CI$ une fonction holomorphe (et $C^1$ au sens r\'eel). Calculer le Jacobien de $f$ en $z$. 2 - Soit $f(z) = \sum_{n\geq 0} a_n z^n$ de rayon de convergence $R$. On suppose que $R >1$ et que $f$ est injective sur $\overline \Delta = \{ |z| \leq 1\}$ et de d\'eriv\'ee non nulle\footnote{on verra dans la suite du cours que l'injectivit\'e locale implique d\'ej\`a la non-annulation de $f'$}. Calculer l'aire de $f(\Delta)$. 3 - En d\'eduire que $Aire\ (f(\Delta)) \geq \pi |f'(0)|^2$. Traiter le cas d'\'egalit\'e. \end{exo} \begin{exo} On d\'esigne par $D$ le disque unit\'e ouvert dans ${\Bbb C}$ et par $\Gamma$ le cercle unit\'e. Soit $({\epsilon}_n)_{n \geq 0}$ la suite d\'efinie par ${\epsilon}_0=1$, ${\epsilon}_{2n}=\epsilon_n$ et ${\epsilon}_{2n+1}=- \epsilon_n$. Pour tout $z$ dans $D$, on pose $f(z)=\displaystyle {\sum_0^{+ \infty}} \epsilon_n z^n$.\\ $a)$ Montrer que pour tout $z$ de $D$ : $f(z)=(1-z)f(z^2)$.\\ $b)$ En d\'eduire que pour tout $z$ de $D$ : $f(z)=\displaystyle \prod_0^{+ \infty} (1-z^{2^n})$.\\ $c)$ Soit $I$ un arc de $\Gamma$, et $u=\exp(\frac{2i k \pi}{2^N} )$ un point dyadique de cet arc. Montrer que si $r \in [0;1[$, on a $|f(ru)| \leq 2^N(1-r^{2^N})$.\\ $d)$ Montrer que la fonction $f$ ne peut \^etre prolong\'ee analytiquement en aucun point de $\Gamma$. \end{exo} \begin{exo} Soit $\displaystyle {\sum_0^{+ \infty}} a_n z^n$ une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence 1, et $f$ sa somme sur le dique unit\'e ouvert $D$. On se donne $\alpha \in ]0;1[$.\\ $a)$ On suppose qu'il existe $C_1 > 0$ tel que $|f(z)| \leq C_1{(1- |z|)}^{- \alpha}$ si $z \in D$. Montrer qu'il existe $C_2>0$ tel que $|a_n| \leq C_2 n^{\alpha}$ si $n \geq 1$.\\ $b)$ On suppose qu'il existe $C_2 > 0$ tel que $|a_n| \leq C_2 n^{\alpha}$ si $n \geq 1$. Montrer qu'il existe $C_1>0$ tel que $|f(z)| \leq C_1{(1- |z|)}^{- \alpha -1}$ si $z \in D$. \end{exo} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 2 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} \ \\ \ \\ \begin{center} {\large \bf Variable complexe}\\ \ \\ { TD 2} \end{center} \ \\ \ \\ \ \newpage \ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 3 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} %\title{TD ariable complexe no 3} %\maketitle \ \\ \ \\ \begin{center} {\large \bf Variable complexe}\\ \ \\ { TD 3} \end{center} \ \\ \ \\ \begin{exo} Trouver une preuve du th\'eor\`eme de d'Alembert-Gauss faisant intervenir la th\'eorie des fonctions holomorphes. \end{exo} \begin{exo} Soit $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_kz^k$ une s\'erie enti\`ere de rayon de convergence 1. On note $f(z)$ sa somme sur le disque unit\'e. Un point $w$ du cercle unit\'e est dit r\'egulier si $f$ admet un prolongement analytique sur un voisinage de $w$. Dans le cas contraire, le point est dit singulier. \\ Montrer que l'ensemble des points singuliers est toujours non vide. \end{exo} \begin{exo} $a)$ Montrer que pour tout $z \in \Bbb C$, on a $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(1+ \frac{z}{n})}^n=e^z$ avec convergence uniforme sur tout compact de $\Bbb C$.\\ \ \\ \ \\ $b)$ Soit $f$ une fonction enti\`ere non constante. On note $M_f(r)$ le supremum de $ |f|$ sur le disque ferm\'e de centre $0$ et de rayon $r$. On suppose qu'il existe $A$ et $B$ r\'eels tels que $M_f(r) \leq Ae^{Br^n}$.\\ Montrer que si $f$ n'est pas surjective, alors elle "rate" une seule valeur $a$ et que si $b \not = a$, alors $b$ a une infinit\'e d'ant\'ec\'edents par $f$ (on pourra utiliser un exercice d'une feuille pr\'ec\'edente). \end{exo} \begin{exo}D\'eterminez les polyn\^omes harmoniques homog\`enes de degr\'e 3 dans $\Bbb R^2$. Quelles sont les fonctions holomorphes dont ils sonts parties r\'eelles? \end{exo} \begin{exo} Soit $D$ le disque unit\'e ouvert et $f : D \rightarrow \overline D$ une fonction holomorphe propre (c'est-\`a-dire que $|f(z)| \to 1$ lorsque $|z| \to 1$). Montrer que si $f$ n'est pas constante, alors elle s'annule dans $D$. \end{exo} \newpage \ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 4 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} %\title{TD ariable complexe no 1} %\maketitle \ \\ \ \\ \begin{center} {\large \bf Variable complexe}\\ \ \\ { TD 4} \end{center} \ \\ \ \\ \begin{exo} Soit $\gamma : [0,1] \rightarrow {\bf H}$ une application $C^1$. On d\'efinit $l(\gamma)$ par l'int\'egrale $\int_0^1 {{|\gamma^{\prime}(t)|} \over {\Im(\gamma (t))}}dt$. Si $z_1$ et $z_2$ sont deux points de $\bf H$, on d\'efinit alors $\de(z_1,z_2)$ comme l'infimum des $l(\gamma)$ pour lesquels $\gamma(0)=z_1$ et $\gamma(1)=z_2$.\\ \ \\ $1)$ Montrer que $\de$ d\'efinit une distance sur ${\bf H}$.\\ $2)$ Montrer que tout \'el\'ement de $SL(2,\Bbb R)$ agit par isom\'etrie pour $\de$.\\ $3)$ Montrer que si $z_1=ia$ et $z_2=ib$ ($0 1$ pour $|z| = 1$, montrer que $f$ s'annule dans $D$. \item Si $|f(z)| < 1$ pour $|z| = 1$, montrer que $f$ a un unique point fixe dans $D$. \end{enumerate} \subsection*{Exercice 2} Soit une suite $(f_n)$ de fonctions holomorphes convergeant simplement vers $f$ dans $\Omega$. Montrer en se servant du th\'eor\`eme de Baire, que dans tout disque $U$ de $\Omega$, il existe $V$ disque ouvert inclus dans $U$ sur lequel $\sup_n |f_n|$ est born\'e. En d\'eduire que $f$ est holomorphe sur un ouvert dense de $\Omega$. \subsection*{Exercice 3 \it La fonction Gamma.} Dans tout l'exercice on pose $G(z)= \displaystyle{\prod_{n=1}^{+\infty}(1+{z\over n})\exp(-{z\over n})}$.\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ d\'efinit une fonction enti\`ere.\\ \item Montrer que~: $$zG(z)G(-z)={\sin \pi z\over \pi}.$$ \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une fonction $\gamma$ enti\`ere telle que~: $$G(z-1)=ze^{\gamma(z)}G(z).$$ \item Montrer que $\gamma$ est constante, on note $\gamma$ sa valeur (constante d'Euler). \item Montrer que $$\gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{i=1}^n{1\over i}-\log n\right).$$ \end{enumerate} \item Soit $\Gamma(z)=\dis{1\over ze^{\gamma z}G(z)}$, montrer que $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\hbox{\ et\ }\Gamma(z)\Gamma(1-z)={\pi\over\sin\pi z}.$$ \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4} \begin{enumerate} \item Soit $\Omega$ le disque unit\'e, montrer que la famille des fonctions holomorphes sur $\Omega$ dont la partie r\'eelle est positive est une famille normale.\\ \item Montrer que $(z^n)_{n\geq 0}$ est une famille normale dans $D(0,1)$, dans $\{|z|>1|\}$, mais n'est pas normale au voisinage d'un point du cercle unit\'e.\\ \item Soit $f$ une fonction enti\`ere, montrer que la famille des fonctions $(f(k\cdot))_{k\in\CC}$ est normale dans la couronne de rayons $r_1$, $r_2$ si et seulement si $f$ est un polyn\^ome. \end{enumerate} \subsection*{Exercice 5} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes injectives qui converge uniform\'ement sur tout compact. Montrer que la limite est soit injective, soit constante. \newif\ifpaslivre \def\charge#1{\ifpaslivre \verb+#1+ \fi\input#1} \def\surcharge#1{{\bf Corrig\'e}\ \ifpaslivre \verb+#1+ \fi\input#1} \def\vv{\vskip 0.5truecm} \def\encadre#1{\begin{center}\fbox{\begin{minipage}{14cm}#1\end{minipage}} \end{center}\vv} \iffalse \encadre{\begin{center}\Large Variable Complexe, Travaux dirig\'es 6, Jeudi 13 Mars 1997\end{center}} \paslivrefalse % SYNTAXE : % \charge{/A-Tout/e34.tex} % % \bigskip \charge{../archives/A-Tout/e85.tex} \charge{../archives/A-Tout/e86.tex} \charge{../archives/A-Tout/e83.tex} \charge{../archives/A-Tout/e84.tex} %\newpage %{\Large Correction} % SYNTAXE : % \surcharge{/A-Les-Corrections/ce34.tex} % % \bigskip \fi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 6 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} \pagestyle{plain} \title{} \centerline{\bf \Large Variable Complexe} \medskip \centerline{\bf \large TD 6} \bigskip \subsection*{Exercice 1} Soit $U$ un ouvert simplement connexe du plan. Montrer que toute fonction holomorphe sur $U$ poss\`ede une primitive sur $U$. \subsection*{Exercice 2} D\'eterminer le nombre de racines des polyn\^omes suivants dans les domaines indiqu\'es~: $P_1(z)=z^7-2z^5+6z^3-z+1$ dans $D(0,1)$, $P_2(z)=z^4-6z+3$ dans la couronne $\{1<|z|<2\}$. \subsection*{Exercice 3} D\'eterminer toutes les bijections holomorphes de $\CC$ dans $\CC$. \subsection*{Exercice 4} Soit $\Lambda = \ZZ w_1 \oplus \ZZ w_2$ un r\'eseau de $\CC$ et $f$ une fonction elliptique (i.e m\'eromorphe sur $\CC$ et admettant $\Lambda$ comme r\'eseau de p\'eriodes). \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ est holomorphe, alors $f$ est constante. \item Montrer que $f$ a autant de p\^oles que de z\'eros (modulo le r\'eseau de $\Lambda$). \item Soit $P$ un parall\'elogramme translat\'e de $[0,1]w_1 \oplus [0,1]w_2$, ne poss\'edant ni p\^ole ni z\'ero de $f$ sur son bord, et soient $a_1,\ldots,a_n$ les z\'eros et $b_1,\ldots,b_n$ les p\^oles de $f$ dans $P$. Montrer que $a_1 +\cdots + a_n = b_1 + \cdots + b_n$ modulo $\Lambda$. (Indication : consid\'erer $\displaystyle{\int_{\partial P}z \frac{f'(z)}{f(z)}dz}$). \end{enumerate} \subsection*{Exercice 5} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $D(0,r)$, et telle que $f(0)$ n'est pas nul. On note $\displaystyle{M = \sup_{|z| = r}|f(z)|}$. Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que le nombre de z\'eros de $f$ dans $D(0,r/3)$ est inf\'erieur ou \'egal \`a $\displaystyle{C \log(\frac{M}{|f(0)|}) }$. (Indication : consid\'erer la fonction $$ \displaystyle{ g(z) = f(z) / \prod _{m=1}^{n} (1 - \frac{z}{z_m}) } $$ o\`u les $z_m$ sont les z\'eros de $f$ dans $D(0,r/3)$.) \subsection*{Exercice 6} Calculer les int\'egrales suivantes \`a l'aide de la formule des r\'esidus~: \begin{enumerate} \item $\dis{\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\,dx}$ o\`u $R$ est une fraction rationnelle de degr\'e au plus $-2$, appliquer ce r\'esultat pour $R(x)=\dis{1\over (a+bx^2)^n}$, $a,b>0$.\\ \item $\dis{\int_{0}^{+\infty}{\sin x\over x}\,dx}$.\\ \item $\dis{\int_{0}^{+\infty}R(x)\Log x\,dx}$ o\`u $R$ est comme en {1.}\\ (Indication : on cherchera \`a int\'egrer $R(z)(\Log z)^2$ sur un contour que l'on pr\'ecisera).\\ \item $\dis{\int_{0}^{2\pi}{d\theta\over 1-2a\cos\theta+a^2}}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 7 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} \title{} \centerline{\bf \Large Variable Complexe} \medskip \centerline{\bf \large TD 7} \bigskip \subsection*{Exercice 1} Soient $f,g:\CC\to\CC$ deux fonctions enti\`eres telles qu'il existe une constante $K>0$ pour laquelle $|f(z)|\le K|g(z)|$ pour tout $z$. Montrez alors qu'il existe $\lambda\in\CC$ tel que $f=\lambda g$.\\ \subsection*{Exercice 2 \it Noyau de Bergmann} Soit $f$ holomorphe dans $D(0,1)$. Montrer que pour tout $\xi\in D(0,1)$, $$f(\xi)={1\over \pi}\int\!\!\!\int_{D(0,1)}{f(z)\over (1-\bar{z}\xi)^2}\,dxdy.$$ \subsection*{Exercice 3} Soient $f,g$ deux biholomorphismes de $\Delta$ sur un ouvert $\Omega$ de $\CC$. On suppose que $f(0)=g(0)$. Montrer que pour tout $01\}$ et $\Sigma=\{f\in O(\Delta);(\ast)\}$ o\`u $(\ast)\ f(z)=z+b_0+b_1z^{-1}+\cdots$.\\ \begin{enumerate} \item Soit $\gamma$ une courbe de Jordan ${\cal C}^1$, montrer que l'aire de la composante born\'ee de $\CC\backslash\gamma$ est \'egale \`a~: $${1\over 2i}\int_{\gamma}\bar{z}\,dz.$$ \item Si $f$ est dans $\Sigma$ montrer que~: $$\sum_{n=1}^{+\infty}n|b_n|^2\leq 1.$$ (Th\'eor\`eme de l'aire, Gronwall 1914)\\ Quelles sont les fonctions v\'erifiant $|b_1|=1$? D\'ecrire leur image. \end{enumerate} \item Si $f\in {\cal S}$ montrer que le coefficient $a_2$ de son d\'eveloppement satisfait $|a_2|\leq 2$ avec \'egalit\'e si et seulement si $f(z)=e^{i\theta}K(e^{-i\theta}z)$. (Bieberbach, 1916) \item Montrer que si $f\in {\cal S}$ alors l'image de $f$ contient le disque ouvert $\{|z|<1/4\}$, caract\'eriser le cas minimal. (Bieberbach, 1916) \end{enumerate} \subsection*{Exercice 5} Soit $f$ une fonction holomorphe dans le demi-plan sup\'erieur $\HH$ et continue sur $\overline{\HH}$. On suppose que $f(\HH)\subset \HH$ et $f(\RR)\subset \RR$.\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ s'\'etend en une fonction enti\`ere. \item Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\RR$. \item Soit $\displaystyle{g(z)={f(z)\over z-x_0}}$ o\`u $x_0$ est le seul z\'ero r\'eel de $f$ (justifier), montrer que $g$ est constante. En d\'eduire que $f$ est lin\'eaire. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 8 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} %\title{TD ariable complexe no 8} %\maketitleAbUSimbEl \ \\ \ \\ \begin{center} {\large \bf Variable complexe}\\ \ \\ { TD 8} \end{center} \ \\ \ \\ \subsection*{Exercice 1} Soit $U=\{z\in \CC,\ Re\, z >0\}$. Pour $z\in U$ on pose \[ f(z)=\int_0^\infty \frac{e^{-zt}}{1+e^{-zt}} dt \] Montrer que $f$ est holomorphe sur $U$. Montrer que $f(z)=\frac {ln\, 2} z$ pour tout $z\in U$. \subsection*{Exercice 2} \begin{enumerate} \item Soit $D$ le disque unit\'e ferm\'e, $u$ et $v$ deux fonctions d\'efinies sur un voisinage de $D$, on suppose $v$ ${\cal C}^2$ et $u$ ${\cal C}^1$. Montrer que~: $$\int_D u\Delta v\,dxdy+\int_D\nabla u.\nabla v\,dxdy=\int_{\partial D}u(-{\partial v\over\partial y}dx+ {\partial v\over\partial x}dy).$$ \item En d\'eduire que si $v$ est une fonction harmonique qui co\"\i ncide avec $u$ sur le bord de $D$, alors $$\int_D|\nabla v|^2\,dxdy\leq\int_D|\nabla u|^2\,dxdy.$$ C'est-\`a-dire ``les fonctions harmoniques minimisent l'\'energie du gradient parmi toutes les fonctions dont la valeur au bord est impos\'ee''.\\ (Indication : on montrera que $\int_D\nabla v.\nabla (u-v)\,dxdy=0$.) \end{enumerate} \subsection*{Exercice 3} Soit $a,b\in \Delta$. Montrer que pour $m,n \in \NN^*$, l'\'equation \[ z^m\left ( \frac{z-a}{1-\overline a z} \right ) ^n=b \] poss\`ede $m+n$ solutions dans $\Delta$. \subsection*{Exercice 4} Soit $a \in \bf C$, $r>0$ et $f$ holomorphe sur $U=D(a,r) \backslash \{ a \}$. On suppose que $\Re(f(z)) \geq 0$ pour tout $z \in U$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $D(a,r)$. \subsection*{Exercice 5} On reprend les notations de l'exercice pr\'ec\'edent. La fonction $f$ est holomorphe sur $U$. $1)$ On suppose que $a$ est une singularit\'e essentielle pour $f$. Si $g$ est une fonction enti\`ere non constante, montrer que $a$ est aussi une singularit\'e essentielle pour $g \circ f$. $2)$ On suppose que $a$ est un p\^ole pour $f$. Soit $g$ une fonction enti\`ere qui ne soit pas un polyn\^ome. Montrer que $a$ est une singularit\'e essentielle pour $g \circ f$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 9 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} \title{} \centerline{\bf \Large Variable Complexe} \medskip \centerline{\bf \large TD 9} \bigskip \subsection*{Exercice 1} Existe-t-il une suite de polyn\^omes $(P_n)$ telle que $\lim_{n\to\infty} P_n(z)=1$ si $Im z>0$, $0$ si $z\in\RR$, $-1$ si $Im z<0$? \subsection*{Exercice 2} Existe-t-il une suite de polyn\^omes $(P_n)$ telle que $P_n(0)=1$ et $P_n(z)\to 0$ pour $n\to\infty,\ z\not =0$? \subsection*{Exercice 3 \it Principe de Harnack} Soit $u$ harmonique sur $\Omega\supset \bar{D}(0,R)$. Pour $z \in \bar{D}(0,R)$, on note $r=|z|$.\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $${R-r\over R+r}\leq {R^2-r^2\over |Re^{i\theta}-z|^2}\leq {R+r\over R-r}.$$ En d\'eduire que si $u$ est positive alors $${R-r\over R+r}u(0)\leq u(z)\leq {R+r\over R-r}u(0).$$ \item Montrer qu'une suite croissante de fonctions harmoniques $(u_n)$ sur $\Omega$ {\it connexe} v\'erifie l'alternative suivante~: \begin{itemize} \item soit $u_n\to+\infty$ uniform\'ement sur tout compact de $\Omega$, \item soit $u_n$ converge vers une fonction harmonique uniform\'ement sur les compacts. \end{itemize} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4} Soit $U \subset {\bf C}$ un ouvert connexe, et ${\cal H}^+$ l'ensemble des fonctions harmoniques de $U$ \`a valeurs positives. On se donne $a$ et $b$ deux points de $U$. Prouver l'existence d'un $k \in {\bf R}_+^{*}$ tel que pour toute fonction $u \in {\cal H}^+$, on ait : ${{u(a)} \over k} \leq u(b) \leq k u(a)$.\\ {\it Indication: } consid\'erer l'ensemble des $v \in U$ tels qu'il existe $k(v) \in {\bf R}_+^{*}$ pour lequel $\forall u \in {\cal H}^+$, on a ${{u(a)} \over {k(v)}} \leq u(v) \leq k(v) u(a)$. \subsection*{Exercice 5} Soient $u$ et $v$ deux fonctions respectivement harmonique et sous-harmonique sur $\Omega$ et continues sur $\overline \Omega$. On suppose que $u$ et $v$ prenent les m\^emes valeurs au bord de $\Omega$. Montrer que $u\geq v$ sur tout $\Omega$. \newpage \ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% 10 %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \setcounter{exercice}{0} \title{} \centerline{\bf \Large Variable Complexe} \medskip \centerline{\bf \large TD 10} \bigskip \subsection*{Exercice 1} Soit $h$ un r\'eel positif et $U_h$ l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $Im(z) > 0$ et $z$ n'est pas sur le segment vertical $[0,ih]$.\\ Trouver un biholomorphisme explicite de $U_h$ avec le demi-plan sup\'erieur. \subsection*{Exercice 2} Soit $\phi$ une fonction harmonique positive dans $\HH$ nulle sur l'axe r\'eel. Montrer que $\phi(x+iy)=\alpha y$, $\alpha$ r\'eel positif. \subsection*{Exercice 3} Soit $U$ un ouvert connexe du plan. Montrer qu'il existe une fonction holomorphe $f$ sur $U$ qui ne peut se prolonger holomorphiquement \`a aucun ouvert $U^{\prime}$ contenant $U$ strictement. \subsection*{Exercice 4} Soit $U$ un ouvert simplement connexe sym\'etrique par rapport \`a l'axe r\'eel, et $u$ une fonction harmonique dans $U$, on suppose que $u=0$ sur $U\cap\RR$. Montrer que $u(z)=-u(\bar{z})$. \subsection*{Exercice 5} Soit $f$ une fonction holomorphe sur la couronne $C = \{ z \ | \ r_1 < |z| < r_2 \}$ et continue sur $\overline C$.\\ Pour $r_1 \leq r \leq r_2$, on note $M(r) = \sup _{|z| = r} |f(z)|$.\\ $1)$ Soient $M_1$ et $M_2$ strictement positifs tels que $M(r_i) \leq M_i$ ($i=1,2$). Soit $\alpha =\frac{Log({{M_1} \over { M_2}})}{Log({{r_1} \over {r_2}})}$. Montrer que la fonction $g(x,y)=|z|^{2 \alpha} |f(z)|^2$ est sous-harmonique (on pourra calculer son Laplacien). $2)$ Montrer que pour tout $\theta \in ]0,1[$, on a l'in\'egalit\'e: $$M(r_1^{\theta}r_2^{1- \theta}) \leq M(r_1)^{\theta}M(r_2)^{1- \theta}$$. \newpage \ \end{document}