\input arma.tex
\nopagenumbers
\hoffset=-6mm\hsize=14.5cm
\voffset=-3mm\vsize=21cm
 
\def\ci{{\cal C}^\infty}
\def\cc{{\cal C}}
\def\vv{\Vert\hphantom{a}\Vert_\chi}
\def\vvu{\Vert\hphantom{a}\Vert_{\chi_1}}
\def\vvd{\Vert\hphantom{a}\Vert_{\chi_2}}
\def\vvk{\Vert\hphantom{a}\Vert_{\chi_k}}
\def\intt{\int^{+\infty}_t}
\def\edu{e^{\theta(t)-\theta(u)}du}
\def\pp{\prec\!\!\prec}
\def\oc{\omega_{\chi_1}}
\def\occ{\omega_{\chi_2}}
\def\dpq{D''_{p,q-1}}
\def\h{\cal H} 
 
\centerline{\dunh SUR LES TH\'EOR\`EMES D'ANNULATION ET DE FINITUDE}
\vskip6pt
\centerline{\dunh DE T. OHSAWA ET O. ABDELKADER}
\vskip10pt
\centerline{\si Jean-Pierre DEMAILLY}
\centerline{\si Institut Fourier}
\centerline{\si B.P. 74}
\centerline{\si 38402 -- ST MARTIN D'HERES, France}
\vskip30pt
 
L'objet de cette note est de donner une d\'emonstration aussi simple que
possible des th\'eor\`emes d'annulation et de finitude dus \`a T.
Ohsawa [7], [8], et des g\'en\'eralisations de ces th\'eor\`emes
obtenues par O.  Abdelkader [1], [2].
 
Soit $X$ une vari\'et\'e analytique complexe de dimension $n~.$ On suppose
que $X$ est faiblement 1-compl\`ete, c'est-\`a-dire que $X$ poss\`ede
une fonction d'exhaustion plurisousharmonique $\psi$ de classe $\cc^\infty~,$
et on se donne un fibr\'e lin\'eaire holomorphe hermitien $E$ au-dessus de
$X~.$ Nous red\'emontrons les r\'esultats suivants.
 
\th Th\'eor\`eme d'annulation {\rm [1], [8]}|Si la vari\'et\'e $X$ est
k\"ahl\'erienne et si la forme de courbure de $E$ est semi-positive de
rang $\ge s$ en tout point de $X~,$ alors
$$H^{p,q}(X,E)=0\quad\hbox{pour}\quad
p+q\ge 2n-s+1~.$$|
 
\th Th\'eor\`eme de finitude {\rm [2], [7]}|On suppose que la forme
de courbure de $E$ est semi-positive de rang $\ge s$ en tout point du
compl\'ementaire $X\setminus Y$ d'une partie compacte $Y\subset X~,$ et que
$X$ poss\`ede une m\'etrique hermitienne $\alpha$ qui est k\"ahl\'erienne
sur $X\setminus Y~.$ Alors $\dim H^{p,q}(X,E)<+\infty$ pour 
$p+q\ge 2n-s=1~.$|
 
\th Th\'eor\`eme d'isomorphisme {\rm [2], [7]}|Soit $\psi$ une fonction
d'exhaustion plurisous-\break
harmonique de classe $\ci$ sur $X~.$ Notons
$X_c=\lbrace x\in X;\psi(x)<c\rbrace~,~c\in\Bbb R~.$ On suppose que
$X,Y,E$ v\'erifient les hypoth\`eses du th\'eor\`eme de finitude.
Si $X_c$ contient le compact $Y~,$ alors le morphisme de restriction
$$H^{p,q}(X,E)\to H^{p,q}(X_c,E)$$
est un isomorphisme pour $p+q\ge 2n-s+1~.$|
 
{\sl Notations}\pointir Dans toute la suite, on se donne une m\'etrique
$\alpha$ k\"ahl\'erienne sur $X$ $(\resp$ hermitienne sur $X$ et 
k\"ahl\'erienne sur $X\setminus Y)~,$ et une fonction
d'exhaustion plurisousharmonique $\psi$ de classe $\ci$ sur $X$
(l'existence de $\alpha$ et $\psi$ r\'esulte des hypoth\`eses). On
consid\`ere \'egalement une m\'etrique hermitienne $\omega$ sur $X~,$
qui sera construite ult\'erieurement \`a l'aide de $\alpha$ et $\psi~.$ On
d\'esigne par $D=D'+D''$ la connexion canonique de $E~,$  par
$c(E)=D^2$ sa forme de courbure, par $\delta=\delta'+\delta''$
l'adjoint de $D$ relativement \`a la m\'etrique $\omega~.$ On note enfin
$L$ l'op\'erateur de multiplication ext\'erieure par $\omega~,$ et $\Lambda$
l'adjoint de $L~.$ Si $A,B$ sont des endomorphismes de degr\'es respectifs
$a,b$ de l'espace $\ci_{\bullet,\bullet}(X,E)=\oplus\ci_{p,q}(X,E)$
des formes diff\'erentielles sur $X$ \`a valeurs dans $E~,$ on note
$[A,B]=AB-(-1)^{ab}BA~.$
Les op\'erateurs de Laplace-Beltrami $\Delta'$ et $\Delta''$ sont alors
d\'efinis par
$$\Delta'=[D',\delta']=D'\delta'+\delta'D'~,\quad
\Delta''=[D'',\delta'']~.$$
 
\titr 1. Th\'eor\`eme d'annulation|
 
Nous utiliserons l'identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano non k\"ahl\'erienne
sous la forme \'enonc\'ee dans [3] (on pourrait en fait se contenter des
formules moins pr\'ecises de P. Griffiths [4] ou de J. Le Potier [6]).
Cette identit\'e s'\'ecrit 
$$\Delta''=\Delta'_\tau+[ic(E),\Lambda]+T_\omega\leqno(1.1)$$
avec 
$$\eqalign{
\tau&=[\Lambda,d'\omega]~,\cr
\Delta'_\tau&=[D'+\tau,\delta'+\tau^*]~,\cr
T_\omega&=[\Lambda,[\Lambda,{i\over2}d'd''\omega]]-
[d'\omega,(d'\omega)^*]~.\cr}$$
 
Le symbole $d'\omega$ doit \^etre interpr\'et\'e ici comme \'etant 
l'op\'erateur de multiplication ext\'erieure par la $(2,1)$-forme
$d'\omega~;~~\tau$ est donc un op\'erateur de type $(1,0)$ et d'ordre 0~.
Par d\'efinition, $\Delta'_\tau$ est un op\'erateur autoadjoint $\ge0~.$
Par int\'egration de $\langle \Delta''u,u\rangle$
relativement \`a l'\'el\'ement de volume $dV={\omega^n\over n!}~,$ on d\'eduit de (1.1) l'in\'egalit\'e
$$\int_X(|D''u|^2+|\delta''u|^2)dV\ge
\int_X(\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle+\langle T_\omega u,u\rangle)dV
\leqno(1.2)$$
pour toute forme $u\in\ci_{p,q}(X,E)$ \`a support compact.
 
Soient $0\le\lambda_1\le\ldots\le \lambda_n$ les valeurs propres de $ic(E)$
relativement \`a $\omega~;$ notons $\lambda_I=\sum_{j\in I}\lambda_j~,$ 
$I\subset\lbrace1\ld n\rbrace~.$ 
Pour toute forme $u$ de type $(p,q)$ \`a
valeurs dans $E$ \'ecrite relativement \`a une base orthonorm\'ee de $TX$
qui diagonalise $ic(E)~,$ un calcul classique donne (\cf par exemple
[3]) :
$$\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle=\sum_{|I|=p,|J|=q}
(\lambda_I-\lambda_{\complement J})|u_{I,J}|^2~.\leqno(1.3)$$ 
Soient $\chi,\rho$ deux fonctions convexes croissantes $\Bbb R\to\Bbb R$ de 
classe $\ci~.$ On note $E_\chi$ le fibr\'e $E$ muni de la m\'etrique d\'eduite
de celle de $E$ par multiplication par $\exp(-\chi\circ\psi)~,$ et on
pose
$$\eqalign{
\omega&=ic(E_\chi)+\exp(-\rho\circ\psi)\alpha\cr
&=ic(E)+id'd''(\chi\circ\psi)+\exp(-\rho\circ\psi)\alpha~.\cr}\leqno(1.4)$$
 
\th Lemme 1.5|La fonction $\rho$ \'etant fix\'ee, on peut pour tout
$\varepsilon>0$ choisir $\chi$ \`a croissance assez rapide pour que
$\vert T_\omega\vert_\omega\le\varepsilon~.$|
 
Des calculs triviaux donnent en effet 
$$\eqalign{
d'\omega&=-\rho'\!\circ\!\psi~\exp(-\rho\!\circ\!\psi)~d'\psi\wedge\alpha~,\cr
d'd''\omega&=\exp(-\rho\circ\psi)\left[\left(
(\rho'\circ\psi)^2-\rho''\circ\psi\right)
d'\psi\wedge d''\psi-\rho'\!\circ\!\psi~ d'd''\psi\right]
\wedge\alpha~,\cr}$$
et comme
$$\omega\ge i(\chi'\!\circ\!\psi~ d'd''\psi+\chi''\!\circ\!\psi~ d'\psi
\wedge d''\psi)+\exp(-\rho\circ\psi)\alpha~,$$
on obtient les majorations
$$\eqalign{
|d'\omega|_\omega&\le\rho'\!\circ\!\psi~|d'\psi|_\omega~
|\exp(-\rho\circ\psi)\alpha|_\omega
\le\rho'\!\circ\!\psi~(\chi''\circ\psi)^{-{1\over2}}\cr
|d'd''\omega|_\omega&\le
{(\rho'\circ\psi)^2+\rho''\circ\psi\over\chi''\circ\psi}
+{\rho'\circ\psi\over\chi'\circ\psi}~.\cr}\eqno\finpr$$
 
D\'esignons par $\lambda^\chi_j$ $(\resp \lambda_j^{\chi,\rho})$
les valeurs propres de $ic(E_\chi)$ par rapport \`a $\alpha$ $(\resp\omega)~,$
rang\'ees par ordre croissant. Le principe du minimax entra\^{\i}ne
$\lambda^\chi_j\ge\lambda_j^0~,$ et on a par hypoth\`ese
$0<\lambda^0_{n-s+1}\le\ldots\le\lambda^0_{n-1}\le\lambda^0_n~.$
En diagonalisant $ic(E_\chi)$ par rapport \`a $\alpha~,$ on trouve
$$1\ge\lambda_j^{\chi,\rho}=
{\lambda^\chi_j\over\lambda^\chi_j+\exp(-\rho\circ\psi)}\ge
{\lambda^0_j\over\lambda^0_j+\exp(-\rho\circ\psi)}~.\leqno(1.6)$$
 
\th Lemme 1.7|Si l'on choisit $\rho$ en sorte que 
$\exp(-\rho\circ\psi)\le{1\over n}\lambda^0_{n-s+1}~,$
alors pour tous multi-indices $I,J$ de longueurs $p,q$ telles que
$p+q\ge2n-s+1~,$ on a
$$\lambda_I^{\chi,\rho}-\lambda^{\chi,\rho}_{\complement J}\ge{q\over n+1}~.$$|
 
En effet d'apr\`es (1.6), il vient $\lambda_j^{\chi,\rho}\ge{1\over1+1/n}$
si $j\ge n-s+1~,$ d'o\`u
$$\lambda^{\chi,\rho}_I-\lambda^{\chi,\rho}_{\complement J}\ge
{p-(n-s)\over 1+1/n}-(n-q)\ge
{n-q+1\over1+1/n}-(n-q)={q\over n+1}~.\eqno\finpr$$
 
Notons $\vv$ les normes $L^2$ globales
relatives \`a la m\'etrique de $E_\chi$ sur les fibres, et \`a la m\'etrique
hermitienne $\omega$ sur $X~.$ Avec le choix de $\rho$ donn\'e par le lemme
1.7, les in\'egalit\'es (1.2, 1.3, 1.5) entra\^{\i}nent pour toute
$(p,q)$-forme $u$ de classe $\ci$ \`a support compact dans $X$ et \`a valeurs
dans $E$ l'estimation $L^2$ suivante :
$$\Vert D''u\Vert^2_\chi+\Vert\delta''u\Vert^2_\chi\ge\left(
{q\over n+1}-\varepsilon\right)\Vert u\Vert^2_\chi~.\leqno(1.8)$$
Notons $\cc$ le c\^one des fonctions convexes croissantes de classe 
$\ci$ sur $\Bbb R~.$ D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, il existe $\chi_0\in\cc$
telle que pour tout $\chi\in\chi_0+\cc$ l'in\'egalit\'e (1.8) soit
valide et la m\'etrique $\omega$ compl\`ete. Pour $\chi\in\cc~,$ soit
$$H^{p,q}(X,E_\chi)$$
le groupe de $D''$-cohomologie en degr\'e $q$ du complexe des 
$(p,\cdot)$-formes $u$ \`a coefficients $L^2_{{\rm loc}}$ \`a valeurs
dans $E~,$ telles que $u$ et $D''u$
appartiennent \`a $L^2_{p,\cdot}(\chi,E_\chi)~.$ Les m\'ethodes $L^2$
classiques de H\"ormander [5] entra\^{\i}nent alors
$$H^{p,q}(X,E_\chi)=0\quad\hbox{si}\quad
\chi\in\chi_0+\cc~.$$
 
\th Lemme 1.9|On a la d\'ecomposition en r\'eunion filtrante croissante
$L^2_{p,\cdot}(X,E,{\rm loc})=\cup_{\chi\in\cc}L^2_{p,\cdot}(X,E_\chi)~.$|
 
{\sl Preuve}\pointir En tout point $x\in X~,$ la norme relativement \`a 
$\omega$ d'une forme scalaire donn\'ee d\'ecro\^{\i}t avec $\omega$ et donc
aussi avec $\chi~;$ comme les normes $\vv$ sont calcul\'ees avec l'\'el\'ement
de volume $dV={\omega^n\over n!}$ et avec le poids $\exp(-\chi\circ\psi)$
sur les fibres, il suffit de voir qu'on peut choisir $\chi$ en sorte que la
fonction $(\chi'\circ\psi+\chi''\circ\psi)^n\exp(-\chi\circ\psi)$
soit arbitrairement petite \`a l'infini. Ceci r\'esulte du lemme 3.1 
d\'emontr\'e plus loin.\hfill\finpr
 
Du lemme 1.9, on d\'eduit aussit\^ot par passage \`a la limite inductive :
$$H^{p,q}(X,E)=\buildu\chi\in\chi_0+\cc
\under{\lim{\rm ind}}H^{p,q}(X,E_\chi)=0~.$$
 
\titr 2. Th\'eor\`eme de finitude|
 
Fixons des r\'eels $a<b<c$ tels que 
$Y\subset X_a=\lbrace x\in X;\psi(x)<a\rbrace~.$
Avec la notation (1.4), on peut choisir la fonction $\rho<0$ de valeur
absolue assez grande sur $]-\infty,a]$ pour que la m\'etrique $\omega$ soit
d\'efinie positive sur $X_a~,$ et $\rho>0$ assez grande sur
$[b,+\infty[$ pour que l'in\'egalit\'e (1.6) ait lieu sur $X\setminus X_b~.$
Le lemme 1.5 s'appliquera de m\^eme l\`a o\`u $d\alpha=0~,$ donc en
particulier sur $X\setminus X_b~.$ On en d\'eduit l'existence d'une fonction
$\chi_0\in\cc$ telle que pour tout $\chi\in\chi_0+\cc$ on ait une 
in\'egalit\'e de la forme
$$\Vert u\Vert^2_\chi\le C_1
\left(\Vert D''u\Vert^2_\chi+\Vert\delta''u\Vert^2_\chi
+\int_{X_b}|u|^2_\chi dV\right)\leqno(2.1)$$ 
o\`u $C_1$ est une constante $\ge0$ ind\'ependante de $\chi~.$ Dans la
suite, on fixera $\chi=\chi_0$ sur $]-\infty,c]$ et on ne fera varier
$\chi$ que sur l'intervalle $]c,+\infty[~.$
 
\th Lemme 2.2|Pour tout $\varepsilon>0~,$ il existe un nombre fini de
formes $f_j$ dans $L^2_{p,q}(X_b,E_{\chi_0})~,$ $1\le j\le N=N(\varepsilon)~,$
telles que pour tout $u\in{\rm Dom}~(D'')\cap{\rm Dom}~(\delta'')$ on ait
$$\int_{X_b}\vert u\vert^2_{\chi_0}dV\le
\sum_{1\le j\le N}\vert\int_{X_b}\langle f_j,u\rangle_{\chi_0}dV\vert^2
+\varepsilon\int_{X_c}\left(\vert u\vert^2_{\chi_0}+\vert D''u\vert^2_{\chi_0}
+\vert \delta''u\vert^2_{\chi_0}\right)dV~.$$|
 
On sait en effet que l'op\'erateur $\Delta''$ est elliptique. Le lemme
de Rellich entra\^{\i}ne que l'ensemble des restrictions \`a $X_b$ des
$(p,q)$-formes $u$ v\'erifiant
$$|\int_{\chi_0}\langle f,u\rangle_{\chi_0}dV|^2
+\varepsilon\int_{X_c}\left(|u|^2_{\chi_0}+|D''u|^2_{\chi_0}
+|\delta''u|^2_{\chi_0}\right)dV\le1$$
est une partie relativement compacte $K_f$ de $L^2_{p,q}(X_b,E_{\chi_0})~.$
Puisque l'intersection des adh\'erences $\overline K_f$ est
r\'eduite \`a $\lbrace0\rbrace$ lorsque $f$ d\'ecrit
$L^2_{p,q}(X_b,E_{\chi_0})~,$ il existe un nombre fini d'\'el\'ements
$f_j$ tels que l'intersection des $K_{f_j}$ soit contenue dans la boule
unit\'e de\break
$L^2_{p,q}(X_b,E_{\chi_0})~.$\hfill\finpr
 
Si nous appliquons le lemme 2.2 avec $\varepsilon=1/2C_1$
en prolongeant $f_j$ par 0 sur $X\setminus X_b~,$ l'in\'egalit\'e (2.1) implique
$$\Vert u\Vert^2_\chi\le C_2\left(\Vert D''u\Vert^2_\chi
+\Vert\delta''u\Vert^2_\chi+\sum_{1\le j\le N}
|\langle f_j,u\rangle_\chi|^2\right)\leqno(2.3)$$
pour tout $u\in{\rm Dom}~D''\cap{\rm Dom}~\delta''~.$ Soit 
$h\in L^2_{p,q}(X,E_\chi)$ une forme telle que $D''h=0~.$ Notons
$P$ et $P'$ les projecteurs orthogonaux sur $\ker D''$ et
$(\ker D'')^\perp$ respectivement, op\'erant dans $L^2_{p,q}(X,E_\lambda)~.$
Comme $(\ker D'')^\perp=\overline{\im\delta''}\subset\ker\delta''~,$
(2.3) entra\^{\i}ne pour tout $u\in{\rm Dom}~\delta''$ l'estimation
$$\eqalign{
|\langle h,u\rangle_\chi|^2=\langle h,Pu\rangle_\chi|^2&\le
C_2\Vert h\Vert^2_\chi\left(\Vert\delta''Pu\Vert^2_\chi
+\sum_{1\le j\le N}|\langle f_j,Pu\rangle_\chi|^2\right)\cr
&=C_2\Vert h\Vert^2_\chi\left(\Vert\delta''u\Vert^2_\chi
+\sum_{1\le j\le N}|\langle Pf_j,u\rangle_\chi|^2\right)~.\cr}$$
Le th\'eor\`eme de Hahn-Banach montre alors qu'on peut \'ecrire
$$\langle h,u\rangle_\chi=\langle g,\delta''u\rangle_\chi
+\sum_{1\le j\le N}c_j\langle Pf_j,u\rangle_\chi$$
avec $g\in L^2_{p,q-1}(X,E_\chi)$ et $c_j\in{\Bbb C}~,$ d'o\`u
$$h=D''g+\sum_{1\le j\le N}c_j.Pf_j~.$$
On en d\'eduit par cons\'equent $\dim H^{p,q}(X,E_\chi)\le N~,$
d'o\`u par passage \`a la limite inductive la majoration
$$\dim H^{p,q}(X,E)\le N~.$$
 
\titr 3. Th\'eor\`eme d'isomorphisme|
 
Nous allons montrer que le morphisme de restriction
$$H^{p,q}(X,E)\to H^{p,q}(X_c,E)~,~~p+q\ge2n-s+1~,$$
est un isomorphisme d\`es que $X_c\supset Y~.$ Dans ce but, nous aurons
besoin de construire des fonctions convexes d'un type particulier,
ayant une croissance rapide mais r\'eguli\`ere.
 
\th Lemme 3.1|Pour toute fonction croissante $\gamma:\Bbb R\to]0,+\infty[~,$
il existe une fonction $\mu\in\cc$ v\'erifiant les propri\'et\'es
suivantes sur $[0,+\infty[~:$
 
(a) $\mu\ge\gamma~,~~\mu'\ge\gamma~,~~\mu''\ge\gamma~,~~\mu''$ croissante ;
 
(b) les fonctions $\mu'\exp(-{1\over n}\mu)~,~~\mu''\exp(-{1\over n}\mu)$
sont d\'ecroissantes ;
 
(c) $\mu'\exp(-{1\over n}\mu)\le\exp(-\gamma)~,~~
\mu''\exp(-{1\over n}\mu)\le\exp(-\gamma)~.$|
 
\dem Les conditions (b) \'equivalent \`a $\mu''-{1\over n}\mu^{'2}\le0$
et $\mu'''-{1\over n}\mu'\mu''\le0~;$ il suffit donc que la fonction
$\mu''-{1\over 2n}\mu^{'2}$ soit $\le0$ d\'ecroissante, ou encore (puisque
$\mu'$ est $>0$ croissante) que
$-{\mu''\over\mu'}+{1\over2n}\mu'$ soit $\ge0$ croissante. Ceci
\'equivaut \`a dire que la fonction
$$\theta=-\log\left[{1\over2n}\mu'\exp(-{1\over2n}\mu)\right]$$
est convexe croissante. Inversement, si on suppose donn\'ee une fonction
$\theta\in\cc~,$ toute fonction $\mu$ obtenue par ce proc\'ed\'e est
telle que ${d\over dt}[\exp(-{1\over2n}\mu)]=-e^{-\theta}~,$
d'o\`u la solution
$$\mu(t)=-2n\log\left[\intt e^{-\theta(u)}du\right]~.\leqno(3.2)$$
Reste \`a v\'erifier que les conditions {\sl (a,c)} peuvent \^etre
satisfaites pour un choix convenable de $\theta~.$ Si l'on suppose
$\theta'(0)\ge1~,$ il vient
$$\intt e^{-\theta(u)}du
\le {1\over\theta'(t)}\intt\theta'(u)e^{-\theta(u)}du
={e^{-\theta(t)}\over\theta'(t)}\le e^{-\theta(t)} \leqno(3.3)$$
d'o\`u $\mu\ge2n\theta~.$ D'apr\`es (3.2) et (3.3), on obtient d'autre
part
$$\mu'(t)=2n\left[\int_t^{+\infty}\edu\right]^{-1}
\ge2n\theta'(t)~,$$
$$\mu''(t)=2n\left[1-\theta'(t)\int_t^{+\infty}
\edu\right]
\left[\int_t^{+\infty}
\edu\right]^{-2}~.\leqno(3.4)$$
On observe que $\int_t^{+\infty}\theta'(u)\edu=1~,$
donc l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz entra\^{\i}ne
$$\left[\intt \edu\right]^2\le
\intt{1\over\theta'(u)}\edu~.\leqno(3.5)$$
Gr\^ace \`a une int\'egration par parties, il vient maintenant
$$1-\theta'(t)\intt \edu=
\theta'(t)\intt {\theta''(u)\over\theta'(u)^2}
\edu~.\leqno(3.6)$$
En combinant (3.4, 3.5, 3.6) il s'ensuit $\mu''(t)\ge2n\theta''(t)~,$
si on suppose que la fonction $\theta''/\theta'$ est croissante.
Un dernier calcul fastidieux nous donne
$$\eqalign{
\mu'''(t)=2n\Bigg\lbrace&\left[2-\theta'(t)\intt\edu\right]
\left[1-\theta'(t)\intt\edu\right]\cr
&-\theta''(t)\left[\intt\edu\right]^2\Bigg\rbrace
\Bigg\lbrace\intt\edu\Bigg\rbrace^{-3}~.\cr}$$
Si on minore $\left[2-\theta'(t)\intt\edu\right]$ par 1 et si on utilise
l'in\'egalit\'e $\mu''\ge2n\theta''~,$ on voit alors que $\mu'''\ge0~,$
par suite $\mu''$ est bien croissante. Enfin, par d\'efinition
de $\mu~:$
$$\mu'(t)\exp(-{1\over n}\mu(t))=2ne^{-\theta(t)}\intt e^{-\theta(u)}du
\le 2ne^{-2\theta(t)}~,$$
$$\mu''(t)\exp(-{1\over n}\mu(t))=
2n\left[1-\theta'(t)\intt\edu\right]e^{-2\theta(t)}\le 2ne^{-2\theta(t)}~.$$
Il ne reste donc plus qu'\`a construire une fonction $\theta\in\cc$ telle
que $\theta,\theta',\theta''\ge\gamma~,$ avec
$\theta(0)\ge\log2n~,$ $\theta'(0)\ge1$ et $\theta''/\theta'$ croissante.
Il suffit pour cela de poser
$$\theta(t)=\log2n+\int^{t+1}_0 e^{\eta(u)}du$$
o\`u $\eta\in\cc$ a la propri\'et\'e que
$\eta \ge\log\gamma$ et $\eta'(0)\ge0~,$
$\eta'(0)\ge1~.$\hfill\finpr
 
Nous introduisons maintenant une nouvelle relation d'ordre sur les
fonctions, not\'ee $\pp~,$ strictement plus fine que la relation $\le~.$
 
\th D\'efinition 3.7|Si $\chi_1,\chi_2$ sont des fonctions de classe
$\cc^2$ d\'efinies sur un intervalle de $\Bbb R~,$ nous \'ecrirons
$\chi_1\pp\chi_2$ si 
 
(a) $\chi_1\le\chi_2~,~~\chi'_1\le\chi'_2~,~~\chi''_1\le\chi''_2~;$
 
(b) $\chi'_1\exp(-{1\over n}\chi_1)\ge\chi'_2\exp(-{1\over n}\chi_2)~,$
$\chi''_1\exp(-{1\over n}\chi_1)\ge\chi''_2\exp(-{1\over n}\chi_2)~.$|
 
L'int\'er\^et de cette d\'efinition r\'eside dans l'observation suivante :
si $\oc$ et $\occ$ sont les m\'etriques associ\'ees
par la formule (1.4) \`a deux fonctions $\chi_1,\chi_2\in\cc$ telles que
$\chi_1\pp\chi_2~,$ alors
$$\oc\le\occ~,~~\oc^n\exp(-\chi_1\circ\psi)\ge\occ^n\exp(-\chi_2\circ\psi)~,~~
\vvu\ge\vvd~.\leqno(3.8)$$
Pour simplifier les calculs qui suivent, nous supposerons que la fonction
d'exhaustion $\psi$ est $\ge0$ et que $0<c<1$ (on peut toujours se ramener
\`a ce cas en rempla\c cant $\psi$ par $\varepsilon\psi+{1\over2}~,$
avec $\varepsilon>0$).
\vfill\eject
\th Lemme 3.9|Pour toute fonction croissante $\gamma:\Bbb R\to]0,+\infty[~,$
il existe :
 
(a) une fonction convexe $\chi:[0,c[\to\Bbb R$ v\'erifiant les propri\'et\'es
du lemme 3.1 relativement \`a la fonction croissante
$\gamma_c(t)=\gamma({1\over c-t})~;$ 
 
(b) une suite de fonctions $\chi_k\in\cc$ v\'erifiant le lemme 3.1
relativement \`a $\gamma$ et convergeant vers $\chi$ dans
$\ci([0,c[)~,$ telles que $\chi_k\pp\chi_{k+1}$ sur $[0,+\infty[$ et
$\chi_k\pp\chi$ sur $[0,c[~.$|
 
\dem Si $\mu_\gamma$ est la fonction donn\'ee par le lemme 3.1, on pose
$$\eqalign{
\chi(t)&=\mu_\gamma({1\over c-t})+{4n\over c-t}~,\quad t\in[0,c[~,\cr
P_k(t)&=\sum_{0\le m\le N_k}(t+1-c-{1\over k})^m~,\quad t\in[0,+\infty[~,\cr
\chi_k(t)&=\mu_\gamma(P_k(t))+4nP_k(t)~,\quad t\in[0,+\infty[~,\cr}$$
o\`u $N_k$ est une suite strictement croissante d'entiers que nous
choisirons ult\'erieurement. $P_k(t)$ converge vers
$1/(1-(t+1-c))=1/(c-t)~,$ donc $\chi_k$ converge bien vers $\chi$ dans
$\ci([0,c[)~.$ La v\'erification des in\'egalit\'es 3.7 {\sl (a)} pour
la relation $\chi_k\pp\chi_{k+1}$ est triviale, car l'expression
$P_k(t)$ est croissante aussi bien par rapport \`a $k$ que par rapport
\`a $t~;$ de m\^eme les propri\'et\'es 3.1 {\sl (a)} pour
$\mu=\chi_k$ r\'esultent de ce que $P_k(t)\ge t~,$ $P'_k(t)\ge 1$
si $k>1/(1-c)~.$ Il est clair aussi que
$\mu=\chi$ v\'erifie 3.1 {\sl (a)}, car
$\chi^{(m)}(t)\ge\mu_\gamma^{(m)}({1\over c-t})\ge\gamma({1\over c-t})~,$
$0\le m\le2~.$ Pour obtenir 3.1 {\sl (b,c)} avec $\mu=\chi_k~,$ on observe
que
$$\left\lbrace\eqalign{
\chi'_k\exp(-{1\over n}\chi_k)&=
(4n+\mu'_\gamma\circ P_k)\exp(-{1\over n}\mu_\gamma\circ P_k)P'_k\exp(-4P_k)
\cr
\chi''_k\exp(-{1\over n}\chi_k)&=
(4n+\mu'_\gamma\circ P_k)\exp(-{1\over n}\mu_\gamma\circ P_k)P''_k\exp(-4P_k)
\cr
&\hphantom{==}+\mu''_\gamma\circ P_k\exp(-{1\over n}\mu_\gamma\circ P_k)
P^{'2}_k\exp(-4P_k)~.\cr}\right.\leqno(3.10)$$
Quitte \`a remplacer $\gamma$ par $\gamma+$ constante, on voit
qu'il suffit de montrer que les fonctions
$P'_k\exp(-2P_k)$ et $P''_k\exp(-4P_k)$ sont d\'ecroissantes en $t~.$
Cela r\'esulte de ce que les polyn\^omes 
$P''_k-2P^{'2}_k$ et $P'''_k-4P'_kP''_k=\displaystyle{d\over dt}(P''_k-2P^{'2}_k)$
sont \`a coefficients $\le0~:$ le coefficient de
$(t+1-c-\displaystyle{1\over k})^m$ dans $P''_k$ est
$(m+1)(m+2)$ si $m\le N_k-2~,$ tandis que dans $P^{'2}_k$ il vaut
$$(m+1)+2m+3(m-1)+\cdots\ge{(m+1)(m+2)\over2}~.$$
Il nous reste seulement \`a v\'erifier les in\'egalit\'es 3.7 {\sl (b)} pour le
couple $(\chi_k,\chi_{k+1})~.$
Pour cela, il suffit de montrer que l'on peut choisir la suite $N_k$
en sorte que les suites $k\mapsto P'_k\exp(-2P_k)~,$
$k\mapsto P''_k\exp(-4P_k)$ soient d\'ecroissantes.
Consid\'erons pour $k$ fix\'e la limite
$$L_k(t)=\buildu N_k\to +\infty\under\lim P'_k(t)\exp(-2P_k(t))~,$$
$$L_k(t)=\cases{
(c+{1\over k}-t)^{-2}\exp(-2(c+{1\over k}-t)^{-1})&\quad si
$\;\;t<c+{1\over k}$\cr
\noalign{\vbox{\vskip2pt}}
0&\quad si $\;\; t\ge c+{1\over k}~.$\cr}$$
La fonction $t\mapsto(c-t)^{-2}\exp(-2(c-t)^{-1})$ est d\'ecroissante
sur $[0,c[~.$
On en d\'eduit que $L_k(t)<L_{k-1}(t)$ pour 
$0\le t\le c+{1\over k-{1\over2}}~,$ tandis que pour
$t\ge c+{1\over k-{1\over2}}>c+{1\over k}$ il vient :
$$P'_{k-1}(t)\exp(-2P_{k-1}(t))\ge\exp\left(-2(N_{k-1}+1)
\left(t+1-c-{1\over k}\right)^{N_{k-1}}\right)~,$$
$$P'_k(t)\exp(-2P_k(t))\le N^2_k\left(t+1-c-{1\over k}\right)^{N_k-1}
\exp\left(-2\left(t+1-c-{1\over k}\right)^{N_k}\right)~.$$
Par cons\'equent $P'_{k-1}\exp(-2P_{k-1})>P'_k\exp(-2P_k)$
si $N_{k-1}~,$ $N_k$ et $N_k/N_{k-1}$ sont assez grands. 
M\^eme raisonnement pour la suite $P''_k\exp(-4P_k)~.$
\hfill\finpr
 
Fixons maintenant des fonctions $\chi,\chi_k$ v\'erifiant le lemme 3.9, 
telles que la m\'etrique $\omega_\chi$ $(\resp\omega_{\chi_k})$ soit 
compl\`ete sur $X_c~.$ On suppose d\'esormais que $p+q\ge2n-s+1~.$ Alors
$H^{p,q}(X_c,E_\chi)$ et $H^{p,q}(X,E_{\chi_k})$ sont de dimension
finie (th\'eor\`eme de finitude).
 
Nous allons montrer que le morphisme de restriction
$$H^{p,q}(X,E_{\chi_k})\to H^{p,q}(X_c,E_\chi) \leqno(3.11)$$
est un isomorphisme pour $k$ assez grand ; simultan\'ement, nous
prouverons les estimations $L^2$ suivantes, qui pr\'ecisent les
propri\'et\'es de surjectivit\'e et d'injectivit\'e. La premi\`ere
exprime en fait une propri\'et\'e de densit\'e asymptotique.
 
\th Proposition 3.12|Pour toute forme $D''$-ferm\'ee
$h\in L^2_{p,q}(X_c,E_\chi)~,$ il existe une suite de formes $D''$-ferm\'ees
$h_k\in L^2_{p,q}(X_c,E_{\chi_k})$ telles que
 
(a) $\buildu k\to+\infty\under\lim\Vert h-h_k\Vert_\chi=0$ sur $X_c~;$
 
(b) pour tout $\varepsilon>0~,$ il existe $a=a(\varepsilon)<c$ et un indice
$k_0(\varepsilon)$ tels que 
$$\Vert\unn_{X\setminus X_a}h_k\Vert_{\chi_k}\le\varepsilon\quad\hbox{pour}\quad
k\ge k_0(\varepsilon)~.$$|
 
\th Proposition 3.13|Il existe une constante $C_2>0$ ind\'ependante de
$k$ et un entier $k_1$ tels que la propri\'et\'e suivante soit
r\'ealis\'ee pour tout $k\ge k_1~.$ Soit
$h\in L^2_{p,q}(X,E_{\chi_k})$ une forme $D''$-ferm\'ee dont la classe
de cohomologie est nulle en restriction \`a $H^{p,q}(X_c,E_\chi)~.$
Alors il existe $g\in L^2_{p,q}(X,E_{\chi_k})$ telle que
$D''g=h$ et $\Vert g\Vert_{\chi_k}\le C_2\Vert h\Vert_{\chi_k}~.$|
 
Nous d\'emontrons les propositions 3.12, 3.13 et la propri\'et\'e
d'isomorphisme par r\'ecurrence sur $q~,$ le r\'esultat \'etant
trivial pour $q>n~.$ Supposons les r\'esultats vrais en degr\'e $q+1~,$
et d\'emontrons-les en degr\'e $q~.$ Le sch\'ema du raisonnement est le
suivant :
{\obeylines\parindent=1cm\parskip=1pt
$(3.13_{q+1})\Longrightarrow (3.12_q)\Longrightarrow (3.13_q)~;$
$(3.12_q)$ et th. de finitude $\Longrightarrow$ surjectivit\'e du morphisme (3.11)~;
$(3.13_q) \Longrightarrow$ injectivit\'e du morphisme (3.11) (implication \'evidente).}
\vskip10pt
$\bullet$ {\sl Preuve de :} $(3.13_{q+1})\Longrightarrow(3.12_q)~.$ 
 
Par construction de $\chi_k~,$ il existe une suite croissante
$b_k\in[0,c[$ convergeant vers $c$ telle que sur $X_{b_k}$ on ait
l'encadrement
$$\vv\le\vvk\le2\vv~.$$
Puisque la m\'etrique $\omega_\chi$ est suppos\'ee compl\`ete sur 
$X_c~,$ il existe une suite $a_k\in[0,b_k[$ convergeant vers $c$ et une
suite de fonctions $\theta_k\in\ci(X_c)$ telles que
$$0\le\theta_k\le1~,~~\theta_k=1\quad\hbox{sur}\quad
X_{a_k}~,~~
{\rm Supp}(\theta_k)\subset X_{b_k}~,~~
\max_{X_c}|d\theta_k|_\chi\le1~.$$
Soit $h\in L^2_{p,q}(X_c,E_\chi)$ une forme $D''$-ferm\'ee sur $X_c~.$
La forme $\theta_kh$ prolonge $h$ \`a $X~,$ mais elle n'est pas ferm\'ee.
On est donc amen\'e \`a r\'esoudre l'\'equation
$$D''g=D''(\theta_kh)=d''\theta_k\wedge h \leqno(3.14)$$
en bidegr\'e $(p,q+1)~.$ Posons 
$\eta_k=\|\unn_{X\setminus X_{a_k}}h\|_\chi~;$ $\eta_k$ tend vers 0 quand $k$ tend
vers $+\infty~.$ Le choix de $b_k$ implique
$$\|d''\theta_k\wedge h\|_{\chi_k}\le2\|d''\theta_k\wedge h\|_\chi
\le2\eta_k~,$$
et la classe de cohomologie de $d''\theta_k\wedge h=D''(\theta_k h)~,$ 
restreinte \`a $H^{p,q}(X_c,E_\chi)~,$ est nulle par d\'efinition.
D'apr\`es la proposition 3.13 appliqu\'ee en bidegr\'e $(p,q+1)~,$ 
l'\'equation (3.14) admet pour $k$ assez grand une solution
$g_k\in L^2_{p,q}(X,E_{\chi_k})$ telle que
$\|g_k\|_{\chi_k}\le2C_2\eta_k~.$ Posons $h_k=\theta_kh-g_k~.$ La forme
$h_k$ est alors $D''$-ferm\'ee sur $X~;$ comme
$\vv\le\vvk$ sur $X_c~,$ il vient :
$$\|h-h_k\|_\chi\le\|g_k\|_{\chi_k}+\|(1-\theta_k)h\|_\chi\la0~,$$
$$\|\unn_{X\setminus X_{a_m}}h_k\|_{\chi_k}\le\|g_k\|_{\chi_k}
+2\|\unn_{X_{b_k}\setminus X_{a_m}}h\|_\chi\le2C_2\eta_k+2\eta_m$$
pour $k\ge m~.$ La proposition $(3.12_q)$ est donc d\'emontr\'ee.\hfill\finpr
\vskip10pt
$\bullet$ {\sl Preuve de : $(3.12_q) \Longrightarrow$ surjectivit\'e du morphisme} (3.11).
 
Rappelons le lemme classique suivant :
 
\th Lemme 3.15|Sous l'hypoth\`ese $\dim H^{p,q}(X_c,E_\chi)<+\infty~,$
l'op\'erateur
$$\dpq:L^2_{p,q-1}(X_c,E_\chi)\supset {\rm Dom}~\dpq\to\ker D''_{p,q}
\subset L^2_{p,q}(X_c,E_\chi)$$
est d'image ferm\'ee, et on a la somme directe orthogonale
$$\ker D''_{p,q}=\im \dpq\oplus\h$$
o\`u $\h$ est l'espace des formes harmoniques
$f\in L^2_{p,q}(X_c,E_\chi)$ (\ie telles que $D''f=\delta''f=0)~.$|
 
En effet $\ker D''_{p,q}$ est ferm\'e, et par d\'efinition on a
$$\h=\ker D''_{p,q}\cap\ker\delta''_{p,q}=
\ker D''_{p,q}\cap(\im \dpq)^\perp~.$$
Il suffit donc de voir que $\im \dpq$ est ferm\'ee. Or,
l'op\'erateur $\dpq:{\rm Dom}~\dpq\to\ker D''_{p,q}$
peut \^etre consid\'er\'e comme un op\'erateur born\'e entre espaces de
Hilbert si ${\rm Dom}~\dpq$ est muni de la norme du graphe (lequel graphe
est ferm\'e dans $L^2_{p,q-1}\times L^2_{p,q})$. Comme l'image de
$\dpq$ est de codimension finie dans $\ker D''_{p,q}~,$ elle admet
un suppl\'ementaire $S$ de dimension finie. Le th\'eor\`eme d'isomorphisme
de Banach appliqu\'e au morphisme bijectif
$$\dpq\oplus i_S:({\rm Dom}~\dpq/\ker\dpq)\oplus S\to\ker D''_{p,q}$$
implique que $\im\dpq$ est ferm\'ee.
Le lemme 3.15 est d\'emontr\'e.
 
Soit $(f^1\ld f^N)$ une base orthonorm\'ee de $\h\simeq H^{p,q}(X_c,E_\chi)~.$
D'apr\`es $(3.12_q)~,$ on peut trouver des suites de formes $D''$-ferm\'ees
$f^1_k\ld f^N_k\in L^2_{p,q}(X,E_{\chi_k})~,$ telles que
$\|f^j_k-f^j\|_\chi$ tende vers 0 quand $k$ tend vers $+\infty~,$ et
v\'erifiant de plus 3.12 {\sl (b)}. La projection de $f^j_k$ sur $\h$
converge donc vers $f^j~,$ par suite les restrictions de
$f^1_k\ld f^N_k$ \`a $H^{p,q}(X_c,E_\chi)$ forment une base de cet
espace pour $k$ assez grand.\hfill\finpr
\vskip10pt
$\bullet$ {\sl Preuve de} : $(3.12_q) \Longrightarrow (3.13_q)~.$
 
Fixons $b<c$ tel que $Y\subset X_b~.$ Nous allons d'abord \'etablir
le lemme suivant :
 
\th Lemme 3.16|Pour tout $\eta>0~,$ il existe un entier $k_1(\eta)$ et 
une constante $C_3=C_3(\eta)$ tels que pour tout $k\ge k_1(\eta)$ et
tout $u\in{\rm Dom}~D''\cap {\rm Dom}~\delta''$
on ait l'in\'egalit\'e
$$\int_{X_b}\vert u\vert^2_{\chi_k}dV\le
\eta\Vert u\Vert^2_{\chi_k}+C_3\left(
\Vert D''u\Vert^2_{\chi_k}+\Vert\delta''u\Vert^2_{\chi_k}+
\sum^N_{j=1}\vert\langle f^j_k,u\rangle_{\chi_k}\vert^2\right)~.$$|
 
\dem Si le lemme \'etait faux, on pourrait trouver une partie infinie
$A\subset\Bbb N$ et une suite de fonctions 
$u_k\in L^2_{p,q}(X,E,{\rm loc})~,$ $k\in A~,$ v\'erifiant les
propri\'et\'es suivantes :
$$\int_{X_b}|u_k|^2_{\chi_k}dV\ge1~;\leqno(3.17)$$
$$\Vert u_k\Vert_{\chi_k}\le {1\over\eta}~;\leqno(3.18)$$
$$\|D''u_k\|^2_{\chi_k}+\|\delta''u_k\|^2_{\chi_k}+
\sum^N_{j=1}|\langle f^j_k,u_k\rangle_{\chi_k}|^2\to0~.\leqno(3.19)$$
Comme $\chi_k$ converge vers $\chi$ dans $\ci([0,c[)~,$ les
propri\'et\'es (3.18, 3.19) et le lemme de Rellich montrent que la
suite $u_k$ est relativement compacte dans $L^2_{p,q}(X_c,E,{\rm loc})~.$
On peut donc trouver une sous-suite infinie $u_k~,$ $k\in B\subset A~,$
convergeant en norme $L^2$ sur tout compact de $X_c$ vers une forme
$u~.$ De (3.18, 3.19) on d\'eduit
$\|u\|_\chi\le1/\eta$ et $D''u=\delta''u=0~,$ donc $u\in\h~.$ La
propri\'et\'e 3.12 {\sl (b)} relative \`a la suite $(f^j_k)$ implique
\'egalement $\langle f^j,u\rangle_\chi=0~,$ $1\le j\le N~.$
Par suite $u=0$ sur $X_c~,$ ce qui est en contradiction avec (3.17).
Le lemme 3.16 est donc d\'emon-\break
tr\'e.\hfill\finpr
 
On a maintenant une estimation a priori analogue \`a (2.1), du type
$$\|u\|^2_{\chi_k}\le C_1\left(\|D''u\|^2_{\chi_k}+\|\delta''u\|^2_{\chi_k}
+\int_{\chi_b}|u|^2_{\chi_k}dV\right) \leqno  (3.20)$$
o\`u $C_1$ est une constante $>0$ ind\'ependante de $k~.$ Si nous
appliquons le lemme 3.16 pour $\eta=1/2C_1$ et si nous le
combinons avec (3.20), il vient pour tout $k\ge k_1$ et tout 
$u\in{\rm Dom}~D''\cap{\rm Dom}~\delta''$
l'in\'egalit\'e
$$\|u\|^2_{\chi_k}\le C_4\left(
\|D''u\|^2_{\chi_k}+\|\delta''u\|^2_{\chi_k}+\sum^N_{j=1}
|\langle f^j_k,u\rangle_{\chi_k}|^2\right)~.$$
Soit $h\in L^2_{p,q}(X,E_{\chi_k})$ une forme $D''$-ferm\'ee sur $X~.$
Avec des notations analogues \`a celles du \S 2, on obtient pour tout
$u\in{\rm Dom}~\delta''~:$
$$\eqalign{
|\langle h,u\rangle_{\chi_k}|^2=|\langle h,Pu\rangle_{\chi_k}|^2&\le
C_4\|h\|^2_{\chi_k}\left(\|\delta''Pu\|^2_{\chi_k}+\sum_{1\le j\le N}
|\langle f^j_k,Pu\rangle_{\chi_k}|^2\right)\cr
&\le C_4\|h\|^2_{\chi_k}\left(\|\delta''u\|^2_{\chi_k}+\sum_{1\le j\le N}
|\langle f^j_k,u\rangle_{\chi_k}|^2\right)~.\cr}$$
Le th\'eor\`eme de Hahn-Banach implique l'existence d'une forme
$g\in L^2_{p,q-1}(X,E_{\chi_k})$ et de scalaires $c_j\in\Bbb C~,$
$1\le j\le N~,$ tels que
$$h=D''g+\sum_{1\le j\le N}c_jf^j_k~,$$
et
$$\|g\|^2_{\chi_k}+\sum_{1\le j\le N}|c_j|^2\le C_4\|h\|^2_{\chi_k}~.$$
La restriction \`a $H^{p,q}(X_c,E_\chi)$ de la classe de cohomologie de
$h$ co\"{\i}ncide avec celle de $\sum c_jf^j_k~.$ Si cette classe est nulle,
on a donc $c_1=\cdots=c_N=0~,$ par suite $h=D''g~.$\hfill\finpr
 
Comme les fonctions convexes $\chi$ et $\chi_k$ peuvent \^etre choisies
\`a croissance arbitrairement rapide, l'isomorphisme de restriction
$H^{p,q}(X,E_{\chi_k})\simto H^{p,q}(X_c,E_\chi)$ donne par passage \`a la
limite inductive un isomorphisme 
$H^{p,q}(X,E)\simto H^{p,q}(X_c,E)$ si $p+q\ge2n-s+1~.$
 
\titr Bibliographie|
 
{\eightpoint
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k\"ahl\'erienne faiblement 1-compl\`ete \`a valeurs dans un fibr\'e
vectoriel holomorphe semi-positif|C. R. Acad. Sc. Paris|290|1980|75-78
{\rm et Th\`ese de 3e cycle \`a l'Universit\'e Paris VI (1980)}|
\livre 2|O. Abdelkader|Th\'eor\`emes de finitude pour la cohomologie
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en droites semi-positif|Th\`ese de Doctorat d'Etat \`a l'Universit\'e
Paris VI|1985|
\article 3|J.P. Demailly|Sur l'identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano en
g\'eom\'etrie hermitienne|S\'eminaire P. Lelong - P. Dolbeault - H. Skoda 
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Springer-Verlag|1198|1984|88-97| 
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\end
