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\parindent=0mm \parskip=6pt plus 2pt minus 2pt

\input macros_ocr.tex

\def\enonce{\bf}

\centerline{\bigbf TH\`ESE de DOCTORAT D'\'ETAT}\vskip1.5cm
\centerline{\bigbf \`es Sciences Math\'ematiques}\vskip1.5cm
\centerline{\bigbf pr\'esent\'ee}\bigskip
\centerline{\bigbf \`a l'Universit\'e Pierre et Marie Curie}\bigskip
\centerline{\bigbf -- Paris 6 --}
\vskip1.8cm

{\bf par M.}\ \ Jean-Pierre DEMAILLY
\medskip

pour obtenir le grade de DOCTEUR \`es SCIENCES
\medskip

{\bf Sujet de la th\`ese~:}
\medskip

\centerline{-- 1\`ere th\`ese --}
\medskip
\hbox{\kern 15pt 
SUR DIFF\'ERENTS ASPECTS DE LA POSITIVIT\'E EN ANALYSE COMPLEXE.}
\bigskip

\centerline{-- 2\`eme th\`ese --}
\medskip
\hbox{\kern 15pt
PROPOSITIONS DE L'UNIVERSIT\'E.}
\vskip1.8cm

{\bf soutenue le}\ \ 19 octobre 1982
\bigskip

{\bf devant le jury compos\'e de :}
\bigskip

\hbox{\rlap{M. Pierre LELONG,}\kern200pt Pr\'esident}\medskip
\hbox{\rlap{M. Louis  BOUTET de MONVEL,}\kern200pt Examinateur}\medskip
\hbox{\rlap{M. Pierre DOLBEAULT,}\kern200pt Examinateur}\medskip
\hbox{\rlap{M. Joseph LE POTIER,}\kern200pt Examinateur}\medskip
\hbox{\rlap{M. Henri SKODA,}\kern200pt Directeur de th\`ese}
\footline={\hfill}

\vfill\eject

\pageno=2
\footline={\hfill\rm -- \folio\ --\hfill}
\centerline{\hugebf Remerciements}
\vskip1cm

C'est \`a Henri Skoda que je dois ma premi\`ere initiation \`a la recherche
math\'ematique, et depuis lors mes travaux ont fait l'objet de sa
constante attention. La clart\'e de ses expos\'es, ses questions, ses
suggestions ont jou\'e un r\^ole essentiel dans l'\'elaboration de cette
th\`ese. Je tiens \`a le remercier chaleureusement pour les
innombrables discussions et \'echanges de points de vue que nous avons
eus, ainsi que pour les encouragements constants qu'il m'a prodigu\'es.

Le Professeur Pierre Lelong, dont les id\'ees et les travaux ont
largement inspir\'e cette th\`ese comme tant d'autres recherches
actuelles, m'a fait l'honneur et la joie de bien vouloir pr\'esider le
jury de cette th\`ese~; d\'ej\`a Pierre Lelong avait manifest\'e son int\'er\^et
pour mes travaux en acceptant de pr\'esider ma th\`ese de 3e Cycle.

Je tiens \`a remercier les membres du laboratoire d'Analyse
Complexe de Paris, qui m'ont accueilli parmi eux, et m'ont invit\'e \`a
plusieurs reprises \`a exposer mes travaux \`a leur s\'eminaire. J'ai eu
chaque fois le plaisir de confronter mes id\'ees \`a un auditoire attentif
et int\'eress\'e. Je pense en particulier \`a Paul Malliavin, Pierre Mazet
avec qui j'ai eu de fructueuses discussions, \`a Pierre Dolbeault, qui
a \'et\'e directeur du Laboratoire d'Analyse Complexe jusqu'\`a une date
tr\`es r\'ecente, et qui a accept\'e de se joindre au jury de cette th\`ese.

Mes remerciements s'adressent \'egalement \`a l'\'Equipe d'Analyse Complexe
d'Orsay, qui m'a chaleureusement convi\'e \`a suivre son s\'eminaire ; \`a
Michel Herv\'e et Jean-Louis Verdier pour l'int\'er\^et qu'ils ont toujours port\'e
\`a mon travail, respectivement en tant que Directeur adjoint de l'Ecole Normale
Sup\'erieure, et responsable du D\'epartement de Math\'ematiques lorsque j'\'etais 
encore \'el\`eve de l'Ecole.

Gr\`ace \`a ses cours de 3e cycle, profess\'es avec beaucoup de soin et de
patience, Joseph Le Potier m'a permis d'approfondir mes connaissances en
g\'eom\'etrie analytique, en particu\-lier dans l'\'etude des fibr\'es vectoriels 
holomorphes~; je voudrais ici l'en remercier.

Louis Boutet de Monvel, enfin, m'a propos\'e un passionnant sujet de
seconde th\`ese, me donnant ainsi l'occasion d'avoir un premier contact avec 
la th\'eorie des op\'erateurs microdiff\'erentiels analytiques.

Je ne peux terminer sans remercier Madame Colette Orion qui a effectu\'e
le travail de dactylographie avec beaucoup de soin et de conscience,
et sur qui tous les math\'ematiciens du Laboratoire savent pouvoir
compter lorsqu'un probl\`eme concret se pose. Je remercie \'egalement
Michel Blin, responsable du service photocopie, pour son aide et sa
bonne humeur lors du tirage des exemplaires de la th\`ese.
\vfill\eject


\centerline{\hugebf Introduction}
\vskip1cm

Cette th\`ese se compose de deux parties. La premi\`ere est consacr\'ee \`a
l'\'etude des fibr\'es vectoriels positifs, et en particulier des
relations qui existent entre les diff\'erentes notions de positivit\'e. 
Plusieurs th\'eor\`emes d'annulation de la cohomologie sont obtenus
dans ce cadre par un usage direct de l'in\'egalit\'e de {\petcap Kodaira-Nakano}.
On retrouve ainsi certains r\'esultats ant\'erieurs de {\petcap Ph.~Griffiths},
{\petcap S.~Nakano} et {\petcap H.~Skoda}.

La seconde partie est consacr\'ee aux propri\'et\'es des courants positifs
ferm\'es. Gr\^ace \`a une formule g\'en\'erale de type {\petcap Lelong-Jensen},
nous \'etudions la transformation des nombres de {\petcap Lelong} d'un
courant par image directe par un morphisme analytique propre. Les
in\'egalit\'es obtenues fournissent de nouveaux lemmes de {\petcap
Schwarz} utiles en th\'eorie des nombres. En liaison avec la conjecture
de Hodge, on donne enfin des exemples de courants positifs ferm\'es
extr\^emaux qui ne sont pas des cycles analytiques, r\'epondant ainsi par
la n\'egative \`a un probl\`eme soulev\'e par {\petcap P.~Lelong} et {\petcap
R.~Harvey}.
\bigskip

{\bigbf 1. Fibr\'es vectoriels holomorphes positifs.}

Soit $E$ un fibr\'e vectoriel holomorphe hermitien sur une vari\'et\'e
analytique complexe $X$, $n=\dim_\bC X$, $r=\hbox{rang}(E)$. Au fibr\'e 
$E$ est attach\'ee canoniquement une forme hermitienne $ic(E)$ sur les 
fibres de $TX\otimes E$. On dit que le fibr\'e $E$ est $s$-positif si 
la forme $ic(E)$ prend des valeurs${}>0$ sur tout tenseur de 
$TX\otimes E$ non nul et de rang${}\le s$, $s\in \{ l,2,\ldots,n\}$.

La positivit\'e de {\petcap Ph.~Griffiths} correspond \`a $s=1$, celle de
{\petcap Nakano} \`a $s\ge\inf(n,r)$, toutes les notions co\"{\i}ncidant pour
$r=1$ ou $n=1$.  On suppose d\'esormais $X$ k\"ahl\'erienne et faiblement
pseudoconvexe (i.e.\ $X$ poss\`ede une fonction plurisousharmonique
exhaustive).  Les m\'ethodes $L^2$ de {\petcap
Kohn-H\"ormander-Nakano-Skoda} donnent le \medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 1.1.} -- {\it Si $E$ est $s$-positif, 
$H^{n,q}(X,E) = 0$ pour $q\ge n-s+1$.}
\medskip

Comme la positivit\'e de {\petcap Griffiths} est la notion La plus significative
g\'eom\'etriquement (elle passe aux fibr\'es quotients), il est int\'eressant
de disposer de relations entre les notions de positivit\'e introduites
plus haut. Ceci fait l'objet du th\'eor\`eme suivant :

{\enonce Th\'eor\`eme 1.2.} -- {\it Soit $E$ un fibr\'e positif au sens de 
{\petcap Griffiths}, alors$\;:$ 
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} $E\otimes\det E$ est positif au sens de {\petcap Nakano}$\;;$
\item{\rm(b)} Si $E$ est de rang $r\ge 2$, $E^*\otimes (\det E)^s$ 
est $s$-positif.}}

La th\'eorie des morphismes surjectifs de fibr\'es semi-positifs due \`a
H.~{\petcap Skoda} donne lieu \`a des calculs de courbure qui sont
particuli\`erement bien interpr\'et\'es dans ce contexte.  Soit une suite
exacte
$$
0\lra  N\lra E\build\lra|g|| 0
$$
de fibr\'es vectoriels holomorphes hermitiens de rangs respectifs 
$r-q$, $r$, $q$. Etant donn\'e $k\in\{0,1,\ldots,n\}$, on pose 
$s=\inf(n-k,r-q)$. Nous montrons le
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 1.3.} -- {\it On suppose que $E$ est $s$-semi-positif, 
et on se donne un fibr\'e lin\'eaire $L$ tel que $ic(L)\ge
(s+\varepsilon)ic(\det Q)$, $\varepsilon>0$. Alors le morphisme
$$
H^{n,\ell}(X, E\otimes L)\lra H^{n,\ell}(X, Q\otimes L)
$$
est surjectif pour $\ell\ge k$.}

Ce th\'eor\`eme admet une version plus pr\'ecise, avec estimations $L^2$, qui
a de nombreuses applications \`a des probl\`emes d'alg\`ebre locale ou
d'analyse fine ($X$ sera alors le plus souvent une vari\'et\'e de Stein). 
Nous avons consid\'er\'e en particulier le probl\`eme d'extension d'une
fonction holomorphe d\'efinie sur une sous-vari\'et\'e, \`a l'espace ambiant
tout entier.

On se donne une sous-vari\'et\'e ferm\'ee $X=F^{-1}(0)$ d'un ouvert
pseudo-convexe $\Omega\subset\bC^m$ o\`u $F:\Omega\to\bC^N$ est
holomorphe. Alors il existe une r\'etraction holomorphe $\rho:U\to X$,
$U$ \'etant un voisinage tubulaire de $X$ que l'on estime avec
pr\'ecision. La construction de $\rho$ est inspir\'ee d'un travail de
{\petcap Berenstein} et {\petcap Taylor}$\;$: on fabrique un
isomorphisme d'un voisinage de la section nulle du fibr\'e normal $NX$
sur $U$, au moyen d'un scindage holomorphe de la suite exacte $0\to
TX \to T\Omega_{|X}\to NX\to 0$. L'existence de ce scindage (qui
r\'esulte bien s\^ur du th\'eor\`eme B de {\petcap Cartan}) est concr\'etis\'ee
par le r\'esultat suivant, d\'eriv\'e du th.~1.3.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 1.4.} -- {\it Soit $\smash{0\to N\to
E\build\to|g||0}$ une suite exacte de fibr\'es vectoriels hermitiens
au-dessus de $X$, $E$ \'etant suppos\'e semi-positif au sens de Griffiths et
$N$, $Q$ munis des m\'etriques induites par celle de $E$. On se donne un
fibr\'e lin\'eaire $M$ et une fonction p.s.h.\ $\varphi$ sur $X$ telle que
$$
ic(M) + i\partial\overline\partial\varphi\ge(s+\varepsilon) ic(\det Q)
+ic(det E)-i\,\hbox{\rm Ricci}(X)
$$
avec $s=\inf(n,q)+\inf(n,r-q)$, $\varepsilon>0$. Alors pour toute section 
globale $f$ de\break \hbox{$\Hom(Q,Q\otimes M)$}, telle que
$\int_X |f|^2e^{-\varphi}dV<+\infty$, il existe une section $h$ de\break 
\hbox{$\Hom(Q,E\otimes M)$} telle que $g\circ h=f$ et
$$
\int_X |h|^2e^{-\varphi}dV\le
\Big(1+{\inf(n,r-q)\over\varepsilon}\Big)\int_X |f|^2e^{-\varphi}dV.
$$}

Il en r\'esulte un th\'eor\`eme d'extension$\;$: toute fonction holomorphe
$h$ sur $X$ se prolonge \`a $\Omega$ avec contr\^ole de la croissance.  Si
l'on pose $\tilde h=h\circ\rho$, l'extension globale $H$ est obtenue
gr\^ace \`a un th\'eor\`eme g\'en\'eral de type {\petcap H\"ormander-Bombieri-Skoda},
qui am\'eliore les r\'esultats de {\petcap B.~Jennane}.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 1.5.} -- {\it Soient $q=\codim X$, $\varphi,\,\psi\in
\PSH(\Omega)$, $\varepsilon$ un r\'eel${}>0$ et $\tilde h$ une fonction 
holomorphe sur l'ouvert
$U=\{z\in\Omega\,;\;|F(z)|<e^{-\psi(z)}\}$ telle que
$$
\int_U |\tilde h|^2e^{2q\psi-\varphi}dV<+\infty.
$$
Alors il existe une fonction holomorphe $H$ sur $\Omega$ qui co\"{\i}ncide 
avec $\tilde h$ sur $X$ et telle que 
$$
\int_\Omega |H|^2e^{2q\psi-\varphi}
\big(1+|F|^2e^{2\psi}\big)^{-q-\varepsilon}dV<+\infty.
$$}

Pour s'affranchir des hypoth\`eses de r\'egularit\'e concernant les fonctions 
plurisousharmoniques (poids intervenant dans les estimations $L^2$ ou 
fonction d'exhaustion de la vari\'et\'e $X$), on est amen\'e \`a d\'emontrer un 
th\'eor\`eme d'approximation des fonctions p.s.h.\ sur une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne 
$X$ quelconque. A toute fonction $\varphi$ p.s.h.\ (semi-continue) sur $X$, 
on associe les r\'egularis\'ees $\varphi_\varepsilon$
par des noyaux construits \`a l'aide de l'application 
$\exp:TX\to X\;:$
$$
\varphi_\varepsilon(z)={1\over C\varepsilon^{2n}}
\int_{\zeta\in T_zX} \varphi(\exp_z(\zeta))\,
\chi\Big({|\zeta|^2\over\varepsilon^2}\Big)\,d\lambda(\zeta),
$$
o\`u $C$, $\varepsilon>0$, $n=\dim X$, $\chi\in C^\infty(\bR)$, $\chi>0$
sur $]-\infty,0]$, $\chi=0$ sur $[1,+\infty[$.

On montre que la partie n\'egative du Hessien $\varphi$ reste localement born\'ee, 
avec convergence uniforme si les nombres de {\petcap Lelong} de $\varphi$ sont nuls.

{\enonce Th\'eor\`eme 1.6.} -- {\it Quitte \`a remplacer $\varphi_\varepsilon(z)$ 
par $\varphi_\varepsilon(z)+\varepsilon^2\log{1\over\varepsilon}\;\psi(z)$ 
avec $\psi\in C^\infty(X)$, $\psi>0$ convenable, il existe des familles 
$(\lambda_\varepsilon)$ de fonctions${}>0$ et
$(\gamma_\varepsilon)$ de $(1,1)$-formes${}>0$ de classe $C^\infty$ ayant 
les propri\'et\'es suivantes$\;:$
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} $\lim_{\varepsilon\to 0}\varphi_\varepsilon(z)=\varphi(z)$ 
en tout point $z\in X\;;$
\item{\rm(b)} $\varphi_\varepsilon$ et $\lambda_\varepsilon$ sont
croissantes par rapport \`a~$\varepsilon\;;$
\item{\rm(c)} $i\partial\overline\partial\varphi_\varepsilon\ge
\gamma_\varepsilon-\lambda_\varepsilon\omega$
$($o\`u $\omega$ est une m\'etrique k\"ahl\'erienne sur $X)\;;$
\item{\rm(d)} 
${\lim{\rm p.p.}}_{\varepsilon\to 0}\gamma_\varepsilon={}$ 
partie absolument continue de $i\partial\overline\partial\varphi\;;$
\item{\rm(e)} 
$\lim_{\varepsilon\to 0}\lambda_\varepsilon(z)=0$
en tout point $z$ o\`u le nombre de Lelong $\nu(\varphi,z)$ est nul.
\vskip0pt}}

Ce th\'eor\`eme permet notamment de retrouver certains r\'esultats de
{\petcap Richberg} et\break {\petcap Greene-Wu} sur l'approximation
des fonctions p.s.h.\ continues. Il permet aussi de v\'erifier que toute
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne faiblement pseudoconvexe est compl\`ete, sans
hypoth\`eses de r\'egularit\'e.
\bigskip

{\bigbf 2. Courants positifs ferm\'es.}

Soit $T\in\cD'_{p,p}(X)$ un courant de bidimension $(p,p)$ sur une
vari\'et\'e analytique complexe $X$ de dimension $n$. On dit que $T$ est
faiblement${}\ge 0$ si 
$i\,\alpha_1\wedge\overline\alpha_1\wedge\ldots\wedge
i\,\alpha_p\wedge\overline\alpha_p$ est une mesure positive
pour tout syst\`eme de formes $\alpha_j\in\cD_{1,0}(X)$. La positivit\'e forte
est la notion duale. Comme dans le cas des fibr\'es${}>0$,
il existe des relations entre ces deux notions de positivit\'e. 
Le prototype de tels r\'esultats est le suivant.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 2.1.} -- {\it Soit $\alpha$ une $(p,p)$-forme 
faiblement${}>0$ sur $\bC^n$. On d\'efinit les
constantes $C(n,p)$, $C'(n,p)$ par  $C(n,p)+C'(n,p)= (n+1)!/(n-p+2)!$,
$C(n,1)=1$, et la relation de r\'ecurrence
$$
C'(n,p)=\sum_{r=1}^{p-1}{p-1\choose r}C(n-r,p-r).
$$
Alors on a les in\'egalit\'es de positivit\'e forte :
$$
-C'(n,p)\tr(\alpha){\omega^p\over p!}\le_S\alpha\le_S
C(n,p)\tr(\alpha){\omega^p\over p!}
$$
o\`u $\omega={i\over 2}\partial\overline\partial|z|^2$ et o\`u
$\tr(\alpha)$ est la trace de $\alpha$.}
\medskip

Notre objectif sera ensuite de donner une d\'efinition souple et intrins\`eque des 
nombres de {\petcap Lelong} d'un courant faiblement${}>0$ ferm\'e.

On se donne une fonction $\varphi\ge 0$ de classe $C^2$ sur $X$ telle que 
$\log\varphi$ soit p.s.h.\ et telle qu'il existe $R>0$ v\'erifiant 
$\{\varphi<R\}\cap\Supp T\compact X$. Gr\^ace \`a une formule g\'en\'erale de type 
{\petcap Lelong-Jensen}, on montre l'existence de la limite
$$
\nu(T,\varphi)=\lim_{r>0,\,r\to 0}{1\over (2\pi r)^p}\int_{\{\varphi<r\}}
T\wedge(i\partial\overline\partial\varphi)^p,
$$ 
qu'on appellera nombre de {\petcap Lelong} de $T$ par rapport au
poids $\varphi$.

On retrouve la d\'efinition classique du nombre $\nu(T,z)$ en un point 
$z\in\bC^n$ en posant $\varphi(\zeta)=|\zeta-z|^2$. {\petcap Y.T.~Siu}
a d\'emontr\'e l'invariance des nombres de Lelong par changement
de coordonn\'ees analytiques locales, r\'esultat qui se g\'en\'eralise ais\'ement 
dans ce cadre$\;$:
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 2.2.} -- {\it Soit $\psi$ une fonction ayant les m\^emes 
propri\'et\'es que $\varphi$. On suppose que
$$
\liminf{\log\psi(z)\over\log\varphi(z)}\ge\ell
$$
quand $z\in\Supp T$ et $\varphi(z)$ tend vers $0$. Alors
$$
\nu(T,\psi\le \ell^p\nu(T,\varphi).
$$
En particulier $\nu(T,\psi)=\nu(T,\varphi)$ si
$\log\psi\sim\log\varphi$.}
\medskip

Soit maintenant $F:X\to Y$ un morphisme de vari\'et\'es (ou d'espaces) 
analytiques, dont la restriction au support de $T$ est propre. Il est 
particuli\`erement int\'eressant d'examiner les nombres de {\petcap Lelong} associ\'es 
\`a l'image directe $F_*T$.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 2.3.} -- {\it Si $x\in X$, on d\'efinit la $p$-multiplicit\'e 
de $F$ en $x$ par$\;:$
$$
\mu_p(F,x)=\sup\{s_1s_2\ldots s_p\},
$$
o\`u $s_1\le s_2\le\ldots\le s_N$ sont les ordres d'annulation en $x$
des composantes $F_1,\,F_2,\,\ldots\,,\,F_N$ de $F$ suivant des coordonn\'ees 
locales au point $y=F(x)\in Y$. Alors, pour tout point $y\in Y$ tel que 
la fibre $F^{-1}(y)\cap\Supp T$ soit totalement discontinue, on a
$$
\nu(F_*T,y)\ge\sum_{x\in F^{-1}(y)}\mu_p(F,x)\nu(T,x).
$$}

Une in\'egalit\'e inverse 
$\nu(F_*T,y)\le\sum\overline\mu_p(F,x)\nu(T,x)$ peut \'egalement \^etre obtenue si
la fibre $F^{-1}(y)$ est finie, avec des multiplicit\'es 
$\overline \mu_p(T,x)\ge\mu_p(F,x)$.

En combinant la formule de Jensen d\'ej\`a mentionn\'ee avec le th\'eor\`eme
2.2., on obtient un lemme de {\petcap Schwarz} assez g\'en\'eral et tr\`es
utile en th\'eorie des nombres.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 2.4.} -- {\it Soient $P_1,\,P_2,\,\ldots\,,\,P_N$
des polyn\^omes de degr\'e $\delta$ dans $\bC^n$ dont les parties
principales admettent l'origine pour unique z\'ero commun. Alors il
existe une constante $C>1$ telle que pour toute fonction enti\`ere $G$
dans $\bC^n$ et tout $R\ge r\ge 1$ on ait
$$
\log |G|_r\le \log|G|_R -\delta^{1-n}\nu(P_*T,0)\log R/Cr
$$
avec $|G|_r=\sup_{|z|=r} |G(z)|$, 
$T={i\over 2\pi}\partial\overline\partial|G|$.}
\medskip

Ce lemme de {\petcap Schwarz} permet de retrouver le th\'eor\`eme de
{\petcap E.~Bombieri} sur les valeurs alg\'ebriques de fonctions
m\'eromorphes, ainsi que certaines conjectures de {\petcap
Wald\-schmidt-Choodnovsky} concernant les z\'eros de polyn\^omes dans
$\bC^n$.
\medskip

{\enonce Corollaire 2.5.} -- {\it Soit $S$ une partie finie de $\bC^n$. 
Pour tout entier $t\ge 1$, on consid\`ere le nombre $\omega_t(S)={}$degr\'e 
minimum des polyn\^omes non nuls s'annulant \`a l'ordre $t$ sur $S$, et
$$
\Omega(S)=\inf\Big\{{\omega_t(S)\over t}\,;\;t\ge 1\Big\}.
$$
Alors
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)}
$\displaystyle
\Omega(S)\ge{(\omega_1(S)+1)\ldots(\omega_1(S)+n-1)\over
\omega_1(S)^{n-2}n!}\,;$
\item{\rm(b)}
$\displaystyle
\Omega(S)\ge{n+1\over n}$ si $\omega_1(S)\ge 2$.}}
\medskip

La derni\`ere partie de la th\`ese est consacr\'ee \`a l'\'etude des \'el\'ements
extr\^emaux du c\^one des courants fortement${}>0$ ferm\'es, probl\`eme
soulev\'e par P.~{\petcap Lelong} et {\petcap R.~Harvey}. Soit
$\Gamma_d$ la suite de courbes de Fermat $z_0^d+z_1^d+z_2^d=0$ dans
$\bP^2(\bC)$. On montre que la suite des courants d'int\'egration
${1\over d}[\Gamma_d]$ converge faiblement vers un courant extr\^emal
sur $\bP^2$ qui n'est pas un cycle analytique.  L'existence et le
calcul explicite du courant limite reposent sur un th\'eor\`eme de
support, valable en particulier pour les courants positifs ferm\'es.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 2.6.} -- {\it Soit $\Theta$ un courant de
bidimension $(p,p)$, d'ordre $0$ ainsi que $d\Theta$, \`a support dans
une sous-vari\'et\'e r\'eelle $S$ de classe $C^1$ d'une vari\'et\'e analytique
complexe~$X$.
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} Si la dimension du plus grand espace complexe tangent \`a $S$ 
est en tout point${}<p$, n\'ecessairement $\Theta=0$.
\item{\rm(b)} On suppose $d\Theta=0$. Si $S$ est fibr\'ee en sous-vari\'et\'es 
complexes connexes de dimension $p$, et totalement r\'eelle dans les 
directions transverses, alors $\Theta$ est somme $($par rapport \`a une mesure 
complexe$)$ des courants d'int\'egration sur les fibres.\medskip}}

Gr\^ace aux th\'eor\`emes de prolongement des courants${}>0$ ferm\'es de masse
finie dus \`a H.~{\petcap Skoda}, on construit ensuite pour toute
dimension interm\'ediaire $0<p<n$ des exemples de courants extr\^emaux
dans $\bP^n$ et $\bC^n$ qui ne sont pas des cycles analytiques.

Le probl\`eme des courants extr\^emaux est en fait li\'e de mani\`ere directe
\`a la conjecture de Hodge, via le th\'eor\`eme de {\petcap
Krein-Milman}. Si tout courant extr\^emal dans $\bC^n$ etait un cycle
analytique, la conjecture de {\petcap Hodge} serait vraie pour les
sous-vari\'et\'es de $\bP^n$, avec une formulation tr\`es forte qui ne tient
pas compte des obstructions cohomologiques.  On construit donc par ce
biais de nouveaux contre-exemples de nature topologique.

Dans une direction positive, on d\'emontre un th\'eor\`eme d'approximation
des courants${}\ge 0$ ferm\'es de bidegr\'e $(1,1)$ par des diviseurs
irr\'eductibles. La d\'emonstration utilise d'une part une id\'ee d'{\petcap
Oka} et {\petcap Lelong} pour l'approximation des fonctions p.s.h.\
par des logarithmes de modules de fonctions holomorphes, d'autre part
une m\'ethode g\'en\'erale de constructions d'hypersurfaces
irr\'eductibles. L'essentiel de cette m\'ethode est r\'esum\'e par le r\'esultat
suivant.
\medskip

{\enonce Th\'eor\`eme 2.7.} -- {\it Soit $S$ un ensemble analytique dans $\bC^n$,
d\'efini par des \'equations $F_1=F_2=\ldots=F_N=0$. On suppose que $S$ est 
en tout point de codimension${}\ge 2$. Soit $\varphi$ une fonction 
croissante${}>0$ telle que
$$
\lim_{t\to+\infty}{\varphi(t)\over t}=+\infty.
$$
Alors il existe des fonctions enti\`eres $G_1,\,G_2,\,\ldots\,,\,G_N$
telles que
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} le diviseur associ\'e \`a la fonction 
$H = F_1G_1+\ldots+F_NG_N$ est irr\'eductible$\;;$
\item{\rm(b)} le lieu singulier de l'hypersurface $\{H = 0\}$ est 
contenu dans~$S$.
\item{\rm(c)} $\log\big(|G_1|+\ldots+|G_N|\big)\le\varphi(\log|z|)$
sur $\bC^n$.}}
\medskip

En combinant le th\'eor\`eme 2.7 avec le contre-exemple de {\petcap
Cornalba-Shiffman} au pro\-bl\`eme de Bezout transcendant, on obtient des
exemples de courbe \`a croissance lente ayant une suite de points
singuliers \`a croissance rapide. Gr\^ace au th\'eor\`eme de {\petcap
Paley-Wiener}, il en d\'ecoule \'egalement certaines applications \`a
l'analyse harmonique, notamment en ce qui concerne l'\'etude des
propri\'et\'es arithm\'etiques de l'id\'eal $\cD(\bR^n)$ dans l'anneau de
convolution des courants \`a support compact $\cE'(\bR^n)$, $n\ge 2$.

Pour chacun des r\'esultats \'enonc\'es dans cette introduction, les r\'ef\'erences 
internes aux articles de la Th\`ese sont les suivantes.

{\enonce Th\'eor\`eme 1.1} : article II / 1.2 : I, II /  1.3 : II /  1.4 : III / 
1.5 : III / 1.6 : II /\break  2.1 : I / 2.2 : V / 2.3 : V /  2.4 : IV /  
2.5 : IV  /  2.6 : VI / 2.7 : VII.
\vfill\eject


\centerline{\hugebf R\'ef\'erences bibliographiques}
\bigskip

{\parindent=6.5mm

\item{[I]} {\it Relations entre les diff\'erentes notions de fibr\'es et
de courants positifs}$\;$; S\'eminaire {\petcap P.~Lelong, H.~Skoda} (Analyse),
Ann\'ees 1980/1981 et Colloque de Wimereux, Lecture Notes in Math.\ 
n$$^0$$919, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-Vork.

\item{[II]} {\it Estimations $L^2$ pour l'op\'erateur $\overline\partial$ 
d'un fibr\'e vectoriel holomorphe
semi-positif au-dessus d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compl\`ete}$\;$; 
Ann.\ Scient.\ de l 'E.N.S., 4\`eme S\'erie, 15 (1982), 457-511.

\item{[III]} {\it Scindage holomorphe d'un morphisme de fibr\'es vectoriels
semi-positifs avec estimations $L^2\;;$} S\'eminaire 
{\petcap P.~Lelong, H.~Skoda} (Analyse), Ann\'ees 1980/1981.

\item{[IV]} {\it Formules de Jensen en plusieurs variables et applications
arithm\'etiques}$\;$; Bull.\ Soc.\ Math.\ France 10 (1982) 75-102.

\item{[V]} {\it Sur les nombres de Lelong associ\'es \`a l'image directe
d'un courant positif ferm\'e}$\;$; Ann.\ de l'Inst.\ Fourier Grenoble
32 (1982) 37-66.

\item{[VI]} {\it Courants positifs extr\^emaux et conjecture de Hodge}$\;$; 
Invent.\ Math.\ 69 (1982) 347-374.

\item{[VII]} {\it Construction d'hypersurfaces irr\'eductibles avec lieu
singulier donn\'e dans $\bC^n\;;$} Ann.\ de l'Inst.\ Fourier 30 (1980)
219-236.
\vskip 40pt

\centerline{\hugebf Expos\'e de seconde th\`ese}
\bigskip
\centerline{\bf (Proposition de Louis Boutet de Monvel)}
\bigskip

\item{[Hol]} {\it Constructibilit\'e des faisceaux de solutions des
syst\`emes diff\'erentiels holo\-nomes\break $($d'apr\`es Masaki Kashiwara$)$},
S\'eminaire {\petcap P.~Lelong, H.~Skoda} (Analyse), Ann\'ee 1982/1983.

\bigskip

}

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
