\magnification=1200 \vsize=20cm\voffset=3mm\hsize=13.5cm\hoffset=-0.1mm \parindent=0mm \parskip=6pt plus 2pt minus 2pt \input macros_ocr.tex {\sevenrm\baselineskip=10pt Inventiones Mathematicae {\sevenbf 48} (1978) 293--302\\ {\rm\copyright} by Springer-Verlag 1978, 0020-9910/78/0048/0293/\$02.00 \vskip1.5cm} \centerline{\hugebf Un exemple de fibr\'e holomorphe non de Stein} \smallskip \centerline{\hugebf \`a fibre $\hbox{\hugebbb C}^{\hbox{\tenrm 2}}$ ayant pour base le disque ou le plan} \bigskip {\leftskip=8mm par Jean-Pierre Demailly\vskip0pt {\it Ecole Normale Sup\'erieure, 45, rue d'Ulm, F-75230 Paris Cedex 05, France\\ et L.A.\ au C.N.R.S.\ n$^0$$\,$213, Universit\'e de Paris VI, D\'epartement de Math\'ematiques \vskip1cm}} \bigskip\bigskip {\bigbf Introduction} Dans le pr\'esent travail, nous construisons un fibr\'e holomorphe non de Stein au dessus d'un ouvert connexe non vide quelconque de $\bC$, ayant pour fibre $\bC^2$, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. La premi\`ere r\'eponse n\'egative au probl\`eme pos\'e en 1953 par J.-P. Serre [4] de savoir si un espace fibr\'e \`a base et \`a fibre de Stein est lui-m\^eme de Stein, a \'et\'e donn\'ee r\'ecemment par H.~Skoda dans [5] et [6], o\`u le lecteur trouvera une bibliographie compl\`ete sur le sujet. Dans le contre-exemple de H.~Skoda, la base est un ouvert multiplement connexe, et les automorphismes de transition sont localement constants et \`a croissance exponentielle. En r\'eponse \`a une question soulev\'ee par H. Skoda, nous avons donn\'e dans [1] un contre-exemple o\`u la base est une couronne, o\`u les automorphismes de transition sont polynomiaux, et nous avons montr\'e qu'alors le groupe de Dolbeault $H^{0,1}$ de l'espace total du fibr\'e est muni de la topologie grossi\`ere. L'outil principal pour la construction de tels fibr\'es est une in\'egalit\'e due \`a P.~Lelong [3], qui permet de contr\^oler pr\'ecis\'ement la croissance des fonctions plurisousharmoniques sur les fibres. On prouve ici, par un calcul d'enveloppe pseudo-convexe utilisant le principe du disque, que les fonctions plurisousharmoniques continues sont constantes sur certaines fibres particuli\`eres, achevant ainsi la construction du fibr\'e. On montre de plus (cf.\ la remarque 3) que les fonctions holomorphes du fibr\'e sont triviales, c'est-\`a-dire constantes sur toutes les fibres. \bigskip {\bigbf 1. L'in\'egalit\'e de P.~Lelong} Nous nous contenterons d'\'enoncer le r\'esultat, et renvoyons le lecteur \`a [1], \S$\,$1, [3] p. 193 th.~6.5.2 et p.~194, th.~6.5.4, ou [6], \S$\,$9, pour un expos\'e complet. Soit $\Omega$ une vari\'et\'e analytique complexe complexe de dimension $p$, $V$ une fonction psh sur~$\Omega\times\bC^n$, $\omega$ un ouvert relativement compact de $\Omega$. On mesure la croissance de $V$ sur les fibres en posant $$ M(V,\omega,r) = \sup_{x\in\omega,\,|z|\le r}V(x,z), $$ o\`u $r\ge 0$ et $|z|=\sup_{1\le j\le n}|z_j|$. D'apr\`es P.~Lelong~[4], $M(V,\omega,r)$ est fonction convexe croissante de $\log r$, strictement croissante pour $r$ assez grand si $V$ est non constante sur au moins une fibre au dessus de~$\Omega$. \medskip {\petcap Lemme.} -- {\it Si $\Omega$ est un ouvert de $\bC^p$, $\omega_1\subset\omega_2\subset\omega_3$ trois polydisques concentriques de rayons $\rho_1<\rho_2<\rho_3$, relativement compacts dans $\Omega$, et $V$ une fonction plurisousharmonique sur $\Omega\times \bC^n$, alors $$ M(V,\omega_2,r)\le M(V,\omega_1,r^\sigma) + \mu\big[ M(V,\omega_3,1)-M(V,\omega_1,r^\sigma)\big], \eqno(1) $$ avec $$ \sigma={\log \rho_3/\rho_1\over\log\rho_3/\rho_2},\qquad \mu=1-{1\over\sigma}={\log \rho_2/\rho_1\over\log\rho_3/\rho_1}. \eqno(2) $$} \medskip {\petcap Corollaire {\rm (in\'egalit\'e de P. Lelong).}} -- {\it Soient $\Omega$ une vari\'et\'e analytique connexe de dimension $p$, $V$ une function plurisousharmonique sur $\Omega\times\bC^n$ non constante sur au moins une fibre, et $\omega_1$, $\omega_2$ deux ouverts relativement compacts de~$\Omega$. Il existe une constante $\sigma>1$ ne d\'ependant que de $\omega_1$, $\omega_2$, $\Omega$, et une constante $R>0$ d\'ependant en outre de $V$ telles que $$ M(V,\omega_2,r)\le M(V,\omega_1,r^\sigma)\qquad \hbox{\it pour $r\ge R$.} \eqno(3) $$} \medskip {\bigbf 2. Construction du fibr\'e $X$} La base du fibr\'e sera un ouvert connexe non vide $\Omega$ de~$\bC$. Nous nous int\'eresserons surtout au cas o\`u $\Omega$ est un disque ou le plan, car si $\Omega$ n'est pas simplement connexe, on peut donner une construction plus simple avec des automorphismes polynomiaux localement constants (cf.\ [1] \S$\,$2, 3). Soient $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$, six points distincts de $\Omega$, et posons $$ \Omega_0 = \Omega \ssm \{a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,a_5,\,a_6\},\qquad \Omega_k = \Omega_0\cup\{a_k\},\quad 1\le k\le 6. $$ On d\'efinit un fibr\'e $X$ \`a fibre $\bC^2$ au dessus de $\Omega$ par les cartes locales trivialisantes \end Tk'-X\c)k ->QtxC2 au dessus de Qk, Org/c\^{\i}S\^o, avec les automorphismes de transition xkl = xk o if1 : Q0 x C2 -* Q0 x C2, (si k + l, QknQl = Q0) d\'efinis par: Un exemple de fibr\'e holomorphe non de Stein 295 Tki = Tok $^0$Toi pour tous k,l=l, ...,6, *()*(*, z) = (*, H XeQQ, Z = (Zl,Z2)> W={WUW2), o\`u w1=z1, w2 = z2exp(z1/_1 (p(x)), si fc = l,2,3, w1=z1 exp(z2/~4(p(.x)), w2 = z2, si fc = 4,5,6, avec Z,,Z2,Wi,W2eC, ;=-- + !--, et M g* g 6 ?* uk' [lk, k = \, ...,6, \'etant un nombre complexe non nul. Remarque 1. Pour d\'efinir X, la carte Q0 x C2 est en principe superflue, mais sa consid\'eration introduit des automorphismes x0k plus simples que les automor-phismes xkI,k,l + 0. \bigskip {\bigbf 3. Restrictions sur la croissance d'une fonction plurisousharmonique non constante sur une fibre $\{a_k\}\times \bC^2$} Soit V une fonction plurisousharmonique continue sur X, repr\'esent\'ee dans la carte Qk x C2 par la fonction du m\^eme type Vk = Vo x~l. On a donc sur Q0 x C2 K,oTk,= F" fc,/ = 0,...,6. L'id\'ee est la suivante: la croissance de Vk=V0$^0$x0k au dessus d'un ouvert io0 relativement compact dans Q0 est comparable \`a la croissance de Vk au dessus d'un petit disque voisin de ak (in\'egalit\'e de P. Lelong). Ce petit disque peut \^etre choisi de sorte que cp y prenne des valeurs tr\`es petites, et que x0k y soit proche de l'application identique. Revenant \`a l'ouvert initial w0, on voit que le croissance de Vk va \^etre contr\^ol\'ee par celle de V0, comme l'exprime de fa\c{c}on pr\'ecise la proposition ci-dessous. Proposition. Soient \omega0 un ouvert relativement compact dans Q0, V une fonction plurisousharmonique continue sur X. Si pour un certain k - 1,..., ou 6, Vk=Voxkl est non constante sur la fibre {ak} x C2, il existe une constante R > 1 telle que pour r^R on ait: M(V0 o x0k, \omega0, r) ^ M(V0, m0, exp(Log4 r)). D\'emonstration. D\'esignons par $\frac{1}{2}${a,p) le disque ouvert de centre aeQ, et de rayon p>0. 296 J.-P. Demailly Soit b un point de Q0 tel que --- soit r\'eel n\'egatif, et assez voisin de ak b-ak pour que le disque m(b,4p), p = \b - ak\, soit contenu et relativement compact dans Qk. Nous poserons: bt = ak + t{b - ak), pt = \pt, avec 02 = u>(bt,2p), \omega3 = o>(fct,3/o), contenus dans \omega(b,4p), on a M(Vk, \omega(bt, 2p), r) \`e M(Vk, $\frac{1}{2}$(b" Pt\ r"') + pt[M(Vk,m(bv3p),l)-M{Vk,$\frac{1}{2}$(b"pt),r$^0$<)-], avec = Log3p/p, =Log6/f ^ \_ G' Log3p/2p Log3/2= 2 8t' 1 d'o\`u pour r^l, compte tenu de ce que l et $\frac{1}{2}$(bt,3p)^a>(b,4p), M(Vk,$\frac{1}{2}$(bt,2p),r)^M(Vk,$\frac{1}{2}$(b"pt),rC2Lo^) + ptlM(Vk,$\frac{1}{2}$(b>4p),l)-M(Vk,\omega(b"pt),r^. (6) Vk \'etant non constante par hypoth\`ese sur la fibre {ak} xC2, sup Vk(ak,z) tend vers \omega quand r tend vers oo. |z'-r Gr\^ace \`a la continuit\'e de Vk, il existe pour tout nombre A une constante rA et un voisinage UA de ak tels que sup Vk(x,z)^A pour tout xeUA. (7) Prenons A = M(Vk,$\frac{1}{2}$(b,4p),l). Pour 0(bt,pt)c(o(b,Ap)C2/C5 et r^R3 assez grand: ^C6LogrLogLogr (12) C Lo ! Avec le choix (10) de t, l'image par x0k du polydisque \z\^r 2 $^0$ef est incluse C Lo - dans le polydisque |w|^er 2 $^0$8\lguil\?. On a donc d'apr\`es (9) et (12) M(Fk,\omega0,r)^M(K0oTofe,ffl(fc(,ft),rC2Log7), M{Vk,$\frac{1}{2}$0,r)^M{V0Mbt,Pt),erC^$^0$*T), M(Vk,a>0,r)SM(V0,\omega(bnp,),rc^Oil-ogr) (13) 298 J.-P. Demailly en prenant 1 3 C6LogrLogLogrg-S-C6Logr-LogLogr r^^4 = sup(R2,R3). (14) Il nous reste \`a revenir du disque a>(fr"/y,) \`a l'ouvert $\frac{1}{2}$0. Consid\'erons \`a cet effet une suite de disques concentriques \omega"ca>"<=(u5 de centre btn, de rayons ipt",yt", \pt"(d. (4)). La condition lolaoff1 \'equivaut \`a t"^f tn_x, tn^jt"_l par un calcul facile. Nous prendrons f" = f t"_1 =({\S})"- Pour n = n(r) d\'etermin\'e de fa\c{c}on unique, on a 1 3 C6Logr-LogLogrg - <-C6Logr-LogLogr, '-n *? et d'apr\`es (13), (14) il vient pour r^R4 M(Kfc,oj0,r)^M(K0,\omega"2(r),rC7LogLo80 (15) (Noter que of2 = o)(btn, ptJ.) D'apr\`es le lemme, formules (1) et (2), on a pour r^ 1 et pour tout entier n M(F0,ffl"2,r)lM(K0,\lguil\?);/) + /1[M(F0,ffl"3,l)-M(F0,0);,r)], (16) avec Log3 Log2 $^0$ Log3/2 ' M_Log3' Or M(V0,$\frac{1}{2}$"3,\ ) = M(Vko^k\(o"3,l) SM(Vk,$\frac{1}{2}$"3,Cs) \`eM(Vk,a>(b,3p),C8), avec xe\omega(b, 3 sup |t\^o/(x,z)|, x-ak et compte tenu de l'inclusion \omega3c\omega(b,3p) (cf. (11) ainsi que la d\'efinition de x0k au paragraphe 2). Choisissons maintenant pour A = M(Vk,\omega(b,3p), C8) une constante r^ et un voisinage 1/4 tels que la condition (7) soit satisfaite. On a pour M(K0,^,r) = M(KkoTofc1,a;\"{\i},r)^M(Fk,\omega\"{\i},C9Logr), (18) o\`u C9 est une constante positive assez petite. n En effet pour xem", on a \`a la fois xe\omega(b,4p) et Re ---^0, ce qui entra\^{\i}ne \(p{x)\^ C4 gr\^ace \`a (11). Dans ces conditions, si |z|^ C9Logr, l'image w = x0k(x,z) Un exemple de fibr\'e holomorphe non de Stein 299 v\'erifie |w|^sup(C9Logr, C9Logrexp(C4 C9Logr)), d'o\`u \w\=r si Cg est assez petit. Si \lguil\? est plus grand qu'un certain entier n0, m" rencontre UA, et d'apr\`es (7) on a M(Vk,oJ\"I,C9Logr)^Apom C9Logr^rA. (19) En prenant n^n0, r^exp(rA/C9), (16), (17), (18), (19) donnent M(V0, \omega"2,r){\pounds}M(V0, afu r$^0$) \`eM(V0, off^r"), puisque m" ci of2 '. De proche en proche on obtient M(V0, oj"2, r){\pounds}M(V0, $\frac{1}{2}$"2$^0$, r""""0), (20) avec n^n0, r^exp (~-\. Dans l'ouvert connexe Q0, (3) implique pour r^Rs M(V0, of2$^0$, r) ^M(V0, $\frac{1}{2}$0, rc'$^0$). (21) Enfin (15), (20), (21) fournissent M(Vk,oj0,r)SM(V0,w0,rc<'1"a""'^"oLoeLa\?\rguilr\ (22) pour r^R6 = sup(R4_,R5, exp(rA/C9)). Mais Log3 /3\a a = -= -) avec a = 2,458... <3, Log3/2 \2/ d'o\`u a"{r) = -^S (~) (Logr-LogLogr)" d'apr\`es (14), et C7 C10ff"(,')~'l0LogLogr;i(Logr)3 pour r^R-, assez grand. L'in\'egalit\'e de la proposition r\'esulte de (22) en posant R = sup(R6,R1). \bigskip {\bigbf 4. Calcul d'enveloppe pseudo-convexe} Th\'eor\`eme. Le fibr\'e X construit au paragraphe 2 au moyen des 7 cartes Qk x C2 et des automorphismes de transition xkl a la propri\'et\'e suivante: il existe une fibre 300 J.-P. Deraailly Tki(iak} x C2), k = l,...,6 o\`u toutes les fonctions plurisousharmoniques continues sur X sont constantes; en particulier X n'est pas de Stein, et nest pas isomorphe au fibr\'e trivial \Omega x C2. D\'emonstration. Supposons que pour tout fc = l,...,6 il existe une fonction V[k) plurisousharmonique et continue sur X non constante sur la fibre ^'({aj x C2). 6 Posons V= Y, K V&) ou les K sont des scalaires r\'eels >0. Lorsque les ).k sont k= 1 bien choisis, V est non constante sur les six fibres {ak} x C2, car il y a au plus un hyperplan de (A1,...,\^A6)eR6 pour lesquels V soit constante sur l'une des six fibres. On peut alors appliquer la proposition \`a chacune des fibres {ak} x C2, fc = l,...,6: M(F0$^0$Tot,cw0,r)^M(F0,0,exp(Log4r)) pour r^R, ce qui s'\'ecrit encore sup L0(x,z){\pounds}M(L0,(u0,exp(Log4r)), (23) avec Kx,r= U To*(MxDr). 1 g/c{\pounds}6 Comme V0 est plurisousharmonique en z, on a sup V0(x,z)= sup^^L0(x, z), (24) XE\^uJo.zeKXir XEC\`aQ,zeKXlr o\`u, par d\'efinition m\^eme de celle-ci, Kx r est l'enveloppe pseudo-convexe de Kx r. Kxr co\"{\i}ncide d'ailleurs avec l'enveloppe polynomialement convexe de Kxr d'apr\`es Hormander [2] p. 91, th. 4.3.4. Il nous reste \`a \'evaluer Kx r. La forme de x0k montre que pour k= 1,2,3, t0k{{x} x Dr) contient l'ensemble \(wl,w2)eC2;\wl\Sr,\w2\\`erexp\^\(p(x)\Y et lArgwJ^1 (p(x)\^ donc 1J -i0k({x}xDr) contient le polydisque |w,|^r, |w2|^r exp l-|\c{c}>(x)|); de m\^eme \J x0k({x} xCr) contient le polydisque Iwjrgrexp l-|(j!\?\rguil(x)|),|w k=4,5,6 \2 / Le principe du disque (cf. par exemple Hormander [2], p. 34, th. 2.4.3.) montre que Kx r contient le polydisque de rayon moyenne g\'eom\'etrique 2\^r. (Jkotol)- (25) Mais pour xec\^o0, on a \(p(x)\^C>0, et d'apr\`es (23), (24), (25), la majoration M\V0,(o0,r exp I-- 11^M(V0,m0, exp(Log4r)) est v\'erifi\'ee pour r^R. rexp Un exemple de fibr\'e holomorphe non de Stein 301 Comme V est non constante sur au moins une fibre de X, M(V0,$\frac{1}{2}$0,r) est strictement croissante pour r assez grand; on en conclut rexp (-J-) ^exp(Log4r) pour tout r assez grand, ce qui est contradictoire. \bigskip {\bf 5. Compl\'ements et bibliographie} Remarque 2. La d\'emonstration ci-dessus ne permet pas de pr\'eciser la fibre \lguil\?exceptionnelle\?\rguil T^l({ak} xC2) du th\'eor\`eme. Supposons n\'eanmoins qu'il existe un groupe d'automorphismes de X permutant transitivement les fibres ^"'({fljxC2), fc = l,...,6: toutes les fonctions plurisousharmoniques continues sur X sont alors constantes sur chacune des six fibres. Un exemple de cette situation est obtenu avec les donn\'ees suivantes: \Omega est un disque de centre 0 et de rayon p, 0