\magnification=1200 \parskip=5pt plus 2pt minus 1pt \parindent=0 {\bf Sur la théorie des idéaux des algèbres de fonctions holomorphes avec poids} {\it Introduction}. Le but de ce travail est de comparer et de résumer les articles de L.~Hörmander [3] , de J.J.~Kelleher-B.A.~Taylor [4] et de H.~Skoda [5] sur la théorie $L^2$ des idéaux d'algèbres de fonctions holomorphes. Dans la première partie, nous exposons le procédé homologique de Hörmander utilisant le complexe de Koszul. Nous nous sommes efforcés de décrire toutes les formes qui interviennent dans le calcul de façon intrinsèque. Dans la deuxième partie, nous présentons la méthode directe de H.~Skoda , qui reprend dans leurs fondements les techniques $L^2$ de Hörmander, et qui permet d'obtenir des résultats optimaux~; mais au lieu d'utiliser comme dans Skoda [5] (\S2, p.~551) les délicates inégalités $L^2$ pour l'opérateur sin un ouvert pseudo-convexe borné de classe $C^\infty$ (voir Hörmander [1] p.~104, Th.~2.1.4 et p.~100, Prop.~2.1.1) intervenir des poids multiples, et obtenons finalement les mêmes résultats au prix de passages à la limite supplémentaires. {\bf A) Le procédé homologique de Hörmander ([3] et [4])} {\bf 1. Préliminaires d'algèbre extérieure} Soit ^c (CP) l'algèbre extérieure de CP sur C (p entier > 1). ) CP naturelles, que nous rappelons ci-dessous. Si a = (Xn, X2,... xp) ECP , b = lyn, 427. - Yp) € CP nous posons (alb) = & ti si CP admet la base orthonormée (ei)asisp a {i = (0,...,1,0,...0) le 1 étant en i - ème position 'i D'autre part le produit scalaire hermitien sur A(CP) est défini sur les éléments décomposables par : carna, 1... Nasl barbe 1... Abe) = 0 si oss, tsp, set. = det (ail bi) si ossetsp (avec ai ; b; E OP) Pesons EI = Eig^ Ei,^... 1 Eing 2 I = (in, iz, ... is) 1siniz,... is

s as'b est de degré t-s' ( si tas atb = o) Calculons en particulier alb, adb lorsque a = { a: Ei b= E by @z (le E' indiquant que la sommation se fait sur les Il = S - alors alb - Efs az bi bil adb = BI' aibz Ei &I a lei de leg) = ( &I | Eij) pour tout multis indice J on voit que Ei tEI = 0 si 1€ I Ei EiJ = EJ T =S br en IJI=S-1 et de nis" (CP) nail Il vient alors adb - & fic ai bij Es Lemme 1 : Pour tous a, b,... bs E CP, bEAS (CO), CE ASP (CP), bd (b) c) = 0 si s impair fi) btcc dd) = (-1)55' (61c) dd (iii) ad(by 1... Abs) = Ž Gojka (albk) ban... Abi 1... Abs. fiv) ad (61 c) = ladb)^c +61)9 b Mladc) Demonstration : (i) résulte immédiatement de ce que D1 = 0 (ii) qui générale (i) est également très facile à vérifier. füül) soit C, 1... A cs un élément décomposable de s-a (CP); on a par définition : k=1 ------------------------------------------------------------------------------ p3 (ad (bin... Abs) IC, 1... 1cs) = (b, 1... A bs lanc, 1... 105) i = det (bilcz)usijss avec c = ā colen det (G: 1cj) = Fokey (bila) det (bilcz) ztes = (. Enk(alow) bar... nbk... A bs Icg1.... Acs) *.*ex l T Designons par E' " F les espaces : E' - Home (c^, c) = dual de en E" - Home (CM, c) = anti-dual de en F - Home (,C) = E'z E“ E' E' sont munis des structures hermitiennes duales de celle de cn , et F est considéré comme la somme orthogonale de E' 'et E". M(F) est doté d'une structure hermitienne comme A(CP) Notons 1. 2. F. le sous-espace de NF-e-ram+12) engenderen met en maandeling sector Posons enfin e sot = lip cp, n) = ^ F ®c Me (CP) lei, nu = levere (p,n) = nie na F ®c 1 (CP) (resp. er lein es ļ en supprimant les indices unira, r2 aux seconds membres ) l'on peut être considéré comme l'espace des formes rd linéaires sur IR à valeurs dans 18 C°CP) . Si u, v € AF et a, b € 1 (CP) on pose upal vab) = (un) (alb), eso est lui-même somme orthogonale des lieur mit F2 = r. Les lois A et d sur Acco) et 1 su AF. De façon précise on considère ------------------------------------------------------------------------------ p4 4cu o a, o b) H (ua)(vøb) = (udv) 8 (alb) let é x é se (u@a, Nøb) > (upa) (vab) = (u 10) (alb) (attention c'est bien ulo et non utro ! ) Lemme 1' : Pour tous fe eo , gelio, he learn, k e le mie (i) gt (gth) = 0 si simpair (ii) gdh dk) = (-1) 95' (g1 h) dk (it) ft (g ^ h) = (ft3) 1 h + 61) 8+ re gulfth) 2. Le théorème principal Se ensemble de fonctions plurisousharmoniques sur . Nous supposerons que si fa 42 € 0 alors 40+ cp2 € 0 et sup cu 42) E'D . Fixons d'abord nos notations Définition 1 : (i) Ap.= A$(52) designera l'anneau des fonctions analytiqués sur 12° telles qu'il existe une constante C =0 cef) et une fonction de Ø 1 if(zil s c exp (6(2)) pou tout zes füü) Wý = WO (12) est l'ensemble des fonctions mesurables Telesa qu il persiste mundo de letras tient pe ♡ : Sz 13(z)/2 exp(-4(z)) d1(z) esse une forme dont les coefficients sont des distribution's alow Eu) Gigah) = 9g1h + congi õh (i) (gth) = Əg th + Gong J7h Demonstration : il suffit de vérifier i) et Gü) lorsque : gā cena sa tha Vel O a et b 'stant des vecteurs constants de 1$ (CP), 18'(CP). () Do ācu 10) = Juan + (1) ulõo ; et le lemme 2 reste inchangé si l'on remplace ā par a ou par d . soit Lisa L (52) l'espace des formes différentielles ß de bidegré lion) surse à valeurs dans AS (CP) telles quroil existé une fonction PE O i Se 1f/2)12 exp(-(29) d(z) < + هه اه ) وو اه کا به ایه ۵en اهه عه mesurables á Wilonpin) dont appartiennent toutes les coordonnées L'opérateur Ō : Ls -> Latin est fermé et à domaine dense ------------------------------------------------------------------------------ p6 (nar définition fe Demā si gf € Litom .) Soient maintenant 91,92,... ge p fonctions non toutes nulles de Ad ; on leur associe g = (g1, 82,...gp) : 12 --> CA ~ ^,. (Pn) une condition suffisante pour qu'un élément h E Ad appartienne à l'idéal Jg) de Ad engendré par go....gp . La demonstration utilise le complexe de Koszul de g, défini comme suit Si h € Lt? on pose po h = gth E LA Explicitement g h = f, gi hil 8 EI | lorsque h = hg 8 Eg hy 107 F IJT= 5+1 D'après le lemme 1 (i) on a P2 = 0 et en vertu du lemme 2 (ii) ū Pa = (car les gi sont holomorphes .) on a donc le double complexe suivant Il=S 200 le al on > Le Ooty Bucor 1 5+1 Ins Aco T Dans le lemme 5 et dans la proposition 1, nous aurons besoin que Igl ne s'annule pas dans s . Commeo ce n'est généralement pas le cas, choisissons une fonction gé non identiquement nulle , et introduisons how S2 gogin ({0}) . w est pseudo-convexe et d'après Hörmander [2] p. 94, Th 4,4,2 : Lemme 3 : Soit une forme de bidegré.(q, r+1) dans c , à coefficients localement de carré intégrable , telle qué 5 f = 0 et 4 une fonction plurisousharmonique telle que': So ifle ey dd < too Alors il existe une forme h de bidegré (q, r) telle que Jh - f et Sw Thie-4 (1+12/2)2 d) < î So ifi e Y dd ------------------------------------------------------------------------------ p7 D'après l'hypothèse 1 () le lemme 3 entraîne aussitô E Lemme 4 : Pour toute forme § Ę Lith, telle que Of = 0 dans w il existe une forme h E'*Lfs solution de l'équation õh = k sun w . ( Noter Oque sia est de mesure nulle) Lemme 5 : Soient r,s>0 > 1 des entiers, et soit & E L telle que la f = 0 et 1g1- € Liis ; (i) alors il existe he Lust telle que Path = f et h 1911- € L? (ii) si de plus of = 0 dans a , (Thle est la restriction de la distribution Jh àw) Démonstration : (i) on prend h = 18 This ifligit donc h 1917-be € L* et h E L*** De plus g h = gt Gate 18) = gianf Jan (g+ß) (lemme 1" (ii)) soit po h = ß puisque gtğ - 1912 (lemme 1 (ii)) Det gf = Po f = 0 par hypothèse fie) si gflw = 0 alors 5h = 5 (52) 18 sur w Clemme 2 (i)) 3 1g= 5gğ = gt og '912 = iği4 ( (g = ģ) ^ Əg - ğ ^(gtag)) = 18114 gt g1 og (lemme 1 (iii) ) donc 17 (92) < 191-2 lag! et lohiol < lfl 191-2 lag! Grâce à l'hypothèse 1 (dii) on a Ihlow. 1972-€ Lema Proposition 1 : soit ßE L telle que of = 0 sur w, Pg 8 = 0, et supposons fight E List pour k> Inf (2(n_n)+1, 2(p-s) – 1). Alors il existe h E LS# 1 avec Th = 0 sur w et Poh = Démonstration : le résultat est clair lorsque r>n ou s>p ------------------------------------------------------------------------------ p8 Lorsque S = p. la condition P R = O équivaut à gi k = 0 pour tout i = 1, ... p , ce qui entraîne' f = 0 sur 1 et il suffit de prendre h = 'o .. on peut alors supposer ram, s

1 ef raisonner So . s S+ 1 r+1 Plc S+2 eut trouver + trouver at Lr+1 r+ 1 - 0 Aur w Grâce au lemme 5, il existe h' € $t1 tel que Pah'- f avec āhia , Ig 12-le' E Lath . Il vient Põhile = ofiw = 0 et Th 10 = 0 k-2 > Inf (2(m-p-1) +1, 2(p-5-1)-1) Men de haurrence on the edge on Le lemme 4 nous fournit h E LS2 avec Jh" = h" su w Si h = h' - Pg Rh" nous en concluons que õh - 5h - Pg Gh" = Jh'- fh" = 0 sur w et pg h = Poh' = f, ce qu'il fallait démontrer. En particulier, pour res = 0 on obtient : Théorème 1 : si g ., gp sont p fonctions holomorphes de Ad et si k est Line fonction holomorphe telle que : lift < c Iglk exp (p) ou C est une constante >0,4€ $ k > Ink (2n+1, 2p-1) Igl = (Igal? + 1922 + ... + 19 p12) Ž , alors il existe des fonctions has... hop de Ap telles que f = { gihi Démonstration : nous disposons en fait par la proposition 1 I de fonction's hun hp holomorphes sur w , f = gihi Mais h... he se prolongent en des fonctions holomorphes sur 12 tout entier grâce au lemme suivant : Lemme 6 : soit X une hypersurface de sa définie par une équation u(z) = 0 ut A(32), UFO, et h une fonction E Beac (12) holomorphe sur X . Alors h se prolonge en une fonction holomorphe sur 2 (voir Skoda [5] p. 560 lemme 2 ) Dans le même esprit , on peut démontrer un critère local ------------------------------------------------------------------------------ p9 dont voici l'énoncé (nous renvoyons le lecteur à Kelleher et Taylor [4] p. 228, Th. 2.70 Proposition 2 : Seit $ € Ad et Du, De deux parties compac 6) Du C B, fiü) Sep 1812 1812 e 4 d d < t co pour ce $ convenable de a les T ( telles que 51 me i f = X gi hi sur De et SD is thIP 1912(2-1) dd < + oo k - Inf (2n+1, 2p-1) Alors & appartient à l'idéal Ilg) engendré par gu gegange A .3 Définition 2 : si x est une fonction >0 sur 12, nous motons Ix) lidéal des Ofe Ad telles qu'il existe une constaté c>o et une fonction @ E 'o Tf1 < Cy exp (p) Le théorème 1 entraîne immédiatement le résultat suivant : Corollaire 1 : J(191)* c I(g) pour tout le> Inf (20+1, 2p-1) dans'. Ad , et 3g) = At si et seulement si 191 > C exp(-4) avec c>o et ope Corollaire 2 : Corollaire 2: vedere Fligi) e alte principe si Ilg) ou Illal) est principal dans Ad Demonstration : . si Ilg) est engendré par he AB avec gi = rih, alors Igl< 18! Thl , de sorte que pou tout fe J (191) on a l< Clyi exp(41) < c' exp (epa) où C, C sont des constantes > 0 8,40 € 0 * si h engendre fligi), on a gi = rih 1sisp , Yi E Ap Mais This c lgl exp(40) puisque he flig!) donc 17! > > Con exp(-4) et les restes fela) - J (191) ------------------------------------------------------------------------------ p10 10 - 4. Cas des fonctions entières d'ordre fini . Définition 3 : nous dirons que le système 9 = (gu...ge) de s'il existe une fonction' pe o telle que Seix a Log Ig? exp(-4) al < + ou A est le laplacien sur cn et X l'ensemble des zéros communs aux gi .. Nous supposerons désormais que g est perfectible. Pour calculer A Log 1912 utilisons Igle = g+g oz, Log igla - 191-2 g ange Əziz Ozle Log Igle = 1g112 29 beton - 1914 (22+5)^(g+q) = 1914 dagen (1955) ^ ten - ğ ^(g = 9)) = 151-4 og sagt (g1 22 ) = 1g1-4 (gn by ) (g109) = 1314 lgnage 1 Les égalités qui ne sont pas directement évidentes résultent du lemme 1 id) ou (sic)". On a donc A Log igle = team ƏZLOŽK og = 418114 1g nagi? F Rappelons nous maintenant que dans le lemme 5 s'écrit : 3() = 131* gt grag d'en 15 9 ) = 1g1-6 Ignagi Si g est perfectible on a donc igi 3.) L . Il suffit alors de réexaminer la démonstration du lemme 5 pour obtenir , avec les mêmes notations i Lemme 5' : Soient ris no k> 1 des entiers , et soit f€ I telle que pour une certaine fonction PE la forme figrk exp(-6) soit bornée (en norme Il lloc ) . Si po $ = 0 et 36 = 0 sur w , il existe he LS1 telle que : Por eß , h 1919-* € Lista et Ihlow 1917-R E LART Proposition 3 : Soit 8€ Lisa telle que paß = 0 et 3f = 0 sun w, S+1 S +1 - اوا و جدید کے عههه ه عافتا (و۔ Xp avec QE t > sup (1, Inf (2[n-r), 2(p-s)2)) | Alors il existe he Lost? avec Jh - 0 sur w et po h = fi ------------------------------------------------------------------------------ p11 Démonstration : il suffit de considérer le cas où ran et s

2. Grâce au lemme 5', il existe he Lost a telle que Poh' = $ et Ihw 1911-k E LIT ; Il vient P, Jh' = 5% = 0 et 55 h = 0 sur w et ke-1 > Ink ( 2 (n-r-1)+1, 2(p-5-1) - 1) D'après la proposition 1, on Doamnes en Monogatice o momen peut trouver l E Lofoten telle que Le lemme 4 nous fournit hi e *+2 avec Th" = R" sur w, et h = h - Po ha répond à la question . En particulier pour res = 0, et après utilisation du lemine 6 Théorème 2 : si goose gp sont p By de Ap et si Borlest e Mest Line fonction D holomorphe telle que 1f1 * Cigl& exp (6) sui c est une constante > 0 G une fonction de 0 et k > Sup (1Inf (2n, 2p-2)) alors & E J(G). Corollaire 3 : si gondogp sent perfectibles (p> 2) on a J (191)* c Jlg) pou k > Inf (2n, 2p-2). On peut démontrer ( Skoda [s] p. 573 Lemme 3) que tout. systeme = la pysumenge game gpl de pe fermections entières od pidre fini est perfectible Ċ pour é'énoncé précis, ck aussi B) 4. lemme 5.) 5. Le cas n = 1 Le corollaire 3 fournit alors : Corollaire 3' : si goonsgp sont perfectibles alors J(ign) c Ig). Kelleher et Taylor [4] Chap II p 233 ont posé le problème de savoir quand l'égalité J11g1)2 = f(g) pouvait survenir . En fait il est facile de voir que J (1gb) ten = J (g)*2 km # équivaut à g(191) = J (g) = Ab (voir B) section o3.2 corollaire Ž fiv) ) le corollaire 3' ne peut être amélioré comme le montrent les ------------------------------------------------------------------------------ p12 résultats suivants de Kelleher et Taylor ( [4] chap III) que Nous prenons désormais $ = { 14 ; 1>0} aver $(z) - Iz1 (i) f a une nacine yua nacine q. ème dans Ceci) E quème dans Ap filt) Blea & Ign,ge) Définition 4 : une suite {zk}k21 de nombres complexes tendant suite {bl}> 1 de nombres complexes telle que Ibel < c eslzk) où c>o et op € 0 , il existe f€ Ap telle que f(zk) = bx pour tout k> 1, Proposition 5 : il existe go € Ap telle que f (gn,..gp) = g(igi) pour toutes fonctions 921**.gp E A C'est le cas chaque fois que gn a tous ses zéros simples, et que l'ensemble des zéros de'go est d'interpolation pour As (par exemple gilz) = sin 2.) Proposition 6 : il existe 91,92 E AD telles que J 91, 92) = Ilig) - Ilg192) m' Etant pas principal dans °AD Proposition 7: Sorvento gange EAP m'ayant pas de zéros lles que J913gp) ° AD Alors il existe gorn € Ad telle que (i) gpth & Jilgylet... +1gpl?) (i) I (gm.... 9p+1) A$ (en particulier Ap n'est pas moethérien ) corollare t imestami gode in het en este maximal dáms At € Ad n'ont pas de séros communs, communs et telle Teen point at C tel que J = J = {fe Ap ; fra) = 0 } ------------------------------------------------------------------------------ p13 (voir [5]). B) Méthode directe de H. Skoda 1. Préliminaires d'analyse fonctionnelle Seen H H et T: He -> H2 un opérateur non borné, fermé et à domaine dense Dom T On sait que l'adjoint T* de T est dense et fermé Let on a le résultat bien connu suivant ( Hörmander °2] p.78 lemme 4.1.1. ) Lemme 1 : si E est un sous-espace fermé de Hz contenant e image Im T de T , alors Im T = F si et seulement si il existe une constante c telle que pour tout 2 € En Dom T* on ait , avec des llxllz < C 1T*x ll De il existe u E He tel que Tu zo', u € Im T*, et llullos Cllolla. On considère maintenant la situation suivante : th LH >H He T Hi Hi ont le même sens que mécédemment ; H'est un espace de Hilbert et L un opérateur linéaire continue Hi-H continue nace de Hilbertente que Mécédemy Proposition 1 is F est un sous-espace fermé de H. contenant I L(Kert) on a Likert) = F si et seulement ll well < c ll *x + T* w lle pour tout xe H et tout u € Dom T* Pour tout x € F il existe alors xn€ Kert tel que Lxx = x et llocll < c 'llae || 2. Estimations Ľ 2.1. Estimations { pour l'opérateur ā Etant donnés un ouvert pseudo-convexe 12 con et des fonctions C ( = a Hh In H, S > Hg ------------------------------------------------------------------------------ p14 si He = {p.9-1 (12,4) Ospen 1<9 Se sin de ze Be fe eau dd pour tout ße Day (12) Supposons maintenant Qv42,43, choisis comme au début et soit l'opérateur T* Lelatif à Q = (avec trois poids égaux comme dans le 'lemine 2 sf - - Ž eatze ezt fork e42-P) esate azil file e=442) + I de fle = of t* f + Opdf SL 1R, comme ) 11 11 ozk Here ( C ( done 118€ la < (1+B) ll el T*fl+ (1+2) llap tf ll 34+ß) !!T*fl'én + + ) Iz ləple ifie 93 dd pour toute constante' 'ß > 0. ------------------------------------------------------------------------------ p16 déps_ ft Be Coule IN 61+B) || T* f 15+ 115€ 182 > sc Labelsn oz. Þze ft be - (1+3) Topla igle]dd pour tout k E Donos constante 8 >'0 Si de plus Hlo (43, 4) = { base de de > (1+3) ldpl2 1112 astelsm ozkoze pour tout le ca, l'inégalité s'étend à tout $ € Dom T* , Dom S (por densité de Don (52)° ) . Nous utiliserons l'estimation sous la forme suivante i Lemme 3 : Si Jl. 143, 1) = (1 + ) lople 112 pour tout de on alors 1T*8118 > S [386 (0, 3) - a ldplifie ] e 4 dd pour tout $ € Dom T* n Kers'. 2.2. Estimations LP pour l'opérateur On considere le diagramme Hi - L © = TP > H o H = L(12,4) EC2712) Ho = [ 22(126)]P (muni de la structure de somme H2 = Ker SP ; hilbertienne ) T , SAol T , S à la section 2.1, avec les poids Py = 03-28,0 = -p. Fi= Ker TP n'est autre que le sous-espace des fonctions holomorphes de TL(52,4)]P , et nous notons de même F = 2(52,8) M AC2). Enfin th = gi hi pow h = (hal... hp) € [Lo(12,64) ]' ou go.. gp sont p fonctions holomorphes sur 12. So Ilhé 4 dd Cllfll pour fe F, et u € Dom O* Le premier membre s'écrit : 11 * + ©* uit = 3 liği fete + T* u; ISCE (2) = a (lõi fem 11 & + 2 Re (õiferit*miben + T* u; &) Il (3) 3 lõifede llei = Sa 1912 iki € 20 GPa dd Comme f est helomorphe ö lõife+ M) = $a(giere) õikém appartiendra à Dom I si em-e la (giem) |2 est bornée 0 @ el ه 17 (اے و)2 | ا En définitive les conditions imposées au couple (gju) sont : bornée lehet leila e i=1 k-1 OZ le lemas palgi eM) 12 bonnée pour 1sisp on a alors (qi feste 1T*uien = of orgierte) | mi) 42 d'où en posant Mi = Z, mik dzik § 2 Relgife" IT* u;) = 2 Relat logiem) dik e-42 dd Wtilisons l'inégalité Ilal? + a 1b12 + 2 Reačno sie al est un nombre °>1 ; a on obtient en supposant 191> i (4) § 2 Re lõifet !T*ui)> - So Igl? 1812 ez- dd -« 42 1812 en Oz (giem) uit less dd Utilisons maintenant l'inégalité du lemme 3 pow. Mi E Dom T*n Ker so (5) ||T* mi llei > Se [ 161934) - a lapis lup? Je 43 dd qui est valide si 316 (43,) > (1+)120121112 B E en . ------------------------------------------------------------------------------ p18 combinant (2) (3) 4) (5) il vient : (6) 12* f+ @* u 112 = (1-1). Se 18:12 1812 e-que-41 dd over hele like ūie - s topliuta 41+ ß ik, e ozk öze ak mie Blopi *** -aighe il 20 cm Liet) uin Jedd Choisissons Choisissons m = Log Ig? + 43 = y + x(1+B) Log Igi? Pa = 03 - '2p Ulo 43 Plecy, 1) > (1+ ) 12012 1112 M€ en , Y o bom degi wikūie > < 1912 , en dz.(giem) uit 1 1R 12 ozhože Vik uil = Zk 1912 jt Iglulega og m (4-) Ja ifle e dd H + Sa Loits Feesten wijk üie - â ləpl2 lut?] 643 dd Remplaçons maintenant 4 par + 285 T o est une fonction purisonsharmonique de classe.ca (9) est valide lorsque le [.] figurant dans la deuxième intégrale dee membre de droite ese > O . En, supposant ý plurisousharmonique , cette condition sera nts (sce nte ze wille wice > lopp lupe Comme Hilele, t) > - Jaā pl1112 il suffit de prendre : fo) & e oze da te > (2 10.pl + 4+*) ldple) ale se on Proposition 2 : on a | L* 2 + 2*. I > (A-4 Rio cod) . ver ܘ ܨܕܬܝ ܨܐ + X , e % A ( lui 11 + to 7777 t + avec x>1 ß> 0 9 = Infin, p-1) RE F u Dom * 43 = +20 + TT + x(1+B)q Log 1912 y p.s.h. de classe C2 , = + p + + a (1+8) a Leal 812 că = R + ' T + «(1+ 3)ą Logigi? 4 = 4+ I + (« (1+6)q+1) Log Igle et sous réserve que Igl > 0, que les p fonctions 191? lagi lg1-2)] soient bonnées, et qué FO) 36 (1, 1) > (2 ləāpl + (1+4) ldpl) 1/12 VEC" Grâce à des passages à la limite standards, la proposition 3 va nous donner des théorèmes d'existence. 3. Le premier théorème d'existence 3.1. Théorème 1 :. Soient s un ouvert pseudo-convexe de C", y une fonction plurisousharmonique dans Š .' Scient ga, ...gp des fonctions holomorphes dans 12 , ql'entier ------------------------------------------------------------------------------ p20 Infin, p-1) et « une constante > 1 Alors pour toute fonction | holomorphe dans 2 telle que se ifi? 1g1-249-2 e-4 dd < + c f = a gihi, et So Thi? 151-209 e4 dd som So ifie 191-229-2 et dll stration de me move on nam se da te me 4 de classe c', Igl>0 et 1912 121 gi 191-2) 12 bornée 15isp, et Jbl , 1) vérifie la condition (10) du 2,2 . on a alors llollip = So hobea dd someone I * v + @* u 19 pour tout ve F = {(2,4) n A (12) L et u € Dom ©* solfle 4 dd <+co si , la proposition 1 implique i=1 f = th = { gihi et A) Se the endd sbon Se Hifle 24 d Supposons maintenant que T est une fonction d'exhaustion cstrictement plurisousharmonique et propre sur 1 Soit Ky = {z € 2 ; T() s v} y E IN Par hypothèse de propreté Ky est compact, et tout compact de 12°'est contenue dans l'un des Ky' Prenons aussi O< By <*-1 avec By > 0 et substituons allà a on choisit nye C00(2). Os my s 1 my = 1 au voisinage de ky pour tout ° DEN. En particulier nr=1 sur un certain voisinage ouvert Wy de Ky pour r>y (wy indépendant de ŕ bien sûr ) On peut donc choisir ey E (12) Py>o, ev = 0 sun un suvent was contenant Ky et relativement compact dans W , telle que : Tänal & eps pour rəy Reste à déterminer une fonction Xy croissante convexe de classe ------------------------------------------------------------------------------ p21 c? sur iR de sorte que la condition 2.2 (10) soit satisfaite lorsque XVOT , By ; TT, ß, a, 6 , et pu remplacent respectivement 02) Py? 1+ By, el pu remplacent respe a HB (Tuott, ) > XVOT JB (TT, ) > XV O T C 1112 c70 CE C°(52) 2,2 (10) sera donc satisfait si júct) > sup Ź ( 2 1d.pl + (1+ 3y) ropyl) TT(Z) + K Eliminons maintenant les deux hypothèses suivantes : (d) Igi? 12 (gi 191-2)| bornée 1sisp ii) y de classe C2 . ------------------------------------------------------------------------------ p22 relativement compacts dans 1 , et tels que 1 - 0 2x y = 0 too suppose Igl>O D'ames Hörmander [2] .p.45th 2.6.3 on peut trouver une suite de fonctions H plurisousharmoniques et de classe cao sur S2y telles que : Horn s tv sur say et y = lim tv Il existe alors des hy = (hay,... hoy) holomorphes sur 12, telles que ; if = gi hiny et Ss Thyll 1g1-2aq e-Yv dd s ve 1f1? 191-269-2 e Hy di un passage à la limite analogue au précédent montre qu'il existe des fonctions holomorphes hii... he sur 12 vérifiant les conditions du théorème . Eliminons enfin l'hypothèse Igl>o ; choisissons parmi les ai une fonction non identiquement nulle par exemple 90, et appliquons le théorème sur l'ouvert pseudo-convexe : 2n = 2 X ou Xi est lhypersurface g16) = 0 D'après [5] p. 560 lemme 2. toute fonction he Lec (12) n A (120) se prolonge en une fonction holomorphe sur 12 . ( comme ox, est de mesure nulle on peut supposer que h est seulement définie sur son ) Une solution h de k = E gihi sur si se polonge su s tout entier, 3.2 Conséquences. On considere un ensemble o de fonctions plurisous harmoniques si Pu, Pz E S up Car P2) et Pn+ 42 E o , Notons Ad l'ensemble des fonctions holomorphes f telles qu'il existe 6 € 0 et une constante Cao i pour tout z € 12 if(z)'s C exp (4(21) On supposera que Ad contient les polynômes et que fe ad si et seulement' si : 1 So ifisé 4 dl <+ pour au moins une fonction GE . Pour des fonctions gilusisp dans Ad , et une fonction positive y sur SZ , notons ! ------------------------------------------------------------------------------ p23 I (g) l'idéal engendré par les gi . Jis) e idéal des R E As telles que lfl < Cx. exp (4) poir une constante o Cz0 et une fonction ope °R. Le résultat suivant est une conséquence immédiate du théorème 1 : Corollaire 1 (Hörmander) : il y a équivalence entre (i) J(g) = Ad t igl > A exp(-o). (aut) Il existe x>1 et pe tels que so 191-29-2 exp(-40) dd 0 tels que se Igre exp(-2) dd <+00 alors J(191)9+ c Igle pour tout entier l> 1 fire) Si JlIgI)* = Jlg)e pou kHe alors flg) = J (191) = Ap. Démonstration : (a) Il est clair que sig) < Jlig!) Il suffit donc de vérifier que J(191) - J(197) . {É Illal) par définition s'il existe un entier, > 1 et des éléments a; , 10 sur R, on note JC (y) l'idéal des fe Ap telles qu'il existe pe o ; Se ifle yox exp(-40) dd 1 Mais ceci est ' exacte traduction du théorime 1 avec = 1+ localement ; (si qe Ad 'est un polynome de Weierstrass de degré k suro un' voisinage compact K d'un point 2. Er, alors Sk Ign- & od < + .) Sous l'hypothese (ie) J (191978) c HE (191976+) et JE (1919+2+3) Jlg) H (1919+2-1+£) pain tout é > 1 grâce au théorème 1 appliqué à « = 1+(-1 + $). káv). En effet si k>e on a gie e g(191)$" < Jelgik) d'où lgoibel < c Iglfe exp (cp) C o 46 0 et igle s pl-1)+.C 1918 exp(p) Comme k>e, il vient igik-e ? K exp(-48) K0 or igjkl-4 < c'explom") d'où Igl> " expl-") c">o , ("E 0. et d'après le corollaire 1 3(g) = g(igi) = AD . Si kce alors gik E Jligible = 3(g)e c Iligie) et on applique le même raisonnement , ------------------------------------------------------------------------------ p25 Nous allons maintenant démontrer le deuxième théoreine d'existence de H. Skoda [5] qui nous permetta de retrouver le résultat ike + + 777 + + Mem : mes 4. le second théorème d'existence Ce théorème se propose d'être l'analogue du théorème 1 pour Q=1. Lorsque x = 1, la poposition 2 fournit : 11 L*v + ©* u IL > ita Ei rekiston Mike üil e 43 dd ozled ze avec ß>0 , 9 = Infin, p-1), NEF, ut Dom * T, plurisousharmoniques de classe c2 sur 12 03 = + 20+ + (1+B)9 Logigi? z = + p't ī + (1+B) a Leadiz Pa = y + ' TT + (1+ß)'q 'Logig72 4 = 4 + 1 + ((1+8)9+1) Log ig2 avec les même restrictions que pour la proposition 2, sunt fel.) DC 12 ore c est continue >0 sui si Seicento e con (Way Tozu. Wp) € Hz un système de p formes Par définition de Hy on a Jwi = 0 et Sa Treil é 42 dd hi uniformément sur ou tout compact . de Llen, donc relativement compacte dans A(12). O est limite faible dans Lecc , par suite c'est la seule valeur d'adhérence dans A(Z) de hi-his, et la peuve est acher On supprime enfin l'hypothese lgl minorée en Λαλαλem Cem Λαιτο άο Ω το αμα Ω = UΩ, , et en pocédant comme dans le théorème 1, on a donc la moposition suivante pour laquelle on se donne p fonctions holomorphes guege sans zéros communs vérifian't ; E 324 - dhe Te > c 1112 k; é ozkaze k CE CO(2) Proposition 3 : Soient w= (WwWp) un système de p formes de bidegré (0,1) telles que : Se (1+1) Inje i91-29 e 4 dd <+00 9= Infin, p-1) (2) csŏ (12) T (a) Zhi = win (b) Se gihi) ū e 4 dd = 0 avec 4 = 4 +(4+1) Log Igie et pour toute fonction holomorphe ve F = A(12)4 12(12,4) (c) So Thi? 1g1-29 24 dx = Se a lho 12 191-29 6-4 d). ------------------------------------------------------------------------------ p28 Soit fe une fonction holomorphe sur s , et cherchons des fonctions hi telles que ß = Egihi. on a f = Ž gi hi avec hí = of pain (on suppose Igl>o) ) OZR dzki wi = Thé = { 1914 Le gj (gi argin- gi dik On cherche à appliquer la proposition 3 aux wi Ona se a 1w12181-29 e4dds So I ißi? 18129-2 { 1914 19; gai - git be-Ud) (en utilisant l'inégalité de Cauchy - Schwarz sur la sommation en j :) la (Log Igle) = Pie z log|gie) = ig. " I the largement grand donc sz a lou12 191-29 64 od < So I 1812 191-29-2 A Log Igle-4 dd et on a la même inégalité en remplaçant į par 1+. Supposons Se (1+4) 1812 181-29-2 A Log Igl etdi <+00 Alois d'après la proposition 3 il existe des fonctions her telles que . Z h = wie et : se Th"12 191-29 64 od s se ĉ 1f1? 191-29-2 A LogIgle-val avec se ( gihi") ū 191-29-2 2-4 d1= 0 pour tout w€ F Posons hi= hs-hi hi est holomorphe or sa th'12 191-29 e 4 dx = So 1812 191-29-2 24 d. o qu'on suppose finie Alors Žgih! € Ľ(12,4) et d'après la condition (b) sur R" se i gi hi ) 191-29-2 évad = Sa Śgi hé) 191-29-2 e-Wed = Se f ū 191-29-2 e-dx EN et en peñant i ve I gihi - ß on voit que f = I gihi , 24-1R121 48 < 2 Se 1h12 191129 2-4 d+2 12 1h"219129e-4a1 ------------------------------------------------------------------------------ p29 En remplaçant 4 par 4 + 2 Log (1+iz[2), c par a? on obtient har 41+ 1212) Théorème 2 : Soient s2 un ouvert pseudo-convexe de ch T V une fonction plurisous harmonique dans ses er g = (gu)... gp) dans ? op un systeme de p fonctions holomorphes Soit x l'ensemble des zéros communs aux fonctions gé , et q e'entier Infin, p-1). Pour toute fonction of holomorphe dans 12 celle que Sex ifi 19129-2 Gaz biz+ A Logigi) 64 dd o et y de classe C?, mais on peut éliminer ces' restrictions en mocédant commé pour le e the crème 1 : En reprenant les notations de la section 3.2. , on déduit aisément du théorème 2 le résultat suivant : Corollaire 3 : s'il existe pe o telle que soy A Logigle Add soit finie, on a f(191)9+1 c Ilg). Lorsque n-1 on obtient le résultat de Kelleher et Taylor [4]' p. 231, 'théorème 3.2 i fciall? c Ilg) p. 231, the . Le corollaire 3 s'applique aux algébres Ad de fonctions entières d'ordre fini, grâce au lemme suvant , démontré dans Skoda şi ini. senance lemme mama Lemme 5 : si g est d'ordre au plus p (cià-d si Log 1962)) < CC€) (1+1z1)p+€ pour tout e > 0) alors pour tout Eso on ai Son x Al Log Igz)l) (1+ Izl)-2n+2-p-d(z) 0 , il existe CCED tel que : où diz) est la distance de z au bord de s. Cle) P-E ev) 5 s'étend cette situation , résultat Fligi)9+1 < Ilg) ne peut être amélioré. Cafe Skoda [5] p. 575 - 576 , Kelleher et Taylor [4] p.233 théorème 3.6 5. Application aux équations de convolution, Grâce au théorème de Paley - Wiener, l'algélre de convolution de carne se aley - Wiener selalgebre de Fourier - Laplace é litent par la transformation de 0 = { Al Im zi + s Log (1+1z1) ; A>0, s>0} deurent ove 7= ** 3 : o y et les Ti sont les données et lés Xi les inconnues Ź To = û dans l'algètre Aç Le théorème 1 fournit alors un théorème d'existence et de Régularité des solutions, que nous énonçons sans démonstration coof Skoda [5] p. 576-578 85 ) Théorème 3 : soit Tj € E CIR) telles que a exp (A, I Im zl) (1+Iz1) Su > EiTj(z)> Cz exp(-Az I Im zl) avec des constantes Cr, An, A2, Sq, są > 0, Ç> 0 Alors pour tout YES (IRņ) à support dans la boule de rayon A et danskas (IR) , pour tout <>o , et tout &> 1 , il existe des X; E ŚCIRn)' telles que Ś Ti * xj = Y of xj € H-S' (IR") s'= s +s, + 29 (9,+2) 1° Ç> 0 (1+I21)-sz A avec i A' = A + A2 + 29 (A + A2) + E et q = Inf (m, p-1). ------------------------------------------------------------------------------ p31 Bibliographie : [1] Hörmander (L.) : $L^2$ estimates and existence theorems for the $\dbar$ operator. Acta Math., vot 113 , 1966, p.~89--152. [2] Hörmander (L.): An introduction to complex analysis. Second Edition, North Holland Publishing Company, 1973. [3] Hörmander (L.); Generators for some rings of analytic functions. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 73 , 1967, p.~943. [4] Kelleher (J.J) et Taylor (B.A); Finitely generated ideals in rings of analytic functions. Math. Ann., vol. 193, 1971, p.~225--237 [5] Skoda (H.); Application des techniques $L^2$ à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomophes avec poids. Annales E.N.S., 4e série, tome 5, 1972, p.~545--579. \end