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\begin{document}
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--

{\it Bull. Soc. math. France}. II $I^{t)}\aleph_{-}^{\urcorner}. p. 7\sim 5_{-}|$
PAR

J.-P. DEMAILLY $t^{*}\rangle$

RÉSUMB. --En utilisant une g$\epsilon$nérahsation à plusicurs variables de la formule de Jensen, nous démontrons de nouvcaux lcmmcs de Schwarz dans $C^{\bullet}$. La $m6$thode repose sur une minoration des nombrcs de LELONG $d\cdot un$ courant positif $f\epsilon rm\epsilon$. Nous en Uduisons le $th\acute{e}0\hslash mc$ de E. BOMBIERI sur les valeurs $alg\epsilon$briques de fonctions méromorphes, ainsi que quelques $\kappa\S ultat{{\$}} $ nouvcaux sur les $\ovalbox{\tt\small REJECT} os$ de polynômcs dans $C\cdot.$

Abstract. - Using a generalization in several variables of Jensen's formula, we prove new Schwarz' Lemmas in C". The method rests upon a lower bound for Lelong numbers of closed positive currents. As a conséquence, we nnd another proof of E. Bombieri's Theorem on algebraic values of meromorphic maps, together with some new results concerning zero sets of polynomials in $C^{n}$.

0. Introduction

Étant donné un système de $n+1$ fonctions méromorphes d'ordre fini $f=\zeta f_{1}, \ldots,f_{n+1})$ dans $C^{n},$ algébriquement indépendantes et vé $\ovalbox{\tt\small REJECT}$ant des équations différentielles, les points algébriqucs de $f$ sont situ\v{c}s sur une hypersurface algébrique $dc\mathbb{C}^{n}$. Ce résultat, d'abord démontré par T. Schneider et S. Lang dans le cas $n=1$, a été étendu en plusieurs variables par E. BOMBIERI [1] au moyen des estimations $L^{2}$ de L. H"\""{o}"rmander pour l'opérateur $\partial$ La méthode de E. Bombicri, qui a été reprise et améliorée ensuite par H. SKODA [8], fourmt simultanément une majoration pour le degré de l'hypersurfaoe. Le lecteur pourra consulter l'article récent de P. LELONC [5] pour quelques compléments sur le sujet.

$t^{r})$ Texte $r*u$ le 9 $f\dot{\epsilon}v\dot{n}\epsilon r$ 1981. révi$ae' 1\epsilon 23$ mai 1981.

J.-P. DEMAILLY, Univcrsit6 de Pans-VI, Laboratoire d'Analysc complcxe et G\v{c}ométric. $D\phi artem\epsilon nt$ de $Math\xi matiqu\epsilon s,$ Tour 4$G0,4$, phcc Jussicu, 75230 Pans Cedcx05.
$$
-
$$

W37-9484/1982/75/{\$} 5. $W$ ©Gauthicr-Villars
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J.-P. DEMAILLY

Le présent travail a pour but de démontrer le théorème de Bombieri sans utiliser les estimations $L^{2}$, grâoe à une extension convenable de la formule de Jensen en plusieurs variables. Cette extension $(\phi$ \S 1 $)$ fait intervenir une généralisation des notions de mesure trace, mesure projective, et nombre de Lelong d'un courant positif fermé ( $\phi$ P. LELONG [4]). Lorsque la fonction d'exhaustion $\varphi$ de rfe'rence est approximée par une fonction {\it homogène} $\psi,$ l'utilisation de l'égalité $(i\partial\partial{\rm Log}\psi)^{n}\equiv 0$ fait dispara\^{i}tre le terme correctif de convexité, et conduit à un lemme de Schwarz assez général dans $\mathbb{C}^{n}$. Le lemme ainsi obtenu nous permet de retrouver le théorème de Bombieri avec une majoration différente, optimale pour $n=2, du$ degré des hypersurfaoes.

Le dernier paragraphe est consacré à l'étude des polynômes s'annulant sur un sous-ensemble fini de $\mathbb{C}^{\hslash}$ ( $\phi$ M. WALDSCHMIDT [9] et [10]). Nous avons pu prouver sous certaines hypothèses une conjecture de G. V. CHUDNOVSKY, dont une démonstration partielle (pour le cas $n=2$) a été annoncée dans [2]. A notre connaissanoe, aucune preuve crite ne semble $to_{\vee}$ut{\it d}ois avoir été publiée à ce jour.

L'utilité des formules générales de type Poisson-Jensen m'a été suggérée par un cours de M. H. SKODA, professé à l'Université de Pierre-et-Marie- Curie en 1979. Je remercie vivement MM. Henri SKODA et Michel WALDSCHMIDT pour d'utiles remarques qui ont contribué à améliorer la rédaction du présent travail.

1. Formules générales de type Poisson-Jensen

Les résultats qui suivent sont classiques dans leur principe, et constituent une généralisation naturelle de la méthode employée par P. LELONG [4] pour prouver l'existence des nombres de LELONG d'un courant positiffermé. Nous avons prèféré cependant redémontrer toutes les formules, pour en donner une version adaptée aux applications envisagées.

Soit $X$ une variété analytique complexe de dimension $n\geq 1, \varphi$ une.fonction de classe $C^{2}$, à valeurs dans $1'$intervaUe ] $-\infty, R[$, et exhaustive sur $X$. Pour tous réels $r<R$ et $r_{1}<r_{2}<R$, on pose:
$$
B(r)=\{z\in X;\varphi(z)<r\},\ S(r)=\{z\in X;\varphi(z)=r\},
$$
$$
B(r)=\{z\in X;\varphi(z)\leq r\},
$$
$$
B(r_{1},\ r_{2})=\{z\in X;r_{1}\leq\varphi(z)<r_{2}\}=B(r_{2})\backslash B(r_{1})\ ,
$$
$$
B(r_{1},\ r_{2})=\{z\in X;r_{\iota}<\varphi(z)\leq r_{2}\}=B(r_{2})\backslash B(r_{1})\ .
$$
$T()MI:1$ I $O-$ I982 $-\backslash ^{0}$ I
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

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Par hypothèse, tous oes ensembles sont relativement compacts dans $X.$ Lorsque $r$ est une valeur régulière de $\varphi$, l'ensemble $ S(r\rangle$ est une hypersurface compacte de classe $C^{2}$ de $X$, qui sera orientée canoniquement par la normale extérieure $ d\varphi$. On note enfm:

$\alpha=i\partial\partial(Log\varphi)$ sur l'ouvert $\{\varphi>0\},$
$$
\beta=i\partial\partial\varphi.
$$
THÉORÈME 1. --{\it Soit Tuneforme de classe} $C^{2}$ {\it et}\&{\it bidegré} $(n-p,\ n-p)$ {\it sur} $X, 1\leq p\leq n$. {\it Si} $r_{1}$ {\it et} $r_{2},0<r_{1}<r_{2}<R$, {\it sont deux valeurs régulières de} $\varphi$, {\it on a la formule}:

(1) $\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{B(t)}i\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}$
\begin{center}
$=\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}|_{S(r_{2})}T_{A}\beta^{p-1}$ A $ i\partial\varphi$
$$
-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{S(r_{1})}T\wedge\beta^{p-1}\wedge i\partial\varphi-\int_{B(r_{1}.r_{2})}T_{A}\alpha^{p}.
$$
\end{center}
{\it Démonstration}. --On peut écrire:

$\displaystyle \varphi=\lim_{v\rightarrow+\infty}\varphi_{v}$ dans $C^{2}(X;\mathbb{R})$ ,

où $\varphi_{v}$ est une suite décroissante de fonctions de classe $C^{\infty}$ dont les points critiques sont non dégénérés. Quitte à dfectuer un passage à la hmite, on peut donc supposer que $\varphi$ est une fonction de {\it classe} $C^{\infty}$ {\it sans points critiques dégénérés}, de sorte que la formule de Stokes s'applique au domaine $B(t)$ à bord éventuellement singulier $\partial B(t)=S(t)$ . Désignons par $j_{t}$ l'injection $S(t)\sigma X$ (avec $t>0$ dans toute la suite). Il est clair que:
$$
j^{*}\dot{|}_{1}^{*^{\neg}},.
$$
Un calcul immédiat fournit d'autre part:
$$
\alpha=\frac{i\partial\partial\varphi}{\varphi}-\frac{i\partial\varphi A\partial\varphi}{\varphi^{2}},
$$
d'où $j_{t}^{*}\alpha=j_{t}^{*}\beta/t$; il en résulte d'après la formule de Stokes:

$\displaystyle \int_{B(l)}i\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}=|_{Bt\iota)}-d(i\partial T\wedge\beta^{p-1})$
$$
=-\int_{S(t)}i\partial T\wedge\beta^{p-1}=-t^{p-1}\int_{s}\ i\partial T\wedge\alpha^{p-1}.
$$
$BULL\ovalbox{\tt\small REJECT} N$ DE LA SOCIÉTÉ $MAm\dot{\epsilon}$ bIATIQUE DE $FR\Lambda N\propto$
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J.-P. DEMAILLY

On obtient donc:

$\displaystyle \int_{r_{1}}^{r_{*}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{f(l\iota^{i\partial\partial T}}\wedge\beta^{p-1}=-\int_{r_{1}}^{r_{*}}\frac{dt}{t}\int_{S(t)}i\partial T_{A}\alpha^{p-1}$

$=-\displaystyle \int_{l(r_{1},r_{*})}$ id ${\rm Log}\varphi\wedge\partial T_{A}\alpha^{p-1}.$

Comme les formes de bidegré $(n+1,\ n-1)$ et $(n-1,  n+1\rangle$ sont nulles, il vient:

id ${\rm Log}\varphi\wedge\partial T\wedge\alpha^{p-1}=i\partial{\rm Log}\varphi\wedge\partial T\wedge\alpha^{p-1}$
$$
=i\partial{\rm Log}\varphi\wedge dT_{A}\alpha^{p-1}
$$
$$
=-d(T_{A}\alpha^{p-1}\wedge i\partial{\rm Log}\varphi\rangle+T_{A\propto r}.
$$
En utilisant à nouveau la formule de Stokes, la dernière intégrale s'écrit:
$$
\int_{\partial B\langle r,.r_{l})}\cdot T_{A}\alpha^{p-1}\wedge i\partial{\rm Log}\varphi-\int_{f(r_{1}.r_{l}\}}T_{A}\alpha^{p},
$$
expression qui est égale précisément au second memboe de la formule $(1\rangle,$ compte tenu de $\iota$ éalit $J_{t}^{*}\dot{j}_{t}^{*}\beta/t. \blacksquare$

Les corollaires 1, 2, 3, 4 qui suivent sont des conséquenoes simples mais fondamentales du théorème 1.

COROLLAIRE 1. --{\it Soit} $T$ u{\it n courantfermé lordre} $0$ {\it sur} $X(i.e. dT=0$ {\it et les co}$\Phi${\it cients}\& {\it Tsont des mesures de Radon}), {\it de bi}\&{\it gre}' $(n-p,  n-p\rangle$. {\it Alors pour} $toutr_{1}, r_{2},0<r_{1}<r_{2}<R$, {\it on a les égalit}\&:
\begin{center}
(2)   $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(r_{2})}T\wedge\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{Str,)}T\wedge\beta^{p}=|_{f\{r_{1}.r_{*})}T\wedge\alpha^{p}.$
\end{center}
$(\hat{2}) \displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}|_{S(r_{*})}\tau_{A\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}}\int_{l(r,)}T\wedge\beta^{p}=\int_{\ell_{(r_{1}.r_{2})}}T_{A}\alpha^{p},$

{\it De}'{\it monstration}. -- La deuxième ligne se $d6$duit de la pre$\iota$mère en rempla\c{a}ant $r_{1}, r_{2}$ par $r_{1}+\epsilon,  r_{2}+\epsilon$ et en faisant tendre $\epsilon$ vers zéro. Comme dans le théorème 1, on peut supposer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ et que $\varphi$ admet $r_{1}, r_{2}$ pour valeurs régulières (sinon écrire $\displaystyle \varphi=\lim\downarrow\varphi_{v}$ et appliquer le théorème de convergence dominée). Si $T$ est une $(n-p,\ n-p)$ forme de

TobtE 110 --I982 $-N^{o}[$
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

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classe $C^{2}$, le théorème 1 fournit, après application de la formule de Stokes:

(3) $\displaystyle \frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(r_{2})}T\wedge\beta^{p}-\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(r_{1})}T\wedge\beta^{p}-\int_{f(r_{1},r_{l})}T\wedge\alpha^{p}$
$$
=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{p}}\int_{B}\ i\partial\partial T\wedge\beta^{p-1}-\frac{1}{r_{2}^{p}}\int_{B(r_{2})}dT\wedge\beta^{p-1}\wedge i\partial\varphi
$$
$$
+\frac{1}{r_{1}^{p}}\int_{B(r_{1}\rangle}dT\wedge\beta^{p-1}\wedge i\partial\varphi.
$$
La conclusion résulte donc de l'affirmation suivante.

LEMME 1. - {\it L}'{\it égalité} (3) {\it est vraie pour tout courant} $T$ {\it de bidegré} $(n-p.\ n-p)$ {\it qui est d}'{\it ordre} $0$ {\it ainsi que ses différentielles} $dT, i\partial\overline{\partial}T.$

{\it Démonstration}. --En utilisant une partition de l'unité, on se ramène aussitôt au cas où le courant $T$ est à support dans une carte locale. Comme tous les termes de l'égalité (3) sont continus à gauche par rapport à $r_{1}, r_{2}$, il sufflt en fait de vérifier l'égalité (3) pour un ensemble dense de valeurs de $r_{1}, r_{2}.$ On observe que l'ensemble $D$ des réels $t>0$ tels que $S(t)$ ne soit pas négligeable pour l'une des mesures coefficients de $T, dT$ ou $i\partial\partial T$ est au plus dénombrable. Soit alors $(p^{\epsilon})$ une famille de noyaux de convolution dans la carte locale considérée. Appliquons l'égalité (3) à la forme régularisée $T\star p^{\epsilon}$; il vient, en notant $\chi_{B\langle r_{1})}$ la fonction caractéristique de l'ensemble $B(r_{1})$ : $\displaystyle \int_{B|r_{1}|}(T\star p^{\epsilon})\wedge\beta^{p}=\int T\wedge[p^{\epsilon}*(\chi_{B(r_{1}\rangle}\beta^{p})]\rightarrow\int T\wedge\chi_{B(r_{1})\beta'}$ si $r_{1}\not\in D,$

car $(\chi_{B(r_{1})}\beta^{p})\star p^{\epsilon}$ converge simplement vers $\chi_{B(r_{1})}\beta^{p}$ sur le complémen- taire de I'ensemble $T$-négligeable $S(r_{1})$ .

On raisonne de même pour les autres termes $($avec $r_{2}\not\in D,\ \iota\not\in D)$ . $\blacksquare$ On rappelle qu'un courant $T$ de bidegré $(n-p,\ n-p)$ est dit (faiblement) positif si le $(n,\ n)$-courant:
$$
i^{p}T\wedge u_{1}\wedge\overline{u}_{1}\wedge\ldots\wedge u_{p}\wedge\overline{u}_{p},
$$
est une mesure positive, pour tout système $(u_{1},\ u_{2},\ \ldots,\ u_{p})$ de $(1,\ 0)$-formes de classe $C^{\infty}. T$ est alors un courant d'ordre nul. Le corollaire 1 entraine immédiatement le résultat suivant.

BULLETIN DE LA $S\mathfrak{X}1\acute{E}$ É MATHÉMATIQUE DE FRANCE
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J.-P. DEMALLY

COROLLAIRE 2. --{\it On suppose que lafonction} ${\rm Log}\varphi$ {\it est plurisousharmonique sur louvert} $\{\varphi>0\}$. {\it Alors, pour tout courant} positif fermé $ Td\ell$ {\it bidegré} $\langle n-p, n-p)$ {\it sur} $X,$ {\it la.ronction positive}:
$$
r\mapsto\frac{1}{r^{p}}\int_{Str)}r_{A}\beta^{p},
$$
{\it est croissante par rapport à} $r$. {\it En particulier, la limite}:
$$
\lim_{r>0,r\rightarrow 0^{\frac{1}{r^{p}}}}\int_{B(r)}\tau_{A\beta^{p}},
$$
{\it existe toujours}.

I{\it ae} corollaire 2 est classique lorsque $X=C^{n}$, et $\varphi(z)=|z|^{2}=|z_{1}|^{2}+\ldots+|z_{n}|^{2}$ (P. LELONG $[4]\rangle$. On $d6$signe alors par:

$\displaystyle \sigma_{r}=T\wedge\frac{\beta^{p}}{2^{p}p!}$ , la $\langle\langle$ mesure $tra\infty\rangle\rangle$ de $T,$

$\displaystyle v_{r}=\frac{1}{(2\pi)^{p}}T\wedge\alpha^{p}$, la $\langle\langle$ mesure projective $\rangle\rangle$ de $T,$

de sorte qu'on a la formule:
$$
\frac{p!}{\pi^{p}rf^{p}}\int_{B(r_{*})}d\sigma_{r}-\frac{p!}{\pi^{p}r_{1}^{2p}}|_{f(r.)}d\sigma_{r}=\int_{l(r_{1}.r_{*})}dv_{r},
$$
avec la notation usuelle $B(r)=\{z\in \mathbb{C}^{n};|z|<r\}.$

La limite $\displaystyle v_{T}(0)=\lim_{r\wedge 0}p!/\pi^{p}r^{2p}\int_{B(r\downarrow}do_{T}$ est appclée nombre de LELONG du courant $T$ au point $0.$

Nous allons maintenant $exa\iota$mner le cas important $p=n.$

COROLLAIRE 3. --{\it Soit} $V$ {\it unefonction plurisousharmonique sur} $X,r_{1},r_{2}kux$ {\it valeurs régulières} \& $\varphi$. {\it On} $a$:

$|_{r_{1}}^{r_{2}}\displaystyle \frac{dt}{t^{\hslash}}\int_{f}  i\displaystyle \partial\partial V_{A}\beta^{n-1}=\frac{1}{r_{2}^{n}}|_{S(r_{1})}V\beta^{n-1}\wedge i\partial\varphi$
\begin{center}
$-\displaystyle \frac{1}{r_{1}^{n}}\int_{s} V\beta^{n-1}$ A $i\displaystyle \partial\varphi-\int_{f(r_{\iota}.r_{l})}V\alpha..$
\end{center}
T0ME 110 --1982 --No 1
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

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{\it De}'{\it monstration}. --Soit $(U_{j})$ un recouvrement de $X$ par des domaines de cartes $U_{j}\subset\subset X, (\psi_{j})$ une partition de l'unité $subordonn'ae$ au recouvrement $(U_{j}), (p_{j}^{\epsilon})$ une famme de noyaux régularisants à symétrie sphérique dans l'ouvert $U_{j}$. On applique la formule (1) à la suite de fonctions $C^{\infty}$ :
$$
T_{v}=\sum_{j}\psi_{j}.\ V\star p_{j}^{1/v},
$$
qui converge simplement vers $V$ en décroissant. On raisonne alors comme dans le lemme 1, en utilisant le fait que $V$ et $dV$ sont dans $L_{1\propto}^{1}$, et que le courant positif $i\partial\partial V$ est d'ordre $0$. Les détails sont laissés au lecteur. $\blacksquare$

COROLLAIRE 4. --{\it On suppose que} toutes {\it les valeurs critiques positives} $ d\ell\varphi$ {\it sont non dégénérées, que lafonction} ${\rm Log}\varphi$ {\it est} $\dot{p}${\it lurisousharnwnique} sur {\it l}'{\it ouver} $t \{\varphi>0\}$, {\it et que la fornoe} $a^{n}$ est identiquement nulle. {\it Alors on a la formule}:

$|_{r_{1}}^{r_{2}}\displaystyle \frac{dt}{t^{n}}\int_{Bt\iota)^{i\partial\partial V\wedge\beta^{n-1}}}=\frac{1}{r_{2}^{n}}|_{S(r_{2})}V\beta^{n-1}\wedge i\partial\varphi-\frac{1}{\mu_{1}}|_{S(r_{1}\mathfrak{l}}V\beta^{n-1}\wedge i\partial\varphi,$

{\it et lafonction} $r\displaystyle \mapsto 1/r^{n}\int_{S(r)}V\beta^{n-1}\wedge i$ {\it ò}$\varphi$ {\it est croissante convexe par rapport à} ${\rm Log} r.$

{\it Démonstration}. --La dérivée à gauche:
$$
\frac{d^{-}}{d{\rm Log} r}(\frac{1}{r^{n}}\int_{S(r)}V\beta^{n-1}\wedge i_{0}^{\overline{\wedge}}\varphi)\ ,
$$
existe, et elle est donnée par l'expression:
$$
\frac{1}{r^{n-1}}\ R(r)^{i\partial\partial V_{A}\beta^{n-1}}
$$
qui est fonction croissante de ${\rm Log} r$ (corollaire 2). $\blacksquare$

Dans $\mathbb{C}^{n}$, si on choisit $\varphi(z)=|z|^{2}$, on vérifie que:
$$
\alpha^{n}\equiv 0,
$$
\begin{center}
$i\displaystyle \partial\partial V\wedge\beta^{n-1}=\frac{1}{4n}\Delta V.\beta^{n}=2^{n-2}(n-1)$ ! $\Delta V.d\lambda,$

$j^{*}(\beta^{n-1}\wedge i\partial\varphi)=2^{*-1}(n-1)$ ! $rdS,$
\end{center}
où A désigne la mesure de Lebesgue dans $\mathbb{C}^{n}$, et $dS$ la mesure $supeH\iota$cielle de la sphere $S(r)=\{z\in \mathbb{C}^{n};|z|=r\}$. L'égalité du corollaire 4 se transcrit donc

BULLETIN Dk LA SOCIÉ $T\dot{E}$MATH $\dot{E}$ MATIQUE DE FRANCE
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J.-P. DEMALLY

sous la forme classique :
$$
|_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dt}{t^{2n-1}}|_{f(\ell)}\Delta V.a=\frac{1}{r_{2}^{2^{n-1}}}\int_{S(r_{*})}VdS-\frac{1}{r_{1}^{2\cdot-1}}\int_{f(r_{1})}VdS.
$$
2. Estimation des mombres de Lelong

Dans les applications à la theorie des nombres, nous utiliserons les formules $pr'\infty\acute{}$dcntes pour des courants du type:
$$
T=\frac{i}{\pi}\partial\partial{\rm Log}|F|,
$$
où $F$ est une fonction entière. D'après l'équation de Lelong-Poincaré, $T$ est le courant·d'intéyation sur le cycle analytique dffini par $F;T$ est donc un courant positif fermé de bidegré (1, $1\rangle.$

Dans ce paragraphe, nous supposerons.plus généralement que $F$ est une fonction analytique dans un ouvert $\Omega$ de $C^{n}$; la fonction plurisousharmonique $V$ sera le potentiel $V={\rm Log}|F|du$ courant $T=(i/\pi\rangle\partial\partial{\rm Log}|F|$, et on choisira pour $\varphi$ une fonction du type:
$$
\varphi=\sum_{j=1}^{N}|F_{j}|^{2},
$$
où les fonctions $F_{j}$ sont analytiques sur $\Omega$. Dans ces conditions, il est aisé de minorer le $\langle\langle$ nombre de LBLONG $g\text{é} n\epsilon'$ralis{\it é} égal à la limite quand $r$ tend vers zéro de la fonction:
$$
r\mapsto\frac{1}{(2\pi r\rangle^{n-1}}\int_{B(r)}T\wedge\beta^{n-1},
$$
(fonction qui est croissante d'après le corollaire 2).

PROPOSmON 1. --{\it Soit} $z_{o}$ u{\it n paint de} $\Omega, \omega$ u{\it n voisinage ouvert de} $z_{0}$ {\it relativement compact dans} $\Omega$. {\it On suppose que lesfonctions} $F, F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{N}$ {\it s}'{\it annulent en} $z_{o}$ {\it aux ordres} $s, s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{N}$ et que le nombre:
$$
R=\inf_{z\epsilon\partial\infty}\varphi(z)\ ,
$$
$est>0$. {\it Alors pour} $ toutr\in$]$O, R[$, {\it on} $a$:
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(r)nso}T\wedge\beta^{n-1}\geq ss_{1}\text{ . . . }s_{n-1}\ ().
$$
$t^{1})$ Ces estimations sont cn fait valablcs dans unc situation bcaucoup plus g\v{c}n\v{c}ralc, et nous ont permis d'encadrer les nombres dc LELONG $ass\propto i6s$ a $I^{\cdot}$image directe d'un courant posittfcrm6 $\langle${\it voir} [3]).

TClUE 1$10-1982-N^{O}1$
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$FO\ovalbox{\tt\small REJECT}$ DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

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{\it Démonstration}. -- Notons que d'après les hypothèses, l'ensemble analytique $\{z\in\omega;F_{1}(z)=\ldots=F_{N}(z)=0\}$ est compact, donc fini, .oe qui entra\^{i}ne $N\geq n$. Le résultat est clair pour $n=1$. Dans le cas général $n\geq 2,$ nous procéderons d'abord à quelques réductions, et nous poserons $z_{0}=0$ pour simplifier.

{\it Étape} 1. --Soient $P_{1}, \ldots, P_{N}$ les polynômes homogènes de degr\v{c} $s_{1}, \ldots, s_{N}$ égaux aux parties pnncipales des développements de Taylor de $F_{1}, \ldots, F_{N}$ au point $0$. Il n'est pas restrictif de supposer que les polynômes $P_{1}, \ldots, P_{n}$ s'annulent simultanément au {\it seul point} $0.$

En effet, les polynômes homogènes $P_{1}, \ldots, P_{n}$ de degré $s_{1}, \ldots, s_{n}$ qui ne vérifient pas oette condition, constituent un ensemble algébrique $A$ dans l'espaoe $\mathbb{C}^{t}$ des familles de coefficients. Il suffit donc de substituer à $F_{1}, \ldots, F_{n}$ des fonctions $Fi, \ldots, F_{n}^{\epsilon}$, telles $que|F_{j}^{\epsilon}-F_{j}|\leq\epsilon$ sur $\overline{\omega}$, obtcnues en approchant les $par\dot{u}es$ principales de $F_{1}, \ldots, F_{n}$ par des polynômes $P_{1}^{\epsilon}, \ldots, P_{n}^{\epsilon}$ dont le point représentatf est situé dans $\mathbb{C}\nwarrow\lambda.$

On remplace $\varphi$ par la fonction de classe $C^{2}$ :
$$
\varphi_{\epsilon}(z)=\sum_{j=1}^{n}|F_{j}^{g}(z)|^{2}+\langle C|z|)^{\epsilon}\sum_{j-n+1}^{N}|F_{j}(z)|^{2},
$$
et on choisit les constantes:
$$
C=\sup_{\infty\backslash B(r)^{\frac{1}{|z|}}},\ r_{\epsilon}=(\sqrt{r}-\epsilon\sqrt{n}\rangle^{2},\ \epsilon<\sqrt{\frac{r}{n'}}
$$
de sorte que les conditions $z\in\omega, \varphi_{g}(z)<r_{\epsilon}$ entra\^{i}nent $\varphi(z)<r$. Si l'on pose $\beta_{\epsilon}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{\epsilon}$, et si l'on fait tendre $\epsilon$ vers zéro, le théorème de convergence dominée montre que:
$$
\frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\{z\epsilon\circ;\varphi.(z)<r.\}}T_{A}\beta_{\epsilon}^{n-1}\rightarrow\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{\delta(r)\cap\Phi}T\wedge\beta^{n-1},
$$
donc il sufflt de démontrer l'inégalité pour le membre de gauche.

{\it Étape} 2. - Nous allons maintenant nous débarrasser des fonctions $F_{n+} {}_{1}F_{N}.$

Posons $R_{\epsilon}=\displaystyle \inf_{z\in\infty}\varphi.(z)$ , de sorte que $R_{\epsilon}\geq(\sqrt{R}-\epsilon\sqrt{n})^{2}>r_{\iota}$. D'après le corollaire 2, appliqué à la variété :
$$
X=\{z\in cn;\varphi_{\iota}(z)<R_{g}\},
$$
$BULL\ovalbox{\tt\small REJECT}\aleph$ DE LA $wM$ M$\wedge$nIéM$\wedge\Pi$QUE DE FRANCE
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J.-P. DEMAILLY

l'expression :
$$
\frac{1}{(2\pi p)^{*-1}}\int_{\{z\epsilon 0:\varphi.(z)<p^{1}},\ T\wedge\beta_{\epsilon}^{n-1},
$$
est fonction croissante de $p$ dans l'intervalle]O, $R$ car la fonction ${\rm Log}\varphi_{\epsilon}$ est plunsousharmonique. Vu les hypothèses sur les parties principales des

fonctions $F_{1}^{l}, \ldots, F_{n}^{\epsilon}, F_{n+} {}_{1}F_{N}$, il est clair que :
$$
\sum_{j=1}^{n}|F_{j}^{\epsilon}(z)|^{2}\geq C_{1}|z|^{u}\cdot,
$$
$$
(C|z|)^{\epsilon}\sum_{j=n+1}^{N}|F_{j}(z)|^{2}\leq C_{2}|z|^{2s_{*1}+\epsilon}\leq C_{3}|z|^{2s.+\epsilon},
$$
avec des constantes $C_{1}, C_{2}, C_{3}>0$. Par suite, la fonction $\varphi_{\epsilon}$ est équivalente à la fonction :
$$
\psi_{\epsilon}(z\rangle=\sum_{j=1}^{*}|F_{j}^{\epsilon}(z\rangle|^{2},
$$
lorsque $|z|$tend vers zéro. Comme $\beta_{\epsilon}\geq\gamma_{\epsilon}=i\partial\overline{\partial}\psi_{\epsilon}$ et comme le courant $T$ est positif, il en résulte:

$\displaystyle \lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi p)^{n-1}}\int_{\{)}z\epsilon 0;\varphi.(z\rangle<p^{t}T\wedge\beta_{\epsilon}^{*-1}$
$$
=\lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi p)^{n-1}}|_{\iota^{-\epsilon\omega:\psi_{r}1^{-)<p}}}(..|T_{A}\beta_{\epsilon}^{n-1}
$$
$$
\geq\lim_{p\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi p\rangle^{n-1}}\int_{\iota^{{}^{t}z\epsilon\omega:\psi.(z)<p^{t}}},T\wedge Y_{\epsilon}^{n-1}.
$$
{\it É tape} 3. --En défmitive, on peut supposer que $N=n$, et que les parties principales $P_{1}, \ldots, P_{n}$ des fonctions $F_{1}, \ldots, F_{n}$ n'ont pas d'autre zéro commun que $0$. Dans ces conditions, on a le lemme suivant, qui est le point crucial de la démonstration.

LEMME 2. --{\it Il existe} u{\it n voisinage} $U$ {\it de} $0$ {\it dans} $co$, {\it une boule euclidienne} $D$ {\it de centre} $ 0e\iota$ {\it de rayon} $\sqrt{R'}<\sqrt{R}$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$, {\it et un ensemble analytique} $Y\subset D$ {\it tels} $T()Mp. ||0-|98_{--N^{Q}}|$
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fURMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

85

{\it que l}'{\it application} $f=(F_{1},\ \ldots,\ F_{n})$ {\it soit} u{\it n revêtement}:
$$
U\backslash r^{-1}(Y)\rightarrow D\backslash Y,
$$
{\it à} $s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$ {\it feuillets}.

{\it Esquisse de démonstration} $du$ {\it lemme} 2. --Les hypothèses entra\^{i}nent que le point $0$ est isolé dans la fibre $f^{-1}(0)$ ; l'existence du revêtement ramifié décrit dans l'énoncé en découle ({\it cf}. par exemple R. NARASIMHAN [7]).

Il reste à montrer que le nombre de feuillets $v$ vaut $s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$ (on notera que $v$ est constant au-dessus de la base $D\backslash Y$ par connexité de celle-ci). Effectuons à cet $\ovalbox{\tt\small REJECT} et$ un $\langle\langle$ changement d'échelle en $rempla9ant$ les fonctions $F_{1}, \ldots, F_{n}$ et l'application $f$ par:

$F_{f,0}(z)=P_{j}(z)$ , $F_{j.\lambda}(z)=\lambda^{-s_{1}}F_{j}(\lambda z)$ si $0<|\lambda|\leq 1,$
$$
f_{1}=(F_{1}.\ {}_{1}F_{n.1})\ ,
$$
où le nombre complexe $\lambda$ tend vers zéro. Le théorème des fonctions implicites montre que $v=v(\lambda)$ est localement constant au voisinage de $\lambda=0$, donc indépendant de $\lambda$. On est donc ramené à montrer que l'application :
$$
p=(P_{1},\ \ldots,\ P_{n}):\mathbb{C}^{n}\rightarrow C^{n},
$$
est un revêtement ramifié à $s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$ feuillets, lorsque le point $(P_{1},\ \ldots,\ P_{n})$ est dans le complémentaire $\mathbb{C}^{d}\backslash A$ de l'ensemble algébrique $A$ (pour la défmition de $A$, {\it voir} le début de l'étape 1). Il sufflt d'observer comme ci- dessus que lorsque $(P_{1},\ \ldots,\ P_{n})$ décrit $\mathbb{C}^{d}\backslash A$, le nombre de feuillets $v$ reste localement constant; $v$ est donc constant par connexité de $\mathbb{C}^{d}\backslash A$. Comme l'égalité :
$$
v=s_{1}s_{2}\ldots s_{n},
$$
est d'autre part évidente si l'on choisit $P_{f}(z)=z_{J^{J}}^{S}$, la conclusion s'ensuit. $\blacksquare$ Achevons maintenant la preuve de la proposition 1. On peut supposer que l'ensemble $f^{-1}(Y)du$ lemme 2 ne contient aucune composante irréductible de l'hypersurface $U\cap F^{-1}(0)$ : sinon modifier les fonctions $F_{1}, \ldots, F_{n}$ en appliquant une $(\langle$ petite $\rangle\rangle$ rotation dans $l'$espaoe $des$ variables $(z_{1},\ \ldots,\ z_{n})$ et raisonner comme à l'étape 1. Lorsque $r<R'(\sqrt{R'}=$rayon de la boule $Ddu$ lemme 2), on peut effectuer le changement de variable:
$$
w=(w_{1},\ \ldots,\ w_{n})=(F_{1}(z),\ \ldots,\ F_{n}(z))\ ;
$$
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
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86

J.-P. DEWAILLY

on obtient:

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{f(r)\cap\infty}T\wedge\beta^{n-1}=\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{\{z\epsilon U^{\backslash }\sqrt{}^{-1}(Y):\varphi(z)er\}}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|\wedge\beta^{n-1}$
$$
=\frac{1}{(2\pi r\rangle^{n-1}}\int_{t:}weD\backslash Y|\cdot|.<r\}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|\wedge\eta.-1
$$
$$
=\overline{(2\pi}\frac{1}{r)^{n-1}}\int_{|<r^{\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|c|\wedge\eta}}\cdot-1,
$$
avec $\eta=i\partial\overline{\partial}|w|^{2}, G(w)=\displaystyle \prod_{z\epsilon\Gamma^{1}(r)}F(z)$ . La fonction $G$, qui est dffinie {\it a priori} sur $D\backslash Y$, est localement $bom6c$ au voisinage de $Y$, donc se prolonge en une fonction analytique dans la boule $D$. On va minorer l'ordre d'annulation $q$ de $G$ au point $0$. On a vu plus haut (étape 2) $qu\cdot on$ avait :
$$
|w|^{2}=\sum_{j-1}^{n}|F_{j}(z\rangle|^{2}\geq C_{\iota}|z|^{2s}\cdot,
$$
lorsque $|z|$ est asscz petit; par suite $|z|\leq C_{s}|w|^{1ls}$. et :
$$
|G(w)|\leq C_{6}(|w|^{sls}\cdot\rangle^{\iota_{1}\ldots s}\cdot=C_{6}|w|^{r_{1}\ldots s_{-1}}\cdot,
$$
d'où $q\geq ss_{1}\ldots s_{n-1}$. La proposition 1 résuloe de l'égaiité classique :
$$
\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{w|^{2}<r}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|G|\wedge\eta^{n-1}=q.\ \blacksquare
$$
Nous aurons besoin également du résultat suivant, qui se démontre de manière analogue.

PROPOSmON 2. --{\it Soient} $P, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$ {\it des polynômes de degrés respectfs} $\delta, 8_{1}\geq\delta_{2}\geq\ldots\geq\delta_{N}$ \&{\it m} $C^{n}$, {\it tels que la fonction}:
$$
\varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|P_{j}(z)|^{2},
$$
{\it soit exhaustive, et doit} $T=i/\pi\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|, \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it Alors}:
$$
\lim_{r\rightarrow+\infty}\uparrow\frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}|_{f(r)}T\wedge\beta^{n-1}\leq\delta\delta_{1}\ldots\delta_{n-1}.
$$
T0MF IIO $-1982-N^{O}1$
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

87

{\it De}'{\it monstration}. --Les hypothèses entra\^{i}nent que $N\geq n$. Posons:
$$
w=(w_{1},\ \ldots,\ w_{n})=(P_{1}(z),\ \ldots,\ P_{n}(z))\ ,
$$
$$
\varphi_{\epsilon}(z)=|w|^{2}+(\epsilon+\sum_{j=n+1}^{N}|P_{j}(z)|^{2})^{1-\epsilon},
$$
$$
\beta_{\epsilon}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{\epsilon},\ \eta=i\partial\overline{\partial}|w|^{2}.
$$
Il vient:
\begin{center}
(4)   $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}\int_{B(r)}T\wedge\beta^{n-1}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}\int_{\varphi.(z)<r}.T\wedge\beta^{n-1},$
\end{center}
où $r_{\epsilon}=\displaystyle \inf_{\varphi(z)=r}\varphi_{\epsilon}$ tend vers $r$ quand $\epsilon$ tend vers zéro.

D'autre part, le corollaire 2 montre que :

(5) $\displaystyle \frac{1}{(2\pi r_{\epsilon})^{n-1}}|_{\varphi.(z)<r}.T\wedge\beta_{\epsilon}^{n-1}\leq\lim_{\rho\rightarrow+\infty}\uparrow\frac{1}{(2\pi p\rangle^{n-1}}|_{\varphi.(z\rangle<\rho}$ {\it T}A $\beta_{\epsilon}^{n-1}.$

Soient maintenant $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{\pi^{2}}$ des formes linéaires en $z_{1}, \ldots, z_{n}$ telles . que le système de $(1,\ 1)$ fonnes positives :
$$
idu_{j}\wedge d\overline{u}_{j},\ 1\leq j\leq n^{2},
$$
constitue une base de l'espace vectoriel des $(1,\ 1)$-formes. Si l'on procède comme dans la démonstration précédente, on est amené à faire les hypothèses supplémentaires (6), (7) qui suivent:

(6) Les parties homogènes de plus haut degré de $n$ quelconques des $1+n+n^{2}$ polynômes :
$$
P,\ P_{1},\ \ldots,\ P_{n},\ u_{1},\ \ldots,\ u_{n^{z}},
$$
n'ont pas d'autre zéro commun que le point $0$ (sinon modifier légèrement $P_{1}, \ldots, P_{n}, u_{1}, \ldots, u_{n^{2}})$ .

(7) Il existe une petite constante $c>0$ telle que:
$$
\sum_{j=n+1}^{N}|P_{j}(z)|^{2}\geq c|z|^{2\delta}\cdot,
$$
(augmenter au besoin $N$, et introduire des polynômes de degré $\delta_{n}$ ayant de petits coefficients).

Il est clair qu'on a des égalités de la forme:
$$
\beta_{\epsilon}=\eta+\sum_{j=1}^{n^{2}}a_{j}(z)du_{j}\wedge d\overline{u}_{j}.
$$
\begin{center}
(8)   $\displaystyle \beta_{\epsilon}^{n-1}=\eta^{n-1}+\sum_{|l|+|/|\leftarrow n-1,|/|\geq 1}a_{l.J}(z)dw,\ \wedge d\overline{w},\ \wedge du,\ \wedge du$
\end{center}
BULLETIN DB LA SOCI $\dot{E}$TÉ $MATH\dot{E}MATIQl$] $E$ DE FRANCE
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88

J.-P. DEMAILLY

où la somme est étendue aux multi-indices croissants :

$I=\{i_{1},\ \ldots,\ i_{l}\}\subset\{1,2,\ \ldots,\ n\}, J=\{j_{1},\ \ldots,j_{l}\}\subset\{1,2,\ \ldots,\ n^{2}\},$

et où :
$$
|I|=k,\ |J|=l,\  dw_{I}=dw_{i_{1}}\wedge\text{ . . . }\wedge dw_{i_{\iota}},
$$
$$
du_{J}=h_{J_{1}^{A}}\text{ . . . }\wedge du_{j,}.
$$
$L' in\acute{e}galit6(7\rangle$ entraine :

(9) $\left\{\begin{array}{l}
|a_{j}(z)|\leq C_{1}(1+|z|^{2}\rangle^{\delta.(1-\cdot)-1},\\
|a_{l.J}(z)|^{1/|J|}\leq C_{2}(1+|z|^{2})^{\delta.(1-\cdot)-1}.
\end{array}\right.$

En vertu de la condition (6), on a de plus :
\begin{center}
(10)   $1+|z|^{2}\leq C_{3}(1+|w|^{2})^{1/\delta}.$
\end{center}
et l'inégalité $|w|^{2}<p$ implique :
\begin{center}
(11)   $\displaystyle u^{2}=\sum_{j=1}^{t}|u_{j}|^{2}\leq C_{4}(1+p\rangle^{1l8}\cdot.$
\end{center}
$D' ap\hslash s$ le lemme 2, l'application :
$$
p:\ z=(z_{1},\ \ldots,\ z_{n})\mapsto w=(P_{1}(z),\ \ldots,\ P_{n}(z))\ ,
$$
réalise un revêtement ramifié de $C^{n}$ à $6_{1}\delta_{2}\ldots\delta_{*}$ feuillets. De même, pour tout couple de multi-indices $I\subset\{1,2,\ \ldots,\ n\}, J\subset\{1,2,\ \ldots,\ n^{2}\}$ tels que $|I|+|J|=n-1$, l'application :
\begin{center}
(12)   $(z_{1},\ \ldots,\ z_{n})\mapsto(P(z).\ (w_{j})_{j\epsilon/},\ (u_{j}(z))_{jeJ})$ ,
\end{center}
est un revêtement ramifié de $\mathbb{C}^{n}$ (à, disons, $v_{l.J}feuillets\rangle$. On obtient comme à l'étape 3 de la proposition 1 :

(13) $\displaystyle \lim\sup_{p\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi p)^{n-1}}\int_{\varphi.\{*)<\rho}T\wedge\eta^{*-1}$
$$
\leq\lim_{p\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi p)^{n-1}}\int_{|w|^{3}<\rho}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|Q|A\eta^{*-1},
$$
où :
$$
Q(w\rangle=\prod_{*\cdot p^{-1}(}.{}_{I}P(z)\ .
$$
$\mathfrak{l}IM\iota:110$ --I982 $-N^{o}1$
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$FO\ovalbox{\tt\small REJECT}$ DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

89

Comme $|Q(w)|\leq[C_{5}(1+|w|)^{1/\delta}\cdot]^{\delta\delta_{1}\ldots 6}\cdot,Q$ se prolonge en un polynôme de degré $q\leq 6\delta_{1}\ldots\delta_{n-1}$, et on a donc classiquement:

(14) $\displaystyle \lim_{\rho\rightarrow+\infty}\frac{1}{(2\pi p)^{n-1}}\int_{w|^{2}<\rho}\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|Q|\wedge\eta^{n-1}=q\leq\delta\delta_{1}\ldots\delta_{*-1}.$

$n$ nous reste à majorer les termes correctifs issus de I'identité (8). On $a$, en posant $m=|1|^{2}+|J|^{2}$ :

$|.r_{4(=1<p}T\wedge a_{l,J}(z)dw_{J}\wedge d\overline{w}_{l}\wedge du_{J}\wedge d\overline{u}_{J}|$
$$
\leq\sup_{\varphi.(z)<p}|a_{l,J}(z)|.\ \int_{\varphi.(z)<\rho}\frac{i^{n+1}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|
$$
$$
\wedge dw_{I}\wedge d\overline{w}_{l}\wedge du_{J}\wedge du
$$
car les courants $(i/\pi)\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|$ et $\iota^{n/}dw_{l}\wedge\ovalbox{\tt\small REJECT}_{l}^{-}\wedge du_{J}\wedge d\overline{u}_{J}$ sont positifs; l'utilisation du changement de variable (12), combinée à l'inégalité $(11\rangle,$ fournit:

$\displaystyle \int_{\varphi.(z\rangle<p}\frac{i^{m+1}}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|P|\wedge dw_{l}\wedge d\overline{w}_{l}\wedge du_{J}\wedge d\overline{u}_{J}$
$$
\leq v_{1,/}\int_{P-0.|w|^{2}<p.|u|^{2}<C.(1+\rho)^{1}}..w_{\iota^{A}}
$$
$$
\leq v_{l./}(2\pi p\rangle^{|/|}(2\pi C_{4}(1+p)^{1/\delta}\cdot)^{|J|}.
$$
Les inégalités (9), (10) et (11) entra\^{i}nent d'autre part:
$$
\sup_{\varphi.(z\rangle<p}|a_{l.J}(z)|\leq[C_{2}(C_{3}(1+p)^{1/\delta}\cdot)^{\delta.(1-\iota)-1}]^{|J|},
$$
on obtient donc (compte tenu de ce que $|I|+|J|=n-1$):
\begin{center}
(15)   $||_{\varphi.(z)<p}T\wedge a_{l./}(z)dw_{l}\wedge d\overline{w},\ \wedge du,\ \wedge d\overline{u}_{J}|\leq C_{6}(|+p)^{n-1-\epsilon|J|}.$
\end{center}
La conclusion se déduit des lignes (4), (5), (8), (13), (14), (15). $\blacksquare$

Les propositions 1 et 2 admettent les conséquences suivantes (corollaires 5 et 6), qui nous seront utiles ultérieurement.

COROLLAIRE 5. --{\it Soient} $F_{1}, \ldots, F_{N}$ {\it des fonctions holomorphes dans un ouver} $t\Omega$ {\it de} $\mathbb{C}^{n}$, {\it qui s}'{\it annulen} $t$ {\it respectivement aux ordres} $s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{N}$ {\it en} u{\it n point} $z_{o}\in\Omega.$

{\it b}ULLEnN DE LA $SOC\ddagger\not\in\tau g$ MATHÉ$MA\Pi QUE$ DE FRANCE
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90

J.-P. OEUAILLY

{\it On pose} $\displaystyle \varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|F_{j}(z\rangle|^{2}, \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$, {\it et on suppose donne}' u{\it n voisinage ouvert} $\omega\subset\subset\Omega$ {\it de} $z_{0}$ {\it tel que le nombre}:
$$
R=\inf_{z\epsilon\delta\alpha}\varphi\langle z)\ ,
$$
$soit>0$. {\it Alors pour} $ toutr\in$] $O, R[ona$:
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{n}}J_{l(r1\cap\alpha}\beta^{r}\geq s_{1}s_{2}\ldots s_{n}.
$$
On voit que la quantité $\displaystyle \lim_{r\rightarrow 0}\uparrow 1/(2\pi r)^{n}\int_{r(r)r\iota\Phi}\beta^{n}$ doit être considérée comme une ((multiplicit d'intersection $\rangle\rangle$ au point $z_{0}$ des cycles analytiques dffinis par les fonctions $F_{j}$; il resterait à en trouver une interprétation géométrique précise.

{\it Démonstration}. --On idenffie $\mathbb{C}^{n}$ à l'hyperplan $z_{n+1}=0$ de $\mathbb{C}^{n+1}$. On pose:
$$
F(z_{1},\ \ldots,\ z_{n+1})=z_{n+1},\ T=\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|,
$$
$F_{N+1}(z_{1},\ \ldots,\ z_{n+1})=z_{n+1}^{N+1}$, avec $s_{N+1}\geq s_{N},$
$$
\psi(z)=\sum_{j=1}^{N+1}|F_{j}(z)|^{2},\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi.
$$
Comme $T$ est le courant d'intégration sur l'hyperplan $\mathbb{C}^{n}$, il est clair que :
$$
\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{B\langle r\rangle\cap 0'}\beta^{n}=\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{\phi\langle z)<r,(z_{1}\ldots..z.)\bullet 0},\ T\wedge\gamma^{n},
$$
et il suffit donc d'appliquer la proposition 1, avec $s=1. \blacksquare$

En plongeant de $m\dot{e}me\mathbb{C}^{n}$ dans $\mathbb{C}^{n+1}$, la proposition 2 entra\^{i}ne :

COROLLAIRE 6. --{\it Soient} $P_{1}, \ldots, P_{N}$ {\it des polynômes de d}$\ell${\it grés respectfs} $\delta_{1}\geq\delta_{2}\geq\ldots\geq 6_{N}$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$ {\it tels que la fonction}:
$$
\varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|P_{j}(z)|^{2},
$$
{\it soit exhaustive et soit} $\beta=i\partial\overline{\partial}\varphi$. {\it Alors}:
$$
\lim,\ \rightarrow+\infty\dagger\frac{1}{(2\pi r)^{n}}\int_{(z\rangle<r}\beta^{n}\leq\delta_{1}\delta_{2}\ldots\delta_{n}.
$$
T0ME 110 --1982 --No 1
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

91

3. Un lemme de Schwarz dans $\mathbb{C}^{n}$

On considère comme préc\v{c}demment une fonction entière $F$ dans $\mathbb{C}^{n}$, et des polynômes $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$ de degré $\delta$, dont les parties homogènes de plus haut degré $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{N}$ admettent pour {\it unique zéro commun le point} $0$. On pose :
$$
\varphi(z)=\sum_{j=1}^{N}|P_{j}(z)|^{2},\ \beta=i\partial\overline{\partial}\varphi,
$$
$$
T=\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}{\rm Log}|F|,\ |F|_{r}=\sup_{|z|\leq r}|F(z)|.
$$
Les formules de Jensen du paragraphe 1 pennettent de minorer la quantité ${\rm Log}|F|_{R}/|F|_{r}$ par la masse moyenne du courant $T$ relativement à la forme $\beta.$

THÉORÈME 2. --{\it Il existe une constante} $ C\in$]$O, 1$] {\it ne de}'{\it pendant que des polynômes} $P_{1}, \ldots, P_{N}$ {\it telle que pour tout} $R\geq r\geq 1$ {\it on} $ait$:
$$
\int_{\iota}^{CR^{2}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi(z\rangle<t}T\wedge\beta^{n-1}\leq(2\delta)^{\hslash}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{R}}{|F|_{r}}.
$$
{\it Démonstration}. --Procédons d'abord à une première réduction. D'apr6s le principe du maximum on a $|F|_{r}=|F(a)|$ avec $|a|=r;\ovalbox{\tt\small REJECT}$ectuons une dilatation de l'espaoe de manière à nous ramener à la situation dans laquelle $r=1, a=0.$

Posons :
$$
\varphi_{a}(z)=\frac{1}{r^{2\delta}}\varphi(rz+a)\ ,\ \psi(z)=\sum_{j=1}^{N}|Q_{j}(z)|^{2},
$$
$$
\beta_{a}=i\partial\overline{\partial}\varphi_{a},\ \gamma=i\partial\overline{\partial}\psi,
$$
$$
i-
$$
$$
F_{a}(z)=F(rz+a)\ ,\ T_{a}=_{\overline{\pi}}\partial\partial{\rm Log}|F_{a}|.
$$
Pour tout $R\geq r$, l'inégalité du théorème 2 résultera de l'inégalité :
$$
\rfloor_{1}^{C(R/r)^{z\iota}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<l}T_{a}\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F_{a}|_{(R-|a|)/r}}{|F_{a}(0)|},
$$
soit, quitte à remplacer $(F_{a},\ T_{a})$ par $\langle F, T$) et $R$ par $rRC^{-1/2\delta}$ :
\begin{center}
(16)   $\displaystyle \int_{1}\ \frac{d\iota}{t^{n}}\int_{\varphi.|z\rangle<t}T\wedge\beta_{a}^{n-1}\leq(2\delta\rangle^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}^{\frac{|F|_{CR}}{|F(0)|}},$
\end{center}
pour tout $R\geq 1; 0\underline{n}_{-}c$hoisira- alors $C^{-1/2\delta}=1+C_{1}.$

$BULLF\Gamma 1N$ DE LA $S\propto 1\acute{E}T\mathbb{E}$ MATHÉ$MA\Pi QUE$ DE FRANCE
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92

J.-P. DEMAILLY

{\it Étape} 2. --Pour établir (16), nous écrirons $\beta_{l}^{\pi-1}$ sous la forme:

$\beta_{a}^{n-1}=\gamma^{n-1}+$termes de degré inférieur

et nous décomposerons le premier membre de (16) en la somme de la partie principale $\displaystyle \int_{1}^{R}\frac{(lt}{t^{n}}\int_{\phi(z)<i}T\wedge\gamma^{n-1}$, et d'un certain nombre de termes correctifs. Il est clair qu'il existe des constantes $C_{2}, \ldots, C_{7}$ telles que:
\begin{center}
(17)   $|z|\leq C_{2}(1+\varphi_{a}(z))^{1/2\delta},$

(18)   $C_{3}^{-1}|z|^{2\delta}\leq\psi(z)\leq C_{3}|z|^{2\delta},$

(19)   $\psi(z)\leq\varphi_{\iota}(z)+C_{4}(1+|z|)^{2\delta-1},$

$\beta_{a}\leq\gamma+C_{5}(1+|z|)^{2\delta-3}\eta$, où $\eta=i\partial\overline{\partial}|z|^{2},$

(20)   $\beta_{a}^{n-1}\leq\gamma^{n-1}+C_{6}(1+|z|)^{2(n-1)(\delta-1)-1}\eta^{n-1},$

(21)   $\beta_{r}^{n-1}\leq C_{7}(1+|z|)^{2(n-1\rangle(\delta-1)}\eta^{n-1}.$
\end{center}
D'après $(17\rangle$ et (19), on a:

$\displaystyle \sup_{\varphi.(z)<t}\psi(z)\leq\sup_{\varphi.l_{-1=\prime}^{-}}\psi$
$$
\leq;+C_{4}|[+C_{2}(1+t\rangle^{1/2\delta})^{2\delta-1}<t+C_{8}t^{1-1/28},
$$
ce qui donne:

$\displaystyle \int_{1}^{R^{1}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<t}T\wedge\beta_{a}^{n-1}$
$$
\leq r_{1}^{R^{2\delta}}\frac{d\iota}{t^{n}}|_{\phi(z)<\prime(1+C_{0}t^{-1/l})}T\wedge\beta_{a}^{n-1}
$$
$$
\leq\rfloor_{1}^{C.R^{f}}..\frac{du}{u^{n}}(1+C_{10}u^{-1/2\delta})\int_{\phi(z)<u}T\wedge\beta_{a}^{n-1},
$$
avec le changement de variable $u=t(1+C_{8}t^{-1/2\delta})$ .

En combinant avec (20) on obtient le majorant:
\begin{center}
(22)   $\displaystyle \int_{0}^{C_{9}R^{2}}.\ \frac{du}{l(^{\hslash}}\int_{\psi(z)<u}T_{A}\gamma^{n-1}+I_{1}+I_{2},$
\end{center}
avec :
\begin{center}
(23)   $I_{1}=C_{10}\displaystyle \int_{1}^{C.R-0}\frac{du}{u^{n+1/2\delta}}\int_{\phi(z)<u}T\wedge\beta_{a}^{n-1},$
\end{center}
T0ME $110-1982-N^{O}1$
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

93
\begin{center}
(24)   $I_{2}=C_{6}\displaystyle \int_{1}^{C_{o}R^{z\iota}}\frac{lu}{u^{n}}\int_{*(z)<u}(1+|z|)^{2(n-1)(\delta-1)-1}T\wedge\eta^{r-1}.$
\end{center}
{\it Étape} 3. --La partie principale (premier terme de (22)) sera estimée à l'aide du corollaire 4 et du lemme élémentaire qui suit.

LEMME 3. $-\gamma^{n}=(i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi)^{n}\equiv 0$ sur $\mathbb{C}^{\hslash}\backslash \{0\}.$

En effet, la fonction $\psi$ est $homog6ne$ de degré 2 $\delta$; la forme $\gamma=i\partial\overline{\partial}{\rm Log}\psi$ provient donc par passage au quotient d'une $(1,\ 1)$-fonne sur l'espaoe projectif $\mathbb{P}_{n-1}=\mathbb{C}^{n}\backslash (0$\}) $/\mathbb{C}^{*}.$

Le lemme 3 s'ensuit par raison de dimension. $\blacksquare$

D'après le corollaire 4, il vient:

$j_{l}^{C,R^{20_{d_{\frac{u}{l^{n}}\int_{\psi(z\rangle<u}T\wedge\gamma^{n-1}}}}}0$
$$
=\frac{1}{\pi(C_{9}R^{2t})^{n}}\int_{\Downarrow(z)-C_{*}R^{z\iota}}{\rm Log}|F|\gamma^{n-1_{A}}i\overline{\partial}\psi
$$
$$
-\lim_{p\rightarrow 0^{\frac{1}{\pi p^{n}}}}|_{\phi(z)=\rho}{\rm Log}|F|\gamma^{n-1}\wedge i\overline{\partial}\psi.
$$
L'homogénéité des polynômes $Q_{j}$ et les corollaires 5 et 6 entra\^{i}nent que :
$$
\frac{1}{(2\pi t)^{n}}|_{*(z\rangle-t}\gamma^{n-1_{A}}i\overline{\partial}\psi=\frac{1}{(2\pi t)^{n}}|_{\phi(z)<\iota}\gamma^{n}=\delta^{n},
$$
où, sur l'hypersurface orientée $\{\psi(z)=t\}$, la forme volume $\gamma^{n-1}\wedge i\overline{\partial}\psi$ est positive. En vertu de (18) on en déduit:
\begin{center}
(25)   $\displaystyle \int_{0}^{C,R^{z\iota}}\frac{du}{u^{n}}|_{\psi\langle z)<u}T_{A}\gamma^{n-1}\leq\langle 2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}|F(0)||F|_{CR}.$
\end{center}
{\it É tape} 4. --{\it Estinwtion} $du$ {\it terme correctif} $1_{1}+I_{2}.$

Comme pour (25), on montre que:
\begin{center}
(26)   $\displaystyle \int_{0}^{\rho^{l}}\frac{d\iota}{t^{n}}\int_{z|^{1}<i}T\wedge\eta'-1\leq 2^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{\rho}}{|F\langle 0)|}.$
\end{center}
$BULL-N$ DE LA $I\dot{E}$ TÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
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94

J.-P. DEMALLY

On vérifie aisément $[\phi\langle 18\rangle, \langle 21\rangle, (23\rangle,\ (24)$] qu'on a la majoration :

(27) $I_{1}+1_{2}\displaystyle \leq C_{12}\int_{1}^{c\mu^{l}}.\frac{u^{(n-1)(1-1/b)}}{u^{n+1/2l}}h\int_{z|C_{1}}F^{1/*}$. {\it T}A $\eta^{n-1}$
$$
\leq C_{14}\int_{1}^{C_{1}.R^{*}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{s|^{*}<i}T_{A}\eta^{n-1},
$$
[fectuer le changement de variable $u=(t/C_{13}^{2})^{\delta}$].

D'autre part, on $\gamma u\iota_{G}'$cnre :

(28) $\displaystyle \int_{1}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}|_{|z|^{2}<l}$ {\it T}A $\displaystyle \eta^{n-1}\leq\int_{1}^{\rho}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{z|^{l}<i}$ {\it T}A $\eta'-1$

$+\displaystyle p^{-1/2}\int_{p}^{\rho^{*}}\frac{dt}{t^{n}}|_{|z|<\prime}$ {\it T}A $\eta^{\bullet-1},$

où pour tout couple $(t,\ u)$ tel que $t\leq p\leq u$, on a $\langle\phi$ corollaire 2) :
$$
\frac{1}{t^{n-1}}\int_{z|^{2}<\prime}\tau_{A}\eta^{n-1}\leq\frac{1^{\sim}}{u^{n-1}}\int_{z|^{1}<u}\ TA\ \eta^{\bullet-1}.
$$
Intégrons les deux membres $1/{\rm Log} p|_{p}^{\rho^{3}}\langle h/u\rangle x?$:

de l'inégalité avec le poids
$$
\frac{1}{t^{n-1}}\int_{z|^{2}<\iota}\ TA\ \eta^{n-1}\leq\frac{1}{{\rm Log} p}\int_{\rho}^{\rho^{2}}\frac{du}{u^{n}}\int_{z|^{*}<u}\ TA\ \eta^{n-1}.
$$
$n$ vient donc $\langle\phi(26),$ (28)) :

(29) $\displaystyle \int_{1}^{p^{*}}\frac{dt}{t^{n+(1/2)}}\int_{z|^{3}<\iota}T\wedge\eta^{n-1}$
$$
\leq(\frac{2}{{\rm Log} p}+p^{-1/2}).I_{p}^{\rho^{2}}\frac{dt}{t^{n}}\int_{z|^{2}<t}\ TA\ \eta^{n-1}
$$
$$
\leq\frac{C_{l6}}{{\rm Log} p}{\rm Log}\frac{|F|_{p}}{|F(0)|},
$$
d'où finalement $(\phi(22),$ (25) , (27) , (29) $)$ :

(30) $\displaystyle \int_{1}^{R^{1}}.\frac{dt}{t^{n}}|_{\varphi.(z)<l}T_{A}\beta_{l^{-1}}^{l}-\leq(1-+\frac{C_{17}}{{\rm Log} R})(2\delta)^{n}\pi^{-1}{\rm Log}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}|F(0)||F|_{CR}.$

{\it TOME} $110-1982-N^{O}$]
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

95

{\it É tape} 5. --Il ne reste plus qu'àfaire dispara\^{i}tre le facteur $(1+(C_{17}/{\rm Log} R))$ pour rendre la formule (30) plus esthétique.

Comme la fonction $t\displaystyle \mapsto 1/t^{n-1}\int_{\varphi.(z)<\iota}$ {\it T}A $\beta_{l}^{-1}$ est croissante, l'expression $\left|R^{2}1 dt/t^{n} \varphi\right|$ {\it T}A $\beta_{a}^{-1}$ est fonction convexe de la variable ${\rm Log} R.$

On a donc :

$\displaystyle \frac{{\rm Log}({\rm Re}^{c_{1}})}{{\rm Log} R}\int_{1}^{R^{l}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{\varphi.(z)<\ell}$ {\it T}A $\displaystyle \beta_{a}^{n-1}\leq|_{1}^{tR\epsilon^{\mathcal{C}_{1)}2\delta}\prime}\frac{dt}{t}\int_{\varphi.(z)<\prime}T\wedge\beta:^{-1}$
$$
\leq(1+\frac{C_{17}}{C_{17}+{\rm Log} R})(2\delta)^{n}\pi^{n-1}{\rm Log}\frac{|F|_{CR}}{|F(0)|},
$$
d'après (30), avec $C_{1}=C_{18}e^{c_{1}\prime}$. L'inégalité (16) en résulte. $\blacksquare$

$Ix$ lemme de Schwarz préddent est d'autant plus utile que les fonctions $F, P_{1}, \ldots, P_{N}$ ont de nombreux zéros communs. En combinant le théorème 2 avec la proposition 1, on obtient ainsi la :

PROPOSmON 3. - {\it Soient} $P_{1}, \ldots, P_{N}$ \&{\it s polynômes} \& {\it degré} $\delta d\ell \mathbb{C}[z_{1},\ \ldots,\ z_{n}]$, {\it dont les parties homwge}$\grave{}${\it nes}\&{\it plus} $haut$ {\it daegré} $ a\delta${\it nettent pour unique zéro commun lorigine. Il existe une constante} $C_{1}\geq 1$ {\it ayant les propriétés suivantes. Soit} $F$ {\it une fonction entière} \&{\it m} $\mathbb{C}^{n}$. {\it Soit} $R\geq r\geq 1$ {\it et} $w_{1}, \ldots, w_{m}$ {\it des zéros deux à deux distincts de} $F, P_{1}, \ldots, P_{N}$ {\it lordre} $\geq s, s_{1}, \ldots.s_{\backslash }$ {\it respectirem} $\prime n\tau$, {\it accc} $s_{1}\leq s_{2}\leq\ldots\leq s_{N}$. {\it Alors}:
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-m\frac{ss_{1}...\cdot s_{n-1}}{\delta_{\backslash }^{n-l}}{\rm Log}\frac{R}{C_{1}r}.
$$
{\it Dénwnstration}. --Les zéros communs aux polynômes $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$ sont isolés. Il existe par conséquent des voisinages ouverts disjoints $co_{1}, 01_{2}, \ldots, 0)_{m}$ des points $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$ tels que $\displaystyle \sup_{ze\partial\infty,}\varphi(z)>0$, où les notations $\varphi, \beta, T$ conservent la même signification que dans le théorème 2. Lorsque $r$ est assez petit, la proposition 1 montre que :

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi r)^{n-1}}|_{\varphi(z)<r}T\wedge\beta^{n-1}$
$$
\geq\sum_{j\Leftrightarrow 1}^{n}\frac{1}{\langle 2\pi r)^{n-1}}\int_{li\tau 1z)<r\}}zC0T_{A}\beta^{n-1}\geq mss_{1}\ldots s_{n-1}.
$$
$BULL\ovalbox{\tt\small REJECT} N$ DE LA SOClÉlt $M\wedge naeu\wedge\Pi QUE$ DE FRANCE
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96

J.-P. DEMAILLY

La minoration est donc vraie quel que soit $r>0, \infty$ qui entra\^{i}ne :
$$
\int_{r^{l}}^{CR^{*}}.\frac{dt}{t^{n}}\int_{w(z)<\iota}T\wedge\beta^{n-1}\geq(2\pi)^{n-1}mss_{1}\ldots s_{n-}{}_{1}Log\frac{CR^{2\delta}}{r^{2\delta}}.
$$
La proposition 3 résulte alors du théorhne 2 (avec $C_{1}=C^{-1/2\delta}$). $\blacksquare$ Soit maintenant $S$ une partie quelconque de $\mathbb{C}^{n}$. On note $\omega_{1}\langle S\rangle$ le degr\v{c} minimal des hypersurfaces algébriques qui conticnnent $S$ (s'il n'existe pas de telles hypersurfaces, on pose $\omega_{1}(S)=+\infty\rangle$. Nous énoncerons un lemme de Schwarz relatif aux fonctions qui s'annulent sur $S.$

COROLLAIRE 7. --{\it Soit} $S$ {\it une partie de} $\mathbb{C}^{n}$ {\it et} $\delta$ u{\it n entier tel que} $\delta\leq\omega_{1}(S)$ . {\it Il existe une constame} $C_{2}\geq 1$ {\it telle que si} $F$ {\it est une fonction entière ayant en chaque point de} $S$ {\it un zéro ffordre} $\geq t$, {\it on ait pour} $toutR\geq r\geq 1$ :
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}\leftrightarrow t\frac{\delta\langle\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{n-1}}{\rm Log}\frac{R}{C_{2}r}.
$$
{\it Démwnstration}. --Notons :
$$
m(\delta)=\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)=\frac{(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!},
$$
la dimension de l'espaoe vectoriel $\mathbb{C}[z]_{\delta}$ des polynômes de degré $<\delta$ dans $\mathbb{C}^{n}.$ Un raisonnement élémentaire d'algèbre linéaire conduit au résultat suivant.

LEMME 4. --{\it On peut trouver} $m=m(\delta)$ {\it points} $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{m}\in Squi$ {\it ne son} $t$ {\it situés sur aucune hypersuface de degre}' $<\delta$. {\it Il existe alors} u{\it n unique polynôme de degre}' $<\delta$ {\it prenant} $d\ell s$ {\it valeurs données aux points} $w_{1}, w_{2}, \ldots, w$

En effet les différentes formes linéaires sur $\mathbb{C}[z]_{\delta}$ dffmies par $P\mapsto P(w)$ , $w\in S$, s'annulent simultanément pour le seul polynome $P=0$ (par hypothèse $\omega_{1}(S)\geq\delta)$ . On $pem$ donc trouver $m=m(\delta)$ formes (correspondant à des points $w_{1}, \ldots, w_{n}\in S$) qui constituent une base de l'espaoe dual $\mathbb{C}[z]_{t}^{*}$. Les affirmations du lemme 4 ne sont qu'une autre formulation de cette propriété. $\blacksquare$

En particulier, il existe des polynômes $P_{1}, \ldots, P_{N}$ de degré $\delta$, s'annulant aux points $w_{1}, \ldots, w_{m}$, et dont les parties homogènes de plus haut degré forment une base de l'espace des polynômes homogènes de degré $\delta$. Le corollaire 7 est donc conséquence de la proposition 3 en prenant $m=m(\delta)$ , $s=\iota, s_{1}=s_{2_{-}}=\ldots=s_{N}=1. --$

TOME 110 --I982 $-\nwarrow^{o}1$
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$FO\ovalbox{\tt\small REJECT}$ DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

97

Nous pouvons améliorer l'inégalité du corollaire 7 moyennant des renseignements supplémentaires sur la répartition des points de $S$. Si $S$ est un produit cartésien $S=S_{1}xS_{2}x\ldots xS_{n}$ suivant les directions d'une base de $\mathbb{C}^{n}$, il est facile de montrer qu'on peut remplaoer le nombre :
$$
\frac{\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1\rangle}{n!\delta^{n-1}}
$$
par tout entier $\delta$ tel que :

$\displaystyle \delta\leq\omega_{1}(S)=\min_{1fj\leq n}$ card $S_{:}.$

Nous supposerons ici que $S$ contient un polytope complet à $m(\delta)=\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ sommets: autrement dit, il existe $\delta+n-1$ hyperplans affines $H_{j}\subset \mathbb{C}^{n}$, concourants $n$ à $n, d' inter\sec\dot{u}ons$ vides $n+1$ à $n+1$, et tek que $S$ contienne les sommets $w_{J}du$ polytope (intersections des familles de $n$ hyperplans $(H_{f})_{j\epsilon J}, J\subset\{1,2,\ \ldots,\ \delta+n-1\}, |J|=n$). Cette hypothèse est vérifiée notamment dans le cas $\omega_{1}(S)\geq 2$, avec $\delta=2, m(2)=n+1.$

Soit $A_{j}$ une forme affine dffmissant $H_{j}$, et posons :
$$
\text{Â}_{I}=\prod_{\ell i}A_{j},
$$
pour toute partie $I$ de $\{1,\ 2,\ \ldots,\ 6+n-1\}$. Il est clair que :

$\lambda_{l}(w_{J})=0$, si $|I|=n, I\neq J,$
$$
\hat{A}_{J}(w_{J})\neq 0.
$$
Les polynômes $(_{4}a_{l})_{|J|-n}$ forment donc une base de l'espace des polynômes de degré $<\delta$, de sorte que :
$$
co_{1}(\{w_{J};|J|=n\}\rangle=\delta.
$$
On observe que le polynôme $P_{k}=\displaystyle \sum_{1|-n-k}\hat{A}_{l}, 1\leq k\leq n$, a pour degre $\delta+k-1$ et que $P_{k}$ s'annule à l'ordre $k$ en chaque point $w_{J}$; il cst aisé de véMer d'autre part que les parties homogènes de plus haut degré des polynômes $P_{1}, \ldots, P_{n}$ n'ont pas d'autre zéro commun que le point $0$. Posons $\tau=\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1);$ si $1' on$ applique la proposition 3 aux polynômes de degré $\tau$ :
$$
Pi,\ P_{2},\ \ldots,\ P_{n}^{s/t+n-1},
$$
$BULL\ovalbox{\tt\small REJECT} N$ DE LA SOClÉTé $NATloeu\wedge \mathfrak{n}O\dot{U}E$ DE FRANCE
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98

J.-P. DEMAILLY

avec $m=m(\delta), s=t, s_{k}=k\tau/\delta+k-1$, il vient :

COROLLAIRE 8. --{\it Soit} $S$ {\it une partie de} $C^{n}$ {\it comenant} u{\it n polytope complet à} $\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ {\it sommets. Il existe une constante} $C_{3}\geq 1$, {\it telle que si} $F$ {\it est une fonction entière ayant en chaque point de} $S$ u{\it n zéro lordre} $\geq t$. {\it on ait pour tout} $R\geq r\geq 1$:
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-t\frac{8+n\simeq 1}{n}{\rm Log}\frac{R}{C_{3}r}.
$$
4. Nouvelle démonstration du thhrème de Bombierl

Nous allons établir le théorème de BOMBIERI au moyen des lemmes de Schwarz énoncés au paragraphe 3. Soit $K$ un corps de nombres. On note $[K:\mathbb{O}]$ son degré, et on pose :

$[[K:\mathbb{O}]]=[K:\mathbb{O}]$ si $K\subset \mathbb{R},$

$[[K:\displaystyle \mathbb{O}]]=\frac{1}{2}[K:\mathbb{O}]$ sinon.

THÉORÈME 3. --{\it Soient} $f_{1}, \ldots, f_{p}d\ell s$ {\it fonctions me}'{\it romorphes dans} $\mathbb{C}^{n}$, {\it telles que} $f_{1}, \ldots, f_{d}(n<d\leq p)$ {\it soiem algébriquement indépendantes sur} $\mathbb{Q}$ {\it et d}'{\it ordres finis} $p_{1}, \ldots, p_{t}$. {\it On suppose que les dérivations} $d/dz_{1}, \ldots, d/dz_{n}$ {\it appliquent lanneau} $K[f_{1},\ \ldots,\ f_{p}]$ {\it dans lui-même. Alors} $\Gamma${\it ensemble S des points} $z\in \mathbb{C}^{n}$, {\it distincts} $d\ell s$ {\it pôles} \& s $f_{j}$, {\it tels que} $[f_{1}(z), \ldots, f_{p}(z)$ ) $\in K^{p}$, {\it est contenu dans une} $hypersu\phi ace$ {\it algébrique dont le degré} $\delta v\acute{e}r\phi e$ {\it la majoration} :
$$
\frac{\delta(\delta+1)\ldots(\delta+n-1)}{n!\delta^{n-1}}\leq\frac{p_{1}+\ldots+p_{d}}{d-n}[[K:\mathbb{O}
$$
{\it Démonstration}. --Si l'ensemble $S$ n'est pas contenu dans une hypersurface algébrique de degré $<\delta$, le raisonnement d'algèbre linéaire du lemme 4 montre qu'on peut trouver $m=m(\delta)$ points $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{m}\in S$ qui ne sont situés sur aucune hypersurface de degré $<\delta$. Quitte à remplaoer $p_{1}, \ldots, p_{d}$ par les nombres $p_{1}+\epsilon, \ldots, p_{d}+\epsilon$, on peut supposer $p_{j}>0et_{-}f_{j}=g_{j}/h_{j}$ avec :
$$
|g_{j}(z)|+|h_{j}(z)|\leq\exp(B_{f}|z|^{p_{J}}+C_{j})\ ,\ 1\leq j\leq d,
$$
$$
h_{j}(w_{\iota})\neq 0,\ 1\leq j\leq d,\ 1\leq k\leq m.
$$
T0MF 110 -- I982 --rr I
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

99

Les méthodes arithmétiques classiques ({\it voir} par exemple M. WALDSCHMIDT [10], \S 5.4) permettent alors d'obtenir le $r\text{é} sultat_{\backslash }$suivant.

LEMME 5. --{\it Il existe des constantes positives} $r, C_{1}, C_{2}$ {\it et une suite} $(F_{t})d\ell$ {\it fonctions entières dans} $\mathbb{C}^{n}$ ({\it où} $t$ {\it décrit une partie} $i\phi nie\mathcal{T}$ \& $\mathbb{N}$) {\it telles que}: (31) $F_{t}$ {\it s}'{\it annule à} $r_{0\Gamma}dret$ {\it aux points} $w_{1}, w_{2}, \ldots,  w_{m}.\cdot$
\begin{center}
(32)   $|F_{t}|_{r}\geq(C_{1}t\rangle^{-t\Pi K:Qn}.\cdot$

(33)   $|F_{t}|_{R(t)}\leq C_{2}',\ o${\it ù} $R(t)=(\displaystyle \frac{t^{d-n}}{{\rm Log} t})^{1/(\rho_{1}+\ldots+\rho_{\ell})}$
\end{center}
La majoration du théorème 3 résulte aisément du corollaire 7 appliqué à la fonction $F=F_{t}$ et à $R=R(t)$ , quand $t\rightarrow+\infty. \blacksquare$

Le théorème 3 entra\^{i}ne en particulier l'inégalité :
$$
0)_{1}(S)+\frac{n(n-1)}{2}\leq n!\frac{p_{1}+\ldots+p_{t}}{d-n}[[K:\mathbb{O}
$$
Ici encore, il est possible de faire mieux si l'on conna\^{i}t plus précisément l'ensemble $S$. Dans une première tentative de démonstration en plusieurs variables du théorème 3, S. Lang a montré que si $S$ contenait un produit cartésien $S_{1}\times S_{2}x\ldots xS_{n}$ alors on avait :

$\displaystyle \omega_{1}(S_{1}x\ldots xS_{n})=\min_{1\leq j\leq n}$ card $S_{j}\displaystyle \leq\frac{p_{1}+\ldots+p_{d}}{d-n}[[K:\mathbb{Q}$

D'une manière analogue, les corollaires 7 et 8 fournissent le résultat suivant, qui semble ne pas avoir été établi à oe jour par la méthode des estimations $L^{2}.$

PROPOSITION 4. --{\it Si} $n=1,2$, ou {\it si} $S$ {\it contient un polytope complet à} $(^{eo_{1}(S)_{n}+n-1})$ {\it sommets} ({\it en particulier si} (1) $(S)=1,2$) {\it alors}:
$$
\frac{01_{1}(S)+n-1}{n}\leq\frac{p_{1}+\ldots+p_{d}}{d-n}[[K:\mathbb{Q}
$$
Il para\^{i}t naturel de conjecturer que ce résultat reste valable dans tous les cas. La méthode de E. BOMBIERI, améliorée par H. SKODA [8], en donne une bonne approche:
\begin{center}
(34)   $\displaystyle \frac{(0_{1}(S)}{n}\leq\frac{p_{1}+\ldots+p_{d}}{d_{-}-n}[[K:\mathbb{O}$
\end{center}
$BULL\ovalbox{\tt\small REJECT} N$ DE LA SOCIÉTÉ MATHÉUATIQUE DE FRANCE
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100

J.-P. DEMAILLY

5. $Po]m\Pi 1oe$ s'annulant snr une partie $\hslash$ni$\epsilon$ de $C^{n}$

Soit $S$ une partie finie de $\mathbb{C}^{n}$. Suivant M. WALDSCHMIDT [9], nous noterons, pour tout entier $t>0, \omega_{t}(S)=degr\acute{e}$ minimum des polynômes $P$ qui s'annulent à l'ordre $t$ sur $S.$

De la propriété de sous-additivité :
$$
\omega_{\iota_{1}+\iota_{2}}(S)\leq\omega_{l_{1}}\langle S)+m_{t_{2}}(S)\ ,
$$
résulte aisément l'égalité suivante, qui est une dffinition du nombre $\Omega(S\rangle$ degré singulier $\rangle\rangle$ de $ S\rangle$ :
$$
\inf\frac{co_{t}(S)}{t}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\omega_{t}(S)}{f}=\Omega(S\rangle.
$$
En utilisant le théorème $d' HoRMAN1$) $ER-BoMBIER1$-SKODA (H. SKODA [8]) M. WALDSCHMIDT [10] a démontré l'encadrement:
\begin{center}
(35)   $\leftrightarrow\leq\Omega(S)\leq t_{1}+n-1\tilde{t_{2}}\omega,(S)\omega_{l}(S)$ ,
\end{center}
pour tout couple $(t_{1},  t_{2}\rangle$ d'entiers positts; il a prouvé aussi le lemme de Schwarz suivant.

PROPOSmON 5. --{\it Soient} $S$ {\it une partie finie} $d\ell \mathbb{C}^{n}$ {\it et} $\epsilon$ u{\it n nombre réel}, $\epsilon>0$. {\it Il existe} u{\it n} $non\emptyset re$ {\it réel positf} $r_{0}=r_{0}(S,\ \epsilon)$ {\it tel que pour} $tout$ {\it entier} $t\succ O$ {\it et pour toute fonction entière} $F$ {\it dans} $\mathbb{C}^{n}$ {\it ayant en chaque point} $d\ell S$ u{\it n zéro lordre} $\geq\iota,$ {\it on ait}:
$$
{\rm Log}|F|_{r}\leq{\rm Log}|F|_{R}-t(\Omega(S)-\epsilon){\rm Log}\frac{R}{4nr}
$$
{\it pour} $R\geq r\geq-r_{0}.$

J.-C. MOREAU [6] en a déduit un lemme de Schwarz analogue où le nombre $t(\Omega(S)-\epsilon)$ est remplacé par $co_{\iota}(S)-t\epsilon$. Si $S$ est l'ensemble exceptionnel du théorème 3, la proposition 5 montre que :
\begin{center}
(36)   $\displaystyle \Omega(S)\leq\frac{p_{1}+\ldots+p_{d}}{d-n}[[K:\mathbb{O}$
\end{center}
En observant d'après (35) appliqué à $t_{1}=1$ que:
$$
\Omega(S)\geq\frac{01_{1}(S)}{n},
$$
$\tau ow\epsilon 1$ IO $-1982-N^{O}1$
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FORMULES DE JENSEN EN PLUSIEURS VARIABLES

101

on voit que (36) permet de retrouver la majoration (34).

G. V. CHUDNOVSKY [2] a conjecturé que l'on avait $1'\dot{m}$égalité plus forte :
\begin{center}
(37)   $\displaystyle \Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)+n-1}{n},$
\end{center}
et en a annoncé une démonstration dans le cas $n=2$, utilisant la théorie des intersections. Les corollaires 7 et 8 vont nous permettre de démontrer ce résultat sous les hypothèses plus générales de la proposition 4. Choisissons pour fonction entière $F$ un polynôme $P$ de degré $\omega,(S)$ qui s'annule à l'ordre $t$ en tout point de $S$. Fixons $r$ et faisons tendre $R$ vers $+\infty$. Il vient, avec $\delta=\omega_{1}(S)$ :
$$
\omega_{t}(S)\geq t\frac{\omega_{1}(S)((0_{1}(S\rangle+1\rangle\ldots(\omega_{1}(S)+n-1)}{n!\omega_{1}(S)^{n-1}},
$$
et en faisant à nouveau tendre $t$ vers $+\infty$ :

PROPOSmON 6. --{\it Pour toute partie finie} $S$ {\it de} $\mathbb{C}^{n}$, {\it on} $a$:
$$
\Omega(S)\geq\frac{\omega_{1}(S)(\omega_{1}\rangle(S)+1\rangle\ldots(\omega_{1}(S)+n-1\rangle}{n!\omega_{1}(S)^{n-1}}.
$$
{\it Si} $n=1,2$, ou {\it si} $S$ {\it contient} u{\it n polytope complet à} $(^{\omega_{1}\langle S\rangle_{n}+n-1})somn\kappa ts$ ({\it en particulier si} $(0_{1}(S)=1,2)$ {\it alors}:
$$
\Omega(S)\geq\frac{\mathfrak{c}o_{1}(S)+n-1}{n}.
$$
Observons que l'inégalite' $(37\rangle$ ne peut pas être améliorée. En effet, avec les notations du corollaire 8, lorsque $S$ est un polytope complet à $\left(\begin{array}{ll}
\delta+n & -1\\
n & 
\end{array}\right)$ sommets, le polynôme :
$$
P=A_{1}A_{2}\ldots A_{\delta+n-1},
$$
est de degré $\delta+n-1$ et s'annule à l'ordre $n$ en tous les points de $S.$

On peut se demander si plus généralement on n'a pas :
$$
\Omega(S)\geq\frac{\omega_{t}(S)+n-1}{t+n-1},
$$
pour tout entier $t>0$, mais oe résultat semble inaccessible par les méthodes précédentes $1orsque_{-}t\geq 2.$

$BULL-N$ DE LA $S\propto IgT\acute{E}$ MATHÉ $MA\Pi QUE$ DE FRANCE
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J.-P. DEMAILLY

$BIBLI\infty$RAPHIE

[1] BOMBIERI (E.). --Algebraic values ofmcromorphic maps, {\it Inventiones Math}., Vol. 10. 1970, p. 267-287 et Vol. 11, 1970, p. 163-166.

[2] CHUDNOVSKY (G. V -Singular points on complex hypcrsurfaces and multidimen.sional Schwarz lemma, {\it Séminaire Delange-Pisot-Poitou}, 21 année, 1979-1980. {\it Progress in} $Ma$ t{\it h}., $n^{o}12$, p. 29-69, Marie-Jos\v{c} BERnN, éd., Boston, Basel, Stuttgart, $Birkh\tilde{a}$user,
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[3] DEMAILLY (J.-P.). --{\it Sur les nombres de Lelong associés} à $\Gamma image$ {\it directe} fun {\it courant positf} [{\it ermé}. à paraitre aux {\it Ann}. $Inst$. {\it Fourier}, t. 32, fasc. 2, 1982.

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[5] LELONG (P.). $-Surl\epsilon s$ cyclcs holomorphes à coelficicnts positifs dans $C^{\prime 1}$ et un $comp1\epsilon'm\epsilon nt$ au théorèmc de E. Bombicn·, {\it C. R. Math. Rep. Acad. Sc}. $C_{\Phi}oda$, vol. 1, $n^{o}4$, 1979, p. 211-213.

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[9] WALDSCHMIDT $(M.\rangle$. --Propriét\v{c}s $arithm6$tiques des fonctions de plusicurs variables (II), {\it Séminaire Pierre Ixlong}, Analyse, annk 1975-1976, p. 108-135; {\it Lecture Notes in Math}., $n^{o}538$, Springer Verlag, 1977.

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$$
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\leftarrow
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TOME $110-1982-N^{o}[$
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