\magnification=1200 \vsize=20cm\voffset=3mm\hsize=13.5cm\hoffset=-0.1mm \parindent=0mm \parskip=6pt plus 2pt minus 2pt \input macros_ocr.tex {\sevenrm\baselineskip=8pt Annales scientifiques de l'\'{E}c.\ Norm.\ Supérieure\\ 4$\scriptstyle{}^{e}$ série, tome 20, 1987, p.~579 à 598.\vskip1.5cm} \centerline{\hugebf Formules intégrales pour les} \medskip \centerline{\hugebf formes différentielles de type (p,q)} \medskip \centerline{\hugebf dans les variétés de Stein} \bigskip \centerline{par Jean-Pierre Demailly et Christine Laurent-Thiébaut} \vskip1cm {\leftskip=9mm\rightskip=9mm {\bf Résumé.\pointir} On construit sur toute variété de Stein un noyau global permettant de démontrer des formules de Koppelman et Koppelman-Leray pour des formes différentielles de type $(p,q)$ quelconque.\medskip {\bf Abstract.\pointir} We construct on every Stein manifold a global kernel which enables us to prove Koppelman and Koppelman-Leray formulas for differential forms of arbitrary type $(p,q)$.\par} \bigskip\bigskip \section{0}{Introduction} Henkin et Leiterer ont construit dans [2] et ([3], chap.~4) des noyaux globaux sur une variété de Stein gr\^{a}ce auxquels ils démontrent des formules intégrales pour les $(0,q)$-formes différentielles. Dans cet article nous démontrons des formules intégrales du type Koppelman et Koppelman-Leray pour les formes différentielles de type $(p, q)$ quelconque sur une variété de Stein. Celles-ci généralisent à la fois les formules démontrées par Henkin et Leiterer pour les $(0, q)$-formes différentielles ({\it cf}. [2] et [3], chap.~4) et les formules de Koppelman et Koppelman-Leray pour les $(p,q)$-formes différentielles dans $\mathbb{C}^{n}$ ({\it cf}. [8], [7] et [1]); elles permettent sous certaines conditions de résoudre des problèmes de $\overline{\partial}$ avec estimations de croissance ou de régularité. Dans un premier paragraphe nous construisons des noyaux dont nous donnons une expression globale sur la variété de Stein $\mathrm{M}$; ce sont des formes différentielles continues sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ privé de sa diagonale. La necessite d'avoir des formes différentielles invariantes par changement de coordonnées permettant d'obtenir des formules intégrales pour les $(p, q)$-formes différentielles nous a amenés dans le cas $p\geqq 1$ à introduire la connexion do Chern du fibré tangent. Aux paragraphes 2 et 3 nous nous intéressons principalement à un noyau du type précédent qui généralise le noyau de Bochner-Martinelli. II en résulte une formule de Koppelman pour les $(p, q)$-{\it formes} différentielles sur une variété de Stein (théorème 2.2), et la transformée de Bochner-Martinelli se généralise egalement dans ce contexte (théorème 3.1). Le paragraphe 4 est consacre à la démonstration de deux formules de Koppelman- Leray dont on peut deduire des formules de résolution du I pour les $(p, q)$-{\it formes} différentielles dans un domaine strictement pseudoconvexe d'une variété de Stein. La premiere généralise la formule intégrale donnee par Lieb [7] et $\Phi \mathrm{vrelid}[8]$ dans $\mathbb{C}^{n}$ et la seconde la formule de base de l'article [1] de Andersson et Berndtsson. Le dernier paragraphe donne une méthode, différente de celle utilisee par Henkin et Leiterer ([3], \S 4. 12), pour obtenir des formules intégrales pour les formes différentielles a valeurs dans un fibré vectoriel holomorphe sur une variété de Stein. \section{1}{Préliminaires} Soit $\mathrm{X}$ une variété analytique complexe; si $u$ et $v$ sont des $n$-uplets de fonctions $\mathscr{C}^{1}$ definies sur un ouvert de $\mathrm{X}\times \mathrm{X}$, on pose $$ n $$ $$ C\mathrm{D}_{z,\zeta}(u)=\wedge d_{z.\zeta}u_{j}j=1 $$ $$ \overline{\omega}_{z,\zeta}^{\prime}(v)=\sum_{j=1}(-1)^{j-1}v_{j}\bigwedge_{k\neq j}\overline{\partial}_{z,\zeta}v_{k} $$ $$ \langle u, v\rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}v_{j} $$ [$(z, \zeta)$ designent les variables dans $\mathrm{X}\times \mathrm{X}$]. Le noyau de Bochner-Martinelli dans $\mathbb{C}^{n}\times \mathbb{C}^{n}$ est alors donne par les expressions suivantes : $\displaystyle \mathrm{K}_{\mathrm{B}\mathrm{M}}(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\frac{00_{z,\zeta}^{\prime}(\overline{z}-\overline{\zeta})\wedge 0)_{z,\zeta}(z-\zeta)-}{|z-\zeta|^{2n}}$ $=\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\frac{\langle\overline{z}-\overline{\zeta},d_{z,\zeta}(z-\zeta)\rangle\wedge(\langle\overline{\partial}_{z,\zeta}(\overline{z}-\overline{\zeta}),d_{z,\zeta}(z-\zeta)\rangle)^{n-1}}{|z-\zeta|^{2n}}$. Il permet de démontrer des formules de représentation intégrale pour les formes différentielles de bidegre $(p, q)$ quelconque dans $\mathbb{C}^{n}$. Dans [2] et [3], chapitre 4, Henkin et Leiterer construisent des noyaux qui conduisent a la représentation des formes différentielles de bidegre $(0, q)$ dans une variété de Stein. Precisons mainténant la méthode de construction u.tilisée par Henkin et Leiterer. On considere une variété de Stein $\mathrm{M}$ de dimension $n$ dont l'orientation est definie par la condition suivante: si $(z_{1}$, . . ., $z_{n})$ sont des coordonnées holomorphes locales, la forme différentielle $(-\mathrm{i})^{n}d\overline{z}_{1}\wedge\ldots\wedge d_{Z_{n}\wedge}^{-}dz_{1}\wedge\ldots\wedge dz_{n}=(-1)^{n(n-1)/2}\mathrm{i}^{n}dz_{1}\wedge d\overline{z}_{1}\wedge$ . . . $\wedge dz_{n}\wedge d_{Z_{n}}^{-}$ est positive. On notera $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ et $\mathrm{T}^{*}(\mathrm{M})$ les fibrés tangent et cotangent de $\mathrm{M}$ et $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$, $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ leurs images reciproques respectives par la projection de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ age $\mathrm{M}, (z, \zeta)\mapsto z$. Soit $s$ : $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\rightarrow\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ la section holomorphe de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ definie par Henkin et Leiterer ([2] et [3], lemme 4.2.4) qui vérifie : $\bullet s(z, z)=0$ pour tout $z\in \mathrm{M}$ $\bullet s (z$, . $)$ : $\mathrm{M}\rightarrow \mathrm{T}_{z}(\mathrm{M})$ est une application biholomorphe d'un voisinage de $z$ dans $\mathrm{M}$ sur un voisinage de 0 dans $\mathrm{T}_{z}(\mathrm{M})$. Rappelons brievement la construction de $s$. Soit $f:\mathrm{M}\sigma \mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ un plongement propre de $\mathrm{M}$ dans $\mathbb{C}^{\mathrm{N}}$ et soit $$ \mathrm{O}\rightarrow \mathrm{T}(\mathrm{M})\rightarrow \mathrm{M}\times \mathbb{C}^{\mathrm{N}}\rightarrow \mathrm{N}(\mathrm{M})\rightarrow \mathrm{O} $$ la suite exacte definissant le fibré normal à $\mathrm{M}$, note $\mathrm{N}(\mathrm{M})$. D'apr\`{e}s le théorème $\mathrm{B}$ de Cartan on a $\mathrm{H}^{1}(\mathrm{M}, \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{N}(\mathrm{M}), \mathrm{T}(\mathrm{M})))=0$, donc la suite exacte ci-dessus admet un scindage global $g$ : $\mathrm{M}\times \mathbb{C}^{\mathrm{N}}\rightarrow \mathrm{T}(\mathrm{M})$ tel que $g\circ df=\mathrm{Id}_{\mathrm{T}(\mathrm{M})}$. La section $s$ est alors definie par $$ s(z, \zeta)=g(z, f(\zeta)-f(z)). $$ Grâce au théorème $\mathrm{B}$ applique sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$, on peut d'autre part construire une fonction $\varphi$ holomorphe sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$, egale à 1 sur la diagonale $\Delta(\mathrm{M})$ de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ et dont la restrictiqu a $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ appartient au sous-faisceau de $\mathscr{O}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ engendre par $s$. De plus il existe un entier $\chi\geqq 0$ tel que la fonction $\varphi^{\mathrm{X}}/|s|_{9}^{2}$ soit de classe $\mathscr{C}^{2}$ sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ ({\it cf}. [2] et [3], lemme 4.2.4). Si $\mathrm{D}$ est un ouvert relativement compact de $\mathrm{M}$ dont le bord $\partial \mathrm{D}$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ par morceaux, on appellera section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ ({\it cf}. [3], \S 4. 3.2) un couple $(s^{*}, \chi^{*})$ o\`{u} $\chi^{*}$ est un entier et $s^{*}$ une section de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ definie sur $\mathrm{D}\times \mathrm{V}_{\partial \mathrm{D}}, \mathrm{V}_{\partial \mathrm{D}}$ etant un voisinage de $\partial \mathrm{D}$ dans $\mathrm{M}$, telle que @ $\langle s^{*}(z, \zeta), s(z, \zeta)\rangle\neq 0$ pour $z\in \mathrm{D}, \zeta\in\partial \mathrm{D}$ tels que $\varphi(z, \zeta)\neq 0(\langle$ , $\rangle$ designe le crochet de dualité entre $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ et $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$. $\bullet \varphi^{\mathrm{x}^{*}}(z, \zeta)/\langle s^{*}(z, \langle),\ s(z, \zeta)\rangle$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur un voisinage de $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$ dans $\mathrm{D}\times$ M. Si $\mathrm{U}$ est un ouvert de carte de $\mathrm{M}$ et $(e_{j})_{j=1}^{n}$ un repere trivialisant holomorphe de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$, nous noterons respectivement $u$ et $u^{*}$ les expressions de $s$ et $s^{*}$ dans ce repere et son dual. Henkin et Leiterer posent alors $$ \Omega^{0}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\varphi_{*}^{\mathrm{v}n}\frac{\overline{\omega}_{z.\zeta}^{\prime}(u^{*})\wedge 0)_{\zeta}(u)}{\langle u,u\rangle^{n}} $$ ce qui definit une forme différentielle sur $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$. Mais ce noyau ne contient que des termes de bidegre $(0, q)$ en $z$. Pour passer à la représentation des formes différentielles de type $(p, q)$ quelconque il convient donc de completer ce noyau. La premiere expression du noyau de Bochner- Martinelli conduirait à remplacer $0)_{\zeta}(u)$ par $\mathrm{rn}_{z,\zeta}(u)$ dans la définition de $\Omega^{0}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ mais cela ne permet plus de definir une forme différentielle invariante par changement de coordonnées car $s$ est une section du fibre vectoriel $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$. Nous devons donc, pour obtenir un noyau defini globalement sur $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$, utiliser une connexion de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$. Soit 0 une metrique hermitienne $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathrm{T}(\mathrm{M})$, elle induit une metrique hermitienne, notee encore C) sur $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ et une application antilinéaire $\sigma$ : $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})\rightarrow\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$, $\xi\mapsto\langle., \xi\rangle_{9}$. On appellera $\mathrm{D}$ la connexion de Chern de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ relative à 0 et $\nabla$ la connexion de Chern de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ associee à la metrique $6*$ induite par C) sur $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$. On notera $\hat{s}$ la section $\mathscr{C}^{\infty}, \mathrm{M}\times \mathrm{M}\rightarrow\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ définie par $\hat{s}=\sigma\circ s$, {\it il} est facile de voir que $(\hat{s}, \chi)$ est une section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi), \mathrm{D}$ etant n'importe quel ouvert relativement compact à bord $\mathscr{C}^{1}$ par morceaux de M. Remarquons que si 9 est la metrique hermitienne construite par Henkin et Leiterer à l'aide d'une partition de l'unite subordonnee à un recouvrement trivialisant de $\mathrm{T}(\mathrm{M})\wedge$' alors $\hat{s}$ coincide avec la section $\overline{s}$ qu'ils ont definie dans [2] et [3], \S 4. 3. 1. De plus $s$ et $\overline{s}$ possedent les memes propriétés. On peut alors definir la forme différentielle $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ par $$\displaystyle \Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi_{*}^{\mathrm{v}n}\frac{\langle s^{*},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla^{\prime\prime}s^{*},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{\langle s,s\rangle^{n}}$. $ C'est une forme différentielle continue sur un voisinage de $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$ dans $\mathrm{D}\times \mathrm{M}$ si $(s^{*}, \chi^{*})$ est une section de Leray associee \`{a} $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ et $\mathrm{v}\geqq\chi^{*}$. Si de plus $s^{*}=\hat{s}$, la forme différentielle $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ si $\mathrm{v}\geqq\chi$ et admet une singularite d'ordre {\it 2} $n-1$ en $ z=\zeta$. Etudions l'expression de la forme différentielle $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ dans des coordonnées locales. Soient $\mathrm{U}$ un ouvert de carte de $\mathrm{M}$ et $(e_{j})_{j=1}^{n}$ un repere trivialisant holomorphe de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$. La metrique 0 est donnee dans ce repere par une matrice hermitienne definie positive $\mathrm{H}, \mathscr{C}^{\infty}$, ne dépendant que de la variable $z$ et la metrique induite par 0 sur $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ est donnee dans le repere dual par la matrice $\overline{\mathrm{H}}^{-1}$. Soient $u, u^{*},$ {\it \^{u}} les expressions respectives de $s, s^{*}$ et $\hat{s}$ dans les reperes choisis; alors les expressions de $\mathrm{D}s, \nabla s^{*}$ et $\nabla\hat{s}$ dams ces reperes sont données classiquement pde $du+(\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u$, du' $+(\overline{\mathrm{H}}\partial\overline{\mathrm{H}}^{-1})\wedge u^{*}$ et $d\hat{u}+(\overline{\mathrm{H}}\partial\overline{\mathrm{H}}^{-1})$ \wedge{\it \^{u}}, et par définition de $\hat{s}$ on a: $\hat{u}=\overline{\mathrm{H}}\overline{u.}$ On en deduit que : $$ \langle\nabla^{\prime\prime}s^{*}, \mathrm{D}s\rangle=\sum_{j=1}^{n}\overline{\partial}u_{j}^{*}\wedge(du_{j}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{j}) $$ $$\displaystyle \langle s^{*}, \mathrm{D}s\rangle=\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{*}(du_{j}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{j})$. Un calcul analogue à celui du lemme 3 de [1] montre que $\langle s^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla^{\prime\prime}s^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=(-1)^{n(n-1)/2}(n-1)$ ! $[_{j=1}\displaystyle \sum^{n}(-1)^{j-1}u_{j}^{*}\bigwedge_{k\neq j}\partial u_{k}^{*}]$ $$ n $$ $$\displaystyle \wedge\bigwedge_{p=1}(du_{p}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge \mathcal{U})_{p})$. $ On a donc pour $z$ et $\zeta$ dans des compacts $$\langle s^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla^{\prime\prime}\mathrm{s}^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=(-1)^{n(n-1)/2}(n-1)$ ! $[_{00_{z,\zeta}^{\prime}(u^{*})}^{-}\wedge \mathrm{rn}_{z,\zeta}(u)+O(|u|_{9})]$. $ Dans le cas particulier ou l'on prend comme section $s^{*}$ la section $\overline{s}$ de [3] et pour 0 la metrique intérvenant dans la définition de $\overline{s}$ on obtient sur $\mathrm{U}\times \mathrm{V}\backslash \Delta(\mathrm{U})$ $$ \tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)=\tilde{\mathrm{K}}+O(\frac{1}{|u|_{9}^{2n-2}}) $$ (si $z$ et $\zeta$ varient dans des compacts de $\mathrm{M}$). $\tilde{\mathrm{K}}$ étant le noyau défini localement dans [5] et qui est une solution fondamentale locale du {\it 8} ([5], \S 2). Remarquons d'autre part que si $\mathrm{M}=\mathbb{C}^{n}$ et si la metrique 0 est la métrique habituelle de $\mathbb{C}^{n}$ alors les connexions $\mathrm{D}$ et $\nabla$ coincident avec la différentielle ordinaire et si on prend : $$\varphi(z, \zeta)=1,\ \forall(z, \zeta)\in \mathbb{C}^{n}\times \mathbb{C}^{n}$ $ s(z, \zeta)=\mathrm{z}-\zeta$ et $s^{*}(z, \zeta)=\overline{z}-\overline{\zeta}$ $ le noyau $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)$ n'est autre que le noyau de Bochner-Martinelli dans $\mathbb{C}^{n}\times \mathbb{C}^{n}$. \section{2}{Formule de Koppelman pour les (p,q)-formes différentielles} Dans ce paragraphe nous allons étendre au cas des $(p, q)$-{\it formes} différentielles, $0\leqq p$, $q\leqq n$ la formule de Koppelman donnee dans les variétés de Stein par Henkin et Leiterer pour les $(0, q)$-formes différentielles ([3], théorème 4. 5.2). Considerons le noyau $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ defini au paragraphe précédent. Remarquons tout d'abord que $s$ etant holomorphe on a $\mathrm{D}s=\mathrm{D}^{\prime}s$; les connexions $\mathrm{D}$ et $\nabla$ sont d'autre part liées par la relation naturelle $\nabla\hat{s}=\nabla$ (a $\circ s$) $=\sigma\circ \mathrm{D}s$ ou $\sigma$ est antilineaire; par suite $\nabla\hat{s}=\nabla^{\prime\prime}\hat{s}$ et $$\displaystyle \Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\langle\hat{s},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{|s|_{9}^{2n}}$. $ Le noyau $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ admet la décomposition suivante : $$\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)= \displaystyle \sum_{1\leqq p\leqq n,1\leqq q\leqq n-1}\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ $ ou $\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ est de type $(p, q)$ en $z$ et $(n-p, n-q-1)$ en $\zeta$. On peut remarquer que si $\hat{s}$ coincide avec la section $\overline{s}$ de Henkin et Leiterer, $\displaystyle \sum_{1\leqq q\leqq n-1}\Omega_{q}^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)$ n'est autre que le noyau $\Omega^{\mathrm{o}}$ defini par Henkin et Leiterer ([2], \S 2.4 et [3], \S 4. 5) pour démontrer la formule de Koppelman pour les $(0, q)$-formes différentielles~: ceci résulte du fait que la forme de connexion $\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H}$ qui intérvient dans la définition de $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ ne dépend que de la variable $z$. On pose $\Omega_{-1}^{0}=\Omega_{n}^{0}=0$. Pour simplifier les expressions ulterieures, nous noterons $\tilde{\Omega}$ et $\Omega_{q}^{p}$ les noyaux $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ et $\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ lorsqu'il ne risque pas d'y avoir de confusion. Designons par $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=\mathrm{D}^{2}$ et $c(\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=\nabla^{2}$ les formes de courbure des fibrés $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ et $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ pour les connexions $\mathrm{D}$ et $\nabla$; elles sont de bidegré $(1, 1)$ et ne dépendent que de la variable $z$. LEMME 2. 1. -- {\it On a sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$. $\displaystyle \overline{\partial}\Omega=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\frac{\varphi^{\mathrm{v}n}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}[\langle\hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})\wedge s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$ $$+(n-1) \langle \hat{s}, \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\nabla\hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}]$. $ {\it et donc} ro {\it a une singularite d}'{\it ordre 2} $n-2$ {\it sur la diagonale}. {\it Si de plus} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$ {\it on} $a\overline{\partial}\tilde{\Omega}=0$. {\it Dimonstration}. -- Calculons tout d'abord $$d[\displaystyle \frac{\langle\hat{s},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}]$. $ On a $$d \langle \hat{s}, s\rangle=\langle\nabla\hat{s}, s\rangle+\langle\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle$ $d \langle \hat{s}, \mathrm{D}s\rangle=\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle+\langle\hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge S\rangle$ $ $ d(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=(n-1)[\langle c(\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})\wedge\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle$ $$-\langle\nabla\hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge S\rangle]\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}$. $ D'ou $d[\displaystyle \frac{\langle\hat{s},\mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s},\mathrm{D}s\rangle)^{n-1}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}]=\frac{1}{(\langle\hat{s},s\rangle)^{n+1}}[\langle\hat{s}, s\rangle(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}$ $$+\langle\hat{s}, s\rangle \langle \hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$ $-(n-1) \langle \hat{s}, s\rangle \langle \hat{s}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle c(\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle$ $$ -\langle\nabla\hat{s}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle)\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2} $$ $$ -n(\langle\nabla\hat{s}, s\rangle+\langle\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)\wedge\langle\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}\mathrm{s} \rangle)^{n-1}] $$ $ or $$ \langle \hat{s}, \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle=0 $$ $$\langle \hat{s}, s\rangle(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}=n \langle \nabla\hat{s}, s\rangle\wedge\langle\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$ $ (il suffit de reprendre les calculs du lemme 3 de [1]). Revenons au noyau $\tilde{\Omega}$, comme $\varphi$ est holomorphe et $\nabla\hat{s}=\nabla^{\prime\prime}\hat{s}$, on a pour des raisons de degré $\displaystyle \overline{\partial}\tilde{\Omega}=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}$ $$\displaystyle \times\frac{\left\{ \langle\hat{s} & c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge & s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s} & \mathrm{D}s\rangle)^{n-1} & & \\ +(n-1)\langle\hat{s} & & \mathrm{D}s\rangle\Lambda\langle\nabla\hat{s} & c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge & s\rangle\wedge(\langle\nabla\hat{s} & \mathrm{D}s\rangle)^{n-2} \right\}}{\langle\hat{s},s\rangle^{n}}$, $ \'{E}tudions mainténant la singularite de $\overline{\partial}\Omega$ en $ z=\zeta$. Par définition de $\hat{s}$, on a $( \hat{s}, s ) =|s|_{9}$ et si $z$ et $\zeta$ varient dans des compacts de $\mathrm{M}$, les formes différentielles $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}), \nabla\hat{s}$ et $\mathrm{D}s$ sont bornées donc : $\overline{\partial}\tilde{\Omega}=O(|s|_{9}^{-2n+2})$ car $|\hat{s}|=|\sigma s|=O(|s|_{9})$. TH\'{E}OR\`{E}ME 2.2. -- {\it Soient} $\mathrm{D}$ {\it un domaine relativement compact \`{a} bord} $\mathscr{C}^{1}$ {\it par morceaux} {\it de la variété de Stein} $\mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{v}\geqq 2\chi$. {\it Si} $f$ {\it est une} $(p, q)$-{\it forme différentielle continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$, {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}}, 0\leqq p, q\leqq n$, {\it on a pour} $z\in \mathrm{D}$ (2. 1) $f(z)=(-1)^{p+q}[\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)$ $$ +\overline{\partial}_{z}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(z, \zeta)+(-1)^{p+q+1}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)] $$ {\it o\`{u}} $\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)=\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ {\it et} $\mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)$ {\it est la partie de bidegre} $(p, q)$ {\it en} $z$ {\it de} an. {\it Remarque} 1. -- Si $p=0, \mathrm{P}_{q}^{p}=0$ car $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$ est de bidegre $(1, 1)$ en $z$, on retrouve donc la formule (2. 4. 6) de [2]. {\it Remarque} 2. -- Si la metrique 0 est telle que $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, on obtient la formule de Koppelman classique pour les $(p, q)$-{\it formes} différentielles. {\it Demonstration}. -- La méthode utilisee 1C1 est la meme que celle de la démonstration du théorème 4. 5.2 de [3]. II nous a semble plus clair d'en rappeler 1C1 les principales etapes. II suffit de prouver pour toute forme différentielle $g$ de bidegre $(n-p, n-q), \mathscr{C}^{\infty}$ a support compact dans $\mathrm{D}$, que $\displaystyle \int_{z\in \mathrm{D}}f(z)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}[\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)\wedge g(z)$ $$-\displaystyle \int_{(z}, \zeta\rangle\in \mathrm{DxD}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(z, \zeta)\wedge g(z)]$ $+\displaystyle \int_{(z,\zeta)\in \mathrm{DxD}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(z, \zeta)\wedge\overline{\partial}_{z}g(z)-\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)\wedge g(z)$. $ Par des considérations de bidegre on peut remplacer $\Omega_{q}^{p}$ et $\Omega_{q-1}^{p}$ par $\tilde{\Omega}, \mathrm{P}_{q}^{p}$ par $\overline{\partial}\Omega$ ainsi que $\partial f$ et $\partial g$ par $df$ et $dg$. On doit donc démontrer l'égalité $(2^{\prime}.2) \displaystyle \int_{z\in \mathrm{D}}f(z)\wedge g(z)$ $$ =(-1)^{p+q}[\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{Dx}\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)-\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}d_{\zeta}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)] $$ $$+\displaystyle \int_{(z,\zeta)\mathrm{eDxD}}f(\zeta)\wedge\Omega(z, \zeta)\wedge d_{z}g(z)-\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}\mathrm{x}\mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\overline{\partial}_{z,\zeta}\Omega(Z, \zeta)\wedge g(z)$. $ Grice aux propriétés de $s$, on peut trouver un voisinage $\mathrm{U}_{\Delta}\subset \mathrm{M}\times \mathrm{M}$ de la diagonale $\Delta=\{(z, z)|z\in \mathrm{M}\}$ tel que pour tout $z$ fixe dans $\mathrm{M}, s(z, \zeta)$ soit biholomorphe pour tout $\zeta\in \mathrm{M}$ tel que $(z, \zeta)\in \mathrm{U}_{\Delta}$. On considere les ouverts $$\mathrm{U}_{\epsilon}=\{(z, \zeta)\in \mathrm{U}_{\Delta}\times \mathrm{U}_{\Delta}||s|_{9}<\epsilon\},\ \epsilon>0$. $ Comme $\mathrm{D}\subset\subset \mathrm{M}$, pour $\epsilon$ assez petit, $\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{D}\times \mathrm{D})$ est lisse. Nous allons appliquer la formule de Stokes à la forme différentielle $f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$ sur l'ouvert $\mathrm{D}_{\epsilon}=\mathrm{D}\times \mathrm{D}\backslash \mathrm{U}_{\epsilon}$. Nous choisissons $\epsilon$ pour que $$\partial \mathrm{D}_{\epsilon}\cap(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g\times \mathrm{M})=(\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}\cup\partial \mathrm{U}_{\epsilon})\cap(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g\times \mathrm{M})$, $ alors $\displaystyle \int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)-\int_{(z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$ $$=\displaystyle \int_{(z.\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}d_{z,\zeta}(f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z))$. $ Or $d_{z,\zeta}(f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z))=d_{\zeta}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$ $$ +(-1)^{p+q}f(\zeta)\wedge d_{z,\zeta}\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)+(-1)^{p+q+1}f(\zeta)\wedge\Omega(z, \zeta)\wedge d_{z}g(z) $$ et pour des raisons de bidegre on peut remplacer $d_{z,\zeta}\tilde{\Omega}$ par $\overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}$, on en deduit donc que (2. 3) $\displaystyle \int_{(z,\zeta)\in \mathrm{Dx}\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)-\int_{(z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)$ $$ =\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}d_{\zeta}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)+(-1)^{p+q}\int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z) $$ $$+(-1)^{p+q+1}\displaystyle \int_{(z,\zeta)\in \mathrm{D}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\Omega(z, \zeta)\wedge d_{z}g(z)$. $ il est clair que $\tilde{\Omega}$ ayant une singularite d'ordre {\it 2} $n-1$ {\it au} voisinage de la diagonale et $\overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}$ une singularite d'ordre 2 $n-2$, ces deux formes différentielles sont localement intégrables sur $\mathrm{D}\times\overline{\mathrm{D}}$ et par conséquent les intégrales du second membre de (2. 3) tendent vers les intégrales correspondantes de (2.2) quand $\epsilon\rightarrow 0$. Il reste donc à montrer que (2. 4) $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{(z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(z, \zeta)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}\int_{z\in \mathrm{D}}f(z)\wedge g(z)$. Apr\`{e}s usage d'une partition de l'unite sur le support de $g$, on peut supposer que le support de $g$ est contenu dans un ouvert de carte $\mathrm{U}$ de M. Soit $\mathrm{V}$ un ouvert tel qfu $\mathrm{suppg}\subset \mathrm{V}\subset\subset \mathrm{U}$. Si $\epsilon$ est assez petit, les conditions $z\in \mathrm{V}$ et $(z, \zeta)\in \mathrm{U}_{\epsilon}$ impliquent $\zeta\in \mathrm{U}$. Avec les notations du paragraphe 1, le noyau $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ admet pour $(z, \zeta)\in \mathrm{V}\times \mathrm{U}$ l'expression en coordon- nées locales $$\displaystyle \tilde{\Omega}(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\mathrm{e}\mathrm{o}_{z,\zeta}^{\prime}(\hat{u})\wedge\omega_{z,\zeta}(u)-}{|u|_{9}^{2n}}+O(|u|_{9}^{-2n+2})$. $ En particulier sur $\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\times(\mathrm{U}\cap\overline{\mathrm{D}}))$ $$\displaystyle \Omega(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2i\pi)^{n}}$ cp $\displaystyle \frac{0)_{z,\zeta}^{\prime}(\hat{u})\wedge 00_{z,\zeta}(u)-}{\epsilon^{2n}}+O(\epsilon^{-2n+2})$. $ Or la mesure de l'ensemble $\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\times \mathrm{U})$ est un 0 $(\epsilon^{2n-1})$, il en résulte que (2.4) se deduira de (2. 5) $\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{(z.\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\mathrm{x}\mathrm{U})}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}(z, \zeta)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge g(z)$ ou $$\displaystyle \mathrm{K}(z, \zeta)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{0)_{z,\zeta}^{\prime}(\hat{u})\wedge 0)_{z,\zeta}(u)-}{\epsilon^{2n}}$. $ Or ce résultat est démontre dans ([3], p. {\it 176-177}) pour la section $\overline{s}$ et donc pour $\hat{s}$ car ces deux sections ont les memes propriétés ({\it cf}. [3], \S 4. 3. 1). Le théorème est ainsi démontré. COROLLAIRE 2. 3. -- {\it Le noyau} $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ {\it definit un courant sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it qui vérifie} $$ \overline{\partial}\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=[\Delta]+\mathrm{P} $$ {\it o\`{u}} $[\Delta]$ {\it est le courant d}'{\it intégration sur la diagonale} $\Delta$ {\it de} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{P}$ {\it la forme différentielle} {\it localement intégrable qui} $coi\dot{n}cide$ {\it avec} $\partial\tilde{\Omega}$ {\it sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$. {\it En particulier si} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, {\it alors} a0 $(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=[\Delta]$. Ce résultat n'est autre que l'intérpretation en terme de courants de la formule (2. 1); il montre que le courant d'intégration [A] n'est autre que le residu au sens de Griffiths th Harris ([10], p. 369) de la forme différentielle $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$. \section{3}{Transformée de Bochner-Martinelli} On considere une hypersurface reelle $\mathrm{V}$ fermée, orientee de classe $\mathscr{C}^{1+\alpha}, \alpha>0$, dans un ouvert $\mathrm{U}$ de la variété de Stein $\mathrm{M}$, telle que $\mathrm{U}\backslash \mathrm{V}$ ait exactement deux composantes connexes $\mathrm{U}^{+}$ et $\mathrm{U}^{-}$ On suppose que l'orientation sur $\mathrm{V}$ est celle obtenue lorsque l'on considere que $\mathrm{V}$ est la frontiere de $\mathrm{U}^{+}$. Si $f$ est une $(p, q)$-{\it forme} différentielle de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur $\mathrm{V}$, à support compact on appelle transformée de Bochner-Martinelli de $f$ la forme différentielle $\mathrm{F}$ definie sur $\mathrm{U}\backslash \mathrm{V}$ par $$\displaystyle \mathrm{F}(z)=\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$. $ Dans [6] nous avons deja etudie les propriétés de $\mathrm{F}$, lorsque $f$ est une $(0, q)$-forme différentielle, les résultats obtenus s'etendent au cas des $(p, q)$-{\it formes} différentielles. Les notations sont celles de [6], \S 3. On suppose que $$\mathrm{V}=\{z\in \mathrm{M}/\mathrm{p}(z)=0\},\ \mathrm{p}\in \mathscr{C}^{1+\alpha}(\mathrm{M})$. $ Si $f\in \mathscr{C}_{p,q}.(\mathrm{V})$ on notera $f_{t}$ sa projection sur l'espace quotient de $\mathscr{C}_{p,q}(\mathrm{V})$ par les formes différentielles normales complexes. Si $\mathrm{F}$ est une $(p, q)$-{\it forme} différentielle continue sur $\mathrm{U}^{+}$ ou $\mathrm{U}^{-}$ nous dirons qu'elle se prolonge continument \`{a} $\mathrm{U}^{\pm}\cup \mathrm{V}$ modulo $\overline{\partial}\mathrm{p}$ s'il existe une $(p, q)$-forme différentielle $\tilde{\mathrm{F}}$ continue sur $\mathrm{U}^{\pm}\cup \mathrm{V}$ telle que $\tilde{\mathrm{F}-F}=\overline{\partial}\mathrm{p}\wedge \mathrm{G}$ sur $\mathrm{U}^{\pm}$, $\mathrm{G}$ etant une forme différentielle continue sur $\mathrm{U}^{\pm}$ de bidegre $(p, q-1)$. TH\'{E}OR\`{E}ME 3. 1. -- {\it Soit} $f$ {\it une} $(p, q)$-{\it forme différentielle}, $\mathscr{C}^{1}$ {\it sur} $\mathrm{V},$ {\it \`{a} support compact}. {\it La transformée de Bochner-Martinelli de} $f$ $$ \mathrm{F}(z)=\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta) $$ {\it admet, modulo} $\overline{\partial}\mathrm{p}$, {\it des prolongements continus \`{a}} $\mathrm{U}^{+}\cup \mathrm{V}$ er $\mathrm{U}^{-}\cup \mathrm{V}$ {\it notes} $\mathrm{F}^{+}$ {\it et} $\mathrm{F}^{-}$ {\it et} {\it on} $a$ $$\mathrm{F}_{t}^{+}-\mathrm{F}_{t}^{-}=(-1)^{p+q}f_{t}$. $ {\it Demonstration}. -- II s'agit d'un probleme local, on peut donc supposer que $\mathrm{U}$ est un domaine de carte de M. Choisissons des coordonnées et un repere trivialisant de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ sur cet ouvert, on a alors d'aprés le paragraphe 1 (3. 1) $\displaystyle \Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}\frac{\overline{\omega}_{z,\zeta}^{\prime}(\hat{u})\wedge\omega_{z,\zeta}(u)}{|u|_{9}^{2n}}+O(|u|_{\}}^{-2n+2}`)$ si $(z, \zeta)\in \mathrm{U}\times \mathrm{U}\backslash \Delta(\mathrm{U}), z$ et $\zeta$ variant dans des compacts de M. Pour des raisons de degre $$ \mathrm{F}(z)=\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\Omega(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s) $$ et par conséquent grace a(3. 1) la forme $\mathrm{F}$ est somme d'un terme continu au voisinage de $\mathrm{V}$ et de la forme $$\displaystyle \mathrm{F}_{0}(z)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\int_{\zeta\in \mathrm{V}}f(\zeta)\wedge\varphi^{\mathrm{v}n}(z, \zeta)\frac{\overline{\omega}_{z,\zeta}^{\prime}(\hat{u})\wedge\omega_{z,\zeta}(u)}{|u|_{9}^{2n}}$. $ Le théorème résulte donc du théorème analogue montre pour $\mathrm{F}_{0}$ dans [6] (Prop. 2. 3. 1). {\it Remarque}. -- Dans [6] nous avions etudie lorsque $f$ est une $(n, n-q-1)$-forme différentielle $$ \mathrm{G}(\zeta)=\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge\Omega_{q}^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)(z, \zeta)=\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge\Omega^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s,}s)(z, \zeta) $$ o\`{u} $\displaystyle \Omega^{0}=\sum_{0\leqq q\leqq n-1}\Omega_{q}^{0}$. II n'est pas surprenant que $\mathrm{F}$ et $\mathrm{G}$ possedent les memes propriétés au voisinage de V. En effet d'apres (3. 1) et le lemme 2. 3.5de [6], si $\displaystyle \Omega^{n}=\sum_{0\leqq q\leqq n-1}\Omega_{q}^{n}$, $$ \Omega^{n}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s}, s)(z, \zeta)-\Omega^{0}(\varphi^{\mathrm{v}},\overline{s}, s)(\zeta, z) $$ possede une singularité d'ordre 2 $n-2$ en $ z=\zeta$. \section{4}{Formule de Koppelman-Leray} Sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1]$ on designe par $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ le fibré vectoriel image reciproque de $\mathrm{T}^{*}(\mathrm{M})$ par l'application $(z, \zeta, \lambda)\mapsto z$. On notera $0*$ la metrique induite par la metrique 0 de $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ sur ce fibré. Soit $\Delta$ la connexion hermitienne sur $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ relative à la metrique $\sigma*$, holomorphe en les variables $(z, \zeta)$ et invariante par translation dans la direction X. Si $\mathscr{C}_{k}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}')$ designe l'espace des formes différentielles $\mathscr{C}^{\infty}$ de degre $k$ sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1]$ à valeurs dans $\overline{\mathrm{E}}^{*}=\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$, on a la décomposition suivante $$\mathscr{C}_{k}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}') =\displaystyle \bigoplus_{p+q+r=k}\mathscr{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}')$ $ o\`{u} $\mathscr{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*})$ designe l'espace des formes différentielles de bidegre $(p, q)$ en $(z, \zeta)$ et de degre $r$ en X. La connexion A se décompose en $\Delta^{\prime}+\Delta^{\prime\prime}$ ou $$\Delta^{\prime}$ : $\mathscr{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}^{*})\rightarrow \mathscr{C}_{p+1,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}')$ $ $Delta^{\prime\prime}$ : $\mathscr{C}_{p,q,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}')$ $$\rightarrow \mathscr{C}_{p,q+1,r}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}') \oplus \mathscr{C}_{p,q,r+1}^{\infty}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1],\overline{\mathrm{E}}')$. $ \'{E}tudions l'expression de $\Delta$ en coordonnées locales. Choisissons une trivialisation de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ et notons $v^{*}$ l'expression d'une section $t^{*}$ de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ alsso $$ \Delta^{\prime}t^{*}=\overline{\mathrm{H}}(\partial_{z,\zeta}(\overline{\mathrm{H}}^{-1}v^{*})) $$ 011 $\mathrm{H}$ est la matrice de la métrique 0 dans la trivialisation correspondante de $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ $$\Delta^{\prime\prime}t^{*}=(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})v^{*}$. $ Soit $\mathrm{D}$ un ouvert relativement compact, à bord $\mathscr{C}^{1}$ par morceau de $\mathrm{M}$ et $(s^{*}, \chi^{*})$ une section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ ({\it cf}. \S 1). Comme Henkin et Leiterer ([3], \S 4. 5), on pose pour tout $\lambda\in[0,1], z\in \mathrm{D}$ et $\zeta\in \mathrm{V}_{\partial \mathrm{D}}^{\prime}$ tel que $\langle s^{*}(z, \zeta), s(z, \zeta)\rangle\neq 0$ $(4.1) $t^{*}(z, \displaystyle \zeta, \lambda)=(1-\lambda)\frac{s^{*}(z,\zeta)}{\langle s^{*}(z,\zeta),s(z,\zeta)\rangle}+\lambda\frac{\hat{s}(z,\zeta)}{|s(z,\zeta)|_{9}^{2}}$. $ D'apres les proPriétés de $\varphi, s$ et $s^{*}$ l'application $$ (z, \zeta, \lambda)\mapsto\varphi^{\max(\chi,\chi^{*})}(z, \zeta)t^{*}(z, \zeta, \lambda) $$ definit une section $\mathscr{C}^{1}$ de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$ sur un voisinage de $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}\times[0,1]$ dans $\mathrm{D}\times \mathrm{M}\times[0,1]$. On en deduit que pour tout entier $\displaystyle \mathrm{v}\geqq\max(\chi, \chi^{*})$ la forme différentielle $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=(-1)^{n-1}/(2\pi)^{n}\varphi^{\mathrm{v}n} \langle t^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$ est continue sur un voisinage de $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}\times[0,1]$ dans $\mathrm{D}\times \mathrm{M}\times[0,1]$. LEMME 4. 1. -- {\it On a les egalites suivantes} $$ \overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s,}s)|_{\lambda=0}=\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s) $$ $$\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)|_{\lambda=1}=\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$. $ {\it Demonstration}. -- D'apres l'expression (4. 1) de $t^{*}$ il suffit de montrer que pour toute fonction $\mu$ de classe $\mathscr{C}^{1},$ définie sur un ouvert de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ contenant le domaine de définition d'une section $s^{*}$ de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ on a $$\langle \mu s^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}(\mu s^{*}), \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}=\mu^{n} \langle s^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}s^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$; $ on appliquera cette formule successivement avec $\mu=\langle s^{*}, s\rangle^{-1}$ pour $\lambda=0$ et $\mu=\langle\hat{s}, s\rangle^{-1}=|s|_{9}^{-2}, s^{*}=\hat{s}$ pour $\lambda=1$. La formule résulte elle-meme immediatement du fait que $$\langle \mu s^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle d^{\prime\prime}\mu\wedge s^{*}, \mathrm{D}s\rangle=-\mu d^{\prime\prime}\mu\wedge\langle s^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle s^{*}, \mathrm{D}s\rangle=0$. $ LEMME 4. 2. -- {\it Soit} $\mathrm{W}\times[0,1]$ {\it le domaine de definition de} $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s), \mathrm{W}\subset \mathrm{D}\times$ M. {\it Pour tout} $(z, \zeta, \lambda)\in \mathrm{W}\times[0,1]$, {\it on} $a$ $(\displaystyle \overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=\frac{(-1)^{n-1}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}[\langle t^{*}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1}$ $$+(n-1) \langle t^{*}, \mathrm{D}s\rangle\wedge\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s\rangle\wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}]$. $ {\it Si de plus} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, {\it on} a $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=0$. {\it Demonstration} : $$ (\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=\frac{(-1)^{n}}{(2\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}[(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}+\langle t^{*}, \mathrm{D}^{2}s\rangle\wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-1} $$ $$-(n-1) \langle t^{*}, \mathrm{D}s\rangle(\langle\Delta^{\prime\prime 2}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle-\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}^{2}s\rangle)$ $$ \wedge(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n-2}] $$ $ or $\Delta^{\prime\prime 2}=0, \mathrm{D}^{2}s=c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))\wedge s$. Considerons une trivialisation de $\overline{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}\times[0,1])$, soit $v^{*}$ l'expression de $t^{*}$ dams cette trivialisation et $u$ l'expression de $s$ dans la trivialisation correspondante de $\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ $\varphi^{\mathrm{v}n}(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}$ $=(-1)^{n(n-1)/2}n$ ! $(_{j}\displaystyle \bigwedge_{=1}^{n}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})(\varphi^{\mathrm{v}}v_{j}^{*}))\wedge\left( n & \\ \wedge du_{\mathrm{k}}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge & u)_{k}\\ k=1 & \right)$. On reprend alors la démonstration du lemme 4. 5.4 de [3] : on a $\displaystyle \sum_{k=1}\varphi^{\mathrm{v}}v_{k}^{*}u_{k}=\varphi^{\mathrm{v}}$ par définition de $t^{*}$ les fonctions $\varphi$ et $u_{k}$ etant holomorphes en $(z, \zeta)$ et independantes de $\lambda$, on en deduit $$ \sum_{k=1}^{n}u_{k}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})(\varphi^{\mathrm{v}}v_{k}^{*})=0 $$ $$ n $$ d'ou $k1\displaystyle \bigwedge_{=}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})(\varphi^{\mathrm{v}}v_{k}^{*})=0$ car le membre de gauche est continu d'aprés les propriétés des sections de Leray et l'ensemble $\{(z, \zeta, \lambda)\in \mathrm{W}\times[0,1]|s(z, \zeta)\neq 0\}$ est dense dans $\mathrm{W}\times[0,1]$. On a donc : $\varphi^{\mathrm{v}n}(\langle\Delta^{\prime\prime}t^{*}, \mathrm{D}s\rangle)^{n}=0$ et le lemme est démontre. Nous allons mainténant pouvoir généraliser au cas des $(p, q)$-formes différentielles la formule de Koppelman-Leray donnée par Henkin et Leiterer ([3], théorème 4. 5.3). TH\'{E}OR\`{E}ME 4. 3. -- {\it Soient} $\mathrm{D}$ {\it un domaine relativement compact \`{a} bord} $\mathscr{C}^{1}$ {\it par morceaux} {\it de la variété de Stein} $\mathrm{M}, (s^{*}, \chi^{*})$ {\it une section de Leray pour} $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ {\it et} $\mathrm{v}$ {\it un entier plus} {\it grand que} $\displaystyle \max(2\chi, \chi^{*})$. {\it On suppose de plus que toutes les derivees de} $(\varphi^{\mathrm{v}}s^{*}/\langle s^{*}, s\rangle)(z, \zeta)$ {\it qui sont d}'{\it ordre} $\leqq 2$ {\it en} $z$ {\it et d}'{\it ordre} $\leqq 1$ {\it en} $\zeta$ {\it sont continues pour tout} $(z, \zeta)$ {\it dans un} {\it voisinage} $\mathrm{W}$ {\it de} $\mathrm{D}\times\partial \mathrm{D}$ {\it dans} $\mathrm{D}\times$ M. {\it Alors pour toute} $(p, q)$-{\it forme différentielle} $f$ {\it continue} {\it sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}}, 0\leqq p, q\leqq n$, {\it on} $a$ $(-l)^{} f(z)=\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)(z, \zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}\mathrm{f}(\zeta)\wedge\Omega_{\mathrm{q}}^{\mathrm{p}}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ $$ -\int_{(\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{Dxl}0}.1\mathrm{l}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda) $$ $$ +\overline{\partial}_{z}(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta) $$ $$ +\int_{(\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\times \mathrm{l}0},1\mathrm{l}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda)) $$ $$+(-1)^{p+q+1}[\displaystyle \int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{P}_{q}^{p}(z, \zeta)-\int_{(\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{D}\mathrm{x}[0,1]}f(\zeta)\wedge \mathrm{Q}_{q}^{p}(z, \zeta, \lambda)],\ z\in \mathrm{D}$, $ {\it o\`{u}} $\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s), \Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s),\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s), \mathrm{P}_{q}^{p}$ et $\wedge \mathrm{Q}_{q}^{p}$ {\it designent respectivement les parties} {\it de type} $(p, q)$ en $z$ {\it de} $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s),\ \tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s, s),\ \overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s, s),\ \overline{\partial}_{z,\zeta}\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$, $(\overline{\partial}_{z.\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$. {\it Remarque} 1. -- Si $p=0, \mathrm{P}_{q}^{p}=\mathrm{Q}_{q}^{p}=0$ car $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$ est de bidegre $(1, 1)$ en $z$, on retrouve donc la formule (4. 5. 32) de [3]. {\it Remarque} 2. -- Si la metrique 0 est telle que $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$ alors $\mathrm{P}_{q}^{p}=\mathrm{q}=0$ et on obtient la généralisation aux variétés de Stein de la formule de Koppelman-Leray pour les $(p, q)$-formes différentielles de $\mathbb{C}^{n}$. En suivant la méthode utilisee par Henkin et Leiterer dans la dimonstration du théorème 4. 5.3 de [3], il suffit, pour prouver le théorème 4. 3, d'appliquer la formule de Stokes à la forme différentielle $f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$. COROLLAIRE 4.4. -- {\it Sous les hypotheses du théorème} 4. 3, {\it si de plus} $s^{*}(z, \zeta)$ {\it depend} {\it holomorphiquement de} $z\in \mathrm{D}, q\geqq 1$ {\it et} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$, {\it alors} $f(z)=(-1)^{p+q}[\displaystyle \overline{\partial}_{Z}(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{V}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ $$ +\int_{(\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{Dx}[0,1]}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda))-(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta) $$ $$+\displaystyle \int_{(\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{Dx}[0,1]}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda))]$. $ {\it En particulier pour toute} $(p, q)$-{\it forme différentielle continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f=0$ {\it sur} $\mathrm{D}$ $g(z)=(-1)^{p+q}(\displaystyle \int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge\Omega_{q-1}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ $$ +\int_{(\zeta,\lambda)\in\partial \mathrm{Dx}[0,1]}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta, \lambda)) $$ {\it est une solution continue de l}'{\it equation} $\overline{\partial}g=f$ {\it dans} D. {\it Demonstration}. -- Cela se deduit immediatement du théorème 4. 3 car si $s^{*}(z, ()$ est holomorphe en $z, \Omega_{q}^{p}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)=0$ dis que $q\geqq 1$ et comme $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0\mathrm{P}_{q}^{p}=\mathrm{Q}_{q}^{p}=0$ d'apres les lemmes 2. 1 et 4.2. Nous allons mainténant prouver une autre formule de Leray-Koppelman, analogue a celle du théorème 1 de [1]. Une telle formule pourrait permettre d'aborder des probleras de division dans les ouverts des variétés de Stein comme l'a fait Berndtsson [9] pour lrr ouverts de $\mathbb{C}^{n}$. Dans toute la suite du paragraphe, on considerera un domaine $\mathrm{D}$ relativement compact a bord $\mathscr{C}^{1}$ par morceaux de la variété de Stein $\mathrm{M}, (s^{*}, \chi^{*})$ une section de Leray pour $(\mathrm{D}, s, \varphi)$ vérifiant : $\bullet s^{*}$ est une section de classe $\mathscr{C}^{2}$ de $\tilde{\mathrm{T}}^{*}(\mathrm{M}\times \mathrm{M})$ definie sur $\overline{\mathrm{D}}\times$ D. $\bullet$ Pour tout compact $\mathrm{L}$ de $\mathrm{D}$, il existe des constantes positives $c_{1}(\mathrm{L}), c_{2}(\mathrm{L})$ et $\eta(\mathrm{L})$ telles que si $d(z, \zeta)$ designe la distance entre $z, \zeta$ on ait $$ |s^{*}(z, \zeta)|_{9^{*}}\leqq c_{1}(\mathrm{L})d(z, \zeta) $$ $$ |\langle s^{*}(z, \zeta), s(z, \zeta)\rangle|\geqq c_{2}(\mathrm{L})(d(z, \zeta))^{2} $$ si $d(z, \zeta)<\eta(\mathrm{L})$ pour $\zeta\in\overline{\mathrm{D}}$ et $z\in \mathrm{L}$. Remarquons que de telles sections existent: par exemple $\hat{s}$. On désignera par $\mathrm{K}$ une forme différentielle de classe $\mathscr{C}^{1}$ sur $\overline{\mathrm{D}}\times\overline{\mathrm{D}}\backslash \Delta(\overline{\mathrm{D}})$ de degre {\it 2} $n-1$ telle que : 1. $d\mathrm{K}=\mathrm{R}$ sur $\overline{\mathrm{D}}\times\overline{\mathrm{D}}\backslash \Delta(\overline{\mathrm{D}})$, ou $\mathrm{R}$ est une forme différentielle localement intégrable sur $\overline{\mathrm{D}}\times$ D. 2. Pour tout compact $\mathrm{L}$ de $\mathrm{D}$ il existe une constante $c_{3}(\mathrm{L})$ telle que $$|\mathrm{K}-\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)|\leqq c_{3}(\mathrm{L})(d(z, \zeta))^{-2n+2}$ si $\zeta\in\overline{\mathrm{D}}$ et $z\in \mathrm{L}$. $ 3. $\mathrm{K}$ est de bidegre $(n, n-1)$. TH\'{E}OR\`{E}ME 4. 5. -- {\it Sous les hypotheses ci-dessus, si} $f$ {\it est une} $(p, q)$-{\it forme différentielle} {\it continue sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}}, 0\leqq p, q\leqq n$, {\it on a pour tout} $z\in \mathrm{D}$ $(-1)^{p+q}f(z)=\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{q}^{p}(z, \zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{q}^{p}(z, \zeta)$ $$+\displaystyle \overline{\partial}_{z}[\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{q-1}^{p}(z, \zeta)]+(-1)^{p+q-1}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{R}_{q}^{p}(z, \zeta)$. $ $\mathrm{K}_{q}^{p}, \mathrm{R}_{q}^{p}$ {\it designant les composantes de bidegre} $(p, q)$ {\it en} $z$ {\it et} $(n-p, n-q-1)$ {\it en} $\zeta$ {\it de} $\mathrm{K}$ {\it et} $\mathrm{R}$, {\it avec la convention} $\mathrm{K}_{p,-1}=0$. {\it Demonstration}. -- La démonstration est analogue à celle de la formule de Koppelman (théorème 2.2) ({\it voir} aussi [1] démonstration du théorème 1). Grâce aux propriétés 1 et 3 du noyau $\mathrm{K}$ en appliquant la méthode utilisee au début de la démonstration du théorème 2.2 on se ramene à démontrer la formule 2.4 ou $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)$ est remplace par $\mathrm{K}$, soit en gardant les memes notations $$\displaystyle \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{(z,\zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\mathrm{x}\mathrm{U})}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}(z, \zeta)\wedge g(z)=(-1)^{p+q}\int_{z\in \mathrm{V}}f(z)\wedge g(z)$. $ De plus d'apres la propriété 2 de $\mathrm{K}$, il suffit de démontrer ce résultat pour $\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$. Puisque nous l'avons deja démontre lorsque $s^{*}=\hat{s}$ {\it il} suffit de prouver que si $\displaystyle \mathrm{I}_{\epsilon}=\int_{(z,\zeta)\in}$ au, $\cap(\mathrm{VxU})f(\zeta)\wedge\Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)$ $$-\displaystyle \int_{(z}, \zeta)\in\partial \mathrm{U}_{\epsilon}\cap(\mathrm{V}\mathrm{x}\mathrm{U})f(\zeta)\wedge\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{V}},\hat{s}, S)(Z, \zeta)\wedge g(z)$ $ on a Jim $\mathrm{I}_{\epsilon}=0$. $$ \epsilon\rightarrow 0 $$ Dans $\mathrm{V}\times \mathrm{U}\times[0,1]$ on considere la variété à bord $$ \mathrm{X}_{\epsilon}=\{(z, \zeta)\in \mathrm{V}\times \mathrm{U}|d(z, \zeta)=\epsilon\}\times[0,1] $$ on a $$\partial \mathrm{X}_{\epsilon}=\{d(z, \zeta)=\epsilon\}\times\{1\}\cup\{d(z, \zeta)=\epsilon\}\times\{0\}$. $ On va appliquer la formule de Stokes à la forme différentielle $$ f(\zeta)\wedge\Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge g(z) $$ et \`{a} la variété à bord $\mathrm{X}_{\epsilon}$ : $$\displaystyle \int_{\partial \mathrm{X}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)=\int_{\mathrm{x}_{\epsilon}}d_{z,\zeta,\lambda}(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z))$. $ Grâce au lemme 4.1 on a par définition de $\partial \mathrm{X}_{\epsilon}$ $$\displaystyle \mathrm{I}_{\epsilon}=-\int_{\partial \mathrm{X}_{\epsilon}}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)$. $ Par des considérations de degre on voit que $d_{z,\zeta,\lambda}(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z))$ $$ =(\overline{\partial}_{z.\zeta}+d_{\lambda})(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)) $$ $$ =\partial_{\zeta}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge g(z)+(-1)^{p+q+1}f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge\partial_{z}g(z) $$ $$+(-1)^{p+q}f(\zeta)\wedge(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)\wedge g(z)$. $ Evaluons $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ et $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ sur $\mathrm{X}_{\epsilon}$. Puisque nous sommes sur $\mathrm{V}\times \mathrm{U}$ nous pouvons exprimer $\Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ en coordonnées locales; si $u, v,$ {\it \^{u}}, $u^{*}$ sont les expressions de $s, t^{*},\hat{s}, s^{*}$ dans les coordonnées choisies on a $$ \Omega(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)=\frac{(n-1)!}{(2\mathrm{i}\pi)^{n}}\varphi^{\mathrm{v}n}(\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}v_{j}\bigwedge_{k\neq j}(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})v_{k})\wedge\left(n\\ \wedge du_{l}+((\mathrm{H}^{-1}\partial \mathrm{H})\wedge u)_{l}\\ l=1\right) $$ En fait seule intérvient la composante $\alpha$ de $\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ de degre 1 en $ d\lambda$. Puisque $$v_{k}=(1-\displaystyle \lambda)\frac{u_{k}^{*}}{\langle u^{*},u\rangle}+\lambda\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle}$, $ car $t^{*}$ est definie par (4. 1) $$ (\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})v_{k}=d\lambda(\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle}-\frac{u_{k}^{*}}{\langle u,u\rangle})*+(1-\lambda)\overline{\partial}_{z,\zeta}(_{*}\frac{u_{k}^{*}}{\langle u,u\rangle})+\lambda\overline{\partial}_{z,\zeta}(\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle}) $$ $\alpha$ vérifie alors d'apres les estimations (4.2) et la définition de $\hat{s}$ $$ |\alpha|<\mathrm{C}|v||\frac{\hat{u}_{k}}{\langle\hat{u},u\rangle}-\frac{u_{k}^{*}}{\langle u^{*},u\rangle}|(d(z, \zeta))^{-2n+4}\leqq \mathrm{C}^{\prime}(d(z, \zeta))^{-2n+2} $$ pour $\zeta\in \mathrm{U}$ et $z\in \mathrm{V}$ compact de D. De meme en utilisant l'expression de $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ donnee dans le lemme 4.2 ainsi que la définition de $\hat{s}$ et les estimations (4.2) vérifiees par $s^{*}$, on voit que la composante $\beta$ de $(\overline{\partial}_{z,\zeta}+d_{\lambda})\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)$ de degre 1 en $ d\lambda$ vérifie $|\beta|=0(d(z, \zeta)^{-2n+3})$ sur $\mathrm{V}\times \mathrm{U}$ au voisinage de la diagonale. Par conséquent $$ d_{z,\zeta,\lambda}(f(\zeta)\wedge\overline{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*},\hat{s}, s)(z, \zeta)\wedge g(z)) $$ est un $O(d(z, \zeta)^{-2\mathrm{n}+2})$ et comme la mesure de $\mathrm{X}_{\epsilon}$ est un $O(\epsilon^{2n-1})$, on obtient $Jim $\mathrm{I}_{\epsilon}=0$. $$ \epsilon\rightarrow 0 $$ $ On peut egalement deduire du théorème 4. 5le corollaire suivant relatif à la résolution du $\overline{\partial}$. COROLLAIRE 4.6. -- {\it Sous les hypotheses du théorème} 4. 5, {\it si de plus} $s^{*}(z, \zeta)$ {\it depend} {\it holomorphiquement de} $z\in \mathrm{D}$ {\it et si} $d\mathrm{K}=0$, {\it pour toute} $(p, q)$-{\it forme différentielle} $f$ {\it continue} {\it sur} $\overline{\mathrm{D}}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f=0$ {\it sur} $\mathrm{D}, 0\leqq p\leqq n, 1\leqq q\leqq n$, $$ g(z)=(-1)^{p+q}(\int_{\zeta\in \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{q-1}^{p}(z, \zeta)) $$ {\it est une solution continue de} $\overline{\partial}g=f$ {\it dans} D. {\it Remarque} 3. -- Pour obtenir un noyau $\mathrm{K}$ vérifiant $d\mathrm{K}=0$, il suffit de prendre $\mathrm{K}=\tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}}, s^{*}, s)$ dans un cas ou la metrique 9 peut-etre choisie telle que $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$. {\it Remarque} 4. -- Henkin et Leiterer ont construit dans [3] une section $s^{*}$ vérifiant les hypoth\`{e}ses du corollaire 4. 4 lorsque le domaine $\mathrm{D}$ est supposé strictement pseudoconvexe de classe $\mathscr{C}^{2}$. On peut en deduire par des méthodes analogues à celles de Kerzman [4] dans $\mathbb{C}^{n}$ une section $s^{*}$ vérifiant les hypothéses du corollaire 4. 6et une solution du a vérifiant les estimées $\mathrm{L}^{p}$. {\it Remarque} 5. -- Lorsque $f$ est une $p$-forme différentielle holomorphe le théorème 4. 5 nous donne si $d\mathrm{K}=0$ la représentation de Cauchy-Leray suivante de $f$ $$f(z)=(-1)^{p}\displaystyle \int_{\partial \mathrm{D}}f(\zeta)\wedge \mathrm{K}_{0}^{p}(z, \zeta)$. \section{5}{Noyaux pour les formes différentielles} a valeurs dans un fibre vectoriel holomorphe $ On considere un fibre vectoriel holomorphe $\mathrm{F}$ sur $\mathrm{M}$, et si $\Pi_{1}$ et $\Pi_{2}$ designent les projections de $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ sur $\mathrm{M}, (z, \zeta)\mapsto z$ et $(z, \zeta)\mapsto\zeta$, on notera $\mathrm{G}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\Pi_{2}^{*}\mathrm{F}, \Pi_{1}^{*}\mathrm{F})$; c'est un fibré vectoriel holomorphe sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ dont les fibres sont données par $\mathrm{G}_{(z,\zeta)}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{F}_{\zeta}, \mathrm{F}_{z})$. Nous allons construire un noyau $\Lambda,$ c'est-\`{a}-dire une forme différentielle $\mathscr{C}^{1}$ sur $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ à valeurs dans le fibré vectoriel $\mathrm{G}$, qui nous permettra d'obtenir une formule de Koppelman pour les formes différentielles à valeurs dans le fibre F. LEMME 5. 1. --{\it Il existe une section holomorphe} $\psi$ {\it de} $\mathrm{G}$ {\it vérifiant} (i) $\psi(z, z)=\mathrm{Id}_{\mathrm{F}_{Z}}$ {\it pour tout} $z\in \mathrm{M}$. {\it Demonstration}. -- Appliquons le théorème $\mathrm{B}$ de Cartan au faisceau $\mathrm{G}\otimes J_{\Delta}$ dans la srnte exacte $$0\rightarrow \mathrm{G}\otimes \mathscr{J}_{\Delta}\rightarrow \mathrm{G}\rightarrow \mathrm{G}|_{\Delta}\rightarrow 0$, $ o\`{u} $\mathscr{J}_{\Delta}$ désigne l'idéal de la diagonale. II en résulte que le morphisme de restriction $$ \mathrm{H}^{0}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}, \mathrm{G})\rightarrow \mathrm{H}^{0}(\Delta, \mathrm{G}|_{\Delta})\simeq \mathrm{H}^{0}(\mathrm{M}, \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{F}, \mathrm{F})) $$ est surjectif, d'o\`{u} le lemme. PROPOSITION 5.2. -- {\it La forme différentielle} A $(z, \zeta)=\psi(z, \langle) \tilde{\Omega}(\varphi^{\mathrm{v}},\hat{s}, s)(z, \zeta)$ {\it est de} {\it classe} $\mathscr{C}^{1}$ {\it sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}\backslash \Delta(\mathrm{M})$ {\it et} à {\it valeur dans} $\mathrm{G}$, {\it elle vérifie} $$\overline{\partial}\Lambda=[\Delta].\ \mathrm{Id}_{\mathrm{F}}+\mathrm{P}.\psi$$ {\it o\`{u}} $[\Delta]$ {\it est le courant d}'{\it intégration sur la diagonale} $\Delta$ {\it de} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{P}$ {\it une forme différentielle} {\it localement intégrable sur} $\mathrm{M}\times \mathrm{M}$ {\it proportionnelle \`{a}} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))$. {\it En particulier si} $c(\tilde{\mathrm{T}}(\mathrm{M}\times \mathrm{M}))=0$ {\it on} $a\overline{\partial}\Lambda=[\Delta]$ . $\mathrm{Id}_{\mathrm{F}}$. {\it Demonstration}. -- II suffit d'appliquer le lemme 5. 1et le corollaire 2. 3 pour obtenir la proposition. Le courant d'intégration sur la diagonale [A], apparait donc 1C1 egalement comme le residu de la forme différentielle A. On en deduit alors immediatement la formule de Koppelman suivante pour les formes différentielles à valeurs dans le fibré vectoriel F. COROLLAIRE 5.3. -- {\it Soient} $\mathrm{D}$ {\it un domaine relativement compact \`{a} bord} $\mathscr{C}^{1}$ {\it par morceaux} {\it de la variété de Stein} $\mathrm{M}$ {\it et} $\mathrm{v}\geqq 2\chi$. {\it Si} $f$ {\it est une} $(p, q)- fo$ rme {\it différentielle continue sur} $\overline{\mathrm{D}},$ {\it \`{a}} {\it valeurs dans} $\mathrm{F}$ {\it telle que} $\overline{\partial}f$ {\it soit aussi continue sur} $\overline{\mathrm{D}}, 0\leqq p, q\leqq n$, {\it on a pour} $z\in \mathrm{D}$ $f(z)=[\displaystyle \int_{\zeta\in\partial \mathrm{D}}\Lambda(z, \zeta)\wedge f(\zeta)-\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\Lambda(z, \zeta)\wedge\overline{\partial}_{\zeta}f(\zeta)$ $$+\displaystyle \overline{\partial}_{z}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\Lambda(z, \zeta)\wedge f(\zeta)+(-1)^{p+q+1}\int_{\zeta\in \mathrm{D}}\mathrm{P}(z, \zeta)\psi(z, \zeta)\wedge f(\zeta)]$. $ {\it Remarque}. -- Le noyau que nous venons de construire pour les formes différentielles a valeurs dans un fibre vectoriel permet de ramener le cas des $(p, q)$-{\it formes} différentielles a celui des $(0, q)$-formes différentielles; en effet $$\mathscr{C}_{p,q}^{\infty}(\mathrm{M}, \mathrm{F})\simeq \mathscr{C}_{0,q}^{\infty}(\mathrm{M}, \Lambda^{p}\mathrm{T}^{*}\mathrm{M}\otimes \mathrm{F})$. $ Ceci permet de faire disparaitre le terme en courbure $\mathrm{P}_{q}^{p}$ dans toutes les formules de Koppelman. 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