% This file is a solution template for:
% - Giving a talk on some subject.
% - The talk is between 15min and 45min long.
% - Style is ornate.
% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 

\setbeamersize{text margin left=1.5em}
\setbeamersize{text margin right=1.5em}

\newcommand\wider[2][3em]{%
\makebox[\linewidth][c]{%
  \begin{minipage}{\dimexpr\textwidth+#1\relax}
  \raggedright#2
  \end{minipage}%
  }%
}

\catcode`\@=11

\def\normalframenumbering{{\number\c@framenumber/\inserttotalframenumber}}

\def\detailedframenumbering{{\number\c@framenumber/\inserttotalframenumber${}
^{[\ifnum\beamer@slideinframe=\beamer@minimum
\number\beamer@slideinframe\else\advance\beamer@slideinframe by -1{}
\number\beamer@slideinframe\advance\beamer@slideinframe by 1{}\fi{:}
\number\c@page]}$}}

\newcount \c@refinit 
\def\biblioframenumbering{Ref.~\advance\c@page by -\c@refinit \number\c@page
\advance\c@page by \c@refinit${}^{[\number\c@page]}$}
\def\setbibliopages{\c@refinit=\c@page \advance \c@refinit by -1{}
\let\framenumbering=\biblioframenumbering}

\catcode`\@=12

\mode<presentation>
% \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10,
% top=blue!10]
\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme[onlysmall]{structurebold}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[english]{babel}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8}
\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\definecolor{Blank}{rgb}{1,1,1}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}
\def\blank#1{{\color{Blank}#1}}

\let\framenumbering=\normalframenumbering


\catcode`\@=12

\font\tenmathx=mathx10
\font\eightmathx=mathx8
\font\sevenmathx=mathx7
\font\fivemathx=mathx5
\newfam\mathxfam
  \textfont\mathxfam=\tenmathx
  \scriptfont\mathxfam=\sevenmathx
  \scriptscriptfont\mathxfam=\fivemathx
\def\mathx{\fam\mathxfam\tenmathx}
\def\mathxtype{\hexnbr\mathxfam}

\def\overacute{\mathaccent"0\mathxtype79}
\def\overobtuse{\mathaccent"0\mathxtype7D}

\title[\ \kern-190pt\rlap{\blank{J.-P.\ Demailly (Grenoble), Colloquium de math.\ de l'UPPA}}\kern181pt\rlap{\blank{\'Equations d’Einstein et vari\'et\'es de Calabi-Yau}}\kern181pt\llap{\blank{\framenumbering~}}\kern-10pt]
% (optional, use only with long paper titles)
{\'Equations d’Einstein,\\
interactions fondamentales de la physique,\\
courbure et variétés de Calabi-Yau}

%% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional)

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Jean-Pierre Demailly}

\institute[]{Institut Fourier, Universit\'e Grenoble Alpes, France}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[]% (optional)
{16 f\'evrier 2017 / Colloquium de l'Université de Pau}

%%\subject{Talks}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}

\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}

\def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex}
\def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar
    \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\reg}{\operatorname{reg}}
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}

\newcommand{\bB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\bD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}

\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\cF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\cI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\cK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\cO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\cX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\dbar}{\overline\partial}
\newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}}

% mathematical operators
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits}
\newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\newcommand{\diam}{\mathop{\rm diam}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}

\newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits}
\newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}}
\newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits}
\newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits}
\newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits}
\newcommand{\alg}{{\rm alg}}
\newcommand{\nef}{{\rm nef}}
\newcommand{\num}{\nu}
\newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}}
\newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}}

\def\ovl{\overline}
\def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}
\def\Ricci{\mathop{\hbox{\rm Ricci}}\nolimits}

\def\lguil{\hbox{%
\raise1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\kern1pt$}}}
\def\rguil{\hbox{%
\raise1pt\hbox{$\kern1pt\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}}

\begin{document}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%%\AtBeginSubsection[]
%%{
%% \begin{frame}<beamer>
%%    \frametitle{Outline}
%%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%%  \end{frame}
%%}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\begin{frame}
  \pgfdeclareimage[height=2cm]{uga-logo}{logo_UGA}
  \pgfuseimage{uga-logo}
  \pgfdeclareimage[height=2cm]{acad-logo}{academie_logo2}
  \pgfuseimage{acad-logo}
  \titlepage
\end{frame}

%%\begin{frame}
%%  \frametitle{Outline}
%%  \tableofcontents
%% You might wish to add the option [pausesections]
%%\end{frame}


% Since this a solution template for a generic talk, very little can
% be said about how it should be structured. However, the talk length
% of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to
% the following rules:  

% - Exactly two or three sections (other than the summary).
% - At *most* three subsections per section.
% - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about
%   15 and 30 frames, all told.

%% \section*{Basic concepts}
\def\pause{}

\begin{frame}
 \frametitle{Espace-temps einsteinien}
 Selon Einstein et sa th\'eorie de la relativit\'e g\'en\'erale (1907--1915), 
 \alert{nous vivons dans un espace-temps de dimension 4, courb\'e sous 
l'influence du champ gravitationnel~:}
 \vskip8pt
 \hbox{$\strut$\kern-8mm
 \pgfdeclareimage[height=5.4cm]{espace-temps-courbe}{espace-temps-courbe}
 \pgfuseimage{espace-temps-courbe}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{``Trous noirs'' et ``trous de ver'' ?}

 \vskip8pt
\hbox{\strut\kern-8mm \pgfdeclareimage[height=4cm]{trou-noir}{trou-noir}
 \pgfuseimage{trou-noir}}\vskip-4.5cm\pause
 \hbox{\strut\kern51mm\pgfdeclareimage[height=4cm]{trou-de-ver}{trou-de-ver}
 \pgfuseimage{trou-de-ver}} \strut
 \pause
 \vskip8pt
 La question de savoir si l'univers est \alert{ouvert ou ferm\'e} agite 
 beaucoup les astrophysiciens : cela d\'epend de la densit\'e de mati\`ere
 pr\'esente dans l'univers ... seule une densit\'e suffisante permettrait
 qu'il se referme sur lui-m\^eme.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Ondes gravitationnelles}
La relativité générale a reçu récemment une confirmation très
importante, grâce à la détection des \alert{ondes gravitationnelles} par 
l'instrument LIGO en septembre 2015.
\vskip13pt
 \hbox{\strut\kern0.75cm
 \pgfdeclareimage[height=5.2cm]{ondes-gravitationnelles}{ondes_gravitationnelles}
 \pgfuseimage{ondes-gravitationnelles}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Comment calcule-t-on la courbure ?}
 Une courbe et son \alert{cercle osculateur} de rayon $r$
 \vskip8pt
 \hbox{\strut\kern1.5cm
 \pgfdeclareimage[height=6cm]{cercle-osculateur}{cercle-osculateur}
 \pgfuseimage{cercle-osculateur}}
 \vskip4pt
 Si le rayon \alert{$r=\infty$}, la courbure $K$ est \alert{nulle}.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Coefficients de courbure d'une surface}
\strut\kern-5mm Les deux courbures d'une surface dans un espace de dimension~3
 \vskip5pt
 \hbox{\strut\kern1.5cm
 \pgfdeclareimage[height=5.5cm]{surface-courbures}{surface-courbures}
 \pgfuseimage{surface-courbures}}
 $$K_1={1\over r_1}>0,\kern3cm K_2={1\over r_2}<0$$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La courbure moyenne}
 Courbure moyenne : \alert{$\displaystyle M={1\over 2}(K_1+K_2)$}\\
 Une bulle de savon ``libre'' est de courbure moyenne nulle en tout point~:
 \alert{$K_1=-K_2$,~~~ $M=0$}
 \vskip5pt
 \hbox{%
 \pgfdeclareimage[height=5cm]{bulle-catenoide}{bulle-catenoide}
 \pgfuseimage{bulle-catenoide}\kern1.2cm
 \vbox{Cat\'eno\"{\i}de:\\ \alert{$x= a~\cosh u~\cos\theta$\\
  $y= a~\cosh u~\sin\theta$\\ $z= a u$}}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La courbure de Gauss}
 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : \alert{$K=K_1\times K_2$ est invariant
 par d\'eformation d'une surface inextensible}
 \hbox{\claim{(theorema egregium)\kern-4mm}}
 \vskip8pt
\hbox{\pgfdeclareimage[height=5cm]{gauss}{gauss}
 \pgfuseimage{gauss}}\vskip-4.5cm\pause
 \hbox{\strut\kern41mm\pgfdeclareimage[height=5cm]{gauss-courbure}{gauss-courbure}
 \pgfuseimage{gauss-courbure}}
 \vskip4pt
 \pause
 Le cylindre peut s'aplatir, pas la sph\`ere ni le cat\'eno\"{\i}de.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La courbure de Gauss (formule de Gauss-Bonnet)}
 \pgfdeclareimage[height=5cm]{triangle-hyperbolique}{triangle-hyperbolique}
 \pgfuseimage{triangle-hyperbolique}\kern1.2cm
 \alert{
 $$\hbox{somme des angles d'un triangle g\'eod\'esique}=\pi+\int\!\!\!\int_T K\,dS$$}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Espace homog\`ene / localement sym\'etrique ?}
 Un espace $X$ est dit \alert{sym\'etrique} s'il admet un tout point une
 ``sym\'etrie'' par rapport \`a ce point
 \vskip2pt
 \hbox{
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{escher-hyperbolique}{escher-hyperbolique}
 \pgfuseimage{escher-hyperbolique}\kern1.2cm
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{escher-hyperbolique2}{escher-hyperbolique2}
 \pgfuseimage{escher-hyperbolique2}}
 \vskip4pt
 Dans ce cas il admet un \alert{groupe de transformations isom\'etriques $G$}
 et $X$ est un \alert{espace homog\`ene $G/H$}.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Mais l'univers n'est pas homog\`ene...}
 \hbox{\pgfdeclareimage[height=6cm]{galaxies}{galaxies}
 \pgfuseimage{galaxies}\kern2cm\vbox{''Grumeaux''\\ de galaxies}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{M\'etrique riemannienne / Tenseur de courbure}
  Bernhard Riemann (1826--1866) / espace \`a $n$ dimensions
 \vskip5pt
 \hbox{
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{riemann}{riemann}
 \pgfuseimage{riemann}\kern1cm
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{levi-civita}{levi-civita}
 \pgfuseimage{levi-civita}}
 \vskip-15pt
\alert{ $$
 ds^2=\sum g_{\alpha\beta}(x)\,dx^{\alpha}dx^{\beta}\kern2cm
 R^{\delta}_{\alpha\beta\gamma},\quad 1\le\alpha,\beta,\gamma,\delta\le n.
 $$}
 \vskip-10pt
\hbox{\strut \raise15pt\hbox{M\'etrique riemannienne}\kern 1cm 
\vbox{Tenseur de courbure de Riemann\\ 
(calcul pr\'ecis\'e par Levi-Civita)}\kern-5mm}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Courbure et transport parall\`ele}
 \pgfdeclareimage[height=4cm]{TP1}{TP1}
 \pgfuseimage{TP1}\kern1cm
 \pgfdeclareimage[height=4cm]{transport}{transport}
 \pgfuseimage{transport}\kern1cm
 \pgfdeclareimage[height=4cm]{TP2}{TP2}
 \pgfuseimage{TP2}\kern5mm
 \vbox{$R(a,b)c=d=\lim{1\over\varepsilon^2}(t_\varepsilon(c)-c)$
 \vskip2pt${}$\kern5mm
 \pgfdeclareimage[height=2.8cm]{variation}{variation}
 \pgfuseimage{variation}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Tenseur de Ricci / \'equation d'Einstein}
 Le tenseur de Ricci est une sorte de ``courbure moyenne'' :
 \alert{$$R_{\alpha\beta}=\sum_\gamma  R^{\gamma}_{\alpha\beta\gamma}
=\hbox{trace du tenseur de courbure}$$}
 \pause
\hbox{\strut\kern2cm
\pgfdeclareimage[height=4cm]{albert-einstein}{albert-einstein}
 \pgfuseimage{albert-einstein}}
 \vskip2pt
 \'Equation d'Einstein (1879--1955) de la relativit\'e g\'en\'erale
\alert{$$\displaystyle R_{\alpha\beta}-\Big({1\over 2}R-\Lambda\Big)
g_{\alpha\beta}= {8\pi G\over c^4}T_{\alpha\beta}.$$}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{\'Equation d'Einstein en math\'ematiques}
\vskip-5pt
 Equation ``simplifi\'ee'' (univers vide avec constante
 cosmologique~$\lambda$)
\vskip-10pt
\alert{$$\displaystyle R_{\alpha\beta}=\lambda g_{\alpha\beta},\qquad
\lambda=\hbox{constante}.$$}\pause
Il est intéressant de regarder la même situation en
\alert{géométrie kählérienne}. Une métrique kählérienne sur
une variété complexe $X$ avec des coord.\ holomorphes
$(z_1,\ldots,z_n)$ est une forme hermitienne
$$
\omega(z)=i\sum\nolimits_{1\leq\alpha,\beta\leq n}\omega_{\alpha\beta}(z)
dz^\alpha\wedge d\overline{z^\beta}
$$
telle que $d\omega=0$ en tant que $2$-forme. C'est donc un cas
particulier de la \alert{géométrie symplectique}. \pause
La norme d'un vecteur tangent 
$\xi=\sum\xi^\alpha{\partial\over\partial z^\alpha}\in T_X$
est donnée par
$$
\Vert\xi\Vert_\omega^2=\sum\nolimits_{\alpha,\beta}
\omega_{\alpha\beta}(z)\xi^\alpha\,\overline{\xi^\beta}.
$$\pause
On vérifie qu'il existe en tout point des coordonnées
holomorphes~\hbox{t.q.\kern-20pt}
$$
\omega_{\alpha\beta}(z)=\langle {\partial\over\partial z^\alpha},
{\partial\over\partial z^\beta}\rangle=
\delta_{\alpha\beta}-\sum\nolimits_{j,k}c_{\alpha\beta jk}z^j\,\overline{z^k}
+O(|z|^3).
$$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Tenseur de courbure kählérien et forme de Ricci}
\vskip-6pt  
Le tenseur à 4 indices $(c_{\alpha\beta jk})$ est en fait le tenseur de
courbure du fibré tangent $T_X$ pour la métrique $\omega$. \pause
Si $d\lambda(z)$ est la mesure de lebesgue (euclidienne) sur $\bC^n$,
la forme volume associée à $\omega$ est\vskip-19pt
$$
dV_\omega=\det(\omega_{\alpha\beta})\,d\lambda(z)=
\Big(1-\sum\nolimits_{\alpha,j,k}c_{\alpha\alpha jk}z^j\,\overline{z^k}+O(|z|^3)\Big)
d\lambda(z)
$$
\vskip-4pt
et on trouve\vskip-10pt
$$
\log\det(\omega_{\alpha\beta})=
-\sum\nolimits_{\alpha,j,k}c_{\alpha\alpha jk}z^j\,\overline{z^k}+O(|z|^3).
$$\pause\vskip-3pt
On introduit par définition\vskip-10pt
$$
\Ricci(\omega)_{|z=0}=
\sum\nolimits_{\alpha,j,k}c_{\alpha\alpha jk}dz^j\wedge\overline{dz^k}.
$$\pause\vskip-4pt
Ceci donne la formule fondamentale\vskip-9pt
\alert{$$
\Ricci(\omega)=-i\ddbar\log\det(\omega_{\alpha\beta})
$$}\vskip-16pt
qui s'interprète par le fait que le tenseur de Ricci mesure la
\lguil déviation\rguil\ du volume par rapport à celui d'une métrique plate.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{\'Equation de Kähler-Einstein}
Cette équation demande la \alert{proportionnalité} de la courbure
de Ricci à la métrique kählérienne considérée~:
$$
\alert{\Ricci(\omega)=\lambda\omega.}
$$\pause%
Si on fixe la classe de cohomologie de De Rham de la 2-forme $\omega$
dans $H^2(X,\bR)$ alors $\omega=\omega^0+i\ddbar\varphi$,
$\omega_{\alpha\beta}=\omega^0_{\alpha\beta}+\partial_\alpha\overline\partial_\beta
\varphi$ et l'équation devient
$$
\Ricci(\omega)=-i\ddbar\log\det(\omega^0_{\alpha\beta}+\partial_\alpha\overline\partial_\beta\varphi)=\lambda\omega=\lambda(\omega^0+i\ddbar\varphi),
$$
ce qui équivaut à $\ddbar
\log\det(\omega^0_{\alpha\beta}+\partial_\alpha\overline\partial_\beta\varphi)=
\ddbar(f_0-\lambda\varphi)$, ou encore (quitte à ajuster $f_0$ par une
constante) à\\\alert{l'équation de Monge-Ampère complexe}
$$
\alert{
  \det\Big(\omega^0_{\alpha\beta}(z)+
{\partial^2\varphi\over\partial z^\alpha\partial\overline z^\beta}\Big)=
  e^{f(z)-\lambda\varphi(z)}.}\leqno(*)
$$
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Dimension complexe 1 (surfaces de Riemann)}
  \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{curves1}{curves1}
  \pgfuseimage{curves1}
  \vskip10pt

  \begin{itemize}
  \item $g=0:~X=\bP^1$\kern52pt courbure $T_X>0$~~~
  \hbox{\claim{$\Ricci > 0$}\kern-10pt}\pause
  \item $g=1:~X=\bC/(\bZ+\bZ\tau)$\kern8pt courbure $T_X=0$~~~
  \hbox{\claim{$\Ricci\equiv 0$}\kern-15pt}
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{Courbes de genre $g\geq 2$}
  \pgfdeclareimage[height=3.9cm]{curves2}{curves2}
  \pgfuseimage{curves2}
  \vskip10pt
  deg$\,T_X=2-2g=\chi(X)<0$ par Gauss-Bonnet
  \vskip4pt
  Si $g\ge 2,~~X\simeq \bD/\Gamma$, le revêtement universel de $X$ s'identifie
  au disque $\bD$ (théorème d'uniformisation de Poincaré).\pause\\
  La métrique de Poincaré du disque \alert{$(1-|z|^2)^{-2}|dz|^2$} fournit
  une métrique à courbure constante sur $X=\bD/\Gamma$~: \alert{c'est
  la métrique de Kähler-Einstein.}
 \end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Conj.\ de Calabi / théorème de Aubin-Calabi-Yau}
\pgfdeclareimage[height=3cm]{calabi}{eugenio_calabi}
\pgfuseimage{calabi}\kern8mm
\pgfdeclareimage[height=3cm]{aubin}{aubin}
\pgfuseimage{aubin}\kern8mm
\pgfdeclareimage[height=3cm]{st-yau}{st-yau}
\pgfuseimage{st-yau}\kern8mm
\pgfdeclareimage[height=3cm]{donaldson}{donaldson}
\pgfuseimage{donaldson}
\vskip5pt
\centerline{E.~Calabi\kern1.2cm Th.~Aubin\kern1.2cm S.T.~Yau\kern1.2cm S.~Donaldson}
\vskip8pt
-- (Aubin, 1976) si \alert{$\lambda<0$} (cas d'une variété à classe de Ricci${}<0$)
l'équation $(*)$ a une \alert{solution unique}.\pause\\
-- (Yau 1977) si \alert{$\lambda=0$} (cas d'une variété à classe de Ricci nulle)
l'équation $(*)$ a encore une \alert{solution unique}, telle que
$\Ricci(\omega)\equiv 0$.\pause\\
-- si \alert{$\lambda>0$} (classe de Ricci${}>0$, il  n'y a en général
\alert{ni existence ni unicité} (cf.\ travaux récents de Tian,
Chen-Donaldson-Sun).
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{L'espace projectif complexe}
On se place dans $\bP^N:=(\bC^{N+1}\smallsetminus\{0\})/\bC^*$,
c'est-à-dire les classes d'équivalence $[z_0:z_1:\ldots:z_N]$ de
vecteurs non nuls $(z_0,z_1,\ldots,z_n)$ modulo $\bC^*$.\pause\\
On a des coordonnées affines
$$
\zeta_1={z_1\over z_0},\ldots,\zeta_N={z_N\over z_0}
$$
dans la carte $\{z_N\neq 0\}$, et une métrique kählérienne invariante
par $U(N+1)$, appelée \alert{métrique de Fubini-Study}, telle que
$$
\omega_{\rm FS}([z])=i\ddbar\log\Vert z\Vert^2=i\ddbar\log{\Vert z\Vert^2\over|z_0|^2}=i\ddbar\log(1+\Vert z\Vert^2).
$$\pause%%
Un calcul donne la forme volume
$$
dV_\omega={d\lambda(\zeta)\over (1+\Vert\zeta\Vert)^{N+1}}
$$
d'où
$$
\Ricci(\omega_{\rm FS})=-(N+1)\omega_{\rm FS},
$$
c'est donc une métrique Kähler-Einstein (invariante par $U(N+1)$, mais pas
par ${\rm GL(N+1},\bC)$.\pause\\
Si $X\subset\bP^{n+1}$ est une hypersurface de degré $d$, on montre que
la classe de Ricci est $(d-n-2)\omega_{\rm FS}$.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{\kern-4pt 
Vari\'et\'es de Calabi-Yau, si\`eges des champs de forces?\kern-4pt}
\pgfdeclareimage[height=4.5cm]{calabi-yau2}{calabi-yau2}
 \pgfuseimage{calabi-yau2}
\vskip4pt
Notre univers aurait 6 dimensions suppl\'ementaires ultra-miscroscopiques
(${}\simeq 10^{-35}\,$m) qui seraient le si\`ege des
champs de force (th\'eorie des cordes)... \alert{sous forme d'une vari\'et\'e
de Calabi-Yau de dimension complexe 3}.\\
Celle-ci \'etant de dimension r\'eelle 6, 
ceci am\`ene \`a un univers de $4+6=\alert{10}$ \alert{dimensions}
au total.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sym\'etrie miroir et param\`etres des familles de CY}
La sym\'etrie miroir est une dualit\'e encore quelque peu myst\'erieuse entre les
\alert{param\`etres de d\'eformation} d'une famille de vari\'et\'es de Calabi-Yau $X_a$ 
(c'est-\`a-dire les coefficients $a_*$ des polyn\^omes qui les d\'efinissent), et les
param\`etres associ\'es aux diff\'erentes m\'etriques port\'ees par les membres de la
\alert{``famille duale''} $Y_b$.
\vskip4pt 

Ici ces m\'etriques sont des \alert{``m\'etriques de K\"ahler''}
$\omega=\sqrt{-1}\sum\omega_{\alpha\ovl\beta}dz^\alpha\wedge
d\ovl z^\beta$ (m\'etriques hermitiennes v\'erifiant la propri\'et\'e symplectique
$d\omega=0$) et la nullit\'e de la courbure \alert{Ricci$(\omega)\equiv 0$}. 
\vskip4pt
Elles d\'ependent uniquement
de la classe de cohomologie \alert{$\{\omega\}\in H^{1,1}(Y_b,\bC)$} 
(= param\`etres de la structure m\'etrique des vari\'et\'es $Y_b$).
\end{frame}

\end{document}