\documentclass[12pt]{beamer} \usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps} % For printing instead a handout %\documentclass[handout]{beamer} %\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps} %\usepackage{pgfpages} %\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper,border shrink=5mm] \def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}} \def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi} \font\tenmathx=mathx10 \font\eightmathx=mathx8 \font\sevenmathx=mathxm7 \font\fivemathx=mathxm5 \newfam\mathxfam \textfont\mathxfam=\tenmathx \scriptfont\mathxfam=\sevenmathx \scriptscriptfont\mathxfam=\fivemathx \def\mathx{\fam\mathxfam\tenmathx} \def\mathxtype{\hexnbr\mathxfam} \def\overacute{\mathaccent"0\mathxtype79} \def\overobtuse{\mathaccent"0\mathxtype7D} % This file is a solution template for: % - Giving a talk on some subject. % - The talk is between 15min and 45min long. % - Style is ornate. % Copyright 2004 by Till Tantau . % % In principle, this file can be redistributed and/or modified under % the terms of the GNU Public License, version 2. % % However, this file is supposed to be a template to be modified % for your own needs. For this reason, if you use this file as a % template and not specifically distribute it as part of a another % package/program, I grant the extra permission to freely copy and % modify this file as you see fit and even to delete this copyright % notice. \mode { % \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10, % top=blue!10] \usetheme{Warsaw} \usefonttheme[onlysmall]{structurebold} } % or whatever \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{colortbl} \usepackage[english]{babel} % Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1 % does not look nice, try deleting the line with the fontenc. \title[ \ \kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 14/06/2009\kern53pt Géométrie euclidienne élémentaire] % (optional, use only with long paper titles) {Une approche rigoureuse de la géométrie euclidienne élémentaire transposable dans l'enseignement secondaire} %% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional) \author[] % (optional, use only with lots of authors) {Jean-Pierre Demailly} \institute[]{Institut Fourier, Université de Grenoble I, France} % - Use the \inst command only if there are several affiliations. % - Keep it simple, no one is interested in your street address. \date[]% (optional) {14 juin 2009 / ADIREM / Formation continue / Valpré} %%\subject{Talks} % This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left % out. % If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx % is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex, % resp., then you can add a logo as follows: \definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8} \def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}} \definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0} \def\alert#1{{\color{Alert}#1}} \def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex} \def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\reg}{\operatorname{reg}} \renewcommand{\div}{\operatorname{div}} \newcommand{\bB}{{\mathbb B}} \newcommand{\bC}{{\mathbb C}} \newcommand{\bD}{{\mathbb D}} \newcommand{\bN}{{\mathbb N}} \newcommand{\bP}{{\mathbb P}} \newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\bR}{{\mathbb R}} \newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\cA}{{\mathcal A}} \newcommand{\cC}{{\mathcal C}} \newcommand{\cD}{{\mathcal D}} \newcommand{\cE}{{\mathcal E}} \newcommand{\cF}{{\mathcal F}} \newcommand{\cH}{{\mathcal H}} \newcommand{\cI}{{\mathcal I}} \newcommand{\cK}{{\mathcal K}} \newcommand{\cM}{{\mathcal M}} \newcommand{\cN}{{\mathcal N}} \newcommand{\cO}{{\mathcal O}} \newcommand{\cP}{{\mathcal P}} \newcommand{\cX}{{\mathcal X}} \newcommand{\dbar}{\overline\partial} \newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\wt}{\widetilde} \newcommand{\lra}{\longrightarrow} \newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}} % mathematical operators \renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits} \newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits} \newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits} \newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits} \newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits} \newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits} \newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits} \newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits} \newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits} \newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}} \newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits} \newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits} \newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits} \newcommand{\alg}{{\rm alg}} \newcommand{\nef}{{\rm nef}} \newcommand{\num}{\nu} \newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}} \newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}} % figures inserted as PostScript files \special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/grlib.ps} \long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" #3}}#4$}} \long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}} \def\ovl{\overline} \def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}} \def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3} \begin{document} % Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at % the beginning of each subsection: %%\AtBeginSubsection[] %%{ %% \begin{frame} %% \frametitle{Outline} %% \tableofcontents[currentsection,currentsubsection] %% \end{frame} %%} % If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment % the following command: %\beamerdefaultoverlayspecification{<+->} \begin{frame} \pgfdeclareimage[height=1cm]{acad-logo}{academie} \pgfuseimage{acad-logo} \pgfdeclareimage[height=1cm]{ujf-logo}{logo_ujf} \pgfuseimage{ujf-logo} \titlepage \end{frame} %%\begin{frame} %% \frametitle{Outline} %% \tableofcontents %% You might wish to add the option [pausesections] %%\end{frame} % Since this a solution template for a generic talk, very little can % be said about how it should be structured. However, the talk length % of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to % the following rules: % - Exactly two or three sections (other than the summary). % - At *most* three subsections per section. % - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about % 15 and 30 frames, all told. %% \section*{Basic concepts} %% \def\pause{} \begin{frame} \frametitle{Euclide : axiomatisation de la géométrie} \pgfdeclareimage[height=8cm]{Euclide}{Euclide} \pgfuseimage{Euclide} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Viète et l'algèbre nouvelle} \pgfdeclareimage[height=7cm]{Viete}{Viete} \pgfuseimage{Viete} \pgfdeclareimage[height=7cm]{Algebre}{Algebre} \pgfuseimage{Algebre} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Descartes et la géométrie analytique} \pgfdeclareimage[height=6.25cm]{Descartes}{Descartes} \pgfuseimage{Descartes} \pgfdeclareimage[height=6.25cm]{Methode}{Methode} \pgfuseimage{Methode} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{L'axiomatique de Hilbert} \pgfdeclareimage[height=7cm]{Hilbert}{Hilbert} \pgfuseimage{Hilbert} \pgfdeclareimage[height=7cm]{Fondements}{Fondements} \pgfuseimage{Fondements} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{La réforme des mathématiques modernes} \pgfdeclareimage[height=6.75cm]{Lichnerowicz}{Lichnerowicz} \pgfuseimage{Lichnerowicz} \pgfdeclareimage[height=6.75cm]{QR}{QR} \pgfuseimage{QR} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Raisonnement : aire du disque (fin primaire (?))} $~$\kern5mm disque\kern4cm $\rightarrow$~parallélogramme \vskip3mm \pgfdeclareimage[height=4.2cm]{disque}{disque} $~$\kern-0.8cm\pgfuseimage{disque} \vskip3mm $\displaystyle\pi={P\over D}\Rightarrow P=2\pi R$\kern3cm $\displaystyle{}\simeq{P\over 2}=\pi R$ \vskip-2.7cm $~$\kern11cm$R$ \vskip2.8cm d'où (aire du disque de rayon R) ${}=\pi R\times R=\pi R^2.$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Une approche basée sur la distance} \alert{Notion primitive} : la distance $d(A,B)=AB$. \vskip5pt \claim{Inégalité triangulaire.} {\it Étant donnés trois points $A,B,C$, les distances vérifient toujours $AC\le AB+BC$, autrement dit la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.} \vskip5pt \alert{\it Justification intuitive}. \InsertFig 8.000 25.000 { gsave 0.4 setlinewidth 0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto closepath stroke 50 50 moveto 60.345 24.138 lineto stroke 60.345 24.138 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke 140 0 translate 0 0 moveto 120 60 lineto 100 40 lineto closepath stroke 120 60 moveto 124.138 49.655 lineto stroke 124.138 49.655 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke [3.5 1.5] 0 setdash 100 40 moveto 140 56 lineto stroke grestore} \LabelTeX -3 -3 $A$\ELTX \LabelTeX 16 19 $B$\ELTX \LabelTeX 36 14 $C$\ELTX \LabelTeX 21 5 $H$\ELTX \LabelTeX 46.5 -3 $A$\ELTX \LabelTeX 92 22 $B$\ELTX \LabelTeX 84 11 $C$\ELTX \LabelTeX 93 14.5 $H$\ELTX \EndFig \vskip12pt L'hypoténuse est plus grande que les côtés de l'angle droit~... \end{frame} \begin{frame} \frametitle{On peut déjà donner des définitions rigoureuses} \claim{\bf Segments, droites, demi-droites.} {\it \begin{itemize} \item Étant donné deux points $A$, $B$ du plan ou de l'espace, on appelle segment $[A,B]$ d'extrémités $A$, $B$ l'ensemble des points $M$ tels que $AM+MB=AB$. \item On dit que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés avec $B$ situé entre $A$ et $C$ si $B\in[A,C]$, et on dit qu'ils sont alignés $($sans autre précision$)$ si l'un deux appartient au segment formé par les deux autres. \item Étant donné deux points distincts $A$, $B$, la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ alignés avec $A$ et $B\,$; la demi-droite $[A,B)$ d'origine $A$ contenant $B$ est l'ensemble des points $M$ alignés avec $A$ et $B$ tels que $M$ soit situé entre $A$ et $B$, ou $B$ entre $A$ et $M$. Deux demi-droites de même origine sont dites opposées si leur réunion forme une droite. \end{itemize} } \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Axes : premier lien avec la ``géométrie analytique''} \claim{\bf Définition.} {\it Un axe est une droite $\cD$ muni d'une origine $O$ et d'une orientation, c'est à dire un choix d'un point $I$ situé à une distance égale à l'unité, repéré comme $+1$.} \vskip5pt \InsertFig 5.000 10.000 { gsave 1 mm unit 0.3 setlinewidth 0 setgray 50 0 translate 15 rotate -50 0 moveto 100 0 2.4 vector -10 0 moveto 0.8 0 indent 0 0 moveto 0.8 0 indent 10 0 moveto 0.8 0 indent grestore} \LabelTeX 39 -7.5 $I'$\ELTX \LabelTeX 48 -5.5 $O$\ELTX \LabelTeX 59 -3.5 $I$\ELTX \LabelTeX 37 0.5 $-1$\ELTX \LabelTeX 48 2.5 $0$\ELTX \LabelTeX 57 4.5 $+1$\ELTX \EndFig \vskip1cm \claim{\bf Abscisse d'un point.}\\ $x_M=+OM$ si $M\in[0,I)$,~~ $x_M=-OM$ si $M\in[0,I')$. \vskip5pt \claim{\bf Mesure algébrique.} $\overline{AB}=x_B-x_A=\pm AB$. \vskip5pt \claim{\bf Relation de Chasles.} $\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$.\\ Elle résulte du fait que $(x_B-x_A)+(x_C-x_B)=x_C-x_A$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Droites, plans, parallélisme} \claim{\bf Droites, plans, parallélisme.} {\it \begin{itemize} \item Deux droites $\cD$, $\cD'$ sont dites concourantes si leur intersection est constituée d'exactement un point. \item Un plan $\cP$ est un ensemble de points balayé par les droites $(UV)$ telles que $U$ décrit une droite $\cD$ et $V$ une droite $\cD'$, pour des droites $\cD$ et $\cD'$ concourantes données. Si $A$, $B$, $C$ sont 3 points non alignés, on note $(ABC)$ le plan associé par exemple aux droites $\cD=(AB)$ et $\cD'=(AC)$. \item Deux droites $\cD$ et $\cD'$ sont dites parallèles si elles sont confondues, ou bien si elles sont contenues dans un même plan $\cP$ et ne coupent pas. \end{itemize}} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Angles (secteurs angulaires)} \claim{\bf Angles (secteurs angulaires).} {\it \begin{itemize} \item Un angle aigu $\overacute{BAC}$ $($ou secteur angulaire aigu$)$ défini par deux demi-droites $[A,B)$, $[A,C)$ de même origine et non opposées est l'ensemble balayé par les segments $[U,V]$ avec $U\in[A,B)$ et $V\in[A,C)$. \item Un angle obtus $($ou secteur angulaire obtus$)$ $\overobtuse{BAC}$ est le complémentaire de l'angle aigu $\overacute{BAC}$ dans le plan $(ABC)$, union les 2 demi-droites $[A,B)$ et $[A,C)$ comme bord. \item Étant donné une droite $\cD$ et une demi-droite $[A,M)$ avec $A\in\cD$ et $M\notin\cD$, le demi-plan bordé par $\cD$ contenant $M$ est la réunion de tous les segments $[U,V]$ tels que $U\in \cD$ et $V\in[A,M)$. Le demi-plan opposé est celui associé à une demi-droite $[A,M')$ opposée à $[A,M)$. On parle aussi dans ce cas d'angles plats de sommet $A$. \end{itemize}} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Cercles, arcs, mesures des angles} \claim{\bf Cercles, arcs, mesures des angles.} {\it \begin{itemize} \item Le cercle de centre $A$ et de rayon $R>0$ est l'ensem­ble des points $M$ d'un plan $\cP$ tels que $d(A,M)=AM=R$. \item Un arc de cercle est l'intersection d'un cercle avec un secteur angulaire ayant pour sommet le centre du cercle. \item La mesure d'un angle $($en degrés$)$ est calculée proportionnellement à la longueur de l'arc de cercle qu'il intercepte sur un cercle dont le centre est le sommet de l'angle, de sorte que le cercle complet corresponde à $360^\circ$. \item angle plat = angle de mesure~$180^\circ$ (arc = demi-cercle) \item angle droit = moitié d'un plat = angle de mesure $90^\circ$. \item Deux demi-droites de mêmes extrémités sont dites perpendiculaires si elles forment un angle droit. \end{itemize}} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Le théorème de Pythagore} \pgfdeclareimage[height=7.2cm]{pythagore_preuve}{pythagore_preuve} \pgfuseimage{pythagore_preuve} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Constructions de triangles / ``cas d'isométrie''} \claim{\bf Problème.} Construire un triangle $ABC$ ayant une base $BC$ donnée et deux autres éléments donnés, à savoir~: (1) les longueurs des côtés $AB$ et $AC$,\\ (2) les mesures des angles $\overacute{ABC}$ et $\overacute{ACB}$,\\ (3) la longueur du côté $AB$ et la mesure de l'angle $\overacute{ABC}$. \vskip-6mm \InsertFig -3.000 31.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor /R 5000 sqrt def /ang1 25 def /ang2 67 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 2600 sqrt def /ang1 145 def /ang2 190 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 60 72 lineto stroke /R 16 def /ang1 23 def /ang2 51 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 100 40 moveto 40 64 lineto stroke /R 15 def /ang1 157 def /ang2 203 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 83.7 39.77 moveto 86.3 39.77 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor /R 4100 sqrt def /ang1 32 def /ang2 47 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 60 48 lineto stroke /R 15 def /ang1 23 def /ang2 39 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 16.5 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 100 40 moveto 50 40 lineto stroke grestore} \LabelTeX 13.2 16.5 $A$\ELTX \LabelTeX -3 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 36 14 $C$\ELTX \LabelTeX 54.5 22.5 $A$\ELTX \LabelTeX 36 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 75.2 14 $C$\ELTX \LabelTeX 94 15.9 $A$\ELTX \LabelTeX 75.4 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 114 14 $C$\ELTX \EndFig \vskip-8mm \InsertFig -3.000 26.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor /R 5000 sqrt def /ang1 -15 def /ang2 55 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 2600 sqrt def /ang1 160 def /ang2 248 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 70.690 -1.724 lineto 100 40 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 77.586 1.2 mul -5.517 1.2 mul lineto stroke /R 16 def /ang1 -3 def /ang2 22 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 100 40 moveto 77.586 1.2 mul 20 sub -5.517 1.2 mul 8 sub lineto stroke /R 15 def /ang1 203 def /ang2 244 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 87.8 28.7 moveto 90.4 31.0 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor /R 4100 sqrt def /ang1 -4 def /ang2 15 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 63.793 1.2 mul 5.517 1.2 mul lineto stroke /R 15 def /ang1 4.5 def /ang2 22 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 16.5 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 100 40 moveto 63.793 5.517 lineto stroke grestore} \LabelTeX 24.6 -5.5 $A'$\ELTX \LabelTeX -3 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 36 14 $C$\ELTX \LabelTeX 65.5 -5.5 $A'$\ELTX \LabelTeX 36 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 75.2 14 $C$\ELTX \LabelTeX 100.8 -1 $A'$\ELTX \LabelTeX 75.4 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 114 14 $C$\ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Les coordonnées cartésiennes} \InsertFig 15.000 46.000 { gsave 0.8333 mm unit 20 10 translate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -5 1 35 { /k exch def -15 k moveto 75 k lineto stroke } for -15 1 75 { /k exch def k -5 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth 0 1 3 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 75 k lineto stroke } for -1 1 7 { /k exch 10 mul def k -5 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0 setgray -20 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -10 moveto 50 90 2.4 vector 0 0 1 setrgbcolor 20 10 moveto 50 10 lineto 50 30 lineto closepath stroke 1 0 0 setrgbcolor 20 10 moveto 0.7 disk 50 30 moveto 0.7 disk 0 setgray 0.3 setlinewidth 20 0 moveto 0.7 0 indent 50 0 moveto 0.7 0 indent 0 10 moveto 0.7 90 indent 0 30 moveto 0.7 90 indent 0.15 setlinewidth 0 0.7 0 setrgbcolor [1.5 0.5] 0 setdash 20 1.2 moveto 20 9.3 lineto stroke 50 1.2 moveto 50 10 lineto stroke 1.2 10 moveto 19.3 10 lineto stroke 1.2 30 moveto 50 30 lineto stroke grestore } \LabelTeX 32 5.3 $x$\ELTX \LabelTeX 57.2 5.3 $x'$\ELTX \LabelTeX 13 16.3 $y$\ELTX \LabelTeX 13 32.3 $y'$\ELTX \LabelTeX 29 13.3 $M$\ELTX \LabelTeX 59.5 32.8 $M'$\ELTX \EndFig \vskip5mm $$d(M,M')=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}.$$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Le carré en coordonnées cartésiennes} \InsertFig 15.000 55.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 25 translate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0 setgray -50 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -35 moveto 75 90 2.4 vector 0 0 1 setrgbcolor 30 20 moveto -20 30 lineto -30 -20 lineto 20 -30 lineto closepath stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 30 20 moveto -30 -20 lineto stroke -20 30 moveto 20 -30 lineto stroke 1 0 0 setrgbcolor 30 20 moveto 0.7 disk -20 30 moveto 0.7 disk -30 -20 moveto 0.7 disk 20 -30 moveto 0.7 disk grestore } \LabelTeX 36.2 21.55 $O$\ELTX \LabelTeX 67.5 38.9 $A\;(u\,;\,v)$\ELTX \LabelTeX 18.3 48.1 $B\;(-v\,;\,u)$\ELTX \LabelTeX 5 -0.9 $C\;(-u\,;\,-v)$\ELTX \LabelTeX 59.2 0 $\smash{\raise-7.3mm\hbox{$D\;(v\,;\,-u)$}}$\ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Droite $y=ax+b$} \InsertFig 15.000 63.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 35 translate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0 setgray -50 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -40 moveto 80 90 2.4 vector 0 0 1 setrgbcolor -45 -12.5 moveto 45 32.5 lineto stroke 1 0 0 setrgbcolor -40 -14 moveto 0.7 disk -40 -10 moveto 0.7 disk -40 -6 moveto 0.7 disk 20 20 moveto 0.7 disk 40 30 moveto 0.7 disk 0 0.7 0 setrgbcolor 0.3 setlinewidth -40 0 moveto 0.7 0 indent 20 0 moveto 0.7 0 indent 40 0 moveto 0.7 0 indent 0 -10 moveto 0.7 90 indent 0 30 moveto 0.7 90 indent 0 20 moveto 0.7 90 indent [1.5 0.5] 0 setdash 0.1 setlinewidth -40 -1.2 moveto -40 -9.3 lineto stroke 20 1.2 moveto 20 19.3 lineto stroke 40 1.2 moveto 40 29.3 lineto stroke -39.3 -10 moveto -0.7 -10 lineto stroke 0 20 moveto 19.3 20 lineto stroke 0 30 moveto 39.3 30 lineto stroke grestore } \LabelTeX 7.5 30.8 $x_1$\ELTX \LabelTeX 57.5 25.7 $x_2$\ELTX \LabelTeX 74 25.7 $x_3$\ELTX \LabelTeX 43 20 $y_1$\ELTX \LabelTeX 37.2 45 $y_2$\ELTX \LabelTeX 37.2 53.4 $y_3$\ELTX \LabelTeX 2 20.5 $M_1$\ELTX \LabelTeX 2 24.3 $M'_1$\ELTX \LabelTeX 2 16.0 $M''_1$\ELTX \LabelTeX 56 48 $M_2$\ELTX \LabelTeX 72.8 56.3 $M_3$\ELTX \EndFig \vskip15pt $M_1M_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+a^2(x_2-x_1)^2}=(x_2-x_1)\sqrt{1+a^2}$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Le théorème de Thalès} \InsertFig 25.000 63.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 35 translate 30 rotate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -25 1 35 { /k exch def -45 k moveto 28 k lineto stroke } for -45 1 28 { /k exch def k -25 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -2 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 28 k lineto stroke } for -4 1 2 { /k exch 10 mul def k -25 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0 setgray -50 0 moveto 83 0 2.4 vector -20 -30 moveto 70 90 2.4 vector 0 0 1 setrgbcolor -45 -12.5 moveto 28 24 lineto stroke -45 8.333 moveto 28 -16 lineto stroke 0.25 setlinewidth 0 0.7 0 setrgbcolor 5 -25 moveto 5 35 lineto stroke 20 -25 moveto 20 35 lineto stroke 1 0 0 setrgbcolor 5 -8.333 moveto 0.7 disk 5 12.5 moveto 0.7 disk 20 20 moveto 0.7 disk 20 -13.333 moveto 0.7 disk grestore } \LabelTeX 25.5 15.5 $O$\ELTX \LabelTeX 46.1 21.6 $A$\ELTX \LabelTeX 59 24.2 $B$\ELTX \LabelTeX 35 39.4 $A'$\ELTX \LabelTeX 42.6 50.7 $B'$\ELTX \LabelTeX 12.9 4.5 $\RGBColor{0 0 1}{\cD'}$\ELTX \LabelTeX 6.9 13.3 $\RGBColor{0 0 1}{\cD}$\ELTX \LabelTeX 54.6 10 $\RGBColor{0 0.7 0}{\Delta_1}$\ELTX \LabelTeX 65.5 16 $\RGBColor{0 0.7 0}{\Delta_2}$\ELTX \LabelTeX 64.5 39.7 $x$\ELTX \LabelTeX 8.1 47.6 $y$\ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Une ``axiomatique'' rigoureuse} \claim{\bf Définition.} {\it On appellera plan euclidien un ensemble de points noté $\cP$, muni d'une distance $d$, c'est-à-dire une application $$ d:\cP\times \cP\to\bR_+,\qquad (M,M')\mapsto d(M,M')=MM'\ge 0, $$ de sorte qu'il existe des ``systèmes de coordonnées orthonormés''$\,:$ à tout point $M\in\cP$ on peut faire correspondre un couple de coordonnées $(x\,;\,y)\in\bR^2$, par une correspondance bijective $M\mapsto (x\,;\,y)$ satisfaisant l'axiome $$ d(M,M')=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}\leqno \hbox{\alert{(Pythagore + Descartes)}} $$ pour tous points $M\;(x\,;y)$ et $M'\;(x'\,;\,y')$.} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Interprétation géométrique de cette ``axiomatique''} \InsertFig 15.000 60.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 25 translate 1 1 0.8 setrgbcolor -60 -40 moveto 60 -40 lineto 60 40 lineto -60 40 lineto closepath fill -20 rotate 0.1 setlinewidth 0.9 0.9 1 setrgbcolor 32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath fill 21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath fill 1 0.8 0.6 setrgbcolor -35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0.6 setgray -50 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -35 moveto 75 90 2.4 vector 0.3 setlinewidth 0.6 0.6 1 setrgbcolor 32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath stroke 21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath stroke 1 0.3 0.3 setrgbcolor 32 21 moveto 0.7 disk -19 31 moveto 0.7 disk -31 -9 moveto 0.7 disk 21 -11 moveto 0.7 disk 31 -19 moveto 0.7 disk 25 5 moveto 0.7 disk grestore } \LabelTeX 37.9 17.9 $O$\ELTX \LabelTeX 78.4 4 $x$\ELTX \LabelTeX 49.6 50.8 $y$\ELTX \LabelTeX -6 49 $\cP$\ELTX \LabelTeX 30 -23 $~$\ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Construction des vecteurs} \InsertFig 30.000 20.000 { gsave /rotmem {currentpoint /cpty exch def /cptx exch def currentpoint translate dup rotate /angmem exch def} def /rotrev {angmem neg rotate cptx neg cpty neg translate cptx cpty moveto} def /vector {dup abs /arlgth exch def 3 div /arlthd exch def rotmem currentlinewidth 1.5811 mul sub dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse currentdash [] 0 setdash arlgth neg arlthd rmoveto arlgth arlthd neg rlineto arlgth neg arlthd neg rlineto arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse setdash rotrev} def 0.5 setlinewidth 0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 130 30 lineto stroke 50 40 moveto 80 -10 lineto stroke 0 0 1 setrgbcolor 0.75 setlinewidth 0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector 50 40 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector grestore } \LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX \LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX \LabelTeX 46.5 9 $C$\ELTX \LabelTeX 16 15.6 $D$\ELTX \LabelTeX 21 1.5 $I$\ELTX \EndFig On trouve donc la condition nécessaire et suffisante $$ x_I={1\over 2}(x_B+x_D)={1\over 2}(x_A+x_C),\qquad y_I={1\over 2}(y_B+y_D)={1\over 2}(y_A+y_C), $$ ce qui équivaut encore à $$ x_B+x_D=x_A+x_C,\qquad y_B+y_D=y_A+y_C $$ ou encore à $$ x_B-x_A=x_C-x_D,\qquad y_B-y_A=y_C-y_D. $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Le produit scalaire} La {\it norme} $\Vert\overrightarrow{V}\Vert$ d'un vecteur $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{AB}$ est la longueur $AB=d(A,B)$ d'un bipoint quelconque qui le définit. On pose $$ \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}= {1\over 2}\big(\Vert\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}\Vert^2- \Vert\overrightarrow{U}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{V}\Vert^2\big) \leqno(1) $$ de sorte que l'on a en particulier $\overrightarrow{U}\cdot \overrightarrow{U}=\Vert\overrightarrow{U}\Vert^2$. Le nombre $\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}$ s'appelle le {\it produit scalaire} de $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$, et $\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}$ s'appelle aussi le carré scalaire de $\overrightarrow{U}$, noté $\overrightarrow{U}^2$. On obtient par conséquent $$ \overrightarrow{U}^2=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}= \Vert\overrightarrow{U}\Vert^2. $$ D'après la définition (1), nous avons $$ \Vert\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}\Vert^2= \Vert\overrightarrow{U}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{V}\Vert^2+ 2\,\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}, \leqno(2) $$ ce qui peut se récrire $$ (\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V})^2= \overrightarrow{U}^2+\overrightarrow{V}^2+ 2\,\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}. \leqno(3) $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Les géométries non euclidiennes} \claim{\bf Le disque de Poincaré (ou plan hyperbolique)} $$ d_P(a,b)={1\over 2}\ln {1+{|b-a|\over |1-\ovl a b|}\over 1-{|b-a|\over |1-\ovl a b|}}. $$ \InsertFig 10.000 59.000 { 1 mm unit initcoordinates gsave 30 34 translate /hom 27 def hom dup scale 0.085 hom div setlinewidth 2 setlinejoin /expit { /x exch def /r x x mul 1 add def x 2 mul r div def 2 r sub r div def } def /doarc { /yp exch def /xp exch def /y exch def /x exch def /z x xp add 0.5 mul def /w y yp add 0.5 mul def /r z z mul w w mul add sqrt def /z z r div def /w w r div def /r xp x sub def /rp yp y sub def /rp r r mul rp rp mul add sqrt 0.5 mul def /r rp 1 rp rp mul sub sqrt div def /rp 1 r r mul add sqrt def /z z rp mul def /w w rp mul def /a1 y x atan def /a2 yp xp atan def a1 a2 180 sub lt { /a1 a1 360 add def } if a1 a2 180 add gt { /a1 a1 360 sub def } if a1 a2 gt { z w r a1 90 add a2 270 add arc } { z w r a1 270 add a2 90 add arcn } ifelse } def 1 0 moveto /x1 /y1 -9 expit /x2 /y2 -4 expit /x3 /y3 -0.5 expit /x4 /y4 0.1 expit 0.9 setgray x1 y1 moveto x1 y1 x3 y3 doarc 0 0 1 y3 x3 atan y4 x4 atan arc x4 y4 x2 y2 doarc 0 0 1 y2 x2 atan y1 x1 atan arcn fill 0 setgray x1 y1 x3 y3 doarc stroke x2 y2 x3 y3 doarc stroke x2 y2 x4 y4 doarc stroke 0 0 1 0 360 arc stroke 0.250 hom div setlinewidth /x5 /y5 -5.4 expit /x6 /y6 -0.2 expit x5 y5 x6 y6 doarc stroke -0.335 -0.21 moveto 0.6 hom div disk grestore } \LabelTeX 22.000 21.400 $\cD$ \ELTX \LabelTeX 20.000 31.000 $p$ \ELTX \LabelTeX 41.000 30.000 $\Delta$ \ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Jusqu'aux travaux de Mikhail Gromov} \pgfdeclareimage[height=7.5cm]{Gromov}{Gromov} \pgfuseimage{Gromov} \end{frame} \end{document}