\newif\ifpdf \pdffalse \ifx\pdfoutput\undefined \else \ifx\pdfoutput\relax \else \ifnum\pdfoutput<1 % \else \pdftrue \fi \fi \fi \newcount\psfigurecount \psfigurecount=0 \newdimen\psfiguredx \ifpdf \def\RGBColor#1#2{{\pdfliteral{#1 rg}#2\pdfliteral{0 g}}} \long\def\InsertPSFigure#1 #2 #3 #4\EndFig{\par\advance\psfigurecount by 1% \pdfximage{\jobname_figures/fig\number\psfigurecount.pdf}% \setbox0=\hbox{\pdfrefximage\pdflastximage}% \psfiguredx=#1mm \advance\psfiguredx by 20mm% \hbox{$\vbox to#2mm{\vfil% \hbox{$\hskip #1mm\rlap{\smash{\raise-50mm\hbox to #1mm{\strut\kern-\psfiguredx% \pdfximage width\wd0{\jobname_figures/fig\number\psfigurecount.pdf}% \pdfrefximage\pdflastximage\kern-\wd0\hfil}}}$}}#4$}} \long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{% \vfil\special{pdf:}}#6$}} \long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\hbox{$\rlap{\smash{\pdfximage \ifnum#3=0 \else width #3mm\fi \ifnum #4=0 \else height #4mm \fi depth 0cm{#7}% \pdfrefximage\pdflastximage}}$}}#8$}} \else \special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/mdrlib.ps} \def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}} \long\def\InsertPSFigure#1 #2 #3 #4\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" #3}}#4$}} \long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{% \vfil\special{psfile=#5 hscale=#3 vscale=#4}}#6$}} \long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{% \vfil\special{psfile="`img2eps file #7 height #4 mm width #3 mm gamma #5 angle #6}}#8$}} \fi \long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}} \def\build#1^#2_#3{\mathop{#1}\limits^{#2}_{#3}} \def\diam{\mathop{\rm diam}} % This file is a solution template for: % - Giving a talk on some subject. % - The talk is between 15min and 45min long. % - Style is ornate. % Copyright 2004 by Till Tantau . % % In principle, this file can be redistributed and/or modified under % the terms of the GNU Public License, version 2. % % However, this file is supposed to be a template to be modified % for your own needs. For this reason, if you use this file as a % template and not specifically distribute it as part of a another % package/program, I grant the extra permission to freely copy and % modify this file as you see fit and even to delete this copyright % notice. \mode { % \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10, % top=blue!10] \usetheme{Warsaw} \usefonttheme[onlysmall]{structurebold} } % or whatever \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{colortbl} \usepackage[english]{babel} % Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1 % does not look nice, try deleting the line with the fontenc. \title[\ \kern-190pt \blank{Jean-Pierre Demailly, Lyc\'ee Champollion - Grenoble\kern50pt %%\blank{Jean-Pierre Demailly, Lyc\'ee Ren\'e Perrin - Ugine\kern50pt Ensembles fractals, mesure et dimension}] % (optional, use only with long paper titles) {Ensembles fractals, mesure et dimension} %% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional) \author[] % (optional, use only with lots of authors) {Jean-Pierre Demailly} \institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France\\ \&\ Acad\'emie des Sciences de Paris} % - Use the \inst command only if there are several affiliations. % - Keep it simple, no one is interested in your street address. \date[]% (optional) {19 novembre 2012\\ Conf\'erence au Lyc\'ee Champollion, Grenoble} %%{23 novembre 2012\\ %%Conf\'erence au Lyc\'ee Ren\'e Perrin, Ugine} %%\subject{Talks} % This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left % out. % If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx % is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex, % resp., then you can add a logo as follows: \definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8} \definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0} \definecolor{Blank}{rgb}{1,1,1} \def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}} \def\alert#1{{\color{Alert}#1}} \def\blank#1{{\color{Blank}#1}} %%\def\\{\hfil\break} \font\eightrm=cmr10 at 8pt \catcode`\@=11 \def\pgn{\hfill{\eightrm\number\c@page/\pgt}} \catcode`\@=12 \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\reg}{\operatorname{reg}} \newcommand{\sing}{\operatorname{sing}} \newcommand{\bB}{{\mathbb B}} \newcommand{\bC}{{\mathbb C}} \newcommand{\bD}{{\mathbb D}} \newcommand{\bK}{{\mathbb K}} \newcommand{\bN}{{\mathbb N}} \newcommand{\bP}{{\mathbb P}} \newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\bR}{{\mathbb R}} \newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\cA}{{\mathcal A}} \newcommand{\cC}{{\mathcal C}} \newcommand{\cD}{{\mathcal D}} \newcommand{\cE}{{\mathcal E}} \newcommand{\cF}{{\mathcal F}} \newcommand{\cH}{{\mathcal H}} \newcommand{\cI}{{\mathcal I}} \newcommand{\cK}{{\mathcal K}} \newcommand{\cM}{{\mathcal M}} \newcommand{\cN}{{\mathcal N}} \newcommand{\cO}{{\mathcal O}} \newcommand{\cP}{{\mathcal P}} \newcommand{\cX}{{\mathcal X}} \newcommand{\dbar}{\overline\partial} \newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\wt}{\widetilde} \newcommand{\lra}{\longrightarrow} \newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}} % mathematical operators \renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits} \newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits} \newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits} \newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits} \newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits} \newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits} \newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits} \newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits} \newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits} \newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}} \newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits} \newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits} \newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits} \newcommand{\alg}{{\rm alg}} \newcommand{\nef}{{\rm nef}} \newcommand{\num}{\nu} \newcommand{\ssm}{\mathop{\mathbb r}} \newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}} % figures inserted as PostScript files \special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/grlib.ps} \long\def\InsertPSFigure#1 #2 #3 #4\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" #3}}#4$}} \long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}} \def\ovl{\overline} \def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}} \def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3} \begin{document} % Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at % the beginning of each subsection: %%\AtBeginSubsection[] %%{ %% \begin{frame} %% \frametitle{Outline} %% \tableofcontents[currentsection,currentsubsection] %% \end{frame} %%} % If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment % the following command: %\beamerdefaultoverlayspecification{<+->} \begin{frame} \pgfdeclareimage[height=2cm]{ujf-logo}{logo_ujf} \pgfuseimage{ujf-logo} \pgfdeclareimage[height=2cm]{acad-logo}{academie_logo2} \pgfuseimage{acad-logo} \titlepage \end{frame} %%\begin{frame} %% \frametitle{Outline} %% \tableofcontents %% You might wish to add the option [pausesections] %%\end{frame} % Since this a solution template for a generic talk, very little can % be said about how it should be structured. However, the talk length % of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to % the following rules: % - Exactly two or three sections (other than the summary). % - At *most* three subsections per section. % - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about % 15 and 30 frames, all told. %% \section*{Basic concepts} \begin{frame} \frametitle{Les fractales sont partout : arbres ...} \pgfdeclareimage[height=6cm]{fractale_arbre_deterministe}{fractale_arbre_deterministe} \pgfuseimage{fractale_arbre_deterministe}\\ fractale pouvant \^etre obtenue comme un\\ \alert{``syst\`eme de Lindenmayer''} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Poumons ...} \pgfdeclareimage[height=7.5cm]{fractal_lung}{fractal_lung} \pgfuseimage{fractal_lung} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Chou broccoli Romanesco ...} \pgfdeclareimage[height=7.5cm]{Fractal_Broccoli}{Fractal_Broccoli} \pgfuseimage{Fractal_Broccoli} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Notion de dimension} La dimension d'un espace (ensemble de points dans lequel on se place) est classiquement le \alert{nombre de coordonn\'ees} n\'ecessaires pour rep\'erer un point de cet espace. C'est donc a priori un \alert{nombre entier}. On va introduire ici une notion plus g\'en\'erale, qui conduit \`a des dimensions parfois non enti\`eres. \vskip3pt \claim{\bf Objet de dimension 1} \InsertPSFigure 5.000 10.000 { gsave 1 mm unit initcoordinates 0.600 setlinewidth 0.000 0.000 moveto 10.000 0.000 lineto stroke 40.000 0.000 moveto 70.000 0.000 lineto stroke 40.000 0.000 moveto 70.000 0.000 0.700 0.000 3 0 (I) sequence stroke grestore } \LabelTeX 22.000 -1.000 $\build\rightsquigarrow^{\textstyle\times 3}_{}$ \ELTX \LabelTeX 82.000 -1.000 $\times 3^{\alert{1}}$ \ELTX \EndFig \medskip Par une homoth\'etie de rapport 3, la mesure (longueur) est multipli\'ee par~$3=3^{\alert{1}}$, l'objet r\'esultant contient 3 fois l'objet initial.\\ \alert{La dimension d'un segment est \alert{$1$}.} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dimension 2 ...} \claim{\bf Objet de dimension 2} \InsertPSFigure 5.000 35.000 { gsave 1 mm unit initcoordinates 0.600 setlinewidth 0.000 10.000 moveto 10.000 10.000 lineto 10.000 20.000 lineto 0.000 20.000 lineto closepath stroke 40.000 0.000 moveto 70.000 0.000 lineto stroke 40.000 0.000 translate 0.000 0.000 moveto 30.000 0.000 lineto 30.000 30.000 lineto 0.000 30.000 lineto closepath stroke 0.000 10.000 moveto 30.000 10.000 lineto 0.000 20.000 moveto 30.000 20.000 lineto 10.000 0.000 moveto 10.000 30.000 lineto 20.000 0.000 moveto 20.000 30.000 lineto stroke grestore } \LabelTeX 22.000 14.000 $\build\rightsquigarrow^{\textstyle\times 3}_{}$ \ELTX \LabelTeX 82.000 14.000 $\times 3^{\alert{2}}$ \ELTX \EndFig \medskip Par une homoth\'etie de rapport 3, la mesure (aire) de l'objet est multipli\'ee par~$9=3^{\alert{2}}$, l'objet r\'esultant contient 9 fois l'objet initial. La dimension du carr\'e est \alert{$2$}. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dimension $d\ge 3$ ...} \claim{\bf Objet de dimension 3} \vskip3mm \InsertPSFigure 6.000 35.000 { gsave 1 mm unit initcoordinates 0.600 setlinewidth 0 10.0 translate /square { 0.000 0.000 moveto 10.000 0.000 lineto 10.000 10.000 lineto 0.000 10.000 lineto closepath stroke } def 0.5 setgray 6.0 3.5 translate square -6.0 -3.5 translate /myline { 0.000 0.000 moveto 6.0 3.5 lineto stroke } def 0.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline -10.0 10.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline -10.0 -10.0 translate 0.0 setgray square 35.000 -10.000 translate /grid { 0.000 0.000 moveto 30.000 0.000 lineto 30.000 30.000 lineto 0.000 30.000 lineto closepath stroke 0.000 10.000 moveto 30.000 10.000 lineto 0.000 20.000 moveto 30.000 20.000 lineto 10.000 0.000 moveto 10.000 30.000 lineto 20.000 0.000 moveto 20.000 30.000 lineto stroke } def 0.95 0.95 0.95 setrgbcolor /myline { 0.000 0.000 moveto 18.0 10.5 lineto stroke } def 0.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline -30.0 10.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline -30.0 10.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline -30.0 10.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline 10.0 0.0 translate myline -30.0 -30.0 translate 0.85 0.85 0.85 setrgbcolor 18.0 10.5 translate grid -18.0 -10.5 translate 0.75 0.75 0.75 setrgbcolor 12.0 7.0 translate grid -12.0 -7.0 translate 0.5 0.5 0.5 setrgbcolor 6.0 3.5 translate grid -6.0 -3.5 translate 0 setgray grid grestore } \LabelTeX 22.000 17.000 $\build\rightsquigarrow^{\textstyle\times 3}_{}$ \ELTX \LabelTeX 87.000 17.000 $\times 3^{\alert{3}}$ \ELTX \EndFig \medskip Par une homoth\'etie de rapport 3, la mesure (volume) de l'objet est multipli\'ee par~$27=3^{\alert{3}}$, l'objet r\'esultant contient 27 fois l'objet initial. La dimension du cube est \alert{$3$}. \pause\vskip4pt En g\'en\'eralisant, pour un objet de dimension \alert{$d$}, l'effet d'une homoth\'etie de rapport \claim{$\lambda$} est de {\it multiplier la mesure par $\claim{\lambda}^{\alert{d}}$}. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Qu'en est-il d'un ensemble fractal ?} Prenons l'exemple de la courbe de Koch (ou flocon de neige) obtenue par it\'eration du proc\'ed\'e ci-contre \vskip7.5mm \InsertImage 10 52 36 0 1.1 0 koch_curve.png \EndFig \vskip-50mm \InsertImage 55 55 55 0 1.1 0 flocon.png \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Effet d'une homoth\'etie de rapport 3} \InsertImage 0 25 108.0 0 1.1 0 koch_dilat.png \LabelTeX 28 3 $\build\rightsquigarrow^{\textstyle\times 3}_{}$\ELTX \EndFig Par une homoth\'etie de rapport $3$, l'objet devient un objet de nature identique, contenant $4$ morceaux de m\^eme taille que l'objet initial, donc de mesure 4 fois plus grande. Ceci conduit \`a poser $$ 3^d=4 ~~~\Longrightarrow~~~ \alert{\displaystyle d=\frac{\ln 4}{\ln 3}= 1,26185950714\ldots} $$ Il nous faut admettre ici que la dimension n'est pas un entier, mais un nombre compris strictement entre $1$ et $2$~! \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Longueur de la courbe de Koch} \InsertImage 10 45.5 31.5 0 1.1 0 koch_curve.png \LabelTeX 40 40 $\ell=1$\ELTX \LabelTeX 40 27 $\ell=4 \times 1/3 = 4/3$\ELTX \LabelTeX 40 14 $\ell=(4/3)\times(4/3)=(4/3)^2$\ELTX \LabelTeX 40 1 $\ell=(4/3)^3$\ELTX \EndFig \vskip4mm \`A chaque it\'eration, la longueur est multipli\'ee par $4/3$, donc si le segment initial est pris pour unit\'e, la longueur de la $n$-i\`eme it\'eration est $(4/3)^n$, ce qui tend vers l'infini quand $n\to+\infty$. La longueur de la courbe de Koch est donc \alert{infinie} ! \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Aire de la courbe de Koch} La courbe de Koch est enti\`erement contenue dans le triangle isoc\`ele figur\'e ci-dessous (raisonnement par r\'ecurrence). \vskip7mm \InsertImage 0 0 50 0 1.1 0 koch_surface.png \LabelTeX 15 22 base${}=1$\ELTX \LabelTeX 50 33 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$\ELTX \LabelTeX 65 33 aire${}=\alpha=\frac{1}{4\sqrt{3}}\simeq 0.1443\ldots$\ELTX \LabelTeX 50 3 aire${}=4\times{\displaystyle\frac{\alpha}{9}}=\frac{4}{9}\alpha$\ELTX \EndFig \pause Par r\'ecurrence sur le nombre d'it\'erations, on voit que la courbe de Koch est contenue dans la r\'eunion de $4^n$ triangles isoc\`eles d'aire $\alpha/9^n$, l'aire totale $(4/9)^n\alpha$ \alert{tend vers $0$}.\vskip3pt\pause L'aire de la courbe de Koch \alert{est donc nulle~!} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{La courbe de Peano} Il existe cependant des courbes continues \alert{d'aire non nulle}, m\^eme si on les trace avec un crayon infiniment fin~!\vskip3pt Voici une courbe imagin\'ee en 1890 par le math\'ematicien italien \alert{Giuseppe Peano} (1858-1932), en utilisant l'\'ecriture des r\'eels en base $3$ \centerline{$\displaystyle [0,1]\ni t=0.a_1a_2a_3\ldots=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n3^{-n},~~~a_n=0,1,2$} \vskip4.1cm \InsertImage 5 0 32 0 1.1 0 Giuseppe_Peano.jpg \EndFig \vskip-6mm \InsertImage 50 0 40 0 1.1 0 Peano_curve.png \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Le tapis de Sierpinski} du nom du math\'ematicien polonais \alert{Wac{\l}aw Sierpi\'nski} (1882-1969). \InsertImage 0 53 38 0 1.1 0 Sierpinski_photo1.jpg \EndFig \vskip-4mm \InsertImage 55 0 52 0 1.1 0 sierpinski1.png \EndFig \claim{\bf Exercice :} la dimension (partie grise) est \alert{$d=\ln(8)/\ln(3)\simeq 1,892789...$, l'aire est nulle.} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{L'\'eponge de Menger} \InsertImage 0 60 80 0 1.1 0 Menger-Schwamm.jpg \EndFig \vskip3mm Sa dimension est \alert{$d=\ln(20)/\ln(3)\simeq 2,726 833...$}\\ et son volume est nul. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Mesure $d$-dimensionnelle de Hausdorff} Les notions de longueur ($d=1$), d'aire ($d=2$), de volume ($d=3$) se se g\'en\'eralisent pour \alert{$d$ réel${}>0$ quelconque} des mesures $d$-dimensionnelles introduites par \alert{Felix Hausdorff} (1868-1942) -- l'un des fondateurs de la topologie moderne. Si $(E,\delta)$ est un espace muni d'une distance $\delta(x,y)$ quelconque, on d\'efinit la mesure de Hausdorff $d$-dimension\-nelle d'une partie $A$ de $E$ par \alert{$$ \cH_d(A)=\lim_{\varepsilon\to 0} \cH_{d,\varepsilon}(A),\quad \cH_{d,\varepsilon}(A)=\inf_{\diam A_i\le\varepsilon}\sum_i(\diam A_i)^d $$} o\`u $\cH_{d,\varepsilon}(A)$ est la borne inf\'erieure des sommes $\sum_i(\diam A_i)^d$ \'etendue \`a toutes les partitions d\'enombrables $A=\bigcup A_i$ avec $\diam A_i\le\varepsilon$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dimension de Hausdorff} \InsertImage 0 50 35 0 1.1 0 Hausdorff.jpg \LabelTeX 40 22 F\'elix Hausdorff (1868-1942)\ELTX \EndFig \vskip2pt \begin{block}{D\'efinition.} {\it Si $(E,\delta)$ est un espace m\'etrique et $A$ une partie de~$E$, on dit que $A$ est de dimension de Hausdorff \'egale \`a $d_0$ si~on~a\vskip4pt \centerline{$ \hbox{\alert{$\cH_d(A)=+\infty$~ pour $dd_0$.}}$}} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Notion de syst\`eme dynamique discret} L'une des fa\c{c}ons physiquement naturelle d'obtenir des fractales est de consid\'erer un \alert{syst\`eme dynamique}.\vskip3pt\pause D'un point de vue math\'ematique, on a un espace $X$ (syst\`eme physique) et une fonction $f:X\to X$ qui d\'ecrit une \'evolution \'el\'ementaire de~$X$, se r\'ep\'etant \`a l'identique dans le temps (ici on simplifie...). \vskip3pt\pause On \'etudie l'\'evolution des points par it\'eration de~$f$. Autrement dit, \'etant donn\'e un point initial $x_0$, on regarde la suite d\'efinie par la relation de r\'ecurrence $x_{n+1}=f(x_n)$, c'est-\`a-dire encore ce qu'on appelle l'orbite de $x_0$ sous l'action des compos\'ees successives \alert{\centerline{$\displaystyle\phantom{\bigg|} f^{[n]}=f\circ f\circ\cdots\circ f:X\to X,\qquad x_n=f^{[n]}(x_0). $}} En math\'ematiques, on cherche toujours \`a \'etudier d'abord les situations int\'eressantes les plus simples possibles. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Cas d'un trin\^ome complexe du second degr\'e} L'une de ces situations-modèle consiste \`a regarder dans le plan complexe $\bC$ la transformation quadratique \alert{$$ P_c:\bC\to\bC,\qquad P_c(z)=z^2+c~~\hbox{o\`u $c$ est un param\`etre.} $$} On consid\`ere ici {\it l'orbite} $z_n=P_c^{[n]}(z_0)$ d'un point $z_0\in\bC$ donn\'e. On notera que $P_c^{[2]}(z)=(z^2+c)^2+c$ est un polyn\^ome de degr\'e $4\;$; de mani\`ere g\'en\'erale, $P_c^{[n]}$ est un polyn\^ome de degr\'e~$2^n$. \vskip3pt\pause On introduit par d\'efinition~: \begin{block}{Ensemble de Julia de $P_c$.} {\it On appelle ensemble de Julia rempli $K_c$ l'ensemble des points initiaux $z_0$ tels que la suite $(z_n)$ reste born\'ee, et ensemble de Julia le bord $J_c=\partial K_c$ de l'ensemble de Julia rempli~$K_c$.} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Ensemble de Julia} Si $c=0$, on a simplement $P_0^{[n]}(z)=z^{2^n}$ et on voit aussit\^ot que $K_0$ consiste en le disque unit\'e ferm\'e $|z|\le 1$ (donc $J_0$ est le cercle unit\'e).\vskip2pt\pause Pour toute autre valeur $c\ne 0$ on obtient un ensemble fractal. Voici par exemple une image de $J_c$ et $K_c$ pour la valeur $c=0,328075517+0,022051744\,i$ du param\`etre~: \InsertImage 10 45 35 0 1.1 0 julia1.png \LabelTeX -6 30 $K_c$\ELTX \EndFig \vskip-5.9cm\pause \InsertImage 55 55 28 0 1.1 0 Julia2.png \LabelTeX 32 20 Gaston Julia\ELTX \LabelTeX 32 14 (1893-1978)\ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Ensemble de Mandelbrot} $\strut$\vskip-20pt Math\'ematicien franco-am\'ericain \hbox{\alert{Beno\^{\i}t Mandelbrot} (1924-2010).\kern-1cm} \begin{block}{Ensemble de Mandelbrot} {\it C'est l'ensemble $M$ des valeurs complexes $c$ du param\`etre telles que l'ensemble de Julia $K_c$ associ\'e \`a $P_c$ soit connexe.} \end{block} \vskip1.8cm \InsertImage 8 35 90 0 1.1 0 mandelbrot.png \LabelTeX 69 34 $M$\ELTX \LabelTeX 7 30 $K_c$\ELTX \LabelTeX 7 4 $K_{c'}$\ELTX \LabelTeX 68 25.5 $\times$\ELTX \LabelTeX 65 22 $c=0$\ELTX \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dynamiciens c\'el\`ebres ...} \InsertImage 3 35 50 0 1.1 0 mandelbrot_468378a-i1.0.jpg \EndFig \vskip-2.5cm \InsertImage 67 35 40 0 1.1 0 douady.jpg \EndFig \vskip3mm \claim{% \hbox{Benoît Mandelbrot (1924-2010)\kern7mm Adrien Douady (1935-2006)\kern-5mm}} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Un ensemble fractal de dimension 3 :\\ le Mandelbulbe de degr\'e $p=8$} \InsertImage 3 65 70 0 1.1 0 mandelbulb.jpg \EndFig \end{frame} \begin{frame} \frametitle{L'\'equation du Mandelbulbe de degr\'e $p$} White et Nylander ont donn\'e la formule suivante en coordonnées sph\'eriques dans $\bR^3$ \alert{$$\langle x, y, z\rangle^p = r^p\langle\cos(p\theta)\cos(p\phi),\sin(p\theta)\cos(p\phi),\sin(p\phi)\rangle$$} \vskip-9mm $$\hbox{o\`u}~~~\alert{\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta=\arctan(y/x) \\ {\rm et\ } \phi=\arctan(z/\sqrt{x^2+y^2})=\arcsin(z/r). \end{cases}} $$ pour la $p$-i\`eme puissance du nombre hypercomplexe 3D.\vskip3pt\pause Comme pour l'ensemble de Mandelbrot plan, on regarde les domaines de convergences des suites obtenues par it\'eration de $w\mapsto w^p+c$ o\`u $w$ et $c$ sont des nombres ``hypercomplexes'' $w=\langle x, y, z\rangle$ dans $\bR^3$ et $w\mapsto w^p$ l'application d\'efinie \hbox{ci-dessus\kern-1cm} \vskip3pt \claim{http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Logiciels / r\'ef\'erences utilis\'es} \begin{itemize} \item Logiciel de pr\'esentation : \alert{\LaTeX\ Beamer}\\ \alert{texlive} : http://www.tug.org/texlive/ \vskip3pt \item Syst\`emes de Lindenmayer :\\ \alert{lsysexp}~:~http://www.sourcefiles.org/Graphics/Fractals/lsysexp\-latest.tar.gz\\ \alert{xfractint} : http://www.fractint.org/ftp/current\vskip3pt \item Fractales :\\ \alert{xfractint} et \\ \alert{xaos} : http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php\\ \alert{mandelbulber} : \hbox{http://sourceforge.net/projects/mandelbulber/\kern-1cm} \vskip3pt \item Images et photographies : \alert{Wikipedia} \end{itemize} \end{frame} \end{document}