MATHÉMATIQUES : ÉTAT DE LA DISCIPLINE
Rapport de l'Inspection Générale de
Mathématiques
Mars 2002
Sommaire
· Des contenus des programmes
· Des pratiques de classe
· De la remédiation et de la gestion de
l'hétérogénéité
· De la formation initiale et continue
· Des examens
· Des clubs et ateliers mathématiques
· De la pluridisciplinarité
Les contenus des programmes
Si les contenus ne suffisent pas à rendre compte d'un enseignement, ils
en fixent cependant l'orientation générale et les limites. Ils
correspondent en premier lieu à un choix de domaines à
étudier. La procédure prévue pour la rédaction
des contenus de programme en mathématiques devrait a priori fournir
toute garantie : un Conseil National des Programmes (CNP) dont les ressources
propres sont renforcées par une commission de réflexion sur
l'enseignement des mathématiques qui l'informe et l'éclaire, un
groupe d'experts qui répond à une lettre de cadrage du CNP,
voilà le début du processus de conception, poursuivi par un
dispositif de consultation et d'éventuelles reprises.
Ces dernières années, l'organisation mise en place n'a pas
correctement fonctionné. Les diverses demandes émanant de la
société, de la communauté scientifique ou des instances
politiques n'ont pas abouti à une synthèse satisfaisante pour
les diverses parties engagées. Il n'a été tenu compte ni
de l'état des lieux, ni de la prospective, ni des comparaisons
internationales.
D'une façon générale, les contenus
«officiels» déclinés dans les programmes de
mathématiques sont rédigés sous la forme d'une liste non
ordonnée de notions ou de méthodes dont il est très
difficile d'extraire les objectifs de formation. Ces derniers, d'ailleurs,
apparaissent une fois pour toutes dans un «chapeau» introductif
avant le texte lui-même, et ne se retrouvent pas dans
l'énoncé des contenus. Les chapeaux sont censés, selon
leurs auteurs, donner un éclairage préparatoire à une
lecture pertinente des items, mais ils sont perçus par les enseignants
comme une loi du genre, au discours convenu sans réelle
autorité.
Notre attention s'est portée principalement sur les programmes du
lycée dans la mesure où ils sont en cours de
rénovation.
Une étude de l'évolution de leurs contenus, c'est à dire
des objets et des méthodes étudiés, entre les
années 1980 et 2000 met en relief les points suivants :
· la diminution progressive de la place accordée aux objets
géométriques, et aux méthodes et travaux associés
;
· la disparition d'une première exposition à
l'algèbre linéaire (allant de pair avec le premier point), sauf
en terminale série ES (très timidement) ;
· la diminution de la place allouée à l'étude des
situations liées aux évolutions : suites récurrentes
linéaires, équations différentielles ;
· l'apparition dans la classe de seconde (non poursuivie dans les
divisions de première et terminale) d'une sensibilisation à
l'aléatoire et aux méthodes de la statistique inductive ;
· l'apparition dans cette même classe de thèmes
d'ouverture, touchant les relations avec des disciplines voisines (initiative
non poursuivie dans les classes ultérieures) ;
· un intérêt un peu plus marqué quoique toujours
timide pour l'intégration des Techniques de l'Information et de la
Communication (TIC).
Parmi les grands traits de l'économie générale des
contenus actuels, toutes séries et niveaux confondus des programmes en
vigueur à la rentrée 2001, on peut citer les suivants :
· le cloisonnement et l'isolement. Les interventions dans d'autres
champs d'activité et avec d'autres disciplines sont rarement
explicitées dans les programmes. Les objets ne sont pas perçus
comme modèles ;
· une tendance à préférer les méthodes non
constructives. Par exemple, on privilégie le calcul d'intégrale
à partir des primitives (le nouveau programme de terminale voudrait
peut-être modifier ce point de vue, mais il faudra du temps pour changer
les pratiques), les suites étudiées «en
général», la présentation de la fonction logarithme
à partir de la quadrature de la fonction inverse, etc ;
· la présence importante voire prépondérante
d'opérations mécanisées. Par exemple, l'étude des
fonctions définies par une formule, les opérations de mise en
facteur et développement, la résolution des équations
algébriques à coefficients entiers de degré un ou deux ;
· l'approche unique concernant les objets introduits. Même si
différents éclairages sont évoqués, il n'est
jamais demandé d'en exposer plusieurs ;
· un cloisonnement entre les différents chapitres,
(conséquence du point précédent) qui fait que le choix du
point de vue adopté en fonction de la question posée est exclu.
Par exemple, sont négligés les relations
algèbre-géométrie (résolution des systèmes
linéaires, résolution des équations algébriques
...), les relations géométrie-mouvement, le passage
discret-continu (suites géométriques et fonction exponentielle,
équations aux différences et équations
différentielles ...) ;
· l'absence de réflexion sur le calcul exact et le calcul
approché ;
· l'absence d'analyse des formules du point de vue de leur forme, des
transformations qu'elles peuvent subir, de leur harmonie, de leur
nécessité (cette dernière lacune conduit à une
grande difficulté à maîtriser les calculs) ;
· l'absence de modèles de construction d'une
démonstration ;
· l'absence de toute référence culturelle : pas de point
de vue historique, pas de lecture dans le texte, pas de conseil de lecture
pour les élèves (comme pour le professeur d'ailleurs) .
En conclusion, les contenus actuels sont le résultat d'une grande
érosion, tant du point de vue des modèles introduits et
étudiés, que de la capacité à
généraliser, à construire, et à porter sur les
situations un regard mathématique.
Leur mise en oeuvre étant incitative et leurs limites fixées,
les contenus de programme entraînent des pratiques. A l'heure actuelle,
il n'est pas exagéré de dire qu'elles conduisent à
écarter la plupart des élèves de la réalité
des mathématiques. En effet, seuls ceux qui sont incités
à travailler en dehors de la classe, ceux à qui des
problèmes sont posés et dont on suit le travail, ceux à
qui on conseille des lectures reçoivent un enseignement
mathématique véritable.
CLASSE DE SECONDE: comparaison 1981 - 2000
RENTREE 1981
RENTREE 2000
Activités numériques Valeur absolue. Approximation d'un
réel au moyen d'une suite.
Nombres: notations N, Z, D, Q, R. Les nombres dans une calculatrice. Nombres
premiers. Ordre des nombres.
Statistiques Fréquences, Moyennes. Statistiques Moyenne,
médiane, classe modale. Dispersion: étendue. Distribution des
fréquences. Simulation et fluctuation d'échantillonnage.
Fonctions Sens de variation, parité, périodicité.
x^2>ax+b ; |x| ; x^2 ; x^3 ; x^4 ; 1/x
Fonctions trigonométriques. Etude au voisinage de 0, notion de
majoration. x->(1+x)^2 ; (1+x)^3 ; ; Fonctions
Moins de fonctions de référence. Plus de réflexion sur
l'écriture algébrique. (changement de forme)
Géométrie plane (repérage, multiplication d'un vecteur
par un réel sont vus en collège)
Homothétie. Barycentre (jusqu'à 4 points).
Géométrie plane Repérage. Multiplication d'un vecteur par
un réel. Révisions du collège. Triangles
isométriques. Triangles de même forme. Produit scalaire
Définition, propriétés. Equation du cercle. Lignes de
niveau. (partie supprimée)
Angles et rotations Cercles, tangentes. Convexité du disque. Angles
inscrits, angle au centre. Rotations. (partie supprimée)
Géométrie dans l'espace Incidence, parallélisme.
Orthogonalité, symétrie par rapport à un plan.
Projections. Repères. Calculs de distances, aires, volumes.
Géométrie dans l'espace Incidence. Orthogonalité d'une
droite et d'un plan.
Equations et systèmes Jusqu'à 4 inconnues. Equations et
systèmes. Systèmes linéaires 2x2.
TERMINALES SCIENTIFIQUES EN 1980 ET 2000
1980 TERMINALE C
Combinatoire.
Statistique. Droites de régression. Inertie d'un nuage.
2000 TERMINALE S + Spécialité
Combinatoire et probabilités
Variables aléatoire.
Probabilités conditionnelles.
Suites numériques, Théorèmes admis sur convergence et
divergence.
Suites récurrentes jusqu'à : u_{n+1} = a u_n + b u_{n-1} et
u_{n+1} - u_n = P(n)
Suites numériques
Il reste :
Fonctions numériques, Compléments sur continuité et
limites (vus en première).
Dérivée des fonctions composées, d'une fonction
réciproque.
Dérivées successives.
Notion de dérivées partielles.
Fonctions logarithme et exponentielle et leurs croissances
comparées.
Développements limités jusqu'à l'ordre 3.
Accroissements finis.
Fonctions numériques, La continuité est hors programme. La
notion de fonction réciproque est hors programme.
Fonction logarithme et exponentielle. Plus de développements
limités Calcul intégral. Calcul d'aires (exact, approché)
Equations différentielles linéaires à coefficient.
constants du premier et du second ordre
(Calcul intégral. Inchangé)
Il reste :
Fonctions vectorielles - cinématique. Dérivée d'une
somme, d'un produit scalaire, d'un Produit vectoriel. Courbes
paramétrées. Etude des mouvements classiques. Fonctions
vectorielles - cinématique. Courbes paramétrées.
Algèbre linéaire Opérations dans Rn, base canonique.
Sous espace vectoriel engendré. Lien application linéaire -
matrice. Théorème de la base incomplète.
Résolutions de systèmes. Espaces vectoriels de dimension finie.
Algèbre linéaire Résolution de systèmes. Nombres
complexes Linéarisation des polynômes trigonométriques.
Racines n-ièmes de l'unité. Equation du second degré
dans C.
Nombres complexes
Les racines nièmes sont hors programme. Equation du second
degré à coefficients réels
Géométrie
Calcul barycentrique (plan et espace). Les isométries sont des
applications affines qui conservent le produit scalaire. Groupe des
déplacements. Antidéplacements. Groupe des similitudes directes.
Lien avec les nombres complexes. Coniques (aspect géométrique
et analytique). Dans l'espace: groupe des rotations d'axe donné.
Composition de transformations; réciproque. Aucune connaissance sur les
groupes. Aucune connaissance n'est exigée à propos des
coniques. Pas de transformations dans l'espace.
Les programmes de 2001-2002 pour le cycle terminal
Ces nouveaux programmes proposent un nouvel abord et un nouvel
éclairage sur certains des points abordés en analyse. En classe
de première, on donne une définition de la limite d'une suite,
prolongée par la définition de la limite d'une fonction en un
point et de la continuité en terminale. Ces définitions ne
seront pas exploitées dans le cours. L'intégrale est introduite
à partir de l'aire sous la courbe, et l'exponentielle est introduite
par l'équation différentielle, au travers d'une étude
approchée et de la modélisation de la
désintégration radioactive. Une application modeste de
l'intégrale apparaît dans l'étude des lois de
probabilité à densité. En revanche, les équations
différentielles linéaires du second ordre ne sont plus
étudiées. Les contenus relatifs à la
géométrie sont appauvris par rapport à ceux du programme
précédent, la géométrie plane est maintenant
incluse dans le paragraphe «nombres complexes». Aucune
étude des transformations dans l'espace n'apparaît. Le programme
de spécialité rajoute un peu d'arithmétique et
l'étude des similitudes planes, ainsi qu'une présentation
qualitative des lignes de niveau de certaines quadriques (dans laquelle on ne
pourra reconnaître des coniques, puisque celles-ci sont absentes des
programmes). En probabilités et statistiques est prévue une
initiation à la statistique inférentielle, au travers de l'usage
de la loi du chi-deux, ceci restant au niveau de l'observation.
Il y a discordance entre les objectifs annoncés, souvent ambitieux sur
le fond ("la problématique des équations
différentielles") ou sur le niveau attendu ("une bonne maîtrise
des fonctions classiques") ... et la réalité du texte ("la
méthode d'Euler [...] donne l'idée que l'exponentielle est
l'analogue continu de la notion de suite géométrique") ou celle
des exigences ("l'étude des suites ou des fonctions sera motivée
par la résolution de problèmes: elle n'est pas une fin en
soi").
Les pratiques de classe
Les mathématiques dans l'établissement
Les services et les emplois du temps
Au niveau du collège, dans le cadre des horaires modulables à
partir d'un horaire plancher, nous constatons une grande diversité d'un
établissement à l'autre, selon la priorité retenue par le
collège. Cette différence, qui peut être d'une heure par
semaine au cycle central et en troisième ajoute encore à la
diversité de niveau des élèves accueillis en
sixième, et vient creuser l'écart entre les niveaux de sortie
des divers collèges. Enfin les remontées de la rentrée
2001 nous indiquent que les mesures spécifiques prévues pour la
sixième sont peu appliquées, ce qui se traduit en particulier
souvent par la suppression de la remise à niveau en
mathématiques. La pénurie de professeurs de mathématiques
(le recrutement des personnels précaires, contractuels ou vacataires
reste à un niveau élevé) et les nouvelles règles
concernant les heures supplémentaires conduisent dans un nombre
significatif de cas à partager entre deux enseignants un service de
mathématiques. Ce fait indique que la répartition des services
entre les enseignants ne répond pas toujours à des
impératifs pédagogiques, et il faut noter à ce sujet que
les dispositifs de remédiation (remise à niveau, aide
individualisée) sont souvent confiés à des
débutants. Pour garder toute la souplesse qui fait leur
spécificité, il serait souhaitable que les séances de
module soient placées dans des plages horaires libres a priori ou
à la rigueur soient mises en parallèle avec d'autres modules.
Malheureusement, les impératifs d'organisation de l'emploi du temps du
lycée conduisent souvent à les placer en parallèle avec
des options ce qui rend impossible l'organisation des groupes de besoin
à effectifs variables, fondement de l'idée d'enseignement
modulaire.
Les demandes fréquemment exprimées par les enseignants de
disposer d'un créneau de deux heures consécutives pour les
évaluations diminuent, lorsqu'elles sont prises en compte, la
fréquence des jours de la semaine «où il y a
mathématiques». Ainsi, dans certaines classes, tout
l'enseignement de mathématiques se déroule sur deux jours, ce
qui nuit bien sûr à la nécessaire continuité de
l'effort demandé aux élèves.
Les équipes de mathématiques
Contrairement à leurs collègues de sciences
expérimentales, les enseignants de mathématiques ne disposent
pas dans l'établissement, sauf exception, de lieu réservé
à leur discipline. Le travail d'équipe commence en
général par l'instauration de devoirs communs à un
niveau, qui nécessitent une réflexion commune sur la progression
et les exigences. Il va rarement au delà.
La fonction des conseils d'enseignement se limite le plus souvent au choix des
manuels et à des propositions de répartition des services.
La documentation
Nous nous contenterons de répéter ce qu'a mis en évidence
notre thème d'étude de l'année 1997-1998 : massivement
les professeurs de mathématiques sont absents des CDI et la
documentation à caractère mathématique est très
pauvre dans les établissements. Les quelques progrès
enregistrés en ce domaine cette année dans des lycées
proviennent de la mise en place des TPE.
Les relations avec les autres disciplines
Celles-ci peuvent se comprendre à plusieurs niveaux :
· les professeurs de mathématiques ont en
général un rôle important dans les équipes et un
regard pertinent sur les élèves. L'enseignement des
mathématiques permet en effet de développer des
compétences transversales : apprentissage de la rigueur, faculté
d'imagination et d'expérimentation, maîtrise du langage et de
l'expression. Les professeurs de mathématiques occupent souvent le
poste de professeur principal dans des classes stratégiques (6e, 3e,
2e) ;
· les professeurs de mathématiques, en revanche,
hésitent souvent à se lancer dans des projets
interdisciplinaires : les mathématiques sont très souvent
absentes des parcours diversifiés ou des travaux croisés. Pour
ce qui concerne le lycée, l'engagement marqué de certaines
équipes ne saurait masquer la pauvreté fréquente de
l'investissement des professeurs de mathématiques qui laissent aux
enseignants des disciplines expérimentales (en série S) ou de
sciences humaines (en série ES) l'animation et l'encadrement des TPE.
Le travail volontariste et indispensable d'animation pédagogique
mené sur le terrain par les corps d'inspection se heurte, chez les
professeurs de mathématiques, à une culture dominante
méconnaissant les origines et les applications des mathématiques
·
La gestion du cours
La mise en activité des élèves
Les programmes de mathématiques mettent l'accent, depuis de nombreuses
années, sur le rô1e essentiel de la mise en activité de
l'élève et du choix de situations de recherche et de
découverte devant permettre une meilleure assimilation des notions.
Pour être efficace, une activité devrait s'appuyer sur une
mobilisation de connaissances antérieures et permettre la mise en place
et la structuration de nouvelles connaissances ; elle devrait alterner les
périodes de recherche et d'initiative individuelles et les mises en
commun, préludes à l'institutionnalisation finale.
Le cours magistral est en voie de disparition. Les professeurs de
mathématiques tentent avec plus ou moins de réussite de
s'appuyer sur l'activité des élèves. Or, pour être
efficace, une activité doit être bien adaptée à
l'apprentissage visé, bien scénarisée et bien
jouée. Trop d'enseignants se contentent de prendre une activité
préparatoire présente dans le manuel et de la proposer aux
élèves comme ils poseraient n'importe quel exercice. Dans
d'autres cas, rencontrés surtout au collège, le support de
l'activité est une «feuille à trous» laissant peu de
place à l'initiative et à la recherche. Les enseignants ont
beaucoup de mal à faire entrer dans une heure de cours les trois phases
d'un apprentissage par l'étude active d'un problème:
· recherche individuelle et mise en commun (c'est
l'activité préparatoire) ;
· institutionnalisation dans le cahier de cours ;
· réinvestissement immédiat sous forme
d'exercices d'application.
La place de la démonstration
En raison de l'évolution de la lecture des programmes et grâce au
travail sur le terrain des corps d'inspection pédagogique, nous
assistons à un retour de la démonstration dans les cours de
mathématiques. C'est particulièrement net au collège
à partir de la classe de cinquième. Il est regrettable que ces
démonstrations, en général proposées dans des
activités, ne fassent pas plus souvent l'objet d'une
institutionnalisation dans le cahier de cours (à la suite de
l'énoncé des propriétés) : ainsi le «cahier
de cours» est presque toujours un simple aide-mémoire contenant
l'énoncé des définitions et des propriétés
et l'élève, quand il apprend son cours, se contente de
mémoriser un catalogue d'énoncés.
Notons que, comme nous pouvons le constater lors de l'épreuve orale du
CAPES interne (épreuve sur dossier), certains enseignants ignorent
eux-mêmes les démonstrations des propriétés qu'ils
doivent enseigner.
Les travaux écrits
Dans ce domaine aussi, le travail de fond mené par l'inspection sur le
terrain en s'appuyant sur la note du groupe de mathématiques de
l'Inspection générale (dont le texte est maintenant
présent sur le site Eduscol), commence à porter ses fruits.
Certes, des résistances au «devoir hebdomadaire de
mathématiques» subsistent mais les progrès sont sensibles.
En revanche, l'abus des devoirs de contrôle en temps limité,
motivé en particulier par la pression de familles ou
d'élèves avides de notes, continue d'amputer au détriment
de la formation les horaires de mathématiques. Quelques
établissements permettent l'organisation de devoirs surveillés
en dehors des heures de cours. Ce genre de dispositif, à condition de
garder le nombre d'heures ainsi ajoutées dans les limites acceptables,
devrait être encouragé.
L'usage du manuel
Depuis notre contribution au rapport de Dominique Borne sur les manuels
scolaires (1997), on constate une certaine évolution. Nous avons pu
noter chez certains éditeurs un effort de renouvellement à
l'occasion de la mise en place des nouveaux programmes de collège et de
lycée. Sous la plume de nouvelles équipes, parfois
coordonnées par des chercheurs des IREM ou des IA-IPR, certains manuels
ont fait un effort important de renouvellement en intégrant l'usage en
mathématiques des logiciels, en mettant en bonne place la
démonstration, en donnant des ouvertures sur les applications et les
autres disciplines.
Évolutions et résistances
L'utilisation des TICE
Les nouveaux programmes de collège et de lycée insistent sur la
nécessité de l'utilisation des calculatrices et des logiciels en
mathématiques. Par ailleurs, la note de cadrage sur l'utilisation des
TICE en mathématiques, élaborée par le groupe des
mathématiques de l'Inspection générale, est largement
diffusée et figure, en particulier, sur le site Eduscol. Cette note
détaille les objectifs de l'utilisation et en donne une typologie. Elle
sert de texte de référence pour les animations
pédagogiques assurées par l'inspection dans le cadre de
l'accompagnement des nouveaux programmes. Elle permet aussi de guider, pour la
discipline, les demandes d'équipement (micro-ordinateurs dans les
classes, vidéoprojecteurs, types de logiciels).
En face de ces exigences, la réalité du terrain est
contrastée. Si la quasi totalité des lycées sont
convenablement équipés, beaucoup de collèges ont un
équipement soit insuffisant, soit réservé dans les faits
à l'enseignement de la technologie. Voici un exemple illustrant les
difficultés actuelles. Dans un certain nombre de lycées, les
professeurs enseignant le cours de mathématiques et informatique de
première L ont négligé l'utilisation du tableur dans les
parties du programme qui la requéraient (ces parties
représentant en gros la moitié de l'année scolaire). Les
élèves s'en trouvaient en conséquence
pénalisés lors de l'épreuve anticipée du
baccalauréat, qui comprenait légitimement des questions portant
sur ce domaine. Il y a même eu plainte de certains parents devant le
tribunal administratif.
En mathématiques, comme dans d'autres disciplines, la moitié des
enseignants est à moins de dix ans de la retraite, ce qui n'est pas a
priori un facteur de dynamisme. Dans de nombreux établissements
cependant, sous l'impulsion de professeurs convaincus soutenus par les corps
d'inspection, la situation évolue favorablement. Nous avons
décidé que la qualité de l'investissement des enseignants
dans l'utilisation des TICE serait désormais un élément
obligatoire et important de l'évaluation individuelle des
professeurs.
Les mathématiques et les TPE
La plupart des enseignants n'étaient pas préparés
à l'introduction des TPE. Ceux de certaines disciplines, grâce
aux formes d'activité officiellement proposées (études
sur dossier, travaux pratiques, rédaction de mémoires,
utilisation de l'Internet), avaient une culture proche de l'esprit des TPE :
il ne leur manquait que l'interdisciplinarité. Les professeurs de
mathématiques n'avaient pas cette culture et se sont sentis
fragilisés par un nouveau type d'activité qu'ils ne dominaient
pas. Dans de très nombreux établissements, ils ne se sont pas
portés volontaires pour l'encadrement des TPE ou, quand ils l'ont fait,
n'ont pas su toujours trouver la place de la discipline dans les travaux des
élèves. Le travail d'animation pédagogique entrepris
depuis un an et demi par les équipes d'IA-IPR de mathématiques
et coordonné par l'Inspection générale devrait à
l'avenir porter ses fruits : force est de constater que pour l'instant les
résultats sont plutôt maigres. Dans de trop nombreux
lycées, les professeurs de mathématiques sont purement et
simplement absents de l'encadrement des TPE.
Remédiation et gestion de
l'hétérogénéité
Les mathématiques, avec le français, sont les deux disciplines
où les dispositifs de remédiation et de traitement de
l'hétérogénéité sont les plus
développés : évaluation sixième, dispositifs de
soutien de toutes sortes au collège, évaluation seconde,
modules, aide individualisée au lycée. Ces dispositifs ont
été et sont accompagnés de nombreuses réflexions
au niveau national ; citons par exemple un groupe qui travaille depuis
plusieurs années sur l'enseignement des mathématiques en ZEP/REP
ou les groupes nationaux qui travaillent sur les évaluations
sixième et seconde. Les travaux de ces groupes fournissent des outils
et des propositions en termes de remédiation. Cependant nous ne pouvons
pas dire actuellement qu'il y a, en mathématiques, des avancées
remarquables dans le domaine de la remédiation et du traitement de
l'hétérogénéité. Il semble que, mis
à part quelques rares initiatives, individuelles ou
intégrées dans le projet de l'établissement, les
pratiques pédagogiques des professeurs de mathématiques n'aient
guère évolué.
L'évaluation à l'entrée en sixième est mise en
place par pratiquement l'ensemble des professeurs de mathématiques. Les
résultats sont utilisés de manière globale, pour situer
les lacunes des élèves. Les professeurs utilisent cette
évaluation pour avoir une première photographie de la classe ou
pour conforter l'idée qu'ils s'en font. Ils en déduisent aussi
des pistes pour faire des révisions. Ils proposent une aide aux
élèves en difficulté, mais il peut y avoir dérive,
cette aide consistant en des activités de remédiation qui sont
plutôt des réexplications et des exercices
répétitifs. Un dispositif fréquemment rencontré,
mais cela est variable suivant les académies , est la constitution de
groupes de niveau. Pour être efficaces, de tels dispositifs supposent un
travail en équipe important. D'une manière
générale, au collège comme au lycée, et notamment
en seconde, les enseignants ont parfois du mal à faire la part entre
les difficultés qui sont «normales» dans l'apprentissage
d'une nouvelle notion et les difficultés plus profondes ou
spécifiques à tel ou tel élève. Malgré les
outils dont disposent les enseignants, comme par exemple les cahiers
d'évaluation, le repérage des élèves globalement
en difficulté ou en difficulté sur des points particuliers
(méthodes de travail, relation au travail, lacunes dans les
connaissances indispensables pour suivre avec profit l'enseignement d'une
nouvelle notion) reste un point délicat.
Les modules
Les horaires actuels de la classe de seconde ne comportent plus de travaux
dirigés, mais une heure et demie de module; ceci conduit certains
enseignants à proposer durant les temps de travail en demi-classe,
tantôt des activités propres aux heures de module (sens des
notions, erreurs d'élèves, remédiation ), tantôt
des activités propres aux heures de travaux dirigés
(entraînement aux techniques apprises dans le cours, approfondissements
ou prolongements), un point commun restant le caractère plus
individualisé du travail et du suivi que rend possible la diminution de
l'effectif. Notons sur ce point la persistance dans certains cas d'une
utilisation inadaptée de la division en groupes, sous la forme d'une
simple répétition de la même séquence sans
réel souci d'adaptation à chacun.
L'aide individualisée
Dans leur grande majorité, les enseignants s'intéressent aux
élèves en difficulté pour lesquels ils font du
"rattrapage-soutien", et certains d'entre eux ont compris qu'il fallait
s'intéresser pendant un temps limité à des
difficultés bien ciblées. C'est ainsi que, assez rapidement,
l'aide individualisée se trouve proposée ou imposée
à ceux dont les professeurs estiment "qu'un peu plus de
mathématiques" devrait leur permettre de pallier des faiblesses
ponctuelles. On rencontre dans certaines classes des pratiques
intéressantes et originales de remédiation à l'occasion
des heures d'aide individualisée; au reste, la réflexion
était bien engagée au moment de l'introduction de l'aide
individualisée en classe de seconde et aurait pu avoir des
retombées intéressantes au collège ; certaines
dérives ou insuffisances auraient pu être corrigées
après un an de fonctionnement. Mais la mise en place des travaux
personnels encadrés l'année suivante a mobilisé les
énergies dans une direction nouvelle et les anciennes routines semblent
avoir repris le pas. Il est significatif de remarquer à ce sujet que
les actions de formation continue portant sur l'aide individualisée
n'attirent pas beaucoup les enseignants.
La gestion de l'hétérogénéité et le travail
personnel des élèves Les dispositifs pédagogiques
décrits précédemment viennent en complément d'une
gestion plus large de l'hétérogénéité des
élèves dans la pratique quotidienne. En particulier, le travail
personnel demandé aux élèves soit pendant, soit en dehors
du temps d'enseignement est un moyen classique et puissant qui permet de
prendre en compte de manière diversifiées les besoins et les
attentes des élèves. La note de l'Inspection
générale «Les travaux écrits des
élèves en mathématiques au collège et au
lycée» fait de manière claire et précise le point
sur ce sujet.
Les pratiques d'inspection
Quelques inspections ont lieu pendant les séances de modules, mais
elles sont exceptionnelles en aide individualisée. Cela est dû en
partie au fait que le manque de réflexion sur l'aide amène
à une certaine réserve dans la critique et dans
l'évaluation. L'évaluation des dispositifs de
remédiation, et de l'aide individualisée en particulier, devrait
pourtant aussi s'appuyer sur l'observation directe.
En conclusion
Les pratiques des professeurs de mathématiques dans le domaine de la
remédiation ont peu évolué et les modalités
d'inspection ne permettent pas de porter sur elles un jugement fin.
Il n'y a pas eu d'évaluation portant sur la manière et la mesure
selon lesquelles les dédoublements de classe provoquent effectivement
une diversification de l'enseignement, ainsi qu'une diversification du travail
personnel demandé aux élèves.
Les efforts importants menés depuis plusieurs années,
comparés à l'incertitude sur les résultats qui en
découlent, doivent nous amener à nous interroger sur la
pertinence des analyses et des stratégies choisies. On ne traite
peut-être pas assez la motivation des élèves. Il serait
opportun de relancer une réflexion au niveau national permettant
d'analyser les manières dont sont utilisés ces différents
dispositifs, de modifier les instructions les concernant et d'impulser de
nouveau le pilotage et la formation au niveau national.
La formation initiale et continue
Le temps des présentations axiomatiques est révolu, et ne
reviendra sans doute pas. Cela dit il paraît inadmissible et dangereux
qu'un professeur de mathématiques ignore l'essentiel de la structure
logique qui sous-tend son champ d'activité et justifie sa profonde
singularité.
On peut ajouter que l'ouverture sur les autres disciplines, et notamment sur
la physique qui a de tout temps accompagné et stimulé les
mathématiques dans leur développement, est de plus en plus
indispensable.
Parmi les missions des enseignants figurent la transmission du savoir et la
participation à l'éducation des élèves. Il n'est
pas douteux que la maîtrise des contenus et de l'histoire de la
discipline enseignée, et des connaissances solides dans les disciplines
voisines, soient nécessaires pour la première de ces missions,
et participent au fondement de l'autorité qui permet la seconde.
L'enseignement se fait, faut-il le dire, dans une classe. Savoir alterner les
phases d'activité des élèves et d'institutionnalisation
du savoir , choisir et diriger les travaux écrits de manière
pertinente, donner des méthodes de travail, maintenir dans la classe le
calme propice au travail sont des qualités nécessaires à
tout enseignant.
Par ailleurs, la calculatrice et l'ordinateur apportent des modifications dans
la pratique et l'enseignement des mathématiques. Ces dernières
deviennent en partie une science expérimentale, en cela que les
possibilités de visualisation, d'observation et de simulation sont
devenues, grâce à l'ordinateur, considérables. Les
logiciels graphiques et de calcul formel devraient permettre d'alléger
la part des tâches de routine dans l'enseignement, pour se concentrer
sur les concepts. Le traitement de texte, enfin, doit conduire à
améliorer la qualité des documents mis à la disposition
des élèves. Les considérations qui
précèdent conduisent à évaluer la formation des
professeurs de mathématiques selon quatre critères :
maîtrise épistémologique de la discipline, vision globale
de la culture scientifique, maîtrise des TICE, formation didactique et
pédagogique.
La formation initiale Scientifique
Les études universitaires
Trois ou quatre ans après le baccalauréat, les titulaires d'une
licence ou d'une maîtrise ont accumulé un certain nombre de
savoirs, souvent morcelés. Cela fait longtemps que les certificats de
physique ont disparu de la licence de mathématiques, en même
temps que la licence d'enseignement, ce que l'on peut regretter. L'histoire de
la discipline est négligée, ainsi que des pans entiers des
mathématiques figurant au programme de l'enseignement secondaire
(statistique, géométrie, algorithmique etc.). Et le rejet du
bourbakisme semble avoir conduit à jeter le bébé des
fondements de la discipline avec l'eau du bain des structures et de
l'axiomatique.
Les concours externes
Ces concours font l'objet d'une préparation spécifique ; on
pourrait souhaiter que cette préparation conduise à un
approfondissement de la discipline et en même temps à une vision
plus large de la science qui l'entoure.
· L'AGREGATION
La préparation est assurée en général par les
universités. Elle comporte un entraînement aux longs
problèmes de l'écrit. Pour les deux premières
épreuves d'oral (algèbre et analyse) un certain nombre de
leçons d'oral sont préparées par les candidats et
présentées devant leurs camarades et un formateur, et des cours
complémentaires sont assurés, destinés à
compléter les cours de maîtrise et à fournir des exemples
pour les leçons.
À l'arrivée, on constate que les prestations orales des
candidats sont le plus souvent, et même pour les meilleures d'entre
elles, très académiques. On ne peut certes pas exiger des jeunes
candidats une réflexion très originale sur la discipline, mais
on peut souhaiter des plans moins stéréotypés et une
meilleure mise en relation des concepts.
L'introduction de la troisième épreuve orale de
modélisation porte en elle un espoir d'ouverture vers le monde
scientifique extérieur aux mathématiques et vers les TICE.
Cependant, les effets en retour sur l'enseignement en licence et en
maîtrise sont encore insuffisants, et l'épreuve n'a pas encore
atteint sa pleine maturité.
Ces dernières années, un phénomène est venu
accentuer la superficialité de la prestation orale moyenne : beaucoup
de candidats parmi les mieux classés à l'écrit, qui se
présentent à l'agrégation juste après la
maîtrise pour pouvoir se consacrer plus vite à la recherche,
passent l'oral presque sans préparation.
· Le CAPES
La préparation à l'écrit du CAPES est majoritairement
assurée par l'université ; cependant 59% des reçus sont
inscrits en IUFM. Il semble que l'essentiel de la formation en IUFM porte sur
l'oral. La spécificité de l'épreuve sur dossier demande
d'y consacrer un effort important pendant un an, à tel point que l'on
constate que les candidats qui préparent en même temps une
maîtrise, voire l'agrégation, obtiennent des résultats
nettement moins bons. Il faut remarquer, a contrario, que 69% des reçus
au CAPES en 2001 ont une maîtrise, 7% ont suivi des études de
troisième cycle, 2,5% sont ingénieurs.
On constate, à l'écrit comme à l'oral, que beaucoup de
candidats maîtrisent mal certains concepts de base, notamment en
algèbre linéaire et en géométrie.
Le programme d'oral est fondé sur les programmes en vigueur dans
l'enseignement secondaire. Il s'en suit que la plupart des candidats
préparent l'oral en utilisant les manuels scolaires, dans lesquels la
réflexion sur les contenus, les définitions précises et
les théorèmes démontrés sont rares.
La seconde année d'IUFM pourrait être le moment du
nécessaire approfondissement et de la réflexion sur les
contenus. Ce n'est que trop rarement le cas.
La formation pédagogique
L'IUFM
De l'avis général des IA-IPR, la formation pédagogique
délivrée en IUFM est de bonne qualité. Les futurs
enseignants arrivent en stage bien mieux préparés que par le
passé à affronter une classe ; ce constat est d'autant plus
encourageant que les classes confiées aux stagiaires ne sont pas
toujours les plus faciles. L'année de stage
Même si la répartition géographique des stagiaires ne
coïncide pas toujours avec celle des bons tuteurs, même si, pour
les agrégés, la proportion de refus définitifs à
l'issue de deux années de stage est beaucoup plus élevée
en mathématiques que dans les autres disciplines (toutefois sans
dépasser 2%), on peut dire que le stage assure dans une grande
majorité des cas une formation pédagogique satisfaisante.
Les TICE
La manière dont les étudiants rencontrent l'ordinateur pendant
leurs études universitaires varie du «très
léger» au «raisonnable».
L'initiation au tableur et aux logiciels de géométrie faite en
deuxième année d'IUFM est considérée, dans
l'ensemble, comme efficace. En revanche, l'initiation à l'algorithmique
semble absente dans la plupart des cas.
La formation continue
L'auto-formation
Les IREM
La réflexion sur la formation continue des enseignants de
mathématiques, lancée en 1960 par l'APMEP (charte dite «de
Chambéry») devait aboutir à partir de 1968 à la
création des IREM.
Dotés à leur création de moyens importants, les IREM ont
joué un rôle crucial :
· dans le recyclage des professeurs : mathématiques
«modernes », structures, ensembles, logique, puis, plus tard,
probabilités et statistiques, algorithmique ;
· dans l'innovation pédagogique : travail en
équipe, résolution de problèmes, utilisation des
calculatrices puis de l'ordinateur.
Restés proches des MAFPEN dans les années 80, ils sont en
revanche demeurés à l'écart des IUFM dans les
années 90, et disposent actuellement de moins en moins de moyens. Ils
restent toutefois une pépinière de formateurs, et dans la
plupart des académies , ce sont souvent les mêmes personnes que
l'on retrouve comme membres de l'IREM, formateurs IUFM en mathématiques
ou membres actifs de l'APMEP. À la différence des IUFM, les IREM
mènent souvent des recherches qui ne sont pas directement liées
aux programmes en vigueur, ce qui leur donne des facultés
d'anticipation et leur a notamment permis de ne pas être pris au
dépourvu lors de l'introduction des nouveaux programmes de statistique
en seconde, ou des TPE en première. Cependant, malgré leur
rôle de ferment, le déclin financier des IREM fait qu'ils ne
peuvent plus être considérés comme un moyen de formation
stricto sensu et qu'il leur devient même de plus en plus difficile
d'assurer la formation des formateurs et de recruter de nouveaux
participants.
La lecture
La question rituelle des inspecteurs lors de entretiens avec les professeurs :
«Quels livres de mathématiques avez-vous lus récemment
?» n'amène le plus souvent en réponse qu'un silence
gêné. Ce manque de curiosité pour la discipline des
professeurs de mathématiques apparaît de manière flagrante
dans la pauvreté abyssale du rayon «mathématiques»
des CDI. Le nivellement par le manuel Dans un monde idéal, le
professeur de mathématiques devrait construire son cours, en utilisant
ses connaissances et les ouvrages de sa bibliothèque, à la
lecture des programmes ; le manuel devrait permettre à ses
élèves de trouver un autre éclairage sur le cours. Dans
la réalité, l'enseignant construit son cours à partir
d'un manuel - de préférence pas celui utilisé par les
élèves. Tandis que les élèves, dans l'immense
majorité des cas, n'utilisent le manuel que pour faire les exercices
prescrits par leur professeur.
La formation institutionnelle
Le passage de la MAFPEN à l'IUFM
Ce passage s'est fait de manière inégale selon les
académies ; comme indiqué plus haut, les formateurs sont
souvent restés les mêmes. Pilotage par l'offre ou pilotage par la
demande ? On constate souvent que les IUFM éprouvent une certaine
difficulté à proposer rapidement des formations adaptées
aux modifications de programme, la tendance naturelle étant de proposer
«les formations qu'on sait faire» souvent
déconnectées de l'évolution des contenus de
l'enseignement..
Public volontaire ou public désigné ?
Dans beaucoup d'académies, ce sont toujours les mêmes professeurs
qui s'inscrivent aux stages de formation. C'est pourquoi il semble plus
efficace - comme on l'a fait par exemple en matière de TICE dans
l'académie de Poitiers - de «désigner les
volontaires». Problèmes d'organisation Le bon fonctionnement des
PAF demanderait dans certains cas :
· une meilleure prise en compte des besoins exprimés par
les IA-IPR , qui, hommes de terrain, sont les mieux à même de
détecter les nécessités les plus urgentes ; il arrive que
les demandes de formation du recteur, élaborées en collaboration
avec les IA-IPR, ne se traduisent à l'arrivée dans les IUFM que
par des appels d'offres en direction d'hypothétiques formateurs et que
dans un certain nombre de cas elles n'aient pas d'autre suite. Cela conduit
à présent un certain nombre d'IA-IPR à organiser leurs
propres formations sur des «crédits pédagogiques»
accordés par le recteur ;
· une meilleure gestion des délais ; il a pu arriver que
quand les commandes arrivent enfin à l'IUFM, il soit trop tard pour
recruter les formateurs.
La circulaire Allègre sur le temps de formation
La circulaire Allègre et des difficultés faites par certains
chefs d'établissement au départ de leurs professeurs n'ont
gêné que modérément les convaincus mais ont
donné des prétextes aux tièdes.
Les concours internes
L'agrégation interne
Initialement conçue pour récompenser un effort de formation
d'enseignants en milieu de carrière, l'agrégation interne de
mathématiques est de plus en plus utilisée (72% de
lauréats 2001 avaient moins de 35 ans) par de jeunes professeurs
titulaires du CAPES depuis à peine plus de 5 ans - ce qui, avec le
service national et le stage, peut leur donner une durée d'enseignement
effectif de seulement 3 ans - pour obtenir au meilleur compte le grade
d'agrégé. Il s'agit là d'un vrai problème, car
cela risque de décourager l'effort de remise à niveau que
faisaient les enseignants se portant candidats en milieu de
carrière.
Il est impossible, pour des raisons réglementaires, de rendre plus
sévères les conditions d'âge des candidats. Tout devrait
être fait, en revanche, pour inciter les professeurs chevronnés
à présenter le concours, et pour leur en faciliter la
préparation.
Les autres modes de recrutement
Il est question des concours ayant pour but la titularisation de personnels
auxiliaires ou contractuels. La population en cause est extrêmement
hétérogène, mais on peut distinguer sommairement deux
profils-type:
· ceux qui acceptent de se former ;
· ceux qui le refusent, tout en rencontrant des
difficultés dans la conduite de la classe et/ou dans la maîtrise
de la discipline, et considèrent cependant que l'ancienneté de
service est une condition suffisante pour leur titularisation.
· Pour obtenir le meilleur service de ces personnels, et pour
améliorer du mieux qu'il est possible leur niveau de formation, on
pourrait envisager à l'avenir le dispositif suivant :
· chaque contractuel a un tuteur, qui lui donne les conseils de
base et auquel il peut faire appel en cas de besoin ;
· les tuteurs sont en liaison avec l'IA-IPR ;
· il est institué un regroupement des contractuels,
d'une demi-journée par semaine, pour apporter un début de
formation sur la conduite de classe, le soutien aux élèves, la
réflexion sur les contenus, etc ;
· un bilan de compétences est fait par l'IA-IPR et le
tuteur ;
· cette formation peut être complétée par
des lectures - avec compte rendu - imposées et des visites de
classe.
Les examens
L'élaboration des sujets
Un problème majeur est le nombre et la variété des
examens qui portent sur la discipline mathématique; présente
à peu près partout, elle donne lieu à
l'élaboration de sujets d'examens très divers au moins par la
forme et le programme dans lesquels ils s'insèrent.
Par exemple, cette année, 142 sujets de baccalauréat
professionnel seront produits dans la matière
"mathématiques-sciences" et comporteront tous une partie
mathématique. Pour le baccalauréat de la voie
générale, une centaine de sujets seront produits. Les travaux
afférents à cette production mobilisent une part importante du
temps de travail des corps d'inspection, déjà signalée
(voir le rapport sur les charges de travail des inspecteurs territoriaux). La
discipline mathématique se caractérise par l'accumulation des
difficultés de mise au point : les textes sont ordinairement assez
longs et comprennent de nombreuses formules, aussi obtenir la perfection
finale du texte produit est chaque fois une gageure si l'on considère
qu'un seul caractère faux peut entraîner des contestations
parfois graves. Il découle de des délais importants de saisie,
de mise en forme finale et de vérification minutieuse auxquels les
personnels des directions académiques des examens apportent il est vrai
un concours important. La lourdeur du travail imposé à ces
personnels, ainsi que le stress qu'ils subissent en permanence, sont une des
causes de leur rotation le plus souvent rapide, tellement rapide que l'on
bénéficie trop rarement de l'expérience accumulée,
et que les inspecteurs doivent fort régulièrement se muer en
formateurs pour obtenir un travail dont la qualité reste au niveau
exigé.
Toute mesure ayant pour effet de limiter le nombre des sujets donnés
chaque année est donc favorable au bon fonctionnement, et de
l'évaluation, et du système éducatif dans son ensemble. A
cet égard, le travail de regroupement réalisé depuis
quelques années pour les BTS est exemplaire.
Les contenus évalués
On peut tenter de distinguer deux sortes de compétences attendues
à l'examen. Nous appellerons compétences opératoires
celles qui se limitent à la manipulation d'objets du programme à
l'intérieur de règles supposées connues, et selon des
algorithmes également connus (étude des variations d'une
fonction, tracé de courbes, développement ou simplification
d'expressions, calculs algébriques, etc...). L'intérêt de
l'évaluation de ces compétences est régulièrement
remis en cause, notamment du fait du développement des aides au calcul
sous toutes leurs formes, calculatrices ou ordinateurs, ce qui provoque un
débat permanent sur leur obsolescence supposée. Nous appellerons
compétences analytiques celles qui mettent en jeu une pensée
complexe, faite d'enchaînements logiques ne répétant pas
nécessairement ou pas exactement ceux auxquels l'élève a
déjà été entraîné: analogie entre des
objets ou situations apparemment diverses, regard critique sur les
résultats obtenus, recherche de liens cachés ou peu apparents,
raisonnements composés de plusieurs étapes dont chacune n'est
pas évidente a priori.
L'évaluation des compétences analytiques est usuellement
associée à la notion de problème , fait d'un
enchaînement de questions aboutissant à un ou plusieurs
résultats. Ce mode d'évaluation est actuellement en crise; on
reproche aux problèmes d'être stéréotypés et
tellement découpés qu'il ne reste guère de place à
la réflexion personnelle du candidat. Dans les faits, il est vrai que
l'immense majorité des sujets (problèmes ou exercices plus
courts) se limite strictement à évaluer les compétences
opératoires. La raison de ceci est qu'évaluer principalement et
réellement les compétences analytiques entraînerait
inéluctablement des résultats inutilisables parce que trop
faibles ou trop parcellaires.
Les sujets sont donc construits de manière à ce que l'on n'y
rencontre pas de surprise, et la question qui suit un calcul difficile
comporte le plus souvent des indications permettant au candidat de
vérifier aisément son travail (quand le résultat n'est
pas purement et simplement donné). Ces précautions, non
exigibles de droit, sont exigées de fait, puisque leur oubli provoque
systématiquement les contestations vigoureuses adressées
à tout sujet soupçonné d'être trop difficile. On
peut noter les contradictions existant entre les diverses critiques des
épreuves actuelles: trop faciles et stéréotypées
pour certains, elles deviennent scandaleuses (parfois pour les mêmes
personnes) dès qu'elles sont plus exigeantes.
Une mesure permettant de ne pas se limiter à l'évaluation des
compétences opératoires consisterait à faire en sorte que
la dernière question (ou les deux dernières) d'un
problème reste systématiquement ouverte, c'est à dire que
le résultat attendu ne soit pas donné. Le traitement de cette
dernière question supposerait une compétence plutôt
analytique car le candidat devrait d'abord s'engager, en choisissant ce qu'il
entend démontrer. Placer la difficulté en fin de problème
permet d'éviter les critiques portant sur le risque
d'élimination excessivement sévère d'un candidat: un
échec à la dernière question n'entraîne pas de
pénalité supplémentaire.
Une autre méthode souvent évoquée est celle du QCM; le
découpage très fin introduit par ce mode d'évaluation
permet de "cibler" précisément les compétences
évaluées, et de surcroît, la correction en est plus
aisée que celle des sujets classiques. Faisant l'objet d'avis
contradictoires, mais déjà présente dans le
baccalauréat "arts appliqués", cette méthode pourrait
être introduite à petites doses, partiellement et dans certaines
séries à titre d'essai.
Évaluation et utilisation des TICE
Pour intégrer dans l'évaluation les compétences des
élèves dans le domaine de l'utilisation de logiciels ou de
calculatrices scientifiques en mathématiques (compétences qui
font maintenant explicitement partie des programmes), le contrôle en
cours de formation semble un outil bien adapté. S'agissant des
ordinateurs, leur utilisation lors d'un examen ponctuel écrit
présente des difficultés (problèmes d'organisation,
problèmes matériels, sécurité, maintenance,
obsolescence rapide des matériels et des logiciels, ...). Pour ce qui
concerne les calculatrices, la réalité de leur usage en
mathématiques au baccalauréat est qu'à part des calculs
numériques et des vérifications de tracé de courbes,
elles apportent peu à la plupart des candidats (cf. le rapport de
l'Inspection générale de l'Éducation nationale sur les
copies de baccalauréat, programme de travail 1999-2000) ; en revanche,
la possession d'une calculatrice très performante, munie de logiciels
de calcul formel et symbolique, est un avantage pour le candidat qui sait
l'utiliser.
La correction des copies
La correction fait systématiquement l'objet de barèmes
établis par les concepteurs, dans le but de simplifier
l'évaluation et de la rendre plus équitable. Une commission
d'harmonisation, présidée par un IA-IPR lorsqu'il s'agit du
baccalauréat, permet de préciser et de commenter le
barème initial. Malheureusement, cette procédure de
réunion d'une commission d'harmonisation, prévue par les textes,
n'est pas systématiquement respectée. Les barèmes
accentuent cependant un effet mécanique de l'évaluation: le
découpage en très petites unités au moment de la lecture
de la copie avantage l'évaluation de compétences
opératoires au détriment de celle de compétences
analytiques. Tous les correcteurs rencontrent des copies dont la note totale
leur paraît exagérée car acquise par petits points
«grapillés» comme l'on dit, tandis que la copie voisine,
plus incomplète sans doute mais mieux structurée, leur
paraît moins bien lotie. Il est clair que l'on ne peut gagner sur les
deux tableaux et qu'il vaut mieux d'abord essayer de garantir
l'équité. Il est donc souhaitable de conserver l'usage de
barèmes précis ; laisser une marge d'appréciation
positive au correcteur pour les copies apparaissant au bout du compte comme
globalement sous-notées serait judicieux dans certains cas.
Clubs et ateliers mathématiques
Il y a actuellement environ 200 clubs ou ateliers mathématiques
recensés par l'association ANIMATH, dont 1/3 en lycées et 2/3 en
collèges. Cette association dont le nom vient de «animation
mathématique» a été créée en 1998
à l'initiative de la Société Mathématique de
France, avec le soutien de l'Inspection générale, de l'APMEP, de
l'assemblée des directeurs d'IREM, de la société de
mathématiques appliquées et industrielles, de «Femmes et
mathématiques» et de quelques autres organisations. Elle a pour
but de développer les activités mathématiques
périscolaires dans les établissements et de promouvoir le
goût pour les mathématiques et pour la recherche. ANIMATH a mis
en oeuvre deux universités d'été à St FLOUR en
1999 et en 2001 sur le thème «Comment créer et animer un
club mathématique en collège ou en lycée»
destinées au professeurs de mathématiques. ANIMATH a aussi
organisé trois «stages olympiques» à Orléans
en 1999, au lycée Stanislas à Paris en 2000, près de
Toulouse en 2001, pour des élèves de seconde et première.
Un tutorat est également mis sur pied pour que de jeunes
élèves bénéficient de l'aide
bénévole d'élèves des écoles normales
supérieures afin de les préparer aux olympiades internationales
de mathématiques.
Les activités des clubs et des ateliers sont nombreuses et
variées et parfois dépassent le cadre des mathématiques
en allant vers d'autres disciplines. Citons brièvement quelques
exemples représentatifs d'activités (collège et
lycée) :
· réalisation de formes géométriques de
l'espace, pliages et découpages ;
· jeux combinatoires, puzzles utilisant du petit
matériel en bois ou en plastique ;
· études d'exemples de géométries finies
dans le plan ou dans l'espace ;
· activités numériques, utilisation des
réglettes de Neper, d'abaques ;
· étude des pavages du plan, des groupes de frise ou des
groupes cristallographiques ;
· activités de recherches jumelant deux lycées.
Les activités de club complètent, pour des élèves
volontaires, les activités liées au cours de
mathématiques en mettant en évidence des facettes de notre
discipline qui s'articulent entre elles : d'un côté des bases
solides fondées sur des connaissances et la pratique d'un savoir faire,
de l'autre une ouverture plus ludique et motivante destinée à
démystifier et à donner confiance. À travers les
activités de club, certains élèves découvrent un
autre visage des mathématiques et y trouvent une motivation
génératrice de succès ; d'autres élèves,
déjà fortement intéressés par les
mathématiques, peuvent y exercer leurs capacités dans un cadre
libéré des programmes scolaires et de leurs contraintes. Pour
tous, la liberté de choix et la déconnexion de
l'évaluation traditionnelle sont facteurs de motivation et de
réussite.
Le prolongement naturel des activités de clubs se trouve dans les
compétitions mathématiques. Outre le concours
général des lycées et les diverses compétitions
régionales : rallyes, tournois, ... il a été
créé en décembre 2000 les olympiades académiques
de mathématiques destinées aux élèves des classes
de premières scientifiques ou technologiques. Dès la
première session, au printemps 2001, la participation a
été de plus de 6000 élèves, soit quatre fois plus
qu'au concours général. Les sélections régionales
ont été suivies d'un choix national des meilleurs
élèves jugés sur leur travail face à 4 exercices
à résoudre en 4 heures. Les résultats sont à la
hauteur de l'attente.
Les olympiades internationales
Après plusieurs années de résultats de plus en plus
décevants, le point le plus bas ayant été atteint en 2000
avec un 48e rang, l'équipe de France aux olympiades internationales de
Mathématiques a obtenu en 2001 une place de 28e, encore relativement
modeste, mais manifestement en voie d'amélioration. Nous
espérons pour les années qui viennent une consolidation de ces
résultats, montrant que les efforts actuellement engagés pour
encourager l'apparition et le repérage de jeunes talents ne sont pas
vains.
La pluridisciplinarité
Un peu d'histoire
On trouve sur la page de garde d'un manuel de 1756 le titre suivant :
«Eléments d'arithmétique, d'algèbre, de
géométrie. Avec une introduction aux sections coniques : ouvrage
utile pour disposer à l'étude de la physique et des sciences
physico-mathématiques», par M. Mazéas, professeur de
philosophie à l'Université de Paris et au collège royal
de Navarre.
Sautons deux siècles. Avant la réforme dite des
"mathématiques modernes" il était jugé utile de
développer quelques applications dans les programmes de la discipline:
cinématique, mécanique, cosmographie, voire
géométrie descriptive. En moins d'une génération
celles-ci ont disparu de tous les niveaux d'enseignement en
mathématiques, certaines ayant été confiées aux
physiciens ou aux enseignants de technologie. Ceci a conduit à la
formation d'une génération de professeurs manquant de l'habitude
et parfois des connaissances de base nécessaires à une pratique
professionnelle de l'interdisciplinarité. L'enseignement des
mathématiques fait peu de place aux applications et produit une
scolastique interne qui change selon les périodes. On a connu la
« trinômite», les nombreux exercices sur la
géométrie du triangle. Maintenant l'étude des fonctions
données par une expression unique a submergé l'enseignement dans
la plupart des classes de lycée, notamment dans le cadre de la
préparation aux épreuves trop stéréotypées
du baccalauréat.
La question de la liaison entre les programmes des différentes
disciplines, et particulièrement entre les mathématiques et la
physique, reste posée. Les autres disciplines scientifiques appellent
l'usage de notions le plus souvent non abordées dans le programme de
mathématiques car jugées trop complexes. Le décalage
entre les niveaux d'abstraction nécessaires pour parler en
mathématiques ou en physique d'un même problème (par
exemple les équations différentielles du second ordre) tient
pour une part irréductible à la différence des points de
vue, mais se trouve accentué du fait, signalé ci-dessus, de la
formation trop étroite des enseignants.
Dans les séries (séries technologiques, BTS entre autres)
où l'enseignement reste contextualisé, la difficulté
intrinsèque des notions mathématiques utilisées conduit
le plus souvent à en donner une présentation sous forme de
recettes, ce qui n'est certes pas mauvais pour une première approche,
et reste opératoire en termes d'apprentissage, mais ne permet pas
l'accès à une culture scientifique approfondie.
Les dernières évolutions des programmes, avec l'introduction de
la statistique au lycée général, et l'introduction des
TPE, comme le développement des pédagogies de projet (parcours
pédagogiques diversifiés, travaux croisés,
itinéraires de découverte au collège, projet
pluridisciplinaire à caractère professionnel au lycée
professionnel) signent la volonté affirmée de revenir vers des
pratiques interdisciplinaires.
Vers plus de pluridisciplinarité
La pluridisciplinarité est à développer pour au moins
deux raisons. D'une part elle est nécessaire au dialogue et à
l'efficacité des contacts que, dans sa vie professionnelle notamment,
chacun est amené à nouer avec des non-spécialistes de sa
propre discipline de formation -l'ère des Pic de La Mirandole est sans
doute passée- et d'autre part, pédagogiquement, les
différents apprentissages se confortent l'un l'autre. Il est certain
que l'efficacité de l'enseignement des mathématiques sera
renforcée par la présence de liens visibles avec d'autres
disciplines. Cela a déjà été observé, y
compris en lycée professionnel, car cela donne du sens aux
apprentissages et permet de répondre à la question : «Vos
maths à quoi ça sert ?».
Gérer la pluridisciplinarité est certes d'abord une question de
programmes, mais aussi de pratiques. Pour ce qui est des programmes, les
différents groupes d'experts travaillent d'une façon encore trop
cloisonnée et les contacts entre les différents groupes arrivent
trop tard. Du coup les éléments de pluridisciplinarité
ont été mis au point dans la hâte, comme par exemple dans
le traitement des équations différentielles dans le programme de
terminale S. Le temps nécessaire à la mise en place de
programmes consensuels réalisant un compromis entre les
possibilités actuelles du corps enseignant et les
nécessités affirmées par l'institution d'introduire
l'interdisciplinarité a cruellement fait défaut, ce qui risque
de se faire durement ressentir à l'usage. Il est possible d'avancer
vers la pluridisciplinarité à partir de deux points de vue :
recherche de l'origine des notions mathématiques et applications
directes ou indirectes de celles-ci. Trop souvent les formations
universitaires font l'impasse sur ces questions et une réflexion sur
leurs programmes de formation continue et initiale est à ce sujet
indispensable.
Pour ce qui est des pratiques, la présence des mathématiques
dans les TPE, les itinéraires de découverte, et les PPCP, bien
qu'elle pose à l'heure actuelle des questions délicates
(déjà évoquées ci-dessus pour les TPE), est un
point crucial dans la perspective d'une évolution favorable vers une
meilleure prise en compte de a pluridisciplinarité .
Avec qui ? On sait depuis longtemps quelles sont les disciplines
concernées par les liaisons avec les mathématiques :
· Français (surtout au collège et en 2e) ;
· Sciences physiques ;
· Chimie ;
· Sciences de la vie et de la terre ;
· Sciences industrielles ;
· Economie ;
· Géographie ;
· Philosophie.
Avec ces différentes disciplines il est possible de proposer des
harmonisations possibles de progression, des applications diverses et des
sujets de travaux personnels encadrés (TPE) qui soient
véritablement pluridisciplinaire.
Pour faire évoluer pratique et curricula augurons que
l'expérience des TPE pourra servir de levier.