\special{header=mdrlib.ps}

\def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}}

\def\build#1^#2_#3{\mathop{#1}\limits^{#2}_{#3}}

\long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" 
#3}}#4$}}

\long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{%
\vfil\special{psfile=#5 hscale=#3 vscale=#4}}#6$}}

\long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{%
\vfil\special{psfile="`img2eps file #7 height #4 mm width #3 mm gamma #5
angle #6}}#8$}}

\long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}}

\def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else
 \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else
 \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}
\font\tenmathx=mathx10
\font\eightmathx=mathx8
\font\sevenmathx=mathxm7
\font\fivemathx=mathxm5
\newfam\mathxfam
  \textfont\mathxfam=\tenmathx
  \scriptfont\mathxfam=\sevenmathx
  \scriptscriptfont\mathxfam=\fivemathx
\def\mathx{\fam\mathxfam\tenmathx}
\def\mathxtype{\hexnbr\mathxfam}

\def\overacute{\mathaccent"0\mathxtype79}
\def\overobtuse{\mathaccent"0\mathxtype7D}

% This file is a solution template for:
% - Giving a talk on some subject.
% - The talk is between 15min and 45min long.
% - Style is ornate.
% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 
\mode<presentation>
{
% \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10,
% top=blue!10]
  \usetheme{Warsaw}
  \usefonttheme[onlysmall]{structurebold}
}
% or whatever

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[english]{babel}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

\title[\RGBColor{1 1 1}{\ 
\kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 16/04/2014\kern53pt
Curiosités géométriques et physique de l'Univers}]
% (optional, use only with long paper titles)
{Curiosités géométriques et\\ physique de l'Univers}

%% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional)

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Jean-Pierre Demailly}

\institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[]% (optional)
{16 avril 2014 / Conférence au Lycée Champollion}

%%\subject{Talks}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}

\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}

\def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex}
\def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar
    \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\reg}{\operatorname{reg}}
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}

\newcommand{\bB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\bD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}

\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\cF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\cI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\cK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\cO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\cX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\dbar}{\overline\partial}
\newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}}

% mathematical operators
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits}
\newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\newcommand{\diam}{\mathop{\rm diam}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}

\newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits}
\newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}}
\newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits}
\newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits}
\newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits}
\newcommand{\alg}{{\rm alg}}
\newcommand{\nef}{{\rm nef}}
\newcommand{\num}{\nu}
\newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}}
\newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}}

\def\ovl{\overline}
\def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}

\begin{document}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%%\AtBeginSubsection[]
%%{
%% \begin{frame}<beamer>
%%    \frametitle{Outline}
%%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%%  \end{frame}
%%}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\begin{frame}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{acad-logo}{acad-logo}
  \pgfuseimage{acad-logo}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{ujf-logo}{ujf-logo}
  \pgfuseimage{ujf-logo}
  \titlepage
\end{frame}

%%\begin{frame}
%%  \frametitle{Outline}
%%  \tableofcontents
%% You might wish to add the option [pausesections]
%%\end{frame}


% Since this a solution template for a generic talk, very little can
% be said about how it should be structured. However, the talk length
% of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to
% the following rules:  

% - Exactly two or three sections (other than the summary).
% - At *most* three subsections per section.
% - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about
%   15 and 30 frames, all told.

%% \section*{Basic concepts}
%%\def\pause{}

\begin{frame}
 \frametitle{Dimension de l'espace-temps}
 Selon Einstein, notre univers est de dimension 4~:\\
 \alert{3 dimensions d'espace et 1 de temps}
 \vskip2pt
 Pourrait-il en avoir moins ? \pause
 \vskip4pt
 \hbox{\strut\kern1.5cm\pgfdeclareimage[height=4.5cm]{vache}{vache}
 \pgfuseimage{vache}}
 \vskip0pt
 Le tube digestif de la vache la couperait en deux composantes
connexes -- les animaux  ne pourraient pas exister!
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Géométrie de l'espace}
 Selon Einstein et sa théorie de la relativité générale (1907--1915), 
 \alert{l'espace est courbé en raison de la distribution de matière,} 
 qui induit un champ gravitationnel
 \vskip8pt
 \hbox{$\strut$\kern-8mm
 \pgfdeclareimage[height=5.4cm]{espace-temps-courbe}{espace-temps-courbe}
 \pgfuseimage{espace-temps-courbe}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{``Trous noirs'' et ``trous de ver'' ?}

 \vskip8pt
\hbox{\strut\kern-8mm \pgfdeclareimage[height=4cm]{trou-noir}{trou-noir}
 \pgfuseimage{trou-noir}}\vskip-4.5cm\pause
 \hbox{\strut\kern51mm\pgfdeclareimage[height=4cm]{trou-de-ver}{trou-de-ver}
 \pgfuseimage{trou-de-ver}} \strut
 \pause
 \vskip8pt
 La question de savoir si l'univers est \alert{ouvert ou fermé} agite 
 beaucoup les astrophysiciens : cela dépend de la densité de matière
 présente dans l'univers ... seule une densité suffisante permettrait
 qu'il se referme sur lui-même.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Question de topologie : un espace non orienté ?}
 La ``bouteille de Klein'' (Felix Klein 1849 -- 1925) : \alert{une 
 surface compacte} (=fermée sans bord) \alert{non orientable}.
 \vskip2pt
 \hbox{\strut\kern1.5cm
 \pgfdeclareimage[height=5.5cm]{bouteille-klein}{bouteille-klein}
 \pgfuseimage{bouteille-klein}}
 \vskip-8pt
 Après un ``tour d'univers'', les droitiers se retrouveraient gauchers et
 vice-versa...
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Le ruban de Möbius d'Escher}
 Un célèbre dessin de Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
 \vskip8pt
 \hbox{\strut\kern-8mm
 \pgfdeclareimage[height=5.5cm]{escher-moebius}{escher-moebius}
 \pgfuseimage{escher-moebius}}
 \vskip0pt

\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Comment calcule-t-on la courbure ?}
 Une courbe et son \alert{cercle osculateur} de rayon $r$
 \vskip8pt
 \hbox{\strut\kern1.5cm
 \pgfdeclareimage[height=6cm]{cercle-osculateur}{cercle-osculateur}
 \pgfuseimage{cercle-osculateur}}
 \vskip4pt
 Si le rayon \alert{$r=\infty$}, la courbure $K$ est \alert{nulle}.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Coefficients de courbure d'une surface}
\strut\kern-5mm Les deux courbures d'une surface dans un espace de dimension~3
 \vskip5pt
 \hbox{\strut\kern1.5cm
 \pgfdeclareimage[height=5.5cm]{surface-courbures}{surface-courbures}
 \pgfuseimage{surface-courbures}}
 $$K_1={1\over r_1}>0,\kern3cm K_2={1\over r_2}<0$$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La courbure moyenne}
 Courbure moyenne : \alert{$\displaystyle M={1\over 2}(K_1+K_2)$}\\
 Une bulle de savon ``libre'' est de courbure moyenne nulle en tout point~:
 \alert{$K_1=-K_2$,~~~ $M=0$}
 \vskip5pt
 \hbox{%
 \pgfdeclareimage[height=5cm]{bulle-catenoide}{bulle-catenoide}
 \pgfuseimage{bulle-catenoide}\kern1.2cm
 \vbox{Catenoide:\\ \alert{$x= a~\cosh u~\cos\theta$\\
  $y= a~\cosh u~\sin\theta$\\ $z= a u$}}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La courbure de Gauss}
 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : \alert{$K=K_1\times K_2$ est invariant
 par déformation d'une surface inextensible}
 \hbox{\claim{(theorema egregium)\kern-4mm}}
 \vskip8pt
\hbox{\pgfdeclareimage[height=5cm]{gauss}{gauss}
 \pgfuseimage{gauss}}\vskip-4.5cm\pause
 \hbox{\strut\kern41mm\pgfdeclareimage[height=5cm]{gauss-courbure}{gauss-courbure}
 \pgfuseimage{gauss-courbure}}
 \vskip4pt
 \pause
 Le cylindre peut s'aplatir, pas la sphère ni le catenoide.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La courbure de Gauss (formule de Gauss-Bonnet)}
 \pgfdeclareimage[height=5cm]{triangle-hyperbolique}{triangle-hyperbolique}
 \pgfuseimage{triangle-hyperbolique}\kern1.2cm
 \alert{
 $$\hbox{somme des angles d'un triangle géodésique}=\pi+\int\!\!\!\int K\,dS$$}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Espace homogène / localement symétrique ?}
 Un espace $X$ est dit \alert{symétrique} s'il admet un tout point une
 ``symétrie'' par rapport à ce point
 \vskip2pt
 \hbox{
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{escher-hyperbolique}{escher-hyperbolique}
 \pgfuseimage{escher-hyperbolique}\kern1.2cm
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{escher-hyperbolique2}{escher-hyperbolique2}
 \pgfuseimage{escher-hyperbolique2}}
 \vskip4pt
 Dans ce cas il admet un \alert{groupe de transformations isométriques $G$}
 et $X$ est un \alert{espace homogène $G/H$}.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Mais l'univers n'est pas homogène...}
 \hbox{\pgfdeclareimage[height=6cm]{galaxies}{galaxies}
 \pgfuseimage{galaxies}\kern2cm\vbox{''Grumeaux''\\ de galaxies}}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Métrique riemannienne : introduction}
\pgfdeclareimage[height=6cm]{grenoble-topo}{grenoble-topo}
\strut\kern1.5cm\pgfuseimage{grenoble-topo}
$$ds^2=a(x,y)\,dx^2+b(x,y)\,dy^2+c(x,y)\,dx\,dy.$$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Métrique riemannienne / Tenseur de courbure}
  Bernhard Riemann (1826--1866) / espace à $n$ dimensions
 \vskip5pt
 \hbox{
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{riemann}{riemann}
 \pgfuseimage{riemann}\kern1cm
 \pgfdeclareimage[height=4.5cm]{levi-civita}{levi-civita}
 \pgfuseimage{levi-civita}}
 \vskip-15pt
\alert{ $$
 ds^2=\sum g_{\alpha\beta}(x)\,dx^{\alpha}dx^{\beta}\kern2cm
 R^{\delta}_{\alpha\beta\gamma},\quad 1\le\alpha,\beta,\gamma,\delta\le n.
 $$}
 \vskip-10pt
\hbox{\strut \raise15pt\hbox{Métrique riemannienne}\kern 1cm 
\vbox{Tenseur de courbure de Riemann\\ 
(calcul précisé par Levi-Civita)}\kern-5mm}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Tenseur de Ricci / équation d'Einstein}
 Le tenseur de Ricci est une sorte de ``courbure moyenne'' :
\alert{$$R_{\alpha\beta}=\sum_\gamma  R^{\gamma}_{\alpha\beta\gamma}$$}
 \pause
\hbox{\strut\kern2cm
\pgfdeclareimage[height=4cm]{albert-einstein}{albert-einstein}
 \pgfuseimage{albert-einstein}}
 \vskip2pt
 \'Equation d'Einstein (1879--1955) de la relativité générale
\alert{$$\displaystyle R_{\alpha\beta}-\Big(\Lambda+{1\over 2}R\Big)
g_{\alpha\beta}= {8\pi G\over c^4}T_{\alpha\beta}.$$}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Nombres complexes}
Dans $\bR$, \alert{$-1$ n'a pas de racine carrée},\\
car $x^2\ge 0$ pour tout $x\in\bR$.
\vskip5pt
\pause
Alors les mathématiciens du 16ème siècle en ont inventé une !!
On définit \alert{$i=\sqrt{-1}$}~~ $(i\notin\bR$), et on a donc
\alert{$i\times i=-1$}.
\vskip5pt
\pause
On calcule facilement avec les complexes~:
\begin{itemize}
\item Addition/soustraction\vskip5pt
\centerline{$(-2{,}5 + 3i)-(4+5i)=-6{,}5-2i$}
\vskip5pt
\pause
\item Multiplication\vskip5pt
$(2+3i)(5+7i)=2\times 5+3i\times 5 +2\times 7i+3i\times 7i$\\
$\phantom{(2+3i)(5+7i)}=10+15i+14i+21i^2=10+29i-21$\\
$\phantom{(2+3i)(5+7i)}=-11+29i$
\end{itemize}
\vskip5pt
\pause
On note \alert{$\bC$} l'ensemble des nombres complexes.
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{\'Equation d'Einstein en mathématiques}
Equation d'Einstein ``simplifiée'' (univers vide !!)
\vskip-10pt
\alert{$$\displaystyle R_{\alpha\beta}=\lambda g_{\alpha\beta},\qquad
\lambda=\hbox{constante}.$$}
\pause
Vérifiée (avec $\lambda=0$, $R_{\alpha\beta}\equiv 0$) par la\\
\alert{variété de Calabi-Yau} 6-dimensionnelle définie dans
$\bC\bP^4$ par
\vskip7pt
\hbox{\strut\kern3cm
\pgfdeclareimage[height=3.5cm]{calabi-yau}{calabi-yau}
 \pgfuseimage{calabi-yau}}
\vskip-17pt
$$z_0^5+z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5-5a\,z_0z_1z_2z_3z_4=0,\quad
z_0,z_1,z_2,z_3,z_4\in\bC,$$
\vskip-10pt
\hbox{(avec 1 paramètre $a$ de déformation).
\alert{Yau: on a bien Ricci${}\equiv 0$.}\kern-5pt}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{\kern-4pt 
Variétés de Calabi-Yau, sièges des champs de forces?\kern-4pt}
\pgfdeclareimage[height=4.5cm]{calabi-yau2}{calabi-yau2}
 \pgfuseimage{calabi-yau2}
\vskip4pt
Notre univers aurait 6 dimensions supplémentaires ultra-miscroscopiques
(${}\simeq 10^{-35}\,$m) qui seraient le siège des
champs de force (théorie des cordes)... \alert{sous forme d'une variété
de Calabi-Yau de dimension complexe 3}.\\
Celle-ci étant de dimension réelle 6, 
ceci amène à un univers de $4+6=\alert{10}$ \alert{dimensions}
au total.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Itération d'un polyn\^ome du second degr\'e dans $\bC$}
Dans le plan complexe $\bC$, on regarde la fonction polynôme
\vskip5pt
\centerline{\alert{$
P_c:\bC\to\bC,\qquad P_c(z)=z^2+c~~\hbox{o\`u $c$ est un param\`etre,}
$}}
\vskip5pt
par exemple $c=0{,}3+0{,}4i$.\vskip5pt
On prend un point $z_0\in \bC$ quelconque, et on calcule les ``itérés''\vskip2pt
$z_1=z_0^2+c$\vskip2pt
$z_2=z_1^2+c$\vskip2pt
$\ldots$\vskip2pt
\alert{$z_{n+1}=z_n^2+c$}\vskip5pt
\pause
Par exemple, si $c=0$, on a\vskip5pt
\alert{$z_1=z_0^2,~~z_2=z_1^2=z_0^4,~~z_3=z_2^2=z_0^8,~\ldots~,z_n=z_0^{2^n}.$}
\vskip5pt
Si $z_0$ est petit, $z_0^{2^n}$ devient de plus en plus petit, tandis que
si $z_0$ est grand, $z_0^{2^n}$ devient de plus en plus grand.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ensemble de Julia}
Pour toute valeur complexe $c\ne 0$ on regarde les $z_0$ pour lesquels la
suite $(z_n)$ reste bornée. Ceci donne un ensemble fractal~!\\
Voici par exemple une image
de $J_c$ et $K_c$ pour la valeur $c=0,328075517+0,022051744\,i$
du param\`etre~:

\InsertImage 10 45 35 0 1.1 0 julia1.png
\LabelTeX -6 30 $K_c$\ELTX \EndFig
\vskip-5.9cm\pause
\InsertImage 55 55 28 0 1.1 0 Julia2.png
\LabelTeX 32 20 Gaston Julia\ELTX
\LabelTeX 32 14 (1893-1978)\ELTX
\EndFig
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ensemble de Mandelbrot}
$\strut$\vskip-20pt
Math\'ematicien franco-am\'ericain 
\hbox{\alert{Beno\^{\i}t Mandelbrot} (1924-2010).\kern-1cm}

\begin{block}{Ensemble de Mandelbrot} {\it C'est l'ensemble $M$ des valeurs complexes
$c$ du param\`etre telles que l'ensemble de Julia $K_c$ associ\'e \`a $P_c$ 
soit ``connexe''.}
\end{block}
\vskip1.8cm

\InsertImage 8 35 90 0 1.1 0 mandelbrot.png
\LabelTeX 69 34 $M$\ELTX
\LabelTeX 7 30 $K_c$\ELTX
\LabelTeX 7 4 $K_{c'}$\ELTX
\LabelTeX 68 25.5 $\times$\ELTX
\LabelTeX 65 22 $c=0$\ELTX
\EndFig
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Dynamiciens c\'el\`ebres ...}
\InsertImage 3 35 50 0 1.1 0 mandelbrot_468378a-i1.0.jpg \EndFig
\vskip-2.5cm
\InsertImage 67 35 40 0 1.1 0 douady.jpg \EndFig
\vskip3mm
\claim{%
\hbox{Benoît Mandelbrot (1924-2010)\kern7mm Adrien Douady (1935-2006)\kern-5mm}}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Un ensemble fractal de dimension 3 :\\ le Mandelbulbe
de degr\'e $p=8$}
\InsertImage 3 65 70 0 1.1 0 mandelbulb.jpg \EndFig
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{L'\'equation du Mandelbulbe de degr\'e $p$}
White et Nylander ont donn\'e la formule suivante en coordonnées sph\'eriques
dans $\bR^3$
\alert{$$\langle x, y, z\rangle^p = r^p\langle\cos(p\theta)\cos(p\phi),\sin(p\theta)\cos(p\phi),\sin(p\phi)\rangle$$}
\vskip-9mm
$$\hbox{o\`u}~~~\alert{\begin{cases}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
\theta=\arctan(y/x) \\
{\rm et\ } \phi=\arctan(z/\sqrt{x^2+y^2})=\arcsin(z/r).
\end{cases}}
$$
pour la $p$-i\`eme puissance du nombre hypercomplexe 3D.\vskip3pt\pause

Comme pour l'ensemble de Mandelbrot plan, on regarde les domaines de convergences des suites obtenues par it\'eration de $w\mapsto w^p+c$ o\`u $w$ et $c$ sont des nombres ``hypercomplexes'' $w=\langle x, y, z\rangle$ dans $\bR^3$ et $w\mapsto w^p$ l'application d\'efinie \hbox{ci-dessus\kern-1cm}
\vskip3pt
\claim{http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html}
\end{frame}

\end{document}