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Un ``Mandelbulb'' est un ensemble de Mandelbrot volumique.

Image: une repr\'esentation du Mandelbulb par it\'eration de $z \mapsto z^8 + c$.

L'id\'ee de sa r\'ealisation occupe les esprits depuis 2007, mais fin 2009, Daniel White et Paul Nylander ont construit un Mandelbulb, un analogue en dimension 3 de l'ensemble de Mandelbrot, \`a l'aide d'une alg\`ebre de nombres hypercomplexes et de transformations \'ecrites en coordonn\'ees sph\'eriques. White et Nylander donnent la formule suivante : 
$$\langle x, y, z\rangle^n = r^n\langle\cos(n\theta)\cos(n\phi),\sin(n\theta)\cos(n\phi),\sin(n\phi)\rangle$$
o\`u 
$$
\cases{
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cr 
\theta=\arctan(y/x) \cr 
{\rm et\ } \phi=\arctan(z/\sqrt{x^2+y^2})=\arcsin(z/r).\cr}
$$
pour la $n$-i\`eme puissance du nombre hypercomplexe 3D. Ils utilisent alors de m\^eme que pour Mandelbrot plan, les domaines de convergences des suites obtenues par it\'eration de $z\mapsto z^n+c$ o\`u $z$ et $c$ sont des nombres hypercomplexes dans un espace de dimension 3 et $z\mapsto z^n$ l'application d\'efinie ci dessus

R\'ef\'erence: http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html 

\end
% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: