\def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}}

\catcode`\@=11
\def\openup{\afterassignment\@penup\dimen@=}
\def\@penup{\advance\lineskip\dimen@
  \advance\baselineskip\dimen@
  \advance\lineskiplimit\dimen@}
\newdimen\jot \jot=3pt
\newskip\plaincentering \plaincentering=0pt plus 1000pt minus 1000pt
\def\ialign{\everycr{}\tabskip\z@skip\halign}
\def\eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th
  \ialign{\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
      \crcr#1\crcr}}\,}
\newif\ifdt@p
\def\displ@y{\global\dt@ptrue\openup\jot\m@th
  \everycr{\noalign{\ifdt@p \global\dt@pfalse \ifdim\prevdepth>-1000\p@
      \vskip-\lineskiplimit \vskip\normallineskiplimit \fi
      \else \penalty\interdisplaylinepenalty \fi}}}
\def\@lign{\tabskip\z@skip\everycr{}} % restore inside \displ@y
\def\displaylines#1{\displ@y \tabskip\z@skip
  \halign{\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}\crcr
    #1\crcr}}
\def\eqalignno#1{\displ@y \tabskip\plaincentering
  \halign to\displaywidth{\hfil$\@lign\displaystyle{##}$\tabskip\z@skip
    &$\@lign\displaystyle{{}##}$\hfil\tabskip\plaincentering
    &\llap{$\@lign##$}\tabskip\z@skip\crcr
    #1\crcr}}
\def\leqalignno#1{\displ@y \tabskip\plaincentering
  \halign to\displaywidth{\hfil$\@lign\displaystyle{##}$\tabskip\z@skip
    &$\@lign\displaystyle{{}##}$\hfil\tabskip\plaincentering
    &\kern-\displaywidth\rlap{$\@lign##$}\tabskip\displaywidth\crcr
    #1\crcr}}
\def\plaincases#1{\left\{\,\vcenter{\normalbaselines\m@th
    \ialign{$##\hfil$&\quad##\hfil\crcr#1\crcr}}\right.}
\def\plainmatrix#1{\null\,\vcenter{\normalbaselines\m@th
    \ialign{\hfil$##$\hfil&&\quad\hfil$##$\hfil\crcr
      \mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}
      #1\crcr\mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}}\,}
\def\plainpmatrix#1{\left(\plainmatrix{#1}\right)}
\catcode`\@=12

\def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else
 \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else
 \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}
\font\tenmathx=mathx10
\font\eightmathx=mathx8
\font\sevenmathx=mathxm7
\font\fivemathx=mathxm5
\newfam\mathxfam
  \textfont\mathxfam=\tenmathx
  \scriptfont\mathxfam=\sevenmathx
  \scriptscriptfont\mathxfam=\fivemathx
\def\mathx{\fam\mathxfam\tenmathx}
\def\mathxtype{\hexnbr\mathxfam}

\def\overacute{\mathaccent"0\mathxtype79}
\def\overobtuse{\mathaccent"0\mathxtype7D}

% This file is a solution template for:
% - Giving a talk on some subject.
% - The talk is between 15min and 45min long.
% - Style is ornate.
% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 
\mode<presentation>
{
% \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10,
% top=blue!10]
  \usetheme{Warsaw}
  \usefonttheme[onlysmall]{structurebold}
}
% or whatever

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[english]{babel}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

\title[\RGBColor{1 1 1}{\ 
\kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 09/02/2011\kern53pt
Même le feu est régi par les nombres}]
% (optional, use only with long paper titles)
{La découverte de Fourier :\\ même le feu est régi par les nombres}

%% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional)

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Jean-Pierre Demailly}

\institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[]% (optional)
{9 février 2011\\Conférence BnF - Un texte, un mathématicien}

%%\subject{Talks}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}

\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}

\def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex}
\def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar
    \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\reg}{\operatorname{reg}}
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}

\newcommand{\bB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\bD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}

\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\cF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\cI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\cK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\cO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\cX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\dbar}{\overline\partial}
\newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}}

% mathematical operators
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits}
\newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\newcommand{\diam}{\mathop{\rm diam}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}

\newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits}
\newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}}
\newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits}
\newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits}
\newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits}
\newcommand{\alg}{{\rm alg}}
\newcommand{\nef}{{\rm nef}}
\newcommand{\num}{\nu}
\newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}}
\newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}}

\def\ovl{\overline}
\def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}

\begin{document}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%%\AtBeginSubsection[]
%%{
%% \begin{frame}<beamer>
%%    \frametitle{Outline}
%%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%%  \end{frame}
%%}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\begin{frame}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{acad-logo}{acad-logo}
  \pgfuseimage{acad-logo}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{ujf-logo}{ujf-logo}
  \pgfuseimage{ujf-logo}
  \titlepage
\end{frame}

%%\begin{frame}
%%  \frametitle{Outline}
%%  \tableofcontents
%% You might wish to add the option [pausesections]
%%\end{frame}


% Since this a solution template for a generic talk, very little can
% be said about how it should be structured. However, the talk length
% of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to
% the following rules:  

% - Exactly two or three sections (other than the summary).
% - At *most* three subsections per section.
% - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about
%   15 and 30 frames, all told.

%% \section*{Basic concepts}
%%\def\pause{}

\begin{frame}
 \frametitle{Joseph Fourier, en habit d'académicien}
  \pgfdeclareimage[height=7.5cm]{jjfourier}{jjfourier}
  \pgfuseimage{jjfourier}
$~$\kern1cm\raise4cm\vbox{
Joseph Fourier\\
en habit d'académicien\\
1768 -- 1830}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La maison natale de Fourier à Auxerre}
  \pgfdeclareimage[height=5.5cm]{maison-natale}{maison-natale}
  \pgfuseimage{maison-natale}
\vskip4pt
La maison natale de (Jean-)Joseph Fourier à Auxerre.\\
Son père est un très modeste tailleur d'habits.\\
Sa mère décède alors qu'il a 8 ans, et il devient \alert{orphelin} à 10 ans
\kern-6mm\\
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La vie de Joseph Fourier en bref}
 1768 : naissance à Auxerre\\
 1777 : études à \alert{l'école militaire d'Auxerre} (Bénédictins)\\
 \medskip
 \pause
 1784 : \alert{professeur à l'Ecole Militaire (à 16 ans 1/2~...)}\\
 1785 : mémoire sur les équations algébriques\\
 \medskip
 \pause
 1792 : président de la Société Populaire d'Auxerre\\
 1794 : la Terreur ; \alert{arrestation / prison / il échappe à la 
 guillotine\kern-6mm}\\
 \medskip
 \pause
 fin 1794 : élève de l'\'Ecole Normale de Paris\\
 1795--1796 : \alert{professeur à Normale et à Polytechnique !}\\
 \medskip
 \pause
 1798 : Expédition d'Egypte, comme conseiller scientifique\\
 1798--1802 : \alert{diplomate, secrétaire de l'Institut d'Égypte au Caire}\kern-10pt\\
 \medskip
 \pause
 1802--1815 : Napoléon le nomme \alert{Préfet de l'Isère} à Grenoble\\
 1811 : travaux sur la \alert{propagation de la chaleur}\\
 ${}$\phantom{1811 : }introduction des \alert{séries trigonométriques}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{La vie de Joseph Fourier : la consécration}
 1815 : à la Restauration, il est destitué de son mandat de préfet;\kern-4mm\\
 ${}$\phantom{1815 : }il poursuit activement ses travaux sur la chaleur\\
 \medskip
 \pause
 1817 : Fourier est élu membre de \alert{l'Académie des Sciences}\\
 1822 : publication de la \alert{``Théorie Analytique de la Chaleur''}\\
 \medskip
 \pause
 1822 : élu \alert{Secrétaire Perpétuel} de l'Académie des Sciences\\
 1824 : il pressent \alert{l'effet de serre}, qu'il décrit prémonitoirement\\
 \medskip
 \pause
 1826 : élu membre de \alert{l'Académie française}\\
 \medskip
 \pause
 1830 : décès de Fourier, à l'âge de 62 ans\\
 1831 : publication posthume de son dernier ouvrage\\
 ${}$\phantom{1831 : }\alert{``Analyse des équations déterminées''}\\
 
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{L'équation de la chaleur}
 ${}$\kern1.7cm
 \pgfdeclareimage[height=3.5cm]{barreau}{barreau}
 \pgfuseimage{barreau}
 \vskip3pt
 On pose : $\alert{\theta(x,t)}={}$température au point $x$ et au 
 temps $t$\vskip2pt
 ${}\kern1.7cm\displaystyle\alert{
 \theta'_t(x,t)=
 D \theta''_{xx}(x,t)+{P\over\rho c}}\qquad
 \hbox{où}$\\
 $D={}$coefficient de diffusivité thermique (en $m^2s^{-1}$)\\
 $P={}$apport volumique interne/externe de chaleur (en $W.m^{-3}$)\kern-15pt\\
 $\rho={}$masse volumique du matériau (en $kg.m^{-3}$)\\
 $c={}$chaleur spécifique massique du matériau (en $J.kg^{-1}K^{-1}$).
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Équation de la chaleur : explication}
 \pgfdeclareimage[height=3.5cm]{barreau-flux}{barreau-flux}
 \pgfuseimage{barreau-flux}
 \vskip-2cm
 ${}$\kern7cm temps $t$ fixé.
 \vskip1.2cm
 Le flux de chaleur $x\mapsto F(x,t)$ à cet instant est d'autant plus grand que 
 la température  $x\mapsto \theta(x,t)$ varie plus vite avec $x$, proportionnel à
 la dérivée par rapport à $x$ (coefficient${}<0$)~:
 $$
 \alert{F(x,t) = -a\,\theta'_x(x,t)}
 $$
 Quantité de chaleur $\delta Q/\delta t$ pénétrant dans un tronçon
 $[x,x+h]$\kern-35pt
 $$
\alert{{\delta Q\over\delta t}= F(x,t)-F(x+h,t)\simeq -F'_x(x,t)h = 
 ah\,\theta''_{xx}(x,t)}
 $$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Équation de la chaleur : conclusion}
 Reprenons : nous avons trouvé
 $$
\alert{{\delta Q\over\delta t}=ah\,\theta''_{xx}(x,t)}
 $$
Or, la variation dans le temps de la température du tronçon $[x,x+h]$ est 
 proportionnelle à la quantité de chaleur que ce tronçon a reçu
et inversement proportionnelle à sa masse, donc
 $$
\alert{\theta'_t(x,t) = b\times {1\over\rho h}\times{\delta Q\over\delta t}=
{ab\over\rho}\,\theta''_{xx}(x,t)}
 $$
En posant $D=ab/\rho$, on trouve l'équation de la chaleur
$$
\alert{\theta'_t(x,t) = D\,\theta''_{xx}(x,t)}
$$
pour le cas où $P=0$ (pas de production interne de chaleur).
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Équation de la chaleur en 3 dimensions}
\alert{$\theta(x,y,z,t)={}$}température au point $(x,y,z)$ et au temps $t$.
 \pgfdeclareimage[height=4cm]{cube2}{cube2}
 \pgfuseimage{cube2}
\vskip-4.1cm
${}$\kern2.2cm $z$\kern 4.1cm Flux de chaleur\\
${}\kern6.6cm \alert{\overrightarrow{F}=-a(\theta'_x,\theta'_y,\theta'_z).}$\\
${}\kern7.6cm 50^\circ$\vskip-5pt
${}\kern1.3cm$\raise3.5mm\hbox{$\smash h$}\kern6cm $60^\circ$\vskip-5pt
${}\kern7.4cm 70^\circ$\kern5mm$\alert{\overrightarrow{F}}$\vskip8mm
${}\kern 5.1cm y$\vskip0mm
${}\kern-4mm x$\kern8.7cm\raise3mm\hbox{$\alert{\smash{F_x=-a\theta'_x}}$}
\kern-3.7cm\raise-3.2mm\hbox{$x~~x+h$}\vskip2mm
La quantité de chaleur circulant à travers les 2 faces~d'abscisses\kern-6mm\\$x,x+h$
vaut ${\delta Q\over\delta t}={}$variation de $F_x=-a\theta'_x$ entre $x$ 
et~$x+h$,
soit $ah\theta''_{xx}h$ lorsque $h$ est petit. En faisant la somme sur les
3 paires de faces opposées on trouve ainsi\\
${}\kern1cm\displaystyle
\alert{\theta'_t(x,y,z,t) = D
(\theta''_{xx}+\theta''_{yy}+\theta''_{zz})(x,y,z,t)+{P\over\rho c}}
$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Résolution de l'équation en dimension~1}
 ${}$\kern1.7cm
 \pgfdeclareimage[height=2cm]{barreau-evol}{barreau-evol}
 \pgfuseimage{barreau-evol}
 \vskip3pt
On regarde l'évolution de la température d'un barreau unidimensionnel
de longueur $\ell$, soit $[0,\ell]$, à partir d'un instant $t_0=0$
où il n'y a plus d'apport extérieur de chaleur (ni~production interne)~:
dans ce cas
$$
\alert{
\theta'_t(x,t) = D\,\theta''_{xx}(x,t).}
$$
\pause Le flux de chaleur est 
$$
\alert{
F(x,t)=-a\,\theta'_x(x,t).}
$$
Il doit être nul en $x=0$ et $x=\ell$~: 
$$\alert{F(0,t)=F(\ell,t)=0~~~\Longrightarrow~~~
\theta'_x(0,t)=\theta'_x(\ell,t)=0.}$$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Résolution de l'équation en dimension~1 (II)}
Fourier a alors l'idée lumineuse de regarder des séries trigonométriques
de la forme
\vskip-14pt
$$
\alert{\theta(x,t)=\sum_{0\le n\le N}a_n(t)\,\cos(n\pi x/\ell),\qquad
\hbox{($N$ très grand)}}
$$
\vskip-2pt\pause
On calcule facilement
\vskip-16pt
\begin{eqnarray*}
&&\alert{\theta'_t(x,t)=\sum_{0\le n\le N}a'_n(t)\,\cos(n\pi x/\ell),}\\
&&\alert{\theta'_x(x,t)=\sum_{0\le n\le N}a_n(t)\,(-n\pi/\ell)\,\sin(n\pi x/\ell),}\\
&&\alert{\theta''_{xx}(x,t)=-\sum_{0\le n\le N}a_n(t)\,(n\pi/\ell)^2\,\cos(n\pi x/\ell),}\\
\end{eqnarray*}
\vskip-12pt\pause
donc on a bien $\theta'_x(0,\ell)=\theta'_x(\ell,t)=0$, et l'équation
$\theta'_t=D\theta''_{xx}$ est satisfaite si
\vskip-14pt
$$\alert{a_n'(t)=-D(n\pi/\ell)^2a_n(t).}$$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Résolution de l'équation en dimension~1 (III)}
Or, on sait facilement résoudre l'équation $\alert{a_n'(t)=\lambda a_n(t)}$
avec $\lambda=-D(n\pi/\ell)^2$~: la solution est
$$
\alert{a_n(t)=\alpha_ne^{\lambda t}=\alpha_ne^{-D(n\pi/\ell)^2t}.}
$$
\pause
Ceci donne des solutions de l'équations de la chaleur, à savoir\vskip-12pt
$$
\alert{\theta(x,t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_ne^{-D(n\pi/\ell)^2t}
\cos(n\pi x/\ell)}
$$
quand $N\to +\infty$. La question est de savoir si on obtient bien ainsi
toutes les solutions lorsque les coefficients \alert{$\alpha_n$} sont 
choisis quelconques~... \pause Or, au temps $t=0$, on a\vskip-12pt
$$
\alert{\theta(x,0)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_n\cos(n\pi x/\ell),\qquad
x\in[0,\ell]}
$$
La question est de savoir si cela représente \alert{toutes les fonctions
températures possibles} au temps initial ??
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Séries de Fourier}
Ce sont les séries de la forme\vskip-22pt
$$
(*)\qquad
\alert{f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x),\qquad
a_n,b_n\in\bR}
$$
\vskip-10pt
On peut aussi les écrire avec des coefficients complexes\vskip-22pt
$$
(**)\qquad\qquad\qquad
\alert{f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{in\omega x},\qquad
c_n\in\bC,\qquad\qquad{}}
$$
\vskip-10pt
du fait que $\alert{e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ (relation d'Euler). On remarque
que la fonction $f$ est \alert{périodique de période $T={2\pi\over\omega}$}.
\vskip3pt\pause

\`A ce point, Fourier affirme -- mais ceci ne sera démontré que
près de 20 ans plus tard par Dirichlet en 1829 -- que~:
\vskip5pt
\claim{Toutes les fonctions périodiques $f$ 
suffisamment régulières de période $T={2\pi\over\omega}$ peuvent s'écrire
sous la forme $(*)$ ou $(**)$}.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Séries de Fourier : signaux sonores}
\pgfdeclareimage[height=2.6cm]{instruments}{instruments}
\pgfuseimage{instruments}
\vskip-18pt
\alert{$$\hbox{flûte}\kern5cm\hbox{violon}$$}
Le problème est de calculer les coefficients $c_n$ (ou $a_n,\,b_n$) qui
correspondent à ces signaux sonores.
\vskip4pt
On parle de \alert{décomposition spectrale} du signal sonore; c'est 
précisément le spectre (suite des coefficients)
qui caractérise le \alert{timbre} de l'instrument.\vskip-8pt
${}$\kern5cm
\pgfdeclareimage[height=0.8cm]{oscilloscope}{oscilloscope}
\pgfuseimage{oscilloscope}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Séries de Fourier : calcul des coefficients}
Les coefficients sont donnés par les formules
\alert{$$
c_n={1\over T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,e^{-in\omega x}dx,\quad\forall n\in\bZ,
$$}
ou, de façon équivalente
\alert{$\displaystyle
a_0=c_0={1\over T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,dx$} et
\alert{$$
\eqalignno{
&a_n={2\over T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,\cos n\omega x\,dx\quad
\hbox{si $n\ge 1$},\cr
&b_n={2\over T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,\sin n\omega x\,dx\quad\hbox{si $n\ge 1$}.\cr}
$$}
Ceci résulte de la ``propriété d'orthogonalité''
\alert{$$
{1\over T}\int_{-T/2}^{T/2} e^{ip\omega x}e^{-in\omega x}dx=\plaincases{
1&si $n=p$\cr
0&si $n\ne p$\cr}
$$}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Séries de Fourier : exemple du ``signal carré''}
 \pgfdeclareimage[height=2.3cm]{escalier-carre}{escalier-carre}
 \pgfuseimage{escalier-carre}
 \vskip0pt
 $\displaystyle\alert{f(x)={1\over 2}+{2\over\pi}\sin x+{2\over3\pi}\sin 3x+...+
 {2\over(2n+1)\pi}\sin (2n+1)x+...}$
 \vskip0pt
 \pgfdeclareimage[height=4.8cm]{signal-carre}{signal-carre}
 \pgfuseimage{signal-carre}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Transformation de Fourier}
La théorie de Fourier est la théorie fondamentale permettant de décomposer les
ondes de toute nature en fonction de leur fréquence. Dans le cas de la lumière
ou des ondes électromagnétiques, on a affaire à un \alert{spectre continu de
fréquences}.

Pour la lumière visible, les longueurs d'onde vont\\ de $0,4\,\mu m$ (violet)
à $0,75\,\mu m$ (rouge).
\vskip3pt
 \pgfdeclareimage[height=2cm]{prisme}{prisme}
 \pgfuseimage{prisme}
\vskip3pt
Dans ce cas, on utilise une \alert{transformation de Fourier}
$$
\alert{{\widehat f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,e^{-2\pi i x\xi}\, dx.}
$$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{La transformée de Fourier rapide (FFT)}
Elle permet le calcul très rapide par ordinateur de \alert{transformées 
de Fourier ``discrètes'' (finies)}
\vskip-10pt
$$
\alert{
\widehat u_k = \sum_{n=0}^{N-1} u_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk},}
$$
\vskip-5pt
On utilise alors en général pour $N$ une puissance de $2$, soit $N=2^p$, et
on fait une sorte de récurrence sur $p$, c'est-à-dire qu'on cherche à
passer de $N'=N/2$ à $N$. On écrit
\vskip-10pt
$$
\alert{
\eqalign{
\widehat u_k&= \sum_{m=0}^{N'-1} u_{2m} e^{-\frac{2\pi i}{N} (2m)k}   +
  \sum_{m=0}^{N'-1} u_{2m+1} e^{-\frac{2\pi i}{N} (2m+1)k}\cr
&= \sum_{m=0}^{N'-1} u_{2m} e^{-\frac{2\pi i}{N'} mk}   +
  e^{-\frac{2\pi i k}{N}}\sum_{m=0}^{N'-1} u_{2m+1} e^{-\frac{2\pi i}{N'} mk}\cr}}
$$
\vskip-3pt
Ceci permet un calcul récurrent rapide par dichotomie.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Applications technologiques contemporaines}
La transformée de Fourier est utilisée dans de très nombreuses applications
technologiques, très souvent à l'aide de l'algorithme de \alert{transformée
de Fourier rapide FFT.}

Etant donné 2 suites finies $u=(u_n)_{0\leq n<N}$ et $v=(v_n)_{0\leq n<N}$,
on appelle \alert{convolution} de $u$ et $v$ la suite notée
$w=u*v$ telle~que\kern-20pt\vskip-18pt
$$
\alert{w_n=\sum_{p+q=n\mod N}u_pv_q~
\Longrightarrow~\sum u_p10^{-p}\sum v_q10^{-q}=\sum w_n10^{-n}}
$$
\vskip-8pt
pour des nombres décimaux ayant moins de $N/2$ décimales.
La transformée de Fourier a la propriété essentielle (exercice!) que
\kern-15pt\vskip-12pt
$$
\widehat w_n=\widehat{u*v}_n=\widehat u_n\widehat v_n
$$
\vskip-4pt
En utilisant de l'arithmétique (congruences), ceci permet d'obtenir
un algorithme de multiplication des nombres décimaux beaucoup plus rapide
que l'algorithme de multiplication habituel $\Longrightarrow$ 
\alert{applications cryptographiques}.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Application technologique : images JPEG}

On découpe l'image en carrés de $N\times N$ pixels (souvent, $N=8$),
et on associe à ces $N\times N$ pixels un tableau de $N\times N$ fréquences qui 
représentent des ``ondes de couleur'':\vskip-3.5mm
 ${}$\kern9.2cm\pgfdeclareimage[height=1.2cm]{pixels}{pixels}
 \pgfuseimage{pixels}
\vskip-1.55cm
\alert{$$
\eqalign{&\hbox{``Discrete Cosine Transform''}~~{\rm DCT}(i, j)=\cr
&~~\frac{2}{N}C(i)C(j)\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}
{\rm pixel}(x, y) \cos\left[\frac{(2x+1)i\pi}{2N} \right] \cos\left[\frac{(2y+1)j\pi}{2N} \right]\cr}
$$
\vskip-9pt
où $(C(0)=1/\sqrt{2}$, $C(i)=0$ si $i>0$.}
\vskip3pt
Le plus souvent, la variation de couleur des pixels est régulière, de sorte
que de nombreux coefficients associés aux fréquences élevées sont nuls. On 
les néglige donc - typiquement 7 ou 8 coefficients suffisent pour un tableau
de 64 pixels. Ceci permet d'obtenir un \alert{grand coefficient de compression}
et donc de \alert{réduire la quantité de mémoire nécessaire}.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Références bibliographiques (I)}

\alert{Le texte de la conférence~:}

Joseph Fourier, {\it Théorie analytique de la chaleur}, Didot père et fils, 1822,
XXII-639 p,
http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-29061\&M=telecharger
\vskip5pt

\alert{L'oeuvre de Fourier}
\vskip2pt
Oeuvres de Fourier, {\it publiées par les soins de M. Gaston Darboux, sous
les auspices du ministère de l'Instruction publique...} - Paris :
Gauthier-Villars, 1888-1890. - 2 vol. : fig., fac-similé,
portr. gravé.  magasin [4- R- 753 (1) et (2)]
\vskip5pt

François Arago, {\it Joseph Fourier}. Saint-Christophe-en-Bresse : les
Caractères d'Ulysse, DL 2010, [39] p. magasin [2010- 171673] Note :
biographie lue en séance publique de l'Académie des sciences, le 18
novembre 1833
\end{frame}

 
\begin{frame}
\frametitle{Références bibliographiques (II)}

Jean-François Coblentz, {\it Introduction à l'analyse de Fourier}. [Paris] :
Ed. Fréquences : diff. Eyrolles, 1988, 187 p. Salle C – Mathématiques
– [515.243 3 COBL i]
\vskip5pt

Gilbert Demengel, {\it Transformations de Fourier généralisées : séries et
  transformations de Fourier et de Walsh, leurs extensions,
  transformations discrètes et rapides : cours et problèmes
  résolus}. Paris : Ellipses, 1999, 288 p.  Salle C – Mathématiques –
[515.723 DEME t]
\vskip5pt
 
Gilbert Demengel; Paul Benichou, Rosine [et al.] {\it Distributions et
  applications : outils pour l'ingénieur : séries de Fourier,
  transformations de Fourier et de Laplace}. Paris : Ellipses, 1996,
254 p.  Salle C – Mathématiques – [515.243 3 DIST]

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Références bibliographiques (III)}

Jean Dhombres , Jean-Bernard Robert, {\it Fourier, Créateur de la physique
mathématique}, Belin, 1998, Salle C - Histoire des sciences –
[530.090 4092 FOUR 5 DH] \vskip5pt
\vskip5pt

Réal Gélinas, {\it Suites et séries, séries et transformées de Fourier,
variables complexes}. Trois-Rivières : Ed. SMG, 1984, XII-218 p.
Salle C – Mathématiques – [515.24 GELI s]
\vskip5pt
 
Ivor Grattan-Guinness, {\it Joseph Fourier, 1768-1830 : a survey of his
  life and work, based on a critical edition of his monograph on the
  propagation of heat, presented to the Institut de France in
  1807}. Cambridge, Mass. ; London : M.I.T. Press, [cop. 1972], X-516
p.  Note : contient un texte inédit de Fourier de 1807, intitulé:
``Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides''.
 
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Références bibliographiques (IV)} 

Jean Goret, {\it La pensée de Fourier}. Paris : Presses universitaires
de France, 1974, 156 p.  magasin [16- R- 4754 (112)]
\vskip5pt

John Herivel, {\it Joseph Fourier face aux objections contre sa
  théorie de la chaleur : lettres inédites, 1808-1816}. Paris :
Bibliothèque nationale, 1980, 86 p.  Salle C - Histoire des sciences –
[530.090 4092 FOUR 5 HE]
\vskip5pt
 
John Herivel, {\it Joseph Fourier : the man and the physicist}. Oxford~:
Clarendon press, 1975, XI-350 p.  magasin – [8- LN27- 91444]
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Références bibliographiques (V)} 
Michel Hervé, {\it Transformation de Fourier et distributions}. Paris~: 
Presses universitaires de France, 182 p.  Salle C – Mathématiques –
[515.723 HERV t]
\vskip5pt

Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, {\it Séries de Fourier 
et ondelettes}, Cassini, 1998
\vskip5pt

Jean-Pierre Kahane, Jean-Paul Fargier, {\it L'analyse de Fourier},
Mosaïque mathématique, série de films conçue par J.-M.\ Kantor, 
http://www.math.jussieu.fr/\~{}kantor/MOSAIQUE/mp4/

\end{frame}

\end{document}