\documentclass[12pt]{beamer} \usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps} % For printing instead a handout %\documentclass[handout]{beamer} %\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps} %\usepackage{pgfpages} %\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper,border shrink=5mm] % This file is a solution template for: % - Giving a talk on some subject. % - The talk is between 15min and 45min long. % - Style is ornate. % Copyright 2004 by Till Tantau . % % In principle, this file can be redistributed and/or modified under % the terms of the GNU Public License, version 2. % % However, this file is supposed to be a template to be modified % for your own needs. For this reason, if you use this file as a % template and not specifically distribute it as part of a another % package/program, I grant the extra permission to freely copy and % modify this file as you see fit and even to delete this copyright % notice. \mode { % \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10, % top=blue!10] \usetheme{Warsaw} \usefonttheme[onlysmall]{structurebold} } % or whatever \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{colortbl} \usepackage[english]{babel} % Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1 % does not look nice, try deleting the line with the fontenc. \title[ \ \kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 13/02/2009\kern47pt On the Henstock-Kurzweil integral] % (optional, use only with long paper titles) {On the Henstock-Kurzweil integral\\ (along with concerns about general math education in Europe)} %% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional) \author[] % (optional, use only with lots of authors) {Jean-Pierre Demailly} \institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France} % - Use the \inst command only if there are several affiliations. % - Keep it simple, no one is interested in your street address. \date[]% (optional) {February 13, 2009 / University of Adelaide} %%\subject{Talks} % This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left % out. % If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx % is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex, % resp., then you can add a logo as follows: \definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8} \def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}} \definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0} \def\alert#1{{\color{Alert}#1}} \def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex} \def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}} \def\vol{\mathop{\rm vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\reg}{\operatorname{reg}} \renewcommand{\div}{\operatorname{div}} \newcommand{\bB}{{\mathbb B}} \newcommand{\bC}{{\mathbb C}} \newcommand{\bD}{{\mathbb D}} \newcommand{\bN}{{\mathbb N}} \newcommand{\bP}{{\mathbb P}} \newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\bR}{{\mathbb R}} \newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\cA}{{\mathcal A}} \newcommand{\cC}{{\mathcal C}} \newcommand{\cD}{{\mathcal D}} \newcommand{\cE}{{\mathcal E}} \newcommand{\cF}{{\mathcal F}} \newcommand{\cH}{{\mathcal H}} \newcommand{\cI}{{\mathcal I}} \newcommand{\cK}{{\mathcal K}} \newcommand{\cM}{{\mathcal M}} \newcommand{\cN}{{\mathcal N}} \newcommand{\cO}{{\mathcal O}} \newcommand{\cP}{{\mathcal P}} \newcommand{\cX}{{\mathcal X}} \newcommand{\dbar}{\overline\partial} \newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\wt}{\widetilde} \newcommand{\lra}{\longrightarrow} \newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}} % mathematical operators \renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits} \newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits} \newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits} \newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits} \newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits} \newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits} \newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits} \newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits} \newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits} \newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}} \newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits} \newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits} \newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits} \newcommand{\alg}{{\rm alg}} \newcommand{\nef}{{\rm nef}} \newcommand{\num}{\nu} \newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}} \newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}} % figures inserted as PostScript files \special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/mdrlib.ps} \def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}} \long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" #3}}#4$}} \long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}} \def\ovl{\overline} \def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}} \def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3} \begin{document} % Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at % the beginning of each subsection: %%\AtBeginSubsection[] %%{ %% \begin{frame} %% \frametitle{Outline} %% \tableofcontents[currentsection,currentsubsection] %% \end{frame} %%} % If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment % the following command: %\beamerdefaultoverlayspecification{<+->} \begin{frame} \pgfdeclareimage[height=1cm]{acad-logo}{academie} \pgfuseimage{acad-logo} \pgfdeclareimage[height=1cm]{ujf-logo}{logo_ujf} \pgfuseimage{ujf-logo} \titlepage \end{frame} %%\begin{frame} %% \frametitle{Outline} %% \tableofcontents %% You might wish to add the option [pausesections] %%\end{frame} % Since this a solution template for a generic talk, very little can % be said about how it should be structured. However, the talk length % of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to % the following rules: % - Exactly two or three sections (other than the summary). % - At *most* three subsections per section. % - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about % 15 and 30 frames, all told. %% \section*{Basic concepts} %%\def\pause{} \begin{frame} \InsertFig 10.000 66.000 { 1 mm unit 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 31.000 27.000 moveto 0.700 disk 43.000 24.000 moveto 0.700 disk 55.000 23.000 moveto 0.700 disk 75.000 24.000 moveto 0.700 disk 22.000 39.000 moveto 0.700 disk 27.000 47.000 moveto 0.700 disk 35.000 42.000 moveto 0.700 disk 44.000 46.000 moveto 0.700 disk 49.000 44.000 moveto 0.700 disk 36.000 38.000 moveto 0.700 disk 41.000 32.000 moveto 0.700 disk 46.000 36.000 moveto 0.700 disk 54.000 34.000 moveto 0.700 disk 53.000 45.000 moveto 0.700 disk 59.000 38.000 moveto 0.700 disk 63.000 46.000 moveto 0.700 disk 68.000 29.000 moveto 0.700 disk 77.000 37.000 moveto 0.700 disk 76.000 44.000 moveto 0.700 disk 75.000 29.000 moveto 0.700 disk 0.339 setlinewidth 18.000 21.000 moveto 80.000 49.000 rectangle stroke 18.000 21.000 moveto 39.000 34.000 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21.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 49.000 moveto 0.700 90.000 indent } \LabelTeX 87.000 34.000 $P$\ELTX \LabelTeX 66.000 36.500 $Q_j$\ELTX \LabelTeX 57.700 34.500 $x_j$\ELTX \LabelTeX 17.000 6.500 $a_1$\ELTX \LabelTeX 79.300 6.500 $b_1$\ELTX \LabelTeX 5.000 20.000 $a_2$\ELTX \LabelTeX 5.000 49.000 $b_2$\ELTX \LabelTeX 100.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 58.000 $y$\ELTX \EndFig {\bf Tagged partition of a box $P$ in $\bR^n$.} \end{frame} \begin{frame} \InsertFig 10.000 66.000 { /riem {/y exch 30.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 30.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 30.000 lineto } def 1 mm unit 0.900 setgray 18.000 30.000 moveto 18.000 24.000 lineto [ 18.000 24.000 25.000 14.000 43.000 49.000 60.000 16.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve 80.000 30.000 lineto closepath fill 1.000 0.840 0.840 setrgbcolor 44.000 49.000 17.000 riem fill 0.000 setgray 49.000 53.000 moveto 0.000 180.000 2.4 vector 44.000 53.000 moveto 0.000 0.000 2.4 vector 44.000 53.000 moveto 49.000 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a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def 1 mm unit 1 0 0 setrgbcolor 10.000 10.625 80.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 10.625 12.500 26.667 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 12.500 15.625 16.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.625 20.000 11.429 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.625 8.889 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.625 32.500 7.273 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 32.500 40.625 6.154 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.625 50.000 5.333 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 0 1 setrgbcolor 10.000 10.625 40.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 10.625 12.500 20.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 12.500 15.625 13.333 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 15.625 20.000 10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.625 8.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 25.625 32.500 6.667 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 32.500 40.625 5.714 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 40.625 50.000 5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 0.0 setgray 5.000 10.000 moveto 60.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 48.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 10.356 50.000 moveto [ 10.356 50.000 10.428 40.000 10.625 30.000 12.500 20.000 15.625 16.667 20.000 15.000 25.625 14.000 32.500 13.333 40.625 12.857 50.000 12.500 ] curve stroke 10.000 10.000 moveto 0.400 disk 10.000 12.500 moveto 0.400 90.0 indent } \LabelTeX 7.200 6.400 $0$\ELTX \LabelTeX 7.200 11.700 $1$\ELTX \LabelTeX 63.200 6.400 $x$\ELTX \LabelTeX 49.200 6.400 $1$\ELTX \LabelTeX 1.500 50.000 $f(x)$\ELTX \EndFig {\bf Riemann sums associated with $f(x)=1/\sqrt{x}$ on $[0,1]$.} \end{frame} \begin{frame} \InsertFig 10.000 66.000 { /riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def 1 mm unit 1.000 0.840 0.840 setrgbcolor 27.000 32.000 22.000 riem fill 0.000 setgray 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 27.000 53.000 moveto 32.000 53.000 lineto stroke 27.000 53.000 moveto 0.000 0.000 2.4 vector 32.000 53.000 moveto 0.000 180.000 2.4 vector 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 25.000 27.000 43.000 49.000 44.000 42.000 46.000 30.000 46.500 31.000 48.400 39.000 49.000 40.000 49.500 39.200 51.400 29.000 52.000 28.000 52.500 29.200 55.400 41.000 56.000 42.000 56.500 39.200 60.000 22.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve stroke 10.000 32.000 moveto 0.700 90.000 indent 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 0.113 setlinewidth [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 27.000 32.500 moveto 27.000 52.500 lineto stroke 32.000 32.500 moveto 32.000 52.500 lineto stroke 11.000 32.000 moveto 26.500 32.000 lineto stroke 29.800 11.000 moveto 29.800 31.500 lineto stroke 29.800 10.000 moveto 0.5 disk [ ] 0 setdash 1.000 0.000 1.000 setrgbcolor 18.000 23.000 15.000 riem stroke 23.000 27.000 17.000 riem stroke 27.000 32.000 22.000 riem stroke 32.000 36.000 29.000 riem stroke 36.000 39.000 36.000 riem stroke 39.000 41.000 40.000 riem stroke 41.000 43.000 40.500 riem stroke 43.000 44.000 37.000 riem stroke 44.000 45.000 29.000 riem stroke 45.000 46.000 19.500 riem stroke 46.000 47.000 21.000 riem stroke 47.000 48.000 25.000 riem stroke 48.000 49.000 30.000 riem stroke 49.000 50.000 29.500 riem stroke 50.000 51.000 22.000 riem stroke 51.000 52.000 19.000 riem stroke 52.000 53.000 18.500 riem stroke 53.000 54.000 22.000 riem stroke 54.000 55.000 28.000 riem stroke 55.000 56.000 31.000 riem stroke 56.000 57.000 30.500 riem stroke 57.000 58.000 15.500 riem stroke 58.000 59.000 13.500 riem stroke 59.000 63.000 12.000 riem stroke 63.000 65.000 13.000 riem stroke 65.000 68.000 18.000 riem stroke 68.000 71.000 25.000 riem stroke 71.000 74.000 29.000 riem stroke 74.000 80.000 30.000 riem stroke } \LabelTeX 17.000 6.500 $a$\ELTX \LabelTeX 79.300 6.500 $b$\ELTX \LabelTeX 100.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 58.000 $y$\ELTX \LabelTeX 53.000 42.000 $f$\ELTX \LabelTeX 28.300 6.500 $x_j$\ELTX \LabelTeX 0.000 31.000 $f(x_j)$\ELTX \LabelTeX 28.000 56.500 $h_j\le\delta(x_j)$\ELTX \EndFig {\bf Riemann sum with variable steps} \end{frame} \begin{frame} \InsertFig 10.000 65.000 { /squeeze { /y2 exch 10.0 add def /y1 exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def 0.84 setgray a1 y1 moveto a2 y1 lineto a2 y2 lineto a1 y2 lineto closepath fill 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor a1 y1 moveto a2 y1 lineto stroke 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor a1 y2 moveto a2 y2 lineto stroke } def /vertdash { /y exch 10.0 add def /x exch def x 10.0 moveto x y lineto stroke } def 1 mm unit 0.000 setgray 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 18.000 23.000 14.000 15.900 squeeze 23.000 27.000 15.900 18.800 squeeze 27.000 32.000 18.800 33.700 squeeze 32.000 36.000 33.700 39.100 squeeze 36.000 39.000 38.500 39.300 squeeze 39.000 43.000 22.000 38.500 squeeze 43.000 47.000 19.800 22.000 squeeze 47.000 50.000 20.000 21.600 squeeze 50.000 53.000 21.600 23.500 squeeze 53.000 57.000 23.300 24.300 squeeze 57.000 60.000 12.000 23.300 squeeze 60.000 63.000 11.100 12.000 squeeze 63.000 65.000 11.700 14.200 squeeze 65.000 68.000 14.200 21.300 squeeze 68.000 71.000 21.300 26.900 squeeze 71.000 74.000 26.900 29.650 squeeze 74.000 80.000 29.650 30.300 squeeze 0.000 setgray 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 25.000 27.000 38.000 49.000 46.000 30.000 56.000 34.000 60.000 22.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve stroke 0.400 setgray 0.113 setlinewidth [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 18.000 14.000 vertdash 23.000 15.900 vertdash 27.000 18.800 vertdash 32.000 33.700 vertdash 36.000 39.300 vertdash 39.000 38.500 vertdash 43.000 22.000 vertdash 47.000 20.000 vertdash 50.000 21.600 vertdash 53.000 23.300 vertdash 57.000 23.100 vertdash 60.000 12.000 vertdash 63.000 11.700 vertdash 65.000 14.200 vertdash 68.000 21.300 vertdash 71.000 26.900 vertdash 74.000 29.650 vertdash 80.000 30.100 vertdash 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor 10.000 28.800 moveto 27.000 28.800 lineto stroke 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 10.000 43.700 moveto 27.000 43.700 lineto stroke 0.000 setgray 0.339 setlinewidth 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 27.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 32.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent } \LabelTeX 17.000 6.500 $a$\ELTX \LabelTeX 79.300 6.500 $b$\ELTX \LabelTeX 25.500 6.500 $u_i$\ELTX \LabelTeX 30.500 6.500 $u_{i+1}$\ELTX \LabelTeX 100.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 28.400 $\RGBColor{0 0 1}{c_i}$\ELTX \LabelTeX 6.200 43.000 $\RGBColor{1 0 0}{d_i}$\ELTX \LabelTeX 6.200 58.000 $y$\ELTX \LabelTeX 28.500 26.200 $\RGBColor{0 0 1}{\varphi}$\ELTX \LabelTeX 28.500 45.500 $\RGBColor{1 0 0}{\psi}$\ELTX \LabelTeX 24.600 36.500 $f$\ELTX \EndFig {\bf Every continuous function $f$ is HK-integrable\\ (no uniform continuity needed !)} \end{frame} \begin{frame} 1) Select $k_0$ such that $|A-\int_P f_k(x)\,dx|\le \varepsilon$ for $k\ge k_0$,\\ and for each $x\in P$ an index $K(x)\ge k_0$ such that $$ \alert{f(x)-\varepsilon\le f_k(x)\le f(x)\qquad\hbox{for $k\ge K(x)$}.} $$ \pause 2) Take a gauge $\delta_k$ for $f_k$ providing error${}\le\varepsilon 2^{-k}$. For $f$, put $$\alert{\delta(x)=\delta_{K(x)}(x).}$$ \pause 3) Then $\forall D=\{(Q_i,x_i)\}_{0\le i