%\documentclass[12pt]{beamer}
%\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps}

% For printing instead a handout
\documentclass[handout]{beamer}
\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps}
\usepackage{pgfpages}
\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper,border shrink=5mm]


% This file is a solution template for:
% - Giving a talk on some subject.
% - The talk is between 15min and 45min long.
% - Style is ornate.
% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 
\mode<presentation>
{
% \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10,
% top=blue!10]
  \usetheme{Warsaw}
  \usefonttheme[onlysmall]{structurebold}
}
% or whatever




\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[english]{babel}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

\def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}

\special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/mdrlib.ps}
\long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" 
#3}}#4$}}

\title[\RGBColor{1 1 1}{\
\kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 31/05/2011\kern47pt
~~Non simplicit\'e du groupe de Cremona, d'apr\`es Cantat et Lamy}] 
% (optional, use only with long paper titles)
{Non simplicit\'e du groupe de Cremona, d'apr\`es Cantat et Lamy}

%% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional)

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Jean-Pierre Demailly}

\institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[]% (optional)
{31 mai 2011 / Acad\'emie des Sciences de Paris}

%%\subject{Talks}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\definecolor{ColFormula}{rgb}{0,0,0.8}
\def\formula#1{{\color{ColFormula}#1}}

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0.6,0}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}

\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}

\def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex}
\def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar
    \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\reg}{\operatorname{reg}}
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}

\newcommand{\bB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\bD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\bH}{{\mathbb H}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}

\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\cF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\cI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\cK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\cO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\cX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\dbar}{\overline\partial}
\newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}}

% mathematical operators
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits}
\newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}
\newcommand{\Bir}{\mathop{\rm Bir}\nolimits}
\newcommand{\Axe}{\mathop{\rm Axe}\nolimits}
\newcommand{\Ind}{\mathop{\rm I}\nolimits\,}
\newcommand{\Isom}{\mathop{\rm Isom}\nolimits}
\newcommand{\topo}{\mathop{\rm top}\nolimits}

\newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits}
\newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}}
\newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits}
\newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits}
\newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits}
\newcommand{\alg}{{\rm alg}}
\newcommand{\nef}{{\rm nef}}
\newcommand{\num}{\nu}
\newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}}
\newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}}

% figures inserted as PostScript files
\special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/grlib.ps}
\long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{"
#3}}#4$}}
\long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}}
\def\ovl{\overline}
\def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}

\begin{document}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%%\AtBeginSubsection[]
%%{
%% \begin{frame}<beamer>
%%    \frametitle{Outline}
%%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%%  \end{frame}
%%}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\begin{frame}
  \pgfdeclareimage[height=2cm]{acad-logo}{academie_logo2}
  \pgfuseimage{acad-logo}
  \pgfdeclareimage[height=2cm]{ujf-logo}{logo_ujf}
  \pgfuseimage{ujf-logo}
  \titlepage
\end{frame}

%%\begin{frame}
%%  \frametitle{Outline}
%%  \tableofcontents
%% You might wish to add the option [pausesections]
%%\end{frame}


% Since this a solution template for a generic talk, very little can
% be said about how it should be structured. However, the talk length
% of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to
% the following rules:  

% - Exactly two or three sections (other than the summary).
% - At *most* three subsections per section.
% - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about
%   15 and 30 frames, all told.

%% \section*{Basic concepts}
%%\def\pause{}

\begin{frame}
  \frametitle{Transformations rationnelles de l'espace projectif}
  Les transformations \alert{rationnelles} (${}={}$m\'eromorphes) $f$ du
  plan projectif complexe $\bP^2_\bC$ dans lui-m\^eme
  sont donn\'ees par
\formula{
\begin{align*}
&f\hspace{0.1cm}\colon\hspace{0.1cm}\bP^2_\bC
\dashrightarrow\bP^2_\bC,\cr & [x_0:x_1:x_2] \mapsto
[f_0(x_0,x_1,x_2):f_1(x_0,x_1,x_2):f_2(x_0,x_1,x_2)],
\end{align*}}les $f_j(x_0,x_1,x_2)$ \'etant des \alert{polyn\^omes homog\`enes 
  de m\^eme~degr\'e},\kern-8pt\\ non tous nuls.
  \pause\vskip4pt
  (Si les $f_j$ sont des fractions rationnelles, il suffit de multiplier
  par un d\'enominateur commun.)
  \pause\vskip4pt
  On peut de m\^eme supposer les $f_j$ sans facteurs communs. Dans~ce~cas, on
  note
  \formula{$$\deg(f)=\deg(f_0)=\deg(f_1)=\deg(f_2).$$}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Degr\'e topologique, groupe de Cremona}
  On peut bien s\^ur d\'efinir de m\^eme pour toute dimension $n$
  les transformations rationnelles\vskip3pt
  \formula{\centerline{$\displaystyle f=[f_0:f_1:\ldots:f_n]\hspace{0.1cm}\colon\hspace{0.1cm}\bP^n_\bC
\dashrightarrow\bP^n_\bC.$}}
  \pause\vskip3pt
  \alert{L'ensemble d'ind\'etermination} \formula{$\Ind(f)$} est l'ensemble des z\'eros
  communs \formula{$\bigcap\{f_j=0\}$, $0\le j\le n$}, il est de codimension${}\ge 2$.
  \pause\vskip4pt
  \alert{Le degr\'e topologique} \formula{$\deg_{\topo}(f)$} est le nombre d'ant\'ec\'edents
  \formula{$\# f^{-1}(w)$} d'un point g\'en\'erique $w\in\bP^n_\bC$.
  \pause
  \begin{block}{Th\'eor\`eme et d\'efinition} 
   {\it Une transformation rationnelle $f$ admet une
   inverse pour la composition si et seulement si 
   \formula{$\deg_{\topo}(f)=1$}. On dit alors que $f$ est une
   \alert{transformation birationnelle}.}
   \end{block}
   \pause
   On notera \formula{$\Bir(\bP^n_\bC)$} le groupe des 
   transformations birationnelles de $\bP^n_\bC$.
   Le \alert{groupe de Cremona} est par d\'efinition 
   \formula{$\Bir(\bP^2_\bC)$}.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Exemples d'\'el\'ements du groupe de Cremona}
  \alert{L'involution de Cremona} est la transformation
   \formula{$$\sigma:[x_0:x_1:x_2]\mapsto \left[\frac{1}{x_0}:\frac{1}{x_1}:
   \frac{1}{x_2}\right],$$}\vskip-18pt ou encore\vskip-15pt
   \formula{$$\sigma:[x_0:x_1:x_2]\mapsto [x_1x_2:x_0x_2:x_0x_1].$$}
   \vskip-8pt
   On a clairement
   \formula{$$\deg(\sigma)=2,\quad \deg_{\topo}(\sigma)=1.$$}
   \pause\vskip-8pt
   Son ensemble d'ind\'etermination est form\'e des 3 points ayant deux
   coordonn\'ees nulles, i.e.\ \formula{$[1:0:0]$, $[0:1:0]$, $[0:0:1]$}.
   \pause\vskip4pt
   Les \alert{transformations de de Jonqui\`eres} se définissent par
   action du produit croisé
   \formula{$\mathrm{PGL}_2(\bC(y))\rtimes\mathrm{PGL}_2(\bC)$} sur
   \formula{$\bP^1_\bC\times\bP^1_\bC
   \simeq_{\rm bir}\bP^2_\bC$}~:\kern-15pt
\formula{$$\bP^1_\bC\times\bP^1_\bC\ni
(x,y)\longmapsto\left(\frac{a(y)x+b(y)}{c(y)x+d(y)},\frac{\alpha y+\beta}
{\gamma y+\delta}\right).
$$}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Th\'eor\`eme de décomposition de Noether}
  \begin{block}{Th\'eor\`eme (Noether, 1872 / Castelnuovo, 1901)}
   {\it Le groupe de Cremona $\Bir(\bP^2_\bC)$ est engendré (au choix)
   par
   \begin{itemize}
   \item $\mathrm{PGL}_3(\bC)$ et les transformations de de Jonquières
   \item les transformations quadratiques
   \item $\mathrm{PGL}_3(\bC)$ et l'involution $\sigma$.
   \end{itemize}}
  \end{block}
  \pause
  On a donc un \alert{morphisme surjectif}
   \formula{$$\mathrm{PGL}_3(\bC)*\bZ/2\bZ\to \Bir(\bP^2_\bC),$$}et des
\alert{systèmes de relations} ont été donnés par Gizatullin (1982) et
Iskovskikh (1985). Il n'y a \alert{pas d'analogue pour
$n\ge 3$}~:\kern-20pt
\begin{block}{Th\'eor\`eme  (Pan 1999)}
 {\it Tout ensemble de générateurs de $\Bir(\bP^n_\bC)$, $n\ge 3$, doit 
contenir\kern-20pt\break
une infinité non dénombrable d'éléments de degré~$d>1$.}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Les résultats de Cantat et Lamy}
  \begin{block}{Th\'eor\`eme (Serge Cantat - Stéphane Lamy, juillet 2010)}
  {\it Le groupe de Cremona $\Bir(\bP^2_\bC)$ n'est pas simple.}
  \end{block}
  \pause
  Plus précisément~:
  \begin{block}{Th\'eor\`eme} {\it
  Il existe un entier $k$ $(k=86611$ convient~$!)$ ayant la 
  propriété~suivante~: soit $g\in\Bir(\bP^2_\bC)$ 
 un élément général
de degré $d\ge 2$. Alors pour $n\ge k$, le plus petit sous-groupe
distingué de $\Bir(\bP^2_\bC)$ contenant $g^n$ ne possède aucun élément
de degré${}<\deg(g^n)$ autre que l'identité.}
  \end{block}
  \pause
  La question de la simplicité du groupe de Cremona était posée au moins depuis
  les années 1960, et avait été mentionnée  en particulier par Manin,
  Dolgachev et Mumford.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Résultats antérieurs}
  \alert{Résultats en ``direction opposée''~:}
  \begin{block}{Th\'eor\`eme (Julie Deserti, 2006)} {\it
  $\Bir(\bP^2_\bC)$ est un groupe parfait, i.e.\ égal à son groupe
  de commutateurs.}
  \end{block}
  \pause
  \begin{block}{Th\'eor\`eme (Jérémy Blanc, 2009)} {\it
  $\Bir(\bP^2_\bC)$ est topologiquement simple, i.e.\ n'a pas de
  sous-groupe distingué non trivial qui soit fermé pour la topologie 
  de Zariski. Il est également connexe.}
  \end{block}
  \pause
  \alert{Résultats allant dans la même direction~:}
  \begin{block}{Th\'eor\`eme (Vladimir Danilov, 1974)} {\it Le groupe des automorphismes
  polynomiaux de $\bC^2$ de jacobien égal à $1$ est simple.}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Action de  $\Bir(\bP^2_\bC)$ 
   sur un certain espace hyperbolique}
  L'une des idées essentielles de la preuve est la
  \begin{block}{Proposition} {\it
  $\Bir(\bP^2_\bC)$ agit fidèlement sur un certain espace
  hyperbolique de dimension infinie.}
  \end{block}
  \pause
  Pour le voir, on considère toutes les surfaces rationnelles obtenues\kern-20pt\break
  par \alert{éclatements successifs d'un nombre fini de points $X\to
  \bP^2_\bC$}, et on s'intéresse à ``l'espace de Zariski''
  défini comme étant leur\kern-10pt\break limite projective~:\vskip-18pt
  \formula{$${\cal X}=\lim_{\longleftarrow}(X,\pi_{X'\to X}).$$}
\vskip-16pt
  Si $X'$ est obtenu à partir de $X$ par éclatement d'un point, on~a
\vskip-10pt
  \formula{$$H^2(X',\bR)=H^2(X,\bR)\oplus \bR[E]$$}
\vskip-16pt
  où $[E]$ est la classe du diviseur exceptionnel, telle que~\formula{$[E]^2=-1$}.\kern-20pt
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Espace de Picard-Manin}
  Si $X$ est obtenu à partir de $\bP^2_\bC$ par éclatement de $n$ points,
  on a donc $H^2(X,\bR)\simeq\bR^{n+1}$, muni d'une forme d'intersection
  de type Minkowski
  \formula{$$\alpha_0^2-(\alpha_1^2+\ldots+\alpha_n^2).$$}\pause La 
  limite projective ${\cal X}$ admet un groupe \formula{$\widehat H^2({\cal X},\bR)$} ``virtuel''
  qui est le \alert{complété de la limite inductive des  $H^2(X,\bR)$}, à savoir
  un espace de Minkowski de dimension infinie (non séparable, la dimension
  est celle du continu~!).\pause\vskip4pt
  Pour toute application birationnelle $g:\bP^2_\bC\dashrightarrow\bP^2_\bC$ et
  tout éclatement $X\to \bP^2_\bC$,~ on a 
  un relèvement \formula{$\tilde g:X'\to X$} à un certain éclatement $X'$. 
  Par passage à la limite inductive, les applications 
  \formula{$$(\tilde g)^*:H^2(X,\bR)\to H^2(X',\bR)$$}
  induisent une isométrie $g^*$
  de \alert{l'espace de Picard-Manin $\widehat H^2({\cal X},\bR)$}.\kern-20pt
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Représentation dans l'espace de Picard-Manin}
  On obtient ainsi une représentation canonique (covariante)
  \formula{$$
  \rho:\Bir(\bP^2_\bC)\to\Isom\big(\widehat H^2({\cal X},\bR)\big),\qquad
  g\mapsto g_*:=(g^{-1})^*.
  $$}
  On se restreint en fait à l'espace noté ici $\bH$, constitués de la
  composante connexe de ``l'hyperboloïde à 2 nappes'' des éléments de carré~1
  dans $\widehat H^2({\cal X},\bR)$ qui contient la classe hyperplane
  \formula{$h=c_1({\cal O}(1))$} de  $H^2(\bP^2_\bC,\bR)$.
  \pause
  \begin{block}{Proposition}
  {\it $\rho$ induit une représentation fidèle sur $\Isom(\bH)$.}
  \end{block}
  \pause
  L'étape suivante consiste à identifier les transformations de Cremona
  $g$ telle que l'isométrie induite \formula{$g_*$} soit 
  \alert{hyperbolique}.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Transformation hyperbolique}
\InsertFig  30.000 65.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave
30 34 translate
/hom 27 def
hom dup scale
0.085 hom div setlinewidth
2 setlinejoin
/expit {
  /x exch def /r x x mul 1 add def
  x 2 mul r div def
  2 r sub r div def
} def
/doarc { 
 /yp exch def /xp exch def  /y exch def /x exch def
 /z x xp add 0.5 mul def /w y yp add 0.5 mul def
 /r z z mul w w mul add sqrt def
 /z z r div def  /w w r div def
 /r xp x sub def  /rp yp y sub def
 /rp r r mul rp rp mul add sqrt 0.5 mul def
 /r rp 1 rp rp mul sub sqrt div def
 /rp 1 r r mul add sqrt def
 /z z rp mul def  /w w rp mul def
 /a1 y x atan def
 /a2 yp xp atan def
 a1 a2 180 sub lt { /a1 a1 360 add def } if
 a1 a2 180 add gt { /a1 a1 360 sub def } if
 a1 a2 gt { z w r a1 90 add a2 270 add arc }
          { z w r a1 270 add a2 90 add arcn } ifelse
} def
1 0 moveto
/x1 /y1 -9 expit
/x2 /y2 -4 expit
/x3 /y3 -0.5 expit
/x4 /y4 0.1 expit
0 0 1 0 360 arc stroke
0.250 hom div setlinewidth
/x5 /y5 -5.4 expit
/x6 /y6 -0.2 expit
x5 y5 moveto
x5 y5 x6 y6 doarc stroke
x5 y5 moveto 0.6 hom div disk
x6 y6 moveto 0.6 hom div disk
-0.335 -0.21 moveto 0.000   5.000   0.080 vector
grestore
}
\LabelTeX   0.000  22.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX   58.000  21.000 $b$ \ELTX
\LabelTeX   32.000  45.000 $\bH$ \ELTX
\LabelTeX   30.000  22.000 $\Axe(g_*)$ \ELTX
\EndFig
$g_*$ agit par translation hyperbolique sur son axe.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Digression : degr\'es interm\'ediaires de
  $f\in\Bir(\bP^n_\bC)$}
  Si $f$ est une transformation rationnelle $\bP^n_\bC\dashrightarrow\bP^n_\bC$,
  on d\'efinit son $p$-degr\'e \formula{$\delta_p(f)$} comme \'etant le degr\'e 
  de l'image inverse $f^{-1}(L)$ d'un sous-espace linaire $L$ g\'en\'erique
  de codimension $p$, c'est-\`a-dire le nombre d'intersection
 \vskip-10pt
  \formula{$$\delta_p(f)=f^{-1}(L)\cdot L',\qquad\dim L=n-p,\quad \dim L'=p$$}
 \vskip-14pt
  avec $L,\,L'$ g\'en\'eriques. On a en particulier
 \vskip-10pt
\formula{$$\delta_1(f)=\deg(f),\quad\delta_n(f)=\deg_{\topo}(f).$$}
\vskip-14pt\pause
  Pour des morphismes r\'eguliers $f$, $g$ (i.e.\ 
   \formula{$\Ind(f)=\Ind(g)=\emptyset$}), il~est facile de voir que
 \vskip-10pt
   \formula{$$\delta_p(f)=(\deg(f))^p\quad\hbox{et}\quad
   \deg(f\circ g)=\deg(f)\deg(g).$$}
 \vskip-14pt
Ceci r\'esulte de la structure tr\`es simple de l'alg\`ebre de cohomologie
   \formula{$H^\bullet(\bP^n_\bC,\bZ)\simeq\bZ[h]/(h^{n+1})$}.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Degr\'es dynamiques des transformations de
  $\bP^n_\bC$}
  En revanche, lorsque  \formula{$\Ind(f)\ne\emptyset$}, il se peut que
  \formula{$\delta_p(f)<(\deg(f))^p$},\kern-10pt\break et on introduit le
  \alert{$p$-i\`eme degr\'e dynamique} par
\vskip-10pt
  \formula{$$\lambda_p(f)=\limsup_{k\to+\infty}\delta_p(f^k)^{1/k}\le(\deg(f))^p.$$}
\vskip-10pt\pause
  On a en g\'en\'eral \formula{$\lambda_n(f)=\delta_n(f)=\deg_{\topo}(f)$}, de 
  sorte qu'en dimension $2$, le seul degr\'e dynamique int\'eressant est
  \formula{$$\lambda_1(f)=\limsup_{k\to+\infty}~\deg(f^k)^{1/k}\le
  \deg(f).$$}
\begin{block}{Théorème (Cantat)}
  {\it Pour $g\in\Bir(\bP^2_\bC)$, l'isométrie induite $g_*\in\Isom(\bH)$ est
  hyperbolique si et seulement si $\lambda_1(g)>1$.}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Théorie géométrique des groupes}
Soit \formula{$G=\rho(\Bir(\bP^2_\bC))\subset\Isom(\bH)$.}
\begin{block}{Définition (une propriété de rigidité...)}
{\it Soit $g\in\Bir(\bP^2_\bC)$. L'élément $g_*=\rho(g)\in G$ sera 
dit \alert{tendu} si 
\begin{itemize}
\item $g_*\in\Isom(\bH)$ est hyperbolique
\item Il existe $B\gg 0$ ayant la propriété suivante~: si $f\in\Bir(\bP^2$ 
est tel que $f_*(\Axe(g_*))$ contient deux points à distance $B$ qui sont
à distance${}\le 1$ de  $\Axe(g_*)$, alors $f_*(\Axe(g_*))=\Axe(g_*)$.
\item Si $f\in\Bir(\bP^2_\bC)$,~ $f_*(\Axe(g_*))=\Axe(g_*)$, alors
$f\circ g\circ f^{-1}=g$ ou~$g^{-1}$.
\end{itemize}
}
\end{block}
\pause
\begin{block}{Théorème}
{\it Soit $g\in\Bir(\bP^2_\bC)$. Si $g_*$ est tendu, il existe un entier 
$k\ge 1$ tel que $g^k$ engendre un sous-groupe distingué non trivial.}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Fin de la démonstration}
Pour conclure, il suffit de prouver le théorème suivant.
\begin{block}{Théorème}
{\it Soit $g\in\Bir(\bP^2_\bC)$ un élément générique de degré $d\ge 2$. 
Alors $g_*$ est tendu.}
\end{block}
\pause
On montre que le sous-ensemble $\Bir_d(\bP^2_\bC)$ des transformations
birationnelles de degré $d$ est une variété algébrique de dimension $4d+6$
ayant comme unique composante de dimension maximale les transformations
\formula{$h_1\circ f\circ h_2$} où $h_1,h_2\in\mathrm{PGL}_3(\bC)$ et $f$ est
une transformation de de Jonquières de degré~$d$.
\pause\vskip4pt
La preuve du théorème repose sur des calculs explicites des itérées des
transformations de de Jonquières, en utilisant des idées issues de la
dynamique complexe.
\end{frame}

{\large Références}\medskip

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