\documentclass[12pt]{beamer}
\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps}

% For printing instead a handout
%\documentclass[handout]{beamer}
%\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps}
%\usepackage{pgfpages}
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper,border shrink=5mm]


% This file is a solution template for:
% - Giving a talk on some subject.
% - The talk is between 15min and 45min long.
% - Style is ornate.
% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 
\mode<presentation>
{
% \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10,
% top=blue!10]
  \usetheme{Warsaw}
  \usefonttheme[onlysmall]{structurebold}
}
% or whatever




\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[english]{babel}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

\title[
\ \kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 25/11/2008\kern47pt
\'Equations de la Physique Mathématique et Géométrie algébrique] 
% (optional, use only with long paper titles)
{\'Equations de la Physique Mathématique et Géométrie algébrique}

%% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional)

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Jean-Pierre Demailly}

\institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[]% (optional)
{25 novembre 2008 / Académie des Sciences de Paris}

%%\subject{Talks}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}

\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}

\def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex}
\def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar
    \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\reg}{\operatorname{reg}}
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}

\newcommand{\bB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\bD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}

\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\cF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\cI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\cK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\cO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\cX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\dbar}{\overline\partial}
\newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}}

% mathematical operators
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits}
\newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}

\newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits}
\newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}}
\newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits}
\newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits}
\newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits}
\newcommand{\alg}{{\rm alg}}
\newcommand{\nef}{{\rm nef}}
\newcommand{\num}{\nu}
\newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}}
\newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}}

% figures inserted as PostScript files
\special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/grlib.ps}
\long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{"
#3}}#4$}}
\long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}}
\def\ovl{\overline}
\def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}

\begin{document}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%%\AtBeginSubsection[]
%%{
%% \begin{frame}<beamer>
%%    \frametitle{Outline}
%%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%%  \end{frame}
%%}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\begin{frame}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{acad-logo}{academie}
  \pgfuseimage{acad-logo}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{ujf-logo}{logo_ujf}
  \pgfuseimage{ujf-logo}
  \titlepage
\end{frame}

%%\begin{frame}
%%  \frametitle{Outline}
%%  \tableofcontents
%% You might wish to add the option [pausesections]
%%\end{frame}


% Since this a solution template for a generic talk, very little can
% be said about how it should be structured. However, the talk length
% of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to
% the following rules:  

% - Exactly two or three sections (other than the summary).
% - At *most* three subsections per section.
% - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about
%   15 and 30 frames, all told.

%% \section*{Basic concepts}
\def\pause{}

\begin{frame}
  \frametitle{Précurseurs / XIXe siècle}
  Grande floraison déjà au XIXe siècle : 
  \begin{itemize}  
  \item
  nombres complexes, arithmétique, astronomie (C.F.~Gauss)
  \item
  relations profondes  entre topologie, calcul différentiel et
  fonctions holomorphes (A.~Cauchy, B.~Riemann)
  \pause
  \item
  formule de Green, lien avec l'électricité et le magnétisme
  \item  
  existence des applications conformes / principe de Dirichlet
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Précurseurs / XXe siècle}
  \begin{itemize}  
    \item 
       H.~Poincaré ( $\sim 1900$): topologie différentielle, systèmes dynamiques
    \item
       A. Einstein ($\sim 1915$) : équations de la relativité générale
    \item
       W.V.D.~Hodge (1935-1950): opérateurs elliptiques, théorie $L^2$ et
       analyse globale sur les variétés.
    \item
       K.~Kodaira (1950-1960) : exploitation d'une formule de courbure
       fondamentale introduite par Bochner, théorèmes d'annulation.
    \item
       L.~H\"ormander (1960-1970) : EDP et extension de la théorie de Kodaira
       aux variétés pseudoconvexes.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Variétés analytiques complexes}
  \pgfdeclareimage[height=6cm]{courbes}{courbes}
  \pgfuseimage{courbes}
  \begin{itemize}  
    \item 
  $K_X=\Lambda^n T^*_X$:~~~$f(z)\,dz_1\wedge\ldots\wedge dz_n$
    \item
  Si $n=1$, $\deg(K_X)=2g-2$.
  \end{itemize}  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Formes différentielles complexes}
  \begin{itemize}  
    \item 
       Formes différentielles complexes
       $$
         u=\sum_{|I|=p,|J|=q} u_{IJ}(z)\,dz_I\wedge d\overline z_J
       $$
       $$
         dz_I=dz_{i_1}\wedge\ldots\wedge dz_{i_p},~~~
         u_{IJ}(z)~~\hbox{classe $C^\infty$.}
       $$
    \item 
       Opérateurs $\partial$, $\overline\partial$.\\
       On $\overline\partial^2=0$.\\ \pause
       On note $H^{p,q}(X,\bC)$  les groupes
       de cohomologie associés (cohomologie de Dolbeault).
  \end{itemize}  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Fibrés vectoriels holomorphes, courbure}
  \begin{itemize}  
    \item 
       Soit $E\to X$ un fibré vectoriel holomorphe.\\
       On s'intéresse aux connexions de la forme
       $$Du\simeq du+ A\wedge u\qquad\hbox{avec}$$
       $$
         u=\sum_{|I|=p,|J|=q,1\le\lambda\le r} 
         u_{IJ\lambda}(z)\,dz_I\wedge d\overline z_J\otimes e_\lambda
       $$      
       où $A$ est une matrice de $(1,0)$-formes.\\
       comme $d=\partial+\overline\partial$, on a 
       $D=D^{1,0}+D^{0,1}$ avec $D^{0,1}=\overline\partial$.
       \pause
    \item
       \claim{{\bf Fait fondamental.}} {\it Si $E\to X$ est muni 
       d'une structure hermitienne $h$, il existe une unique connexion $D$ 
       de ce type, $D=D_h$, telle que $D_h(h)=0$. On l'appelle
       \alert{connexion de Chern}.}
    \item
       \claim{{\bf Formule~:}} $A=H^{-1}\partial H$
       ($H$ matrice de la métrique $h$).
       \pause
    \item
       \claim{{\bf Groupes de Dolbeault :}}
       $H^{p,q}(X,E)$ ($\overline\partial$-cohomologie).\\
       $H^{p,0}(X,E)={}$ sections holomorphes de $\Lambda^pT^*_X\otimes E$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Courbure et théories de jauge}
  \begin{itemize}  
    \item
       \claim{{\bf Courbure~:}} $D^2u=\Theta\wedge u$ 
        où $\Theta=\overline\partial(H^{-1}\partial H)$
       \pause
    \item 
       \claim{{\bf Théories de jauge et électromagnétisme.}}
       \pause
    \item 
       Si $E\to X$ est de rang $1$, on note $H=(e^{-\varphi})$.\\
       Alors
         $$\Theta=\partial\overline\partial\varphi=\sum_{j,k}
         {\partial^2\varphi\over\partial z_j\partial\overline z_k}
         dz_j\wedge d\overline z_k.
       $$\pause
     \item
       On dit que la courbure est \alert{semi-positive} (et que le poids
       $\varphi$ est \alert{plurisousharmonique}) si la matrice 
       $({\partial^2\varphi\over\partial z_j\partial\overline z_k})$
       est semi-positive.\\
       La plurisouharmonicité est l'analogue complexe de la convexité,
       caractérisée quant à elle par la condition\\
       $$\Big({\partial^2\varphi\over\partial x_j\partial x_k}\Big)
       \geq 0.$$
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{Variétés hermitiennes et kählériennes}
  \begin{itemize}  
    \item 
       \claim{{\bf Variétés hermitiennes.}}
       Soit
       $$\omega=i\sum_{1\le j,k\le n}\omega_{j,k}dz_j\wedge d\overline z_k$$
       une $(1,1)$-forme, $(\omega_{jk})$ matrice définie positive,\\
       vue comme métrique riemannienne de type hermitien
       $$
        ds^2=\Vert\xi\Vert_h^2=\sum_{1\le j,k\le n}\omega_{j,k}(z)\xi_j
        \overline\xi_k,~~~~\xi\in T_{X,z}.
       $$\pause
    \item 
       La métrique $\omega$ est dite \alert{kählérienne} si $d\omega=0$\\
       (structure à la fois hermitienne et symplectique).
       \pause
    \item 
       \claim{{\bf Très beaux exemples:}}\\
       -- Tores complexes $X=\bC^n/\Lambda$.\\
       -- Espace projectif et variétés projectives
       $$\omega_{\rm FS}=i\partial\overline\partial\log(1+|z|^2)>0\qquad
       \hbox{(Fubini-Study)}.$$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Théorie $L^2$, formes harmoniques}
  \begin{itemize}  
    \item 
       \'Etant donné $(X,\omega)$ et un fibré $E\to X$ muni de $h$,\\
        on considère la norme $L^2$ globale
        $$
          \Vert u\Vert_{\omega,h}^2=\int_X|u|^2_{\omega,h}dV_\omega.
        $$\pause
    \item 
       Opérateurs de Laplace-Beltrami complexe~:
       $$
       \Delta=D^{1,0}D^{1,0\,*}+D^{1,0\,*}D^{1,0}
       $$
       $$
       \overline\Delta=D^{0,1}D^{0,1\,*}+D^{0,1\,*}D^{0,1}=
       \overline\partial\overline\partial^*+\overline\partial^*
       \overline\partial.
       $$\pause\vskip0pt
    \item 
       \claim{{\bf Théorie de Hodge.}} Sur le fibré trivial $E=X\times \bC$
       avec courbure nulle, si de plus on a $d\omega=0$, alors
       \alert{$\overline\Delta=\Delta$}.\pause\medskip
    \item 
       \claim{{\bf Conséquence : décomposition de Hodge}}
       $$
         H^k_{\rm DR}(X,\bC)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X,\bC).
       $$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Formule de Bochner-Kodaira-Nakano}
  \begin{itemize}  
    \item 
       \claim{{\bf Formule BKN (1953-1955).}} En supposant $d\omega=0$,\\
       on a pour $u\in C_c^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^*_X\otimes E$:
        $$\overline\Delta=\Delta+A^{p,q}_{E,h,\omega}$$
        où $A^{p,q}_{E,h,\omega}$ est un tenseur qui dépend principalement
        de la courbure $\Theta_{E,h}$ de $(E,h)$ et (moins essentiellement)
        de la métrique kählérienne~$\omega$.
        \pause
    \item 
        \begin{eqnarray*}
        \langle\!\langle u,\overline\Delta u\rangle\!\rangle&=&
        \Vert D^{0,1}u\Vert^2+\Vert D^{0,1\,*}u\Vert^2\cr
        &=&\Vert D^{1,0}u\Vert^2+\Vert D^{1,0\,*}u\Vert^2+
        \textstyle\int_X \langle u, A^{p,q}_{E,h,\omega}u\rangle\, dV_\omega\cr
        &\geq&\textstyle\int_X
        \langle u, A^{p,q}_{E,h,\omega}u\rangle\, dV_\omega.\cr
        \end{eqnarray*}
    \item
       \claim{{\bf Corollaire (Kodaira).}} {\it Si $X$ est compacte, si
        $E$ est de rang 1 et si la courbure de $E$ est positive, alors
        $H^{p,q}(X,E)=0$ pour $p+q>n=\dim X$.}
        \smallskip
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Généralisations}
  \begin{itemize}  
    \item \claim{{\bf Cas de variétés non compactes, pseudoconvexes~:}}\\
    $\sim 1965$ Kohn, Hörmander, Andreotti, Vesentini
    \item \claim{{\bf Cas de métriques présentant des singularités~:}}\\
    $$h(z)={1\over(\sum|g_j|^2)^c},\qquad
      \varphi(z)=c\log\sum|g_j|^2
    $$
    avec $g_j$ holomorphe (Bombieri 1970).
    \item
    \claim{{\bf Théorème ([D], 1982)}}. Estimations $L^2$ sur une variété
    kählérienne complète, en présence de
    singularités quelconques~: {\it si la courbure du fibré $E$ est ``positive au 
    sens de Nakano'', on peut résoudre $\overline\partial u=v$ en tout
    bidegré $(n,q)$, $q\ge 1$, avec estimation de la forme
    $$
     \int_X|u|^2e^{-\varphi}dV_\omega\le\int_X{1\over 
      \lambda_1+\ldots+\lambda_q}|v|^2e^{-\varphi}dV_\omega
    $$
    où $\lambda_1,\ldots,\lambda_q$ sont les valeurs propres de courbure.}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Généralisations (suite)}
  \begin{itemize}  
    \item \claim{{\bf ``Faisceaux multiplicateurs''}}\\
    {\it Si $\varphi$ est une fonction plurisusharmonique présentant des
    singularités  quelconques, l'ensemble $\cI(\varphi)$ des germes de 
    fonctions holomorphes $f$ telles que $\int |f|^2e^{-\varphi}<+\infty$ 
    constitue un \alert{faisceau cohérent}.} (A.~Nadel, [D], $\sim 1989$).
    \smallskip
    \pause
    \item
    \claim{{\bf Théorème.}} {\it Si la courbure d'un fibré en droites
     $\smash{(E,h=e^{-\varphi})}$ est strictement positive, on a
     $$H^{n,q}(X,E\otimes \cI(\varphi))=
       H^{0,q}(X,K_X\otimes E\otimes \cI(\varphi))=0.$$}
    \pause
    \item \claim{{\bf Cas de métriques non kählériennes ($d\omega\ne 0$)~:}}\\
    il apparaît des ``termes de torsion'', qui sont explicitables
    et peuvent être réorganisés comme perturbation de la
    courbure ([D], 1984).
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Inégalités de Morse holomorphes}
  \begin{itemize}  
    \item On cherche à évaluer \alert{asymptotiquement quand $k\to+\infty$}
    les groupes de cohomologie
    $$H^{p,q}(X,E^{\otimes k})$$
    où $(E, h)$ est un fibré holomorphe hermitien.\pause
    \item Lorsque $X=\bP_\bC^n$ et $E=\cO(1)$\\
    (fibré en droites tautologique), on a
    \alert{
    $$H^{0,0}(X,E^{\otimes k})=
    \hbox{polynômes homogènes de degré $k$ sur $\bC^{n+1}$}$$
    \vskip-30pt}\pause
    \item \claim{{\bf Observation.}} La courbure de 
    $(E^{\otimes k},h^{\otimes k})=(E^{\otimes k},e^{-k\varphi})$ 
    est \alert{$k\times$ courbure de $E$}.\\
    Localement le laplacien antiholomorphe $\overline\Delta$\\
    peut se réduit à une somme directe de modèles approchés
    unidimensionnels de la forme 
    \alert{$\displaystyle{-d^2u\over dx^2}+(kx)^2u$}\\
    (``oscillateur harmonique'')
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Inégalités de Morse holomorphes (suite)}
  \begin{itemize}  
    \item On peut faire la théorie spectrale locale~:
    \alert{$$x={1\over\sqrt{k}}\xi~~~\Longrightarrow~~~
    {-d^2u\over dx^2}+(kx)^2u\longmapsto
    k\Big({-d^2u\over d\xi^2}+\xi^2u\Big)$$}
    Phénomène de ``localisation'' dans les longueurs d'onde de
    taille $\sim 1/\sqrt{k}$.\pause
   \item 
    \claim{{\bf Théorème.}} ([D], 1985) {\it Si $h=e^{-\varphi}$, on a
    $$H^{0,q}(X,E^{\otimes k})\le
    {k^n\over n!}\int_{X(E,h,q)}\Big({i\over 2\pi}\partial\overline\partial
    \varphi\Big)^n+o(k^n)$$
    où $X(E,h,q)$ désigne l'ouvert où la courbure $\partial\overline\partial
    \varphi$ de $E$ est de signature $(n-q,q)$.\pause}
   \item 
    \claim{{\bf Théorème}} (Thèse Bonavero 1996)\\ Résultat analogue pour
    $$H^{0,q}(X,E^{\otimes k}\otimes\cI(k\varphi))$$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{\'Equations d'Einstein}
  \begin{itemize}  
    \item \claim{{\bf Courbure de Ricci}}
    Si $\omega=i\sum_{j,k}\omega_{jk}(z)dz_j\wedge d\overline z_k$,
    $$\hbox{Ricci}_\omega=-{i\over 2\pi}\partial\overline\partial
    \log\det(\omega_{jk}).$$\pause
    \item \claim{{\bf \'Equations de ``K\"ahler-Einstein''}}
     $$\hbox{Ricci}_\omega=\lambda\omega$$
    où $\lambda$ constante réelle.\\
    \claim{{\bf Cas $\lambda<0$~:}} importants travaux de Th.~Aubin\\
    (existence si $c_1(X)<0$, solution unique, 1976)\pause
    \item Très nombreux travaux depuis: Yau, Siu, Tian, Nadel, ...\pause
    \item \claim{{\bf Cas $\lambda>0$ :}}
    suppose $K_X^{-1}>0$ (``$X$ variété de Fano'')\\
    La solution n'existe pas toujours. Si elle existe, elle est unique
    modulo Aut$(X)$ (Bando-Mabuchi, 1985).
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{\'Equations d'Einstein (suite)}
  \begin{itemize}  
    \item Dans le cas $\lambda>0$, ce qui empêche l'existence est l'apparition
    de singularités logarithmiques dans le potentiel de $\omega=\omega_0+i
   \partial\overline\partial\varphi$.\pause
    \item \claim{{\bf Théorème }} (Demailly-Koll\'ar, 1996-2000)\\
    L'intégrale $\varphi\mapsto\int_Ke^{-\varphi}$ est continue pour la
    topologie de la convergence faible, dans la région où
    $\int_Ke^{-(1+\varepsilon)\varphi}<+\infty$.\\
    Il en résulte un théorème d'existence de métriques K\"ahler-Einstein
    qui a donné lieu à de très nombreux calculs (par exemple, variétés à 
    singularités quotients).\pause
   \item \claim{{\bf Création de ``trous noirs'' }} (Demailly-Paun, 2000-2008)\\
    \'Equations de Monge-Ampère de la forme
    $$(\omega_0+i
   \partial\overline\partial\varphi)^n=f+\sum c_j\delta_{x_j}$$
    \alert{Conséquence: structure du cône de K\"ahler ...}
  \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}