\documentclass[12pt]{beamer}
\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps}

% For printing instead a handout
%\documentclass[handout]{beamer}
%\usepackage{pgf,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps}
%\usepackage{pgfpages}
%\pgfpagesuselayout{2 on 1}[a4paper,border shrink=5mm]


% This file is a solution template for:
% - Giving a talk on some subject.
% - The talk is between 15min and 45min long.
% - Style is ornate.
% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 
\mode<presentation>
{
% \setbeamertemplate{background canvas}[vertical shading][bottom=red!10,
% top=blue!10]
  \usetheme{Warsaw}
  \usefonttheme[onlysmall]{structurebold}
}
% or whatever




\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[english]{babel}
% Or whatever. Note that the encoding and the font should match. If T1
% does not look nice, try deleting the line with the fontenc.

\title[
\ \kern-190pt Jean-Pierre Demailly (Grenoble I), 04/03/2008\kern53pt
Aperçu des travaux de Frédéric Campana / Acad.\ des Sciences] 
% (optional, use only with long paper titles)
{Aperçu des travaux de Frédéric Campana : c{\oe}ur des variétés orbifoldes}

%% \subtitle{Presentation Subtitle} % (optional)

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Jean-Pierre Demailly}

\institute[]{Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date[]% (optional)
{4 mars 2008 / Académie des Sciences de Paris}

%%\subject{Talks}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

\definecolor{ColClaim}{rgb}{0,0,0.8}
\def\claim#1{{\color{ColClaim}#1}}

\definecolor{Alert}{rgb}{0.8,0,0}
\def\alert#1{{\color{Alert}#1}}

\def\srelbar{\vrule width0.6ex height0.65ex depth-0.55ex}
\def\merto{\mathrel{\srelbar\kern1.3pt\srelbar\kern1.3pt\srelbar
    \kern1.3pt\srelbar\kern-0.78ex\raise0.3ex\hbox{${\scriptscriptstyle>}$}}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{torsion}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\reg}{\operatorname{reg}}
\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}

\newcommand{\bB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\bD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}

\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\cF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\cI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\cK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cM}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\cO}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cP}{{\mathcal P}}
\newcommand{\cX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\dbar}{\overline\partial}
\newcommand{\ddbar}{\partial\overline\partial}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\bul}{{\scriptscriptstyle\bullet}}

% mathematical operators
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\Pic}{\mathop{\rm Pic}\nolimits}
\newcommand{\codim}{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\newcommand{\Id}{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\newcommand{\Sing}{\mathop{\rm Sing}\nolimits}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\newcommand{\Vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}
\newcommand{\pr}{\mathop{\rm pr}\nolimits}

\newcommand{\NS}{\mathop{\rm NS}\nolimits}
\newcommand{\GG}{{\mathop{\rm GG}\nolimits}}
\newcommand{\NE}{\mathop{\rm NE}\nolimits}
\newcommand{\ME}{\mathop{\rm ME}\nolimits}
\newcommand{\SME}{\mathop{\rm SME}\nolimits}
\newcommand{\alg}{{\rm alg}}
\newcommand{\nef}{{\rm nef}}
\newcommand{\num}{\nu}
\newcommand{\ssm}{\mathop{\Bbb r}}
\newcommand{\smallvee}{{\scriptscriptstyle\vee}}

% figures inserted as PostScript files
\special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/grlib.ps}
\long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{"
#3}}#4$}}
\long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}}
\def\ovl{\overline}
\def\build#1^#2_#3{\mathrel{\mathop{\null#1}\limits^{#2}_{#3}}}
\def\bibitem[#1]#2#3{\medskip{\bf[#1]} #3}

\begin{document}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%%\AtBeginSubsection[]
%%{
%% \begin{frame}<beamer>
%%    \frametitle{Outline}
%%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%%  \end{frame}
%%}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\begin{frame}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{acad-logo}{academie}
  \pgfuseimage{acad-logo}
  \pgfdeclareimage[height=1cm]{ujf-logo}{logo_ujf}
  \pgfuseimage{ujf-logo}
  \titlepage
\end{frame}

%%\begin{frame}
%%  \frametitle{Outline}
%%  \tableofcontents
%% You might wish to add the option [pausesections]
%%\end{frame}


% Since this a solution template for a generic talk, very little can
% be said about how it should be structured. However, the talk length
% of between 15min and 45min and the theme suggest that you stick to
% the following rules:  

% - Exactly two or three sections (other than the summary).
% - At *most* three subsections per section.
% - Talk about 30s to 2min per frame. So there should be between about
%   15 and 30 frames, all told.

%% \section*{Basic concepts}
%% \def\pause{}

\begin{frame}
  \frametitle{Morphismes et ramification}

  \begin{itemize}
  \item
    Soit $f:X\to Y$ un morphisme de variétés algébriques projectives.
  \item
    On suppose \alert{$\dim_\bC X=\dim_\bC Y=n$ et $f$ surjectif}.
   \pause
  \item
    On note \alert{$K_Y=\Lambda^nT^*_Y$} le fibré en droites canonique de $Y$.
  \item
    Ses sections s'écrivent localement 
          $$\alpha(y)=a(y)\,dy_1\wedge\ldots\wedge dy_n.$$
   \vskip-16pt
   \pause
  \item
    Posant $y=f(x)$, on trouve
          $$f^*\alpha(x)=a(f(x))Jf(x)\,dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n.$$
    où \alert{$Jf$ est le déterminant jacobien de $f$}.
   \pause
  \item
    On voit que
          \alert{$$f^*K_Y=K_X\otimes \cO(-R)$$}
    où \alert{$R=\div(Jf)$} est le diviseur de ramification de $f$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{La formule de Riemann-Hurwitz}
  \begin{itemize}  
    \item 
       Cas des courbes $n=1$ (surfaces de Riemann compactes):\\
       On a $\deg(K_X)=-\chi(X)=2g_X-2$ où $g_X={}$genre de $X$.\\
       La formule \alert{$K_X=f^*K_Y\otimes\cO(R)$} se récrit
       \alert{$$-\chi(X)=-d\,\chi(Y)+\sum_{p\in|R|}(m_p-1)$$}
       où $d$ est le degré de $f$, $p$ décrit les points de ramification et
       $m_p$ leur indice de ramification, $R=\sum (m_p-1)[p]$.
       \pause
    \item
       \alert{Diviseur de multiplicité de $f$:} c'est le plus grand 
       diviseur effectif $\Delta=\Delta(f)$ sur $Y$ tel que 
       \alert{$f^*\Delta\le R$}. On a
         \alert{$$\Delta(f)=\sum(1-1/m_j)D_j$$}
       où $|\Delta|=\bigcup D_j$ est l'ensemble des composantes divisorielles
       du lieu des points $y\in Y$ tel que la
       fibre $f^{-1}(y)$ ne soit pas lisse, et $m_j$ la multiplicité minimale
       de $f^*D_j$ sur les composantes de $f^{-1}(D_j)$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Genre et courbure}
  \pgfdeclareimage[height=8cm]{courbes}{courbes}
  \pgfuseimage{courbes}
  \vskip-22pt
  \hbox{$\deg(K_X)=2g-2$}
  \vskip22pt$~$
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Dimension de Kodaira/morphismes pluricanoniques}
  \begin{itemize}  
    \item 
       Pour $X$ de dimension $n$ quelconque, la
       \alert{dimension de Kodaira-Iitaka} $\kappa(L)$ d'un fibré en
       droites $L$ est définie par
          $$\dim H^0(X,L^{\otimes m})\sim Cm^{\kappa(L)},\qquad m\gg 1$$
       On pose $\kappa(L)=-\infty$ s'il n'y a pas de sections
       non nulles, et sinon $\kappa(L)\in\{0,1,\ldots,n\}$.
       \pause
    \item
       Si $V=H^0(X,L^{\otimes m})$, on a alors des morphismes
          $$\Phi_{L^{\otimes m}}:X\merto \bP^N=P(V^*),\quad 
          x\mapsto H_x=\{\sigma\in V,\,\sigma(x)=0\}.$$
       de rang générique $\kappa(L)$ (Kodaira-Siegel-Serre).\\
       Pour $L=K_X$, on parle
       de \alert{morphismes pluricanoniques}.\vskip4pt
       \claim{{\bf Définition.}} {\it On dit que $X$ est une variété
       de type général si $\kappa(K_X)=\dim X$.}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Variétés orbifoldes / morphismes de type général}
  \begin{itemize}  
    \item 
       On appelle \alert{variété orbifolde} toute paire $(X,\Delta)$ où
       $\Delta$ est un diviseur de la forme
            $$\Delta=\sum(1-1/m_j)D_j,\qquad m_j\ge 2.$$
       \vskip-16pt
    \item
       \claim{{\bf Définition 1.}} {\it On dit que la paire $(X,\Delta)$ est 
       de type général si $\kappa(K_X\otimes\cO(\Delta))=\dim X$.}
       \pause
    \item
       \claim{{\bf Définition 2.}} {\it On dit qu'un morphisme surjectif
       $f:X\to Y$ est (à base) de type général si la paire $(Y,\Delta(f))$
       est de type général.}
       \pause
       \vskip4pt
    \item
       \claim{{\bf Définition 3.}} {\it On dit que $X$ est une variété
       spéciale s'il n'existe pas de morphisme de type général $f:X\to Y$,
       $\dim Y>0$.}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{C{\oe}ur d'une variété projective}
  \begin{itemize}  
    \item
       \claim{{\bf Théorème (Campana).}} {\it Si $X$ est une variété
       quelconque, il existe une unique fibration méromorphe $c_X:X\merto C(X)$
       dont la fibre très générique $F$ est spéciale, et telle que $F$ soit la
       sous-variété spéciale de $X$ la plus grande passant par un point 
       quelconque $a\in F$.}
     \pause
    \item Campana appelle $C(X)$ le \alert{c{\oe}ur de $X$}, et conjecture
    que le morphisme $c_X$ est toujours de type général.
     \pause
    \item Campana avait démontré au début des années 1990 l'existence d'une
    fibration ``MRC'' $X\merto R(X)$ dont les fibres sont maximalement
    rationnellement connexes.\\
    On a toujours une \alert{factorisation $X\merto R(X)\merto C(X)$.}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Théorème de Kobayashi-Ochiai généralisé}
  \begin{itemize}  
    \item
       \claim{{\bf Théorème (Kobayashi-Ochiai).}} {\it Soit $X$ une variété de
        type général, et $\varphi:U\ssm A\to X$ une application
        holomorphe de rang générique $n=\dim X$ définie sur le 
        complémentaire d'un ensemble analytique $A$
        dans un ouvert $U\subset\bC^n$. Alors \alert{$\varphi$ se prolonge 
        méromorphiquement à $U$ (pas de singularités essentielles).}}
        \pause
    \item
       \claim{{\bf Théorème (Campana).}} {\it Soit $f:X\to Y$ un morphisme de 
        type général de dimension $n$, et $\varphi:U\ssm A\to X$ une application
        holomorphe de rang générique $n=\dim X$ définie sur le 
        le complémentaire d'un ensemble analytique $A$
        dans un ouvert $U\subset\bC^n$. Alors 
        \alert{$f\circ\varphi:U\ssm A\to Y$ 
        se prolonge méromorphiquement à $U$.}}
        \pause
    \item C'est le départ d'une vaste théorie, encore en grande partie
        conjecturale ...       
  \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}