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\footline{\hfill}
\headline{\ifnum \pageno=1 \hfil\else
\ifodd \pageno {\sevenbf \hfil
Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la d"-cohomologie\hfil\folio}%
\else {\sevenbf \folio\hfil Annales de l'Institut Fourier 35, (1985) 189--229\hfil} \fi\fi}

{\sevenrm\baselineskip=9pt
Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la d"-cohomologie\\
Annales de l'Institut Fourier, tome {\sevenbf 35}, n${}^{\scriptscriptstyle\circ}$4 (1985), p.~189--229.
\vskip1.5cm}

\def\statement{\bf}
\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\def\card{\mathop{\rm card}}

\centerline{\hugebf CHAMPS MAGNÉTIQUES}
\medskip
\centerline{\hugebf ET INÉGALITÉS DE MORSE}
\bigskip
\centerline{\hugebf POUR LA d"-COHOMOLOGIE}
\bigskip
\centerline{\bf par Jean-Pierre DEMAILLY}
\smallskip
\centerline{\vbox{\hrule width 2cm}}
\vskip1.5cm

\footnote{}{\sevenrm\baselineskip=9pt
{\sevenit Mots-clés~}: Inégalités de Morse -- d"-cohomologie -- Fibré 
linéaire hermitien -- Forme de courbure -- Champ magnétique
-- Opérateur de Schrödinger -- Identité de Bochner-Kodaira-Nakano
-- Espace de Moi\v{s}ezon.\vskip-\parskip}

\centerline{\bigbf 0. Introduction.}

Soit $X$ une variété $\bC$-analytique compacte de dimension
$n$, $F$ un fibré vectoriel holomorphe de rang $r$ et $E$ un
fibré holomorphe en droites hermitien de classe $\cC^{\infty}$
au-dessus de~$X$. Soit $D=D'+D''$ la connexion canonique de $E$ et
$c(E)=D^{2}=D'D''+D''D'$ la forme de courbure de cette connexion.
Désignons par $X(q)$, $0\leq q\leq n$, l'ouvert des points de $X$
d'indice $q$, i.e.\ l'ouvert des points $x\in X$ en lesquels la forme
de courbure $ic(E)(x)$ a exactement $q$ valeurs propres${}<0$ et
$(n-q)$ valeurs propres${}>0$. On pose également
$$
X(\leq q)=X(0)\cup X(1)\cup\ldots\cup X(q).
$$
Nous démontrons alors les inégalités de Morse suivantes, qui bornent
la dimension des espaces de cohomologie $H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ en fonction 
d'invariants intégraux de la courbure de $E$.
\medskip

{\statement Theorème 0.1.\pointir} {\it Lorsque $k$ tend vers $+\infty$ on a pour tout $q=0,1, \ldots, n$ les inégalités asymptotiques suivantes.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm (a)} Inégalités de Morse~$:$
$$
\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{X(q)}(-1)^{q}
\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}+o(k^{n}).
$$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Inégalités de Morse fortes~$:$
$$
 \sum_{j=0}^{q}(-1)^{q-j}\dim H^{j}(X,E^{k}\otimes F)\leq r\frac{k^{n}}{n!}
\int_{X(\leq q)}(-1)^{q}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}+o(k^{n}).
$$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} Formule de Riemann-Roch asymptotique~$:$
$$
 \sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)=r\frac{k^{n}}{n!}\int_X
\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}+o(k^{n}) .
$$}}\medskip

Les estimations 0.1 (a), (b) sont nouvelles à notre connaissance, même 
dans le cas des variétés projectives. L'égalité asymptotique
0.1~(c), quand à elle, est une version affai­blie du théorème de 
Hirzebruch-Riemann-Roch, qui est lui-même un cas particulier du
théorème de l'indice d'Atiyah- Singer [1]. Ce dernier
théorème permet en effet d'exprimer la caractéristique
d'Euler-Poincaré
$$
\chi(X,E^{k}\otimes F)=\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)
$$
sous la forme
$$
\chi( X,E^{k}\otimes F)=r\frac{k^{n}}{n!}c_{1}(E)^{n}+P_{n-1}(k)~;
\leqno(0.2)
$$
$P_{n-1}(k)\in\bQ[k]$ désigne ici un polynôme de degré${}\leq n-1$ 
et $c_{1}(E)\in H^{2}(X,\bZ)$ est la première classe de Chern de $E$, 
représentée en cohomologie de De Rham par la $(1,1)$-forme fermée 
${i\over 2\pi}c(E)$ (cf.\ par exemple [16]). On observera que la constante numérique de l'inégalité 0.1~(a) est optimale, comme le montre l'exemple du fibré produit tensoriel total $E=\cO(1)^{n-q}\stimes\cO(-1)^{q}$ au-dessus de $X=(\bP^{1}(\bC))^{n}$. Pour ce fibré, on a en effet $X(q)=X$~et
$$
\eqalign{
&\dim H^{q}(X,E^{k})=(k+1)^{n-q}(k-1)^{q}, k\geq 1,\cr
&\int_{X}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}=(-1)^{q}n!\,.\cr}
$$
L'existence d'une majoration du type 0.1(a) était conjecturée
par Y. T.  Siu, qui a successivement démontré le cas
particulier où $ic(E)$ est${}>0$ dans le complémentaire d'un
ensemble de mesure nulle [16], puis le cas où $ic(E)$ est${}\geq
0$ sur $X$ [17]. Nous avons d'ailleurs emprunté à Siu une
partie des techniques utilisécs ici, notamment aux \S3 et \S5. 
La preuve du théorème 0.1 repose sur la méthode
analytique introduite récemment par E.~Witten [18], [19]. Cette
méthode permet (entre autres) de redémontrer les
inégalités de Morse classiques $b_{q}\leq m_{q}$ sur une
variété différentiable compacte $M$, où $b_{q}$
désigne le $q$-ième nombre de Betti et $m_{q}$ le nombre de
points critiques d'indice $q$ d'une fonction de Morse quelconque sur~$M$.
Dans notre situation, le rôle de la fonction de Morse est tenu
par le choix de la métrique hermitienne sur $E$.  On munit d'autre
part $X$ et F de métriques hermitiennes arbitraires, qui
interviendront seulement dans les termes $o(k^{n})$ des estimations
finales. É tant donné un réel $\lambda\geq 0$, on
considère le sous-complexe $\cH_{k}^\bullet(\lambda)$ du complexe de
Dolbeault $\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^ {k}\otimes F)$ des
$(0,q)$-formes de classe $\cC^{\infty}$ sur $X$ à valeurs dans
$E^{k}\otimes F$, engendré par les fonctions propres du Laplacien
antiholomorphe $\Delta''$ dont les valeurs propres sont${}\leq k\lambda$.
Les groupes de cohomologie du complexe $\cH_{k}^\bullet(\lambda)$ sont 
alors isomorphes aux groupes $H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ (proposition 4.1),
de sorte qu'il suffit de savoir borner la dimension des espaces 
$\cH_{k}^{q}(\lambda)$. Pour cela, on utilise essentiellement deux outils.
Le premier outil consiste en une formule de type Weitzenböck
$$
\frac{2}{k}\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{X}\frac{1}{k}
|\nabla_{k}u+Su|^{2}-\langle Vu,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta
u,u\rangle \leqno(0.3)
$$
démontrée au \S3, et dérivée de l'identité de 
Bochner- Kodaira-Nakano non kählérienne~[6]. $\nabla_{k}$ 
désigne ici la connexion hermitienne naturelle sur
le fibré $\Lambda^{0.q}T^{*}X\otimes E^{k}\otimes F$, 
$V$~est un potentiel linéaire d' ordre $0$ lié à la
courbure du fibré $E$, enfin $S$ et $\Theta$ sont des opérateurs
d'ordre $0$ provenant de la torsion de la métrique hermitienne sur
$X$ et de la courbure de $F$. L'étude du spectre de $\Delta''$ se
trouve donc ramenée à l'étude du spectre de
l'opérateur autoadjoint $\nabla_{k}^{*} \nabla_{k}$ associé
à la connexion réelle $\nabla_{k}$.  Le deuxième outil
fondamental consiste précisément en un théorème
spectral très général relatif aux opérateurs du 
type~$\nabla^{*}\nabla$. Soit $(M,g)$ une variété riemannienne
$\cC^{\infty}$ de dimension réelle $n$, $E$ un fibré en
droites complexes au- dessus de~$X$, muni d'une connexion 
hermitienne~$\nabla$. Si $\nabla_{k}$ désigne la connexion 
induite par $\nabla$ sur $E^{k}$, on étudie alors le spectre de la 
forme quadratique
$$
Q_{k}(u)=\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u|^{2}-V|u|^{2}\Big)d\sigma,
\qquad u\in L^{2}(\Omega,E^{k})
\leqno(0.4)
$$
pour le problème de Dirichlet, où $\Omega$ est un ouvert relativement 
compact dans~$M$, et où $V$ est un potentiel scalaire continu sur~$M$.
D'un point  de vue physique, ceci revient à étudier le spectre de 
l'opérateur de Schrödinger $\frac{1}{k}(\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}-kV)$
associé au champ électrique $kV$ et au champ magnétique $kB$, 
où $B=-i\nabla^{2} $ n'est autre que la $2$-forme de courbure de la 
connexion~$\nabla$. C'est dans la présence de ce champ magnétique
que réside notre contribution principale par rapport à la
méthode de E.~Witten [18], [19] (dans le cas de la cohomologie de 
De Rham le champ magnétique est toujours nul puisque $d^{2}=0$).

En tout point $x\in X$, soit $2s=2s(x)\leq n$ le rang de $B(x)$ et $B_{1}(x)
\geq\ldots\geq B_{s}(x)>0$ les modules des valeurs propres non nulles de 
l'endomorphisme antisymétrique associé. On définit une fonction 
$\nu_{B(x)}(\lambda)$ du couple $(x,\lambda)\in M\times\bR$, continue à
gauche en~$\lambda$, en posant
$$
v_{B}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}
B_{1}\ldots B_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\in\bN^{s}}
\big[\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\big]_+^{\frac{n}{2}-s}
\leqno(0.5) 
$$
avec la convention $0^{0}=0$. Enfin, si $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$
désignent les valeurs propres de $Q_{k}$ (comptées avec 
multiplicité), on considère la fonction de dénombrement
$N_{k}(\lambda)=\card\{j\,;\;\lambda_{j}\leq\lambda\}$, $\lambda\in\bR$.
\medskip

{\statement Théorème 0.6.\pointir} {\it Si $\partial\Omega$ est 
de mesure nulle, il existe un ensemble dénombrable 
$\cD\subset\bR$ tel que
$$
\lim_{k\to+\infty}k^{-\frac{n}{2}}N_{k}(\lambda)=\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,
d\sigma
$$
pour tout $\lambda\in \bR\ssm \cD$.}
\medskip

Pour démontrer le théorème 0.6, on commence par étudier le cas 
simple où $M=\bR^{n}$ avec un champ magnétique constant $B$ et 
avec~$V=0$. Lorsque $\Omega$ est un cube, on sait alors expliciter les 
fonctions propres par une transformation de Fourier partielle qui 
ramène le problème à celui classique de l'oscillateur
harmonique en une variable. L'idée de ce calcul nous a été 
fortement inspirée par les articles [3], [4] de Y.~Colin de 
Verdière. L'extension du résultat au cas d'un champ
magnétique quelconque reprend une idée de [16], consistant 
à utiliser un pavage de $\Omega$ par des cubes assez petits. 
Notre méthode est néanmoins très différente 
de celle de Siu, puisque nous travaillons directement sur les formes harmoniques
alors que Siu se ramenait aux cochaînes holomorphes via l'isomorphisme de 
Dolbeault. On gagne ainsi beaucoup en précision sur les estimations 
cherchées. Le côté des cubes doit être ici choisi d'un 
ordre de grandeur 
intermédiaire entre $k^{-\frac{1}{2}}$ et $k^{-\frac{1}{4}}$, par exemple 
$k^{-\frac{1}{3}}$~: $k^{-\frac{1}{2}}$ est en effet la longueur d'onde des 
premiè res fonctions propres, de sorte que l'action du champ 
magnétique $B$ n'est pas perceptible à une échelle
inférieure~; au-dessus de $k^{-\frac{1}{4}}$,
l'oscillation de $B$ est au contraire trop forte. On utilise finalement le 
principe du minimax pour comparer les valeurs propres sur $\Omega$ aux valeurs 
propres sur les cubes. Dans la méthode antérieure de [16] (telle qu'elle 
est reprise dans [7]), la taille des cubes était choisie égale 
à $k^{-\frac{1}{2}}$~; on peut voir aisément que ce choix était 
critique pour  permettre de borner les effets du champ magnétique
indépendamment de~$k$,  mais la détermination exacte du spectre 
devenait alors impossible. Le dernier paragraphe est consacré à 
l'étude de caractérisations géométriques des espaces
de Moi\v{s}ezon~[13]. Rappelons qu'un espace analytique compact 
irréductible $X$ est appelé espace de Moi\v{s}ezon si le 
corps $K(X)$ des fonctions méromorphes sur $X$ est de 
degré de transcendance${}=n=\dim_{\bC}X$. La conjecture de 
Grauert-Riemenschneider [10] affirme que $X$ est de
Moi\v{s}ezon si et seulement si il existe un faisceau quasi-positif $\cE$ 
de rang 1 sans torsion au-dessus de~$X$. 
Par désingularisation, on se ramène au cas où $X$ est lisse et 
où $\cE$ est le faisceau localement libre des sections d'un fibré 
en droites $E$ strictement positif sur un ouvert dense de $X$. Y.T.~Siu [17] 
a résolu récemment la conjecture et l'a renforcée 
en supposant seulement $ic(E)$ semi-positive et${}>0$ en au moins un point. 
L'utilisation du théorème 0.1 (b) permet de trouver des conditions 
géométriques plus faibles encore, qui n'exigent pas la 
semi-positivité ponctuelle de $ic(E)$, mais seulement la 
positivité d'une oertaine intégrale de courbure. Pour $q=1$,
l'inégalité 0.1~(b) implique en effet une minoration du nombre 
de sections holomorphes de $E^{k}$, à savoir:
$$
\dim H^{0}(X,E^{k})\geq\frac{k^{n}}{n!}\int_{X(\leq 1)}\Big(\frac{i}{2\pi}
c(E)\Big)^{n}-o(k^{n}).
\leqno(0.7)
$$
On peut montrer d'autre part, en utilisant un raisonnement classique de Siegel 
[15] mis en forme par [16] que $\dim H^{0}(X,E^{k})\leq{\rm cte}\cdot k^{n-1}$ 
si $X$ n'est pas de Moi\v{s}ezon (cf.\ théorème~5.1). De là 
il résulte le\medskip

{\statement Théorème 0.8.\pointir} {\it Soit $X$ une variété 
$\bC$-analytique compacte connexe de dimension~$n$. Pour que $X$ soit de 
Moi\v{s}ezon, il suffit que $X$ possède un fibré holomorphe en 
droites hermitien vérifiant l'une des hypothèses {\rm (a), (b), (c)} 
ci- dessous.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\int_{X(\leq 1)}(ic(E))^{n}>0$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $c_{1}(E)^{n}>0$, et la forme de courbure 
$ic(E)$ ne possède aucun point d'indice pair${}\neq 0$.
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $ic(E)$ est semi-positive en tout point de $X$ et 
définie positive en au moins un point de~$X$.\vskip-\parskip}}
\medskip

Ce travail a fait l'objet d'une note [8] du même titre,
publiée aux Comptes Rendus. Le présent article est une version
améliorée d'un mémoire antérieur [7], qui était
plus proche des techniques initiales de Siu, et qui démontrait
seulement l'inégalité 0.1~(a) à la constante
numérique près; de ce fait, les estimations 0.1~(b) et
(c) restaient inaccessibles.

L'auteur remercie vivement MM. Gérard Besson, Alain Dufresnoy, Sylvestre 
Gallot et tout particulièrement Yves Colin de Verdière, pour de 
stimulantes conversations qui ont beaucoup contribué à la mise en forme 
définitive des idées de ce travail, notamment dans le \S1.
\bigskip

\section{1}{Spectre de l'opérateur de Schrödinger\\
associé à un champ magnétique constant.}

Soit $(M,g)$ une variété riemannienne de classe $\cC^{\infty}$, de 
dimension réelle~$n$, et $E\to M$ un fibré en droites complexes 
au-dessus de~$M$, muni d'une métrique hermitienne $\cC^{\infty}$. Notons 
$\cC_{q}^{\infty}(M,E)$ l'espace des sections de classe $\cC^{\infty}$ du 
fibré $\Lambda^{q}T^{*}M\otimes E$, et $(?|?)$ l'accouplement 
sesquilinéaire canonique
$$
\cC_{q}^{\infty}(M,E)\times \cC_{q}^{\infty}(M,E)\to
\cC_{p+q}^{\infty}(M,\bC).
$$

On suppose donnée une connexion hermitienne $D$ sur $E$, 
c'est-à-dire un opérateur dif­fé­rentiel d'ordre un
$$
D:\cC_{q}^{\infty}(M,E)\to \cC_{q+1}^{\infty} (M,E),\qquad 0\leq q<n,
$$
vérifiant les identités
$$
\leqalignno{
&D(f\wedge u)=df\wedge u+(-1)^{m}f\wedge Du,&(1.1)\cr
&d(u|v)=(Du|v)+(-1)^{p}(u|Dv),&(1.2)\cr}
$$
pour toutes sections $f\in \cC_{m}^{\infty}(M,\bC)$, $u\in \cC_{p}^{\infty}(M,E)$,
$v\in \cC_{q}^{\infty}(M,E)$. Considérons une trivialisation 
isométrique  $\theta:E_{|W}\to W\times\bC$ de $E$ au-dessus d'un 
ouvert $W\subset M$.
Les connexions hermitiennes de $E_{|W}$ sont alors toutes données par la 
formule suivante~:
$$
Du=du+iA\wedge u,
$$
où $u\in \cC_{q}^{\infty}(W,E)\simeq \cC_{q}^{\infty}(W,\bC)$ et
où $A\in \cC_{1}^{\infty}(W,\bR)$ est une $1$-forme {\it réelle}
arbitraire.
Le {\it champ magnétique} (ou forme de courbure) associé à 
la connexion $D$ est la $2$-forme réelle fermée $B=dA$ telle que
$$
D^{2}u=iB\wedge u
$$
pour tout $u\in \cC_{q}^{\infty}(M,E)$. $B$ ne dépend donc que de la 
connexion~$D$, mais pas de la trivialisation $\theta$ choisie. Un changement 
de phase $u=ve^{i\varphi}$ dans $\theta$ conduit à remplacer $A$ par
$A +d\varphi$. Le choix d'une trivialisation de $E$ et de la $1$-forme $A$
correspondante s'interprète physiquement comme le choix d'un potentiel
vecteur particulier du champ magnétique~$B$.

Désignons par $|u|$ la norme ponctuelle d'un élément 
$u\in\Lambda^{q}T^{*}M\otimes E$ pour la métrique produit tensoriel des 
métriques de $M$ et $E$. Si $\Omega$ est un ouvert de~$M$, on note 
$L^{2}(\Omega,E)$ (resp.\ $L_{q}^{2}(\Omega,E)$) l'espace $L^{2}$ des 
sections de $E$ (resp.\ de $\Lambda^{q}T^{*}M\otimes E$) au-dessus
de~$\Omega$, muni de la norme
$$
\Vert u\Vert_{\Omega}^{2}=\int_\Omega|u|^{2}d\sigma,
$$
où  $d\sigma$ est la densité de volume riemannien sur~$M$.

Soit $D_{k}$ la connexion induite par $D$ sur la puissance tensorielle $k$-ième $E^{k}$, et $V$ un potentiel scalaire sur~$M$, i.e.\ une fonction 
réelle continue. Étant donné un ouvert relativement compact 
$\Omega\subset M$, nous nous proposons de déterminer asymptotiquement 
lorsque $k$ tend vers $+\infty$ le spectre de la forme quadratique
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|D_{k}u|^{2}-V|u|^{2}\Big)d\sigma
\leqno(1.3)
$$
où $u\in L^{2}(\Omega,E^{k})$, avec condition de Dirichlet 
$u_{|\partial\Omega}=0$. Le domaine de $Q_{\Omega,k}$ est donc l'espace de Sobolev 
$W_{0}^{1}(\Omega,E^{k})={}$adhérence de 1'espace $\cD(\Omega,E^{k})$ des
sections $C^{\infty}$ de $E^{k}$ à support compact dans $\Omega$ 
dans l'espace $W^{1}(M,E^{k})$. D'un point de vue physique, ceci revient 
à étudier le spectre de l'opérateur de Schrödinger 
$\frac{1}{k}(D_{k}^{*}D_{k}-kV)$ associé au champ magnétique $kB$
et au champ électrique $kV$, lorsque $k$ tend vers $+\infty$. Nous 
renvoyons le lecteur à l'article classique [2] pour une étude 
générale du spectre de l'opérateur de Schrödinger, et 
aux travaux [3], [4], [5], [9], [12] pour l'étude de problèmes 
asymptotiques voisins du précédent.
\medskip

{\statement Définition 1.4.\pointir} {\it On désignera par 
$N_{\Omega,k}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres${}\leq\lambda$ de 
la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$.}
\medskip

Nous allons d'abord étudier un cas simple qui servira de modèle pour le 
cas général au \S2. On se place dans la situation suivante~: $M=\bR^{n}$
avec la métrique constante $g= \sum_{j=1}^{n}dx_{j}^{2}$, $\Omega$ est le 
cube de côté $r$~:
$$
\Omega=\Big\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in R^{n}\,;~|x_{j}|<\frac{r}{2}, 
~1\leq j\leq n\Big\},
$$
$V=0$, et enfin le champ magnétique $B$ est constant, égal à 
la $2$-forme alterée de rang $2s$ donnée par
$$
B=\sum_{j=1}^{s}B_{j}\,dx_{j}\wedge dx_{j+s},
$$
avec $B_{1}\geq B_{2}\geq\cdots\geq B_{s}>0$, $s \leq\frac{n}{2}$. On peut alors 
choisir une trivialisation de $E$ dont le potentiel vecteur associé est
$$
A = \sum_{j=1}^{s}B_{j}x_{j}\,dx_{j+s}.
$$
La connexion de $E^{k}$ s'écrit donc
$$
D_{k}u=du+ikA\wedge u,
$$
et la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$ est donnée par
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\frac{1}{k}\int_{\Omega}\Bigg[\sum_{1\leq j\leq s}
\Big(\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^2 
+\Big| \frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+ikB_{j}x_{j}u\Big|^{2}\big)+
\sum_{j>2s}\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^{2}\Bigg]\,d\mu
$$
où  $d\mu$ désigne la mesure de Lebesgue sur~$\bR^{n}$. Si on effectue 
l'homothétie $X_{j}=\sqrt{k}\,x_{j}$, on est ramené à 
étudier les valeurs propres de la forme quadratique
$$
\int_{\sqrt{k}\Omega}\Bigg[
\sum_{1\leq j\leq s}\Big(\Big|\frac{\partial u}{\partial X_{j}}\Big |^2 
+\Big|\frac{\partial u}{\partial X_{j+s}}+iB_{j}X_{j}u\Big|^{2}\Big)+
\sum_{j>2s}\Big|\frac{\partial u}{\partial X_{j}}\Big|^{2}\Bigg]\,d\mu
$$
sur les cubes $\sqrt{k}\Omega$ de côté $\sqrt{k}\,r$. Au champ~$B$,
nous associons la fonction de la variable réelle $\lambda$ définie par
$$
\nu_{B}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}
B_{1}\ldots B_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\in\bN^s}\Big[\lambda-
\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big]_+^{\frac{n}{2}-s}
\leqno(1.5)  
$$
où l'on pose par convention $\lambda_{+}^{0}=0$ si $\lambda\leq 0$ et 
$\lambda_{+}^{0}=1$ si $\lambda>0$. La fonction $\nu_{B}$ est donc 
croissante et continue à gauche sur~$\bR$~; on observera que $\nu_{B}$ 
est en fait continue si $s< \frac{n}{2}$. Le spectre de $Q_{\Omega,k}$ est 
alors décrit asymptotiquement par le théorème suivant, dont
l'idée nous a été suggérée par Y.~Colin de 
Verdière [4].\medskip

{\statement Théorème 1.6.\pointir} {\it Soit $R$ un réel${}>0$,
$$
P(R)=\Big\{x\in\bR^{n}\,;\;|x_{j}|<\frac{R}{2}\Big\}
$$
le pavé de côté $R$, $Q_R$ la forme quadratique
$$
Q_{R}(u)=\int_{P(R)}\Bigg[\sum_{1\leq j\leq s}\Big(\Big|
\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^2 +
\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+iB_{j}x_{j}u\Big|^{2}\Big)+
\sum_{j>2s}\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^{2}\Bigg]\,d\mu,
$$
et $N_{R}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres${}\leq\lambda$ de $Q_R$
pour le problème de Dirichlet. Alors pour tout $\lambda\in\bR$ on a
$$
\lim_{R\to+\infty}R^{-n}N_{R}(\lambda)=\nu_{B}(\lambda).
$$}\medskip

Lorsque $s= \frac{n}{2}$, $\nu_{B}$ est une fonction en escalier. Les 
valeurs propres de $Q_{R}$ se regroupent donc par paquets autour des 
valeurs $\sum(2p_{j}+1)B_{j}$, avec multiplicité approximative 
$(2\pi)^{-s}B_{1}\ldots B_{s}R^{n}$. Ceci peut s'interpréter physiquement
comme un phénomène de quantification des états propres.
En revenant au problème initial relatif à la forme quadratique 
$Q_{\Omega,k}$, nous obtenons le
\medskip

{\statement Corollaire 1.7.\pointir} 
$\displaystyle \lim_{k\to+\infty}k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)=
r^{n}\nu_{B}(\lambda)$.\hfill$\square$\medskip

{\it Démonstration du théorème 1.6. --} 
On cherche d'abord à majorer $N_{R}(\lambda)$. Dans ce but, étant 
donné $u\in W_{0}^{1}(P(R))$, on exprime $u$ sous forme de série 
de Fourier partielle par rapport aux variables $x_{s+1},\ldots,x_{n}$~:
$$
u(x)=R^{-\frac{1}{2}(n-s)}\sum_{\ell\in\bZ^{n-s}}u_{\ell}(x')\exp
\Big(\frac{2\pi i}{R}\ell\cdot x''\Big)
$$
où $u_\ell\in W_{0}^{1}(\bR^{s}\cap P(R))$, avec les notations
$$
\eqalign{
&x'=(x_{1}, \ldots,x_{s}),\quad x''=(x_{s+1}, \ldots,x_{n}),\cr
&\ell\cdot x''=\ell_{1}x_{s+1}+\cdots+\ell_{n-s}x_{n}.\cr}
$$
L'hypothèse $u\in W_{0}^{1}(P(R))$ entraîne que la série
$$
\sum|\ell|^{2}|u_{\ell}(x')|^{2}
$$
est dans $L^{2}(\bR^{s})$. Posons $\ell'=(\ell_{1}, \ldots,\ell_{s})$, 
$\ell''=(\ell_{s+1}, \ldots,\ell_{n-s})$. La norme $\Vert u\Vert_{P(R)}$ et 
la forme quadratique $Q_R$ sont données par
$$
\eqalign{
\Vert u\Vert_{P(R)}^{2}
&=\sum_{\ell\in\bZ^{n-s}}\int_{\bR^{s}}|u_{\ell}(x')|^{2}\,d\mu(x'),\cr
 Q_{R}(u)&=\sum_{\ell\in\bZ^{n-s}}\int_{\bR^{s}}\Bigg[
\sum_{1\leq j\leq s}\!\bigg(\Big|\frac{\partial u_\ell}{\partial x_{j}}\Big|^{2}
+\Big(\frac{2\pi}{R}\ell_{j}+B_{j}x_{j}\Big)^{2}|u_{\ell}|^{2}\bigg)
+\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}|u_{\ell}|^{2}\Bigg]\,d\mu(x').\cr}
$$
On obtient par conséquent un problème de Dirichlet à 
«variables séparées»\ sur le cube 
$\bR^{s}\cap P(R)$. En posant $t=x_{j}+ \frac{2\pi\ell_{j}}{RB_{j}}$, on est 
ramené à étudier le spectre de la forme 
quadratique d'une variable
$$
q(f)=\int_{R}\Big(\Big|\frac{df}{dt}\Big|^{2}+B_{j}^{2}t^{2}|f|^{2}\Big)\,dt,
$$
avec $f \in \smash{W_{0}^{1}\big(\,]-\frac{R}{2}\frac{R}{2}[{}
+\frac{2\pi\ell_{j}}{RB_{j}}\big)}$. On retombe donc sur le problème
classique de l'oscillateur harmonique (cf.\ par exemple [14], Vol.~I, p.~142). 
Sur $\bR$, i.e.\ sans condition de support pour $f$, la suite des valeurs
propres de $q$ est la suite $(2m+1)B_{j}$, $m\in\bN$, et les fonctions
propres associées sont données par $\Phi_{m}(\sqrt{B_{j}}\,t)$ où
$\Phi_{0}$, $\Phi_{1},\ldots$ sont les fonctions d'Hermite~:
$$
\Phi_{m}(t)=e^{t^{2}/2}\frac{d^{m}}{dt^{m}}(e^{-t^{2}}) .
$$
Pour tout $p_{j}\in\bN$, notons $\Psi_{p_{j},\ell_{j}}(x_{j})$ la $p_{j}$-ième 
fonction propre de la forme quadratique
$$
q(f)= \int_{R}\bigg(\Big|\frac{df}{dx_{j}}\Big|^{2}+
\Big(\frac{2\pi}{R}\ell_{j}+B_{j}x_{j}\Big)^{2}|f|^{2}\bigg)\,dx_{j}
\leqno(1.8)
$$
pour $f \in W_{0}^{1}(\,]-\frac{R}{2}\frac{R}{2}[\,)$, et $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}$ 
la valeur propre correspondante. On peut alors décomposer chaque 
fonction $u_{\ell}$ en série de fonctions propres, ce qui conduit 
à écrire $u$ sous la forme
$$
u(x)= R^{-\frac{1}{2}(n-s)}\sum_{(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}}u_{p,\ell}
\Psi_{p,\ell'}(x')\exp\Big(\frac{2\pi i}{R}\ell\cdot x''\Big)
\leqno(1.9) 
$$
avec
$$
u_{p,\ell}\in\bC,\qquad 
\Psi_{p,\ell'}(x')=\prod_{1\leq j\leq s}\Psi_{p_{j},\ell_{j}}(x_{j}).
$$
On prendra garde au fait que $\Psi_{p,\ell'}(x')\exp(\frac{2\pi i}{R}\ell
\cdot x'')$ n'est 
pas une vraie fonction propre pour le problème de Dirichlet, car le terme 
exponentiel prend des valeurs non nulles aux points du bord 
$x_{j}= \pm\frac{R}{2}$, $j>s$. Par conséquent, les coefficients
$(u_{p,\ell})$ ne sont pas arbitraires si $u\in W_{0}^{1}(P(R))\;$; ils 
doivent vérifier les conditions  d'annulation au bord~:
$$
\sum_{t_{j}\in\bZ}(-1)^{\ell_{j}}u_{p,\ell}=0
\leqno(1.10)
$$
pour tout $j=1, \ldots, n-s$ et tous les indices autres que $\ell_{j}$
fixés~:
$$
p\in \bN^{s},\quad \ell_{1},\ldots,\ell_{j-1},\;\ell_{j+1},\ldots,\ell_{n-s}\in\bZ.
$$
Avec l'écriture (1.9), la norme $L^{2}$ et la forme quadratique $Q_{R}$
s'expriment sous la forme
$$
\Vert u\Vert_{P(R)}^{2}=\sum|u_{p,\ell}|^{2},\qquad
Q_{R}(u)=\sum\Big(\lambda_{p,\ell'}+
\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\Big)|u_{p,\ell}|^{2},
$$
où $\lambda_{p,\ell'}=\sum_{1\leq j\leq s}\lambda_{p_{j},\ell_{j}}$. Le 
principe du minimax 1.20~(b) rappelé plus loin montre que
$$
N_{R}(\lambda)\leq\card\Big\{(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}\,;\;
\lambda_{p,\ell'} + \frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda\Big\}.
\leqno(1.11) 
$$
Il suffit donc d'obtenir une minoration adéquate de 
$\lambda_{p_{j},\ell_{j}}$.\medskip

{\statement Lemme 1.12.\pointir} {\it On a l'inégalité
$$
\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\geq\max\bigg((2p_{j}+1)B_{j}~,~\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}
\Big[\Big(\frac{p_{j}+1}{2}\Big)^{2}+\Big(|\ell_{j}|-\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}
\Big)_{+}^{2}\Big]\bigg),
$$
et celle-ci est stricte si $\ell_{j}\neq 0$ ou si 
$\Phi_{p_{j}}(R\sqrt{B_{j}}/2)\neq 0$.}
\medskip

La minoration $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\geq(2p_{j}+1)B_{j}$ résulte en effet 
du  minimax et du fait que les valeurs propres de $q(f)$ sur $\bR$ valent 
$(2p_{j}+1)B_{j}$. Pour obtenir l'autre inégalité, on minore (1.8) 
par la forme quadratique
$$
\widehat{q}(f)=\int_{x_{j}|<R/2}\bigg(\Big|\frac{df}{dx_{j}}\Big|^{2}+
\Big(\frac{2\pi}{R}|\ell_{j}|-B_{j}\frac{R}{2}\Big)_{+}^{2}|f|^{2}\bigg)dx_{j}.
$$
Les fonctions propres de $\widehat{q}$ sont les fonctions
$$
\sin\frac{\pi}{R}(p_{j}+1)\Big(x_{j}+\frac{R}{2}\Big),\qquad p_{j}\in\bN\;;
$$
$\lambda_{p_{j},t_{j}}$ est donc minorée par la valeur propre correspondante~:
$$
\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}\Big[\Big(\frac{p_{j}+1}{2}\Big)^{2}+\Big(|t_{j}|-
\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}\Big)_{+}^{2}\Big].
$$
Les inégalités sont strictes parce que d'une part $q(f)>\widehat{q}(f)$
pour tout $f\neq 0$, et d'autre part $\Phi_{p_{j}}(\sqrt{B_{j}}t)$ ne peut 
être fonction propre de $q$ sur $]-R/2, R/2[{}+2\pi\ell_{j}/RB_{j}$ que si
$$
\Phi_{p_{j}}\big(\pm R\sqrt{B_{j}}/2+2\pi t_{j}/R\sqrt{B_{j}}\big)=0.
$$
Comme les zéros de $\Phi_{p_{j}}$ sont algébriques et que $\pi$ est 
transcendant, ceci n'est possible que si
$$\ell_{j}=0\quad\hbox{et}\quad\Phi_{p_{j}}(R\sqrt{B_{J}}/2)=0.\eqno\square$$

{\statement Lemme 1.13.\pointir} {\it Soit $\tau_{n}(\rho)$ le nombre de points de 
$\bZ^{n}$ situés dans la boule fermée $\overline{B}(0,\rho)
\subset\bR^{n}$. Alors
$$
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\Big(\rho-
\frac{\sqrt{n}}{2}\Big)_{+}^{n}\leq\tau_{n}(\rho)\leq
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\Big(\rho+\frac{\sqrt{n}}{2}
\Big)^{n}.$$}\medskip

En effet, la réunion des cubes de côté $1$ centrés aux points
$x\in\bZ^{n}$ tels que $|x|\leq\rho$ est contenue dans la boule  
$\overline{B}(0,\rho+\frac{\sqrt{n}}{2})$, et contient la boule  
$\overline{B}(0,\rho-\frac{\sqrt{n}}{2})$ si  $\rho\geq\frac{\sqrt{n}}{2}$,
car $\frac{\sqrt{n}}{2}$ est la demi-diagonale du cube~; l'entier 
$\tau_{n}(\rho)$ est donc encadré par le volume des boules  
$\overline{B}(0,\rho\pm\frac{\sqrt{n}}{2})$.\hfill\square\medskip

Nous majorons maintenant $\lim\sup R^{-n}N_{R}(\lambda)$ en utilisant (1.11) et 
les lemmes 1.12, 1.13. Pour $p\in\bN^{s}$ fixé, l'inégalité 
$\lambda_{p,\ell'}+ \frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda$ implique
$$
|\ell''| \leq\frac{R}{2\pi}\Big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big)^{\frac{1}{2}}_+,
\leqno(1.14) 
$$
et l'inégalité est stricte pour $R>R_{0}(p)$ assez grand. Lorsque 
$s<n/2$ le nombre de multi-indices $\ell''\in\bZ^{n-2s}$ correspondants est 
donc au plus
$$
\leqalignno{
\frac{\pi^{\frac{n}{2}-s}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\bigg[\frac{R}{2\pi}
&\Big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big)^{\frac{1}{2}}_++\frac{\sqrt{n}}{2}
\bigg]^{n-2s}\cr
&\mathop{\sim}\limits_{R\to+\infty}~~
\frac{2^{2s-n}\pi^{s-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}R^{n
-2s}\Big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big)^{\frac{n}{2}-s}_+.
&(1.15)\cr}
$$
Lorsque $s= \frac{n}{2}$, ce nombre doit être compté comme valant $1$
si $\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}>0$ et $0$ sinon, ce qui est bien conforme 
à la convention que nous avons adoptée pour la 
notation~$\lambda_{+}^{0}$. L'inégalité $\lambda_{p,\ell'} \leq\lambda$
implique d'autre part
$$
|\ell_{j}| \leq\frac{R}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi},\qquad
1\leq j\leq s,
\leqno(1.16) 
$$
ce qui correspond asymptotiquement à un nombre de multi-indices 
$\ell'=(\ell_{1},\ldots,\ell_{s})\in\bZ^{s}$ équivalent à
$$
\prod_{j=1}^{s}\frac{B_{j}R^{2}}{2\pi}=2^{-s}\pi^{-s}B_{1}\ldots B_{s}R^{2s}.
\leqno(1.17)
$$
La majoration $\lim\sup R^{-n}N_{R}(\lambda)\leq \nu_{B}(\lambda)$ s'obtient
alors en effectuant le produit de (1.15) par (1.17), et en sommant pour 
tout $p\in\bN^{s}$ (la somme est finie).\hfill\square\medskip

Pour des questions de convergence qui 
interviendront au \S2, nous aurons besoin également de connaître une 
majoration de $N_{R}(\lambda)$ indépendante du champ
magnétique~$B$. Une 
telle estimation uniforme est fournie par la proposition suivante.
\medskip

{\statement Proposition 1.18.\pointir} 
$N_{R}(\lambda)\leq(R\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n}$.
\medskip

{\it Démonstration}. -- On majore pour chaque indice $j$ le nombre 
d'entiers $p_{j}$ et $\ell_{j}$ tels que l'inégalité
$$
\lambda_{p,\ell'}+\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda
$$
ait lieu. Le lemme 1.12 implique
$$
\card  \{p_{j}\}\leq\max(p_{j}+1)\leq\min\Big(\frac{\lambda_{+}}{B_{j}}\,,\,
\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}\Big),\qquad 1\leq j\leq s,
$$
tandis que (1.16) entraîne
$$
\card  \{l_{i}\}\leq\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{B_{j}R^{2}}{2\pi}+1, 
\qquad 1\leq j\leq s.
$$
On en déduit par conséquent pour $1\leq j\leq s$~:
$$
\card  \{(p_{j},l_{j})\}
\leq\Big(\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}\Big)^{2}+\frac{\lambda_{+}}{B_{j}}
\cdot\frac{B_{j}R^{2}}{2\pi}+\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}\cdot 1
\leq\big(R\sqrt{\lambda_{+}}+1\big)^{2}
$$
Pour $s<j\leq n-s$, l'inégalité (1.14) donne d'autre part
$$
|\ell_{j}|<\frac{R}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}},
$$
d'où $\card  \{l_{j}\}\leq\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+1$. 
La proposition 1.18 s'ensuit.\hfill\square\medskip

{\it Fin de la démonstration du théorème} 1.6
(minoration de $N_{R}(\lambda)$).

Pour minorer $N_{R}(\lambda)$, il suffit d'après 1.20~(a) de construire un 
espace vectoriel de dimension finie sur lequel 
$Q_{R}(u)\leq\lambda\Vert u\Vert_{P(R)}^{2}$. On considère pour cela 
l'espace vectoriel $\cF_{\lambda}$ des combinaisons linéaires de 
«fonctions propres»\ du type (1.9), assujetties aux 
conditions d'annulation au bord (1.10), et sommées sur les 
indices $(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}$ tels que
$$
\lambda_{p,\ell'}+\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda.
$$
D'après le raisonnement de la proposition 1.18, le nombre de conditions 
(1.10) à réaliser est majoré par
$$
\eqalign{
\sum_{j=1}^{s}\bigg[\card \{p_{j} \}&\times\prod_{1\leq i\leq s,\,i\neq j}
\card  \{(p_{i},\ell_{i})\}\times\prod_{s<i\leq n-s}\card \{\ell_{i}\}\bigg]\cr
&+ \sum_{s<j\leq n-s}\bigg[\prod_{1\leq i\leq s}\card  \{(p_{i},\ell_{i})\}
\times\prod_{s<i\neq j}\card \{\ell_{i}\}\bigg]
\leq n(R\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n-1}.\cr}
$$
L'entier $N_{R}(\lambda)$ est donc majoré par
$$
\dim \cF_{\lambda}\geq
\card\Big\{(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}\,;\;
\lambda_{p,\ell'} + \frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda\Big\}-O(R^{n-1}).
$$
En combinant la minoration du lemme 1.13 avec le lemme ci-dessous, 
l'inégalité\break $\liminf R^{-n}N_{R}(\lambda)\geq \nu_{B}(\lambda)$
résulte alors de calculs analogues à ceux que nous avons
explicités pour obtenir la majoration de $N_{R}(\lambda)$.
\medskip

{\statement Lemme 1.19.\pointir} {\it Soit $p\in\bN^{s}$ un multi-indice fixé.
Alors il existe une constante $C=C(p,B)\geq 0$ telle que
$$
\lambda_{p,\ell'} \leq\Big(1+\frac{C}{R}\Big)\sum_{j=1}^{s}(2p_{j}+1)B_{j}
$$
lorsque $|\ell_{j}| \leq\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}(1-R^{-\frac{1}{2}})$, $1\leq j\leq s$.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- On utilise à nouveau le minimax et le fait 
que les fonctions d'Hermite $\Phi_{p}(\sqrt{B_{j}}t)$ sont une bonne 
approximation des fonctions propres de $q$ sur tout intervalle assez 
grand de centre~$0$. Lorsque $|\ell_{j}| \leq\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}
(1-R^{-\frac{1}{2}})$ et $x_{j} \in{}]-\frac{R}{2},\frac{R}{2}[$, la variable
$t=x_{j}+ \frac{2\pi\ell_{j}}{B_{j}R}$ qui apparaît dans (1.8) décrit 
en effet un intervalle contenant $]-\frac{\sqrt{R}}{2},\frac{\sqrt{R}}{2}[$.
On a donc $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\leq\widetilde\lambda_{p_{j}}$ où 
$(\widetilde\lambda_{m})_{m\in\bN}$ est la suite des valeurs propres de la 
forme quadratique
$$
\widetilde{q}(f)=\int\Big[\,\Big|\frac{df}{dt}\Big|^{2}+(B_{j}t)^{2}|f|^{2}\Big]dt,
\qquad
f\in W_{0}^{1}\Big(\,\Big]-\frac{\sqrt{R}}{2}, \frac{\sqrt{R}}{2}\Big[\,\Big).
$$
Soit $\chi_{R}$ une fonction plateau à support dans 
$\big[-\frac{\sqrt{R}}{2},\frac{\sqrt{R}}{2}\big]$, égale à $1$ sur 
$\big[-\frac{\sqrt{R}}{4},\frac{\sqrt{R}}{4}\big]$, dont la dérivée
est majorée par~$5/\sqrt{R}$. Pour toute combinaison linéaire
$$
f=\sum_{m\leq p_{j}}c_{m}\Phi_{m}(\sqrt{B_{j}}t),
$$
la décroissance exponentielle des fonctions $\Phi_{m}$ à l'infini
implique pour $R$ assez grand l'inégalité
$$
\Vert f\Vert \leq\Big(1+C_{1}\exp\Big(-\frac{R}{C_{1}}\Big)\Big)
\Vert\chi_{R}f\Vert 
$$
où $C_{1}=C_{1}(p_{j}, B_{j})>0$. On en déduit par conséquent:
$$
\eqalign{
\widetilde{q}(\chi_{R}f)
&\leq\widetilde{q}(f)+\int_{|t|>\sqrt{R}/4}\bigg(\frac{10}{\sqrt{R}}\Big|f
\frac{df}{dt}\Big|+\frac{25}{R}|f|^{2}\bigg)\,dt\cr
&\leq\widetilde{q}(f)+\int_{|t|>\sqrt{R}/4}\bigg(\frac{1}{R}\Big|\frac{df}{dt}\Big|^{2}
+25\Big(1+\frac{1}{R}\Big)|f|^{2}\bigg)\,dt\cr
&\leq\Big(1+\frac{C_{2}}{R}\Big)\widetilde{q}(f)
\leq\Big(1+\frac{C_{2}}{R}\Big)(2p_{j}+1)B_{j}\,\Vert f\Vert^{2}\cr
&\leq\Big(1+\frac{C}{R}\Big)(2p_{j}+1)B_{j}\,\Vert \chi_{R}f\Vert^{2}\cr}
$$
Ceci donne bien  $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\leq\widetilde\lambda_{p_{j}}
\leq\big(1+\frac{C}{R}\big)(2p_{j}+1)B_{j}$.\hfil\square
\medskip

Pour faciliter la tâche du lecteur, nous énonçons maintenant
le principe du minimax sous la forme où il nous a servi.
\medskip

{\statement Proposition 1.20} (principe du minimax, cf.\ [14], Vol.~IV, 
p.~76 et 78){\bf.\pointir} {\it Soit $Q$ une forme quadratique à 
domaine dense  $D(Q)$ dans un espace de Hilbert $\cH$. On suppose que $Q$ est
bornée inférieurement, i.e.\ $Q(f)\geq-C\Vert f\Vert^{2}$ si 
$f\in D(Q)$, que $D(Q)$ est complet pour la norme $\Vert f\Vert_{Q}=[Q(f)+
(C+1)\Vert f\Vert^{2}]^{\frac{1}{2}}$, et enfin que l'injection 
$(D(Q), \Vert~~\Vert_{Q})\hookrightarrow(\cH,\Vert~~\Vert)$ est compacte.
Alors $Q$ a un spectre discret $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots~$,
et on a les égalités~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip3pt
\item{\rm(a)}
$\displaystyle\lambda_{p}=\min_{F\subset D(Q)}~~\max_{f\in F,\,\Vert f\Vert =1}Q(f),$
\vskip2pt
où $F$ décrit l'ensemble des sous-espaces de dimension $p$ 
de $D(Q)\;;$
\vskip3pt
\item{\rm(b)}
$\displaystyle\lambda_{p+1}=\max_{F\subset D(Q)}~~\min_{f\in F,\,\Vert f\Vert =1}Q(f),$
\vskip2pt
où $F$ décrit l'ensemble des sous-espaces $\Vert~~\Vert_{Q}$-fermés
de codimension $p$ de~$D(Q)$.\vskip-\parskip}}
\bigskip

\section{2}{Distribution asymptotique du spectre\\
(cas d'un champ variable).}

Nous nous plaçons à nouveau dans le cadre général décrit 
au  début du \S1. Notre objectif est d'étudier le spectre de la forme 
quadratique $Q_{\Omega,k}$ (cf. (1.3)) dans le cas d'un champ magnétique
$B$ et d'un champ électrique $V$ quelconques. Pour tout point $a\in M$,
soit
$$
B(a)=\sum_{j=1}^{s}B_{j}(a)\,dx_{j}\wedge dx_{j+s}
\leqno(2.1)   
$$
l'écriture réduite de $B(a)$ dans une base orthonormée convenable 
$(dx_{1},\ldots,dx_{n})$ de $T_{a}^{*}M$, où $2s=2s(a)\leq n$ est le rang 
de $B(a)$, et où $B_{1}(a)\geq B_{2}(a)\geq\ldots\geq B_{s}(a)>0$ sont 
les modules des  valeurs propres non nulles de l'endomorphisme 
antisymétrique associé. L'égalité de définition 1.5
permet de regarder $\nu_{B}(\lambda)$ comme 
une fonction du couple $(a,\lambda)\in M\times\bR$. Nous aurons besoin 
également de considérer la fonction $\overline{\nu}_{B}(\lambda)$, 
continue  à droite en $\lambda$, définie par~:
$$
\overline{\nu}_{B}(\lambda)=\lim_{0<\varepsilon\to 0}
\nu_{B}(\lambda+\varepsilon).
\leqno(2.2)
$$
Nous démontrons alors la généralisation suivante du corollaire 1.7.
\medskip

{\statement Théorème 2.3.\pointir} {\it Lorsque $k$ tend vers $+\infty$,
le nombre $N_{\Omega,k}(\lambda)$ de valeurs propres${}\leq\lambda$ de 
$Q_{\Omega,k}$ vérifie l'encadrement asymptotique
$$
\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,d\sigma\leq\lim\inf k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}
(\lambda)
\leq\lim\sup k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\Omega}
\overline{\nu}_{B}(V+\lambda)\,d\sigma.
$$\vskip-\parskip}

La fonction $\lambda\mapsto\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,d\sigma$ est 
croissante et continue à gauche~; elle n'a donc au plus qu'un ensemble 
$\cD$ dénombrable de points de discontinuité. L'ensemble $\cD$ est 
d'ailleurs vide si $n$ est impair, car $\nu_{B}(\lambda)$ est alors continue.
De là, on déduit aussitôt le
\medskip

{\statement Corollaire 2.4.\pointir} {\it On suppose que $\partial\Omega$ est de 
mesure nulle. Alors
$$
\lim_{k\to+\infty}k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)=\int_{\Omega}\nu_{B}(V+
\lambda)\,d\sigma
$$
pour tout $\lambda\in\bR\ssm \cD$, et la mesure de densité 
spectrale $k^{-\frac{n}{2}} \frac{d}{d\lambda}N_{\Omega,k}(\lambda)$ converge 
faiblement sur $\bR$ vers $\frac{d}{d\lambda}\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,
d\sigma$. Si $n$ est impair, la mesure limite est diffuse.\hfil\square}
\medskip

Le lemme suivant montre que les intégrales du théorème 2.3 ont bien 
un sens.
\medskip

{\statement Lemme 2.5.}{\it
{\parindent 6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} On a les inégalités 
$$\nu_{B}(\lambda)\leq\overline{\nu}_{B}(\lambda)
\leq\lambda_{+}^{n/2}.$$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\nu_{B}(V)$ $($resp.\ $\overline{\nu}_{B}(V))$ est semi-continue 
inférieurement $($resp.\ supérieurement$)$ sur~$M$.
\vskip2pt
\item{\rm(c)} En tout point $x\in M$ où $s(x)< \frac{n}{2}$ on a 
$\nu_{B}(V)(x)=\overline{\nu}_{B}(V)(x)$ et $\nu_{B}(V),\overline{\nu}_{B}(V)$
sont continues en~$x$.
\vskip2pt
\item{\rm(d)} Si $n$ est impair, $\nu_{B}(V)=\overline{\nu}_{B}(V)$ est 
continue sur~$M$.\vskip-\parskip}}
\medskip

{\it Démonstration. --} (a) On a toujours $\big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}
\big)^{\frac{n}{2}-s}_+\leq\lambda^{\frac{n}{2}-s}_+$, et le nombre d'entiers 
$p_{j}$ tels que $\lambda-(2p_{j}+1)B_{j}$ soit${}\geq 0$ est majoré par
$\frac{\lambda_{+}}{B_{j}}$. Comme la quantité numérique figurant 
dans (1.5) est majorée par~$1$, l'inégalité (a) s'ensuit.

(b, c) Le rang $s=s(x)$ est une fonction semi-continue inférieurement 
sur~$M$,  et les valeurs propres $B_{1},\,B_{2},\,\ldots\,$, prolongées
par $B_{j}(x)=0$ pour $j>s(x)$, sont continues sur~$M$. Comme la fonction
$t\mapsto t_{+}^{0}$ (resp.\ $t\mapsto(t+0)_{+}^{0})$ est semi-continue
inférieurement (resp. supérieurement), la semi-continuité de
$\nu_{B}(V)$ et $\overline{\nu}_{B}(V)$ pose un problème uniquement
aux points $a\in M$ au voisinage desquels $s(x)$ n'est pas localement
constant. En un tel point $a\in~M$, on a nécessairement $s(a)<
\frac{n}{2}$, donc $\nu_{B}(V)(a)=\overline{\nu}_{B}(V)(a)\;$; on va 
alors montrer que $\nu_{B}(V)$ et $\overline{\nu}_{B}(V)$ sont continues
en~$a$. La continuité des $B_{j}$ donne $\lim_{x\to a}B_{j}(x)=0$ pour
$j>s(a)$. Si les entiers $p_{1},\,\ldots\,,p_{s\langle a)}$ sont fixés, 
la sommation figurant dans (1.5) peut s'interpréter comme une somme 
de Riemann d'une intégrale sur $\bR^{s(x)-s(a)}$, et on a donc 
l'équivalent~:
$$
\eqalign{
\sum_{(p_{j};\;s(a)<j\leq s(x))}&\Big(V(x)-\sum(2p_{j}+1)B_{j}(x)
\Big)^{\frac{n}{2}-s(x)}_+\cr
&\sim\int_{t\in\bR^{s(x)-s(a)}}\bigg[V(a)-\sum_{j=1}^{s(a)}(2p_{j}+1)B_{j}(a)-
\sum_{j=s(a)+1}^{s(x)}2t_{j}B_{j}(x)\bigg]^{\frac{n}{2}-s(x)}_+dt\cr
&=\frac{2^{s(a)-s(x)}\Big(V(a)-\sum(2p_{j}+1)
B_{j}(a)\Big)^{\frac{n}{2}-s(a)}_+}{(\frac{n}{2}-s(x)+1)\cdots
(\frac{n}{2}-s(a))B_{s(a)+1}(x)\cdots B_{s(x)}(x)}~.\cr}
$$
On obtient bien par conséquent~:
$$
\lim_{x\to a}\nu_{B}(V)(x)=\nu_{B}(V)(a)=\lim_{x\to a}\overline{\nu}_{B}(V)(x).
$$
(d) Est un cas particulier de (c).\hfil\square\medskip

La démonstration du théorème 2.3 repose essentiellement
sur deux ingrédients~: tout d'abord un principe de localisation
asymptotique des fonctions propres, qui s'obtient par application
directe du minimax (proposition~2.6)~; d'autre part, la connaissance
explicite du spectre de l'opérateur de Schrödinger associé
à un champ magnétique constant (cf.~\S1).  Le principe de
localisation permet en effet de se ramener au cas d'un champ constant
en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes assez petits.
\medskip

{\statement Proposition 2.6.\pointir} {\rm (a)} {\it Si 
$\Omega_{1}, \cdots, \Omega_{N}\subset\Omega$ sont des ouverts $2$ à $2$ 
disjoints, alors
$$
N_{\Omega,k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j},k}(\lambda).
$$
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(b)} Soit $(\Omega_{j}')_{1\leq j\leq\bN}$ un recouvrement ouvert 
de $\overline\Omega$ et $(\psi_{j})_{1\leq j\leq\bN}$ un système de fonctions 
$\psi_{f}\in \cC^{\infty}(\bR^{n})$ à support dans $\Omega_{j}'$, telles 
que $\sum\psi_{j}^{2}=1$ sur~$\overline\Omega$. On pose
$$
C(\psi)=\sup_{\Omega}\sum_{j=1}^{N}|d\psi_{j}|^{2}.
$$
Alors
$$
N_{\Omega,k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j}',k}\Big(\lambda+\frac{1}
{k}C(\psi)\Big).$$\vskip-\parskip}}


{\it Démonstration}. -- (a) Soit $\cF$ le $\bC$-espace vectoriel
engendré par la collection de toutes les fonctions propres des
formes quadratiques $Q_{\Omega_{j},k}$, $1\leq j\leq N$, correspondant à
des valeurs propres${}\leq\lambda$. $\cF$ est de dimension
$$
\dim \cF=\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j},k}(\lambda)
$$
et pour tout $u\in \cF$, on a
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\sum_{j=1}^{N}Q_{\Omega_{j},k}(u)\leq\sum_{j=1}^{N}\lambda\Vert u\Vert_{\Omega_{j}'}^{2}=\lambda\Vert u\Vert_{\Omega}^{2}.
$$
Le principe du minimax montre donc que les valeurs propres de $Q_{\Omega,k}$
d'indice${}\leq\dim \cF$ sont${}\leq\lambda$, d'où 
l'inégalité (a).

(b) Pour tout $u\in W_{0}^{1}(\Omega,E^{k})$ il vient
$$
\sum_{j}|D_{k}(\psi_{j}u)|^{2}=\sum_{j}\big|\psi_{j}D_{k}u+(d\psi_{j})u\big|^{2}
=|D_{k}u|^{2}+\sum_{j}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}
$$
car $2\sum\psi_{j}d\psi_{j}=d(\sum\psi_{j}^{2})=0$. On obtient donc
$$
\sum_{j=1}^{N}Q_{\Omega_{j}',k}(\psi_{j}u)=Q_{\Omega,k}(u)+\int_{\Omega}\frac{1}
{k}\sum_{j=1}^{N}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}\,d\sigma
\leq Q_{\Omega,k}(u)+\frac{1}{k}C(\psi)\Vert u\Vert_{\Omega}^{2}.
$$
Si chaque fonction $\psi_{j}u\in W_{0}^{1}(\Omega_{j}, E^{k})$ est orthogonale
aux fonctions propres de $Q_{\Omega_{j},k}$ de valeurs 
propres${}\leq\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)$, on en déduit successivement
$$
\eqalign{
Q_{\Omega_{j},k}(\psi_{j}u)&>\Big(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)\Big)\Vert \psi_{j}
u\Vert_{\Omega_{j}}^{2},\quad\hbox{si $\psi_{j}u\neq 0$},\cr
Q_{\Omega,k}(u)&>\lambda\Vert u\Vert_{\Omega}^{2},\quad\hbox{si $u\neq 0$}.\cr}
$$
Le principe du minimax 1.20 (b) entraîne alors que $N_{\Omega,k}(\lambda)$
est majoré par le nombre d'équations linéaires imposées 
à $u$, soit au plus
$$
\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j},k}\Big(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)\Big).\eqno\square 
$$

Soit $W_{1}, \ldots, W_{N}$ un recouvrement de $\Omega$ par des ouverts de 
carte de la variété~$M$. Pour tout $\varepsilon>0$, on peut 
trouver des ouverts 
$\Omega_{i}\subset\Omega_{j}'$, relativement compacts dans $W_{j}$, 
$1\leq j\leq N$,
tels que
$$
\leqalignno{
\Omega&\supset\bigcup\Omega_{j}~~\hbox{(disjointe),~ et $\Vol(\Omega)=
\sum\Vol(\Omega_{j})$},&(2.7)\cr
\overline\Omega&\subset\bigcup\Omega_{j}',\kern56.5pt\hbox{et 
$\sum \Vol(\overline\Omega_{j}')\leq\Vol(\overline\Omega)+\varepsilon$}.
&(2.8)\cr}
$$
La proposition 2.6 ramène alors la preuve du théorème 2.3 
au cas des ouverts $\Omega_{j}$ et $\Omega_{j}'$ (on observera pour cela
que la fonction $\nu_{B}(V+\lambda)$ est bornée et que la constante 
$C(\psi)$ est indépendante de~$k$).

En définitive, on peut supposer que $M=\bR^{n}$, avec une métrique 
riemannienne $g$ quelconque. Comme $M=\bR^{n}$ est contractile, le 
fibré $E$ est alors trivial~; soit $A$ un potentiel vecteur de la 
connexion $D$ et $B=dA$ le champ magnétique correspondant. 
Nous démontrons d'abord la version locale suivante du théorème 2.3.
\medskip

{\statement Proposition 2.9.\pointir} {\it Soit $a\in\bR^{n}$ un point fixé, 
et $P_{k}$ une suite de pavés cubiques ouverts tels que $P_{k}\ni a$.
On note $r_{k}$ la longueur du côté 
de $P_{k}$, et on suppose que
$$
r_{k}\leq 1,\qquad\lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty,\qquad
\lim k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0.
$$
Alors quand $k$ tend vers $+\infty$, on a
$$
\eqalign{
&\liminf\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\Vol(P_{k})}N_{P_{k},k}(\lambda)\geq 
\nu_{B(a)}(V(a)+\lambda),\cr
&\limsup\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\Vol(P_{k})}N_{P_{k},k}(\lambda)\leq
\overline{\nu}_{B(a)}(V(a)+\lambda),\cr}
$$
et pour tout compact $K\subset\bR^{n}$, $N_{P_{k},k}(\lambda)$ admet la 
majoration
$$
N_{P_{k},k}(\lambda)\leq C_{K}
\Big(1+r_{k}\sqrt{k\big(\lambda_{+}+\max_{K}V_{+}\big)}\Big)^{n}
$$
uniforme par rapport à~$a$, dès lors que $P_{k}\subset K$.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- On va se ramener au théorème 1.6 en 
effectuant une  homothétie de rapport $\sqrt{k}$ sur $P_{k}$ 
(c'est pourquoi nous avons dû supposer $\lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$).
Le lemme suivant mesure combien le champ magnétique $B$ dévie du champ 
constant $B(a)$ sur chaque~$P_{k}$.
\medskip

{\statement Lemme 2.10.\pointir} {\it Sur chaque pavé $\overline P_{k}$, on 
peut choisir un potentiel $\widetilde A_{k}$ du champ constant $B(a)$ tel 
que pour tout $x\in\overline{P}_{k}$ on ait
$$
|A_{k}(x)-A(x)|\leq C_{1}r_{k}^{2},
$$
où $C_{1}$ est une constante${}\geq 0$ indépendante de $k$ $($et 
indépendante de $a$ si $a$ décrit un compact $K\subset\bR^{n})$.}
\medskip

La régularité $\cC^{\infty}$ de $B$ entraîne en effet une majoration
$$
|B(a)-B(x)|\leq C_{2}r_{k},\qquad x\in\overline P_{k}.
$$
Soit $A_{k}'$ un potentiel du champ $B(a)-B(x)$ sur le cube $\overline P_{k}$,
calculé au moyen de la formule d'homotopie usuelle pour les ouverts
étoilés. On a alors
$$
|A_{k}'(x)|\leq C_{3}r_{k}^{2},
$$
et il suffit de poser $\widetilde A_{k}=A+A_{k}'$.\hfil\square \medskip

Notons $(x_{1},\ldots,x_{n})$ les coordonnées standard de $\bR^{n}$.
Soit $(y_{1},\ldots,y_{n})$ un système de coordonnées linéaires
en $x_{1}, \ldots, x_{n}$ tel que $(dy_{1},\ldots,dy_{n})$ soit une base 
orthonormée au point $a$ pour la métrique $g$, et tel que dans 
cette base $B(a)$ s'écrive sous la forme diagonale~(2.1)~:
$$
B(a)=\sum_{j=1}^{s}B_{j}(a)\,dy_{j}\wedge dy_{j+s}.
$$
Soit $\widetilde{g}$ la métrique constante
$$
\widetilde{g}\equiv g(a)=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2}.
$$
Désignons par $D_{k}=d+ikA\wedge{?}$,
$\widetilde D_{k}=d+ik\widetilde A_{k}\wedge{?}$ les 
connexions sur $E^{k}_{|P_{k}}$ associées aux~potentiels $A$, 
${\widetilde A}_{k}$, et par $Q_{k}=Q_{P_{k},k}$, ${\widetilde Q}_{k}$ 
les formes quadratiques 
associées respectivement aux connexions $D_{k}$, ${\widetilde D}_{k}$, aux 
métriques $g$, $\widetilde{g}$, et aux potentiels scalaires $V$, 
$\widetilde{V}\equiv V(a)$ (formule (1.3)).
\medskip

{\statement Lemme 2.11.\pointir} {\it Il existe une suite $\varepsilon_{k}$ 
tendant vers $0$ $($dépendant des $r_{k}$, mais indépen­dante de $a$
si $a$ décrit un compact $K\subset\bR^{n})$ 
telle que si $\Vert~~\Vert_{g}$ et $\Vert~~\Vert_{\tilde g}$ 
désignent les normes $L^{2}$ globales associées aux métriques
$g$ et $\widetilde{g}$, on ait
$$
\eqalign{
(1-\varepsilon_{k})\Vert u\Vert_{\tilde g}^{2}
&\leq\Vert u\Vert_{g}^{2}\leq(1+\varepsilon_{k})\Vert u\Vert_{\widetilde{g}}^{2},\cr
(1-\varepsilon_{k})\widetilde Q_{k}(u)-\varepsilon_{k}
\Vert u\Vert_{\tilde g}^{2}&\leq Q_{k}(u)\leq(1+\varepsilon_{k})
\widetilde Q_{k}(u)+\varepsilon_{k}\Vert u\Vert_{\tilde g}^{2}\cr}
$$
pour tout $u\in W_{0}^{1}(P_{k})$.}\medskip

Sur $P_{k}$, on a en effet un encadrement~:
$$
(1-C_{4}r_{k})\,\widetilde{g}\leq g\leq(1+C_{4}r_{k})\,\widetilde{g},
$$
et ceci donne la première inégalité double dans 2.11. Avec la 
notation $A_{k}'=A_{k}-A$, on en déduit
$$
\eqalign{
Q_{k}(u)&=\int_{P_{k}}\Big(\frac{1}{k}|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u|_{g}^{2}
-V|u|^{2}\Big)\,d\sigma\cr
&\leq(1+C_{5}r_{k})\int_{P_{k}}\Big(\frac{1}{k}|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u
|^2_{\tilde g}-V(a)|u|^{2}\Big)\,d\widetilde{\sigma}+
\eta_{k}\Vert u\Vert^2_{\tilde g}\cr}
$$
avec $\eta_{k}=\sup_{P_{k}}|V-V(a)|+C_{6}r_{k}$, quantité qui tend vers $0$
lorsque $k$ tend vers~$+\infty$. En utilisant l'inégalité 
$(a+b)^{2}\leq(1+\alpha)(a^{2}+\alpha^{-1}b^{2})$, le lemme 2.10 implique 
d'autre part
$$
|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u|^2_{\tilde g}\leq
(1+\alpha)\Big[\,|\widetilde D_{k}u|^{2}_{\tilde g}+
\alpha^{-1}C_{1}^{2}k^{2}r_{k}^{4}|u|^{2}\Big].
$$
Choisissons $\alpha=\alpha_{k}=C_{1}\sqrt{k}r_{k}^{2}$. La suite $\alpha_{k}$
tend vers $0$ d'après l'hypothèse $\lim k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0$, et 
il vient
$$
\frac{1}{k}|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u|^{2}_{\tilde g}\leq
(1+\alpha_{k})\Big[\frac{1}{k}|D_{k}u|^{2}_{\tilde g}+\alpha_{k}|u|^{2}\Big].
$$
La majoration de $Q_{k}$ s'ensuit. La minoration s'obtient de même
grâce à l'inégalité 
$(a+b)^{2}\geq(1-\alpha)(a^{2}-\alpha^{-1}b^{2})$.\hfil\square\medskip

Le lemme 2.11 ramène la preuve de la proposition 2.9 au cas où la
métrique $g$ et le champ magnétique $B$ sont constants~:
$$
g=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2},\qquad B=\sum_{j=1}^{n}B_{j}\,dy_{j}\wedge dy_{j+s}.
$$
On peut supposer de plus $V \equiv 0$ en effectuant la translation 
$\lambda\mapsto\lambda+V(a)$. La seule difficulté qui subsiste pour 
appliquer directement le théorème 1.6 vient du fait que les cubes
$P_{k}$ deviennent en général des parallélépipèdes
obliques dans les coordonnées $(y_{1}, \ldots,y_{n})\;$; les angles 
entre les différentes arêtes de chaque $P_{k}$ et les rapports de 
leurs longueurs restent toutefois encadrés par des constantes${}>0$.
Pour résoudre cette difficulté, il suffit de paver chaque
parallélépipède $P_{k}$ par des cubes $P_{k,\alpha}$ dont 
les arêtes sont parallèles aux axes des coordonnées 
$(y_{1}, \ldots,y_{n})$. Choisissons $\varepsilon\in{}]0,1[$. Pour 
tout $\alpha\in\bZ^{n}$, soient $(P_{k,\alpha})$, $(P_{k,\alpha}')$ les cubes
ouverts de côtés respectifs $\varepsilon r_{k}$,
$\varepsilon(1+\varepsilon)r_{k}$, et de centre commun 
$\varepsilon r_{k}\alpha$. On se bornera à considérer les
cubes $P_{k,\alpha}$ contenus dans $P_{k}$ et les cubes $P_{k,\alpha}'$
rencontrant~$P_{k}$. On a alors
$$
\leqalignno{
&P_{k}\supset\bigcup_{\alpha}P_{k,\alpha}~~\hbox{(disjointe),~~~et}~~~
\frac{\sum_\alpha\Vol(P_{k,\alpha})}{\Vol(P_{k})}\geq 1-C_{7}\varepsilon,
&(2.12)\cr
&P_{k}\subset\bigcup_{\alpha}P_{k,\alpha}',\kern60pt\hbox{et}~~~
\frac{\sum_\alpha\Vol(P_{k,\alpha}')}{\Vol(P_{k})}
\leq 1+C_{7}\varepsilon,&(2.13)\cr}
$$
où $C_{7}$ est une constante indépendante de $k$ (et aussi de $a$, 
si $a$ décrit un compact). Le nombre de cubes $P_{k,\alpha}$, 
$P_{k,\alpha}'$ qui figurent dans (2.12) ou (2.13) est majoré par 
$C_{8}\varepsilon^{-n}$. Comme les cubes $P_{k,\alpha}'$ se recouvrent 
deux à deux sur une longueur $\varepsilon^{2}r_{k}$
lorsqu'ils sont contigus, on peut construire une partition de l'unité 
$\sum \psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $P_{k}$, avec 
\hbox{Supp$\,\psi_{k,\alpha}\subset P_{k,\alpha}'$} et
$$
\sup_{P_{k}}\sum_{\alpha}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}=C(\psi_{k})\leq C_{9}
(\varepsilon^{2}r_{k})^{-2}.
$$
L'hypothèse $\lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$ entraîne bien  
$\lim\frac{1}{k}C(\psi_{k})=0$, ce qui permet d'appliquer 2.6~(b). 
Sur les cubes $P_{k\alpha}$, $P_{k,\alpha}'$ nous sommes
maintenant dans la situation du théo­rème~1.6~:
après homothétie de rapport $\sqrt{k}$, le côté du cube 
homothétique 
$\sqrt{k}\,P_{k,\alpha}$ vaut $R_{k}=\varepsilon r_{k}\sqrt{k}$ et tend bien 
vers $+\infty$ par hypothèse. La majoration uniforme de 
$N_{P_{k},k}(\lambda)$ résulte de la proposition 1.18 et du fait que 
toutes nos constantes $C_{1}, \ldots, C_{9}$ étaient 
uniformes. La proposition 2.9 est démontrée.\hfil\square\medskip

{\it Demonstration du théorème 2.3.} -- D'après la remarque 
précédant la
proposition 2.9, nous pouvons supposer que $M=\bR^{n}$ et que $\Omega$ est un
ouvert borné de $\bR^{n}$. L'idée du raisonnement est de combiner les
propositions 2.6 et 2.9 en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes de 
côté $r_{k}=k^{-\frac{1}{3}}$. La mise en ceuvre effective réclame
néanmoins un peu de soin à cause des difficultés liées à
la non-uniformité éventuelle des $\limsup$ et $\liminf$.

Désignons par $\Pi_{k,\alpha}$, $\Pi_{k,\alpha}'$, $\alpha\in \bZ^{n}$, 
les cubes ouverts de côtés respectifs
$$
k^{-\frac{1}{3}},\qquad k^{-\frac{1}{3}}(1+ k^{-\frac{1}{8}})=
k^{-\frac{1}{3}}+k^{-\frac{11}{24}}
$$
et de centre commun $k^{-\frac{1}{3}}\alpha$. Soit $I(k)$ (resp.\ 
$I'(k)$) l'ensemble des indices $\alpha\in\bZ^{n}$ tels que 
$\Pi_{k.\alpha}\subset\Omega$ (resp.\ $\overline\Pi_{k,\alpha}'
\cap\overline\Omega\neq\emptyset$). Comme dans le
raisonnement de la proposition 2.9, il existe une partition de l'unité
$\sum_{\alpha\in I'(k)}\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\Omega$, avec 
\hbox{Supp$\,\psi_{k,\alpha}\subset\Pi_{k,\alpha}'$} et
$$
C(\psi_{k})=\sup_{\Omega}\sum_{\alpha\in I'(k)}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}
\leq C_{10}k^{\frac{11}{12}},
$$
d'où  $\lim\frac{1}{k}C(\psi_{k})=0$. On pose
$$
\Omega_{k}=\bigcup_{\alpha\in I(k)}\Pi_{k,\alpha},\qquad
\Omega_{k}'=\bigcup_{\alpha\in I'(k)}\Pi_{k,\alpha}'
$$
et on considère pour tout $\lambda\in\bR$ fixé, les fonctions 
sur $\bR^{n}$ définies par
$$
\eqalign{
f_{k}&=k^{-\frac{n}{2}}\sum_{\alpha\in I(k)}N_{\Pi_{k,\alpha},k}(\lambda)
\frac{1}{\Vol(\Pi_{k,\alpha})}\bOne_{\Pi_{k,\alpha}},\cr
f_{k}'&=k^{-\frac{n}{2}} \sum_{\alpha\in I'(k)}N_{\Pi'_{k,\alpha},k}
\Big(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi_{k})\Big)
\frac{1}{\Vol(\Pi_{k,\alpha})}\bOne_{\Pi_{k,\alpha}}
\cr}
$$
où $\bOne_{\Pi_{k,\alpha}}$ désigne la fonction caractéristique de 
$\Pi_{k,\alpha}$. La proposition 2.6 implique l'enca­drement
$$
\int_{\bR^n}f_{k}\,d\sigma\leq k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}
(\lambda)\leq\int_{\bR^n}f_{k}'\,d\sigma.
\leqno(2.14)
$$
Soit $x\in\bR^{n}$ un point fixé n'appartenant pas à l'ensemble
négligeable
$$
Z=\bigcup_{k\in\bN,\,\alpha\in\bZ^n}\partial\Pi_{k,\alpha}.
$$
Il existe alors une suite d'indices $\alpha(k)\in\bZ^{n}$ unique telle que 
$x\in\Pi_{k,\alpha(k)}$. La proposition 2.9 appliquée à la suite
des cubes $P_{k}=\Pi_{k,\alpha(k)}$ (resp.\ $P_{k}'=\Pi_{k,\alpha(k)}'$) 
avec $\Vol(P_{k})\sim \Vol P_{k}'$ montre que les suites ponctuelles 
$$f_{k}(x)= \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\Vol(P_{k})}N_{P_{k},k}(\lambda)
\bOne_{\Omega_{k}}(x),\qquad f_{k}'(x)= \frac{k^{-\frac{n}{2}}}
{\Vol(P_{k})}N_{P_{k}',k}(\lambda)\bOne_{\Omega_{k}'}(x),
$$
sont telles que
$$\cases{
\liminf f_{k}(x)\kern3pt{}\geq \nu_{B(x)}(V(x)+\lambda)\,\bOne_{\Omega}(x)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\limsup f_{k}'(x)\leq\overline{\nu}_{B(x)}(V(x)+\lambda)\,
\bOne_{\overline\Omega}(x).\cr}
\leqno(2.15)
$$
La majoration uniforme de la proposition 2.9 entraîne d'autre part 
l'existence de constantes $C_{11}$, $C_{12}$ indépendantes de 
$k$, $x$ et $\lambda$ telles que
$$
f_{k}(x)\leq f_{k}'(x)\leq C_{11}\big(1+\sqrt{\lambda_{+}+C_{12}}\,\big)^{n}.
$$
Le théorème 2.3 résulte alors de (2.14), (2.15) et du lemme de 
Fatou.\hfil \square \medskip

En vue des applications à la géométrie complexe, nous aurons besoin 
d'une légère généra­lisation du théorème 2.3. 
On se donne
un fibré hermitien $F$ de rang $r$ et de classe $\cC^{\infty}$ au-dessus 
de~$M$, muni d'une connexion hermitienne $\nabla$, et des sections continues 
$S$ du fibré $\Lambda_{\bR}^{1}T^{*}X\otimes_{\bR}\Hom_{\bC}(F,F)$ et $V$
du fibré $\Herm(F)$ des endomorphismes hermitiens de~$F$. Soit 
$\nabla_{k}$ la connexion hermitienne sur $E^{k}\otimes F$ induite par 
les connexions $D$ et $\nabla$. Pour abréger les 
notations, on désignera encore par $S$ et $V$ les endomorphismes 
$\Id_{E^{k}}\otimes S$ et $\Id_{E^{k}}\otimes V$ opérant 
sur~$E^{k}\otimes F$. Étant donné un ouvert $\Omega$ 
relativement compact dans~$M$, on considère la forme quadratique
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+Su|^{2}-\langle Vu,
u\rangle\Big)\,d\sigma,
$$
où $u\in W_{0}^{1}(\Omega,E^{k}\otimes F)$. Soient $V_{1}(x)\leq V_{2}(x)
\leq\cdots\leq V_{r}(x)$ les valeurs propres de $V(x)$ en tout point
$x\in M$. On a alors le résultat suivant.\medskip

{\statement Théorème 2.16.\pointir} {\it La fonction de dénombrement 
$N_{\Omega,k}(\lambda)$ des valeurs propres de $Q_{\Omega,k}$ admet pour 
tout $\lambda\in\bR$ les estimations asymptotiques
$$
\eqalign{
\liminf_{k\to+\infty}~k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)
&\geq\sum_{j=1}
^{r}\int_{\Omega}\nu_{B}(V_{j}+\lambda)\,d\sigma,\cr
\limsup_{k\to+\infty}~k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)
&\leq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\overline{\nu}_{B}(V_{j}+\lambda)\,d\sigma,\cr}
$$
où $B$ est le champ magnétique associé à la connexion $D$ 
sur~$E$.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- Le principe de localisation 2.6 est encore 
valable dans la 
présente situation. Il suffit donc de démontrer les inégalités 
2.16 lorsque $\Omega$ est assez petit. Soit $a\in M$ un point fixé et 
$(e_{1},\ldots,e_{r})$ un repère orthonormé $\cC^{\infty}$ de $F$ 
au-dessus d'un voisinage $W$ de $a$, tel que $(e_{1}(a),\ldots,e_{r}(a))$
soit une base propre pour $V(a)$. Écrivons $u$ sous la forme
$$
u=\sum_{j=1}^{r}u_{j}\otimes e_{j}
$$
où $u_{j}$ est une section de $E^{k}$. Pour tout $\varepsilon>0$, il 
existe un voisinage $W_{\varepsilon}'\subset W$ de $a$ sur lequel
$$
\sum_{j=1}^{r}(V_{j}(a)-\varepsilon)|u_{j}|^{2}\leq\langle Vu,u\rangle\leq\sum_{j=
1}^{r}(V_{j}(a)+\varepsilon)|u_{j}|^{2}
$$
On a d'autre part
$$
\nabla_{k}u=\sum_{j=1}^{r}D_{k}u_{j}\otimes e_{j}+u_{j}\otimes\nabla e_{j},
$$
et le terme $u_{j}\otimes\nabla e_{j}$ peut être absorbé dans $Su$ 
(ce qui nous ramène en fait au cas où la connexion $\nabla$ est plate). 
L'encadrement
$$
(1-k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1-k^{\frac{1}{2}})|Su|^{2}
\leq|\nabla_{k}u+Su|^{2}\leq
(1+k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1+k^{\frac{1}{2}})|Su|^{2}
$$
montre que le terme $Su$ ne modifie $Q_{\Omega,k}$ que par un facteur 
multiplicatif  $1\pm\varepsilon$ et par un facteur additif 
$\pm\varepsilon\Vert u\Vert^{2}$. Pour tout $\varepsilon>0$, il existe 
donc un voisinage $W_{\varepsilon}$ de $a$ et un entier $k_{0}(\varepsilon)$
tels que
$$
(1-\varepsilon)\widetilde Q_{\Omega.k}(u)-\varepsilon\Vert u\Vert^{2}
\leq Q_{\Omega,k}(u)\leq(1+\varepsilon)
\widetilde Q_{\Omega,k}(u)+\varepsilon\Vert u\Vert^{2}
$$
dès que $k\geq k_{0}(\varepsilon)$ et $\Omega\subset W_{\varepsilon}$, où 
$\widetilde Q_{\Omega,k}$ désigne la forme quadratique
$$
\widetilde Q_{\Omega.k}(u)=
\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|D_{k}u_{j}|^{2}-V_{j}(a)
|u_{j}|^{2}\Big)\,d\sigma.
$$
Comme $\widetilde Q_{\Omega,k}$ est une somme directe de $r$ formes
quadratiques, le spectre de $\widetilde Q_{\Omega.k}$ est la réunion
(comptée avec multiplicités) des spectres de chacun des termes
de la somme. Le théorème 2.16 s'ensuit.\hfil\square\bigskip

\section{3}{Identité de Bochner-Kodaira-Nakano\\
en géométrie hermitienne.}

L'objet des paragraphes qui suivent est de tirer les conséquences du 
théorème  de répar­tition spectrale 2.16 pour 
l'étude de la $d''$-cohomologie des fibrés vectoriels holomorphes 
hermitiens. Dans ce but, nous aurons besoin de relier le laplacien 
antiholomorphe $\Delta''$ à l'opérateur de Schrödinger
d'une connexion réelle adéquate. Ceci se fait au moyen d'une
formule particulière de type Weitzenböck, connue en
géométrie complexe sous le nom d'identité de
Bochner-Kodaira-Nakano.

Soit $X$ une variété analytique complexe compacte de dimension $n$
et $F$ un fibré vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus 
de~$X$. On sait qu'il existe une unique connexion hermitienne $D=D'+D''$ 
sur $F$ dont la composante $D''$ de type $(0,1)$ coincide avec l'opérateur
$\overline\partial$ du fibré (une telle connexion est dite holomorphe).
Soit $c(F)=D^{2}=D'D''+D''D'$ la forme de courbure de~$F$. 
Munissons $X$ d'une métrique hermitienne arbitraire $\omega$ de type 
$(1,1)$ et de classe $\cC^{\infty}$. L'espace $\cC_{p,q}^{\infty}(X,F)$
des sections de classe $\cC^{\infty}$ du fibré $\Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes F$
se trouve alors muni d'une structure préhil­ber­tienne naturelle. 
On note $\delta=\delta'+\delta''$ l'adjoint formel de $D$ 
considéré comme opérateur différentiel sur 
$\cC^{\infty}(X,F)$, et $\Lambda$ l'adjoint de l'opérateur 
$L:u\mapsto\omega\wedge u$.

Nous utiliserons l'identité de Bochner-Kodaira-Nakano sous la forme 
générale démontrée dans [6], bien qu'on puisse en fait
se contenter, comme le fait Y.T.~Siu [16], [17], de la formule moins 
précise donnée par P.~Griffiths. Si $A$, $B$ sont des 
opérateurs différentiels sur $\cC^{\infty}(X,F)$, on définit
leur anti-commutateur $[A,B]$ par la formule
$$
[A,B]=AB-(-1)^{ab}BA
$$
où $a$, $b$ sont les degrés respectifs de $A$ et~$B$. Les 
opérateurs de Laplace-Beltrami $\Delta'$ et $\Delta''$ sont alors
donnés classiquement par
$$
\Delta'=[D',\delta']=D'\delta'+\delta'D',\qquad \Delta''=[D'', \delta'']
$$
À la forme de torsion $d'\omega$, nous associons l'opérateur de 
multiplication extérieure $u\mapsto d'\omega\wedge u$ sur 
$\cC^{\infty}(X,F)$, de type $(2,1)$, noté simplement  $d'\omega$, 
et l'opérateur $\tau$ de type $(1,0)$ défini par 
$\tau=[\Lambda,d'\omega]$. Nous posons enfin
$$
D_{\tau}'=D'+\tau,\qquad 
\delta_{\tau}' =(D_{\tau}')^{*}=\delta'+\tau^{*},\qquad
\Delta_{\tau}'=[D_{\tau}',\delta_{\tau}'].
$$
On a alors l'identité suivante, pour une démonstration de laquelle le 
lecteur se reportera à [6].\medskip

{\statement Proposition 3.1.\pointir} {\it On a
$\Delta''=\Delta_{\tau}'+[ic(F),\Lambda]+
T_{\omega}$ où $T_{\omega}$ est l'opérateur d'ordre $0$ et de type 
$(0,0)$ défini par
$$
T_{\omega}=\Big[\Lambda,\Big[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega\Big]\Big]-
[d'\omega,(d'\omega)^{*}].
$$}\vskip-\parskip

D'après la théorie de Hodge-De Rham, le groupe de cohomologie 
$H^{q}(X,F)$ s'identifie à l'espace des $(0,q)$-formes 
$\Delta''$-harmoniques à valeurs dans~$F$. Soit 
$u\in \cC_{p.q}^{\infty}(X,F)$. La proposition 3.1 nous donne l'égalité
$$
\int_{X}|D''u|^{2}+|\delta''u|^{2}=\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle
=\int_{X}|D_{\tau}'u|^{2}+|\delta_{\tau}'u|^{2}+\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle
+\langle T_{\omega}u,u\rangle,
\leqno(3.2)  
$$
où les intégrales sont calculées relativement à 
l'élément de volume $d\sigma=\frac{\omega^{n}}{n!}$. En parti­culier, 
si $u$ est de bidegré $(0,q)$, on a $\delta_{\tau}'u=0$ par raison de 
bidegré, d'où
$$
\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{X}|D_{\tau}'u|^{2}+\langle[ic(F),
\Lambda]u,u\rangle+\langle T_{\omega}u,u\rangle.
\leqno(3.3)  
$$
On peut également considérer $u$ comme une $(n,q)$-forme à 
valeurs dans le fibré 
$$
\widetilde F:=F\otimes\Lambda^{n}TX~;
$$
on notera $\widetilde D=\widetilde D'+\widetilde D''$ la connexion hermitienne
holomorphe de $\widetilde F$ et $\widetilde{u}$ l'image canonique de $u$ 
dans $\cC_{n,q}^{\infty}(X,F)$.
\medskip

{\statement Lemme 3.4.\pointir} {\it On a des diagrammes commutatifs
$$
\matrix{
\cC_{0.q}^{\infty}(X,F)&\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle D''}
&\cC_{0,q+1}^{\infty}(X,F)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\sim\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow\sim\cr
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\widetilde D''}&
\cC_{n,q+1}^{\infty}(X,\widetilde F),\cr}\kern40pt
\matrix{
\cC_{0,q}^{\infty}(X,F)&\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle 
\Delta''}&\cC_{0,q}^{\infty}(X,F)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\sim\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow\sim\cr
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\widetilde\Delta''}&
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F),\cr}
$$
où les flèches verticales sont les isométries 
$u\mapsto\widetilde{u}$.}

{\it Démonstration}. -- La commutativité du diagramme de gauche 
résulte du fait que $\Lambda^{n}TX$ est un fibré holomorphe 
(on prendra garde au fait que le résultat correspondant pour 
$D'$ et $\widetilde D'$ est faux). On a donc un diagramme 
commutatif analogue pour les adjoints $\delta''$, $\widetilde\delta''$ 
et pour $\Delta''$, $\widetilde \Delta''$.\hfil\square\medskip

Le lemme 3.4 et l'identité (3.2) nous donnent
$$
\int_{X} \langle\Delta''u,u\rangle=
\int_{X}\langle\widetilde\Delta''\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
=\int_{X}|\widetilde{\delta}'_\tau\widetilde{u}|^{2}+
\langle[ic(\widetilde F),\Lambda]\widetilde{u},\widetilde
{u}\rangle+\langle T_{\omega}\widetilde{u},\widetilde{u}\,\rangle.
\leqno(3.5)
$$
Nous allons maintenant transformer légèrement l'écriture de (3.3)
et (3.5). La connexion hermitienne holomorphe du fibré 
$\Lambda^{q}T^{*}X$ induit sur le fibré conjugué 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X$ une connexion dont la composante de type $(1,0)$ 
coincide avec l'opérateur~$d'$. On en déduit 
alors une connexion hermitienne naturelle $\nabla$ sur le fibré produit 
tensoriel $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F$ (on observera que ce fibré 
vectoriel n'est pas holomorphe en général si $q\neq 0$). 
Soient $\nabla'$~et $\nabla''$ les composantes de $\nabla$ de type 
$(1,0)$ et $(0,1)$.
\medskip

{\statement Proposition 3.6.\pointir} {\it On a
$$
\nabla'=D' : \cC^{\infty}(\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F)\to \cC
_{1,0}^{\infty}(\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F) ,
$$
et il existe un diagramme commutatif
$$
\matrix{
\cC^{\infty}(X,\Lambda^{0.q}T^{*}X\otimes F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\nabla''}
&\cC^{\infty}_{0,1}(X,\Lambda^{0.q}T^{*}X\otimes F)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\sim\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow\Psi\cr
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\widetilde\delta ''}&
\cC_{n-1,q}^{\infty}(X,\widetilde F),\cr}
$$
où les flèches verticales sont des isométries, celle de 
gauche étant donnée par $u\mapsto\widetilde{u}$.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- L'égalité $\nabla' =D'$ provient du 
fait que la composante de type $(1,0)$ de la connexion de 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X$ coincide avec~$d'$. Pour le diagramme, on commence 
par définir la flèche verticale~$\Psi$. Soit
$$
\{?|?\} : (\Lambda^{p_{1},q_{1}}T^{*}X\otimes\widetilde F)\times
(\Lambda^{p_{2},q_{2}}T^{*}X\otimes\widetilde F)
\longrightarrow\Lambda^{p_{1}+q_{2},q_{1}+p_{2}}T^{*}X
$$
l'accouplement sesquilinéaire canonique induit par la métrique sur les 
fibres de~$F$, et
$$
*{}: \Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes\widetilde F\longrightarrow
\Lambda^{n-q,n-p}T^{*}X\otimes\widetilde F
$$
l'opérateur de Hodge-De Rham-Poincaré défini par
$$
\{v|*w\}=\langle v,w\rangle\,d\sigma,\qquad v,~w\in
\Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes\widetilde F.
$$
On en déduit par composition une isométrie
$$
\Psi_{0} : \Lambda^{0,1}T^{*}X\otimes F\mathop{\longrightarrow}\limits^{
\displaystyle\sim}\Lambda^{n,1}T^{*}X\otimes\widetilde F
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\displaystyle *}\Lambda^{n-1,0}T^{*}X\otimes 
\widetilde F
$$
et la flèche $\Psi$ s'obtient par définition en tensorisant 
$-i^{-n^{2}}\Psi_{0}$ par $\Lambda^{0,q}T^{*}X$. Pour démontrer 
la commutativité, on suppose d'abord $q=0$. Soit $u\in \cC^{\infty}(F)$.
On a classiquement
$$
\widetilde{\delta}'\widetilde{u}=-*\widetilde D''*\widetilde{u},
$$
et comme $\widetilde{u}\in \cC_{n,0}^{\infty}(X,F)$, il vient 
$*\widetilde{u}=i^{-n^{2}}\widetilde{u}$, d'où
$$
\widetilde{\delta}'\widetilde{u}=-i^{-n^{2}}*D''\widetilde{u}=
-i^{-n^{2}}*\sim D''u=-i^{-n^{2}}\Psi_{0}(D''u)=\Psi(\nabla''u).
$$
Dans le cas où $q$ est quelconque, il suffit de trivialiser 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X$ au voisinage d'un point $x$ arbitraire, en 
choisissant un repère orthonormé $(e_{1}, \ldots,e_{N})$ 
de ce fibré, tel que \hbox{$\nabla e_{1}(x)=\cdots=\nabla e_{N}(x)=0$}.
\hfil\square\medskip

On considère maintenant les morphismes de fibrés
$$
\eqalign{
S' &: \Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F\to\Lambda^{1,0}T^{*}X\otimes\Lambda^{0,q}T^{
*}X\otimes F\cr
S''&:\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F\to\Lambda^{0,1}T^{*}X\otimes\Lambda^{0,q}T^{*}
X\otimes F\cr}
$$
où $S'=\tau=[\Lambda,d'\omega]$, et où $S''$ est le relevé par
les isométries $\sim$ et $\Psi$ du morphisme
$$
\tau^{*}=[(d'\omega)^{*},L]:\Lambda^{n,q}T^{*}X\otimes\widetilde F
\to\Lambda^{n-1.q}T^{*}X\otimes\widetilde F.
$$
D'après la proposition 3.6, on a
$$
|D_{\tau}'u|=|\nabla'u+S'u|,\qquad
|\widetilde\delta'_{\tau}\widetilde{u}|=|\nabla''u+S''u|.
$$
Si on pose $S=S'\oplus S''$, les identités (3.3) et (3.5) impliquent par 
addition 
$$
\leqalignno{
2\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle
=\int_{x}|\nabla u&+Su|^{2}+\int_{X}\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle\cr
&+\int_{X}\langle[ic(\widetilde{F}),\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle+
\langle T_{\omega}u,u\rangle+\langle T_{\omega}\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
&(3.7)\cr}
$$
pour tout $u\in \cC_{0,q}^{\infty}(X,F)$.

Soit maintenant $E$ un fibré holomorphe hermitien de rang~$1$ au-dessus
de~$X$. Pour tout entier~$k$, on note $D_{k}$ et $\nabla_{k}$ les 
connexions hermitiennes naturelles sur les fibrés 
$F_{k}=E^{k}\otimes F$ et $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$, et on 
pose $\Delta_{k}''=[D_{k}'',\delta_{k}'']$. La courbure de $F_{k}$ 
(resp.\ $\widetilde F_{k}$) est donnée par
$$
c(F_{k})=c(F)+kc(E)\otimes\Id_{F},\quad\hbox{resp.}\quad
c(\widetilde F_{k})=c(\widetilde F)+kc(E)\otimes\Id_{\widetilde F}.
\leqno(3.8) 
$$
Rappelons, bien que ce soit inutile pour la suite, que
$$
c(\widetilde F)=
c(F)+c(\Lambda^{n}TX)\otimes\Id_{F}=c(F)+{\rm Ricci}(\omega)\otimes\Id_{F}.
$$
Nous aurons donc besoin d'évaluer les termes $[ic(E),\Lambda]$. Pour tout 
point $x\in X$, soient $\alpha_{1}(x)$, $\alpha_{2}(x), \ldots, \alpha_{n}(x)$
les valeurs propres de $ic(E)(x)$ relativement à la métrique
hermitienne $\omega$ sur $X$. Il existe donc un système de
coordonnées locales $(z_{1}, \ldots,z_{n})$ centré en $x$
tel que $(\frac{\partial}{\partial z_{1}},\ldots,\frac{\partial}
{\partial z_{n}})$ soit une base orthonormée de $(T_{x}X,\omega(x))$,
et tel que
$$
\eqalign{
\omega(x)&=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j},\cr
ic(E)(x)&=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}(x)\,dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j}.
\cr}
$$
Soit $(e_{1}, \ldots,e_{r})$ un repère orthonormé de la fibre 
$E_{x}^{k}\otimes F_{x}$. Pour $v\in\Lambda^{p.q}T^{*}X\otimes F_{k}$, 
on peut écrire
$$
v=\sum_{|I|=p,|J|=q,\,\ell}v_{I,J,\ell}\,dz_{I}\wedge d\overline{z}_{J}
\otimes e_{\ell},\qquad|v|^{2}=2^{p+q}\sum_{I,J,\ell}|v_{I,J,\ell}|^{2}.
$$
Un calcul élémentaire, explicité par exemple dans [6], donne la 
formule
$$
\langle[ic(E),\Lambda]v,v\rangle=2^{p+q}\sum_{I,J,\ell}(\alpha_{I}+\alpha_{J}-
\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j})|v_{I,J,\ell}|^{2}
\leqno(3.9)
$$
avec $\alpha_{I}=\sum_{j\in I}\alpha_{j}$. Soit 
$u\in\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$. Posons
$$
u= \sum_{J,\ell}u_{J,\ell}\,d\overline{z}_{J}\otimes e_{\ell}.
$$
D'après (3.9), il vient
$$
\eqalign{
\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle&=2^{q}\sum_{J,\ell}
-\alpha_{\complement J}|u_{J,\ell}|^{2},\cr
\langle[ic(E\rangle,\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle&=
2^{q}\sum_{J,\ell}\alpha_{J}|u_{J,\ell}|^{2}.\cr}
$$
Soit $V$ l'endomorphisme hermitien de $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$ 
défini par
$$
\langle Vu,u\rangle=-\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle-\langle[ic(E),
\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
=2^{q}\sum_{J,\ell}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})|u_{J,\ell}|^{2}.
\leqno(3.10) 
$$
Les valeurs propres de $V$ sont donc les coefficients 
$\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}$, comptés avec multiplicité 
$r=\rang(F)$. Soit enfin $\Theta$ l'endomorphisme hermitien défini par
$$
\langle\Theta u,u\rangle=\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle+\langle[
ic(\widetilde{F}),\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
+\langle T_{\omega}u,u\rangle+
\langle T_{\omega}\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle.
\leqno(3.11) 
$$
Les identités (3.7-11) impliquent alors
$$
\frac{2}{k}\int_{X}\langle\Delta_{k}''u,u\rangle=\int_{X}\frac{1}{k}
|\nabla_{k}u+Su|^{2}-\langle Vu,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle
\leqno(3.12)  
$$
où les opérateurs $S$, $V$, $\Theta$ n'agissent que sur la 
composante $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F$ de 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$. On va donc pouvoir 
utiliser le théorème 2.16 pour déterminer la distribution spectrale 
asymptotique de $\Delta_{k}''$, car le terme 
$\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$ tend vers $0$ en norme.

Soit $h_{k}^{q}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres${}\leq k\lambda$
de $\Delta_{k}''$ opérant sur $\cC_{0,q}^{\infty}(E^{k}\otimes F)$. 
Le champ magnétique $B$ est ici donné par
$$
 B=-ic(E)=-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\,dx_{j}\wedge dy_{j},\qquad
z_{j}=x_{j}+iy_{j}.\leqno(3.13)
$$
Compte-tenu que $\dim_{\bR}X=2n$, le théorème 2.16 se 
transcrit comme suit.
\medskip

{\statement Théorème 3.14.\pointir} {\it Il existe un ensemble 
dénombrable $\cD$ tel que pour tout $q=0,1, \ldots, n$ et 
tout $\lambda\in\bR\ssm \cD$ on ait
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=rk^{n}\sum_{|J|=q}\int_{X}\nu_{B}(2\lambda+\alpha_{\complement J}
-\alpha_{J})\,d\sigma+o(k^{n})
$$
lorsque $k$ tend vers $+\infty$.}
\bigskip

\section{4}{Complexe de Witten et inégalités de Morse.}

E.~Witten[18], [19] a introduit récemment une nouvelle méthode
analytique pour démon­trer les inégalités de Morse en
cohomologie de de Rham. Nous adaptons ici sa méthode pour
l'étude de la $d''$-cohomologie. La principale différence
réside dans le fait que le champ magnétique est toujours nul
dans le cas de la cohomologie de de Rham (on a en effet $d^{2}=0$~!),
et c'est le champ électrique qui intervient seul dans ce cas.

Avec les notations du \S3, soit $\cH_{k}^{q}(\lambda)\subset \cC_{0,q}^{\infty}
(X,E^{k}\otimes F)$ la somme directe des sous-espaces propres de 
$\Delta_{k}''$ attachés aux valeurs propres${}\leq k\lambda$. 
$\cH_{k}^{q}(\lambda)$ est donc un espace vectoriel de dimension finie
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=\dim_{\bC}\cH_{k}^{q}(\lambda).
$$
La théorie de Hodge donne un isomorphisme
$$
H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\simeq \cH_{k}^{q}(0) .
$$
On posera pour abréger
$$
h_{k}^{q}=\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)=h_{k}^{q}(0) .
$$

{\statement Proposition 4.1.\pointir} {\it $\cH_{k}^{\bullet}(\lambda)$ est 
un sous-complexe du complexe de Dolbeault
$$
D_{k}'':\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F).
$$
De plus, l'inclusion $\cH_{k}^{\bullet}(\lambda)\subset \cC_{0,\bullet}^{\infty}
(X,E^{k}\otimes F)$ et la projection orthogonale
$$
P_{\lambda}:\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F)\to \cH_{k}^{\bullet}
(\lambda)
$$
induisent en cohomologie des isomorphismes inverses l'un de l'autre.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- Le fait que $\cH^{\bullet}_{k}(\lambda)$ soit un 
sous-complexe de $\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F)$ provient de la 
propriété de commutation des opérateurs $D_{k}''$ et 
$\Delta_{k}''$. Soit maintenant
$$
G=\int_{\lambda>0}\frac{1}{\lambda}dP_{1}
$$
l'opérateur de Green du laplacien $\Delta_{k}''$. Comme 
$[P_{\lambda},\Delta_{k}'']=0$, on a les relations $[G,\Delta_{k}'']=0$ et
$$
\Delta_{k}''G+P_{0}=\Id.
$$
De plus, $[P_{\lambda},D_{k}'']=[G,D_{k}'']=0$. On en déduit donc
$$
\eqalign{
\Id-P_{\lambda}&=
\Delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})+P_{0}(\Id-P_{\lambda})=
\Delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})\cr
&=D_{k}''\big(\delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})\big)+
\big(\delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})\big)D_{k}'',\cr}
$$
de sorte que l'opérateur $\delta_{k}''G(Id-P_{\lambda})$ est une homotopie 
entre $\Id$ et $P_{\lambda}$.\hfil\square\medskip

On utilise maintenant un lemme classique simple d'algèbre homologique.
\medskip

{\statement Lemme 4.2.\pointir} {\it Soit
$$
0\longrightarrow C^{0}\mathop{\longrightarrow}\limits^{d^{0}}C^{1}\mathop{\longrightarrow}\limits^{d^{1}}~\cdots~\mathop{\longrightarrow}\limits^{d^{n-1}} C^{n}
\longrightarrow  0
$$
un complexe d'espaces vectoriels de dimensions finies $c^{0}$, $c^{1}$, 
$\ldots$, $c^{n}$ sur un corps~$\bK$. Soit $h^{q}=\dim_{\bK}H^{q}(C^{\bullet})$. 
Alors, on a les inégalités suivantes:
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} Inégalités de Morse~$:$~ $h^{q}\leq c^{q}$,~
$0\leq q\leq n$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Égalité des caractéristiques d'Euler-Poincaré~
$\chi(H^{\bullet}(C^{\bullet}))=\chi(C^{\bullet})~:$
$$
h^{0}-h^{1}+\cdots+(-1)^{n}h^{n}=c^{0}-c^{1}+\cdots+(-1)^{n}c^{n}.
$$
\item{\rm(c)} Inégalités de Morse fortes~$:$ pour tout $q$, 
$0\leq q\leq n$,
$$
h^{q}-h^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h^{0}\leq c^{q}-c^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}c^{0}.
$$}}\vskip0pt

{\it Démonstration}. -- Si $Z^{q}=\Ker d^{q}$ et $B^{q}=\Im d^{q-1}$ ont pour 
dimensions $z^{q}$ et $b^{q}$, l'égalité (b) résulte en effet des 
formules
$$
c^{q}=z^{q}+b^{q+1},\qquad h^{q}=z^{q}-b^{q},
$$
tandis que (c) résulte de (b) appliqué au complexe
$$
0\to C^{0}\to C^{1}\to\cdots \to C^{q-1}\to Z^{q}\to 0.\eqno\square 
$$

Si $F$ est un fibré vectoriel holomorphe sur $X$, on définit 
sa caractéristique d'Euler-Poincaré par
$$
\chi(X,F)=\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q} (X,F).
$$
En combinant la proposition 4.1 et le lemme 4.2, nous obtenons pour tout
$\lambda\geq 0$ et tout~$q$, $0\leq q\leq n$, l'inégalité
$$
h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}\leq h_{k}^{q}(\lambda)-h_{k}^{q-
1}(\lambda)+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}(\lambda).
$$
Évaluons maintenant $h_{k}^{q}(\lambda)$ au moyen du théorème 3.14 
et faisons tendre $\lambda\in\bR\ssm \cD$ vers $0$ par valeurs${}>0$. Il 
s'ensuit~:
\medskip

{\statement Corollaire 4.3.\pointir} {\it On a les inégalités asymptotiques
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $h_{k}^{q}\leq k^{n}I^{q}+o(k^{n}),$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\chi(X,E^{k}\otimes F)=k^{n}(I^{0}-I^{1}+\cdots+(-1)^{n}I^{n})+o(k^{n}),$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}\leq k^{n}
(I^{q}-I^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}I^{0})+o(k^{n})$,
\vskip4pt
où $I^{q}$ désigne l'intégrale de courbure
$$
I^{q}=r\sum_{|J|=q}\int_{X}\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}
-\alpha_{J})d\sigma.
$$}}\vskip-\parskip

D'après (3.13), les modules des valeurs propres du champ magnétique 
$B$ sont les $|\alpha_{j}|$, $1\leq j\leq n$. Pour tout point $x\in X$,
rangeons ces valeurs propres en sorte que
$$
|\alpha_{1}\geq|\alpha_{2}|\geq\cdots\geq|\alpha_{s}|>0=|\alpha_{s+1}|=
\cdots=|\alpha_{n}|,\qquad s=s(x).
$$
La formule (1.5) donne
$$
\overline{\nu}_{B}(a_{\complement J}-\alpha_{J})=
\frac{2^{s-2n}\pi^{-n}}{\Gamma(n-s+1)}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{s}|
\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})}
\Big\{\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}-\sum(2p_{j}+1)
|\alpha_{j}|\,\Big\}_{+}^{n-s}
$$
avec la notation $\{\lambda\}_{+}^{0}=0$ si $\lambda<0$ et 
$\{\lambda\}_{+}^{0}=1$ si $\lambda\geq 0$. Comme la quantité 
$$
\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}-\sum(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|
$$
est toujours${}\leq 0$, $\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})$
ne peut être non nul que si $s=n$. Dans ce dernier cas 
$\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}-\sum(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|=0$ si 
et seulement si $ p_{1}=\cdots=p_{n}=0$ et $\alpha_{j}<0$ pour 
$j\in J$, $\alpha_{j}>0$ pour $j\in{}{\complement}J$. Ceci entraîne que la 
forme $ic(E)$ est non dégénérée d'indice~$q$. Pour 
$x\in X(q)$ (cf.~notations de l'introduction) et $|J|=q$, on a donc
$$
\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})=(2\pi)^{-n}
|\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}|>0
$$
si $J$ est le multi-indice $J(x)=\{j\,;\;\alpha_{j}(x)<0\}$ et 
$\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})=0$ si $J\neq J(x)$. 
Il s'ensuit
$$
I^{q}=r\int_{X(q)}(2\pi)^{-n}(-1)^{q}\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}\,d\sigma=
\frac{r}{n!}\int_{X(q)}(-1)^{q}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}.
$$
Le théorème fondamental 0.1 n'est alors qu'une reformulation du 
corollaire 4.3. Le raisonnement ci-dessus montre que les formes harmoniques de 
$H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ se concentrent asymptotiquement sur~$X(q)$, et qu'en 
chaque point de $X(q)$ leur direction tend à s'aligner sur le 
$q$-sous-espace de $TX$ correspondant à la partie négative
de~$ic(E)$. De plus, seule la valeur propre d'énergie minimale
$p_{1}=\cdots=p_{n}=0$ de l'oscillateur harmonique intervient pour ces 
formes. Pour $q=1$, l'inégalité de Morse forte 4.3~(c) s'écrit
$$
h_{k}^{1}-h_{k}^{0}\leq k^{n}(I^{1}-I^{0})+o(k^{n}) ,
$$
d'où en particulier une minoration asymptotique du nombre de sections 
holomorphes du fibré $E^{k}\otimes F$.
\medskip

{\statement Théorème 4.4.\pointir} {\it On a
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\geq r\frac{k^{n}}{n!}
\int_{X(\leq 1)}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}-o(k^{n}).
$$}\vskip-\parskip

Plus généralement, l'addition des inégalités 4.3 (c) pour les 
indices $q+1$ et $q-2$ entraîne
$$
h_{k}^{q+1}-h_{k}^{q}+h_{k}^{q-1}\leq k^{n}(I^{q+1}-I^{q}+I^{q-1})+o(k^{n}) ,
$$
d'où la minoration
$$
\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\geq r\frac{k^{n}}{n!}\sum_{j=0,\pm 1}(-1)
^{q}\int_{X(q+j)}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}-o(k^{n}).
\leqno(4.5) 
$$
\medskip

\section{5}{Caractérisation des variétés de Moi\v{s}ezon.}

Soit $X$ une variété $\bC$-analytique compacte connexe de 
dimension $n$. On appelle dimension algébrique de $X$, notée $a(X)$,
le degré de transcendance sur $\bC$ du corps $K(X)$ des 
fonctions méromorphes sur~$X$. 
D'après un théorème bien connu de Siegel [15], la dimension
algébrique de $X$ vérifie toujours l'inégalité
$0\leq a(X)\leq n$. Lorsque $a(X)=n$, on dit que $X$ est un espace
de Moi\v{s}ezon. Comme on va le voir, la dimension algébrique de
$X$ impose asymptotiquement de fortes contraintes sur 
la dimension des espaces de sections d'un fibré vectoriel holomorphe.
\medskip

{\statement Théorème 5.1.\pointir} {\it Soit $a$ la dimension 
algébrique de $X$, $F$ un fibré 
vectoriel holomorphe de rang $r$ et $E$ un fibré linéaire
sur~$X$. Alors, il existe une constante $C_{E}\geq 0$ ne dépendant
que de $E$ telle que
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq C_{E}rk^{a}+o(k^{a}) .
$$}\vskip-\parskip

{\it Démonstration}. -- Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de 
Y.T.~Siu [16]. Soit $\{W_{\ell}\}$ un recouvrement de $X$ par des ouverts 
de coordonnées $W_{\ell}\subset\bC^{n}$, et $B_{j}=B(a_{j},R_{j})$, 
$1\leq j\leq m$, une famille de boules relativement compactes dans les
ouverts $W_{\ell}$, telles que les boules concentriques  
$B_{j}'=B(a_{j},\frac{1}{7}R_{j})$ recouvrent~$X$. Munissons $E$, $F$ de 
métriques hermitiennes, et soit $\exp(-\varphi_{j})$ le poids 
représentant la métrique de $E$ dans une trivialisation de $E$ 
au voisinage de $\overline{B}_{j}$.

Soit alors $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ une section holomorphe qui s'annule 
à l'ordre $p$ en un point $x_{j}\in B_{j}'$. Les inclusions
$$
B_{j}'\subset B(x_{j},\frac{2}{7}R_{j})\subset B(x_{j},\frac{6}{7}R_{j})\subset 
B_{j}
$$
et le lemme de Schwarz appliqué aux deux boules intermédiaires 
entraînent l'inégalité
$$
\sup_{B_{j}'}|s|\leq\exp(Ak+C_{F})3^{-p}\sup_{B_{j}}|s|,
\leqno(5.2)
$$
où $A = \max_{1\leq j\leq m}\diam \varphi_{j}(B_{j})$ ne dépend que
de~$E$, et où $C_{F}$ est une constante${}\geq 0$ qui dépend de 
la métrique de~$F$.

Soit $\rho\leq r=\rang(F)$ le maximum pour $x\in X$ de la dimension du 
sous-espace de la fibre $F_{x}$ engendré par les vecteurs $s(x)$ 
lorsque $s$ décrit $\bigcup_{k\in\bN}H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$. 
Si $\rho=0$, alors $H^{0}(X,E^{k}\otimes F)=0$ pour tout~$k$. 
Distinguons maintenant deux cas suivant que $\rho=1$ ou~$\rho>1$.

(a) {\it Supposons $\rho=1$}.

Soit $h_{k}=\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, supposée${}>0$. 
Sous l'hypothèse $\rho=1$, les sections globales de $E^{k}\otimes F$
définissent une application holomorphe
$$
\Phi_{k}:X\ssm Z_{k}\to\bP^{h_{k}-1}(\bC)
$$
où $Z_{k}\subset X$ est le sous-ensemble analytique de leurs zéros 
communs. Soit $d$ le rang maximum de la différentielle $\Phi_{k}'$ sur
$X\ssm Z_{k}$. On a nécessairement $d\leq a$, sinon le corps des 
fractions rationnelles de $\bP^{h_{k}-1}(\bC)$ induirait un corps de fonctions
méromorphes sur~$X$ de degré de transcendance${}\geq d>a$, ce qui 
est absurde. Choisissons pour tout $j=1, \ldots, m$ un point $x_{j}\in B_{j}'
\ssm Z_{k}$ tel que $\Phi_{k}'$ soit de rang maximum${}=d$ en $x_{j}$, et soit 
$s_{0}\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ une section qui ne s'annule en aucun 
point~$x_{j}$. Pour tout $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, le quotient 
$s/s_{0}$ est bien défini en tant que fonction méromorphe sur~$X$, 
et de plus $s/s_{0}$ est une fonction holomorphe au voisinage de~$x_{j}$, 
constante le long des fibres de~$\Phi_{k}$. Comme $\Phi_{k}$ est une 
subimmersion au voisinage de chaque point~$x_{j}$, on peut choisir une 
sous-variété $M_{j}$ de dimension $d$ passant par $x_{j}$ et 
transverse à la fibre $\Phi_{k}^{-1}(\Phi_{k}(x_{j}))$. La section $s$
s'annulera à l'ordre $p$ en chaque point $x_{j}$, 
$1\leq j\leq m$, si et seulement si les dérivées partielles 
d'ordre${}<p$ de $s/s_{0}$ le long de $M_{j}$ s'annulent en~$x_{j}$.
Ceci correspond au total à l'annulation de
$$
m{p+d-1\choose d}
$$  
dérivées. Si nous choisissons $p=[Ak+C_{F}]+1$, alors 
l'inégalité (5.2) entraîne
$$
\sup_{X}|s|\leq\Big(\frac{e}{3}\Big)^{p}\sup_{X}|s|,
$$
d'où $s=0$. Comme $d\leq a$, nous obtenons par conséquent
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq m{p+a-1\choose a}
\leq C_{E}k^{a}+o(k^{a})
$$
avec $C_{E}=mA^{a}/a!$~.

(b) {\it Supposons $\rho>1$}.

Il existe alors des sections $s_{t}\in H^{0}(X,E^{k_{t}}\otimes F)$, 
$1\leq t\leq\rho$, et un point $x_{0}\in X$ tels que les vecteurs 
$s_{1}(x_{0}), \ldots, s_{\rho}(x_{0})$ soient linéairement 
indépendants. Par construction, pour tout $k\in\bN$ et toute 
section $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, la droite $\bC\cdot s(x)$ est 
contenue dans le sous-espace engendré par 
$(s_{1}(x), \ldots,s_{\rho}(x))$, sauf peut-être au-dessus du 
sous-ensemble analytique $\{x\in X;s_{1}
\wedge\ldots\wedge s_{\rho}(x)\}=0$. On a donc un morphisme injectif
$$
H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\to\bigoplus_{1\leq t\leq\rho}H^{0}(X,E^{k+k_{\hat{t}}}
\otimes\Lambda^{p}F)
$$
où $k_{\hat t}=(k_{1}+\cdots+k_{\rho})-k_{t}$, dont la composante d'indice $t$
est donnée par le morphisme 
$s\to s_{1}\wedge\cdots\wedge\widehat{s}_{t}\wedge
\cdots\wedge s_{\rho}\wedge s$. L'image de 
$H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ sur chaque composante est formée 
de sections colinéaires en presque tout point
à $s_{1}\wedge\cdots\wedge s_{\rho}$. On se retrouve donc dans
une situation analogue à celle du (a), où $F$ est remplacé
par $E^{k_{\hat{t}}}\otimes\Lambda^{\rho}F$~; par suite~:
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq C_{E}\rho k^{a}+o(k^{a}),\qquad\rho\leq r.
\eqno\square 
$$
Choisissons en particulier pour $F$ le fibré trivial $X\times\bC$. En comparant 
les théorèmes 4.4 et 5.1, nous obtenons la caractérisation 
géométrique suivante des variétés de Moi\v{s}ezon.
\medskip

{\statement Théorème 5.2.\pointir} {\it Pour qu'une variété 
$\bC$-analytique compacte connexe $X$ de dimension~$n$ soit de 
Moi\v{s}ezon, il suffit qu'il existe un fibré en droites
holomorphe hermitien $E$ au-dessus de $X$ tel que  
$$\int_{X(\leq 1)}(ic(E))^{n}>0.\eqno\square $$}\vskip-\parskip

Ce théorème entraîne à son tour le théorème 0.8 
puisque 0.8 (c)${}\Rightarrow{}$0.8(b)${}\Rightarrow{}$0.8(a).
On~améliore ainsi les résultats de Y.T.~Siu [17], [18], et on 
retrouve donc en particulier une nouvelle démonstration de la 
conjecture de Grauert-Riemenschneider [10].
\bigskip

{\bigbf Bibliographie}
{\parindent=7.5mm
\medskip

\item{[1]} {\petcap M.F.\ Atiyah {\rm and} I.M.\ Singer}, {\it The index of 
elliptic operators III}, Ann.\ of Math., {\bf 87} (1978), 546--604.

\item{[2]} {\petcap J.\ Avron, I.\ Herbst {\rm and} B.\ Simon}, {\it 
Schrödinger operators with magnetic fields~I}~; 
Duke Math.\ J., {\bf 45} (1978), 847--883.

\item{[3]} {\petcap Y.\ Colin de Verdière}, {\it Calcul du spectre 
de certaines nilvariétés compactes de dimension $3$}~;
Séminaire de Théorie spectrale et Géométrie, 
Grenoble-Chambéry, 1983-84 (exposé n${}^{\circ}$5).

\item{[4]} {\petcap Y.\ Colin de Verdière}, {\it Minorations de 
sommes de valeurs propres et conjecture de Polya}~; Séminaire de 
Théorie spectrale et Géométrie, Grenoble-Chambéry, 1984-85.

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\item{[6]} {\petcap J.-P.\ Demailly}, {\it Sur l'identité de 
Bochner-Kodaira-Nakano en géométrie hermitienne}~;
Séminaire P.~Lelong, P.~Dolbeault, H.~Skoda 
(Analyse), 1983-84, Lecture Notes in Math. n${}^\circ$1198, 
Springer-Verlag, 88--97.

\item{[7]} {\petcap J.-P.\ Demailly}, {\it Une preuve simple de la 
conjecture de Grauert-Riemenschneider}~; Séminaire P.\ Lelong, P.\ Dolbeault-H.\ Skoda (Analyse), 1984-1985, Lecture Notes in Math. n${}^\circ$1295,
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\item{[8]} {\petcap J.-P.\ Demailly}, {\it Champs magnétiques et 
inégalités de Morse pour la $d''$-cohomo­logie}~; Note aux C.R.A.S., 
Paris, 13 mai 1985.

\item{[9]} {\petcap A.\ Dufresnoy}, {\it Comportement asymptotique de la
distribution des valeurs propres de l'équation de Schrödinger 
associée à certains champs magnétiques sur un cylindre}~; 
Séminaire de Théorie spectrale et Géométrie,
Grenoble-Chambéry 1983-84 (exposé n${}^{\circ}$4).

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Verschwindungssätze für analytische Kohomologiegruppen auf
Komplexen Raüme}~; Invent.\ Math., {\bf 11}
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complex analysis II: embedding with positive normal bundle}~; 
Amer.\ J.\ of Math., {\bf 88} (1966), 366--446.

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la distribution des valeurs propres de l' opérateur de Schrödinger
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mathematical Physics, vol.\ I-II-III-IV}~; New York, Academic Press, 1978.

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Math.\ Phys.\ K., (1955), n${}^{\circ}$4, 71--77.

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\item{[18]} {\petcap E.\ Witten}, {\it Supersymmetry and Morse theory}~; 
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\item{[19]} {\petcap E.\ Witten}, {\it Holomorphic Morse inequalities}~; 
Teubner-Texte zur Math., band 70, Algebraic and Differential Topology, 
Ed.\ G.\ M.\ Rassias (1984), 318--333.\par}
\bigskip

Manuscrit reçu le 30 mai 1985.
\medskip

Jean-Pierre Demailly\\
Université de Grenoble I, Institut Fourier\\
Laboratoire de Mathématiques, B.P.\ 74\\
38402 St-Martin d'Hères Cedex

\end


