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% Usual sets of numbers  
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\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}

% Special defs
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\def\Vol{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\def\\{\hfil\break}
\font\bigbf=cmbx10 at 12pt

{\bigbf Sur le rapport isop\'erim\'etrique du t\'etra\`edre}
\medskip
{\bf par Jean-Pierre Demailly\\ 
Professeur \`a l'Universit\'e Joseph Fourier de Grenoble\\
Membre correspondant de l'Acad\'emie des Sciences}
\bigskip

Si $K$ est un domaine \`a bord ferm\'e born\'e de l'espace $\bR^n$, on
d\'efinit le rapport isop\'eri\-m\'etrique de $K$ comme le quotient
$$
\rho(K) = {\Vol_{n-1}(\partial K)^{1/(n-1)}\over \Vol_n(K)^{1/n}},
$$
comparant l'aire de la fronti\`ere $\partial K$ et le volume de $K$ 
(une fois ceux-ci ramen\'es \`a des dimensions homog\`enes). Il est bien 
connu que ce rapport est minimal lorsque $K$ est une boule euclidienne.

On se propose ici de r\'esoudre le probl\`eme suivant en dimension $3$~:
{\it \'etant donn\'e un triangle $ABC$, comment choisir le
quatri\`eme sommet $D$ de fa\c{c}on que le rapport isop\'erim\'etrique du
t\'etra\`edre $ABCD$ soit minimal~?}

Pour \'etudier ce probl\`eme, on recherche les extrema de la fonction
$$
f(M)=\rho(ABCM) = {\Vol_2(\partial(ABCM))^{1/2}\over \Vol_3(ABCM)^{1/3}}.
$$
Choisissons un rep\`ere orthonorm\'e en sorte que le plan $(ABC)$
soit le plan d'\'equation $z=0$ et d\'esignons par $M\,(x,y,z)$ les
coordonn\'ees de $M$ (avec $z\ne 0$). Soit $P\,(x,y,0)$ la projection
orthogonale de $M$ sur le plan $(ABC)$ et $H_{AB}$ le pied de la
hauteur issue de $M$ dans le triangle $ABM$, \'egal \`a la projection
orthogonale de $P$ sur la droite $(AB)$. On utilisera de m\^eme les
notations $H_{BC}$, $H_{CA}$.  Si $S$ est l'aire du triangle $ABC$, on
obtient
$$
\eqalign{
\Vol_3(ABCM)&={1\over 3}S|z|,\cr
\Vol_2(\partial(ABCM))&=S+{1\over 2}
(AB\cdot MH_{AB} + BC\cdot MH_{BC}+ CA\cdot MH_{CA})}
$$
avec (par exemple)
$$
MH_{AB}=\sqrt{z^2+PH_{AB}^2}.
$$
Calculons la diff\'erentielle de $f$. On se place d'abord dans un
plan ``horizontal'' $z=z_0$, $z_0\ne 0$. Comme $\ovra{dH_{AB}}$ est
colin\'eaire \`a $(AB)$ et donc orthogonal \`a $\ovra{PH_{AB}}$, on
trouve
$$
d(MH_{AB}) = {d(\ovra{PH_{AB}}^2)\over 2 MH_{AB}} 
= {-\ovra{PH_{AB}}\cdot \ovra{dP} \over MH_{AB}}.
$$
On obtient donc
$$
{d\big(\Vol_2(\partial(ABCM))\big)}_{|z=z_0}\!\!\!{}=
-{1\over 2}\Big({AB\over MH_{AB}}\ovra{PH_{AB}}+
{BC\over MH_{BC}}\ovra{PH_{BC}}+{CA\over MH_{CA}}\ovra{PH_{CA}}\Big)
\cdot \ovra{dP}.
$$
Comme $\ovra{dP}$ est quelconque, la diff\'erentielle est nulle si et 
seulement si on a la relation 
$$
\gamma\ovra{PH_{AB}}+\alpha\ovra{PH_{BC}}+\beta\ovra{PH_{CA}}=\ovra 0\quad
\hbox{avec}~~
\gamma={AB\over MH_{AB}},~\alpha={BC\over MH_{BC}},~
\beta={CA\over MH_{CA}}
$$
et $\alpha,\beta,\gamma>0$. Ceci implique que le point $P$
est strictement int\'erieur au triangle $H_{AB}H_{BC}H_{CA}$. Montrons que 
cette relation implique en fait que $P$ est strictement int\'erieur au
triangle $ABC$.

Sinon $P$ serait par exemple dans le demi-plan ferm\'e d'ar\^ete $(BC)$ ne 
contenant pas $A$, d'o\`u $P\ne A$. Si $K$ est sa projection orthogonale sur
la hauteur issue de~$A$, on disposerait des relations
$$
\lambda=\ovra{PA}\cdot\ovra{PH_{BC}}=\ovra{KA}\cdot\ovra{PH_{BC}}\ge 0.
$$
Or l'appartenance de $H_{CA}$ et de $H_{AB}$ au cercle de diam\`etre
$PA$ implique les relations
$$
\mu=\ovra{PA}\cdot\ovra{PH_{CA}}\ge 0,\quad
\nu=\ovra{PA}\cdot\ovra{PH_{AB}}> 0,\quad \hbox{$\mu>0$ ou $\nu>0$}
$$
puisque, si les deux nombres $\mu$ et $\nu$ \'etaient nuls ensemble, les
quatre points $P$, $H_{CA}$, $H_{AB}$ et $A$ seraient confondus. Par
suite $\beta\mu+\gamma\nu>0$. Enfin, les \'egalit\'es
$$
0=\ovra{PA}\cdot(\gamma\ovra{PH_{AB}}+\alpha\ovra{PH_{BC}}+\beta\ovra{PH_{CA}})
=\alpha\lambda+\beta\mu+\gamma\nu
$$
impliqueraient les in\'egalit\'es contradictoires
$$
0\le \lambda=-{\beta\mu+\gamma\nu\over\alpha}<0,
$$
qui ach\`event de prouver l'absurdit\'e de l'hypoth\`ese.

Dans le cas d'un t\'etra\`edre d\'eg\'en\'er\'e dont le sommet $M=P$
appartient \`a l'int\'erieur du triangle $ABC$, on a
$\Vol_2(\partial(ABCM))=2S= \hbox{Cte}$. La diff\'erentielle de l'aire
lorsque $M=P\in ABC$ varie est donc nulle, ce qui donne l'identit\'e
$$
\ovra{0}={AB\over PH_{AB}}\ovra{PH_{AB}}+
{BC\over PH_{BC}}\ovra{PH_{BC}}+{CA\over PH_{CA}}\ovra{PH_{CA}}
$$
pour tout point $P\in ABC$. Par combinaison lin\'eaire et \'elimination
du vecteur $\ovra{PH_{CA}}$ (disons), on trouve
$$\eqalign{
{d\big(\Vol_2(\partial(ABCM))\big)}_{|z=z_0}={}
\bigg[&{AB\over 2}\Big({PH_{CA}\over MH_{CA}}{1\over PH_{AB}}-
{1\over MH_{AB}}\Big)\ovra{PH_{AB}}\cr
+{}&{BC\over 2}\Big({PH_{CA}\over MH_{CA}}{1\over PH_{BC}}-
{1\over MH_{BC}}\Big)\ovra{PH_{BC}}\bigg]
\cdot \ovra{dP}.\cr}
$$
Comme les vecteurs $\ovra{PH_{AB}}$ et $\ovra{PH_{BC}}$ sont lin\'eairement
ind\'ependants, la diff\'erentielle est nulle si et seulement si les deux
coefficients sont nuls, c'est-\`a-dire si et seulement si
$$
{MH_{AB}\over PH_{AB}}={MH_{BC}\over PH_{BC}}={MH_{CA}\over PH_{CA}}.
$$
En \'elevant au carr\'e (et en tenant compte des relations du type
$MH_{AB}=\sqrt{z^2+PH_{AB}^2}$) ceci \'equivaut \`a
$$
PH_{AB}=PH_{BC}=PH_{BA},
$$
c'est-\`a-dire que $P$ doit-\^etre le centre $I\,(x_0,y_0,0)$ du cercle inscrit
dans le triangle $ABC$. On voit que la fonction 
$$
M\mapsto \Vol_2(\partial(ABCM))
$$ 
admet $I$ comme seul point critique.

Or cette fonction tend vers $+\infty$ lorsque $M$ tend vers $+\infty$ dans
le plan $z=z_0$. Les in\'egalit\'es 
$$
2\,\Vol_2(\partial(ABCM))>AB\cdot MH_{AB}+AC\cdot MH_{AC}>
AB\cdot PH_{AB}+AC\cdot PH_{AC}
$$ 
montrent en effet qu'il suffit de d\'emontrer que
$g(P)=PH_{AB}+AC\cdot PH_{AC}$ tend vers $+\infty$ \`a l'infini,
lorsque $P$ d\'ecrit le plan $z=0$. Or dans le rep\`ere
$(A;\ovra{AB},\ovra{AC})$, cette fonction s'\'ecrit sous la forme
$$
g(P)=a|x|+b|y|
$$
avec $a$ et $b$ strictement positifs, et l'affirmation en d\'ecoule.

Par cons\'equent $(x_0,y_0,z_0)$ est le minimum absolu de $f(M)$ dans le 
plan $z=z_0$. Soit
$$
r=IH_{AB}=IH_{BC}=IH_{BA}
$$
le rayon du cercle inscrit. On trouve
$$
f(M)={\big(S+{1\over 2}(AB+BC+CA)\sqrt{z^2+r^2}\big)^{1/2}\over
\big({1\over 3}Sz\big)^{1/3}}.
$$
Avec les notations usuelles $2p=AB+BC+CA$, on sait que $S=pr$, donc
$$
f(M)=3^{1/3}p^{1/6}r^{-1/6}{(1+\sqrt{(z/r)^2+1})^{1/2}\over (z/r)^{1/3}}.
$$
Un calcul \'el\'ementaire montre que la fonction $t\mapsto
{(1+\sqrt{t^2+1})^{1/2}\over t^{1/3}}$, qui tend vers $+\infty$ quand 
$t\to 0_+$ et quand $t\to+\infty$, atteint un unique minimum au point
$t=2\sqrt 2$ (et alors $f(M)=2^{1/2}3^{1/3}p^{1/6}r^{-1/6}$). On peut donc 
\'enoncer~:
\medskip

{\bf Proposition.} {\it Lorqu'un t\'etra\`edre $ABCD$ a une face $ABC$
fix\'ee, le rapport isop\'eri\-m\'etrique du t\'etra\`edre est
minimal pr\'ecis\'ement lorsque la projection orthogonale de $D$ 
sur le plan $(ABC)$ co\"{\i}ncide avec le centre $I$ du cercle inscrit dans
le triangle $ABC$, avec de plus $ID=2\sqrt{2}\,r$ o\`u $r$ est le rayon de
ce cercle.}

On peut m\^eme aller un tout petit peu plus loin, en cherchant la
valeur minimale de $p/r$. C'est le r\'eel $3\sqrt{3}$, obtenu lorsque
le triangle $ABC$ est \'equilat\'eral. En effet
$$
{p\over r}={p^2\over S}={1\over\sqrt{uvw}}
$$
o\`u les trois nombres $u$, $v$ et $w$, respectivement \'egaux \`a
$(p-BC)/p$, $(p-CA)/p$, $(p-AB)/p$, admettent $1$ pour somme. Le
th\'eor\`eme classique de Cauchy sur les comparaisons entre moyennes
arithm\'etique et g\'eom\'etrique montre que $uvw$ est maximum pour $u
= v = w$, d'o\`u le r\'esultat.

Par suite le minimum absolu du rapport isop\'erim\'etrique du
t\'etra\`edre est $2^{1/2}3^{7/12}$. Cette valeur
$2^{1/2}3^{7/12}\simeq 2,684328916$ est \`a comparer \`a celle obtenue
pour la boule $(36\,\pi)^{1/6}\simeq 2,199085233$. Elle est atteinte
pour le t\'etra\`edre r\'egulier et seulement par lui, ce qui est
assez classique dans ce genre de probl\`emes. On peut m\^eme noter que
toute valeur sup\'erieure ou \'egale \`a ce minimum est effectivement
atteinte par un t\'etra\`edre au moins.


Nous sommes donc ici dans un cadre assez rare, o\`u l'on peut 
d\'eterminer \`a la fois un minimum, absolu et strict, ainsi que les valeurs 
effectivement prises par la fonction \`a optimiser.
\bigskip\bigskip

{\bf Note sur l'origine du probl\`eme du ``t\'etra\`edre joufflu''}
\medskip                   
{\bf par Yves Br\'echet\\
Professeur \`a l'Institut National Polytechnique de Grenoble}
\bigskip

Il s'agit d'un probl\`eme de m\'ecanique des fluides, plus
pr\'ecis\'ement d'acoustique, pour concevoir des structures amortissant
le bruit des r\'eacteurs d'avion : on a besoin de r\'esoudre des
\'equations aux d\'eriv\'ees partielles pour obtenir l'\'ecoulement du
gaz et la dissipation, et ce dans des g\'eom\'etries un peu complexes
(empilement de billes).  Dans ces situations les \'equations de Navier
Stokes doivent \^etre r\'esolues num\'eriquement, et l'on utilise des
calculs par \'el\'ements finis. La discr\'etisation de l'espace se
fait par des pavages de t\'etra\`edres, et les calculs sont plus
rapides et plus pr\'ecis quand les t\'etra\`edres sont r\'eguliers. Au
voisinage des parois courbes, il faut discr\'etiser les surfaces par
des triangles qui ne peuvent pas tous \^etre r\'eguliers.  On doit
donc, pour un triangle de base donn\'e, construire le t\'etra\`edre le
plus ``joufflu''. C'est un beau probl\`eme de g\'eom\'etrie, motiv\'e
par un probl\`eme de m\'ecanique, n\'ecessaire pour inventer un
mat\'eriau nouveau$\,\ldots$ et pour am\'eliorer le confort du citoyen~!

R\'ef\'erence~: S.\ Gasser, th\`ese de l'INPG (2003) en science des
mat\'eriaux sur les ``{\it Propri\'et\'es m\'ecaniques et acoustiques d'un
mat\'eriau m\'etallique poreux \`a base de sph\`eres creuses de
Nickel}$\;$''.

\end









