\magnification=1200
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\parindent=0mm \parskip=6pt plus 2pt minus 2pt

\input macros_ocr.tex

\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\def\lrcorner{\mathrel{\kern1pt\vrule width 0.45em depth 0em height 0.04em
\vrule width 0.05em depth 0em height 0.65em\kern1pt}}
\def\Dom{\mathop{\rm Dom}}
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\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}

\footline{\hfill}
\headline{\ifnum \pageno=1 \hfil\else
\ifodd \pageno {\sevenbf \hfil
Sur l'identité de Kodaira-Nakano en géométrie hermitienne\hfil\folio}
\else {\sevenbf \folio\hfil Séminaire P.~Lelong, P.~Dolbeault, H.~Skoda
1983/1984\hfil} \fi\fi}

\def\statement{\bf}

{\sevenrm\baselineskip=8pt
Séminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\
(Analyse) 24e année, 1983/84\\
Lecture Notes in Math.\ {\sevenbf 1198}, Springer, pages 88--97
\vskip1.5cm}

\centerline{\hugebf Sur l'identité de Kodaira-Nakano}
\medskip
\centerline{\hugebf en géométrie hermitienne} 
\bigskip
\centerline{par Jean-Pierre Demailly}
\vskip5pt
\centerline{{\it Université de Grenoble I, Institut Fourier}}
\centerline{{\it 
Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.\ n$^\circ$188}}
\centerline{{\it BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Hères, France}}
\vskip1cm

{\leftskip=9mm\rightskip=9mm
Nous démontrons une identité de Kodaira-Nakano généralisée,
reliant les Laplaciens de Beltrami holomorphes et anti-holomorphes d'un 
fibré vectoriel hermitien au-dessus d'une variété complexe
hermitienne, avec calcul explicite des termes de torsion.
\medskip
We prove a generalized Kodaira-Nakano identity relating holomorphic and 
anti-holo­mor­phic Laplace-Beltrami operators of a hermitian vector 
bundle over a hermitian complex manifold, with explicit computations 
of torsion terms.\par}
\bigskip\bigskip

{\bigbf 0. -- Introduction et notations.}

Soit $E$ un fibré vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus d'une variété analytique complexe $X$ de dimension $n$. On désigne par $D=D'+D''$ la connexion canonique de $E$ et par $c(E)=D^2=D'D''+D''D'$ la forme de courbure associée. On suppose donnée une metrique hermitienme
$$
\omega=i\sum_{1\leq j,k\leq n}\omega_{jk}\,dz_j\wedge d\overline{z}_k
$$
de classe $\cC^{\infty}$ sur $X$. Le module bigradué $\bigoplus_{p,q}
\cD_{p,q}(X,E)$ des formes différentielles $\cC^{\infty}$ à support 
compact dans $X$ et à valeurs dans $E$ se trouve alors muni d'un 
produit scalaire
$$
\Langle u|v\Rangle=
\int_{X}\langle u,v\rangle\,dV,\qquad dV=\frac{1}{n!}\omega^n,
$$
où le produit scalaire ponctuel $\langle u, v\rangle$ est défini 
à l'aide de $\omega$ et de la métrique sur les fibres de~$E$. 
On désigne par $\delta'$, $\delta''$ les adjoints (formels) de $D'$ et 
$D''$ opérant sur $\cD_{\bullet,\bullet}(X,E)$ et par $L$ 
l'opérateur $Lu=\omega\wedge u$ et $\Lambda$ l'adjoint de~$L$. 
On note enfin
$$
[A,B] = AB -(-1)^{\deg A\deg B} BA
$$
le crochet de l'algèbre de Lie graduée des endomorphismes de 
$\cD_\bullet(X,E)$ et
$$
\Delta'=[D',\delta'],\qquad \Delta''=[D'',\delta'']
$$
les opérateurs de Laplace-Beltrami holomorphe et anti-holomorphe. On a alors l'identité classique suivante, attribuée a Bochner-Calabi-Kodaira-Nakano.
\medskip

{\statement Théorème.\pointir} {\it Si la métrique $\omega$ est 
kählerienne $($i.e.\ $d\omega=0)$, on a l'égalité
$$
\Delta''=\Delta'+[ic(E),\Lambda].
$$}\vskip-\parskip

Les demonstrations usuelles de cette identité reposent sur la
relation de commuta[ion $[\Lambda,D'] =i\delta''$ (voir aussi
P.~Griffiths [1] pour une autre méthode). Dans le cas où
$\omega$ n'est pas kählérienne apparaît un terme de
torsion supplémentaire que nous nous proposons d'expliciter
complètement. De telles formules avaient déjà été
étudiées dans la thèse de J.~Le Potier [2] et l'article de
T.~Ohsawa [3] pour démontrer des théorèmes d'annulation de
la cohomologie. Comme la thèse de Le Potier n'est pas aisément
accessible, nous avons jugé utile de refaire une partie des
calculs en détail, par une méthode d'ailleurs plus
élémentaire qui n'utilise pas les formes primitives et la
décomposition de Lepage. Nous avons d'autre part poussé les
calculs plus loin de manière à simplifier l'écriture des
opérateurs d'ordre un «parasites»\ dus à la
torsion dans l'identité de Kodaira-Nakano (cf.~théorème 2.12).
\bigskip

{\bigbf 1. -- Relations de commutation.}

Si $a$ est un élément de l'algèbre extérieure 
$\bigwedge\Hom_{\bR}(TX,\bC)$, on note encore $a$ l'opérateur 
de multiplication extérieure $u\mapsto a\wedge u$. Le produit
intérieur par $\overline{a}$ est par définition l'opérateur 
adjoint $a^{*}$ :
$$
\langle\overline{a}\lrcorner u,v\rangle=\langle a^{*}u,v\rangle =
\langle u,\ a\wedge v\rangle.
$$
Nous allons démontrer les relations de commutation suivantes.
\medskip

{\statement Théorème 1.1.\pointir} {\it Soit $\tau$ l'opérateur de 
type $(1,0)$ défini par $\tau=[\Lambda,d'\omega]$. Alors~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $[\delta'',L] = i(D'+\tau),$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $[\delta',L] = -i(D''+\overline\tau),$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $[\Lambda,D''] = -i(\delta'+\tau^*),$
\vskip2pt
\item{\rm(d)} $[\Lambda,D'] = i(\delta''+\overline\tau^*)$.
\vskip2pt}
$d'\omega$ sera appelée forme de torsion et $\tau$ opérateur 
de torsion.}
\medskip


Les relations (c) et (d) résultent de (a) et (b) par
adjonction. Grâce au lemme ci-dessous, on peut supposer en fait
que $E$ est le fibré trivial $X\times\bC$ avec métrique
constante, et que $D=d=d'+d''$.
\medskip

{\statement Lemme 1.2.\pointir} {\it Pour tout $x_0\in X$, il existe un repère holomorphe $(e_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq r}$ de $E$ au voisinage de $x_0$ tel que
$$
\langle e_{\lambda}(z),e_{\mu}(z)\rangle=\delta_{\lambda\mu}+O(|z|^2)
$$
relativement à un système de coordonnées locales $(z_j)_{1\leq j\leq n}$ centré en $x_0$.}
\medskip

En effet, si $(h_{\lambda})$ est un repère holomorphe de $E$ orthonormé au point $x$ et si
$$
\langle h_\lambda(z),h_\mu(z)\rangle=\delta_{\lambda\mu}+\sum_j
(c_{\lambda\mu j}z_j+c'_{\lambda\mu j}\overline{z}_j)+O(|z|^2),\qquad
c'_{\lambda\mu j}=\overline{c_{\mu\lambda j}},
$$
il suffit de poser
$$
e_{\lambda}(z)=h_{\lambda}(z)-\sum_{\mu,j}c_{\lambda\mu j}(z)h_\mu(z).\eqno\square
$$

Étant donné une section $s=\sum_{\lambda}s_{\lambda}\otimes e_{\lambda}$ 
de $\cC_{p,q}^{\infty}(X,E)$ on a alors
$$
\eqalign{
D_{E}s&=\sum_\lambda ds_{\lambda}\otimes e_{\lambda}+O(|z|)\cr
\delta_{E}''s&=\sum_\lambda\delta''s_{\lambda}\otimes e_{\lambda}+O(|z|),~\ldots~,
\cr}
$$
ce qui ramène la preuve du théorème~1.1 au cas du fibré trivial
$X\times\bC$.

Soit maintenant $(z_j)_{1\leq j\leq n}$ un système de coordonnées locales
centré en un point $x_0\in X$, tel que $dz_j(x_0)$ soit une base 
orthonormée de l'espace cotangent pour la métrique $\omega(x_0)$.
Posons
$$
\eqalign{
\omega_0&=i\sum_{1\leq j\leq n}dz_j\wedge d\overline{z}_j\cr
\omega&=\omega_0+\gamma\qquad\hbox{avec~$\gamma=O(|z|)$}.\cr}
$$
Désignons par $\langle~,~\rangle_0$, $L_0$ , $\Lambda_0$ ,
$\delta_0'$ , $\delta_0''$ le produit scalaire et les
opérateurs associés à la métrique $\omega_0$ et soit
$dV_0=\frac{1}{n!}\omega_0^n$. Les relations de commutation de la
géométrie kählérienne dans $\bC^n$ impliquent
$$
[\delta_0'',L]=id'.
$$
La démonstration des relations 1. 1 $(a-d)$ se fait maintenant
grâce à un développement limité des opérateurs
$L$, $\Lambda$ , $\delta'$, $\delta''$ en fonction de ces mêmes
opérateurs «figés\rguil\ au point~$x_0$.
\medskip

{\statement Lemme 1.3.\pointir} {\it Soient $u$, $v$ deux $(p,q)$-formes 
$\cC^{\infty}$ sur~$X$. Alors
$$
\langle u,v\rangle\,dV=\langle u-[\gamma,\Lambda_0]u,v\rangle_0\,dV_0
+O(|z|^2)
$$
au voisinage de $x_0$.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- Soit
$$
\gamma=i\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_j\,\zeta_j\wedge\overline{\zeta}_j,\qquad
\gamma_1\leq \gamma_2\leq\cdots\leq \gamma_n
$$
une diagonalisation de la $(1,1)$-forme $\gamma(z)$ dans une base $(\zeta_j)$ 
de $T_{z}^{*}X$ , orthonormée relativement à $\omega_0(z)$. On a alors
$$
\omega=\omega_0+\gamma=i\sum_{1\leq j\leq n}
\lambda_j\,\zeta_j\wedge\overline{\zeta_j}
$$
avec $\lambda_j=1+\gamma_j$ et $\gamma_j=O(|z|)$. Posons
$$
\eqalign{
J&=\{j_1,\ldots,j_p\},\qquad \zeta_J=\zeta_{j_1}\wedge\ldots\wedge\zeta_{j_p},
\qquad\lambda_J=\lambda_{j_1}\ldots\lambda_{j_p},\cr
u&=\sum_{|J|=p,\,|K|=q} u_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline\zeta_K,\qquad
v=\sum_{|J|=p,\,|K|=q} v_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline\zeta_K\cr}
$$
où la somme est étendue aux multi-indices $J$, $K$ {\it croissants} 
tels que $|J|=p$ , $|K|=q$. Relativement à $\omega$ on a 
$\langle\zeta_j,\zeta_j\rangle=\lambda_j^{-1}$, d'où
$$
\eqalign{
\langle u,v\rangle\, dV
&=\sum_{J,K}\lambda_J^{-1}\lambda_K^{-1}u_{J,K}\overline v_{J,K}
\,\lambda_1\ldots\lambda_n\,dV_0\cr
&=\sum_{J,K}\Big(1-\sum_{j\in J}\gamma_j-\sum_{j\in K}\gamma_j+
\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_j\Big)u_{J,K}\overline V_{J,K}\,dV_0+
O(|z|^2).\cr}
$$
Le lemme 1.3 est alors conséquence du lemme suivant~:
\medskip

{\statement Lemme 1.4.\pointir} {\it On a
$$
[\gamma,\Lambda_0]u=\sum_{J,K}\Big(\sum_{j\in J}\gamma_j+\sum_{j\in K}\gamma_j
-\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_j\Big)u_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline{\zeta}_K,
$$}%
lequel résulte à son tour des formules
$$
\eqalignno{
\Lambda_0u
&=i(-1)^{p}\sum_{j\notin L\cup M}u_{jL,jM}\,\zeta_L\wedge\overline\zeta_M,
\qquad|L|=p-1,\quad|M|=q-1,\cr
\gamma\wedge u
&=i(-1)^p\sum_{k\notin J\cup K}\gamma_k u_{J,K}\,\zeta_{kJ}\wedge
\overline\zeta_{kK},\cr
[\gamma,\Lambda_0]u
&=\sum_{j,k\notin L\cup M}\gamma_ku_{jL,jM}\,\zeta_{kL}\wedge\overline\zeta_{kM}-
\sum_{j=k\notin J\cup K}\gamma_ku_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline\zeta_K\cr
&\phantom{{}=\sum_{j,k\notin L\cup M}\gamma_k
u_{jL,jM}\,\zeta_{kL}\wedge\overline\zeta_{kM}}
-\sum_{j,k\notin L\cup M,\,j\ne k}\gamma_ku_{jL,jM}\,\zeta_{kL}
\wedge\overline\zeta_{kM}\cr
&=\sum_{J,K}\Big(\sum_{j\in J\cap K}\gamma_j-\sum_{j\not\in J\cup K}\gamma_j
\Big)u_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline{\zeta}_K.&\square\cr}
$$

{\statement Proposition 1.5.\pointir} {\it On a
$\delta''=\delta_0''+[\Lambda_0,[\delta_0'',\gamma]]$ au point $x_0$,
i.e.\ en ce point les deux opérateurs ont même écriture formelle.}
\medskip

{\it Démonstration}. -- D'après le lemme 1.3, $\delta''$ coïncide
en $x_0$ avec l'adjoint de $d''$ pour la métrique
$$
\Langle u|v\Rangle_1=\int_{X}\langle u
-[\gamma,\Lambda_0]u|v\rangle_0\,dV_0.
$$
Pour tous $u\in\cD_{p,q}(X)$ et $v\in\cD_{p,q-1}(X)$ on a par définition
$$
\Langle u|d''v\Rangle_1
=\int_{X}\langle u-[\gamma,\Lambda_0]u,d''v\rangle_0\,dV_0
=\int_{X}\langle\delta''_0u-\delta''_0[\gamma,\Lambda_0]u,v\rangle_0\,dV_0.
$$
Comme $\omega$ et $\omega_0$ coïncident au point $x_0$ et comme 
$\gamma(x_0)=0$, on obtient en ce point :
$$
\delta''u=\delta''_0u-\delta''_0[\gamma,\Lambda_0]u
=\delta''_0u-[\delta''_0,[\gamma,\Lambda_0]]u,
$$
c'est-à-dire
$$
\delta''=\delta''_0-[\delta''_0,[\gamma,\Lambda_0]].
$$
On utilise maintenant l'identité de Jacobi
$$
(-1)^{ca}[A,[B,C]]+(-1\perp)^{ab}[B,[C,A]]+(-1)^{b_{C}}[C,[A,B]]=0
\leqno(1.6)
$$
uù $a, \,b,\, c$ sont les degrés respectifs de $A,\, B,\,C$. Il vient
$$
[\Lambda_0,\delta''_0]=[d'',L_0]^*=0,
$$
par suite
$$
[\delta''_0,[\gamma,\Lambda_0]]+
[\Lambda_0,[\delta''_0\gamma]]=0.
$$
ce qui démontre 1.5.\hfil\square\medskip

{\it Démonstration du théorème 1.1.} -- Il suffit de prouver 
(a), la propriété (b) s'en déduit par conjugaison. 
L'égalité $L=L_0+\gamma$ et la proposition 1.5 entraînent au 
point $x_0$ la relation
$$
[L,\delta'']=[L_0,\delta''_0] +[L_0, [\Lambda_0,[\delta_0'',\gamma]]]+
[\gamma,\delta_0''],\leqno(1.7)
$$
car le crochet triple où $\gamma$ figure $2$ fois est nul en $x_0$.
Daprè l'identité (1.6) appliquée avec $C=[\delta''_0,\gamma]$ 
on obtient
$$
\cases{
[L_0,[\Lambda_0,C]]=-[\lambda_0,[C,L_0]]-[C,[L_0,\Lambda_0]],\cr
\noalign{\vskip8pt}
[C,L_0]=[L_0,[\delta''_0,\gamma]]=[\gamma,[L_0,\delta_0'']].\cr}
\leqno(1.8)
$$
La relation classique $[L_0,\delta''_0]=-id'$ donne donc
$$
[C,L_0]=-[\gamma,id']=id'\gamma=id'\omega.
\leqno(1.9)
$$
D'autre part, le lemme 1.4 montre que
$$
[L_0,\Lambda_0]u=(p+q-n)u
\leqno(1.10) 
$$
si $u$ est de bidegré $(p,q)\;$; comme $C$ est de type $(1,0)$ il vient
$$
[C,[L_0,\Lambda_0]]=-C=-[\delta_0'',\gamma].
\leqno(1.11) 
$$
D'après (1.8), (1.9), (1.11) il en résulte la relation
$$
[L_0,[\Lambda_0,[\delta''_0,\gamma]]]=-[\Lambda_0,id'\omega]+
[\delta_0'',\gamma].
$$
On obtient en définitive d'après (1.7) l'égalité~:
$$
[L,\delta'']=[L_0,\delta''_0]-[\Lambda_0,id'\omega]=-i(d'+\tau)
$$
au point $x_0$, ce qui achève la vérification de (a).\hfil\square
\medskip

Par une méthode entièrement différente, J.~Le Potier [2] a 
établi des formules analogues et a obtenu la relation essentiellement 
équivalente $\overline{\tau}^*=\frac{i}{2}
[\Lambda,[\Lambda,d'\omega]]$, cf.~lemme 2.2~(b).
\bigskip

{\bigbf 2. -- Identité de Kodaira-Nakano.}

Les relations de commutation du \S1 vont nous permettre d'exprimer 
$\Delta''$ en fonction de $\Delta'$ comme dans le cas kählérien,
modulo des termes de torsion supplémentaires.
\medskip

{\statement Proposition 2.1.\pointir} {\it On a
$$
\Delta''=\Delta'+[ic(E),\Lambda]+[D',\tau^*]-[D'',\overline\tau^*].
$$}\vskip-\parskip

{\it Démonstration}. -- L'égalité 1.1~(d) fournit 
$\delta''=-i[\Lambda,D']-\overline\tau^*$, d'où
$$
\Delta''=[D'',\delta'']=-i[D'',[\Lambda,D']]-[D'',\overline\tau^*].
$$
L'identité de Jacobi entraîne d'autre part
$$
[D'',[\Lambda,D']] = [\lambda,[D',D'']] +[D', [D'',\Lambda]]
=[\Lambda,c(E)] + i[D',\delta'+\tau^*]
$$
compte-tenu de 1.1~(c) , ce qui démontre la relation (2.1).\hfil\square
\medskip

Nous allons maintenant transformer l'égalité (2.1) de manière 
à absorber les opérateurs différentiels d'ordre un 
$[D',\tau^*]$ et $[D'',\overline\tau^*]$
dans l'écriture de $\Delta'$.
\medskip

{\statement Lemme 2.2.\pointir} {\it On a
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $[L,\tau]=3d'\omega,$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $[\Lambda,\tau] =-2i\overline\tau^*$.}}
\medskip

{\it Démonstration}. --

(a) Comme $[L, d'\omega]=0$, l'identité de Jacobi entraîne
$$
[L,\tau]=[L,[\Lambda,d'\omega]]=-[d'\omega,[L,\Lambda]]=3d'\omega
$$
compte-tenu de (1.10) et du degré de $d'\omega$, qui est égal 
à~$3$.
\medskip

(b) On a $\tau=-i[\delta'',L]-D'$ grâce à~1.1~(a), d'où
$$
[\Lambda,\tau]=-i[\lambda,[\delta'',L]]-[\Lambda,D']=-i([\Lambda,
[\delta'',L]]+\delta''+\overline\tau^*).
$$
En utilisant de nouveau (1.6) et (1.10) il vient
$$
\eqalign{
[\Lambda,[\delta'',L]]
&=-[L,[\Lambda,\delta'']]-[\delta'',[L,\Lambda]]
=-[[d'',L],\Lambda]^*-\delta''\cr
&=-[d''\omega,\Lambda]^*-\delta''=\overline\tau^*-\delta''\cr}
$$
d'où $[\Lambda,\tau]=-2i\overline\tau^*$.\hfil\square
\medskip

{\statement Lemme 2.3.\pointir} {\it On a
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $[D',\overline\tau^*]=-[D',\delta'']=[\tau,\delta''],$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $-[D'',\overline\tau^*]=[\tau,\delta'+\tau^\star]+
[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega]]-[d'\omega, (d'\omega)^*].$}}
\medskip

{\it Démonstration}.  -- L'identité de Jacobi implique
$$
-[D',[\Lambda,D']]+[D',[D',\Lambda]]+[\Lambda,[D',D']]=0
$$
d'où $[D',[\Lambda,D']] =0$ et de même $[\delta'',[\delta'',L]]=0$.
L'égalité (a) résulte alors de 1.1~(a) et~(d). Pour vérifier (b) 
on part de l'égalité $\overline\tau^*-=\frac{i}{2}[\Lambda,\tau]$ 
fournie par 2.2~(b). Il s'ensuit
$$
[D'',\overline\tau^*]=\frac{i}{2}[D'',[\Lambda,\tau]].
\leqno(2.4)
$$
On utilise maintenant l'identité de Jacobi a répétition~:
$$
\leqalignno{
[D'',[\Lambda,\tau]]&=[\Lambda,[\tau,D'']]+[\tau, [D'',\Lambda]]\;;
&(2.5)\cr
\noalign{\vskip8pt}
[\tau,D'']&=[D'',\tau] =[D'',[\Lambda,d'\omega]]&(2.6)\cr
&=[\Lambda,[d'\omega,D'']+[d'\omega,[D'',\Lambda]]\cr
&=[\Lambda,d''d'\omega]+[d'\omega,A]\cr}
$$
avec la notation $A=[D'',\Lambda]=i(\delta'+\tau^*)$. D'après (2.6)
il vient
$$
[\Lambda,[\tau,D'']]=[\Lambda,[\Lambda,d''d'\omega]] +[\Lambda,[d',A]].
\leqno(2.7)
$$
Calculons maintenant le dernier crochet dans (2.7)~:
$$
\leqalignno{
[\Lambda,[d'\omega,A]]&=[A,[\Lambda,d'\omega]]-[d'\omega,[A,\Lambda]],\cr
[\Lambda,[d'\omega,A]]&=[\tau,A] +[d'\omega,[\Lambda,A]]~;
&(2.8)\cr
\noalign{\vskip8pt}
[\Lambda,A]&=i[\Lambda,\delta'+\tau^*]=i[d'+\tau,L]^*
&(2.9)\cr}
$$
où $[d',L] =d'\omega$ et $[\tau,L] =-3d'\omega$ d'après 2.2~(a). 
Les égalités (2.9) et (2.8) fournissent donc respectivement
$$
\leqalignno{
[\Lambda,A]&=-2i(d'\omega))^*,\cr
\noalign{\vskip8pt}
[\Lambda,[d'\omega,A]]&=[\tau,[D'',\Lambda]]-2i[d'\omega,(d'\omega)^*].
&(2.10)\cr}
$$
Les formules (2.5), (2.7), (2.10) donnent par conséquent
$$
[D'',[\Lambda,\tau]] = [\Lambda, [\Lambda,d''d'\omega]] +2[\tau,[D'',
\Lambda]]-2i[d'\omega,(d'\omega)^*]. 
\leqno(2.11)
$$
L'identité 2.3~(b) résulte alors de (2.4) et (2.11), compte tenu que
$$
[D'',\Lambda]=i(\delta'+\tau^*).\eqno\square
$$
Le lemme 2.3~(b) montre maintenant que
$$
\Delta'+[D',\tau^*]-[D'',\overline\tau^\star]
=[D'+\tau,\delta'+\tau^*]+[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega]]
-[d'\omega,(d'\omega)^*].
$$
Posons $\Delta'_\tau=[D'+\tau,\delta'+\tau^*]$. Comme 
$\delta'+\tau^*$ est l'adjoint de $D'+\tau$, on voit que $\Delta'_\tau$ est 
un opérateur autoadjoint${}\geq 0$. La proposition 2.1 peut donc
se récrire
\medskip

{\statement Théorème 2.12.\pointir} {\it On a
$$
\Delta''=\Delta'_\tau+ [ic(E),\Lambda]+T_{\omega}
$$
avec
$$
\eqalignno{
\Delta'_\tau&=[D'+\tau,\delta'+\tau^*],\qquad\tau=[\Lambda,d'\omega],\cr
T_\omega&=[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega]]-[d'\omega,
(d'\omega)^*].&\square\cr}
$$}

Dans le cas où la metrique $\omega$ est kählérienne, on a 
naturellement $\tau=T_\omega=0$. De plus, dans ce cas le lemme 2.3 (a) implique
$[D',\delta'']=0$, d'où $[D'',\delta']=0$ par adjonction, ce qui donne
$$
\Delta=[D,\delta]=[D'+D'',\delta'+\delta'']=\Delta'+\Delta''.
$$
Dans le cas non kählérien, le lemme 2.3 (a) s'écrit 
$[D'+\tau,\delta'']=0$ et on obtient la relation analogue plus générale
$$
[D+\tau,\delta+\tau^*]=[(D'+\tau)+D'',(\delta'+\tau^*)+\delta'']=
\Delta'_\tau+\Delta''.
$$
On peut donc énoncer la
\medskip

{\statement Proposition 2.13.\pointir} {\it En général, le Laplacien tordu
$\Delta_\tau=[D+\tau,\delta+\tau^*]$ se décompose sous la forme
$$
\Delta_\tau=\Delta'_\tau+\Delta''.\eqno\square
$$}
\medskip

{\bigbf 3. -- Théorème d'existence en bidegré ({\bigbfit n},{\bigbfit q})}

Pour toute forme $u\in\cD_{p,q}(X,E)$, le théorème 2.12 implique la
généralisation suivante de l'inégalité de Nakano classique~:
$$
\Vert\delta''u\Vert^2+\Vert D''u\Vert^2 \geq 
\Langle[ic(E),\Lambda]u|u\Rangle+
\Langle T_\omega u|u\Rangle.
\leqno(3.1)
$$

Dans certains cas, le terme $\Langle T_\omega u|u\Rangle$
pourra se simplifier grâce aux remarques suivantes~:
$$
\cases{
\hbox{si $p=n$ ou $p=n-1$,}
&$\Langle[d'\omega,(d'\omega)^*]u|u\Rangle=
\Vert(d'\omega)^*u\Vert^2$\cr
\noalign{\vskip8pt}
\hbox{si $(p,q)=(n,1)$,}
&$[\Lambda,[\Lambda,d'd''\omega]]=0$.\cr}
\leqno(3.2)
$$
On suppose maintenant que le fibré $E$ est semi-positif au sens de
Nakano. On sait alors que l'endomorphisme $[ic(E),\Lambda]$ opérant
sur les $(n,q)$-formes est hermitien${}\geq 0$. Soit $h$ une 
$(n,q)$-forme à coefficients mesurables sur~$X$. On considère 
la norme «rapportée à~$c(E)$»\ telle que
$$
\vert h\vert_{c(E)}^2=\langle[ic(E),\Lambda]^{-1}h,h\rangle,
$$
i.e.\ $\vert h\vert_{c(E)}$ est le plus petit réel${}\geq 0$ 
(éventuellement $+\infty$) tel que 
$$|\langle h, u\rangle|^2\leq\vert h\vert_{c(E)}^2
\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle\qquad\hbox{pour tout $u$}.
$$

{\statement Théorème 3.3.\pointir} {\it On fait les hypothèses 
suivantes $(3.4-3.7)~:$
{\parindent=9.2mm
\vskip2pt
\item{\rm(3.4)} $D''h=0~;$
\vskip2pt
\item{\rm(3.5)} $\displaystyle\int_{X}\vert h\vert_{c(E)}^2\,dV<+\infty~;$
\vskip2pt
\item{\rm(3.6)} la métrique $\omega$ est complète et la forme 
$d'\omega$ est $\omega$-bornée $(c$'est toujours le cas si 
$X$ est compacte$)~;$
\vskip2pt
\item{\rm(3.7)} de plus, on a $d'd''\omega=0$ si $q>1$.
\vskip2pt\noindent
Alors il existe une $(n,q-1)$-forme $f$ et une $(n-2,q-1)$-forme $g$ sur 
$X$ à valeurs dans~$E$ telles que
\vskip2pt
\item{\rm(3.8)} $\displaystyle \int_{X}(\vert f\vert^2+\vert g\vert^2)\,dV
\leq\int_{X}\vert h\vert_{c(E)}^2\,dV,$
\vskip2pt
\item{\rm(3.9)} $h=D''f+P(d'\omega\wedge g)$,
\vskip2pt
où $P$ est le projecteur orthogonal $L^2_{n,q}(X,E)\to\Ker D''$.}}
\medskip

{\it Démonstration}. -- L'hypothèse de complétude (3.6) montre 
que l'inégalité (3.1) est vraie pour tout $u\in\Dom(\delta''_{n,q})
\cap\Dom(D''_{n,q})$ grâce au lemme de densité classique de 
Hörmander. Écrivons alors
$$
u=u_1+u_2
$$
avec $u_1\in\Ker D''_{n,q}$, $u_2\in(\Ker D''_{n,q})^\perp$~; il vient
$$
|\Langle h|u\Rangle|^2\leq
|\Langle h|u_1\Rangle|^2\leq\Vert h\Vert_{c(E)}^2\Langle
[ic(E),\Lambda]u_1|u_1\Rangle.
$$
Sous l'hypothèse (3.7), le terme $\Langle T_\omega u_1|u_1\Rangle$ 
se réduit à $-\Vert(d'\omega)^*u_1\Vert^2$ par la remarque 
(3.2). Comme
$$
\Ker\delta''_{n,q}\supset\overline{\Im\delta''_{n,q+1}}=(\Ker D''_{n,q})^{\perp},
$$
l'inégalité (3.1) implique
$$
\eqalign{
\Langle[ic(E),\Lambda]u_1,u_1\Rangle
&\leq\Vert\delta''u_1\Vert^2+\Vert D''u_1\Vert^2+\Vert(d'\omega)^*u_1\Vert^2\cr
&=\Vert \delta''u\Vert^2+\Vert(d'\omega)^*Pu\Vert^2.\cr}
$$
Les conclusions (3.8) et (3.9) résultent alors de l'utilisation du 
théorème de Hahn-Banach.\\ \strut\hfil\square\medskip

Le résultat est en fait surtout intéressant si $q=1$ puisqu'aucune 
hypothèse du type $d'd''\omega=0$ n'est alors nécessaire.
\bigskip\bigskip

\centerline{\bigbf Bibliographie}
\medskip
{\parindent=6mm
\item{[1]} {\petcap P.~Griffiths}, {\it The extension problem in complex analysis II}~; Amer.~J.\ of Math., Vol.~{\bf 88}, (1966) 366--446.

\item{[2]} {\petcap J.~Le Potier}, {\it Problèmes d'extension de classes
de cohomologie}~; Thèse d'État à l'Université de Poitiers 
(France) 1974.

\item{[3]} {\petcap T.~Ohsawa}, {\it Isomorphism theorems for cohomology
groups of weakly 1-complete manifolds}~;
Publ.\ R.I.M.S., Kyoto Univ., Vol.~{\bf 18}, n${}^{\circ}$1 (1982) 191--232.
\bigskip \bigskip}

\centerline{(mai 1984)}

\end
