% Session SMF l'Etat de la Recherche, Grenoble, 25-26-27 Novembre 1994
% Texte pour Panoramas et Synth\`eses
% Plain-TeX
% Luc Illusie, Universit\'e de Paris-Sud, D\'epartement de Math, Orsay, France
% Frobenius et d\'eg\'en\'erescence de Hodge

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\blankline
\title Frobenius et d\'eg\'en\'erescence de Hodge|
\titlerunning L.\ Illusie, Frobenius et d\'eg\'en\'erescence de Hodge|
\medskip
\centerline{\twelvebf Luc Illusie}
\medskip
\centerline{\twelverm Universit\'e de Paris-Sud}
\smallskip
\centerline{\twelverm D\'epartement de Math\'ematiques}
\smallskip
\centerline{\twelverm B\^atiment 425, 91405 Orsay Cedex, France}
\vskip20pt

{\eightpoint{\baselineskip=9.6pt
Dans [D-I], le th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de Hodge et le
th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano pour les vari\'et\'es
projectives lisses sur un corps de caract\'eristique nulle sont
d\'emontr\'es par des m\'ethodes de g\'eom\'etrie alg\'ebrique de
caract\'eristique $p>0$. Les pr\'esentes notes se veulent une
introduction \`a ce texte, \`a l'intention du non sp\'ecialiste (qui
pourra  consulter aussi l'expos\'e d'Oesterl\'e [O]). Nous ne
supposerons donc connus du lecteur que quelques rudiments de la
th\'eorie des sch\'emas (EGA I 1-4, [H2] II 2-3). Par contre, nous
demanderons de lui une certaine familiarit\'e avec l'alg\`ebre
homologique. Les r\'esultats de [D-I] s'expriment simplement dans le
langage des cat\'egories d\'eriv\'ees. Bien qu'il soit possible d'y
\'eviter le recours, voir par exemple [E-V], nous avons pr\'ef\'er\'e nous
placer dans ce cadre, qui nous para\^\i t plus naturel. Toutefois, pour
aider le d\'ebutant, nous rappelons au \numero4 les d\'efinitions de base
et quelques points essentiels.\bottomnote{*}{L'auteur tient \`a remercier
Matthieu Rambaud et Zhangchi Chen qui lui ont indiqu\'e une grande partie
des erreurs typographiques corrig\'ees dans cette deuxi\`eme \'edition.}
\vskip-9.6pt}}
\vskip0pt\strut

\def\refmark{IL}
\startindex{
\noindent{\twelvebf Sommaire}
\vskip5mm

\noindent
\Smark0. Introduction
\dotfill \sectref{0}
\Smark1. Sch\'emas: diff\'erentielles, complexe de De Rham
\dotfill \sectref{1}
\Smark2. Lissit\'e et rel\`evements
\dotfill \sectref{2}
\Smark3. Frobenius et isomorphisme de Cartier
\dotfill \sectref{3}
\Smark4. Cat\'egories d\'eriv\'ees et suites spectrales
\dotfill \sectref{4}
\Smark5. Th\'eor\`emes de d\'ecomposition, de d\'eg\'en\'erescence
et d'annulation\newline
\phantom{\Smark5. {}}en caract\'eristique $p>0$
\dotfill \sectref{5}
\Smark6. De la caract\'eristique $p>0$ \`a la caract\'eristique nulle
\dotfill \sectref{6}
\Smark7. D\'eveloppements r\'ecents et probl\`emes ouverts
\dotfill \sectref{7}
\Smark8. Appendice: parall\'elisabilit\'e et ordinarit\'e
\dotfill \sectref{8}
\phantom{\Smark9. {}}R\'ef\'erences
\dotfill \sectref{9}\null
}

\section \Smark0. Introduction|

Soit $\cX$ une vari\'et\'e analytique complexe. Par le lemme de
Poincar\'e, le complexe de De Rham $\Omega^\bu_\cX$ des formes
holomorphes sur $\cX$ est une r\'esolution du faisceau constant
$\bC$. L'augmentation $\bC\lra\Omega^\bu_\cX$ d\'efinit donc, pour
tout $n$,  un isomorphisme
$$H^n(\cX,\bC)\build\lra|\sim||H^n_\DR(\cX)=H^n(\cX,\Omega^\bu_\cX),
\leqno(0.1)$$
o\`u le second membre, appel\'e {\sl cohomologie de De Rham} de $\cX$ (en
degr\'e $n$), est le $n$-i\`eme groupe d'hypercohomologie de $\cX$ \`a
valeurs dans $\Omega^\bu_\cX$. La cohomologie de De Rham de $\cX$ est
l'aboutissement de la premi\`ere suite spectrale d'hypercohomologie
$$E^{p\,q}_1=H^q(\cX,\Omega^p_\cX)\Lra H^{p+q}_\DR(\cX),
\leqno(0.2)$$
dite {\sl suite spectrale 
\index{1}{SUI}{Suite spectrale de Hodge vers De Rham}%
\index{2}{HOD}{\hri suite spectrale de Hodge vers De Rham}%
\index{3}{HOD}{\hri suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher}%
de Hodge vers De Rham} (ou
{\sl de Hodge-Fr\"olicher}) (cf.\ [De] \numero9). Supposons $\cX$
{\sl compacte}. Alors, par le th\'eor\`eme de finitude de Cartan-Serre, les
$H^q(\cX,\Omega^p_\cX)$, et donc tous les termes de la suite spectrale (0.2)
sont des $\bC$-espaces vectoriels de dimension finie. Si l'on pose
$$b_n=\dim H^n_\DR(\cX)=\dim H^n(\cX,\bC)$$
($n$-i\`eme nombre de Betti de $\cX$) et
$$h^{p\,q}=\dim H^q(\cX,\Omega^p_\cX)$$
(nombre de Hodge), on a donc
$$b_n\le\sum_{p+q=n} h^{p\,q},
\leqno(0.3)$$
avec \'egalit\'e pour tout $n$ si et seulement si (0.2) d\'eg\'en\`ere
en $E_1$. Supposons de plus $\cX$ {\sl k\"ahl\'erienne}. Alors, par la
{\sl th\'eorie de Hodge}, la suite spectrale de Hodge de $\cX$
d\'eg\'en\`ere en $E_1\,$: c'est le {\sl th\'eor\`eme de
\index{4}{THE}{Th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de Hodge}%
\index{5}{HOD}{\hri th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de Hodge}%
d\'eg\'en\'erescence de Hodge} ([De] 9.9). Notons
$$0=F^{n+1}\subset F^n\subset\cdots\subset F^p=F^pH^n_\DR(\cX)
\subset\cdots\subset F^0=H^n_\DR(\cX)$$
la filtration aboutissement de la suite spectrale de Hodge 
({\sl filtration de Hodge}); par la d\'eg\'en\'erescence, on a donc un
isomorphisme canonique
$$E^{p\,q}_1=H^q(\cX,\Omega^p_\cX)\simeq E^{p\,q}_\infty=F^p/F^{p+1}.
\leqno(0.4)$$
Posons
$$H^{p\,q}=F^p\cap\ol F^q,$$
o\`u la barre d\'esigne la conjugaison complexe sur $H^n_\DR(\cX)$, d\'efinie
au moyen de (0.1) et de l'isomorphisme $H^n(\cX,\bC)\simeq H^n(\cX,\bR)
\otimes\bC\,$; on a donc
$$H^{p\,q}=\ol H^{q\,p}.$$
La th\'eorie de Hodge fournit en outre les r\'esultats suivants ([De] 9.10):
\medskip

\noindent(a) l'homomorphisme compos\'e
$$H^{p\,q}\lhra F^pH^{p+q}_\DR(\cX)\lraww F^p/F^{p+1}$$
est un isomorphisme (i.e.\ $H^{p\,q}$ est un suppl\'ementaire de $F^{p+1}$
dans $F^p$); d'o\`u, par composition avec (0.4), un isomorphisme
$$H^{p\,q}\simeq H^q(\cX,\Omega^p_\cX)~;
\leqno(0.5)$$

\noindent(b) on a, pour tout $n$,
$$H^n_\DR(\cX)=\bigoplus_{p+q=n}H^{p\,q},
\leqno(0.6)$$
({\sl d\'ecomposition 
\index{6}{DEC}{D\'ecomposition de Hodge}%
\index{7}{HOD}{\hri d\'ecomposition de Hodge}%
de Hodge}). Ces r\'esultats s'appliquent notamment \`a
la vari\'et\'e analytique complexe $\cX$ associ\'ee \`a un sch\'ema
projectif lisse $X$ sur $\bC$. A la diff\'erence de (a) et (b), qui sont
de nature transcendante, faisant intervenir de mani\`ere essentielle la
conjugaison complexe, la d\'eg\'en\'erescence de Hodge peut, dans ce cas,
se formuler de mani\`ere purement alg\'ebrique. Le complexe de De Rham
de $\cX$ est en effet le complexe de faisceaux analytiques associ\'e au
complexe de De Rham alg\'ebrique $\Omega^\bu_X$ de $X$ sur $\bC$ (un
complexe de faisceaux pour la topologie de Zariski, dont les composantes
sont  des faisceaux coh\'erents localement libres). Le morphisme canonique
(d'espaces annel\'es) $\cX\lra X$ induit des homomorphismes sur les
cohomologies de Hodge et de De Rham
$$\leqalignno{
H^q(X,\Omega^p_X)&{}\lra H^q(\cX,\Omega^p_\cX),
&(0.7)\cr
H^n_\DR(X)&{}\lra H^n_\DR(\cX),
&(0.8)\cr}$$
o\`u $H^n_\DR(X)=H^n(X,\Omega^\bu_X)$. On dispose en fait d'une suite
spectrale de Hodge vers De Rham alg\'ebrique
$$E^{p\,q}_1=H^q(X,\Omega^p_X)\Lra H^{p+q}_\DR(X),
\leqno(0.9)$$
et d'un morphisme de (0.9) dans (0.2) induisant (0.7) et (0.8) 
respectivement sur les termes initiaux et l'aboutissement. Par le 
th\'eor\`eme de comparaison de Serre [GAGA], (0.7) est un isomorphisme.
Il en est donc de m\^eme de (0.8). Par suite, la d\'eg\'en\'erescence en
$E_1$ de (0.2) \'equivaut \`a celle de (0.9), en d'autres termes, si l'on
pose
$$h^{p\,q}(X)=\dim H^q(X,\Omega^p_X),\qquad
h^n(X)=\dim H^n_\DR(X),$$
le th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de Hodge pour $\cX$ s'exprime par
les relations (purement alg\'ebriques)
$$h^n(X)=\sum_{p+q=n} h^{p\,q}(X).
\leqno(0.10)$$
Plus g\'en\'eralement, si $X$ est un sch\'ema propre et lisse sur un corps
$k$, on peut consid\'erer le complexe de De Rham $\Omega^\bu_{X/k}$ de $X$
sur $k$, et l'on dispose encore d'une suite spectrale de Hodge vers
De Rham
$$E^{p\,q}_1=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Lra H^{p+q}_\DR(X/k)
\leqno(0.11)$$
(o\`u $H^n_\DR(X/k)=H^n(X,\Omega^\bu_{X/k})$), form\'ee de $k$-espaces
vectoriels de
dimension finie. Si $k$ est de caract\'eristique nulle, le th\'eor\`eme de
d\'eg\'en\'erescence de Hodge entra\^\i ne la d\'eg\'en\'erescence de (0.11)
en $E_1\,$: des techniques standard (cf.\ \numero 6) permettent en effet de
se ramener d'abord \`a $k=\bC$, puis \`a l'aide du lemme de Chow et de la
r\'esolution des singularit\'es on r\'eduit le cas propre au cas
projectif ([D0]). On a longtemps cherch\'e une d\'emonstration purement
alg\'ebrique de la d\'eg\'en\'erescence de (0.11) en $E_1$ pour $k$ de  
caract\'eristique nulle. Faltings [Fa1] fut le premier \`a en donner
une preuve ind\'ependante de la th\'eorie de Hodge\bottomnote{1}{Les
d\'emonstrations des th\'eor\`emes de comparaison $p$-adiques dans
[Fa1] et [Fa2] ont une lacune concernant le lemme de presque puret\'e,
que Faltings a combl\'ee dans~[Fa3]. Voir [Fo] pour une mise \`a jour,
utilisant la th\'eorie de P.~Scholze des espaces perfecto\"{\i}des.
Noter aussi que la preuve de la d\'eg\'en\'erescence de (0.11)
qui en r\'esulte n’est pas enti\`erement alg\'ebrique, car elle utilise le
th\'eor\`eme d’Artin-Grothendieck de comparaison entre cohomologie \'etale
et cohomologie de Betti pour les vari\'et\'es propres et lisses sur $\bC$.}.
Une simplification de techniques cristallines dues \`a Ogus [Og1],
Fontaine-Messing \hbox{[F-M]} et Kato [Ka1] conduisit, peu de temps apr\`es,
\`a la d\'emonstration \'el\'ementaire pr\'esent\'ee dans [D-I]. Nous
renvoyons \`a l'introduction de [D-I] et \`a [O] pour un aper\c{c}u de ses
grandes lignes. Indiquons seulement que la d\'eg\'en\'erescence de (0.11)
(pour $k$ de caract\'eristique nulle) se prouve par r\'eduction au cas o\`u
$k$ est de caract\'eristique\hbox{${}>0$}, o\`u, pourtant, il peut arriver
que la d\'eg\'en\'erescence soit en d\'efaut$\,$! Celle-ci vaut cependant
moyennant certaines hypoth\`eses suppl\'ementaires sur $X$ (majoration de la
dimension, relevabilit\'e), qui suffisent (voir 5.6 pour un \'enonc\'e
pr\'ecis). Nous expliquons au \numero6 la technique bien connue permettant
de remonter de la caract\'eristique${}>0$ \`a la caract\'eristique nulle.
Le th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence en caract\'eristique${}>0$ auquel
nous venons de faire allusion r\'esulte lui-m\^eme d'un th\'eor\`eme de
d\'ecomposition (5.1), reposant sur des propri\'et\'es classiques du
calcul diff\'erentiel en caract\'eristique${}>0$ (endomorphisme de
Frobenius et isomorphisme de Cartier), que nous rappelons au \numero3,
apr\`es avoir r\'esum\'e, aux \numero1 et 2, le formalisme des
diff\'erentielles et de la lissit\'e sur les sch\'emas. Le th\'eor\`eme de
d\'ecomposition pr\'ec\'edent fournit en m\^eme temps une d\'emonstration
alg\'ebrique du th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano pour
les vari\'et\'es projectives lisses sur un corps de caract\'eristique
nulle (6.10 et [De] 11.7). Les deux derniers num\'eros sont de nature
plus technique : nous esquissons l'\'evolution du sujet depuis la
parution de [D-I], et, en appendice, donnons quelques compl\'ements
relatifs \`a des r\'esultats de Mehta-Srinivas [Me-Sr] et Nakkajima [Na].

\section \Smark1. Sch\'emas: diff\'erentielles, complexe de De Rham|

Nous rappelons ici les d\'efinitions et propri\'et\'es de base du
calcul diff\'erentiel sur les sch\'emas. Le lecteur trouvera un expos\'e
complet dans (EGA IV 16.1-16.6); voir aussi [B-L-R] 2.1 et [H2] II~8
pour une introduction.
\medskip

\noindent
{\bf 1.1.} On dit qu'un morphisme de sch\'emas $i : T_0\lra T$ est
un {\sl \'epaississement 
\index{8}{EPA}{\'Epaississement d'ordre $1$}%
d'ordre $1$} (ou, par abus, que $T$ est un
\'epaississement d'ordre $1$ de $T_0$) si $i$ est une immersion ferm\'ee
d\'efinie par un id\'eal de $\cO_T$ de carr\'e nul. Si $T$ et $T_0$ sont
affines, d'anneaux $A$ et $A_0$, un tel morphisme correspond \`a un
homomorphisme surjectif $A\lra A_0$ dont le noyau est un id\'eal de
carr\'e nul. Les sch\'emas $T$ et $T_0$ ont m\^eme espace sous-jacent, et
l'id\'eal $\eua$ de $i$, annul\'e par $\eua$, est un $\cO_{T_0}$
(${}=\cO_T/\eua$)-module quasi-coh\'erent.

Soit $j:X\lra Z$ une immersion, d'id\'eal $I$ (par d\'efinition, $j$
est un isomorphisme de $X$ sur un sous-sch\'ema ferm\'e $j(X)$ d'un plus
grand ouvert $U$ de $Z$, et $I$ est le faisceau quasi-coh\'erent d'id\'eaux
de $U$ d\'efinissant $j(X)$ dans $U$, (EGA I 4.1, 4.2)). Soit $Z_1$ le
sous-sch\'ema\bottomnote{2}{On se permettra l'abus de confondre
``immersion'' (resp.\ ``immersion ferm\'ee'') et ``sous-sch\'ema'' (resp.\
``sous-sch\'ema ferm\'e''); cela revient ici \`a n\'egliger l'isomorphisme
de $X$ sur $j(X)$.}
de $Z$, de m\^eme espace sous-jacent que $X$, d\'efini par l'id\'eal
$I^2$. Alors $j$ se factorise (de mani\`ere unique) en
$$X\build\lra|j_1||Z_1\build\lra|h_1||Z$$
o\`u $h_1$ est une immersion, et $j_1$ est un \'epaississement d'ordre $1$,
d'id\'eal $I/I^2\,$; on dit que $(j_1,h_1)$, ou plus simplement $Z_1\,$,
est le {\sl premier voisinage infinit\'esimal} de $j$ (ou de $X$ dans $Z$).
L'id\'eal $I/I^2$ (qui est un $\cO_X$-module quasi-coh\'erent) s'appelle le
{\sl faisceau 
\index{9}{FAI}{Faisceau conormal $\cN_{X/Z}$}%
\index{10}{CON}{\hri faisceau conormal $\cN_{X/Z}$}%
conormal} de $j$ (ou de $X$ dans $Z$). On le note $\cN_{X/Z}$.
\medskip

\noindent
{\bf 1.2.} Soit $f: X\lra Y$ un morphisme de sch\'emas. Soit
$\Delta: X\lra Z:=X\times_YX$ le morphisme diagonal. C'est une
immersion ({\sl ferm\'ee} si et seulement si X est {\sl s\'epar\'e sur
$Y$}) (EGA~I 5.3). Le faisceau conormal de $\Delta$ s'appelle faisceau des
{\sl $1$-diff\'erentielles 
\index{11}{FAI}{Faisceau des $1$-diff\'erentielles de K\"ahler
$\Omega^1_{X/Y}$}%
\index{12}{KAH}{\hri faisceau des $1$-diff\'erentielles de K\"ahler
$\Omega^1_{X/Y}$}%
de K\"ahler} de $f$ (ou de $X$ sur $Y$) et se
note $\Omega^1_{X/Y}\,$; on \'ecrit parfois $\Omega^1_{X/A}$ au lieu
de $\Omega^1_{X/Y}$ si $Y$ est affine d'anneau~$A$. C'est donc un
$\cO_X$-module quasi-coh\'erent, d\'efini par
$$\Omega^1_{X/Y}=I/I^2,   
\leqno(1.2.1)$$
o\`u $I$ est l'id\'eal de $\Delta$. Soit $X\build\lra|\Delta_1||Z_1\lra Z$
le premier voisinage infinit\'esimal de $\Delta$. Les deux projections de
$Z=X\times_YX$ sur $X$ induisent, par composition avec $Z_1\lra Z$, deux
$Y$-morphismes $p_1,p_2:Z_1\lra X$, qui r\'etractent $\Delta_1$. Le
faisceau d'anneaux du sch\'ema $Z_1$, qui a m\^eme espace sous-jacent que
$X$, s'appelle {\sl faisceau des parties principales d'ordre} $1$ de $X$ sur
$Y$, et se note $\cP^1_{X/Y}$. On a par construction une suite exacte de
faisceaux ab\'eliens
$$0\lra\Omega^1_{X/Y}\lra\cP^1_{X/Y}\lra\cO_X\lra 0,
\leqno(1.2.2)$$
scind\'ee par chacun des homomorphismes d'anneaux $j_1,j_2:\cO_X\lra
\cP^1_{X/Y}$ d\'eduits de $p_1, p_2$. La diff\'erence $j_2-j_1$ est un
homomorphisme de faisceaux ab\'eliens de $\cO_X$ dans $\Omega^1_{X/Y}$,
qu'on appelle {\sl diff\'erentielle}, et qu'on note
$$d_{X/Y}\quad\hbox{(ou 
\index{13}{DIF}{Diff\'erentielle $d_{X/Y}$}%
$d$)}:\quad\cO_X\lra\Omega^1_{X/Y}.
\leqno(1.2.3)$$
Si $M$ est un $\cO_X$-module, on appelle {\sl $Y$-d\'erivation}
\index{14}{DER}{D\'erivation}%
de $\cO_X$ dans $M$ tout homomorphisme de 
faisceaux de $f^{-1}(\cO_Y)$-modules $D:\cO_X\lra M$
(o\`u $f^{-1}$ d\'esigne le foncteur image inverse pour les faisceaux
ab\'eliens) tel que
$$D(ab)=aDb+bDa$$
pour toutes sections locales $a$, $b$ de $\cO_X$. On note $\Der_Y(\cO_X,M)$
l'ensemble des $Y$-d\'erivations de $\cO_X$ dans $M$, qui est de mani\`ere
naturelle un groupe ab\'elien. La diff\'erentielle $d_{X/Y}$ est une
$Y$-d\'erivation de $\cO_X$ dans $\Omega^1_{X/Y}$. On montre qu'elle est
{\sl universelle}, dans le sens que pour toute $Y$-d\'erivation $D$ de $\cO_X$
dans un $\cO_X$-module $M$ (non n\'ecessairement quasi-coh\'erent), il existe
un unique homomorphisme de $\cO_X$-modules $u:\Omega^1_{X/Y}\lra M$ tel que
$u\circ d_{X/Y}=D$, i.e.\ l'homomorphisme
$$\Hom(\Omega^1_{X/Y},M)\lra\Der_Y(\cO_X,M),\qquad u\lmapsto u\circ d_{X/Y}
\leqno(1.2.4)$$
est un isomorphisme. Le faisceau $\cHom(\Omega^1_{X/Y},\cO_X)$ s'appelle
{\sl faisceau 
\index{15}{FAI}{Faisceau tangent $T_{X/Y}$}%
\index{16}{TAN}{\hri faisceau tangent $T_{X/Y}$}%
tangent} de $f$ (ou de $X$ sur Y), et se note
$$T_{X/Y}
\leqno(1.2.5)$$
(ou parfois $\Theta_{X/Y})$. Pour tout ouvert $U$ de $X$, $(1.2.4)$ donne un
isomorphisme $\Gamma(U,T_{X/Y})\simeq\Der_Y(\cO_U,\cO_U)$.
Rappelons qu'on appelle $Y$-{\sl point} de $X$ un $Y$-morphisme $T\lra X$.
Par d\'efinition, $X\times_YX$ ``param\`etre'' l'ensemble des couples de
$Y$-points de $X$ (i.e.\ repr\'esente le foncteur correspondant sur la
cat\'egorie des $Y$-sch\'emas). La signification g\'eom\'etrique du premier
voisinage infinit\'esimal $Z_1$ de la diagonale de $X$ sur $Y$ est
qu'{\sl il param\`etre les couples de $Y$-points de $X$ voisins d'ordre} $1$
(i.e.\ congrus modulo un id\'eal de carr\'e nul): plus pr\'ecis\'ement, si
$i:T_0\lra T$ est un \'epaississement d'ordre $1$, d'id\'eal $\eua$, o\`u $T$
est un $Y$-sch\'ema, et si $t_1,t_2:T\lra X$ sont deux $Y$-points de $X$ qui
co\"\i ncident modulo $\eua$ (i.e.\ tels que $t_1i=t_2i=t_0:T_0\lra X$),
alors il existe un unique $Y$-morphisme $h:T\lra Z_1$ tel que $p_1h=
t_1$ et $p_2h=t_2$; de plus, si $t_1^*,\,t_2^*:\cO_X\lra t_{0\,*}\cO_T$
\bottomnote{3}{rappelons que $T$ et $T_0$ ont m\^eme espace sous-jacent}
sont les homomorphismes de faisceaux d'anneaux associ\'es \`a $t_1$ et $t_2$,
$t_2^*-t_1^*$ est une $Y$-d\'erivation de $\cO_X$
\`a valeurs dans $t_{0\,*}\eua$,
telle que
$$(t_2^*-t_1^*)(s)=h^*(ds)
\leqno(1.2.6)$$
pour toute section locale $s$ de $\cO_X$, o\`u $h^*:\Omega^1_{X/Y}\lra
t_0^*\eua$ est l'homomophisme de $\cO_X$-modules induit par $h$ (sur les
faisceaux conormaux correspondants, de $X$ dans $Z_1$ et $T_0$ dans $T$).
Si $f$ est un morphisme de sch\'emas affines, correspondant \`a un
homomorphisme d'anneaux $A\lra B$, alors $Z=\Spec B\otimes_AB,\Delta$
correspond \`a l'homomorphisme d'anneaux envoyant $b_1\otimes b_2$ sur
$b_1b_2$, de noyau $J=\Gamma(Z,I)$. On a $\Gamma(X,\cP^1_{X/Y})=
(B\otimes_AB)/J^2$, et l'on pose
$$\Gamma(X,\Omega^1_{X/Y})=\Omega^1_{B/A}.
\leqno(1.2.7)$$
Le $B$-module $\Omega^1_{B/A}=J/J^2$, dont le faisceau quasi-coh\'erent
associ\'e est $\Omega^1_{X/Y}$, s'appelle {\sl module des
\index{17}{MOD}{Module des $1$-diff\'erentielles de K\"ahler}%
\index{18}{KAH}{\hri module des $1$-diff\'erentielles de K\"ahler}%
$1$-diff\'erentielles de K\"ahler} de $B$ sur $A$. L'application
$d=d_{B/A}=\Gamma(X,d_{X/Y}): B\lra\Omega^1_{B/A}$ est une
$A$-d\'erivation, v\'erifiant une propri\'et\'e universelle qu'on
laisse au lecteur le soin de formuler. Les homomorphismes
$j_1,j_2:B\lra(B\otimes_AB)/J^2$ de $1.1$ sont donn\'es par
$j_1b={}$classe de $b\otimes 1$, $j_2b={}$classe de $1\otimes b$. Comme $J$
est engendr\'e par les $1\otimes b-b\otimes 1$, $\Omega^1_{B/A}$ est
engendr\'e, comme $B$-module, par l'image de $d$. Il en r\'esulte que
si $f$ est un morphisme de sch\'emas quelconques, $\Omega^1_{X/Y}$ est
engendr\'e, comme $\cO_X$-module, par l'image de $d$.
\medskip

\noindent
{\bf 1.3.} Tout carr\'e commutatif
$$\leqalignno{
X'&\build\lra|{\disp g}||X\cr
f'\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow f&(1.3.1)\cr
Y'&\build\lra|{\disp h}||Y\cr}$$
d\'efinit de fa\c{c}on naturelle un homomorphisme de $\cO_{X'}$-modules
$$g^*\Omega^1_{X/Y}\lra\Omega^1_{X'/Y'},
\leqno(1.3.2)$$
dit canonique, envoyant $1\otimes g^{-1}(d_{X/Y}s)$ sur $d_{X'/Y'}(1\otimes
g^{-1}(s))$ (si $E$ est un $\cO_X$-module, par d\'efinition
$g^*E=\cO_{X'}\otimes_{g^{-1}(\cO_X)}g^{-1}(E))$. C'est un {\sl
isomorphisme} si le carr\'e $(1.3.1)$ est {\sl cart\'esien}, i.e.\ si le
morphisme $X'\lra Y'\times_YX$ est un isomorphisme. En outre, dans ce
cas, l'homomorphisme canonique
$$f^{\prime\,*}\Omega^1_{Y'/Y}\oplus g^*\Omega^1_{X/Y}\lra\Omega^1_{X'/Y}
\leqno(1.3.3)$$
est un isomorphisme.
\medskip

\noindent
{\bf 1.4.} Soient
$$X\build\lra|{\disp f}||Y\build\lra|{\disp g}||S$$
des morphismes de sch\'emas. Alors la suite d'homorphismes canoniques
$$f^*\Omega^1_{Y/S}\lra\Omega^1_{X/S}\lra\Omega^1_{X/Y}\lra 0
\leqno(1.4.1)$$
est exacte.
\medskip

\noindent
{\bf 1.5.} Soit
$$\eqalign{
X&\build\lra|{\disp i}||Z\cr
f\big\downarrow\,&~~\bigswarrow g\cr
Y&\cr}$$
un triangle commutatif, o\`u $i$ est une immersion, d'id\'eal $I$. La
diff\'erentielle $d_{Z/Y}$ induit un homomorphisme $d:\cN_{X/Z}\lra
i^*\Omega^1_{Z/Y}$, et la suite
$$\cN_{X/Z}\lra i^*\Omega^1_{Z/Y}\lra\Omega^1_{X/Y}\lra 0
\leqno(1.5.1)$$
est exacte.
\medskip

\noindent
{\bf 1.6.} Soit $X=\bA^n_Y=Y[T_1\ld T_n]$ l'espace affine de dimension
$n$ sur $Y$. Le $\cO_X$-module $\Omega^1_{X/Y}$ est libre, de base les $dT_i$
$(1\le i\le n)$. Si $Y$ est affine, d'anneau $A$, et si $s\in A[T_1\ld T_n]$,
$ds=\sum (\partial s/\partial T_i)dT_i, $ o\`u les $\partial s/\partial T_i$
sont les d\'eriv\'ees partielles usuelles.

Les propri\'et\'es $1.3$ \`a $1.6$, dont la v\'erification est du reste
triviale, sont fondamentales. C'est gr\^ace \`a elles qu'on peut
``calculer'' les modules de diff\'erentielles. Pour plus de d\'etails,
voir les r\'ef\'erences indiqu\'ees supra.
\medskip

\noindent
{\bf 1.7.} Soit $f: X\lra Y$ un morphisme de sch\'emas. Pour
$i\in\bN$, on note
$$\Omega^i_{X/Y}=\Lambda^i\Omega^1_{X/Y}$$
la $i$-i\`eme puissance 
\index{19}{FAI}{Faisceau des $i$-diff\'erentielles de K\"ahler 
$\Omega^i_{X/Y}$}%
\index{20}{KAH}{\hri faisceau des $i$-diff\'erentielles de K\"ahler 
$\Omega^i_{X/Y}$}%
ext\'erieure du $\cO_X$-module $\Omega^1_{X/Y}$
(on convient que $\Omega^0_{X/Y}=\cO_X)$. On montre qu'il existe une
unique famille d'applications $d:\Omega^i_{X/Y}\lra\Omega^{i+1}_{X/Y}$
v\'erifiant les conditions suivantes:
\smallskip
\item{\rm(a)} $d$ est une $Y$-anti-d\'erivation de l'alg\`ebre ext\'erieure
$\bigoplus \Omega^i_{X/Y}$, i.e.\ $d$ est $f^{-1}(\cO_Y)$-lin\'eaire et
$d(ab)=da\wedge b+(-1)^ia\wedge db$ pour $a$ homog\`ene de degr\'e $i$,
\smallskip
\item{\rm(b)} $d^2=0$,
\smallskip
\item{\rm(c)} $da=d_{X/Y}(a)$ pour $a$ de degr\'e z\'ero.
\smallskip
\noindent
Le complexe correspondant se nomme {\sl complexe 
\index{21}{COM}{Complexe de De Rham $\Omega^\bu_{X/Y}$}%
\index{22}{DER}{\hri complexe de De Rham $\Omega^\bu_{X/Y}$}%
de De Rham} de $X$ sur $Y$
et se note
$$\Omega^\bu_{X/Y}
\leqno(1.7.1)$$
(ou $\Omega^\bu_{X/A}$ si $Y$ est affine d'anneau $A$). Il d\'epend
fonctoriellement de $f:$ un carr\'e $(1.3.1)$ donne un homomorphisme de
complexes (qui est aussi un homomorphisme d'alg\`ebres)
$$\Omega^\bu_{X/Y}\lra g_*\Omega^\bu_{X'/Y'}.
\leqno(1.7.2)$$
Prendre garde cependant que, s'il est vrai que, pour chaque $i$, 
l'homomorphisme $\Omega^i_{X/Y}\lra g_*\Omega^i_{X'/Y'}$ est
adjoint d'un homomorphisme $g^*\Omega^i_{X/Y}\lra\Omega^i_{X'/Y'}$, on ne
peut en g\'en\'eral d\'efinir un {\sl complexe}
$g^*\Omega^\bu_{X/Y}$ dont la diff\'erentielle soit une
$Y'$-anti-d\'erivation compatible \`a celle de $\Omega^\bu_{X'/Y'}$.

\section \Smark2. Lissit\'e et rel\`evements|

Il y a bien des fa\c{c}ons d'exposer la th\'eorie des morphismes
lisses. Nous suivons (ou plut\^ot, r\'esumons) ici la pr\'esentation des
EGA, o\`u la lissit\'e est d\'efinie par l'existence locale de
rel\`evements infinit\'esimaux (EGA IV $17)$. Outre son \'el\'egance, cette
d\'efinition a l'avantage de se transposer \`a d'autres contextes, par
exemple celui de la g\'eom\'etrie logarithmique (cf.\ [I6]). D'autres
points de vue sont adopt\'es dans (SGA$\,1$ II et III), o\`u l'accent est
mis sur la notion de morphisme \'etale, et [B-L-R] $2.2$, o\`u c'est le  
crit\`ere jacobien (cf.\ $2.8$) qui est pris comme point de d\'epart.
\medskip

\noindent
{\bf 2.1.} Soit $f: X\lra Y$ un morphisme de sch\'emas. On dit que $f$
est {\sl localement
\index{23}{MOR}{Morphisme localement de type fini}%
\index{24}{MOR}{Morphisme localement de pr\'esentation finie}%
de type fini} (resp.\ {\sl localement de pr\'esentation
finie}) si, pour tout point $x$ de $X$, il existe un voisinage ouvert
affine $U $ de $x$ et un voisinage ouvert affine $V$ de $y=f(x)$ tels que
$f(U)\subset V $ et que l'homomorphisme d'anneaux $A\lra B$ associ\'e \`a
$U\lra V$ fasse de $B$ une $A$-alg\`ebre de type fini (i.e.\ quotient d'une
alg\`ebre de polyn\^omes $A[t_1\ld t_n])$ (resp.\ de pr\'esentation
finie (i.e.\ quotient d'une alg\`ebre de polyn\^omes $A[t_1\ld t_n]$
par un id\'eal de type fini)). Si $Y$ est localement noeth\'erien,
``localement de type fini'' \'equivaut \`a ``localement de
pr\'esentation finie'', et s'il en est ainsi, $X$ est alors localement
noeth\'erien. 

Si $f:X\lra Y$ est localement de type fini (resp.\ de pr\'esentation finie),
le $\cO_X$-module $\Omega^1_{X/Y}$ est de type fini (resp.\ de pr\'esentation
finie).
\medskip

\noindent
{\bf 2.2.} Soit $f: X\lra Y$ un morphisme de sch\'emas. On dit que $f$
est {\sl lisse}
\index{25}{MOR}{Morphisme lisse}%
(resp.\ {\sl net}
\index{26}{MOR}{Morphisme net}%
\index{27}{MOR}{Morphisme non ramifi\'e}%
(ou {\sl non ramifi\'e}), resp.\ {\sl
\index{28}{MOR}{Morphisme \'etale}%
\'etale}) si $f$ est localement de pr\'esentation finie et si la
condition suivante est v\'erifi\'ee:

Pour tout diagramme commutatif
$$\leqalignno{
&\phantom{{}\build\lra|||T\lra{}}X\cr
&~~\raise3pt\hbox{$g_0$}\psarrow{-9}{-9}{50}{34}
\qquad\qquad\!\Big\downarrow f&(2.2.1)\cr
T_0&\build\lra|{\disp i}||T\lra Y\cr}$$
o\`u $i$ est un \'epaississement d'ordre $1$ $(1.1)$, il existe, localement
pour la topologie de Zariski sur $T$, un (resp.\ au plus un, resp.\ un
unique) $Y$-morphisme $g:T\lra X$ tel que $gi=g_0$.
Il r\'esulte aussit\^ot de la d\'efinition que le compos\'e de deux
morphismes lisses (resp.\ nets, resp.\ \'etales) est lisse (resp.\ net,
resp.\ \'etale), et que si $f:X\lra Y$ est lisse (resp.\ net, resp.\
\'etale), il en est de m\^eme du morphisme $f':X'\lra Y'$ d\'eduit par
un changement de base $Y'\lra Y$. Si pour $i=1,2$, $f_i:X_i\lra Y$
est lisse (resp.\ net, resp.\ \'etale), le produit fibr\'e $f=f_1\times_Y
f_2:X_1\times_Y X_2\lra Y$ est donc lisse (resp.\ net, resp.\ \'etale). Il est
imm\'ediat d'autre part que la projection de la droite affine $\bA^1_Y=
Y[t]\lra Y$ est lisse, et il en est donc de m\^eme de la projection
de l'espace affine $\bA^n_Y\lra Y$.

\state Remarques 2.3|{\rm (a) A cause de l'unicit\'e, qui permet un
recollement, on peut, dans la d\'efinition d'{\sl \'etale} omettre {\sl
localement pour la topologie de Zariski}. Par contre, on ne peut le
faire dans la d\'efinition de {\sl lisse}\/: il existe une obstruction
cohomologique, qu'on pr\'ecisera plus loin, \`a l'existence d'un
prolongement global $g$ de $g_0$.

\noindent (b) Si $n$ est un entier${}\ge1$, on dit qu'un morphisme de
sch\'emas $i:T_0\lra T$ est un {\sl \'epaississement d'ordre} $n$ si
$i$ est une immersion ferm\'ee d\'efinie par un id\'eal $I$ tel que
$I^{n+1}=0$. Si $T_m$ d\'esigne le sous-sch\'ema ferm\'e de $T$ d\'efini
par $I^{m+1}$, $i$ se factorise en une suite d'\'epaississements
d'ordre $1\,:$
$$T_0\lra T_1\lra\cdots \lra T_m\lra T_{m+1}\lra\cdots\lra T_n.$$
Dans la d\'efinition $2.2$, on peut donc remplacer {\sl \'epaississement
d'ordre} $1$ par {\sl \'epais\-sis\-se\-ment d'ordre} $n$.}
\endstate

La proposition suivante r\'esume les propri\'et\'es diff\'erentielles
essentielles des morphismes lisses (resp.\ nets, resp.\ \'etales).

\state Proposition 2.4|{\rm(a)} si $f:X\lra Y$ est lisse $($resp.\ net$)$,
le $\cO_X$-module $\Omega^1_{X/Y}$ est localement libre de type fini
$($resp.\ nul$)$.
\smallskip
\item{\rm(b)} Dans la situation de $1.4$, si $f$ est lisse, la suite $(1.4.1)$
prolong\'ee par un z\'ero \`a gauche
$$0\lra f^*\Omega^1_{Y/S}\lra\Omega^1_{X/S}\lra\Omega^1_{X/Y}\lra 0
\leqno\kern-\itemindent(2.4.1)$$
est exacte et localement scind\'ee. En particulier, si $f$ est \'etale,
l'homomor\-phisme canonique $f^*\Omega^1_{Y/S}\lra\Omega^1_{X/S}$
est un isomorphisme.
\smallskip
\item{\rm(c)} Dans la situation de $1.5$, si $f$ est lisse, la suite $(1.5.1)$
prolong\'ee par un z\'ero \`a gauche
$$0\lra\cN_{X/Z}\lra i^*\Omega^1_{Z/Y}\lra\Omega^1_{X/Y}\lra 0
\leqno\kern-\itemindent(2.4.2)$$
est exacte et localement scind\'ee. En particulier, si $f$ est \'etale,
l'homomor\-phisme canonique $\cN_{X/Z}\lra i^*\Omega^1_{Z/Y}$ est un
isomorphisme.
\vskip0pt
\endstate

\noindent
{\bf 2.5.} La v\'erification de $2.4$ n'est pas difficile
(EGA IV $17.2.3)$, mais malheureusement quelque peu \'eparpill\'ee dans
(EGA $0_{\rm IV}$ 20). En voici une esquisse.

L'ingr\'edient cl\'e est le suivant. Si $f:X\lra Y$ est un morphisme de
sch\'emas et $I$ un $\cO_X$-module quasi-coh\'erent, on appelle
$Y$-{\sl extension de $X$ par} $I$ un $Y$-morphisme $i:X\lra X'$ qui
est un \'epaississement d'ordre $1$ d'id\'eal $I$. Deux $Y$-extensions
$i_1:X\lra X_1$ et $i_2:X\lra X_2$ de $X$ par $I$ sont dites {\sl
\'equivalentes} s'il existe un $Y$-isomorphisme $g$ de $X_1$ sur $X_2$
tel que $gi_1=i_2$ et que $g$ induise l'identit\'e sur $I$. Une
construction analogue \`a celle de la ``somme de Baer'' pour les
extensions de modules sur un anneau munit l'ensemble
$$\Ext_Y(X,I)$$
des classes d'\'equivalence de $Y$-extensions de $X$ par $I$ d'une
structure de groupe ab\'elien, d'\'el\'ement neutre l'extension triviale
d\'efinie par l'alg\`ebre des nombres duaux $\cO_X\oplus I$.

L'assertion (c) d\'ecoule imm\'ediatement de la d\'efinition: la
lissit\'e de $f$ implique en effet que le premier voisinage
infinit\'esimal $i_1$ de $i$ se r\'etracte localement sur $X$, et le choix
d'une r\'etraction $r$ permet de scinder $(2.4.2)$ (par la d\'erivation
associ\'ee \`a $\Id_{Z_1}-i_1\circ r$, cf.\ $(1.2.6)$). 

Supposons $f$ lisse. Si $I$ est un $\cO_X$-module quasi-coh\'erent et
$i:X\lra Z$ est une $Y$-extension de $X$ par $I$, la suite $(2.4.2)$
est donc une extension de $\cO_X$-modules $e(i)$ de $\Omega^1_{X/Y}$
par $I$. On v\'erifie que $i\lmapsto e(i)$ donne un isomorphisme
$$\Ext_Y(X,I)\build\lra|\sim||\Ext^1_{\cO_X}(\Omega^1_{X/Y},I)
\leqno(2.5.1)$$
(cf.\ [I1] I, chap.~II, $1.1.9$: on d\'efinit un inverse de $(2.5.1)$
en associant \`a une extension $M$ de $\Omega^1_{X/Y}$ par $I$ la
$Y$-extension $Z$ de $X$ d\'efinie de la mani\`ere suivante:
identifions, gr\^ace \`a $j_1$, le faisceau des parties
principales $\cP^1_{X/Y}(1.2.2)$ \`a l'anneau des nombres
duaux $\cO_X\oplus\Omega^1_{X/Y}$, et notons $F=\cO_X\oplus M$
l'anneau des nombres duaux sur $M$; l'extension $M$ fait de $F$ une
$f^{-1}(\cO_Y)$-extension de $\cP^1_{X/Y}$ par $I$; soit
$E=F\times_{\cP^1_{X/Y}}\cO_X$ le ``pull-back'' de $F$ par
l'homomorphisme $j_2=j_1+d_{X/Y}:\cO_X\lra\cP^1_{X/Y}\,$; $E$ est une
$f^{-1}(\cO_Y)$-extension de $\cO_X$ par $I$, qui d\'efinit la
$Y$-extension $Z$). Comme $f$ est lisse, toute $Y$-extension de $X$ par
$I$ est localement triviale, et donc, gr\^ace \`a $(2.5.1)$, il en
r\'esulte que le faisceau $\ul{\rm Ext}^1_{\cO_X}(\Omega^1_{X/Y},I)$
(associ\'e au pr\'efaisceau
$U\lmapsto\Ext^1_{\cO_U}(\Omega^1_{U/Y},I_{|U}))$ est nul, et donc
aussi que $\ul{\rm Ext}^1_{\cO_U}(\Omega^1_{U/Y},J)=0$ pour tout ouvert $U$
de $X$ et tout $\cO_U$-module quasi-coh\'erent $J$. Comme
$\Omega^1_{X/Y}$ est de type fini $(2.1)$, il s'ensuit que
$\Omega^1_{X/Y}$ est localement libre de type fini, ce qui prouve la
partie de (a) relative au cas lisse (la partie relative au cas net est
imm\'ediate: pour tout $Y$-sch\'ema $X$, si $i:X\lra Z$ est la
$Y$-extension triviale de $X$ par un $\cO_X$-module quasi-coh\'erent
$I$, l'ensemble des $Y$-r\'etractions de $Z$ sur $X$ s'identifie \`a
$\Hom(\Omega^1_{X/Y},I)$ par $r\lmapsto r-r_0$, o\`u $r_0$ correspond
\`a l'injection naturelle de $\cO_X$ dans $\cO_X\oplus I$, cf.\
(1.2.6)). Il r\'esulte notamment de (a) et $(2.5.1)$ que, si $X$ est
un sch\'ema affine et est lisse sur $Y$, on a $\Ext_Y(X,I)=0$ pour
tout $\cO_X$-module quasi-coh\'erent $I$. On en d\'eduit finalement (b),
en utilisant, pour $X, Y, S$ affines, et $f$ quelconque, la suite
exacte naturelle (EGA $0_{\rm IV}$ $20.2.3$)
$$\leqalignno{
0&{}\lra\Der_Y(\cO_X,I)\lra\Der_S(\cO_X,I)\lra\Der_S(\cO_Y,f_*I)\lra&(2.5.2)\cr
&\build\lra|\partial||\Ext_Y(X,I)\lra\Ext_S(X,I)\lra\Ext_S(Y,f_*I),\cr}$$
o\`u les fl\`eches autres que $\partial$ sont les fl\`eches de fonctorialit\'e
\'evidentes, et $\partial$ associe \`a une $S$-d\'erivation $D:\cO_Y\lra f_*I$
la $Y$-extension d\'efinie par l'anneau des nombres duaux $\cO_X\oplus I$ et
l'homomorphisme $a\lmapsto f^*a+Da$ de $\cO_Y$ dans $f_*(\cO_X\oplus I$).

Observons que si $f:X\lra Y$ est un morphisme localement de
pr\'esentation finie de sch\'emas affines (i.e.\ correspondant \`a un
homomorphisme d'anneaux $A\lra B$ faisant de $B$ une $A$-alg\`ebre de
pr\'esentation finie), alors, pour que $f$ soit lisse, il faut et il
suffit que, pour tout $\cO_X$-module quasi-coh\'erent $I$, on ait
$\Ext_Y(X,I)=0$ (la suffisance d\'ecoule de la d\'efinition, et la
n\'ecessit\'e a d\'ej\`a \'et\'e not\'ee plus haut).

Les assertions $2.4$ (b) et (c) ont des r\'eciproques, qui
fournissent des crit\`eres de lissit\'e tr\`es commodes. Leur
v\'erification est facile \`a partir des consid\'erations pr\'ec\'edentes.

\state Proposition 2.6|{\rm(a)} Dans la situation de $1.4$, supposons $gf$
lisse. Alors, si la suite $(2.4.1)$ est exacte et localement scind\'ee, $f$ est
lisse. Si l'homomorphisme canonique $f^*\Omega^1_{Y/S}\lra\Omega^1_{X/S}$ est un
isomorphisme, $f$ est \'etale.
\smallskip
\item{\rm(b)} Dans la situation de $1.5$, supposons $g$ lisse. Alors, si la
suite $(2.4.2)$ est exacte et localement scind\'ee, $f$ est lisse. Si
l'homomorphisme canonique $\cN_{X/Z}\lra i^*\Omega^1_{Z/Y}$ est un
isomorphisme, $f$ est \'etale.
\endstate

\noindent
{\bf 2.7.} Soit $f: X\lra Y$ un morphisme lisse, et soit $x$ un point
de $X$, notons $k(x)$ le corps r\'esiduel de l'anneau local $\cO_{X,x}$.
Soient $s_1\ld s_n$ des sections de $\cO_X$ au voisinage de $x$ dont les
diff\'erentielles forment une base de $\Omega^1_{X/Y}$ en $x$, i.e., au choix,
telles que les images $(ds_i)_x$ des $ds_i$ dans $\Omega^1_{X/Y,x}$ forment
une base de ce module sur $\cO_{X,x}$, ou telles que les images $(ds_i)(x)$
des $ds_i$ dans $\Omega^1_{X/Y}\otimes k(x)$ forment une base de cet espace
vectoriel sur $k(x)$. Comme $\Omega^1_{X/Y}$ est localement libre de type
fini, il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que les $s_i$ soient
d\'efinies sur $U$ et que les $ds_i$ forment une base de
$\Omega^1_{X/Y\,|U}$. Les $s_i$ d\'efinissent alors un $Y$-morphisme de
$U$ dans l'espace affine de dimension $n$ sur $Y\,$:
$$s=(s_1\ld s_n): U\lra\bA^n_Y=Y[t_1\ld t_n].$$
D'apr\`es $1.6$ et $2.6$ (a), $s$ est {\sl \'etale}. On dit que les
$s_i$ forment un {\sl syst\`eme de coordonn\'ees
\index{29}{COO}{Coordonn\'ees locales}%
locales} de $X$ sur $Y$ au-dessus de $U$ (ou, si $U$ n'est pas
pr\'ecis\'e, en $x$). Un morphisme lisse est donc localement compos\'e
d'un morphisme \'etale et de la projection d'un espace affine standard.
\medskip

\noindent
{\bf 2.8.} Pla\c{c}ons-nous dans la situation de $1.5$, en supposant
$g$ lisse, et soit $x$ un point de $X$. D'apr\`es $2.4$ (c) et $2.6$
(b), pour que $f$ soit lisse au voisinage de $x$, il faut et il suffit
qu'il existe des sections $s_1\ld s_r$ de $I$ au voisinage de $x$,
engendrant $I_x$ et telles que les $(ds_i)(x)$ soient lin\'eairement
ind\'ependants dans $\Omega^1_{Z/Y}(x)=\Omega^1_{Z/Y}\otimes k(x)$
(o\`u $k(x)$ est le corps r\'esiduel de $\cO_{Z,x}$, qui est aussi celui
de $\cO_{X,x})$. Pour cette raison, $2.6$ (b) porte le nom de {\sl
crit\`ere
\index{30}{CRI}{Crit\`ere jacobien}%
\index{31}{JAC}{\hri crit\`ere jacobien}%
jacobien}.

Supposons $f$ lisse au voisinage de $x$ (ou en $x$, comme on dit
parfois), et soient $s_1\ld s_r$ des sections de $I$ engendrant $I$ au
voisinage de $x$. Alors, pour que les $s_i$ d\'efinissent un syst\`eme
{\sl minimal} de g\'en\'erateurs de $I_x$ (i.e.\ induisent une base de
$I\otimes k(x)=I_x/\eum_xI_x$, ou encore forment une base de $I/I^2=\cN_{X/Z}$
dans un voisinage de $x$), il faut et il suffit que les $(ds_i)(x)$ soient
lin\'eairement ind\'ependants dans $\Omega^1_{Z/Y}(x)$\bottomnote{4}
{ou encore que la suite $(s_i)$ soit $\cO_Z$-{\sl r\'eguli\`ere} en $x$, i.e.\
que le complexe de Koszul correspondant soit une r\'esolution de $\cO_X$ au
voisinage de $x$ (cf.\ (SGA 6 VII $1.4$) et (EGA IV $17.12.1$)).}.
Lorsqu'il en est ainsi, si l'on compl\`ete les $s_i$ par des sections
$s_j$ ($r+1\le j\le r+n$) de $\cO_Z$ au voisinage de $x$ telles que les
$(ds_i)(x)$ ($1\le i\le r+n$) forment une base de $\Omega^1_{Z/Y}(x)$, alors
les $s_i$ ($1\le i\le r+n$) d\'efinissent un $Y$-morphisme \'etale $s$ d'un
voisinage ouvert $U$ de $x$ dans $Z$ dans l'espace affine $\bA^{n+r}_Y$,
tel que $U\cap X$ soit l'image inverse du sous-espace lin\'eaire
d'\'equations $t_1=\cdots=t_r=0$:
$$\eqalign{
U\cap X&{}\lra~~\,U\cr
\big\downarrow\quad&\phantom{\lra}~\quad\big\downarrow s\cr
\bA^n_Y~~&{}\lra~\bA^{n+r}_Y.\cr}$$
En g\'eom\'etrie alg\'ebrique, cet \'enonc\'e joue le r\^ole d'un
{\sl th\'eor\`eme des fonctions implicites}.
\medskip

\noindent
{\bf 2.9.} Soit $k$ un corps et soit $f:X\lra Y=\Spec k$ un
morphisme. Supposons $f$ lisse; alors $X$ est {\sl r\'egulier}
\index{32}{SCH}{Sch\'ema r\'egulier}%
\index{33}{REG}{R\'egulier, sch\'ema}%
(i.e.\ pour tout point $x$ de $X$, l'anneau local $\cO_{X,x}$ est r\'egulier,
i.e.\ son id\'eal maximal $\eum_x$ peut \^etre engendr\'e par une suite
r\'eguli\`ere de param\`etres); de plus, si $x$ est un point {\sl
ferm\'e}, $k(x)$ est une extension {\sl finie s\'eparable} de $k$, et
la dimension de $\cO_{X,x}$ est \'egale \`a la dimension $\dim_xX$ de la
composante irr\'eductible de $X$ contenant $x$ et au rang de
$\Omega^1_{X/Y}$ en $x$. Inversement, si $k$ est parfait, et si $X$ est
r\'egulier, $f$ est lisse.

Plus g\'en\'eralement, on a le crit\`ere suivant, de v\'erification
facile \`a partir de $2.7$ et $2.8\,$:

\state Proposition 2.10|Soit $f:X\lra Y$ un morphisme localement de
pr\'esentation finie $(2.1)$. Les conditions suivantes sont
\'equivalentes$\,:$
\smallskip
\item{\rm(i)} $f$ est lisse;
\smallskip
\item{\rm(ii)} $f$ est plat et les fibres g\'eom\'etriques de $f$ sont des
sch\'emas r\'eguliers.
\vskip0pt
\endstate

(On dit que $f$ est {\sl plat}
\index{34}{MOR}{Morphisme plat}%
\index{35}{PLA}{Plat, morphisme}%
si, pour tout point $x$ de $X$, $\cO_{X,x}$ est un module plat sur
$\cO_{Y,f(x)}$. Une {\sl fibre g\'eom\'etrique} de $f$ est le sch\'ema
d\'eduit d'une fibre $X_y=X\times_Y\Spec k(y)$ de $f$ en un point $y$
par une extension des scalaires \`a une cl\^oture alg\'ebrique de
$k(y)$.) Si $f:X\lra Y$ est lisse, et $x$ est un point de $X$, l'entier
$$\dim_x(f):=\dim_{k(x)}\Omega^1_{X/Y}\otimes k(x)=
\rg_{\cO_{X,x}}\Omega^1_{X/Y,x}$$
s'appelle {\sl dimension
\index{36}{DIM}{Dimension relative}%
relative} de $f$ en $x$. Par la th\'eorie classique de la dimension (EGA
IV $17.10.2)$, c'est la dimension de la composante irr\'eductible de la
fibre $X_{f(x)}$ contenant $x$. Comme $\Omega^1_{X/Y}$ est localement
libre de type fini, c'est une fonction  localement constante de $x$.
Elle est nulle si et seulement si $f$ est \'etale, en d'autres termes,
$f$ est \'etale si et seulement si $f$ est localement de pr\'esentation
finie, plat et net (c'est ce crit\`ere qui est pris comme d\'efinition
d'un morphisme \'etale dans (SGA~1 I)).

Si $f$ est lisse et {\sl purement de dimension relative} $r$, i.e.\ de
dimension relative constante \'egale \`a l'entier $r$, alors le complexe
de De Rham $\Omega^\bu_{X/Y}$ $(1.7.1)$ est nul en degr\'e${}>r$, et
$\Omega^i_{X/Y}$ est localement libre de rang ${r\choose i}$; en
particulier, $\Omega^r_{X/Y}$ est un $\cO_X$-module inversible.

Les morphismes lisses donnent lieu \`a une excellente th\'eorie de
d\'eformations infinit\'esimales. Les deux propositions qui suivent la
r\'esument. Elles sont toutefois de nature plus technique que les
\'enonc\'es pr\'ec\'edents, et comme elles ne serviront que dans la
d\'emonstration de $5.1$, nous conseillons au lecteur de ne s'y
reporter qu'\`a ce moment-l\`a.

\state Proposition 2.11|Soit un diagramme $(2.2.1)$, avec $f$ lisse.
Soit $I$ l'id\'eal de $i$.
\smallskip
\item{\rm(a)} Il existe une obstruction
\index{37}{OBS}{Obstruction}%
$$c(g_0) \in\Ext^1(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I)$$
dont l'annulation est n\'ecessaire et suffisante \`a l'existence d'un
$Y$-morphisme $($global$)$ $g: T\lra X$ prolongeant $g_0$ $($i.e.\ tel
que $gi=g_0)$.
\smallskip
\item{\rm(b)} Si $c(g_0)=0$, l'ensemble des prolongements $g$ de $g_0$ est un
espace affine sous $\Hom(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I)$.
\vskip0pt
\endstate

Comme $\Omega^1_{X/Y}$ est localement libre de type fini, on a un
isomorphisme cano\-nique
$$\Ext^1(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I)\simeq H^1(T_0,\cHom(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I))
\leqno(2.11.1)$$
(et $\cHom(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I)\simeq g^*_0T_{X/Y}\otimes I$, o\`u
$T_{X/Y}$ est le faisceau tangent $(1.2.5))$. Posons
$G=\cHom(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I)$. D'apr\`es $(1.2.6)$, si $U$ est un
ouvert de $T$ de trace $U_0$ sur $T_0$, deux prolongements de
$g_{0|U_0}$ \`a $U$ ``diff\`erent'' par une section de $G$ sur $U_0$
(et un prolongement \'etant donn\'e, on peut le modifier en lui
``ajoutant'' une section de $G$). Comme $g_0$ se prolonge localement par
d\'efinition de la lissit\'e de $f$, on en conclut que le faisceau $P$
sur $T_0$ associant \`a $U_0$ l'ensemble des prolongements de $g_0|U_0$
\`a $U$ est un {\sl torseur} sous $G$. Les assertions (a) et (b) en
r\'esultent: $c(g_0)$ est la classe de ce torseur. Plus concr\`etement,
si $(U_i)_{i\in E}$ est un recouvrement ouvert de $T$ et $g_i$ un
prolongement de $g_0$ sur $U_i$, alors, sur $U_i\cap U_j$, $g_i-g_j$
est une $Y$-d\'erivation $D_{ij}$ de $\cO_X$ \`a valeurs dans
$g_{0\,*}(I_{|U_i\cap U_j})$, i.e.\ un homomorphisme de $\Omega^1_{X/Y}$ dans
$g_{0\,*}(I_{|U_i\cap U_j})$, i.e.\ finalement une section de $G$ sur
$U_i\cap U_j$, et les $(g_{ij})$ forment un cocycle, dont la classe est
$c(g_0)$.

Noter que si $T$ (ou ce qui revient au m\^eme $T_0)$ est affine, alors
$$H^1(T_0,\cHom(g^*_0\Omega^1_{X/Y},I))=0,$$
et par suite $g_0$ admet un prolongement global \`a $T$.

\state Proposition 2.12|Soient $i:Y_0\lra Y$ un \'epaississement d'ordre
$1$ d'id\'eal $I$, et $f_0:X_0\lra Y_0$ un morphisme lisse.
\smallskip
\item{\rm(a)} Il existe une obstruction
\index{38}{OBS}{Obstruction}%
$$\omega(f_0) \in\Ext^2(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$$
dont l'annulation est n\'ecessaire et suffisante \`a l'existence d'un
rel\`evement
\index{39}{REL}{Rel\`evement}%
lisse de $X_0$ sur $Y$, i.e.\ par d\'efinition, d'un $Y$-sch\'ema lisse
$X$ muni d'un $Y_0$-isomorphisme $Y_0\times_YX\simeq X_0$
\bottomnote{5}
{Dans la suite, quand nous parlerons de {\sl rel\`evement} d'un $Y_0$-sch\'ema
lisse, il sera sous-entendu, sauf mention du contraire, qu'il
s'agit d'un rel\`evement {\sl lisse}.}.
\smallskip
\item{\rm(b)} Si $\omega(f_0)=0$, l'ensemble des classes d'isomorphie de
rel\`evements de $X_0$ sur $Y$ est un espace affine sous
$\Ext^1(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$
$($o\`u par d\'efinition, si $X_1$ et $X_2$ sont des rel\`evements de $X_0$,
un isomorphisme de $X_1$ sur $X_2$ est un $Y$-isomorphisme de $X_1$ sur $X_2$
induisant l'identit\'e sur $X_0)$.
\smallskip
\item{\rm(c)} Si $X$ est un rel\`evement de $X_0$ sur $Y$, le groupe des
automorphismes de $X$ $($i.e.\ des $Y$-automorphismes de $X$ induisant
l'identit\'e sur $X_0)$ s'identifie naturellement \`a
$\Hom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$.
\vskip0pt
\endstate

Comme $\Omega^1_{X_0/Y_0}$ est localement libre de type fini, on a, pour
tout $i\in\bZ$, un isomorphisme canonique
$$\Ext^i(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)\simeq H^i(X_0,
\cHom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I))
\leqno(2.12.1)$$
(et $\cHom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)\simeq T_{X_0/Y_0}\otimes f^*_0I)$.
Si $X_0$ est affine, le second membre de $(2.12.1)$ est nul pour $i\ge 1$, et
par suite il existe un rel\`evement de $X_0$ sur $Y$, et deux tels
rel\`evements sont isomorphes.
\medskip

\noindent
{\bf 2.13.} Voici une esquisse de d\'emonstration de $2.12$. La
donn\'ee d'un rel\`evement $X$ \'equivaut \`a celle d'un carr\'e cart\'esien
$$\eqalign{
X_0&\build\lra|{\disp j}||X\cr
f_0\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow f\cr
Y_0&\build\lra|{\disp i}||Y,\cr}$$
avec $f$ lisse. Soit $J$ l'id\'eal de l'\'epaississement $j$. La
platitude de $f$ $(2.10)$ implique que l'homomorphisme $f^*_0I\lra J$
d\'eduit de ce carr\'e est un isomorphisme (il est d'ailleurs facile de
v\'erifier qu'inversement, si $X$ est une $Y$-extension de $X_0$ par
$J$ telle que l'homomorphisme correspondant $f^*_0I\lra J$ soit un
isomorphisme, alors $X$ est automatiquement un rel\`evement de $X_0)$.
L'assertion (c) est donc cas particulier de $2.11$ (b),
l'identification consistant \`a associer \`a un automorphisme $u$ de
$X$ la ``d\'erivation'' $u-\Id_X$. De m\^eme, si $X_1$ et $X_2$ sont
deux rel\`evements de $X_0$, $2.11$~(a) entra\^\i ne que $X_1$ et $X_2$
sont isomorphes si $X_0$ est affine, et que l'ensemble des
isomorphismes de $X_1$ sur $X_2$ est alors un espace affine sous
$\Hom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$. Les assertions (a) et (b) en
d\'ecoulent formellement. La v\'erification de (b) est analogue \`a
celle de $2.11\,$: si $X_1$ et $X_2$ sont deux rel\`evements de $X_0$, la
``diff\'erence'' de leurs classes d'isomorphie est la classe du
torseur sous $\cHom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$ des isomorphismes
locaux de $X_1$ sur $X_2$ (on peut aussi observer que les classes des
$Y$-extensions $X_1$ et $X_2$ de $X_0$ par $f^*_0I$ diff\`erent par une
unique $Y_0$-extension de $X_0$ par $f^*_0I$ et invoquer $(2.5.1))$.
Enfin, indiquons rapidement la construction de
l'obstruction $\omega(f_0)$, en supposant pour simplifier $X_0$
s\'epar\'e. Tout d'abord, par le crit\`ere jacobien $(2.8)$,
l'existence d'un rel\`evement global est assur\'ee dans le cas o\`u
$X_0$ et $Y_0$ sont affines, et $f_0$ associ\'e \`a un homomorphisme
d'anneaux $A_0\lra B_0$, o\`u $B_0$ est quotient d'une $A_0$-alg\`ebre
de polyn\^omes $A_0[t_1\ld t_n]$ par l'id\'eal engendr\'e par une suite
d'\'el\'ements $(g_1\ld g_r)$ telle que les $dg_i$ soient
lin\'eairement ind\'ependants en tout point $x$ de $X_0$ (relever
arbitrairement les $g_i$). Comme (toujours d'apr\`es $(2.8)$) $f_0$ est
localement de la forme pr\'ec\'edente, on peut choisir un recouvrement
ouvert affine $\cU=((U_i)_0)_{i\in E}$ de $X_0$, et pour chaque $i$, un
rel\`evement $U_i$ de $(U_i)_0$ sur $Y$. Comme $X_0$ a \'et\'e suppos\'e
s\'epar\'e, chaque intersection $(U_{ij})_0= (U_i)_0\cap (U_j)_0$ est
affine, et par suite, on peut choisir un isomorphisme de rel\`evements
$u_{ij}$ de $U_{i|(U_{ij})_0}$ sur $U_{j|(U_{ij})_0}$. Sur une intersection
triple $(U_{ijk})_0=(U_i)_0\cap(U_j)_0\cap(U_k)_0$, l'automorphisme
$u_{ijk}=u_{ki}^{-1}u_{jk}u_{ij}$ de $U_{i|(U_{ijk})_0}$ diff\`ere de
l'identit\'e par une section
$$c_{ijk}=u_{ijk}^*-\Id$$
du faisceau $\cHom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$. On v\'erifie que $(c_{ijk})$
est un $2$-cocycle de $\cU$ \`a valeurs dans
$\cHom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I)$, que la classe de ce cocycle dans
$$H^2(X_0,\cHom(\Omega^1_{X_0/Y_0},f^*_0I))$$
ne d\'epend pas des choix, et qu'elle s'annule si et seulement si l'on
peut, sur un recouvrement plus fin, modifier les $u_{ij}$ de mani\`ere
\`a ce qu'ils se recollent sur les intersections triples, et
d\'efinissent ainsi un rel\`evement global $X$ de $X_0$. C'est
l'obstruction annonc\'ee.

\state Remarque 2.14|{\rm La th\'eorie des {\sl gerbes} [Gi] et celle du
{\sl complexe cotangent} [I1] permettent, l'une et l'autre, de se
d\'ebarrasser de l'hypoth\`ese de s\'eparation faite plus haut, et
surtout, de donner une d\'emonstration plus conceptuelle de $2.12$.}
\endstate

\section \Smark3. Frobenius et isomorphisme de Cartier|

Les r\'ef\'erences g\'en\'erales pour ce num\'ero sont (SGA $5$ XV $1)$ pour
les d\'efinitions et propri\'et\'es de base des morphismes de Frobenius
absolus et relatifs, et [K1] 7 pour l'isomorphisme de Cartier (cf.\
aussi [I2] 0 2 et [D-I] 1).

Dans ce num\'ero, $p$ d\'esigne un nombre premier fix\'e.
\medskip

\noindent
{\bf 3.1.} On dit qu'un sch\'ema $X$ est {\sl de caract\'eristique} $p$ si
$p\cO_X=0$, i.e.\ si le morphisme $X\lra\Spec\bZ$ se factorise
(n\'ecessairement de mani\`ere unique) \`a travers $\Spec\bF_p$. Si $X$ est
un sch\'ema de caract\'eristique $p$, on appelle {\sl endomorphisme de
Frobenius
\index{40}{MOR}{Morphisme de Frobenius (absolu)}%
\index{41}{FRO}{\hri endomorphisme de Frobenius (absolu)}%
absolu} de $X$ (ou, simplement endomorphisme de Frobenius, s'il
n'y a pas de confusion \`a craindre) l'endomorphisme de $X$ qui est
l'identit\'e sur l'espace sous-jacent \`a $X$ et l'\'el\'evation \`a la
puissance $p$-i\`eme sur $\cO_X$. On le note $F_X$. Si $X$ est affine
d'anneau $A, F_X$ correspond \`a l'endomorphisme de Frobenius $F_A$ de
$A, a\lmapsto a^p$. Soit $f: X\lra Y $ un morphisme de sch\'emas. On a
alors un carr\'e commutatif
$$\leqalignno{
X&\build\lra|{\disp F_X}||X\cr
f\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow f&(3.1.1)\cr
Y&\build\lra|{\disp F_Y}||Y.\cr}$$
Notons $X^{(p)}$ (ou $X'$, s'il n'y a pas d'ambigu\"\i t\'e) le sch\'ema
$(Y,F_Y)\times_YX$ d\'eduit de $X$ par le changement de base $F_Y$. Le
morphisme $F_X$ d\'efinit un unique $Y$-morphisme $F=F_{X/Y}:X\lra X'$,
donnant lieu \`a un diagramme commutatif
$$\leqalignno{
X\build\lra|{\disp F}||X'&{}\lra X\cr
f\bigsearrow\quad\big\downarrow~&\phantom{\lra}~~\,\big\downarrow f&(3.1.2)\cr
Y&\build\lra|{\disp F_Y}||Y,\cr}$$
o\`u le compos\'e sup\'erieur est $F_X$ et le carr\'e est cart\'esien. On dit
que $F$ est le {\sl Frobenius
\index{42}{MOR}{Morphisme de Frobenius (relatif)}%
\index{43}{FRO}{\hri morphisme de Frobenius (relatif)}%
relatif} de $X$ sur $Y$. Les morphismes de la
ligne sup\'erieure induisent des hom\'eomorphismes sur les espaces
sous-jacents $(F_Y$ est un ``hom\'eomorphisme universel'', i.e un
hom\'eomorphisme et le reste apr\`es tout changement de base). Si $Y$ est
affine d'anneau $A$, et $X$ est l'espace affine $\bA^n_Y=\Spec B$, o\`u
$B=A[t_1\ld t_n]$, alors $X'=\bA^n_Y$\bottomnote{6}
{Il n'est pas vrai en g\'en\'eral que $X$ et $X'$ soient isomorphes en tant
que $Y$-sch\'emas, c'est le cas ici exceptionnellement.},
et les morphismes $F:X\lra X'$ et $ X'\lra X$ correspondent respectivement
aux homomorphismes $t_i\lmapsto t_i^p$ et $at_i\lmapsto a^pt_i$ $(a\in A)$.

\state Proposition 3.2|Soient $Y$ un sch\'ema de caract\'eristique $p$, et
$f:X\lra Y$ un morphisme lisse, purement de dimension relative $n$ $(2.10)$.
Alors le Frobenius relatif $F:X\lra X'$ est un morphisme fini et
plat, et la $\cO_{X'}$-alg\`ebre $F_*\cO_X$ est localement libre de rang
$p^n$. En particulier, si $f$ est \'etale, $F$ est un isomorphisme, i.e.\
le carr\'e $(3.1.1)$ est cart\'esien.
\endstate

On traite d'abord le cas o\`u $n=0$, qui demande un peu
d'alg\`ebre commutative: le point est que $F$ est \'etale, car, d'apr\`es
$2.6$ (a), un $Y$-morphisme entre $Y$-sch\'emas \'etales est automatiquement
\'etale, et qu'un morphisme qui est \`a la fois \'etale et
radiciel\bottomnote{7}{Un morphisme $g:T\lra S$ est dit radiciel
si $g$ est injectif et, pour tout point $t$ de $T$, d'image $s$ dans $S$,
l'extension r\'esiduelle $k(s)\lra k(t)$ est radicielle.}
est une immersion ouverte ((SGA 1 I $5.1$) ou (EGA IV $17.9.1$)). Ensuite,
le cas o\`u $X$ est l'espace affine $\bA^n_Y$ est imm\'ediat: les mon\^omes
$\prod t_i^{m_i}$, avec $0\le m_i<p$ forment une base de $F_*\cO_X$ sur
$\cO_{X'}$. Le cas g\'en\'eral s'en d\'eduit gr\^ace \`a $2.7$. 

\state Remarques 3.3|{\rm (a) Comme, d'apr\`es $2.10$, $\Omega^i_{X/Y}$ est
localement libre sur $\cO_X$ de rang ${n\choose i}$, il r\'esulte de $3.2$ que
$F_*\Omega^i_{X/Y}$ est localement libre sur $\cO_{X'}$ de rang
$p^n{n\choose i}$.
\smallskip
\noindent(b) L'\'enonc\'e $3.2$ relatif \`a $n=0$ admet une r\'eciproque: si
$Y$ est de caract\'eristique $p$ et si $X$ est un $Y$-sch\'ema tel que le
Frobenius relatif $F_{X/Y}$ soit un isomorphisme, alors $X$ est \'etale sur
$Y$ (SGA $5$ XV $1$ Prop. $2)$. Quand $Y$ est le spectre d'un corps, c'est
le ``crit\`ere de Mac Lane''.}
\endstate

\noindent
{\bf 3.4.} Soient $Y$ un sch\'ema de caract\'eristique $p$ et $f: X\lra Y$
un morphisme. Posons $d=d_{X/Y} (1.2.3)$. Si $s$ est une section
locale de $\cO_X$, on a $d(s^p)=ps^{p-1}ds=0$. Comme
$d(s^p)=F^*_X(ds)=F^*(1\otimes ds)$, il s'ensuit que
\smallskip
\noindent(a) les homomorphismes canoniques $(1.3.2)$ associ\'es \`a
$(F_X,F_Y)$ et $F$,
$$F^*_X\Omega^1_{X/Y}\lra\Omega^1_{X/Y},\qquad
F^*\Omega^1_{X'/Y}\lra\Omega^1_{X/Y}$$
sont nuls;
\smallskip
\noindent(b) la diff\'erentielle du complexe $F_*\Omega^\bu_{X/Y}$ est
$\cO_{X'}$-lin\'eaire; en particulier, les faisceaux de cycles $Z^i$,
de bords $B^i$ et de cohomologie $\cH^i=Z^i/B^i$ du complexe
$F_*\Omega^\bu_{X/Y}$ sont des $\cO_{X'}$-modules, et le produit
ext\'erieur fait du $\cO_{X'}$-module gradu\'e $\bigoplus
Z^iF_*\Omega^\bu_{X/Y}$ (resp.\ $\bigoplus\cH^iF_*\Omega^\bu_{X/Y})$
une alg\`ebre gradu\'ee anti-commutative.

Ces faits sont \`a la source des miracles du calcul diff\'erentiel
de caract\'eristique $p$. Le r\'esultat principal est le th\'eor\`eme
suivant, d\^u \`a Cartier [C]:

\state Th\'eor\`eme 3.5|Soient $Y$ un sch\'ema de caract\'eristique $p$ et
\index{44}{THE}{Th\'eor\`eme de Cartier}%
\index{45}{CAR}{\hri th\'eor\`eme de Cartier}%
$f:X\lra Y$ un morphisme.
\medskip
\item{\rm(a)} Il existe un unique homomorphisme de $\cO_{X'}$-alg\`ebres gradu\'ees
$$\gamma:\bigoplus\Omega^i_{X'/Y}\lra\bigoplus\cH^iF_*\Omega^\bu_{X/Y},
$$v\'erifiant les deux conditions suivantes:
\smallskip
\itemitem{\rm(i)} pour $i=0$, $\gamma$ est donn\'e par l'homomorphisme
$F^*:\cO_{X'}\lra F_*\cO_X\,;$
\smallskip
\itemitem{\rm(ii)} pour $i=1$, $\gamma$ envoie $1\otimes ds$ sur la classe de
$s^{p-1}ds$ dans $\cH^1F_*\Omega^\bu_{X/Y}$ (o\`u $1\otimes ds$ d\'esigne
l'image de la section $ds$ de $\Omega^1_{X/Y}$ dans $\Omega^1_{X'/Y}$.
\medskip
\item{\rm(b)} Si $f$ est lisse, $\gamma$ est un isomorphisme.
\endstate

Dans le cas (b), $\gamma$ s'appelle l'{\sl isomorphisme de
\index{46}{ISO}{Isomorphisme de Cartier}%
\index{47}{CAR}{\hri isomorphisme de Cartier}%
Cartier}, et se note $C^{-1}$. Son inverse, ou le compos\'e
$$\bigoplus Z^iF_*\Omega^\bu_{X/Y}\lra\bigoplus\Omega^i_{X'/Y}$$
de son inverse avec la projection de $\bigoplus Z^i$ sur $\bigoplus\cH^i$,
o\`u $Z^i$ d\'esigne le faisceau des cycles de $F_*\Omega^\bu_{X/Y}$ en
degr\'e $i$, se note $C\,$: c'est ce dernier homomorphisme qui a \'et\'e
initialement d\'efini par Cartier, et qu'on appelle parfois {\sl
l'op\'eration de Cartier}. La pr\'esentation adopt\'ee dans $3.5$ est
due \`a Grothendieck (notes manuscrites), et d\'etaill\'ee dans [K1] 7.

Quand $Y$ est un sch\'ema parfait, i.e.\ tel que $F_Y$ soit un  
automorphisme, par exemple si $Y$ est le spectre d'un corps parfait,
l'un des cas les plus importants pour les applications, alors si $f $
est lisse, $C^{-1}$ donne par composition avec l'isomorphisme
$$\bigoplus\Omega^i_{X/Y}\lra\bigoplus (F_Y)_{X\,*}\Omega^i_{X'/Y}$$
(o\`u $(F_Y)_X: X'\lra X$ est l'isomorphisme d\'eduit de $F_Y$ par
changement de base) un isomorphisme
$$C^{-1}_\abs:\bigoplus\Omega^i_{X/Y}\lra\bigoplus\cH^iF_{X\,*}
\Omega^\bu_{X/Y}$$
qu'on appelle {\sl isomorphisme de Cartier absolu}.

\state Corollaire 3.6|Soient $Y$ un sch\'ema de caract\'eristique $p$ et
$f:X\lra Y$ un morphisme lisse. Alors, pour tout $i$, les faisceaux de
$\cO_{X'}$-modules $F_*\Omega^i_{X/Y}$, $Z^iF_*\Omega^\bu_{X/Y}$,
$B^iF_*\Omega^\bu_{X/Y}$, $\cH^iF_*\Omega^\bu_{X/Y}$ sont localement
libres de type fini $($o\`u $Z^i$ resp.\ $B^i$ d\'esigne le faisceau de
cycles resp.\ bords en degr\'e $i)$.
\endstate

Compte tenu de $3.3$ (a) et de l'exactitude de $F_*$, il suffit 
d'appliquer $3.5$~(b), en proc\'edant par r\'ecurrence {\sl descendante}
sur $i$.

Indiquons rapidement la d\'emonstration de $3.5$, d'apr\`es [K1] 7. Pour
(a), il revient au m\^eme, compte tenu de $(1.3.2)$, de construire le
compos\'e de $\gamma$ avec l'homomorphisme
$\bigoplus\Omega^i_{X/Y}\lra\bigoplus(F_Y)_{X\,*}\Omega^i_{X'/Y}$,
i.e.\ un homomorphisme de $\cO_X$-alg\`ebres gradu\'ees
$$\gamma_\abs:\bigoplus\Omega^i_{X/Y}\lra
\bigoplus\cH^iF_{X\,*}\Omega^\bu_{X/Y}$$
v\'erifiant les conditions analogues \`a (i) et (ii), i.e.\ donn\'e en
degr\'e z\'ero par $F^*_X$, et en degr\'e $1$ envoyant $ds$ sur la classe de
$s^{p-1}ds$. Or l'application de $\cO_X$ dans $\cH^1F_{X\,*}\Omega^\bu_{X/Y}$
envoyant une section locale $s$ de $\cO_X$ sur la classe de $s^{p-1}ds$ est
une $Y$-d\'erivation (cela r\'esulte de l'identit\'e
$p^{-1}((X+Y)^p-X^p-Y^p)=\sum_{0<i<p}p^{-1}{p\choose i}X^{p-i}Y^i$
dans $\bZ[X,Y])$. Par $(1.2.4)$, elle d\'efinit l'homomorphisme
$(\gamma_\abs)^1$ d\'esir\'e. Comme l'alg\`ebre
ext\'erieure $\bigoplus\Omega^i_{X/Y}$ est strictement anti-commutative
(``strictement'' voulant dire que les \'el\'ements de degr\'e impair
sont de carr\'e nul), il en est de m\^eme de son sous-quotient $\bigoplus
\cH^iF_{X\,*}\Omega^\bu_{X/Y}$, et par suite il existe un unique
homomorphisme d'alg\`ebres gradu\'ees $\gamma_\abs$ prolongeant les
homomorphismes $(\gamma_\abs)^0= F^*_X $ et $(\gamma_\abs)^1$. Pour (b),
on peut supposer, d'apr\`es $2.7$, que $f$ se factorise en
$$X\build\lra|g||\bA^n_Y\build\lra|h||Y,
$$o\`u $h$ est la projection canonique et $g$ est {\sl \'etale}. Le carr\'e
$(3.1.1)$ relatif \`a $g$ \'etant cart\'esien d'apr\`es $3.2$, il en est de
m\^eme du carr\'e analogue avec les Frobenius relatifs \`a $Y$
$$\leqalignno{
X&\build\lra|F||X'\cr
g\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow g'&(3.6.1)\cr
Z&\build\lra|F||Z',\cr}$$
o\`u l'on a pos\'e $\bA^n_Y=Z$ pour abr\'eger. D'apr\`es $2.4$ (b),
l'homomorphisme $g^*\Omega^i_{Z/Y}\lra\Omega^i_{X/Y}$ est un
isomorphisme. Le carr\'e $(3.6.1)$ \'etant cart\'esien et $F$ fini, il fournit
un isomorphisme de complexes de $\cO_{X'}$-modules
$$g^{\prime\,*}F_*\Omega^\bu_{Z/Y}\lra F_*\Omega^\bu_{X/Y}.
\leqno(3.6.2)$$
Comme $g'$ est \'etale, donc plat, l'homomorphisme
$$g^{\prime\,*}\cH^iF_*\Omega^\bu_{Z/Y}\lra\cH^iF_*\Omega^\bu_{X/Y}
\leqno(3.6.3)$$
d\'eduit de $(3.6.2)$ est un isomorphisme. Comme d'autre part
$g^{\prime\,*}\Omega^i_{Z'/Y}\lra \Omega^i_{X'/Y}$ est un isomorphisme
($g'$ \'etant \'etale), il s'ensuit (par fonctorialit\'e de $\gamma$) qu'il
suffit de prouver (b) pour $Z$. Par des arguments analogues (extension des
scalaires et K\"unneth) on se ram\`ene facilement \`a $Y=\Spec\bF_p$ et
$n=1$, i.e.\ $Z=\Spec\bF_p[t]$. Alors $Z'=Z$, les mon\^omes $1, t\ld t^{p-1}$
forment une base de $F_*\cO_Z$ sur $\cO_Z$, et comme la
diff\'erentielle $d:F_*\cO_Z\lra F_*\Omega^1_Z=(F_*\cO_Z)dt$ envoie $t^i$
sur $it^{i-1}dt$, on constate que $\cH^0F_*\Omega^\bu_{Z/\bF_p}$ (resp.\
$\cH^1F_*\Omega^\bu_{Z/\bF_p})$ est libre sur $\cO_Z$ de base $1$ (resp.\
$t^{p-1}dt$), et donc que $\gamma$ est un isomorphisme.
\medskip

\noindent
{\bf 3.7.} Il existe un lien \'etroit entre isomorphisme de Cartier et
rel\`evements de Frobenius. Il \'etait connu de Cartier, et lui a servi
de motivation pour sa construction. C'est lui qui est \`a l'origine
des th\'eor\`emes de d\'ecomposition et de d\'eg\'en\'erescence de [D-I],
voir \numero5. Voici en quoi il consiste.

Soient $i:T_0\lra T$ un \'epaississement d'ordre $1$ et $g_0:S_0\lra T_0$
un morphisme plat. Par {\sl rel\`evement}
\index{48}{REL}{Rel\`evement}%
du $T_0$-sch\'ema $S_0$ sur $T$ on entend un $T$-sch\'ema {\sl plat} $S$
muni d'un $T_0$-isomorphisme $T_0\times_T S\simeq S_0$, i.e.\ un carr\'e
cart\'esien
$$\eqalign{
S_0&\build\lra|j||S\cr
g_0\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\!\big\downarrow g\cr
T_0&\build\lra|i||T\cr}$$
avec $g$ plat. Si $I$ (resp.\ $J$) est l'id\'eal de l' \'epaississement $i$
(resp.\ $j$), la platitude de $g$ implique que l'homomorphisme canonique
$g^*_0I\lra J$ est un isomorphisme (cf.\ 2.13).

Prenons pour $i$ l'\'epaississement $\Spec\bF_p\lra\Spec\bZ/p^2\bZ$,
d'id\'eal engendr\'e par~$p$. Soit $Y_0$ un sch\'ema de
caract\'eristique $p$, et soit $Y$ un rel\`evement de $Y_0$
sur $\bZ/p^2\bZ$. L'id\'eal de $Y_0$ dans $Y$ est donc $p\cO_Y$, et la
platitude de $Y$ sur $\bZ/p^2\bZ$ entra\^\i ne que la multiplication par
$p$ induit un isomorphisme
$$\bfp:\cO_{Y_0}\build\lra|\sim||p\cO_Y .
\leqno(3.7.1)$$
Soit maintenant $f_0:X_0\lra Y_0$ un morphisme {\sl lisse} de
$\bF_p$-sch\'emas. Notons
$$F_0:X_0\lra X'_0$$
le Frobenius de $X_0$ relatif \`a $Y_0$. Supposons donn\'e un rel\`evement
(lisse) $X$ (resp.\ $X'$) de $X_0$ (resp.\ $X'_0$) sur $Y$ et un $Y$-morphisme
$F:X\lra X'$ relevant $F_0$, i.e.\ tel que le carr\'e
$$\eqalign{
X_0&{}\lra X\cr
F_0\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow F\cr
X'_0&{}\lra X'\cr}$$
commute. (On a vu qu'il existe des obstructions \`a l'existence de $X$,
$X'$, et $F$, cf.\ $2.11$ et $2.12$, et que ces objets, quand ils existent,
ne sont pas uniques; nous y reviendrons plus loin.)

\state Proposition 3.8|Soient $f_0:X_0\lra Y_0$ et $F:X\lra X'$ donn\'es
comme en $3.7$. Alors:
\smallskip
\item{\rm(a)} la multiplication par $p$ induit un isomorphisme
$$\bfp:\Omega^1_{X_0/Y_0}\build\lra|\sim||p\Omega^1_{X/Y}\,;$$
\smallskip
\item{\rm(b)} l'image de l'homomorphisme canonique
$$F^*:\Omega^1_{X'/Y}\lra F_*\Omega^1_{X/Y}$$
est contenue dans $pF_*\Omega^1_{X/Y}\,;$
\smallskip
\item{\rm(c)} Notons
$$\varphi_F:\Omega^1_{X'_0/Y_0}\lra F_{0\,*}\Omega^1_{X_0/Y_0}$$
l'homomorphisme ``d\'eduit de $F^*$ par division par $p$'', i.e.\ l'unique
homomorphisme rendant commutatif le carr\'e
$$\eqalign{
\Omega^1_{X'/Y}&\build\lra|F^*||p\,F_{*}\Omega^1_{X/Y}\cr
\big\downarrow\quad&\phantom{\lra}\qquad\big\uparrow\bfp\cr
\Omega^1_{X'_0/Y_0}&{}\lra F_{0\,*}\Omega^1_{X_0/Y_0}~;\cr}$$
alors l'image de $\varphi_F$ est contenue dans le noyau de la
diff\'erentielle du complexe de De Rham, i.e.\ dans le faisceau de
cycles $ Z^1F_{0\,*}\Omega^\bu_{X_0/Y_0}$, et le compos\'e de $\varphi_F$
avec la projection sur $\cH^1F_{0\,*}\Omega^\bu_{X_0/Y_0}$ est
l'isomorphisme de Cartier $C^{-1}$ en degr\'e $1$ $($cf.\ $3.5)$.
\vskip0pt
\endstate

L'assertion (a) est triviale, (b) d\'ecoule de $3.4$ (a), et (c)
est imm\'ediat \`a partir de (a), (b) et la caract\'erisation de
l'isomorphisme de Cartier: en effet, si $a$ est une section locale
de $\cO_X$, de r\'eduction $a_0$ modulo $p$, et $a'$ rel\`eve dans
$\cO_{X'}$ l'image $a'_0$ de $a_0$ dans $\cO_{X'_0}$, on a
$$F^*a'=a^p+pb$$
pour une section locale $b$ de $\cO_X$ (car la r\'eduction modulo $p$
de $F^*a'$ est $F^*_0a'_0=a^p_0$), et par suite
$$F^*(da')=pa^{p-1}da+pdb,$$
d'o\`u
$$\varphi_F(da'_0)=a^{p-1}_0da_0+db_0,\leqno(3.8.1)$$
dont (c) r\'esulte aussit\^ot.
\medskip

\noindent
{\bf 3.9.} Supposons -- c'est, en pratique, l'un des cas les plus
importants -- que $Y_0$ soit le spectre d'un corps parfait $k$ de
caract\'eristique $p$. Alors le spectre $Y$ de l'anneau $W_2(k)$ des
\index{49}{ANN}{Anneau des vecteurs de Witt $W_2(k)$}%
\index{50}{WIT}{\hri anneau des vecteurs de Witt $W_2(k)$}%
vecteurs de Witt de longueur $2$ sur $k$ rel\`eve $Y_0$ sur $\bZ/p^2\bZ$
(c'est d'ailleurs, \`a isomorphisme pr\`es, l'unique rel\`evement (plat)
de $Y_0)$. Rappelons que $W_2(k)$ est l'ensemble des suites $(a_1,a_2)$
d'\'el\'ements de $k$, muni de l'addition et de la multiplication
donn\'ees par
$$\eqalign{
&(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,S_2(a,b)),\cr
\noalign{\vskip6pt}  
&(a_1,a_2)(b_1,b_2)=(a_1b_1, P_2(a,b)),\cr}$$
o\`u
$$\eqalign{
S_2(a,b)&=a_2+b_2+p^{-1}(a_1^p+b_1^p-(a_1+b_1)^p),\cr
\noalign{\vskip6pt}    
P_2(a,b)&=b_1^pa_2+b_2a_1^p.\cr}$$
L'homomorphisme $W_2(k)\lra k$ est donn\'e par $(a_1,a_2) \lmapsto a_1$. Si
$k=\bF_p$, alors $W_2(k)\simeq\bZ/p^2\bZ$, l'isomorphisme \'etant
donn\'e par $(a_1,a_2)\lmapsto\tau(a_1)+p\,\tau(a_2)$, o\`u $\tau$
d\'esigne la section multiplicative de $\bZ/p^2\bZ\lra\bF_p$. (Pour un
expos\'e d'ensemble de la th\'eorie des vecteurs de Witt, voir [S]
II~6, [D-G] V.)

Dans ce cas, si $X_0$ est un $Y_0$-sch\'ema lisse (i.e.\ un $k$-sch\'ema
lisse), comme le Frobenius absolu de $Y_0$ est un automorphisme,
relever $X_0$ sur $Y=\Spec W_2(k)$ \'equivaut \`a relever $X'_0$, et, d'apr\`es
$2.12$, l'obstruction \`a l'existence d'un tel rel\`evement se trouve
dans $\Ext^2(\Omega^1_{X_0},\cO_{X_0})\simeq H^2(X_0,T_{X_0})$
\bottomnote{8}{On omet ici, pour abr\'eger, $/Y_0$ de la notation
des diff\'erentielles.}.
Si cette obstruction est nulle, on peut choisir un rel\`evement $X'$ de
$X'_0$ et un rel\`evement $X$ de $X_0$, et alors l'obstruction \`a un
rel\`evement $F:X\lra X'$ du Frobenius relatif $F_0$ se trouve
dans $\Ext^1(F^*_0\Omega^1_{X'_0},\cO_{X_0})\simeq\Ext^1(\Omega^1_{X'_0},
F_{0\,*}\cO_{X_0})$ (2.11)\bottomnote{9}
{On peut montrer ([Me-Sr] Appendix) que l'obstruction \`a un choix
de $(X,X',F)$ tel que $X'$ soit l'image inverse de $X$ par
l'automorphisme de Frobenius de $W_2(k)$ se trouve dans
$\Ext^1(\Omega^1_{X'_0},B^1F_*\Omega^\bu_{X_0})$;
plus pr\'ecis\'ement, un tel triplet $(X,X',F)$
existe si et seulement si la classe de l'extension
$$0\lra B^1F_*\Omega^\bu_{X_0}\lra Z^1F_*\Omega^\bu_{X_0}\build
\lra|C||\Omega^1_{X'_0}\lra 0$$
(cas particulier $i=1$ de l'isomorphisme de Cartier $3.5)$ est nulle.
Voir [Sr] pour une application \`a une autre d\'emonstration du
th\'eor\`eme principal de [D-I].}.
En tout cas, ces deux obstructions sont nulles localement,
et m\^eme d\`es que $X_0$ est {\sl affine}. Le choix d'un rel\`evement $F$
fournit alors, d'apr\`es $3.8$, une description relativement explicite de
l'isomorphisme de Cartier en degr\'e $1$ (et donc en tout degr\'e, par
multiplicativit\'e).

\section \Smark4. Cat\'egories d\'eriv\'ees et suites spectrales|

Il existe plusieurs textes de r\'ef\'erence sur ce sujet, de
divers niveaux. Le lecteur qui souhaiterait se mettre rapidement au
courant pourra consulter [I3], qui peut servir d'introduction et
contient une bibliographie \'etendue. Nous nous bornerons ici \`a
rappeler quelques points fondamentaux dont nous ferons usage au
num\'ero suivant.
\medskip

\noindent
{\bf 4.1.} Soit $A$ une cat\'egorie ab\'elienne (en pratique, $A$ sera la
cat\'egorie des $\cO_X$-modules d'un sch\'ema $X$). On d\'esigne par $C(A)$
la cat\'egorie des complexes de $A$, \`a diff\'erentielle de degr\'e $1$. On
note $L^\bu$ (ou $L$) un tel complexe
$$\cdots\lra L^i\build\lra|d||L^{i+1}\lra\cdots.$$
On dit que $L$ est {\sl \`a degr\'es born\'es inf\'erieurement} (resp.\
{\sl sup\'erieurement}, resp.\ {\sl \`a degr\'es born\'es}) si $L^i=0$
pour $i$ assez petit (resp.\ assez grand, resp.\ hors d'un intervalle
born\'e de $\bZ)$. On note $Z^iL=\Ker d:L^i\lra L^{i+1}$,
$B^iL=\Im d:L^{i-1}\lra L^i$, $H^iL=Z^iL/B^iL $ respectivement
les objets de cycles, bords et cohomologie en degr\'e $i$. Si $A$ est la
cat\'egorie des $\cO_X$-modules, on \'ecrit $C(X)$ au lieu de $C(A)$, et
souvent $\cH^iL$ au lieu de $H^iL$ pour un objet de $C(X)$ (afin d'indiquer
qu'il s'agit du {\sl faisceau} de cohomologie en degr\'e $i$, et non du
groupe de cohomologie global $H^i(X,L))$.

Pour $n\in\bZ$, le {\sl tronqu\'e
\index{51}{TRO}{Tronqu\'e na\"{\i}f $L^{\le n}$ (resp.\ $L^{\ge n}$)}%
na\"{\i}f} $L^{\le n}$ (resp.\ $L^{\ge n}$)
d'un complexe $L$ est le quotient (resp.\ le sous-complexe) de $L$ qui
co\"\i ncide avec $L$ en degr\'e${}\le n$ (resp.${}\ge n)$ et est
\`a composantes nulles ailleurs. Le {\sl tronqu\'e
\index{52}{TRO}{Tronqu\'e canonique $\tau_{\le n}L$ (resp.\ $\tau_{\ge n}L$)}%
canonique} $\tau_{\le n}L$ (resp.\ $\tau_{\ge n}L$) est le sous-complexe
(resp.\ quotient) de $L$ de composantes $L^i$ pour $i<n$, $Z^iL$ pour $i=n$
et $0$ pour $i>n$ (resp.\ $L^i$ pour $i>n$, $L^i/B^iL$ pour $i=n$ et $0$
pour $i<n$). On pose $\tau_{<n}L=\tau_{\le n-1}L$. L'inclusion
$\tau_{\le n}L\lhra L$ induit un isomorphisme sur $H^i$ pour $i\le n$.
La projection $L\lraww\tau_{\ge n}L$ induit un isomorphisme sur $H^i$
pour $i\ge n$. Pour $n\in\bZ$, le {\sl translat\'e} $L[n]$
\index{53}{TRA}{Translat\'e $L[n]$}%
d'un complexe $L$ est le complexe  de composantes $L[n]^i=L^{n+i}$ et de
diff\'erentielle $d_{L[n]}=(-1)^nd_L$. Un complexe $L$ est dit {\sl
concentr\'e en degr\'e} $r$ (resp.\ {\sl dans l'intervalle} $[a,b])$ si
$L^i=0$ pour $i\ne r$ (resp.\ $i\notin [a,b]$). Un objet $E$ de $A$ est
souvent consid\'er\'e comme complexe concentr\'e en degr\'e z\'ero. Le
complexe $E[-n]$ est alors concentr\'e en degr\'e $n$, de composante
$E$ en ce degr\'e.

Un homomorphisme de complexes $u: L\lra M$ est appel\'e un
{\sl quasi-isomorphisme}
\index{54}{QUA}{Quasi-isomorphisme}%
\index{55}{ISO}{\hri quasi-isomorphisme}%
si $H^iu$ est un isomorphisme pour tout $i$. On dit
qu'un complexe $K$ est {\sl acyclique} si $H^iK=0$ pour tout $i$.

Si $u: L\lra M$ est un homomorphisme de complexes, le {\sl c\^one}
$N=C(u)$ de $u$ est le complexe d\'efini par $N^i=L^{i+1}\oplus M^i$, de
diff\'erentielle $d(x, y)=(-d_Lx,ux+d_My)$. Pour que $u$ soit un
quasi-isomorphisme, il faut et il suffit que $C(u)$ soit acyclique.
\medskip

\noindent
{\bf 4.2.} D\'esignons par $K(A)$
\index{56}{CAT}{Cat\'egorie $K(A)$}%
la cat\'egorie des complexes de $A$ \`a homotopie pr\`es, i.e.\ la
cat\'egorie ayant m\^emes objets que $C(A)$ mais dont l'ensemble des
fl\`eches de $L$ dans $M$ est l'ensemble des classes d'homotopie de
morphismes de $L$ dans $M$. La {\sl cat\'egorie
\index{57}{CAT}{Cat\'egorie d\'eriv\'ee $D(A)$}%
\index{58}{DER}{\hri cat\'egorie d\'eriv\'ee $D(A)$}%
d\'eriv\'ee} de $A$, not\'ee $D(A)$, est la cat\'egorie d\'eduite de
$K(A)$ en inversant formellement les (classes d'homotopie de)
quasi-isomorphismes: les quasi-isomorphismes de $K(A)$ deviennent des
isomorphismes dans $D(A) $ et $D(A)$ est universelle pour cette
propri\'et\'e. Quand $A$ est la cat\'egorie des $\cO_X$-modules sur une
espace annel\'e $X$, on \'ecrit $D(X)$ au lieu de $D(A)$. Les
cat\'egories $K(A)$ et $D(A)$ sont des cat\'egories additives, et l'on a
des foncteurs additifs canoniques
$$C(A)\lra K(A)\lra D(A).$$
La cat\'egorie $D(A)$ {\sl a m\^emes objets} que $C(A)$. Ses fl\`eches se
calculent ``par fractions'' \`a partir de celles de $K(A)\,$: une fl\`eche
$u:L\lra M$ de $D(A)$ est d\'efinie par un couple de fl\`eches de $C(A)$ du
type
$$L\build\longleftarrow|s||L'\build\lra|f||M
\qquad\hbox{ou}\qquad
L\build\lra|g||M' \build\longleftarrow|t||M,$$
o\`u $s$ et $t$ sont des quasi-isomorphismes. Plus pr\'ecis\'ement, on
montre que les classes d'homotopie de quasi-isomorphismes de source $M$
(resp.\ but $L$) forment une cat\'egorie filtrante\bottomnote{10}
{Une cat\'egorie $I$ est dite {\sl filtrante} si elle v\'erife les
conditions (a) et (b) suivantes:\hfil\break
(a) pour tout couple de fl\`eches
$f,g:i\lra j$, il existe une fl\`eche $h:j\lra k$ telle que $hf=hg$,
\hfil\break
(b) quels que soient les objets $i$ et $j$, il existe un objet
$k$ et des fl\`eches $f:i\lra k$, $g:j\lra k$.}
(resp.\ l'oppos\'e d'une cat\'egorie filtrante) et que l'on a
$$\Hom_{D(A)}(L,M)
=\build\lim||{{\build{\disp\lra}||{\disp t:M\to M'}|}}|\Hom_{K(A)}(L,M')
=\build\lim||{{\build{\disp\lra}||{\disp s:L'\to L}|}}|\Hom_{K(A)}(L',M)$$
o\`u $t$ (resp.\ $s$) parcourt la cat\'egorie pr\'ec\'edente (resp.\ son
oppos\'ee). Si $L$, $M$ sont des complexes, on pose, pour $i\in\bZ$,
$$\Ext^i(L,M)=\Hom_{D(A)}(L,M[i])=\Hom_{D(A)}(L[-i],M).$$
Les foncteurs $H^i$ et les foncteurs de {\sl troncation canonique}
$\tau_{\le i}$, $\tau_{\ge i}$ sur $C(A)$ se prolongent naturellement \`a
$D(A)$. Par contre, il n'en est pas de m\^eme des foncteurs de troncation
na\"\i ve.
\medskip

\noindent
{\bf 4.3.} On d\'esigne par $D^+(A)$ (resp.\ $D^-(A)$, resp.\ $D^b(A)$)
la sous-cat\'egorie pleine de $D(A)$ form\'ee des complexes $L$
{\sl cohomologiquement born\'es inf\'erieurement} (resp.\ {\sl
sup\'erieurement}, resp.\ {\sl born\'es}), i.e.\ tels que $H^iL=0$ pour $i$
assez petit (resp.\ assez grand, resp.\ hors d'un intervalle born\'e).
Si $A$ poss\`ede suffisamment d'injectifs (i.e.\ si tout objet de $A$ se
plonge dans un injectif), par exemple si $A$ est la cat\'egorie
des $\cO_X$-modules sur un sch\'ema $X$, alors tout objet de $D^+(A)$ est
isomorphe \`a un complexe, \`a degr\'es born\'es inf\'erieurement,
form\'e d'injectifs, et la cat\'egorie $D^+(A)$ est \'equivalente \`a la
sous-cat\'egorie pleine de $K(A)$ form\'ee de tels complexes.
\medskip

\noindent
{\bf 4.4.} Les cat\'egories $K(A)$ et $D(A)$ ne sont pas ab\'eliennes en
g\'en\'eral, mais poss\`edent une structure de {\sl cat\'egorie
\index{59}{CAT}{Cat\'egorie triangul\'ee}%
triangul\'ee}, au sens de Verdier [V]. Cette structure est d\'efinie par
la famille des {\sl triangles distingu\'es}.
\index{60}{TRI}{Triangle, triangle distingu\'e}%
Un {\sl triangle} est une
suite de fl\`eches $T=(L\lra M\lra N\lra L[1])$ de $K(A)$ (resp.\ $D(A)$).
Un {\sl morphisme} de $T$ dans $T'=(L'\lra M'\lra N'\lra L'[1])$ est un
triplet (u: $L\lra L'$, $v:M\lra M'$, $w:N\lra N'$) tel que les trois
carr\'es form\'es avec $u$, $v$, $w$, $u[1]$ commutent. Un triangle est dit
{\sl distingu\'e} s'il est isomorphe \`a un triangle de la forme
$$L\build\lra|u||M\build\lra|i||C(u) \build\lra|p||L[1],
$$o\`u $C(u)$ est le c\^one d'un morphisme de complexes $u$, et $i$ (resp.\ $p$)
d\'esigne l'inclusion (resp.\ l'{\sl oppos\'ee} de la projection)
\'evidente. Toute suite exacte courte de complexes $0\lra
E\build\lra|u||F \lra G\lra 0$ d\'efinit un triangle distingu\'e de
$D(A)$, au moyen du quasi-isomorphisme naturel $C(u)\lra G$, et tout
triangle distingu\'e de $D(A)$ est isomorphe \`a un triangle distingu\'e
de ce type.

Tout triangle distingu\'e $T=(L\lra M\lra N\lra L[1])$ de
$D(A)$ donne naissance \`a des suites exactes longues
$$\eqalign{
&\cdots\lra H^iL\lra H^iM\lra H^iN\build\lra|d||H^{i+1}L\lra\cdots,\cr
&\cdots\lra\Ext^i(E,L)\lra\Ext^i(E,M)\lra\Ext^i(E,N)\lra 
\Ext^{i+1}(E,L)\lra\cdots,\cr
&\cdots\lra\Ext^i(N,E)\lra\Ext^i(M,E)\lra\Ext^i(L,E)\lra 
\Ext^{i+1}(N,E)\lra\cdots,\cr}$$
pour $E\in\ob D(A)$. Si le triangle $T$ est associ\'e \`a une suite exacte
courte comme expliqu\'e ci-dessus, l'op\'erateur $d$ de la premi\`ere de
ces suites est l'op\'erateur bord usuel (c'est la raison de la
convention de signe dans la d\'efinition de p).
\medskip

\noindent
{\bf 4.5.} Soient $L$ un complexe de $A$ et $i\in\bZ$. Le quotient
$\tau_{\le i}L/\tau_{\le i-1}L$ s'envoie quasi-isomorphiquement sur
$H^iL[-i]$. On a donc un triangle distingu\'e canonique de $D(A)$
$$\tau_{\le i-1}L\lra\tau_{\le i}L\lra H^iL[-i]\lra\tau_{\le i-1}L[1].$$
On d\'efinit de m\^eme un triangle distingu\'e canonique
$$H^{i-1}L[-i+1]\lra\tau_{\ge i-1}L\lra\tau_{\ge i}L\lra H^{i-1}L[-i+2].$$
Enfin,
$$\tau_{[i-1,i]}L:=\tau_{\ge i-1}\tau_{\le i}L=\tau_{\le i} \tau_{\ge i-1}L
=(0\lra L^{i-1}/B^{i-1}L\lra Z^iL\lra 0)$$
d\'efinit un triangle distingu\'e
$$H^{i-1}L[-i+1]\lra\tau_{[i-1,i]}L\lra H^iL[-i]\lra,$$
qui fournit un \'el\'ement canonique
$$c_i\in\Ext^2(H^iL,H^{i-1}L).
\leqno(4.5.1)$$
Le triplet $(H^{i-1}L,~H^iL,~c_i)$ est un invariant de $L$ dans $D(A)$. Il
permet sa reconstruction \`a isomorphisme pr\`es si $L$ est
cohomologiquement concentr\'e en degr\'e $i-1$ et $i$. On peut montrer que
les $c_i$ r\'ealisent universellement les diff\'erentielles $d_2$ des suites
spectrales de foncteurs d\'eriv\'es appliqu\'es \`a $L$ (cf.\ la th\`ese de
Verdier\bottomnote{11}
{qui devrait para\^\i tre prochainement dans {\sl Ast\'erisque}},
ou [D3]). 
\medskip

\noindent
{\bf 4.6.} Soit $L$ un objet de $D^b(A)$. On dit que $L$ est {\sl
\index{61}{DEC}{\hri objet d\'ecomposable}%
d\'ecomposable} si $L$ est isomorphe, dans $D(A)$, \`a un complexe \`a
diff\'erentielle nulle. Si $L$ est d\'ecomposable, et si $u: L'\lra L$
est un isomorphisme de $D(A)$, avec $L'$ \`a diff\'erentielle nulle,
alors $u$ induit des isomorphismes
$L^{\prime\,i}\build\lra|\sim||H^iL$, en particulier $L'$ est \`a
degr\'es born\'es et $L'=\bigoplus L^{\prime\,i}[-i]$ (dans $C(A)$)
$(4.1)$, donc
$$L\simeq\bigoplus H^iL[-i]\leqno(4.6.1)$$
(dans $D(A))$. Inversement, si $L$ v\'erifie $(4.6.1), L$ est trivialement
d\'ecomposable. Si $L$ est d\'ecomposable, on appelle {\sl d\'ecomposition}
\index{62}{DEC}{D\'ecomposition d'un objet d'une cat\'egorie}%
de $L$ le choix d'un isomorphisme $(4.6.1)$ {\sl induisant l'identit\'e}
sur $H^i$ pour tout $i$. Il existe une suite finie d'obstructions \`a
la d\'ecomposabilit\'e de $L\,$: les premi\`eres sont les classes $c_i$
$(4.5.1)$; si les $c_i$ sont nulles, il y a des obstructions
secondaires dans $\Ext^3(H^iL,H^{i-2}L)$, etc. D'autre part, si $L$ est
d\'ecomposable, $L$ admet en g\'en\'eral plusieurs d\'ecompositions.

Au num\'ero suivant, on s'int\'eressera surtout au cas o\`u $L$ est
concentr\'e en degr\'es $0$ et $1\,$: $L=(L^0\lra L^1)$. Dans ce cas:
\smallskip
\item{(a)} la classe $c_1 \in\Ext^2(H^1L,H^0L)$ est l'obstruction \`a la
d\'ecomposabilit\'e de $L\,$;
\smallskip
\item{(b)} la donn\'ee d'une d\'ecomposition de $L$ \'equivaut \`a celle d'un
morphisme $H^1L[-1]\lra L$ induisant l'identit\'e sur $H^1\,$;
\smallskip
\item{(c)} L'ensemble des d\'ecompositions de $L$ est un espace affine
sous $\Ext^1(H^1L,H^0L)$ ([D-I] 3.1).
\medskip

\noindent
{\bf 4.7.} Nous renvoyons par exemple \`a [H1], II pour la d\'efinition des
foncteurs d\'eriv\'es $\otL$, $R\cHom$
\index{63}{FON}{\speci}
\bottomnote{12}
{Une erreur de signe s'est gliss\'ee dans la d\'efinition du complexe
$\Hom^\bu(L,M)$ dans [H1] p.~64: pour $u\in\Hom(L^i,M^{i+n})$, il faut lire
$du=d\circ u+(-1)^{n+1}u\circ d$.},
$R\Hom$, $Rf_*$, $Lf^*$, $R\Gamma$ dans les cat\'egories d\'eriv\'ees
$D(X)$, o\`u $X$ est un sch\'ema variable, et la description de certaines
relations remarquables entre ces foncteurs. Rappelons seulement que ces
foncteurs sont, par rapport \`a chaque argument, des foncteurs {\sl exacts},
i.e.\ transforment triangles distingu\'es en triangles distingu\'es, et se
``calculent'' de la mani\`ere suivante:
\medskip
\noindent
(a) pour $E\in\ob D(X)$, $F\in\ob D^-(X)$, $E\otL F\simeq E\otimes F'$
si $F\simeq F'$ dans $D(X)$, avec $F'$ \`a degr\'es born\'es
sup\'erieurement $(4.1)$ et \`a composantes plates; pour $F$ donn\'e, il
existe un quasi-isomorphisme $F'\lra F$ avec $F'$ du type pr\'ec\'edent,
les classes d'homotopie de tels quasi-isomorphismes forment d'ailleurs
un syst\`eme coinitial (dans la cat\'egorie des classes de
quasi-isomorphismes de but $F$, cf.\ 4.2);
\medskip
\noindent
(b) pour $E\in\ob D(X)$, $F\in\ob D^+(X)$, si $F\simeq F'$, avec $F'$
\`a degr\'es born\'es inf\'erieurement et \`a composantes injectives, alors
$R\cHom(E,F)\simeq\cHom^\bu(E,F')$ et $R\Hom(E,F)\simeq\Hom^\bu(E,F')$; pour
$F$ donn\'e, il existe un quasi-isomorphisme $F\lra$ F' avec F' du type
pr\'ec\'edent (et les classes d'homotopie de tels quasi-isomorphismes forment
un syst\`eme cofinal);
\medskip
\noindent
(c) pour $f:X\lra Y$ et $E \in\ob D^+(X)$, si $E\simeq E'$, avec $E'$ \`a
degr\'es born\'es inf\'erieurement et \`a composantes flasques (par
exemple, injectives), alors $Rf_*E\simeq f_*E'$ et
$R\Gamma(X,E)\simeq\Gamma(X,E')$; on \'ecrit simplement $H^i(X,E)$ au lieu
de $H^iR\Gamma(X,E)$; on d\'efinit plus g\'en\'eralement, de la m\^eme
fa\c{c}on, $Rf_*:D^+(X,f^{-1}(\cO_Y))\lra D^+(Y)$, o\`u
$D(X,f^{-1}(\cO_Y))$ d\'esigne la cat\'egorie d\'eriv\'ee de la
cat\'egorie des complexes de $f^{-1}(\cO_Y)$-modules (le complexe de de
Rham $\Omega^\bu_{X/Y}$ est un tel complexe);
\medskip
\noindent
(d) pour $f:X\lra Y$ et $F\in\ob D^-(Y)$, $Lf^*F\simeq f^*F'$ si $F\simeq F'$,
avec $F'$ \`a degr\'es born\'es sup\'erieurement et \`a composantes plates.
\medskip
\noindent
{\bf 4.8.} Les suites spectrales sont peut-\^etre l'un des objets \`a la
fois les plus effrayants et les plus utiles des math\'ematiques. Les
cat\'egories d\'eriv\'ees permettent parfois de s'en passer, mais elles
restent indispensables. Il existe de nombreuses r\'ef\'erences, la plus
ancienne ([C-E], XV) restant l'une des meilleures. Dans ces notes,
nous nous int\'eresserons surtout \`a la {\sl suite spectrale} dite
{\sl de Hodge vers De Rham}, dont nous allons rappeler la d\'efinition.

Soit $T: A\lra B$ un foncteur additif entre cat\'egories
ab\'eliennes. Supposons que $A$ poss\`ede suffisamment d'injectifs. Alors
$T$ admet un d\'eriv\'e droit
$$RT:D^+(A)\lra D^+(B),$$
qui se calcule par $RT(K)\simeq T(K')$ si $K\lra K'$ est un
quasi-isomorphisme avec $K'$ \`a degr\'es born\'es inf\'erieurement et
\`a composantes injectives. Les objets de cohomologie $H^i\circ RT: D^+(A)
\lra B$ sont not\'es $R^iT$. Pour $K\in\ob D(A)$, \`a degr\'es born\'es
inf\'erieurement, on a une suite spectrale
$$E^{i\,j}_1=R^jT(K^i)\Lra R^*T(K),
\leqno(4.8.1)$$
dite {\sl premi\`ere suite spectrale d'hypercohomologie} de $T$. Elle
s'obtient de la fa\c{c}on suivante: on choisit une r\'esolution $K\lra L$
de $K$ par un bicomplexe $L$, telle que chaque colonne $L^{i\,\bu}$ soit une  
r\'esolution injective de $K^i$; si $\bfs L$ d\'esigne le complexe simple
associ\'e, l'homomorphisme de complexes $K\lra\bfs L$ qui s'en d\'eduit
est un quasi-isomorphisme, donc $RT(K)\simeq T(\bfs L)=\bfs T(L)$,
$RT(K^i)\simeq T(L^{i\,\bu})$, et la filtration de $\bfs T(L)$ par le {\sl
premier} degr\'e de $L$ donne naissance \`a $(4.8.1)$.

Soient $k$ un corps et $X$ un $k$-sch\'ema. Le groupe (cf.\ $(1.7.1)$ et
$4.7$ (c))
\index{64}{DER}{\specii}%
$$H^i_\DR(X/k)=H^i(X,\Omega^\bu_{X/k})=\Gamma(\Spec k,
R^if_*(\Omega^\bu_{X/k}))\leqno(4.8.2)$$
(o\`u $f: X\lra\Spec k$ est le morphisme structural) s'appelle $i$-i\`eme
groupe de {\sl cohomologie
\index{65}{COH}{Cohomologie de De Rham}%
\index{65}{DER}{\hri cohomologie de De Rham}%
de De Rham} de $X/k$. C'est un $k$-espace
vectoriel. La suite spectrale $(4.8.1)$ relative au foncteur $\Gamma(X,\bu)$
et au complexe $\Omega^\bu_{X/k}$ s'appelle {\sl suite spectrale de Hodge
\index{66}{SUI}{Suite spectrale de Hodge vers De Rham}%
vers De Rham} de $X/k\,$:
$$E^{i\,j}_1=H^j(X,\Omega^i_{X/k})\Lra H^*_\DR(X/k)  .
\leqno(4.8.3)
$$C'est une suite spectrale de $k$-espaces vectoriels. Les groupes
$H^j(X,\Omega^i_{X/k})$ s'appellent {\sl groupes de
\index{68}{COH}{Cohomologie de Hodge}%
\index{69}{HOD}{\hri groupes de cohomologie de Hodge}%
cohomologie de Hodge} de $X$ sur $k$. Si $X$ est {\sl propre} sur~$k$
([H2] II 4) (par exemple, projectif sur $k$, i.e.\ sous-sch\'ema ferm\'e
d'un espace projectif $\bP^n_k)$, comme les $\Omega^i_{X/k}$ sont des
faisceaux coh\'erents $(2.1)$, le th\'eor\`eme de finitude de
Serre-Grothendieck ([H2] III $5.2$ dans le cas projectif, (EGA III 3) dans
le cas g\'en\'eral) implique que les groupes de cohomologie de Hodge de $X$
sur $k$ sont des $k$-espaces vectoriels {\sl de dimension finie}. Par la suite
spectrale $(4.8.3)$, il en r\'esulte que les groupes de cohomologie de de
Rham $H^n_\DR(X/k)$ sont aussi de dimension finie sur $k$. De plus, pour
chaque $n$, on a
$$\sum_{i+j=n}\dim_k H^j(X,\Omega^i_{X/k})\ge\dim_k H^n_\DR(X/k),
\leqno(4.8.4)$$
avec \'egalit\'e pour tout $n$ si et seulement si la suite spectrale de
Hodge vers De Rham de $X$ sur $k$ d\'eg\'en\`ere en $E_1$, i.e.\ est de
diff\'erentielle $d_r$ nulle pour tout $r\ge1$.

\section \Smark5. Th\'eor\`emes de d\'ecomposition, de d\'eg\'en\'erescence
et\hfil\break
\phantom{\S5. {}}d'annulation en caract\'eristique $p>0$|
\sectionrunning \Smark5. D\'ecomposition, d\'eg\'en\'erescence
et annulation en car $\hbox{\lowercase {p}}>0$|

Dans ce num\'ero, comme au \numero3, $p$ d\'esigne un nombre premier
fix\'e.

Le r\'esultat principal est le th\'eor\`eme suivant ([D-I] 2.1, 3.7):

\state Th\'eor\`eme 5.1|Soit $S$ un sch\'ema de caract\'eristique $p$.
\index{70}{THE}{Th\'eor\`eme de d\'ecomposition en caract\'eristique $p>0$}%
\index{71}{DEC}{\hri th\'eor\`eme de d\'ecomposition en caract\'eristique
$p>0$}%
Supposons donn\'e un rel\`evement (plat) $T$ de $S$ sur $\bZ/p^2\bZ$ $(3.7)$.
Soit $X$ un $S$-sch\'ema lisse; notons, comme en $3.1$, $F:X\lra X'$ le
Frobenius relatif de $X/S$. Alors, si $X'$ admet un rel\`evement
(lisse) sur $T$, le complexe de $\cO_{X'}$-modules
$\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/S}$ $(4.1)$ est d\'ecomposable dans la
cat\'egorie d\'eriv\'ee $D(X')$ des $\cO_{X'}$-modules $(4.6)$.
\endstate

\noindent
{\bf 5.2.} Avant d'aborder la d\'emonstration, notons qu'une
d\'ecomposition de $\tau_{<p}\allowbreak F_*\Omega^\bu_{X/S}$ \'equivaut 
\`a la donn\'ee d'une fl\`eche de $D(X')$
$$\bigoplus_{i<p}\cH^iF_*\Omega^\bu_{X/S}[-i]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
induisant l'identit\'e sur $\cH^i$ pour tout $i<p$. D'apr\`es le th\'eor\`eme
de Cartier $(3.5)$, cette donn\'ee \'equivaut encore \`a celle d'une fl\`eche
de $D(X')$
$$\varphi:\bigoplus_{i<p}\Omega^i_{X'/S}[-i]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}
\leqno(5.2.1)$$
induisant $C^{-1}$ sur $\cH^i$ pour tout $i<p$. La d\'emonstration consiste
en fait \`a associer canoniquement une telle fl\`eche $\varphi$ \`a chaque
rel\`evement de $X'$ sur $T$. Elle comprend trois \'etapes.
\medskip

\noindent
{\bf Etape A.} On commence par traiter le cas o\`u $F$ admet
un rel\`evement global.

\state Proposition 5.3|Sous les hypoth\`eses de $5.1$, supposons que
$F:X\lra X'$ admette un rel\`evement global $G:Z\lra Z'$, o\`u $Z$
$($resp.\ $Z')$ rel\`eve $X$ $($resp.\ $X')$ sur $T$. Soit
$$\varphi_G:\bigoplus\Omega^i_{X'/S}[-i]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}
\leqno(5.3.1)$$
l'homomorphisme de complexes, de $i$-i\`eme composante $\varphi^i_G$,
d\'efini de la mani\`ere suivante$\,:$
$$\varphi^0_G=F^*:\cO_X\lra F_*\cO_X\,;\qquad
\varphi^1_G:\Omega^1_{X'/S}\lra F_*\Omega^1_{X/S}$$
est l'homomorphisme ``$G^*/p$'' d\'efini en $3.8$~{\rm(c)}; pour $i\ge1$,
$\varphi^i_G$ est compos\'e de $\Lambda^i\varphi^1_G$ et du
produit $\Lambda^iF_*\Omega^1_{X/S}\lra F_*\Omega^i_{X/S}$.
Alors $\varphi_G$ est un quasi-isomorphisme, induisant l'isomorphisme
de Cartier $C^{-1}$ sur $\cH^i$ pour tout $i$.
\endstate

C'est imm\'ediat.
\medskip

\noindent
{\bf Etape B.} C'est l'\'etape principale. On montre que
la donn\'ee d'un rel\`evement $Z'$ de $X'$ sur $T$ permet de d\'efinir une
d\'ecomposition de $\tau_{\le 1}F_*\Omega^\bu_{X/S}$, i.e.\ un homomorphisme
$$\varphi^1_{Z'}:\Omega^1_{X'/S}[-1]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
de $D(X')$ (et non $C(X')$) induisant $C^{-1}$ sur $\cH^1$. On a besoin, pour
ce faire, de comparer les homomorphismes $\varphi^1_G$ de $(5.3.1)$
associ\'es \`a divers rel\`evement de $F$ de but $Z'$.

\state Lemme 5.4|A tout couple $(G_1:Z_1\lra Z',~G_2:Z_2\lra Z')$ de
rel\`evements de $F$ est associ\'e canoniquement un homomorphisme
$$h(G_1,G_2):\Omega^1_{X'/S}\lra F_*\cO_X
\leqno(5.4.1)$$
tel que $\varphi^1_{G_2}-\varphi^1_{G_1}=dh(G_1,G_2)$.
Si $G_3:Z_3\lra Z'$ est un troisi\`eme rel\`evement de $F$, on a 
$$h(G_1,G_2)+h(G_2,G_3)=h(G_1,G_3).\leqno(5.4.2)$$
\endstate

Supposons d'abord que $Z_1$ et $Z_2$ soient isomorphes (au sens de
$2.12$~(b)). Choisissons un isomorphisme $u:Z_1\build\lra|\sim||Z_2$. Alors
$G_2u$ et $G_1$ rel\`event $F$, i.e.\ prolongent \`a $Z_1$ le compos\'e
$X\build\lra|F||X'\lhra Z'$, donc, d'apr\`es $2.11$ (b), diff\`erent par
un homomorphisme $h_u$ de $F^*\Omega^1_{X'/S}$ dans $\cO_X$, ou ce qui
revient au m\^eme, de $\Omega^1_{X'/S}$ dans $F_*\cO_X$. Si $v$ est un
second isomorphisme de $Z_1$ sur $Z_2$, alors, compte tenu de $3.4$ (a),
il r\'esulte de $2.11$ (b) que $u$ et $v$ diff\`erent par un homomorphisme
``$u-v$''${}:\Omega^1_{X/S}\lra\cO_X$, donc $G_2u$ et $G_2v$ diff\`erent
par le compos\'e de ``$u-v$'' et l'homomorphisme
$F^*\Omega^1_{X'/S}\lra\Omega^1_{X/S}$, qui est nul, donc $G_2u=G_2v$. Donc
$h_u$ ne d\'epend pas du choix de $u$. Comme $Z_1$ et $Z_2$ sont localement
isomorphes d'apr\`es $2.11$ (a), on en d\'eduit un homomorphisme $(5.4.1)$
caract\'eris\'e par la propri\'et\'e que si $u$ est un isomorphisme de
$Z_1$ sur $Z_2$ au dessus d'un ouvert $U$ de $X$ (rappelons encore que $Z_1$,
$Z_2$ et $X$ ont m\^eme espace sous-jacent), la restriction de $h(G_1,G_2)$
\`a $U$ est l'homomorphisme $h_u$, ``diff\'erence'' entre $G_1$ et $G_2u$. La
formule $\varphi^1_{G_2}-\varphi^1_{G_1}=dh(G_1,G_2)$ r\'esulte de la
description explicite de $\varphi^1_G$ donn\'ee en $(3.8.1)$, et la formule
$(5.4.2)$ est imm\'ediate.

Fixons maintenant le rel\`evement $Z'$ de $X'$ sur $T$. D'apr\`es $2.11$
(a) et $2.12$ (a), on peut choisir un recouvrement ouvert $\cU=(U_i)_{i\in I}$
de $X$ de telle mani\`ere qu'on ait, pour chaque $i$, un rel\`evement $Z_i$ de
$U_i$ sur $T$ et un rel\`evement $G_i:Z_i\lra Z'$ de $F_{|U_i}$. On dispose
alors, pour chaque $i$, de l'homomorphisme de complexes
\vskip-0.5\parskip\vskip\abovedisplayskip\hfil$\disp
f_i=\varphi^1_{G_i}:\Omega^1_{X'/S\,|U_i}[-1]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S\,|U_i}
$\bottomnote{13}
{On identifie les espaces sous-jacents \`a $X$ et $X'$ au moyen de $F$
$(3.1)$.}\hfil\vskip\belowdisplayskip\vskip-0.5\parskip
\noindent de $(5.3.1)$, et pour chaque couple $(i,j)$, de l'homomorphisme
$$h_{ij}=h(G_{i\,|U_{ij}},G_{j\,|U_{ij}}):\Omega^1_{X'/S\,|U_{ij}}\lra
F_*\cO_{X\,|U_{ij}}$$
de $(5.4.1)$, o\`u $U_{ij}=U_i\cap U_j$. Ces donn\'ees sont reli\'ees par
$$\eqalign{
f_j-f_i&=dh_{ij}\quad\hbox{(sur $U_{ij}$)},\cr
h_{ij}+h_{jk}&=h_{ik}\quad\phantom{d}
\hbox{(sur $U_{ijk}=U_i\cap U_j\cap U_k)$.}\cr}$$
Elles permettent de d\'efinir un homomorphisme de complexes de
$\cO_{X'}$-modules
$$\varphi^1_{Z',(\cU,(G_i))}:\Omega^1_{X'/S}[-1]\lra\check
\cC(\cU,F_*\Omega^\bu_{X/S}),$$
o\`u $\check\cC(\cU,F_*\Omega^\bu_{X/S})$ est le complexe simple associ\'e
au bicomplexe de \v Cech du recouvrement $\cU$ \`a valeurs dans
$F_*\Omega^\bu_{X/S}$. Ce complexe a pour composantes
$$\check\cC(\cU,F_*\Omega^\bu_{X/S})^n=\bigoplus_{a+b=n}
\check\cC^b(\cU,F_*\Omega^a_{X/S})$$
et pour diff\'erentielle $d=d_1+d_2$, o\`u $d_1$ est induite par la
diff\'erentielle du complexe de De Rham et $d_2$ est, en bidegr\'e $(a,b)$,
\'egale \`a $(-1)^a(\sum (-1)^i\partial^i)$ (voir [G] $5.2$ ou [H2] III
$4.2$). En particulier,
$$\check\cC(\cU,F_*\Omega^\bu_{X/S})^1=\check\cC^1(\cU,F_*\cO_X)
\oplus\check\cC^0(\cU,F_*\Omega^1_{X/S}).$$
Le morphisme $\varphi^1_{Z',(\cU,(G_i))}$ est d\'efini comme ayant pour
composantes $(\varphi_1,\varphi_2)$ en degr\'e $1$, avec
$$(\varphi_1\omega)(i,j)=h_{ij}(\omega)_{|U_{ij}},\qquad
(\varphi_2\omega)(i)=f_i(\omega)_{|U_i}.$$
Utilisant le fait que les $f_i$ sont des morphismes de complexes et
les formules supra reliant les $f_i$ et les $h_{ij}$, on v\'erifie que
$\varphi^1_{Z',(\cU,(G_i))}$ ainsi d\'efini est bien un morphisme de
complexes. On dispose d'autre part de l'augmentation naturelle
$$\varepsilon:F_*\Omega^\bu_{X/S}\lra\check\cC(\cU,F_*\Omega^\bu_{X/S}),$$
qui est un quasi-isomorphisme, car, pour tout $a$, le complexe
$\check\cC(\cU,F_*\Omega^a_{X/S})$ est une r\'esolution de
$F_*\Omega^a_{X/S}$ (cf.\ [Go] ou [H2] loc.\ cit.). On d\'efinit alors
$$\varphi^1_{Z'}:\Omega^1_{X'/S}[-1]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
comme la fl\`eche de $D(X')$ compos\'ee de $\varphi^1_{Z',(\cU,(G_i))}$
et de l'inverse de $\varepsilon$ $(4.2)$. Si $(\cU=(U_i)_{i\in I}$,
$(G_i)_{i\in I})$ et $(\cV=(V_j)_{j\in J}$, $(G_j)_{j\in J})$ sont deux
choix de syst\`emes de rel\`evements de Frobenius, la consid\'eration du
recouvrement $\cU\amalg\cV$, index\'e par $I\amalg J$, form\'e des $U_i$
et des $V_j$, montre que $\varphi^1_{Z'}$ ne d\'epend pas des choix
(cf.\ [D-I] p.~253). De plus, $\varphi^1_{Z'}$ induit $C^{-1}$ sur
$\cH^1\,$: la question est en effet locale, donc on peut supposer qu'on
dispose d'un rel\`evement global de $F$, et l'on applique $5.3$. Ceci
ach\`eve l'\'etape B.
\medskip

\noindent
{\bf Etape C}. On fixe \`a nouveau un rel\`evement $Z'$ de $X'$.
On montre comment prolonger la d\'ecomposition de $\tau_{\le 1}
F_*\Omega^\bu_{X/S}$ d\'efinie par $\varphi^i_{Z'}$ $(i=0,1)$ en une
d\'ecomposition de $\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/S}$. On utilise pour cela
la structure multiplicative du complexe de De Rham. De $\varphi^1_{Z'}$
on d\'eduit, pour tout $i\ge1$, une fl\`eche de $D(X')$
$$(\varphi^1_{Z'})^{\otL\,i}=\varphi^1_{Z'}\otL\cdots\otL\varphi^1_{Z'}:
(\Omega^1_{X'/S}[-1])^{\otL\,i}\lra(F_*\Omega_{X/S}^\bu)^{\otL\,i}.$$
Comme $\Omega^1_{X'/S}$ est localement libre de type fini, on a $(4.7$~(a))
$$(\Omega^1_{X'/S} [-1])^{\otL\,i}\simeq
(\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\,i}[-i],\leqno(*)$$
et de m\^eme, comme les $F_*\Omega^a_{X/S}$ sont localement libres de
type fini $(3.3$~(a)),
$$(F_*\Omega^\bu_{X/S})^{\otL\,i}\simeq(F_*\Omega^\bu_{X/S})^{\otimes\,i}.
\leqno(**)$$
On d\'efinit alors, pour $i<p$,
$$\varphi^i_{Z'}:\Omega^i_{X'/S}[-i]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
comme la compos\'ee (via $(*)$ et $(**)$) de la fl\`eche
d'antisym\'etrisation standard
$$\Omega^i_{X'/S}[-i]\lra(\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\,i}[-i],\quad
\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_i\lmapsto{1\over i!}\sum_{\sigma\in\euS_i}
\sgn(\sigma)\omega_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes\omega_{\sigma(i)}$$
(bien d\'efinie \`a cause de l'hypoth\`ese $i<p)$, de la fl\`eche
$(\varphi^1_{Z'})^{\otL\,i}$, et de la fl\`eche de produit
$(F_*\Omega^\bu_{X/S})^{\otimes\,i}\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$. Comme la
fl\`eche d'antisym\'etrisation est une section de la projection de
$(\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\,i}$ sur $\Omega^i_{X'/S}$, la propri\'et\'e
multiplicative de l'isomorphisme de Cartier entra\^\i ne
que $\varphi^i_{Z'}$ induit $C^{-1}$ sur $\cH^i$, et cela ach\`eve la
d\'emonstration du th\'eor\`eme.

Compte tenu de $3.9$, on en d\'eduit:

\state Corollaire 5.5|Soit $k$ un corps parfait de caract\'eristique $p$,
et soit $X$ un sch\'ema lisse sur $S=\Spec k$. Si $X$ se rel\`eve sur
$T=\Spec W_2(k)$, alors $\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/S}$ est d\'ecomposable dans
$D(X')$. Si de plus $X$ est de dimension${}<p$, $F_*\Omega^\bu_{X/S}$ est
d\'ecomposable.
\endstate

\state Remarque 5.5.1|{\rm D'apr\`es $5.3$, si $X$ est lisse sur $\Spec k$
et si $X$ et $F$ se rel\`event sur $W_2(k)$, alors $F_*\Omega^\bu_{X/S}$ est
d\'ecomposable (et ce sans hypoth\`ese de dimension sur X). C'est le
cas par exemple si $X$ est {\sl affine}. Par contre, si $X$ est propre, il
est rare que $X$ admette un rel\`evement sur $W_2(k)$ o\`u $F$ se rel\`eve.
On peut montrer que si $X$ et $F$ se rel\`event, alors $X$ est {\sl
ordinaire}, i.e.\ v\'erifie $H^j(X,B^i\Omega^\bu_{X/S})=0$ pour tout $(i,j)$
(cf.\ 8.6). La notion de vari\'et\'e ordinaire, qui n'a de sens qu'en
caract\'eristique non nulle, a d'abord \'et\'e introduite pour les
courbes et les vari\'et\'es ab\'eliennes. Elle intervient dans d'assez
nombreuses questions de g\'eom\'etrie arithm\'etique, voir [I4] pour
une introduction et quelques r\'ef\'erences.}
\endstate

\state Corollaire 5.6|Soit $k$ un corps parfait de caract\'eristique $p$,
\index{72}{THE}{Th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence en caract\'eristique
$p>0$}%
\index{73}{DEG}{\hri th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence en
caract\'eristique $p>0$}%
et soit $X$ un $k$-sch\'ema propre et lisse, de dimension${}<p$. Si $X$ se
rel\`eve sur $W_2(k)$, la suite spectrale de Hodge vers De Rham $(4.8.3)$
de $X$ sur $k$
$$E^{i\,j}_1=H^j(X,\Omega^i_{X/k})\Lra H^*_\DR(X/k)$$
d\'eg\'en\`ere en $E_1$.
\endstate

Gr\^ace \`a la compatibilit\'e des $\Omega^i$ au changement de base $(1.3.2)$,
l'isomorphisme de Frobenius absolu $F_S:S\lra S$ (o\`u $S=\Spec k$)
induit, pour tout $(i,j)$, un isomorphisme
$F^*_SH^j(X,\Omega^i_{X/k})\build\lra|\sim||H^j(X',\Omega^i_{X'/k})$,
et en particulier, on a
$$\dim_k H^j(X,\Omega^i_{X/k})=\dim_k H^j(X',\Omega^i_{X'/k}).$$
D'autre part, comme $F:X\lra X'$ est un hom\'eomorphisme, on a
canoniquement, pour tout $n$,
$$H^n(X',F_*\Omega^\bu_{X/k})\build\lra|\sim||H^n(X,\Omega^\bu_{X/k})
=H^n_\DR(X/k).$$
Enfin, si $X$ se rel\`eve sur $W_2(k)$, une d\'ecomposition
$\varphi:\bigoplus\Omega^i_{X'/S}[-i]\build\lra|\sim||F_*\Omega^\bu_{X/S}$
de $F_*\Omega^\bu_{X/S}$ dans $D(X')$ induit, pour tout $n$, un
isomorphisme
$$\bigoplus_{i+j=n}H^j(X',\Omega^i_{X'/k})
\build\lra|\sim||H^n(X',F_*\Omega^\bu_{X/k}).$$
Il en r\'esulte qu'on a, pour tout $n$,
$$\sum_{i+j=n}\dim_k H^j(X,\Omega^i_{X/k})=\dim_k H^n_\DR(X/k),$$
et, d'apr\`es $4.8$, cela entra\^\i ne la d\'eg\'en\'erescence en $E_1$ de
la suite spectrale de Hodge vers De Rham.
\medskip

\noindent
{\bf 5.7.} Pour les rappels qui suivent, le lecteur pourra consulter 
[H2] II, III. Soient $k$ un anneau et $X$ un $k$-sch\'ema {\sl projectif},
\index{74}{SCH}{Sch\'ema projectif}%
\index{75}{PRO}{\hri sch\'ema projectif}%
i.e.\ admettant une $k$-immersion ferm\'ee $i$ dans un espace projectif
standard $P=\bP^r_k=\Proj_k[t_0\ld t_n]$. Soit $L$ un faisceau inversible
sur $X$. Rappelons qu'on dit que:
\smallskip
\noindent
(i) $L$ est {\sl tr\`es
\index{76}{FAI}{Faisceau inversible tr\`es ample}%
\index{77}{AMP}{\hri faisceau inversible tr\`es ample}%
ample} si l'on a $L\simeq i^*\cO_P(1)$ pour une telle
immersion ferm\'ee $i$, ce qui signifie qu'il existe des sections
globales $s_j \in\Gamma(X,L) (0\le j\le r)$ d\'efinissant une immersion
ferm\'ee $x\lmapsto (s_0(x)\ld s_r(x))$ de $X$ dans $P\,$;
\smallskip
\noindent 
(ii) $L$ est {\sl ample}
\index{78}{FAI}{Faisceau inversible ample}%
\index{79}{AMP}{\hri faisceau inversible ample}%
s'il existe $n>0$ tel que $L^{\otimes\,n}$ soit tr\`es ample.
\smallskip
\noindent
Supposons $L$ ample. Alors, d'apr\`es les {\sl th\'eor\`emes de Serre}
([H2] II $5.17$, III $5.2$):
\smallskip
\noindent(a) pour tout faisceau coh\'erent $E$ sur $X$, il existe un entier
$n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0, E\otimes L^{\otimes\,n}$ soit engendr\'e
par un nombre fini de ses sections globales, i.e.\ quotient de $\cO^N_X$
pour $N$ convenable;
\smallskip
\noindent(a) pour tout faisceau coh\'erent $E$ sur $X$, il existe un entier
$n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$ et tout $i\ge1$, on ait
$$H^i(X,E\otimes L^{\otimes\,n})=0.$$
Le th\'eor\`eme qui suit est un analogue, en caract\'eristique $p$, du
th\'eor\`eme d'annu\-la\-tion de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN], [AkN]$\,$:

\state Th\'eor\`eme 5.8|Soit $k$ un corps parfait de caract\'eristique $p$, et
\index{80}{THE}{Th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano en
caract\'eristique $p$}%
\index{81}{KOD}{\hri th\'eor\`eme de Kodaira-Akizuki-Nakano en
caract\'eristique $p$}%
soit $X$ un $k$-sch\'ema projectif lisse. Soit $L$ un faisceau inversible
ample sur $X$. Alors, si $X$ est purement de dimension $d<p$ (cf.\ $2.10$)
et se rel\`eve sur $W_2(k)$, on a 
$$\leqalignno{
&H^j(X,L\otimes\Omega^i_{X/k})=0\qquad\hbox{pour $i+j>d$},
&(5.8.1)\cr
\noalign{\vskip6pt} 
&H^j(X,L^{\otimes-1}\otimes\Omega^i_{X/k})=0\qquad\hbox{pour $i+j<d$}.
&(5.8.2)\cr}$$
\endstate

C'est un corollaire de $5.5$, d\^u \`a Raynaud. La d\'emonstration est
analogue \`a celle de $5.6$ \`a partir de $5.5$. Tout d'abord, par le
th\'eor\`eme de dualit\'e de Serre ([H2] III $7.7$, $7.12$), si $M$ est un
faisceau inversible sur $X$, et si $i+i'=d=j+j'$, alors les $k$-espaces
vectoriels de dimension finie $H^j(X,M\otimes\Omega^i_{X/k})$ et
$H^{j'}(X,M^{\otimes-1}\otimes\Omega^{i'}_{X/k})$ sont canoniquement duaux.
Les formules $(5.8.1)$ et $(5.8.2)$
sont donc \'equivalentes. Il sera plus commode de prouver $(5.8.2)$.
Par le th\'eor\`eme d'annulation de Serre ($5.7$~(b)), il existe $n\ge0$
tel que $H^j(X,L^{\otimes\,p^n}\otimes\Omega^i_{X/k})=0$ pour tout $j>0$ et
tout $i$. Par dualit\'e de Serre, il s'ensuit que $H^j(X,L^{\otimes-p^n}
\otimes\Omega^i_{X/k})=0$ pour tout $j<d$ et tout $i$, et {\sl en particulier
pour tout} $(i,j)$ tel que $i+j<d$. Proc\'edant par r\'ecurrence descendante
sur $n$, il suffit donc de prouver l'assertion suivante:
\smallskip
\item{$(*)$\hfil} {\sl si $M$ est un faisceau inversible sur $X$ tel que
$H^j(X,M^{\otimes\,p}\otimes\Omega^i_{X/k})=0$ pour tout $(i,j)$ tel que
$i+j<d$, alors $H^j(X,M\otimes\Omega^i_{X/k})=0$ pour tout $(i,j)$ tel
que $i+j<d$.}
\smallskip
\noindent
Notons, comme dans $5.1$, $X'$ le sch\'ema d\'eduit de $X$ par le changement
de base par le Frobenius absolu de $S=\Spec k$. Si $F_X$ d\'esigne le
Frobenius absolu de $X$, on a un isomorphisme canonique $F^*_XM\simeq
M^{\otimes\,p}$, induit par l'application $m\lmapsto m^{\otimes\,p}$, et donc
un isomorphisme $F^{\prime\,*}M'\simeq M^{\otimes\,p}$, o\`u $F:X\lra X'$ est
le Frobenius relatif et $M'$ est l'image inverse de $M$ sur $X'$. On en
d\'eduit, pour tout $i$, des isomorphismes de $\cO_{X'}$-modules
$$M'\otimes F_*\Omega^i_{X/k}\simeq
F_*(F^*M'\otimes\Omega^i_{X/k})\simeq F_*(M ^{\otimes\,p}\otimes\Omega^i_{X/k}).
\leqno(**)$$
Consid\'erons la suite spectrale $(4.8.1)$ relative au foncteur
$T=\Gamma(X',\bu)$ et au complexe $K=M'\otimes F_*\Omega^\bu_{X/k}\,$:
$$E^{i\,j}_1=H^j(X',M'\otimes F_*\Omega^i_{X/k})\Lra H^*(X',M'\otimes
F_*\Omega^\bu_{X/k}).$$
L'hypoth\`ese et $(**)$ impliquent que $E^{i\,j}_1=0$ pour $i+j<d$. Donc
$$H^n(X',M'\otimes F_*\Omega^\bu_{X/k})=0\quad\hbox{pour $n<d$.}$$
Mais comme, d'apr\`es $5.5$, $F_*\Omega^\bu_{X/k}$ est d\'ecomposable, on a
(dans $D(X')$)
$$F_*\Omega^\bu_{X/k}\simeq \bigoplus\Omega^i_{X'/k}[-i],$$
donc
$$H^n(X',M'\otimes F_*\Omega^\bu_{X/k})\simeq
\bigoplus_{i+j=n}H^j(X',M'\otimes\Omega^i_{X'/k}),$$
et donc
$$H^j(X',M'\otimes\Omega^i_{X'/k})=0\quad\hbox{pour $i+j<d$}.$$
La conclusion de $(*)$ en d\'ecoule, puisqu'on a
$$F^*_SH^j(X,M\otimes\Omega^i_{X/k})\simeq H^j(X',M'\otimes\Omega^i_{X'/k})$$
(cf.\ la fin de la d\'emonstration de $5.6$).

\state Remarques 5.9|{\rm Le lecteur trouvera dans [D-I] de nombreux
compl\'ements aux r\'esultats expos\'es ci-dessus. En voici quelques uns.
\smallskip
\noindent
(1) Pla\c{c}ons-nous sous les hypoth\`eses de $5.1$. Alors:
\smallskip
\item{\rm(a)} $X'$ se rel\`eve sur $T$ si et seulement si
$\tau_{\le 1}F_*\Omega^\bu_{X/S}$ est d\'ecomposable dans $D(X')$ (ou, ce
qui revient au m\^eme, $\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/S}$ l'est). Rappelons
qu'il existe une obstruction $\omega\in\Ext^2(\Omega^1_{X'/S},\cO_{X'})$
au rel\`evement de $X'$ $(2.12$ (a) et $(3.7.1))$, et que, compte tenu de
l'isomorphisme de Cartier, c'est dans ce m\^eme groupe que se trouve
l'obstruction $c_1$ \`a la d\'ecomposabilit\'e de
$\tau_{\le 1}F_*\Omega^\bu_{X/S} (4.6 (a)):$ on montre qu'avec des
conventions de signes convenables, $\omega=c_1$.
\smallskip
\item{\rm(b)} Si $X'$ se rel\`eve sur $T$, l'ensemble des classes
d'isomorphie de rel\`evements de $X'$ est un espace affine sous
$\Ext^1(\Omega^1_{X'/S},\cO_{X'}) (2.12$ (b) et $(3.7.1))$, et (toujours
compte tenu de l'isomorphisme de Cartier) l'ensemble des
d\'ecompositions de $\tau_{\le 1}F_*\Omega^\bu_{X/S}$ est un espace
affine sous le m\^eme groupe $(4.6 (c)):$ on montre que l'application
$Z'\lmapsto\varphi_{Z'}$ construite dans la d\'emonstration de $5.1$ est
une bijection affine entre ces deux espaces.
\smallskip
\item{\rm(c)} On donne en fait dans [D-I] $3.5$ un \'enonc\'e coiffant (a)
et (b), faisant appel \`a la th\'eorie des {\sl gerbes} de Giraud [Gi]. 
\smallskip
\noindent
(2) Le th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence $5.6$ a une variante relative.
Pla\c{c}ons-nous sous les hypoth\`eses de $5.1$, notons $f:X\lra S$ le
morphisme structural. On dispose alors de la suite spectrale $(4.8.1)$
relative au foncteur $f_*$ et au complexe $\Omega^\bu_{X/S}$,
$$E^{i\,j}_1=R^jf_*\Omega^i_{X/S}\Lra R^*f_*(\Omega^\bu_{X/S}),$$
qu'on appelle {\sl suite spectrale de Hodge
\index{82}{SUI}{Suite spectrale de Hodge vers De Rham relative}%
vers De Rham relative} (de $X$
sur $S$). Alors, si $X$ est propre et lisse de dimension relative${}<p$,
et si $X'$ se rel\`eve sur $T$, cette suite spectrale d\'eg\'en\`ere en
$E_1$ et les faisceaux $R^jf_*\Omega^i_{X/S}$ sont localement libres de type
fini ([D-I] 4.1.5).
\smallskip
\noindent
(3) La derni\`ere assertion de $5.5$ et les conclusions de $5.6$ et
$5.8$ restent encore vraies si l'on suppose seulement $X$ de
dimension${}\le p$ ([D-I] 2.3). C'est une cons\'equence de la dualit\'e de
Grothendieck pour le morphisme $F$.
\smallskip
\noindent
(4) Il existe de nombreux exemples de {\sl surfaces propres et
lisses} $X$ sur un corps alg\'ebriquement clos $k$ de caract\'eristique
$p$ pour lesquelles la suite spectrale de Hodge vers De Rham ne
d\'eg\'en\`ere pas en $E_1$ et qui ne v\'erifient pas la propri\'et\'e
d'annulation de type Kodaira-Akizuki-Nakano de $5.8$ (compte tenu de
$(3)$ si $p=2$, ou $5.6$ et $5.8$ si $p>2$, ces surfaces ne se rel\`event
donc pas sur $W_2(k)$). Voir ([D-I] $2.6$ et $2.10$) pour une
bibliographie sur ce sujet.
\smallskip
\noindent
(5) Les formules $(5.8.1)$ et $(5.8.2)$ sont encore valables si $d=2\le p$,
$X$ est relevable sur $W_2(k)$ et $L$ est seulement suppos\'e
{\sl num\'eriquement positif}, i.e.\ v\'erifie $L\cdot L>0$ et
$L\cdot\cO(D)\ge0$ pour tout diviseur effectif $D$, voir [D-I] 2.}
\endstate

\section \Smark6. De la caract\'eristique $p>0$ \`a la caract\'eristique 
nulle|
\sectionrunning \Smark6. De la caract\'eristique $\hbox{\lowercase { p}}>0$ \`a
la caract\'eristique nulle|
\noindent
{\bf 6.0.} Il existe une technique standard, en g\'eom\'etrie
alg\'ebrique, qui permet de prouver certains \'enonc\'es, de nature
g\'eom\'etrique\bottomnote{14}
{i.e.\ stables par extension de la base, par opposition aux \'enonc\'es
{\sl de nature arithm\'etique}, o\`u la base joue un r\^ole essentiel},
formul\'es sur un corps de base de caract\'eristique nulle, \`a partir
d'\'enonc\'es analogues sur un corps de caract\'eristique $p{}>0$, voire un
corps fini. Elle consiste, grosso modo, \`a \'ecrire, un peu
brutalement, le corps de base $K$ donn\'e, qui est de caract\'eristique
nulle, comme limite inductive de ses sous-$\bZ$-alg\`ebres de type fini
$A_i:$ les donn\'ees sur $K$, pourvu qu'elles v\'erifient certaines
conditions de finitude, proviennent, par extension des scalaires,
de donn\'ees analogues sur l'une des $A_i$, disons $A_{i_0}=B\,$; il suffit
alors de r\'esoudre le probl\`eme similaire sur $T=\Spec B$, ce qui
est, en apparence, plus difficile; l'avantage, cependant, est que
les points ferm\'es de $T$ sont alors des spectres de corps finis, et
qu'en un sens qu'on peut pr\'eciser, il y a beaucoup de tels points,
de sorte qu'il suffit de v\'erifier l'\'enonc\'e pos\'e sur $T$ apr\`es
sp\'ecialisation en suffisamment de ces points: on a alors affaire \`a
un probl\`eme de caract\'eristique $p{}>0$, o\`u l'on dispose de la  
panoplie des m\'ethodes correspondantes (Frobenius, isomorphisme de
Cartier, etc.); on peut de plus exploiter le fait de pouvoir
choisir la caract\'eristique assez grande.

Les deux ingr\'edients de la m\'ethode sont: (a) des r\'esultats de
passage \`a la limite, expos\'ee en grande g\'en\'eralit\'e dans (EGA IV $8)$,
permettant ``d'\'etendre'' \bottomnote{15}
{en anglais, ``spreading out"}
certaines donn\'ees et propri\'et\'es sur $K$ en des donn\'ees et
propri\'et\'es analogues sur~$B\,$; (b) des propri\'et\'es de densit\'e des
points ferm\'es de sch\'emas tels que les sch\'emas de type fini sur un
corps ou sur $\bZ$ (EGA IV 10).
\medskip

\noindent
{\bf 6.1.} Soit $((A_i)_{i\in I}$, $u_{ij}:A_i\lra A_j$ $(i\le j))$ un
syst\`eme inductif filtrant d'anneaux, de limite inductive $A\,$; notons
$u_i:A_i\lra A$ l'homomorphisme canonique. Les deux exemples les plus
importants sont: (i) un anneau $A$ \'ecrit comme limite inductive de ses
sous-$\bZ$-alg\`ebres de type fini; (ii) le localis\'e $A_\eup$ d'un anneau
$A$ en un id\'eal premier $\eup$ \'ecrit comme limite inductive des
localis\'es $A_f$ $({}=A[1/f])$ pour $f\notin\eup$. 

Le prototype des probl\`emes et r\'esultats du type (a) ci-dessus est
le suivant. Soit $(E_i)=((E_i)_{i\in I}$, $v_{ij}: E_i\lra E_j)$ un syst\`eme
inductif de $A_i$-modules, ayant pour limite inductive le $A$-module $E$.
Convenons de dire que $(E_i)$ est {\sl cart\'esien}
\index{84}{SYS}{Syst\`eme inductif cart\'esien}%
\index{85}{CAR}{\hri syst\`eme inductif cart\'esien}%
si, pour tout $i\le j$,
$v_{ij}$ (qui est un homomorphisme $A_i$-lin\'eaire de $E_i$ dans $E_j$
consid\'er\'e comme $A_i$-module via $u_{ij})$ induit, par adjonction, un
isomorphisme ($A_j$-lin\'eaire) de $u_{ij}^*E_i=A_j\otimes_{A_i}E_i$ dans
$E_j$. Dans ce cas, l'homomorphisme canonique $v_i:E_i\lra E$ induit, pour
tout $i$, un isomorphisme $u_i^*E_i$ $({}=A\otimes_{A_i}E_i)
\build\lra|\sim||E$. Soit $((F_i)_i\in I,w_{ij})$ un second
syst\`eme inductif de $A_i$-modules. Si $(E_i)$ est cart\'esien, les
$\Hom_{A_i}(E_i,F_i)$ forment un syst\`eme inductif de $A_i$-modules:
l'application de transition pour $i\le j$ associe \`a $f_i: E_i\lra F_i$
l'homomorphisme $E_j\lra F_j$ compos\'e de l'inverse de l'isomorphisme de
$A_j\otimes E_i$ dans $E_j$ d\'efini par $v_{ij}$, de $A_j\otimes f_i:
A_j\otimes E_i\lra A_j\otimes F_i$, et de l'application de $A_j\otimes F_i$
dans $F_j$ d\'efinie par $w_{ij}$. Si $F$ d\'esigne la limite inductive
des $F_i$, on a des applications analogues de $\Hom_{A_i}(E_i,F_i)$ dans
$\Hom_A(E,F)$, qui d\'efinissent un homomorphisme
$$\limind\Hom_{A_i}(E_i,F_i)\lra\Hom_A(E,F). 
\leqno(6.1.1)$$
On peut alors se poser les deux questions suivantes:
\smallskip
\noindent
(1) Etant donn\'e un $A$-module $E$, existe-t-il $i_0 \in I$ et un
$A_{i_0}$-module $E_{i_0}$ tel que $E$ se d\'eduise de $E_{i_0}$ par extension
des scalaires de $A_{i_0}$ \`a $A$ (ou, ce qui revient au m\^eme, existe-t-il
un syst\`eme inductif cart\'esien $(E_i)$, index\'e par $\{i\in I|i\ge i_0\}$,
dont la limite soit $E$)$\,$?
\smallskip
\noindent
(2) S'il existe $i_0$ tel que $(E_i)$ et $(F_i)$ soient cart\'esiens pour
$i\ge i_0$, l'application $(6.1.1)$ (o\`u la limite inductive est prise pour
$i\ge i_0$) est-elle un isomorphisme$\,$?
\smallskip
\noindent
On a une r\'eponse positive aux deux questions moyennant des
hypoth\`eses de pr\'esentation finie (rappelons qu'un module est dit de
{\sl pr\'esentation finie} s'il est conoyau d'un homomorphisme entre
modules libres de type fini). Plus pr\'ecis\'ement, on a l'\'enonc\'e  
suivant, de v\'erification imm\'ediate:

\state Lemme 6.1.2|Avec les notations pr\'ec\'edentes$\,:$
\smallskip
\item{\rm(a)} si $E$ est un $A$-module de pr\'esentation finie, il existe
$i_0\in I$ et un $A_{i_0}$-module de pr\'esentation finie $E_{i_0}$ tel que
$u^*_{i_0}E_{i_0}\simeq E\,;$
\smallskip
\item{\rm(b)} Soient $(E_i)$, $(F_i)$ deux syst\`emes inductifs,
cart\'esiens pour $i\ge i_0$, de limites inductives respectives $E$ et
$F$; si $E_{i_0}$ est de pr\'esentation finie, l'application $(6.1.1)$
est un isomorphisme.
\vskip0pt
\endstate

Il en r\'esulte que, si $E$ est de pr\'esentation finie, le $E_{i_0}$ dont
il provient par extension des scalaires est essentiellement unique,
en ce sens que si $E_{i_1}$ est un autre choix $(E_{i_0}$ et $E_{i_1}$ \'etant tous
deux de pr\'esentation finie), il existe $i_2$ avec $i_2 \ge i_1$ et $i_2\ge i_0$
tel que $E_{i_0}$ et $E_{i_1}$ deviennent isomorphes par extension des
scalaires \`a $A_{i_2}$. 

Les $S_i=\Spec A_i$ forment un syst\`eme projectif de sch\'emas dont
$S=\Spec A$ est la limite projective. Si $(X_i,v_{ij}:X_j\lra X_i)$ est
un syst\`eme projectif de $S_i$-sch\'emas, nous dirons que ce syt\`eme est
{\sl cart\'esien} pour $i\ge i_0$ si, pour $i_0\le i\le j$, la fl\`eche de
transition $v_{ij}$ donne un carr\'e cart\'esien
$$\eqalign{
X_j&{}\lra X_i\cr
\big\downarrow~&\phantom{\lra}~~\,\big\downarrow\cr
S_j&{}\lra S_i.\cr}$$
Dans ce cas, le $S$-sch\'ema d\'eduit de $X_{i_0}$ par extension des scalaires
\`a $S$ est la limite projective des $X_i$. Si $(Y_i)$ est un second syst\`eme
projectif de $S_i$-sch\'emas, cart\'esien pour $i\ge i_0$, de limite
projective $Y$ $({}=S\times_{S_{i_0}}Y_{i_0}$), les $\Hom_{S_i}(X_i,Y_i)$
forment un syst\`eme inductif, et l'on a une application analogue \`a
$(6.1.1)$:
$$\limind\Hom_{S_i}(X_i,Y_i)\lra\Hom_S(X,Y).
\leqno(6.1.3)$$
On peut alors formuler des questions similaires \`a $(1)$ et $(2)$
ci-dessus. Elles ont des r\'eponses analogues, \`a condition de remplacer
les hypoth\`eses de pr\'esentation finie pour les modules par des
hypoth\`eses de pr\'esentation finie pour les sch\'emas (un morphisme
de sch\'emas $X\lra Y$ est dit de {\sl pr\'esentation finie} s'il est
localement de pr\'esentation finie $(2.1)$ et ``{\sl quasi-compact et
quasi-s\'epar\'e\/}'', ce qui signifie que $X$ est r\'eunion finie d'ouverts
affines $U_\alpha$ au-dessus d'un ouvert affine $V_\alpha$ de $Y$ et que les
intersections $U_\alpha\cap U_\beta$ ont la m\^eme propri\'et\'e; si $Y$
est noeth\'erien, $X$ est de pr\'esentation finie sur $Y$ si et seulement
si $X$ est de type fini sur $Y$, i.e.\ localement de type fini sur $Y$ (2.1)
et noeth\'erien):

\state Proposition 6.2|(a) Si $X$ est un $S$-sch\'ema de pr\'esentation
finie, il existe $i_0\in I$ et un $S_{i_0}$-sch\'ema $X_{i_0}$ de
pr\'esentation finie dont $X$ se d\'eduit par changement de base.
\smallskip
\noindent{\rm(b)} Si $(X_i)$, $(Y_i)$ sont deux syst\`emes projectifs de
$S_i$-sch\'emas, cart\'esiens pour $i\ge i_0$, et si $X_{i_0}$ et $Y_{i_0}$
sont de pr\'esentation finie sur $S_{i_0}$, alors l'application $(6.1.3)$ est
bijective.
\endstate

Comme pr\'ec\'edemment, il en r\'esulte que le $X_{i_0}$ de $6.2$ (a) est
essentiellement unique (deux tels sch\'emas deviennent $S_i$-isomorphes
pour $i$ assez grand). De plus, les propri\'et\'es usuelles d'un $S$-sch\'ema
de pr\'esentation finie (ou d'un morphisme entre tels) se lisent
d\'ej\`a, en quelque sorte, sur $S_i$ pour $i$ assez grand. En voici
quelques unes, dont nous nous servirons (le lecteur en trouvera une
longue liste dans (EGA IV 8, 11.2, 17.7)):

\state Proposition 6.3|Soit $X$ un $S$-sch\'ema de pr\'esentation finie.
On suppose que $X$ poss\`ede l'une des propri\'et\'es $\cP$ suivantes:
projectif, propre, lisse. Alors il existe $i_0\in I$ et un
$S_{i_0}$-sch\'ema $X_{i_0}$ de pr\'esentation finie, poss\'edant la m\^eme
propri\'et\'e $\cP$, dont $X$ se d\'eduit par changement de base.
\endstate

Le cas o\`u $\cP$ est ``projectif'' est facile: $X$ est le sous-sch\'ema
ferm\'e d'un espace projectif standard $P=\bP^r_S$ d\'efini par un id\'eal
localement de type fini, il suffit de relever $P$, puis l'immersion
ferm\'ee (i.e.\ le quotient de $\cO_P$ correspondant, cf.\ $6.11$). Le cas
``propre'' est moins imm\'ediat mais, en gros, s'y ram\`ene, par un
r\'esultat classique, qu'on appelle le {\sl lemme de Chow} (cf.\ EGA IV
$8.10.5)$. Le cas ``lisse'' est un peu plus difficile (on utilise le
crit\`ere $2.10)$, voir (EGA IV $11.2.6$ et $17.7.8$).
En ce qui concerne les propri\'et\'es de type (b) \'evoqu\'ees en $6.0$,
nous aurons seulement besoin du r\'esultat suivant:

\state Proposition 6.4|Soit $S$ un sch\'ema de type fini sur $\bZ$. Alors:
\smallskip
\item{\rm(a)} Si $x$ est un point ferm\'e de $S$, le corps r\'esiduel $k(x)$
est un corps fini$\,;$
\smallskip
\item{\rm(b)} toute partie localement ferm\'ee non vide $Z$ de $S$ contient un
point ferm\'e de $S$.
\vskip0pt
\endstate

Nous renvoyons pour la d\'emonstration \`a (EGA IV $10.4.6$,
$10.4.7$), ou, dans le cas o\`u $S$ est affine, auquel on se ram\`ene
d'ailleurs aussit\^ot, \`a (Bourbaki, Alg.\ Com.~V, par.~3, \numero4)
(c'est une cons\'equence du th\'eor\`eme des z\'eros de Hilbert).

Nous aurons \`a appliquer $6.4$ (b) au cas o\`u $Z$ est le lieu de
lissit\'e de $S$, $S$ \'etant suppos\'e int\`egre\bottomnote{16}
{Un sch\'ema est dit {\sl int\`egre} s'il est irr\'eductible et r\'eduit.}:

\state Proposition 6.5|Soit $S$ un sch\'ema int\`egre de type fini sur $\bZ$.
L'ensemble des points $x$ de $S$ en lesquels $S$ est lisse sur $\Spec\bZ$ est
un ouvert non vide de $S$. En particulier, si $A$ est une $\bZ$-alg\`ebre de
type fini, int\`egre, il existe $s\in A$, $s\ne 0$, tel que $\Spec A_s$ soit
lisse sur $\bZ$.
\endstate

L'ouverture de l'ensemble des points de lissit\'e d'un morphisme
localement de pr\'esentation finie est un fait g\'en\'eral, qui r\'esulte
par exemple du crit\`ere jacobien $2.6$ (a), cf.\ (EGA IV $12.1.6$). Que
dans le cas pr\'esent cet ouvert soit non vide d\'ecoule d'une variante  
locale de $2.10$ et du fait que la fibre g\'en\'erique de $S$ est lisse sur
$\bQ$ en son point g\'en\'erique, $\bQ$ \'etant parfait.

Nous aurons enfin \`a utiliser des r\'esultats standard de
compatibilit\'e des images directes au changement de base (ou, comme
on dit parfois, de {\sl propret\'e
\index{86}{PRO}{Propret\'e cohomologique}%
cohomologique}). Pour ne pas alourdir l'exposition, nous ne les
\'enoncerons que dans le cas o\`u nous aurons \`a nous en servir, pour
la cohomologie de Hodge et la cohomologie de De Rham.

\state Proposition 6.6|Soient $S$ un sch\'ema
affine\bottomnote{17}
{L'hypoth\`ese ``affine'' est inutile, nous ne la faisons que pour
faciliter la preuve de (b).}
noeth\'erien int\`egre et $f:X\lra S$ un morphisme propre et lisse.
\smallskip
\item{\rm(a)} Les faisceaux $R^jf_*\Omega^i_{X/S}$ et $R^nf_*\Omega^\bu_{X/S}$
sont coh\'erents. Il existe un ouvert non vide $U$ de $S$ tel que, pour
tout $(i,j)$ et tout $n$, les restrictions \`a $U$ de ces faisceaux
soient localement libres de type fini.
\smallskip
\item{\rm(b)} Pour tout $i\in\bZ$ et pour tout morphisme $g: S'\lra S$, si
f': $X'\lra$ S' d\'esigne le sch\'ema d\'eduit de $X$ par le changement
de base $g$, les fl\`eches canoniques de $D(S')$ $($dites de changement de
base$)$
$$\leqalignno{
Lg^*Rf_*\Omega^i_{X/S}&{}\lra Rf'_*\Omega^i_{X'/S'}
&\kern-\itemindent(6.6.1)\cr
\noalign{\vskip6pt}
Lg^*Rf_*\Omega^\bu_{X/S}&{}\lra Rf'_*\Omega^\bu_{X'/S'}
&\kern-\itemindent(6.6.2)\cr}$$
sont des isomorphismes.
\smallskip
\item{\rm(c)} Fixons $i\in\bZ$, et supposons que, pour tout $j$, le faisceau 
$R^jf_*\Omega^i_{X/S}$ soit localement libre sur $S$, de rang constant
$h^{i\,j}$. Alors, pour tout $j$, la fl\`eche de changement de base
$($d\'eduite de $(6.6.1))$
$$g^*R^jf_*\Omega^i_{X/S}\lra R^jf'_*\Omega^i_{X'/S'}
\leqno\kern-\itemindent(6.6.3)$$
est un isomorphisme. En particulier, $R^jf'_*\Omega^i_{X'/S'}$ est localement
libre de rang~$h^{i\,j}$.
\smallskip
\item{\rm(d)} Supposons que, pour tout $n$, $R^nf_*\Omega^\bu_{X/S}$
soit localement libre de rang constant $h^n$. Alors, pour tout $n$, la
fl\`eche de changement de base $($d\'eduite de $(6.6.2))$
$$g^*R^nf_*\Omega^\bu_{X/S}\lra R^nf'_*\Omega^\bu_{X'/S'}
\leqno\kern-\itemindent(6.6.4)$$
est un isomorphisme. En particulier, $R^nf'_*\Omega^\bu_{X'/S'}$ est
localement libre de rang~$h^n$.
\vskip0pt
\endstate

Indiquons rapidement la d\'emonstration. Le fait que les
$R^jf_*\Omega^i_{X/S}$ soient coh\'erents est un cas particulier du
th\'eor\`eme de finitude de Grothendieck (EGA III 3) (ou [H2] III $8.8$
dans le cas   projectif). La coh\'erence des $R^nf_*\Omega^\bu_{X/S}$ en
r\'esulte par la suite spectrale de Hodge vers De Rham relative $(5.9
(2))$. Pour la deuxi\`eme assertion de (a), notons $A$ l'anneau
(int\`egre) de $ S, K$ son corps des fractions, qui est donc l'anneau
local de $S$ en son point g\'en\'erique $\eta$. Posons pour abr\'eger
$R^jf_*\Omega^i_{X/S}=\cH^{i\,j}, R^nf_*\Omega^\bu_{X/S}= \cH^n$. La fibre de
$\cH^{i\,j}$ (resp.\ $\cH^n$) en $\eta$ est libre de type fini (un $K$-espace
vectoriel de dimension finie), et est la limite inductive des $\cH^{i\,j}_{
|D(s)}$ (resp.\ $\cH^n_{|D(s)})$, pour $s$ parcourant $A$, $D(s)$ d\'esignant
``l'ouvert d'inversibilit\'e'' de $s$, i.e.\ $\Spec A_s=X-V(s)$. Par $6.11$~(a)
ci-apr\`es, il en r\'esulte qu'il existe $s$ tel que $\cH^{i\,j}_{|D(s)}$
(resp.\ $\cH^n_{|D(s)})$ soit libre de type fini. Pour (b), choisissons un
recouvrement fini $\cU$ de $X$ par des ouverts affines, notons $\cU'$ le
recouvrement ouvert de $X'$ d\'eduit de $\cU$ par changement de base.
Comme $S$ est affine et que $X$ est propre, donc s\'epar\'e, sur $S$,
les intersections finies d'ouverts de $\cU$ sont affines, et de m\^eme
les intersections finies d'ouverts de $\cU'$ sont (relativement)
affines\bottomnote{18}
{Un morphisme de sch\'emas est dit {\sl affine} si l'image inverse de
tout ouvert affine est affine.}
sur $S'$. Par suite (cf.\ [H2] III $8.7$), $Rf_*\Omega^i_{X/S}$ (resp.\
$Rf'_*\Omega^i_{X'/S'}$) est repr\'esent\'e par
$f_*\check\cC(\cU,\Omega^i_{X/S})$ (resp.\
$f'_*\check\cC(\cU',\Omega^i_{X'/S'})$), o\`u l'on d\'esigne ici par
$\check\cC(\cU,\bu)$ le complexe des cocha\^\i nes {\sl altern\'e}. Par
la compatibilit\'e des $\Omega^i$ au changement de base, on a un
isomorphisme canonique de complexes
$$g^*f_*\check\cC(\cU,\Omega^i_{X/S})\build\lra|\sim||
f'_*\check\cC(\cU',\Omega^i_{X'/S'}).$$
Comme le complexe $f_*\check\cC(\cU,\Omega^i_{X/S})$ est born\'e et \`a
composantes plates, cet isomorphisme r\'ealise l'isomorphisme
$(6.6.1)$. De m\^eme, $Rf_*\Omega^\bu_{X/S}$ (resp.\
$Rf'_*\Omega^\bu_{X'/S'}))$ est repr\'esent\'e par
$f_*\check\cC(\cU,\Omega^\bu_{X/S})$ (resp.\
$f'_*\check\cC(\cU',\Omega^\bu_{X'/S'})$) (o\`u $\check\cC$ d\'esigne
cette fois le complexe simple associ\'e au bicomplexe de \v Cech), et
l'on a un isomorphisme canonique de complexes
$$g^*f_*\check\cC(\cU,\Omega^\bu_{X/S})\build\lra|\sim||
f'_*\check\cC(\cU',\Omega^\bu_{X'/S'}),$$
qui r\'ealise l'isomorphisme $(6.6.2)$. Les assertions (c) et (d)
r\'esultent de (b) et du lemme suivant, dont nous laissons la
v\'erification au lecteur:

\state Lemme 6.7|Soient $A$ un anneau noeth\'erien et $E$ un complexe de
$A$-modules tel que $H^i(E)$ soit projectif de type fini pour tout $i$ et
nul pour presque tout $i$. Alors:
\smallskip
\item{\rm(a)} $E$ est isomorphe, dans $D(A)$, \`a un complexe born\'e \`a
composantes projectives de type fini;
\smallskip
\item{\rm(b)} si $E$ est born\'e et \`a composantes projectives de type fini,
alors, pour toute $A$-alg\`ebre $B$, et pour tout $i$, l'homomorphisme
canonique
$$B\otimes_A H^i(E)\lra H^i(B\otimes_A E)$$
est un isomorphisme.
\vskip0pt
\endstate

\state Remarques 6.8|{\rm (a) Un complexe de $A$-modules isomorphe,
dans $D(A)$, \`a un complexe born\'e \`a composantes projectives de type
fini est dit
\index{87}{COM}{Complexe parfait}%
\index{88}{PAR}{Parfait, complexe}%
{\sl parfait}. Prendre garde que, si $E$ est parfait, il
n'est pas vrai, en g\'en\'eral, que les $H^i(E)$ soient projectifs de
type fini. On peut montrer que, sous les hypoth\`eses de $6.6$, les
complexes $Rf_*\Omega^i_{X/S}$ et $Rf_*\Omega^\bu_{X/S}$ sont parfaits sur
$S$ (et non seulement sur $U$). La notion de complexe parfait joue un
r\^ole important dans de nombreuses questions de g\'eom\'etrie
alg\'ebrique.
\par\noindent
(b) Dans les \'enonc\'es de $6.6$ concernant $\Omega^i_{X/S}$, on peut
remplacer $\Omega^i_{X/S}$ par n'importe quel $\cO_X$-module $F$
localement libre de type fini (voire coh\'erent et plat relativement
\`a $S$): les conclusions de (a), (b) et (c) sont encore valables, \`a
condition de remplacer $\Omega^i_{X'/S'}$ par le faisceau $F'$ image
inverse de $F$ sur $X'$. De m\^eme, le complexe $Rf_*F$ est parfait
sur $S$.}
\endstate

Nous sommes maintenant en mesure d'\'enoncer et de d\'emontrer
l'application promise de $5.6$:

\state Th\'eor\`eme 6.9 {\rm(th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de
\index{89}{THE}{Th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de Hodge}%
\index{90}{HOD}{\hri th\'eor\`eme de d\'eg\'en\'erescence de Hodge}%
Hodge)}|Soient $K$ un corps de caract\'eristique nulle, et $X$ un
$K$-sch\'ema propre et lisse. Alors la suite spectrale de Hodge de $X$ sur
$K$ $(4.8.3)$
$$E^{i\,j}_1=H^j(X,\Omega^i_{X/K})\Lra H^*_\DR(X/K)$$
d\'eg\'en\`ere en $E_1$.
\endstate

Posons $\dim_KH^j(X,\Omega^i_{X/K})=h^{i\,j}$, $\dim H^n_\DR(X/K)=h^n$.
Il s'agit de prouver que, pour tout $n$, $h^n=\sum_{i+j=n}h^{i\,j}$
(cf.\ $(4.8.3)$). Ecrivons $K$ comme limite inductive de la famille
$(A_\lambda)_{\lambda\in L}$ de ses sous-$\bZ$-alg\`ebres de type fini.
D'apr\`es $6.3$, il existe $\alpha \in L$ et un $S_\alpha$-sch\'ema
propre et lisse $X_\alpha$ (o\`u $S_\alpha=\Spec A_\alpha)$ dont $X$ se
d\'eduit par le changement de base $\Spec K\lra S_\alpha$. Quitte \`a
remplacer $A_\alpha$ par $A_\alpha[t^{-1}]$ pour un $t\in A_\alpha$ non
nul convenable, on peut supposer, d'apr\`es $6.5$, que $S_\alpha$ est
lisse sur $\Spec\bZ$. Abr\'egeons $A_\alpha$ en $A, S_\alpha$ en $S,
X_\alpha$ en $\cX$, et notons $f:\cX\lra S$ le morphisme structural.
Quitte \`a nouveau \`a remplacer $A$ par $A[t^{-1}]$, on peut, d'apr\`es
$6.6$ (a), supposer que les faisceaux $R^jf_*\Omega^i_{\cX/S}$ (resp.\
$R^nf_*\Omega^\bu_{\cX/S}$) sont libres de rang constant,
n\'ecessairement\'egal alors \`a $h^{i\,j}$ (resp.\ $h^n$) d'apr\`es
$6.6$ (c) et (d). Comme la dimension relative de $\cX$ sur $S$ est une
fonction localement constante et que $X$ est quasi-compact, on peut
d'autre part choisir un entier $d$ qui majore cette dimension en tout
point de $X$ et donc la dimension des fibres de $X$ sur $S$ en tout
point de $S$. Appliquant $6.4$ (b) \`a $Z=\Spec A[1/N]$ pour $N$
convenable (disons, le produit des nombres premiers${}\le d$), on peut
choisir un point ferm\'e $s$ de $S$, dont le corps r\'esiduel $k=k(s)$
(un corps fini) est de caract\'eristique $p>d$. Comme $S$ est lisse
sur $\Spec\bZ$, le morphisme canonique $\Spec k\lra S$ (une immersion
ferm\'ee) se prolonge (par d\'efinition de la lissit\'e $(2.2))$ en un
morphisme $g: \Spec W_2(k)\lra S$, o\`u $W_2(k)$ est l'anneau des
vecteurs de Witt de  longueur $2$ sur $k$ $(3.9)$. Notons $Y=\cX_s$ la
fibre de $\cX$ en $s=\Spec k$ et $Y_1$ le sch\'ema sur $\Spec W_2(k)$
d\'eduit de $\cX$ par le changement de base $g$. On a donc des carr\'es
cart\'esiens:
$$\eqalign{
Y&\vlra10.5|Y_1\vlra16|\cX\longleftarrow~~~X\cr
\big\downarrow&\phantom{\lra\lra~}\big\downarrow\phantom{\lra\lra\lra~~}
\big\downarrow\phantom{\lra\lra}\big\downarrow\cr
s\,&{}\lra\Spec W_2(k)\build\lra|{\disp g}||S\longleftarrow\Spec K.\cr}$$
Par construction, $Y$ est un $k$-sch\'ema propre et lisse, de dimension${}<p$,
relev\'e sur $W_2(k)$. Donc, d'apr\`es $5.6$, la suite spectrale de Hodge
vers De Rham de $Y$ sur $k$ d\'eg\'en\`ere en $E_1$. On a donc, pour tout $n$,
$$\sum_{i+j=n}\dim_kH^j(Y,\Omega^i_{Y/k})=\dim_kH^n_\DR(Y/k).$$
Mais d'apr\`es $6.6$ (c) et (d), on a, pour tout $(i,j)$ et pour tout $n$,
$$\dim_kH^j(Y,\Omega^i_{Y/k})=h^{i\,j},\qquad\dim_kH^n_\DR(Y/k)=h^n.$$
Donc $\sum_{i+j=n}h^{i\,j}=h^n$ pour tout $n$, ce qui ach\`eve la
d\'emonstration.

\state Th\'eor\`eme 6.10 {\rm(th\'eor\`eme d'annulation de
\index{91}{THE}{Th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano}%
\index{92}{KOD}{\hri th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano}%
Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN], [AkN])}|Soient $K$ un corps de
caract\'eristique nulle, $X$ un $K$-sch\'ema projectif et lisse,
purement de dimension $d$, et $L$ un faisceau inversible ample sur $X$.
Alors on a$\,:$
$$\leqalignno{
H^j(X,L\otimes\Omega^i_{X/K})&=0\quad\hbox{pour $i+j>d$},
&(6.10.1)\cr
H^j(X,L^{\otimes-1}\otimes\Omega^i_{X/K})&=0\quad\hbox{pour $i+j<d$}.
&(6.10.2)\cr}$$
\endstate

On d\'eduit $6.10$ de $5.8$ comme $6.9$ de $5.6$. On a besoin pour cela
d'un r\'esultat de passage \`a la limite pour les modules, g\'en\'eralisant
et pr\'ecisant $6.1.2$ (cf.\ (EGA IV $8.5$, $8.10.5.2$)):

\state Proposition 6.11|Soit, comme en $6.1$, $(S_i)_{i\in I}$ un
syst\`eme projectif filtrant de sch\'emas affines, de limite $S$. Soient
$i_0\in I$, $X_{i_0}$ un $S_{i_0}$-sch\'ema de pr\'esentation finie, et
consid\'erons le syst\`eme projectif cart\'esien $(X_i)$ qui s'en
d\'eduit pour $i\ge i_0$, de limite $X=S\times_{S_{i_0}}X_{i_0}$. 
\medskip
\item{\rm(a)} Si $E$ est un $\cO_X$-module de pr\'esentation finie, il
existe $i\ge i_0$ et un $\cO_{X_i}$-module $E_i$ de pr\'esentation
finie dont $E$ se d\'eduit par extension des scalaires. Si $E$ est
localement libre (resp.\ localement libre de rang $r$), il existe $j\ge i$
tel que $E_j=\cO_{X_j}\otimes_{\cO_{X_i}}E_i$ soit localement libre
(resp.\ localement libre de rang r). Si $X$ est projectif sur $S$ et
$E$ est un $\cO_X$-module inversible ample (resp.\ tr\`es ample)
$(5.7)$, il existe $j\ge i$ tel que $X_j$ soit projectif sur $S_j$ et
$E_j$ soit inversible ample (resp.\ tr\`es ample).
\medskip
\item{\rm(b)} Soient $E_{i_0}, F_{i_0}$ des $\cO_{X_{i_0}}$-modules de
pr\'esentation finie, et consid\'erons les syst\`emes $(E_i)$, $(F_i)$
qui s'en d\'eduisent par extension des scalaires sur les $X_i$ pour
$i\ge i_0$, ainsi que les modules $E$ et $F$ qui s'en d\'eduisent par
extension des scalaires sur $X$. On a alors une application naturelle
$$\limind_{i\ge i_0}\Hom_{\cO_{X_i}}(E_i,F_i)\lra\Hom_{\cO_X}(E,F),$$
qui est bijective.
\vskip0pt
\endstate

La v\'erification de (b) puis des deux premi\`eres assertions de (a) se
ram\`ene \`a $6.1.2$. Pour la derni\`ere de (a), il suffit de traiter
le cas o\`u $E$ est tr\`es ample, i.e.\ correspond \`a une immersion
ferm\'ee $h: X\lra P=\bP^r_S$ telle que $h^*\cO_P(1)\simeq E$. Pour $i$
assez grand, on rel\`eve $h$ en un $S_i$-morphisme $h_i:X_i\lra
P_i=\bP^r_{S_i}$ et $E$ en $E_i$ inversible sur $X_i$. Quitte \`a
agrandir $i$, $h_i$ est une immersion ferm\'ee et l'isomorphisme
$h^*\cO_P(1)\simeq E$ provient d'un isomorphisme $h^*_i\cO_{P_i}(1)\simeq
E_i$, $E_i$ est alors tr\`es ample.

Prouvons $6.10$. Proc\'edant comme dans la d\'emonstration de $6.9$, et
appliquant en outre $6.11$, on peut trouver un sous-anneau $A$ de $K$ de type
fini et lisse sur $\bZ$, un morphisme projectif et lisse $f:\cX  \lra
S=\Spec A$, purement de dimension relative $d$, dont $X\lra  \Spec K$
se d\'eduit par changement de base, et un $\cO_X$-module inversible
ample $\cL$ dont $L$ se d\'eduit par extension des scalaires. Gr\^ace \`a
$6.6$ et $6.8$ (b), on peut de plus, quitte \`a remplacer $A$ par $A[t^{-1}]$,
supposer que les faisceaux $R^jf_*(\cM\otimes\Omega^i_\cX/S)$, o\`u
$\cM=\cL$ (resp.\ $\cL^{\otimes-1}$), sont libres de type fini, de rang
constant, n\'ecessairement \'egal, d'apr\`es $6.8$ (b), \`a
$h^{i\,j}(L)=\dim_KH^j(X,L\otimes\Omega^i_{X/K})$ (resp.\ $h^{i\,j}
(L^{\otimes-1})=H^j(X,L^{\otimes-1}\otimes\Omega^i_{X/K}))$. Choisissons alors
$g:\Spec W_2(k)\lra S$ comme dans la d\'emonstration de $6.9$. Le faisceau
$\cL_s$ image inverse de $\cL$ sur $Y=X_s$ est ample. D'apr\`es $6.6$ et
$6.8$ (b), on a $\dim_kH^j(Y,\cL_s\otimes\Omega^i_{Y/k}) =h^{i\,j}(L)$, et
$\dim_kH^j(Y,\cL_s^{\otimes-1}\otimes\Omega^i_{Y/k})=h^{i\,j}(L^{\otimes-1})$.
La conclusion r\'esulte alors de $5.8$.

\state Remarque 6.12|{\rm De mani\`ere analogue, le th\'eor\`eme
d'annulation de Ramanujam sur les surfaces [Ram] r\'esulte de la
variante de $5.8$ relative aux faisceaux num\'eriquement positifs
(cf.\ 5.9~(5)).}
\endstate

\section \Smark7. D\'eveloppements r\'ecents et probl\`emes ouverts|

\subsection A. Diviseurs \`a croisements normaux, r\'eduction semi-stable, et
structures logarithmiques|
\medskip

\noindent
{\bf 7.1.} Soient $S$ un sch\'ema, $X$ un $S$-sch\'ema lisse, et
$D$ un sous-sch\'ema ferm\'e de $X$. On dit que $D$ est un {\sl
diviseur \`a
\index{93}{DIV}{Diviseur \`a croisements normaux}%
croisements normaux relativement \`a} $S$ (ou simplement,
{\sl relatif}\/) si, ``localement pour la topologie \'etale sur $X$'', le
couple $(X,D)$ est ``isomorphe'' au couple form\'e de l'espace affine
standard $\bA^n_S=S[t_1\ld t_n]$ et du diviseur $V(t_1\cdots t_r)$
d'\'equation $t_1\cdots t_r=0$, pour $0\le r\le n$ (le cas $r=0$
correspondant \`a $t_1\cdots t_r=1$ et $V(t_1\cdots t_r)=\emptyset)$.
Cela signifie qu'il existe un recouvrement {\sl \'etale} $(X_i)_{i\in I}$
de $X$ (i.e.\ une famille de morphismes \'etales $X_i\lra X$ dont
la r\'eunion des images est $X$) tel que, si $D_i=X_i\times_XD$ est le
sous-sch\'ema ferm\'e induit par $D$ sur $X_i$, il existe un morphisme
\'etale $X_i\lra\bA^n_S$ tel qu'on ait un carr\'e cart\'esien
$$\eqalign{
D_i\quad&{}\lra X_i\cr
\big\downarrow~\quad&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow\cr
V(t_1\cdots t_r)&{}\lra\bA^n_S\cr}$$
($n$ et $r$ d\'ependant de $i$), en d'autres termes, qu'il existe un
syst\`eme de coordonn\'ees $(x_1\ld x_n)$ sur $X_i$ au sens de $2.7$
(d\'efinissant le morphisme \'etale $X_i\lra\bA^n_S)$ tel que $D_i$
soit le sous-sch\'ema ferm\'e d'\'equation $x_1\cdots x_r=0$. Cette
d\'efinition est calqu\'ee sur la d\'efinition analogue en
g\'eom\'etrie analytique complexe (cf.\ [D1]), o\`u ``localement pour
la topologie \'etale'' est remplac\'e par ``localement pour la
topologie classique'', et ``morphisme \'etale'' par ``isomorphisme
local''. Un exemple standard de diviseur \`a croisements normaux
relativement \`a $S=\Spec k$, $k$ un corps de caract\'eristique
diff\'erente de $2$, est la cubique \`a point double $D=\Spec
k[x,y]/(y^2-x^2(x-1))$ dans le plan affine $X=\Spec k[x,y]$ (observer,
dans cet exemple, qu'il n'existe pas de syst\`eme de coordonn\'ees
$(x_j)$ comme ci-dessus sur un recouvrement ouvert {\sl de Zariski} de
$X$, une extension \'etale (extraction d'une racine carr\'ee de $x-1$)
\'etant n\'ecessaire pour faire appara\^\i tre un tel syst\`eme au
voisinage de l'origine).

La notion de diviseur \`a croisements normaux $D\lhra X$
relativement \`a $S$ est stable par localisation \'etale sur $X$ et par
changement de base $S'\lra S$.

Si $D\lhra X$ est un diviseur \`a croisements normaux relatif, et
si $j:U=X\ssm D\lhra X$ est l'inclusion de l'ouvert compl\'ementaire,
on d\'efinit un sous-complexe
$$\Omega^\bu_{X/S}(\log D)
\leqno(7.1.1)$$
de $j_*\Omega^\bu_{U/S}$, dit {\sl complexe de De
\index{94}{COM}{Complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques}%
\index{95}{DER}{\hri complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques}%
\index{96}{LOG}{\hri complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques}%
Rham de $X/S$ \`a p\^oles logarithmiques le long de} $D$, par la condition
qu'une section locale $\omega$ de $j_*\Omega^i_{U/S} $ appartient \`a
$\Omega^i_{X/S}(\log D)$ si et seulement si $\omega$ et $d\omega$ ont
au plus un p\^ole simple le long de $D$ (i.e.\ sont telles que,
si $f$ est une \'equation locale de $D$, $f\omega$ (resp.\ $f\,d\omega$)
soit section de $\Omega^i_{X/S}$ (resp.\ $\Omega^{i+1}_{X/S}$)
(NB. $f$ est n\'ecessairement non diviseur de z\'ero
dans $\cO_X))$. On voit facilement que les $\cO_X$-modules
$\Omega^i_{X/S}(\log D)$ sont localement libres de type fini, que
$\Omega^i_{X/S}(\log D)=\Lambda^i\Omega^1_{X/S}(\log$ D), et que, si, comme
plus haut, $(x_1\ld x_n)$ sont des coordonn\'ees sur un $X'$ \'etale sur $X$
o\`u $D$ a pour \'equation $x_1\cdots x_r=0$, $\Omega^1_{X/S}(\log D)$ est
libre de base $(dx_1/x_1\ld dx_r/x_r,dx_{r+1}\ld dx_n)$.
 
Il existe une variante naturelle, en g\'eom\'etrie analytique complexe,
de la construction $(7.1.1)$ (cf.\ [D1]). Si $S=\Spec\bC$ et $D \subset
X$ est un diviseur \`a croisements normaux (alg\'ebrique), le complexe
de faisceaux analytiques associ\'e \`a $(7.1.1)$ sur l'espace
analytique $X^\an$ associ\'e \`a $X$,
$$\Omega^\bu_{X/\bC}(\log D)^\an=\Omega^\bu_{X^\an/\bC}(\log D^\an),$$
calcule la cohomologie transcendante de $U$ \`a valeurs dans $\bC$: on a
un isomorphisme canonique (dans la cat\'egorie d\'eriv\'ee $D(X^\an,\bC)$) 
$$Rj_*\bC\simeq\Omega^\bu_{X/S}(\log D)^\an,
\leqno(7.1.2)$$
et par suite des isomorphismes
$$H^i(U^\an,\bC)\simeq H^i(X^\an,\Omega^\bu_{X/S}(\log D)^\an)
\leqno(7.1.3)$$
(loc.\ cit.). Quand de plus $X$ est propre sur $\bC$, le th\'eor\`eme de
comparaison de Serre [GAGA] permet de d\'eduire de $(7.1.3)$ des
isomorphismes
$$H^i(U^\an,\bC)\simeq H^i(X,\Omega^\bu_{X/S}(\log D)).
\leqno(7.1.4)$$
En outre, la filtration $F$ de $H^*(X,\Omega^\bu_{X/S}(\log D))$,
aboutissement de la premi\`ere suite spectrale d'hypercohomologie de $X$
\`a valeurs dans $\Omega^\bu_{X/S}(\log$ D),
$$E^{p\,q}_1=H^q(X,\Omega^p_{X/S}(\log D)\Lra
H^{p+q}(X,\Omega^\bu_{X/S}(\log D))\leqno(7.1.5)$$
est la {\sl filtration de Hodge} de la {\sl structure de Hodge mixte}
naturelle de $H^*(U^\an,\bZ)$ d\'efinie par Deligne et la suite
spectrale $(7.1.5)$ d\'eg\'en\`ere en $E_1$ ([D2]).

Tout comme dans le cas o\`u $D=\emptyset$ $(6.9)$, cette d\'eg\'en\'erescence
peut se d\'emontrer par r\'eduction \`a la caract\'eristique $p>0$. On a en
effet le r\'esultat suivant, qui g\'en\'eralise $5.1$ et dont la preuve est
analogue ([D-I] 4.2.3):

\state Th\'eor\`eme 7.2|Soient $S$ un sch\'ema de caract\'eristique
$p>0$, $S^\sim$ un rel\`evement plat de $S$ sur $\bZ/p^2\bZ$, $X$ un
$S$-sch\'ema lisse et $D\subset X$ un diviseur \`a croisements normaux
relatif. Notons $F: X\lra X'$ le Frobenius relatif de $X/S$. Si le
couple $(X',D')$ admet un rel\`evement $(X^{\prime\,\sim},D^{\prime\,\sim})$
sur $S^\sim$, o\`u $X^{\prime\,\sim}$ est lisse et $D^{\prime\,\sim}\subset
X^{\prime\,\sim}$ est un diviseur \`a croisements normaux relatif, le
complexe de $\cO_{X'}$-modules $\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/S}(\log D)$
est d\'ecomposable dans la cat\'egorie d\'eriv\'ee $D(X')$.
\endstate

Le lecteur trouvera dans [D-I] divers compl\'ements \`a $7.2$ et
dans [E-V] une autre pr\'esentation des m\^emes r\'esultats, et des
applications \`a des th\'eor\`emes d'amplitude et d'annulation.
\medskip

\noindent
{\bf 7.3.} La th\'eorie qui pr\'ec\`ede s'\'etend sans grands changements
\`a une classe de morphismes qui ne sont plus lisses, mais n'en sont pas
tr\`es \'eloign\'es, les morphismes dits ``de r\'eduction semi-stable''.
Soit $T$ un sch\'ema. L'exemple type de tels morphismes est le morphisme
$$s:\bA^n_T=T[x_1\ld x_n]\lra\bA^1_T=T[t],\qquad t\lmapsto x_1\cdots x_n
\quad(n\ge1);$$
en d'autres termes, si $S=\bA^1_T$, le sch\'ema $\bA^n_T$, consid\'er\'e comme
$S$-sch\'ema par $s$, est le sous-$S$-sch\'ema de $\bA^n_S=S[x_1\ld x_n]=
T[x_1\ld x_n,t]$ d'\'equation $x_1\cdots x_n=t$. Le morphisme $s$ est lisse  
hors de $0$ et sa fibre en $0$ est le diviseur $D$ d'\'equation
$(x_1\cdots x_n=0)$, un diviseur \`a croisements normaux relativement \`a $T$,
mais non \`a $S$ (un diviseur ``vertical''). Plus g\'en\'eralement, si $S$
est un $T$-sch\'ema lisse de dimension relative $1$ et $E\subset S$ un diviseur
\`a croisement normaux relatif (si $T$ est le spectre d'un corps
alg\'ebriquement clos, $E$ est donc simplement un ensemble fini de points
rationnels de $S$), on dit qu'un $S$-sch\'ema $X$ a {\sl r\'eduction
semi-stable
\index{97}{RED}{R\'eduction semi-stable}%
le long de} $E$ si, localement pour la topologie \'etale
(sur $X$ et sur~$S$) le morphisme $X\lra S$ est de la forme $s\circ g$,
avec $g$ lisse, $s$ \'etant le morphisme consid\'er\'e ci-dessus. Le
diviseur $D=X\times_S E\subset X$ est alors un diviseur \`a croisements
normaux relativement \`a $T$ (mais non \`a $S$)\bottomnote{19}
{On peut m\^eme d\'efinir une notion de r\'eduction semi-stable le long
de $E$ sans hypoth\`ese sur la dimension relative de $S$ sur $T$, cf.\
[I5].}.
Un exemple \'el\'ementaire est fourni par la ``famille de Legendre''
$X=\Spec k[x,y,t]/(y^2 - x(x-1)(x$-t)) au-dessus de $S=\Spec k[t]=\Spec k$,
$k$ un corps de caract\'eristique $\ne 2$), qui a r\'eduction semi-stable
en $\{0\}\cup\{1\}$, la fibre en chacun de ces points \'etant
isomorphe \`a la cubique \`a point double envisag\'ee plus haut.
L'int\'er\^et de la notion de r\'eduction semi-stable vient de la
{\sl conjecture de r\'eduction semi-stable}, qui, en gros, affirme que
localement, apr\`es ramification convenable de la base, un morphisme
lisse peut se prolonger en un morphisme \`a r\'eduction semi-stable,
conjecture \'etablie par Grothendieck-Deligne-Mumford et Artin-Winters
([G], \hbox{[A-W]}, [D-M]) en caract\'eristique quelconque mais
dimension relative $1$, et Mumford ([M]) en caract\'eristique nulle et
dimension relative quelconque.

Si $f: X\lra S$ a r\'eduction semi-stable le long de $E$, on
d\'efinit un complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques relatif
\index{98}{COM}{Complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques relatif}%
\index{99}{DER}{\hri complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques relatif}%
\index{100}{LOG}{\hri complexe de De Rham \`a p\^oles logarithmiques relatif}%
$$\omega^\bu_{X/S}=\Omega^\bu_{X/S}(\log D/E),
\leqno(7.3.1)
$$de composantes $\omega^i_{X/S}=\Lambda^i\omega^1_{X/S}$, o\`u $\omega^1_{X/S}$
est le quotient de $\Omega^1_{X/T}(\log D)$ par l'image de
$f^*\Omega^1_{S/T}(\log E)$ et la diff\'erentielle est d\'eduite de
celle de $\Omega^\bu_{X/T}(\log D)$ par passage au quotient. Ce complexe
est \`a composantes localement libres de type fini (dans le cas du
morphisme $s$ ci-dessus, $\omega^1_{X/S}$ est isomorphe \`a
$(\bigoplus\cO_X dx_i/x_i)/\cO_X(\sum dx_i/x_i)$ (donc libre de base
$dx_i/x_i$, $i\ge2$)). Il induit sur l'ouvert de lissit\'e $U$ de $X$
sur $S$ le complexe de De Rham usuel $\Omega^\bu_{U/S}$, et l'on peut
montrer que c'est l'unique prolongement sur $X$ de ce complexe
qui soit \`a composantes localement libres de type fini. De plus,
si l'on pose, pour abr\'eger,
$\omega^\bu_{X/T}=\Omega^\bu_{X/T}(\log D)$,
$\omega^\bu_{S/T}=\Omega^\bu_{S/T}(\log E)$, on a une suite exacte
$$0\lra\omega^1_{S/T}\otimes\omega^\bu_{X/S}[-1]\lra
\omega^\bu_{X/T}\lra\omega^\bu_{X/S}\lra 0,
\leqno(7.3.2)$$
o\`u la fl\`eche de gauche est $a\otimes b\lmapsto f^*a\wedge b$. Cette suite
exacte joue un r\^ole important dans le {\sl th\'eor\`eme de r\'egularit\'e
de la connexion de Gauss-Manin} (cf.\ [K2] et l'article de Bertin-Peters  
dans ce volume). Il existe aussi une variante, en g\'eom\'etrie
analytique complexe, de ces constructions. Supposons que $T=\Spec\bC$,
que $S$ soit une courbe lisse sur $\bC, E\subset S$ le diviseur r\'eduit \`a un
point ${0}$, et que $f: X\lra S$ soit un morphisme \`a r\'eduction
semi-stable en $\{0\}$, de fibre $Y$ en $0$ ($Y$ est donc un diviseur \`a
croisement normaux dans $X$ relativement \`a $\bC$). On peut alors
consid\'erer le complexe
$$\omega^\bu_Y=\bC_{\{0\}}\otimes_{\cO_S}\omega^\bu_{X/S},
\leqno(7.3.3)$$
de composantes les faisceaux localement libres de type
fini $\omega^i_Y=\cO_Y\otimes_{\cO_X}\omega^i_{X/S}$. Steenbrink [St] a
montr\'e que le complexe analogue $\omega^\bu_{Y^\an}$ sur $Y^\an$ (qui est
aussi le complexe de faisceaux associ\'e \`a $\omega^\bu_Y$ sur $Y^\an$)
incarne le {\sl complexe des cycles proches} $R\Psi(\bC)$ de $f$ en $0$, de
sorte que, si de plus $f$ est propre, $H^*(Y,\omega^\bu_Y)$ ``calcule''
$H^*(X^\an_t,\bC)$ pour $t$ ``assez voisin'' de $0$. Steenbrink montre en
outre que (sous cette hypoth\`ese suppl\'ementaire) les suites
spectrales
$$E^{p\,q}_1=R^qf_*\omega^p_{X/S}\Lra R^{p+q}f_*\omega^\bu_{X/S}
\leqno(7.3.4)$$
et
$$E^{p\,q}_1=H^q(Y,\omega^p_Y)\Lra H^{p+q}(Y,\omega^\bu_Y)
\leqno(7.3.5)$$
d\'eg\'en\`erent en $E_1$ et que les faisceaux $R^qf_*\omega^p_{X/S}$ sont
localement libres de type fini et de formation compatible \`a tout changement
de base. Ces r\'esultats font partie de la construction d'une {\sl structure
de Hodge mixte limite} sur $H^*(X_t^\an,\bZ)$ pour $t$ tendant vers $0$
(loc.\ cit.). Ils peuvent, eux aussi, se d\'emontrer par r\'eduction \`a la
caract\'eristique $p>0$ ([I5]). Pour $T$ de caract\'eristique $p>0$, et
$f:X\lra S$ \`a r\'eduction semi-stable le long de $E\subset S$, les complexes
$\omega^\bu_{X/S}$ et
$$\omega^\bu_D=\cO_D\otimes_{\cO_S}\omega^\bu_{X/S} 
\leqno(7.3.6)$$
(o\`u $D=E\times_SX)$ donnent en effet lieu \`a des isomorphismes de
Cartier (du type de $3.5)$, et, sous des hypoth\`eses de relevabilit\'e
modulo $p^2$ convenables, $\tau_{<p}F_*\omega^\bu_{X/S}$ et
$\tau_{<p}F_*\omega^\bu_D$ se d\'ecomposent (dans $D(X'))$ (voir [I5]
$2.2$ pour un \'enonc\'e pr\'ecis, qui g\'en\'eralise $7.2$, et
divers corollaires (\'enonc\'es de d\'eg\'en\'erescence et d'annulation)). 
\medskip

\noindent
{\bf 7.4.} Le complexe $\omega^\bu_D$ ci-dessus ne d\'epend pas seulement
de $D$, mais de $X/S$. Il n'en d\'epend toutefois que localement (au voisinage
de~$D$). En cherchant \`a \'elucider la structure suppl\'ementaire sur $D$
n\'ecessaire pour le d\'efinir, J.-M.~Fontaine et l'auteur ont \'et\'e
conduits \`a introduire la notion de {\sl structure logarithmique}.
Celle-ci a donn\'e lieu \`a une th\'eorie, la {\sl g\'eom\'etrie
\index{101}{GEO}{G\'eom\'etrie logarithmique}%
\index{102}{LOG}{\hri g\'eom\'etrie logarithmique}%
logarithmique}, extension naturelle de la th\'eorie des sch\'emas.
Largement d\'evelopp\'ee par K.~Kato et son \'ecole, elle permet d'unifier
les diverses constructions de complexes \`a p\^oles logarithmiques
envisag\'es ci-dessus et de consid\'erer les vari\'et\'es toriques de
Mumford et al.\ et les morphismes \`a r\'eduction semi-stable comme cas
particuliers d'une nouvelle notion de lissit\'e, voir [I6] pour une
introduction. Les r\'esultats de d\'ecomposition, de
d\'eg\'en\'erescence et d'annulation pr\'ec\'edents admettent des
g\'en\'eralisations dans ce cadre, voir [Ka2] et [Og2].
\medskip

\subsection B. D\'eg\'en\'erescence mod $p^n$ et cristaux|

\noindent
{\bf 7.5.} Le th\'eor\`eme de d\'ecomposition $5.1$ a \'et\'e obtenu
initialement comme sous-produit des travaux d'Ogus [Og1], Fontaine-Messing
[F-M] et Kato [Ka1] en cohomologie cristalline (voir [I4] pour un
panorama de cette th\'eorie). Le lien (un peu technique) entre $5.1$ et
le point de vue cristallin est expliqu\'e dans [D-I] $2.2$ (iv).
Bornons-nous \`a \'enoncer un r\'esultat de d\'eg\'en\'erescence mod $p^n$
([F-M], [Ka1]) analogue \`a $5.6$:

\state Th\'eor\`eme 7.6|Soient $k$ un corps parfait de caract\'eristique
$p>0$, $W=W(k)$ l'anneau
\index{103}{ANN}{Anneau des vecteurs de Witt $W(k)$}%
\index{104}{WIT}{\hri anneau des vecteurs de Witt $W(k)$}%
des vecteurs de Witt sur $k$, $X$ un $W$-sch\'ema propre et lisse de
dimension relative${}<p$. Alors, pour tout entier $n\ge1$, la suite
spectrale de Hodge vers De Rham
$$E^{i\,j}_1=H^j(X_n,\Omega^i_{X_n/W_n})\Lra H^{i+j}_\DR(X_n/W_n)
\leqno(7.6.1)$$
d\'eg\'en\`ere en $E_1$, $W_n=W_n(k)=W/p^nW$ d\'esignant l'anneau des vecteurs
de Witt de longueur $n$ sur $k$ et $X_n$ le sch\'ema sur $W_n$ d\'eduit de $X$
par r\'eduction modulo $p^n$ (i.e.\ par extension des scalaires de $W$ \`a
$W_n)$.
\endstate

\noindent
{\bf 7.7.} Pour $n=1$, on a $W_n=k$ et l'on retrouve l'\'enonc\'e $5.6$,
\`a cela pr\`es que, dans $7.6$, on suppose donn\'e un rel\`evement de
$X$ sur $W$ (plut\^ot que sur~$W_2$)\bottomnote{20}
{En fait, Ogus a montr\'e -- mais c'est plus difficile -- qu'\'etant
donn\'e $n\ge1$ et $Z$ propre et lisse sur $W_n$ de dimension${}<p$, alors,
si $Z$ admet un rel\`evement (propre et lisse) sur $W_{n+1}$, la suite
spectrale de Hodge vers De Rham de $Z/W_n$ d\'eg\'en\`ere en $E_1$ ([Og2]
$8.2.6$); ce r\'esultat g\'en\'eralise v\'eritablement $5.6$.}.
Sous les hypoth\`eses de $7.6$, il n'est pas vrai en g\'en\'eral, pour
$n\ge2$, que le complexe de De Rham $\Omega^\bu_{X_n/W_n}$ (qui
est, a priori, seulement un complexe de faisceaux de $W_n$-modules sur
$X_n$ (ou $X_1$, $X_n$ et $X_1$ ayant le m\^eme espace sous-jacent)) soit
d\'ecomposable dans la cat\'egorie d\'eriv\'ee correspondante
$D(X_1,W_n)$. Toutefois, les r\'esultats d'Ogus ([Og1] $8.20$) impliquent
que, si $\sigma$ d\'esigne l'automorphisme de Frobenius de $W_n$,
$\sigma^*\Omega^\bu_{X_n/W_n}$ est isomorphe, dans la cat\'egorie
d\'eriv\'ee $D(X_1,W_n)$ des faisceaux de $W_n$-modules sur $X_1$, au
complexe $\Omega^\bu_{X_n/W_n}(p)$ d\'eduit de $\Omega^\bu_{X_n/W_n}$ en
multipliant la diff\'erentielle par $p$ (NB. pour $n=1$,
on a $\Omega^\bu_{X_n/W_n}(p)=\bigoplus\Omega^i_{X_1/k}[-i])$. La
conclusion de $7.6$ en d\'ecoule ais\'ement, ainsi que diverses
propri\'et\'es suppl\'ementaires de $H^*_\DR(X_n/W_n)$ (structure dite
``de Fontaine-Laffaille'' -- comprenant notamment le fait que la
filtration de Hodge est form\'ee de facteurs directs), voir [F-M] et
[Ka1].
\medskip

\noindent
{\bf 7.8.} Les r\'esultats de d\'eg\'en\'erescence et de
d\'ecomposition dont nous avons parl\'e jusqu' \`a pr\'esent portent
sur des complexes de De Rham de sch\'emas, \'eventuellement \`a p\^oles
logarithmiques. On peut, plus g\'en\'eralement, consid\'erer des
complexes de De Rham \`a coefficients dans des modules \`a connexion
int\'egrable. Plusieurs g\'en\'eralisations de ce type ont \'et\'e
obtenues: pour des coefficients de Gauss-Manin [I5], des faisceaux de
modules de Fontaine-Laffaille [Fa2], des $T$-cristaux [Og2] (ces
derniers objets fournissant d'ailleurs une g\'en\'eralisation commune
des deux pr\'ec\'edents).

\subsection C. Probl\`emes ouverts|

\noindent
{\bf 7.9.} Soient $k$ un corps parfait de caract\'eristique $p>0$, $X$ un
$k$-sch\'ema lisse, de dimension $d$, $X'$ le sch\'ema d\'eduit de $X$ par
changement de base par l'automorphisme de Frobenius de $k$, $F:X\lra X'$
le Frobenius relatif $(3.1)$. On a vu en $5.9$~(1) (a) (avec $S=\Spec k$,
$T=\Spec W_2(k)$) que les conditions suivantes sont
\'equivalentes:
\smallskip
\noindent(i) $X'$ -- ou, ce qui revient au m\^eme ici, $X$ -- se rel\`eve
(en un sch\'ema propre et lisse) sur $W_2(k)\,;$
\smallskip
\noindent(ii) $\tau_{\le 1}F_*\Omega^\bu_{X/k}$ est d\'ecomposable dans
$D(X')$ $(4.6)\,;$
\smallskip
\noindent(iii) $\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/k}$ est d\'ecomposable dans $D(X')$.
\smallskip
\noindent
Nous dirons que $X$ est
\index{105}{SCH}{Sch\'ema DR-d\'ecomposable}%
\index{106}{DEC}{\hri sch\'ema DR-d\'ecomposable}%
DR-{\sl d\'ecomposable} si $F_*\Omega^\bu_{X/k}$ est
d\'ecomposable (dans $D(X'))$. Comme on l'a observ\'e en $5.2$, cette
condition \'equivaut, compte tenu de l'isomorphisme de Cartier $(3.5)$,
\`a l'existence d'un isomorphisme
$$\bigoplus\Omega^i_{X'/k}[-i]\build\lra|\sim||F_*\Omega^\bu_{X/k}$$
de $D(X')$ induisant $C^{-1}$ sur $\cH^i$. Les arguments de $5.6$ et $5.8$
montrent que:
\smallskip
\noindent
(a) si $X$ est propre sur $k$ et DR-d\'ecomposable, la suite
spectrale de Hodge vers De Rham de $X/k$ d\'eg\'en\`ere en $E_1\,$;
\smallskip
\noindent
(b) si $X$ est projectif sur $k$, purement de dimension $d$, et
DR-d\'ecomposable, et si $L$ est un faisceau inversible ample sur $X$, on
a les r\'esultats d'annulation \`a la Kodaira-Akizuki-Nakano $(5.8.1)$ et
$(5.8.2)$.

En vertu de l'\'equivalence entre les conditions (i) et (ii) ci-dessus,
une condition n\'ecessaire pour que $X$ soit DR-d\'ecomposable
est que $X$ se rel\`eve sur $W_2(k)$. D'apr\`es [D-I], elle est suffisante
si $d\le p$ ($5.5$ et $5.9$~(3)). On ignore si elle l'est en g\'en\'eral:

\state Probl\`eme 7.10|Soit $X$ un $k$-sch\'ema lisse de dimension $d>p$,
\index{107}{DEC}{\hri condition suffisante de DR-d\'ecomposabilit\'e}%
relevable sur $W_2(k)$. Est-ce que $X$ est DR-d\'ecomposable~?
\endstate

\noindent
{\bf 7.11.} Rappelons $(5.5.1)$ que si $X$ et $F$ se rel\`event sur
$W_2(k)$, $X$ est DR-d\'ecomposable; c'est le cas si $X$ est affine, ou
est un espace projectif sur $k$. Comme il est signal\'e dans [D-I]
$2.6$ (iv), si $X$ est relevable sur $W_2(k)$ et si, pour tout entier
$n\ge1$, le morphisme de produit $(\Omega^1_{X/k})^{\otimes\,n}\lra
\Omega^n_{X/k}$ admet une section, $X$ est DR-d\'ecomposable
(voir $8.1$ pour une d\'emonstration); cette seconde condition est
v\'erifi\'ee notamment si $X$ est {\sl parall\'elisable}, i.e.\ si
$\Omega^1_{X/k}$ est un $\cO_X$-module libre (ou, ce qui revient au
m\^eme, le fibr\'e tangent $T_{X/k}$, dual de $\Omega^1_{X/k}$, est
trivial), donc par exemple si $X$ est une {\sl vari\'et\'e
ab\'elienne}. Par un th\'eor\`eme de Grothendieck (cf.\ [Oo] et [I7]
Appendice 1), toute vari\'et\'e ab\'elienne sur $k$ se rel\`eve sur
$W_2(k)$ (et m\^eme sur $W(k)$). Donc toute vari\'et\'e ab\'elienne sur
$k$ est DR-d\'ecomposable. Une autre classe int\'eressante de
$k$-sch\'emas relevables (sur $W(k))$ est form\'ee des {\sl
intersections compl\`etes} dans $\bP^r_k$ (voir l'expos\'e de Deligne
(SGA $7$ XI) pour les d\'efinitions et propri\'et\'es de base de ces
objets). Mais on ignore si celles-ci sont DR-d\'ecomposables. Le
premier cas inconnu est celui d'une quadrique (lisse) de dimension $3$
en caract\'eristique $2$. On ignore \'egalement si les {\sl
grassmanniennes}, et plus g\'en\'eralement, les {\sl vari\'et\'es de
drapeaux}, qui sont, elles aussi relevables sur $W(k)$, sont
DR-d\'ecomposables (le seul exemple connu est l'espace projectif$\,$!).

Le probl\`eme $7.10$, avec ``relevable sur $W_2(k)$'' remplac\'e par
``relevable sur $W(k)$'', est tout aussi ouvert. Par contre, on ne peut
remplacer ``relevable sur $W(k)$'' par ``relevable sur $A$'', o\`u $A$ est une
extension {\sl totalement ramifi\'ee} de $W(k)$ (${}={}$anneau de valuation
discr\`ete complet, fini et plat sur $W(k)$, de corps r\'esiduel $k$, et de
degr\'e${}>1$ sur $W(k)$): Lang [L] a en effet construit, en toute
caract\'eristique $p>0$, une $k$-surface projective lisse $X$ relevable
sur un tel anneau $A$ de degr\'e $2$ sur $W(k)$ telle que la suite
spectrale de Hodge vers De Rham de $X/k$ ne d\'eg\'en\`ere pas en $E_1$.
\medskip

\noindent
{\bf 7.12.} Les \'enonc\'es de d\'ecomposition auxquels on a fait allusion
\`a la fin de $7.3$ s'appliquent notamment \`a une {\sl courbe lisse} $S$
sur $T=\Spec k$ et \`a un sch\'ema $X$ sur $S$ ayant r\'eduction
semi-stable le long d'un diviseur \`a croisements normaux $E\subset S$
(donc \'etale sur $k$), pourvu que certaines hypoth\`eses de
relevabilit\'e modulo $p^2$ soient satisfaites. Plus pr\'ecis\'ement,
si l'on suppose que:
\smallskip
\noindent
(i) il existe un rel\`evement $(E^\sim\subset S^\sim)$ de $(E\subset S)$
sur $W_2= W_2(k)$ (avec $S^\sim$ lisse et $E^\sim$ diviseur \`a
croisements normaux relatif, i.e.\ \'etale sur $W_2)$, admettant un
rel\`evement $F^\sim: S^\sim\lra S^\sim$ du Frobenius (absolu) de $S$
tel que $(F^\sim)^{-1}(E^\sim)=pE^\sim$
\bottomnote{21}
{Cette notation d\'esigne le diviseur d\'eduit de $E^\sim$ par \'el\'evation
\`a la puissance $p$-i\`eme de ses \'equations locales.}
\smallskip
\noindent
(ii) $f$ se rel\`eve en $f^\sim: X^\sim\lra S^\sim$ ayant r\'eduction
semi-stable le long de $E^\sim$, alors $\tau_{<p}F_*\omega^\bu_{X/S}$ et
$\tau_{<p}F_*\omega^\bu_D$ (o\`u $D=E\times_S X)$ sont d\'ecomposables,
(et donc $F_*\omega^\bu_{X/S}$ et $F_*\omega^\bu_D$ le sont aussi si
$X$ est de dimension relative${}<p$ sur $S$).
\medskip

\noindent
{\bf 7.13.} Le r\'esultat relatif \`a $\omega^\bu_D$ sugg\`ere le
probl\`eme suivant en in\'egale caract\'eristique. D\'esignons
maintenant par $S$ le spectre de $W =W(k)$, et $E=\Spec k$ le point
ferm\'e de $S$. Soit $X$ un $S$-sch\'ema. Par analogie avec la
d\'efinition donn\'ee en $7.3$, on dit que $X$ a {\sl r\'eduction
\index{108}{RED}{R\'eduction semi-stable}%
semi-stable} si, localement pour la topologie \'etale (sur $X$ et sur
$S$), $X$ est lisse sur le sous-sch\'ema de $\bA^n_S=S[x_1\ld x_n]$
d'\'equation $x_1\cdots x_n=p$. Supposons que $X$ ait r\'eduction
semi-stable. Alors $X$ est un sch\'ema r\'egulier, sa fibre $X_K$ au
point g\'en\'erique $\Spec K$ de $S$ ($K={}$le corps des fractions de
$W$) est lisse, et sa fibre $D=E\times_S X$ au point ferm\'e est un
``diviseur \`a croisements normaux absolu'' dans $X$. Dans cette
situation, on d\'efinit un complexe $\omega^\bu_{X/S}$ analogue \`a
$(7.3.1)$, qui est l'unique prolongement, \`a composantes localement
libres de type fini, du complexe de De Rham de $U$ sur $S$, o\`u $U$
est l'ouvert de lissit\'e de $X$ sur $S$; si $X=S[x_1\ld x_n]/
(x_1\cdots x_n-p)$, le $\cO_X$-module $\omega^1_{X/S}$, consid\'er\'e
comme sous-faisceau de $\Omega^1_{X_K/K}$, s'identifie \`a
$(\bigoplus\cO_X dx_i/x_i)/\cO_X(\sum dx_i/x_i)$. Le
complexe $\omega^\bu_D$, d\'efini par la formule $(7.3.6)$, est \`a
composantes localement libres de type fini sur $D$, et co\"\i ncide
avec le complexe de De Rham $\Omega^\bu_{D/k}$ sur l'ouvert de lissit\'e
de $D$. On a $\omega^i_{X/S}=\Lambda^i\omega^1_{X/S}$ et
$\omega^i_D=\Lambda^i\omega^1_D$. D'apr\`es un r\'esultat de Hyodo [Hy]
(g\'en\'eralis\'e par Kato dans [Ka2]), le complexe $\omega_D^\bu$
donne lieu \`a un isomorphisme de Cartier $C^{-1}:\omega^i_{D'}\simeq
\cH^iF_*\omega_D^\bu$. Les complexes $\omega^\bu_{X/S}$ et
$\omega_D^\bu$ jouent un r\^ole important dans les d\'eveloppements
r\'ecents de la th\'eorie des p\'eriodes $p$-adiques (cf.\ [I4] pour un
aper\c{c}u).

\state Probl\`eme 7.14|{\rm Avec les notations de $7.13$, soit $X$
un $S$-sch\'ema semi-stable, de fibre $D$ au point ferm\'e de $S$. Est-ce
que $\tau_{<p}F_*\omega_D^\bu$ est d\'ecomposable (dans $D(D'))\,?$}
\endstate

Noter que la d\'ecomposabilit\'e de $\tau_{<p}F_*\omega_D^\bu$ \'equivaut
\`a celle de $\tau_{\le 1}F_*\omega_D^\bu$ (m\^eme argument que dans
l'\'etape C de la d\'emonstration de $5.1)$. La r\'eponse est oui d'apr\`es
$5.5$ si $X$ est {\sl lisse} sur $S$ (NB. ce qui \'etait appel\'e $X$
(resp.\ $S$) en $5.5$ est ici $D$ (resp.\ $E$)). La r\'eponse est encore oui
(pour des raisons de trivialit\'e de cohomologie (cf.\ $4.6$~(a))) si $X$
est affine, ou si $X$ est de dimension relative${}\le 1$. Mais le cas
g\'en\'eral est inconnu\bottomnote{22}{La r\'eponse \`a la question de 7.14
est non en g\'en\'eral, voir [Sh-Sh].}.
\medskip

\noindent
{\bf 7.15.} Enfin, en ce qui concerne les {\sl th\'eor\`emes d'annulation},
signalons qu'on ne sait pas prouver, par des m\'ethodes de
caract\'eristique $p>0$, les r\'esultats classiques de
Grauert-Riemenschneider ou Kawamata-Viehweg. On ne sait pas non plus
g\'en\'eraliser $5.9$~(5) en dimension${}>2$. Voir [E-V] pour une
discussion de ces questions.

\section \Smark8. Appendice: parall\'elisabilit\'e et ordinarit\'e|

Dans ce num\'ero, $k$ d\'esigne un corps parfait de caract\'eristique
$p>0$. On note $W_n=W_n(k)$ l'anneau des vecteurs de Witt de longueur
$n$ sur $k$. Nous commencerons par donner une d\'emonstration du
r\'esultat mentionn\'e en $7.11\,$:

\state Proposition 8.1|Soit $X$ un $k$-sch\'ema lisse. Supposons que $X$ se  
rel\`eve sur $W_2$ et que, pour tout $n\ge 1$, le morphisme produit
$(\Omega^1_{X/k})^{\otimes\,n}\lra\Omega^n_{X/k}$ admette une section.
Alors $X$ est DR-d\'ecomposable $(7.9)$.
\endstate

Nous utiliserons le lemme suivant:

\state Lemme 8.2|Soient $S$ et $T$ comme en $5.1$, $X$ un sch\'ema
lisse sur $S$, $Z'$ un rel\`evement (lisse) de $X'$ sur $T$. Notons
$$\varphi^1:\Omega^1_{X'/S}[-1]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
l'homomorphisme $\varphi^1_{Z'}$ de $D(X')$ d\'efini dans l'\'etape B de la
d\'emonstration de $5.1$, et, pour $n\ge1$,
$$\psi^n:(\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\,n}[-n]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
l'homomorphisme compos\'e $\pi\circ(\varphi^1)^{\otL\,n}$,
o\`u $\pi:(F_*\Omega^\bu_{X/S})^{\otL\,n}\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$
est l'homo\-mor\-phisme produit. Notons \'egalement
$\pi:(\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\,n}\lra\Omega^n_{X'/S}$
l'homo\-mor\-phisme produit. Alors, pour toute section locale
$\omega$ de $(\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\,n}$, on a
$$\cH^n\psi^n(\omega)=C^{-1}\circ\pi(\omega),$$
o\`u $C^{-1}:\Omega^n_{X'/S}\lra\cH^nF_*\Omega^\bu_{X/S}$ est
l'isomorphisme de Cartier.
\endstate

Il suffit de le v\'erifier pour $\omega$ de la forme
$\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n$, o\`u $\omega_i$ est une
section locale de $\Omega^1_{X'/S}$. Par fonctorialit\'e, en les
$E_i\in D(X')$, du produit 
$$\cH^1E_1\otimes\cdots\otimes\cH^1E_n\lra\cH^n(E_1\otL\cdots\otL E_n),
\qquad a_1\otimes\cdots\otimes a_n \lmapsto a_1\cdots a_n,$$
on a
$$\cH^n((\varphi^1)^{\otL\,n})(\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n)
=(\cH^1\varphi^1)(\omega_1)\cdots(\cH^1\varphi^1)(\omega_n)$$
dans $\cH^n((F_*\Omega^\bu_{X/S})^{\otL\,n})$. Comme
$\cH^1\varphi^1=C^{-1}$, il s'ensuit que
$$\cH^n\psi^n(\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n)=C^{-1}(\omega_1)
\wedge\cdots\wedge C^{-1}(\omega_n)$$
dans $\cH^nF_*\Omega^\bu_{X/S}$, et donc que
$$\cH^n\psi^n(\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n)
=C^{-1}(\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_n)
=C^{-1}\circ\pi(\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n)$$
par la propri\'et\'e multiplicative de l'isomorphisme de Cartier.

Prouvons maintenant $8.1$. Choisissons, pour chaque $n$, une
section $s$ du produit $\pi:(\Omega^1_{X/k})^{\otimes\,n}\lra\Omega^n_{X/k}$.
Notons encore $\pi$ et $s$ les morphismes relatifs \`a $X'$ qui s'en
d\'eduisent. Choisissons $(cf.\ 3.9)$ un rel\`evement $Z'$ de $X'$ sur $W_2$,
et d\'efinissons $\psi^n$ comme en $8.2$, avec $\varphi^1=\varphi^1_{Z'}$.
Notons
$$\varphi^n:\Omega^n_{X'/k}[-n]\lra F_*\Omega^\bu_{X/S}$$
le morphisme compos\'e $\psi^n\circ s$ (o\`u $s$ d\'esigne encore, par abus,
la section correspondante de $(\Omega^1_{X/k}[-1])^{\otimes\,n}\lra
\Omega^n_{X/k}[-n])$. Il s'agit de v\'erifier que $\cH^n\varphi^n=C^{-1}$.
Or, d'apr\`es $8.2$, si a est une section locale de $\Omega^n_{X'/k}$,
$$\cH^n\varphi^n(a)=(\cH^n\psi^n)(sa)=C^{-1}(\pi sa)=C^{-1}(a),$$
ce qui ach\`eve la d\'emonstration.

\state Corollaire 8.3|Soit $X$ un $k$-sch\'ema lisse parall\'elisable,
\index{109}{SCH}{Sch\'ema parall\'elisable}%
\index{110}{PAR}{Parall\'elisable, sch\'ema}%
i.e.\ tel que le $\cO_X$-module $\Omega^1_{X/k}$ soit libre (de
type fini). Alors, pour que $X$ soit DR-d\'ecomposable, il faut et il
suffit que $X$ se rel\`eve sur $W_2$.
\endstate

Il suffit de prouver la suffisance. On peut supposer $k$
alg\'ebriquement clos. Choisissons un point rationnel $x$ de $X$ sur
$k$ et un {\sl isomorphisme} $\alpha:\Omega^1_{X/k}\simeq f^*E$, o\`u 
$f:X\lra\Spec k$ est la projection et $E$ est le $k$-espace vectoriel
$x^*(\Omega^1_{X/k})$. Via $\alpha$, une section de l'homomorphisme
surjectif $E ^{\otimes\,n}\lra\Lambda^nE$ se prolonge en une section de
$(\Omega^1_{X/k})^{\otimes\,n}\lra\Omega^n_{X/k}$. On conclut gr\^ace
\`a $8.1$.

Rappelons $(5.5.1)$ la d\'efinition suivante:

\state D\'efinition 8.4|Soit $X$ un $k$-sch\'ema propre et lisse. On
dit que $X$ est ordinaire
\index{111}{SCH}{Sch\'ema ordinaire}%
\index{112}{ORD}{Ordinaire, sch\'ema}%
si, pour tout $(i,j)$, on a $H^j(X,B\Omega^i_{X/k})=0$, o\`u
$B\Omega^i_{X/k}=d\Omega^{i-1}_{X/k}$ est le faisceau des bords, en
degr\'e $i$, du complexe de De Rham.
\endstate

Cette condition \'equivaut \`a $H^j(X',F_*B\Omega^i_{X/k})=0$ pour tout
$(i,j)$. Rappelons $(3.6)$ que $F_*B\Omega^i_{X/k}=B^iF_*\Omega^\bu_{X/k}$ et
$F_*Z\Omega^i_{X/k}=Z^iF_*\Omega^\bu_{X/k}$ sont des $\cO_{X'}$-modules
localement libres de type fini.
\medskip

\noindent
{\bf 8.5.} Pour un $k$-sch\'ema propre et lisse $X$ donn\'e, il
existe un lien, mis en \'evidence par Mehta et Srinivas [Me-Sr], entre
les propri\'et\'es d'\^etre DR-d\'ecomposable, parall\'elisable, et
ordinaire. Ce lien s'exprime par le biais d'une notion voisine de celle
de DR-d\'ecomposabilit\'e, introduite ant\'erieurement par Mehta et
Ramanathan [Me-Ra], qui est la suivante. On dit qu'un $k$-sch\'ema
lisse $X$ est {\sl Frobenius-d\'ecompos\'e} (``Frobenius-split'') si
l'homomorphisme canonique $\cO_{X'}\lra F_*\cO_X$ admet une
r\'etraction, i.e.\ la suite exacte de $\cO_{X'}$-modules (cf.\ $3.5$)
$$0\lra\cO_{X'}\lra F_*\cO_X\build\lra|d||F_*B\Omega^1_{X/k}\lra 0
\leqno(8.5.1)$$
est scind\'ee. Observons d'abord que {\sl si $X$ est Frobenius-d\'ecompos\'e},
$X$ est relevable sur $W_2$ (ou, ce qui revient au m\^eme (5.9~(1)~(a)),
$\tau_{<p}F_*\Omega^\bu_{X/k}$ est d\'ecomposable): l'obstruction au
rel\`evement, qui est la classe de l'extension
$$0\lra\cO_{X'}\lra F_*\cO_X\build\lra|d||F_*Z\Omega^1_{X/k}
\build\lra|C||\Omega^1_{X'/k}\lra 0,$$
compos\'ee de $(8.5.1)$ et de l'extension
$$0\lra F_*B\Omega^1_{X/k}\lra F_*Z\Omega^1_{X/k}\build\lra|C||
\Omega^1_{X'/k}\lra 0,\leqno(8.5.2)$$
est nulle. On ignore en g\'en\'eral si ``Frobenius-d\'ecompos\'e''
entra\^\i ne ``DR-d\'ecom\-po\-sa\-ble''. C'est le cas, d'apr\`es $8.3$,
si $X$ est parall\'elisable. Mais la r\'eciproque est fausse. On a en effet
le r\'esultat suivant ([Me-Sr] $1.1$): si $X$ est un $k$-sch\'ema propre et
lisse, parall\'elisable, les conditions suivantes sont \'equivalentes:
\smallskip
\item{\rm(a)} $X$ est Frobenius d\'ecompos\'e;
\smallskip
\item{\rm(b)} l'extension $(8.5.2)$ est scind\'ee;
\smallskip
\item{\rm(c)} $X$ est ordinaire;
\smallskip
\item{\rm(d)} (pour $X$ purement de dimension $d)$ l'homomorphisme $F^*: 
H^d(X',\cO_{X'})\lra H^d(X,\cO_X)$ induit par Frobenius est un isomorphisme.
\smallskip
\noindent
En particulier, si $X$ est ordinaire et parall\'elisable, $X$ se
rel\`eve sur $W_2$ (Nori-Srinivas ([Me-Sr] Appendix) montrent en fait
que, pour $X$ projectif, $X$ se rel\`eve en un sch\'ema projectif lisse sur
$W$). En outre -- c'est le r\'esultat principal de [Me-Sr] -- si $k$ est
alg\'ebriquement clos et $X$ connexe, il existe un rev\^etement \'etale
galoisien $Y\lra X$ d'ordre une puissance de $p$ tel que $Y$ soit une
vari\'et\'e ab\'elienne.

Si $X$ est projectif et lisse sur $k$, ordinaire et parall\'elisable,
Nori-Srinivas (loc.\ cit.) montrent plus pr\'ecis\'ement
qu'il existe un unique couple $(Z,F_Z)$, o\`u $Z$ est un rel\`evement
(projectif et lisse) de $X$ sur $W_2$ (resp.\ $W_n$ ($n\ge2$ donn\'e), resp.\
$W$) et $F_Z:Z\lra Z'$ un rel\`evement de $F:X\lra X'$, o\`u $Z'$ est l'image
inverse de $Z$ par l'automorphisme de Frobenius de $W_2$ (resp.\ $W_n$, resp.\
$W$). L'existence et l'unicit\'e de ce rel\`evement, dit {\sl canonique},
avaient \'et\'e \'etablies pour la premi\`ere fois par Serre-Tate [Se-Ta]
dans le cas des vari\'et\'es ab\'eliennes. Comme on l'a signal\'e en $5.5.1$,
ce r\'esultat admet une r\'eciproque, sans hypoth\`ese de
parall\'elisabilit\'e:

\state Proposition 8.6|Soit $X$ un $k$-sch\'ema propre et lisse. On suppose
qu'il existe des sch\'emas $Z$ et $Z'$ relevant respectivement $X$ et $X'$
sur $W_2$ et un $W_2$-morphisme $G: Z\lra Z'$ relevant $F:X\lra X'$
\bottomnote{23}{On ne suppose pas que $Z'$ est l'image inverse de $Z$ par le
Frobenius de $W_2$.}.
Alors $X$ est ordinaire.
\endstate

Ce r\'esultat a \'et\'e obtenu ind\'ependamment par Nakkajima [Na].
\medskip

\noindent
{\bf 8.7.} Prouvons $8.6$. Soient $G: Z\lra$ Z' un rel\`evement de
$F$ et $\varphi= \varphi_G:\bigoplus\Omega^i_{X'}[-i]\lra
F_*\Omega^\bu_X$ l'homomorphisme de complexes associ\'e,   d\'efini en
$(5.3.1)$ (on omet $/k$ de la notation des diff\'erentielles). Cet
homomorphisme envoie $\Omega^i_{X'}$ dans $F_*Z\Omega^i_X$ (notations de
$8.4)$ et scinde la suite exacte (cf.\ 3.5)
$$0\lra F_*B\Omega^i_X\lra F_*Z\Omega^i_X\build\lra|C||\Omega^i_{X'}\lra 0.
\leqno(8.7.1)$$
Prouvons, par r\'ecurrence descendante sur $i$, que $H^*(X,B\Omega^i_X)=0$
(i.e.\ que\break $H^n(X,B\Omega^i_X)=0$ pour tout $n$). Pour $i>\dim X$,
$B\Omega^i_X=0$. Fixons $i$, supposons prouv\'e $H^*(X,B\Omega^j_X)=0$ pour
$j\ge i$, et prouvons que $H^*(X,B\Omega^{i-1}_X)=0$. Par la suite exacte
de cohomologie de la suite exacte
$$0\lra F_*Z\Omega^{i-1}_X\lra F_*\Omega^{i-1}_X\build\lra|d||
F_*B\Omega^i_X\lra 0,\leqno(8.7.2)$$
l'hypoth\`ese de r\'ecurrence entra\^\i ne que, pour tout $n$, on a
$$H^n(X',F_*Z\Omega^{i-1}_X)\build\lra|\sim||H^n(X,\Omega^{i-1}_X),$$
et donc
$$\dim H^n(X',F_*Z\Omega^{i-1}_X)=\dim H^n(X,\Omega^{i-1}_X)
=\dim H^n(X',\Omega^{i-1}_{X'}).\leqno(8.7.3)$$
La suite $(8.7.1)$ (relative \`a $i-1)$ \'etant scind\'ee, la suite exacte de
cohomologie donne des suites exactes courtes
$$0\lra H^n(X',F_*B\Omega^{i-1}_X)\lra H^n(X',F_*Z\Omega^{i-1}_X)
\build\lra|C||H^n(X',\Omega^{i-1}_{X'})\lra 0.$$
L'\'egalit\'e $(8.7.3)$ entra\^\i ne que, dans celles-ci, $C$ est un
isomorphisme, et donc que $H^n(X',F_*B\Omega^{i-1}_X)=0$, ce qui
ach\`eve la d\'emonstration.

\state Remarque 8.8|{\rm Le lecteur familier avec les structures
logarithmiques aura not\'e que $8.6$ et sa d\'emonstration s'\'etendent au
cas o\`u $k$ est remplac\'e par un point logarithmique $\ul k=(k,M)$ de point
sous-jacent $k$ et $X$ par un $\log$ sch\'ema $\ul X=(X,L)$ $\log$ lisse et
de type de Cartier sur $\ul k$ ([Ka2]), propre sur $k\,$; si l'on suppose que
$(\ul X,\ul F)$ se rel\`eve sur $W_2(\ul k)$ (cf.\ [Hy-Ka] 3.1), alors $\ul X$
est ordinaire, i.e.\ $H^j(X,B\omega^i_{\ul X})=0$ pour tout $i$ et tout $j$.}
\endstate

\section Bibliographie|

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