Théorie de Hodge L^{2} et Théorèmes d’annulation

Jean-Pierre Demailly Université de Grenoble I Institut Fourier, BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France

Sommaire

§0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

Partie I : Théorie de Hodge L^{2}

§1. Fibrés vectoriels, connexions et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §2. Opérateurs différentiels sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 §3. Résultats fondamentaux sur les opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 §4. Théorie de Hodge des variétés riemanniennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 §5. Variétés hermitiennes et kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §6. Identités de la géométrie kählérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 §7. Groupes ℋ^{p,q}(X, E) et dualité de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 §8. Cohomologie des variétés kählériennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 §9. Suite spectrale de Hodge-Frölicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §10. Déformations et théorèmes de semi-continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Partie II : Estimations L^{2} et théorèmes d’annulation

§11. Concepts de pseudoconvexité et de positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 §12. Théorie de Hodge des variétés kählériennes complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §13. Méthode de Bochner et théorèmes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 §14. Estimations L^{2} et théorèmes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 §15. Théorèmes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg . . . . . . . . . . . . . . . . 84 §16. Sur la conjecture de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 §17. Une version effective du grand théorème de Matsusaka . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2 J.-P. Demailly, Théorie de Hodge L^{2} et théorèmes d’annulation

§0. Introduction

L’objet de ces notes est de décrire deux applications fondamentales des techniques hilbertiennes L^{2} à la géométrie analytique ou algébrique : la théorie de Hodge d’une part, la théorie des estimations L^{2} pour l’opérateur \overline{∂} d’autre part. Le point de vue adopté ici sera essentiellement analytique.

La première partie est consacrée à la théorie de Hodge et se veut avant tout introductive. Le lecteur ne trouvera donc ici que les aspects les plus élémentaires, dus pour la plupart à W.V.D. Hodge lui-même [Hod41] ou à A. Weil [Wei57]. La théorie de Hodge, dans le sens premier conçu par son créateur, consiste en l’étude de la cohomologie des variétés riemanniennes ou kählériennes, à partir d’une description des formes harmoniques et de leurs propriétés. Nous renvoyons aux textes de J. Bertin-Ch. Peters [BePe95] et L. Illusie [Ill95] pour une présentation d’aspects et d’applications plus avancés (variations de structures de Hodge, application des périodes, théorie de Hodge en caractéristique > 0 …). Considérons une variété riemannienne X et un fibré euclidien ou hermitien E sur X. On suppose que E est muni d’une connexion D compatible avec la métrique : une connexion est par définition un opérateur de dérivation analogue à la différentiation extérieure, agissant sur les formes de degré quelconque à valeurs dans E, et satisfaisant la règle de Leibniz pour le produit extérieur. L’opérateur de Laplace-Beltrami associé est l’opérateur différentiel autoadjoint du second ordre Δ_{E} = D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E}, où D_{E}^{⋆} est l’adjoint hilbertien de D_{E}. On vérifie aisément que Δ_{E} est un opérateur elliptique. Le théorème de finitude pour les opérateurs elliptiques montre alors que l’espace ℋ^{q}(X, E) des q-formes harmoniques à valeurs dans E est de dimension finie si X est compacte (on dit qu’une forme u est harmonique si Δ_{E}u = 0). Si on suppose de plus que la connexion est telle que D_{E}^{2} = 0, l’opérateur D_{E} agissant sur les formes de tous degrés définit un complexe appelé complexe de De Rham à valeurs dans le système local de coefficients défini par E. Les groupes de cohomologie correspondants seront notés H_{DR}^{q}(X, E). L’observation fondamentale de la théorie de Hodge est que toute classe de cohomologie contient un unique représentant harmonique dès lors que X est compacte. Il en résulte alors un isomorphisme, dit isomorphisme de Hodge

(0.1)  H_{DR}^{q}(X, E) ≃ ℋ_{DR}^{q}(X, E).

Lorsque la variété X et le fibré E sont holomorphes, il existe une connexion unique D_{E} appelée connexion de Chern, compatible avec la métrique hermitienne de E et ayant les propriétés suivantes : D_{E} se scinde en la somme D_{E} = D′_{E} + D′′_{E} d’une connexion D′_{E} de type (1, 0) et d’une connexion D′′_{E} de type (0, 1), telles que D_{E}^{′2} = D_{E}^{′′2} = 0 et D′_{E}D′′_{E} + D′′_{E}D′_{E} = Θ(E) (tenseur de courbure de Chern du fibré). L’opérateur D′′_{E} agissant sur les formes de bidegré (p, q) définit alors pour p fixé un complexe appelé complexe de Dolbeault. Lorsque X est compacte, les groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, E) satisfont un isomorphisme de Hodge analogue à (0.1), à savoir

(0.2)  H^{p,q}(X, E) ≃ ℋ^{p,q}(X, E),

§0. Introduction 3

où ℋ^{p,q}(X, E) désigne l’espace des (p, q)-formes harmoniques à valeurs dans E, relativement au Laplacien anti-holomorphe Δ′′_{E} = D′′_{E}D_{E}^{′′⋆} + D_{E}^{′′⋆}D′′_{E}. En utilisant ce dernier résultat, on démontre facilement le théorème de dualité de Serre

(0.3)  H^{p,q}(X, E)^{⋆} ≃ H^{n−p,n−q}(X, E^{⋆}),  n = dim_{ℂ} X,

qui est le pendant complexe du théorème de dualité de Poincaré. Le théorème central de la théorie de Hodge concerne les variétés kählériennes compactes : une variété hermitienne (X, ω) est dite kählérienne si la (1, 1)-forme hermitienne ω = i ∑_{j,k} ω_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} est telle que dω = 0. Un exemple fondamental de variété kählérienne compacte est donné par les variétés algébriques projectives. Si X est kählérienne compacte et si E est un système local de coefficients sur X, le théorème de décomposition de Hodge affirme que

(0.4) H_{DR}^{k}(X, E) = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, E)  (décomposition de Hodge)
(0.5) \overline{H^{p,q}(X, E)} ≃ H^{q,p}(X, E^{⋆}),  (symétrie de Hodge).

Le caractère intrinsèque de la décomposition sera démontré ici de manière quelque peu originale, via l’utilisation des groupes de cohomologie de Bott-Chern (groupes de ∂\overline{∂}-cohomologie). Il découle de ces résultats que les nombres de Hodge h^{p,q} = dim_{ℂ} H^{p,q}(X, ℂ) vérifient la propriété de symétrie h^{p,q} = h^{q,p} = h^{n−p,n−q} = h^{n−q,n−p}, et qu’ils sont liés aux nombres de Betti b_{k} = dim_{ℂ} H_{DR}^{k}(X, ℂ) par la relation b_{k} = ∑_{p+q=k} h^{p,q}. Un certain nombre d’autres propriétés cohomologiques remarquables des variétés kählériennes compactes s’obtient au moyen de la décomposition primitive et du théorème de Lefschetz difficile (lequel résulte à son tour de l’existence d’une action de 𝔰𝔩(2, ℂ) sur les formes harmoniques). Ces résultats permettent de décrire de façon précise la structure du groupe de Picard Pic(X) = H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) dans le cas kählérien. Dans un contexte plus général, nous explicitons la suite spectrale de Hodge-Frölicher (suite spectrale reliant la cohomologie de Dolbeault à la cohomologie de De Rham), et nous montrons comment on peut utiliser cette suite spectrale pour obtenir quelques résultats généraux sur les nombres de Hodge h^{p,q} des variétés complexes compactes. Finalement, nous établissons la semi-continuité des dimensions des groupes de cohomologie H^{q}(X_{t}, E_{t}) sur les fibres d’une fibration holomorphe propre et lisse 𝒳 → S (résultat dû à Kodaira-Spencer), et nous en déduisons que les nombres de Hodge h^{p,q}(X_{t}) sont constants si les fibres X_{t} sont kählériennes (invariance des h^{p,q} par déformations) ; le caractère holomorphe de la filtration de Hodge F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) = ⨁_{r⩾p} H^{r,k−r}(X_{t}, ℂ) relativement à la connexion de Gauss-Manin est démontré au moyen du théorème de cohérence des images directes, appliqué au complexe de De Rham relatif Ω_{𝒳/S}^{•} de 𝒳 → S.

Dans la seconde partie, après quelques rappels sur les notions de positivité et pseudoconvexité mises en jeu, nous établissons l’identité de Bochner-Kodaira-Nakano reliant les Laplaciens Δ′_{E} et Δ′′_{E}. L’identité en question fournit une expression explicite de la différence Δ′′_{E} − Δ′_{E} en termes de la courbure Θ(E) du fibré. Sous des hypothèses adéquates (faible pseudoconvexité de X, positivité de la courbure de E), on aboutit à une estimation a priori

∥D′′_{E}u∥^{2} + ∥D_{E}^{′′⋆}u∥^{2} ⩾ ∫_{X} λ(z)|u|^{2}dV (z)

où λ est une fonction positive dépendant des valeurs propres de courbure. L’inégalité est ici valide pour toute forme u de bidegré (n, q), n = dim X, q ⩾ 1, à valeurs dans E, appartenant aux domaines hilbertiens u de D′′_{E} et D_{E}^{′′⋆}. Par un argument de dualité hilbertien, on déduit de là le théorème fondamental suivant, dû essentiellement à Hörmander [Hör65] et Andreotti-Vesentini [AV65].

0.6. Théorème. Soit (X, ω) une variété kählérienne, dim X = n. Supposons que X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibré en droites hermitien et soient

γ_{1}(x) ⩽ ⋯ ⩽ γ_{n}(x)

les valeurs propres de la forme de courbure i Θ(E) par rapport à la métrique ω en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e. γ_{1} ⩾ 0 partout. Alors pour toute forme g ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′_{E}g = 0 et ∫_{X}(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω} < +∞,

il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′_{E}f = g et ∫_{X} |f|^{2} dV_{ω} ⩽ ∫_{X}(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω}.

Une observation importante est que le théorème ci-dessus reste encore valable lorsque la métrique h de E présente des singularités. La métrique h est alors donnée dans chaque carte par un poids e^{−2φ} associé à une fonction φ plurisousharmonique (par définition φ est psh si la matrice des dérivées secondes (∂^{2}φ/∂z_{j}∂\overline{z}_{k}), calculée au sens des distributions, est semi-positive en tout point). Compte tenu du Théorème (0.6), il est naturel d’introduire le faisceau d’idéaux multiplicateur ℐ(h) = ℐ(φ), constitué des germes de fonctions holomorphes f ∈ 𝒪_{X,x} telles que ∫_{V} |f|^{2}e^{−2φ} converge dans un voisinage V de x assez petit. Un résultat récent de A. Nadel [Nad89] garantit que ℐ(φ) est toujours un faisceau analytique cohérent, quelles que soient les singularités de φ. Dans ce contexte, on déduit de (0.6) la version qualitative suivante, concernant la cohomologie à valeurs dans le faisceau cohérent 𝒪(K_{X} ⊗ E) ⊗ ℐ(h) (K_{X} = Λ^{n}T_{X}^{⋆} étant le fibré canonique de X).

0.7. Théorème d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω) une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibré en droites holomorphe sur X muni d’une métrique hermitienne h singulière de poids φ.

Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que la courbure satisfasse l’inégalité i Θ_{h}(E) ⩾ εω au sens des courants. Alors

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} ⊗ E) ⊗ ℐ(h)) = 0 pour tout q ⩾ 1.

En dépit de la relative simplicité des techniques mises en jeu, il s’agit là d’un théorème extrêmement puissant, qui contient à lui seul une bonne partie des résultats les plus fondamentaux de la géométrie analytique ou algébrique. Le théorème (0.7) contient ainsi la solution du problème de Levi (équivalence de la convexité holomorphe et de la pseudoconvexité), les théorèmes d’annulation de Kodaira-Serre, Kodaira-Akizuki-Nakano et de Kawamata-Viehweg pour les variétés algébriques projectives, de même que le théorème de plongement de Kodaira caractérisant ces variétés parmi les variétés complexes compactes. Par son caractère intrinsèque, l’énoncé “analytique” du théorème de Nadel se révèle utile même pour des applications purement algébriques (la version algébrique du théorème, connue sous le nom de théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg, utilise la résolution des singularités et ne donne pas une description aussi nette du faisceau multiplicateur ℐ(h)). Dans un travail récent [Siu96], Y.T. Siu a montré le résultat remarquable suivant, en utilisant seulement la formule de Riemann-Roch et un argument de récurrence Noethérienne pour les faisceaux multiplicateurs. La technique est décrite au § 16 (avec quelques améliorations mises au point dans [Dem96]).

0.8. Théorème ([Siu96], [Dem96]). Soit X une variété projective et L un fibré en droites ample (i.e. à courbure positive) sur X. Alors le fibré K_{X}^{⊗2} ⊗ L^{⊗m} est très ample pour m ⩾ m_{0}(n) = 2 + \binom{3n+1}{n}, où n = dim X.

L’importance d’avoir une borne effective pour l’entier m_{0}(n) est qu’on peut ainsi obtenir des plongements de la variété X dans l’espace projectif, avec un contrôle précis du degré du plongement. Il résulte de là une démonstration assez simple d’un théorème de finitude important, à savoir le “grand théorème de Matsusaka” (cf. [Mat72], [KoM83], [Siu93], [Dem96]) :

0.9. Grand théorème de Matsusaka. Soit X une variété projective et L un fibré en droites ample sur X. Il existe une borne m_{1} = m_{1}(n, L^{n}, K_{X} · L^{n−1}) explicite ne dépendant que de la dimension n = dim X et des deux premiers coefficients du polynôme de Hilbert de L, telle que mL soit très ample pour m ⩾ m_{1}.

De ce théorème, on déduit facilement de nombreux résultats de finitude, en particulier le fait qu’il existe seulement un nombre fini de familles de déformations de variétés projectives polarisées (X, L), lorsque L est un fibré ample dont les nombres d’intersection L^{n} et K_{X} · L^{n−1} sont donnés.

6 J.-P. Demailly, Partie I : Théorie de Hodge L^{2}

Partie I : Théorie de Hodge L^{2}

§1. Fibrés vectoriels, connexions et courbure

Le but de cette section est de rappeler quelques définitions de base de géométrie différentielle hermitienne liées aux concepts de connexion, courbure et première classe de Chern d’un fibré en droites.

§1.A. Cohomologie de Dolbeault et cohomologie des faisceaux

Soit X une variété ℂ-analytique de dimension n. Nous désignons par Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} le fibré des formes différentielles de bidegré (p, q) sur X, i.e., les formes différentielles qui peuvent s’écrire

u = ∑_{|I|=p, |J|=q} u_{I,J}dz_{I} ∧d\overline{z}_{J}, dz_{I} := dz_{i_{1}} ∧⋯∧dz_{i_{p}}, d\overline{z}_{J} := d\overline{z}_{j_{1}} ∧⋯∧d\overline{z}_{j_{q}},

où (z_{1}, …, z_{n}) désignent des coordonnées locales holomorphes, et où I = (i_{1}, …, i_{p}) et J = (j_{1}, …, j_{q}) sont des multi-indices (suites croissantes d’entiers de l’intervalle [1, …, n], de longueurs |I| = p, |J| = q). Soit 𝒜^{p,q} le faisceau des germes de formes différentielles de bidegré (p, q) à valeurs complexes et à coefficients C^{∞}. Rappelons que la différentielle extérieure d se décompose en d = d′ +d′′ où

\begin{aligned}d′u & = ∑_{|I|=p, |J|=q,1⩽k⩽n} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} dz_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}, \\ d′′u & = ∑_{|I|=p, |J|=q,1⩽k⩽n} \frac{∂u_{I,J}}{∂\overline{z}_{k}} d\overline{z}_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} \end{aligned}

sont de type (p+1, q), (p, q+1) respectivement. Le lemme bien-connu de Dolbeault-Grothendieck affirme que toute forme d′′-fermée de type (p, q) avec q > 0 est localement d′′-exacte (c’est l’analogue pour d′′ du lemme usuel de Poincaré pour d, voir par exemple [Hör66]). En d’autres termes, le complexe de faisceaux (𝒜^{p,•}, d′′) est exact en degré q > 0 ; en degré q = 0, Ker d′′ est le faisceau Ω_{X}^{p} des germes de formes holomorphes de degré p sur X.

Plus généralement, si E est un fibré vectoriel holomorphe de rang r sur X, il existe un opérateur d′′ naturel agissant sur l’espace C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) des (p, q)-formes C^{∞} à valeurs dans E. En effet, si s = ∑_{1⩽λ⩽r} s_{λ}e_{λ} est une (p, q)- forme exprimée en termes d’un repère holomorphe local de E, on peut définir d′′s := ∑ d′′s_{λ} ⊗ e_{λ}, en observant que les matrices de transition mises en jeu dans des changements de repères holomorphes sont holomorphes, ce qui n’affecte pas le calcul de d′′. Il est alors clair que le lemme de Dolbeault-Grothendieck est encore valable pour des formes à valeurs dans E. Pour tout entier p = 0, 1, …, n, les groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, E) sont définis comme étant les groupes de cohomologie du complexe des formes globales de type (p, q) (gradué par q) :

(1.1)  H^{p,q}(X, E) = H^{q}(C^{∞}(X, Λ^{p,•}T_{X}^{⋆} ⊗ E)).

§1. Fibrés vectoriels, connexions et courbure 7

Maintenant, rappelons le résultat fondamental suivant de théorie des faisceaux (théorème d’isomorphisme de De Rham-Weil) : soit (ℒ^{•}, d) une résolution d’un faisceau ℱ par des faisceaux acycliques, i.e. un complexe de faisceaux (ℒ^{•}, δ) donnant une suite exacte de faisceaux

0 ⟶ ℱ ⟶^{j} ℒ^{0} ⟶^{δ^{0}} ℒ^{1} ⟶ ⋯ ⟶ ℒ^{q} ⟶^{δ^{q}} ℒ^{q+1} ⟶ ⋯,

avec H^{s}(X, ℒ^{q}) = 0 pour tout q ⩾ 0 et s ⩾ 1 (pour avoir cette dernière condition d’acyclicité, il suffit par exemple que les ℒ^{q} soient flasques ou mous, par exemple des faisceaux de modules sur le faisceau d’anneau 𝒞^{∞}). Alors il y a un isomorphisme fonctoriel

(1.2)  H^{q}(Γ(X, ℒ^{•})) ⟶ H^{q}(X, ℱ).

Nous appliquons ceci dans la situation suivante : soit 𝒜^{p,q}(E) le faisceau de germes de sections C^{∞} de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E. Alors (𝒜^{p,•}(E), d′′) est une résolution du 𝒪_{X}- module localement libre Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(E) (lemme de Dolbeault-Grothendieck), et les faisceaux 𝒜^{p,q}(E) sont acycliques comme 𝒞^{∞}-modules. Grâce à (1.2) nous obtenons

1.3. Théorème d’isomorphisme de Dolbeault (1953). Pour tout fibré vectoriel holomorphe E sur X, il existe un isomorphisme canonique

H^{p,q}(X, E) ≃ H^{q}(X, Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(E)).

Si X est algébrique projective et si E est un fibré vectoriel algébrique, le théorème GAGA de Serre [Ser56] montre que les groupes de cohomologie algébrique H^{q}(X, Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(E)) calculés avec les sections algébriques des faisceaux concernés sur des ouverts de Zariski sont isomorphes aux groupes de cohomologie analytiques correspondants. Comme nous utiliserons ici un point de vue exclusivement analytique, nous n’aurons en fait pas besoin de ce théorème de comparaison.

§1.B. Connexions sur les variétés différentiables

Soit E un fibré vectoriel réel ou complexe de rang r sur une variété différentiable M de classe C^{∞}. Une connexion D sur E est un opérateur différentiel linéaire d’ordre 1

D : C^{∞}(M, Λ^{q}T_{M}^{⋆} ⊗ E) → C^{∞}(M, Λ^{q+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)

tel que D satisfasse la règle de Leibnitz

(1.4)  D(f ∧ u) = df ∧ u + (−1)^{deg f}f ∧ Du

pour toutes formes f ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆}), u ∈ C^{∞}(X, Λ^{q}T_{M}^{⋆} ⊗ E). Sur un ouvert Ω ⊂ M où E admet une trivialisation τ : E_{|Ω} ⟶^{≃} Ω × ℂ^{r}, une connexion D peut s’écrire

Du ≃_{τ} du + Γ ∧ u

où Γ ∈ C^{∞}(Ω, Λ^{1}T_{M}^{⋆} ⊗ Hom(ℂ^{r}, ℂ^{r})) est une matrice arbitraire de 1-formes et où d agit composantes par composantes sur u ≃_{τ} (u_{λ})_{1⩽λ⩽r}. Il est alors facile de vérifier que

D^{2}u ≃_{τ} (dΓ + Γ ∧ Γ) ∧ u sur Ω.

Puisque D^{2} est un opérateur globalement défini, il existe une 2-forme globale

(1.5)  Θ(D) ∈ C^{∞}(M, Λ^{2}T_{M}^{⋆} ⊗ Hom(E, E))

telle que D^{2}u = Θ(D)∧u pour toute forme u à valeurs dans E. Cette 2-forme Θ(D) à valeurs dans Hom(E, E) est appelée tenseur de courbure de la connexion D.

Supposons maintenant que E soit muni d’une métrique euclidienne (resp. hermitienne) de classe C^{∞} et que l’isomorphisme E_{|Ω} ≃ Ω × ℂ^{r} soit donné par un repère (e_{λ}) de classe C^{∞}. Nous avons alors un accouplement bilinéaire (resp. sesquilinéaire) canonique

(1.6) C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) × C^{∞}(M, Λ^{q}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ C^{∞}(M, Λ^{p+q}T_{M}^{⋆} ⊗ ℂ)
(u, v) ⟼ {u, v}

donné par

\{u, v\} = ∑_{λ,μ} u_{λ} ∧ \overline{v}_{μ} ⟨e_{λ}, e_{μ}⟩, u = ∑ u_{λ} ⊗ e_{λ}, v = ∑ v_{μ} ⊗ e_{μ}.

La connexion D est dite hermitienne si elle satisfait la propriété supplémentaire

d{u, v} = {Du, v} + (−1)^{deg u}{u, Dv}.

En supposant que (e_{λ}) est orthonormé, on vérifie aisément que D est hermitienne si et seulement si Γ^{⋆} = −Γ. Dans ce cas Θ(D)^{⋆} = −Θ(D), donc

i Θ(D) ∈ C^{∞}(M, Λ^{2}T_{M}^{⋆} ⊗ Herm(E, E)).

1.7. Cas particulier. Pour un fibré en droites complexe L (fibré vectoriel complexe de rang 1), la forme de connexion Γ d’une connexion hermitienne D peut être vue comme une 1-forme à coefficients purement imaginaires Γ = iA (A réelle). Nous avons alors Θ(D) = dΓ = i dA. En particulier i Θ(L) est une 2-forme fermée. La première classe de Chern de L est définie comme étant la classe de cohomologie

c_{1}(L)_{ℝ} = \{\frac{i}{2π} Θ(D)\} ∈ H_{DR}^{2}(M, ℝ).

Cette classe de cohomologie est bien indépendante de la connexion, puisque toute autre connexion D_{1} diffère par une 1-forme globale, D_{1}u = Du+B∧u, de sorte que Θ(D_{1}) = Θ(D)+dB. Il est bien-connu que c_{1}(L)_{ℝ} est l’image dans H^{2}(M, ℝ) d’une classe entière c_{1}(L) ∈ H^{2}(M, ℤ). Soit en effet 𝒜 = 𝒞^{∞} le faisceau des fonctions C^{∞} sur M ; grâce à la suite exacte exponentielle

0 ⟶ ℤ ⟶ 𝒜 ⟶^{e^{2πi •}} 𝒜^{⋆} ⟶ 0,

c_{1}(L) peut être définie en cohomologie de Čech comme l’image du cocycle {g_{jk}} ∈ H^{1}(M, 𝒜^{⋆}) définissant L par l’application cobord H^{1}(M, 𝒜^{⋆}) → H^{2}(M, ℤ) ; voir par exemple [GH78] pour plus de détails.

§1.C. Connexions sur les variétés complexes

Nous étudions maintenant les propriétés spécifiques des connexions liées à l’existence d’une structure complexe sur la variété de base. Si M = X est une variété complexe, toute connexion D sur un fibré vectoriel complexe E de classe C^{∞} peut être scindée de manière unique comme somme d’une (1, 0)-connexion et d’une (0, 1)-connexion, D = D′ + D′′. Dans une trivialisation locale τ donnée par un repère C^{∞}, on peut écrire

(1.8′)  D′u ≃_{τ} d′u + Γ′ ∧ u,
(1.8′′)  D′′u ≃_{τ} d′′u + Γ′′ ∧ u,

avec Γ = Γ′ + Γ′′. La connexion est hermitienne si et seulement si Γ′ = −(Γ′′)^{⋆} relativement à tout repère orthonormé. Par conséquent, il existe une unique connexion hermitienne D associée à une (0, 1)-connexion prescrite D′′.

Supposons maintenant que le fibré E lui-même possède une structure holomorphe. L’unique connexion hermitienne dont la composante D′′ est l’opérateur d′′ défini au §1.A est appelée la connexion de Chern de E. Dans un repère holomorphe local (e_{λ}) de E_{|Ω}, la métrique est donnée par la matrice hermitienne H = (h_{λμ}) où h_{λμ} = ⟨e_{λ}, e_{μ}⟩. Nous avons

\{u, v\} = ∑_{λ,μ} h_{λμ}u_{λ} ∧ \overline{v}_{μ} = u^{†} ∧ H\overline{v},

où u^{†} est la matrice transposée de u, et un calcul facile donne

\begin{aligned}d\{u, v\} & = (du)^{†} ∧ H\overline{v} + (−1)^{deg u}u^{†} ∧ (dH ∧ \overline{v} + H\overline{dv}) \\ & = (du + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ u)^{†} ∧ H\overline{v} + (−1)^{deg u}u^{†} ∧ (\overline{dv + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ v),} \end{aligned}

en utilisant le fait que dH = d′H + \overline{d′\overline{H}} et \overline{H}^{†} = H. Par conséquent la connexion de Chern D coïncide avec la connexion hermitienne définie par

(1.9)  \{ \begin{matrix}Du & ≃_{τ} du + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ u, \\ D′ & ≃_{τ} d′ + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ • = \overline{H}^{−1}d′(\overline{H}•), D′′ = d′′. \end{matrix}

Ces relations montrent que D^{′2} = D^{′′2} = 0. Par conséquent D^{2} = D′D′′ + D′′D′, et le tenseur de courbure Θ(D) est de type (1, 1). Puisque d′d′′ + d′′d′ = 0, nous obtenons

(D′D′′ + D′′D′)u ≃_{τ} \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ d′′u + d′′(\overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ u) = d′′(\overline{H}^{−1}d′\overline{H}) ∧ u.

1.10. Proposition. Le tenseur de courbure de Chern Θ(E) := Θ(D) est tel que

i Θ(E) ∈ C^{∞}(X, Λ^{1,1}T_{X}^{⋆} ⊗ Herm(E, E)).

Si τ : E_{↾Ω} → Ω × ℂ^{r} est une trivialisation holomorphe et si H est la matrice hermitienne représentant la métrique le long des fibres de E_{↾Ω}, alors

i Θ(E) ≃_{τ} i d′′(\overline{H}^{−1}d′\overline{H}) sur Ω.

Si (z_{1}, …, z_{n}) sont des coordonnées holomorphes sur X et si (e_{λ})_{1⩽λ⩽r} est un repère orthonormé de E, on peut écrire

(1.11)  i Θ(E) = ∑_{1⩽j,k⩽n, 1⩽λ,μ⩽r} c_{jkλμ}dz_{j} ∧ dz_{k} ⊗ e_{λ}^{⋆} ⊗ e_{μ},

où (c_{jkλμ}(x)) sont les coefficients du tenseur de courbure de E en tout point x ∈ X.

§2. Opérateurs différentiels sur les fibrés vectoriels

Nous décrivons d’abord quelques concepts de base concernant les opérateurs différentiels (symbole, composition, ellipticité, adjonction), dans le contexte général des fibrés vectoriels. Soit M une variété différentiable de classe C^{∞}, dim_{ℝ} M = m, et soient E, F des 𝕂-fibrés vectoriels sur M, sur le corps 𝕂 = ℝ ou 𝕂 = ℂ, tels que rang E = r, rang F = r′.

2.1. Définition. Un opérateur différentiel (linéaire) de degré δ de E vers F est un opérateur 𝕂-linéaire P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F), u ↦ P u de la forme

P u(x) = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)D^{α}u(x),

E_{↾Ω} ≃ Ω × 𝕂^{r}, F_{↾Ω} ≃ Ω × 𝕂^{r′} étant trivialisés localement sur un ouvert de carte Ω ⊂ M muni de coordonnées locales (x_{1}, …, x_{m}), et les coefficients a_{α}(x) étant des matrices (a_{αλμ}(x))_{1⩽λ⩽r′, 1⩽μ⩽r} de format r′ × r à coefficients C^{∞} sur Ω. On écrit ici D^{α} = (∂/∂x_{1})^{α_{1}} ⋯ (∂/∂x_{m})^{α_{m}} comme d’habitude, et les matrices u = (u_{μ})_{1⩽μ⩽r}, D^{α}u = (D^{α}u_{μ})_{1⩽μ⩽r} sont vues comme des vecteurs colonnes.

Si t ∈ 𝕂 est un paramètre et f ∈ C^{∞}(M, 𝕂), u ∈ C^{∞}(M, E), un calcul simple montre que e^{−tf(x)}P (e^{tf(x)}u(x)) est un polynôme de degré δ en t, de la forme

e^{−tf(x)}P (e^{tf(x)}u(x)) = t^{δ}σ_{P} (x, df(x)) · u(x) + termes c_{j}(x)t^{j} de degré j < δ,

§2. Opérateurs différentiels sur les fibrés vectoriels 11

où σ_{P} est une application homogène polynômiale T_{M}^{⋆} → Hom(E, F) définie par

(2.2)  T_{M,x}^{⋆} ∋ ξ ↦ σ_{P} (x, ξ) ∈ Hom(E_{x}, F_{x}),  σ_{P} (x, ξ) = ∑_{|α|=δ} a_{α}(x)ξ^{α}.

Alors σ_{P} (x, ξ) est une fonction C^{∞} des variables (x, ξ) ∈ T_{M}^{⋆}, et cette fonction est indépendante du choix des coordonnées ou des trivialisations utilisées pour E, F. On dit que σ_{P} est le symbole principal de P. Le symbole principal d’une composition Q ∘ P d’opérateurs différentiels est simplement le produit

(2.3)  σ_{Q∘P} (x, ξ) = σ_{Q}(x, ξ)σ_{P} (x, ξ),

calculé comme un produit de matrices. Les opérateurs différentiels dont le symbole est injectif jouent un rôle très important :

2.4. Définition. Un opérateur différentiel P est dit elliptique si σ_{P} (x, ξ) ∈ Hom(E_{x}, F_{x}) est injectif pour tout x ∈ M et ξ ∈ T_{M,x}^{⋆} ∖ {0}.

Supposons maintenant que M soit orientée et munie d’une forme volume dV (x) = γ(x) dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{m} de classe C^{∞}, où γ(x) > 0 est une densité C^{∞}. Si E est un fibré vectoriel euclidien ou hermitien, nous pouvons définir un espace de Hilbert L^{2}(M, E) de sections globales à valeurs dans E, à savoir l’espace des formes u à coefficients mesurables qui sont de carré sommable pour le produit scalaire

(2.5)  ∥u∥^{2} = ∫_{M} |u(x)|^{2} dV (x),
(2.5′)  ⟨⟨u, v⟩⟩ = ∫_{M}⟨u(x), v(x)⟩ dV (x),  u, v ∈ L^{2}(M, E).

2.6. Définition. Si P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F) est un opérateur différentiel et si les fibrés E, F sont euclidiens ou hermitiens, il existe un unique opérateur différentiel

P^{⋆} : C^{∞}(M, F) → C^{∞}(M, E),

appelé adjoint formel de P, tel que pour toutes sections u ∈ C^{∞}(M, E) et v ∈ C^{∞}(M, F) on ait une identité

⟨⟨P u, v⟩⟩ = ⟨⟨u, P^{⋆}v⟩⟩, chaque fois que Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ M.

Preuve. L’unicité est facile à vérifier, grâce à la densité des formes C^{∞} à support compact dans L^{2}(M, E). Au moyen d’un argument de partition de l’unité, on ramène la vérification de l’existence de P^{⋆} à la preuve de son existence locale. Maintenant, soit P u(x) = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)D^{α}u(x) le développement de P relativement à des trivialisations de E, F associées à des repères orthonormé et à des systèmes de coordonnées locales sur un ouvert Ω ⊂ M. En supposant Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ Ω, une intégration de parties donne

⟨⟨P u, v⟩⟩ = ∫_{Ω} ∑_{|α|⩽δ,λ,μ} a_{αλμ}D^{α}u_{μ}(x)\overline{v}_{λ}(x) γ(x) dx_{1}, …, dx_{m}

= ∫_{Ω} ∑_{|α|⩽δ,λ,μ}(−1)^{|α|}u_{μ}(x)\overline{D^{α}(γ(x) \overline{a}_{αλμ}v_{λ}(x)} dx_{1}, …, dx_{m}

= ∫_{Ω}⟨u, ∑_{|α|⩽δ}(−1)^{|α|}γ(x)^{−1}D^{α}(γ(x) \overline{a}_{α}^{†}v(x))⟩ dV (x).

Nous voyons donc que P^{⋆} existe et qu’il est défini de manière unique par

(2.7)  P^{⋆}v(x) = ∑_{|α|⩽δ}(−1)^{|α|}γ(x)^{−1}D^{α}(γ(x) \overline{a}_{α}^{†}v(x)).

La formule (2.7) montre immédiatement que le symbole principal de P^{⋆} est

(2.8)  σ_{P^{⋆}}(x, ξ) = (−1)^{δ} ∑_{|α|=δ} \overline{a}_{α}^{†}ξ^{α} = (−1)^{δ}σ_{P} (x, ξ)^{⋆}.

Si rang E = rang F, l’opérateur P est elliptique si et seulement si σ_{P} (x, ξ) est inversible pour ξ ≠ 0, l’ellipticité de P équivaut donc à celle de P^{⋆}.

§3. Résultats fondamentaux sur les opérateurs elliptiques

Nous supposons dans toute cette section que M est une variété compacte orientée de dimension m et de classe C^{∞}, munie d’une forme volume dV. Soit E → M un fibré vectoriel hermitien C^{∞} de rang r sur M.

§3.A. Espaces de Sobolev

Pour tout nombre réel s, on définit l’espace de Sobolev W^{s}(ℝ^{m}) comme étant l’espace de Hilbert des distributions tempérées u ∈ 𝒮′(ℝ^{m}) telles que la transformée de Fourier û soit une fonction L_{loc}^{2} satisfaisant l’estimation

(3.1)  ∥u∥_{s}^{2} = ∫_{ℝ^{m}}(1 + |ξ|^{2})^{s}|û(ξ)|^{2}dλ(ξ) < +∞.

Si s ∈ ℕ, nous avons

∥u∥_{s}^{2} ∼ ∫_{ℝ^{m}} ∑_{|α|⩽s} |D^{α}u(x)|^{2}dλ(x),

donc W^{s}(ℝ^{m}) est l’espace de Hilbert des fonctions u telles que toutes les dérivées D^{α}u d’ordre |α| ⩽ s sont dans L^{2}(ℝ^{m}).

§3. Résultats fondamentaux sur les opérateurs elliptiques 13

Plus généralement, nous notons W^{s}(M, E) l’espace de Sobolev des sections u : M → E dont les composantes sont localement dans W^{s}(ℝ^{m}) sur tout ouvert de carte. De façon précise, choisissons un recouvrement fini (Ω_{j}) de M par des ouverts de coordonnées Ω_{j} ≃ ℝ^{m} sur lesquels E est trivial. Considérons des repères orthonormés (e_{j,λ})_{1⩽λ⩽r} de E_{↾Ω_{j}} et exprimons u par ses composantes, soit u = ∑ u_{j,λ} e_{j,λ}. On pose alors

∥u∥_{s}^{2} = ∑_{j,λ} ∥ψ_{j}u_{j,λ}∥_{s}^{2}

où (ψ_{j}) est un “partition de l’unité” subordonnée à (Ω_{j}), telle que ∑ ψ_{j}^{2} = 1. A équivalence de normes près, ∥ ∥_{s} est indépendante des choix faits. Nous aurons besoin des faits fondamentaux suivants, que le lecteur pourra trouver dans la plupart des ouvrages spécialisés consacrés à la théorie des équations aux dérivées partielles.

3.2. Lemme de Sobolev. Pour tout entier k ∈ ℕ et tout nombre réel s > k + \frac{m}{2}, on a W^{s}(M, E) ⊂ C^{k}(M, E) et l’inclusion est continue.

Il résulte aussitôt du lemme de Sobolev que

\begin{aligned}⋂_{s⩾0} W^{s}(M, E) & = C^{∞}(M, E), \\ ⋃_{s⩽0} W^{s}(M, E) & = 𝒟′(M, E). \end{aligned}

3.3. Lemme de Rellich. Pour tout t > s, l’inclusion

W^{t}(M, E) ⟶ W^{s}(M, E)

est un opérateur linéaire compact.

§3.B. Opérateurs pseudodifférentiels

Si P = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)D^{α} est un opérateur différentiel sur ℝ^{m}, la formule d’inversion de Fourier donne

P u(x) = ∫_{ℝ^{m}} ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)(2πiξ)^{α}û(ξ) e^{2πix·ξ} dλ(ξ), ∀u ∈ 𝒟(ℝ^{m}),

où û(ξ) = ∫_{ℝ^{m}} u(x) e^{−2πix·ξ} dλ(x) est la transformée de Fourier de u. Nous disons que

σ(x, ξ) = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)(2πiξ)^{α}

est le symbole (ou symbole total) de P.

Un opérateur pseudodifférentiel est un opérateur Op_{σ} défini par une formule du type

(3.4)  Op_{σ}(u)(x) = ∫_{ℝ^{m}} σ(x, ξ) û(ξ) e^{2πix·ξ} dλ(ξ),  u ∈ 𝒟(ℝ^{m}),

où σ appartient à une classe convenable de fonctions sur T_{ℝ^{m}}^{⋆}. La classe standard de symboles S^{δ}(ℝ^{m}) est définie comme suit : étant donné δ ∈ ℝ, S^{δ}(ℝ^{m}) est la classe des fonctions σ(x, ξ) de classe C^{∞} sur T_{ℝ^{m}}^{⋆} telles que pour tout α, β ∈ ℕ^{m} et tout sous-ensemble compact K ⊂ ℝ^{m} on ait une estimation

(3.5)  |D_{x}^{α}D_{ξ}^{β}σ(x, ξ)| ⩽ C_{α,β}(1 + |ξ|)^{δ−|β|},  ∀(x, ξ) ∈ K × ℝ^{m},

où δ ∈ ℝ doit être considéré comme le “degré” de σ. Alors Op_{σ}(u) est une fonction C^{∞} bien définie sur ℝ^{m}, puisque û appartient à la classe 𝒮(ℝ^{m}) des fonctions à décroissance rapide. Dans la situation plus générale des opérateurs agissant sur un fibré E et à valeurs dans un fibré F sur une variété compacte M, nous introduisons des espaces de symboles S^{δ}(M; E, F) analogues. Les éléments de S^{δ}(M; E, F) sont les fonctions

T_{M}^{⋆} ∋ (x, ξ) ↦ σ(x, ξ) ∈ Hom(E_{x}, F_{x})

satisfaisant la condition (3.5) dans tout système de coordonnées. Finalement, nous prenons un recouvrement fini trivialisant (Ω_{j}) de M et une “partition de l’unité” (ψ_{j}) subordonnée à Ω_{j} telle que ∑ ψ_{j}^{2} = 1, et nous définissons

Op_{σ}(u) = ∑ ψ_{j} Op_{σ}(ψ_{j}u), u ∈ C^{∞}(M, E),

de manière à réduire les calculs à la situation de ℝ^{m}. Les résultats de base de la théorie des opérateurs pseudodifférentiels sont résumés ci-dessous.

3.6. Existence de prolongement aux espaces W^{s}. Si σ ∈ S^{δ}(M; E, F), alors Op_{σ} s’étend d’une manière unique en un opérateur linéaire continu

Op_{σ} : W^{s}(M, E) → W^{s−δ}(M, F).

En particulier, si σ ∈ S^{−∞}(M; E, F) := ⋂ S^{δ}(M; E, F), alors Op_{σ} est un opérateur envoyant une section distribution arbitraire de 𝒟′(M, E) dans C^{∞}(M, F), et ce de manière continue. Un tel opérateur est appelé opérateur régularisant. Un résultat standard de la théorie des distributions affirme que la classe ℛ des opérateurs régularisants coïncide avec la classe des opérateurs définis au moyen d’un noyau K(x, y) ∈ Hom(E_{y}, F_{x}) de classe C^{∞}, c’est-à-dire les opérateurs de la forme

R : 𝒟′(M, E) → C^{∞}(M, F),  u ↦ Ru,  Ru(x) = ∫_{M} K(x, y) · u(y) dV (y).

Inversement, si dV (y) = γ(y)dy_{1} ⋯ dy_{m} sur Ω_{j} et si on écrit Ru = ∑ R(θ_{j}u) avec une partition de l’unité (θ_{j}), l’opérateur R(θ_{j}•) est l’opérateur pseudodifférentiel associé au symbole σ défini comme la transformée de Fourier partielle

σ(x, ξ) = (γ(y)θ_{j}(y)K(x, y))_{y}^{∧}(x, ξ), σ ∈ S^{−∞}(M; E, F).

Quand on travaille avec des opérateurs pseudodifférentiels, il est habituel de travailler seulement modulo les opérateurs régularisants et d’autoriser des opérateurs plus généraux de la forme Op_{σ} +R où R ∈ ℛ est un opérateur régularisant arbitraire.

3.7. Composition. Si σ ∈ S^{δ}(M; E, F) et σ′ ∈ S^{δ′}(M; F, G), δ, δ′ ∈ ℝ, il existe un symbole σ′ ⋄ σ ∈ S^{δ+δ′}(M; E, G) tel que Op_{σ′} ∘ Op_{σ} = Op_{σ′⋄σ} mod ℛ. De plus

σ′ ⋄ σ − σ′ · σ ∈ S^{δ+δ′−1}(M; E, G).

3.8. Définition. Un opérateur pseudodifférentiel Op_{σ} de degré δ est dit elliptique s’il peut être défini par un symbole σ ∈ S^{δ}(M, E, F) tel que

|σ(x, ξ) · u| ⩾ c|ξ|^{δ}|u|, ∀(x, ξ) ∈ T_{M}^{⋆}, ∀u ∈ E_{x}

pour |ξ| assez grand, l’estimation étant uniforme pour x ∈ M.

Si E et F ont le même rang, la condition d’ellipticité implique que σ(x, ξ) est inversible pour ξ grand. En prenant une fonction tronquante convenable θ(ξ) égale à 1 pour ξ grand, on voit que la fonction σ′(x, ξ) = θ(ξ)σ(x, ξ)^{−1} définit un symbole dans l’espace S^{−δ}(M; F, E), et d’après (3.8) nous avons Op_{σ′} ∘ Op_{σ} = Id + Op_{ρ}, ρ ∈ S^{−1}(M; E, E). Choisissons un symbole τ asymptotiquement équivalent à l’infini au développement Id −ρ+ρ^{⋄2}+⋯+(−1)^{j}ρ^{⋄j} +· · ·. Il est clair qu’on obtient alors un inverse Op_{τ⋄σ′} de Op_{σ} modulo ℛ. Un corollaire facile de ces observations est le suivant :

3.9. Inégalité de Gårding. Soit P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F) un opérateur différentiel elliptique de degré δ, où rang E = rang F = r, et soit P̃ l’extension de P aux sections à coefficients distributions. Pour tout u ∈ W^{0}(M, E) tel que P̃u ∈ W^{s}(M, F), on a alors u ∈ W^{s+δ}(M, E) et

∥u∥_{s+δ} ⩽ C_{s}(∥P̃u∥_{s} + ∥u∥_{0}),

où C_{s} est une constante positive ne dépendant que de s.

Preuve. Comme P est elliptique, il existe un symbole σ ∈ S^{−δ}(M; F, E) tel que Op_{σ} ∘P̃ = Id +R, R ∈ ℛ. Alors ∥ Op_{σ}(v)∥_{s+δ} ⩽ C∥v∥_{s} grâce à (3.6). Par suite, en posant v = P̃u, nous voyons que u = Op_{σ}(P̃u) − Ru satisfait l’estimation désirée.

§3.C. Théorème de finitude

Nous concluons cette section par la preuve du théorème de finitude fondamental suivant, qui est le point de départ de la théorie de Hodge L^{2}.

3.10. Théorème de finitude. Soient E, F des fibrés vectoriels hermitiens sur une variété compacte M, tels que rang E = rang F = r, et soit P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F) un opérateur différentiel elliptique de degré δ. Alors :

i) Ker P est de dimension finie.

ii) P (C^{∞}(M, E)) est fermé et de codimension finie dans C^{∞}(M, F) ; de plus, si P^{⋆} est l’adjoint formel de P, il existe une décomposition

C^{∞}(M, F) = P (C^{∞}(M, E)) ⊕ Ker P^{⋆}

comme somme directe orthogonale dans W^{0}(M, F) = L^{2}(M, F).

Preuve. (i) L’inégalité de Gårding montre que ∥u∥_{s+δ} ⩽ C_{s}∥u∥_{0} pour tout u ∈ Ker P. Grâce au lemme de Sobolev, ceci implique que Ker P est fermé dans W^{0}(M, E). De plus, la ∥ ∥_{0}-boule unité fermée de Ker P est contenue dans la ∥ ∥_{δ}-boule de rayon C_{0}, donc elle est compacte d’après le lemme de Rellich. Le théorème de Riesz implique que dim Ker P < +∞.

(ii) Nous montrons d’abord que le prolongement

P̃ : W^{s+δ}(M, E) → W^{s}(M, F)

a une image fermée pour tout s. Pour tout ε > 0, il existe un nombre fini d’éléments v_{1}, …, v_{N} ∈ W^{s+δ}(M, F), N = N(ε), tels que

(3.11)  ∥u∥_{0} ⩽ ε∥u∥_{s+δ} + ∑_{j=1}^{N} |⟨⟨u, v_{j}⟩⟩_{0}| ;

en effet l’ensemble

K_{(v_{j})} = {u ∈ W^{s+δ}(M, F) ; ε∥u∥_{s+δ} + ∑_{j=1}^{N} |⟨⟨u, v_{j}⟩⟩_{0}| ⩽ 1}

est relativement compact dans W^{0}(M, F) et ⋂_{(v_{j})} \overline{K}_{(v_{j})} = \{0\}. Il s’ensuit qu’il existe des éléments (v_{j}) tels que \overline{K}_{(v_{j})} soit contenu dans la boule unité de W^{0}(M, E), ce qu’il fallait démontrer. Substituons la majoration ∥u∥_{0} donnée par (3.11) dans l’inégalité de Gårding ; nous obtenons

(1 − C_{s}ε)∥u∥_{s+δ} ⩽ C_{s}(∥P̃u∥_{s} + ∑_{j=1}^{N} |⟨⟨u, v_{j}⟩⟩_{0}|).

Définissons T = {u ∈ W^{s+δ}(M, E) ; u ⊥ v_{j}, 1 ⩽ j ⩽ n} et posons ε = 1/2C_{s}. Il vient

∥u∥_{s+δ} ⩽ 2C_{s}∥P̃u∥_{s}, ∀u ∈ T.

Ceci implique que P̃(T) est fermé. Par conséquent

P̃(W^{s+δ}(M, E)) = P̃(T) + Vect(P̃(v_{1}), …, P̃(v_{N}))

est fermé dans W^{s}(M, E). Prenons en particulier s = 0. Puisque C^{∞}(M, E) est dense dans W^{δ}(M, E), nous voyons que dans W^{0}(M, E) = L^{2}(M, E) on a

(P̃(W^{δ}(M, E)))^{⊥} = (P (C^{∞}(M, E)))^{⊥} = Ker P̃^{⋆}.

Nous avons ainsi prouvé que

(3.12)  W^{0}(M, E) = P̃(W^{δ}(M, E)) ⊕ Ker P̃^{⋆}.

Puisque P^{⋆} est également elliptique, il s’ensuit que Ker P̃^{⋆} est de dimension finie et que Ker P̃^{⋆} = Ker P^{⋆} est contenu dans C^{∞}(M, F). Grâce à l’inégalité de Gårding, la formule de décomposition (3.12) donne

(3.13)  W^{s}(M, E) = P̃(W^{s+δ}(M, E)) ⊕ Ker P^{⋆},
(3.14)  C^{∞}(M, E) = P (C^{∞}(M, E)) ⊕ Ker P^{⋆}.

Nous terminons cette section par la construction de l’opérateur de Green associé à un opérateur elliptique auto-adjoint.

3.15. Théorème. Soient E un fibré vectoriel hermitien de rang r sur une variété compacte M, et P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, E) un opérateur différentiel elliptique autoadjoint de degré δ. Alors si H désigne l’opérateur de projection orthogonale H : C^{∞}(M, E) → Ker P, il existe un unique opérateur G sur C^{∞}(M, E) tel que

P G + H = GP + H = Id,

de plus G est un opérateur pseudo-différentiel de degré −δ, appelé opérateur de Green associé à P.

Preuve. D’après le Théorème 3.10, Ker P = Ker P^{⋆} est de dimension finie, et Im P = (Ker P)^{⊥}. Il en résulte que la restriction de P à (Ker P)^{⊥} est un opérateur bijectif. On définit G comme étant égal à 0 ⊕ P^{−1} relativement à la décomposition orthogonale C^{∞}(M, E) = Ker P ⊕(Ker P)^{⊥}. Les relations P G+H = GP +H = Id sont alors évidentes, de même que l’unicité de G. De plus, G est continu pour la topologie d’espace de Fréchet de C^{∞}(M, E) d’après le théorème de Banach. On sait également qu’il existe un opérateur pseudodifférentiel Q d’ordre −δ qui est un inverse de P modulo ℛ, i.e., P Q = Id +R, R ∈ ℛ. Il vient alors

Q = (GP + H)Q = G(Id +R) + HQ = G + GR + HQ,

où GR et HQ sont régularisants (H est un opérateur régularisant de rang fini défini par le noyau ∑ φ_{s}(x) ⊗ φ_{s}^{⋆}(y), si (φ_{s}) est une base de fonctions propres de Ker P ⊂ C^{∞}(M, E)). Par suite G = Q mod ℛ et G est bien un opérateur pseudo-différentiel d’ordre −δ.

3.16. Corollaire. Sous les hypothèses du th. 3.15, les valeurs propres de P constituent une suite de réels λ_{k} tels que lim_{k→+∞} |λ_{k}| = +∞, les espaces propres V_{λ_{k}} de P sont de dimension finie, et on a une somme directe hilbertienne

L^{2}(M, E) = ˆ⨁_{k}V_{λ_{k}}.

Pour tout entier m ∈ ℕ, un élément u = ∑_{k} u_{k} ∈ L^{2}(M, E) est dans W^{mδ}(X, E) si et seulement si ∑ |λ_{k}|^{2m}∥u_{k}∥^{2} < +∞.

Preuve. L’opérateur de Green s’étend en un opérateur autoadjoint

G̃ : L^{2}(M, E) → L^{2}(M, E)

se factorisant à travers W^{δ}(M, E), et donc compact. Cet opérateur définit un inverse de P̃ : W^{δ}(M, E) → L^{2}(M, E) sur (Ker P)^{⊥}. La théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints montre que les valeurs propres μ_{k} de G̃ forment une suite de réels μ_{k} tendant vers 0 et que L^{2}(M, E) est somme directe hilbertienne des espaces propres. Les valeurs propres correspondantes de P̃ sont λ_{k} = μ_{k}^{−1} si μ_{k} ≠ 0, et d’après l’ellipticité de P − λ_{k} Id, les espaces propres V_{λ_{k}} = Ker(P − λ_{k} Id) sont de dimension finie et contenus dans C^{∞}(M, E). Enfin, si u = ∑_{k} u_{k} ∈ L^{2}(M, E), l’inégalité de Gårding montre que u ∈ W^{mδ}(M, E) si et seulement si P̃^{m}u ∈ L^{2}(M, E) = W^{0}(M, E), ce qui donne bien la condition ∑ |λ_{k}|^{2m}∥u_{k}∥^{2} < +∞.

§4. Théorie de Hodge des variétés riemanniennes compactes

La théorie de Hodge a été bâtie de toutes pièces par W.V.D. Hodge pendant la décade 1930-1940 (voir [Hod41], [DR55]). Le but principal de la théorie est de décrire l’algèbre de cohomologie de De Rham d’une variété riemannienne en termes de ses formes harmoniques. Le résultat principal est que toute classe de cohomologie possède un unique représentant harmonique.

§4.A. Structure euclidienne de l’algèbre extérieure

Soit (M, g) une variété riemannienne orientée de classe C^{∞}, dim_{ℝ} M = m, et soit E → M un fibré vectoriel hermitien de rang r sur M. Nous notons respectivement (ξ_{1}, …, ξ_{m}) et (e_{1}, …, e_{r}) des repères orthonormés de T_{M} et de E sur une carte Ω ⊂ M, et soient (ξ_{1}^{⋆}, …, ξ_{m}^{⋆}), (e_{1}^{⋆}, …, e_{r}^{⋆}) les repères duaux correspondants de T_{M}^{⋆}, E^{⋆}. Soit dV l’élément de volume riemannien sur M. L’algèbre extérieure Λ^{•}T_{M}^{⋆} possède un produit scalaire naturel ⟨•, •⟩, tel que

(4.1)  ⟨u_{1} ∧ ⋯ ∧ u_{p}, v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}⟩ = det(⟨u_{j}, v_{k}⟩)_{1⩽j,k⩽p}, u_{j}, v_{k} ∈ T_{M}^{⋆}

§4. Théorie de Hodge des variétés riemanniennes compactes 19

pour tout p, avec Λ^{•}T_{M}^{⋆} = ⨁ Λ^{p}T_{M}^{⋆} comme somme directe orthogonale. Alors la famille de covecteurs ξ_{I}^{⋆} = ξ_{i_{1}}^{⋆} ∧ ⋯ ∧ ξ_{i_{p}}^{⋆}, i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{p}, définit une base orthonormée de Λ^{•}T_{M}^{⋆}. On notera ⟨•, •⟩ le produit scalaire correspondant sur Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E.

4.2. Opérateur étoile de Hodge. L’opérateur ⋆ de Hodge-Poincaré-De Rham est l’endomorphisme de Λ^{•}T_{M}^{⋆} défini par la collection d’applications linéaires telles que

⋆ : Λ^{p}T_{M}^{⋆} → Λ^{m−p}T_{M}^{⋆},  u ∧ ⋆ v = ⟨u, v⟩ dV,  ∀u, v ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆}.

L’existence et l’unicité de cet opérateur se voient aisément en utilisant l’accouplement de dualité

Λ^{p}T_{M}^{⋆} × Λ^{m−p}T_{M}^{⋆} ⟶ ℝ
(4.3)  (u, v) ⟼ u ∧ v/dV = ∑ ε(I, ∁I) u_{I}v_{∁I},

où u = ∑_{|I|=p} u_{I} ξ_{I}^{⋆}, v = ∑_{|J|=m−p} v_{J} ξ_{J}^{⋆}, et où ε(I, ∁I) est la signature de la permutation (1, 2, …, m) ↦ (I, ∁I) définie par I suivi du multi-indice complémentaire (ordonné) ∁I. De là, nous déduisons

(4.4)  ⋆ v = ∑_{|I|=p} ε(I, ∁I)v_{I} ξ_{∁I}^{⋆}.

Plus généralement, l’accouplement sesquilinéaire {•, •} défini par (1.6) induit un opérateur ⋆ sur les formes à valeurs vectorielles, tel que

⋆ : Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E → Λ^{m−p}T_{M}^{⋆} ⊗ E, {s, ⋆ t} = ⟨s, t⟩ dV, (4.5)

⋆ t = ∑_{|I|=p,λ} ε(I, ∁I) t_{I,λ} ξ_{∁I}^{⋆} ⊗ e_{λ}, ∀s, t ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E, (4.6)

pour t = ∑ t_{I,λ} ξ_{I}^{⋆} ⊗e_{λ}. Puisque ε(I, ∁I)ε(∁I, I) = (−1)^{p(m−p)} = (−1)^{p(m−1)}, nous obtenons immédiatement

(4.7)  ⋆ ⋆ t = (−1)^{p(m−1)}t sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E.

Il est clair que ⋆ est une isométrie de Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E. Nous aurons besoin aussi d’une variante de l’opérateur ⋆, à savoir l’opérateur antilinéaire

# : Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E ⟶ Λ^{m−p}T_{M}^{⋆} ⊗ E^{⋆}

défini par s ∧ # t = ⟨s, t⟩ dV, où le produit extérieur ∧ est combiné avec l’accouplement canonique E × E^{⋆} → ℂ. Nous avons

(4.8)  # t = ∑_{|I|=p,λ} ε(I, ∁I) \overline{t}_{I,λ} ξ_{∁I}^{⋆} ⊗ e_{λ}^{⋆}.

4.9. Contraction par un champ de vecteurs. Etant donné un vecteur tangent θ ∈ T_{M} et une forme u ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆}, la contraction θ u ∈ Λ^{p−1}T_{M}^{⋆} est définie par

θ u (η_{1}, …, η_{p−1}) = u(θ, η_{1}, …, η_{p−1}), η_{j} ∈ T_{M}.

En termes de la base (ξ_{j}), • • est l’opérateur bilinéaire caractérisé par

ξ_{l} (ξ_{i_{1}}^{⋆} ∧ ⋯ ∧ ξ_{i_{p}}^{⋆}) = \{ \begin{matrix}0 & si l ∉ \{i_{1}, …, i_{p}\}, \\ (−1)^{k−1}ξ_{i_{1}}^{⋆} ∧ ⋯ ξ̂_{i_{k}}^{⋆} ⋯ ∧ ξ_{i_{p}}^{⋆} & si l = i_{k}. \end{matrix}

Cette formule est en fait valide même quand (ξ_{j}) est non orthonormé. Un calcul facile montre que θ • est une dérivation de l’algèbre extérieure, i.e. que

θ (u ∧ v) = (θ u) ∧ v + (−1)^{deg u}u ∧ (θ v).

De plus, si θ̃ = ⟨•, θ⟩ ∈ T_{M}^{⋆}, l’opérateur θ • est l’adjoint de θ̃∧ •, i.e.,

(4.10)  ⟨θ u, v⟩ = ⟨u, θ̃∧ v⟩, ∀u, v ∈ Λ^{•}T_{M}^{⋆}.

En effet, cette propriété est immédiate quand θ = ξ_{l}, u = ξ_{I}^{⋆}, v = ξ_{J}^{⋆}.

§4.B. Opérateurs de Laplace-Beltrami

Soit E un fibré vectoriel hermitien sur M, et soit D_{E} une connexion hermitienne sur E. Nous considérons l’espace de Hilbert L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) des p-formes s sur M à valeurs dans E, muni du produit scalaire L^{2}

⟨⟨s, t⟩⟩ = ∫_{M}⟨s, t⟩ dV

déjà considéré en (2.5). Ici ⟨s, t⟩ est le produit scalaire ponctuel sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E associé au produit scalaire riemannien sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} et au produit scalaire hermitien sur E.

4.11. Théorème. L’adjoint formel de D_{E} agissant sur C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) est donné par

D_{E}^{⋆} = (−1)^{mp+1} ⋆ D_{E} ⋆ .

Preuve. Si s ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) et t ∈ C^{∞}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) sont à support compact, nous avons

\begin{aligned}⟨⟨D_{E}s, t⟩⟩ & = ∫_{M}⟨D_{E}s, t⟩ dV = ∫_{M}\{D_{E}s, ⋆ t\} \\ & = ∫_{M} d\{s, ⋆ t\} − (−1)^{p}\{s, D_{E} ⋆ t\} = (−1)^{p+1} ∫_{M}\{s, D_{E} ⋆ t\} \end{aligned}

grâce à la formule de Stokes. Par conséquent (4.5) et (4.7) impliquent

⟨⟨D_{E}s, t⟩⟩ = (−1)^{p+1}(−1)^{p(m−1)} ∫_{M}{s, ⋆ ⋆ D_{E} ⋆ t} = (−1)^{mp+1}⟨⟨s, ⋆D_{E} ⋆ t⟩⟩.

La formule désirée s’ensuit.

4.12. Remarque. Dans le cas de la connexion triviale d sur E = M × ℂ, la formule devient d^{⋆} = (−1)^{m+1} ⋆ d ⋆. Si m est pair, ces formules se réduisent à

d^{⋆} = − ⋆ d ⋆ , D_{E}^{⋆} = − ⋆ D_{E} ⋆ .

4.13. Définition. L’opérateur de Laplace-Beltrami est l’opérateur différentiel du second ordre agissant sur les fibrés Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E, tel que

Δ_{E} = D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E}.

En particulier, l’opérateur de Laplace-Beltrami agissant sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} est Δ = dd^{⋆}+d^{⋆}d. Ce dernier opérateur ne dépend que de la structure riemannienne (M, g).

Il est clair que le Laplacien Δ est formellement auto-adjoint, i.e. ⟨⟨Δ_{E}s, t⟩⟩ = ⟨⟨s, Δ_{E}t⟩⟩ chaque fois que les formes s, t sont de classe C^{∞} et que l’une d’elles est à support compact.

4.14. Calcul du symbole. Pour toute fonction f de classe C^{∞}, la règle de Leibnitz donne e^{−tf}D_{E}(e^{tf}s) = t df ∧ s + D_{E}s. Par définition du symbole, nous trouvons donc

σ_{D_{E}}(x, ξ) · s = ξ ∧ s, ∀ξ ∈ T_{M,x}^{⋆}, ∀s ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E.

Grâce à la formule (2.8) nous obtenons σ_{D_{E}^{⋆}} = −(σ_{D_{E}})^{⋆}, donc

σ_{D_{E}^{⋆}}(x, ξ) · s = −ξ̃ s

où ξ̃ ∈ T_{M} est le vecteur tangent adjoint de ξ. L’égalité σ_{Δ_{E}} = σ_{D_{E}}σ_{D_{E}^{⋆}} +σ_{D_{E}^{⋆}}σ_{D_{E}} implique

\begin{matrix}σ_{Δ_{E}}(x, ξ) · s = −ξ ∧ (ξ̃ s) − ξ̃ (ξ ∧ s) = −(ξ̃ ξ)s, \\ σ_{Δ_{E}}(x, ξ) · s = −|ξ|^{2}s. \end{matrix}

En particulier, Δ_{E} est toujours un opérateur elliptique. Dans le cas particulier où M est une partie ouverte de ℝ^{m} munie de la métrique constante g = ∑_{i=1}^{m} dx_{i}^{2}, tous les opérateurs d, d^{⋆}, Δ sont à coefficients constants. Ils sont complètement déterminés par leur symbole principal (aucun terme d’ordre plus bas ne peut apparaître). Nous trouvons alors aisément

\begin{aligned}s & = ∑_{|I|=p} s_{I}dx_{I}, ds = ∑_{|I|=p,j} \frac{∂s_{I}}{∂x_{j}} dx_{j} ∧ dx_{I}, \\ d^{⋆}s & = − ∑_{I,j} \frac{∂s_{I}}{∂x_{j}} \frac{∂}{∂x_{j}} dx_{I}, \\ Δs & = − ∑_{I} ( ∑_{j} \frac{∂^{2}s_{I}}{∂x_{j}^{2}} )dx_{I}. \end{aligned}

Par suite, Δ a la même expression que l’opérateur de Laplace élémentaire, au signe moins près.

§4.C. Formes harmoniques et isomorphisme de Hodge

Soit E un fibré vectoriel hermitien sur une variété riemannienne compacte (M, g). Nous supposons que E possède une connexion hermitienne D_{E} telle que Θ(D_{E}) = D_{E}^{2} = 0. Une telle connexion est dite intégrable ou plate. Il est bien connu que ceci équivaut à ce que E soit donné par une représentation π_{1}(M) → U(r) ; un tel fibré est appelé fibré plat ou système local de coefficients. Un exemple fondamental est bien sûr le fibré trivial E = M × ℂ avec sa connexion évidente D_{E} = d. Grâce à cette hypothèse, D_{E} définit un complexe de De Rham généralisé

C^{∞}(M, E) ⟶^{D_{E}} C^{∞}(M, Λ^{1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ ⋯ ⟶ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶^{D_{E}} · · · .

Les groupes de cohomologie de ce complexe seront notés H_{DR}^{p}(M, E).

L’espace des formes harmoniques de degré p relativement à l’opérateur de Laplace-Beltrami Δ_{E} = D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E} est défini par

(4.15)  ℋ^{p}(M, E) = {s ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; Δ_{E}s = 0}.

Comme ⟨⟨Δ_{E}s, s⟩⟩ = ||D_{E}s||^{2} + ||D_{E}^{⋆}s||^{2}, nous voyons que s ∈ ℋ^{p}(M, E) si et seulement si D_{E}s = D_{E}^{⋆}s = 0.

4.16. Théorème. Pour tout p, il existe une décomposition orthogonale

C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) = ℋ^{p}(M, E) ⊕ Im D_{E} ⊕ Im D_{E}^{⋆}, où
Im D_{E} = D_{E}(C^{∞}(M, Λ^{p−1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)),
Im D_{E}^{⋆} = D_{E}^{⋆}(C^{∞}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)).

Preuve. Il est immédiat que ℋ^{p}(M, E) est orthogonal aux deux sous-espaces Im D_{E} et Im D_{E}^{⋆}. L’orthogonalité de ces deux sous-espaces est elle aussi évidente, grâce à l’hypothèse D_{E}^{2} = 0 :

⟨⟨D_{E}s, D_{E}^{⋆}t⟩⟩ = ⟨⟨D_{E}^{2}s, t⟩⟩ = 0.

§5. Variétés hermitiennes et kählériennes 23

Nous appliquons maintenant le th. 3.10 à l’opérateur elliptique Δ_{E} = Δ_{E}^{⋆} agissant sur les p-formes, i.e. l’opérateur Δ_{E} : C^{∞}(M, F) → C^{∞}(M, F) agissant sur le fibré F = Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E. Nous obtenons

C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) = ℋ^{p}(M, E) ⊕ Δ_{E}(C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E)),
Im Δ_{E} = Im(D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E}) ⊂ Im D_{E} + Im D_{E}^{⋆}.

D’autre part, comme Im D_{E} et Im D_{E}^{⋆} sont orthogonaux à ℋ^{p}(M, E), ces espaces sont contenus dans Im Δ_{E}.

4.17. Théorème d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de De Rham H_{DR}^{p}(M, E) sont de dimension finie et H_{DR}^{p}(M, E) ≃ ℋ^{p}(M, E).

Preuve. Grâce à la décomposition (4.16), nous obtenons

B_{DR}^{p}(M, E) = D_{E}(C^{∞}(M, Λ^{p−1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)),
Z_{DR}^{p}(M, E) = Ker D_{E} = (Im D_{E}^{⋆})^{⊥} = ℋ^{p}(M, E) ⊕ Im D_{E}.

Ceci montre que toute classe de cohomologie de De Rham contient un unique représentant harmonique.

4.18. Dualité de Poincaré. L’accouplement

H_{DR}^{p}(M, E) × H_{DR}^{m−p}(M, E^{⋆}) ⟶ ℂ, (s, t) ⟼ ∫_{M} s ∧ t

est une forme bilinéaire non dégénérée, et définit donc une dualité entre H_{DR}^{p}(M, E) et H_{DR}^{m−p}(M, E^{⋆}).

Preuve. Notons d’abord qu’il existe une connexion plate D_{E^{⋆}} naturellement définie telle que pour tout s ∈ C^{∞}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E), t ∈ C^{∞}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E^{⋆}) on ait

(4.19)  d(s ∧ t) = (D_{E}s) ∧ t + (−1)^{deg s}s ∧ D_{E^{⋆}}t.

Il résulte alors de la formule de Stokes que l’application bilinéaire (s, t) ↦ ∫_{M} s ∧ t peut se factoriser aux groupes de cohomologie. Soit s ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E). Nous laissons au lecteur le soin de prouver les formules suivantes (utiliser (4.19) de façon analogue à ce qui a été fait pour la preuve du th. 4.11) : (4.20) D_{E^{⋆}}(# s) = (−1)^{p}# D_{E}^{⋆}s, (D_{E^{⋆}})^{⋆}(# s) = (−1)^{p+1}# D_{E}s, Δ_{E^{⋆}}(# s) = # Δ_{E}s,

Par conséquent #s ∈ ℋ^{m−p}(M, E^{⋆}) si et seulement si s ∈ ℋ^{p}(M, E). Puisque

∫_{M} s ∧ # s = ∫_{M} |s|^{2} dV = ∥s∥^{2},

nous voyons que l’accouplement de Poincaré a un noyau trivial dans le facteur de gauche ℋ^{p}(M, E) ≃ H_{DR}^{p}(M, E). Par symétrie, il a aussi un noyau trivial à droite. La preuve est achevée.

§5. Variétés hermitiennes et kählériennes

Soit X une variété complexe de dimension n. Une métrique hermitienne sur X est une forme hermitienne définie positive de classe C^{∞} sur T_{X} ; dans un système de coordonnées (z_{1}, …, z_{n}), une telle forme peut s’écrire

h(z) = ∑_{1⩽j,k⩽n} h_{jk}(z) dz_{j} ⊗ d\overline{z}_{k},

où (h_{jk}) est une matrice hermitienne positive à coefficients C^{∞}. La (1, 1)-forme fondamentale associée à h est

ω = − Im h = \frac{i}{2} ∑ h_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k}, 1 ⩽ j, k ⩽ n.

5.1. Définition.

a) Une variété hermitienne est un couple (X, ω) où ω est une (1, 1)-forme C^{∞} définie positive sur X.

b) La métrique ω est dite kählérienne si dω = 0.

c) X est appelée variété kählérienne si X possède au moins une métrique kählérienne.

Puisque ω est réelle, les conditions dω = 0, d′ω = 0, d′′ω = 0 sont toutes équivalentes. En coordonnées locales, on voit que d′ω = 0 si et seulement si

\frac{∂h_{jk}}{∂z_{l}} = \frac{∂h_{lk}}{∂z_{j}} , 1 ⩽ j, k, l ⩽ n.

Un calcul simple donne

\frac{ω^{n}}{n!} = det(h_{jk}) ⋀_{1⩽j⩽n} (\frac{i}{2}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}) = det(h_{jk}) dx_{1} ∧ dy_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} ∧ dy_{n},

où z_{n} = x_{n} + iy_{n}. Par conséquent la (n, n)-forme

(5.2)  dV = \frac{1}{n!}ω^{n}

est positive et coïncide avec l’élément de volume hermitien de X. Si X est compacte, alors ∫_{X} ω^{n} = n! Vol_{ω}(X) > 0. Cette remarque simple implique déjà qu’une variété kählérienne compacte doit satisfaire certaines conditions topologiques restrictives :

5.3. Conséquence.

a) Si (X, ω) est kählérienne compacte et si {ω} désigne la classe de cohomologie de ω dans H^{2}(X, ℝ), alors {ω}^{n} ≠ 0. b) Si X est kählérienne compacte, alors H^{2k}(X, ℝ) ≠ 0 pour 0 ⩽ k ⩽ n. En effet,

{ω}^{k} est une classe non nulle de H^{2k}(X, ℝ).

5.4. Exemple. L’espace projectif complexe ℙ^{n} possède une métrique kählérienne ω naturelle, appelée métrique de Fubini-Study, définie par

p^{⋆}ω = \frac{i}{2π} d′d′′ log (|ζ_{0}|^{2} + |ζ_{1}|^{2} + ⋯ + |ζ_{n}|^{2})

où ζ_{0}, ζ_{1}, …, ζ_{n} sont les coordonnées de ℂ^{n+1} et où p : ℂ^{n+1} \ {0} → ℙ^{n} est la projection. Soit z = (ζ_{1}/ζ_{0}, …, ζ_{n}/ζ_{0}) les coordonnées non homogènes de la carte ℂ^{n} ⊂ ℙ^{n}. Un calcul montre que

ω = \frac{i}{2π} d′d′′ log(1 + |z|^{2}) = \frac{i}{2π} Θ(𝒪(1)), ∫_{ℙ^{n}} ω^{n} = 1.

Comme les seuls groupes de cohomologie entière non nuls de ℙ^{n} sont H^{2p}(ℙ, ℤ) ≃ ℤ pour 0 ⩽ p ⩽ n, nous voyons que h = {ω} ∈ H^{2}(ℙ^{n}, ℤ) est un générateur de l’anneau de cohomologie H^{•}(ℙ^{n}, ℤ). En d’autres termes, H^{•}(ℙ^{n}, ℤ) ≃ ℤ[h]/(h^{n+1}) comme anneau.

5.5. Exemple. Un tore complexe est un quotient X = ℂ^{n}/Γ de ℂ^{n} par un réseau Γ de rang 2n. C’est donc une variété complexe compacte. Toute forme hermitienne définie positive ω = i ∑ h_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} à coefficients constants sur ℂ^{n} définit une métrique kählérienne sur X.

5.6. Exemple. Toute sous-variété complexe X d’une variété kählérienne (Y, ω′) est kählérienne pour la métrique induite ω = ω′_{↾X}. En particulier, toute variété projective est kählérienne (par définition, une variété projective est une sousvariété fermée X ⊂ ℙ^{n} d’un espace projectif) ; dans ce cas, si ω′ désigne la métrique de Fubini-Study sur ℙ^{n}, nous avons la propriété supplémentaire que la classe {ω} := {ω′}_{↾X} ∈ H_{DR}^{2}(X, ℝ) est entière, i.e., est l’image d’une classe entière de H^{2}(X, ℤ). Une métrique kählérienne ω de classe de cohomologie entière est appelée métrique de Hodge.

5.7. Exemple. Considérons la surface complexe

X = (ℂ^{2} \ {0})/Γ

où Γ = {λ^{n} ; n ∈ ℤ}, λ ∈ ]0, 1[, est vu comme groupe d’homothéties. Puisque ℂ^{2} \ {0} est difféomorphe à ℝ_{+}^{⋆} × S^{3}, nous avons X ≃ S^{1} × S^{3}. Par conséquent H^{2}(X, ℝ) = 0 grâce à la formule de Künneth, et la propriété 5.3 b) montre que X n’est pas kählérienne. Plus généralement, on peut prendre pour Γ un groupe cyclique infini engendré par des contractions holomorphes de ℂ^{2}, de la forme

( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}λ_{1}z_{1} \\ λ_{2}z_{2} \end{matrix} ) , resp. ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}λz_{1} \\ λz_{2} + z_{1}^{p} \end{matrix} ) ,

où λ, λ_{1}, λ_{2} sont des nombres complexes tels que 0 < |λ_{1}| ⩽ |λ_{2}| < 1, 0 < |λ| < 1, et p un entier positif. Ces surfaces non kählériennes sont appelées surfaces de Hopf.

Le théorème suivant montre qu’une métrique hermitienne ω sur X est kählérienne si et seulement si la métrique ω est tangente à l’ordre 2 à une métrique hermitienne à coefficients constants en tout point de X.

5.8. Théorème. Soit ω une (1, 1)-forme C^{∞} définie positive sur X. Pour que ω soit kählérienne, il faut et il suffit qu’en tout point x_{0} ∈ X il existe un système de coordonnées holomorphes (z_{1}, …, z_{n}) centré en x_{0} tel que

(5.9)  ω = i ∑_{1⩽l,m⩽n} ω_{lm} dz_{l} ∧ d\overline{z}_{m}, ω_{lm} = δ_{lm} + O(|z|^{2}).

Si ω est kählérienne, les coordonnées (z_{j})_{1⩽j⩽n} peuvent en fait être choisies telles que

(5.10)  ω_{lm} = ⟨\frac{∂}{∂z_{l}} , \frac{∂}{∂z_{m}} ⟩ = δ_{lm} − ∑_{1⩽j,k⩽n} c_{jklm} z_{j}\overline{z}_{k} + O(|z|^{3}),

où (c_{jklm}) sont les coefficients du tenseur de courbure de Chern

(5.11)  Θ(T_{X})_{x_{0}} = ∑_{j,k,l,m} c_{jklm} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} ⊗ (\frac{∂}{∂z_{l}} )^{⋆} ⊗ \frac{∂}{∂z_{m}}

associé à (T_{X}, ω) en x_{0}. Un tel système (z_{j}) sera appelé système de coordonnées géodésiques en x_{0}.

Preuve. Il est clair que (5.9) implique d_{x_{0}}ω = 0, par suite la condition est suffisante. Supposons maintenant que ω soit kählérienne. Alors on peut choisir des coordonnées locales (ζ_{1}, …, ζ_{n}) telles que (dζ_{1}, …, dζ_{n}) soit une base ωorthonormée de T_{x_{0}}^{⋆}X. Par conséquent

ω = i ∑_{1⩽l,m⩽n} ω̃_{lm} dζ_{l} ∧ d\overline{ζ}_{m}, où
(5.12)  ω̃_{lm} = δ_{lm} + O(|ζ|) = δ_{lm} + ∑_{1⩽j⩽n}(a_{jlm}ζ_{j} + a′_{jlm}\overline{ζ}_{j}) + O(|ζ|^{2}).

Puisque ω est réelle, nous avons a′_{jlm} = \overline{a}_{jml} ; d’autre part la condition de kählérianité ∂ω_{lm}/∂ζ_{j} = ∂ω_{jm}/∂ζ_{l} en x_{0} implique a_{jlm} = a_{ljm}. Posons maintenant

z_{m} = ζ_{m} + \frac{1}{2} ∑_{j,l} a_{jlm}ζ_{j}ζ_{l}, 1 ⩽ m ⩽ n.

§6. Identités fondamentales de la géométrie kählérienne 27

Alors (z_{m}) est un système de coordonnée locales en x_{0}, et

dz_{m} = dζ_{m} + ∑_{j,l} a_{jlm}ζ_{j}dζ_{l},
i ∑_{m} dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m} = i ∑_{m} dζ_{m} ∧ d\overline{ζ}_{m} + i ∑_{j,l,m} a_{jlm}ζ_{j} dζ_{l} ∧ d\overline{ζ}_{m}

+ i ∑_{j,l,m} \overline{a}_{jlm}\overline{ζ}_{j} dζ_{m} ∧ d\overline{ζ}_{l} + O(|ζ|^{2})

= i ∑_{l,m} ω̃_{lm} dζ_{l} ∧ \overline{d}ζ_{m} + O(|ζ|^{2}) = ω + O(|z|^{2}).

La condition (5.9) est demontrée. Supposons les coordonnées (ζ_{m}) choisies depuis le début en sorte que (5.9) ait lieu pour (ζ_{m}). Poursuivons alors le développement de Taylor (5.12) à l’ordre deux

ω̃_{lm} = δ_{lm} + O(|ζ|^{2}))

= δ_{lm} + ∑_{j,k} (a_{jklm}ζ_{j}\overline{ζ}_{k} + a′_{jklm}ζ_{j}ζ_{k} + a′′_{jklm}\overline{ζ}_{j}\overline{ζ}_{k}) + O(|ζ|^{3}). (5.13)

Les nouveaux coefficients introduits satisfont la relation

a′_{jklm} = a′_{kjlm}, a′′_{jklm} = \overline{a}′_{jkml}, \overline{a}_{jklm} = a_{kjml}.

La condition de kählérianité ∂ω_{lm}/∂ζ_{j} = ∂ω_{jm}/∂ζ_{l} en ζ = 0 fournit l’égalité a′_{jklm} = a′_{lkjm}; en particulier a′_{jklm} est invariant par toute permutation de j, k, l. Si on pose

z_{m} = ζ_{m} + \frac{1}{3} ∑_{j,k,l} a′_{jklm} ζ_{j}ζ_{k}ζ_{l}, 1 ⩽ m ⩽ n,

alors grâce à (5.13) on trouve

dz_{m} = dζ_{m} + ∑_{j,k,l} a′_{jklm} ζ_{j}ζ_{k} dζ_{l}, 1 ⩽ m ⩽ n,
ω = i ∑_{1⩽m⩽n} dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m} + i ∑_{j,k,l,m} a_{jklm} ζ_{j}\overline{ζ}_{k} dζ_{l} ∧ d\overline{ζ}_{m} + O(|ζ|^{3}),
(5.14)  ω = i ∑_{1⩽m⩽n} dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m} + i ∑_{j,k,l,m} a_{jklm} z_{j}\overline{z}_{k} dz_{l} ∧ d\overline{z}_{m} + O(|z|^{3}).

Il est maintenant facile de calculer le tenseur de courbure de Chern Θ(T_{X})_{x_{0}} en termes des coefficients a_{jklm} et de vérifier que c_{jklm} = −a_{jklm}. Nous laissons cette vérification au lecteur à titre d’exercice.

§6. Identités fondamentales de la géométrie kählérienne

§6.A. Opérateurs de la géométrie hermitienne

Soit (X, ω) une variété hermitienne et soient z_{j} = x_{j} + iy_{j}, 1 ⩽ j ⩽ n, des coordonnées ℂ-analytiques en un point a ∈ X, telles que ω(a) = i ∑ dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j} soit diagonalisée en ce point. La forme hermitienne associée est h(a) = 2 ∑ dz_{j} ⊗ d\overline{z}_{j} et sa partie réelle est la métrique euclidienne 2 ∑(dx_{j})^{2} + (dy_{j})^{2}. Il s’ensuit que |dx_{j}| = |dy_{j}| = 1/\sqrt{2}, |dz_{j}| = |d\overline{z}_{j}| = 1, et que (∂/∂z_{1}, …, ∂/∂z_{n}) est une base orthonormée de (T_{a}^{⋆}X, ω). La formule (4.1) pour u_{j}, v_{k} dans la somme orthogonale (ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} = T_{X}^{⋆} ⊕ \overline{T_{X}^{⋆}} définit un produit scalaire naturel sur l’algèbre extérieure Λ^{•}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}. La norme d’une forme

u = ∑_{I,J} u_{I,J}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} ∈ Λ^{•}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}

au point a est alors donnée par

(6.1)  |u(a)|^{2} = ∑_{I,J} |u_{I,J}(a)|^{2}.

L’opérateur ⋆ de Hodge (4.2) peut être étendu aux formes à valeurs complexes par la formule

(6.2)  u ∧ \overline{⋆v} = ⟨u, v⟩ dV.

Il s’ensuit que ⋆ est une isométrie ℂ-linéaire

⋆ : Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⟶ Λ^{n−q,n−p}T_{X}^{⋆}.

Les opérateurs usuels de la géométrie hermitienne sont les opérateurs d, δ = −⋆d ⋆, le laplacien Δ = dδ + δd déjà définis, et leurs analogues complexes

(6.3) \{ \begin{matrix}d & = d′ + d′′, \\ δ & = d^{′⋆} + d^{′′⋆}, d^{′⋆} = (d′)^{⋆} = − ⋆ d′′⋆, d^{′′⋆} = (d′′)^{⋆} = − ⋆ d′⋆, \\ Δ′ & = d′d^{′⋆} + d^{′⋆}d′, Δ′′ = d′′d^{′′⋆} + d^{′′⋆}d′′. \end{matrix}

On dira qu’un opérateur est de degré pur r s’il transforme une forme de degré k en une forme de degré k + r, et de même, un opérateur de bidegré pur (s, t) est un opérateur qui transforme les (p, q)-formes en formes de bidegré (p + s, q + t) (son degré total est alors bien entendu r = s+t). Ainsi d′, d′′, d^{′⋆}, d^{′′⋆}, Δ′, Δ′′ sont de bidegrés respectifs (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 0). Un autre opérateur important est l’opérateur L de bidegré (1, 1) défini par

(6.4)  Lu = ω ∧ u,

et son adjoint Λ = L^{⋆} = ⋆^{−1}L ⋆ de bidegré (−1, −1) :

(6.5)  ⟨u, Λv⟩ = ⟨Lu, v⟩.

Observons que le groupe unitaire U(T_{X}) ≃ U(n) possède une action naturelle sur l’espace des (p, q)-formes, donnée par

U(n) × Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ∋ (g, v) ⟼ (g^{−1})^{⋆}v.

Cette action fait de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} une représentation unitaire de U(n). Comme la métrique ω est invariante, il est clair que L et Λ commutent à l’action de U(n).

§6.B. Identités de commutation

Si A, B sont des endomorphismes (de degré pur) du module gradué M^{•} = C^{∞}(X, Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}), leur commutateur gradué (ou crochet de Lie gradué) est défini par

(6.6)  [A, B] = AB − (−1)^{ab}BA

où a, b sont les degrés de A et B respectivement. Si C est un autre endomorphisme de degré c, on a l’identité de Jacobi purement formelle suivante :

(6.7)  (−1)^{ca}[A, [B, C]] + (−1)^{ab}[B, [C, A]] + (−1)^{bc}[C, [A, B]] = 0.

Pour tout α ∈ Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}, nous désignerons encore par α l’endomorphisme associé de type (p, q), opérant sur Λ^{•,•}T_{X}^{⋆} par la formule u ↦ α ∧ u.

Soit γ ∈ Λ^{1,1}T_{X}^{⋆} une (1, 1)-forme réelle. Il existe une base ω-orthogonale (ζ_{1}, ζ_{2}, …, ζ_{n}) de T_{X} qui diagonalise les deux formes ω et γ simultanément :

ω = i ∑_{1⩽j⩽n} ζ_{j}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{j}^{⋆}, γ = i ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j} ζ_{j}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{j}^{⋆}, γ_{j} ∈ ℝ.

6.8. Proposition. Pour toute forme u = ∑ u_{J,K} ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}, on a

[γ, Λ]u = ∑_{J,K} ( ∑_{j∈J} γ_{j} + ∑_{j∈K} γ_{j} − ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j})u_{J,K} ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}.

Preuve. Si u est de type (p, q), un calcul brutal donne

Λu = i(−1)^{p} ∑_{J,K,l} u_{J,K} (ζ_{l} ζ_{J}^{⋆}) ∧ (\overline{ζ}_{l} \overline{ζ}_{K}^{⋆}), 1 ⩽ l ⩽ n,
γ ∧ u = i(−1)^{p} ∑_{J,K,m} γ_{m}u_{J,K} ζ_{m}^{⋆} ∧ ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{m}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}, 1 ⩽ m ⩽ n,
[γ, Λ]u = ∑_{J,K,l,m} γ_{m} u_{J,K}((ζ_{l}^{⋆} ∧ (ζ_{m} ζ_{J}^{⋆})) ∧ (\overline{ζ}_{l}^{⋆} ∧ (\overline{ζ}_{m} \overline{ζ}_{K}^{⋆}))
− (ζ_{m} (ζ_{l}^{⋆} ∧ ζ_{J}^{⋆})) ∧ (\overline{ζ}_{m} (\overline{ζ}_{l}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆})))

= ∑_{J,K,m} γ_{m} u_{J,K}(ζ_{m}^{⋆} ∧ (ζ_{m} ζ_{J}^{⋆}) ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}

+ ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{m}^{⋆} ∧ (\overline{ζ}_{m} \overline{ζ}_{K}^{⋆}) − ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆})

= ∑_{J,K} ( ∑_{m∈J} γ_{m} + ∑_{m∈K} γ_{m} − ∑_{1⩽m⩽n} γ_{m})u_{J,K} ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}.

6.9. Corollaire. Pour tout u ∈ Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}, on a [L, Λ]u = (p + q − n)u.

Preuve. En effet, si γ = ω, les valeurs propres de γ sont γ_{1} = ⋯ = γ_{n} = 1.

Introduisons l’opérateur B = [L, Λ] tel que Bu = (p + q − n)u pour u de bidegré (p, q). Comme L est de degré 2, on obtient aussitôt [B, L] = 2L, et de même [B, Λ] = −2Λ. Ceci suggère d’introduire l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(2, ℂ) (matrices de trace nulle, avec le crochet de commutation usuel [α, β] = αβ−βα des matrices), dont les 3 matrices de base

(6.10)  ℓ = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,  λ = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,  b = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

vérifient les relations de commutation

[ℓ, λ] = b,  [b, ℓ] = 2ℓ,  [b, λ] = −2λ.

6.11. Corollaire. On a une action naturelle de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(2, ℂ) sur l’espace vectoriel Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}, i.e. un morphisme d’algèbres de Lie ρ : 𝔰𝔩(2, ℂ) → End(Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}), tel que ρ(ℓ) = L, ρ(λ) = Λ, ρ(b) = B.

Nous allons maintenant expliciter d’autres identités de commutation très importantes. Supposons d’abord que X = Ω ⊂ ℂ^{n} soit un ouvert de ℂ^{n} et que ω soit la métrique kählérienne standard,

ω = i ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}.

Pour toute forme u ∈ C^{∞}(Ω, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) on a

(6.12′)  d′u = ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} dz_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J},

(6.12′′)  d′′u = ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂\overline{z}_{k}} d\overline{z}_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}.

Comme le produit scalaire global L^{2} est donné par

⟨⟨u, v⟩⟩ = ∫_{Ω} ∑_{I,J} u_{I,J} \overline{v}_{I,J} dV,

des calculs faciles analogues à ceux de l’exemple 4.12 montrent que

(6.13′)  d^{′⋆}u = − ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂\overline{z}_{k}} \frac{∂}{∂z_{k}} (dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}),

(6.13′′)  d^{′′⋆}u = − ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}).

Nous énonçons d’abord un lemme dû à Akizuki et Nakano [AN54].

6.14. Lemme. Dans ℂ^{n}, on a [d^{′′⋆}, L] = i d′.

Preuve. La formule (6.13′′) peut se récrire plus brièvement

d^{′′⋆}u = − ∑_{k} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (\frac{∂u}{∂z_{k}} ).

Nous obtenons alors

[d^{′′⋆}, L]u = − ∑_{k} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (\frac{∂}{∂z_{k}} (ω ∧ u)) + ω ∧ ∑_{k} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (\frac{∂u}{∂z_{k}} ).

Puisque ω est à coefficients constants, on a \frac{∂}{∂z_{k}} (ω∧u) = ω∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} et par conséquent

\begin{aligned}[d^{′′⋆}, L] u & = − ∑_{k} (\frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (ω ∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} ) − ω ∧ (\frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} \frac{∂u}{∂z_{k}} )) \\ & = − ∑_{k} (\frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} ω) ∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} . \end{aligned}

Or, il est clair que \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} ω = −i dz_{k}, donc

[d^{′′⋆}, L] u = i ∑_{k} dz_{k} ∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} = i d′u.

Nous sommes maintenant prêts pour établir les relations de commutation de base dans le cas d’une variété kählérienne arbitraire (X, ω).

6.15. Théorème. Si (X, ω) est kählérienne, alors

\begin{aligned}[d^{′′⋆}, L] & = & i d′, & [d^{′⋆}, L] & = − & i d′′, \\ [Λ, d′′] & = − & i d^{′⋆}, & [Λ, d′] & = & i d^{′′⋆}. \end{aligned}

Preuve. Il suffit de vérifier la première relation, car la seconde est la conjuguée de la première, et les relations de la deuxième ligne sont adjointes de celles de la première ligne. Si (z_{j}) est un système de coordonnées géodesiques en un point x_{0} ∈ X, alors pour toutes (p, q)-formes u, v à support compact dans un voisinage de x_{0}, (5.9) implique

⟨⟨u, v⟩⟩ = ∫_{M} ( ∑_{I,J} u_{IJ} \overline{v}_{IJ} + ∑_{I,J,K,L} a_{IJKL} u_{IJ} \overline{v}_{KL}) dV,

avec a_{IJKL}(z) = O(|z|^{2}) en x_{0}. Une intégration de parties analogue à celle pratiquée pour obtenir (4.12) et (6.13′′) donne

d^{′′⋆}u = − ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}) + ∑_{I,J,K,L} b_{IJKL} u_{IJ} dz_{K} ∧ d\overline{z}_{L},

où les coefficients b_{IJKL} sont obtenus par dérivation des a_{IJKL}. Par conséquent nous avons b_{IJKL} = O(|z|). Puisque ∂ω/∂z_{k} = O(|z|), la démonstration du lemme 6.14 implique ici [d^{′′⋆}, L]u = i d′u + O(|z|), en particulier les deux termes coïncident au point x_{0} ∈ X fixé d’avance.

6.16. Corollaire. Si (X, ω) est kählérienne, les opérateurs de Laplace-Beltrami complexes sont tels que

Δ′ = Δ′′ = \frac{1}{2}Δ.

Preuve. Montrons d’abord que Δ′′ = Δ′. On a

Δ′′ = [d′′, d^{′′⋆}] = −i[d′′, [Λ, d′]].

Puisque [d′, d′′] = 0, l’identité de Jacobi (6.7) implique

−[d′′, [Λ, d′]] + [d′, [d′′, Λ]] = 0,

donc Δ′′ = [d′, −i[d′′, Λ]] = [d′, d^{′⋆}] = Δ′. D’autre part

Δ = [d′ + d′′, d^{′⋆} + d^{′′⋆}] = Δ′ + Δ′′ + [d′, d^{′′⋆}] + [d′′, d^{′⋆}].

Il suffit donc de prouver :

6.17. Lemme. [d′, d^{′′⋆}] = 0, [d′′, d^{′⋆}] = 0.

Preuve. Nous avons [d′, d^{′′⋆}] = −i[d′, [Λ, d′]] et (6.7) implique

−[d′, [Λ, d′]] + [Λ, [d′, d′]] + [d′, [d′, Λ]] = 0,

donc −2[d′, [Λ, d′]] = 0 et [d′, d^{′′⋆}] = 0. La deuxième relation [d′′, d^{′⋆}] = 0 est l’adjointe de la première.

6.18. Théorème. Si (X, ω) est kählérienne, Δ commute avec tous les opérateurs ⋆, d′, d′′, d^{′⋆}, d^{′′⋆}, L, Λ.

Preuve. Les identités [d′, Δ′] = [d^{′⋆}, Δ′] = 0, [d′′, Δ′′] = [d^{′′⋆}, Δ′′] = 0 et [Δ, ⋆] = 0 sont immédiates. De plus, l’égalité [d′, L] = d′ω = 0 combinée avec l’identité de Jacobi implique

[L, Δ′] = [L, [d′, d^{′⋆}]] = −[d′, [d^{′⋆}, L]] = i[d′, d′′] = 0.

Par adjonction, nous obtenons [Δ′, Λ] = 0.

§6.C. Éléments primitifs et isomorphisme de Lefschetz

Pour établir le théorème de Lefschetz, il est commode d’utiliser la représentation de 𝔰𝔩(2, ℂ) exhibée au Cor. 6.11. Rappelons d’abord que si 𝔤 est une sous-algèbre de Lie (réelle ou complexe) de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(r, ℂ) = End(ℂ^{r}) des matrices complexes et si G = exp(𝔤) ⊂ GL(r, ℂ) est le groupe de Lie associé, une représentation ρ : 𝔤 → End(V) de l’algèbre de Lie dans un espace vectoriel complexe V induit par exponentiation une représentation ρ̃ : G → GL(V) du groupe G. Inversement, une représentation ρ̃ : G → GL(V) induit par différentiation une représentation ρ : 𝔤 → End(V) de l’algèbre de Lie ; il y a donc identité entre les deux notions. Si G est compact, un lemme classique de H. Weyl montre que toute représentation de 𝔤 se scinde en somme directe de représentations irréductibles (on dit alors que 𝔤 est réductive) : la mesure de Haar de G permet en effet de construire une métrique hermitienne invariante sur V, et on exploite le fait que l’orthogonal d’une sous-représentation est une sous-représentation. En particulier l’algèbre de Lie 𝔰𝔲(r) du groupe compact SU(r) est réductive. Il en est de même de 𝔰𝔩(r, ℂ) qui est la complexifiée de 𝔰𝔲(r). Nous aurons besoin du lemme suivant bien connu en théorie des représentations.

6.19. Lemme. Soit ρ : 𝔰𝔩(2, ℂ) → End(V) une représentation de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(2, ℂ) sur un espace vectoriel complexe de dimension finie V, et soient

L = ρ(ℓ), Λ = ρ(λ), B = ρ(b) ∈ End(V)

les endomorphismes de V associés aux éléments de base de 𝔰𝔩(2, ℂ). Alors :

a) V = ⨁_{μ∈ℤ} V_{μ} est somme directe (finie) des espaces propres de B, dont les valeurs propres μ sont des entiers. Un élément v ∈ V_{μ} est dit élément de poids pur μ.

b) L et Λ sont nilpotents, tels que L(V_{μ}) ⊂ V_{μ+2}, Λ(V_{μ}) ⊂ V_{μ−2} pour tout μ ∈ ℤ.

c) On note P = Ker Λ = {v ∈ V ; Λv = 0}, qui est appelé ensemble des éléments primitifs. On a alors une décomposition en somme directe

V = ⨁_{r∈ℕ} L^{r}(P).

d) V est isomorphe à une somme directe finie ⨁_{m∈ℕ} S(m)^{⊕α_{m}} de représentations irréductibles, où S(m) ≃ S^{m}(ℂ^{2}) est la représentation de 𝔰𝔩(2, ℂ) induite par la puissance symétrique m-ième de la représentation naturelle de SL(2, ℂ) sur ℂ^{2}, et α_{m} = dim P_{m} est la multiplicité de la composante isotypique S(m).

e) Si P_{μ} = P ∩ V_{μ}, alors P_{μ} = 0 pour μ > 0 et P = ⨁_{μ∈ℤ, μ⩽0} P_{μ}. L’endomorphisme L^{r} : P_{−m} → V_{m+2r} est injectif pour r ⩽ m et nul pour r > m.

f) V_{μ} = ⨁_{r∈ℕ, r⩾μ} L^{r}(P_{μ−2r}),  où  L^{r} : P_{μ−2r} → L^{r}(P_{μ−2r}) est bijectif.

g) Pour tout r ∈ ℕ, l’endomorphisme L^{r} : V_{−r} → V_{r} est bijectif.

Preuve. On fait d’abord l’observation suivante : si v ∈ V_{μ}, alors Lv est de poids pur μ + 2 et Λv de poids pur μ − 2. En effet, on a

\begin{aligned}BLv & = LBv + [B, L]v = L(μv) + 2Lv = (μ + 2)Lv, \\ BΛv & = ΛBv + [B, Λ]v = Λ(μv) − 2Λv = (μ − 2)Λv. \end{aligned}

Supposons maintenant V ≠ 0 et soit v ∈ V_{μ} un vecteur propre non nul. Si les vecteurs (Λ^{k}v)_{k∈ℕ} étaient tous non nuls, on aurait une infinité de vecteurs propres de B de valeurs propres μ − 2k distinctes, ce qui est impossible. Donc il existe un entier r ⩾ 0 tel que Λ^{r}v ≠ 0 et Λ^{k}v = 0 pour k > r, par suite Λ^{r}v est un élément primitif non nul de poids pur μ′ = μ − 2r. Soit maintenant w ∈ P un élément non nul de poids pur μ (on vient de voir qu’il en existe pour au moins un μ ∈ ℂ). Le même raisonnement que ci-dessus appliqué aux puissances L^{k}w montre qu’il existe un entier m > 0 tel que L^{m}w ≠ 0 et L^{m+1}w = 0. L’espace vectoriel W de dimension m + 1 engendré par w_{k} = L^{k}w, 0 ⩽ k ⩽ m est stable par l’action de 𝔰𝔩(2, ℂ). On a en effet Bw_{k} = (μ + 2k)w_{k}, Lw_{k} = w_{k+1} par définition, tandis que

Λw_{k} = ΛL^{k}w = L^{k}Λw − ∑_{0⩽j⩽k−1} L^{k−j−1}[L, Λ]L^{j}w

= 0 − ∑ L^{k−j−1}BL^{j}w = − ∑_{0⩽j⩽k−1}(μ + 2j)L^{k−1}w

= k(−μ − k + 1)w_{k−1}.

En appliquant cette relation à l’indice k = m + 1 pour lequel w_{m+1} = 0, on voit qu’on doit avoir nécessairement μ = −m ⩽ 0. On remarque que B_{↾W} est diagonalisable (les vecteurs propres étant les vecteurs w_{k}, de poids entiers 2k − m), et que les éléments primitifs de W se réduisent à la droite ℂw, telle que W = ⨁ L^{r}(ℂw). Les propriétés (a,b,c,d) annoncées s’obtiennent alors facilement par récurrence sur dim V. En considérant la représentation quotient V/W on voit en effet aussitôt par récurrence que les valeurs propres de B sont des entiers et que L, Λ sont nilpotents. Il est facile de vérifier que W ≃ S^{m}(ℂ^{2}) comme représentation de SL(2, ℂ) (si e_{1}, e_{2} sont les deux vecteurs de base de ℂ^{2}, l’isomorphisme envoie w = w_{0} sur e_{1}^{m} et w_{k} sur L^{k}e_{1}^{m} = m(m − 1) ⋯ (m − k + 1)e_{1}^{k}e_{2}^{m−k}). Le fait qu’on ait une somme directe de représentations V = V′ ⊕ W (avec V′ = W^{⊥} ⊂ V pour une certaine métrique SU(2, ℂ)-invariante) entraîne par récurrence sur dim V que B est diagonalisable, ainsi que la formule V = ⨁ L^{r}(P) et la décomposition d).

e) La relation [B, Λ] = −2Λ montre que P = Ker Λ est stable par B, par suite

P = ⨁(P ∩ V_{μ}) = ⨁ P_{μ}.

Les calculs faits plus haut montrent que les éléments primitifs purs non nuls w sont de poids −m ⩽ 0, de sorte que P_{μ} = 0 si μ > 0. La dernière assertion de e) résulte du fait que pour 0 ≠ w ∈ P_{−m} on a L^{r}w ≠ 0 si et seulement si r ⩽ m. f) Conséquence immédiate de e) et de la décomposition V = ⨁_{r∈ℕ} L^{r}(P), si l’on se restreint aux seuls éléments de poids pur μ ; on ne peut avoir L^{r}(P_{μ−2r}) ≠ 0 que si r ⩽ m = −(μ − 2r), soit r ⩾ μ.

g) Il suffit de vérifier l’assertion dans le cas d’une représentation irréductible V ≃ S^{m}(ℂ^{2}). Dans ce cas, le résultat est clair, puisque les poids 2k−m, 0 ⩽ k ⩽ m, se répartissent symétriquement dans l’intervalle [−m, m] et que V est engendré par (L^{k}w)_{0⩽k⩽m} pour tout vecteur non nul w de V_{−m}.

Nous retraduisons maintenant ces résultats dans le cas de la représentation de 𝔰𝔩(2, ℂ) sur V = Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}. La composante Λ^{k}(ℂ⊗T_{X})^{⋆} = ⨁_{p+q=k} Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} s’identifie alors à l’espace propre V_{μ} de B de poids μ = k − n = p + q − n (par définition même de B, voir (6.9)).

6.20. Définition. Une forme homogène u ∈ Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} est appelée primitive si Λu = 0. L’espace des formes primitives de degré total k sera noté

Prim^{k} T_{X}^{⋆} = ⨁_{p+q=k} Prim^{p,q} T_{X}^{⋆}.

Puisque l’opérateur Λ commute avec l’action de U(T_{X}) ≃ U(n) sur l’algèbre extérieure, il est clair que Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} ⊂ Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} est un sous-espace U(n)-invariant. On verra plus loin (prop. 6.24) que Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} est en fait une représentation irréductible de U(n). Les propriétés (6.19 e, f, g) impliquent successivement

6.21. Proposition. On a Prim^{k} T_{X}^{⋆} = 0 pour k > n. De plus, si u ∈ Prim^{k} T_{X}^{⋆}, k ⩽ n, alors L^{r}u = 0 pour r > n − k.

6.22. Formule de décomposition primitive. Pour tout u ∈ Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}, il existe une décomposition unique

u = ∑_{r⩾(k−n)_{+}} L^{r}u_{k−2r}, u_{k−2r} ∈ Prim^{k−2r} T_{X}^{⋆}.

Par conséquent, on obtient une décomposition en somme directe de représentations de U(n)

Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} = ⨁_{r⩾(k−n)_{+}} L^{r} Prim^{k−2r} T_{X}^{⋆},

Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} = ⨁_{r⩾(p+q−n)_{+}} L^{r} Prim^{p−r,q−r} T_{X}^{⋆}.

6.23. Isomorphisme de Lefschetz. Les opérateurs linéaires

\begin{matrix}L^{n−k} : Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} & ⟶ Λ^{2n−k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}, \\ L^{n−p−q} : Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} & ⟶ Λ^{n−q,n−p}T_{X}^{⋆}, \end{matrix}

sont des isomorphismes pour tous les entiers k ⩽ n et (p, q) tels que p + q ⩽ n.

6.24. Proposition. Pour tout (p, q) ∈ ℕ^{2} tel que p + q ⩽ n, Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} est une représentation irréductible de U(n) ; plus précisément, c’est la représentation irréductible associée au plus haut poids ε_{1} + ⋯ + ε_{q} − (ε_{n−p+1} + ⋯ + ε_{n}), où (ε_{j}) est la base canonique des caractères du sous-groupe commutatif maximal U(1)^{n} ⊂ U(n). La décomposition primitive de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ou de Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} n’est autre que la décomposition en composantes irréductibles sous l’action de U(n).

Preuve. On observe d’abord que Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} ≠ 0, puisqu’on a par exemple

dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{p} ∧ d\overline{z}_{p+1} ∧ ⋯ ∧ d\overline{z}_{p+q} ∈ Prim^{p,q} T_{X}^{⋆}

La décomposition primitive donne par ailleurs

Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} = ⨁_{0⩽r⩽m} L^{r} Prim^{p−r,q−r} T_{X}^{⋆}

avec m = min(p, q), ce qui montre que le U(n)-module Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} possède au moins m + 1 composantes irréductibles non triviales, à savoir celles de chacun des termes Prim^{p−r,q−r} T_{X}^{⋆}, 0 ⩽ r ⩽ m. Pour voir que ceux-ci sont irréductibles, il suffit donc de montrer que le U(n)-module Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} possède au plus (m+1) composantes irréductibles. Or, par complexification de la représentation de U(n), on obtient une représentation isomorphe à celle de GL(n, ℂ) sur Λ^{p}T_{X}^{⋆} ⊗ Λ^{q}T_{X} donnée par g·(u⊗ξ) = (g^{−1})^{⋆}u⊗g_{⋆}ξ. La théorie des représentations du groupe linéaire montre que les composantes irréductibles d’une représentation sont en correspondance biunivoque avec les vecteurs propres pour l’action du sous-groupe de Borel B_{n} des matrices triangulaires supérieures. Un calcul laissé au lecteur montre que ces vecteurs propres correspondent précisément aux (p, q)-formes

L^{r}(dz_{n−p+r+1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n} ∧ d\overline{z}_{1} ∧ ⋯ ∧ d\overline{z}_{q−r}), 0 ⩽ r ⩽ m,

dont le poids sous l’action de U(1)^{n} est ε_{1} + ⋯ + ε_{q−r} − (ε_{n−p+r+1} + ⋯ + ε_{n}).

§7. Groupes ℋ ^{p,q}(X, E) et dualité de Serre

Nous arrivons maintenant aux aspects spécifiquement holomorphes de la théorie de Hodge. Une grande partie de cette théorie a été developpée par K. Kodaira, S. Lefschetz et A. Weil. Le lecteur pourra consulter avec profit les Œuvres Complètes de Kodaira [Kod75] et le livre de A. Weil [Wei57] ; voir aussi [Wel80] pour un exposé plus récent.

Soit (X, ω) une variété hermitienne compacte et E un fibré vectoriel holomorphe hermitien de rang r sur X. Nous noterons D_{E} la connexion de Chern de E, D_{E}^{⋆} = − ⋆ D_{E} ⋆ l’adjoint formel de D_{E}, et D_{E}^{′⋆} , D_{E}^{′′⋆} les composantes de D_{E}^{⋆} de type (−1, 0) et (0, −1). Un calcul similaire à ceux faits en 4.14 montre que

σ_{D′′_{E}}(x, ξ) · s = ξ^{0,1} ∧ s, ξ ∈ ^{ℝ}T_{X}^{⋆} = Hom_{ℝ}(T_{X}, ℝ), s ∈ E_{x},

§7. Groupes ℋ ^{p,q}(X, E) et dualité de Serre 37

où ξ^{(0,1)} est la partie de type (0, 1) de la 1-forme réelle ξ. Par conséquent, nous voyons que la partie principale de l’opérateur Δ′′_{E} = D′′_{E}D_{E}^{′′⋆} + D_{E}^{′′⋆}D′′_{E} est

σ_{Δ′′_{E}}(x, ξ) · s = −|ξ^{0,1}|^{2}s = −\frac{1}{2}|ξ|^{2}s,

et on a bien sûr un résultat semblable pour Δ′_{E}. En particulier σ_{Δ′_{E}} = σ_{Δ′′_{E}} = \frac{1}{2}σ_{Δ_{E}} et Δ′′_{E} est un opérateur elliptique auto-adjoint sur chacun des espaces C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗E). Puisque D_{E}^{′′2} = 0, le résultat suivant se démontre de la même façon que ceux obtenus au § 4.C.

7.1. Théorème. Pour tout bidegré (p, q), il existe une décomposition orthogonale

C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) = ℋ^{p,q}(X, E) ⊕ Im D′′_{E} ⊕ Im D_{E}^{′′⋆}

où ℋ^{p,q}(X, E) est l’espace des formes Δ′′_{E}-harmoniques de C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E).

La décomposition ci-dessus montre que le sous-espace des q-cocycles du complexe (C^{∞}(X, Λ^{p,•}T_{X}^{⋆} ⊗E), d′′) est ℋ^{p,q}(X, E)⊕Im D′′_{E}. De là, nous déduisons le

7.2. Théorème d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, E) sont de dimension finie, et il y a un isomorphisme

H^{p,q}(X, E) ≃ ℋ^{p,q}(X, E).

Une autre conséquence intéressante est une preuve du théorème de dualité de Serre pour les variétés complexes compactes. Voir Serre [Ser55] pour une démonstration dans un contexte quelque peu plus général.

7.3. Théorème de dualité de Serre. L’accouplement bilinéaire

H^{p,q}(X, E) × H^{n−p,n−q}(X, E^{⋆}) ⟶ ℂ, (s, t) ⟼ ∫_{M} s ∧ t

est une dualité non dégénérée.

Preuve. Soient s_{1} ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗E), s_{2} ∈ C^{∞}(X, Λ^{n−p,n−q−1}T_{X}^{⋆} ⊗E). Puisque s_{1} ∧ s_{2} est de bidegré (n, n − 1), nous avons

(7.4)  d(s_{1} ∧ s_{2}) = d′′(s_{1} ∧ s_{2}) = d′′s_{1} ∧ s_{2} + (−1)^{p+q}s_{1} ∧ d′′s_{2}.

La formule de Stokes implique que l’accouplement bilinéaire ci-dessus peut être factorisé au travers des groupes de cohomologie de Dolbeault. L’opérateur # défini au § 4.A est tel que

# : C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) ⟶ C^{∞}(X, Λ^{n−p,n−q}T_{X}^{⋆} ⊗ E^{⋆}).

De plus, (4.20) implique

D′′_{E^{⋆}}(# s) = (−1)^{deg s}# (D′′_{E})^{⋆}s, (D′′_{E^{⋆}})^{⋆}(# s) = (−1)^{deg s+1}# D_{E}^{′′⋆}s,
Δ′′_{E^{⋆}}(# s) = # Δ′′_{E}s,

où D_{E^{⋆}} est la connexion de Chern de E^{⋆}. Par conséquent, s ∈ ℋ^{p,q}(X, E) si et seulement si # s ∈ ℋ^{n−p,n−q}(X, E^{⋆}). Le théorème 7.3 est alors une conséquence du fait que l’intégrale ∥s∥^{2} = ∫_{X} s ∧ # s ne s’annule pas si s ≠ 0.

§8. Cohomologie des variétés kählériennes compactes

§8.A. Groupes de cohomologie de Bott-Chern

Soit X une variété complexe, non nécessairement compacte pour le moment. Les “groupes de cohomologie” suivants sont utiles pour décrire certains aspects de la théorie de Hodge des variétés complexes compactes qui ne sont pas nécessairement kählériennes.

8.1. Définition. On définit les groupes de cohomologie de Bott-Chern de X comme étant les groupes

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) = (C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) ∩ Ker d)/d′d′′C^{∞}(X, Λ^{p−1,q−1}T_{X}^{⋆}).

Alors H_{BC}^{•,•}(X, ℂ) a une structure d’algèbre bigraduée, que nous appellerons algèbre de cohomologie de Bott-Chern de X.

Comme le groupe d′d′′C^{∞}(X, Λ^{p−1,q−1}T_{X}^{⋆}) est contenu aussi bien dans le groupe des cobords d′′C^{∞}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆}) du complexe de Dolbeault que des cobords du complexe de De Rham dC^{∞}(X, Λ^{p+q−1}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}), il y a des morphismes canoniques

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ), (8.2)

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{p+q}(X, ℂ), (8.3)

de la cohomologie de Bott-Chern dans la cohomologie de Dolbeault ou de De Rham. Ces morphismes sont des homomorphismes de ℂ-algèbres. Il est également clair à partir de la définition que nous avons la propriété de symétrie H_{BC}^{q,p}(X, ℂ) = \overline{H_{BC}^{p,q}(X, ℂ)}. On peut montrer à partir de la suite spectrale de Hodge-Frölicher (voir § 10) que H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) est toujours de dimension finie si X est compacte.

§8.B. Théorème de décomposition de Hodge

On suppose à partir de maintenant que (X, ω) est une variété kählérienne compacte. L’égalité Δ = 2Δ′′ montre que Δ est homogène par rapport au bidegré et qu’il y a une décomposition orthogonale

(8.4)  ℋ^{k}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=k} ℋ^{p,q}(X, ℂ).

§8. Cohomologie des variétés kählériennes compactes 39

Comme \overline{Δ′′} = Δ′ = Δ′′, on a également ℋ^{q,p}(X, ℂ) = \overline{ℋ^{p,q}(X, ℂ)}. En utilisant le théorème d’isomorphisme de Hodge pour la cohomologie de De Rham et la cohomologie de Dolbeault, on obtient :

8.5. Théorème de Décomposition de Hodge. Sur une variété kählérienne compacte, il y a des isomorphismes canoniques

H_{DR}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, ℂ)  (décomposition de Hodge),
H^{q,p}(X, ℂ) ≃ \overline{H^{p,q}(X, ℂ)}  (symétrie de Hodge).

Le seul point qui n’est pas a priori complètement clair est que ces isomorphismes soient indépendants de la métrique kählérienne choisie. Pour montrer que c’est bien le cas, on peut utiliser le lemme suivant, qui va nous permettre de comparer les trois types de groupes de cohomologie considérés au § 8.A.

8.6. Lemme. Soit u une (p, q)-forme d-fermée. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) u est d-exacte ;

b′) u est d′-exacte ;

b′′) u est d′′-exacte ;

c) u est d′d′′-exacte, i.e. u peut s’écrire u = d′d′′v.

d) u est orthogonale à ℋ^{p,q}(X, ℂ).

Preuve. Il est évident que c) implique a), b′), b′′), et que a) ou b′) ou b′′) implique d). Il suffit donc de prouver que d) implique c). Comme du = 0, nous avons d′u = d′′u = 0, et comme u est supposée orthogonale à ℋ^{p,q}(X, ℂ), le th. 7.1 implique u = d′′s, s ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆}). Le théorème analogue au th. 7.1 pour d′ (qui s’en déduit d’ailleurs par conjugaison) montre qu’on a s = h + d′v + d^{′⋆}w, avec h ∈ ℋ^{p,q−1}(X, ℂ), v ∈ C^{∞}(X, Λ^{p−1,q−1}T_{X}^{⋆}) et w ∈ C^{∞}(X, Λ^{p+1,q−1}T_{X}^{⋆}). Par conséquent

u = d′′d′v + d′′d^{′⋆}w = −d′d′′v − d^{′⋆}d′′w

grâce au lemme 6.16. Comme d′u = 0, la composante d^{′⋆}d′′w orthogonale à Ker d′ doit être nulle.

Du lemme 8.6 nous déduisons le corollaire suivant, qui à son tour implique que la décomposition de Hodge ne dépend pas de la métrique kählérienne choisie.

8.7. Corollaire. Soit X une variété kählérienne compacte. Alors les morphismes naturels

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ),  ⨁_{p+q=k} H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{k}(X, ℂ)

sont des isomorphismes.

Preuve. La surjectivité de H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) → H^{p,q}(X, ℂ) vient du fait que toute classe de H^{p,q}(X, ℂ) peut être représentée par une (p, q)-forme harmonique, donc par une (p, q)-forme d-fermée ; la propriété d’injectivité n’est rien d’autre que l’équivalence (8.5 b′′) ⇔ (8.5 c). Donc H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ≃ H^{p,q}(X, ℂ) ≃ ℋ^{p,q}(X, ℂ), et l’isomorphisme

⨁_{p+q=k} H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{k}(X, ℂ)

se déduit de (8.4).

Mentionnons maintenant deux conséquences simples de la théorie de Hodge. La première concerne le calcul des groupes de cohomologie de Dolbeault de ℙ^{n}. Comme H^{p,p}(ℙ^{n}, ℂ) contient la classe non nulle {ω^{p}} et comme H_{DR}^{2p}(ℙ^{n}, ℂ) = ℂ, la formule de décomposition de Hodge implique :

8.8. Conséquence. Les groupes de cohomologie de Dolbeault de ℙ^{n} sont

H^{p,p}(ℙ^{n}, ℂ) = ℂ pour 0 ⩽ p ⩽ n, H^{p,q}(ℙ^{n}, ℂ) = 0 pour p ≠ q.

8.9. Proposition. Toute p-forme holomorphe sur une variété kählérienne compacte X est d-fermée.

Preuve. Si u est une forme holomorphe de type (p, 0) alors d′′u = 0. De plus d^{′′⋆}u est de type (p, −1), donc d^{′′⋆}u = 0. Par conséquent Δu = 2Δ′′u = 0, ce qui implique du = 0.

8.10. Exemple. Considérons le groupe de Heisenberg G ⊂ Gl_{3}(ℂ), défini comme le sous-groupe des matrices

M = ( \begin{matrix}1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , (x, y, z) ∈ ℂ^{3}.

Soit Γ le sous-groupe discret des matrices ayant leurs coefficients x, y, z dans l’anneau ℤ[i] (ou plus généralement dans un anneau d’entiers quadratiques imaginaires). Alors X = G/Γ est une variété complexe compacte de dimension 3, connue sous le nom de variété d’Iwasawa. L’égalité

M^{−1}dM = ( \begin{matrix}0 & dx & dz − xdy \\ 0 & 0 & dy \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

montre que dx, dy, dz − xdy sont des 1-formes holomorphes invariantes à gauche sur G. Ces formes induisent des 1-formes holomorphes sur le quotient X = G/Γ. Puisque dz − xdy n’est pas d-fermée, on voit que X ne peut pas être kählérienne.

8.11. Remarque. Nous avons travaillé ici avec des coefficients constants pour simplifier les notations, mais le lecteur pourra vérifier qu’on a des résultats tout à fait analogues pour la cohomologie à valeurs dans un système local de coefficients E (fibré hermitien plat), comme au § 4.C. Il suffit de remplacer partout dans les démonstrations l’opérateur d = d′ + d′′ par D_{E} = D′_{E} + D′′_{E}, et d’observer qu’on a encore Δ′_{E} = Δ′′_{E} = \frac{1}{2}Δ_{E} (preuve identique à celle du Cor. (6.15)). On en déduit alors l’existence d’isomorphismes

H_{BC}^{p,q}(X, E) ⟶ H^{p,q}(X, E),  ⨁_{p+q=k} H_{BC}^{p,q}(X, E) ⟶ H_{DR}^{k}(X, E)

et d’une décomposition canonique

H_{DR}^{k}(X, E) = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, E).

Dans ce contexte, la propriété de symétrie de Hodge devient

\overline{H^{p,q}(X, E)} ≃ H^{q,p}(X, E^{⋆}),

via l’opérateur antilinéaire # considéré aux § 4 et § 7. Ces observations sont utiles pour l’étude des variations de structure de Hodge.

§8.C. Décomposition primitive et théorème de Lefschetz difficile

Nous introduisons d’abord quelques notations standard. Les nombres de Betti et les nombres de Hodge de X sont par définition

(8.12)  b_{k} = dim_{ℂ} H^{k}(X, ℂ), h^{p,q} = dim_{ℂ} H^{p,q}(X, ℂ).

D’après la décomposition de Hodge, ces nombres satisfont les relations

(8.13)  b_{k} = ∑_{p+q=k} h^{p,q}, h^{q,p} = h^{p,q}.

En conséquence, les nombres de Betti b_{2k+1} d’une variété kählérienne compacte sont pairs. Noter que le théorème de dualité de Serre donne la relation supplémentaire h^{p,q} = h^{n−p,n−q}, vraie dès que X est compacte. Comme on va le voir, l’existence de la décomposition primitive implique beaucoup d’autres propriétés caractéristiques intéressantes de l’algèbre de cohomologie d’une variété kählérienne compacte.

8.14. Lemme. Si u = ∑_{r⩾(k−n)_{+}} L^{r}u_{r} est la décomposition primitive d’une kforme harmonique u, alors toutes les composantes u_{r} sont harmoniques.

Preuve. Comme [Δ, L] = 0, on obtient 0 = Δu = ∑_{r} L^{r}Δu_{r}, donc Δu_{r} = 0 d’après l’unicité de la décomposition.

Notons ℋ_{prim}^{k}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=k} ℋ_{prim}^{p,q}(X, ℂ) l’espace des k-formes harmoniques primitives et soit h_{prim}^{p,q} la dimension de la composante de bidegré (p, q). Le lemme (8.14) donne

(8.15)  ℋ^{p,q}(X, ℂ) = ⨁_{r⩾(p+q−n)_{+}} L^{r}ℋ_{prim}^{p−r,q−r}(X, ℂ),
(8.16)  h^{p,q} = ∑_{r⩾(p+q−n)_{+}} h_{prim}^{p−r,q−r}.

La Formule (8.16) peut se récrire

(8.16′)  \{ \begin{matrix}if p + q ⩽ n, h^{p,q} = h_{prim}^{p,q} + h_{prim}^{p−1,q−1} + ⋯ \\ if p + q ⩾ n, h^{p,q} = h_{prim}^{n−q,n−p} + h_{prim}^{n−q−1,n−p−1} + · · · . \end{matrix}

8.17. Corollaire. Les nombres de Hodge et de Betti satisfont les inégalités suivantes.

a) Si k = p + q ⩽ n, alors h^{p,q} ⩾ h^{p−1,q−1}, b_{k} ⩾ b_{k−2},

b) Si k = p + q ⩾ n, alors h^{p,q} ⩾ h^{p+1,q+1}, b_{k} ⩾ b_{k+2}.

Un autre résultat important de la théorie de Hodge (qui est en fait une conséquence directe du Cor. 6.23) est le

8.18. Théorème de Lefschetz difficile. Les morphismes de cup produit

\begin{matrix}L^{n−k} : H^{k}(X, ℂ) & ⟶ H^{2n−k}(X, ℂ), & k ⩽ n, \\ L^{n−p−q} : H^{p,q}(X, ℂ) & ⟶ H^{n−q,n−p}(X, ℂ), & p + q ⩽ n, \end{matrix}

sont des isomorphismes.

Une autre manière d’énoncer le théorème de Lefschetz difficile est d’introduire la forme bilinéaire de Hodge-Riemann sur H_{DR}^{k}(X, ℂ), définie par

(8.19)  Q(u, v) = (−1)^{k(k−1)/2} ∫_{X} u ∧ v ∧ ω^{n−k}.

Le théorème de Lefschetz difficile combiné avec la dualité de Poincaré nous dit que Q est non dégénérée. De plus Q est de parité (−1)^{k} (symétrique si k est pair, alternée si k est impair). Lorsque ω est une métrique de Hodge, c’est-à-dire une métrique kählérienne telle que {ω} ∈ H^{2}(X, ℤ), il est clair que Q prend des valeurs entières sur le réseau H^{k}(X, ℤ)/(torsion). La forme bilinéaire de Hodge-Riemann satisfait les propriétés supplémentaires suivantes : pour p + q = k,

Q(H^{p,q}, H^{p′,q′}) = 0 si (p′, q′) ≠ (q, p), (8.20′)

(8.20′′)  Si 0 ≠ u ∈ H_{prim}^{p,q}(X, ℂ),  alors i^{p−q}Q(u, \overline{u}) = ∥u∥^{2} > 0.

En fait (8.20′) est clair, et (8.20′′) sera démontré si nous vérifions que toute (p, q)- forme primitive u satisfait

(−1)^{k(k−1)/2}i^{p−q}ω^{n−k} ∧ \overline{u} = ⋆\overline{u}.

Puisque Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} est une représentation irréductible de U(n), il suffit de vérifier la formule pour une (p, q)-forme u bien choisie. On peut prendre par exemple u = dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{p} ∧ d\overline{z}_{p+1} ∧ ⋯ ∧ d\overline{z}_{p+q} dans une base orthonormale pour ω. La vérification effective est laissée au lecteur à titre d’exercice.

§8.D. Description du groupe de Picard

Un autre application importante de la théorie de Hodge est une description du groupe de Picard H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) d’une variété kählérienne compacte. Nous supposons ici que X est connexe. La suite exacte exponentielle 0 → ℤ → 𝒪 → 𝒪^{⋆} → 1 donne (8.21)

0 ⟶ H^{1}(X, ℤ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪) ⟶ H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) ⟶^{c_{1}} H^{2}(X, ℤ) ⟶ H^{2}(X, 𝒪),

si l’on tient compte du fait que l’application exp(2πi•) : H^{0}(X, 𝒪) = ℂ ⟶ H^{0}(X, 𝒪^{⋆}) = ℂ^{⋆} est surjective. On a H^{1}(X, 𝒪) ≃ H^{0,1}(X, ℂ) par l’isomorphisme de Dolbeault. La dimension de ce groupe est appelée irrégularité de X et elle est habituellement notée

(8.22)  q = q(X) = h^{0,1} = h^{1,0}.

Par conséquent nous avons b_{1} = 2q et

(8.23)  H^{1}(X, 𝒪) ≃ ℂ^{q}, H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) = H^{1,0}(X, ℂ) ≃ ℂ^{q}.

8.24. Lemme. L’image de H^{1}(X, ℤ) dans H^{1}(X, 𝒪) est un réseau.

Preuve. Considérons le morphisme

H^{1}(X, ℤ) ⟶ H^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{1}(X, ℂ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪)

induit par les inclusions ℤ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ⊂ 𝒪. Comme les groupes de cohomologie de Čech à valeurs dans ℤ ou ℝ peuvent se calculer par des recouvrements finis constitués d’ouverts difféomorphes à des ouverts convexes, de même que toutes leurs intersections mutuelles, il est clair que H^{1}(X, ℤ) est un ℤ-module de type fini et que l’image de H^{1}(X, ℤ) dans H^{1}(X, ℝ) est un réseau. Il suffit donc de vérifier que l’application H^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪) est un isomorphisme. Or, le diagramme commutatif

0⟶ℂ⟶ 𝒜^{0} ⟶^{d} 𝒜^{1} ⟶^{d} 𝒜^{2} ⟶⋯
↓  ↓  ↓  ↓
0⟶𝒪⟶𝒜^{0,0} ⟶^{d′′}𝒜^{0,1} ⟶^{d′′}𝒜^{0,2}⟶⋯

montre que l’application H^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪) correspond, pour la cohomologie de De Rham et de Dolbeault, à l’application composée

H_{DR}^{1}(X, ℝ) ⊂ H_{DR}^{1}(X, ℂ) ⟶ H^{0,1}(X, ℂ).

Puisque H^{1,0}(X, ℂ) et H^{0,1}(X, ℂ) sont des sous-espaces complexes conjugués dans le complexifié H_{DR}^{1}(X, ℂ) de H_{DR}^{1}(X, ℝ), nous en déduisons bien que H_{DR}^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{0,1}(X, ℂ) est un isomorphisme.

Comme conséquence de ce lemme, H^{1}(X, ℤ) est de rang 2q, i.e., H^{1}(X, ℤ) ≃ ℤ^{2q}. Le tore complexe de dimension q

(8.25)  Jac(X) = H^{1}(X, 𝒪)/H^{1}(X, ℤ)

est appelé variété jacobienne de X. Il est isomorphe au sous-groupe de H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) correspondant aux fibrés en droites de première classe de Chern nulle. D’autre part, le noyau de la flèche

H^{2}(X, ℤ) ⟶ H^{2}(X, 𝒪) = H^{0,2}(X, ℂ),

qui est constitué par définition des classes de cohomologie entières de type (1, 1), est égal à l’image du morphisme c_{1}(•) dans H^{2}(X, ℤ). Ce sous-groupe est appelé groupe de Néron-Severi de X, noté NS(X) ; son rang ρ(X) est appelé nombre de Picard de X.

La suite exacte (8.21) donne alors

(8.26)  0 ⟶ Jac(X) ⟶ H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) ⟶^{c_{1}} NS(X) ⟶ 0.

Le groupe de Picard H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) est donc une extension du tore complexe Jac(X) par le ℤ-module de type fini NS(X).

8.27. Corollaire. Le groupe de Picard de ℙ^{n} est H^{1}(ℙ^{n}, 𝒪^{⋆}) ≃ ℤ avec 𝒪(1) comme générateur, i.e. tout fibré en droites sur ℙ^{n} est isomorphe à l’un des fibrés en droites 𝒪(k), k ∈ ℤ.

Preuve. Nous avons H^{k}(ℙ^{n}, 𝒪) = H^{0,k}(ℙ^{n}, ℂ) = 0 pour k ⩾ 1 grâce à la conséq. 8.8, donc Jac(ℙ^{n}) = 0 et NS(ℙ^{n}) = H^{2}(ℙ^{n}, ℤ) ≃ ℤ. De plus, c_{1}(𝒪(1)) est un générateur de H^{2}(ℙ^{n}, ℤ).

§9. Suite spectrale de Hodge-Frölicher

Soit X une variété complexe quelconque (i.e. non nécessairement compacte) de dimension n. Nous considérons le complexe double K^{p,q} = C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) avec sa différentielle totale d = d′ + d′′. La suite spectrale de Hodge-Frölicher (ou suite spectrale de Hodge vers De Rham) est par définition la suite spectrale associée à ce complexe double.

§9. Suite spectrale de Hodge-Frölicher 45

Rappelons d’abord la machinerie algébrique des suites spectrales, qui s’applique à un complexe double arbitraire (K^{p,q}, d′ + d′′) de modules sur un anneau. Nous supposons ici pour simplifier que K^{p,q} = 0 si p < 0 ou q < 0. On associe d’abord à K^{•,•} le complexe total (K^{•}, d) tel que K^{l} = ⨁_{p+q=l} K^{p,q}, muni de la différentielle totale d = d′ + d′′. Alors K^{•} admet une filtration décroissante formée des sous-complexes F^{p}K^{•} tels que

(9.1)  F^{p}K^{l} = ⨁_{p⩽j⩽l} K^{j,l−j}.

On obtient une filtration induite sur les groupes de cohomologie H^{l}(K^{•}) du complexe total en posant

(9.2)  F^{p}H^{l}(K^{•}) := Im (H^{l}(F^{p}K^{•}) → H^{l}(K^{•})),

et on note G^{p}H^{l}(K^{•}) = F^{p}H^{l}(K^{•})/F^{p+1}H^{l}(K^{•}) le module gradué associé. La théorie des suites spectrales (voir par exemple [God57]) nous dit qu’il existe une suite de complexes doubles E_{r}^{•,•}, r ⩾ 1, munis de différentielles d_{r} : E_{r}^{p,q} → E_{r}^{p+r,q−r+1} de bidegré (r, −r + 1), telle que E_{r+1} = H^{•}(E_{r}) se calcule par récurrence comme la cohomologie du complexe (E_{r}^{•,•}, d_{r}), et telle que la limite E_{∞}^{p,q} = lim_{r→+∞} E_{r}^{p,q} s’identifie avec le module gradué G^{•}H^{•}(K^{•}), de façon précise E_{∞}^{p,q} = G^{p}H^{p+q}(K^{•}). Les termes E_{1} sont définis comme les groupes de cohomologie du complexe partiel d′′ : K^{p,q} → K^{p,q+1} par rapport à la deuxième différentielle, c’est-à-dire

(9.4)  E_{1}^{p,q} = H^{q}((K^{p,•}, d′′)),

et la différentielle d_{1} : E_{1}^{p,q} → E_{1}^{p+1,q} est induite par la première différentielle d′ :

(9.5)  d′ : H^{q}((K^{p,•}, d′′)) ⟶ H^{q}((K^{p+1,•}, d′′)).

En fait, on a E_{r}^{p,q} = 0 sauf si p, q ⩾ 0, et la limite E_{∞} = lim E_{r} est stationnaire, plus précisément

E_{r}^{p,q} = E_{r+1}^{p,q} = ⋯ = E_{∞}^{p,q} lorsque r ⩾ max(p + 1, q + 2),

comme on le voit en considérant les indices en lesquels d_{r} peut être non nulle. On dit que la suite spectrale converge vers le gradué du module filtré H^{•}(K^{•}), et on symbolise habituellement cette situation par la notation

E_{1}^{p,q} ⇒ G^{p}H^{p+q}(K^{•}).

Un examen soigneux des termes de petit degré conduit à la suite exacte

(9.6)  0 ⟶ E_{2}^{1,0} ⟶ H^{1}(K^{•}) ⟶ E_{2}^{0,1} ⟶^{d_{2}} E_{2}^{2,0} ⟶ H^{2}(K^{•}).

On dit que la suite spectrale dégénère en E_{r_{0}} si d_{r} = 0 pour tout r ⩾ r_{0} et pour tout bidegré (p, q). On a alors bien sûr E_{r_{0}}^{•,•} = E_{r_{0}+1}^{•,•} = ⋯ = E_{∞}^{•,•}.

Dans le cas de la suite spectrale de Hodge-Frölicher, les termes E_{1} sont les groupes de cohomologie de Dolbeault E_{1}^{p,q} = H^{p,q}(X, ℂ), et la cohomologie du complexe total n’est autre que la cohomologie de De Rham H_{DR}^{•}(X, ℂ). On obtient donc une suite spectrale

(9.7)  E_{1}^{p,q} = H^{p,q}(X, ℂ) ⇒ G^{p}H_{DR}^{p+q}(X, ℂ)

de la cohomologie de Dolbeault vers la cohomologie de De Rham. La filtration correspondnate F^{p}H_{DR}^{k}(X, ℂ) des groupes de cohomologie est appelée filtration de Hodge (-Frölicher).

Supposons maintenant X compacte. Tous les termes E_{r}^{p,q} sont alors des espaces vectoriels de dimension finie. Puisque E_{r+1} = H^{•}(E_{r}), les dimensions dim E_{r}^{p,q} décroissent (ou stationnent) avec r, donc dim E_{∞}^{p,q} ⩽ dim E_{r}^{p,q}, et l’égalité a lieu si et seulement si la suite spectrale dégénère en E_{r}. En particulier, les nombres de Betti b_{l} = dim H^{l}(X, ℂ) et les nombres de Hodge h^{p,q} = dim E_{1}^{p,q} satisfont l’inégalité

(9.8)  b_{l} = ∑_{p+q=l} dim E_{∞}^{p,q} ⩽ ∑_{p+q=l} dim E_{1}^{p,q} = ∑_{p+q=l} h^{p,q},

et l’égalité équivaut à la dégénérescence de la suite spectrale en E_{1}^{•}. Comme conséquence, nous avons le

9.9. Théorème. Si X est une variété complexe compacte, les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) La suite spectrale de Hodge-Frölicher dégénère en E_{1}^{•}.

b) On a l’égalité b_{l} = ∑_{p+q=l} h^{p,q} pour tout l.

c) Il existe un isomorphisme G^{p}H_{DR}^{p+q}(X, ℂ) ≃ H^{p,q}(X, ℂ) pour tous p, q.

Si une de ces conditions est satisfaite, l’isomorphisme c) est défini de manière canonique.

Nous pouvons maintenant retraduire les résultats du §8.B comme suit.

9.10. Théorème. Si X est une variété kählérienne compacte, la suite spectrale de Hodge-Frölicher dégénère en E_{1} et il y a une décomposition canonique

H_{DR}^{l}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=l} H^{p,q}(X, ℂ), H^{q,p}(X, ℂ) = \overline{H^{p,q}(X, ℂ)}.

En termes de cette décomposition, la filtration F^{p}H_{DR}^{l}(X, ℂ) est donnée par

F^{p}H_{DR}^{l}(X, ℂ) = ⨁_{j⩾p} H^{j,l−j}(X, ℂ).

En particulier, la filtration conjuguée \overline{F^{•}H_{DR}^{l}} est opposée à la filtration F^{•}H_{DR}^{l}, i.e.,

H_{DR}^{l}(X, ℂ) = F^{p}H_{DR}^{l}(X, ℂ) ⊕ \overline{F^{l−p+1}H_{DR}^{l}(X, ℂ)}.

9.11. Définition. Si X est une variété complexe compacte, nous disons que X admet une décomposition de Hodge si la suite spectrale de Hodge-Frölicher dégénère en E_{1} et si la filtration conjuguée \overline{F^{•}H_{DR}^{l}} est opposée à F^{•}H_{DR}^{l}, i.e., H_{DR}^{l} = F^{p}H_{DR}^{l} ⊕ \overline{F^{l−p+1}H_{DR}^{l}} pour tout p.

Si X admet une décomposition de Hodge au sens de la déf. 9.11 et si p + q = l, on voit immédiatement à partir de l’égalité H_{DR}^{l} = F^{p+1}H_{DR}^{l} ⊕ \overline{F^{q}H_{DR}^{l}} que

F^{p}H_{DR}^{l} = F^{p+1}H_{DR}^{l} ⊕ (F^{p}H_{DR}^{l} ∩ \overline{F^{q}H_{DR}^{l}}),

donc on obtient un isomorphisme canonique

(9.12)  H^{p,q}(X, ℂ) ≃ F^{p}H_{DR}^{l}/F^{p+1}H_{DR}^{l} ≃ F^{p}H_{DR}^{l} ∩ \overline{F^{q}H_{DR}^{l}} ⊂ H_{DR}^{l}.

Nous déduisons de là qu’il y a bien des isomorphismes canoniques

H_{DR}^{l}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=l} H^{p,q}(X), H^{q,p}(X, ℂ) = \overline{H^{p,q}(X, ℂ)},

comme attendu. Notons que (9.12) fournit une autre démonstration du fait que la décomposition de Hodge d’une variété kählérienne compacte ne dépend pas de la métrique kählérienne choisie (tous les groupes et morphismes mis en jeu dans (9.12) sont intrinsèques). En fait, nous avons montré qu’une variété kählérienne compacte satisfait une propriété encore plus forte, qu’il sera commode d’appeler décomposition de Hodge forte, puisque celle-ci implique trivialement l’existence d’une décomposition de Hodge au sens de la Définition 9.11.

9.13. Définition. Si X est une variété complexe compacte, nous disons que X admet une décomposition de Hodge forte si tous les morphismes

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) → H^{p,q}(X, ℂ),  ⨁_{p+q=l} H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) → H_{DR}^{l}(X, ℂ)

sont des isomorphismes.

9.14. Remarque. Deligne [Del68, 72] a donné un critère permettant de vérifier la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge dans un contexte plus algébrique, incluant le cas de situations relatives. Plus récemment, Deligne et Illusie [DeI87] ont donné une preuve de la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge qui n’utilise pas les méthodes analytiques (leur idée est de travailler en caractéristique p et de relever le résultat en caractéristique 0). Il faut observer que la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge-Frölicher n’implique pas automatiquement la propriété de symétrie de Hodge H^{q,p}(X, ℂ) ≃ \overline{H^{p,q}(X, ℂ)} ni l’existence d’une décomposition canonique des groupes de De Rham. En fait, il n’est pas difficile de montrer que la suite spectrale de Hodge-Frölicher d’une surface complexe compacte dégénère toujours en E_{1} ; cependant, si X n’est pas kählérienne, alors b_{1} est impair, et on peut montrer en utilisant le théorème de l’indice de Hirzebruch que h^{0,1} = h^{1,0} + 1 et b_{1} = 2h_{1,0} + 1 (voir [BPV84]). On peut montrer que l’existence d’une décomposition de Hodge (resp. de Hodge forte) est préservée par des morphismes de contraction (remplacement de X par X′, si μ : X → X′ est une modification) ; c’est une conséquence facile de l’existence d’un foncteur image directe μ_{⋆} agissant sur tous les groupes de cohomologie mis en jeu, tel que μ_{⋆}μ^{⋆} = Id ; dans le contexte analytique, μ_{⋆} se construit aisément en calculant la cohomologie à l’aide des courants, puisqu’on dispose sur ceux-ci d’un foncteur image directe naturel. Comme toute variété de Moishezon admet une modification algébrique projective, nous en déduisons que les variétés de Moishezon admettent également une décomposition de Hodge forte. Il serait intéressant de savoir s’il existe des exemples de variétés complexes compactes possédant une décomposition de Hodge sans avoir une décomposition de Hodge forte (il y a en effet des exemples immédiats de complexes doubles abstraits ayant cette propriété).

En général, quand X n’est pas kählérienne, un certain nombre d’informations intéressantes peuvent se déduire de la suite spectrale. Par exemple, (9.6) implique

(9.15)  b_{1} ⩾ dim E_{2}^{1,0} + (dim E_{2}^{0,1} − dim E_{2}^{2,0})_{+}.

Par ailleurs, E_{2}^{1,0} est le groupe de cohomologie défini par la suite

d_{1} = d′ : E_{1}^{0,0} ⟶ E_{1}^{1,0} ⟶ E_{1}^{2,0},

et comme E_{1}^{0,0} est l’espace des fonctions holomorphes globales sur X, la première flèche d_{1} est zéro (par le principe du maximum, les fonctions holomorphes sont constantes sur chaque composante connexe de X). Donc dim E_{2}^{1,0} ⩾ h^{1,0} −h^{2,0}. De même, E_{2}^{0,1} est le noyau d’une application E_{1}^{0,1} → E_{1}^{1,1}, donc dim E_{2}^{0,1} ⩾ h^{0,1}−h^{1,1}. De (9.15) nous déduisons

(9.16)  b_{1} ⩾ (h^{1,0} − h^{2,0})_{+} + (h^{0,1} − h^{1,1} − h^{2,0})_{+}.

Une autre relation intéressante concerne la caractéristique d’Euler-Poincaré topologique

χ_{top}(X) = b_{0} − b_{1} + ⋯ − b_{2n−1} + b_{2n}.

Nous utiliserons le lemme simple suivant.

9.17. Lemme. Soit (C^{•}, d) un complexe borné d’espaces vectoriels de dimension finie sur un corps. Alors, la caractéristique d’Euler

χ(C^{•}) = ∑(−1)^{q} dim C^{q}

est égale à la caractéristique d’Euler χ(H^{•}(C^{•})) du module de cohomologie.

Preuve. Posons

c_{q} = dim C^{q}, z_{q} = dim Z^{q}(C^{•}), b_{q} = dim B^{q}(C^{•}), h_{q} = dim H^{q}(C^{•}).

Alors

c_{q} = z_{q} + b_{q+1}, h_{q} = z_{q} − b_{q}.

Par conséquent nous trouvons

∑(−1)^{q} c_{q} = ∑(−1)^{q} z_{q} − ∑(−1)^{q} b_{q} = ∑(−1)^{q} h_{q}.

En particulier, si le terme E_{r}^{•} de la suite spectrale du complexe filtré K^{•} est un complexe borné de dimension finie, on a

χ(E_{r}^{•}) = χ(E_{r+1}^{•}) = ⋯ = χ(E_{∞}^{•}) = χ(H^{•}(K^{•}))

car E_{r+1}^{•} = H^{•}(E_{r}^{•}) et dim E_{∞}^{l} = dim H^{l}(K^{•}). Dans la suite spectrale de Hodge-Frölicher on a par ailleurs dim E_{1}^{l} = ∑_{p+q=l} h^{p,q}, donc :

9.18. Théorème. Pour toute variété complexe compacte X, la caractéristique d’Euler topologique peut s’écrire

χ_{top}(X) = ∑_{0⩽k⩽2n}(−1)^{l}b_{l} = ∑_{0⩽p,q⩽n}(−1)^{p+q}h^{p,q}.

Nous allons maintenant réinterpréter la suite spectrale de Hodge-Frölicher en termes de la suite spectrale d’hypercohomologie associée au complexe de De Rham holomorphe. Expliquons d’abord brièvement en quoi consiste cette suite spectrale. Etant donné un complexe borné de faisceaux de groupes abéliens 𝒜^{•} sur un espace topologique X, les groupes d’hypercohomologie de 𝒜^{•} sont définis comme les groupes

ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}) := H^{k}(Γ(X, ℒ^{•})),

où ℒ^{•} est un complexe de faisceaux acycliques (faisceaux flasques ou faisceaux de 𝒞^{∞} modules par exemple) choisi de sorte qu’on ait un quasi-isomorphisme 𝒜^{•} → ℒ^{•} (morphisme de complexes de faisceaux induisant un isomorphisme ℋ^{k}(𝒜^{•}) → ℋ^{k}(ℒ^{•}) pour les faisceaux de cohomologie). Il est aisé de voir que l’hypercohomologie ne dépend pas à isomorphisme près du complexe de faisceaux acycliques ℒ^{•} choisi. L’hypercohomologie est un foncteur de la catégorie des complexes de faisceaux de groupes abéliens vers la catégorie des groupes gradués ; par définition, si 𝒜^{•} → ℬ^{•} est un quasi-isomorphisme, alors ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}) → ℍ^{k}(X, ℬ^{•}) est un isomorphisme ; de plus, l’hypercohomologie se réduit à la cohomologie usuelle H^{k}(X, ℰ) du faisceau ℰ pour un complexe 𝒜^{•} réduit à un seul terme 𝒜^{0} = ℰ. Supposons qu’on ait pour chaque terme 𝒜^{p} du complexe 𝒜^{•} une résolution 𝒜^{p} → ℒ^{p,•} par des faisceaux ℒ^{p,q} acycliques, donnant lieu à un complexe double de faisceaux (ℒ^{p,q}, d′ + d′′). Alors le complexe total associé (ℒ^{•}, d) est un complexe acyclique quasi-isomorphe à 𝒜^{•}, et on a donc

ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}) = H^{k}(Γ(X, ℒ^{•})).

Mais par ailleurs, le complexe double K^{p,q} = Γ(X, ℒ^{p,q}) définit une suite spectrale telle que

E_{1}^{p,q} = H^{q}(K^{p,•}, d′′) = H^{q}(X, 𝒜^{p}),

convergeant vers le gradué associé à la cohomologie du complexe total H^{k}(K^{•}) = ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}). On obtient donc une suite spectrale dite suite spectrale d’hypercohomologie

(9.19)  E_{1}^{p,q} = H^{q}(X, 𝒜^{p}) ⇒ G^{p}ℍ^{p+q}(X, 𝒜^{•}).

La filtration F^{p} des groupes d’hypercohomologie est obtenue par définition en prenant l’image du morphisme

ℍ^{k}(X, F^{p}𝒜^{•}) → ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}),

où F^{p}𝒜^{•} désigne le complexe tronqué à gauche

⋯ ⟶ 0 ⟶ 0 ⟶ 𝒜^{p} ⟶ 𝒜^{p+1} ⟶ ⋯ ⟶ 𝒜^{N} · · · .

Considérons maintenant le cas où X est une variété complexe quelconque et où 𝒜^{•} = Ω_{X}^{•} est le complexe de De Rham holomorphe (avec la différentielle extérieure usuelle). Le lemme de Poincaré holomorphe montre que Ω_{X}^{•} est une résolution du faisceau constant ℂ_{X}, i.e., on a un quasi-isomorphisme de complexes de faisceaux ℂ_{X} → Ω_{X}^{•}, où ℂ_{X} désigne le complexe réduit à un seul terme en degré 0. Par définition de l’hypercohomologie on a donc

(9.20)  H^{k}(X, ℂ_{X}) = ℍ^{k}(X, Ω_{X}^{•}),

et la suite exacte d’hypercohomologie du complexe Ω_{X}^{•} fournit une suite spectrale

(9.21)  E_{1}^{p,q} = H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) ⇒ G^{p}H^{p+q}(X, ℂ_{X}).

Or les groupes ℍ^{k}(X, Ω_{X}^{•}) peuvent être calculés en utilisant la résolution de Ω_{X}^{•} par le complexe de Dolbeault ℒ^{p,q} = 𝒞^{∞}(Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) (ces faisceaux sont bien acycliques !). On voit alors que la suite spectrale d’hypercohomologie (9.21) n’est autre que la suite spectrale de Hodge-Frölicher précédemment définie.

§10. Déformations et théorèmes de semi-continuité 51

§10. Déformations et théorèmes de semi-continuité

L’objet de ce paragraphe est d’étudier la dépendance des groupes H^{p,q}(X_{t}, ℂ) ou plus généralement des groupes de cohomologie H^{q}(X_{t}, E_{t}), lorsque la paire (X_{t}, E_{t}) dépend holomorphiquement d’un paramètre t dans un certain espace complexe S. Nous aborderons ces résultats en adoptant le point de vue original de Kodaira-Spencer, tel qu’il est développé dans leurs travaux originaux sur la théorie des déformations (voir par exemple les Oeuvres Complètes de Kodaira [Kod75]). La méthode de Kodaira-Spencer exploite les propriétés de continuité ou de semicontinuité des espaces propres des Laplaciens en fonction du paramètre t. Une autre approche fournissant des résultats plus précis consiste à utiliser le théorème des images directes de Grauert [Gra60].

10.1. Définition. Une déformation de variétés complexes compactes est par définition un morphisme analytique propre σ : 𝒳 → S d’espaces complexes connexes, dont toutes les fibres X_{t} = σ^{−1}(t) sont des variétés lisses de même dimension n, et satisfaisant l’hypothèse locale suivante :

Tout point ζ ∈ 𝒳 admet un voisinage 𝒰 tel qu’il existe un biholomorphisme ψ : U × V → 𝒰 où U est un ouvert de ℂ^{n} et V un voisinage de t = σ(ζ), vérifiant σ ∘ ψ = pr_{2} : U × V → V (seconde projection).

(H)

On dit alors que (X_{t})_{t∈S} est une famille holomorphe de déformations de l’une quelconque des fibres X_{t_{0}}, et que S est la base de la déformation. Une famille holomorphe de fibrés vectoriels (resp. de faisceaux) E_{t} → X_{t} est par définition une famille de fibrés (resp. faisceaux) obtenus à partir d’un fibré (resp. faisceau) global ℰ → 𝒳, par restriction aux différentes fibres X_{t}.

Si S est lisse, l’hypothèse (H) équivaut à supposer que σ est une submersion holomorphe, en vertu du théorème du rang constant. Il y a néanmoins des situations où l’on doit nécessairement considérer aussi le cas de bases S singulières (par exemple lorqu’on cherche à construire la “déformation universelle” d’une variété). Dans un cadre topologique (différentiable et lisse), nous avons le lemme suivant, connu sous le nom de lemme d’Ehresmann.

10.2. Lemme d’Ehresmann. Soit σ : 𝒳 → S une submersion différentiable propre et lisse.

a) Si S est contractile, alors pour tout t_{0} ∈ S, il existe un diagramme commutatif

𝒳 \underrightarrow{Φ} X_{t_{0}} × S
pr_{1} ↘ ↙ σ
S

où Φ est un difféomorphisme.

b) Pour une base S quelconque, 𝒳 → S est un fibré (différentiablement) localement trivial. En particulier, si S est connexe, les fibres sont toutes difféomorphes.

Preuve. a) Soit H : S ×[0, 1] → S une homotopie différentiable entre H(•, 0) = Id_{S} et h(•, 1) = application constante S → {t_{0}}. Le produit fibré

𝒳̃ = {(x, s, t) ∈ 𝒳 × S × [0, 1] ; σ(x) = H(s, t)}

muni de la projection σ̃ = pr_{2} × pr_{3} : 𝒳̃ → S × [0, 1] est encore une submersion différentiable, comme on le vérifie aisément. On en déduit qu’il existe un champ de vecteurs ξ sur X̃ qui relève le champ de vecteurs \frac{∂}{∂t} sur S × [0, 1], i.e. σ_{⋆}ξ = \frac{∂}{∂t} (il existe localement des relèvements par la propriété de submersivité, et on recolle ces relèvements au moyen d’une partition de l’unité). Soit φ_{t} le flot de ce relèvement : alors, si (x, s, 0) ∈ 𝒳̃_{↾S×{0}} ≃ 𝒳, on a par construction φ_{t}(x, s, 0) = (?, s, t), donc Φ = φ_{1} définit un difféomorphisme de 𝒳̃_{↾S×{0}} ≃ 𝒳 sur 𝒳̃_{↾S×{1}} ≃ X_{t_{0}} × S, commutant avec la projection sur S.

b) se déduit immédiatement de a).

Il résulte de b) que le fibré t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ) est un fibré localement trivial en ℂ-espaces vectoriels de dimension finie. On a par ailleurs dans chaque fibre un sous-groupe abélien libre Im H^{k}(X_{t}, ℤ) ⊂ H^{k}(X_{t}, ℂ) de rang b_{k} qui engendre H^{k}(X_{t}, ℂ) comme ℂ-espace vectoriel. Les matrices de transition de ce système localement constant sont dans SL_{b_{k}}(ℤ). Comme les matrices de transition sont localement constantes, le fibré t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ) peut être muni d’une connexion D telle que D^{2} = 0 : cette connexion est appelée connexion de Gauss-Manin. Le lemme suivant nous sera utile.

10.3. Lemme. Soit σ : 𝒳 → S une submersion différentiable propre et lisse et ℰ un fibré vectoriel de classe C^{∞} au dessus de 𝒳. Considérons une famille d’opérateurs elliptiques

P_{t} : C^{∞}(X_{t}, E_{t}) ⟶ C^{∞}(X_{t}, E_{t})

de degré δ. On suppose que P_{t} est autoadjoint semipositif relativement à une métrique h_{t} sur E_{t} et à une forme volume dV_{t} sur X_{t}, et tel que les coefficients de P_{t}, h_{t} et dV_{t} sont de classe C^{∞} sur 𝒳. Alors les valeurs propres de P_{t}, comptées avec multiplicité, se rangent en une suite

λ_{0}(t) ⩽ λ_{1}(t) ⩽ ⋯ ⩽ λ_{k}(t) → +∞,

où la k-ième valeur propre λ_{k}(t) est une fonction continue de t. De plus, si λ n’est pas dans le spectre {λ_{k}(t_{0})}_{k∈ℕ} de P_{t_{0}}, la somme directe W_{λ,t} ⊂ C^{∞}(X_{t}, E_{t}) des espaces propres de P_{t} de valeurs propres λ_{k}(t) ⩽ λ définit un fibré vectoriel t ↦ W_{t,λ} de classe C^{∞} dans un voisinage de t_{0}.

Preuve. Comme les résultats sont locaux au dessus de S, on peut supposer que 𝒳 = X_{t_{0}} × S et ℰ = pr_{1}^{⋆} E_{t_{0}} ont leurs fibres X_{t} et E_{t} indépendantes de t (mais les formes dV_{t} sur X_{t} et les métriques h_{t} sur E_{t} vont en général dépendre de t). Soit Π_{λ,t} l’opérateur de projection orthogonale sur W_{λ,t} dans L^{2}(X_{t}, E_{t}) ≃ L^{2}(X_{t_{0}}, E_{t_{0}}). Si Γ(0, λ) désigne le cercle de centre 0 et de rayon λ dans le plan complexe, la formule de Cauchy donne

Π_{λ,t} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ(0,λ)}(z Id −P_{t})^{−1}dz,

où l’intégrale est vue comme une intégrale à valeurs vectorielles dans l’espace des opérateurs bornés sur L^{2}(M_{t_{0}}, E_{t_{0}}) (il suffit de vérifier la formule sur les vecteurs propres de P_{t}, ce qui est élémentaire). Les démonstrations faites au § 3 montrent qu’il existe une famille d’opérateurs pseudo-différentiels Q_{t} d’ordre −δ, dont le symbole dépend de manière C^{∞} de t (et avec uniformité des estimations par dérivation en t), tels que P_{t}Q_{t} = Id +R_{t} pour des opérateurs régularisants R_{t} dont le noyau dépend aussi de manière C^{∞} de t. Comme Q_{t} est une famille d’opérateurs compacts sur L^{2}(X_{t}, E_{t}) qui dépend de manière C^{∞} de t, les valeurs propres de Q_{t} dépendent continûment de t. Quitte à changer Q_{t_{0}} sur un sous-espace de dimension finie, on peut supposer que Q_{t_{0}} est un isomorphisme de L^{2}(X_{t_{0}}, E_{t_{0}}) sur W^{δ}(X_{t_{0}}, E_{t_{0}}). Il en sera alors de même pour Q_{t} dans un voisinage de t_{0}, et par suite z Id −P_{t} est inversible si et seulement si (z Id −P_{t})Q_{t} = Id +R_{t} + zQ_{t} est inversible. Si λ n’est pas dans le spectre de P_{t_{0}}, on voit donc que pour tout z ∈ Γ(0, λ) l’inverse (z Id −P_{t})^{−1} = Q_{t}(Id +R_{t} + zQ_{t})^{−1} dépend de façon C^{∞} de t comme opérateur L^{2}(X_{t}, E_{t}) → W^{δ}(X_{t}, E_{t}), par suite t ↦ Π_{λ,t} est C^{∞} au voisinage de t. Ceci entraîne que t ↦ W_{t,λ} est une fibration localement triviale de classe C^{∞} au voisinage de t_{0}. La continuité de la valeur propre λ_{k}(t) de P_{t} résulte de la constance du rang de W_{λ,t} au voisinage de t_{0}, pour λ = λ_{k}(t_{0}) ± ε.

10.4. Théorème de semi-continuité (Kodaira-Spencer). Si 𝒳 → S est un morphisme ℂ-analytique propre et lisse et si ℰ est un faisceau localement libre sur 𝒳, les dimensions h^{q}(t) = h^{q}(X_{t}, ℰ_{t}) sont des fonctions semi-continues supérieurement. Plus précisément, les sommes alternées

h^{q}(t) − h^{q−1}(t) + ⋯ + (−1)^{q}h^{0}(t), 0 ⩽ q ⩽ n = dim X_{t}

sont des fonctions semi-continues supérieurement.

Preuve. Soit E_{t} le fibré vectoriel holomorphe associé à ℰ_{t}. Munissons ℰ et 𝒳 de métriques hermitiennes arbitraires. D’après l’isomorphisme de Hodge pour la d′′-cohomologie, on peut interpréter H^{q}(X_{t}, ℰ_{t}) comme l’espace des formes harmoniques pour le Laplacien Δ_{t}^{′′q} agissant sur C^{∞}(X_{t}, Λ^{0,q}T_{X_{t}}^{⋆} ⊗ E_{t}). Fixons un point t_{0} ∈ S et un réel λ > 0 qui n’appartient pas au spectre des opérateurs Δ_{t_{0}}^{′′q}, 0 ⩽ q ⩽ n = dim X_{t}. Alors

W_{t}^{q} = W_{λ,t}^{q} = somme directe des espaces propres de Δ_{t}^{′′q} de valeurs propres ⩽ λ

définit un fibré W^{q} de classe C^{∞} au voisinage de t_{0}. De plus la différentielle d′′_{t} commute avec Δ′′_{t} et envoie donc les espaces propres de Δ_{t}^{′′q} dans les espaces propres de Δ_{t}^{′′q+1} associés aux mêmes valeurs propres. Ceci montre que (W_{t}^{•}, d′′_{t}) est un souscomplexe de dimension finie du complexe de Dolbeault (C^{∞}(X_{t}, Λ^{0,q}T_{X_{t}}^{⋆}⊗E_{t}), d′′_{t}).

La cohomologie de ce sous-complexe coïncide avec H^{q}(X_{t}, E_{t}) puisque la relation d′′_{t}d_{t}^{′′⋆} + d_{t}^{′′⋆}d′′_{t} = Δ′′_{t} montre que \frac{1}{λ_{k}} d_{t}^{′′⋆} est un opérateur d’homotopie sur le souscomplexe formé des espaces propres de valeur propre λ_{k} lorsque λ_{k} ≠ 0. Si Z_{t}^{q} désigne le noyau du morphisme d_{t}^{′′q} : W_{t}^{q} → W_{t}^{q+1}, alors z^{q}(t) := dim Z_{t}^{q} est une fonction semi-continue supérieurement pour la topologie de Zariski, comme on le voit aisément en regardant le rang des mineurs de la matrice définissant le morphisme d^{′′q} : W^{q} → W^{q+1}. Le complexe tronqué

0 → W_{t}^{0} → W_{t}^{1} → ⋯ → W_{t}^{q−1} → Z_{t}^{q} → 0

ayant pour cohomologie les groupes H^{j}(X_{t}, E_{t}) d’indices 0 ⩽ j ⩽ q, on obtient

h^{q}(t) − h^{q−1}(t) + ⋯ + (−1)^{q}h^{0}(t) = z^{q}(t) − w^{q−1} + w^{q−2} + ⋯ + (−1)^{q}w^{0},

où w^{q} désigne le rang de W^{q}. La semi-continuité supérieure du membre de gauche en résulte, et celle de h^{q}(t) est alors immédiate par récurrence sur q.

10.5. Invariance des nombres de Hodge. Soit 𝒳 → S un morphisme ℂ-analytique propre et lisse. On suppose que les fibres X_{t} sont des variétés kählériennes. Alors les nombres de Hodge h^{p,q}(X_{t}) sont constants. De plus, dans la décomposition

H^{k}(X_{t}, ℂ) = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X_{t}, ℂ),

les fibrations t ↦ H^{p,q}(X_{t}, ℂ) définissent des sous-fibrés de classe C^{∞} (en général non holomorphes) de t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ).

Preuve. Le lemme 10.2 entraîne que les nombres de Betti b_{k} = dim H^{k}(X_{t}, ℂ) sont constants. Comme h^{p,q}(X_{t}, ℂ) = h^{q}(X_{t}, Ω_{X_{t}}^{p}) est semi-continue supérieurement d’après le th. 10.4 et

h^{p,q}(X_{t}) = b_{k} − ∑_{r+s=k, (r,s)≠(p,q)} h^{r,s}(X_{t}),

ces fonctions sont en fait aussi semi-continues inférieurement. Par suite elles sont continues et donc constantes. Un théorème de Kodaira [Kod75] montre que si une fibre X_{t_{0}} est kählérienne, alors les fibres voisines X_{t} sont kählériennes et les métriques kählériennes ω_{t} peuvent être choisies de sorte qu’elles dépendent de manière C^{∞} de t. Les espaces de (p, q)-formes harmoniques dépendent alors de manière C^{∞} de t d’après le le th. 10.4, et on en déduit que t ↦ H^{p,q}(X_{t}, ℂ) est un sous-fibré de classe C^{∞} de H^{k}(X_{t}, ℂ).

On peut en fait obtenir des résultats plus précis et plus généraux au moyen du théorème des images directes de Grauert [Gra60]. Rappelons qu’étant donné une application continue f : X → Y entre espaces topologiques et un faisceau ℰ de groupes abéliens sur X, on définit le faisceau image directe R^{k}f_{⋆}ℰ sur Y comme étant le faisceau associé au préfaisceau U ↦ H^{k}(f^{−1}(U), ℰ), pour tout ouvert U de Y. Plus généralement, étant donné un complexe de faisceaux 𝒜^{•}, nous avons des faisceaux images directes ℝ^{q}f_{⋆}𝒜^{•}, obtenus à partir des préfaisceaux d’hypercohomologie

U ↦ ℍ^{k}(f^{−1}(U), 𝒜^{•}).

La démonstration du théorème des images directes proposée par [FoK71] et [KiV71] (voir aussi [DoV72]) fournit les résultats fondamentaux suivants que nous admettrons.

10.6. Théorème des images directes. Soit σ : 𝒳 → S un morphisme propre d’espaces analytiques complexes et 𝒜^{•} un complexe borné de faisceaux cohérents de 𝒪_{𝒳} -modules. Alors

a) Les faisceaux images directes ℝ^{k}σ_{⋆}𝒜^{⋆} sont des faisceaux cohérents sur S.

b) Tout point de S admet un voisinage U ⊂ S sur lequel il existe un complexe borné 𝒲^{•} de faisceaux de 𝒪_{S}-modules localement libres dont les faisceaux de cohomologie ℋ^{k}(𝒲^{•}) sont isomorphes aux faisceaux ℝ^{k}σ_{⋆}𝒜^{•}.

c) Si σ est à fibres équidimensionnelles (“morphisme géométriquement plat”), l’hypercohomologie de la fibre X_{t} = σ^{−1}(t) à valeurs dans 𝒜_{t}^{•} = 𝒜^{•} ⊗_{𝒪_{𝒳}} 𝒪_{X_{t}} (où 𝒪_{X_{t}} = 𝒪_{𝒳} /σ^{⋆}𝔪_{S,t}), est donnée par

H^{k}(X_{t}, 𝒜_{t}^{•}) = H^{k}(W_{t}^{•}),

où (W_{t}^{•}) est le complexe d’espaces de dimension finie W_{t}^{k} = 𝒲^{k}⊗_{𝒪_{S,t}} 𝒪_{S,t}/𝔪_{S,t}.

d) Sous l’hypothèse du c), si les espaces d’hypercohomologie ℍ^{k}(X_{t}, 𝒜_{t}^{•}) des fibres sont de dimension constante, les faisceaux ℝ^{k}σ_{⋆}𝒜^{•} sont localement libres sur S.

Les mêmes résultats sont vrais en particulier pour les images directes R^{k}σ_{⋆}ℰ d’un faisceau cohérent ℰ sur 𝒳, et les groupes de cohomologie H^{k}(X_{t}, ℰ_{t}) des fibres.

On notera que la propriété d) est en fait une conséquence formelle de c), car l’hypothèse garantit que les matrices holomorphes définissant les morphismes 𝒲^{k} → 𝒲^{k+1} sont de rang constant en chaque point t ∈ S. De (10.6 b) on déduit alors le résultat suivant dû à H. Flenner [Fle81], avec une démonstration identique à celle du th. 10.4.

10.7. Théorème de semi-continuité. Si 𝒳 → S est un morphisme analytique propre à fibres équidimensionnelles et si ℰ est un faisceau cohérent sur 𝒳, les sommes alternées

h^{q}(t) − h^{q−1}(t) + ⋯ + (−1)^{q}h^{0}(t),

des dimensions h^{k}(t) = h^{k}(X_{t}, ℰ_{t}) sont des fonctions semi-continues supérieurement de t dans la topologie de Zariski analytique (topologie dont les fermés sont les ensembles analytiques).

Soit σ : 𝒳 → S une submersion ℂ-analytique propre et lisse. On suppose que la suite spectrale de Hodge des fibres X_{t} dégénère en E_{1} pour tour t ∈ S (d’après (10.7) c’est en fait une propriété ouverte pour la topologie de Zariski analytique sur S). Si U ⊂ S est un ouvert contractile, alors σ^{−1}(U) ≃ X_{t} × U pour toute fibre au dessus de t ∈ U. Si ℤ_{𝒳} , ℂ_{X} désignent les faisceaux localement constants de base 𝒳 et de fibres ℤ, ℂ, on obtient

\begin{aligned}Γ(U, R^{k}σ_{⋆}ℤ_{𝒳} ) & = H^{k}(σ^{−1}(U), ℤ) = H^{k}(X_{t}, ℤ), \\ Γ(U, R^{k}σ_{⋆}ℂ_{𝒳} ) & = H^{k}(σ^{−1}(U), ℂ) = H^{k}(X_{t}, ℂ), \end{aligned}

de sorte que R^{k}σ_{⋆}ℤ_{𝒳} et R^{k}σ_{⋆}ℂ_{𝒳} sont des faisceaux localement constants sur S, de fibres H^{k}(X_{t}, ℤ) et H^{k}(X_{t}, ℂ). Le fibré t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ), muni de sa connexion plate D (connexion de Gauss-Manin), possède une structure holomorphe canonique induite par la composante D^{0,1} de la connexion de Gauss-Manin. Le fibré plat ⨁_{k} H^{k}(X_{t}, ℂ) est appelé fibré de Hodge de la fibration 𝒳 → S.

Considérons maintenant le complexe de De Rham relatif (Ω_{𝒳/S}^{•} , d_{𝒳/S} ) de la fibration 𝒳 → S. Ce complexe fournit une résolution du faisceau σ^{−1}𝒪_{S} (image inverse “purement faisceautique” de 𝒪_{S}), par suite

(10.8)  ℝ^{k}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} = R^{k}σ_{⋆}(σ^{−1}𝒪_{S}) = (R^{k}σ_{⋆}ℂ_{𝒳} ) ⊗_{ℂ} 𝒪_{S}.

La dernière égalité s’obtient par un argument immédiat de 𝒪_{S}(U) linéarité pour la cohomologie calculée sur les ouverts σ^{−1}(U) (la structure complexe de σ^{−1}(U) n’intervenant pas ici). En d’autres termes, ℝ^{k}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} est le 𝒪_{S}-module localement libre associé au fibré plat t ↦ H^{q}(X_{t}, ℂ). On a une suite spectrale d’hypercohomologie relative

E_{1}^{p,q} = R^{q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{p} ⇒ G^{p}ℝ^{p+q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} = G^{p}R^{p+q}σ_{⋆}ℂ_{𝒳}

(la suite spectrale relative est obtenue simplement en “faisceautisant” la suite spectrale d’hypercohomologie absolue (9.19) du complexe Ω_{𝒳/S}^{•} sur les ouverts σ^{−1}(U)). Comme la cohomologie de Ω_{𝒳/S}^{p} sur les fibres X_{t} n’est autre que l’espace de rang constant H^{q}(X_{t}, Ω_{X_{t}}^{p}), le th. 10.6 d) montre que les faisceaux images directes R^{q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{p} sont localement libres. Par ailleurs, la filtration F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) ⊂ H^{k}(X_{t}, ℂ) est obtenue au niveau des 𝒪_{S}-modules localement libres associés en prenant l’image du morphisme 𝒪_{S}-linéaire

ℝ^{k}σ_{⋆}F^{p}Ω_{𝒳/S}^{•} ⟶ ℝ^{k}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} ,

c’est donc un sous-faisceau cohérent (et même un sous-faisceau localement libre, d’après la propriété de constance du rang sur les fibres X_{t}). De là et de (10.8) on déduit le

10.9. Théorème (holomorphie de la filtration de Hodge). La filtration de Hodge F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) ⊂ H^{k}(X_{t}, ℂ) est constituée de sous-fibrés vectoriels holomorphes relativement à la structure holomorphe définie par la connexion de Gauss-Manin.

On voit qu’en général H^{p,q}(X_{t}, ℂ) = F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) ∩ \overline{F^{q}H^{k}(X_{t}, ℂ)} n’a aucune raison d’être un sous-fibré holomorphe de H^{k}(X_{t}, ℂ) pour p + q = k quelconques, bien que H^{p,q}(X_{t}, ℂ) possède une structure naturelle de fibré holomorphe (obtenue à partir du faisceau cohérent R^{q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{p} , ou comme quotient des F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ)). Autrement dit, c’est la décomposition de Hodge qui n’est pas holomorphe.

10.10. Exemple. Soit S = {τ ∈ ℂ; Im τ > 0} le demi-plan supérieur, et 𝒳 → S la famille “universelle” des courbes elliptiques au-dessus de S, définie par X_{τ} = ℂ/(ℤ + ℤτ). Les deux éléments de base du fibré de Hodge H^{1}(X_{τ} , ℂ), duaux de la base (1, τ) du réseau des périodes, sont α = dx − Re τ/ Im τ dy et β = (Im τ)^{−1}dy (z = x + iy ∈ ℂ désignant la coordonnée sur X_{τ}). Ces éléments vérifient donc Dα = Dβ = 0 et définissent la structure holomorphe du fibré de Hodge ; le sous-fibré H^{1,0}(X_{τ} , ℂ) engendré par la 1-forme dz = α + τβ est bien holomorphe (comme il se doit !), cependant on voit que les composantes β^{1,0} = −\frac{i}{2}(Im τ)^{−1}dz et β^{0,1} = \frac{i}{2}(Im τ)^{−1}d\overline{z} ne sont pas holomorphes en τ.

58 J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L^{2} et théorèmes d’Annulation

Partie II : Estimations L^{2} et théorèmes d’annulation

§11. Concepts de pseudoconvexité et de positivité

Les énoncés et démonstrations des théorèmes d’annulation mettent en jeu plusieurs notions de pseudoconvexité et de positivité. Nous présentons d’abord un résumé synthétique des concepts de base qui nous seront nécessaires.

§11.A. Fonctions plurisousharmoniques

Les fonctions plurisousharmoniques ont été introduites indépendamment par Lelong et Oka en 1942 en vue de l’étude de la convexité holomorphe. Nous renvoyons à [Lel67, 69] pour plus de détails.

11.1. Définition. Une fonction u : Ω → [−∞, +∞[ définie sur un ouvert Ω ⊂ ℂ^{n} est dite plurisousharmonique (psh en abrégé) si

a) u est semi-continue supérieurement ;

b) pour toute droite complexe L ⊂ ℂ^{n}, u_{↾Ω∩L} est sous-harmonique sur Ω ∩ L, c’est-à-dire, pour tous a ∈ Ω et ξ ∈ ℂ^{n} tels que |ξ| < d(a, ∁Ω), la fonction u satisfait l’inégalité de moyenne

u(a) ⩽ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + e^{i θ} ξ) dθ.

L’ensemble des fonctions psh sur Ω sera noté Psh(Ω).

Nous donnons ci-dessous une liste de quelques propriétés fondamentales satisfaites par les fonctions psh. Ces propriétés découlent toutes facilement de la définition.

11.2. Propriétés fondamentales.

a) Toute fonction u ∈ Psh(Ω) est sous-harmonique en ses 2n variables réelles, i.e. satisfait l’inégalité de valeur moyenne sur les boules (ou sphères) euclidiennes :

u(a) ⩽ \frac{1}{π^{n}r^{2n}/n!} ∫_{B(a,r)} u(z) dλ(z)

pour tout a ∈ Ω et tout r < d(a, ∁Ω. Dans ce cas, on a ou bien u ≡ −∞ ou bien u ∈ L_{loc}^{1} sur tout composante connexe de Ω.

§11. Concepts de pseudoconvexité et de positivité 59

b) Pour toute suite décroissante de fonctions psh u_{k} ∈ Psh(Ω), la limite u = lim u_{k} est psh sur Ω. c) Soit u ∈ Psh(Ω) telle que u ≢ −∞ sur toute composante connexe de Ω. Si (ρ_{ε})

est une famille de noyaux régularisants, alors u ⋆ ρ_{ε} est C^{∞} et psh sur

Ω_{ε} = {x ∈ Ω ; d(x, ∁Ω) > ε},

la famille (u ⋆ ρ_{ε}) est croissante en ε et lim_{ε→0} u ⋆ ρ_{ε} = u.

d) Soient u_{1}, …, u_{p} ∈ Psh(Ω) et χ : ℝ^{p} → ℝ une fonction convexe telle que χ(t_{1}, …, t_{p}) est croissante en chaque variable t_{j}. Alors χ(u_{1}, …, u_{p}) est psh sur Ω. En particulier u_{1} + ⋯ + u_{p}, max{u_{1}, …, u_{p}}, log(e^{u_{1}} + ⋯ + e^{u_{p}}) sont psh sur Ω.

11.3. Lemme. Une fonction u ∈ C^{2}(Ω, ℝ) est psh sur Ω si et seulement si la forme hermitienne Hu(a)(ξ) = ∑_{1⩽j,k⩽n} ∂^{2}u/∂z_{j}∂\overline{z}_{k}(a) ξ_{j}\overline{ξ}_{k} est semi-positive en

tout point a ∈ Ω.

Preuve. C’est une conséquence facile de la formule standard suivante

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + e^{i θ} ξ) dθ − u(a) = \frac{2}{π} ∫_{0}^{1} \frac{dt}{t} ∫_{|ζ|<t} Hu(a + ζξ)(ξ) dλ(ζ),

où dλ est la mesure de Lebesgue sur ℂ. Le lemme 11.3 suggère fortement que la plurisousharmonicité est l’analogue complexe naturel de la propriété de convexité linéaire dans le cas réel.

Pour des fonctions non régulières, on obtient une caractérisation analogue de la plurisousharmonicité au moyen d’un procédé de régularisation.

11.4. Théorème. Si u ∈ Psh(Ω) avec u ≢ −∞ sur toute composante connexe de Ω, alors pour tout ξ ∈ ℂ^{n}

Hu(ξ) = ∑_{1⩽j,k⩽n} \frac{∂^{2}u}{∂z_{j}∂\overline{z}_{k}} ξ_{j}\overline{ξ}_{k} ∈ 𝒟′(Ω)

est une mesure positive. Inversement, si v ∈ 𝒟′(Ω) est telle que Hv(ξ) est une mesure positive pour tout ξ ∈ ℂ^{n}, il existe une unique fonction u ∈ Psh(Ω) qui soit localement intégrable sur Ω et telle que v est la distribution associée à u.

En vue de dégager une meilleure compréhension géométrique de la notion de plurisousharmonicité, nous supposons plus généralement que la fonction u vit sur une variété complexe X de dimension n. Si Φ : X → Y est une application holomorphe et si v ∈ C^{2}(Y, ℝ), nous avons d′d′′(v ∘ Φ) = Φ^{⋆}d′d′′v, donc

H(v ∘ Φ)(a, ξ) = Hv(Φ(a), Φ′(a).ξ).

En particulier Hu, vue comme forme hermitienne sur T_{X}, ne dépend pas du choix des coordonnées (z_{1}, …, z_{n}). Par conséquent, la notion de fonction psh a bien un sens sur toute variété complexe. Plus généralement, nous avons 11.5. Proposition. Si Φ : X → Y est une application holomorphe et v ∈ Psh(Y), alors v ∘ Φ ∈ Psh(X).

11.6. Exemple. Il est bien connu que log |z| est psh (i.e. sous-harmonique) sur ℂ. Donc log |f| ∈ Psh(X) pour toute fonction holomorphe f ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}). Plus généralement

log (|f_{1}|^{α_{1}} + ⋯ + |f_{q}|^{α_{q}}) ∈ Psh(X)

pour tout choix de fonctions f_{j} ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}) et de réels α_{j} ⩾ 0 (appliquer la propriété 11.2 d avec u_{j} = α_{j} log |f_{j}|). Nous nous intéresserons plus particulièrement aux singularités de cette fonction le long de la variété des zéros f_{1} = ⋯ = f_{q} = 0, lorsque les α_{j} sont des nombres rationnels.

11.7. Définition. On dira qu’une fonction psh u ∈ Psh(X) a des singularités analytiques (resp. algébriques) si u peut s’écrire localement sous la forme

u = \frac{α}{2} log (|f_{1}|^{2} + ⋯ + |f_{N}|^{2}) + v,

avec des fonctions holomorphes (resp. algébriques) f_{j}, α ∈ ℝ_{+} (resp. α ∈ ℚ_{+}), et où v est une fonction bornée.

Nous introduisons alors l’idéal 𝒥 = 𝒥(u/α) des germes de fonctions holomorphes h telles qu’il existe une constante C ⩾ 0 pour laquelle |h| ⩽ Ce^{u/α}, i.e.

|h| ⩽ C(|f_{1}| + ⋯ + |f_{N}|).

On obtient ainsi un faisceau d’idéaux globalement défini sur X, égal localement à la clôture intégrale \overline{ℐ} du faisceau d’idéaux ℐ = (f_{1}, …, f_{N}), par suite 𝒥 est cohérent sur X. Si (g_{1}, …, g_{N′}) sont des générateurs locaux de 𝒥, nous avons encore

u = \frac{α}{2} log (|g_{1}|^{2} + ⋯ + |g_{N′}|^{2}) + O(1).

D’un point de vue algébrique, les singularités de u sont en correspondance bijective avec les “données algébriques” (𝒥, α). Nous verrons plus loin une autre méthode encore plus importante pour associer un faisceau d’idéaux à une fonction psh.

§11.B. Courants positifs

La théorie des courants a été fondée par G. De Rham [DR55]. Nous rappelons ici seulement les définitions les plus fondamentales. Le lecteur pourra consulter [Fed69] pour un exposé beaucoup plus complet de cette théorie. Dans la situation complexe, la notion spécifique importante de courant positif a été dégagée et étudiée par P. Lelong [Lel57, 69].

Un courant de degré q sur une variété différentiable M n’est rien d’autre qu’une q-forme différentielle Θ à coefficients distributions. L’espace des courants de degré q sur M sera noté 𝒟^{′q}(M). Alternativement, on peut considérer les courants de degré q comme les éléments Θ du dual 𝒟′_{p}(M) := (𝒟^{p}(M))′ de l’espace 𝒟^{p}(M) des formes différentielles C^{∞} de degré p = dim M − q à support compact ; l’accouplement de dualité est donné par

(11.8)  ⟨Θ, α⟩ = ∫_{M} Θ ∧ α, α ∈ 𝒟^{p}(M).

Un exemple fondamental est le courant d’intégration [S] sur une sous-variété S orientée et compacte (éventuellement à bord) de M :

(11.9)  ⟨[S], α⟩ = ∫_{S} α, degα = p = dim_{ℝ} S.

Alors [S] est un courant à coefficients mesures, et la formule de Stokes montre que d[S] = (−1)^{q−1}[∂S], en particulier d[S] = 0 si et seulement si S est une sous-variété sans bord. En raison de cet exemple, l’entier p est appelé dimension de Θ ∈ 𝒟′_{p}(M). On dit que le courant Θ est fermé si dΘ = 0.

Sur une variété complexe X, nous avons des notions analogues de bidegré et de bidimension ; comme dans le cas réel, nous notons

𝒟^{′p,q}(X) = 𝒟′_{n−p,n−q}(X), n = dim X,

l’espace des courants de bidegré (p, q) et bidimension (n − p, n − q) sur X. Suivant [Lel57], un courant Θ de bidimension (p, p) est dit (faiblement) positif si pour tout choix de (1, 0)-formes α_{1}, …, α_{p} de classe C^{∞} sur X la distribution

(11.10)  Θ ∧ iα_{1} ∧ \overline{α}_{1} ∧ ⋯ ∧ iα_{p} ∧ \overline{α}_{p} est une mesure positive.

11.11. Exercice. Si Θ est positif, montrer que les coefficients Θ_{I,J} de Θ sont des mesures complexes, et qu’ils sont majorés à des constantes près par la mesure trace

σ_{Θ} = Θ ∧ \frac{1}{p!}β^{p} = 2^{−p} ∑ Θ_{I,I}, où β = \frac{i}{2}d′d′′|z|^{2} = \frac{i}{2} ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j},

qui est une mesure positive. Indication. Observer que ∑ Θ_{I,I} est invariant par des changements de coordonnées unitaires et que les (p, p)-formes iα_{1} ∧\overline{α}_{1} ∧⋯∧iα_{p} ∧\overline{α}_{p} engendrent Λ^{p,p}T_{ℂ^{n}}^{⋆} comme ℂ-espace vectoriel.

On voit facilement qu’un courant Θ = i ∑_{1⩽j,k⩽n} Θ_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} de bidegré (1, 1) est positif si et seulement si la mesure complexe ∑ λ_{j}\overline{λ}_{k}Θ_{jk} est une mesure positive pour tout n-uplet (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ ℂ^{n}.

11.12. Exemple. Si u est une fonction psh (non identiquement −∞) sur X, on peut associer à u un courant positif fermé Θ = i∂\overline{∂}u de bidegré (1, 1). Inversement, tout courant positif fermé de bidegré (1, 1) peut s’écrire sous cette forme sur tout sous-ensemble ouvert Ω ⊂ X tel que H_{DR}^{2}(Ω, ℝ) = H^{1}(Ω, 𝒪) = 0, par exemple sur des ouverts de coordonnées biholomorphes à des boules (exercice pour le lecteur).

Il n’est pas difficile de montrer qu’un produit Θ_{1} ∧ ⋯ ∧ Θ_{q} de courants positifs de bidegré (1, 1) est positif chaque fois que le produit est bien défini (c’est certainement le cas si tous Θ_{j} sauf un au plus sont de classe C^{∞}) ; d’autres conditions beaucoup plus fines existent, mais nous laisserons ce sujet de côté ici.

Nous discutons maintenant un autre exemple très important de courant positif fermé. A tout ensemble analytique A fermé dans X, de dimension pure p, on associe un courant d’intégration

(11.13)  ⟨[A], α⟩ = ∫_{A_{reg}} α, α ∈ 𝒟^{p,p}(X),

obtenu en intégrant α sur l’ensemble des points réguliers de A. En vue de montrer que (11.13) donne bien une définition légitime d’un courant sur X, il faut montrer que A_{reg} est localement d’aire finie dans un voisinage de tout point de A_{sing}. Ce résultat, dû à [Lel57] peut se montrer comme suit. Supposons (après translation des coordonnées) que 0 ∈ A_{sing}. Du théorème de paramétrisation locale pour les ensembles analytiques, on déduit qu’il existe un changement linéaire de coordonnées sur ℂ^{n} tel que toutes les projections

π_{I} : (z_{1}, …, z_{n}) ↦ (z_{i_{1}}, …, z_{i_{p}})

définissent des revêtements ramifiés finis de l’intersection A∩Δ_{I} de A avec un petit polydisque Δ_{I} = Δ′_{I} × Δ′′_{I} de ℂ^{n} = ℂ^{p} × ℂ^{n−p}, sur le polydisque Δ′_{I} de ℂ^{p}. Soit n_{I} le nombre de feuillets de chacun de ces revêtements. Alors, si Δ = ⋂ Δ_{I}, l’aire p-dimensionnelle de A ∩ Δ est majorée par la somme des aires de ses projections comptées avec multiplicités, i.e.

Aire(A ∩ Δ) ⩽ ∑ n_{I}Vol(Δ′_{I}).

Le fait que [A] soit positif est facile. En fait, en termes de coordonnées locales (w_{1}, …, w_{p}) sur A_{reg}, on a

iα_{1} ∧ \overline{α}_{1} ∧ ⋯ ∧ iα_{p} ∧ \overline{α}_{p} = | det(α_{jk})|^{2} iw_{1} ∧ \overline{w}_{1} ∧ ⋯ ∧ iw_{p} ∧ \overline{w}_{p}

si α_{j} = ∑ α_{jk}dw_{k}. Ceci montre qu’un tel produit de formes est ⩾ 0 par rapport à l’orientation canonique définie par iw_{1}∧\overline{w}_{1}∧⋯∧iw_{p}∧\overline{w}_{p}. Un résultat plus profond, également démontré par P. Lelong [Lel57], est que [A] est un courant d-fermé sur X, en d’autres termes, l’ensemble A_{sing} (qui est de dimension réelle ⩽ 2p − 2) ne fournit aucune contribution au courant bord d[A]. Finalement, en liaison avec l’exemple 11.12, nous avons l’importante

11.14. Équation de Lelong-Poincaré. Soit f ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}) une fonction holomorphe non nulle, Z_{f} = ∑ m_{j}Z_{j}, m_{j} ∈ ℕ, le diviseur des zéros de f, et [Z_{f}] = ∑ m_{j}[Z_{j}] le courant d’intégration associé. Alors

\frac{i}{π} ∂\overline{∂} log |f| = [Z_{f}].

Preuve (abrégée). Il est clair que i d′d′′ log |f| = 0 au voisinage de tout point x ∉ Supp(Z_{f}) = ⋃ Z_{j}, par suite il suffit de vérifier l’équation au voisinage de tout point de Supp(Z_{f}). Soit A l’ensemble des points singuliers de Supp(Z_{f}), i.e. la réunion des intersections Z_{j} ∩ Z_{k} et des lieux singuliers Z_{j,sing} ; nous avons alors dim A ⩽ n − 2. Au voisinage de tout point x ∈ Supp(Z_{f}) ∖ A il existe des coordonnées locales (z_{1}, …, z_{n}) telles que f(z) = z_{1}^{m_{j}}, où m_{j} est la multiplicité de f le long de la composante Z_{j} qui contient x, et où z_{1} = 0 est une équation locale de Z_{j} près de x. Comme \frac{i}{π} d′d′′ log |z| = mesure de Dirac δ_{0} dans ℂ, nous trouvons \frac{i}{π} d′d′′ log |z_{1}| = [hyperplan z_{1} = 0], donc

\frac{i}{π} d′d′′ log |f| = m_{j} \frac{i}{π} d′d′′ log |z_{1}| = m_{j}[Z_{j}]

au voisinage de x. Ceci montre que l’équation est bien vérifiée sur X ∖ A. Par suite la différence \frac{i}{π} d′d′′ log |f|−[Z_{f}] est un courant fermé de degré 2 à coefficients mesures, dont le support est contenu dans A. Ce courant est nécessairement nul car A est de dimension trop petite pour pouvoir porter son support (A est stratifié en sous-variétés de codimension réelle ⩾ 4, alors que le courant lui-même est de codimension réelle 2).

Pour conclure ce paragraphe, nous abordons maintenant les notions de cohomologie de De Rham et de Dolbeault dans le contexte de la théorie des courants. Une observation de base est que les lemmes de Poincaré et de Dolbeault-Grothendieck sont encore valables pour les courants. De façon précise, si (𝒟^{′q}, d) et (𝒟′(F)^{p,q}, d′′) désignent les complexes de faisceaux des courants de degré q (resp. des courants de bidegrés (p, q) à valeurs dans un fibré vectoriel holomorphe F), on a encore des résolutions de De Rham et de Dolbeault faisceautiques

0 → ℝ → 𝒟^{′•}, 0 → Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(F) → 𝒟′(F)^{p,•}.

De là il résulte des isomorphismes canoniques

(11.15)  H_{DR}^{q}(M, ℝ) = H^{q}((Γ(M, 𝒟^{′•}), d)),
H^{p,q}(X, F) = H^{q}((Γ(X, 𝒟′(F)^{p,•}), d′′)).

En d’autres termes, on peut attacher une classe de cohomologie {Θ} ∈ H_{DR}^{q}(M, ℝ) à tout courant fermé Θ de degré q, resp. une classe de cohomologie {Θ} ∈ H^{p,q}(X, F) à tout courant d′′-fermé de bidegré (p, q). En remplaçant si nécessaire les courants mis en jeu par des représentants C^{∞} de même classe de cohomologie, on voit qu’il existe un accouplement de cup produit bien défini, donné par le produit extérieur des formes différentielles

\begin{matrix}H^{q_{1}}(M, ℝ) × ⋯ × H^{q_{m}}(M, ℝ) & ⟶ H^{q_{1}+···+q_{m}}(M, ℝ), \\ (\{Θ_{1}\}, …, \{Θ_{1}\}) & ⟼ \{Θ_{1}\} ∧ ⋯ ∧ \{Θ_{m}\}. \end{matrix}

En particulier, si M est une variété compacte orientée et si q_{1} + ⋯ + q_{m} = dim M, on obtient un nombre d’intersection bien défini

{Θ_{1}} · {Θ_{2}} · · · · · {Θ_{m}} = ∫_{M}{Θ_{1}} ∧ ⋯ ∧ {Θ_{m}}.

Notons cependant que le produit ponctuel Θ_{1} ∧ ⋯ ∧ Θ_{m} n’existe pas en général.

§11.C. Fibrés vectoriels positifs

Soit (E, h) un fibré vectoriel holomorphe hermitien sur une variété complexe X. Son tenseur de courbure de Chern

Θ(E) = ∑_{1⩽j,k⩽n, 1⩽λ,μ⩽r} c_{jkλμ}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} ⊗ e_{λ}^{⋆} ⊗ e_{μ}.

peut s’identifier à une forme hermitienne sur T_{X} ⊗ E, à savoir,

(11.16)  Θ̃(E)(ξ ⊗ v) = ∑_{1⩽j,k⩽n, 1⩽λ,μ⩽r} c_{jkλμ}ξ_{j}\overline{ξ}_{k}v_{λ}\overline{v}_{μ},  \overline{c}_{jkλμ} = c_{kjμλ}.

Ceci conduit d’une manière naturelle aux concepts de positivité, en suivant des définitions introduites par Kodaira [Kod53], Nakano [Nak55] et Griffiths [Gri66].

11.17. Définition. Le fibré vectoriel holomorphe hermitien E est dit

a) positif au sens de Nakano si :

Θ̃(E)(τ) > 0 pour tout tenseur non nul τ = ∑ τ_{jλ}∂/∂z_{j} ⊗ e_{λ} ∈ T_{X} ⊗ E.

b) positif au sens de Griffiths si :

Θ̃(E)(ξ ⊗ v) > 0 pour tout tenseur décomposable non nul ξ ⊗ v ∈ T_{X} ⊗ E;

Les concepts de semi-positivité correspondants sont définis en relâchant les inégalités strictes en des inégalités larges.

11.18. Cas particulier des fibrés de rang 1. Supposons que E soit un fibré en droites. La matrice hermitienne H = (h_{11}) associée à une trivialisation τ : E_{↾Ω} ≃ Ω × ℂ est alors simplement une fonction positive, et il sera commode de la noter e^{−2φ}, φ ∈ C^{∞}(Ω, ℝ). Dans ce cas, la forme de courbure Θ(E) peut s’identifier à la (1, 1)-forme 2d′d′′φ, et

\frac{i}{2π} Θ(E) = \frac{i}{π} d′d′′φ = dd^{c}φ où d^{c} = \frac{i}{2π} (d′′ − d′)

est une (1, 1)-forme réelle. Donc E est semi-positif (au sens de Nakano ou au sens de Griffiths) si et seulement si φ est psh, resp. positif si et seulement si φ est strictement psh. Dans ce contexte, l’équation de Lelong-Poincaré peut se généraliser comme suit : soit σ ∈ H^{0}(X, E) une section holomorphe non nulle. Alors

(11.19)  dd^{c} log ∥σ∥ = [Z_{σ}] − \frac{i}{2π} Θ(E).

La Formule (11.19) est immédiate si on écrit ∥σ∥ = |τ(σ)|e^{−φ} et si on applique l’équation de Lelong-Poincaré à la fonction holomorphe f = τ(σ). Comme nous le verrons plus tard, il est important pour les applications de considérer aussi le cas de métriques hermitiennes singulières (cf. [Dem90b]).

11.20. Définition. Une métrique (hermitienne) singulière sur un fibré en droites E est une métrique donnée dans toute trivialisation τ : E_{↾Ω} ⟶^{≃} Ω × ℂ par

∥ξ∥ = |τ(ξ)| e^{−φ(x)}, x ∈ Ω, ξ ∈ E_{x}

où φ ∈ L_{loc}^{1}(Ω) est une fonction arbitraire, appelée poids de la métrique par rapport à la trivialisation τ.

Si τ′ : E_{↾Ω′} → Ω′ × ℂ est une autre trivialisation, φ′ le poids associé et g ∈ 𝒪^{⋆}(Ω ∩ Ω′) la fonction de transition, alors τ′(ξ) = g(x) τ(ξ) pour tout ξ ∈ E_{x}, donc φ′ = φ + log |g| sur Ω ∩ Ω′. La forme de courbure de E est alors donnée formellement par le courant de bidegré (1, 1) \frac{i}{π} Θ(E) = dd^{c}φ sur Ω ; l’hypothèse φ ∈ L_{loc}^{1}(Ω) garantit que Θ(E) existe au sens des distributions. Comme dans le cas C^{∞}, la forme \frac{i}{π} Θ(E) est globalement définie sur X et indépendante du choix des trivialisations, et sa classe de cohomologie de De Rham est l’image de la première classe de Chern c_{1}(E) ∈ H^{2}(X, ℤ) dans H_{DR}^{2}(X, ℝ). Avant d’aller plus loin, nous discutons deux exemples fondamentaux.

11.21. Exemple. Soit D = ∑ α_{j}D_{j} un diviseur à coefficients α_{j} ∈ ℤ et soit E = 𝒪(D) le faisceau inversible associé, défini comme le faisceau des fonctions méromorphes u telles que div(u) + D ⩾ 0 ; le fibré en droites correspondant peut alors être muni de la métrique singulière définie par ∥u∥ = |u| (module de la fonction méromorphe u). Si g_{j} est un générateur de l’idéal de D_{j} sur un ouvert Ω ⊂ X, alors τ(u) = u ∏ g_{j}^{α_{j}} définit une trivialisation de 𝒪(D) sur Ω, donc notre métrique singulière est associée au poids φ = ∑ α_{j} log |g_{j}|. L’équation de Lelong-Poincaré implique

\frac{i}{π} Θ(𝒪(D)) = dd^{c}φ = [D],

où [D] = ∑ α_{j}[D_{j}] désigne le courant d’intégration sur D.

11.22. Exemple. Supposons que σ_{1}, …, σ_{N} soient des sections holomorphes non nulles de E. On peut alors définir un métrique hermitienne naturelle (éventuellement singulière) sur E^{⋆}, en posant

∥ξ^{⋆}∥^{2} = ∑_{1⩽j⩽n} |ξ^{⋆}.σ_{j}(x)|^{2} pour ξ^{⋆} ∈ E_{x}^{⋆}.

La métrique duale de E est donnée par

∥ξ∥^{2} = \frac{|τ(ξ)|^{2}}{|τ(σ_{1}(x))|^{2} + ⋯ + |τ(σ_{N}(x))|^{2}}

par rapport à toute trivialisation locale τ. La fonction poids associée est donc donnée par φ(x) = log ( ∑_{1⩽j⩽N} |τ(σ_{j}(x))|^{2})^{1/2}. Dans ce cas φ est une fonction psh, donc i Θ(E) est un courant positif fermé. Notons Σ le système linéaire défini par σ_{1}, …, σ_{N} et B_{Σ} = ⋂ σ_{j}^{−1}(0) son ensemble base. On a une application méromorphe

Φ_{Σ} : X ∖ B_{Σ} → ℙ^{N−1}, x ↦ [σ_{1}(x) : σ_{2}(x) : ⋯: σ_{N}(x)].

Avec ces notations, la courbure \frac{i}{2π} Θ(E) restreinte à X ∖ B_{Σ} s’identifie à l’imageinverse par Φ_{Σ} de la métrique de Fubini-Study ω_{FS} = \frac{i}{2π} d′d′′ log(|z_{1}|^{2}+⋯+|z_{N}|^{2}) sur ℙ^{N−1}. Elle est donc semi-positive.

11.23. Fibrés en droites amples et très amples. Un fibré en droites holomorphe E sur une variété complexe compacte X est dit

a) très ample si l’application Φ_{|E|} : X → ℙ^{N−1} associée au système linéaire complet |E| = ℙ(H^{0}(X, E)) est un plongement régulier (ceci sous-entend en particulier que l’ensemble base est vide, i.e. B_{|E|} = ∅).

b) ample s’il existe un multiple mE, m > 0, qui soit très ample.

Nous utilisons ici une notation additive pour Pic(X) = H^{1}(X, 𝒪^{⋆}), le symbole mE désigne donc le fibré en droites E^{⊗m}. Grâce à l’exemple 11.22, tout fibré en droites ample E a une métrique hermitienne de classe C^{∞} ayant une forme de courbure définie positive ; en effet, si le système linéaire |mE| donne un plongement dans l’espace projectif, alors on obtient une métrique hermitienne de classe C^{∞} sur E^{⊗m}, et la racine m-ième donne une métrique sur E telle que \frac{i}{2π} Θ(E) = \frac{1}{m}Φ_{|mE|}^{⋆}ω_{FS}. Inversement, le théorème de plongement de Kodaira [Kod54] nous dit que tout fibré en droites positif E est ample (voir l’exercice 15.11 pour une preuve analytique directe de ce théorème fondamental).

§12. Théorie de Hodge des variétés kählériennes complètes

Le but de cette section est essentiellement d’étendre au cas des variétés kählériennes complètes les résultats de théorie de Hodge déjà démontrés dans le cas compact.

§12. Théorie de Hodge des variétés kählériennes complètes 67

§12.A. Variétés riemanniennes complètes

Avant de traiter de la situation complexe, nous aurons besoin de quelques considérations générales sur la théorie de Hodge des variétés riemanniennes complètes. Rappelons qu’une variété riemannienne (M, g) est dite complète si la distance géodésique δ_{g} est complète, ou, ce qui revient au même (lemme de Hopf-Rinow ci-dessous), si les boules géodésiques fermées sont toutes compactes. Nous aurons besoin plus précisément de la caractérisation suivante.

12.1. Lemme (Hopf-Rinow). Les propriétés suivantes sont équivalentes:

a) (M, g) est complète ;

b) les boules géodésiques fermées \overline{B}_{g}(a, r) sont compactes ;

c) il existe une fonction exhaustive ψ ∈ C^{∞}(M, ℝ) telle que |dψ|_{g} ⩽ 1 ;

d) il existe dans M une suite exhaustive (K_{ν})_{ν∈ℕ} de compacts et des fonctions θ_{ν} ∈ C^{∞}(M, ℝ) telles que

θ_{ν} = 1 sur un voisinage de K_{ν}, Supp θ_{ν} ⊂ K_{ν+1}^{∘},
0 ⩽ θ_{ν} ⩽ 1 et |dθ_{ν}|_{g} ⩽ 2^{−ν}.

Preuve. a) ⟹ b). Le point x étant fixé, on note r_{0} = r_{0}(x) le sup des réels r > 0 tels que \overline{B}_{g}(a, r) soit compacte. Supposons r_{0} < +∞. Etant donné une suite de points (x_{ν}) dans \overline{B}_{g}(a, r_{0}) et ε > 0, on choisit une suite de points x_{ν,ε} ∈ \overline{B}(a, r_{0}−ε) telle que δ_{g}(x_{ν}, x_{ν,ε}) < 2ε. Par compacité de \overline{B}_{g}(a, r_{0}−ε), on peut extraire de (x_{ν,ε} une sous-suite convergente pour chaque ε > 0. Grâce à un procédé diagonal, on voit facilement qu’on peut extraire de (x_{ν}) une sous-suite de Cauchy. Par conséquent cette suite converge et \overline{B}_{g}(a, r_{0}) est compacte. La locale compacité de M implique que \overline{B}_{g}(a, r_{0} + η) est encore compacte pour η > 0 assez petit, ce qui est une contradiction si r_{0} < +∞.

b) ⟹ c). Supposons M connexe. Choisissons un point x_{0} ∈ M et posons ψ_{0}(x) = \frac{1}{2}δ(x_{0}, x). Alors ψ_{0} est exhaustive, et c’est une fonction lipschitzienne de rapport \frac{1}{2}, donc ψ_{0} est différentiable presque partout sur M. On obtient la fonction ψ cherchée par régularisation.

c) ⟹ d). Soit ψ comme dans a) et soit ρ ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ) une fonction telle que ρ = 1 sur ] − ∞, 1.1], ρ = 0 sur [1.99, +∞[ and 0 ⩽ ρ′ ⩽ 2 sur [1, 2]. Alors

K_{ν} = {x ∈ M ; ψ(x) ⩽ 2^{ν+1}}, θ_{ν}(x) = ρ(2^{−ν−1}ψ(x))

vérifient les propriétés annoncées.

d) ⟹ c). Poser ψ = ∑ 2^{ν−1}(1 − θ_{ν}).

c) ⟹ b). L’inégalité |dψ|_{g} ⩽ 1 implique |ψ(x) − ψ(y)| ⩽ δ_{g}(x, y) pour tous x, y ∈ M, donc la boule géodésique \overline{B}_{g}(a, r) ⊂ \{x ∈ M ; δ_{g}(x, a) ⩽ ψ(a) + r\} est relativement compacte. b) ⟹ a). C’est évident !

Soit (M, g) une variété riemannienne, non nécessairement complète pour l’instant, et E un fibré vectoriel hermitien sur M muni d’une connexion hermitienne D. On considére l’opérateur non borné entre espaces de Hilbert encore noté D

D : L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ L^{2}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E),

dont le domaine Dom D est défini comme suit : une section u ∈ L^{2} est dite être dans Dom D si Du calculé au sens des distributions est encore dans L^{2}. Le domaine ainsi défini est toujours dense dans L^{2}, car Dom D contient l’espace 𝒟(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆}E) des sections C^{∞} à support compact, qui est lui-même dense dans L^{2}. De plus, l’opérateur D ainsi défini, bien que non borné, est fermé, c’est-à-dire que que son graphe est fermé ; cela résulte aussitôt du fait que les opérateurs différentiels sont continus pour la topologie faible des distributions. L’adjoint formel D^{⋆} admet de même une extension en un opérateur fermé

D^{⋆} : L^{2}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E).

Des résultats élémentaires bien connus de théorie spectrale dûs à Von Neumann garantissent par ailleurs l’existence d’un opérateur D_{ℋ}^{⋆} fermé à domaine dense, appelé adjoint hilbertien de D, défini comme suit : un élément v ∈ L^{2}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) est dans Dom D_{ℋ}^{⋆} si la forme linéaire L^{2} → ℂ, u ↦ ⟨⟨Du, v⟩⟩ est continue ; elle s’écrit alors u ↦ ⟨⟨u, w⟩⟩ pour un unique élément w ∈ L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E). On pose D_{ℋ}^{⋆} v = w, de sorte que D_{ℋ}^{⋆} est défini par la relation habituelle d’adjonction

⟨⟨Du, v⟩⟩ = ⟨⟨u, D_{ℋ}^{⋆} v⟩⟩ ∀u ∈ Dom D.

(Noter que l’adjoint formel D^{⋆}, lui, est défini en exigeant seulement la validité de cette relation pour u ∈ 𝒟(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E)). Il est clair qu’on a toujours Dom D_{ℋ}^{⋆} ⊂ Dom D^{⋆} et que D_{ℋ}^{⋆} = D^{⋆} sur Dom D_{ℋ}^{⋆} ; en général, néanmoins, les domaines sont distincts (c’est le cas par exemple si M =]0, 1[, g = dx^{2}, D = d/dx !). Une observation fondamentale est que ce phénomène ne peut se produire si la métrique riemannienne g est complète.

12.2. Proposition. Si la variété (M, g) est \underline{complète}, alors :

a) L’espace 𝒟(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆}E) est dense dans Dom D, Dom D^{⋆} et Dom D ∩ Dom D^{⋆} respectivement, pour les normes des graphes

u ↦ ∥u∥ + ∥Du∥, u ↦ ∥u∥ + ∥D^{⋆}u∥, u ↦ ∥u∥ + ∥Du∥ + ∥D^{⋆}u∥.

b) D_{ℋ}^{⋆} = D^{⋆} (i.e. les deux domaines coïncident), et D_{ℋ}^{⋆⋆} = D^{⋆⋆} = D.

c) Soit Δ = DD^{⋆} + D^{⋆}D le laplacien calculé au sens des distributions. Pour tout u ∈ Dom Δ ⊂ L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆}E), on a ⟨u, Δu⟩ = ∥Du∥^{2} + ∥D^{⋆}u∥^{2} . En particulier

Dom Δ ⊂ Dom D ∩ Dom D^{⋆}, Ker Δ = Ker D ∩ Ker D^{⋆},

et Δ est auto-adjoint.

d) Si D^{2} = 0, il y a une décomposition orthogonale

L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆}E) = ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) ⊕ \overline{Im D} ⊕ \overline{Im D^{⋆}},
Ker D = ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) ⊕ \overline{Im D},

où ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) = {u ∈ L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; Δu = 0} est l’espace des formes harmoniques L^{2} sur M.

Preuve. a) Il faut montrer par exemple que tout élément u ∈ Dom D peut être approximé pour la norme du graphe de D par des formes C^{∞} à support compact. Par hypothèse, u et Du sont dans L^{2}. Soit (θ_{ν}) une suite de fonctions tronquantes comme dans le lemme 12.1 d). Alors θ_{ν}u → u dans L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E) et D(θ_{ν}u) = θ_{ν}Du + dθ_{ν} ∧ u où

|dθ_{ν} ∧ u| ⩽ |dθ_{ν}| |u| ⩽ 2^{−ν}|u|.

Par suite dθ_{ν} ∧ u → 0 et D(θ_{ν}u) → Du. Après avoir remplacé u par θ_{ν}u, on peut supposer que u est à support compact, et à l’aide d’une partition de l’unité, on se ramène au cas où Supp u est contenu dans une carte de coordonnées de M sur laquelle E est trivial. Soit (ρ_{ε}) une famille de noyaux régularisants. Un lemme classique en théorie des EDP (lemme de Friedrichs), montre que pour tout opérateur différentiel P d’ordre 1 à coefficients de classe C^{1} on a ∥P (ρ_{ε} ⋆ u) − ρ_{ε}P u∥_{L^{2}} → 0 lorsque ε tend vers 0 (u étant une section L^{2} à support compact dans la carte considérée). En appliquant ce lemme à P = D, P = D^{⋆} respectivement, on déduit les propriétés de densité voulues.

b) est équivalent au fait que

⟨⟨Du, v⟩⟩ = ⟨⟨u, D^{⋆}v⟩⟩, ∀u ∈ Dom D, ∀v ∈ Dom D^{⋆}.

Or, d’après a), on peut trouver u_{ν}, v_{ν} ∈ 𝒟(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E) tels que

u_{ν} → u, v_{ν} → v, Du_{ν} → Du et D^{⋆}v_{ν} → D^{⋆}v dans L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E).

L’égalité cherchée est alors la limite des égalités ⟨⟨Du_{ν}, v_{ν}⟩⟩ = ⟨⟨u_{ν}, D^{⋆}v_{ν}⟩⟩.

c) Soit u ∈ Dom Δ. Comme Δu ∈ L^{2} et que Δ est un opérateur elliptique d’ordre 2, on obtient u ∈ W_{loc}^{2} grâce à la version locale de l’inégalité de Gårding. En particulier Du, D^{⋆}u ∈ W_{loc}^{1} ⊂ L_{loc}^{2} et nous pouvons effectuer toutes les intégrations par parties que nous voulons après avoir multiplié les formes mises en jeu par des fonctions C^{∞} à support compact θ_{ν}. Des calculs simples donnent alors

∥θ_{ν}Du∥^{2} + ∥θ_{ν}D^{⋆}u∥^{2} = = ⟨⟨θ_{ν}^{2}Du, Du⟩⟩ + ⟨⟨u, D(θ_{ν}^{2}D^{⋆}u)⟩⟩ = ⟨⟨D(θ_{ν}^{2}u), Du⟩⟩ + ⟨⟨u, θ_{ν}^{2}DD^{⋆}u⟩⟩ − 2⟨⟨θ_{ν}dθ_{ν} ∧ u, Du⟩⟩ + 2⟨⟨u, θ_{ν}dθ_{ν} ∧ D^{⋆}u⟩⟩ = ⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ − 2⟨⟨dθ_{ν} ∧ u, θ_{ν}Du⟩⟩ + 2⟨⟨u, dθ_{ν} ∧ (θ_{ν}D^{⋆}u)⟩⟩ ⩽ ⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ + 2^{−ν}(2∥θ_{ν}Du∥ ∥u∥ + 2∥θ_{ν}D^{⋆}u∥ ∥u∥)

⩽ ⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ + 2^{−ν}(∥θ_{ν}Du∥^{2} + ∥θ_{ν}D^{⋆}u∥^{2} + 2∥u∥^{2}).

Par conséquent

∥θ_{ν}Du∥^{2} + ∥θ_{ν}D^{⋆}u∥^{2} ⩽ \frac{1}{1 − 2^{−ν}} (⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ + 2^{1−ν}∥u∥^{2}).

En faisant tendre ν vers +∞, on obtient ∥Du∥^{2}+∥D^{⋆}u∥^{2} ⩽ ⟨⟨u, Δu⟩⟩, en particulier Du, D^{⋆}u sont dans L^{2}. Ceci implique

⟨⟨u, Δv⟩⟩ = ⟨⟨Du, Dv⟩⟩ + ⟨⟨D^{⋆}u, D^{⋆}v⟩⟩, ∀u, v ∈ Dom Δ,

parce que l’égalité a lieu pour θ_{ν}u et v, et parce que nous avons θ_{ν}u → u, D(θ_{ν}u) → Du et D^{⋆}(θ_{ν}u) → D^{⋆}u dans L^{2}. Il en résulte que Δ est auto-adjoint.

d) Si P est un opérateur fermé à domaine dense sur un espace de Hilbert ℋ, alors Ker P et fermé et Ker P^{⋆} = (Im P)^{⊥}. Par suite (Ker P^{⋆})^{⊥} = (Im P)^{⊥⊥} = \overline{Im P}. Comme Ker P^{⋆} est lui aussi fermé il vient

ℋ = Ker P^{⋆} ⊕ (Ker P^{⋆})^{⊥} = Ker P^{⋆} ⊕ \overline{Im P} .

Ce résultat appliqué à P = Δ donne

ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) = Ker Δ ⊕ \overline{Im Δ},

et il est clair d’après (12.2 c) que Im Δ ⊂ Im D ⊕ Im D^{⋆}. Mais par ailleurs, on voit facilement que Ker Δ, \overline{Im D} et \overline{Im D^{⋆}} sont deux à deux orthogonaux en utilisant (12.2 a,c). La propriété d) s’ensuit comme dans le cas où M est compacte.

12.3. Définition. Etant donné une variété riemannienne (M, g) et un fibré hermitien E muni d’une connexion hermitienne plate D, on note H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) les groupes de cohomologie de De Rham L^{2}, à savoir les groupes de cohomologie du complexe (K^{•}, D) défini par

K^{p} = {u ∈ L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; Du ∈ L^{2}}.

En d’autres termes, on a H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) = Ker D/ Im D où D est l’extension L^{2} de la connexion, calculée au sens des distributions. Comme ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) = Ker D/\overline{Im D} d’après (12.2 d), il s’ensuit :

12.4. Proposition. On a un isomorphisme canonique

ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) ≃ H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E)_{sep}

entre ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) et l’espace séparé associé à la cohomologie de De Rham L^{2}.

En général l’espace H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) n’est pas toujours séparé, mais il l’est dans le cas important où la cohomologie L^{2} est de dimension finie :

12.5. Corollaire. Si (M, g) est complète et si H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) est de dimension finie, alors cet espace est séparé et on a un isomorphisme canonique

ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) ≃ H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E).

Preuve. L’espace K^{p} peut être considéré comme un espace de Hilbert pour la norme u ↦ (∥u∥_{L^{2}} + ∥Du∥_{L^{2}})^{1/2}. Il s’agit de voir que Im D = D(K^{p−1}) est fermé dans Ker D, Ker D étant lui-même fermé dans K^{p}. Or D : K^{p−1} → Ker D est continu et son image est de codimension finie par hypothèse. Le fait que l’image soit fermée est alors une conséquence directe du théorème de Banach.

12.6. Remarque. Pour la cohomologie de De Rham L^{2}, on peut observer qu’on obtient des groupes de cohomologie identiques en travaillant avec le sous-complexe des formes C^{∞} globalement L^{2}, c’est-à-dire

K̃^{p} = {u ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; u ∈ L^{2} et Du ∈ L^{2}} ⊂ K^{p}.

Pour cela, il suffit de construire un opérateur K̃^{•} → K^{•} qui soit un inverse homotopique de l’inclusion ; ceci peut se faire en utilisant une régularisation par des flots de champs de vecteurs tendant vers 0 suffisamment vite à l’infini.

§12.B. Cas des variétés hermitiennes et kählériennes complètes

Les résultats précédents admettent bien entendu des analogues complexes, avec des démonstrations quasiment identiques (les détails seront donc laissés au lecteur). On dira qu’une variété hermitienne ou kählérienne (X, ω) est complète si la variété riemannienne sous-jacente est complète.

12.7. Proposition. Soit (X, ω) une variété hermitienne complète et E un fibré holomorphe hermitien sur X. Il y a un isomorphisme canonique

ℋ_{L^{2}}^{p,q}(M, E) ≃ H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)_{sep}

entre l’espace des formes harmoniques L^{2} et le groupe de cohomologie de Dolbeault L^{2} séparé, ce dernier espace étant lui-même égal à H_{L^{2}}^{p,q}(M, E) si la cohomologie de Dolbeault est de dimension finie.

12.8. Corollaire. Soit (X, ω) une variété kählérienne et E un fibré hermitien plat sur X.

a) Sans autre hypothèse, on a pour tout k une décomposition orthogonale

ℋ_{L^{2}}^{k}(M, E) = ⨁_{p+q=k} ℋ_{L^{2}}^{p,q}(M, E), \overline{ℋ_{L^{2}}^{p,q}(M, E)} = ℋ_{L^{2}}^{q,p}(M, E^{⋆}).

b) Si de plus (X, ω) est complète, il y a des isomorphismes canoniques

H_{L^{2}}^{k}(M, E)_{sep} ≃ ⨁_{p+q=k} H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)_{sep}, \overline{H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)_{sep}} ≃ H_{L^{2}}^{q,p}(M, E^{⋆})_{sep}.

c) Si (X, ω) est complète, et si les groupes de cohomologie de De Rham et de Dolbeault L^{2} sont de dimension finie, on a des isomorphismes canoniques

H_{L^{2}}^{k}(M, E) ≃ ⨁_{p+q=k} H_{L^{2}}^{p,q}(M, E), \overline{H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)} ≃ H_{L^{2}}^{q,p}(M, E^{⋆}).

§12.C. Théorie de Hodge des variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes

Les variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes fournissent un exemple important de variétés kählériennes complètes.

12.9. Définition. Une variété complexe X est dite faiblement pseudoconvexe s’il existe une fonction d’exhaustion psh ψ de classe C^{∞} sur X (rappelons qu’une fonction ψ est dite exhaustive si pour tout c > 0 l’ensemble de sous-niveau X_{c} = ψ^{−1}(c) est relativement compact, i.e. ψ(z) tend vers +∞ quand z tend vers l’infini suivant le filtre des complémentaires de parties compactes de X).

En particulier, les variétés complexes compactes X sont faiblement pseudoconvexes (prendre ψ = 0), de même que les variétés de Stein, par exemple les sous-variétés algébriques affines de ℂ^{N} (prendre ψ(z) = |z|^{2}), les boules ouvertes X = B(z_{0}, r) (prendre ψ(z) = 1/(r − |z − z_{0}|^{2})), les ouverts convexes, etc. Une observation de base est la suivante :

12.10. Proposition. Toute variété kählérienne (X, ω) faiblement pseudoconvexe possède une métrique kählérienne complète ω̂.

Preuve. Pour toute fonction convexe croissante χ ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ), nous considérons (1, 1)-forme fermée

ω_{χ} = ω + i d′d′′(χ ∘ ψ) = ω + χ′(ψ) i d′d′′ψ + χ′′(ψ) i d′ψ ∧ d′′ψ.

Comme les trois termes sont positifs ou nuls, c’est une métrique kählérienne. La présence du troisième terme implique que la norme de χ′′(ψ)^{1/2}dψ par rapport à ω_{χ} est inférieure ou égale à 1, donc si ρ est une primitive de (χ′′)^{1/2} nous avons |d(ρ ∘ ψ)|_{ω_{χ}} ⩽ 1. D’après (12.1 c), ω_{χ} sera complète dès que ρ ∘ ψ est exhaustive, c’est-à-dire dès que lim_{+∞} ρ(t) = +∞. On obtient donc la condition suffisante

∫_{t_{0}}^{+∞} χ′′(t)^{1/2}dt = +∞,

qui est réalisée par exemple pour le choix χ(t) = t^{2} ou χ(t) = t − log t, t ⩾ 1.

Nous allons maintenant établir un théorème de décomposition de Hodge pour des variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes ayant “suffisamment de directions strictement pseudoconvexes”. Suivant Andreotti-Grauert [AG62], nous introduisons la :

12.11. Définition. Une variété complexe X sera dite ℓ-convexe (resp. absolument ℓ-convexe) si X possède une fonction d’exhaustion (resp. une fonction d’exhaustion \underline{psh}) ψ qui est fortement ℓ-convexe sur le complémentaire X ∖ K d’une partie compacte, i.e. telle que i d′d′′ψ a au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives en tout point de X ∖ K, où n = dim_{ℂ} X.

12.12. Exemple. Soit \overline{X} une variété projective lisse telle qu’il existe un morphisme surjectif F : \overline{X} → \overline{Y} sur une autre variété projective lisse \overline{Y}. Soit D un diviseur de \overline{Y} et soient X = \overline{X} ∖ F^{−1}(D), Y = \overline{Y} ∖ D. On suppose que F induit une submersion \overline{X} ∖ F^{−1}(D) → \overline{Y} ∖ D et que 𝒪(D)_{↾D} est ample. Alors X est absolument ℓ-convexe pour ℓ = dim X −dim Y +1. En effet, l’hypothèse d’amplitude de 𝒪(D)_{↾D} entraîne qu’il existe une métrique hermitienne sur 𝒪(D) dont la courbure est définie positive au voisinage de D, c’est-à-dire sur un ouvert de la forme \overline{Y} ∖ K′ où K′ est une partie compacte de \overline{Y} ∖ D. Soit σ ∈ H^{0}(\overline{Y} , 𝒪(D)) la section canonique de diviseur D. Alors − log |σ|^{2} est fortement psh sur Y ∖ K′, par suite ψ = − log |σ ∘ F |^{2} est psh et fortement ℓ-convexe sur X ∖ K, où K = F^{−1}(K′). Par ailleurs, ψ définit clairement une exhaustion de X. On ne sait rien de ψ sur K, mais il suffit de tronquer ψ en prenant un maximum régularisé ψ_{C} = max_{ε}(ψ, C) avec une constante C > sup_{K} ψ pour obtenir une fonction ψ_{C} partout psh sur X.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de décomposition de Hodge pour les variétés absolument ℓ-convexes. Ce résultat est dû à T. Ohsawa [Ohs81, 87] ; nous en présentons ici une démonstration simplifiée décrite dans [Dem90a]. Une approche purement algébrique de ces résultats a été proposée par Bauer-Kosarew [BaKo89, 91] et [Kos91].

12.13. Théorème (Ohsawa [Ohs81, 87], [OT88]). Soit (X, ω) une variété kählérienne et n = dim_{ℂ} X. On suppose que X est absolument ℓ-convexe. Alors, en des degrés convenables, il y a décomposition et symétrie de Hodge:

\begin{matrix}H_{DR}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, ℂ), \overline{H^{p,q}(X, ℂ)} ≃ H^{q,p}(X, ℂ), k ⩾ n + ℓ, \\ H_{DR, c}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H_{c}^{p,q}(X, ℂ), \overline{H_{c}^{p,q}(X, ℂ)} ≃ H_{c}^{q,p}(X, ℂ), k ⩽ n − ℓ, \end{matrix}

tous ces groupes étant de dimension finie. (H_{DR, c}^{k}(X, ℂ) et H_{c}^{p,q}(X, ℂ) désignent ici les groupes de cohomologie à support compact). De plus, on a un isomorphisme de Lefschetz

ω^{n−p−q} ∧ • : H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{n−q,n−p}(X, ℂ), p + q ⩽ n − ℓ.

Preuve. La finitude des groupes de cohomologie de De Rham mis en jeu s’obtient facilement au moyen de la théorie de Morse. Rappelons brièvement l’argument : une petite perturbation convenable d’une exhaustion fortement ℓ-convexe donne une fonction de Morse ψ qui est encore fortement ℓ-convexe sur le complémentaire X ∖ K d’un compact ; le Hessien réel D^{2}ψ de ψ en un point critique induit une forme hermitienne sur l’espace tangent complexifié ℂ ⊗ T_{X}, et sa restriction à T_{X}^{1,0} s’identifie au Hessien complexe i d′d′′ψ ; comme le Hessien complexe a par hypothèse au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives sur X ∖ K, il en résulte que D^{2}ψ a au plus 2n−(n−ℓ+1) = n+ℓ−1 valeurs propres négatives sur X ∖K, sans quoi les espaces propres positifs et négatifs de D^{2}ψ auraient une intersection non triviale. Par suite tous les points critiques d’indice ⩾ n + ℓ sont situés dans K et leur nombre est fini. Ceci entraîne que les groupes H_{DR}^{k}(X, ℂ) de degré k ⩾ n + ℓ sont de dimension finie. La finitude des groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, ℂ) = H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) résulte quant à elle du théorème d’Andreotti-Grauert [AG62] (tous les groupes de cohomologie de degré supérieur à ℓ à valeurs dans un faisceau cohérent quelconque sont séparés et de dimension finie si la variété est ℓconvexe). On notera toutefois que la ℓ-convexité, bien que suffisante pour assurer la finitude des différents groupes mis en jeu, ne suffit pas à garantir l’existence d’une décomposition de Hodge, ni même la symétrie de Hodge ; le lecteur trouvera un contre-exemple simple dans Grauert-Riemenschneider [GR70].

Soit maintenant ω une métrique kählérienne sur X et ψ une fonction d’exhaustion psh fortement ℓ-convexe sur X ∖ K. Comme on va le voir, l’existence d’une décomposition de Hodge résulte directement du fait qu’on a une telle décomposition pour les formes harmoniques L^{2}. Le point-clé réside dans l’observation que toute forme L_{loc}^{2} de degré k ⩾ n + ℓ devient globalement L^{2} pour un choix convenable de métrique ω_{χ} = ω + i d′d′′(χ ∘ ψ) ; les groupes H_{DR}^{k}(X, ℂ) et H^{p,q}(X, ℂ) pourront alors être considérés comme des limites inductives de groupes de cohomologie L^{2}. Dans la suite, on désignera par des notations telles que L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}), ℋ_{L^{2}, ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) les espaces de formes (resp. de formes harmoniques) L^{2} relativement à ω_{χ}. Puisque ω_{χ} est kählérienne, on a

(12.14) ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{k}(M, ℂ) = ⨁_{p+q=k} ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{p,q}(M, ℂ), \overline{ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{p,q}(M, ℂ)} = ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{q,p}(M, ℂ),

avec un isomorphisme ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{k}(M, ℂ) ≃ H_{L^{2},ω_{χ}}^{k}(M, ℂ)_{sep} dès lors que ω_{χ} est complète. Dans la suite, on supposera toujours que ω_{χ} est complète, il suffit d’imposer par exemple χ′′(t) ⩾ 1 sur [0, +∞[.

12.15. Lemme. Soit u une forme de bidegré (p, q) à coefficients L_{loc}^{2} sur X. Si p + q ⩾ n + ℓ, alors u ∈ L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) dès que χ croît suffisamment vite à infini.

Preuve. En un point x ∈ X fixé, il existe une base orthogonale (∂/∂z_{1}, …, ∂/∂z_{n}) de T_{X,x} dans laquelle

ω(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}, ω_{χ}(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} λ_{j}(x) dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j},

où λ_{1} ⩽ ⋯ ⩽ λ_{n} sont les valeurs propres de ω_{χ} par rapport à ω. Alors les éléments de volume dV_{ω} = ω^{n}/2^{n}n! et dV_{ω_{χ}} = ω_{χ}^{n}/2^{n}n! sont liés par la relation

dV_{ω_{χ}} = λ_{1} ⋯ λ_{n} dV_{ω}

et pour une (p, q)-forme u = ∑_{I,J} u_{I,J}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} on trouve

|u|_{ω_{χ}}^{2} = ∑_{|I|=p,|J|=q} ( ∏_{k∈I} λ_{k} ∏_{k∈J} λ_{k})^{−1}|u_{I,J}|^{2}.

Il en résulte en particulier

|u|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}} ⩽ \frac{λ_{1} ⋯ λ_{n}}{λ_{1} ⋯ λ_{p} λ_{1} ⋯ λ_{q}} |u|_{ω}^{2}dV_{ω} = \frac{λ_{p+1} ⋯ λ_{n}}{λ_{1} ⋯ λ_{q}} |u|_{ω}^{2}dV_{ω}.

D’autre part, on a des majorations

λ_{j} ⩽ 1 + C_{1}χ′(ψ), 1 ⩽ j ⩽ n − 1, λ_{n} ⩽ 1 + C_{1}χ′(ψ) + C_{2}χ′′(ψ)

où C_{1}(x) est la plus grande valeur propre de i d′d′′ψ(x) et C_{2}(x) = |∂ψ(x)|^{2} ; pour obtenir les n−1 premières inégalités, on a seulement besoin d’appliquer le principe du minimax sur le noyau de ∂ψ. Comme i d′d′′ψ a au plus ℓ − 1 valeurs propres nulles sur X ∖ K, le principe du minimax donne aussi des minorations

λ_{j} ⩾ 1, 1 ⩽ j ⩽ ℓ − 1, λ_{j} ⩾ 1 + c χ′(ψ), ℓ ⩽ j ⩽ n,

où c(x) ⩾ 0 est la ℓ-ième valeur propre de i d′d′′ψ(x) et c(x) > 0 sur X ∖ K. Si nous supposons χ′ ⩾ 1, nous en déduisons aisément

\begin{aligned}\frac{|u|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}}}{|u|_{ω}^{2}dV_{ω}} & ⩽ \frac{(1 + C_{1}χ′(ψ))^{n−p−1}(1 + C_{1}χ′(ψ) + C_{2}χ′′(ψ))}{(1 + cχ′(ψ))^{q−ℓ+1}} \\ & ⩽ C_{3}(χ′(ψ)^{n+ℓ−p−q−1} + χ′′(ψ)χ′(ψ)^{n+ℓ−p−q−2}) sur X ∖ K. \end{aligned}

Pour p + q ⩾ n + ℓ, ceci est inférieur ou égal à

C_{3}(χ′(ψ)^{−1} + χ′′(ψ)χ′(ψ)^{−2}),

et il est facile de montrer que cette quantité peut être rendue arbitrairement petite à l’infini sur X quand χ croît suffisamment vite à infini sur ℝ. Preuve du théorème (12.13), fin. Un résultat bien connu de Andreotti-Grauert [AG62] garantit que la topologie naturelle des groupes de cohomologie H^{q}(X, ℱ) d’un faisceau cohérent quelconque ℱ sur une variété ℓ-convexe sont séparés pour q ⩾ ℓ. Si ℱ = 𝒪(E) est le faisceau des sections d’un fibré vectoriel holomorphe, les groupes H^{q}(X, 𝒪(E)) sont algébriquement et topologiquement isomorphes aux groupes de cohomologie du complexe de Dolbeault des formes de type (0, q) à coefficients L_{loc}^{2} dont la d′′-differentielle est à coefficients L_{loc}^{2}, muni de la topologie de Fréchet définie par les semi-normes u ↦ ∥u∥_{L^{2}(K)}+∥d′′u∥_{L^{2}(K)}. Pour le voir, on peut reprendre mot à mot la démonstration du théorème (1.3), en observant que le complexe L_{loc}^{2} fournit encore une résolution de 𝒪(E) par des faisceaux (acycliques) de 𝒞^{∞}-modules. Il résulte de ce qui précède que le morphisme

L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) ⊃ Ker D′′_{ω_{χ}} ⟶ H^{p,q}(X, ℂ) = H^{q}(X, Ω_{X}^{p})

est continu et de noyau fermé. Par conséquent ce noyau contient l’adhérence \overline{Im D′′_{ω_{χ}}}, et nous obtenons une factorisation

ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) ≃ Ker D′′_{ω_{χ}}/\overline{Im D′′_{ω_{χ}}} ⟶ H^{p,q}(X, ℂ).

La démonstration de la proposition (12.2) montre d’ailleurs que \overline{Im D′′_{ω_{χ}}} coïncide avec l’adhérence de D′′(𝒟(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆})) dans L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}). Considérons le morphisme limite

(12.16)  lim ; ⟶_{χ} ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ),

où la limite inductive est étendue à l’ensemble des fonctions convexes croissantes χ de classe C^{∞} telles que χ′′(t) ⩾ 1 sur [0, +∞[, avec la relation d’ordre

χ_{1} ≼ χ_{2} ⟺ χ_{1} ⩽ χ_{2} et L_{ω_{χ_{1}}}^{2} (X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) ⊂ L_{ω_{χ_{2}}}^{2} (X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) pour k = p + q;

il est facile de voir que cet ordre est filtrant en reprenant les arguments utilisés pour le lemme (12.15). Il est bien connu par ailleurs que les groupes de cohomologie de De Rham sont toujours séparés pour la topologie induite par la topologie de Fréchet sur les espaces de formes, par suite on a un morphisme limite

(12.16)_{DR}  lim ; ⟶_{χ} ℋ_{ω_{χ}}^{k}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{k}(X, ℂ)

analogue à (12.16). La formule de décomposition du théorème (12.13) se déduit maintenant de (12.14) et du lemme élémentaire suivant.

12.17. Lemme. Les morphismes limites (12.16), (12.16)_{DR} sont bijectifs pour k = p + q ⩾ n + ℓ.

Preuve. Traitons par exemple le cas du morphisme (12.16). Soit u une forme L_{loc}^{2} d′′-fermée de bidegré (p, q), p + q ⩾ n + ℓ. Alors il existe un choix de χ pour lequel u ∈ L_{ω_{χ}}^{2}, donc u ∈ Ker D′′_{ω_{χ}} et (12.16) est surjectif. Si une classe {u} ∈ ℋ_{ω_{χ_{0}}}^{p,q} (X, ℂ) est envoyée sur zéro dans H^{p,q}(X, ℂ), on peut écrire u = d′′v pour une certaine forme v à coefficients L_{loc}^{2} et de bidegré (p, q − 1). Dans le cas p + q > n + ℓ, nous aurons v ∈ L_{ω_{χ}}^{2} pour χ ≽ χ_{0} assez grand, donc la classe de u = D′′_{ω_{χ}}v dans H_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) est nulle et (12.16) est injectif. Quand p + q = n + ℓ, la forme v n’appartient plus nécessairement à un des espaces L_{ω_{χ}}^{2}, mais il suffit de montrer que u = d′′v est dans l’adhérence de Im D′′_{ω_{χ}} pour χ assez grand. Soit θ ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ) une fonction tronquante telle que θ(t) = 1 pour t ⩽ 1/2, θ(t) = 0 pour t ⩾ 1 et |θ′| ⩽ 3. Alors

d′′(θ(εψ)v) = θ(εψ)d′′v + εθ′(εψ)d′′ψ ∧ v.

D’après la preuve du lemme (12.15), il existe une fonction continue C(x) > 0 telle que |v|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}} ⩽ C(1+χ′′(ψ)/χ′(ψ))|v|_{ω}^{2}dV_{ω}, alors que |d′′ψ|_{ω_{χ}}^{2} ⩽ 1/χ′′(ψ) d’après la définition même de ω_{χ}. Nous voyons donc que l’intégrale

∫_{X} |θ′(εψ)d′′ψ ∧ v|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}} ⩽ ∫_{X} C(1/χ′′(ψ) + 1/χ′(ψ))|v|^{2}dV

est finie pour χ assez grand, et par convergence dominée d′′(θ(εψ)v) converge vers d′′v = u dans L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}).

La dualité de Poincaré et de Serre montre que les espaces H_{DR, c}^{k}(X, ℂ) et H_{c}^{p,q}(X, ℂ) à support compact sont duaux des espaces H_{DR}^{2n−k}(X, ℂ) et H^{n−p,n−q}(X, ℂ) dès lors que ces derniers sont séparés de de dimension finie, ce qui est bien le cas si k = p + q ⩽ n − ℓ. Nous obtenons donc une décomposition de Hodge duale

(12.18) H_{c}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H_{c}^{p,q}(X, ℂ), \overline{H_{c}^{p,q}(X, ℂ)} ≃ H_{c}^{q,p}(X, ℂ), k ⩽ n − ℓ.

Il est par ailleurs facile de prouver que l’isomorphisme de Lefschetz

(12.19)  ω_{χ}^{n−p−q} ∧ • : ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ ℋ_{ω_{χ}}^{n−q,n−p}(X, ℂ)

donne à la limite un isomorphisme entre la cohomologie à support compact et la cohomologie sans supports (ce résultat est dû à Ohsawa [Ohs81]). En effet, si p + q ⩽ n − ℓ, le morphisme naturel

(12.20)  H_{c}^{p,q}(X, ℂ) = Ker D′′_{𝒟} / Im D′′_{𝒟} ⟶ Ker D′′_{ω_{χ}}/\overline{Im D′′_{ω_{χ}}} ≃ ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X)

est dual du morphisme ℋ_{ω_{χ}}^{n−p,n−q}(X, ℂ) ⟶ H^{n−p,n−q}(X, ℂ), qui est surjectif pour χ assez grand d’après le lemme (12.17) et la finitude du groupe H^{n−p,n−q}(X, ℂ). Donc (12.20) est injectif pour χ grand, et après composition avec l’isomorphisme de Lefschetz (12.19) nous obtenons une injection

ω^{n−p−q} ∧ • = ω_{χ}^{n−p−q} ∧ • : H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{L^{2}, ω_{χ}}^{n−q,n−p}(X, ℂ)_{sep} ≃ ℋ_{ω_{χ}}^{n−q,n−p}(X, ℂ)

(l’égalité ω^{n−p−q} ∧ • = ω_{χ}^{n−p−q} ∧ • résulte du fait que ω_{χ} a même classe de cohomologie que ω). En prenant la limite inductive sur χ et en combinant avec l’isomorphisme limite (12.16), on obtient une application injective

(12.21) ω^{n−p−q} ∧ • : H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{n−q,n−p}(X, ℂ), p + q ⩽ n − ℓ.

Comme les deux membres ont la même dimension par le théorème de dualité de Serre et la symétrie de Hodge, cette application est nécessairement un isomorphisme.

12.22. Remarque. Puisque l’isomorphisme de Lefschetz (12.21) peut se factoriser à travers H^{p,q}(X, ℂ) ou à travers H_{c}^{n−q,n−p}(X, ℂ), on déduit de celui-ci que les morphismes naturels

H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ)

sont injectifs pour p + q ⩽ n − ℓ et surjectifs pour p + q ⩾ n + ℓ. Bien entendu, on a des propriétés entièrement analogues pour les groupes de cohomologie de De Rham.

§13. Technique de Bochner et théorèmes d’annulation

Soit X une variété complexe munie d’une métrique kählérienne ω = ∑ ω_{jk}dz_{j}∧ d\overline{z}_{k}. Soit (E, h) un fibré vectoriel holomorphe hermitien sur X. Nous notons D = D′ + D′′ sa connexion de Chern et Θ(E) le tenseur de courbure associé.

13.1. Relations de commutation de base. Soit L l’opérateur Lu = ω ∧ u agissant sur les formes à valeurs vectorielles et soit Λ = L^{⋆} son adjoint. Alors

\begin{aligned}[D^{′′⋆}, L] & = i d′, \\ [Λ, D′′] & = −i d^{′⋆}, \end{aligned}  \begin{aligned}[D^{′⋆}, L] & = −i d′′, \\ [Λ, D′] & = i d^{′′⋆}. \end{aligned}

Preuve (abrégée). C’est une conséquence assez simple de la relation de commutation (6.14) déjà démontrée pour la connexion triviale d = d′ + d′′ sur E = X × ℂ. En effet, pour tout point x_{0} ∈ X, il existe un repère holomorphe local (e_{λ})_{1⩽λ⩽r} de E tel que

⟨e_{λ}, e_{μ}⟩ = δ_{λμ} + O(|z|^{2}).

(La preuve est entièrement similaire à celle du théorème 5.8). Pour s = ∑ s_{λ} ⊗ e_{λ} avec s_{λ} ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}), nous obtenons

D′′s = ∑ d′′s_{λ} ⊗ e_{λ} + O(|z|), D^{′′⋆}s = ∑ d^{′′⋆}s_{λ} ⊗ e_{λ} + O(|z|).

Les relations annoncées s’ensuivent aisément.

13.2. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano. Si (X, ω) est une variété kählérienne, les laplaciens complexes Δ′ et Δ′′ agissant sur les formes à valeurs dans E satisfont l’identité

Δ′′ = Δ′ + [i Θ(E), Λ].

Preuve. La dernière égalité (13.1) donne D^{′′⋆} = −i[Λ, D′], donc

Δ′′ = [D′′, D^{′′⋆}] = −i[D′′, [Λ, D′]].

§13. Technique de Bochner et théorèmes d’annulation 79

L’identité de Jacobi implique

[D′′, [Λ, D′]] = [Λ, [D′, D′′]] + [D′, [D′′, Λ]] = [Λ, Θ(E)] + i[D′, D^{′⋆}],

si l’on tient compte du fait que [D′, D′′] = D^{2} = Θ(E). L’identité annoncée s’ensuit.

Supposons que X soit compacte et soit u ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) une (p, q)- forme arbitraire. Une intégration par parties donne

⟨Δ′u, u⟩ = ∥D′u∥^{2} + ∥D^{′⋆}u∥^{2} ⩾ 0,

et on a une égalité analogue pour Δ′′. De l’identité de Bochner-Kodaira-Nakano, on déduit l’inégalité a priori

(13.3)  ∥D′′u∥^{2} + ∥D^{′′⋆}u∥^{2} ⩾ ∫_{X}⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩dV_{ω}.

Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Bochner-Kodaira-Nakano (voir [Boc48], [Kod53], [Nak55]). Lorsque u est Δ′′-harmonique, on obtient

∫_{X}⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ dV ⩽ 0.

Si l’opérateur hermitien [i Θ(E), Λ] est positif sur chaque fibre de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E, on voit que u est nécessairement nulle, donc

H^{p,q}(X, E) = ℋ^{p,q}(X, E) = 0

d’après la théorie de Hodge. Dans cette approche, le point essentiel est de savoir calculer la forme de courbure Θ(E) et de trouver des conditions suffisantes pour que l’opérateur [i Θ(E), Λ] soit défini positif. Des calculs élémentaires (quelque peu pénibles) donnent la formule suivante : si la courbure de E est écrite sous la forme (11.16) et si

u = ∑ u_{J,K,λ}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} ⊗ e_{λ}, |J| = p, |K| = q, 1 ⩽ λ ⩽ r

est une (p, q)-forme à valeurs dans E, alors

(13.4)  ⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = ∑_{j,k,λ,μ,J,S} c_{jkλμ} u_{J,jS,λ} \overline{u_{J,kS,μ}}

+ ∑_{j,k,λ,μ,R,K} c_{jkλμ} u_{kR,K,λ} \overline{u_{jR,K,μ}}

− ∑_{j,λ,μ,J,K} c_{jjλμ} u_{J,K,λ} \overline{u_{J,K,μ}},

où les sommations sont étendues à tous les indices 1 ⩽ j, k ⩽ n, 1 ⩽ λ, μ ⩽ r et tous les multi-indices |J| = p, |K| = q, |R| = p − 1, |S| = q − 1 (ici la notation u_{JKλ} s’applique à des multi-indices non nécessairement croissants, on convient que le signe de ce coefficient est alterné sous l’action des permutations). Compte tenu de la complexité du terme de courbure (13.4), le signe de ce terme est en général difficile à élucider, sauf dans quelques cas très particuliers.

Le cas le plus simple est le cas p = n. Tous les termes de la deuxième sommation figurant dans (13.4) sont alors tels que j = k et R = {1, …, n} ∖ {j}, par conséquent les deuxièmes et troisièmes sommations sont égales. Il s’ensuit que

⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = ∑_{j,k,λ,μ,J,S} c_{jkλμ} u_{J,jS,λ} \overline{u_{J,kS,μ}}

est positive sur les (n, q)-formes, sous l’hypothèse que E est positif au sens de Nakano. Dans ce cas, X est automatiquement kählérienne puisque

ω = Tr_{E}(i Θ(E)) = i ∑_{j,k,λ} c_{jkλλ}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} = i Θ(det E)

définit alors une métrique kählérienne.

13.5. Théorème d’annulation de Nakano (1955). Soit X une variété complexe compacte et soit E un fibré vectoriel positif au sens de Nakano sur X. Alors

H^{n,q}(X, E) = H^{q}(X, K_{X} ⊗ E) = 0 pour tout q ⩾ 1.

Un autre cas abordable est le cas où E est un fibré en droites (r = 1). En effet, en chaque point x ∈ X, nous pouvons alors choisir un système de coordonnées qui diagonalise simultanément les formes hermitiennes ω(x) et Θ(E)(x), de telle manière que

ω(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}, Θ(E)(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}

avec γ_{1} ⩽ ⋯ ⩽ γ_{n}. Les valeurs propres de courbure γ_{j} = γ_{j}(x) sont alors définies de manière unique et dépendent continûment de x. Dans les notations antérieures, nous avons γ_{j} = c_{jj11} et tous les autres coefficients c_{jkλμ} sont nuls. Pour toute (p, q)-forme u = ∑ u_{JK}dz_{J} ∧ d\overline{z}_{K} ⊗ e_{1}, ceci donne

⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = ∑_{|J|=p, |K|=q} ( ∑_{j∈J} γ_{j} + ∑_{j∈K} γ_{j} − ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j})|u_{JK}|^{2}

⩾ (γ_{1} + ⋯ + γ_{q} − γ_{n−p+1} − ⋯ − γ_{n})|u|^{2}. (13.6)

Supposons que i Θ(E) soit positive. Il est alors naturel de munir X de la métrique kählérienne particulière ω = i Θ(E). Alors γ_{j} = 1 pour j = 1, 2, …, n et on obtient

⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = (p + q − n)|u|^{2}.

§14. Estimations L^{2} et théorèmes d’existence 81

Par conséquent :

13.7. Théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano ([AN54]). Si E est un fibré en droites positif sur une variété complexe compacte X, alors

H^{p,q}(X, E) = H^{q}(X, Ω_{X}^{p} ⊗ E) = 0 pour p + q ⩾ n + 1.

Plus généralement, si E est un fibré vectoriel positif au sens de Griffiths (ou ample), de rang r ⩾ 1, Le Potier [LP75] a démontré que H^{p,q}(X, E) = 0 pour p + q ⩾ n + r. La preuve n’est pas une conséquence directe de la technique de Bochner. Une preuve assez simple a été obtenue par M. Schneider [Sch74], en utilisant la suite spectrale de Leray associée à la projection sur X du fibré projectivisé ℙ(E) → X.

13.8. Exercice. Il est important pour diverses applications de disposer de théorèmes d’annulation qui soient également valables dans le cas de fibrés en droites semi-positifs. On a par exemple le résultat suivant dû à J. Girbau [Gir76] : soit (X, ω) une variété kählérienne compacte ; supposons que E soit un fibré en droites et que i Θ(E) ⩾ 0 ait au moins n − k valeurs propres positives en chaque point, pour un certain entier k ⩾ 0 ; alors H^{p,q}(X, E) = 0 pour p + q ⩾ n + k + 1. Indication : utiliser la métrique kählérienne ω_{ε} = i Θ(E) + εω avec ε > 0 petit.

Une version plus naturelle et plus puissante de ce résultat a été obtenue par A. Sommese [Som78, ShSo85] : suivant ces auteurs, on dira que E est k-ample si un certain multiple mE est tel que l’application canonique

Φ_{|mE|} : X ∖ B_{|mE|} → ℙ^{N−1}

a toutes ses fibres de dimension ⩽ k et dim B_{|mE|} ⩽ k ; si X est projective et si E est k-ample, alors H^{p,q}(X, E) = 0 pour p + q ⩾ n + k + 1. Indication : prouver le résultat dual, à savoir que H^{p,q}(X, E^{−1}) = 0 pour p + q ⩽ n − k − 1, par récurrence sur k. Montrer d’abord que E est 0-ample si et seulement si E est positif ; utiliser alors des sections hyperplanes Y ⊂ X pour démontrer l’étape de récurrence, en considérant les suites exactes

0 ⟶ Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1} ⊗ 𝒪(−Y) ⟶ Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1} ⟶ (Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1})_{↾Y} ⟶ 0,
0 ⟶ Ω_{Y}^{p−1} ⊗ E_{↾Y}^{−1} ⟶ (Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1})_{↾Y} ⟶ Ω_{Y}^{p} ⊗ E_{↾Y}^{−1} ⟶ 0.

§14. Estimations L^{2} et théorèmes d’existence

Le point de départ est le théorème d’existence L^{2} suivant, qui est dû essentiellement à Hörmander [Hör65, 66], et Andreotti-Vesentini [AV65]. Nous en esquisserons seulement les idées principales, en renvoyant par exemple à [Dem82] pour un exposé détaillé de la situation technique considérée ici.

14.1. Théorème. Soit (X, ω) une variété kählérienne \underline{complète}. Soit E un fibré vectoriel hermitien de rang r sur X, tel que l’opérateur de courbure A = A_{E,ω}^{p,q} = [i Θ(E), Λ_{ω}] soit semi-positif sur toutes les fibres de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E, q ⩾ 1. Soit g ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) une forme telle que

D′′g = 0 et ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω} < +∞

(aux points où A n’est pas défini positif, on suppose qu’un antécédent A^{−1}g existe presque partout; on choisit alors l’antécédent A^{−1}g de norme minimale, orthogonal à Ker A). Alors il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′f = g et ∫_{X} |f|^{2} dV_{ω} ⩽ ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω}.

Preuve. Soit u ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗E) une forme telle que D′′u ∈ L^{2} et D^{′′⋆}u ∈ L^{2} au sens des distributions. Le lemme (12.2 a) montre (sous l’hypothèse indispensable que ω est complète) que u est limite d’une suite de formes u_{ν} de classe C^{∞} et à support compact, de telle manière que u_{ν} → u, D′′u_{ν} → D′′u et D^{′′⋆}u_{ν} → D^{′′⋆}u dans L^{2}. Il s’ensuit que l’inégalité a priori (13.3) s’étend à des formes arbitraires u telles que u, D′′u, D^{′′⋆}u ∈ L^{2}. Maintenant, comme Ker D′′ est faiblement (et donc fortement) fermé, on obtient une décomposition orthogonale de l’espace de Hilbert L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E), à savoir

L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) = Ker D′′ ⊕ (Ker D′′)^{⊥}.

Soit v = v_{1} + v_{2} la décomposition correspondante d’une forme v ∈ 𝒟^{p,q}(X, E) de classe C^{∞} à support compact (en général, v_{1}, v_{2} ne sont pas à support compact !). Puisque (Ker D′′)^{⊥} = \overline{Im D^{′′⋆}} ⊂ Ker D^{′′⋆} par dualité et g, v_{1} ∈ Ker D′′ par hypothèse, nous obtenons D^{′′⋆}v_{2} = 0 et

|⟨g, v⟩|^{2} = |⟨g, v_{1}⟩|^{2} ⩽ ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω} ∫_{X}⟨Av_{1}, v_{1}⟩ dV_{ω}

grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz. L’inégalité a priori (13.3) appliquée à u = v_{1} donne

∫_{X}⟨Av_{1}, v_{1}⟩ dV_{ω} ⩽ ∥D′′v_{1}∥^{2} + ∥D^{′′⋆}v_{1}∥^{2} = ∥D^{′′⋆}v_{1}∥^{2} = ∥D^{′′⋆}v∥^{2}.

En combinant les deux inégalités, nous trouvons

|⟨g, v⟩|^{2} ⩽ ( ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω})∥D^{′′⋆}v∥^{2}

pour toute (p, q)-forme v de classe C^{∞} à support compact. Ceci montre qu’on a une forme linéaire bien définie

w = D^{′′⋆}v ⟼ ⟨v, g⟩, L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) ⊃ D^{′′⋆}(𝒟^{p,q}(E)) ⟶ ℂ

sur l’image de D^{′′⋆}. Cette forme linéaire est continue par rapport à la norme L^{2}, et sa norme est ⩽ C avec

C = ( ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω})^{1/2}.

D’après le théorème de Hahn-Banach, il existe un élément f ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆}⊗E) tel que ||f|| ⩽ C et ⟨v, g⟩ = ⟨D^{′′⋆}v, f⟩ pour tout v, par suite D′′f = g au sens des distributions. L’inégalité ||f|| ⩽ C est équivalente à la dernière estimation du théorème.

Le théorème d’existence L^{2} précédent peut être appliqué dans le contexte général des variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes (voir définition (12.9)), et ce même si la métrique kählérienne considérée ω n’est pas complète. En effet, d’après la proposition (12.10), on obtient des métriques kählériennes complètes en posant

ω_{ε} = ω + ε i d′d′′ψ^{2} = ω + 2ε(2i ψd′d′′ψ + i d′ψ ∧ d′′ψ)

avec une fonction d’exhaustion C^{∞} psh ψ ⩾ 0. Par conséquent, le théorème d’existence L^{2} (14.1) s’applique à chaque métrique kählérienne ω_{ε}. On vérifie par ailleurs (les calculs sont laissés au lecteur !) que les quantités |g|_{ω}^{2} dV_{ω} et ⟨(A_{E,ω}^{p,q})^{−1}g, g⟩_{ω} dV_{ω} sont fonctions décroissantes de ω lorsque p = n = dim_{ℂ} X. Pour une forme D′′-fermée g de bidegré (n, q) on obtient donc des solutions f_{ε} de l’équation D′′f_{ε} = g telles que

∫_{X} |f_{ε}|_{ω_{ε}}^{2} dV_{ω_{ε}} ⩽ ∫_{X}⟨(A_{E,ω_{ε}}^{p,q})^{−1}g, g⟩_{ω_{ε}} dV_{ω_{ε}} ⩽ ∫_{X}⟨(A_{E,ω}^{p,q})^{−1}g, g⟩_{ω} dV_{ω}.

Ces solutions f_{ε} étant bornées uniformément en norme L^{2} sur tout compact, on peut en extraire une sous-suite faiblement convergente dans L^{2}. La limite f est solution de D′′f = g et satisfait l’estimation L^{2} voulue relativement à la métrique ω initialement donnée (qui, répétons-le, n’est pas nécessairement complète). Un cas particulier important est le suivant :

14.2. Théorème. Soit (X, ω) une variété kählérienne, dim X = n. Supposons que X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibré en droites hermitien et soient

γ_{1}(x) ⩽ ⋯ ⩽ γ_{n}(x)

les valeurs propres de courbure (i.e. les valeurs propres de i Θ(E) par rapport à la métrique ω) en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e. γ_{1} ⩾ 0 partout. Alors pour toute forme g ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′g = 0 et ∫_{X}⟨(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω} < +∞,

(on suppose donc g(x) = 0 presque partout aux points où γ_{1}(x) + ⋯ + γ_{q}(x) = 0), il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′f = g et 2 ∫_{X} |f|^{2} dV_{ω} ⩽ ∫_{X}(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω}.

Preuve. En effet, pour p = n, la formule (13.6) montre que

⟨Au, u⟩ ⩾ (γ_{1} + ⋯ + γ_{q})|u|^{2},

donc ⟨A^{−1}u, u⟩ ⩾ (γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|u|^{2}.

Une observation importante est que le théorème ci-dessus s’applique encore quand la métrique hermitienne de E est une métrique singulière à courbure positive au sens des courants. En effet, par les techniques standard de régularisation (convolution des fonctions psh par des noyaux régularisants), la métrique peut être rendue C^{∞} et les solutions obtenues au moyen des théorèmes (14.1) ou (14.2) pour les métriques régularisées ont des limites satisfaisant les estimations désirées. En particulier, nous obtenons le corollaire suivant.

14.3. Corollaire. Soit (X, ω) une variété kählérienne, dim X = n. Supposons que X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibré en droites holomorphe muni d’une métrique singulière dont le poids local est noté φ ∈ L_{loc}^{1}. Supposons que

i Θ(E) = 2i d′d′′φ ⩾ εω

pour un certain ε > 0. Alors pour toute forme g ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que D′′g = 0, il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que D′′f = g et

∫_{X} |f|^{2}e^{−2φ} dV_{ω} ⩽ \frac{1}{qε} ∫_{X} |g|^{2}e^{−2φ} dV_{ω}.

Nous avons noté ici de façon quelque peu incorrecte la métrique sous la forme |f|^{2}e^{−2φ}, comme si le poids φ était globalement défini sur X (bien sûr, ceci n’est possible que si E est globalement trivial). Par abus d’écriture, nous utiliserons quand même cette notation car elle souligne clairement la dépendance de la norme L^{2} en fonction du poids psh.

§15. Théorèmes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg

Nous introduisons d’abord le concept de faisceau d’idéaux multiplicateurs, suivant A. Nadel [Nad89]. L’idée principale remonte en fait aux travaux fondamentaux de E. Bombieri [Bom70] et H. Skoda [Sko72].

§15. Théorèmes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg 85

15.1. Définition. Soit φ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ X ; on associe à φ le faisceau d’idéaux ℐ(φ) ⊂ 𝒪_{Ω}, formé des germes de fonctions holomorphes f ∈ 𝒪_{Ω,x} telles que |f|^{2}e^{−2φ} soit intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue dans des coordonnées locales quelconques près de x. Ce faisceau sera appelé faisceau d’idéaux multiplicateurs associé au poids φ.

La variété des zéros V (ℐ(φ)) est donc l’ensemble des points au voisinage desquels e^{−2φ} est non intégrable. Bien entendu, de tel points ne peuvent apparaître que là où φ a des pôles logarithmiques. La formulation précise est la suivante.

15.2. Définition. On dira qu’une fonction psh φ a un pôle logarithmique de coefficient γ en un point x ∈ X si le nombre de Lelong

ν(φ, x) := lim inf_{z→x} \frac{φ(z)}{log |z − x|}

est non nul et si ν(φ, x) = γ.

15.3. Lemme (Skoda [Sko72]). Soit φ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ ℂ^{n} et soit x ∈ Ω.

a) Si ν(φ, x) < 1, alors e^{−2φ} est intégrable au voisinage de x, en particulier ℐ(φ)_{x} = 𝒪_{Ω,x}.

b) Si ν(φ, x) ⩾ n + s pour un certain entier s ⩾ 0, alors e^{−2φ} ⩾ C|z − x|^{−2n−2s} au voisinage de x et ℐ(φ)_{x} ⊂ 𝔪_{Ω,x}^{s+1}, où 𝔪_{Ω,x} désigne l’idéal maximal de 𝒪_{Ω,x}.

Preuve. La démonstration repose sur des estimations classiques de théorie du potentiel complexe, voir H. Skoda [Sko72].

15.4. Proposition ([Nad89]). Pour toute fonction psh φ sur Ω ⊂ X, le faisceau ℐ(φ) est un faisceau cohérent d’idéaux sur Ω.

Preuve. Puisque le résultat est local, nous pouvons supposons que Ω est la boule unité de ℂ^{n}. Soit ℋ_{φ}(Ω) l’ensemble des fonctions f holomorphes sur Ω telles que ∫_{Ω} |f|^{2}e^{−2φ} dλ < +∞. D’après la propriété noethérienne forte des faisceaux cohérents, l’ensemble ℋ_{φ}(Ω) engendre un faisceau d’idéaux cohérent 𝒥 ⊂ 𝒪_{Ω}. Il est clair que 𝒥 ⊂ ℐ(φ) ; pour démontrer l’égalité, il suffit de vérifier que 𝒥_{x} + ℐ(φ)_{x} ∩ 𝔪_{Ω,x}^{s+1} = ℐ(φ)_{x} pour tout entier s, en vertu du lemme de Krull. Soit f ∈ ℐ(φ)_{x} un germe défini sur un voisinage V de x et soit θ une fonction tronquante à support dans V, telle que θ = 1 au voisinage de x. On résout l’équation d′′u = g := d′′(θf) au moyen des estimations L^{2} de Hörmander (14.3), où E est le fibré en droites trivial Ω × ℂ muni du poids strictement psh

φ̃(z) = φ(z) + (n + s) log |z − x| + |z|^{2}.

Nous obtenons une solution u telle que ∫_{Ω} |u|^{2}e^{−2φ}|z − x|^{−2(n+s)}dλ < ∞, donc F = θf − u est holomorphe, F ∈ ℋ_{φ}(Ω) et f_{x} − F_{x} = u_{x} ∈ ℐ(φ)_{x} ∩ 𝔪_{Ω,x}^{s+1}. Ceci démontre notre affirmation.

Les faisceaux d’idéaux multiplicateurs satisfont la propriété essentielle suivante de fonctorialité, relativement aux images directes de faisceaux par des modifications.

15.5. Proposition. Soit μ : X′ → X une modification de variétés complexes non singulières (i.e. une application holomorphe propre génériquement 1 : 1), et soit φ une fonction psh sur X. Alors

μ_{⋆}(𝒪(K_{X′}) ⊗ ℐ(φ ∘ μ)) = 𝒪(K_{X}) ⊗ ℐ(φ).

Preuve. Soit n = dim X = dim X′ et soit S ⊂ X un sous-ensemble analytique tel que μ : X′ ∖ S′ → X ∖ S soit un biholomorphisme. Par définition des faisceaux d’idéaux multiplicateurs, 𝒪(K_{X}) ⊗ ℐ(φ) s’identifie au faisceau des n-formes holomorphes f sur un ouvert quelconque U ⊂ X, telles que i^{n^{2}}f ∧ \overline{f} e^{−2φ} ∈ L_{loc}^{1}(U). Puisque φ est localement majorée, nous pouvons même considérer des formes f qui sont a priori définies seulement sur U ∖ S, car f est dans L_{loc}^{2}(U) et s’étend donc automatiquement à travers S. La formule de changement de variables donne

∫_{U} i^{n^{2}}f ∧ \overline{f} e^{−2φ} = ∫_{μ^{−1}(U)} i^{n^{2}}μ^{⋆}f ∧ \overline{μ^{⋆}f} e^{−2φ∘μ},

donc f ∈ Γ(U, 𝒪(K_{X})⊗ℐ(φ)) si et seulement si μ^{⋆}f ∈ Γ(μ^{−1}(U), 𝒪(K_{X′})⊗ℐ(φ∘μ)). La prop. 15.5 est démontrée.

15.6. Remarque. Si φ a des singularités algébriques ou analytiques (cf. définition 11.7), le calcul de ℐ(φ) se réduit à un problème purement algébrique.

Le première observation est que ℐ(φ) se calcule aisément si φ = ∑ α_{j} log |g_{j}| où D_{j} = g_{j}^{−1}(0) sont des diviseurs irréductible lisses à croisements normaux. Alors ℐ(φ) est le faisceau des fonctions holomorphes h sur les ouverts U ⊂ X, telles que

∫_{U} |h|^{2} ∏ |g_{j}|^{−2α_{j}}dV < +∞.

Puisque les g_{j} peuvent être prises comme fonctions coordonnées dans des systèmes de coordonnées locales convenables (z_{1}, …, z_{n}), la condition d’intégrabilité est que h soit divisible par ∏ g_{j}^{m_{j}}, où m_{j} − α_{j} > −1 pour chaque j, i.e. m_{j} ⩾ ⌊α_{j}⌋ (⌊ ⌋ désigne la partie entière). Par suite

ℐ(φ) = 𝒪(−⌊D⌋) = 𝒪(− ∑⌊α_{j}⌋D_{j})

où ⌊D⌋ est la partie entière du ℚ-diviseur D = ∑ α_{j}D_{j}.

Maintenant, considérons le cas général de singularités algébriques ou analytiques, et supposons que

φ ∼ \frac{α}{2} log (|f_{1}|^{2} + ⋯ + |f_{N}|^{2})

au voisinage des pôles. D’après la remarque énoncée après la déf. 11.7, nous pouvons supposer que les (f_{j}) sont des générateurs du faisceau d’idéaux intégralement clos 𝒥 = 𝒥(φ/α), défini comme le faisceau des fonctions holomorphes h telles que |h| ⩽ C exp(φ/α). Dans ce cas, le calcul se fait comme suit.

Choisissons d’abord une modification lisse μ : X̃ → X de X telle que μ^{⋆}𝒥 soit un faisceau inversible 𝒪(−D) associé à un diviseur à croisements normaux D = ∑ λ_{j}D_{j}, où (D_{j}) sont les composantes du diviseur exceptionnel de X̃ (considérer l’éclatement X′ de X par rapport à l’idéal 𝒥, de sorte que l’image inverse de 𝒥 sur X′ devienne un faisceau inversible 𝒪(−D′), puis éclater de nouveau X′ de manière à rendre X′ lisse et D′ à croisements normaux, en invoquant Hironaka [Hi64]). Nous avons alors K_{X} = μ^{⋆}K_{X} + R où R = ∑ ρ_{j}D_{j} est le diviseur des zéros du jacobien J_{μ} de l’application d’éclatement. De la formule d’image directe 15.5, nous déduisons

ℐ(φ) = μ_{⋆}(𝒪(K_{X} − μ^{⋆}K_{X}) ⊗ ℐ(φ ∘ μ)) = μ_{⋆}(𝒪(R) ⊗ ℐ(φ ∘ μ)).

Maintenant, les (f_{j} ∘ μ) sont des générateurs de l’idéal 𝒪(−D), donc

φ ∘ μ ∼ α ∑ λ_{j} log |g_{j}|

où les g_{j} sont des générateurs locaux de 𝒪(−D_{j}). Nous sommes donc ramenés à calculer le faisceau d’idéaux multiplicateurs dans le cas où les pôles sont donnés par un ℚ-diviseur à croisements normaux ∑ αλ_{j}D_{j}. Nous obtenons ℐ(φ ∘ μ) = 𝒪(− ∑⌊αλ_{j}⌋D_{j}), donc

ℐ(φ) = μ_{⋆}𝒪_{X}( ∑(ρ_{j} − ⌊αλ_{j}⌋)D_{j}).

15.7. Exercice. Calculer le faisceau d’idéaux multiplicateurs ℐ(φ) associé à la fonction psh φ = log(|z_{1}|^{α_{1}} + ⋯ + |z_{p}|^{α_{p}}), pour des nombres réels arbitraires α_{j} > 0. Indication : en utilisant la formule de Parseval et des coordonnées polaires z_{j} = r_{j}e^{i θ_{j}}, montrer que le problème est équivalent à déterminer pour quels p-uplets (β_{1}, …, β_{p}) ∈ ℕ^{p} l’intégrale

∫_{[0,1]^{p}} \frac{r_{1}^{2β_{1}} ⋯ r_{p}^{2β_{p}} r_{1}dr_{1} ⋯ r_{p}dr_{p}}{r_{1}^{2α_{1}} + ⋯ + r_{p}^{2α_{p}}} = ∫_{[0,1]^{p}} \frac{t_{1}^{(β_{1}+1)/α_{1}} ⋯ t_{p}^{(β_{p}+1)/α_{p}}}{t_{1} + ⋯ + t_{p}} ∏_{j=1}^{p} \frac{1}{2α_{j}} \frac{dt_{j}}{t_{j}}

est convergente. Déduire de là que ℐ(φ) est engendré par les monômes z_{1}^{β_{1}} ⋯ z_{p}^{β_{p}} tels que ∑(β_{p} + 1)/α_{p} > 1. (Cet exercice montre que la définition analytique de ℐ(φ) est parfois aussi très commode pour les calculs).

Soit E un fibré en droites sur X muni d’une métrique singulière h de courant de courbure Θ_{h}(E). Si φ est le poids représentant la métrique h sur un ouvert Ω ⊂ X, le faisceau d’idéaux ℐ(φ) est indépendant du choix de la trivialisation. Il est donc la restriction à Ω d’un faisceau cohérent global sur X que nous noterons indifféremment ℐ(h) = ℐ(φ) par abus de notation. Dans ce contexte, nous avons le théorème d’annulation fondamental suivant, qui est probablement un des résultats les plus centraux de la géométrie algébrique ou analytique (comme nous le verrons plus tard, ce théorème contient le théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg comme cas particulier).

15.8. Théorème d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω) une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibré en droites holomorphe sur X muni d’une métrique hermitienne h singulière de poids φ. Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que i Θ_{h}(E) ⩾ εω. Alors

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + E) ⊗ ℐ(h)) = 0 pour tout q ⩾ 1.

Preuve. Soit ℒ^{q} le faisceau des germes de (n, q)-formes u à valeurs dans E et à coefficients mesurables, telles que à la fois |u|^{2}e^{−2φ} et |d′′u|^{2}e^{−2φ} soient localement intégrables. L’opérateur d′′ définit un complexe de faisceaux (ℒ^{•}, d′′) qui est une résolution du faisceau 𝒪(K_{X} +E)⊗ℐ(φ) : en effet, le noyau de d′′ en degré 0 consiste en les germes de n-formes holomorphes à valeurs dans E qui satisfont la condition d’intégrabilité ; donc la fonction coefficient appartient à ℐ(φ) ; l’exactitude en degré q ⩾ 1 découle du corollaire 14.3 appliqué à des boules arbitrairement petites. Comme chaque faisceau ℒ^{q} est un C^{∞}-module, ℒ^{•} est une résolution par des faisceaux acycliques. Soit ψ une fonction d’exhaustion psh de classe C^{∞} sur X. Appliquons le corollaire 14.3 globalement sur X, avec la métrique initiale de E multipliée par le facteur e^{−χ∘ψ}, où χ est une fonction convexe croissante de croissance arbitrairement rapide à l’infini. Ce facteur peut être utilisé pour assurer la convergence des intégrales à l’infini. Du corollaire 14.3, nous déduisons alors que H^{q}(Γ(X, ℒ^{•})) = 0 pour q ⩾ 1. Le théorème s’ensuit grâce à l’isomorphisme de De Rham-Weil (1.2).

15.9. Corollaire. Soit (X, ω), E et φ comme dans le théorème 15.8 et soient x_{1}, …, x_{N} des points isolés de la variété des zéros V (ℐ(φ)). Alors il existe une application surjective

H^{0}(X, 𝒪(K_{X} + E)) ⟶ ⟶ ⨁_{1⩽j⩽N} 𝒪(K_{X} + E)_{x_{j}} ⊗ (𝒪_{X}/ℐ(φ))_{x_{j}}.

Preuve. Considérons la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte 0 → ℐ(φ) → 𝒪_{X} → 𝒪_{X}/ℐ(φ) → 0, tordue par 𝒪(K_{X} + E), et appliquons le théorème 15.8 pour obtenir l’annulation du premier groupe H^{1}. La propriété de surjectivité annoncée s’ensuit.

15.10. Corollaire. Soit (X, ω), E et φ comme dans le théorème 15.8. Supposons que la fonction poids φ soit telle que ν(φ, x) ⩾ n + s en un certain point x ∈ X tel que ν(φ, y) < 1 pour y ≠ x assez voisin de x. Alors H^{0}(X, K_{X} + E) engendre tous les s-jets de sections au point x.

Preuve. Le lemme de Skoda 15.3 b) montre que e^{−2φ} est intégrable au voisinage de tout point y ≠ x suffisamment proche de x, donc ℐ(φ)_{y} = 𝒪_{X,y}, alors que ℐ(φ)_{x} ⊂ 𝔪_{X,x}^{s+1} d’après 15.3 a). Le corollaire 15.10 est donc un cas particulier de 15.9.

La philosophie de ces résultats (qui peuvent être considérés comme des généralisations du théorème de Hörmander-Bombieri-Skoda [Bom70], [Sko72, 75]) est que le problème de construire des sections holomorphes de K_{X} + E peut se résoudre en construisant des métriques hermitiennes convenables sur E telles que le poids φ ait des pôles logarithmiques isolés en des points donnés x_{j}.

15.11. Exercice. Supposons que X soit compacte et que L soit un fibré en droites positif sur X. Soit {x_{1}, …, x_{N}} un ensemble fini. Montrer qu’il existe des constantes a, b ⩾ 0 dépendant seulement de L et N telles que pour tout s ∈ ℕ le groupe H^{0}(X, 𝒪(mL)) engendre les jets d’ordre s en tout point x_{j} pour m ⩾ as + b. Indication : Appliquer le corollaire 15.9 à E = −K_{X} + mL, avec une métrique singulière sur L de la forme h = h_{0}e^{−εψ}, où h_{0} est de classe C^{∞} à courbure positive, ε > 0 petit, et ψ(z) ∼ log |z − x_{j}| au voisinage de x_{j}. Déduire de là le théorème de plongement de Kodaira :

15.12. Théorème de plongement de Kodaira. Si L est un fibré en droites sur une variété complexe compacte, L est ample si et seulement si L est positif.

Une façon équivalente d’énoncer le théorème de plongement de Kodaira est la suivante :

15.13. Critère de projectivité de Kodaira. Une variété complexe compacte X est algébrique projective si et seulement si X possède une métrique de Hodge, c’est-à-dire une métrique kählérienne de classe de cohomologie entière.

Preuve. Si X ⊂ ℙ^{N} est algébrique projective, alors la restriction de la métrique de Fubini-Study à X est une métrique de Hodge. Inversement, si X possède une métrique de Hodge ω, la classe de cohomologie représentant {ω} dans H^{2}(X, ℤ) définit un fibré en droites complexe topologique (i.e. de classe C^{∞}), soit L. Comme ω est de type (1, 1), la suite exacte exponentielle (8.20)

H^{1}(X, 𝒪_{X}^{⋆}) → H^{2}(X, ℤ) → H^{2}(X, 𝒪) = H^{0,2}(X, ℂ)

montre qu’on peut représenter le fibré en droites L par un cocycle de H^{1}(X, 𝒪_{X}^{⋆}), en d’autres termes, L peut être muni d’une structure holomorphe. De plus, il existe une métrique hermitienne h sur L telle que \frac{i}{2π} Θ_{h}(L) = ω. Par conséquent L est ample et X est projective.

15.14. Exercice (conditions de Riemann caractérisant les variétés abéliennes). Un tore complexe X = ℂ^{n}/Γ est appelé variété abélienne si X est algébrique projective. Montrer en utilisant (15.13) qu’un tore X est une variété abélienne si et seulement si il existe une forme hermitienne définie positive H sur ℂ^{n} telle que Im H(γ_{1}, γ_{2}) ∈ ℤ pour tous γ_{1}, γ_{2} dans le réseau Γ. Indication : utiliser un procédé de moyennisation pour réduire la démonstration au cas de métriques kählériennes invariantes par translations. Observer que les tores réels ℤγ_{1} +ℤγ_{2} définissent un système de générateurs du groupe d’homologie H_{2}(X, ℤ) et que ∫_{ℤγ_{1}+ℤγ_{2}} ω = ω(γ_{1}, γ_{2}).

15.15. Exercice (solution du problème de Levi). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

a) X est fortement pseudoconvexe, i.e. X admet une fonction d’exhaustion fortement psh.

b) X est de Stein, i.e. les fonctions holomorphes globales séparent les points, fournissent des systèmes de coordonnées locales en tout point, et X est holomorphiquement convexe (par définition, ceci signifie que pour toute suite discrète (z_{ν}) dans X il existe une fonction f ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}) telle que |f(z_{ν})| → ∞).

15.16. Remarque. Tant que l’on s’intéresse seulement au cas des formes de bidegré (n, q), n = dim X, les estimations L^{2} s’étendent aux espaces complexes possédant des singularités arbitraires. En effet, si X est un espace complexe et φ une fonction poids psh sur X, on peut encore définir un faisceau K_{X}(φ) sur X, tel que les sections de K_{X}(φ) sur un ouvert U sont les n-formes holomorphes f sur la partie régulière U ∩ X_{reg}, satisfaisant la condition d’intégrabilité i^{n^{2}}f ∧ \overline{f} e^{−2φ} ∈ L_{loc}^{1}(U). Dans ce contexte, la propriété de fonctorialité 15.5 s’écrit

μ_{⋆}(K_{X′}(φ ∘ μ)) = K_{X}(φ),

et elle est valable pour des espaces complexes X, X′ arbitraires, μ : X′ → X étant une modification. Si X est non singulier, on a K_{X}(φ) = 𝒪(K_{X}) ⊗ ℐ(φ), cependant, si X est singulier, le symboles K_{X} et ℐ(φ) ne doivent pas être dissociés. L’énoncé du théorème d’annulation de Nadel devient H^{q}(X, 𝒪(E) ⊗ K_{X}(φ)) = 0 pour q ⩾ 1, sous les mêmes hypothèses (X kählérien et faiblement pseudoconvexe, courbure de E ⩾ εω). La preuve s’obtient en restreignant toute la situation à X_{reg}. Bien qu’en général X_{reg} ne soit pas faiblement pseudoconvexe (une condition nécessaire pour qu’il le soit est que codim X_{sing} = 1), X_{reg} est toujours kählérien complet (le complémentaire d’un sous-ensemble analytique dans un espace kählérien faiblement pseudoconvexe est kählérien complet, voir par exemple [Dem82]). Par conséquent, le théorème d’annulation de Nadel est essentiellement insensible à la présence de singularités.

Nous déduisons maintenant une version algébrique du théorème d’annulation de Nadel obtenue indépendamment par Kawamata [Kaw82] et Viehweg [Vie82] (la preuve originale reposait sur une méthode différente, utilisant des revêtements cycliques pour ramener la situation au cas du théorème de Kodaira usuel). Avant d’énoncer le théorème, nous avons besoin d’une définition.

15.17. Définition. Un fibré en droites L sur une variété complexe compacte est dit gros si sa dimension de Kodaira est égale à n = dim X, c’est-à-dire, s’il existe une constante c > 0 telle que

H^{0}(X, 𝒪(kL)) ⩾ c k^{n}, k ⩾ k_{0}.

15.18. Définition. Un fibré en droites L sur une variété algébrique projective est dit numériquement effectif (nef en abrégé) si L satisfait l’une des trois propriétés équivalentes qui suivent :

a) Pour toute courbe algébrique irréductible C ⊂ X, on a L · C = ∫_{C} c_{1}(L) ⩾ 0.

b) Si A est un fibré en droites ample, alors kL + A est ample pour tout k ⩾ 0.

c) Pour tout ε > 0, il existe une métrique hermitienne h_{ε} de classe C^{∞} sur L telle que iΘ_{h_{ε}}(L) ⩾ −εω, où ω est une métrique hermitienne fixée sur X.

L’équivalence des propriétés 15.18 a) et b) est bien connue et nous l’admettrons ici (voir par exemple Hartshorne [Har70] pour la démonstration). Il est clair d’autre part que 15.18 c) implique 15.18 a), tandis que 15.18 b) implique 15.18 c) ; en effet si ω = \frac{i}{2π} Θ(A) est la courbure d’une métrique de A à courbure positive, et si h_{k} est une métrique sur L induisant une métrique à courbure positive sur kL+A, il vient k \frac{i}{2π} Θ(L) + \frac{i}{2π} Θ(A) > 0, d’où \frac{i}{2π} Θ(L) ⩾ −\frac{1}{k} ω. Maintenant, si D = ∑ α_{j}D_{j} ⩾ 0 est un ℚ-diviseur effectif, nous définissons le faisceau d’idéaux multiplicateurs ℐ(D) comme étant le faisceau ℐ(φ) associé à la fonction psh φ = ∑ α_{j} log |g_{j}| définie par des générateurs g_{j} de 𝒪(−D_{j}) ; d’après la remarque 15.6, le calcul de ℐ(D) peut se faire algébriquement en utilisant des désingularisations μ : X̃ → X telles que μ^{⋆}D devienne un diviseur à croisements normaux sur X̃.

15.19. Théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg. Soit X une variété algébrique projective lisse et soit F un fibré en droites sur X tel que F possède un multiple mF s’écrivant sous la forme mF = L + D où L est un fibré en droites nef et gros, et D un diviseur effectif. Alors

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + F) ⊗ ℐ(m^{−1}D)) = 0 pour q ⩾ 1.

15.20. Corollaire. Si F est nef et gros, alors H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + F)) = 0 pour q ⩾ 1.

Preuve. Soit A un diviseur très ample non singulier. On a une suite exacte

0 → H^{0}(X, 𝒪(kL − A)) → H^{0}(X, 𝒪(kL)) → H^{0}(A, 𝒪(kL)_{↾A}),

et dim H^{0}(A, 𝒪(kL)_{↾A}) ⩽ C k^{n−1} pour une certaine constante C ⩾ 0. Comme L est gros, il existe un entier k_{0} ≫ 0 tel que 𝒪(k_{0}L−A) possède une section non triviale. Si E est le diviseur de cette section, on obtient 𝒪(k_{0}L−A) ≃ 𝒪(E), donc 𝒪(k_{0}L) ≃ 𝒪(A + E). Maintenant, pour k ⩾ k_{0}, il vient 𝒪(kL) = 𝒪((k − k_{0})L + A + E).

D’après 15.18 b), le fibré en droites 𝒪((k − k_{0})L + A) est ample, donc il peut être muni d’une métrique hermitienne h_{k} = e^{−φ_{k}} de classe C^{∞} et de forme de courbure définie positive ω_{k} = \frac{i}{2π} Θ((k − k_{0})L + A). Soit φ_{D} = ∑ α_{j} log |g_{j}| le poids de la métrique singulière sur 𝒪(D) décrite dans l’exemple 11.21, telle que \frac{i}{2π} Θ(𝒪(D)) = [D], et de façon analogue, soit φ_{E} le poids tel que \frac{i}{2π} Θ(𝒪(E)) = [E]. On définit une métrique singulière sur 𝒪(kL) = 𝒪((k −k_{0})L+A+E) au moyen du poids φ_{k} + φ_{E}, et on obtient alors une métrique singulière sur 𝒪(mF) = 𝒪(L + D) en considérant le poids \frac{1}{k} (φ_{k} + φ_{E}) + φ_{D}. Finalement, on obtient une métrique sur F de poids

φ_{F} = \frac{1}{km}(φ_{k} + φ_{E}) + \frac{1}{m}φ_{D}.

La forme de courbure correspondante est

\frac{i}{2π} Θ(F) = \frac{1}{km}(ω_{k} + [E]) + \frac{1}{m}[D] ⩾ \frac{1}{km}ω_{k} > 0.

De plus φ_{F} a des singularités algébriques, et en prenant k assez grand il vient

ℐ(φ_{F}) = ℐ(\frac{1}{km}E + \frac{1}{m}D) = ℐ(\frac{1}{m}D).

En effet, ℐ(φ_{F}) se calcule en prenant la partie entière d’un ℚ-diviseur à croisements normaux, obtenu au moyen d’une modification adéquate (comme il a été expliqué à la remarque 15.6). Le diviseur \frac{1}{km}E + \frac{1}{m}D fournit donc la même partie entière que \frac{1}{m}D lorsque k est grand. Le théorème de Nadel implique alors le résultat d’annulation désiré pour tout q ⩾ 1.

§16. Sur la conjecture de Fujita

Etant donné un fibré en droites L ample, une question fondamentale est de déterminer un entier effectif m_{0} tel que mL soit très ample pour m ⩾ m_{0}. L’exemple où X est une courbe hyperelliptique de genre g et où L = 𝒪(p) est associé à un des 2g + 2 points de Weierstrass montre que m_{0} doit être au moins égal à 2g+1 (on vérifie par ailleurs assez facilement que m_{0} = 2g+1 répond toujours à la question pour une courbe). Il en résulte que m_{0} doit nécessairement dépendre de la géométrie de X, et ne peut pas dépendre seulement de la dimension de X. Cependant, lorsque mL est remplacé par le fibré en droites “adjoint” K_{X} + mL, une réponse universelle simple semble pouvoir se dégager.

16.1. Conjecture de Fujita ([Fuj87]). Si L est un fibré en droites ample sur une variété projective de dimension n, alors

i) K_{X} + (n + 1)L est engendré par ses sections globales ;

ii) K_{X} + (n + 2)L est très ample.

§16. Sur la conjecture de Fujita 93

Les bornes prédites par la conjecture sont optimales pour (X, L) = (ℙ^{n}, 𝒪(1)), puisqu’on a alors K_{X} = 𝒪(−n − 1). La conjecture est facile à vérifier dans le cas des courbes (exercice !), et I. Reider [Rei88] a résolu la conjecture par l’affirmative dans le cas n = 2. Ein-Lazarsfeld [EL93] et Fujita [Fuj93] sont parvenus à établir la partie i) en dimension 3, et un raffinement très poussé de leur technique a permis à Kawamata [Kaw95] d’atteindre aussi le cas de la dimension 4^{1}. Les autres cas de la conjecture, à savoir i) pour n ⩾ 5 et ii) pour n ⩾ 3, restent pour l’instant non résolus. Le premier pas en direction de la conjecture pour la dimension n quelconque a été réalisé en 1991 (travail paru 2 ans plus tard dans [Dem93]), au moyen d’une méthode analytique reposant sur la résolution d’une équation de Monge-Ampère. D’autres résultats similaires ont été obtenus par Kollár [Kol92] par des méthodes entièrement algébriques ; nous renvoyons à [Laz93] pour un excellent article de synthèse consacré à ces développements, ainsi qu’à [Dem94] pour le versant analytique de la théorie.

Ce paragraphe est consacré à la démonstration de quelques résultats liés à la conjecture de Fujita en dimension arbitraire. Les idées principales mises en jeu ici sont inspirées d’un travail récent de Y.T. Siu [Siu96]. La méthode de Siu, qui est de nature algébrique et relativement élémentaire, consiste à combiner la formule de Riemann-Roch avec le théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg (il sera cependant beaucoup plus commode d’utiliser ce théorème dans la formulation de Nadel faisant intervenir le faisceau d’idéaux multiplicateurs). Dans toute la suite, X désigne une variété projective algébrique de dimension n. La première observation utile est la conséquence classique suivante de la formule de Riemann-Roch :

16.2. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch. Soit 𝒥 ⊂ 𝒪_{X} un faisceau d’idéaux cohérent sur X tel que la variété des zéros V (𝒥) soit de dimension d (avec éventuellement des composantes de dimension plus basse). Soit Y = ∑ λ_{j}Y_{j} le cycle algébrique effectif de dimension d associé aux composantes de dimension d de V (𝒥) (les multiplicités λ_{j} prennent en compte les multiplicités de l’idéal 𝒥 le long de chaque composante). Alors, pour tout fibré en droites E, la caractéristique d’Euler χ(X, 𝒪(E + mL) ⊗ 𝒪_{X}/𝒪(𝒥)) est un polynôme P (m) de degré d et de coefficient directeur L^{d} · Y/d!

Le deuxième fait utile est un lemme élémentaire concernant les polynômes numériques (polynômes à coefficients rationnels, définissant une application de ℤ dans ℤ).

16.3. Lemme. Soit P (m) un polynôme numérique de degré d > 0 et de coefficient directeur a_{d}/d!, a_{d} ∈ ℤ, a_{d} > 0. On suppose que P (m) ⩾ 0 pour tout m ⩾ m_{0}. Alors

a) Pour tout N ⩾ 0, il existe m ∈ [m_{0}, m_{0} + Nd] tel que P (m) ⩾ N.

b) Pour tout k ∈ ℕ, il existe m ∈ [m_{0}, m_{0} + kd] tel que P (m) ⩾ a_{d}k^{d}/2^{d−1}.

c) Pour tout N ⩾ 2d^{2}, il existe m ∈ [m_{0}, m_{0} + N] tel que P (m) ⩾ N.

1 La technique de Fujita [Fuj93] et Kawamata [Kaw95] vient d’être considérablement simplifiée et clarifiée par S. Helmke [Hel96].

Preuve. a) Chacune des N équations P (m) = 0, P (m) = 1, …, P (m) = N − 1 a au plus d racines, donc il y a nécessiarement un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + dN] qui n’est pas une racine de ces équations.

b) Grâce à la formule de Newton pour les différences itérées ΔP (m) = P (m + 1) − P (m), nous obtenons

Δ^{d}P (m) = ∑_{1⩽j⩽d}(−1)^{j}\binom{d}{j}P (m + d − j) = a_{d}, ∀m ∈ ℤ.

Par suite, si j ∈ {0, 2, 4, …, 2⌊d/2⌋} ⊂ [0, d] est l’entier pair réalisant le maximum de P (m_{0} + d − j) sur cet ensemble fini, nous obtenons

2^{d−1}P (m_{0} + d − j) = (\binom{d}{0} + \binom{d}{2} + ⋯) P (m_{0} + d − j) ⩾ a_{d},

d’où l’existence d’un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + d] avec P (m) ⩾ a_{d}/2^{d−1}. Le résultat est donc démontré pour k = 1. Dans le cas général, nous appliquons ce résultat particulier au polynôme Q(m) = P (km − (k − 1)m_{0}), dont le coefficient directeur est a_{d}k^{d}/d!

c) Si d = 1, la partie a) donne déjà le résultat. Si d = 2, un coup d’oeil à la parabole montre que

max_{m∈[m_{0},m_{0}+N]} P (m) ⩾ \{ \begin{matrix}a_{2}N^{2}/8 & si N est pair, \\ a_{2}(N^{2} − 1)/8 & si N est impair ; \end{matrix}

donc max_{m∈[m_{0},m_{0}+N]} P (m) ⩾ N chaque fois que N ⩾ 8. Si d ⩾ 3, nous appliquons b) avec k égal au plus petit entier tel que k^{d}/2^{d−1} ⩾ N, i.e. k = ⌈2(N/2)^{1/d}⌉, où ⌈x⌉ ∈ ℤ désigne l’entier arrondi par excès. Alors

kd ⩽ (2(N/2)^{1/d} + 1)d ⩽ N

dès que N ⩾ 2d^{2}, comme on le voit après un bref calcul.

Nous appliquons maintenant le théorème d’annulation de Nadel d’une manière analogue à celle de Siu [Siu96], avec quelques simplifications dans la technique et quelques améliorations pour les bornes. Notre méthode donne simultanément une preuve simple d’un résultat fondamental classique dû à Fujita.

16.4. Théorème (Fujita). Si L est un fibré en droites ample sur une variété projective X de dimension n, alors K_{X} + (n + 1)L est nef.

En utilisant la théorie de Mori et le “base point free theorem” ([Mor82], [Kaw84]), on peut montrer en fait que K_{X} + (n + 1)L est semi-ample, c’est-à-dire qu’il existe un entier positif m tel que m(K_{X} + (n + 1)L) soit engendré par ses sections (voir [Kaw85] et [Fuj87]). La preuve repose sur l’observation que n + 1 est la longueur maximale des rayons extrêmaux de variétés projectives lisses de dimension n. Notre démonstration de (16.4) est différente et s’obtient en même temps que la démonstration du th. (16.5) ci-dessous.

16.5. Théorème. Soit L un fibré en droites ample et soit G un fibré en droites nef sur une variété projective X de dimension n. On a alors les propriétés suivantes.

a) 2K_{X} + mL + G engendre les jets simultanés d’ordre s_{1}, …, s_{p} ∈ ℕ en des points arbitraires x_{1}, …, x_{p} ∈ X, i.e., il existe une application surjective

H^{0}(X, 𝒪(2K_{X} + mL + G)) ⟶ ⟶ ⨁_{1⩽j⩽p} 𝒪(2K_{X} + mL + G) ⊗ 𝒪_{X,x_{j}}/𝔪_{X,x_{j}}^{s_{j}+1},

dès que m ⩾ 2 + ∑_{1⩽j⩽p} \binom{3n + 2s_{j} − 1}{n}.

En particulier 2K_{X} + mL + G est très ample pour m ⩾ 2 + \binom{3n + 1}{n}.

b) 2K_{X} + (n + 1)L + G engendre les jets simultanés d’ordre s_{1}, …, s_{p} en des points arbitraires x_{1}, …, x_{p} ∈ X dès que les nombres d’intersection L^{d} · Y de L sur tous les sous-ensembles algébriques Y de X de dimension d sont tels que

L^{d} · Y > \frac{2^{d−1}}{⌊n/d⌋^{d}} ∑_{1⩽j⩽p} \binom{3n + 2s_{j} − 1}{n}.

Preuve. Les démonstrations de (16.4) et (16.5 a, b) sont tout à fait parallèles, c’est pourquoi nous les présenterons simultanément (dans le cas de (16.4), on convient simplement que {x_{1}, …, x_{p}} = ∅). L’idée est de trouver un entier (ou un rationnel) m_{0} et une métrique hermitienne singulière h_{0} sur K_{X} + m_{0}L dont le courant de courbure est strictement positif, iΘ_{h_{0}} ⩾ εω, telle que V (ℐ(h_{0})) soit de dimension 0 et telle que le poids φ_{0} de h_{0} satisfasse ν(φ_{0}, x_{j}) ⩾ n + s_{j} pour tout j. Comme L et G sont nefs, 15.18 c) implique que (m − m_{0})L + G possède pour tout m ⩾ m_{0} une métrique h′ dont la courbure iΘ_{h′} a une partie négative arbitrairement petite, disons iΘ_{h′} ⩾ −\frac{ε}{2}ω. Alors iΘ_{h_{0}} + iΘ_{h′} ⩾ \frac{ε}{2}ω est positive définie. Une application du Cor. 15.9 à F = K_{X} + mL + G = (K_{X} + m_{0}L) + ((m − m_{0})L + G) muni de la métrique h_{0} ⊗ h′ garantit l’existence des sections de K_{X} + F = 2K_{X} + mL + G réalisant les jets désirés pour m ⩾ m_{0}.

Fixons un plongement Φ_{|μL|} : X → ℙ^{N}, μ ≫ 0, donné par des sections λ_{0}, …, λ_{N} ∈ H^{0}(X, μL), et soit h_{L} la métrique associée sur L, de forme de courbure définie positive ω = Θ(L). Pour obtenir la métrique désirée h_{0} sur K_{X} +m_{0}L, on fixe un entier a ∈ ℕ^{⋆} et on utilise une procédé de récurrence double pour construire des métriques singulières (h_{k,ν})_{ν⩾1} sur aK_{X} + b_{k}L, pour une suite décroissante (au sens large) d’entiers positifs b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ ⋯ ⩾ b_{k} ⩾ · · ·. Une telle suite est nécessairement stationnaire et m_{0} sera précisément la limite stationnaire m_{0} = lim b_{k}/a. Les métriques h_{k,ν} sont choisies de sorte qu’elles satisfassent les propriétés suivantes : α) h_{k,ν} est une métrique “algébrique” de la forme

∥ξ∥_{h_{k,ν}}^{2} = \frac{|τ_{k}(ξ)|^{2}}{( ∑_{1⩽i⩽ν, 0⩽j⩽N} |τ_{k}^{(a+1)μ}(σ_{i}^{aμ} · λ_{j}^{(a+1)b_{k}−am_{i}})|^{2})^{1/(a+1)μ}} ,

définie par des sections σ_{i} ∈ H^{0}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + m_{i}L)), m_{i} < \frac{a+1}{a}b_{k}, 1 ⩽ i ⩽ ν, où ξ ↦ τ_{k}(ξ) est une trivialisation locale arbitraire de aK_{X} + b_{k}L ;

notons que σ_{i}^{aμ} · λ_{j}^{(a+1)b_{k}−am_{i}} est une section de

aμ((a + 1)K_{X} + m_{i}L) + ((a + 1)b_{k} − am_{i})μL = (a + 1)μ(aK_{X} + b_{k}L).

β) ord_{x_{j}}(σ_{i}) ⩾ (a + 1)(n + s_{j}) pour tout i, j ;

γ) ℐ(h_{k,ν+1}) ⊃ ℐ(h_{k,ν}) et ℐ(h_{k,ν+1}) ≠ ℐ(h_{k,ν}) tant que la variété des zéros V (ℐ(h_{k,ν})) est de dimension positive.

Le poids φ_{k,ν} = \frac{1}{2(a+1)μ} log ∑ |τ_{k}^{(a+1)μ}(σ_{i}^{aμ} · λ_{j}^{(a+1)b_{k}−am_{i}})|^{2} de h_{k,ν} est plurisousharmonique et la condition m_{i} < \frac{a+1}{a}b_{k} implique (a + 1)b_{k} − am_{i} ⩾ 1, donc la différence φ_{k,ν} − \frac{1}{2(a+1)μ} log ∑ |τ(λ_{j})|^{2} est aussi plurisousharmonique. Par suite \frac{i}{2π} Θ_{h_{k,ν}} (aK_{X} + b_{k}L) = \frac{i}{π} d′d′′φ_{k,ν} ⩾ \frac{1}{(a+1)}ω. De plus, la condition β) implique clairement ν(φ_{k,ν}, x_{j}) ⩾ a(n + s_{j}). Finalement, la condition γ) combinée avec la propriété noethérienne forte des faisceaux cohérents garantit que la suite (h_{k,ν})_{ν⩾1} va finalement produire un sous-schéma V (ℐ(h_{k,ν})) de dimension 0. On convient que la suite (h_{k,ν})_{ν⩾1} s’arrête à ce point, et on note h_{k} = h_{k,ν} la métrique finale ainsi atteinte, telle que dim V (ℐ(h_{k})) = 0.

Pour k = 1, il est clair que les métriques désirées (h_{1,ν})_{ν⩾1} existent si b_{1} est choisi assez grand (disons tel que (a + 1)K_{X} + (b_{1} − 1)L engendre les jets d’ordre (a+1)(n+max s_{j}) en tout point ; alors les sections σ_{1}, …, σ_{ν} peuvent être choisie telles que m_{1} = ⋯ = m_{ν} = b_{1} − 1). Supposons que les métriques (h_{k,ν})_{ν⩾1} et h_{k} aient déjà été construites et procédons à la construction de (h_{k+1,ν})_{ν⩾1}. On utilise de nouveau une récurrence sur ν, en supposant que h_{k+1,ν} est déjà construite et que dim V (ℐ(h_{k+1,ν})) > 0. Nous commencerons en fait la récurrence par ν = 0, et convenons dans ce cas que ℐ(h_{k+1,0}) = 0 (ceci correspondrait à une métrique infinie de poids identiquement égal à −∞). Grâce au théorème d’annulation de Nadel appliqué à F_{m} = aK_{X} + mL = (aK_{X} + b_{k}L) + (m − b_{k})L pour la métrique h_{k} ⊗ (h_{L})^{⊗m−b_{k}}, nous obtenons

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ ℐ(h_{k})) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k}.

Comme V (ℐ(h_{k})) est de dimension 0, le faisceau 𝒪_{X}/ℐ(h_{k}) est un faisceau gratteciel, et la suite exacte 0 → ℐ(h_{k}) → 𝒪_{X} → 𝒪_{X}/ℐ(h_{k}) → 0 tordue par le faisceau inversible 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) montre que

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL)) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k}.

De manière analogue, nous trouvons

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ ℐ(h_{k+1,ν})) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k+1}

(c’est aussi vrai pour ν = 0, puisque ℐ(h_{k+1,0}) = 0), et lorsque

m ⩾ max(b_{k}, b_{k+1}) = b_{k},

la suite exacte 0 → ℐ(h_{k+1,ν}) → 𝒪_{X} → 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1}, ν) → 0 implique

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1,ν})) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k}.

En particulier, puisque le groupe H^{1} ci-dessus s’annule, toute section u′ de (a + 1)K_{X} + mL sur le sous-schéma V (ℐ(h_{k+1,ν})) possède une extension u à X. Fixons une base u′_{1}, …, u′_{N} des sections de ce faisceau sur V (ℐ(h_{k+1,ν})) et prenons des extensions arbitraires u_{1}, …, u_{N} à X. Considérons l’application linéaire attribuant à chaque section u sur X la collection des jets d’ordre (a+1)(n+s_{j})−1 aux points x_{j}, soit

u = ∑_{1⩽j⩽N} a_{j}u_{j} ⟼ ⨁ J_{x_{j}}^{(a+1)(n+s_{j})−1}(u).

Puisque le rang du fibré des s-jets est \binom{n+s}{n}, l’espace cible est de dimension

δ = ∑_{1⩽j⩽p} \binom{n + (a + 1)(n + s_{j}) − 1}{n}.

Pour obtenir une section σ_{ν+1} = u satisfaisant la condition β) et ayant une restriction non triviale σ′_{ν+1} à V (ℐ(h_{k+1,ν})), nous avons besoin d’au moins N = δ + 1 sections indépendantes u′_{1}, …, u′_{N}. Cette condition va être réalisée en appliquant le lemme (16.3) au polynôme numérique

\begin{aligned}P (m) & = χ(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1,ν})) \\ & = h^{0}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1,ν})) ⩾ 0, m ⩾ b_{k}. \end{aligned}

Le polynôme P est de degré d = dim V (ℐ(h_{k+1,ν})) > 0. Nous obtenons donc l’existence d’un entier m ∈ [b_{k}, b_{k} + η] tel que N = P (m) ⩾ δ + 1, pour un certain entier explicite η ∈ ℕ (par exemple η = n(δ +1) convient toujours d’après (16.3 a), mais il sera également important d’utiliser les autres possibilités pour optimiser les choix). Nous trouvons alors une section σ_{ν+1} ∈ H^{0}(X, (a+1)K_{X} +mL) ayant une restriction non triviale σ′_{ν+1} à V (ℐ(h_{k+1,ν})), s’annulant à un ordre ⩾ (a+1)(n+s_{j}) en chaque point x_{j}. On pose alors m_{ν+1} = m, et la condition m_{ν+1} < \frac{a+1}{a}b_{k+1} est réalisée si b_{k} + η < \frac{a+1}{a}b_{k+1}. Ceci montre qu’on peut choisir par récurrence

b_{k+1} = ⌊\frac{a}{a + 1}(b_{k} + η)⌋ + 1.

Par définition, h_{k+1,ν+1} ⩽ h_{k+1,ν}, donc ℐ(h_{k+1,ν+1}) ⊃ ℐ(h_{k+1,ν}). On a nécessairement ℐ(h_{k+1,ν+1}) ≠ ℐ(h_{k+1,ν}), car ℐ(h_{k+1,ν+1}) contient le faisceau d’idéaux associé au diviseur des zéros de σ_{ν+1}, alors que σ_{ν+1} ne s’annule pas identiquement sur V (ℐ(h_{k+1,ν})). Maintenant, un calcul facile montre que la suite itérée b_{k+1} = ⌊\frac{a}{a+1}(b_{k} + η)⌋ + 1 stationne à la valeur limite b_{k} = a(η + 1) + 1, pour toute valeur initiale b_{1} supérieure à cette limite. De cette manière, on obtient une métrique h_{∞} à courbure définie positive sur aK_{X} + (a(η + 1) + 1)L, telle que dim V (ℐ(h_{∞})) = 0 et ν(φ_{∞}, x_{j}) ⩾ a(n + s_{j}) en chaque point x_{j}. Preuve de (16.4). Dans ce cas, l’ensemble {x_{j}} est pris égal à l’ensemble vide, donc δ = 0. Grâce à (16.3 a), la condition P (m) ⩾ 1 est réalisée pour au moins un entier m ∈ [b_{k}, b_{k} + n], donc on peut prendre η = n. Comme μL est très ample, μL possède une métrique ayant un pôle logarithmique isolé de nombre de Lelong 1 en tout point x_{0} donné (par exemple, la métrique algébrique définie par les sections de μL s’annulant en x_{0}). Donc

F′_{a} = aK_{X} + (a(n + 1) + 1)L + nμL

possède une métrique h′_{a} tel que V (ℐ(h′_{a})) soit de dimension zéro et contienne {x_{0}}. Grâce au Cor. (15.9), on conclut que

K_{X} + F′_{a} = (a + 1)K_{X} + (a(n + 1) + 1 + nμ)L

est engendré par ses sections, en particulier K_{X} + \frac{a(n+1)+1+nμ}{a+1}L est nef. Lorsque a tend vers +∞, on en déduit que K_{X} + (n + 1)L est nef. Preuve de (16.5 a). Il suffit ici de choisir a = 1. Alors

δ = ∑_{1⩽j⩽p} \binom{3n + 2s_{j} − 1}{n}.

Si \{x_{j}\} ≠ ∅, on a δ + 1 ⩾ \binom{3n−1}{n} + 1 ⩾ 2n^{2} pour n ⩾ 2. Le lemme (16.3 c) montre que P (m) ⩾ δ + 1 pour au moins un m ∈ [b_{k}, b_{k} + η] avec η = δ + 1. On peut commencer la procédure de récurrence k ↦ k + 1 avec b_{1} = η + 1 = δ + 2, parce que la seule propriété nécessaire pour l’étape de récurrence est la propriété d’annulation

H^{q}(X, 2K_{X} + mL) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{1},

qui est réalisée d’après le théorème d’annulation de Kodaira et la propriété d’amplitude de K_{X} +b_{1}L (on utilise ici le résultat de Fujita (16.4), en observant que b_{1} > n+1). La formule récursive b_{k+1} = ⌊\frac{1}{2}(b_{k}+η)⌋+1 donne alors b_{k} = η+1 = δ+2 pour tout k, et (16.5 a) s’ensuit. Preuve de (16.5 b). Tout à fait similaire à (16.5 a), sauf que nous choisissons η = n, a = 1 et b_{k} = n + 1 pour tout k. Grâce au lemme (16.3 b), nous avons P (m) ⩾ a_{d}k^{d}/2^{d−1} pour au moins un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + kd], où a_{d} > 0 est le coefficient de plus haut degré de P. Grâce au lemme (16.2), on a a_{d} ⩾ inf_{dim Y =d} L^{d} ·Y. Prenons k = ⌊n/d⌋. La condition P (m) ⩾ δ +1 peut alors être réalisée pour un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + kd] ⊂ [m_{0}, m_{0} + n], pourvu que

inf_{dim Y =d} L^{d} · Y ⌊n/d⌋^{d}/2^{d−1} > δ,

ce qui est équivalent à la condition donnée en (16.5 b).

L’inconvénient de la technique décrite plus haut est qu’on doit nécessairement faire intervenir des multiples de L pour éviter les zéros du polynôme de Hilbert, en particulier il n’est pas possible d’obtenir directement un critère de grande amplitude pour 2K_{X} + L dans l’énoncé de (16.5 b). Un tel critère peut néanmoins être obtenu à l’aide du lemme élémentaire suivant.

16.6. Lemme. Supposons qu’il existe un entier μ ∈ ℕ^{⋆} tel que μF engendre simultanément tous les jets d’ordre μ(n + s_{j}) + 1 en tout point x_{j} d’un sousensemble {x_{1}, …, x_{p}} ⊂ X. Alors K_{X} + F engendre simultanément tous les jets d’ordre s_{j} aux points x_{j}.

Preuve. Choisissons la métrique algébrique sur F définie par une base σ_{1}, …, σ_{N} de l’espace des sections de μF qui s’annuler à l’ordre μ(n + s_{j}) + 1 en tout point x_{j}. Puisque nous sommes encore libres de choisir le terme homogène de degré μ(n + s_{j}) + 1 dans le développement de Taylor de ces sections aux points x_{j}, nous voyons que x_{1}, …, x_{p} sont des zéros isolés de ⋂ σ_{j}^{−1}(0). Si φ est le poids de la métrique de F près de x_{j}, nous avons donc φ(z) ∼ (n + s_{j} + \frac{1}{μ}) log |z − x_{j}| dans des coordonnées convenables. Remplaçons φ au voisinage de x_{j} par

φ′(z) = max (φ(z) , |z|^{2} − C + (n + s_{j}) log |z − x_{j}|)

et laissons φ inchangée partout ailleurs (c’est possible en prenant C > 0 suffisamment grand). Alors φ′(z) = |z|^{2} − C + (n + s_{j}) log |z − x_{j}| au voisinage de x_{j}, en particulier φ′ est strictement plurisousharmonique près de x_{j}. De cette manière, nous obtenons une métrique h′ sur F à courbure semi-positive partout sur X, et à courbure définie positive sur un voisinage de {x_{1}, …, x_{p}}. La conclusion résulte alors d’une application directe des estimations L^{2} (14.2).

16.7. Théorème. Soient X une variété projective de dimension n et L un fibré en droites ample sur X. Alors 2K_{X} + L engendre simultanément les jets d’ordre s_{1}, …, s_{p} en des points arbitraires x_{1}, …, x_{p} ∈ X dès que les nombres d’intersection L^{d} · Y de L sur tous les sous-ensembles algébriques Y ⊂ X de dimension d sont tels que

L^{d} · Y > \frac{2^{d−1}}{⌊n/d⌋^{d}} ∑_{1⩽j⩽p} \binom{(n + 1)(4n + 2s_{j} + 1) − 2}{n}, 1 ⩽ d ⩽ n.

Preuve. Le lemme (16.6) appliqué avec F = K_{X} + L et μ = n + 1 montre que la propriété désirée pour les jets de 2K_{X} +L a lieu si (n+1)(K_{X} +L) engendre les jets d’ordre (n + 1)(n + s_{j}) + 1 aux points x_{j}. Le lemme (16.6) appliqué de nouveau avec F = pK_{X} + (n + 1)L et μ = 1 montre par récurrence descendante sur p qu’il suffit que F engendre tous les jets d’ordre (n + 1)(n + s_{j}) + 1 + (n + 1 − p)(n + 1) aux points x_{j}. En particulier, pour 2K_{X} + (n + 1)L il suffit d’obtenir tous les jets d’ordre (n + 1)(2n + s_{j} − 1) + 1. Le th. (16.5 b) donne alors la condition désirée.

Mentionnons pour terminer quelques conséquences immédiates du th. 16.5, obtenues en prenant L = ±K_{X}.

16.8. Corollaire. Soit X une variété projective de type général, avec K_{X} ample et dim X = n. Alors mK_{X} est très ample pour m ⩾ m_{0} = \binom{3n+1}{n} + 4.

16.9. Corollaire. Soit X une variété de Fano (c’est-à-dire une variété projective telle que −K_{X} soit ample), de dimension n. Alors −mK_{X} est très ample pour m ⩾ m_{0} = \binom{3n+1}{n}.

§17. Une version effective du grand théorème de Matsusaka

Nous abordons ici le problème de trouver un entier explicite m_{0} tel que mL soit très ample pour m ⩾ m_{0}. L’existence d’une telle borne m_{0} ne dépendant que de la dimension et des coefficients du polynôme de Hilbert de L a été démontrée dans un premier temps par Matsusaka [Mat72], puis Kollár et Matsusaka [KoM83] ont montré qu’on pouvait trouvait trouver une borne m_{0} = m_{0}(n, L^{n}, K_{X} · L^{n−1}) dépendant seulement de n = dim X et des deux premiers coefficients. Récemment, Siu [Siu93] a obtenu une version effective du même résultat fournissant une borne explicite m_{0} “raisonnable” (bien que cette borne soit malheureusement encore loin d’être optimale). Nous nous proposons ici d’expliquer la méthode de Siu, à partir des simplifications et améliorations suggérées dans [Dem96]. Le point de départ est le lemme suivant.

17.1. Lemme. Soient F et G des fibrés en droites nefs sur X. Si F^{n} > n F^{n−1} ·G, tout multiple positif k(F − G) admet une section non triviale pour k ⩾ k_{0} assez grand.

Preuve. Le lemme peut se démontrer comme cas particulier des inégalités de Morse holomorphes (voir [Dem85], [Tra95], [Siu93], [Ang95]). Nous en donnons ici une preuve simple, suivant une suggestion de F. Catanese. On peut supposer que F et G sont très amples (sinon, il suffit de remplacer F et G par F′ = pF + A et G′ = pG + A avec A très ample et suffisamment positif pour entraîner la grande amplitude de toute somme avec un fibré nef, puis de choisir p > 0 assez grand pour que F′ et G′ satisfassent la même hypothèse numérique que F et G). Alors 𝒪(k(F −G)) ≃ 𝒪(kF −G_{1} −⋯−G_{k}) pour des éléments arbitraires G_{1}, …, G_{k} du système linéaire |G|. Si on choisit de tels éléments G_{j} en position générale, le lemme résulte de la formule de Riemann-Roch appliquée au morphisme de restriction H^{0}(X, 𝒪(kF)) → ⨁ H^{0}(G_{j}, 𝒪(kF_{↾G_{j}}).

§17. Une version effective du grand théorème de Matsusaka 101

17.2. Corollaire. Soient F et G des fibrés en droites nefs sur X. Si F est gros et si m > n F^{n−1} · G/F^{n}, alors 𝒪(mF − G) peut être muni d’une métrique hermitienne h (peut être singulière), ayant une forme courbure définie positive, i.e. telle que Θ_{h}(mF − G) ⩾ εω, ε > 0, pour une métrique kählérienne ω.

Preuve. En fait, si A est ample et ε ∈ ℚ_{+} est assez petit, le lemme (17.1) implique qu’un certain multiple k(mF − G − εA) admet une section. Soit E le diviseur de cette section et soit ω = Θ(A) ∈ c_{1}(A) une métrique kählérienne représentant la forme de courbure de A. Alors mF − G ≡ εA + \frac{1}{k} E peut être muni d’une métrique singulière h de forme de courbure Θ_{h}(mF − G) = εΘ(A) + \frac{1}{k} [E] ⩾ εω.

Nous considérons maintenant le problème d’obtenir une section non triviale de mL. L’idée de [Siu93] est d’obtenir plus généralement un critère pour l’amplitude de mL − B quand B est nef. De cette manière, on pourra soustraire de mL tout multiple non désiré de K_{X} qui se trouverait sinon ajouté à L par application du théorème d’annulation de Nadel (pour cela, on remplace simplement B par B plus un multiple de K_{X} + (n + 1)L).

17.3. Proposition. Soit L un fibré en droite ample sur une variété X projective de dimension n, et soit B un fibré en droites nef sur X. Alors K_{X} +mL−B admet une section non nulle pour un entier m tel que

m ⩽ n \frac{L^{n−1} · B}{L^{n}} + n + 1.

Preuve. Soit m_{0} le plus petit entier > n \frac{L^{n−1}·B}{L^{n}}. Alors m_{0}L − B peut être équipé d’une métrique hermitienne singulière h de courbure définie positive. Grâce au théorème d’annulation de Nadel, on obtient

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B) ⊗ ℐ(h)) = 0 for q ⩾ 1,

donc P (m) = h^{0}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B) ⊗ ℐ(h)) est un polynôme pour m ⩾ m_{0}. Puisque P est un polynôme de degré n qui n’est pas identiquement nul, il existe un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + n] qui n’en est pas racine. Donc il existe une section non triviale de

H^{0}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B)) ⊃ H^{0}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B) ⊗ ℐ(h))

pour un certain m ∈ [m_{0}, m_{0} + n], comme annoncé.

17.4. Corollaire. Si L est ample et B est nef, mL − B possède une section non nulle pour au moins un entier

m ⩽ n(\frac{L^{n−1} · B + L^{n−1} · K_{X}}{L^{n}} + n + 1).

Preuve. D’après le résultat de Fujita (16.4), K_{X} + (n + 1)L est nef. Nous pouvons donc remplacer B par B + K_{X} + (n + 1)L dans le résultat de la prop. (17.3). Le corollaire (17.4) s’ensuit.

17.5. Remarque. Nous ne savons pas si la borne obtenue dans le corollaire ci-dessus est optimale, mais elle n’est certainement pas très loin de l’être. En effet, même pour B = 0, le facteur multiplicatif n ne peut être remplacée par un nombre plus petit que n/2 : pour le voir, prenons par exemple pour X un produit C_{1} × ⋯ × C_{n} de courbes C_{j} de genre g_{j} assez grand, et L = 𝒪(a_{1}[p_{1}]) ⊗ ⋯ ⊗ 𝒪(a_{n}[p_{n}]), B = 0. Notre condition suffisante pour que |mL| ≠ ∅ devient dans ce cas m ⩽ ∑(2g_{j} − 2)/a_{j} + n(n + 1), tandis que pour un choix générique des p_{j} le fibré mL n’admet de sections que si ma_{j} ⩾ g_{j} pour tout j. L’imprécision de notre inégalité joue donc au plus sur un facteur multiplicatif 2 quand a_{1} = ⋯ = a_{n} = 1 et g_{1} ≫ g_{2} ≫ ⋯ ≫ g_{n} → +∞. D’autre part, la constante additive n + 1 est déjà la meilleure possible lorsque B = 0 et X = ℙ^{n}.

Jusqu’à ce point, la méthode n’était pas réellement sensible à la présence de singularités (le lemme (17.1) est encore vrai dans le cas singulier comme on le voit aisément en utilisant une désingularisation de X). De même, comme on l’a observé à la remarque (15.16), le théorème d’annulation de Nadel reste encore essentiellement valable. La prop. (17.3) peut alors être généralisée comme suit :

17.6. Proposition. Soit L un fibré en droites ample sur une variété X projective de dimension n, et soit B un fibré en droites nef sur X. Pour tout sous-variété algébrique (réduite) Y de X de dimension p, il existe un entier

m ⩽ p\frac{L^{p−1} · B · Y}{L^{p} · Y} + p + 1

tel que le faisceau ω_{Y} ⊗ 𝒪_{Y} (mL − B) ait une section non nulle.

Grâce à un procédé de récurrence adéquat reposant sur les résultats ci-dessus, nous pouvons maintenant améliorer la borne effective obtenue par Siu [Siu93] pour le grand théorème de Matsusaka. Notre énoncé dépendra du choix d’une constante λ_{n} telle que m(K_{X} + (n + 2)L) + G est très ample pour m ⩾ λ_{n} et tout fibré en droites nef G. La méthode de preuve du théorème (16.5) donne assez aisément que λ_{n} ⩽ \binom{3n+1}{n}−2n (un argument plus élaboré mettant en jeu les résultats récents de Angehrn-Siu [AS94] permet en fait de voir que λ_{n} ⩽ n^{3} − n^{2} − n − 1 pour n ⩾ 2). Bien entendu, on s’attend à ce que λ_{n} = 1 pour tout n, si on veut bien croire à la conjecture de Fujita.

17.7. Version effective du grand théorème de Matsusaka. Soient L et B des fibrés en droites nefs sur une variété X projective de dimension n. Supposons que L soit ample et soit H = λ_{n}(K_{X} + (n + 2)L). Alors mL − B est très ample pour

m ⩾ (2n)^{(3^{n−1}−1)/2} \frac{(L^{n−1} · (B + H))^{(3^{n−1}+1)/2}(L^{n−1} · H)^{3^{n−2}(n/2−3/4)−1/4}}{(L^{n})^{3^{n−2}(n/2−1/4)+1/4}} .

En particulier mL est très ample pour

m ⩾ C_{n} (L^{n})^{3^{n−2}} (n + 2 + \frac{L^{n−1} · K_{X}}{L^{n}} )^{3^{n−2}(n/2+3/4)+1/4}

avec C_{n} = (2n)^{(3^{n−1}−1)/2}(λ_{n})^{3^{n−2}(n/2+3/4)+1/4}.

Preuve. Nous utilisons le th. (3.1) et la prop. (17.6) pour construire par récurrence une suite de sous-variétés algébriques (non nécessairement irréductibles) X = Y_{n} ⊃ Y_{n−1} ⊃ ⋯ ⊃ Y_{2} ⊃ Y_{1} telle que Y_{p} = ⋃_{j} Y_{p,j} est de dimension p, Y_{p−1} étant obtenu pour chaque p ⩾ 2 comme la réunion des ensembles de zéros des sections

σ_{p,j} ∈ H^{0}(Y_{p,j}, 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B))

pour des entiers convenables m_{p,j} ⩾ 1. Nous procédons par récurrence sur les valeurs décroissantes de la dimension p, et cherchons à obtenir à chaque pas une borne supérieure m_{p} pour les entiers m_{p,j}.

Grâce au Cor. (17.4), on peut trouver un entier m_{n} tel que que m_{n}L − B admettte une section σ_{n} non triviale pour

m_{n} ⩽ n \frac{L^{n−1} · (B + K_{X} + (n + 1)L)}{L^{n}} ⩽ n \frac{L^{n−1} · (B + H)}{L^{n}}.

Maintenant supposons que les sections σ_{n}, …, σ_{p+1,j} aient déjà été construites. On obtient alors par récurrence un p-cycle Ỹ_{p} = ∑ μ_{p,j}Y_{p,j} défini par Ỹ_{p} = somme des diviseurs des zéros des sections σ_{p+1,j} sur les composantes Ỹ_{p+1,j}, où la multiplicité μ_{p,j} de Y_{p,j} ⊂ Y_{p+1,k} est obtenue en multipliant la multiplicité correspondante μ_{p+1,k} par l’ordre d’annulation de σ_{p+1,k} le long de Y_{p,j}. On obtient l’égalité de classes de cohomologie

Ỹ_{p} ≡ ∑(m_{p+1,k}L − B) · (μ_{p+1,k}Y_{p+1,k}) ⩽ m_{p+1}L · Ỹ_{p+1}.

Par récurrence, nous obtenons alors l’inégalité numérique

Ỹ_{p} ⩽ m_{p+1} ⋯ m_{n}L^{n−p}.

Maintenant, pour chaque composante Y_{p,j}, la prop. (17.6) montre qu’il existe une section de ω_{Y_{p,j}} ⊗ 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B) pour un certain entier

m_{p,j} ⩽ p\frac{L^{p−1} · B · Y_{p,j}}{L^{p} · Y_{p,j}} + p + 1 ⩽ pm_{p+1} ⋯ m_{n} L^{n−1} · B + p + 1.

Nous avons utilisé ici la minoration évidente L^{p−1} · Y_{p,j} ⩾ 1 (cette minoration est d’ailleurs sans doute un des points faibles de la méthode…). Le degré de Y_{p,j} par rapport à H admet la majoration

δ_{p,j} := H^{p} · Y_{p,j} ⩽ m_{p+1} ⋯ m_{n}H^{p} · L^{n−p}.

L’inégalité de concavité de Hovanski-Teissier donne

(L^{n−p} · H^{p})^{\frac{1}{p}} (L^{n})^{1− \frac{1}{p}} ⩽ L^{n−1} · H

([Hov79], [Tei79, 82], voir aussi [Dem93]), ce qui permet d’exprimer nos bornes en termes des seuls nombres d’intersection L^{n} et L^{n−1} · H. On obtient alors

δ_{p,j} ⩽ m_{p+1} ⋯ m_{n} \frac{(L^{n−1} · H)^{p}}{(L^{n})^{p−1}} .

Nous avons besoin du lemme suivant, qui sera démontré ultérieurement.

17.8. Lemme. Soit H un fibré en droites très ample sur une variété algébrique projective X, et soit Y ⊂ X une sous-variété algébrique irréductible de dimension p. Si δ = H^{p} · Y est le degré de Y par rapport à H, le faisceau Hom (ω_{Y} , 𝒪_{Y} ((δ − p − 2)H)) possède une section non triviale.

Grâce au lemme (17.8), il existe une section non triviale de

Hom (ω_{Y_{p,j}}, 𝒪_{Y_{p,j}}((δ_{p,j} − p − 2)H)).

En combinant cette section avec la section de ω_{Y_{p,j}} ⊗ 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B) déjà construite, nous obtenons une section de 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B + (δ_{p,j} − p − 2)H) sur Y_{p,j}. On ne veut pas que H apparaisse à ce niveau, c’est pourquoi on va remplacer B par B + (δ_{p,j} − p − 2)H. On obtient alors une section σ_{p,j} de 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B) pour un certain entier m_{p,j} tel que

m_{p,j} ⩽ pm_{p+1} ⋯ m_{n} L^{n−1} · (B + (δ_{p,j} − p − 2)H) + p + 1

⩽ p m_{p+1} ⋯ m_{n} δ_{p,j} L^{n−1} · (B + H)

⩽ p (m_{p+1} ⋯ m_{n})^{2} \frac{(L^{n−1} · H)^{p}}{(L^{n})^{p−1}} L^{n−1} · (B + H).

Par conséquent, en posant M = n L^{n−1} · (B + H), on obtient la relation de récurrence descendante

m_{p} ⩽ M \frac{(L^{n−1} · H)^{p}}{(L^{n})^{p−1}} (m_{p+1} ⋯ m_{n})^{2} pour 2 ⩽ p ⩽ n − 1,

partant de la valeur initiale m_{n} ⩽ M/L^{n}. Soient (\overline{m}_{p}) la suite des nombre obtenus par cette formule de récurrence en remplaçant les inégalités par des égalités. Il vient m_{p} ⩽ \overline{m}_{p} avec \overline{m}_{n−1} = M^{3}(L^{n−1} · H)^{n−1}/(L^{n})^{n} et

\overline{m}_{p} = \frac{L^{n}}{L^{n−1} · H} \overline{m}_{p+1}^{2}\overline{m}_{p+1}

pour 2 ⩽ p ⩽ n − 2. On trouve alors par récurrence

m_{p} ⩽ \overline{m}_{p} = M^{3^{n−p}} \frac{(L^{n−1} · H)^{3^{n−p−1}(n−3/2)+1/2}}{(L^{n})^{3^{n−p−1}(n−1/2)+1/2}} .

Montrons maintenant que m_{0}L − B est nef pour

m_{0} = max (m_{2} , m_{3}, …, m_{n} , m_{2} ⋯ m_{n} L^{n−1} · B).

En effet, soit C ⊂ X une courbe irréductible arbitraire. Ou bien C = Y_{1,j} pour un certain j, ou bien il existe un entier p = 2, …, n tel que C soit contenu dans Y_{p} ∖ Y_{p−1}. Si C ⊂ Y_{p,j} ∖ Y_{p−1}, alors σ_{p,j} ne s’annule pas identiquement sur C. Donc (m_{p,j}L − B)_{↾C} est de degré positif ou nul et

(m_{0}L − B) · C ⩾ (m_{p,j}L − B) · C ⩾ 0.

D’autre part, si C = Y_{1,j} , alors

(m_{0}L − B) · C ⩾ m_{0} − B · Ỹ_{1} ⩾ m_{0} − m_{2} ⋯ m_{n} L^{n−1} · B ⩾ 0.

D’après la définition de λ_{n} (et la preuve qu’une telle constante existe, cf. Th. 16.5), H + G est très ample pour tout fibré en droites nef G, en particulier H + m_{0}L − B est très ample. On remplace de nouveau B par B + H. Cette substitution a pour effet de remplacer M par la nouvelle constante M = n (L^{n−1} · (B + 2H)) et m_{0} par

m_{0} = max (m_{n} , m_{n−1}, …, m_{2} , m_{2} ⋯ m_{n} L^{n−1} · (B + H)).

Le dernier terme étant le plus grand, l’estimation de \overline{m}_{p} implique

m_{0} ⩽ M^{(3^{n−1}−1)/2} \frac{(L^{n−1} · H)^{(3^{n−2}−1)(n−3/2)/2+(n−2)/2}(L^{n−1} · (B + H))}{(L^{n})^{(3^{n−2}−1)(n−1/2)/2+(n−2)/2+1}}

⩽ (2n)^{(3^{n−1}−1)/2} \frac{(L^{n−1} · (B + H))^{(3^{n−1}+1)/2}(L^{n−1} · H)^{3^{n−2}(n/2−3/4)−1/4}}{(L^{n})^{3^{n−2}(n/2−1/4)+1/4}}

Preuve du lemme (17.8). Soit X ⊂ ℙ^{N} le plongement donné par H, de sorte que H = 𝒪_{X}(1). Il existe une projection linéaire ℙ^{n} ^{≻} ℙ^{p+1} dont la restriction π : Y → ℙ^{p+1} à Y est un morphisme fini et birationnel de Y sur une hypersurface algébrique Y′ de degré δ dans ℙ^{p+1}. Soit s ∈ H^{0}(ℙ^{p+1}, 𝒪(δ)) le polynôme de degré δ définissant Y′. Nous affirmons que pour tout petit ouvert de Stein W ⊂ ℙ^{p+1} et toute p-forme holomorphe L^{2} u sur Y′ ∩ W, il existe une (p + 1)- forme holomorphe L^{2} ũ sur W, à valeurs dans 𝒪(δ), telle que u_{↾Y′∩W} = u ∧ ds. En fait, c’est précisément lae conclusion du théorème d’extension L^{2} d’Ohsawa-Takegoshi [OT87], [Ohs88] (voir aussi [Man93] pour une version plus générale de ce résultat) ; on peut également invoquer des arguments standards d’algèbre locale (voir Hartshorne [Har77], th. III-7.11). Comme K_{ℙ^{p+1}} = 𝒪(−p−2), la forme ũ peut être considérée comme une section de 𝒪(δ−p−2) sur W, par suite le morphisme de faisceaux u ↦ u ∧ ds s’étend en une section globale de Hom (ω_{Y′}, 𝒪_{Y′}(δ − p − 2)). L’image inverse par π^{⋆} fournit une section de Hom (π^{⋆}ω_{Y′}, 𝒪_{Y} ((δ − p − 2)H)).

Puisque π est fini et génériquement 1 : 1, il est facile de voir que π^{⋆}ω_{Y′} = ω_{Y}. Le lemme s’ensuit.

17.9. Remarque. Dans le cas des surfaces (n = 2), on peut prendre λ_{n} = 1 d’après le résultat de I. Reider [Rei88], et les arguments développés ci-dessus donnent mL très ample pour

m ⩾ 4 \frac{(L · (K_{X} + 4L))^{2}}{L^{2}} .

Si on reprend en détail la démonstration avec plus de soin, on peut voir que le facteur multiplicatif 4 peut être remplacé par 2. En fait, Fernández del Busto a montré récemment que mL est très ample pour

m > \frac{1}{2} [\frac{(L · (K_{X} + 4L) + 1)^{2}}{L^{2}} + 3] ,

et un exemple de G. Xiao montre que cette borne est essentiellement optimale (voir [FdB94]).

Le grand théorème de Matsusaka entraîne un certain nombre d’autres résultats importants de finitude. Un des prototypes de ces résultats est l’énoncé suivant.

17.10. Corollaire. Il existe seulement un nombre fini de familles de déformations de variétés projectives polarisées (X, L) de dimension n, où L est un fibré en droites ample dont les nombres d’intersection L^{n} et K_{X} · L^{n−1} sont fixés.

Preuve. En effet, comme L^{n} et K_{X} · L^{n−1} sont fixés, il existe un entier m_{0} effectivement calculable tel que m_{0}L soit très ample. On obtient alors un plongement Φ = Φ_{|m_{0}L|} : X → ℙ^{N} tel que Φ^{⋆}𝒪(1) = ±m_{0}L. L’image Y = Φ(X) est de degré

deg(Y) = ∫_{Y} c_{1}(𝒪(1))^{n} = ∫_{X} c_{1}( ± m_{0}L)^{n} = m_{0}^{n} L^{n}.

Ceci entraîne que Y est un point d’une des composantes du schéma de Chow des sous-variétés algébriques Y de dimension et de degré donnés dans ℙ^{N} pour lesquelles 𝒪(1)_{↾Y} est divisible par m_{0}, plus précisément un point de l’ouvert correspondant aux sous-variétés non singulières. Comme l’ouvert en question est un ouvert de Zariski, il ne peut avoir qu’un nombre fini de composantes irréductibles, d’où le corollaire.

On peut démontrer aussi à partir du théorème de Matsusaka (ou même directement à partir du Cor. (16.9)) qu’il n’existe qu’un nombre fini de familles de déformation de variétés de Fano de dimension n donnée. On utilise pour cela un résultat fondamental obtenu indépendamment par Kollár-Miyaoka-Mori [KoMM92] et Campana [Cam92], montrant que le discriminant K_{X}^{n} est borné par une constante C_{n} ne dépendant que de n. Les bornes effectives obtenues pour les fibrés très amples fournissent alors (au prix de quelques efforts !) une borne effective pour le nombre de familles de variétés de Fano.

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(version du 20 mars 1995, complétée le 24 avril 1996)

Jean-Pierre Demailly Université de Grenoble I, Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, BP 74, F-38402 Saint-Martin d’Hères, France Adresse électronique : demailly@fourier.ujf-grenoble.fr