% Session SMF l'Etat de la Recherche, Grenoble, 25-26-27 Novembre 1994
% Texte pour Panoramas et Synth\`eses
% Plain-TeX 
% J.-P. Demailly, Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France
% Th\'eorie de Hodge $L^2$ et th\'eor\`emes d'annulation
% Partie II

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\supersection Partie II\/: \phantom{\bigg(}\newline
Estimations $L^2$ et th\'eor\`emes d'annulation|

\titlerunning J.-P.\ Demailly, Partie II\/: Estimations $L^2$ et 
th\'eor\`emes d'Annulation|

\section \Smark11. Concepts de pseudoconvexit\'e et de positivit\'e|

Les \'enonc\'es et d\'emonstrations des th\'eor\`emes d'annulation
mettent en jeu plusieurs notions de pseudoconvexit\'e et de positivit\'e.
Nous pr\'esentons d'abord un r\'esum\'e synth\'etique des concepts de base
qui nous seront n\'ecessaires.
\medskip

\subsection \Smark11.A. Fonctions plurisousharmoniques|

Les fonctions plurisousharmoniques ont \'et\'e introduites ind\'ependamment
par Lelong et Oka en 1942 en vue de l'\'etude de la convexit\'e holomorphe.
Nous renvoyons \`a [Lel67, 69] pour plus de d\'etails.

\state 11.1. D\'efinition|Une fonction $u:\Omega\to[-\infty,+\infty[$
d\'efinie sur un ouvert $\Omega\subset\bC^n$ est dite plurisousharmonique
\index{121}{PLU}{Plurisousharmonique, fonction}%
\index{232}{FON}{Fonction plurisousharmonique}%
$($psh en abr\'eg\'e$)$ si
\smallskip
\item{\rm a)} $u$ est semi-continue sup\'erieurement~$;$
\smallskip
\item{\rm b)} pour toute droite complexe $L\subset\bC^n$, 
$u_{\restr\Omega\cap L}$ est sous-harmonique sur $\Omega\cap L$,
c'est-\`a-dire, pour tous $a\in\Omega$ et $\xi\in\bC^n$ tels que
$|\xi|<d(a,\compl\Omega)$, la fonction $u$ satisfait l'in\'egalit\'e
de moyenne
$$u(a)\le{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+\ee^{\ii\,\theta}\,\xi)\,d\theta.$$
\vskip0pt\noindent
L'ensemble des fonctions psh sur $\Omega$ sera not\'e $\Psh(\Omega)$.
\endstate

Nous donnons ci-dessous une liste de quelques propri\'et\'es
fondamentales satisfaites par les fonctions psh. Ces propri\'et\'es
d\'ecoulent toutes facilement de la d\'efinition.

\state 11.2. Propri\'et\'es fondamentales|\rm
\smallskip
\item{\rm a)} Toute fonction $u\in\Psh(\Omega)$ est sous-harmonique en ses
$2n$ variables r\'eelles, i.e.\ satisfait l'in\'egalit\'e de valeur moyenne
sur les boules (ou sph\`eres) euclidiennes\/:
\index{122}{FON}{Fonction sous-harmonique}%
$$u(a)\le{1\over\pi^nr^{2n}/n!}\int_{B(a,r)}u(z)\,d\lambda(z)$$
pour tout $a\in\Omega$ et tout $r<d(a,\compl\Omega$. Dans ce cas,
on a ou bien $u\equiv-\infty$ ou bien $u\in L^1_\loc$ sur tout composante
connexe de~$\Omega$.
\smallskip
\item{\rm b)} Pour toute suite d\'ecroissante de fonctions psh
$u_k\in\Psh(\Omega)$, la limite $u=\lim u_k$ est psh sur~$\Omega$.
\smallskip
\item{\rm c)} Soit $u\in\Psh(\Omega)$ telle que $u\not\equiv-\infty$ 
sur toute composante connexe de~$\Omega$. Si $(\rho_\varepsilon)$ est une
famille de noyaux r\'egularisants, alors $u\star\rho_\varepsilon$ est
$C^\infty$ et psh sur
$$\Omega_\varepsilon=\big\{x\in\Omega\,;\,d(x,\compl\Omega)>\varepsilon
\big\},$$
la famille $(u\star\rho_\varepsilon)$ est croissante en $\varepsilon$ et 
$\lim_{\varepsilon\to 0}u\star\rho_\varepsilon=u$.
\smallskip
\item{\rm d)} Soient $u_1\ld u_p\in\Psh(\Omega)$ et
$\chi:\bR^p\to\bR$ une fonction convexe telle que $\chi(t_1\ld t_p)$
est croissante en chaque variable~$t_j$. Alors $\chi(u_1\ld u_p)$ est psh
sur~$\Omega$. En particulier $u_1+\cdots+u_p$, $\max\{u_1\ld u_p\}$, 
$\log(\ee^{u_1}+\cdots+\ee^{u_p})$ sont psh sur~$\Omega$.\square
\smallskip
\endstate

\state 11.3. Lemme|Une fonction $u\in C^2(\Omega,\bR)$ est psh sur
$\Omega$ si et seulement si la forme hermitienne
$Hu(a)(\xi)=\sum\limits_{1\le j,k\le n}\partial^2 u/\partial z_j
\partial\ol z_k(a)\,\xi_j\ol \xi_k$
est semi-positive en tout point \hbox{$a\in\Omega$}.
\endstate

\preuve. C'est une cons\'equence facile de la formule standard suivante 
$${1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+\ee^{\ii\,\theta}\,\xi)\,d\theta-u(a)=
{2\over\pi}\int_0^1{dt\over t}\int_{|\zeta|<t}Hu(a+\zeta\xi)(\xi)\,
d\lambda(\zeta),$$
o\`u $d\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\bC$.
Le lemme~11.3 sugg\`ere fortement que la plurisousharmonicit\'e est 
l'analogue complexe naturel de la propri\'et\'e de convexit\'e
lin\'eaire dans le cas r\'eel.\square

Pour des fonctions non r\'eguli\`eres, on obtient une caract\'erisation
analogue de la plurisous\-harmonicit\'e au moyen d'un proc\'ed\'e de
r\'egularisation.

\state 11.4. Th\'eor\`eme|Si $u\in\Psh(\Omega)$ avec $u\not\equiv-\infty$
sur toute composante connexe de $\Omega$, alors pour tout $\xi\in\bC^n$
$$Hu(\xi)=\sum_{1\le j,k\le n}{\partial^2 u\over\partial z_j\partial\ol z_k}
\,\xi_j\ol\xi_k\in\cD'(\Omega)$$
est une mesure positive. Inversement, si $v\in\cD'(\Omega)$ est telle que 
$Hv(\xi)$ est une mesure positive pour tout $\xi\in\bC^n$, il existe une
unique fonction $u\in\Psh(\Omega)$ qui soit localement int\'egrable sur
$\Omega$ et telle que $v$ est la distribution associ\'ee \`a~$u$.\square
\endstate

En vue de d\'egager une meilleure compr\'ehension g\'eom\'etrique
de la notion de plurisousharmonicit\'e, nous supposons plus
g\'en\'eralement que la fonction $u$ vit sur une vari\'et\'e complexe $X$
de dimension~$n$. Si $\Phi:X\to Y$ est une application holomorphe et si
$v\in C^2(Y,\bR)$, nous avons $d'd''(v\circ \Phi)=\Phi^\star d'd''v$, donc
$$H(v\circ \Phi)(a,\xi)=Hv\big(\Phi(a),\Phi'(a).\xi\big).$$
En particulier $Hu$, vue comme forme hermitienne sur $T_X$, ne d\'epend pas
du choix des coordonn\'ees $(z_1\ld z_n)$. Par cons\'equent, la notion de
fonction psh a bien un sens sur toute vari\'et\'e complexe. Plus
g\'en\'eralement, nous avons

\state 11.5. Proposition|Si $\Phi:X\to Y$ est une application
holomorphe et $v\in\Psh(Y)$, alors $v\circ\Phi\in\Psh(X)$.\square
\endstate

\state 11.6. Exemple|\rm Il est bien connu que $\log|z|$ est psh
(i.e.\ sous-harmonique) sur $\bC$. Donc $\log|f|\in\Psh(X)$ pour toute
fonction holomorphe $f\in H^0(X,\cO_X)$. Plus g\'en\'eralement 
$$\log\big(|f_1|^{\alpha_1}+\cdots+|f_q|^{\alpha_q}\big)\in\Psh(X)$$
pour tout choix de fonctions $f_j\in H^0(X,\cO_X)$ et de r\'eels
$\alpha_j\ge 0$ (appliquer la propri\'et\'e~11.2$\,$d avec
$u_j=\alpha_j\,\log|f_j|$). Nous nous int\'eresserons plus
particuli\`erement aux singularit\'es de cette fonction le long de la
vari\'et\'e des z\'eros $f_1=\cdots=f_q=0$, lorsque les $\alpha_j$ sont
des nombres rationnels.\square
\endstate

\state 11.7. D\'efinition|On dira qu'une fonction psh $u\in\Psh(X)$
a des singularit\'es analytiques $($resp.\ alg\'ebriques$)$ si $u$ peut
\index{123}{SIN}{Singularit\'es alg\'ebriques}%
\index{124}{SIN}{Singularit\'es analytiques}%
s'\'ecrire localement sous la forme
$$u={\alpha\over 2}\log\big(|f_1|^2+\cdots+|f_N|^2\big)+v,$$
avec des fonctions holomorphes $($resp.\ alg\'ebriques$)$ $f_j$,
$\alpha\in\bR_+$ $($resp.~$\alpha\in\bQ_+)$, et o\`u $v$ est une
fonction born\'ee.
\endstate

Nous introduisons alors l'id\'eal $\cJ=\cJ(u/\alpha)$ des germes de
fonctions holomorphes $h$ telles qu'il existe une constante $C\ge 0$
pour laquelle $|h|\le C\ee^{u/\alpha}$, i.e.
$$|h|\le C\big(|f_1|+\cdots+|f_N|\big).$$
On obtient ainsi un faisceau d'id\'eaux globalement d\'efini sur $X$,
\'egal localement \`a la cl\^oture int\'egrale $\ol\cI$ du faisceau
d'id\'eaux $\cI=(f_1\ld f_N)$, par suite $\cJ$ est coh\'erent sur~$X$.
Si $(g_1\ld g_{N'})$ sont des g\'en\'erateurs locaux de $\cJ$, nous
avons encore
$$u={\alpha\over 2}\log\big(|g_1|^2+\cdots+|g_{N'}|^2\big)+O(1).$$
D'un point de vue alg\'ebrique, les singularit\'es de $u$ sont en 
correspondance bijective avec les ``donn\'ees alg\'ebriques'' $(\cJ,\alpha)$.
Nous verrons plus loin une autre m\'ethode encore plus importante pour
associer un faisceau d'id\'eaux \`a une fonction psh.
\medskip

\subsection \Smark11.B. Courants positifs|

La th\'eorie des courants a \'et\'e fond\'ee par G.~De Rham [DR55].
Nous rappelons ici seulement les d\'efinitions les plus fondamentales. Le
lecteur pourra consulter [Fed69] pour un expos\'e beaucoup plus complet
de cette th\'eorie. Dans la situation complexe, la notion
sp\'ecifique importante de courant positif a \'et\'e d\'egag\'ee et
\'etudi\'ee par P.~Lelong [Lel57, 69].

Un {\sl courant} de degr\'e $q$ sur une vari\'et\'e diff\'erentiable $M$
\index{125}{COU}{Courant}%
n'est rien d'autre qu'une $q$-forme diff\'erentielle $\Theta$ \`a
coefficients distributions. L'espace des courants de degr\'e $q$ sur $M$
sera not\'e $\cD^{\prime q}(M)$. Alternativement, on peut consid\'erer
les courants de degr\'e $q$ comme les \'el\'ements $\Theta$ du dual
$\cD'_p(M):=\big(\cD^p(M)\big)'$ de l'espace $\cD^p(M)$ des formes
diff\'erentielles $C^\infty$ de degr\'e $p=\dim M-q$ \`a support compact;
l'accouplement de dualit\'e est donn\'e par
$$\langle \Theta,\alpha\rangle=\int_M \Theta\wedge\alpha,~~~~
\alpha\in\cD^p(M).\leqno(11.8)$$
Un exemple fondamental est le {\sl courant 
\index{126}{COU}{Courant d'int\'egration}%
d'int\'egration} $[S]$ sur
une sous-vari\'et\'e $S$ orient\'ee et compacte (\'eventuellement \`a bord)
de~$M$\/:
$$\langle[S],\alpha\rangle=\int_S\alpha,~~~~{\rm deg}\alpha=p=\dim_\bR S.
\leqno(11.9)$$
Alors $[S]$ est un courant \`a coefficients mesures, et la
formule de Stokes montre que $d[S]=(-1)^{q-1}[\partial S]$, en particulier
$d[S]=0$ si et seulement si $S$ est une sous-vari\'et\'e sans bord.
En~raison de cet exemple, l'entier $p$ est appel\'e dimension
de~$\Theta\in\cD_p'(M)$. On dit que le courant $\Theta$ est {\sl
\index{127}{COU}{Courant ferm\'e}%
ferm\'e} si $d\Theta=0$.

Sur une vari\'et\'e complexe $X$, nous avons des notions analogues de
bidegr\'e et de bidimension; comme dans le cas r\'eel, nous notons
$$\cD^{\prime p,q}(X)=\cD'_{n-p,n-q}(X),\qquad n=\dim X,$$
l'espace des courants de bidegr\'e $(p,q)$ et bidimension $(n-p,n-q)$ sur~$X$.
Suivant [Lel57], un courant $\Theta$ de bidimension $(p,p)$ est dit
{\sl $($faiblement$)$ 
\index{128}{COU}{Courant positif}%
positif} si pour tout choix de $(1,0)$-formes
$\alpha_1\ld\alpha_p$ de classe $C^\infty$ sur~$X$ la distribution
$$\Theta\wedge\ii\alpha_1\wedge\ol\alpha_1\wedge\cdots\wedge
\ii\alpha_p\wedge\ol\alpha_p~~~~\hbox{\rm est une mesure positive.}
\leqno(11.10)$$

\state 11.11. Exercice|\rm Si $\Theta$ est positif, montrer que les
coefficients $\Theta_{I,J}$ de $\Theta$ sont des mesures complexes, et
qu'ils sont major\'es \`a des constantes pr\`es par la mesure trace
$$\sigma_\Theta=\Theta\wedge{1\over p!}\beta^p=2^{-p}\sum\Theta_{I,I},
\qquad\hbox{o\`u}\quad
\beta={\ii\over 2}d'd''|z|^2={\ii\over 2}\sum_{1\le j\le n}dz_j\wedge
d\ol z_j,$$
qui est une mesure positive.\newline
{\sl Indication}. Observer que $\sum\Theta_{I,I}$ est invariant par
des changements de coordonn\'ees unitaires et que les $(p,p)$-formes
$\ii\alpha_1\wedge\ol\alpha_1\wedge\cdots\wedge\ii\alpha_p\wedge\ol\alpha_p$
engendrent $\Lambda^{p,p}T^\star_{\bC^n}$ comme $\bC$-espace vectoriel.
\square
\endstate

On voit facilement qu'un courant $\Theta=\ii\sum_{1\le j,k\le n}
\Theta_{jk}dz_j\wedge d\ol z_k$ de bidegr\'e $(1,1)$ est positif si et 
seulement si la mesure complexe $\sum\lambda_j\ol\lambda_k\Theta_{jk}$ 
est une mesure positive pour tout $n$-uplet $(\lambda_1\ld\lambda_n)
\in\bC^n$.

\state 11.12. Exemple|\rm Si $u$ est une fonction psh (non
identiquement~$-\infty$) sur~$X$, on peut associer \`a $u$ un courant
positif ferm\'e $\Theta=\ii\partial\ol\partial u$ de bidegr\'e~$(1,1)$.
Inversement, tout courant positif ferm\'e de bidegr\'e $(1,1)$ peut
s'\'ecrire sous cette forme sur tout sous-ensemble ouvert $\Omega\subset X$
tel que $H^2_{DR}(\Omega,\bR)=H^1(\Omega,\cO)=0$, par exemple sur des
ouverts de coordonn\'ees biholomorphes \`a des boules (exercice pour le
lecteur).
\square
\endstate

Il n'est pas difficile de montrer qu'un produit $\Theta_1\wedge\cdots\wedge
\Theta_q$ de courants positifs de bidegr\'e $(1,1)$ est positif chaque fois
que le produit est bien d\'efini (c'est certainement le cas si tous
$\Theta_j$ sauf un au plus sont de classe $C^\infty$); d'autres conditions
beaucoup plus fines existent, mais nous laisserons ce sujet de c\^ot\'e ici.

Nous discutons maintenant un autre exemple tr\`es important de courant
positif ferm\'e. A tout ensemble analytique $A$ ferm\'e dans $X$, de
dimension pure $p$, on associe un courant d'int\'egration
$$\langle [A],\alpha\rangle=\int_{A_\reg}\alpha,~~~~\alpha\in\cD^{p,p}(X),
\leqno(11.13)$$
\index{129}{COU}{Courant d'int\'egration}%
obtenu en int\'egrant $\alpha$ sur l'ensemble des points r\'eguliers de~$A$.
En vue de montrer que (11.13) donne bien une d\'efinition l\'egitime d'un
courant sur~$X$, il faut montrer que $A_\reg$ est localement d'aire finie
dans un voisinage de tout point de~$A_\sing$.
Ce r\'esultat, d\^u \`a [Lel57] peut se montrer comme suit. Supposons
(apr\`es translation des coordonn\'ees) que $0\in A_\sing$. Du
th\'eor\`eme de param\'etrisation locale pour les ensembles analytiques,
on d\'eduit qu'il existe un changement lin\'eaire de coordonn\'ees sur
$\bC^n$ tel que toutes les projections
$$\pi_I:(z_1\ld z_n)\mapsto (z_{i_1}\ld z_{i_p})$$
d\'efinissent des rev\^etements ramifi\'es finis de l'intersection
$A\cap\Delta_I$ de $A$ avec un petit polydisque $\Delta_I=\Delta'_I\times
\Delta''_I$ de $\bC^n=\bC^p\times\bC^{n-p}$, sur le polydisque
$\Delta'_I$ de~$\bC^p$. Soit $n_I$ le nombre de feuillets de chacun de
ces rev\^etements. Alors, si $\Delta=\bigcap\Delta_I$, l'aire
\hbox{$p$-dimensionnelle} de $A\cap\Delta$ est major\'ee par la somme
des aires de ses projections compt\'ees avec multiplicit\'es, i.e.
$$\hbox{\rm Aire}(A\cap\Delta)\le\sum n_I\hbox{\rm Vol}(\Delta'_I).$$
Le fait que $[A]$ soit positif est facile. En fait, en termes de
coordonn\'ees locales $(w_1\ld w_p)$ sur $A_\reg$, on a
$$\ii\alpha_1\wedge\ol\alpha_1\wedge\cdots\wedge
\ii\alpha_p\wedge\ol\alpha_p=|\det(\alpha_{jk})|^2\,
\ii w_1\wedge\ol w_1\wedge\cdots\wedge
\ii w_p\wedge\ol w_p$$
si $\alpha_j=\sum\alpha_{jk}dw_k$. Ceci montre qu'un tel produit de formes
est${}\ge 0$ par rapport \`a l'orientation canonique d\'efinie par
$\ii w_1\wedge\ol w_1\wedge\cdots\wedge\ii w_p\wedge\ol w_p$.
Un r\'esultat plus profond, \'egalement d\'emontr\'e par P.~Lelong [Lel57],
est que $[A]$ est un courant $d$-ferm\'e sur~$X$, en d'autres termes,
l'ensemble $A_\sing$ (qui est de dimension r\'eelle${}\le 2p-2$) ne fournit
aucune contribution au courant bord~$d[A]$. Finalement, en liaison avec
l'exemple~11.12, nous avons l'importante

\state 11.14. \'Equation de Lelong-Poincar\'e|
\index{130}{EQU}{\'Equation de Lelong-Poincar\'e}%
Soit $f\in H^0(X,\cO_X)$ une fonction holomorphe non nulle,
$Z_f=\sum m_jZ_j$, $m_j\in\bN$, le diviseur des z\'eros de~$f$, et
$[Z_f]=\sum m_j[Z_j]$ le courant d'int\'egration associ\'e. Alors
$${\ii\over\pi}\partial\ol\partial\log|f|=[Z_f].$$
\endstate

\preuve\ {\sl (abr\'eg\'ee).} Il est clair que $\ii\,d'd''\log|f|=0$ au
voisinage de tout point $x\notin\Supp(Z_f)=\bigcup Z_j$, par suite il suffit
de v\'erifier l'\'equation au voisinage de tout point de $\Supp(Z_f)$. Soit
$A$ l'ensemble des points singuliers de $\Supp(Z_f)$, i.e.\ la r\'eunion des
intersections $Z_j\cap Z_k$ et des lieux singuliers $Z_{j,\sing}$; nous
avons alors $\dim A\le n-2$. Au voisinage de tout point $x\in\Supp(Z_f)\ssm A$
il existe des coordonn\'ees locales $(z_1\ld z_n)$ telles que
$f(z)=z_1^{m_j}$, o\`u $m_j$ est la multiplicit\'e de $f$ le long de
la composante $Z_j$ qui contient~$x$, et o\`u $z_1=0$ est une \'equation
locale de $Z_j$ pr\`es de~$x$. Comme ${\ii\over\pi}d'd''\log|z|={}$mesure
de Dirac $\delta_0$ dans $\bC$, nous trouvons
${\ii\over\pi}d'd''\log|z_1|=[$hyperplan $z_1=0]$, donc
$${\ii\over\pi}d'd''\log|f|=m_j{\ii\over\pi}d'd''\log|z_1|=m_j[Z_j]$$
au voisinage de~$x$. Ceci montre que l'\'equation est bien v\'erifi\'ee
sur $X\ssm A$. Par suite la diff\'erence
${\ii\over\pi}d'd''\log|f|-[Z_f]$ est un courant ferm\'e de degr\'e $2$
\`a coefficients mesures, dont le support est contenu dans~$A$. Ce courant
est n\'ecessairement nul car $A$ est de dimension trop petite pour
pouvoir porter son support ($A$ est stratifi\'e en sous-vari\'et\'es de
codimension r\'eelle $\ge 4$, alors que le courant lui-m\^eme est de
codimension r\'eelle~$2$).\square

Pour conclure ce paragraphe, nous abordons maintenant les notions
de cohomologie de De Rham et de Dolbeault dans le contexte de la th\'eorie
des courants. Une observation de base est que les lemmes de Poincar\'e et
de Dolbeault-Grothendieck sont encore valables pour les courants. De
fa\c con pr\'ecise, si $(\cD^{\prime q},d)$ et $(\cD'(F)^{p,q},d'')$
d\'esignent les complexes de faisceaux des courants de degr\'e $q$ (resp.\
des courants de bidegr\'es $(p,q)$ \`a valeurs dans un fibr\'e vectoriel
holomorphe~$F$), on a encore des r\'esolutions de De Rham et de Dolbeault
faisceautiques
$$0\to\bR\to\cD^{\prime \bu},\qquad 0\to\Omega^p_X\otimes\cO(F)\to
\cD'(F)^{p,\bu}.$$
De l\`a il r\'esulte des isomorphismes canoniques
$$\leqalignno{
H^q_\DR(M,\bR)&=H^q\big((\Gamma(M,\cD^{\prime\bu}),d)\big),&(11.15)\cr
H^{p,q}(X,F)&=H^q\big((\Gamma(X,\cD'(F)^{p,\bu}),d'')\big).&\cr}$$
\index{131}{COU}{\hri cohomologie des courants}%
En d'autres termes, on peut attacher une classe de cohomologie
$\{\Theta\}\in H^q_\DR(M,\bR)$ \`a tout courant ferm\'e $\Theta$ de
degr\'e~$q$, resp.\ une classe de cohomologie $\{\Theta\}\in H^{p,q}(X,F)$
\`a tout courant $d''$-ferm\'e de bidegr\'e~$(p,q)$. En rempla\c cant si
n\'ecessaire les courants mis en jeu par des repr\'esentants $C^\infty$ de 
m\^eme classe de cohomologie, on voit qu'il existe un accouplement de cup 
produit bien d\'efini, donn\'e par le produit ext\'erieur des formes
diff\'erentielles
$$\eqalign{
H^{q_1}(M,\bR)\times\cdots\times H^{q_m}(M,\bR)&\lra
H^{q_1+\cdots+q_m}(M,\bR),\cr
(\{\Theta_1\}\ld\{\Theta_1\})&\longmapsto\{\Theta_1\}\wedge\cdots\wedge
\{\Theta_m\}.\cr}$$
En particulier, si $M$ est une vari\'et\'e compacte orient\'ee et si
$q_1+\cdots+q_m=\dim M$, on obtient un nombre d'intersection bien d\'efini
$$\{\Theta_1\}\cdot\{\Theta_2\}\cdot\,\cdots\,\cdot
\{\Theta_m\}=\int_M\{\Theta_1\}\wedge\cdots\wedge\{\Theta_m\}.$$
Notons cependant que le produit ponctuel
\hbox{$\Theta_1\wedge\cdots\wedge\Theta_m$} n'existe pas en g\'en\'eral.
\medskip

\subsection \Smark11.C. Fibr\'es vectoriels positifs|

Soit $(E,h)$ un fibr\'e vectoriel holomorphe hermitien sur une vari\'et\'e
complexe~$X$. Son tenseur de courbure de Chern
$$\Theta(E)=\sum_{1\le j,k\le n,\,1\le\lambda,\mu\le r}
c_{jk\lambda\mu}dz_j\wedge d\ol z_k\otimes e_\lambda^\star\otimes e_\mu.$$
peut s'identifier \`a une forme hermitienne sur $T_X\otimes E$, \`a savoir,
$$\wt\Theta(E)(\xi\otimes v)=\sum_{1\le j,k\le n,\,1\le\lambda,\mu\le r}
c_{jk\lambda\mu}\xi_j\ol\xi_kv_\lambda\ol v_\mu,\qquad
\ol c_{jk\lambda\mu}=c_{kj\mu\lambda}.\leqno(11.16)$$
Ceci conduit d'une mani\`ere naturelle aux concepts de positivit\'e,
en suivant des d\'efinitions introduites par Kodaira [Kod53], Nakano [Nak55]
et Griffiths [Gri66].

\state 11.17. D\'efinition|Le fibr\'e vectoriel holomorphe hermitien $E$
est dit
\index{132}{FIB}{Fibr\'e vectoriel positif}%
\smallskip
\item{\rm a)} positif au sens de Nakano si$\,:$\newline
\index{152}{NAK}{\hri positivit\'e de Nakano}%
$\wt\Theta(E)(\tau)>0$ pour tout tenseur non nul $\tau=\sum
\tau_{j\lambda}\partial/\partial z_j\otimes e_\lambda\in T_X\otimes E$.
\smallskip
\item{\rm b)} positif au sens de Griffiths si$\,:$\newline
\index{153}{GRI}{\hri positivit\'e de Griffiths}%
$\wt\Theta(E)(\xi\otimes v)>0$ pour tout tenseur d\'ecomposable non nul
$\xi\otimes v\in T_X\otimes E\,;$
\smallskip\noindent
Les concepts de semi-positivit\'e correspondants sont d\'efinis en
rel\^achant les in\'egalit\'es strictes en des in\'egalit\'es larges.
\endstate

\state 11.18. Cas particulier des fibr\'es de rang ${\bf 1}$|\rm Supposons que
$E$ soit un fibr\'e en droites. La matrice hermitienne $H=(h_{11})$ associ\'ee
\`a une trivialisation $\tau:E_{\restr\Omega}\simeq\Omega\times\bC$
est alors simplement une fonction positive, et il sera commode de la noter
$\ee^{-2\varphi}$, \hbox{$\varphi\in C^\infty(\Omega,\bR)$}. Dans ce cas,
la forme de courbure $\Theta(E)$ peut s'identifier \`a la $(1,1)$-forme
$2d'd''\varphi$, et
$${\ii\over 2\pi}\Theta(E)={\ii\over\pi}d'd''\varphi=dd^c\varphi\qquad
\hbox{o\`u}\quad d^c={\ii\over 2\pi}(d''-d')$$
est une $(1,1)$-forme r\'eelle. Donc $E$ est semi-positif (au sens de Nakano
ou au sens de Griffiths) si et seulement si $\varphi$ est psh, resp.\
positif si et seulement si $\varphi$ est {\sl strictement psh}. Dans ce
contexte, l'\'equation de Lelong-Poincar\'e peut se g\'en\'eraliser comme
suit\/: soit $\sigma\in H^0(X,E)$ une section holomorphe non nulle. Alors
$$dd^c\log\|\sigma\|=[Z_\sigma]-{\ii\over 2\pi}\Theta(E).\leqno(11.19)$$
La Formule (11.19) est imm\'ediate si on \'ecrit $\|\sigma\|=|\tau(\sigma)|
\ee^{-\varphi}$ et si on applique l'\'equation de Lelong-Poincar\'e \`a la
fonction holomorphe $f=\tau(\sigma)$. Comme nous le verrons plus tard, il
est important pour les applications de consid\'erer aussi le cas de
m\'etriques hermitiennes singuli\`eres (cf.\ [Dem90b]).
\endstate

\state 11.20. D\'efinition|Une m\'etrique $($hermitienne$)$ singuli\`ere
\index{133}{MET}{M\'etrique hermitienne singuli\`ere}%
sur un fibr\'e en droites $E$ est une m\'etrique donn\'ee dans toute
trivialisation $\tau:E_{\restr\Omega}
\build\lra|\simeq||\Omega\times\bC$ par
$$\|\xi\|=|\tau(\xi)|\,\ee^{-\varphi(x)},~~~~x\in\Omega,~\xi\in E_x$$
o\`u $\varphi\in L^1_\loc(\Omega)$ est une fonction arbitraire, appel\'ee
poids de la m\'etrique par rapport \`a la trivialisation~$\tau$.
\endstate

Si $\tau':E_{\restr\Omega'}\to\Omega'\times\bC$ 
est une autre trivialisation, $\varphi'$ le poids associ\'e et
$g\in\cO^\star(\Omega\cap\Omega')$ la fonction de transition, alors
$\tau'(\xi)=g(x)\,\tau(\xi)$ pour tout $\xi\in E_x$, donc
$\varphi'=\varphi+\log|g|$ sur $\Omega\cap\Omega'$. La forme de courbure 
de $E$ est alors donn\'ee formellement par le courant de bidegr\'e $(1,1)$
${\ii\over\pi}\Theta(E)=dd^c\varphi$ sur $\Omega\,$; l'hypoth\`ese
$\varphi\in L^1_\loc(\Omega)$ garantit que $\Theta(E)$ existe au sens
des distributions. Comme dans le cas $C^\infty$, la forme ${\ii\over\pi}
\Theta(E)$ est globalement d\'efinie sur $X$ et ind\'ependante du choix des
trivialisations, et sa classe de cohomologie de De Rham est l'image de la
premi\`ere classe de Chern $c_1(E)\in H^2(X,\bZ)$ dans $H^2_{DR}(X,\bR)$.
Avant d'aller plus loin, nous discutons deux exemples fondamentaux.

\state 11.21. Exemple|\rm Soit $D=\sum\alpha_jD_j$ un diviseur \`a
coefficients $\alpha_j\in\bZ$ et soit $E=\cO(D)$ le faisceau inversible
associ\'e, d\'efini comme le faisceau des fonctions m\'eromorphes $u$
telles que $\div(u)+D\ge 0\,$; le fibr\'e en droites correspondant peut alors
\^etre muni de la m\'etrique singuli\`ere d\'efinie par $\|u\|=|u|$ (module
de la fonction m\'eromorphe~$u$). Si $g_j$ est un g\'en\'erateur de l'id\'eal
de $D_j$ sur un ouvert $\Omega\subset X$, alors $\tau(u)=u\prod
\smash{g_j^{\alpha_j}}$ d\'efinit une trivialisation de $\cO(D)$
sur~$\Omega$, donc notre m\'etrique singuli\`ere est associ\'ee au
poids $\varphi=\sum\alpha_j\log|g_j|$. L'\'equation de Lelong-Poincar\'e
implique
$${\ii\over\pi}\Theta\big(\cO(D)\big)=dd^c\varphi=[D],$$
o\`u $[D]=\sum\alpha_j[D_j]$ d\'esigne le courant d'int\'egration
sur~$D$.\square
\endstate

\state 11.22. Exemple|\rm Supposons que $\sigma_1\ld \sigma_N$ soient
des sections holomorphes non nulles de $E$. On peut alors d\'efinir un
m\'etrique hermitienne naturelle (\'eventuellement singuli\`ere)
sur $E^\star$, en posant
$$\|\xi^\star\|^2=\sum_{1\le j\le n}\big|\xi^\star.\sigma_j(x)\big|^2
~~~~\hbox{\rm pour}~~\xi^\star\in E^\star_x.$$
La m\'etrique duale de $E$ est donn\'ee par
$$\|\xi\|^2={|\tau(\xi)|^2\over|\tau(\sigma_1(x))|^2+\cdots+
|\tau(\sigma_N(x))|^2}$$
par rapport \`a toute trivialisation locale~$\tau$. La fonction poids
associ\'ee est donc donn\'ee par $\varphi(x)=\log\big(\sum_{1\le j\le N}
|\tau(\sigma_j(x))|^2\big){}^{1/2}$. Dans ce cas $\varphi$ est une fonction
psh, donc $\ii\,\Theta(E)$ est un courant positif ferm\'e. Notons $\Sigma$
le syst\`eme lin\'eaire d\'efini par $\sigma_1\ld \sigma_N$ et
$B_\Sigma=\bigcap\sigma_j^{-1}(0)$ son ensemble base. On a une
application m\'eromorphe
$$\Phi_\Sigma:X\ssm B_\Sigma\to\bP^{N-1},\qquad
x\mapsto[\sigma_1(x):\sigma_2(x):\cdots:\sigma_N(x)].$$
Avec ces notations, la courbure ${\ii\over 2\pi}\Theta(E)$ restreinte \`a
$X\ssm B_\Sigma$ s'identifie \`a l'image-inverse par $\Phi_\Sigma$ de la
m\'etrique de Fubini-Study $\omega_\FS={\ii\over 2\pi}d'd''\log(|z_1|^2+
\cdots+|z_N|^2)$ sur~$\bP^{N-1}$. Elle est donc semi-positive.\square
\endstate

\state 11.23. Fibr\'es en droites amples et tr\`es amples|Un fibr\'e
en droites holomorphe $E$ sur une vari\'et\'e complexe compacte $X$ est dit
\smallskip
\item{\rm a)} tr\`es ample si l'application $\Phi_{|E|}:X\to\bP^{N-1}$
\index{134}{FIB}{Fibr\'e en droites tr\`es ample}%
\index{200}{AMP}{\hri fibr\'e en droites tr\`es ample}%
associ\'ee au syst\`eme lin\'eaire complet \hbox{$|E|=\bP(H^0(X,E))$} est
un plongement r\'egulier $($ceci sous-entend en particulier que l'ensemble
base est vide, i.e.\ $B_{|E|}=\emptyset)$.
\smallskip
\item{\rm b)} ample
\index{135}{FIB}{Fibr\'e en droites ample}%
\index{201}{AMP}{\hri fibr\'e en droites ample}%
s'il existe un multiple $mE$, $m>0$, qui soit tr\`es ample.
\endstate

Nous utilisons ici une notation additive pour
$\Pic(X)=H^1(X,\cO^\star)$, le symbole $mE$ d\'esigne donc le fibr\'e
en droites $E^{\otimes m}$. Gr\^ace \`a l'exemple~11.22, tout fibr\'e
en droites ample $E$ a une m\'etrique hermitienne de classe $C^\infty$
ayant une forme de courbure d\'efinie positive; en effet, si le
syst\`eme lin\'eaire $|mE|$ donne un plongement dans l'espace
projectif, alors on obtient une m\'etrique hermitienne de classe
$C^\infty$ sur $E^{\otimes m}$, et la racine $m$-i\`eme donne une
m\'etrique sur $E$ telle que ${\ii\over 2\pi}\Theta(E)={1\over m}
\Phi_{|mE|}^\star\omega_\FS$.  Inversement, le th\'eor\`eme de
plongement de Kodaira [Kod54] nous dit que tout fibr\'e en droites
positif $E$ est ample (voir l'exercice~15.11 pour une preuve
analytique directe de ce th\'eor\`eme fondamental).

\section \Smark12. Th\'eorie de Hodge des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes
compl\`etes|

Le but de cette section est essentiellement d'\'etendre au cas des
vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compl\`etes les r\'esultats de th\'eorie
de Hodge d\'ej\`a d\'emontr\'es dans le cas compact.

\subsection \Smark12.A. Vari\'et\'es riemanniennes compl\`etes|

Avant de traiter de la situation complexe, nous aurons besoin de
quelques consi\-d\'e\-rations g\'en\'erales sur la th\'eorie de Hodge des
vari\'et\'es riemanniennes compl\`etes. Rappelons qu'une vari\'et\'e
riemannienne $(M,g)$ est dite {\sl compl\`ete}
\index{136}{VAR}{Vari\'et\'e riemanienne compl\`ete}%
\index{137}{COM}{\hri vari\'et\'e riemanienne compl\`ete}%
si la distance g\'eod\'esique $\delta_g$ est compl\`ete, ou, ce qui
revient au m\^eme (lemme de Hopf-Rinow ci-dessous), si les boules
g\'eod\'esiques ferm\'ees sont toutes compactes. Nous aurons besoin
plus pr\'ecis\'ement de la caract\'erisation suivante.

\state 12.1. Lemme {\rm(Hopf-Rinow)}|Les propri\'et\'es suivantes sont
\'equivalentes\/$:$
\smallskip
\item{\rm a)} $(M,g)$ est compl\`ete$\,;$
\smallskip
\item{\rm b)} les boules g\'eod\'esiques ferm\'ees $\ol B_g(a,r)$ sont
compactes$\,;$
\smallskip
\item{\rm c)} il existe une fonction exhaustive $\psi\in C^\infty(M,\bR)$
telle que $|d\psi|_g\le1\,;$
\smallskip
\item{\rm d)} il existe dans $M$ une suite exhaustive $(K_\nu)_{\nu\in\bN}$
de compacts et des fonctions $\theta_\nu\in C^\infty(M,\bR)$ telles que
$$\eqalign{
&\theta_\nu=1~~~\hbox{sur un voisinage de}~K_\nu,~~~~
\Supp\,\theta_\nu\subset K^\circ_{\nu+1},\cr
&0\le\theta_\nu\le 1~~~\hbox{et}~~|d\theta_\nu|_g\le 2^{-\nu}.\cr}$$
\endstate

\preuve. a) $\Longrightarrow$ b). Le point $x$
\'etant fix\'e, on note $r_0=r_0(x)$ le sup des r\'eels $r>0$ tels que
$\ol B_g(a,r)$ soit compacte. Supposons $r_0<+\infty$. Etant donn\'e
une suite de points $(x_\nu)$ dans $\ol B_g(a,r_0)$ et $\varepsilon>0$, on
choisit une suite de points $x_{\nu,\varepsilon}\in\ol B(a,r_0-\varepsilon)$
telle que $\delta_g(x_\nu,x_{\nu,\varepsilon})<2\varepsilon$. Par compacit\'e
de $\ol B_g(a,r_0-\varepsilon)$, on peut extraire de $(x_{\nu,\varepsilon}$
une sous-suite convergente pour chaque $\varepsilon>0$. Gr\^ace \`a un
proc\'ed\'e diagonal, on voit facilement qu'on peut extraire de $(x_\nu)$
une sous-suite de Cauchy. Par cons\'equent cette suite converge
et $\ol B_g(a,r_0)$ est compacte. La locale compacit\'e de $M$ implique
que $\ol B_g(a,r_0+\eta)$ est encore compacte pour $\eta>0$ assez petit, ce
qui est une contradiction si $r_0<+\infty$.
\medskip

\noindent b) $\Longrightarrow$ c). Supposons $M$ connexe. Choisissons un point
$x_0\in M$ et posons $\psi_0(x)={1\over 2}\delta(x_0,x)$. Alors $\psi_0$
est exhaustive, et c'est une fonction lipschitzienne de rapport ${1\over 2}$,
donc $\psi_0$ est diff\'erentiable presque partout sur $M$. On obtient la
fonction $\psi$ cherch\'ee par r\'egularisation.
\medskip

\noindent c) $\Longrightarrow$ d). Soit $\psi$ comme dans a) et soit
$\rho\in C^\infty(\bR,\bR)$ une fonction telle que $\rho=1$ sur
$]-\infty,1.1]$, $\rho=0$ sur $[1.99,+\infty[$ and $0\le\rho'\le 2$
sur $[1,2]$. Alors
$$K_\nu=\{x\in M~;~\psi(x)\le 2^{\nu+1}\},~~~~\theta_\nu(x)=
\rho\big(2^{-\nu-1}\psi(x)\big)$$
v\'erifient les propri\'et\'es annonc\'ees.
\medskip
\noindent d) $\Longrightarrow$ c). Poser $\psi=\sum 2^{\nu-1}(1-\theta_\nu)$.
\medskip
\noindent c) $\Longrightarrow$ b). L'in\'egalit\'e $|d\psi|_g\le 1$ implique
$|\psi(x)-\psi(y)|\le\delta_g(x,y)$ pour tous $x,y\in M$, donc la
boule g\'eod\'esique $\ol B_g(a,r)\subset\{x\in M\,;\,\delta_g(x,a)\le
\psi(a)+r\}$ est relativement compacte.
\medskip

\noindent b) $\Longrightarrow$ a). C'est \'evident! \QED

Soit $(M,g)$ une vari\'et\'e riemannienne, non n\'ecessairement
compl\`ete pour l'instant, et $E$ un fibr\'e vectoriel hermitien sur
$M$ muni d'une connexion hermitienne~$D$. On consid\'ere l'op\'erateur
non born\'e entre espaces de Hilbert encore not\'e $D$
$$D:L^2(M,\Lambda^pT_M^\star\otimes E)\lra L^2(M,\Lambda^{p+1}T_M^\star
\otimes E),$$
dont le domaine $\Dom D$ est d\'efini comme suit: une section $u\in L^2$
est dite \^etre dans $\Dom D$ si $Du$ calcul\'e au
sens des distributions est encore dans $L^2$. Le domaine ainsi d\'efini
est toujours dense dans $L^2$, car $\Dom D$ contient l'espace
$\cD(M,\Lambda^pT_M^\star E)$ des sections $C^\infty$ \`a support compact,
qui est lui-m\^eme dense dans $L^2$. De plus, l'op\'erateur $D$ ainsi
d\'efini, bien que non born\'e, est {\sl ferm\'e}, c'est-\`a-dire que
que son graphe est ferm\'e; cela r\'esulte aussit\^ot du fait que les
op\'erateurs diff\'erentiels sont continus pour la topologie faible
des distributions. L'adjoint formel $D^\star$ admet de m\^eme une
extension en un op\'erateur ferm\'e
$$D^\star:L^2(M,\Lambda^{p+1}T_M^\star\otimes E)\lra
L^2(M,\Lambda^pT_M^\star \otimes E).$$
Des r\'esultats \'el\'ementaires bien connus de th\'eorie spectrale
d\^us \`a Von Neumann garantissent par ailleurs l'existence d'un
op\'erateur $D^\star_\cH$ ferm\'e \`a domaine dense, appel\'e adjoint
hilbertien de $D$, d\'efini comme suit: un \'el\'ement $v\in
L^2(M,\Lambda^{p+1}T_M^\star\otimes E)$ est dans $\Dom D^\star_\cH$ si la
forme lin\'eaire $L^2\to\bC$, $u\mapsto\Ll Du,v\Gg$ est continue; elle
s'\'ecrit alors $u\mapsto\Ll u,w\Gg$ pour un unique \'el\'ement $w\in
L^2(M,\Lambda^pT_M^\star\otimes E)$. On pose $D^\star_\cH v=w$, de sorte
que $D^\star_\cH$ est d\'efini par la relation habituelle d'adjonction
$$\Ll Du,v\Gg=\Ll u,D^\star_\cH v\Gg\qquad\forall u\in\Dom D.$$
(Noter que l'adjoint formel $D^\star$, lui, est d\'efini en exigeant
seulement la validit\'e de cette relation pour
$u\in\cD(M,\Lambda^pT_M^\star\otimes E)$).
Il est clair qu'on a toujours $\Dom D^\star_\cH\subset \Dom D^\star$ et
que $D^\star_\cH=D^\star$ sur $\Dom D^\star_\cH$; en g\'en\'eral,
n\'eanmoins, les domaines sont distincts (c'est le cas par exemple si
$M=]0,1[$, $g=dx^2$, $D=d/dx\,$!). Une observation fondamentale est
que ce ph\'enom\`ene ne peut se produire si la m\'etrique riemannienne
$g$ est {\sl compl\`ete}.

\state 12.2. Proposition|Si la vari\'et\'e $(M,g)$ est \UL{compl\`ete},
alors:
\smallskip
\item{\rm a)} L'espace $\cD(M,\Lambda^\bu T_M^\star E)$ est dense dans
$\Dom D$, $\Dom D^\star$ et $\Dom D\cap\Dom D^\star$ respectivement, pour
les normes des graphes
$$u\mapsto\|u\|+\|Du\|,~~~~u\mapsto\|u\|+\| D^\star u\|,~~~~
  u\mapsto\|u\|+\|Du\|+\| D^\star u\|.$$
\smallskip
\item{\rm b)} $D^\star_\cH=D^\star$ $($i.e.\ les deux domaines
co\"{\i}ncident$)$, et $D^{\star\star}_\cH=D^{\star\star}=D$.
\smallskip
\item{\rm c)} Soit $\Delta=DD^\star+D^\star D$ le laplacien calcul\'e au
sens des distributions. Pour tout $u\in\Dom\Delta\subset L^2(M,\Lambda^\bu
T_M^\star E)$, on a $\langle u,\Delta u\rangle=\|Du\|^2+
\|D^\star u\|^2$ . En particulier
$$\Dom\Delta\subset\Dom D\cap\Dom D^\star,~~~~\Ker\Delta=\Ker
D\cap\Ker D^\star,$$
et $\Delta$ est auto-adjoint.
\smallskip
\item{\rm d)} Si $D^2=0$, il y a une d\'ecomposition orthogonale
$$\eqalign{
L^2(M,\Lambda^\bu T_M^\star E)&=\cH^\bu_{L^2}(M,E)\oplus\ol{\Im D}\oplus
\ol{\Im  D^\star},\cr
\Ker D&=\cH^\bu_{L^2}(M,E)\oplus\ol{\Im D},\cr}$$
\vskip-3pt\item{} o\`u
$\cH^\bu_{L^2}(M,E)=\big\{u\in L^2(M,\Lambda^\bu T_M^\star\otimes
E)\,;~\Delta u=0\big\}$ est l'espace des formes harmoniques $L^2$
sur $M$.\vskip0pt
\endstate

\preuve. a) Il faut montrer par exemple que tout \'el\'ement $u\in\Dom D$
peut \^etre approxim\'e pour la norme du graphe de $D$ par des formes
$C^\infty$ \`a support compact. Par hypoth\`ese, $u$ et $Du$ sont dans
$L^2$. Soit $(\theta_\nu)$ une suite de fonctions tronquantes comme dans le
lemme 12.1~d). Alors $\theta_\nu u\to u$ dans $L^2(M,\Lambda^\bu T^\star_M
\otimes E)$ et $D(\theta_\nu u)=\theta_\nu Du+d\theta_\nu\wedge u$ o\`u
$$|d\theta_\nu\wedge u|\le|d\theta_\nu|~|u|\le 2^{-\nu}|u|.$$
Par suite $d\theta_\nu\wedge u\to 0$ et $D(\theta_\nu u)\to Du$.  Apr\`es
avoir  remplac\'e $u$ par $\theta_\nu u$, on peut supposer que $u$ est \`a
support compact, et \`a l'aide d'une partition de l'unit\'e, on se ram\`ene
au cas o\`u $\Supp\,u$ est contenu dans une carte de coordonn\'ees de $M$ sur
laquelle $E$ est trivial.  Soit $(\rho_\varepsilon)$ une famille de noyaux
r\'egularisants. Un lemme classique en th\'eorie des EDP (lemme de 
Friedrichs), montre que pour tout op\'erateur diff\'erentiel $P$ d'ordre 
$1$ \`a coefficients de classe $C^1$ on a
$\Vert P(\rho_\varepsilon\star u)-\rho_\varepsilon Pu\Vert_{L^2}
\to 0$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$ ($u$ \'etant une section $L^2$
\`a support compact dans la carte consid\'er\'ee). En appliquant ce
lemme \`a $P=D$, $P=D^\star$ respectivement, on d\'eduit les propri\'et\'es
de densit\'e voulues.
\medskip

\noindent b) est \'equivalent au fait que
$$\Ll Du,v\Gg=\Ll u, D^\star v\Gg,~~~~\forall u\in\Dom D,~~
\forall v\in\Dom D^\star.$$
Or, d'apr\`es a), on peut trouver $u_\nu,~v_\nu\in\cD(M,\Lambda^\bu T^\star_M
\otimes E)$ tels que 
$$u_\nu\to u,~~~~v_\nu\to v,~~~~Du_\nu\to Du~~~~\hbox{\rm et}~~
D^\star v_\nu\to D^\star v~~~\hbox{\rm dans}~~L^2(M,\Lambda^\bu T^\star_M
\otimes E).$$
L'\'egalit\'e cherch\'ee est alors la limite des \'egalit\'es
$\Ll Du_\nu,v_\nu\Gg=\Ll u_\nu, D^\star v_\nu\Gg$.
\medskip

\noindent c) Soit $u\in\Dom\Delta$. Comme $\Delta u\in L^2$ et que
$\Delta$ est un op\'erateur elliptique d'ordre $2$, on obtient $u\in
W^2_\loc$ gr\^ace \`a la version locale de l'in\'egalit\'e de G{\aa}rding. En
particulier $Du,~ D^\star u\in W^1_\loc\subset L^2_\loc$
et nous pouvons effectuer toutes les int\'egrations par parties que nous
voulons apr\`es avoir multipli\'e les formes mises en jeu par des
fonctions $C^\infty$ \`a support compact $\theta_\nu$. Des calculs simples
donnent alors
$$\leqalignno{
&\|\theta_\nu Du\|^2+\|\theta_\nu D^\star u\|^2=\cr
&=\Ll\theta_\nu^2Du,Du\Gg+\Ll u,D(\theta_\nu^2 D^\star u)\Gg\cr
&=\Ll D(\theta_\nu^2u),Du\Gg+\Ll u,\theta_\nu^2D D^\star u\Gg-
2\Ll\theta_\nu d\theta_\nu\wedge u,Du\Gg+
2\Ll u,\theta_\nu d\theta_\nu\wedge D^\star u\Gg\cr
&=\Ll\theta_\nu^2u,\Delta u\Gg-2\Ll d\theta_\nu\wedge u,\theta_\nu Du\Gg
+2\Ll u,d\theta_\nu\wedge(\theta_\nu D^\star u)\Gg\cr
&\le\Ll\theta_\nu^2u,\Delta u\Gg+2^{-\nu}\big(2\|\theta_\nu Du\|~\|u\|+
2\|\theta_\nu D^\star u\|~\|u\|\big)\cr
&\le\Ll\theta_\nu^2u,\Delta u\Gg+2^{-\nu}\big(\|\theta_\nu Du\|^2+
\|\theta_\nu D^\star u\|^2+2\|u\|^2\big).\cr}$$
Par cons\'equent
$$\|\theta_\nu Du\|^2+\|\theta_\nu D^\star u\|^2\le{1\over 1-2^{-\nu}}
\big(\Ll\theta_\nu^2u,\Delta u\Gg+2^{1-\nu}\|u\|^2\big).$$
En faisant tendre $\nu$ vers $+\infty$, on obtient
$\|Du\|^2+\| D^\star u\|^2\le \Ll u,\Delta u\Gg$, en particulier $Du$,
$D^\star u$ sont dans $L^2$. Ceci implique
$$\Ll u,\Delta v\Gg=\Ll Du,Dv\Gg+\Ll D^\star u, D^\star v\Gg,~~~~\forall u,v
\in\Dom\Delta,$$
parce que l'\'egalit\'e a lieu pour $\theta_\nu u$ et $v$, et parce que
nous avons \hbox{$\theta_\nu u\to u$}, \hbox{$D(\theta_\nu u)\to Du$} et
\hbox{$ D^\star(\theta_\nu u)\to D^\star u$} dans $L^2$. Il en r\'esulte
que $\Delta$ est auto-adjoint.
\medskip

\noindent d) Si $P$ est un op\'erateur ferm\'e \`a domaine dense
sur un espace de Hilbert $\cH$, alors $\Ker P$ et ferm\'e et
$\Ker P^\star=(\Im P)^\perp$. Par suite $(\Ker P^\star)^\perp=
(\Im P)^{\perp\perp}=\ol{\Im P}$. Comme $\Ker P^\star$ est lui aussi
ferm\'e il vient
$$\cH=\Ker P^\star \oplus (\Ker P^\star)^\perp=
\Ker P^\star\oplus\ol{\Im P}.$$
Ce r\'esultat appliqu\'e \`a $P=\Delta$ donne
$$\cH^\bu_{L^2}(M,E)=\Ker\Delta\oplus\ol{\Im\Delta},$$
et il est clair d'apr\`es (12.2~c) que $\Im\Delta\subset
\Im D\oplus \Im D^\star$. Mais par ailleurs, on voit facilement que
$\Ker\Delta$, $\ol{\Im D}$ et $\ol{\Im D^\star}$ sont deux \`a deux
orthogonaux en utilisant (12.2~a,c). La propri\'et\'e d) s'ensuit
comme dans le cas o\`u $M$ est compacte.\QED

\state 12.3. D\'efinition|Etant donn\'e une vari\'et\'e riemannienne
$(M,g)$ et un fibr\'e hermitien $E$ muni d'une connexion hermitienne
\index{138}{COH}{\hri groupes de cohomologie $L^2$}%
plate $D$, on note $H^p_{\DR,\,L^2}(M,E)$ les groupes de cohomologie
de De Rham $L^2$, \`a savoir les groupes de cohomologie du complexe
$(K^\bu,D)$ d\'efini par
$$K^p=\big\{u\in L^2(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)\,;\,Du\in L^2\big\}.$$
\endstate

En d'autres termes, on a $H^p_{\DR,\,L^2}(M,E)=\Ker D/\Im D$ o\`u
$D$ est l'extension $L^2$ de la connexion, calcul\'ee au sens des
distributions. Comme $\cH^p_{L^2}(M,E)=\Ker D/\ol{\Im D}$ d'apr\`es
(12.2~d), il s'ensuit:

\state 12.4. Proposition|On a un isomorphisme canonique 
$$\cH^p_{L^2}(M,E)\simeq H^p_{\DR,\,L^2}(M,E)_\sep$$
entre $\cH^p_{L^2}(M,E)$ et l'espace s\'epar\'e associ\'e \`a la
cohomologie de De Rham $L^2$.
\endstate 

En g\'en\'eral l'espace $H^p_{\DR,\,L^2}(M,E)$ n'est pas toujours s\'epar\'e,
mais il l'est dans le cas important o\`u la cohomologie $L^2$ est de
dimension finie:

\state 12.5. Corollaire|Si $(M,g)$ est compl\`ete et si
$H^p_{\DR,\,L^2}(M,E)$ est de dimension finie, alors cet espace est
s\'epar\'e et on a un isomorphisme canonique
$$\cH^p_{L^2}(M,E)\simeq H^p_{\DR,\,L^2}(M,E).$$
\endstate

\preuve. L'espace $K^p$ peut \^etre consid\'er\'e comme un espace de Hilbert
pour la norme $u\mapsto(\Vert u\Vert_{L^2}+\Vert Du\Vert_{L^2})^{1/2}$.
Il s'agit de voir que $\Im D=D(K^{p-1})$ est ferm\'e dans $\Ker D$,
$\Ker D$ \'etant lui-m\^eme ferm\'e dans $K^p$. Or $D:K^{p-1}\to \Ker D$
est continu et son image est de codimension finie par hypoth\`ese. Le fait
que l'image soit ferm\'ee est alors une cons\'equence directe du th\'eor\`eme
de Banach.\QED

\state 12.6. Remarque|{\rm Pour la cohomologie de De Rham $L^2$, on peut
observer qu'on obtient des groupes de cohomologie identiques en travaillant
avec le sous-complexe des formes $C^\infty$ globalement $L^2$, c'est-\`a-dire
$$\wt K^p=\big\{u\in C^\infty(M,\Lambda^p T_M^\star\otimes E)\,;\,
u\in L^2~\hbox{et}~Du\in L^2\big\}\subset K^p.$$
Pour cela, il suffit de construire un op\'erateur $\wt K^\bu\to K^\bu$ qui
soit un inverse homotopique de l'inclusion$\,$; ceci peut se faire en
utilisant une r\'egularisation par des flots de champs de vecteurs tendant
vers $0$ suffisamment vite \`a l'infini.\QED
}
\endstate

\subsection \Smark12.B. Cas des vari\'et\'es hermitiennes et
k\"ahl\'eriennes compl\`etes|

Les r\'esultats pr\'ec\'edents admettent bien entendu des analogues
complexes, avec des d\'emonstrations quasiment identiques (les
d\'etails seront donc laiss\'es au lecteur). On dira qu'une vari\'et\'e
hermitienne ou k\"ahl\'e\-rienne $(X,\omega)$ est {\sl compl\`ete} 
\index{139}{VAR}{Vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compl\`ete}%
si la vari\'et\'e riemannienne sous-jacente est compl\`ete.

\state 12.7. Proposition|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e hermitienne 
compl\`ete et $E$ un fibr\'e holomorphe hermitien sur $X$. Il y a 
un isomorphisme canonique
$$\cH^{p,q}_{L^2}(M,E)\simeq H^{p,q}_{L^2}(M,E)_\sep$$
entre l'espace des formes harmoniques $L^2$ et le groupe de cohomologie
de Dolbeault $L^2$ s\'epar\'e, ce dernier espace \'etant lui-m\^eme \'egal \`a
$H^{p,q}_{L^2}(M,E)$ si la cohomologie de Dolbeault est de dimension finie.
\endstate

\state 12.8. Corollaire|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne et 
$E$ un fibr\'e hermitien plat sur $X$.
\smallskip
\item{\rm a)} Sans autre hypoth\`ese, on a pour tout $k$ une d\'ecomposition 
orthogonale
$$\cH^k_{L^2}(M,E)=\bigoplus_{p+q=k}\cH^{p,q}_{L^2}(M,E),
\qquad \ol{\cH^{p,q}_{L^2}(M,E)}=\cH^{q,p}_{L^2}(M,E^\star).$$
\smallskip
\item{\rm b)} Si de plus $(X,\omega)$ est compl\`ete, il y a des 
isomorphismes canoniques
$$H^k_{L^2}(M,E)_\sep\simeq\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_{L^2}(M,E)_\sep,
\qquad \ol{H^{p,q}_{L^2}(M,E)_\sep}\simeq H^{q,p}_{L^2}(M,E^\star)_\sep.$$
\index{140}{DEC}{D\'ecomposition de Hodge}%
\index{141}{HOD}{\hri d\'ecomposition de Hodge}%
\smallskip
\item{\rm c)} Si $(X,\omega)$ est compl\`ete, et si les groupes de cohomologie 
de De Rham et de Dolbeault $L^2$ sont de dimension finie, on a des
isomorphismes canoniques
$$H^k_{L^2}(M,E)\simeq\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_{L^2}(M,E),
\qquad \ol{H^{p,q}_{L^2}(M,E)}\simeq H^{q,p}_{L^2}(M,E^\star).$$
\vskip-3pt
\endstate

\subsection \Smark12.C. Th\'eorie de Hodge des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes
faiblement pseudoconvexes|

Les vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes {\sl faiblement pseudoconvexes} fournissent
un exemple important de vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compl\`etes.

\state 12.9. D\'efinition|Une vari\'et\'e complexe $X$ est dite
faiblement pseudoconvexe 
\index{142}{VAR}{Vari\'et\'e faiblement pseudoconvexe}%
\index{143}{PSE}{Pseudoconvexe, vari\'et\'e faiblement}%
s'il existe une fonction d'exhaustion psh 
$\psi$ de classe $C^\infty$ sur $X$ $($rappelons qu'une
fonction $\psi$ est dite exhaustive si pour tout $c>0$ l'ensemble de
sous-niveau $X_c=\psi^{-1}(c)$ est relativement compact, i.e.\ $\psi(z)$
tend vers $+\infty$ quand $z$ tend vers l'infini suivant le filtre des
compl\'ementaires de parties compactes de~$X)$.
\endstate

En particulier, les vari\'et\'es complexes compactes $X$ sont faiblement
pseudoconvexes (prendre $\psi=0$), de m\^eme que les vari\'et\'es de
Stein, par exemple les sous-vari\'et\'es alg\'ebriques affines de $\bC^N$
(prendre $\psi(z)=|z|^2$), les boules ouvertes $X=B(z_0,r)$
$\big($prendre $\psi(z)= 1/(r-|z-z_0|^2)\big)$, les ouverts convexes,
etc. Une observation de base est la suivante:

\state 12.10. Proposition|Toute vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
$(X,\omega)$ faiblement pseudoconvexe poss\`ede une m\'etrique
k\"ahl\'erienne {\sl compl\`ete} $\wh\omega$.
\endstate

\preuve. Pour toute fonction convexe croissante $\chi\in C^\infty(\bR,\bR)$, 
nous consid\'erons $(1,1)$-forme ferm\'ee
$$\omega_\chi=\omega+\ii\,d'd''(\chi\circ\psi)=\omega+\chi'(\psi)\,
\ii\,d'd''\psi+\chi''(\psi)\,\ii\,d'\psi\wedge d''\psi.$$
Comme les trois termes sont positifs ou nuls, c'est une m\'etrique
k\"ahl\'erienne. La pr\'esence du troisi\`eme terme implique que
la norme de $\chi''(\psi)^{1/2}d\psi$ par rapport \`a
$\omega_\chi$ est inf\'erieure ou \'egale \`a $1$, donc si $\rho$ est une 
primitive de $(\chi'')^{1/2}$ nous avons $|d(\rho\circ\psi)|_{\omega_\chi}
\le 1$. D'apr\`es (12.1~c), $\omega_\chi$ sera compl\`ete d\`es que 
$\rho\circ\psi$ est exhaustive, c'est-\`a-dire d\`es que
$\lim_{+\infty}\rho(t)=+\infty$. On obtient donc la condition suffisante 
$$\int_{t_0}^{+\infty}\chi''(t)^{1/2}dt=+\infty,$$
qui est r\'ealis\'ee par exemple pour le choix $\chi(t)=t^2$ ou
$\chi(t)=t-\log t$, $t\ge 1$.\QED

Nous allons maintenant \'etablir un th\'eor\`eme de d\'ecomposition de
Hodge pour des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes faiblement pseudoconvexes
ayant ``suffisamment de directions strictement pseudoconvexes''.
Suivant Andreotti-Grauert [AG62], nous introduisons la:

\state 12.11. D\'efinition|Une vari\'et\'e complexe $X$ sera dite
$\ell$-convexe $($resp.\ abso\-lu\-ment $\ell$-convexe$)$ si $X$ poss\`ede 
une fonction d'exhaustion $($resp.\ une fonction d'exhaustion
$\smash{\hbox{\UL{psh}}})$ $\psi$ qui est fortement $\ell$-convexe sur le
compl\'ementaire $X\ssm K$ d'une partie compacte, i.e.\ telle que
$\ii\,d'd''\psi$ a au moins $n-\ell+1$ valeurs propres positives en tout
point de $X\ssm K$, o\`u $n=\dim_\bC X$.
\endstate

\state 12.12. Exemple|{\rm Soit $\ol X$ une vari\'et\'e projective
lisse telle qu'il existe un morphisme surjectif $F:\ol X\to \ol Y$ sur
une autre vari\'et\'e projective lisse $\ol Y$. Soit $D$ un diviseur de
$\ol Y$ et soient $X=\ol X\ssm F^{-1}(D)$, $Y=\ol Y\ssm D$. On suppose
que $F$ induit une submersion $\ol X\ssm F^{-1}(D)\to\ol Y\ssm D$ et
que $\cO(D)_{\restr D}$ est ample. Alors $X$ est absolument $\ell$-convexe
pour $\ell=\dim X-\dim Y+1$. En effet, l'hypoth\`ese d'amplitude de
$\cO(D)_{\restr D}$ entra\^{\i}ne qu'il existe une m\'etrique
hermitienne sur $\cO(D)$ dont la courbure est d\'efinie positive au
voisinage de $D$, c'est-\`a-dire sur un ouvert de la forme $\ol Y\ssm
K'$ o\`u $K'$ est une partie compacte de $\ol Y\ssm D$. Soit $\sigma\in
H^0(\ol Y,\cO(D))$ la section canonique de diviseur~$D$. Alors
$-\log|\sigma|^2$ est fortement psh sur $Y\ssm K'$, par suite
$\psi=-\log|\sigma\circ F|^2$ est psh et fortement $\ell$-convexe sur
$X\ssm K$, o\`u $K=F^{-1}(K')$. Par ailleurs, $\psi$ d\'efinit clairement
une exhaustion de~$X$. On ne sait rien de $\psi$ sur $K$, mais
il suffit de tronquer $\psi$ en prenant un maximum r\'egularis\'e
$\psi_C=\max_\varepsilon(\psi,C)$ avec une constante $C>\sup_K\psi$
pour obtenir une fonction $\psi_C$ partout psh sur~$X$.\QED} 
\endstate

Nous pouvons maintenant \'enoncer le th\'eor\`eme de d\'ecomposition de
Hodge pour les vari\'et\'es absolument $\ell$-convexes. Ce r\'esultat
est d\^u \`a T.~Ohsawa [Ohs81,~87]; nous en pr\'esentons ici une
d\'emonstration simplifi\'ee d\'ecrite dans [Dem90a]. Une approche
purement alg\'ebrique de ces r\'esultats a \'et\'e propos\'ee par
Bauer-Kosarew [BaKo89, 91] et [Kos91].

\state 12.13. Th\'eor\`eme {\rm (Ohsawa [Ohs81, 87], [OT88])}|Soit
$(X,\omega)$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne et $n=\dim_\bC X$. On
suppose que $X$ est absolument $\ell$-convexe. Alors, en des degr\'es
convenables, il y a d\'ecomposition et sym\'etrie de Hodge\/$:$
\index{144}{DEC}{D\'ecomposition de Hodge}%
\index{145}{HOD}{\hri d\'ecomposition de Hodge}%
$$\eqalign{ &H^k_\DR(X,\bC)\simeq\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X,\bC),~~~~
\ol{H^{p,q}(X,\bC)}\simeq H^{q,p}(X,\bC),~~~~k\ge n+\ell,\cr
&H^k_{\DR,\,c}(X,\bC)\simeq\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_c(X,\bC),~~~~
\ol{H^{p,q}_c(X,\bC)}\simeq H^{q,p}_c(X,\bC),~~~~k\le n-\ell,\cr}$$
tous ces groupes \'etant de dimension finie. $(H^k_{\DR,\,c}(X,\bC)$
et $H^{p,q}_c(X,\bC)$ d\'esignent ici les groupes de cohomologie \`a
support compact$)$. De plus, on a un isomorphisme de Lefschetz 
$$\omega^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}~~:~~H^{p,q}_c(X,\bC) \lra
H^{n-q,n-p}(X,\bC),~~~~p+q\le n-\ell.$$
\endstate

\preuve. La finitude des groupes de cohomologie de De Rham mis en jeu
s'obtient facilement au moyen de la th\'eorie de Morse. Rappelons
bri\`evement l'argument: une petite perturbation convenable d'une
exhaustion fortement $\ell$-convexe donne une fonction de Morse $\psi$ qui
est encore fortement $\ell$-convexe sur le compl\'ementaire $X\ssm K$ d'un
compact; le Hessien r\'eel $D^2\psi$ de $\psi$ en un point critique
induit une forme hermitienne sur l'espace tangent complexifi\'e
$\bC\otimes T_X$, et sa restriction \`a $T^{1,0}_X$ s'identifie au
Hessien complexe $\ii\,d'd''\psi\,$; comme le Hessien complexe a par
hypoth\`ese au moins $n-\ell+1$ valeurs propres positives sur $X\ssm K$,
il en r\'esulte que $D^2\psi$ a au plus $2n-(n-\ell+1)=n+\ell-1$ valeurs
propres n\'egatives sur $X\ssm K$, sans quoi les espaces propres
positifs et n\'egatifs de $D^2\psi$ auraient une intersection non
triviale. Par suite tous les points critiques d'indice $\ge n+\ell$ sont
situ\'es dans $K$ et leur nombre est fini. Ceci entra\^{\i}ne que les
groupes $H^k_\DR(X,\bC)$ de degr\'e $k\ge n+\ell$ sont de dimension finie.
La finitude des groupes de cohomologie de Dolbeault
$H^{p,q}(X,\bC)=H^q(X,\Omega_X^p)$ r\'esulte quant \`a elle du
th\'eor\`eme d'Andreotti-Grauert [AG62] ({\sl tous les groupes de
cohomologie de degr\'e sup\'erieur \`a $\ell$ \`a valeurs dans un faisceau
coh\'erent quelconque sont s\'epar\'es et de dimension finie si la
vari\'et\'e est $\ell$-convexe}). On notera toutefois que la
$\ell$-convexit\'e, bien que suffisante pour assurer la finitude des
diff\'erents groupes mis en jeu, ne suffit pas \`a garantir l'existence
d'une d\'ecomposition de Hodge, ni m\^eme la sym\'etrie de Hodge; le
lecteur trouvera un contre-exemple simple dans Grauert-Riemenschneider
[GR70].

Soit maintenant $\omega$ une m\'etrique k\"ahl\'erienne sur $X$ et
$\psi$ une fonction d'exhaustion psh fortement $\ell$-convexe sur $X\ssm
K$. Comme on va le voir, l'existence d'une d\'ecomposition de Hodge
r\'esulte directement du fait qu'on a une telle d\'ecomposition pour
les formes harmoniques $L^2$. Le point-cl\'e r\'eside dans
l'obser\-va\-tion que toute forme $L^2_\loc$ de degr\'e $k\ge n+\ell$
devient globalement $L^2$ pour un choix convenable de m\'etrique
$\omega_\chi=\omega+\ii\,d'd''(\chi\circ\psi)\,$; les groupes
$H^k_\DR(X,\bC)$ et $H^{p,q}(X,\bC)$ pourront alors \^etre
consid\'er\'es comme des limites inductives de groupes de cohomologie
$L^2$. Dans la suite, on d\'esignera par des notations telles que
$L^2_{\omega_\chi}(X,\Lambda^{p,q}T_X^\star)$, $\cH^{p,q}_{L^2,\,
\omega_\chi}(X,\bC)$ les espaces de formes (resp.\ de formes harmoniques)
$L^2$ relativement \`a~$\omega_\chi$. Puisque $\omega_\chi$ est
k\"ahl\'erienne, on a
$$\cH^k_{L^2,\omega_\chi}(M,\bC)=
\bigoplus_{p+q=k}\cH^{p,q}_{L^2,\omega_\chi}(M,\bC),
~~\ol{\cH^{p,q}_{L^2,\omega_\chi}(M,\bC)}=
\cH^{q,p}_{L^2,\omega_\chi}(M,\bC),\leqno(12.14)$$
avec un isomorphisme $\cH^k_{L^2,\omega_\chi}(M,\bC)\simeq
H^k_{L^2,\omega_\chi}(M,\bC)_\sep$ d\`es lors que $\omega_\chi$ est
compl\`ete. Dans la suite, on supposera toujours que $\omega_\chi$ est
compl\`ete, il suffit d'imposer par exemple $\chi''(t)\ge 1$ 
sur~$[0,+\infty[$.

\state 12.15. Lemme|Soit $u$ une forme de bidegr\'e $(p,q)$ \`a coefficients
$L^2_\loc$ sur $X$. Si $p+q\ge n+\ell$, alors $u\in L^2_{\omega_\chi}
(X,\Lambda^{p,q}T_X^\star)$ d\`es que $\chi$ cro\^{\i}t suffisamment
vite \`a infini.
\endstate

\preuve. En un point $x\in X$ fix\'e, il existe une base orthogonale
$(\partial/\partial z_1\ld\partial/\partial z_n)$ de $T_{X,x}$ dans laquelle
$$\omega(x)=i\sum_{1\le j\le n}dz_j\wedge d\ol z_j,~~~~
\omega_\chi(x)=i\sum_{1\le j\le n}\lambda_j(x)\,dz_j\wedge d\ol z_j,$$
o\`u $\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$ sont les valeurs propres
de $\omega_\chi$ par rapport \`a $\omega$. Alors les \'el\'ements
de volume $dV_\omega=\omega^n/2^nn!$ et
$dV_{\omega_\chi}=\omega_\chi^n/2^n n!$ sont li\'es par la relation
$$dV_{\omega_\chi}=\lambda_1\cdots\lambda_n\,dV_\omega$$
et pour une $(p,q)$-forme $u=\sum_{I,J}u_{I,J}dz_I\wedge d\ol z_J$ on trouve
$$|u|^2_{\omega_\chi}=\sum_{|I|=p,|J|=q}\Big(\prod_{k\in I}\lambda_k
\prod_{k\in J}\lambda_k\Big)^{-1}|u_{I,J}|^2.$$
Il en r\'esulte en particulier
$$|u|^2_{\omega_\chi} dV_{\omega_\chi}\le{\lambda_1\cdots\lambda_n\over
\lambda_1\cdots\lambda_p\,\lambda_1\cdots\lambda_q}\,|u|^2_\omega dV_\omega
={\lambda_{p+1}\cdots\lambda_n\over\lambda_1\cdots\lambda_q}\,
|u|^2_\omega dV_\omega.$$
D'autre part, on a des majorations
$$\lambda_j\le 1+C_1\chi'(\psi),~~1\le j\le n-1,~~~~
\lambda_n\le 1+C_1\chi'(\psi)+C_2\chi''(\psi)$$
o\`u $C_1(x)$ est la plus grande valeur propre de $\ii\,d'd''\psi(x)$ et 
$C_2(x)=|\partial\psi(x)|^2$~;
pour obtenir les $n-1$ premi\`eres in\'egalit\'es, on a seulement besoin
d'appliquer le principe du minimax sur le noyau de $\partial\psi$. Comme 
$\ii\,d'd''\psi$ a au plus $\ell-1$ valeurs propres nulles sur $X\ssm K$, 
le principe du minimax donne aussi des minorations
$$\lambda_j\ge 1,~~1\le j\le \ell-1,~~~~
\lambda_j\ge 1+c\,\chi'(\psi),~~\ell\le j\le n,$$
o\`u $c(x)\ge 0$ est la $\ell$-i\`eme valeur propre de $\ii\,d'd''\psi(x)$ et
$c(x)>0$ sur $X\ssm K$. Si nous supposons $\chi'\ge 1$, nous en
d\'eduisons ais\'ement
$$\eqalign{
{|u|^2_{\omega_\chi} dV_{\omega_\chi}\over|u|^2_\omega dV_\omega}
&\le{\big(1+C_1\chi'(\psi)\big)^{n-p-1}
\big(1+C_1\chi'(\psi)+C_2\chi''(\psi)\big)\over
\big(1+c\chi'(\psi)\big)^{q-\ell+1}}\cr
&\le C_3\big(\chi'(\psi)^{n+\ell-p-q-1}+
\chi''(\psi)\chi'(\psi)^{n+\ell-p-q-2}\big)~~~~{\rm sur}~~X\ssm K.\cr}$$
Pour $p+q\ge n+\ell$, ceci est inf\'erieur ou \'egal \`a
$$C_3\big(\chi'(\psi)^{-1}+\chi''(\psi)\chi'(\psi)^{-2}\big),$$
et il est facile de montrer que cette quantit\'e peut \^etre rendue
arbitrairement petite \`a l'infini sur $X$ quand $\chi$ cro\^{\i}t
suffisamment vite \`a infini sur $\bR$.\QED

\preuve\ {\sl du th\'eor\`eme $(12.13)$, fin}. Un r\'esultat bien connu de
Andreotti-Grauert [AG62] garantit que la topologie naturelle des
groupes de cohomologie $H^q(X,\cF)$ d'un faisceau coh\'erent quelconque
$\cF$ sur une vari\'et\'e $\ell$-convexe sont s\'epar\'es pour $q\ge \ell$.
Si $\cF=\cO(E)$ est le faisceau des sections d'un fibr\'e vectoriel
holomorphe, les groupes $H^q(X,\cO(E))$ sont alg\'ebriquement
et topologiquement isomorphes aux groupes de cohomologie du complexe de
Dolbeault des formes de type $(0,q)$ \`a coefficients
$L^2_\loc$ dont la $d''$-differentielle est \`a coefficients $L^2_\loc$,
muni de la topologie de Fr\'echet d\'efinie par les semi-normes
$u\mapsto\Vert u\Vert_{L^2(K)}+\Vert d''u\Vert_{L^2(K)}$. Pour le voir,
on peut reprendre mot \`a mot la d\'emonstration du th\'eor\`eme (1.3), en
observant que le complexe $L^2_\loc$ fournit encore une r\'esolution de
$\cO(E)$ par des faisceaux (acycliques) de $\cC^\infty$-modules. Il
r\'esulte de ce qui pr\'ec\`ede que le morphisme
$$L^2_{\omega_\chi}(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)\supset
\Ker D''_{\omega_\chi}\lra H^{p,q}(X,\bC)=H^q(X,\Omega^p_X)$$
est continu et de noyau ferm\'e. Par cons\'equent ce noyau
contient l'adh\'erence $\ol{\Im D''_{\omega_\chi}}$, et nous obtenons
une factorisation
$$\cH^{p,q}_{\omega_\chi}(X,\bC)\simeq\Ker D''_{\omega_\chi}/
\ol{\Im D''_{\omega_\chi}}\lra H^{p,q}(X,\bC).$$
La d\'emonstration de la proposition (12.2) montre d'ailleurs que
$\ol{\Im D''_{\omega_\chi}}$ co\"{\i}ncide avec l'adh\'erence
de $D''\big(\cD(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)\big)$ dans
$L^2_{\omega_\chi}(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)$. Consid\'erons le
morphisme limite
$$\lim_{\displaystyle\lra\atop\scriptstyle\chi}
\cH^{p,q}_{\omega_\chi}(X,\bC)\lra H^{p,q}(X,\bC),\leqno(12.16)$$
o\`u la limite inductive est \'etendue \`a l'ensemble des fonctions convexes 
croissantes $\chi$ de classe $C^\infty$ telles que $\chi''(t)\ge 1$ sur 
$[0,+\infty[$, avec la relation d'ordre
$$\chi_1\preccurlyeq\chi_2\iff \chi_1\le\chi_2~~{\rm et}~~
L^2_{\omega_{\chi_1}}(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)\subset
L^2_{\omega_{\chi_2}}(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)~~{\rm pour}~~k=p+q\,;$$
il est facile de voir que cet ordre est filtrant en reprenant les arguments
utilis\'es pour le lemme (12.15). Il est bien connu par ailleurs que les
groupes de cohomologie de De Rham sont toujours s\'epar\'es pour la topologie
induite par la topologie de Fr\'echet sur les espaces de formes, par suite
on a un morphisme limite
$$\lim_{\displaystyle\lra\atop\scriptstyle\chi}
\cH^k_{\omega_\chi}(X,\bC)\lra H^k_\DR(X,\bC)\leqno(12.16)_\DR$$
analogue \`a (12.16). La formule de d\'ecomposition du th\'eor\`eme (12.13)
se d\'eduit maintenant de (12.14) et du lemme \'el\'ementaire suivant.

\state 12.17. Lemme|Les morphismes limites $(12.16)$, $(12.16)_\DR$ sont
bijectifs pour $k=p+q\ge n+\ell$.
\endstate

\preuve. Traitons par exemple le cas du morphisme (12.16). Soit $u$
une forme $L^2_\loc$ $d''$-ferm\'ee de bidegr\'e $(p,q)$, $p+q\ge n+\ell$.
Alors il existe un choix de $\chi$ pour lequel $u\in L^2_{\omega_\chi}$, donc
$u\in\Ker\,D''_{\omega_\chi}$ et (12.16) est surjectif. Si une classe
$\{u\}\in\cH^{p,q}_{\omega_{\chi_0}}(X,\bC)$ est envoy\'ee sur z\'ero dans 
$H^{p,q}(X,\bC)$, on peut \'ecrire $u=d''v$ pour une certaine
forme $v$ \`a coefficients $L^2_\loc$ et de bidegr\'e $(p,q-1)$.
Dans le cas $p+q>n+\ell$, nous aurons $v\in L^2_{\omega_\chi}$ pour
$\chi\succcurlyeq\chi_0$ assez grand, donc la classe de
$u=D''_{\omega_\chi} v$ dans $H^{p,q}_{\omega_\chi}(X,\bC)$ est nulle et
(12.16) est injectif. Quand $p+q=n+\ell$, la forme $v$ n'appartient plus
n\'ecessairement \`a un des espaces $L^2_{\omega_\chi}$,
mais il suffit de montrer que $u=d''v$ est dans l'adh\'erence de 
$\Im\,D''_{\omega_\chi}$ pour $\chi$ assez grand. Soit
$\theta\in C^\infty(\bR,\bR)$ une fonction tronquante telle que
$\theta(t)=1$ pour $t\le 1/2$, $\theta(t)=0$ pour $t\ge 1$ et
$|\theta'|\le 3$. Alors 
$$d''\big(\theta(\varepsilon\psi)v\big)=\theta(\varepsilon\psi)d''v
+\varepsilon\theta'(\varepsilon\psi)d''\psi\wedge v.$$
D'apr\`es la preuve du lemme (12.15), il existe une fonction continue
$C(x)>0$ telle que $|v|^2_{\omega_\chi}dV_{\omega_\chi}\le
C\big(1+\chi''(\psi)/\chi'(\psi)\big)|v|^2_\omega dV_\omega$, alors
que $|d''\psi|^2_{\omega_\chi}\le 1/\chi''(\psi)$ d'apr\`es la
d\'efinition m\^eme de $\omega_\chi$. Nous voyons donc que
l'int\'egrale
$$\int_X|\theta'(\varepsilon\psi)d''\psi\wedge v|^2_{\omega_\chi}
dV_{\omega_\chi}
\le \int_X C\big(1/\chi''(\psi)+1/\chi'(\psi)\big)|v|^2dV$$
est finie pour $\chi$ assez grand, et par convergence domin\'ee
$d''\big(\theta(\varepsilon\psi)v\big)$ converge vers $d''v=u$
dans $L^2_{\omega_\chi}(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)$.\QED

La dualit\'e de Poincar\'e et de Serre montre que les espaces $H^k_{\DR,\,c}
(X,\bC)$ et $H^{p,q}_c(X,\bC)$ \`a support compact sont duaux des espaces
$H^{2n-k}_\DR(X,\bC)$ et $H^{n-p,n-q}(X,\bC)$ d\`es lors que ces derniers sont
s\'epar\'es de de dimension finie, ce qui est bien le cas si $k=p+q\le n-\ell$.
Nous obtenons donc une d\'ecomposition de Hodge duale
$$H^k_c(X,\bC)\simeq\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_c(X,\bC),~~~
\ol{H^{p,q}_c(X,\bC)}\simeq H^{q,p}_c(X,\bC),~~~k\le n-\ell.\leqno(12.18)$$
Il est par ailleurs facile de prouver que l'isomorphisme de
Lefschetz 
$$\omega_\chi^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}:~~
\cH^{p,q}_{\omega_\chi}(X,\bC)\lra\cH^{n-q,n-p}_{\omega_\chi}(X,\bC)
\leqno(12.19)$$
donne \`a la limite un isomorphisme entre la cohomologie \`a support
compact et la cohomologie sans supports (ce r\'esultat est d\^u \`a
Ohsawa [Ohs81]). En effet, si $p+q\le n-\ell$, le morphisme naturel
$$H^{p,q}_c(X,\bC)=\Ker D''_\cD/\Im D''_\cD\lra
\Ker D''_{\omega_\chi}/\ol{\Im D''_{\omega_\chi}}
\simeq\cH^{p,q}_{\omega_\chi}(X)\leqno(12.20)$$
est dual du morphisme $\cH_{\omega_\chi}^{n-p,n-q}(X,\bC)\lra
H^{n-p,n-q}(X,\bC)$, qui est surjectif pour $\chi$ assez grand
d'apr\`es le lemme (12.17) et la finitude du groupe $H^{n-p,n-q}(X,\bC)$.
Donc (12.20) est injectif pour $\chi$ grand, et apr\`es
composition avec l'isomorphisme de Lefschetz (12.19) nous obtenons une 
injection
$$\omega^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}=
\omega_\chi^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}:~~
H^{p,q}_c(X,\bC)\lra H^{n-q,n-p}_{L^2,\,\omega_\chi}(X,\bC)_\sep\simeq
\cH^{n-q,n-p}_{\omega_\chi}(X,\bC)$$
(l'\'egalit\'e $\omega^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}=
\omega_\chi^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}$
r\'esulte du fait que $\omega_\chi$ a m\^eme classe de cohomologie 
que $\omega$). En prenant la limite inductive sur $\chi$ et en combinant avec 
l'isomorphisme limite (12.16), on obtient une application injective
$$\omega^{n-p-q}\wedge{\scriptstyle\bullet}~~:~~H^{p,q}_c(X,\bC)
\lra H^{n-q,n-p}(X,\bC),~~~~p+q\le n-\ell.\leqno(12.21)$$
Comme les deux membres ont la m\^eme dimension par le th\'eor\`eme de 
dualit\'e de Serre et la sym\'etrie de Hodge, cette application 
est n\'ecessairement un isomorphisme.\QED

\state 12.22. Remarque|{\rm Puisque l'isomorphisme de Lefschetz (12.21) 
peut se factoriser \`a travers $H^{p,q}(X,\bC)$ ou \`a travers 
$H^{n-q,n-p}_c(X,\bC)$, on d\'eduit de celui-ci que les morphismes naturels
$$H^{p,q}_c(X,\bC)\lra H^{p,q}(X,\bC)$$
sont injectifs pour $p+q\le n-\ell$ et surjectifs pour $p+q\ge n+\ell$.
Bien entendu, on a des propri\'et\'es enti\`erement analogues pour les 
groupes de cohomologie de De Rham.}
\endstate

\section \Smark13. Technique de Bochner et th\'eor\`emes d'annulation|

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe munie d'une m\'etrique k\"ahl\'erienne
$\omega=\sum\omega_{jk}dz_j\wedge d\ol z_k$. Soit $(E,h)$
un fibr\'e vectoriel holomorphe hermitien sur~$X$. Nous notons $D=D'+D''$
sa connexion de Chern et $\Theta(E)$ le tenseur de courbure associ\'e.

\state 13.1. Relations de commutation de base|Soit $L$ l'op\'erateur
$Lu=\omega\wedge u$ agissant sur les formes \`a valeurs vectorielles
et soit $\Lambda=L^\star$ son adjoint. Alors
\index{147}{REL}{Relations de commutation}%
\index{148}{COM}{\hri relations de commutation}%
$$\eqalign{
[D^{\prime\prime\star},L]&=\ii\,d',\cr
[\Lambda,D'']&=-\ii\,d^{\prime\star},\cr}
\qquad
\eqalign{
[D^{\prime\star},L]&=-\ii\,d'',\cr
[\Lambda,D']&=\ii\,d^{\prime\prime\star}.\cr}$$
\endstate

\preuve\ {\sl(abr\'eg\'ee).} C'est une cons\'equence assez simple de la
relation de commutation (6.14) d\'ej\`a d\'emontr\'ee pour la connexion
triviale $d=d'+d''$ sur $E=X\times\bC$. En effet, pour tout point $x_0\in X$,
il existe un rep\`ere holomorphe local $(e_\lambda)_{1\le\lambda\le r}$
de $E$ tel que
$$\langle e_\lambda,e_\mu\rangle=\delta_{\lambda\mu}+O(|z|^2).$$
(La preuve est enti\`erement similaire \`a celle du th\'eor\`eme~5.8). 
Pour $s=\sum s_\lambda\otimes e_\lambda$ avec $s_\lambda\in C^\infty(X,
\Lambda^{p,q}T^\star_X)$, nous obtenons
$$D''s=\sum d''s_\lambda\otimes e_\lambda+O(|z|),\qquad
D^{\prime\prime\star}s=\sum d^{\prime\prime\star}
s_\lambda\otimes e_\lambda+O(|z|).$$
Les relations annonc\'ees s'ensuivent ais\'ement.\square

\state 13.2. Identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano|Si $(X,\omega)$ est
une vari\'et\'e k\"ahl\'e\-rienne, les laplaciens complexes $\Delta'$ et
$\Delta''$ agissant sur les formes \`a valeurs dans $E$ satisfont
l'identit\'e
\index{149}{IDE}{Identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano}%
$$\Delta''=\Delta'+[\ii\,\Theta(E),\Lambda].$$
\endstate

\preuve. La derni\`ere \'egalit\'e (13.1) donne $D^{\prime\prime\star}
=-\ii[\Lambda,D']$, donc
$$\Delta''=[D'',D^{\prime\prime\star}]=-\ii[D'',\big[\Lambda,D']\big].$$
L'identit\'e de Jacobi implique
$$\big[D'',[\Lambda,D']\big]=\big[\Lambda,[D',D'']]+\big[D',[D'',\Lambda]\big]
=[\Lambda,\Theta(E)]+\ii[D',D^{\prime\star}],$$
si l'on tient compte du fait que $[D',D'']=D^2=\Theta(E)$. L'identit\'e
annonc\'ee s'ensuit.\square

Supposons que $X$ soit {\sl compacte} et soit $u\in C^\infty(X,\Lambda^{p,q}
T^\star_X\otimes E)$ une $(p,q)$-forme arbi\-traire. Une int\'egration par
parties donne
$$\langle\Delta'u,u\rangle=\|D'u\|^2+\|D^{\prime\star}u\|^2\ge 0,$$
et on a une \'egalit\'e analogue pour $\Delta''$. De l'identit\'e de
Bochner-Kodaira-Nakano, on d\'eduit l'in\'egalit\'e a priori 
$$\|D''u\|^2+\|D^{\prime\prime\star}u\|^2\ge\int_X
\langle[\ii\,\Theta(E),\Lambda]u,u\rangle dV_\omega.\leqno(13.3)$$
Cette in\'egalit\'e est connue sous le nom {\sl d'in\'egalit\'e de
Bochner-Kodaira-Nakano} (voir [Boc48], [Kod53], [Nak55]). Lorsque $u$ est
$\Delta''$-harmonique, on obtient
$$\int_X\langle[\ii\,\Theta(E),\Lambda]u,u\rangle\,dV\le 0.$$
Si l'op\'erateur hermitien $[\ii\,\Theta(E),\Lambda]$ est positif sur chaque
fibre de $\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E$, on voit que $u$ est
n\'ecessairement nulle, donc
$$H^{p,q}(X,E)=\cH^{p,q}(X,E)=0$$
d'apr\`es la th\'eorie de Hodge. Dans cette approche, le point essentiel
est de savoir calculer la forme de courbure $\Theta(E)$ et de trouver des
conditions suffisantes pour que l'op\'erateur $[\ii\,\Theta(E),\Lambda]$
soit d\'efini positif. Des calculs \'el\'ementaires (quelque peu
p\'enibles) donnent la formule suivante\/: si la courbure de
$E$ est \'ecrite sous la forme (11.16) et si
$$u=\sum u_{J,K,\lambda}dz_I\wedge d\ol z_J\otimes e_\lambda,\qquad
|J|=p,~|K|=q,~1\le\lambda\le r$$
est une $(p,q)$-forme \`a valeurs dans~$E$, alors
$$\leqalignno{\langle[\ii\,\Theta(E),\Lambda]u,u\rangle=
&\phantom{{}+{}}\sum_{j,k,\lambda,\mu,J,S}{\,}
c_{jk\lambda\mu}\,u_{J,jS,\lambda}~\ol{u_{J,kS,\mu}}&(13.4)\cr
&{}+\sum_{j,k,\lambda,\mu,R,K}
c_{jk\lambda\mu}\,u_{kR,K,\lambda}~\ol{u_{jR,K,\mu}}\cr
&{}-{\,}\sum_{j,\lambda,\mu,J,K}\phantom{k}
c_{jj\lambda\mu}\,u_{J,K,\lambda}~\ol{u_{J,K,\mu}},\cr}$$
o\`u les sommations sont \'etendues \`a tous les indices $1\le j,k\le n$,
$1\le\lambda,\mu\le r$ et tous les multi-indices $|J|=p$, $|K|=q$, $|R|=p-1$,
$|S|=q-1$ (ici la notation $u_{JK\lambda}$ s'applique \`a des multi-indices
non n\'ecessairement croissants, on convient que le signe de ce coefficient
est altern\'e sous l'action des permutations). Compte tenu de la
complexit\'e du terme de courbure (13.4), le signe de ce terme est en
g\'en\'eral difficile \`a \'elucider, sauf dans quelques cas tr\`es
particuliers.

Le cas le plus simple est le cas $p=n$. Tous les termes de la deuxi\`eme
sommation figurant dans (13.4) sont alors tels que $j=k$ et $R=\{1\ld
n\}\ssm\{j\}$, par cons\'equent les deuxi\`emes et troisi\`emes
sommations sont \'egales. Il s'ensuit que
$$\langle[\ii\,\Theta(E),\Lambda]u,u\rangle=\sum_{j,k,\lambda,\mu,J,S}
c_{jk\lambda\mu}\,u_{J,jS,\lambda}~\ol{u_{J,kS,\mu}}$$
est positive sur les $(n,q)$-formes, sous l'hypoth\`ese que $E$ est positif
au sens de Nakano. Dans ce cas, $X$ est automatiquement k\"ahl\'erienne
puisque
$$\omega=\Tr_E(\ii\,\Theta(E))=\ii\sum_{j,k,\lambda}c_{jk\lambda\lambda}dz_j
\wedge d\ol z_k=\ii\,\Theta(\det E)$$
d\'efinit alors une m\'etrique k\"ahl\'erienne.

\state 13.5. Th\'eor\`eme d'annulation de Nakano {\rm (1955)}|Soit $X$
\index{150}{THE}{Th\'eor\`eme d'annulation de Nakano}%
\index{151}{NAK}{\hri th\'eor\`eme d'annulation de Nakano}%
une vari\'et\'e complexe compacte et soit $E$ un fibr\'e vectoriel
positif au sens de Nakano sur~$X$. Alors
$$H^{n,q}(X,E)=H^q(X,K_X\otimes E)=0\qquad\hbox{pour tout $q\ge 1$.}
\eqno\square$$
\endstate

Un autre cas abordable est le cas o\`u $E$ est un fibr\'e en droites ($r=1$).
En effet, en chaque point $x\in X$, nous pouvons alors choisir un syst\`eme
de coordonn\'ees qui diagonalise simultan\'ement les formes hermitiennes
$\omega(x)$ et $\Theta(E)(x)$, de telle mani\`ere que
$$\omega(x)=\ii\sum_{1\le j\le n}dz_j\wedge d\ol z_j,\qquad
\Theta(E)(x)=\ii\sum_{1\le j\le n}\gamma_jdz_j\wedge d\ol z_j$$
avec $\gamma_1\le\cdots\le\gamma_n$. Les valeurs propres de courbure
$\gamma_j=\gamma_j(x)$ sont alors d\'efinies de mani\`ere unique et
d\'ependent contin\^ument de~$x$. Dans les notations ant\'erieures, nous
avons $\gamma_j=c_{jj11}$ et tous les autres coefficients
$c_{jk\lambda\mu}$ sont nuls. Pour toute $(p,q)$-forme
\hbox{$u=\sum u_{JK}dz_J\wedge d\ol z_K\otimes e_1$}, ceci donne
$$\leqalignno{\langle[\ii\,\Theta(E),\Lambda]u,u\rangle
&=\sum_{|J|=p,\,|K|=q}\Big(\sum_{j\in J}\gamma_j+\sum_{j\in K}\gamma_j-
\sum_{1\le j\le n}\gamma_j\Big)|u_{JK}|^2\cr
&\ge(\gamma_1+\cdots+\gamma_q-\gamma_{n-p+1}-\cdots-\gamma_n)|u|^2.
&(13.6)\cr}$$
Supposons que $\ii\,\Theta(E)$ soit positive. Il est alors naturel de munir
$X$ de la m\'etrique k\"ahl\'erienne particuli\`ere $\omega=\ii\,\Theta(E)$.
Alors $\gamma_j=1$ pour $j=1,2\ld n$ et on obtient
$$\langle[\ii\,\Theta(E),\Lambda]u,u\rangle=(p+q-n)|u|^2.$$
Par cons\'equent\/:

\state 13.7. Th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano
\index{154}{THE}{Th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano}%
\index{155}{KOD}{\hri th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano}%
{\rm ([AN54])}|Si $E$ est un fibr\'e en droites positif sur une vari\'et\'e
complexe compacte~$X$, alors
$$H^{p,q}(X,E)=H^q(X,\Omega^p_X\otimes E)=0\qquad\hbox{pour}~~p+q\ge n+1.
\eqno\square$$
\endstate

Plus g\'en\'eralement, si $E$ est un fibr\'e vectoriel positif au sens de
Griffiths (ou ample), de rang~$r\ge 1$, Le Potier [LP75] a d\'emontr\'e
que $H^{p,q}(X,E)=0$ pour $p+q\ge n+r$. La preuve n'est pas une cons\'equence
directe de la technique de Bochner. Une preuve assez simple a \'et\'e
obtenue par M.~Schneider [Sch74], en utilisant la suite spectrale de Leray
associ\'ee \`a la projection sur $X$ du fibr\'e projectivis\'e
$\bP(E)\to X$.

\state 13.8. Exercice|\rm Il est important pour diverses applications
de disposer de th\'eor\`emes d'annulation qui soient \'egalement valables
dans le cas de fibr\'es en droites semi-positifs. On a par exemple le
r\'esultat suivant d\^u \`a J.~Girbau [Gir76]\/: soit $(X,\omega)$ une
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte; supposons que $E$ soit un fibr\'e
en droites et que $\ii\,\Theta(E)\ge 0$ ait au moins $n-k$ valeurs propres
positives en chaque point, pour un certain entier~$k\ge 0$; alors
$H^{p,q}(X,E)=0$ pour $p+q\ge n+k+1$.\newline
{\sl Indication:}\/ utiliser la m\'etrique k\"ahl\'erienne
$\omega_\varepsilon=\ii\,\Theta(E)+\varepsilon\omega$ avec $\varepsilon>0$
petit.
\smallskip

Une version plus naturelle et plus puissante de ce r\'esultat a \'et\'e
obtenue par A.~Sommese [Som78, ShSo85]\/: suivant ces auteurs, on dira
que $E$ est $k$-ample si un certain multiple $mE$ est tel que l'application
canonique
$$\Phi_{|mE|}:X\ssm B_{|mE|}\to\bP^{N-1}$$
a toutes ses fibres de dimension $\le k$ et $\dim B_{|mE|}\le k\,$;
si $X$ est projective et si $E$ est $k$-ample, alors $H^{p,q}(X,E)=0$
pour $p+q\ge n+k+1$.\newline
{\sl Indication:}\/ prouver le r\'esultat dual, \`a savoir que
$H^{p,q}(X,E^{-1})=0$ pour $p+q\le n-k-1$, par r\'ecurrence sur~$k$.
Montrer d'abord que $E$ est $0$-ample si et seulement si $E$ est positif;
utiliser alors des sections hyperplanes $Y\subset X$ pour d\'emontrer
l'\'etape de r\'ecurrence, en consid\'erant les suites exactes
$$\eqalignno{
&0\lra\Omega^p_X\otimes E^{-1}\otimes\cO(-Y)\lra\Omega^p_X\otimes E^{-1}
\lra\big(\Omega^p_X\otimes E^{-1}\big)_{\restr Y}\lra 0,&\cr
&0\lra\Omega^{p-1}_Y\otimes E^{-1}_{\restr Y}\lra
\big(\Omega^p_X\otimes E^{-1}\big)_{\restr Y}\lra
\Omega^p_Y\otimes E^{-1}_{\restr Y}\lra 0.&\square\cr}$$
\endstate

\section \Smark14. Estimations $L^2$ et th\'eor\`emes d'existence|

Le point de d\'epart est le th\'eor\`eme d'existence $L^2$ suivant, qui est
d\^u essentiellement \`a H\"ormander [H\"or65, 66], et Andreotti-Vesentini
[AV65]. Nous en esquisserons seulement les id\'ees principales, en renvoyant
par exemple \`a [Dem82] pour un expos\'e d\'etaill\'e de la situation
technique consid\'er\'ee ici.

\state 14.1. Th\'eor\`eme|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e
\index{156}{EST}{Estimations $L^2$ de H\"ormander}%
k\"ahl\'erienne \UL{compl\`ete}. Soit $E$ un fibr\'e vectoriel hermitien
de rang $r$ sur $X$, tel que l'op\'erateur de courbure
$A=A^{p,q}_{E,\omega}=[\ii\,\Theta(E),\Lambda_\omega]$ soit semi-positif
sur toutes les fibres de $\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E$, $q\ge 1$.
Soit $g\in L^2(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$ une forme telle que
$$\hbox{$D''g=0$~~et}\qquad
\int_X\langle A^{-1}g,g\rangle\,dV_\omega<+\infty$$ 
$($aux points o\`u $A$ n'est pas d\'efini positif, on suppose qu'un
ant\'ec\'edent $A^{-1}g$ existe presque partout$;$ on choisit alors
l'ant\'ec\'edent $A^{-1}g$ de norme minimale, orthogonal \`a $\Ker A)$.
Alors il existe $f\in L^2(X,\Lambda^{p,q-1}T^\star_X\otimes E)$ telle que 
$$\hbox{$D''f=g$~~et}\qquad
\int_X|f|^2\,dV_\omega\le\int_X\langle A^{-1}g,g\rangle\,dV_\omega.$$
\endstate

\preuve. Soit $u\in L^2(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$ une forme
telle que $D''u\in L^2$ et $D^{\prime\prime\star}u\in L^2$ au sens 
des distributions. Le lemme (12.2$\,$a) montre (sous l'hypoth\`ese 
indispensable que $\omega$ est compl\`ete) que $u$ est limite d'une
suite de formes $u_\nu$ de classe $C^\infty$ et \`a support compact, de telle
mani\`ere que $u_\nu\to u$, $D''u_\nu\to D''u$ et $D^{\prime\prime\star}
u_\nu \to D^{\prime\prime\star}u$ dans~$L^2$. Il s'ensuit que
l'in\'egalit\'e a priori (13.3) s'\'etend \`a des formes
arbitraires $u$ telles que $u,~D''u,~D^{\prime\prime\star}u\in L^2$.
Maintenant, comme $\Ker D''$ est faiblement (et donc fortement) ferm\'e,
on obtient une d\'ecomposition orthogonale de l'espace de Hilbert
$L^2(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$, \`a savoir
$$L^2(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)=\Ker D''\oplus({\Ker D''})^\perp.$$
Soit $v=v_1+v_2$ la d\'ecomposition correspondante d'une forme
$v\in\cD^{p,q}(X,E)$ de classe $C^\infty$ \`a support compact (en g\'en\'eral,
$v_1$, $v_2$ ne sont pas \`a support compact$\,$!).
Puisque $(\Ker D'')^\perp=\ol{\Im D^{\prime\prime\star}}\subset
\Ker D^{\prime\prime\star}$ par dualit\'e et $g,v_1\in\Ker D''$ par
hypoth\`ese, nous obtenons $D^{\prime\prime\star}v_2=0$ et
$$|\langle g,v\rangle|^2=|\langle g,v_1\rangle|^2\le
\int_X\langle A^{-1}g,g\rangle \,dV_\omega
\int_X\langle Av_1,v_1\rangle \,dV_\omega$$
gr\^ace \`a l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz. L'in\'egalit\'e a priori (13.3)
appliqu\'ee \`a $u=v_1$ donne
$$\int_X\langle Av_1,v_1\rangle \,dV_\omega\le
\|D''v_1\|^2+\|D^{\prime\prime\star}v_1\|^2=\|D^{\prime\prime\star}v_1\|^2=
\|D^{\prime\prime\star}v\|^2.$$
En combinant les deux in\'egalit\'es, nous trouvons
$$|\langle g,v\rangle|^2\le\Big(\int_X\langle A^{-1}g,g\rangle \,dV_\omega\Big)
\|D^{\prime\prime\star}v\|^2$$
pour toute $(p,q)$-forme $v$ de classe $C^\infty$ \`a support compact. Ceci
montre qu'on a une forme lin\'eaire bien d\'efinie 
$$w=D^{\prime\prime\star}v\longmapsto\langle v,g\rangle,\qquad
L^2(X,\Lambda^{p,q-1}T^\star_X\otimes E)
\supset D^{\prime\prime\star}(\cD^{p,q}(E))\lra\bC$$
sur l'image de $D^{\prime\prime\star}$. Cette forme lin\'eaire
est continue par rapport \`a la norme $L^2$, et sa norme est${}\le C$ avec
$$C=\Big(\int_X\langle A^{-1}g,g\rangle \,dV_\omega\Big)^{1/2}.$$
D'apr\`es le th\'eor\`eme de Hahn-Banach, il existe un \'el\'ement
$f\in L^2(X,\Lambda^{p,q-1}T^\star_X\otimes E)$ tel que $||f||\le C$ et
$\langle v,g\rangle=\langle D^{\prime\prime\star}v,f\rangle$ pour tout $v$,
par suite $D''f=g$ au sens des distributions. L'in\'egalit\'e $||f||\le C$
est \'equivalente \`a la derni\`ere estimation du th\'eor\`eme.\square

Le th\'eor\`eme d'existence $L^2$ pr\'ec\'edent peut \^etre appliqu\'e dans
le contexte g\'en\'eral des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes {\sl faiblement 
pseudoconvexes} (voir d\'efinition (12.9)), et ce m\^eme si la m\'etrique
k\"ahl\'erienne consid\'er\'ee $\omega$ n'est pas compl\`ete. En effet, 
d'apr\`es la proposition (12.10), on obtient des m\'etriques k\"ahl\'eriennes 
compl\`etes en posant
$$\omega_\varepsilon=\omega+\varepsilon\,\ii\,d'd''\psi^2=
\omega+2\varepsilon(2\ii\,\psi d'd''\psi+\ii\,d'\psi\wedge d''\psi)$$
avec une fonction d'exhaustion $C^\infty$ psh $\psi\ge 0$.
Par cons\'equent, le th\'eor\`eme d'existence $L^2$ (14.1)
s'applique \`a chaque m\'etrique k\"ahl\'erienne $\omega_\varepsilon$.
On v\'erifie par ailleurs (les calculs sont laiss\'es au lecteur!) que
les quantit\'es $|g|^2_\omega\,dV_\omega$ et
$\langle(A^{p,q}_{E,\omega})^{-1}g,g\rangle_\omega\,dV_\omega$ sont
fonctions d\'ecroissantes de $\omega$ lorsque $p=n=\dim_\bC X$. Pour une
forme $D''$-ferm\'ee $g$ de bidegr\'e $(n,q)$ on obtient donc des solutions
$f_\varepsilon$ de l'\'equation $D''f_\varepsilon=g$ telles que
$$\int_X|f_\varepsilon|_{\omega_\varepsilon}^2\,dV_{\omega_\varepsilon}
\le\int_X\langle (A^{p,q}_{E,\omega_\varepsilon})^{-1}
g,g\rangle_{\omega_\varepsilon}\,dV_{\omega_\varepsilon}
\le\int_X\langle (A^{p,q}_{E,\omega})^{-1}g,g\rangle_\omega\,dV_\omega.$$ 
Ces solutions $f_\varepsilon$ \'etant born\'ees uniform\'ement en norme
$L^2$ sur tout compact, on peut en extraire une sous-suite faiblement
convergente dans~$L^2$. La limite $f$ est solution de $D''f=g$ et satisfait
l'estimation $L^2$ voulue relativement \`a la m\'etrique $\omega$
initialement donn\'ee (qui, r\'ep\'etons-le, n'est pas n\'ecessairement
compl\`ete). Un cas particulier important est le suivant\/:

\state 14.2. Th\'eor\`eme|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne, $\dim X=n$. Supposons que $X$ soit faiblement
\index{157}{EST}{Estimations $L^2$ de H\"ormander}%
pseudoconvexe. Soit $E$ un fibr\'e en droites hermitien et soient
$$\gamma_1(x)\le\cdots\le\gamma_n(x)$$
les valeurs propres de courbure $($i.e.\ les valeurs propres de
$\ii\,\Theta(E)$ par rapport \`a la m\'etrique~$\omega)$ en tout point.
Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e.\ $\gamma_1\ge 0$
partout. Alors pour toute forme $g\in
L^2(X,\Lambda^{n,q}T^\star_X\otimes E)$ telle que 
$$\hbox{$D''g=0$~~et}\qquad
\int_X\langle(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2\,dV_\omega<+\infty,$$
$($on suppose donc $g(x)=0$ presque partout aux points o\`u
$\gamma_1(x)+\cdots+\gamma_q(x)=0)$, il existe \hbox{$f\in
L^2(X,\Lambda^{n,q-1}T^\star_X\otimes E)$} telle que 
$$\hbox{$D''f=g$~~et}\qquad
2\int_X|f|^2\,dV_\omega\le\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}
|g|^2\,dV_\omega.$$
\endstate

\preuve. En effet, pour $p=n$, la formule~(13.6) montre que
$$\langle Au,u\rangle\ge(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)|u|^2,$$
donc $\langle A^{-1}u,u\rangle\ge(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|u|^2$.\square

Une observation importante est que le th\'eor\`eme ci-dessus s'applique
encore quand la m\'etrique hermitienne de $E$ est une m\'etrique
singuli\`ere \`a courbure positive au sens des courants. En effet, par
les techniques standard de r\'egularisation (convolution des fonctions psh
par des noyaux r\'egularisants), la m\'etrique peut \^etre rendue $C^\infty$ et
les solutions obtenues au moyen des th\'eor\`emes (14.1) ou (14.2) pour les
m\'etriques r\'egularis\'ees ont des limites satisfaisant les estimations
d\'esir\'ees. En particulier, nous obtenons le corollaire suivant.

\state 14.3. Corollaire|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne,
$\dim X=n$. Supposons que $X$ soit faiblement pseudoconvexe. Soit $E$ un
fibr\'e en droites holomorphe muni d'une m\'etrique singuli\`ere dont le
poids local est not\'e $\varphi\in L^1_\loc$. Supposons que
$$\ii\,\Theta(E)=2\ii\,d'd''\varphi\ge\varepsilon\omega$$
pour un certain $\varepsilon>0$. Alors pour toute forme
$g\in L^2(X,\Lambda^{n,q}T^\star_X\otimes E)$ telle que $D''g=0$, il existe
$f\in L^2(X,\Lambda^{p,q-1}T^\star_X\otimes E)$ telle que $D''f=g$ et
$$\int_X|f|^2\ee^{-2\varphi}\,dV_\omega\le{1\over q\varepsilon}\int_X
|g|^2\ee^{-2\varphi}\,dV_\omega.\eqno\square$$
\endstate

Nous avons not\'e ici de fa\c con quelque peu incorrecte la m\'etrique
sous la forme $|f|^2\ee^{-2\varphi}$, comme si le poids $\varphi$ \'etait
globalement d\'efini sur~$X$ (bien s\^ur, ceci n'est possible que si $E$
est globalement trivial). Par abus d'\'ecriture, nous utiliserons quand
m\^eme cette notation car elle souligne clairement la d\'ependance
de la norme $L^2$ en fonction du poids psh.

\section \Smark15.$\,$Th\'eor\`emes$\,$d'annulation$\,$de$\,$Nadel$\,$%
et$\,$Kawamata-$\!$Viehweg\kern-3pt|
\sectionrunning \Smark15. Th\'eor\`emes d'annulation de Nadel 
et Kawamata-Viehweg|

Nous introduisons d'abord le concept de {\sl faisceau d'id\'eaux
multiplicateurs}, suivant A.~Nadel [Nad89]. L'id\'ee principale
remonte en fait aux travaux fondamentaux de E.~Bombieri [Bom70] et
H.~Skoda [Sko72].

\state 15.1. D\'efinition|Soit $\varphi$ une fonction psh sur un
ouvert $\Omega\subset X\,$; on associe \`a $\varphi$ le faisceau
d'id\'eaux $\cI(\varphi)\subset\cO_\Omega$, form\'e des germes de
fonctions holomorphes $f\in\cO_{\Omega,x}$ telles que $|f|^2\ee^{-2\varphi}$
soit int\'egrable par rapport \`a la mesure de Lebesgue dans des
coordonn\'ees locales quelconques pr\`es de~$x$. Ce faisceau sera appel\'e
\index{158}{FAI}{Faisceau d'id\'eaux multiplicateurs}%
\index{159}{NAD}{\hri faisceau d'id\'eaux multiplicateurs de Nadel}%
faisceau d'id\'eaux multiplicateurs associ\'e au poids $\varphi$.
\endstate

La vari\'et\'e des z\'eros $V(\cI(\varphi))$ est donc l'ensemble des points
au voisinage desquels $\ee^{-2\varphi}$ est non int\'egrable. Bien entendu,
de tel points ne peuvent appara\^{\i}tre que l\`a o\`u $\varphi$ a des p\^oles
logarithmiques. La formulation pr\'ecise est la suivante.

\state 15.2. D\'efinition|On dira qu'une fonction psh $\varphi$ a
un p\^ole logarithmique de coefficient $\gamma$ en un point $x\in X$ si
\index{160}{POL}{P\^ole logarithmique}%
le nombre de Lelong
$$\nu(\varphi,x):=\liminf_{z\to x}{\varphi(z)\over\log|z-x|}$$
est non nul et si $\nu(\varphi,x)=\gamma$.
\endstate

\state 15.3. Lemme {\rm (Skoda [Sko72])}|Soit $\varphi$ une fonction psh
sur un ouvert $\Omega\subset\bC^n$ et soit $x\in\Omega$.
\smallskip
\item{\rm a)} Si $\nu(\varphi,x)<1$, alors $\ee^{-2\varphi}$ est int\'egrable
au voisinage de~$x$, en particulier $\cI(\varphi)_x=\cO_{\Omega,x}$.
\smallskip
\item{\rm b)} Si $\nu(\varphi,x)\ge n+s$ pour un certain entier $s\ge 0$,
alors $\ee^{-2\varphi}\ge C|z-x|^{-2n-2s}$ au voisinage de $x$ et
$\cI(\varphi)_x\subset\eum_{\Omega,x}^{s+1}$, o\`u $\eum_{\Omega,x}$
d\'esigne l'id\'eal maximal de $\cO_{\Omega,x}$.
\vskip0pt
\endstate

\preuve. La d\'emonstration repose sur des estimations classiques de
th\'eorie du potentiel complexe, voir H.~Skoda [Sko72].\square

\state 15.4. Proposition {\rm([Nad89])}|Pour toute fonction psh
$\varphi$ sur~$\Omega\subset X$, le faisceau $\cI(\varphi)$ est un
faisceau coh\'erent d'id\'eaux sur $\Omega$.
\endstate

\preuve. Puisque le r\'esultat est local, nous pouvons supposons que
$\Omega$ est la boule unit\'e de $\bC^n$. Soit $\cH_\varphi(\Omega)$
l'ensemble des fonctions $f$ holomorphes sur $\Omega$ telles que
$\int_\Omega|f|^2\ee^{-2\varphi}\,d\lambda<+\infty$. D'apr\`es la
propri\'et\'e noeth\'erienne forte des faisceaux coh\'erents, l'ensemble
$\cH_\varphi(\Omega)$ engendre un faisceau d'id\'eaux coh\'erent
$\cJ\subset\cO_\Omega$. Il est clair que $\cJ\subset\cI(\varphi)$;
pour d\'emontrer l'\'egalit\'e, il suffit de v\'erifier
que $\cJ_x+\cI(\varphi)_x\cap\eum^{s+1}_{\Omega,x}=\cI(\varphi)_x$
pour tout entier $s$, en vertu du lemme de Krull. Soit $f\in\cI(\varphi)_x$
un germe d\'efini sur un voisinage $V$ de $x$ et soit $\theta$ une
fonction tronquante \`a support dans $V$, telle que $\theta=1$ au
voisinage de~$x$. On r\'esout l'\'equation $d''u=g:=d''(\theta f)$ au
moyen des estimations $L^2$ de H\"ormander~(14.3), o\`u $E$ est le
fibr\'e en droites trivial $\Omega\times\bC$ muni du poids strictement
psh 
$$\wt\varphi(z)=\varphi(z)+(n+s)\log|z-x|+|z|^2.$$ 
Nous obtenons une solution $u$ telle que
$\int_\Omega |u|^2\ee^{-2\varphi}|z-x|^{-2(n+s)}d\lambda<\infty$, donc
$F=\theta f-u$ est holomorphe, $F\in \cH_\varphi(\Omega)$ et 
$f_x-F_x=u_x\in\cI(\varphi)_x\cap\eum_{\Omega,x}^{s+1}$.
Ceci d\'emontre notre affirmation.\square

Les faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs satisfont la propri\'et\'e
essentielle suivante de fonctorialit\'e, relativement aux images directes
de faisceaux par des modifications.

\state 15.5. Proposition|Soit $\mu:X'\to X$ une modification
de vari\'et\'es complexes non singuli\`eres $($i.e.\ une
application holomorphe propre g\'en\'eriquement $1:1)$, et soit
$\varphi$ une fonction psh sur~$X$. Alors 
$$\mu_\star\big(\cO(K_{X'})\otimes\cI(\varphi\circ\mu)\big)=
\cO(K_X)\otimes\cI(\varphi).$$
\endstate

\preuve. Soit $n=\dim X=\dim X'$ et soit $S\subset X$ un sous-ensemble
analytique tel que \hbox{$\mu:X'\ssm S'\to X\ssm S$} soit un biholomorphisme.
Par d\'efinition des faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs, $\cO(K_X)\otimes
\cI(\varphi)$ s'identifie au faisceau des $n$-formes holomorphes $f$ sur
un ouvert quelconque $U\subset X$, telles que $\ii^{n^2}f\wedge\ol f\,
\ee^{-2\varphi}\in L^1_\loc(U)$. Puisque $\varphi$ est localement major\'ee,
nous pouvons m\^eme consid\'erer des formes $f$ qui sont a priori d\'efinies
seulement sur $U\ssm S$, car $f$ est dans $L^2_\loc(U)$ et s'\'etend donc
automatiquement \`a travers~$S$. La formule de changement de variables donne
$$\int_U\ii^{n^2}f\wedge\ol f\,\ee^{-2\varphi}=
\int_{\mu^{-1}(U)}\ii^{n^2}\mu^\star f\wedge\ol{\mu^\star f}
\,\ee^{-2\varphi\circ\mu},$$
donc $f\in\Gamma(U,\cO(K_X)\otimes\cI(\varphi))$ si et seulement si
$\mu^\star f\in\Gamma(\mu^{-1}(U),\cO(K_{X'})\otimes\cI(\varphi\circ
\mu))$. La prop.~15.5 est d\'emontr\'ee.\square

\state 15.6. Remarque|\rm Si $\varphi$ a des singularit\'es alg\'ebriques
ou analytiques (cf.\ d\'efinition 11.7), le calcul de $\cI(\varphi)$
se r\'eduit \`a un probl\`eme purement alg\'ebrique.

Le premi\`ere observation est que $\cI(\varphi)$ se calcule ais\'ement si
$\varphi=\sum\alpha_j\log|g_j|$ o\`u $D_j=g^{-1}_j(0)$ sont des diviseurs
irr\'eductible lisses \`a croisements normaux. Alors $\cI(\varphi)$ est le
faisceau des fonctions holomorphes $h$ sur les ouverts $U\subset X$, telles
que
$$\int_U|h|^2\prod|g_j|^{-2\alpha_j}dV<+\infty.$$
Puisque les $g_j$ peuvent \^etre prises comme fonctions coordonn\'ees dans des
syst\`emes de coordonn\'ees locales convenables $(z_1\ld z_n)$, la condition
d'int\'egrabilit\'e est que $h$ soit divisible par $\prod g_j^{m_j}$, o\`u
$m_j-\alpha_j>-1$ pour chaque $j$, i.e.\ $m_j\ge\lfloor\alpha_j\rfloor$
($\lfloor~~\rfloor$ d\'esigne la partie enti\`ere). Par suite
$$\cI(\varphi)=\cO(-\lfloor D\rfloor)=\cO(-\sum\lfloor\alpha_j\rfloor D_j)$$
o\`u $\lfloor D\rfloor$ est la partie enti\`ere du $\bQ$-diviseur
$D=\sum\alpha_jD_j$.

Maintenant, consid\'erons le cas g\'en\'eral de singularit\'es alg\'ebriques
ou analytiques, et supposons que
$$\varphi\sim{\alpha\over 2}\log\big(|f_1|^2+\cdots+|f_N|^2\big)$$
au voisinage des p\^oles. D'apr\`es la remarque \'enonc\'ee apr\`es la
d\'ef.~11.7, nous pouvons supposer que les $(f_j)$ sont des g\'en\'erateurs
du faisceau d'id\'eaux int\'egralement clos $\cJ=\cJ(\varphi/\alpha)$,
d\'efini comme le faisceau des fonctions holomorphes $h$ telles que
$|h|\le C\exp(\varphi/\alpha)$. Dans ce cas, le calcul se fait comme suit.

Choisissons d'abord une modification lisse $\mu:\wt X\to X$ de $X$ telle
que $\mu^\star\cJ$ soit un faisceau inversible $\cO(-D)$ associ\'e \`a
un diviseur \`a croisements normaux $D=\sum\lambda_jD_j$, o\`u $(D_j)$
sont les composantes du diviseur exceptionnel de $\wt X$ (consid\'erer
l'\'eclatement $X'$ de $X$ par rapport \`a l'id\'eal $\cJ$, de sorte
que l'image inverse de $\cJ$ sur $X'$ devienne un faisceau inversible
$\cO(-D')$, puis \'eclater de nouveau $X'$ de mani\`ere \`a rendre
$X'$ lisse et $D'$ \`a croisements normaux, en invoquant Hironaka [Hi64]).
Nous avons alors $K_{\wt X}=\mu^\star K_X+R$ o\`u $R=\sum\rho_j
D_j$ est le diviseur des z\'eros du jacobien $J_\mu$ de l'application
d'\'eclatement. De la formule d'image directe~15.5, nous d\'eduisons
$$\cI(\varphi)=\mu_\star\big(\cO(K_{\wt X}-\mu^\star K_X)\otimes
\cI(\varphi\circ\mu)\big)=\mu_\star\big(\cO(R)\otimes
\cI(\varphi\circ\mu)\big).$$
Maintenant, les $(f_j\circ\mu)$ sont des g\'en\'erateurs de l'id\'eal
$\cO(-D)$, donc
$$\varphi\circ\mu\sim\alpha\sum\lambda_j\log|g_j|$$
o\`u les $g_j$ sont des g\'en\'erateurs locaux de $\cO(-D_j)$. Nous
sommes donc ramen\'es \`a calculer le faisceau d'id\'eaux multiplicateurs
dans le cas o\`u les p\^oles sont donn\'es par un $\bQ$-diviseur \`a
croisements normaux $\sum\alpha\lambda_jD_j$. Nous obtenons
$\cI(\varphi\circ\mu)=\cO(-\sum\lfloor\alpha\lambda_j\rfloor D_j)$,
donc
$$\cI(\varphi)=\mu_\star\cO_{\wt X}\big(\sum(\rho_j-\lfloor\alpha\lambda_j
\rfloor)D_j\big).\eqno\square$$
\endstate

\state 15.7. Exercice|\rm Calculer le faisceau d'id\'eaux
multiplicateurs $\cI(\varphi)$ associ\'e \`a la fonction psh
$\varphi=\log(|z_1|^{\alpha_1}+\cdots+|z_p|^{\alpha_p}),$
pour des nombres r\'eels arbitraires $\alpha_j>0$.\newline
{\sl Indication:} en utilisant la formule de Parseval et des coordonn\'ees
polaires $z_j=r_j\ee^{\ii\,\theta_j}$, montrer que le probl\`eme est
\'equivalent \`a d\'eterminer pour quels \hbox{$p$-uplets}
$(\beta_1\ld\beta_p)\in\bN^p$ l'int\'egrale
$$\int_{[0,1]^p}{r_1^{2\beta_1}\cdots r_p^{2\beta_p}\,r_1dr_1\cdots r_pdr_p
\over r_1^{2\alpha_1}+\cdots+r_p^{2\alpha_p}}=
\int_{[0,1]^p}{t_1^{(\beta_1+1)/\alpha_1}\cdots t_p^{(\beta_p+1)/\alpha_p}
\over t_1+\cdots+t_p}\prod_{j=1}^p{1\over 2\alpha_j}{dt_j\over t_j}$$
est convergente. D\'eduire de l\`a que $\cI(\varphi)$ est engendr\'e par
les mon\^omes $z_1^{\beta_1}\cdots z_p^{\beta_p}$ tels que
$\sum(\beta_p+1)/\alpha_p>1$. (Cet exercice montre que la d\'efinition
analytique de $\cI(\varphi)$ est parfois aussi tr\`es commode pour les
calculs).\square
\endstate

Soit $E$ un fibr\'e en droites sur $X$ muni d'une m\'etrique
singuli\`ere $h$ de courant de courbure $\Theta_h(E)$. Si $\varphi$ est
le poids repr\'esentant la m\'etrique $h$ sur un ouvert $\Omega\subset
X$, le faisceau d'id\'eaux $\cI(\varphi)$ est ind\'ependant du choix de
la trivialisation. Il est donc la restriction \`a $\Omega$ d'un
faisceau coh\'erent global sur $X$ que nous noterons indiff\'eremment
$\cI(h)=\cI(\varphi)$ par abus de notation. Dans ce contexte, nous
avons le th\'eor\`eme d'annulation fondamental suivant, qui est
probablement un des r\'esultats les plus centraux de la g\'eom\'etrie
alg\'ebrique ou analytique (comme nous le verrons plus tard, ce
th\'eor\`eme contient le th\'eor\`eme d'annulation de Kawamata-Viehweg
comme cas particulier).

\state 15.8. Th\'eor\`eme d'annulation de Nadel 
\index{161}{THE}{Th\'eor\`eme d'annulation de Nadel}%
\index{162}{NAD}{\hri th\'eor\`eme d'annulation de Nadel}%
{\rm([Nad89], [Dem93b])}|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne faiblement pseudoconvexe, et soit $E$ un fibr\'e en
droites holomorphe sur $X$ muni d'une m\'etrique hermitienne $h$
singuli\`ere de poids~$\varphi$. Supposons qu'il existe une fonction
continue positive $\varepsilon$ sur~$X$ telle que
$\ii\,\Theta_h(E)\ge\varepsilon\omega$. Alors
$$H^q\big(X,\cO(K_X+E)\otimes\cI(h)\big)=0\qquad
\hbox{pour tout $q\ge 1$.}$$
\endstate

\preuve. Soit $\cL^q$ le faisceau des germes de $(n,q)$-formes 
$u$ \`a valeurs dans $E$ et \`a coefficients mesurables, telles que \`a la
fois $|u|^2\ee^{-2\varphi}$ et $|d''u|^2\ee^{-2\varphi}$ soient localement
int\'egrables. L'op\'erateur $d''$ d\'efinit un complexe de faisceaux
$(\cL^\bu,d'')$ qui est une r\'esolution du faisceau $\cO(K_X+E)\otimes
\cI(\varphi)$\/: en effet, le noyau de $d''$ en degr\'e $0$ consiste en les
germes de $n$-formes holomorphes \`a valeurs dans $E$ qui satisfont la
condition d'int\'egrabilit\'e; donc la fonction coefficient appartient
\`a~$\cI(\varphi)$; l'exactitude en degr\'e $q\ge 1$ d\'ecoule du
corollaire~14.3 appliqu\'e \`a des boules arbitrairement petites.
Comme chaque faisceau $\cL^q$ est un ${\cal C}^\infty$-module, $\cL^\bu$ 
est une r\'esolution par des faisceaux acycliques. Soit $\psi$ une
fonction d'exhaustion psh de classe $C^\infty$ sur~$X$. Appliquons le
corollaire~14.3 globalement sur~$X$, avec la m\'etrique initiale de $E$
multipli\'ee par le facteur $\ee^{-\chi\circ\psi}$, o\`u $\chi$ est une
fonction convexe croissante de croissance arbitrairement rapide \`a l'infini.
Ce facteur peut \^etre utilis\'e pour assurer la convergence des int\'egrales
\`a l'infini. Du corollaire~14.3, nous d\'eduisons alors que
$H^q\big(\Gamma(X,\cL^\bu)\big)=0$ pour $q\ge 1$. Le th\'eor\`eme
s'ensuit gr\^ace \`a l'isomorphisme de De Rham-Weil (1.2).\square

\state 15.9. Corollaire|Soit $(X,\omega)$, $E$ et $\varphi$ comme
dans le th\'eor\`eme~$15.8$ et soient $x_1\ld x_N$ des points isol\'es
de la vari\'et\'e des z\'eros~$V(\cI(\varphi))$. Alors il existe une
application surjective
$$H^0(X,\cO(K_X+E))\lraww\bigoplus_{1\le j\le N}\cO(K_X+E)_{x_j}\otimes
\big(\cO_X/\cI(\varphi)\big)_{x_j}.$$
\endstate

\preuve. Consid\'erons la suite exacte longue de cohomologie associ\'ee
\`a la suite exacte courte $0\to\cI(\varphi)\to\cO_X\to\cO_X/\cI(\varphi)
\to 0$, tordue par $\cO(K_X+E)$, et appliquons le th\'eor\`eme~15.8
pour obtenir l'annulation du premier groupe $H^1$. La propri\'et\'e de
surjectivit\'e annonc\'ee s'ensuit.\square

\state 15.10. Corollaire|Soit $(X,\omega)$, $E$ et $\varphi$ comme dans
le th\'eor\`eme~$15.8$. Supposons que la fonction poids $\varphi$ soit telle
que $\nu(\varphi,x)\ge n+s$ en un certain point $x\in X$ tel que
$\nu(\varphi,y)<1$ pour $y\ne x$ assez voisin de~$x$. Alors $H^0(X,K_X+E)$
engendre tous les $s$-jets de sections au point~$x$.
\endstate

\preuve. Le lemme de Skoda 15.3~b) montre que $\ee^{-2\varphi}$ est
int\'egrable au voisinage de tout point~$y\ne x$ suffisamment proche de~$x$,
donc $\cI(\varphi)_y=\cO_{X,y}$, alors que $\cI(\varphi)_x\subset
\eum_{X,x}^{s+1}$ d'apr\`es 15.3~a). Le corollaire 15.10 est donc un cas
particulier de 15.9.\square

La philosophie de ces r\'esultats (qui peuvent \^etre consid\'er\'es comme
des g\'en\'era\-li\-sations du th\'eor\`eme de H\"ormander-Bombieri-Skoda
[Bom70], [Sko72,~75]) est que le probl\`eme de construire des sections
holomorphes de $K_X+E$ peut se r\'esoudre en construisant des m\'etriques
hermitiennes convenables sur $E$ telles que le poids $\varphi$ ait des
p\^oles logarithmiques isol\'es en des points donn\'es~$x_j$.

\state 15.11. Exercice|\rm Supposons que $X$ soit compacte et que $L$
soit un fibr\'e en droites positif sur~$X$. Soit $\{x_1\ld x_N\}$ un
ensemble fini. Montrer qu'il existe des constantes $a,b\ge 0$ d\'ependant
seulement de $L$ et $N$ telles que pour tout $s\in\bN$ le groupe
$H^0(X,\cO(mL))$ engendre les jets d'ordre $s$ en tout point $x_j$ pour
$m\ge as+b$.\newline
{\sl Indication:} Appliquer le corollaire~15.9 \`a $E=-K_X+mL$, avec une
m\'etrique singuli\`ere sur $L$ de la forme $h=h_0\ee^{-\varepsilon\psi}$,
o\`u $h_0$ est de classe $C^\infty$ \`a courbure positive, $\varepsilon>0$
petit, et $\psi(z)\sim\log|z-x_j|$ au voisinage de $x_j$.
D\'eduire de l\`a le th\'eor\`eme de plongement de Kodaira$\,$:
\endstate

\state 15.12. Th\'eor\`eme de plongement de Kodaira|Si $L$ est un
fibr\'e en droites sur une vari\'et\'e complexe compacte, $L$ est
ample si et seulement si $L$ est positif.\square
\endstate

Une fa\c con \'equivalente d'\'enoncer le th\'eor\`eme de plongement de
Kodaira est la suivante\/:

\state 15.13. Crit\`ere de projectivit\'e de Kodaira|Une vari\'et\'e
\index{163}{CRI}{Crit\`ere de projectivit\'e de Kodaira}%
\index{164}{KOD}{\hri crit\`ere de projectivit\'e de Kodaira}%
complexe compacte $X$ est alg\'ebrique projective si et seulement si $X$
poss\`ede une m\'etrique de Hodge, c'est-\`a-dire une m\'etrique
k\"ahl\'erienne de classe de cohomologie enti\`ere.
\endstate

\preuve. Si $X\subset\bP^N$ est alg\'ebrique projective, alors la
restriction de la m\'etrique de Fubini-Study \`a $X$ est une m\'etrique de
Hodge. Inversement, si $X$ poss\`ede une m\'etrique de Hodge~$\omega$, la
classe de cohomologie repr\'esentant $\{\omega\}$ dans $H^2(X,\bZ)$
d\'efinit un fibr\'e en droites complexe topologique (i.e.\ de classe $C^\infty$),
soit~$L$. Comme $\omega$ est de type $(1,1)$, la suite exacte
exponentielle~(8.20) 
$$H^1(X,\cO_X^\star)\to H^2(X,\bZ)\to H^2(X,\cO)=H^{0,2}(X,\bC)$$
montre qu'on peut repr\'esenter le fibr\'e en droites $L$ par un
cocycle de $H^1(X,\cO_X^\star)$, en d'autres termes, $L$ peut \^etre
muni d'une structure holomorphe. De plus, il existe une m\'etrique
hermitienne $h$ sur $L$ telle que ${\ii\over 2\pi}\Theta_h(L)=\omega$.
Par cons\'equent $L$ est ample et $X$ est projective.\square

\state 15.14. Exercice {\rm (conditions de Riemann caract\'erisant
\index{165}{RIE}{Riemann, conditions de}%
\index{166}{VAR}{Vari\'et\'e ab\'elienne}%
\index{167}{ABE}{\hri vari\'et\'e ab\'elienne}%
les vari\'et\'es ab\'eliennes)}|\rm Un tore complexe
$X=\bC^n/\Gamma$ est appel\'e {\sl vari\'et\'e ab\'elienne}
si $X$ est alg\'ebrique projective. Montrer en utilisant (15.13) qu'un
tore $X$ est une vari\'et\'e ab\'elienne si et seulement si il existe une
forme hermitienne d\'efinie positive $H$ sur $\bC^n$ telle que
$\Im H(\gamma_1,\gamma_2)\in\bZ$ pour tous $\gamma_1,\gamma_2$ dans
le r\'eseau $\Gamma$.\newline
{\sl Indication\/}\/: utiliser un proc\'ed\'e de moyennisation pour r\'eduire
la d\'emonstration au cas de m\'etriques k\"ahl\'eriennes invariantes par
translations. Observer que les tores r\'eels $\bZ\gamma_1+\bZ\gamma_2$
d\'efinissent un syst\`eme de g\'en\'erateurs du groupe d'homologie
$H_2(X,\bZ)$ et que $\int_{\bZ\gamma_1+\bZ\gamma_2}\omega=
\omega(\gamma_1,\gamma_2)$.
\endstate

\state 15.15. Exercice {\rm (solution du probl\`eme de Levi)}|\rm Montrer
que les deux propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes.
\index{168}{PRO}{Probl\`eme de Levi}%
\smallskip
\item{\rm a)} $X$ est fortement pseudoconvexe, i.e.\ $X$ admet une
fonction d'exhaustion fortement psh.
\smallskip
\item{\rm b)} $X$ est de Stein, i.e.\ les fonctions holomorphes globales
\index{169}{VAR}{Vari\'et\'e de Stein}%
s\'eparent les points, fournissent des syst\`emes de coordonn\'ees locales
en tout point, et $X$ est holomorphiquement convexe $($par d\'efinition,
ceci signifie que pour toute suite discr\`ete $(z_\nu)$ dans $X$ il existe 
une fonction $f\in H^0(X,\cO_X)$ telle que \hbox{$|f(z_\nu)|\to
\infty)$}.\square
\vskip0pt
\endstate

\state 15.16. Remarque|\rm Tant que l'on s'int\'eresse seulement au cas
des formes de bidegr\'e~$(n,q)$, $n=\dim X$, les estimations $L^2$
s'\'etendent aux espaces complexes poss\'edant des singularit\'es
arbitraires. En effet, si $X$ est un espace complexe et $\varphi$ une
fonction poids psh sur~$X$, on peut encore d\'efinir un faisceau
$K_X(\varphi)$ sur~$X$, tel que les sections de $K_X(\varphi)$ sur un
ouvert $U$ sont les $n$-formes holomorphes $f$ sur la partie r\'eguli\`ere
$U\cap X_\reg$, satisfaisant la condition d'int\'egrabilit\'e
$\ii^{n^2}f\wedge\ol f\,\ee^{-2\varphi}\in L^1_\loc(U)$. Dans ce contexte,
la propri\'et\'e de fonctorialit\'e 15.5 s'\'ecrit
$$\mu_\star\big(K_{X'}(\varphi\circ\mu)\big)=K_X(\varphi),$$
et elle est valable pour des espaces complexes $X$, $X'$ arbitraires,
$\mu:X'\to X$ \'etant une modi\-fi\-cation. Si $X$ est non singulier, on a
$K_X(\varphi)=\cO(K_X)\otimes\cI(\varphi)$, cependant, si $X$ est
singulier, le symboles $K_X$ et $\cI(\varphi)$ ne doivent pas \^etre
dissoci\'es. L'\'enonc\'e du th\'eor\`eme d'annulation de Nadel devient
$H^q(X,\cO(E)\otimes K_X(\varphi))=0$ pour $q\ge 1$, sous les m\^emes
hypoth\`eses ($X$~k\"ahl\'erien et faiblement pseudoconvexe, courbure
de $E\ge\varepsilon\omega$). La preuve s'obtient en restreignant toute
la situation \`a $X_\reg$. Bien qu'en g\'en\'eral $X_\reg$ ne soit pas
faiblement pseudoconvexe (une condition n\'ecessaire pour qu'il le soit
est que \hbox{$\codim X_\sing=1$)}, $X_\reg$ est toujours k\"ahl\'erien
complet (le compl\'ementaire d'un sous-ensemble analytique dans un espace
k\"ahl\'erien faiblement pseudoconvexe est k\"ahl\'erien complet, voir
par exemple [Dem82]). Par cons\'equent, le th\'eor\`eme d'annulation
de Nadel est essentiellement insensible \`a la pr\'esence de
singularit\'es.\square
\endstate

Nous d\'eduisons maintenant une version alg\'ebrique du th\'eor\`eme
d'annulation de Nadel obtenue ind\'ependamment par Kawamata [Kaw82] et
Viehweg [Vie82] (la preuve originale reposait sur une m\'ethode
diff\'erente, utilisant des rev\^etements cycliques pour ramener la
situation au cas du th\'eor\`eme de Kodaira usuel). Avant d'\'enoncer
le th\'eor\`eme, nous avons besoin d'une d\'efinition.

\state 15.17. D\'efinition|Un fibr\'e en droites $L$ sur une
\index{170}{FIB}{Fibr\'e en droites gros}%
vari\'et\'e complexe compacte est dit gros si sa dimension de Kodaira est
\'egale \`a $n=\dim X$, c'est-\`a-dire, s'il existe une constante $c>0$ telle
que
$$H^0(X,\cO(kL))\ge c\,k^n,\qquad k\ge k_0.$$
\endstate

\state 15.18. D\'efinition|Un fibr\'e en droites $L$ sur une
vari\'et\'e alg\'ebrique projective est dit num\'eri\-quement effectif
\index{171}{FIB}{Fibr\'e en droites nef}%
\index{172}{NEF}{\hri fibr\'e en droites nef}%
$($nef en abr\'eg\'e$)$ si $L$ satisfait l'une des trois propri\'et\'es
\'equivalentes qui suivent\/:
\smallskip
\item{\rm a)} Pour toute courbe alg\'ebrique irr\'eductible $C\subset X$, on a
$L\cdot C=\int_C c_1(L)\ge 0$.
\smallskip
\item{\rm b)} Si $A$ est un fibr\'e en droites ample, alors $kL+A$ est ample
pour tout $k\ge 0$.
\smallskip
\item{\rm c)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une m\'etrique
hermitienne $h_\varepsilon$ de classe $C^\infty$ sur $L$ telle que
$\ii\Theta_{h_\varepsilon}(L)\ge-\varepsilon\omega$, o\`u $\omega$ est une
m\'etrique hermitienne fix\'ee sur~$X$.
\vskip0pt
\endstate

L'\'equivalence des propri\'et\'es 15.18~a) et b) est bien connue et
nous l'admettrons ici (voir par exemple Hartshorne [Har70] pour la
d\'emonstration). Il est clair d'autre part que 15.18~c) implique
15.18~a), tandis que 15.18~b) implique 15.18~c); en effet si
$\omega={\ii\over 2\pi}\Theta(A)$ est la courbure d'une m\'etrique de
$A$ \`a courbure positive, et si $h_k$ est une m\'etrique sur $L$
induisant une m\'etrique \`a courbure positive sur $kL+A$, il vient
$k{\ii\over 2\pi}\Theta(L)+{\ii\over 2\pi}\Theta(A)>0$, d'o\`u ${\ii\over
2\pi}\Theta(L)\ge -{1\over k}\omega$. Maintenant, si
$D=\sum\alpha_jD_j\ge 0$ est un $\bQ$-diviseur effectif, nous
d\'efinissons le {\sl faisceau d'id\'eaux multiplicateurs} $\cI(D)$
comme \'etant le faisceau $\cI(\varphi)$ associ\'e \`a la fonction psh
$\varphi=\sum\alpha_j\log|g_j|$ d\'efinie par des g\'en\'erateurs $g_j$ de
$\cO(-D_j)\,$; d'apr\`es la remarque~15.6, le calcul de $\cI(D)$ peut
se faire alg\'ebriquement en utilisant des d\'esingularisations
\hbox{$\mu:\wt X\to X$} telles que $\mu^\star D$ devienne un diviseur
\`a croisements normaux sur~$\wt X$.

\state 15.19. Th\'eor\`eme d'annulation de Kawamata-Viehweg|Soit $X$ une
\index{173}{THE}{Th\'eor\`eme d'annulation de Kawamata-Viehweg}%
vari\'et\'e alg\'ebrique projective lisse et soit $F$ un fibr\'e en
droites sur $X$ tel que $F$ poss\`ede un multiple $mF$ s'\'ecrivant
sous la forme $mF=L+D$ o\`u $L$ est un fibr\'e en droites nef et gros,
et $D$ un diviseur effectif.  Alors
$$H^q\big(X,\cO(K_X+F)\otimes\cI(m^{-1}D)\big)=0~~~~\hbox{\sl pour}~~q\ge 1.$$
\endstate

\state 15.20. Corollaire|Si $F$ est nef et gros, alors
$H^q\big(X,\cO(K_X+F))=0$ pour $q\ge 1$.
\endstate

\preuve. Soit $A$ un diviseur tr\`es ample non singulier. On a une 
suite exacte
$$0\to H^0(X,\cO(kL-A))\to H^0(X,\cO(kL))\to H^0(A,\cO(kL)_{\restr A}),$$
et $\dim H^0(A,\cO(kL)_{\restr A})\le C\,k^{n-1}$ pour une certaine
constante $C\ge 0$. Comme $L$ est gros, il existe un entier $k_0\gg 0$ tel
que $\cO(k_0L-A)$ poss\`ede une section non triviale. Si $E$ est le diviseur
de cette section, on obtient $\cO(k_0L-A)\simeq\cO(E)$, donc
$\cO(k_0L)\simeq\cO(A+E)$. Maintenant, pour $k\ge k_0$, il vient
$\cO(kL)=\cO((k-k_0)L+A+E)$. D'apr\`es 15.18~b), le fibr\'e en droites
$\cO((k-k_0)L+A)$ est ample, donc il peut \^etre muni d'une m\'etrique
hermitienne $h_k=\ee^{-\varphi_k}$ de classe $C^\infty$ et de forme de
courbure d\'efinie positive $\omega_k={\ii\over 2\pi}\Theta((k-k_0)L+A)$.
Soit $\varphi_D=\sum\alpha_j\log|g_j|$ le poids de la m\'etrique
singuli\`ere sur $\cO(D)$ d\'ecrite dans l'exemple~11.21, telle que
${\ii\over 2\pi}\Theta(\cO(D))=[D]$, et de fa\c con analogue, soit
$\varphi_E$ le poids tel que ${\ii\over 2\pi}\Theta(\cO(E))=[E]$.
On d\'efinit une m\'etrique singuli\`ere sur $\cO(kL)=\cO((k-k_0)L+A+E)$
au moyen du poids $\varphi_k+\varphi_E$, et on obtient alors une m\'etrique
singuli\`ere sur $\cO(mF)=\cO(L+D)$ en consid\'erant le poids
${1\over k}(\varphi_k+\varphi_E)+\varphi_D$. Finalement, on obtient
une m\'etrique sur $F$ de poids
$$\varphi_F={1\over km}(\varphi_k+\varphi_E)+{1\over m}\varphi_D.$$
La forme de courbure correspondante est
$${\ii\over 2\pi}\Theta(F)={1\over km}(\omega_k+[E])+{1\over m}[D]\ge
{1\over km}\omega_k>0.$$
De plus $\varphi_F$ a des singularit\'es alg\'ebriques, et en prenant $k$
assez grand il vient
$$\cI(\varphi_F)=\cI\Big({1\over km}E+{1\over m}D\Big)=
\cI\Big({1\over m}D\Big).$$
En effet, $\cI(\varphi_F)$ se calcule en prenant la partie enti\`ere d'un
$\bQ$-diviseur \`a croisements normaux, obtenu au moyen d'une modification
ad\'equate (comme il a \'et\'e expliqu\'e \`a la remarque~15.6). Le diviseur
${1\over km}E+{1\over m}D$ fournit donc la m\^eme partie enti\`ere que
${1\over m}D$ lorsque $k$ est grand. Le th\'eor\`eme de Nadel implique
alors le r\'esultat d'annulation d\'esir\'e pour tout $q\ge 1$.\square

\section \Smark16. Sur la conjecture de Fujita|

Etant donn\'e un fibr\'e en droites $L$ ample, une question fondamentale
est de d\'eterminer un entier effectif $m_0$ tel que $mL$ soit tr\`es ample
pour $m\ge m_0$. L'exemple o\`u $X$ est une courbe hyperelliptique de genre
$g$ et o\`u $L=\cO(p)$ est associ\'e \`a un des $2g+2$ points de Weierstrass
montre que $m_0$ doit \^etre au moins \'egal \`a $2g+1$ (on v\'erifie
par ailleurs assez facilement que $m_0=2g+1$ r\'epond toujours \`a la
question pour une courbe). Il en r\'esulte que $m_0$ doit n\'ecessairement
d\'ependre de la g\'eom\'etrie de $X$, et ne peut pas d\'ependre seulement
de la dimension de~$X$. Cependant, lorsque $mL$ est remplac\'e par
le fibr\'e en droites ``adjoint'' $K_X+mL$, une r\'eponse universelle
simple semble pouvoir se d\'egager.

\state 16.1. Conjecture de Fujita {\rm([Fuj87])}|Si $L$ est un
\index{174}{CON}{Conjecture de Fujita}%
\index{175}{FUJ}{\hri conjecture de Fujita}%
fibr\'e en droites ample sur une vari\'et\'e projective de dimension~$n$,
alors
\smallskip
\item{\rm i)} $K_X+(n+1)L$ est engendr\'e par ses sections globales$\,;$
\smallskip
\item{\rm ii)} $K_X+(n+2)L$ est tr\`es ample.
\vskip0pt
\endstate

Les bornes pr\'edites par la conjecture sont optimales pour $(X,L)=
(\bP^n,\cO(1))$, puisqu'on a alors $K_X=\cO(-n-1)$. La conjecture est
facile \`a v\'erifier dans le cas des courbes (exercice$\,$!), et
I.~Reider [Rei88] a r\'esolu la conjecture par l'affirmative dans le
cas $n=2$. Ein-Lazarsfeld [EL93] et Fujita [Fuj93] sont parvenus
\`a \'etablir la partie i) en dimension~$3$, et un raffinement tr\`es 
pouss\'e de leur technique a permis \`a Kawamata [Kaw95] d'atteindre
aussi le cas de la dimension~$4$\bottomnote{1}
{La technique de Fujita [Fuj93] et Kawamata [Kaw95] vient d'\^etre 
consid\'erablement simplifi\'ee et clarifi\'ee par S.~Helmke [Hel96].}.
Les autres cas de la conjecture, \`a
savoir i) pour $n\ge 5$ et ii) pour $n\ge 3$, restent pour
l'instant non r\'esolus. Le premier pas en direction de la conjecture
pour la dimension $n$ quelconque a \'et\'e r\'ealis\'e en 1991 (travail
paru 2 ans plus tard dans [Dem93]), au moyen d'une m\'ethode analytique
reposant sur la r\'esolution d'une \'equation de Monge-Amp\`ere.
D'autres r\'esultats similaires ont \'et\'e obtenus par Koll\'ar
[Kol92] par des m\'ethodes enti\`erement alg\'ebriques; nous renvoyons
\`a [Laz93] pour un excellent article de synth\`ese consacr\'e \`a ces
d\'eveloppements, ainsi qu'\`a [Dem94] pour le versant analytique de
la th\'eorie.

Ce paragraphe est consacr\'e \`a la d\'emonstration de quelques
r\'esultats li\'es \`a la conjecture de Fujita en dimension arbitraire.
Les id\'ees principales mises en jeu ici sont inspir\'ees d'un travail
r\'ecent de Y.T.~Siu [Siu96]. La m\'ethode de Siu, qui est de nature
alg\'ebrique et relativement \'el\'ementaire, consiste \`a combiner la
formule de Riemann-Roch avec le th\'eor\`eme d'annulation de
Kawamata-Viehweg (il sera cependant beaucoup plus commode d'utiliser ce
th\'eor\`eme dans la formulation de Nadel faisant intervenir le
faisceau d'id\'eaux multiplicateurs). Dans toute la suite, $X$
d\'esigne une vari\'et\'e projective alg\'ebrique de dimension~$n$. La
premi\`ere observation utile est la cons\'equence classique suivante de
la formule de Riemann-Roch$\,$:

\state 16.2. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch|Soit
$\cJ\subset\cO_X$ un faisceau d'id\'eaux coh\'erent sur $X$ tel que la
vari\'et\'e des z\'eros $V(\cJ)$ soit de dimension $d$ $($avec
\'eventuellement des composantes de dimension plus basse$)$.
Soit $Y=\sum\lambda_jY_j$ le cycle alg\'ebrique effectif de dimension
$d$ associ\'e aux composantes de dimension $d$ de~$V(\cJ)$ $($les
multiplicit\'es $\lambda_j$ prennent en compte les multiplicit\'es
de l'id\'eal $\cJ$ le long de chaque composante$)$. Alors,
pour tout fibr\'e en droites $E$, la caract\'eristique d'Euler
$\chi(X,\cO(E+mL)\otimes\cO_X/\cO(\cJ))$ est un polyn\^ome $P(m)$ de 
degr\'e $d$ et de coefficient directeur $L^d\cdot Y/d!$\square
\endstate

Le deuxi\`eme fait utile est un lemme \'el\'ementaire concernant les
polyn\^omes num\'eriques (polyn\^omes \`a coefficients rationnels,
d\'efinissant une application de $\bZ$ dans $\bZ$).

\state 16.3. Lemme|Soit $P(m)$ un polyn\^ome num\'erique de degr\'e $d>0$
et de coefficient directeur $a_d/d!$, $a_d\in\bZ$, $a_d>0$. On suppose que
$P(m)\ge 0$ pour tout $m\ge m_0$. Alors
\smallskip
\item{\rm a)} Pour tout $N\ge0$, il existe $m\in[m_0,m_0+Nd]$
tel que~\hbox{$P(m)\ge N$}.
\smallskip
\item{\rm b)} Pour tout $k\in\bN$, il existe $m\in[m_0,m_0+kd]$ tel
que \hbox{$P(m)\ge a_dk^d/2^{d-1}$}.
\smallskip
\item{\rm c)} Pour tout $N\ge 2d^2$, il existe $m\in[m_0,m_0+N]$ tel que
\hbox{$P(m)\ge N$}.
\vskip0pt
\endstate

\preuve. a) Chacune des $N$ \'equations $P(m)=0$, $P(m)=1$,
$\ldots$, $P(m)=N-1$ a au plus $d$ racines, donc il y a n\'ecessiarement
un entier $m\in[m_0,m_0+dN]$ qui n'est pas une racine de ces \'equations.
\smallskip\noindent
b) Gr\^ace \`a la formule de Newton pour les diff\'erences it\'er\'ees
$\Delta P(m)=P(m+1)-P(m)$, nous obtenons
$$\Delta^dP(m)=\sum_{1\le j\le d}(-1)^j{d\choose j}P(m+d-j)=a_d,
\qquad\forall m\in\bZ.$$
Par suite, si $j\in\big\{0,2,4\ld 2\lfloor d/2\rfloor\big\}\subset[0,d]$ est
l'entier pair r\'ealisant le maximum de $P(m_0+d-j)$ sur cet ensemble fini,
nous obtenons
$$2^{d-1}P(m_0+d-j)=\left({d\choose 0}+{d\choose 2}+\cdots\right)P(m_0+d-j)
\ge a_d,$$
d'o\`u l'existence d'un entier $m\in[m_0,m_0+d]$ avec $P(m)\ge
a_d/2^{d-1}$. Le r\'esultat est donc d\'emontr\'e pour $k=1$. Dans le cas
g\'en\'eral, nous appliquons ce r\'esultat particulier au polyn\^ome
$Q(m)=P(km-(k-1)m_0)$, dont le coefficient directeur est $a_dk^d/d!$
\smallskip\noindent
c) Si $d=1$, la partie a) donne d\'ej\`a le r\'esultat. Si $d=2$, un coup
d'oeil \`a la parabole montre que
$$\max_{m\in[m_0,m_0+N]}P(m)\ge\cases{
a_2N^2/8&si $N$ est pair,\cr
a_2(N^2-1)/8&si $N$ est impair;\cr}$$
donc $\max_{m\in[m_0,m_0+N]}P(m)\ge N$ chaque fois que $N\ge 8$. Si $d\ge 3$,
nous appliquons b) avec $k$ \'egal au plus petit entier tel que $k^d/2^{d-1}
\ge N$, i.e.\ $k=\lceil 2(N/2)^{1/d}\rceil$, o\`u $\lceil x\rceil\in\bZ$
d\'esigne l'entier arrondi par exc\`es. Alors
$$kd\le (2(N/2)^{1/d}+1)d\le N$$
d\`es que $N\ge 2d^2$, comme on le voit apr\`es un bref calcul.\square

Nous appliquons maintenant le th\'eor\`eme d'annulation de Nadel d'une
mani\`ere analogue \`a celle de Siu [Siu96], avec quelques simplifications
dans la technique et quelques am\'eliorations pour les bornes. Notre
m\'ethode donne simultan\'ement une preuve simple d'un r\'esultat
fondamental classique d\^u \`a Fujita.

\state 16.4. Th\'eor\`eme {\rm (Fujita)}|Si $L$ est un fibr\'e en
\index{176}{FUJ}{\hri th\'eor\`eme de Fujita}%
\index{177}{THE}{Th\'eor\`eme de Fujita}%
droites ample sur une vari\'et\'e projective $X$ de dimension~$n$,
alors $K_X+(n+1)L$ est nef.  
\endstate

En utilisant la th\'eorie de Mori et le ``{\sl base point free theorem}''
([Mor82], [Kaw84]), on peut montrer en fait que $K_X+(n+1)L$ est semi-ample,
c'est-\`a-dire qu'il existe un entier positif $m$ tel que $m(K_X+(n+1)L)$ soit
engendr\'e par ses sections (voir [Kaw85] et [Fuj87]). La preuve repose sur
l'observation que $n+1$ est la longueur maximale des rayons extr\^emaux de
vari\'et\'es projectives lisses de dimension~$n$. Notre d\'emonstration
de (16.4) est diff\'erente et s'obtient en m\^eme temps que la
d\'emonstration du th.~(16.5) ci-dessous.

\state 16.5. Th\'eor\`eme|Soit $L$ un fibr\'e en droites ample et soit
$G$ un fibr\'e en droites nef sur une vari\'et\'e projective $X$ de
dimension~$n$. On a alors les propri\'et\'es suivantes.
\smallskip
\item{\rm a)} $2K_X+mL+G$ engendre les jets simultan\'es d'ordre
$s_1\ld s_p\in\bN$ en des points arbitraires $x_1\ld x_p\in X$, i.e., il
existe une application surjective
$$H^0(X,\cO(2K_X+mL+G))\lraww\bigoplus_{1\le j\le p}\cO(2K_X+mL+G)\otimes
\cO_{X,x_j}/\eum_{X,x_j}^{s_j+1},$$
d\`es que $\disp m\ge 2+\sum_{1\le j\le p}{3n+2s_j-1\choose n}$.\newline
En particulier $2K_X+mL+G$ est tr\`es ample pour
$\disp m\ge 2+{3n+1\choose n}$.
\smallskip
\item{\rm b)} $2K_X+(n+1)L+G$ engendre les jets simultan\'es d'ordre
$s_1\ld s_p$ en des points arbitraires $x_1\ld x_p\in X$ d\`es que
les nombres d'intersection $L^d\cdot Y$ de $L$ sur tous les sous-ensembles
alg\'ebriques $Y$ de $X$ de dimension $d$ sont tels que
$$L^d\cdot Y>{2^{d-1}\over\lfloor n/d\rfloor^d}\sum_{1\le j\le p}
{3n+2s_j-1\choose n}.$$
\endstate

\preuve. Les d\'emonstrations de (16.4) et (16.5$\,$a,$\,$b) sont
tout \`a fait parall\`eles, c'est pourquoi nous les pr\'esenterons
simultan\'ement (dans le cas de (16.4), on convient simplement que
$\{x_1\ld x_p\}=\emptyset$). L'id\'ee est de trouver un entier (ou un
rationnel) $m_0$ et une m\'etrique hermitienne singuli\`ere $h_0$ sur
$K_X+m_0L$ dont le courant de courbure est strictement positif,
$\ii\Theta_{h_0}\ge\varepsilon\omega$, telle que $V(\cI(h_0))$ 
soit de dimension $0$ et telle que le poids $\varphi_0$ de $h_0$ satisfasse
$\nu(\varphi_0,x_j)\ge n+s_j$ pour tout~$j$. Comme $L$ et $G$ sont nefs,
15.18~c) implique que $(m-m_0)L+G$ poss\`ede pour tout $m\ge m_0$ une
m\'etrique $h'$ dont la courbure $\ii\Theta_{h'}$ a une
partie n\'egative arbitrairement petite, disons 
$\ii\Theta_{h'}\ge -{\varepsilon\over 2}\omega$.
Alors $\ii\Theta_{h_0}+\ii\Theta_{h'}\ge{\varepsilon\over 2}\omega$
est positive d\'efinie. Une application du Cor.~15.9 \`a
$F=K_X+mL+G=(K_X+m_0 L) +((m-m_0)L+G)$ muni de la m\'etrique
$h_0\otimes h'$ garantit l'existence des sections de $K_X+F=2K_X+mL+G$
r\'ealisant les jets d\'esir\'es pour $m\ge m_0$.

Fixons un plongement $\Phi_{|\mu L|}:X\to\bP^N$, $\mu\gg 0$, donn\'e
par des sections $\lambda_0\ld\lambda_N\in H^0(X,\mu L)$, et soit $h_L$
la m\'etrique associ\'ee sur $L$, de forme de courbure d\'efinie positive 
$\omega=\Theta(L)$. Pour obtenir la m\'etrique d\'esir\'ee $h_0$ sur
$K_X+m_0 L$, on fixe un entier $a\in\bN^\star$ et on utilise une
proc\'ed\'e de r\'ecurrence double pour construire des m\'etriques
singuli\`eres $(h_{k,\nu})_{\nu\ge 1}$ sur $aK_X+b_kL$, pour une suite
d\'ecroissante (au sens large) d'entiers positifs $b_1\ge
b_2\ge\cdots\ge b_k\ge\cdots\,$. Une telle suite est n\'ecessairement
stationnaire et $m_0$ sera pr\'ecis\'ement la limite stationnaire
$m_0=\lim b_k/a$. Les m\'etriques $h_{k,\nu}$ sont choisies de sorte
qu'elles satisfassent les propri\'et\'es suivantes$\,$:
\smallskip
\item{$\alpha\!)$} $h_{k,\nu}$ est une m\'etrique ``alg\'ebrique'' de la
forme
$$\|\xi\|_{h_{k,\nu}}^2={|\tau_k(\xi)|^2\over
\big(\sum_{1\le i\le\nu,\,0\le j\le N}\big|\tau_k^{(a+1)\mu}(\sigma_i^{a\mu}
\cdot\lambda_j^{(a+1)b_k-am_i})\big|^2\big)^{1/(a+1)\mu}},$$
d\'efinie par des sections $\sigma_i\in H^0\big(X,\cO((a+1)K_X+m_iL)\big)$,
$m_i<{a+1\over a}b_k$, $1\le i\le\nu$, o\`u \hbox{$\xi\mapsto\tau_k(\xi)$}
est une trivialisation locale arbitraire de $aK_X+b_kL\,$;\newline
notons que $\sigma_i^{a\mu}\cdot\lambda_j^{(a+1)b_k-am_i}$ est une section de
$$a\mu((a+1)K_X+m_iL)+((a+1)b_k-am_i)\mu L=(a+1)\mu(aK_X+b_kL).$$
\item{$\beta\kern-1pt)$\kern-1pt} $\ord_{x_j}(\sigma_i)\ge(a+1)(n+s_j)$ pour
tout $i,j\,$;
\smallskip
\item{$\gamma)$} $\cI(h_{k,\nu+1})\supset\cI(h_{k,\nu})$ et
$\cI(h_{k,\nu+1})\ne\cI(h_{k,\nu})$ tant que la vari\'et\'e des z\'eros
$V(\cI(h_{k,\nu}))$ est de dimension positive.
\medskip\noindent
Le poids $\varphi_{k,\nu}={1\over 2(a+1)\mu}\log\sum\big|\tau_k^{(a+1)\mu}
(\sigma_i^{a\mu}\cdot\lambda_j^{(a+1)b_k-am_i})\big|^2$ de $h_{k,\nu}$ est
plurisous\-harmonique et la condition $m_i<{a+1\over a}b_k$ implique
$(a+1)b_k-am_i\ge 1$, donc la diff\'erence
$\varphi_{k,\nu}-{1\over2(a+1)\mu}\log\sum|\tau(\lambda_j)|^2$ est aussi
plurisousharmonique. Par suite ${\ii\over 2\pi}
\Theta_{h_{k,\nu}}(aK_X+b_kL)={\ii\over\pi}d'd''\varphi_{k,\nu}
\ge{1\over(a+1)}\omega$. De plus, la condition $\beta)$ implique
clairement $\nu(\varphi_{k,\nu},x_j)\ge a(n+s_j)$. Finalement, la
condition $\gamma)$ combin\'ee avec la propri\'et\'e noeth\'erienne forte
des faisceaux coh\'erents garantit que la suite $(h_{k,\nu})_{\nu\ge 1}$
va finalement produire un sous-sch\'ema $V(\cI(h_{k,\nu}))$ de dimension~$0$.
On convient que la suite $(h_{k,\nu})_{\nu\ge 1}$ s'arr\^ete \`a ce point,
et on note $h_k=h_{k,\nu}$ la m\'etrique finale ainsi atteinte, telle que
$\dim V(\cI(h_k))=0$.

Pour $k=1$, il est clair que les m\'etriques d\'esir\'ees
$(h_{1,\nu})_{\nu\ge 1}$ existent si $b_1$ est choisi assez grand
(disons tel que $(a+1)K_X+(b_1-1)L$ engendre les jets d'ordre
$(a+1)(n+\max s_j)$ en tout point; alors les sections
$\sigma_1\ld\sigma_\nu$ peuvent \^etre choisie telles que
$m_1=\cdots=m_\nu=b_1-1$). Supposons que les m\'etriques
$(h_{k,\nu})_{\nu\ge 1}$ et $h_k$ aient d\'ej\`a \'et\'e construites et
proc\'edons \`a la construction de $(h_{k+1,\nu})_{\nu\ge 1}$.
On utilise de nouveau une r\'ecurrence sur~$\nu$, en supposant que
$h_{k+1,\nu}$ est d\'ej\`a construite et que $\dim V(\cI(h_{k+1,\nu}))>0$.
Nous commencerons en fait la r\'ecurrence par $\nu=0$, et
convenons dans ce cas que $\cI(h_{k+1,0})=0$ (ceci correspondrait \`a une
m\'etrique infinie de poids identiquement \'egal \`a $-\infty$). Gr\^ace
au th\'eor\`eme d'annulation de Nadel appliqu\'e \`a
$F_m=aK_X+mL=(aK_X+b_kL)+(m-b_k)L$ pour la m\'etrique
$h_k\otimes(h_L)^{\otimes m-b_k}$, nous obtenons
$$H^q(X,\cO((a+1)K_X+mL)\otimes\cI(h_k))=0\qquad
\hbox{\rm pour $q\ge 1$, $m\ge b_k$.}$$
Comme $V(\cI(h_k))$ est de dimension~$0$, le faisceau $\cO_X/\cI(h_k)$ est
un faisceau gratte-ciel, et la suite exacte $0\to\cI(h_k)\to\cO_X\to
\cO_X/\cI(h_k)\to 0$ tordue par le faisceau inversible $\cO((a+1)K_X+mL)$
montre que
$$H^q(X,\cO((a+1)K_X+mL))=0\qquad \hbox{\rm pour $q\ge 1$, $m\ge b_k$.}$$
De mani\`ere analogue, nous trouvons
$$H^q(X,\cO((a+1)K_X+mL)\otimes\cI(h_{k+1,\nu}))=0\qquad
\hbox{\rm pour $q\ge 1$, $m\ge b_{k+1}$}$$
(c'est aussi vrai pour $\nu=0$, puisque $\cI(h_{k+1,0})=0$), et lorsque
$$m\ge\max(b_k,b_{k+1})=b_k,$$
la suite exacte $0\to\cI(h_{k+1,\nu})\to\cO_X\to\cO_X/\cI(h_{k+1},\nu)\to 0$
implique
$$H^q(X,\cO((a+1)K_X+mL)\otimes\cO_X/\cI(h_{k+1,\nu}))=0\qquad
\hbox{\rm pour $q\ge 1$, $m\ge b_k$.}$$
En particulier, puisque le groupe $H^1$ ci-dessus s'annule, toute section 
$u'$ de $(a+1)K_X+mL$ sur le sous-sch\'ema $V(\cI(h_{k+1,\nu}))$ poss\`ede 
une extension $u$ \`a~$X$. Fixons une base $u_1'\ld u_N'$ des sections de 
ce faisceau sur $V(\cI(h_{k+1,\nu}))$ et prenons des extensions arbitraires
$u_1\ld u_N$ \`a~$X$. Consid\'erons l'application lin\'eaire
attribuant \`a chaque section $u$ sur $X$ la collection des jets d'ordre
$(a+1)(n+s_j)-1$ aux points $x_j$, soit
$$u=\sum_{1\le j\le N}a_ju_j\longmapsto
\bigoplus J^{(a+1)(n+s_j)-1}_{x_j}(u).$$
Puisque le rang du fibr\'e des $s$-jets est ${n+s\choose n}$, l'espace
cible est de dimension
$$\delta=\sum_{1\le j\le p}{n+(a+1)(n+s_j)-1\choose n}.$$
Pour obtenir une section $\sigma_{\nu+1}=u$ satisfaisant la condition $\beta)$
et ayant une restriction non triviale $\sigma'_{\nu+1}$ \`a
$V(\cI(h_{k+1,\nu}))$, nous avons besoin d'au moins $N=\delta+1$ sections
ind\'ependantes $u'_1\ld u'_N$. Cette condition va \^etre r\'ealis\'ee
en appliquant le lemme~(16.3) au polyn\^ome num\'erique
$$\eqalign{P(m)
&=\chi(X,\cO((a+1)K_X+mL)\otimes\cO_X/\cI(h_{k+1,\nu}))\cr
&=h^0(X,\cO((a+1)K_X+mL)\otimes\cO_X/\cI(h_{k+1,\nu}))\ge 0,\qquad
m\ge b_k.\cr}$$
Le polyn\^ome $P$ est de degr\'e $d=\dim V(\cI(h_{k+1,\nu}))>0$.
Nous obtenons donc l'existence d'un entier $m\in[b_k,b_k+\eta]$ tel que
$N=P(m)\ge\delta+1$, pour un certain entier explicite $\eta\in\bN$
(par exemple $\eta=n(\delta+1)$ convient toujours d'apr\`es (16.3$\,$a),
mais il sera \'egalement important d'utiliser les autres possibilit\'es
pour optimiser les choix). Nous trouvons alors une section
$\sigma_{\nu+1}\in H^0(X,(a+1)K_X+mL)$ ayant une restriction non triviale
$\sigma'_{\nu+1}$ \`a $V(\cI(h_{k+1,\nu}))$, s'annulant \`a un
ordre${}\ge(a+1)(n+s_j)$ en chaque point $x_j$. On pose alors
$m_{\nu+1}=m$, et la condition $m_{\nu+1}<{a+1\over a}b_{k+1}$ est
r\'ealis\'ee si $b_k+\eta<{a+1\over a}b_{k+1}$. Ceci montre qu'on peut
choisir par r\'ecurrence
$$b_{k+1}=\left\lfloor {a\over a+1}(b_k+\eta)\right\rfloor+1.$$
Par d\'efinition, $h_{k+1,\nu+1}\le h_{k+1,\nu}$, donc $\cI(h_{k+1,\nu+1})
\supset\cI(h_{k+1,\nu})$. On a n\'ecessai\-re\-ment $\cI(h_{k+1,\nu+1})\ne
\cI(h_{k+1,\nu})$, car $\cI(h_{k+1,\nu+1})$ contient le faisceau d'id\'eaux
associ\'e au diviseur des z\'eros de $\sigma_{\nu+1}$, alors que
$\sigma_{\nu+1}$ ne s'annule pas identiquement sur~$V(\cI(h_{k+1,\nu}))$.
Maintenant, un calcul facile montre que la suite it\'er\'ee $b_{k+1}=
\lfloor {a\over a+1}(b_k+\eta)\rfloor+1$ stationne \`a la valeur limite
$b_k=a(\eta+1)+1$, pour toute valeur initiale $b_1$ sup\'erieure \`a cette
limite. De cette mani\`ere, on obtient une m\'etrique $h_\infty$ \`a
courbure d\'efinie positive sur $aK_X+(a(\eta+1)+1)L$, telle que
$\dim V(\cI(h_\infty))=0$ et $\nu(\varphi_\infty,x_j)\ge a(n+s_j)$
en chaque point~$x_j$.

\preuve\ {\sl de (16.4).} Dans ce cas, l'ensemble $\{x_j\}$ est pris \'egal
\`a l'ensemble vide, donc $\delta=0$. Gr\^ace \`a (16.3$\,$a), la condition
$P(m)\ge 1$ est r\'ealis\'ee pour au moins un entier $m\in[b_k,b_k+n]$,
donc on peut prendre $\eta=n$. Comme $\mu L$ est tr\`es ample, $\mu L$
poss\`ede une m\'etrique ayant un p\^ole logarithmique isol\'e de nombre de
Lelong $1$ en tout point~$x_0$ donn\'e (par exemple, la m\'etrique
alg\'ebrique d\'efinie par les sections de $\mu L$ s'annulant en~$x_0$). Donc
$$F_a'=aK_X+(a(n+1)+1)L+n\mu L$$
poss\`ede une m\'etrique $h_a'$ tel que $V(\cI(h_a'))$ soit de dimension
z\'ero et contienne~$\{x_0\}$. Gr\^ace au Cor.~(15.9), on conclut que
$$K_X+F_a'=(a+1)K_X+(a(n+1)+1+n\mu)L$$
est engendr\'e par ses sections, en particulier
$K_X+{a(n+1)+1+n\mu\over a+1}L$ est nef. Lorsque $a$ tend vers $+\infty$,
on en d\'eduit que $K_X+(n+1)L$ est nef.\square

\preuve\ {\sl de (16.5$\,$a).} Il suffit ici de choisir $a=1$. Alors
$$\delta=\sum_{1\le j\le p}{3n+2s_j-1\choose n}.$$
Si $\{x_j\}\ne\emptyset$, on a $\delta+1\ge{3n-1\choose n}+1\ge 2n^2$
pour $n\ge 2$. Le lemme (16.3$\,$c) montre que $P(m)\ge\delta+1$ pour
au moins un $m\in[b_k,b_k+\eta]$ avec $\eta=\delta+1$. On peut commencer
la proc\'edure de r\'ecurrence $k\mapsto k+1$ avec $b_1=\eta+1=\delta+2$,
parce que la seule propri\'et\'e n\'ecessaire pour l'\'etape de r\'ecurrence
est la propri\'et\'e d'annulation
$$H^q(X,2K_X+mL)=0\qquad\hbox{pour $q\ge 1$, $m\ge b_1$},$$
qui est r\'ealis\'ee d'apr\`es le th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira et
la propri\'et\'e d'amplitude de $K_X+b_1L$ (on utilise ici le r\'esultat de
Fujita (16.4), en observant que $b_1>n+1$). La formule r\'ecursive
$b_{k+1}=\lfloor {1\over 2}(b_k+\eta)\rfloor+1$ donne alors
$b_k=\eta+1=\delta+2$ pour tout $k$, et (16.5$\,$a) s'ensuit.\square

\preuve\ {\sl de (16.5$\,$b).} Tout \`a fait similaire \`a (16.5$\,$a), sauf
que nous choisissons $\eta=n$, $a=1$ et $b_k=n+1$ pour tout~$k$. Gr\^ace au
lemme (16.3$\,$b), nous avons $P(m)\ge a_dk^d/2^{d-1}$ pour au moins un
entier $m\in[m_0,m_0+kd]$, o\`u $a_d>0$ est le coefficient de plus haut
degr\'e de~$P$. Gr\^ace au lemme (16.2), on a
$a_d\ge\inf_{\dim Y=d}L^d\cdot Y$. Prenons $k=\lfloor n/d\rfloor$. La
condition $P(m)\ge\delta+1$ peut alors \^etre r\'ealis\'ee pour un entier
$m\in[m_0,m_0+kd]\subset[m_0,m_0+n]$, pourvu que
$$\inf_{\dim Y=d}L^d\cdot Y~\lfloor n/d\rfloor^d/2^{d-1}>\delta,$$
ce qui est \'equivalent \`a la condition donn\'ee en (16.5$\,$b).\square

L'inconv\'enient de la technique d\'ecrite plus haut est qu'on doit
n\'ecessairement faire intervenir des multiples de $L$ pour \'eviter les
z\'eros du polyn\^ome de Hilbert, en particulier il n'est pas possible
d'obtenir directement un crit\`ere de grande amplitude pour $2K_X+L$
dans l'\'enonc\'e de (16.5$\,$b). Un tel crit\`ere peut n\'eanmoins \^etre
obtenu \`a l'aide du lemme \'el\'ementaire suivant.

\state 16.6. Lemme|Supposons qu'il existe un entier
$\mu\in\bN^\star$ tel que $\mu F$ engendre simultan\'ement tous les
jets d'ordre $\mu(n+s_j)+1$ en tout point $x_j$ d'un sous-ensemble
$\{x_1\ld x_p\}\subset X$. Alors $K_X+F$ engendre simultan\'ement tous
les jets d'ordre $s_j$ aux points~$x_j$.
\endstate

\preuve. Choisissons la m\'etrique alg\'ebrique sur $F$ d\'efinie
par une base $\sigma_1\ld\sigma_N$ de l'espace des sections de $\mu F$ qui
s'annuler \`a l'ordre $\mu(n+s_j)+1$ en tout point~$x_j$. Puisque nous
sommes encore libres de choisir le terme homog\`ene de degr\'e $\mu(n+s_j)+1$
dans le d\'eveloppement de Taylor de ces sections aux points~$x_j$, nous
voyons que $x_1\ld x_p$ sont des z\'eros isol\'es de
$\bigcap\sigma_j^{-1}(0)$. Si $\varphi$ est le poids de la m\'etrique
de $F$ pr\`es de~$x_j$, nous avons donc $\varphi(z)\sim (n+s_j+{1\over\mu})
\log|z-x_j|$ dans des coordonn\'ees convenables. Rempla\c cons
$\varphi$ au voisinage de $x_j$ par
$$\varphi'(z)=\max\big(\varphi(z)\,,\,|z|^2-C+(n+s_j)\log|z-x_j|\big)$$
et laissons $\varphi$ inchang\'ee partout ailleurs (c'est possible en prenant
$C>0$ suffisamment grand). Alors $\varphi'(z)=|z|^2-C+(n+s_j)\log|z-x_j|$ au
voisinage de $x_j$, en particulier $\varphi'$ est strictement
plurisousharmonique pr\`es de~$x_j$. De cette mani\`ere, nous obtenons
une m\'etrique $h'$ sur $F$ \`a courbure semi-positive partout sur $X$, et
\`a courbure d\'efinie positive sur un voisinage de $\{x_1\ld x_p\}$.
La conclusion r\'esulte alors d'une application directe des estimations
$L^2$ (14.2).\square

\state 16.7. Th\'eor\`eme|Soient $X$ une vari\'et\'e projective de
dimension $n$ et $L$ un fibr\'e en droites ample sur~$X$. Alors
$2K_X+L$ engendre simultan\'ement les jets d'ordre $s_1\ld s_p$
en des points arbitraires $x_1\ld x_p\in X$ d\`es que les nombres
d'intersection $L^d\cdot Y$ de $L$ sur tous les sous-ensembles
alg\'ebriques $Y\subset X$ de dimension~$d$ sont tels que
$$L^d\cdot Y>{2^{d-1}\over\lfloor n/d\rfloor^d}
\sum_{1\le j\le p}{(n+1)(4n+2s_j+1)-2\choose n},\qquad 1\le d\le n.$$
\endstate

\preuve. Le lemme~(16.6) appliqu\'e avec $F=K_X+L$
et $\mu=n+1$ montre que la propri\'et\'e d\'esir\'ee pour les jets
de $2K_X+L$ a lieu si $(n+1)(K_X+L)$ engendre les jets d'ordre \hbox{$(n+1)
(n+s_j)+1$} aux points~$x_j$. Le lemme~(16.6) appliqu\'e de nouveau avec
\hbox{$F=pK_X+(n+1)L$} et $\mu=1$ montre par r\'ecurrence descendante
sur $p$ qu'il suffit que $F$ engendre tous les jets d'ordre
$(n+1)(n+s_j)+1+(n+1-p)(n+1)$ aux points~$x_j$. En particulier, pour
$2K_X+(n+1)L$ il suffit d'obtenir tous les jets d'ordre $(n+1)(2n+s_j-1)+1$.
Le th.~(16.5$\,$b) donne alors la condition d\'esir\'ee.\square

Mentionnons pour terminer quelques cons\'equences imm\'ediates du
th.~16.5, obtenues en prenant \hbox{$L=\pm K_X$}.

\state 16.8. Corollaire|Soit $X$ une vari\'et\'e projective de type
g\'en\'eral, avec $K_X$ ample et \hbox{$\dim X=n$}. Alors $mK_X$ est
tr\`es ample pour $m\ge m_0={3n+1\choose n}+4$.
\endstate

\state 16.9. Corollaire|Soit $X$ une vari\'et\'e de Fano 
\index{178}{VAR}{Vari\'et\'e de Fano}%
$($c'est-\`a-dire une vari\'et\'e projective telle que $-K_X$ soit
ample$)$, de dimension~$n$. Alors $-mK_X$ est tr\`es ample pour
\hbox{$m\ge m_0= {3n+1\choose n}$}.  
\endstate

\section \Smark17. Une version effective du grand th\'eor\`eme de
Matsusaka|

Nous abordons ici le probl\`eme de trouver un entier
explicite $m_0$ tel que $mL$ soit tr\`es ample pour $m\ge m_0$.
L'existence d'une telle borne $m_0$ ne d\'ependant que de la dimension
et des coefficients du polyn\^ome de Hilbert de~$L$ a \'et\'e
d\'emontr\'ee dans un premier temps par Matsusaka [Mat72], puis Koll\'ar
\index{179}{THE}{\hri grand th\'eor\`eme de Matsusaka}%
\index{180}{MAT}{\hri grand th\'eor\`eme de Matsusaka}%
et Matsusaka [KoM83] ont montr\'e qu'on pouvait trouvait trouver
une borne $m_0=m_0(n,L^n,K_X\cdot L^{n-1})$ d\'ependant seulement de
$n=\dim X$ et des deux premiers coefficients. R\'ecemment, Siu [Siu93] a
obtenu une version effective du m\^eme r\'esultat fournissant une borne
explicite $m_0$ ``raisonnable'' (bien que cette borne soit malheureusement
encore loin d'\^etre optimale). Nous nous proposons ici d'expliquer la
m\'ethode de Siu, \`a partir des simplifications et am\'eliorations
sugg\'er\'ees dans [Dem96]. Le point de d\'epart est le lemme suivant.

\state 17.1. Lemme|Soient $F$ et $G$ des fibr\'es en droites nefs sur~$X$.
Si $F^n>n\,F^{n-1}\cdot G$, tout multiple positif $k(F-G)$ admet une
section non triviale pour $k\ge k_0$ assez grand.
\endstate

\preuve.  Le lemme peut se d\'emontrer comme cas particulier des
in\'egalit\'es de Morse holomorphes (voir [Dem85], [Tra95], [Siu93],
[Ang95]). Nous en donnons ici une preuve simple, suivant une suggestion
de F.~Catanese. On peut supposer que $F$ et $G$ sont tr\`es amples
(sinon, il suffit de remplacer $F$ et $G$ par $F'=pF+A$ et $G'=pG+A$
avec $A$ tr\`es ample et suffisamment positif pour entra\^{\i}ner la
grande amplitude de toute somme avec un fibr\'e nef, puis de choisir
$p>0$ assez grand pour que $F'$ et $G'$ satisfassent la m\^eme
hypoth\`ese num\'erique que $F$ et~$G$). Alors
$\cO(k(F-G))\simeq\cO(kF-G_1-\cdots-G_k)$ pour des \'el\'ements
arbitraires $G_1\ld G_k$ du syst\`eme lin\'eaire $|G|$. Si on choisit
de tels \'el\'ements $G_j$ en position g\'en\'erale, le lemme r\'esulte
de la formule de Riemann-Roch appliqu\'ee au morphisme de restriction
$H^0(X,\cO(kF))\to\bigoplus H^0(G_j, \cO(kF_{\restr G_j})$.\square

\state 17.2. Corollaire|Soient $F$ et $G$ des fibr\'es en droites
nefs sur~$X$. Si $F$ est gros et si $m>n\,F^{n-1}\cdot G/F^n$, alors
$\cO(mF-G)$ peut \^etre muni d'une m\'etrique hermitienne $h$ $($peut
\^etre singuli\`ere$)$, ayant une forme courbure d\'efinie positive,
i.e.\ telle que $\Theta_h(mF-G)\ge\varepsilon\omega$, $\varepsilon>0$,
pour une m\'etrique k\"ahl\'erienne~$\omega$.
\endstate

\preuve. En fait, si $A$ est ample et $\varepsilon\in\bQ_+$ est assez
petit, le lemme~(17.1) implique qu'un certain multiple
$k(mF-G-\varepsilon A)$ admet une section. Soit $E$ le diviseur de
cette section et soit $\omega=\Theta(A)\in c_1(A)$ une m\'etrique
k\"ahl\'erienne repr\'esentant la forme de courbure de~$A$.  Alors
$mF-G\equiv\varepsilon A+{1\over k}E$ peut \^etre muni d'une
m\'etrique singuli\`ere $h$ de forme de courbure
$\Theta_h(mF-G)=\varepsilon\Theta(A)+{1\over k}[E]\ge
\varepsilon\omega$.\square


Nous consid\'erons maintenant le probl\`eme d'obtenir une section non
triviale de $mL$. L'id\'ee de [Siu93] est d'obtenir plus
g\'en\'eralement un crit\`ere pour l'amplitude de $mL-B$ quand $B$ est
nef. De cette mani\`ere, on pourra soustraire de $mL$ tout multiple
non d\'esir\'e de $K_X$ qui se trouverait sinon ajout\'e \`a $L$ par
application du th\'eor\`eme d'annulation de Nadel (pour cela, on
remplace simplement $B$ par $B$ plus un multiple de $K_X+(n+1)L$).

\state 17.3. Proposition|Soit $L$ un fibr\'e en droite ample sur une
vari\'et\'e $X$ projective de dimension~$n$, et soit $B$ un fibr\'e en droites
nef sur~$X$. Alors $K_X+mL-B$ admet une section non nulle pour un
entier $m$ tel que\smallskip
\centerline{$\displaystyle m\le n\,{L^{n-1}\cdot B\over L^n}+n+1$.}
\endstate

\preuve. Soit $m_0$ le plus petit entier ${}>n\,{L^{n-1}\cdot B\over
L^n}$. Alors $m_0L-B$ peut \^etre \'equip\'e d'une m\'etrique
hermitienne singuli\`ere $h$ de courbure d\'efinie positive. Gr\^ace au
th\'eor\`eme d'annulation de Nadel, on obtient
$$H^q(X,\cO(K_X+mL-B)\otimes\cI(h))=0\qquad\hbox{for $q\ge 1$,}$$
donc $P(m)=h^0(X,\cO(K_X+mL-B)\otimes\cI(h))$ est un polyn\^ome pour
$m\ge m_0$. Puisque $P$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$ qui n'est pas
identiquement nul, il existe un entier $m\in[m_0,m_0+n]$ qui n'en est pas
racine. Donc il existe une section non triviale de
$$H^0(X,\cO(K_X+mL-B))\supset H^0(X,\cO(K_X+mL-B)\otimes\cI(h))$$
pour un certain $m\in[m_0,m_0+n]$, comme annonc\'e.\square

\state 17.4. Corollaire|Si $L$ est ample et $B$ est nef, $mL-B$ poss\`ede
une section non nulle pour au moins un entier
$$m\le n\Big({L^{n-1}\cdot B+L^{n-1}\cdot K_X\over L^n}+n+1\Big).$$
\endstate

\preuve. D'apr\`es le r\'esultat de Fujita (16.4), $K_X+(n+1)L$ est nef.
Nous pouvons donc remplacer $B$ par $B+K_X+(n+1)L$ dans le r\'esultat de la
prop.~(17.3). Le corollaire (17.4) s'ensuit.\square

\state 17.5. Remarque|{\rm Nous ne savons pas si la borne obtenue
dans le corollaire ci-dessus est optimale, mais elle n'est certainement
pas tr\`es loin de l'\^etre. En effet, m\^eme pour $B=0$, le facteur
multiplicatif $n$ ne peut \^etre remplac\'ee par un nombre plus petit que
$n/2\,$: pour le voir, prenons par exemple pour $X$ un produit
$C_1\times\cdots\times C_n$ de courbes $C_j$ de genre $g_j$ assez
grand, et $L=\cO(a_1[p_1])\otimes\cdots\otimes\cO(a_n[p_n])$, $B=0$.
Notre condition suffisante pour que $|mL|\neq\emptyset$ devient dans ce
cas $m\le\sum(2g_j-2)/a_j+n(n+1)$, tandis que pour un choix g\'en\'erique
des $p_j$ le fibr\'e $mL$ n'admet de sections que si $ma_j\ge g_j$ pour
tout~$j$. L'impr\'ecision de notre in\'egalit\'e joue donc au plus sur un
facteur multiplicatif $2$ quand $a_1=\cdots=a_n=1$ et $g_1\gg
g_2\gg\cdots\gg g_n\to+\infty$. D'autre part, la constante additive
$n+1$ est d\'ej\`a la meilleure possible lorsque $B=0$ et $X=\bP^n$.\square}
\endstate

Jusqu'\`a ce point, la m\'ethode n'\'etait pas r\'eellement sensible
\`a la pr\'esence de singularit\'es (le lemme (17.1) est encore vrai
dans le cas singulier comme on le voit ais\'ement en utilisant une
d\'esingularisation de $X$). De m\^eme, comme on l'a observ\'e \`a la
remarque~(15.16), le th\'eor\`eme d'annulation de Nadel reste encore
essentiellement valable. La prop.~(17.3) peut alors \^etre
g\'en\'eralis\'ee comme suit:

\state 17.6. Proposition|Soit $L$ un fibr\'e en droites ample sur une
vari\'et\'e $X$ projective de dimension~$n$, et soit $B$ un fibr\'e en
droites nef sur~$X$. Pour tout sous-vari\'et\'e alg\'ebrique
$($r\'eduite$)$ $Y$ de~$X$ de dimension~$p$, il existe un entier
$$m\le p{L^{p-1}\cdot B\cdot Y\over L^p\cdot Y}+p+1$$
tel que le faisceau $\omega_Y\otimes\cO_Y(mL-B)$ ait une section non
nulle.\square
\endstate

Gr\^ace \`a un proc\'ed\'e de r\'ecurrence ad\'equat reposant sur les
r\'esultats ci-dessus, nous pouvons maintenant am\'eliorer la borne
effective obtenue par Siu [Siu93] pour le grand th\'eor\`eme de Matsusaka.
Notre \'enonc\'e d\'ependra du choix d'une constante $\lambda_n$ telle que
$m(K_X+(n+2)L)+G$ est tr\`es ample pour $m\ge\lambda_n$ et tout 
fibr\'e en droites nef~$G$. La m\'ethode de preuve du th\'eor\`eme 
(16.5) donne assez ais\'ement que
$\lambda_n\le{3n+1\choose n}-2n$ (un argument plus \'elabor\'e mettant en jeu
les r\'esultats r\'ecents de Angehrn-Siu [AS94] permet en fait de voir que
$\lambda_n\le n^3-n^2-n-1$ pour $n\ge 2$). Bien entendu,
on s'attend \`a ce que $\lambda_n=1$ pour tout~$n$, si on veut bien
croire \`a la conjecture de Fujita. 

\state 17.7. Version effective du grand th\'eor\`eme de
\index{181}{THE}{Th\'eor\`eme de Matsusaka effectif}%
\index{182}{MAT}{\hri th\'eor\`eme de Matsusaka effectif}%
Matsusaka|Soient $L$ et $B$ des fibr\'es en droites nefs sur une
vari\'et\'e $X$ projective de dimension~$n$. Supposons que $L$ soit
ample et soit $H=\lambda_n(K_X+(n+2)L)$. Alors $mL-B$ est tr\`es ample
pour
$$m\ge(2n)^{(3^{n-1}-1)/2}{(L^{n-1}\cdot(B+H))^{(3^{n-1}+1)/2}
(L^{n-1}\cdot H)^{3^{n-2}(n/2-3/4)-1/4}\over(L^n)^{3^{n-2}(n/2-1/4)+1/4}}.$$
En particulier $mL$ est tr\`es ample pour
$$m\ge C_n~(L^n)^{3^{n-2}}\left(n+2+{L^{n-1}\cdot K_X\over L^n}
\right)^{3^{n-2}(n/2+3/4)+1/4}$$
avec $C_n=(2n)^{(3^{n-1}-1)/2}(\lambda_n)^{3^{n-2}(n/2+3/4)+1/4}$.
\endstate

\preuve. Nous utilisons le th.~(3.1) et la prop.~(17.6) pour construire
par r\'ecurrence une suite de sous-vari\'et\'es alg\'ebriques
(non n\'ecessairement irr\'eductibles)
$X=Y_n\supset Y_{n-1}\supset\cdots\supset Y_2\supset Y_1$ telle que
$Y_p=\bigcup_jY_{p,j}$ est de dimension $p$, $Y_{p-1}$ \'etant obtenu
pour chaque $p\ge 2$ comme la r\'eunion des ensembles de z\'eros des sections
$$\sigma_{p,j}\in H^0(Y_{p,j},\cO_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L-B))$$
pour des entiers convenables $m_{p,j}\ge 1$. Nous proc\'edons par r\'ecurrence
sur les valeurs d\'ecroissantes de la dimension~$p$, et cherchons \`a obtenir
\`a chaque pas une borne sup\'erieure $m_p$ pour les entiers $m_{p,j}$. 

Gr\^ace au Cor.~(17.4), on peut trouver un entier $m_n$ tel que que $m_nL-B$
admettte une section $\sigma_n$ non triviale pour
$$m_n\le n\,{L^{n-1}\cdot(B+K_X+(n+1)L)\over L^n}
\le n\,{L^{n-1}\cdot(B+H)\over L^n}.$$
Maintenant supposons que les sections $\sigma_n$, $\ldots$,
$\sigma_{p+1,j}$ aient d\'ej\`a \'et\'e construites. On obtient alors par
r\'ecurrence un $p$-cycle $\wt Y_p=\sum\mu_{p,j}Y_{p,j}$ d\'efini par
$\wt Y_p={}$ somme des diviseurs des z\'eros des sections $\sigma_{p+1,j}$
sur les composantes $\wt Y_{p+1,j}$, o\`u la multiplicit\'e $\mu_{p,j}$ de
$Y_{p,j}\subset Y_{p+1,k}$ est obtenue en multipliant la multiplicit\'e
correspondante $\mu_{p+1,k}$ par l'ordre d'annulation de $\sigma_{p+1,k}$
le long de $Y_{p,j}$. On obtient l'\'egalit\'e de classes de cohomologie
$$\wt Y_p\equiv\sum(m_{p+1,k}L-B)\cdot (\mu_{p+1,k}Y_{p+1,k})\le
m_{p+1} L\cdot \wt Y_{p+1}.$$
Par r\'ecurrence, nous obtenons alors l'in\'egalit\'e num\'erique
$$\wt Y_p\le m_{p+1}\cdots m_n L^{n-p}.$$
Maintenant, pour chaque composante $Y_{p,j}$, la prop.~(17.6) montre qu'il
existe une section de $\omega_{Y_{p,j}}\otimes\cO_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L-B)$
pour un certain entier
$$m_{p,j}\le p{L^{p-1}\cdot B\cdot Y_{p,j}\over L^p\cdot Y_{p,j}}+p+1
\le pm_{p+1}\cdots m_n\,L^{n-1}\cdot B+p+1.$$
Nous avons utilis\'e ici la minoration \'evidente $L^{p-1}\cdot Y_{p,j}\ge 1$
(cette minoration est d'ailleurs sans doute un des points faibles de la
m\'ethode$\ldots$). Le degr\'e de $Y_{p,j}$ par rapport \`a $H$ admet la
majoration
$$\delta_{p,j}:=H^p\cdot Y_{p,j}\le
m_{p+1}\cdots m_n H^p\cdot L^{n-p}.$$
L'in\'egalit\'e de concavit\'e de Hovanski-Teissier donne
$$(L^{n-p}\cdot H^p)^{1\over p}(L^n)^{1-{1\over p}}\leq L^{n-1}\cdot H$$
([Hov79], [Tei79,~82], voir aussi [Dem93]), ce qui permet d'exprimer nos
bornes en termes des seuls nombres d'intersection $L^n$ et $L^{n-1}\cdot H$.
On obtient alors
$$\delta_{p,j}\le m_{p+1}\cdots m_n{(L^{n-1}\cdot H)^p\over (L^n)^{p-1}}.$$
Nous avons besoin du lemme suivant, qui sera d\'emontr\'e ult\'erieurement.

\state 17.8. Lemme|Soit $H$ un fibr\'e en droites tr\`es ample
sur une vari\'et\'e alg\'ebrique projective~$X$, et soit $Y\subset X$ 
une sous-vari\'et\'e alg\'ebrique irr\'eductible de dimension~$p$.
Si $\delta=H^p\cdot Y$ est le degr\'e de  $Y$ par rapport \`a~$H$, 
le faisceau
\hbox{$\cHom\big(\omega_Y,\cO_Y((\delta-p-2)H)\big)$} poss\`ede une
section non triviale.
\endstate

\noindent Gr\^ace au lemme~(17.8), il existe une section non triviale de
$$\cHom\big(\omega_{Y_{p,j}},\cO_{Y_{p,j}}((\delta_{p,j}-p-2)H)\big).$$
En combinant cette section avec la section de $\omega_{Y_{p,j}}\otimes
\cO_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L-B)$ d\'ej\`a cons\-trui\-te, nous obtenons une 
section de $\cO_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L-B+(\delta_{p,j}-p-2)H)$ sur~$Y_{p,j}$. 
On ne veut pas que $H$ apparaisse \`a ce niveau, c'est pourquoi on va 
remplacer $B$ par $B+(\delta_{p,j}-p-2)H$. On obtient alors une section
$\sigma_{p,j}$ de $\cO_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L-B)$ pour un certain entier
$m_{p,j}$ tel que
$$\eqalign{m_{p,j}
&\le pm_{p+1}\cdots m_n\,L^{n-1}\cdot(B+(\delta_{p,j}-p-2)H)+p+1\cr
&\le p\,m_{p+1}\cdots m_n\,\delta_{p,j}\,L^{n-1}\cdot(B+H)\cr
&\le p\,(m_{p+1}\cdots m_n)^2{(L^{n-1}\cdot H)^p\over(L^n)^{p-1}}\,
L^{n-1}\cdot(B+H).\cr}$$
Par cons\'equent, en posant $M=n\,L^{n-1}\cdot(B+H)$, on obtient la
relation de r\'ecurrence descendante
$$m_p\le M\,{(L^{n-1}\cdot H)^p\over (L^n)^{p-1}}\,(m_{p+1}\cdots m_n)^2\qquad
\hbox{pour $2\le p\le n-1$},$$
partant de la valeur initiale $m_n\le M/L^n$. Soient $(\ol m_p)$
la suite des nombre obtenus par cette formule de r\'ecurrence en
rempla\c{c}ant les in\'egalit\'es par des \'egalit\'es. Il vient
$m_p\le\ol m_p$ avec $\ol m_{n-1}=M^3(L^{n-1}\cdot H)^{n-1}/(L^n)^n$ et
$$\ol m_p={L^n\over L^{n-1}\cdot H}\,\ol m_{p+1}^2\ol m_{p+1}$$
pour $2\le p\le n-2$. On trouve alors par r\'ecurrence
$$m_p\le\ol m_p=M^{3^{n-p}}{(L^{n-1}\cdot H)^{3^{n-p-1}(n-3/2)+1/2}\over
(L^n)^{3^{n-p-1}(n-1/2)+1/2}}.$$
Montrons maintenant que $m_0L-B$ est nef pour
$$m_0=\max\big(m_2\,,\,m_3\ld m_n\,,\,m_2\cdots m_n\,L^{n-1}\cdot B\big).$$
En effet, soit $C\subset X$ une courbe irr\'eductible arbitraire. Ou bien
$C=Y_{1,j}$ pour un certain $j$, ou bien il existe un entier $p=2\ld n$
tel que $C$ soit contenu dans $Y_p\ssm Y_{p-1}$. Si $C\subset
Y_{p,j}\ssm Y_{p-1}$, alors $\sigma_{p,j}$ ne s'annule pas identiquement
sur~$C$. Donc $(m_{p,j}L-B)_{\restr C}$ est de degr\'e positif ou nul et
$$(m_0L-B)\cdot C\ge(m_{p,j}L-B)\cdot C\geq 0.$$
D'autre part, si $C=Y_{1,j}\,$, alors
$$(m_0L-B)\cdot C\ge m_0-B\cdot\wt Y_1\ge m_0-m_2\cdots m_n\,L^{n-1}\cdot
B\ge 0.$$
D'apr\`es la d\'efinition de $\lambda_n$ (et la preuve qu'une telle 
constante existe, cf.\ Th.~16.5), $H+G$ est tr\`es ample pour tout fibr\'e en
droites nef~$G$, en particulier $H+m_0L-B$ est tr\`es ample. On remplace
de nouveau $B$ par $B+H$. Cette substitution a pour effet de remplacer $M$
par la nouvelle constante $M=n\,\big(L^{n-1}\cdot(B+2H)\big)$
et $m_0$ par
$$m_0=\max\big(m_n\,,\,m_{n-1}\ld m_2\,,\,m_2\cdots m_n\,L^{n-1}\cdot(B+H)
\big).$$
Le dernier terme \'etant le plus grand, l'estimation de $\ol m_p\,$ implique
$$\eqalignno{m_0
&\le M^{(3^{n-1}-1)/2}{(L^{n-1}\cdot H)^{(3^{n-2}-1)(n-3/2)/2+(n-2)/2}
(L^{n-1}\cdot(B+H))\over(L^n)^{(3^{n-2}-1)(n-1/2)/2+(n-2)/2+1}}\cr
&\le(2n)^{(3^{n-1}-1)/2}{(L^{n-1}\cdot(B+H))^{(3^{n-1}+1)/2}
(L^{n-1}\cdot H)^{3^{n-2}(n/2-3/4)-1/4}\over(L^n)^{3^{n-2}(n/2-1/4)+1/4}}
\cr}$$
\square

\medskip
\preuve\ {\sl du lemme} (17.8). Soit $X\subset\bP^N$ le plongement
donn\'e par $H$, de sorte que $H=\cO_X(1)$. Il existe une projection
lin\'eaire $\bP^n\dasharrow\bP^{p+1}$ dont la restriction $\pi:Y\to\bP^{p+1}$
\`a $Y$ est un morphisme fini et birationnel de $Y$ sur une hypersurface 
alg\'ebrique $Y'$ de degr\'e $\delta$ dans $\bP^{p+1}$.  Soit $s\in
H^0(\bP^{p+1},\cO(\delta))$ le polyn\^ome de degr\'e $\delta$
d\'efinissant $Y'$. Nous affirmons que pour tout petit ouvert de Stein
$W\subset\bP^{p+1}$ et toute $p$-forme holomorphe $L^2$ $u$ sur 
$Y'\cap W$, il existe une $(p+1)$-forme holomorphe $L^2$ $\wt u$ 
sur $W$, \`a valeurs dans $\cO(\delta)$, telle que 
$\wt u_{\restr Y'\cap W}=u\wedge ds$. En fait, c'est pr\'ecis\'ement
lae conclusion du th\'eor\`eme d'extension $L^2$ d'Ohsawa-Takegoshi 
[OT87], [Ohs88] (voir aussi [Man93] pour une version plus g\'en\'erale
de ce r\'esultat); on peut \'egalement invoquer des arguments standards
d'alg\`ebre locale (voir Hartshorne [Har77], th.~III-7.11). Comme
$K_{\bP^{p+1}}=\cO(-p-2)$, la forme $\wt u$ peut \^etre consid\'er\'ee
comme une section de $\cO(\delta-p-2)$ sur~$W$, par suite
le morphisme de faisceaux $u\mapsto u\wedge ds$ s'\'etend en une
section globale de
$\cHom\big(\omega_{Y'},\cO_{Y'}(\delta-p-2)\big)$. L'image inverse
par $\pi^\star$ fournit une section de $\cHom\big(\pi^\star\omega_{Y'},
\cO_Y((\delta-p-2)H)\big)$. Puisque $\pi$ est fini et g\'en\'eriquement
$1:1$, il est facile de voir que $\pi^\star\omega_{Y'}=\omega_Y$. 
Le lemme s'ensuit.\square

\state 17.9. Remarque|{\rm Dans le cas des surfaces ($n=2$), on peut 
prendre $\lambda_n=1$ d'apr\`es le r\'esultat de I.~Reider [Rei88], et les 
arguments d\'evelopp\'es ci-dessus donnent $mL$ tr\`es ample pour
$$m\ge 4\,{(L\cdot(K_X+4L))^2\over L^2}.$$
Si on reprend en d\'etail la d\'emonstration avec plus de soin, on peut voir
que le facteur multiplicatif $4$ peut \^etre remplac\'e par~$2$. En fait,
Fern\'andez del Busto a montr\'e r\'ecemment que $mL$ est tr\`es ample pour
$$m>{1\over 2}\left[{(L\cdot(K_X+4L)+1)^2\over L^2}+3\right],$$
et un exemple de G.~Xiao montre que cette borne est essentiellement optimale
(voir [FdB94]).}
\endstate

Le grand th\'eor\`eme de Matsusaka entra\^{\i}ne un certain nombre
d'autres r\'esultats importants de finitude. Un des prototypes de 
ces r\'esultats est l'\'enonc\'e suivant.

\state 17.10. Corollaire|Il existe seulement un nombre fini de familles 
de d\'eformations de vari\'et\'es projectives polaris\'ees 
$(X,L)$ de dimension $n$, o\`u $L$ est un fibr\'e en droites ample dont 
les nombres d'intersection $L^n$ et $K_X\cdot L^{n-1}$ sont fix\'es.
\endstate

\preuve. En effet, comme $L^n$ et $K_X\cdot L^{n-1}$ sont fix\'es, il existe
un entier $m_0$ effectivement calculable tel que $m_0L$ soit tr\`es ample.
On obtient alors un plongement $\Phi=\Phi_{|m_0L|}:X\to\bP^N$ tel que
$\Phi^\star\cO(1)=\pm m_0L$. L'image $Y=\Phi(X)$ est de degr\'e
$$\deg(Y)=\int_Y c_1\big(\cO(1)\big)^n=
\int_X c_1\big(\pm m_0L\big)^n=m_0^n\,L^n.$$
Ceci entra\^{\i}ne que $Y$ est un point d'une des composantes du sch\'ema
de Chow des sous-vari\'et\'es alg\'ebriques $Y$ de dimension et de degr\'e 
donn\'es dans $\bP^N$ pour lesquelles $\cO(1)_{\restr Y}$ est divisible par
$m_0$, plus pr\'ecis\'ement un point de l'ouvert correspondant aux
sous-vari\'et\'es non singuli\`eres. Comme l'ouvert en question est un
ouvert de Zariski, il ne peut avoir qu'un nombre fini de composantes
irr\'eductibles, d'o\`u le corollaire.\square

On peut d\'emontrer aussi \`a partir du th\'eor\`eme de Matsusaka (ou m\^eme
directement \`a partir du Cor.~(16.9)) qu'il n'existe qu'un nombre fini
de familles de d\'eformation de vari\'et\'es de Fano de dimension~$n$
donn\'ee. On utilise pour cela un r\'esultat fondamental obtenu
ind\'ependamment par Koll\'ar-Miyaoka-Mori [KoMM92] et Campana [Cam92],
montrant que le discriminant $K_X^n$ est born\'e par une
constante $C_n$ ne d\'ependant que de~$n$. Les bornes effectives 
obtenues pour les fibr\'es tr\`es amples fournissent alors (au prix de
quelques efforts!) une borne effective pour le nombre de familles 
de vari\'et\'es de Fano.

\section R\'ef\'erences|

\medskip
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}

\vskip30pt
\noindent(version du 20 mars 1995, compl\'et\'ee le 24 avril 1996)
\vskip10pt
\noindent
Jean-Pierre Demailly\newline
Universit\'e de Grenoble I,\newline
Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, BP 74,\newline
F-38402 Saint-Martin d'H\`eres, France

\noindent{\sl Adresse \'electronique:}\/ demailly@fourier.ujf-grenoble.fr

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
