% Jean-Pierre Demailly % Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier % \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique % Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble \newif\ifcolorized \colorizedfalse \newif\iftocfirst \tocfirsttrue \input hyperbasics.tex \ifcolorized \magnification=1200 \hsize=13cm\hoffset=0cm \vsize=18.8cm\voffset=0.3cm \else %% \magnification=1000 \hsize=13cm\hoffset=1.5cm \vsize=18.8cm\voffset=2cm \magnification=1200 \hsize=13cm\hoffset=0cm \vsize=18.8cm\voffset=0.3cm \fi \pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000 \parindent=0mm \parskip=5pt plus 1pt minus 1pt \baselineskip=12.5pt \catcode`\@=11 \def\makeheadline{\vbox to\z@{\vskip-25.4\p@ \line{\vbox to8.5\p@{}\the\headline}\vss}\nointerlineskip} \def\makefootline{\baselineskip28\p@\lineskiplimit\z@\line{\the\footline}} \catcode`\@=12 % new fonts definitions \font\twentyfourss=cmss10 at 24.8832pt \font\twentyss=cmss10 at 20.736pt \font\seventeenss=cmss10 at 17.28pt 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Tables^^J} \immediate\openout1=\jobname.aux \let\END=\end \def\end{\immediate\closeout1\END}} \newcount\notthispage \notthispage=1 \newbox\titlebox \setbox\titlebox\hbox{\hfil} \newbox\sectionbox \setbox\sectionbox\hbox{\hfil} \newbox\chapterbox \setbox\chapterbox\hbox{\hfil} \newbox\bookbox \setbox\bookbox\hbox{\hfil} \newbox\ebookbox \setbox\ebookbox\hbox{\hfil} \def\fakeskip{$\rlap{\phantom{\vrule height18pt depth2pt width0pt}}$} \def\blackline{\rlap{\vrule width \hsize height -4.7pt depth 5pt}} \def\upperblackline{\rlap{\vrule width \hsize height 11pt depth -10.7pt}} \def\foliotoc{\ifnum\pageno=\notthispage \hfil \else \ifodd\pageno \blackline% {\tenss \copy\chapterbox% \hfill\romannumeral\pageno}\else\blackline% {\tenss\romannumeral\pageno\hfill\copy\titlebox}\fi\fi} \def\foliochap{\ifnum\pageno=\notthispage \hfil \else \ifodd\pageno \blackline% {\tenss \copy\sectionbox% \hfill\number\pageno}\else\blackline% {\tenss\number\pageno\hfill\copy\chapterbox}\fi\fi} 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\def\msatype{\hexnbr\msafam} \def\msbtype{\hexnbr\msbfam} \mathchardef\smallsetminus="2\msbtype72 \let\ssm\smallsetminus \mathchardef\restr="3\msatype16 \mathchardef\supsetneqq="3\msbtype25 \mathchardef\subsetneq="3\msbtype28 \mathchardef\supsetneq="3\msbtype29 \mathchardef\leqslant="3\msatype36 \mathchardef\geqslant="3\msatype3E \mathchardef\complement="0\msatype7B \let\ge=\geqslant \let\le=\leqslant \let\dsp=\displaystyle \def\VVert{{|}\kern-1.2pt{|}\kern-1.2pt{|}} \def\square{\maincolor{\hfill \hbox{ \vrule height 1.453ex width 0.093ex depth 0ex \vrule height 1.5ex width 1.3ex depth -1.407ex\kern-0.1ex \vrule height 1.453ex width 0.093ex depth 0ex\kern-1.35ex \vrule height 0.093ex width 1.3ex depth 0ex}}} \def\qed{\phantom{$\quad$}$\square$} \def\frac#1#2{{#1\over #2}} \def\dfrac#1#2{{#1\over #2}} \def\fracs#1#2{{\scriptstyle{#1\over#2}}} \def\fracss#1#2{{\scriptscriptstyle{#1\over#2}}} \catcode`@=11 \def\ccmalign#1#2{\null\,\vcenter{\normalbaselines\m@th \ialign{$\displaystyle 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\def\KH{{\rm KH}} \def\Riemann{{\rm Riemann}} \def\eq{\mathop{\rm =}} \def\Bij{\mathop{\rm Bij}} \def\tr{\mathop{\rm tr}} \def\Log{\mathop{\rm Log}} \def\Mat{\mathop{\rm Mat}} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}} \def\Vect{\mathop{\rm Vect}} \def\rang{\mathop{\rm rang}\nolimits} \def\Inv{\mathop{\rm Inv}} \def\Sp{\mathop{\rm Sp}\nolimits} \def\Arccos{\mathop{\rm Arccos}} \def\Arcsin{\mathop{\rm Arcsin}} \def\Arctan{\mathop{\rm Arctan}} \def\Argcosh{\mathop{\rm Argcosh}} \def\Argsinh{\mathop{\rm Argsinh}} \def\cotan{\mathop{\rm cotan}} \def\cotanh{\mathop{\rm cotanh}} \def\supess{\mathop{\rm sup\,ess}} \def\infess{\mathop{\rm inf\,ess}} \def\card{\mathop{\rm card}} \def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}} \def\Im{\mathop{\rm Im}} \def\Jac{\mathop{\rm Jac}} \def\Supp{\mathop{\rm Supp}} \def\oscil{\mathop{\rm oscil}} \def\vol{\mathop{\rm vol}} \def\aspect{\mathop{\rm aspect}} \def\aire{\mathop{\rm aire}} \def\longueur{\mathop{\rm longueur}} \def\diam{\mathop{\rm diam}} 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\noindent\rlap{\hbox{\eightpointbf #1}}\kern1.2cm{\rm #2}{\it #3}{\rm #4.}} %%% Texte principal \setbox\bookbox\hbox{\tenss \maincolor{% Analyse num\'erique et \'equations diff\'erentielles}} \setbox\ebookbox\hbox{\tenss \maincolor{% \href{https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/demailly/5-equations-differentielles-fondamentaux}{\RGBColor{0 0 1}{$\strut\,\Rightarrow$ site web compagnon$\,$}}}} \footline={\upperblackline \maincolor{% \tenss \'Equa.\ diff.\ dans les espaces de Banach\hfill\copyright\ Grenoble Sciences, J.-P.~Demailly $\scriptstyle \bullet$ \folio}} \openauxfile \headline={\foliopapebook} \notthispage=\pageno \strut\vskip4mm \maincolor{% \title{\'Equations diff\'erentielles} \title{dans les espaces de Banach}} \titlerunning{\maincolor{% \'Equations diff\'erentielles dans les espaces de Banach}} \vskip10mm Une grande partie des r\'esultats du chapitre~V s'\'etend aux \'equations diff\'erentielles vectorielles \`a valeurs dans un espace de Banach de dimension \'eventuellement infinie. Soit $(H,\Vert~~\Vert)$ un tel espace, et $U$ un ouvert de $\bR\times H$. On consid\`ere une fonction continue $f:U\rightarrow H$. Une \'equation diff\'erentielle \`a valeurs dans $H$ s'\'ecrit formellement de la m\^eme mani\`ere que pour le cas particulier $H=\bR^m$, on pose maintenant $$ y'=f(t,y),\quad(t,y)\in U,\quad t\in\bR,\quad y\in H,\leqno{\rm (E)} $$ et, sur un intervalle $I$ de $\bR$, on cherche une solution sous la forme d'une fonction d\'erivable $y:I\rightarrow H$ telle que \vskip3pt {\rm (i)}\quad\kern2.6pt$(\forall t\in I)$\qquad$(t,y(t))\in U$, \vskip1pt {\rm (ii)}\quad$(\forall t\in I)$\qquad$y'(t)=f(t,y(t))$. Comme $f$ est suppos\'ee continue, elle est localement born\'ee, on en d\'eduit l'existence locale de cylindres de s\'ecurit\'e $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)$ comme en dimension finie. On peut mettre en {\oe}uvre des m\'ethodes de calcul approch\'e telles que la m\'ethode d'Euler. Le th\'eor\`eme d'existence de Cauchy-Lipschitz est valable sans changement, car sa d\'emonstration repose principalement sur la compl\'etude de l'espace des fonctions continues $$\cF=\cC([t_0-T,t_0+T],\overline B(y_0,r_0))$$ et le lemme de Gronwall s'applique encore. On peut aussi utiliser le th\'eor\`eme du point fixe, et on aboutit \`a l'\'enonc\'e suivant. \claim{Th\'eor\`eme {\rm(Cauchy-Lipschitz)}} {\it Si $f:U\rightarrow H$ est localement lipschitzienne en $y$, alors pour tout cylindre de s\'ecurit\'e $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)$ comme ci-dessus, le probl\`eme de Cauchy avec condition initiale $(t_0,y_0)$ admet une unique solution exacte $y:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow U$. De plus, toute suite $y_{(p)}$ de solutions $\varepsilon_p$-approch\'ees avec $\varepsilon_p$ tendant vers $0$ converge uniform\'ement vers la solution exacte $y$ sur~$[t_0-T,t_0+T]$. } \endclaim En revanche, si {\it on suppose seulement $f$ continue, le th\'eor\`eme d'existence de Cauchy-Peano-Arzel\`a tombe en d\'efaut en g\'en\'eral}. Le but de ce qui suit est de pr\'esenter un contre-exemple simple, d\^u \`a Jean Dieudonn\'e, et paru dans {\it Deux exemples singuliers d'\'equations diff\'erentielles}, Acta Sci.\ Math.\ (Szeged) {\bf 12B} (1950) 38--40. On choisit ici $H=c_0(\bN^*)$, \`a savoir l'espace des suites num\'eriques r\'eelles $x=(x_n)_{n\ge1}$ qui convergent vers z\'ero, muni de la norme $\|x\|_{\infty} = \sup _{n\ge1} |x_n|$. Il est bien connu qu'il s'agit d'un espace de Banach (si n\'ecessaire, nous laissons la v\'erification au lecteur). Soit $f : H \to H$ l'application d\'efinie par $$ f(x) =\left( \sqrt{|x_n|}+{1 \over n}\right)_{n \ge 1}, $$ pour tout $x\in H$. On consid\`ere pour des fonctions $y:I\to H$ l'\'equation diff\'erentielle $$ y'=f(y).\leqno({\rm E}) $$ Cette \'egalit\'e se ram\`ene \`a r\'esoudre simultan\'ement composante par composante les \'equations scalaires $$ x'=f_n(x).\leqno({\rm E}_n) $$ o\`u $f_n(x)=\sqrt{|x|}+{1\over n}$, $x\in\bR$. {\maincolor{\bf(a)}} Il est facile de voir que $f:H\to H$ est bien continue. En effet, la suite d\'efinissant $f(x)$ tend bien vers z\'ero \`a l'infini, de sorte que $f(x)\in H$. Maintenant si $a\in H$, nous avons $$|f_n(x) -f_n(a)|=\left|\sqrt{|x_n|}-\sqrt{|a_n|}\,\right|\le \sqrt{|x_n-a_n|}$$ car pour tous r\'eels $u,v$ l'in\'egalit\'e $$ \left(\sqrt{|u|}+\sqrt{|v-u|}\right)^2\ge |u|+|v-u|\ge|v| $$ et l'in\'egalit\'e analogue obtenue en \'echangeant $u$ et $v$ implique que l'on a toujours $|\sqrt{|v|}-\sqrt{|u|}\,|\le \sqrt{|v-u|}$. En passant au sup sur l'entier $n$ on en d\'eduit $$ \Vert f(x)-f(a)\Vert_\infty\le\sqrt{\Vert x-a\Vert_\infty} $$ et la continuit\'e de $f$ s'ensuit. {\maincolor{\bf(b)}} Pour tout $n \ge 1$, on v\'erifie maintenant que l'\'equation diff\'erentielle (dans $\bR$) $$ x'(t) = \sqrt{|x(t)|} + {1 \over n}, \qquad x(0) = 0, $$ poss\`ede une solution maximale unique, d\'efinie sur $\bR$ tout entier. Il s'agit en effet d'une \'equation \`a variables s\'epar\'ees qui peut se r\'ecrire $$ {dx\over \sqrt{|x|}+{1\over n}}=dt, $$ et le probl\`eme de Cauchy de donn\'ee initiale $y(0)=0$ se r\'esout explicitement sous la forme $F_n(x)=t$, c'est-\`a-dire $x(t)=F_n^{-1}(t)$, o\`u $F_n$ est la primitive $$ F_n(x)=\int_0^x{du\over \sqrt{|u|}+{1\over n}}. $$ Comme l'int\'egrale diverge lorsque $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$, on voit qu'il s'agit d'une fonction $C^1$ strictement croissante (\`a d\'eriv\'ee strictement positive), qui d\'efinit une bijection $F_n:\bR\to\bR$. La fonction $F_n$ se calcule d'ailleurs ais\'ement en faisant le changement de variable $u=v^2\,$; si $\varepsilon=\pm 1$ est le signe de $x$ on trouve $$ F_n(x)=\varepsilon\int_0^{\sqrt{|x|}} {2vdv\over v+{1\over n}}= \varepsilon\int_0^{\sqrt{|x|}} \left(2-{{2\over n}\over v+{1\over n}}\right)dv =\varepsilon\left(2\sqrt{|x|}-{2\over n}\ln\big(1{+}n\sqrt{|x|}\,\big)\kern-1pt \right). $$ {\maincolor{\bf(c)}} Par d\'efinition de $F_n$, nous avons $$ F_n(x)\le\int_0^x{du\over\sqrt{u}}=2\sqrt{x}\quad\hbox{pour $x\ge 0$}. $$ Il en r\'esulte aussit\^ot que pour tout $u\in\bR$, le nombre $x=F_n^{-1}(u)$ v\'erifie en passant aux valeurs absolues $|u|=F_n(|x|)\le 2\sqrt{|x|}$, donc $|x|=|F_n^{-1}(u)|\ge{1\over 4}u^2$. La solution $x(t)=F_n^{-1}(t)$ v\'erifie donc $|x(t)| \ge {1\over 4}t^2$ pour tout $t \in \bR$. {\maincolor{\bf(d)}} Obtention du contre-exemple~: si le probl\`eme de Cauchy dans l'espace de Banach~$H$ $$ y'(t) = f(y(t)), \qquad y(0) =\ 0~, $$ avait une solution $y :{}]-T,T[{}\to H$, pour un certain temps $T>0$, il r\'esulterait de ce qui pr\'ec\`ede que les composantes $y_n(t)$ de $y(t)$ v\'erifieraient $|y_n(t)|\ge{1\over 4}t^2$, mais cette in\'egalit\'e est interdite pour $t\ne 0$ puisqu'on doit avoir $\lim_{n\to+\infty}y_n(t)=0$ pour tout \'el\'ement $y(t)\in H=c_0(\bN^*)$. On en d\'eduit que le probl\`eme de Cauchy $y(0)=0$ n'a aucune solution locale en $0$ dans l'espace de Banach $H$. L'argument qui fait d\'efaut ici dans la preuve du th\'eor\`eme de Cauchy-Peano-Arzel\`a est l'impossibilit\'e de faire converger les solutions approch\'ees locales au moyen du th\'eor\`eme d'Ascoli. Ce dernier tombe lui-m\^eme en d\'efaut du fait que les boules ferm\'ees de $H$ ne sont pas compactes~: par le th\'eor\`eme de Riesz, la boule unit\'e ferm\'ee d'un espace norm\'e de dimension infinie n'est jamais compacte. En fait, on peut d\'emontrer que dans tout espace de Banach s\'eparable $H$ de dimension infinie il existe une fonction continue $f:H\to H$ telle que l'\'equation $y'=f(y)$ n'ait aucune solution locale, voir par exemple l'article de Petr H\'ajek et Michal Johanis, {\it On Peano's theorem in Banach spaces}, J.~Differential Equations {\bf 249} (2010) 3342--3351. \end % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: