% Jean-Pierre Demailly % Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier % \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique % Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble \newif\ifcolorized \colorizedfalse \newif\iftocfirst \tocfirsttrue \input hyperbasics.tex \ifcolorized \magnification=1200 \hsize=13cm\hoffset=0cm \vsize=18.8cm\voffset=0.3cm \else %% \magnification=1000 \hsize=13cm\hoffset=1.5cm \vsize=18.8cm\voffset=2cm \magnification=1200 \hsize=13cm\hoffset=0cm \vsize=18.8cm\voffset=0.3cm \fi \pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000 \parindent=0mm \parskip=5pt plus 1pt minus 1pt \baselineskip=12.5pt \catcode`\@=11 \def\makeheadline{\vbox to\z@{\vskip-25.4\p@ \line{\vbox to8.5\p@{}\the\headline}\vss}\nointerlineskip} \def\makefootline{\baselineskip28\p@\lineskiplimit\z@\line{\the\footline}} \catcode`\@=12 % new fonts definitions \font\twentyfourss=cmss10 at 24.8832pt \font\twentyss=cmss10 at 20.736pt \font\seventeenss=cmss10 at 17.28pt 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\noindent\rlap{\hbox{\eightpointbf #1}}\kern1.2cm{\rm #2}{\it #3}{\rm #4.}} %%% Texte principal \setbox\bookbox\hbox{\tenss \maincolor{% Analyse num\'erique et \'equations diff\'erentielles}} \setbox\ebookbox\hbox{\tenss \maincolor{% \href{https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/demailly/1-calculs-numeriques-approches}{\RGBColor{0 0 1}{$\strut\,\Rightarrow$ site web compagnon$\,$}}}} \footline={\upperblackline \maincolor{% \tenss Int\'egrales elliptiques et calcul de $\pi$\hfill\copyright\ Grenoble Sciences, J.-P.~Demailly $\scriptstyle \bullet$ \folio}} \openauxfile \headline={\foliopapebook} \notthispage=\pageno \strut\vskip4mm \maincolor{% \title{Moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique,} \title{int\'egrales elliptiques et calcul de $\pi$}} \titlerunning{\maincolor{% Moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique, int\'egrales elliptiques et calcul de $\pi$}} \vskip10mm {\eightpoint %%% TOC \line{0. Introduction\dotfill\hyperref\SECo{1}} \line{1. Moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique\dotfill\hyperref\SECi{1}} \line{2. Int\'egrales elliptiques\dotfill\hyperref\SECii{2}} \line{3. Transformation de Landen\dotfill\hyperref\SECiii{3}} \line{4. \'Evaluation des int\'egrales elliptiques\dotfill\hyperref\SECiv{5}} \line{5. Relation de Legendre\dotfill\hyperref\SECv{6}} \line{6. Formule de Brent-Salamin pour $\pi$\dotfill\hyperref\SECvi{7}} \line{7. Code pour PARI/GP\dotfill\hyperref\SECvii{9}} } \section{0. Introduction}\hyperdef\SECo{}{}{} \bigskip L'objectif de ce texte est d'expliquer le lien entre la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique et les int\'egrales elliptiques, d\'ecouvert par C.F.~Gauss en 1799 alors qu'il avait 22~ans\note{\NOTEi}{1}{voir aussi~: A.~Chambert-Loir, S.~Fermigier et V.~Maillot, {\it Exercices d'analyse pour l'agr\'egation, Analyse~1 (Topologie, suites et s\'eries, int\'egration)}, Paris : Masson, 230 p.\ (1995).}. On d\'emontrera ensuite la relation de Legendre (1811), qui fournit une m\'ethode de calcul de $\pi$ extr\^emement efficace. Elle aurait donc d\'ej\`a pu \^etre d\'ecouverte au d\'ebut du 19${}^{\rm e}$ si\`ecle, mais il fallut en r\'ealit\'e attendre les travaux de Brent et Salamin en 1976 pour que cette m\'ethode soit explicitement sugg\'er\'ee comme moyen de calcul de~$\pi$. \bigskip \section{1. Moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique}\hyperdef\SECi{}{}{} \'Etant donn\'es deux r\'eels $a$, $b>0$, on consid\`ere les suites $(a_n)$, $(b_n)$ d\'efinies par la relation de r\'ecurrence $(a_0,b_0)=(a,b)$ et $$ \cases{ \displaystyle a_{n+1}={a_n+b_n\over 2}\cr \noalign{\vskip5pt} \displaystyle b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}.\cr } $$ Comme les termes d'indices $n\ge 1$ restent inchang\'es si on permute $a$ et $b$, il n'est pas restrictif de supposer $a\ge b>0$. Dans ce cas, nous affirmons que $(a_n)$ est une suite d\'ecroissante, que $(b_n)$ est une suite croissante, et que les deux suites sont adjacentes. En effet $$ a_{n+1}^2-b_{n+1}^2=\Big({a_n+b_n\over 2}\Big)^2-a_nb_n =\Big({a_n-b_n\over 2}\Big)^2\ge 0, \leqno\hyperdef\EQiDi{}{}{(1.1)} $$ on a donc $a_n\ge b_n$ pour tout $n\ge 1$. Ceci implique $a_{n+1}\le a_n$ et $b_{n+1}\ge b_n$ pour tout~$n\ge 0$, par cons\'equent $$ b=b_0\le\ldots\le b_n\le b_{n+1}\le a_{n+1}\le a_n\le\ldots\le a_0=a. \leqno\hyperdef\EQiDii{}{}{(1.2)} $$ Comme les suites sont monotones et born\'ees, leurs limites respectives $\alpha=\lim a_n$ et $\beta=\lim b_n$ existent, et la relation $a_{n+1}={1\over 2}(a_n+b_n)$ entra\^{\i}ne $\alpha={1\over 2}(\alpha+\beta)$ d'o\`u~$\alpha=\beta$. Ceci implique bien que les suites sont adjacentes. On note $$ M(a,b)=\lim a_n=\lim b_n \leqno\hyperdef\EQiDiii{}{}{(1.3)} $$ leur limite commune, appel\'ee {\it moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique} de $a$ et $b$, et on pose de plus $$ c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}. \leqno\hyperdef\EQiDiv{}{}{(1.4)} $$ Il vient d'apr\`es \hyperref\EQiDi{(1.1)} $c_{n+1}={1\over 2}(a_n-b_n)$, donc $c_n$ d\'ecro\^{\i}t vers $0$ et $$ c_n^2=(a_n-b_n)(a_n+b_n)=4c_{n+1}a_{n+1}~~ \Rightarrow~~ c_{n+1}\le {c_n^2\over 4M(a,b)}. $$ En posant $M=M(a,b)$, ceci se r\'ecrit $c_{n+1}/4M\le (c_n/4M)^2$, donc on voit par r\'ecurrence que $c_n/4M\le (c_{n_0}/4M)^{2^{n-n_0}}$. Il s'agit d'une convergence de type quadratique~: si $n_0$ est pris tel que $c_{n_0}/4M\le 10^{-1}$, on va avoir $$ a_n-b_n=2c_{n+1}\le 8M\, 10^{-2^{n+1-n_0}}, \leqno\hyperdef\EQiDv{}{}{(1.5)} $$ soit d\'ej\`a environ $2^{10}>1000$ d\'ecimales exactes pour $n=n_0+9$. \section{2. Int\'egrales elliptiques}\hyperdef\SECii{}{}{} Pour $a,\,b>0$ on introduit les int\'egrales $$\strut\kern30pt I(a,b)=\int_0^{\pi/2}{dt\over\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}},\quad J(a,b)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}\,dt. \leqno\hyperdef\EQiiDi{}{}{(2.1)\kern-50pt} $$ Il est facile de voir que le p\'erim\`etre de l'ellipse de demi-axes $a$, $b$ est \'egal \`a $4\,J(a,b)$, et pour cette raison, ces int\'egrales ont \'et\'e appel\'ees int\'egrales elliptiques. Il est \'evident que $I(b,a)=I(a,b)$ et $J(b,a)=J(a,b)$ en faisant le changement de variable $t\mapsto{\pi\over 2}-t$. \section{3. Transformation de Landen}\hyperdef\SECiii{}{}{} \`A l'aide d'un changement de variable astucieux, appel\'e transformation de Landen, on va montrer que $I(a,b)$ et $J(a,b)$ satisfont les relations $$ \leqalignno{ I(a_1,b_1)&=I(a,b),&\hyperdef\EQiiiDi{}{}{(3.1)}\cr 2\,J(a_1,b_1)&=J(a,b)+ab\,I(a,b),&\hyperdef\EQiiiDii{}{}{(3.2)}\cr} $$ o\`u $\displaystyle a_1={a+b\over 2}$ et $b_1=\sqrt{ab}$ comme au \S$\,1$. Le changement de variable consiste \`a poser $$ u=t+\Arctan\Big({b\over a}\tan t\Big). $$ Il r\'ealise une bijection croissante de $[0,\pi/2[$ sur $[0,\pi[$, et peut se prolonger diff\'erentia\-blement \`a $[0,\pi/2]$ comme on va le voir. On a en effet $$ {du\over dt}=1+{{b\over a}(1+\tan^2t)\over 1+({b\over a})^2\tan^2t}= 1+{ab(\cos^2t+\sin^2 t)\over a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t}= {(a+b)(a\cos^2t+b\sin^2 t)\over a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}. $$ D'autre part, si $\varphi\in[0,\pi/2[$, on a $$ \cos\varphi={1\over\sqrt{1+\tan^2\varphi}}\quad\hbox{et}\quad \sin\varphi={\tan\varphi\over\sqrt{1+\tan^2\varphi}}. $$ En posant $\;\varphi=\Arctan\big({b\over a}\tan t\big)$ et $u=t+\varphi$, ceci implique $\;\tan\varphi={b\over a}\tan t\;$ et $$ \eqalign{ \cos u &= \cos t\;\cos\varphi-\sin t\;\sin\varphi\cr &= \cos t{1\over\sqrt{1+({b\over a})^2\tan^2t}}- \sin t{{b\over a}\tan t\over\sqrt{1+({b\over a})^2\tan^2t}}= {a\,\cos^2t-b\,\sin^2 t\over\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}},\cr \sin u &= \sin t\;\cos\varphi+\cos t\;\sin\varphi\cr &= \sin t{1\over\sqrt{1+({b\over a})^2\tan^2t}}+ \cos t{{b\over a}\tan t\over\sqrt{1+({b\over a})^2\tan^2t}}= {(a+b)\sin t\cos t\over\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}}.\cr} $$ On en d\'eduit alors $$ \leqalignno{ a_1^2\cos^2u+b_1^2\sin^2u &=\Big({a+b\over 2}\Big)^2\Big(\cos^2u+{4ab\over (a+b)^2}\sin^2u\Big)\cr &=\Big({a+b\over 2}\Big)^2 {(a\,\cos^2t-b\,\sin^2t)^2+4ab\,\sin^2t\cos^2t\over a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}\cr &=\Big({a+b\over 2}\Big)^2{(a\,\cos^2t+b\,\sin^2 t)^2\over a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t},\cr \noalign{\vskip5pt} &&\hbox{soit, en posant $\Delta(t)=\sqrt{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t}$}\cr \noalign{\vskip5pt} \Delta_1(u)=\sqrt{a_1^2\cos^2u+b_1^2\sin^2u} &={a+b\over 2}{a\,\cos^2t+b\,\sin^2 t\over \sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}}.\cr} $$ En combinant ceci avec le calcul de $du/dt$ qui donne $$ du={(a+b)(a\cos^2t+b\sin^2 t)\over a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t}\,dt, $$ il vient $$ {1\over 2}\,{du\over\Delta_1(u)}= {1\over 2}\,{du\over \sqrt{a_1^2\cos^2u+b_1^2\sin^2u}}= {dt\over \sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}}= {dt\over\Delta(t)}. \leqno\hyperdef\EQiiiDiii{}{}{(3.3)} $$ Apr\`es int\'egration, nous obtenons $$ {1\over 2}\int_0^\pi{du\over \sqrt{a_1^2\cos^2u+b_1^2\sin^2u}}= \int_0^{\pi/2}{dt\over \sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}}, $$ d'o\`u la relation \hyperref\EQiiiDi{(3.1)} par sym\'etrie des int\'egrales sur $[0,\pi/2]$ et $[\pi/2,\pi]$. Pour obtenir \hyperref\EQiiiDii{(3.2)} , nous observons que $$ \leqalignno{ \Delta_1(u)+{a-b\over 2}\cos u&= {1\over 2}{(a+b)(a\,\cos^2t+b\,\sin^2t)+(a-b)(a\,\cos^2t-b\,\sin^2t) \over\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}}\cr &={a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t\over\sqrt{a^2\cos^2+b^2\sin^2 t}}=\Delta(t), &\hyperdef\EQiiiDiv{}{}{(3.4)}\cr \Delta_1(u)-{a-b\over 2}\cos u&= {1\over 2}{(a+b)(a\,\cos^2t+b\,\sin^2t)-(a-b)(a\,\cos^2t-b\,\sin^2t) \over\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2 t}}\cr &={ab\cos^2t+ab\sin^2 t\over\sqrt{a^2\cos^2+b^2\sin^2 t}}={ab\over\Delta(t)}. &\hyperdef\EQiiiDiv{}{}{(3.5)}\cr} $$ En faisant la somme, nous trouvons $$ 2\,\Delta_1(u)=\Delta(t)+{ab\over\Delta(t)}. \leqno\hyperdef\EQiiiDvi{}{}{(3.6)} $$ La relation \hyperref\EQiiiDiii{(3.3)} donne par ailleurs $du=2{\Delta_1(u)\over\Delta(t)}dt$, donc en multipliant \hyperref\EQiiiDiv{(3.4)} par $du$ il~s'ensuit $$ \Delta_1(u)\,du+{a-b\over 2}\cos u\,du=\Delta(t)\,du=2\Delta_1(u)\,dt= \Big(\Delta(t)+{ab\over\Delta(t)}\Big)dt. \leqno\hyperdef\EQiiiDvii{}{}{(3.7)} $$ Comme $\int_0^\pi\cos u\,du=0$, nous obtenons apr\`es int\'egration pour $t\in[0,\pi/2]$ et $u\in[0,\pi]$~: $$ 2\,J(a_1,b_1)=J(a,b)+ab\,I(a,b), $$ ce qu'il fallait d\'emontrer.\qed \section{4. \'Evaluation des int\'egrales elliptiques}\hyperdef\SECiv{}{}{} On utilise la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique $M=M(a,b)=\lim a_n=\lim b_n$. La~relation \hyperref\EQiiiDi{(3.1)} donne par r\'ecurrence $I(a,b)=I(a_n,b_n)$, et il est facile de voir qu'il y a convergence uniforme vers l'int\'egrale $I(M,M)={\pi/2\over M}$. On obtient donc d\'ej\`a la formule c\'el\`ebre due \`a C.F.~Gauss $$ I(a,b)={\pi/2\over M(a,b)}. \leqno\hyperdef\EQivDi{}{}{(4.1)} $$ La formule \hyperref\EQiiiDii{(3.2)} implique par ailleurs $$ \eqalign{ 2\big(J(a_1,b_1)-a_1^2I(a_1,b_1)\big) &=J(a,b)+ab\,I(a,b)-2\Big({a+b\over 2}\Big)^2I(a,b)\cr &=J(a,b)-{a^2+b^2\over 2}I(a,b)\cr &=J(a,b)-a^2\,I(a,b)+{1\over 2}c^2I(a,b)\cr} $$ et en rempla\c{c}ant $(a,b)$ par $(a_{n-1},b_{n-1})$ on en d\'eduit de m\^eme $$ 2\big(J(a_n,b_n)-a_n^2I(a_n,b_n)\big) =J(a_{n-1},b_{n-1})-a_{n-1}^2\,I(a_{n-1},b_{n-1})+{1\over 2}c_{n-1}^2I(a,b). $$ En multipliant par $2^{n-1}$, il vient ais\'ement par r\'ecurrence $$ 2^n(J(a_n,b_n)-a_n^2I(a_n,b_n)\big)= J(a,b)-a^2\,I(a,b)+{1\over 2}\sum_{j=0}^{n-1}2^jc_j^2I(a,b). \leqno\hyperdef\EQivDii{}{}{(4.2)} $$ Nous affirmons que le membre de gauche tend vers $0$ du fait de la convergence rapide. En effet on a les in\'egalit\'es $$ {\pi\over 2}b\le J(a,b)\le{\pi\over 2}a,\qquad {\pi\over 2a}\le I(a,b)\le{\pi\over 2b}, $$ donc $$ {\pi\over 2}\Big(b-{a^2\over b}\Big)\le J(a,b)-a^2I(a,b)\le 0 \quad\Rightarrow\quad \big|J(a,b)-a^2I(a,b)\big|\le{\pi\over 2b}(a^2-b^2)={\pi\over 2b}c^2, $$ et par cons\'equent $$ 2^n\big|J(a_n,b_n)-a_n^2I(a_n,b_n)\big|\le 2^n{\pi\over 2b_n}c_n^2 \le 2^n{\pi\over 2b}c_n^2, $$ ce qui tend vers z\'ero du fait de la convergence super-exponentielle de $c_n$. \`A la limite, la relation \hyperref\EQivDii{(4.2)} implique la formule $$ J(a,b)=I(a,b)\Big(a^2-\sum_0^{+\infty}2^{n-1}c_n^2\Big)= {\pi\over 2}\;{a^2-\sum_0^{+\infty}2^{n-1}c_n^2\over M(a,b)} \leqno\hyperdef\EQivDiii{}{}{(4.3)} $$ qui permet d'\'evaluer efficacement $J(a,b)$ (et donc le p\'erim\`etre de l'ellipse${}=4\,J(a,b)$). \section{5. Relation de Legendre}\hyperdef\SECv{}{}{} Soit $a,b,c$ des r\'eels${}>0$ tels que $a^2=b^2+c^2$ et $a_n$, $b_n$, $c_n$ comme au paragraphe 1. Nous avons $$ I(a_1,b_1)=I(a,b) \leqno\hyperdef\EQvDi{}{}{(5.1)} $$ et comme $a_1={a+b\over 2}$, $c_1={a-b\over 2}$, il vient $$ I(a_1,c_1)=I\Big({a_1+c_1\over 2},\sqrt{a_1c_1}\Big)=I(a/2,c/2)=2\,I(a,c). \leqno\hyperdef\EQvDii{}{}{(5.2)} $$ Par ailleurs $$ J(a_1,b_1)={1\over 2}\big(J(a,b)+ab\,I(a,b)\big), \leqno\hyperdef\EQvDiii{}{}{(5.3)} $$ et donc $$ J(a,c)=2\,J(a/2,c/2)=2\,J\Big({a_1+c_1\over 2},\sqrt{a_1c_1}\Big)= J(a_1,c_1)+a_1c_1I(a_1,c_1), $$ ce qui implique $$ J(a_1,c_1)=J(a,c)-{c^2\over 2}I(a,c). \leqno\hyperdef\EQvDiv{}{}{(5.4)} $$ La relation de Legendre consiste \`a \'evaluer l'expression $$ E(a,b)=I(a,b)J(a,c)+I(a,c)J(a,b)-a^2I(a,b)I(a,c). $$ Pour cela, on va chercher la transform\'ee de $E(a,b)$ par l'op\'eration de moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique. D'apr\`es (\hyperref\EQvDi{5.1}--\hyperref\EQvDiv{5.4}), on trouve $$\eqalign{ E(a_1,b_1) &=I(a_1,b_1)J(a_1,c_1)+I(a_1,c_1)J(a_1,b_1)-a_1^2I(a_1,b_1)I(a_1,c_1)\cr &=I(a,b)\Big(J(a,c)-{c^2\over 2}I(a,c)\Big) +2\,I(a,c){1\over 2}\Big(J(a,b)+ab\,I(a,b)\Big)\cr &\phantom{I(a,b)\Big(J(a,c)-{c^2\over 2}I(a,c)\Big)={}} -2\Big({a+b\over 2}\Big)^2I(a,b)I(a,c)\cr &=E(a,b).\cr} $$ On a par cons\'equent $E(a,b)=E(a_n,b_n)$ et il est naturel de chercher \`a \'evaluer la limite quand $n\to+\infty$. Nous avons d'une part $$ \lim I(a_n,b_n)=I(M,M)={\pi/2\over M},\quad \lim J(a_n,c_n)=J(M,0)=\int_0^{\pi/2}M\cos t\,dt=M. $$ D'autre part, comme $a\ge c$, on a aussi $I(a,c)\le {\pi\over 2c}$, et la majoration de $J(a,b)-a^2I(a,b)$ par $(\pi/2b)c^2$ obtenue dans la section~4 entra\^{\i}ne alors $$ \big|I(a,c)J(a,b)-a^2I(a,b)I(a,c)\big|=I(a,c) \big|J(a,b)-a^2I(a,b)\big|\le{\pi^2\over 4b}c. $$ On en d\'eduit que $\lim_{n\to+\infty} I(a_n,c_n)J(a_n,b_n)-a_n^2I(a_n,b_n)I(a_n,c_n)=0$ et donc $$ E(a,b)=\lim E(a_n,b_n)=I(M,M)J(M,0)={\pi\over 2}. $$ Ceci donne la relation de Legendre reliant les int\'egrales elliptiques~: $$ I(a,b)J(a,c)+I(a,c)J(a,b)-a^2I(a,b)I(a,c)={\pi\over 2}. \leqno\hyperdef\EQvDv{}{}{(5.5)} $$ \section{6. Formule de Brent-Salamin pour $\pi$}\hyperdef\SECvi{}{}{} On applique la formule de Legendre avec $a=1$ et $00,~~b^2+b^{\prime 2}=1. \leqno\hyperdef\EQviDi{}{}{(6.1)} $$ Le choix le plus simple consiste \`a prendre $b=b'=2^{-1/2}$, pour lequel on a $$ \pi={4\,M(1,2^{-1/2})^2\over 1-\sum_{n=1}^{+\infty}2^{n+1}c_n^2}. \leqno\hyperdef\EQviDii{}{}{(6.2)} $$ On effectuera par exemple le calcul de $a_n$, $b_n$ jusqu'\`a l'indice $n$, puis $a_{n+1}={1\over 2}(a_n+b_n)$, et on prendra l'approximation $$ \pi_n={4\,a_{n+1}^2\over 1-\sum_{j=1}^n2^{j+1}c_j^2}. \leqno\hyperdef\EQviDiii{}{}{(6.3)} $$ Analysons rapidement l'erreur. Comme on a $b_{n+1}\le M\le a_{n+1}$, l'erreur au num\'erateur est major\'ee par $4(a_{n+1}^2-b_{n+1}^2)=4c_{n+1}^2$, tandis qu'au d\'enominateur elle est d'un ordre plus grand, soit $2^{n+2}c_{n+1}^2+O(2^{n+3}c_{n+2}^2)$. Si $\delta$ d\'esigne le d\'enominateur de \hyperref\EQviDii{(6.2)}, on a $\pi=4M^2/\delta$ et $c_{n+1}\le c_n^2/4M$ avec $b_1=2^{-1/4}\le M\le a_0=1$. Ceci donne pour l'erreur l'\'equivalent $$ \eqalign{ |\pi_n-\pi|\sim {4M^2\over\delta} \Big({1+c_{n+1}^2/M^2\over 1-2^{n+2}c_{n+1}^2/\delta}-1\Big) \sim {4M^2\over\delta^2}2^{n+2}c_{n+1}^2 &={\pi^2\over 4M^2}2^{n+2}c_{n+1}^2\cr &\sim{\pi^2\over 16M^4} 2^nc_n^4\le 1,2\;2^nc_n^4. } $$ Le calcul \`a l'aide d'un logiciel comme PARI/GP fournit $$ c_1/4M\le c_1/4b_1=0,04289<10^{-1}, $$ donc $c_n\le 4M\,10^{-2^{n-1}}$ d'apr\`es \hyperref\EQiDv{(1.5)}$\,$; par cons\'equent, on obtiendra d\'ej\`a largement plus de deux milliards de d\'ecimales exactes pour $n=30$. Comme on dispose d'algorithmes tr\`es efficaces pour calculer les sommes, produits, quotients et racines de grands nombres (algorithme de Sch\"onhage-Strassen\note{\NOTEiv}{4}{A.~Sch\"onhage and V.~Strassen, {\it Schnelle Multiplikation gro{\ss}er Zahlen}, Computing {\bf 7} (1971), 281--292.} reposant sur l'utilisation de la transform\'ee de Fourier rapide ou FFT\note{\NOTEv}{5}{J.W.~Cooley and J.W.~Tukey, {\it An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series}, Math.\ Comput.\ {\bf 19} (1965), 297--301.}), on sait \'egalement calculer $\pi$ de mani\`ere ultra-rapide -- le temps de calcul de $N$ d\'ecimales cro\^{\i}t presque lin\'eairement en $N$, de l'ordre de $N(\log N)^2$, soit \`a peine plus que le temps $N$ n\'ecessaire pour seulement \'ecrire le r\'esultat$\,\ldots$ L'algorithme de la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique a d'autres avatars int\'eressants, par exemple la formule suivante due elle aussi \`a C.F.~Gauss $$ e^\pi=32\prod_{n=1}^{+\infty}\Big({a_{n+1}\over a_n}\Big)^{2^{-n+1}}. $$ \vfill\eject \section{7. Code pour PARI/GP}\hyperdef\SECvii{}{}{} L'impl\'ementation du code avec un logiciel comme PARI/GP est extr\^emement simple. Voici un exemple de tel code {\tt "salamin.gp"} pour un calcul avec environ 1000 d\'ecimales exactes, \`a ex\'ecuter par {\tt "gp salamin.gp"} (moins de dix it\'erations suffisent). {\tt default(colors,"9, 5, no, no, 4"); \medskip v=1000;\hfill /* initialisation des variables */\\ default(realprecision,v+20);\\ n=0;\\ a=1;b=1/sqrt(2);\\ a1=(a+b)/2;\hfill /* prochaine it\'eration de a */\\ d=1;f=2;\hfill /* f stocke $2^{n+1}$ */\\ decimales=1;\\ \medskip iterer()=\\ $\{$\\ local(s,c,c2,p,u);\hfill /* a,b,a1 valent $a_n,b_n,a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$ */\\ c=a1-b;\hfill /* $c_{n+1}=(a_n-b_n)/2$ */\\ n=n+1;\\ b=sqrt(a*b);\hfill /* b stocke $b_n$ nouveau */\\ a=a1;\hfill /* a stocke $a_n$ nouveau */\\ s=a+b;\hfill /* s vaut $2a_{n+1}$ */\\ f=2*f;\hfill /* f vaut $2^{n+1}$ */\\ c2=c*c;\\ u=f*c2;\hfill /* u vaut $2^{n+1}c_n^2$ */\\ d=d-u;\hfill /* d${}=1-\sum_{1\le j\le n} 2^{j+1}c_j^2$ */\\ p=s*s/d;\hfill /* s*s${}=4a_{n+1}^2$ */\\ a1=s/2;\\ erreur=0.6*u*c2;\hfill /* majorant $1.2\,2^nc_n^4$ */\\ decimales=floor(-log(erreur)/log(10));\\ if(decimales>v+10,decimales=v);\\ print("n = ", n, ", decimales attendues = ", decimales);\\ print("pi = ", p);\\ print();\\ $\}$ \medskip while(decimales