% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Pr\'eface

\input equa-mac.tex

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\hfill\title Introduction|

\vglue7pc

Le pr\'esent ouvrage reprend avec beaucoup de compl\'ements
un cours de ``Licence de Math\'ematiques'' -- ex troisi\`eme ann\'ee
d'Universit\'e -- donn\'e \`a l'Universit\'e de Grenoble
I pendant les ann\'ees 1985-88. Le but de ce cours \'etait de
pr\'esenter aux \'etudiants quelques notions th\'eoriques de base
concernant les \'equations et syst\`emes d'\'equations
diff\'erentielles ordinaires, tout en explicitant des m\'ethodes
num\'eriques permettant de r\'esoudre effectivement de telles
\'equations. C'est pour cette raison qu'une part importante du cours
est consacr\'ee \`a la mise en place d'un certain nombre de techniques
fondamentales de l'Analyse Num\'erique~: interpolation polynomiale,
int\'egration num\'erique, m\'ethode de Newton \`a une et plusieurs
variables.

L'originalit\'e de cet ouvrage ne r\'eside pas tant dans le contenu,
pour lequel l'auteur s'est inspir\'e sans vergogne de la litt\'erature
existante -- en particulier du livre de Crouzeix-Mignot pour ce qui
concerne les m\'ethodes num\'eriques, et des livres classiques de
H.~Cartan et J.~Dieudonn\'e pour la th\'eorie des \'equations
diff\'erentielles -- mais plut\^ot dans le choix des th\`emes et dans
la pr\'esentation. S'il est relativement facile de trouver des
ouvrages sp\'ecialis\'es consacr\'es soit aux aspects th\'eoriques
fondamentaux de la th\'eorie des \'equations diff\'erentielles et ses
applications (Arnold, Coddington-Levinson) soit aux techniques de
l'Analyse Num\'erique (Henrici, Hildebrand), il y a relativement peu
d'ouvrages qui couvrent simultan\'ement ces diff\'erents aspects et
qui se situent \`a un niveau accessible pour l'\og honn\^ete\fg\ 
\'etudiant de second cycle.  Nous avons en particulier consacr\'e deux
chapitres entiers \`a l'\'etude des m\'ethodes \'el\'ementaires de
r\'esolution par int\'egration explicite et \`a l'\'etude des
\'equations diff\'erentielles lin\'eaires \`a coefficients constants,
ces questions \'etant g\'en\'eralement omises dans les ouvrages de
niveau plus avanc\'e. Par ailleurs, un effort particulier a \'et\'e
fait pour illustrer les principaux r\'esultats par des exemples
vari\'es.

La plupart des m\'ethodes num\'eriques expos\'ees avaient pu \^etre
effectivement mises en {\oe}uvre par les \'etudiants au moyen de
programmes \'ecrits en Turbo Pascal -- \`a une \'epoque remontant
maintenant \`a la pr\'ehistoire de l'informatique. Aujourd'hui,
les environnements disponibles sont beaucoup plus nombreux, mais nous
recommandons certainement encore aux \'etudiants d'essayer d'impl\'ementer
les algorithmes propos\'es dans ce livre sous forme de programmes \'ecrits
dans des langages de base comme C ou C++, et particuli\`erement dans un
environnement de programmation libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien
entendu, il existe des logiciels libres sp\'ecialis\'es
dans le calcul num\'erique qui impl\'ementent les principaux
algorithmes utiles sous forme de librairies toutes pr\^etes -- Scilab
est l'un des plus connus -- mais d'un point de vue p\'edagogique et 
dans un premier temps au moins, il est bien plus
formateur pour les \'etudiants de mettre vraiment ``la main dans le
cambouis'' en programmant eux-m\^emes les algorithmes.  Nous ne
citerons pas d'environnements ni de logiciels propri\'etaires
\'equivalents, parce que ces logiciels dont
le fonctionnement intime est inaccessible \`a l'utilisateur sont
contraires \`a notre \'ethique scientifique ou \'educative, et 
nous ne souhaitons donc pas en encourager l'usage.

L'ensemble des sujets abord\'es dans le pr\'esent ouvrage d\'epasse
sans aucun doute le volume pouvant \^etre trait\'e en une seule
ann\'ee de cours -- m\^eme si jadis nous avions pu en enseigner
l'essentiel au cours de la seule ann\'ee de Licence. Dans les
conditions actuelles, il nous para\^{\i}t plus judicieux d'envisager
une r\'epartition du contenu sur l'ensemble des deux ann\'ees du
second cycle universitaire. Ce texte est probablement utilisable aussi
pour les \'el\`eves d'\'ecoles d'ing\'enieurs, ou comme ouvrage de
synth\`ese au niveau de l'agr\'egation de math\'ematiques.  Pour
guider le lecteur dans sa s\'election, les sous-sections de chapitres
les plus difficiles ainsi que les d\'emonstrations les plus
d\'elicates sont marqu\'ees d'un ast\'erisque. Le lecteur pourra
trouver de nombreux exemples de trac\'es graphiques de solutions
d'\'equations diff\'erentielles dans le livre d'Artigue-Gautheron~: on
y trouvera en particulier des illustrations vari\'ees des
ph\'enom\`enes qualitatifs \'etudi\'es au chapitre~X, concernant les
points singuliers des champs de vecteurs.

Je voudrais ici remercier mes coll\`egues grenoblois pour les
remarques et am\'elio\-rations constantes sugg\'er\'ees tout au long de
notre collaboration pendant les trois ann\'ees qu'a dur\'e ce cours.
Mes plus vifs remerciements s'adressent \'egalement \`a Mich\`ele
Artigue, Alain Dufresnoy, Jean-Ren\'e Joly et Marc Rogalski, qui ont
bien voulu prendre de leur temps pour relire le manuscrit original de
mani\`ere tr\`es d\'etaill\'ee. Leurs critiques et suggestions ont
beaucoup contribu\'e \`a la mise en forme d\'efinitive de cet ouvrage.
\bigskip
\line{\hfill Saint-Martin d'H\`eres, le 5 novembre 1990}
\bigskip\bigskip

{\eightpoint
La seconde \'edition de cet ouvrage a b\'en\'efici\'e d'un bon
nombre de remarques et de suggestions propos\'ees par Marc Rogalski.
Les modifications apport\'ees concernent notamment le d\'ebut du
chapitre VIII, o\`u la notion d\'elicate d'erreur de consistance a
\'et\'e plus clairement explicit\'ee, et les exemples des chapitres
VI et XI traitant du mouvement du pendule simple. L'auteur tient \`a 
remercier de nouveau Marc Rogalski pour sa pr\'ecieuse contribution.  
\bigskip 
\line{\hfill Saint-Martin d'H\`eres, le 26 septembre 1996}
\bigskip\bigskip
{\eightpoint
La troisi\`eme \'edition de cet ouvrage a \'et\'e enrichie d'un
certain nombre de compl\'ements th\'eoriques et pratiques :
comportement g\'eom\'etrique des suites it\'eratives en dimension~$1$,
th\'eor\`eme des fonctions implicites et ses variantes
g\'eom\'etriques dans le chapitre IV~; crit\`ere de maximalit\'e des
solutions dans le chapitre~V~; calcul de g\'eod\'esiques dans le 
chapitre VI~; quelques exemples et exercices
additionnels dans les chapitres suivants~; notions \'el\'ementaires
sur les flots de champs de vecteurs dans le chapitre~XI.  \bigskip

\line{\hfill Saint-Martin d'H\`eres, le 28 f\'evrier 2006} }

} 
\bye

