% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Chapitre III

\input equa-mac.tex

\blankline\blankline
\hfill\chtitle Chapitre III|%
\blankline\blankline
\hfill\title Int\'egration num\'erique|
\chaptitlerunning III -- Int\'egration num\'erique|
\vskip4pc
 
\noindent L'objet de ce chapitre est de d\'ecrire quelques m\'ethodes 
num\'eriques classiques (Newton-Cotes, Gauss, Romberg) permettant
d'\'evaluer des int\'egrales de fonctions dont les valeurs sont
connues en un nombre fini de points. On s'attachera \`a expliciter le
plus compl\`etement possible les formules d'erreurs dans chacun des
cas.
 
\section 1. M\'ethodes de quadrature \'el\'ementaires et compos\'ees|

\subsection 1.1. Principe des m\'ethodes num\'eriques|
 
\noindent Soit $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\bR$ une fonction continue.
On se propose de chercher des formules approch\'ees pour l'int\'egrale
$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$. Pour cela, on choisit
d'abord une subdivision 
$$
\alpha=\alpha_0<\alpha_1<\dots<\alpha_k=\beta
$$
de l'intervalle $[\alpha,\beta]$. La formule de Chasles donne
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx=\sum_{i=0}^{k-1}\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx.
$$
On est donc ramen\'e au probl\`eme d'\'evaluer l'int\'egrale de $f$ sur un petit
intervalle $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$. Ce calcul est effectu\'e au moyen de formules
approch\'ees (qui peuvent \^etre {\it a priori} diff\'erentes sur chacun des intervalles
$[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$), appel\'ees {\it m\'ethodes de quadrature \'el\'ementaires},
du type suivant~:

\medskip
\majdeb
\state M\'ethodes de quadrature \'el\'ementaires|
$$
\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx\simeq
(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^{l_i}\omega_{i,j}f(\xi_{i,j}), 
$$
\noindent o\`u $\xi_{i,j}\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$, $0\leq j\leq l_i$\quad et\quad
$\sum_{j=0}^{l_i}\omega_{i,j}=1$. 
\par\majfin\par

\bigskip
La sommation peut \^etre interpr\'et\'ee comme une valeur moyenne de $f$ sur
$[\alpha,\alpha_{i+1}]$. Le probl\`eme est de choisir convenablement les points
$\xi_{i,j}$ et les coefficients $\omega_{i,j}$ de fa\c con \`a minimiser l'erreur. Ceci se fera en g\'en\'eral en \'evaluant l'int\'egrale
$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx$ au moyen d'une
interpolation de $f$ aux points $\xi_{i,j}$.

\bigskip
\noindent{\it La m\'ethode de quadrature compos\'ee} associ\'ee sera

\medskip
\majdeb
\centerline{$\displaystyle
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx\simeq\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^{l_i}
\omega_{i,j}f(\xi_{i,j})$}
\par\majfin\par

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- | {\it On dit qu'une m\'ethode de quadrature
(\'el\'ementaire ou compos\'ee) est d'ordre $N$ si la formule approch\'ee 
est exacte pour tout $f\in\cP_N$ et inexacte pour au moins un
$f\in\cP_{N+1}$.}
\par\majfin\par

\bigskip
On observera que les formules sont toujours exactes pour $f(x)=1$ \`a cause de
l'hypoth\`ese $\sum_{j}\omega_{i,j}=1$. Par lin\'earit\'e, elles sont donc
exactes au moins pour $f\in\cP_0$.

\subsection 1.2. Exemples|

\noindent{\bf (a) Cas le plus simple~:} $l_i=0$, quel que soit $i$.

\medskip
\noindent On choisit alors un seul point $\xi_i\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ et on remplace
$f$ sur $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ par le polyn\^ome de degr\'e 0~: $p_0(x)=f(\xi_i)$. On a
alors
$$
\eqalign{
\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx&\simeq(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(\xi_i),\cr
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx&\simeq\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(\xi_i),\cr
}
$$
c'est-\`a-dire qu'on approxime l'int\'egrale par une somme de Riemann relative \`a la
subdivision $(\alpha_i)$. Voici les choix les plus courants~:

\medskip
\noindent$\bullet$ $\xi_i=\alpha_i$~: {\it m\'ethode des rectangles \`a gauche}
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx\simeq\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(\alpha_i).
$$
$\bullet$ $\xi_i=\alpha_{i+1}$~: {\it m\'ethode des rectangles \`a droite}
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx\simeq\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(\alpha_{i+1}).
$$

\InsertFig 4.000 45.000 {
1 mm unit
 70.000  10.000 moveto 
 50.000   0.000 vector 
 30.000  90.000 vector 
  5.000  10.000 moveto 
 50.000   0.000 vector 
 30.000  90.000 vector 
  0.340 setlinewidth 
 25.000  25.000 moveto 
 13.000  18.440 moveto 
[  13.000  18.440    14.014  19.373    15.083  20.250    16.213  21.066   
 17.406  21.820    18.664  22.511    19.987  23.142    21.371  23.720   
 22.808  24.254    24.284  24.761    25.782  25.261    27.279  25.777   
 28.753  26.329    30.186  26.935    31.562  27.606    32.874  28.348   
 34.117  29.162    35.292  30.046    36.400  30.995    37.447  32.006   
 38.436  33.072    39.373  34.189    40.261  35.352    41.105  36.557   
 41.910  37.800    42.678  39.077    43.000  39.640   ] scurve 
 25.000  25.000 moveto 
 78.000  18.440 moveto 
[  78.000  18.440    79.014  19.373    80.083  20.250    81.213  21.066   
 82.406  21.820    83.664  22.511    84.987  23.142    86.371  23.720   
 87.808  24.254    89.284  24.761    90.782  25.261    92.279  25.777   
 93.753  26.329    95.186  26.935    96.562  27.606    97.874  28.348   
 99.117  29.162   100.292  30.046   101.400  30.995   102.447  32.006   
103.436  33.072   104.373  34.189   105.261  35.352   106.105  36.557   
106.910  37.800   107.678  39.077   108.000  39.640   ] scurve 
 90.000  25.000 moveto 
  0.113 setlinewidth 
 13.000  10.000 moveto 
 13.000  18.440 lineto 
stroke 
 13.000  18.440 moveto 
 18.000  18.440 lineto 
stroke 
 18.000  10.000 moveto 
 18.000  22.160 lineto 
stroke 
 18.000  22.160 moveto 
 26.000  22.160 lineto 
stroke 
 26.000  10.000 moveto 
 26.000  25.360 lineto 
stroke 
 26.000  25.360 moveto 
 32.000  25.360 lineto 
stroke 
 32.000  10.000 moveto 
 32.000  27.850 lineto 
stroke 
 32.000  27.850 moveto 
 39.000  27.850 lineto 
stroke 
 39.000  10.000 moveto 
 39.000  33.740 lineto 
stroke 
 39.000  33.740 moveto 
 43.000  33.740 lineto 
stroke 
 78.000  22.160 moveto 
 83.000  22.160 lineto 
stroke 
 83.000  10.000 moveto 
 83.000  25.360 lineto 
stroke 
 83.000  25.360 moveto 
 91.000  25.360 lineto 
stroke 
 91.000  10.000 moveto 
 91.000  27.850 lineto 
stroke 
 91.000  27.850 moveto 
 97.000  27.850 lineto 
stroke 
 97.000  10.000 moveto 
 97.000  33.740 lineto 
stroke 
 97.000  33.740 moveto 
104.000  33.740 lineto 
stroke 
104.000  10.000 moveto 
104.000  39.640 lineto 
stroke 
104.000  39.640 moveto 
108.000  39.640 lineto 
stroke 
108.000  10.000 moveto 
108.000  39.640 lineto 
stroke 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash
 43.000  10.000 moveto 
 43.000  39.640 lineto 
stroke 
 78.000  10.000 moveto 
 78.000  22.160 lineto 
stroke}
\LabelTeX    1.500  38.000 $y$\ELTX
\LabelTeX    2.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   12.100   6.000 $\alpha$\ELTX
\LabelTeX   24.600   6.000 $\alpha_i$\ELTX
\LabelTeX   30.600   6.000 $\alpha_{i+1}$\ELTX
\LabelTeX   42.100   6.000 $\beta$\ELTX
\LabelTeX   53.100   6.000 $x$\ELTX
\LabelTeX   18.100  36.000 $\xi_i=\alpha_i$\ELTX
\LabelTeX   66.500  38.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   67.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   77.100   6.000 $\alpha$\ELTX
\LabelTeX   89.600   6.000 $\alpha_i$\ELTX
\LabelTeX   95.600   6.000 $\alpha_{i+1}$\ELTX
\LabelTeX  107.100   6.000 $\beta$\ELTX
\LabelTeX  118.100   6.000 $x$\ELTX
\LabelTeX   81.100  36.000 $\xi_i=\alpha_{i+1}$\ELTX
\EndFig

\noindent Ces m\'ethodes sont d'ordre 0.
\medskip
\noindent $\bullet$ $\xi_i=\dfrac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}$~: {\it m\'ethode du point
milieu}

\InsertFig 0.000 51.000 {
1 mm unit
 54.000  10.000 moveto 
[  54.000  10.000   54.000  18.000   86.000  42.000   86.000  10.000  
 54.000  10.000  ] polygon 
closepath 
  0.920 setgray  fill 0 setgray 
[ 0.3 0.6] 0 setdash
 54.000  18.000 moveto 
 86.000  42.000 lineto 
stroke 
[] 0 setdash
 30.000  10.000 moveto 
 80.000   0.000 vector 
 37.000  90.000 vector 
  0.340 setlinewidth 
 54.000  21.200 moveto 
[  54.000  21.200    55.481  21.746    56.923  22.330    58.329  22.949   
 59.700  23.601    61.040  24.284    62.351  24.995    63.634  25.732   
 64.891  26.495    66.124  27.281    67.334  28.089    68.522  28.919   
 69.689  29.768    70.837  30.637    71.967  31.523    73.078  32.427   
 74.173  33.347    75.252  34.283    76.315  35.234    77.363  36.200   
 78.397  37.179    79.418  38.172    80.425  39.177    81.420  40.195   
 82.402  41.224    83.373  42.265    84.333  43.317    85.281  44.380   
 86.000  45.200   ] scurve 
 70.000  30.000 moveto 
  0.113 setlinewidth 
 54.000  10.000 moveto 
[  54.000  10.000   54.000  30.000   86.000  30.000   86.000  10.000  
] polygon 
stroke 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 86.000  30.000 moveto 
 86.000  45.200 lineto 
stroke 
 30.000  30.000 moveto 
 54.000  30.000 lineto 
stroke 
 70.000  30.000 moveto 
 70.000  10.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX   26.000   5.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   52.500   5.000 $\alpha_i$\ELTX
\LabelTeX   68.500   5.000 $\xi_i$\ELTX
\LabelTeX   84.000   5.000 $\alpha_{i+1}$\ELTX
\LabelTeX  108.000   5.000 $x$\ELTX
\LabelTeX   25.000  45.500 $y$\ELTX
\LabelTeX   19.500  29.500 $f(\xi_i)$\ELTX
\EndFig
 
\noindent L'aire du rectangle co\"\i ncide avec l'aire du trap\`eze
indiqu\'e en gris\'e. La formule approch\'ee est donc exacte si $f$ est
une fonction affine, par suite la m\'ethode est d'ordre 1.

\bigskip
\noindent{\bf (b) Cas d'une interpolation lin\'eaire~:} on choisit
$$
l_i=1,\quad\forall i,\quad \xi_{i,0}=\alpha_i,\quad \xi_{i,1}=\alpha_{i+1}
$$
et on remplace $f$ sur $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ par la fonction lin\'eaire $p_1$ qui
interpole $f$ aux points $\alpha_i$, $\alpha_{i+1}$~:
$$
p_1(x)=\frac{(x-\alpha_i)f(\alpha_{i+1})-(x-\alpha_{i+1})f(\alpha_i)}
{\alpha_{i+1}-\alpha_i}.
$$
On obtient les formules suivantes, correspondant \`a la {\it m\'ethode dite des
trap\`ezes~:}
$$
\eqalign{
\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx&\simeq\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}p_1(x)dx=
(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\Big(\frac{1}{2}\,f(\alpha_i)+\frac{1}{2}\,f(\alpha_{i+1})\Big)\cr
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx&\simeq\sum^{k-1}_{i=0}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\Big(\frac{1}{2}\,
f(\alpha_i)+\frac{1}{2}\,f(\alpha_{i+1})\Big)\cr
}
$$

\InsertFig 0.000 45.000 {
1 mm unit
 30.000  10.000 moveto 
 80.000   0.000 vector 
 32.000  90.000 vector 
  0.340 setlinewidth 
 70.000  30.000 moveto 
 46.000  18.825 moveto 
[  46.000  18.825    46.897  20.035    47.711  21.285    48.479  22.550   
 49.225  23.815    49.966  25.061    50.719  26.273    51.502  27.430   
 52.339  28.502    53.263  29.442    54.336  30.167    55.683  30.498   
 57.656  29.958    58.976  29.148    60.164  28.324    61.355  27.593   
 62.668  27.099    64.326  27.198    65.816  28.105    66.884  29.224   
 67.788  30.430    68.605  31.678    69.376  32.943    70.122  34.208   
 70.863  35.456    71.615  36.671    72.396  37.832    73.228  38.910   
 74.146  39.861    75.206  40.603    76.530  40.967    78.443  40.509   
 79.790  39.708    80.984  38.880    82.171  38.134    83.463  37.605   
 85.065  37.607    86.000  38.015   ] scurve 
  0.113 setlinewidth 
 46.000  10.000 moveto 
[  46.000  10.000   46.000  18.825   55.000  30.410   63.000  27.047  
 69.000  32.317   76.000  40.895   86.000  38.015   86.000  10.000
] polygon
stroke 
 55.000  10.000 moveto
 55.000  30.410 lineto
stroke
 63.000  10.410 moveto 
 63.000  27.047 lineto 
stroke 
 69.000  10.000 moveto 
 69.000  32.317 lineto 
stroke 
 76.000  10.000 moveto 
 76.000  40.895 lineto 
stroke}
\LabelTeX   26.000   5.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   45.200   5.000 $\alpha$\ELTX
\LabelTeX   61.200   5.000 $\alpha_i$\ELTX
\LabelTeX   67.700   5.000 $\alpha_{i+1}$\ELTX
\LabelTeX   85.100   5.000 $\beta$\ELTX
\LabelTeX  108.100   5.000 $x$\ELTX
\LabelTeX   25.500  40.000 $y$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

\noindent L'ordre de cette m\'ethode est 1 comme dans le cas pr\'ec\'edent.

\bigskip
\noindent{\bf (c) M\'ethodes de Newton-Cotes}

\medskip
Dans la m\'ethode de Newton-Cotes de rang $l$, qu'on d\'esignera dans la suite par
$NC_l$, on prend $l_i=l$ pour tout $i$, et les points $\xi_{i,j}$, $0\leq j\leq l$, sont
les points \'equidistants
$$
\xi_{i,j}=\alpha_i+j\ \frac{\alpha_{i+1}-\alpha_i}{l}
$$
divisant $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ en $l$ sous-intervalles \'egaux. Pour d\'eterminer la
formule de quadrature \'el\'ementaire, on se ram\`ene par changement de variable \`a
l'intervalle $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]=[-1,1]$, subdivis\'e par les points
$\tau_j=-1+j\,\dfrac{2}{l}$. Le polyn\^ome d'interpolation d'une fonction $f\in\cC([-1,1])$ est donn\'e par
$$
p_l(x)=\sum_{j=0}^lf(\tau_j)L_j(x)
$$
avec $\displaystyle L_j(x)=\prod_{k\not=j}\dfrac{x-\tau_k}{\tau_j-\tau_k}$.
On a donc
$$
\int^1_{-1}f(x)dx\simeq \int^1_{-1}p_l(x)dx=2\sum_{j=0}^l\omega_jf(\tau_j)
$$
avec\quad$ \omega_j=\dfrac{1}{2}\,\int^1_{-1}L_j(x)dx$. Par suite de la
sym\'etrie des points $\tau_j$ autour de 0, on a 
$$
\tau_{l-j}=-\tau_j,\quad L_{l-j}(x)=L_j(-x),\quad \omega_{l-j}=\omega_j.
$$
Pour $l=2$ par exemple, il vient 
$$
\tau_0=-1,~~\tau_1=0,~~\tau_2=1,~~L_1(x)=1-x^2,\quad
\omega_1=\dfrac{1}{2}\,\int^1_{-1}(1-x^2)dx=\dfrac{2}{3},
$$ 
d'o\`u $\omega_0=\omega_2=\dfrac{1}{2}\ (1-\omega_1)=\dfrac{1}{6}$.
Apr\`es changement de variable, les coefficients $\omega_j$ restent 
inchang\'es (le lecteur le v\'erifiera \`a titre d'exercice), donc 
on obtient les formules
$$
\eqalign{
\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx&\simeq(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^l
\omega_jf(\xi_{i,j}),\cr
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx&\simeq
\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^l\omega_jf(\xi_{i,j}).\cr 
}
$$
Si $f\in\cP_l$, alors $p_l=f$, donc la m\'ethode de Newton-Cotes de rang $l$ est
d'ordre $\geq l$.

\noindent De plus, lorsque $f\in\cC[-1,1])$ est un polyn\^ome impair, on a
$$
\int^1_{-1}f(x)dx=0=2\sum_{j=0}^l\omega_jf(\tau_j).
$$
Si $l$ est pair, les formules sont donc encore exactes pour $f(x)=x^{l+1}$, et plus
g\'en\'eralement pour $f\in\cP_{l+1}$ par lin\'earit\'e. On d\'emontre en fait le
r\'esultat suivant que nous admettrons~:

\bigskip
\majdeb
\state Proposition -- | {\it Si $l$ est pair, l'ordre de $NC_l$ est $l+1$,
\vskip1pt
\hskip6.85pc si $l$ est impair, l'ordre de $NC_l$ est $l$.}
\par\majfin\par

\bigskip
Ceci fait que, hormis le cas $l=1$, les m\'ethodes de Newton-Cotes ne sont utilis\'ees
que pour $l$ pair~:

\medskip
\noindent$\bullet$ $l=1$~: m\'ethode des trap\`ezes (ordre 1)
$$
\omega_0=\omega_1=\frac{1}{2}
$$
$\bullet$ $l=2$~: m\'ethode de Simpson (ordre 3)
$$
\omega_0=\omega_2=\frac{1}{6},\quad \omega_1=\frac{2}{3}.
$$
$\bullet$ $l=4$~: m\'ethode de Boole-Villarceau (ordre 5)
$$
\omega_0=\omega_4=\frac{7}{90},\quad
\omega_1=\omega_3=\frac{16}{45},\quad\omega_2=\frac{2}{15} 
$$
$\bullet$ $l=6$~: m\'ethode de Weddle-Hardy (ordre 7)
$$
\omega_0=\omega_6=\frac{41}{840},\quad\omega_1=\omega_5=\frac{9}{35},
\quad\omega_2=\omega_4=\frac{9}{280},\quad\omega_3=\frac{34}{105}.
$$

\medskip
\noindent Pour $l\geq 8$, il appara\^\i t des coefficients $\omega_j<0$, ce qui a pour
effet de rendre les formules beaucoup plus sensibles aux erreurs d'arrondis (cf. \S\
1.3). Les m\'ethodes $NC_l$ ne sont donc utilis\'ees en pratique que dans les 4 cas
ci-dessus.


\subsection 1.3. Influence des erreurs d'arrondi|

\noindent Supposons que les valeurs de $f$ soient calcul\'ees avec des
erreurs d'arrondi de valeur absolue $\leq\varepsilon$. L'erreur qui va
en r\'esulter par application d'une m\'ethode de quadrature compos\'ee
sera major\'ee par
$$
\varepsilon\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)
\sum^{l_i}_{j=0}|\omega_{i,j}|.
$$
Si les coefficients $\omega_{i,j}$ sont $\geq 0$, on a
$$
\sum_{j=0}^{l_i}|\omega_{i,j}|=\sum_{j=0}^{l_i}\omega_{i,j}=1.
$$
L'erreur est donc major\'ee par $\varepsilon(\beta-\alpha)$; ce r\'esultat est
manifestement optimal puisque le calcul exact de
$\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$ peut conduire \`a une erreur
$\varepsilon(\beta-\alpha)$ si l'erreur sur $f$ est constante de valeur absolue
$\varepsilon$.

\noindent Si par contre les coefficients $\omega_{i,j}$ ne sont pas tous $\geq 0$, alors
$\sum_j|\omega_{i,j}|>\sum_j\omega_{i,j}=1$, donc l'erreur due aux arrondis
des $f(\xi_{i,j})$ peut d\'epasser $\varepsilon(\beta-\alpha)$.

\subsection 1.4. Convergence quand le nombre $k$ de subdivisions 
tend vers~$+\infty$|

\noindent Le r\'esultat th\'eorique suivant de convergence justifie en partie
l'int\'er\^et des m\'ethodes compos\'ees.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- | {\it On suppose que les m\'ethodes de 
quadrature \'el\'ementaire font intervenir un nombre de points $l_i=l$ fixe 
et que les coefficients
$\omega_{i,j}=\omega_j$ ne d\'ependent pas de $i,k$. Alors l'approximation
donn\'ee par la m\'ethode compos\'ee, soit $$
T_k(f)=\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^l\omega_jf(\xi_{i,j})
$$
converge vers $\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$ quand 
$k\rightarrow+\infty$ et quand le maximum du pas, \`a savoir
$h_{\rm max}=\max\,(\alpha_{i+1}-\alpha_i)$, tend vers 0.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.}  On peut \'ecrire 
$T_k(f)=\sum_{j=0}^l\omega_jS_{j,k}(f)$ o\`u
$$
S_{j,k}(f)=\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(\xi_{i,j})
$$
est une somme de Riemann de $f$ relative \`a la subdivision
$(\alpha_i)$. Pour tout $j=0,1,\dots,l$ fix\'e, $S_{j,k}(f)$ converge
vers $\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$ quand $h_{\rm max}$ tend vers 0.
Par cons\'equent $T_k(f)$ converge aussi vers
$\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$ quand $h_{\rm max}$ tend 
vers~$0$.\hfill\blacksquare

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- | {\it Montrer que dans le cas g\'en\'eral
$$
\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^{l_i}\omega_{i,j}f(\xi_{i,j})
$$
converge encore vers $\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$
quand $h_{\rm max}$ tend vers 0, pourvu que $\omega_{i,j}\geq 0$. {\rm [}
{\rm Indication~:} revenir \`a la d\'efinition de l'int\'egrale en
encadrant $f$ par des fonctions en escalier.{\rm ]}}
\par\majefin\par

\bigskip
\state Remarque -- | Dans le cas de la m\'ethode $NC_l$ \'el\'ementaire
$$
\int^1_{-1}f(x)dx\simeq 2\sum^l_{j=0}\omega_jf(\tau_j)
$$
on peut donner des exemples montrant qu'il n'y a pas n\'ecessairement
convergence quand $l\rightarrow+\infty$ (ceci est li\'e au
ph\'enom\`ene de Runge II 2.3). C'est une des principales raisons pour
lesquelles on est amen\'e \`a consid\'erer des m\'ethodes compos\'ees
avec $k$ assez grand, plut\^ot que d'augmenter l'entier $l$.


\section 2. \'Evaluation de l'erreur|

\noindent Nous allons montrer que lorsque la fonction $f$ \`a int\'egrer est
suffisamment r\'eguli\`ere, l'erreur d'int\'egration num\'erique peut
s'exprimer de mani\`ere assez simple en fonction d'une certaine
d\'eriv\'ee de $f$. Auparavant, nous aurons besoin de quelques rappels 
d'Analyse.

\subsection 2.1. Rappels pr\'eliminaires d'analyse|

\'Enon\c{c}ons tout d'abord une version de la formule de Taylor
fournissant une expression exacte du reste. Ceci est possible \`a
l'aide d'int\'egrations par parties successives, permettant d'exprimer
le reste comme une int\'egrale o\`u figurent les d\'eriv\'ees de la
fonction consid\'er\'ee.
\bigskip

\majdeb
\state Formule de Taylor avec reste int\'egral -- | {\it Soit $f$ une 
fonction de classe $C^{N+1}$ sur $[\alpha,\beta]$. Alors pour tout 
$x\in[\alpha,\beta]$}
$$
f(x)=\sum_{k=0}^N\frac{1}{k!}f^{(k)}(\alpha)(x-\alpha)^k+\int^x_{\alpha}\frac{1}{N!}\,
(x-t)^Nf^{(N+1)}(t)dt.
$$
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} Par r\'ecurrence sur $N$. Pour $N=0$, la 
formule se r\'eduit simplement~\`a 
$$
f(x)=f(\alpha)+\int^x_{\alpha}f'(t)dt.
$$

\noindent Si la formule est vraie \`a l'ordre $N-1$, le reste int\'egral
s'\'ecrit, apr\`es int\'egration par parties~:
$$
\eqalign{
&\int^x_{\alpha}\frac{1}{(N-1)!}\,(x-t)^{N-1}f^{(N)}(t)dt\cr
&\qquad=\left[-\frac{1}{N!}\,(x-t)^Nf^{(N)}(t)\right]^x_{\alpha}-
\int^x_{\alpha}-\frac{1}{N!}\,(x-t)^Nf^{(N+1)}(t)dt\cr
&\qquad=\frac{1}{N!}\,(x-\alpha)^Nf^{(N)}(\alpha)+\int^x_{\alpha}
\frac{1}{N!}\,(x-t)^N f^{(N+1)}(t)dt.\cr}
$$
La formule est donc encore vraie \`a l'ordre $N$.\hfill\blacksquare

\medskip Notons $x_+=\max\,(x,0)=x$ si $x\geq 0$, $x_+=0$ si $x\leq
0$. Avec la convention $x_+^0=1$ si $x\geq 0$, $x^0_+=0$ si $x<0$, la
formule se r\'ecrit
$$
f(x)=p_N(x)+\int^{\beta}_{\alpha}\frac{1}{N!}\,(x-t)^N_+f^{(N+1)}(t)dt
$$
o\`u $p_N$ est le polyn\^ome de Taylor de $f$ d'ordre $N$ au point $\alpha$.

\bigskip
\majdeb
\state Formule de la moyenne -- | {\it Soit $w\geq 0$ une fonction
int\'egrable sur $]\alpha,\beta[$ telle que
$\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx$ converge. Alors pour
toute $f\in\cC([\alpha,\beta])$, il existe un point $\xi\in{}
]\alpha,\beta[$\break tel que}
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx=f(\xi)\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx.
$$
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} Soient $m,M$ respectivement le minimum et 
le maximum de $f$ sur $[\alpha,\beta]$. Comme $w\geq 0$, il vient
$$
m\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx\leq\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx\leq
M\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx 
$$
Si $\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx=0$, le r\'esultat est
vrai pour $\xi$ quelconque. Supposons donc
$\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx>0$ et soit alors $q$ le
quotient
$$
q={\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx}\Big/{
\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx}\in[m,M]. 
$$
Le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires montre que
$f(]\alpha,\beta[)$ est un intervalle ayant pour bornes $m,M$. Si
$q\in\ ]m,M[$, il existe donc $\xi\in\ ]\alpha,\beta[$ tel que
$q=f(\xi)$. Restent les cas $q=m$ et $q=M$.  Si $q=m$ et si $f(\xi)>m$
pour tout $\xi\in\ ]\alpha,\beta[$, alors
$$
\int^{\beta}_{\alpha}(f(x)-m)w(x)dx>0
$$
puisque $\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx>0$, ce qui est contradictoire. Il
existe donc dans ce cas $\xi\in\ ]\alpha,\beta[$ tel que $f(\xi)=m$. Le cas $q=M$ est
analogue.\hfill\blacksquare

\subsection 2.2. Noyau de Peano|

\noindent En vue de l'\'etude des m\'ethodes de Gauss au \S\ 3, on se place
ici dans une situation un peu plus g\'en\'erale.

\bigskip

\state Situation \'etudi\'ee -- | On se donne un poids $w$ sur $]\alpha,\beta[$,
c'est-\`a-dire une fonction continue $>0$ telle que
$\int^{\beta}_{\alpha}w(x)dx$ converge. On cherche \`a \'evaluer
l'int\'egrale $\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx$ par une formule approch\'ee
$$
\int_{\alpha}^{\beta}f(x)w(x)dx\simeq\sum_{j=0}^l\lambda_jf(x_j),\quad
x_j\in[\alpha,\beta].
$$
On notera que les formules du \S\ 1 rentrent dans ce cadre (avec $w\equiv 1$); en
g\'en\'eral, on a $\sum \lambda_j\not=1$.
L'erreur due \`a la m\'ethode est donn\'ee par~:
$$
E(f)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx-\sum_{j=0}^l\lambda_jf(x_j).
$$

\medskip 
\majdeb 
\state Th\'eor\`eme et d\'efinition -- | {\it On suppose que la m\'ethode
est d'ordre $N\geq 0$. Si $f$ est de classe $C^{N+1}$ sur $[\alpha,\beta]$,
alors
$$
E(f)=\frac{1}{N!}\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)f^{(N+1)}(t)dt,
$$
o\`u $K_N$ est une fonction sur $[\alpha,\beta]$, appel\'ee noyau
de Peano associ\'e \`a la m\'ethode, d\'efinie par
$$
K_N(t)=E\Big(x\mapsto (x-t)^N_+\Big),\quad t\in[\alpha,\beta].
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} On observe d'abord que $f\mapsto E(f)$ est
une forme lin\'eaire sur $\cC([\alpha,\beta])$.
Si $g:(x,t)\mapsto g(x,t)$ est une fonction int\'egrable sur $[\alpha,\beta]
\times I$, le th\'eor\`eme de Fubini implique par ailleurs
$$
E\Big(x\mapsto\int_{t\in I}g(x,t)dt\Big)=\int_{t\in I}E\Big(x\mapsto g(x,t)\Big)dt.
$$
La formule de Taylor avec reste int\'egral donne
$$
f(x)=p_N(x)+\int^{\beta}_{\alpha}\frac{1}{N!}\,(x-t)^N_+f^{(N+1)}(t)dt.
$$
Comme $p_N\in\cP_N$, on a $E(p_N)=0$ par hypoth\`ese, d'o\`u
$$
\eqalignno{
E(f)&=E\Big(x\mapsto\int^{\beta}_{\alpha}\frac{1}{N!}\,(x-t)^N_+f^{(N+1)}(t)dt\Big)\cr
&=\int^{\beta}_{\alpha}E\Big(x\mapsto\frac{1}{N!}\,(x-t)^N_+f^{(N+1)}(t)\Big)dt\cr
&=\int^{\beta}_{\alpha}\frac{1}{N!}f^{(N+1)}(t)\cdot E\Big(x\mapsto(x-t)^N_+\Big)dt\cr
&=\frac{1}{N!}\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)f^{(N+1)}(t)dt.&\hbox{\blacksquare}\cr
}
$$

\bigskip
Notons que si $N\geq 1$, la fonction $(x,t)\mapsto (x-t)^N_+$ est continue sur $[\alpha,\beta]\times
[\alpha,\beta]$, donc $K_N$ est continue sur $[\alpha,\beta]$. Ceci n'est pas vrai en
g\'en\'eral si $N=0$.


\bigskip
\majdeb
\state Corollaire 1 -- | {\it On a la majoration}
$$
E(f)\leq\frac{1}{N!}\Vert f^{(N+1)}\Vert_{\infty}\cdot\int^{\beta}_{\alpha}
|K_N(t)|dt.
$$
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\majdeb
\state Corollaire 2 -- | {\it On suppose que $K_N$ est de signe
constant.\hfill\break Alors pour toute $f\in C^{N+1}([\alpha,\beta])$ il existe
$\xi\in\ ]\alpha,\beta[$ tel que 
$$
E(f)=\frac{1}{N!}f^{(N+1)}(\xi)\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)dt.
$$
De plus $\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)dt=\dfrac{1}{N+1}\,E(x\mapsto x^{N+1})$,
donc 
$$
E(f)=\frac{1}{(N+1)!}\,f^{(N+1)}(\xi)\,E(x\mapsto x^{N+1}).
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} La premi\`ere \'egalit\'e r\'esulte du 
th\'eor\`eme et de la formule de la moyenne appliqu\'ee \`a la
fonction $f^{(N+1)}$ et au poids $w=K_N$ (ou $w=-K_N$ si $K_N\leq 0$).
La deuxi\`eme \'egalit\'e s'obtient en prenant
$$
f(x)=x^{N+1},\quad{\rm qui\ donne}\quad f^{(N+1)}(x)=(N+1)!.
$$
La troisi\`eme d\'ecoule des 2 premi\`eres.\hfill\blacksquare

\subsection 2.3. Exemples|

\noindent On verra au \S\ 2.4 comment on peut d\'eduire le noyau de Peano 
d'une m\'ethode compos\'ee de celui de la m\'ethode \'el\'ementaire
utilis\'ee. On se contentera donc ici de regarder le cas des
m\'ethodes \'el\'ementaires sur l'intervalle de r\'ef\'erence $[-1,1]$.

\bigskip
\noindent$\bullet$ {\bf M\'ethode du point milieu}
$$
E(f)=\int^1_{-1}f(x)dx-2f(0).
$$
Cette m\'ethode est d'ordre 1, le noyau de Peano est donn\'e par~:
$$
\eqalign{
K_1(t)&=E\Big(x\mapsto (x-t)_+\Big)\cr
&=\int^1_{-1}(x-t)_+dx-2(-t)_+\cr
&=\int^1_t(x-t)dx-2t_-\cr
&=\Big[\frac{1}{2}\,(x-t)^2\Big]^1_t-2t_-=\frac{1}{2}\,(1-t)^2-2t_-.\cr
}
$$
On a donc
$$
K_1(t)=\cases{
\dfrac{1}{2}\,(1-t)^2\hfill&si $t\geq 0$\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{1}{2}\,(1-t)^2+2t=\dfrac{1}{2}\,(1+t)^2&si $t\leq 0$,\cr
}
$$
soit $K_1(t)=\dfrac{1}{2}\,(1-|t|)^2\geq 0$ sur $[-1,1]$. Comme
$\int^1_{-1}K_1(t)=\int^1_0(1-t)^2dt=\dfrac{1}{3}$,\break le corollaire 2
implique $$
E(f)=\frac{1}{3}\,f''(\xi),\quad \xi\in\ ]-1,1[.
$$

\bigskip
\noindent$\bullet$ {\bf M\'ethode des trap\`ezes} (ordre 1)
$$
\eqalign{
E(f)&=\int^1_{-1}f(x)dx-(f(-1)+f(1)),\cr
K_1(t)&=\int^1_{-1}(x-t)_+dx-((-1-t)_++(1-t)_+)\cr
&=\int^1_{t}(x-t)dx-(1-t),\cr
K_1(t)&=-\frac{1}{2}\,(1-t^2)\leq 0\quad{\rm sur}\quad[-1,1].\cr
}
$$
Comme $\int^1_{-1}K_1(t)dt=-\dfrac{2}{3}$, on en d\'eduit
$$
E(f)=-\frac{2}{3}f''(\xi),\quad\xi\in\,]-1,1[.
$$

\bigskip
\noindent$\bullet$ {\bf M\'ethode de Simpson} (ordre 3)
$$
\eqalign{
E(f)&=\int^1_{-1}f(x)dx-2\Big(\frac{1}{6}\,f(-1)+\frac{2}{3}\,f(0)+\frac{1}{6}\,f(1)\Big).\cr
K_3(t)&=E\Big(x\mapsto (x-t)^3_+\Big)\cr
K_3(t)&=\int^1_{-1}(x-t)^3_+dx-2\Big(0+\frac{2}{3}\,(-t)^3_++\frac{1}{6}\,
(1-t)^3_+\Big)\cr
&=\int^1_t(x-t)^3dx-2\Big(\frac{2}{3}\,t^3_-+\frac{1}{6}\,(1-t)^3\Big)\cr
}
$$
Si $t\geq 0$, on obtient donc
$$
\eqalign{
K_3(t)&=\frac{1}{4}\,(1-t)^4-\frac{1}{3}\,(1-t)^3\cr
&=\frac{1}{12}\,(1-t)^3[3(1-t)-4]=-\frac{1}{12}\,(1-t)^3(1+3t).\cr
}
$$
Si\quad $t\leq 0$, on a 
$$
K_3(t)=-\dfrac{1}{12}\,(1-t)^3(1+3t)+\dfrac{4}{3}\,t^3=-\dfrac{1}{12}\,(1+t)^3(1-3t).
$$


\noindent On aurait pu \'egalement observer que $K_3(-t)=K_3(t)$ comme il r\'esulte de
l'exercice suivant.

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- | {\it Montrer que le noyau de Peano $K_N$ d'une m\'ethode
\'el\'ementaire 
$$
\int^1_{-1}f(x)dx\simeq 2\sum_{j=0}^l\omega_jf(\xi_j)
$$
est {\rm pair} d\`es que $\omega_{l-j}=\omega_j$ et $\xi_{l-j}=-\xi_j$ 
$($points et coefficients r\'epartis sym\'etriquement autour de $0)$.
\bigskip
\noindent{\rm Indication~:} $(x+t)^N_+-(-x-t)^N_+=(x+t)^N$.}
\par\majefin\par

\medskip
On a donc ici
$$
\eqalign{
K_3(t)&=-\frac{1}{12}\,(1-|t|)^3(1+3|t|)\leq 0\quad{\rm sur}\quad[-1,1],\cr
\displaystyle\int^1_{-1}K_3(t)&=2\int^1_0\Big(\dfrac{1}{4}\,(1-t)^4
-\dfrac{1}{3}\,(1-t)^3\Big)dt
=2\Big(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{12}\Big)=-\dfrac{1}{15},\hfill\cr 
E(f)&=-\frac{1}{15\cdot
3!}\,f^{(4)}(\xi).\cr }
$$

\noindent Nous admettrons le r\'esultat g\'en\'eral suivant.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme de Steffensen -- | {\it Dans les m\'ethodes de
Newton-Cotes, le noyau de Peano est de signe constant.} 
\par\majfin\par

\bigskip
Le corollaire 2 du \S 2.2 est donc toujours applicable dans ce cas.

\subsection 2.4. Noyau de Peano d'une m\'ethode compos\'ee|

\noindent On suppose qu'on s'est fix\'e une m\'ethode de quadrature
\'el\'ementaire
$$
\int^1_{-1}g(x)dx\simeq 2\sum_{j=0}^l\omega_jg(\tau_j),\quad \tau_j\in[-1,1].
$$
L'erreur correspondante est
$$
E_{\rm elem}(g)=\int^1_{-1}g(x)dx-2\sum_{j=0}^l\omega_jg(\tau_j).
$$
On notera $k_n$ le noyau de Peano associ\'e.

On consid\`ere maintenant une subdivision de $[\alpha,\beta]$~:
$$
\alpha=\alpha_0<\alpha_1<\dots<\alpha_k=\beta
$$
de pas $h_i=\alpha_{i+1}-\alpha_i$. L'erreur de la m\'ethode compos\'ee associ\'ee \`a
la m\'ethode \'el\'ementaire ci-dessus est
$$
E_{\rm
comp}(f)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx-\sum_{i=0}^{k-1}h_i\sum_{j=0}^l\omega_jf(\xi_{i,j}) 
$$
o\`u $\xi_{i,j}$ se d\'eduit de $\tau_{j}$ par le changement de variable
$$
\eqalign{
[-1,1]&\longrightarrow [\alpha_i,\alpha_{i+1}]\cr
u&\longmapsto x=\frac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}+u\,\frac{h_i}{2}.\cr
}
$$
D\'efinissons $g_i\in\cC([-1,1])$ par
$$
g_i(u)=f\Big(\frac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}+u\,\frac{h_i}{2}\Big).
$$
Comme $dx=\dfrac{h_i}{2}\,du$, il vient
$$
\eqalign{
E_{\rm
comp}(f)&=\sum_{i=0}^{k-1}\left(\frac{h_i}{2}\int^1_{-1}g_i(u)du-h_i\sum_{j=0}^l\omega_j
g_i(\tau_j)\right)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{h_i}{2}\ E_{\rm elem}(g_i).\cr
} 
$$

\noindent Le noyau de Peano de la m\'ethode compos\'ee est donc
$$
\eqalign{
K_N(t)&=E_{\rm comp}\Big(x\mapsto (x-t)^N_+\Big)\cr
&=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{h_i}{2}\ E_{\rm
elem}\left(u\mapsto\Big(\frac{\alpha_i+\alpha_{i+2}}{2}+u\,\frac{h_i}{2}
-t\Big)^N_+\right)\cr 
&=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{h_i}{2}\ E_{\rm elem}\left(u\mapsto
\Big(\frac{h_i}{2}\Big)^N\Big(u-\frac{2}{h_i}\,
\Big(t-\frac{\alpha_i+\alpha_{i+i}}{2}\Big)\Big)^N_+\right)\cr
K_N(t)&=\sum_{i=0}^{k-1}\Big(\frac{h_i}{2}\Big)^{N+1}\ E_{\rm elem}
\left(u\mapsto\Big(u-\frac{2}{h_i}\Big(t-\frac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}\Big)
\Big)^N_+\right)\cr}
$$
Supposons $t\in[\alpha_j,\alpha_{j+1}]$, et soit $\theta_i=
\displaystyle\dfrac{2}{h_i}\ \Big(t-\dfrac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}\Big)$.
Alors $\theta_i\in[-1,1]$ si et seulement si $i=j$.
Si $i\not=j$ on a
\medskip
\noindent$\bullet$ ou bien $\theta_i>1$,\quad et $(u-\theta_i)^N_+
\equiv 0$\qquad\qquad
pour $u\in[-1,1]$~:
\medskip
\noindent$\bullet$ ou bien $\theta_i<-1$, et $(u-\theta_i)^N_+\equiv 
(u-\theta_i)^N$ pour $u\in[-1,1]$.
\medskip

\vbox{
\noindent Dans les 2 cas $u\mapsto(u-\theta_i)^N_+$ est un polyn\^ome 
de degr\'e $\leq N$
sur $[-1,1]$ donc $E_{\rm elem}\big(u\mapsto(u-\theta_i)^N_+\big)=0$.
Dans la sommation, il n'y a donc que le terme $i=j$, d'o\`u~:

\bigskip
\majdeb
\hfil$K_N(t)=\Big(\dfrac{h_j}{2}\Big)^{N+1}k_N\Big(\dfrac{2}{h_j}\
\Big(t-\dfrac{\alpha_j+\alpha_{j+1}}{2}\Big)\Big),\quad
t\in[\alpha_j,\alpha_{j+1}]$.\hfill  
\par\majfin\par}

\InsertFig 0.000 49.000 {
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 15.000  10.000 moveto 
[  15.000  10.000    17.000  10.213    18.529  11.072    19.612  12.236   
 20.478  13.537    21.221  14.914    21.884  16.340    22.494  17.798   
 23.066  19.278    23.610  20.771    24.136  22.272    24.648  23.774   
 25.154  25.272    25.659  26.760    26.169  28.229    26.691  29.670   
 27.235  31.068    27.814  32.399    28.453  33.616    29.206  34.609   
 30.232  34.965    31.771  33.224    32.476  31.757    33.082  30.270   
 33.638  28.770    34.167  27.266    34.680  25.763    35.186  24.265   
 35.691  22.778    36.201  21.306    36.721  19.854    37.257  18.430   
 37.816  17.040    38.406  15.695    39.037  14.408    39.726  13.200   
 40.495  12.099    41.379  11.152    42.440  10.433    43.789  10.049   
 45.000  10.000   ] scurve 
 30.000  10.000 moveto 
 80.000  10.000 moveto 
[  80.000  10.000    80.474  10.069    81.173  10.844    81.701  12.096
   82.000  12.963    82.505  14.351    83.000  15.000   
   84.299  12.096    84.827  10.844    85.526  10.069    86.000  10.000   
] scurve 
 83.000  10.000 moveto 
 86.000  10.000 moveto 
[  86.000  10.000    86.435  10.077    87.078  10.903    88.000  13.414
   88.500  14.166    89.922  10.903    90.565  10.077
   91.000  10.000   ] scurve 
 88.500  10.000 moveto 
 91.000  10.000 moveto 
[  91.000  10.000   92.188  10.543    92.806  11.623
 93.000  12.083    93.571  13.669    94.077  15.137   
 94.614  16.340    95.390  16.335    96.163  14.454    96.672  12.962   
 97.194  11.623    97.000  12.083    97.812  10.543    99.000  10.000   
] scurve 
 95.000  10.000 moveto 
 99.000  10.000 moveto 
[  99.000  10.000   100.000  11.042   101.000  13.333   102.000  11.042   
  103.000  10.000   ] scurve 
101.000  10.000 moveto 
103.000  10.000 moveto 
[ 103.000  10.000   103.503  10.062   104.257  10.789
105.000  12.488   105.526  14.025   106.039  15.328   
106.710  15.717   107.681  13.414   108.186  11.986   108.743  10.789   
109.497  10.062   110.000  10.000   ] scurve}
\LabelTeX   13.000   6.000 $-1$\ELTX
\LabelTeX   27.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   44.200   6.000 $1$\ELTX
\LabelTeX   54.000   6.000 $u$\ELTX
\LabelTeX   67.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   79.100   6.000 $\alpha$\ELTX
\LabelTeX   84.600   6.000 $\alpha_1$\ELTX
\LabelTeX   89.600   6.000 $\alpha_2$\ELTX
\LabelTeX   97.600   6.000 $\alpha_3$\ELTX
\LabelTeX  102.600   6.000 $\alpha_4$\ELTX
\LabelTeX  109.100   6.000 $\beta$\ELTX
\LabelTeX  119.100   6.000 $t$\ELTX
\LabelTeX   24.200  38.000 $k_N$\ELTX
\LabelTeX   63.200  38.000 $K_N$\ELTX
\EndFig
\bigskip

\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- | {\it On suppose que $k_N$ est de signe constant et que le
pas $h_i$ est constant, \'egal \`a $h=\dfrac{\beta-\alpha}{k}$. On note
$ C_N=\int^1_{-1}k_N(t)dt$. Alors pour tout $f\in
C^{N+1}([\alpha,\beta])$, il existe un point $\xi\in\ ]\alpha,\beta[$ tel que}
$$
E_{\rm comp}(f)=\frac{C_N}{N!\,2^{N+2}}\ h^{N+1}f^{(N+1)}(\xi)(\beta-\alpha).
$$  
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

On voit donc que lorsque le pas $h$ tend vers 0 l'ordre de grandeur de
l'erreur dans une m\'ethode compos\'ee d'ordre $N$ est
approximativement $h^{N+1}$. Ce r\'esultat justifie l'int\'er\^et des
m\'ethodes d'ordre \'elev\'e, qui donnent une pr\'ecision plus grande
pourvu que $f$ soit tr\`es r\'eguli\`ere.

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} $K_N$ \'etant lui aussi de signe constant, 
le corollaire 2 du \S\ 2.2 montre l'existence de $\xi\in{}]\alpha,\beta[$ 
tel que
$$
E_{\rm comp}(f)=\frac{1}{N!}f^{(N+1)}(\xi)\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)dt.
$$
D'apr\`es l'expression de $K_N$, on obtient
$$
\eqalign{
\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)dt&=k\int^{\alpha_1}_{\alpha_0}K_N(t)dt\cr
&=k\Big(\frac{h}{2}\Big)^{N+1}\int^{\alpha_1}_{\alpha_0}k_n\Big(\frac{2}{h}\Big(t-
\frac{\alpha_0+\alpha_1}{2}\Big)\Big)\,dt\cr
}
$$
Le changement de variable $t=\dfrac{\alpha_0+\alpha_1}{2}+\dfrac{h}{2}\,u$,
$ dt=\frac{h}{2}\ du$ fournit
$$
\eqalign{
\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)dt&=k\,\Big(\frac{h}{2}\Big)^{N+2}\int^1_{-1}k_n(u)du\cr
&=kh\,\frac{h^{N+1}}{2^{N+2}}\,C_N=\frac{C_N}{2^{N+2}}\ h^{N+1}\,(\beta-\alpha),\cr
}
$$
d'o\`u le th\'eor\`eme.\hfill\blacksquare

\bigskip
Les exemples du \S\ 2.3 donnent en particulier~:

\medskip
\noindent
\hbox to 30mm{$\bullet$ {\it Point milieu~:}\hfil}
\hbox to 35mm{$N=1$, $\displaystyle C_1=\dfrac{1}{3}$,\hfil}
$\displaystyle E_{\rm comp}(f)=\dfrac{1}{24}\,h^2f''(\xi)(\beta-\alpha)$,

\noindent
\hbox to 30mm{$\bullet$ {\it Trap\`ezes~:}\hfil}
\hbox to 35mm{$N=1$, $\displaystyle C_1=-\dfrac{2}{3}$,\hfil}
$\displaystyle E_{\rm comp}(f)=-\dfrac{1}{12}\,h^2f''(\xi)(\beta-\alpha)$,

\noindent
\hbox to 30mm{$\bullet$ {\it Simpson~:}\hfil} 
\hbox to 35mm{$N=3$, $\displaystyle C_3=-\dfrac{1}{15}$,\hfil}
$\displaystyle E_{\rm comp}(f)=-\dfrac{1}{2880}\,h^4f^{(4)}(\xi)
(\beta-\alpha)$.

\section 3. M\'ethodes de Gauss|

\noindent Les m\'ethodes de Gauss concernent le calcul num\'erique d'int\'egrales
faisant intervenir un poids. Elles constituent une application directe de la th\'eorie des
polyn\^omes orthogonaux.

\subsection 3.1. Description et formule d'erreur|

\noindent Soit $w$ une fonction poids fix\'ee sur $]\alpha,\beta[$. On \'etudie les
m\'ethodes d'int\'egration approch\'ee du type
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx\simeq\sum_{j=0}^l\lambda_jf(x_j),\quad
x_j\in[\alpha,\beta]. 
$$

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 1 -- | {\it Il existe un choix et un seul des points $x_j$ et
des coefficients $\lambda_j$ de sorte que la m\'ethode soit d'ordre $N=2l+1$. Les points
$x_j$ appartiennent \`a $]\alpha,\beta[$ et sont les racines du $(l+1)$-i\`eme
polyn\^ome  orthogonal pour le poids $w$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\bf Unicit\'e.} Supposons qu'on ait des points $x_j$ et des 
coefficients $\lambda_j$ pour lesquels la m\'ethode est d'ordre $\geq 2l+1$.
Posons
$$
\pi_{l+1}(x)=\prod_{j=0}^l(x-x_j).
$$
Pour tout $p\in\cP_l$, deg$(p\pi_{l+1})\leq 2l+1$, donc
$$
\int^{\beta}_{\alpha}p(x)\pi_{l+1}(x)w(x)dx=\sum_{j=0}^l\lambda_jp(x_j)\pi_{l+1}(x_j)=0.
$$
Ceci entra\^\i ne que $\pi_{l+1}$ est orthogonal \`a $\cP_l$. Comme $\pi_{l+1}$ est
unitaire, c'est donc le $(l+1)$-i\`eme polyn\^ome orthogonal associ\'e au poids $w$. Les
points $x_j$ ne sont autres que les racines de ce polyn\^ome.
\vskip3pt
Soit $L_i\in\cP_l$ tel que $\cases{
L_i(x_j)=1\quad{\rm si}\quad i=j,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
L_i(x_j)=0\quad{\rm si}\quad i\not=j.\hfill\cr
}$
\vskip3pt
\noindent Les coefficients $\lambda_i$ sont donn\'es n\'ecessairement par
$$
\lambda_i=\sum_{j=0}^l\lambda_jL_i(x_j)=\int^{\beta}_{\alpha}L_i(x)w(x)dx.
$$
Ces coefficients sont donc eux aussi uniques.\hfill\blacksquare

\medskip
\noindent{\bf Existence.} On sait que le polyn\^ome orthogonal $\pi_{l+1}\in
\cP_{l+1}$ poss\`ede $l+1$ racines distinctes dans $]\alpha,\beta[$. Soient
$x_0,\dots,x_l$ ces racines et soit
$$
\lambda_j=\int^{\beta}_{\alpha}L_j(x)w(x)dx.
$$
Si $f\in\cC([\alpha,\beta])$, le polyn\^ome d'interpolation de Lagrange est
$$
p_l(x)=\sum_{j=0}^lf(x_j)L_j(x);
$$
par d\'efinition des coefficients $\lambda_j$ il vient donc
$$
\int^{\beta}_{\alpha}p_l(x)w(x)=\sum_{j=0}^l \lambda_jf(x_j).
$$
Si $f\in\cP_l$ alors $p_l=f$, donc la m\'ethode est d'ordre $\geq l$. Montrons que
l'ordre est en fait $\geq 2l+1$. En effet, lorsque $f\in\cP_{2l+1}$, la division
euclidienne de $f$ par $\pi_{l+1}$ donne
$$
f(x)=q(x)\pi_{l+1}(x)+r(x),\quad{\rm avec}\quad \deg\,q\leq l,\quad\deg\,r\leq l.
$$
Comme $\pi_{l+1}\perp\cP_l$, il vient
$\int^{\beta}_{\alpha}q(x)\pi_{l+1}(x)w(x)dx=0$, d'o\`u
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx=\int^{\beta}_{\alpha}r(x)w(x)dx=\sum_{j=0}^l
\lambda_jr(x_j)
$$
Comme $f(x_j)=r(x_j)$, on a donc bien $E(f)=0$. Il reste seulement \`a voir que l'ordre
n'est pas $>2l+1$, ce qui r\'esulte du th\'eor\`eme ci-dessous.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 2 -- | {\it Le noyau de Peano $K_{2l+1}$ est $\geq 0$, et pour
tout $f\in C^{2l+2}([\alpha,\beta])$, il existe $\xi\in\ ]\alpha,\beta[$ tel que}
$$
E(f)=\frac{f^{(2l+2)}(\xi)}{(2l+2)!}\ \int^{\beta}_{\alpha}
\pi_{l+1}(x)^2w(x)dx.
$$ 
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

On notera en particulier que ceci entra\^\i ne
$$
E(x\mapsto x^{2l+2})=\int^{\beta}_{\alpha}\pi_{l+1}(x)^2w(x)dx>0,
$$
donc la m\'ethode n'est pas d'ordre $2l+2$.

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.*} D'apr\`es le \S\ 2.2, on a
$$
E(f)=\frac{1}{(2l+1)!}\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)f^{(2l+2)}(t)dt.
$$
Inversement, si $\varphi\in\cC([\alpha,\beta])$, on obtient
$$
\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)\varphi(t)dt=(2l+1)!\,E(\Phi)
$$
o\`u $\Phi$ est une primitive d'ordre $2l+2$ de $\varphi$.
Supposons par l'absurde qu'il existe $t_0\in[\alpha,\beta]$ tel que
$K_{2l+1}(t_0)<0$.  Notons
$K^-_{2l+1}=\max\,(-K_{2l+1},0)\in\cC([\alpha,\beta])$ la partie
n\'egative de la fonction $K_{2l+1}$, et soit $\varphi$ un polyn\^ome
qui approche $K^-_{2l+1}+\varepsilon$ uniform\'ement \`a $\varepsilon$
pr\`es sur $[\alpha,\beta]$.  On a donc en particulier
$$
\displaylines{
0\leq K^-_{2l+1}<\varphi<K^-_{2l+1}+2\varepsilon,\cr
\left|\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)\varphi(t)dt-\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)
K^-_{2l+1}(t)dt\right|\leq 2\varepsilon\int^{\beta}_{\alpha}|K_{2l+1}(t)|dt.\cr
}$$
Comme
$\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)K^-_{2l+1}(t)dt=-\int^{\beta}_{\alpha}
(K^-_{2l+1}(t))^2dt<0$, on en d\'eduit pour $\varepsilon$ assez petit~:
$$
\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)\varphi(t)dt<0.
$$
Soit $\Phi$ une primitive d'ordre $2l+2$ de $\varphi$; $\Phi$ est un polyn\^ome.
\'Ecrivons la division euclidienne de $\Phi$ par $\pi^2_{l+1}$~:
$$
\Phi(x)=\pi^2_{l+1}(x)q(x)+r(x)
$$
avec $\deg\,r\leq\deg\,(\pi^2_{l+1})-1=2l+1$. Il vient $E(r)=0$ d'o\`u
$$
E(\Phi)=E(\pi^2_{l+1}q)=\int^{\beta}_{\alpha}\pi^2_{l+1}(x)q(x)w(x)dx-0.
$$
La formule de la moyenne implique qu'il existe $\theta\in\ ]\alpha,\beta[$ tel que
$$
E(\Phi)=q(\theta)\int^{\beta}_{\alpha}\pi^2_{l+1}(x)w(x)dx,
$$
et par ailleurs
$$
E(\Phi)=\frac{1}{(2l+1)!}\int^{\beta}_{\alpha}K_{2l+1}(t)\varphi(t)dt<0.
$$
On va obtenir une contradiction en montrant que $q(\theta)>0$. Consid\'erons le
polyn\^ome
$$
g(x)=\Phi(x)-r(x)-\pi^2_{l+1}(x)q(\theta)=\pi^2_{l+1}(x)(q(x)-q(\theta)).
$$
$g$ admet $x_0,\dots,x_l$ comme z\'eros de multiplicit\'e 2, et $\theta$ de
multiplicit\'e $\geq 1$, c'est-\`a-dire au moins $2l+3$ z\'eros. Il existe donc un point
$\eta$ interm\'ediaire entre les points $x_j$, $\theta$, tel que $g^{(2l+2)}(\eta)=0$. Par
suite
$$
0=g^{(2l+2)}(\eta)=\Phi^{(2l+2)}(\eta)-(2l+2)!\,q(\theta)=\varphi(\eta)-
(2l+2)!\,q(\theta)
$$
et comme $\varphi(\eta)>0$ on en d\'eduit bien $q(\theta)>0$, contradiction. Par suite
$K_{2l+1}\geq 0$ et le corollaire 2 du \S\ 2.2 donne
$$
E(f)=\frac{1}{(2l+2)!}\,f^{(2l+2)}(\xi)\,E(x\mapsto x^{2l+2}).
$$
Comme $\pi_{l+1}$ est unitaire, on a $x^{2l+2}=\pi_{l+1}(x)^2+r(x)$ o\`u 
$r\in\cP_{2l+1}$, donc $ E(x\mapsto
x^{2l+2})=E(\pi^2_{l+1})=\int^{\beta}_{\alpha}\pi_{l+1}(x)^2w(x)dx$, ce qui d\'emontre
le th\'eor\`eme.\kern8pt\blacksquare

\subsection 3.2. Cas particuliers d'usage fr\'equent|

\noindent L'int\'er\^et des m\'ethodes de Gauss est de r\'ealiser l'ordre $N$ 
maximal pour un nombre fix\'e $l+1$ de points d'interpolation.
N\'eanmoins, la complexit\'e du calcul des polyn\^omes orthogonaux
fait que les m\'ethodes de Gauss ne sont gu\`ere utilis\'ees que dans
les deux cas suivants.

\medskip
\noindent $\bullet$ $w(x)=1$ sur $[-1,1]$~: m\'ethode de Gauss-Legendre.

\noindent Les polyn\^omes orthogonaux successifs et les points $x_j$ 
correspondant sont donn\'es par le tableau~:

$$
\vbox{\offinterlineskip\halign{
\tv\hfill\kern6pt#\kern6pt&
\tv\kern6pt#\kern6pt\hfill&
\tv\kern6pt\hfill#\kern6pt\hfill&
\tv\hfill\kern6pt#\hfill\kern6pt&
\tv\hfill\kern6pt#\kern6pt\hfill&
\tv#\cr
\noalign{\hrule}
$l$\hfill&\hfill$\pi_{l+1}(x)$&$x_0,\dots,x_l$&$\lambda_0,\dots,
\lambda_l$&ordre $N$&\cr
\noalign{\hrule}
$-1$&$1$&&&&\cr
\noalign{\hrule}
$0$&$x$&$0$&$2$&$1$&\cr
\noalign{\hrule}
$1$&$\displaystyle x^2-\dfrac{1}{3}$&$\displaystyle -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$,~
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}$&$1$, $1$\phantom{\Bigg)}&$3$&\cr 
\noalign{\hrule}
$2$&$\displaystyle x^3-\dfrac{3}{5}\,x$&$-\sqrt{\displaystyle\dfrac{3}{5}}$, 
$0$, $\sqrt{\displaystyle \dfrac{3}{5}}$%
\phantom{\Bigg)}&$\displaystyle\dfrac{5}{9}$, $\displaystyle\dfrac{8}{9}$, 
$\displaystyle\dfrac{5}{9}$&$5$&\cr 
\noalign{\hrule}
$3$&$\displaystyle x^4-\dfrac{6}{7}x^2+\dfrac{3}{35}$&$\pm
\sqrt{\displaystyle\dfrac{3}{7}\pm\dfrac{2}{7}
\sqrt{\displaystyle\dfrac{6}{5}}}$&$\displaystyle\dfrac{1}{2}-
\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{5}{6}},
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\sqrt{\displaystyle
\dfrac{5}{6}}$&\phantom{\Bigg)}$7$%
\raise4pt\hbox{\phantom{\Bigg)}}&\cr
\noalign{\hrule}
$4$&$\displaystyle x^5-\dfrac{10}{9}x^3+\dfrac{5}{21}x$&$0$,
$\pm\sqrt{\displaystyle\dfrac{5}{9}\pm\dfrac{2}{9}
\sqrt{\displaystyle\dfrac{10}{7}}}$&
\phantom{\Bigg)}compliqu\'es~!\raise4pt\hbox{\phantom{\Bigg)}}&$9$&\cr
\noalign{\hrule} 
}}
$$

\bigskip
\noindent$\bullet$ $\displaystyle w(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1,1[$~:
m\'ethode de Gauss-Tchebychev.

Les points $x_j$ sont alors les points d'interpolation de Tchebychev dans
l'intervalle $]-1,1[$~:
$$
x_j=\cos\,\frac{2j+1}{2l+2}\,\pi,\quad 0\leq j\leq l,
$$
et on peut d\'emontrer (voir par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, exercice 2.4) que
$\lambda_j=\dfrac{\pi}{l+1}$. On obtient donc une m\'ethode approch\'ee d'ordre $2l+1$
s'\'ecrivant~:
$$
\int^1_{-1}f(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\simeq\frac{\pi}{l+1}\sum_{j=0}^lf\Big(\cos\,
\frac{2j+1}{2l+2}\ \pi\Big).
$$

\section 4. Formule d'Euler-Maclaurin et d\'eveloppements\hfil\break
asymptotiques|

\noindent Nous allons quitter ici quelque peu le fil directeur des paragraphes
pr\'ec\'edents. Notre objectif est d'obtenir une formule th\'eorique
pour le calcul du d\'eveloppement limit\'e des approximations
num\'eriques en fonction du pas de la subdivision. Ceci conduit, pour
des fonctions suffisamment r\'eguli\`eres, \`a des proc\'ed\'es
num\'eriques en g\'en\'eral tr\`es performants.

\subsection 4.1. Polyn\^omes et nombres de Bernoulli|

\noindent Soit $f$ une fonction de classe $C^p$ sur $[0,1]$ avec $p\geq 1$. Une
int\'egration par parties donne
$$
\int^1_0f(x)dx=\left[\Big(x-\frac{1}{2}\Big)f(x)\right]^1_0-\int^1_0\Big(x-\frac{1}{2}\Big)
f'(x)dx,
$$
ce qui peut se r\'ecrire
$$
\frac{1}{2}\,f(0)+\frac{1}{2}\,f(1)=\int^1_0f(x)dx+\int^1_0B_1(x)f'(x)dx
$$
avec $B_1(x)=x-\dfrac{1}{2}$, ce choix ayant l'int\'er\^et que $\int^1_0
B_1(x)dx=0$. L'id\'ee consiste \`a r\'ep\'eter les int\'egrations par parties en
introduisant des primitives successives de $B_1$ dont l'int\'egrale sur $[0,1]$ est
nulle. De fa\c con pr\'ecise, on choisit $B_p$ en sorte que
$$
B'_p(x)=pB_{p-1}(x),\quad\int^1_0B_p(x)dx=0,
$$
la deuxi\`eme condition permettant de fixer la constante d'int\'egration de mani\`ere
unique. On trouve ainsi
$$
\eqalign{
\int^1_0B_{p-1}(x)f^{(p-1)}(x)dx&=\left[\frac{1}{p}\,B_p(x)f^{(p-1)}(x)\right]^1_0-\int^1_0
\frac{1}{p}\,B_p(x)f^{(p)}(x)dx,\cr
\int^1_0\frac{B_{p-1}(x)}{(p-1)!}\
f^{(p-1)}(x)dx&=\frac{b_p}{p!}\,\Big(f^{(p-1)}(1)-f^{(p-1)}(0)\Big)-\int^1_0\frac{B_p(x)}
{p!}\ f^{(p)}(x)dx,\cr 
}
$$
o\`u $b_p=B_p(0)=B_p(1)$ par d\'efinition (noter que
$ B_p(1)-B_p(0)=\int^1_0 pB_{p-1}(x)dx$ est nulle pour $p\geq 2$). De ceci on
d\'eduit facilement par r\'ecurrence la formule
$$
\eqalignno{
\dfrac{1}{2}\,f(0)+\dfrac{1}{2}\,f(1)=\int^1_0f(x)dx&+\sum_{m=2}^b(-1)^m\frac{b_m}{m!}\,
\Big(f^{(m-1)}(1)-f^{(m-1)}(0)\Big)\cr
&+(-1)^{p+1}\int^1_0\frac{B_p(x)}{p!}\,f^{(p)}(x)dx.&(*)\cr
}
$$
Calculons par exemple $B_2$. On a par d\'efinition
$$
\eqalign{
B'_2(x)&=2B_1(x)=2x-1,\quad\hbox{d'o\`u}\cr
B_2(x)&=x^2-x+C,\quad x\in[0,1],\cr
}
$$
et la condition $\int^1_0B_2(x)dx=0$ implique $C=\dfrac{1}{6}$. On voit
facilement par r\'ecurrence que $B_p$ est un polyn\^ome unitaire de degr\'e $p$ \`a
coefficients rationnels, tel que $B_p(0)=B_p(1)$ pour $p\geq 2$. On convient d'\'etendre
$B_p$ \`a $\bR$ en posant 
$$
B_p(x)=B_p(x-E(x))\quad{\rm si}\quad x\not\in[0,1[.
$$
On obtient ainsi une fonction p\'eriodique de p\'eriode 1 qui est un
polyn\^ome en restriction \`a $[0,1[$ (mais qui, bien entendu, n'{\it
est pas} un polyn\^ome sur $\bR$ tout entier).

\InsertFig 0.000 55.000 {
1 mm unit
  5.000  30.000 moveto 
115.000   0.000 vector 
 60.000  10.000 moveto 
 40.000  90.000 vector 
 35.000  42.500 moveto 
  0.340 setlinewidth 
 34.500  43.000 moveto 
 35.000  42.500   0.707 135.000 315.000 arc stroke 
 59.500  43.000 moveto 
 60.000  42.500   0.707 135.000 315.000 arc stroke 
109.293  42.500 moveto 
 84.500  43.000 moveto 
 85.000  42.500   0.707 135.000 315.000 arc stroke 
110.500  42.000 moveto 
110.000  42.500   0.707 -45.000 -225.000 arcn stroke 
 10.000  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
110.000  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 10.000  17.500 moveto 
  0.700 disk 
 35.000  17.500 moveto 
  0.700 disk 
 60.000  17.500 moveto 
  0.700 disk 
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  0.700 disk 
 10.000  17.500 moveto 
 34.500  42.000 lineto 
stroke 
 59.500  42.000 moveto 
 35.000  17.500 lineto 
stroke 
 60.000  17.500 moveto 
 84.500  42.000 lineto 
stroke 
109.500  42.000 moveto 
 85.000  17.500 lineto 
stroke 
  0.113 setlinewidth 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 85.000  17.500 moveto 
 85.000  41.800 lineto 
stroke 
 35.000  41.800 moveto 
 35.000  17.500 moveto 
 35.000  41.800 lineto 
stroke}
\LabelTeX    8.200  25.800 $-2$\ELTX
\LabelTeX   30.500  25.800 $-1$\ELTX
\LabelTeX   57.000  25.800 $0$\ELTX
\LabelTeX   73.000  25.800 $1/2$\ELTX
\LabelTeX   86.000  25.800 $1$\ELTX
\LabelTeX  109.200  25.800 $2$\ELTX
\LabelTeX  119.000  25.800 $x$\ELTX
\LabelTeX   51.200  16.500 $-1/2$\ELTX
\LabelTeX   53.000  41.500 $1/2$\ELTX
\LabelTeX   99.000  37.500 $B_1$\ELTX
\EndFig

\InsertFig 0.000 30.000 {
1 mm unit
  5.000  20.000 moveto 
115.000   0.000 vector 
 60.000  10.000 moveto 
 25.000  90.000 vector 
  0.340 setlinewidth 
 10.000  24.167 moveto 
[  10.000  24.167    11.000  23.207    12.042  22.292    13.131  21.428   
 14.274  20.624    15.480  19.888    16.761  19.234    18.131  18.680   
 19.613  18.250    21.238  17.980    23.055  17.929    24.970  18.161   
 26.640  18.602    28.142  19.190    29.520  19.888    30.801  20.673   
 32.003  21.529    33.139  22.444    34.219  23.410    35.000  24.167   
] scurve 
 10.000  20.000 moveto 
 35.000  24.167 moveto 
[  35.000  24.167    36.000  23.207    37.042  22.292    38.131  21.428   
 39.274  20.624    40.480  19.888    41.761  19.234    43.131  18.680   
 44.613  18.250    46.238  17.980    48.055  17.929    49.970  18.161   
 51.640  18.602    53.142  19.190    54.520  19.888    55.801  20.673   
 57.003  21.529    58.139  22.444    59.219  23.410    60.000  24.167   
] scurve 
 35.000  20.000 moveto 
 60.000  24.167 moveto 
[  60.000  24.167    61.000  23.207    62.042  22.292    63.131  21.428   
 64.274  20.624    65.480  19.888    66.761  19.234    68.131  18.680   
 69.613  18.250    71.238  17.980    73.055  17.929    74.970  18.161   
 76.640  18.602    78.142  19.190    79.520  19.888    80.801  20.673   
 82.003  21.529    83.139  22.444    84.219  23.410    85.000  24.167   
] scurve 
 60.000  20.000 moveto 
 85.000  24.167 moveto 
[  85.000  24.167    86.000  23.207    87.042  22.292    88.131  21.428   
 89.274  20.624    90.480  19.888    91.761  19.234    93.131  18.680   
 94.613  18.250    96.238  17.980    98.055  17.929    99.970  18.161   
101.640  18.602   103.142  19.190   104.520  19.888   105.801  20.673   
107.003  21.529   108.139  22.444   109.219  23.410   110.000  24.167   
] scurve 
 10.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 35.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 85.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
110.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 60.000  17.917 moveto 
  0.700   0.000 indent}
\LabelTeX    8.200  15.800 $-2$\ELTX
\LabelTeX   33.200  15.800 $-1$\ELTX
\LabelTeX   84.200  15.800 $1$\ELTX
\LabelTeX  109.200  15.800 $2$\ELTX
\LabelTeX  119.200  15.800 $x$\ELTX
\LabelTeX   61.000  14.500 $-1/12$\ELTX
\LabelTeX   60.600  25.500 $1/6$\ELTX
\LabelTeX  105.000  25.500 $B_2$\ELTX
\EndFig

\majdeb
\state Th\'eor\`eme et d\'efinition -- | {\it Les polyn\^omes $B_p$ 
sont appel\'es polyn\^omes de Bernoulli. Les nombres de Bernoulli sont
les r\'eels $b_p$ d\'efinis par
$$
b_0=1,\quad b_1=-\frac{1}{2},\quad b_p=B_p(0)\quad{\rm si}\quad p\geq 2.
$$
On a les formules~:
\vskip6pt
\noindent
$\matrix{
\displaystyle {\rm (1)}\quad B_p(x)=\sum_{m=0}^pC^m_pb_mx^{p-m}\hfill&,\
p\geq 1,\quad x\in[0,1[.\hfill\cr 
\noalign{\vskip3pt}
\displaystyle {\rm (2)}\quad b_p=\sum_{m=0}^pC^m_pb_m\hfill&,\ p\geq 2.\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
{\rm (3)}\quad B_p(1-x)=(-1)^pB_p(x)\hfill&,\ p\geq 1.\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
{\rm (4)}\quad b_m=0\quad\hbox{si $m$ est impair $\geq 3$}.\hfill&\cr
}
$}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration} 

\noindent (1) La formule est vraie pour $p=1$ d'apr\`es la
d\'efinition de $b_0,b_1$. Supposons la formule vraie \`a l'ordre $p-1$~:
$$
B_{p-1}(x)=\sum_{m=0}^{p-1}C^m_{p-1}b_mx^{p-1-m}.
$$
On a alors
$$
B'_p(x)=pB_{p-1}(x)=\sum_{m=0}^{p-1}pC^m_{p-1}b_mx^{p-1-m},
$$

$$
\eqalign{
B_p(x)&=B_p(0)+\sum_{m=0}^{p-1}\frac{p}{p-m}\,C^m_{p-1}b_mx^{p-m}\cr
&=b_p+\sum_{m=0}^{p-1}C^m_pb_mx^{p-m},\cr
}
$$
donc la formule est encore vraie \`a l'ordre $p$.

{\parindent1.5pc
\medskip
\item{(2)} D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, $B_p$ est continue sur $\bR$ pour tout $p\geq
2$ et v\'erifie $B_p(1)=B_p(0)=b_p$, par cons\'equent (2) est un cas particulier de
(1).

\medskip
\item{(3)} Par r\'ecurrence sur $p$, on voit que $(-1)^pB_p(1-x)$ a pour d\'eriv\'ee
$$
-(-1)^pB'_p(1-x)=p(-1)^{p-1}B_{p-1}(1-x)=pB_{p-1}(x)=B'_p(x).
$$
\item{} Comme $(-1)^pB_p(1-x)$ est d'int\'egrale nulle sur $[0,1]$, on en d\'eduit que
\break $(-1)^pB_p(1-x)$ et $B_p(x)$ co\"\i ncident.

\medskip
\item{(4)} Pour $p\geq 2$ et $x=0$, (3) donne $b_p=(-1)^pb_p$, donc $b_p=0$ si $p$ est
impair.\hfill\blacksquare
\par}

\bigskip
La relation (2) appliqu\'ee \`a $p=2k+1$ donne
$$
0=C^{2k}_{2k+1}b_{2k}+C^{2k-2}_{2k+1}b_{2k-2}+\dots+C^2_{2k+1}b_2+C^1_{2k+1}b_1+1.
$$
Ceci permet de calculer par r\'ecurrence les nombres de Bernoulli successifs~:

\medskip
\majdeb
\hfil$\displaystyle
b_0=1,\ b_1=-\dfrac{1}{2},\ b_2=\dfrac{1}{6},\ b_4=-\dfrac{1}{30},\
b_6=\dfrac{1}{42},\ b_8=-\dfrac{1}{30},\ b_{10}=\dfrac{5}{66},\dots$\hfill 
\par\majfin\par

\medskip
Supposons maintenant donn\'ee une fonction $f$ de classe $C^p$ sur $[\alpha,\beta]$ o\`u
$\alpha,\beta$ sont des entiers. Gr\^ace \`a la p\'eriodicit\'e des fonctions $B_p$, la
formule $(*)$ ci-dessus est vraie sur chaque intervalle
$[\alpha,\alpha+1],\dots,[\beta-1,\beta]$. Par sommation, on en d\'eduit
$$
\displaylines{
\frac{1}{2}\,f(\alpha)+f(\alpha+1)+\dots+f(\beta-1)+\frac{1}{2}\,f(\beta)=
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx\hfill\cr
\hfill+\sum_{m=2}^p(-1)^m\frac{b_m}{m!}\
\Big(f^{(m-1)}(\beta)-f^{(m-1)}(\alpha)\Big)+(-1)^{p+1}
\int^{\beta}_{\alpha}\frac{B_p(x)}{p!}\,f^{(p)}(x)dx.\cr 
}
$$
En appliquant ceci pour $p=2k$ et en tenant compte du fait que $b_m=0$ si 
$m$ est impair${}\geq 3$, on obtient la

\bigskip
\majdeb
\state Formule d'Euler-Maclaurin -- | Soit $f$ une fonction de classe $C^k$ sur
$[\alpha,\beta]$ o\`u $\alpha,\beta\in\bZ$ et soit
$T(f)=\dfrac{1}{2}\,f(\alpha)+f(\alpha+1)+\dots+f(\beta-1)+\dfrac{1}{2}\,f(\beta)$ la
somme des trap\`ezes associ\'ees \`a $f$. Alors
$$
\eqalign{
T(f)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx&+\sum_{m=1}^k\frac{b_{2m}}{(2m)!}\
\Big(f^{(2m-1)}\,(\beta)-f^{(2m-1)}(\alpha)\Big)\cr
&-\int^{\beta}_{\alpha}\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\ f^{(2k)}(x)dx.\cr}
$$ 
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

Pour pouvoir exploiter cette formule \`a des fins num\'eriques, il
importe de savoir majorer la fonction $B_{2k}(x)$ qui intervient dans
le reste int\'egral.

\subsection 4.2. Lien avec les s\'eries de Fourier et estimation de $B_p$|

\noindent Comme $B_p$ est p\'eriodique de p\'eriode 1, il est tentant
de rechercher un d\'evelop\-pement de $B_p$ en s\'erie de Fourier.
D'apr\`es la formule $(*)$ du \S\ 4.1 appliqu\'ee \`a \hbox{$f(x)=e^{-2\pi
inx}$}, il vient
$$
1=\int^1_0e^{-2\pi inx}dx+0-(2\pi in)^p\int^1_0\frac{B_p(x)}{p!}\ e^{-2\pi inx}dx,
$$
et la premi\`ere int\'egrale est nulle pour $n\not=0$. On en d\'eduit que le coefficient
de Fourier d'indice $n$ de $B_p$ est
$$
\cases{\displaystyle
\widehat B_p(n)=-\dfrac{p!}{(2\pi in)^p}\hfill&si $n\not=0$,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\displaystyle\widehat B_p(0)=\int^1_0B_p(x)=0\hfill&si $n=0$.\hfill\cr
}
$$
Pour $p\geq 2$, la s\'erie de Fourier est absolument convergente et $B_p$ est continue,
donc
$$
B_p(x)=-p!\sum_{n\in\bZ^*}\frac{e^{2\pi inx}}{(2\pi in)^p},\quad(\forall x\in\bR).
$$
Pour $p=1$, la fonction $B_1$ est de classe $C^1$ par morceaux, donc la s\'erie converge
vers $B_1(x)$ en tout point $x\not\in\bZ$ et vers $\dfrac{1}{2}\
\Big(B_1(x+0)+B_1(x-0)\Big)=0$ si $x\in\bZ$. La formule ci-dessus peut se r\'ecrire
$$
\eqalign{
B_{2k}(x)&=\frac{(-1)^{k+1}2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}\ \sum_{n=1}^{+\infty}\ \frac{\cos\,2\pi
nx}{n^{2k}},\cr
B_{2k+1}(x)&=\frac{(-1)^{k+1}2(2k+1)!}{(2\pi)^{2k+1}}\ \sum_{n=1}^{+\infty}\
\frac{\sin\,2\pi nx}{n^{2k+1}}.\cr 
}$$
En particulier, si l'on introduit la fonction $\zeta$ de Riemann
$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s},
$$
on obtient
$$
b_{2k}=\frac{(-1)^{k+1}2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}\ \zeta(2k).
$$
Comme $\zeta(s)\leq 1+\int^{+\infty}_1 dx/x^s=1+1/(s-1)$, on voit que
$\lim_{s\rightarrow+\infty}\zeta(s)=1$ et en particulier on a
$$
b_{2k}\sim\frac{(-1)^{k+1}2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}\quad{\rm quand}\quad k\rightarrow +\infty.
$$
Les coefficients $|b_{2k}|$ tendent donc vers $+\infty$ assez vite. Par ailleurs, il est
clair que $B_{2k}(x)$ atteint sa valeur absolue maximum pour $x=0$~; on obtient donc
$$
|B_{2k}(x)|\leq|b_{2k}|,\quad \forall x\in\bR.\eqno(**)
$$
Comme $B_{2k+1}(0)=0$ pour $k\geq 1$, on a d'autre part
$$
B_{2k+1}(x)=(2k+1)\int^x_0B_{2k}(t)dt
$$
donc $|B_{2k+1}(x)|\leq (2k+1)|x|\kern2pt|b_{2k}|$. On en d\'eduit l'in\'egalit\'e
$$
|B_{2k+1}(x)|\leq\Big(k+\frac{1}{2}\Big)|b_{2k}|
$$
d'abord pour $x\in\big[0,\dfrac{1}{2}\big]$, puis pour 
$x\in\big[\dfrac{1}{2},1\big]$ gr\^ace \`a la formule (3) du \S~4.1, 
puis pour tout $x\in\bR$ par p\'eriodicit\'e.

\subsection 4.3. Application \`a la recherche de d\'eveloppements 
asymptotiques|

\noindent Soit $f$ une fonction de classe $C^{\infty}$ sur
$[\alpha,+\infty[$ o\`u $\alpha\in\bZ$. Pour tout entier
$n\geq\alpha$, on cherche \`a obtenir un d\'eveloppement limit\'e \`a
tout ordre de la somme
$$
S_n(f)=f(\alpha)+f(\alpha+1)+\dots+f(n)
$$
lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Un tel d\'eveloppement est appel\'e {\it
d\'eveloppement asymptotique} de $S_n(f)$~; il permet g\'en\'eralement d'obtenir de
tr\`es bonnes valeurs approch\'ees de $S_n(f)$ lorsque $n$ est grand.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- | {\it On suppose qu'il existe un entier $m_0\in\bN$ et un
r\'eel $x_0$ tels que pour $m\geq m_0$ les d\'eriv\'ees $f^{(m)}(x)$ soient de signe
constant sur $[x_0,+\infty[$, avec $\lim_{x\rightarrow
+\infty}f^{(m)}(x)=0$. Alors il existe une constante $C$ ind\'ependante de $n$ et $k$,
telle que pour tout $n\geq x_0$ et tout $k>\dfrac{m_0}{2}$ on ait~:
$$
S_n(f)=C+\frac{1}{2}\,f(n)+\int^n_{\alpha}f(x)dx+\sum_{m=1}^{k-1}\frac{b_{2m}}{(2m)!}\
f^{(2m-1)}(n)+R_{n,k} 
$$
avec
$$
R_{n,k}=\theta\ \frac{b_{2k}}{(2k)!}\ f^{(2k-1)}(n)=\theta\times\hbox{(1$^{\rm er}$
terme omis)},\qquad \theta\in[0,1]. 
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} On a par d\'efinition
$S_n(f)=\dfrac{1}{2}\,f(\alpha)+\dfrac{1}{2}\,f(n)+T(f)$ o\`u $T(f)$ est la somme des
trap\`ezes de $f$ sur $[\alpha,n]$. La formule d'Euler Maclaurin entra\^\i ne
$$
\eqalign{
S_n(f)=\frac{1}{2}\,f(\alpha)&+\frac{1}{2}\,f(n)+\int^n_{\alpha}f(x)dx+\sum_{m=1}^k
\frac{b_{2m}}{(2m)!}\ f^{(2m-1)}(n)\cr
&-\sum_{m=1}^k\frac{b_{2m}}{(2m)!}\
f^{(2m-1)}(\alpha)-\int^{+\infty}_{\alpha}\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\ f^{(2k)}(x)dx\cr
&+\int^{+\infty}_n\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\ f^{(2k)}(x)dx.\cr 
}
$$
On obtient donc le d\'eveloppement du th\'eor\`eme avec une constante $C=C_k$
d\'ependant {\it a priori} de $k$ et un reste $R_{n,k}$ donn\'es par 
$$
\displaylines{
C_k=\frac{1}{2}\,f(\alpha)-\sum_{m=1}^k\frac{b_{2m}}{(2m)!}\,f^{(2m-1)}(\alpha)-
\int^{+\infty}_{\alpha}\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\,f^{(2k)}(x)dx,\cr
R_{n,k}=\frac{b_{2k}}{(2k)!}\ f^{(2k-1)}(n)+\int^{+\infty}_n\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\,
f^{(2k)}(x)dx,\cr
}
$$
\`a condition de montrer que les int\'egrales convergent. Comme $k>\dfrac{m_0}{2}$,
$f^{(2k)}$ est de signe constant sur $[x_0,+\infty[$.
D'apr\`es l'in\'egalit\'e $(**)$ du \S\ 4.2, il vient
$$
\displaylines{
  \Big|\int^{+\infty}_n\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\,f^{(2k)}(x)dx\Big|\leq\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}\ 
  \Big|\int^{+\infty}_nf^{(2k)}(x)\Big|,\cr
  \int^{+\infty}_nf^{(2k)}(x)dx=\lim_{N\rightarrow+\infty}\int^N_n=
  \lim_{N\rightarrow+\infty}\Big(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(n)\Big)=-f^{(2k-1)}(n).\cr}
$$
On a donc bien convergence et nos estimations montrent par
ailleurs que l'int\'egrale figurant dans $R_{n,k}$ est de valeur
absolue plus petite que le premier terme, donc
$$
R_{n,k}=\theta\,\frac{b_{2k}}{(2k)!}\ f^{(2k-1)}(n),\quad\theta\in[0,2].
$$
Il reste \`a voir qu'on a en fait $\theta\in[0,1]$ et que $C_k$ ne
d\'epend pas de $k$.  Appliquons la formule \`a l'ordre $k+1$ et
identifions avec la formule donnant $S_n(f)$ \`a l'ordre $k$. Il vient
$$
C_k+R_{n,k}=C_{k+1}+\frac{b_{2k}}{(2k)!}\ f^{(2k+1)}(n)+R_{n,k+1}.
$$
En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on trouve $C_k=C_{k+1}$, donc $C_k$ 
est bien ind\'ependante de $k$, et
$$
R_{n,k}=\frac{b_{2k}}{(2k)!}\,f^{(2k+1)}(n)+R_{n,k+1}.
$$
D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, $R_{n,k}$ est de m\^eme signe que le terme
$b_{2k}/(2k)!f^{(2k-1)}(n)$ tandis que $R_{n,k+1}$ est du signe oppos\'e~: le \S\ 4.2
montre que signe$\,(b_{2k})=(-1)^{k+1}$, tandis que signe$\,f^{(2k+1)}=-{\rm
signe}\,f^{(2k)}={\rm signe}\,f^{(2k-1)}$. On a donc
$$
R_{n,k}\Big/\Big(\frac{b_{2k}}{(2k)!}\,f^{(2k-1)}(n)\Big)\leq 1,
$$
ce qui implique $\theta\in[0,1]$.\hfill\blacksquare

\bigskip
\state Exemple 1 -- | {\it Formule de Stirling avec reste.}
\medskip

On applique la formule \`a $f(x)=\ln\,x$ sur $[1,+\infty[$~:
$$
\eqalign{
&S_n(f)=\ln\,1+\dots+\ln\,(n)=\ln\,(n!),\cr
&\int^n_1\ln\,xdx=n(\ln\,(n)-1)+1,\cr
&f^{(m)}(x)=\frac{(-1)^{m-1}(m-1)!}{x^m},\quad\hbox{d'o\`u}\cr
&\ln\,(n!)=C'+\frac{1}{2}\,\ln\,(n)+n(\ln\,(n)-1)+\sum_{m=1}^{k-1}\frac{b_{2m}}{2m(2m-1)}
\ \frac{1}{n^{2m-1}}+R_{n,k}\cr
&n!=e^{C'}\sqrt{n}\Big(\frac{n}{e}\Big)^n{\rm exp}\Big(\sum_{m=1}^{k-1}
\frac{b_{2m}}{2m(2m-1)}\ \frac{1}{n^{2m-1}}+R_{n,k}\Big)\cr
}
$$
On peut v\'erifier que $e^{C'}=\sqrt{2\pi}$ (exercice ci-dessous), d'o\`u en particulier

\bigskip
\majdeb
\hfil$\displaystyle
n!=\sqrt{2\pi n}\,\Big(\dfrac{n}{e}\Big)^n\exp\,\Big(\dfrac{1}{12n}
-\dfrac{1}{360n^3}+\dfrac{1}{1260n^5}-\dfrac{\theta}{1680n^7}\Big).$\hfill
\par
\majfin
\medskip

\bigskip
{\parindent=1.4pc
\majedeb
\state Exercice -- | {\it On pose $\displaystyle I_n=\int^{\pi/2}_0
\sin^n x\,dx$, $n\in\bN$. 
\medskip
\item{\rm(a)} Montrer que $I_n=\dfrac{n-1}{n}\ I_{n-2}$ si 
$n\geq 2$.\hfill\break
Calculer $I_0$, $I_1$ puis $I_{2n}$, $I_{2n+1}$ et $I_{2n}\cdot I_{2n+1}$.
\medskip
\item{\rm(b)} Montrer que $I_n$ est d\'ecroissante et que 
$I_{2n+1}\sim I_{2n}$.
\medskip
\item{\rm(c)} En d\'eduire $\displaystyle\dfrac{(2n)!}{n!^2}\sim\dfrac{2^{2n}}
{\sqrt{\pi n}}$ et la valeur de $e^{C'}$.}
\par\majefin\par}

\bigskip
\state Exemple 2 -- | {\it \'Evaluation de la constante d'Euler $\gamma$.}
\medskip

On applique cette fois la formule d'Euler-Maclaurin \`a 
$f(x)=1/x$ sur $[1,+\infty[$~:
$$
\eqalign{
&S_n(f)=1+{1\over 2}+\dots+{1\over n},\cr
&\int^n_1{1\over x}\,dx=\ln n,\cr
&f^{(m)}(x)=\frac{(-1)^{m}m!}{x^{m+1}},\quad\hbox{d'o\`u}\cr
&S_n(f)=C+\frac{1}{2}\,\frac{1}{n}+\ln\,n-
\sum_{m=1}^{k-1}\frac{b_{2m}}{2m}
\ \frac{1}{n^{2m}}+R_{n,k}.\cr
}
$$
Ceci montre que la limite $\gamma=\lim_{n\to +\infty}
1+{1\over 2}+\dots+{1\over n}-\ln n$ existe et qu'elle est \'egale \`a la
constante $C$ de la formule d'Euler-Maclaurin. On obtient de plus
pour tout $n$ l'approximation
$$
\gamma=1+{1\over 2}+\dots+{1\over n}-\ln n
-\frac{1}{2n}+\sum_{m=1}^{k-1}\frac{b_{2m}}{2m}
\frac{1}{n^{2m}}-R_{n,k}
$$
avec une erreur $-R_{n,k}=\theta{b_{2k}\over 2k}{1\over n^{2k}}$.

D'apr\`es 4.2 nous avons $b_{2k}\sim\frac{(-1)^{k+1}2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$
donc
$$
{b_{2k}\over 2k}{1\over n^{2k}}\sim
\frac{(-1)^{k+1}2(2k-1)!}{(2\pi n)^{2k}},\leqno(*)
$$
et on voit que, prise par rapport \`a l'indice $k$, la s\'erie correspondante
est {\it divergente} pour toute valeur fix\'ee de $n$. Il en est 
de m\^eme pour la sommation apparaissant dans la formule de Stirling.
Le lecteur pourra observer que l'application de la formule d'Euler-Maclaurin 
conduit presque toujours \`a des s\'eries divergentes (c'est la raison
m\^eme pour laquelle on parle de {\it d\'eveloppements asymptotiques}).

En d\'epit de cette divergence, on dispose tout de m\^eme l\`a
d'un excellent moyen d'approximation et de calcul num\'erique. En effet,
on voit que la valeur absolue du membre de droite de $(*)$ passe par un 
minimum pour $k=E(\pi n+{1\over 2})$, puisque le rapport du terme d'indice $k$
\`a celui d'indice $k-1$ est $(2k-2)(2k-1)/(2\pi n)^2$, qui est plus 
petit que $1$
tant que $2k-1\le 2\pi n$. Pour $k=E(\pi n+{1\over 2})=\pi n+r$, 
$r\in[-{1\over 2},{1\over 2}]$, la formule de 
Stirling donne
$$
\frac{2(2k-1)!}{(2\pi n)^{2k}}=
\frac{(2k)!}{k(2\pi n)^k}\sim {\sqrt{4\pi} (2k/e)^{2k}\over
\sqrt{k}(2\pi n)^{2k}}
\sim {2\over \sqrt{n}}\Big(1+{r\over \pi n}\Big)^{2k}e^{-2k}\sim
{2\over \sqrt{n}}e^{-2\pi n}
$$
puisque $\lim_{n\to+\infty}(1+{r\over \pi n})^{2k}=
\lim_{n\to+\infty}(1+{r\over \pi n})^{2\pi n}=e^{2r}$. Lorsque $n$ est
grand, la pr\'ecision d'am\'eliore donc exponentiellement avec $n$,
\`a condition de s'arr\^eter au terme $b_{2k}(\ldots)$ de valeur absolue
minimale$\,$; au del\`a, l'erreur augmente, et m\^eme,
la s\'erie  diverge$\,$!

\section 5. M\'ethode d'int\'egration de Romberg|

\noindent On va montrer ici comment \`a partir de la formule
d'Euler-Maclaurin on peut construire une m\'ethode d'int\'egration
bas\'ee sur l'acc\'el\'eration de la convergence de la m\'ethode des
trap\`ezes. On obtient ainsi un algorithme de calcul souple et
performant, ais\'e \`a programmer et souvent pr\'ef\'er\'e \`a tout
autre dans la pratique.

\subsection 5.1. Proc\'ed\'e d'extrapolation de Richardson|


\noindent On suppose donn\'ee une fonction $A$ qui admet un d\'eveloppement limit\'e \`a
tout ordre au voisinage de 0~:
$$
A(t)=a_0+a_1t+\dots+a_kt^k+R_{k+1}(t)
$$
avec\quad$|R_{k+1}|\leq C_{k+1}|t|^{k+1}$.


La situation est la suivante~: on suppose qu'on a un algorithme permettant de calculer
$A(t_m)$ pour certains r\'eels $t_m\rightarrow 0_+$, et on  cherche \`a {\it extrapoler}
ces valeurs pour obtenir $A(0)=a_0$.
On construit pour cela un proc\'ed\'e d'{\it acc\'el\'eration de la convergence}
consistant \`a \'eliminer successivement les termes $a_1t,a_2t^2,\dots$ du
d\'eveloppement limit\'e de $A(t)$.

\bigskip
\state Principe de la m\'ethode -- | Soit $r>1$ un r\'eel fix\'e. On a
$$
A(rt)=a_0+\dots+a_nr^nt^n+\dots+a_kr^kt^k+O(t^{k+1}).
$$
Pour \'eliminer le terme en $t^n$, il suffit de former le quotient
$$
\frac{r^nA(t)-A(rt)}{r^n-1}=a_0+b_1t+\dots+b_{n-1}t^{n-1}+0+b_{n+1}t^{n-1}+\dots
$$
Si on calcule successivement les quantit\'es
$$
\eqalign{
A_0(t)&=A(t)\cr
A_1(t)&=\frac{rA_0(t)-A_0(rt)}{r-1},\dots,\cr
A_n(t)&=\frac{r^nA_{n-1}(t)-A_{n-1}(rt)}{r^n-1},\cr
}
$$
alors on \'elimine successivement $t,t^2,\dots,t^n$. De mani\`ere g\'en\'erale on aura
$$
A_n(t)=a_0+b_{n,n+1}t^{n+1}+\dots+b_{n,k}t^k+O(t^{k+1})
$$
donc $A_n(t)=A_0+O(t^{n+1})$ est une meilleure approximation de $a_0$ que la fonction
$A(t)$ initiale. Supposons en particulier qu'on sache calculer les quantit\'es
$$
A_{m,0}=A(r^{-m}t_0)
$$
o\`u $t_0>0$ est fix\'e (de sorte que $\lim_{m\rightarrow
+\infty}A_{m,0}=a_0$). On a seulement {\it a priori} $A(t)=a_0+O(t)$, donc
$$
A_{m,0}=a_0+O(r^{-m}).
$$
Si on pose $A_{m,n}=A_n(r^{-m}t_0)$, il vient
$$
A_{m,n}=a_0+O(r^{-m(n+1)})\quad{\rm quand}\quad m\rightarrow+\infty,
$$
de sorte que la convergence est sensiblement $(n+1)$-fois rapide que celle de $A_{m,0}$.
Les nombres $A_{m,n}$ se calculent par la formule de r\'ecurrence
$$
A_{m,n}=\frac{r^nA_{m,n-1}-A_{m-1,n-1}}{r^n-1}.
$$
Dans la pratique, on commence par ranger les valeurs $A_{m,0}$ dans un tableau TAB, puis
on effectue le calcul des colonnes $A_{m,1}$, $A_{m,2}$, $\dots$ comme suit~:
\vbox{%
$$
\offinterlineskip\halign{
\hfill#\hfill\qquad&
\hfill#\hfill\kern6pt&
\hfill#\hfill&
\hfill\kern6pt#\hfill&
\hfill\kern6pt#\hfill&
\hfill\kern6pt#\hfill&
\hfill\kern6pt#\hfill&
\hfill\kern6pt#\hfill\cr
TAB$[0]$&$A_{0,0}$&\branch&$A_{1,1}$&\branch&$A_{2,2}$&\branch&$A_{3,3}$\cr
TAB$[1]$&$A_{1,0}$&\branch&$A_{2,1}$&\branch&$A_{3,2}$&&$\dots$\cr
TAB$[2]$&$A_{2,0}$&\branch&$A_{3,1}$&&$\dots$&&$\dots$\cr
TAB$[3]$&$A_{3,0}$&&$\dots$&&$\dots$&&$\dots$\cr 
\noalign{\vskip9pt}
$\dots$&$\dots$&&$\dots$&&$\dots$&&$\dots$\cr
}
$$}
Chaque colonne est une suite convergeant vers $a_0$, mais la colonne d'indice $n$
converge $n+1$ fois plus vite \`a l'infini que celle d'indice 0.

\subsection 5.2. M\'ethode de Romberg|

\noindent Soit $f\in C^{\infty}([\alpha,\beta])$. On consid\`ere la subdivision de
$[\alpha,\beta]$ en $l$ sous-intervalle \'egaux donn\'ee par les points $x_j=\alpha+jh$,
$0\leq j\leq l$ o\`u $h=\dfrac{\beta-\alpha}{l}$, et on note
$$
T_f(h)=h\left(\frac{1}{2}\,f(\alpha)+f(\alpha+h)+\dots+f(\beta-h)+\frac{1}{2}\,f(\beta)
\right)
$$
la somme des trap\`ezes associ\'ees. Appliquons la formule d'Euler-Maclaurin \`a la
fonction
$$
\eqalign{
&g(u)=f(\alpha+uh),\quad u\in[0,l],\cr
&g^{(m)}(u)=h^mf^{(m)}(\alpha+uh).\cr
}
$$
Il vient
$$
\eqalign{
T_g(1)=\int^l_0f(\alpha+uh)du&+\sum_{m=1}^k\frac{b_{2m}}{2m!}\,h^{2m-1}\Big(f^{(2m-1)}
(\beta)-f^{(2m-1)}(\alpha)\Big)\cr
&-h^{2k}\int^l_0\frac{B_{2k}(u)}{2k!}\,f^{(2k)}(\alpha+uh)du\cr
}$$
d'o\`u
$$
\eqalign{
T_f(h)=hT_g(1)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx
&+\sum_{m=1}^k\frac{b_{2m}}{(2m)!}\
h^{2m}\Big(f^{(2m-1)}(\beta)-f^{(2m-1)}(\alpha)\Big)\cr
&-h^{2k}\int^{\beta}_{\alpha}\frac{B_{2k}((x-\alpha)/h)}{2k!}\ f^{(2k)}(x)dx.\cr  
}
$$
On en d\'eduit que $T_f(h)$ admet le d\'eveloppement limit\'e

\bigskip
\majdeb
\hfil$\displaystyle
T_f(h)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx+\sum_{m=1}^{k-1}a_mh^{2m}+O(h^{2k})$\hfill
\vskip3pt
\noindent avec\quad $a_m=\dfrac{b_{2m}}{(2m)!}\
\Big(f^{(2m-1)}(\beta)-f^{(2m-1)}(\alpha)\Big)$. 
\par\majfin\par

\bigskip
On peut donc \'ecrire $T_f(h)=A(h^2)$ o\`u
$$
A(t)=T_f(\sqrt{t})=a_0+a_1t+\dots+a_{k-1}t^{k-1}+O(t^k),
$$
et il s'agit de calculer le coefficient
$$
a_0=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx.
$$
On utilise pour cela des dichotomies successives avec les pas
$h=\dfrac{\beta-\alpha}{2^m}$. Ceci nous am\`ene \`a calculer
$$
A_{m,0}=T_f\Big(\frac{\beta-\alpha}{2^m}\Big)=A(4^{-m}(\beta-\alpha)^2\Big).
$$
On applique donc le proc\'ed\'e d'extrapolation de Richardson avec $r=4$, ce qui conduit
\`a la formule de r\'ecurrence
$$
A_{m,n}=\frac{4^nA_{m,n-1}-A_{m-1,n-1}}{4^n-1}.
$$
On a alors $ A_{m,n}=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx+O(4^{-m(n+1)})$ quand
$m\rightarrow +\infty$. La valeur approch\'ee retenue est celle correspondant aux
indices $m,n$ les plus \'elev\'es pour lesquels $A_{m,n}$ a \'et\'e calcul\'e.

\medskip
\state Remarque 1 -- | On peut gagner du temps dans le calcul de $A_{m,0}$ en
utilisant $A_{m-1,0}$ pour \'evaluer $A_{m,0}$. Si $h=\dfrac{\beta-\alpha}{2^m}$, on  a
en effet~:
$$
\eqalign{
A_{m,0}&=h\Big(\frac{1}{2}\,f(\alpha)+f(\alpha+h)+\dots+f(\beta-h)+\frac{1}{2}\,f(\beta)
\Big)\cr
A_{m-1,0}&=2h\Big(\frac{1}{2}\,f(\alpha)+f(\alpha+2h)+\dots+f(\beta-2h)+\frac{1}{2}
\,f(\beta)\Big)\cr
}
$$
Il suffit de poser
$$
A'_{m,0}=h\Big(f(\alpha+h)+f(\alpha+3h)+\dots+f(\beta-h)\Big)
$$
et alors on obtient
$$
A_{m,0}=\frac{1}{2}\ A_{m-1,0}+A'_{m,0}.
$$

\medskip
\state Remarque 2 -- | Si $f\in C^{\infty}(\bR)$ est p\'eriodique de p\'eriode
$\beta-\alpha$, alors $f^{(m)}(\beta)=f^{(m)}(\alpha)$ pour tout $m$ et on a donc un
d\'eveloppement limit\'e \`a tout ordre
$$
T_f(h)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx+O(h^{2k})
$$
r\'eduit \`a son terme constant. Il est inutile dans ce cas d'appliquer le proc\'ed\'e
d'extrapolation de Richardson~: la derni\`ere somme des trap\`ezes calcul\'ee $A_{m,0}$
donne d\'ej\`a une tr\`es bonne approximation de l'int\'egrale.

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- | {\it V\'erifier que $A_{m,1}$ (resp.\ $A_{m,2}$) est la
m\'ethode de Simpson compos\'ee sur $2^{m-1}$ sous-intervalles (resp.\
Boole-Villarceau sur $2^{m-2}$ sous-intervalles).}
\par\majefin\par

\bigskip
Pour $n\geq 3$, on peut v\'erifier que $A_{m,n}$ ne correspond plus \`a une
m\'ethode de Newton-Cotes.


\section 6. Probl\`emes|

{\parindent1.4pc

\noindent{\bf 6.1.} 
Soient $x_1$ et $x_2$ deux points de $[-1,1]$ et $\lambda_1$ et
$\lambda_2\in\bR$. On d\'esigne par $C[-1,1]$ l'espace vectoriel des
fonctions continues sur $[-1,1]$ et \`a valeurs r\'eelles et on
d\'efinit
$$
T:C[-1,1]\rightarrow\bR\quad{\rm par}\quad
T(f)=\lambda_1f(x_1)+\lambda_2 f(x_2).
$$

\item{(a)} Quelles conditions doivent v\'erifier $x_1,\,x_2,\,\lambda_1,\,
\lambda_2$ pour que $T$ soit une m\'ethode d'int\'egration sur $[-1,1]$
exacte pour

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Les fonctions constantes~?

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Les fonctions affines~?

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal 
\`a 2~?

\medskip
\item{(b)} Parmi les m\'ethodes exactes pour les polyn\^omes de
degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a~2, une seule v\'erifie $x_1=-x_2$.
Montrer que ce choix de $x_1$ et $x_2$ (et des $\lambda_1$
et~$\lambda_2$ correspondants) fournit une m\'ethode exacte pour les
polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 3 et qu'il s'agit
de la seule m\'ethode d'int\'egration exacte pour les polyn\^omes de
degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 3 qui soit du type \'etudi\'e dans
le probl\`eme. Quelle est cette m\'ethode~?



\bigskip
\noindent{\bf 6.2.}\smallskip
\item{(a)} Montrer que pour un polyn\^ome trigonom\'etrique de degr\'e $n$
$$
\sum^n_{p=-n}c_pe^{ipx},
$$
\item{} la m\'ethode des trap\`ezes de pas constant $h=\dfrac{2\pi}{n+1}$ 
est exacte sur l'intervalle $[0,2\pi]$.

\medskip
\item{(b)} Montrer que si $f$ peut \^etre approch\'ee par un polyn\^ome
trigonom\'etrique de degr\'e $n$ \`a moins de $\varepsilon$ sur $[a,b]$, la m\'ethode
des trap\`ezes pour $h=\dfrac{2\pi}{n+1}$ fournit un erreur inf\'erieure \`a
$4\pi\varepsilon$ pour $\int^{2\pi}_0 f(x)dx$.

\medskip
\item{(c)} On consid\`ere $f(x)=\exp\big(\dfrac{1}{2}\ \sin\,x\big)$. Donner 
une majoration de l'erreur pour la m\'ethode des trap\`ezes pour $\int^{2\pi}_0
f(x)\,dx$ avec $h=\pi/2$, $h=\pi/4$. Que pensez-vous de ce dernier r\'esultat~?



\bigskip
\noindent{\bf 6.3.} Soit $f:[-1,1]\rightarrow\bR$ une fonction de
classe $C^n$, o\`u $n$ sera suppos\'e aussi grand que les besoins
l'exigeront. On consid\`ere la m\'ethode d'int\'egration num\'erique
approch\'ee donn\'ee par
$$
\int^1_{-1}f(x)dx\simeq f(\omega)+f(-\omega)\quad{\rm avec}\quad
\omega\in[0,1].\leqno{\rm (M)} 
$$
\item{(a)} Calculer l'erreur
$$
E(f)=\int^1_{-1}f(x)-(f(\omega)+f(-\omega))
$$
\item{} pour $f(x)=1,x,x^2$ respectivement. D\'eterminer l'ordre de la
m\'ethode (M) en fonction de $\omega$.

\medskip
\item{(b)} On se place ici dans le cas o\`u la m\'ethode (M) est d'ordre 1.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Calculer le noyau de Peano $K_1(t)$, et tracer le
graphe de $K_1$ pour $\omega=5/8$. Pour quelles valeurs de $\omega$
le noyau $K_1$ est-il de signe constant~?

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Montrer que l'erreur v\'erifie une majoration
$$
|E(f)|\leq C(\omega)\Vert f''\Vert_{\infty}
$$
o\`u $C(\omega)$ est une constante dont on d\'eterminera la valeur
optimale~:

\itemitem{} $\bullet$ lorsque $K_1$ est de signe constant~;

\itemitem{} $\bullet$ lorsque $\omega=5/8$.

\medskip
\item{(c)} Calculer le noyau de Peano dans le cas o\`u la m\'ethode (M) est d'ordre 3
et v\'erifier que ce noyau est une fonction paire. En d\'eduire qu'il existe
$\xi\in\ ]-1,1[$ tel que
$$
E(f)=\dfrac{1}{135}\ f^{(4)}(\xi).
$$

\item{(d)} En utilisant le r\'esultat du (c), estimer l'erreur obtenue par la m\'ethode
compos\'ee associ\'ee \`a la m\'ethode (M) pour le calcul d'une int\'egrale 
$$
\int^b_ag(x)dx
$$
\item{} avec une subdivision de $[a,b]$ de pas constant $h=(b-a)/k$, 
$k\in\bN^{\star}$.


\bigskip
\noindent{\bf 6.4.} Soit $p$ un entier naturel et soit $f(x)=x^p$. On note
$$
S_{n,p}=\sum^n_{m=1}m^p.
$$
On utilise la formule du d\'eveloppement asymptotique de $S_n(f)$
avec $\alpha=0$.
\medskip

\item{(a)} Montrer que pour $k$ assez grand, le reste $R_{n,k}$ est nul. En d\'eduire
une expression de $S_{n,p}$~; on calculera la valeur de la constante $C$ en observant que
$S_{0,p}=0$.

\medskip
\item{(b)} Donner une expression factoris\'ee de $S_{n,p}$ pour $p=2,3,4,5$.

\bigskip
\noindent{\bf 6.5.} Soit $\beta$ un r\'eel $>1$. On consid\`ere la fonction 
$$
f(x)=\dfrac{1}{x^{\beta}}\quad\hbox{et on
note}\quad\quad\zeta(\beta)=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{1}{n^{\beta}}. 
$$
On utilise la formule du d\'eveloppement asymptotique de $S_n(f)$ avec
$\alpha=1$.

\smallskip
\item{(a)} Exprimer $\zeta(\beta)$ en fonction de la constante $C$ de
la formule~; pour cela, on fera tendre $n$ vers $+\infty$.

\smallskip
\item{(b)}  D\'eterminer le d\'eveloppement limit\'e de 
$\zeta(\beta)-S_n(f)$ avec reste $R_{n,k}$. En prenant $n=5$ et $k=5$, 
donner un encadrement de $\zeta(3)$.
\bigskip

\vbox{
\noindent{\bf 6.6.} On applique ici la formule d'Euler-Maclaurin \`a la 
fonction $f(x)=e^{ax}$, $a\in\bC$.
\medskip
\item{(a)} Montrer l'\'egalit\'e 
$$
\frac{a}{2}\
\frac{e^a+1}{e^a-1}=1+\sum^k_{m=1}\frac{b_{2m}a^{2m}}{(2m)!}-\frac{a^{2k+1}}{e^a-1}
\int^1_0\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\ e^{ax}dx 
$$

\item{(b)} Montrer que le reste int\'egral est major\'e pour tout $a\in\bC$ par
$$
\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}\ \frac{e^{|\Re\,a|}-1}{|\Re\,a|}\ \frac{|a|}{|e^a-1|}\
|a|^{2k}\quad{\rm si}\quad e^a\not=1. 
$$
\item{} En d\'eduire que $ \dfrac{a}{2}\
\dfrac{e^a+1}{e^a-1}=1+\sum^{+\infty}_{m=1}\dfrac{b_{2m}a^{2m}}{(2m)!}$ sur le disque
$|a|<2\pi$, et que le rayon de convergence de la s\'erie est $2\pi$.

\medskip
\item{(c)} Lorsque $a$ est r\'eel, montrer que le reste int\'egral est
major\'e par $|b_{2k}|a^{2k}/(2k)!$, ainsi que par
$2|b_{2k+2}|a^{2k+2}/(2k+2)!$.

\item{} Utiliser ceci pour trouver une valeur approch\'ee de $(e+1)/(e-1)$
en prenant $k=4$. V\'erifier que l'erreur commise est inf\'erieure \`a
$10^{-7}$.

}
\bigskip

\noindent{\bf 6.7.} On consid\`ere la fonction
$$
f(x)=\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\bR.
$$
\item{(a)} A l'aide d'une d\'ecomposition en \'el\'ements simples, calculer la
d\'eriv\'ee $f^{(m)}$ et montrer que $|f^{(m)}(x)|\leq m!\,(1+x^2)^{-(m+1)/2}$.

\medskip
\item{(b)} D\'eterminer le d\'eveloppement asymptotique de la suite
$$
S_n=\sum^n_{k=0}\frac{1}{1+k^2}.
$$

\item{(c)} Calculer $S_{10}$ et en d\'eduire une valeur approch\'ee \`a $10^{-6}$ pr\`es
de la somme 
$$
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2}.
$$



\bigskip
\noindent{\bf 6.8.} On se propose ici d'\'etudier une m\'ethode 
d'int\'egration num\'erique analogue aux m\'ethodes de Newton-Cotes.
\medskip

\item{(a)} Soit $g$ une fonction continue sur $[-1,2]$. D\'eterminer le
polyn\^ome\hfill\break 
$ p(x)=\sum^2_{i=-1}g(i)\ell_i(x)$ de degr\'e $\leq 3$
qui interpole $g$ aux points $-1,0,1,2$.

\item{} Exprimer l'erreur d'interpolation \`a l'aide du polyn\^ome\hfill\break
$\pi(x)=x(x+1)(x-1)(x-2)$.

\medskip
\item{(b)} Calculer $\int^1_0 p(x)dx$ et $\int^0_{-1}p(x)dx$ en
fonction des valeurs $g(i)$, $-1\leq i\leq 2$.\break En d\'eduire $\int^2_1
p(x)dx$.

V\'erifier les formules pour $g(x)=1$ (resp. $g(x)=x$).

\medskip
\item{(c)} Calculer $\int^1_0|\pi(x)|dx$ et
$\int^0_{-1}|\pi(x)|dx$.

\item{} En d\'eduire une majoration (la meilleure possible~!) de
$\int^{i+1}_i|g(x)-p(x)|dx$, $i=-1,0,1$, en fonction de la norme
uniforme d'une d\'eriv\'ee convenable de $g$ ($g$ est suppos\'ee suffisamment
d\'erivable).

\medskip
\item{(d)} Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ avec $a<b$. On note
$$
a=a_0<a_1<\dots<a_{n-1}<a_n=b,\quad n\geq 8
$$
\item{} la subdivision de pas constant $h=\dfrac{b-a}{n}$ et on pose $f_i=f(a_i)$.

\item{} On \'etudie la m\'ethode d'int\'egration num\'erique
$$
\int^b_af(x)dx=\sum^{n-1}_{i=0}\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx\simeq\sum^{n-1}_{i=0}
\int_{a_{i+1}}^{a_i}p_i(x)dx
$$
\item{} o\`u $p_i$ d\'esigne le polyn\^ome d'interpolation de Lagrange de $f$ aux points
$a_{i-1}$, $a_i$, $a_{i+1}$, $a_{i+2}$ si $1\leq i\leq n-2$, avec la {\it convention
d'\'ecriture} $p_0=p_1$, $p_{n-1}=p_{n-2}$. Montrer que cette m\'ethode s'\'ecrit
$$
\int^b_af(x)dx\simeq h\sum_{i=0}^n \lambda_i f_i
$$
\item{} pour des coefficients $\lambda_i$ que l'on explicitera. Que peut-on dire de
l'ordre de la m\'ethode~?

\medskip
\item{(e)} Majorer les erreurs $\int^{a_{i+1}}_{a_i}
|f(x)-p_i(x)|dx$ et
$$
E(f)=\int^b_a f(x)dx-h\sum_{i=0}^n\lambda_i f_i
$$
\item{} en fonction de $h$, $b-a$, et de la norme uniforme d'une d\'eriv\'ee
convenable de~$f$.



\bigskip
\noindent{\bf 6.9.} On d\'esigne par $\cC$ l'espace des fonctions d\'efinies
sur l'intervalle $[-1,1]$ \`a valeurs dans $\bR$, muni de la norme uniforme.
\medskip

\item{(a)} Montrer que pour tout $f\in\cC$ l'int\'egrale
$$
\int^1_{-1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx\quad\hbox{est convergente}.
$$

\item{(b)} On note $t_n$ le polyn\^ome de Tchebychev de degr\'e $n$.
  
\item{} On rappelle le r\'esultat
$\int^1_{-1}\dfrac{t_n(x)t_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ 
dx=\dfrac{\pi}{2}\ \delta_{n,k}$ o\`u $\delta_{n,k}$ est le symbole
de Kronecker. Calculer
$\int^1_{-1}\dfrac{x^nt_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$\quad
pour\quad $n<m$.

\medskip
\item{(c)} On note $x_0$, $x_1$, $x_2$ les racines de $t_3$.
D\'eterminer trois r\'eels $A_0$, $A_1$, $A_2$ tels que pour tout
polyn\^ome $P$ de degr\'e $\leq 2$ on ait
$$
\int^1_{-1}\frac{P(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=A_0P(x_0)+A_1P(x_1)+A_2P(x_2).
$$
\item{} Montrer que l'\'egalit\'e est encore v\'erifi\'ee si $P$ est
de degr\'e $\leq 5$.

\medskip
\item{(d)} Montrer que l'int\'egrale
$\int^1_0\frac{x^4dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ est convergente
et, \`a l'aide de (c), calculer sa valeur.

\medskip
\item{(e)} Pour $n$ fix\'e non nul, on d\'esigne par $x_k$ les racines
de $t_n$ et par $A_k$ des nombres r\'eels $(0\leq k\leq n-1)$. Pour
tout $f\in\cC$ on note
$$
S_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1}A_kf(x_k)\quad{\rm et}\quad
R_n(f)=\int^1_{-1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\ dx-S_n(f). 
$$

\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que l'on peut d\'eterminer les $A_k$ de
mani\`ere unique de sorte que pour tout polyn\^ome $P$ de degr\'e
$\leq n-1$ on ait $R_n(P)=0$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Montrer que pour $1\leq p\leq n-1$ on a
$\sum^{n-1}_{k=0}T_p(x_k)=0$.

\itemitem{} En d\'eduire que $A_k=\dfrac{\pi}{n}$ pour tout $k$.

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Montrer que $R_n(P)=0$ pour tout polyn\^ome de degr\'e
$\leq 2n-1$.

\medskip
\item{(f)} Soient $f\in\cC$ et $P$ un polyn\^ome. En supposant $\Vert f-p
\Vert<\varepsilon$, donner un majorant de $|R_n(f)|$ lorsque
$n\rightarrow+\infty$. En d\'eduire
$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n(f)=\int^1_{-1}\frac{f(x)}
{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
$$



\bigskip
\noindent{\bf 6.10.} Le but du probl\`eme est d'\'etablir quelques
r\'esultats sur la formule approch\'ee
$\int^1_{-1}f(x)dx\simeq\int^1_{-1}P_n(x)dx$ o\`u
$P_n(x)$ est le polyn\^ome d'interpolation de degr\'e $n$ de $f$ aux
points de Tchebychev $x_i=\cos\,\theta_i$, tels que
$\theta_i=\dfrac{(2i+1)}{2n+2}\ \pi$, $0\leq i\leq n$.
\medskip

\item{(a)} Avec les notations de II 4.3, montrer que le polyn\^omes $l_i$ de Lagrange
sont donn\'es par
$$
l_i(x)=\frac{(-1)^i\sin\,\theta_i}{n+1}\ \frac{t_{n+1}(x)}{x-x_i},\quad 0\leq i\leq n.
$$

\item{(b)} Pour $x\in[-1,1]$ et $n\in\bN$ on note
$$
a_n(x)=\int^1_{-1}\frac{\cos(n\,{\rm Arc\,cos}\,x)-\cos(n\,{\rm Arc\,cos}\,y)}{x-y}\ dy.
$$
\item{} Montrer que $a_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$ 
et que l'on a
$$
\int^1_{-1}P_n(x)dx=\sum^n_{i=0}\omega_if(x_i)\quad\hbox{avec}\quad
\omega_i=\dfrac{(-1)^i\sin\,\theta_i}{n+1}\ a_{n+1}(x_i).
$$
\item{(c)} Calculer $a_{n+1}(x)-a_{n-1}(x)$~; en d\'eduire la valeur 
de
$$
a_{n+1}(x)-2xa_n(x)+a_{n-1}(x).
$$
\item{(d)} En distinguant deux cas suivant la parit\'e de $n$, montrer 
l'\'egalit\'e 
$$
\sin\,\theta\ a_n(\cos\,\theta)=2\,\sin\,n\theta-4\sum_{1\leq
q<\frac{n}{2}}\frac{1}{4q^2-1}\ \sin\,(n-2q)\theta. 
$$

\item{(e)} En d\'eduire l'expression de $\omega_i$~:
$$
\omega_i=\frac{\displaystyle\left[2-4\sum_{1\leq q\leq\frac{n+1}{2}}\ \frac{1}{4q^2-1}\
\cos\,2q\theta_i\right]}{n+1}.
$$
\item{} Montrer l'in\'egalit\'e $\omega_i>0$.

\medskip
\item{(f)} On fixe $n=10$. \'Ecrire un programme en langage informatique qui 
permet de calculer tous les coefficients $\omega_i$.

\par}

\bye

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
