% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Chapitre XI

\input equa-mac.tex

\blankline\blankline
\hfill\chtitle Chapitre XI|%
\blankline\blankline
\hfill\title \'Equations diff\'erentielles|
\vskip6pt
\hfill\title d\'ependant d'un param\`etre|
\chaptitlerunning XI -- \'Equations diff\'erentielles d\'ependant d'un 
param\`etre|
\vskip4pc

\noindent \'Etant donn\'e une \'equation diff\'erentielle
$y'=f(t,y,\lambda)$ d\'ependant d'un param\`etre~$\lambda$, on se
propose d'\'etudier comment les solutions varient en fonction de
$\lambda$. En particulier on montrera que, sous des hypoth\`eses
convenables, les solutions d\'ependent contin\^ument ou
diff\'erentiablement du param\`etre $\lambda$. Outre l'aspect
th\'eorique, ces r\'esultats sont importants en vue de la m\'ethode
dite des perturbations~: il arrive fr\'equemment qu'on sache calculer la
solution $y$ pour une valeur particuli\`ere $\lambda_0$, mais pas pour
les valeurs voisines $\lambda$~; on cherche alors un d\'eveloppement
limit\'e de la solution $y$ associ\'ee \`a la valeur $\lambda$ en
fonction de $\lambda-\lambda_0$. On montrera que le coefficient de
$\lambda-\lambda_0$ est obtenu en r\'esolvant une \'equation
diff\'erentielle lin\'eaire, appel\'ee \'equation 
\og$\,$lin\'earis\'ee$\,$\fg\ de l'\'equation initiale~; ce fait 
remarquable permet
g\'en\'eralement de bien \'etudier les petites perturbations de la
solution.

\section 1. D\'ependance de la solution en fonction du 
para\-m\`etre\kern-3.32pt|

\subsection 1.1. Notations|

\noindent Soit $U$ un ouvert de $\bR\times\bR^m\times\bR^p$ et
$$
\eqalign{
f:\quad U&\rightarrow\bR^m\cr
(t,y,\lambda)&\mapsto f(t,y,\lambda)\cr
}
$$
une fonction continue. Pour chaque valeur de $\lambda\in\bR^p$, on consid\`ere l'\'equation
diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y,\lambda),\qquad(t,y)\in U_{\lambda}\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
o\`u $U_{\lambda}\subset \bR\times\bR^m$ est l'ouvert des points tels que $(t,y,\lambda)\in U$.
Une donn\'ee initiale $(t_0,y_0)$ \'etant fix\'ee, on note $y(t,\lambda)$ la solution
maximale du probl\`eme de Cauchy relatif \`a (\rmE$_{\lambda}$) telle que
$y(t_0,\lambda)=y_0$~; on supposera toujours dans la suite que les hypoth\`eses assurant
l'unicit\'e des solutions sont v\'erifi\'ees. Notre objectif est d'\'etudier la continuit\'e
ou la diff\'erentiabilit\'e de $y_0(t,\lambda)$ en fonction du couple $(t,\lambda)$. 

\noindent Fixons
un point $(t_0,y_0,\lambda_0)\in U$. Comme $U$ est ouvert, ce point admet un voisinage
(compact) contenu dans $U$
$$
V_0=[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)\times\overline B(\lambda_0,\alpha_0).
$$
On note $\displaystyle M=\sup_{V_0}\Vert f\Vert$. Alors pour tout
$T\leq\min\,\Big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\Big)$ fix\'e et pour tout $\lambda\in\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$, le cylindre 
$$
C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)\subset U_{\lambda}
$$
est un cylindre de s\'ecurit\'e pour les solutions de E$_{\lambda}$, d'apr\`es les
r\'esultats du chapitre V, \S~2.1. Le th\'eor\`eme d'existence V 2.4 implique~:

\bigskip
\majdeb
\state Proposition -- |  {\it Avec les notations pr\'ec\'edentes, la solution
$y(t,\lambda)$ est d\'efinie pour tout $(t,\lambda)\in[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$ et elle est \`a valeurs dans $\overline B(y_0,r_0)$.} 
\par\majfin\par

\subsection 1.2. Continuit\'e|

\noindent On suppose maintenant de plus que $f$ est localement lipschitzienne en $y$,
c'est-\`a-dire qu'apr\`es avoir \'eventuellement r\'etr\'eci $V_0$, il existe une constante
$k\geq 0$ telle que
$$
\eqalign{
&\forall (t,\lambda)\in[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(\lambda_0,\alpha_0),\quad\forall
y_1,y_2\in\overline B(y_0,r_0),\cr
&\Vert f(t,y_1,\lambda)-f(t,y_2,\lambda)\Vert\leq k\Vert y_1-y_2\Vert.\cr
}
$$

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Si $f$ est continue sur $U$ et localement lipschitzienne
en $y$, alors la solution $y(t,\lambda)$ est continue sur $[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$.} 
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Remarquons d'abord que
$$
\Big\Vert\frac{d}{dt}\ y(t,\lambda)\Big\Vert=\Vert f(t,y(t,\lambda),\lambda)\Vert\leq M
$$
car $\Vert f\Vert\leq M$ sur $V_0$. Le th\'eor\`eme des accroissements finis montre alors que
$y(t,\lambda)$ est $M$-lipschitzienne par rapport \`a $t$, c'est-\`a-dire que
$$
\Vert y(t_1,\lambda)-y(t_2,\lambda)\Vert\leq M|t_1-t_2|
$$
pour tous $(t_1,\lambda)$, $(t_2,\lambda)\in[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$. Par ailleurs, comme $V_0$ est compact, $f$ y est conform\'ement
continue et il existe donc un module de continuit\'e $\eta:\bR_+\rightarrow\bR_+$ tel que
$$
\Vert f(t,y,\lambda_1)-f(t,y,\lambda_2)\Vert\leq \eta(\Vert \lambda_1-\lambda_2\Vert)
$$
avec $\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0_+}\eta(u)=0$. Alors $z_1(t)=y(t,\lambda_1)$ est la
solution exacte du probl\`eme de Cauchy pour l'\'equation
$$
y'=f(t,y,\lambda_1),\leqno(\rmE_{\lambda_1})
$$
tandis que $z_2(t)=y(t,\lambda_2)$ en est une solution $\varepsilon$-approch\'ee avec
$\varepsilon=\eta(\Vert \lambda_1-\lambda_2\Vert)$.\break Le lemme de Gronwall V 3.1 montre que
$$
\eqalign{
\Vert z_1(t)-z_2(t)\Vert&\leq \varepsilon\ \frac{e^{k|t-t_0|}-1}{k},\quad\hbox{d'o\`u}\cr
\Vert y(t,\lambda_1)-y(t,\lambda_2)\Vert&\leq\frac{e^{kT}-1}{k}\
\eta(\Vert\lambda_1-\lambda_2\Vert).\cr 
}
$$
De ces in\'egalit\'es, nous d\'eduisons
$$
\eqalign{
\Vert y(t_1,\lambda_1)-y(t_2,\lambda_2)\Vert&\leq\Vert
y(t_1,\lambda_1)-y(t_2,\lambda_1)\Vert+\Vert y(t_2,\lambda_1)-y(t_2,\lambda_2)\Vert\cr 
&\leq M|t_1-t_2|+\frac{e^{kT}-1}{k}\ \eta(\Vert\lambda_1-\lambda_2\Vert)\cr
}
$$
et comme le second membre tend vers 0 lorsque $(t_2,\lambda_2)\rightarrow (t_1,\lambda_1)$,
on voit que $y(t,\lambda)$ est bien continue sur $[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$.\hfill\blacksquare

\medskip
\state Remarque -- |  La d\'emonstration montre aussi que si $f(t,y,\lambda)$ est
localement lipschitzienne en $\lambda$, alors $y(t,\lambda)$ est localement lipschitzienne en
$(t,\lambda)$~: dans ce cas, on peut prendre $\eta(u)=Cu$.

\subsection 1.3. Diff\'erentiabilit\'e|

\noindent Afin de simplifier les notations, on suppose dans un premier temps que
$\lambda\in\bR$, c'est-\`a-dire que $p=1$. Pour deviner les r\'esultats, nous effectuons
d'abord un calcul formel en supposant les fonctions $f$ et $y(t,\lambda)$ autant de fois
diff\'erentiables que n\'ecessaire. Comme $y$ satisfait (E$_{\lambda}$) par hypoth\`ese, on a
$$
\frac{\partial y}{\partial t}\,(t,\lambda)=f(t,y(t,\lambda),\lambda).
$$
Diff\'erentions cette relation par rapport \`a $\lambda$~:
$$
\frac{\partial^2y}{\partial\lambda\partial t}\
(t,\lambda)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,y(t,\lambda),\lambda)\ \frac{\partial
y_j}{\partial\lambda}\,(t,\lambda)+f'_{\lambda}(t,y(t,\lambda),\lambda). 
$$
En posant $\displaystyle
u(t)=y(t,\lambda)$ et
$v(t)=\dfrac{\partial
y}{\partial\lambda}\
(t,\lambda)$ il vient
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^m f'_{y_j}(t,u(t),\lambda)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),\lambda).\leqno({\rm 
E}'_{\lambda})
$$
On observe que l'\'equation (E$'_{\lambda}$) satisfaite par $v$ est {\it lin\'eaire}.
L'\'equation (E$'_{\lambda}$) s'appelle l'{\it \'equation diff\'erentielle lin\'earis\'ee}
associ\'ee \`a (E$_{\lambda}$). Par ailleurs $v$ satisfait la condition initiale

\null\vskip-24pt
$$
v(t_0)=\frac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t_0,\lambda)=0,
$$
car par hypoth\`ese $y(t_0,\lambda)=y_0$ ne d\'epend pas de $\lambda$.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it On suppose que $f$ est continue sur $U$
et admet des d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda}$
continues sur $U$. \hfill\break Alors $y(t,\lambda)$ est de classe
$C^1$ sur $[t_0-T,t_0+T]\times B(\lambda_0,\alpha_0)$ et admet des
d\'eriv\'ees partielles secondes crois\'ees continues 
$$
\frac{\partial}{\partial\lambda}\ \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\
\frac{\partial y}{\partial\lambda}. 
$$
De plus, si $u(t)=y(t,\lambda)$, la d\'eriv\'ee partielle $v(t)=\dfrac{
\partial y}{\partial\lambda}\,(t,\lambda)$ est la solution de l'\'equation
diff\'erentielle lin\'earis\'ee
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),\lambda)
\leqno(\rmE'_{\lambda})
$$
avec condition initiale $v(t_0)=0$.
}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.*} Les hypoth\`eses entra\^\i nent que
$f$ est localement lipschitzienne en la variable $y$, donc on sait
d\'ej\`a que $y(t,\lambda)$ est continue. Pour $\lambda_1$ fix\'e
posons $u_1(t)=y(t,\lambda_1)$ et soit $v_1(t)$ la solution de
l'\'equation lin\'eaire 
$$
v'_1(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)v_{1,j}(t)+f'_{\lambda}
(t,u_1(t),\lambda_1).
\leqno(\rmE'_{\lambda_1})
$$
avec condition initiale $v_1(t_0)=0$. Bien entendu, on ne sait pas
encore que $v_1(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\ 
(t,\lambda_1)$, c'est justement ce qu'on veut d\'emontrer. Pour cela
on compare $u(t)=y(t,\lambda)$ et $u_1(t)+(\lambda-\lambda_1)v_1(t)$
et on cherche \`a montrer que la diff\'erence est
$o(\lambda-\lambda_1)$. Posons donc
$$
w(t)=u(t)-u_1(t)-(\lambda-\lambda_1)v_1(t).
$$
Par d\'efinition de $u,u_1,v_1$ il vient
$$
\displaylines{
w'(t)=f(t,u(t),\lambda)-f(t,u_1(t),\lambda_1)\hfill\cr
\hfill-(\lambda-\lambda_1)\left(\sum_{j=1}^m
f'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)v_{1,j}(t)+f'_{\lambda}(t,u_1(t),\lambda_1)\right)\qquad(*)\cr
}$$
Pour chaque composante $f_k$, la formule des accroissements finis montre que
$$
f_k(t,y,\lambda)-f_k(t,y_1,\lambda_1)=\sum_{j=1}^mf'_{k,y_j}
(t,\widetilde y,\smash{\widetilde \lambda})
(y_j-y_{1,j})+f'_{k,\lambda}(t,\widetilde y,\widetilde
\lambda)(\lambda-\lambda_1)
$$
o\`u $(\widetilde y,\widetilde \lambda)$ est un point appartenant au
segment d'extr\'emit\'es $(y_1,\lambda_1)$ et $(y,\lambda)$. Si
$\eta_k$ est un module de continuit\'e uniforme pour les d\'eriv\'ees
partielles $f'_{k,y_j}$ et $f'_{k,\lambda}$ sur le compact $V_0$,
l'\'ecart de chaque fonction entre les points $(\widetilde
y,\widetilde \lambda)$ et $(y_1,\lambda_1)$ est major\'e~par
$$
\eta_k(\Vert\widetilde y-y_1\Vert+|\widetilde \lambda-\lambda_1|)\leq \eta_k(\Vert
y-y_1\Vert+|\lambda-\lambda_1|). 
$$
On peut donc \'ecrire
$$
f(t,y,\lambda)-f(t,y_1,\lambda_1)=\kern-2pt\sum_{j=1}^m
f'_{y_j}(t,y_1,\lambda_1)(y_j-y_{1,j})+f'_{\lambda}(t,y_1,\lambda_1)(\lambda-\lambda_1)
+g(t,y,y_1,\lambda)
$$
o\`u $g(t,y,y_1,\lambda)$ admet une majoration uniforme
$$
\Vert g(t,y,y_1,\lambda)\Vert\leq (\Vert y-y_1\Vert+|\lambda-\lambda_1|)\,\eta(\Vert
y-y_1\Vert+|\lambda-\lambda_1|) 
$$
pour un certain module de continuit\'e $\eta$. En substituant $y=u(t)$, $y_1=u_1(t)$ dans la
derni\`ere formule, on d\'eduit de $(*)$ les relations
$$
\eqalignno{
w'(t)&=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)(u_j(t)-u_{1,j}(t)-(\lambda-\lambda_1)v_{1,j}(t))
+g(t,u(t),u_1(t),\lambda),\cr
w'(t)&=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)w_j(t)+g(t,u(t),u_1(t),\lambda),&(**)\cr
}$$
avec la majoration uniforme
$$
\Vert g(t,u(t),u_1(t),\lambda)\Vert\leq
(C+1)|\lambda-\lambda_1|\ \eta((C+1)|\lambda-\lambda_1|)=o(\lambda-\lambda_1)~; 
$$
en effet
$$
\Vert u(t)-u_1(t)\Vert=\Vert y(t,\lambda)-y(t,\lambda_1)\Vert\leq C|\lambda-\lambda_1|
$$
d'apr\`es la remarque finale du \S~1.2. L'\'equation $(**)$ est lin\'eaire en $w$, et donc
$K$-lipschitzienne avec 
$$
K=\sup_{V_0}\sum_{1\leq j\leq m}\Vert f'_{y_j}\Vert.
$$
Comme $u(t_0)=u_1(t_0)=y_0$ et $v_1(t_0)=0$, on a $w(t_0)=0$, et
par ailleurs $\widetilde w(t)\equiv 0$ est une solution
$\varepsilon$-approch\'ee de $(**)$ avec
$\varepsilon=o(\lambda-\lambda_1)$. Le lemme de Gronwall V 3.1 montre
que
$$
\Vert w(t)\Vert=\Vert w(t)-\widetilde w(t)\Vert\leq\varepsilon\
\frac{e^{KT}-1}{K}=o(\lambda-\lambda_1), 
$$
c'est-\`a-dire, par d\'efinition de $w$, $u$, $u_1$~:
$$
\Vert y(t,\lambda)-y(t,\lambda_1)-(\lambda-\lambda_1)v_1(t)\Vert=o(\lambda-\lambda_1).
$$
Ceci signifie que $\dfrac{\partial y}
{\partial\lambda}\,(t,\lambda_1)$ existe et co\"\i ncide avec
$v_1(t)$. La fonction $y$ admet donc bien des d\'eriv\'ees partielles
premi\`eres
$$
\frac{\partial y}{\partial t}\,(t,\lambda)=f(t,y(t,\lambda),\lambda)\quad{\rm
et}\quad\frac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t,\lambda). 
$$
La d\'eriv\'ee partielle $\dfrac{\partial y}{\partial t}$ est continue en $(t,\lambda)$
puisque $y$ l'est. Par ailleurs $v(t,\lambda)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\
(t,\lambda)$ est la solution avec donn\'ees initiales $t_0,v_0=0$ de l'\'equation
lin\'earis\'ee
$$
v'=G(t,v,\lambda)
=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,y(t,\lambda),\lambda)v_j+f'_{\lambda}(t,y(t,\lambda),\lambda).
\leqno{(\rmE'_{\lambda})}
$$
Ici $G$ est continue en $(t,v,\lambda)$ et localement lipschitzienne en $v$, puisque
lin\'eaire en cette variable. Par suite $v=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}$ est
\'egalement continue en $(t,\lambda)$, ce qui implique que $y$ est de classe $C^1$. Enfin, on
a bien $$
\eqalign{
\frac{\partial}{\partial t}\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}&=\frac{\partial}{\partial t}\
v(t,\lambda)\cr
&=\sum_{j=1}^m f'_{y_j}(t,y(t,\lambda),\lambda)\ \frac{\partial y_j}{\partial\lambda}\
(t,\lambda)+f'_{\lambda}(t,y(t,\lambda),\lambda)\cr
&=\frac{\partial}{\partial\lambda}\
(f(t,y(t,\lambda),\lambda)=\frac{\partial}{\partial\lambda}\ \frac{\partial y}{\partial t}\
(t,\lambda)\cr
}
$$
et ces d\'eriv\'ees partielles secondes sont continues gr\^ace \`a la deuxi\`eme
ligne.\hfill\blacksquare

\bigskip 
\majdeb \state G\'en\'eralisation -- | {\it Le th\'eor\`eme
s'\'etend ais\'ement au cas o\`u $\lambda\in\bR^p$. Il suffit en
effet de fixer toutes les variables $\lambda_i$ sauf une pour
constater que $\dfrac{\partial}{\partial\lambda_i}\,\dfrac{\partial y}
{\partial t} =\dfrac{\partial}{\partial t}\,\dfrac{\partial y}
{\partial\lambda_i}$ et que $v(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda_i}
\,(t,\lambda)$ est la solution de l'\'equation
lin\'earis\'ee 
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda)v_j(t)+f'_{\lambda_i}(t,u(t),
\lambda)\leqno({\rm E}_{\lambda_i})
$$
avec condition initiale $v(t_0)=0$.} 
\par\majfin\par

\bigskip
Le fait que $y(t,\lambda)$ soit encore de classe $C^1$ provient de ce
que le th\'eor\`eme de continuit\'e du \S~1.2 est vrai globalement par
rapport \`a l'ensemble des variables $(\lambda_1,\dots,\lambda_p)$~:
celui-ci entra\^\i ne la continuit\'e en $(t,\lambda)$ des
d\'eriv\'ees partielles $\partial y/\partial\lambda_i$. Nous
\'etudions maintenant la diff\'erentiabilit\'e d'ordre sup\'erieur~:
nous allons voir qu'elle se d\'eduit aussit\^ot par r\'ecurrence du
cas de l'ordre un.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it On suppose que $f$ est de classe $C^s$ et
admet des d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda_i}$ de classe $C^s$. Alors
la solution $y(t,\lambda)$ du probl\`eme de Cauchy relatif \`a $(\rmE_{\lambda})$
est de classe $C^{s+1}$.} \par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Par r\'ecurrence sur $s$. Pour $s=0$,
il s'agit du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent. Supposons le r\'esultat
d\'ej\`a d\'emontr\'e \`a l'ordre $s-1$.  Alors $y(t,\lambda)$ est de
classe $C^s$. Il en est de m\^eme de sa d\'eriv\'ee
$$
\frac{\partial y}{\partial t}\,(t,\lambda)=f(t,y(t,\lambda),\lambda).
$$
De plus $v(t,\lambda)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda_i}\,(t,\lambda)$ est la solution de
l'\'equation lin\'earis\'ee (E$'_{\lambda_i}$), soit\break $v'=G(t,v,\lambda)$. Comme
$f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda_i}$ sont de classe $C^s$, on voit que $G$ est de classe $C^s$~; les
d\'eriv\'ees $G'_{v_j}$ et $G'_{\lambda_i}$ sont donc de classe $C^{s-1}$ et l'hypoth\`ese de
r\'ecurrence implique que $v$ est de classe $C^s$. Ceci montre que $y$ est de classe
$C^{s+1}$.\hfill\blacksquare

\subsection 1.4. D\'ependance de la solution en fonction de la
donn\'ee initiale|

\noindent On d\'esignera ici par $t\mapsto y(t,y_0,\lambda)$ la solution de
l'\'equation diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y,\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
de donn\'ee initiale $(t_0,y_0)$. L'objectif est d'\'etudier la
continuit\'e ou la diff\'erentia\-bi\-lit\'e de $y(t,y_0,\lambda)$ en
fonction des 3 variables $t,y_0,\lambda$. Ceci r\'esoudra du m\^eme
coup le cas particulier des solutions $y(t,y_0)$ d'une \'equation
diff\'erentielle (E) sans param\`etre.

Pour r\'esoudre cette question, on consid\`ere la variable $y_0$ elle-m\^eme comme un
param\`etre et on pose donc $\mu=y_0$. La fonction $z(t,\mu,\lambda)=y(t,\mu,\lambda)-\mu$
satisfait alors la condition initiale $z(t_0,\mu,\lambda)=0$ et l'\'equation
$$
\eqalign{
\dfrac{\partial z}{\partial t}\,(t,\mu,\lambda)=\dfrac{\partial y}{\partial t}\
(t,\mu,\lambda)&=f(t,y(t,\mu,\lambda),\lambda)\cr
&=f(t,z(t,\mu,\lambda)+\mu,\lambda).\cr 
}$$
La fonction $z(t,\mu,\lambda)$ est donc la solution de l'\'equation diff\'erentielle
$$
z'=f(t,z+\mu,\lambda)\leqno(\rmE_{\mu,\lambda})
$$
avec donn\'ee initiale $(t_0,0)$. Les propri\'et\'es cherch\'ees
r\'esultent alors des th\'eor\`emes d\'ej\`a d\'emontr\'es,
appliqu\'es \`a l'\'equation $(E_{\mu,\lambda})$ pour le param\`etre
$(\mu,\lambda)\in \bR^{m+p}$. On peut donc \'enoncer~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- | {\it Si $f$ est de classe $C^s$ et admet des
d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda_i}$ de classe
$C^s$, alors $y(t,y_0,\lambda)$ est de classe $C^{s+1}$.}
\par\majfin\par

\subsection 1.5. Flot d'un champ de vecteurs|

Consid\'erons un ouvert $\Omega\subset\bR^m$ et un champ de vecteurs
$M\mapsto \overrightarrow V(M)$ de classe $C^k$ d\'efini sur $\Omega$,
$k\ge 1$.
On appelle \'equation diff\'erentielle associ\'ee au champ de vecteurs 
$\overrightarrow V$ l'\'equation diff\'erentielle
$$
{\overrightarrow{dM}\over dt}=\overrightarrow V(M).\leqno\hbox{\rm(E)}
$$
Si nous repr\'esentons le point $M$ par ses coordonn\'ees not\'ees
$y=(y_1,\ldots,y_m)$, et le champ $\overrightarrow V$ par une fonction
$\overrightarrow V(M)=f(y)$, l'\'equation devient
$$
y'=f(y),\leqno\hbox{\rm(E)}
$$
il s'agit donc tout simplement d'une \'equation diff\'erentielle dont le
second membre est ind\'ependant du temps. L'ouvert de d\'efinition est
dans ce cas l'ouvert produit $U=\bR\times\Omega$. R\'esoudre (E) revient \`a
chercher les {\it courbes int\'egrales} (ou {\it orbites}) du champ de 
vecteurs.

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 68.947  64.897    67.212  64.259    65.567  63.621    64.018  62.983   
 62.571  62.346    61.230  61.708    59.998  61.070    58.878  60.432   
 57.873  59.794    56.982  59.156    56.172  58.489    55.366  57.692   
 54.732  56.895    54.293  56.155    54.076  55.661    53.948  55.275   
 53.867  54.949    53.820  54.687    53.789  54.436    53.774  54.227   
 53.768  54.018    53.771  53.809    53.783  53.600    53.804  53.391   
 53.833  53.181    53.871  52.972    53.917  52.763    53.970  52.554   
 54.031  52.345    54.100  52.136    54.176  51.927    54.259  51.718   
 54.348  51.509    54.444  51.300    54.547  51.091    54.655  50.882   
 54.769  50.673    54.889  50.464    55.015  50.255    55.145  50.046   
 55.281  49.837   ] scurve 
 85.000  70.000 moveto 
[  85.000  70.000    87.124  70.638    89.237  71.276    91.326  71.914   
 93.381  72.551    95.392  73.189    97.347  73.827    99.237  74.465   
101.053  75.103   102.788  75.741   104.433  76.379   105.982  77.017   
107.429  77.654   108.770  78.292   110.002  78.930   111.122  79.568   
112.127  80.206   113.018  80.844   113.828  81.511   114.634  82.308   
115.268  83.105   115.707  83.845   115.924  84.339   116.052  84.725   
116.133  85.051   116.180  85.313   116.211  85.564   116.226  85.773   
116.232  85.982   116.229  86.191   116.217  86.400   116.196  86.609   
116.167  86.819   116.129  87.028   116.083  87.237   116.030  87.446   
115.969  87.655   115.900  87.864   115.824  88.073   115.741  88.282   
115.652  88.491   115.556  88.700   115.453  88.909   115.345  89.118   
115.231  89.327   115.111  89.536   114.985  89.745   114.855  89.954   
114.719  90.163   ] scurve 
 85.000  76.000 moveto 
[  85.000  76.000    82.848  75.362    80.654  74.724    78.426  74.086   
 76.178  73.449    73.921  72.811    71.667  72.173    69.429  71.535   
 67.219  70.897    65.243  70.317    63.540  69.807    61.874  69.297   
 60.253  68.786    58.878  68.341    57.654  67.933    56.467  67.524   
 55.319  67.116    54.214  66.708    53.152  66.300    52.136  65.891   
 51.167  65.483    50.248  65.075    49.379  64.667   ] scurve 
 85.000  76.000 moveto 
[  85.000  76.000    87.097  76.638    89.131  77.276    91.091  77.914   
 92.969  78.551    94.760  79.189    96.456  79.827    98.052  80.465   
 99.544  81.103   100.929  81.741   102.204  82.379   103.368  83.017   
104.422  83.654   105.365  84.292   106.199  84.930   107.032  85.670   
107.775  86.467   108.364  87.264   108.800  88.047   109.037  88.627   
109.175  89.082   109.262  89.475   109.312  89.802   109.342  90.098   
] scurve 
 85.000  82.000 moveto 
[  85.000  82.000    82.821  81.362    80.540  80.724    78.165  80.086   
 75.706  79.449    73.172  78.811    70.574  78.173    67.925  77.535   
 65.776  77.025    63.688  76.533    61.947  76.125    60.202  75.716   
 58.552  75.330    57.159  75.004    55.771  74.677    54.390  74.351   
 53.017  74.024    51.729  73.715    50.647  73.454    49.575  73.193   
] scurve 
 85.000  82.000 moveto 
[  85.000  82.000    87.071  82.638    89.028  83.276    90.867  83.914   
 92.584  84.551    94.179  85.189    95.650  85.827    96.997  86.465   
 98.222  87.103    99.326  87.741   100.313  88.379   101.186  89.017   
101.997  89.698   102.795  90.495   ] scurve 
 85.000  64.000 moveto 
[  85.000  64.000    82.903  63.362    80.869  62.724    78.909  62.086   
 77.031  61.449    75.240  60.811    73.544  60.173    71.948  59.535   
 70.456  58.897    69.071  58.259    67.796  57.621    66.632  56.983   
 65.578  56.346    64.635  55.708    63.801  55.070    62.968  54.330   
 62.225  53.533    61.636  52.736    61.200  51.953    60.963  51.373   
 60.825  50.918    60.738  50.525    60.688  50.198    60.658  49.902   
 60.645  49.640   ] scurve 
 85.000  64.000 moveto 
[  85.000  64.000    87.152  64.638    89.346  65.276    91.574  65.914   
 93.822  66.551    96.079  67.189    98.333  67.827   100.571  68.465   
102.781  69.103   104.757  69.683   106.460  70.193   108.126  70.703   
109.747  71.214   111.122  71.659   112.346  72.067   113.533  72.476   
114.681  72.884   115.786  73.292   116.848  73.700   117.864  74.109   
118.833  74.517   119.752  74.925   120.621  75.333   ] scurve 
 85.000  58.000 moveto 
[  85.000  58.000    82.929  57.362    80.972  56.724    79.133  56.086   
 77.416  55.449    75.821  54.811    74.350  54.173    73.003  53.535   
 71.778  52.897    70.674  52.259    69.687  51.621    68.814  50.983   
 68.003  50.302    67.205  49.505   ] scurve 
 85.000  58.000 moveto 
[  85.000  58.000    87.179  58.638    89.460  59.276    91.835  59.914   
 94.294  60.551    96.828  61.189    99.426  61.827   102.075  62.465   
104.224  62.975   106.312  63.467   108.053  63.875   109.798  64.284   
111.448  64.670   112.841  64.996   114.229  65.323   115.610  65.649   
116.983  65.976   118.271  66.285   119.353  66.546   120.425  66.807   
] scurve 
 85.000  70.000 moveto 
 55.000  28.000   0.000 360.000 ellipsearc  stroke 
currentdash currentlinewidth grestore setlinewidth setdash gsave 
 50.000  50.000 moveto 
 90.000  60.000 rect  clip  newpath 
  0.340 setlinewidth
 85.000  70.000 moveto
  0.700 disk 
 31.181  15.819 vector 
 54.800  57.000 moveto 
  0.700 disk 
 17.000  66.036 vector 
 97.000  61.000 moveto 
  0.700 disk 
 24.048  14.931 vector 
grestore
}
\LabelTeX   77.000  93.000 $\Omega$\ELTX
\LabelTeX   79.500  71.500 $M_0$\ELTX
\LabelTeX  121.800  66.500 $\overrightarrow{V}(M)$\ELTX
\LabelTeX  117.000  77.500 $\overrightarrow{V}(M_0)$\ELTX
\EndFig
\vskip-35mm

Dans cette situation, il y a invariance des solutions par translation dans 
le temps~: si $t\mapsto y(t)$ est solution, il en est encore de m\^eme
pour $t\mapsto y(t+a)$. Pour un point $M_0=x\in\bR^m$ donn\'e, consid\'erons
la solution maximale du probl\`eme de Cauchy $y(t)$ de donn\'ee initiale
$y(0)=x$. D'apr\`es le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz, la solution maximale
est d\'efinie un intervalle ouvert contenant le temps~$0$. On appelle
\og$\,$flot du champ de vecteurs $\overrightarrow V\,$\fg\ l'application
$$
\Phi:\bR\times\Omega\to\Omega,\qquad (t,x)\mapsto \Phi(t,x)=y(t),
$$
c'est-\`a-dire que $t \mapsto\Phi(t,x)$ est la solution de l'\'equation
$$
{d\over dt}\Phi(t,x) = \overrightarrow V(\Phi(t,x))\qquad
\hbox{avec $\Phi(0,x)=x$}.
$$
La solution maximale n'est en g\'en\'eral d\'efinie \`a $x$ fix\'e
que pour un certain intervalle ouvert de temps, de sorte que
$\Phi(t,x)$ n'est d\'efini que sur un certain voisinage ouvert $\Delta$ de
$\{0\}\times \Omega$ dans $\bR\times\Omega$. Le fait que le domaine de 
d\'efinition maximal $\Delta$ soit ouvert dans $\bR\times\Omega$
r\'esulte du \S$\,$1.1, et d'apr\`es le \S$\,$1.4, on sait que
$\Phi$ est une application de classe $C^k$ sur $\Delta$.

Pour que les solutions soient globales et que $\Delta=U=\bR\times\Omega$, 
un comportement ad\'equat du champ de vecteurs $\overrightarrow V(M)$
au voisinage du bord de $\Omega\;;$ par exemple, si
$\Omega=\bR^m$, il suffit, d'apr\`es le crit\`ere de
globalit\'e des solutions du chapitre  V~\S$\,$3.4, 
que l'on ait une croissance au plus lin\'eaire
\`a l'infini $\Vert f(y)\Vert\le A\Vert y\Vert +B$.
Pour des raisons qui vont appara\^{\i}tre tout de suite, on note en g\'en\'eral
$\Phi_t(x)$ le flot plut\^ot que~$\Phi(t,x)$. Une propri\'et\'e imm\'ediate
est alors la loi de groupe
$$
\Phi_t\circ\Phi_s(x)=\Phi_{t+s}(x).\leqno(*)
$$
Ceci signifie pr\'ecis\'ement que si l'on suit une trajectoire \`a
partir d'un point $x$ pendant le temps $s$ pour atteindre un point
$\Phi_s(x)$, puis, \`a partir de ce point la m\^eme trajectoire
pendant le temps $t$ pour atteindre $\Phi_t(\Phi_s(x))$, cela revient
au m\^eme que de suivre la trajectoire pendant le temps~$s+t$.
Formellement, on a besoin du th\'eor\`eme d'unicit\'e de
Cauchy-Lipschitz pour pouvoir conclure. On voit que
$t\mapsto\Phi_t$ est un homomorphisme du groupe additif $(\bR,+)$
dans le groupe ${\rm Diff}^k(\Omega)$ des $C^k$ diff\'eomorphismes de
$\Omega$~: on a en effet 
$$\Phi_t\circ\Phi_{-t}=\Phi_{-t}\circ\Phi_t=\Phi_0=\Id_\Omega,$$
par suite $\Phi_t$ est un $C^k$-diff\'eomorphisme d'inverse $\Phi_{-t}$.

Dans le cas o\`u les solutions ne sont plus globales, l'existence globale
de $\Phi_t\in{\rm Diff}^k(\Omega)$ n'est pas assur\'ee, mais $\Phi_t(x)$
continue \`a exister en temps petit, et la loi de groupe $(*)$ est encore
valable l\`a o\`u les applications sont d\'efinies, donc au moins dans un
voisinage de $\{0\}\times\Omega$. L'exercice 3.4 donne quelques crit\`eres 
suppl\'ementaires pour que le flot soit globalement d\'efini.

Le th\'eor\`eme de r\'egularit\'e du flot est l'un des points de
d\'epart de r\'esultats plus globaux comme le th\'eor\`eme de
Poincar\'e-Bendixson, que nous nos contenterons d'\'enoncer. Pour plus
de d\'etails, nous invitons le lecteur \`a approfondir la tr\`es
vivante branche des math\'ematiques connue aujourd'hui sous le nom de
th\'eorie des syst\`emes dynamiques.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme de Poincar\'e-Bendixson -- | {\it Soit $M\mapsto
\overrightarrow V(M)$ un champ de vecteurs de classe $C^1$ dans un
ouvert $\Omega$ du plan. On suppose qu'il existe un compact
$K\subset\Omega$ ne contenant aucun z\'ero du champ de vecteurs 
$\overrightarrow V$ et
stable par le flot $\Phi_t$ pour~$t\ge 0$ $[$ce qui implique que
$\Phi_t(x)$ est d\'efini pour tout $x\in K$ et tout $t\ge 0\,]$.
Alors $K$ est constitu\'e d'une orbite p\'eriodique du flot.}
\par\majfin\par

\section 2. M\'ethode des petites perturbations|

\subsection 2.1. Description de la m\'ethode|

\noindent On consid\`ere une \'equation diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y,\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
d\'ependant d'un param\`etre $\lambda$~; on prendra pour simplifier $\lambda\in\bR$. On suppose
que $f$ est continue ainsi que ses d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda}$. Soit
$y(t,\lambda)$ la solution maximale du probl\`eme de Cauchy satisfaisant la condition
initiale $y(t_0,\lambda)=y_0(\lambda)$~; $y_0$ peut donc d\'ependre ici de $\lambda$~; on
supposera que $y_0(\lambda)$ est de classe $C^1$.

On suppose connue une solution particuli\`ere $u(t)=y(t,\lambda_0)$ correspondant \`a une
certaine valeur $\lambda_0$ du param\`etre.
L'objectif est d'\'etudier les petites perturbations de la solution, c'est-\`a-dire les
solutions $y(t,\lambda)$ associ\'ees \`a des valeurs $\lambda$ voisines de $\lambda_0$. Ceci
correspond \`a une situation physique tr\`es courante, dans laquelle on conna\^\i t la
solution th\'eorique id\'eale d'un probl\`eme et pour laquelle on cherche la solution r\'eelle
tenant compte de petites perturbations plus ou moins complexes. En g\'en\'eral, on ne sait pas
calculer la solution exacte $y(t,\lambda)$ pour $\lambda\not=\lambda_0$. Les r\'esultats
des\break \S~1.3, 1.4 montrent que $y(t,\lambda)$ est de classe $C^1$ et on cherche donc une
approximation au premier ordre $$
\eqalign{
y(t,\lambda)&=y(t,\lambda_0)+(\lambda-\lambda_0)\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}\
(t,\lambda_0)+o(\lambda-\lambda_0)\cr 
&=u(t)+(\lambda-\lambda_0)v(t)+o(\lambda-\lambda_0)\cr
}
$$
o\`u $v(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t,\lambda_0)$ est \`a d\'eterminer. On sait
que $v$ est la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda_0)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),\lambda_0),\leqno({\rm
E}'_{\lambda_0}) 
$$
la condition initiale s'\'ecrivant ici
$$
v(t_0)=\frac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t_0,\lambda_0)=y'_0(\lambda_0).
$$
Comme $(\rmE'_{\lambda_0})$ est lin\'eaire, la r\'esolution est en principe plus facile que
celle de (E$_{\lambda}$). Nous allons maintenant donner des exemples concrets de la
m\'ethode.

\subsection 2.2. Perturbation d'un champ de vecteurs|

\noindent Consid\'erons dans le plan le champ de vecteurs
$$
M=(x,y)\mapsto\overrightarrow V(M)=(-y,x).
$$
Les lignes int\'egrales du champ $t\mapsto(x(t),y(t))$ sont les solutions du syst\`eme
diff\'erentiel
$$
\frac{d\overrightarrow M}{dt}=\overrightarrow V(M)\quad\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=-y\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=x.\cr}
\right.
$$
On r\'esout ce syst\`eme comme au chapitre X, \S~2.2(b) en posant
$z=x+iy$. Le syst\`eme se ram\`ene alors \`a l'\'equation $dz/dt=iz$,
de sorte que la solution du probl\`eme de Cauchy avec donn\'ee
initiale $z_0=x_0+iy_0$ est $z=z_0e^{it}$. Les lignes de champ sont
les cercles centr\'es en 0.

On suppose maintenant que le champ de vecteurs subit une petite
perturbation de la forme
$$
M=(x,y)\mapsto\overrightarrow{V_{\lambda}}(M)=(-y,x)+\lambda(a(x,y),b(x,y))
$$
o\`u $a,b$ sont de classe $C^1$ et o\`u $\lambda\in\bR$ est petit.
On aboutit donc au syst\`eme diff\'erentiel
$$
(\rmE_{\lambda})\qquad\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=-y+\lambda\, a(x,y)\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=x+\lambda\, b(x,y)\cr}\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{dz}{dt}=iz+\lambda A(z)\eqno(*)
$$
avec $A(z)=a(x,y)+ib(x,y)$. Notons $z(t,\lambda)$ la solution telle que
$z(0,\lambda)=z_0$.\break On sait que $z(t,0)=z_0e^{it}$ et on aimerait avoir une approximation
de $z(t,\lambda)$ quand $\lambda$ est petit. \'Ecrivons
$$
z(t,\lambda)=z(t,0)+\lambda\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}\,(t,0)+o(\lambda).
$$
Gr\^ace \`a une diff\'erentiation de $(*)$ par rapport \`a $\lambda$, il vient
$$
\eqalign{
\frac{\partial}{\partial t}\ \frac{\partial
z}{\partial\lambda}&=\frac{\partial}{\partial\lambda}\ \frac{\partial z}{\partial
t}=\frac{\partial}{\partial\lambda}\,(iz+\lambda A(z))\cr
&=i\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}+A(z)+\lambda\ \frac{\partial}{\partial\lambda}\
(A(z(t,\lambda))).\cr 
}
$$
Par cons\'equent $v(t)=\dfrac{\partial z}{\partial\lambda}\,(t,0)$ satisfait l'\'equation
$$
\frac{dv}{dt}=iv+A(z(t,0))=iv+A(z_0e^{it})\leqno(\rmE'_0)
$$
avec condition initiale $v(0)=\dfrac{\partial z}{\partial\lambda}\,(0,0)=0$. Cette \'equation
se r\'esout par variation des constantes en posant $v(t)=C(t)e^{it}$. Il vient
$$
C'(t)e^{it}+iC(t)e^{it}=iC(t)e^{it}+A(z_0e^{it}),
$$
soit $C'(t)=e^{-it}A(z_0e^{it})$. Comme $C(0)=v(0)=0$, on obtient
$$
\eqalign{
C(t)&=\int^t_0e^{-iu}A(z_0e^{iu})du,\cr
v(t)&=C(t)e^{it}=\int^t_0e^{i(t-u)}A(z_0e^{iu})du,\cr
z(t,\lambda)&=z_0e^{it}+\lambda\int^t_0e^{i(t-u)}A(z_0e^{iu})du+o(\lambda).\cr
}
$$
Ceci se calcule facilement d\`es que $a(x,y)$ et $b(x,y)$ sont des polyn\^omes par exemple.
N\'eanmoins, m\^eme dans ce cas, il est g\'en\'eralement impossible d'expliciter la solution
exacte de l'\'equation non lin\'earis\'ee.

\subsection 2.3. Courbes int\'egrales d'un champ de vecteurs au voisinage
d'un point singulier|

\noindent Soit $M\mapsto\overrightarrow V(M)$ un champ de vecteurs de
classe $C^s$, $s\geq 1$, sur un ouvert $\Omega$ du plan. On se place au
voisinage d'un point singulier qu'on suppose choisi comme origine des
coordonn\'ees pour simplifier. On a donc $\overrightarrow
V(0)=\overrightarrow 0$, et comme au chapitre X \S~2.1, le syst\`eme
diff\'erentiel va s'\'ecrire
$$
\frac{dM}{dt}=\overrightarrow V(M),\qquad\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=ax+by+g(x,y)\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=cx+dy+h(x,y)\cr}
\right.
\leqno(\rmE)
$$
o\`u $\pmatrix{ a&b\cr c&d\cr }$ est la matrice des d\'eriv\'ees
partielles $(\overrightarrow{V'_x}(0,0),\overrightarrow {V'_y}(0,0))$
et o\`u $g,h$ s'annulent ainsi que leurs d\'eriv\'ees partielles
premi\`eres au point $(0,0)$. Les fonctions $g,h$ sont par hypoth\`ese
d\'efinies sur une certaine boule $\overline B(0,r_0)$.

On cherche \`a comparer l'allure des courbes int\'egrales situ\'ees
pr\`es de l'origine lorsqu'on effectue des \og$\,$grossissements
successifs$\,$\fg\ (observation \`a l'{\oe}il nu, \`a la loupe puis au
microscope...). Autrement dit, on veut comparer la courbe issue d'un
point $M_0$ et la courbe issue du point $\lambda M_0$ (avec $\lambda$
petit), lorsque ces courbes sont ramen\'ees \`a la m\^eme \'echelle.
Pour grossir la deuxi\`eme courbe dans le rapport $1/\lambda$, on
effectue le changement de coordonn\'ees $X=x/\lambda$, $Y=y/\lambda$.
Dans ces nouvelles coordonn\'ees, l'\'equation du syst\`eme devient
$$
\left\{\eqalign{
\dfrac{dX}{dt}&=aX+bY+\dfrac{1}{\lambda}\ g(\lambda X,\lambda Y)\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY}{dt}&=cX+dY+\dfrac{1}{\lambda}\ h(\lambda X,\lambda Y).\cr}
\right.
\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
La solution de (E$_{\lambda}$) de valeur initiale $(X_0,Y_0)$ en
$t=0$, correspond \`a la solution de (E) de valeur initiale
$(x_0,y_0)=(\lambda X_0,\lambda Y_0)$. Vu les hypoth\`eses, les
fonctions
$$
\eqalign{
G(X,Y,\lambda)&=\dfrac{1}{\lambda}\ g(\lambda X,\lambda Y)\cr
H(X,Y,\lambda)&=\dfrac{1}{\lambda}\ h(\lambda X,\lambda Y)\cr
}
$$
sont d\'efinies et de classe $C^s$ sur $\overline B(0,r_0)\times]0,1]$ et se prolongent par
continuit\'e en $\lambda=0$ en posant $G(X,Y,0)=H(X,Y,0)=0$. Ce prolongement est en fait de
classe $C^{s-1}$ sur $\overline B(0,r_0)\times[0,1]$ car
$$
G(X,Y,\lambda)=\int^1_0(Xg'_x(u\lambda X,u\lambda Y)+Yg'_y(u\lambda X,u\lambda
Y))du=\left[\dfrac{1}{\lambda}\,g(u\lambda X,u\lambda Y)\right]^{u=1}_{u=0}. 
$$
Si $s=1$, les fonctions $G$, $H$ sont bien lipschitziennes en $X,Y$ (avec la m\^eme constante
de Lipschitz que $g$ et $h$). La solution $(X(t,\lambda),Y(t,\lambda))$ du probl\`eme de
Cauchy est donc continue, et pour $s\geq 1$ elle est de classe $C^{s-1}$ par rapport \`a
$(t,\lambda)$, borne $\lambda=0$ incluse. En particulier~:

\bigskip
\majdeb
\state Proposition -- |  {\it Lorsque $\lambda$ tend vers 0, la solution de ({\rm
E}$_\lambda$) de valeur initiale $(X_0,Y_0)$ converge vers la solution du syst\`eme lin\'eaire 
$$
(\rmE)\qquad
\left\{
\eqalign{
\dfrac{dX}{dt}&=aX+bY\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY}{dt}&=cX+dY.\hfill\cr}
\right.
$$
} 
\vskip-\baselineskip
\majfin
\medskip

\bigskip
Bien entendu, les m\'ethodes pr\'ec\'edentes permettent aussi d'avoir
un d\'evelop\-pe\-ment limit\'e \`a l'ordre 1 de la solution de
(E$_{\lambda}$) au voisinage de $\lambda=0$, comme on l'a vu au \S~2.2.

\subsection 2.4. Oscillations du pendule simple|

\noindent On \'etudie les oscillations d'un pendule ponctuel de masse $m$ 
suspendu \`a un fil de longueur $l$. L'\'equation du mouvement a
\'et\'e \'etablie au paragraphe VI 4.2(c)~:
$$
\theta''=-\dfrac{g}{l}\ \sin\,\theta,
$$
o\`u $\theta$ d\'esigne l'angle fait par le fil avec la verticale. On suppose ici qu'on lache
le pendule au temps $t=0$ \`a partir de l'\'elongation maximale $\theta=\theta_m$ avec
vitesse initiale nulle. Lorsque $\theta_m$ est petit, on fait habituellement l'approximation
$\sin\,\theta\simeq\theta$, d'o\`u
$$
\theta''=-\omega^2\theta\quad{\rm avec}\quad \omega^2=\frac{g}{l}.
$$
La solution cherch\'ee est alors classiquement
$$
\theta(t)=\theta_m\cos\,\omega t.
$$
N\'eanmoins, ceci n'est pas rigoureusement exact, et on aimerait conna\^\i tre l'erreur
commise. Pour cela, on pose $\theta(t)=\theta_my(t)$, de sorte que $y$ est la solution de
l'\'equation
$$
y''=-\omega^2\ \frac{\sin\,\theta_my}{\theta_m}
$$
avec condition initiales $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Le d\'eveloppement en s\'erie de
$\sin\,\theta_m y$ donne
$$
\frac{\sin\,\theta_m y}{\theta_m}=y-\frac{1}{6}\ \theta^2_my^3+\frac{1}{120}\ \theta^4_m
y^5-\dots+(-1)^n\ \frac{1}{(2n+1)!}\ \theta^{2n}_m y^{2n+1}+\dots=\varphi(y,\lambda)
$$
o\`u $\lambda=\theta^2_m$ et o\`u
$$
\varphi(y,\lambda)=y-\frac{1}{6}\ \lambda y^3+\dots+(-1)^n\ \frac{1}{(2n+1)!}\ \lambda^n
y^{2n+1}+\dots 
$$
est une fonction de classe $C^{\infty}$. La solution $y(t,\lambda)$ de l'\'equation
$$
y''=-\omega^2\varphi(y,\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
est donc de classe $C^{\infty}$ (on notera que tous les r\'esultats du paragraphe 1 sont
encore vrais pour des \'equations d'ordre $\geq 2$, puisque ces \'equations sont
\'equivalentes \`a des syst\`emes d'ordre 1). On a $\varphi(y,0)=y$ et $y(t,0)=\cos\,\omega t$.
Pour obtenir un d\'eveloppement limit\'e de $y(t,\lambda)$ lorsque $\lambda$ est petit, on
d\'erive (E$_{\lambda}$) par rapport \`a $\lambda$, ce qui donne 
$$
\leqalignno{
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\,\Big(\frac{\partial y}{\partial\lambda}
\Big)=\frac{\partial}{\partial\lambda}\,
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=\frac{\partial}{\partial\lambda}\
(-\omega^2\varphi(y,\lambda))&(\rmE'_{\lambda})\cr 
&=-\omega^2\Big(\varphi'_y(y,\lambda)\ \frac{\partial y}
{\partial\lambda}+\varphi'_{\lambda}(y,\lambda)\Big).\cr 
}
$$
On a $\varphi'_y(y,0)=1$ et $\varphi'_{\lambda}(y,0)=-\dfrac{1}{6}\ y^3$, de sorte que la
fonction $v(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t,0)$ satisfait l'\'equation
$$
\eqalign{
v''(t)&=-\omega^2\Big(v(t)-\frac{1}{6}\ y(t,0)^3\Big)\cr
&=-\omega^2 v(t)+\frac{1}{6}\ \omega^2\cos^3\omega t.\cr
}
$$
Comme $y(0,\lambda)=1$ et $\partial y/\partial t(0,\lambda)=0$ pour tout $\lambda$, les
conditions initiales sont $v(0)=v'(0)=0$. La solution g\'en\'erale du syst\`eme sans second
membre est $$
v(t)=\alpha\,\cos\,\omega t+\beta\,\sin\,\omega t.
$$
On applique alors la m\'ethode de variation des constantes avec
$$
v(t)=\alpha(t)\,\cos\,\omega t+\beta(t)\,\sin\,\omega t.
$$
D'apr\`es le chapitre VII \S~3.3, ceci conduit au syst\`eme
$$
\left\{\eqalign{
&\alpha'(t)\cos\,\omega t+\beta'(t)\,\sin\,\omega t=0\cr
&\alpha'(t)(-\omega\,\sin\,\omega t)+\beta'(t)\,\omega\,\cos\,\omega t
=\dfrac{1}{6}\,\omega^2\,\cos^3\omega t\cr}
\right.
$$
d'o\`u
$$
\eqalign{
&\left\{\eqalign{
\alpha'(t)&=-\dfrac{\omega}{6}\,\cos^3\omega t\ \sin\,\omega t\cr
\beta'(t)&=\dfrac{\omega}{6}\,\cos^4\omega t=\dfrac{\omega}{48}\,(3+4\,\cos\,
2\omega t+\cos\,4\omega t),\cr}\right.
\cr
&\left\{\phantom{'}\eqalign{
\alpha(t)&=\alpha_0+\dfrac{1}{24}\ \cos^4\omega t\cr
\beta(t)&=\beta_0+\dfrac{1}{48}\,(3\omega t+2\,\sin\,2\omega t+\dfrac{1}{4}
\,\sin\,4\omega t).\cr}\right.
\cr}
$$
Les conditions initiales $v(0)=\alpha(0)=0$ et $v'(0)=\alpha'(0)+\omega\beta(0)=0$ donnent
$\alpha(0)=\beta(0)=0$, donc $\alpha_0=-\dfrac{1}{24}$, $\beta_0=0$ et
$$
\eqalign{
v(t)&=\dfrac{1}{24}\,(\cos^4\omega t-1)\cos\,\omega t+\dfrac{1}{48}\,(3\omega
t+2\sin\,2\omega t+\dfrac{1}{4}\,\sin\,4\omega t)\,\sin\,\omega t\cr
&=\frac{1}{16}\ \Big(\omega t+\frac{1}{6}\ \sin\,2\omega t\Big)\sin\,\omega t,\cr
y(t,\lambda)&=\cos\,\omega t+\frac{\lambda}{16}\,(\omega t+\dfrac{1}{6}\ \sin\,2\omega
t)\sin\,\omega t+O(\lambda^2).\cr 
 }
$$
Cherchons maintenant \`a partir de l\`a l'influence de l'\'elongation
maximale $\theta_m$ sur la p\'eriode des oscillations [on a vu au
chapitre VI,~2.4~c) que les solutions de faible amplitude \'etaient
p\'eriodiques~; ceci n'est pas contradictoire avec le fait que le
d\'eveloppement limit\'e de $y(t,\lambda)$ ci-dessus soit non
p\'eriodique, \`a cause du terme $O(\lambda^2)$ d\'ependant de $t$ et
lui-m\^eme non p\'eriodique]. Soit $T(\lambda)$ la p\'eriode, de sorte
que $\dfrac{1}{4}\ T(\lambda)$ correspond au plus petit $t>0$ tel que
$y(t,\lambda)=0$, c'est-\`a-dire
$y\Big(\dfrac{1}{4}\,T(\lambda),\lambda\Big)=0$. Le th\'eor\`eme des
fonctions implicites montre que cette \'equation d\'efinit une
fonction $T(\lambda)$ de classe $C^{\infty}$ pour $\lambda$ petit, 
car
$$
T(0)=\frac{2\pi}{\omega},\qquad \frac{\partial y}{\partial t}\ 
\Big(\frac{1}{4}\
T(0),0\Big)=-\omega\,\sin\,\omega t\Big|_{t=\frac{1}{4}\ T(0)}=-\omega\not=0. 
$$
Par diff\'erentiation de l'\'equation en $\lambda=0$, on trouve de plus
$$
\frac{1}{4}\ T'(0)\ \frac{\partial y}{\partial t}\ \Big(\frac{1}{4}\
T(0),0\Big)+\frac{\partial y}{\partial \lambda}\ \Big(\frac{1}{4}\ 
T(0),0\Big)=0 
$$
avec
$$
\frac{\partial y}{\partial\lambda}\ \Big(\frac{1}{4}\
T(0),0\Big)=v\Big(\dfrac{\pi}{2\omega}\Big)=\frac{\pi}{32},
$$
d'o\`u
$$
\eqalign{
\frac{1}{4}\ T'(0)&(-\omega)+\frac{\pi}{32}=0,\qquad T'(0)=\frac{\pi}{8\omega},\cr
T(\lambda)&=T(0)+\lambda T'(0)+O(\lambda^2)\cr
&=\frac{2\pi}{\omega}\ \Big(1+\frac{1}{16}\ \lambda+O(\lambda^2)\Big).\cr
}
$$
On retrouve ainsi l'approximation bien connue
$$
T(\theta^2_m)=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\ \left(1+\dfrac{1}{16}\ \theta^2_m+O(\theta^4_m)\right).
$$
Cette approximation pourrait \'egalement se retrouver de mani\`ere directe \`a 
partir de la relation exacte
$$
T=\sqrt{\dfrac{8l}{g}}\int_0^{\theta_m}\dfrac{d\varphi}{
\sqrt{\cos\varphi-\cos\theta_m}},
$$
qui r\'esulte des formules obtenues au chapitre VI~4.2~c). Exercice pour
le lecteur~!

\section 3. Probl\`emes|

\noindent{\bf 3.1.} On consid\`ere une \'equation diff\'erentielle d'ordre $p$
$$
y^{(p)}=f(t,y,y',\dots,y^{(p-1)},\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
d\'ependant d'un param\`etre $\lambda$, o\`u $f$ est d\'efinie et continue sur un ouvert $U$
de $\bR\times(\bR^m)^p\times\bR^q$.

\medskip
{\parindent1.6pc
\item{(a)} On suppose que $f(t,Y,\lambda)$ est de classe $C^k$ sur $U$ et qu'elle admet des
d\'eriv\'ees partielles de classe $C^k$ par rapport \`a chacune des composantes de $Y$ et
$\lambda$. On note
$$
y(t,y_0,y_1,\dots,y_{p-1},\lambda)
$$
\item{} la solution de $(\rmE_{\lambda})$ satisfaisant les conditions initiales
$$
y(t_0)=y_0,\quad y'(t_0)=y_1,\dots,y^{(p-1)}(t_0)=y_0.
$$
\item{} Montrer que cette solution $y$ est de classe $C^{k+1}$ par rapport \`a l'ensemble des
variables $t,y_j,\lambda$, de m\^eme que ses d\'eriv\'ees partielles $\partial y/\partial
t,\dots,\partial^{p-1}y/\partial t^{p-1}$.

\item{} [{\it Indication~:} se ramener au cas d'un syst\`eme d'ordre 1].

\medskip
\item{(b)} On suppose ici que $\lambda\in\bR$. Soit $u(t,\lambda)$ la solution satisfaisant la
condition initiale 
$$
\frac{\partial^k u}{\partial t^k}\,(t_0,\lambda)=y_k(\lambda),\quad 0\leq k\leq p-1
$$
\item{} o\`u $y_0(\lambda),\dots,y_{p-1}(\lambda)$ sont de classe $C^1$ au moins en
$\lambda$. Montrer que $v(t,\lambda)=\partial u/\partial\lambda(t,\lambda)$ est la solution
d'une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre $p$ dont on pr\'ecisera les conditions
initiales.

\medskip
\item{(c)} Application~: \'Ecrire l'\'equation du (b) pour 
$y''=e^{\lambda t}y^2+\lambda y'$,
avec les conditions initiales $y(0)=e^{-\lambda}$, $y'(0)=\cosh\,2\lambda$.

\par}

\bigskip
\noindent{\bf 3.2.} On s'int\'eresse ici au comportement des courbes int\'egrales passant par un
point voisin de l'origine, pour le syst\`eme (S) de l'exercice X 3.2. Pour tout $\lambda>0$,
on note
$$
t\mapsto M(t,\lambda)=(x(t,\lambda),y(t,\lambda))
$$
la solution maximale de (S) qui passe par le point de coordonn\'ees $(\lambda,0)$ au temps
$t=0$.


\medskip
{\parindent1.6pc
\item{(a)} D\'eterminer la solution $t\mapsto(\widetilde x(t),\widetilde y(t))$ du
syst\`eme {\it lin\'earis\'e} au voisinage de l'origine, qui passe par le point
$(1,0)$ au temps $t=0$.

\medskip 
\item{(b)} A l'aide d'une homoth\'etie convenable et des m\'ethodes du chap. XI,
montrer que $M(t,\lambda)$ admet un d\'eveloppement limit\'e de la forme 
$$
M(t,\lambda)=(\lambda\widetilde x(t)+\lambda^2u(t)+O(\lambda^3),\ \lambda\widetilde
y(t)+\lambda^2v(t)+O(\lambda^3))
$$
o\`u $u,v$ sont des fonctions que l'on explicitera.

\par}

\bigskip
\noindent{\bf 3.3.} L'objet de ce probl\`eme est d'\'etudier les lignes 
de champ cr\'e\'ees dans un plan par un dip\^ole \'electrique (par
exemple une mol\'ecule polaris\'ee telle que le chlorure
d'hydrog\`ene).

Le plan est rapport\'e au rep\`ere orthonorm\'e direct $(O\,;\,\vec
i,\vec j)$, o\`u $O$ est la position du dip\^ole (suppos\'e ponctuel),
et $(O\,;\,\vec i)$ l'axe du dip\^ole.  Si $M$ est un point quelconque
distinct de $O$, on note $(r,\theta)$ les coordonn\'ees polaires de
$M$ relativement au rep\`ere $(O\,;\,\vec i,\vec j)$. On associe \`a $M$
le vecteur radial $\vec u=\cos\,\theta\cdot\vec
i+\sin\,\theta\cdot\vec j$ et le vecteur orthoradial $\vec
v=-\sin\,\theta\cdot\vec i+\cos\,\theta\cdot\vec j$. On admettra que
le potentiel \'electrique $V(M)$ cr\'e\'e par le dip\^ole en tout
point $M\not=O$ est donn\'e par
$$
V(M)=\frac{\cos\,\theta}{r^2}.
$$

{\parindent1.6pc
\item{(a)} On rappelle les formules
$$
\eqalign{
&d\overrightarrow M=dr\cdot\vec u+rd\theta\cdot\vec v,\cr
&\overrightarrow{\rm grad}\,V=\frac{\partial V}{\partial r}\cdot\vec u+\frac{1}{r}\
\frac{\partial V}{\partial\theta}\cdot\vec v.\cr 
}
$$
\item{} \'Evaluer le champ \'electrique $\overrightarrow E=-\overrightarrow{\rm grad}\
V$ cr\'e\'e par le dip\^ole.

\item{} D\'eterminer l'\'equation $r=\varphi(\theta)$ de la ligne de champ (courbe
int\'egrale du champ de vecteurs $\overrightarrow E$) passant par le point de
coordonn\'ees polaires $(r_0,\theta_0)$ avec $r_0>0$ et $\theta_0=\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
\item{(b)} Le dip\^ole est suppos\'e plac\'e dans un champ \'electrique ambiant
constant \hbox{$\overrightarrow E_0=\lambda\vec j$}, d'intensit\'e tr\`es 
faible par rapport \`a son champ propre $\overrightarrow E$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} \'Ecrire l'\'equation diff\'erentielle
$\dfrac{dr}{d\theta}=f(r,\theta,\lambda)$ des lignes de champ relatives au champ
$\overrightarrow E+\overrightarrow E_0$. Calculer le d\'eveloppement limit\'e \`a
l'ordre 1 de $f(r,\theta,\lambda)$ en fonction de $\lambda$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} On note $r=\psi(\theta,\lambda)$ l'\'equation polaire
de la ligne de champ passant par le point
$\big(r_0,\dfrac{\pi}{2}\big)$ [on ne cherchera pas \`a \'evaluer
$\psi$].

\itemitem{} Montrer que $w(\theta)=\dfrac{\partial\psi}{\partial\lambda}\
(\theta,0)$ satisfait \`a une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire.

\itemitem{} En d\'eduire le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 1 de
$\psi(\theta,\lambda)$ en fonction de $\lambda$.

\bigskip
\noindent{\bf 3.4.} Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^m$ et 
$M\mapsto\overrightarrow V(M)$ un champ de vecteurs de classe $C^1$
sur $\Omega$. On consid\`ere le flot associ\'e \`a l'\'equation 
diff\'erentielle
$$
{\overrightarrow{dM}\over dt}=\overrightarrow V(M).\leqno\hbox{\rm(E)}
$$
Montrer que toute solution maximale de (E) est globale dans les
trois cas suivants~:
{\parindent1.6pc
\item{(a)} $\Omega=\bR^m$ et $\overrightarrow V$ satisfait
\`a l'infini la condition $\overrightarrow V(M)\cdot\overrightarrow{OM}
\le \Vert\overrightarrow{OM}\Vert\,\varphi(\Vert\overrightarrow{OM}\Vert)$
o\`u $\varphi:[0,+\infty[{}\to\bR$
est une fonction continue, croissante et positive telle que
$\int_1^{+\infty}dt/\varphi(t)=+\infty$.\hfil\break
{\it Indication\/}: majorer $v(\Vert\overrightarrow{OM}\Vert)$ o\`u
$v(t)=\int_1^t du/\varphi(u)$ \`a l'aide d'un raisonnement de type lemme 
de Gronwall.
\vskip1pt
\item{(b)} $\Omega$ est un ouvert born\'e et on a la condition
$\Vert\overrightarrow V(M)\Vert\le
\varphi(d(M,\partial\Omega))$ avec 
$\varphi:{}]0,+\infty[{}\to\bR$ continue, croissante et positive telle que
$\int_0^1dt/\varphi(t)=+\infty$ (et donc telle que
$\lim_{t\to 0_+}\varphi(t)=0$).\hfil\break
{\it Indication\/}: majorer $v(d(M,\partial\Omega))$ o\`u
$v(t)=\int_t^1 du/\varphi(u)$.
\vskip1pt
\item{(c)} $\Omega$ est un ouvert born\'e \`a bord r\'egulier 
de classe~$C^1$, et $M\mapsto\overrightarrow V(M)$ se prolonge en champ
de vecteurs de classe $C^1$ sur $\ol\Omega$ tel que $\overrightarrow V(M)$
soit tangent \`a $\partial\Omega$ en tout point du bord.\vskip0pt}
\par}

\bye
% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
