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% Usual sets of numbers  
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\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}


\def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}}
\def\grad{\mathop{\overrightarrow{\rm grad}}\nolimits}

\font\hugebf=cmbx10 at 14.4 pt
\font\bigbf=cmbx10 at 12 pt
{\hugebf\baselineskip=24pt
La d\'ecouverte de Fourier :\hfil\break
m\^eme le feu est r\'egi par les nombres\vskip3mm}

{\bf par Jean-Pierre Demailly, Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I}
\vskip7mm

{\bigbf 1. Un bref aper\c{c}u de la vie de Fourier}

Singuli\`ere destin\'ee que celle de Jean Baptiste Joseph Fourier~:
n\'e en 1768 \`a Auxerre dans une famille modeste -- son p\`ere est 
gar\c{c}on-tailleur -- il est orphelin de m\`ere \`a 8 ans et orphelin
de p\`ere \`a 10 ans. Envoy\'e
au pensionnat par l'organiste de la ville, il fait ses \'etudes \`a
l'\'Ecole militaire d'Auxerre alors tenue par les B\'en\'edictins.
Il \'etudie le latin, la rh\'etorique, la th\'eologie, mais aussi les sciences et 
les math\'ematiques, qui deviennent rapidement son principal centre 
d'int\'er\^et -- Fourier d\'ecouvre ainsi \`a la biblioth\`eque 
d'Auxerre des ouvrages \'ecrits par quelques math\'ematiciens de 
premier plan comme Clairaut. Fourier se r\'ev\`ele vite \^etre un \'el\`eve 
hors norme, et collectionne les premiers prix. Ses progr\`es sont si
rapides que le directeur de l'\'ecole militaire d'Auxerre lui demande
bient\^ot d'assurer la fonction de professeur de math\'ematiques, bien
qu'il n'ait que 16 ans et demi~! 

\vskip7cm
\hbox{
\special{psfile="`img2eps file jjfourier.jpg
height 0 height 65 mm gamma 1.1 angle 0}
${}$\kern6cm
\special{psfile="`img2eps file maison-natale.jpg
height 0 width 70 mm gamma 1.1 angle 0}}
\vskip3mm

Un peu plus tard, Fourier prend 
une part active \`a la R\'evolution~; en 1792, il devient ainsi pr\'esident de la
soci\'et\'e populaire d'Auxerre. Mais en 1794, c'est la Terreur, et Fourier
est emprisonn\'e. Il \'echappe de peu \`a l'\'echafaud, gr\^ace \`a la
la chute de Robespierre qui intervient juste avant la date pr\'evue pour
son jugement d\'efinitif. L'ouverture sociale cons\'ecutive \`a la r\'evolution 
permet au citoyen modeste qu'est Fourier d'entrer comme \'el\`eve \`a 
l'\'Ecole Normale de Paris nouvellement fond\'ee en 1795. Ses travaux sur 
les \'equations alg\'ebriques le font tr\`es vite remarquer par le math\'ematicien
Gaspard Monge. En 1796, celui-ci lui confie une charge de cours \`a 
l'\'Ecole Normale, et le fait \'egalement nommer professeur \`a 
l'\'Ecole Polytechnique~: \`a moins de trente ans, Fourier est d\'ej\`a 
ainsi un scientifique reconnu. En 1798, Bonaparte organise l'exp\'edition 
d'\'Egypte, et Fourier y est associ\'e comme l'un des principaux 
conseillers scientifiques. Il s'occupe de travaux de topographie, 
puis est nomm\'e secr\'etaire de l'Institut 
d'\'Egypte au Caire, o\`u il effectue de nombreuses missions de nature
scientifique, administrative ou diplomatique. Apr\`es la d\'eb\^acle fran\c{c}aise 
en \'Egypte, Fourier revient en France en 1801, et Napol\'eon le nomme peu apr\`es
pr\'efet de l'Is\`ere. C'est \`a Grenoble, o\`u il restera de 1802 \`a 1815, 
que Fourier entame ses travaux fondamentaux
sur la propagation de la chaleur. Son activit\'e est d\'ebordante -- 
il cr\'ee l'universit\'e et le lyc\'ee de Grenoble, dirige les travaux de 
drainage de la vall\'ee, fait construire la route de Grenoble \`a Brian\c{c}on
par le col du Lautaret. Parall\`element \`a ses travaux sur la propagation
de la chaleur qui aboutissent \`a la publication d'un m\'emoire de l'Acad\'emie
des Sciences en 1807, il r\'edige son importante ``pr\'eface historique
pour la description de l'\'Egypte'', parue en 1809. Fourier fait la
connaissance des fr\`eres Champollion, d'abord de l'a\^{\i}n\'e Jacques-Joseph puis
de son fr\`ere cadet Jean-Fran\c{c}ois~; les encouragements de Fourier et ses
travaux pr\'ecurseurs sur la civilisation \'egyptienne joueront ainsi 
un r\^ole d\'ecisif dans le d\'echiffrage des hi\'eroglyphes par  Jean-Fran\c{c}ois
Champollion en 1822. Apr\`es la chute de Napol\'eon en 1815, Fourier conna\^{\i}t
quelques difficult\'es (il avait \'et\'e nomm\'e baron d'Empire en 1809~!),
mais c'est finalement la cons\'ecration avec sa nomination \`a l'Acad\'emie
des Sciences en 1817. En 1822, il publie son monumental trait\'e sur la
``Th\'eorie analytique de la chaleur'' qui contient aussi en germe la
th\'eorie des s\'eries et des transform\'ees de Fourier, et il devient
secr\'etaire perp\'etuel de l'Acad\'emie des sciences. Ses talents
d'\'ecrivain lui valent d'\^etre nomm\'e simultan\'ement \`a l'Acad\'emie
Fran\c{c}aise en 1826, quelques ann\'ees avant son d\'ec\`es en 1830. Dans un
travail moins connu publi\'e en 1824 dans les Annales de chimie et de
physique, Fourier va m\^eme jusqu'\`a pr\'edire et expliquer l'effet de
serre des plan\`etes gazeuses. Fourier peut \`a bon droit \^etre consid\'er\'e
comme le fondateur de la physique math\'ematique~!
\vskip15pt

{\bigbf 2. L'\'equation de la chaleur}

Nous allons ici expliquer \`a la lumi\`ere des connaissances modernes le
cheminement qui conduit \`a l'\'equation de la propagation de la chaleur.
Consid\'erons un objet mat\'eriel soumis \`a un \'echauffement initial, 
par exemple un barreau m\'etallique, comme figur\'e ci-dessous~:

\vskip4.5cm
${}$\kern1.5cm\special{psfile="`img2eps file barreau.png
height 0 width 90 mm gamma 1.1 angle 0}
\vskip3mm

Le probl\`eme est de d\'eterminer la temp\'erature $\theta=\theta(x,y,z,t)$ 
de cet objet au point de coordonn\'ees $(x,y,z)$ et au temps~$t$. Nous savons
aujourd'hui que la temp\'erature mesure l'\'energie cin\'etique moyenne de
vibration des atomes ou mol\'ecules constituant l'objet (mais la th\'eorie 
atomique de Dalton est \`a peine n\'ee et Fourier n'y fait pas r\'ef\'erence).
Du fait que les particules s'entrechoquent, l'\'energie cin\'etique
se propage, d'autant plus vite que la diff\'erence de temp\'erature entre
des points voisins est plus grande. 
Notons \hbox{$\overrightarrow{\Phi}=\overrightarrow{\Phi}(x,y,z,t)$} 
la {\it densit\'e de flux de chaleur} traversant l'objet~: c'est par 
d\'efinition la grandeur vectorielle dont
la norme vaut $dQ/(dS\,dt)$, si $dQ$ est la quantit\'e de chaleur traversant
une surface infinit\'esimale $dS$ pendant le temps $dt$, pour une surface 
$dS$ perpendiculaire \`a la direction de propagation port\'ee 
par~$\overrightarrow{\Phi}$. Ces~consid\'erations conduisent \`a la loi 
physique
$$
\overrightarrow{\Phi}=-\gamma\grad\theta=-\gamma\pmatrix{
\partial\theta/\partial x \cr\partial\theta/\partial y \cr
\partial\theta/\partial z \cr}\leqno(1)
$$
o\`u $\gamma$ est la conductivit\'e thermique du mat\'eriau~; la densit\'e
de flux $\Phi$ s'exprime
en $Js^{-1}m^{-2}=Wm^{-2}$, et l'unit\'e de conductivit\'e thermique est donc le
$WK^{-1}m^{-1}$ (o\`u $J={}$Joule, $W=Js^{-1}={}$Watt, $K={}$Kelvin). Si on note 
$\overrightarrow{dS}=dS\,\overrightarrow{n}$ o\`u $\overrightarrow{n}$ est
le vecteur normal \`a l'\'el\'ement de surface, alors la quantit\'e de chaleur
$dQ$ le traversant est en g\'en\'eral $\overrightarrow{\Phi}\cdot
\overrightarrow{dS}\,dt$, et ce quelles que soient les orientations. On notera
le signe moins devant $\gamma$, qui traduit le fait que la chaleur se
d\'eplace des points chauds vers les points froids.
\vskip2.8cm
${}$\kern1.5cm\special{psfile="`img2eps file flux.png
height 0 width 90 mm gamma 1.1 angle 0}
\vskip3mm

Consid\'erons maintenant un petit parall\'el\'epip\`ede $[x,x+dx]\times[y,y+dx]\times
[z,z+dz]$ d'ar\^etes parall\`eles aux axes, de volume $dV=dx\,dy\,dz$.
La quantit\'e de chaleur qui entre dans ce parall\'el\'epip\`ede pendant
le temps $dt$ est la somme alg\'ebrique des quantit\'es de chaleur qui entrent
ou sortent par chacune des 6 faces, soit par exemple
$$
\eqalign{
dQ_x&=\overrightarrow{\Phi}(x,y,z,t)\cdot (dy\,dz\,\overrightarrow{i})\,dt-
\overrightarrow{\Phi}(x+dx,y,z,t)\cdot (dy\,dz\,\overrightarrow{i})\,dt\cr
&=\big(\Phi_x(x,y,z,t)-\Phi_x(x+dx,y,z,t)\big) dy\,dz\,dt\cr}
$$
pour les faces d'abscisses $x$ et $x+dx$, et en notant
$\Phi_x$ la composante de $\overrightarrow{\Phi}$ suivant $Ox$. 
Si $dx$ est tr\`es petit, on trouve 
$$
\Phi_x(x,y,z,t)-\Phi_x(x+dx,y,z,t)\sim
-{\partial \Phi_x\over\partial x}(x,y,z,t)\,dx,
$$
du fait que l'on peut approximer le taux d'accroissement par la d\'eriv\'ee.

\vskip4.3cm
${}$\kern0.5cm\special{psfile="`img2eps file cube.png
height 0 width 130 mm gamma 1.1 angle 0}
\vskip3mm
On obtient ainsi
$$
dQ_x=-{\partial \Phi_x\over\partial x}(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz\,dt.
$$
En prenant la somme suivant les 3 paires de faces, on obtient que le bilan
des ``entr\'ees-sorties'' de chaleur est
$$
dQ=dQ_x+dQ_y+dQ_z=
-\left({\partial \Phi_x\over\partial x}+{\partial \Phi_x\over\partial y}
+{\partial \Phi_z\over\partial z}\right)
\,dx\,dy\,dz\,dt.
$$
En combinant ce r\'esultat avec l'expression (1) du flux, on obtient
$$
dQ=\gamma\left({\partial^2\theta\over\partial x^2}+
{\partial^2\theta\over\partial y^2}
+{\partial^2\theta\over\partial z^2}\right)
\,dx\,dy\,dz\,dt.\leqno(2)
$$
Une autre loi physique fondamentale est la loi donnant la variation de 
temp\'erature $d\theta$ produite par l'apport d'une quantit\'e de chaleur 
$dQ$ \`a un \'el\'ement de mati\`ere de masse $m$. C'est une relation
de proportionnalit\'e, que l'on peut \'ecrire
$$
dQ=mc\,d\theta\leqno(3)
$$
o\`u $c$ est une constante appel\'ee capacit\'e calorifique, s'exprimant
en $JK^{-1}kg^{-1}$ (Joules par degr\'e et par kg). Ici la masse du
petit parall\'el\'epip\`ede vaut $m=\rho\,dx\,dy\,dz$ o\`u $\rho$ est
la masse volumique (en $kg\,m^{-3}$). En comparant (2) et (3), on 
obtient l'\'egalit\'e
$$
dQ=(\rho\,dx\,dy\,dz)\,c\,d\theta
=\gamma\left({\partial^2\theta\over\partial x^2}+
{\partial^2\theta\over\partial y^2}
+{\partial^2\theta\over\partial z^2}\right)
\,dx\,dy\,dz\,dt.
$$
Apr\`es division par $\rho c\,dx\,dy\,dz\,dt$, on trouve l'\'equation fondamentale
$$
{\partial\theta\over\partial t}=
{\gamma\over\rho c}\left({\partial^2\theta\over\partial x^2}+
{\partial^2\theta\over\partial y^2}
+{\partial^2\theta\over\partial z^2}\right).\leqno(4)
$$
Cette \'equation ne vaut que si le solide consid\'er\'e ne re\c{c}oit pas de chaleur
de l'ext\'erieur --~disons, par contact ou par rayonnement~-- et s'il ne 
produit pas lui-m\^eme de chaleur -- ce qui est le cas s'il est le si\`ege 
d'une r\'eaction chimique ou nucl\'eaire interne.
Dans ce cas plus g\'en\'eral, on note $P=P(x,y,z,t)$ la {\it production 
$($ou l'apport$)$ volumique} de chaleur
par unit\'e de volume et de temps \`a la position $(x,y,z)$ et au temps $t$,
en $W\,m^{-3}\,$; il va alors
s'ajouter \`a $dQ$ une quantit\'e de chaleur suppl\'ementaire
$dQ'=P(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz\,dt$, ce qui donne l'\'equation g\'en\'erale
$$
{\partial\theta\over\partial t}=
{\gamma\over\rho c}\left({\partial^2\theta\over\partial x^2}+
{\partial^2\theta\over\partial y^2}
+{\partial^2\theta\over\partial z^2}\right)+
{P\over\rho c},
$$
appel\'ee {\it \'equation de propagation de la chaleur}. Aux notations pr\`es,
c'est exactement l'\'equation propos\'ee par Fourier en 1807$\,!$ Il est
commode d'introduire la constante $D=\gamma/\rho c$ sp\'ecifique du
mat\'eriau, qu'on appelle le coefficient de {\it diffusivit\'e thermique}
(en $m^2s^{-1}$). Avec cette notation, l'\'equation de la chaleur prend la
forme usuelle
$$
{\partial\theta\over\partial t}=
D\left({\partial^2\theta\over\partial x^2}+
{\partial^2\theta\over\partial y^2}
+{\partial^2\theta\over\partial z^2}\right)+
{P\over\rho c},\leqno(6)
$$
\vskip15pt

{\bigbf 3. Lien avec les s\'eries trigonom\'etriques}

L'\'equation de la chaleur ne peut en g\'en\'eral \^etre r\'esolue explicitement.
Consid\'erons le cas d'un barreau m\'etallique de longueur $L$, qui
a \'et\'e chauff\'e initialement de mani\`ere non uniforme, et dont on \'etudie
l'\'evolution de la temp\'erature. On l'assimile \`a un segment $[0,L]$ 
dans la direction $0x$, en n\'egligeant son \'epaisseur et les variations
de temp\'erature en $y$ et~$z$, de sorte que la temp\'erature est
juste une fonction $\theta(x,t)$ de l'abscisse et du temps. En
l'absence de production interne de chaleur, l'\'equation (6) prend
la forme tr\`es simplifi\'ee
$$
{\partial\theta\over\partial t}=D{\partial^2\theta\over\partial x^2}.
\leqno(7)
$$
\`A cette \'equation, il faut ajouter le fait que le flux de chaleur 
$\Phi(x,t)=-\gamma{\partial\theta\over\partial x}(x,t)$ est
nul aux extr\^emit\'es du barreau, donc lorsque $x=0$ ou $x=L$,
ce qui donne les conditions suppl\'ementaires (dites {\it conditions
aux limites})
$$
{\partial\theta\over\partial x}(0,t)=0,\qquad
{\partial\theta\over\partial x}(L,t)=0.\leqno(8)
$$
Ces \'equations sont d\'ej\`a bien assez difficiles \`a r\'esoudre~!
La m\'ethode de
Fourier consiste \`a rechercher des solutions sous forme de fonctions
\`a variables s\'epar\'ees $\theta(x,t)=f(x)\,g(t)$. L'\'equation (7) devient 
dans ce cas $f(x)g'(t)=D f''(x)g(t)$, soit encore 
$g'(t)/g(t)=D\, f''(x)/f(x)$ si les fonctions ne s'annulent pas.
On voit que ces quotients doivent \^etre constants, disons 
$f''(x)/f(x)=a$ et $g'(t)/g(t)=aD$. La deuxi\`eme relation donne
aussit\^ot $g(t)=C\,e^{aDt}$, ce qui est physiquement inacceptable si $a>0$ 
(la temp\'erature augmenterait de mani\`ere exponentielle avec le temps).
La constante $a$ est donc n\'egative ou nulle, et on peut poser 
$a=-\omega^2$. Ceci fournit alors les \'equations diff\'erentielles
bien connues
$$
f''(x)=-\omega^2 f(x),\qquad g'(t)=-(\omega^2 D)g(t),
$$
d'o\`u les solutions
$$
\eqalign{
f(x)&=\alpha\cos\omega x+\beta\sin\omega x,\qquad g(t)=
e^{-\omega^2Dt}\quad\hbox{\`a constante pr\`es},\cr
\theta(x,t)&=f(x)\,g(t)
=(\alpha\cos\omega x+\beta\sin\omega x)e^{-\omega^2Dt}.\cr}
$$
La premi\`ere condition (8) impose
${\partial\theta\over\partial x}(0,t)=\beta\omega\,e^{-\omega^2Dt}=0$,
donc $\beta=0$, et la seconde donne alors
${\partial\theta\over\partial x}(L,t)=-\alpha\omega\,\sin
\omega L\,e^{-\omega^2Dt}=0$, donc $\sin\omega L=0$
(on remarquera que si $\omega=0$, la solution est $f(x)=\alpha+\beta x$
qui ne permet de r\'ealiser (8) que si $\beta=0$, auquel cas
$\theta(x,t)=\alpha={}$Cte, et sinon on peut supposer~$\omega>0$).
Cette derni\`ere condition montre que l'on doit avoir $\omega L=n\pi$
et donc $\omega=n\pi/L$, $n\in\bN$. Ceci fournit la solution
$$
\theta(x,t)=\alpha\cos\left({n\pi\over L}x\right)\,
e^{-(n^2\pi^2/L^2)Dt},
$$
encore valable pour $n=0$. Comme l'\'equation (7) est lin\'eaire, on peut ajouter
ces solutions entre elles, ce qui donne \'egalement comme solutions toutes
les sommes 
$$\theta(x,t)=\sum_{0\le n\le N}
\alpha_n\cos\left({n\pi\over L}x\right)\,
e^{-(n^2\pi^2/L^2)Dt},
$$
et par passage \`a la limite quand $N\to+\infty$ 
toutes les {\it s\'eries trigonom\'etriques
convergentes}
$$
\theta(x,t)=\sum_{n=0}^ {+\infty}
\alpha_n\cos\left({n\pi\over L}x\right)\,
e^{-(n^2\pi^2/L^2)Dt}.
$$
Il faut supposer ici que les coefficients $(\alpha_n)$ soient choisis en sorte
que l'on puisse d\'eriver terme \`a terme la s\'erie deux fois par rapport 
\`a $x$ et une fois par rapport \`a~$t$, ce qui est le cas par exemple si
$\sum_{n=0}^{+\infty}n^2|\alpha_n|<+\infty$.
\`A~ce point, la grande audace de Fourier a \'et\'e de pr\'etendre que l'on
obtenait ainsi toutes les solutions~! Si l'on \'etudie l'\'evolution de
la temp\'erature \`a partir du temps $t=0$, il faudrait d\'ej\`a que
$$
\theta(x,0)=\sum_{n=0}^ {+\infty}
\alpha_n\cos\left({n\pi\over L}x\right)
$$
puisse repr\'esenter au temps initial n'importe quelle fonction temp\'erature
suffisamment r\'eguli\`ere sur l'intervalle~$[0,L]$, disons par 
exemple n'importe quelle fonction d\'erivable \`a d\'eriv\'ee
continue, de d\'eriv\'ee nulle en $x=0$ et en $x=L$. Face aux 
objections de ses
contemporains, Fourier tente de se justifier, et il y parvient
en partie, mais une preuve vraiment indiscutable de cette propri\'et\'e
ne viendra que plus de 20 ans
plus tard, avec le math\'ematicien allemand Gustav Lejeune-Dirichlet en~1829.
En fait il suffit de prolonger $\theta(x,0)$ sur $[-L,0]$ comme fonction
paire, et d'observer qu'on peut maintenant la prolonger \`a $\bR$ tout
entier comme fonction paire de p\'eriode $T=2L$, continue et \`a
d\'eriv\'ee continue~; or on montre qu'une telle fonction p\'eriodique
paire est bien une s\'erie uniform\'ement convergente de fonctions 
cosinus $\cos n\omega x$ 
avec \hbox{$\omega=2\pi/T=\pi/L$}. La th\'eorie 
des s\'eries de Fourier \'etait~n\'ee~!
\vskip15pt

{\bigbf 4. \'Epilogue}

L'Analyse de Fourier est devenu aujourd'hui un tr\`es vaste champ d'\'etudes.
Les s\'eries de Fourier r\'eelles $\sum a_n\cos n\omega x+
b_n\sin n x$ ou complexes $\sum c_ne^{inx}$ permettent de
repr\'esenter tous les ph\'enom\`enes p\'eriodiques et sont donc
fondamentales en th\'eorie des ondes et en th\'eorie du signal. Mais
il se trouve qu'il existe aussi un algorithme num\'erique rapide
de calcul des s\'eries de Fourier, connu sous le nom de 
FFT ou ``Fast Fourier Transform''. Celui-ci a des applications 
aussi bien en arithm\'etique que dans de nombreux domaines
technologiques. L'algorithme de compression des images photographiques au
format JPEG utilise quant \`a lui une ``transform\'ee de Fourier'' discr\`ete
en cosinus, portant sur un \'echantil\-lonnage par carr\'es de 
$8\times 8$ pixels. C'est ainsi que Fourier est peut-\^etre 
devenu le math\'ematicien le plus cit\'e
au monde, aucune branche de la science ne pouvant \'echapper aux
s\'eries et transform\'ees de Fourier. Mais, bien que cela soit
nettement moins connu, Fourier a aussi \'et\'e
un pr\'ecurseur en statistiques~;
encore plus fort, il a \'et\'e le premier \`a imaginer et d\'ecrire
l'effet de serre d\^u \`a la r\'etention de chaleur dans l'atmosph\`ere
des plan\`etes gazeuses, dans un m\'emoire pr\'emonitoire datant de 1824~!
\vskip15pt

{\bigbf Bibliographie}
\medskip

Joseph Fourier, {\it Th\'eorie analytique de la chaleur}, Didot p\`ere et fils, 1822, XXII-639 p,
http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-29061\&M=telecharger
\vskip5pt

Oeuvres de Fourier, {\it publi\'ees par les soins de M. Gaston Darboux, sous
les auspices du minist\`ere de l'Instruction publique...} - Paris :
Gauthier-Villars, 1888-1890.
\vskip5pt

Jean Dhombres, Jean-Bernard Robert, {\it Fourier, Cr\'eateur de la physique
math\'ematique}, Belin, 1998

Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemari\'e-Rieusset, {\it S\'eries de Fourier 
et ondelettes}, Cas\-sini, 1998
\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End: