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\begin{document}

\section*{Une dérivée qui n'est pas intégrable au sens de Riemann.}


\subsubsection*{Introduction.}

En 1881 Volterra a donné un exemple de fonction réelle d'une variable
réelle, $x\to f(x)$ telle qu'il existe $F$ avec $F'(x)=f(x)$, et
telle que $f$ ne soit pas intégrable au sens de Riemann. Voici une
version simplifiée par Goffman de cet exemple. Il s'adresse aux étudiant(e)s
de L3B, en essayant d'aller le plus vite possible, (et c'est quand
même long), sans utiliser ni l'intégrale de Lebesgue, ni l'intégrale
HK, donc sans théorème de la convergence monotone, uniquement dans
le cadre de l'intégrale de Riemann. Bien sûr une telle $f$ est intégrable
au sens HK et $F(x)-F(0)=\int_{0}^{x}f(t)dt$, mais l'intégrale n'existe
qu'au sens HK, pas au sens de Riemann.

Nous commencerons par des rappels à propos de l'intégrale de Riemann
et la notion de négligeabilité, puis élargirons les définitions possibles
dans le cadre de l'intégrale de Riemann. Ensuite viendra une très
rapide présentation d'un ensemble de Cantor non négligeable, et dans
sa construction, la définition de notre fonction $f$, et pour finir,
la preuve que c'est une dérivée, et qu'elle n'est pas Riemann-intégrable.


\subsubsection*{Rappels.}

Si $f\ :[a,b]\to\mathbb{R}$ est bornée, si $D$ : $a=a_{0}<a_{1}<\dots<a_{n}=b$
est une subdivision de $[a,b]$ , $m_{i}=\inf_{x\in[a_{i},a_{i+1}]}f(x)$
et $M_{i}=\sup_{x\in[a_{i},a_{i+1}]}f(x)$, on définit la petite somme
de Darboux $s(D)=\sum_{j=0}^{n-1}(a_{j+1}-a_{j})m_{i}$ et la grande
somme de Darboux (de $f$ relativement à la subdivision $D$ ) $S(D)=\sum_{j=0}^{n-1}(a_{j+1}-a_{j})M_{j}$.
Si $f$ est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ alors $f$
est bornée, et pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\eta>0$ tel
que si $\max_{j=0\dots n-1}(a_{j+1}-a_{j})<\eta$, alors $S(D)-s(D)<\varepsilon$.


\subsubsection*{Négligeables et intégrale de Riemann.}

\textbf{Définition :} un ensemble $S$ de nombres réels est dit négligeable
si pour tout $\varepsilon>0$, il existe une famille dénombrable d'intervalles
ouverts $I_{k}$ tels que $S\subset{\displaystyle \cup_{k=0}^{n}}I_{k}$
et tels que ${\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}|I_{k}|<\varepsilon}$
où $|I_{k}|$ désigne la longueur de $I_{k}.$\hfill{}\break\textbf{Théorème
:} Si $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une famille dénombrable de négligeables
alors $S={\displaystyle \bigcup_{n=0}^{\infty}}S_{n}$ est un négligeable.
\hfill{}\break\textbf{Preuve :} pour $\varepsilon>0$ donné, pour
tout $n\in\mathbb{N}$, il existe une famille $S_{n,k}$ d'intervalles
ouverts avec $\sum_{k=0}^{\infty}|S_{n,k}|\leq\frac{\varepsilon}{2^{n}}$
et $S_{n}\subset{\displaystyle \cup_{k=0}^{\infty}S_{n,k}}$. Alors
la réunion ${\displaystyle \bigcup_{n=0}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{\infty}S_{n,k}}$
est dénombrable ( il existe des bijections entre $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
et $\mathbb{N}$, par exemple $(a,b)\to2^{a}(2b+1)$), cette réunion
contient $S$, et $\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k\in\mathbb{N}}|S_{n,k}|\leq\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{n}}=2\varepsilon$.

\textbf{Théorème :} \textbf{\textit{si une fonction $f\ :\ [a,b]\to\mathbb{R}$
est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$,alors il existe $S\subset[a,b]$
négligeable, tel que $f$ soit continue en tout $x\not\in S$.}} (la
réciproque est vraie aussi, essayer de la démontrer)\hfill{}\break\textbf{Preuve
:} comme $f$ est bornée, en tout point $x\in]a,b[$, on peut considérer
$\alpha(h)=\inf_{x\in]x-h,x+h[}f(x)$ et $\beta(h)=\sup_{x\in]x-h,x+h[}f(x)$.
La fonction $\alpha$ est croissante majorée et la fonction $\beta$
est décroissante et minorée, et donc $\sigma(x)=\lim_{h\to0}(\beta(h)-\alpha(h))$
est bien défini. On démontre facilement que $f$ est continue en $x$
si et seulement si $\sigma(x)=0$ (essayez). Pour $x=a$ et $x=b$
on procède de manière similaire mais avec des définitions à droite
de $a$ et à gauche de $b$. Posons ensuite $E_{n}=\left\{ x\in[a,b],\sigma(x)\geq\frac{1}{n}\right\} $
de sorte que $\left\{ x\in[a,b],\sigma(x)\not=0\right\} =\cup_{n=1}^{\infty}E_{n}$.
Comme $f$ est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$, pour $\varepsilon>0$
donné, pour $n$ entier non nul donné, il existe une subdivision $D$
de $[a,b]$, telle que $S(D)-s(D)<\frac{\varepsilon}{4n}$. Si $[a_{j},a_{j+1}]$
est un intervalle de $D$ tel qu'il existe un élément de $E_{n}$
dans $]a_{j},a_{j+1}[$, alors $S(D)-s(D)$ doit majorer $\frac{a_{j+1}-a_{j}}{2n}$.
Alors si $l$ est la somme des longueurs des intervalles de $D$ cette
longueur vérifiera $l<\frac{\varepsilon}{2}$. Il reste peut-être
encore un nombre fini de points $a_{j}$ que l'on peut recouvrir par
une réunion finie d'intervalles dont la somme des longueur n'exède
pas $\frac{\varepsilon}{2}$. Ainsi on a recouvert $E_{n}$ par une
réunion finie d'intervalles dont la somme des longueurs n'exède pas
$\varepsilon.$ Ainsi $E_{n}$ est négligeable. Comme l'ensemble des
points de discontinuité de $f$ s'écrit comme la réunion dénomblable
des négligeables $E_{n}$, cet ensemble est négligeable.


\subsubsection*{Intégrale inférieure et intégrale supérieure.}

\textbf{Définitions :} étant donnée une fonction $f\ :\ [a,b]\to\mathbb{R}$
bornée, les petites sommes de Darboux de $f$ sur $[a,x]$ sont majorées
et donc il existe une borne supérieure de l'ensemble des petites sommes
de Darboux que nous noterons $L(x)={\displaystyle \underline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt$.
De même les grandes sommes de Darboux de $f$ sur $[a,x]$ sont minorées
et il existe donc une borne inférieure de ces grandes sommes de Darboux
que nous noterons $U(x)={\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt$.

\textbf{Propriété 1:} 

si ${\displaystyle \underline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt={\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt$
alors $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,x]$ et on a alors l'égalité
$\int_{a}^{b}f(t)dt=$${\displaystyle \underline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt={\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt$.

\textbf{Proriétés 2 :} si $f$ est bornée, c'est à dire si $|f(x)|\leq K$
pour tout $x\in[a,b]$, pour tout $y\in[a,b]$ avec $x<y$, en posant
$U(x)={\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt$ et $L(x)={\displaystyle \underline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt$
alors $|L(y)-L(x)|=|{\displaystyle \underline{\int_{x}^{y}}}f(t)dt|\leq K(y-x)$
et de même $|U(y)-U(x)|\leq K(y-x)$ (majorer dans la grande somme
de Darboux les $|M_{j}|$ par $K$), et $|{\displaystyle \underline{\int_{x}^{y}}}f(t)dt|\leq{\displaystyle \underline{\int_{x}^{y}}}|f(t)|dt$
et aussi $|{\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt|\leq{\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}|f(t)|dt$
. En combinant les deux, si $f$ est continue en $x$, on trouve $\eta>0$
tel que si $0\leq t-x\leq\eta$ on ait $|f(x)-f(t)|\leq\varepsilon$
, de sorte que si $0\leq y-x\leq\eta$ on ait \[
\left|{\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}f(t)dt-f(x)(y-x)\right|=\left|{\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}[f(t)-f(x)]dt\right|\leq{\displaystyle \overline{\int_{a}^{x}}}\left|f(t)-f(x)\right|dt\leq\varepsilon(y-x)\]
ce qui démontre que $U'_{+}(x)=f(x)$. De même on obtient $L'_{-}(x)=f(x)$
si $f$ est continue en $x$. Et si $f$ est continue sur un intervalle
ouvert contenant $x$ on obtient $L'(x)=U'(x)=f(x).$


\subsubsection*{Les ensembles de Cantor de $[0,1]$.}

Nous allons retirer de $[0,1]$ une suite dénombrables d'intervalles
ouverts disjoints de la manière suivante :

\begin{enumerate}
\item on retire $]a_{1},b_{1}[$ avec $0<a_{1}<b_{1}<1$, il reste deux
intervalles $[0,a_{1}]$ et $[a_{2},1]$
\item à chaque intervalle restant de l'étape un on retire un intervalle
ouvert intermédiaire, il reste $2^{2}$ intervalles fermés.
\item et ainsi de suite... à l'étape $k$ on retire aux $2^{k-1}$ intervalles
restant un intervalle intermédiaire ouvert et il reste $2^{k}$ intervalles
fermés...
\end{enumerate}
A chaque étape de la construction précédente, nous sommes libres de
la taille des intervalles retirés. Décidons qu'à l'étape 1, l'intervalle
retiré est de longueur $\frac{1}{4}$, qu'à l'étape $k$ les $2^{k-1}$
intervalles retirés ont une somme de longueur égale à $\frac{1}{2.2^{k}}$.
Quitte à renuméroter les intervalles, nous avons retiré de $[0,1]$
une suite dénombrable d'intervalles, mettons $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
de sorte que $\sum_{1}^{\infty}|I_{n}|=\frac{1}{2}$ . Posons alors
$Z=[0,1]\setminus(\cup_{k=1}^{\infty}I_{n})$. Cet ensemble est ce
qu'on nomme un ensemble de Cantor de $[0,1]$ et on vérifie simplement
que la condition $\sum_{1}^{\infty}|I_{n}|=\frac{1}{2}$ impose que
$Z$ n'est pas négligeable (intuitivement on a retiré des intervalles
disjoints dont la somme des longueurs vaut $\frac{1}{2}$ et ainsi
$Z$ n'est pas négligeable (rendez cet argument rigoureux)).


\subsubsection*{Une fonction {}``à la Volterra'' .}

Au cours de la construction précédente de notre Cantor non négligeable
de $[0,1]$, décidons de définir de proche en proche notre fonction
$f$ sur les intervalles $I_{n}$ de la manière suivante : sur $J_{n}$
l'intervalle de longueur $|I_{n}|²$ ayant même centre que $I_{n},$
nous définissons $f$ de sorte que son graphe forme une cloche qui
vaut $1$ au centre de $I_{n}$ qui vaut $0$ aux deux extrémités
de $J_{n}$, qui varie toujours entre $0$ et $1$, et qui vaut $0$
sur $I_{n}\setminus J_{n}$. Ainsi $f$ est définie sur tous les intervalles
$I_{n}$. Décidons que pour $x\in Z$ on ait aussi $f(x)=0$. La fonction
$f$ est donc définie pour tous les $x\in[0,1]$.


\subsubsection*{Les discontinuité de $f$. Cette fonction ne peut être Riemann-intégrable.}

$Z$ ne possède pas de points isolés, et cela impose que si $x_{1}\in Z\cap(\alpha,\beta)$
alors il existe un autre point $x_{2}$ dans $Z\cap(\alpha,\beta)$.
Alors $]x_{1},x_{2}[$ contient un $I_{n}$ pour au moins un certain
$n\in\mathbb{N}$, et donc un point où $f$ vaut $1$. Ce qui fait
que l'on peut trouver une suite de points où $f=1$ qui tendent vers
un point de $Z$ choisit au départ. Donc $f$ n'est pas continue en
tout $x\in Z$. Donc $f$ ne peut être intégrable au sens de Riemann
puisque l'ensemble de ses points de discontinuité n'est pas négligeable.


\subsubsection*{La fonction $f$ est une dérivée.}

\textbf{Lemme :} si $H\subset[0,1]$ est un intervalle fermé contenant
un point de $Z$ alors \[
\sum_{\begin{array}{c}
n{\rm \ entier\ tel\ que}\\
J_{n}\cap H\not=\emptyset\end{array}}|J_{n}\cap H|\leq16|H|^{2}\]
\textbf{Preuve :} si $J_{n}$ coupe $H$ et que $H$ contient un point
de $Z$, alors $H$ contient au moins un des deux intervalles composants
$I_{n}\setminus J_{n}$, et la longueur d'un tel intervalle est minorée
par $\frac{|I_{n}|}{4}$ et donc $|H\cap J_{n}|\leq|J_{n}|=|I_{n}|^{2}\leq16|H\cap I_{n}|^{2}$
et comme \[
\sum_{\begin{array}{c}
n{\rm \ entier\ tel\ que}\\
J_{n}\cap H\not=\emptyset\end{array}}|I_{n}\cap H|^{2}\leq(\sum_{\begin{array}{c}
n{\rm \ entier\ tel\ que}\\
J_{n}\cap H\not=\emptyset\end{array}}|I_{n}\cap H|)^{2}\leq|K|^{2}\]
 le lemme est démontré.$\square$ 

En un point $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}I_{n}$ la fonction $f$
est continue et donc $f(x)=L'(x).$ Montrons que $f$ est encore la
dérivée de $L$ en un point $x$ du Cantor $Z.$ Pour cela supposons
que $[u,v]$ rencontre $Z$ et soit $D$ une subdivisions de $[u,v]$.
Soit $m_{i}$ l'inf de $f$ sur $[a_{j},a_{j+1}]$ comme précédemment.
Si $m_{i}>0$ alors $[a_{j},a_{j+1}]$ ne contient pas de point de
$Z$ ni de point de $\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}I_{n}$. Ainsi $[a_{j},a_{j+1}]\subset J_{n}$
pour un certain entier $n$. D'après le lemme nous savons que \[
s(D)\leq\sum_{\begin{array}{c}
n{\rm \ entier\ tel\ que}\\
J_{n}\cap[u,v]\not=\emptyset\end{array}}|J_{n}\cap[u,v]|\leq16(v-u)²\]
ce qui impose $0\leq L(v)-L(u)\leq16(v-u)^{2}$ et donc $L'(x)=0=f(x)$
pour $x\in Z$.
\end{document}