\input accents \input colordvi \input srctex.sty \magnification=1200 \vsize=20cm\hsize=13.2cm \parindent=0mm \parskip=5pt plus 1pt minus 1pt % new fonts definitions \font\seventeenbf=cmbx10 at 17.28pt \font\fourteenbf=cmbx10 at 14.4pt \font\twelvebf=cmbx10 at 12pt \font\eightbf=cmbx8 \font\sixbf=cmbx6 \font\twelvei=cmmi10 at 12pt \font\eighti=cmmi8 \font\sixi=cmmi6 \font\twelverm=cmr10 at 12pt \font\eightrm=cmr8 \font\sixrm=cmr6 \font\eightsy=cmsy8 \font\sixsy=cmsy6 \font\eightit=cmti8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightsl=cmsl8 \font\seventeenbsy=cmbsy10 at 17.28pt \font\fourteenbsy=cmbsy10 at 14.4pt \font\twelvebsy=cmbsy10 at 12pt \font\tenbsy=cmbsy10 \font\eightbsy=cmbsy8 \font\sevenbsy=cmbsy7 \font\sixbsy=cmbsy6 \font\fivebsy=cmbsy5 \font\tenmsa=msam10 \font\eightmsa=msam8 \font\sevenmsa=msam7 \font\fivemsa=msam5 \newfam\msafam \textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa \scriptscriptfont\msafam=\fivemsa \def\msa{\fam\msafam\tenmsa} \def\hexnumber#1{\ifnum#1<10 \number#1\else \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi} \def\msatype{\hexnumber\msafam} \mathchardef\leqslant="3\msatype36 \mathchardef\geqslant="3\msatype3E \mathchardef\complement="0\msatype7B \mathchardef\ltgt="0\msatype3F \let\ge=\geqslant \let\le=\leqslant \font\tenmsb=msbm10 \font\eightmsb=msbm8 \font\sevenmsb=msbm7 \font\fivemsb=msbm5 \newfam\msbfam \textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb \def\Bbb{\fam\msbfam\tenmsb} \font\tenCal=eusm10 \font\sevenCal=eusm7 \font\fiveCal=eusm5 \newfam\Calfam \textfont\Calfam=\tenCal \scriptfont\Calfam=\sevenCal \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal \def\Cal{\fam\Calfam\tenCal} \font\teneuf=eusm10 \font\teneuf=eufm10 \font\seveneuf=eufm7 \font\fiveeuf=eufm5 \newfam\euffam \textfont\euffam=\teneuf \scriptfont\euffam=\seveneuf \scriptscriptfont\euffam=\fiveeuf \def\euf{\fam\euffam\teneuf} \font\seventeenbfit=cmmib10 at 17.28pt 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\tenbf} \def\twelvepointbf{% \textfont0=\twelvebf \scriptfont0=\eightbf \scriptscriptfont0=\sixbf \textfont1=\twelvebfit \scriptfont1=\eightbfit \scriptscriptfont1=\sixbfit \textfont2=\twelvebsy \scriptfont2=\eightbsy \scriptscriptfont2=\sixbsy \twelvebf \baselineskip=14.4pt} \def\fourteenpointbf{% \textfont0=\fourteenbf \scriptfont0=\tenbf \scriptscriptfont0=\sevenbf \textfont1=\fourteenbfit \scriptfont1=\tenbfit \scriptscriptfont1=\sevenbfit \textfont2=\fourteenbsy \scriptfont2=\tenbsy \scriptscriptfont2=\sevenbsy \fourteenbf \baselineskip=17.28pt} \def\seventeenpointbf{% \textfont0=\seventeenbf \scriptfont0=\twelvebf \scriptscriptfont0=\eightbf \textfont1=\seventeenbfit\scriptfont1=\twelvebfit\scriptscriptfont1=\eightbfit \textfont2=\seventeenbsy \scriptfont2=\twelvebsy \scriptscriptfont2=\eightbsy \seventeenbf \baselineskip=20.736pt} % Usual sets of numbers \def\bC{{\Bbb C}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bZ{{\Bbb Z}} % Calligraphic capital letters \def\cA{{\Cal A}} \def\cC{{\Cal C}} \def\cF{{\Cal F}} \def\cL{{\Cal L}} \def\cP{{\Cal P}} \def\cR{{\Cal R}} \def\cV{{\Cal V}} \def\tC{\smash{\tilde C}} \def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi} \def\msatype{\hexnbr\msafam} \def\msbtype{\hexnbr\msbfam} \mathchardef\smallsetminus="2\msbtype72 \let\ssm\smallsetminus \def\square{{\hfill \hbox{ \vrule height 1.453ex width 0.093ex depth 0ex \vrule height 1.5ex width 1.3ex depth -1.407ex\kern-0.1ex \vrule height 1.453ex width 0.093ex depth 0ex\kern-1.35ex \vrule height 0.093ex width 1.3ex depth 0ex}}} \def\qed{\phantom{$\quad$}\hfill$\square$} \catcode`@=11 \def\cmalign#1{\null\,\vcenter{\normalbaselines\m@th \ialign{$\displaystyle ##$\hfil&&\kern20pt$\displaystyle ##$\hfil\crcr \mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip} #1\crcr\mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}}\,} \catcode`@=12 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\def\ovr{\overrightarrow} \def\ul#1{$\underline{\smash{\hbox{#1}}}$} \def\build#1^#2_#3{\mathop{#1}\limits^{#2}_{#3}} \def\boxed#1#2{\hbox{% \leavevmode\thinspace\hbox{\vrule\vtop{\vbox{\hrule\kern1pt \hbox{\thinspace{$\displaystyle \raise2.5pt\hbox{\phantom{\vrule width 0.1pt height #1pt depth #1pt}} #2$}\thinspace}} \kern1pt\hrule}\vrule}\thinspace}} % inclusion of PostScript files \special{header=/home/demailly/archives/equadif3/oldlib.eps} \def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}} \long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" #3}}#4$}} \long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{% \vfil\special{psfile=#5 hscale=#3 vscale=#4}}#6$}} \long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{% \vfil\special{psfile="`img2eps file #7 height #4 mm width #3 mm gamma #5 angle #6}}#8$}} \long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}} % bibibliography \def\bibitem#1&% {\hangindent=0.66cm\hangafter=1 \noindent\rlap{\hbox{\eightpointbf #1}}\kern0.66cm{\rm #2}{\it #3}{\rm #4.}} {\bf (2.3) Lemme.} {\it Soit $\delta:[a,b]\to{}]0,+\infty[$ une fonction positive quelconque. Alors il existe une subdivision point\'ee $D$ qui est $\delta$-fine.} \InsertFig 15.000 30.000 { /color1 { 1.0 0.0 0.0 setrgbcolor } def /color2 { 1.0 0.0 1.0 setrgbcolor } def /color3 { 0.7 0.0 1.0 setrgbcolor } def /color4 { 0.4 0.3 0.8 setrgbcolor } def /color5 { 0.2 0.6 1.0 setrgbcolor } def /color6 { 0.0 0.0 1.0 setrgbcolor } def /color7 { 0.0 0.7 0.0 setrgbcolor } def 1 mm unit -5.000 10.000 moveto 105.000 10.000 lineto stroke 0.226 setlinewidth color1 -4.000 20.000 moveto 14.000 20.000 lineto stroke 5.000 10.000 moveto 0.5 disk 5.000 20.000 moveto 0.5 disk color1 11.000 21.000 moveto 28.000 21.000 lineto stroke 19.500 10.000 moveto 0.5 disk 19.500 21.000 moveto 0.5 disk color1 22.000 20.000 moveto 51.000 20.000 lineto stroke 36.500 10.000 moveto 0.5 disk 36.500 20.000 moveto 0.5 disk 0.000 10.000 moveto 50.000 10.000 lineto stroke color2 73.000 20.000 moveto 103.000 20.000 lineto stroke 88.000 10.000 moveto 0.5 disk 88.000 20.000 moveto 0.5 disk 75.000 10.000 moveto 100.000 10.000 lineto stroke color3 47.000 21.000 moveto 63.000 21.000 lineto stroke 55.000 10.000 moveto 0.5 disk 55.000 21.000 moveto 0.5 disk 50.000 10.000 moveto 62.500 10.000 lineto stroke color4 68.000 21.000 moveto 77.000 21.000 lineto stroke 72.500 10.000 moveto 0.5 disk 72.500 21.000 moveto 0.5 disk 68.750 10.000 moveto 75.000 10.000 lineto stroke color5 62.000 20.000 moveto 66.000 20.000 lineto stroke 64.000 10.000 moveto 0.5 disk 64.000 20.000 moveto 0.5 disk 62.500 10.000 moveto 65.625 10.000 lineto stroke color6 65.500 21.000 moveto 67.300 21.000 lineto stroke 66.400 10.000 moveto 0.5 disk 66.400 21.000 moveto 0.5 disk 65.625 10.000 moveto 67.187 10.000 lineto stroke color7 65.500 23.000 moveto 69.500 23.000 lineto stroke 67.500 23.000 moveto 0.5 disk 67.969 10.000 moveto 0.7 90 indent 0.000 setgray 0.300 setlinewidth 0.000 10.000 moveto 0.7 90 indent 12.500 10.000 moveto 0.7 90 indent 25.000 10.000 moveto 0.7 90 indent 50.000 10.000 moveto 0.7 90 indent 62.500 10.000 moveto 0.7 90 indent 65.625 10.000 moveto 0.7 90 indent 67.187 10.000 moveto 0.7 90 indent 68.750 10.000 moveto 0.7 90 indent 75.000 10.000 moveto 0.7 90 indent 100.000 10.000 moveto 0.7 90 indent } \LabelTeX -8.000 6.500 $a=a_0$\ELTX \LabelTeX 11.000 6.500 $a_1$\ELTX \LabelTeX 24.000 6.500 $a_2$\ELTX \LabelTeX 49.000 6.500 $a_3$\ELTX \LabelTeX 3.000 12.000 $x_0$\ELTX \LabelTeX 18.000 12.000 $x_1$\ELTX \LabelTeX 35.000 12.000 $x_2$\ELTX \LabelTeX 54.000 12.000 $x_3$\ELTX \LabelTeX 67.000 6.500 $\RGBColor{0.0 0.7 0.0}{\xi=\lim J_{k,p_k}}$\ELTX \LabelTeX 99.000 6.500 $b$\ELTX \LabelTeX 15.000 24.000 $V_\delta(x_1)$\ELTX \LabelTeX 64.000 26.000 $V_\delta(\xi)~~\hbox{[contradiction/fin]}$\ELTX \LabelTeX 106.000 9.000 $\Big\}\;D$\ELTX \EndFig \vskip-17pt $\RGBColor{1.0 0.0 0.0}{J_{1,0}}$ ok, $J_{1,1}$ non$\,$; $\RGBColor{1.0 0.0 1.0}{J_{2,3}}$ ok, $J_{2,2}$ non$\,$; $\RGBColor{0.7 0.0 1.0}{J_{3,4}}$ ok, $J_{3,5}$ non$\,$; $\RGBColor{0.4 0.3 0.8}{J_{4,11}}$ ok, $J_{4,10}$ non$\,$;\break $\RGBColor{0.2 0.6 1.0}{J_{5,20}}$~ok, $\;J_{5,21}$ non$\,$; $\RGBColor{0.0 0.0 1.0}{\;J_{6,42}}$~ok, $\;J_{6,43}$ $\ldots$ \medskip \centerline{\bf Fig.~4} \medskip {\it D\'emonstration.}\note{4}{% On pourrait invoquer la compacit\'e du segment $[a,b]$ et le th\'eor\`eme de Borel-Lebesgue, mais nous cherchons ici \`a rester aussi \'el\'ementaire que possible, sans \'eluder les difficult\'es. En classe terminale, on pourra peut-\^etre se contenter d'admettre le lemme 2.3 comme intuitivement \'evident, ou d'expliquer le raisonnement de mani\`ere non formalis\'ee \`a partir de la figure~...} On note $V_\delta(x)=[x-{1\over 2}\delta(x), x+{1\over 2}\delta(x)]$ le segment de longueur $\delta(x)$ centr\'e en~$x$ et $\ell=b-a$ la longueur totale de l'intervalle $[a,b]$. On va consid\'erer uniquement des subdivisions {\lguil}binaires\rguil\ de $[a,b]$, obtenues en divisant $[a,b]$ successivement en $2,\,4,\,8,\,\ldots\,,2^k,\,\ldots$ parties \'egales, et donc form\'ees de sous-intervalles dont la longueur est de la forme $\ell/2^k$ (ces longueurs n'\'etant pas n\'ecessairement toutes les m\^emes). De fa\c{c}on pr\'ecise, on consid\`ere les intervalles $$J_{k,p}=[a+p\ell/2^k,a+(p+1)\ell/2^k]\quad\hbox{de longueur~$\ell/2^k$,~~ $0\le p<2^k$,} $$ tels que $J_{k,p}\subset V_\delta(x)$ pour au moins un $x\in J_{k,p}$ (points marqu\'es et index\'es $x_i$ sur le sch\'ema). Si~$[a,b]$ n'admettait pas de subdivision binaire $\delta$-fine, alors l'un au moins~des deux intervalles $J_{1,0}=[a,{a+b\over 2}]$, $J_{1,1}=[{a+b\over 2},b]$ n'en aurait pas non plus. Par r\'ecurrence sur~$k$, on obtiendrait une suite de segments embo\^{\i}t\'es $J_{k,p_k}\subset J_{k-1,p_{k-1}}\subset\ldots\subset J_{1,p_1}$ dont aucun n'aurait de subdivision binaire $\delta$-fine. D'apr\`es le th\'eor\`eme des suites adjacentes, ces intervalles convergeraient vers un certain r\'eel $\xi\in[a,b]$ tel que $\xi\in J_{k,p_k}$ pour tout $k$. Par suite $V_\delta(\xi)$ contiendrait $J_{k,p_k}$ pour $k$ assez grand, ce qui est absurde puisqu'alors $J_{k,p_k}$ aurait une subdivision $\delta$-fine form\'ee par l'intervalle point\'e $(J_{k,p_k},\xi)$ \`a lui tout seul. Par cons\'equent $[a,b]$ poss\`ede une subdivision binaire \hbox{$\delta$-fine}.\qed \medskip {\bf (3.3) Relation de Chasles.} {\it Soient $a0$, il existe $\delta_1>0$ sur $[a,b]$ et $\delta_2>0$ sur $[b,c]$ telles que pour toutes subdivisions point\'ees $\delta_1$-fine $D_1$ de $[a,b]$ et $\delta_2$-fine $D_2$ de $[b,c]$ on ait $|S_{D_1}(f)-A_1|\le\varepsilon$ et $|S_{D_2}(f)-A_2|\le\varepsilon$. Le but est de trouver une majoration de $|S_D(f)-A|$ lorsque $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ est une subdivision point\'ee quelconque de~$[a,c]$. Si $D$ contient $a_j=b$ comme l'un des points interm\'ediaires, $D$ induit des subdivisions $D_1$ de $[a,b]$ et $D_2$ de $[b,c]$ telles que \hbox{$S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$}. On peut encore se ramener \`a cette situation dans le cas o\`u l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ contient le point $b$ en son int\'erieur tout en \'etant point\'e par~$x_j=b$. En effet on peut alors d\'ecouper $([a_j,a_{j+1}],x_j{=}b)$ en les deux intervalles point\'es $([a_j,b],b)$ et $([b,a_{j+1}],b)$, ce~qui ne change pas la somme de Riemann~$S_D(f)$. {\it Cas de l'int\'egrabilit\'e au sens de Henstock-Kurzweil.} Dans ce cas, on construit une jauge $\delta:[a,c]\to{}]0,+\infty[$ en posant $$ \delta(x)=\cases{ \min(\delta_1(x),b-x)&si $x\in[a,b[$,\cr \min(\delta_2(x),x-b)&si $x\in{}]b,c]$,\cr \min(\delta_1(b),\delta_2(b))& si $x=b$.\cr } $$ Si $D$ est une subdivision point\'ee $\delta$-fine de $[a,c]$ on a alors $$ \eqalign{ &x_j\in{}[a,b[{}\Rightarrow a_{j+1}\le x_j+\delta(x_j)\le x_j+(b-x_j)=b \Rightarrow[a_j,a_{j+1}]\subset[a,b],\cr &x_j\in{}]b,c]{\kern1pt}\Rightarrow\kern10pt a_j\ge x_j-\delta(x_j)\ge x_j-(x_j-b)= b \Rightarrow[a_j,a_{j+1}]\subset[b,c].\cr} $$ Ceci montre que le seul intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ pouvant contenir $b$ en son int\'erieur appara\^{\i}t lorsque $x_j=b$, ce qui induit un d\'ecoupage $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$ comme ci-dessus. Puisque $\delta\le\delta_i$, on en d\'eduit que $D_i$ est $\delta_i$-fine pour $i=1,2$, donc $|S_{D_i}(f)-A_i|\le\varepsilon$ et $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$. On trouve bien \`a la limite $$ \int_a^c f(x)\,dx =\lim_{\HK,\;D}S_D(f)= A=A_1+A_2=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.\eqno\square $$ {\it Cas de l'int\'egrabilit\'e au sens de Riemann${}^*$.} On suppose ici que la subdivision $D$ est $\delta$-fine avec $\delta\le \min(\delta_1,\delta_2)$. Si l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ contient $b$ en son int\'erieur, on remplace son point de marquage $x_j$ par $x'_j=b$, ce qui donne une nouvelle subdivision $D'$ $\delta$-fine telle que $$ S_{D'}(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)\Rightarrow \big|S_{D'}(f)-A\big|\le2\varepsilon. $$ On a de plus $$ \big|S_D(f)-S_{D'}(f)\big|=\big|\big(f(x_j)-f(b)\big)h_j\big|\le 2M\delta $$ avec $M=\smash{\sup_{x\in[a,c]}|f|}$ (si $f$ est Riemann-int\'egrable sur $[a,b]$ et $[b,c]$, elle y est n\'ecessai\-rement born\'ee d'apr\`es la remarque 2.4). Par cons\'equent $\big|S_D(f)-A\big|\le 3\varepsilon$ d\`es que $\delta\le\min(\delta_1,\delta_2,\varepsilon/2M)$. Ceci entra\^{\i}ne bien l'int\'egrabilit\'e de $f$ au sens de Riemann sur l'intervalle $[a,c]$, ainsi que la formule de Chasles.\qed \medskip Nous allons donner une autre preuve, plus délicate, qui fonctionne aussi bien pour l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil que pour l'intégrabilité au sens de Riemann. On~se donne un réel positif $\theta$ assez petit et, avec les notations ci-dessus, on définit une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ en posant $$ \delta(x)=\cases{ \min(\delta_1(x),\theta)&si $x\in[a,b[$,\cr \min(\delta_2(x),\theta)&si $x\in{}]b,c]$,\cr \theta& si $x=b$,\cr } $$ de sorte que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$, $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$ et $\delta(x)\le\theta$ sur $[a,c]$ (la valeur précise de $\theta$ sera attribuée plus loin.) La~difficulté qui se pose est d'étudier ce qui se passe au point de jonction~$x=b$. Ceci fait l'objet du lemme suivant. {\bf (3.6) Lemme.} {\it Supposons $\theta\le\min(\delta_1(b),b-a)$. Si $x\in[a,b]$ est tel que $|x-b|\le\delta(x)$, alors $|f(x)-f(b)|\,\delta(x)\le 2\varepsilon$.} En effet, choisissons grâce au lemme 2.2 une subdivision pointée $\delta_1$-fine $D_*$ de l'inter­valle $[a,b-\delta(x)]$ (notons que $b-\delta(x)\ge b-\theta\ge a$). On pose $D_1=D_*\cup\{([b-\delta(x),b],x)\}$ et $D_1'=D_*\cup\{([b-\delta(x),b],b)\}$. Ce sont bien des subdivisions pointées $\delta_1$-fines de $[a,b]$ du fait que $\delta(x)\le\delta_1(x)$ et $\delta(x)\le\theta\le\delta_1(b)$. Or $S_{D_1}(f)-S_{D_1'}(f)=(f(x)-f(b))\delta(x)$ par définition des sommes de Riemann. Comme $|S_{D_1}(f)-A_1|\le\varepsilon$ et $|S_{D_1'}(f)-A_1|\le\varepsilon$, le lemme 3.6 s'ensuit par différence.\qed Notons que par un raisonnement symétrique sur $[b,c]$, le lemme 3.6 est également valable pour $x\in[b,c]$ si on suppose $\theta\le\min(\delta_2(b),c-b)$. On choisira donc $$ \theta=\min(\delta_1(b),\delta_2(b),b-a,c-b). $$ Considérons maintenant une subdivision pointée $\delta$-fine $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,c]$. Si $D$ contient $a_j=b$ comme point intermédiaire, $D$ induit une subdivision $\delta_1$-fine $D_1$ de $[a,b]$ et une subdivision $\delta_2$-fine $D_2$ de $[b,c]$ telles que \hbox{$S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)\,$}; puisque $|S_{D_i}(f)-A_i|\le\varepsilon$, $i=1,2$, on voit alors que $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$. Sinon, l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ contient le point $b$ en son intérieur, et comme $h_j=a_{j+1}-a_j\le\delta(x_j)\le\theta=\delta(b)$, on peut remplacer $([a_j,a_{j+1}],x_j)$ par l'intervalle pointé $([a_j,a_{j+1}],b)$. Ceci donne une nouvelle subdivision $\delta$-fine $D'$ de $[a,c]$ telle que $$ |S_D(f)-S_{D'}(f)|=|f(x_j)-f(b)|(a_{j+1}-a_j)\le |f(x_j)-f(b)|\,\delta(x_j)\le 2\varepsilon $$ d'après le lemme 3.6. En décomposant $([a_j,a_{j+1}],b)$ en les deux intervalles pointés $([a_j,b],b)$ et $([b,a_{j+1}],b)$, on obtient maintenant une subdivision $\delta_1$-fine $D_1'$ de $[a,b]$ et une subdivision $\delta_2$-fine $D_2'$ de $[b,c]$ telles que $S_{D'}(f)=S_{D_1'}(f)+S_{D_2'}(f)$, et par conséquent $|S_{D'}(f)-A|\le 2\varepsilon$. Dans le pire des cas nous obtenons $|S_D(f)-A|\le 4\varepsilon$, d'où $\lim_{\HK,\;D}S_D(f)=A$. Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann, on voit que l'on peut choisir la jauge constante $\delta=\min(\delta_1,\delta_2,b-a,c-b)$.\qed \bigskip {\bigbf 5. Quelques classes de fonctions int\'egrables} Nous nous proposons de montrer ici que les fonctions continues ou monotones sont Riemann-int\'egrables (et donc aussi HK-int\'egrables).\note8{% Bien que les preuves soient tr\`es directes, elles sont sans doute trop difficiles pour pouvoir \^etre faites compl\`etement en classe terminale, au moins dans les conditions actuelles. Une strat\'egie raisonnable serait d'admettre tous ces r\'esultats sous la forme du th\'eor\`eme final 5.9, et de passer ensuite directement \`a la justification du th\'eor\`eme 5.5 qui est un r\'esultat essentiel. Nous pensons cependant que les \'etudiants de premi\`ere ann\'ee de l'universit\'e devraient \^etre mis en position de comprendre les preuves de ce paragraphe (ce qui, compte tenu de la d\'eg\'en\'erescence actuelle des programmes, demanderait sans doute de tr\`es gros efforts$\,$!).} L'outil principal pour v\'erifier l'int\'egrabilit\'e est le crit\`ere de Cauchy pour les sommes de Riemann, qui permet de garantir l'existence d'une limite sans avoir \`a sp\'ecifier la valeur de celle-ci. \medskip {\bf (5.1) Crit\`ere de Cauchy}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$. Pour que $f$ soit HK-int\'egrable, il faut et il suffit que pour tout $\varepsilon>0$ il existe une fonction jauge $\delta:[a,b]\to\bR$, $\delta>0$, telle que pour toutes subdivisions point\'ees $D$ et $D'$ $\delta$-fines on ait $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$. } {\it D\'emonstration.} Si $f$ est HK-int\'egrable d'int\'egrale $A$, pour chaque jauge $\delta$ qui est $\varepsilon/2$-adapt\'ee \`a $f$, les in\'egalit\'es $|S_D(f)-A|\le\varepsilon/2$ et $|S_{D'}(f)-A|\le\varepsilon/2$ pour $D,\;D'$ $\delta$-fines entra\^{\i}nent $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$. La r\'eciproque est une cons\'equence de la compl\'etude de $\bR$, ou, de fa\c{c}on \'equivalente, de l'existence de bornes sup\'erieures et inf\'erieures pour les parties born\'ees de~$\bR$. En effet, supposons que pour tout entier $n\ge 1$ il existe une jauge $\delta_n$ telle que $$ |S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon_n=1/n\qquad\hbox{lorsque $D$ et $D'$ sont $\delta_n$-fines}. $$ Quitte \`a remplacer $\delta_n$ par $\min(\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_n)$ on peut supposer la suite $\delta_n$ d\'ecroissante. L'encadrement pr\'ec\'edent montre que les quantit\'es $$ M_p=\sup\big\{S_{D'}(f)\,;\;\hbox{$D'$ $\delta_p$-fine}\big\} $$ sont born\'ees et v\'erifient $|M_p-S_D(f)|\le 1/n$ pour tout $p\ge n$ et toute subdivision $D$ $\delta_n$-fine. De plus la suite $(M_p)$ est d\'ecroissante born\'ee, et si on pose $A=\inf\{M_p\}$, on trouve $|A-S_D(f)|\le 1/n$ pour toute subdivision $D$ $\delta_n$-fine. Ceci implique $$ \lim_{\HK,\;D}S_D(f)=A=\inf_{p>0}M_p,\qquad\hbox{donc $f$ HK-int\'egrable d'int\'egrale $A$}.\eqno\square $$ Pour appliquer le crit\`ere de Cauchy, il n'est pas n\'ecessaire de comparer deux subdivisions quelconques, mais seulement des subdivisions \hbox{$D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j0$. La continuit\'e de $f$ en tout point $x\in[a,b]$ implique l'existence d'un r\'eel $\delta(x)>0$ tel que $$ x'\in[a,b],~~x'\in[x-\delta(x),x+\delta(x)] \Rightarrow|f(x')-f(x)|\le\varepsilon. $$ Soit $J$ un sous-intervalle de $[a,b]$ contenu dans $[x-\delta(x),x+\delta(x)]$. En prenant successivement $x'=y,z\in J$, on d\'eduit des majorations $|f(y)-f(x)|\le\varepsilon$ et \hbox{$|f(z)-f(x)|\le\varepsilon$} que $\sup_{y,z\in J}|f(y)-f(z)|\le 2\varepsilon$. Par cons\'equent, si $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ et $D'$ sont des subdivisions point\'ees embo\^{\i}t\'ees $\delta$-fines, nous avons $\sup_{y,z\in[a_j,a_{j+1}]}|f(y)-f(z)|\le2\varepsilon$ et l'in\'egalit\'e du lemme 5.3 implique $$ \big|S_{D'}(f)-S_D(f)\big|\le 2\varepsilon(b-a). $$ Ceci d\'emontre que le crit\`ere de Cauchy est satisfait, et entra\^{\i}ne d\'ej\`a l'int\'egrabilit\'e de $f$ au sens de Henstock-Kurzweil. On va voir que l'on peut en fait se ramener \`a une jauge constante. D'apr\`es la preuve du lemme 2.3, il existe une subdivision de $[a,b]$ en $2^k$ sous-intervalles \'egaux $J_{k,p}$, \hbox{$0\le p<2^k$}, tel que chacun des sous-intervalles $J_{k,p}=[a+p\ell/2^k,a+(p+1)\ell/2^k]$, \hbox{$\ell=b-a$}, est contenu dans un des intervalles $[x-{1\over 2}\delta(x),x+{1\over2}\delta(x)]$, \hbox{$x\in[a,b]$}. Si maintenant $J$ est un sous-intervalle de $[a,b]$ de longueur${}\le \ell/2^k$, alors $J$ rencontre l'un des $J_{k,p}$ sur au moins la moiti\'e de sa longueur, donc $J$ sera contenu enti\`erement dans l'intervalle $[x-\delta(x),x+\delta(x)]$ correspondant de longueur double. Ceci implique comme ci-dessus $\sup_{y,z\in J}|f(y)-f(z)|\le 2\varepsilon$. Par cons\'equent, si $D,\;D'$ sont des subdivisions embo\^{\i}t\'ees dont les pas v\'erifient la majoration uniforme \hbox{$\max(h'_j)\le\max(h_j)\le\ell/2^k$}, nous avons encore $\big|S_{D'}(f)-S_D(f)\big|\le 2\varepsilon(b-a)$ et l'int\'egrabilit\'e au sens de Riemann est d\'emontr\'ee.\note9{Pour obtenir l'int\'egrabilit\'e au sens de Riemann, il nous a fallu essentiellement prouver que $f$ est uniform\'ement continue sur l'intervalle $[a,b]$, r\'esultat qui d\'ecoule de l'utilisation du lemme 2.3. Si on se contente de l'int\'egrabilit\'e au sens de Henstock-Kurzweil, la preuve est nettement plus simple puisque la jauge variable $\delta(x)$ suffit a priori, et qu'il n'y a donc plus besoin d'invoquer un argument de continuit\'e uniforme.}\qed \medskip {\bf (5.5) Th\'eor\`eme.} {\it Toute fonction continue $f:[a,b]\to\bR$ admet une primitive F, donn\'ee par $$ \boxed{16}{ F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,\qquad x\in[a,b].} $$ Les autres primitives sont les fonctions de la forme $F_1(x)=F(x)+C$ o\`u $C$ est une constante.} {\it D\'emonstration.} Nous savons que l'int\'egrale donnant $F(x)$ existe par le Th\'eor\`eme~5.4. La relation de Chasles donne $$ F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt\Rightarrow {F(x+h)-F(x)\over h}={1\over h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt. $$ Pour tout $\varepsilon>0$, l'hypoth\`ese de continuit\'e dit que $f(x)-\varepsilon\le f(t)\le f(x)+\varepsilon$ pour $|t-x|\le\delta(x)$, on a donc $$ f(x)-\varepsilon={1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)-\varepsilon)dt\le {F(x+h)-F(x)\over h}\le {1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)+\varepsilon)dt=f(x)+\varepsilon $$ pour $|h|\le\delta(x)$, ce qui signifie que $$ F'(x)=\lim_{h\to 0}{F(x+h)-F(x)\over h}=f(x). $$ Si on a une autre primitive $F_1$, il vient $(F_1-F)'=f'-f'=0$, donc $F_1-F=C$ constante.\qed \medskip {\bf (5.6) Proposition.} {\it {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction continue${}\ge 0$, on a $\int_a^b f(x)=0$ si et seulement si $f=0$. \item{\rm (b)} Par suite si $f,\,g:[a,b]\to\bR$ sont continues et $f\le g$, on a $\int_a^bf(x)\,dx<\int_a^bg(x)\,dx$ d\`es que $f$ et $g$ se sont pas \'egales.\vskip0pt }} {\it D\'emonstration.} (a) S'il existe un point $x_0\in[a,b]$ tel que $f(x_0)>0$, alors posant $\varepsilon=f(x_0)/2$. La continuit\'e de $f$ en $x_0$ implique qu'il existe un intervalle $[x_0,x_0+\eta]$ (ou $[x_0-\eta,x_0]$, si $x_0=b$) sur lequel $f(x)-f(x_0)|\le\varepsilon$. On voit donc qu'il existe un sous-intervalle $[c,d]$ de de $[a,b]$ de longueur $d-c=\eta>0$ sur lequel $f(x)\ge f(x_0)-\varepsilon\ge\varepsilon$. Par suite $\int_a^bf(x)\,dx\ge\int_c^df(x)\,dx\ge(d-c)\varepsilon>0$. (b) Si $f\le g$ et $f\ne g$, alors $h=g-f\ge 0$ n'est pas nulle, donc $\int_a^bh(x)\,dx>0$ d'apr\`es~(a).\qed \medskip {\bf (5.7) Formule de la moyenne.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue. Alors il existe un point $c\in{}]a,b[$ tel que la moyenne de $f$ sur $[a,b]$ soit \'egale \`a $f(c)~:$ $$ \boxed{16}{ {1\over b-a}\int_a^bf(x)\,dx=f(c).} $$ } {\it D\'emonstration.} Soit $m=\min_{[a,b]}f$, $M=\max_{[a,b]}f$. Supposons d'abord $f$ non cons\-tante. D'apr\`es la proposition 5.6~(b) appliqu\'ee aux in\'egalit\'es $m\le f\le M$, nous avons $$ m(b-a)<\int_a^bf(x)\,dx0)$}. Toute fonction continue ou monotone par morceaux est Riemann-int\'e\-grable.} {\it D\'emonstration.} En effet, la restriction $f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ diff\`ere d'une fonction continue (resp.\ monotone) par une fonction en escalier nulle sur $]\alpha_j,\alpha_{j+1}[$ (et prenant des valeurs ad\'equates en $\alpha_j$ et $\alpha_{j+1}$). Par cons\'equent $f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ est Riemann-int\'egrable, et l'int\'e\-grabilit\'e de $f$ sur $[a,b]$ r\'esulte de la relation de Chasles.\qed \medskip {\bf (5.10) Application aux calculs de limites de certaines sommations.} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction Riemann-int\'egrable, par exemple continue ou monotone par morceaux, on a $$ \boxed{16}{ \lim_{n\to+\infty}{b-a\over n}\sum_{j=0}^{n-1}f\Big(a+j{b-a\over n}\Big)= \int_a^bf(x)\,dx,} $$ puisque le membre de gauche est la somme de Riemann relative \`a la subdivision de $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles \'egaux. Par exemple, en prenant $f(x)={1\over 1+x}$ sur $[a,b]=[0,1]$, on trouve $$ \lim_{n\to+\infty} {1\over n}+{1\over n+1}+\ldots+{1\over 2n-1}= \lim_{n\to+\infty} {1\over n}\sum_{j=0}^{n-1}f\Big({j\over n}\Big)= \int_0^1 {1\over 1+x}\,dx = \log 2. $$ {\bf (5.11) Caract\'erisation des fonctions int\'egrables au sens de Riemann.}\\ {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$. Les trois propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est int\'egrable au sens de Riemann sur $[a,b]$. \item{\rm(b)} $f$ est born\'ee, et la borne sup\'erieure $S$ des int\'egrales $\int_a^b\varphi(x)\,dx$ des fonctions en escalier $\varphi$ qui minorent $f$ $(\varphi\le f)$ est \'egale \`a la borne inf\'erieure $I$ des int\'egrales $\int_a^b\psi(x)\,dx$ des fonctions en escalier $\psi$ qui majorent $f$ $(\psi\ge f)$. \item{\rm(c)} $f$ est born\'ee et pour tout $\varepsilon>0$ il existe des fonctions en escalier $\varphi$, $\psi$ qui encadrent~$f$ $(\varphi\le f\le\psi)$, telles que $\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx\le\varepsilon$.\vskip0pt}% Si ces propri\'et\'es sont v\'erifi\'ees on a $$ S=I=\int_a^bf(x)\,dx. $$ } {\it D\'emonstration.} L'\'equivalence entre (b) et (c) r\'esulte imm\'ediatement de la d\'efinition de ce que sont les bornes sup et inf~: pour tout encadrement $\varphi\le f\le\psi$ d'une fonction born\'ee $f$ par des fonctions en escalier, on a $$ \int_a^b\varphi(x)\,dx\le\int_a^b\psi(x)\,dx $$ de sorte que l'on a toujours $S\le I$. L'\'egalit\'e a lieu si l'\'ecart peut \^etre pris inf\'erieur ou \'egal \`a un nombre $\varepsilon>0$ arbitraire. (c) $\Rightarrow$ (a) Soit $\varepsilon,\,\varphi,\,\psi$ comme dans (c). Comme toute fonction en escalier est int\'egrable avec des jauges constantes (cf.\ exemple 2.5), il existe des nombres $A_1=\int_a^b\varphi(x)\,dx$, $A_2=\int_a^b\psi(x)\,dx$ et $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tels que $$ \eqalign{ &\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad h_j\le \delta_1~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(\varphi)-A_1|\le\varepsilon,\cr &\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad h_j\le \delta_2~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(\psi)-A_2|\le\varepsilon.\cr } $$ Nous avons $A_1\le I=S\le A_2$ d'apr\`es (b) et $A_2-A_1\le\varepsilon$ d'apr\`es (c). Prenons alors une subdivision point\'ee $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ v\'erifiant $h_j\le\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Nous obtenons $S_D(\varphi)\le S_D(f)\le S_D(\psi)$, donc $$ S_D(f)\le S_D(\psi)\le A_2+\varepsilon\le I+2\varepsilon,\qquad S_D(f)\ge S_D(\varphi)\ge A_1-\varepsilon\ge S-2\varepsilon $$ et par suite en posant $A=S=I$ il vient $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$. La propri\'et\'e (a) est d\'emontr\'ee. (a) $\Rightarrow$ (c) Soit $\varepsilon>0$ et $\delta>0$ satisfaisant la d\'efinition 2.1~(b). Consid\'erons une subdivision point\'ee $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine. En faisant varier ind\'ependamment chaque $x_j$ dans l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$, on trouve $$ \sup_{\{x_j\}}S_D(f)= \sup_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}M_j (a_{j+1}-a_j) $$ avec $M_j=\sup_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$. De m\^eme $$ \inf_{\{x_j\}}S_D(f)= \inf_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}m_j (a_{j+1}-a_j) $$ avec $m_j=\inf_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$. Puisque $A-\varepsilon\le S_D(f)\le A+\varepsilon$, on voit en passant au sup et \`a l'inf que $$ A-\varepsilon\le\sum_{j=0}^{N-1}m_j(a_{j+1}-a_j)\le \sum_{j=0}^{N-1}M_j(a_{j+1}-a_j)\le A+\varepsilon. $$ (Ceci permet de voir de nouveau qu'aucune des bornes $M_j$ ne peut \^etre \'egale \`a $+\infty$ et qu'aucune des bornes $m_j$ ne peut \^etre \'egale \`a $-\infty$, et par cons\'equent que $f$ est born\'ee). Si on d\'efinit des fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$ par $$ \varphi(x)=m_j,\quad \psi(x)=M_j\quad\hbox{si $x\in{}]a_j,a_{j+1}[$}, \qquad \varphi(a_j)=\psi(a_j)=f(a_j), $$ on obtient un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ tel que $$ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx\le 2\varepsilon, $$ et on voit que la propri\'et\'e (c) est satisfaite.\qed \medskip {\bf (5.12) Lemme.} {\it Si $E=\{p_n\}_{n\in\bN}$ est une partie d\'enombrable et si $f:[a,b]\to\bR$ est nulle sur $[a,b]\ssm E$, alors $f$ est HK-int\'egrable et d'int\'egrale nulle.\note{10}{% En classe de Terminale ou en premi\`ere ann\'ee d'Universit\'e, il pourra \'evidemment appara\^{\i}tre plus prudent de se contenter du cas d'une partie $E$ finie comme il a d\'ej\`a \'et\'e vu en 3.5, et on peut alors \'egalement se limiter \`a ce cas particulier pour obtenir les \'enonc\'es 5.13 et 5.14 qui suivent. On a en revanche des r\'esultats bien plus g\'en\'eraux qui seront d\'evelopp\'es au paragraphe 13.}} {\it D\'emonstration.} En~effet, \'etant donn\'e $\varepsilon>0$, on d\'efinit une jauge $\delta$ en posant\break \hbox{$\delta(p_n)=2^{-n}\varepsilon/(1+|f(p_n)|)$}, et $\delta(x)=1$ (disons) si $x\notin E$. On a alors $$ \Big|\sum f(x_j)h_j\Big|\le \sum_{n\ge 0}|f(p_n)|\,\delta(p_n)\le \sum 2^{-n}\varepsilon=2\varepsilon. $$ En particulier, la fonction caract\'eristique $f=\chi_E$ est HK-int\'egrable d'int\'egrale nulle. Cependant, si $E=[a,b]\cap\bQ$, $f$ n'est pas Riemann-int\'egrable. En effet, si $\varphi\le f\le \psi$ est un encadrement de $f$ par des fonctions en escalier, il est clair que les constantes $c_i$ doivent v\'erifier $c_i\le 0$ pour $\varphi$ et $c_i\ge 1$ pour $\psi$, donc $\int_a^b\varphi(x)dx\le 0$ et $\int_a^b\psi(x)dx\ge b-a$, ce qui montre que $\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx$ ne peut tendre vers $0$.\qed \medskip Nous d\'emontrons maintenant une g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme fondamental 4.1. Pour cela, on utilise la remarque 5.12 pour faire observer que l'on peut changer les valeurs de $f$ sur une partie d\'enombrable $E$ sans changer la propri\'et\'e d'int\'egrabilit\'e au sens de Henstock-Kurzweil ni la valeur de l'int\'egrale (si $f,\tilde f$ diff\`erent sur un ensemble $E$ d\'enombrable, alors $g=\tilde f-f$ est nulle sur $[a,b]\ssm E$, donc int\'egrable d'int\'egrale nulle). En particulier, il suffit de supposer que $f$ est d\'efinie seulement sur $[a,b]\ssm E$ et de l'\'etendre arbitrairement (par exemple en posant $\tilde f(x)=0$ sur $E$.) \medskip {\bf (5.13) Th\'eor\`eme.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue. On suppose qu'il existe un ensemble d\'enombrable $E=\{p_n\}_{n\in\bN}$ tel que $f$ soit d\'erivable sur $[a,b]\ssm E$. Alors $f'$ $($\'etendue arbitrairement sur $E)$ est HK-int\'egrable sur $[a,b]$ et on a $$ \int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a). $$} {\it D\'emonstration.} Supposons pour simplifier $f'$ d\'efinie par $f'(p_n)=0$ aux points o\`u $f$ n'est pas d\'erivable. On reprend la d\'emonstration du th\'eor\`eme 4.1. La d\'erivabilit\'e de $f$ sur $[a,b]\ssm E$ implique l'existence d'une fonction $\delta:[a,b]\ssm E\to{}]0,+\infty[$ telle que $$ y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow \big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x| $$ pour tout $x\in[a,b]\ssm E$, ce qui donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big| \le\varepsilon|a_{j+1}-a_j| $$ pour toute subdivision point\'ee $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, lorsque $x_j\in[a,b]\ssm E$. D'autre part, si $x_j=p_n\in E$, la continuit\'e de $f$ au point $p_n$ entra\^{\i}ne l'existence de $\delta_n>0$ tel que tout point $x\in[p_n-\delta_n,p_n+\delta_n]$ satisfasse $|f(x)-f(p_n)|\le \varepsilon\,2^{-n}$. On pose alors $\delta(p_n)=\delta_n$. Dans ce cas il vient $|f(a_{j+1})-f(a_j)|\le 2\varepsilon\,2^{-n}$ si $x_j=p_n$, ce qui donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big| \le 2\varepsilon\,2^{-n}. $$ En sommant toutes ces in\'egalit\'es, il vient $$ \big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a)+4\varepsilon, $$ (car $\sum_{n\ge 0}2\varepsilon\,2^{-n}\le 4\varepsilon$), ce qui d\'emontre le th\'eor\`eme.\qed \medskip {\bf (5.14) Corollaire.} {\it Si $f:{}]a,b[{}\to\bR$ admet une primitive $F$ sur $]a,b[$, et si cette primitive $F$ admet une limite \`a droite $F(a+0)$ en $a$ et une limite \`a gauche $F(b-0)$ en $b$, alors $f$ est HK-int\'egrable sur $[a,b]$ $($si $f$ n'est pas a priori d\'efinie en $a$ et $b$, on peut lui attribuer des valeurs $f(a),\,f(b)\in\bR$ arbitraires$)$, et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^b f(x)\,dx = F(b-0)-F(a+0)=\lim_{x\to b-0}F(x)-\lim_{x\to a+0}F(x).} $$ } {\it D\'emonstration.} Il suffit en effet de prolonger $F$ par continuit\'e sur $[a,b]$ en posant $F(a)=\lim_{x\to a+0}F(x)$ et $F(b)=\lim_{x\to b-0}F(x)$, puis d'appliquer le th\'eor\`eme~5.13 \`a sa d\'eriv\'ee $F'$ qui est d\'efinie sur $]a,b[{}=[a,b]\ssm E$ avec $E=\{a,b\}$.\qed \medskip Un exemple typique d'application du corollaire 5.14 est celui de la fonction $$ f(x)={1\over\sqrt{1-x^2}}\qquad\hbox{sur l'intervalle $]-1,1[$}. $$ Dans ce cas, on a en effet une primitive $F(x)=\arcsin(x)$ qui se prolonge en une fonction continue sur $[-1,1]$. On obtient par cons\'equent $$ \int_{-1}^1{1\over\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi. $$ Plus g\'en\'eralement, le corollaire 5.14 nous am\`ene \`a la d\'efinition des {\lguil}int\'egrales im\-propres\rguil\ (une d\'efinition plus coh\'erente et plus syst\'ematique sera donn\'ee au paragraphe \S$\,$10, de sorte que les int\'egrales {\lguil}impropres\rguil\ deviendront en fait des int\'egrales de Henstock-Kurzweil tout \`a fait {\lguil}normales\rguil). \medskip {\bf (5.15) Int\'egrales {\lguil}impropres\rguil.} {\it Soit $I=[a,b[{}\subset\bR$ un intervalle semi-ouvert, o\`u \hbox{$b\in\bR\cup\{+\infty\}$}, et soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction HK-int\'egrable $($par exemple continue ou monotone par morceaux$)$ sur tout intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} On dit que l'int\'egrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est convergente au point $b$ si la limite $$ A=\lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta f(x)\,dx $$ existe dans $\bR$ $($en particulier finie$)$, et on pose alors $\int_a^bf(x)\,dx=A$. \item{\rm(b)} On dit que l'int\'egrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est absolument convergente si de plus $|f|$ est HK-int\'egrable sur tout intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$ et si la limite $$ \lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta |f(x)|\,dx $$ existe dans $\bR$ $($en particulier finie$)$.\vskip0pt} On donne une d\'efinition analogue dans le cas d'un intervalle semi-ouvert $]a,b]$,\break \hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en consid\'erant la limite $\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec $[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les int\'egrales sur $]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point interm\'ediaire $c\in{}]a,b[$.}\medskip Le crit\`ere de Cauchy permet de voir qu'il y a convergence (resp.\ convergence absolue) de l'int\'egrale sur $[a,b[$ si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $\beta_\varepsilon