%\input accents %\input colordvi %\input srctex.sty \magnification=1200 \pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000 \vsize=20cm\hsize=13.2cm \parindent=0mm \parskip=5pt plus 1pt minus 1pt % new fonts definitions \font\seventeenbf=ecbx10 at 17.28pt \font\fourteenbf=ecbx10 at 14.4pt \font\twelvebf=ecbx10 at 12pt \font\eightbf=ecbx8 \font\sixbf=ecbx6 \font\twelvei=cmmi10 at 12pt \font\eighti=cmmi8 \font\sixi=cmmi6 \font\twelverm=ecrm10 at 12pt \font\eightrm=ecrm8 \font\sixrm=ecrm6 \font\eightsy=cmsy8 \font\sixsy=cmsy6 \font\eightit=ecti8 \font\eighttt=ectt8 \font\eightsl=ecsl8 \font\seventeenbsy=cmbsy10 at 17.28pt \font\fourteenbsy=cmbsy10 at 14.4pt \font\twelvebsy=cmbsy10 at 12pt \font\tenbsy=cmbsy10 \font\eightbsy=cmbsy8 \font\sevenbsy=cmbsy7 \font\sixbsy=cmbsy6 \font\fivebsy=cmbsy5 \font\tenmsa=msam10 \font\eightmsa=msam8 \font\sevenmsa=msam7 \font\fivemsa=msam5 \newfam\msafam \textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa \scriptscriptfont\msafam=\fivemsa 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\titlerunning{Théorie élémentaire de l'intégration : l'intégrale de Henstock-Kurzweil} \bigskip \centerline{\twelvebf Jean-Pierre Demailly}\medskip \centerline{\twelverm Université Joseph Fourier Grenoble I} \smallskip \centerline{\tt http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/books.html} \medskip \centerline{version du 17 novembre 2007} \vskip0.4cm \section{Introduction} \medskip L'objectif de ce texte est de proposer une «\?trame\?» pour l'enseignement de l'intégration depuis le lycée jusqu'aux premières années de l'université. Pour cela, nous développons les bases de la théorie de l'intégration telles qu'elles ont été posées et grandement éclaircies par Jaroslav Kurzweil et Ralph Henstock à la fin des années 1950. Au fil des chapitres, le niveau mathématique de l'exposition glisse progressivement d'un niveau très élémentaire jusqu'à un niveau de second cycle universitaire. Même si au début une partie des résultats doit être admise ou démontrée de manière heuristique du fait des contraintes de temps ou des prérequis, nous pensons que la démarche mathématique utilisée dans l'enseignement doit respecter chaque fois que cela est possible les principes d'une progression par généralisations successives compatibles avec les exposés qui ont précédé («\?progression concentrique\?»). Il est donc très utile d'introduire dès le début des définitions qui sont susceptibles d'être rendues rigoureuses et formalisées, et d'adopter un ordre de présentation des concepts et une articulation logique tels que la théorie n'aura pas à être substantiellement changée le jour où viendra la formalisation complète.% \note{1}{% À l'heure actuelle, l'intégration est souvent abordée en plusieurs étapes qui sont les suivantes~:\\ a) En terminale, une première étape qui consiste à introduire l'intégrale comme «\?aire sous la courbe\?», avec un état d'esprit qui se ressent obligatoirement de l'appau\-vris\-sement continuel de la conceptu\-alisation depuis 2 décennies. Il en résulte qu'il est devenu très difficile de formaliser complètement la théorie, ce qui veut probablement dire qu'on ne peut guère espérer que le cours donne de véritables démonstrations, mais seulement au mieux quelques indications de preuves complétées par des considérations heuristiques.\\ b) Dans les premières années d'université, les enseignants présentent en général une version plus ou moins édulcorée de la théorie de «\?l'intégrale de Riemann\?», à l'aide d'encadrements par des fonctions en escalier, et des preuves qui tendent de plus en plus à disparaître du fait du recul des connaissances fondamentales requises (pratique des $\varepsilon$ et $\delta$, continuité uniforme, ...)\\ c) En Master 1ère année apparaîtra dans les bons cas une théorie plus solide de l'inté\-gration reposant sur la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Mais il est de notoriété publique que ce sujet qui fâche a tendance aujourd'hui à être de moins en moins traité, surtout dans les filières dites «\?Master enseignement\?». \\ Cette situation présente de nombreux inconvénients. La théorie de l'intégrale de Riemann n'est pas une «\?bonne théorie\?», ni du point de vue didactique ni du point de vue mathématique. La présentation n'en est pas très simple~: il faut mani\-puler constamment des encadrements de fonctions, utiliser la continuité uniforme pour démontrer l'intégrabilité des fonctions continues, faire des découpages de $\varepsilon$ et $\delta$ parfois peu éclai\-rants. Il y a de nombreuses restrictions ou pathologies, des théorèmes essentiels comme ceux de la convergence monotone ne sont pas valables, etc. Plus tard, l'introduction de l'intégrale de Lebesgue viendra balayer ce travail en montrant qu'il s'agissait en fait d'une théorie bancale et incomplète. Si les étudiants échappent à l'intégrale de Lebesgue -- comme cela arrive à un nombre de plus en plus grand de CAPESiens -- ils n'auront donc jamais eu l'occasion de se voir exposés une théorie «\?sérieuse\?» de l'intégration, ce qui est préoccupant.} Le choix de l'intégrale de Henstock-Kurzweil présente l'avantage de fournir des défini\-tions assez simples -- peut-être plus simples que celle de Riemann puisque les encadre\-ments de fonctions ne sont plus nécessaires, que l'on n'a plus besoin de la continuité uniforme, que tous les théorèmes de base se démontrent en quelques lignes -- et, en même temps, d'être assez puissante pour contenir les parties élémentaires de la théorie de Lebesgue~... Dans ces conditions, il paraît quelque peu anachronique que la théorie n'ait pas encore trouvé sa juste place dans l'enseignement$\,$! Nous suivons ici d'assez près le livre «\?Gauge integrals\?» de Charles Swartz [Sw], en l'allé\-geant autant que faire se peut, pour atteindre très rapidement la preuve des théorèmes fondamentaux (rapport entre intégration et primitive, intégration par parties, changement de variable, dérivabilité des intégrales indéfinies de fonctions continues...). Nous développons ensuite les résultats plus spécifiques à la théorie de Henstock-Kurzweil pour atteindre les théorèmes de convergence monotone et dominée. L'existence de la mesure de Lebesgue et ses propriétés fondamentales figurent parmi les conséquences directes, sans qu'il y ait besoin d'introduire au préalable le langage général des tribus et des mesures dénombrablement additives. Les étudiants auront donc en fait un premier exemple motivant sous la main lorsque ces notions plus générales seront introduites. Enfin, les définitions ad hoc des diverses intégrales généralisées, impropres et semi-convergentes deviennent également accessoires, puisque toutes ces notions peuvent être exprimées en une seule définition naturelle contenant les cas utiles~: l'intégrale de Henstock-Kurzweil autorise par nature même la «\?semi-convergence\?» ... Les premières étapes nous paraissent éventuellement utilisables au lycée, à condition d'ad\-mettre quelques-unes des démonstrations -- et en prenant comme perspective que c'est l'inté\-grale de Henstock-Kurzweil qui sera développée ensuite, de sorte que les énoncés présentant des hypothèses artificielles superflues n'ont pas lieu d'être. Le cours qui suit a été à l'origine inspiré par des notes synthétiques rédigées par Eric Charpentier [Ch] à l'Univer\-sité de Bordeaux autour de 2002, et fait des emprunts à de multiples sources (cf.\ bibliographie). Ces notes ont été ensuite développées sous forme de cours polycopié par Jean-Yves Briend à Marseille [Br] (après que je l'ai informé des suggestions d'Eric Charpentier). Le présent texte a fait l'objet de plusieurs rédactions successives depuis l'automne 2005, et a lui-même inspiré ultérieurement des cours ou manuels mis en chantier par plusieurs collègues. Je voudrais dans ce cadre signaler d'utiles remarques et questions formulées par Xavier Buff, auteur du chapitre sur l'intégration pour le L2 dans la collection de manuels ``Licence-Tout-en-Un'' dirigée par Jean-Pierre Ramis et André Warusfel [RW], et remercier ces deux derniers pour leur intérêt et leurs encouragements. \chapterjump \section{\fourteenbf Table des matières} \sectionrunning{Table des matières} \bigskip\bigskip \sectref{0} \sectref{1} \vskip8pt {\bf Chapitre I\\ Définitions et résultats fondamentaux} \medskip \sectref{2} \sectref{3} \sectref{4} \sectref{5} \sectref{6} \sectref{7} \sectref{8} \sectref{9} \vskip8pt {\bf Chapitre II\\ Théorèmes de convergence} \medskip \sectref{10} \sectref{11} \sectref{12} \sectref{13} \sectref{14} \sectref{15} \sectref{16} \vskip8pt \sectref{17} \chapterjump \chapterrunning{I.} \phantom{$\ $} \bigskip \centerline{\fourteenbf Chapitre I} \bigskip \centerline{\fourteenbf Définitions et résultats fondamentaux} \bigskip \centerline{\fourteenbf Cas des fonctions d'une variable} \vskip3cm L'objectif de ce chapitre est de proposer une présentation rigoureuse et complète des premiers éléments de la théorie de l'intégration. Compte tenu de cette ambition, l'exposé est nécessairement théorique, et donc beaucoup plus exigeant que d'autres textes ou manuels qui se contentent de donner des techniques de calcul, et qui s'appuient seulement sur une intuition de la notion d'aire en lieu et place de justifications mathé\-ma\-tiques complètes. Un prérequis indispensable est d'avoir déjà assimilé l'art de couper les $\varepsilon$ en quatre -- ou d'être prêt à faire l'effort de creuser la question. Le public visé est celui des élèves de Terminale très motivés -- la théorie de base ne fait jamais appel à aucune notion qui dépasse le niveau du lycée. La plupart des notes de bas de page sont destinés à des lecteurs plus avancés et ne peuvent normalement pas être comprises par des personnes qui aborderaient la théorie pour la première fois$\,$; de même, les passages marqués d'un * ou de deux ** peuvent être omis en première lecture$\,$; les sections 7~et 8 sont moins élémentaires et correspondent plutôt à un niveau de première année d'université. \bigskip \section{1. Sommes de Riemann} Dans toute cette section, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a0$ et négativement si $f(x_j)<0$. Intuitivement l'aire $A$ cherchée est la limite de $S_D(f)$ quand les pas $h_j$ tendent vers~$0$. Un choix possible consiste par exemple à prendre une subdivision en sous-intervalles égaux $$ a_j=a+jh=a+j{b-a\over N},\quad 0\le j\le N\quad\hbox{où}\quad h_j=h={b-a\over N}, $$ que l'on peut combiner avec un choix quelconque des points $x_j$. \medskip {\bf (1.2) Exemple.} Comme premier exemple, considérons la fonction identité $f(x)=x$ sur l'intervalle $[0,1]$. Pour $N\geq 1$, posons~: $$ a_0=0\,,\;a_1={1\over N}\,,\ldots,\;a_j={j\over N}\,,\ldots,\; a_N=1 $$ Les pas de cette subdivision sont tous égaux à $1/N$. Voici trois calculs de sommes de Riemann, selon que l'on place les points $x_j$ au début, au milieu ou à la fin des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ (rappelons que la somme des $N$ premiers entiers vaut $N(N+1)/2$). $$ \leqalignno{ &\kern15pt x_j=a_j~:\kern49pt S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} {j\over N}\,{1\over N} = {1\over N^2}\sum_{j=0}^{N-1} j = {N-1\over 2N}\;, &(1.2\,{\rm a})\cr &\kern15pt x_j={a_j+a_{j+1}\over 2}~:\kern15pt S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1}{2j+1\over 2N}\,{1\over N} = {1\over 2N^2}\sum_{j=0}^{N-1} 2j+1 = {1\over 2}\;, &(1.2\,{\rm b})\cr &\kern15pt x_j=a_{j+1}~:\kern40pt S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} {j+1\over N}\,{1\over N} = {1\over N^2}\sum_{j=0}^{N-1} j+1 = {N+1\over 2N}\;. &(1.2\,{\rm c})\cr} $$ La seconde somme est égale à $1/2$ pour tout $N$, les deux autres tendent vers $1/2$ quand $N$ tend vers l'infini. L'aire du triangle sous le graphe de la fonction est bien $1/2\;$: \InsertFig 30.000 59.000 { /riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def 1 mm unit 1 0 0 setrgbcolor 10.000 15.000 5.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.000 20.000 10.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.000 15.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.000 30.000 20.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 30.000 35.000 25.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 35.000 40.000 30.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.000 45.000 35.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 45.000 50.000 40.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 1 0 setrgbcolor 10.000 15.000 2.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.000 20.000 7.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.000 12.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.000 30.000 17.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 30.000 35.000 22.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 35.000 40.000 27.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.000 45.000 32.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 45.000 50.000 37.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 0 1 setrgbcolor 0.250 setlinewidth 10.000 10.200 moveto 15.000 10.200 lineto stroke 0.113 setlinewidth 15.000 20.000 5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.000 10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 25.000 30.000 15.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 30.000 35.000 20.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 35.000 40.000 25.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 40.000 45.000 30.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 45.000 50.000 35.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 0.0 setgray 5.000 10.000 moveto 60.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 48.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 10.000 10.000 moveto 50.000 50.000 lineto stroke } \LabelTeX 7.200 6.400 $0$\ELTX \LabelTeX 63.200 6.400 $x$\ELTX \LabelTeX 49.200 6.400 $1$\ELTX \LabelTeX 1.500 50.000 $f(x)$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~3.} Sommes de Riemann associées à l'identité sur $[0,1]$.} \medskip {\bf (1.3) Exemple*.} Nous considérons ici une situation où la fonction $f$ n'est plus bornée. On prend $[a,b]=[0,1]$ et $f$ telle que $f(x)=1/\sqrt{x}$ si $x\in{}]0,1]$ et $f(0)=0$. On introduit une subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j0$, d'où $$ S_D(f)={1\over N}\sum_{0\le j\le N-1,\,t_j>0}{2j+1\over t_j}. $$ \InsertFig 30.000 54.000 { /riem {/y exch 0.5 mul 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def 1 mm unit 1 0 0 setrgbcolor 10.000 10.625 80.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 10.625 12.500 26.667 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 12.500 15.625 16.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.625 20.000 11.429 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.625 8.889 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.625 32.500 7.273 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 32.500 40.625 6.154 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.625 50.000 5.333 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 0 1 setrgbcolor 10.000 10.625 40.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 10.625 12.500 20.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 12.500 15.625 13.333 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 15.625 20.000 10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.625 8.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 25.625 32.500 6.667 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 32.500 40.625 5.714 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 40.625 50.000 5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 0.0 setgray 5.000 10.000 moveto 60.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 48.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 10.356 50.000 moveto [ 10.356 50.000 10.428 40.000 10.625 30.000 12.500 20.000 15.625 16.667 20.000 15.000 25.625 14.000 32.500 13.333 40.625 12.857 50.000 12.500 ] curve stroke 10.000 10.000 moveto 0.400 disk 10.000 12.500 moveto 0.400 90.0 indent } \LabelTeX 7.200 6.400 $0$\ELTX \LabelTeX 7.200 11.700 $1$\ELTX \LabelTeX 63.200 6.400 $x$\ELTX \LabelTeX 49.200 6.400 $1$\ELTX \LabelTeX 1.500 50.000 $f(x)$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~4.} Sommes de Riemann associées à $f(x)=1/\sqrt{x}$ sur $[0,1]$.} \medskip \noindent Le choix le plus simple est $\RGBColor{1 0 0}{t_j=j+{1\over 2}}$, qui donne $\smash{{2j+1\over t_j}}=2$ et donc $S_D(f)=2$. Si on choisit plutôt $\RGBColor{0 0 1}{t_j=j+1}$, on obtient la valeur minimale possible pour $S_D(f)$, mais comme $\smash{{2j+1\over j+1}}\to 2$ quand $j\to+\infty$, il est facile de voir que l'on a encore $S_D(f)\to 2$ pour $N\to+\infty$ (on peut observer par exemple que $\smash{{2j+1\over j+1}}=2-\smash{{1\over j+1}}\ge 2-1/\sqrt{N}$ pour $\sqrt{N}\le j\le N$). Comme $a_{j+1}-a_j\le (2N-1)/N^2\to 0$ quand $N\to+\infty$, ce calcul amène à penser que l'aire du domaine non borné défini par $00$ donnée a priori, on peut trouver un réel $\delta>0$ tel que pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$ on ait $$ h_j=a_{j+1}-a_j\le\delta~~ \Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$ Le nombre réel $A$ de la définition précédente est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$ et noté $$ A=\int_a^b f(x)\,dx. $$ et on dit que $\smash{\int_a^b f(x)\,dx}$ est la limite des sommes de Riemann $S_D(f)$, lorsque le pas de la subdivision tend vers~$0$.} \medskip Dans cette définition, on peut par exemple se contenter de prendre une subdi\-vision en $N$ sous-intervalles de pas constant $h={b-a\over N}$, et on obtient alors la conséquence immédiate suivante. \medskip {\bf (2.2) Convergence des sommes de Riemann.} {\it Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a $$ \boxed{16}{ \eqalign{ \int_a^bf(x)\,dx &=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=0}^{N-1}f\Big(a+{j\over N}(b-a)\Big) \kern37pt\hbox{$[$cas $x_j=a_j]$}\cr &=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=1}^Nf\Big(a+{j\over N}(b-a)\Big) \kern41pt\hbox{$[$cas $x_j=a_{j+1}]$}\cr &=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=0}^{N-1}f\Big(a+{2j+1\over 2N}(b-a) \Big) \kern20pt\hbox{$\Big[$cas $\dsp x_j={a_j+a_{j+1}\over 2}\Big]$.}\cr }} $$} Si l'aire $\int_a^bf(x)\,dx$ située sous le graphe de $f$ est connue d'une manière ou d'une autre, on peut alors en déduire la valeur des limites correspondantes$\,$; il faut savoir pour cela que la fonction $f$ est intégrable au sens de Riemann, on démontrera plus tard (cf.\ théorèmes 7.6 et 7.10) que c'est le cas si $f$ est continue ou continue par morceaux. \medskip {\bf (2.3) Exemple.} Considérons la somme $$ {1\over N^2}\left(\sqrt{1\,(N-1)} + \sqrt{2\,(N-2)} + \ldots + \sqrt{(N-1)\,1}\;\right) $$ qui peut aussi s'écrire~: $$ {1\over N}\left(\sqrt{{1\over N}\left(1-{1\over N}\right)} + \sqrt{{2\over N}\left(1-{2\over N}\right)} + \ldots + \sqrt{\left(1-{1\over N}\right){1\over N}}\;\right). $$ C'est une somme de Riemann associée à la fonction $\dsp{x\rightarrow \sqrt{x(1-x)}}$ sur l'intervalle $[0,1]$. Sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, est égale à~: $\smash{\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)}\, dx}$. Or, le graphe $y=\sqrt{x(1-x)}$ de cette fonction est un demi-arc du cercle $x^2-x+y=0$, soit encore $(x-{1\over 2})^2+y^2={1\over 4}$, c'est donc un demi-cercle de centre $\smash{{1\over 2}}$ et de rayon $\smash{{1\over 2}}$. La limite de la sommation est égale à l'aire du demi-disque, qui vaut $\pi/8$.\qed \medskip Cependant, on s'aperçoit assez vite que la définition de l'intégrabilité au sens de Riemann impose des restrictions assez gênantes sur la fonction~$f\,$: \medskip {\bf (2.4) Condition nécessaire.} {\it Toute fonction $f$ Riemann-intégrable est~bornée. } {\it Démonstration.} En effet, selon la définition 2.1, prenons $\delta>0$ donnant une erreur au plus $\varepsilon$. Pour une subdivision $D$ de pas constant $h\le\delta$, à savoir $h=(b-a)/N$ avec $N\ge(b-a)/\delta$, nous devons avoir la majoration $|S_D(f)-A|\le\varepsilon$, donc $$ |S_D(f)|=\Big|{b-a\over N}\sum_{0\le j0$, il existe $k_0$ tel que $$ [a_{k_0},b_{k_0}]\subset [x_0-{\textstyle{1\over 2}}\delta(x_0), x_0+{\textstyle{1\over 2}}\delta(x_0)]. $$ Donc la subdivision pointée de $[a_{k_0},b_{k_0}]$ formée seulement de l'intervalle tout entier et du point $x_0$ est $\delta$-fine. D'où la contradiction.\note{3}{% Le lecteur ayant quelques connaissances de topologie aura reconnu un cas élémentaire du théorème de Borel-Lebesgue relatif à la compacité du segment $[a,b]$. Cependant, notre but est de rester aussi élémentaire que possible -- sans éluder les difficultés -- donc il nous a paru préférable de faire la démonstration dans le cadre strict des subdivisions pointées. [On notera que celle-ci permet en fait d'énoncer un résultat un peu plus précis~: {\it pour toute jauge $\delta$ il existe une subdivision pointée $\delta$-fine de $[a,b]$ formée d'intervalles dont les longueurs sont de la forme $\smash{(b-a)/2^{k_j}}$.} En effet, il suffit d'utiliser un raisonnement par l'absurde avec ce type d'intervalles pour aboutir à une contradiction.] Quoi qu'il en soit, la démonstration de 2.6 est probablement assez difficile pour la classe Terminale, c'est pour quoi nous l'avons marquée dun astérisque *, comme toutes les parties plus délicates qui vont suivre.}\qed \medskip {\bf (2.7) Définition}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction quelconque. On dit que $f$ est intégrable au sens de Henstock-Kurzweil $($ou HK-intégrable$)$ s'il exis\-te un réel $A$ qui représente l'aire algébrique située sous le graphe de $f$, tel que pour toute marge d'erreur $\varepsilon>0$ donnée a priori, on peut trouver une jauge $\delta:[a,b]\to\bR^*_+$ en sorte que pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$ on ait $$ \hbox{$D$ $\delta$-fine}~~ \Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$ $($une telle jauge $\delta$ sera dite $\varepsilon$-adaptée à $f)$. Le nombre réel $A$ de la définition précédente est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$, on écrit $$ \boxed{19}{ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\HK,\;D} S_D(f)= \lim_{\HK,\;D} \sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)} $$ et on dit que $\smash{\int_a^b f(x)\,dx}$ est la limite $($au sens de Henstock-Kurzweil$\,)$ des sommes de Riemann, lorsque la subdivision $D$ devient de plus en plus fine\note{4}{L'intégrale de Henstock-Kurzweil est parfois appelée aussi {\it intégrale de jauge} ou encore {\it intégrale de Riemann généralisée}. Elle a été introduite au milieu des années 1950, alors que l'intégrale de Riemann remonte au 19ème siècle. Bien qu'en apparence la définition de Henstock-Kurzweil diffère très peu de celle de l'intégrale de Riemann, il se trouve qu'elle jouit de propriétés beaucoup meilleures, tout en procurant des démonstrations souvent plus simples et en éliminant beaucoup d'hypothèses superflues, par exemple le fait que $f$ soit nécessairement bornée.}.} \medskip Cette définition est de façon évidente plus générale que celle de Riemann, par conséquent toute focntion intégrable au sens de Riemann est aussi intégrable au sens de Henstock-Kurzweil. D'autre part, si une jauge $\delta$ est $\varepsilon$-adaptée, alors toute jauge $\delta_*\le \delta$ est encore $\varepsilon$-adaptée. Nous utiliserons cette observation à plusieurs reprises dans la section suivante. La notation $dx$ intervient pour rappeler qu'à la limite on considère des rectangles {\lguil}infiniment\?» fins de largeur $dx=a_{j+1}-a_j$, considérée comme accroissement infiniment petit de la variable~$x$ (voir Fig.~6 ci-après), et l'écriture symbolique $\smash{\int_a^bf(x)\,dx}$ se lit «\?somme de $a$~à~$b$ de $f(x)\,dx$.\rguil. \InsertFig 10.000 58.000 { 1 mm unit 18.000 30.000 moveto 18.000 24.000 lineto [ 18.000 24.000 25.000 14.000 43.000 49.000 60.000 16.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve 80.000 30.000 lineto closepath 0.900 setgray fill 38.000 46.200 moveto 38.000 30.000 lineto 39.500 30.000 lineto 39.500 46.200 lineto gsave closepath 0.7 setgray fill grestore closepath 0.0 setgray stroke 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 25.000 14.000 43.000 49.000 60.000 16.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve stroke 0.000 setgray stroke 0.113 setlinewidth 5.000 30.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 10.000 moveto 43.000 90.000 2.4 vector /arrowlgth 1.2 def 36.500 25.500 moveto 3.500 68.000 2.4 vector 41.000 25.500 moveto 3.500 112.000 2.4 vector 33.200 38.000 moveto 6.000 0.000 2.4 vector 0.3 setlinewidth 10.000 46.200 moveto 0.700 90.000 indent 18.000 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 38.000 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 39.500 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 0.113 setlinewidth [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 18.000 28.500 moveto 18.000 24.000 lineto stroke 80.000 31.500 moveto 80.000 40.000 lineto stroke 11.500 46.200 moveto 38.000 46.200 lineto stroke } \LabelTeX 15.300 27.000 $a$\ELTX \LabelTeX 79.300 26.000 $b$\ELTX \LabelTeX 35.000 23.200 $x$\ELTX \LabelTeX 40.000 23.200 $x{+}dx$\ELTX \LabelTeX 100.500 26.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 52.000 $y$\ELTX \LabelTeX 1.800 45.300 $f(x)$\ELTX \LabelTeX 21.000 37.000 $f(x)\,dx$\ELTX \LabelTeX 23.000 22.000 $(-)$\ELTX \LabelTeX 42.000 40.000 $(+)$\ELTX \LabelTeX 57.000 22.000 $(-)$\ELTX \LabelTeX 72.500 34.000 $(+)$\ELTX \EndFig \vskip-20pt \centerline{{\bf Fig.~6.} Intégrale et son élément différentiel $f(x)\,dx$.} \bigskip {\bf (2.8) Exemple.} On appelle fonction en escalier sur $[a,b]$ une fonction $f$ telle qu'il existe des points $(u_i)_{0\le i\le p}$ de $[a,b]$ et des constantes réelles $c_i$ telles que $$ a=u_00$ (les~points $a_j$ n'ont a priori aucun rapport avec les points de subdivision $u_i$ de la fonction en escalier). La somme de Riemann $S_D(f)=\sum f(x_j)h_j$ est représentée par par la somme des aires des rectangles de couleur rosée de la Fig.~8 (avec les points $a_j$ en rouge et les points de marquage $x_j$ en bleu -- tous ceux-ci n'étant pas représentés). La différence entre les aires $S_D(f)$ et $\sum c_i(u_{i+1}-u_i)$ (partie en noir du graphe) est représentée par les zones hachurées en bleu clair. Nous avons au plus $2p$ intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ qui contiennent l'un des points inter\-médiaires $u_i$, à savoir un à chaque extrêmité et un ou deux pour chacun des points $u_i$, $i=1,\ldots,p-1$. Pour chacun de ces intervalles, le terme $f(x_j)h_j$ mis en jeu diffère de l'aire des deux rectangles délimités par le graphe de $f$ par au plus $2Mh_j\le2M\delta$, puisque $|f(x)-f(x_j)|\le 2M$ et $h_j\le\delta$. Au total on a donc $$ \Big|S_D(f)-\sum_{0\le i\le p-1} c_i(u_{i+1}-u_i)\Big|\le 2p\times 2M\delta=4pM\delta. $$ Il suffit alors de choisir $\delta=\varepsilon/(4pM)$ pour conclure.\qed \bigskip \section{3. Propriétés élémentaires de l'intégrale} Les propriétés énoncées dans cette section sont, dans l'ordre, la linéarité, la monotonie et la relation de Chasles. Elles sont obtenues par passage à la limite à partir des propriétés analogues des sommes de Riemann $S_D(f)$ (propriétés 1.4 (a,b,c)), et valent pour l'intégrabilité au sens de Riemann et de Henstock-Kurzweil indifféremment. \medskip {\bf (3.1) Linéarité.} {\it Si $f,g:[a,b]\to\bR$ sont des fonctions intégrables sur $[a,b]$ et $\lambda$,~$\mu$ des constantes réelles, alors $\lambda f+\mu g$ est intégrable sur $[a,b]$ et $$ \boxed{16}{ \int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx =\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.} $$} {\it Démonstration.} En termes de limites de sommes de Riemann sur des subdivisions pointées $D$ de $[a,b]$, nous pouvons écrire $$ \eqalignno{ \int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx &=\lim_{\HK,\;D} S_D(\lambda f+\mu g) = \lim_{\HK,\;D} \lambda S_D(f)+\mu S_D(g)\cr &=\lambda\lim_{\HK,\;D} S_D(f)+\mu \lim_{\HK,\;D} S_D(g)\cr &=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.&\square\cr} $$ Pour analyser plus en détail cet argument, reprenons le calcul en termes de jauges, une marge d'erreur $\varepsilon>0$ étant fixée a priori. Posons $$ A=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad B=\int_a^b g(x)\,dx. $$ Il existe par hypothèse des jauges $\delta_1$, $\delta_2$ telles que si $D$ est $\delta_1$-fine alors $|S_D(f)-A|\le\varepsilon$ et si $D$ est $\delta_2$-fine alors $|S_D(g)-B|\le\varepsilon$. Prenons une subdivision $D$ $\delta$-fine avec $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Comme $S_D(\lambda f+\mu g)=\lambda S_D(f)+\mu S_D(g)$ on en déduit $$ \big|S_D(\lambda f+\mu g)-(\lambda A+\mu B)\big|\le (|\lambda|+|\mu|)\varepsilon. $$ Ceci montre que $\lambda f+\mu g$ est intégrable et que son intégrale est bien $\lambda A+\mu B$. \medskip {\bf (3.2) Remarque.} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction qui est nulle partout sauf en un nombre fini de points $u_i\in[a,b]$, alors $f$ est Riemann-intégrable d'intégrale nulle\note{5}{Pour l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil, ce résultat est vrai plus généralement dans le cas où $f$ est nulle partout en dehors d'un ensemble dénombrable de points $E\subset[a,b]$. Voir l'exercice 9.22.}. C'est en effet un cas très particulier de fonction en escalier, et on peut appliquer la formule de l'exemple 2.8 avec $c_i=0$. Il en résulte que si deux fonctions $g,\,h:[a,b]\to\bR$ diffèrent en un nombre fini de points, alors l'intégrabilité de l'une équivaut à l'intégrabilité de l'autre et on a $\smash{\int_a^bg(x)\,dx= \int_a^bh(x)\,dx}$ (puisque $f=g-h$ est d'intégrale nulle).\qed \medskip {\bf (3.3) Monotonie.} {\it Si $f,g:[a,b]\to\bR$ sont des fonctions intégrables sur $[a,b]$ $$ \boxed{16}{ f\ge g\quad \Rightarrow\quad\int_a^b f(x)\,dx\ge \int_a^b g(x)\,dx.} $$}% {\it Démonstration.} Cela résulte de l'inégalité sur les sommes de Riemann $S_D(f)\ge S_D(g)$, par passage à la limite.\qed \bigskip \vbox{% {\bf (3.4) Relation de Chasles.} {\it Soient $a0$ et choisissons des jauges $\delta_1:[a,b]\to\bR^*_+$, $\delta_2:[b,c]\to\bR^*_+$ $\varepsilon$-adaptées à $f$ sur $[a,b]$ et $[b,c]$ respectivement. Autrement dit, si on écrit $$ A_1=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad A_2=\int_b^c f(x)\,dx,\qquad A=A_1+A_2, $$ on aura $|S_{D_1}(f)-A_1|\le\varepsilon$ et $|S_{D_2}(f)-A_2|\le\varepsilon$ pour toutes subdivisions pointées $\delta_1$-fines $D_1$ de $[a,b]$ et $\delta_2$-fines $D_2$ de $[b,c]$. Si nous supposons démontrée l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$, c'est-à-dire l'existence de la limite $\lim_{\HK,\,D}S_D(f)$ lorsque $D$ parcourt les subdivisions pointées de $[a,c]$, alors on peut prendre une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ telle que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$ et $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$, et une subdivision $D=D_1\cup D_2$ $\delta$-fine égale à la réunion d'une subdivision $D_1$ $\delta_1$-fine de $[a,b]$ et d'une subdivision $D_2$ $\delta_2$-fine de $[b,c]$. On obtient dans ces conditions $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$, donc $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$ et la relation désirée $$ \int_a^c f(x)\,dx =\lim_{\HK,\;D}S_D(f)= A=A_1+A_2=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx $$ s'ensuit en prenant $\varepsilon$ arbitrairement petit. La seule difficulté qui reste est de démontrer l'existence de la limite $\lim_{\HK,\,D}S_D(f)$ pour des subdivisions $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,c]$ ne comprenant pas nécessairement $a_j=b$ comme l'un des points intermédiaires, ce qui est a priori requis pour prouver l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$. La méthode consiste à redécouper l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ de $D$ qui contient le point~$b$, et à estimer de combien on modifie ainsi la somme de Riemann~$S_D(f)$. \medskip {\bf (3.5)* Preuve de l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$ sous les hypothèses de 3.4.}\break Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil, la preuve est très simple. On définit une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ en posant $$ \delta(x)=\cases{ \min(\delta_1(x),(b-x)/2)&si $x\in[a,b[$,\cr \min(\delta_2(x),(x-b)/2)&si $x\in{}]b,c]$,\cr \min(\delta_1(b),\delta_2(b))& si $x=b$.\cr } $$ de sorte que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$ et $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$. Soit $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision $\delta$-fine. Si $x_jb$, alors \hbox{$a_j\ge x_j-\delta(x_j)>x_j-(x_j-b)=b$}. Ceci montre que le seul cas où $[a_j,a_{j+1}]$ peut contenir le point $b$ est le cas $x_j=b$, ce qui permet de découper l'intervalle pointé $([a_j,a_{j+1}],b)$ en les deux intervalles pointés $([a_j,b],b)$ et $([b,a_{j+1}],b)$. On produit ainsi une subdivision pointée $D_1$ $\delta_1$-fine de $[a,b]$ et une subdivision pointée $D_2$ $\delta_2$-fine de $[b,c]$ telles que $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$. On a donc $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$ et la conclusion s'ensuit comme précédemment.\qed Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann, la preuve donnée ci-dessus n'est pas valable, car la jauge $\delta$ produite n'est pas constante. On sait cependant de plus que $f$ est bornée, disons $|f|\le M$ (si $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$ et $[b,c]$, elle y est nécessai\-rement bornée d'après la condition 2.4). Prenons pour $D$ une subdivision pointée $\delta$-fine avec $\delta\le \min(\delta_1,\delta_2)$. Si l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ contient $b$ en son intérieur, on remplace son point de marquage $x_j$ par $x'_j=b$, ce qui donne après découpage comme ci-dessus une nouvelle subdivision $D'=D_1\cup D_2$ $\delta$-fine telle que $$ S_{D'}(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)~~\Rightarrow~~ \big|S_{D'}(f)-A\big|\le2\varepsilon. $$ On a de plus $$ \big|S_D(f)-S_{D'}(f)\big|=\big|\big(f(x_j)-f(b)\big)h_j\big|\le 2M\delta, $$ par conséquent $\big|S_D(f)-A\big|\le 4\varepsilon$ dès que $\delta\le\min(\delta_1,\delta_2,\varepsilon/M)$. Ceci entraîne bien l'intégrabilité de $f$ au sens de Riemann sur l'intervalle $[a,c]$, ainsi que la formule de Chasles.\qed \medskip Pour des réels $a$, $b$ qui ne vérifient pas néces\-sairement $ab$}. \leqno(3.6) $$ On peut vérifier que la relation de Chasles reste valable dans tous les cas, quel que soit l'ordre des réels $a,b,c$, à condition bien sûr que $f$ soit intégrable sur chacun des intervalles mis en jeu. \bigskip \section{4. Le théorème fondamental de l'Analyse} On appelle théorème fondamental de l'analyse, le fait que l'intégration (calcul d'aires) et la dérivation (calcul de tangentes et de différentielles) sont des opérations inverses l'une de l'autre. \medskip {\bf (4.1) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction dérivable. Alors $f'$ est inté\-grable au sens de Henstock-Kurzweil et $$ \boxed{16}{ \int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).} $$} \vskip-8pt {\it Démonstration.}\note{6}{Le théorème 4.1 est un résultat particulièrement impressionnant de la théorie de Henstock-Kurzweil, que ni la théorie de Riemann ni même la théorie de Lebesgue ne permettent d'obtenir. Ce {\lguil}défaut\?» de la théorie de Lebesgue avait amené A.~Denjoy [Dj1] à proposer en 1912 une théorie de {\lguil}l'intégrale totale\?» qui lui permit de rétablir la validité du Théorème 4.1 (cf.\ aussi les travaux de O.~Perron [Pe]. Cette théorie se révélera a posteriori essentiellement équivalente à la théorie de Henstock-Kurzweil, mais avec un formalisme et des justifications beaucoup plus compliquées.} Commençons par une preuve heuristique (c'est-à-dire simplifiée, mais non rigoureuse). Soit $D=\{[a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision pointée assez fine. On a par définition $$ \int_a^bf'(x)\,dx\simeq\sum_{j=0}^{N-1}f'(x_j)(a_{j+1}-a_j). $$ Mais $f'(x_j)$ peut être vu comme une approximation de la pente de $f$ sur l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ et on a donc $f'(x_j)(a_{j+1}-a_j)\simeq f(a_{j+1})-f(a_j)$, d'où $$ \int_a^bf'(x)\,dx\simeq\sum_{j=0}^{N-1}(f(a_{j+1})-f(a_j))=f(b)-f(a). $$ Il n'est pas difficile de rendre cet argument rigoureux. L'hypothèse de l'exis\-tence de $f'(x)=\lim_{y\to x} {f(y)-f(x)\over y-x}$ signifie par définition que pour tout pout $x\in[a,b]$ et tout $\varepsilon>0$ il existe un réel $\delta(x)>0$ tel que $$ y\in[a,b],\quad 0<|y-x|\le\delta(x)\Rightarrow\Big|{f(y)-f(x)\over y-x}-f'(x) \Big|\le\varepsilon,\qquad\hbox{et donc} $$ $$ y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow \big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x| $$ (puisque l'inégalité est vraie aussi de manière évidente pour $y=x$). Prenons une sub\-di\-vision pointée $D=\{[a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, c'est-à dire telle que \hbox{$h_j=a_{j+1}-a_j\le \delta(x_j)$}. En appliquant l'égalité ci-dessus à $x=x_j$ et $y=a_j$ ou $y=a_{j+1}$, il vient $$ \eqalign{ \big|f(a_j)-f(x_j)-(a_j-x_j)f'(x_j)\big| &\le \varepsilon|a_j-x_j|=\varepsilon(x_j-a_j),\cr \big|f(a_{j+1})-f(x_j)-(a_{j+1}-x_j)f'(x_j)\big| &\le\varepsilon|a_{j+1}-x_j|=\varepsilon(a_{j+1}-x_j).\cr} $$ En faisant la différence, l'inégalité $|v-u|\le|u|+|v|$ donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big|\le\varepsilon(a_{j+1}-a_j). $$ La sommation de ces inégalités pour $j=0,1,\ldots, N-1$ implique en définitive $$ \big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a), $$ par conséquent $$ \int_a^bf'(x)\,dx = \lim_{\HK,\;D}S_D(f')=f(b)-f(a).\eqno\square $$ Notons qu'on retrouve ainsi le résultat important suivant qui, alternativement (et de manière plus classique) est démontré au moyen du théorème des accroissements finis. \medskip {\bf(4.2) Corollaire.} {\it Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\bR$, telle que $f'=0$ $($resp.\ $f'\ge 0$, $f'\le 0)$. Alors $f$ est constante $($resp.\ croissante, décroissante$)$.} \medskip {\it Démonstration.} En effet, pour tous points $a1$}. $$ {\bf (5.4$\,$b) Cas où $Q$ est un trinôme du second degré.} Si $Q(x)=ax^2+bx+c$, le calcul des racines réelles ou complexes donne une factorisation $Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$. Si les racines $\alpha$, $\beta$ sont réelles et distinctes, on écrit $$ {1\over(x-\alpha)(x-\beta)}= {1\over\alpha-\beta} \Big( {1\over x-\alpha}-{1\over x-\beta}\Big), $$ ce qui donne aussitôt $$ \int{1\over(x-\alpha)(x-\beta)}\,dx= {1\over\alpha-\beta}\ln\Big|{x-\alpha\over x-\beta}\Big|+C. $$ Dans le cas d'un trinôme réel $ax^2+bx+c$ de discriminant $\Delta=b^2-4ac<0$, les racines sont complexes et on procède différemment. On a en effet $$ Q(x)=a\Big(\Big(x+{b\over 2a}\Big)^2-{\Delta\over 4a^2}\Big)= a\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big) $$ avec $\gamma=-b/2a$ et $\delta=\sqrt{|\Delta|}/2|a|$, les racines complexes étant $\alpha=\gamma+i\delta$, $\ovl\alpha=\gamma-i\delta$. Après division euclidienne de $P$ par $Q$, on est ramené à intégrer des expressions de la forme $$ \int {\lambda x+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx. $$ Dans ce cas on écrit $\lambda x+\mu=\lambda(x-\gamma)+(\lambda\gamma+\mu)$ et on observe que $(x-\gamma)$ est la moitié de la dérivée du dénominateur, ce qui donne $$ \eqalign{ \int {\lambda x+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx&= \int {\lambda(x-\gamma)\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx+ \int {\lambda\gamma+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx\cr &={1\over 2}\lambda\ln\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)+ (\lambda\gamma+\mu)\int {1\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx\cr &={1\over 2}\lambda\ln\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)+ {\lambda\gamma+\mu\over\delta}\arctan{x-\gamma\over\delta}+C.\cr } $$ \medskip \section{6. Calcul d'aires et de volumes} Nous commencerons par une application concrète très importante qui est le calcul des aires et des volumes. \medskip {\bf (6.1) Calcul d'aires${}^{(7)}$.} Par définition même, l'intégrale d'une fonction $f$ calcule l'aire algébrique située sous son graphe. Pour un domaine plan quelconque, la frontière est en général délimitée par les graphes de plusieurs fonctions (deux au moins, davantage si le domaine comporte des «\?trous\?» ou des «\?renfoncements\rguil). \vbox{% \InsertFig 10.000 60.000 { 1 mm unit 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 45.000 90.000 2.4 vector 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 18.000 24.500 25.000 27.000 38.000 49.000 46.000 40.000 56.000 44.000 60.000 32.000 75.000 40.000 80.000 40.500 80.000 40.000 80.000 39.500 72.000 20.000 55.000 16.000 32.000 15.000 18.000 23.500 ] curve closepath gsave 0.940 0.960 0.980 setrgbcolor fill 48.000 15.000 moveto 50.000 15.000 lineto 50.000 40.000 lineto 48.000 40.000 lineto closepath gsave 1.000 0.840 0.840 setrgbcolor fill grestore 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor stroke grestore stroke 0.000 setgray [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 18.000 11.200 moveto 18.000 24.000 lineto stroke 80.000 11.200 moveto 80.000 40.000 lineto stroke 48.000 11.200 moveto 48.000 15.000 lineto stroke 50.000 11.200 moveto 50.000 15.000 lineto stroke [ ] 0 setdash 48.000 14.800 moveto 0.7 disk 48.000 40.200 moveto 0.7 disk 0.339 setlinewidth 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 48.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 50.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent } \LabelTeX 32.000 26.500 $A$\ELTX \LabelTeX 17.000 6.500 $a$\ELTX \LabelTeX 79.300 6.500 $b$\ELTX \LabelTeX 45.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 48.500 6.200 $x+dx$\ELTX \LabelTeX 6.200 48.000 $y$\ELTX \LabelTeX 40.500 17.750 $f(x)$\ELTX \LabelTeX 40.500 36.500 $g(x)$\ELTX \LabelTeX 50.800 26.500 $\ell(x)\,dx$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~9.} Aire d'un domaine délimité par des graphes de fonctions.}} \smallskip Comme on le voit par soustraction des aires situées sous les graphes de $f$ et $g$ respectivement (et en remplaçant si nécessaire $f$, $g$ par $f+C$, $g+C$ pour avoir des fonctions positives), l'aire du domaine plan est égale à la différence $$ A=\int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx. $$ L'aire d'un tel domaine plan est donc donnée par l'intégrale par rapport à $x$ de la longueur $\ell(x)=g(x)-f(x)$ des sections \lguil verticales\?» du domaine~: $$ \boxed{16}{ A =\int_a^b\ell(x)\,dx=\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,dx. } $$ À titre d'exemple, cherchons l'aire délimitée par l'ellipse ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1$, de demi-axes $a$ et $b$. Le domaine délimité par l'ellipse est compris entre les graphes des fonctions $g(x)=b\sqrt{1-(x/a)^2}$ et $f(x)=-g(x)$ pour $x\in[-a,a]$, ce qui donne $$ A =\int_{-a}^a2g(x)\,dx=2b\int_{-a}^a \sqrt{1-{x^2\over a^2}}\,dx. $$ Le changement de variable $x=a\sin t$ avec $t\in[-\pi/2,\pi/2]$ donne $dx=a\cos t\,dt$, d'où $$ A=2ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2(t)\,dt= 2ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}{1+\cos 2t\over 2}\,dt=\pi ab.\eqno\square $$ {\bf (6.2) Calcul de volumes\note{8}{La définition de l'aire (et de même du volume), pour des domaines «\?mesurables\?» arbitraires de $\bR^2$ et de $\smash{\bR^3}$ requiert des concepts sophistiqués de la théorie de l'intégration que nous ne pouvons pas développer ici. La démonstration complète des formules 6.1 et 6.2 s'appuie ainsi sur le célèbre théorème dit de Fubini. Nous renvoyons à la section 18 de notre exposé complet pour une preuve détaillée dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Henstock-Kurzweil. Il n'est pas incorrect ici de considérer que les formules données pour la surface et le volume sont en quelque sorte des définitions de ces grandeurs.}.} La procédure est essentiellement la même~: on effectue des sections planes (disons par exemple en coupant par un plan horizontal $z=\hbox{Cte}$), et on suppose connue l'aire $S(z)$ d'une telle section plane (cette aire aura en général été évaluée elle-même par un calcul intégral comme expliqué au paragraphe 6.1). \vbox{% \InsertFig 10.000 60.000 { 1 mm unit 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 45.000 90.000 2.4 vector [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 11.200 32.000 moveto 29.100 32.000 lineto stroke 11.200 34.000 moveto 29.100 34.000 lineto stroke 11.200 14.000 moveto 43.000 14.000 lineto stroke 11.200 44.000 moveto 37.000 44.000 lineto stroke [ ] 0 setdash 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 18.000 24.500 25.000 27.000 38.000 44.000 46.000 40.000 56.000 43.000 60.000 42.000 75.000 41.000 80.000 40.500 80.000 40.000 80.000 39.500 72.000 20.000 55.000 16.000 32.000 15.000 18.000 23.500 ] curve closepath gsave 0.940 0.960 0.980 setrgbcolor fill 29.100 32.000 moveto 79.100 32.000 lineto 79.100 34.000 lineto 29.100 34.000 lineto closepath gsave 1.000 0.840 0.840 setrgbcolor fill grestore 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor stroke grestore 0.000 setgray stroke 0.339 setlinewidth 10.000 14.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 44.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 32.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 34.000 moveto 0.700 90.000 indent } \LabelTeX 46.000 22.500 $V$\ELTX \LabelTeX 6.500 43.500 $b$\ELTX \LabelTeX 6.500 13.000 $a$\ELTX \LabelTeX 6.500 29.800 $z$\ELTX \LabelTeX -1.000 34.200 $z+dz$\ELTX \LabelTeX 96.000 6.200 $x,\,y$\ELTX \LabelTeX 6.200 49.000 $z$\ELTX \LabelTeX 47.800 35.500 $S(z)\,dz$\ELTX \EndFig \vskip-2pt \centerline{{\bf Fig.~10.} Calcul d'un volume par tranchage dans la direction~$z$.}} \bigskip Dans ce cas, le volume est donné par $$ \boxed{16}{ V=\int_a^b S(z)\,dz.} $$ Une application immédiate est le calcul du volume de la boule de rayon $R$ d'équation $x^2+y^2+z^2\le R^2$. L'aire de la section $z=\hbox{Cte}$ est l'aire $S(z)=\pi(R^2-z^2)$ du disque $x^2=y^2\le R^2-z^2$ de rayon $\sqrt{R^2-z^2}$. On trouve donc $$ V=\int_{-R}^R\pi(R^2-z^2)\,dz=2\pi\int_0^R(R^2-z^2)\,dz =2\pi\big[R^2z-z^3/3\big]_0^R={4\over 3}\pi R^3. $$ Une autre application est la formule donnant le volume d'un cône -- éventuellement «\?oblique\?» -- ayant une base d'aire $A$ connue et une hauteur $h$. On entend ici par cône la réunion des segments issus d'un point (sommet), ayant pour autre extrêmité un point quelconque d'un domaine plan (choisi comme base). Pour faire le calcul, il est commode de choisir le sommet du cône comme origine et de fixer un repère orthonormé tel que la base du cône soit contenue dans le plan~$z=h$. \InsertFig 20.000 52.000 { 1 mm unit 10.000 2.000 moveto 46 90 2.4 vector 10.000 6.000 moveto 0.7 90 indent 10.000 24.000 moveto 0.7 90 indent 10.000 25.500 moveto 0.7 90 indent 10.000 36.000 moveto 0.7 90 indent 35.000 6.000 moveto 17.900 36.000 lineto stroke 35.000 6.000 moveto 59.800 36.200 lineto stroke 18.000 36.000 moveto [ 18.000 36.000 25.000 39.000 38.000 44.000 46.000 41.000 56.000 41.000 60.000 38.000 52.000 33.000 42.000 31.000 32.000 33.000 22.000 34.000 ] closedcurve gsave 0.940 0.960 0.980 setrgbcolor fill grestore stroke gsave 35.000 6.000 translate 0.6 0.6 scale -35.000 -6.000 translate 18.000 36.000 moveto [ 18.000 36.000 25.000 39.000 38.000 44.000 46.000 41.000 56.000 41.000 60.000 38.000 52.000 33.000 42.000 31.000 32.000 33.000 22.000 34.000 ] closedcurve gsave 0.980 0.960 0.940 setrgbcolor fill grestore stroke grestore } \LabelTeX 37.000 23.000 $S(z)$\ELTX \LabelTeX 6.200 46.000 $z$\ELTX \LabelTeX 6.200 35.000 $h$\ELTX \LabelTeX 6.200 22.500 $z$\ELTX \LabelTeX -1.700 25.000 $z+dz$\ELTX \LabelTeX 6.200 5.000 $0$\ELTX \LabelTeX 42.800 35.500 $A$\ELTX \LabelTeX 56.800 28.500 $V$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~11.} Calcul du volume d'un cône.} \medskip Comme l'aire de l'homothétique de rapport $\lambda$ d'un domaine plan est multipliée par~$\lambda^2$, et comme le domaine d'aire $S(z)$ est homothétique du domaine d'aire $A$ dans le rapport $\lambda=z/h$, on a $$ S(z)={z^2\over h^2}A. $$ On en déduit que le volume du cône vaut $$ V=\int_0^h S(z)\,dz =\int_0^h {z^2\over h^2}A\,dz=\Big[{1\over 3}z^3\Big]_0^h{1\over h^2}A, $$ ce qui prouve la formule classique $$ V={1\over 3}Ah. $$ On peut appliquer le même raisonnement pour un cône sphérique, c'est-à-dire un cône ayant pour sommet le centre d'une sphère, et pour base un domaine de cette sphère (plutôt qu'un domaine plan). Si $R$ est le rayon de la sphère et $A$ l'aire du domaine sphérique, on trouve alors comme précédemment $V={1\over 3}AR$. Dans le cas où la base est la sphère toute entière, le cône est la boule elle-même, d'où $V={4\over 3}\pi R^3$. On en déduit ainsi la valeur de l'aire de la sphère $$ A=4\pi R^2. $$ \section{7. Encadrement par des fonctions en escalier. Intégrabilité des fonctions continues ou monotones par morceaux}\vskip-19pt \ \kern288pt\ \note{9}{% À partir de ce point, le niveau théorique de l'exposé augmente sensiblement, nous considérons donc que cela relève plutôt de l'enseignement supérieur -- le théorème (7.10) peut être admis d'emblée en Terminale si l'on souhaite ensuite être en mesure d'énoncer et de démontrer le corollaire 7.7.} \vskip8pt \sectionrunning{7. Encadrement par des fonctions en escalier et intégrabilité} Nous nous proposons de démontrer ici que quelques classes usuelles de fonctions (no-tam\-ment les fonctions continues ou monotones par morceaux) sont intégrables. Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction bornée. L'idée est de considérer des encadrements $$\varphi\le f\le\psi\leqno(7.1) $$ de $f$ par des fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$, comme figuré sur le schéma ci-dessous. \InsertFig 10.000 65.000 { /squeeze { /y2 exch 10.0 add def /y1 exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def 0.84 setgray a1 y1 moveto a2 y1 lineto a2 y2 lineto a1 y2 lineto closepath fill 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor a1 y1 moveto a2 y1 lineto stroke 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor a1 y2 moveto a2 y2 lineto stroke } def /vertdash { /y exch 10.0 add def /x exch def x 10.0 moveto x y lineto stroke } def 1 mm unit 0.000 setgray 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 18.000 23.000 14.000 15.900 squeeze 23.000 27.000 15.900 18.800 squeeze 27.000 32.000 18.800 33.700 squeeze 32.000 36.000 33.700 39.100 squeeze 36.000 39.000 38.500 39.300 squeeze 39.000 43.000 22.000 38.500 squeeze 43.000 47.000 19.800 22.000 squeeze 47.000 50.000 20.000 21.600 squeeze 50.000 53.000 21.600 23.500 squeeze 53.000 57.000 23.300 24.300 squeeze 57.000 60.000 12.000 23.300 squeeze 60.000 63.000 11.100 12.000 squeeze 63.000 65.000 11.700 14.200 squeeze 65.000 68.000 14.200 21.300 squeeze 68.000 71.000 21.300 26.900 squeeze 71.000 74.000 26.900 29.650 squeeze 74.000 80.000 29.650 30.300 squeeze 0.000 setgray 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 25.000 27.000 38.000 49.000 46.000 30.000 56.000 34.000 60.000 22.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve stroke 0.400 setgray 0.113 setlinewidth [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 18.000 14.000 vertdash 23.000 15.900 vertdash 27.000 18.800 vertdash 32.000 33.700 vertdash 36.000 39.300 vertdash 39.000 38.500 vertdash 43.000 22.000 vertdash 47.000 20.000 vertdash 50.000 21.600 vertdash 53.000 23.300 vertdash 57.000 23.100 vertdash 60.000 12.000 vertdash 63.000 11.700 vertdash 65.000 14.200 vertdash 68.000 21.300 vertdash 71.000 26.900 vertdash 74.000 29.650 vertdash 80.000 30.100 vertdash 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor 10.000 28.800 moveto 27.000 28.800 lineto stroke 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 10.000 43.700 moveto 27.000 43.700 lineto stroke 0.000 setgray 0.339 setlinewidth 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 27.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 32.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent } \LabelTeX 17.000 6.500 $a$\ELTX \LabelTeX 79.300 6.500 $b$\ELTX \LabelTeX 25.500 6.500 $u_i$\ELTX \LabelTeX 30.500 6.500 $u_{i+1}$\ELTX \LabelTeX 100.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 28.400 $\RGBColor{0 0 1}{c_i}$\ELTX \LabelTeX 6.200 43.000 $\RGBColor{1 0 0}{d_i}$\ELTX \LabelTeX 6.200 58.000 $y$\ELTX \LabelTeX 28.500 26.200 $\RGBColor{0 0 1}{\varphi}$\ELTX \LabelTeX 28.500 45.500 $\RGBColor{1 0 0}{\psi}$\ELTX \LabelTeX 24.600 36.500 $f$\ELTX \EndFig \vskip-10pt \centerline{{\bf Fig.~12.} Encadrement d'une fonction bornée $f$ par des fonctions en escalier.} \vskip7pt On peut supposer ici que les fonctions en escalier $\varphi$ et $\psi$ sont exprimées au moyen de la même subdivision $a=u_00$ il existe un encadrement $\varphi\le f\le \psi$ de $f$ par des fonctions en escalier $\varphi$, $\psi$ telles que $$ \boxed{16}{ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx =\sum_{0\le i\le p-1}(d_i-c_i)(u_{i+1}-u_i)\le \varepsilon.} $$ Alors $f$ est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^bf(x)\,dx=\sup\Big\{\int_a^b\varphi(x)\,dx\,;\;\varphi\le f\Big\} =\inf\Big\{\int_a^b\psi(x)\,dx\,;\;\psi\ge f\Big\}.} $$} {\it Démonstration.} Considérons les ensembles de valeurs prises par les intégrales de fonctions en escalier $\varphi$ qui minorent et $\psi$ qui majorent, c'est-à-dire $$ E_1=\Big\{\int_a^b\varphi(x)\,dx\,;\;\varphi\le f\Big\},\quad E_2=\Big\{\int_a^b\psi(x)\,dx\,;\;\psi\ge f\Big\}, $$ et $S=\sup E_1$, $I=\inf E_2$, Il est clair que pour tout $\smash{A_1=\int_a^b\varphi(x)\,dx\in E_1}$ et tout $\smash{A_2=\int_a^b\psi(x)\,dx\in E_2}$ on a $A_1\le A_2$. L'hypothèse de la condition signifie que pour un choix adéquat de $\varphi,\,\psi$ on a $A_2-A_1\le\varepsilon$. Ceci entraîne bien $S=\sup E_1=I=\inf E_2$. Comme toute fonction en escalier est intégrable avec des jauges constantes (cf.\ exemple 2.4), il~existe $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tels que $$ \eqalign{ &\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad h_j\le \delta_1~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(\varphi)-A_1|\le\varepsilon,\cr &\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad h_j\le \delta_2~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(\psi)-A_2|\le\varepsilon.\cr } $$ Or nous avons $A_1\le S=I\le A_2$ et $A_2-A_1\le\varepsilon$. Prenons une subdivision pointée $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ vérifiant $h_j\le\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Nous obtenons dans ces conditions $S_D(\varphi)\le S_D(f)\le S_D(\psi)$, donc $$ S_D(f)\le S_D(\psi)\le A_2+\varepsilon\le I+2\varepsilon,\qquad S_D(f)\ge S_D(\varphi)\ge A_1-\varepsilon\ge S-2\varepsilon. $$ Par suite en posant $A=S=I$ il vient $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$. La suffisance du critère d'intégrabilité est démontrée.\qed \medskip {\bf (7.4)* Complément.} {\it Le critère 7.3 est en fait une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.} {\it Démonstration.} Pour voir la nécessité de la condition, supposons $f:[a,b]\to\bR$ Riemann-intégrable et soient $\varepsilon>0$ et $\delta>0$ satisfaisant la définition 2.5. Considérons une subdivision pointée $\delta$-fine $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ quelconque. En faisant varier indépendamment chaque $x_j$ dans l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$, on trouve $$ \eqalign{ &\sup_{\{x_j\}}S_D(f)= \sup_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}M_j (a_{j+1}-a_j),\cr &\inf_{\{x_j\}}S_D(f)= \inf_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}m_j (a_{j+1}-a_j)\cr} $$ où $M_j=\sup_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$, $m_j=\inf_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$. Puisque \hbox{$A-\varepsilon\le S_D(f)\le A+\varepsilon$}, on voit en passant au sup et à l'inf que $$ A-\varepsilon\le\sum_{j=0}^{N-1}m_j(a_{j+1}-a_j)\le \sum_{j=0}^{N-1}M_j(a_{j+1}-a_j)\le A+\varepsilon. $$ Ceci entraîne en particulier qu'aucune des bornes $M_j$ ne peut être égale à $+\infty$ et qu'aucune des bornes $m_j$ ne peut être égale à $-\infty$, et par conséquent que $f$ est bornée. Si on définit les fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$ par $$ \varphi(x)=m_j,\quad \psi(x)=M_j\quad\hbox{si $x\in{}]a_j,a_{j+1}[$}, \qquad \varphi(a_j)=\psi(a_j)=f(a_j), $$ on obtient un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ tel que $$ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx\le 2\varepsilon, $$ et on voit que la condition du critère 7.3 est bien satisfaite.\qed \medskip Une application directe de 7.3 est la preuve de l'intégrabilité des fonctions monotones ou continues (dans la suite de ce paragraphe, tous les résultats concerneront donc l'intégrabilité au sens de Riemann.) \medskip {\bf (7.5) Théorème.} {\it Toute fonction $f:[a,b]\to\bR$ monotone est intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.} {\it Démonstration.} Supposons par exemple $f$ croissante et soit $a=u_1<\ldots 0$ est une constante. De manière évidente, on définit un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ de $f$ par des fonctions en escalier en posant $$ \varphi(x)=f(u_j)~~\hbox{sur $]u_j,u_{j+1}[$},\qquad \psi(x)=f(u_{j+1})~~\hbox{sur $]u_j,u_{j+1}[$} $$ (et $\varphi(u_j)=\psi(u_j)=f(u_j)$ comme déjà convenu). Ceci donne $$ \eqalign{ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx &=\sum_{0\le j\le N-1}\big(f(u_{j+1})-f(u_j)\big)(u_{j+1}-u_j)\cr &\le\delta\sum_{0\le j\le N-1}\big(f(u_{j+1})-f(u_j)\big)= \delta\big(f(b)-f(a)\big).\cr} $$ On voit ainsi que la condition 7.3 est vérifiée en prenant $\delta$ assez petit.\qed \medskip {\bf (7.6) Théorème} {\it Toute fonction $f:[a,b]\to\bR$ continue est intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.} {\it Démonstration.} Soit $\varepsilon>0$. La continuité de $f$ en tout point $x\in[a,b]$ implique l'existence d'un réel $\delta(x)>0$ tel que $$ \forall x'\in[a,b],~~x'\in[x-\delta(x),x+\delta(x)] \Rightarrow|f(x')-f(x)|\le\varepsilon. $$ Soit $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)_{0\le j0$, l'hypothèse de continuité dit que $f(x)-\varepsilon\le f(t)\le f(x)+\varepsilon$ pour $|t-x|\le\delta(x)$, on a donc $$ f(x)-\varepsilon={1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)-\varepsilon)\,dt\le {F(x+h)-F(x)\over h}\le {1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)+\varepsilon)\,dt=f(x)+\varepsilon $$ pour $|h|\le\delta(x)$, ce qui signifie que $$ F'(x)=\lim_{h\to 0}{F(x+h)-F(x)\over h}=f(x). $$ Si on a une autre primitive $F_1$, il vient $(F_1-F)'=f'-f'=0$, donc $F_1-F=C$ constante.\qed \medskip {\bf (7.8) Proposition.} {\it {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction continue positive ou nulle, on a $\int_a^b f(x)=0$ si et seulement si $f=0$. \item{\rm (b)} Si $f,\,g:[a,b]\to\bR$ sont continues et $f\le g$, on a $\int_a^bf(x)\,dx<\int_a^bg(x)\,dx$ dès que $f$ et $g$ se sont pas égales.\vskip0pt }} {\it Démonstration.} (a) Si $f$ n'est pas nulle, il existe un point $x_0\in[a,b]$ tel que $f(x_0)>0$, et on pose alors $\varepsilon=f(x_0)/2$. La continuité de $f$ en $x_0$ implique qu'il existe un intervalle $[x_0,x_0+\eta]$ (ou $[x_0-\eta,x_0]$, si $x_0=b$) sur lequel $f(x)-f(x_0)|\le\varepsilon$. On voit donc qu'il existe un sous-intervalle $[c,d]$ de de $[a,b]$ de longueur $d-c=\eta>0$ sur lequel $f(x)\ge f(x_0)-\varepsilon\ge\varepsilon$. Par suite $\int_a^bf(x)\,dx\ge\int_c^df(x)\,dx\ge(d-c)\,\varepsilon>0$. (b) Si $f\le g$ et $f\ne g$, alors $h=g-f\ge 0$ n'est pas nulle, donc $\int_a^bh(x)\,dx>0$ d'après~(a).\qed \medskip {\bf (7.9) Formule de la moyenne.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue. Alors il existe un point $c\in{}]a,b[$ tel que la «\?valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$\?» soit égale à $f(c)~:$ $$ \boxed{16}{ {1\over b-a}\int_a^bf(x)\,dx=f(c).} $$ } {\it Démonstration.} Soit $m=\min_{[a,b]}f$, $M=\max_{[a,b]}f$. Supposons d'abord $f$ non cons\-tante. D'après la proposition 7.8~(b) appliquée aux inégalités $m\le f\le M$, nous avons $$ m(b-a)<\int_a^bf(x)\,dx0)$}. Toute fonction continue ou monotone par morceaux est inté\-grable au sens de Riemann.} {\it Démonstration.} En effet, la restriction $f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ diffère d'une fonction continue (resp.\ monotone) par une fonction en escalier nulle sur $]\alpha_j,\alpha_{j+1}[$ (et prenant des valeurs adéquates en $\alpha_j$ et $\alpha_{j+1}$). Par conséquent $f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ est intégrable au sens de Riemann, et l'inté\-grabilité de $f$ sur $[a,b]$ résulte de la relation de Chasles.\qed \bigskip Nous démontrons maintenant une généralisation du théorème fondamental 4.1. Observons d'abord que comme une fonction nulle sauf sur un ensemble fini est d'intégrale nulle (remarque 3.2), on peut envisager d'intégrer des fonctions $f$ qui sont seulement définies sur le complémentaire $[a,b]\ssm E$ d'un ensemble fini $E$~: on se ramène au cas d'une fonction partout définie en étendant $f$ arbitrairement sur $[a,b]$, par exemple en posant $\tilde f(x)=0$ sur $E$. L'intégrale ainsi calculée est indépendante du prolongement $\tilde f$ choisi. \medskip {\bf (7.11) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue. On suppose qu'il existe un ensemble fini $E=\{u_i\,;\;1\le i\le p\}$ tel que $f$ soit dérivable sur $[a,b]\ssm E$. Alors $f'$ $($étendue arbitrairement aux points $u_i)$ est HK-intégrable sur $[a,b]$ et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).} $$} {\it Démonstration.${}^*$} Supposons pour simplifier $f'$ définie par $f'(u_i)=0$ aux points où $f$ n'est pas dérivable. On reprend la démonstration du théorème 4.1. La dérivabilité de $f$ sur $[a,b]\ssm E$ implique l'existence d'une fonction $\delta:[a,b]\ssm E\to{}]0,+\infty[$ telle que $$ y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow \big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x| $$ pour tout $x\in[a,b]\ssm E$, ce qui donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big| \le\varepsilon|a_{j+1}-a_j| $$ pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, lorsque $x_j\in[a,b]\ssm E$. D'autre part, si $x_j=u_i\in E$, la continuité de $f$ au point $u_i$ entraîne l'existence de $\delta_i>0$ tel que tout point $x\in[u_i-\delta_i,u_i+\delta_i]$ satisfasse $|f(x)-f(u_i)|\le \varepsilon\,2^{-i}$. On pose alors $\delta(u_i)=\delta_i$. Dans ce cas il vient $|f(a_{j+1})-f(a_j)|\le 2\varepsilon\,2^{-i}$ si $x_j=u_i$, ce qui donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big| \le 2\varepsilon\,2^{-i}. $$ En sommant toutes ces inégalités, il vient $$ \big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a)+2\varepsilon, $$ (car $\sum_{1\le i\le p}2\varepsilon\,2^{-i}\le 2\varepsilon$), ce qui démontre le théorème.\qed \medskip {\bf (7.12)* Remarque.} On peut voir facilement que le théorème 7.11 est en fait encore vrai avec un ensemble $E=\{u_i\}_{i\in\bN}$ dénombrable. \medskip {\bf (7.13) Corollaire.} {\it Si $f:{}]a,b[{}\to\bR$ admet une primitive $F$ sur $]a,b[$, et si cette primitive $F$ admet une limite à droite $F(a+0)$ en $a$ et une limite à gauche $F(b-0)$ en $b$, alors $f$ est HK-intégrable sur $[a,b]$ $($si $f$ n'est pas a priori définie en $a$ et $b$, on peut lui attribuer des valeurs $f(a),\,f(b)\in\bR$ arbitraires$)$, et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^b f(x)\,dx = F(b-0)-F(a+0)=\lim_{x\to b-0}F(x)-\lim_{x\to a+0}F(x).} $$ } {\it Démonstration.} Il suffit en effet de prolonger $F$ par continuité sur $[a,b]$ en posant $F(a)=\lim_{x\to a+0}F(x)$ et $F(b)=\lim_{x\to b-0}F(x)$, puis d'appliquer le théorème~7.11 à sa dérivée $F'$ qui est définie sur $]a,b[{}=[a,b]\ssm E$ avec $E=\{a,b\}$.\qed \medskip Un exemple typique d'application du corollaire 7.13 est celui de la fonction $$ f(x)={1\over\sqrt{1-x^2}}\qquad\hbox{sur l'intervalle $]-1,1[$}. $$ Dans ce cas, on a en effet une primitive $F(x)=\arcsin(x)$ qui se prolonge en une fonction continue sur $[-1,1]$. On obtient par conséquent $$ \int_{-1}^1{1\over\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi. $$ Plus généralement, le corollaire 7.13 nous amène à la définition des «\?intégrales im\-propres\rguil. \medskip {\bf (7.14) Intégrales «\?impropres\rguil.} {\it Soit $I=[a,b[{}\subset\bR$ un intervalle semi-ouvert, où \hbox{$b\in\bR\cup\{+\infty\}$}, et soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction intégrable $($par exemple continue ou monotone par morceaux$)$ sur tout intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$. On dit que l'intégrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est convergente au point $b$ si la limite $$ A=\lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta f(x)\,dx $$ existe dans $\bR$ $($en particulier finie$)$, et on pose alors $\int_a^bf(x)\,dx=A$.\smallskip On donne une définition analogue dans le cas d'un intervalle semi-ouvert $]a,b]$,\break \hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en considérant la limite $\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec $[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les intégrales sur $]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point intermédiaire $c\in{}]a,b[$.} \medskip {\bf (7.15) Exemples.} On vérifiera que les intégrales $$ \int_0^1{1\over x^a}\,dx = {1\over 1-a},\qquad \int_1^{+\infty}{1\over x^b}\,dx = {1\over b-1} $$ convergent respectivement pour $a<1$ et $b>1$, et que $$ \int_0^{+\infty}e^{-cx}\,dx = {1\over c} $$ converge pour tout $c>0$. En utilisant le calcul de la primitive de $x^n e^{-x}$ donné au point (5.1$\,$a), on obtient également le résultat classique $$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx=n!\;. $$ {\bf (7.16)** Convergence absolue.} {\it Soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction HK-intégrable sur tout intervalle fermé borné $[a,\beta]$. On dit que l'intégrale $\smash{\int_a^bf(x)\,dx}$ est absolument convergente si de plus $|f|$ est HK-intégrable sur chaque intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$ et si la limite $$ \lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta |f(x)|\,dx $$ existe dans $\bR$ $($donc en particulier si elle est finie$)$.} \medskip On donne une définition analogue dans le cas d'un intervalle semi-ouvert $]a,b]$,\break \hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en considérant la limite $\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec $[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les intégrales sur $]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point intermédiaire $c\in{}]a,b[$.\medskip Le critère de Cauchy${}^*$ permet de voir qu'il y a convergence (resp.\ convergence absolue) de l'intégrale sur $[a,b[$ si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $\beta_\varepsilon0$ et $n_0$ tels que $|f_n-f|\le\varepsilon$ pour $n\ge n_0$. Nous avons $|f_p-f_q|\le 2\varepsilon$ pour $p,q\ge n_0$, d'où $|A_p-A_q|\le2\varepsilon(b-a)$. La suite $(A_n)$ est donc une suite de Cauchy, par conséquent la limite $A=\lim_{n\to+\infty}A_n$ existe. De plus, il existe une jauge $\delta$ (resp.\ une jauge constante dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann) telle que pour toute subdivision pointée $D$ de pas $h_j\le\delta(x_j)$ on ait $|S_D(f_{n_0})-A_{n_0}|\le\varepsilon$. Il vient à la limite $|A-A_{n_0}|\le 2\varepsilon(b-a)$ tandis que $|S_D(f)-S_D(f_{n_0})|\le\sum|f(x_j)-f_{n_0}(x_j)|\,h_j\le\varepsilon(b-a)$. En mettant bout à bout ces inégalités il vient $$ |S_D(f)-A|\le\varepsilon+3\varepsilon(b-a), $$ donc $f$ est bien intégrable sur $[a,b]$ d'intégrale $A=\lim A_n$.\qed \medskip {\bf (8.2) Remarque.} Pour obtenir l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil de la limite $f=\lim f_n$, il suffirait d'avoir une estimation de la forme $|f_n-f|\le\varepsilon_ng$ avec $g\ge 0$ HK-intégrable (non nécessairement bornée) et $\varepsilon_n\to 0$. Nous obtiendrons de toutes façons des théorèmes de convergence beaucoup meilleurs encore dans ce cas, cf.~chapitre II. \medskip Rappelons qu'une fonction $f:I\to\bR$ définie sur un intervalle $I$ est dite {\it réglée} si elle admet une limite à droite et à gauche en tout point de l'intérieur $I^\circ$, ainsi qu'une limite à droite en $a=\inf I$ si $a\in I$ et à gauche en $b=\sup I$ si $b\in I$. \medskip {\bf (8.3) Lemme.} {\it Toute fonction réglée sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est limite uniforme de fonctions en escalier.} \medskip {\bf (8.4) Corollaire.} {\it Toute fonction réglée sur sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ y est Riemann-intégrable.} {\it Démonstration du lemme et de son corollaire.} Soit $\varepsilon>0$. Pour tout $x\in[a,b]$, il existe $\delta(x)>0$ et des constantes $c^+=\lim_{\xi\to x+0}f(\xi)$, $c^-=\lim_{\xi\to x-0}f(\xi)$ telles que $|f(x)-c^-|\le\varepsilon$ sur $[x-\delta(x),x]\cap[a,b]$ et $|f(x)-c^+|\le\varepsilon$ sur $[x,x+\delta(x)]\cap[a,b]$. D'après le lemme I.2.6, on peut trouver une subdivision pointée $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ $\delta$-fine. Ceci nous permet de définir une fonction en escalier $\varphi$ en posant $$ \eqalign{ &\varphi(x_j)=f(x_j),\quad \varphi(a_j)=f(a_j),\cr &\varphi_{|]a_j,x_j[}=c^-_j=\lim_{\xi\to x_j-0}f(\xi),\quad \varphi_{|]x_j,a_{j+1}[}=c^+_j=\lim_{\xi\to x_j+0}f(\xi).\cr} $$ Par construction nous avons $|f-\varphi|\le\varepsilon$ sur $[a,b]$. Il en résulte que $f$ est Riemann-intégrable comme limite uniforme de fonctions en escalier.\qed \medskip On va maintenant tirer du théorème de convergence uniforme les propriétés usuelles de continuité et de dérivabilité sous le signe somme des intégrales dépendant de para\-mètres. Des résultats beaucoup plus forts sont vrais, mais on aura besoin pour cela de théorèmes de convergence plus subtils que le théorème 8.1 (cf.\ Chapitre~II, section 5). \medskip {\bf (8.5) Lemme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie quelconque et $f:[a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une application continue. Alors, si $t_0\in T$, la famille de fonctions $f_t:x\mapsto f(x,t)$ converge uniformément vers la fonction $f_{t_0}:x\mapsto f(x,t_0)$ quand $T\ni t$ tend vers $t_0$. Autrement dit, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un voisinage $V$ de $t_0$ tel que pour $t\in T\cap V$, on ait $|f(x,t)-f(x,t_0)|\le\varepsilon$ pour tout $x\in[a,b]$.} {\it Démonstration.} Pour tout $x_0\in[a,b]$, l'hypothèse de continuité au point $(x_0,t_0)$ implique qu'il existe un voisinage $V_{x_0,t_0}$ de $t_0$ (dépendant de $x_0$) et un voisinage $$ U_{(x_0,t_0)}= [x_0-\delta(x_0),x_0+\delta(x_0)]\times V_{x_0,t_0}\quad\hbox{de $(x_0,t_0)$} $$ tel que $(x,t)\in U_{(x_0,t_0)}\cap([a,b]\times T)$ implique $|f(x,t)-f(x_0,t_0)|\le\varepsilon/2$. En appliquant ceci en particulier pour $t=t_0$ et en faisant la différence, on voit que que pour tout $t\in T\cap V_{x_0,t_0}$ et tout $x\in[x_0-\delta(x_0),x_0+\delta(x_0)]$ on a $|f(x,t)-f(x,t_0)|\le\varepsilon$. D'après le lemme~I.2.6, il existe une subdivision pointée $D=([a_i,a_{i+1}],x_i)$ de $[a,b]$ qui est $\delta$-fine. Par conséquent $[a_i,a_{i+1}]\subset[x_i-\delta(x_i),x_i+\delta(x_i)]$, et en prenant $t\in V=\bigcap_i V_{x_i,t_0}$ on voit que la conclusion du lemme est vérifiée. \qed \medskip De là, on déduit aussitôt le théorème de continuité des intégrales dépendant de para\-mètres. {\bf (8.6) Continuité sous le signe somme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie quelconque et $f:[a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une application continue. Alors l'application $$F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$$ est continue sur~$T$. } {\it Démonstration.} Avec les notations du lemme 8.5, on trouve $$ |F(t)-F(t_0)|\le\int_a^b\big|f(x,t)-f(x,t_0)\big|\,dx\le (b-a)\varepsilon $$ pour $t\in T\cap V$, ce qui prouve la continuité de $F$ au point~$t_0$.\qed \medskip {\bf (8.7) Dérivation sous le signe somme.} {\it Soit $T$ un intervalle de la droite réelle et $f: [a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est continue sur $[a,b]\times T\;;$ \item{\rm(b)} $f$ admet en tout point une dérivée partielle ${\partial f\over\partial t}(x,t)$ qui est elle-même continue sur~$[a,b]\times T$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_a^bf(x,t)\,dx$ est de classe $C^1$ sur $T$ et pour tout $t_0\in T$ on a $$ \boxed{16}{ F'(t_0)=\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx}. $$ } {\it Démonstration.} Soit $t\in T$. En appliquant le théorème des accroissements finis à $t\mapsto f(x,t)$ sur l'intervalle $[t_0,t]$, on voit que $$ {F(t)-F(t_0)\over t-t_0}= \int_a^b {f(x,t)-f(x,t_0)\over t-t_0}\,dx= \int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\,dx $$ pour un certain point $c=c_{t,x}\in{}]t_0,t[$. Soit $\varepsilon>0$. En appliquant le lemme 8.5 à la fonction continue $g(x,t)={\partial f\over\partial t}(x,t)$, on voit qu'il existe un voisinage $V={}]t_0-\eta,t_0+\eta[$ de $t_0$ tel que $|{\partial f\over\partial t}(x,t)- {\partial f\over\partial t}(x,t_0)|\le \varepsilon$ pour tout $x\in[a,b]$ et tout $t\in V$. Sous cette hypothèse on a également $c(x,t)\in{}]t_0,t[{}\subset V$, donc $|{\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})- {\partial f\over\partial t}(x,t_0)|\le \varepsilon$ et par suite $$ \bigg|{F(t)-F(t_0)\over t-t_0}- \int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx\bigg| =\bigg|\int_a^b \Big( {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x}) -{\partial f\over\partial t}(x,t_0))\Big)\,dx\bigg|\le (b-a)\varepsilon. $$ On a donc bien $F'(t_0)=\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx$, et cette relation montre que $F'$ est continue d'après le théorème~8.6.\qed \medskip Pour un paramètre $t=(t_1,\ldots, t_d)\in\bR^d$, nous avons le résultat analogue suivant. \medskip {\bf (8.8) Différentiabilité sous le signe somme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie ouverte et $f: [a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est continue sur $[a,b]\times T\;;$ \item{\rm(b)} $f$ admet en tout point des dérivées partielles ${\partial f\over\partial t_j}(x,t)$ qui sont elles-mêmes continues sur $[a,b]\times T$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$ est de classe $C^1$ sur $T$ et on a $$ \boxed{16}{{\partial F\over\partial t_j}(t)= \int_a^b {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\,dx.} $$ } {\it Démonstration.} Il suffit en effet d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme séparément pour chaque variable $t_j$ pour voir que les dérivées partielles $\partial F/\partial t_j$ existent, et d'invoquer ensuite le théorème de continuité pour voir que ces dérivées partielles sont continues sur $T$.\qed \medskip Il est bon parfois de connaître également la formule de différentiation sous le signe somme dans le cas où l'intégrale est calculée sur des intervalles dépendant du paramètre. \medskip {\bf (8.9) Formule générale de dérivation sous le signe somme.} {\it Soient $I\subset\bR$ et $T\subset\bR$ des intervalles. On considère une intégrale de la forme $$ F(t)=\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\,dx $$ où $a,b:T\to I$ sont des fonctions de classe $C^1$ et $f: I\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction continue admettant une dérivée partielle ${\partial f\over\partial t}$ continue sur $I\times T$. Alors l'application $F$ est de classe $C^1$ sur $T$ et on a $$ \boxed{16}{ F'(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}{\partial f\over\partial t}(x,t)\,dx +b'(t)f(b(t),t)-a'(t)f(a(t),t).} $$} {\it Démonstration.} On pose $$ \Phi(t,u,v)=\int_u^v f(x,t)\,dx. $$ Plaçons-nous sur un sous-intervalle fermé borné $T'=[t_1,t_2]\subset T$, et soit $$ A=\min_{t\in T'}a(t)\in I,\qquad B=\max_{t\in T'}b(t)\in I. $$ Nous avons $[A,B]\subset I$, donc les hypothèses des théorèmes 8.5 et 8.6 sont satisfaites sur $[A,B]\times T'$. On voit par conséquent que $\Phi$ admet des dérivées partielles $$ {\partial\Phi\over\partial t}=\int_u^v {\partial f\over\partial t}(x,t)\,dx, \qquad {\partial\Phi\over\partial v}=f(v,t), \qquad {\partial\Phi\over\partial u}=-f(u,t) $$ (pour cette dernière égalité, il suffit d'échanger les bornes $u$ et $v$). De plus, ces trois dérivées partielles sont continues en les variables $(t,u,v)$. Pour ${\partial\Phi\over\partial u}$ et ${\partial\Phi\over\partial v}$ c'est clair par hypothèse, tandis que pour ${\partial\Phi\over\partial t}$ cela résulte de l'estimation $$ \Big|{\partial\Phi\over\partial t}(t,u,v)- {\partial\Phi\over\partial t}(t_0,u_0,v_0)\Big| \le M(|u-u_0|+|v-v_0|)+\bigg|\int_{u_0}^{v_0} \Big({\partial f\over\partial t}(x,t)-{\partial f\over\partial t}(x,t_0)\Big) \,dx\bigg| $$ dans laquelle $M$ est un majorant de $|{\partial f\over\partial t}|$ sur la pavé $[A,B]\times T'$. On déduit de tout cela que $\Phi(t,u,v)$ et $F(t)=\Phi(t,a(t),b(t))$ sont de classe $C^1$. De plus $$ F'(t)={\partial \Phi\over\partial t}(t,a(t),b(t))+ {\partial \Phi\over\partial u}(t,a(t),b(t))\,a'(t)+ {\partial \Phi\over\partial v}(t,a(t),b(t))\,b'(t) $$ ce qui donne la formule (8.9) attendue.\qed \chapterjump \chapterrunning{II.} \phantom{$\ $} \medskip \centerline{\fourteenbf Chapitre II} \bigskip \centerline{\fourteenbf Théorèmes de convergence} \vskip3.7cm Nous établissons ici un pont direct entre la théorie de Henstock-Kurzweil et la théorie de la mesure. Ceci se fait en observant que l'intégrale de jauge satisfait les théorèmes de convergence fondamentaux que sont le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ceci permet d'établir de manière naturelle l'exis\-tence de la mesure de Lebesgue dans $\bR$. \bigskip \section{1. Lemme de Henstock et théorème de Hake} Le but du lemme de Henstock est d'obtenir des estimations fines pour les sommes de Riemann calculées sur des familles de sous-intervalles de $[a,b]$ qui ne constituent pas nécessairement un découpage complet. Nous aurons d'abord besoin du critère d'inté\-grabilité de Cauchy, qui donne une condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir la valeur $A$ de l'intégrale. \medskip {\bf (1.1) Critère de Cauchy}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$ fermé borné. Pour que $f$ soit HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$, il faut et il suffit que pour tout $\varepsilon>0$ il existe une jauge $\delta:[a,b]\to\bR_+^*$ $($resp.\ une constante $\delta>0)$, telle que pour toutes subdivisions pointées $D$ et~$D'$ $\delta$-fines on ait \hbox{$|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$}. } {\it Démonstration.} Si $f$ est HK-intégrable d'intégrale $A$, pour chaque jauge $\delta$ qui est $\varepsilon/2$-adaptée à $f$, les inégalités $|S_D(f)-A|\le\varepsilon/2$ et $|S_{D'}(f)-A|\le\varepsilon/2$ pour $D,\;D'$ $\delta$-fines entraînent $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$. La réciproque est une conséquence de la complétude de $\bR$, ou, de façon équivalente, de l'existence de bornes supérieures et inférieures pour les parties bornées de~$\bR$. En effet, supposons que pour tout entier $n\ge 1$ il existe une jauge $\delta_n$ telle que $$ |S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon_n=1/n\qquad\hbox{lorsque $D$ et $D'$ sont $\delta_n$-fines}. $$ Quitte à remplacer $\delta_n$ par $\min(\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_n)$ on peut supposer la suite $\delta_n$ décroissante. L'encadrement précédent montre que les quantités $$ M_\ell=\sup\big\{S_{D'}(f)\,;\;\hbox{$D'$ $\delta_\ell$-fine}\big\} $$ sont bornées et vérifient $|M_\ell-S_D(f)|\le 1/n$ pour tout $\ell\ge n$ et toute subdivision $D$ $\delta_n$-fine. De plus la suite $(M_\ell)$ est décroissante bornée, et si on pose $A=\inf\{M_\ell\}$, on trouve $|A-S_D(f)|\le 1/n$ pour toute subdivision $D$ $\delta_n$-fine. Ceci implique $$ \lim_{\HK,\;D}S_D(f)=A=\inf_{\ell>0}M_\ell,\qquad\hbox{donc $f$ HK-intégrable d'intégrale $A$}.\eqno\square $$ Nous aurons besoin aussi du résultat élémen\-taire suivant qui complète l'énoncé de la relation de Chasles, en nous limitant au cas des fonctions intégrables au sens de Henstock-Kurzweil (la preuve pour les fonctions Riemann-intégrables serait identique). \medskip {\bf (1.2) Proposition.} {\it Soit $f : [a,b]\to\bR$ une fonction HK-intégrable. Alors la restriction $f_{|[c,d]}$ à tout sous-intervalle $[c,d]\subset[a,b]$ est encore HK-intégrable.} {\it Démonstration.} On utilise le critère de Cauchy. Étant donné $\varepsilon>0$, il existe une jauge $\delta$ sur $[a,b]$ telle que $|S_D(f)-S_{D'}(f)|\le\varepsilon$ pour toutes subdivisions pointées $\delta$-fines $D$ et $D'$ de~$[a,b]$. Soient maintenant $\Delta$ et $\Delta'$ deux subdivisions pointées de $[c,d]$ qui sont $\delta_{|[c,d]}$-fines. En considérant grâce au lemme I.2.6 des subdivisions de $[a,c]$ et de $[d,b]$ qui sont $\delta$-fines, on peut compléter $\Delta$ et $\Delta'$ en des subdivisions pointées $D$ et $D'$ de $[a,b]$ qui sont elles-mêmes $\delta$-fines. On obtient alors $$ |S_{\Delta}(f)-S_{\Delta'}(f)|=|S_D(f)-S_{D'}(f)|\le\varepsilon. $$ La proposition est démontrée.\qed \medskip {\bf (1.3) Lemme de Henstock.} {\it Soit $f : [a,b]\to\bR$ une fonction HK-intégrable sur $[a,b]$. Soient $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f$ sur $[a,b]$. Soient enfin $([a_i,b_i])_{1\le i\le N}$ des sous-intervalles de $[a,b]$ d'intérieurs deux à deux disjoints, et $x_i\in[a_i,b_i]$, \hbox{$1\le i\le N$}, des points choisis dans ces sous-intervalles. Si ceux-ci sont $\delta$-fins, c'est-à-dire si \hbox{$b_i-a_i\le\delta(x_i)$}, alors $$\leqalignno{ &\Big|\sum_{i=1}^N f(x_i)(b_i-a_i)- \sum_{i=1}^N \int_{a_i}^{b_i}f(x)\,dx\Big|\le \varepsilon\;;&\hbox{\rm(a)}\cr &\sum_{i=1}^N\Big| f(x_i)(b_i-a_i)- \int_{a_i}^{b_i}f(x)\,dx\Big|\le 2\varepsilon.&\hbox{\rm(b)}\cr } $$} {\it Démonstration.} Soit $\eta>0$ arbitrairement petit. On considère les intervalles $[c_j,d_j]$ formant les composantes connexes de $[a,b]\ssm\bigcup_i]a_i,b_i[$ et $\delta_j\le\delta$ une jauge sur $[c_j,d_j]$ choisie de sorte que $$\Big|S_{D_j}(f)-\int_{c_j}^{d_j}f(x)\,dx\Big|\le\eta$$ pour toute subdivision pointée $\delta_j$-fine $D_j$ de $[c_j,d_j]$. En prenant la réunion des $([a_i,b_i],x_i)$ et des $D_j$, on obtient une subdivision pointée $\delta$-fine de $[a,b]$, par conséquent $$\Big|\sum_if(x_i)(b_i-a_i)+ \sum_jS_{D_j}(f)-\int_a^bf(x)\,dx\Big|\le\varepsilon.$$ En soustrayant toutes les inégalités précédentes et en tenant compte du fait que $\int_a^bf(x)\,dx=\sum_i\int_{a_i}^{b_i}f(x)\,dx+ \sum_j\int_{c_j}^{d_j}f(x)\,dx$, il vient $$\Big|\sum_if(x_i)(b_i-a_i)-\sum_i\int_{a_i}^{b_i}f(x)\,dx \Big|\le\varepsilon+k\eta$$ où $k$ est le nombre d'intervalles $[c_j,d_j]$ mis en jeu. Comme $\eta>0$ est arbitraire, l'inégalité (a) s'ensuit. Pour obtenir (b), on applique séparément l'inégalité (a) aux intervalles $[a_i,b_i]$ pour lesquels $f(x_i)(b_i-a_i)-\int_{a_i}^{b_i}f(x)\,dx\ge 0$ (resp.${}\le 0$), et on fait la somme.\qed \bigskip {\bf Corollaire 1.4.} {\it Pour toute fonction $f$ HK-intégrable sur $[a,b]$, l'intégrale indéfinie $x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt$ est continue sur $[a,b]$.} {\it Démonstration.} Il s'agit de prouver que $\forall x\in[a,b]$, $\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ tend vers $0$ avec $h$. Soit $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f$ sur $[a,b]$. Prenons $h$ tel que $|h|\le\delta(x)$. En appliquant le lemme de Henstock 1.3~(a) à l'unique intervalle $[a_1,b_1]=[x,x+h]$ avec $x_1=x\in[a_1,b_1]$, il vient $$\Big| f(x)h-\int_x^{x+h}f(t)\,dt\Big|\le\varepsilon,$$ donc $$\Big|\int_x^{x+h}f(t)\,dt\Big|\le\varepsilon+|f(x)h|\le 2\varepsilon$$ pour $|h|\le\min(\delta(x),\varepsilon/|f(x)|)$. La proposition est démontrée.\qed \bigskip On se propose maintenant de donner la définition de l'intégrale de Henstock-Kurzweil sur un intervalle quelconque $I$ de $\bR$, non nécessairement fermé ni borné. La défi\-nition~est essen\-tiellement identique, excepté le fait que les subdivisions pointées\break \hbox{$D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j0$ donnée a priori, on puisse trouver un intervalle fermé borné $[\alpha_\varepsilon,\beta_\varepsilon]\subset I$ et une jauge $\delta:I\to\bR$, $\delta(x)>0$, telle que pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ avec $[\alpha_\varepsilon,\beta_\varepsilon]\subset\Supp(D)= [a_0,a_N]\subset I$, on ait $$h_j\le \delta(x_j)~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$ Dans ce cas, on note $$ A=\int_I f(x)dx, $$ et on appelle $A$ l'intégrale de $f$ sur $I$.} \medskip Observons que si $I$ contient l'une de ses bornes on peut toujours supposer que $[\alpha_\varepsilon,\beta_\varepsilon]$ contient aussi cette borne, puisque ceci ne fait que réduire l'ensemble des subdivisions $D$ à considérer$\;$; on fera toujours cette hypothèse. Si $I$ est fermé borné on est donc conduit à prendre $[\alpha_\varepsilon,\beta_\varepsilon]=I$, de sorte que la définition 1.5 est équivalente à celle déjà donnée. Notons tout de suite la caractérisation simple suivante, qui montre que calculer des intégrales HK sur des intervalles non fermés bornés est la même chose que de calculer ce que l'on appelle parfois des «\?intégrales impropres\rguil, à savoir des limites d'intégrales prises par rapport à leurs bornes.\note{11}{Ce mot «\?impropre\?» n'est utilisé que parce que le résultat correspondant à (1.6) n'est vrai ni pour l'intégrale de Riemann ordinaire, ni même pour l'intégrale de Lebesgue. Là encore, l'intégrale de Henstock-Kurzweil se révèle être à la fois plus puissante et plus naturelle, les intégrales impropres deviennent des intégrales «\?normales\rguil$\,$! Bien entendu, si on souhaite alléger l'exposé de la théorie et introduire les «\?intégrales impropres\?» sans avoir à étudier au préalable le lemme de Henstock, on peut tout aussi bien prendre le théorème 1.6 comme définition de $\smash{\int_{[a,b[}}f(x)\,dx$.} \medskip {\bf (1.6) Théorème de Hake}. {\it La fonction $f:I\to\bR$ est HK-intégrable sur un intervalle $I=[a,b[$ $(b\in\bR\cup\{+\infty\})$ si et seulement si elle est HK-intégrable sur tout intervalle fermé borné $[a,\beta]$ avec $\beta0$. La définition 1.5 implique l'existence de $\beta_\varepsilon0$ fixé. Par hypothèse, on peut choisir une suite strictement croissante $(\beta_k)_{k\ge 1}$ telle que $\big\vert\int_a^\beta f(x)\,dx-A \big\vert\le 2^{-k}\varepsilon$ pour tout $\beta\in[\beta_k,b[$. Choisissons maintenant pour tout $k\ge 0$ une jauge $\delta_k$ sur $[\beta_k,\beta_{k+1}]$ (avec $\beta_0=a$), telle que $\big|S_{D_k}(f)-\int_{\beta_k}^{\beta_{k+1}}f(x)\,dx\big|\le2^{-k}\varepsilon$ pour toute subdivision $\delta_k$-fine $D_k$ de $[\beta_k,\beta_{k+1}]$. Comme dans la démonstration de la relation de Chasles, on définit une jauge $\delta$ sur $[a,b[$ par $$ \delta(x)=\cases{\delta_0(a)&si $x=a$,\cr \min(\delta_k(x),x-\beta_k,\beta_{k+1}-x)&si $x\in{}]\beta_k,\beta_{k+1}[$,\cr \min(\delta_{k-1}(\beta_k),\delta_k(\beta_k))&si $x=\beta_k$, $k\ge 1$.\cr } $$ Alors toute subdivision $\delta$-fine $D$ d'un intervalle $[a,\beta]$, $\beta_k\le\beta<\beta_{k+1}$, se décompose en des subdivisions $D_j$ de $[\beta_j,\beta_{j+1}]$ pour $0\le j0$, on choisit une jauge $\delta$ adaptée à $\varepsilon$, telle qu'on ait en outre $\delta(x)\le\min(x-a_j,a_{j+1}-x)$ sur $]a_j,a_{j+1}[$. Toute subdivision $D'= ([a'_k,a'_{k+1}],x_k)$ $\delta$-fine se ramène alors à une subdivision obtenue en redécoupant chaque intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ en sous-intervalles. Le lemme de Henstock 1.3~(b) combiné à l'inégalité triangulaire $||u|-|v||\le|u-v|$ implique $$ \bigg|\sum_{k=0}^{N'-1}\Big(|f(x'_k)|h'_k-\Big|\int_{a'_k}^{a'_{k+1}} f(x)\,dx\Big|\Big)\bigg| \le 2\varepsilon. $$ Par ailleurs, la formule de Chasles donne que chaque intégrale $\int_{a_j}^{a_{j+1}}f(x)\,dx$ est une somme d'intégrales $\int_{a'_k}^{a'_{k+1}}f(x)\,dx$, $N_j\le k0$. On peut choisir un entier $n_0$ tel que $$ A-\varepsilon\le\int_a^b f_n(x)\,dx\le A\qquad\hbox{pour $n\ge n_0$}. $$ Pour chaque indice $n$, choisissons une jauge $\delta_n$ adaptée à $f_n$ pour une tolérance d'erreur $2^{-n}\varepsilon$. Enfin, pour chaque $x\in[a,b]$, choisissons un indice $N(x)\ge n_0$ tel que $$ f(x)-\varepsilon\le f_n(x)\le f(x)\qquad\hbox{pour $n\ge N(x)$}. $$ On définit une jauge $\delta$ par $\delta(x)=\delta_{N(x)}(x)$. Soit $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)_{0\le j0$, soit $E_{n,p}$ l'ensemble des $x\in I$ tels que $f_n(x)>p$. Nous avons $\chi_{E_{n,p}}=\lim_{N\to+\infty}\min(1,N(f_n-p)_+)$ comme limite croissante, et de plus \hbox{$0\le \chi_{E_{n,p}}\le {1\over p}f_n$}, donc $\chi_{E_{n,p}}$ est intégrable sur~$I$ et $$ \int_I\chi_{E_{n,p}}(x)\,dx\le {1\over p}\int_If_n(x)\,dx\le M/p. $$ Or $(E_{n,p})_{n\in\bN}$ est une suite croissante d'ensembles dont la réunion est l'ensemble $E_p$ des $x\in I$ tels que $\lim_{n\to+\infty}f_n(x)>p$. Ceci prouve que $E_p$ est intégrable et que \hbox{$m(E_p)\le M/p$}. Maintenant, l'ensemble $E$ des réels $x\in I$ tels que \hbox{$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=+\infty$} est l'intersection décroissante $\bigcap_{p\ge 0}E_p$, par suite $E$ est négligeable. Quitte à redéfinir $f_n(x)=0$ sur $E$, nous pouvons appliquer le théorème de convergence monotone ordinaire pour conclure que $f=\lim f_n$ est HK-intégrable.\qed \medskip Désormais, on s'autorisera à écrire des intégrales dans lesquelles figurent des fonctions qui prennent les valeurs $+\infty$ ou $-\infty$, pourvu que cela soit sur un ensemble négligeable~$E$ -- en fait, si on le souhaite, on pourra toujours redéfinir ces fonctions comme valant $0$ ou toute autre valeur réelle en chaque point de~$E$. Dans ce contexte, le théorème de convergence monotone peut se reformuler comme la possibilité de commuter intégration et passage à la limite monotone~: $$ \boxed{16}{ \hbox{$(f_n)$ monotone}\Rightarrow \int_I\lim_{n\to+\infty}f_n(x)\,dx =\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n(x)\,dx,}\leqno(4.6) $$ dès lors que l'un des deux membres est fini. \bigskip \section{5. Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée} \bigskip On déduit ici du théorème de convergence monotone plusieurs autres résultats fondamentaux de convergence. Le premier, dit lemme de Fatou, est très utile dans bien des situations. \medskip {\bf (5.1) Lemme de Fatou.} {\it Soient $f_n,g:I\to\bR$ des fonctions HK-intégrables telles que $f_n\ge g$ presque partout. Si $\liminf_{n\to+\infty} \int_I f_n(x)\,dx<+\infty$, alors $f=\liminf_{n\to+\infty} f_n$ est finie presque partout et HK-intégrable, et on a $$ \int_I \liminf_{n\to+\infty} f_n(x)\,dx\le \liminf_{n\to+\infty} \int_I f_n(x)\,dx. $$} {\it Démonstration.} Quitte à remplacer $f_n$ par $f_n-g$, on peut supposer $f_n\ge 0$ (et $g=0$). De manière générale la $\liminf$ d'une suite est obtenue comme une limite croissante $$ \liminf_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\uparrow\inf_{k\in[n,+\infty[}u_k. $$ Or pour tout $n\ge 0$ nous avons $$ \int_I\inf_{k\in[n,+\infty[}f_k(x)\,dx\le \inf_{k\in[n,+\infty[}\int_I f_k(x)\,dx $$ puisque l'intégrande $\varphi_n(x)=\inf_{k\in[n,+\infty[}f_k(x)$ du membre de gauche est majoré par $f_k$ pour chaque $k\in[n,+\infty[$ (de plus $\varphi_n$ est HK-intégrable comme limite décroissante de la suite $p\mapsto \varphi_{n,p}(x)= \min_{k\in[n,p]}f_k(x)$ quand $p\to+\infty$). Le lemme de Fatou résulte maintenant du théorème de convergence monotone (4.6) appliqué à la suite croissante~$(\varphi_n)$.\qed \medskip On a bien entendu l'énoncé symétrique, à savoir que si $f_n\le h$ avec $h$ HK-intégrable pour tout $n$, alors $$ \int_I \limsup_{n\to+\infty} f_n(x)\,dx\ge \limsup_{n\to+\infty} \int_I f_n(x)\,dx\leqno(5.2) $$ pourvu que le second membre ne soit pas $-\infty$. En combinant (5.1) et (5.2), on obtient le \medskip {\bf (5.3) Théorème de la convergence encadrée.} {\it Soient $f_n,g,h:I\to\bR$ des fonctions HK-intégrables telles que $g\le f_n\le h$ presque partout. On suppose que $f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$ existe presque partout. Alors $f$ est HK-intégrable sur $I$ et $$ \lim_{n\to+\infty}\int_I f_n(x)\,dx=\int_I f(x)\,dx. $$ } {\it Démonstration.} Le lemme de Fatou donne en effet $$ \limsup_{n\to+\infty} \int_I f_n(x)\,dx\le \int_I \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\,dx \le \liminf_{n\to+\infty} \int_I f_n(x)\,dx $$ puisque $\lim_{n\to+\infty} f_n=\limsup_{n\to+\infty} f_n= \liminf_{n\to+\infty} f_n$ et que les membres de gauche et de droite sont encadrés par $\int_Ig(x)\,dx$ et $\int_Ih(x)\,dx$.\qed \medskip {\bf (5.4) Théorème de convergence dominée.} C'est le cas particulier du théorème de convergence encadrée où la suite $(f_n)$ vérifie la condition plus forte $|f_n|\le g$ pour une certaine fonction $g\ge 0$ HK-intégrable. Dans ce cas toutes les fonctions $f_n$ sont absolument intégrables et la limite $f=\lim f_n$ vérifie $\Vert f\Vert_1=\lim \Vert f_n\Vert_1$.\note{13}{En fait les deux théorèmes sont équivalents, puisque le théorème de la convergence encadrée se ramène au cas de fonctions${}\ge 0$ en observant que l'on a $0\le f_n-g\le h-g$.} \medskip {\bf (5.5) Séries convergentes dans $L^1$.} {\it Soit $f_n:I\to\bR$ une suite de fonctions abso\-lument intégrables telles que $\sum\Vert f\Vert_1<+\infty$. Alors la série $\sum f_n$ converge dans~$L^1(I)$.} {\it Démonstration.} Posons $S_n=|f_0|+|f_1|+\ldots+|f_n|$. C'est une suite croissante de fonctions absoulument intégrables telles que $\int_I S_n(x)\,dx\le \sum\Vert f\Vert_1<+\infty$. Le théorème de convergence monotone montre que la somme $S(x)=\sum|f_n(x)|$ converge presque partout. En particulier $\varphi(x)=\sum_{n\ge 0}f_n(x)$ existe presque partout comme somme d'une série absolument convergente, et le théorème de convergence dominée appliqué aux sommes partielles $\varphi_n=f_0+f_1+\ldots+f_n$ implique que $\varphi$ est absolument intégrable, du fait que $0\le|\varphi_n|\le S$. Nous avons de plus $|\varphi-\varphi_n|\le\sum_{k\in[n+1,+\infty[}|f_k|$ donc $\Vert\varphi-\varphi_n\Vert_1\le\sum_{k\ge n+1}\Vert f_k\Vert_1$, et par conséquent $\lim_{n\to+\infty}\Vert\varphi-\varphi_n\Vert_1=0$.\qed \medskip Comme conséquence immédiate, nous avons le \medskip {\bf (5.6) Théorème.} {\it $L^1(I)$ est un espace de Banach $($c'est-à-dire un espace normé complet$)$.} {\it Démonstration.} C'est une conséquence purement formelle de (5.5). Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy dans $L^1(I)$. Il existe une sous-suite $(u_{n_k})$ telle que $\Vert u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\Vert_1\le 2^{-k}$. Ceci implique que la série $\sum(u_{n_{k+1}}-u_{n_k})$ converge vers une limite $S$ dans $L^1(I)$, et donc que la sous-suite $(u_{n_k})$ converge vers $u=S+u_{n_0}$. Il en résulte que la suite $(u_n)$ converge elle aussi vers~$u$.\qed \medskip On peut tirer du théorème de convergence encadrée des propriétés très agréables de continuité et de dérivabilité sous le signe somme des intégrales dépendant de para\-mètres qui généralisent les résultats du \S$\,$1.\note{14}{Comme on va le voir, on peut le faire sous des conditions même plus générales que dans la théorie de Lebesgue, avec des intégrales non nécessairement absolument convergentes -- on profite en cela de ce que la convergence encadrée est plus générale que la convergence dominée. Les preuves sont cependant identiques.} {\bf (5.7) Théorème.} {\it Soit $I\subset\bR$ un intervalle, $T$ une partie de $\bR^d$ et $t_0$ un point de l'adhérence de $T$ dans $\bR^d$. Soit $f: I\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} Pour tout $t\in T$, l'application $I\ni x\mapsto f(x,t)$ est HK-intégrable$\;;$ \item{\rm(b)} Il existe des fonctions $g,h:I\to\bR$ HK-intégrables et un voisinage $V$ de $t_0$ tel que $g(x)\le f(x,t)\le h(x)$ pour tout $t\in T\cap V$ et presque tout $x\in I$ $($l'ensemble négligeable $N(t)\subset I$ correspondant peut dépendre de $t)$. \item{\rm(c)} Pour presque tout $x\in I$, l'application $T\ni t\mapsto f(x,t)$ possède une limite $\varphi(x)$ quand $t\to t_0$.\vskip0pt}% Alors $\varphi$ est HK-intégrable sur $I$ et $$ \lim_{T\ni t\to t_0}\int_I f(x,t)\,dx = \int_I\varphi(x)\,dx. $$ {\bf (5.8) Continuité sous le signe somme.} Sous les hypothèses $5.7$ {\rm(a,$\;$b)}, si $t_0\in T$ et si $T\ni t\mapsto f(x,t)$ est continue en $t_0$ pour presque tout $x\in I$, on a $$ \lim_{T\ni t\to t_0}\int_I f(x,t)\,dx =\int_I f(x,t_0)\,dx, $$ c'est-à-dire que l'application $F(t)=\int_I f(x,t)\,dx$ est continue en $t_0$. } {\it Démonstration de $(5.7)$.} Il suffit de montrer qu'il y a convergence pour toute suite $t_n\in T$ tendant vers $t_0$. Or par hypothèse, nous avons $\varphi_n(x)=f(x,t_n)\to\varphi(x)$ sauf sur un ensemble négligeable $E\subset I$, tandis que $g(x)\le\varphi_n(x)\le h(x)$ en dehors de~$N(t_n)$. Il~suffit d'appliquer le théorème de convergence encadrée, les hypothèses étant satis\-faites en dehors de l'ensemble négligeable $E'=E\cup \bigcup N(t_n)$.\qed \medskip {\bf (5.9) Dérivation sous le signe somme.} {\it Soient $I\subset\bR$ et $T\subset\bR$ des intervalles, $t_0\in T$ un point fixé et $f: I\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction tels que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} pour tout $t\in T$, l'application $I\ni x\mapsto f(x,t)$ est HK-intégrable$\;;$ \item{\rm(b)} pour presque tout $x\in I$, l'application $t\mapsto f(x,t)$ admet une dérivée partielle ${\partial f\over\partial t}(x,t)$ sur $T$, et celle-ci est continue en $t_0\in T\;;$ \item{\rm(c)} il existe un voisinage $V$ de $t_0$ et des fonctions $g,h:I\to\bR$ HK-intégrables telles que $g(x)\le {\partial f\over\partial t}(x,t)\le h(x)$ pour tout $t\in T\cap V$ et presque tout $x\in I$ $($l'ensemble négligeable $N(t)\subset I$ correspondant peut dépendre a priori de $t)$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_I f(x,t)\,dx$ est différentiable au point $t_0$ et on a $$ \boxed{16}{ F'(t_0)=\int_I {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx.} $$ De plus si $t\mapsto {\partial f\over\partial t}(x,t)$ est continue sur $T$ pour presque tout $x\in I$, alors $F$ est de classe $C^1$ sur $T$ et la formule ci-dessus a lieu pour tout $t_0\in T$. } {\it Démonstration.} En appliquant le théorème des accroissements finis à $t\mapsto f(x,t)$, on voit que $$ {F(t)-F(t_0)\over t-t_0}= \int_I {f(x,t)-f(x,t_0)\over t-t_0}\,dx= \int_I {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\,dx $$ pour un certain point $c=c_{t,x}\in{}]t_0,t[$. Soit $V={}]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[$ tel que (c) ait lieu, et soit $(t_n)$ une suite de points dense dans $V$. Par continuité, on voit que l'hypothèse (c) est vérifiée pour tout $x\in I\ssm N'$ et $t\in T\cap V$, avec $N'=\bigcup N(t_n)$. Soit $E$ un ensemble négligeable en dehors duquel (b) a lieu. Lorsque $x\in I\ssm(E\cup N')$ et $t\to t_0$ nous avons $$ g(x)\le {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\le h(x)\quad\hbox{et}\quad {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\to {\partial f\over\partial t}(x,t_0). $$ Le résultat découle alors de nouveau du théorème de convergence monotone.\qed \medskip Pour un paramètre $t=(t_1,\ldots, t_d)\in\bR^d$, nous avons le résultat analogue suivant. \medskip {\bf (5.10) Différentiabilité sous le signe somme.} {\it Soit $I\subset\bR$ un intervalle et $T\subset\bR^d$ un ouvert. Soit $f: I\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} pour tout $t\in T$, l'application $I\ni x\mapsto f(x,t)$ est HK-intégrable$\;;$ \item{\rm(b)} pour presque tout $x\in I$, l'application $t\mapsto f(x,t)$ admet des dérivées partielles ${\partial f\over\partial t_j}(x,t)$ continues sur $T\;;$ \item{\rm(c)} pour tout point $t_0\in T$, il existe un voisinage $V$ de $t_0$ et des fonctions $g_j,h_j:I\to\bR$ HK-intégrables telles que $g_j(x)\le {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\le h_j(x)$ pour tout $t\in T\cap V$ et presque tout $x\in I$ $($l'ensemble négligeable $N_j(t)\subset I$ correspondant peut dépendre a priori de $t)$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_I f(x,t)\,dx$ est différentiable sur $T$ et on a $$ \boxed{16}{{\partial F\over\partial t_j}(t)= \int_I {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\,dx.} $$ } \bigskip \section{6. Lemme de recouvrement de Vitali et différentiabilité pres\-que partout des intégrales indéfinies} \sectionrunning{6. Lemme de recouvrement de Vitali et différentiabilité des intégrales indéfinies} Nous commençons par un lemme de recouvrement très utile, puis nous en donnons quelques applications fondamentales. \medskip {\bf (6.1) Lemme de recouvrement de Vitali.} {\it Soit $\cV=\{J_\alpha\}_{\alpha\in A}$ une famille de sous-intervalles fermés $J_\alpha=[c_\alpha,d_\alpha]$ de longueur $m(J_\alpha)=d_\alpha-c_\alpha>0$ d'un intervalle fermé borné $[a,b]$, et $E$ une partie de~$[a,b]$. On dit que $\cV$ est un recouvrement de Vitali de $E$ si pour tout $x\in E$ et tout $\varepsilon>0$, il existe un intervalle $J\in\cV$ tel que $x\in J$ et $m(J)<\varepsilon$. Alors$\;:$ {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} il existe une famille finie ou dénombrable $J_k$ d'intervalles deux à deux disjoints de $\cV$ et une partie négligeable $N$ de $[a,b]$ telles que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}J_k\cup N\;;$ \item{\rm(b)} on~peut de plus choisir $N$ contenu dans une intersection $\bigcap_{n\ge 0}\bigcup_{k\ge n}J'_k$ avec des intervalles fermés $J'_k\subset[a,b]$ tels que $\sum_{k\ge 0}m(J'_k)<+\infty$.\vskip0pt} } {\it Démonstration.} On définit par récurrence $J_0$, $J_1$, $\ldots$, $J_k$ comme suit. On pose $$ F_0=\emptyset,\qquad F_k=J_0\cup J_1\cup\ldots\cup J_{k-1}~~\hbox{si $k\ge 1$}, $$ et on considère $\cV_{E,k}\subset\cV$ la sous-famille des intervalles $J\in\cV$ tels que $J$ contienne un point $x\in E$ et $J\subset [a,b]\ssm F_k$. S'il existe un entier $k$ tel que $E\ssm F_k=\emptyset$ pour un certain~$k$, alors la famille finie $(J_0,\ldots,J_{k-1})$ répond à la question et le lemme est démontré avec $N=\emptyset$. Sinon $E\ssm F_k\ne\emptyset$ pour tout $k\ge 0$ et alors la famille $\cV_{E,k}$ est non vide~: en effet, $x\in E\ssm F_k$ étant fixé, il existe des intervalle $J\in\cV$ contenant $x$ vérifiant $m(J)<\varepsilon=d(x,F_k)$, de sorte qu'on a nécessairement $J\subset [a,b]\ssm F_k$. Soit $\mu_k$ le sup de la longueur de tous les intervalles $J\in\cV_{E,k}\;$; on choisit $J_k\in\cV_k$ en sorte que $m(J_k)\ge{1\over 2}\mu_k$. Les intervalles $J_k$ sont bien disjoints par construction, et on~a par conséquent $\sum m(J_k)\le b-a<+\infty$, donc $\sum\mu_k\le 2\sum m(J_k)<+\infty$. Nous allons montrer que $N=E\ssm\bigcup_{k\ge 0}J_k$ est négligeable. Soit $x\in N$. Pour tout entier~$n$, on a $x\in[a,b]\ssm F_n$, et il existe un intervalle $J\in \cV$ de longueur $m(J)0$ il existe un ouvert $U=\bigcup_{k\ge 0}{} ]c_k,d_k[$ contenant $E$ tel que $m(U)=\sum_{k\ge 0}(d_k-c_k) \le m(E)+\varepsilon$. } {\it Démonstration.} (1) Commençons par le cas où $E$ est borné, $E\subset[a,b]$. Soit $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f=\chi_E$ sur $[a,b]$. On considère la famille d'intervalles fermés $$ \cV_\delta=\big\{[x-h,x+h]\cap[a,b]\,;\;x\in E,\;h\le {\textstyle {1\over 2}}\delta(x)\big\}. $$ C'est un recouvrement de Vitali de $E$. Il existe par conséquent des intervalles fermés disjoints $[c_k,d_k]\in\cV_\delta$ et un ensemble négligeable $N$ tels que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}[c_k,d_k]\cup N$, avec de plus $N\subset\bigcup_{k\ge 0}[c'_k,d'_k]$, $\sum_{k\ge 0}(d'_k-c'_k)\le\varepsilon$. Grâce au lemme~1.3, la famille finie d'intervalles pointés disjoints $([c_k,d_k],c_k)_{0\le k\le n}$ peut être complétée en une subdivision $\delta$-fine $D$ de~$[a,b]$. Comme $c_k\in E$, on en déduit $$ \sum_{k=0}^n(d_k-c_k)= \sum_{k=0}^n\chi_E(c_k)(d_k-c_k)\le S_D(\chi_E)\le \int_a^b\chi_E(x)\,dx+\varepsilon=m(E)+\varepsilon. $$ Quand $n\to+\infty$, il vient à la limite $\sum_{k=0}^n(d_k-c_k)\le m(E)+\varepsilon$, donc $$ E\subset \bigcup_{k\ge 0}{}\big]c_k-\varepsilon 2^{-k},d_k+\varepsilon 2^{-k}\big[{} ~\cup \bigcup_{k\ge 0}{}\big]c'_k-\varepsilon 2^{-k},d'_k+\varepsilon 2^{-k}\big[. $$ C'est une réunion d'intervalles ouverts dont la longueur totale est majorée par $$ \bigcup_{k\ge 0}(d_k-c_k)+\bigcup_{k\ge 0}(d'_k-c'_k)+4 \sum_{k\ge 0}\varepsilon 2^{-k}\le m(E)+\varepsilon+\varepsilon+8\varepsilon= m(E)+10\varepsilon. $$ Quitte à remplacer $\varepsilon$ par $\varepsilon/10$, le résultat est démontré dans le cas où $E$ est borné. (2) Dans le cas général $E\subset\bR$, on écrit $E=\bigcup_{n\in\bZ} E\cap[n,n+1[$, et on trouve pour chaque $n\in\bZ$ un ouvert $U_n$ contenant $E\cap[n,n+1[$ tel que $$ m(U_n)\le m(E\cap[n,n+1[)+\varepsilon\,2^{-|n|-2}. $$ Alors $U=\bigcup U_n$ contient $E$ et on a $m(U)\le m(E)+\varepsilon$. \qed \medskip {\bf (6.3) Corollaire.} Soit $E$ une partie de $\bR$. Les propriétés suivantes sont équivalentes. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $E$ est négligeable. \item{\rm(b)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une suite finie ou dénombrable d'intervalles ouverts $(]c_k,d_k[)_{k\ge 0}$ tels que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}{}]c_k,d_k[$ et $\sum_{k\ge 0}(d_k-c_k)\le\varepsilon$. \item{\rm(c)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une suite finie ou dénombrable d'intervalles fermés $([c_k,d_k])_{k\ge 0}$ tels que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}[c_k,d_k]$ et $\sum_{k\ge 0}(d_k-c_k)\le\varepsilon$.\vskip0pt } \medskip {\it Démonstration.} (a)${}\Rightarrow{}$(b) grâce à 6.2, tandis que (b)${}\Rightarrow{}$(c) est évident, et (c)${}\Rightarrow{}$(a) en prenant une intersection dénombrable avec $\varepsilon=1/n\to 0$.\qed \medskip {\bf (6.4) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction HK-intégrable et $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ son intégrale indéfinie. Alors $F$ est presque partout dérivable de dérivée $F'(x)=f(x)$.} {\it Démonstration.} Comme nous allons le voir, il s'agit d'une conséquence directe du lemme de Henstock, combiné avec le lemme de recouvrement de Vitali. Il~suffit de démontrer que $F$ admet presque partout une dérivée à droite $F'(x+0)=f(x)$, puisque le même raisonnement s'appliquera aussi à la dérivée à gauche. Soit $E$ l'ensemble des points $x\in[a,b[$ tels que ou bien $F$ n'admet pas de dérivée à droite, ou bien $F$ admet une dérivée à droite mais $F'(x+0)\ne f(x)$. Il s'agit de montrer que $E$ est négligeable. Écrivons $E=\bigcup_{p>0} E_p$, où $E_p$ est l'ensemble des points $x\in[a,b[$ tels que pour tout $\eta>0$ il existe $x'\in {}]x,x+\eta]\cap[a,b]$ tel que $$ \bigg|f(x)-{F(x')-F(x)\over x'-x}\bigg|\ge{1\over p}. $$ Fixons $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à~$f$. On observe que la famille $\cV_\delta$ des intervalles $[x,x']$ vérifiant la minoration précédente et tels que $x'-x\le\delta(x)$ forme un recouvrement de Vitali de $E_p$. Il existe par conséquent une famille finie ou dénombrable $([x_k,x'_k])$ d'intervalles disjoints de $\cV_\delta$ (dépendant de $\varepsilon$) et un ensemble négligeable $N_{p,\varepsilon}$ tels que $E_p\subset R_{p,\varepsilon}=\bigcup{}[x_k,x'_k]\cup N_{p,\varepsilon}$. Le lemme de Henstock 1.3~(b) appliqué à la famille finie d'intervalles $([x_k,x'_k])_{0\le k\le n}$ donne $$ \sum_{0\le k\le n}\bigg|f(x_k)(x'_k-x_k)-\int_{x_k}^{x'_k}f(t)\,dt\bigg|= \sum_{0\le k\le n}\bigg|f(x_k)-{F(x'_k)-F(x_k)\over x'_k-x_k}\bigg|(x'_k-x_k) \le2\varepsilon $$ puisque cette famille est $\delta$-fine par construction. On en déduit $\sum_{0\le k\le n}{1\over p}(x'_k-x_k)\le 2\varepsilon$ pour tout $n$, donc $m(R_{p,\varepsilon})=m(\bigcup_{k\ge 0}[x_k,x'_k])\le 2p\,\varepsilon$. En écrivant \hbox{$E_p\subset\bigcap_{n>0}R_{p,1/n}$} on voit que l'ensemble $E_p$ est négligeable, donc $E=\bigcup_{p>0}E_p$ l'est aussi.\qed \bigskip \section{7. Ensembles et fonctions mesurables} Une fonction intégrable peut être extrêmement irrégulière du point de vue de la continuité (par exemple $\chi_\bQ$ est HK-intégrable, bien qu'elle soit partout discontinue). Une fonction intégrable doit tout de même satisfaire certaines propriétés très faibles de régularité locale, pour lesquelles les ensembles négligeables ne jouent aucun rôle. C'est précisément l'objet de la notion de mesurabilité.\medskip {\bf (7.1) Définition.} {\it On dit qu'une partie $E\subset\bR$ est mesurable si $E\cap[a,b]$ est inté\-grable pour tout intervalle fermé borné $[a,b]\subset\bR$.} Compte tenu des propriétés des ensemble intégrables (cf.\ (4.1)), il suffit de vérifier que l'intersection $E\cap [-n,n]$ est intégrable pour tout entier $n$. Le théorème suivant découle immédiatement de (4.1). \medskip {\bf (7.2) Théorème.} {\it Toute réunion dénombrable $\bigcup E_n$, toute intersection dénombrable $\bigcap E_n$ de parties mesurables $E_n$ est mesurable. Le complémentaire $\complement E$ d'une partie mesurable $E$ est mesurable. Tout intervalle, toute partie ouverte ou fermée $E\subset \ovl\bR$ est mesurable.} \medskip La dernière assertion résulte du fait que les intervalles sont trivialement mesurables, et du fait qu'une partie ouverte de $\ovl\bR$ est réunion finie ou dénombrable d'intervalles. On peut étendre la mesure de Lebesgue aux parties mesurables en posant $$ m(E)=\lim_{n\to+\infty}m(E\cap[-n,n]),\qquad m(E)\in [0,+\infty]. $$ Les parties intégrables sont alors exactement les parties mesurables de mesure\break \hbox{$m(E)<+\infty$}, et la propriété d'additivité de la mesure d'une réunion dénombrable de parties mesu\-rables disjointes est encore valable lorsque les sommations sont prises dans~$[0,+\infty]$. Nous avons la caractérisation suivante assez claire de la mesurabilité. \medskip {\bf (7.3) Caractérisation des ensembles mesurables.} {\it Soit $E$ une partie de $\bR$. Les propriétés suivantes sont équivalentes. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $E$ est mesurable. \item{\rm(b)} Pour tout $\varepsilon>0$ il existe une partie fermée $F$ et une partie ouverte $U$ telles que $F\subset E\subset U$ et $m(U\ssm F)\le\varepsilon$. \item{\rm(c)} Il existe $F$ un $F_\sigma$ $(={}$réunion finie ou dénombrable de fermés$)$ et $G$ un $G_\delta$ $(={}$intersection finie ou dénombrable d'ouverts$)$ tels que $F\subset E\subset G$ et $m(G\ssm F)=0$. \item{\rm(d)} $E$ peut s'écrire comme une réunion $E=F\cup N$ d'un $F_\sigma$ et d'une partie négligeable.\vskip0pt} } \medskip {\it Démonstration.} (a)${}\Rightarrow{}$(b). Commençons par le cas où $E$ est borné, $E\subset [a,b]$. Alors $E$ et $E'=[a,b]\ssm E$ sont des parties intégrables. D'après le théorème (6.2) il existe des ouverts $U$ et $U'$ de $\bR$ tels que $E\subset U$, $m(U\ssm E)\le\varepsilon/2$, et $E'\subset U'$, $m(U'\ssm E')\le\varepsilon/2$. On pose $F=[a,b]\ssm U'$. Il vient $F\subset[a,b]\ssm E'=E\subset U$ et $$ m(U\ssm F)\subset m(U\ssm E)+m(E\ssm F)\le m(U\ssm E)+m(U'\ssm E')\le \varepsilon. $$ Dans le cas général, on pose $E_n=E\cap[n,n+1]$, et on trouve des parties fermées $F_n\subset[n,n+1]$ et $U_n\subset \bR$ telles que $F_n\subset E_n\subset U_n$ et $m(U_n\ssm F_n)\le\varepsilon\,2^{-|n|-2}$. Alors $F=\bigcup F_n$ et $U=\bigcup U_n$ répondent à la question puisque $U\ssm F\subset\bigcup(U_n\ssm F_n)$. (b)${}\Rightarrow{}$(c). Pour tout entier $p>0$, on peut trouver un fermé $F_p$ et un ouvert $U_p$ tels que $F_p\subset E\subset U_p$ et $m(U_p\ssm F_p)<1/p$. Alors $F=\bigcup F_p$ et $G=\bigcup U_p$ répondent à la question, puisque $G\ssm F\subset U_p\ssm F_p$ pour tout~$p$. (c)${}\Rightarrow{}$(d) est évident, il suffit de poser $N=E\ssm F$ qui est contenu dans $G\ssm F$, donc négligeable. (d)${}\Rightarrow{}$(a) résulte de (7.2).\qed \medskip {\bf (7.4) Théorème et définition.} {\it Soit $f:I\to\ovl\bR =\bR\cup\{+\infty,-\infty\}$ une fonction quelconque. Les propriétés suivantes sont équivalentes. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} L'image réciproque $f^{-1}([-\infty,c[)$ de tout intervalle ouvert de $\ovl\bR$ est mesurable. \item{\rm(b)} L'image réciproque $f^{-1}([-\infty,c])$ de tout intervalle fermé de $\ovl\bR$ est mesurable. \item{\rm(c)} L'image réciproque $f^{-1}(J)$ de tout intervalle $J\subset\ovl\bR$ est mesurable, respectivement $[({\rm c}')$ $J$ ouvert$\;]$, $[({\rm c}\?» )$ $J$ fermé$\;]$, \item{\rm(d)} L'image réciproque $f^{-1}(U)$ de tout ouvert $U\subset\ovl\bR$ est mesurable.\vskip0pt} On dit alors que la fonction $f$ est mesurable. } {\it Démonstration.} L'équivalence de (a) et (b) résulte des égalités $$ f^{-1}([-\infty,c])=\bigcap_{n>0} f^{-1}([-\infty,c+1/n[),\quad f^{-1}([-\infty,c[)=\bigcup_{n>0} f^{-1}([-\infty,c-1/n]) $$ si $c\in\bR$. Le passage au cas d'intervalles $J$ quelconques (c), (c$'$), (c$''$) se voit aisément en écrivant par exemple $$ f^{-1}(]c,d[)=f^{-1}([-\infty,d[)\cap\complement f^{-1}([-\infty,c]) $$ pour tous $c0$, $\exists N\ge 0$, $\forall n\ge N$, $f_n(x)0}\bigcup_{N\ge0}\bigcap_{n\ge N}f_n^{-1}([-\infty,c-1/p[), $$ ce qui montre que $f$ est mesurable. La preuve pour $\liminf f_n$ se déduit du cas de la $\limsup$ en remplaçant $(f_n)$ par $(-f_n)$. Si $(f_n)$ admet une limite presque partout $f$, on conclut en écrivant par exemple $f=\limsup f_n$ presque partout. \qed \medskip {\bf (7.7) Proposition.} {\it Toute fonction $f:I\to\bR$ HK-intégrable est mesurable.} {\it Démonstration.} Il est clair que les fonctions continues sont mesurables, puisque l'image inverse d'un intervalle ouvert est une partie ouverte (donc mesurable). Fixons $a\in I$, et soit $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ une intégrale indéfinie de $f$ sur~$I$. On sait que $F$ est continue sur $I$ (corollaire 4.3), et que $f(x)=F'(x)$ presque partout (théorème 6.4). On peut donc écrire $$ f(x)=\lim f_n(x)\quad\hbox{p.p.\ avec}\qquad f_n(x)={F(x+1/n)-F(x)\over 1/n}. $$ Comme les fonctions $f_n$ sont continues, on en conclut que la limite presque partout $f$ est mesurable.\qed \medskip {\bf (7.8) Proposition.} {\it Toute fonction mesurable $f:I\to\ovl\bR$ peut s'écrire $f=\lim f_n$ où les fonctions $f_n$ sont des fonctions intégrables étagées, c'est-à-dire des combinaisons linéaires finies $\sum\limits_{1\le k\le p_n} c_{k,n}\chi_{E_{k,n}}$ de fonctions caractéristiques d'ensembles inté\-gra\-bles.\\ Si de plus $f\ge 0$, on peut choisir la suite $(f_n)$ croissante et telle que $0\le f_n\le f$.} {\it Démonstration.} Supposons d'abord $I=[a,b]$ fermé borné. On prend alors $$ \eqalign{ c_{k,n}&=(k-1)2^{-n}-n,\quad E_{k,n}=f^{-1}([c_{k,n},c_{k,n}+2^{-n}[),\quad \hbox{si $k=1,2,\ldots,n2^{n+1}$},\cr c_{k,n}&=n,\kern70pt E_{k,n}=f^{-1}([n,+\infty]) \kern53pt\hbox{si $k=n2^{n+1}+1$},\cr c_{k,n}&=-n,\kern62pt E_{k,n}=f^{-1}([-\infty,-n[) \kern46pt\hbox{si $k=p_n=n2^{n+1}+2$},\cr } $$ de sorte que les ensembles $E_{k,n}$, $1\le k\le p_n$ forment une partition mesurable de $I$. Il~est évident par construction que la fonction $f_n=\sum c_{k,n}\chi_{E_{k,n}}$ vérifie $|f_n-f|\le 2^{-n}$ là où $|f(x)|0$, il existe une application continue $g:\bR\to [0,1]$ telle que $g(x)=\chi_E(x)$ hors d'un ensemble ouvert $V$ de mesure $m(V)\le\varepsilon$. \item{\rm(b)} Soit $f:I\to\ovl\bR$ une fonction mesurable. Il existe une suite $g_n:I\to\bR$ d'applications continues à support compact telles que $g_n\to f$ presque partout. \item{\rm(c)} Soit $f\in L^1(I)$. Il existe une suite $g_n:I\to\bR$ d'applications continues à support compact telles que $g_n\to f$ presque partout et $\Vert g_n-f\Vert_1\to 0$. \item{\rm(d)} L'espace $\cC_c(I)$ des fonctions continues à support compact dans $I$ est dense dans $L^1(I)$, et $L^1(I)$ s'identifie au complété de $\cC_c(I)$ pour la norme~$\Vert~~\Vert_1$.\vskip0pt } } {\it Démonstration.} (a) Grâce à 7.4, choisissons $F$ un ensemble fermé et $U$ un ensemble ouvert tels que $F\subset E\subset U$ et $m(U\ssm F)\le\varepsilon$. On pose $$ g(x)={d(x,\complement U)\over d(x,F)+d(x,\complement U)}. $$ Il est clair que $0\le g(x)\le 1$ et que $g$ est continue (le dénominateur ne s'annule pas puisque $F$ et $\complement U$ sont des fermés disjoints). De plus $g(x)=1$ si $x\in F$ et $g(x)=0$ si $x\in\complement U$, donc $g$ répond à la question en posant $V=U\ssm F$. (b) et (c). On se ramène d'abord au cas où $f\ge 0\;$: si le résultat est démontré dans ce cas, on écrit $f=f_+-f_-$ et $$ f_+=\lim g'_n,\qquad f_-=\lim g''_n,\qquad f=\lim g'_n-g''_n\qquad\hbox{presque partout} $$ avec $g'_n$ et $g''_n$ continues à support compact. On supposera donc dans la suite que $f\ge 0$. Dans ce cas, la proposition 7.8 fournit une suite croissante de fonctions étagées $f_n=\sum_{1\le k\le p_n}c_{k,n}\chi_{E_{k,n}}$ telles que $f=\lim f_n$ en tout point. Quitte à perdre éventuellement la convergence aux extrêmités de $I$, on peut supposer en outre qu'il existe une suite strictement croissante d'intervalles $[a_n,b_n]\subset I^\circ$ tels que $E_{k,n}\subset [a_n,b_n]$ pour tout~$k$, sinon on remplace $E_{k,n}$ par $E_{k,n}\cap{}[a_n,b_n]$ avec des intervalles $[a_n,b_n]$ choisis tels que $\bigcup{}[a_n,b_n]=I^\circ$. D'après (a), on peut trouver une fonction continue $g_{k,n}:I\to\bR$ telle que $g_{k,n}=\chi_{E_{k,n}}$ hors d'un ensemble ouvert $V_{k,n}$ de mesure${}\le 2^{-n}/p_n$ et à support dans $[a_{n+1},b_{n+1}]$ (disons). Par suite $g_n=\sum_{1\le k\le p_n}c_{k,n}g_{k,n}$ est continue à support compact dans $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset I$ et coïncide avec $f_n$ hors de $V_n=\bigcup V_{k,n}$, $m(V_n)\le 2^{-n}$. En dehors de $W_p=\bigcup_{k>p}V_k$ qui est de mesure${}\le 2^{-p}$, il est clair que $g_n\to f$ puisque $g_n=f_n$ pour $n>p$, et par conséquent $g_n\to f$ hors de l'ensemble négligeable $N=\bigcap W_p$. Ceci démontre (b). Si en outre $f$ est intégrable, alors le théorème de convergence dominée appliqué à la suite décroissante $f-f_n\to 0$ dominée par $f$ montre que $\lim\Vert f_n-f\Vert_1=0$. En prenant de plus $m(V_{k,n})\le 2^{-n}/(1+p_n|c_n|)$, il vient $\Vert g_{n,k}-\chi_{E_{n,k}}\Vert_1\le 2^{-n}/(1+p_n|c_{n,k}|)$, donc $\Vert g_n-f_n\Vert_1\le 2^{-n}$ et (c) s'ensuit. (d) résulte de (c), puisque nous savons que $L^1(I)$ est complet, et de plus $\cC_c(I)$ s'identifie à un sous-espace de $L^1(I)$ d'après 4.6~(a).\qed \medskip {\bf (7.12) Caractérisation des fonctions mesurables (théorème de Lusin).}\\ {\it Soit $f:I\to\ovl\bR$ une fonction quelconque. Il y a équivalence entre$\;:$ {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est mesurable. \item{\rm(b)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une partie ouverte $V\subset I$ de mesure $m(V)\le\varepsilon$ telle que la restriction $f_{|I\ssm V}$ soit continue.\vskip0pt } } {\it Démonstration.} Commençons par le sens «\?facile\?». (b)${}\Rightarrow{}$(a). Pour $n$ entier${}>0$, fixons un ouvert $V_n$ tel que $m(V_n)\le 2^{-n}$ et $f_{|I\ssm V_n}$ continue. Quitte à remplacer $V_n$ par $V'_n=\bigcup_{k>n}V_k$, on peut supposer que la suite $V_n$ est décroissante. Posons alors $f_n(x)=0$ si $x\in V_n$ et $f_n(x)=f(x)$ si $x\in I\ssm V_n$. Soit $U$ un ouvert de $\ovl\bR$. Alors $$ \eqalign{ f_n^{-1}(U)&=f^{-1}(U)\cap(I\ssm V_n)\kern50pt\hbox{si $0\notin U$},\cr f_n^{-1}(U)&=V_n\cup\big(f^{-1}(U)\cap(I\ssm V_n)\big)\qquad\hbox{si $0\in U$}. \cr} $$ Dans les deux cas $f_n^{-1}(U)$ est mesurable puisque $f^{-1}(U)\cap(I\ssm V_n)$ est une partie ouverte de $I\ssm V_n$ (et donc l'intersection d'un ouvert avec la partie mesurable $I\ssm V_n$). Ceci prouve que $f_n$ est mesurable. Comme $f=\lim f_n$ hors de la partie négligeable $N=\bigcap V_n$, on voit que $f$ est elle aussi mesurable. (a)${}\Rightarrow{}$(b). D'après 7.11~(b), il existe une suite d'applications continues \hbox{$g_n:I\to\bR$} telles que $g_n\to f$ presque partout. Comme $\ovl\bR$ est homéomorphe à $[-1,1]$ par l'appli\-cation $x\mapsto x/(1+|x|)$, on peut tout aussi bien supposer que $f$ et les $g_n$ sont à valeurs dans $[-1,1]$. Soit $N\subset I$ un ensemble négligeable tel que $g_n(x)$ converge vers $f(x)$ pour tout $x\in I\ssm N$. Soit $([a_p,b_p])_{p\ge 0}$ une suite croissante d'intervalles fermés bornés tels que $I=\bigcup{}[a_p,b_p]$. Pour chaque $p$, considérons $$ U_{p,n}=\big\{x\in [a_p,b_p]\,;\;\exists j,k\ge n,\;|g_j(x)-g_k(x)|>2^{-p} \big\}. $$ C'est une partie ouverte de $[a_p,b_p]$, de plus la suite $(U_{p,n})_{n\ge 0}$ est décroissante et $\bigcap_{n\ge 0}U_{p,n}\subset N$ d'après le critère de Cauchy. Comme $N$ est négligeable, nous avons $\lim_{n\to+\infty}m(U_{p,n})\le m(N)=0$, donc il existe un indice $n(p)$ tel que $m(U_{p,n(p)})\le 2^{-p}$. Il n'est pas restrictif de supposer que l'on choisit $n(p+1)>n(p)$ pour tout~$p$. Soit $V_p$ une partie ouverte de $I$ contenant $N\cup\bigcup_{q\ge p}U_{q,n(q)}$, telle que $m(V_p)\le 2^{2-p}$. Pour $j\ge q\ge p$ et $x\in [a_q,b_q]\ssm V_p$, nous avons $|g_{n(j)}(x)-g_{n(j+1)}(x)|\le 2^{-j}$. Ceci entraîne que $f$ est la limite uniforme des $g_{n(j)}$ sur toute partie compacte de $I\ssm V_p$, donc $f_{|I\ssm V_p}$ est continue.\qed \chapterjump \chapterrunning{\ } \notthispage=0 \section{Références bibliographiques} \bigskip {\eightpoint \input henstock_ref.tex } \end % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: