%\input accents %\input colordvi \input srctex.sty \magnification=1200 \pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000 \vsize=20cm\hsize=13.2cm \parindent=0mm \parskip=5pt plus 1pt minus 1pt % new fonts definitions \font\seventeenbf=ecbx10 at 17.28pt \font\fourteenbf=ecbx10 at 14.4pt \font\twelvebf=ecbx10 at 12pt \font\eightbf=ecbx8 \font\sixbf=ecbx6 \font\twelvei=cmmi10 at 12pt \font\eighti=cmmi8 \font\sixi=cmmi6 \font\twelverm=ecrm10 at 12pt \font\eightrm=ecrm8 \font\sixrm=ecrm6 \font\eightplrm=cmr8 \font\sixplrm=cmr6 \font\fiveplrm=cmr5 \font\eightsy=cmsy8 \font\sixsy=cmsy6 \font\eightit=ecti8 \font\eighttt=ectt8 \font\eightsl=ecsl8 \font\seventeenbsy=cmbsy10 at 17.28pt \font\fourteenbsy=cmbsy10 at 14.4pt \font\twelvebsy=cmbsy10 at 12pt \font\tenbsy=cmbsy10 \font\eightbsy=cmbsy8 \font\sevenbsy=cmbsy7 \font\sixbsy=cmbsy6 \font\fivebsy=cmbsy5 \font\tenmsa=msam10 \font\eightmsa=msam8 \font\sevenmsa=msam7 \font\fivemsa=msam5 \newfam\msafam \textfont\msafam=\tenmsa 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\openauxfile \notthispage=\pageno \title{Théorie élémentaire de l'intégration :} \title{l'intégrale de Henstock-Kurzweil} \titlerunning{Théorie élémentaire de l'intégration : l'intégrale de Henstock-Kurzweil} \bigskip \centerline{\twelvebf Jean-Pierre Demailly}\medskip \centerline{\twelverm Université Joseph Fourier Grenoble I} \smallskip \centerline{\tt http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/books.html} \medskip \centerline{version du 3 mars 2009} \vskip1cm \section{Introduction} \bigskip L'objectif de ce texte est de proposer une «\?trame\?» pour l'enseignement de l'intégration depuis le lycée jusqu'aux premières années de l'université. Pour cela, nous développons les bases de la théorie de l'intégration telles qu'elles ont été posées et grandement éclaircies par Jaroslav Kurzweil et Ralph Henstock à la fin des années 1950. Au fil des chapitres, le niveau mathématique de l'exposition glisse progressivement d'un niveau très élémentaire jusqu'à un niveau de second cycle universitaire. Même si au début une partie des résultats doit être admise ou démontrée de manière heuristique du fait des contraintes de temps ou des prérequis, nous pensons que la démarche mathématique utilisée dans l'enseignement doit respecter chaque fois que cela est possible les principes d'une progression par généralisations successives compatibles avec les exposés qui ont précédé («\?progression concentrique\?»). Il est donc très utile d'introduire dès le début des définitions qui sont susceptibles d'être rendues rigoureuses et formalisées, et d'adopter un ordre de présentation des concepts et une articulation logique tels que la théorie n'aura pas à être substantiellement changée le jour où viendra la formalisation complète.% \note{1}{% À l'heure actuelle, l'intégration est souvent abordée en plusieurs étapes qui sont les suivantes~:\\ a) En terminale, une première étape qui consiste à introduire l'intégrale comme «\?aire sous la courbe\?», avec un état d'esprit qui se ressent obligatoirement de l'appau\-vris\-sement continuel de la conceptu\-alisation depuis 2 décennies. Il en résulte qu'il est devenu très difficile de formaliser complètement la théorie, ce qui veut probablement dire qu'on ne peut guère espérer que le cours donne de véritables démonstrations, mais seulement au mieux quelques indications de preuves complétées par des considérations heuristiques.\\ b) Dans les premières années d'université, les enseignants présentent en général une version plus ou moins édulcorée de la théorie de «\?l'intégrale de Riemann\?», à l'aide d'encadrements par des fonctions en escalier, et des preuves qui tendent de plus en plus à disparaître du fait du recul des connaissances fondamentales requises (pratique des $\varepsilon$ et $\delta$, continuité uniforme, ...)\\ c) En Master 1ère année apparaîtra dans les bons cas une théorie plus solide de l'inté\-gration reposant sur la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Mais il est de notoriété publique que ce sujet qui fâche a tendance aujourd'hui à être de moins en moins traité, surtout dans les filières dites «\?Master enseignement\?» . \\ Cette situation présente de nombreux inconvénients. La théorie de l'intégrale de Riemann n'est pas une «\?bonne théorie\?», ni du point de vue didactique ni du point de vue mathématique. La présentation n'en est pas très simple~: il faut mani\-puler constamment des encadrements de fonctions, utiliser la continuité uniforme pour démontrer l'intégrabilité des fonctions continues, faire des découpages de $\varepsilon$ et $\delta$ parfois peu éclai\-rants. Il y a de nombreuses restrictions ou pathologies, des théorèmes essentiels comme ceux de la convergence monotone ne sont pas valables, etc. Plus tard, l'introduction de l'intégrale de Lebesgue viendra balayer ce travail en montrant qu'il s'agissait en fait d'une théorie bancale et incomplète. Si les étudiants échappent à l'intégrale de Lebesgue -- comme cela arrive à un nombre de plus en plus grand de CAPESiens -- ils n'auront donc jamais eu l'occasion de se voir exposer une théorie «\?sérieuse\?» de l'intégration, ce qui est préoccupant.} Le choix de l'intégrale de Henstock-Kurzweil présente l'avantage de fournir des défini\-tions assez simples -- peut-être plus simples que celle de Riemann puisque les encadre\-ments de fonctions ne sont plus nécessaires, que l'on n'a plus besoin de la continuité uniforme, que tous les théorèmes de base se démontrent en quelques lignes -- et, en même temps, d'être assez puissante pour contenir les parties élémentaires de la théorie de Lebesgue~... Dans ces conditions, il paraît quelque peu anachronique que la théorie n'ait pas encore trouvé sa juste place dans l'enseignement$\,$! Nous suivons ici d'assez près le livre «\?Introduction to gauge integrals\?» [Sw] de Charles Swartz, en l'allé\-geant autant que faire se peut, pour atteindre très rapidement la preuve des théorèmes fondamentaux (rapport entre intégration et primitive, intégration par parties, changement de variable, dérivabilité des intégrales indéfinies de fonctions continues...). Nous développons ensuite les résultats plus spécifiques à la théorie de Henstock-Kurzweil pour atteindre les théorèmes de convergence monotone et dominée. L'existence de la mesure de Lebesgue et ses propriétés fondamentales figurent parmi les conséquences directes, sans qu'il y ait besoin d'introduire au préalable le langage général des tribus et des mesures dénombrablement additives. Les étudiants auront donc en fait un premier exemple motivant sous la main lorsque ces notions plus générales seront introduites. Enfin, les définitions ad hoc des diverses intégrales généralisées, impropres et semi-convergentes deviennent également accessoires, puisque toutes ces notions peuvent être exprimées en une seule définition naturelle contenant les cas utiles~: l'intégrale de Henstock-Kurzweil autorise par nature même la «\?semi-convergence\?» ... Les premières étapes nous paraissent éventuellement utilisables au lycée, à condition d'ad\-mettre quelques-unes des démonstrations -- et en prenant comme perspective que c'est l'inté\-grale de Henstock-Kurzweil qui sera développée ensuite, de sorte que les énoncés présentant des hypothèses artificielles superflues n'ont pas lieu d'être. Le cours qui suit a été à l'origine inspiré par des notes synthétiques rédigées par Eric Charpentier [Ch] à l'Univer\-sité de Bordeaux autour de 2002, et fait des emprunts à de multiples sources (cf.\ bibliographie). Ces notes ont été ensuite développées sous forme de cours polycopié par Jean-Yves Briend à Marseille [Br] (après que je l'ai informé des suggestions d'Eric Charpentier). Le présent texte a fait l'objet de plusieurs rédactions successives depuis l'automne 2005, et a lui-même inspiré ultérieurement des cours ou manuels mis en chantier par plusieurs collègues. Je voudrais dans ce cadre signaler d'utiles remarques et questions formulées par Xavier Buff, auteur du chapitre sur l'intégration pour le L2 dans la collection de manuels ``Licence-Tout-en-Un'' dirigée par Jean-Pierre Ramis et André Warusfel [RW], et remercier ces deux derniers pour leur intérêt et leurs encouragements. \vfill\eject \section{\fourteenbf Table des matières} \sectionrunning{Table des matières} \bigskip \sectref{0} \sectref{1} \vskip7pt {\bf Chapitre I\\ Définitions et résultats fondamentaux. Cas des fonctions d'une variable} \smallskip \sectref{2} \sectref{3} \sectref{4} \sectref{5} \sectref{6} \sectref{7} \sectref{8} \sectref{9} \sectref{10} \sectref{11} \vskip7pt {\bf Chapitre II\\ Calcul des intégrales en plusieurs variables} \smallskip \sectref{12} \sectref{13} \sectref{14} \bigskip {\bf Chapitre III\\ Théorèmes généraux de convergence, espaces $\hbox{\tenbfit L}^{\hbox{\sevenbfit p}}$ et fonctions mesurables} \smallskip \sectref{15} \sectref{16} \sectref{17} \sectref{18} \sectref{19} \sectref{20} \sectref{21} \sectref{22} \sectref{23} \sectref{24} \sectref{25} \vskip7pt {\bf Chapitre IV\\ Compléments historiques} \smallskip \sectref{26} \sectref{27} \sectref{28} \sectref{29} \sectref{30} \medskip \sectref{31} \sectref{32} \chapterjump \chapterrunning{I.} \phantom{$\ $} \bigskip \centerline{\fourteenbf Chapitre I} \bigskip \centerline{\fourteenbf Définitions et résultats fondamentaux} \bigskip \centerline{\fourteenbf Cas des fonctions d'une variable} \vskip3cm L'objectif de ce chapitre est de proposer une présentation rigoureuse et complète des premiers éléments de la théorie de l'intégration. Compte tenu de cette ambition, l'exposé est nécessairement théorique, et donc beaucoup plus exigeant que d'autres textes ou manuels qui se contentent de donner des techniques de calcul, et qui s'appuient seulement sur une intuition de la notion d'aire en lieu et place de justifications mathé\-ma\-tiques complètes. Un prérequis indispensable est d'avoir déjà assimilé l'art de couper les $\varepsilon$ en quatre -- ou d'être prêt à faire l'effort de creuser la question. Le public visé est celui des élèves de Terminale très motivés -- la théorie de base ne fait jamais appel à aucune notion qui dépasse le niveau du lycée. La plupart des notes de bas de page sont destinés à des lecteurs plus avancés et ne peuvent normalement pas être comprises par des personnes qui aborderaient la théorie pour la première fois$\,$; de même, les passages marqués d'un * ou de deux ** peuvent être omis en première lecture$\,$; les sections 7~et 8 sont moins élémentaires et correspondent plutôt à un niveau de première année d'université. \bigskip \section{1. Sommes de Riemann} Dans toute cette section, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a0$ et négativement si $f(x_j)<0$. Intuitivement l'aire $A$ cherchée est la limite de $S_D(f)$ quand les pas $h_j$ tendent vers~$0$. Un choix possible consiste par exemple à prendre une subdivision en sous-intervalles égaux $$ a_j=a+jh=a+j{b-a\over N},\quad 0\le j\le N\quad\hbox{où}\quad h_j=h={b-a\over N}, $$ que l'on peut combiner avec un choix quelconque des points $x_j$. \medskip {\bf (1.2) Exemple.} Comme premier exemple, considérons la fonction identité $f(x)=x$ sur l'intervalle $[0,1]$. Pour $N\geq 1$, posons~: $$ a_0=0\,,\;a_1={1\over N}\,,\ldots,\;a_j={j\over N}\,,\ldots,\; a_N=1 $$ Les pas de cette subdivision sont tous égaux à $1/N$. Voici trois calculs de sommes de Riemann, selon que l'on place les points $x_j$ au début, au milieu ou à la fin des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ (rappelons que la somme des $N$ premiers entiers vaut $N(N+1)/2$). $$ \leqalignno{ &\kern15pt x_j=a_j~:\kern49pt S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} {j\over N}\,{1\over N} = {1\over N^2}\sum_{j=0}^{N-1} j = {N-1\over 2N}\;, &(1.2\,{\rm a})\cr &\kern15pt x_j={a_j+a_{j+1}\over 2}~:\kern15pt S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1}{2j+1\over 2N}\,{1\over N} = {1\over 2N^2}\sum_{j=0}^{N-1} 2j+1 = {1\over 2}\;, &(1.2\,{\rm b})\cr &\kern15pt x_j=a_{j+1}~:\kern40pt S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} {j+1\over N}\,{1\over N} = {1\over N^2}\sum_{j=0}^{N-1} j+1 = {N+1\over 2N}\;. &(1.2\,{\rm c})\cr} $$ La seconde somme est égale à $1/2$ pour tout $N$, les deux autres tendent vers $1/2$ quand $N$ tend vers l'infini. L'aire du triangle sous le graphe de la fonction est bien $1/2\;$: \InsertFig 30.000 59.000 { /riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def 1 mm unit 1 0 0 setrgbcolor 10.000 15.000 5.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.000 20.000 10.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.000 15.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.000 30.000 20.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 30.000 35.000 25.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 35.000 40.000 30.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.000 45.000 35.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 45.000 50.000 40.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 1 0 setrgbcolor 10.000 15.000 2.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.000 20.000 7.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.000 12.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.000 30.000 17.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 30.000 35.000 22.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 35.000 40.000 27.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.000 45.000 32.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 45.000 50.000 37.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 0 1 setrgbcolor 0.250 setlinewidth 10.000 10.200 moveto 15.000 10.200 lineto stroke 0.113 setlinewidth 15.000 20.000 5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.000 10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 25.000 30.000 15.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 30.000 35.000 20.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 35.000 40.000 25.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 40.000 45.000 30.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 45.000 50.000 35.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 0.0 setgray 5.000 10.000 moveto 60.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 48.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 10.000 10.000 moveto 50.000 50.000 lineto stroke } \LabelTeX 7.200 6.400 $0$\ELTX \LabelTeX 63.200 6.400 $x$\ELTX \LabelTeX 49.200 6.400 $1$\ELTX \LabelTeX 1.500 50.000 $f(x)$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~3.} Sommes de Riemann associées à l'identité sur $[0,1]$.} \medskip {\bf (1.3) Exemple*.} Nous considérons ici une situation où la fonction $f$ n'est plus bornée. On prend $[a,b]=[0,1]$ et $f$ telle que $f(x)=1/\sqrt{x}$ si $x\in{}]0,1]$ et $f(0)=0$. On introduit une subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j0$, d'où $$ S_D(f)={1\over N}\sum_{0\le j\le N-1,\,t_j>0}{2j+1\over t_j}. $$ \InsertFig 30.000 54.000 { /riem {/y exch 0.5 mul 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def 1 mm unit 1 0 0 setrgbcolor 10.000 10.625 80.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 10.625 12.500 26.667 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 12.500 15.625 16.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 15.625 20.000 11.429 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.625 8.889 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 25.625 32.500 7.273 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 32.500 40.625 6.154 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 40.625 50.000 5.333 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke 0 0 1 setrgbcolor 10.000 10.625 40.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 10.625 12.500 20.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 12.500 15.625 13.333 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 15.625 20.000 10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 20.000 25.625 8.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 25.625 32.500 6.667 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 32.500 40.625 5.714 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 40.625 50.000 5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke 0.0 setgray 5.000 10.000 moveto 60.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 48.000 90.000 2.4 vector 0.250 setlinewidth 10.356 50.000 moveto [ 10.356 50.000 10.428 40.000 10.625 30.000 12.500 20.000 15.625 16.667 20.000 15.000 25.625 14.000 32.500 13.333 40.625 12.857 50.000 12.500 ] curve stroke 10.000 10.000 moveto 0.400 disk 10.000 12.500 moveto 0.400 90.0 indent } \LabelTeX 7.200 6.400 $0$\ELTX \LabelTeX 7.200 11.700 $1$\ELTX \LabelTeX 63.200 6.400 $x$\ELTX \LabelTeX 49.200 6.400 $1$\ELTX \LabelTeX 1.500 50.000 $f(x)$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~4.} Sommes de Riemann associées à $f(x)=1/\sqrt{x}$ sur $[0,1]$.} \medskip \noindent Le choix le plus simple est $\RGBColor{1 0 0}{t_j=j+{1\over 2}}$, qui donne $\smash{{2j+1\over t_j}}=2$ et donc $S_D(f)=2$. Si on choisit plutôt $\RGBColor{0 0 1}{t_j=j+1}$, on obtient la valeur minimale possible pour $S_D(f)$, mais comme $\smash{{2j+1\over j+1}}\to 2$ quand $j\to+\infty$, il est facile de voir que l'on a encore $S_D(f)\to 2$ pour $N\to+\infty$ (on peut observer par exemple que $\smash{{2j+1\over j+1}}=2-\smash{{1\over j+1}}\ge 2-1/\sqrt{N}$ pour $\sqrt{N}\le j\le N$). Comme $a_{j+1}-a_j\le (2N-1)/N^2\to 0$ quand $N\to+\infty$, ce calcul amène à penser que l'aire du domaine non borné défini par $00$ donnée a priori, on peut trouver un réel $\delta>0$ tel que pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$ on ait $$ h_j=a_{j+1}-a_j\le\delta~~ \Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$ Le nombre réel $A$ de la définition précédente est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$ et noté $$ A=\int_a^b f(x)\,dx. $$ et on dit que $\smash{\int_a^b f(x)\,dx}$ est la limite des sommes de Riemann $S_D(f)$, lorsque le pas de la subdivision tend vers~$0$.} \medskip Dans cette définition, on peut par exemple se contenter de prendre une subdi\-vision en $N$ sous-intervalles de pas constant $h={b-a\over N}$, et on obtient alors la conséquence immédiate suivante. \medskip {\bf (2.2) Convergence des sommes de Riemann.} {\it Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a $$ \boxed{16}{ \eqalign{ \int_a^bf(x)\,dx &=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=0}^{N-1}f\Big(a+{j\over N}(b-a)\Big) \kern37pt\hbox{$[$cas $x_j=a_j]$}\cr &=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=1}^Nf\Big(a+{j\over N}(b-a)\Big) \kern41pt\hbox{$[$cas $x_j=a_{j+1}]$}\cr &=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=0}^{N-1}f\Big(a+{2j+1\over 2N}(b-a) \Big) \kern20pt\hbox{$\Big[$cas $\dsp x_j={a_j+a_{j+1}\over 2}\Big]$.}\cr }} $$} Si l'aire $\int_a^bf(x)\,dx$ située sous le graphe de $f$ est connue d'une manière ou d'une autre, on peut alors en déduire la valeur des limites correspondantes$\,$; il faut savoir pour cela que la fonction $f$ est intégrable au sens de Riemann, on démontrera plus tard (cf.\ théorèmes 7.6 et 7.10) que c'est le cas si $f$ est continue ou continue par morceaux. \medskip {\bf (2.3) Exemple.} Considérons la somme $$ {1\over N^2}\left(\sqrt{1\,(N-1)} + \sqrt{2\,(N-2)} + \ldots + \sqrt{(N-1)\,1}\;\right) $$ qui peut aussi s'écrire~: $$ {1\over N}\left(\sqrt{{1\over N}\left(1-{1\over N}\right)} + \sqrt{{2\over N}\left(1-{2\over N}\right)} + \ldots + \sqrt{\left(1-{1\over N}\right){1\over N}}\;\right). $$ C'est une somme de Riemann associée à la fonction $\dsp{x\rightarrow \sqrt{x(1-x)}}$ sur l'intervalle $[0,1]$. Sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, est égale à~: $\smash{\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)}\, dx}$. Or, le graphe $y=\sqrt{x(1-x)}$ de cette fonction est un demi-arc du cercle $x^2-x+y=0$, soit encore $(x-{1\over 2})^2+y^2={1\over 4}$, c'est donc un demi-cercle de centre $\smash{{1\over 2}}$ et de rayon $\smash{{1\over 2}}$. La limite de la sommation est égale à l'aire du demi-disque, qui vaut $\pi/8$.\qed \medskip Cependant, on s'aperçoit assez vite que la définition de l'intégrabilité au sens de Riemann impose des restrictions assez gênantes sur la fonction~$f\,$: \medskip {\bf (2.4) Condition nécessaire.} {\it Toute fonction $f$ Riemann-intégrable est~bornée. } {\it Démonstration.} En effet, selon la définition 2.1, prenons $\delta>0$ donnant une erreur au plus $\varepsilon$. Pour une subdivision $D$ de pas constant $h\le\delta$, à savoir $h=(b-a)/N$ avec $N\ge(b-a)/\delta$, nous devons avoir la majoration $|S_D(f)-A|\le\varepsilon$, donc $$ |S_D(f)|=\Big|{b-a\over N}\sum_{0\le j0$, il existe $k_0$ tel que $$ [a_{k_0},b_{k_0}]\subset [x_0-{\textstyle{1\over 2}}\delta(x_0), x_0+{\textstyle{1\over 2}}\delta(x_0)]. $$ Donc la subdivision pointée de $[a_{k_0},b_{k_0}]$ formée seulement de l'intervalle tout entier et du point $x_0$ est $\delta$-fine. D'où la contradiction.\note{3}{% Le lecteur ayant quelques connaissances de topologie aura reconnu un cas élémentaire du théorème de Borel-Lebesgue relatif à la compacité du segment $[a,b]$. Cependant, notre but est de rester aussi élémentaire que possible -- sans éluder les difficultés -- donc il nous a paru préférable de faire la démonstration dans le cadre strict des subdivisions pointées. [On notera que celle-ci permet en fait d'énoncer un résultat un peu plus précis~: {\it pour toute jauge $\delta$ il existe une subdivision pointée $\delta$-fine de $[a,b]$ formée d'intervalles dont les longueurs sont de la forme $\smash{(b-a)/2^{k_j}}$.} En effet, il suffit d'utiliser un raisonnement par l'absurde avec ce type d'intervalles pour aboutir à une contradiction.] Quoi qu'il en soit, la démonstration de 2.6 est probablement assez difficile pour la classe Terminale, c'est pourquoi nous l'avons marquée d'un astérisque *, comme toutes les parties plus délicates qui vont suivre.}\qed \medskip {\bf (2.7) Définition}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction quelconque. On dit que $f$ est intégrable au sens de Henstock-Kurzweil $($ou HK-intégrable$)$ s'il exis\-te un réel $A$ qui représente l'aire algébrique située sous le graphe de $f$, tel que pour toute marge d'erreur $\varepsilon>0$ donnée a priori, on peut trouver une jauge $\delta:[a,b]\to\bR^*_+$ en sorte que pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$ on ait $$ \hbox{$D$ $\delta$-fine}~~ \Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$ $($une telle jauge $\delta$ sera dite $\varepsilon$-adaptée à $f)$. Le nombre réel $A$ de la définition précédente est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$, on écrit $$ \boxed{19}{ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\HK,\;D} S_D(f)= \lim_{\HK,\;D} \sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)} $$ et on dit que $\smash{\int_a^b f(x)\,dx}$ est la limite $($au sens de Henstock-Kurzweil$\,)$ des sommes de Riemann, lorsque la subdivision $D$ devient de plus en plus fine\note{4}{L'intégrale de Henstock-Kurzweil est parfois appelée aussi {\it intégrale de jauge} ou encore {\it intégrale de Riemann généralisée}. Elle a été introduite au milieu des années 1950, alors que l'intégrale de Riemann remonte au 19ème siècle. Bien qu'en apparence la définition de Henstock-Kurzweil diffère très peu de celle de l'intégrale de Riemann, il se trouve qu'elle jouit de propriétés beaucoup meilleures, tout en procurant des démonstrations souvent plus simples et en éliminant beaucoup d'hypothèses superflues, par exemple le fait que $f$ soit nécessairement bornée.}.} \medskip Cette définition est de façon évidente plus générale que celle de Riemann, par conséquent toute focntion intégrable au sens de Riemann est aussi intégrable au sens de Henstock-Kurzweil. D'autre part, si une jauge $\delta$ est $\varepsilon$-adaptée, alors toute jauge $\delta_*\le \delta$ est encore $\varepsilon$-adaptée. Nous utiliserons cette observation à plusieurs reprises dans la section suivante. La notation $dx$ intervient pour rappeler qu'à la limite on considère des rectangles «\?infiniment\?» fins de largeur $dx=a_{j+1}-a_j$, considérée comme accroissement infiniment petit de la variable~$x$ (voir Fig.~6 ci-après), et l'écriture symbolique $\smash{\int_a^bf(x)\,dx}$ se lit «\?somme de $a$~à~$b$ de $f(x)\,dx$.\?». \InsertFig 10.000 58.000 { 1 mm unit 18.000 30.000 moveto 18.000 24.000 lineto [ 18.000 24.000 25.000 14.000 43.000 49.000 60.000 16.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve 80.000 30.000 lineto closepath 0.900 setgray fill 38.000 46.200 moveto 38.000 30.000 lineto 39.500 30.000 lineto 39.500 46.200 lineto gsave closepath 0.7 setgray fill grestore closepath 0.0 setgray stroke 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 25.000 14.000 43.000 49.000 60.000 16.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve stroke 0.000 setgray stroke 0.113 setlinewidth 5.000 30.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 10.000 moveto 43.000 90.000 2.4 vector /arrowlgth 1.2 def 36.500 25.500 moveto 3.500 68.000 2.4 vector 41.000 25.500 moveto 3.500 112.000 2.4 vector 33.200 38.000 moveto 6.000 0.000 2.4 vector 0.3 setlinewidth 10.000 46.200 moveto 0.700 90.000 indent 18.000 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 38.000 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 39.500 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 30.000 moveto 0.700 0.000 indent 0.113 setlinewidth [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 18.000 28.500 moveto 18.000 24.000 lineto stroke 80.000 31.500 moveto 80.000 40.000 lineto stroke 11.500 46.200 moveto 38.000 46.200 lineto stroke } \LabelTeX 15.300 27.000 $a$\ELTX \LabelTeX 79.300 26.000 $b$\ELTX \LabelTeX 35.000 23.200 $x$\ELTX \LabelTeX 40.000 23.200 $x{+}dx$\ELTX \LabelTeX 100.500 26.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 52.000 $y$\ELTX \LabelTeX 1.800 45.300 $f(x)$\ELTX \LabelTeX 21.000 37.000 $f(x)\,dx$\ELTX \LabelTeX 23.000 22.000 $(-)$\ELTX \LabelTeX 42.000 40.000 $(+)$\ELTX \LabelTeX 57.000 22.000 $(-)$\ELTX \LabelTeX 72.500 34.000 $(+)$\ELTX \EndFig \vskip-20pt \centerline{{\bf Fig.~6.} Intégrale et son élément différentiel $f(x)\,dx$.} \bigskip {\bf (2.8) Exemple.} On appelle fonction en escalier sur $[a,b]$ une fonction $f$ telle qu'il existe des points $(u_i)_{0\le i\le p}$ de $[a,b]$ et des constantes réelles $c_i$ telles que $$ a=u_00$ (les~points $a_j$ n'ont a priori aucun rapport avec les points de subdivision $u_i$ de la fonction en escalier). La somme de Riemann $S_D(f)=\sum f(x_j)h_j$ est représentée par par la somme des aires des rectangles de couleur rosée de la Fig.~8 (avec les points $a_j$ en rouge et les points de marquage $x_j$ en bleu -- tous ceux-ci n'étant pas représentés). La différence entre les aires $S_D(f)$ et $\sum c_i(u_{i+1}-u_i)$ (partie en noir du graphe) est représentée par les zones hachurées en bleu clair. Nous avons au plus $2p$ intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ qui contiennent l'un des points inter\-médiaires $u_i$, à savoir un à chaque extrêmité et un ou deux pour chacun des points $u_i$, $i=1,\ldots,p-1$. Pour chacun de ces intervalles, le terme $f(x_j)h_j$ mis en jeu diffère de l'aire des deux rectangles délimités par le graphe de $f$ par au plus $2Mh_j\le2M\delta$, puisque $|f(x)-f(x_j)|\le 2M$ et $h_j\le\delta$. Au total on a donc $$ \Big|S_D(f)-\sum_{0\le i\le p-1} c_i(u_{i+1}-u_i)\Big|\le 2p\times 2M\delta=4pM\delta. $$ Il suffit alors de choisir $\delta=\varepsilon/(4pM)$ pour conclure.\qed \bigskip \section{3. Propriétés élémentaires de l'intégrale} Les propriétés énoncées dans cette section sont, dans l'ordre, la linéarité, la monotonie et la relation de Chasles. Elles sont obtenues par passage à la limite à partir des propriétés analogues des sommes de Riemann $S_D(f)$ (propriétés 1.4 (a,b,c)), et valent pour l'intégrabilité au sens de Riemann et de Henstock-Kurzweil indifféremment. \medskip {\bf (3.1) Linéarité.} {\it Si $f,g:[a,b]\to\bR$ sont des fonctions intégrables sur $[a,b]$ et $\lambda$,~$\mu$ des constantes réelles, alors $\lambda f+\mu g$ est intégrable sur $[a,b]$ et $$ \boxed{16}{ \int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx =\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.} $$} {\it Démonstration.} En termes de limites de sommes de Riemann sur des subdivisions pointées $D$ de $[a,b]$, nous pouvons écrire $$ \eqalignno{ \int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx &=\lim_{\HK,\;D} S_D(\lambda f+\mu g) = \lim_{\HK,\;D} \lambda S_D(f)+\mu S_D(g)\cr &=\lambda\lim_{\HK,\;D} S_D(f)+\mu \lim_{\HK,\;D} S_D(g)\cr &=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.&\square\cr} $$ Pour analyser plus en détail cet argument, reprenons le calcul en termes de jauges, une marge d'erreur $\varepsilon>0$ étant fixée a priori. Posons $$ A=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad B=\int_a^b g(x)\,dx. $$ Il existe par hypothèse des jauges $\delta_1$, $\delta_2$ telles que si $D$ est $\delta_1$-fine alors $|S_D(f)-A|\le\varepsilon$ et si $D$ est $\delta_2$-fine alors $|S_D(g)-B|\le\varepsilon$. Prenons une subdivision $D$ $\delta$-fine avec $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Comme $S_D(\lambda f+\mu g)=\lambda S_D(f)+\mu S_D(g)$ on en déduit $$ \big|S_D(\lambda f+\mu g)-(\lambda A+\mu B)\big|\le (|\lambda|+|\mu|)\varepsilon. $$ Ceci montre que $\lambda f+\mu g$ est intégrable et que son intégrale est bien $\lambda A+\mu B$. \medskip {\bf (3.2) Remarque.} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction qui est nulle partout sauf en un nombre fini de points $u_i\in[a,b]$, alors $f$ est Riemann-intégrable d'intégrale nulle\note{5}{Pour l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil, ce résultat est vrai plus généralement dans le cas où $f$ est nulle partout en dehors d'un ensemble dénombrable de points $E\subset[a,b]$. Voir l'exercice 9.22.}. C'est en effet un cas très particulier de fonction en escalier, et on peut appliquer la formule de l'exemple 2.8 avec $c_i=0$. Il en résulte que si deux fonctions $g,\,h:[a,b]\to\bR$ diffèrent en un nombre fini de points, alors l'intégrabilité de l'une équivaut à l'intégrabilité de l'autre et on a $\smash{\int_a^bg(x)\,dx= \int_a^bh(x)\,dx}$ (puisque $f=g-h$ est d'intégrale nulle).\qed \medskip {\bf (3.3) Monotonie.} {\it Si $f,g:[a,b]\to\bR$ sont des fonctions intégrables sur $[a,b]$ $$ \boxed{16}{ f\ge g\quad \Rightarrow\quad\int_a^b f(x)\,dx\ge \int_a^b g(x)\,dx.} $$}% {\it Démonstration.} Cela résulte de l'inégalité sur les sommes de Riemann $S_D(f)\ge S_D(g)$, par passage à la limite.\qed \bigskip \vbox{% {\bf (3.4) Relation de Chasles.} {\it Soient $a0$ et choisissons des jauges $\delta_1:[a,b]\to\bR^*_+$, $\delta_2:[b,c]\to\bR^*_+$ $\varepsilon$-adaptées à $f$ sur $[a,b]$ et $[b,c]$ respectivement. Autrement dit, si on écrit $$ A_1=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad A_2=\int_b^c f(x)\,dx,\qquad A=A_1+A_2, $$ on aura $|S_{D_1}(f)-A_1|\le\varepsilon$ et $|S_{D_2}(f)-A_2|\le\varepsilon$ pour toutes subdivisions pointées $\delta_1$-fines $D_1$ de $[a,b]$ et $\delta_2$-fines $D_2$ de $[b,c]$. Si nous supposons démontrée l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$, c'est-à-dire l'existence de la limite $\lim_{\HK,\,D}S_D(f)$ lorsque $D$ parcourt les subdivisions pointées de $[a,c]$, alors on peut prendre une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ telle que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$ et $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$, et une subdivision $D=D_1\cup D_2$ $\delta$-fine égale à la réunion d'une subdivision $D_1$ $\delta_1$-fine de $[a,b]$ et d'une subdivision $D_2$ $\delta_2$-fine de $[b,c]$. On obtient dans ces conditions $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$, donc $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$ et la relation désirée $$ \int_a^c f(x)\,dx =\lim_{\HK,\;D}S_D(f)= A=A_1+A_2=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx $$ s'ensuit en prenant $\varepsilon$ arbitrairement petit. La seule difficulté qui reste est de démontrer l'existence de la limite $\lim_{\HK,\,D}S_D(f)$ pour des subdivisions $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,c]$ ne comprenant pas nécessairement $a_j=b$ comme l'un des points intermédiaires, ce qui est a priori requis pour prouver l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$. La méthode consiste à redécouper l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ de $D$ qui contient le point~$b$, et à estimer de combien on modifie ainsi la somme de Riemann~$S_D(f)$. \medskip {\bf (3.5)* Preuve de l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$ sous les hypothèses de 3.4.}\break Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil, la preuve est très simple. On définit une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ en posant $$ \delta(x)=\cases{ \min(\delta_1(x),(b-x)/2)&si $x\in[a,b[$,\cr \min(\delta_2(x),(x-b)/2)&si $x\in{}]b,c]$,\cr \min(\delta_1(b),\delta_2(b))& si $x=b$.\cr } $$ de sorte que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$ et $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$. Soit $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision $\delta$-fine. Si $x_jb$, alors \hbox{$a_j\ge x_j-\delta(x_j)>x_j-(x_j-b)=b$}. Ceci montre que le seul cas où $[a_j,a_{j+1}]$ peut contenir le point $b$ est le cas $x_j=b$, ce qui permet de découper l'intervalle pointé $([a_j,a_{j+1}],b)$ en les deux intervalles pointés $([a_j,b],b)$ et $([b,a_{j+1}],b)$. On produit ainsi une subdivision pointée $D_1$ $\delta_1$-fine de $[a,b]$ et une subdivision pointée $D_2$ $\delta_2$-fine de $[b,c]$ telles que $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$. On a donc $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$ et la conclusion s'ensuit comme précédemment.\qed Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann, la preuve donnée ci-dessus n'est pas valable, car la jauge $\delta$ produite n'est pas constante. On sait cependant de plus que $f$ est bornée, disons $|f|\le M$ (si $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$ et $[b,c]$, elle y est nécessai\-rement bornée d'après la condition 2.4). Prenons pour $D$ une subdivision pointée $\delta$-fine avec $\delta\le \min(\delta_1,\delta_2)$. Si l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ contient $b$ en son intérieur, on remplace son point de marquage $x_j$ par $x'_j=b$, ce qui donne après découpage comme ci-dessus une nouvelle subdivision $D'=D_1\cup D_2$ $\delta$-fine telle que $$ S_{D'}(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)~~\Rightarrow~~ \big|S_{D'}(f)-A\big|\le2\varepsilon. $$ On a de plus $$ \big|S_D(f)-S_{D'}(f)\big|=\big|\big(f(x_j)-f(b)\big)h_j\big|\le 2M\delta, $$ par conséquent $\big|S_D(f)-A\big|\le 4\varepsilon$ dès que $\delta\le\min(\delta_1,\delta_2,\varepsilon/M)$. Ceci entraîne bien l'intégrabilité de $f$ au sens de Riemann sur l'intervalle $[a,c]$, ainsi que la formule de Chasles\note{6}{% On peut donner une démonstration alternative un peu plus subtile, valable à la fois pour l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil et pour l'intégrabilité au sens de Riemann. Pour cela, on~fixe un réel positif $\theta$ assez petit et, avec les notations ci-dessus, on définit une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ en posant\smallskip \centerline{$\dsp \delta(x)=\cases{ \min(\delta_1(x),\theta)&si $x\in[a,b[$,\cr \min(\delta_2(x),\theta)&si $x\in{}]b,c]$,\cr \theta& si $x=b$,\cr }$} de sorte que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$, $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$ et $\delta(x)\le\theta$ sur $[a,c]$ (la valeur précise de $\theta$ sera attribuée plus loin.) La~difficulté qui se pose est d'étudier ce qui se passe au point de jonction~$x=b$. Ceci fait l'objet du lemme suivant.\vskip-2pt {\bf Lemme.} {\it Supposons $\theta$ choisi tel que $\theta\le\min(\delta_1(b),b-a)$. Si $x\in[a,b]$ est tel que $|x-b|\le\delta(x)$, alors $|f(x)-f(b)|\,\delta(x)\le 2\varepsilon$.}\vskip-2pt En effet, choisissons grâce au lemme 2.6 une subdivision pointée $\delta_1$-fine $D_*$ de l'inter\-valle $[a,b-\delta(x)]$ (notons que $b-\delta(x)\ge b-\theta\ge a$). On pose $D_1=D_*\cup\{([b-\delta(x),b],x)\}$ et $D_1'=D_*\cup\{([b-\delta(x),b],b)\}$. Ce sont bien des subdivisions pointées $\delta_1$-fines de $[a,b]$ du fait que $\delta(x)\le\delta_1(x)$ et $\delta(x)\le\theta\le\delta_1(b)$. Or $S_{D_1}(f)-S_{D_1'}(f)=(f(x)-f(b))\delta(x)$ par définition des sommes de Riemann. Comme $|S_{D_1}(f)-A_1|\le\varepsilon$ et $|S_{D_1'}(f)-A_1|\le\varepsilon$, le lemme s'ensuit par différence.\qed\vskip-2pt Notons que par un raisonnement symétrique sur $[b,c]$, le lemme est également valable pour $x\in[b,c]$ si on suppose $\theta\le\min(\delta_2(b),c-b)$. On choisira donc\smallskip \centerline{$\theta=\min(\delta_1(b),\delta_2(b),b-a,c-b).$}\vskip-2pt Considérons maintenant une subdivision pointée $\delta$-fine $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,c]$. Si $D$ contient $a_j=b$ comme point intermédiaire, $D$ induit une subdivision $\delta_1$-fine $D_1$ de $[a,b]$ et une subdivision $\delta_2$-fine $D_2$ de $[b,c]$ telles que \hbox{$S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)\,$}; puisque $|S_{D_i}(f)-A_i|\le\varepsilon$, $i=1,2$, on voit alors que $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$. Sinon, l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ contient le point $b$ en son intérieur, et comme $h_j=a_{j+1}-a_j\le\delta(x_j)\le\theta=\delta(b)$, on peut remplacer $([a_j,a_{j+1}],x_j)$ par l'intervalle pointé $([a_j,a_{j+1}],b)$. Ceci donne une nouvelle subdivision $\delta$-fine $D'$ de $[a,c]$ telle que\smallskip \centerline{$% |S_D(f)-S_{D'}(f)|=|f(x_j)-f(b)|\,(a_{j+1}-a_j)\le |f(x_j)-f(b)|\,\delta(x_j)\le 2\varepsilon$}\vskip-2pt d'après le lemme. En décomposant $([a_j,a_{j+1}],b)$ en les deux intervalles pointés $([a_j,b],b)$ et\break $([b,a_{j+1}],b)$, on obtient maintenant une subdivision $\delta_1$-fine $D_1'$ de $[a,b]$ et une subdivision $\delta_2$-fine $D_2'$ de $[b,c]$ telles que $S_{D'}(f)=S_{D_1'}(f)+S_{D_2'}(f)$, et par conséquent $|S_{D'}(f)-A|\le 2\varepsilon$. Dans le pire des cas nous obtenons $|S_D(f)-A|\le 4\varepsilon$, d'où $\lim_{\HK,\;D}S_D(f)=A$. Ceci achève la preuve de l'intégrabilité de $f$ au sens de Henstock-Kurzweil. Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann, on voit d'après ce qui précède qu'on peut choisir la jauge constante $\delta=\min(\delta_1,\delta_2,b-a,c-b)$.}.\qed \medskip Pour des réels $a$, $b$ qui ne vérifient pas néces\-sairement $ab$}. \leqno(3.6) $$ On peut vérifier que la relation de Chasles reste valable dans tous les cas, quel que soit l'ordre des réels $a,b,c$, à condition bien sûr que $f$ soit intégrable sur chacun des intervalles mis en jeu. \medskip Nous souhaitons maintenant étudier l'intégrabilité en restriction à un sous-intervalle. Pour cela, nous avons besoin du critère d'inté\-grabilité de Cauchy, qui donne une condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir la valeur $A$ de l'intégrale. \medskip {\bf (3.7) Critère de Cauchy**}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$ fermé borné. Pour que $f$ soit HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$, il faut et il suffit que pour tout $\varepsilon>0$ il existe une jauge $\delta:[a,b]\to\bR_+^*$ $($resp.\ une constante $\delta>0)$, telle que pour toutes subdivisions pointées $D$ et~$D'$ $\delta$-fines on ait \hbox{$|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$}. } {\it Démonstration.} Si $f$ est HK-intégrable d'intégrale $A$, pour chaque jauge $\delta$ qui est $\varepsilon/2$-adaptée à $f$, les inégalités $|S_D(f)-A|\le\varepsilon/2$ et $|S_{D'}(f)-A|\le\varepsilon/2$ pour $D,\;D'$ $\delta$-fines entraînent $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$. La réciproque est une conséquence de la complétude de $\bR$ (cf.\ \S$\,$II.1, et en particulier II.1.6, pour plus de détails).\qed \medskip Nous pouvons maintenant énoncer le théorème sur l'intégrabilité des restrictions. \medskip {\bf (3.8) Théorème**.} {\it Soit $f : [a,b]\to\bR$ une fonction HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$. Alors la restriction $f_{|[c,d]}$ de $f$ à tout intervalle $[c,d]\subset [a,b]$ est encore HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$.} {\it Démonstration.} On utilise le critère de Cauchy. Étant donné $\varepsilon>0$, il existe une jauge $\delta$ sur $[a,b]$ telle que $|S_D(f)-S_{D'}(f)|\le\varepsilon$ pour toutes subdivisions pointées $\delta$-fines $D$ et $D'$ de~$[a,b]$. Soient maintenant $\Delta$ et $\Delta'$ deux subdivisions pointées de $[c,d]$ qui sont $\delta_{|[c,d]}$-fines. En considérant grâce au lemme 2.6 des subdivisions de $[a,c]$ et de $[d,b]$ qui sont $\delta$-fines, on peut compléter $\Delta$ et $\Delta'$ en des subdivisions pointées $D$ et $D'$ de $[a,b]$ qui sont elles-mêmes $\delta$-fines. On obtient alors $$ |S_{\Delta}(f)-S_{\Delta'}(f)|=|S_D(f)-S_{D'}(f)|\le\varepsilon. $$ Le théorème est démontré. Pour l'intégrabilité au sens de Riemann la preuve est tout à fait analogue.\qed \bigskip \section{4. Le théorème fondamental de l'Analyse} On appelle théorème fondamental de l'analyse, le fait que l'intégration (calcul d'aires) et la dérivation (calcul de tangentes et de différentielles) sont des opérations inverses l'une de l'autre. \medskip {\bf (4.1) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction dérivable. Alors $f'$ est inté\-grable au sens de Henstock-Kurzweil et $$ \boxed{16}{ \int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).} $$} \vskip-8pt {\it Démonstration.} Commençons par une preuve heuristique (c'est-à-dire simplifiée, mais non rigoureuse). Soit $D=\{[a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision pointée assez fine. On a par définition $$ \int_a^bf'(x)\,dx\simeq\sum_{j=0}^{N-1}f'(x_j)(a_{j+1}-a_j). $$ Mais $f'(x_j)$ peut être vu comme une approximation de la pente de $f$ sur l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ et on a donc $f'(x_j)(a_{j+1}-a_j)\simeq f(a_{j+1})-f(a_j)$, d'où $$ \int_a^bf'(x)\,dx\simeq\sum_{j=0}^{N-1}(f(a_{j+1})-f(a_j))=f(b)-f(a). $$ Il n'est pas difficile de rendre cet argument rigoureux. L'hypothèse de l'exis\-tence de $f'(x)=\lim_{y\to x} {f(y)-f(x)\over y-x}$ signifie par définition que pour tout pout $x\in[a,b]$ et tout $\varepsilon>0$ il existe un réel $\delta(x)>0$ tel que $$ y\in[a,b],\quad 0<|y-x|\le\delta(x)\Rightarrow\Big|{f(y)-f(x)\over y-x}-f'(x) \Big|\le\varepsilon,\qquad\hbox{et donc} $$ $$ y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow \big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x| $$ (puisque l'inégalité est vraie aussi de manière évidente pour $y=x$). Prenons une sub\-di\-vision pointée $D=\{[a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, c'est-à dire telle que \hbox{$h_j=a_{j+1}-a_j\le \delta(x_j)$}. En appliquant l'égalité ci-dessus à $x=x_j$ et $y=a_j$ ou $y=a_{j+1}$, il vient $$ \eqalign{ \big|f(a_j)-f(x_j)-(a_j-x_j)f'(x_j)\big| &\le \varepsilon|a_j-x_j|=\varepsilon(x_j-a_j),\cr \big|f(a_{j+1})-f(x_j)-(a_{j+1}-x_j)f'(x_j)\big| &\le\varepsilon|a_{j+1}-x_j|=\varepsilon(a_{j+1}-x_j).\cr} $$ En faisant la différence, l'inégalité $|v-u|\le|u|+|v|$ donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big|\le\varepsilon(a_{j+1}-a_j). $$ La sommation de ces inégalités pour $j=0,1,\ldots, N-1$ implique en définitive $$ \big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a), $$ par conséquent $$ \int_a^bf'(x)\,dx = \lim_{\HK,\;D}S_D(f')=f(b)-f(a).\eqno\square $$ Notons qu'on retrouve ainsi le résultat important suivant qui, alternativement (et de manière plus classique) est démontré au moyen du théorème des accroissements finis. \medskip {\bf(4.2) Corollaire.} {\it Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\bR$, telle que $f'=0$ $($resp.\ $f'\ge 0$, $f'\le 0)$. Alors $f$ est constante $($resp.\ croissante, décroissante$)$.} \medskip {\it Démonstration.} En effet, pour tous points $a0$ (resp.\ $f'(x_j)<0$), on conclurait à la limite que $f(d)-f(c)=\smash{\int_c^d}f'(x)\,dx$ est${}\ge 0$ et aussi${}\le 0$, ce qui impliquerait que $f$ est constante sur $[a,b]$, en contradiction avec l'hypothèse sur la variation du signe de $f'$ sur tout intervalle.\note{9}{On peut démontrer aussi qu'il existe une fonction $f:\bR\to\bR$ continue et dérivable presque partout, telle que $f'$ ne soit intégrable au sens de Lebesgue sur aucun intervalle de $\bR$, cf.\ Proposition (11.8). Ces «\?défauts\?» de la théorie de Lebesgue avaient amené A.~Denjoy [Dj1] à proposer en 1912 une théorie de «\?l'intégrale totale\?» qui lui permit de rétablir la validité du Théorème 4.1 (cf.\ aussi les travaux de O.~Perron [Pe]). Cette théorie se révélera a posteriori essentiellement équivalente à la théorie de Henstock-Kurzweil, mais avec un formalisme et des justifications beaucoup plus compliquées.} \section{5. Méthodes de calcul des primitives et des intégrales} Il convient d'observer qu'il est en général impossible d'expliciter en termes de fonctions usuelles la primitive de beaucoup de fonctions pourtant relativement simples. Ainsi on peut montrer que $e^{x^2}$ ou $\ln(\sin x)$ ont des primitives qui ne peuvent pas s'exprimer en termes des fonctions trigonométriques, puissances, exponentielles, logarithmes et leurs composées. Lorsque le calcul est possible, on s'appuie le plus souvent sur l'une des deux formules importantes qui suivent. \medskip {\bf (5.1) Formule d'intégration par parties.} Soient $u,v:[a,b]\to\bR$ deux fonctions dérivables. Le produit $uv$ est alors dérivable et $(uv)'=u'v+uv'$. Par conséquent $uv'=(uv)'-u'v$ est intégrable si et seulement si $u'v$ l'est, et dans ce cas $$ \big[u(x)v(x)\big]_a^b=\int_a^b(uv)'(x)\,dx= \int_a^bu'(x)v(x)\,dx+\int_a^bu(x)v'(x)\,dx. $$ On a donc la formule $$ \boxed{16}{ \int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx,} $$ qui peut encore se récrire de manière plus abrégée $$ \boxed{16}{ \int_a^bu\,dv=\big[uv\big]_a^b-\int_a^bv\,du.} $$ En termes de primitives et avec la notation des intégrales indéfinies, on peut aussi écrire $$ \boxed{16}{ \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx.} $$ {\bf (5.1$\,$a) Exemple.} Soit $n\ge 1$ un entier naturel, on cherche à calculer une primitive $F_n$ de $f_n(x) = x^n e^{-x}$. La fonction $f_n$ est déjà écrite comme produit de deux fonctions, que l'on sait intégrer. Intégrons par parties en prenant $u(x)=x^n$ et $v'(x)=e^{-x}$ (d'où,~par exemple, $v(x)=-e^{-x}$)$\,$: $$ \eqalign{ F_n(x)= \int x^n e^{-x}\,dx &= \big [x^n(-e^{-x})\big ]-\int n\,x^{n-1}(-e^{-x})\,dx\cr &=-x^n e^{-x}-n\int x^{n-1}e^{-x}\,dx = -x^n e^{-x}+nF_{n-1}(x)~~({}+C).\cr} $$ Comme $F_0(x)=-e^{-x}$, cette relation de récurrence permet de calculer $F_n$ pour tout entier~$n\ge 1\,$: $$ F_n(x)=-\Big(\sum_{p=0}^n n(n-1)\ldots(p+1)x^p\Big)e^{-x}~~({}+C). $$ {\bf (5.1$\,$b) Exemple.} De même, pour $a\in\bR\ssm\{-1\}$ et $n\in\bN$, en posant $u'(x)=x^a$ et $v(x)=(\ln x)^n$, on trouve $$ \eqalign{ \int x^a(\ln x)^n\,dx&={x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^n- \int {x^{a+1}\over a+1}{n\over x}(\ln x)^{n-1}\,dx\cr &={x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^n-{n\over a+1}\int x^a(\ln x)^{n-1}\,dx\cr &={x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^n-{n\over a+1}{x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^{n-1} +{n(n-1)\over (a+1)^2}\int x^a(\ln x)^{n-2}\,dx.\cr} $$ Par récurrence, ceci donne $$ \int x^a(\ln x)^n\,dx =x^{a+1}\sum_{p=0}^n (-1)^p{n(n-1)\ldots (n-p+1)\over (a+1)^{p+1}}(\ln x)^{n-p}. $$ \medskip {\bf (5.2) Formule de changement de variable.} Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction admettant une primitive $F$. On a alors $$ \int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a). $$ Il est souvent commode de changer de variable, en posant $x=\varphi(t)$ pour une certaine fonction $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ dérivable telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ (on ne suppose pas nécessairement $a\le b$ ni $\alpha\le\beta$). Il vient alors $$ \int_a^b f(x)\,dx=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))= \big[F\circ\varphi(t)\big]_\alpha^\beta=\int_\alpha^\beta (F\circ\varphi)'(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt $$ On a donc la formule fondamentale $$ \boxed{16}{ \int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt =\int_\alpha^\beta f\circ\varphi\, d\varphi.} $$ En pratique, on effectue les substitutions $$ \leqalignno{ &\boxed{8}{ x=\varphi(t),\quad dx=\varphi'(t)\,dt,\quad a=\varphi(\alpha),\quad b=\varphi(\beta),}&\cr} $$ en prenant soin de changer les bornes comme indiqué. En termes d'intégrales indéfinies, si $F$ désigne une primitive de $f$, on peut écrire $$ \boxed{14}{ F(x)=F(\varphi(t))=\int f(\varphi(t)\varphi'(t)\,dt.} $$ {\bf (5.2$\,$a) Exemple.} Le cas particulier $\dsp f(x)={1\over x}$, $F(x)=\ln|x|$ implique $$ \int {\varphi'(t)\over \varphi(t)}\,dt= \ln|\varphi(t)|+C. $$ De même, le cas $f(x)=\dsp{1\over 1+x^2}$, $F(x)=\arctan x$ implique $$ \int {\varphi'(t)\over 1+\varphi(t)^2}\,dt= \arctan \varphi(t)+C. $$ Ceci permet par exemple de trouver successivement les formules $$ \eqalign{ &\int \tan x\,dx = \int {\sin x\over \cos x}\,dx = -\ln|\cos x|+C\cr &\int \cotan x\,dx = \int {\cos x\over \sin x}\,dx = \ln|\sin x|+C\cr &\int{1\over \sin x\cos x} \,dx = \int \Big({\cos x\over \sin x}+{\sin x\over\cos x}\Big)dx=\ln|\tan x|+C\cr &\int {1\over \sin x}\,dx = \int {1\over 2\sin {x\over 2}\cos{x\over 2}}\,dx = \ln\Big|\tan{x\over 2}\Big|+ C\cr &\int {1\over \cos x}\,dx = \int {1\over \sin(x+{\pi\over 2})}\,dx = \ln\Big|\tan\Big({x\over 2}+{\pi\over 4}\Big)\Big| +C. \cr} $$ Le cas des fractions rationnelles trigonométriques générales sera traité plus loin. \medskip {\bf (5.2$\,$b)* Un exemple plus élaboré.} Soit à calculer la primitive $$ \int {1\over \sqrt{1 + x} + \sqind{3}\sqrt{1 + x}}\,dx. $$ On remarque que l'on a les mêmes quantités sous les deux radicaux. On va donc essayer de s'en débarrasser en exprimant ces radicaux comme puissances d'une même quantité. Le ppcm de $2$ (pour la racine carrée) et $3$ (pour la racine cubique) est $6$. On va donc utiliser le changement de variable $$ y =\sqind{6}\sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/6}. $$ Ainsi on a $\sqrt{1 + x}=y^3$ et $\sqind{3}\sqrt{1 + x}=y^2$. Comme $y^6 = 1 + x$, il vient $6y^5\,dy=dx$ et donc $$ \int {1\over \sqrt{1 + x} + \sqind{3}\sqrt{1 + x}}\,dx= \int {6\,y^5\over y^3 + y^2}\,dy =\int {6\,y^3\over y + 1}\,dy, $$ Cette dernière intégrale se calcule facilement. On commence par effectuer une division euclidienne de $y^3$ par $y+1$, ce qui donne $$ y^3 = (y^2-y+1)(y+1) - 1, $$ et par conséquent $$ \eqalign{ {y^3 \over y+1} &= y^2 - y + 1 -{1 \over y + 1},\cr \int{y^3\over y+1}\,dy &= {1\over 3}y^3 - {1\over 2}y^2 + y -\ln|1+y|+C.\cr} $$ Il ne faut pas oublier, à la fin du calcul, de revenir à la variable $x$ en remplaçant partout $y$ par sa valeur. Il sort alors de tout ça le résultat attendu$\,$: $$ \int {1\over \sqrt{1 + x} + \sqind{3}\sqrt{1 + x}}\,dx = 2\sqrt{1+x}- 3\;\sqind{3}\sqrt{1+x} + 6\;\sqind{6}\sqrt{1+x} - 6\ln\big|1+\sqind{6}\sqrt{1+x}\big|+C. $$ {\bf (5.3) Intégration des polynômes trigonométriques.} Pour calculer l'intégrale d'un polynôme trigonométrique $\int P(\cos x,\sin x)\,dx$ on utilise ce qu'on appelle la {\it mé\-thode de linéarisation}, qui consiste à trouver une combinaison linéaire de la forme $$ P(\cos x,\sin x)=a_0+\sum_{1\le n\le N}a_n\cos nx+b_n\sin nx. $$ Pour cela, on utilise les formules d'Euler $$ \cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over 2},\qquad \sin x={e^{ix}-e^{-ix}\over 2i}, $$ afin d'exprimer $P(\cos(x,\sin x)$ comme combinaison linéaire des fonctions $e^{inx}$ et $e^{-inx}$. On remplace finalement ces fonctions par $e^{\pm inx}=\cos nx\pm i\sin nx$ (ou bien, si $P$ est réel, on prend la partie réelle du résultat. Par exemple $$ \eqalign{ \cos^2x\;\sin^3 x&=\Big({e^{ix}+e^{-ix}\over 2}\Big)^2 \Big({e^{ix}-e^{-ix}\over 2i}\Big)^3\cr &={i\over 2^5}\big(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\big) \big(e^{3ix}-3\,e^{ix}+3\,e^{-ix}-e^{-3ix}\big)\cr &={i\over 32}\Big(e^{5ix}-e^{3ix}-2\,e^{ix}+2\,e^{-ix}+e^{-3ix}-e^{-5ix} \Big)\cr &={1\over 16}\big(-\sin 5x+\sin 3x+2\sin x\big).\cr} $$ On obtient alors $$ \int \cos^2x\;\sin^3 x\,dx= {1\over 16}\Big({1\over 5}\cos 5x-{1\over 3}\cos 3x-2\cos x\Big)+C. $$ Plus généralement, toute expression polynomiale $P(e^{a_jx},\cos b_kx, \sin c_\ell x)$ se ramène à une combinaison linéaire d'exponentielles complexes, et peut donc se traiter d'une manière analogue. \medskip {\bf (5.4) Intégration des fractions rationnelles.} Une fraction rationnelle est une fonction définie comme le quotient $P/Q$ de deux polynômes $P$ et $Q$ à coefficients réels ou complexes (en algèbre on s'intéresse aussi aussi au cas où les coefficients sont pris dans un corps quelconque$\,$; le cas du corps $\bQ$ des rationnels est bien sûr très usuel). La~fonction $P/Q$ est définie sur $\bC$ privé des racines de $Q$, que l'on appelle les {\it pôles} de la fraction rationnelle. La division euclidienne de $P$ par $Q$ s'écrit $P=EQ+R$ avec un quotient $E$ et un reste $R$ qui sont des polynômes tels que $\deg R<\deg Q$. On a alors $$ {P\over Q}= E+{R\over Q}. $$ Le quotient $E$ s'appelle aussi {\it la partie entière} de la fraction rationnelle, et $R/Q$ la {\it partie polaire}. Elle est telle que $\lim_{x\to\infty}R(x)/Q(x)=0$. {\bf (5.4$\,$a) Cas où $P/Q$ possède un seul pôle.} C'est le cas où $Q(x)=(x-\alpha)^m$. En écrivant $R$ comme un polynôme en $X=x-\alpha$, soit $R(x)=\sum_{0\le j1$}. $$ {\bf (5.4$\,$b) Cas où $Q$ est un trinôme du second degré.} Si $Q(x)=ax^2+bx+c$, le calcul des racines réelles ou complexes donne une factorisation $Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$. Si les racines $\alpha$, $\beta$ sont réelles et distinctes, on écrit $$ {1\over(x-\alpha)(x-\beta)}= {1\over\alpha-\beta} \Big( {1\over x-\alpha}-{1\over x-\beta}\Big), $$ ce qui donne aussitôt $$ \int{1\over(x-\alpha)(x-\beta)}\,dx= {1\over\alpha-\beta}\ln\bigg|{x-\alpha\over x-\beta}\bigg|+C. $$ Dans le cas d'un trinôme réel $ax^2+bx+c$ de discriminant $\Delta=b^2-4ac<0$, les racines sont complexes et on procède différemment. On a en effet $$ Q(x)=a\Big(\Big(x+{b\over 2a}\Big)^2-{\Delta\over 4a^2}\Big)= a\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big) $$ avec $\gamma=-b/2a$ et $\delta=\sqrt{|\Delta|}/2|a|$, les racines complexes étant $\alpha=\gamma+i\delta$, $\ovl\alpha=\gamma-i\delta$. Après division euclidienne de $P$ par $Q$, on est ramené à intégrer des expressions de la forme $$ \int {\lambda x+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx. $$ Dans ce cas on écrit $\lambda x+\mu=\lambda(x-\gamma)+(\lambda\gamma+\mu)$ et on observe que $(x-\gamma)$ est la moitié de la dérivée du dénominateur, ce qui donne $$ \eqalign{ \int {\lambda x+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx&= \int {\lambda(x-\gamma)\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx+ \int {\lambda\gamma+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx\cr &={1\over 2}\lambda\ln\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)+ (\lambda\gamma+\mu)\int {1\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx\cr &={1\over 2}\lambda\ln\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)+ {\lambda\gamma+\mu\over\delta}\arctan{x-\gamma\over\delta}+C.\cr } $$ {\bf (5.4$\,$c)** Cas général.} Un théorème fondamental d'algèbre affirme que tout poly\-nôme non constant $Q$ de degré $d$ à coefficients complexes admet exactement $d$ racines\break complexes comptées avec multiplicité, ce qui permet de le factoriser sous la forme $Q(x)=c\prod_{1\le j\le s}(x-\alpha_j)^{m_j}$ avec $m_1+\ldots+m_s=d$. On va alors montrer par récurrence sur le degré $d$ de $Q$ que la partie polaire~$R/Q$, $\deg R<\deg Q$, s'écrit comme combinaison linéaire de termes $1/(x-\alpha_j)^\ell$ n'ayant comme pôle qu'un seul des $\alpha_j$ à la fois$\,$: $$ {R(x)\over Q(x)}= \sum_{j=1}^s\sum_{\ell=1}^{m_j}{\lambda_{j,\ell}\over(x-\alpha_j)^\ell}. $$ Le résultat est vrai (et trivial) pour $d=1$, puisque dans ce cas $Q(x)=c(x-\alpha)$ et $R$~doit être une constante. D'après le raisonnement (5.4$\,$a), le résultat est encore vrai si $Q$ n'a qu'une seule racine. Supposons donc que $Q$ ait au moins 2 racines distinctes $\alpha_1$,~$\alpha_2$, et cherchons à simplifier l'écriture de chaque terme $$ {x^k\over(x-\alpha_1)^{m_1}(x-\alpha_2)^{m_2}\ldots (x-\alpha_s)^{m_s}},\qquad k0$ il existe un encadrement $\varphi\le f\le \psi$ de $f$ par des fonctions en escalier $\varphi$, $\psi$ telles que $$ \boxed{16}{ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx =\sum_{0\le i\le p-1}(d_i-c_i)(u_{i+1}-u_i)\le \varepsilon.} $$ Alors $f$ est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^bf(x)\,dx=\sup\Big\{\int_a^b\varphi(x)\,dx\,;\;\varphi\le f\Big\} =\inf\Big\{\int_a^b\psi(x)\,dx\,;\;\psi\ge f\Big\}.} $$} {\it Démonstration.} Considérons les ensembles de valeurs prises par les intégrales de fonctions en escalier $\varphi$ qui minorent et $\psi$ qui majorent, c'est-à-dire $$ E_1=\Big\{\int_a^b\varphi(x)\,dx\,;\;\varphi\le f\Big\},\quad E_2=\Big\{\int_a^b\psi(x)\,dx\,;\;\psi\ge f\Big\}, $$ et $S=\sup E_1$, $I=\inf E_2$, Il est clair que pour tout $\smash{A_1=\int_a^b\varphi(x)\,dx\in E_1}$ et tout $\smash{A_2=\int_a^b\psi(x)\,dx\in E_2}$ on a $A_1\le A_2$. L'hypothèse de la condition signifie que pour un choix adéquat de $\varphi,\,\psi$ on a $A_2-A_1\le\varepsilon$. Ceci entraîne bien $S=\sup E_1=I=\inf E_2$. Comme toute fonction en escalier est intégrable avec des jauges constantes (cf.\ exemple 2.8), il~existe $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tels que $$ \eqalign{ &\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad h_j\le \delta_1~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(\varphi)-A_1|\le\varepsilon,\cr &\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad h_j\le \delta_2~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(\psi)-A_2|\le\varepsilon.\cr } $$ Or nous avons $A_1\le S=I\le A_2$ et $A_2-A_1\le\varepsilon$. Prenons une subdivision pointée $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ vérifiant $h_j\le\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Nous obtenons dans ces conditions $S_D(\varphi)\le S_D(f)\le S_D(\psi)$, donc $$ S_D(f)\le S_D(\psi)\le A_2+\varepsilon\le I+2\varepsilon,\qquad S_D(f)\ge S_D(\varphi)\ge A_1-\varepsilon\ge S-2\varepsilon. $$ Par suite en posant $A=S=I$ il vient $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$. La suffisance du critère d'intégrabilité est démontrée.\qed \medskip {\bf (7.4)* Complément.} {\it Le critère 7.3 est en fait une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.} {\it Démonstration.} Pour voir la nécessité de la condition, supposons $f:[a,b]\to\bR$ Riemann-intégrable et soient $\varepsilon>0$ et $\delta>0$ satisfaisant la définition 2.1. Considérons une subdivision pointée $\delta$-fine $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ quelconque. En faisant varier indépendamment chaque $x_j$ dans l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$, on trouve $$ \eqalign{ &\sup_{\{x_j\}}S_D(f)= \sup_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}M_j (a_{j+1}-a_j),\cr &\inf_{\{x_j\}}S_D(f)= \inf_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}m_j (a_{j+1}-a_j)\cr} $$ où $M_j=\sup_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$, $m_j=\inf_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$. Puisque \hbox{$A-\varepsilon\le S_D(f)\le A+\varepsilon$}, on voit en passant au sup et à l'inf que $$ A-\varepsilon\le\sum_{j=0}^{N-1}m_j(a_{j+1}-a_j)\le \sum_{j=0}^{N-1}M_j(a_{j+1}-a_j)\le A+\varepsilon. $$ Ceci entraîne en particulier qu'aucune des bornes $M_j$ ne peut être égale à $+\infty$ et qu'aucune des bornes $m_j$ ne peut être égale à $-\infty$, et par conséquent que $f$ est bornée. Si on définit les fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$ par $$ \varphi(x)=m_j,\quad \psi(x)=M_j\quad\hbox{si $x\in{}]a_j,a_{j+1}[$}, \qquad \varphi(a_j)=\psi(a_j)=f(a_j), $$ on obtient un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ tel que $$ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx\le 2\varepsilon, $$ et on voit que la condition du critère 7.3 est bien satisfaite.\qed \medskip Une application directe de 7.3 est la preuve de l'intégrabilité des fonctions monotones ou continues (dans la suite de ce paragraphe, tous les résultats concerneront donc l'intégrabilité au sens de Riemann.) \medskip {\bf (7.5) Théorème.} {\it Toute fonction $f:[a,b]\to\bR$ monotone est intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.} {\it Démonstration.} Supposons par exemple $f$ croissante et soit $a=u_1<\ldots 0$ est une constante. De manière évidente, on définit un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ de $f$ par des fonctions en escalier en posant $$ \varphi(x)=f(u_j)~~\hbox{sur $]u_j,u_{j+1}[$},\qquad \psi(x)=f(u_{j+1})~~\hbox{sur $]u_j,u_{j+1}[$} $$ (et $\varphi(u_j)=\psi(u_j)=f(u_j)$ comme déjà convenu). Ceci donne $$ \eqalign{ \int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx &=\sum_{0\le j\le N-1}\big(f(u_{j+1})-f(u_j)\big)(u_{j+1}-u_j)\cr &\le\delta\sum_{0\le j\le N-1}\big(f(u_{j+1})-f(u_j)\big)= \delta\big(f(b)-f(a)\big).\cr} $$ On voit ainsi que la condition 7.3 est vérifiée en prenant $\delta$ assez petit.\qed \medskip {\bf (7.6) Théorème} {\it Toute fonction $f:[a,b]\to\bR$ continue est intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.} {\it Démonstration.} Soit $\varepsilon>0$. La continuité de $f$ en tout point $x\in[a,b]$ implique l'existence d'un réel $\delta(x)>0$ tel que $$ \forall x'\in[a,b],~~x'\in[x-\delta(x),x+\delta(x)] \Rightarrow|f(x')-f(x)|\le\varepsilon. $$ Soit $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)_{0\le j0$, l'hypothèse de continuité dit que $f(x)-\varepsilon\le f(t)\le f(x)+\varepsilon$ pour $|t-x|\le\delta(x)$, on a donc $$ f(x)-\varepsilon={1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)-\varepsilon)\,dt\le {F(x+h)-F(x)\over h}\le {1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)+\varepsilon)\,dt=f(x)+\varepsilon $$ pour $|h|\le\delta(x)$, ce qui signifie que $$ F'(x)=\lim_{h\to 0}{F(x+h)-F(x)\over h}=f(x). $$ Si on a une autre primitive $F_1$, il vient $(F_1-F)'=f'-f'=0$, donc $F_1-F=C$ constante.\qed \medskip {\bf (7.8) Proposition.} {\it {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction continue positive ou nulle, on a $\int_a^b f(x)=0$ si et seulement si $f=0$. \item{\rm (b)} Si $f,\,g:[a,b]\to\bR$ sont continues et $f\le g$, on a $\int_a^bf(x)\,dx<\int_a^bg(x)\,dx$ dès que $f$ et $g$ se sont pas égales.\vskip0pt }} {\it Démonstration.} (a) Si $f$ n'est pas nulle, il existe un point $x_0\in[a,b]$ tel que $f(x_0)>0$, et on pose alors $\varepsilon=f(x_0)/2$. La continuité de $f$ en $x_0$ implique qu'il existe un intervalle $[x_0,x_0+\eta]$ (ou $[x_0-\eta,x_0]$, si $x_0=b$) sur lequel $f(x)-f(x_0)|\le\varepsilon$. On voit donc qu'il existe un sous-intervalle $[c,d]$ de de $[a,b]$ de longueur $d-c=\eta>0$ sur lequel $f(x)\ge f(x_0)-\varepsilon\ge\varepsilon$. Par suite $\int_a^bf(x)\,dx\ge\int_c^df(x)\,dx\ge(d-c)\,\varepsilon>0$. (b) Si $f\le g$ et $f\ne g$, alors $h=g-f\ge 0$ n'est pas nulle, donc $\int_a^bh(x)\,dx>0$ d'après~(a).\qed \medskip {\bf (7.9) Formule de la moyenne.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue. Alors il existe un point $c\in{}]a,b[$ tel que la «\?valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$\?» soit égale à $f(c)~:$ $$ \boxed{16}{ {1\over b-a}\int_a^bf(x)\,dx=f(c).} $$ } {\it Démonstration.} Soit $m=\min_{[a,b]}f$, $M=\max_{[a,b]}f$. Supposons d'abord $f$ non cons\-tante. D'après la proposition 7.8~(b) appliquée aux inégalités $m\le f\le M$, nous avons $$ m(b-a)<\int_a^bf(x)\,dx0)$}. Toute fonction continue ou monotone par morceaux est inté\-grable au sens de Riemann.} {\it Démonstration.} En effet, la restriction $f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ diffère d'une fonction continue (resp.\ monotone) par une fonction en escalier nulle sur $]\alpha_j,\alpha_{j+1}[$ (et prenant des valeurs adéquates en $\alpha_j$ et $\alpha_{j+1}$). Par conséquent $f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ est intégrable au sens de Riemann, et l'inté\-grabilité de $f$ sur $[a,b]$ résulte de la relation de Chasles.\qed \bigskip Nous démontrons maintenant une généralisation du théorème fondamental 4.1. Observons d'abord que comme une fonction nulle sauf sur un ensemble fini est d'intégrale nulle (remarque 3.2), on peut envisager d'intégrer des fonctions $f$ qui sont seulement définies sur le complémentaire $[a,b]\ssm E$ d'un ensemble fini $E$~: on se ramène au cas d'une fonction partout définie en étendant $f$ arbitrairement sur $[a,b]$, par exemple en posant $\tilde f(x)=0$ sur $E$. L'intégrale ainsi calculée est indépendante du prolongement $\tilde f$ choisi. \medskip {\bf (7.11) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue. On suppose qu'il existe un ensemble fini $E=\{u_i\,;\;1\le i\le p\}$ tel que $f$ soit dérivable sur $[a,b]\ssm E$. Alors $f'$ $($étendue arbitrairement aux points $u_i)$ est HK-intégrable sur $[a,b]$ et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).} $$} {\it Démonstration.${}^*$} Supposons pour simplifier $f'$ définie par $f'(u_i)=0$ aux points où $f$ n'est pas dérivable. On reprend la démonstration du théorème 4.1. La dérivabilité de $f$ sur $[a,b]\ssm E$ implique l'existence d'une fonction $\delta:[a,b]\ssm E\to{}]0,+\infty[$ telle que $$ y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow \big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x| $$ pour tout $x\in[a,b]\ssm E$, ce qui donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big| \le\varepsilon|a_{j+1}-a_j| $$ pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, lorsque $x_j\in[a,b]\ssm E$. D'autre part, si $x_j=u_i\in E$, la continuité de $f$ au point $u_i$ entraîne l'existence de $\delta_i>0$ tel que tout point $x\in[u_i-\delta_i,u_i+\delta_i]$ satisfasse $|f(x)-f(u_i)|\le \varepsilon\,2^{-i}$. On pose alors $\delta(u_i)=\delta_i$. Dans ce cas il vient $|f(a_{j+1})-f(a_j)|\le 2\varepsilon\,2^{-i}$ si $x_j=u_i$, ce qui donne $$ \big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big| \le 2\varepsilon\,2^{-i}. $$ En sommant toutes ces inégalités, il vient $$ \big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a)+2\varepsilon, $$ (car $\sum_{1\le i\le p}2\varepsilon\,2^{-i}\le 2\varepsilon$), ce qui démontre le théorème.\qed \medskip {\bf (7.12)* Remarque.} D'après l'exercice 9.22 et la preuve ci-dessus, on voit que le théorème 7.11 est en fait encore vrai avec un ensemble $E=\{u_i\}_{i\in\bN}$ dénombrable. \medskip {\bf (7.13) Corollaire.} {\it Si $f:{}]a,b[{}\to\bR$ admet une primitive $F$ sur $]a,b[$, et si cette primitive $F$ admet une limite à droite $F(a+0)$ en $a$ et une limite à gauche $F(b-0)$ en $b$, alors $f$ est HK-intégrable sur $[a,b]$ $($si $f$ n'est pas a priori définie en $a$ et $b$, on peut lui attribuer des valeurs $f(a),\,f(b)\in\bR$ arbitraires$)$, et on a $$ \boxed{16}{ \int_a^b f(x)\,dx = F(b-0)-F(a+0)=\lim_{x\to b-0}F(x)-\lim_{x\to a+0}F(x).} $$ } {\it Démonstration.} Il suffit en effet de prolonger $F$ par continuité sur $[a,b]$ en posant $F(a)=\lim_{x\to a+0}F(x)$ et $F(b)=\lim_{x\to b-0}F(x)$, puis d'appliquer le théorème~7.11 à sa dérivée $F'$ qui est définie sur $]a,b[{}=[a,b]\ssm E$ avec $E=\{a,b\}$.\qed \medskip Un exemple typique d'application du corollaire 7.13 est celui de la fonction $$ f(x)={1\over\sqrt{1-x^2}}\qquad\hbox{sur l'intervalle $]-1,1[$}. $$ Dans ce cas, on a en effet une primitive $F(x)=\arcsin(x)$ qui se prolonge en une fonction continue sur $[-1,1]$. On obtient par conséquent $$ \int_{-1}^1{1\over\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi. $$ Plus généralement, le corollaire 7.13 nous amène à la définition des «\?intégrales im\-propres\?». \medskip {\bf (7.14) Intégrales «\?impropres\?».} {\it Soit $I=[a,b[{}\subset\bR$ un intervalle semi-ouvert, où \hbox{$b\in\bR\cup\{+\infty\}$}, et soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction intégrable $($par exemple continue ou monotone par morceaux$)$ sur tout intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$. On dit que l'intégrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est convergente au point $b$ si la limite $$ A=\lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta f(x)\,dx $$ existe dans $\bR$ $($en particulier finie$)$, et on pose alors $\int_a^bf(x)\,dx=A$.\smallskip On donne une définition analogue dans le cas d'un intervalle semi-ouvert $]a,b]$,\break \hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en considérant la limite $\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec $[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les intégrales sur $]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point intermédiaire $c\in{}]a,b[$.} \medskip {\bf (7.15) Exemples.} On vérifiera que les intégrales $$ \int_0^1{1\over x^a}\,dx = {1\over 1-a},\qquad \int_1^{+\infty}{1\over x^b}\,dx = {1\over b-1} $$ convergent respectivement pour $a<1$ et $b>1$, et que $$ \int_0^{+\infty}e^{-cx}\,dx = {1\over c} $$ converge pour tout $c>0$. En utilisant le calcul de la primitive de $x^n e^{-x}$ donné au point (5.1$\,$a), on obtient également le résultat classique $$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx=n!\;. $$ {\bf (7.16)** Convergence absolue.} {\it Soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction HK-intégrable sur tout intervalle fermé borné $[a,\beta]$. On dit que l'intégrale $\smash{\int_a^bf(x)\,dx}$ est absolument convergente si de plus $|f|$ est HK-intégrable sur chaque intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$ et si la limite $$ \lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta |f(x)|\,dx $$ existe dans $\bR$ $($donc en particulier si elle est finie$)$.} \medskip On donne une définition analogue dans le cas d'un intervalle semi-ouvert $]a,b]$,\break \hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en considérant la limite $\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec $[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les intégrales sur $]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point intermédiaire $c\in{}]a,b[$.\medskip Le critère de Cauchy${}^*$ permet de voir qu'il y a convergence (resp.\ convergence absolue) de l'intégrale sur $[a,b[$ si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $\beta_\varepsilon0$ et $n_0$ tels que $|f_n-f|\le\varepsilon$ pour $n\ge n_0$. Nous avons $|f_p-f_q|\le 2\varepsilon$ pour $p,q\ge n_0$, d'où $|A_p-A_q|\le2\varepsilon(b-a)$. La suite $(A_n)$ est donc une suite de Cauchy, par conséquent la limite $A=\lim_{n\to+\infty}A_n$ existe. De plus, il existe une jauge $\delta$ (resp.\ une jauge constante dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann) telle que pour toute subdivision pointée $D$ de pas $h_j\le\delta(x_j)$ on ait $|S_D(f_{n_0})-A_{n_0}|\le\varepsilon$. Il vient à la limite $|A-A_{n_0}|\le 2\varepsilon(b-a)$ tandis que $|S_D(f)-S_D(f_{n_0})|\le\sum|f(x_j)-f_{n_0}(x_j)|\,h_j\le\varepsilon(b-a)$. En mettant bout à bout ces inégalités il vient $$ |S_D(f)-A|\le\varepsilon+3\varepsilon(b-a), $$ donc $f$ est bien intégrable sur $[a,b]$ d'intégrale $A=\lim A_n$.\qed \medskip {\bf (8.2) Remarque.} Pour obtenir l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil de la limite $f=\lim f_n$, il suffirait d'avoir une estimation de la forme $|f_n-f|\le\varepsilon_ng$ avec $g\ge 0$ HK-intégrable (non nécessairement bornée) et $\varepsilon_n\to 0$. Nous obtiendrons de toutes façons des théorèmes de convergence beaucoup meilleurs encore dans ce cas, cf.~chapitre III. \medskip Rappelons qu'une fonction $f:I\to\bR$ définie sur un intervalle $I$ est dite {\it réglée} si elle admet une limite à droite et à gauche en tout point de l'intérieur $I^\circ$, ainsi qu'une limite à droite en $a=\inf I$ si $a\in I$ et à gauche en $b=\sup I$ si $b\in I$. \medskip {\bf (8.3) Lemme.} {\it Toute fonction réglée sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est limite uniforme de fonctions en escalier.} \medskip {\bf (8.4) Corollaire.} {\it Toute fonction réglée sur sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ y est Riemann-intégrable.} {\it Démonstration du lemme et de son corollaire.} Soit $\varepsilon>0$. Pour tout $x\in[a,b]$, il existe $\delta(x)>0$ et des constantes $c^+=\lim_{\xi\to x+0}f(\xi)$, $c^-=\lim_{\xi\to x-0}f(\xi)$ telles que $|f(x)-c^-|\le\varepsilon$ sur $[x-\delta(x),x]\cap[a,b]$ et $|f(x)-c^+|\le\varepsilon$ sur $[x,x+\delta(x)]\cap[a,b]$. D'après le lemme I.2.6, on peut trouver une subdivision pointée $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ $\delta$-fine. Ceci nous permet de définir une fonction en escalier $\varphi$ en posant $$ \eqalign{ &\varphi(x_j)=f(x_j),\quad \varphi(a_j)=f(a_j),\cr &\varphi_{|]a_j,x_j[}=c^-_j=\lim_{\xi\to x_j-0}f(\xi),\quad \varphi_{|]x_j,a_{j+1}[}=c^+_j=\lim_{\xi\to x_j+0}f(\xi).\cr} $$ Par construction nous avons $|f-\varphi|\le\varepsilon$ sur $[a,b]$. Il en résulte que $f$ est Riemann-intégrable comme limite uniforme de fonctions en escalier.\qed \medskip On va maintenant tirer du théorème de convergence uniforme les propriétés usuelles de continuité et de dérivabilité sous le signe somme des intégrales dépendant de para\-mètres. Des résultats beaucoup plus forts sont vrais, mais on aura besoin pour cela de théorèmes de convergence plus subtils que le théorème 8.1 (cf.\ Chapitre III, section 5). \medskip {\bf (8.5) Lemme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie quelconque et $f:[a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une application continue. Alors, si $t_0\in T$, la famille de fonctions $f_t:x\mapsto f(x,t)$ converge uniformément vers la fonction $f_{t_0}:x\mapsto f(x,t_0)$ quand $T\ni t$ tend vers $t_0$. Autrement dit, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un voisinage $V$ de $t_0$ tel que pour $t\in T\cap V$, on ait $|f(x,t)-f(x,t_0)|\le\varepsilon$ pour tout $x\in[a,b]$.} {\it Démonstration.} Pour tout $x_0\in[a,b]$, l'hypothèse de continuité au point $(x_0,t_0)$ implique qu'il existe un voisinage $V_{x_0,t_0}$ de $t_0$ (dépendant de $x_0$) et un voisinage $$ U_{(x_0,t_0)}= [x_0-\delta(x_0),x_0+\delta(x_0)]\times V_{x_0,t_0}\quad\hbox{de $(x_0,t_0)$} $$ tel que $(x,t)\in U_{(x_0,t_0)}\cap([a,b]\times T)$ implique $|f(x,t)-f(x_0,t_0)|\le\varepsilon/2$. En appliquant ceci en particulier pour $t=t_0$ et en faisant la différence, on voit que que pour tout $t\in T\cap V_{x_0,t_0}$ et tout $x\in[x_0-\delta(x_0),x_0+\delta(x_0)]$ on a $|f(x,t)-f(x,t_0)|\le\varepsilon$. D'après le lemme~I.2.6, il existe une subdivision pointée $D=([a_i,a_{i+1}],x_i)$ de $[a,b]$ qui est $\delta$-fine. Par conséquent $[a_i,a_{i+1}]\subset[x_i-\delta(x_i),x_i+\delta(x_i)]$, et en prenant $t\in V=\bigcap_i V_{x_i,t_0}$ on voit que la conclusion du lemme est vérifiée. \qed \medskip De là, on déduit aussitôt le théorème de continuité des intégrales dépendant de para\-mètres. {\bf (8.6) Continuité sous le signe somme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie quelconque et $f:[a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une application continue. Alors l'application $$F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$$ est continue sur~$T$. } {\it Démonstration.} Avec les notations du lemme 8.5, on trouve $$ |F(t)-F(t_0)|\le\int_a^b\big|f(x,t)-f(x,t_0)\big|\,dx\le (b-a)\varepsilon $$ pour $t\in T\cap V$, ce qui prouve la continuité de $F$ au point~$t_0$.\qed \medskip {\bf (8.7) Dérivation sous le signe somme.} {\it Soit $T$ un intervalle de la droite réelle et $f: [a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est continue sur $[a,b]\times T\;;$ \item{\rm(b)} $f$ admet en tout point une dérivée partielle ${\partial f\over\partial t}(x,t)$ qui est elle-même continue sur~$[a,b]\times T$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_a^bf(x,t)\,dx$ est de classe $C^1$ sur $T$ et pour tout $t_0\in T$ on a $$ \boxed{16}{ F'(t_0)=\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx}. $$ } {\it Démonstration.} Soit $t\in T$. En appliquant le théorème des accroissements finis à $t\mapsto f(x,t)$ sur l'intervalle $[t_0,t]$, on voit que $$ {F(t)-F(t_0)\over t-t_0}= \int_a^b {f(x,t)-f(x,t_0)\over t-t_0}\,dx= \int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\,dx $$ pour un certain point $c=c_{t,x}\in{}]t_0,t[$. Soit $\varepsilon>0$. En appliquant le lemme 8.5 à la fonction continue $g(x,t)={\partial f\over\partial t}(x,t)$, on voit qu'il existe un voisinage $V={}]t_0-\eta,t_0+\eta[$ de $t_0$ tel que $|{\partial f\over\partial t}(x,t)- {\partial f\over\partial t}(x,t_0)|\le \varepsilon$ pour tout $x\in[a,b]$ et tout $t\in V$. Sous cette hypothèse on a également $c(x,t)\in{}]t_0,t[{}\subset V$, donc $|{\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})- {\partial f\over\partial t}(x,t_0)|\le \varepsilon$ et par suite $$ \bigg|{F(t)-F(t_0)\over t-t_0}- \int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx\bigg| =\bigg|\int_a^b \Big( {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x}) -{\partial f\over\partial t}(x,t_0))\Big)\,dx\bigg|\le (b-a)\varepsilon. $$ On a donc bien $F'(t_0)=\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx$, et cette relation montre que $F'$ est continue d'après le théorème~8.6.\qed \medskip Pour un paramètre $t=(t_1,\ldots, t_d)\in\bR^d$, nous avons le résultat analogue suivant. \medskip {\bf (8.8) Différentiabilité sous le signe somme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie ouverte et $f: [a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est continue sur $[a,b]\times T\;;$ \item{\rm(b)} $f$ admet en tout point des dérivées partielles ${\partial f\over\partial t_j}(x,t)$ qui sont elles-mêmes continues sur $[a,b]\times T$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$ est de classe $C^1$ sur $T$ et on a $$ \boxed{16}{{\partial F\over\partial t_j}(t)= \int_a^b {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\,dx.} $$ } {\it Démonstration.} Il suffit en effet d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme séparément pour chaque variable $t_j$ pour voir que les dérivées partielles $\partial F/\partial t_j$ existent, et d'invoquer ensuite le théorème de continuité pour voir que ces dérivées partielles sont continues sur $T$.\qed \medskip Il est bon parfois de connaître également la formule de différentiation sous le signe somme dans le cas où l'intégrale est calculée sur des intervalles dépendant du paramètre. \medskip {\bf (8.9) Formule générale de dérivation sous le signe somme.} {\it Soient $I\subset\bR$ et $T\subset\bR$ des intervalles. On considère une intégrale de la forme $$ F(t)=\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\,dx $$ où $a,b:T\to I$ sont des fonctions de classe $C^1$ et $f: I\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction continue admettant une dérivée partielle ${\partial f\over\partial t}$ continue sur $I\times T$. Alors l'application $F$ est de classe $C^1$ sur $T$ et on a $$ \boxed{16}{ F'(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}{\partial f\over\partial t}(x,t)\,dx +b'(t)f(b(t),t)-a'(t)f(a(t),t).} $$} {\it Démonstration.} On pose $$ \Phi(t,u,v)=\int_u^v f(x,t)\,dx. $$ Plaçons-nous sur un sous-intervalle fermé borné $T'=[t_1,t_2]\subset T$, et soit $$ A=\min_{t\in T'}a(t)\in I,\qquad B=\max_{t\in T'}b(t)\in I. $$ Nous avons $[A,B]\subset I$, donc les hypothèses des théorèmes 8.5 et 8.6 sont satisfaites sur $[A,B]\times T'$. On voit par conséquent que $\Phi$ admet des dérivées partielles $$ {\partial\Phi\over\partial t}=\int_u^v {\partial f\over\partial t}(x,t)\,dx, \qquad {\partial\Phi\over\partial v}=f(v,t), \qquad {\partial\Phi\over\partial u}=-f(u,t) $$ (pour cette dernière égalité, il suffit d'échanger les bornes $u$ et $v$). De plus, ces trois dérivées partielles sont continues en les variables $(t,u,v)$. Pour ${\partial\Phi\over\partial u}$ et ${\partial\Phi\over\partial v}$ c'est clair par hypothèse, tandis que pour ${\partial\Phi\over\partial t}$ cela résulte de l'estimation $$ \Big|{\partial\Phi\over\partial t}(t,u,v)- {\partial\Phi\over\partial t}(t_0,u_0,v_0)\Big| \le M(|u-u_0|+|v-v_0|)+\bigg|\int_{u_0}^{v_0} \Big({\partial f\over\partial t}(x,t)-{\partial f\over\partial t}(x,t_0)\Big) \,dx\bigg| $$ dans laquelle $M$ est un majorant de $|{\partial f\over\partial t}|$ sur la pavé $[A,B]\times T'$. On déduit de tout cela que $\Phi(t,u,v)$ et $F(t)=\Phi(t,a(t),b(t))$ sont de classe $C^1$. De plus $$ F'(t)={\partial \Phi\over\partial t}(t,a(t),b(t))+ {\partial \Phi\over\partial u}(t,a(t),b(t))\,a'(t)+ {\partial \Phi\over\partial v}(t,a(t),b(t))\,b'(t) $$ ce qui donne la formule (8.9) attendue.\qed \vfill\eject \section{9. Vrai ou faux}\vskip-19pt\ \kern88pt\ \note{13}{Les questions et les exercices qui suivent proviennent du polycopié de Bernard Ycart, proposé aux étudiants de L1 à l'Université de Grenoble I.} \vskip8pt {\bf 9.1.} On considère la fonction $f\,:\,x\mapsto x$ sur l'inter\-valle $I=[0,2]$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi~? {\parindent=6.5mm \itemf $\dsp{\sum_{i=1}^{2n} {i\over n}}$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$. \itemv $\dsp{\sum_{i=1}^{2n} {i\over n^2}}$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$. \itemf $\dsp{{2\over n}\sum_{i=1}^{n} {2i\over n^2}}$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$. \itemv $\dsp{\sum_{i=1}^{n} {4i\over n^2}}$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$. \itemf $\dsp{\sum_{i=1}^{2n} {i\over n^2}}$ tend vers $\dsp{{1\over 2}}$ quand $n$ tend vers l'infini. \itemv $\dsp{\sum_{i=1}^{2n} {i\over n^2}}$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers l'infini. } \medskip {\bf 9.2.} Toutes les fonctions considérées sont supposées intégrables sur l'inter\-valle considéré. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi~? {\parindent=6.5mm \itemv L'intégrale sur $[0,1]$ d'une fonction négative ou nulle est négative ou nulle. \itemf L'intégrale d'une fonction paire sur $[0,1]$ est positive ou nulle. \itemv L'intégrale d'une fonction impaire sur $[-1,1]$ est nulle. \itemf L'intégrale sur $[0,1]$ d'une fonction minorée par $1$ est inférieure ou égale à $1$. \itemf L'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction majorée par $1$ est inférieure ou égale à $1$. \itemv L'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction majorée par $2$ est inférieure ou égale à $4$. \itemv Si une fonction $f$ est telle que pour tout $x\in[-1,1]$, $f(x)1)$\smallskip (c)~~ $\dsp\int_a^{1/a} {\ln x\over 1+x^2}\,dx$ $(a>0)$\kern30pt (d)~~ $\dsp\int_0^a e^{-\sqrt{t}}\,dt$ \medskip {\bf 10.12.} Démontrer les résultats suivants. (a)~~ $\dsp \lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} {1\over n+k} =\int_0^1 {1\over 1+x}\,dx = \ln(2)$\smallskip (b)~~ $\dsp\lim_{n\rightarrow+\infty} {1\over n}\sum_{k=1}^{n} {n^2\over (n+k)^2} =\int_0^1 {1\over (1+x)^2}\,dx = {1\over 2}$\smallskip (c)~~ $\dsp\lim_{n\rightarrow+\infty} n\sum_{k=n}^{2n-1} {1\over k^2} =\int_0^1 {1\over (1+x)^2}\,dx = {1\over 2}$\smallskip (d)~~ $\dsp \lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} {1\over \sqrt{n^2+2kn}} =\int_0^1 {1\over \sqrt{1+2x}}\,dx = \sqrt{3}-1$\smallskip (e)~~ $\dsp\lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{2n} {k\over k^2+n^2} =\int_0^2 {x\over 1+x^2}\,dx = {1\over 2}\ln(5)$\smallskip (f)~~ $\dsp\lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n \sqrt{{n-k\over n^3+n^2 k}} =\int_0^1 \sqrt{{1-x\over 1+x}}\,dx = {\pi\over 2}-1.$ \medskip {\bf 10.13.} Évaluer les limites de sommes de Riemann suivantes (a)~~ $\dsp \lim_{n\to+\infty}{1\over n^3}\sum_{k=1}^n k^2\sin\Big({k\pi\over n}\Big)$ \smallskip (b)~~ $\dsp \lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^n\Big(1+{k^2\over n^2}\Big)^{1/n}$ \smallskip (c)~~ $\dsp\lim_{n\to+\infty}{1\over n}\sum_{k=0}^{n-1}f\Big({k\over n}\Big) f'\Big({k+1\over n}\Big)$ où $f\in C^1([0, 1])$. \medskip {\bf 10.14.} Soit $f\in C^0([a,b])$ telle que $f\ge 0$. Montrer que $$ \lim_{n\to+\infty}\Big(\int_a^b f(x)^n\,dx\Big)^{1/n}=\sup_{x\in[a,b]} f(x). $$ {\bf 10.15.} Soit $f\in C^0([0,1])$. Déterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}n\int_0^1 x^nf(x)\,dx$. \medskip {\bf 10.16.} Calculer $\dsp\lim_{x\to 0}\int_x^{3x}{\cos t\over t}\,dt$. \medskip {\bf 10.17.} Calculer $\dsp\int_0^1\Big(E\Big({2\over x}\Big)-2\,E\Big({1\over x}\Big)\Big) \,dx$ où $E(\cdot)$ désigne la fonction partie entière. \medskip {\bf 10.18.} On considère la fonction $f~: x\mapsto x^{-2}$, sur l'intervalle $[1,2]$. Soit $n\geq 1$. Soit $D$ la subdivision régulière de $[1,2]$ en $n$ intervalles égaux. {\parindent=6.5mm \item{(a)} Démontrer que $$ S_D(f)=n\sum_{j=0}^{n-1} {1\over (n+j)^2}\;. $$ \item{(b)} Démontrer que $$ n\sum_{j=0}^{n-1} {1\over (n+j)(n+j+1)} < S_D(f) < n\sum_{j=0}^{n-1} {1\over (n+j-1)(n+j)}\;. $$ \item{(c)} En déduire que $$ {1\over 2}< S_D(f)<{n(n-2)\over n(2n-1)}\;. $$ {\it Indication}~: remarquer que $$ {1\over k(k+1)}={1\over k}-{1\over k+1}\;. $$ \item{(d)} En déduire que $$ \lim_{n\to\infty} S_D(f)={1\over 2}\;. $$} {\bf 10.19.} Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a0$. \medskip {\bf 10.21.} Calculer le volume du tore de grand rayon $R$ et de petit rayon $r1$ est un réel quelconque. On prend enfin $x_j=a_j$, et on définit de même une subdivision $D'$ en prenant $x_j=a_{j+1}$. {\parindent=6.5mm \item{(a)} Montrer que $$ S_D(f)=-(p-1)\ln p\sum_{i=1}^{N-1}ip^{-i}. $$ \item{(b)} Vérifier que $$ \sum_{i=1}^{N-1}ix^i=x\bigg(\sum_{i=0}^{N-1}x^i\bigg)'= x{1+(N-1)x^N-Nx^{N-1}\over (1-x)^2} $$ et en déduire l'expression de $S_D(f)$ en fonction de $p$ et de $N$. Calculer de même $S_{D'}(f)$. \item{(c)} On choisit $N\ge 2$ et $p$ tel que $p^N=N^2$. Montrer que $\lim_{N\to+\infty}S_D(f)=-1$ (on pourra observer que $p\to 1_+$ et que $\lim_{p\to 1_+}\ln p/(p-1)=(\ln p)'_{p=1}=1$). \item{(d)} Justifier l'intégrabilité de $f$ au sens de Henstock-Kurzweil et montrer que $\int_0^1f(x)\,dx=-1$.\vskip0pt } \medskip {\bf 10.23.} Ensembles exceptionnels dénombrables. {\parindent=6.5mm \item{(a)} Montrer qu'une fonction $f:[a,b]\to\bR$ qui est nulle en dehors d'une partie dénombrable $E=\{u_i\}_{i\in\bN}$ de $[a,b]$ est intégrable au sens de Henstock-Kurzweil et que son intégrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est nulle.\\ {\it Indication~}: choisir une fonction jauge $\delta$ telle que $\delta(u_i)\le 2^{-i}\varepsilon/(1+|f(u_i)|)$. \item{(b)} Montrer que si deux fonctions $g,h:[a,b]\to\bR$ diffèrent uniquement sur une partie dénombrable $E=\{u_i\}_{i\in\bN}$ de $[a,b]$, alors l'intégrabilité de l'une au sens de Henstock-Kurzweil équivaut à l'intégrabilité de l'autre, et que leurs intégrales sont égales.\medskip} {\bf 10.24.} Soit $f$ la fonction indicatrice de $\bQ$, telle que $$ f(x)=1\quad\hbox{si $x\in \bQ$},\qquad f(x)=0\quad\hbox{si $x\notin \bQ$}. $$ On rappelle que tout intervalle ouvert non vide de $\bR$ contient un rationnel et un irrationnel. Soit $n$ un entier strictement positif. Pour $j=0,\ldots,n$, on pose $a_j=j/n$. {\parindent=6.5mm \item{(a)} Montrer à l'aide de l'exercice précédent que $f$ est intégrable au sens de Henstock-Kurzweil sur l'intervalle $[0,1]$. \item{(b)} Soit $([a_j,a_{j+1}])$ une subdivision de $[0,1]$. Montrer que pour tout \hbox{$j=0,\ldots,n-1$}, il existe $x_j,y_j\in[a_j,a_{j+1}]$ tels que $f(x_j)=1$ et $f(y_j)=0$. \item{(c)} On considère les deux subdivisions pointées $$ D_1=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\leq j0$ donné a priori, on peut trouver une jauge $\delta:P\to\bR^*_+$ $($dite $\varepsilon$-adaptée à $f)$, en sorte que pour toute subdivision pointée $D=\{(Q_j,x_j)\}$ de $P$ on ait $$ \diam(Q_j)\le \delta(x_j)~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$ \item{\rm (b)} De même, on dit que $f$ est intégrable au sens de Riemann $($ou Riemann-intégrable$)$ sur $P$ si on peut de plus choisir la jauge $\delta$ constante, c'est-à-dire si pour tout $\varepsilon>0$ il existe une constante $\delta>0$ telle que $$ \diam(Q_j)\le \delta~\hbox{pour tout $j$} \Rightarrow |S_D(f)-A|\le\varepsilon. $$}% Dans l'un ou l'autre cas, on note $$ \int_P f(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n, $$ ou même simplement $A=\int_P f(x)\,dx$, et on appelle $A$ l'intégrale de $f$ sur le pavé~$P$.}} \medskip L'un des principaux critères d'intégrabilité que nous utiliserons dans la suite est le critère de Cauchy. \medskip {\bf (1.6) Critère de Cauchy}. {\it Soit $f:P\to\bR$ une fonction définie sur un pavé $P$ fermé borné. Pour que $f$ soit HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$, il faut et il suffit que pour tout $\varepsilon>0$ il existe une jauge $\delta:P\to\bR_+^*$ $($resp.\ une constante $\delta>0)$, telle que pour toutes subdivisions pointées $D$ et~$D'$ $\delta$-fines on ait $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$. } {\it Démonstration.} Si $f$ est HK-intégrable d'intégrale $A$, pour chaque jauge $\delta$ qui est $\varepsilon/2$-adaptée à $f$, les inégalités $|S_D(f)-A|\le\varepsilon/2$ et $|S_{D'}(f)-A|\le\varepsilon/2$ pour $D,\;D'$ $\delta$-fines entraînent $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$. La réciproque est une conséquence de la complétude de $\bR$, ou, de façon équivalente, de l'existence de bornes supérieures et inférieures pour les parties bornées de~$\bR$. En effet, supposons que pour tout entier $n\ge 1$ il existe une jauge $\delta_n$ telle que $$ |S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon_n=1/n\qquad\hbox{lorsque $D$ et $D'$ sont $\delta_n$-fines}. $$ Quitte à remplacer $\delta_n$ par $\min(\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_n)$ on peut supposer la suite $\delta_n$ décroissante. L'encadrement précédent montre que les quantités $$ M_\ell=\sup\big\{S_{D'}(f)\,;\;\hbox{$D'$ $\delta_\ell$-fine}\big\} $$ sont bornées et vérifient $|M_\ell-S_D(f)|\le 1/n$ pour tout $\ell\ge n$ et toute subdivision $D$ $\delta_n$-fine. De plus la suite $(M_\ell)$ est décroissante bornée, et si on pose $A=\inf\{M_\ell\}$, on trouve $|A-S_D(f)|\le 1/n$ pour toute subdivision $D$ $\delta_n$-fine. Ceci implique $$ \lim_{\HK,\;D}S_D(f)=A=\inf_{\ell>0}M_\ell,\qquad\hbox{donc $f$ HK-intégrable d'intégrale $A$}.\eqno\square $$ On dit qu'une subdivision pointée $\tilde D=(\tilde Q_k,\tilde x_k)$ est {\it emboîtée} dans une autre subdivision pointée $D=(Q_j,x_j)$ si tout pavé $Q_j$ de $D$ se décompose comme une réunion $$ Q_j=\bigcup_{\tilde Q_k\subset Q_j}\tilde Q_k $$ de pavés de $D'$ (cf.\ Fig.~14). \InsertFig 15.000 42.000 { 1 mm unit 0.000 -17.000 translate 23.000 26.000 moveto 0.700 disk 43.000 24.000 moveto 0.700 disk 55.000 23.000 moveto 0.700 disk 75.000 24.000 moveto 0.700 disk 22.000 39.000 moveto 0.700 disk 27.000 47.000 moveto 0.700 disk 35.000 42.000 moveto 0.700 disk 44.000 46.000 moveto 0.700 disk 49.000 44.000 moveto 0.700 disk 36.000 38.000 moveto 0.700 disk 41.000 32.000 moveto 0.700 disk 46.000 36.000 moveto 0.700 disk 54.000 34.000 moveto 0.700 disk 53.000 45.000 moveto 0.700 disk 59.000 38.000 moveto 0.700 disk 63.000 46.000 moveto 0.700 disk 68.000 29.000 moveto 0.700 disk 77.000 37.000 moveto 0.700 disk 76.000 44.000 moveto 0.700 disk 75.000 29.000 moveto 0.700 disk gsave 0.339 setlinewidth 33.700 29.900 translate -0.33871 -0.46428 scale -33.700 -29.900 translate 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 43.000 24.000 moveto 0.700 disk 55.000 23.000 moveto 0.700 disk 75.000 24.000 moveto 0.700 disk 22.000 39.000 moveto 0.700 disk 27.000 47.000 moveto 0.700 disk 35.000 42.000 moveto 0.700 disk 44.000 46.000 moveto 0.700 disk 49.000 44.000 moveto 0.700 disk 36.000 38.000 moveto 0.700 disk 41.000 32.000 moveto 0.700 disk 46.000 36.000 moveto 0.700 disk 54.000 34.000 moveto 0.700 disk 53.000 45.000 moveto 0.700 disk 59.000 38.000 moveto 0.700 disk 63.000 46.000 moveto 0.700 disk 68.000 29.000 moveto 0.700 disk 77.000 37.000 moveto 0.700 disk 76.000 44.000 moveto 0.700 disk 75.000 29.000 moveto 0.700 disk 18.000 21.000 moveto 80.000 49.000 rectangle stroke 18.000 21.000 moveto 39.000 34.000 rectangle stroke 39.000 21.000 moveto 50.000 28.000 rectangle stroke 50.000 21.000 moveto 64.000 30.000 rectangle stroke 64.000 21.000 moveto 80.000 27.000 rectangle stroke 18.000 34.000 moveto 31.000 43.000 rectangle stroke 18.000 43.000 moveto 37.000 49.000 rectangle stroke 37.000 41.000 moveto 48.000 49.000 rectangle stroke 31.000 34.000 moveto 44.000 41.000 rectangle stroke 44.000 28.000 moveto 50.000 41.000 rectangle stroke 50.000 38.000 moveto 56.000 49.000 rectangle stroke 56.000 30.000 moveto 72.000 43.000 rectangle stroke 72.000 40.000 moveto 80.000 49.000 rectangle stroke 72.000 27.000 moveto 80.000 33.000 rectangle stroke grestore 0.000 setgray 0.339 setlinewidth 18.000 21.000 moveto 80.000 49.000 rectangle stroke 18.000 21.000 moveto 39.000 34.000 rectangle stroke 39.000 21.000 moveto 50.000 28.000 rectangle stroke 50.000 21.000 moveto 64.000 30.000 rectangle stroke 64.000 21.000 moveto 80.000 27.000 rectangle stroke 18.000 34.000 moveto 31.000 43.000 rectangle stroke 18.000 43.000 moveto 37.000 49.000 rectangle stroke 37.000 41.000 moveto 48.000 49.000 rectangle stroke 31.000 34.000 moveto 44.000 41.000 rectangle stroke 44.000 28.000 moveto 50.000 41.000 rectangle stroke 50.000 38.000 moveto 56.000 49.000 rectangle stroke 56.000 30.000 moveto 72.000 43.000 rectangle stroke 72.000 40.000 moveto 80.000 49.000 rectangle stroke 72.000 27.000 moveto 80.000 33.000 rectangle stroke } \LabelTeX 33.500 12.700 $\RGBColor{1 0 0}{\tilde Q_k}$\ELTX \LabelTeX 82.000 17.000 $P$\ELTX \LabelTeX 66.000 19.500 $Q_j$\ELTX \LabelTeX 57.700 17.500 $x_j$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~14.} Subdivisions emboîtées $D$ et $\tilde D$.} \medskip Étant donné deux subdivisions pointées $D'=(Q'_j,x'_j)$ et $D''=(Q''_k,x''_k)$ $\delta$-fines, on peut produire une subdivision pointée $\smash{\tilde D=(\tilde Q_\ell, \tilde x_\ell)}$ $\delta$-fine emboîtée à la fois dans $D'$ et~$D''$ en considérant tous les pavés intersections $Q'_j\cap Q''_k$ d'intérieur non vide, et en prenant une subdivision pointée $\delta$-fine de chacune de ces intersections. Si le critère de Cauchy est satisfait pour des subdivisions emboîtées, on a alors $|S_{D'}(f)-S_{\tilde D}(f)|\le\varepsilon$ et $|S_{D''}(f)-S_{\tilde D}(f)|\le\varepsilon$, donc $|S_{D''}(f)-S_{D'}(f)|\le 2\varepsilon$ pour $D'$ et $D''$ $\delta$-fines quelconques. \medskip {\bf (1.7) Conséquence.} {\it Pour appliquer le critère de Cauchy, il suffit de considérer des paires de subdivisions $D$, $D'$ emboîtées.} \medskip On exploite cette observation à l'aide du lemme schématisé par la figure ci-dessous. \InsertFig 10.000 66.000 { /riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 10.000 moveto a1 y lineto a2 y lineto a2 10.000 lineto } def /box {/z exch 10.0 add def /y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def a1 y moveto a1 z lineto a2 z lineto a2 y lineto } def 1 mm unit 28.000 35.700 moveto 28.000 51.000 lineto stroke 28.000 51.000 moveto 0.000 90 2.4 vector 28.000 35.700 moveto 0.000 -90 2.4 vector 32.000 55.000 moveto 44.000 55.000 lineto stroke 32.000 55.000 moveto 0.000 180 2.4 vector 44.000 55.000 moveto 0.000 0 2.4 vector 0.84 setgray 18.000 32.000 14.000 25.700 box fill 32.000 44.000 25.700 41.000 box fill 44.000 48.000 19.300 32.000 box fill 48.000 50.000 28.000 30.100 box fill 50.000 53.000 17.900 28.000 box fill 53.000 56.000 20.700 31.900 box fill 56.000 58.000 14.200 32.200 box fill 58.000 65.000 11.500 14.500 box fill 65.000 71.000 14.500 27.200 box fill 71.000 80.000 27.200 30.300 box fill 0.000 setgray 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 25.000 27.000 43.000 49.000 44.000 42.000 46.000 30.000 46.500 31.000 48.400 39.000 49.000 40.000 49.500 39.200 51.400 29.000 52.000 28.000 52.500 29.200 55.400 41.000 56.000 42.000 56.500 39.200 60.000 22.000 75.000 40.000 80.000 40.000 ] curve stroke 0.339 setlinewidth 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 80.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 0.113 setlinewidth 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 18.000 23.000 15.000 riem stroke 23.000 27.000 17.000 riem stroke 27.000 32.000 22.000 riem stroke 32.000 36.000 29.000 riem stroke 36.000 39.000 36.000 riem stroke 39.000 41.000 40.000 riem stroke 41.000 43.000 40.500 riem stroke 43.000 44.000 37.000 riem stroke 44.000 45.000 29.000 riem stroke 45.000 46.000 19.500 riem stroke 46.000 47.000 21.000 riem stroke 47.000 48.000 25.000 riem stroke 48.000 49.000 30.000 riem stroke 49.000 50.000 29.500 riem stroke 50.000 51.000 22.000 riem stroke 51.000 52.000 19.000 riem stroke 52.000 53.000 18.500 riem stroke 53.000 54.000 22.000 riem stroke 54.000 55.000 28.000 riem stroke 55.000 56.000 31.000 riem stroke 56.000 57.000 30.500 riem stroke 57.000 58.000 15.500 riem stroke 58.000 59.000 13.500 riem stroke 59.000 63.000 12.000 riem stroke 63.000 65.000 13.000 riem stroke 65.000 68.000 18.000 riem stroke 68.000 71.000 25.000 riem stroke 71.000 74.000 29.000 riem stroke 74.000 80.000 30.000 riem stroke 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor 18.000 32.000 23.000 riem stroke 32.000 44.000 38.000 riem stroke 44.000 48.000 24.000 riem stroke 48.000 50.000 29.000 riem stroke 50.000 53.000 24.000 riem stroke 53.000 56.000 27.000 riem stroke 56.000 58.000 23.000 riem stroke 58.000 65.000 13.000 riem stroke 65.000 71.000 21.000 riem stroke 71.000 80.000 29.000 riem stroke 38.300 10.000 moveto 0.5 disk 0.339 setlinewidth 32.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 44.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 90.000 25.000 moveto 100.000 25.000 lineto stroke 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor 90.000 32.000 moveto 100.000 32.000 lineto stroke } \LabelTeX 18.000 6.500 $P$\ELTX \LabelTeX 100.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 1.200 58.000 $f(x)$\ELTX \LabelTeX 12.000 43.000 $\oscil_{Q_j}(f)$\ELTX \LabelTeX 31.000 58.000 $\vol(Q_j)$\ELTX \LabelTeX 31.500 6.500 $\RGBColor{0 0 1}{Q_j}$\ELTX \LabelTeX 37.500 6.500 $\RGBColor{0 0 1}{x_j}$\ELTX \LabelTeX 102.000 31.500 $\RGBColor{0 0 1}{D}$\ELTX \LabelTeX 102.000 24.500 $\RGBColor{1 0 0}{D'}$\ELTX \EndFig \vskip-10pt \centerline{{\bf Fig.~15.} Écart entre sommes de Riemann emboîtées.} \medskip\medskip \vbox{% {\bf (1.8) Lemme.} {\it Si $D'$ est emboitée dans $D=(Q_j,x_j)$, on a la majoration $$ \big|S_{D'}(f)-S_D(f)\big|\le\sum_{j}\oscil_{Q_j}(f)\vol(Q_j) $$ où $\smash{\displaystyle \oscil_{Q_j}(f)=\sup_{x,y\in Q_j}|f(x)-f(y)|}$ désigne l'oscillation de $f$ sur $Q_j$.}} \medskip {\it Démonstration.} Chaque terme $f(x_j)\vol(Q_j)$ de $S_D(f)$ correspond dans $S_{D'}(f)$ à une sommation $\sum_{Q'_k\subset Q_j}f(x'_k)\vol(Q'_k)$. Comme $\vol(Q_j)=\sum_{Q'_k\subset Q_j}\vol(Q'_k)$, on a $$ \eqalign{ \Big|f(x_j)\vol(Q_j)&{}-\sum_{Q'_k\subset Q_j}f(x'_k)\vol(Q'_k)\Big| =\Big|\sum_{Q'_k\subset Q_j}\big(f(x_j)-f(x'_k)\big)\vol(Q'_k)\Big|\cr &\le\oscil_{Q_j}(f)\sum_{Q'_k\subset Q_j}\vol(Q'_k)=\oscil_{Q_j}(f) \vol(Q_j).\cr} $$ L'inégalité du lemme s'obtient en sommant sur l'indice~$j$.\qed \medskip {\bf (1.9) Corollaire.} {\it Si $f$ est HK-intégrable sur le pavé fermé borné $P$ et si $D=(Q_j,x_j)$ est une subdivision pointée de $P$, on a $$ \Big|\int_Pf(x)\,dx-S_D(f)\Big|\le\sum_{j}\oscil_{Q_j}(f)\vol(Q_j). $$} {\it Démonstration.} Ceci résulte du lemme 1.8 et du fait que $\int_Pf(x)\,dx=\lim_{\HK,\,D'}S_{D'}(f)$ en prenant la limite sur les subdivisions pointées $D'$ emboîtées dans~$D$.\qed \medskip {\bf (1.10) Théorème.} {\it Toute fonction continue $f:P\to\bR$ définie sur un pavé fermé borné est intégrable au sens de Riemann $($et donc HK-intégrable$)$ sur~$P$.} \medskip {\it Démonstration.} Pour tout $x\in P$, la continuité de $f$ en $x$ montre qu'il existe $\delta(x)>0$ tel que pour tout pavé $Q$ contenant $x$ de diamètre${}\le\delta(x)$ on ait \hbox{$|f(y)-f(x)|\le\varepsilon$}, et donc $\oscil_Q(f)\le 2\varepsilon$. Si $D$ et $D'$ sont des subdivisions $\delta$-fines emboîtées, le lemme 1.8 implique $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le 2\varepsilon\sum\vol(Q_j)=2\varepsilon\vol(P)$, ce qui démontre l'intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil. En réalité, $f$ est uniformément continue et on peut remplacer $\delta$ par une jauge constante~: si $\eta$ est le minimum des arêtes des pavés intervenant dans une subdivision $\delta$-fine quelconque $D_0$ fixée, tout pavé $Q$ de diamètre${}\le \eta$ va rencontrer l'un des pavés $Q^0_j$ de $D_0$ et sera contenu dans la réunion de $Q_j^0$ avec les pavés $Q^0_k$ qui lui sont adjacents, de sorte que $\oscil_{Q}(f)\le 4\varepsilon$. Ceci implique que $|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le 4\varepsilon\vol(P)$ pour tout couple de subdivisions $D$ et $D'$ emboîtées $\eta$-fines. L'intégrabilité au sens de Riemann s'ensuit.\qed \medskip D'autre part, nous avons les résultats basiques suivants qui généralisent la formule de Chasles. \medskip {\bf (1.11) Proposition.} {\it Soit $f : P\to\bR$ une fonction HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$ sur un pavé fermé borné~$P$. Alors la restriction $f_{|Q}$ de $f$ à tout pavé fermé $Q\subset P$ est encore HK-intégrable $($resp.\ Riemann-intégrable$)$.} {\it Démonstration.} On utilise le critère de Cauchy. Étant donné $\varepsilon>0$, il existe une jauge $\delta$ sur $P$ telle que $|S_D(f)-S_{D'}(f)|\le\varepsilon$ pour toutes subdivisions pointées $\delta$-fines $D$ et $D'$ de~$P$. Soient maintenant $\Delta$ et $\Delta'$ deux subdivisions pointées de $Q$ qui sont $\delta_{|Q}$-fines. Comme $P\ssm Q$ est une réunion finie de pavés d'intérieurs disjoints, on peut compléter $\Delta$ et $\Delta'$ en des subdivisions pointées $D$ et $D'$ de $P$ qui sont $\delta$-fines (et on peut naturellement prendre le même découpage et les mêmes points $x_j$ sur $P\ssm Q$). On obtient alors $$ |S_{\Delta}(f)-S_{\Delta'}(f)|=|S_D(f)-S_{D'}(f)|\le\varepsilon. $$ La proposition est démontrée. Pour l'intégrabilité au sens de Riemann la preuve est tout à fait analogue.\qed \medskip {\bf (1.12) Proposition (relation de Chasles).} {\it Étant donné un découpage $P=\bigcup P_i$ d'un pavé fermé borné $P$ en pavés fermés $P_i$ d'intérieurs disjoints, une fonction $f:P\to\bR$ est HK-intégrable sur $P$ si et seulement si elle est intégrable sur chaque pavé~$P_i$, et on a alors $$ \boxed{16}{ \int_P f(x)\,dx = \sum_i \int_{P_i} f(x)\,dx.} $$ } {\it Démonstration.} Pour simplifier l'exposé, on va procéder d'une façon un peu plus «\?brutale\?» que ce que nous avions fait en dimension $1$ (bien qu'une méthode analogue reste possible). Choisissons des fontions jauges $\varepsilon$-adaptées $\delta_i$ sur chaque pavé~$P_i$. On considère une jauge $\delta$ sur $P=\bigcup P_i$ telle que $\delta\le\delta_i$ sur $P_i$, en {\it imposant la condition supplémentaire suivante}$\,$: soit $\partial P_i$ le bord de $P_i$ (réunion de chacune des faces pour lesquelles l'une des coordonnées $x_k$ est constante)$\,$; pour tout $x\in P$, on demande que $\delta$ satisfasse $$ \delta(x)\le \min_{i,\, \partial P_i\not\ni x}d(x,\partial P_i). $$ De cette manière, si $x\in P$ et si $Q\subset P$ est un pavé contenant $x$ de diamètre \hbox{$\diam(Q)\le\delta(x)$}, ou bien $x$ est dans l'intérieur $P_i^\circ$ d'un des pavés, auquel cas\break \hbox{$\delta(x)\le d(x,\partial P_i)$} et donc $Q\subset P_i$, ou bien $x$ appartient à certains bords $\partial P_{i_1},\,\ldots\,$,~$\partial P_{i_N}$. Dans ce cas $x$ n'appartient à aucun autre pavé $P_i$, et les inégalités $\diam(Q)\le\delta(x)\le d(x,\partial P_i)$ impliquent $Q\subset\complement P_i^\circ$. Il~en résulte que $Q\subset P_{i_1}\cup\ldots\cup P_{i_N}$ et donc dans tous les cas $Q=\bigcup_{i,\,P_i\ni x}P_i\cap Q\,$; on~peut évidemment limiter cette union aux indices $i$ tels que l'intérieur $(P_i\cap Q)^\circ$ soit non vide. Soit alors $D=(Q_j,x_j)$ une subdivision $\delta$-fine. D'après ce qui précède, la famille $D_i=\{(P_i\cap Q_j,x_j)\}_{j,\,x_j\in P_i,\,(P_i\cap Q_j)^\circ\ne\emptyset}$ constitue une subdivision pointée $\delta_i$-fine de $P_i$. L'intérêt est qu'il n'est pas nécessaire de changer les points de marquage $x_j$, parce que ceux-ci appartiennent nécessairement aux faces $\partial P_i$ lorsque les pavés $Q_j$ se découpent suivant plusieurs pavés $P_i$. On a donc $S_D(f)=\sum_i S_{D_i}(f)$ avec $|S_{D_i}(f)-\int_{P_i}f(x)\,dx|\le\varepsilon$ et la proposition 1.12 s'ensuit par passage à la limite.\qed \medskip {\bf (1.13) Remarque.} On peut étendre sans difficulté la définition de l'intégrale\break $\int_Pf(x)\,dx$ au cas où $P$ est réunion finie de pavés fermés bornés. On se ramène aussitôt au cas des pavés grâce à la relation de Chasles.\qed \medskip Nous terminons ce paragraphe par la preuve d'une version élémentaire du théorème de Fubini. \medskip {\bf (1.14) Thorème de Fubini (version élémentaire).} {\it Soit $f:[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\to \bR$ une fonction continue. Alors $$ \boxed{16}{ \int_{[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{a_1}^{b_1}\Big(\int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,dy\Big)dx.} \leqno(1.14\,{\rm a}) $$ } {\it Commentaires.} Cet énoncé mérite quelques commentaires préalables. L'intégrale de gauche $\int_{[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]}f(x,y)\,dx\,dy$ est celle introduite par la définition~1.5. Le calcul de l'intégrale de droite $\smash{\int_{a_1}^{b_1}\big(\int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,dy\big)dx}$ se décompose comme suit~: on commence par évaluer $$ F(x)=\int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,dy $$ pour tout $x\in[a_1,b_1]$, ce qui, d'après le théorème 6.6 produit une fonction continue $F:[a_1,b_1]\to \bR$. On calcule ensuite l'intégrale ordinaire $\int_{a_1}^{b_1}F(x)\,dx$. Le théorème de Fubini stipule que les deux résultats coïncident. Puisqu'on peut échanger le rôle des coordonnées $x$ et $y$, on aura aussi comme conséquence que $$ \boxed{16}{ \int_{a_1}^{b_1}\Big(\int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,dy\Big)dx =\int_{a_2}^{b_2}\Big(\int_{a_1}^{b_1} f(x,y)\,dx\Big)dy.} \leqno(1.14\,{\rm b}) $$ {\it Démonstration.} Fixons $\varepsilon>0$. Par continuité uniforme, il existe alors $\delta>0$, c'est-à-dire une jauge constante, telle que $\oscil_Q(f)=\sup_{\xi,\xi'\in Q} |f(\xi)-f(\xi')|\le\varepsilon$ sur tout pavé $Q\subset P=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]$ de diamètre $\diam(Q)\le \delta$. Soit $D$ une subdivision produit \hbox{$\delta$-fine} obtenue en découpant $[a_1,b_1]$ et $[a_2,b_2]$ en $N_1$ (resp.\ $N_2$) sous-intervalles $[x_j,x_{j+1}]$ (resp.\ $[y_k,y_{k+1}]$) de longueur${}\le\delta$. On note $\ell=(j,k)$, $0\le j0$ il existe un entier $p_0$ tel que pour $q\ge p\ge p_0$ on ait $0\le I_q-I_p\le\varepsilon$, donc $$ \Big|\int_{K_q} f(x)\,dx - \int_{K_p} f(x)\,dx\Big| = \Big|\int_{K_q\ssm K_p^\circ} f(x)\,dx\Big|\le \int_{K_q\ssm K_p^\circ} |f(x)|\,dx\le\varepsilon\leqno(2.3) $$ (le domaine $K_q\ssm K_p^\circ$ étant lui aussi réunion finie de pavés d'intérieurs disjoints). Si $K'_p$ est un autre pavage exhaustif, il existe des indices $q(p)$ et $q'(p)$ tels que $K'_p\subset K_{q(p)}$ et $K_p\subset K'_{q'(p)}$, donc $K_p\ssm(K_p\cap K'_p)\le K'_{q'(p)}\ssm K'_p$ et $K'_p\ssm(K_p\cap K'_p)\le K_{q(p)}\ssm K_p$, ce qui montre que la limite $$ \lim_{p\to+\infty}\int_{K_p} f(x)\,dx= \lim_{p\to+\infty}\int_{K_p\cap K'_p} f(x)\,dx= \lim_{p\to+\infty}\int_{K'_p} f(x)\,dx $$ ne dépend pas du pavage exhaustif choisi. Dans ce qui suit, nous aurons besoin d'une autre forme de «\?découpage\?», à savoir la possibilité d'écrire $f$, sur tout compact $K_p$, comme une somme finie $f=\sum f_j$ où les $f_j$ sont continues et {\it à support compact} dans des cubes aussi petits que l'on veut, contenus dans $\Omega$. Pour cela, on écrit par exemple que sur $\bR$ on a $1=\sum_{j\in\bZ}\theta(x-j)$ où $\theta$ est la fonction sinusoïdale tronquée définie par $$ \theta(x)=\cases{ \cos^2({\pi\over 2}x)&si $x\in[-1,1]$,\cr \noalign{\vskip4pt} 0&si $x\in\bR\ssm [-1,1]$.\cr} \leqno(2.4\,{\rm a}) $$ On a en effet $\theta(x-1)=\sin^2({\pi\over 2}x)$ si $x\in[0,2]$, et donc $\theta(x)+\theta(x-1)=1$ sur $[0,1]$. \InsertFig 15.000 42.000 { 1 mm unit -15.000 10.000 moveto 130.000 0.000 2.4 vector 50.000 0.000 moveto 37.000 90.000 2.4 vector 0.339 setlinewidth /theta { 10.000 10.000 moveto [ 10.000 10.000 30.000 10.000 30.050 10.000 50.000 30.000 69.950 10.000 70.000 10.000 90.000 10.000 ] curve stroke } def 0.000 0.000 0.000 setrgbcolor theta 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 20.000 0.000 translate theta 0.000 0.000 1.000 setrgbcolor -40.000 0.000 translate theta 0.000 setgray 40.000 10.000 moveto 0.7 0 indent 60.000 10.000 moveto 0.7 0 indent 0.113 setlinewidth [ 1 0.5 ] 0 setdash 40.000 11.200 moveto 40.000 20.000 lineto stroke 60.000 11.200 moveto 60.000 20.000 lineto stroke } \LabelTeX 113.500 6.000 $x$\ELTX \LabelTeX 46.000 35.700 $y$\ELTX \LabelTeX 55.000 29.000 $\theta(x)$\ELTX \LabelTeX 75.000 29.000 $\RGBColor{1 0 0}{\theta(x-1)}$\ELTX \LabelTeX 12.000 29.000 $\RGBColor{0 0 1}{\theta(x+1)}$\ELTX \LabelTeX 7.500 6.000 $-2$\ELTX \LabelTeX 27.500 6.000 $-1$\ELTX \LabelTeX 37.500 6.000 $-{1\over 2}$\ELTX \LabelTeX 47.500 6.000 $0$\ELTX \LabelTeX 59.200 6.000 ${1\over 2}$\ELTX \LabelTeX 69.200 6.000 $1$\ELTX \LabelTeX 89.200 6.000 $2$\ELTX \EndFig \smallskip \centerline{{\bf Fig.~17.} Découpage par des fonctions continues à support compact.} \medskip En $n$ variables on écrit que $\prod_{1\le k\le n}\big(\sum_{j_k\in\bZ} \theta(x_k-j_k)\big)=1$. Après une homothétie de rapport assez petit $2^{-t_p}$, ceci donne l'analogue en dimension $n$, à savoir que pour $j=(j_1,\ldots,j_n)\in\bZ^n$ et $x=(x_1,\ldots,x_n) \in\bR^n$ on a $$ \sum_{j\in\bZ^n}\theta_{j,p}(x)=1\qquad\hbox{avec}\quad \theta_{j,p}(x)=\prod_{1\le k\le n}\theta(2^{t_p}x_k-j_k).\leqno(2.4\,{\rm b}) $$ Il est facile de voir que $\theta_{j,p}$ est à support dans le cube fermé $C_{j,p}$ de centre $2^{-t_p}j$ et de côté $2^{1-t_p}$. Alors $f=\sum_{j\in\bZ^n}f\theta_{j,p}$ et $f\theta_{j,p}$ est à support dans $C_{j,p}$. Si on restreint la somme à l'ensemble $J_p$ des indices $j$ correspondant aux cubes $C_{j,p}$ contenus dans $\Omega\cap[-2^{t_p},2^{t_p}]^n$, alors on obtient une fonction continue à support compact $f\chi_p$, avec $\chi_p=\sum_{j\in J_p}\theta_{j,p}$, $0\le\chi_p\le 1$, $\chi_p$ égale à $1$ sur $K_p$ pour $t_p\in\bN$ assez grand. Dans ces conditions, nous avons $$ \int_\Omega f(x)\,dx=\lim_{p\to+\infty} \int_\Omega f(x)\chi_p(x)\,dx= \lim_{p\to+\infty}\sum_{j\in J_{p}} \int_{C_{j,p}}f(x)\theta_{j,p}(x)\,dx.\leqno(2.5) $$ {\bf (2.6) Formule du changement de variable dans $\bR^n$.} {\it Soit $\varphi:\Omega\to\Omega'$ une bijection de classe $C^1$ entre deux ouverts de $\bR^n$, telle que le «\?déterminant jacobien\?» $$ \boxed{16}{ \Jac\varphi(x)=\det\bigg({\partial\varphi_i\over\partial x_j} \bigg)_{1\le i,j\le n}} $$ soit partout non nul. Alors pour toute fonction continue $f:\varphi(\Omega)=\Omega'\to\bR$ d'intégrale abso\-lument convergente sur $\varphi(\Omega)$ on a $$ \boxed{16}{ \int_{\varphi(\Omega)}f(y)\,dy=\int_{\Omega}f(\varphi(x))\, |\Jac\varphi(x)|\,dx} $$ et l'intégrale du membre de droite est absolument convergente sur $\Omega$.} Dans la pratique on pose $y=\varphi(x)$, et on écrit que les éléments de volume se transforment par la formule $dy=|\Jac\varphi(x)|\,dx$. {\it Démonstration.} En dimension $1$ et dans le cas d'un intervalle $\Omega={}]a,b[{}\subset\bR$, la~for\-mule se réduit à celle obtenue en (4.5) avec $|\Jac\varphi(x)|=|\varphi'(x)|\,$; la valeur absolue provient de ce qu'on ne tient pas compte de l'ordre des bornes pour l'intervalle image $\varphi(]a,b[)$. Pour obtenir le cas général en dimension quelconque, l'idée est la suivante~: tout changement de variable peut s'obtenir comme une composition de changements de variables dans lesquels on change une seule coordonnée à la fois, et dans ce cas, la preuve se ramène au cas élémentaire d'une seule variable à l'aide du théorème de Fubini\note{14}{Bien entendu, il pourra éventuellement être judicieux, dans un premier temps, de ne donner la preuve qu'en dimension~$2$, ce qui permet de simplifier les notations. Curieusement, le fait que l'on puisse ramener la preuve de la formule du jacobien à la dimension~$1$ par des manipulations purement algébriques semble ne pas être «\?passé dans les moeurs\?», de sorte que les livres traitant de l'intégration développent souvent des démonstrations analytiques nettement plus élaborées. Celles-ci consistent en général à faire des approximations linéaires uniformes modulo des versions effectives adéquates du théorème d'inversion locale, en énonçant d'abord la formule du déterminant pour le cas d'un changement linéaire. Ceci apparaîtra en fait plutôt comme une conséquence du résultat général dans la présente approche, qui contient le cas linéaire comme cas très particulier (cf.\ remarque 2.6).}. Pour cela, on procède en plusieurs étapes. {\it Première étape.} On considère le cas particulier d'un changement de variable $$ x=(x_1,\ldots,x_n)\build\longmapsto^\varphi_{}y= (u(x_1,\ldots,x_n),x_2,\ldots,x_n) $$ portant uniquement sur la première coordonnée, avec $x$ dans un pavé $P=\prod[a_i,b_i]$ et $x_1\mapsto u(x_1,\ldots,x_n)$ strictement monotone sur $[a_1,b_1]$. On écrit pour simplifier \hbox{$x=(x_1,x')$} avec $x'=(x_2,\ldots,x_n)$, donc $y=\varphi(x)=(u(x),x')$. On suppose en outre que la fonction $f$ à intégrer est à {\it support compact} dans l'image $\varphi(P^\circ)$ du pavé ouvert~$P^\circ$, de sorte que $f\circ\varphi$ est nulle au voisinage du bord $\partial P$ et sur le complémentaire~$\complement P$. Nous avons $$ \varphi(P)\subset Q\quad\hbox{avec $Q=[m,M]\times P'$,~ $m=\min_P u$,~ $M=\max_Pu$,~ $P'=\prod_{i\ge 2}[a_i,b_i]$}. $$ Il revient au même d'intégrer $f$ sur l'ouvert image $\varphi(P^\circ)$ ou sur le pavé $Q$, puisque $f$ est nulle par hypothèse sur $Q\ssm\varphi(P^\circ)$. On obtient par conséquent $$\leqalignno{ \int_{\varphi(P^\circ)}f(y)\,dy=\int_Qf(y)\,dy &=\int_{P'}\bigg(\int_m^M f(y_1,y')\,dy_1\bigg)dy'\cr &=\int_{P'}\!\!\bigg(\int_m^M f(y_1,x')\,dy_1\bigg)dx'&(2.6\,{\rm a})\cr} $$ à l'aide du théorème de Fubini et du changement de variable trivial $y'=x'$. Effectuons dans l'intégrale en $dy_1$ le changement $x_1\mapsto y_1=u(x)=u(x_1,x')$. Comme la fonction $y_1\mapsto f(y_1,x')$ est nulle en dehors de l'intervalle image $[u(a_1,x'),u(b_1,x')]$, il vient par le théorème de changement de variable en dimension $1$ $$ \eqalign{ \int_m^M f(y_1,x')\,dy_1 &=\varepsilon\int_{u(a_1,x')}^{u(b_1,x')}f(y_1,x')\,dy_1= \varepsilon\int_{a_1}^{b_1} f(u(x),x')\,{\partial u\over\partial x_1}(x)\,dx_1\cr &=\int_{a_1}^{b_1} f(u(x),x')\,\bigg|{\partial u\over\partial x_1}(x)\bigg|\,dx_1,\cr} $$ avec $\varepsilon=+1$ si $u$ est croissante en $x_1$ et $\varepsilon=-1$ si $u$ est décroissante en $x_1$. On a donc $$ \leqalignno{ \int_{P'}\bigg(\int_m^M f(y_1,x')\,dy_1\bigg)dx' &=\int_{P'}\bigg(\int_{a_1}^{b_1} f(u(x),x')\,\bigg|{\partial u\over\partial x_1}(x)\bigg|\,dx_1\bigg)dx'\cr &=\int_P f(u(x),x')\, \bigg|{\partial u\over\partial x_1}(x)\bigg|\,dx&(2.6\,{\rm b})\cr} $$ en appliquant de nouveau le théorème de Fubini. Compte tenu du fait évident que $\varphi:x\mapsto (u(x),x_2,\ldots,x_n)$ a pour jacobien $\Jac\varphi=\partial u/\partial x_1$, la combinaison de (2.6$\,$a) et (2.6$\,$b) donne bien l'égalité attendue $$ \int_{\varphi(P^\circ)}f(y)\,dy= \int_P f(u(x),x')\,\bigg|{\partial u\over\partial x_1}(x)\bigg|\,dx =\int_{P^\circ} f(\varphi(x))\,|\Jac\varphi(x)|\,dx. $$ {\it Deuxième étape.} On suppose ici que le changement de variable $x\mapsto y=\varphi(x)$ est de la forme $$ x=(x_1,\ldots,x_n)\build\longmapsto^{\varphi}_{} y=(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_r(x),x_{r+1},\ldots,x_n) \leqno(2.6\,{\rm c}) $$ pour un certain $r\ge 1$ (c'est-à-dire que $\varphi_i(x)=x_i$ pour $i\ge r+1\,$; bien entendu, pour $r=n$, il s'agit d'un changement de variable complètement général). On montre dans ce cas par récurrence sur $r$ que $\varphi$ est, localement au voisinage de tout point $a\in\Omega$, de la forme \hbox{$\varphi=\sigma\circ\psi_1\circ\ldots\circ\psi_r$} où $\sigma$~est une permutation des coordonnées $(x_1,\ldots,x_n)$ qui permute $(x_1,\ldots,x_r)$ et laisse invariantes $(x_{r+1},\ldots,x_n)$, et où $\psi_i$ est un changement de variable local agissant sur la seule variable~$x_i$~: $$ x=(x_1,\ldots,x_n)\build\longmapsto^{\psi_i}_{} y=(x_1,\ldots,x_{i-1},u_i(x),x_{i+1},\ldots,x_n). \leqno(2.6\,{\rm d}) $$ (ceci revient à dire qu'un changement de variable tel que (2.6$\,$c) s'obtient en changeant les coordonnées $x_1,\ldots,x_r$ une par une, successivement). Si $r=1$, le résultat est évident avec $\sigma=\Id$, $u_1=\varphi_1$, $\varphi=\psi_1=\sigma\circ\psi_1$. Supposons maintenant $r\ge 2$ et soit $a\in\Omega$. Comme $$ \Jac\varphi(a)=\det\bigg({\partial\varphi_i\over\partial x_j}(a) \bigg)_{1\le i,j\le r}\ne 0, $$ on voit que l'une des dérivées $\partial\varphi_i/\partial x_r(a)$ est non nulle. Quitte à remplacer $\varphi$ par \hbox{$\varphi^\theta=\theta\circ\varphi$} avec une permutation $\theta$ adéquate des coordonnées $(y_1,\ldots y_r)$, on peut supposer que $\partial\varphi^\theta_r/\partial x_r(a)\ne 0$. On considère alors le changement de variable $\psi_r$ défini par (2.6$\,$d) avec $u_r(x)=\varphi^\theta_r(x)$. Comme le jacobien de $\psi_r$ en $a$ est égal à \hbox{$\partial\varphi^\theta_r/\partial x_r(a)\ne 0$}, le~théorème d'inversion locale montre que $\psi_r$ est bien un changement de variable inversible au voisinage de $a$. De plus, $\tilde\varphi=\varphi^\theta\circ \psi_r^{-1}$ est de la forme (2.6$\,$c) à l'ordre $r-1$ au voisinage de $b=\psi_r(a)$, puisque si $y=\psi_r(x)$ alors $z=\tilde\varphi(y)=\varphi^\theta(\psi_r^{-1}(y))= \varphi^\theta(x)$ est tel que $z_i=x_i=y_i$ pour $i\ge r+1$ tandis que $z_r=\varphi^\theta_r(x)=y_r$. On peut donc écrire par hypothèse de récurrence $$ \tilde\varphi=\tilde\sigma\circ\tilde\psi_1\circ\ldots\circ\tilde\psi_{r-1} $$ au voisinage de $b$, ce qui entraîne que $$ \varphi=\theta^{-1}\circ\varphi^\theta= \theta^{-1}\circ\tilde\varphi\circ\psi_r= (\theta^{-1}\circ\tilde\sigma)\circ\tilde\psi_1\circ\ldots \circ\tilde\psi_{r-1}\circ\psi_r $$ est de la forme voulue au voisinage de $a$. {\it Troisième étape.} On montre ici que si la formule est vraie pour les changements de variables $\varphi$ et $\psi$, alors elle est encore vraie pour le changement de variable composé $$ \psi\circ\varphi~:~~x\mapsto y=\varphi(x) \mapsto z=\psi(y), $$ chaque fois que $\varphi:\Omega\to\Omega'$ et $\psi:\Omega'\to\Omega''$ sont des bijections de classe $C^1$ ayant des jacobiens non nuls. Sous cette hypothèse $\psi\circ\varphi:\Omega\to\Omega''$ a les mêmes propriétés, et comme $(\psi\circ\varphi)'=(\psi'\circ\varphi)\cdot\varphi'$, on~a $\Jac(\psi\circ\varphi)=((\Jac\psi)\circ\varphi)\times\Jac\varphi$. En posant $g(y)=f(\psi(y))\,|\Jac\psi(y)|$, on trouve successivement $$ \int_{\psi(\varphi(\Omega))}f(z)\,dz =\int_{\varphi(\Omega)}g(y)\,dy= \int_{\Omega}g(\varphi(x))\,|\Jac\varphi(x)|\,dx, $$ et on a bien $$ g(\varphi(x))\,|\Jac\varphi(x)|= f(\psi(\varphi(x)))\,|\Jac\psi(\varphi(x))|\,|\Jac\varphi(x)| =f(\psi\circ\varphi(x))\,|\Jac\psi\circ\varphi(x)|. $$ {\it Quatrième étape.} On démontre ici la version locale de la formule, à savoir sa validité, pour tout point $y_0$ de $\Omega$, lorsque $f$ est à support compact dans un voisinage $V$ assez petit de $y_0$. Dans ce cas $f\circ\varphi$ est à support compact dans $U=\varphi^{-1}(V)$ qui est un voisinage de $x_0=\varphi^{-1}(y_0)$. Lorsque $U$ et $V$ sont assez petits, on sait d'après la deuxième étape qu'on peut écrire $\varphi$ sur $U$ comme la composée $\varphi=\sigma\circ\psi_1\circ\ldots\circ\psi_n$ d'une permutation $\sigma$ de coordonnées et de changements $\psi_i$ portant sur une seule des variables. Puisque la formule de changement de variable est vraie trivialement pour $\sigma$ et pour chaque $\psi_i$ (étape 1), elle est vraie pour $\varphi$ d'après la troisième étape. Pour justifier cela de façon précise, on s'arrange pour trouver successivement des pavés $P_0$, $P_1$, $\ldots$, $P_n$ assez petits pour que $\psi_i$ soit définie sur~$P_i$, avec $\psi_i(P_i)\subset P_{i-1}$ pour tout $i$, et on prend $U=P_n^\circ$, $V=\varphi(U)$. {\it Cinquième étape.} La formule est vraie en toute généralité, lorsque $f$ est continue sur~$\Omega'$ et d'intégrale absolument convergente. Pour cela, on utilise un découpage de $\Omega'$ en cubes assez petits, et la formule (2.5) qui donne $$ \int_{\Omega'}f(y)\,dy= \lim_{p\to+\infty}\sum_{j\in J_{p}} \int_{C_{j,p}}f_{j,p}(y)\,dy $$ avec $f_{j,p}=f\theta_{j,p}$ continue à support compact dans $C_{j,p}$. Lorsque le découpage est assez fin, la quatrième étape donne $$ \int_{C_{j,p}}f_{j,p}(y)\,dy = \int_{\Omega'}f_{j,p}(y)\,dy = \int_\Omega f_{j,p}(\varphi(x))\,|\Jac \varphi(x)|\,dx $$ Avec les notations de (2.5) et après sommation sur $j$ il vient $\sum_{j\in J_p}f_{j,p}=f\chi_p$, d'où $$ \int_{\Omega'}f(y)\chi_p(y)\,dy = \int_{\Omega}f(\varphi(x))\chi_p(\varphi(x))\,|\Jac \varphi(x)|\,dx. $$ Comme les intégrales sont absolument convergentes et que $f=\lim_{p\to+\infty} f\chi_p$ avec $0\le \chi_p\le 1$ et $\chi_p=1$ sur $K_p$, nous obtenons après passage à la limite la formule de changement de variable cherchée~(2.6).\qed \medskip {\bf (2.7) Remarque.} Un cas très particulier de la formule de changement de variable est celui où la transformation $\varphi:x\mapsto Ax$ est linéaire, définie par une matrice inversible~$A$. Dans ce cas, la formule de changement de variable s'écrit $y=Ax$, $dy=|\det A|\,dx$ et on trouve donc $$ \boxed{16}{ \int_{A(\Omega)}f(y)\,dy=\int_{\Omega}f(Ax)\,|\det A|\,dx.} \leqno(2.7\,{\rm a}) $$ La preuve est bien entendu un cas particulier de ce qui précède, mais elle peut aussi s'obtenir de manière directe comme ci-dessus en observant que $A$ est un produit de matrices élémentaires de la forme $$ D_i(\lambda)=\pmatrix{ 1&0&\ldots&0\cr 0&\lambda&\ldots&0\cr \vdots&&&\vdots\cr 0&0&\ldots&1\cr},\qquad A_{ij}(\mu)=\pmatrix{ 1&0&\ldots&0&\ldots&0\cr 0&1&\ldots&\mu&\ldots&0\cr \vdots&&&&&\vdots\cr 0&0&\ldots&0&\ldots&1\cr}. $$ En effet, celles-ci fournissent des changements de variables qui ne modifient qu'une seule des coordonnées à la fois~: $$ D_i(\lambda)~:~~x_i\mapsto x'_i=\lambda x_i,\qquad A_{ij}(\mu): x_i\mapsto x'_i=x_i+\mu x_j. $$ En appliquant la formule $(2.7\,{\rm a})$ à la fonction constante $f(x)=1$, on obtient la formule usuelle de transformation du volume $$ \boxed{12}{ \vol(A(\Omega))=|\det A|\,\vol(\Omega).} \leqno(2.7\,{\rm b}) $$ Dans le cas encore plus particulier où $\Omega$ est le cube unité, on voit que le volume du paral\-lélogramme $\Pi_{a_1,\ldots,a_n} =\{\sum x_i a_i,\,0\le x_i\le 1\}$ engendré par les vecteurs colonnes $(a_1,\ldots,a_n)$ de la matrice $A$ est donné par $$ \boxed{12}{ \vol(\Pi_{a_1,\ldots,a_n})=\big|\det(a_1,\ldots,a_n)\big|.} \leqno(2.7\,{\rm c}) $$ La formule 2.7$\;$(c) peut s'obtenir de manière élémentaire comme suit~: d'une part les matrices $D_i(\lambda)$ dilatent les volumes dans le facteur $|\lambda|=|\det(D_i(\lambda))|$, d'autre part les «\?transvections\?»\ $A_{ij}(\mu)$ (qui sont de déterminant $1$ et qui envoient les pavés rectangulaires sur des parallélépipèdes) ne modifient pas les volumes. Ceci peut se voir directement à partir de la définition de l'intégrale et de l'invariance du volume par translation, en observant le schéma usuel bien connu depuis l'enseignement primaire~: \InsertFig 2.500 37.000 { 1 mm unit 0.339 setlinewidth 0.000 10.000 moveto 40.000 30.000 rectangle stroke 85.000 10.000 moveto 125.000 10.000 lineto 115.000 30.000 lineto 75.000 30.000 lineto closepath stroke 0.113 setlinewidth [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 85.000 10.000 moveto 85.000 30.000 lineto stroke 125.000 10.000 moveto 125.000 30.000 lineto 115.000 30.000 lineto stroke } \LabelTeX 17.000 6.000 $\Omega$\ELTX \LabelTeX 97.000 6.000 $\varphi(\Omega)$\ELTX \LabelTeX 50.000 26.000 $\varphi=A_{ij}(\mu)$\ELTX \LabelTeX 43.000 16.000 $\displaystyle\pmatrix{x_1\cr x_2\cr}\mapsto \pmatrix{x_1+\mu x_2\cr x_2\cr} $\ELTX \EndFig \vskip-8pt \centerline{{\bf Fig.~18.} Invariance de l'aire et du volume par translation.} \medskip (Le schéma figuré ici correspond au choix $i=1$, $j=2$, $\mu=-1/2$). \note{15}{Une fois qu'on en est arrivé à ce point, c'est-à-dire en supposant acquise la formule (2.7$\,$c) par une voie directe, voici l'autre approche possible de la preuve du théorème de changement de variable~2.6 (peut-être plus classique que celle que nous avons suivie)~: elle consiste à utiliser une approximation du changement de variable $\varphi$ par son application linéaire tangente, combinée à des estimations de la distorsion non linéaire relativement à des découpages en pavés suffisamment fins. Au total, la démonstration n'est pas nécessairement plus simple que celle «\?purement algébrique\?» que nous avons adoptée, puisque des estimations analytiques sont nécessaires.} \bigskip \section{3. Intégration des formes différentielles et formule de Stokes} L'objet de ce paragraphe est d'introduire la théorie de l'intégration sur les courbes, surfaces ou plus généralement sur les sous-variétés quelconques tracées dans~$\bR^n$. L'outil fondamental est la notion de forme différentielle et le calcul différentiel «\?extérieur\?» qui lui est associé. Plutôt que de viser à la généralité la plus grande possible, nous essaierons d'introduire les notions fondamentales de manière concise, en nous concentrant sur les méthodes de calcul et les principales formules. Étant donné une fonction $f$ de classe $C^k$ sur un ouvert $\Omega$ de $\bR$ ($k\ge 1$), on lui associe sa différentielle $df=\sum_{1\le j\le n}{\partial f\over \partial x_j}dx_j$, qui est une application $$ df:\Omega\times\bR^n\to\bR,\qquad(x\,;h)\mapsto df(x\,;h)= \sum_{1\le j\le n}{\partial f\over \partial x_j}h_j,\leqno(3.1) $$ de classe $C^{k-1}$ par rapport à la variable $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Omega$ et linéaire par rapport à $h=(h_1,\ldots,h_n)\in\bR^n$. En particulier la fonction coordonnée $f(x)=x_j$ a bien comme différentielle la forme linéaire $dx_j(h)=h_j$ (indépendante du point $x\in\bR^n$, et $(dx_1,\ldots,dx_n)$ constitue une base de l'espace $\cL(\bR^n,\bR)$ des formes linéaires sur $\bR^n$. De manière générale, on introduit la notion de forme différentielle de degré $1$ comme suit.\medskip {\bf (3.2) Définition.} {\it On appelle forme différentielle de degré $1$ et de classe $C^k$ sur l'ouvert $\Omega\subset\bR^n$ toute application $$ \alpha:\Omega\times\bR^n\to\bR,\qquad (x\,;h)\mapsto \alpha(x\,;h) $$ de classe $C^k$ en $x$ et linéaire par rapport à la variable $h$. Une telle application peut donc s'écrire sous la forme $$ \alpha(x\,;h)=\sum_{1\le j\le n}\alpha_j(x)\,h_j\quad\hbox{ou encore}\quad \alpha=\sum_{1\le j\le n}\alpha_j(x)\,dx_j, $$ avec des coefficients $\alpha_j(x)$ qui sont des fonctions de classe $C^k$.} \medskip En dimension $1$, une forme différentielle s'écrit $\alpha=f(x)\,dx$, et on lui associe son intégrale sur un intervalle $[a,b]\subset\bR$ en posant simplement $\int_{[a,b]}\alpha=\int_a^bf(x)\,dx$. L'{\it élément différentiel de longueur} est donné quant à lui par $$ d\ell(h)=\Vert h\Vert=\sqrt{\sum_{1\le i\le n}h_i^2}= \sqrt{\sum_{1\le i\le n}dx_i(h)^2},\qquad\hbox{soit}\quad \boxed{18}{d\ell=\sqrt{\sum_{1\le i\le n}dx_i^2}.} $$ Il ne s'agit pas d'une forme différentielle puisque $d\ell(\lambda h)=|\lambda|\,d\ell(h)$ pour tout scalaire $\lambda\in\bR$ et qu'on n'a donc pas linéarité en $h$. \medskip {\bf (3.3) Intégrales curvilignes.} Si $\alpha=\sum_{1\le j\le n} \alpha_j(x)\,dx_j$ est une forme différentielle continue sur un ouvert $\Omega\subset\bR^n$, et $$ g:[a,b]\to\Omega,\qquad t\mapsto x=g(t)=(g_1(t),\ldots,g_n(t)) $$ un chemin de classe $C^1$ (ou $C^1$ par morceaux) tracé dans~$\Omega$, on peut considérer l'expression différentielle $g^*\alpha$ obtenue par la substitution $x_j=g_j(t)$ dans $\alpha(x)$, à savoir $$ g^*\alpha=\sum_{1\le j\le n}\alpha_j(g(t))\,g'_j(t)\,dt. $$ Si $[g]^+$ désigne le chemin $g$ orienté dans le sens des paramètres croissants (avec $a\ell$ et en tenant compte du fait que $dx_\ell\wedge dx_k=-dx_k\wedge dx_\ell$, et $dx_k\wedge dx_k=0$. Or le théorème de Schwarz implique que $\partial^2\alpha_I(x)/\partial x_k\partial x_\ell= \partial^2\alpha_I(x)/\partial x_\ell\partial x_k$ pour tous $k,\ell$. On a par ailleurs la {\it formule de Leibnitz} de différentiation d'un produit extérieur $$ d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^{\deg\alpha}\alpha\wedge d\beta \leqno(3.17) $$ pour toutes formes $\alpha,\,\beta$ de classe $C^1$. Ceci résulte immédiatement du fait que $\alpha\wedge\beta=\sum_{I,J}\alpha_I\beta_J\, dx_{IJ}$, et de la règle de Leibnitz usuelle $d(\alpha_I\beta_J)= \alpha_Id\beta_J+\beta_J d\alpha_I$ pour les fonctions, appliquée aux coefficients de $\alpha\wedge\beta$. Enfin, la différentiation extérieure {\it commute avec les changements de variable}~: $$ d(\varphi^*\alpha)=\varphi^*(d\alpha)\qquad \hbox{pour $\alpha,\,\varphi$ de classe $C^1$.}\leqno(3.18) $$ Dans le cas d'une forme de degré $0$, c'est-à-dire d'une fonction $\alpha=f$, ceci signifie que $d(f\circ\varphi)=\varphi^*(df)$, or $$ d(f\circ\varphi)(t\,;h)=(f\circ\varphi)'(t)(h)=f'(\varphi(t)) \big(\varphi'(t)(h)\big)=(df)\big(\varphi(t)\,;\varphi'(t)(h)\big)= \varphi^*(df)(t\,;h) $$ d'après la règle de différentiation des fonctions composées. Le cas général en résulte grâce à (3.14, 3.16, 3.17)~: si $\alpha=\sum\alpha_I\,dx_I$, on a $d(d\varphi_I)= d(d\varphi_{i_1}\wedge \ldots\wedge d\varphi_{i_p})=0$ par (3.16) et (3.17), tandis que (3.17) et (3.14) donnent $$ \eqalign{ d(\varphi^*\alpha)&=d\Big(\sum(\alpha_I\circ\varphi)d\varphi_I\Big) =\sum d(\alpha_I\circ\varphi)\wedge d\varphi_I +(\alpha_I\circ\varphi)\wedge d(d\varphi_I)\cr &=\sum d(\alpha_I\circ\varphi)\wedge d\varphi_I =\sum \varphi^*(d\alpha_I)\wedge \varphi^*(dx_I)=\varphi^*(d\alpha).\cr} $$ {\bf (3.19) Cas de la dimension 3.} Nous allons voir qu'en dimension $3$ le forma\-lisme du calcul différentiel extérieur rejoint (en le généralisant et en le simplifiant considérablement), le formalisme usuel de la physique mathématique. Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^3$. Si $f:\Omega\to\bR$ est une fonction de classe $C^1$, on lui associe son gradient $\ovr{\grad} f$ qui est par définition le champ de vecteurs sur $\Omega$ tel que $$ df={\partial f\over\partial x}dx+ {\partial f\over\partial y}dy+{\partial f\over\partial z}dz =\ovr{\grad}\,f\cdot \ovr{dM}\qquad \hbox{où}~~ \ovr{\grad}\,f=\pmatrix{ \displaystyle{\partial f\over \partial x}\cr \noalign{\vskip4pt} \displaystyle{\partial f\over \partial y}\cr \noalign{\vskip4pt} \displaystyle{\partial f\over\partial z}\cr},~~ \ovr{dM}=\pmatrix{\displaystyle dx\cr \displaystyle dy\cr \displaystyle dz\cr}. $$ Soit maintenant $\ovr{V}:\Omega\to\bR^3$, $M\mapsto\ovr{V}(M)$ un champ de vecteurs de classe $C^1$ arbitraire sur $\Omega$. On notera $M=(x,y,z)$ les coordonnées et $\ovr{V}=(V_x,V_y,V_z)$ les composantes de $\ovr{V}$ dans la base canonique. On peut de deux manières différentes associer une forme différentielle à ce champ de vecteurs. La première manière est de considérer la $1$-forme de «\?{\it circulation infinitésimale}$\,$\?»\ du champ de vecteurs $\ovr{V}$~: $$ \alpha=\ovr{V}(M)\cdot \ovr{dM}= V_xdx+V_ydy+V_zdz. $$ La deuxième est d'introduire {\it l'élément de surface vectoriel} $\ovr{dS}$ défini comme le produit vectoriel euclidien $$ \ovr{dS}(h,k)=\ovr h\wedge \ovr k=\pmatrix{ h_yk_z-h_zk_y\cr h_zk_x-h_xk_z\cr h_xk_y-h_yk_x\cr} =\pmatrix{dy\wedge dz\cr dz\wedge dx\cr dx\wedge dy\cr}(\ovr h,\ovr k) $$ c'est-à-dire $$ \ovr{dS}=\pmatrix{dy\wedge dz\cr dz\wedge dx\cr dx\wedge dy\cr} $$ (on notera que $dS=\Vert\ovr{dS}\Vert$ est bien la densité d'aire euclidienne d'après (3.7)). On peut alors considérer la $2$-forme de «\?{\it flux infinitésimal}$\,$\?» du champ de vecteurs $\ovr{V}$~: $$ \beta=\ovr{V}(M)\cdot \ovr{dS}=V_xdy\wedge dz +V_ydz\wedge dx+V_zdx\wedge dy. $$ Un calcul immédiat donne $$ d\alpha =\Big({\partial V_y\over \partial z}-{\partial V_z\over \partial y}\Big) dy\wedge dz+\Big({\partial V_z\over \partial x}-{\partial V_x\over \partial z} \Big) dz\wedge dx+\Big({\partial V_x\over \partial y}-{\partial V_y\over \partial x}\Big) dx\wedge dy, $$ c'est-à-dire $$ d\alpha=\ovr{\rot}\,\ovr{V}\cdot \ovr{dS}\qquad\hbox{où}\quad \ovr{\rot}\,\ovr{V}=\pmatrix{\displaystyle {\partial V_y\over \partial z}-{\partial V_z\over \partial y}\cr \noalign{\vskip3pt}\cr \displaystyle {\partial V_z\over \partial x}-{\partial V_x\over \partial z}\cr \noalign{\vskip3pt}\cr \displaystyle {\partial V_x\over \partial y}-{\partial V_y\over \partial x}\cr}. $$ On a enfin la formule $$ d\beta=\Big({\partial V_x\over\partial x}+{\partial V_y\over\partial y}+ {\partial V_z\over\partial z}\Big)dx\wedge dy\wedge dz=\div\ovr{V}\, dx\wedge dy\wedge dz $$ où $$ \div\ovr{V} = {\partial V_x\over\partial x}+{\partial V_y\over\partial y}+ {\partial V_z\over\partial z}. $$ Ceci montre que le calcul de la différentielle extérieure $d\alpha$ pour des formes différentielles $\alpha$ de degré $0$, $1$, $2$ données respectivement par $f$, $\ovr{V}\cdot\ovr{dM}$, $\ovr{V}\cdot\ovr{dS}$ correspond au calcul de $\ovr{\grad}f$, $\ovr{\rot}\,\ovr{V}$, $\div\ovr{V}$. \medskip {\bf (3.20) Intégration des densités différentielles sur une nappe paramé\-trée.} Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$. On suppose donnés un ouvert borné $U\subset\bR^p$ et une application $g:\ovl U\to\Omega$, $t\mapsto x=g(t)$ de classe $C^k$ sur $\ovl U$, $k\ge 1$. %%\InsertPSFile 0 50 70 70 {dgplot1_src.ps} \InsertImage 8 50 0 47 1.0 0 {dgplot1.png} \LabelTeX 18 25 $U\subset\bR^p$\ELTX \LabelTeX 46 8 $g$\ELTX \LabelTeX 92 41 $g(\ovl U)\subset\Omega\subset\bR^n$\ELTX \EndFig \vskip-10pt $$ (t_1,t_2)\in[-\pi,\pi]\times[0,\pi]\longmapsto \cases{ x_1=(2+\cos t_1)\,\cos(t_2)-0.055/(t_1^2+t_2^2+10^{-9})\cr x_2=(2+\cos t_1)\sin t_2\cr x_3=\sin t_1.\cr} $$ \medskip \centerline{{\bf Fig.~19.} Un exemple de nappe paramétrée (non injective).} \medskip On dira qu'une telle application définit une {\it nappe paramétrée} de dimension $p$ et de classe $C^k$ dans l'ouvert $\Omega$. Si $h:\ovl V\to\Omega$, $\tau\mapsto h(\tau)$ est une autre nappe paramétrée, on dira que les nappes associées à $g$ et $h$ sont $C^k$-équivalentes s'il existe un $C^k$-difféomorphisme $\varphi:\ovl U\to\ovl V$, $t\mapsto \tau=\varphi(t)$ tel que $g=h\circ\varphi$. Il est aisé de vérifier qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence. De plus, si $g\sim h$, les images $g(\ovl U)\subset\Omega$ et $h(\ovl V)\subset\Omega$ coïncident. On notera $[g]$ la classe d'équivalence de $g$. Maintenant, si $x\mapsto \alpha(x)$ est une $p$-densité différentielle à coefficients continus sur $\Omega$, on définit $$ \boxed{16}{ \int_{[g]}\alpha=\int_U g^*\alpha.}\leqno(3.20\,{\rm a}) $$ Ici $g^*\alpha$ est le résultat de la substitution $x=g(t)$ dans $\alpha(x)$. On obtient ainsi d'après (3.9) une expression de la forme $g^*\alpha(t)=f(t_1,\ldots,t_p)\,|dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p|$, ce qui permet de poser par définition $$ \boxed{16}{ \int_U g^*\alpha=\int_U f(t_1,\ldots,t_p)\,|dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p| =\int_U f(t_1,\ldots,t_p)\,dt_1\ldots dt_p.}\leqno(3.20\,{\rm b}) $$ Autrement dit, on confond dans les notations la $p$-densité $|dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p|$ avec l'élément de volume $dt_1\ldots dt_p$ de $\bR^p$, ce qui paraît naturel compte tenu de la formule (2.7$\,$c). Un point tout à fait essentiel est que l'intégrale (3.20$\,$b) est indépendante de la paramé\-trisation, c'est-à-dire que si $g=h\circ\varphi$ comme ci-dessus, alors on a bien $\int_{[g]}\alpha=\int_{[h]}\alpha$ comme la notation le laisse supposer (autrement dit l'intégrale ne dépend que de la classe d'équivalence $[g]$ de $g$). Pour le voir, on écrit $h^*\alpha(\tau)=F(\tau)\,|d\tau_1\wedge\ldots\wedge d\tau_p|$ et on applique le changement de variable $\tau=\varphi(t)$ pour obtenir $$ \eqalign{ g^*\alpha&=(h\circ\varphi)^*\alpha=\varphi^*(h^*\alpha)= \varphi^*\big(F(\tau)\,|d\tau_1\wedge\ldots\wedge d\tau_p|\big)\cr &=F\circ\varphi(t)\,|\Jac\varphi(t)|\,|dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p|.\cr} $$ Or la formule (2.6) implique $$ \int_U F\circ\varphi(t)\,|\Jac\varphi(t)|\,|dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p|= \int_V F(\tau)\,|d\tau_1\wedge\ldots\wedge d\tau_p|, $$ d'où l'égalité souhaitée $\int_U g^*\alpha=\int_Vh^*\alpha$. Dans le cas de la $p$-densité d'aire euclidienne $dS=\sqrt{\sum dx_I^2}$, on obtient la formule $$ \boxed{16}{ \aire([g])=\int_{[g]}dS= \int_{U}g^*dS=\int_U\sqrt{\sum_{I\in\cC_p(n)}(\Jac g_I(t))^2}\, dt_1\ldots dt_p}\leqno(3.20\,{\rm c}) $$ où $$ \boxed{16}{ \Jac g_I(t)=\det\Big({\partial g_{i_k}\over \partial t_\ell} \Big)_{1\le k,\ell\le p}.} $$ Les considérations qui précèdent montrent que l'aire d'une nappe paramétrée $g$ ne dépend bien que de la classe d'équivalence $[g]$. Dans le cas d'une courbe $g:U\to\Omega$ (avec $p=1$, $U\subset\bR$), on retrouve l'expression de la longueur déjà donnée par (3.3$\,$b) $$ \longueur([g])=\int_U\sqrt{\sum_{1\le i\le n} g'_i(t)^2}\,dt. \leqno(3.20\,{\rm d}) $$ {\bf (3.21) Intégration des formes différentielles.} Pour toute nappe paramétrée $g:\ovl U\to\Omega$ de dimension $p$ et de classe $C^1$, et toute $p$-forme différentielle $\alpha$ continue sur~$\Omega$, on peut utiliser essentiellement la même approche et poser $$ \int_U g^*\alpha=\int_U f(t_1,\ldots,t_p)\,dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p =\int_U f(t_1,\ldots,t_p)\,dt_1\ldots dt_p $$ après évaluation de la $p$-forme $g^*\alpha=f(t_1,\ldots,t_p)\,dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p$ en fonction des paramètres~$t_j$. Cependant, l'effet d'un changement de variable $t=\varphi(\tau)$ fera intervenir $\Jac\varphi$ (et non pas $|\Jac\varphi|$) dans l'expression de $\varphi^*(g^*\alpha)$, de sorte que l'intégrale va changer de signe si $\Jac\varphi<0$. L'intégrale n'est donc la même que pour les classes d'équivalence $[g]^+$ de nappes paramétrées {\it orientées}, avec par définition $g\sim^+ h$ si $g=h\circ\varphi$ pour un certain difféo\-mor\-phisme $\varphi:\ovl U\to\ovl V$ tel que $\Jac\varphi>0$ (on définit de même la classe d'orientation opposée $[g]^-$ comme la classe d'équivalence des $h=g\circ\psi$ avec $\Jac\psi<0$, classe qui bien sûr ne contient pas $g$ elle-même). Il est licite de poser par définition $$ \boxed{16}{ \int_{[g]^+}\alpha=\int_U g^*\alpha,}\leqno(3.21\,{\rm a}) $$ et avec les notations précédentes on a $$ \boxed{16}{ \int_{[g]^-}\alpha=-\int_{[g]^+}\alpha.}\leqno(3.21\,{\rm b}) $$ Dans le cas des courbes (dimension $p=1$), considérer une classe d'orientation\break donnée $[g]^+$ correspond à n'autoriser que les changements de variables strictement croissants. Si $g:\ovl U\to\Omega$ est une courbe, $[g]^+$ sa classe d'équivalence orientée et $\alpha=\sum_{1\le j\le n}\alpha_j(x)\,dx_j$ une $1$-forme différentielle sur $\Omega$, on retrouve l'{\it intégrale curviligne} $$ \int_{[g]^+}\sum_{1\le j\le n}\alpha_j(x)\,dx_j=\int_U g^*\alpha=\int_U \sum_{1\le j\le n}\alpha_j(g(t))\,g'_j(t)\,dt\leqno(3.21\,{\rm c}) $$ (où le choix de l'orientation $[g]^+$ implique que l'on range les bornes de l'intervalle $U$ dans l'ordre croissant). \medskip Nous en arrivons maintenant au point culminant de ce paragraphe, à savoir la formule de Stokes pour des sous-variétés à bord orientées de dimension quelconque dans $\bR^n$. \medskip {\bf (3.22) Notions de sous-variété et de sous-variété à bord.} Une partie $M$ de $\bR^n$ est appelée sous-variété (sans singularités et sans bord) de dimension $p$ et de classe $C^k$ si tout point $x_0\in M$ possède, après permutation éventuelle des coordonnées (laquelle permutation dépend a priori du point $x_0$), un voisinage parallélépipédique $P_{x_0}=\prod{}]a_j,b_j[$ tel que $M\cap P_{x_0}$ soit un graphe d'équation $$ x_i=w_i(x_1,\ldots x_p),\qquad p+1\le i\le n,\leqno(3.22\,{\rm a}) $$ pour des fonctions $w_i:P'_{x_0}=\prod_{j\le p}{}]a_j,b_j[{}\to{}]a_i,b_i[$ de classe $C^k$, \hbox{$p+1\le i\le n$}. [D'après le théorème des fonctions implicites, il est équivalent de supposer que \hbox{$M\cap P_{x_0}$} peut être défini par $n-p$ équations $f_j(x)=0$, $1\le j\le n-p$, ayant des différentielles $df_j$ linéairement indépendantes sur $V$.] On utilise le terme de «\?courbe\?» lorsque~\hbox{$p=1$}, «\?surface\?» lorsque $p=2$ et «\?hypersurface\?»\ lorsque $p=n-1$. Pour obtenir une paramétrisation $g:U\to M\cap P_{x_0}$ de $M\cap P_{x_0}$ sur un ouvert $U\subset\bR^p$, il suffit de choisir un $C^k$ difféomorphisme arbitraire $$ \varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_p):U\to P'_{x_0},\qquad t\mapsto (x_1,\ldots,x_p)=\varphi(t) $$ et de définir $g:U\to P$ par $$ g(t)=\big(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_p(t),w_{p+1}(\varphi(t)),\ldots, w_n(\varphi(t))\big).\leqno(3.22\,{\rm b}) $$ Le choix $\varphi=\Id_{P'_{x_0}}$ sur $U=P'_{x_0}$, c'est-à-dire $x_i=\varphi_i(t_1,\ldots,t_p)=t_i$, $1\le i\le p$, est naturellement permis. On voit ainsi que toute sous-variété de dimension $p$ peut se définir localement comme une nappe paramétrée $g$ de dimension $p$ telle que l'une des projections $p$-dimensionnelle $\varphi=(g_{i_1},\ldots,g_{i_p})$ soit un difféomorphisme local sur un ouvert $U$ de $\bR^p$. {\it Orienter la sous-variété} $M$ consiste à choisir une famille de paramétrisations locales recouvrant la totalité de $M$ et ayant tous «\?la même orientation\?», c'est-à-dire tels que les changements de paramétrisation soient tous à jacobien${}>0$ (ceci peut se faire par exemple en considérant des projections $x\mapsto(x_{i_1},\ldots,x_{i_p})$ et en permutant les coordonnées si nécessaire). %%\InsertPSFile 3 100 76 76 {dgplot2_src.ps} \InsertImage 3 100 0 95 1.0 0 {dgplot2.png} \LabelTeX 10 90 $p=2$\ELTX \LabelTeX 10 85 $n=3$\ELTX \LabelTeX 17 35 $x_1w_1(x_2,\ldots x_p),\cr \noalign{\vskip3pt} x_i=w_i(x_1,\ldots x_p),\qquad p+1\le i\le n,\cr}\leqno(3.22\,{\rm c}) $$ et $\partial M\cap P_{x_0}$ le graphe d'équations $$ \cases{x_1=w_1(x_2,\ldots x_p),\cr \noalign{\vskip3pt} x_i=w_i(x_1,\ldots x_p),\qquad p+1\le i\le n,\cr} \leqno(3.22\,{\rm d}) $$ pour des fonctions de classe $C^k$ $$ \eqalign{ w_1&:\prod_{2\le j\le p}{}]a_j,b_j[{}\to{}]a_1,b_1[{},\cr w_i&:\prod_{1\le j\le p}{}]a_j,b_j[{} \cap\big\{\pm(x_1-w_2(x_2,\ldots,x_p))\ge 0\big\}\to{}]a_i,b_i[{}, \quad p+1\le i\le n.\cr} $$ [On~prendra garde au fait que dans cette notation, en général, $\partial M$ {\it n'est pas} la frontière de $M$ au sens topologique, puisque $M$ est d'intérieur vide si $p0$ ou $t_1<0$, et sa frontière $\partial M\cap P_{x_0}$ sera donnée par la condition $t_1=0$. \medskip {\bf (3.23) Convention d'orientation du bord.} Soit $(M,\partial M)$ une sous-variété à bord de dimension $p$ dans $\bR^n$, munie d'une orientation. Au voisinage d'un point $x_0$ de~$\partial M$, on peut paramétriser $M$ à l'aide d'une nappe $g:U\cup U'\to M\cup\partial M$ satisfaisant (3.22$\,$g,h), et telle que $M$ soit positivement orientée par $(t_1,\ldots,t_p)$ (on remplace au besoin $t_1$ par $-t_1$). Alors on convient d'orienter $\partial M$ comme suit~: si $M$ est donnée par $\{t_1<0\}$, on oriente $\partial M$ à l'aide des paramètres $(t_2,\ldots,t_p)$, tandis que si $M$ est donnée par $\{t_1>0\}$ on choisit l'orientation inverse de $(t_2,\ldots,t_p)$ [si $p\ge 2$, on peut ainsi choisir par exemple $(-t_2,t_3,\ldots,t_p)\,$; si $p=1$, le bord $\partial M$ consiste en des points isolés, orienter ces points consiste juste à leur affecter le coefficient $+1$ ou $-1$ suivant que $M$ est donnée par $t_1<0$ ou $t_1>0$, respectivement.] \InsertFig 10.000 65.000 { 1 mm unit 0.226 setlinewidth 30.000 50.000 moveto [ 30.000 50.000 29.000 50.000 28.000 50.000 15.000 35.000 17.000 30.000 10.000 25.000 28.000 10.000 29.000 10.000 30.000 10.000 ] curve gsave closepath 0.9 setgray fill grestore stroke 80.000 50.000 moveto [ 80.000 50.000 81.000 50.000 82.000 50.000 95.000 35.000 93.000 30.000 100.000 25.000 82.000 10.000 81.000 10.000 80.000 10.000 ] curve gsave closepath 0.9 setgray fill grestore stroke 0.113 setlinewidth 5.000 30.000 moveto 45.000 0.000 2.4 vector 30.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 65.000 30.000 moveto 45.000 0.000 2.4 vector 80.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 0.226 setlinewidth newpath 23.000 38.000 2 2 -150 150 0 ellipsearc stroke 21.000 39.000 moveto 0 215 1.2 vector newpath 87.000 38.000 2 2 -150 150 0 ellipsearc stroke 85.000 39.000 moveto 0 215 1.2 vector 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor 30.000 10.5000 moveto 30.000 50.000 lineto stroke 30.000 39.000 moveto 0 90 2.4 vector 80.000 10.5000 moveto 80.000 50.000 lineto stroke 80.000 37.000 moveto 0 270 2.4 vector } \LabelTeX 14.200 58.000 $t_2,\ldots,t_p$\ELTX \LabelTeX 47.900 25.500 $t_1$\ELTX \LabelTeX 64.200 58.000 $t_2,\ldots,t_p$\ELTX \LabelTeX 107.900 25.500 $t_1$\ELTX \LabelTeX 32.000 37.000 $\RGBColor{1 0 0}{U'}$\ELTX \LabelTeX 74.000 37.000 $\RGBColor{1 0 0}{U'}$\ELTX \LabelTeX 12.000 40.000 $U$\ELTX \LabelTeX 95.500 40.000 $U$\ELTX \EndFig \vskip-10pt \centerline{{\bf Fig.~21.} Convention d'orientation du bord.} \medskip Il est facile de voir que l'orientation ainsi obtenue sur $\partial M$ ne dépend que de celle de $M$ et pas de la paramétrisation $g$ choisie, sous réserve bien sûr que $g$ satisfasse les hypothèses précédentes. \medskip {\bf (3.24) Intégration sur les sous-variétés orientées.} Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$, $\alpha$~une $p$-forme différentielle sur $\Omega$ à coefficients continus, et $(M,\partial M)$ une sous-variété à bord orientée de dimension $p$ et de classe $C^k$, $k\ge 1$, contenue dans~$\Omega$. On suppose que l'intersection $K=(M\cup\partial M)\cap\Supp\alpha$ du support de $\alpha$ avec $M\cup\partial M$ est compact. Alors $K$ peut être recouvert par un nombre fini de pavés $P_j\subset\Omega$, $1\le j\le N$, dans lesquels on a des paramétrisations orientées $g_j:U_j\cup U'_j\to (M\cup\partial M)\cap P_j$ comme ci-dessus. Soit $(\theta_j)$ une partition de l'unité sur $K$ suppordonnée aux pavés $P_j$, c'est-à-dire une collection de fonctions $\theta_j$ continues à support compact dans $P_j$ telles que $0\le\theta_j\le 1$ et $\sum\theta_j=1$ sur $K$ (il suffit d'utiliser un quadrillage assez fin, et de considérer les fonctions $\theta_{j,p}$ définies par (2.4), qui sont en fait de classe $C^1$). Dans ces conditions on peut écrire $\alpha=\sum\alpha_j$ avec $\alpha_j=\theta_j\alpha$ à support dans~$P_j$, et on pose $$ \boxed{16}{ \int_M\alpha=\sum_j\int_{M\cap P_j}\alpha_j=\int_{U_j}g_j^*\alpha_j} $$ conformément à la définition (3.21$\,$a). L'invariance des intégrales par changement de variable orienté montre aisément que le résultat est en réalité indépendant du découpage et des paramétrisations orientées choisies (si on a une autre partition de l'unité $\theta'_k$ à support dans~$P'_k$, on redécoupe suivant $\alpha_{jk}=\theta_j\theta'_k\alpha$ qui est à support dans $P_j\cap P'_k$ et on utilise la linéarité de l'intégrale$\,\ldots$). Nous pouvons maintenant énoncer la \medskip {\bf (3.25) Formule de Stokes.} {\it Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$, $\alpha$~une $(p-1)$-forme différentielle sur $\Omega$ de classe $C^1$, et $(M,\partial M)$ une sous-variété à bord orientée de dimension $p$ et de classe $C^k$, $k\ge 1$, contenue dans~$\Omega$, telle que $(M\cup\partial M)\cap \Supp\alpha$ soit compact $[$le cas usuel est celui où la variété à bord $M\cup\partial M$ est elle-même compacte$]$. Alors $$ \boxed{16}{ \int_M d\alpha = \int_{\partial M}\alpha,} $$ à condition que les orientations de $M$ et $\partial M$ soient choisies l'une en fonction de l'autre comme il a été spécifié au paragraphe $(3.23)$.} {\it Démonstration.} D'après la définition (3.24), il suffit de montrer que l'on a $$ \int_{M\cap P_j}d\alpha_j=\int_{\partial M\cap P_j}\alpha_j $$ pour tout $j$ et de faire la somme (si les $\theta_j$ sont choisies de classe $C^1$, ce qui est possible, alors $\alpha_j=\theta_j\alpha$ est aussi de classe $C^1$). Maintenant, on écrit que par définition $$ \int_{M\cap P_j}d\alpha_j=\int_{U_j}g_j^*(d\alpha_j)= \int_{U_j}d(g_j^*\alpha_j),\qquad \int_{\partial M\cap P_j}\alpha_j=\int_{U'_j}g_j^*\alpha_j $$ où $$ g_j:U_j\cup U'_j\to (M\cup \partial M)\cap P_j,\qquad t=(t_1,\ldots,t_p)\mapsto g(t) $$ est une paramétrisation choisie comme dans 3.22$\,$(e,f,g,h). En faisant les calculs des images inverses $\beta=g_j^*\alpha_j$ mises en jeu dans les coordonnées $(t_1,\ldots,t_p)$, on est ramené à traiter le cas d'une forme $\beta$ de degré $(p-1)$ en $(t_1,\ldots,t_p)$, qui s'écrira donc $$ \beta(t)=\sum_{i=1}^p f_i(t)\,dt_1\wedge\ldots\wedge dt_{i-1} \wedge dt_{i+1}\wedge\ldots\wedge dt_p. $$ En outre, quitte à translater l'origine, on peut supposer que $\beta$ est à support compact dans un pavé \hbox{$P=\prod_{1\le i\le p}{}]-c_i,c_i[{}\subset\bR^p$}, et qu'on est dans l'un ou l'autre des deux cas suivants~: $$ \leqalignno{ \kern 30pt M&=P,\qquad \partial M=\emptyset,&(3.25\,{\rm a})\cr \noalign{\vskip5pt} \kern 30pt M&=P_-={}]-c_1,0[{}\times\prod_{2\le i\le p}{}]-c_i,c_i[{},\qquad \partial M =\{0\}\times\prod_{2\le i\le p}{}]-c_i,c_i[. &(3.25\,{\rm b})\cr} $$ [Si $M=P_+={}]0,c_1[{}\times\prod_{2\le i\le p}{}]-c_i,c_i[$, on se ramène aisément au cas $M=P_-$ en changeant $t_1$ en $t'_1=-t_1$, ce qui a juste pour effet de changer simultanément l'orientation de $M$ et de~$\partial M$.] Or on a $$ d\beta=\sum_{1\le i\le p}(-1)^{i-1} {\partial f_i\over\partial t_i}\,dt_1\wedge\ldots\wedge dt_p, $$ donc $$ \int_M d\beta=\int_M \sum_{1\le i\le p}(-1)^{i-1} {\partial f_i\over\partial t_i}\,dt_1\ldots dt_p. $$ Dans le cas (3.25$\,$a), une intégration à une variable fournit pour tout $i=1,\ldots,p$ l'égalité $$ \eqalign{ \int_{-c_i}^{c_i} &{\partial f_i\over\partial t_i}(t_1,\ldots,t_p)\,dt_i\cr &=f_i(t_1,\ldots,t_{p-1},c_i,t_{p+1},\ldots,t_p)- f_i(t_1,\ldots,t_{p-1},-c_i,t_{p+1},\ldots,t_p)=0\cr} $$ du fait que $f_i$ est à support compact dans $P$ et donc nulle sur $\partial P$. Il vient par conséquent $\int_M\partial f_i/\partial t_i\,dt_1\ldots dt_p=0$ grâce au théorème de Fubini, et comme $\partial M=\emptyset$ on a bien $$ \int_M d\beta=0=\int_{\partial M}\beta. $$ Dans le cas (3.25$\,$b) on voit qu'on a encore $\int_M\partial f_i/\partial t_i\,dt_1\ldots dt_p=0$ pour $i\ge 2$ par le même raisonnement que ci-dessus, tandis que $$ \int_{-c_1}^{0}{\partial f_1\over\partial t_1}(t_1,\ldots,t_p)\,dt_1 =f_1(0,t_2,\ldots,t_p), $$ puisque la valeur de $f_1(t_1,\ldots,t_p)$ en $t_1=-c_1$ est nulle [cette valeur n'est bien sûr pas nécessairement nulle dans le cas $t_1=0$, qui correspond à un point $t\in\partial M$]. D'après le théorème de Fubini, on obtient $$ \int_M d\beta=\int_{P_-}{\partial f_1\over\partial t_1}dt_1\ldots dt_p= \int_{\Pi_{2\le i\le p}]-c_i,c_i[}f_1(0,t_2,\ldots,t_p)\,dt_2\ldots dt_p. $$ Or, le résultat de la substitution $t_1=0$ dans $\beta$ donne la $(p-1)$-forme $$ \beta_{|\{t_1=0\}}=f_1(0,t_2,\ldots,t_p)\,dt_2\wedge \ldots\wedge dt_p, $$ et on a donc aussi $$ \int_{\partial M}\beta= \int_{\Pi_{2\le i\le p}]-c_i,c_i[}f_1(0,t_2,\ldots,t_p)\,dt_2\ldots dt_p. $$ Ceci conclut la démonstration.\qed \medskip {\bf (3.26) Remarque.} La formule de Stokes est encore vraie si $\partial M$ est de classe $C^1$ par morceaux, c'est-à-dire si $\partial M$ est localement $C^1$-difféomorphe à un domaine polyédral. Pour cela, il suffit d'observer que si $S$ est l'ensemble des arêtes $(p-2)$-dimensionnelles et $S_\varepsilon$ l'ensemble des points situés à distance inférieure ou égale à $\varepsilon$ de~$S$, alors\break \hbox{$\aire_{p-1}(\partial M\cap S_\varepsilon)\le C\varepsilon$} et $\aire_p(M\cap S_\varepsilon)\le C'\varepsilon^2$. On peut par conséquent se ramener au cas d'une forme $\alpha$ nulle au voisinage de $S$ en considérant $\alpha_\varepsilon=(1-\theta_\varepsilon)\alpha$ où $\theta_\varepsilon$ est égale à $1$ au voisinage de $S$, à support dans $S_\varepsilon$ et telle que $|d\theta_\varepsilon|\le C''{1\over\varepsilon}$. On voit alors aisément que $\int_{\partial M}\alpha_\varepsilon$ et $\int_Md\alpha_\varepsilon$ convergent vers les limites attendues quand $\varepsilon$ tend vers~$0$. \medskip {\bf (3.27) Cas particuliers de la formule de Stokes.} Observons tout d'abord que dans le cas d'une courbe orientée $(\dim M=p=1$), la formule de Stokes se réduit à une formule équivalente à (3.3$\,$c), à savoir $$ \int_{\partial M}df=\sum_{x\in\partial M} \varepsilon_x f(x), \leqno(3.27\,{\rm a}) $$ avec $\varepsilon_x=+1$ si $x\in\partial M$ est une extrêmité d'arc orienté et $\varepsilon_x=-1$ si $x\in\partial M$ est une origine d'arc orienté ($M$ pouvant comprendre a priori plusieurs arcs orientés). Nous examinons maintenant le cas où $p\ge 2$, lorsque la dimension ambiante est petite. Lorsque $p=n=2$, le cas typique est celui d'un domaine borné $M\subset\bR^2$ à bord de classe $C^1$. Avec l'orientation canonique de $\bR^2$ et l'orientation induite sur $\partial M$, on obtient la formule dite de {\it Green-Riemann} $$ \int_{\partial M}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy= \int\!\!\!\int_M\Big({\partial Q\over\partial y}- {\partial P\over\partial x}\Big)\,dx\,dy, \leqno(3.27\,{\rm b}) $$ valable pour toute forme $\alpha=P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$ de classe $C^1$ sur $\ovl M$ $\big($on a bien $d\alpha=\big({\partial Q\over\partial y}- {\partial P\over\partial x}\big)\,dx\wedge dy\big)$. Le cas suivant est $p=2$, $n=3$. On se donne une $1$-forme $\alpha= \ovr{V(x)}\cdot\ovr{dx}$ de classe $C^1$ sur un ouvert $\Omega$ contenant une surface compacte orientée à bord $M\cup\partial M\subset\bR^3$. Comme $d\alpha=\ovr{\rot}\ovr{V}\cdot\ovr{dS}$, on obtient la formule attribuée originellement à {\it Stokes} $$ \int_{\partial M}\ovr{V(x)}\cdot\ovr{dx} = \int\!\!\!\int_M \ovr{\rot}\ovr{V}\cdot\ovr{dS}. \leqno(3.27\,{\rm c}) $$ Enfin, pour $p=n=3$, il s'agit du cas d'un domaine à bord compact $M\cup\partial M\subset\bR^3$. On considère dans ce cas une $2$-forme $\alpha=\ovr{V}\cdot\ovr{dS}$ de classe $C^1$ sur $\ovl M$ et sa différentielle extérieure $d\alpha=\div\ovr{V}\,dx_1dx_2dx_3$. Ceci donne la formule dite de {\it Green-Ostrogradski} $$ \int\!\!\!\int_{\partial M}\ovr{V(x)}\cdot\ovr{dS} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_M \div\ovr{V}\,dx_1dx_2dx_3. \leqno(3.27\,{\rm d}) $$ \chapterjump \chapterrunning{III.} \phantom{$\ $} \medskip \centerline{\fourteenbf Chapitre III} \bigskip \centerline{\fourteenbf Théorèmes généraux de convergence} \medskip \centerline{\fourteenbf Espaces $\hbox{\fourteenbfit L}^{\hbox{\twelvebfit p}}$ et fonctions mesurables} \vskip3cm Nous établissons ici un pont direct entre la théorie de Henstock-Kurzweil et la théorie de la mesure. Ceci se fait en observant que l'intégrale de jauge satisfait les théorèmes de convergence fondamentaux que sont le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ceci permet d'établir de manière naturelle l'exis\-tence de la mesure de Lebesgue dans $\bR^n$. La substance de ce chapitre correspond à un (solide) niveau de L3, mais peut aussi se traiter en Master~1, par exemple comme introduction à la théorie générale de la mesure. \bigskip \section{1. Lemme de Henstock et théorème de Hake} Le but du lemme de Henstock est d'obtenir des estimations fines pour les sommes de Riemann calculées sur des familles de sous-pavés d'un pavé $P$ qui ne constituent pas nécessairement un découpage complet de $P$. Ces estimations ont elles-mêmes de nombreuses conséquences importantes. \medskip {\bf (1.1) Lemme de Henstock.} {\it Soit $P$ un pavé fermé borné de $\bR^n$ et $f:P\to\bR$ une fonction HK-intégrable sur $P$. Soient $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f$ sur $P$. Soient enfin $(Q_i)_{1\le i\le N}$ des sous-pavés de $P$ d'intérieurs deux à deux disjoints, et $x_i\in Q_i$, \hbox{$1\le i\le N$}, des points choisis dans ces pavés. Si ceux-ci sont $\delta$-fins, c'est-à-dire si \hbox{$\diam(Q_i)\le\delta(x_i)$}, alors $$\leqalignno{ &\Big|\sum_{i=1}^N f(x_i)\vol(Q_i)- \sum_{i=1}^N \int_{Q_i}f(x)\,dx\Big|\le \varepsilon\;;&\hbox{\rm(a)}\cr &\sum_{i=1}^N\Big| f(x_i)\vol(Q_i)- \int_{Q_i}f(x)\,dx\Big|\le 2\varepsilon.&\hbox{\rm(b)}\cr } $$} {\it Démonstration.} Soit $\eta>0$ arbitrairement petit. Le complémentaire $P\ssm\bigcup Q_i^\circ$ peut se décomposer en la réunion d'un nombre fini de pavés fermés $R_j$ d'intérieurs disjoints (ayant pour sommets des points de $\bR^n$ dont les coordonnées sont des projections de sommets de $P$ ou des $Q_i$). Sur chaque $R_j$ on peut trouver une jauge $\delta_j\le\delta_{|R_j}$ telle que $$ \Big|S_{D_j}(f)-\int_{R_j}f(x)\,dx\Big|\le\eta $$ pour toute subdivision pointée $\delta_j$-fine $D_j$ de $R_j$. En prenant la réunion des pavés pointés $(Q_i,x_i)$ et des subdivisions $D_j$ des pavés $R_j$, on obtient une subdivision pointée $\delta$-fine de $[a,b]$, par conséquent $$\Big|\sum_if(x_i)\vol(Q_i)+ \sum_jS_{D_j}(f)-\int_Pf(x)\,dx\Big|\le\varepsilon.$$ En soustrayant toutes les inégalités précédentes et en tenant compte du fait que $\int_Pf(x)\,dx=\sum_i\int_{Q_i}f(x)\,dx+\sum_j\int_{R_j}f(x)\,dx$, il vient $$\Big|\sum_if(x_i)\vol(Q_i)-\sum_i\int_{Q_i}f(x)\,dx \Big|\le\varepsilon+r\eta$$ où $r$ est le nombre de pavés $R_j$ mis en jeu. Comme $\eta>0$ est arbitraire, l'inégalité (a) s'ensuit. Pour obtenir (b), on applique séparément l'inégalité (a) aux pavés $Q_i$ pour lesquels $f(x_i)\vol(Q_i)-\int_{Q_i}f(x)\,dx\ge 0$ (resp.${}\le 0$), et on fait la somme.\qed \medskip Nous commencerons par un corollaire élémentaire en dimension $1$, puis nous démontre\-rons son analogue, sensiblement plus subtil, en dimension supérieure. \medskip {\bf (1.2) Théorème.} {\it Pour toute fonction $f$ HK-intégrable sur un intervalle $[a,b]$, l'inté\-grale indéfinie $x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt$ est continue sur $[a,b]$.} {\it Démonstration.} Il s'agit de prouver que $\forall x\in[a,b]$, $\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ tend vers $0$ avec $h$. Soit $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f$ sur $[a,b]$. Prenons $h$ tel que $|h|\le\delta(x)$. En appliquant le lemme de Henstock 4.1~(a) à l'unique intervalle $[a_1,b_1]=[x,x+h]$ avec $x_1=x\in[a_1,b_1]$, il vient $$\Big| f(x)h-\int_x^{x+h}f(t)\,dt\Big|\le\varepsilon,$$ donc $$\Big|\int_x^{x+h}f(t)\,dt\Big|\le\varepsilon+|f(x)h|\le 2\varepsilon$$ pour $|h|\le\min(\delta(x),\varepsilon/|f(x)|)$. Le corollaire est démontré.\qed \medskip {\bf (1.3) Théorème.} {\it Soit $P'=\prod[a'_k,b'_k]$ est un pavé fermé contenu dans $P=\prod[a_k,b_k]$. Nous écrivons que $P'$ tend vers $\tilde P=\prod[\tilde a_k,\tilde b_k]\subset P$ si chaque borne $a'_k$, $b'_k$ de $P'$ tend vers la borne correspondante $\tilde a_k$, $\tilde b_k$ de $\tilde P$. Alors pour toute fonction $f$ HK-intégrable sur~$P$, on a {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} $\displaystyle \lim_{\vol(P')\to 0}\int_{P'}f(x)\,dx=0$. \item{\rm (b)} $\displaystyle \lim_{P'\subset P,\,P'\to \tilde P}\int_{P'}f(x)\,dx=\int_{\tilde P}f(x)\,dx$. \medskip }} {\it Démonstration.} (a) Si (a) n'était pas vrai, on pourrait trouver un suite de pavés $P_\nu$ tels que $\vol(P_\nu)$ tend vers $0$ et $\big|\int_{P_\nu}f(x)\,dx\big|\ge\varepsilon_0>0$. Quitte à extraire une sous-suite convergente de chacune des suites constituant les bornes de $P_\nu$, on peut supposer que $P_\nu\to\tilde P$ pour un certain pavé $\tilde P$. On obtiendra une contradiction en montrant que $\smash{\int_{P_\nu}f(x)\,dx}$ tend vers~$0$. Comme $\vol(\tilde P)=0$, le pavé $\tilde P$ vérifie $\tilde a_{i_0}=\tilde b_{i_0}$ pour un certain indice~$i_0$. Il n'est pas restrictif de supposer que $P_\nu=\prod_i[a_{\nu,i},b_{\nu,i}]$ contient sa limite $\smash{\tilde P= \prod_i[\tilde a_i,\tilde b_i]}$. En effet, on a sinon $a_{\nu,i}>\tilde a_i$ ou $b_{\nu,i}<\tilde b_i$ pour un certain $i$. Si par exemple $a_{\nu,i}>a_i$, on écrit que $$ \int_{P_\nu}f(x)\,dx=\int_{P'_\nu} f(x)\,dx-\int_{P''_\nu} f(x)\,dx $$ ou $P'_\nu$ (resp.\ $P''_\nu$) est la suite de pavés dont le $i$-ième facteur est $[\tilde a_i,b_{\nu,i}]$ (resp.\ $[\tilde a_i,a_{\nu,i}]$) qui convergent tous deux vers des pavés $\tilde P'=\tilde P$ et $\tilde P''$ de volume nul, avec cette fois les bonnes inégalités $a'_{\nu,i}\le \tilde a'_i=\tilde a_i$, $a''_{\nu,i}\le \tilde a''_i=\tilde a_i$ (qui sont en fait des égalités). Même raisonnement si $b_{\nu,i}0$ est arbitraire, nous avons obtenu la contradiction désirée et la propriété (a) s'ensuit. (b) se déduit immédiatement de (a) et de la formule de Chasles, puisque si $P'\to\tilde P$, les différences $P'\ssm\tilde P$ et $\tilde P\ssm P'$ s'expriment comme des réunions finies de pavés dont le volume tend vers $0$.\qed \medskip {\bf (1.4) Lemme.} {\it Soit $f:P\to\bR$ une fonction définie sur un pavé fermé borné $P$ de~$\bR^n$ et $E\subset P$ une partie finie contenue dans un hyperplan de coordonnées $H=\{x_{i_0}=c\}$. On suppose que $(Q_j,x_j)$ est une famille $\delta$-fine de pavés pointés d'intérieurs disjoints, avec $Q_j\subset P$, $x_j\in E$, et $\delta(x_j)\le\varepsilon\, e^{-2n(|x_j|+\varepsilon)}/(1+|f(x_j)|)$. Alors $$ \sum_{x_j\in E}\big|f(x_j)\big|\vol(Q_j)\le 2\varepsilon. $$ } \vskip-8pt {\it Démonstration.} Supposons pour simplifier l'écriture que $i_0=n$. On pose alors $$ Q_j=Q'_j\times[\alpha_j,\beta_j]\subset\bR^{n-1}\times\bR,\qquad c\in[\alpha_j,\beta_j]. $$ Quitte à remplacer $[\alpha_j,\beta_j]$ par $[\alpha_j,c]$ (resp.\ $[c,\beta_j]$) et à regrouper les pavés ainsi obtenus, on peut supposer que les pavés $Q_j$ sont adjacents à l'hyperplan $\{x_n=c\}$ et situés dans le même demi-espace délimité par celui-ci (ceci donne alors éventuellement deux sommes à considérer, ce qui multiplie la constante finale par $2$ au plus). Sous cette hypothèse, les pavés $Q'_j\subset\bR^{n-1}$ sont eux-mêmes d'intérieurs disjoints. Comme $$ \beta_j-\alpha_j\le\diam(Q_j)\le\delta(x_j)\le \varepsilon\,e^{-2n(|x_j|+\varepsilon)}/(1+|f(x_j)|), $$ nous avons $$ \vol(Q_j)\le \vol(Q'_j)\,\varepsilon\, e^{-2n(|x_j|+\varepsilon)}/(1+|f(x_j)|) $$ et par conséquent $$ |f(x_j)|\vol(Q_j)\le\varepsilon\vol(Q'_j)\,e^{-2n(|x_j|+\varepsilon)}. $$ Or $\vol(Q'_j) \,e^{-2n(|x_j|+\varepsilon)}\le\int_{Q'_j}e^{-2n|x'|}dx'$ du fait que $\dim(Q'_j)\le\diam(Q_j)\le\varepsilon$, et puisque $n|x'|=n\max_{i\le n-1}|x_i|\ge\sum_{i\le n-1}|x_i|$ on voit que pour $M>0$ assez grand $$ \eqalign{ \sum_j\vol(Q'_j) \,e^{-2n(|x_j|+\varepsilon)}\le \int_{[-M,M]^{n-1}} e^{-2n|x'|}dx' &\le \int_{[-M,M]^{n-1}}e^{-2\sum|x_i|}dx'\cr &\le \prod_{i\le n-1}\int_{-M}^M e^{-2|\xi|}d\xi \le 1\cr} $$ par le théorème de Fubini. Ceci conclut la preuve.\qed \medskip {\bf (1.5) Remarque.} Le lemme 1.4 permet de voir également que l'intégrale $\int_Pf(x)\,dx$ n'est pas modifiée si on change les valeurs de $f$ sur une tranche hyperplane $P\cap\{x_{i_0}=c\}$ (ou une réunion finie de telles tranches), en particulier que cette intégrale ne dépend pas des valeurs prises par $f$ sur le bord $\partial P$. Il suffit comme ci-dessus de prendre des jauges $\delta$ telles que $\delta(x)\le{1\over 2}|x_{i_0}-c|$ si $x_{i_0}\ne c$ et \hbox{$\delta(x)\le\varepsilon\,e^{-2n(|x|+\varepsilon)}/(1+|f(x|)$} sur l'hyperplan $\{x_{i_0}=c\}$.\qed \medskip On se propose maintenant de donner la définition de l'intégrale de Henstock-Kurzweil sur un pavé quelconque $P$ de $\bR^n$ (${}={}$produit d'intervalles quelconques, non nécessai\-rement fermés ni bornés). Lorsque $P$ est non compact, le principe consiste à introduire son compactifié, à savoir son adhérence $\ovl P$ dans le «\?compactifié d'Alexandroff\?» \hbox{$\smash{\hat\bR}^n=\bR^n\cup\{\infty\}$}. Si $f:P\to\bR$ est une fonction arbitraire, on l'étend à $\ovl P$ en posant $f(x)=0$ pour $x\in\ovl P\ssm P$ (donc en particulier $f(\infty)=0$, si $P$ est non borné)$\,$; en fait, d'après le lemme 1.4 et la remarque 1.5, les valeurs prises par $f$ sur $\partial P$ ne joueront aucun rôle. Les fonctions jauge sont également supposées définies sur $\ovl P$, valeur à l'infini $\delta(\infty)$ y comprise (là, il est important que $\delta$ soit définie sur un ensemble compact pour assurer l'existence de subdivisions pointées $\delta$-fines). \medskip \InsertFig 10.000 65.000 { 1 mm unit 5.000 10.000 moveto 105.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 31.000 27.000 moveto 0.700 disk 43.000 24.000 moveto 0.700 disk 55.000 23.000 moveto 0.700 disk 75.000 24.000 moveto 0.700 disk 22.000 39.000 moveto 0.700 disk 27.000 47.000 moveto 0.700 disk 35.000 42.000 moveto 0.700 disk 44.000 49.000 moveto 0.700 disk 49.000 44.000 moveto 0.700 disk 36.000 38.000 moveto 0.700 disk 41.000 32.000 moveto 0.700 disk 46.000 36.000 moveto 0.700 disk 54.000 34.000 moveto 0.700 disk 53.000 45.000 moveto 0.700 disk 59.000 38.000 moveto 0.700 disk 63.000 46.000 moveto 0.700 disk 68.000 29.000 moveto 0.700 disk 77.000 37.000 moveto 0.700 disk 76.000 44.000 moveto 0.700 disk 75.000 29.000 moveto 0.700 disk 0.339 setlinewidth 99.000 37.500 moveto 0.700 circle 80.000 21.000 moveto 90.000 21.000 lineto stroke 18.000 49.000 moveto 90.000 49.000 lineto stroke 18.000 21.000 moveto 39.000 34.000 rectangle stroke 39.000 21.000 moveto 50.000 28.000 rectangle stroke 50.000 21.000 moveto 64.000 30.000 rectangle stroke 64.000 21.000 moveto 80.000 27.000 rectangle stroke 18.000 34.000 moveto 31.000 43.000 rectangle stroke 18.000 43.000 moveto 37.000 49.000 rectangle stroke 37.000 41.000 moveto 48.000 49.000 rectangle stroke 31.000 34.000 moveto 44.000 41.000 rectangle stroke 44.000 28.000 moveto 50.000 41.000 rectangle stroke 50.000 38.000 moveto 56.000 49.000 rectangle stroke 56.000 30.000 moveto 72.000 43.000 rectangle stroke 72.000 40.000 moveto 80.000 49.000 rectangle stroke 72.000 33.000 moveto 82.000 40.000 rectangle stroke 72.000 27.000 moveto 84.000 33.000 rectangle stroke [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 91.000 21.000 moveto 99.000 21.000 lineto stroke 0.113 setlinewidth 91.000 49.000 moveto 99.000 49.000 lineto stroke 83.000 40.000 moveto 99.000 40.000 lineto stroke 85.000 33.000 moveto 99.000 33.000 lineto stroke 85.000 27.000 moveto 99.000 27.000 lineto stroke 10.000 21.000 moveto 17.200 21.000 lineto stroke 10.000 49.000 moveto 17.200 49.000 lineto stroke 18.000 11.500 moveto 18.000 20.200 lineto stroke 78.000 11.500 moveto 78.000 20.200 lineto stroke stroke 0.339 setlinewidth 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 78.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 10.000 21.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 49.000 moveto 0.700 90.000 indent } \LabelTeX 30.000 16.000 $P=[a_1,+\infty[{}\times [a_2,b_2[$\ELTX \LabelTeX 66.000 36.500 $Q_j$\ELTX \LabelTeX 57.700 34.500 $x_j$\ELTX \LabelTeX 17.000 6.200 $a_1$\ELTX \LabelTeX 72.000 6.200 $1/\delta(\infty)$\ELTX \LabelTeX 90.000 6.200 $b_1=+\infty$\ELTX \LabelTeX 5.000 20.000 $a_2$\ELTX \LabelTeX 5.000 48.500 $b_2$\ELTX \LabelTeX 108.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 58.000 $y$\ELTX \LabelTeX 93.600 36.500 $\infty$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~22.} Subdivision pointée d'un pavé $P$ non borné.} \medskip {\bf (1.6) Définition.} {\it Une subdivision pointée $D=\{(Q_j,x_j)\}_{0\le j0$ donnée a priori, on puisse trouver une jauge $\delta:\ovl P\to\bR^*_+$ telle que pour toute subdivision pointée $D=\{(Q_j,x_j)\}$ $\delta$-fine de~$P$ on ait $|S_D(f)-A|\le\varepsilon$. Dans ce cas, on note $$ A=\int_P f(x)dx, $$ et on appelle $A$ l'intégrale de $f$ sur $P$.} \medskip Il est clair, compte tenu du lemme 1.4 et de la remarque 1.5, que les valeurs prises par $f$ sur $\partial P$ ne jouent aucun rôle. La notion d'intégrabilité est inchangée si on passe d'un pavé $P$ à un pavé $P'\subset P$ ayant les mêmes bornes (c'est-à-dire tel que $\ovl P'=\ovl P$). Les résultats suivants s'obtiennent avec des preuves rigoureusement identiques à celles que nous avons déjà données (cf.\ (II.1.6), (II.1.7)). Nous les énoncerons donc sans commentaires supplémentaires. \medskip {\bf (1.8) Critère de Cauchy.} {\it Pour qu'une fonction $f:P\to\bR$ soit HK-intégrable sur un pavé quelconque $P$, il faut et il suffit que pour tout $\varepsilon>0$ on puisse trouver une jauge $\delta$ sur $P$ telle que pour toutes subdivisions $\delta$-fines $D$, $D'$ de $P$ on ait $$|S_{D'}(f)-S_D(f)|\le\varepsilon$$ $($et on peut se restreindre, comme on l'a déjà observé, au cas de subdivisions $D$ et $D'$ telles que $D'$ est emboîtée dans $D.)$}\medskip {\bf (1.9) Proposition.} {\it Soit $f : P\to\bR$ une fonction HK-intégrable sur un pavé $P$ quelconque. Alors la restriction $f_{|Q}$ de $f$ à tout pavé $Q$ contenu dans $P$ est encore HK-intégrable.} \medskip {\bf (1.10) Proposition (relation de Chasles).} {\it Étant donné un découpage $P=\bigcup P_i$ d'un pavé $P$ en pavés $P_i$ d'intérieurs disjoints, une fonction $f:P\to\bR$ est HK-intégrable sur $P$ si et seulement si elle est intégrable sur chaque pavé $P_i$, et on a alors $$ \boxed{16}{ \int_P f(x)\,dx = \sum_i \int_{P_i} f(x)\,dx.} $$ } {\bf (1.11) Lemme de Henstock.} {\it Le lemme de Henstock $(1.1)$ est valide pour un pavé $P$ quelconque.} Notons maintenant la caractérisation simple suivante, qui montre que calculer des intégrales HK sur des pavés $P$ non compacts est la même chose que de calculer ce que l'on appelle parfois des «\?intégrales impropres\?», à savoir des limites d'intégrales prises sur des parties compactes adéquates de plus en plus grandes.\note{16}{Le mot «\?impropre\?» n'est utilisé que parce que le résultat correspondant au théorème 1.12 ci-dessous n'est vrai ni pour l'intégrale de Riemann ordinaire, ni même pour l'intégrale de Lebesgue. Là encore, l'intégrale de Henstock-Kurzweil se révèle être à la fois plus souple, les intégrales impropres deviennent des intégrales «\?normales\?»$\,$! Bien entendu -- et surtout si on se limite à la dimension $1$ -- il est possible d'alléger l'exposé de la théorie en prenant plutôt le théorème 1.12 ci-après comme définition de $\smash{\int_{P}f(x)\,dx}$.} On considère dans le pavé $P$ les parties $R$ {\it compactes, pavables et bien remplies} au sens suivant~: une telle partie $R$ est une réunion finie de pavés compacts $P_i\subset P$ d'inté\-rieurs disjoints non vides, telle que le complémentaire $P\ssm R^\circ$ soit lui-même réunion finie de pavés $Q_j$ fermés dans $P$ et d'intérieurs disjoints, non compacts (c'est-à-dire non bornés ou adhérents à $\partial P\ssm P$). Si $\delta:\ovl P\to\bR^*_+$ est une jauge, est dit que la partie compacte $R\subset P$ est $\delta$-remplie si on peut trouver des pavés marqués $(Q_j,x_j)$ $\delta$-fins, fermés dans~$P$, non compacts et d'intérieurs disjoints, tels que $P\ssm R^\circ=\bigcup Q_j$. Par exemple, en dimension~$1$, si $P=[a,b[$, les parties compactes pavables et bien remplies sont les intervalles $[a,\beta]$, $\beta\in{}]a,b[$, et cette partie est $\delta$-remplie dès lors que~\hbox{$b-\beta\le\delta(b)\,$}: il suffit de marquer l'intervalle $Q=[\beta,b]$ par le point $b$ pour le voir. En dimension plus grande, ces régions peuvent avoir une forme plus compliquée~: \InsertFig 10.000 65.000 { 1 mm unit 5.000 10.000 moveto 105.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 55.000 90.000 2.4 vector 18.000 54.000 moveto 90.000 54.000 lineto stroke 0.339 setlinewidth 18.000 21.000 moveto 18.000 49.000 lineto 23.000 49.000 lineto 23.000 45.000 lineto 30.000 45.000 lineto 30.000 51.000 lineto 43.000 51.000 lineto 43.000 47.000 lineto 51.000 47.000 lineto 51.000 50.000 lineto 63.000 50.000 lineto 63.000 50.000 lineto 63.000 44.000 lineto 63.000 44.000 lineto 79.000 44.000 lineto 79.000 44.000 lineto 79.000 52.000 lineto 79.000 52.000 lineto 88.000 52.000 lineto 88.000 41.000 lineto 83.000 41.000 lineto 83.000 33.000 lineto 89.000 33.000 lineto 89.000 27.000 lineto 79.000 27.000 lineto 79.000 21.000 lineto gsave 0.920 setgray fill 0.000 setgray grestore stroke 18.000 21.000 moveto 18.000 54.000 lineto stroke 18.000 21.000 moveto 90.000 21.000 lineto stroke [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 91.000 21.000 moveto 99.000 21.000 lineto stroke 0.113 setlinewidth 91.000 54.000 moveto 99.000 54.000 lineto stroke 10.000 21.000 moveto 17.200 21.000 lineto stroke 10.000 54.000 moveto 17.200 54.000 lineto stroke 18.000 11.500 moveto 18.000 20.200 lineto stroke stroke 0.339 setlinewidth 18.000 10.000 moveto 0.700 0.000 indent 10.000 21.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 54.000 moveto 0.700 90.000 indent } \LabelTeX 30.000 16.000 $P=[a_1,+\infty[{}\times [a_2,b_2[$\ELTX \LabelTeX 17.000 6.200 $a_1$\ELTX \LabelTeX 88.000 6.200 $b_1=+\infty$\ELTX \LabelTeX 5.000 20.000 $a_2$\ELTX \LabelTeX 5.000 53.000 $b_2$\ELTX \LabelTeX 108.500 6.200 $x$\ELTX \LabelTeX 6.200 58.000 $y$\ELTX \LabelTeX 46.200 33.000 $R$\ELTX \EndFig \centerline{{\bf Fig.~23.} Partie $R$ compacte, pavable et bien remplie dans $P$.} \medskip Désignons par $\cR(P)$ l'ensemble des parties compactes pavables et bien remplies dans~$P$ et soit $R\in\cR(P)$ une partie $\delta$-remplie. Il est commode de supposer que $\delta$ vérifie la propriété supplémentaire $\delta(x)\le{1\over2}d(x,F)$ pour tout face $F$ de $\partial P$ et tout $x\in\ovl P\ssm F$ (de sorte qu'on a en particulier $\delta(x)\le {1\over 2}d(x,\partial P)$ pour $x\in P^\circ$). En effet, sous cette hypothèse, tout pavé pointé $(Q_j,x_j)$ tel que $x_j\in P^\circ$ est compact et contenu dans $P^\circ$, donc pour toute subdivision pointée $\delta$-fine $D=\{(Q_j,x_j)\}$ de $P$, les seuls pavés $Q_j$ non compacts correspondent à des points que $x_j\in\partial P\cup\{\infty\}$. On voit même que $x_j$ doit être sur une des faces $F$ de $\partial P\ssm P$, car sinon l'hypothèse relative à la distance aux faces entraînerait de nouveau que $Q_j$ serait compact. Si on suppose $\sup\delta\le{1\over k}$, on voit alors que la réunion $R$ des pavés compacts $Q_j\subset P$ contient le pavé compact $$ P_k=\big\{x\in P\,;d(x,\partial P\ssm P)\ge 1/k,\;\Vert x\Vert\le k\big\} $$ (c'est le pavé des points $x$ dont les coordonnées $x_j$ vérifient $|x_j|\le k$ et dont la distance est au moins $1/k$ aux faces $F=\{x_i=c_i\}$ qui ne sont pas contenues dans $P$). On notera que $(P_k)$ est une suite croissante de pavés compacts telle que $P=\bigcup P_k$. \medskip {\bf (1.12) Théorème de Hake}. {\it Soit $f:P\to\bR$ une fonction définie sur un pavé quelconque dans $\bR^n$. Il~y~a équivalence entre {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est HK-intégrable sur $P$. \item{\rm(b)} f est HK-intégrable sur tout pavé compact contenu dans $P$ et la limite $$ \lim_{R\in\cR(P),\,R\to P}\int_R f(x)\,dx\qquad\hbox{existe} $$ $($la limite étant prise suivant le filtre des parties $R$ compactes pavables $\delta$-remplies$)$.\vskip0pt} Dans ce cas, on a $$ \boxed{16}{ \int_Pf(x)\,dx=\lim_{R\in\cR(P),\,R\to P}\int_R f(x)\,dx}. $$} \medskip {\it Démonstration.} (a)${}\Rightarrow{}$(b). Soit $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f$ sur $P$. On supposera en outre que $$ \delta(x)\le\cases{ \displaystyle{\varepsilon\,e^{-2n|x|}\over 1+|f(x)|}&lorsque $x\in \partial P$,\cr \noalign{\vskip5pt} \displaystyle{1\over 2}d(x,\partial P)&lorsque $x\in P^\circ$,\cr} $$ Si $R$ est une partie compacte pavable $\delta$-remplie, on peut par définition trouver une subdivision pointée $\delta$-fine $D=\{(Q_j,x_j)\}_{0\le j0$ et $\hat\delta:\ovl P\to\bR^*_+$ une jauge telle que $$ \bigg|\int_R f(x)\,dx-A\bigg|\le \varepsilon $$ pour toute partie compacte pavable $R\in\cR(P)$ $\hat\delta$-remplie. Fixons une suite croissante $R_0\subset R_1\subset R_2\subset\ldots\;$ de parties compactes pavables telles que $R_k\supset P_k$, $P=\bigcup R_k$ et $$ \bigg|\int_{R_k}f(x)\,dx-A\bigg|\le 2^{-k}\varepsilon. $$ Pour tout $k\ge 0$, la différence $T_k=R_k\ssm R_{k-1}^\circ$ (avec \hbox{$T_0=R_0$}) est pavable par des pavés $Q_{k,\ell}$ en nombre fini, et on peut trouver des jauges $\delta_{k,\ell}$ sur $Q_{k,\ell}$ telles que $$ \bigg|S_{D_k}(f)-\int_{T_k}f(x)\,dx\bigg|\le 2^{-k}\varepsilon $$ pour toute subdivision pointée $\delta_k$-fine $D_k$ de~$T_k$ obtenue en réunissant des subdivisions des $Q_{k,\ell}$. On choisit maintenant une jauge $\delta$ sur $P$ en prenant $\delta(\infty)=\hat\delta(\infty)$ et $$ \delta(x)=\cases{\displaystyle \min\Big(\hat\delta(x), \inf_{Q_{k,\ell}\ni x} \delta_{k,\ell}(x), {1\over 2}\inf_{F\not\ni x,\,F\subset\partial Q_{k,\ell}} d(x,F)\Big) &si $x\in P$,\cr \displaystyle \hat\delta(x)&si $x\in \partial P\ssm P$,\cr} $$ où les $F$ désignent les faces des pavés $Q_{k,\ell}$. Les inf sont bien strictement positifs du fait que la famille des $Q_{k,\ell}$ est localement finie dans $P$. Soit $D=\{(Q_j,x_j)\}$ une subdivision $\delta$-fine de $P$. Les pavés $Q_j$ non-compacts ont pour réunion une partie compacte $R$ $\smash{\hat\delta}$-remplie, et on a donc $\big|\int_Rf(x)\,dx-A\big|\le\varepsilon$. Or, on a nécessairement $R\subset R_{k_0}$ pour un certain $k_0$ assez grand. Le choix de $\delta$ vis à vis de la distance aux faces des pavés $Q_{k,\ell}$ implique que $D$ induit des subdivisions pointées partielles $D_k$ $\delta_k$-fines des $T_k$ pour un nombre fini de parties $T_k$, $k\le k_0$. Par le lemme de Henstock on en déduit $$ \bigg|S_{D_k}(f)-\int_{R\cap T_k}f(x)\,dx\bigg|\le 2^{-k}\varepsilon, $$ et, en faisant la somme, $$ \bigg|S_D(f)-\int_Rf(x)\,dx\bigg|\le \sum 2^{-k}\varepsilon=2\varepsilon. $$ Ceci entraîne $|S_D(f)-A|\le 3\varepsilon$ et montre que $f$ est HK-intégrable sur $P$, d'intégrale $\int_Pf(x)\,dx=A$.\qed \medskip Bien entendu, comme l'intégrabilité de Henstock-Kurzweil sur $P$ et sur $P^\circ$ sont équiva\-lentes, on peut tout aussi bien approcher l'intégrale $\int_Pf(x)\,dx$ par des intégrales $\int_Rf(x)\,dx$ sur des parties compactes $\delta$-remplies $R\subset P^\circ$, si on le souhaite. En dimension $1$, on a le cas particulier suivant beaucoup plus simple du théorème de~Hake. \medskip {\bf (1.13) Théorème de Hake (dimension 1)}. {\it Soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction définie sur un intervalle non compact, $b\in\bR\cup\{+\infty\}$. Alors $f$ est HK-intégrable sur $[a,b[$ si et seulement si elle est HK-intégrable sur tout intervalle $[a,\beta]$, $\beta\in[a,b[$, et si la limite $\lim_{\beta\to b-0}\int_a^\beta f(x)\,dx$ existe. Dans ce cas $$ \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\beta\to b-0}\int_a^\beta f(x)\,dx.\eqno\square $$} En dimension plus grande, une partie de ce résultat est encore valable. \medskip {\bf (1.14) Proposition.} {\it Si $f:P\to\bR^n$ est une fonction HK-intégrable sur un pavé $P$ quelconque, on a $$ \int_Pf(x)\,dx=\lim_{P'\subset P,\,P'\to P}\int_{P'}f(x)\,dx $$ où $P'\subset P$ est un pavé quelconque dont les bornes convergent vers celles de $P$. } {\it Démonstration.} Quitte à prolonger $f$ par $0$ sur $\ovl P\ssm P$, on peut supposer $P$ fermé dans~$\bR^n$. Il suffit alors de combiner le résultat du théorème de Hake appliqué à un pavé compact $P_1\subset\ovl P$ assez grand avec le lemme de Henstock et les estimations du lemme 1.4 sur le bord $\partial P$. Les détails sont laissés en exercice pour le lecteur. \qed \medskip On notera cependant qu'en dimension${}>1$ la réciproque de la proposition 1.14 dans laquelle on considérerait les seuls pavés compacts $P'\subset P$ $\delta$-remplis n'est pas vraie. Par exemple, la fonction $f:P\to\bR$ définie sur $P=[0,1]\times\bR$ telle que $f(x,y)=1$ si $x\in[0,1/2]$ et $f(x,y)=-1$ si $x\in{}]1/2,1]$ est bien HK-intégrable d'intégrale nulle sur tout pavé $P'=[0,1]\times[0,A]$, mais elle n'est pas HK-intégrable sur $P$ (puisqu'à l'évidence elle ne l'est pas sur $Q=[0,1/2]\times\bR$). \bigskip \section{2. Fonctions absolument intégrables} Étant donné une fonction $f$ HK-intégrable sur un pavé $P$, il peut fort bien se produire que l'intégrale $\int_P|f(x)|\,dx$ soit divergente, en d'autres termes, que la fonction $|f|$ ne soit pas HK-intégrable. Un exemple classique est celui de l'intégrale $\int_0^{+\infty}{\sin x\over x}\,dx$, ou encore $\int_0^1{1\over x}\sin{1\over x}\,dx$. Ceci justifie la définition suivante.\medskip {\bf (2.1) Définition.} {\it On dit qu'une fonction $f:P\to\bR$ définie sur un pavé $P\subset\bR^n$ est absolument intégrable sur $P$ si à la fois $f$ et $|f|$ sont HK-intégrables sur $P$, ou, de façon équivalente, si $f_+=\max(f,0)$ et $f_-=\max(-f,0)$ sont HK-intégrables sur $P$.} L'équivalence des deux conditions résulte en effet des formules immédiates\note{17}{On remarquera qu'il ne suffit pas de supposer $|f|$ HK-intégrable dans cette définition, du moins dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel augmentée de l'axiome du choix (ZFC - la théorie la plus couramment utilisée~...). Dans cette théorie, il existe en effet des parties $E\subset[0,1]$ qui sont non mesurables, et la fonction $\smash{f=\chi_E-\chi_{[0,1]\ssm E}}$ est de valeur absolue $|f|=1$ HK-intégrable sur $[0,1]$, tandis que $f$ n'est pas HK-intégrable.} $$ f_+={1\over 2}(f+|f|),~~~ f_-={1\over 2}(|f|-f),~~~ f=f_+-f_-,~~~ |f|=f_++f_-. $$ Si $f$ est absolument intégrable sur $P$, on a $$ -\int_P f_-(x)\,dx\le \int_P f(x)\,dx=\int_P f_+(x)\,dx-\int_P f_-(x)\,dx\le \int_P f_+(x)\,dx, $$ et comme les membres de droite et de gauche sont majorés par $\pm\int_P|f(x)|\,dx$ on en déduit $$ \Big|\int_P f(x)\,dx\Big|\le\int_P |f(x)|\,dx.\leqno(2.2) $$ Un critère commode pour l'intégrabilité de $|f|$ est le suivant.\medskip {\bf (2.3) Critère d'intégrabilité absolue.} {\it Soit $f:P\to \bR$ une fonction HK-intégrable. Alors on a $$ \int_P|f(x)|\,dx = \sup_{D}\sum_{0\le j0$, soit $D=\{(Q_j,x_j)\}_{0\le j0$. On peut choisir un entier $k_0$ tel~que $$ A-\varepsilon\le\int_P f_k(x)\,dx\le A\qquad\hbox{pour $k\ge k_0$}. $$ Pour chaque indice $n$, choisissons une jauge $\delta_k:P\to\bR^*_+$ adaptée à $f_k$ pour une tolérance d'erreur $2^{-k}\varepsilon$. Enfin, pour chaque $x\in P$, choisissons un indice $K(x)\ge k_0$ tel que $$ f(x)-\varepsilon\le f_k(x)\le f(x)\qquad\hbox{pour $k\ge K(x)$}. $$ On définit une jauge $\delta$ sur $P$ par $\delta(x)=\delta_{K(x)}(x)$. Soit $D=\{(Q_i,x_i)\}_{0\le i0$, soit $E_{k,s}$ l'ensemble des $x\in P$ tels que $f_k(x)>s$. Nous avons $\chi_{E_{k,s}}=\lim_{N\to+\infty}\min(1,N(f_k-s)_+)$ comme limite croissante, et de plus \hbox{$0\le \chi_{E_{k,s}}\le {1\over s}f_k$}, donc $\chi_{E_{k,s}}$ est intégrable sur~$P$ et $$ \int_P\chi_{E_{k,s}}(x)\,dx\le {1\over s}\int_Pf_k(x)\,dx\le M/s. $$ Or $(E_{k,s})_{k\in\bN}$ est une suite croissante d'ensembles dont la réunion est l'ensemble $K_s$ des $x\in P$ tels que $\lim_{k\to+\infty}f_k(x)>s$. Ceci prouve que $K_s$ est intégrable et que \hbox{$m(K_s)\le M/s$}. Maintenant, l'ensemble $E$ des réels $x\in P$ tels que \hbox{$\lim_{k\to\infty}f_k(x)=+\infty$} est l'intersection décroissante $\bigcap_{s\ge 0}K_s$, par suite $E$ est négligeable. Quitte à redéfinir $f_k(x)=0$ sur $E$, nous pouvons appliquer le théorème de convergence monotone ordinaire pour conclure que $f=\lim f_k$ est HK-intégrable.\qed \medskip Désormais, on s'autorisera à écrire des intégrales dans lesquelles figurent des fonctions qui prennent les valeurs $+\infty$ ou $-\infty$, pourvu que cela soit sur un ensemble négligeable~$E$ -- en fait, si on le souhaite, on pourra toujours redéfinir ces fonctions comme valant $0$ ou toute autre valeur réelle en chaque point de~$E$. Dans ce contexte, le théorème de convergence monotone peut se reformuler comme la possibilité de commuter intégration et passage à la limite monotone~: $$ \boxed{16}{ \hbox{$(f_k)$ monotone}\Rightarrow \int_P\lim_{k\to+\infty}f_k(x)\,dx =\lim_{k\to+\infty}\int_P f_k(x)\,dx,}\leqno(4.6) $$ dès lors que l'un des deux membres est fini. \bigskip \section{5. Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée} On déduit ici du théorème de convergence monotone plusieurs autres résultats fondamentaux de convergence. Le premier, dit lemme de Fatou, est très utile dans bien des situations. \medskip {\bf (5.1) Lemme de Fatou.} {\it Soient $f_k,g:P\to\bR$ des fonctions HK-intégrables telles que $f_k\ge g$ presque partout. Si $\liminf_{k\to+\infty} \int_P f_k(x)\,dx<+\infty$, alors la fonction $f=\liminf_{k\to+\infty} f_k$ est finie presque partout et HK-intégrable, et on a $$ \int_P \liminf_{k\to+\infty} f_k(x)\,dx\le \liminf_{k\to+\infty} \int_P f_k(x)\,dx. $$} {\it Démonstration.} Quitte à remplacer $f_k$ par $f_k-g$, on peut supposer $f_k\ge 0$ (et $g=0$). De manière générale la $\liminf$ d'une suite est obtenue comme une limite croissante $$ \liminf_{k\to+\infty}u_k=\lim_{k\to+\infty}\uparrow\inf_{i\in[k,+\infty[}u_i. $$ Or pour tout $k\ge 0$ nous avons $$ \int_P\inf_{i\in[k,+\infty[}f_i(x)\,dx\le \inf_{i\in[k,+\infty[}\int_P f_i(x)\,dx $$ puisque l'intégrande $\varphi_k(x)=\inf_{i\in[k,+\infty[}f_i(x)$ du membre de gauche est majoré par $f_i$ pour chaque $i\in[k,+\infty[$ (de plus $\varphi_k$ est HK-intégrable comme limite décroissante de la suite $s\mapsto \varphi_{k,s}(x)= \min_{i\in[k,s]}f_i(x)$ quand $s\to+\infty$). Le lemme de Fatou résulte maintenant du théorème de convergence monotone (4.6) appliqué à la suite croissante~$(\varphi_k)$.\qed \medskip On a bien entendu l'énoncé symétrique, à savoir que si $f_k\le h$ pour tout $k$ avec $h$ HK-intégrable, alors $$ \int_P \limsup_{k\to+\infty} f_k(x)\,dx\ge \limsup_{k\to+\infty} \int_P f_k(x)\,dx\leqno(5.2) $$ pourvu que le second membre ne soit pas $-\infty$. En combinant (5.1) et (5.2), on obtient~le \medskip {\bf (5.3) Théorème de la convergence encadrée.} {\it Soient $f_k,g,h:P\to\bR$ des fonctions HK-intégrables telles que $g\le f_k\le h$ presque partout. On suppose que $f(x)=\lim_{k\to+\infty}f_k(x)$ existe presque partout. Alors $f$ est HK-intégrable sur $P$ et $$ \lim_{k\to+\infty}\int_P f_k(x)\,dx=\int_P f(x)\,dx. $$ } {\it Démonstration.} Le lemme de Fatou donne en effet $$ \limsup_{k\to+\infty} \int_P f_k(x)\,dx\le \int_P \lim_{k\to+\infty} f_k(x)\,dx \le \liminf_{k\to+\infty} \int_P f_k(x)\,dx $$ puisque $\lim_{k\to+\infty} f_k=\limsup_{k\to+\infty} f_k= \liminf_{k\to+\infty} f_k$ et que les membres de gauche et de droite sont encadrés par $\int_Pg(x)\,dx$ et $\int_Ph(x)\,dx$.\qed \medskip {\bf (5.4) Théorème de convergence dominée.} C'est le cas particulier du théorème de convergence encadrée où la suite $(f_k)$ vérifie la condition plus forte $|f_k|\le g$ pour une certaine fonction $g\ge 0$ HK-intégrable. Dans ce cas toutes les fonctions $f_k$ sont absolument intégrables et la limite $f=\lim f_k$ vérifie $\Vert f\Vert_1=\lim \Vert f_k\Vert_1$.\note{18}{En fait les deux théorèmes sont équivalents, puisque le théorème de la convergence encadrée se ramène au cas de fonctions${}\ge 0$ en observant que l'on a $0\le f_k-g\le h-g$.} \medskip {\bf (5.5) Séries convergentes dans $L^1$.} {\it Soit $f_k:P\to\bR$ une suite de fonctions abso\-lument intégrables telles que $\sum\Vert f_k\Vert_1<+\infty$. Alors la série $\sum f_k$ converge dans~$L^1(P)$, et la convergence a lieu également de manière ponctuelle, presque partout sur~$P$.} {\it Démonstration.} Posons $S_k=|f_0|+|f_1|+\ldots+|f_k|$. C'est une suite croissante de fonctions absolument intégrables telles que $\int_P S_k(x)\,dx\le \sum\Vert f\Vert_1<+\infty$. Le théorème de convergence monotone montre que la somme $S(x)=\sum|f_k(x)|$ converge presque partout. En particulier $\varphi(x)=\sum_{k\ge 0}f_k(x)$ existe presque partout comme somme d'une série absolument convergente, et le théorème de convergence dominée appliqué aux sommes partielles $\varphi_k=f_0+f_1+\ldots+f_k$ entraîne que $\varphi$ est absolument intégrable, du fait que $0\le|\varphi_k|\le S$. Nous avons de plus $|\varphi-\varphi_k|\le\sum_{i\in[k+1,+\infty[}|f_k|$ donc $\Vert\varphi-\varphi_k\Vert_1\le\sum_{i\ge k+1}\Vert f_i\Vert_1$, et par conséquent $\lim_{k\to+\infty}\Vert\varphi-\varphi_k\Vert_1=0$.\qed \medskip Comme conséquence immédiate, nous avons le\medskip {\bf (5.6) Théorème.} {\it $L^1(P)$ est un espace de Banach $($c'est-à-dire un espace normé complet$)$. De plus, de toute suite de Cauchy $($donc $L^1$-convergente$)$, on peut extraire une sous-suite convergeant ponctuellement presque partout sur~$P$.} {\it Démonstration.} C'est une conséquence purement formelle de (5.5). Soit $(u_k)$ une suite de Cauchy dans $L^1(P)$. Il existe une sous-suite $(u_{k_i})$ telle que $\Vert u_{k_{i+1}}-u_{k_i}\Vert_1\le 2^{-i}$. Ceci implique que la série $\sum_i(u_{k_{i+1}}-u_{k_i})$ converge normalement vers une somme $S$ dans $L^1(P)$, et~donc que la sous-suite $(u_{k_i})$ converge vers $u=S+u_{k_0}$ en norme $L^1$ et presque partout. Il en résulte que la suite $(u_k)$ converge elle aussi vers~$u$, en norme~$L^1$.\qed \medskip On peut tirer du théorème de convergence encadrée des propriétés très agréables de continuité et de dérivabilité sous le signe somme des intégrales dépendant de para\-mètres qui généralisent les résultats du Chapitre I, \S$\,$8.\note{19}{Comme on va le voir, on peut le faire sous des conditions même plus générales que dans la théorie de Lebesgue, avec des intégrales non nécessairement absolument convergentes -- on profite en cela de ce que la convergence encadrée est plus générale que la convergence dominée. Les preuves sont cependant identiques.} \medskip {\bf (5.7) Théorème.} {\it Soit $P\subset\bR^n$ un pavé, $T$ une partie de $\bR^d$ et $t_0$ un point de l'adhérence de $T$ dans $\bR^d$. Soit $f: P\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} Pour tout $t\in T$, l'application $P\ni x\mapsto f(x,t)$ est HK-intégrable sur $P\;;$ \item{\rm(b)} Il existe des fonctions $g,h:P\to\bR$ HK-intégrables et un voisinage $V$ de $t_0$ tel que $g(x)\le f(x,t)\le h(x)$ pour tout $t\in T\cap V$ et presque tout $x\in P$ $($l'ensemble négligeable $N(t)\subset P$ correspondant peut dépendre de $t)$. \item{\rm(c)} Pour presque tout $x\in P$, l'application $T\ni t\mapsto f(x,t)$ possède une limite $\varphi(x)$ quand $t\to t_0$.\vskip0pt}% Alors $\varphi$ est HK-intégrable sur $P$ et $$ \lim_{T\ni t\to t_0}\int_P f(x,t)\,dx = \int_P\varphi(x)\,dx. $$ {\bf (5.8) Continuité sous le signe somme.} Sous les hypothèses $5.7$ {\rm(a,$\;$b)}, si $t_0\in T$ et si $T\ni t\mapsto f(x,t)$ est continue en $t_0$ pour presque tout $x\in P$, on a $$ \lim_{T\ni t\to t_0}\int_P f(x,t)\,dx =\int_P f(x,t_0)\,dx, $$ c'est-à-dire que l'application $F(t)=\int_P f(x,t)\,dx$ est continue en $t_0$. } {\it Démonstration de $(5.7)$.} Il suffit de montrer qu'il y a convergence pour toute suite $t_k\in T$ tendant vers $t_0$. Or par hypothèse, nous avons $\varphi_k(x)=f(x,t_k)\to\varphi(x)$ sauf sur un ensemble négligeable $E\subset P$, tandis que $g(x)\le\varphi_k(x)\le h(x)$ en dehors de~$N(t_k)$. Il~suffit d'appliquer le théorème de convergence encadrée, les hypothèses étant satis\-faites en dehors de l'ensemble négligeable $E'=E\cup \bigcup N(t_k)$.\qed \medskip {\bf (5.9) Dérivation sous le signe somme.} {\it Soient $P\subset\bR^n$ un pavé, $T\subset\bR$ un intervalle, $t_0\in T$ un point fixé et $f: P\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction tels que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} pour tout $t\in T$, l'application $P\ni x\mapsto f(x,t)$ est HK-intégrable sur $P\;;$ \item{\rm(b)} pour presque tout $x\in P$, l'application $t\mapsto f(x,t)$ admet une dérivée partielle ${\partial f\over\partial t}(x,t)$ sur $T$, et celle-ci est continue en $t_0\in T\;;$ \item{\rm(c)} il existe un voisinage $V$ de $t_0$ et des fonctions $g,h:P\to\bR$ HK-intégrables telles que $g(x)\le {\partial f\over\partial t}(x,t)\le h(x)$ pour tout $t\in T\cap V$ et presque tout $x\in P$ $($l'ensemble négligeable $N(t)\subset P$ correspondant peut dépendre a priori de $t)$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_P f(x,t)\,dx$ est différentiable au point $t_0$ et on a $$ \boxed{16}{ F'(t_0)=\int_P {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx.} $$ De plus si $t\mapsto {\partial f\over\partial t}(x,t)$ est continue sur $T$ pour presque tout $x\in P$, alors $F$ est de classe $C^1$ sur $T$ et la formule ci-dessus a lieu pour tout $t_0\in T$. } {\it Démonstration.} En appliquant le théorème des accroissements finis à $t\mapsto f(x,t)$, on voit que $$ {F(t)-F(t_0)\over t-t_0}= \int_P {f(x,t)-f(x,t_0)\over t-t_0}\,dx= \int_P {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\,dx $$ pour un certain point $c=c_{t,x}\in{}]t_0,t[$. Soit $V={}]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[$ tel que (c) ait lieu, et soit $(t_k)$ une suite de points de $V$ convergeant vers $t_0$. L'hypothèse (c) est vérifiée pour tout $x\in P\ssm N'$ et $t\in\{t_k\}$, avec $N'=\bigcup N(t_k)$. Soit $E$ un ensemble négligeable en dehors duquel (b) a lieu. Lorsque $x\in P\ssm(E\cup N')$ et $t=t_k$ nous avons $$ g(x)\le {\partial f\over\partial t}(x,c_{t_k,x})\le h(x)\quad\hbox{et}\quad {\partial f\over\partial t}(x,c_{t_k,x})\to {\partial f\over\partial t}(x,t_0). $$ Le résultat découle alors de nouveau du théorème de convergence encadrée.\qed \medskip Pour un paramètre $t=(t_1,\ldots, t_d)\in\bR^d$, nous avons le résultat analogue suivant. \medskip {\bf (5.10) Différentiabilité sous le signe somme.} {\it Soit $P\subset\bR^n$ un pavé et $T\subset\bR^d$ un ouvert. Soit $f: P\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} pour tout $t\in T$, l'application $P\ni x\mapsto f(x,t)$ est HK-intégrable sur $P\;;$ \item{\rm(b)} pour presque tout $x\in P$, l'application $t\mapsto f(x,t)$ admet des dérivées partielles ${\partial f\over\partial t_j}(x,t)$ continues sur $T\;;$ \item{\rm(c)} pour tout point $t_0\in T$, il existe un voisinage $V$ de $t_0$ et des fonctions $g_j,h_j:P\to\bR$ HK-intégrables telles que $g_j(x)\le {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\le h_j(x)$ pour tout $t\in T\cap V$ et presque tout $x\in P$ $($l'ensemble négligeable $N_j(t)\subset P$ correspondant peut dépendre a priori de $t)$.\vskip0pt} Alors l'application $F(t)=\int_P f(x,t)\,dx$ est différentiable sur $T$ et on a $$ \boxed{16}{{\partial F\over\partial t_j}(t)= \int_P {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\,dx.} $$} \medskip \section{6. Lemme de recouvrement de Vitali et différentiabilité pres\-que partout des intégrales indéfinies} \sectionrunning{6. Lemme de recouvrement de Vitali et différentiabilité des intégrales indéfinies} Nous commençons par un lemme de recouvrement très utile, puis nous en donnons quelques applications fondamentales. On définit {\it l'aspect} $\aspect(P)$ d'un pavé $P$ de $\bR^n$ d'intérieur non vide comme étant le rapport entre sa plus grande et sa plus petite arête. \medskip {\bf (6.1) Lemme de recouvrement de Vitali.} {\it Soit $\cV=\{Q_\alpha\}_{\alpha\in A}$ une famille de pavés fermés contenus dans un pavé fermé borné $P$, et soit $E$ une partie de~$P$. On dit que $\cV$ est un recouvrement de Vitali de $E$ si~: {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} L'aspect des pavés $Q_\alpha$ reste encadré par deux constantes positives, c'est-à-dire qu'il existe une constante $C\ge 1$ telle que $\aspect(Q_\alpha)\le C$ pour tout $\alpha$. \item{\rm(b)} pour tout $x\in E$ et tout $\varepsilon>0$, il existe un pavé $Q\in\cV$ tel que $x\in Q$ et $\diam(Q)<\varepsilon$.\vskip0pt} Alors$\;:$ {\parindent=6.5mm \item{\rm(i)} il existe une famille finie ou dénombrable $Q_k$ de pavés deux à deux disjoints de $\cV$ et une partie négligeable $N$ de $P$ telles que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}Q_k\cup N\;;$ \item{\rm(ii)} on~peut de plus choisir $N$ contenu dans une intersection $\bigcap_{s\ge 0}\bigcup_{k\ge s}Q'_k$ avec des pavés fermés $Q'_k\subset P$ tels que $\sum_{k\ge 0}m(Q'_k)<+\infty$.\vskip0pt} } {\it Démonstration.} On définit par récurrence $Q_0$, $Q_1$, $\ldots$, $Q_k$ comme suit. On pose $$ F_0=\emptyset,\qquad F_k=Q_0\cup Q_1\cup\ldots\cup Q_{k-1}~~\hbox{si $k\ge 1$}, $$ et on considère $\cV_{E,k}\subset\cV$ la sous-famille des pavés $Q\in\cV$ tels que $Q$ contienne un point $x\in E$ et $Q\subset P\ssm F_k$. S'il existe un entier $k$ tel que $E\ssm F_k=\emptyset$ pour un certain~$k$, alors la famille finie $(Q_0,\ldots,Q_{k-1})$ répond à la question et le lemme est démontré avec $N=\emptyset$. Sinon $E\ssm F_k\ne\emptyset$ pour tout $k\ge 0$ et alors la famille $\cV_{E,k}$ est non vide~: en effet, $x\in E\ssm F_k$ étant fixé, il existe des pavés $Q\in\cV$ contenant $x$ vérifiant $\diam(Q)<\varepsilon=d(x,F_k)$, de sorte qu'on a nécessairement $Q\subset P\ssm F_k$. Soit $\mu_k$ le sup de la mesure $m(Q)$ de tous les pavés $Q\in\cV_{E,k}\;$; on choisit $Q_k\in\cV_{E,k}$ en sorte que $m(Q_k)\ge{1\over 2}\mu_k$. Les pavés $Q_k$ sont bien disjoints par construction, et on~a par conséquent $\sum m(Q_k)\le m(P)<+\infty$, donc $\sum\mu_k\le 2\sum m(Q_k)<+\infty$. Nous allons montrer que $N=E\ssm\bigcup_{k\ge 0}Q_k$ est négligeable. Soit $x\in N$. Pour tout entier~$s$, on a $x\in E\ssm F_s$, et il existe un pavé $Q\in \cV$ de diamètre $\diam(Q)0$ il existe une réunion de cubes ouverts $U=\bigcup_{k\ge 0}Q_k$ contenant $E$ telle que $$ m(U)\le \sum_{k\ge 0}m(Q_k) \le m(E)+\varepsilon. $$} {\it Démonstration.} (1) Commençons par le cas où $E$ est borné, $E\subset P$ pavé fermé borné. Soit $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à $f=\chi_E$ sur $P$. On considère la famille de pavés fermés $$ \cV_\delta=\big\{Q~\hbox{cube fermé}\subset P\,;\; \exists x\in E,\;Q\ni x\;\hbox{et}\;\diam(Q)\le\delta(x)\big\}. $$ C'est un recouvrement de Vitali de $E$. Il existe par conséquent des cubes fermés disjoints $Q_k\in\cV_\delta$ et un ensemble négligeable $N$ tels que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}Q_k\cup N$, avec de plus $N\subset\bigcup_{k\ge 0}Q'_k$, $\sum_{k\ge 0}m(Q'_k)\le\varepsilon$. Soit $x_k\in E$ tel que $x_k\in Q_k$ et $\diam(Q_k)\le\delta(x_k)$. Grâce au lemme~1.3, la famille finie d'intervalles pointés disjoints $(Q_k,x_k)_{0\le k\le s}$ peut être complétée en une subdivision $\delta$-fine $D$ de~$P$. Comme $x_k\in E$, on en déduit $$ \sum_{k=0}^s m(Q_k)= \sum_{k=0}^s\chi_E(x_k)\vol(Q_k)\le S_D(\chi_E)\le \int_P\chi_E(x)\,dx+\varepsilon=m(E)+\varepsilon. $$ Quand $s\to+\infty$, il vient à la limite $\sum_{k\ge 0} m(Q_k)\le m(E)+\varepsilon$, donc quitte à remplacer $Q_k$ et $Q'_k$ par des cubes ouverts $\tilde Q_k\supset Q_k$, $\;\tilde Q'_k\supset Q'_k$ tels que \hbox{$m(\tilde Q_k)\le m(Q_k)+2^{-k-1}\varepsilon$}, \hbox{$m(\tilde Q'_k)\le m(Q'_k)+2^{-k-1}\varepsilon$}, il vient $$ E\subset \bigcup_{k\ge 0}\tilde Q_k\cup\tilde Q'_k,\qquad \sum_{k\ge 0}m(\tilde Q_k)+m(\tilde Q_k)\le m(E)+4\varepsilon. $$ Quitte à remplacer $\varepsilon$ par $\varepsilon/4$, le résultat est démontré dans le cas où $E$ est borné. \bigskip \vbox{% (2) Dans le cas général $E\subset\bR^n$, on écrit $E=\bigcup_{k\in\bZ^n} E\cap P_k$ où $P_k=k+[0,1[^n$, et on trouve pour chaque $k\in\bZ^n$ un ouvert $U_k$ contenant $E\cap P_k$ et des cubes ouverts $Q_{k,\ell}$ le recouvrant tels que $$ m(U_k)\le \sum_\ell m(Q_{k,\ell}) \le m(E\cap P_k)+2^{-\Sigma(k_i+1)}\varepsilon. $$ Alors $U=\bigcup U_k$ contient $E$ et on a $m(U)\le \sum_{k,\ell}m(Q_{k,\ell)}\le m(E)+\varepsilon$. \qed} \medskip {\bf (6.3) Corollaire.} {\it Soit $E$ une partie de $\bR^n$. Les propriétés suivantes sont équi\-valentes. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $E$ est négligeable. \item{\rm(b)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une suite finie ou dénombrable de cubes $($resp.\ pavés$)$ ouverts $(Q_k)_{k\ge 0}$ tels que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}Q_k$ et $\sum_{k\ge 0}m(Q_k)\le\varepsilon$. \item{\rm(c)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une suite finie ou dénombrable de cubes $($resp.\ pavés$)$ fermés $(Q_k)_{k\ge 0}$ tels que $E\subset\bigcup_{k\ge 0}Q_k$ et $\sum_{k\ge 0}m(Q_k)\le\varepsilon$.\vskip0pt }} \medskip {\it Démonstration.} (a)${}\Rightarrow{}$(b) grâce à 6.2, tandis que (b)${}\Rightarrow{}$(c) est évident, et (c)${}\Rightarrow{}$(a) en prenant une intersection dénombrable avec $\varepsilon=1/s\to 0$, $s\in\bN^*$.\qed \medskip {\bf (6.4) Théorème de Lebesgue-Denjoy.} {\it Soit $f:P\to\bR$ une fonction HK-intégrable sur un pavé $P\subset\bR^n$ et $\cV_{P,C}$ l'ensemble des pavés $Q\subset P$ tels que $\aspect(Q)\le C$. Alors pour presque tout $x\in P$ on a $$ \boxed{16}{ \lim_{\cV_{P,C}\ni Q\ni x,\,\diam(Q)\to 0}{1\over\vol(Q)}\int_Q f(t)\,dt =f(x).}\leqno(*) $$} {\it Démonstration.} Comme nous allons le voir, il s'agit d'une conséquence directe du lemme de Henstock, combiné avec le lemme de recouvrement de Vitali. Soit $E$ l'ensemble des points $x\in P$ pour lesquels la limite $(*)$ n'existe pas, ou bien vaut une certaine valeur $\ell(x)\ne f(x)$. Il s'agit de montrer que $E$ est négligeable. Écrivons $E=\bigcup_{s>0} K_s$, où $K_s$ est l'ensemble des points $x\in P$ tels que pour tout $\eta>0$ il existe $Q\in\cV_{P,C}$ tel que $Q\ni x$, $\diam(Q)\le\eta$ et $$ \bigg|f(x)-{1\over\vol(Q)}\int_Q f(t)\,dt\bigg|\ge{1\over s}. $$ Fixons $\varepsilon>0$ et $\delta$ une jauge $\varepsilon$-adaptée à~$f$. On observe que la famille $\cV_{P,C,s,\delta}$ des pavés pointés $(Q,x)$ vérifiant la minoration précédente et tels que $\diam(Q)\le\delta(x)$ fournit un recouvrement de Vitali de $K_s$. Il existe par conséquent une famille finie ou dénombrable $(Q_k,x_k)$ de pavés de $\cV_{P,C,s,\delta}$ (qui dépend aussi de $\varepsilon$ via $\delta$) et un ensemble négligeable $N_{s,\varepsilon}$ tels que $K_s\subset R_{s,\varepsilon}:=\bigcup_k Q_k\cup N_{s,\varepsilon}$. Le lemme de Henstock 1.1~(b) appliqué à la famille finie de pavés pointés $\{(Q_k,x_k)\}_{0\le k\le m}$ donne $$ \sum_{0\le k\le m}\bigg|f(x_k)-{1\over\vol(Q_k)}\int_{Q_k}f(t)\,dt\bigg| \vol(Q_k)\le 2\varepsilon $$ puisque cette famille est $\delta$-fine par construction. On en déduit $\sum_{0\le k\le m}{1\over s}\vol(Q_k)\le 2\varepsilon$ pour tout $m$, donc $m(R_{s,\varepsilon})=m(\bigcup_{k\ge 0}Q_k)\le 2s\,\varepsilon$. En écrivant \hbox{$K_s\subset\bigcap_{k>0}R_{s,1/k}$} on voit que l'ensemble $K_s$ est négligeable, donc $E=\bigcup_{s>0}K_s$ l'est aussi.\qed \medskip {\bf (6.5) Corollaire.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction HK-intégrable et $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ son intégrale indéfinie. Alors $F$ est presque partout dérivable de dérivée $F'(x)=f(x)$.} \medskip {\it Démonstration.} C'est un corollaire immédiat du théorème précédent en choisissant des pavés $Q$ de la forme $[x,x+h]$ (resp.\ $[x-h,x]$), de sorte que $$ {1\over\vol(Q)}\int_Q f(t)\,dt={F(x+h)-F(x)\over h},\qquad\hbox{resp.}~ {F(x)-F(x-h)\over h}.\eqno\square $$ \bigskip \section{7. Ensembles et fonctions mesurables} Une fonction intégrable peut être extrêmement irrégulière du point de vue de la continuité (par exemple $\chi_\bQ$ est HK-intégrable sur $\bR$, bien qu'elle soit discontinue en tout point). Une fonction intégrable doit tout de même satisfaire certaines propriétés très faibles de régularité locale, pour lesquelles les ensembles négligeables ne jouent aucun rôle. C'est précisément l'objet de la notion de mesurabilité.\medskip {\bf (7.1) Définition.} {\it On dit qu'une partie $E\subset\bR^n$ est mesurable si $E\cap P$ est inté\-grable pour tout pavé fermé borné $P\subset\bR$.} Compte tenu des propriétés des ensemble intégrables (cf.\ (4.1)), on peut bien entendu se limiter à vérifier que l'intersection $E\cap [-k,k]^n$ est intégrable pour tout entier $k$. Le théorème suivant découle immédiatement de (4.1). \medskip {\bf (7.2) Théorème.} {\it Toute réunion dénombrable $\bigcup E_k$, toute intersection dénombrable $\bigcap E_k$ de parties mesurables $E_k$ est mesurable. Le complémentaire $\complement E$ d'une partie mesurable $E$ est mesurable. Tout pavé, toute partie ouverte ou fermée $E\subset \bR^n$ est mesurable.} \medskip La dernière assertion résulte du fait que les pavés sont trivialement mesurables, et du fait qu'une partie ouverte de $\bR^n$ est réunion finie ou dénombrable de pavés ouverts. On peut étendre la mesure de Lebesgue aux parties mesurables en posant $$ m(E)=\lim_{k\to+\infty}m(E\cap[-k,k]^n),\qquad m(E)\in [0,+\infty]. $$ Les parties intégrables sont alors exactement les parties mesurables de mesure\break \hbox{$m(E)<+\infty$}, et la propriété d'additivité de la mesure d'une réunion dénombrable de parties mesu\-rables disjointes est encore valable lorsque les sommations sont prises dans~$[0,+\infty]$. Nous avons la caractérisation suivante assez claire de la mesurabilité. \medskip {\bf (7.3) Caractérisation des ensembles mesurables.} {\it Soit $E$ une partie de $\bR^n$. Les propriétés suivantes sont équivalentes. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $E$ est mesurable. \item{\rm(b)} Pour tout $\varepsilon>0$ il existe une partie fermée $F$ et une partie ouverte $U$ telles que $F\subset E\subset U$ et $m(U\ssm F)\le\varepsilon$. \item{\rm(c)} Il existe $F$ un $F_\sigma$ $(={}$réunion finie ou dénombrable de fermés$)$ et $G$ un $G_\delta$ $(={}$intersection finie ou dénombrable d'ouverts$)$ tels que $F\subset E\subset G$ et $m(G\ssm F)=0$. \item{\rm(d)} $E$ peut s'écrire comme une réunion $E=F\cup N$ d'un $F_\sigma$ et d'une partie négligeable.\vskip0pt} } \medskip {\it Démonstration.} (a)${}\Rightarrow{}$(b). Commençons par le cas où $E$ est borné, $E\subset P$ pavé fermé borné. Alors $E$ et $E'=P\ssm E$ sont des parties intégrables. D'après le théorème (6.2) il existe des ouverts $U$ et $U'$ de $\bR^n$ tels que $E\subset U$, $m(U\ssm E)\le\varepsilon/2$, et $E'\subset U'$, $m(U'\ssm E')\le\varepsilon/2$. On pose $F=P\ssm U'$. Il vient $F\subset P\ssm E'=E\subset U$ et $$ m(U\ssm F)\subset m(U\ssm E)+m(E\ssm F)\le m(U\ssm E)+m(U'\ssm E')\le \varepsilon. $$ Dans le cas général, on pose $E_k=E\cap Q_k$, $Q_k=k+[0,1]^n$, $k\in\bZ^n$, et on trouve des parties fermées $F_k\subset Q_k$ et ouvertes $U_k\subset\bR^n$ telles que $F_k\subset E_k\subset U_k$ et $m(U_k\ssm F_k)\le 2^{-\Sigma(k_i+1)}\varepsilon$. Alors $F=\bigcup F_k$ et $U=\bigcup U_k$ répondent à la question puisque $U\ssm F\subset\bigcup(U_k\ssm F_k)$. (b)${}\Rightarrow{}$(c). Pour tout entier $s>0$, on peut trouver un fermé $F_s$ et un ouvert $U_s$ tels que $F_s\subset E\subset U_s$ et $m(U_s\ssm F_s)<1/s$. Alors $F=\bigcup F_s$ et $G=\bigcup U_s$ répondent à la question, puisque $G\ssm F\subset U_s\ssm F_s$ pour tout~$s$. (c)${}\Rightarrow{}$(d) est évident, il suffit de poser $N=E\ssm F$ qui est contenu dans $G\ssm F$, donc négligeable. (d)${}\Rightarrow{}$(a) résulte de (7.2).\qed \medskip {\bf (7.4) Théorème et définition.} {\it Soit $f:P\to\ovl\bR =\bR\cup\{+\infty,-\infty\}$ une fonction quelconque définie sur un pavé $P\subset\bR^n$. Les propriétés suivantes sont équivalentes. {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} L'image réciproque $f^{-1}([-\infty,c[)$ de tout intervalle ouvert de $\ovl\bR$ est mesurable. \item{\rm(b)} L'image réciproque $f^{-1}([-\infty,c])$ de tout intervalle fermé de $\ovl\bR$ est mesurable. \item{\rm(c)} L'image réciproque $f^{-1}(J)$ de tout intervalle $J\subset\ovl\bR$ est mesurable, respectivement $[({\rm c}')$ $J$ ouvert$\;]$, $[({\rm c}'')$ $J$ fermé$\;]$, \item{\rm(d)} L'image réciproque $f^{-1}(U)$ de tout ouvert $U\subset\ovl\bR$ est mesurable.\vskip0pt} On dit alors que la fonction $f$ est mesurable. } {\it Démonstration.} L'équivalence de (a) et (b) résulte des égalités $$ f^{-1}([-\infty,c])=\bigcap_{n>0} f^{-1}([-\infty,c+1/n[),\quad f^{-1}([-\infty,c[)=\bigcup_{n>0} f^{-1}([-\infty,c-1/n]) $$ si $c\in\bR$. Le passage au cas d'intervalles $J$ quelconques (c), (c$'$), (c$''$) se voit aisément en écrivant par exemple $$ f^{-1}(]c,d[)=f^{-1}([-\infty,d[)\cap\complement f^{-1}([-\infty,c]) $$ pour tous $c0$, $\exists N\ge 0$, $\forall k\ge N$, $f_k(x)0}\bigcup_{N\ge 0}\bigcap_{k\ge N}f_k^{-1}([-\infty,c-1/s[), $$ ce qui montre que $f$ est mesurable. La preuve pour $\liminf f_k$ se déduit du cas de la $\limsup$ en remplaçant $(f_k)$ par $(-f_k)$. Si $(f_k)$ admet une limite presque partout $f$, on conclut en écrivant par exemple $f=\limsup f_k$ presque partout. \qed \medskip {\bf (7.8) Proposition.} {\it Toute fonction $f:P\to\bR$ continue ou HK-intégrable sur un pavé $P\subset\bR^n$ est mesurable.} {\it Démonstration.} Il est clair que les fonctions continues sont mesurables, puisque l'image inverse d'un intervalle ouvert est une partie ouverte (donc mesurable) de $P$. Supposons maintenant $f$ HK-intégrable. Soit $$ F(x_1,\ldots,x_n;y_1,\ldots,y_n)=\int_{x_1}^{y_1}\ldots\int_{x_n}^{y_n} f(t_1,\ldots,t_n)\,dt_1\ldots dt_n $$ l'«\?intégrale indéfinie\?» de $f$ sur~$P\times P$. On sait que $F$ est continue sur $P\times P$ d'après la proposition 1.15, et que (par exemple) $$ f(x)=\lim_{h\to 0}{1\over h^n}F(x_1,\ldots,x_n;x_1+h,\ldots,x_n+h) $$ pour presque tout $x\in P$ (théorème 6.4). En prenant $h=1/k\to 0$, on voit que $f$ est égale presque partout à une limite d'une suite de fonctions continues, par conséquent $f$ est mesurable.\qed \medskip {\bf (7.9) Proposition.} {\it Toute fonction mesurable $f:P\to\ovl\bR$ peut s'écrire $f=\lim f_k$ où les fonctions $f_k$ sont des fonctions intégrables étagées, c'est-à-dire des combinaisons linéaires finies $\sum\limits_{1\le \ell\le N_k} c_{k,\ell}\chi_{E_{k,\ell}}$ de fonctions caractéristiques d'ensembles inté\-gra\-bles.\\ Si de plus $f\ge 0$, on peut choisir la suite $(f_k)$ croissante et telle que $0\le f_k\le f$.} {\it Démonstration.} Supposons d'abord $P$ fermé borné. On prend alors $$ \eqalign{ c_{k,\ell}&=(\ell-1)2^{-k}-k,\quad E_{k,\ell}= f^{-1}([c_{k,\ell},c_{k,\ell}+2^{-k}[),\kern20.8pt \hbox{si $\ell=1,2,\ldots,k\,2^{k+1}$},\cr c_{k,\ell}&=k,\kern70.5pt E_{k,\ell}=f^{-1}([k,+\infty]), \kern53pt\hbox{si $\ell=k\,2^{k+1}+1$},\cr c_{k,\ell}&=-k,\kern62pt E_{k,\ell}=f^{-1}([-\infty,-k[), \kern46pt\hbox{si $\ell=p_n=k\,2^{k+1}+2$},\cr } $$ de sorte que les ensembles $E_{k,\ell}$, $1\le \ell\le N_k$ forment une partition mesurable de $P$. Il~est évident par construction que la fonction $f_n=\sum c_{k,\ell}\chi_{E_{k,\ell}}$ vérifie $|f_k-f|\le 2^{-k}$ là où $|f(x)|\Vert f\Vert_\infty\big]$. On voit alors que toute série normalement convergente dans $L^\infty(P)$ est convergente, de sorte que $L^\infty(P)$ est encore un espace de Banach. \medskip {\bf (7.12) Inégalité de Hölder pour $L^1$ et $L^\infty\;$:} pour tout couple de fonctions $f\in L^1(P)$ et $g\in L^\infty(P)$, on a $$ \Big|\int_Pf(x)g(x)\,dx\Big|\le\Vert f\Vert_1\Vert g\Vert_\infty. $$ En effet, ceci résulte du fait que $|f(x)g(x)|\le \Vert g\Vert_\infty |f(x)|$ presque partout sur~$P$.\qed \medskip Le résultat suivant montre que les fonctions intégrables au sens de Henstock-Kurzweil doivent tout de même être absolument intégrables sur des ensembles assez gros, bien qu'il puisse subsister des endroits où on a affaire à une intégrale oscillante non absolument convergente. La démonstration exploite la mesurabilité. \medskip {\bf (7.13) Théorème.} {\it Soit $P$ un pavé fermé borné et $f:P\to\bR$ une fonction intégrable au sens de Henstock-Kurzweil sur~$P$. Alors {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} Il existe une suite croissante de parties fermées $K_s\subset P$ telle que $\bigcup K_s=P$ et $$ \int_{K_s}|f(x)|\,dx=\int_P\chi_{K_s}(x)\,|f(x)|\,dx<+\infty. $$ En particulier, la mesure $m(P\ssm K_s)$ peut être prise arbitrairement petite. \item{\rm(b)} L'ensemble $U\subset P$ des points $x_0$ pour lesquels il existe un pavé ouvert $Q$ de centre $x_0$ sur lequel $\int_Q|f(x)|\,dx<+\infty$ est un ouvert dense dans $P$.\medskip}} {\it Démonstration.} (a) Fixons $\varepsilon_0>0$ et une jauge $\delta_0$ $\varepsilon_0$-adaptée à~$f$. On pose $$ E_s=\big\{x\in P\,;\;|f(x)|\le s~\hbox{et}~\delta_0(x)\ge 1/s\big\}\quad \hbox{et}\quad K_s=\ovl E_s,\quad s\in\bN^*. $$ Il est clair que $E_s\subset K_s$ sont des suites croissantes d'ensembles et que $\bigcup E_s=P$ (du fait que $f$ est partout finie et $\delta_0$ partout${}>0$); on a donc aussi $\bigcup K_s=P$. D'après le lemme de Henstock 1.1~(b), nous obtenons $$ \sum_{0\le j0$ arbitrairement petit. La fonction $g(x)=\chi_{K_s}(x)\min(|f(x)|,A)$ est mesurable bornée, donc HK-intégrable, ce qui implique $$ \leqalignno{ \int_P\chi_{K_s}(x)\min(|f(x)|,A)\,dx&=\int_P g(x)\,dx =\limsup_{D,\,\HK}S_D(g)\cr &=\inf_{\delta}\sup_{D\;\delta\hbox{\sevenrm -fine}} \sum_{0\le j0$ assez petit. Pour $j\in J$, on a par définition $x_j\in K_s=\ovl{E_s}$, donc on peut trouver un point $x'_j\in E_s$ tel que $d(x_j,x'_j)\le\eta$. On définit d'autre part $$ Q'_j=\prod_{1\le k\le n}[a'_{j,k},b'_{j,k}] $$ avec $$ a'_{j,k}=\cases{ x'_{j,k}&si $x_{j,k}=a_{j,k}$,\cr a_{j,k}+\eta&sinon,\cr}\qquad b'_{j,k}=\cases{ x'_{j,k}&si $x_{j,k}=b_{j,k}$,\cr b_{j,k}-\eta&sinon,\cr} $$ et on suppose de plus qu'on a pris $\eta$ plus petit que la moitié ${1\over 2}\min(x_{j,k}-a_{j,k},b_{j,k}-x_{j,k})$ du minimum des différences non nulles $x_{j,k}-a_{j,k}$ et $b_{j,k}-x_{j,k}$, et aussi plus petit que la moitié des distances des cubes $Q_j$, $Q_\ell$ non adjacents. Dans ces conditions, il est clair que $x'_j\in Q'_j$ et que les pavés $Q'_j$ correspondant aux indices $j\in J_\alpha$ sont d'intérieurs disjoints pour chaque $\alpha\in\{-1,0,+1\}^n$ fixé$\,$; en effet, il ne pourrait y avoir une intersection d'intérieur non vide que pour deux indices distincts $j,\ell\in J_\alpha$ tels que $Q_j$ et $Q_\ell$ étaient adjacents relativement à une face $x_k={}$Cte, pour laquelle on a par exemple $a'_{j,k}=x'_{j,k}$ et $b'_{\ell,k}=x'_{\ell,k}$ avec $x_{j,k}=a_{j,k}=x_{\ell,k}=b_{\ell,k}$, mais ceci est exclu puisqu'alors $-1=\alpha_{j,k}\ne\alpha_{\ell,k}=+1$. D'autre part, pour $\eta$ assez petit, le théorème 1.3~(b) implique $$ \bigg|\int_{Q'_j}f(x)\,dx-\int_{Q_j}f(x)\,dx\bigg|\le \varepsilon/N, \leqno(7.16) $$ et comme $\diam Q_j\le \delta_\varepsilon(x_j)<1/s$, on pourra aussi obtenir que $\diam Q'_j<1/s\le\delta_0(x'_j)$ du fait que $x'_j\in E_s$. Ceci montre que $\{(Q'_j,x'_j)\}_{j\in J_\alpha}$ est une subdivision partielle \hbox{$\delta_0$-fine} de~$P$. D'après (7.14) on en déduit $$ \sum_{j\in J_\alpha} \bigg|\int_{Q'_j}f(x)\,dx\bigg| \le \sum_{j\in J_\alpha} |f(x'_j)|\vol(Q'_j)+2\varepsilon_0 \le s\vol(P)+2\varepsilon_0, $$ puisque $x'_j\in E_s$ implique $|f(x'_j)|\le s$. En prenant la somme sur $\alpha\in\{-1,0,+1\}^n$, il vient d'après (7.16) $$ \sum_{j\in J} \bigg|\int_{Q_j}f(x)\,dx\bigg|\le 3^n\big(s\vol(P)+2\varepsilon_0\big)+N\varepsilon/N, $$ et en combinant ceci avec (7.15) après être passé au sup sur toutes les subdivisions $D$ $\delta_\varepsilon$-fines on trouve $$ \int_P\chi_{K_s}(x)\min(|f(x)|,A)\,dx\le 3^n\big(s\vol(P)+2\varepsilon_0\big)+3\varepsilon. $$ On ternine en appliquant le théorème de convergence monotone avec $A\to+\infty$. Comme $\varepsilon$ peut être pris arbitrairement petit ceci donne $$ \int_P\chi_{K_s}(x)|f(x)|\,dx\le 3^n\big(s\vol(P)+2\varepsilon_0\big)<+\infty. $$ Comme $\bigcup K_s=P$, on voit de plus que $\lim m(P\ssm K_s)=0$. (b) Il est clair par définition que $U$ est ouvert. Pour tout pavé fermé borné $P'\subset P$ d'intérieur non vide, le théorème de Baire appliqué à $P'=\bigcup P'\cap K_s$ montre que l'une des parties $P'\cap K_s$ est d'intérieur non vide dans $P'$, donc $P'\cap U\ne \emptyset$. Ceci entraîne que $U$ est un ouvert dense dans~$P$.\qed \medskip On va voir, déjà dans le cas des fonctions d'une seule variable, que l'ouvert $U$ du théorème~7.13~(b) peut être de mesure arbitrairement petite dans $P$. L'exemple suivant est dû à Jitan Lu et Peng Yee Lee [LL]. \medskip {\bf (7.17) Exemple.} Soit $f_{a,b}:\bR\to\bR$ la fonction telle que $$ \cases{ f_{a,b}(x)=0 &si $x\in\bR\ssm{}]a,b[$,\cr f_{a,b}(x)=\displaystyle(x-a)^2(x-b)^2\sin{1\over (x-a)^2(x-b)^2} &si $x\in{}]a,b[$.\cr} $$ Il est facile de constater que $f_{a,b}$ est partout dérivable sur $\bR$, mais que $f'_{a,b}$ n'est pas absolument intégrable au voisinage des points $a$ ou $b$~: le comportement est le même que celui de la fonction $x\mapsto x^2\sin(1/x^2)$ en $0$, dont la dérivée $2x\sin(1/x^2)-(2/x)\cos(1/x^2)$ n'est pas absolument intégrable. On considère maintenant un ensemble de Cantor $K\subset [0,1]$ de mesure $\prod_{k\ge 1} (1-\varepsilon_k)$ en pratiquant des divisions itératives de $[0,1]$ en trois intervalles de proportions respectives $(1-\varepsilon_k)/2$, $\varepsilon_k$, $(1-\varepsilon_k)/2$ et en omettant chaque fois l'intervalle central. On suppose ici $\sum\varepsilon_k\le \varepsilon$, de sorte que $m(K)\ge 1-\varepsilon$. Le complémentaire $[0,1]\ssm K$ est formé d'une réunion dénombrable d'intervalles ouverts $]a_j,b_j[$. On pose $f(x)=0$ sur $K$ et $f(x)=f_{a_j,b_j}(x)$ sur $]a_j,b_j[$. Il est facile de voir que $f$ est partout dérivable sur $[0,1]$ avec une dérivée nulle sur~$K$. En effet, la dérivabilité est évidente sur chaque intervalle $]a_j,b_j[$. Montrons que $f'(x_0)=0$ en tout point $x_0\in K$. Si $x\in{}]a_j,b_j[$ avec par exemple $a_j\ge x_0$, on a $$|f(x)|\le (b_j-a_j)^2(x-a_j)^2\le (x-a_j)^2\qquad\hbox{tandis que $x-x_0\ge x-a_j$}, $$ d'où $|f(x)/(x-x_0)|\le |x-a_j|\le|x-x_0|$. Le raisonnement est le même si $x\in{}]a_j,b_j[$ avec $b_j\le x_0$, et si $x\in K$ on a $f(x)=0$ par définition. En particulier $f'$ est intégrable au sens de Henstock sur $[0,1]$, mais ne peut être intégrable au sens de Lebesgue au voisinage d'aucun point de $K$ car les points $a_j,b_j$ s'y accumulent. \bigskip \section{8. Densité des fonctions continues à support compact} Si $A\subset\bR^n$ est une partie mesurable quelconque, on définit l'intégrale $\int_A f(x)\,dx$ d'une fonction $f:A\subset\bR$ en considérant tout simplement l'intégrale $\smash{\int_{\bR^n}\tilde f(x)\,dx}$ du prolongement $\tilde f$ de $f$ à $\bR^n$ tel que $\tilde f(x)=0$ sur $\bR^n\ssm A$. Ceci permet de parler de l'intégrabilité ou de la mesurabilité de $f\,$; on obtient ainsi un espace de Banach $L^1(A)$ en adaptant les résultats des sections 4 et 5 au cas des fonctions sur le pavé infini~$P=\bR^n$, nulles sur~$\bR^n\ssm A$. Nous démontrons maintenant un résultat très important, à savoir la densité des fonctions continues à support compact dans l'espace de Banach $L^1(\Omega)$ pour tout ouvert $\Omega$ de~$\bR^n$.% \note{20}{Incidemment ce résultat (et plus spécifiquement 8.1 (d) ci-après) démontre que les fonctions absolument intégrables au sens de Henstock-Kurzweil sont exactement les fonctions intégrables au sens de Lebesgue pour la mesure de Lebesgue usuelle. Jusqu'à ce point, il était évident que l'espace $\smash{L^1(P)}$ de Henstock-Kurzweil contenait celui de Lebesgue, mais il n'était pas clair qu'il ne soit pas plus gros. Les deux théories se rejoignent donc dans le cas des fonctions absolument intégrables.} \medskip {\bf (8.1) Densité des fonctions continues à support compact.} {\it {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} Soit $E\subset\bR^n$ un ensemble mesurable. Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une application continue $g:\bR^n\to [0,1]$ telle que $g(x)=\chi_E(x)$ hors d'un ensemble ouvert $V$ de mesure $m(V)\le\varepsilon$. \item{\rm(b)} Soit $f:\Omega\to\ovl\bR$ une fonction mesurable sur un ouvert $\Omega\subset\bR^n$. Il existe une suite $g_k:P\to\bR$ d'applications continues à support compact dans $\Omega$ telles que $g_k\to f$ presque partout. \item{\rm(c)} Soit $f\in L^1(\Omega)$. Il existe une suite $g_k:\Omega\to\bR$ d'applications continues à support compact dans $\Omega$ telles que $g_k\to f$ presque partout et $\Vert g_k-f\Vert_1\to 0$. \item{\rm(d)} L'espace $\cC_c(\Omega)$ des fonctions continues à support compact dans $\Omega$ est dense dans $L^1(\Omega)$, et $L^1(\Omega)$ s'identifie au complété de $\cC_c(\Omega)$ pour la norme~$\Vert~~\Vert_1$.\vskip0pt }} {\it Démonstration.} (a) Grâce à 7.4, choisissons $F$ un ensemble fermé et $U$ un ensemble ouvert tels que $F\subset E\subset U$ et $m(U\ssm F)\le\varepsilon$. On pose $$ g(x)={d(x,\complement U)\over d(x,F)+d(x,\complement U)}. $$ Il est clair que $0\le g(x)\le 1$ et que $g$ est continue (le dénominateur ne s'annule pas puisque $F$ et $\complement U$ sont des fermés disjoints). De plus $g(x)=1$ si $x\in F$ et $g(x)=0$ si $x\in\complement U$, donc $g$ répond à la question en posant $V=U\ssm F$. (b) et (c). On se ramène d'abord au cas où $f\ge 0\;$: si le résultat est démontré dans ce cas, on écrit $f=f_+-f_-$ et $$ f_+=\lim g'_k,\qquad f_-=\lim g''_k,\qquad f=\lim g'_k-g''_k\qquad\hbox{presque partout} $$ avec $g'_k$ et $g''_k$ continues à support compact. On supposera donc dans la suite que $f\ge 0$. Dans ce cas, la proposition 7.9 fournit une suite croissante de fonctions étagées $f_k=\sum_{1\le \ell\le N_k}c_{k,\ell}\chi_{E_{k,\ell}}$ telles que $f=\lim f_k$ en tout point. Quitte à perdre éventuellement la convergence sur le bord $\partial \Omega$ (négligeable), on peut supposer que $E_{k,\ell}\subset \Omega_k$ pour une certaine suite strictement croissante d'ouverts relativement compacts $\Omega_k\subset \Omega$ tels que $\Omega=\bigcup \Omega_k$ (sinon on remplace tout simplement $E_{k,\ell}$ par $E_{k,\ell}\cap \Omega_k$). D'après (a) [avec $U\subset\Omega_k$, on peut trouver une fonction continue $g_{k,\ell}:\Omega\to\bR$ telle que $g_{k,\ell}= \chi_{E_{k,\ell}}$ hors d'un ensemble ouvert $V_{k,\ell}$ de mesure${}\le 2^{-k}/N_k$ et à support dans $\ovl\Omega_k$. Par suite $g_k=\sum_{1\le\ell\le N_k}c_{k,\ell}g_{k,\ell}$ est continue à support compact dans $\ovl\Omega_k\subset \Omega$ et coïncide avec $f_k$ hors de $V_k=\bigcup_\ell V_{k,\ell}$, $m(V_k)\le 2^{-k}$. En dehors de $W_s=\bigcup_{k>s}V_k$ qui est de mesure${}\le 2^{-s}$, il est clair que $g_k\to f$ puisque $g_k=f_k$ pour $k>s$, et par conséquent $g_k\to f$ hors de l'ensemble négligeable $N=\bigcap_s W_s$. Ceci démontre (b). Si en outre $f$ est intégrable, alors le théorème de convergence dominée appliqué à la suite décroissante $f-f_k\to 0$ dominée par $f$ montre que $\lim\Vert f_k-f\Vert_1=0$. En prenant de plus $m(V_{k,\ell})\le 2^{-k}/(1+N_k|c_{k,\ell}|)$, il vient $\Vert g_{k,\ell}-\chi_{E_{k,\ell}}\Vert_1\le 2^{-k}/(1+N_k|c_{k,\ell}|)$, donc $\Vert g_k-f_k\Vert_1\le 2^{-k}$ et (c) s'ensuit. (d) résulte de (c), puisque nous savons que $L^1(\Omega)$ est complet, et de plus $\cC_c(\Omega)$ s'identifie à un sous-espace de $L^1(\Omega)$ d'après 2.8~(a) (ou, du moins, son analogue en plusieurs variables, qui se démontre de la même manière).\qed \medskip Une première conséquence du théorème de densité des fonctions continues est la carac\-térisation suivante des fonctions mesurables. \medskip {\bf (8.2) Caractérisation des fonctions mesurables (théorème de Lusin).}\\ {\it Soit $A\subset\bR^n$ une partie mesurable et $f:A\to\ovl\bR$ une fonction quelconque. Il y a équivalence entre$\;:$ {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est mesurable. \item{\rm(b)} Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une partie ouverte $V\subset \bR^n$ de mesure $m(V)\le\varepsilon$ telle que la restriction $f_{|A\ssm V}$ soit continue.\vskip0pt } } {\it Démonstration.} Commençons par le sens «\?facile\?». (b)${}\Rightarrow{}$(a). Pour $k$ entier${}>0$, fixons un ouvert $V_k$ tel que $m(V_k)\le 2^{-k}$ et $f_{|A\ssm V_k}$ continue. Quitte à remplacer $V_k$ par $V'_k=\bigcup_{\ell>k}V_\ell$, on peut supposer que la suite $V_k$ est décroissante. Posons alors $f_k(x)=0$ si $x\in V_k$ et $f_k(x)=f(x)$ si $x\in A\ssm V_k$. Soit $U$ un ouvert de $\ovl\bR$. Alors $$ \eqalign{ f_k^{-1}(U)&=f^{-1}(U)\cap(A\ssm V_k)\kern50pt\hbox{si $0\notin U$},\cr f_k^{-1}(U)&=V_k\cup\big(f^{-1}(U)\cap(A\ssm V_k)\big)\qquad\hbox{si $0\in U$}. \cr} $$ Dans les deux cas $f_k^{-1}(U)$ est mesurable puisque $f^{-1}(U)\cap(A\ssm V_k)$ est une partie ouverte de $A\ssm V_k$ (et donc l'intersection d'un ouvert avec la partie mesurable $A\ssm V_k$). Ceci prouve que $f_k$ est mesurable. Comme $f=\lim f_k$ hors de la partie négligeable $N=\bigcap V_k$, on voit que $f$ est elle aussi mesurable. (a)${}\Rightarrow{}$(b). Quitte à étendre $f$ par $0$ sur $\bR^n\ssm A$, on peut supposer $A=\bR^n$. D'après 8.1~(b), il existe une suite d'applications continues \hbox{$g_k:\bR^n\to\bR$} telles que $g_k\to f$ presque partout. Comme $\ovl\bR$ est homéomorphe à $[-1,1]$ par l'appli\-cation $x\mapsto x/(1+|x|)$, on peut tout aussi bien supposer que $f$ et les $g_k$ sont à valeurs dans $[-1,1]$. Soit $N\subset \bR^n$ un ensemble négligeable tel que $g_k(x)$ converge vers $f(x)$ pour tout $x\in \bR^n\ssm N$. Soit $(P_s)_{s\ge 0}$ une suite croissante de pavés fermés bornés tels que $\bigcup P_s=\bR^n$. Pour chaque paire d'entiers $r$, $s$, considérons $$ U_{r,s}=\big\{x\in P_s\,;\;\exists k,\ell\ge r,\;|g_k(x)-g_\ell(x)|>2^{-s} \big\}. $$ C'est une partie ouverte de $P_s$, de plus la suite $(U_{r,s})_{r\ge 0}$ est décroissante et\break $\bigcap_{r\ge 0}U_{r,s}\subset N$ d'après le critère de Cauchy. Comme $N$ est négligeable, nous avons $\lim_{r\to+\infty}m(U_{r,s})\le m(N)=0$, donc il existe un indice $r(s)$ tel que $m(U_{r(s),s})\le 2^{-s}$. Il n'est pas restrictif de supposer que l'on choisit $r(s+1)>r(s)$ pour tout~$s$. Soit $V_q$ une partie ouverte de $P$ contenant $N\cup\bigcup_{s\ge q}U_{r(s),s}$, telle que $m(V_q)\le 2^{2-q}$. Pour $k\ge s\ge q$ et $x\in P_q\ssm V_q\subset P_s\ssm U_{r(s),s}$, nous avons $|g_{r(s)}(x)-g_{r(s+1)}(x)|\le 2^{-s}$. Ceci entraîne que $f$ est la limite uniforme des $g_{r(s)}$ sur toute partie compacte de $\bR^n\ssm V_q$, donc $f_{|\bR^n\ssm V_q}$ est continue.\qed \medskip Nous utilisons maintenant la densité des fonctions continues pour étendre les théorèmes fondamentaux déjà démontrés dans ce cadre. Pour cela, on utilise le fait que toute fonction $f\in L^1(\Omega)$ absolument intégrable sur un ouvert $\Omega\subset\bR^n$ est limite en norme $L^1$ d'une suite de fonctions continues à support compact $(g_k)$ telles que (disons) \hbox{$\Vert g_k-g_{k-1}\Vert_1\le 2^{-k}$}. On peut donc représenter $f$ comme somme d'une série $L^1$ con\-vergente $f=\sum u_k$ de fonctions continues à support compact, avec $u_0=g_0$ et\break $u_k=g_k-g_{k-1}$. Enfin, on peut écrire $$ f=f'-f''~~\hbox{avec}~~f'=\sum_k u_k^+,~~f''=\sum_k u_k^-,~~ \Vert u_k^+\Vert_1+\Vert u_k^-\Vert_1\le 2^{-k}~~\hbox{si $k\ge 1$}, \leqno(8.3) $$ de sorte que $f$ apparaît comme une différence de limites croissantes $L^1$ convergentes de fonctions positives continues à support compact. L'égalité (8.3) est vraie seulement presque partout. \medskip {\bf (8.4) Formule du changement de variable dans $\bR^n$.} {\it Soit $\varphi:\Omega\to\Omega'$ une bijection de classe $C^1$ entre deux ouverts de $\bR^n$, telle que le déterminant jacobien $$ \Jac\varphi(x)=\det\left({\partial\varphi_i\over\partial x_j} \right)_{1\le i,j\le n} $$ soit partout non nul. Alors pour toute fonction $f:\varphi(\Omega)=\Omega'\to\bR$ dans $L^1(\Omega')$ on a $$ \boxed{16}{ \int_{\varphi(\Omega)}f(y)\,dy=\int_{\Omega}f(\varphi(x))\,|\Jac\varphi(x)|\,dx } $$ et l'intégrale du membre de droite est elle aussi absolument convergente sur $\Omega$.} {\it Démonstration.} La première chose à voir ($f$ étant peut-être seulement définie presque partout) est que l'image inverse $\varphi^{-1}(N)$ d'un ensemble négligeable dans $\Omega'$ est négli\-geable dans $\Omega$. Or ceci résulte du lemme suivant et du fait que le difféomorphisme $\varphi$ est une application localement lipschitzienne ainsi que son inverse $\varphi^{-1}$. \medskip {\bf (8.5) Lemme.} {\it Soit $\psi:\Omega'\to\Omega$ une application localement lipschitzienne dans $\Omega'$. Alors l'image $\psi(N)$ de tout ensemble négligeable $N$ de $\Omega'$ est négligeable dans $\Omega$.} En effet, quitte à écrire $\psi(N)=\bigcup\psi(N\cap K_j)$ pour une certaine suite croissante de parties compactes $K_j\subset\Omega'$, on peut supposer $N\subset K$ compact${}\subset\Omega'$ et $\psi$ lipschitzienne de rapport $k$. Pour tout $\varepsilon$, on peut alors recouvrir $N$ par une famille dénombrable de cubes $Q_\alpha$ de diamètre $d_\alpha$, tels que $\sum\vol(Q_\alpha)=\sum d_\alpha^n\le\varepsilon$. Comme $\psi(Q_\alpha)$ est contenu dans un cube $Q'_\alpha$ de diamètre $d'_\alpha\le kd_\alpha$, on en déduit que $m(\psi(N))\le k^n\varepsilon$ pour tout~$\varepsilon>0$, ce qui montre que $\psi(N)$ est négligeable.\qed Pour terminer la démonstration, on utilise maintenant (8.3) et le fait que la formule est vraie pour $u_k^+$ et $u_k^-$ d'après le théorème 3.6. On en déduit que la formule est vraie pour $f'$ et $f''$ par le théorème de convergence monotone, puis qu'elle est vraie pour $f$ par différence.\note{21}{On observera que si les résultats démontrés au chapitre II avaient été traités {\it après la preuve des théorèmes fondamentaux de convergence}, on aurait pu en simplifier notablement la démons\-tration~: en effet, comme on vient de le voir, le résultat local valable a priori pour les fonctions continues à support compact dans l'image d'un petit pavé $\smash{{\textfont1=\eightplrm\Omega}'_P= \varphi(P^\circ)}$ s'étend aux fonctions $\smash{f\in L^1({\eightplrm\Omega}'_P)}$ quelconques, et de là à un ouvert quelconque en prenant une partition dénombrable de $\eightplrm\Omega$ par des~pavés. L'argument de partition continue de l'unité devient inutile, de même que le préambule destiné à introduire ce qu'est l'intégrale sur un ouvert -- sachant que la fonction caractéristique d'un ouvert est une fonction mesurable.}\qed \medskip \vbox{% {\bf (8.6) Théorème de Fubini.} {\it Soient $A\subset\bR^n$ et $B\subset\bR^m$ des parties mesurables et $f:A\times B\to \bR$ une fonction absolument intégrable. Alors, en notant $$ (x,y)=(x_1,\ldots,x_n\,;\,y_1,\ldots,y_m)\in\bR^n\times\bR^m $$ les variables dans $A\times B$, on a $$ \boxed{16}{ \int_{A\times B}f(x,y)\,dx\,dy =\int_A\Big(\int_B f(x,y)\,dy\Big)dx.} $$ Ceci signifie implicitement~: {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} que pour presque tout $x\in A$, la fonction $y\mapsto f(x,y)$ est dans $L^1(B)$. \item{\rm(b)} que la fonction presque partout définie $x\mapsto \int_{y\in B}f(x,y)\,dy$ est dans $L^1(A)$. \vskip0pt} $[$et on peut bien entendu échanger les rôles de $A$ et $B$ dans ce qui précède$\,]$. }} \medskip {\it Démonstration.} Quitte à étendre $f$ par $0$ hors de $A\times B$, on peut supposer que $A=\bR^n$ et $B=\bR^m$. (1) On commence par démontrer le résultat lorsque $f=\lim g_k$ est la limite d'une suite croissante de fonctions continues $g_k\ge 0$ à support compact dans $\bR^n\times\bR^m$. Comme le résultat est vrai pour les $g_k$ d'après le théorème 1.12, les fonctions $$ G_k(x)=\int_{y\in\bR^m}g_k(x,y)\,dy $$ fournissent une suite croissante de fonctions continues à support compact dans $\bR^n$ telles que $$ \int_{\bR^n}G_k(x)\,dx= \int_{\bR^n\times\bR^m}g_k(x,y)\,dx\,dy\le \int_{\bR^n\times\bR^m}f(x,y)\,dx\,dy<+\infty. $$ D'après le théorème de convergence monotone 4.5, on voit que $$ F(x):=\lim_{k\to +\infty}G_k(x)=\lim_{k\to +\infty} \int_{\bR^m}g_k(x,y)\,dy=\int_{\bR^m}f(x,y)\,dy $$ est finie presque partout, puisque $$ \eqalign{ \int_{\bR^n} F(x)\,dx=\lim_{k\to +\infty}\int_{\bR^n}G_k(x)\,dx &=\lim_{k\to +\infty}\int_{\bR^n\times\bR^m}g_k(x,y)\,dx\,dy\cr &=\int_{\bR^n\times\bR^m}f(x,y)\,dx\,dy<+\infty.\cr} $$ Ceci démontre à la fois l'égalité cherchée et les observations complémentaires (a) et~(b). (2) Il résulte de (1) que la formule est vraie si $f=\chi_U$ est la fonction caractéristique d'un ouvert intégrable, puisqu'une telle fonction est la limite d'une suite croissante de fonctions continues à support compact dans $U$. Plus généralement, la formule est vraie si $f=\chi_A$ où $A=\bigcap U_k$ est l'intersection d'une suite décroissante d'ouverts intégrables (c'est-à-dire un $G_\delta$ intégrable)~: il suffit pour cela d'appliquer le théorème de convergence monotone à la suite décroissante $\chi_{U_k}$. (3) Si $f=\chi_E$ est la fonctions caractéristique d'un ensemble négligeable, les tranches $E\cap(\{x\}\times\bR^m)$ sont négligeables pour presque $x\in\bR$ et la formule est vraie (avec des intégrales presque toutes égales à $0$). Pour le voir, on utilise (2) et 7.3 (a), qui implique l'existence d'un $G_\delta$ négligeable $G$ tel que $E\subset G$. (4) Comme conséquence de (3), le fait que $f$ soit modifiée sur un ensemble négligeable de $\bR^n\times\bR^m$ ne change rien, puisque les intégrales $\int_{\bR^m}f(x,y)\,dy$ ne sont alors modifiées que sur une partie négligable de valeurs de $x\in\bR^n$. On peut donc supposer $f$ seulement définie presque partout dans $\bR^n\times\bR^m$. Cette dernière observation, combinée à (8.3) et à la partie (1) conclut la démonstration.\qed \medskip {\bf (8.7) Théorème de Tonelli.} {\it Soient $A\subset\bR^n$ et $B\subset\bR^m$ des parties mesurables et $f:A\times B\to \bR$ une fonction mesurable. On suppose que {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} pour presque tout $x\in A$, la fonction $y\mapsto |f(x,y)|$ est intégrable sur $B\;;$ \item{\rm(b)} l'intégrale itérée $\int_A\big(\int_B|f(x,y)|\,dy\big)dx$ est convergente. \vskip0pt} Alors $f$ est dans $L^1(A\times B)$ et on a $$ \boxed{16}{ \int_{A\times B}f(x,y)\,dx\,dy =\int_A\Big(\int_B f(x,y)\,dy\Big)dx.} $$} {\it Démonstration.} Quitte à écrire $f=f_+-f_-$ où $f_+=\max(f,0)$, $f_-=\max(-f,0)$, on voit que $f_+$ et $f_-$ sont mesurables d'après la proposition 7.5 et on se ramène immédiatement au cas où $f\ge 0$. On écrit maintenant $f=\lim f_k$ comme limite croissante des fonctions $f_k\ge 0$ telles que $$ f_k(x,y)=\min\big(f(x,y),k\,\chi_{[-k,k]^{n+m}}(x,y)\big). $$ Ces fonctions sont intégrables sur $A\times B$ puisque la fonction caractéristique $\chi_{[-k,k]^{n+m}}$ du pavé $[-k,k]^{n+m}$ l'est sur $\bR^n\times\bR^m$ tout entier). Le thorème de Fubini 8.6 donne $$ \int_{A\times B}f_k(x,y)\,dx\,dy =\int_A\Big(\int_B f_k(x,y)\,dy\Big)dx \le\int_A\Big(\int_B f(x,y)\,dy\Big)dx<+\infty. $$ On en déduit l'intégrabilité de $f$ sur $A\times B$ à l'aide du théorème de convergence monotone 4.5, et on applique maintenant de nouveau 8.6 pour obtenir l'égalité des intégrales.\qed \medskip D'après les théorèmes de Fubini 8.6 et de Tonelli 8.7, dans le cas particulier où $f=\chi_E$ est la fonction caractéristique d'un ensemble mesurable $E$ dans $\bR^n=A\times B=\bR^{n-1}\times\bR$, on déduit la formule suivante permettant le calcul d'aires et de volumes par récurrence sur la dimension. \medskip {\bf (8.8) Calcul d'aires et de volumes par récurrence sur la dimension.} {\it Soit $E$ une partie mesurable de $\bR^n$. On note $a_E(x_n)$ l'aire $($ou plus précisément la mesure $(n-1)$-dimen\-sion\-nelle$)$ de la projection dans $\bR^{n-1}$ de la tranche $E\cap(\bR^{n-1}\times\{x_n\})$. Alors cette tranche $E\cap(\bR^{n-1}\times\{x_n\})$ est \hbox{$\bR^{n-1}$-mesurable} pour presque tout $x_n\in\bR$, la fonction $x_n\mapsto a_E(x_n)$ est mesurable sur $\bR$ et on a l'égalité $$ \vol(E)=\int_\bR a_E(x_n)\,dx_n $$ $($que les intégrales soient finies ou non$)$.} \vbox{% \InsertFig 12.000 57.000 { 1 mm unit 5.000 10.000 moveto 97.000 0.000 2.4 vector 10.000 5.000 moveto 45.000 90.000 2.4 vector [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 11.200 32.000 moveto 29.100 32.000 lineto stroke 11.200 34.000 moveto 29.100 34.000 lineto stroke [ ] 0 setdash 0.200 setlinewidth 18.000 24.000 moveto [ 18.000 24.000 18.000 24.500 25.000 27.000 38.000 44.000 46.000 40.000 56.000 43.000 60.000 42.000 75.000 41.000 80.000 40.500 80.000 40.000 80.000 39.500 72.000 20.000 55.000 16.000 32.000 15.000 18.000 23.500 ] curve closepath gsave 0.940 0.960 0.980 setrgbcolor fill 29.100 32.000 moveto 79.100 32.000 lineto 79.100 34.000 lineto 29.100 34.000 lineto closepath gsave 1.000 0.840 0.840 setrgbcolor fill grestore 1.000 0.000 0.000 setrgbcolor stroke grestore 0.000 setgray stroke 0.339 setlinewidth 10.000 32.000 moveto 0.700 90.000 indent 10.000 34.000 moveto 0.700 90.000 indent } \LabelTeX 46.000 22.500 $\vol(E)$\ELTX \LabelTeX 5.000 30.600 $x_n$\ELTX \LabelTeX -5.000 34.200 $x_n+dx_n$\ELTX \LabelTeX 92.000 6.200 $x_1,\dots,x_{n-1}$\ELTX \LabelTeX 5.000 48.800 $x_n$\ELTX \LabelTeX 46.800 35.500 $a_E(x_n)\,dx_n$\ELTX \EndFig \vskip-8pt \centerline{{\bf Fig.~24.} Calcul de volume par tranchage suivant la direction $x_n$.}} \medskip {\it Démonstration.} On se ramène au cas d'un ensemble intégrable en remplaçant $E$ par $E_k=E\cap[-k,k]^n$, et dans cette situation la formule résulte de l'application du théo\-rème de Fubini à $f_k=\chi_{E_k}$. Le cas général s'obtient grâce au théorème de convergence monotone 4.5 appliqué aux suites croissantes $\chi_{E_k}\to\chi_E$, et, pour presque tout $x_n\in\bR$, $a_{E_k}(x_n)\to a_E(x_n)$.\qed \bigskip \section{9. Fonctions de puissance k-ième intégrable} L'objet de cette section est d'introduire des espaces $L^k(P)$ qui généralisent l'espace $L^1(P)$ introduit à la section~5. La présentation en est tout à fait classique. \medskip {\bf (9.1) Définition.} {\it Soit $P$ un pavé quelconque dans $\bR^n$ et $k\in{}]0,+\infty[$. On définit l'espace $\tilde L^k(P)$ comme étant l'ensemble des fonctions $f: P\to\bR$ mesurables telles que $|f|^k$ soit HK-intégrable sur~$P$. \vskip0pt On dit que $\tilde L^k(P)$ est l'espace des fonctions de puissance $k$-ième intégrable sur~$P$. Si $f\in \tilde L^k(P)$, on définit la norme $L^k$ de $f$ comme étant $$ \Vert f\Vert_k=\Big(\int_P|f(x)|^kdx\Big)^{1/k}. $$} Nous avons besoin d'un lemme préparatoire fournissant un certain nombre d'inégalités élémentaires de convexité. \medskip {\bf (9.2) Lemme.} {\it Soient $x,\,y\in\bR_+$ des réels positifs ou nuls et $t>0$.\smallskip Si $k\ge 1$ on a $$ \leqalignno{ &(x+y)^k\le \alpha^{1-k}x^k+\beta^{1-k}y^k\quad\hbox{ pour $\alpha,\beta>0$,~ $\alpha+\beta=1$,}&(9.2\,{\rm a})\cr &(x+y)^k\ge x^k+y^k,&(9.2\,{\rm b})\cr &|x-y|^k\le |x^k-y^k|,&(9.2\,{\rm c})\cr &|x^k-y^k|\le t^{-(k-1)}|x-y|^k+ (k-1)t\max(x^k,y^k).&(9.2\,{\rm d})\cr} $$ Si $00$,~ $\alpha+\beta=1$,}&(9.2\,{\rm a}')\cr &(x+y)^k\le x^k+y^k,&(9.2\,{\rm b}')\cr &|x-y|^k\ge |x^k-y^k|,&(9.2\,{\rm c}')\cr &|x-y|^k\le t^{-(1-k)}|x^k-y^k|+(1-k)t^k\max(x^k,y^k). &(9.2\,{\rm d}')\cr} $$}% {\it Démonstration.} (a) résulte de la convexité de la fonction $x\mapsto x^k$ sur $\bR_+$ (la dérivée seconde $k(k-1)x^{k-2}$ étant${}\ge 0$ sur $]0,+\infty[$ si $k\ge 1$), qui donne $$ (x+y)^k=\big(\alpha(\alpha^{-1}x)+\beta(\beta^{-1}y)\big)^k \le \alpha(\alpha^{-1}x)^k+\beta(\beta^{-1}y)^k. $$ De même, (a${}'$) est une conséquence du fait que la fonction est concave si $00$. Les inégalités (c) et (c${}'$) se déduisent de (b) et (b${}'$)~: en supposant par exemple \hbox{$0\le y\le x$}, on trouve ainsi pour $k\ge 1$ $$ x^k=\big(y+(x-y)\big)^k\ge y^k+(x-y)^k. $$ Enfin, pour obtenir (d), on utilise l'inégalité des accroissements finis $$ |x^k-y^k|\le k|x-y|\max(x^{k-1},y^{k-1})=k\,A^{1/k}B^{1-1/k} $$ avec $A=|x-y|^k$ et $B=\max(x^k,y^k)$, et on combine ceci avec l'inégalité de convexité $$ A^{1/k}B^{1-1/k}=\exp\Big({1\over k}\ln(t^{-(k-1)}A)+ \Big(1-{1\over k}\Big)\ln(tB)\Big)\le {1\over k}t^{-(k-1)}A+\Big(1-{1\over k}\Big)tB. $$ Pour (d${}'$), on pose $x'=x^k$, $y'=y^k$ et $k'=1/k$, ce qui donne $$ |x-y|=\big|(x')^{k'}-(y')^{k'}\big|\le k'|x'-y'| \max\big((x')^{k'-1},(y')^{k'-1}\big), $$ d'où $$ |x-y|^k\le \Big({1\over k}|x^k-y^k|\max(x,y)^{1-k}\Big)^k=A^kB^{1-k} $$ avec $A={1\over k}|x^k-y^k|$ et $B=\max(x^k,y^k)$. Il suffit alors de combiner cette inégalité avec l'inégalité de convexité $$ A^kB^{1-k}=\exp\big(k\ln(t^{-(1-k)}A)+ (1-k)\ln(t^kB)\big)\le k\,t^{-(1-k)}A+(1-k)t^kB.\eqno\square $$ {\bf (9.3) Théorème.} {\it Soit $P$ un pavé quelconque de $\bR^n$. {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} L'ensemble $\tilde L^k(P)$ est un espace vectoriel, et $f\mapsto \Vert f\Vert_k$ est une semi-norme sur $\tilde L^k(P)$ si $k\ge 1$ $($c'est seulement une «\?quasi semi-norme\?» si $00$ $($et donc un espace de Banach si $k\ge 1)$. \vskip0pt}} \medskip {\it Démonstration.} (a) Soient $f,\,g\in \tilde L^k(P)$. L'inégalité (9.2$\,$b${}'$) implique $$ |f+g|^k\le (|f|+|g|)^k\le |f|^k+|g|^k\qquad\hbox{si $00$, $\alpha+\beta=1$, (9.2$\,$a) donne $$ \big|f+g\big|^k\le\alpha^{1-k}|f|^k+\beta^{1-k}|g|^k. \leqno(*) $$ La proposition 7.10 implique que $f+g\in \tilde L^k(P)$. Ceci montre que $\tilde L^k(P)$ est bien un espace vectoriel et que $$ \Vert f+g\Vert_k^k\le\Vert f\Vert_k^k+\Vert g\Vert_k^k\qquad \hbox{si $00$, on peut appliquer l'inégalité $(*)$ ci-dessus avec $$ \alpha={\Vert f\Vert_k\over \Vert f\Vert_k+\Vert g\Vert_k},\qquad \beta={\Vert g\Vert_k\over \Vert f\Vert_k+\Vert g\Vert_k} $$ pour obtenir $$ \eqalign{ \Vert f+g\Vert_k^k &\le \alpha^{1-k}\Vert f\Vert_k^k+\beta^{1-k}\Vert g\Vert_k^k\cr &\le(\Vert f\Vert_k+\Vert g\Vert_k)^{k-1}\Vert f\Vert_k+ (\Vert f\Vert_k+\Vert g\Vert_k)^{k-1}\Vert g\Vert_k,\cr} $$ d'où $\Vert f+g\Vert_k\le\Vert f\Vert_k+\Vert g\Vert_k$. (b) Il est clair d'après ce qui précède que le quotient $L^k(P)=\tilde L^k(P)/N(P)$ est un espace métrisable séparé, normé ou quasi-normé suivant que $k\ge 1$ ou $00$. En prenant $t=\Vert f-g\Vert_k$, on trouve alors $$ \eqalign{ \Vert f_+^k-g_+^k\Vert_1\le &\Vert f-g\Vert_k\big(1+(k-1)\max(\Vert f\Vert_k,\Vert g\Vert_k)^k\big),\cr \Vert \Phi(f)-\Phi(g)\Vert_1\le 2&\Vert f-g\Vert_k\big(1+(k-1)\max(\Vert f\Vert_k,\Vert g\Vert_k)^k\big).\cr } $$ Dans le sens inverse, (9.2$\,$c) implique $$ \eqalign{ &\Vert f_+ -g_+\Vert_k^k\le \Vert f_+^k -g_+^k\Vert_1 \le \Vert \Phi(f)-\Phi(g)\Vert_1\qquad \hbox{si $k\ge 1$,~ d'où}\cr &\Vert f -g\Vert_k\le 2\Vert \Phi(f) -\Phi(g)\Vert_1^{1/k}\qquad \hbox{si $k\ge 1$.}\cr} $$ Si $k\le 1$, l'utilisation de (9.2$\,$d${}'$) avec $t=\Vert f_+^k -g_+^k\Vert_1$ fournit $$ \eqalign{ &\Vert f_+ -g_+\Vert_k^k\le \Vert f_+^k -g_+^k\Vert_1^k \big(1+(1-k)\max(\Vert f\Vert_k,\Vert g\Vert_k)^k\big),\cr &\Vert f -g\Vert_k\le 2^{1/k}\Vert \Phi(f) -\Phi(g)\Vert_1 \big(1+(1-k)\max(\Vert f\Vert_k,\Vert g\Vert_k)^k\big)^{1/k}.\cr} $$ La propriété de transformation des suites de Cauchy par $\Phi$ et $\Psi=\Phi^{-1}$ résulte directement de ces inégalités, et le théorème s'ensuit.\qed \medskip {\bf (9.4) Inégalité de Hölder.} {\it Soient $k,\,\ell>1$ tels que ${1\over k}+{1\over \ell}=1$ $($«\?exposants conjugués\?»$)$. Alors pour tout $f\in \tilde L^k(P)$ et tout $g\in \tilde L^{\ell}(P)$ le produit $fg$ est dans $\tilde L^1(P)$ et on a $$ \Big|\int_Pf(x)g(x)\,dx\Big|\le\Vert f\Vert_k\Vert g\Vert_{\ell}. $$} {\it Démonstration.} La convexité de la fonction exponentielle donne $$ |fg|=\exp\Big({1\over k}\ln(t^k|f|^k)+{1\over \ell}\ln(t^{-\ell}|g|^\ell)\Big) \le{1\over k}t^k|f|^k+{1\over \ell}t^{-\ell}|g|^\ell $$ pour tout $t>0$, et ceci montre déjà que $fg\in \tilde L^1(P)$ d'après la proposition 7.10. On obtient de plus $$ \Big|\int_Pf(x)g(x)\,dx\Big|\le\int_P|f(x)|\,|g(x)|\,dx \le{1\over k}t^k\Vert f\Vert_k^k+{1\over \ell}t^{-\ell}\Vert g\Vert_\ell^\ell. $$ Si on prend $t=\Vert f\Vert_k^{-1/\ell}\Vert g\Vert_k^{1/k}$ (en supposant $f$, $g$ non négligeables), on déduit\break bien l'inégalité de Hölder (9.4) cherchée de l'hypothèse ${1\over k}+{1\over \ell}=1$, qui entraîne aussi\break \hbox{$k-k/\ell=\ell-\ell/k=1$}. Si $f$ ou $g$ est négligeable, le membre de gauche est nul et l'inégalité est évidente.\qed \medskip {\bf (9.5) Remarque.} On notera que l'inégalité de Hölder est également valide lorsque $k=1$, si l'on définit l'exposant conjugué par $\ell=\infty$ dans ce cas. Ce n'est autre que l'inégalité déjà donnée en~(7.12). \medskip {\bf (9.6) Corollaire.} {\it L'espace $L^2(P)=\tilde L^2(P)/N(P)$ des fonctions de carré intégrable presque partout définies sur $P$ a une structure d'espace de Hilbert.} {\it Démonstration.} Si $f,\,g\in\tilde L^2(P)$, alors $|fg|\le{1\over 2}(f^2+g^2)\in\tilde L^1(P)$, donc $fg\in\tilde L^1(P)$. On peut ainsi définir sur $L^2(P)$ un produit scalaire $$ \langle f,g\rangle=\int_Pf(x)g(x)\,dx $$ tel que $\langle f,f\rangle=\Vert f\Vert_2^2$. Cette forme bilinéaire positive est bien non dégénérée puisque son noyau dans $\tilde L^2(P)$ est précisément $N(P)$, et que dans $L^2(P)$ on est passé au quotient. Le théorème 9.3 montre que $L^2(P)$ est un espace de Hilbert. On en tire en particulier l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\langle f,g\rangle|\le\Vert f\Vert_2\Vert g\Vert_2$, qui se récrit sous forme intégrale $$ \Big(\int_Pf(x)g(x)\,dx\Big)^2\le\int_P|f(x)|^2\,dx\int_P|g(x)|^2\,dx, \leqno(9.7) $$ et qui est précisément le cas particulier de l'inégalité de Hölder pour $k=\ell=2$.\qed \bigskip \section{10. Caractérisation de l'intégrabilité au sens de Riemann} Les résultats qui précèdent permettent de donner une caractérisation des fonctions intégrables au sens de Riemann. \medskip {\bf (10.1) Théorème.} {\it Soit $P$ un pavé fermé borné de $\bR^n$ et $f:P\to\bR$ une fonction quelconque. Alors $f$ est intégrable au sens de Riemann sur $P$ si et seulement si {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est bornée sur $P\,;$ \item{\rm(b)} l'ensemble $N$ des points de discontinuité de $f$ est une partie négligeable de $P$. \medskip}} {\it Démonstration.} (1) Les conditions sont {\it nécessaires}. Supposons $f$ intégrable au sens de Riemann. Alors, pour $\varepsilon>0$ donné, il existe $\delta>0$ tel que pour toute subdivision $D=\{(Q_j,x_j)\}_{0\le j0$ et posons $$ S_k=\{x\in P\,;\exists\delta>0,\;\oscil_{\ovl B(x,2^{-k}-\delta)}f \ge \varepsilon\}. $$ Il est clair par définition que $S_k$ est une suite décroissante et que $S_k$ est une partie ouverte de $P$ (si $x_0\in S_k$ avec $\oscil_{\ovl B(x_0,2^{-k}-\delta)}f\ge\varepsilon$, alors pour $x\in B(x_0,\delta/2)$ on a $\oscil_{\ovl B(x,2^{-k}-\delta/2)}f\ge \oscil_{\ovl B(x_0,2^{-k}-\delta)}f\ge\varepsilon$). Comme $N=\bigcap S_k$ est de mesure nulle, il existe un entier $k$ tel que la mesure de Lebesgue de $S_k$ satisfasse $\mu(S_k)\le\varepsilon$. Considérons un recouvrement fini du compact $P\ssm S_k$ par des pavés ouverts $(Q'_j)^\circ$ centrés en des points $x'_j\in P\ssm S_k$, de diagonale${}<2^{-k}$. On a $Q'_j\subset B(x'_j,2^{-k}-\delta)$ pour~$\delta$ assez petit, et comme $x'_j\notin S_k$, il vient $$ \oscil_{B(x'_j,2^{-k}-\delta)}f<\varepsilon\quad\hbox{et donc}\quad \oscil_{Q'_j}f<\varepsilon. $$ On obtient ainsi un recouvrement $\bigcup (Q'_j)^\circ$ d'un voisinage de $P\ssm S_k$. On complète la réunion $\bigcup Q'_j$ pour recouvrir $P$ tout entier en adjoignant un nombre fini de pavés $Q''_j\subset S_k$ dont les intérieurs $(Q''_j)^\circ$ sont deux à deux disjoints et contenus dans $P\ssm\bigcup Q'_j$. Soit $P=\bigcup Q_\ell$ un découpage de $P$ obtenu en redécoupant les pavés $Q'_j$ et $Q''_j$ de sorte que $Q_\ell\subset Q'_j$ ou $Q_\ell\subset Q''_j$ pour au moins un $j$. On pose $$ M_\ell=\sup_{Q_\ell}f,\qquad m_\ell=\inf_{Q_\ell}f. $$ Pour $Q_\ell\subset Q'_j$ on a $M_\ell-m_\ell\le\oscil_{Q_\ell}\le \oscil_{Q'_j}f<\varepsilon$, et d'autre part $\bigcup Q''_j\subset S_k$, donc $$ \eqalign{ \sum_\ell(M_\ell-m_\ell)\vol(Q_\ell) &\le \sum_{Q_\ell\subset\bigcup Q'_j}(M_j-m_j)\vol(Q_j)+ \sum_{Q_\ell\subset\bigcup Q''_j}(M_j-m_j)\vol(Q_j)\cr &\le \varepsilon\sum_{Q_\ell\subset\bigcup Q'_j}\vol(Q_j)+ M\sum_{Q_\ell\subset\bigcup Q''_j}\vol(Q_j)\cr &\le \varepsilon\vol(P)+M\mu(S_k)\le (\vol(P)+M)\varepsilon.\cr } $$ Ceci démontre que $f$ est intégrable au sens de Riemann.\qed \bigskip \section{11. Fonctions approximativement continues et primitives} Soit $\Omega$ un ouvert de $\bR^n$, $E$ un espace métrique (ou topologique) ayant une base dénombrable d'ouverts. \medskip {\bf (11.1) Définition.} {\it On dit qu'une application $f:\Omega\to E$ est {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} {\rm mesurable} si pour tout ouvert $V$ de $E$ l'image réciproque $f^{-1}(V)$ est mesurable$\;;$ \item{\rm(b)} {\rm approximativement continue} en un point $x_0\in\Omega$ $($relativement à la mesure de Lebesgue $\mu)$ si elle est mesurable au voisinage de $x_0$ et si pour tout voisinage ouvert $V$ de~$f(x_0)$, la densité des points $x$ proches de $x_0$ dont l'image $f(x)$ est en dehors de~$V$ est nulle, c'est-à-dire~$:$ $$ \limsup_{r\to 0_+}{\mu\big(B(x_0,r)\ssm f^{-1}(V)\big) \over \mu\big(B(x_0,r)\big)}=0. $$ \item{\rm(c)} {\rm approximativement continue sur} $\Omega$ si elle est continue en tout point de~$\Omega$. \medskip }} Il est facile de voir que la condition 11.1~(b) est indépendante de la norme choisie sur~$\bR^n$. Pour les fonctions d'une variable, la condition devient $$ \forall V~\hbox{ouvert}~\ni f(x_0),\qquad \limsup_{h\to 0_+}{\mu\big(]x_0-h,x_0+h[{}\ssm f^{-1}(V)\big) \over 2h}=0.\leqno(11.2) $$ L'énoncé suivant est à peu près évident. \medskip {\bf (11.3) Proposition} {\it Soit $f:\Omega\to E$ une application approximativement continue en un point $x_0\in\Omega$ et $g:E\to E'$ une application continue entre espace topologiques. Alors $g\circ f$ est approximativement continue en~$x_0$.} \medskip {\it Démonstration.} En effet, si $W$ est un voisinage de $g\circ f(x_0)$ alors $V=g^{-1}(W)$ est un voisinage de $f(x_0)$ et $(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(V)$.\qed \medskip L'intérêt principal des fonctions approximativement continues réside dans le résultat élémentaire suivant dû à A.~Denjoy. \medskip {\bf (11.4) Théorème} {\rm (Denjoy [Dj2]).} {\it Soit $I$ un intervalle de $\bR$ et $f:I\to\bR$ une fonction mesurable bornée et approximativement continue en un point $x_0\in I$. Alors l'intégrable indéfinie $$ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,\qquad a\in I $$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$. En particulier, toute fonction $f:I\to\bR$ localement bornée et approximativement continue possède une primitive.} \medskip {\it Démonstration.} Considérons un point $x=x_0+h\in I$, $h\in\bR$, et fixons $\varepsilon>0$. En posant $M=\Vert f\Vert_\infty$ et $V={}]f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\varepsilon[$, on a alors $$ {F(x_0+h)-F(x_0)\over h}-f(x_0)={1\over h}\int_{x_0}^{x_0+h} \big(f(t)-f(x_0)\big)\,dt, $$ et comme car $|f(t)-f(x_0)|\le\varepsilon$ pour $t\in f^{-1}(V)$ et $|f(t)-f(x_0)|\le 2M$ presque partout pour $t\notin f^{-1}(V)$, il vient $$ \eqalign{ \Big\vert{F(x_0+h)-F(x_0)\over h}-f(x_0)\Big\vert &\le{1\over |h|}\int_{]x_0,x_0+h[\cap f^{-1}(V)} \big|f(t)-f(x_0)\big|\,dt\cr &\kern40pt{}+{1\over |h|}\int_{]x_0,x_0+h[\ssm f^{-1}(V)} \big|f(t)-f(x_0)\big|\,dt\cr &\le\varepsilon+{2M\,\mu\big(]x_0,x_0+h[\ssm f^{-1}(V)\big)\over |h|}.\cr} $$ L'hypothèse sur la continuité approximative de $f$ implique qu'il existe $\delta>0$ tel que $$ \eqalign{ 0<|h|<\delta &~~\Longrightarrow~~ {\mu\big(]x_0-h,x_0+h[\ssm f^{-1}(V)\big)\over 2|h|}\le\varepsilon\cr &~~\Longrightarrow~~ \Big\vert{F(x_0+h)-F(x_0)\over h}-f(x_0)\Big\vert\le \varepsilon(1+4M).\cr} $$ Les résultats annoncés en découlent.\qed \medskip {\bf (11.5) Corollaire.} {\it Une fonction approximativement continue $f:I\to \overline\bR$ satisfait le théorème des valeurs intermédiaires.} \medskip {\it Démonstration.} En effet, quitte à composer $f$ avec un homéomorphisme \hbox{$g:\ovl\bR\to[-1,1]$,\kern-1pt} on peut supposer $f$ bornée. Alors $f$ admet une primitive $F$, et on sait que la dérivée $f=F'$ satisfait le théorème des valeurs intermédiaires.\qed \medskip Le théorème de Denjoy permet de construire des fonctions dont la dérivée est approxi\-mativement continue mais discontinue en de nombreux points. \medskip {\bf (11.6) Proposition} {\rm (Denjoy [Dj2]).} {\it Soit $(r_n)_{n\ge n_0}$ une suite partout dense dans $\bR$ $($par~exemple la suite des rationnels ordonnés de manière quelconque$)$, et $\alpha_n>0$, $\beta_n>1$, $n\ge n_0$, des suites de réels telles~que $$ \sum_{n=n_0}^{+\infty} \alpha_n<+\infty,\qquad \sum_{n=n_0}^{+\infty} K^{-\beta_n} <+\infty $$ pour une certaine constante $K>1$ $($on peut prendre par exemple $\alpha_n=2^{-n}$, $\beta_n=\ln n$, $n\ge n_0=3$, avec $K= e^2)$. Alors {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} la fonction $u:\bR\to[0,+\infty]$ telle que $$u(x)=\sum_{n=n_0}^{+\infty}\alpha_n|x-r_n|^{-1/\beta_n}$$ est approximativement continue sur $\bR$, finie presque partout, mais infinie sur un $G_\delta$ dense de mesure nulle dans $\bR$. \item{\rm(b)} la fonction $f(x)=e^{-u(x)}\cos u(x)$ est mesurable sur $\bR$, bornée par $1$ en valeur absolue, approximativement continue en tout point, et change de signe sur tout intervalle. En particulier, elle admet une primitive $F$ qui n'est monotone sur aucun intervalle. De plus $f$ est continue avec $f(x_0)=0$ en tout point $x_0$ tel que $u(x_0)=+\infty$, et discontinue en tout point $x_0$ tel que $u(x_0)<+\infty$.\medskip}} \medskip {\it Démonstration.} (a) Considérons les fonctions $u_n:\bR\to[0,+\infty]$ définies par \hbox{$u_n(x)=\alpha_n|x-r_n|^{-1/\beta_n}$}. Elles sont continues, avec $u_n(r_n)=+\infty$ et $u_n(x)<+\infty$ si $x\ne r_n$, donc les sommes partielles $$ S_N=\sum_{n_0\le n\le N}u_n $$ sont continues. Par conséquent, la limite croissante $u=\lim S_N$ est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que pour tout $\lambda\lambda$ (que $u(x_0)$ soit fini ou infini) -- pour le voir, on choisit $N$ tel que $S_N(x_0)>\lambda$, puis $\delta>0$ tel que $S_N(x)>\lambda$ sur $]x_0-\delta,x_0+\delta[$, en utilisant la continuité de~$S_N$. Il suffira donc de montrer que $u$ est approximativement semi-continue supérieurement, c'est-à-dire que pour tout $x_0\in\bR$ tel que $u(x_0)<+\infty$ et tout $\lambda>u(x_0)$, l'ensemble $u^{-1}(]\lambda,+\infty])$ est de densité nulle en~$x_0$. Par hypothèse, la suite $\beta_n$ doit vérifier $\lim K^{-\beta_n}=0$, donc $\lim\beta_n=+\infty$, ce qui implique l'existence d'une borne inférieure $\beta=\inf\beta_n=\min\beta_n>1$. Pour tout intervalle $[-A,A]$ et $r\ge 0$ on a $$ \eqalign{ \int_{-A}^A|x-r|^{-1/\beta}dx &=\int_{-A-r}^{A-r}|x|^{-1/\beta}dx\cr &=\int_{-A}^A|x|^{-1/\beta}dx+\int_A^{A+r}(|x|^{-1/\beta}-|x-r|^{-1/\beta})dx \cr &\le\int_{-A}^A|x|^{-1/\beta}dx=2(1-1/\beta)^{-1}A^{1-1/\beta},\cr} $$ et, par symétrie, on a la même inégalité pour $r\le 0$. Ceci entraîne pour tout $N$ $$ \int_{-A}^AS_N(x)\,dx\le 2(1-1/\beta)^{-1}A^{1-1/\beta}\sum_{n=n_0}^N\alpha_n. $$ Le théorème de convergence monotone implique dans ces conditions que $u=\lim S_N$ est intégrable au sens de Lebesgue sur tout intervalle $[-A,A]$, avec $$ \int_{-A}^A u(x)\,dx \le 2(1-1/\beta)^{-1}A^{1-1/\beta}\sum_{n=n_0}^{+\infty}\alpha_n. $$ En particulier, on a $u(x)<+\infty$ presque partout. En revanche, $u^{-1}(+\infty)=\bigcap_{\lambda\in\bN}u ^{-1}(]\lambda,+\infty])$ est un $G_\delta$ qui contient la suite $\{r_n\}$, donc c'est un $G_\delta$ dense, de mesure nulle d'après ce qui précède. Fixons maintenant $x_0$ tel que $u(x_0)=\sum\alpha_n|x_0-r_n|^{-1/\beta_n} <+\infty$ et un réel $\varepsilon>0$. Ceci~implique en particulier que $x_0\notin\{r_n\}$. L'ensemble des points $x\in\bR$ tel que $u_n(x)>Ku_n(x_0)$ est l'intervalle $J_n$ défini par $|x-r_n|N}J_n\Big)\le \sum_{n>N}K^{-\beta_n}(1-K^{-1})^{-1}.\leqno(11.7) $$ Comme la série $\sum K^{-\beta_n}$ converge par hypothèse, on peut fixer un entier $N$ tel que $\sum_{n>N}K^{-\beta_n}(1-K^{-1})^{-1}<\varepsilon$, et on peut supposer également par ailleurs que $\sum_{n>N}u_n(x_0)<\varepsilon/2K$. Pour $x\in{}]x_0-h,x_0+h[{}\ssm \bigcup_{n>N}J_n$ nous avons $$\eqalign{ u(x)&\le \sum_{n_0\le n\le N}u_n(x)+\sum_{n>N}u_n(x)\cr &\le\sum_{n_0\le n\le N}u_n(x)+K\sum_{n>N}u_n(x_0) \le\sum_{n_0\le n\le N}u_n(x)+\varepsilon/2.\cr} $$ Par continuité de $u_n$, on peut choisir $\delta>0$ assez petit en sorte que $h\le\delta$ et $x\in{}]x_0-h,x_0+h[{}\Rightarrow u_n(x)u(x_0)+\varepsilon$ sont contenus dans $]x_0-h,x_0+h[{}\cap\bigcup_{n>N}J_n$, et donc que leur densité est majorée par $\varepsilon$ d'après (11.7) et le choix de~$N$. On en conclut que la limite de cette densité est nulle, et donc que $u$ est bien approximativement semi-continue supérieurement en~$x_0$. (b) La fonction $g(x)=e^{-x}\cos x$ définie sur $[0,+\infty[$ admet un maximum qui vaut $g(0)=1$, et un minimum égal à $g(3\pi/4)=m$ où $m=-\smash{\sqrt{2}\over 2}e^{-3\pi/4}$. Elle se prolonge en une application continue $g:[0,+\infty]\to [m,1]$ en posant $g(+\infty)=0$. On en déduit que la composée $f(x)=g\circ u(x)=e^{-u(x)}\cos u(x)$ est approximativement continue sur $\bR$ tout entier, avec $\Vert f\Vert_\infty\le 1$. Elle admet donc une primitive $F$. Comme $u(r_n)=+\infty$ et que $u$ satisfait le théorème des valeurs intermédiaires, on voit que $f$ prend tous les signes $+,-,0$ au voisinage de chaque point $r_n$, et donc sur tout intervalle ouvert de~$\bR$. Il résulte de (a) que $f(x)=0$ sur le $G_\delta$ dense de mesure nulle $u^{-1}(+\infty)$ [il~s'agit de points où $f$ est continue], en revanche $f$ est discontinue en tout point $x_0$ où $u(x_0)<+\infty$ puisqu'il va y avoir des points $r_n$ arbitrairement proches en lesquels $u(r_n)=+\infty$ et donc $f(x)$ va prendre toute valeur de l'intervalle $g([u(x_0),+\infty[)$ aussi près qu'on veut de~$x_0$.\qed \medskip Nous présentons maintenant un exemple montrant qu'une fonction dérivée peut avoir un comportement très pathologique au sens de Lebesgue, même lorsque la théorie de Henstock-Kurzweil permet d'intégrer une telle fonction sans difficulté. \medskip {\bf (11.8) Proposition} {\it Soit $(r_n)_{n\ge n_0}$ une suite partout dense dans $\bR$ $($par~exemple la suite des rationnels ordonnés de manière quelconque$)$, et $\alpha_n>0$, $\beta_n>0$, $n\ge n_0$, des suites de réels positifs telles~que $$ \sum_{n\ge n_0}\beta_n<+\infty,\qquad \sum_{n\ge n_0}\alpha_n\beta_n^{-1}<+\infty. $$ On considère les fonctions $v:\bR\to\bR$ et $f:\bR\to\bR$ telles que $$ \eqalign{ v(x)&=x^2\sin{1\over x^3}\quad\hbox{si $x\ne 0$},\qquad v(0)=0,\cr \noalign{\vskip5pt} f(x)&=\sum_{n\ge n_0}\alpha_n\,v\big(\beta_n^{-1}(x-r_n)\big).\cr} $$ Alors$~:$ {\parindent=6.5mm \item{\rm(a)} $f$ est une fonction continue bornée sur $\bR$. \item{\rm(b)} $f$ est dérivable presque partout sur $\bR$. \item{\rm(c)} Si les suites $(r_n)$, $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ vérifient les conditions supplémentaires $$ \beta_p\le {1\over 2}\;\min_{np}{}]r_n-\beta_n,r_n+\beta_n[. $$ Comme $f'(x)=g(x)=\sum\alpha_nv'_n(x)$ presque partout, nous avons $$ \int_K|f'(x)|\,dx\ge \int_K\alpha_p|v'_p(x)|\,dx-\sum_{n\ne p}~ \int_K\alpha_n|v'_n(x)|\,dx.\leqno(11.10) $$ L'hypothèse (d) entraîne $\beta_{n+1}\ll\alpha_n\beta_n^2\ll {1\over 2}\beta_n$ pour $n$ assez grand, donc la suite $(\beta_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang et à décroissance au moins exponentiellement rapide. Compte tenu de l'hypothèse \hbox{$\beta_p\le{1\over 2}\min_{n0$, donc $$ \int_{|x-r_n|\ge\gamma}\!\!|v_n'(x)|\,dx= \int_{|x|\ge\gamma}\!\!\beta_n^{-1}|v'(\beta_n^{-1}x)|\,dx= \int_{|x|\ge\gamma/\beta_n}\!\!|v'(x)|\,dx \le 10\,\beta_n/\gamma. $$ Cette dernière majoration appliquée à $\gamma=\beta_p$ pour $np$) donne $$ \int_K\alpha_n|v'_n(x)|\,dx\le \cases{ 10\,\alpha_n\beta_n/\beta_p& pour $np$.\cr}\leqno(11.11) $$ Or, en posant $\gamma=\sum_{n>p}\beta_n\le 2\beta_{p+1}$ et en faisant le changement de variable $t=\beta_p^{-1}(x-r_p)$, on voit que $$ \int_K|v'_p(x)|\,dx = \int_{[-1,1]\ssm E}|v'(t)|\,dt $$ où $E$ est une réunion d'intervalles de mesure${}\le 2\gamma/\beta_p$. Comme \hbox{$\int_{\delta}^1|v'(t)|\,dt\ge c\delta^{-1}$} pour tout $\delta\le 1/2$ et pour une certaine constante $c>0$, on peut utiliser le fait que $[-1,1]\supset[-1,-\lambda\gamma/\beta_p]\cup [\lambda\gamma/\beta_p,1]$, la parité de $v'$, la majoration $|v'(t)|\le 5/t^2$ et la décroissance de $t\mapsto 5/t^2$ pour en déduire $$ \int_K|v'_p(x)|\,dx\ge 2\int_{\lambda\gamma/\beta_p}^1|v'(t)|\,dt- \int_{\lambda\gamma/\beta_p}^{(\lambda+2)\gamma/\beta_p}{5\over t^2}\,dt \ge {2c\beta_p\over\lambda\gamma}- {10\over\lambda(\lambda+2)}{\beta_p\over\gamma} $$ pour tout $\lambda>0$ et tout $p\ge p_0(\lambda)$ assez grand. En choisissant $\lambda$ assez grand pour que $10/(\lambda+2)\le c$, on obtient $$ \int_K|v'_p(x)|\,dx\ge {c\over\lambda}{\beta_p\over \gamma}\ge c_1{\beta_p\over \beta_{p+1}} \leqno(11.12) $$ avec $c_1=c/2\lambda$. En combinant (11.10), (11.11), (11.12) il vient $$ \int_K|f'(x)|\,dx\ge c_1{\alpha_p\beta_p\over \beta_{p+1}}-10\sum_{np}\alpha_n \ge c_1{\alpha_p\beta_p\over \beta_{p+1}}-{c_2\over\beta_p}-c_3 \ge {c_1\over 2}{\alpha_p\beta_p\over \beta_{p+1}} $$ pour $p$ assez grand, sous l'hypothèse $\displaystyle\lim {\alpha_p\beta_p^2\over \beta_{p+1}}=+\infty$. Ceci entraîne en particulier que $$ \int_{[r_p-\beta_p,r_p+\beta_p]}|f'(x)|\,dx\ge {c_1\over 2}{\alpha_p\beta_p\over \beta_{p+1}}\to +\infty. $$ Grâce à la densité de la suite $(r_p)$ et au fait que $\beta_p \to 0$, on en déduit que $|f'|$ ne peut-être intégrable au sens de Lebesgue sur aucun intervalle de~$\bR$.\qed \chapterjump \chapterrunning{IV.} \phantom{$\ $} \medskip \centerline{\fourteenbf Chapitre IV} \bigskip \centerline{\fourteenbf Compléments historiques} \vskip2cm Ces compléments historiques ont été compilés et rédigés par Bernard Ycart à l'intention des étudiants de L1 de Grenoble (cours en ligne). \bigskip \section{1. Archimède et la quadrature de la parabole} Voici une traduction de la préface d'un texte d'Archi\-mède (287--212 av.\ JC), à propos de l'aire d'un arc de parabole. \vskip 2mm {\strut}«\?Archimède, à Dositheus, salut. \vskip 2mm Quand j'ai appris que Conon, qui était mon ami, était mort, mais que vous connaissiez Conon, et étiez également versé en géométrie, tandis que je pleurais la perte non seulement d'un ami, mais aussi d'un admirable mathématicien, je me fixai la tâche de vous communiquer, comme j'avais l'intention de le faire pour Conon, un certain théorème géométrique qui n'avait pas été cherché avant, mais a maintenant été cherché par moi, et que j'ai découvert par des moyens mécaniques, et ensuite montré par des moyens géométriques. Certains des géomètres anciens ont essayé de montrer qu'il est possible de trouver une surface carrée égale à un cercle donné, et à un arc donné d'un cercle~; et après cela, ils ont tenté de calculer la surface bornée par une section de cône [ellipse] et une ligne droite, en supposant des lemmes si peu aisés à concevoir, qu'il fut reconnu par la plupart que le problème n'était pas résolu. Mais à ma connaissance, aucun de mes prédécesseurs n'a tenté de calculer la surface de l'arc borné par une ligne droite et la section à angle droit d'un cône [parabole], problème dont j'ai découvert la solution. Car il est montré ici que tout arc borné par une ligne droite et la section à angle droit d'un cône est les quatre tiers du triangle qui a la même base et la même hauteur que l'arc. Pour la démonstration de cette propriété, le lemme suivant est supposé~: l'excès par lequel la plus grande de deux aires inégales excède la plus petite peut, si on l'ajoute à lui-même, être rendu plus grand que toute surface finie. Les géomètres anciens ont aussi utilisé ce lemme~; car c'est en utilisant ce même lemme qu'ils ont montré que les cercles sont entre eux dans le même rapport que le carré de leurs diamètres, que les sphères sont entre elles dans le même rapport que le cube de leurs diamètres, et de plus que toute pyramide est le tiers du prisme qui a la même base que la pyramide et la même hauteur~; aussi, que chaque cône est le tiers du cylindre ayant la même base que le cône et même hauteur fut prouvé en supposant un lemme similaire à celui cité plus haut. Donc, comme mon travail maintenant publié a satisfait le même test que les propositions citées, j'ai rédigé la démonstration, et je vous l'envoie, telle qu'elle a été trouvée par le moyen de la mécanique, et ensuite aussi comme elle est prouvée par la géométrie.\?» \vskip 2mm\noindent En termes modernes, le résultat démontré par Archimède est le suivant (voir Fig.~25). \InsertPSFile 20 70 45 45 {archimede.eps} \EndFig {\leftskip=1cm\rightskip=1cm { {\bf Fig.~25.} {\it Théorème d'Archimède.} La surface d'un arc de parabole est égale aux quatre tiers du triangle inscrit.\bigskip} } {\bf (1.1) Proposition.} {\it Considérons la courbe d'équation $y=x^2$. Soient $A$ et $B$ deux points de cette courbe. Soit $C$ le point tel que la tangente en ce point soit parallèle à la droite passant par $A$ et $B$. Alors la surface délimitée par la courbe et le segment $[A,B]$ est égale à la surface du triangle $ABC$, multipliée par $4/3$.} \medskip Avec la possibilité de calculer l'aire contenue sous une courbe comme une intégrale, le problème est relativement facile. Nous laissons au lecteur les calculs qui montrent que si $x_A$ est l'abscisse du point $A$ et $x_B$ l'abscisse du point $B$, alors le point $C$ a pour abscisse $(x_A+x_B)/2$, la surface de l'arc de parabole est $(x_B-x_A)^3/6$ et celle du triangle $ABC$ est $(x_B-x_A)^3/8$. \vskip 1mm Mais Archimède ne connaissait pas les intégrales, pas même les fonctions. Remarquez qu'il n'exprime pas l'aire de l'arc de parabole comme un nombre, fonction de $x_A$ et $x_B$, comme nous le faisons~: son théorème énonce un rapport de surfaces. C'est aussi ainsi qu'il rappelle dans son introduction les résultats d'aires et de volumes connus avant lui. \vskip 1mm Les arguments de mécanique auxquels Archimède fait référence sont des calculs de longueurs de leviers qu'il imagine pour équilibrer deux surfaces différentes («\?donnez-moi un point d'appui et je soulèverai le monde\?»). Son découpage de la surface à calculer en surfaces approchées de plus en plus petites est assez remarquable. Il faudra attendre une dizaine de siècles avant qu'on fasse mieux. \bigskip \section{2. La famille ibn Qurra.} L'idée de calculer une aire ou un volume en les découpant en petits morceaux (méthode d'exhaustion) était présente, bien avant Archimède, chez les mathématiciens grecs du cinquième siècle avant notre ère. Elle fut reprise et raffinée, tout au long du moyen-âge par les mathématiciens arabes~; parmi eux, la famille des ibn Qurra. Abul Hassan Thabit ibn Qurra ibn Marwan al-Sabi al-Harrani (836-901) était le père de Sinan ibn Thabit ibn Qurra (880-843), un médecin lui-même père de Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit ibn Qurra (908-946), mathématicien et astronome comme son grand-père. Les calculs de surface de Thabit Ibn Qurra étaient basés sur un encadrement par des sommes de rectangles majorantes et minorantes. A l'occasion de la quadrature de la parabole, il fut le premier à avoir l'idée de diviser l'intervalle d'intégration en segments inégaux. Ce que son petit-fils Ibrahim dit dans son «\?traité sur la quadrature de la parabole\?», donne une bonne idée de l'intérêt suscité par les problèmes de quadrature, et de la compétition entre les mathématiciens de ce temps. \strut«\?J'ai composé un travail sur la mesure de la parabole, dans un traité séparé. Mon grand-père avait résolu la mesure de la parabole, mais un géomètre m'a appris que al-Mahani avait une solution de ce problème, qu'il m'a communiquée, qui est plus facile que la solution de mon grand-père, et personne parmi nous n'avait une solution meilleure que celle-là. Mon grand-père avait résolu le problème en 20 propositions, il utilisait de nombreux lemmes préliminaires parmi ces propositions, et il démontrait la quadrature de la parabole par la méthode de contradiction. Al-Mahani utilisait aussi des lemmes sur les nombres pour sa démonstration, et ensuite il prouvait le résultat par la méthode de contradiction en cinq ou six propositions, de manière longue. Alors je l'ai démontré en trois propositions géométriques, sans théorème préliminaire sur les nombres. J'ai démontré la mesure de la parabole elle-même par la méthode de la preuve directe, et je n'ai pas eu besoin de la méthode de contradiction.\?» \vskip 2mm La méthode d'Ibrahim était effectivement plus simple que celles de tous ses prédé\-cesseurs, et elle ne sera surpassée qu'après la découverte du calcul intégral, par Newton et Leibniz, au 17ème siècle. \bigskip \section{3. Calcul numérique des intégrales} Comment fait-on pour calculer numériquement une intégrale sur ordinateur~? Deux cas se présentent, selon que l'on ne connaît que certaines valeurs de la fonction (typiquement, par une table de données expérimentales), ou bien que l'on peut l'évaluer en n'importe quel point. Comme nous allons le voir, la deuxième situation est beaucoup plus favorable. \vskip 2mm Supposons que l'on dispose de $n+1$ abscisses $x_0,\ldots,x_n$ et de $n+1$ ordonnées $y_0,\ldots,y_n$. L'idée la plus naïve est de calculer la somme des aires de rectangles basés sur les intervalles $[x_i,x_{i+1}]$, et de hauteur $y_i$ ou bien $y_{i+1}$~: ce sont les {\it méthodes des rectangles}, à gauche, ou à droite. $$ R_g = \sum_{j=0}^{n-1}y_i(x_{i+1}-x_i) \quad\hbox{et}\quad R_d = \sum_{j=0}^{n-1}y_{i+1}(x_{i+1}-x_i) $$ Si on ne sait absolument rien de la fonction à intégrer, il n'y a pas de raison d'aller plus loin. Mais si on imagine un modèle, dans lequel les ordonnées $y_i$ sont les évaluations en $x_i$ d'une fonction continue $f$, alors on obtient une meilleure précision par la {\it méthode des trapèzes}, qui consiste simplement à prendre la demi-somme de $R_g$ et $R_d$. $$ T = {1\over 2}\sum_{j=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x_i) $$ Si on imagine un modèle où la fonction à intégrer $f$ est encore plus lisse, on gagnera en l'interpolant par une parabole sur des triplets de points successifs. C'est la {\it méthode de Simpson}. Pour donner une idée de la précision atteinte, supposons que nous disposions d'une table de $101$ valeurs régulièrement espacées de la fonction sinus sur l'intervalle $[0,\pi/2]$. L'intégrale de $\sin(x)$ sur $[0,\pi/2]$ vaut $1$. Voici ce que donnent la méthode des rectangles à droite et à gauche, la méthode des trapèzes, et la méthode de Simpson. $$ R_g=0.9921255\;,\quad R_d=1.0078334\;,\quad T=0.9999794\;,\quad S=1.0000000003 $$ \vskip 2mm Quand une fonction est donnée par une expression qui permet de la calculer en n'im\-porte quel point, il serait particulièrement inefficace de l'évaluer en $101$ points réguliè\-rement espacés, pour se ramener au cas précédent. On utilise plutôt les {\it méthodes de quadrature de Gauss}. Voici comment fonctionne la plus simple, celle de Gauss-Legendre. Soit une fonction $f$, à intégrer sur l'intervalle $[a,b]$. Quitte à effectuer un changement de variable affine, on peut se ramener au cas où $a=-1$ et $b=1$. Les points auxquels on doit évaluer la fonction sont les racines des {\it polynômes de Legendre}. On peut définir ces polynômes par récurrence, par une équation différentielle, ou bien comme la dérivée $n$-ième d'un polynôme de degré $2n$. $$ P_n(x)={1\over 2^n(n!)}\Big((x^2-1)^n\Big)^{(n)} $$ Les racines de $P_n$ sont dans l'intervalle $[-1,1]$, et réparties de façon symétrique par rapport à l'origine. Comme $P_n$ est de degré $n$, il a $n$ racines~: notons-les $x_1,\ldots,x_n$. A la racine $x_i$, on associe le «\?poids\?» $\omega_i$~: $$ \omega_i = {2\over (1-x_i)^2(P'_n(x_i))^2} $$ On calcule ensuite la somme~: $$ L_n = \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i) $$ Les racines des polynômes de Legendre, ainsi que les poids qui leur sont associés sont connus depuis longtemps, et inclus dans les bibliothèques de codes des langages de calcul scientifique~: le calcul de $L_n$ est donc extrêmement rapide. Vous apprendrez plus tard les raisons mathématiques pour lesquelles ce calcul donne en général une valeur très proche de l'intégrale de $f$. Les résultats sont spectaculaires. Voici pour la même fonction sinus entre $0$ et $\pi/2$, ce que donne la méthode de Gauss-Legendre pour $n\leq 5$. $$ L_2-1=-1.5~10^{-3}\;,\quad L_3-1=8.1~10^{-6}\;,\quad L_4-1=-2.3~10^{-8}\;,\quad L_5-1=3.9~10^{-11} $$ Ainsi, en évaluant la fonction sinus en $5$ points seulement, on calcule son intégrale avec une précision de l'ordre de $10^{-11}$~: impressionnant non~? \bigskip \section{4. Les différentes intégrales.} L'idée qu'une intégrale pouvait être calculée comme une somme de petits rectangles était depuis longtemps bien admise. Voici ce qu'en dit Pascal (1623-1662). \vskip 2mm \strut «\?On n'entend autre chose par somme des ordonnées d'un cercle sinon la somme d'un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre, dont la somme $[\ldots]$ ne diffère de l'espace d'un demi-cercle que d'une quantité moindre qu'aucune autre donnée.\?» \vskip 2mm Il faudra attendre encore deux siècles après Pascal, avant qu'on ne donne un sens rigoureux à «\?nombre indéfini de rectangles\?» et «\?moindre qu'aucune autre donnée\?»~: celui d'une limite pour des subdivisions dont le pas tend vers $0$. Vers 1670, Newton et Leibniz firent simultanément la découverte fondamentale, que l'intégration et la dérivation était des opérations inverses l'une de l'autre. Pour calculer une aire, il suffisait désormais de connaître une primitive de la fonction qui la délimitait. Ceci fit quelque peu passer au second plan la méthode d'intégration des grecs et des arabes, consistant à découper l'aire à calculer en petits rectangles. Mais jusqu'au 19ème siècle, personne ne s'était posé la question de définir la convergence d'une somme d'aires de petits rectangles, vers une intégrale. En 1823, Cauchy fut le premier à tenter une définition rigoureuse, pour l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Malheureusement, la définition de la continuité qu'il donnait, confondait continuité et continuité uniforme, deux notions qui ne seront distinguées que bien après lui. Plus grave, Cauchy énonçait et «\?démontrait\?» un théorème faux, selon lequel l'intégrale de la limite d'une suite de fonctions serait toujours la limite des intégrales des fonctions de la suite. Tout le monde était d'accord depuis longtemps sur l'intégrale des fonctions en escalier. A partir de là, il semblerait qu'il suffise de dire qu'une fonction est limite en tout point de fonctions en escalier, et de passer à la limite sur les intégrales. Ce n'est malheureusement pas si simple. L'exemple suivant aidera à comprendre pourquoi. Pour tout entier $n$, définissons la fonction $f_n$, de $[0,1]$ dans $\bR$, qui à $x$ associe~: $$ f_n(x) = \cases{ n&si $x\in[0,1/n]$\cr 0&si $x\in{}]1/n,1]$\cr } $$ Pour tout $n$, $f_n$ est une fonction en escalier, dont l'intégrale vaut $1$. Pourtant, pour tout $x\in ]0,1]$, la suite $f_n(x)$ tend vers $0$ (elle est nulle à partir d'un certain rang). Or la fonction nulle est d'intégrale nulle~: n'en déplaise à Cauchy, l'intégrale de la limite n'est pas toujours la limite des intégrales~! En 1854, Riemann proposa un raffinement des définitions de Cauchy, qu'il rendait rigoureuses, tout en les adaptant à des fonctions qui n'étaient plus nécessairement continues. L'idée d'approcher l'intégrale par une subdivision de l'intervalle d'\'intégration restait la même. En 1902, Lebesgue proposa une nouvelle approche~: au lieu de subdiviser l'intervalle d'intégration, il subdivisait l'intervalle des valeurs de la fonction. La théorie de Lebes\-gue, si elle est plus difficile à comprendre, présente de nombreux avantages sur celle de Riemann~: les théorèmes de convergence sont plus puissants, et plus de fonctions peuvent être intégrées. L'intégrale de Lebesgue est généralement enseignée en troisième ou quatrième année d'université. Cependant, la construction de Lebesgue n'était toujours pas parfaitement satisfaisante. A peu près dix ans après Lebesgue, Arnaud Denjoy et Oskar Perron, proposèrent chacun une variante plus générale, mais plus compliquée. Il fallut attendre la fin des années cinquante pour que Ralph Henstock et Jaroslav Kurzweil se rendent compte que non seulement les intégrales de Denjoy et Perron étaient équivalentes, mais que l'on pouvait donner de leur théorie une version beaucoup plus simple~: celle qui a été présentée dans ce cours. Entre temps, bien d'autres mathématiciens ont laissé leur nom à une définition d'inté\-grale, comme Darboux, Stieltjes, Daniell, Radon, Itô, etc. \bigskip \section{5. La mésaventure de Chasles} Michel Chasles (1793-1880) avait des relations~: il était titulaire d'une chaire de géométrie à la Sorbonne créée tout spécialement pour lui, et membre de l'Académie des Sciences. Il aimait l'histoire et collectionnait les documents anciens. Il était aussi d'un patriotisme fervent$\,\ldots$~ et d'une naïveté désarmante. Un jour de 1861, il reçut un certain Vrain-Lucas, qui se disait dépositaire d'un lot de vieux papiers, sur lequel il sollicitait l'avis éclairé du grand académicien. Celui-ci, émerveillé, reconnut aussitôt dans les premiers échantillons fournis, un inestimable trésor pour notre patrimoine national~: des lettres du grand Pascal, dont certaines établissaient clairement que leur auteur avait découvert l'attraction universelle avant Newton~: quelle fierté~! Pendant des années, Chasles acheta tout ce que Vrain-Lucas pouvait lui fournir~: en tout, pas moins de vingt sept mille documents, payés cent quarante mille francs, une fortune pour l'époque. Tant pis si quelques esprits chagrins faisaient remarquer que dans les lettres de Pascal apparaissaient des données astronomiques recueillies bien après sa mort. Tant pis si dans une lettre, Galilée se plaignait de sa vue qui devenait mauvaise, alors qu'il l'avait perdue depuis quatre ans~: qu'à cela ne tienne, Chasles exhibait aussitôt d'autres lettres fournies par Vrain-Lucas, qui comme par hasard répondaient exactement à ses détracteurs. A ceux qui s'étonnaient que Jules César, Socrate, Cicéron, Hérode, Vercingétorix, aient tous écrit dans le même vieux français fantaisiste, Vrain-Lucas répondait qu'un savant du temps de Charlemagne avait rassemblé cette collection de lettres anciennes, qu'il avait déposé dans une abbaye. Sept siècles plus tard, Rabelais avait traduit les lettres, et Chasles était l'heureux acheteur des copies autographes de Rabelais. Le procès pour fraude de Vrain-Lucas eut lieu en 1870. Chasles vint lui-même exposer au tribunal comment il avait enfin découvert la supercherie~: il avait fait surveiller Vrain-Lucas qui tardait à livrer trois mille nouvelles lettres qu'il avait promises (il fallait bien le temps de les écrire~!). Pendant les huit ans que dura l'affaire, Chasles n'avait apparemment jamais eu le moindre doute, aveuglé qu'il était sans doute, par la fierté d'être celui qui conserverait à la France ces témoignages inestimables de son passé glorieux. Voici un extrait d'une {\it lettre d'Alexandre le Grand à Aristote} (sic), qui fit éclater de rire l'auditoire du tribunal. \strut«\?$\ldots$~ Quant à ce que m'avez mandé d'aller faire un voyage au pays des Gaules, afin d'y apprendre la science des druides, non seulement vous le permets, mais vous y engage pour le bien de mon peuple, car vous n'ignorez pas l'estime que je fais d'icelle nation que je considère comme étant ce qui porte la lumière dans le monde.\?» \chapterjump \chapterrunning{\ } \notthispage=0 \section{Références bibliographiques} \bigskip {\eightpoint \input henstock_ref.tex } \end % Local Variables: % TeX-command-default: "uTeX" % End: