%%\input srctex.sty \newif\ifpdf \pdffalse \ifx\pdfoutput\undefined \else \ifx\pdfoutput\relax \else \ifnum\pdfoutput<1 % \else \pdftrue \fi \fi \fi \magnification=1200 \vsize=20cm\hsize=13.2cm \pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000 \parindent=0mm \parskip=5pt plus 1pt minus 1pt % new fonts definitions \ifpdf \font\seventeenbf=ec-lmbx10 at 17.28pt \font\fourteenbf=ec-lmbx10 at 14.4pt \font\twelvebf=ec-lmbx10 at 12pt \font\eightbf=ec-lmbx8 \font\sixbf=ec-lmbx6 \font\twelvei=lmmi10 at 12pt \font\eighti=lmmi10 at 8pt \font\sixi=lmmi10 at 6pt \font\twelverm=ec-lmr10 at 12pt \font\eightrm=ec-lmr10 at 8pt \font\sixrm=ec-lmr10 at 6pt \font\eightit=ec-lmri10 at 8pt \font\eighttt=ec-lmtt10 at 8pt \font\eightsl=ec-lmro10 at 8pt \else \font\seventeenbf=ecbx10 at 17.28pt \font\fourteenbf=ecbx10 at 14.4pt \font\twelvebf=ecbx10 at 12pt \font\eightbf=ecbx8 \font\sixbf=ecbx6 \font\twelvei=cmmi10 at 12pt \font\eighti=cmmi8 \font\sixi=cmmi6 \font\twelverm=ecrm10 at 12pt 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\else %% Cork encoding -- from utf8-t1.tex \mubyte ^^c6 ^^c3^^86\endmubyte % latin capital letter AE (ash) \mubyte ^^e6 ^^c3^^a6\endmubyte % latin small letter ae (ash) \mubyte ^^d7 ^^c5^^92\endmubyte % latin capital ligature OE \mubyte ^^f7 ^^c5^^93\endmubyte % latin small ligature oe \def\AE{Æ} \def\ae{æ} \def\OE{Œ} \def\oe{œ} \fi % changing font sizes \catcode`\@=11 \def\eightpoint{% \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\eightrm}% \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}% \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\itfam=\eightit \def\it{\fam\itfam\eightit}% \textfont\slfam=\eightsl \def\sl{\fam\slfam\eightsl}% \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\eightbf}% \textfont\ttfam=\eighttt \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}% \textfont\msbfam=\eightmsb \def\Bbb{\fam\msbfam\eightmsb}% 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\def\SECTREF#1{\noindent\hbox to \srdim{\csname REF\romannumeral#1\endcsname}} \def\INDREF#1{\noindent\hbox to \irdim{\csname IND\romannumeral#1\endcsname}} \newlinechar=`\^^J \def\openauxfile{ \immediate\openin1\jobname.aux \ifeof1 \message{^^JCAUTION\string: you MUST run TeX a second time^^J} \let\sectref=\NOSECTREF \let\indref=\NOSECTREF \else \input \jobname.aux \message{^^JCAUTION\string: if the file has just been modified you may have to run TeX twice^^J} \let\sectref=\SECTREF \let\indref=\INDREF \fi \message{to get correct page numbers displayed in Contents or Index Tables^^J} \immediate\openout1=\jobname.aux \let\END=\end \def\end{\immediate\closeout1\END}} \newcount\notthispage \notthispage=1 \newbox\titlebox \setbox\titlebox\hbox{\hfil} \newbox\sectionbox \setbox\sectionbox\hbox{\hfil} \newbox\chapterbox \setbox\chapterbox\hbox{\hfil} \def\folio{\ifnum\pageno=\notthispage \hfil \else \ifodd\pageno \hfil {\eightpoint \copy\chapterbox\copy\sectionbox% 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\romannumeral\numbersection \string{% \noexpand#1 \string\dotfill \space \number\pageno \string}}} \def\section#1{% \par\vskip0.5cm\penalty -100 \vbox{\baselineskip=14.4pt\noindent{{\twelvepointbf #1}}} \vskip2pt \penalty 500 \advance\numbersection by 1 \sectionrunning{#1}} \def\subsection#1{% \par\vskip0.5cm\penalty -100 \vbox{\noindent{{\tenpointbf #1}}} \vskip1pt \penalty 500} \newcount\numberindex \numberindex=0 \def\index#1#2{% \advance\numberindex by 1 \immediate\write1{\string\def \string\IND #1% \romannumeral\numberindex \string{% \noexpand#2 \string\dotfill \space \string\S \number\numbersection, p.\string\ \space\number\pageno \string}}} \def\chapterjump{ \vfill\eject \ifodd\pageno \else {\headline={\hfil}\null\vskip0pt\vfill\eject} \fi } % Usual sets of numbers \def\bC{{\Bbb C}} \def\bD{{\Bbb D}} \def\bH{{\Bbb H}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bQ{{\Bbb Q}} \def\bR{{\Bbb R}} \def\bZ{{\Bbb Z}} % Calligraphic capital letters \def\cA{{\Cal A}} \def\cC{{\Cal C}} 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\def\RGBColor#1#2{{\pdfliteral{#1 rg}#2\pdfliteral{0 g}}} \long\def\InsertPSFigure#1 #2 #3 #4\EndFig{\par\advance\psfigurecount by 1% \pdfximage{\jobname_figures/fig\number\psfigurecount.pdf}% \setbox9=\hbox{\pdfrefximage\pdflastximage}% \psfiguredx=#1mm \advance\psfiguredx by 20mm% \hbox{$\vbox to#2mm{\vfil% \hbox{$\hskip #1mm\rlap{\smash{\raise-50mm\hbox to #1mm{\strut\kern-\psfiguredx% \pdfximage width\wd9{\jobname_figures/fig\number\psfigurecount.pdf}% \pdfrefximage\pdflastximage\kern-\wd9\hfil}}}$}}#4$}} \long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{% \vfil\special{pdf:}}#6$}} \long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par \hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\hbox{$\rlap{\smash{\pdfximage \ifnum#3=0 \else width #3mm\fi \ifnum #4=0 \else height #4mm \fi depth 0cm{#7}% \pdfrefximage\pdflastximage}}$}}#8$}} \else \special{header=mdrlib.ps} \def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}} \long\def\InsertPSFigure#1 #2 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http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/documents.html} \medskip \centerline{version du 9 mars 2013} \vskip0.6cm \section{0. Introduction} L'objectif de ce texte est de proposer une piste pour l'enseignement de la géométrie élémentaire et pour la réflexion sur cet enseignement. La géométrie euclidienne se trouve être un domaine très privilégié des mathématiques, à l'intérieur duquel il est possible de mettre en œuvre depuis le point de départ des raisonnements riches, tout en faisant appel de manière remarquable à la vision et à l'intuition. Notre préoccupation est d'autant plus grande que l'évolution des programmes scolaires depuis 3 ou 4 décennies révèle une diminution très marquée des contenus géométriques enseignés, en même temps qu'un affaiblissement du raisonnement mathématique auquel l'enseignement de la géométrie permettait précisément de contribuer de façon essentielle. Or, au delà de leurs applications dans tous les domaines des sciences, les mathématiques jouent un rôle crucial dans la formation de l'esprit critique des citoyens. Le raisonnement mathématique est un atout considérable pour évaluer la pertinence des assertions en tout genre issues de la société et du monde politique. A l'heure où une certaine expression politique tend à demander au public scolaire d'être le témoin docile de choix éthiques, gestionnaires ou sociétaux contestables -- fussent-ils marqués du sceau européen -- nous estimons au contraire que la rigueur du raisonnement mathématique et l'universalité de sa portée sont des garde-fous précieux. Encore faut-il pour cela que les connaissances scien­tifiques puissent être librement accessibles à tous, et que les politiques publiques favorisent leur création dans une vision à long terme au service du citoyen\note{1}{Dans ce domaine, nous sommes préoccupés par la réforme du système de recherche français qui tend à réduire le rôle de la recherche fondamentale au profit de la seule recherche rentable à court terme. La liberté de création et de circulation des informations scientifiques est parfois gravement compromise par une gestion abusive des questions de propriété intellectuelle au bénéfice de la bulle spéculative et financière. Nous avons ici par exemple à l'esprit le scandale des traitements de lutte contre le sida, facturés à des prix exorbitants au pays en voie de développement par des laboratoires pharmaceutiques peu scrupuleux. Mais les mathématiques elles-mêmes ne sont pas à l'abri. Ainsi, un doctorant russe en cryptanalyse dénommé Igor Sklyarov et employé par la société russe ElcomSoft, fut arrêté le 16 juillet 2001 à Las Vegas après avoir donné une conférence sur la sécurité informatique. Il a été arrêté par le FBI, sur ordre de l'industrie américaine du livre, pour avoir diffusé des algorithmes arithmétiques susceptibles de contourner des mesures de protection logicielles, selon les termes du Digital Millennium Copyright Act. Sur ce plan, nous somme heureux de constater l'émergence de communautés et d'acteurs nouveaux favo­rables à la libre diffusion des connaissances\?: logiciels libres, encyclopédie universelle Wikipedia, journaux scientifiques en libre accès, formats de documents libres et interopérables (\TeX, Openoffice Document Format, $\,\ldots$)}. Une autre forme de liberté particulièrement importante pour les mathématiques est celle de leurs méthodes d'enseignement. Ceci est vrai particulièrement dans la situation d'incertitude qui prévaut sur la validité du modèle éducatif actuel, et qui rend d'autant plus nécessaire l'exploration de nouvelles pistes. De ce point de vue, nous avons espoir que la liberté pédagogique prévue par la loi d'orientation sur l'école soit vraiment appliquée par la hiérarchie éducative, et qu'elle soit concrètement permise par les nouveaux programmes en chantier. Compte tenu du précédent des mathématiques modernes, nous ne souhaitons pas -- pour le cas improbable où certains décideurs viendraient à l'envisager -- que le présent texte de propositions soit pris trop au pied de la lettre et devienne ainsi la source d'un nouveau dogmatisme~! Nous espérons néanmoins que l'approche décrite ci-dessous sera utile aux professeurs et aux auteurs de manuels de mathématiques. Idéalement, le contenu de ce texte devrait être maîtrisé aussi par tous les professeurs d'école, car même à l'école primaire, il apparaît difficile d'avoir un recul suffisant sur l'enseignement de la géométrie sans posséder l'essentiel des notions qui vont suivre (exception faite des sections 10 à 13, qui portent sur des mathématiques plus avancées). \bigskip \section{1. Point de vue sur les axiomatiques de la géométrie} Comme discipline constituée, la géométrie trouve son origine dans l'axiomatique établie par Euclide et ses successeurs [Euc], même si des connaissances géométriques élaborées préexistaient au développement de la science grecque. \InsertImage 27 64 0 60 1.0 0 {Euclide_Elements.png} \EndFig \centerline{\it Un extrait du livre d'Euclide} \medskip L'enseignement traditionnel de la géométrie institué en France au cours de la période 1880-1970 mettait en œuvre une approche directement inspirée d'Euclide\?: énoncé des axiomes et des propriétés fondamentales des objets et figures géométriques, puis utilisation des «\?cas d'égalité des triangles\?» comme point de départ du raisonnement géométrique. Cette approche avait l'intérêt d'être très concrète et de donner lieu rapidement à des résultats et raisonnements riches en contenu. D'autre part, elle rendait fidèlement compte du caractère intrinsèque des propriétés géométriques, sans nécessiter le recours a priori au calcul et à l'algèbre. Les choix opérés faisaient écho à une tradition mathématique bien ancrée au XIX${}^{\rm e}$ siècle, ayant pour but de dégager les formes de la «\?géométrie pure\?», dont l'un des points culminants a été le développement de la géométrie projective par Poncelet [Pon]. L'axiomatique d'Euclide n'était cependant ni complète ni tout à fait satisfaisante sur le plan logique, ce qui a conduit des mathématiciens comme Pasch [Pas] et Hilbert à mettre au point le système d'axiomes maintenant attribué à Hilbert, popularisé dans son célèbre mémoire Grundlagen der Geometrie en 1899, cf.\ [Hil]. \InsertImage 47.5 54 0 50 1.0 0 {Hilbert.jpg} \EndFig \centerline{\it David Hilbert $($1862--1943$\,)$, en 1912} \medskip Il faut noter toutefois que le nombre élevé d'axiomes mis en jeu et la complexité logique du système rendent en réalité impossible son enseignement à un niveau élémentaire\note{2}{Même sous la forme sensiblement améliorée présentée par E.~Artin dans son célèbre ouvrage «\?Algèbre géométrique\?» [Art], il apparaît que l'axiomatique de Hilbert peut difficilement être abordée avant la $3^{\rm e}$ ou $4^{\rm e}$ année d'université.}, ce qui veut dire qu'un nombre substantiel de propriétés formellement démontrables devront être admises, et que la logique de cette axiomatique a toutes les chances d'échapper complètement à l'élève (et même à ses enseignants). Ceci n'est toutefois pas nécessairement un handicap majeur pour l'introduction et la compréhension des principaux résultats géométriques, comme la longue expérience de l'enseignement secondaire de la III${}^{\rm e}$ République l'a amplement montré. On peut noter cependant une certaine coupure avec les formes modernes beaucoup plus diversifiées du raisonnement géométrique, coupure déjà sensible avec la géométrie analytique introduite par Descartes [Des] dans la première moitié du XVII${}^{\rm e}$ siècle. La réforme Lichnerowicz (plus connue sous le nom de réforme des ``mathématiques moder\-nes'') a balayé ces points de vue en imposant brutalement un changement complet de paradigme\?: l'enseignement de la géométrie se devait selon Jean Dieudonné [Die] de commencer par les fondements de l'algèbre linéaire, traités qui plus est par une approche formelle et axiomatique dans le cadre le plus général possible. Or celle-ci présente une difficulté conceptuelle a priori, qui est que l'univers sensible des physiciens est celui de la géométrie euclidienne, avec en particulier la notion de longueur sous-jacente, alors que l'algèbre linéaire abstraite tend à vouloir faire commencer la géométrie avec un groupe d'invariance plus grand, à savoir le groupe de toutes les transformations linéaires. Si cette approche a pu tout de même donner des résultats satisfaisants au milieu des années 1970, notamment avec les 2 ou 3 promotions d'élèves qui avaient encore bénéficié des programmes de géométrie euclidienne traditionnelle au collège, il est apparu que les programmes s'enfermaient peu à peu dans un formalisme excessif et stérile. On peut citer en exemple la définition absconse de la droite affine donnée par les programmes de 4${}^{\rm e}$ au cours des années 1975-1985\?: c'est un ensemble muni d'un système de bijections avec l'ensemble des nombres réels, de sorte que deux bijections quelconques $f$, $g$ se déduisent l'une de l'autre par une relation de la forme $g(M)=af(M)+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels et~$a\ne 0$. \InsertImage 2 55 0 50 1.0 0 {Descartes.jpg} \EndFig \vskip -55.3mm \InsertImage 48 55 0 50 1.0 0 {Dieudonne0.jpg} \EndFig \vskip -55.3mm \InsertImage 91 55 0 50 1.0 0 {Lichnerowicz0.jpg} \EndFig \centerline{\it de Descartes $($1596--1650$\,)$~ à~ Dieudonné $($1906--1992$\,)$~ et~ Lichnerowicz $($1915--1998$\,)$} \medskip Les élèves ont fini par en faire une indigestion chronique - aggravée il est vrai par les multiples réformes intervenues dans le primaire, qui ont abouti de leur côté à un recul des possibilités de raisonnement et des savoirs fondamentaux en calcul. L'étape suivante, sous le ministère Chevènement en 1985, a résulté dans une série de coupes sombres dans les programmes. Ceux-ci ont été marqués par un nouvel affaiblissement des contenus enseignés en géométrie, dans des formes qui ne laissaient plus place au collège qu'à des quasi-tautologies en guise de raisonnement. La «\?dégénérescence\?» de l'enseignement du raisonnement nous paraît en grande partie imputable à l'insuffisance de structuration logique des programmes et à l'absence d'un vocabulaire apte à formuler des énoncés riches et précis, comme par exemple le vocabulaire ensembliste devenu soudain suspect et donc frappé de bannissement quasi total. Bien que les programmes actuels du lycée donnent l'illusion de contenir encore des éléments substantiels de géométrie, on voit que la dominante est l'utilisation de calculs de géométrie analytique dans $\bR^2$ et $\bR^3$, sans qu'une formulation intrinsèque des concepts mis en jeu puisse se dégager clairement, en particulier l'idée essentielle que les objets géométriques sont indépendants des coordonnées choisies. Il est donc indispensable d'en revenir à des modes d'enseignement de la géométrie qui posent clairement la nature géométrique des objets considérés, ce qui signifie que des définitions précises doivent pouvoir être données, et que les programmes doivent permettre d'obtenir et de démontrer des énoncés riches à partir des propriétés prises comme point de départ. En un mot, il convient d'en revenir, sous une forme explicite ou non, à une certaine forme de présentation axiomatique de la géométrie. Nous ne voulons pas dire par là que l'enseignement doit nécessairement adopter l'ordre de présentation très strict sous-tendu par l'axiomatique choisie (quelle qu'elle soit), mais celle-ci devrait d'une part donner un cadre précis où les enseignants puissent se retrouver, et d'autre part guider la conception des programmes et des progressions. Pour justifier notre souhait de dépasser l'approche d'Euclide encore utilisée dans l'enseignement il y a 50 ans, nous ferons observer que l'on bénéficie aujourd'hui d'un avantage considérable par rapport aux Grecs, qui est de disposer depuis François Viète et Simon Stevin de notations algébriques universellement admises, et depuis Descartes, de la possibilité d'aborder la géométrie au moyen des coordonnées et du calcul analytique. \InsertImage 15 55 0 50 1.0 0 {Viete0.jpg} \EndFig \vskip -55mm \InsertImage 81 55 0 50 1.0 0 {Stevin0.png} \EndFig \medskip \centerline{\it François Viète $($1540--1603$\,)$\kern25mm Simon Stevin $($1548--1620$\,)$} \medskip Pour ce qui est des nombres réels au sens moderne, la géométrie grecque semblait surtout mettre l'accent sur le concept de rapport de grandeurs de même nature, et la notion de fonction polynôme n'était pas dégagée en tant que telle~-- même si les Grecs savaient ramener les équations du second et du troisième degré à des problèmes géométriques. L'approche que nous voulons proposer ici sera donc une synthèse des points de vue de Pythagore et Euclide avec celui de Descartes. La géométrie euclidienne se caractérise par la donnée d'une distance se calculant au moyen du théorème de Pythagore, et il se trouve alors que tous les objets dont on a besoin en géométrie euclidienne peuvent se définir à partir de la seule notion de longueur\note{3}{Il est bien connu aujourd'hui que la donnée de la structure métrique détermine un grand nombre d'autres invariants, comme la mesure au sens de Hausdorff, la courbure riemannienne, etc. Ce point de vue a été très largement développé par Mikhail Gromov dans les 2 ou 3 dernières décennies. Voir par exemple M.\ Gromov, {\it Structures métriques pour les variétés riemanniennes}, rédigé par J.\ Lafontaine et P.\ Pansu, Cedic/Fernand Nathan, Paris, 1981.}. Ainsi, dans la reconstruction de la géométrie euclidienne que nous allons exposer, le théorème de Thalès peut se déduire de celui de Pythagore. Un autre avantage est que toutes les notions peuvent se définir à l'aide d'un formalisme minimal et intuitif. De fait, la théorie va comporter une seule propriété de départ, liée directement au théorème de Pythagore, que l'on peut en outre justifier au préalable par des considérations intuitives simples et visuelles (mais ce n'est certes pas la présence d'un seul axiome qui soit nécessairement le fait décisif~-- en réalité l'axiome «\?Pythagore+Descartes\?» que nous allons introduire s'apparente davantage à une description concise d'un modèle de la géométrie euclidienne qu'à un axiome proprement dit). Contrairement à l'approche issue de l'algèbre linéaire, nous partons des notions de points et de figures géométriques plutôt que de celles beaucoup moins intuitives de vecteurs et d'espaces vectoriels, et l'idée de vecteur apparaîtra comme une construction a posteriori. Un autre de nos buts est de démonter l'argument erroné que la géométrie élémentaire enseignée autrefois ne constitue pas une partie sérieuse ou utile des mathématiques, parce que non susceptible d'une formalisation rigoureuse au sens moderne. Il y a certainement quelques désavantages à la synthèse qui va être exposée. L'un d'entre eux est d'être seulement une reconstruction moderne, qui, même si elle paraîtra tout à fait évidente au mathématicien contemporain (et aurait sans doute paru évidente aussi à Klein ou Hilbert), n'a probablement jamais été enseignée telle quelle à une quelconque époque. Un autre est de «\?rigidifier\?» d'emblée le modèle euclidien, donc de ne pas être le cadre adapté aux autres géométries d'incidence telles que les géométries affines ou projectives. Enfin, les nombres réels sont introduits a priori dans le modèle, donc il n'est pas question non plus d'accéder aux géométries sur d'autres corps que celui des réels. Mais pour une utilisation potentielle au collège ou au lycée, nous avons fait le choix délibéré de privilégier l'extrême simplicité à la généralité, et de nous focaliser sur le modèle euclidien et archimédien qui est aussi celui de la physique classique newtonienne$\,\ldots$ %%\vfill\eject \section{2. Savoirs fondamentaux en calcul et en géométrie} Comme nous l'avons esquissé plus haut, l'enseignement de la géométrie est indissociable de celui du calcul arithmétique. Cela sera vrai en particulier pour l'étude du modèle euclidien (au sens moderne du terme), qui est fondé sur la notion de nombre réel. Nous décrirons donc tout d'abord les connaissances fondamentales en calcul mises en jeu. \subsection{2.1. L'école primaire et les quatre opérations} Il est indispensable que l'école primaire enseigne de nouveau le calcul écrit, afin d'abou­tir à une maîtrise complète des algorithmes opératoires -- les calculettes ne doivent être utilisées que lorsque l'élève y est parvenu. La pratique sûre et effective du calcul écrit suppose une connaissance fluide des tables d'addition et de multiplication (et leur lecture inverse$\,$: «\?tables de soustraction\?» et de «\?division\?»). Certains pédagogues minima­listes tendent à reporter l'essentiel de leur attention sur le calcul approché (estimations des ordres de grandeur) ou sur le calcul mental, mais les points suivants sont à peu près incontournables$\,$: {\parindent=6.5mm \item{--}bien que le calcul mental, comme le calcul écrit, implique la connaissance fluide des tables, ses procédures sont différentes, du fait de la nécessaire mémorisation des résultats intermédiaires. On procède ainsi par manipulation des unités, dizaines, centaines, milliers plutôt que sur les chiffres pris isolément, en partant d'ailleurs en général plutôt des chiffres de poids fort que des chiffres de poids faible comme c'est le cas avec les algorithmes posés usuels. En outre, la taille réduite des nombres mis en jeu ne permet pas d'atteindre le degré de généralité nécessaire pour une compréhension complète des algorithmes du calcul posé. \item{--}s'il existe chez le jeune enfant une sorte de perception intuitive de la taille des nombres précédant son aptitude au calcul exact (perception qu'il convient bien sûr de ne pas contrecarrer), la fiabilité de la maîtrise du calcul approché et des ordres de grandeur n'est atteinte qu'au moyen d'éléments préalables du calcul exact, par exemple le calcul des puissances de dix combiné à la table de multiplication. \item{--}enfin, même dans l'optique de la maîtrise du seul calcul approché, l'apprentissage d'un algorithme tel que celui de la division est un atout décisif$\,$: lorsque le diviseur comporte deux chiffres ou plus, l'obtention des chiffres du quotient fait fonctionner de manière très effective l'aptitude au calcul approché de la multiplication d'un nombre à un chiffre par un nombre à plusieurs chiffres. En la circonstance, on sait bien que l'enfant a besoin de points de repère précis et d'objectifs clairement définis pour construire ses schémas mentaux, il ne suffit donc pas de déclarer le calcul approché comme un objectif pour qu'il se réalise par miracle. \vskip0pt } Bien entendu la maîtrise des algorithmes est très loin de se suffire à elle-même, l'enfant ne peut accéder au sens des opérations qu'en résolvant aussi des problèmes concrets portant sur des grandeurs de la vie courante (nombre de pommes, monnaie, longueurs, poids$\,\ldots$). Ce sens ne peut se construire de manière efficace que si les quatre opérations sont introduites simultanément, afin que l'enfant puisse comparer et éventuellement opposer l'usage des différentes opérations. C'est donc le plus tôt possible, au cours préparatoire et même à la maternelle, que les quatre opérations doivent être étudiées. \subsection{2.2. Synergie de l'enseignement du calcul et de la géométrie} C'est dès la maternelle que les considérations géométriques apparaissent, par exemple au travers des activités de dessin ou de coloriage. Il est utile de faire dessiner des motifs géométriques simples, des frises, etc. Au cours des premières années du primaire, le travail sur la géométrie doit venir solliciter les connaissances en calcul et réciproquement. Ainsi, le calcul du périmètre d'un rectangle permet de faire travailler l'addition, celui de son aire fait utilement mettre en pratique la multiplication et les changements d'unité. La représentation géométrique du rectangle donne la preuve de la commutativité de la multiplication\?: \InsertPSFigure 5.000 32.000 { gsave /a 7 def /b 5 def /w 15 def 0.3 setlinewidth 0 1 a {/k exch def k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke } for 0 1 b {/l exch def 0 l w mul moveto w a mul 0 rlineto stroke } for 0 1 a 1 sub {/k exch def 0 1 b 1 sub {/l exch def w 2 div dup w k mul add exch w l mul add moveto currentpoint 3 0 360 arc fill } for } for 1 0 0 setrgbcolor 0 1 b 1 sub {/l exch def w 2 div dup l w mul add moveto w a 1 sub mul 0 rlineto stroke } for 0 0 0 setrgbcolor w a 2.5 add mul 0 translate 0 1 a {/k exch def k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke } for 0 1 b {/l exch def 0 l w mul moveto w a mul 0 rlineto stroke } for 0 1 a 1 sub {/k exch def 0 1 b 1 sub {/l exch def w 2 div dup w k mul add exch w l mul add moveto currentpoint 3 0 360 arc fill } for } for 1 0 0 setrgbcolor 0 1 a 1 sub {/k exch def w 2 div dup k w mul add exch moveto 0 w b 1 sub mul rlineto stroke } for grestore } \LabelTeX 100 12 $7\times 5=5\times 7$\ELTX \EndFig \medskip Certaines identités numériques comme $6\times 8=7\times 7-1$ ou $5\times 9=7\times 7-4$ peuvent se visualiser et s'expliquer géométriquement (il serait bon de faire la manipulation avec des pièces en bois pour solliciter tous les sens$\,\ldots$) \InsertPSFigure 5.000 43.000 { gsave /a 7 def /b 7 def /w 15 def 0.3 setlinewidth 0 0 moveto a 1 sub w mul 0 rlineto 0 w rlineto a 1 sub w mul neg 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill 0 w moveto a w mul 0 rlineto 0 b 1 sub w mul rlineto a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill w a 1 sub mul 0 moveto w 0 rlineto 0 w rlineto w neg 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill 0 setgray 0 1 a 1 add {/k exch def k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke } for 0 1 b {/l exch def 0 l w mul moveto w a 1 add mul 0 rlineto stroke } for w a 1 add 2.5 add mul 0 translate a w mul w moveto w 0 rlineto 0 w b 1 sub mul rlineto w neg 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill 0 w moveto a w mul 0 rlineto 0 b 1 sub w mul rlineto a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill w a 1 sub mul 0 moveto w 0 rlineto 0 w rlineto w neg 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill 0 setgray 0 1 a 1 add {/k exch def k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke } for 0 1 b {/l exch def 0 l w mul moveto w a 1 add mul 0 rlineto stroke } for grestore } \LabelTeX 15 -5 $7\times 7$\ELTX \LabelTeX 65 -5 $6\times 8=7\times 7-1$\ELTX \EndFig \vskip3mm \InsertPSFigure 5.000 41.000 { gsave /a 7 def /b 7 def /w 15 def 0.3 setlinewidth 0 0 moveto a 2 sub w mul 0 rlineto 0 w 2 mul rlineto a 2 sub w mul neg 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill 0 w 2 mul moveto a w mul 0 rlineto 0 b 2 sub w mul rlineto a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill w a 2 sub mul 0 moveto w 2 mul 0 rlineto 0 w 2 mul rlineto w -2 mul 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill 0 setgray 0 1 a 2 add {/k exch def k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke } for 0 1 b {/l exch def 0 l w mul moveto w a 2 add mul 0 rlineto stroke } for w a 2 add 2.5 add mul 0 translate a w mul w 2 mul moveto w 2 mul 0 rlineto 0 w b 2 sub mul rlineto w -2 mul 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill 0 w 2 mul moveto a w mul 0 rlineto 0 b 2 sub w mul rlineto a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill w a 2 sub mul 0 moveto w 2 mul 0 rlineto 0 w 2 mul rlineto w -2 mul 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill 0 setgray 0 1 a 2 add {/k exch def k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke } for 0 1 b {/l exch def 0 l w mul moveto w a 2 add mul 0 rlineto stroke } for grestore } \LabelTeX 15 -5 $7\times 7$\ELTX \LabelTeX 65 -5 $5\times 9=7\times 7-2\times 2$\ELTX \EndFig \vskip3mm Ces petits raisonnements sont bien de véritables démonstrations mathématiques, parmi les premières que l'on puisse présenter aux élèves. Venons-en aux aires. On commencera naturellement par le calcul de l'aire d'un rectangle dont les côtés comprennent un nombre entier de fois l'unité de longueur choisie. Plus tard, pour calculer l'aire d'un rectangle de côtés $1,2\,$m par $0,7\,$m, on se ramène en décimètres, ce qui donne $$12\,\hbox{dm}\times 7\,\hbox{dm}=84\,\hbox{dm}^2=0,84\,\hbox{m}^2,$$ sachant que $1\,\hbox{m}^2=100\,\hbox{dm}^2$ et donc $1\,\hbox{dm}^2=0,01\,\hbox{m}^2$. On voit donc que l'aire d'un rectangle est bien toujours le produit des longueurs des côtés, même lorsque ces longueurs sont des nombres décimaux. La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition se lit géométriquement\?: \InsertPSFigure 5.000 36.000 { gsave 0 0 moveto 120 0 lineto 120 90 lineto 0 90 lineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill 120 0 moveto 180 0 lineto 180 90 lineto 120 90 lineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill 0 setgray 0 0 moveto 120 0 lineto 120 90 lineto 0 90 lineto closepath stroke 120 0 moveto 180 0 lineto 180 90 lineto 120 90 lineto closepath stroke grestore} \LabelTeX -3 15 $a$\ELTX \LabelTeX 20 -4 $b$\ELTX \LabelTeX 52 -4 $c$\ELTX \LabelTeX 75 15 $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$\ELTX \EndFig \vskip3mm Le calcul des aires et des volumes permet ainsi de consolider la compréhension du sens des opérations en liaison avec la manipulation des unités. Il est possible de donner en primaire de véritables démonstrations mathématiques non triviales -- par exemple en CM1 ou en CM2 on peut donner la justification de la formule d'aire du disque\?: \InsertPSFigure 11.000 55.000 { gsave 0.5 0.5 scale -60 0 translate /R 120 def /steps 16 def /delta 360 steps div def R 1.1 mul R 1.1 mul translate 0 1 steps 1 sub { /k exch def 0 0 moveto k delta mul dup cos R mul exch sin R mul lineto 0 0 R k delta mul k 1 add delta mul arc 0 0 lineto closepath gsave k 2 mul steps lt { 0.8 0.8 1 setrgbcolor } { 1 0.8 0.8 setrgbcolor } ifelse fill grestore stroke} for gsave 0.4 setlinewidth [ 5 2 ] 0 setdash 0 0 moveto 180 delta 0.5 mul sub dup cos R mul exch sin R mul lineto stroke grestore /delta delta 2 div def /dx delta sin R mul 2 mul def R 1.6 mul R -0.5 mul translate gsave 0 1 steps 2 div 1 sub { /k exch def 0 0 moveto delta sin R mul delta cos R mul lineto 0 0 R 90 delta sub 90 delta add arc currentpoint /y exch def /x exch def 0 0 lineto closepath gsave 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill grestore stroke gsave x dx add y translate 1 -1 scale 0 0 moveto delta sin R mul delta cos R mul lineto 0 0 R 90 delta sub 90 delta add arc 0 0 lineto closepath gsave 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill grestore stroke grestore dx 0 translate} for grestore gsave 0.4 setlinewidth [ 5 2 ] 0 setdash 0 0 moveto 0 R lineto stroke dx steps mul 0.5 mul 0 translate 0 0 moveto 0 R lineto stroke 0 0 R 90 90 delta add arc stroke grestore 0 -30 moveto 0 180 10 vector stroke 0 -30 moveto dx steps mul 0.5 mul 0 10 vector stroke dx steps mul 0.5 mul 35 add 0 translate 0 0 moveto 0 -90 10 vector stroke 0 0 moveto R 90 10 vector stroke grestore } \LabelTeX 7 48 Disque\kern1.4cm $\longrightarrow$\kern1.4cm parallélogramme (ou rectangle)\ELTX \LabelTeX -9 -5 $\displaystyle \pi={P\over D}~~\Rightarrow~~ P=\pi\times D=2\times \pi\times R$\ELTX \LabelTeX 72 0 base$\displaystyle{}\simeq{P\over 2}=\pi\times R$\ELTX \LabelTeX 115 22 $R$\ELTX \EndFig À la limite, en augmentant le nombre de secteurs triangulaires, on voit donc que l'aire du disque est donnée par $\pi\times R\times R=\pi R^2$. Bien entendu, ce travail suppose que l'on ait au préalable soigneusement traité l'aire du rectangle, du triangle et du parallélogramme, avec là encore les découpages géométriques classiques pour justifier les formules. Le statut de la formule $P=\pi D=2\pi R$ est différent, dans ce cas il s'agit plutôt d'une {\it définition} du nombre~$\pi$\?: c'est le rapport du périmètre au diamètre, qui est indépendant du cercle considéré (on justifiera intuitivement que si le diamètre double ou triple, il en est de même pour le périmètre, ce qui formellement résulte du théorème de Thalès$\,\ldots$). Il est bien sûr souhaitable d'expérimenter en enroulant quelques tours d'une ficelle autour d'un tuyau de diamètre connu, pour trouver une valeur approchée de~$\pi$. De manière générale, l'enseignement de la géométrie doit se faire autour de mani­pulations concrètes\?: découpages, usage des instruments (règle, compas, rapporteur), tracés et constructions élémentaires (milieu, médiatrice, bissectrice, $\ldots$). Le travail sur papier quadrillé aide à former une première représentation intuitive des coordonnées cartésiennes~; il serait donc extrêmement utile d'envisager des activités dans cette direction dès le Cours \'Elémentaire. \subsection{2.3. Nombres négatifs, racines carrées, nombres réels} Avec la maîtrise des opérations élémentaires apparaissent naturellement les progressions arithmétiques et géométriques simples $$ \eqalign{ &0,\quad a,\quad 2a,\quad 3a,\quad 4a,\quad 5a,\quad 6a,\quad 7a, \quad \ldots\cr &1,\quad a,\kern10.7pt a^2,\kern10.7pt a^3,\kern10.7pt a^4,\kern10.7pt a^5,\kern10.7pt a^6,\kern10.7pt a^7,\kern10pt \ldots\cr} $$ où $n\,a=a+a+\ldots+a$ (répété $n$ fois) et $a^n=a\times a\times\ldots\times a$ (répété $n$ fois). Le cas particulier des carrés, des cubes et des puissances de 10 relève déjà de l'enseignement primaire. C'est encore au moyen de considérations géométriques (règle graduée, thermomètre), que l'on ressent le mieux le besoin d'introduire les nombres négatifs, à commencer par les multiples entiers négatifs d'une unité\?: $$ \ldots~~-5u,\quad -4u,\quad -3u,\quad -2u,\quad -u,\quad 0, \quad u,\quad 2u,\quad 3u,\quad 4u,\quad 5u,\quad 6u,\quad 7u~~\ldots $$ Au début du collège, on peut ensuite enchaîner avec les nombres décimaux négatifs et les échelles de mesure «\?continues\?». Le souhait d'étendre la propriété de distributivité de la multiplication aux nombres de signe quelconque permet de déduire la règle des signes pour le produit des nombres positifs et négatifs\?: $$a\times(b+(-b))=a\times b + a\times(-b),$$ et comme le membre de gauche vaut $a\times 0=0$ on doit avoir $a\times(-b)=-(a\times b)$. À la fin du cycle primaire, la pratique sûre de la division posée permet d'observer la périodicité des restes et donc du développement décimal d'une fraction. Ceci est particulièrement apparent sur de nombreuses fractions de petit dénominateur conduisant à une périodicité très courte (dénominateurs tels que 3, 7, 9, 11, 21, 27, 33, 37, 41, 63, 77, 99, 101,~271 ($\ldots$) et leurs multiples par 2 et 5, qui conduisent à une période de longueur 6 au plus). Les nombres réels apparaissent naturellement comme développements décimaux non périodiques avec l'introduction de la racine carrée. Cependant, l'usage prématuré des calculettes lié à l'absence de pratique suffisante du calcul décimal approché «\?à la main\?», par exemple des divisions, risque de conduire à une vision pauvre, trop formelle, de la notion de racine carrée. Il convient absolument que les élèves soient confrontés au problème numérique de l'extraction de la racine carrée, par exemple de $\sqrt{2}\,$: $$ \eqalign{ &(1,4)^2= 1,96\quad (1,5)^2= 2,25\qquad\hbox{donc}\quad 1,4<\sqrt{2}<1,5,\cr &(1,41)^2= 1,9881\quad (1,42)^2= 2,0164\qquad\hbox{donc}\quad 1,41<\sqrt{2}<1,42,\cr &(1,414)^2= 1,999396\quad (1,415)^2= 2,002225\qquad\hbox{donc} \quad 1,414<\sqrt{2}<1,415\quad\ldots\cr} $$ Nous recommandons cette réintroduction dès la cinquième, en même temps que la preuve du théorème de Pythagore, qui met en évidence la nécessité géométrique des racines carrées (bien sûr, ceci suppose en pratique que les graves déficiences du primaire aient été préalablement résolues$\,\ldots$). Lorsque ceci aura été compris, il deviendra possible de donner une définition précise générale de la notion de nombre réel, qui est une bonne occasion d'avoir une première approche implicite de la notion de limite$\,$: \medskip {\bf (2.3.1) Définition.} {\it Les nombres réels servent à mesurer les grandeurs, avec une précision illimitée. Un nombre réel s'exprime donc par un développement décimal illimité quelconque, non nécessairement périodique, autrement dit une suite $\pm\;\sqsymb\sqsymb\ldots\sqsymb\sqsymb, \sqsymb\sqsymb\sqsymb\sqsymb\sqsymb\ldots$ de~chiffres $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ en nombre fini à gauche de la virgule et en nombre infini à droite de celle-ci, précédée du signe $+$ ou du signe~$-$ $($l'absence de signe signifiant implicitement qu'on met le signe $+{}$, sauf pour le nombre zéro $\,0=0,000\ldots\;$ qui n'a pas de signe$)$.\\ D'un point de vue géométrique, un nombre réel correspond à un point sur un axe orien­té, qui serait positionné à l'aide d'une «\?règle graduée de précision infinie\?».} \medskip Nous préconisons de manière très ferme l'enseignement de l'algorithme d'extraction de la racine carrée «\?à la main\?», qui, comme tout algorithme effectif, met l'enfant en situation de maîtriser son environnement numérique (et lui fait voir, en la circonstance, l'absence de raison particulière qu'une racine carrée d'un nombre entier possède en général un développement décimal périodique). Ce serait là une excellente consolidation post-primaire de la pratique du calcul posé$\,$; l'expérience montre que les enfants qui maîtrisent bien la division passent très facilement à l'algorithme de la racine carrée (une heure ou deux suffisent), de sorte que cet apprentissage n'engendre aucune perte de temps. Malheureusement, il n'est possible de tester ceci aujourd'hui que sur une fraction infime de la population scolaire, tellement la soupe est devenue insipide et la maîtrise des algorithmes opératoires incertaine$\,\ldots$ Pour que la définition (2.3.1) devienne rigoureuse et précise, on doit expliquer aussi les développements décimaux propres et impropres$\,$\note{4}{Une fois que cela est fait, la définition (2.3.1) peut être considérée comme une définition formelle parfaitement acceptable des nombres réels -- même si celle-ci a l'inconvénient, qui tient plus d'un léger manque d'élégance, de sembler dépendre du choix de la base 10.}. On fait constater à l'élève que $0,999999\ldots = 1$, en effet si $x=0,999999\ldots\;$, alors \hbox{$10\,x = 9,999999\ldots\;$}, donc\break \hbox{$10\,x-x=9$} et ceci conduit à admettre nécessairement que $x=1$, si on veut que les règles de calcul sur les nombres décimaux continuent à fonctionner sur les dévelop­pements décimaux illimités. Plus généralement on a par exemple $$ 0,34999999\ldots=0,35 = 0,35000000\ldots $$ Ces observations apparaissent comme des précisions à apporter à la définition (2.3.1)$\,$: \medskip {\bf (2.3.2) Complément à la définition des nombres réels.} {\it Les nombres décimaux ont deux écritures possibles, l'une finie $($ou, ce qui revient au même, comportant une infinité de $0$ consécutifs$)$, appelée «\?déve­loppement propre\?», l'autre sous forme de «\?dévelop­pement impropre\?» avec une infinité de~$9$ consécutifs et le chiffre précédent réduit d'une unité. Les nombres réels non décimaux n'ont qu'un seul développement décimal illimité.} \medskip Les opérations sur les décimaux permettent de trouver le trouver le développement de la somme et du produit de deux nombres réels avec n'importe quelle précision donnée d'avance -- donc de calculer la somme et le produit de deux nombres réels, au moins en principe\note{5}{Pour une justification théorique complète, on a besoin du théorème sur la convergence des suites croissantes majorées de nombres réels, ce qui relève au mieux du lycée, cf.\ notre texte {\it Puissances, exponentielles, logarithmes,$\,\ldots$} pour plus de détails.}. La relation d'ordre est obtenue en comparant les décimales une à une. À ce stade, dès la cinquième disons, on devrait pouvoir aboutir aux caractérisations importantes qui suivent (sous réserve que tous les programmes précédents aient été reconstruits de manière solide$\,$!)$\,$: %%\medskip \eject {\bf (2.3.3) Caractérisation des nombres rationnels et décimaux.}{\it {\parindent=6.5mm \item{\rm (a)} Un développement décimal représente un nombre rationnel $($fraction de nombres en­tiers$)$ si et seulement si ce dévelop­pement est périodique à partir d'un certain rang. \item{\rm (b)} Parmi les nombres rationnels, les nombres décimaux sont ceux dont le dévelop­pement comporte au choix une infinité de $0$ consécutifs $($«\?développement décimal propre\?»$)$ ou une infinité de $9$ consécutifs $($«\?développement décimal impropre\?»$)$. \item{\rm(c)} Les nombres réels non décimaux sont caractérisés par le fait que leur développement ne comporte pas une suite infinie de décimales consécutives qui sont tous des $0$ ou tous des $9\,;$ ils ont donc soit une infinité de décimales qui ne sont ni des $0$ ni des~$9$, soit une alternance infinie $($éventuellement irrégulière$)$ de $0$ et de~$9$ à partir d'un certain rang.\medskip}} {\it Démonstration.} (a) En effet, étant donné une fraction $p/q$ simplifiée qui n'est pas un nombre décimal (c'est-à-dire que $q$ a d'autres facteurs premiers que $2$ et $5$), l'algorithme de division avec virgule de $p$ par $q$ «\?ne tombe pas juste\?» et conduit à des restes qui figurent parmi $1$, $2$, $\ldots$ , $q-1$. Au bout de $q-1$ étapes au plus après la virgule, on retombe nécessairement sur un reste déjà trouvé, de sorte que le développement est périodique et que la période est au plus de longueur $q-1$. Inversement, si on a un développement périodique, disons de longueur $5$, soit par exemple $$ x=0,107\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots, $$ on observe que la division $1:99999$ donne $$ {1\over 99999}=0,\RGBColor{1 0 0}{00001}\RGBColor{0 0 1}{00001}\RGBColor{1 0 0}{00001}\RGBColor{0 0 1}{00001}\ldots, $$ de sorte que $$ \eqalign{ &{23114\over 99999}=23114\times{1\over 99999} =0,\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots\cr \noalign{\vskip6pt} &{23114\over 99999000} =0,000\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots\cr } $$ En définitive, comme $0,107=\displaystyle{107\over 1000}$, on obtient $$ x={107\over 1000}+{23114\over 99999000} ={107\times 99999+23114\over 99999000} ={10723007\over 99999000} $$ qui est bien un nombre rationnel. Ce procédé de mise en forme de fraction s'étend facilement à tout développement décimal périodique. L'affirmation (b) est seulement une reformulation de la définition (2.5), et (c) lui est équivalente. Le dernier cas de (c) est illustré par exemple par le nombre rationnel $1/11=0,09090909\,\ldots$\qed \medskip Toutes ces considérations sont consolidées par l'introduction du calcul algébrique et polynomial, la manipulation des inégalités et des encadrements, les identités remarquables. Il me paraît important de visualiser géométri­quement $(a+b)^2$, $(a+b)(a-b)$. Il serait utile de distribuer dans toutes les écoles primaires et tous les collèges de France des assemblages de pièces en bois permettant de visualiser $(a+b)^2$, $(a+b)^3$ (car ce sujet peut même être abordé de manière concrète dès la fin de l'école primaire, à l'occasion de l'introduction des aires et des volumes). L'identité $(10a+b)^2-100a^2=(20a+b)b$ intervient dans la justification de l'algorithme de la racine carrée. À un niveau plus élémentaire (disons au CM2) -- et avec une justification seulement géométrique sur des carrés découpés dans du papier millimétré -- la formule $$ (10a+5)^2=100\,a(a+1)+25 $$ peut servir au calcul mental efficace de carrés de nombres se terminant par 5$\,$:\break ainsi $(75)^2=5625$, le nombre $56$ étant obtenu en faisant $a(a+1)=7\times 8$. \bigskip \section{3. Premiers pas de l'enseignement de la géométrie au collège} \sectionrunning{3. Premières étapes de l'enseignement de la géométrie au collège} \subsection{3.1. Concepts fondamentaux} Compte tenu de l'approche que nous souhaitons développer, la notion de longueur et de distance est l'une des notions primitives sur lesquelles nous allons nous appuyer -- ceci ne devrait pas poser de difficulté particulière puisqu'il s'agit précisément de l'une des premières notions déjà enseignées à l'école primaire. Les autres notions primitives sont celle de nombre réel (déjà discutée), et celles de point et d'ensemble de points\?: un point doit être pensé comme un objet géométrique qui n'a ni étendue ni épaisseur (ou plutôt une épaisseur et une étendue nulles); on en obtient une approximation en représentant une petite croix avec un crayon bien taillé. Une figure géométrique est constitué d'une collection ordonnée finie ou infinie de points -- ainsi une ligne continue contient une infinité de points au sens mathématique du terme. Une droite, un plan sont également considérés comme des ensembles infinis de points. On sera donc amené à raisonner avec les ensembles, et, pour cela, nous recommandons que le symbolisme ensembliste de base soit (ré)introduit dès le début du collège\?: ensembles définis en extension et en compréhension, notations $x\in E$ (l'élément $x$ appartient à l'ensemble $E$), $F\subset G$ (l'ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $G$), $F\cup G$ (union de $F$ et $G$), $F\cap G$ (intersection de $F$ et $G$), $F\ssm G$ (différence ensembliste $F$ moins $G$). À ce niveau, il s'agit seulement d'un langage et de notations utiles, pas d'une théorie axiomatique$\,\ldots$ \'Etant donné deux points $A,B$ du plan ou de l'espace, on note $d(A,B)$ (ou encore simplement $AB$) leur distance, qui est en général un nombre positif, nul si les points $A$ et $B$ sont confondus -- concrètement cette distance se mesure avec une règle graduée. La première propriété fondamentale de la distance est la suivante\?: \medskip {\bf 3.1.1. Inégalité triangulaire.} {\it \'Etant donnés trois points $A,B,C$, les distances vérifient toujours $AC\le AB+BC$, autrement dit la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.} {\it Justification intuitive}. \InsertPSFigure 18.000 25.000 { gsave 0.4 setlinewidth 0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto closepath stroke 50 50 moveto 60.345 24.138 lineto stroke 60.345 24.138 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke 140 0 translate 0 0 moveto 120 60 lineto 100 40 lineto closepath stroke 120 60 moveto 124.138 49.655 lineto stroke 124.138 49.655 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke [3.5 1.5] 0 setdash 100 40 moveto 140 56 lineto stroke grestore} \LabelTeX -3 -3 $A$\ELTX \LabelTeX 16 19 $B$\ELTX \LabelTeX 36 14 $C$\ELTX \LabelTeX 21 5 $H$\ELTX \LabelTeX 46.5 -3 $A$\ELTX \LabelTeX 92 22 $B$\ELTX \LabelTeX 84 11 $C$\ELTX \LabelTeX 93 14.5 $H$\ELTX \EndFig \vskip3mm On abaisse la hauteur issue de $B$ sur la droite $(AC)$ et on note $H$ le pied de la hauteur. Si $H$ est situé entre $A$ et $C$, on a $AC=AH+HC$, et d'autre part, si le triangle n'est pas aplati (c'est-à-dire si $H\ne B$), on a $AH0$ l'ensemble des points $M$ du plan $\cP$ tels que $d(A,M)=AM=R$. \item{\rm(h)} Un arc de cercle est l'intersection d'un cercle avec un secteur angulaire ayant pour sommet le centre du cercle. \item{\rm(i)} La mesure d'un angle $($en degrés$)$ est calculée proportionnellement à la longueur de l'arc de cercle qu'il intercepte sur un cercle dont le centre est le sommet de l'angle, de sorte que le cercle complet corresponde à $360°$. Un angle plat $($découpé par un demi-plan bordant un diamètre du cercle$)$ correspond à un arc formé par un demi-cercle et a pour mesure~$180°$. On appelle angle droit la moitié d'un angle plat, c'est-à-dire un angle correspondant à un quart de cercle, ou encore un angle de mesure égale à $90°$. \item{\rm(j)} Deux demi-droites de mêmes extrémités sont dites perpendiculaires si elles forment un angle droit.{\parindent=0cm \note{10}{Les notions d'angle plat et d'angle droit, de même que la notion d'angle moitié relèvent déjà du primaire. A ce niveau, la meilleure façon d'aborder ces questions est probablement de pratiquer le pliage de feuilles papier. (La notion d'horizontalité et de verticalité étant des notions relatives, il vaut mieux les éviter pour introduire la perpendicularité, de façon à éviter les confusions probables).}} \vskip0pt}} L'énoncé des propriétés des droites parallèles et des angles correspondants ou alterne-interne permet d'aboutir à la valeur de la somme des angles d'un triangle (puis, à partir de là, d'un quadrilatère). La définition (i) appelle évidemment de nombreux commentaires. La première est le besoin d'une définition de la longueur d'un arc de cercle, ou plus généralement d'un arc de courbe\?: c'est la limite (ou encore la borne supérieure) des longueurs des lignes polygonales inscrites dans la courbe, lorsqu'on subdivise en segments de plus en plus petits (cf.\ 2.2)\note{11}{La définition précise et l'existence de la limite sont des questions difficiles qui ne peuvent pas être abordées avant le lycée, mais il paraît bon d'introduire déjà ces points de manière intuitive.}. La seconde est l'indépendance de la mesure de l'angle par rapport au rayon du cercle choisi (c'est-à-dire par rapport à la taille du rapporteur utilisé comme instrument de mesure)$\,$; cela résulte de la proportionnalité des longueurs d'arc aux rayons $R$, qui elle-même résulte du théorème de Thalès (cf.\ plus loin). Par ailleurs, une règle de trois donne l'expression de la longueur d'arc sur un cercle de rayon~$R$\?: un arc de $360°$ a pour longueur $2\pi R$, donc un arc de $1°$ a pour longueur $360$ fois moins, c'est-à-dire $2\pi R/360=\pi R/180$, et un arc de mesure $a$ (en degrés) a pour longueur $$\ell=(\pi R/180)\times a = R\times a\times \pi/180.$$ \subsection{3.2. Construction avec les instruments et cas d'isométrie des triangles} Il est indispensable d'illustrer toutes les notions géométriques introduites à l'aide de dessins et de construction effectuées à l'aide des instruments (règle, compas, rapporteur). Les constructions élémentaires à la règle et au compas, comme celles du milieu, de la médiane, de la bissectrice, devraient déjà relever de l'enseignement primaire. Suivent de près celles de la perpendiculaire et de la parallèle à une droite passant par un point. Au début du collège, il convient de passer à un niveau de conceptualisation plus avancé et, par exemple, de poser le problème de construire un triangle $ABC$ ayant une base $BC$ donnée et deux autres éléments, à savoir\?: (3.2.1) les longueurs des côtés $AB$ et $AC$,\\ (3.2.2) les mesures des angles $\oversalient{ABC}$ et $\oversalient{ACB}$,\\ (3.2.3) la longueur du côté $AB$ et la mesure de l'angle $\oversalient{ABC}$. \InsertPSFigure 10.000 31.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor /R 5000 sqrt def /ang1 25 def /ang2 67 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 2600 sqrt def /ang1 145 def /ang2 190 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 60 72 lineto stroke /R 16 def /ang1 23 def /ang2 51 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 100 40 moveto 40 64 lineto stroke /R 15 def /ang1 157 def /ang2 203 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 83.7 39.77 moveto 86.3 39.77 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor /R 4100 sqrt def /ang1 32 def /ang2 47 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 60 48 lineto stroke /R 15 def /ang1 23 def /ang2 39 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 16.5 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 100 40 moveto 50 40 lineto stroke grestore} \LabelTeX 13.2 16.5 $A$\ELTX \LabelTeX -3 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 36 14 $C$\ELTX \LabelTeX 54.5 22.5 $A$\ELTX \LabelTeX 36 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 75.2 14 $C$\ELTX \LabelTeX 94 15.9 $A$\ELTX \LabelTeX 75.4 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 114 14 $C$\ELTX \EndFig \vskip3mm Dans le premier cas, on obtient la solution en traçant les cercles de centres $B$ et $C$ et de rayons $AB$ et $AC$, dans le deuxième cas on utilise le rapporteur pour tracer deux secteurs angulaires de sommets $B$ et $C$, dans le troisième cas on trace un secteur angulaire de sommet $B$ et un cercle de sommet $B$. Dans chaque cas on voit qu'il y a exactement deux solutions, le deuxième triangle $A'BC$ solution étant symétrique de $ABC$ par rapport à la droite $(BC)$\?: \InsertPSFigure 10.000 26.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor /R 5000 sqrt def /ang1 -15 def /ang2 55 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 2600 sqrt def /ang1 160 def /ang2 248 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 70.690 -1.724 lineto 100 40 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 77.586 1.2 mul -5.517 1.2 mul lineto stroke /R 16 def /ang1 -3 def /ang2 22 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor 100 40 moveto 77.586 1.2 mul 20 sub -5.517 1.2 mul 8 sub lineto stroke /R 15 def /ang1 203 def /ang2 244 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 100 40 R ang1 ang2 arc stroke 87.8 28.7 moveto 90.4 31.0 lineto stroke %%%%%%%%%%%%%%%% 110 0 translate 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 40 lineto stroke 0.4 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor /R 4100 sqrt def /ang1 -4 def /ang2 15 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 63.793 1.2 mul 5.517 1.2 mul lineto stroke /R 15 def /ang1 4.5 def /ang2 22 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke /R 16.5 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 100 40 moveto 63.793 5.517 lineto stroke grestore} \LabelTeX 24.6 -5.5 $A'$\ELTX \LabelTeX -3 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 36 14 $C$\ELTX \LabelTeX 65.5 -5.5 $A'$\ELTX \LabelTeX 36 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 75.2 14 $C$\ELTX \LabelTeX 100.8 -1 $A'$\ELTX \LabelTeX 75.4 -3 $B$\ELTX \LabelTeX 114 14 $C$\ELTX \EndFig \vskip3mm On voit que les triangles $ABC$ et $ABC'$ ont dans les trois cas les mêmes longueurs de côtés. Ceci conduit à la notion très importante de {\it figures isométriques}. \medskip {\bf 3.2.4. Définition.} {\it {\parindent=6mm \item{\rm (a)} On dit que deux triangles sont isométriques si les côtés qui se correspondent sont de mêmes longueurs, de sorte que si le premier triangle a pour sommets $A$, $B$, $C$ et les sommets correspondants du deuxième sont $A'$, $B'$, $C'$, on ait $A'B'=AB$, $B'C'=BC$, $C'A'=CA$. \item{\rm (b)} Plus généralement on dit que deux figures du plan ou de l'espace sont isométriques, la première étant définie par des points $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4\,\ldots$ et la seconde par des points correspondants $A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4\,\ldots$ si toutes les distances mutuelles $A'_iA'_j=A_iA_j$ coïncident.\vskip0pt }} \medskip La notion de figure isométriques est reliée à la notion physique de {\it corps solide}\?: un objet est dit solide si les distances mutuelles de ses composants (molécules, atomes) sont fixes au cours d'un mouvement; après un déplacement, les atomes qui occupaient des point $A_i$ occupent de nouvelles positions $A'_i$ et on a bien $A'_iA'_j=A_iA_j$. Ceci permet d'aboutir à une définition rigoureuse des mouvements et déplacements, qui ont un sens aussi bien du point de vue des mathématiques que de la physique. \medskip {\bf 3.2.5. Définition.} {\it \'Etant donné une figure $($ou corps solide de l'espace$)$ défini par les points $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4\,\ldots$, on appelle mouvement une succession continue de positions $A_i(t)$ de ces points par rapport au temps~$t$, de telle sorte que les distances $A_i(t)A_j(t)$ soient fixes. Si les points $A_i$ constituent les positions initiales et les $A'_i$ les positions finales, on dit que la figure $(A'_1A'_2A'_3A'_4\,\ldots)$ est obtenue par déplacement de la figure $(A_1A_2A_3A_4\,\ldots)$.\note{12}{La notion de continuité utilisée est ici la notion usuelle de fonction continue d'une variable -- on ne peut bien sûr en parler que de manière intuitive au niveau du collège. On démontrera plus loin qu'une isométrie entre deux figures ou corps solides s'étend en une isométrie affine de tout l'espace, et qu'un déplacement correspond à une isométrie affine positive, cf.\ section 10. La preuve n'est pas extrêmement difficile, mais ne peut pas être donnée avant la fin du lycée (cette éventualité paraît même optimiste au vu de la situation actuelle).}} En dehors des déplacements, une autre façon de produire des figures isométriques est d'utiliser une symétrie miroir (symétrie par rapport à une droite dans le plan, symétrie par rapport à un plan dans l'espace)\note{13}{Inversement, un théorème important -- qu'on ne pourra démontrer que plus tard (cf.\ section 10), affirme que des figures isométriques se déduisent l'une de l'autre soit par un déplacement, soit par un déplacement précédé (ou suivi) d'une symétrie miroir.}. Ce fait s'observe déjà avec des triangles, et l'utilisation du papier calque s'impose dans ce contexte pour construire des triangles isométriques non superposables par déplacement sans sortir du plan$\,$; il sera de même utile de construire des solides élémentaires non superposables (tétraèdres non réguliers, par exemple). \medskip {\bf 3.2.6. Exercice.} Pour que deux quadrilatères $ABCD$ et $A'B'C'D'$ soient isométriques, il ne suffit pas que les 4 côtés $A'B'=AB$, $B'C'=BC$, $C'D'=CD$, $D'A'=DA$ soient de mêmes longueurs, on doit aussi supposer que les deux diagonales $A'C'=AC$ et $B'D'=BD$ soient égales$\,$; une seule ne suffit pas comme le montre la construction ci-dessous\?: \InsertPSFigure 40.000 28.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 setgray 50 0 moveto 0 10 lineto 40 60 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor /R 35 def /ang1 210 def /ang2 350 def R ang1 cos mul 40 add R ang1 sin mul 60 add moveto 40 60 R ang1 ang2 arc stroke /R 32 def /ang1 40 def /ang2 155 def R ang1 cos mul 50 add R ang1 sin mul moveto 50 0 R ang1 ang2 arc stroke 0.6 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor 50 0 moveto 31.6 26 lineto 40 60 lineto stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 50 0 moveto 59 30.7 lineto 40 60 lineto stroke 0 setgray 0.4 setlinewidth [2 0.7] 0 setdash 50 0 moveto 40 60 lineto stroke grestore } \LabelTeX 16 -4 $A$\ELTX \LabelTeX -4 2 $B$\ELTX \LabelTeX 13 22.5 $C$\ELTX \LabelTeX 8.5 4.5 $D'$\ELTX \LabelTeX 20 12.5 $D$\ELTX \EndFig \bigskip Le travail de construction fait plus haut avec les triangles nous amène à énoncer en conclusion les cas d'isométrie des triangles. {\bf 3.2.7. Les cas d'isométrie des triangles\note{14}{La démonstration formelle rigoureuse des propriétés d'isométrie décrites dans les 3 cas ne pourra être véritablement donnée qu'un peu plus loin, cf.\ section~8.}.} {\it Pour que deux triangles soient isométriques, il faut et il suffit {\parindent=6mm \item{\rm(a)} qu'ils aient leurs trois côtés égaux $($c'est la définition$)$, \RGBColor{0 0 1}{ou} \item{\rm(b)} qu'ils aient un angle égal et les côtés adjacents égaux, \RGBColor{0 0 1}{ou} \item{\rm(c)} qu'ils aient un côté égal et les deux angles adjacents égaux. \vskip0pt }} On notera que les conditions (b) et (c) ne sont pas suffisantes si on omet le mot adjacent~-- et il serait bon de montrer (ou de faire faire) des constructions mettant ce fait en évidence. L'utilisation des cas d'isométrie en conjonction avec les propriétés des angles alternes-internes permet de démontrer les diverses caractérisations usuelles des quadrilatères (parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés). \subsection{3.3. Le théorème de Pythagore} Voici une «\?preuve\?» très classique du théorème de Pythagore, obtenue par simple déplacement des pièces triangulaires colorées. Elle a l'avantage d'être à la fois visuelle et convaincante\note{15}{De nouveau, dans notre contexte, il s'agit davantage que d'une justification que d'une preuve au sens formel. En effet, il faudrait prouver que le quadrilatère central de la figure de droite est bien un carré, ce qui peut certes se vérifier à l'aide des propriétés d'isométrie des triangles -- mais n'oublions pas que celles-ci ne sont pas encore démontrées à ce stade. Plus sérieusement, le raisonnement utilise la notion d'aire, et il faudrait montrer l'existence d'une mesure d'aire dans le plan ayant toutes les propriétés voulues d'additivité et d'invariance par translation$\,\ldots$}. \InsertPSFigure 10 44 { gsave 1 mm unit initcoordinates %% Premier carre 0.1 setlinewidth 0.92 setgray 0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath fill 0 setgray 0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath stroke 0.8 1 0.8 setrgbcolor 24 36 moveto 24 12 lineto 36 36 lineto closepath fill 0 setgray 24 36 moveto 24 12 lineto 36 36 lineto closepath stroke 0.8 0.8 1 setrgbcolor 36 36 moveto 24 12 lineto 36 12 lineto closepath fill 0 setgray 36 36 moveto 24 12 lineto 36 12 lineto closepath stroke 1 1 0.5 setrgbcolor 0 12 moveto 24 12 lineto 24 0 lineto closepath fill 0 setgray 0 12 moveto 24 12 lineto 24 0 lineto closepath stroke 1 0.8 0.8 setrgbcolor 0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath fill 0 setgray 0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath stroke 0.3 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 0 36 moveto 24 36 lineto 24 12 lineto 0 12 lineto closepath stroke 36 0 moveto 24 0 lineto 24 12 lineto 36 12 lineto closepath stroke 0.1 setlinewidth 15 23.5 moveto 31.5 -10 2.4 vector 33.5 7.5 moveto 23 22 2.4 vector %% Deuxieme carre 75 0 translate 0.1 setlinewidth 0.92 setgray 0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath fill 0 setgray 0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath stroke 0.8 1 0.8 setrgbcolor 0 36 moveto 0 12 lineto 12 36 lineto closepath fill 0 setgray 0 36 moveto 0 12 lineto 12 36 lineto closepath stroke 0.8 0.8 1 setrgbcolor 36 24 moveto 24 0 lineto 36 0 lineto closepath fill 0 setgray 36 24 moveto 24 0 lineto 36 0 lineto closepath stroke 1 1 0.5 setrgbcolor 12 36 moveto 36 36 lineto 36 24 lineto closepath fill 0 setgray 12 36 moveto 36 36 lineto 36 24 lineto closepath stroke 1 0.8 0.8 setrgbcolor 0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath fill 0 setgray 0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath stroke 0.3 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 0 12 moveto 12 36 lineto 36 24 lineto 24 0 lineto closepath stroke 0.1 setlinewidth 16 18 moveto 25 180 2.4 vector grestore } %% Premier carre \LabelTeX -3 4 $b$\ELTX \LabelTeX -3 23 $a$\ELTX \LabelTeX 37.2 4 $b$\ELTX \LabelTeX 37.2 23 $a$\ELTX \LabelTeX 11 -3.5 $a$\ELTX \LabelTeX 29 -3.5 $b$\ELTX \LabelTeX 11 37.5 $a$\ELTX \LabelTeX 29 37.5 $b$\ELTX \LabelTeX 29.3 27 $c$\ELTX \LabelTeX 11 7.4 $c$\ELTX \LabelTeX 11 23 $\RGBColor{1 0 0}{a^2}$\ELTX \LabelTeX 29 5 $\RGBColor{1 0 0}{b^2}$\ELTX %% Deuxieme carre \LabelTeX 72 5 $b$\ELTX \LabelTeX 72 23 $a$\ELTX \LabelTeX 112.2 11 $a$\ELTX \LabelTeX 112.2 29 $b$\ELTX \LabelTeX 86 -3.5 $a$\ELTX \LabelTeX 104 -3.5 $b$\ELTX \LabelTeX 80 37.5 $b$\ELTX \LabelTeX 98 37.5 $a$\ELTX \LabelTeX 82 23 $c$\ELTX \LabelTeX 102.2 11 $c$\ELTX \LabelTeX 98 27.1 $c$\ELTX \LabelTeX 86 7.4 $c$\ELTX \LabelTeX 92 17 $\RGBColor{1 0 0}{c^2}$\ELTX \LabelTeX 46.5 17 $\RGBColor{1 0 0}{a^2+b^2=c^2}$\ELTX \EndFig \vskip5mm On compare, sur les dessins de droite et de gauche, l'aire de la différence entre le carré de côté $a+b$ et les quatre triangles rectangles colorés de côtés $a$, $b$, $c$, aire qui est représentée en grisé. L'égalité des aires de part et d'autre implique $a^2+b^2=c^2$. \medskip {\bf Complément.} {\it Soit $(ABC)$ un triangle et $a$, $b$, $c$ les longueurs des c\^otés opposés aux sommets $A$, $B$, $C$. {\parindent=6mm \item{\rm(1)} Si l'angle $\widehat C$ est inférieur à un angle droit, on a $c^2a^2+b^2$.\vskip0pt}} {\it Démonstration}. Considérons le cas où $(ABC)$ est rectangle\?: on a \RGBColor{0 0.7 0}{$c^2=a^2+b^2$}. \InsertPSFigure 10.000 22.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 setgray 0 0 moveto 100 0 lineto stroke 0.3 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor /R 1600 sqrt def /ang1 -90 def /ang2 90 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 100 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor /R 1600 sqrt def /ang1 90 def /ang2 270 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 100 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0.7 0 setrgbcolor /R 11600 sqrt def /ang1 -26 def /ang2 26 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 moveto 100 40 lineto 100 0 lineto stroke /R 14 def /ang1 90 def /ang2 180 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 100 0 R ang1 ang2 arc stroke 1 0 0 setrgbcolor /R 14600 sqrt def /ang1 -23 def /ang2 23 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 moveto 114.9 37.1 lineto 100 0 lineto stroke /R 12 def /ang1 69 def /ang2 180 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 100 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor /R 90 def /ang1 -30 def /ang2 30 def R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 0 0 R ang1 ang2 arc stroke 0 0 moveto 82.4 35.9 lineto 100 0 lineto stroke /R 16 def /ang1 115.5 def /ang2 180 def R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 100 0 R ang1 ang2 arc stroke grestore } \LabelTeX 13 -2.7 $a$\ELTX \LabelTeX 33.2 6.7 $\RGBColor{0 0.7 0}{b}$\ELTX \LabelTeX 16 8.5 $\RGBColor{0 0.7 0}{c}$\ELTX \LabelTeX 10 5.9 $\RGBColor{0 0 1}{c'}$\ELTX \LabelTeX 16 2.9 $\RGBColor{1 0 0}{c''}$\ELTX \LabelTeX -1 -4 $B$\ELTX \LabelTeX 35.3 14.8 $A$\ELTX \LabelTeX 28.9 14 $\RGBColor{0 0 1}{A'}$\ELTX \LabelTeX 40.8 13.7 $\RGBColor{1 0 0}{A''}$\ELTX \LabelTeX 34 -4 $C$\ELTX \LabelTeX 55 10 \RGBColor{0 0 1}{Si l'angle $\widehat C$ est${}<90°$, on a $c'90°$, on a $c''>c$.}\ELTX \LabelTeX 0 -17 $~$\ELTX \EndFig \bigskip {\bf Réciproque du théorème de Pythagore.} {\it D'après ce qui précède, si $c^2=a^2+b^2$, alors l'angle $\widehat C$ ne peut être qu'un angle droit, donc le triangle est rectangle en $C$.} \section{4. Coordonnées cartésiennes dans le plan} L'étape complémentaire indispensable est l'introduction des coordonnées cartésiennes et leur usage pour {\it démontrer les propriétés précédemment admises} (ou seulement justifiées de manière partielle), en travaillant dans des repères orthonormés. \subsection{4.1. Expression de la distance euclidienne} \InsertPSFigure 15.000 46.000 { gsave 0.8333 mm unit 20 10 translate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -5 1 35 { /k exch def -15 k moveto 75 k lineto stroke } for -15 1 75 { /k exch def k -5 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth 0 1 3 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 75 k lineto stroke } for -1 1 7 { /k exch 10 mul def k -5 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0 setgray -20 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -10 moveto 50 90 2.4 vector 0 0 1 setrgbcolor 20 10 moveto 50 10 lineto 50 30 lineto closepath stroke 1 0 0 setrgbcolor 20 10 moveto 0.7 disk 50 30 moveto 0.7 disk 0 setgray 0.3 setlinewidth 20 0 moveto 0.7 0 indent 50 0 moveto 0.7 0 indent 0 10 moveto 0.7 90 indent 0 30 moveto 0.7 90 indent 0.15 setlinewidth 0 0.7 0 setrgbcolor [1.5 0.5] 0 setdash 20 1.2 moveto 20 9.3 lineto stroke 50 1.2 moveto 50 10 lineto stroke 1.2 10 moveto 19.3 10 lineto stroke 1.2 30 moveto 50 30 lineto stroke grestore } \LabelTeX 32 5.3 $x$\ELTX \LabelTeX 57.2 5.3 $x'$\ELTX \LabelTeX 13 16.3 $y$\ELTX \LabelTeX 13 32.3 $y'$\ELTX \LabelTeX 29 13.3 $M$\ELTX \LabelTeX 59.5 32.8 $M'$\ELTX \EndFig Le théorème de Pythagore montre que l'hypoténuse $MM'$ est donnée par la formule $MM'^2=(x'-x)^2+(y'-y)^2$, puisque les deux côtés de l'angle droit sont $x'-x$ et~$y'-y$ (au signe près). La distance de $M$ à $M'$ est donc $$ d(M,M')=MM'=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}.\leqno(4.1.1) $$ (on commencera évidemment par le cas de points donnés par des valeurs numériques concrètes). \subsection{4.2. Le carré} Considérons la figure formée par les points $A\,(u\,;\,v)$, $B\,(-v\,;\,u)$, $C\,(-u\,;\,-v)$, $D\,(v\,;\,-u)$.\kern-2pt \InsertPSFigure 15.000 60.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 25 translate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0 setgray -50 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -35 moveto 75 90 2.4 vector 0 0 1 setrgbcolor 30 20 moveto -20 30 lineto -30 -20 lineto 20 -30 lineto closepath stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 30 20 moveto -30 -20 lineto stroke -20 30 moveto 20 -30 lineto stroke 1 0 0 setrgbcolor 30 20 moveto 0.7 disk -20 30 moveto 0.7 disk -30 -20 moveto 0.7 disk 20 -30 moveto 0.7 disk grestore } \LabelTeX 36.7 21.7 $O$\ELTX \LabelTeX 67.5 38.9 $A\;(u\,;\,v)$\ELTX \LabelTeX 18.3 48.1 $B\;(-v\,;\,u)$\ELTX \LabelTeX 5 -0.3 $C\;(-u\,;\,-v)$\ELTX \LabelTeX 59.2 0 $\smash{\raise-7.3mm\hbox{$D\;(v\,;\,-u)$}}$\ELTX \EndFig \vskip15mm La formule (4.1.1) donne $$ AB^2=BC^2=CD^2=DA^2=(u+v)^2+(u-v)^2=2(u^2+v^2), $$ donc les 4 côtés sont de longueur égale à $\sqrt{2}\sqrt{u^2+v^2}$. De même on trouve $$ OA=OB=OC=OD=\sqrt{u^2+v^2}, $$ par conséquent les 4 triangles isocèles $OAB$, $OBC$, $OCD$ et $ODA$ sont isométriques, ce qui implique que $\oversalient{OAB}=\oversalient{OBC}=\oversalient{OCD}= \oversalient{ODA}=90°$ et que les autres angles valent $45°$. On a donc $\oversalient{DAB}=\oversalient{ABC}=\oversalient{BCD}=\oversalient{CDA}=90°$, et la figure est bien un carré. \subsection{4.3. Droites «\?horizontales et verticales\?»} L'ensemble $\cD$ des points $M\;(x\,;\,y)$ tels que $y=c$ (où $c$ une constante numérique donnée) est une droite «\?horizontale\?». En effet, étant donnés trois points $M$, $M'$, $M''$ d'abscisses $xax_1+b$ alors ce point n'est pas aligné avec $M_2$ et $M_3$, et de même pour $M_1''\;(x,y''_1)$ tel que $y_1''0)$ si on a $A'_iA'_j/A_iA_j=k$ pour tous les segments $[A_i,A_j]$ et $[A'_i,A'_j]$ en correspondance.} Un cas important de similitude est obtenu au moyen d'une homothétie de centre un point $O$ donné\?: si $O$ est choisi comme origine et si au point $M\;(x\,;\,y)$ on associe le point $M'\;(x'\,;\,y')$ tel que $x'=kx$, $y'=ky$, alors la formule (4.1.1) montre que l'on a $A'B'=|k|\,AB$, donc en associant à tout point $A_i$ le point correspondant $A'_i$ on obtient des figures semblables dans le rapport~$|k|\;$; on parle de figures homothétiques de rapport $k\;$; ce rapport peut être positif ou négatif (si $k=-1$ par exemple, il s'agit d'une symétrie de centre $O$). Les cas d'isométrie des triangles conduisent directement aux cas de similitudes. {\bf Critères de similitude des triangles.} {\it Pour que deux triangles soient semblables, il faut et il suffit que l'un des cas suivants soit réalisé\?: {\parindent=6mm \item{\rm(a)} les trois côtés sont proportionnels dans un certain rapport~$k>0$ $($c'est la définition$);$ \item{\rm(b)} les triangles ont un angle égal et les côtés adjacents proportionnels$\,;$ \item{\rm(c)} les triangles ont deux angles égaux.}} Une bonne application des cas de similitude consiste à énoncer et démontrer les relations métriques dans le triangle rectangle\?: si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et si $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$, on a les relations classiques $$ AB^2=BH\cdot BC,~~AC^2=CH\cdot CB,~~AH^2=BH\cdot CH,~~AB\cdot AC=AH\cdot BC. $$ \InsertPSFigure 20 40 { gsave 0.6 setlinewidth 0 0 moveto 200 0 lineto 0 100 lineto closepath stroke 0 0 moveto 40 80 lineto stroke 0 0 18 0 2 1 atan arc stroke 0 100 18 270 dup 2 1 atan add arc stroke 0 0 22 90 1 2 atan sub 90 arc stroke 0 0 24 90 1 2 atan sub 90 arc stroke 200 0 22 180 1 2 atan sub 180 arc stroke 200 0 24 180 1 2 atan sub 180 arc stroke 0.3 setlinewidth 44 78 moveto 42 74 lineto 38 76 lineto stroke 6 0 moveto 6 6 lineto 0 6 lineto stroke grestore } \LabelTeX -3 -4 $A$\ELTX \LabelTeX 70 -4 $B$\ELTX \LabelTeX -3 36 $C$\ELTX \LabelTeX 13.7 30 $H$\ELTX \EndFig \bigskip En effet (par exemple) la similitude des triangles rectangles $ABH$ et $ABC$ conduit à l'égalité de rapports $$ {AB\over BC}={BH\over AB}~~\Longrightarrow~~ AB^2=BH\cdot BC. $$ On aboutit aussi à la définition des $\cos$, $\sin$ et $\tan$ d'un angle aigu dans un triangle rectangle. {\bf Définition.} {\it \'Etant donné un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on définit $$ \cos\oversalient{ABC}={AB\over BC},\qquad \sin\oversalient{ABC}={AC\over BC},\qquad \tan\oversalient{ABC}={AC\over AB}. $$} Les rapports ne dépendent en effet que de l'angle $\oversalient{ABC}$ (qui détermine aussi l'angle complémentaire $\oversalient{ACB}=90^\circ-\oversalient{ABC}$), puisque des triangles rectangles qui ont un angle autre que l'angle droit égal sont toujours semblables d'après le critère (c). Le théorème de Pythagore permet d'aboutir au calcul des valeurs de $\cos$, $\sin$, $\tan$ pour les angles remarquables $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$. \subsection{4.9. Calcul d'aires et de volumes} Il est possible -- et donc probablement souhaitable -- de justifier les principales formules usuelles concernant les aires et volumes de solides usuels (cylindres, pyramides, cônes, sphère), en utilisant seulement les théorèmes de Thalès et Pythagore et des raisonnements géométriques très simples\note{17}{Nous parlons ici de «\?justification\?» plutôt que de démonstration parce que les fondements théoriques nécessaires (à savoir la théorie de la mesure) manquent -- et manqueront sans doute encore pour 5 ou 6 années ou plus. Mais en réalité, on pourra s'apercevoir que ces justifications peuvent être rendues parfaitement rigoureuses une fois que les fondements considérés ici comme intuitifs seront rigoureusement établis. Il serait par exemple possible de prendre la formule (11.3) comme définition rigoureuse de la mesure $p$-dimensionnelle.}. Nous indiquons ici comment on peut procéder -- les raisonnements sont proches de ceux que connaissaient déjà Archimède plus de deux siècles avant JC (reformulés avec les notations algébriques modernes). {\bf Volume d'un cône de base quelconque} Nous commencerons par étudier le volume d'un cône dont la base $B$ est un domaine plan borné quelconque. On note $\cP$ le plan contenant cette base $B$ et on considère un point $O$ situé en dehors du plan $\cP$. \medskip {\bf Définition.} {\it Le cône de sommet $O$ et de base $B$ est la réunion des segments $[O,M]$ issus de $O$ et d'extrémités $M\in B$. La hauteur $h$ du cône est la distance du point $O$ au plan $\cP$ qui contient $B$.} \medskip Dans le cas où la base $B$ est un disque, on parle de {\it cône circulaire} (droit ou oblique), lorsque la base est un triangle, le cône est un {\it tétraèdre}, et lorsque la base est un carré ou un rectangle, le cône est une {\it pyramide} (droite ou oblique). On fait l'hypothèse qu'on peut calculer l'aire $A$ de la base $B$ (ce qui veut dire qu'en utilisant des quadrillages assez fins, l'aire approximative obtenue en comptant le nombre de carrés du quadrillage tend vers une limite quand le côté de ces carrés tend vers~$0$).\eject Si on choisit le sommet $O$ comme origine et des coordonnées telles que le plan $\cP$ soit horizontal et situé «\?plus bas que $O$\?», alors $\cP$ s'écrit comme le plan d'équation $z=-h$. Une première observation importante est la suivante\?: \InsertPSFigure 27 39 { gsave 1 mm unit initcoordinates %%premier cone 1 0.8 0.8 setrgbcolor -9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto closepath fill -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 1 0.7 0.7 setrgbcolor fill gsave 0 30 moveto -9.95 3 lineto 19.1 8.5 lineto closepath clip newpath -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 1 0 0 setrgbcolor [ 1.5 0.5 ] 0 setdash stroke grestore gsave -9.95 3 moveto 19.1 8.5 lineto 50 -20 lineto -50 -20 lineto closepath clip newpath 1 0 0 setrgbcolor -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve stroke grestore 1 0 0 setrgbcolor -9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto stroke 0 setgray 0 30 moveto 0.7 disk -15 5 moveto -20 -7 lineto 30 -7 lineto stroke 27 15 moveto 15 90 2.4 vector 27 15 moveto 11 -90 2.4 vector %%deuxieme cone 60 0 translate 0.8 0.8 1 setrgbcolor -8.5 5.5 moveto 12 30 lineto 19.7 7.4 lineto closepath fill -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 0.7 0.7 1 setrgbcolor fill gsave -8.5 5.5 moveto 12 30 lineto 19.7 7.4 lineto closepath clip newpath -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 0 0 1 setrgbcolor [ 1.5 0.5 ] 0 setdash stroke grestore gsave -8.5 5.5 moveto 19.7 7.4 lineto 50 -20 lineto -50 -20 lineto closepath clip newpath 0 0 1 setrgbcolor -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve stroke grestore 0 0 1 setrgbcolor -8.5 5.5 moveto 12 30 lineto 19.7 7.4 lineto stroke 0 setgray 12 30 moveto 0.7 disk -15 5 moveto -20 -7 lineto 30 -7 lineto stroke 27 15 moveto 15 90 2.4 vector 27 15 moveto 11 -90 2.4 vector grestore } \LabelTeX -17.5 -5.5 $\cP$\ELTX \LabelTeX 5 -4 $B$\ELTX \LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX 24 17 $h$\ELTX \LabelTeX 42.5 -5.5 $\cP$\ELTX \LabelTeX 65 -4 $B$\ELTX \LabelTeX 71 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX 84 17 $h$\ELTX \LabelTeX 30 -12 $~$\ELTX \EndFig {\parindent=11.8mm \item{(4.9.1)} {\it Le volume $V$ du cône ne dépend que de la base $B$ et de la hauteur $h$, mais pas de la position relative de $O$ et de $B$} (autrement dit, si on déplace $B$ horizontalement par rapport à $O$, le volume ne change pas).\vskip0pt } Pour démontrer (4.9.1), on découpe les deux cônes en tranches horizontales assez fines, comme figuré sur le dessin ci-après\?: \InsertPSFigure 27 41 { gsave 1 mm unit initcoordinates %%premier cone 1 0.8 0.8 setrgbcolor 0 30 moveto -12 0 lineto 22 0 lineto closepath fill 1 0 0 setrgbcolor /n 15 def /step 30 n div def 1 1 n { /k exch n div def /x1 k -12 mul def /x2 k 22 mul def /y 30 k 30 mul sub def x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto closepath stroke } for 0 setgray 0 30 moveto 0.5 disk -15 21 moveto 9 90 2.4 vector -15 21 moveto 9 -90 2.4 vector 27 15 moveto 15 90 2.4 vector 27 15 moveto 15 -90 2.4 vector %%deuxieme cone 72 0 translate 0.8 0.8 1 setrgbcolor 0 30 moveto -24 0 lineto 10 0 lineto closepath fill 0 0 1 setrgbcolor /n 15 def /step 30 n div def 1 1 n { /k exch n div def /x1 k -24 mul def /x2 k 10 mul def /y 30 k 30 mul sub def x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto closepath stroke } for 0 setgray 0 30 moveto 0.5 disk -25 21 moveto 9 90 2.4 vector -25 21 moveto 9 -90 2.4 vector 15 15 moveto 15 90 2.4 vector 15 15 moveto 15 -90 2.4 vector [ 1.5 0.5 ] 0 setdash 0 0.7 0 setrgbcolor -57 12 moveto -16 12 lineto stroke -90 12 moveto -80 12 lineto stroke grestore } \LabelTeX 5 -4 $B$\ELTX \LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX -14.3 20 $|z|$\ELTX \LabelTeX 24 20 $h$\ELTX \LabelTeX 65 -4 $B$\ELTX \LabelTeX 71 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX 48 20 $|z|$\ELTX \LabelTeX 84 20 $h$\ELTX \LabelTeX 30 -8 $~$\ELTX \EndFig Si on remplace les tranches par des cylindres de parois latérales verticales (et dont les bases sont homothétiques à la base $B$ dans le rapport $|z|/h$, comme sur le schéma ci-dessus), on commet une petite erreur, puisque les volumes calculés deviennent un peu supérieur à ceux des cônes$\,$; cependant l'erreur devient de plus en plus petite quand le nombre de tranches augmente. Or, il est évident que les volumes des deux empilements de pièces cylindriques sont identiques, puisque celles-ci ont simplement été glissées horizontalement les unes par rapport aux autres. \medskip La deuxième observation est la suivante\?: {\parindent=11.8mm \item{(4.9.2)} {\it La hauteur $h$ étant donnée, le volume $V$ du cône est proportionnel à l'aire $A$ de la base $B$.}} \InsertPSFigure 57 39 { gsave 1 mm unit initcoordinates %%premier cone 1 0.8 0.8 setrgbcolor -9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto closepath fill -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 1 0.7 0.7 setrgbcolor fill 0.6 0.9 0.6 setrgbcolor -2 1 11 { /k exch def /l k 2.4 div def -9.5 l add k moveto 18.5 l add k lineto stroke } for -5 1 8 { /k exch 2 mul def k -3.5 moveto k 6.75 add 12.7 lineto stroke } for 0.7 0.7 1 setrgbcolor 0 30 moveto -4 6 lineto -2 6 lineto closepath fill 0 30 moveto 5 4 lineto 7 4 lineto closepath fill 0.6 0.6 1 setrgbcolor 0 30 moveto -2 6 lineto -1.583 7 lineto closepath fill 0 30 moveto 7 4 lineto 7.417 5 lineto closepath fill gsave 0 30 moveto -9.95 3 lineto 19.1 8.5 lineto closepath clip newpath -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 1 0 0 setrgbcolor [ 1.5 0.5 ] 0 setdash stroke grestore gsave -9.95 3 moveto 19.1 8.5 lineto 50 -20 lineto -50 -20 lineto closepath clip newpath 1 0 0 setrgbcolor -10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve stroke grestore 1 0 0 setrgbcolor -9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto stroke 0 setgray 0 30 moveto 0.7 disk -20 5 moveto -25 -7 lineto 30 -7 lineto stroke 35 15 moveto 15 90 2.4 vector 35 15 moveto 11 -90 2.4 vector grestore } \LabelTeX -22.5 -5.5 $\cP$\ELTX \LabelTeX 19.2 -4 base $B$ d'aire $A$\ELTX \LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX 32 17 $h$\ELTX \LabelTeX 30 -12 $~$\ELTX \EndFig En effet, on peut calculer une valeur approchée de l'aire $A$ de la base à l'aide d'un quadrillage, mais alors il résulte de (4.9.1) que le volume de toutes les pyramides obliques s'appuyant sur les différents carrés du quadrillage est le même. Ceci montre que le volume total de toutes ces pyramides est proportionnel au nombre $n$ de carrés de quadrillage, et donc, à la limite, que le volume $V$ du cône est proportionnel à l'aire $A$ de la base. \medskip Voici la troisième observation\?: {\parindent=11.8mm \item{(4.9.3)} {\it La base $B$ étant donnée, le volume $V$ du cône est proportionnel à la hauteur $h$.}} Pour démontrer cette propriété, on considère deux cônes ayant la même base $B$ et des hauteurs $h$, $h'$ différentes, et on évalue leurs volumes approchés à l'aide de tranches cylindriques~: \InsertPSFigure 27 40 { gsave 1 mm unit initcoordinates %%premier cone 1 0.8 0.8 setrgbcolor 0 30 moveto -12 0 lineto 22 0 lineto closepath fill 1 0 0 setrgbcolor /n 15 def /step 30 n div def 1 1 n { /k exch n div def /x1 k -12 mul def /x2 k 22 mul def /y 30 k 30 mul sub def x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto closepath stroke } for 0 setgray 0 30 moveto 0.5 disk 27 15 moveto 15 90 2.4 vector 27 15 moveto 15 -90 2.4 vector %%deuxieme cone 62 -20 translate 0.8 0.8 1 setrgbcolor 0 50 moveto -12 0 lineto 22 0 lineto closepath fill 0 0 1 setrgbcolor /n 15 def /step 50 n div def 1 1 n { /k exch n div def /x1 k -12 mul def /x2 k 22 mul def /y 50 k 50 mul sub def x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto closepath stroke } for 0 setgray 0 50 moveto 0.5 disk 27 25 moveto 25 90 2.4 vector 27 25 moveto 25 -90 2.4 vector grestore } \LabelTeX 5 -4 $B$\ELTX \LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX 24 15 $h$\ELTX \LabelTeX 65 -24 $B$\ELTX \LabelTeX 65 -26 $~$\ELTX \LabelTeX 61 32.6 $O$\ELTX \LabelTeX 84.5 5 $h'$\ELTX \EndFig \medskip Pour réaliser le deuxième cône, on dilate verticalement chaque pièce cylindrique dans le rapport $h'/h$. Comme le volume d'un cylindre est le produit de l'aire de sa base par la hauteur, on voit que le volume du deuxième empilement est proportionnel au premier dans le rapport $h'/h$. \`A la limite, quand les tranches deviennent de plus en plus fines, ceci démontre bien que le rapport des volumes des cônes vérifie $V'/V=h'/h$. La quatrième et dernière étape est le calcul du volume d'une pyramide\?: on commence par le cas d'une pyramide dont la base est un carré de côté $c$ et dont la hauteur vaut aussi $h=c$. Le schéma suivant montre qu'on peut remplir le cube de côté $c$ avec 3 pyramides isométriques de ce type (il serait utile de les construire et de vérifier qu'elles s'assemblent en un cube\?!) \InsertPSFigure 5 42 { gsave 1 mm unit initcoordinates %%Premier cube [ ] 0 setdash 1 0.8 0.8 setrgbcolor 0 0 moveto 13 35 lineto 25 0 lineto closepath fill 1 0.7 0.7 setrgbcolor 0 0 moveto 13 10 lineto 35 10 lineto 25 0 lineto closepath fill 1 0.6 0.6 setrgbcolor 25 0 moveto 13 35 lineto 38 10 lineto closepath fill 0 setgray 0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath stroke 0 25 moveto 13 35 lineto 38 35 lineto 25 25 lineto stroke 38 35 moveto 38 10 lineto 25 0 lineto stroke 0.8 0 0 setrgbcolor [ 1.5 0.5 ] 0 setdash 0 0 moveto 13 10 lineto 38 10 lineto stroke 13 10 moveto 13 35 lineto stroke %%Deuxieme cube [ ] 0 setdash 42 0 translate 0.8 1 0.8 setrgbcolor 0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath fill 0.6 1 0.6 setrgbcolor 0 25 moveto 13 35 lineto 25 25 lineto closepath fill 0 setgray 0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath stroke 0 25 moveto 13 35 lineto 38 35 lineto 25 25 lineto stroke 38 35 moveto 38 10 lineto 25 0 lineto stroke [ 1.5 0.5 ] 0 setdash 0 0 moveto 13 10 lineto 38 10 lineto stroke 13 10 moveto 13 35 lineto stroke 0 0.8 0 setrgbcolor 0 0 moveto 13 35 lineto 25 0 lineto stroke %%Troisieme cube [ ] 0 setdash 42 0 translate 0.5 0.5 1 setrgbcolor 13 35 moveto 38 35 lineto 38 10 lineto closepath fill 0.7 0.7 1 setrgbcolor 13 35 moveto 38 35 lineto 25 25 lineto closepath fill 0.6 0.6 1 setrgbcolor 25 0 moveto 13 35 lineto 38 10 lineto closepath fill 0.8 0.8 1 setrgbcolor 13 35 moveto 25 25 lineto 25 0 lineto closepath fill 0 setgray 0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath stroke 0 25 moveto 13 35 lineto 38 35 lineto 25 25 lineto stroke 38 35 moveto 38 10 lineto 25 0 lineto stroke [ 1.5 0.5 ] 0 setdash 0 0 moveto 13 10 lineto 38 10 lineto stroke 13 10 moveto 13 35 lineto stroke grestore } \LabelTeX -2.6 12 $c$\ELTX \LabelTeX 4 30.8 $c$\ELTX \LabelTeX 24 36.6 $c$\ELTX \EndFig \bigskip Le volume de chacune des 3 pyramides figurées ci-dessus vaut donc le tiers de celui du cube, soit $V={1\over 3}c^3$. Pour une pyramide de base carrée $A=c^2$ et de hauteur $h$ quelconque, le volume doit être multiplié par $h/c$ d'après (4.9.3), donc le volume vaut dans ce cas $$ V={h\over c}\times{1\over 3}c^3={1\over 3}c^2h. $$ Pour une base $B$ quelconque, on utilise maintenant un quadrillage de la base comme dans la preuve de (4.9.2). Si $n$ est le nombre de carrés de côté $c$ contenus dans la base~$B$, l'aire $A$ de la base vaut approximativement $A\approx nc^2$ et on a donc $$ V\approx n\times{1\over 3}c^2h ={1\over 3}(n\,c^2)h \approx {1\over 3}Ah. $$ L'approximation devient de meilleure en meilleure quand le côté $c$ tend vers $0$, et à la limite, on voit que le volume d'un cône quelconque est donné par $$ V={1\over 3}Ah.\leqno(4.9.4) $$ {\bf Calcul de l'aire d'une sphère de rayon $R$} Comme deux sphères de même rayon sont isométriques, l'aire dépend uniquement du rayon~$R$. Fixons le centre $O$ de la sphère comme origine, et considérons le cylindre «\?vertical\?» tangent à la sphère le long de son équateur (donc de rayon égal à R), et plus précisément, la partie du cylindre comprise entre les plans horizontaux $z=-R$ et $z=R$. On effectue une projection de la sphère sur le cylindre\?: pour tout point $M$ de la sphère on considère son projeté $M'$ sur le cylindre qui est l'intersection de celui-ci avec la droite $\cD_M$ horizontale passant par $M$ et s'appuyant sur l'axe $Oz$. Cette projection est un mode de représentation cartographique assez courant du globe terrestre\?: après avoir coupé le cylindre le long du méridien de longitude $180°$ et déroulé celui-ci en un rectangle, on obtient ainsi la carte suivante de la Terre. \InsertImage 1 32 0 30 1.0 0 {xrmap.png} \EndFig \vskip-34mm \InsertPSFigure 34.6 34 { gsave 1 mm unit initcoordinates 0 0.35 translate 0 15 moveto 15 90 2.4 vector 0 15 moveto 15 -90 2.4 vector 48.8 -1.6 moveto 15 3.1416 mul 0 2.4 vector 48.8 -1.6 moveto 15 3.1416 mul 180 2.4 vector -33.64 0 translate 0 0 moveto 0 30 lineto stroke 30 0 moveto 30 30 lineto stroke 0.2 setlinewidth 1 0.1 scale newpath 15 0 15 180 360 arc stroke newpath 15 300 15 0 360 arc stroke grestore } \LabelTeX 1.5 18 $2R$\ELTX \LabelTeX 45.7 -4.3 $2\pi R$\ELTX \EndFig \medskip On va démontrer que la projection cylindrique conserve les aires, donc que l'aire de la sphère est égale à celle de la carte rectangulaire de côtés $2R$ et~$2\pi R$\?: $$ A=2R\times 2\pi R=4\pi R^2. \leqno(4.9.5) $$ Pour vérifier l'égalité des aires, on considère un «\?champ rectangulaire\?» délimité par les parallèles et méridiens, de dimensions très petites par rapport à celle de la sphère, de sorte qu'on puisse l'assimiler à une surface plane, c'est-à-dire à un véritable rectangle (sur la Terre par exemple, on ne s'aperçoit pas de la rotondité du globe à une échelle de quelques dizaines ou centaines de mètres). %%Voici différentes vues d'un tel champ rectangulaire\?: \InsertPSFigure 5 122 { gsave 1 mm unit initcoordinates 25 85 translate %% sphère en perspective gsave 0.1 setlinewidth 0.9 0.9 1 setrgbcolor 0 21.75 moveto 16.27 15.17 lineto 12.52 14.65 lineto closepath fill 0 21.75 moveto 12.52 14.65 lineto 12.52 13.65 lineto 0 20.75 lineto closepath fill 0.75 0.75 1 setrgbcolor 9.52 16.35 moveto 12 16.86 lineto 12.7 15.57 lineto 9.97 15.10 lineto fill 0.5 0.5 1 setrgbcolor 0.04 setlinewidth 0 21.75 moveto 16.27 15.17 lineto stroke 0 21.75 moveto 12.52 14.65 lineto stroke 0 20.75 moveto 12.52 13.65 lineto stroke 1 0.7 0.7 setrgbcolor 12.52 14.65 moveto 12.52 13.65 lineto 16.27 14.17 lineto 16.27 15.17 lineto fill 0 setgray 0.1 setlinewidth newpath 0 0 25 0 360 arc stroke 1 0.2 scale 1 0 0 setrgbcolor newpath 0 125 25 0 360 arc stroke newpath 0 -125 25 180 360 arc stroke newpath 0 95 25 180 360 arc stroke newpath 0 90 25 180 360 arc stroke [ 2 1 ] 0 setdash newpath 0 -125 25 0 180 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor [ ] 0 setdash newpath 0 95 16.248 180 360 arc stroke newpath 0 90 17.349 180 360 arc stroke 1 5 scale -0.7 -0.7 moveto 0.7 0.7 lineto stroke -0.7 0.7 moveto 0.7 -0.7 lineto stroke gsave 0.5 1 scale newpath 0 0 25 -90 90 arc stroke 1.3 1 scale newpath 0 0 25 -90 90 arc stroke grestore 1 0 0 setrgbcolor 25 -25 moveto 25 25 lineto stroke -25 -25 moveto -25 25 lineto stroke 12.5 -29.33 moveto 12.5 20.67 lineto stroke 16.25 -28.8 moveto 16.25 21.2 lineto stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 -34 moveto 68 90 2.4 vector grestore %% zoom de la région importante gsave 30 -130 translate 4 4 scale 0.04 setlinewidth 0.9 0.9 1 setrgbcolor 0 21.75 moveto 16.27 15.17 lineto 12.52 14.65 lineto closepath fill 0 21.75 moveto 12.52 14.65 lineto 12.52 13.65 lineto 0 20.75 lineto closepath fill 0 0 1 setrgbcolor 9.52 16.35 moveto 12 16.86 lineto 12.7 15.57 lineto 9.97 15.10 lineto closepath gsave 0.75 0.75 1 setrgbcolor fill grestore stroke 0.5 0.5 1 setrgbcolor 0 20.75 moveto 0 21.75 lineto stroke 0 21.75 moveto 16.27 15.17 lineto stroke 0 21.75 moveto 12.52 14.65 lineto stroke 0 20.75 moveto 12.52 13.65 lineto stroke 1 0 0 setrgbcolor 12.52 14.65 moveto 12.52 13.65 lineto 16.27 14.17 lineto 16.27 15.17 lineto closepath gsave 1 0.7 0.7 setrgbcolor fill grestore stroke 0 setgray 9.97 15.10 moveto 0.1 disk 12.52 13.65 moveto 0.1 disk grestore %% vue de côté gsave 0 setgray 0.1 setlinewidth 70 0 translate newpath 0 0 25 0 360 arc stroke 1 0 0 setrgbcolor -25 -25 moveto -25 25 lineto 25 25 lineto 25 -25 lineto closepath stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 -32 moveto 64 90 2.4 vector 0 18 moveto 25 18 lineto stroke 0 19 moveto 25 19 lineto stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 0 0 moveto 16.8 18.5 lineto 16.8 0 lineto closepath stroke 25 11.2 moveto 9.6 25 lineto 25 25 lineto closepath stroke newpath 0 0 3 0 50 arc stroke newpath 0 0 2.5 0 50 arc stroke newpath 25 11.2 3 90 140 arc stroke newpath 25 11.2 2.5 90 140 arc stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 25 18 moveto 25 19 lineto stroke 0 0 1 setrgbcolor 17.349 18 moveto 16.248 19 lineto stroke grestore %% vue de dessus gsave 0 -64 translate 0.1 setlinewidth -60 rotate 0 setgray newpath 0 0 1.2 0 360 arc stroke 0 0 moveto 0.4 disk 1 0 0 setrgbcolor newpath 0 0 25 0 360 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor newpath 0 0 16.8 0 360 arc stroke 0.5 0.5 1 setrgbcolor 0 0 moveto 25 0 lineto stroke 7.57 rotate 0 0 moveto 25 0 lineto stroke 0.4 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor newpath 0 0 25 -7.57 0 arc stroke 0 0 1 setrgbcolor newpath 0 0 16.8 -7.57 0 arc stroke 0.1 setlinewidth 80 rotate 0 0 moveto 16.8 0 2.4 vector 30 rotate 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 25 0 2.4 vector grestore grestore } \LabelTeX 20.8 84 $O$\ELTX \LabelTeX 91.5 84 $O$\ELTX \LabelTeX 22 118 $z$\ELTX \LabelTeX 92 116 $z$\ELTX \LabelTeX 18.5 21 $Oz$\ELTX \LabelTeX 27.2 30 $\RGBColor{1 0 0}{R}$\ELTX \LabelTeX 32 22.3 $\RGBColor{0 0 1}{r}$\ELTX \LabelTeX 100.5 95 $\RGBColor{1 0 0}{R}$\ELTX \LabelTeX 103 82.3 $\RGBColor{0 0 1}{r}$\ELTX\ \LabelTeX 33.1 5 $\RGBColor{0 0 1}{a}$\ELTX \LabelTeX 37.8 -2.3 $\RGBColor{1 0 0}{a'}$\ELTX \LabelTeX 110.5 105 $\RGBColor{0 0 1}{b}$\ELTX \LabelTeX 119.8 103.1 $\RGBColor{1 0 0}{b'}$\ELTX \LabelTeX 93.5 22.2 $\RGBColor{0 0 1}{a}$\ELTX \LabelTeX 104.8 18 $\RGBColor{0 0 1}{b}$\ELTX \LabelTeX 109.2 15.5 $\RGBColor{1 0 0}{a'}$\ELTX \LabelTeX 119.8 12.5 $\RGBColor{1 0 0}{b'}$\ELTX \LabelTeX 97 54.7 vue de côté\ELTX \LabelTeX 33 15.5 vue~~~de~~~~dessus\ELTX \LabelTeX 71.5 22.7 $\cD_M$\ELTX \LabelTeX 91.5 11.7 $M$\ELTX \LabelTeX 101.8 6.2 $M'$\ELTX \LabelTeX 90 0.5 grossissement $4{\times}$\ELTX \EndFig \vskip20pt Soient $a,\,b$ les côtés du «\?champ rectangulaire\?» respectivement dans la direction des parallèles et des méridiens, et $a',\,b'$ les côtés du rectangle correspondant, projeté sur le cylindre. Dans la vue de dessus, le théorème de Thalès donne aussitôt $$ {a'\over a}={R\over r}. $$ Dans la vue de côté, les deux triangles rectangles figurés en vert sont homothétiques (ils ont un angle égal, car les côtés adjacents sont deux à deux perpendiculaires). En appliquant de nouveau le théorème de Thalès à chacun de ces deux triangles et en comparant les côtés adjacents aux angles égaux, on obtient $$ {b'\over b}={\hbox{petit côté adjacent}\over\hbox{hypoténuse}}={r\over R}. $$ Le produit de ces deux égalités donne $$ {a'\times b'\over a\times b}={a'\over a}\times{b'\over b} ={R\over r}\times{r\over R}=1. $$ On en déduit que les aires des rectangles $a\times b$ et $a'\times b'$ sont égales, ce qui entraîne que la projection cylindrique conserve les aires, et donc en particulier que la formule (4.9.5) est bien vraie. \medskip {\bf Volume d'une boule de rayon $R$} Pour obtenir le volume d'une boule\note{18}{On appelle «\?boule\?» le domaine de l'espace délimité par une sphère, de même qu'on appelle disque le domaine du plan délimité par un cercle.} de rayon $R$, on utilise un quadrillage de la sphère par méridiens et parallèles, et on calcule le volume des pyramides construites sur les champs rectangulaires ainsi délimités. Lorsque le maillage est suffisamment fin, on peut considérer que les champs rectangulaires sont pratiquement plans (on notera que ce raisonnement est l'exact analogue dans l'espace de la preuve de l'aire du disque donnée à la section~2.2). Soit $A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots$ les aires des champs rectangulaires et $V_1,\,V_2,\,V_3,\,\ldots$ le volume des pyramides associées (la hauteur de ces pyramides vaut évidemment $h=R$). On note ici $n=1$ ou $2$ ou $3\,\ldots$ \InsertPSFigure 40 57 { gsave 1 mm unit initcoordinates 0 25 translate 0.1 setlinewidth 0.9 0.9 1 setrgbcolor 0 0 moveto 9.97 15.10 lineto 9.52 16.35 lineto closepath fill 0 0 moveto 9.97 15.10 lineto 12.7 15.57 lineto closepath fill 0.75 0.75 1 setrgbcolor 9.52 16.35 moveto 12 16.86 lineto 12.7 15.57 lineto 9.97 15.10 lineto fill 0.5 0.5 1 setrgbcolor 0.04 setlinewidth 0 0 moveto 9.97 15.10 lineto stroke 0 0 moveto 9.52 16.35 lineto stroke 0 0 moveto 12.7 15.57 lineto stroke gsave 1 0.2 scale 0 0 1 setrgbcolor newpath 0 95 16.248 180 360 arc stroke newpath 0 90 17.349 180 360 arc stroke grestore gsave 0 0 1 setrgbcolor 0.5 1 scale newpath 0 0 25 -90 90 arc stroke 1.3 1 scale newpath 0 0 25 -90 90 arc stroke grestore 0 setgray 0.1 setlinewidth newpath 0 0 25 0 360 arc stroke grestore } \LabelTeX -13 32 \RGBColor{0 0 1}{volume $V_n$}\ELTX \LabelTeX 14 38.3 \RGBColor{0 0 1}{aire~~$A_n$}\ELTX \LabelTeX 40 35 Volume des pyramides\?:\ELTX \LabelTeX 45 28 $\displaystyle V_n={1\over 3}A_n\times R$\ELTX \EndFig \medskip Si $A=4\pi R^2$ désigne l'aire totale de la sphère, la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition montre que le volume $V$ de la boule est donné par $$ V=V_1+V_2+V_3+\ldots={1\over 3}(A_1+A_2+A_3+\ldots)\times R= {1\over 3}AR. $$ Ceci donne la formule cherchée pour le volume de la boule de rayon $R$\?: $$ V={1\over 3}AR={1\over 3}\times 4\pi R^2\times R={4\over 3}\pi R^3. \leqno(4.9.6) $$ \section{5. Une approche axiomatique de la géométrie euclidienne} Bien que nous ayons pu jusqu'à présent suivre une approche extrêmement déductive par rapport à l'approche traditionnelle -- tous les énoncés ou presque ont été «\?démontrés\?» à partir des définitions -- il n'en reste pas moins que certaines démonstrations s'appuyaient sur des faits intuitifs, par exemple celle du théorème de Pythagore. La seule solution pour sortir du cercle vicieux est de prendre certains des faits que nous voulons vrais comme des «\?axiomes\?», c'est-à-dire de les considérer comme des hypothèses premières dont on déduira toutes les autres par le raisonnement$\,$; le~choix d'autres hypothèses de départ conduirait à des géométries non euclidiennes (cf.\ section~11). Comme nous allons le voir, la notion de plan euclidien peut se définir à l'aide d'un seul axiome, essentiellement équivalent à la conjonction du théorème de Pythagore -- qui n'avait été que partiellement justifié -- et de l'existence des coordonnées cartésiennes -- que nous n'avions pas non plus discutée. Dans le cas où l'idée d'utiliser une approche axiomatique effraierait, cette section peut tout à fait être omise -- à condition de comprendre que les systèmes de coordonnées peuvent être changés à volonté (translatés, tournés, etc) en fonction des besoins. \subsection{5.1. Le modèle «\?Pythagore + Descartes\?»} Dans notre vision, la géométrie euclidienne plane est fondée sur la «\?définition axiomatique\?» suivante. \vskip4mm \vbox{% {\bf Définition.} {\it On appellera plan euclidien un ensemble de points noté $\cP$, muni d'une distance $d$, c'est-à-dire une application $$ d:\cP\times \cP\to\bR_+,\qquad (M,M')\mapsto d(M,M')=MM'\ge 0, $$ de sorte qu'il existe des «\?systèmes de coordonnées orthonormés\?»$\,:$ à tout point $M\in\cP$ on peut faire correspondre un couple de coordonnées $(x\,;\,y)\in\bR^2$, par une correspondance bijective $M\mapsto (x\,;\,y)$ satisfaisant l'axiome\note{19}{Comme on va le voir, il s'agit là d'une description complète et rigoureuse de la géométrie euclidienne plane, parfaitement équivalente aux systèmes d'axiomes reposant sur les notions d'espace vectoriel euclidien de dimension 2 et d'espace affine associé -- mais avec un formalisme drastiquement plus simple ne présupposant aucune notion d'algèbre linéaire. La géométrie hyperbolique, dans le modèle de Poincaré, consisterait à envoyer $\cP$ sur le disque des nombres complexes de module $|z|<1$, avec la distance infinitésimale $\smash{|dz|/(1-|z|^2)}$, cf.\ section 11.} $$ d(M,M')=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}\leqno \hbox{\rm(Pythagore + Descartes)} $$ pour tous points $M\;(x\,;y)$ et $M'\;(x'\,;\,y')$.}} \medskip Il est bon de se représenter le choix d'un système de coordonnées orthonormé comme le fait de placer une feuille de papier millimétré transparent sur le plan $\cP$ dans lequel on travaille (et où nous avons représenté deux triangles figurés en bleu, par dessus lesquels on vient placer la feuille millimétrée transparente). \InsertPSFigure 15.000 66.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 25 translate 1 1 0.8 setrgbcolor -60 -40 moveto 60 -40 lineto 60 40 lineto -60 40 lineto closepath fill -20 rotate 0.1 setlinewidth 0.9 0.9 1 setrgbcolor 32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath fill 21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath fill 1 0.8 0.6 setrgbcolor -35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0.6 setgray -50 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -35 moveto 75 90 2.4 vector 0.3 setlinewidth 0.6 0.6 1 setrgbcolor 32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath stroke 21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath stroke 1 0.3 0.3 setrgbcolor 32 21 moveto 0.7 disk -19 31 moveto 0.7 disk -31 -9 moveto 0.7 disk 21 -11 moveto 0.7 disk 31 -19 moveto 0.7 disk 25 5 moveto 0.7 disk grestore } \LabelTeX 37.9 18.3 $O$\ELTX \LabelTeX 78.4 4 $x$\ELTX \LabelTeX 49.6 50.8 $y$\ELTX \LabelTeX -6 49 $\cP$\ELTX \LabelTeX 30 -23 $~$\ELTX \EndFig Il y a bien entendu une infinité de choix possibles pour le système de coordonnées, et nous allons étudier quelques manières simples de modifier les coordonnées. \medskip {\bf 5.1.1. Demi-tour de la feuille de papier millimétré autour de~$O$} Ceci revient juste à changer l'orientation des axes, sans changer autrement leur position. Les nouvelles coordonnées $(X\,;\,Y)$ sont données par rapport aux anciennes par $$ X=-x,\qquad Y=-y. $$ Comme $(-u)^2=u^2$ pour tout nombre réel $u$, on voit que la formule $$ d(M,M')=\sqrt{(X'-X)^2+(Y'-Y)^2}\leqno(*) $$ sera vraie dans les nouvelles coordonnées si elle était vraie dans les coordonnées $(x\,;\,y)$. \medskip {\bf 5.1.2. Retournement de la feuille de papier millimétré le long de $Ox$} Ici $Oy$ est inchangé, et l'orientation de $Ox$ est inversée. On a $X=-x$, $Y=y$ et la formule $(*)$ est encore vraie. \medskip {\bf 5.1.3. Retournement de la feuille de papier millimétré le long de $Oy$} Ici $Ox$ est inchangé, seule l'orientation de $Oy$ est inversée. On a $X=x$, $Y=-y$ et la formule $(*)$ est encore vraie. \medskip {\bf 5.1.4. Changement d'origine} On remplace ici l'origine $O$ par le point $M_0\;(x_0\,;\,y_0)$. \InsertPSFigure 15.000 68.000 { gsave 0.8333 mm unit 50 25 translate 1 1 0.8 setrgbcolor -60 -40 moveto 60 -40 lineto 60 40 lineto -60 40 lineto closepath fill -20 rotate 0.1 setlinewidth 0.9 0.9 1 setrgbcolor 32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath fill 21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath fill 1 0.8 0.6 setrgbcolor -35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth -3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for -4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for 0.2 setlinewidth 0.6 setgray -50 0 moveto 100 0 2.4 vector 0 -35 moveto 75 90 2.4 vector 0 setgray -30 10 moveto 100 0 2.4 vector 20 -25 moveto 75 90 2.4 vector 0.3 setlinewidth 0.6 0.6 1 setrgbcolor 32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath stroke 21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath stroke 1 0.3 0.3 setrgbcolor 32 21 moveto 0.7 disk -19 31 moveto 0.7 disk -31 -9 moveto 0.7 disk 21 -11 moveto 0.7 disk 31 -19 moveto 0.7 disk 25 5 moveto 0.7 disk 0 0.7 0 setrgbcolor 0.1 setlinewidth [ 1.5 0.5] 0 setdash -25 -25 moveto 90 0 rlineto 0 70 rlineto -90 0 rlineto closepath stroke grestore } \LabelTeX 37.9 18.3 $O$\ELTX \LabelTeX 78.4 4 $x$\ELTX \LabelTeX 49.6 50.8 $y$\ELTX \LabelTeX 52.6 13.7 $x_0$\ELTX \LabelTeX 40.6 26.6 $y_0$\ELTX \LabelTeX 96 5 $X$\ELTX \LabelTeX 68 53 $Y$\ELTX \LabelTeX 53.8 20.8 $M_0$\ELTX \LabelTeX 74 27.3 $M\;(x\,;\,y)$\ELTX \LabelTeX 30 -24 $~$\ELTX \EndFig Les nouvelles coordonnées du point $M\;(x\,;\,y)$ sont données par $$X=x-x_0,\qquad Y=y-y_0.$$ Pour deux points $M$, $M'$, on a dans ce cas $$ X'-X=(x'-x_0)-(x-x_0)=x'-x,\qquad Y'-Y=(y'-y_0)-(y-y_0)=y'-y $$ et la formule $(*)$ est encore inchangée. \medskip {\bf 5.1.5. Rotation des axes} On va montrer que l'origine $O$ étant choisie, on peut amener le demi-axe $Ox$ à passer par un point $M_1\;(x_1\,;\,y_1)$ quelconque distinct de $O$, ce qui est intuitivement évident par rotation de la feuille papier millimétré autour du point~$O$, mais nécessite une démonstration à partir de l'axiome «\?Pythagore + Descartes\?». Ce point est plus délicat que ce qui précède, et la preuve formelle devra probablement être laissée de côté dans un premier temps -- nous la donnons ici pour montrer qu'il n'y a pas de faille logique dans notre approche. On utilise l'égalité algébrique appelée {\it identité de Lagrange} $$ (au+bv)^2+(-bu+av)^2=a^2u^2+b^2v^2+b^2u^2+a^2v^2=(a^2+b^2)(u^2+v^2), $$ valable pour tous nombres réels $a,\,b,\,u,\,v$, qui s'obtient en observant que les deux doubles produits se simplifient. Par conséquent, si $a$ et $b$ vérifient $a^2+b^2=1$ (un tel exemple est $a=3/5$, $b=4/5$) et si on effectue le changement de coordonnées tel que $$ X=ax+by,\qquad Y=-bx+ay $$ on aura, pour deux points $M$, $M'$ quelconques $$ \eqalign{ &X'-X=a(x'-x)+b(y'-y),\qquad Y'-Y=-b(x'-x)+a(y'-y),\cr &(X'-X)^2+(Y'-Y)^2=(x'-x)^2+(y'-y)^2\cr} $$ d'après l'identité de Lagrange avec $u=x'-x$, $v=y'-y$. Il est facile de voir d'autre part que $$ aX-bY=x,\qquad bX+aY=y, $$ donc la transformation $(x\,;\,y)\mapsto (X\,;\,Y)$ est bijective. On en déduit que, au sens de notre définition, $(X\,;\,Y)$ est bien un système de coordonnées orthonormées. Si on choisit maintenant $a=kx_1$, $b=ky_1$, les coordonnées du point $M_1\;(x_1\,;\,y_1)$ sont transformées en $$ X_1=ax_1+by_1=k(x_1^2+y_1^2),\qquad \quad Y_1=-bx_1+ay_1=k(-y_1x_1+x_1y_1)=0, $$ et la condition $a^2+b^2=k^2(x_1^2+y_1^2)=1$ est satisfaite en prenant $k=1/\sqrt{x_1^2+y_1^2}$. Comme $X_1=\smash{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}>0$ et $Y_1=0$, le point $M_1$ est bien situé sur le demi-axe positif $OX$ dans les nouvelles coordonnées. \subsection{5.2. L'inégalité triangulaire revisitée} La preuve donnée en 3.1.1, qui reposait sur des faits non complètement justifiés, peut maintenant être rendue rigoureuse. \InsertPSFigure 11.000 27.000 { gsave 0.4 setlinewidth 0 0.7 0 setrgbcolor -15 -6 moveto 160 21.801 7 vector 0 0 moveto 40 111.801 7 vector 0 setgray 0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto closepath stroke 50 50 moveto 60.345 24.138 lineto stroke 60.345 24.138 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke 170 0 translate 0 0.7 0 setrgbcolor -15 -6 moveto 190 21.801 7 vector 0 0 moveto 40 111.801 7 vector 0 setgray 0 0 moveto 120 60 lineto 100 40 lineto closepath stroke 120 60 moveto 124.138 49.655 lineto stroke 124.138 49.655 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke grestore} \LabelTeX -2 -3.3 $A=O$\ELTX \LabelTeX 16 19 $B\;(u\,;\,v)$\ELTX \LabelTeX 34 10.7 $C\;(c\,;\,0)$\ELTX \LabelTeX 45 15 $x$\ELTX \LabelTeX -8 11 $y$\ELTX \LabelTeX 21 5 $H$\ELTX \LabelTeX 58 -3.3 $A=O$\ELTX \LabelTeX 102.5 22 $B$\ELTX \LabelTeX 94.5 11 $C$\ELTX \LabelTeX 103.5 14.5 $H$\ELTX \LabelTeX 115 18.9 $x$\ELTX \LabelTeX 52 11 $y$\ELTX \EndFig \vskip3mm \'Etant donnés trois points $A$, $B$, $C$ distincts, on choisit $O$ comme origine et on place le demi-axe $Ox$ suivant la demi-droite $[A,C)$. Les trois points ont alors pour coordonnées $$ A\;(0\,;\,0),\qquad B\;(u\,;\,v),\qquad C\;(c\,;\,0),\qquad c>0, $$ et le pied $H$ de la hauteur est $H\;(u\,;\,0)$. On trouve $AC=c$ et $$ AB=\sqrt{u^2+v^2}\ge AH=|u|\ge u,\quad BC=\sqrt{(c-u)^2+v^2}\ge HC=|c-u|\ge c-u. $$ On a donc bien $AC=c=u+(c-u)\le AB+BC$ dans tous les cas. L'égalité n'est possible que si on a à la fois $v=0$, $u\ge 0$ et $c-u\ge 0$, c'est-à-dire $u\in[0,c]$ et $v=0$, autrement dit si $B$~est sur le segment $[A,C]$ de l'axe $Ox$. \subsection{5.3. Axiomatique de l'espace} L'approche que nous avons décrite serait tout à fait apte à introduire la géométrie euclidienne en dimension quelconque, en particulier en dimension~$3$. La justification initiale est le calcul de la diagonale $\delta$ d'un parallélépipède rectangle de côtés $a$, $b$, $c\,$: \InsertPSFigure 40.000 38.000 { gsave 0.5 setlinewidth 0 0 moveto 100 0 lineto 130 30 lineto stroke 0 60 moveto 30 90 lineto 130 90 lineto 100 60 lineto closepath stroke 0 0 moveto 0 60 lineto stroke 100 0 moveto 100 60 lineto stroke 130 30 moveto 130 90 lineto stroke [4 1] 0 setdash 0 0 moveto 30 30 lineto 130 30 lineto stroke 30 30 moveto 30 90 lineto stroke [] 0 setdash 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 130 30 lineto 130 90 lineto stroke 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 130 90 lineto stroke grestore } \LabelTeX -2 -3.5 $A$\ELTX \LabelTeX 17 -3 $a$\ELTX \LabelTeX 33.5 -3.5 $B$\ELTX \LabelTeX 42 3.2 $b$\ELTX \LabelTeX 47 10 $C$\ELTX \LabelTeX 47 20.5 $c$\ELTX \LabelTeX 47 31 $D$\ELTX \LabelTeX 21 16.8 $\delta$\ELTX \EndFig \bigskip Comme les triangles $ACD$ et $ABC$ sont rectangles en $C$ et $B$ respectivement, on a $$ AD^2=AC^2+CD^2\quad\hbox{et}\quad AC^2=AB^2+BC^2 $$ donc la «\?grande diagonale\?» du parallélépipède rectangle est donnée par $$ \delta^2=AD^2=AB^2+BC^2+CD^2=a^2+b^2+c^2~~\Rightarrow~~ \delta=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. $$ \`A partir de là, on peut donner la définition suivante. \medskip $\strut$\vbox{% {\bf Définition.} {\it On appellera espace euclidien de dimension $3$ un ensemble de points noté~$\cE$, muni d'une distance $d$, c'est-à-dire une application $$ d:\cE\times \cE\to\bR_+,\qquad (M,M')\mapsto d(M,M')=MM'\ge 0, $$ de sorte qu'il existe des «\?systèmes de coordonnées orthonormés\?»$\,$: à tout point $M\in\cE$ on peut faire correspondre un triplet de coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)\in\bR^3$, par une correspondance bijective $M\mapsto(x\,;\,y\,;\,z)$ satisfaisant l'axiome $$ d(M,M')=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}\leqno \hbox{\rm(Pythagore + Descartes)} $$ pour tous points $M\;(x\,;\,y\,;\,z)$ et $M'\;(x'\,;\,y'\,;\,z')$ de $\cE$.}} \medskip On pourrait bien entendu donner une définition analogue en dimension $n$ quelconque, avec des systèmes de coordonnées $(x_1\,;\,\ldots\,;\,x_n)\in\bR^n$. L'inégalité triangulaire se démontre presque sans changement\?: étant donné trois points $A$, $B$, $C$, on choisit $A$ comme origine, avec la demi-droite $[A,C)$ comme demi-axe $Ox$, ce qui ramène le calcul à $B=(u\,;\,v\,;\,w)$ et $C=(c\,;\,0\,;\,0)$. Il faut au préalable vérifier que l'on peut trouver un système de coordonnées orthonormé qui pointe l'axe $Ox$ dans la direction d'un point $M_1\;(x_1\,;\,y_1\,;\,z_1)$ quelconque$\,$: on commence par annuler $z_1$ par un changement $Y=ay+bz$, $Z=by-az$ des deux dernières coordonnées, ce qui ramène $M_1$ dans le «\?plan horizontal\?» $Z=0$, puis on annule $y_1$ par la même méthode à l'aide d'un changement de variables portant sur $x$, $y$ uniquement. Idem en dimension plus grande. \section{6. Fondements du calcul vectoriel} Nous travaillerons ici principalement dans le plan, mais il n'y aurait aucun changement autre que l'ajout de coordonnées supplémentaires en dimension 3 et plus. \subsection{6.1. Formule de la médiane} \'Etant donné des points $A$, $B$ de coordonnées $(x_A\,;\,y_A)$, $(x_B\,;\,y_B)$ dans un repère $Oxy$, le point $I$ de coordonnées $$ x_I={x_A+x_B\over 2},\qquad y_I={y_A+y_B\over 2} $$ vérifie $IA=IB={1\over 2}AB$\?: c'est le milieu du segment $[A,B]$. \medskip {\bf Formule de la médiane.} {\it Pour tout point $M\;(x\,;\,y)$, on a $$ MA^2+MB^2= 2\,MI^2+{1\over 2}AB^2 = 2\,MI^2+2\,IA^2. $$} \InsertPSFigure 30.000 22.000 { gsave 0.5 setlinewidth 0 0 moveto 40 65 lineto 130 30 lineto closepath stroke 1 0 0 setrgbcolor 40 65 moveto 65 15 lineto stroke grestore } \LabelTeX -2 -3.5 $A$\ELTX \LabelTeX 44 7 $B$\ELTX \LabelTeX 22.3 1.9 $I$\ELTX \LabelTeX 12 24.5 $M$\ELTX \EndFig \bigskip {\it Démonstration.} En effet, un développement des carrés donne $$ (x-x_A)^2+(x-x_B)^2= 2x^2-2(x_A+x_B)x+x_A^2+x_B^2, $$ tandis que $$ \eqalign{ 2(x-x_I)^2+{1\over 2}(x_B-x_A)^2 &=2(x^2-2x_Ix+x_I^2)+{1\over 2}(x_B-x_A)^2\cr &=2\Big(x^2-(x_A+x_B)x+{1\over 4}(x_A+x_B)^2\Big)+{1\over 2}(x_B-x_A)^2\cr &=2x^2-2(x_A+x_B)x+x_A^2+x_B^2.\cr} $$ On a donc bien $$ (x-x_A)^2+(x-x_B)^2=2(x-x_I)^2+{1\over 2}(x_B-x_A)^2. $$ La formule de la moyenne s'obtient en ajoutant l'égalité analogue pour les coordonnées $y$ et en appliquant le théorème de Pythagore.\qed \medskip Il résulte de la formule de la médiane qu'il existe bien un unique point $M$ tel que $MA=MB={1\over 2}AB$, en effet on trouve alors $MI^2=0$, donc $M=I$. Les formules données au début pour définir le milieu sont donc bien indépendantes des coordonnées choisies. \subsection{6.2. Parallélogrammes} Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales $[A,C]$ et $[B,D]$ se coupent en leur milieu\?: \InsertPSFigure 30.000 20.000 { gsave /rotmem {currentpoint /cpty exch def /cptx exch def currentpoint translate dup rotate /angmem exch def} def /rotrev {angmem neg rotate cptx neg cpty neg translate cptx cpty moveto} def /vector {dup abs /arlgth exch def 3 div /arlthd exch def rotmem currentlinewidth 1.5811 mul sub dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse currentdash [] 0 setdash arlgth neg arlthd rmoveto arlgth arlthd neg rlineto arlgth neg arlthd neg rlineto arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse setdash rotrev} def 0.5 setlinewidth 0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 130 30 lineto stroke 50 40 moveto 80 -10 lineto stroke 0 0 1 setrgbcolor 0.75 setlinewidth 0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector 50 40 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector grestore } \LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX \LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX \LabelTeX 46.5 9 $C$\ELTX \LabelTeX 16 15.6 $D$\ELTX \LabelTeX 21 1.5 $I$\ELTX \EndFig \bigskip On trouve donc la condition nécessaire et suffisante $$ x_I={1\over 2}(x_B+x_D)={1\over 2}(x_A+x_C),\qquad y_I={1\over 2}(y_B+y_D)={1\over 2}(y_A+y_C), $$ ce qui équivaut encore à $$ x_B+x_D=x_A+x_C,\qquad y_B+y_D=y_A+y_C $$ ou encore à $$ x_B-x_A=x_C-x_D,\qquad y_B-y_A=y_C-y_D, $$ autrement dit, la variation des coordonnées nécessaire pour aller de $A$ en $B$ est le même que pour aller de $D$ en $C$. \subsection{6.3. Vecteurs} On appelle {\it bipoint} un couple ordonné $(A,B)$ de points$\,$; on dit que $A$ est l'{\it origine} et que $B$ est l'{\it extrémité} du bipoint. Les bipoints $(A,B)$ et $(A',B')$ sont dits {\it équipollents} si le quadrilatère $ABB'A'$ est un parallélogramme (qui peut être éventuellement «\?plat\?» si les quatre points sont alignés). \InsertPSFigure 30.000 20.000 { gsave /rotmem {currentpoint /cpty exch def /cptx exch def currentpoint translate dup rotate /angmem exch def} def /rotrev {angmem neg rotate cptx neg cpty neg translate cptx cpty moveto} def /vector {dup abs /arlgth exch def 3 div /arlthd exch def rotmem currentlinewidth 1.5811 mul sub dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse currentdash [] 0 setdash arlgth neg arlthd rmoveto arlgth arlthd neg rlineto arlgth neg arlthd neg rlineto arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse setdash rotrev} def 0.5 setlinewidth 0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 130 30 lineto stroke 50 40 moveto 80 -10 lineto stroke 0 0 1 setrgbcolor 0.75 setlinewidth 0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector 50 40 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector grestore } \LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX \LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX \LabelTeX 46.5 9 $B'$\ELTX \LabelTeX 16 15.6 $A'$\ELTX \LabelTeX 21 1.5 $I$\ELTX \EndFig \bigskip {\bf Définition.} {\it \'Etant donné deux points $A$, $B$, on appelle vecteur $\overrightarrow{AB}$ la «\?variation de position\?» nécessaire pour aller de $A$ en $B$. \'Etant donné un repère $Oxy$, cette «\?variation de position\?» se mesure dans la direction $Ox$ par $x_B-x_A$ et dans la direction $Oy$ par $y_B-y_A$. Si les bipoints $(A,B)$ et $(A',B')$ sont équipollents, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{A'B'}$ sont égaux puisque les variations $x_{B'}-x_{A'}=x_B-x_A$ et $y_{B'}-y_{A'}=y_B-y_A$ sont les mêmes $($ceci est vrai dans n'importe quel repère$)$.} Les «\?composantes\?» du vecteur $\overrightarrow{AB}$ dans le repère $Oxy$ sont les nombres notés par définition sous la forme du couple $(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$. Les composantes $(s\,;\,t)$ d'un vecteur $\overrightarrow{V}$ dépendent bien sûr du repère $Oxy$ choisi\?: à un même vecteur $\overrightarrow{V}$ correspondent des composantes différentes $(s\,;\,t)$, $(s'\,;\,t')$ dans des repères $Oxy$, $Ox'y'$ différents. \InsertPSFigure 12.000 42.000 { gsave 0.8333 mm unit 15 8 translate 10 rotate 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -8 1 29 { /k exch def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for -15 1 35 { /k exch def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth 0 1 2 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for -1 1 3 { /k exch 10 mul def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for 0.15 setlinewidth 0 setgray -20 0 moveto 60 0 2.4 vector 0 -13 moveto 46 90 2.4 vector 0.3 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 11.3 0 moveto 33 0 lineto stroke 0 7.2 moveto 0 11 lineto stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 0.2 setlinewidth [1.5 0.5] 0 setdash 11.3 0 moveto 11.3 7.2 lineto stroke 33 0 moveto 33 11 lineto stroke 0 7.2 moveto 11.3 7.2 lineto stroke 0 11 moveto 33 11 lineto stroke 0.3 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor [] 0 setdash -10 rotate 10 9 moveto 22 20 2.4 vector 0.1 setlinewidth [1.5 0.5] 0 setdash 10 9 moveto 87 9 lineto stroke 10 22 20 cos mul add 22 20 sin mul 9 add moveto 77 0 rlineto stroke 77 0 translate -20 rotate [] 0 setdash 0.1 setlinewidth 1 0.8 0.6 setrgbcolor -8 1 29 { /k exch def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for -15 1 35 { /k exch def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for 0.3 setlinewidth 0 1 2 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for -1 1 3 { /k exch 10 mul def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for 0.15 setlinewidth 0 setgray -20 0 moveto 60 0 2.4 vector 0 -13 moveto 46 90 2.4 vector 0.3 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 6.5 0 moveto 23 0 lineto stroke 0 11.8 moveto 0 26 lineto stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 0.2 setlinewidth [1.5 0.5] 0 setdash 6.5 0 moveto 6.5 11.8 lineto stroke 23 0 moveto 23 26 lineto stroke 0 11.8 moveto 6.5 11.8 lineto stroke 0 26 moveto 23 26 lineto stroke 0.3 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor [] 0 setdash 0.3 setlinewidth 20 rotate 10 9 moveto 22 20 2.4 vector grestore } \LabelTeX 9.5 3.3 $O$\ELTX \LabelTeX 43.3 9.3 $x$\ELTX \LabelTeX 5 32.5 $y$\ELTX \LabelTeX 72.5 4 $O$\ELTX \LabelTeX 106 -8 $x'$\ELTX \LabelTeX 82.2 31.4 $y'$\ELTX \LabelTeX 31.8 15 $\RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{V}}$\ELTX \LabelTeX 91.7 13.2 $\RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{V}}$\ELTX \LabelTeX 29.8 7.2 $\RGBColor{1 0 0}{s}$\ELTX \LabelTeX 86.5 -0.9 $\RGBColor{1 0 0}{s'}$\ELTX \LabelTeX 8.2 13.2 $\RGBColor{1 0 0}{t}$\ELTX \LabelTeX 80.2 22.9 $\RGBColor{1 0 0}{t'}$\ELTX \EndFig \subsection{6.4. Addition des vecteurs} \InsertPSFigure 30.000 21.000 { gsave /rotmem {currentpoint /cpty exch def /cptx exch def currentpoint translate dup rotate /angmem exch def} def /rotrev {angmem neg rotate cptx neg cpty neg translate cptx cpty moveto} def /vector {dup abs /arlgth exch def 3 div /arlthd exch def rotmem currentlinewidth 1.5811 mul sub dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse currentdash [] 0 setdash arlgth neg arlthd rmoveto arlgth arlthd neg rlineto arlgth neg arlthd neg rlineto arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse setdash rotrev} def 0.5 setlinewidth 0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke 0 0 1 setrgbcolor 0.75 setlinewidth 80 -10 moveto 64.031 38.660 7.5 vector 0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 133.417 12.995 7.5 vector 0 0.7 0 setrgbcolor 0 0 moveto 64.031 38.660 7.5 vector grestore } \LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX \LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX \LabelTeX 46.5 9 $C$\ELTX \LabelTeX 16 15.6 $D$\ELTX \EndFig \medskip L'addition des vecteurs est définie par la {\it relation de Chasles} $$ \RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}= \RGBColor{1 0 0}{\overrightarrow{AC}}\leqno(6.4.1) $$ pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques~: si on fait la somme de la variation de position nécessaire pour aller de $A$ en $B$, puis de $B$ en $C$, on trouve la variation de position pour aller de $A$ en $C\;$; ainsi par exemple, pour la composante suivant $Ox$, on a $$ (x_B-x_A)+(x_C-x_B)=x_C-x_A. $$ De façon équivalente, si $ABCD$ est un parallélogramme, on peut aussi poser $$ \RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{AB}}+\RGBColor{0 0.7 0}{\overrightarrow{AD}}= \RGBColor{1 0 0}{\overrightarrow{AC}}.\leqno(6.4.2) $$ L'équivalence résulte de (6.4.1) et (6.4.2) résulte de ce que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ dans le parallélogramme $ABCD$. Pour tout choix de repère $Oxy$, la somme $\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}$ des vecteurs de composantes $(s\,;\,t)$, $(s'\,;\,t')$ a pour composantes $(s+s'\,;\,t+t')$. Pour tout point $A$, le vecteur $\overrightarrow{AA}$ a ses composantes nulles\?: on le note $\overrightarrow{0}$. On a de façon évidente $\overrightarrow{V}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{V} =\overrightarrow{V}$ pour tout vecteur $\overrightarrow{V}$. D'autre part, la relation de Chasles donne $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} $$ pour tous points $A$, $B$. On posera donc $$ -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}, $$ autrement dit l'opposé d'un vecteur s'obtient en échangeant origine et extrémité d'un bipoint qui le définit. \subsection{6.5. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel} \'Etant donné un vecteur $\overrightarrow{V}$ de composantes $(s\,;\,t)$ dans un repère $Oxy$ et un nombre réel $\lambda$ quelconque, on définit $\lambda\overrightarrow{V}$ comme étant le vecteur de composantes $(\lambda s\,;\,\lambda t)$. Cette définition est bien indépendante du repère $Oxy$ choisi. En effet si $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$ et $\lambda\ge 0$, on a $\lambda\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ où $C$ est l'unique point situé sur la demi-droite $[A,B)$ tel que $AC=\lambda\,AB$. D'autre part, si $\lambda\le 0$, on a $-\lambda\ge 0$ et $$ \lambda\overrightarrow{AB}= (-\lambda)(-\overrightarrow{AB})=(-\lambda)\overrightarrow{BA}. $$ Enfin on a clairement $\lambda\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$. La multiplication des vecteurs par un nombre est distributive par rapport à l'addition des vecteurs (ceci résulte de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans l'ensemble des nombres réels). \section{7. \'Equation cartésienne d'un cercle; fonctions trigonométriques\kern-4pt} D'après le théorème de Pythagore, le cercle de centre $A\;(a,b)$ et de rayon $R$ dans le plan est l'ensemble des points $M$ satisfaisant l'équation $$ AM=R~~\Leftrightarrow~~AM^2=R^2~~\Leftrightarrow~~(x-a)^2+(y-b)=R^2, $$ soit encore une équation de la forme $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec $c=a^2+b^2-R^2$. Inversement, l'ensemble des solutions d'une telle équation définit un cercle de centre $A\;(a,b)$ et de rayon $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ si $ca^2+b^2$. On appelle {\it cercle trigonom\'etrique} $\cC$ le cercle unit\'e de centre l'origine dans un plan orthonorm\'e $Oxy$, c'est-\`a-dire l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2+y^2=1$. Soit $U$ le point de coordonn\'ees $(1,0)$ et $V$ le point de coordonn\'ees $(0,1)$. Les fonctions trigonométriques cos, sin et tan d'un angle quelconque sont alors définies par le schéma classique suivant\note{20}{Il nous paraît indispensable à ce stade que les fonctions cos, sin, tan aient déjà été introduites au préalable comme rapports de côtés dans un triangle rectangle, ceci dans le cas des angles aigus, et que leurs valeurs pour les angles remarquables $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$ soient connues.}$\,$: \InsertPSFigure 42.000 55.000 { /ellipsearc {/cmtr0 matrix currentmatrix def currentpoint translate 4 2 roll scale 0 0 1 5 -2 roll newpath arc cmtr0 setmatrix} def gsave 1 mm unit 20.000 20.000 moveto 20 circle stroke 20.000 20.000 moveto 35.000 0.000 2.4 vector 20.000 20.000 moveto 30.000 90.000 2.4 vector 40.000 5.000 moveto 40.000 45.000 lineto stroke 40.000 5.000 moveto 40.000 50.000 lineto stroke 20.000 20.000 moveto 40.000 45.000 lineto stroke 20.000 20.000 moveto 6 6 0 51 ellipsearc stroke 23.700 24.700 moveto 0 135 2.4 vector [ 1.000 0.500 ] 0 setdash 0.549 0.137 1.0 setrgbcolor 20.000 35.600 moveto 32.500 35.600 lineto stroke 0.0 0.0 1.0 setrgbcolor 32.500 20.000 moveto 32.500 35.600 lineto stroke 1.0 0.0 0.0 setrgbcolor 32.500 35.600 moveto 40.000 20.000 lineto stroke [ ] 0 setdash 0.3 setlinewidth 20.000 20.000 moveto 19.850 19.850 0 51 ellipsearc stroke 0.0 0.0 1.0 setrgbcolor 20.000 20.000 moveto 20.000 35.600 lineto stroke 0.549 0.137 1.0 setrgbcolor 20.000 20.000 moveto 32.500 20.000 lineto stroke 0.682 0.0 0.0 setrgbcolor 40.150 20.000 moveto 40.150 44.900 lineto stroke grestore } \LabelTeX 26.600 21.500 $\theta$ \ELTX \LabelTeX 21.600 16.500 $\RGBColor{0.549 0.137 1}{x=\cos(\theta)}$ \ELTX \LabelTeX 4.000 28.500 $\RGBColor{0 0 1}{y=\sin(\theta)}$ \ELTX \LabelTeX 41.300 32.500 $\RGBColor{0.682 0 0}{\displaystyle{y\over x}=\tan(\theta)}$ \ELTX \LabelTeX 16.300 16.500 $O$ \ELTX \LabelTeX 41.000 16.500 $U$ \ELTX \LabelTeX 16.300 41.500 $V$ \ELTX \LabelTeX 30.500 38.000 $M$ \ELTX \LabelTeX 41.000 45.500 $T$ \ELTX \EndFig \medskip L'équation du cercle montre qu'on a la relation $(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1$ pour tout $\theta$. \section{8. Intersection de cercles et de droites} Commençons par l'intersection d'un cercle $\cC$ de centre $A$ et de rayon $R$ avec une droite $\cD$ quelconque. Pour simplifier les calculs, on choisit $A=O$ comme origine et on prend l'axe $Ox$ perpendiculaire à la droite $\cD$. La droite $\cD$ est alors «\?verticale\?» dans le repère~$Oxy$. (Nous traitons ici d'emblée le cas général, mais il faut évidemment commencer par des exemples numériques simples$\,$...) \InsertPSFigure 52.000 63.000 { gsave 1 mm unit 0.000 30.000 translate 20 rotate 0.15 setlinewidth -30.000 0.000 moveto 60.000 0.000 2.4 vector 0.000 -30.000 moveto 60.000 90.000 2.4 vector 0.25 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 20 circle stroke 1 0 0 setrgbcolor 15 -25 moveto 15 25 lineto stroke grestore } \LabelTeX -21.2 39 $\RGBColor{0 0 1}{\cC}$ \ELTX \LabelTeX -2.7 26 $O$ \ELTX \LabelTeX 11.1 31.5 $x_0$ \ELTX \LabelTeX 20.1 34.3 $R$ \ELTX \LabelTeX 27.1 36.7 $x$ \ELTX \LabelTeX -13.1 56.7 $y$ \ELTX \LabelTeX 23.1 13 $\RGBColor{1 0 0}{D}$ \ELTX \EndFig Ceci donne des équations $$ \cC:x^2+y^2=R^2,\qquad D:x=x_0, $$ d'où $$ y^2=R^2-x_0^2. $$ Par conséquent, si $|x_0|0$ et on trouve deux solutions $y=\sqrt{R^2-x_0^2}$ et $y=-\sqrt{R^2-x_0^2}$, ce qui correspond à deux points d'intersections $(x_0,\sqrt{R^2-x_0^2})$ et $(x_0,-\sqrt{R^2-x_0^2})$ symétriques par rapport à l'axe $Ox$. Si $|x_0|=R$, on a une solution unique $y=0$\?: la droite $\cD:x=x_0$ est tangente au cercle $\cC$ au point $(x_0,0)$. Si $|x_0|>R$, l'équation $y^2=R^2-x_0^2<0$ n'a pas de solution$\,$; la droite $\cD$ ne coupe pas le cercle. Considérons maintenant l'intersection d'un cercle $\cC$ de centre $A$ et de rayon $R$ avec un cercle $\cC'$ de centre $A'$ et de rayon $R'$. Soit $d=AA'$ la distance des deux centres. Si $d=0$ les cercles sont concentriques et la discussion est immédiate (cercles confondus si $R=R'$, disjoints si $R\ne R'$). On supposera donc $A\ne A'$, c'est-à-dire $d>0$. Quitte à choisir $O=A$ comme origine et $Ox=[A,A')$ comme demi-axe positif, on se ramène au cas où $A\;(0\,;\,0)$ et $A'\;(d\,;\,0)$. On trouve alors les équations $$ \cC:x^2+y^2=R^2,\qquad \cC':(x-d)^2+y^2=R^{\prime2}\Longleftrightarrow x^2+y^2=2dx+R^{\prime2}-d^2. $$ Si un point $M$ appartient à $\cC\cap\cC'$, on a donc $2dx+R^{\prime2}-d^2=R^2$, d'où $$x=x_0={1\over 2d}(d^2+R^2-R^{\prime2}).$$ Ceci montre que l'intersection $\cC\cap\cC'$ est contenue dans l'intersection $\cC\cap D$ de $\cC$ avec la droite $\cD:x=x_0$. Mais inversement, on voit que si $x^2+y^2=R^2$ et $x=x_0$, alors $(x\,;\,y)$ satisfait aussi l'équation $$ x^2+y^2-2dx=R^2-2dx_0=R^2-(d^2+R^2-R^{\prime2})=R^{\prime2}-d^2 $$ qui est l'équation de $\cC'$, donc on a aussi $\cC\cap D\subset \cC\cap\cC'$ et finalement $\cC\cap\cC'=\cC\cap D$. \InsertPSFigure 45.000 65.000 { gsave 1 mm unit 0.000 30.000 translate 20 rotate 0.15 setlinewidth -30.000 0.000 moveto 85.000 0.000 2.4 vector 0.000 -30.000 moveto 60.000 90.000 2.4 vector 0.25 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor 0 0 moveto 20 circle stroke 0 0.7 0 setrgbcolor 22 0 moveto 15 circle stroke 22 -0.7 moveto 22 0.7 lineto stroke 1 0 0 setrgbcolor 15 -25 moveto 15 25 lineto stroke grestore } \LabelTeX -2.7 26 $A$ \ELTX \LabelTeX 11.1 31.5 $x_0$ \ELTX \LabelTeX 21.1 34.6 $A'$ \ELTX \LabelTeX 49.8 44.9 $x$ \ELTX \LabelTeX -13.1 56.7 $y$ \ELTX \LabelTeX 23.1 13 $\RGBColor{1 0 0}{D}$ \ELTX \LabelTeX -21.2 39 $\RGBColor{0 0 1}{\cC}$ \ELTX \LabelTeX 28 52 $\RGBColor{0 0.7 0}{\cC'}$ \ELTX \EndFig Les points d'intersection sont donc donnés par $y=\pm\sqrt{R^2-x_0^2}$. Par conséquent on a exactement deux solutions symétriques par rapport à la droite $(AA')$ dès lors que $-RR^{\prime 2}~~\hbox{et}~~(d-R)^2R',~~d-R-R',\cr} $$ soit encore $|R-R'|0$ un réel assez petit. Enfin, soit $I$ le milieu de $A$, $B$ pour la distance géodésique. \InsertPSFigure 30.000 24.000 { gsave 0.6 setlinewidth 0 0 moveto 40 32 5 vector stroke 0 0 moveto 50 -18 5 vector stroke 0.3 setlinewidth 0 0 moveto 40 25 80 33 119 40 curveto stroke 0 0 moveto 50 -15 100 -20 149 -23 curveto stroke 119 40 moveto 130 20 140 0 149 -23 curveto stroke 1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 45 5 90 7 135 9 curveto stroke grestore } \LabelTeX -3.5 -2.5 $O$\ELTX \LabelTeX 49 3 $I$\ELTX \LabelTeX 43 14.5 $A$\ELTX \LabelTeX 53.5 -9.5 $B$\ELTX \LabelTeX 10 9 $u$\ELTX \LabelTeX 14 -8.5 $v$\ELTX \EndFig \vskip5mm Alors le triangle géodésique infinitésimal $OAB$ vérifie à la limite $$\leqalignno{ &\lim_{\varepsilon\to 0}{OA^2+OB^2-2OI^2-2AI^2 \over OA^2\;OB^2} =-{1 \over 6}{\langle R(u,v)u,v\rangle_g \over \Vert u\Vert_g^2\;\Vert v\Vert_g^2},&(13.1)\cr &\lim_{\varepsilon\to 0}{OA^2+OB^2-2OI^2-2AI^2 \over OA^2\;OB^2-(OI^2-AI^2)^2} =-{1 \over 6}{\langle R(u,v)u,v\rangle_g \over \Vert u\wedge v\Vert_g^2},&(13.2)\cr} $$ où $R$ est le tenseur de courbure riemannien. Le numérateur $OA^2+OB^2-2OI^2-2AI^2$ est nul en géométrie euclidienne (théorème de la médiane~!), et la déviation par rapport au cas euclidien s'exprime essentiellement en fonction de la courbure sectionnelle. {\it Preuve}~: bel exercice pour le lecteur~! Si $X$ et $Y$ sont deux espaces métriques compacts quelconques , on définit leur {\it distance de Gromov-Hausdorff} $d_{\rm GH}(X,Y)$ comme étant l'inf des distances $d_{\rm H}(f(X),g(Y))$ pour tous les plongements isométriques possibles $f:X\to\cE$, $g:Y\to\cE$ de $X$ et $Y$ dans un même espace métrique compact $\cE$. Ceci fournit par une notion précieuse pour l'étude des déformations des variétés riemanniennes compactes, et pour la compactification de leurs «\?espaces de modules\?». \vskip6mm {\twelvebf Bibliographie} \medskip {\eightpoint \bibitem[Art]&Emil Artin&Geometric Algebra&Interscience publishers Inc., New York, 1957, téléchargeable à\\ {\tt http://ia700300.us.archive.org/24/items/geometricalgebra033556mbp/\\ geometricalgebra033556mbp.pdf}& \bibitem[Des]&René Descartes&La Géométrie, {\rm appendice du} Discours de la méthode&disponible sur le projet Gutenberg {\tt http://www.gutenberg.org/files/26400/26400-pdf.pdf}& \bibitem[Die]&Jean Dieudonné&Algèbre linéaire et géométrie élémentaire&Hermann, 1968, 240 pages& \bibitem[Euc]&Euclid&Euclid's elements of geometry&traduction anglaise du Grec par Richard Fitzpatrick, {\tt http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf}& \bibitem[Gro]&Mikhail Gromov&Structures métriques pour les variétés riemanniennes&édité par J.~Lafontaine et P.~Pansu, Textes Mathématiques, no.~1, CEDIC, Paris, 1981, translated by S.M. Bates, {\it Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces}, Birkhäuser, 1999& \bibitem[Hau]&Felix Hausdorff&Dimension und äusseres Mass&Mathematische Annalen 79, 1-2 (1919) 157–179, and {\it Grundzüge der Mengenlehre}, Leipzig, 1914. viii + 476 pages, traduction anglaise {\it Set Theory}, American Mathematical Soc., 1957, 352 pages& \bibitem[Hil]&David Hilbert&Grundlagen der Geometrie&Teubner, Leipzig, 1899, traduction anglaise {\it The Foundations of Geometry}, by E.J. Townsend (2005), disponible sur le projet Gutenberg,\\ {\tt http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf}& \bibitem[Lob]&Nikolai Lobachevski&Geometrical researches on the theory of parallels&\\ {\tt http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAN2339.0001.001/1?rgn=full+text;view=pdf}& \bibitem[Pas]&Moritz Pasch&Vorlesungen über neuere Geometrie&Teubner, Leipzig, 1882, téléchargeable à {\tt https://ia700308.us.archive.org/32/items/vorlesungenbern00pascgoog/\\ vorlesungenbern00pascgoog.pdf}& \bibitem[Poi]&Henri Poincaré&Œuvres&tome 2, 1916 - Fonctions fuchsiennes, et {\it Les géométries non euclidiennes} {\tt http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/}& \bibitem[Pon]&Jean-Victor Poncelet&Traité des propriétés projectives des figures&Gauthier-Villars, Paris, 1866, téléchargeable à {\tt http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5484980j}& \bibitem[Rie]&Bernhard Riemann&Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse&Inauguraldissertation, Göttingen, 1851, and {\it Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen}, Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868), traduction anglaise {\it On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry}, {\tt http://www.emis.de/classics/Riemann/}& } \end % Local Variables: % TeX-command-default: "upTeX" % End: