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\centerline{\bf Les ensembles fractals (proposition de TIPE)}
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\centerline{Jean-Pierre Demailly (demailly@ujf-grenoble.fr)}
\centerline{Université de Grenoble I, Institut Fourier}
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Les ensembles fractals sont des figures géométriques produites 
par l'application de ``systèmes dynamiques'' -- ou algorithmes itératifs.  
Ils présentent très souvent la propriété d'auto-similarité~: une petite
partie de l'ensemble est semblable à l'ensemble tout entier. En général, 
leur dimension n'est pas un entier, mais peut prendre comme valeur tout 
nombre réel positif (inférieur ou égal à 2 s'il s'agit d'une figure 
plane). Divers logiciels permettent d'obtenir des images de fractals
assez précises, souvent surprenantes par leur richesse et leurs couleurs...

L'objet du thème sera d'expliquer le concept de dimension mis en jeu,
de même que le concept de ``mesure'' d'un tel objet~: le flocon de neige
de von Koch, par exemple, est de dimension $d=\ln(4)/\ln(3)$, soit
environ 1,26~; sa longueur est infinie, son aire est nulle, mais sa
mesure $d$-dimensionnelle, elle, est parfaitement calculable. Un autre
exemple intéressant est l'ensemble dit de Mandelbrot qui, lui, n'est
que partiellement auto-similaire. Sa définition utilise les nombres
complexes, ne fait intervenir qu'un procédé très simple d'itération d'un
polynôme du second degré, et tient en 2 ou 3 lignes. Mais ses propriétés 
sont si subtiles qu'il reste encore plusieurs hypothèses ou conjectures non
démontrées à son sujet~!

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