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\begin{document}

\subsection*{Douady et les espaces analytiques banachiques}

On compte parmi les travaux les plus célèbres en géométrie analytique
complexe, la thèse de Douady, publiè en 1966 dans les Annales de l'Institut
Fourier, où il met à la disposition de la communité mathématique les
espaces analytiques banachiques et encore d'autres moyens nouveaux,
comme les polycylindres privilégiés, afin de montrer l'existence d'un
espace des modules qui porte aujourd'hui son nom. Le résultat spectaculaire
de Douady est la réponse affirmative à une conjecture de A.Grothendieck,
énoncée quelques années auparavant au Séminaire H.Cartan, concernant
l'existence d'un espace analogue au schéma de Hilbert, mais en géométrie
analytique. Le style de rédaction de la thèse de Douady - inspiré
certainement par celui de N.Bourbaki - est d'une clarté exemplaire
et qui rend ce texte accessible à un bon étudiant de mathématiques.

Un autre problème, encore plus difficile, posé par A.Grothendieck
(également au Séminaire H.Cartan), celui sur l'existence d'un espace
modulaire local pour un espace complexe compact donné, a aussi trouvé
une solution affirmative par A.Douady. Et c'était lui étant le premier
à publier une solution complète en 1974 dans les Annales de l'ENS.
En paralléle, il y avait des travaux indépendants sur la même question
par H.Grauert (publié en 1974), V.Palamodov (1976) et O.Forster/K.Knorr
(1979), aboutissant au même résultat et en utilisant (sauf celui de
Forster/Knorr) les espaces analytiques banachiques de Douady. Ces
espaces ont permis à I.F.Donin de montrer déjà en 1972 et avec une
démonstraton d'une simplicité frappante, l'existence d'un espace modulaire
local pour les singularités isolées. Un problème dont une solution
{}``formelle'' a été établi un peu avant par M.Schlessinger.

L'impact des idées de Douady, via le passage audace de dimension infinie,
se poursuit aussi après la fin des années '70, s'il s'agit de verifier
l'existence de certaines espaces des modules en géométrie analytique.
On peut mentionner les espaces modulaires locaux pour les applications
holomorphes et propres, pour les variétés complexes strictement pseudoconvexes
(voir pour ce contexte le livre de J.Bingener/S.Kosarew et les travaux
des V.Palamodov) et beaucoup d'autres {}``problèmes des modules''
provenant de la géométrie analytique. Les idées de Douady, visant
la théorie de la déformation, ont même trouvées une incarnation axiomatique
et très systématique par H.Stieber dans son livre publié en 1989.

Par contre, Douady lui-même, s'était tourné vers d'autres problèmes
mathématiques, vers d'autres mondes à conquérir ..

~


\lyxrightaddress{Siegmund Kosarew, Institut Fourier, Grenoble}
\end{document}
