%% Article de J.P. Demailly pour le numero 53 de la Gazette (Juin 1992)

\input ams.tex
\input gazma.tex
\gros
\hsize=12.3cm
\vsize=19.2cm
\hoffset=0.1cm
\voffset=0.22cm

\font\petcap=cmcsc10
\font\cal=cmsy10
\font\oldstyle=cmmi10
\font\eightrm=cmr8
\font\eighti=cmmi8
\font\eightsy=cmsy8
\font\eightbf=cmbx8
\font\eightit=cmti8
%\font\eightsl=cmsl8
\font\dunh=cmdunh10
%\font\si=HelveticaI at 9pt
\font\si=cmssi10

\def\omini{\hbox{${}^\circ$}}
\def\cb{{\Bbb C}}
\def\nb{{\Bbb N}}
\def\pb{{\Bbb P}}
\def\qb{{\Bbb Q}}
\def\rb{{\Bbb R}}
\def\zb{{\Bbb Z}}

\def\dr{{\cal D}}
\def\oc{{\cal O}}
\def\drp{{}'{\cal D}}
\def\bu{{\scriptstyle\bullet}}

\def\deg{\hbox{${\rm d}^\circ$}}
\def\supp{{\rm Supp}}
\def\reg{{\rm reg}}
\def\sing{{\rm sing}}
\def\loc{{\rm loc}}
\def\abc{{\rm abc}}
\let\ssm=\smallsetminus
\let\sml=\smallsmile
\let\ovl=\overline
\let\pt=\partial
\def\opt{{\overline\partial}}
\def\psh{{\rm Psh}}

\def\pointir{.$\,$---~}
\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\vskip 5pt
{\petcap #1\pointir}{\sl #2}\par\vskip 5pt}
\def\remarque#1|{\par\vskip5pt{{\petcap #1}\pointir}}
\def\preuv{{\sl Preuve}\pointir}
\def\finpr{\hfill\hbox{$\square$}}

\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|
{{\leftskip=15mm\noindent
\hangindent=10mm\hangafter=1
\llap{[#1]\hskip1.35em}{\petcap #2}\pointir {\sl #3}, {\rm #4}, 
\nobreak{\bf #5} ({\oldstyle #6}), \nobreak #7.\par}}

\def\livre#1|#2|#3|#4|#5|
{{\leftskip=15mm\noindent
\hangindent=10mm\hangafter=1
\llap{[#1]\hskip1.35em}{\petcap #2}\pointir{\sl #3}, #4, 
{\oldstyle #5}.\par}}

\def\divers#1|#2|#3|#4|
{{\leftskip=15mm\noindent
\hangindent=10mm\hangafter=1
\llap{[#1]\hskip1.35em}{\petcap #2}\pointir{\sl #3,} {\rm #4}.\par}}

\special{header=/home/demailly/psinputs/mathdraw/desslib.ps}
\long\def\InsertFig#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" 
#3}}#4$}}
\long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}}

 
\pageno1
\titlepage
\titrecourant{\eightrm COURANTS POSITIFS ET TH\'EORIE DE L'INTERSECTION}
\auteurcourant{\eightrm Jean-Pierre DEMAILLY}
 
\baspagegauche{\hfil \eightrm GAZETTE DES MATH\'EMATICIENS\hfil}
\baspagedroite{\hfil \eightrm n\omini~53 -- JUIN 1992\hfil}
 
\titrearticle COURANTS POSITIFS ET TH\'EORIE DE L'INTERSECTION|
 \vskip10pt
\centerline{\si Jean-Pierre DEMAILLY (Institut Fourier, Grenoble 1)}
\vskip1.5cm
 
\centerline{\bf 1. Introduction}
\medskip

%%%%% LETTRINE  "P"%%%%%
\setbox1=\vtop{\font\bigtimes=ptmr at 40pt
               \bigtimes\null\hbox{L\kern2.5pt}
              }
\lettrine{\wd1}{3}{\raise 4pt\box1}a notion de multiplicit\'e locale
d'intersection des cycles alg\'ebriques ou analytiques est maintenant
bien comprise d'un point de vue alg\'ebrique depuis plusieurs
d\'ecennies (travaux de Samuel [Sa51], Serre [Se57]), voire depuis le
XIX\`eme si\`ecle. Nous allons dans la suite adopter un
point de vue assez diff\'erent, mais il est sans doute utile de
rappeler quelques notions fondamentales pour situer le contexte.

Rappelons qu'un cycle alg\'ebrique de
codimension $p$ dans une vari\'et\'e alg\'ebrique $X$ est une
combinaison lin\'eaire formelle $A=\sum\lambda_jA_j$ dans le groupe
ab\'elien libre engendr\'e par les ensembles alg\'ebriques
irr\'eductibles de codimension~$p$: les $A_j$ sont donc de tels
ensembles et $\lambda_j\in\zb\,$; le cycle est dit effectif si
$\lambda_j\ge0$. On~s'int\'eressera en fait aussi aux
cycles r\'eels \hbox{($\lambda_j\in\rb$)}. Le~support de $A$ est
l'ensemble $|A|=\bigcup_{\lambda_j\ne 0}A_j$.

Si $X$ est une vari\'et\'e alg\'ebrique non singuli\`ere (toujours sur
le corps de base $\cb$ dans ce qui suit), et si $A$, $B$ sont des
cycles alg\'ebriques de codimensions respectives $p$, $q$ tels que
$\codim|A|\cap|B|=p+q$, on a une bonne notion de cycle intersection
$C=A\cdot B\,$: les composantes $C_j$ de $C$ sont les composantes
irr\'eductibles de l'intersection g\'eom\'etrique $|A|\cap|B|$,
affect\'ees de multiplicit\'es $\lambda_j$ convenables.
Supposons par exemple $A$ et $B$ irr\'eductibles. Lorsque
$p+q=n=\dim X$, les $C_j$ sont par hypoth\`ese des points isol\'es~$x_j\,$;
la multiplicit\'e d'intersection en un tel point $x_j$ peut alors \^etre 
vue de mani\`ere g\'eom\'etrique comme le nombre de points
d'intersection de $A$ avec un translat\'e $\tau_a(B)$ dans un petit
voisinage de~$x_j\,$; ce nombre de points d'intersection est bien ind\'ependant
g\'en\'eriquement du choix de~$a$ pour une translation $\tau_a$ de vecteur
$a$ assez petit (on travaille ici dans une carte affine contenant~$x_j$).

\InsertFig 10 45 {
1 mm unit
  0.000   0.000 translate 
  2.000  10.000 moveto 
 42.000  10.000 lineto 
stroke 
  2.000  32.000 moveto 
[   2.000  32.000   12.000  14.000   22.000  10.000   32.000  14.000  
 42.000  32.000  ] curve 
stroke 
 62.000  12.000 moveto 
102.000  12.000 lineto
 62.000  32.000 moveto 
[  62.000  32.000   72.000  14.000   82.000  10.000   92.000  14.000  
102.000  32.000  ] curve 
stroke 
 22.000  10.000 moveto 
  0.700 disk
 75.200  12.000 moveto 
  0.700 disk 
 88.700  12.000 moveto 
  0.700 disk 
}
\LabelTeX  5.3 24.0 $A$ \ELTX
\LabelTeX  5.3  6.5 $B$ \ELTX
\LabelTeX 20.7 12.5 $x_1$ \ELTX
\LabelTeX 65.3 24.0 $A$ \ELTX
\LabelTeX 62.0  8.2 $\tau_a(B)$ \ELTX
\EndFig 
\centerline{{\bf Fig.~1.}~~$A\cdot B=2\,x_1$~~~~o\`u~~$A\cap B=\{x_1\}$.}
\eject

Si $p+q<n$, on peut calculer la multiplicit\'e d'intersection
$\lambda_j$ le long d'une composante $C_j$ de $|A|\cap|B|$ comme suit:
on choisit un point non singulier g\'en\'erique $x$ sur $C_j$, un
sous-espace lin\'eaire $L$ g\'en\'erique passant par $j$ de dimension
\'egale \`a $\codim C_j=p+q$, et on prend $\lambda_j$ \'egal \`a la
multiplicit\'e d'intersection de $A\cap L$ et $B\cap L$ en~$x$. Ce nombre
est ici encore ind\'ependant des choix faits (pourvu que ces choix
soient g\'en\'eriques), et on pose $C=A\cdot B=\sum\lambda_jC_j$.

Tout ce qui pr\'ec\`ede vaut d'ailleurs sans changement pour des cycles
analytiques dans une vari\'et\'e analytique complexe~$X$. Dans ce cadre,
on peut attacher \`a tout cycle analytique $A$ de codimension $p$ une classe
fondamentale de cohomologie $\{A\}\in H^{2p}(X,\zb)$. Ceci peut se faire
de plusieurs fa\c cons, soit en utilisant la dualit\'e de Poincar\'e et
l'existence de triangulations simpliciales de~$|A|$, soit en construisant
la classe $\{A\}$ cherch\'ee d'abord en dehors des singularit\'es de~$A$,
c'est-\`a-dire dans $H^{2p}(X\ssm A_\sing,\zb)$,
auquel cas le probl\`eme se r\'eduit \`a savoir calculer la classe
fondamentale d'une sous-vari\'et\'e lisse, puis en observant qu'on a un
isomorphisme $H^{2p}(X,\zb)\simeq H^{2p}(X\ssm A_\sing,\zb)$, compte tenu
du fait que $\codim_\cb A_\sing>p$.
Nous expliquerons plus loin une autre d\'efinition utilisant les courants
et la cohomologie de De Rham. Par exemple, si $A$ est un ensemble
alg\'ebrique de codimension~$p$ dans \hbox{$X=\pb^n$}, alors $H^{2p}(\pb^n,\zb)
\simeq\zb$ et la classe $\{A\}$ est donn\'ee par un entier qui
s'interpr\`ete comme le degr\'e de l'ensemble alg\'ebrique $A$
($={}$nombre de points d'intersection de $A$ avec un sous-espace lin\'eaire
g\'en\'erique de dimension $p$ dans~$\pb^n$). La formule de Bezout
dit maintenant que $\{A\cdot B\}=\{A\}\sml\{B\}$, c'est-\`a-dire
que la classe fondamentale de l'intersection est le cup produit des
classes fondamentales; dans $\pb^n$, le degr\'e de l'intersection des cycles
est donc le produit des degr\'es.

Il se trouve qu'une grande partie de ces r\'esultats peut se formuler
dans le langage des courants positifs ferm\'es, au moins dans le cas de
l'intersection des diviseurs (ce sont par d\'efinition les cycles
alg\'ebriques ou analytiques de codimension~$1$). Cette th\'eorie, inaugur\'ee
par P.~Lelong en 1957, permet d'attacher \`a un cycle analytique une forme
diff\'erentielle ferm\'ee explicite dont les coefficients sont des
mesures complexes. On dispose maintenant de r\'esultats assez
g\'en\'eraux permettant de multiplier de telles formes sous des
hypoth\`eses convenables portant sur la dimension des intersections.
L'int\'er\^et de cette approche est qu'on dispose simultan\'ement des
commodit\'es du calcul diff\'erentiel et int\'egral sur les
vari\'et\'es, des outils de l'analyse complexe et de la th\'eorie du
potentiel. Il est alors tr\`es facile d'obtenir des r\'esultats globaux
du type th\'eor\`eme de Bezout. En m\^eme temps, on dispose d'un
certain nombre d'op\'erations naturelles telles que passages \`a la
limite, d\'eplacements ``infinit\'esimaux'' de cycles, etc., m\^eme
dans des situations o\`u ces op\'erations n'ont pas de sens d'un point
de vue alg\'ebrique. Cette approche se r\'ev\`ele tr\`es efficace pour
\'etudier certains probl\`emes issus de l'arithm\'etique (th\'eorie des
nombres transcendants, voir [Bo70], [Wa78], [De82a]) ou m\^eme certains
probl\`emes de nature alg\'ebrique pour lesquels les outils purement
alg\'ebriques sont \`a l'heure actuelle insuf\-fisants (conjecture
de grande amplitude de Fujita, voir~[De90]).

Notre but ici n'est pas de donner un expos\'e exhaustif des principaux
r\'esultats connus, mais plut\^ot de proposer une introduction aussi
\'el\'ementaire que possible aux notions mises en jeu. Le probl\`eme
suivant sera l'occasion de montrer comment les choses
fonctionnent. On se donne un diviseur $D\ge0$ dans une sous-vari\'et\'e
alg\'ebrique de $\pb^N=\pb^N(\cb)$, et pour entier $c\ge 0$ on note $E_c(D)$
l'ensemble des points o\`u $D$ est de multiplicit\'e $\ge c\,$;
autrement dit, $D$ est localement dans une carte affine $U$ de $X$
le diviseur d'une fonction polynomiale~$f$ et on regarde
$$E_c(D)=\big\{x\,;\,D^\alpha f(x)=0~~\hbox{pour}~|\alpha|<c\big\}.$$
Les ensembles $E_c(D)$ forment donc une suite d\'ecroissante
d'ensembles alg\'e\-briques dans~$X$. Le probl\`eme est de majorer
le degr\'e des diff\'erentes composantes des $E_c(D)$ en fonction
du degr\'e de~$D$. Par exemple si $D$ est une courbe de degr\'e~$d$
dans $\pb^2$, il est bien connu que le nombre de points multiples
de $D$ est au plus $d(d-1)/2$, le maximum \'etant atteint lorsque
$D$ est une r\'eunion de $d$ droites en position g\'en\'erale. 
La th\'eorie des courants permet de donner une r\'eponse
g\'en\'erale assez pr\'ecise \`a ce probl\`eme, incluant une
estimation utile du terme d'erreur (\`a savoir de ``l'exc\`es de
self-intersection'').
\vskip1cm

\centerline{\bf 2. Courants au sens de De Rham}
\medskip

Nous commen\c cons par rappeler tr\`es bri\`evement le formalisme des
courants introduit par G. de Rham [DR55] (voir aussi le livre de
H.~Federer [Fe69]). Soit $M$ une vari\'et\'e diff\'erentiable orient\'ee
de dimension r\'eelle~$n$. Un courant
de degr\'e $p$ sur $M$ est par d\'efinition une forme diff\'erentielle
$T=\sum_{|I|=p}T_Idx_I$ dont les coefficients $T_I$ sont des distributions;
ici $I=(i_1\ld i_p)$ d\'esigne un multi-indice croissant dans
$\{1\ld n\}^p$, et on pose $dx_I=dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_p}$
dans le syst\`eme de coordonn\'ees locales consid\'er\'e. Le r\'esultat
suivant est imm\'ediat:
\tha (2.1) Proposition|On d\'esigne par $\dr_q(M)$ l'espace des formes
diff\'e\-rentielles de degr\'e $q$ \`a support compact dans~$M$ et
par $\drp_p(M)$ l'espace des courants de degr\'e $p$. Alors
$\drp_p(M)$ s'identifie au dual topologique $\dr_{n-p}(M)'$ via
l'accouplement naturel
$$\eqalign{
\drp_p(M)\times \dr_{n-p}(M) &\la \rb\cr
\hfill(T,u)&\longmapsto\langle T,u\rangle=\int_M T\wedge u.\cr}$$\fintha

Ici l'int\'egrale est con\c cue comme provenant de l'accouplement usuel
entre distributions et fonctions sur un ouvert de $\rb^n$. Par d\'efinition,
on a une inclusion $\dr_p(M)\subset\drp_p(M)$, et les r\`egles habituelles
du calcul diff\'erentiel ext\'erieur s'appliquent aux courants
(diff\'erentiation ext\'erieure, lemme de Poincar\'e, formule de
diff\'erentiation du produit d'un courant par une forme diff\'erentielle
\`a coefficients $C^\infty~\ldots$). Bien entendu,
on ne peut pas en g\'en\'eral multiplier ext\'erieurement deux courants
puisque le produit de deux distributions (ou m\^eme de deux mesures)
ne d\'efinit pas une distribution.

\remarque (2.2) Exemple fondamental|Soit $S$ une sous-vari\'et\'e orient\'ee
de classe $C^1$ et de dimension $q$ dans~$M$, avec ou sans bord. On
d\'efinit par dualit\'e un courant not\'e $[S]\in\drp_{n-q}(M)$, appel\'e
courant d'int\'egration sur $S$, tel que
$$\langle[S],u\rangle=\int_Su_{\restriction S},~~~~\forall u\in\dr_q(M).$$
Si on choisit localement des coordonn\'ees $(x_1\ld x_n)$ sur $M$
dans lesquelles $S$ a pour \'equation $x_{q+1}=\ldots=x_n=0$, alors
$(x_1\ld x_q)$ d\'efinissent des coordonn\'ees sur $S$ et on voit facilement
que $[S]$ s'identifie \`a la forme diff\'erentielle
$$\lambda_S(x)\,dx_{q+1}\wedge\ldots\wedge dx_n~~~\hbox{o\`u}~~
\lambda_S(x)=1(x_1\ld x_q)\otimes\delta_0(x_{q+1}\ld x_n)$$
est la mesure d'int\'egration de Lebesgue sur $S$ dans les
coordonn\'ees~$x_i$ et $\delta_0$ la mesure de Dirac \`a l'origine.
On voit donc que $[S]$ est \`a coefficients
mesures, i.e. que c'est un courant d'ordre~$0$ (comme pour une
distribution, on dit qu'un courant est d'ordre $k$ s'il s'\'etend en
une forme lin\'eaire continue sur l'espace des formes diff\'erentielles
de classe $C^k$ \`a support compact). Pour $u\in\dr_{q-1}(M)$, le
th\'eor\`eme de Stokes appliqu\'e d'abord \`a $d([S]\wedge u)$ sur $M$
puis \`a $du$ sur $S$ donne
$$\eqalign{
\int_M d[S]\wedge u&=(-1)^{n-q+1}\int_M[S]\wedge du:=
(-1)^{n-q+1}\int_S du\cr
&=(-1)^{n-q+1}\int_{\partial S}u=
(-1)^{n-q+1}\int_M [\partial S]\wedge u,\cr}$$
de sorte que la diff\'erentielle ext\'erieure
$d[S]=(-1)^{n-p+1}[\partial S]$ s'identifie au signe pr\`es au courant
d'int\'egration sur le bord orient\'e~$\partial S$.
Cet exemple conduit \`a la d\'efinition suivante:

\tha (2.3) D\'efinition|On appelle dimension d'un courant quelconque
$T\in\drp_p(M)$ l'entier~$n-p$.\fintha

Les groupes de cohomologie du complexe de De Rham $(C^\infty_p(M),d)$
sont par d\'efinition les groupes de cohomologie de De Rham
$H^p_{DR}(M,\rb)$ de la vari\'et\'e. Le morphisme d'inclusion de
complexes \hbox{$C^\infty_\bu(M)\to\drp_\bu(M)$} donne lieu \`a un
isomorphisme en cohomologie$\,$: c'est un cons\'e\-quence facile du
fait que le lemme de Poincar\'e est vrai pour les deux complexes, de
sorte que $C^\infty_\bu$ et $\drp_\bu$ sont deux r\'esolutions du
faisceau localement constant $\rb$ par des faisceaux acycliques (voir
par exemple Godement [Go57]). Cet isomorphisme a entre autres pour
corollaire qu'un courant $d$-ferm\'e $T\in \drp_p(M)$ d\'efinit une
classe de cohomologie $\{T\}\in H^p_{DR}(M,\rb)$. On peut alors poser
la d\'efinition suivante:

\tha (2.4) D\'efinition|Si $S$ est une sous-vari\'et\'e orient\'ee sans
bord de codimension $p$ de~$M$, la classe fondamentale de $S$ dans $M$
est la classe de cohomologie $\{S\}\in H^p_{DR}(M,\rb)$ de son
courant d'int\'egration $[S]\in\drp_p(M)$.\fintha

De mani\`ere g\'en\'erale, si $T_1$ et $T_2$ sont deux courants ferm\'es,
le cup produit $\{T_1\}\sml\{T_2\}$ des classes de cohomologie est
toujours bien d\'efini, m\^eme lorsque le produit ext\'erieur
$T_1\wedge T_2$ n'a pas de sens: on \'ecrit simplement $T_i=\alpha_i+dU_i$
avec des formes $\alpha_i$ de classe $C^\infty$ repr\'esentant la
m\^eme classe de cohomologie que $T_i\,$; la forme $\alpha_1\wedge\alpha_2$
repr\'esente alors la classe $\{T_1\}\wedge\{T_2\}$.

L'isomorphisme $H^p(C^\infty_\bu(M))\simeq H^p(\drp_\bu(M))$ \'evoqu\'e
plus haut est un isomorphisme topologique si l'on munit $C^\infty_p(M)$
de sa topologie naturelle d'espace de Fr\'echet et $\drp_p(M)$ de la
topologie de la convergence faible des courants: par l'argument faisceautique
pr\'ec\'edent, ceci r\'esulte du fait que les deux groupes sont topologiquement
isomorphes au groupe de cohomologie de \v Cech \`a valeurs dans~$\rb$.
On voit ainsi du m\^eme coup que $H^p_{DR}(M,\rb)$ est un espace de
Fr\'echet (le point essentiel est que cet espace est s\'epar\'e). En
particulier, il suffit qu'une suite $T_\nu$ converge faiblement vers $T$
pour en d\'eduire que la classe $\{T_\nu\}$ converge vers $\{T\}$ dans
la topologie d'espace de Fr\'echet de $H^p_{DR}(M,\rb)$.

\InsertFig 8 48 {
1 mm unit
 58.000  -2.000 translate
newpath  17.750  27.850 moveto 
[  17.750  27.850   19.750  29.650   21.850  31.550  ] curve 
[  21.850  31.550   22.750  29.750   23.750  27.750  ] curve 
[  23.750  27.750   23.400  17.700   23.200   9.250  ] curve 
[  23.200   9.250   21.200   7.050   19.400   5.050  ] curve 
[  19.400   5.050   18.600   7.050   17.400   9.450  ] curve 
[  17.400   9.450   17.340  19.000   17.750  27.850  ] curve
closepath 
  0.930 setgray  fill 0 setgray 
  0.010 setlinewidth
 17.400   9.450 moveto 
[  17.400   9.450   17.340  19.000   17.750  27.850  ] curve
stroke
 23.750   27.750 moveto 
[  23.750  27.750   23.400  17.700   23.200   9.250  ] curve
 19.600  23.500 moveto 
[  19.600  23.500   19.250  13.500   19.300   5.100  ] curve 
stroke 
-58.000   2.000 translate
  0.282  setlinewidth  
  5.000   5.000 moveto 
[   5.000   5.000   10.000  15.000   18.000  25.000   28.000  33.000  
 40.000  39.000  ] curve 
stroke
  7.000 -11.000 moveto 
[   7.000 -11.000   12.000  -1.000   18.300   7.400  ] curve 
stroke
 26.000  14.000 moveto
[  26.000  14.000   30.000  17.000   42.000  23.000  ] curve 
stroke 
  5.000   5.000 moveto 
[   5.000   5.000    6.200  -3.000    7.000 -11.000  ] curve 
stroke 
 40.000  39.000 moveto 
[  40.000  39.000   41.200  31.000   42.000  23.000  ] curve 
stroke
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
  6.000  22.000 moveto 
[   6.000  22.000    8.800  19.900   11.500  17.300  ] curve
stroke
 18.300   7.400 moveto
[  18.300   7.400   21.000   2.000   28.000  -6.000  ] curve  
stroke 
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
 29.000  11.000 moveto 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
 18.800  25.700 moveto 
[  18.800  25.700   18.300  15.700   18.300   7.400  ] curve 
stroke 
 60.000   0.000 translate
  0.339 setlinewidth 
  5.000   5.000 moveto 
[   5.000   5.000   10.000  15.000   18.000  25.000   28.000  33.000  
 40.000  39.000  ] curve 
stroke
  7.000 -11.000 moveto 
[   7.000 -11.000   12.000  -1.000   20.000   9.000   30.000  17.000
 42.000  23.000  ] curve 
stroke 
  5.000   5.000 moveto 
[   5.000   5.000    6.200  -3.000    7.000 -11.000  ] curve 
stroke 
 40.000  39.000 moveto 
[  40.000  39.000   41.200  31.000   42.000  23.000  ] curve 
stroke
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
  6.000  22.000 moveto 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
 29.000  11.000 moveto 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
 18.800  25.700 moveto 
[  18.800  25.700   18.300  15.700   18.300   7.400  ] curve 
stroke 
  0.010 setlinewidth  
  6.000   5.000 moveto 
[   6.000   5.000   11.200  15.000   19.500  25.000   29.800  33.000  
 42.200  39.000  ] curve 
stroke 
  8.000 -11.000 moveto 
[   8.000 -11.000   13.200  -1.000   21.500   9.000   31.800  17.000
 44.200  23.000  ] curve 
stroke 
  6.000   5.000 moveto 
[   6.000   5.000    7.200  -3.000    8.000 -11.000  ] curve 
stroke 
 42.200  39.000 moveto 
[  42.200  39.000   43.400  31.000   44.200  23.000  ] curve 
stroke
  7.000   5.000 moveto 
[   7.000   5.000   12.400  15.000   21.000  25.000   31.600  33.000  
 44.400  39.000  ] curve 
stroke 
  9.000 -11.000 moveto 
[   9.000 -11.000   14.400  -1.000   23.000   9.000   33.600  17.000
 46.400  23.000  ] curve 
stroke 
  7.000   5.000 moveto 
[   7.000   5.000    8.200  -3.000    9.000 -11.000  ] curve 
stroke 
 44.400  39.000 moveto 
[  44.400  39.000   45.600  31.000   46.400  23.000  ] curve 
stroke
  4.000   5.000 moveto 
[   4.000   5.000    8.800  15.000   16.500  25.000   26.200  33.000  
 37.800  39.000  ] curve 
stroke 
  6.000 -11.000 moveto 
[   6.000 -11.000   10.800  -1.000   18.500   9.000   28.200  17.000
 39.800  23.000  ] curve 
stroke 
  4.000   5.000 moveto 
[   4.000   5.000    5.200  -3.000    6.000 -11.000  ] curve 
stroke 
  37.800  39.000 moveto 
[  37.800  39.000   39.000  31.000   39.800  23.000  ] curve 
stroke
  3.000   5.000 moveto 
[   3.000   5.000    7.600  15.000   15.000  25.000   24.400  33.000  
 35.600  39.000  ] curve 
stroke 
  5.000 -11.000 moveto 
[   5.000 -11.000    9.600  -1.000   17.000   9.000   26.400  17.000
 37.600  23.000  ] curve 
stroke 
  3.000   5.000 moveto 
[   3.000   5.000    4.200  -3.000    5.000 -11.000  ] curve 
stroke 
  35.600  39.000 moveto 
[  35.600  39.000   36.800  31.000   37.600  23.000  ] curve 
stroke
   1.000   1.000 translate
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
  6.000  22.000 moveto 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
 29.000  11.000 moveto 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
   1.000   1.000 translate
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
  6.000  22.000 moveto 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
 29.000  11.000 moveto 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
 -3.000  -3.000 translate
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
  6.000  22.000 moveto 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
 29.000  11.000 moveto 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
 -1.000  -1.000 translate
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
  6.000  22.000 moveto 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
  7.000  39.000 moveto 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
 29.000  11.000 moveto 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
}
\LabelTeX   6.5  3.0 $S_1$ \ELTX
\LabelTeX  23.0  3.0 $S_2$ \ELTX
\LabelTeX  56.3 -4.0 $u_{1,\varepsilon}$ \ELTX
\LabelTeX  92.0  1.5 $u_{2,\varepsilon}$ \ELTX
\EndFig
\vskip17mm

\centerline{\bf Fig.~2.}
\vskip8pt

Supposons maintenant comme sur la Fig.~2. ci-dessus que $S_1$, $S_2$
soient deux sous-vari\'et\'es lisses orient\'ees de $M$ se coupant
transversalement. On peut alors voir par un raisonnement de
continuit\'e faible que $\{S_1\}\sml\{S_2\}=\{S_1\cap S_2\}$: on
approxime $[S_1]$ et $[S_2]$ par des formes diff\'erentielles ferm\'ees
$u_{1,\varepsilon}$, $u_{2,\varepsilon}$ de classe $C^\infty$ \`a
support dans des voisinages tubulaires de $S_1$, $S_2$ de rayon
$\varepsilon$; si l'on s'y prend bien, on constate que
$u_{1,\varepsilon}\wedge u_{2,\varepsilon}$ converge faiblement vers
$[S_1\cap S_2]$.
\vskip1cm

\centerline{\bf 3. Courants positifs et \'equation de Lelong-Poincar\'e}
\medskip

Sur une vari\'et\'e analytique complexe $X$ de dimension~$n$, on a de
fa\c con analogue des espaces $\dr_{p,q}(X)$ de formes \hbox{
$u=\sum_{|I|=p,\,|J|=q}u_{I,J}dz_I\wedge d\ovl z_q$} de bidegr\'e $(p,q)$
\`a coefficients complexes, et des op\'erateurs de diff\'eren\-tiation
ext\'erieure $\pt$, $\opt$ de type $(1,0)$ et $(0,1)$ respectivement,
tels que $d=\pt+\opt$. Il en r\'esulte qu'on obtient
des espaces de courants $\drp_{p,q}(X)$ de bidegr\'e
$(p,q)$ et de bidimension $(n-p,n-q)$, avec une identification canonique
$$\drp_{p,q}(X)\simeq\dr_{n-p,n-q}(X)'.\leqno(3.1)$$
Dans cette identification, on utilise le fait qu'une vari\'et\'e complexe
poss\`ede toujours une orientation naturelle$\,$: les formes volumes positives
sont par d\'efinition les multiples positifs de
$$i\,dz_1\wedge d\ovl z_1\wedge\ldots\wedge i\,dz_n\wedge d\ovl z_n=
i^{n^2}dz_1\wedge\ldots\wedge dz_n\wedge d\ovl z_1\wedge\ldots\wedge
d\ovl z_n$$
(noter que $i\,dz\wedge d\ovl z=2\,dx\wedge dy$ si $z=x+iy$). De mani\`ere
g\'en\'erale, on a une notion de positivit\'e naturelle pour les formes
de type $(p,p)$, introduite initialement par P.~Lelong [Le57]. Nous en
donnons ici une variante l\'eg\`erement plus restrictive en vue de
simplifier l'expos\'e.

\tha (3.2) D\'efinition|Un courant $T=i^{p^2}\sum_{|I|=|J|=p}T_{I,J}dz_I\wedge
d\ovl z_J$ est dit positif si la $(n,n)$-forme
$T\wedge i^{(n-p)^2}\alpha\wedge\ovl\alpha$ est une mesure ${}\ge 0$ pour toute
forme $\alpha$ de type $(n-p,0)$.\fintha

En \'ecrivant $\alpha=\sum_{|I|=p}\alpha_I dz_{\complement I}$,on voit
facilement que $T\ge 0$ si et seulement si $\sum T_{I,J}\alpha_I\ovl
\alpha_J$ est une mesure ${}\ge 0$ pour toute $(n-p,0)$-forme~$\alpha$.
C'est une propri\'et\'e purement ponctuelle du courant, au moins dans le
cas o\`u les coefficients sont des fonctions $L^1_\loc$, exprimant
que la matrice de coefficients $(T_{I,J})$ est hermitienne semi-positive.
La positivit\'e de $T$ entra\^{\i}ne que $T$ est un courant r\'eel
\`a coefficients mesures, i.e. les $T_{I,J}$ sont des mesures complexes
et on a $\ovl T=T$, $\ovl T_{I,J}=T_{J,I}$.

\remarque (3.3) Exemple|Soit $\varphi$ une fonction r\'eelle localement
int\'egrable sur~$X$. Le hessien complexe de $\varphi$ est le courant
de bidegr\'e $(1,1)$ 
$$i\pt\opt\varphi=i\sum \pt^2\varphi/\pt z_j\pt\ovl
z_k\,dz_j\wedge d\ovl z_k.$$
On a donc $i\pt\opt\varphi\ge 0$ si et
seulement si la matrice hermitienne $(\pt^2\varphi/\pt z_j\pt\ovl z_k)$
est ${}\ge 0$: on dit alors que la fonction $\varphi$ est
plurisousharmonique (psh en abr\'eg\'e); c'est la g\'en\'eralisation
naturelle sur $\cb$ de la notion de fonction convexe. Dans le cas de la
dimension complexe~$1$, la condition se r\'eduit \`a $\Delta\varphi\ge
0$, ce qui traduit la sousharmonicit\'e de~$\varphi$. On montre qu'on
peut toujours modifier une fonction psh sur un ensemble n\'egligeable,
et ce de fa\c ccon unique, de sorte que la fonction $\varphi$ obtenue
soit semi-continue sup\'erieurement de $X$ dans $[-\infty,+\infty[$,
et satisfasse l'in\'egalit\'e de la
moyenne
$$\varphi(h(0))\le {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi(h(e^{i\theta})\,d\theta$$
pour tout disque holomorphe $h:\ovl D(0,1)\to X\,$; inversement
une fonction $\varphi$ satisfaisant ces deux propri\'et\'es v\'erifie bien
$i\pt\opt\varphi\ge 0$. Des calculs assez simples de Hessien
(exercice pour le lecteur$\,$!$\,$) montrent que
la classe des fonctions psh est stable par les op\'erations
suivantes:
\item{a)} Combinaison lin\'eaire \`a coefficients positifs, limite
d\'ecroissante, enveloppe sup\'erieure finie ou infinie d'une suite
de fonctions psh;
\item{b)} Composition avec un changement de variables holomorphe$\,$:
$$F:X\to Y~~~\hbox{holomorphe},~~~\varphi\in\psh(Y)
\Longrightarrow\varphi\circ F\in\psh(X).$$
\item{c)} Composition avec une fonction $\chi:\rb^p\to\rb$ convexe,
croissante en chaque variable$\,$:
$$\varphi_1\ld\varphi_p\in\psh(X)
\Longrightarrow \chi(\varphi_1\ld\varphi_p)\in\psh(X).$$
\vskip0pt\noindent
Comme la fonction $z\mapsto\log|z|$ est sous-harmonique sur $\cb$ et
comme $(x,y)\mapsto\log(e^x+e^y)$ est convexe sur $\rb^2$, on d\'eduit
aussit\^ot de ces r\`egles que les fonctions de la forme
$$\varphi=\log\max_j\sum_k|f_{jk}|^{\gamma_{jk}},~~~~
f_{jk}~\hbox{holomorphe},~~\gamma_{jk}>0$$
sont psh sur~$X$. Dans la suite, nous nous int\'eresserons essentiellement
aux fonctions psh de cette forme. De telles fonctions ont en g\'en\'eral
des p\^oles logarithmiques; si $\varphi$ est une fonction psh, on
d\'efinit le nombre de Lelong de $\varphi$ en un point $z_0$ par
$$\nu(\varphi,z_0)=\liminf_{z\to z_0}{\varphi(z)\over\log|z-z_0|}<+\infty.$$
On dira que $z_0$ est un p\^ole de $\varphi$ si $\varphi(z_0)=-\infty$,
et que c'est un p\^ole logarithmique si $\nu(\varphi,z_0)>0$. D'une
certaine fa\c con, comme on le verra plus loin, l'\'etude des p\^oles
logarithmiques des fonctions psh est un outil pour analyser la structure
des singularit\'es d'un ensemble analytique.

\remarque (3.4) Exemple|Soit $S$ une sous-vari\'et\'e analytique complexe
(sans bord) de codimension $p$ dans~$X$.  Alors le courant d'int\'egration
$[A]$ est positif ferm\'e de bidegr\'e $(p,p)$.
En effet, parmi les formes de degr\'e total $\dim_\rb S=2(n-p)$, seules
celles de bidegr\'e $(n-p,n-p)$ ont une restriction non nulle \`a~$A$.
Par ailleurs, si $f\in\dr(X)$ est une fonction positive et si $\alpha$ est une
$(n-p,0)$-forme, la forme $f\,i^{(n-p)^2}\alpha\wedge\ovl\alpha$
d\'efinit une forme volume ${}\ge 0$ sur~$S$, de sorte que
$$\langle [S]\wedge i^{(n-p)^2}\alpha\wedge\ovl\alpha\,,\,f\rangle=
\int_S f\,i^{(n-p)^2}\alpha\wedge\ovl\alpha\ge 0.$$
Plus g\'en\'eralement, soit $A$ un ensemble analytique de dimension
pure $p$ dans $X$ (c'est-\`a-dire un ensemble ferm\'e d\'efini localement
par un nombre fini d'\'equations analytiques). On sait que $A$ est une
sous-vari\'et\'e lisse en dehors d'un ensemble analytique
$A_\sing\subset A$ qui est le lieu des points singuliers de~$A$. Si
$A_\reg$ d\'esigne l'ouvert des points r\'eguliers, on a d'apr\`es
ce qui pr\'ec\`ede un courant d'int\'egration bien d\'efini $[A_\reg]$
sur~$X\ssm A_\sing$. P.~Lelong a d\'emontr\'e en 1957 le fait important
suivant:

\tha (3.5) Th\'eor\`eme {\rm ([Le57])}|Si $A$ est un ensemble analytique
de codi\-men\-sion pure $p$ dans~$X$, le courant d'int\'egration~$[A]$
de bidegr\'e~$(p,p)$
$$\langle[A],u\rangle=\int_{A_\reg}u,~~~~\forall u\in\dr_{n-p,n-p}(X)$$
est d\'efini sur $X$ tout entier. De plus $[A]$ est positif et ferm\'e.\fintha

Pour montrer l'existence de $A$ sur $X$, il faut s'assurer de la convergence
de l'int\'egrale de $u$ sur $A_\reg$ lorsque le support de $u$
rencontre~$A_\sing$. Ceci r\'esulte du fait qu'un ensemble analytique est
toujours d'aire localement finie au voisinage de ses points singuliers.

\InsertFig 15 57 {
1 mm unit  /nbpt 10 def 
  0.000   0.000 translate 
 10.000   0.000 moveto 
 50.000  90.000 axis 
 80.000   0.000 axis 
  0.339 setlinewidth 
 42.000  43.000 moveto 
[  42.000  43.000   41.000  38.000   38.000  33.000   34.000  32.000  
 30.000  40.000  ] curve 
stroke 
 42.000  43.000 moveto 
[  42.000  43.000   42.500  36.000   47.000  28.000   57.000  23.000  
 67.000  13.000  ] curve 
stroke 
 30.000  12.000 moveto 
[  30.000  12.000   33.000  17.000   38.000  20.000   45.000  21.000  
 49.000  24.000   50.000  26.000  ] curve 
stroke 
 50.000  26.000 moveto 
[  50.000  26.000   50.400  22.000   54.800  17.600   62.800  25.600  
 58.800  31.600   66.800  37.600   72.800  37.600  ] curve 
stroke 
 36.800  13.600 moveto 
  0.010 setlinewidth 
 36.000  14.000 moveto 
 28.000  24.000 rect 
stroke 
 50.000  26.000 moveto 
  0.900 disk
 60.500  20.000 moveto 
  0.900 disk 
 42.000  43.000 moveto 
  0.900 disk 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 35.000  38.000 moveto 
 11.300  38.000 lineto 
stroke 
 35.000  14.000 moveto 
 11.300  14.000 lineto 
stroke 
 36.000  13.000 moveto 
 36.000   1.300 lineto 
stroke 
 64.000  13.000 moveto 
 64.000   1.300 lineto 
stroke
[] 0 setdash 
  0.339 setlinewidth
 64.000   0.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 36.000   0.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 10.000  14.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 10.000  38.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 10.000  14.000 lineto 
stroke 
 36.000   0.000 moveto 
 64.000   0.000 lineto 
stroke 
 83.700  34.500 moveto 
 18.000 -90.000 axis
}
\LabelTeX   0.2  47.5 $\cb^{n-q}$ \ELTX
\LabelTeX  88.2  -5.0 $\cb^q$ \ELTX
\LabelTeX  51.5  39.5 $\Delta$ \ELTX
\LabelTeX  49.0  28.5 $A_{\sing}$ \ELTX
\LabelTeX  44.8  -5.0 $\pi_I(\Delta)$ \ELTX
\LabelTeX  70.0  34.0 $A$ \ELTX
\LabelTeX  85.3  24.3 $\pi_I$ \ELTX
\EndFig
\vskip12mm

\centerline{{\bf Fig.~3.}~~Projections de $A$ sur les $q$-plans de
coordonn\'ees.}
\bigskip

Pour le voir on observe que l'aire est toujours major\'ee par la somme
des aires des projections de $A$ sur les diff\'erents plans de
coordonn\'ees de m\^eme dimension $q$ que~$A$, et pour un choix convenable
des coordonn\'ees ces projections sont toutes des rev\^etements ramifi\'es
\`a un nombre fini de feuillets (voir Fig.~3): si $\nu_I$ est le degr\'e
de la projection \hbox{$\cb^n\to\cb^q$}, \hbox{$z\mapsto(z_j)_{j\in I}$}
au voisinage d'un point $x\in A_\sing$,
et si $\Delta\subset\cb^n$ est un poly\-disque de centre $x$ assez petit,
on a~ aire($A_\reg\cap\Delta)\le\sum\nu_I\,{\rm aire}(\pi_I(\Delta))$.

La positivit\'e de $[A]$ r\'esulte du fait que $[A_\reg]\ge 0$
et que $[A]$ est l'extension triviale de $[A_\reg]$ \`a $X$ (on \'etend
par $0$ sur $A_\sing$). La propri\'et\'e de fermeture $d[A]=0$ est plus
subtile. Pour la v\'erifier, on peut \'ecrire par exemple
$[A]=\lim_{\varepsilon\to 0}[A\ssm V_\varepsilon]$ o\`u $V_\varepsilon$
est un syst\`eme fondamental de voisinages de $A_\sing$ dans~$X$.
Si $V_\varepsilon$ est bien choisi (par exemple si $V_\varepsilon=\{
\sum|g_j(z)|^2<\varepsilon\}$ o\`u les $g_j$ sont des \'equations
analytiques de $A_\sing$), on v\'erifie alors gr\^ace \`a la continuit\'e
faible de la diff\'erentiation au sens des distributions que
$$d[A]=\lim_{\varepsilon\to 0}\pm[A\cap\pt V_\varepsilon]=0.$$
Ceci r\'esulte du fait que si $q=\dim_\cb A$, l'aire $(2q-1)$-dimensionnelle
de $A\cap\partial V_\varepsilon$ tend vers~$0$, 
$A_\sing$ \'etant de dimension complexe~${}\le q-1$.\finpr
\vskip5pt
Bien entendu, le th\'eor\`eme (3.5) permet de d\'efinir plus
g\'en\'eralement le courant d'int\'egration associ\'e \`a un cycle
analytique $A=\sum\lambda_jA_j\,$: on pose $[A]=\sum\lambda_j[A_j]$.

\tha (3.6) Equation de Lelong-Poincar\'e|Soit $f$ une fonction holomorphe
sur~$X$ et $D_f$ le diviseur des z\'eros de $f$, c'est-\`a-dire le
diviseur $D_f=\sum\lambda_jD_j$ dont les composantes sont les composantes
irr\'eductibles de $f^{-1}(0)$, affect\'ees de multiplicit\'es $\lambda_j\in
\nb^\star$ \'egales \`a l'ordre d'annulation g\'en\'erique de $f$ le long
de~$D_j$. Alors on a l'\'egalit\'e de courants
$${i\over\pi}\pt\opt\log|f|=[D_f].$$\fintha

{\sl Preuve} (voir aussi P.~Lelong [Le68])\pointir En un point r\'egulier
$x$ de $|D_f|$, on peut choisir un voisinage
$V$ de $x$ et des coordonn\'ees locales sur $V$
telles que $f(z)=z_1^m$. Comme $(D_f)_{\restriction V}$ se r\'eduit \`a
l'hypersurface $z_1=0$ affect\'e de la multi\-pli\-cit\'e~$m$, on est ramen\'e
\`a montrer que pour toute $(n-1,n-1)$-forme $u$ \`a support compact sur
$\cb^n$ on a
$$\int_{\cb^n}{i\over\pi}\pt\opt\log|z_1|\wedge u=\int_{\{0\}\times\cb^{n-1}}u.$$
Ceci \'equivaut par d\'efinition \`a montrer que
$$\int_{\cb^n}{2\over\pi}{\pt^2\over\pt z_1\pt\ovl z_1}\log|z_1|\,
f(z_1\ld z_n)\,d\lambda=\int_{\cb^{n-1}}f(0,z_2\ld z_n)\,d\lambda',$$
pour toute fonction test $f$, o\`u $d\lambda$ et $d\lambda'$ d\'esignent
les mesures de Lebesgue sur $\cb^n$ et~$\cb^{n-1}$. Or ceci r\'esulte
du fait que la fonction $\log|z|$ est la solution \'el\'ementaire du
Laplacien dans~$\cb$. Nous avons donc montr\'e que l'\'egalit\'e a lieu
en dehors de l'ensemble analytique $A=|D_f|_\sing$, c'est-\`a-dire
que le courant $T=i/\pi\,\pt\opt\log|f|-[D_f]$ est \`a support
dans~$A$. Or $T$ est un courant ferm\'e de bidegr\'e $(1,1)$ \`a
coefficients mesures (comme diff\'erence de deux courants positifs),
et $A$ est de dimension complexe ${}\le n-2$. On peut invoquer
le lemme \'el\'ementaire (3.7~a) ci-dessous pour conclure que $T=0\,$: 

\tha (3.7) Lemme|Soit dans un ouvert $\Omega\subset\rb^N$ un courant
$T$ de degr\'e~$p$, tel que $T$ et $dT$ soient d'ordre~$0$, \`a support
dans une sous-vari\'et\'e $S$ de codimension r\'eelle~$m$.
\item{\rm a)}~~Si $m>p$, alors $T=0$.
\item{\rm b)}~~Si $m=p$, alors $T$ est de la forme $T=a[S]$ o\`u $a$
est une fonction $L^1_\loc$ sur~$S$. Si de plus $dT=0$, alors $a$ est
localement constante sur~$S$.\vskip0pt
\fintha

En effet, on peut supposer apr\`es changement de coordonn\'ees locales
que $A=\Omega\cap\{x_1=\ldots=x_m=0\}$. La condition de support et
le fait que les coefficients de $T$ et $dT$ soient des mesures impliquent
$x_jT=x_jdT=0$ pour $j\le m$. On obtient donc aussi
$dx_j\wedge T=d(x_jT)-x_jdT=0$.

\noindent a)~~Supposons $m>p$. Si $T$ poss\'edait un mon\^ome $T_Idx_I$
non nul, $|I|=p$, on aurait $dx_j\wedge T\ne0$ pour
$j\notin\{1\ld m\}\ssm I$, contradiction.

\noindent b)~~Supposons $m=p$. ALors $T$ ne peut avoir qu'un seul
terme non nul, \`a savoir $\mu\,dx_1\wedge\ldots\wedge dx_p$ o\`u $\mu$
est une mesure port\'ee par~$S$. La condition que $dT$ est d'ordre~$0$
montre que les d\'eriv\'ees partielles $\pt\mu/\pt x_j$, $j>p$, sont
encore des mesures. Ceci impose que $\mu$ soit absolument
continue par rapport \`a la mesure de Lebesgue sur~$S$.
Si de plus $dT=0$, alors $\pt\mu/\pt x_j=0$ pour
$j>p$, donc le coefficient de proportionnalit\'e est localement
constant.\finpr
\vskip1cm

\centerline{\bf 4. Cas des sections m\'eromorphes d'un fibr\'e en droites}
\medskip

Nous aurons besoin en fait d'une l\'eg\`ere g\'en\'eralisation de l'\'equation
de Lelong-Poincar\'e, valable pour des sections m\'eromorphes de fibr\'es
en droites. Observons
tout d'abord que si $f=g/h$ est une fonction m\'eromorphe, on a \'evidemment
$${i\over\pi}\pt\opt\log|f|=[D_f]\leqno(4.1)$$
o\`u $D_f=D_g-D_h$ est le diviseur des z\'eros et des p\^oles de~$f$. Pour
\'eviter de tra\^{\i}ner constamment le facteur $i/\pi$, il est commode
d'introduire l'op\'erateur
$$d^c={\pt-\opt\over 2\pi i}.\leqno(4.2)$$
C'est un op\'erateur r\'eel $(\ovl d^c=d^c)$, et on a $dd^c=i/\pi\,\pt\opt$.

Soit maintenant $L$ un fibr\'e holomorphe en droites au dessus de~$X$.
Il~existe un recouvrement ouvert $(U_j)$ de~$X$ et des
trivialisations \hbox{$\tau_j:L_{\restriction U_j}\to U_j\times\cb$}, telles
qu'un point $(x,\xi)$ de la carte $U_k\times\cb$ se recolle avec le point
$$\tau_j\circ\tau_k^{-1}(x,\xi)=(x,g_{jk}(x)\xi)$$
de la carte  $U_j\times\cb$, o\`u les $g_{jk}$ sont des fonctions
holomorphes inversibles sur~$U_j\cap U_k$. On a la relation
$g_{jk}g_{k\ell}=g_{j\ell}$ sur~$U_j\cap U_k\cap U_\ell$. Une
section holomorphe (resp. m\'eromorphe) $f$ de $L$ est une application
$f:X\to L$ telle que $f(x)\in L_x$ pour tout $x$ et telle
que la coordonn\'ee $\xi_j(x)$ de $f(x)$ dans chaque carte d\'epend
holomorphiquement (resp. m\'eromorphiquement) de~$x$.
On suppose $L$ muni d'une m\'etrique hermitienne $h$ de classe~$C^\infty$.
Dans chaque carte $U_j$ la norme est donn\'ee par un poids positif
de classe $C^\infty$ qu'on convient d'\'ecrire sous la forme
$$||v||_h=|\xi|e^{-\varphi_j(x)},~~~~\forall v\in L_x,~~~
\hbox{avec}~~\tau_j(v)=(x,\xi).$$

\tha (4.3) D\'efinition|On appelle forme de courbure de Chern de $L$
la forme r\'eelle ferm\'ee de type $(1,1)$ donn\'ee par
$$\Theta_h(L)=dd^c\varphi_j,$$
qui est ind\'ependante du choix des trivialisations. De plus, la classe de
cohomologie de cette forme est ind\'ependante du choix de la
m\'etrique~$h$. C'est la premi\`ere classe de Chern
de~$L$, not\'ee $c_1(L)\in H^2_{DR}(X,\rb)$.\fintha

Le fait que $dd^c\varphi_j=dd^c\varphi_k$ r\'esulte aussit\^ot de ce 
que les poids sont li\'es par la relation
$e^{-\varphi_k}=e^{-\varphi_j}|g_{jk}|$, i.e. $\varphi_j=\varphi_k+
\log|g_{jk}|$, le terme $\log|g_{jk}|$ ayant un Hessien nul sur~$U_j\cap U_k$.
Si l'on change la m\'etrique~$h$, en la rempla\c cant disons par
$h'=h\,e^{-2\psi}$, les poids $\varphi_j$ se trouvent \^etre remplac\'es
par $\varphi_j+\psi$. On a donc
$$\Theta_{h'}(L)=\Theta_h(L)+dd^c\psi$$
et la classe de cohomologie globale est inchang\'ee.\finpr

\tha (4.4) Equation de Lelong-Poincar\'e g\'en\'eralis\'ee|Soit $f$ une
section m\'eromorphe d'un fibr\'e holomorphe en droites muni d'une
m\'etrique hermitienne~$h$. On a au sens des courants
$$dd^c\log||f||_h=[D_f]-\Theta_h(L).$$
En particulier, la classe de cohomologie $\{D_f\}\in H^2_{DR}(X,\rb)$
est \'egale \`a $c_1(L)\,$; elle ne d\'epend donc pas de~$f$.\fintha

\preuv Si $\xi_j(x)$ est l'expression de $f(x)$ dans la carte~$U_j$, on
a $||f(x)||_h=|\xi(x)|e^{-\varphi_j(x)}$, d'o\`u
$$dd^c\log||f||_h=dd^c(\log|\xi_j|-\varphi_j)=[D_{\xi_j}]-\Theta_h(L)$$
d'apr\`es (4.1) et la d\'efinition de $\Theta_h(L)$. On d\'efinit bien
entendu le diviseur de $f$ par $D_f=D_{\xi_j}$ dans~$U_j$. La
derni\`ere affirmation r\'esulte du fait que $dd^c(\log||f||_h)$ a une
classe de cohomologie nulle.\finpr
\vskip6pt
Si $X$ est une surface de Riemann compacte ($\dim_\cb X=1$), le diviseur
$D_f$ consiste simplement en une suite finie de points $(x_j)$
affect\'es de multiplicit\'es $\lambda_j$, d'o\`u
$[D_f]=\sum\lambda_j\delta_{x_j}$. Par int\'egration de l'\'egalit\'e
$\{D_f\}=c_1(L)$ sur $X$, on voit que le diviseur de toute section
m\'eromorphe satisfait l'\'egalit\'e
$$\sum \lambda_j=\int_X c_1(L).$$
L'entier $\deg(L)=\int_Xc_1(L)$ est appel\'e degr\'e de $L$.

Plus g\'en\'eralement si $X$ est une vari\'et\'e compacte poss\`edant
une m\'etrique k\"al\'erienne~$\omega$,
c'est \`a dire une $(1,1)$-forme d\'efinie positive
$\omega=i\sum\omega_{jk}(z)dz_j\wedge d\ovl z_k$ telle que~$d\omega=0$,
l'aire alg\'ebrique du diviseur $D_f$ relativement \`a la m\'etrique
riemannienne induite par~$\omega$ est ind\'ependante de~$f\,$:
$$\int_X [D_f]\wedge\omega^{n-1}=\int_X c_1(L)\wedge \omega^{n-1},
\leqno(4.5)$$
le second membre ne d\'ependant pas du repr\'esentant choisi de
$c_1(L)$ en vertu du th\'eor\`eme de Stokes. Ce nombre est encore
appel\'e le degr\'e de $D_f$ (ou de $L$) par rapport \`a~$\omega\,$;
ce n'est plus en g\'en\'eral un entier, sauf si la classe de cohomologie
de $\omega$ appartient \`a~$H^2(X,\zb)$.

\remarque (4.6) Exemple|Sur $\pb^n=\cb^{n+1}\ssm\{0\}/\cb^\star$, on
consid\`ere le fibr\'e tautologique not\'e $\oc(-1)$, dont les fibres
sont donn\'ees par
$$\oc_{[z]}(-1)=\cb z\subset\cb^{n+1},~~~~\forall[z]\in\pb^n,~~
z=(z_0,z_1\ld z_n)\in\cb^{n+1}\ssm\{0\}.$$
C'est un sous-fibr\'e de rang $1$ du fibr\'e trivial $\pb^n\times\cb^{n+1}$.
On note $\oc(1)$ son fibr\'e dual, et pour tout entier $k>0$, on note
$\oc(k)$ (resp. $\oc(-k)$) la puissance tensorielle $k$-i\`eme de
$\oc(1)$ (resp. $\oc(-1)$). Chaque forme lin\'eaire $u\in(\cb^{n+1})^\star$
induit par restriction une forme lin\'eaire sur les fibres $\cb z$
de~$\oc(-1)$, c'est-\`a-dire une section de~$\oc(1)$. Par suite, un
polyn\^ome homog\`ene $P\in S^k(\cb^{n+1})^\star$ de degr\'e $k$ en les
variables $(z_0,z_1\ld z_n)\in\cb^{n+1}$ induit une section de~$\oc(k)\,$;
il est bien connu que ce sont pr\'ecis\'ement les sections holomorphes de
$\oc(k)$ sur~$\pb^n$.

Munissons $\oc(-1)$ de la m\'etrique hermitienne induite par la m\'etrique
canonique de $\cb^{n+1}$ et les $\oc(k)$, $k\in\zb$, des m\'etriques
correspondantes~$|~~|_{FS}$, dites de Fubini-Study. Alors la section
$P$ du fibr\'e \hbox{$\oc(k)=\oc(-k)^\star$} associe \`a l'\'el\'ement
$z^{(k)}\in S^k(\cb z)=\oc(-k)_{[z]}$ la valeur $P(z)$, sa norme est
donc $||P||_{FS}([z])=|P(z)|/|z|^k$. L'\'equation de Lelong-Poincar\'e
donne alors
$$dd^c\log||P||_{FS}=[D_P]-k\omega$$
o\`u $[D_P]$ est le diviseur $P(z)=0$ dans $\pb^n$ et o\`u
$\omega=\Theta_{FS}(\oc(1))$. Dans la carte~$z_i\ne 0$, cette forme
est d\'efinie en coordonn\'ees non homog\`enes $\zeta_j=z_j/z_i$ par
$$\omega([z])=dd^c\log|z|={1\over 2}dd^c\log\big(1+|\zeta_0|^2+\ldots+
|\widehat\zeta_i|^2+\ldots+|\zeta_n|^2\big).$$
La forme $\omega$ est invariante par l'action du groupe unitaire~$U(n+1)\,$;
elle est clairement d\'efinie positive \`al'origine $\zeta=0$ de chaque
carte, donc d\'efinie positive partout par transitivit\'e. La~formule
(4.5) appliqu\'ee \`a $L=\oc(k)$ donne
$$\hbox{aire}_\omega(D_P)=\int_{\pb^n}[D_P]\wedge\omega^{n-1}=
k\int_{\pb^n}\omega^n.$$
En prenant $P(z)=z_n$ de degr\'e~$1$, on a $D_P=\pb^{n-1}=P(\cb^n\times\{0\})
\subset\pb^n$ et il vient $\int_{\pb^{n-1}}\omega^{n-1}=\int_{\pb^n}\omega^n$,
d'o\`u par r\'ecurrence $\int_{\pb^n}\omega^n=\int_{\pb^1}\omega=
\int_{\pb^1}\delta_{\pb^0}=1$. On a donc
$$\hbox{aire}_\omega(D_P)=k=\deg(P).$$

\tha (4.7) D\'efinition|Soit $X$ une vari\'et\'e complexe compacte. On~dit
qu'un fibr\'e en droites $L$ est positif, et on note~$L>0$, si $L$
poss\`ede une m\'etrique hermitienne $h$ telle que la $(1,1)$-forme
$\Theta_h(L)$ soit d\'efinie positive.\fintha

La notion de fibr\'e positif est importante en vertu du c\'el\`ebre
th\'eor\`eme de plongement de Kodaira~[Ko54]$\,$: une vari\'et\'e complexe
compacte $X$ est projective (i.e. isomorphe \`a une sous-vari\'et\'e
alg\'ebrique de $\pb^N$ pour $N$ assez grand) si et seulement si $X$
poss\`ede un fibr\'e en droites~$L>0\,$; voir par exemple~[G-H78]
ou~[Ws73].\vskip5pt

Soient maintenant $\sigma_0\ld\sigma_N$ un syst\`eme de sections
holomorphes lin\'e\-airement ind\'ependantes d'un fibr\'e en droites
hermitien~$(L,h)$ sur une vari\'et\'e complexe~$X$.
A tout point $w\in\cb^{N+1}\ssm\{0\}$ est associ\'ee
naturellement une section $\sigma_w=w_0\sigma_0+\ldots+w_N\sigma_N\,$;
son diviseur $D_w$ ne d\'epend bien s\^ur que de l'image $[w]\in\pb^N$.
On~a alors la formule de moyenne suivante:

\tha (4.8) Proposition|La valeur moyenne des courants $[D_w]$ relativement
au volume de Fubini-Study est donn\'ee par
$$\int_{\pb^N}[D_w]\,\omega^N([w])=
dd^c{1\over 2}\log\big(||\sigma_0||_h^2+\ldots+||\sigma_N||_h^2\big)
+\Theta_h(L)$$
en tant qu'int\'egrale vectorielle sur $\pb^N$ \`a valeurs
dans $\drp_{1,1}(X)$. En particulier, le membre de droite est un
courant positif ferm\'e, ind\'ependant de la m\'etrique~$h$.
Son support singulier consiste en l'ensemble analytique des z\'eros
communs aux sections~$\sigma_j$.\fintha

\preuv La preuve s'obtient gr\^ace \`a l'identit\'e
$$\int_{\pb^N}\log{|w\cdot a|\over||w||}\,\omega^N([w])=\log||a||-\hbox{Cte}$$
pour tout vecteur $a\in\cb^{N+1}$, qui r\'esulte aussit\^ot de
l'homog\'en\'e\"{\i}t\'e en $a$ et de l'invariance par rotation. En substituant
$(\sigma_0(z)\ld\sigma_N(z))$ \`a~$a$, il vient
$$\eqalign{
\int_{\pb^N}\log&{||w_0\sigma_0(z)+\ldots+w_N\sigma_n(z)||_h\over||w||}\,
\omega^N([w])\cr
&={1\over 2}\log\big(||\sigma_0(z)||_h^2+\ldots+||\sigma_N(z)||_h^2\big)
-\hbox{Cte}.\cr}$$
Le r\'esultat voulu se d\'eduit alors de la formule de Lelong-Poincar\'e
en calculant $dd^c$ par rapport \`a~$z\in X$.\finpr
\vskip6pt
Cette derni\`ere formule met bien en \'evidence la souplesse de calcul
autoris\'ee par l'usage des courants positifs: on peut manipuler dans
un m\^eme formalisme des diviseurs (objets alg\'ebriques), mais aussi des
moyennes int\'egrales de diviseurs, des formes diff\'erentielles
ferm\'ees de classe~$C^\infty\ldots$~. A noter aussi le r\'esultat de
compacit\'e faible suivant, qui assure l'existence de courants limites.

\tha (4.9) Proposition|Soit $(T_\nu)$ une suite de courants positifs
ferm\'es sur une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte~$X$, appartenant \`a
une m\^eme classe de cohomologie. Alors on peut en extraire une sous-suite
convergeant vers un courant limite~$T$.\fintha

\preuv Soit $(p,p)$ la bidimension des courants $T_\nu$ et soit $\omega$
une m\'etrique k\"ahl\'erienne sur~$X$. L'int\'egrale
$\int_X T_\nu\wedge\omega^p$ est ind\'ependante de~$\nu$. Or
$T_\nu\wedge\omega^p=\sum T_{\nu,I,I}$ relativement \`a une base
$\omega$-orthonorm\'ee de $\Lambda^\bu T^\star X$.
Comme la trace d'une matrice hermitienne semi-positive majore toujours les
coefficients non diagonaux, on voit que les mesures $|T_{\nu,I,J}|$
sont de masse uniform\'ement born\'ee dans tout compact des ouverts de
carte consid\'er\'es. Par suite on peut en extraire des sous-suites
faiblement convergentes.\finpr
\vskip5pt
\remarque (4.10) Exercice|V\'erifier que si $\Gamma_d$
est la courbe de Fermat $z_0^d+z_1^d+z_2^d=0$ dans~$\pb^2$, alors
la suite de $\qb$-diviseurs ${1\over d}[\Gamma_d]$ converge vers le
courant limite $T$ sur $\pb^2$ d\'efini en coordonn\'ees homog\`enes par
$$T=dd^c\log\max(|z_0|,|z_1|,|z_2|).$$
{\sl Indication}\/: ${1\over d}\log|z_0^d+z_1^d+z_2^d|$ converge
vers $\log\max(|z_0|,|z_1|,|z_2|)$ dans l'espace $L^1_{\rm loc}(\cb^3)$.
\hfill\break
{\sl Question compl\'ementaire}\/: montrer que le support de $T$ est
$$\bigcup_{i\ne j\ne k}\big\{[z]\in\pb^2\,;\,|z_i|\le|z_j|=|z_k|\big\}$$
et que ce support est de dimension r\'eelle~$3$. De plus $T$ est
ind\'ecom\-po\-sable dans le c\^one des courants positifs~! (voir [De82b]).
\vskip1cm

\centerline{\bf 5. Produits de courants}
\medskip

Soit $X$ une vari\'et\'e analytique complexe de dimension~$n$,
$u$ une fonction psh sur $X$ et $T$ un courant positif
ferm\'e de bidimension $(p,p)$, c'est-\`a-dire de bidegr\'e~$(n-p,n-p)$.
Notre souhait est de d\'efinir le produit $dd^cu\wedge T$ m\^eme lorsque
ni $u$ ni $T$ ne sont r\'eguliers. A priori, le produit n'a pas de sens
bien clair puisque $dd^cu$ and $T$ sont des courants \`a coefficients
mesures et que les mesures ne peuvent \^etre en g\'en\'eral multipli\'ees.

Supposons d'abord que $u$ soit une fonction psh localement born\'ee sur~$X$.
Alors le courant $uT$ est bien d\'efini puisque $u$ est une fonction
bor\'elienne born\'ee partout d\'efinie et que $T$ est \`a coefficients
mesures. Suivant une id\'ee de Bedford-Taylor [B-T82] (voir aussi~[CLN69]),
on d\'efinit
    $$dd^cu\wedge T:=dd^c(uT)$$
o\`u $dd^c(~~)$ est calcul\'e au sens des distributions.

\tha (5.1) Proposition|Le produit ext\'erieur $dd^c u\wedge T$ est
encore un courant positif ferm\'e.\fintha

\preuv On sait que sur tout ouvert de carte $u$ est limite d\'ecrois\-sante
de fonctions psh $u_\nu$ de classe $C^\infty$, obtenues par exemple
par convolution avec un noyau r\'egularisant de support~$B(0,1/\nu)$.
Le th\'eor\`eme de convergence domin\'ee de
Lebesgue montre que $u_\nu T$ converge faiblement vers $uT$, donc
$dd^c(u_\nu T)$ converge faiblement vers $dd^c(uT)$ par continuit\'e
faible des diff\'erentiations. Cependant $u_\nu$ est $C^\infty$, donc
$dd^c(u_\nu T)$ co\"{\i}ncide avec le produit usuel $dd^c u_\nu\wedge T$,
qui est un courant positif. La limite faible $dd^c u\wedge T$ est donc
positive (et \'evidemment ferm\'ee).\finpr
\vskip5pt
Etant donn\'e des fonctions psh localement born\'ees $u_1\ld u_q$, on
peut donc d\'efinir par r\'ecurrence sur $q$ des courants positifs ferm\'es
$$dd^c u_1\wedge dd^cu_2\wedge\ldots\wedge dd^c u_q\wedge T=
dd^c(u_1dd^c u_2\ldots\wedge dd^c u_q\wedge T).$$
Notons qu'il est parfois possible de calculer le produit $dd^cu\wedge T$
par ce proc\'ed\'e m\^eme lorsque la fonction $u$ n'est pas localement
born\'ee: c'est le cas si le courant $uT$ est de masse localement finie
sur~$X$.

\remarque (5.2) Exemple|Soit \`a calculer le produit $[\Gamma_1]\wedge
[\Gamma_2]$ des courants d'int\'egration sur les courbes
$\Gamma_1:z^2=w^3$ et $\Gamma_2:z^3=w^5$ dans~$\cb^2$. L'\'equation de
Lelong-Poincar\'e donne $[\Gamma_1]=dd^c\log|z^2-w^3|$. On peut donc
essayer de calculer
$$[\Gamma_1]\wedge[\Gamma_2]=dd^c\big(\log|z^2-w^3|~[\Gamma_2]\big).$$
Or $\Gamma_2$ admet la param\'etrisation bijective (non bir\'eguli\`ere!)
\hbox{$\gamma:\cb\to\cb^2$}, $t\mapsto(t^5,t^3)$. Le courant
$\log|z^2-w^3|\,[\Gamma_2]$ est donc l'image directe par $\gamma$
du courant
$$\log|(t^5)^2-(t^3)^3|~[\cb]=9\log|t|+\log|t-1|$$
(noter que $[\cb]$ s'identifie \`a la fonction~$1$). Le $dd^c$ de ce courant
est $9\delta_0+\delta_1$ et on trouve donc
$$[\Gamma_1]\wedge[\Gamma_2]=9\delta_0+\delta_p,~~~~p=(1,1).$$
Les courbes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se rencontrent donc avec mutiplicit\'e
$9$ en~$(0,0)$, $1$ en $(1,1)$ (sur $\pb^2$, il y a aussi un point
d'intersection \`a l'infini, de multiplicit\'e~$5$).

\remarque (5.3) Remarque|En g\'en\'eral, il n'est pas possible de d\'efinir
les self-intersections $T^p$ d'un courant positif ferm\'e si l'on ne fait
pas d'hypoth\`eses ad\'equates sur les p\^oles. Prenons par exemple
pour $X$ la surface complexe compacte fibr\'ee au dessus de $\pb^1$
obtenue en compactifiant l'espace total du fibr\'e $\oc(k)\to\pb^1$ par
adjonction d'un point \`a l'infini \`a chaque fibre (surface $F_k$
de Hirzebruch). On a donc une projection $\pi:X\to\pb^1$ \`a fibres~$\pb^1$,
et deux sections remarquables de $\pi$, \`a savoir d'une part
la section nulle $Z$ de $\oc(k)$ et d'autre part la section \`a l'infini~$H$.
Par ailleurs le fibr\'e image r\'eciproque $\pi^\star\oc(k)$ admet une
section m\'eromorphe tautologique, \'egale \`a l'application identique
sur $X\ssm H=\oc(k)$, de diviseur $Z-H$. Ceci entra\^{\i}ne
en cohomologie $\{Z\}-\{H\}=\pi^\star c_1(\oc(k))$, et comme
$Z$, $H$ ne se coupent pas on trouve
$$\int_X\{Z\}^2=\int_X [Z]\wedge \pi^\star c_1(\oc(k))=
\int_Z \pi^\star c_1(\oc(k))=\int_{\pb^1}c_1(\oc(k))=k.$$
La self-intersection de $\{Z\}$ est donc n\'egative si~$k<0$, ce qui
interdit de pouvoir d\'efinir de mani\`ere coh\'erente le carr\'e du
courant $[Z]$ sur~$X$.
\vskip6pt
Le th\'eor\`eme suivant donne une condition g\'en\'erale \`a peu pr\`es
optimale assurant l'existence des produits de courants de type~$(1,1)$.
Le probl\`eme analogue pour les courants de bidegr\'e quelconque est
encore largement ouvert (avis aux amateurs$\,$!)

\tha (5.4) Th\'eor\`eme|Soit $T$ un courant positif ferm\'e de bidimension
$(p,p)$ et soient $u_1\ld u_q$ des fonctions psh. On note $\supp T$ le
support de $T$ et $L(u_j)$ l'ensemble des points au voisinage desquels $u_j$
n'est pas born\'ee inf\'erieurement.
On suppose que pour tout choix d'indices $j_1<\ldots<j_m$ dans $\{1\ld q\}$
l'intersection $L(u_{j_1})\cap\ldots\cap L(u_{j_m})\cap\supp\,T$ est
contenue dans un ensemble analytique de dimension $\le p-m$ (ou plus
g\'en\'eralement dans un ensemble de $(2p-2m+1)$-mesure de Hausdorff nulle).
Alors les courants $u_1dd^cu_2\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T$ et
$dd^cu_1\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T$ sont bien d\'efinis et de masse
localement finie sur~$X$.\fintha

\preuv La d\'emonstration g\'en\'erale est trop longue pour que nous
puissions la d\'etailler ici (voir [De91a]). Pour donner un aper\c cu
des id\'ees utilis\'ees, nous allons raisonner dans le cas particulier
des produits $uT$, $dd^cu\wedge T$, en supposant de plus que l'ensemble
$L(u)\cap\supp\,T$ est discret (par r\'ecurrence, ceci r\'esoudra au moins
le cas important o\`u les fonctions $u_j$ ont des p\^oles isol\'es).

Soit $\Omega=B(x_0,r)$ une boule centr\'ee en un point de
\hbox{$L(u)\cap\supp\,T$}, telle que $\ovl\Omega$ ne rencontre cet ensemble
en aucun autre point. On pose $\psi(z)=|z-x_0|^2-r^2$. Quitte \`a
retrancher une constante \`a~$u$, on peut supposer $u\le -1$
sur~$\ovl\Omega$. Soit $\Omega'=B(x_0,r/2)$. Alors $\ovl\Omega\ssm
\Omega'$ ne recontre pas $L(u)\cap\supp\,T$. Il existe donc un voisinage
$\omega$ de $(\ovl\Omega\ssm\Omega')\cap\supp\,T$ tel que
$L(u)\cap\ovl\omega=\emptyset$ et une constante $M$
telle que $u\ge-M$ sur~$\ovl\omega$. Introduisons
$$u_s(z)=\cases{
\max\{u(z),A\psi(z)\}&sur $\omega$,\cr
\max\{u(z),s\}&sur $\Omega'=\{\psi<-\delta\}$,~~ $\delta=3r^2/4$.\cr}$$
On fixe $A\ge M/\delta$ et on prend $s\le -M$, de sorte que la d\'efinition
de $u_s$ soit bien coh\'erente:
$$\max\{u(z),A\psi(z)\}=\max\{u(z),s\}=u(z)~~~~\hbox{\rm sur}~~
\omega\cap\Omega'.$$
Observons que $u_s$ est d\'efini le voisinage $\omega\cup\Omega'$
de $\ovl\Omega\cap\supp\,T$. Maintenant, le th\'eor\`eme de
Stokes implique
$$\eqalign{
\int_\Omega dd^cu_s\wedge T\wedge(dd^c\psi)^{p-1}&{}-
\int_\Omega Add^c\psi\wedge T\wedge(dd^c\psi)^{p-1}\cr
&=\int_\Omega dd^c\big[(u_s-A\psi)T\wedge(dd^c\psi)^{p-1}\big]=0,\cr}$$
le courant $[\ldots]$ \'etant \`a support compact dans $\Omega$ puisque
$u_s=A\psi$ sur un voisinage de $\pt\Omega\cap\supp\,T$. Comme $u_s$ et
$\psi$ s'annulent toutes deux sur~$\partial\Omega$, une int\'egration par
parties donne
$$\eqalign{
\int_\Omega u_sT\wedge(dd^c\psi)^p
&=\int_\Omega\psi dd^cu_s\wedge T\wedge(dd^c\psi)^{p-1}\cr
&\ge-||\psi||_{L^\infty(\Omega)}\int_\Omega T\wedge dd^cu_s\wedge
(dd^c\psi)^{p-1}\cr
&=-||\psi||_{L^\infty(\Omega)}A\int_\Omega T\wedge(dd^c\psi)^p.\cr}$$
Finalement, prenons $A=M/\delta$ et faisons tendre $s$ vers~$-\infty$,
en tenant compte de ce que $u\ge-M$ sur~$\omega$. Il vient
$$\eqalign{
\int_\Omega u\,T\wedge(dd^c\psi)^p
&\ge -M\int_\omega T\wedge(dd^c\psi)^p+\lim_{s\to-\infty}
\int_{\Omega'}u_sT\wedge(dd^c\psi)^p\cr
&\ge -\big(M+||\psi||_{L^\infty(\Omega)}M/\delta\big)
\int_\Omega T\wedge(dd^c\psi)^p.\cr}$$
La derni\`ere int\'egrale est finie, donc $uT$ est bien de masse
localement finie pr\`es de~$x_0$.\finpr
\vskip6pt
Dans le cas particulier o\`u $u_j=\log|f_j|$ avec $f_j$ holomorphe non
nulle sur $X$, on voit que le produit d'intersection des diviseurs
associ\'es $[D_j]=dd^cu_j$ est bien d\'efini d\`es que les supports
$|D_j|$ satisfont la condition
$\codim|D_{j_1}|\cap\ldots\cap |D_{j_m}|=m$ for every~$m$. De m\^eme,
si $T=[A]$ est un cycle analytique de dimension~$p$, le Th.~(5.4) montre
que $[D]\wedge[A]$ est bien d\'efini pour tout diviseur $D$ tel que
$\dim|D|\cap|A|=p-1$. Ces observations conduisent ais\'ement au
r\'esultat suivant.

\tha (5.5) Corollaire|Supposons que $D_1\ld D_q$ v\'erifient
la condition de dimension d'intersection ci-dessus et soient
$(C_k)_{k\ge 1}$ les composantes irr\'e\-ductibles de l'intersection
ensembliste $|D_1|\cap\ldots\cap|D_q|$. Alors il existe des entiers
$m_k>0$ tels que
$$[D_1]\wedge\ldots\wedge[D_q]=\sum m_k[C_k].$$
Le nombre $m_k$ est appel\'e multiplicit\'e d'intersection de $D_1\ld D_q$
le long de~$C_k$.\fintha

\preuv Le produit est de bidegr\'e $(q,q)$, \`a support dans
$C=\bigcup C_k$ et on a $\codim C=q$. Il r\'esulte du Lemme (3.7) que
le produit est une combinaison lin\'eaire $\sum m_k[C_k]$ avec des
coefficients~$m_k\in\rb$. La positivit\'e entra\^{\i}ne $m_k\in\rb_+$.
Pour voir que $m_k\in\zb$, il suffit de perturber l\'eg\`erement les
diviseurs de sorte qu'il se coupent transversalement (le probl\`eme
est local). Le cycle intersection est alors une sous-vari\'et\'e lisse;
la multiplicit\'e $m_k$ est simplement le nombre de feuilles qui viennent
s'empiler sur la composante $C_k$ lorsqu'on passe \`a la limite
(on utilise ici la continuit\'e faible s\'epar\'ement par rapport \`a
chaque facteur).\finpr
\vskip1cm

\centerline{\bf 6. Nombres de Lelong et multiplicit\'es}
\medskip

On suppose que la vari\'et\'e complexe $X$ est munie d'une fonction
$\varphi$ de $X$ dans $[-\infty,+\infty[$ psh et continue,
poss\'edant \'eventuellement des p\^oles~$-\infty$. Les ensembles
$$\leqalignno{
S(r)&=\{x\in X\,;\,\varphi(x)=r\},&(6.1)\cr
B(r)&=\{x\in X\,;\,\varphi(x)<r\},&(6.1')\cr
\ovl B(r)&=\{x\in X\,;\,\varphi(x)\le r\}&(6.1'')\cr}$$
seront appel\'es pseudo-sph\`eres et pseudo-boules associ\'ees \`a~$\varphi$.
L'exemple le plus simple que nous ayons \`a l'esprit est le cas de la
fonction $\varphi(z)=\log|z-a|$ sur un ouvert $X\subset\cb^n\,$;
dans ce cas $B(r)$ est la boule euclidienne de centre~$a$ et de rayon~$e^r\,$;
de plus les formes
$${1\over 2}dd^ce^{2\varphi}={ i\over 2\pi}d'd''|z|^2,~~~~
dd^c\varphi={ i\over\pi}d'd''\log|z-a|$$
repr\'esentent respectivement la m\'etrique hermitienne plate de $\cb^n$
et l'image inverse sur $\cb^n$ de la m\'etrique de Fubini-Study
sur~$\pb^{n-1}$.

\tha (6.2) D\'efinition|Soit $T$ un courant positif ferm\'e de
bidimension $(p,p)$ sur~$X$ tel que $S(-\infty)\cap \supp\,T$ soit fini.
Soit $V$ un voisinage compact de $S(-\infty)\cap\supp\,T$ et
$R_V=\inf_{\pt V\cap\supp\,T}\varphi\,$; on suppose dans la suite que
$B(r)$ et $S(r)$ sont les boules et sph\`eres associ\'ees \`a $\varphi$
dans l'ouvert $\Omega=V^\circ$. Pour tout r\'eel
\hbox{$r\in{}]-\infty,R_V[$} on pose
$$\eqalign{
\nu(T,\varphi,r)&=\int_{B(r)}T\wedge(dd^c\varphi)^p,\cr
\nu(T,\varphi)&=\int_{S(-\infty)}T\wedge(dd^c\varphi)^p=\lim_{r\to-\infty}
\nu(T,\varphi,r),\cr}$$
Le nombre $\nu(T,\varphi)$ sera appel\'e nombre de Lelong g\'en\'eralis\'e
de $T$ par rapport au poids~$\varphi$.\fintha

Observons que le Th.~(5.4) assure l'existence du produit
$T\wedge(dd^c\varphi)^p$ sous les hypoth\`eses ci-dessus. La formule
suivante permet d'exprimer les quantit\'es $\nu(T,\varphi,r)$ sans faire
appara\^{\i}tre de p\^oles dans le poids.

\tha (6.3) Lemme|Pour toute fonction convexe croissante
$\chi:\rb\to\rb$, on a la formule
$$\int_{B(r)}T\wedge(dd^c\chi\circ\varphi)^p=
\chi'(r-0)^p\,\nu(T,\varphi,r)$$
o\`u $\chi'(r-0)$ d\'esigne la d\'eriv\'ee \`a gauche de $\chi$ en~$r$.\fintha

\preuv On se ram\`ene par r\'egularisation au cas o\`u $T$, $\chi$,
(resp. $\varphi$) sont de classe $C^\infty$ (resp. de classe $C^\infty$
sur $X\ssm S(-\infty)$). Le th\'eor\`eme de Stokes donne alors
$$\int_{B(r)}T\wedge(dd^c\chi\circ\varphi)^p
=\int_{S(r)}T\wedge(dd^c\chi\circ\varphi)^{p-1}\wedge d^c(\chi\circ\varphi).$$
Or $(dd^c\chi\circ\varphi)^{p-1}\wedge d^c(\chi\circ\varphi)=
\chi'(\varphi)^p(dd^c\varphi)^{p-1}\wedge d^c\varphi$. On a donc
$$\eqalignno{
\int_{B(r)}T\wedge(dd^c\chi\circ\varphi)^p
&=\chi'(r)^p\int_{S(r)}T\wedge(dd^c\varphi)^{p-1}\wedge d^c\varphi\cr
&=\chi'(r)^p\int_{B(r)}T\wedge(dd^c\varphi)^p.&\square\cr}$$

On obtient en particulier
$\int_{B(r)}T\wedge(dd^ce^{2\varphi})^p=(2e^{2r})^p\nu(T,\varphi,r)$,
d'o\`u la formule
$$\nu(T,\varphi,r)=e^{-2pr}\int_{B(r)}T\wedge
\Big({1\over 2}dd^ce^{2\varphi}\Big)^p.\leqno(6.4)$$
Soit maintenant $X$ un ouvert de $\cb^n$ et $\varphi(z)=\log|z-a|$,
$a\in X$. La formule pr\'ec\'edente donne
$$\nu(T,\varphi,\log r)=r^{-2p}\int_{|z-a|<r}T\wedge\Big({i\over 2\pi}
d'd''|z|^2\Big)^p.$$
La mesure positive $\sigma_T={1\over p!}T\wedge({ i\over 2}d'd''|z|^2)^p
=2^{-p}\sum T_{I,I}\,.\, i^n dz_1\wedge\ldots\wedge d\ovl z_n$ 
est appel\'ee la mesure trace de~$T$. On obtient
$$\nu(T,\varphi,\log r)={\sigma_T\big(B(a,r)\big)\over
\pi^p r^{2p}/p!}\leqno(6.5)$$
et $\nu(T,\varphi)$ est la limite de ce quotient lorsque~$r\to 0$. Cette
limite est appel\'ee nombre de Lelong (ordinaire) de $T$ au point~$a$ et
not\'ee~$\nu(T,a)\,$: cette d\'efinition est pr\'ecis\'ement celle
donn\'ee initialement par P.~Lelong (voir [Le68]).
Mentionnons une cons\'equence simple mais importante.

\tha (6.6) Cons\'equence|Le quotient $\sigma_T\big(B(a,r)\big)/r^{2p}$
est fonction croissante de~$r$. De plus, pour tout ensemble compact
$K\subset X$ et tout $r_0<d(K,\partial X)$ on a
$$\sigma_T\big(B(a,r)\big)\le Cr^{2p}~~~~\hbox{\rm pour}~~a\in K~
\hbox{\rm et}~r\le r_0,$$
o\`u $C=\sigma_T\big(K+\ovl B(0,r_0)\big)/r_0^{2p}$.\fintha

Tous ces r\'esultats sont particuli\`erement int\'eressants lorsque
$T=[A]$ est le courant d'int\'egration sur un ensemble analytique
$A\subset X$ de dimension pure~$p$. Alors
$\sigma_T\big(B(a,r)\big)$ est l'aire euclidienne de $A\cap B(a,r)$,
tandis que $\pi^pr^{2p}/p!$ est l'aire de la boule de rayon $r$
dans~$\cb^p$. Par suite $\nu([A],\varphi,\log r)$ est le rapport de ces
aires et le nombre de Lelong $\nu([A],a)$ est la limite du rapport.
Il est clair que $\nu([A],a)=0$ si $a\notin A$ et que $\nu([A],a)=1$
si $a$ est un point r\'egulier de~$A$. On verra plus loin que
$\nu([A],a)$ est toujours un entier. Nous d\'emontrons tout d'abord un
th\'eor\`eme de comparaison pour les nombres de Lelong \`a poids.

\tha (6.7) Th\'eor\`eme de comparaison|Soit $T$ un courant positif ferm\'e
de bidimension $(p,p)$ sur~$X$ et $\varphi,\psi:X\to[-\infty,+\infty[$
des fonctions psh continues ayant m\^eme ensemble de p\^oles
$\varphi^{-1}(-\infty)=\psi^{-1}(-\infty)$. On suppose que
$\varphi^{-1}(-\infty)\cap\supp\,T$ est fini et que
$$\ell:=\limsup{{\psi(x)}\over{\varphi(x)}}<+\infty~~~~{\sl quand}~~
x\in\supp\,T~~{\sl et}~~\varphi(x)\to -\infty.$$
Alors $\nu(T,\psi)\le \ell^p\nu(T,\varphi)$, et l'\'egalit\'e a lieu
si $\ell=\lim\psi/\varphi$.\fintha

\preuv D'apr\`es la d\'efinition (6.2) on a
$$\nu(T,\lambda\varphi)=\lambda^p\nu(T,\varphi)$$
pour tout scalaire $\lambda>0$. Il suffit donc de v\'erifier l'in\'egalit\'e
$\nu(T,\psi)\le\nu(T,\varphi)$ sous l'hypoth\`ese $\limsup\psi/\varphi<1$.
Pour tout $c>0,$ on consid\`ere la fonction psh $u_c=\max(\psi-c,\varphi)$.
Soit $V$ un voisinage compact de $\varphi^{-1}(-\infty)\cap\supp\,T$ et
$R_V=\inf_{\pt V\cap\supp\,T}\varphi$. On fixe $r<R_V$. Pour $c>0$ assez
grand, on a $u_c=\varphi$ sur $\varphi^{-1}([r-1,r])$, donc le
th\'eor\`eme de Stokes entra\^{\i}ne
$$\nu(T,\varphi,r)=\nu(T,u_c,r)\ge\nu(T,u_c).$$
L'hypoth\`ese $\limsup\psi/\varphi<1$ implique d'autre part qu'il existe $R'<0$ 
tel que $u_c=\psi-c$ sur $\{u_c<R'\}$. On en d\'eduit aussit\^ot
$$\nu(T,u_c)=\nu(T,\psi-c)=\nu(T,\psi),$$
par cons\'equent $\nu(T,\psi)\le\nu(T,\varphi)$.\finpr
\vskip6pt

 Supposons en particulier que $z^k=(z^k_1,\ldots,z^k_n)$, $k=1,2$, soient
des syst\`emes de  coordonn\'ees locales centr\'ees au point $x$ et soit
   $$\varphi_k(z)=\log|z^k|=\log\big(|z^k_1|^2+\ldots+|z^k_n|^2\big)^{1/2},
~~~~k=1,2.$$
On a $\lim_{z\to x}{\varphi_2(z)/\varphi_1(z)}=1$, donc
$\nu(T,\varphi_1)=\nu(T,\varphi_2)$ d'apr\`es le\break Th\'eor\`eme~(6.7).

\tha (6.8) Corollaire|Les nombres de Lelong $\nu(T,x)$ sont invariants
par changement de coordonn\'ees locales.\fintha

Supposons maintenant que $T$ soit le courant d'int\'egration 
sur un ensemble analytique $A\subset X$ de dimension pure~$p$.
Pour tout point $x\in A$, il existe des coordonn\'ees locales 
    $$z=(z',z''),~~~~z'=(z_1,\ldots,z_p),~~z''=(z_{p+1},\ldots,z_n)$$
et des boules $B'\subset\cb^p,\ B''\subset\cb^{n-p}$ , relatives \`a 
ces coordonn\'ees, de rayons respectifs $r',r'',$ telles que 
$A\cap(B'\times B'')$ soit contenu dans un c\^one d'\'equation
$|z''|\le C|z'|$. Dans ces conditions, si l'on prend $r'\le Cr''$,
la projection
      $$\pi:A\cap(B'\times B'')\longrightarrow B'$$
d\'efinit un rev\^etement ramifi\'e ayant un nombre fini $q$ de feuillets.
On notera $S\subset B'$ l'ensemble de ramification.

\InsertFig 19 72 {
1 mm unit
0 0 moveto  100  0 vector  
0 0 moveto   63 90 vector
0.88 setgray
16 19 moveto  44 36 lineto  16 53 lineto  closepath  fill
72 19 moveto  44 36 lineto  72 53 lineto  closepath  fill
0 setgray
16 16 moveto  56 40 rectangle  stroke
[2 1] 1 setdash
44 36 moveto  1 disk
44 0 lineto  stroke  44 0 moveto  0.7 disk  stroke
24 25 moveto  24 0 lineto  stroke  24 0 moveto  0.7 disk  stroke
[4 1 0.5 1] -1 setdash
16 16 moveto  16 4 lineto  stroke
72 16 moveto  72 4 lineto  stroke
16 16 moveto  4 16 lineto  stroke
16 56 moveto  4 56 lineto  stroke
[] 0 setdash  0.3 setlinewidth
16 0 moveto  3 180 brack
72 0 moveto  3 0 brack
0 16 moveto  3 -90 brack
0 56 moveto  3 90 brack
0.5 setlinewidth
16 32 moveto [16 32  20 31  23.5 28  24 25] curve stroke
24 25 moveto [24 25  24.5 28  32 34  44 36  55 40  64 46  72 49] curve stroke
16 49 moveto [16 49  24 46  32 40  44 36  55 34  64 28  72 22] curve stroke
16 38 moveto [16 38  24 37  32 37  44 36  55 37  64 38  72 36] curve stroke
0.4 setlinewidth
90 50 moveto  29 -90 vector
}
\LabelTeX -18 61.5 $z''\in\cb^{n-p}$ \ELTX
\LabelTeX 92 -5 $z'\in\cb^p$ \ELTX
\LabelTeX 62 31 $A$ \ELTX
\LabelTeX 22.5 -4.2 $S$ \ELTX
\LabelTeX 42.5 -4.2 $S$ \ELTX
\LabelTeX 43.2 38.9 $0$ \ELTX
\LabelTeX 57 -4.2 $B'$ \ELTX
\LabelTeX -6.2 36 $B''$ \ELTX
\LabelTeX 91.5 36 $\pi$ \ELTX
\EndFig
\vskip7mm

\centerline{{\bf Fig.~4.}~~Rev\^etement ramifi\'e de $A$ sur $B'$.}
\bigskip

En fait, les propri\'et\'es \'enonc\'ees ci-dessus sont v\'erifi\'ees
d\`es que les coordonn\'ees $(z',z'')$ sont choisies de mani\`ere
g\'en\'erique.  Pour le voir, on choisit une \'equation analytique
locale $f(z)=0$ de $A$ et on utilise le th\'eor\`eme de pr\'eparation
de Weierstrass pour mettre cette \'equation sous la forme
$$f(z)=z_n^s+\sum_{k=1}^s a_k(\hat z)z_n^{s-k}=0,$$
o\`u $\hat z=(z_1\ld z_{n-1})$ et o\`u $s$ est l'ordre d'annulation de
$f$ en~$0$. Il en r\'esulte que $a_k$ doit s'annuler \`a l'ordre $k$ au
moins en~$0$, donc $|a_k(\hat z)|=O(|\hat z|^k)$ et les racines $z_n$ sont
telles que~$|z_n|\le C|\hat z|$. La projection $z\mapsto\hat z$ est
alors un morphisme fini de degr\'e $\le d$ de $A$ sur un ensemble
analytique $A'$ de dimension $p$ dans $\cb^{n-1}$. On conclut par
r\'ecurrence sur~$n$.

\tha (6.9)  Th\'eor\`eme {\rm(P.~Thie~[Th69])}|On a $\nu([A],x)=q$,
en parti\-culier le nombre $q$ de feuillets du rev\^etement ramifi\'e~$\pi$
en ind\'ependant du choix des coordonn\'ees $(z',z'')$ comme ci-dessus.
Ce nombre est appel\'e multiplicit\'e de $A$ au point~$x$.\fintha

\preuv Quand $z$ tend vers $x$ , les fonctions
$$\varphi(z)=\log|z|=\log(|z'|^2+|z''|^2)^{1/2},~~~~\psi(z)=\log|z'|$$
sont \'equivalentes sur le germe $(A,x)$ quand $z$ tend vers~$0$.
D'apr\`es le th\'eor\`eme de comparaison (6.7) ceci entra\^{\i}ne
        $$\nu([A],x)=\nu([A],\varphi)=\nu([A],\psi).$$
La formule (6.4) appliqu\'ee \`a $\psi$ donne maintenant
$$\eqalign{\nu([A],\psi,\log t)
     &=(2t^2)^{-p}\int_{A\cap\{\psi<\log t\}}(dd^ce^{2\psi})^p\cr
     &=(2t^2)^{-p}\int_{A\cap\{|z'|<t\}}(\pi^\star dd^c|z'|^2)^p\cr
     &=(2t^2)^{-p}\,q\,\int_{\cb^p\cap\{|z'|<t\}}(dd^c|z'|^2)^p=q,\cr}$$
d'o\`u le th\'eor\`eme. On a utilis\'e ici le fait que $\pi$ est un
rev\^etement \'etale \`a $q$ feuillets en dehors de $\pi^{-1}(S)$ et
que $S$ et $\pi^{-1}(S)$ sont de mesure nulle.\finpr
\vskip6pt
Soit maintenant $T$ un courant positif quelconque de bidimension $(p,p)$.
Pour $c>0$, on introduit les ensembles
$$E_c(T)=\big\{x\in X\,;\,\nu(T,x)\ge c\big\}.$$
Les nombres de Lelong satisfont alors l'importante
propri\'et\'e de semi-continuit\'e suivante, d\'emontr\'ee par [Siu74]
\`a la suite des travaux de Bombieri~[Bo70] et Skoda~[Sk72].

\tha (6.10) Th\'eor\`eme {\rm([Siu74])}|Si $T$ est un courant positif
ferm\'e de bidimension~$(p,p)$, les ensembles de niveau $E_c(T)$, $c>0$,
sont des ensembles analytiques de dimension ${}\le p$.\fintha

La d\'emonstration est malheureusement trop difficile pour que nous puissions
l'expliquer ici. Elle repose essentiellement sur la th\'eorie des estimations
$L^2$ de H\"ormander pour l'op\'erateur~$\opt$ et sur la construction de
fonctions potentiels ad\'equates, d'apr\`es des id\'ees de Skoda~[Sk72].
Nous renvoyons \`a [Ki79], [De87] et [De91a] pour les d\'etails.
Le th\'eor\`eme (6.10) entra\^{\i}ne \`a son tour la formule de
d\'ecomposition suivante.

\tha (6.11) Formule de d\'ecomposition de Siu|Si $T$ est un courant
positif ferm\'e de bidimension~$(p,p)$, il y a une unique d\'ecomposition
de $T$ comme somme d'une s\'erie convergente (peut-\^etre finie)
$$T=\sum_{j\ge 1}\lambda_j[A_j]+R,~~~~\lambda_j>0,$$
o\`u $[A_j]$ est le courant d'int\'egration sur un ensemble analytique
irr\'educ\-tible $A_j\subset X$ de dimension~$p$, $\lambda_j$ le nombre
de Lelong g\'en\'erique de $T$ sur~$A_j$, et o\`u $R$ est un courant
positif ferm\'e r\'esiduel ayant la propri\'et\'e que $\dim E_c(R)<p$ pour
tout~$c>0$.\fintha

Nous aurons finalement besoin d'un deuxi\`eme th\'eor\`eme de
compa\-rai\-son pour les nombres de Lelong, relatif aux produits d'intersection
des courants.

\tha (6.12) Th\'eor\`eme|Soient $u_1\ld u_q$ et $v_1\ld v_q$ des
fonctions pluri\-sousharmoniques telles que chaque $q$-uplet satisfait
les conditions d'intersection du th\'eor\`eme~$(5.4)$. Supposons de
plus que $u_j=-\infty$ sur $\supp\,T\cap\varphi^{-1}(-\infty)$ et que
$$\ell_j:=\limsup{v_j(z)\over u_j(z)}<+\infty~~~\hbox{\sl quand}~~
z\in\supp\,T\ssm u_j^{-1}(-\infty),~\varphi(z)\to -\infty.$$
Alors
$$\nu(dd^cv_1\wedge\ldots\wedge dd^cv_q\wedge T,\varphi)\le
\ell_1\ldots\ell_q\,\nu(dd^cu_1\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T,\varphi).$$
\fintha

\preuv D'apr\`es l'homog\'en\'e\"{\i}t\'e en chaque facteur~$v_j$, il est
suf\-fisant de d\'emontrer l'in\'egalit\'e avec constantes $\ell_j=1$
sous l'hypoth\`ese $\limsup v_j/u_j<1$. On introduit
$$w_{j,c}=\max\{v_j-c,u_j\}.$$
Notre hypoth\`ese entra\^{\i}ne que $w_{j,c}$ co\"{\i}ncide avec $v_j-c$
sur un voisinage $\supp\,T\cap\{\varphi<r_0\}$ de
$\supp\,T\cap\{\varphi<-\infty\}$, donc
$$\nu(dd^cv_1\wedge\ldots\wedge dd^cv_q\wedge T,\varphi)=
\nu(dd^cw_{1,c}\wedge\ldots\wedge dd^cw_{q,c}\wedge T,\varphi)$$
pout tout~$c$. Maintenant, fixons un voisinage $V$ et $r<R_V$.
Comme $w_{j,c}$ converge en d\'ecoissant vers $u_j$ quand $c$ tend vers
$+\infty$, le courant $dd^cw_{1,c}\wedge\ldots\wedge dd^cw_{q,c}\wedge T$
converge faiblement vers $dd^cu_1\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T$ quand
$c$ tend vers~$+\infty$. Un argument facile montre alors que
$$\limsup_{c\to+\infty}~\nu(dd^cw_{1,c}\wedge\ldots\wedge dd^cw_{q,c}\wedge T,
\varphi)\le\nu(dd^cu_1\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T,\varphi).
\eqno\square$$

\tha (6.13) Corollaire|Si $dd^cu_1\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T$ est
bien d\'efini, alors on a en tout point $x\in X$
$$\nu\big(dd^cu_1\wedge\ldots\wedge dd^cu_q\wedge T,x\big)
  \ge\nu(dd^cu_1,x)\ldots\nu(dd^cu_q,x)\,\nu(T,x).$$\fintha

\preuv On applique (6.12) avec $\varphi(z)=v_1(z)=\ldots=v_q(z)=\log|z-x|$ et
on observe que $\ell_j:=\limsup v_j/u_j=1/\nu(dd^cu_j,x)$ (il n'y a rien \`a
prouver si $\nu(dd^cu_j,x)=0$).\finpr
\vskip1cm

\centerline{\bf 7. In\'egalit\'e de self-intersection}
\medskip

Etant donn\'e un diviseur $D\ge 0$ sur une vari\'et\'e projective~$X$,
on a une stratification du support $|D|$ par les strates
d'\'equimultiplicit\'e. On cherche \`a majorer le degr\'e de ces strates
en fonction du degr\'e de~$D$. Ce probl\`eme peut se reformuler
de mani\`ere beaucoup plus g\'en\'erale en termes de courants:

\tha (7.1) Probl\`eme|Soit $T$ un courant positif ferm\'e de
bidegr\'e $(1,1)$ sur une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte
$(X,\omega)$. Peut-on obtenir une borne pour le degr\'e des
composantes irr\'eductibles de codimension~$p$ des ensembles de niveau
$E_c(T)$ en termes de la classe de cohomologie
$\{T\}\in H^2_{DR}(X,\rb)\,{\rm ?}$\fintha

De mani\`ere pr\'ecise, on introduit la suite $0=b_1\le\ldots\le b_n\le
b_{n+1}$ des ``valeurs de saut" $b_p$ pour lesquelles la dimension de
$E_c(T)$ tombe d'une unit\'e lorsque $c$ exc\`ede la valeur~$b_p$,
c'est-\`a-dire que $\codim E_c(T)=p$ quand $c\in{}]b_p,b_{p+1}]$. Soient
$(Z_{p,k})_{k\ge 1}$ les composantes de codimension $p$ de
$\bigcup_{c\in{}]b_p,b_{p+1}]}E_c(T)$ et soit
$$\nu_{p,k}=\min_{x\in Z_{p,k}}\nu(T,x)\in{}]b_p,b_{p+1}]$$
le nombre de Lelong g\'en\'erique de $T$ le long de~$Z_{p,k}$.
Alors on a l'in\'egalit\'e de self-intersection suivante.

\tha (7.2) Th\'eor\`eme|Supposons que le fibr\'e en droites canonique
$\oc_{TX}(1)$ sur le fibr\'e en espaces projectifs $P(T^\star X)$
poss\`ede une m\'etrique hermitienne $h$ telle que
$\Theta_h\big(\oc_{TX}(1)\big)+\pi^\star u\ge 0$, o\`u $\pi:P(T^\star X)\to X$
est la projection et o\`u $u$ est une forme ferm\'ee semi-positive de type
$(1,1)$ sur~$X$. Pour chaque $p=1\ld n$, la classe de cohomologie de De Rham
$(\{T\}+b_1\{u\})\cdots(\{T\}+b_p\{u\})$ peut \^etre repr\'esent\'ee par un
courant positif ferm\'e $\Theta_p$ de bidegr\'e $(p,p)$ tel que
$$\Theta_p\ge\sum_{k\ge 1}(\nu_{p,k}-b_1)\ldots(\nu_{p,k}-b_p)\,[Z_{p,k}]
+(T_\abc+b_1u)\wedge\ldots\wedge(T_\abc+b_pu)$$
o\`u $T_\abc\ge 0$ est la partie absolument continue de la
d\'ecomposition de Lebesgue de $T$.\fintha

Le deuxi\`eme terme $(T_\abc+b_1u)\wedge\ldots\wedge(T_\abc+b_pu)$
peut \^etre consid\'er\'e comme une \'evaluation de ``l'exc\`es d'intersection''
du membre de gauche par rapport au cycle d\'efini par les $Z_{p,k}$.
Cet exc\`es d'intersection est en g\'en\'eral difficile \`a exprimer par
des m\'ethodes alg\'ebriques (il n'y a pas de traduction alg\'ebrique simple
de ce que repr\'esente~$T_\abc$, $T_\abc$~mesure intuitivement le degr\'e de
libert\'e des d\'eformations \'equisinguli\`eres de~$T$). En
n\'egligeant l'exc\`es d'intersection et en prenant le produit ext\'erieur
avec~$\omega^{n-p}$, on~obtient une majoration explicite du degr\'e des
compo\-san\-tes $Z_{p,k}$ par un polyn\^ome de degr\'e~$p$ en la classe
de cohomologie~de~$T\,$:

\tha (7.3) Corollaire|Si $\omega$ est une m\'etrique k\"ahl\'erienne sur $X$
et si $\{u\}$ est une classe de cohomologie semi-positive de type $(1,1)$
telle que $c_1\big(\oc_{TX}(1)\big)+\pi^\star\{u\}$ soit semi-positive,
le degr\'e des composantes $Z_{p,k}$ par rapport \`a $\omega$ satisfait
l'estimation
$$\eqalign{
\sum_{k=1}^{+\infty}(\nu_{p,k}-b_1)\ldots(\nu_{p,k}-b_p)
&\int_X[Z_{p,k}]\wedge\omega^{n-p}\cr
&\le\big(\{T\}+b_1\{u\}\big)\cdots\big(\{T\}+b_p\{u\}\big)
\cdot\{\omega\}^{n-p}.\cr}$$\fintha

La forme $u$ doit \^etre vue intuitivement comme un minorant de la
courbure du fibr\'e tangent. Dans le cas de l'espace projectif $X=\pb^n$,
un calcul classique montre que la courbure est positive et on peut donc
prendre $u=0$. Si $\deg(T)=\int_X T\wedge\omega^{n-1}$ est le degr\'e
par rapport \`a la m\'etrique de Fubini-Study, on obtient
l'in\'egalit\'e simple:

\tha (7.4) Corollaire|Sur $\pb^n$, on a l'in\'egalit\'e
$$\sum_{k=1}^{+\infty}(\nu_{p,k}-b_1)\ldots(\nu_{p,k}-b_p)\,\deg(Z_{p,k})
\le \big(\deg(T)\big)^p.$$\fintha

Pour la d\'emonstration du Th\'eor\`eme (7.2), on utilise un th\'eor\`eme
de r\'egularisation de courants qui est en quelque sorte un th\'eor\`eme
de d\'eplacement infinit\'esimal de cycles: en g\'en\'eral, on ne peut
d\'eplacer un cycle positif, mais le d\'eplacement devient possible
si on accepte des composantes de multiplicit\'e n\'egative.

\tha (7.5) Lemme {\rm([De91b])}|Soit $T$ un courant positif ferm\'e
de bidegr\'e $(1,1)$ et soit $\alpha$ une forme r\'eelle de classe $C^\infty$
ayant m\^eme classe de cohomologie que~$T$, en sorte que
$T=\alpha+dd^c\psi$. Soit $\gamma\ge 0$ une forme r\'eelle de type $(1,1)$ \`a
coefficients continus telle que $T\ge\gamma$. Supposons que la
courbure de $TX$ soit minor\'ee par $-u$ comme dans~$(7.2)$. Alors pour
tout~$c>0$ il existe une suite de courants r\'eels $T_{c,k}=\alpha+
dd^c\psi_{c,k}$ tels que $\psi_{c,k}$ soit $C^\infty$ sur $X\ssm E_c(T)$
et d\'ecroisse vers $\psi$ quand $k$ tend vers~$+\infty$
$($en particulier, $T_{c,k}$ est $C^\infty$ sur $X\ssm E_c(T)$ et
converge faiblement vers~$T$ sur~$X)$, et on a
$$T_{c,k}\ge\gamma-\lambda_{c,k}u-\varepsilon_k\omega~~~~\hbox{o\`u}$$
{\parindent=7.6mm
\item{\rm(i)}$\lambda_{c,k}(x)$ est une suite d\'ecroissante
de fonctions continues sur~$X$ telles que
$\lim_{k\to+\infty}\lambda_{c,k}(x)=\min\big(\nu(T,x),c\big)$
en chaque point;
\item{\rm(ii)}$\lim_{k\to+\infty}\varepsilon_k=0$,
\item{\rm(iii)}$\nu(T_{c,k},x)=\big(\nu(T,x)-c\big)_+$
en chaque point $x\in X$.\vskip0pt}\fintha

{\sl Preuve du th\'eor\`eme (7.2)}\pointir
L'id\'ee principale de la d\'emonstration est de tuer les nombres de
Lelong de $T$ jusqu'\`a la valeur~$b_j$, en utilisant le Lemme (7.5).
Les singularit\'es du courant $T_j$ ainsi obtenu apparaissent alors
seulement en codimension~$j$, de sorte qu'il devient possible de
d\'efinir le produit ext\'erieur $T_1\wedge\ldots\wedge T_p$
au moyen du Th\'eor\`eme~(5.4). 

On raisonne par r\'ecurrence sur~$p$. Pour $p=1$, la formule de
d\'ecomposition de Siu montre que 
$$T=\sum\nu_{1,k}[Z_{1,k}]+R,$$
et on a $R\ge T_\abc$ puisque la partie cycle correspond \`a des mesures
singuli\`eres par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Le r\'esultat est
donc vrai avec~$\Theta_1=T$. Maintenant, supposons que
$\Theta_{p-1}$ a d\'ej\`a \'et\'e construit. Pour $c>b_p$, le courant
$T_{c,k}=\alpha+dd^c\psi_{c,k}$ produit par le Lemme~(7.5) a un ensemble de
p\^oles de codimension $\codim L(\psi_{c,k})=\codim E_c(T)\ge p$.
Le Th\'eor\`eme~(5.4) montre que
$$\Theta_{p,c,k}=\Theta_{p-1}\wedge(T_{c,k}+c\,u+\varepsilon_k\omega)$$
est bien d\'efini. Si $\varepsilon_k$ tend vers z\'ero assez lentement,
$T_{c,k}+c\,u+\varepsilon_k\omega$ est positif par (7.5$\,$i), donc
$\Theta_{p,c,k}\ge 0$. De plus, la classe de cohomologie de $\Theta_{p,c,k}$
est \'egale \`a $\{\Theta_{p-1}\}\cdot
(\{T\}+c\{u\}+\varepsilon_k\{\omega\})$ et converge \`a la limite vers
$\{\Theta_{p-1}\}\cdot(\{T\}+c\{u\})$. Puisque la masse
$\int_X\Theta_{p,c,k}\wedge\omega^{n-p}$ reste uniform\'ement born\'ee,
la famille $(\Theta_{p,c,k})_{c\in{}]b_p,b_p+1],k\ge 1}$ est relativement
compacte pour la topologie faible. On d\'efinit
$$\Theta_p=\lim_{c\to b_p+0}\lim_{k\to+\infty}\Theta_{p,c,k},$$
peut-\^etre apr\`es extraction d'une sous-suite faiblement convergente.
Alors $\{\Theta_p\}=\{\Theta_{p-1}\}\cdot(\{T\}+b_p\{u\})$, donc
$$\{\Theta_p\}=(\{T\}+b_1\{u\})\cdots(\{T\}+b_p\{u\}).$$
Par ailleurs, nous avons
$$\eqalign{
\nu(\Theta_p,x)&\ge\limsup_{c\to b_p+0}\limsup_{k\to+\infty}~
\nu\big(\Theta_{p-1}\wedge(T_{c,k}+c\,u+\varepsilon_k\omega),x\big)\cr
&\ge\nu(\Theta_{p-1},x)\times
\limsup_{c\to b_p+0}\limsup_{k\to+\infty}~\nu(T_{c,k},x)\cr
&\ge\nu(\Theta_{p-1},x)\big(\nu(T,x)-b_p\big)_+\cr}$$
gr\^ace \`a (6.13) et (7.5$\,$iii). Par r\'ecurrence il vient
$$\nu(\Theta_p,x)\ge
\big(\nu(T,x)-b_1\big)_+\ldots\big(\nu(T,x)-b_p\big)_+,$$
en particulier, le nombre de Lelong g\'en\'erique de $\Theta_p$ le long
de $Z_{p,k}$ est au moins \'egal \`a $(\nu_{p,k}-b_1)\ldots(\nu_{p,k}-b_p)$.
Ceci implique d\'ej\`a
$$\Theta_p\ge\sum_{k\ge 1}(\nu_{p,k}-b_1)\ldots(\nu_{p,k}-b_p)\,[Z_{p,k}].$$
Puisque le second membre est singulier par rapport \`a la mesure de Lebesgue,
l'in\'egalit\'e voulue sera d\'emontr\'ee si on prouve de plus que
$$\Theta_{p,\abc}\ge(T_\abc+b_1u)\wedge\ldots\wedge(T_\abc+b_pu),$$
ou encore, par r\'ecurrence, que $\Theta_{p,\abc}\ge\Theta_{p-1,\abc}
\wedge (T_\abc+b_pu)$. Pour ceci, il faut simplement s'assurer que
$\lim_{k\to+\infty}T_{c,k,\abc}=T_\abc$ presque partout, et utiliser de
nouveau la r\'ecurrence. Or, nos arguments de multiplicit\'es d'intersection
ne sont pas affect\'es si l'on remplace $\psi_{c,k}$ par
$\psi'_{c,k}=\max\{\psi,\psi_{c,k}-A_k\}$ avec une suite $A_k$ quelconque.
Si $A_k$ converge suffisamment vite vers~$+\infty$, il est facile de voir
qu'on aura bien
$\lim (dd^c\psi'_{c,k})_\abc=(dd^c\psi)_\abc$ presque partout.\finpr
\vfill\eject
\centerline{\bf R\'ef\'erences}
\vskip8pt

\article B-T82|E. Bedford {\rm and} B.A. Taylor|A new capacity for
         pluri\-subharmonic functions|Acta Math.|149|1982|1-41|
\article Bo70|E. Bombieri|Algebraic values of meromorphic maps|Invent.
         Math.|10|1970|267-287 and {\sl Addendum}, Invent. Math. {\bf 11}
         ({\oldstyle 1970}), 163-166|
\divers CLN69|S.S. Chern, H.I. Levine, L. Nirenberg|Intrinsic norms on
        a complex manifold|Global Analysis (papers in honor of K.Kodaira), 
        Univ. of Tokyo Press, Tokyo ({\oldstyle 1969}), 119-139|
\article De82a|J.P. Demailly|Formules de Jensen en plusieurs variables et
         applications arithm\'etiques|Bull. Soc. Math. France|110|1982|75-102|
\article De82b|J.P. Demailly|Courants positifs extr\^emaux et conjecture
         de Hodge|Invent. Math.|69|1982|347--374|
\article De87|J.P. Demailly|Nombres de Lelong g\'en\'eralis\'es, th\'eor\`emes
        d'int\'e\-gralit\'e et d'analyticit\'e|Acta Math.|159|1987|153-169|
\divers De90|J.P. Demailly|A numerical criterion for very ample line
        bundles|{\rm Pr\'epub. Inst. Fourier n\omini~153, D\'ecembre
        {\oldstyle 1990}, 45p, \`a para\^{\i}tre au J. Differential Geom}|
\divers De91a|J.P. Demailly|Monge-Amp\`ere operators, Lelong numbers and
        intersection theory|{\rm Pr\'epub. Inst. Fourier n\omini~173,
        Mai {\oldstyle 1991}, 70p, \`a para\^{\i}tre dans les
        Proceedings ``Complex Analysis and Geometry'' \'edit\'es par
        V.~Ancona et A.~Silva, CIRM, Univ. de Trento}|
\divers De91b|J.P. Demailly|Regularization of closed positive currents
        and Intersection Theory|{\rm Pr\'epub. Inst. Fourier n\omini~176,
        Juillet {\oldstyle 1991}, 42p, \`a para\^{\i}tre au J. of
        Algebraic Geom}|
\livre DR55|G. De Rham|Vari\'et\'es diff\'erentiables|Hermann, Paris|1955|
\article Dr69|R.N. Draper|Intersection theory in analytic geometry|Math.
        Ann.|180|1969|175-204|
\livre Fe69|H. Federer|Geometric measure theory|Springer Verlag,
        Grund\-lehren der math Wissenschaften, Band {\bf 153}, Berlin|1969|
\livre G-H78|P.A. Griffiths, J. Harris|Principles of algebraic geometry|Wiley,
        New-York|1978|
\divers Kg70|J.R. King|A residue formula for complex subvarieties|Proc.
        Carolina Conf. on Holomorphic mappings and minimal surfaces, University
        of North Carolina, Chapel Hill ({\oldstyle 1970}), 43-56|
\article Ki79|C.O. Kiselman|Densit\'e des fonctions plurisousharmoni\-ques|Bull.
         Soc. Math. France|107|1979|295-304|
\divers Ki83|C.O. Kiselman|Sur la d\'efinition de l'op\'erateur de
        Monge-Amp\`ere complexe|Analyse Complexe, Proceedings of Journ\'ees
        Fermat (SMF), Toulouse, May~1983, Lecture Notes in Math.,
        vol.~1094, Springer-Verlag, Berlin ({\oldstyle 1984}), 139--150|
\article Ko54|K. Kodaira|On K\"ahler varieties of restricted type|Ann. of
        Math.|60|1954|28-48|
\article Le57|P. Lelong|Int\'egration sur un ensemble analytique
        complexe|Bull. Soc. Math. France|85|1957|239-262|
\livre Le68|P. Lelong|Fonctions plurisousharmoniques et formes
        diff\'e\-ren\-tielles positives|Dunod, Paris, Gordon \& Breach,
        New-York|1968|
\article Sa51|P. Samuel|La notion de multiplicit\'e en alg\`ebre et en
g\'eom\'etrie alg\'ebrique|J. de Math. Pures Appl.|30|1951|159-274|
\livre Se57|J.P. Serre|Alg\`ebre locale. Multiplicit\'es|Lecture Notes in
Math. n\omini 11, Springer-Verlag, Berlin|1965|
\article Sib85|N. Sibony|Quelques probl\`emes de prolongement de cou\-rants en
         analyse complexe|Duke Math.~J.|52|1985|157-197|
\article Siu74|Y.T. Siu|Analyticity of sets associated to Lelong numbers and
         the extension of closed positive currents|Invent.
         Math.|27|1974|53-156|
\article Sk72|H. Skoda|Sous-ensembles analytiques d'ordre fini ou infini
         dans $\cb^n$|Bull. Soc. Math. France|100|1972|353-408|
\article St66|W. Stoll|The multiplicity of a holomorphic map|Invent.
         Math.|2|1966|15-58|
\article Th67|P. Thie|The Lelong number of a point of a complex analytic
         set|Math. Ann.|172|1967|269-312|
\livre Wa78|M. Waldschmidt|Nombres transcendants et groupes
         alg\'e\-briques|Ast\'e\-risque n\omini~69-70|1979|
\livre Ws73|R.O. Wells|Differential analysis on complex manifolds|
         Prentice Hall, |1973|         
\hfill\fintexte

\end


%---------------------------------------------------------------------------

% Dessin artgaz1.ds1 

%%% < 1 Largeur= 120.000 Hauteur=  50.000 
%%% ~   0.000 120.000   0.000  50.000 
1.2 dup scale 
1 mm unit  /nbpt 10 def 
  0.000   0.000 translate 
%%% D 
  2.000  10.000 moveto 
%%% S 
 42.000  10.000 lineto 
stroke 
%%% D 
  2.000  32.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   2.000  32.000   12.000  14.000   22.000  10.000   32.000  14.000  
 42.000  32.000  ] curve 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 62.000  12.000 moveto 
%%% S 
102.000  12.000 lineto
%%% D 
 62.000  32.000 moveto 
%%% B 5 O 
[  62.000  32.000   72.000  14.000   82.000  10.000   92.000  14.000  
102.000  32.000  ] curve 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 22.000  10.000 moveto 
%%% Q 
  0.700 disk 
%%% D 
 75.200  12.000 moveto 
%%% Q 
  0.700 disk 
%%% D 
 88.700  12.000 moveto 
%%% Q 
  0.700 disk 
%%% D 
  6.000  24.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (A) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 66.000  24.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (A) show currentpoint 
clear 
%%% D 
  6.000   6.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (B) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 62.000   8.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul symb  (t) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul it  (a) show currentpoint 
%% " 
1 index 3 index moveto 
%% $ 
  1.000 nbpt mul rm  (\() show currentpoint 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (B) show currentpoint 
%% $ 
  1.000 nbpt mul rm  (\)) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 20.500  13.000 moveto 
%%% K
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (x) show currentpoint 
clear
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul rm  (1) show currentpoint  
%%% > 
showpage 

%---------------------------------------------------------------------------

% Dessin artgaz2.ds1 

%%% < 1 Largeur= 120.000 Hauteur=  50.000 
%%% ~   0.000 120.000   0.000  50.000 
1.2 dup scale 
1 mm unit  /nbpt 10 def 
  0.000   0.000 translate
%%% O
 58.000  -2.000 translate
%%% D 
newpath  17.750  27.850 moveto 
%%% M 
%% B 3 O 
[  17.750  27.850   19.750  29.650   21.850  31.550  ] curve 
%% B 3 O 
[  21.850  31.550   22.750  29.750   23.750  27.750  ] curve 
%% B 3 O 
[  23.750  27.750   23.400  17.700   23.200   9.250  ] curve 
%% B 3 O 
[  23.200   9.250   21.200   7.050   19.400   5.050  ] curve 
%% B 3 O 
[  19.400   5.050   18.600   7.050   17.400   9.450  ] curve 
%% B 3 O 
[  17.400   9.450   17.340  19.000   17.750  27.850  ] curve
closepath 
%% : 2 
  0.930 setgray  fill 0 setgray 
%% / R 
%%% L
  0.010 setlinewidth
%%% D 
 17.400   9.450 moveto 
%%% B 3 O 
[  17.400   9.450   17.340  19.000   17.750  27.850  ] curve
stroke
%%% D 
 23.750   27.750 moveto 
%%% B 3 O 
[  23.750  27.750   23.400  17.700   23.200   9.250  ] curve
%%% D 
 19.600  23.500 moveto 
%%% B 3 O 
[  19.600  23.500   19.250  13.500   19.300   5.100  ] curve 
stroke 
%%% O
-58.000   2.000 translate
%%% L
  0.282  setlinewidth  
%%% D 
  5.000   5.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   5.000   5.000   10.000  15.000   18.000  25.000   28.000  33.000  
 40.000  39.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  7.000 -11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000 -11.000   12.000  -1.000   18.300   7.400  ] curve 
stroke
%%% D 
 26.000  14.000 moveto
%%% B 3 O 
[  26.000  14.000   30.000  17.000   42.000  23.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  5.000   5.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   5.000   5.000    6.200  -3.000    7.000 -11.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 40.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O
[  40.000  39.000   41.200  31.000   42.000  23.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
%%% D 
  6.000  22.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   6.000  22.000    8.800  19.900   11.500  17.300  ] curve
stroke
%%% D
 18.300   7.400 moveto
%%% B 3 O
[  18.300   7.400   21.000   2.000   28.000  -6.000  ] curve  
stroke 
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 29.000  11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 18.800  25.700 moveto 
%%% B 3 O 
[  18.800  25.700   18.300  15.700   18.300   7.400  ] curve 
stroke 
%%% O
 60.000   0.000 translate
%%% L
  0.339 setlinewidth 
%%% D 
  5.000   5.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   5.000   5.000   10.000  15.000   18.000  25.000   28.000  33.000  
 40.000  39.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  7.000 -11.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   7.000 -11.000   12.000  -1.000   20.000   9.000   30.000  17.000
 42.000  23.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  5.000   5.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   5.000   5.000    6.200  -3.000    7.000 -11.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 40.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O
[  40.000  39.000   41.200  31.000   42.000  23.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
%%% D 
  6.000  22.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 29.000  11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 18.800  25.700 moveto 
%%% B 3 O 
[  18.800  25.700   18.300  15.700   18.300   7.400  ] curve 
stroke 
%%% L
  0.010 setlinewidth  
%%% D 
  6.000   5.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   6.000   5.000   11.200  15.000   19.500  25.000   29.800  33.000  
 42.200  39.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  8.000 -11.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   8.000 -11.000   13.200  -1.000   21.500   9.000   31.800  17.000
 44.200  23.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  6.000   5.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   6.000   5.000    7.200  -3.000    8.000 -11.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 42.200  39.000 moveto 
%%% B 3 O
[  42.200  39.000   43.400  31.000   44.200  23.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  7.000   5.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   7.000   5.000   12.400  15.000   21.000  25.000   31.600  33.000  
 44.400  39.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  9.000 -11.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   9.000 -11.000   14.400  -1.000   23.000   9.000   33.600  17.000
 46.400  23.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  7.000   5.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000   5.000    8.200  -3.000    9.000 -11.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 44.400  39.000 moveto 
%%% B 3 O
[  44.400  39.000   45.600  31.000   46.400  23.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  4.000   5.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   4.000   5.000    8.800  15.000   16.500  25.000   26.200  33.000  
 37.800  39.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  6.000 -11.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   6.000 -11.000   10.800  -1.000   18.500   9.000   28.200  17.000
 39.800  23.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  4.000   5.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   4.000   5.000    5.200  -3.000    6.000 -11.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  37.800  39.000 moveto 
%%% B 3 O
[  37.800  39.000   39.000  31.000   39.800  23.000  ] curve 
stroke
%%% D 
  3.000   5.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   3.000   5.000    7.600  15.000   15.000  25.000   24.400  33.000  
 35.600  39.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  5.000 -11.000 moveto 
%%% B 5 O 
[   5.000 -11.000    9.600  -1.000   17.000   9.000   26.400  17.000
 37.600  23.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  3.000   5.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   3.000   5.000    4.200  -3.000    5.000 -11.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
  35.600  39.000 moveto 
%%% B 3 O
[  35.600  39.000   36.800  31.000   37.600  23.000  ] curve 
stroke
%%% O
   1.000   1.000 translate
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
%%% D 
  6.000  22.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 29.000  11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
%%% O
   1.000   1.000 translate
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
%%% D 
  6.000  22.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 29.000  11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
%%% O
 -3.000  -3.000 translate
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
%%% D 
  6.000  22.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 29.000  11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
%%% O
 -1.000  -1.000 translate
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   7.000  39.000   17.000  29.000   22.000  19.000   29.000   11.000
] curve 
stroke
%%% D 
  6.000  22.000 moveto 
%%% B 4 O 
[   6.000  22.000   16.000  12.000   21.000   2.000   28.000   -6.000
] curve  
stroke 
%%% D 
  7.000  39.000 moveto 
%%% B 3 O 
[   7.000  39.000    6.000  29.000    6.000  22.000  ] curve 
stroke 
%%% D 
 29.000  11.000 moveto 
%%% B 3 O 
[  29.000  11.000   28.000   1.000   28.000  -6.000  ] curve 
stroke 
%% / C
%%% D 
-51.000   4.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (S) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul rm  (1) show currentpoint 
clear 
%%% D 
-35.000   4.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (S) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul rm  (2) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 -2.000  -2.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (u) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul rm  (1,) show currentpoint 
%% $ 
  0.700 nbpt mul symb  (e) show currentpoint 
clear
%%% D 
 34.000   4.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (u) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul rm  (2,) show currentpoint 
%% $ 
  0.700 nbpt mul symb  (e) show currentpoint 
clear 
%%% > 
showpage 

%---------------------------------------------------------------------------

% Dessin artgaz3.ds1 

%%% < 1 Largeur= 120.000 Hauteur=  50.000 
%%% ~   0.000 120.000   0.000  50.000 
1.2 dup scale 
1 mm unit  /nbpt 10 def 
  0.000   0.000 translate 
%%% D 
 10.000   0.000 moveto 
%%% V 
 50.000  90.000 axis 
%%% V 
 80.000   0.000 axis 
%%% L 
  0.339 setlinewidth 
%%% D 
 42.000  43.000 moveto 
%%% B 5 O 
[  42.000  43.000   41.000  38.000   38.000  33.000   34.000  32.000  
 30.000  40.000  ] curve 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 42.000  43.000 moveto 
%%% B 5 O 
[  42.000  43.000   42.500  36.000   47.000  28.000   57.000  23.000  
 67.000  13.000  ] curve 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 30.000  12.000 moveto 
%%% B 6 O 
[  30.000  12.000   33.000  17.000   38.000  20.000   45.000  21.000  
 49.000  24.000   50.000  26.000  ] curve 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 50.000  26.000 moveto 
%%% B 7 O 
[  50.000  26.000   50.400  22.000   54.800  17.600   62.800  25.600  
 58.800  31.600   66.800  37.600   72.800  37.600  ] curve 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 36.800  13.600 moveto 
%%% L 
  0.010 setlinewidth 
%%% D 
 36.000  14.000 moveto 
%%% N 
 28.000  24.000 rect 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 50.000  26.000 moveto 
%%% Q 
  0.900 disk
%%% D 
 60.500  20.000 moveto 
%%% Q 
  0.900 disk 
%%% D 
 42.000  43.000 moveto 
%%% Q 
  0.900 disk 
%%% ! 3 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
%%% D 
 35.000  38.000 moveto 
%%% S 
 11.300  38.000 lineto 
stroke 
%%% D 
 35.000  14.000 moveto 
%%% S 
 11.300  14.000 lineto 
stroke 
%%% D 
 36.000  13.000 moveto 
%%% S 
 36.000   1.300 lineto 
stroke 
%%% D 
 64.000  13.000 moveto 
%%% S 
 64.000   1.300 lineto 
stroke
%%% ! 0
[] 0 setdash 
%%% L
  0.339 setlinewidth
%%% D 
 64.000   0.000 moveto 
%%% I 
  0.700  90.000 indent 
%%% D 
 36.000   0.000 moveto 
%%% I 
  0.700  90.000 indent 
%%% D 
 10.000  14.000 moveto 
%%% I 
  0.700   0.000 indent 
%%% D 
 10.000  38.000 moveto 
%%% I 
  0.700   0.000 indent 
%%% S 
 10.000  14.000 lineto 
stroke 
%%% D 
 36.000   0.000 moveto 
%%% S 
 64.000   0.000 lineto 
stroke 
%%% D 
 83.700  34.500 moveto 
%%% V 
 18.000 -90.000 axis 
%%% D 
 48.500  29.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (A) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul rm  (sing) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 70.000  34.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul it  (A) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 88.500  -5.500 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul bf  (C) show currentpoint 
%% ^ 
  0.025 nbpt mul   0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul it  (q) show currentpoint 
clear 
%%% D 
  3.700  46.500 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul bf  (C) show currentpoint 
%% ^ 
  0.025 nbpt mul   0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul it  (q) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 85.700  24.500 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul symb  (p) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul it  (I) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 45.500  -5.500 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul symb  (p) show currentpoint 
%% _ 
  0.000  -0.175 nbpt mul rmoveto 
%% $ 
  0.700 nbpt mul it  (I) show currentpoint 
%% " 
1 index 3 index moveto 
%% $ 
  1.000 nbpt mul symb  (\(D\)) show currentpoint 
clear 
%%% D 
 51.500  39.500 moveto 
%%% K 
%% $ 
  1.000 nbpt mul symb  (D) show currentpoint 
clear 
%%% > 
showpage 

%---------------------------------------------------------------------------

% Dessin l.ds1 

%%% < 1 Largeur= 120.000 Hauteur=  50.000 
%%% ~   0.000 120.000   0.000  50.000 
1.2 dup scale 
1 mm unit  /nbpt 10 def 
  0.000   0.000 translate 
%%% D 
  0.000   0.000 moveto 
%%% K 
%% $ 
  4.000 nbpt mul rm  (L) show currentpoint 
clear 
%%% > 
showpage 

