\input arma.tex
\input mizenpaj.tex
\hoffset=0.5cm
\parindent=5mm

\def\cn{{\Bbb C}^n}
\def\dr{{\cal D}}
\def\supp{\mathop{\rm Supp}\nolimits}
\def\pbp{\partial\overline\partial}

\centerline{\bf SUR L'EXISTENCE DU C\^ONE TANGENT}
\centerline{\bf \`A UN COURANT POSITIF FERM\'E}
\vskip 0.5cm
{\noindent\hangindent2cm\hangafter-3
{\sl Mongi BLEL~,~~~Facult\'e des Sciences de Monastir,\hfill\break
Jean-Pierre DEMAILLY~,~~~Universit\'e de Grenoble I,\hfill\break
Mokhtar MOUZALI~,~~~Universit\'e de Grenoble I

}}
\vskip 10pt
\eightpoint
\remarque R\'esum\'e|Soit $T$ un courant positif ferm\'e sur un
voisinage de $0$ dans ${\bf C}^n$~.  Nous montrons que $T$ admet un
c\^one tangent (limite de la famille de ses homoth\'etiques), d\`es que
les masses projectives $\nu_T(r)$ convergent assez vite vers $\nu_T(0)$
pour que $(\nu_T(r)-\nu_T(0))/r$ soit localement sommable en $r=0$~. 
Cette condition suffisante est optimale~: nous construisons des courants
de bidegr\'e $(1,1)$ n'ayant pas de c\^one tangent, tels que
l'int\'egrale de $(\nu_T(r)-\nu_T(0))/r$ soit aussi peu divergente qu'on
le souhaite.  Lorsque $T$ est le courant d'int\'egration sur un ensemble
analytique, on v\'erifie que $\nu_T(r)-\nu_T(0)={\rm O}(r^\varepsilon)$~,
ce qui redonne le th\'eor\`eme de Thie-King sur l'existence du c\^one 
tangent. 

\vskip10pt
\remarque Abstract|{\bf On the existence of the tangent cone to a closed
positive current.}

Let $T$ be a closed positive current on a
neighborhood of $0$ in ${\bf C}^n$~.  It is shown that $T$ admits a
tangent cone (limit of the family of its homothetic currents), provided
that the projective masses $\nu_T(r)$ converge fast enough to $\nu_T(0)$
in order that $(\nu_T(r)-\nu_T(0))/r$ be locally sommable at $r=0$~. 
This sufficient condition is optimal~: we construct currents of bidegree
$(1,1)$ which have no tangent cone, such that the integral of
$(\nu_T(r)-\nu_T(0))/r$ is as slowly divergent as we wish.\break
When $T$ is the current of integration over an analytic set, it is shown
that $\nu_T(r)-\nu_T(0)={\rm O}(r^\varepsilon)$~.  This gives a new proof
of Thie-King's existence theorem for the tangent cone. 

\tenpoint\vskip 30pt 
\pav 1. Notations et principaux r\'esultats| 

Soit $T$ un courant positif ferm\'e de bidimension $(p,p)$ sur un
voisinage ouvert $\Omega$ de $0$ dans $\cb^n$~.  Nous renvoyons le
lecteur \`a P.~Lelong [Le] ou \`a [L-G] pour les d\'efinitions et
r\'esultats fondamentaux concernant les courants positifs ferm\'es.  Si
$h_a$ d\'esigne l'homoth\'etie complexe de rapport $a\in\cb^\star$~, on
s'int\'eresse au probl\`eme de l'existence d'une limite faible pour la
famille de cou\-rants $(h_a^\star T)$ lorsque $|a|$ tend vers $0$~.  Une
telle limite, si elle existe, est appel\'ee {\sl c\^one tangent}
au courant $T$~.  La question de savoir si le c\^one tangent existe toujours
a \'et\'e soulev\'ee par plusieurs auteurs, en particulier R.~Harvey [Ha] 
en 1975.

Mentionnons les principaux r\'esultats connus \`a ce jour.  Lorsque $T$
est le courant d'int\'egration sur un sous-ensemble analytique $A\subset
B(R)$~, on sait que le c\^one tangent existe et co\"\i ncide avec le
courant d'int\'egration sur le c\^one tangent g\'eom\'etrique \`a $A$~,
muni de multiplicit\'es convenables sur chacune de ses composantes
irr\'eductibles~: ce r\'esultat a \'et\'e d\'emontr\'e par P.~Thie [Th]
en 1967 et R.~King [Kg] en 1971.  Tr\`es r\'ecemment, C.O.~Kiselman [Km]
a montr\'e que la r\'eponse g\'en\'erale est n\'egative, en construisant
une fonction plurisousharmonique $u$ telle que le courant $i\pbp u$ n'a
pas de c\^one tangent.  Simultan\'ement, et suite \`a une suggestion du
deuxi\`eme auteur, le premier auteur de ce travail obtenait une condition 
suffisante d'existence du c\^one tangent~: voir [Bl1] pour une m\'ethode 
simple relative au cas des courants de bidegr\'e $(1,1)$~, et [Bl2] pour le 
cas g\'en\'eral.  Le pr\'esent travail reprend en partie le preprint [Bl2]
et la Th\`ese de 3\`eme Cycle du troisi\`eme auteur~: outre la condition
suffisante d\'ej\`a mentionn\'ee, nous obtenons une deuxi\`eme condition
suffisante plus naturelle et montrons que les techniques de [Bl1], [Bl2]
pour les homoth\'eties de rapport r\'eel s'appliquent aussi au cas des 
homoth\'eties de rapport complexe.  Nous utiliserons les notations 
classiques~:
$$\leqalignno{
\alpha&=i\pbp\log|z|~,~~~~\beta={i\over 2}\pbp|z|^2~,\cr
T&=2^{-q}i^{q^2}\sum_{|I|=|J|=q}T_{I,J}\,dz_I\wedge d\ov z_J~,~~~q=n-p~. 
 &(\star)\cr}$$ 
La {\sl mesure trace} de $T$ est par d\'efinition la mesure positive 
$$\sigma_T=T\wedge{\beta^p\over p!}=\sum_{|I|=q}T_{I,I}~.~\tau
\leqno(\star\star)$$ 
o\`u $\tau=2^{-n}idz_1\wedge d\ov z_1\wedge\ldots\wedge idz_n\wedge d\ov
z_n$~.  On pose enfin $\sigma_T(r)=\sigma_T\big(B(r)\big)$~, o\`u $B(r)$
d\'esigne la boule euclidienne ouverte de centre $0$ et de rayon $r$ dans
$\cb^n$~, et on consid\`ere la {\sl masse projective}
$$\nu_T(r)={\sigma_T(r)\over\pi^pr^{2p}/p!}~,\leqno({\star\star}{\star})$$ 
quotient de $\sigma_T(r)$ par le volume de la boule de rayon $r$ dans
$\cb^p$~.  On sait d'apr\`es Lelong [Le] que $\nu_T(r)$ est fonction
croissante de $r$~.  La limite $\nu_T(0)=\lim_{r\to 0+}\nu_T(r)$ est
appel\'ee {\sl nombre de Lelong} de $T$ au point $0$~.  Notre principal
r\'esultat est le~:

\tha Th\'eor\`eme 1|Le c\^one tangent \`a $T$ au point $0$ existe pourvu
que la masse projective de $T$ v\'erifie l'une ou l'autre des
deux conditions~:

\noindent{\rm(a)}~~~
$\displaystyle\int_0^{r_0}{\sqrt{\nu_T(r)-\nu_T(r/2)}\over r}\,dr
<+\infty$~,~~~~
{\rm(b)}~~~
$\displaystyle\int_0^{r_0}{\nu_T(r)-\nu_T(0)\over r}\,dr<+\infty$

\noindent pour $r_0$ assez petit.\fintha

La condition (a) est celle obtenue dans [Bl1] et [Bl2], tandis que (b)
est celle obtenue dans [Mz].  Les conditions (a) et (b) mesurent toutes
deux la mani\`ere dont $\nu_T(r)$ converge vers sa limite quand $r$ tend
vers $0$~.  Il est facile de voir n\'eanmoins qu'aucune des deux
conditions n'implique l'autre.  La construction de Kiselman [Km] permet
de voir que la condition (b) est en un certain sens optimale~:

\tha Th\'eor\`eme 2|Supposons $n\ge 2$ et soit $\eta:~]0,1]\la]0,1]$ 
une fonction continue croissante telle que $\lim_{r\to 0}\eta(r)=0$~.
Alors il existe une fonction plurisousharmonique
$u$ sur $\cb^n$ telle que le courant $T=i\pbp u$ n'a pas de c\^one
tangent, bien que 
$$\int_0^1\eta(r)\,{\nu_T(r)-\nu_T(0)\over r}\,dr<+\infty~.$$\eject\fintha

Nous obtenons en fait un r\'esultat plus pr\'ecis, analogue \`a celui
de [Km], montrant que l'ensemble limite de $(h_a^\star T)$ peut \^etre
une partie ferm\'ee connexe quelconque dans l'ensemble des courants
coniques de nombre de Lelong \'egal \`a $\nu_T(0)$~.
Par ailleurs, le th\'eor\`eme 1 redonne le r\'esultat de Thie-King 
affirmant l'existence du c\^one tangent \`a un courant
d'int\'egration sur un ensemble analytique~; dans ce cas, la 
convergence des int\'egrales (a) et (b) est assur\'ee par
l'estimation suivante~:

\tha Th\'eor\`eme 3|Pour tout ensemble analytique $A$ de dimension pure $p$ 
ferm\'e dans $\Omega$~, le courant $[A]$ v\'erifie une estimation
$$\nu_{[A]}(r)-\nu_{[A]}(0)\le Cr^\varepsilon$$
pour $r$ assez petit, avec des constantes $C,\varepsilon>0$ convenables.
\fintha

Des calculs plus pouss\'es utilisant les techniques de Barlet [Ba]
permettraient sans doute de montrer que $\nu_{[A]}(r)-\nu_{[A]}(0)$
admet un d\'eveloppement asymptotique en fonction des puissances de $r$
et de $\log r$~, mais nous n'avons pas cherch\'e \`a obtenir ce 
r\'esultat ici.

\pav 2. Formule de Lelong-Jensen et cons\'equences|

Soit $T$ un courant de bidimension $(p,p)$ d\'efini sur un ouvert 
$\Omega\subset\cb^n$ et $T_{I,J}$ ses coefficients comme dans $(\star)$~.
Rappelons que $T$ est dit (faiblement) positif si $T\wedge iu_1\wedge\ov u_1
\wedge\ldots\wedge iu_p\wedge\ov u_p$ est une mesure positive pour
tout syst\`eme de $(1,0)$--formes $u_j$ de classe $\ci$~. Nous aurons
besoin du lemme suivant. 

\tha Lemme 2.1|Soit $\lambda_I=\lambda_{i_1}\ldots\lambda_{i_q}$~, o\`u
$\lambda_1\ld\lambda_n$ sont des r\'eels $\ge 0$ quelconques.
Pour tout courant positif $T$ de bidimension $(p,p)$~, les 
mesures coefficients $T_{I,J}$ v\'erifient l'in\'egalit\'e~:
$$\lambda_I\lambda_J|T_{I,J}|\le 2^p\sum_M\lambda^2_MT_{M,M}~,$$
o\`u $M$ d\'ecrit l'ensemble des multi-indices tels que $M\supset I\cap J$ et
$M\subset I\cup J$~, avec $|M|=q=n-p$~.\fintha

\dem Soient $I,J$ tels que $|I|=|J|=q$~. Posons $K=\complement I$~, 
$L=\complement J$~, avec $|K|=|L|=p$~. Alors
$$T_{I,J}.\tau=\pm T\wedge 2^{-p}i^{p^2}dz_K\wedge d\ov z_L= 
\sum_{\lambda\in({\Bbb Z}/4{\Bbb Z})^p}
\varepsilon_\lambda\,T\wedge\gamma_\lambda ~,$$
avec $\varepsilon_\lambda =\pm 1$ ou $\varepsilon_\lambda=\pm i$ et 
$$\gamma_\lambda=\bigwedge^p_{s=1}{i\over 8}(dz_{k_s}+i^{\lambda
_s}dz_{\ell_s})\wedge (\overline {dz_{k_s}+i^{\lambda _s}dz_{\ell_s}})~.$$
En effet, on peut \'ecrire~:
$$dz_K \wedge d\ov z_L=\pm (dz_{k_1}\wedge d\ov z_{\ell_1})\wedge \cdots
\wedge (dz_{k_p}\wedge d\ov z_{\ell_p})~.$$
Le r\'esultat d\'ecoule alors de l'identit\'e de polarisation~:
$$\eqalign{
4dz_k\wedge d\ov z_\ell &= (dz_k+dz_\ell)\wedge(\overline{dz_k+dz_\ell})-(dz_k-dz_\ell)\wedge (\overline {dz_k-dz_\ell})\cr
& \quad+i(dz_k+idz_\ell)\wedge(\overline{dz_k+idz_\ell})-i(dz_k-idz_\ell)\wedge (\overline {dz_k-idz_\ell})~.\cr}$$
Chaque terme $T\wedge \gamma_\lambda $ est une mesure positive, donc
$$\eqalign{
|T_{I,J}|.\tau 
&\le \sum_\lambda T\wedge\gamma_\lambda  = T\wedge
\bigwedge^p_{s=1}\left\{\sum_{\lambda _s\in{\Bbb Z}/4{\Bbb Z}}{i\over8}
(dz_{k_s}+i^{\lambda _s}dz_{\ell_s})\wedge (\overline
{dz_{k_s}+i^{\lambda _s}dz_{\ell_s}})\right\}\cr
&\le T\wedge \bigwedge^p_{s=1}\Big({i\over2}dz_{k_s}\wedge d\ov
z_{k_s}+{i\over 2}dz_{\ell_s}\wedge d\ov z_{\ell_s}\Big)\cr
&\le T\wedge 2^{|K\cap L|}\sum_{N\subset K\cup L}2^{-p}i^{p^2}
dz_N\wedge d\ov z_N\le 2^p\sum_{I\cap J\subset M} T_{M,M}.\tau ~,\cr}$$
avec $M=\complement N\supset\complement K\cap \complement L = I\cap J$ et 
$T\wedge 2^{-p}i^{p^2}dz_N\wedge d\ov z_N= T_{\complement N,\complement N}.
\tau=T_{M,M}.\tau $~.\break Ainsi, pour tout courant $T$ positif, on a
$$|T_{I,J}|\le 2^p\sum_{|M|=q~,~M\supset I\cap J} T_{M,M}~.$$
Appliquons cette in\'egalit\'e au courant $S=\Lambda^\star T$~, o\`u
$\Lambda $ est l'isomorphisme de $\cn$ dans $\cn$ d\'efini par~:
$$\Lambda:~~\cn\longrightarrow\cn~,~~~~z_j\longmapsto\lambda_jz_j~,$$
avec $\lambda _j>0$~. Dans ce cas, $S_{I,J}=\lambda_I\lambda_J\,T_{I,J}
(\Lambda z)$~. Comme $\Lambda^\star T$ est positif, l'in\'egalit\'e 
pr\'ec\'edente se traduit par
$$\lambda_I\lambda_J|T_{I,J}|\le 2^p\sum_{M\supset I\cap J}
\lambda^2_MT_{M,M}~.$$
Ceci reste vrai \`a la limite pour $\lambda_k\ge 0$~, et le lemme
s'obtient en prenant $\lambda_k=0$ pour $k\notin I\cup J$~.\finpr

Soit maintenant $T$ un courant positif ferm\'e d\'efini sur un voisinage
ouvert $\Omega$ de $0$ dans $\cb^n$ et $B(R)$ la plus grande boule de centre 
$0$ contenue dans $\Omega$~. Pour $0<r_1<r_2<R$~, la formule 
classique de Lelong-Jensen [Le] s'\'ecrit
$$\nu_T(r_2)-\nu_T(r_1)={1\over\pi^p}\int_{B(r_2)\setminus B(r_1)}
T\wedge\alpha^p~.\leqno(2.2)$$
La fonction $r\mapsto\nu_T(r)$~, d\'efinie sur $]0,R[$, est donc positive 
croissante~; sa limite en $0$~, not\'ee $\nu_T(0)$~,
est appel\'ee {\sl nombre de Lelong} de $T$ en $0$~.
Pour $r\le r_0<R$~, on obtient la majoration
$$\sigma_T(r)=\int_{B(r)}T\wedge\beta^p\le Cr^{2p}~,~~~~
C={\pi^p\over p!}\nu_T(r_0)~.$$
En rempla\c cant $T$ par le courant homoth\'etique $h_a^\star T$~, dont le
domaine de d\'efinition $a^{-1}\Omega$ contient la boule $B(R/|a|)$~, on trouve
$$\sigma_{h_a^\star T}(r)=|a|^{-2p}\sigma_T(|a|r)~,~~~~
\nu_{h_a^\star T}(r)=\nu_T(|a|r)~~~~{\rm si}~~|a|<R/r~,$$
et les formules pr\'ec\'edentes impliquent~:
$$\leqalignno{
{1\over\pi^p}\int_{B(r_2)\setminus B(r_1)}h_a^\star T\wedge\alpha^p&=
\nu_T(|a|r_2)-\nu_T(|a|r_1)~~~~{\rm si}~~|a|<R/r_2~,&(2.3)\cr
\int_{B(r)}h_a^\star T\wedge\beta^p&\le Cr^{2p}~~~~{\rm si}~~
|a|\le r_0/r~.&(2.4)\cr}$$
Il r\'esulte de $(2.4)$ que la famille de courants $(h_a^\star T)$ est
uniform\'ement born\'ee en masse sur tout compact de $\cb^n$ pour $|a|$
assez petit. Les r\'esultats de compacit\'e usuels pour la topologie faible
des courants impliquent alors~:

\tha Cons\'equence 2.5|De toute suite $(h_{a_k}^\star T)$ avec $|a_k|$
tendant vers $0$~, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.
Le courant $T$ admet un c\^one tangent si et seulement si toutes
ces sous-suites ont m\^eme limite.\fintha

\tha Lemme 2.6|Soit $\Theta$ un courant positif ferm\'e de bidimension
$(p,p)$ sur $\cb^n$~. Il y a \'equivalence entre les quatre propri\'et\'es
suivantes~:

\noindent{\rm(a)}~~$\Theta$ est invariant par les homoth\'eties $h_a$
de rapport $a\in\cb^\star~;$\hfill\break
\noindent{\rm(b)}~~$\Theta$ est invariant par les homoth\'eties $h_r$
de rapport $r>0~;$\hfill\break
\noindent{\rm(c)}~~$\,\Theta\wedge\alpha^p=0$ sur $\cb^n\setminus\{0\}~;$
\hfill\break
\noindent{\rm(d)}~~$\Theta$ est l'extension \`a $\cb^n$ de l'image
r\'eciproque d'un courant positif ferm\'e $\theta$ sur $\pb^{n-1}$ 
par la projection $\pi:\cb^n\setminus\{0\}\la\pb^{n-1}$~.

\noindent Un tel courant sera appel\'e un courant conique.\fintha

\dem Il est \'evident que (d) implique (a) et que (a) implique (b). 
Sous l'hypoth\`ese (b), la fonction $\nu_\Theta$ est constante, et la
formule (2.2) montre que la propri\'et\'e (c) est v\'erifi\'ee.  Reste
\`a voir que (c) entra\^\i ne (d). Pla\c cons-nous par exemple
sur l'ouvert de $\cb^n$ d\'efini par $z_n\ne 0$ et utilisons
les coordonn\'ees projectives
$$w_1={z_1\over z_n}~,~\ldots~,~w_{n-1}={z_{n-1}\over z_n}~,~~w_n=z_n~.$$
Dans ces coordonn\'ees, $\alpha$ s'\'ecrit ${i\over 2}\pbp\log(1+|w_1|^2+
\ldots+|w_{n-1}|^2)$ et un calcul classique montre que 
$$\alpha\ge(1+|w'|^2)^{-2}\beta'~~~~\hbox{o\`u}~~~
\beta'={i\over 2}\,\pbp(|w_1|^2+\ldots+|w_{n-1}|^2)~.$$
Soient $\Theta_{I,J}$ les coefficients de $\Theta$ dans les coordonn\'ees 
$(w_j)$~. L'hypoth\`ese $\Theta\wedge\alpha^p=0$ et la formule
$$\Theta\wedge{\beta^{\prime p}\over p!}=\sum_{I\ni n}\Theta_{I,I}~.~\tau$$
entra\^\i nent $\Theta_{I,I}=0$ pour $I\ni n$~. Le lemme 2.1 appliqu\'e 
avec $\lambda_n\ge 0$ quelconque et $\lambda_1=\ldots=\lambda_{n-1}=1$
donne $\Theta_{I,J}=0$ si $I$ et $J$ contiennent $n$ et
$$\lambda_n|\Theta_{I,J}|\le 2^p\sum_{M\not\ni n}\Theta_{M,M}$$
si un seul des deux indices $I$ ou $J$ contient $n$~. On a donc
$\Theta_{I,J}=0$ dans ce cas aussi. L'hypoth\`ese $d\Theta=0$
implique maintenant $\partial\Theta_{I,J}/\partial w_n=
\partial\Theta_{I,J}/\partial\ov w_n=0$ pour tous $I,J$~, c'est-\`a-dire 
que $\Theta$ d\'epend uniquement des variables $w_1\ld w_{n-1}$~. 
Comme la projection $\pi:\cb^n\setminus\{0\}\la\pb^{n-1}$ s'\'ecrit 
$(w_1\ld w_n)\longmapsto(w_1\ld w_{n-1})$ dans les coordonn\'ees $(w_j)$~,
on voit que $\Theta_{\restriction\cb^n\setminus\{0\}}$
est bien l'image r\'eciproque par $\pi$ d'un courant positif ferm\'e
$\theta$ d\'efini sur $\pb^{n-1}$~.\finpr

\tha Proposition 2.7|Toute valeur d'adh\'erence $\Theta$ de la famille
$(h_a^\star T)$ est un courant conique.\fintha

\dem Comme $\nu_T(r)$ a une limite en $0$~, la formule (2.3) implique
en effet $\Theta\wedge\alpha^p=0$ sur $\cn\setminus\{0\}$~.\finpr

\tha Corollaire 2.8|Si $(a_k)$~, $(b_k)$ sont deux suites de nombres
complexes non nuls tendant vers $0$ telles que les quotients $|a_k|/|b_k|$
et $|b_k|/|a_k|$ restent born\'es, alors $h^\star_{a_k}T-h^\star_{b_k}T$
converge faiblement vers $0$ sur $\cb^n$~.\fintha

\dem Gr\^ace \`a des extractions de sous-suites, on se ram\`ene \`a la
situation o\`u $(h^\star_{a_k}T)$~, $(h^\star_{b_k}T)$ admettent des
limites faibles $\Theta_1$~, $\Theta_2$~, et o\`u de plus $c_k=b_k/a_k$
converge vers une limite $c\in\cb^\star$~. Pour toute forme test $\varphi$~,
on a alors
$$\langle h^\star_{a_k}T,\varphi\rangle=
\langle h^\star_{1/c_k}h^\star_{b_k}T,\varphi\rangle=
\langle h^\star_{b_k}T,h^\star_{c_k}\varphi\rangle\la
\langle \Theta_2,h^\star_c\varphi\rangle$$
car $h^\star_{c_k}\varphi$ tend vers $h^\star_c\varphi$ en topologie $\ci$~.
La limite est \'egale \`a $\langle\Theta_2,\varphi\rangle$ d'apr\`es la
proposition 2.7, par cons\'equent $\Theta_1=\Theta_2$~.\finpr

Il r\'esulte du corollaire 2.8 que l'ensemble des valeurs d'adh\'erence
de la famille $(h^\star_a T)$ ne change pas si on se restreint aux
homoth\'eties de rapport r\'eel positif.

\pav 3. Conditions suffisantes d'existence du c\^one tangent|

La majoration (2.4) montre que la famille $(h_a^\star T)$ est de masse
uniform\'ement petite au voisinage de l'origine. On en d\'eduit que
$(h_a^\star T)$ converge faiblement sur $\cb^n$ si et seulement si
$(h_a)^\star T$ converge faiblement au voisinage de tout point
$z^0\in\cb^n\setminus\{0\}$~. Apr\`es une homoth\'etie et un
changement unitaire de coordonn\'ees, nous pouvons supposer que 
$z^0=(0\ld 0,z^0_n)$ et $1/2<z^0_n<1$~. Nous utiliserons de nouveau les 
coordonn\'ees projectives et poserons
$$\eqalign{
w_1&={z_1\over z_n}~,~\ldots~,~w_{n-1}={z_{n-1}\over z_n}~,~~w_n=z_n~,\cr
T&=2^{-q}i^{q^2}\sum_{|I|=|J|=q}T_{I,J}\,dw_I\wedge d\ov w_J~.\cr}$$
Dans ces coordonn\'ees, l'homoth\'etie $h_a$ s'\'ecrit
$$h_a:w=(w',w_n)\longmapsto (w',aw_n)~,~~~~w'=(w_1\ld w_{n-1})~,
\leqno(3.1)$$
de sorte que les coefficients de $h_a^\star T$ sont donn\'es par
$$T^a_{I,J}(w)=\cases{
T_{I,J}(w',aw_n)&si $n\notin I~,~~n\notin J$~,\cr
a\,T_{I,J}(w',aw_n)&si $n\in I~,~~n\notin J$~,\cr
\ov a\,T_{I,J}(w',aw_n)&si $n\notin I~,~~n\in J$~,\cr
|a|^2\,T_{I,J}(w',aw_n)&si $n\in I~,~~n\in J$~.\cr}\leqno(3.2)$$
\tha Lemme 3.3|Soit $U$ le voisinage du point $z^0$ d\'efini par les
in\'egalit\'es $|z_n|>1/2$ et $|z|<1$~. On consid\`ere la fonction
$$\gamma(r)=\nu_T(r)-\nu_T(r/2)~,~~~~r\in]0,R[~.$$
Soit $r_0<R$~. Il existe des constantes $C_1,C_2,C_3\ge 0$ telles que pour 
$|a|\le r_0$ les mesures $T^a_{I,J}$ admettent les majorations de masse
$$\int_U|T^a_{I,J}|\le
\cases{
C_1&pour tous $I,J$~,\phantom{\big)}\cr
C_2\,\gamma(|a|)\phantom{\Big)}&si $n\in I$ et $n\in J$~,\cr
C_3\sqrt{\gamma(|a|)}&si $n\in I$ ou $n\in J$~.\cr}$$\fintha

\dem  Comme $\ov U$ est compact dans la carte d\'efinie par les coordonn\'ees
$(w_j)$ et comme la $(1,1)$--forme $\beta$ est d\'efinie positive,
on a une minoration $\beta\ge C_4i\pbp|w|^2$ sur $\ov U$~.
L'in\'egalit\'e (2.4) avec $r=1$ entra\^\i ne que $\int_U\sum~T^a_{I,I}$ 
est born\'ee par une constante $C_5$ ind\'ependante de $a$ pour $|a|\le r_0$~.
Par ailleurs, nous avons vu que
$$\alpha\ge C_6\beta'~~~{\rm sur}~~U~,~~~{\rm avec}~~~
\beta'={i\over 2}\,\pbp(|w_1|^2+\ldots+|w_{n-1}|^2)~.$$
L'in\'egalit\'e (2.3) avec $r_1=1/2$ et $r_2=1$ entra\^\i ne donc
$$\int_U\sum_{I\ni n} T^a_{I,I}\le C_7\big(\nu_T(|a|)-\nu_T(|a|/2)\big)
=C_7\,\gamma(|a|)~~~~{\rm si}~~|a|<R~.$$
La majoration pour $T^a_{I,J}$ quelconque r\'esulte alors du lemme 2.1.
Montrons-le par exemple dans le dernier cas, en supposant 
$n\in I$~, $n\notin J$~. Si nous choisissons 
$\lambda_1=\ldots=\lambda_{n-1}=1$~, il vient
$$\lambda_n\int_U|T^a_{I,J}|\le 2^p\int_U\Big(\sum_{M\not\ni n}T^a_{M,M}+
\lambda_n^2\sum_{M\ni n}T^a_{M,M}\Big)\le 2^p\big(C_5+C_7\lambda_n^2
\gamma(|a|)\big)~.$$
L'in\'egalit\'e cherch\'ee s'obtient en prenant $\lambda_n=\gamma(|a|)^{-1/2}$~.\finpr

Nous cherchons maintenant des conditions assurant que $h_a^\star T$ admet
une limite faible sur $U$ quand $|a|$ tend vers $0$~. Le lemme 3.3 montre
que le coefficient $T^a_{I,J}$ tend vers $0$ en masse d\`es que
$I$ ou $J$ contient $n$~. Il suffit donc d'\'etudier la convergence
faible des mesures $T^a_{I,J}$ lorsque $n\notin I$ et $n\notin J$~.
Soit $\varphi$ une fonction $\ci$ \`a support compact dans $U$~.
Pour $I,J\not\ni n$~, on consid\`ere la fonction
$$f_{I,J}(a)=\int_U T^a_{I,J}(w)\varphi(w)\,d\tau(w)
=\int_U T_{I,J}(w',aw_n)\varphi(w)\,d\tau(w)~.$$
La fonction $f_{I,J}$ est de classe $\ci$ sur le disque point\'e $0<|a|<R$ et 
born\'ee au voisinage de $0$~. Le probl\`eme consiste \`a voir si $f_{I,J}(a)$ admet
une limite quand $|a|$ tend vers $0$~. Pour cela, l'id\'ee est de rechercher
une estimation des d\'eriv\'ees $\partial f_{I,J}/\partial a$~,
$\partial f_{I,J}/\partial\ov a$ ou $\partial^2 f_{I,J}/\partial a\partial\ov a$ 
au voisinage de $0$~. Par d\'erivation sous le signe somme 
$${\partial f_{I,J}\over\partial a}=\int_U w_n{\partial T_{I,J}\over
\partial w_n}(w',aw_n)\varphi(w)\,d\tau(w)~.$$
Le coefficient de $dw_{I\cup\{n\}}\wedge d\ov w_J$ dans $dT$ est donn\'e par
$$(-1)^q{\partial T_{I,J}\over\partial w_n}+\sum_{1\le k\le q}(-1)^{k-1}
{\partial T_{I(k),J}\over\partial w_{i_k}}~~~~{\rm avec}~~
I(k)=(I\setminus\{i_k\})\cup\{n\}~.$$
Ce coefficient est nul car $dT=0$ et on a $T_{I(k),J}(w',aw_n)
=a^{-1}T^a_{I(k),J}(w)$~, d'o\`u
$${\partial T_{I,J}\over\partial w_n}(w',aw_n)=
{1\over a}\sum_{1\le k\le q}(-1)^{q+k}
{\partial T^a_{I(k),J}\over\partial w_{i_k}}(w)~.$$
Substituons maintenant cette relation dans l'int\'egrale donnant
$\partial f_{I,J}/\partial a$ et int\'egrons par parties. Il vient
$${\partial f_{I,J}\over\partial a}={1\over a}\sum_{1\le k\le q}(-1)^{q+k-1}
\int_U w_nT^a_{I(k),J}{\partial\varphi\over\partial w_{i_k}}\,d\tau(w)~.$$
On a naturellement la formule conjugu\'ee
$${\partial f_{I,J}\over\partial\ov a}={1\over\ov a}\sum_{1\le\ell\le q}
(-1)^{q+\ell-1}\int_U \ov w_n T^a_{I,J(\ell)}
{\partial\varphi\over\partial\ov w_{j_\ell}}\,d\tau(w)~.$$
En red\'erivant cette deuxi\`eme \'egalit\'e par la premi\`ere formule,
on obtient
$${\partial^2f_{I,J}\over\partial a\partial\ov a}={1\over|a|^2}
\sum_{1\le k,\ell\le q}(-1)^{k+\ell}\int_U|w_n|^2 T^a_{I(k),J(l)}
{\partial^2\varphi\over\partial w_{i_k}\partial\ov w_{j_\ell}}\,d\tau(w)~.$$
La fonction $\varphi$ et ses d\'eriv\'ees sont born\'ees sur $U$~. Comme
$n\in I(k)$ et $n\in J(\ell)$~, le lemme 3.3 fournit les majorations 
suivantes~:

\tha Cons\'equence 3.4|Il existe des constantes $C_1,C_2\ge 0$ telles que
$$\Big|{\partial f_{I,J}\over\partial a}\Big|+\Big|{\partial f_{I,J}\over
\partial\ov a}\Big|\le C_1{\sqrt{\gamma(|a|)}\over|a|}~,~~~~
\Big|{\partial^2f_{I,J}\over\partial a\partial\ov a}\Big|
\le C_2{\gamma(|a|)\over|a|^2}~~~~{\sl pour}~~0<|a|\le r_0~.$$\fintha

Pour exploiter ce r\'esultat, nous \'enon\c cons maintenant deux lemmes
\'el\'ementaires permettant d'affirmer l'existence de la limite
$\lim_{|a|\to 0}f(a)$ \`a partir d'estimations sur les d\'eriv\'ees de $f$~.

\tha Lemme 3.5|Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ d\'efinie sur le
disque point\'e $0<|a|\le r_0$~. On suppose qu'il existe une
fonction mesurable $u:~]0,r_0]\la\rb_+$ telle que 
$$|df(a)|\le u(|a|)~,~~~~{\sl avec}~~~\int^{r_0}_0u(r)dr<+\infty~.$$
Alors $f(a)$ admet une limite quand $|a|$ tend vers $0$~.\eject\fintha

\dem D'apr\`es le crit\`ere de Cauchy, il suffit de montrer que
$|f(a_1)-f(a_2)|$ tend vers 0 lorsque $a_1=r_1e^{i\theta_1}$~, 
$a_2=r_2e^{i\theta_2}$ tendent vers 0. On suppose $r_1\le r_2$~, et
on consid\`ere les points $b_1=re^{i\theta_1}$~, $b_2=re^{i\theta_2}$
avec $r\in]0,r_2[$~. Le th\'eor\`eme des accroissements finis et 
l'in\'egalit\'e triangulaire entra\^\i nent
$$\eqalign{
|f(a_j)-f(b_j)|&\le\int_{[r,r_j]}u(t)\,dt\le\int_0^{r_2}u(t)\,dt~,~~~~j=1,2~,\cr
|f(b_2)-f(b_1)|&\le\int_{[\theta_1,\theta_2]}u(r)\,rd\theta\le\pi ru(r)~,\cr
|f(a_1)-f(a_2)|&\le 2\int^{r_2}_0u(t)\,dt+\pi r_2u(r)~.\cr}$$
Prenons la valeur moyenne des termes de la derni\`ere ligne pour 
$r\in]0,r_2[$~. Il vient $|f(a_1)-f(a_2)|\le (2+\pi)\int^{r_2}_0u(t)\,dt$~,
ce qui tend vers 0 lorsque $r_2$ tend vers 0.\finpr

\tha Lemme 3.6|Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ d\'efinie sur le
disque point\'e $0<|a|\le r_0$~. On suppose que $f$ est 
born\'ee et qu'il existe une fonction mesurable $u:~]0,r_0]\la\rb_+$ telle que 
$$|\Delta f(a)|\le u(|a|)~,~~~~
{\sl avec}~~~\int^{r_0}_0r|\log r|u(r)dr<+\infty~.$$
Alors $f(a)$ admet une limite quand $|a|$ tend vers $0$~.\fintha

\dem Quitte \`a modifier $f$ en la multipliant par une fonction plateau
\'egale \`a $1$ au voisinage de $0$~, il n'est pas restrictif de
supposer que $f$ est d\'efinie sur $\cb^\star$ et \`a support dans le
disque ouvert $|a|<r_0$~, avec $|r_0|<1/2$~.  Comme
$\int_0^{r_0}u(r)rdr$ converge d'apr\`es l'hypoth\`ese, la fonction
$g(a)=\Delta f(a)$~, $a\in\cb^\star$~, est int\'egrable sur $\cb$~.  Par
ailleurs $f$ est born\'ee, donc $f$ d\'efinit une distribution sur
$\cb$~. On note $\Delta f\in{\cal D}'(\cb)$ le Laplacien de $f$ au
sens des distributions. 

La distribution $\Delta f-g$ a son support contenu dans $\{0\}$
et elle est au plus d'ordre 2 car $f$ et $g$ sont d'ordre $0$~, par suite
$$\Delta f-g = \sum_{|\alpha |\le 2} C_\alpha  \delta _0^{(\alpha )}~,$$
o\`u $\delta _0^{(\alpha )}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee 
$\partial^{|\alpha|}/\partial a^{\alpha_1}\partial\ov a^{\alpha_2}$
de la masse de Dirac en 0. Effectuons une convolution avec la solution
\'el\'ementaire $E={1\over 2\pi}\log|a|$~. Il vient
$$f-E\star g=C_{0,0}{1\over 2\pi}\log|a|-{C_{1,0}\over 4\pi a}-
{C_{0,1}\over 4\pi\ov a}-{C_{2,0}\over4\pi a^2}-{C_{0,2}\over4\pi\ov a^2}+
{C_{1,1}\over 4}\delta_0~.$$
Si nous montrons que $E\star g$ est une fonction continue sur $\cb$~, 
alors comme $f$ est born\'ee et ne porte pas de masse en $0$~, il en 
r\'esultera que tous les coefficients $C_\alpha$ sont nuls~; par suite 
$f=E\star g$ et en particulier $f$ sera continue en $0$~.

Soit $\rho_\varepsilon\in\ci(\cb)$ une famille de fonctions tronquantes
au voisinage de 0~:
$$\rho_\varepsilon(a)=\cases{
1 &pour $|a|>\varepsilon$\cr
0 &pour $|a|<\varepsilon/2$\cr}
\hbox{~~et~~}0\le\rho_\varepsilon\le 1~.$$
Puisque la fonction $\rho_\varepsilon g$ est continue \`a support compact
dans $\cb$~, la convol\'ee $E\star(\rho_\varepsilon g)$ est continue sur
$\cb$~. Il suffit donc de montrer que $E\star(\rho_\varepsilon g)$
converge uniform\'ement vers $E\star g$ sur le disque $|a|<1/2$~,
quand $\varepsilon$ tend vers $0$~.
Comme $|g(z)|\le u(|z|)$ et comme la fonction $1-\rho_\varepsilon(z)$ 
est \`a support dans le disque $|z|\le\varepsilon$~, nous avons pour
$\varepsilon<1/2$~:
$$\big|E*\big((1-\rho_\varepsilon)g\big)(a)\big|\le{1\over 2\pi}
\int_{|z|\le\varepsilon}-\log|a-z|\,u(|z|)\,d\lambda(z)$$
car le logarithme est toujours n\'egatif. L'\'egalit\'e de moyenne
pour la fonction harmonique $z\longmapsto\log|a-z|$ avec $|z|=r<|a|$ et
pour $a\longmapsto\log|a-z|$ avec $|a|<r$ donne
$${1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log|a-re^{i\theta}|\,d\theta=
\max\{\log|a|,\log r\}~.$$
Il en r\'esulte
$$\big|E*\big((1-\rho_\varepsilon)g\big)(a)\big|\le
\int_0^\varepsilon \min\{-\log|a|,-\log r\}\,u(r)\,rdr\le
\int_0^\varepsilon r|\log r|\,u(r)\,dr~,$$
donc $E\star((1-\rho_\varepsilon)g\big)$ converge bien uniform\'ement
vers $0$ sur le disque $|a|<1/2$~.\finpr

\remarque D\'emonstration du th\'eor\`eme 1|Nous avons vu que $(h_a^\star T)$
admet une limite faible si et seulement si la fonction
$$f_{I,J}(a)=\int_U T^a_{I,J}(w)\,\varphi(w)\,d\tau(w)$$
admet une limite quand $|a|$ tend vers z\'ero, pour tous $I,J\not\ni n$ et 
toute fonction test $\varphi\in{\cal D}(U)$~. D'apr\`es les estimations 3.4
et les lemmes 3.5, 3.6, il suffit que la fonction $\gamma(r)=
\nu_T(r)-\nu_T(r/2)$ v\'erifie l'une des deux conditions~:
$${\rm(a)}~~~\int_0^{r_0}{\sqrt{\gamma(r)}\over r}\,dr<+\infty~,~~~~
{\rm(b)}~~~\int_0^{r_0}{|\log r|\,\gamma(r)\over r}\,dr<+\infty~.$$
La condition (a) est pr\'ecis\'ement celle donn\'ee dans le \S 1.
On a par ailleurs
$$\eqalign{
\int_0^{r_0}{\nu_T(r)-\nu_T(0)\over r}\,dr&=
\int_0^{r_0}{\sum\gamma(r2^{-k})\over r}\,dr
=\sum_{k=0}^{+\infty}\int_0^{r_02^{-k}}{\gamma(r)\over r}\,dr\cr
&=\int_0^{r_0}\Big[{\log(2r_0/r)\over\log 2}\Big]
{\gamma(r)\over r}\,dr~,\cr}$$
o\`u $[~~]$ d\'esigne la partie enti\`ere. Ceci montre l'\'equivalence de
la condition (b) avec celle du \S 1.\finpr

\remarque Remarque 3.7|On peut voir facilement qu'aucune des deux conditions
(a) et (b) n'implique l'autre. Prenons en effet $T=i\pbp u$ avec
$u=\chi(\log|z|)$ o\`u $\chi:~]-\infty,t_0[\la\rb$ est une fonction convexe
croissante. On sait alors que $r^{-1}\nu_T(r)$ est la d\'eriv\'ee \`a gauche
de la valeur moyenne de $u$ sur la sph\`ere de rayon $r$~, d'o\`u
$$\nu_T(r)=\chi'(\log r-0)~.$$
Le choix $\chi(t)=(\log|t|)^{-1}$ sur $]-\infty,-1[$ donne $\nu_T(0)=0$ et
$$\nu_T(r)=|\log r|^{-1}(\log|\log r|)^{-2}~,~~~~
\gamma(r)\simeq\log 2|\log r|^{-2}(\log|\log r|)^{-2}$$
donc (a) diverge et (b) converge. De m\^eme, il existe une fonction $\chi$
affine par morceaux telle que
$$\eqalign{
&\nu_T(r)={1\over k^2}~~~~{\rm sur}~~]e^{-k^2},e^{-(k-1)^2}]~,~~~k\ge 1~,~~~
\hbox{d'o\`u}\cr
&\int_0^1{\sqrt{\nu_T(r)-\nu_T(r/2)}\over r}\,dr
=\sum_{k=1}^{+\infty}~\log 2~\sqrt{{1\over k^2}-
{1\over (k+1)^2}}<+\infty~,\cr
&\int_0^1{\nu_T(r)-\nu_T(0)\over r}\,dr
=\sum_{k=1}^{+\infty}~{1\over k^2}\,\log{e^{-(k-1)^2}\over e^{-k^2}}=
\sum_{k=1}^{+\infty}~{2k-1\over k^2}=+\infty~.\cr}$$

\pav 4. Optimalit\'e de la condition suffisante (b)|

Soit $K_p$ l'ensemble des courants positifs ferm\'es coniques de
bidimension $(p,p)$ et de nombre de Lelong \'egal \`a 1~; c'est une
partie convexe m\'etrisable et faiblement compacte dans l'espace des
courants.  Si $T$ est un courant positif ferm\'e sur un voisinage de $0$
dans $\cb^n$~, l'ensemble limite de la famille $(h^\star_a T)$ est 
donn\'e par
$$\bigcap_{k\in\nb}\ov{\{h_a^\star T\,;\,0<|a|<2^{-k}\}}~.$$
Comme chaque facteur de l'intersection est une partie compacte connexe
de l'espace des courants, l'ensemble limite est une partie {\sl compacte
connexe}, contenue dans $\nu_T(0).K_p$~.  Inversement, pour $p=1$~,
C.O.~Kiselman [Km] a montr\'e que toute partie ferm\'ee connexe
$M\subset K_1$ peut \^etre r\'ealis\'ee comme ensemble limite des
homoth\'etiques d'un courant $T$ de bidegr\'e $(1,1)$~.  Notre objectif
est de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant, qui contient le
th\'eor\`eme 2 et pr\'ecise le r\'esultat de Kiselman. 

\tha Th\'eor\`eme 4.1|Soit $M$ une partie ferm\'ee connexe de $K_1$~. 
Pour toute fonction continue croissante $\eta:~]0,1]\la]0,1]$ telle que
$\lim_{t\to 0}\eta(t)=0$~, il existe une fonction plurisousharmonique 
$u$ sur $\cb^n$ telle que le courant $T=i\pbp u$ v\'erifie
$$\int_0^1\eta(r)\,{\nu_T(r)-\nu_T(0)\over r}\,dr<+\infty$$
et telle que l'ensemble limite de la famille $(h^\star_a T)$ soit \'egal
\`a $M$~.\fintha

\tha Lemme 4.2|Pour toute partie ferm\'ee connexe $M\subset K_1$~, il existe 
une suite de fonctions $v_k\in\ci(\pb^{n-1})$ telle que 
$||v_{k+1}-v_k||_\infty$ tende vers z\'ero et telle que 
$i\pbp(\log|z|+v_k\circ\pi)$ soit une suite de courants positifs dont
l'ensemble limite est \'egal \`a $M$~.\fintha

\dem Soit $\delta$ une distance d\'efinissant la topologie de $K_1$~. Comme
deux points quelconques d'un espace m\'etrique compact connexe peuvent
\^etre reli\'es par une cha\^\i ne de points arbitrairement proches, il
existe une suite de courants $(\Theta_k)$ dense dans $M$
telle que $\delta(\Theta_k,\Theta_{k+1})$ tend vers z\'ero. On sait que 
le potentiel canonique
$$f_k(z)={(2\pi)^{-n}\over n-1}\int_{\cb^n}\Big({1\over(1+|\zeta|^2)^{n-1}}-
{1\over|z-\zeta|^{2n-2}}\Big)\Theta_k(\zeta)\wedge(i\pbp|\zeta|^2)^{n-1}$$
v\'erifie $i\pbp f_k=\Theta_k$~. Un calcul simple utilisant l'invariance
de $\Theta_k$ par homoth\'eties montre que $f_k(az)-f_k(z)$ est une constante.
Cette constante est \'egale \`a $\log|a|$ parce que le nombre
de Lelong de $f_k$ en $0$ est $1$~. Par suite $f_k(z)-\log|z|$ est invariante
par homoth\'eties, c'est-\`a-dire que 
$f_k(z)-\log|z|=w_k(\pi(z))$ o\`u $w_k$ est une fonction sur l'espace
projectif $\pb^{n-1}$~. Par construction $\Theta_{k+1}-\Theta_k$ converge
faiblement vers $0$~, donc il en est de m\^eme pour $f_{k+1}-f_k$ et
$w_{k+1}-w_k$~. Soit $\rho_\varepsilon(g)=\smash{\varepsilon^{-n^2}}
\rho(|g|^2/\varepsilon^2)$ une famille de noyaux r\'egularisants sur 
l'alg\`ebre de Lie ${\goth u}(n)$ du groupe unitaire. Il suffit de
prendre pour $v_k$ une convolution sph\'erique $v_k=\rho_{\varepsilon_k}
\star w_k$ d\'efinie par
$$v_k(z)=\int_{g\in{\goth u}(n)}\rho_{\varepsilon_k}(g)\,w_k(e^g(z))\,dg~.$$
Comme $\partial\rho_\varepsilon(g)/\partial\varepsilon={\rm O}
(\varepsilon^{-n^2-1})$~, la diff\'erence 
$||\rho_{\varepsilon_{k+1}}-\rho_{\varepsilon_k}||_\infty$ 
tend vers $0$ d\`es que $\smash{\varepsilon_{k+1}^{-n^2}-\varepsilon_k^{-n^2}}$ 
tend vers $0$~. Ceci a lieu par exemple si $\varepsilon_k=\smash{
\psi(k)^{-1/n^2}}$ o\`u $\psi$ est une fonction croissante telle que
$\lim_{t\to+\infty}\psi(t)=+\infty$ et $\lim_{t\to+\infty}\psi'(t)=0$~.
Dans ce cas, $||(\rho_{\varepsilon_{k+1}}-\rho_{\varepsilon_k})\star
w_k||_\infty$ tend vers $0$ car la norme $L^1$ des fonctions $w_k$ sur
$\pb^{n-1}$ est uniform\'ement born\'ee.
Par ailleurs la convergence faible de $w_{k+1}-w_k$ vers $0$ entra\^\i ne
que $||\rho_\varepsilon\star(w_{k+1}-w_k)||_\infty$ tend vers $0$ pour tout
$\varepsilon$~, donc $||\rho_{\varepsilon_{k+1}}\star(w_{k+1}-w_k)||_\infty$
tend vers $0$ si $\varepsilon_k=\smash{\psi(k)^{-1/n^2}}$ tend vers $0$
suffisamment lentement. Alors
$$||v_{k+1}-v_k||_\infty\le
||\rho_{\varepsilon_{k+1}}\star(w_{k+1}-w_k)||_\infty+
||(\rho_{\varepsilon_{k+1}}-\rho_{\varepsilon_k})\star w_k||_\infty$$ 
tend vers $0$~. De plus, la suite des r\'egularis\'es
$\rho_{\varepsilon_k}\star\Theta_k$ des courants positifs
$\Theta_k=i\pbp f_k=i\pbp(\log|z|+w_k\circ\pi)$ est donn\'ee par
$$\int_{g\in{\goth u}(n)}\rho_{\varepsilon_k}(g)\,(e^g)^\star\Theta_k\,dg
=i\pbp(\rho_{\varepsilon_k}\star f_k)=i\pbp(\log|z|+v_k\circ\pi)$$
et a les m\^emes valeurs d'adh\'erence que la suite $(\Theta_k)$~.\finpr

\remarque D\'emonstration du th\'eor\`eme 4.1|Soit $v_k$ la suite
de fonctions donn\'ees par le lemme 4.2. Nous avons alors
$||v_k||_\infty={\rm o}(k)$ et nous pouvons supposer que
$||v_{k+1}-v_k||_\infty<1$ pour tout $k$~. On pose
$$u_k(z)=(1+\delta_k)\log|z|+v_k(\pi(z))-3k~,~~~~u(z)=\sup_{k\in\nb}u_k(z)~,$$
o\`u $\delta_k>0$ est une suite telle que
$\delta_{k+1}<\delta_k/5$~. Pour $|z|<1$~, nous avons 
$$\eqalign{
u_{k+1}-u_k(z)&=-(\delta_k-\delta_{k+1})\log|z|+(v_{k+1}-v_k)(\pi(z))-3\cr
&\kern-8pt\cases{<-\delta_k\log|z|-2\cr
                 >-(4\delta_k/5)\log|z|-4~.\cr}\cr}$$
On a donc $u_k(z)>u_{k+1}(z)$ si $|z|>e^{-2/\delta_k}$ et
$u_{k+1}>u_k(z)$ si $|z|<e^{-5/\delta_k}$~, c'est-\`a-dire que 
les deux fonctions se ``croisent" dans la couronne
$${\cal C}_k:e^{-5/\delta_k}\le|z|\le e^{-2/\delta_k}~.$$
De plus, ces couronnes sont deux \`a deux disjointes d'apr\`es le choix
initial\break $\delta_{k+1}<\delta_k/5$~.
Il en r\'esulte que $u$ co\"\i ncide avec $u_k$ dans la couronne
${\cal C}'_k$ s\'eparant ${\cal C}_k$ et ${\cal C}_{k-1}$~, \`a savoir
$${\cal C}'_k:e^{-2/\delta_k}<|z|<e^{-5/\delta_{k-1}}~.$$
On a par ailleurs
$$\nu_{i\pbp u_k}(r)=r\,{d\over dr}\big({\rm valeur~moyenne~de~}u_k~{\rm
sur}~S(r)\big)=1+\delta_k$$
pour tout $r$~, d'o\`u 
$$\nu_T(r)=1+\delta_k~~~~{\rm sur}~~{\cal C}'_k~,~~~~
1+\delta_{k+1}\le\nu_T(r)\le 1+\delta_k~~~~{\rm sur}~~{\cal C}_k~.$$
En d\'ecoupant l'int\'egration sur $[0,1]$ selon la subdivision
$e^{-5/\delta_k}$ et en posant $\delta_{-1}=+\infty$~, on trouve
$$\int_0^1\eta(r)\,{\nu_T(r)-\nu_T(0)\over r}\,dr\le
\sum_{k=0}^{+\infty}\eta(e^{-5/\delta_{k-1}})\,\delta_k\,\log
{e^{-5/\delta_{k-1}}\over e^{-5/\delta_k}}
\le\sum_{k=0}^{+\infty}5\eta(e^{-5/\delta_{k-1}})~.$$
Il est clair que la s\'erie converge d\`es que la suite $\delta_k$ 
tend vers $0$ assez vite.

Nous allons voir maintenant que l'ensemble limite de la famille 
$(h_a^\star T)$ co\"\i ncide avec l'ensemble limite de la suite $i\pbp u_k$~,
qui est \'egal \`a $M$ d'apr\`es le lemme 4.2. Soit $z^1$ un point fix\'e sur
la sph\`ere unit\'e de $\cb^n$~. Etant donn\'e $a\in\cb$ tel que $0<|a|<1$~,
soit $k=k(a)$ un entier tel que $u(az^1)=u_k(az^1)$~. Nous avons alors
$az^1\in{\cal C}_k\cup{\cal C}'_k\cup{\cal C}_{k-1}$~, c'est-\`a-dire
$$e^{-5/\delta_k}\le|a|\le e^{-2/\delta_{k-1}}~,$$
en particulier $k=k(a)$ tend vers $+\infty$ quand $|a|$ tend vers $0$~.
La suite $1/k\delta_{k-1}$~, qui est minor\'ee par $5^{k-1}/k\delta_0$~,
tend donc vers $+\infty$~. Pour $z$ dans la couronne 
$$\Gamma_k:e^{-1/k\delta_{k-1}}<|z|<e^{1/k\delta_{k-1}}$$
on voit facilement que $az\in{\cal C}'_{k+1}\cup{\cal C}_k\cup{\cal C}'_k\cup
{\cal C}_{k-1}\cup{\cal C}'_{k-1}$~, donc $u(az)=u_\ell(az)$ avec
$\ell=k,k+1$ ou $k-1$~. Or
$$u_\ell(az)-u_k(az)=
(\delta_\ell-\delta_k)\log|az|+(v_\ell-v_k)(\pi(z))-3(\ell-k)~;$$
pour $z\in\Gamma_k$~, l'\'ecart de cette fonction avec sa valeur en $z^1$ 
est major\'e par 
$$|\delta_\ell-\delta_k|\,{1\over k\delta_{k-1}}+2||v_\ell-v_k||_\infty\le
{1\over k}+2\max\{||v_{k+1}-v_k||_\infty,||v_{k-1}-v_k||_\infty\}~.$$
L'\'ecart de la fonction $u(az)-u_k(az)=\max\{u_\ell(az)-u_k(az)\}$ avec
sa valeur (nulle) en $z^1$ est major\'e par la m\^eme quantit\'e tendant
vers $0$~, donc $||u\circ h_a-u_k\circ h_a||_{L^\infty(\Gamma_k)}$
tend vers $0$~. Par application de l'op\'erateur $i\pbp$~, on voit que
$$h_a^\star(i\pbp u)-h_a^\star(i\pbp u_{k(a)})=h_a^\star T-i\pbp u_{k(a)}$$
tend vers z\'ero faiblement sur tout compact de $\cb^n\setminus\{0\}$~.\finpr
\eject

\pav 5. C\^one d'un ensemble analytique|

Nous commencerons par rappeler quelques notions tr\`es classiques
relatives \`a la construction g\'eom\'etrique du c\^one tangent d'un 
ensemble analytique.
Soit $(A,0)$ un germe d'ensemble analytique de dimension pure $p$ dans 
$\cb^n$~. On suppose que $A$ est d\'efini par des \'equations 
$f_1(z)=\ldots=f_N(z)=0$ dans un voisinage ouvert $\Omega$ de $0$~. 
L'ensemble analytique $E$ dans l'ouvert 
$$U=\{(t,z)\in\cb\times\cb^n\,;\,tz\in\Omega\}$$
d\'efini par les \'equations $f_j(tz)=0$ est la r\'eunion de $\{0\}\times\cb^n$
et des homoth\'etiques $\{t\}\times t^{-1}A$ de $A$ pour $t\in\cb^\star$~.
Soit $E^\star$ la r\'eunion des composantes irr\'eductibles de $E$
qui ne sont pas contenues dans $\{0\}\times\cb^n$~. Chacune de ces
composantes $E_j$ est de dimension $p+1$~, donc $E^\star$ est un ensemble
analytique de dimension pure $p+1$~. De plus 
$E_j\setminus(\{0\}\times\cb^n)$ est dense dans $E_j$~, donc 
$E^\star=\bigcup E_j$ est l'adh\'erence de
$$E\setminus(\{0\}\times\cb^n)=\bigcup_{t\in\cb^\star}
\{t\}\times t^{-1}A~.$$
Le {\sl c\^one tangent ensembliste} $C(A)$ est l'ensemble analytique de
dimension pure $p$ d\'efini par
$$\{0\}\times C(A)=E^\star\cap(\{0\}\times\cb^n)~.\leqno(5.1)$$
D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, c'est exactement l'ensemble des limites
des suites $t_k^{-1}z_k$ lorsque $z_k\in A$ et $t_k\in\cb^\star$ tendent
vers $0$~.

Si $[A]$ d\'esigne le courant d'int\'egration sur $A$~, alors
$h_r^\star[A]=[r^{-1}A]$ sur $r^{-1}\Omega$~. Pour 
$B(R)\subset\Omega$ et $r<R$ nous avons~:
$$\nu_{[A]}(r)=\nu_{[r^{-1}A]}(1)={1\over\pi^p}\int_{r^{-1}A\cap B(1)}\beta^p
={1\over\pi^p}\int_{r^{-1}A\cap S(1)}\beta^{p-1}\wedge
{i\over 2}\ov\partial|z|^2~.\leqno(5.2)$$
La derni\`ere \'egalit\'e r\'esulte du th\'eor\`eme de Stokes, qui
s'applique d\`es lors que $r$ n'est pas valeur critique de la
fonction $|z|$ sur $A_{\rm reg}$~; d'apr\`es le th\'eor\`eme de Sard
l'ensemble de ces valeurs critiques forme un ensemble au plus 
d\'enombrable $D$~. Consid\'erons l'ensemble analytique r\'eel
$M=E^\star\cap(\rb\times S(1))$ et, pour tous r\'eels $r_1<r_2<R$~, l'ensemble
$$M(r_1,r_2)=E^\star\cap(]r_1,r_2[\times S(1))=M\cap(]r_1,r_2[\times\cb^n)~.$$
Nous avons $\dim_\rb r^{-1}A\cap S(1)=2p-1$ et
$$M=\{0\}\times(C(A)\cap S(1))\cup
\bigcup_{r\in\rb^\star}\{r\}\times(r^{-1}A\cap S(1))~,$$
de sorte que $M$ est de dimension r\'eelle pure $2p$~. Pour
$r_1,r_2\notin D$~, le bord $\partial M(r_1,r_2)$ s'identifie \`a
$\bigcup_{j=1,2}\{r_j\}\times(r_j^{-1}A\cap S(1))$ et il est lisse
aux points r\'eguliers de $r_j^{-1}A$~; la formule (5.2) et le 
th\'eor\`eme de Stokes donnent
$$\nu_{[A]}(r_2)-\nu_{[A]}(r_1)=
{1\over\pi^p}\int_{M(r_1,r_2)}\beta^p~.\leqno(5.3)$$
Cette formule reste vraie par continuit\'e pour toutes valeurs
$r_2>r_1\ge 0$~. L'in\'egalit\'e classique de Wirtinger montre que
la $2p$--forme $(\beta^p/p!)_{\restriction M}$ est major\'ee en valeur
absolue par le volume riemannien $2p$--dimensionnel de $M$~. Nous 
obtenons en particulier~:
$$\nu_{[A]}(r)-\nu_{[A]}(0)\le{p!\over\pi^p}~{\rm Vol}_{2p}\big(M(0,r)\big)~.
\leqno(5.4)$$
Le th\'eor\`eme 3 du \S 1 r\'esulte maintenant aussit\^ot de l'in\'egalit\'e
(5.4) et du lemme \'el\'ementaire suivant.

\tha Lemme 5.5|Soit $M$ un ensemble analytique r\'eel de dimension $\le p$
dans un ouvert $\Omega\subset\rb^n$ et soit $g$ une fonction $\rb$--analytique
sur $\Omega$~. On pose
$$M(0,r)=\{x\in M\,;\,0<g(x)<r\}~.$$
Alors pour tout compact $K\subset\Omega$~, il existe des constantes 
$C,\varepsilon>0$ telles que
$${\rm Vol}_p\big(M(0,r)\cap K\big)\le Cr^\varepsilon~.$$\fintha

\dem Le r\'esultat est visiblement local.  On peut supposer que $M$ est
un germe d'ensemble analytique irr\'eductible au voisinage de $0$~, dont
l'id\'eal est engendr\'e par un nombre fini de s\'eries enti\`eres
$h_k(x)$ convergentes sur le cube $|x_j|<R$~, et que $g$ est une s\'erie
enti\`ere convergente sur ce cube.  On suppose de plus $\dim_\rb M=p$ et
$g\not\equiv 0$ sur $M$~, sinon il n'y a rien \`a d\'emontrer.  Soit 
$M_\cb=\{z\in\cb^n\,;\,h_k(z)=0\}$ le complexifi\'e de $M$ dans le
polydisque $|z_j|<R$ (voir par exemple R.~Narasimhan [Na]).  Pour $R$
assez petit $M_\cb$ est irr\'eductible (de dimension complexe $p$).
Apr\`es un changement \'eventuel des coordonn\'ees r\'eelles $(x_j)$~,
toutes les projections $\pi_J:z\longmapsto(z_{j_1}\ld z_{j_p})$~, 
$J=(j_1\ld j_p)$~, 
r\'ealisent $M_\cb$ comme rev\^etement ramifi\'e au dessus du polydisque
de rayon $R$ de $\cb^p$~. Pour tout $J=(j_1\ld j_p)$~, soit $g_J(z_J)$ 
la fonction holomorphe \'egale au produit des valeurs $g(z)$ aux diff\'erents
points $z\in M_\cb\cap\pi_J^{-1}(z_J)$~. Quitte \`a diminuer $R$~, nous
pouvons supposer $g$ born\'ee, donc
$$\pi_J(M(0,r))\subset\{(x_J)\in\rb^p\,;\,|x_{j_k}|<R~
{\rm et}~|g_J(x_J)|<Cr\}~.$$
Comme le volume euclidien de $M(0,r)$ est major\'e par la somme des
aires de ses projections, on est ramen\'e \`a d\'emontrer le r\'esultat
suivant~: si $u\not\equiv 0$ est une s\'erie enti\`ere convergente au 
voisinage de $0$ dans $\rb^p$~, alors pour $R$ assez petit l'ouvert
$$\{x\in\rb^p\,;\,|x_j|<R~{\rm et}~|u(x)|<r\}$$
est de volume major\'e par $Cr^\varepsilon$~.  Pour cela, il suffit de
v\'erifier que $|u|^{-\varepsilon}$ est sommable au voisinage de $0$
lorsque $\varepsilon$ est assez petit. Si $u$ est un polyn\^ome de 
Weierstrass en $x_p$ \`a coefficients analytiques en $x'=(x_1\ld x_{p-1})$~,
nous avons
$$u(x)=\prod_{k=1}^m\big(x_p-\alpha_k(x')\big)~,~~~~
|u(x)|^{-\varepsilon}\le{1\over m}\sum_{j=1}^m
|x_p-\alpha_k(x')|^{-m\varepsilon}$$
gr\^ace \`a l'in\'egalit\'e entre la moyenne arithm\'etique et la
moyenne g\'eom\'etrique. Le th\'eor\`eme de Fubini montre alors que
$|u|^{-\varepsilon}$ est sommable pour $\varepsilon<1/m$~.\finpr

Il r\'esulte maintenant des th\'eor\`emes 1 et 3 que le
courant $[A]$ admet un c\^one tangent $C([A])$~.  Comme tout compact
disjoint de l'ensemble $C(A)$ est \'egalement disjoint de $r^{-1}A$
pour $r$ assez petit, il est clair que le support de $C([A])$ est
contenu dans le c\^one tangent ensembliste $C(A)$~.  D'apr\`es les
th\'eor\`emes classiques de support (\cf H.~Federer~[Fe] et R.~Harvey~[Ha]),
le courant $C([A])$ est un cycle analytique de dimension $p$~:
$$C([A])=\sum\lambda_j[Z_j]~,~~~~\lambda_j\ge 0~,$$ o\`u les $Z_j$
d\'esignent les composantes irr\'eductibles de $C(A)$~. De plus,
les multiplicit\'es $\lambda_j$ sont des entiers $>0$~. 

Pour le voir, pla\c cons-nous au voisinage d'un point $z^0$ de $Z_j$ qui
est r\'egulier sur $C(A)$ et non contenu dans le c\^one tangent de
$A_{\rm sing}$ (lequel est de dimension au plus $p-1$). Dans des
coordonn\'ees convenables $z=(z',z'')$ de $\cb^n$~, il existe un
voisinage $V=V'\times V''$ de centre $z^0$ autour de $Z_j$ tel que
$C(A_{\rm sing})\cap\smash{\ov V}=\emptyset$ et tel que 
$C(A)\cap\smash{\ov V}=Z_j\cap\smash{\ov V}$ soit le graphe
$z''=u(z')$ d'une fonction holomorphe $u:\smash{\ov V'}\la V''$~.
Pour $r<r_0$ assez petit, l'intersection $r^{-1}A_{\rm sing}$
ne rencontre pas $V$~, donc $r^{-1}A\cap V$ est lisse~; comme
$Z_j\cap(\smash{\ov V'}\times\partial V'')=\emptyset$~, on a de plus
$r^{-1}A\cap(\smash{\ov V'}\times\partial V'')=\emptyset$~. Alors la 
projection $r^{-1}A\cap V\la V''$ est propre et par cons\'equent c'est
un rev\^etement ramifi\'e fini de $V''$~. Soit $S\subset A$  le
sous-ensemble analytique des points o\`u la projection $z\mapsto z''$
n'est pas \'etale. Quitte \`a d\'eplacer l\'eg\`erement $z^0$~, on peut
supposer que $z^0$ n'est pas sur le c\^one tangent $C(S)$ et choisir
$V$ assez petit pour que $r^{-1}S\cap V=\emptyset$ si $r<r_0$~. Alors
$r^{-1}A\cap V\la V''$ est un rev\^etement \'etale fini de $V''$~,
n\'ecessairement trivial si $V''$ est un polydisque.
Dans ce cas, $r^{-1}A\cap V$ se compose d'une r\'eunion de graphes 
de fonctions holomorphes $u_{k,r}:V'\to V''$~, $1\le k\le m_j$~. Ces
fonctions convergent uniform\'ement vers $u$ quand $r$ tend vers $0$~,
et leur nombre $m_j$ reste constant par un argument \'evident de connexit\'e.
Il en r\'esulte que la famille de courants $r^{-1}[A]_{\restriction V}=
\sum_k[z''\hbox{=}u_{k,r}(z')]$ converge vers $m_j[z''\hbox{=}u(z')]=
m_j[Z_j]_{\restriction V}$ et que $\lambda_j=m_j$~. Nous avons donc
red\'emontr\'e le th\'eor\`eme classique suivant~:

\tha Th\'eor\`eme 5.6 {\rm (Thie [Th], King [Kg])}|Si $A$ est un
ensemble analytique de dimension $p$ passant par $0$~, le courant
$[A]$ admet un c\^one tangent 
$$C([A])=\sum m_j[Z_j]$$
o\`u les $Z_j$ sont les composantes irr\'eductibles du c\^one tangent
ensembliste $C(A)$ et o\`u les multiplicit\'es $m_j$ sont des entiers
positifs. L'entier $m_j$ est \'egal au nombre de feuilles de $r^{-1}A$ 
dans un voisinage d'un point g\'en\'erique de $Z_j$~, pour $r$ assez
petit.\fintha
\vfill\eject

\centerline{\bf Bibliographie}
\vskip20pt\eightpoint
\def\diver#1|#2|#3|#4|{\divers#1|#2|~{\sl#3}|{\rm#4}|}
\lettre L-G|

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