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\def\dem{{\tit D\'emonstration.$\,$---}\ }
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% mathematical operators
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% subscript and superscript operands
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\parindent=0pt


\pageno3
\titlepage


\titrecourant{\eightrm  VARI\'ET\'ES HYPERBOLIQUES ET \'EQUATIONS
DIFF\'ERENTIELLES ALG\'EBRIQUES}
\auteurcourant{\eightrm  JEAN-PIERRE DEMAILLY}

\baspagegauche{\hfil \eightrm GAZETTE DES MATH\'EMATICIENS\hfil}
\baspagedroite{\hfil \eightrm n\omini~73 -- JUILLET 1997\hfil}


\titrearticle  VARI\'ET\'ES HYPERBOLIQUES ET|
\vskip08pt
\centerline{\dunh \'EQUATIONS DIFF\'ERENTIELLES ALG\'EBRIQUES}
\vskip15pt
\centerline{\baa Jean-Pierre DEMAILLY}
\vskip6pt
\centerline{\sll Universit\'e de Grenoble I}
\bigskip


{\leftskip=1.8cm \rightskip=1.8cm \mssq

Expos\'e pr\'esent\'e le 14 juin 1997
\`a l'occasion de la journ\'ee annuelle de la SMF en l'honneur de Henri
Cartan.\par}

\bigskip\bigskip
\centerline{\bibi 1. Introduction}
\bigskip


%%%%% LETTRINE  ``L"%%%%%
\setbox1=\vtop{\font\bigtimes=ptmr at 50pt
               \bigtimes\null\hbox{L\kern1pt}}
\lettrine{4em}{3}{\raise 10pt\box1} e but 
de ce texte est d'offrir une introduction aussi \'el\'ementaire que
possible \`a un r\'esultat important concernant la g\'eom\'etrie des
courbes holomorphes trac\'ees dans les vari\'et\'es alg\'ebriques
complexes. Ce r\'esultat trouve son origine dans les travaux
fondamentaux d'Andr\'e Bloch [Blo26a, 26b], et dans la Th\`ese de
Henri Cartan [Car28]. La d\'emonstration que nous allons pr\'esenter
est une contribution tr\`es r\'ecente de Y.T.~Siu et S.K.~Yeung
([SiYe96b], [Siu97]).  Elle s'obtient de mani\`ere relativement simple
\`a l'aide d'estimations classiques en th\'eorie de Nevanlinna, comme
le lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique, et par l'utilisation
d'op\'erateurs diff\'erentiels tels que les Wronskiens, toutes id\'ees
d\'ej\`a pr\'esentes en germe dans la Th\`ese de Henri Cartan.

Avant de passer \`a des \'enonc\'es d\'etaill\'es, rappelons un peu de
terminologie.  On s'int\'eressera particuli\`erement aux vari\'et\'es
alg\'ebriques dites de {\tit type g\'en\'eral}. Rappelons qu'une
forme de type $(p,q)$ sur une vari\'et\'e complexe est une forme
diff\'erentielle $u$ de degr\'e $(p+q)$ admettant dans tout syst\`eme
de coordonn\'ees holomorphes $(z_1\ld z_n)$ une \'ecriture du type
$$ 
u=\sum_{|I|=p,|J|=q}u_{IJ}(z_1\ld z_n)\,dz_{i_1}\wedge\ldots\wedge dz_{i_p}
\wedge d\overline  z_{j_1}\wedge\ldots\wedge d\overline  z_{j_q}.
$$ 
La somme ci-dessus est \'etendue \`a tous les multi-indices
croissants $I=(i_1\ld i_p)$, $J=(j_1\ld j_q)$ d'entiers de $\{1,2\ld
n\}$.  On appelle {\tit $p$-forme holomorphe} une forme de type
$(p,0)$ ayant tous ses coefficients holomor\-phes. Le fibr\'e (ou
faisceau $\ldots$) des $p$-formes holomorphes sur $X$ est not\'e
habituellement $\Omega^p_X$. On appelle {\tit section canonique},
resp.\ {\tit section pluricano\-nique} de $X$ toute section holomorphe
globale du fibr\'e en droites cano\-nique \hbox{$K_X=\Omega_X^n$}, resp.\ 
du fibr\'e en droites $K_X^{\otimes k}$ pour un certain entier \hbox{$k>0$}.
Une section pluricanonique d'ordre~$k$ peut donc s'\'ecrire localement
\hbox{$h(z_1\ld z_n)(dz_1\wedge\ldots\wedge dz_n)^{\otimes k}$} avec des
coefficients holomorphes~$h$. On dit qu'une vari\'et\'e $X$ de
dimension $n$ est de {\tit type g\'en\'eral} si le nombre de sections
pluricanoniques d'ordre $k$ est de l'ordre de grandeur de $k^n$ quand
$k$ tend vers~$+\infty$.

Par exemple si $X$ est une hypersurface lisse dans l'espace projectif complexe
${\Bbb P}^{n+1}_{\Bbb C\,}$ de dimension $n+1$, d\'efinie par une \'equation
polynomiale
$$
\sigma(z_0,z_1\ld z_{n+1})=0
$$ 
homog\`ene de degr\'e~$p$, alors toute expression de la forme
$$ 
u=q(z){\sum_{0\le j\le n+1}(-1)^jz_j\, dz_0\wedge
dz_1\wedge\ldots\widehat{dz_j}\ldots\wedge dz_{n+1}\over d\sigma}
$$ 
d\'efinit une $n$-forme holomorphe sur $X$ d\`es lors que $q$ est
un polyn\^ome homog\`ene de degr\'e $p-(n+2)$ (en sorte que $u$ est
homog\`ene de degr\'e $0$, i.e.\ invariante par homoth\'etie). Il en
r\'esulte facilement que $X$ est de type g\'en\'eral si $p\ge n+3$. La
th\'eorie des surfaces de Riemann montre de m\^eme qu'une courbe
(compacte lisse) est de type g\'en\'eral si et seulement si elle est
de genre au moins $2$, c'est-\`a-dire n'est ni ${\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$
ni une courbe elliptique. De fa\c{c}on \'equivalente, une courbe est
de type g\'en\'eral si et seulement si elle peut \^etre munie d'une
m\'etrique hermitienne \`a courbure constante n\'egative; il suffit en
effet de prendre la m\'etrique induite par la m\'etrique de Poincar\'e
sur le rev\^etement universel de la courbe, \`a savoir le disque
unit\'e. Cela \'etant, on s'int\'eresse \`a la conjecture fondamentale
suivante, propos\'ee par Green-Griffiths [GrGr80] et Lang [Lang86, 87].

\medskip 
{\bi 1.1. Conjecture} {\tit Soit $X$ une vari\'et\'e alg\'ebrique
lisse de type g\'en\'eral.  Alors il existe une sous-vari\'et\'e
alg\'ebrique propre $Y\subsetneq X$ telle que toute courbe enti\`ere
non constante $f:{\Bbb C\,}\to X$ soit contenue dans~$Y$.}

Les vari\'et\'es alg\'ebriques consid\'er\'ees ici seront toujours des
vari\'et\'es {\tit projectives}, \`a savoir des vari\'et\'es
d\'efinies par un nombre fini d'\'equations polynomiales homog\`enes
dans un espace projectif complexe.  La locution ``courbe enti\`ere''
d\'esignera une courbe holomorphe d\'efinie sur ${\Bbb C\,}$ tout
entier. Insistons sur le fait que l'\'enonc\'e de la conjecture inclut
le cas des courbes enti\`eres trans\-cendantes. Si elle \'etait
vraie, il en r\'esulterait que les courbes elliptiques ou rationnelles
$C$ trac\'ees dans $X$ sont toutes contenues dans un sous-vari\'et\'e
alg\'ebrique $Y\subsetneq X$
(Rappelons qu'une courbe alg\'ebrique $C\subset X$ est dite
rationnelle, resp.\ elliptique, si sa d\'esingularis\'ee est la droite
projective ${\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$, resp.\ une courbe elliptique,
i.e.\ un tore ${\Bbb C\,}/\Lambda$. Dans les deux cas, en effet, on a
des applications holomorphes $f:{\Bbb C\,}\to C$ qui couvrent $C$
toute enti\`ere). En particulier, si $X$ est une surface de type
g\'en\'eral, alors $Y$ serait de dimension${}\le 1$, et par
cons\'equent $X$ ne devrait avoir qu'un nombre fini de courbes
rationnelles ou elliptiques. Cette ``toute petite'' cons\'equence est
encore largement conjecturale, en d\'epit d'avanc\'ees notables dues
\`a Bogomolov [Bog77], Lu-Yau [LuYa90], Lu-Miyaoka [LuMi95, 96],
[Lu96], dans le cas o\`u on pose certaines conditions num\'eriques sur
les classes de Chern de~$X$.

On dit qu'une vari\'et\'e complexe $X$ est {\tit hyperbolique au sens
de Brody} si elle n'admet aucune courbe enti\`ere non constante
$f:{\Bbb C\,}\to X$ (lorsque $X$ est compacte, Brody [Bro78] a
montr\'e que cela \'equivaut \`a l'hyperbolicit\'e au sens de
Kobayashi [Kob70], i.e.\ \`a la non d\'eg\'en\'erescence de la
pseudo-m\'etrique de Kobayashi). L\`a encore, la situation est
relativement claire en dimension $1$, une courbe complexe est
hyperbolique si et seulement si son rev\^etement universel est le
disque, en particulier une courbe alg\'ebrique complexe est
hyperbolique si et seulement si elle est de type g\'en\'eral (i.e.\ de
genre au moins~$2$). La situation se complique d\`es la dimension~$2$.
Ainsi, les {\tit surfaces de Fermat} $z_0^p+z_1^p+z_2^p+z_3^p=0$ dans
${\Bbb P}^3_{\Bbb C\,}$, qui sont de type g\'en\'eral pour $p\ge 5$,
contiennent toujours des droites projectives, par exemple les droites
d\'efinies par $z_1=\zeta z_0$, $z_3=\eta z_2$ avec $\zeta$, $\eta$
racines $p$-i\`emes de~$-1$, et ne sont donc pas
hyperboliques. S.~Kobayashi a n\'eanmoins conjectur\'e l'\'enonc\'e
suivant [Kob70, KobO75].\medskip 

{\bi 1.2. Conjecture} {\tit Pour tout
$n$, il existe un entier $d_0(n)$ tel qu'une hypersurfaces $X$
g\'en\'erique de degr\'e $d$ dans ${\Bbb P}^{n+1}_{\Bbb C\,}$ est
hyperbolique pour $d\ge d_0(n)$.}

La borne optimale attendue est $d_0(n)=2n+1$ (pour le degr\'e $2n$, on
n'a pas g\'en\'eriquement hyperbolicit\'e d'apr\`es Zaidenberg
[Zai87]). Le mot ``g\'en\'erique'' signifie ici qu'on doit omettre un
ensemble alg\'ebrique dans l'espace projectif des coefficients des
polyn\^omes param\'etrisant les hypersurfaces alg\'ebriques de
degr\'e~$d$. La conjecture 1.2 est d\'emontr\'ee \`a l'heure actuelle
seulement pour $n=2$ et pour la propri\'et\'e plus faible
``d'hyperbolicit\'e alg\'ebrique'', \`a savoir la non existence de
courbes rationnelles et elliptiques; ceci se fait au moyen d'un calcul
pr\'ecis du genre des courbes (voir Clemens [Cle86]). Des r\'esultats
d'hyperbolicit\'e au sens analytique du terme ont \'et\'e obtenus
r\'ecemment pour les compl\'ementaires de courbes alg\'ebriques dans
${\Bbb P}^2_{\Bbb C\,}$, cas un peu plus facile \`a traiter que celui
des surfaces dans ${\Bbb P}^3_{\Bbb C\,}$.  Les premiers r\'esultats
obtenus concernent les compl\'ementaires de courbes ayant au moins $3$
composantes irr\'eductibles g\'en\'eriques ([DSW92, 94]).  Il y a deux
ans, Siu-Yeung [SiYe96a] ont annonc\'e l'hyperbolicit\'e au sens de
Kobayashi du compl\'ementaire d'une courbe g\'en\'erique de tr\`es
grand degr\'e dans ${\Bbb P}^2_{\Bbb C\,}$, leur borne \'etant de
l'ordre de~$10^{13}$.

L'int\'er\^et \`a l'\'egard les vari\'et\'es hyperboliques tient
principalement au fait qu'on attend de celles-ci des propri\'et\'es
arithm\'etiques de finitude g\'en\'eralisant le th\'eor\`eme de
Mordell-Faltings pour les courbes. Ainsi, Lang a conjectur\'e qu'une
sous-vari\'et\'e alg\'ebrique hyperbolique de l'espace projectif
d\'efinie sur un corps de nombres (c'est-\`a-dire par des polyn\^omes
ayant leurs coefficients dans ce corps) n'admet qu'un nombre fini de
points rationnels.  P.~Vojta [Voj87] a formul\'e des conjectures
quantitatives explicites qui devraient permettre de faire le lien
entre la g\'eom\'etrie des vari\'et\'es et leurs propri\'et\'es
arithm\'etiques. Le lecteur pourra aussi consulter [Nog81, 91],
[NoOc90] \`a ce sujet.

Notre ambition (beaucoup plus modeste ici) est d'abord de faire le
lien entre l'existence des courbes enti\`eres et celle des
op\'erateurs diff\'erentiels alg\'ebriques globaux sur la
vari\'et\'e. Nous suivons en cela des id\'ees remontant aux travaux
originaux de Bloch, \`a la lumi\`ere des \'eclaircissements apport\'es
cinquante ans plus tard par Ochiai [Och77], Noguchi [Nog77] et
Green-Griffiths [GrGr80].

Si $f:({\Bbb C\,},0)\to (X,x)$ est un germe de courbe holomorphe tel
que $f(0)=x$, repr\'esent\'e dans des coordonn\'ees locales au
voisinage de $X$ par des composantes $(f_1\ld f_n)$, on consid\`ere
les op\'erateurs diff\'erentiels alg\'ebriques d'ordre $k$ agissant
sur $f$, \`a savoir les op\'erateurs de la forme
$$ 
P(f',f''\ld f^{(k)})=\sum_{\alpha_1,\alpha_2\ld \alpha_k\in{\Bbb N}^n}
a_{\alpha_1\alpha_1\ldots\alpha_k}(f)\,(f')^{\alpha_1}(f'')^{\alpha_2}
\ldots(f^{(k)})^{\alpha_k},
$$ 
o\`u les coefficients $a_{\alpha_1\alpha_1\ldots\alpha_k}(z_1\ld z_n)$ sont
holomorphes, et o\`u
$$ 
(f^{(i)})^{\alpha_i}=(f^{(i)}_1)^{\alpha_{i,1}}\ldots (f^{(i)}_n)^{\alpha_{i
,n}},\qquad \alpha_i=(\alpha_{i,1}\ld \alpha_{i,n}).
$$ 
Le degr\'e total d'un tel op\'erateur est le maximum des degr\'es de ses
mon\^omes non nuls, d\'efini comme
$$ 
|\alpha_1|+2|\alpha_2|+\cdots+k|\alpha_k|,\qquad\hbox{o\`u}\quad
|\alpha_i|=\sum_j\alpha_{i,j}
$$ 
(on peut voir le degr\'e comme le nombre total de ${}'$ figurant
dans le mon\^ome).  On consid\'erera uniquement des op\'erateurs
diff\'erentiels {\tit homog\`enes} en ce sens, et on notera $m$ le
degr\'e commun des mon\^omes. En fait, on a une ${\Bbb
C\,}^\star$-action sur les germes de courbes, d\'efinie par
reparam\'etrisation lin\'eaire des germes,
$$ 
(\lambda\cdot f)(t)=f(\lambda t),\qquad\hbox{$t\in{\Bbb C\,}$, $\lambda\in
{\Bbb C\,}^\star$},
$$ 
en sorte que $(\lambda\cdot f)^{(i)}=\lambda^i f^{(i)}(\lambda t)$, et $P$
est homog\`ene de degr\'e $m$ si on a la relation
$$
P((\lambda\cdot f)',(\lambda\cdot f)''\ld (\lambda\cdot f)^{(k)})
=\lambda^m P(f',f''\ld f^{(k)})
$$ 
pour tout germe $f$ et tout $\lambda\in{\Bbb C\,}^\star$. On notera
$E_{k,m}$ le fibr\'e vectoriel holomorphe dont les sections sont les
op\'erateurs diff\'erentiels alg\'ebriques d'ordre $k$ et de
degr\'e~$m$, \`a=20valeurs scalaires. De m\^eme, si $V$ est un fibr\'e
vectoriel sur $X$, on peut consid\'erer les op\'erateurs
diff\'erentiels $P(f'\ld f^{(k)})$ de degr\'e $m$ \`a valeurs dans $V$
comme \'etant les sections de $E_{k,m}\otimes V$.

Nous aurons encore besoin de la notion de {\tit courbure} d'un
fibr\'e en droites holomorphe hermitien $(L,h)$. Si $(L,h)$ est un tel
fibr\'e sur $X$ et \hbox{$L_{|U}\build\lra|\simeq||U\times{\Bbb C\,}$},
$L_x\ni \xi\mapsto (x,\xi/\eta)$ une trivialisation donn\'ee par une
section holomorphe locale non nulle $\eta$ du fibr\'e, la norme
hermitienne sur $L_x$ est donn\'ee par une expression de la forme
$$
\Vert \xi\Vert_h^2=|\xi/\eta(x)|^2\Vert\eta(x)\Vert^2_h
=|\xi/\eta(x)|^2e^{-\varphi(x)}
$$
avec $\varphi(x)=-\log\Vert\eta(x)\Vert^2_h$. La fonction $\varphi$
est une fonction r\'eelle de classe $C^\infty$ sur $U$ qu'on appelle
{\tit poids} de la m\'etrique~$h$ relativement \`a~$\eta$. La
courbure de la m\'etrique $h$ est par d\'efinition la forme r\'eelle
de type $(1,1)$
$$
\Theta_h(L)={i\over 2\pi}\ddbar\varphi={i\over 2\pi}\sum_{1\le j,k\le n}
{\partial^2\varphi\over\partial z_j\partial\overline  z_k}dz_j\wedge
d\overline  z_k,
$$
qui est ind\'ependante du choix de la section~$\eta$. On dit que
cette courbure est positive si la matrice hermitienne
$(\partial^2\varphi/\partial z_j\partial\overline z_k)$ est d\'efinie
positive en tout point. Dans ce contexte, on a le th\'eor\`eme
d'annulation fondamental suivant, \'enonc\'e par Green et Griffiths
[GrGr80].\medskip 

{\bi 1.3. Th\'eor\`eme} {\tit Soit $X$ une vari\'et\'e
alg\'ebrique projective et $f:{\Bbb C\,}\to X$ une courbe enti\`ere
non constante. Alors on a $P(f'\ld f^{(k)})\equiv 0$ pour tout
op\'erateur diff\'erentiel alg\'ebrique $P$ \`a valeurs dans le dual
$L^\star$ d'un fibr\'e holomorphe en droite \`a courbure positive
sur~$X$ $($c'est-\`a-dire pour toute section globale $P\in
H^0(X,E_{k,m}\otimes L^\star))$.}

Le point essentiel (que nous ne v\'erifierons ici que sur quelques
exemples, voir \S$\,$4) est qu'une surface $X$ de type g\'en\'eral
poss\`ede toujours beaucoup de tels op\'erateurs~$P$, la dimension de
l'espace des op\'erateurs $P$ globaux pouvant \^etre \'evalu\'ee \`a
partir de la formule de Riemann-Roch$\,$; on a en fait la formule
g\'en\'erale suivante, d\^ue \`a Green-Griffiths [GrGr80]: pour tout
fibr\'e en droites $L$ sur $X$, la caract\'erisque d'Euler-Poincar\'e
$\chi(X, E_{k,m}\otimes L^{-1})=\sum(-1)^q\dim H^q(X,E_{k,m}\otimes
L^{-1})$ admet une estimation
$$
\eqalign{
\chi(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})={m^{n+kn-1}\over (k!)^n(n+kn-1)!}
\big((-1)^nc_1^n(\log k)^n&{}-O\big((\log k)^{n-1}\big)\big)\cr
&{}+O(m^{n+kn-2}),\cr}
$$
lorsque $m\gg k\gg 1$, o\`u $c_i=c_i(X)$ d\'esignent les classes de
Chern de $X$, \hbox{$n=\dim X$}, et les $O(...)$ sont des expressions
polynomiales en les classes de Chern. Par ailleurs, un th\'eor\`eme
d'annulation d\^u \`a Bogomolov [Bog79] montre que
$$ 
H^2(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})=0\qquad\hbox{pour $m\gg k\gg 1$},
$$
lorsque $X$ est une surface, de sorte que l'estimation
pr\'ec\'edente pour la caract\'eristique d'Euler donne aussi une
minoration pour le~$H^0$.

Il en r\'esulte qu'une courbe enti\`ere $f$ trac\'ee sur une surface
$X$ de type g\'en\'eral est n\'ecessairement une courbe int\'egrale
d'une certaine \'equation diff\'erentielle alg\'ebrique sur~$X$. Pour
achever la preuve de la conjecture 1.1 dans le cas des surfaces, il
reste encore un point a priori tr\`es d\'elicat \`a prouver, qui
serait de montrer la finitude du nombre de trajectoires ayant un
rev\^etement universel de type conforme ${\Bbb C\,}$ ou~${\Bbb P}^1_{\Bbb 
C\,}$. On y parvient effectivement dans quelques cas tr\`es 
particuliers, mais le probl\`eme g\'en\'eral est compl\`etement
ouvert.

Le sch\'ema de preuve sugg\'er\'e dans [GrGr80] pour le
th\'eor\`eme~1.3 est malheureusement incomplet. Il a fallu attendre
ces 2 derni\`eres ann\'ees pour voir appara\^{\i}tre des preuves
convaincantes. L'un de nos principaux objectifs sera de pr\'esenter
une telle preuve, due \`a Y.T.~Siu et S.K.~Yeung (voir [SiYe96a],
[Siu97]); une preuve enti\`erement diff\'erente d'un r\'esultat un peu
moins fort mais suffisant pour les applications a aussi \'et\'e
obtenue dans [Dem95].

Comme application, nous obtenons des exemples explicites de surfaces
alg\'ebriques hyperboliques de tr\`es bas degr\'e, am\'eliorant ainsi
des r\'esultats obtenus successivement par Brody-Green [BrGr77] et
Nadel [Nad89]. L'id\'ee est d'appliquer le th\'eor\`eme d'annulation
1.3 dans le cas des {\tit op\'erateurs wronskiens}. L'\'enonc\'e qui
suit est d\^u ind\'ependamment \`a [SiYe96b] et [DeEG97] (voir aussi
[EG96]).  \medskip 

{\bi 1.4. Th\'eor\`eme} {\tit La surface alg\'ebrique
lisse $X\subset{\Bbb P}^3_{\Bbb C\,}$ d\'efinie par
$$ X=\{z^p_0 + z^p_1 + z^p_2 + z^{p-2}_3 (\varepsilon _0 z^2_0 +
\varepsilon _1 z^2_1 + \varepsilon _2 z^2_2 + z^2_3)=0\}
$$ est hyperbolique pour des valeurs g\'en\'eriques des constantes
$\varepsilon_j$ et pour tout degr\'e $p\ge 11$.}

Le plan de cet article est le suivant: apr\`es quelques rappels de
notions de base sur la th\'eorie de Nevanlinna au \S$\,$2, nous
d\'emontrons le th\'eor\`eme fondamental 1.3 au \S$\,$3. La section
\S$\,$4 d\'ecrit un peu de g\'eom\'etrie des connexions m\'eromorphes,
en vue de la construction de ``bons'' op\'erateurs wronskiens. Les
deux derni\`eres sections illustrent l'utilisation du th\'eor\`eme
fondamental et d\'etaillent la construction de surfaces hyperboliques
explicites poss\'edant de tels op\'erateurs wronskiens.

L'auteur remercie vivement la SMF de lui avoir donn\'e l'occasion de
rendre hommage \`a Monsieur Henri Cartan par cet expos\'e,
pr\'esent\'e devant un large auditoire.

\bigskip\medskip
\centerline{\bibi 2. Notions de base de la th\'eorie de Nevanlinna}
\medskip

Soit $\omega=i\sum_{j,k}\omega_{jk}(z)\,dz_j\wedge d\overline z_k$ une
$(1,1)$-forme de classe $C^\infty$ sur une vari\'et\'e complexe
compacte~$X$. On supposera que $\omega$ est {\tit d\'efinie
  positive}, c'est-\`a-dire que la matrice hermitienne
$(\omega_{jk}(z))$ est d\'efinie positive en chaque point.  Suivant
les besoins, on consid\`erera un tel objet ou bien comme une $2$-forme
sur $X$ ou bien comme une m\'etrique hermitienne sur le fibr\'e
tangent $T_X$.  Rappelons que la m\'etrique $\omega$ est dite {\tit
  k\"ahl\'erienne} si $d\omega=0$.

\'Etant donn\'e une courbe enti\`ere $f:{\Bbb C\,}\to X$, {\tit
l'indicatrice de croissance} de $f$ est la fonction $T_{f,\omega}$
telle que
$$ 
T_{f,\omega}(r)=\int_{r_0}^rt_f(\rho){d\rho\over\rho},\qquad
t_{f,\omega}(\rho)=\int_{D(0,\rho)}f^\star\omega,
\leqno(2.1)
$$
o\`u $t_{f,\omega}(\rho)$ n'est autre que l'aire par rapport \`a
$\omega$ de l'image $f(D(0,\rho))$ du disque de centre $0$ et de rayon
$\rho$ dans~${\Bbb C\,}$. Si on s'int\'eresse seulement \`a l'ordre de
grandeur $O\big(T_{f,\omega}(r)\big)$ quand $r$ tend vers $+\infty$
(\`a des constantes multiplicatives pr\`es), il est clair que cet
ordre de grandeur est ind\'ependant du choix de la m\'etrique
$\omega$. Notons d\`es \`a pr\'esent que la limite
$\lim_{r+\infty}T_{f,\omega}(r)/\log r$ est \'egale \`a l'aire totale
$A=\int_{\Bbb C\,} f^\star\omega$, de sorte que $T_{f,\omega}(r)\sim
A\log r$ si $A<+\infty$. On verra plus loin que la finitude de l'aire
caract\'erise les courbes $f$ qui sont {\tit alg\'ebriques}.

On s'int\'eresse particuli\`erement au cas o\`u $\omega=\Theta_h(L)$
est la forme de courbure d'un fibr\'e en droites hermitien $(L,h)$ \`a
courbure positive sur $X$. Dans ce cas, on peut voir que, \`a des
{\tit constantes additives pr\`es}, la taille de $T_{f,\omega}(r)$
quand $r\to+\infty$ ne d\'epend pas du choix de la m\'etrique $h$. Il
suffit pour cela d'utiliser la {\tit formule de Jensen} d'une
variable complexe, sous la forme
$$
\int_{r_0}^r{d\rho\over\rho}\int_{D(0,\rho)}{i\over \pi}\ddbar h= {1\over
2\pi}\int_0^{2\pi} h(re^{i\theta})d\theta- {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}
h(r_0e^{i\theta})d\theta.
\leqno(2.2)
$$
(La d\'emonstration de $(2.2)$ est une cons\'equence directe de la
formule de Stokes). Si \hbox{$h_1=he^{-\psi}$} est une autre
m\'etrique hermitienne sur $L$, alors son poids $\varphi_1$ est tel
que $\varphi_1=\varphi+\psi$, par suite
$$
\omega_1=\Theta_{h_1}(L)=\Theta_h(L)+{i\over 2\pi}\ddbar\psi.
$$
Comme la fonction $\psi$ est born\'ee sur $X$ par compacit\'e, on
voit que le terme $f^\star\ddbar\psi=\ddbar\psi\circ f$ dans
$T_{f,\omega_1}$ s'exprime \`a l'aide de moyennes de $h=\psi\circ f$
sur des cercles, quantit\'es qui restent born\'ees ind\'ependamment
de~$r$, de sorte que $T_{f,\omega_1}(r)=T_{f,\omega}(r)+O(1)$.
\medskip 

{\bi Exemple} {\rm L'exemple fondamental est celui de l'espace
projectif ${\Bbb P}_{\Bbb C\,}^n$ avec son fibr\'e en droites
canonique ${\cal O}(1)$ (par d\'efinition ${\cal O}(-1)$ est le
fibr\'e dont la fibre au dessus d'un point de ${\Bbb P}^n_{\Bbb C\,}$
est la droite correspondante de ${\Bbb C\,}^{n+1}$, ${\cal O}(1)$ 
est son dual, et ${\cal O}(k)$, $k\in{\Bbb Z}$, est le
fibr\'e en droites obtenu en prenant la puissance tensorielle
$k$-i\`eme). Si $[z]=[z_0:z_1:\ldots:z_n]\in{\Bbb P}^n_{\Bbb C\,}$,
alors la fibre ${\cal O}(-1)_{[z]}$ est ${\Bbb C\,} z$. On munit ce
fibr\'e de la m\'etrique hermitienne induite par la m\'etrique
hermitienne canonique $|z|^2=\sum|z_j|^2$ de ${\Bbb C\,}^{n+1}$. Si
$\xi\in{\cal O}(1)_{[z]}=({\Bbb C\,} z)^\star$, la m\'etrique duale
est donn\'ee par
$$
\Vert\xi\Vert^2_{\rm can}={|\xi\cdot z|^2\over |z|^2}.
\leqno(2.3)
$$
Sur la carte affine $z_0\ne 0$ de ${\Bbb P}^n_{\Bbb C\,}$, on a des
coordonn\'ees locales holomorphes $(\zeta_1\ld\zeta_n)=(z_1/z_0\ld
z_n/z_0)$, et une section trivialisante $\eta:[z]\mapsto(1,z_1/z_0\ld
z_n/z_0)$ de ${\cal O}(-1)$.  Il en r\'esulte que le poids (resp.\ la
courbure) de la m\'etrique canonique de ${\cal O}(1)$ dans cette carte
est
$$
\eqalign{ &\varphi([z])=-\log\Vert\eta^\star([z])\Vert^2\log\Vert\eta([z])\Vert^2\log(1+|\zeta_1|^2+\cdots+|\zeta_n|^2),\cr &\omega=\Theta_{\rm can}({\cal
O}(1))= {i\over 2\pi}\ddbar
\log(1+|\zeta_1|^2+\cdots+|\zeta_n|^2)={i\over 2\pi}\ddbar\log|z|^2.\cr}
$$
Un calcul facile montre que $\omega$ est bien une forme hermitienne
positive sur ${\Bbb P}^n_{\Bbb C\,}$ (c'est \`a constante
multiplicative pr\`es l'unique m\'etrique invariante sous l'action du
groupe unitaire $U(n+1)$, dite ``m\'etrique de Fubini-Study''). Toute
courbe holomorphe $f:{\Bbb C\,}\to{\Bbb P}^n_{{\Bbb C\,}}$ peut \^etre
relev\'ee en une courbe holomorphe $\wt f=(f_0\ld f_n):{\Bbb C\,}
\to{\Bbb C\,}^{n+1}\ssm\{0\}$, et on a alors la formule
$$
t_{f,\omega}(\rho)=\int_{D(0,\rho)}{i\over 2\pi}\ddbar\log(|f_0|^2
+|f_1|^2+\cdots+|f_n|^2).  \leqno(2.4)
$$
En particulier, toute courbe $f:{\Bbb C\,}\to{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}=
{\Bbb C\,}\cup\{\infty\}$ peut \^etre vue comme une fonction
m\'eromorphe sur ${\Bbb C\,}$ et
$$
t_{f,\omega}(\rho)=\int_{D(0,\rho)}{i\over 2\pi}\ddbar\log(1+|f|^2)
\int_{D(0,\rho)}{|f'(t)|^2\over(1+|f(t)|^2)^2}{i\,dt\wedge
d\overline t\over 2\pi}.  \eqno\square
$$}

Il nous sera utile de savoir comparer l'indicatrice de croissance
d'une courbe enti\`ere $f:{\Bbb C\,}\to X$ avec celle de son image
$u\circ f$ par une application m\'eromorphe (rationnelle) $u:X\dashto
Y$ dans une autre vari\'et\'e projective.  \medskip 

{\bi 2.5. Lemme} {\tit
Soit $u:X\dashto Y$ une application rationnelle entre vari\'et\'es
projectives, et soient $\omega$, $\omega'$ des m\'etriques
hermitiennes sur $X$ et $Y$ respectivement. Il existe une constante
$C>0$ telle que pour toute courbe enti\`ere $f:{\Bbb C\,}\to X$ non
contenue dans le lieu d'ind\'etermination de $u$ on ait
$$ 
T_{u\circ f,\omega'}(r)\le C\,T_{f,\omega}(r)+O(1)
$$
$($la constante $O(1)$ pouvant d\'ependre de $f)$.}

\dem On peut supposer que $X,\,Y$ sont plong\'ees dans des espaces
projectifs ${\Bbb P}_{\Bbb C\,}^N$, ${\Bbb P}_{\Bbb C\,}^{N'}$ et que
$\omega$, $\omega'$ sont les restrictions des m\'etriques de
Fubini-Study respectives. Alors, si $(u_0,u_1\ld u_{N'})$ sont des
fonctions rationnelles de degr\'e $0$ sur ${\Bbb P}_{\Bbb C\,}^N$ qui
d\'efinissent $u$ en restriction \`a~$X$, et si $u_j=p_j/q$ est une
r\'eduction des $u_j$ au m\^eme d\'enominateur, on obtient
$$
u^\star\omega'={i\over2\pi}\ddbar\log(|u_0|^2+|u_1|^2+\cdots+
|u_{N'}|^2)={i\over2\pi}\ddbar\log(|p_0|^2+|p_1|^2+\cdots+ |p_{N'}|^2)
$$
(l'\'egalit\'e \'etant valable seulement en dehors du lieu
d'ind\'etermination de~$u$). Soit $m$ le degr\'e commun des
polyn\^omes $p_j$. On peut \'ecrire
$$ 
u^\star\omega'=m\,\omega+{i\over 2\pi}\ddbar\psi
$$
o\`u $\psi(z)=\log\sum(|p_j(z)|^2/|z|^{2m})$ est une fonction
major\'ee sup\'erieurement sur ${\Bbb P}^N_{\Bbb C\,}$ (par une
certaine constante $K$ ne d\'ependant que des coefficients des~$p_j$).
On a donc $(u\circ f)^\star\omega'm\,f^\star\omega+{i\over
2\pi}\ddbar(\psi\circ f)$, et une application de la formule de
Jensen \`a $h=\psi\circ f$ montre que
$$
\eqalignno{T_{u\circ f,\omega'}(r) &=d\,T_{f,\omega}(r)+{1\over
2\pi}\int_0^{2\pi} h(re^{i\theta})d\theta- {1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}
h(r_0e^{i\theta})d\theta\cr &\le m\,T_{f,\omega}(r)+K-{1\over
2\pi}\int_0^{2\pi} h(r_0e^{i\theta})d\theta. &\square\cr}
$$
\medskip

{\bi  2.6. Corollaire} {\tit L'aire $A=\int_{\Bbb C\,} f^\star\omega=\limsup
T_{f,\omega}(r)/\log r$ est finie si et seulement si $f$ admet une
factorisation sous la forme $f=g\circ R$ o\`u $R\in{\Bbb C\,}(z)$ est une
fonction rationnelle $($vue comme fonction
${\Bbb C\,}\to{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,})$ et $g:{\Bbb P}^1\to C\subset X$ une
courbe rationnelle de~$X$.}

\dem La condition est suffisante, car si $\omega_1$ est la m\'etrique
de Fubini-Study sur ${\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$, on a
$\int_{\smash{{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}}}\omega_1=1$ et
$\int_{\smash{{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}}}R^\star\omega_1=d$ o\`u $d$ est
le degr\'e de~$R$ (sup des degr\'es du num\'erateur et d\'enominateur
de~$R$). On peut alors d'appliquer le lemme 2.5 pour voir que
$$
\limsup_{r\to+\infty}{T_{f,\omega}(r)\over \log r}
=\limsup_{r\to+\infty}{T_{g\circ R,\omega}(r)\over \log r} \le
C\limsup_{r\to+\infty}{T_{R,\omega_1}(r)\over \log r} <+\infty.
$$
Inversement, supposons $A<+\infty$. Si $X={\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$,
la conclusion est imm\'ediate. En effet, $f$ peut \^etre vue comme une
fonction m\'eromorphe sur ${\Bbb C\,}\,$; si $f$ n'est pas une
fraction rationnelle, le grand th\'eor\`eme de Picard montre que $f$
rev\^et une infinit\'e de fois ${\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ \`a l'exception
d'au plus $2$ points, d'o\`u $\int_{\Bbb C\,}
f^\star\omega_1=+\infty$.  En g\'en\'eral, soit $X$ une vari\'et\'e de
dimension $n$ quelconque plong\'ee dans un espace projectif 
${\Bbb P}^N_{\Bbb C\,}$ avec sa m\'etrique de Fubini-Study~$\omega$. Quitte
\`a bien choisir les coordonn\'ees, on peut supposer que la courbe
enti\`ere $f$ n'est contenue dans aucun des hyperplans $z_j=0$. Soit
$\smash{\wt f}= (f_0,f_1\ld f_N)$ un rel\`evement de $f$ \`a ${\Bbb
C\,}^{N+1}$. Alors $f_j/f_0=u_j\circ f$ o\`u $u_j:{\Bbb P}^N_{\Bbb
C\,}\dashto{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ est l'application rationnelle
$[z]\mapsto z_j/z_0$. L'hypoth\`ese que l'aire d\'ecrite par $f$ soit
finie entra\^{\i}ne que l'aire d\'ecrite par les $u_j\circ f$ est
finie, de sorte que $F_j=f_j/f$ est une fonction rationnelle.  Il
suffit alors de factoriser $F_j=g_j\circ R$ en sorte que $g=(1,g_1\ld
g_N):{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}\to X$ d\'efinisse une application
g\'en\'eriquement injective.\square \medskip

On cherche maintenant \`a d\'enombrer les incidences de la courbe
$f:{\Bbb C\,}\to X$ avec une hypersurface $H=\{\sigma(x)=0\}\subset X$
d\'efinie par une section globale $\sigma$ de $L$. On regarde pour
cela la fonction holomorphe $\sigma\circ f:{\Bbb C\,}\to L$ et on
introduit la {\tit fonction de d\'enombrement des z\'eros}
$$
N_{f,\sigma}(r)=\int_{r_0}^rn_{f,\sigma}(\rho){d\rho\over\rho},\quad~~
n_{f,\sigma}(\rho)=\hbox{nombre de z\'eros de $\sigma\circ f$ dans
$D(0,\rho)$}, \leqno(2.7)
$$
o\`u les z\'eros sont compt\'es avec multiplicit\'es. Enfin, on
introduit la fonction $m_{f,\sigma}$, dite {\tit fonction de
proximit\'e}, telle que
$$
m_{f,\sigma}(r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log{1\over\Vert\sigma\circ
f(re^{i\theta})\Vert_h}d\theta.  \leqno(2.8)
$$
Cette fonction est positive ou nulle, si on normalise $\sigma$ par
une constante en sorte que $\Vert\sigma\Vert_h\le 1$ (ce que nous
supposerons d\'esormais).  Intuitivement, $m_{f,\sigma}(r)$ est
d'autant plus grand que $f$ s'approche souvent de $H=\{\sigma=0\}$ sur
le cercle de rayon~$r$. Nous pouvons maintenant \'enoncer le
\medskip

{\bi 2.9. Premier th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna} {\tit
Soit $(L,h)$ un fibr\'e en droites hermitien de forme de courbure
$\omega=\Theta_h(L)>0$. Pour toute section $\sigma$ de $L$ et toute
courbe $f:{\Bbb C\,}\to X$ dont l'image n'est pas contenue
identiquement dans l'hypersurface $H=\{\sigma=0\}$, on a
$$
m_{f,\sigma}(r)+N_{f,\sigma}(r)=T_{f,\omega}(r)+O(1).
$$
En particulier, \`a constante additive pr\`es, l'ordre de grandeur
du membre de gauche quand $r\to +\infty$ ne d\'epend pas du choix de
$\sigma$, mais seulement de l'indicatrice de croissance de~$f$.}

\dem C'est une cons\'equence de la formule de Jensen $(\star)$,
appliqu\'ee \`a la fonction $ u(t)=\log\Vert\sigma\circ f(t)\Vert_h$.
On constate que, au sens des distributions
$$ {i\over \pi}\ddbar\log\Vert\sigma\circ f(t)\Vert_h=\sum m_j\delta_{a_j}-
f^\star\omega
$$
o\`u $\delta_{a_j}$ est la mesure de Dirac en les z\'eros $(a_j)$
de $\sigma\circ f$ et $m_j$ la multiplicit\'e de ce z\'ero (c'est le
cas particulier \`a une variable de la formule dite de
``Lelong-Poincar\'e''; le terme $f^\star \omega$ provient de la
diff\'erentiation de la fonction $\varphi\circ f$, issue du poids de
la m\'etrique $h$). En substituant dans la formule de Jensen, on
trouve alors
$$
N_{f,\sigma}(r)-T_{f,\omega}(r)=-m_{f,\sigma}(r)+m_{f,\sigma}(r_0).
\eqno\square
$$

On introduit classiquement le {\tit d\'efaut} de $f$ par rapport \`a
l'hypersurface $H=\{\sigma=0\}$ comme \'etant
$$
\delta_\sigma(f)=\liminf_{r\to+\infty}{m_{f,\sigma}(r)\over T_{f,\omega}(r)}
\in[0,1].
\leqno(2.10)
$$
En particulier, le d\'efaut est \'egal \`a $1$ si $\sigma\circ f$
ne s'annule pas, et il est \'egal \`a $0$ si la fonction de
d\'enombrement des z\'eros $N_{f,\sigma}(r)$ cro\^{\i}t aussi vite que
possible.  Un r\'esultat essentiel de la th\'eorie de Nevanlinna est
que la somme des d\'efauts $\sum_{a\in{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}}
\delta_a(f)$ est au plus \'egal \`a $2$ (ce qui redonne sous forme
quantitative le grand th\'eor\`eme de Picard).  L'un des ingr\'edients
essentiels de la preuve est une estimation de la fonction de
proximit\'e des d\'eriv\'ees logarithmiques d'une fonction
m\'eromorphe. Si $f:{\Bbb C\,}\to{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ est une
fonction m\'eromorphe, la fonction de proximit\'e au point
$\infty\in{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ est donn\'ee par
$$
m_{f,\infty}(r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log_+|f(re^{i\theta})|\,
d\theta+ O(1)
\leqno(2.11)_\infty
$$
En effet, si $\sigma(z)=(1,z)^{-1}\in{\cal O}(1)$ est la section de
${\cal O}(1)$ s'annulant \`a l'infini, on a
$\|\sigma(z)\|=(1+|z|^2)^{-1/2}$, de sorte que $\log 1/\|\sigma\circ
f)\|=\log(1+|f|^2)^{1/2}=\log_+|f|+O(1)$ (en fait, l'erreur est
major\'ee par $\log 2$). De m\^eme, la fonction de proximit\'e au
point $a\in{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ est donn\'ee par
$$
m_{f,a}(r)=m_{1/(f-a),\,\infty}(r)={1\over 2\pi}
\int_0^{2\pi}\log_-|f(re^{i\theta})-a|\,d\theta+ O(1).
\leqno(2.11)_a
$$
En particulier, si $\omega_1$ est la m\'etrique de Fubini-Study sur
${\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$, on obtient la majoration utile
$$
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\big|\log|f(re^{i\theta})|\big|\,d\theta=
m_{f,\infty}(r)+m_{f,0}(r)\le 2\,T_{f,\omega_1}(r)+O(1).\leqno(2.12)
$$
Le lemme suivant est l'une des contributions essentielles de
Nevanlinna.  
\medskip 

{\bi 2.13. Lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique} 
{\tit Soit $f:{\Bbb C\,}\to {\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ une
fonction m\'eromorphe et $D^p\log f$ la d\'eriv\'ee logarithmique
$p$-i\`eme de $f$. Alors, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un
ensemble de mesure de Lebesgue finie dans ${\Bbb R}_+$ tel que
$$
m_{D^p\log f,\infty}(r)\le \log
r+(1+\varepsilon)\log_+T_{f,\omega}(r)+ O(1),\qquad r\in{\Bbb R}_+\ssm E.
$$
pour tout $r>0$ en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue finie
dans $]0,+\infty[$.}

\dem Fixons $R>r$. On utilise la version suivante de la formule de
Jensen$\,$:
$$
\log|f(t)|={1\over 2\pi}\int_{|z|=R}{R^2-|t|^2\over
|z-t|^2}\,\log|f(z)|\, d\theta(z)+\sum_{a_j\in
D(0,R)}\nu_j\,\log\Big|{R(t-a_j)\over R^2-t\overline a_j}\Big|,
$$
o\`u $\sum \nu_j[a_j]$ est le diviseur des z\'eros et des p\^oles
de $f$, et o\`u $d\theta$, $d\lambda$ d\'esignent respectivement la
mesure angulaire sur le cercle et la mesure de Lebesgue sur le disque
de rayon $R$. (Preuve: si $t=0$, la formule se r\'eduit \`a la formule
habituelle des manuels de 2nd cycle; en g\'en\'eral, il suffit
d'appliquer cette formule apr\`es avoir compos\'e $f$ avec
l'automorphisme $z\mapsto {R^2(t-z)\over R^2-z\overline t}$ qui envoie
$0$ sur $t$). Compte tenu de ce que ${R^2-|t|^2\over
|t-z|^2}=2\Re{z+t\over z-t}$, une d\'erivation sous le signe somme
au moyen de l'op\'erateur $2\partial/\partial t$ donne
$$
{f'(t)\over f(t)}={1\over 2\pi}\int_{|z|=R}{2z\over
(z-t)^2}\,\log|f(z)|\, d\theta(z)+\sum_j \nu_j\Big({\overline
a_j\over R^2-t\overline a_j}-{1\over a_j-t}\Big).
$$
On d\'erive une nouvelle fois avec l'op\'erateur ${1\over(p-1)!}
({\partial\over\partial t})^{p-1}$ pour obtenir
$$
\eqalign{
D^p\log f(t)={1\over 2\pi}\int_{|z|=R}{2z\over
(z-t)^{p+1}}\,&\log|f(z)|\, d\theta(z)\cr
&{}+\sum_j \nu_j\Big({\overline
a_j^p\over (R^2-t\overline a_j)^p}-{1\over (a_j-t)^p}\Big).\cr}
$$ 
Une majoration brutale de cette expression sur le cercle $|t|=r$ fournit
$$
\eqalign{
|D^p\log f(t)|\le{1\over 2\pi}{2r\over(R-r)^{p+1}}
\int_{|z|=R}&\big|\log|f(z)|\big|\,d\theta(z)\cr
&{}+\sum_j|\nu_j|\Big({1\over (R-r)^p}+{1\over |a_j-t|^p}\Big).\cr}
$$
L'int\'egrale de $\big|\log|f|\big|$ se majore ais\'ement \`a
l'aide de (2.12).  Par ailleurs, si $b\in{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ est un
point quelconque, la d\'efinition de la fonction de comptage
$N_{f,b}(R)$ donne
$$
n_{f,b}(R)\log{R'\over R}\le N_{f,b}(R')\le
T_{f,\omega_1}(R')+O(1),
$$
pour tous $R'>R$, d'o\`u
$$
\sum_{a_j\in D(0,R)}|\nu_j|=n_{f,0}(R)+n_{f,\infty}(R)\le {2\over \log
R'/R}\big(T_{f,\omega_1}(R')+O(1)\big).
$$
En substituant dans la formule obtenue pour $D^p\log f$ et en
factorisant la borne $T_{f,\omega_1}(R')+O(1)$ obtenue pour les deux
termes du membre de droite, il vient
$$
\eqalign{
\log_+|D^p\log f(t)|\le\log_+\Big ({r\over(R-r)^{p+1}}&{}+{1\over\log
R'/R}\Big({1\over (R-r)^p}+ {1\over |a_j-t|^p}\Big)\Big)\cr
&{}+\log_+T_{f,\omega_1}(R')+O(1).\cr}
$$
On choisira $R=r+\delta/2$, $R'=r+\delta$ pour une certaine
constante $\delta\le r$ assez petite, de sorte que ${1\over\log R'/R}
\le C{r\over\delta}$. Pour $|t|\le r$, on trouve alors
$$
\log_+|D^p\log f(t)|\le\log_+\Big( {r\over\delta^{p+1}}\Big(1+{\delta^p\over
|a_j-t|^p}\Big)\Big) +\log_+T_{f,\omega_1}(r+\delta)+O(1).
$$
Lorsqu'on int\`egre cette majoration sur le cercle $|t|=r$, il est
facile de voir que le terme $\log\big(1+\delta^p/|a_j-t|^p\big)$
fournit une contribution born\'ee par des constantes universelles. Il
en r\'esulte
$$
m_{D^p\log f,\infty}(r)\le\log_+\Big({r\over\delta^{p+1}}\Big)
+\log_+T_{f,\omega_1}(r+\delta)+O(1),
$$
o\`u l'erreur $O(1)$ est uniforme par rapport aux variables $r$ et
$\delta$. Le lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique r\'esulte alors du
lemme \'el\'ementaire suivant, en choississant
$\delta=1/T_{f,\omega_1}(r)^\varepsilon$.  
\medskip 

{\bi 2.14. Lemme {\rm(E.\ Borel)}} {\it Soit $T:{\Bbb R}_+\to{}]0,+\infty[$
une fonction continue croissante. Alors, pour tout $\varepsilon>0$,
l'ensemble $E=E_\varepsilon$ des $r\in{\Bbb R}_+$ tels que
$$
T\big(r+T(r)^{-\varepsilon}\big)\ge 2\, T(r)
$$
est de mesure de Lebesgue finie.}

\dem Comme $T$ est continue, $E$ est ferm\'e. Soit $r_1=\min E$. On
d\'efinit $r_k$ par r\'ecurrence sur $k$ en posant
$$
r_{k+1}=\min\big(E\cap
\big[r_k+T(r_k)^{-\varepsilon},+\infty\big[\big).
$$
Si $E$ ou si l'intersection ci-dessus est vide pour un certain $k$,
alors $E$ est born\'e et donc de mesure de Lebesgue finie. Sinon, on
obtient une suite infinie $(r_k)$ de points de $E$ tels que
$$
T(r_{k+1})\ge T\big(r_k+T(r_k)^{-\varepsilon}\big)\ge 2\,T(r_k),
$$
pour tout $k$, par cons\'equent $T(r_k)\ge 2^{k-1}T(r_1)$ et
$$
\sum_{k=1}^{+\infty}T(r_k)^{-\varepsilon}<+\infty.
$$
Comme $E\subset\bigcup_{k\ge 1}[r_k,r_k+T(r_k)^{-\varepsilon}]$ par
d\'efinition des $r_k$, le lemme est d\'emontr\'e.\square \medskip

Une cons\'equence importante du lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique
est ce que l'on appelle le {\tit Deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental}
de Nevanlinna.  Nous nous contenterons d'\'enoncer le r\'esultat, en
renvoyant le lecteur \`a S.~Lang [Lang87], par exemple, pour les
d\'etails.\medskip 

{\bi 2.15. Deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna} {\tit 
Soit $f:{\Bbb C\,} \to {\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ une
fonction m\'eromorphe. On d\'efinit le diviseur de ramification $R_f$
de $f$ comme \'etant \'egal \`a $\sum e_j[w_j]$ o\`u $w_j$ sont les
points o\`u $f'$ s'annule et $e_j$ la multiplicit\'e d'annulation de
$f'$ $($en un point $w_j$ o\`u $f(w_j)=\infty$, on regarde bien s\^ur
$1/f$ \`a la place de $f)$. Alors, pour tout ensemble fini
$\{a_j\}\subset{\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$, il existe une partie
$E\subset{\Bbb R}_+$ de mesure de Lebesgue finie telle que
$$ N_{R_f}(r)+\sum_j m_{f,a_j}(r)\le 2\,T_{f,\omega_1}(r)+O\big(
\log r+\log_+T_{f,\omega_1}(r)\big),\qquad r\in{\Bbb R}_+\ssm E,
$$ o\`u $N_{R_f}(r)=\int_{r_0}^rn_{R_f}(\rho)\,d\rho/\rho$ est la fonction
de d\'enombrement du diviseur de ramification.}

De l\`a, on d\'eduit imm\'ediatement la relation attendue pour les
d\'efauts, \`a savoir $\sum_j\delta_{a_j}(f)\le 2$. En fait, tous les
r\'esultats \'enonc\'es dans cette section restent vrais pour des
fonctions m\'eromorphes $f:{\Bbb C\,}\ssm D(0,r_0)\to X$ d\'efinies
seulement au voisinage de l'infini. L'extension des d\'emonstrations
\`a ce cas ne requiert que des adaptations tr\`es l\'eg\`eres, qui
seront laiss\'ees \`a la sagacit\'e du lecteur.  Les int\'egrales sur
$D(0,r)$ d\'efinissant les indicatrices de croissance et les fonctions
de d\'enombrement sont remplac\'ees purement et simplement par des
int\'egrales sur les couronnes $D(0,r)\ssm D(0,r_0)$.  On v\'erifie
alors que les fonctions $T_{f,\omega}(r)$ et $N_{f,\sigma}(r)$ sont
bien d\'efinies \`a des termes $O(\log r)$ pr\`es, et que la formule
de Jensen vaut elle aussi \`a $O(\log r)$ pr\`es.

\bigskip\medskip
\centerline{\bibi 3. Preuve du th\'eor\`eme d'annulation fondamental}
\medskip

Nous d\'emontrons maintenant le th\'eor\`eme 1.3 en suivant les
arguments de Y.T.~Siu [Siu87]. Soit $f:{\Bbb C\,}\to X$ une courbe
enti\`ere et $P$ un op\'erateur diff\'erentiel alg\'ebrique \`a
valeurs dans $L^\star$ o\`u $\omega=\Theta_h(L)>0$. On suppose que
$P(f'\ld f^{(k)})$ ne s'annule pas identiquement. Le point de d\'epart
est l'in\'egalit\'e
$$ 
{i\over 2\pi}\ddbar\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})\Vert_h^2\ge f^\star\omega
$$ 
(en fait le membre de gauche est \'egal au membre de droite plus une certaine
combinaison lin\'eaire de mesures de Dirac aux points o\`u $P(f'\ld f^{(k)})$
s'annule). On en d\'eduit alors
$$
\eqalign{ T_{f,\omega}(r)&\le\int_{r_0}^r{d\rho\over\rho}\int_{D(0,\rho)}
{i\over 2\pi}\ddbar\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})\Vert_h^2\cr &={1\over
2\pi}\int_0^{2\pi}\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})(re^{i\theta})
\Vert_h\,d\theta +\hbox{Const}\cr}
$$ 
gr\^ace \`a la formule de Jensen. Consid\'erons maintenant une
famille finie de fonctions m\'eromorphes $(u_j)$ sur $X$ telles qu'on
puisse extraire des coordonn\'ees locales holomorphes au voisinage de
tout point \`a partir de d\'eterminations locales des logarithmes
$\log u_j$ ($X$ \'etant plong\'ee dans un espace projectif, il suffit
de prendre les fonctions induites par les fonctions rationnelles
$z_j/z_k$ sur l'espace projectif dans suffisamment de syst\`emes de
coordonn\'ees). On peut alors exprimer localement $P(f'\ld f^{(k)})$
comme un polyn\^ome $Q$ dans les d\'eriv\'ees logarithmiques $D^p(\log
u_j\circ f)$, ayant des coefficients holomorphes en la variable $f$,
i.e.,
$$ 
P(f'\ld f^{(k)})=Q\big(f,D^p(\log u_j\circ f)_{p,j}\big),\qquad
Q(z,v_{p,j})=\sum a_\alpha(z)v^\alpha.
$$ 
Par compacit\'e de $X$, il en r\'esulte
$$ 
{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\log\Vert P(f'\ld f^{(k)})(re^{i\theta})
\Vert_h\,d\theta
\le C_1\sum_{j,\,1\le p\le N} m_{D^p(\log u_j\circ f),\infty}(r)+C_2
$$ 
pour des constantes $C_1$, $C_2$ ad\'equates. D'apr\`es le lemme 2.5 et le
lemme de la d\'eriv\'ee logarithmique, on aura
$$ 
m_{D^p(\log u_j\circ f),\infty}(r)\le C_3\big(\log r+\sum\log_+
T_{u_j\circ f,\omega_1}(r)\big)\le C_4\big(\log r+\log_+  T_{f,\omega}(r)\big)
$$
en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue finie dans $[0,+\infty[$.
Mettant bout \`a bout ces in\'egalit\'es, il vient
$$ 
T_{f,\omega}(r)\le C\big(\log r+\log_+ T_{f,\omega}(r)\big)
$$ 
en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue finie. On en d\'eduit
que \hbox{$T_{f,\omega}(r){=}O(\log r)$}, par cons\'equent $f({\Bbb
C\,})$ est d'aire totale finie et $C=\overline {f({\Bbb C\,})}$ est
une courbe rationnelle. On peut alors factoriser $f=g\circ R$ avec une
fonction rationnelle $R\in{\Bbb C\,}(z)$ et $g:{\Bbb P}^1_{\Bbb
C\,}\to C\subset X$ le morphisme de d\'esingularisation. L'op\'erateur
$g^\star P$ induit sur ${\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$ est n\'ecessairement
nul d'apr\`es le lemme ci-dessous. Par suite $g^\star P=0$ et
$$ P(f'\ld f^{(k)})=g^\star P(R'\ld R^{(k)})\equiv 0,
$$ ce qu'il fallait d\'emontrer.\square
\medskip

{\bi 3.1. Lemme} {\tit Soit $X$ une vari\'et\'e projective dont le fibr\'e
canonique $K_X$ est \`a courbure semi-n\'egative $($par exemple un
espace projectif ou une hypersurface lisse de degr\'e${}\le n+2$ dans
${\Bbb P}^{n+1}_{\Bbb C\,})$. Alors, pour tout fibr\'e en droites $L$
\`a courbure positive sur $X$ et tous entiers $k,m>0$, on a
$H^0(X,E_{k,m}\otimes L^{-1})=0$.}

\dem Soit $P(f'\ld f^{(k)})\in E_{k,m}$. En regardant les degr\'es
partiels par rapport \`a la variable $f^{(k)}$ des mon\^omes
intervenant dans $P$, on obtient une filtration de $E_{k,m}$ dont le
gradu\'e est
$$
\bigoplus_{0\le p\le m/k} E_{k-1,m-kp}\otimes S^pT^\star_X.
$$
En effet $f^{(k)}$ peut \^etre vu comme un \'el\'ement de $T_X$, et
un mon\^ome $(f^{(k)})^{\alpha_k}$ de degr\'e $|\alpha_k|=p$, comme un
\'el\'ement de $S^pT^\star_X$. En filtrant de nouveau par rapport aux
degr\'es en les d\'eriv\'ees $f^{(j)}$, $j<k$, on obtient une
filtration telle que
$$
G^\bullet E_{k,m}=\bigoplus_{p_1+2p_2+\ldots+kp_l=m}
S^{p_1}T^\star_X\otimes\cdots\otimes S^{p_k}T^\star_X.
$$
Pour d\'emontrer le lemme, il suffit donc de v\'erifier que \hbox{$H^0
(X,(T_X^\star)^{\otimes m}\otimes L^{-1})$} n'a pas de section
non triviale. C'est clair si $X={\Bbb P}^1_{\Bbb C\,}$, puisqu'alors
\hbox{$T_{{\Bbb P}^1}^\star={\cal O}(-2)$} et $L={\cal O}(-\lambda)$
pour un certain $\lambda>0$. Dans le cas g\'en\'eral (que nous ne
d\'etaillerons pas ici), on peut s'appuyer sur la formule de Bochner
et le fait que $X$ admet une m\'etrique k\"ahl\'erienne \`a courbure
de Ricci semi-positive (voir par exemple [Dem95], lemme 14.2).\square

\bigskip\medskip
\centerline{\bibi 4. Op\'erateurs wronskiens et connexions projectives
partielles}
\medskip


Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension $n$. En reprenant des
id\'ees de Y.T.\ Siu [Siu87] et de A.~Nadel [Nad89], nous
consid\'ererons des {\tit connexions m\'eromorphes} $\nabla$
op\'erant sur le fibr\'e tangent $T_X$, c'est-\`a-dire des
op\'erateurs de la forme
$$
\nabla_w v=\sum_{1\le i,k\le n}\Big(w_i{\partial v_k\over\partial z_i}
+\sum_{1\le j\le n}
\Gamma^k_{ij}w_iv_j\Big){\partial\over\partial z_k} =d_wv+\Gamma\cdot
(w,v),
$$
dont les {\tit symboles de Christoffel} $\Gamma =(\Gamma
^k_{ij})_{1\le i,j,k \le n}$, calcul\'es relativement \`a des
syst\`emes de coordonn\'ees holomorphes $(z_1\ld z_n)$ quelconques,
sont m\'eromorphes.  Soit $B$ le diviseur des p\^oles de $\nabla$
(i.e.\ de ses coefficients $\Gamma ^k_{ij}$) et $b\in H^0(X,{\cal O}(B))$
la section canonique associ\'ee.  Alors $b\nabla$ est un
op\'erateur \`a coefficients holomorphes.

\'Etant donn\'e une courbe holomorphe $f:D(0,r)\to X$ non contenue
dans le support $|B|$ de $B$, on d\'efinit inductivement les
d\'eriv\'ees covariantes $f',\,f''_\nabla \ld f^{(n)}_\nabla$ par
$f^{(k+1)}_\nabla = \nabla_{f'}(f^{(k)}_\nabla)$.  Le {\tit Wronskien}
de $f$ relativement \`a $\nabla$ est la section m\'eromorphe de 
$f^*(\Lambda^nT_X)=f^*(K_X^\star)$ telle que
$$
{W_\nabla(f)=f'\wedge f''_\nabla \wedge\cdots\wedge
f^{(n)}_\nabla}.
$$  
En compensant les p\^oles du Wronskien \`a l'aide d'une puissance de
$b$, on obtient une section holomorphe $b(f)^{n(n-1)/2}W_\nabla(f)$,
\`a valeurs dans le fibr\'e en droite $f^*\big(K_X^\star\otimes 
{\cal O}_X({1\over 2} n(n-1)B)\big)$. Le point de d\'epart est la
cons\'equence suivante du th\'eor\`eme 1.3, appliqu\'e \`a
l'op\'erateur $P=b^{n(n-1)/2}W_\nabla$ \`a valeurs dans le dual
$L^{-1}$ du fibr\'e $A=K_X\otimes{\cal O}_X(-{1\over 2}n(n-1)B)$,
op\'erateur qui est d'ordre $n$ et de degr\'e $m=n(n+1)/2$.  \medskip

{\bi 4.1. Th\'eor\`eme} {\tit Soit $X$ une vari\'et\'e complexe
compacte de dimension $n$ munie d'une connexion m\'eromorphe $\nabla$
de diviseur de p\^oles $B$. Si le fibr\'e en droites
\hbox{$K_X\otimes{\cal O}_X(-{1\over 2} n(n-1)B)$} est ample, alors
pour toute courbe enti\`ere non constante $f:{\Bbb C\,}\to X$, on a ou
bien $f({\Bbb C\,})\subset \vert B\vert$ ou bien $W_\nabla(f)\equiv 0$.}

Une observation importante est de voir que pour d\'efinir le Wronskien
$W_\nabla$ on n'a pas besoin de conna\^{\i}tre enti\`erement le
tenseur $\Gamma_{ij}^k$, mais seulement modulo des tenseurs de la
forme \hbox{$\alpha_i\delta_{jk}+\beta_j\delta_{ik}$}. En effet, soit
$\smash{\wt\nabla}$ une autre connexion telle qu'il existe des
$1$-formes m\'eromorphes $\alpha$ et $\beta$ avec
$\smash{\wt\nabla_wv} \nabla_w v + \alpha(w)\cdot v + \beta(v)\cdot w$
pour tous champs de vecteurs $v,\,w$. On v\'erifie alors facilement
par r\'ecurrence~sur $k$ que $\smash{f^{(k)}_{\wt\nabla}}$ est somme
de $\smash{f^{(k)}_\nabla}$ et d'une combinaison lin\'eaire des
d\'eriv\'ees covariantes d'ordre inf\'erieur, par suite
$\smash{W_\nabla = W_{\wt\nabla}}$.  Ceci permet d'\'etendre le
th\'eor\`eme d'annulation du Wronskien au cas des ``connexions
projectives partielles'', d\'efinies comme suit.\medskip 

{\bi 4.2. D\'efinition} {\tit Une connexion projective partielle 
$\nabla$ sur $X$ est une section du faisceau quotient du faisceau des
connexions m\'eromorphes modulo l'addition de tenseurs m\'eromorphes
de la forme $(w,v)\mapsto\alpha(w)\cdot v + \beta(v)\cdot w$. En
d'autres termes, $\nabla$ est d\'efinie par la donn\'ee de connexions
m\'eromorphes ${}_j\kern-1.3pt\nabla$ sur les ouverts $U_j$ d'un
recouvrement de~$X$, en sorte qu'on ait des relations de
compatibilit\'e ${}_k\kern-1.3pt\nabla_wv-{}_j\kern-1.3pt\nabla_wv
\alpha_{jk}(w)\cdot v + \beta_{jk}(v)\cdot w$ sur $U_j\cap U_k$.}

Un des int\'er\^ets la notion de connexion projective partielle est sa
bonne compatibilit\'e avec les passages au quotient. On v\'erifie
ais\'ement la propri\'et\'e suivante.  
\medskip 

{\bi 4.3. Proposition} {\tit Soit $W$ une vari\'et\'e complexe sur laquelle
un groupe de Lie $G$ agit librement et proprement. Soit $X=W/G$ la
vari\'et\'e quotient et $\pi : W\to X$ la projection canonique.
\'Etant donn\'e une connexion m\'eromorphe $\wt\nabla$ sur $W$ et une
section locale $\sigma :W/G\supset U\to W$ de~$\pi$, on peut d\'efinir
une connexion ${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla=\pi_*(\sigma^*(\wt\nabla))$
sur $U$ telle que \smallskip {\rm o)}
${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla_wv=\pi_*\big(\wt\nabla_{\sigma_{\!*}w}
(\sigma_{\!*}v)\big)$ \smallskip\noindent pour tout couple de champs
$(w,v)$ sur~$U$. Les diff\'erentes connexions ${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla$ 
se recollent en une connexion projective
partielle sur $W/G$ tout entier sous les conditions suivantes~:

\smallskip {\rm i)} $\wt\nabla$ est $G$-invariante.  

\smallskip {\rm ii)} Pour tout couple de champs $G$-invariants $v$ et
$\tau$ sur $W$ tel que $\tau$ soit dans le fibr\'e tangent relatif
$T_{W/X}\subset T_W$, il existe des $1$-formes m\'eromorphes $\alpha$
et $\beta$ le long de $T_{W/X}$ telles que $\smash{\wt\nabla_\tau v}
-\alpha(\tau)v$ et $\smash{\wt\nabla_v\tau}- \beta(\tau)v$ soient
tangents \`a $T_{W/X}$.\vskip0pt} 
\medskip 

{\bi 4.4. Corollaire} {\rm (Cas de ${\Bbb P}^n={\Bbb C\,}^{n+1}
\ssm\{0\}/{\Bbb C\,}^*$).} {\tit Soient $\wt\nabla =
d+\wt\Gamma$ une connexion m\'eromorphe sur ${\Bbb C\,}^{n+1}$,
$\varepsilon =\sum z_j\partial/\partial z_j$ le champ de vecteurs
d'Euler et $\pi : {\Bbb C\,}^{n+1}\ssm\{0\}\to{\Bbb P}^n$ la
projection canonique. Alors $\wt\nabla$ induit une connexion
projective partielle sur ${\Bbb P}^n$ d\`es que \smallskip {\rm i)}
les symboles de Christoffel $\Gamma ^k_{ij}$ sont des fonctions
rationnelles homog\`enes de degr\'e~$-1$.  \smallskip {\rm ii)} il
existe des fonctions m\'eromorphes $\alpha$, $\beta $ et des
$1$-formes m\'eromorphes $\gamma$, $\eta$ telles que pour tous champs
de vecteurs $v$, $w$ on ait
$$
\wt\Gamma \cdot(\varepsilon ,v)=\alpha v + \gamma (v)\varepsilon,\qquad
\wt\Gamma (w,\varepsilon )=\beta w + \eta (w)\cdot\varepsilon.
$$}

\medskip\medskip
%\centerline{\bibi 5. Cas de certaines classes d'hypersurfaces alg\'ebriques
%dans $\hbox{\twelvemsb P}^{\teni n}$\kern-9pt}
\centerline{\bibi 5. Cas de certaines classes d'hypersurfaces}\smallskip
\centerline{\bibi alg\'ebriques dans $\hbox{\twelvemsb P}^{\teni n}$}
\medskip

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension $n$ munie d'une
connexion projective partielle~$\nabla$, et soit $Y$ une hypersurface
de $X$ non contenue dans le diviseur des p\^oles de $\nabla$.
L'hypersurface $Y$ est dite {\tit totalement g\'eod\'esique} par
rapport \`a la connexion $\nabla$ si $\nabla_wv$ est un champ de
vecteurs tangent \`a $Y$ chaque fois que $v$, $w$ sont tangents \`a
$Y$, autrement dit si la restriction $\nabla_{|Y}$ d\'efinit une
connexion sur $T_Y$. Un calcul classique donne la caract\'erisation
suivante.  \medskip 

{\bi 5.1. Lemme} {\tit $Y=\{s=0\}$ est totalement
g\'eod\'esique par rapport \`a $\nabla$ si=20et seulement s'il existe
localement au voisinage de $Y$ des fonctions m\'eromorphes $a_i$,
$b_j$ et $c_{ij}$ telles que
$$
\sum_{1\le k\le n}
\Gamma ^k_{ij} {\partial s\over \partial z_k}+ a_i {\partial s\over
\partial z_j} + b_j {\partial s\over \partial z_i} + s\,c_{ij} ={\partial^2
s\over \partial z_i\partial z_j},
\qquad 1\le i,j\le n.
$$}

L'id\'ee originale de [Nad89] est de profiter de la haute
ind\'etermination de ce syst\`eme lin\'eaire (en les inconnues $\Gamma
^k_{ij}$, $a_i$, $b_j$ et $c_{ij}$) pour trouver une connexion
m\'eromorphe de ${\Bbb P}^n$ par rapport \`a laquelle toute
hypersurface membre d'un syst\`eme lin\'eaire $(Y_\alpha )$ assez
grand soit totalement g\'eod\'esique. La d\'efinition suivante
introduite dans [EG96] sera commode.  \medskip 

{\bi 5.2. D\'efinition} {\tit
Soient $k_0\ld k_n$ et $p$ des entiers tel que $0\le k_j <p/2$~; on
note ${\cal S}_{p, k_0\ld k_n}$ l'espace des polyn\^omes homog\`enes
$s$ de degr\'e $p$ dans ${\Bbb C\,} [z_0\ld z_n]$ tel que chaque
mon\^ome de $s$ est multiple de $\smash{z_j^{p-k_j}}$ pour un
certain~$j$.}

Remarquons que, dans ces conditions, tout \'el\'ement $s\in{\cal S}_{p,
k_0\ld k_n}$ s'\'ecrit de fa\c{c}on unique comme $s=s_0
+\cdots + s_n$ avec $s_j$ multiple de $\smash{z_j^{p-k_j}}$.
Consid\'erons une telle hypersurface $Y=\{s=0\}\subset {\Bbb P}^n$, et
le syst\`eme lin\'eaire associ\'e \hbox{$Y_\alpha =\{\alpha _0 s_0
+\cdots + \alpha _n s_n=0\}$}, $\alpha=(\alpha _0\ld\alpha _n)\in
{\Bbb C\,}^{n+1}$.  On va construire une connexion m\'eromorphe
$\wt\nabla$ sur ${\Bbb C\,}^{n+1}$ par rapport \`a laquelle le c\^one
alg\'ebrique $\wt Y_\alpha\subset {\Bbb C\,}^{n+1}$ au dessus de
$Y_\alpha $ soit totalement g\'eod\'esique pour tout~$\alpha$. Il
suffit pour cela de r\'esoudre le syst\`eme d'\'equations du lemme 5.1
en fixant par exemple $a_i=b_j=c_{ij}=0$, ce qui conduit \`a
r\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire
$$
\sum_{0\le k\le n} \wt\Gamma ^k_{ij} {\partial s_\ell\over \partial z_k} {\partial^2 s_\ell\over \partial z_i \partial z_j},\qquad 0\le i,j,\ell \le n.
\leqno(5.3)
$$
Ce syst\`eme admet une solution unique d\`es que
$\delta:=\det(\partial s_\ell/\partial z_k)_{0\le k,\ell\le n}
\not\equiv 0$.  \medskip 

{\bi 5.4. Lemme} {\tit La connexion $\wt\nabla$
d\'efinie par les symboles $\wt\Gamma_{ij}^k$ solutions de $(5.3)$
induit sur ${\Bbb P}^n$ une connexion projective partielle $\nabla$
pour laquelle toute hypersurface $Y_\alpha $ est totalement
g\'eod\'esique.}

\dem En effet, la solution $\wt\Gamma ^k_{ij}$ sont des fonctions
rationnelles de degr\'e $-1$ donc 4.4~i) est v\'erifi\'e. Observons de
plus que la connexion est sym\'etrique (i.e.\ $\smash{\wt\Gamma
^k_{ij}\wt\Gamma ^k_{ji}}$). Finalement, gr\^ace \`a l'identit\'e
d'Euler, on a~:
$$
\sum_{0\le i,k\le n} z_i \wt\Gamma ^k_{ij} {\partial s_\ell\over
\partial z_k}=\sum_{0\le i\le n} z_i {\partial^2 s_\ell\over
\partial z_i \partial z_j}= (p-1) {\partial s_\ell\over \partial
z_j}, \quad 0\le \ell,j\le n.
$$
Par suite, la condition $\delta \not\equiv 0$ entra\^{\i}ne
$\smash{( \sum_i z_i \wt\Gamma ^k_{ij})_{j,k}}=(p-1)\Id$, d'o\`u
puisque $\wt\nabla$ est sym\'etrique, $\smash{\wt\Gamma
(\varepsilon,v) =\wt\Gamma (v,\varepsilon )}=(p-1)v$. La
propri\'et\'e 4.4~ii) est donc \'egalement v\'erifi\'ee.\square
\medskip

Un v\'erification ais\'ee montre que les d\'eterminants de Cramer
intervenant dans la r\'esolution de $(5.3)$ sont tous divisibles par
$\prod z_j^{p-k_j-2}$, et il en r\'esulte par simplification de ce
facteur dans $\delta$ que le degr\'e du diviseur $B$ des p\^oles de
$\nabla$ est au plus \'egal \`a $n+1+\sum^n_{j=0} k_j$. Si $p$ est
assez grand, une application directe du th\'eor\`eme~1.1 montre que
toute courbe enti\`ere $f$ trac\'ee sur~$Y$ satisfait ou bien $f({\Bbb
C\,})\subset|B|$ ou bien $W_\nabla(f)\equiv 0$. La condition
$W_\nabla(f)\equiv 0$ permet de voir que $f({\Bbb C\,})$ est contenu
dans toute hypersurface $Y_\alpha$ qui contient les $(n-1)$
premi\`eres d\'eriv\'ees covariantes de $f$ en un point g\'en\'erique.
Or, par un comptage de dimension, il y a au moins une autre
hypersurface $Y_\alpha\ne Y$ pour laquelle cette condition soit
r\'ealis\'ee. On en d\'eduit
\medskip 

{\bi 5.5. Th\'eor\`eme} {\tit Soit $s=s_0+\cdots=20+s_n\in {\cal S}_{p,k_0
\ld k_n}$ un polyn\^ome tel que $\delta =\det \big(\partial
s_\ell/\partial z_k \big)_{k,\ell}\not\equiv 0$, et tel que
$Y:=\{s=0\}$ soit une hypersurface lisse de ${\Bbb P}^n$. Soient enfin
$Y_\alpha=\{\alpha _0 s_0+\cdots + \alpha _n s_n=0\}$ et $B$ le
diviseur des p\^oles de la connexion projective partielle $\nabla$
donn\'ee par $(5.3)$.  Supposons
$p>n+1+{{(n-1)(n-2)}\over2}(n+1+\sum_{i=0}^n k_i)$.  Alors, toute
courbe enti\`ere non constante trac\'ee sur $Y$ est alg\'ebriquement
d\'eg\'en\'er\'ee et v\'erifie ou bien $f({\Bbb C\,})\subset
Y\cap\vert B\vert$, ou bien $f({\Bbb C\,})\subset Y\cap Y_\alpha$ pour
une certaine hypersurface $Y_\alpha$ distincte de~$Y$.}

\bigskip\medskip
\centerline{\bibi 6. Exemples}
\medskip
\noindent{\bf 6.1.} {\tit Hypersurfaces de Fermat}
$Y=\{z^p_0 + z^p_1 +\cdots + z^p_n=0\}$.

On fait un calcul \`a la main pour voir que le Wronskien a pour
d\'enominateur $(z_0\cdots z_n)^{n-2}$ (le th\'eor\`eme 5.5 tel quel
ne donne pas l'estimation optimale). Les courbes enti\`eres sont donc
toutes alg\'ebriquement d\'eg\'en\'er\'ees d\`es que $p\ge n^2$. C'est
un r\'esultat d\'emontr\'e originellement par M.~Green [Green75] en
utilisant la th\'eorie de Nevanlinna.

\noindent{\bf 6.2.} Comme dans [EG96], consid\'erons une hypersurface
$Y\subset{\Bbb P}^3$ de la forme
$$
Y=\{z^p_0 + z^p_1 + z^p_2 + z^{p-2}_3 (\varepsilon _0 z^2_0 +
\varepsilon _1 z^2_1 + \varepsilon _2 z^2_2 + z^2_3)=0\}, \leqno(6.3)
$$
d\'efinie par un \'el\'ement $s$ de ${\cal S}_{p,0,0,0,2}$. On peut
v\'erifier que $Y$ est lisse si et seulement si
$$
\sum_{j\in J} \varepsilon ^{p/p-2}_j \ne {2\over p-2}\Big(-{p\over 2}
\Big)^{p/p-2}\qquad\forall J\subset \{0,1,2\}\leqno(6.4)
$$
pour chaque choix des racines complexes d'ordre $p-2$, et que la
condition de non d\'eg\'en\'erescence $\delta\not\equiv 0$ est
toujours satisfaite.  Par suite, pour $p>10$, le th\'eor\`eme 1.3
montre que toute courbe enti\`ere $f:{\Bbb C\,}\to Y$ est contenue
dans une intersection compl\`ete $Y\cap |B|$ ou $Y\cap Y_\alpha $.
Gr\^ace \`a un calcul du genre des intersections (d\'etaill\'e dans
[EG96], \S4), ces courbes ont toute un genre g\'eom\'etrique $\ge 2$,
du moins si on exclut les cas triviaux o\`u $Y$ contient des droites
projectives, \`a savoir si
$$
(\varepsilon _i,\varepsilon _j)\ne (0,0),\quad\forall i\ne j\quad
\hbox{et}\quad \varepsilon _i/\varepsilon _j\ne -\theta
^2,\quad\forall\theta~ \hbox{racine de $\theta ^p=-1$.}  \leqno(6.5)
$$
On obtient donc finalement le r\'esultat suivant, d\'emontr\'e
ind\'ependamment par [DeEG97] et [SiYe96b].\medskip 

{\bi 6.6. Th\'eor\`eme} {\tit Sous les conditions $(6.4)$ et $(6.5)$, la
surface alg\'ebrique lisse $Y\subset{\Bbb P}^3$ d\'efinie par $(6.3)$
est hyperbolique au sens de Kobayashi, en tout degr\'e $p\ge 11$.}

\bigskip\medskip
\centerline{\bibi Bibliographie}
\bigskip

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