\documentclass[11pt]{smfart} \usepackage{xups12,xups12-03,smfmulti} \begin{document} \frontmatter \title[Henri Cartan et les fonctions holomorphes]{Henri Cartan\\ et les fonctions holomorphes de~plusieurs variables} \author[J.-P. Demailly]{Jean-Pierre Demailly} \address{Institut Fourier\\ \hbox{Université de Grenoble I}\\ BP~74\\ 38402 Saint-Martin d'Hères} \email{demailly@fourier.ujf-grenoble.fr} \urladdr{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/} \maketitle \mainmatter \section{Introduction}\label{sec:1} L'objectif de ces notes est d'introduire quelques résultats fondamentaux de nature algébrique relatifs aux fonctions holomorphes de plusieurs variables. Henri Cartan y a contribué de manière essentielle en développant la théorie des faisceaux cohérents, qui est devenue aujourd'hui l'un des outils de base de la géométrie analytique complexe tout comme de la géométrie algébrique. Henri Cartan soutient sa Thèse de Doctorat ès Sciences en 1928 sous la direction de Paul Montel, sur le thème \og\emph{Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires et leurs applications}\fg. Cette thèse porte principalement sur la théorie de la distribution des valeurs des fonctions d'une variable, dans le droit fil des travaux de Nevanlinna, mais les premiers travaux de Cartan sur les fonctions de plusieurs variables complexes remontent déjà à cette époque. On peut noter en particulier un article de 1932 en commun avec le mathématicien allemand Peter Thullen sur les singularités des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, dans lequel est développée la théorie des domaines d'holomorphie -- il s'agit des domaines \og convexes\fg par rapport aux fonctions holomorphes, généralisée de nos jours au travers de la notion de variété de Stein. Pour la suite de l'histoire, écoutons ce qu'écrit Henri Cartan lui-même dans sa notice de travaux publiée par l'Académie des Sciences en 1973: \emph{L'étude des problèmes globaux relatifs aux idéaux et modules de fonctions holomorphes m'a occupé plusieurs années, en partant des travaux d'Oka. Dès \textup{1940}, j'avais vu qu'un certain lemme sur les matrice holomorphes inversibles joue un rôle décisif dans ces questions. Ce lemme est énoncé et démontré en \textup{1940} dans \textup{[19]}; dans ce même travail, j'en fais diverses applications, et je prouve notamment que si des fonctions $f_i$ (en nombre fini), holomorphes dans un domaine d'holomorphie $D$, n'ont aucun zéro commun dans $D$, il existe une relation $\sum_i c_if_i=1$ à coefficients~$c_i$ holomorphes dans $D$. Dans \textup{[22]}, j'introduis la notion de \og cohérence\fg d'un système d'idéaux et je tente de démontrer les théorèmes fondamentaux de ce qui deviendra la théorie des faisceaux analytiques cohérents sur une variété de Stein; mais je n'y parviens pas dans le cas le plus général, faute de réussir à prouver une conjecture que K\ptbl Oka démontrera plus tard \textup{(1950)} et qui, en langage d'aujourd'hui, exprime que le faisceau des germes de fonctions holomorphes est cohérent. Sitôt que j'eus connaissance de ce théorème de Oka (publié avec beaucoup d'autres dans le volume \textup{78} du Bulletin de la Société mathématique de France), je repris l'ensemble de la question dans \textup{[29]}, en introduisant systématiquement la notion de faisceau (introduite alors par Leray en Topologie) et celle de faisceau cohérent (mais pas encore dans le sens plus général et définitif qui sera celui de mon Séminaire \textup{1951-52}). Il s'agit essentiellement de ce qu'on appelle aujourd'hui les \og théorèmes A et B\fg. Cependant, la, formulation cohomologique générale du théorème B ne viendra que dans le Séminaire cité, à la suite de discussions avec J.-P\ptbl Serre. La conférence \textup{[35]} est consacrée à une exposition d'ensemble de ces questions (sans démonstrations), avec indications sur les diverses applications qui en découlent pour la théorie globale des variétés de Stein, et en particulier pour les problèmes de Cousin.} Terminons par un bref plaidoyer pour la géométrie analytique. On doit à Descartes l'idée essentielle qu'il est possible de ramener des problèmes de géométrie à des calculs effectués dans des systèmes de coordonnées, ce qui a rapidement permis d'utiliser de manière très efficace les outils de l'algèbre et les méthodes de résolution des équations linéaires ou algébriques. La géométrie algébrique consiste précisément à étudier les propriétés générales des solutions des systèmes d'équations polynomiales. Dans un contexte moderne, on peut se placer sur un corps quelconque, mais les corps $\bR$ et $\bC$ restent particulièrement intéressants puisqu'ils correspondent aux espaces euclidiens usuels de la Physique. Sur le corps $\bC$ des nombres complexes, on a l'immense avantage que tout polynôme admet autant exactement autant de racines que le degré (en comptant les multiplicités). Il en résulte que l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales reflète beaucoup plus fidèlement la structure algébrique de ces équations lorsqu'on se place sur $\bC$ que lorsqu'on se place sur~$\bR$, et beaucoup d'énoncés deviennent en réalité plus simples et plus \og réguliers\fg. Il en est ainsi par exemple du théorème de Bezout qui dit que l'intersection de deux courbes algébriques complexes de degrés $p$ et $q$ sans composantes communes comporte exactement $pq$ points, à condition de compter les multiplicités et les \og points à l'infini\fg du plan projectif complexe. Cependant, il existe des fonctions très naturelles qui ne sont pas polynomiales, comme la fonction exponentielle, pourtant solution d'une équation différentielle algébrique simple. La géométrie analytique moderne, en particulier celle développée par Henri Cartan, consiste à étendre au cadre analytique, c'est-à-dire aux séries entières convergentes de plusieurs variables complexes, la plus grande partie des propriétés algébriques des polynômes à coefficients dans~$\bC$. D'une certaine manière, la géométrie analytique est une \og complétion\fg de la géométrie algébrique~--~il existe même des questions purement algébriques que l'on ne sait résoudre aujourd'hui que par voie analytique~--~un peu comme les réels ou les complexes permettent de résoudre des équations algébriques ou différentielles qu'il serait impossible de résoudre dans le corps des rationnels ou des nombres algébriques. \section{L'anneau local des germes de fonctions holomorphes}\label{sec:2} \Subsection{Notion de germe, premières propriétés élémentaires}\label{subsec:2A} De manière générale, si $X$ est un espace topologique, le germe en un point $x$ d'une fonction $f$ définie sur un voisinage $U$ de $x$ n'est autre que la classe d'équivalence de $f$ pour la relation d'équivalence suivante: $f_1\sim f_2$ si et seulement si il existe un voisinage $V$ de $x$ sur lequel $f_1$ et $f_2$ sont toutes deux définies, avec $f_1=f_2$ sur~$V$. \begin{enonce*}[remark]{(2.1) Notation} On note $\cO_n$ l'anneau des germes de fonctions holomorphes sur $\bC^n$ en $0$. De manière alternative, d'après la théorie élémentaire des fonctions holomorphes (formule de Cauchy) $\cO_n$ peut être identifié avec l'anneau $\bC\{z_1,\ldots,z_n\}$ des séries entières $$\sum_{\alpha\in\bN^n}\alpha_\alpha z^\alpha,\qquad \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),~~z^\alpha=z_1^{\alpha_1}\cdots z_n^{\alpha_n} $$ en $z_1,\ldots,z_n$, convergeant sur un polydisque de centre $0$ de rayon assez petit. \end{enonce*} On note ici $\Delta(p,r)$ le disque ouvert $|z-p|0$ dans $\bC$. Plus généralement, si $p\in\bC^n$ et $r=(r_1,\ldots,r_n)\in(\bR^*_+)^n$ est un multirayon, on considère le polydisque $$ \Delta(p,r)=\Delta(p_1,r_1)\times\ldots\times \Delta(p_n,r_n). $$ Lorsque $p=0$, on écrira de manière abrégée $\Delta(0,r)=\Delta(r)$ dans ce qui suit. En dimension $n=1$, la structure algébrique de l'anneau $\cO_1$ est très simple. En fait, un germe $f$ de fonction holomorphe \[ f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kz^k \] non identiquement nul se factorise sous la forme $f(z)=z^mu(z)$ où $m$ est le plus petit entier tel que $a_m\ne 0$, et \[ u(z)=\sum_{k=m}^{+\infty}a_kz^{k-m}. \] On a $u(0)=a_m\ne 0$ et il en résulte que $u$ est un élément inversible de l'anneau~$\cO_1$. On en déduit facilement que les idéaux non nuls $I$ de $\cO_1$ sont de la forme $I=(z^m)$, où $m$ est le minimum des ordres d'annulation des fonctions $f\in I$. En particulier $\cO_1$ est un anneau principal. La situation est beaucoup plus compliquée dès la dimension~$2$. L'anneau $\cO_n$ admet encore un unique idéal maximal $$ \gm=\{f\in\cO_n\sep f(0)=0\} $$ qui est engendré par les générateurs $z_1$, $z_2$, $\ldots$, $z_n$ (comme on le voit en factorisant adéquatement les termes de la série entière $\sum a_\alpha z^\alpha$ si $a_0=0$), et on a $\cO_n/\gm\simeq\bC$ (un anneau admettant un unique idéal maximal est appelé \emph{anneau local}). Comme $\gm/\gm^2$ s'identifie à l'espace de dimension~$n$ des parties de degré un $\sum_{j=1}^na_jz_j$ de la série entière, on voit que $\gm$ ne peut avoir moins de $n$ générateurs. On verra cependant un peu plus loin qu'il s'agit d'un \emph{anneau noethérien}. Rappelons ici cette notion algébrique fondamentale. \begin{enonce*}[remark]{(2.2) Définition} Un anneau $A$ (commutatif, unitaire) est dit \emph{noethérien} si tout idéal $I$ de $A$ est de type fini, c'est-à-dire que $I=(g_1,\ldots,g_N)$ est engendré par un nombre fini de générateurs. \end{enonce*} \noindent Il est classique (et très facile à vérifier) qu'un anneau $A$ est noethérien si et seulement si toute suite croissante $$I_1\subset I_2\subset\ldots\subset I_k\subset\cdots$$ d'idéaux est stationnaire. Un fait important est que la propriété de noethérianité s'hérite par passage aux anneaux de polynômes. \begin{enonce*}{(2.3) Théorème} Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau de poly\-nôme $A[T]$ est encore noethérien. \end{enonce*} \begin{proof} Soit $J$ un idéal de~$A[T]$. On désigne par $I_k$ l'ensemble des coefficients dominants des polynômes $P(T)\in J$ qui sont de degré~$k$. Comme $AJ\subset J$, il est immédiat que $I_k$ est un idéal de~$A$, et d'autre part le fait que $TJ\subset A[T]J\subset J$ implique $I_k\subset I_{k+1}$. La suite $I_k$ est donc stationnaire à partir d'un certain rang $I_{k_0}$. Pour tout $k\le k_0$, prenons des polynômes $P_{k,\ell}(T)$ en nombre fini $1\le\ell\le N(k)$, tels que les coefficients dominants des $P_{k,\ell}$ engendrent $I_k$. Comme $I_k=I_{k_0}$ pour $k\ge k_0$, on voit que les coefficients dominants des polynômes $T^{k-k_0}P_{k_0,\ell}$ engendrent~$I_k$. On en déduit facilement que $(P_{k,\ell}(T))_{k\le k_0,\ell\le N(k)}$ est un système générateur de $J$ sur $A[T]$. \end{proof} En particulier, tout anneau de polynômes $k[T_1,\ldots,T_N]$ sur un corps commutatif $k$ est noethérien (Hilbert). Nous aurons besoin aussi de résultats élémentaires classiques concernant les fonctions symétriques élémentaires des racines. On a $$ \prod_{j=1}^d(T-w_j)=T^d-\sigma_1 T^{d-1}+\ldots+(-1)^k\sigma_k T^{d-k}+(-1)^d\sigma_d $$ où $\sigma_k$ est la fonction symétrique élémentaire de degré $k$ en les racines~$w_j$: $$ \sigma_k=\sum_{1\le j_10$ tel que $g(0,\ldots,0,z_n)\ne 0$ pour $0<|z_n|\le r_n$. Par continuité de $g$ et par compacité du cercle $|z_n|=r_n$, il existe $r'>0$ et $\varepsilon>0$ tels que \begin{multline*} g(z',z_n)\ne 0~~~~\text{pour}~z'=(z_1,\ldots,z_{n-1})\in\bC^{n-1},\\ |z'|\le r',~~~r_n-\varepsilon\le|z_n|\le r_n+\varepsilon. \end{multline*} Pour tout entier $k\in\bN$, considérons l'intégrale $$S_k(z')={1\over 2\pi\ii}\int_{|z_n|=r_n}{1\over g(z',z_n)}\,{\partial g\over \partial z_n}(z',z_n)\,z_n^k\,dz_n.$$ Alors $S_k$ est holomorphe dans un voisinage de $|z'|\le r'$. Le théorème de Rouché montre que $S_0(z')$ est le nombre de racines $z_n$ de $g(z',z_n)=0$ dans le disque $|z_n|0$ pour tout~$j$. Alors $$P(0,z_n)=z_n^s=P_1(0,z_n)\ldots P_N(0,z_n),$$ donc $P_j(0,z_n)=z_n^{s_j}$ et par suite $P_j$ est un polynôme de Weierstrass. \item Posons $s=\deg P$, de sorte que $P(0,z_n)=z_n^s$. Supposons que $P$ soit réductible dans $\cO_n$, avec $P(z',z_n)=g_1(z)g_2(z)$ pour des éléments non inversibles $g_1,g_2\in\cO_n$. Alors $g_1(0,z_n)$ et $g_2(0,z_n)$ ont des ordres d'annulation $s_1,s_2>0$ tels que $s_1+s_2=s$, et $$g_j=u_jP_j,~~~~\deg P_j=s_j,~~~j=1,2,$$ où $P_j$ est un polynôme de Weierstrass et où $u_j\in\cO_n$ est inversible. Par suite $P_1P_2=uP$ pour un germe inversible $u\in\cO_n$. Le Lemme~2.12 montre que $P$ divise $P_1P_2$ dans $\cO_{n-1}[z_n]$; puisque $P_1$, $P_2$ sont unitaires et que $s=s_1+s_2$, on obtient $P=P_1P_2$, donc $P$ est réductible dans $\cO_{n-1}[z_n]$. L'implication réciproque est évidente d'après~a).\qedhere \end{enumeratea} \end{proof} \begin{enonce*}{(2.14) Théorème} L'anneau $\cO_n$ est factoriel, c'est-à-dire que $\cO_n$ est un anneau intègre et~que \begin{enumeratea} \item tout élément non nul $f\in\cO_n$ admet une factorisation $f=f_1\ldots f_N$ en éléments irréductibles; \item la factorisation est unique à des facteurs inversibles près. \end{enumeratea} \end{enonce*} \begin{proof} L'existence stipulée par a) résulte du Lemme~2.13 si on prend pour $f$ un polynôme de Weierstrass et $f=f_1\cdots f_N$ une décomposition de longueur maximale $N$ en polynômes de degrés positifs. Pour montrer l'unicité, il suffit de vérifier l'énoncé suivant: \begin{enumeratea}\refstepcounter{enumi}\def\labelenumi{\textup{\theenumi$'$)}} \item \itshape Si $g$ est un élément irréductible qui divise un produit $f_1f_2$, alors~$g$ divise $f_1$ ou~$f_2$. \end{enumeratea} Grâce au Th\ptbl 2.6, on peut supposer que $f_1$, $f_2$, $g$ sont des polynômes de Weierstrass en~$z_n$. Alors $g$ est irréductible et divise $f_1f_2$ in $\cO_{n-1}[z_n]$ d'après les Lemmes 2.12 et 2.13~b). Par récurrence sur~$n$, on peut supposer que $\cO_{n-1}$ est factoriel. Le classique lemme de Gauss ([Lang,~1965], Chapter IV) affirme que l'anneau de polynômes $A[T]$ est factoriel dès que l'anneau $A$ est lui-même factoriel. Par conséquent, on voit d'après l'hypothèse de récurrence que $\cO_{n-1}[z_n]$ est factoriel et donc $g$ doit diviser $f_1$ ou $f_2$ dans $\cO_{n-1}[z_n]$. \end{proof} \begin{enonce*}{(2.15) Corollaire} Si $f,g\!\in\!\cO_n$ sont premiers entre eux, les germes~$f_z,g_z$ sont encore premiers entre eux en tout point $z\in\bC^n$ voisin de~$0$. \end{enonce*} \begin{proof} On peut supposer que $f=P,~g=Q$ sont des polynômes de Weierstrass. Rappelons que des polynômes unitaires $P,Q\in A[X]$ ($A={}$anneau factoriel) sont premiers entre eux si et seulement si leur résultant $R\in A$ est non nul. On en déduit que le résultant $R(z')\in\cO_{n-1}$ de $P(z',z_n)$ et $Q(z',z_n)$ possède un germe non nul en~$0$. Par suite le germe $R_{z'}$ est lui aussi non nul aux points $z'\in\bC^{n-1}$ voisins de~$0$. \end{proof} \begin{enonce*}[remark]{(2.16) Germe d'hypersurface analytique}Comme \og premier échauffe\-ment\fg avant la mise en place de résultats plus généraux, nous allons étudier ici la structure locale de l'ensemble des solutions d'une équation holomorphe $f(z)=0$ dans un voisinage de $0$ dans $\bC^n$. Quitte à effectuer un changement de coordonnées, on peut trouver une décomposition $f=uP$ avec $u$ inversible et $P$ un polynôme de Weierstrass. Nous avons alors $\{f(z)=0\}=\{P(z',z_n)\}$ sur un voisinage de l'origine, et on est donc ramené à étudier l'ensemble des zéros $P(z',z_n)=0$ d'un polynôme de Weierstrass. Soit $d=\deg_{z_n}P$. Nous utiliserons le lemme élémentaire suivant. \begin{enonce*}{(2.17) Lemme} Si $w\in\bC$ est une racine du polynôme \[ w^d+a_1w^{d-1}+\cdots+a_d=0,\quad a_j\in\bC, \] alors on a la majoration $|w|\le 2\max|a_j|^{1/j}$. \end{enonce*} \begin{proof} Sinon on aurait $|w|>2|a_j|^{1/j}$ pour tout $j=1,\ldots,d$ et l'équation pourrait se récrire $-1=a_1/w+\cdots+a_d/w^d$, ce qui impliquerait $1\le 2^{-1}+\cdots+2^{-d}$, contradiction. \end{proof} En choisissant $d$ égal à l'ordre d'annulation de $f$ en $0$, la Remarque~2.7 permet d'écrire $$ P(z',z_n)=z_n^d+a_1(z')z_n^{d-1}+\cdots+a_d(z'),~~a_k(z')=O(|z'|^k),~~ 1\le k\le d $$ sur un voisinage de~$0$. Le Lemme~2.17 montre que les racines $z_n$ satisfont une majoration de la forme $|z_n|\le C|z'|$. D'après ce qui précède, on a une factorisation en éléments irréductibles distincts $P=\prod_{1\le j\le r} P_j^{m_j}$, chaque $P_j(z',z_n)\in \cO_n$ étant un polynôme de Weierstrass de même forme que $P$. Posons $d_j=\deg_{z_n} P_j$. Le discriminant $\delta_j(z')$ de $P_j$ est non nul, et il en est de même pour les résultants $R_{jk}(z')$ de $P_j$ et $P_k$, $j\ne k$. Comme $\delta_j$ est aussi le résul\-tant de $P_j$ et $\partial P_j/\partial z_n$, nous avons $\partial P_j/\partial z_n\ne 0$ pour toute \hbox{racine}~$z_n$ de $P_j(z',z_n)=0$ si $\delta_j(z)=0$. Soit $S\subset\bC^{n-1}$ le germe défini par $\sigma(z')=\prod \delta_j(z')\times\prod R_{jk}(z')=0$, défini dans un polydisque $\Delta'\subset\bC^{n-1}$ assez petit. Pour $z'\in\Delta'\ssm S$, les racines $z_n$ des polynômes $P_j(z',z_j)=0$ sont toutes distinctes, et le théorème des fonctions implicites montre que chaque racine $z_n$ s'écrit localement comme une fonction holomorphe $z_n=w_\ell(z')$. Il y a au total exactement $$d'=\sum_{1\le j\le r}d_j\qquad \Big(\hbox{avec}~~d'\le d=\sum_{1\le j\le r}m_jd_j\Big)$$ telles racines $w_\ell(z')$, $1\le\ell\le d'$. Si on note $$A=\big\{z=(z',z_n)\in\Delta'\times\bC\sep P(z',z_n)=0\big\}$$ et $\pi:A\to \Delta'$ la projection $z\mto z'$, on voit que $A\ssm\pi^{-1}(S)$ est une hypersurface analytique lisse de $\bC^n$ et que la restriction \[ \pi:A\ssm\pi^{-1}(S)\to\Delta'\ssm S \] est un revêtement à $d'$ feuillets (\cf Appendice \S5.A pour une brève introduction à la notion de revêtement). La situation se présente graphiquement comme suit, $A$ étant contenu dans un cône $|z_n|\le C|z'|$: \begin{figure}[htb] \begin{center} \includegraphics[scale=.8]{xups12-03_fig1} \caption{Revêtement ramifié de $A$ sur $\Delta'\subset\bC^{n-1}$} \end{center} \end{figure} En dimension $n=2$, la situation est nettement plus simple. En effet dans ce cas $\Delta'=\Delta_1\subset\bC$, et comme les zéros d'une fonction holomorphe d'une variable sont isolés, on peut supposer, quitte à rétrécir $\Delta_1$, que $S$ se réduit au point $\{0\}$ (ou que $S$ est vide). On voit donc que $A\ssm(\{0\}\times\bC)$ est un revêtement du disque pointé $\Delta_1\ssm\nobreak\{0\}$ à~$d'$ feuillets. Ce revêtement peut avoir plusieurs composantes connexes, ne serait-ce que parce que les facteurs $P_j$ de $P$ définissent eux-mêmes des hypersurfaces $A_j=P_j^{-1}(0)$ et que les ensembles $A_j\ssm(\{0\}\times\bC)$ sont des parties fermées disjointes de $A\ssm(\{0\}\times\bC)$. On va voir que ce sont en fait exactement les composantes connexes de $A\ssm(\{0\}\times\bC)$. Sinon $A_j\ssm(\{0\}\times\bC)$ se scinderait en plusieurs composantes connexes $A'_{j,k}$, et en posant $$ Q_{j,k}(z_1,z_2)=\prod_{(z_1,w_\ell(z_1))\in A'_{j,k}}(z_2-w_\ell(z_1)),\qquad z'\in\Delta'\ssm\{0\} $$ on obtiendrait des polynôme $Q_{j,k}\in\cO(\Delta_1)[z_2]$ tels que $P_j=\prod_k Q_{j,k}$, ce qui contredirait l'irréductibilité de $P_j$ (noter que les coefficients de $Q_{j,k}$ sont holomorphes en $z_1$ sur $\Delta'\ssm 0$ et bornés près de $0$, ils s'étendent donc en des fonctions holomorphes sur~$\Delta'$). Il se trouve qu'un revêtement connexe à $q$ feuillets d'un disque pointé est toujours isomorphe au revêtement $z\mto z^q$ du disque unité pointé $\Delta(1)\ssm\{0\}$, parce que le groupe fondamental du disque pointé est $\bZ$ et qu'il admet~$q\bZ$ comme seul sous-groupe d'indice~$q$ (\cf Appendice, 5.14~(iii)); les relèvements locaux $t\mto w_\ell(t)$ du revêtement reprennent la même valeur après $q$ tours autour de l'origine, c'est-à-dire que $t\mto u_\ell(t):= w_\ell(t^q)$ est en fait holomorphe. Puisque les racines $z_2=w_\ell(z_1)$ de $P_j(z_1,z_2)=0$ donnent lieu à un revêtement connexe à $d_j$ feuillets, on en conclut qu'elles peuvent s'écrire sous la forme $$z_2=u_j(z_1^{1/d_j})=\sum_{k=0}^{+\infty}\alpha_{jk}z_1^{k/d_j},\leqno(2.18)$$ avec une fonction holomorphe $u_j$. Comme le revêtement est connexe, il ne peut se refermer qu'après exactement $d_j$ tours, donc on sait a priori que les indices $k$ tels que $\alpha_{jk}\ne 0$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ avec l'entier $d_j$. On dit que (2.18) est un \emph{développement de Puiseux} des racines du polynôme $P_j(z_1,z_2)=0$. L'inégalité \hbox{$|z_2|\le C|z_1|$} impose ici que la série~(2.18) a ses coefficients $\alpha_{jk}$ nuls si \hbox{$0\le k0$. Alors le germe $(A,0)$ est contenu dans un cône $|z''|\le C|z'|$, $C=\text{constante}$, et la restriction de l'application de projection $\bC^n\to\bC^d$, $(z',z'')\mto z':$ $$\pi:A\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta'$$ est propre si $r''$ est assez petit et si $r'\le r''/C$. \end{enonce*} \begin{proof} Les polynômes $P_k(z_1,\ldots,z_{k-1}\sep z_k)$ s'annulent sur $(A,0)$. D'après (4.9) et le Lemme~2.17, tout point $z\in A$ suffisamment proche de $0$ satisfait l'estimation $$|z_k|\le C_k(|z_1|+\cdots+|z_{k-1}|),~~~~d+1\le k\le n,$$ donc $|z''|\le C|z'|$ et le Corollaire s'ensuit. \end{proof} Puisque $\cJ_d=\{0\}$, nous avons un morphisme injectif d'anneaux $$\cO_d=\bC\{z_1,\ldots,z_d\}\lhra\cO_n/\cJ.\leqno(4.11)$$ \begin{enonce*}{(4.12) Proposition} $\cO_n/\cJ$ est une extension algébrique entière finie de~$\cO_d$. \end{enonce*} \begin{proof} Soit $f\in\cO_n$. Une division de $f$ par $P_n$ donne $f=P_nq_n+R_n$ avec un reste $R_n\in\cO_{n-1}[z_n]$, $\deg_{z_n}R_nk$. Par conséquent $$f=R_d+\sum_{d+1\le k\le n}P_kq_k=R_d\mod(P_{d+1},\ldots,P_n) \subset\cJ\leqno(4.13)$$ et $\cO_n/\cJ$ est engendré comme $\cO_d$-module par la famille finie de monomes $z_{d+1}^{\alpha_{d+1}}\ldots z_n^{\alpha_n}$ avec $\alpha_jd}c_kz_k$. Si $\Delta',\Delta''$ sont des polydisques de rayons suffisamment petits $r',r''$ et si $r'\le r''/C$ avec $C$ assez grand, l'application de projection $\pi:A\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta'$ est un revêtement ramifié à $q$ feuillets, dont le lieu de ramification est contenu dans $S=\{z'\in\Delta';\delta(z')=0\}$. Ceci signifie que: \begin{enumeratea} \item le sous-ensemble ouvert $A_S=A\cap\big((\Delta'\ssm S) \times\Delta''\big)$ est une variété de dimension~$d$, dense dans $A\cap(\Delta'\times\Delta'')$; \item $\pi:A_S\to\Delta'\ssm S$ est un revêtement~$;$ \item les fibres $\pi^{-1}(z')$ ont exactement $q$ éléments si $z'\notin S$ et au plus~$q$ si $z'\in S.$ \end{enumeratea} \noindent De plus, $A_S$ est un revêtement connexe de $\Delta'\ssm S$, et $A\cap(\Delta'\times\Delta'')$ est contenu dans un cône $|z''|\le C|z'|$~ (\cf Fig.~2). \end{enonce*} \begin{figure}[htb] \begin{center} \includegraphics[scale=.8]{xups12-03_fig2} \caption{Revêtement ramifié de $A$ sur $\Delta'\subset\bC^p$} \end{center} \end{figure} \begin{proof} La démonstration est une généralisation de la preuve donnée pour le cas d'une hypersurface analytique (cf. (2.16)), et l'idée générale est la même, bien que les détails soient ici nettement plus techniques. Après une transformation linéaire des coordonnées $z_{d+1},\ldots,z_n$, on peut supposer que $u(z'')=z_{d+1}$, donc $W_u=W_{d+1}$ et $B_{d+1}(z';T)=\delta(z')T$. Grâce au Lemme~4.17, on~a $$\cG=\big(W_{d+1}(z',z_{d+1})\,,\,\delta(z')z_k-B_k(z',z_{d+1})\big)_{k\ge d+2} \subset\cJ,~~~~\delta^m\cJ\subset\cG.$$ On peut donc trouver un polydisque $\Delta=\Delta'\times\Delta''$ de rayons $r',r''$ assez petits tel que $V(\cJ)\subset V(\cG)\subset V(\delta^m\cJ)$ dans~$\Delta$. Comme $V(\cJ)=A$ et $V(\delta)\cap\Delta=S\times \Delta''$, ceci implique $$A\cap\Delta\subset V(\cG)\cap\Delta\subset(A\cap\Delta)\cup (S\times\Delta'').$$ En particulier, l'ensemble $A_S=A\cap\big((\Delta'\ssm S)\times\Delta''\big)$ situé au dessus de $\Delta'\ssm S$ coïncide avec $V(\cG)\cap\big((\Delta'\ssm S)\times\Delta''\big)$, qui est l'ensemble des points $z\in\Delta$ défini par les équations $$\begin{cases} \delta(z')\ne 0,~~~W_{d+1}(z',z_{d+1})=0,\cr z_k=B_k(z',z_{d+1})/\delta(z'),~~d+2\le k\le n. \end{cases} \leqno(4.19)$$ Comme $\delta(z')$ est le résultant de $W_{d+1}$ et de $\partial W_{d+1}/\partial T$, on a $$\partial W_{d+1}/\partial T(z',z_{d+1})\ne 0~~~~\text{sur}~~A_S.$$ Le théorème des fonctions implicites montre que $z_{d+1}$ est localement fonction holomorphe de $z'$ sur $A_S$, et la même affirmation vaut pour $z_k=B_k(z',z_{d+1})/\delta(z')$, $k\ge d+2$. Par suite $A_S$ est une variété lisse, et pour $r'\le r''/C$ petit, l'application de projection $\pi:A_S\to\Delta'\ssm S$ est un difféomorphisme local et un application propre; d'après (4.19) les fibres $\pi^{-1}(z')$ ont au plus $q$ points correspondant à certaines des~$q$ racines $w$ de $W_{d+1}(z';w)=0$. Comme $\Delta'\ssm S$ est connexe (Remar\-que~4.2), ou bien $A_S=\emptyset$ ou bien l'application $\pi$ est un revêtement ayant un nombre de feuillets $q'\le q$ constant. Par ailleurs, si~$w$ est une racine de $W_{d+1}(z',w)=0$ avec $z'\in\Delta'\ssm S$ and si on pose $z_{d+1}=\nobreak w$, $z_k=B_k(z',w)/\delta(z')$, $k\ge d+2$, la relation $(4.16)$ montre que $W_k(z',z_k)=0$, en particulier $|z_k|=O(|z'|^{1/q})$ d'après le Lemme~2.17. Pour $z'$ assez petit, les $q$ points $z=(z',z'')$ définis de cette manière appartiennent à~$\Delta$, donc $q'=q$. La Propriété~b) et les premières parties de a) et c) s'ensuivent. On a maintenant besoin du lemme suivant. \end{proof} \begin{enonce*}{(4.20) Lemme} Si $\cJ\!\subset\!\cO_n$ est premier et $A\!=\!V(\cJ)$, alors \hbox{$\cI_{A,0}\!=\!\cJ$}. \end{enonce*} \begin{proof} Il est évident que $\cI_{A,0}\supset\cJ$. Maintenant, pour tout $f\in\cI_{A,0}$, la Prop\ptbl 4.12 implique que $\tilde f$ satisfait dans l'anneau $\cO_n/\cI$ une équation irréductible $$f^r+b_1(z')\,f^{r-1}+\cdots+b_r(z')=0\mod\cJ).$$ Alors $b_r(z')$ s'annule sur $(A,0)$ et la première partie de~c) donne $b_r=0$ sur $\Delta'\ssm S$. Par conséquent $\tilde b_r=0$ et l'irréductibilité de l'équation de~$\tilde f$ implique $r=1$, de sorte que \hbox{$f\in\cJ$,} ce qu'il fallait montrer. \end{proof} \begin{proof}[Démonstration du Théorème 4.18 (fin)] Il reste seulement à prouver que $A_S$ est connexe et dense dans $A\cap\Delta$ et que les fibres $\pi^{-1}(z')$, $z'\in S$, ont au plus $q$ éléments. Soient $A_{S,1},\ldots,A_{S,N}$ les composantes connexes de $A_S$. Alors $\pi:A_{S,j}\to\Delta'\ssm S$ est un revêtement à $q_j$ feuillets, $q_1+\cdots+q_N=q$. Pour tout point $\zeta'\in\Delta'\ssm S$, il existe un voisinage $U$ de $\zeta'$ tel que $A_{S,j}\cap\pi^{-1}(U)$ soit une réunion disjointe de graphes $z''=g_{j,k}(z')$ de fonctions analytiques $g_{j,k}\in \cO(U)$, \hbox{$1\le k\le q_j$}. Si $\lambda(z'')$ est une forme linéaire arbitraire en $z_{d+1},\ldots,z_n$ et $z'\in\Delta'\ssm S$, on pose $$P_{\lambda,j}(z';T)=\hspace*{-5mm}\prod_{\{z''\sep (z',z'')\in A_{S,j}\}}\hspace*{-5mm}\big(T-\lambda (z'')\big)=\prod_{1\le k\le k_j}\big(T-\lambda\circ g_{j,k}(z')\big).$$ Ceci définit un polynôme en $T$ dont les coefficients sont des fonctions holomorphes bornées sur~$\Delta'\ssm S$. Ces coefficients admettent des prolongements holomorphes à~$\Delta'$ (Remarque~4.2), donc $P_{\lambda,j}\in\cO(\Delta')[T]$. Par construction, $P_{\lambda,j}\big(z';\lambda(z'')\big)$ s'annule identiquement sur~$A_{S,j}$. Soit $$P_\lambda=\prod_{1\le j\le N}P_{\lambda,j},~~~~ f(z)=\delta(z')\,P_\lambda\big(z';\lambda(z'')\big)\,;$$ $f$ s'annule sur $A_{S,1}\cup\ldots\cup A_{S,N}\cup(S\times\Delta'')\supset A\cap\Delta$. le Lemme~4.20 montre que $\cI_{A,0}$ est premier; comme $\delta\notin\cI_{A,0}$, on obtient $P_{\lambda,j}\big(z';\lambda(z'')\big)\in\cI_{A,0}$ pour un certain indice~$j$. Ceci est une contradiction si $N\ge 2$ et si $\lambda$ est choisi en sorte que $\lambda$ sépare les $q$ points $z''_\nu$ de chaque fibre $\pi^{-1}(z'_\nu)$, pour une suite $z'_\nu\to 0$ dans~$\Delta'\ssm S$. Par conséquent $N=1$, $A_S$ est connexe, et pour tout $\lambda\in(\bC^{n-d})^\star$ on a $P_\lambda\big(z',\lambda(z'')\big)\in\cI_{(A,0)}$. Par construction $P_\lambda\big(z',\lambda(z'')\big)$ s'annule sur $A_S$, donc aussi sur on $\ol A_S$; par conséquent, pour tout $z'\in S$, la fibre $\ol A_S\cap\pi^{-1}(z')$ possède au plus $q$ éléments, sinon en choisissant~$\lambda$ qui sépare $q+1$ de ces points on obtiendrait $q+1$ racines $\lambda(z'')$ de $P_\lambda(z';T)$, contradiction. Supposons maintenant que $A_S$ ne soit pas dense dans $A\cap\Delta$ pour des polydisques $\Delta$ arbitrairement petits. Alors il existerait une suite $A\ni z_\nu=(z'_\nu,z''_\nu)\to 0$ telle que $z'_\nu\in S$ et $z''_\nu$ ne soit pas dans $F_\nu:=\text{pr}''\big(\ol A_S\cap \pi^{-1}(z'_\nu)\big)$. La continuité des racines du polynôme $P_\lambda(z';T)$ lorsque $\Delta'\ssm S\ni z'\to z'_\nu$ implique que l'ensemble des racines de $P_\lambda(z'_\nu;T)$ est $\lambda(F_\nu)$. Choisissons $\lambda$ tel que $\lambda(z''_\nu)\notin\lambda(F_\nu)$ pour tout $\nu$. Alors $P_\lambda\big(z'_\nu;\lambda(z''_\nu)\big)\ne 0$ pour tout $\nu$ et $P_\lambda\big(z';\lambda(z'')\big)\notin\cI_{A,0}$, contradiction. \end{proof} À ce point, il nous faut observer que beaucoup des énoncés précédents tombent complètement en défaut dans le cas des ensembles analytiques réels. Dans $\bR^2$, par example, l'idéal premier $\cJ=(x^5+y^4)$ définit un germe irréductible de courbe $(A,0)$ et on a une extension algébrique entière injective d'anneaux $\bR\{x\}\lhra\bR\{x,y\}/\cJ$ qui est de degré 4; cependant, la projection de $(A,0)$ sur le premier facteur, $(x,y)\mto x$, n'a pas un nombre de feuillets constant près de~$0$, et ce nombre n'est pas égal au degré de l'extension. De plus, l'idéal premier $\cJ=(x^2+y^2)$ a une variété de zéros $V(\cJ)$ associée qui se réduit à $\{0\}$, donc $\cI_{A,0}=(x,y)$ contient strictement~$\cJ$, ce qui contraste avec le Lemme~4.20. Retournons maintenant à la situation complexe, qui est d'un comportement beaucoup plus simple. Le résultat obtenu au Lemme~4.20 peut alors être étendu aux idéaux non premiers et on obtient le résultat important suivant: \skpt \begin{enonce*}{(4.21) Théorème des zéros de Hilbert holomorphe} Pour tout idéal~\hbox{$\cJ\!\subset\!\cO_n$} on a $$\cI_{V(\cJ),0}=\sqrt{\cJ},$$ où $\sqrt{\cJ}$ est la racine de l'idéal $\cJ$, c'est-à-dire l'ensemble des germes $f\in\cO_n$ tels qu'une certaine puissance $f^k$ appartient à~$\cJ$. \end{enonce*} \begin{proof} Soit $B=V(\cJ)$. Si $f^k\in\cJ$, alors $f^k$ s'annule sur $(B,0)$ et $f\in\cI_{B,0}$. Par conséquent $\sqrt{\cJ}\subset\cI_{B,0}$. Réciproquement, c'est un fait algébrique général bien connu que $\sqrt{\cJ}$ est l'intersection de tous les idéaux premiers $\cP\supset\cJ$ ([Lang,~1965], Chapter~X). Pour un tel idéal $(B,0)=\big(V(\cJ),0)\supset\big(V(\cP),0\big)$, donc $\cI_{B,0}\subset\cI_{V(\cP),0}=\cP$ d'après le Lemme~4.20. Par suite $\cI_{B,0}\subset\bigcap_{\cP\supset\cJ}\cP=\sqrt{\cJ}$ et le théorème est démontré. \end{proof} En d'autres termes, si un germe $(B,0)$ est défini par un idéal arbitraire $\cJ\subset\cO_n$ et si $f\in\cO_n$ s'annule sur $(B,0)$, alors une certaine puissance $f^k$ appartient à~$\cJ$. \subsection{Points réguliers et singuliers. Dimension}\label{subsec:4C} Les puissants résultats qui précèdent nous permettent d'analyser avec précision les singularités d'un ensemble analytique. Donnons d'abord quelques définitions. \begin{enonce*}[remark]{(4.22) Définition} Soit $A\subset M$ un ensemble analytique et $x\in A$. On dit que $x\in A$ est un \emph{point régulier} de $A$ si $A\cap\Omega$ est une sous-variété $\bC$-analytique lisse de $\Omega$ pour un voisinage $\Omega$ assez petit de~$x$. Sinon, on dit que $x$ est un \emph{point singulier}. Les sous-ensembles correspondants de $A$ seront notés respectivement $A_\reg$ et $A_\sing$. \end{enonce*} Il est clair par définition que $A_\reg$ est un sous-ensemble ouvert de $A$, que $A_\sing$ est fermé, et que les composantes connexes de $A_\reg$ sont des sous-variétés $\bC$-analytique lisses de $M$ non nécessairement fermées. \begin{enonce*}{(4.23) Proposition} Si $(A,x)$ est irréductible, il existe des voisinages~$\Omega$ arbitrairement petits de $x$ tels que $A_\reg\cap\Omega$ soit une partie dense et connexe de $A\cap\Omega$. \end{enonce*} \begin{proof} Prenons $\Omega=\Delta$ comme dans le Th\ptbl 4.18. Alors $A_S\subset A_\reg\cap\Omega\subset A\cap\Omega$, où $A_S$ est connexe et dense dans $A\cap\Omega$; par suite $A_\reg\cap\Omega$ a les mêmes propriétés. \end{proof} \begin{enonce*}[remark]{(4.24) Définition} La \emph{dimension} d'un germe d'ensemble analytique irréductible $(A,x)$ est définie par $\dim(A,x)=\dim(A_\reg,x)$. Si $(A,x)$ a plusieurs composantes irréductibles $(A_\ell,x)$, on pose $$\dim (A,x)=\max\{\dim(A_\ell,x)\},~~~~\codim(A,x)=n-\dim(A,x).$$ \end{enonce*} \begin{enonce*}{(4.25) Proposition} Soient $(B,x)\subset(A,x)$ des germes d'ensembles analytiques. Si $(A,x)$ est irréductible et $(B,x)\ne(A,x)$, alors $\dim(B,x)<\dim(A,x)$ et $B\cap\Omega$ est d'intérieur vide dans $A\cap\Omega$ pour tout voisinage $\Omega$ suffisamment petit de~$x$. \end{enonce*} \begin{proof} On peut supposer $x=0$, $(A,0)\subset(\bC^n,0)$ et $(B,0)$ irréductible. Alors $\cI_{A,0} \subset\cI_{B,0}$ sont des idéaux premiers. On réalise~$A$ et $B$ comme des revêtements ramifiés en choisissant des coordonnées adéquates, et on peut à chaque étape sélectionner des vecteurs de base $e_n,e_{n-1},\ldots$ qui conviennent simultanément pour $A$ et $B$. Si $\dim B=\dim A$, le processus s'arrête en même temps pour $A$ et $B$, de sorte qu'on obtient des revêtements ramifiés $$\pi:A\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta',~~~~ \pi:B\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta'$$ de lieux de ramifications $S_A,S_B$. Alors $B\cap\big((\Delta'\ssm (S_A\cup S_B))\times\Delta''\big)$ est un sous-ensemble ouvert de la variété $A_S=A\cap\big((\Delta'\ssm S_A)\times\Delta''\big)$, par conséquent $B\cap A_S$ est un sous-ensemble analytique de $A_S$ d'intérieur non vide. La même conclusion vaut si $B\cap\Delta$ est supposé d'intérieur non vide dans $A\cap\Delta$. Comme $A_S$ est connexe, on obtient $B\cap A_S=A_S$, et comme $B\cap\Delta$ est fermé dans $\Delta$ on en déduit que $B\cap\Delta\supset\ol A_S=A\cap\Delta$, donc $(B,0)=(A,0)$, en contradiction avec l'hypothèse. \end{proof} \begin{enonce*}[remark]{(4.26) Exemple: paramétrisation des courbes analytiques} Supposons que $(A,0)$ soit un germe irréductible de courbe analytique ($\dim(A,0)=1$). Si le disque $\Delta'\subset\bC$ est choisi assez petit pour que $S=\{0\}$, alors $A_S$ est un revêtement connexe de $\Delta'\ssm\{0\}$ à $q$ feuillets. Par conséquent, il existe un isomorphisme de revêtements entre $\pi$ et le revêtement standard $$\bC\supset\Delta(r)\ssm\{0\}\to \Delta(r^q)\ssm\{0\},~~~~ t\mto t^q,~~~~r^q=\text{rayon de~~}\Delta',$$ c'est-à-dire une application $\gamma:\Delta(r)\ssm\{0\}\to A_S$ telle que $\pi\circ\gamma(t)=t^q$. Cette application s'étend en une application holomorphe bijective $\gamma:\Delta(r)\to A\cap\Delta$ avec $\gamma(0)=0$. Ceci signifie que tout germe irréductible de courbe peut être paramétré par une application holomorphe bijective définie sur un disque de $\bC$. On peut encore dire que la courbe est paramétrée par une application multi-valuée $t\mto\gamma(t^{1/q})$ (avec toutes les déterminations possible de la racine $q$-ième), de sorte que les séries de Taylor des composantes $\gamma_j(t)=\sum_{p=1}^{+\infty}a_{j,s}t^s$ fournissent des \emph{développements de Puiseux} $$ z_j=\sum_{p=1}^{+\infty}a_{j,s}t^{s/q},\qquad 1\le j\le n $$ pour les coordonnées des points $z=(z_1,\ldots,z_n)\in A\cap\Delta$. \end{enonce*} \subsection{Cohérence des faisceaux d'idéaux}\label{subsec:4D} Soit $A$ un ensemble analytique dans une variété complexe $M$. Le \emph{faisceau d'idéaux} $\cI_A$ est le sous-faisceau de $\cO_M$ consistant en les germes de fonctions holomorphes de $M$ qui s'annulent sur~$A$. Ses fibres sont les idéaux~$\cI_{A,x}$ déjà considérés; observons bien sûr que $\cI_{A,x}=\cO_{M,x}$ si $x\notin A$. Si $x\in A$, on note $\cO_{A,x}$ l'anneau des germes de fonctions sur $(A,x)$ qui peuvent s'étendre en des germes de fonctions holomorphes sur $(M,x)$. Par définition, il y a un morphisme surjectif $\cO_{M,x}\to\cO_{A,x}$ dont le noyau est $\cI_{A,x}$, donc $$\cO_{A,x}=\cO_{M,x}/\cI_{A,x},~~~~\forall x\in A,\leqno(4.27)$$ c'est-à-dire que $\cO_A=(\cO_M/\cI_A)_{\restriction A}$. Puisque $\cI_{A,x}=\cO_{M,x}$ pour $x\notin A$, le faisceau quotient $\cO_M/\cI_A$ est nul sur~$M\ssm A$. \begin{enonce*}{(4.28) Théorème}[Cartan {[67]}, 1950] Pour tout ensemble analytique $A\subset M$, le faisceau d'idéaux $\cI_A$ est un faisceau analytique cohérent. \end{enonce*} \begin{proof} Il suffit de prouver le résultat lorsque $A$ est un sous-ensemble analytique d'un voisinage de $0$ dans~$\bC^n$. Si $(A,0)$ n'est pas irréductible, il existe un voisinage $\Omega$ tel que $A\cap\Omega=A_1\cup\ldots\cup A_N$ où les $A_k$ sont des ensembles analytique dans $\Omega$ et $(A_k,0)$ est irréductible. On a $\cI_{A\cap\Omega}=\bigcap\cI_{A_k}$, donc d'après le Cor\ptbl 3.14 on peut supposer que $(A,0)$ est irréductible. On peut alors choisir des coordonnées \hbox{$z'$, $z''$}, des polydisques $\Delta',\Delta''$ et un élément primitif $u(z'')=c_{d+1}z_{d+1}+\cdots+c_nz_n$ tel que le Th\ptbl 4.18 s'applique. Puisque $\delta(z')=\prod_{j@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{1.7cm}}&\\ \ar[ur]^{\exists\wt g}0\in [0,1]\ar[r]_-{g=f\circ h}&B\ar@{}[r]|{\hspace*{2mm}{}\ni g(0)=f(s_0).}& } \] On définit alors $\wt f(s)=\wt g(1)$, de sorte que \[ \rho\circ\wt f(s)=g(1)=f\circ\gamma(1)=f(s). \] Il faut vérifier que l'image $\wt f(s)$ ne dépend pas du chemin $\gamma$ choisi pour effectuer le relèvement. Si $\gamma'$ est un autre choix, l'hypothèse de simple connexité de $S$ entraîne l'existence d'une homotopie $$ h:[0,1]\times[0,1]\to S $$ telle que \[ h(0,t)=\gamma(t),\, h(1,t)=\gamma'(t),\, g(u,0)=s_0,\, h(u,1)=s,\quad \forall t,u\in[0,1]. \] D'après la deuxième étape appliquée à $G=f\circ h:[0,1]^2\to B$, il existe un relèvement $\wt G$ de $G$ tel que $\wt G(0,0)=x_0$: \[ \xymatrix@C=2.5cm{ &X\ar[d]^\rho\ar@<-1pt>@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{1.7cm}}&\\ \ar[ur]^{\exists\wt G}(0,0)\in [0,1]^2\ar[r]_-{G=f\circ h}&B\ar@{}[r]|{\hspace*{6mm}{}\ni G(0,0)=f(s_0).}& } \] L'unicité implique que $G(0,t)=\wt g(t)$ et $G(1,t)=\wt g\,{}'(t)={}$relèvement de $f\circ\gamma'$. Mais comme $\rho\circ\wt G(u,1)=G(u,1)=s={}$constante, la fonction $u\mto\wt G(u,1)$ est constante, ce qui entraîne $$ \wt g(1)=G(0,1)=G(1,1)=\wt g\,{}'(1). $$ La continuité de $\wt f$ se déduit aisément de cette observation et du fait que $B$ est localement connexe par arcs. \end{proof} \begin{enonce*}[remark]{(5.10) Exemple} Comme l'application $\exp:\bC\to\bC^*$ est un revêtement, on retrouve ainsi l'existence d'un relèvement $\wt f$ tel~que~\hbox{$\exp(\wt f)\!=\!f$} pour toute application continue $f:S\to\bC^*$ définie sur un espace~$S$ simplement connexe. Autrement dit, $f$ possède une détermination continue $\wt f=\log f$ de son logarithme complexe. Idem pour les racines $n$-ièmes $\sqrt[n]{f}$. \end{enonce*} \begin{enonce*}{(5.11) Corollaire} Soit $X$ un espace simplement connexe et localement connexe, et $G$ un groupe opérant proprement sans point fixe sur~$X$. Considérons la projection $\rho:X\to X/G$ et un point base $x_0\in X$. On a alors un isomorphisme canonique $$ \pi_1(X/G,\rho(x_0))\simeq G. $$ \end{enonce*} \begin{proof} Nous définissons une application \[ \Psi:G\to\pi_1(X/G,\rho(x_0)) \] comme suit. Pour tout $g\in G$, on choisit un chemin $\gamma:[0,1]\to X$ tel que $\gamma_g(0)=x_0$ et $\gamma_g(1)=g\cdot x_0$. Alors $\rho\circ\gamma_g:[0,1]\to X/G$ est un lacet basé en $\rho(x_0)$, puisque $\rho(g\cdot x_0)=\rho(x_0)$. On définit $\Psi(g)=(\rho\circ\gamma_g)\shat$ comme la classe d'homotopie de $\rho\circ\gamma_g$. Ceci ne dépend pas du choix de $\gamma_g$, puisque tous les chemins sont homotopes dans~$X$ d'après l'hypothèse de simple connexité. Considérons le chemin concaténé $\gamma_g\cdot (g\circ\gamma_{g'})$ qui joint $x_0$ à $gg'\cdot x_0$ en passant par le point intermédiaire $g\cdot x_0$, et observons que $\rho\circ g\circ\gamma_{g'}=\rho\circ\gamma_{g'}$. On voit alors que $$ \Psi(gg')=(\rho\circ\gamma_g)\shat~(\rho\circ\gamma_{g'})\shat=\Psi(g)\Psi(g'), $$ c'est-à-dire que $\Psi$ est un homomorphisme de groupes. Comme $\rho:X\to X/G$ est un revêtement, la propriété de relèvement entraîne que tout lacet $\ol\gamma$ basé en $\rho(x_0)$ se relève en un certain chemin $\gamma$ joignant $x_0$ à un point $x_1$ tel que $\rho(x_1)=\rho(x_0)$. Mais alors $x_1=g\cdot x_0$ pour un certain $g\in G$, donc $\dot{\ol\gamma}=(\rho\circ\gamma)\shat=\Psi(g)$ et on voit que $\Psi$ est surjective. Montrons enfin que $\Psi$ est injective: si $\Psi(g)=(\rho\circ\gamma_g)\shat=1$, le chemin $\ol\gamma=\rho\circ\gamma:[0,1]\to X/G$ est homotope au lacet trivial par une certaine homotopie $\ol h:[0,1]^2\to X/G$. On sait que cette homotopie se relève en une homotopie $h:[0,1]\to X$ qui relie $\gamma$ à un chemin de projection constante par $\rho$, donc constant. Par conséquent $x_0=\gamma(0)=\gamma(1)=g\cdot x_0$, ce qui implique $g=1$ du fait que $G$ agit sans point fixe. \end{proof} \begin{enonce*}{(5.12) Corollaire} Si $X$ est un espace simplement connexe, tout revêtement $\rho:X\to B$ est galoisien, et le groupe d'automorphismes $G=\Aut(\rho)$ s'identifie à $\pi_1(B,b_0)$. \end{enonce*} \begin{proof} Étant donné $b_0\in B$ et deux éléments $x_0$, $x_1$ de la fibre $\rho^{-1}(b_0)$, le théorème de relèvement implique l'existence d'un diagramme commutatif \[ \xymatrix@C=1.5cm{ &X\ar[d]^\rho\ar@{}[r]|{{}\ni x_1\hspace*{.7cm}}&\\ \ar[ur]^{\exists\varphi}x_0\in X\ar[r]_-\rho&B\ar@{}[r]|{{}\ni b_0.\hspace*{5mm}}& } \] Par échange des rôles de $x_0$ et $x_1$ et unicité du relèvement, on voit que~$\varphi$ est un automorphisme de~$X$. Le groupe $G=\Aut(\rho)$ agit transitivement sur les fibres, donc $\rho$ est galoisien et $B\simeq X/G$. Le corollaire~1 fournit un isomorphisme canonique $\pi_1(B,b_0)\simeq G$. \end{proof} Un concept très important de revêtement est celui de {\it revêtement universel} d'un espace, à savoir par définition un revêtement dont la base est l'espace donné et dont l'espace total est simplement connexe. On va voir que c'est en fait le \og plus grand\fg\ revêtement connexe possible de la base. \begin{enonce*}[remark]{(5.13) Définition} Soit $B$ un espace topologique connexe. On dit que $\pi:\wt B\to B$ est le \emph{revêtement universel de $B$} si c'est un revêtement et si $\wt B$ est simplement connexe. \end{enonce*} \begin{enonce*}{(5.14) Théorème} Soit $B$ un espace topologique connexe. \begin{enumeratei} \item Le revêtement universel, s'il existe, est unique à isomorphisme près de revêtement. \item Si la base $B$ est localement simplement connexe (c'est-à-dire si tout point de $B$ admet un système fondamental de voisinages ouverts simplement connexes), alors le revêtement universel $\wt B$ existe. \item Si $\wt B$ existe et si $B=\wt B/G$ avec $G=\pi_1(B,b_0)$, tout revêtement connexe $\rho:X\to B$ admet une factorisation $$ \wt B\to\wt B/H\simeq X\To\rho\wt B/G\simeq B $$ pour un certain sous-groupe $H\subset G$. Le revêtement $\rho$ est galoisien si et seulement si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$, et son groupe d'automorphismes s'identifie alors à $G/H$. En général, $\Aut(\rho)$ s'identifie à $N_H/H$ où $N_H$ est le normalisateur de $H$ dans $G$. \end{enumeratei} \end{enonce*} \skpt \begin{proof} \begin{enumeratei} \item L'unicité à isomorphisme près résulte facilement du théorème de relèvement, et du fait que tout relèvement entre deux revêtements universels $\wt B_1$ et $\wt B_2$ va donner un isomorphisme. \item Supposons que $B$ soit localement simplement connexe et fixons un point base $b_0\in B$. On définit un ensemble $\wt B$ comme l'ensemble des couples $(b,\dot\gamma)$ où $b\in B$ et où $\dot\gamma$ est une classe d'homotopie de chemin reliant $b_0$ à $b$, muni de la première projection $\rho:\wt B\to B$. Si $V$ est un voisinage simplement connexe d'un point $b\in B$, on considère l'ensemble $F$ de toutes les classes d'homotopie de chemins reliant~$b_0$ à~$b$. Soit $b'\in V$. On utilise le fait qu'il existe une seule classe d'homotopie d'arc reliant $b$ à $b'$ dans $V$. Ceci permet de définir pour chaque $ \dot\gamma\in F$ une feuille $U_{\dot\gamma}\subset\wt B$ constitué des paires $$ (b',\dot\gamma\;{}\cdot\overset{\frown}{bb'}),\qquad b'\in V, $$ où $\smash{\overset{\frown}{bb'}}$ est l'unique classe d'homotopie d'arc reliant $b$ à $b'$ dans $V$. Les feuillets $U_{\dot\gamma}$ sont alors disjointes et en bijection avec $V$. On munit $\wt B$ de la topologie dont les ouverts sont les réunions d'ouverts des différents feuillets $U_{\dot\gamma}$ (avec la topologie induite par la bijection avec $V$). Il est clair que $\rho:\wt B\to B$ est un revêtement de fibre typique $F$ (et que $F$ est en bijection avec $\pi_1(B,b_0)$). On voit aussi que $\wt B$ est simplement connexe, en effet si $\wt\gamma$ est un lacet de base $\wt b_0$ et $\gamma=\rho\circ\wt\gamma$ son image, le fait que $\wt\gamma(1)=\wt\gamma(0)=\wt b_0$ signifie précisément que $\gamma$ est homotope au lacet trivial basé en $b_0$, et cette homotopie doit se relever à $\wt\gamma$. \item Soit $\rho:X\to B$ un revêtement quelconque d'espace total $X$ \emph{connexe}. Fixons un point $b_0\in B$ et des points $\wt b_0\in\wt B$ et $x_0\in X$ tels que \hbox{$\pi(\wt b_0)=\rho(x_0)=b_0$}. Comme $\wt B$ est simplement connexe, nous savons qu'il existe un relèvement \hbox{$\wt\pi:\wt B\to X$} tel que $\rho\circ\wt\pi=\pi$ et $\wt\pi(\wt b_0)=x_0$. \[ \xymatrix@C=1.5cm{ &X\ar[d]^\rho\ar@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{7mm}}&\\ \ar[ur]^{\exists\wt\pi}\wt b_0\in\wt B\ar[r]_-\pi&B\ar@{}[r]|{{}\ni b_0.\hspace*{6mm}}& } \] Alors $\wt\pi$ est un homomorphisme de revêtements, et comme $X$ est connexe, cet homomorphisme est surjectif. Il est facile de voir que $\wt\pi$ est lui-même un revêtement et que $H=\Aut(\wt B\to X)$ est un sous-groupe de $G=\Aut(\wt B\to B)$ puisque la propriété $\wt\pi\circ\varphi=\wt\pi$ entraîne $\pi\circ\varphi=\pi$ en composant avec $\rho$. On a donc une identification $$ \rho:X=\wt B/H\to B=\wt B/G. $$ Par le théorème de relèvement, tout automorphisme $f$ dans le groupe $\Gamma:=\Aut(\rho:X\to B)$ se relève en un automorphisme $\wt f$ dans le groupe $G=\Aut(\pi:\wt B\to B)$. Les fibres de $\wt\pi$ sont les orbites $H\cdot\wt b$ de~$H$. Le~relèvement $\wt f$ doit nécessairement permuter ces orbites, c'est-à-dire $$ \wt f\cdot H\cdot\wt b= H\cdot\wt f\cdot\wt b, $$ par conséquent $\wt f\cdot H= H\cdot\wt f$ et $\wt f$ est dans le normalisateur $N_H$ de $H$. Inversement, si c'est le cas, l'homéomorphisme $\wt f$ permute les fibres de $\wt\pi$ et induit donc un automorphisme $f\in\Gamma$. Le noyau de $N_H\to\Gamma$ est $H$ lui-même (l'égalité $\wt f\cdot H\cdot\wt b=H\cdot\wt b$ équivaut à $\wt f\in H$), donc $\Gamma\simeq N_H/H$. Pour que le revêtement $\rho$ soit galoisien, il faut que le groupe $N_H/H$ agisse transitivement sur les fibres de $\rho$, et comme celles-ci sont en bijection avec $G/H$, il faut que $N_H=G$, autrement dit il faut (et il suffit) que $H$ soit un sous-groupe distingué de $G$.\qedhere \end{enumeratei} \end{proof} \subsection{Espaces étalés}\label{subsec:5B} Nous décrivons ici la notion d'espace étalé, qui permet de donner une interprétation alternative utile du concept de faisceau. \begin{enonce*}[remark]{(5.15) Définition} Soit $X$ un espace topologique. On appelle \emph{espace étalé au dessus de $X$} un espace topologique $E$ muni d'une \og projection\fg $\pi:E\to X$ qui est un homéomorphisme local, c'est-à-dire tel que pour tout $p\in E$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $p$ tel que $\pi_{|V}$ est un homéomorphisme de $V$ sur un voisinage ouvert $U=\pi(V)$ de $x=\pi(p)$. \end{enonce*} Il s'agit d'une notion plus faible que celle de revêtement: pour les différents points $p_i$ d'une fibre $\pi^{-1}(x)$, on ne suppose pas qu'il y a des voisinages $V_i$ de $p$ qui se projettent homéomorphiquement sur un même voisinage de $x$, mais seulement sur des voisinages $U_i$ pouvant être distincts (et éventuellement de plus en plus petits). Étant donné un espace étalé $\pi:E\to X$, on peut lui associer un faisceau $\cF_E$ comme suit: on définit $\cF_E(U)$ comme étant l'ensemble des sections continues $f:U\to E$, c'est-à-dire les applications continues $f$ telles que $\pi\circ f=\Id_U$. Il est évident que la condition de recollement 3.1~b) est satisfaite, il s'agit donc bien d'un faisceau. Réciproquement, étant donné un préfaisceau $\cF$, nous lui avons déjà associé un ensemble noté $E_\cF$, égal à la somme disjointe $$ E_\cF=\coprod_{x\in X}\cF_x. $$ Cet ensemble est muni de la projection naturelle $\pi:E_\cF\to X$ qui envoie $\cF_x$ sur le point $x$. Si $f\in\cF(U)$ où $U$ est un ouvert de~$X$, on lui associe la section de $E_\cF$ $$\widetilde f:U\to E_\cF,\qquad x\mto\widetilde f(x)=f_x\in\cF_x \subset E_\cF$$ et l'ensemble $$ \widetilde f(U)=\big\{f_x\in\cF_x\sep x\in U\big\}\subset E_\cF. $$ Si $f_i\in\cF(U_i)$, $i=1,2$, il est évident que $\widetilde{f}_1(U_1)\cap \widetilde{f}_2(U_2)$ est constitué de la réunion des $\bigcup_W \smash{\widetilde g}(W)$ où $W\subset U_1\cap U_2$ parcourt les ouverts de $X$ sur lesquels $f_1$ et $f_2$ coïncident en restriction avec une même section $g\in\cF(W)$. On voit qu'on peut alors munir $E_\cF$ d'une topologie en prenant comme ouverts de $E_\cF$ toutes les réunions finies ou infinies $\bigcup_{i\in I}\smash{\widetilde f}_i(U_i)$ pour des collections arbitraires $(f_i)_{i\in I}$ de sections $f_i\in\cF(U_i)$. Si $f\in\cF(U)$, il est clair que $\pi:\smash{\widetilde f}(U)\to U$ est un homéomorphisme, dont l'inverse est la section $\smash{\widetilde f}$ définie plus haut, trivialement continue en vertu du choix de la topologie sur~$E_\cF$. Par conséquent $E_\cF$ est bien un espace étalé au dessus de~$X$. De plus, le faisceau des sections continues $X\supset U\to E_\cF$ n'est autre que le faisceau $\widetilde\cF$ associé au préfaisceau $\cF$. Nous pouvons conclure cette construction par l'énoncé suivant. \begin{enonce*}{(5.16) Proposition} Les notions d'espace étalé $E\to X$ et de faisceau~$\cF$ sur $X$ sont équivalentes: à tout espace étalé $E\to X$, on peut associer le faisceau $\cF_E$ de ses sections continues, et à tout faisceau~$\cF$ on peut associer l'espace étalé $E_\cF$ constitué de la somme disjointe de ses espaces de germes, muni de la topologie définie ci-dessus. Les correspondances $E\mto \cF_E$ et $\cF\mto E_\cF$ sont inverses l'une de l'autre. \end{enonce*} Pour définir des structures algébriques sur un espace étalé \hbox{$\pi:E\!\to\! X$}, on considère le produit fibré \[ E\times_X E=\{(p,q)\in E\times E\sep \pi(p)=\pi(q)\}. \] On suppose alors que toutes les fibres $E_x=\pi^{-1}(x)$ sont munies d'une loi de composition interne (addition, multiplication...) et que cette opération définit une application continue $E\times_X E\to E$ pour la topologie de l'espace étalé (NB: il n'y a pas lieu de composer des éléments de fibres différentes). Pour une structure d'espace étalé en groupes, outre la continuité de la loi de composition interne, on demande que l'opposé (ou inverse) fournisse une application continue $E\to E$. Enfin, si $A\to X$ est un espace étalé en anneaux, on dit que~$E$ est un $A$-module si $E$ est un espace étalé en groupes abéliens et si la multiplication externe $A\times_X E\to E$ est continue. On voit facilement que ces notions sont équivalentes aux structures algébriques déjà définies pour les faisceaux. La notion d'espace étalé est très utile pour la théorie du prolongement analytique. Soit $X$ un espace topologique séparé et localement connexe. On dit qu'un faisceau $\cF$ vérifie le \emph{principe du prolongement analytique} si étant donné des sections $f,g\in\cF(U)$ sur un ouvert connexe $U\subset X$ qui coïncident sur un ouvert $V\subset U$, alors $f=g$ sur~$U$. Ceci peut se réinterpréter comme suit. \begin{enonce*}{(5.17) Proposition} Soit $X$ un espace topologique séparé et localement connexe. Le faisceau $\cF$ sur $X$ vérifie le principe du prolongement analytique si et seulement si l'espace étalé $E_\cF$ est lui-même séparé. \end{enonce*} \begin{proof} Si $E_\cF$ est séparé et $f,g\in\cF(U)$, alors l'ensemble $V$ des points $x\in U$ tels que $f_x=g_x$ est fermé du fait de la continuité des applications $x\mto f_x$, $x\mto g_x$ à valeurs dans l'espace étalé. Puisque~$V$ est ouvert par définition, la fait que $U$ soit connexe entraîne \hbox{$V=\emptyset$} ou $V=U$, ce qui montre bien que le principe du prolongement analytique a bien lieu. Réciproquement, supposons que le principe du prolongement analytique ait lieu. Soient $p,q\in E_\cF$ des germes distincts, et soient $f\in\cF(U)$, $g\in \cF(U')$ tels que $p=f_x$, $q=g_y$, avec $U$ un voisinage ouvert connexe de $x=\pi(p)$ et $U'$ un voisinage ouvert connexe de $y=\pi(q)$. Si $x\ne y$, on peut choisir $U$ et $U'$ disjoints. Les voisinages $\smash{\widetilde f}(U)$ de $p$ et $\smash{\widetilde g}(U')$ de $q$ sont alors disjoints. Si $x=y$, on choisit $U=U'$. Alors on a également $\smash{\widetilde f}(U)\cap \smash{\widetilde g}(U')=\emptyset$, sinon $f$ et~$g$ coïncideraient sur $U=U'$ par prolongement analytique, de sorte qu'on aurait $p=q$, contradiction. \end{proof} Supposons désormais que $X$ soit séparé et localement connexe, et que le faisceau $\cF$ satisfasse le principe du prolongement analytique: l'exemple de base que nous avons en tête est celui où l'on prend \hbox{$X=\bC^n$} et le faisceau $\cF=\cO_{\bC^n}$ des fonctions holomorphes en $n$~variables. Étant donné une section $f\in\cF(U)$ sur un ouvert connexe $U\subset X$, on peut considérer la composante connexe $\smash{\widehat U_f}$ de~$E_\cF$ qui contient l'ouvert connexe $\smash{\widetilde f}(U)=\{f_x\sep x\in U\}\subset E_\cF$ (homéomorphe à~$U$). Comme l'espace $E_\cF$ est localement homéomorphe à~$X$, il est lui aussi localement connexe, de sorte que $\smash{\widehat U_f}$ est un ouvert connexe de~$E_\cF$. On obtient ainsi un espace étalé connexe et séparé \hbox{$\pi:\smash{\widehat U_f}\to U'_f\subset X$}, avec $U'_f:=\pi(\smash{\widehat U_f})$ qui contient $U$, et $(\smash{\widetilde f}\circ\pi)_{|\smash{\widetilde f}(U)}$ se prolonge naturellement à~$\smash{\widehat U_f}$ en tant que l'application d'inclusion $\smash{\widehat U_f}\subset E_\cF$; dans le cas $\cF=\cO_{\bC^n}$, on obtient un prolongement de la fonction holomorphe $\smash{\widetilde f}(U)\ni p\mto F(p)=f\circ\pi(p)$ en définissant $F(p)=p(\pi(p))\in\bC$ pour tout $p\in\smash{\widehat U}_f$. Dans le cas où $$U=\bC\ssm{}]{-}\infty,0]\subset X=\bC$$ et où $f(z)=\log z$ est la détermination principale du logarithme (par définition, celle telle que \hbox{$-\pi<\Im\log z<\pi$}), on voit facilement que~$\widehat U_f$ s'identifie au revêtement universel $\pi:\smash{\widehat U_f}\to\bC^*$ donné par l'application exponentielle $\bC\to\bC^*$, $w\mto z=e^w$, correspondant à prendre toutes les déterminations possibles du logarithme; on a ici $U'_f=\bC^*$. Dans le cas général, $\pi:\widehat U_f\to U'_f$ correspond au prolongement \hbox{analytique} maximal de la section $f\in\cF(U)$. Ce n'est pas toujours un revêtement, comme on le constatera déjà en prenant par exemple la détermination principale $f(z)=\log\log z$ sur l'ouvert \hbox{$U=\bC\ssm{}]{-}\infty,1]$}. Les prolongements analytiques sont donnés par les diverses déterminations $\log(\log z+k\,2\ii\pi)+\ell\,2\ii\pi$, or celles-ci sont bien définies au voisinage de $z=1$ si~$k\ne 0$, mais pas si $k=0$. Il en résulte que sur un disque $D(z_0,\delta)$ avec $z_0$ proche de $1$ on doit prendre $\delta<1-|z_0|$ pour les déterminations correspondant à $k=0$, tandis que toutes les autres sont définies sur des disques de rayon $\delta$ borné inférieurement (disons $\delta\ge 1/2$ si $|z_0-1|<1/2$). On a ici encore $U'_f=\bC^*$. Dans ce contexte, on a un résultat de dénombrabilité remarquable observé indépendamment par Poincaré et Volterra en~1888. \begin{enonce*}{(5.18) Théorème} Soit $\pi:E\to X$ un espace étalé au dessus d'un espace topologique $X$ séparé, localement connexe et localement compact, dont la topologie possède une base dénombrable d'ouverts. Si $E$ est séparé et connexe, les fibres $\pi^{-1}(x)$ sont finies ou dénombrables. \end{enonce*} \begin{proof} Soit $(U_j)_{j\in\bN}$ une famille dénombrable d'ouverts de~$X$ constituant une base de la topologie, c'est-à-dire telle que tout ouvert~$\Omega$ de $X$ soit réunion d'une sous-famille de $(U_j)$ (dans $\bC^n$ on peut prendre par exemple les boules de rayon rationnel dont les centres sont dans $\bQ[i]^n\subset\bC^n$). On peut supposer que $\overline U_j$ est compact pour tout~$j$ (sinon il suffit de retenir uniquement ceux des $U_j$ qui ont cette propriété, ils constituent encore une base de la topologie du fait de l'hypothèse de locale compacité de~$X$). De plus, tout ouvert de $X$ ne peut avoir qu'un nombre dénombrable de composantes connexes (si $a_j\in U_j$ alors $A=\{a_j,j\in\bN\}$ est une partie dénombrable dense, et les composantes connexes d'un ouvert rencontrent $A$ suivant des parties disjointes non vides); en remplaçant si nécessaire chaque $U_j$ par la famille de ses composantes connexes, on peut supposer que les~$U_j$ sont connexes. Pour tout $p\in E$, soit $J(p)\subset\bN$ l'ensemble des $j\in\bN$ tels qu'il existe une section continue $f_{p,j}:\overline{U_j}\to E$ telle que $V_{p,j}=f_{p,j}(U_j)$ soit un voisinage de~$p$. D'après les hypothèses $J(p)\ne\emptyset$, puisqu'on peut choisir un voisinage $W$ de $p$ qui est envoyé homéomorphiquement sur un voisinage ouvert $\pi(W)$ de~$\pi(p)$; on prend alors alors un voisinage relativement compact $W'$ de $\pi(p)$ tel que $\smash{\overline{W}\kern1pt}'\subset\pi(W)$ et on utilise le fait que celui-ci est réunion d'ouverts $U_j$. Du fait de l'hypothèse de séparation de $E$, deux ouverts~$V_{p,j}$ et $V_{q,j}$ qui sont envoyés par~$\pi$ sur le même ouvert $U_j$ de $X$ sont disjoints ou confondus. Comme chaque ensemble $\overline V_{p,j}$ est un espace compact ayant une topologie à base dénombrable, le nombre d'ouverts $(V_{p',j'})_{p'\in E,\,j'\in J(p')}$ distincts qui rencontrent un ouvert $V_{p,j}$ donné est au plus dénombrable. On construit maintenant par récurrence sur $N$ des ouverts $\Omega_N$ qui sont des réunions dénombrables d'ouverts $V_{p,j}$: on choisit $\Omega_0=V_{p_0,j_0}$ quelconque, et inductivement on prend $\Omega_N$ égal à la réunion de tous les ouverts $V_{p,j}$ qui rencontrent~$\Omega_{N-1}$. Alors $\Omega=\Omega_N$ est un ouvert connexe de $E$. Cet ouvert est également fermé dans~$E$: si $p\in\overline\Omega$, il existe un ouvert $V_{p,j}$ qui intersecte $\Omega$ et donc l'un des $\Omega_N$, par suite $p\in V_{p,j}\subset\Omega_{N+1}\subset\Omega$. Comme $E$ est connexe, on en déduit que $E=\Omega$ est réunion dénombrable d'ouverts $V_{p,j}$. Ceci implique que les fibres de $\pi$ sont dénombrables. \end{proof} \begin{enonce*}{(5.19) Corollaire}[Poincaré-Volterra] Pour toute fonction holomorphe $f:\Omega\to\bC$ sur un ouvert connexe $U\subset\bC^n$, le prolongement analytique maximal $\pi:\smash{\widehat U_f}\to U'_f\subset\bC^n$ est à fibres dénombrables, autrement dit il n'existe au plus qu'un nombre dénombrable de déterminations du prolongement analytique de $f$ au voisinage de tout point. \end{enonce*} Plus généralement on peut se poser le problème du prolongement analytique simultané d'une famille de sections $(f_i)_{i\in I}$, $f_i\in\cF(U)$. Pour cela, il suffit de considérer le produit fibré des espaces étalés \begin{multline*} E_{\cF,X}^I:=\big\{p=(p_i)_{i\in I}\in (E_\cF)^I\sep \exists x\in X,\; \forall i\in I,\;\pi(p_i)=x\big\},\\ \pi_I:p\mto x\in X, \end{multline*} muni de la topologie induite par la topologie produit de $(E_\cF)^I$. Il~est facile de voir que la projection $\pi_I:\smash{E_{\cF,X}^I}\to X$ est encore un espace étalé au dessus de $X$ (une base de voisinages de $\smash{(E_\cF)^I}$ est obtenue en spécifiant des voisinages dans un nombre fini de facteurs seulement, par définition de la topologie produit). Se donner une famille de sections $(f_i)_{i\in I}$ dans $\cF(U)$ revient à se donner une section continue $\smash{\widetilde f}=(\smash{\widetilde f}_i): U\to \smash{E_{\cF,X}^I}$ du produit fibré. On est donc ramené au cas précédent, quitte à remplacer $E_\cF$ par~$\smash{E_{\cF,X}^I}$; si $E_\cF$ est séparé, il en est de même pour~$\smash{E_{\cF,X}^I}$, le théorème de Poincaré-Volterra s'applique donc aux composantes connexes de $\smash{E_{\cF,X}^I}$ sous réserve que $X$ soit séparé, localement connexe, localement compact et à base dénombrable d'ouverts. On obtient ainsi un espace étalé connexe $\pi:\smash{\widehat U_f}\to U'_f \supset U$ à fibres dénombrables, avec $\smash{\widehat U}_f\supset \smash{\widetilde f}(U)$, qui est le plus grand espace étalé au dessus de $X$ sur lequel toutes les sections $(\smash{\widetilde f}_i\circ\pi)_{|\smash{\widetilde f}(U)}$ se prolongent analytiquement. En particulier, nous obtenons comme conséquence: \begin{enonce*}{(5.20) Proposition} Si $\Omega$ est un ouvert connexe de $\bC^n$, il existe un (unique) espace étalé connexe maximal $\pi:\smash{\widehat\Omega}\to\Omega' \supset \Omega$, induisant un homéomorphisme $V\to\Omega$ sur un certain ouvert $V\subset \smash{\widehat\Omega}$, tel que le relèvement $f\circ\pi_{|V}$ de toute fonction holomorphe $f\in\cO(\Omega)$ se prolonge analytiquement en une fonction holomorphe sur $\smash{\widehat\Omega}$. Les fibres de $\pi$ sont finies ou dénombrables. \end{enonce*} \begin{proof} On applique ce qui précède au faisceau $\cF=\cO_{\bC^n}$ sur $X=\bC^n$, en prenant une famille $(f_i)_{i\in I}$ telle que $\{f_i\sep i\in I\}=\cO(\Omega)$ tout entier. \end{proof} \noindent On peut montrer que $\smash{\widehat\Omega}$ est une \emph{variété de Stein}, c'est-à-dire une variété holomorphiquement convexe dont les fonctions holomorphes séparent les points (\cf [Stein,\,1951], [Cartan,\,sém\ptbl 1951-1952]). On dit que $\smash{\widehat\Omega}$ est \emph{l'enveloppe holomorphe} de~$\Omega$; en général, les fibres de~$\pi$ peuvent avoir plusieurs points, donc $\smash{\widehat\Omega}$ ne s'identifie pas à $\Omega'$, et ne se réalise pas nécessairement comme un ouvert de~$\bC^n$ (voir par exemple [Gunning-Rossi, 1965], chap\ptbl I, sect\ptbl G, dessin p\ptbl 43). \newpage \backmatter \section*{\large Bibliographie} \vskip5mm \let\section\Subsection\let\bibliosection\Subsection \section*{Quelques références} \parindent0pt \begin{small} \bibb{\bf Jean-Pierre Demailly.} \emph{Complex analytic and differential geometry,} livre électronique téléchargeable à l'URL \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf} \endbibb \bibb{\bf Roger Godement.} \emph{Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux}, Hermann, 1957, 283 pages \endbibb \bibb{\bf Robert C\ptbl Gunning, Hugo Rossi.} \emph{Analytic functions of several complex variables}, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1965 \endbibb \bibb{\bf Serge Lang.} \emph{Algebra}, third revised edition (first edition 1965), Graduate Text in Mathematics, Springer-Verlag, 2002, 914 pages \endbibb \bibb{\bf Jean Leray.} {\it Selected papers. {\OE}uvres scientifiques}. 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\endbibb\par \end{small} \def\refname{Travaux et publications de Henri Cartan} \manualbibitems \begin{thebibliography}{99} \begin{small} \bibitem{1}(avec E\ptbl Cartan) \emph{Note sur la génération des oscillations entretenues}, Annales des P.T.T., 14, 1196-1207 (1925) \bibitem{2}\emph{Sur quelques théorèmes de Nevanlinna}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 185, 1253-1255 (1927) \bibitem{3}\emph{Sur un théorème d'André Bloch}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 186, 624-626 (1928) \bibitem{4}\emph{Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires (Thèse)}, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 45, 255-346 (1928) \bibitem{5}\emph{Un nouveau théorème d'unicité relatif aux fonctions méromorphes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 188, 301-303 (1929) \bibitem{6}\emph{Sur la croissance des fonctions méromorphes d'une ou plusieurs variables complexes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 188, 1374-1376 (1929) \bibitem{7}\emph{Sur la fonction de croissance attachée à une fonction méromorphes d'une variable}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 189, 521-523 (1929) \bibitem{8}\emph{Sur la dérivée par rapport à $\log r$ de la fonction de croissance $T(r\sep f)$}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 189, 625-627 (1929) \bibitem{9}\emph{Sur les zéros des combinaisons linéaires de $p$ fonctions entières données}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 189, 727-729 (1929) \bibitem{10}\emph{Sur les fonctions de deux variables complexes}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 54, 99-116 (1930) \bibitem{11}\emph{Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclés de M\ptbl Carathéodory}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 190, 354-356 (1930) \bibitem{12}\emph{Les transformations analytiques des domaines cerclés les uns dans les autres}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 190, 718-720 (1930) \bibitem{13}\emph{Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction méromorphe dans tout le plan}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 190, 1003-1005 (1930) \bibitem{14}\emph{Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique}, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 9e série, 10, 1-114 (1931) \bibitem{15}\emph{Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné $D$ en un domaine intérieur à $D$}, Bulletin de la Société Mathématique de France, 58, 199-219 (1930) \bibitem{16}\emph{Sur les variétés définies par une relation entière}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 55, 24-32et47-64 (1931) \bibitem{17}\emph{Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes}, Bulletin de la Société Mathématique de France, 59, 46-69 (1931) \bibitem{18}\emph{Les transformations analytiques et les domaines convexes}, Association française pour l'avancement des sciences, Nancy, 30-31 (1931) \bibitem{19}(avec E\ptbl Cartan) \emph{Les transformations des domaines cerclés bornés}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 709-712 (1931) \bibitem{20}\emph{Les transformations des domaines semi-cerclés bornés}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 869-871 (1931) \bibitem{21}\emph{Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semi-cerclés bornés}, Mathematische Annalen, 106, 540-573 (1932) \bibitem{22}\emph{Sur une classe remarquable de domaines}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 1077-1079 (1931) \bibitem{23}\emph{Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cerclés bornés}, Congrès International des Mathématiciens, Zürich, vol\ptbl 2, 57-59 (1932) \bibitem{24}\emph{Sur les transformations localement topologiques}, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 6, 85-104 (1933) \bibitem{25}(avec P\ptbl Thullen) \emph{Zur Theorie des Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen}, Mathematische Annalen, 106, 617-647 (1932) \bibitem{26}\emph{Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L'itération des transformations intérieures d'un domaine borné}, Mathematische Zeitschrift, 35, 760-773 (1932) \bibitem{27}\emph{Sur les zéros des combinaisons linéaires de $p$ fonctions holomorphes données}, Mathematica, Cluj, 7, 5-29 (1933) \bibitem{28}\emph{Détermination des points exceptionnels d'un système de $p$ fonctions analytiques de $n$ variables complexes}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 57, 333-344 (1933) \bibitem{29}\emph{Sur les groupes de transformations pseudo-conformes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 196, 669-671 (1933) \bibitem{30}\emph{Sur les groupes de transformations pseudo-conformes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 196, 993-995 (1933) \bibitem{31}\emph{Sur l'itération des transformations conformes ou pseudo-conformes}, Compositio Mathematica, 1, 223-227 (1934) \bibitem{32}\emph{Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 199, 925-927 (1934) \bibitem{33}\emph{Les problèmes de Poincaré et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 199, 1284-1287 (1934) \bibitem{34}\emph{Sur les groupes de transformations analytiques}, Collection à la mémoire de Jacques Herbrand, Hermann, Paris (1936) \bibitem{35}\emph{Sur les fonctions de $n$ variables complexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornés}, Bulletin de la Société mathématique de France, 64, 37-48 (1936) \bibitem{36}\emph{Théorie des filtres}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205, 595-598 (1937) \bibitem{37}\emph{Filtres et ultrafiltres}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205, 777-779 (1937) \bibitem{38}\emph{Sur le premier problème de Cousin}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 207, 558-560 (1938) \bibitem{39}\emph{Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d'une fonction}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 414-416 (1939) \bibitem{40}(avec S\ptbl Mandelbrojt) \emph{Solution du problème de Carleman pour un intervalle ouvert fini}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 555-558 (1939) \bibitem{41}\emph{Solution du problème de Carleman pour un intervalle fermé fini}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 716-718 (1939) \bibitem{42}\emph{Sur les maxima des dérivées successives d'une fonction}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 210, 431-434 (1940) \bibitem{43}(avec S\ptbl Mandelbrojt) \emph{Solution du problème d'équivalence des classes de fonctions indéfiniment dérivables}, Acta Mathematica, 72, 31-49 (1940) \bibitem{44}\emph{Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives}, Publications de l'Institut Mathématique de Strasbourg, Hermann (1940) \bibitem{45}\emph{Sur les classes de Haar}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 211, 759-762 (1940) \bibitem{46}\emph{Sur les matrices holomorphes de $n$ variables complexes}, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 19, 1-26 (1940) \bibitem{47}\emph{Sur les fondements de la théorie du potentiel}, Bulletin de la Société mathématique de France, 69, 71-96 (1941) \bibitem{48}\emph{La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 66, 126-132 et 136-144 (1942) \bibitem{49}\emph{Capacité extérieure et suites convergentes de potentiels}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 214, 944-946 (1942) \bibitem{50}\emph{Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 214, 994-996 (1942) \bibitem{51}\emph{Idéaux de fonctions analytiques de $n$ variables complexes}, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 61, 149-197 (1944) \bibitem{52}\emph{Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels}, Bulletin de la Société mathématique de France, 73, 74-106 (1945) \bibitem{53}\emph{Méthodes modernes en Topologie Algébrique}, Commentarii Mathematici Helvetici, 18, 1-15 (1945) \bibitem{54}\emph{Théorie générale du balayage en potentiel newtonien}, Annales de l'université de Grenoble, 22, 221-280 (1946) \bibitem{55}\emph{Extension de la théorie de Galois aux corps non commutatifs}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 224, 87-89 (1947) \bibitem{56}\emph{Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non commutatifs}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 224, 249-251 (1947) \bibitem{57}\emph{Théorie de Galois pour les corps non commutatifs}, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 64, 59-77 (1947) \bibitem{58}(avec R\ptbl Godement) \emph{Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts}, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 64, 79-99 (1947) \bibitem{59}\emph{Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe. Notions algébriques préliminaires}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 226, 148-150 (1948) \bibitem{60}\emph{Sur la cohomologie des espaces où opère un groupe: étude d'un anneau différentiel où opère un groupe}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 226, 303-305 (1948) \bibitem{61}\emph{Sur la notion de carapace en topologie algébrique, Topologie Algébrique}, Colloque International du C.N.R.S., \no 12, 1-2 (1949) \bibitem{62}\emph{Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes}, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, séries A, 61, 3-6 (1949) \bibitem{63}(avec J\ptbl Deny) \emph{Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique}, Acta Scientiarum Mathematicarum, Szeged, 12, 81-100 (1950) \bibitem{64}\emph{Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 230, 425-427 (1950) \bibitem{65}\emph{Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie}, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 15-27 (1950) \bibitem{66}\emph{La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal}, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 57-71 (1950) \bibitem{67}\emph{Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes}, Bulletin de la Société Mathématique de France, 78, 29-64 (1950) \bibitem{68}\emph{Problèmes globaux dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes}, Congrès International des Mathématiciens, Cambridge, vol\ptbl 1, 152-164 (1950) \bibitem{69}\emph{Sur une extension d'un théorème de Rado}, Mathematische Annalen, 125, 49-50 (1952) \bibitem{70}\emph{Extension du théorème des \og chaînes de syzygies\fg}, Rendiconti di Matematica e délie sue applicazioni,V, 11, 1-11 (1952) \bibitem{71}(avec J.-P\ptbl Serre) \emph{Espaces fibrés et groupes d'homotopie, I.~Constructions générales}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 234, 288-290 (1952) \bibitem{72}(avec J.-P\ptbl Serre) \emph{Espaces fibrés et groupes d'homotopie, II.~Applications}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 234, 393-395 (1952) \bibitem{73}\emph{Variétés analytiques complexes et cohomologie}, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 41-55 (1953) \bibitem{74}(avec J.-P\ptbl Serre) \emph{Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 237, 128-130 (1953) \bibitem{75}\emph{Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane $H(\pi,n)$: I.~Méthode des constructions}, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 40, 467-471 (1954) \bibitem{76}\emph{Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane II}, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 40, 704-707 (1954) \bibitem{77}\emph{Algèbres d'Eilenberg-MacLane}, Séminaire H\ptbl Cartan, Ecole Normale Supérieure, 1954-1955, exposés 2 à 11, deuxième édition (1956) \bibitem{78}\emph{Sur l'itération des opérations de Steenrod}, Commentarii Mathematici Helvetici, 29, 40-58 (1955) \bibitem{79}\emph{Sur la notion de dimension}, Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques, 37, 1-12 (1957) \bibitem{80}\emph{Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes}, Algebraic Geometry and Topology, A~symposium in honor of S\ptbl Lefschetz, Princeton University Press, 90-102 (1957) \bibitem{81}\emph{Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes}, Bulletin de la Société mathématique de France, 85, 77-99 (1957) \bibitem{82}(avec F\ptbl Bruhat) \emph{Sur la structure des sous-ensembles analytiques réels}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 244, 988-991 (1957) \bibitem{83}(avec F\ptbl Bruhat) \emph{Sur les composantes irréductibles d'un sous-ensemble analytique réel}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 244, 1123-1126 (1957) \bibitem{84}\emph{Fonctions automorphes et séries de Poincaré}, Journal d'Analyse Mathématique, 6, 169-175 (1958) \bibitem{85}\emph{Prolongement des espaces analytiques normaux}, Mathematische Annalen, 136, 97-110 (1958) \bibitem{86}\emph{Espaces fibrés analytiques}, Symposium Internacional de Topologia Algebraica, Mexico, 97-121 (1958) \bibitem{87}\emph{Sur les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques}, Congrès International des Mathématiciens, Edinburgh, 33-52 (1958) \bibitem{88}\emph{Quotients of complex analytic spaces}, International Colloquium on Function Theory, Tata Institute, 1-15 (1960) \bibitem{89}\emph{Problèmes d'approximation dans la théorie des fonctions analytiques}, Atti della secunda Riunione del Groupement des Mathématiciens d'expression latine, Florence, 24-29 (1961) \bibitem{90}\emph{Faisceaux analytiques cohérents}, Centro Internazionale Matematico Estivo, Varenna (1963) \bibitem{91}\emph{Réflexions sur les rapports d'Aarhus et Dubrovnik}, L'Enseignement Mathématique, 9, 84-90 (1963) \bibitem{92}\emph{Emil Artin}, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 28,l-5 (1965) \bibitem{93}\emph{Some applications of the new theory of Banach analytic spaces}, Journal of the London Mathematical Society, 41, 70-78 (1966) \bibitem{94}\emph{Sur le théorème de préparation de Weierstrass}, Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Wissenschaftliche Abhandlung, Band 33, 155-168 (1966) \bibitem{95}\emph{Structural stability of differentiable mappings}, Proceedings International Conference of Functional Analysis, Tokyo, 1-10 (1969) \bibitem{96}\emph{Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables}, Essays on Topology and Related Topics, Springer-Verlag, 1-11 (1970) \bibitem{97}\emph{Sur l'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach}, Séminaire sur les espaces analytiques, Éditions de l'Académie de la République socialiste de Roumanie, Bucarest, 129-135 (1971) \bibitem{98}\emph{Sur les travaux de K\ptbl Stein}, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Münster (1973) \bibitem{99}\emph{Théories cohomologiques}, Inventiones Mathematicae, 35, 261-271 (1976) \bibitem{100}\emph{Domaines bornés symétriques dans un espace de Banach complexe}, Publicado en \og Actas del V Congreso de la Agrupaci\'on de Matem\'aticos de Expresi\'on Latina\fg Madrid, 3-14 (1978) \par \end{small} \end{thebibliography} \section*{Séminaires de l'Ecole Normale Supérieure} \begin{small} (publiés par le Secr\ptbl Math., 11 rue P\ptbl et M\ptbl Curie, 75005 PARIS, et par W\ptbl A\ptbl Benjamin, éd., New York, 1967) \medskip \enum{1948-49}{\itshape Topologie algébrique} \enum{1949-50}{\itshape Espaces fibrés et homotopie} \enum{1950-51}{\itshape Cohomologie des groupes, suites spectrales, faisceaux} \enum{1951-52}{\itshape Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes} \enum{1953-54}{\itshape Fonctions automorphes et espaces analytiques} \enum{1954-55}{\itshape Algèbres d'Eilenberg-MacLane et homotopie} \enum{1955-56}{(avec C\ptbl Chevalley) \it Géométrie algébrique} \enum{1956-57}{\itshape Quelques questions de Topologie} \enum{1957-58}{(avec R\ptbl Godement et I\ptbl Satake) \it Fonctions automorphes} \enum{1958-59}{\itshape Invariant de Hopf et opérations cohomologiques secondaires} \enum{1959-60}{(avec J\ptbl C\ptbl Moore) \it Périodicité des groupes d'homotopie stables des groupes classiques, d'après Bott} \enum{1960-61}{(avec A\ptbl Grothendieck) \it Familles d'espaces complexes et fondements de la géométrie analytique} \enum{1961-62}{\itshape Topologie différentielle} \enum{1962-63}{\itshape Topologie différentielle} \enum{1963-64}{(avec L\ptbl Schwartz) \it Théorème d'Atiyah-Singer sur l'indice d'un opérateur différentiel elliptique}\par \end{small} \section*{Livres} \begin{small} $\bbullet$ (avec S\ptbl Eilenberg) \emph{Homological Algebra}, Princeton Univ\ptbl Press, Math\ptbl Séries, \no19,1966 -- traduit en russe. $\bbullet$ \emph{Théorie élémentaire des fonctions analytiques}, Paris, Hermann, 1961 -- traduit en allemand, anglais, espagnol, japonais, russe. $\bbullet$ \emph{Calcul différentiel; formes différentielles}, Paris, Hermann, 1967 -- traduit en anglais et en russe. \end{small} \section*{Divers} \begin{small} $\bbullet$ \emph{Sur la possibilité d'étendre aux fonctions de plusieurs variables complexes la théorie des fonctions univalentes}, Annexe aux \og Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes\fg de P\ptbl Montel, Paris, Gauthier-Villars (1933), 129-155. $\bbullet$ (avec J\ptbl Dieudonné) \emph{Notes de tératopologie III}, Rev\ptbl Sci., 77 (1939), 413-414.\ $\bbullet$ \emph{Un théorème sur les groupes ordonnés}, Bull\ptbl Sci\ptbl Math., 63 (1939), 201-205. $\bbullet$ \emph{Sur le fondement logique des mathématiques}, Rev\ptbl Sci., 81 (1943), 2-11. $\bbullet$ (avec J\ptbl Leray) \emph{Relations entre anneaux d'homologie et groupes de Poincaré}, Topologie Algébrique, Coll\ptbl Intern\ptbl C.N.R.S\ptbl \no 12 (1949), 83-85. $\bbullet$ \emph{Nombres réels et mesure des grandeurs}, Bull\ptbl Ass\ptbl Prof\ptbl Math., 34 (1954), 29-35\ptbl Structures algébriques, Bull\ptbl Ass\ptbl Prof\ptbl Math., 36 (1956), 288-298. $\bbullet$ (avec S\ptbl Eilenberg) \emph{Foundations of fibre bundles}, Symp\ptbl Intern\ptbl Top\ptbl Alg., Mexico (1956), 16-23. $\bbullet$ \emph{Volume des polyèdres}, Bull\ptbl Ass\ptbl Prof\ptbl Math., 38 (1958), 1-12. $\bbullet$ \emph{Nicolas Bourbaki und die heutige Mathematik}, Arbeits\ptbl für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 76, Koln (1959). $\bbullet$ \emph{Notice nécrologique sur Arnaud Denjoy}, C\ptbl R\ptbl Acad\ptbl Sci\ptbl Paris, 279 (1974), Vie Académique, 49-52 (= Astérisque 28-29, S.M.F., 1975, 14-18).\par \end{small} \section*{Exposés au Séminaire Bourbaki} \begin{small} (Les numéros renvoient à la numérotation globale du Séminaire) \medskip \renewcommand{\enum}[2]% {\par\noindent\begin{minipage}{.09\textwidth}#1\end{minipage} \hfill\begin{minipage}[t]{.9\textwidth}#2\end{minipage}\par} \enum{1,8,12.}{\emph{Les travaux de Koszul} (1948-49)} \enum{34.}{\emph{Espaces fibrés analytiques complexes} (1950)} \enum{73.}{\emph{Mémoire de Gleason sur le 5e problème de Hilbert} (1953)} \enum{84.}{\emph{Fonctions et variétés algébroïdes}, d'après F\ptbl Hirzebruch (1953)} \enum{115.}{\emph{Sur un mémoire inédit de H\ptbl Grauert: \og Zur Theorie der analytisch vollständigen Räume\fg} (1955)} \enum{125.}{\emph{Théorie spectrale des $\bC$-algèbres commutatives}, d'après L\ptbl Waelbroeck (1956)} \enum{137.}{\emph{Espaces fibrés analytiques}, d'après H\ptbl Grauert (1956)} \enum{296.}{\emph{Thèse de Douady} (1965)} \enum{337.}{\emph{Travaux de Karoubi sur la K-théorie} (1968)} \enum{354.}{\emph{Sous-ensembles analytiques d'une variété banachique complexe}, d'après J.-P. Ramis (1969)} \par \end{small} \end{document}